Curs Analiza Matematica Sem1 [625425]

ION COLȚESCU GHEORGHE DOGARU

ANALIZĂ MATEMATIC Ă
CALCUL DIFEREN ȚIAL

Colecția „Matematic ă”

ION COLȚESCU GHEORGHE DOGARU

ANALIZĂ MATEMATIC Ă
CALCUL DIFEREN ȚIAL

Editura Academiei Navale “Mircea cel B ătrân”
Constanța, 2012

Referenți științifici: Conf. univ. dr. Ioan POPOVICIU
Conf. univ. dr. Alexandru SOTIR

Corector: Ozana CHAKARIAN
Editare computerizat ă: Florentina PETRI Ș
Copertă: Gabriela SECU

Editura Academiei Navale „Mircea cel B ătrân”
Str. Fulgerului nr. 1, 900218, Constan ța
Tel. 0241/626200/1219, fax 0241/643096
Email: [anonimizat]

Copyright © 2012 Editura Academiei Navale „Mircea cel B ătrân”
Toate drepturile rezervate

ISBN 978-606-642-022-8
Descrierea CIP a Bibliotecii Na ționale a României
COLȚESCU, ION
Analiză matematică : Calcul diferen țial / Colțescu Ion,
Dogaru Gheorghe.- Constan ța : Editura Academiei Navale
”Mircea cel B ătrân”, 2012
Bibliogr.
ISBN 978-606-642-022-8

I. Dogaru, Gheorghe

517

5
CUPRINS

Prefață 7
Capitolul I
RELAȚII MULȚIMI NUMĂRABILE ȘI NENUMĂRABILE
9
1. Relații. Definiție. Proprietăți generale 9
2. Tipuri de rela ții 10
3. Numere cardinale 13
4. Exerciții rezolvate 15
Capitolul II
SPAȚIU TOPOLOGIC. SPA ȚIU METRIC. SPA ȚIU BANACH
22
1. Spațiu topologic 22
2. Caracterizarea topologic ă a punctelor unei mul țimi 25
3. Spațiu metric 27
4. Normă. Spațiu vectorial normat 30
5. Exerciții rezolvate 34
Capitolul III
CARACTERIZAREA TOPOLOGIC Ă A MULȚIMILOR. ȘIRURI
ÎN SPAȚII TOPOLOGICE, ȘIRURI ÎN SPA ȚII METRICE, ȘIRURI
ÎN SPAȚII VECTORIALE NORMATE.

46
1. Mulțimi mărginite 46
2. Tipuri de mul țimi 51
2.1 Mulțimi compacte 51
2.2 Mulțimi conexe 52
3. Șiruri în spații topologice, spa ții metrice, spa ții vectoriale
normate
54
4. Șiruri Cauchy 59
5. Subșiruri. Principiul contrac ției 62
6. Exerciții rezolvate 67
Capitolul IV
SERII
79
1. Serii. Generalit ăți 79
2. Serii cu termeni pozitivi 85
3. Serii cu termeni oarecare 98
4. Exerciții rezolvate 106
Capitolul V
ȘIRURI ȘI SERII DE FUNC ȚII
124
1. Șiruri de func ții 124
2. Serii de func ții 133
3. Serii de puteri 137
4. Formula Taylor pentru polinoame și funcții 142

6
5. Seria Taylor 149
6. Exerciții rezolvate 155
Capitolul VI
FUNCȚII REALE ȘI FUNCȚII VECTORIALE
172
1. Limită. Definiții. Proprietăți generale 172
2. Continuitatea 181
3. Exerciții rezolvate 190
Capitolul VII
DERIVATA ȘI DIFEREN ȚIALA
203
1. Derivata 203
2. Diferențiala 219
3. Unele aplica ții ale diferen țialei 226
A. Formula lui Taylor 226
B. Puncte de extrem 229
4. Exerciții rezolvate 239
Capitolul VIII
FUNCȚII IMPLICITE. DEPENDEN ȚĂ FUNCȚIONALĂ.
SCHIMBĂRI DE VARIABIL Ă

268
1. Funcții implicite 268
2. Sisteme de func ții implicite 277
3. Dependență funcțională 279
4. Extreme condi ționate 285
5. Schimbări de variabil ă și funcții 293
A. Schimbarea variabilelor independente la func țiile de o variabil ă 293
B. Schimbarea variabilelor independente la func țiile de două
variabile
294
C. Transformarea punctual ă a curbelor plane 295
D. Transform area punctual ă a suprafețelor 296
6. Exerciții rezolvate 299
Capitolul IX
EXERCIȚII PROPUSE
318
BIBLIOGRAFIE 349

7
PREFAȚĂ

În ultimele decenii, majoritatea disciplinelor de matematic ă și-au
schimbat mult aspectul fie printr-o precizare a con ținutului, fie adoptând o
formă nouă de expunere care s ă corespund ă procesului general de
modernizare a matematicii. Evident c ă analiza matematic ă nu poate r ămâne
în afara acestei evolu ții. Dacă nu poate fi vorba de o schimbare de fond a
conținutului analizei matematice, atunci credem c ă forma de expunere
trebuie s ă sufere unele modific ări.
În ansamblul disciplinelor care fac parte din planul de înv ățământ al
unei facult ăți tehnice, analiza matematic ă trebuie s ă se coreleze cu alte
discipline ca algebra, matematici speciale, analiz ă numeric ă și altele.
În cartea de fa ță pe care autorii o prezint ă, printre altele, o
importan ță deosebit ă s-a acordat moderniz ării ca form ă a analizei
matematice. O modernizare exagerat ă și forțată în detrimentul con ținutului
clasic al analizei matematice ar constitui un e șec. Din aceast ă cauză, una din
direcțiile importante a fost aceea de a g ăsi măsura potrivit ă de expunere care
să echilibreze într-un tot forma și conținutul, intui ția rămânând în unele
locuri o metod ă de bază pentru în țelegerea anumitor no țiuni.
Cartea “Analiz ă matematic ă – Calcul diferen țial” constituie o edi ție
revizuită și adăugită a cărții „Calcul diferen țial. Teorie. Exemple.
Aplicații” a acelora și autori. În volumul de fa ță sunt studiate unele no țiuni
fundamentale, cum ar fi cele de limit ă, continuitate, diferen țiabilitate,
schimbări de variabil ă și de func ție, folosindu-se conceptul de spa țiu
topologic, spa țiu metric și spațiu vectorial normat.
Am ales acest cadru întrucât permite, pe de o parte, o tratare unitar ă
a unor probleme fundamentale, fiind suficient de larg pentru a include
principalele probleme ce intervin frecvent în diferite domenii teoretice și
practice, iar pe de alt ă parte, permite o deschidere spre abordarea lor într-un
cadru mai general.
Având în vedere c ă problemele care fac obiectul analizei matematice
nu sunt u șor accesibile, am urm ărit introducerea motivat ă a noțiunilor și
problemelor, o tratare care s ă se sprijine pe exemple cât mai sugestive și am
încheiat fiecare capitol cu un paragraf de exerciții rezolvate în care sunt
prezentate un num ăr mare de exerci ții de dificult ăți diferite, rezolvate
complet.
Cartea cuprinde nou ă capitole, ultimul propunând spre rezolvare un
număr foarte mare de exerci ții corespunz ătoare fiec ărui capitol tratat, din
dorința de a da posibilitatea cititorului s ă se autoverifice în ce grad a în țeles
noțiunile prezentate.

8
Sperăm ca lucrarea s ă fie util ă atât studen ților ce studiaz ă în
programa universitar ă analiza matematic ă, profesorilor de licee care- și
pregătesc examenele de definitivat sau grad, cât și tuturor celor care doresc
să învețe și să aprofundeze matematica modern ă a zilelor noastre,
facilitându-le în țelegerea mai precis ă și mai aprofundat ă a unor no țiuni și
modele matematice de mare fine țe.

I.C. Constanța 2012
G.D.

9
CAPITOLUL I: RELA ȚII. MULȚIMI NUMĂRABILE ȘI
NENUMĂRABILE

1. RELAȚII. DEFINIȚIE. PROPRIET ĂȚI GENERALE
Se consider ă cunoscute no țiunile de: mul țime, clas ă, operații cu mul țimi și
logică matematic ă.

DEFINIȚIA 1.1.1 Fie A și B două mulțimi oarecare. Se nume ște relație
de coresponden ță între mul țimile A și B tripletul notat ( ) ;;,ℜ= GAB
unde:
GAB=× este numit graficul (graful) rela ției ℜ, A este domeniul de
definiție sau sursa rela ției ℜ, iar B este codomeniul sau adresa rela ției ℜ.

OBSERVAȚIA 1.1.1
a) Dacă ,≡BA atunci rela ția ℜ este notat ă cu (),GA și se nume ște
relație în A, iar graficul s ău este mul țimea 2GA⊆ ;
b) (),xyG∈ dacă și numai dac ă xyℜ (x este în rela ția ℜcu )y;
c) (),xyG∉ dacă și numai dac ă ; xyℜ(x nu este în rela ția ℜcu )y;
d) Fie () PAB× numărul părților mul țimii AB×. Mulțimea tuturor
relațiilor ( ) ;;GABℜ= este în coresponden ță biunivocă cu mul țimea
();× PAB
e) Dacă cardAn=, atunci ()2ncardPA =. Într-adev ăr k
nC prin defini ție
reprezint ă mulțimea tuturor submul țimilor cu k elemente formate dintr-o
mulțime cu n elemente și 01……2knn
nnnnCCCC+++++= .

Exemple.
a) {} 1,2,3, A=
(){}{}{}{}{}{}{} { } 1,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3 PA= , {}() 2PA∈ , {}2 A⊂ ,
2A∈;
b) Dacă M este o mul țime și () PM mulțimea părților lui ,M atunci
mulțimea () () { } , GaAAPMaA=∈×∈ este graficul rela ției de
apartenen ță.

10
DEFINIȚIA 1.1.2 Fie A și B două mulțimi oarecare și ( ) ;;GABℜ= o
relație între cele dou ă mulțimi. Se nume ște relație inversă (reciproc ă sau
simetrică) a relației ℜ relația ( )11;;−−ℜ= GBA definită astfel: ()1,xyG−∈
dacă și numai dac ă (),xyG∈ sau 1yx−ℜ dacă și numai dac ă xyℜ.

DEFINIȚIA 1.1.3 Fie , , ABC trei mul țimi oarecare și ( )11 ;;GABℜ= și
( )22 ;; ℜ= GBC două relații oarecare. Rela ția 21ℜ=ℜℜ o, dată de tripletul
( ) ,,GAC , în cazul în care exist ă, se nume ște compusa rela țiilor 1ℜ și
2ℜși este definit ă astfel: xzℜdacă și numai dac ă există ∈yB astfel încât
1xyℜ și 2ℜyz .

PROPOZIȚIA 1.1.1 Dacă ( )11 ;;GABℜ= , ( )22 ;;GBCℜ= și există
21ℜ=ℜℜ o, atunci exist ă 1−ℜ și are loc rela ția:
( )
1 111
2112− −−−ℜ=ℜℜ=ℜℜ oo

PROPOZIȚIA 1.1.2 Compunerea rela țiilor este o opera ție asociativ ă.
Adică, dacă 123, , ℜℜℜ sunt rela ții care se pot compune în ordinea
321ℜℜℜoo atunci:
( ) ( )321321321ℜℜℜ=ℜℜℜ=ℜℜℜoooooo .

OBSERVAȚIA 1.1.2 Relația este generalizarea no țiunii de func ție. Adică,
fie ( ) ;;GABℜ= o relație care verific ă proprietatea: xyℜ și .ℜxz Rezultă
,=yz atunci rela ția ℜ este func ția :fAB→ .

2. TIPURI DE RELA ȚII
Vom defini câteva tipuri de rela ții care sunt foarte întâlnite în practic ă.

DEFINIȚIA 1.2.1 Dacă (),GAℜ= îndepline ște următoarele propriet ăți:
1) xyℜimplică ℜyx, pentru orice ,xyA∈(simetria ),
2) xxℜ, pentru orice xA∈(reflexivitatea ),
3) xyℜși ℜyz implică ℜxz, oricare ar fi ,,xyzA∈(tranzitivitatea ),
atunci ℜ se nume ște relație de echivalen ță în mulțimea .A

11
DEFINIȚIA 1.2.2 Dacă relația (),GAℜ= verifică proprietatea
xyℜ și yxℜ, implică xy=,
atunci rela ția ℜ este o relație antisimetric ă.

DEFINIȚIA 1.2.3 O relație ℜ definită în mulțimea A care este reflexiv ă
și antisimetric ă se nume ște relație de preordine .
Orice rela ție de preordine care este și tranzitiv ă se nume ște relație de
ordine .

Exemple.
a) Fie A și B două mulțimi oarecare. Rela ția "":, numită relația de
echipotență, definită astfel:
AB: dacă și numai dac ă există :fAB→ , f bijectivă,
este o rela ție de echivalen ță.
Soluție. Verificăm cele trei propriet ăți de mai sus.
1) .:AA Într-adev ăr dacă se consider ă funcția identic ă:
1:AAA→ , () 1=Axx .
Este evident c ă această funcție este o func ție bijectiv ă.
Conform cu defini ția relației "": se obține: .:AA
2) AB: implică .:BA Într-adev ăr din AB: rezultă că există
:fAB→ bijectivă. Dar se știe că orice func ție bijectiv ă este și inversabil ă
și inversa sa este bijectiv ă. Deci, exist ă 1:fBA−→ bijectiv ă din care
rezultă .:BA
3) Trebuie ar ătat că AB: și BC: implică AC:. Într-adev ăr, din faptul
că AB: și BC: rezultă că există :fAB→ bijectiv ă și :gBC→
bijectivă. Deci, exist ă :hAC→ , hgf=o bijectiv ă. Atunci .:AC
Verificând propriet ățile din defini ția 1.2.1, s-a demonstrat c ă relația de
echipoten ță este o rela ție echivalent ă.

b) În mulțimea numerelor reale se știe că există relația ""≤ definită astfel:
xy≤ dacă x are imaginea pe axa real ă la stânga imaginii lui .y Relația
""≤ este o rela ție de ordine pe mul țimea numerelor reale:
1) xx≤ (reflexivitatea);
2) xy≤și yx≤implică xy=(antisimetria);
3) xy≤și yz≤implică xz≤(tranzitivitatea).
Orice mul țime înzestrat ă cu o rela ție de ordine de nume ște mulțime
ordonată.

12
DEFINIȚIA 1.2.4 Fie (),GAℜ= o relație de echivalen ță definită în
mulțimea A și xA∈, un element oarecare al lui ,A atunci mul țimea notat ă
astfel ˆx sau xC și definită astfel { } ˆ / ==∈ℜx xCyAyx poartă denumirea
de clasă de echivalen ță a elementului x, definită de relația de echivalen ță
ℜ.

DEFINIȚIA 1.2.5 Mulțimea tuturor claselor de echivalen ță a mulțimii A
definită de relația de echivalen ță ℜ se nume ște mulțimea cât a mulțimii
A, determinat ă de rela ția de echivalen ță ℜ și se noteaz ă astfel: /ℜA
(A factorizat la )ℜ.

PROPOZIȚIA 1.2.1 Fie (),GAℜ= o relație de echivalen ță a mulțimii .A
Atunci au loc rela țiile:
a) 2ˆ xCx∈= , pentru orice xA∈;
b) ˆˆxy= dacă și numai dac ă xyℜ.

Demonstrație
a) Fie xA∈ un element oarecare, deoarece (),GAℜ= este o rela ție de
echivalen ță, datorită reflexivit ății acestei rela ții se poate scrie c ă xxℜ. Deci
ˆxx∈.
b) ""⇒Se presupune c ă ˆˆxy=. Rezultă ˆ ,xyy∈. Deci, xyℜsau yxℜ.
""⇐Să presupunem c ă xyℜ și trebuie s ă demonstr ăm că ˆˆxy≡, dar
pentru aceasta trebuie ar ătat că: ˆˆyx⊆ și ˆˆxy⊆.
Fie ˆzx∈. Trebuie ar ătat că ˆzy∈. Într-adev ăr din faptul c ă ˆzx∈, rezultă
ℜzx. Dar, din ipotez ă se știe că .ℜxy Cum rela ția ℜ este o rela ție de
echivalen ță ea este și tranzitiv ă. Deci rezult ă ℜzy. Așadar, rezult ă ˆˆxy⊆.
Cealaltă incluziune se demonstreaz ă în mod asem ănător.

OBSERVAȚIA 1.2.1
a) Din Propozi ția 1.2.1 rezult ă că două clase de echivalen ță ori sunt
disjuncte ori sunt egale și este evident c ă ˆ
xAAx
∈=U .
b) Orice rela ție de echivalen ță pe A determin ă o partiție a acestei mul țimi
în clase de echivalen ță modulo ℜ. Mulțimea claselor de echivalen ță poartă
denumirea de mulțime factor .
c) Exemplu: un parlamentar este o clas ă de echivalen ță, iar parlamentul
este mul țime factor.

13
3. NUMERE CARDINALE
Într-unul din exemplele anterioare s-a definit no țiunea de “echipoten ță” și
s-a arătat că această relație este o rela ție de echivalen ță. Cu ajutorul acestei
relații se definesc numerele cardinale și se clasific ă mulțimile dup ă numărul
elementelor lor.

DEFINIȚIA 1.3.1 Fie A o mulțime oarecare. Dac ă ,:AN se spune c ă A
este o mulțime numărabilă. (Orice mul țime echipoten ță cu mul țimea
numerelor naturale este o mul țime num ărabilă).

Exemplu
1. 221,pp + ¥¥ – sunt mul țimi num ărabile, unde 2n¥ este mul țimea
numerelor naturale pare și 21n+¥ este mul țimea numerelor naturale impare;
2. ¤ mulțime num ărabilă.
Soluție
1. După cum se știe, pentru a ar ăta că mulțimea 2¥p este num ărabilă,
trebuie ar ătat că este echipotent ă cu ¥. Adică trebuie construit ă o funcție cu
domeniul ¥ și codomeniul 2¥p, funcție care s ă fie bijectiv ă. Fie
2 :→¥¥p f , ()2 fnn= . Este evident c ă această funcție este atât injectiv ă,
cât și bijectiv ă.
În mod asem ănător se arat ă că 21+ ¥:¥p, construind func ția 21 :+→¥¥p f ,
()21 fnn=+ .
2. Acest punct se las ă ca exerci țiu.

Fie T mulțimea total ă și ()TP mulțimea părților acestei mul țimi. Fie
() A∈ TP o mulțime oarecare.

DEFINIȚIA 1.3.2 Mulțimea () { } /~ cardABBA =∈ PT se nume ște
cardinalul mul țimii A sau clasa de echivalen ță definită de A în mulțimea
()TP .
Dacă:
a) A are un element, rezult ă 1 cardA =;
b) A are două elemente, 2 cardA =;
c) ~¥A , atunci 0 cardA =ℵ se citește “alef zero” și reprezint ă cel mai mic
infinit.

14
d) ~¡A , atunci C cardA =ℵ se citește “puterea continuului” și este un
infinit mai mare decât 0ℵ.

DEFINIȚIA 1.3.3 O mulțime infinit ă care nu este echipotent ă cu mulțimea
numerelor naturale se nume ște mulțime nenumărabilă.

O categorie foarte important ă de mulțimi nenum ărabile sunt mul țimile din
clasa de echivalen ță puterea continuului, adic ă cele echipotente cu mul țimea
numerelor reale.
Cu numerele cardinale se pot defini opera ții de adunare, înmul țire și ridicare
la putere (când numerele cardinale sunt finite, aceste opera ții se cunosc).
Definiția care urmeaz ă pentru aceste opera ții poate fi folosit ă și în cazul în
care numerele cardinale sunt infinite.

DEFINIȚIA 1.3.4 Fie card nA= , card mB= , unde A și B sunt dou ă
mulțimi oarecare din ()TP .
1) () card nmAB+=∪ cu AB f∩= ;
2) () card nmAB×=× ;
3) card mBnA= , unde { } /:BAffBA=→ este mul țimea tuturor func țiilor
ce pot fi definite pe B cu valori în A.

Exemplu. 000ℵ+ℵ=ℵ , 2p A=¥, 21p B+=¥ , 221 + ∪=∪= ¥¥¥pp AB .

Mulțimea tuturor numerelor cardinale infinite este o mul țime ordonat ă care
are un prim element și acesta este 0ℵ, dar care nu are un ultim element.
Deci, cu alte cuvinte, mul țimea numerelor cardinale infinite nu este
mărginită superior (vezi exerci țiul 5b).

PROPOZIȚIA 1.3.4 (TEOREMA LUI CANTOR): Mulțimea tuturor
numerelor reale cuprinse în intervalul []0,1 este o mul țime nenum ărabilă.
Demonstrație. Se presupune prin absurd c ă mulțimea numerelor reale din
intervalul []0,1 este num ărabilă. Atunci, aceste numere pot fi puse în
coresponden ță biunivoc ă cu termenii unui șir după cum urmeaz ă:
1111
11230, n baaaa= KK , 2222
21230, n baaaa= KK , K ,
1230, nnnn
nnbaaaa= KK , K,
unde: { } 0,1,2,3,…,9j
ia∈ .

15
Se arată prin construc ție că mai exist ă încă un num ăr subunitar care nu face
parte din șirul anterior. Într-adev ăr, dacă se consider ă numerele:
1230, ……n baaaa= , unde: 1
11110;9;aaaa≠≠≠ , 2
22220;9; aaaa≠≠≠ ,
K, 0;9;n
nnnnaaaa≠≠≠ , K.
Se observ ă că:
1bb≠ cel puțin prin prima cifr ă, 2 bb≠ cel puțin prin a doua cifr ă, K,
n bb≠ cel puțin prin a n-a cifră, K.
Deci, acest num ăr b este subunitar, dar nu face parte din mul țimea {}1 nnb≥,
ceea ce arat ă că presupunerea c ă numerele reale din intervalul []0,1 este o
mulțime num ărabilă este fals ă.

4. EXERCIȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 1.4.1 Fie rela țiile binare ℜℜℜ123,, care au urm ătoarele
grafice:
()()()() { }11,1,1,2,2,2,3,2 Gℜ= , ()()() { }21,2,1,3,2,2 Gℜ= ,
()() { }31,2,2,3 Gℜ= .
a) Să se determine domeniul, codomeniul și simetricile acestor rela ții;
b) Să se studieze reflexivitatea, simetria, antisimetria și tranzitivitatea
acestor rela ții.

Rezolvare.
a) Fie A și B două mulțimi. Dac ă xA∀∈ și yB∀∈ , xyℜ atunci
A=Dom ℜ (domeniul lui ℜ), B=Ran ℜ (codomeniul lui ℜ). Ținând
cont de acestea se observ ă că:
()()()() { } 1
11,1,2,1,2,2,2,3 G−ℜ= , ()()() { }
2G=2,1,3,1,2,2−ℜ1 ,
()() { } 1
3G=3,1,3,2−ℜ;
{}1 Dom1,2,3ℜ= , {}2 Dom1,2ℜ= , {}3 Dom1,2ℜ= ;
{}1 Ran1,2ℜ= ; {}2 Ran2,3ℜ= ; {}3 Ran2,3ℜ= .
b) • ℜ este simetric ă dacă 1GG− ℜ ℜ⊆ ;
• ℜ este reflexiv ă dacă
AiRGG⊂ , unde (),AixxxA=∀∈ (funcția
identitate pe A)
• ℜ este antisimetric ă dacă 1A Ri RGGG −∩⊆ ;
• ℜ este tranzitiv ă dacă RRRGG⊆o .

16
Este evident c ă 111GG− ℜ ℜ⊄ ; 122GG− ℜ ℜ⊄ și 133GG− ℜ ℜ⊄ . Deci, rela țiile
123,,ℜℜℜ nu sunt simetrice.
S-a arătat că:
{}11 Dom1,2,3 A ℜ== , ()()() { }
11,1,2,2,3,3
AiG= .
Cum ()() { } 11 1 11,1,2,2,− ℜ ℜ∩=⊂
Ai GGG rezultă că 1ℜ este antisimetric ă.
Analog se arat ă că 2ℜ și 3ℜ sunt antisimetrice.
Cum ()()() { }()()()() { }1 11,1,2,23,31,1,1,22,2,3,2,ℜ =⊄=
AiGG rezultă că
1ℜ nu este reflexiv ă. Analog se arat ă că 2ℜ și 3ℜ nu sunt reflexive.
Cum ()()()() { }1111,1,1,22,2,3,2,ℜℜℜ==oGG atunci 1ℜ este tranzitiv ă. Se
observă că ()
31,2 Gℜ∈ , ()
32,3 Gℜ∈ , ()
31,3 Gℜ∉ . Deci
333GGℜℜℜ⊄o .
Așadar, 3ℜ nu este tranzitiv ă.

EXERCIȚIUL 1.4.2 Fie relația ℜ care are urm ătorul grafic:
(){ } ,,, Gmnmnmnℜ=∈ ¢ .
Să se arate c ă ℜ este o rela ție de preordine pe ¢.
Rezolvare. Pentru ca rela ția ℜ să fie relație de preordine trebuie ca ℜ să
fie reflexiv ă și tranzitiv ă.
Este evident c ă (){ } ,iGmnm=∈
¢¢ și, de asemenea, este evident c ă
iRGG⊆
¢. Deci ℜ este tranzitiv ă. Cum ℜ este reflexiv ă și tranzitiv ă,
rezultă că ℜ este o rela ție de preordine.

EXERCIȚIUL 1.4.3 Fie ℜ o relație al cărei grafic este:
(){ } ,,; 3 Gmnmnmnℜ=∈∈− ¢¢ .
Să se arate c ă:
a) ℜ este o rela ție de echivalen ță pe ¢.
b) Să se scrie clasa de echivalen ță ˆ, xx∈¢
c) Să se determine mul țimea factor ℜ¢ .

Rezolvare.
a) Trebuie ar ătat că ℜ este reflexiv ă, simetric ă și tranzitiv ă.
Cum () 3, xxx−∀∈ ¢, se obține că iGGℜ⊂
¢. De aici rezult ă că ℜ este
reflexivă. Cum 33mnnm−⇒− , se obține că 1GG− ℜ ℜ= . De aici rezult ă
că ℜ este simetric ă.

17
Deoarece 3mn− și 3np−, implică 3mp−. Se obține că GGℜℜℜ⊆o . De
aici rezult ă că ℜ este reflexiv ă, simetric ă și tranzitiv ă. Deci, ℜ este rela ție
de echivalen ță.
b) { }{ } ˆ 3, 3, xyyzxkxkx=∈−∈=+∈∈ ¢¢¢¢
c) Dacă 3x> atunci 3xkr=+ , {} 0,1,2r∈ . Atunci 3 xrk−= . Rezultă
{ } ˆˆ 3 rxxrkx=∈−== ¢ .
Deci ˆˆxr=. Dar {}ˆ03kk∈=¢, {}ˆ131kk∈=+¢, {}ˆ232kk∈=+¢. De aici rezult ă
că mulțimea factor ℜ¢ este {}ˆˆˆ0,1,2ℜ=¢ .

Observație. Relația ℜ al cărei grafic este dat în acest exerci țiu se poate
generaliza la rela ția *ℜ al cărei grafic este:
(){ } **, , ,, Gmnpmnmnpℜ=−∈∈ ¢¢ .
Se arată în mod analog c ă această relație este o rela ție de echivalen ță și
·{ }*ˆˆˆ0,1,2,…,1 p ℜ=−¢ .
Această relație *ℜ este rela ția de congruen ță modulo p.

EXERCIȚIUL 1.4.4 Fie AX⊂ și {} :0,1AXSj→= astfel încât:
()
1, dacă ,
0,dacă \.AxAxxXAj∈ =∈ 
Să se arate c ă pentru ,ABX⊂ au loc propriet ățile:
a) AB AB jj=⇔= ;
b)ABABjjj∩=⋅ ;
c) ABAB AB fjjj∪ ∩=⇔=⋅ ;
d) 1AAjj=−C , unde AC este complementara mul țimii A, adică
\ AXA=C ;
e) \ABAABjjjj=−⋅ ;
f) ABABABjjjjj∪=+−⋅ .

Rezolvare.
a) Din defini ția funcției caracteristice este evident c ă AB AB jj =⇔= .
b) Din xABxA∈∩⇒∈ și () () 11ABA xBxx jj∩ ∈⇒=⇒= și
() j=⇒1Bx ()()() jjj∩=⋅ABABxxx .

18
Dacă xABxA∉∩⇒∈ și xB∉ sau xA∉ și xB∈ sau xA∉ și xB∉.
Deci ()0AB xABx j∩ ∉∩⇒= și ()()0ABxxjj⋅= .
Deci ()()()ABAB xABxxx jjj∩ ∉∩⇒=⋅ .
c) Se raționează ca la punctul a).
d) ACAX∪= ; ACA f ∩= . Ținând cont de c), se obține
11ACACAAjjjj+=⇒=− .
e) Deoarece
()\ 1ABACBABABAAB ABACB jjjjjjjjj∩ −=∩⇒==⋅=−=−⋅ .
f) Deoarece ()()() \\ ABABBAAB∪=∪∪∩ , se obține:
\\ ABABBAABAABBABABABABjjjjjjjjjjjjjjjj∪∩=++=−⋅+−⋅+⋅=+−⋅
.

EXERCIȚIUL 1.4.5 Fie M o mulțime oarecare. S ă se arate c ă:
()2cardMcardM = P

Rezolvare. Fie mulțimea {}0,1 S= și MS mulțimea func țiilor definite pe
M cu valori în A.
Se consider ă funcția () :MfMS → P
definită astfel ()(), A fAAM j=∀⊂ .
Este evident c ă proprietatea AB AB jj =⇔= arată că f este injectiv ă.
Surjectivitatea este evident ă. Deci f este bijectiv ă. Atunci:
() 2McardMcardMcardS == P .

Observație. Din rezolvarea anterioar ă rezult ă că egalitatea
()2cardMcardM = P este adev ărată atât pentru cardM finit, cât și infinit.
În cazul în care cardM este finit, adic ă cardMn =, atunci rela ția
()2ncardM = P se poate demonstra și după cum urmeaz ă. Se știe că
()MP este format ă din toate submul țimile mul țimii M. Conform cu
definiția combin ărilor, num ărul submul țimilor cu k elemente, 0kn≤≤ ,
care se pot forma dintr-o mul țime cu n elemente este k
nC. Atunci,
()012…2nn
nnnn cardMCCCC =++++= P .

EXERCIȚIUL 1.4.6 Orice reuniune finit ă sau num ărabilă de mul țimi
numărabile este o mul țime num ărabilă.

19
Rezolvare. Exercițiul se mai poate scrie și astfel:
0000 … ℵ+ℵ++ℵ=ℵ
și
0000 …… ℵ+ℵ++ℵ+=ℵ .
Prima egalitate se arat ă inductiv.
Se știe că: 221nn + =∪¥¥¥ și 221nn f+∩=¥¥ . De aici rezult ă că:
000ℵ+ℵ=ℵ .
Se presupune adev ărat că 0000
1 …
−ℵ+ℵ++ℵ=ℵ1442443
nori și se demonstreaz ă că:
0000
… ℵ+ℵ++ℵ=ℵ1442443
nori.
Într-adev ăr 0000000000
1 ……
−
 ℵ+ℵ++ℵ=ℵ+ℵ++ℵ+ℵ=ℵ+ℵ=ℵ14424431442443
norinori.
Atunci, conform cu principiul induc ției 0000
… ℵ+ℵ++ℵ=ℵ1442443
nori pentru orice
n finit.
Pentru a demonstra a doua egalitate se procedeaz ă astfel. Fie
{ } 01,,…,,…kkk
kkAaaa= , 1,2,…k= o familie num ărabilă disjunct ă de mulțimi
numărabile. Se consider ă funcția
0:k
kfA∞
=→×¥¥ U definit ă astfel
()(),j
ifaij= . Este evident c ă această funcție este bijectiv ă. Dacă se arată
că mulțimea ×¥¥ este num ărabilă problema este rezolvat ă.
Dacă se consider ă funcția :g→×¥¥¥ , cu ()(),0 gnn= , este evident c ă
această funcție este injectiv ă. Deci,
0 card ×≥ℵ¥¥ . (1)
Fie :h×→¥¥¥ definită prin:
()()( )1,2mnmnhnmn+++=+
Se arată că această funcție este injectiv ă.
Fie ()() ,','''.mnmnmnmn≠⇒+≠+ Fără a micșora generalitatea, se
consider ă ''1mnmn+=++ , ()()( )1','2mnmnhmn+++> + (), nhmn= .
Deci, ()()()() ,',',','mnmnhmnhmn≠⇒≠ . Astfel rezult ă că funcția h
este injectiv ă. Deci,

20
0 card ×≤ℵ¥¥ . (2)
Din (1) și (2) rezult ă că ×¥¥ este num ărabilă.

EXERCIȚIUL 1.4.7 Să se arate c ă orice dou ă intervale de numere reale cu
capete finite sunt echipotente.
Rezolvare. Se arată că [][] 0,1, ab: . Într-adev ăr, funcția [][] :0,1,fab →
definită prin () () fxaxba=+− este bijectiv ă. Deci,
[][] 0,1, ab: . (1)
Analog se arat ă că:
[][] 0,1, cd: . (2)
Cum rela ția "": este tranzitiv ă din (1) și (2) se ob ține că [][] ,,abcd: .

EXERCIȚIUL 1.4.8 Orice interval este de puterea continuului.
Rezolvare. Pentru a rezolva aceast ă problem ă trebuie ar ătat că (),ab:¡
(c card =ℵ¡ , cℵ este num ărul cardinal infinit numit puterea continuului).
Se consider ă funcția :,22fpp−→¡, ()fxtgx= . Aceast ă funcție este
evident bijectiv ă. Deci ,22pp−:¡. Cum (),,22abpp−: (conform cu
exercițiul 7) datorit ă tranzitivit ății relației de echipoten ță (),ab:¡. Se mai
poate spune c ă (),c ab∈ℵ .

EXERCIȚIUL 1.4.9 Să se arate c ă mulțimea numerelor ra ționale ¤ este
numărabilă.
Rezolvare. Fie 0, 1, 2, 3,…,kmAnkk==±±±∈¥.
Este evident c ă
1k
kA∞
==¤U . Cum 0 kA∈ℵ , conform cu Exerci țiul 1.4.6.
0
1k
kA∞
=∈ℵU . Deci, ¤ este o mul țime num ărabilă.

EXERCIȚIUL 1.4.10 Să se arate c ă mulțimea numerelor prime P este o
mulțime num ărabilă.

21
Rezolvare. Pentru a ar ăta că P este num ărabilă, trebuie ar ătat că P nu este
finită (P⊂¥ evident). Se presupune { }12,,…,n Pppp= . Fie
12…1n qppp=+ . Acest q este evident prim și este mai mare decât toate
numerele prime 12,,…,n ppp . Deci, qP∈. Așadar, mul țimea numerelor
prime nu poate fi finit ă. Atunci P este num ărabilă.

EXERCIȚIUL 1.4.11 Să se arate c ă produsul cartezian al unui num ăr finit
de mulțimi num ărabile este o mul țime num ărabilă.

Rezolvare. Ținând cont de opera țiile cu numere cardinale, exerci țiul se
reduce la egalitatea 00nℵ=ℵ , n finit. Se demonstreaz ă inductiv.
În rezolvarea Exerci țiului 1.4.6 s-a ar ătat că ×¥¥ este num ărabilă, adică
00ℵ⋅ℵ este num ărabilă. Se presupune adev ărat că 1
00n−ℵ=ℵ și se
demonstreaz ă că 00nℵ=ℵ .
Într-adev ăr 1
000000nn −ℵ=ℵ⋅ℵ=ℵ⋅ℵ=ℵ . Atunci conform induc ției 00nℵ=ℵ ,
pentru orice n finit.

EXERCIȚIUL 1.4.12 Mulțimea șirurilor de numere naturale este o
mulțime de puterea continuului.

Rezolvare. Deoarece mul țimea șirurilor de numere naturale este ¥¥, atunci
exercițiul se reduce la egalitatea 0
0 cℵℵ=ℵ . Deoarece mul țimea ¥¥ conține
mulțimea func țiilor constante, atunci evident c ă 0
0 Cℵℵ≥ℵ .
Se presupune c ă ¥¥ este o mul țime num ărabilă, adică {}nnf∈=¥
¥¥ .
Se consider ă funcția 1n gf=+ .
Deoarece g∈¥¥ și ¥¥ numărabilă, există n∈¥ astfel încât n gf=.
Atunci () () 1nnfnfn=+ 10⇒= , absurd. Deci, ¥¥ nu este num ărabilă.
Așadar, 0
0 Cℵℵ>ℵ . Deci 0
0 cℵℵ=ℵ .

22
CAPITOLUL II: SPAȚIU TOPOLOGIC. SPA ȚIU
METRIC. SPA ȚIU BANACH

1. SPAȚIU TOPOLOGIC

În matematic ă există două categorii de structuri: structuri algebrice și
structuri topologice.
Cu ajutorul structurilor algebrice, dup ă cum se știe, plecând de la elementele
cunoscute ale unei mul țimi, se genereaz ă alte elemente ale acesteia.
În cadrul structurilor topologice poate fi definit ă noțiunea de vecin ătate,
noțiune cu ajutorul c ăreia poate fi definit ă noțiunea de limit ă care, dup ă cum
se știe, este o no țiune fundamental ă a analizei matematice.

DEFINIȚIA 2.1.1 Fie E o mulțime oarecare și ()EP mulțimea părților
acestei mul țimi. Dac ă ()E t⊆P satisface propriet ățile:
i) ft∈, Et∈;
ii) Fie ℑ o mulțime de indici și iAt∈, oricare ar fi i∈ℑ rezultă i
iAt
∈ℑ∈U
(orice reuniune de mul țimi din t aparține tot lui t).
iii) Fie iAt∈, 1,in= rezultă
1n
i
iAt
=∈I (orice intersec ție finită de mulțimi
din t este tot o mul țime din t), atunci t se nume ște topologie a mul țimii
E. Cupletul (),Et se nume ște spațiu topologic .

Exemplu.
a) {},E tf= este o topologie a mul țimii E (și se nume ște topologia
banală, bt).
b) ()E t=P este o topologie a mul țimii E (și se nume ște topologia
discretă, dt).
Soluție. Pentru a ar ăta că aceste mul țimi sunt topologii trebuie verificate
cele trei axiome din Defini ția 2.1.1.
a) i) ft∈, Et∈ în mod evident;
ii) + iii) Mul țimea maximal ă de indici este {}1,2ℑ= pentru c ă t are dou ă
elemente:
EEft∪=∈ , Efft∩=∈ .
b) i) ft∈ și Et∈ în mod evident ținând cont de forma lui ()EP ;

23
ii) Fie ()iAE∈P , pentru orice i∈ℑ avem ()i
iAE t
∈ℑ∈=U P ;
iii) Fie ()iAE∈P , pentru orice 1,in= rezultă ()
1n
i
iAE t
=∈=I P .

OBSERVAȚIA 2.1.1
a) Mulțimile oric ărei topologii se numesc mul țimi deschise în topologia
dată.
b) Oricare ar fi ,E ea poate fi înzestrat ă cu o structur ă de spațiu topologic
deoarece i se pot asocia cel pu țin topologia banal ă și topologia discret ă.
c) Cea mai bogat ă mulțime de indici este ¥. Alte mul țimi de indici infinite
sunt multipli de 3, multipli de 5 etc.

DEFINIȚIA 2.1.2 Fie 1t și 2t două topologii ale mul țimii E. Se spune c ă
topologia 2t este mai fin ă decât topologia 1t, dacă are loc rela ția 21tt⊃
și se noteaz ă astfel: 21tt≥.
Relația de fine țe definit ă de Defini ția 2.1.2 este o rela ție de ordine pe
mulțimea tuturor topologiilor mul țimii E. În raport cu aceast ă relație de
ordine, topologia banal ă este un prim element, iar topologia discret ă este un
ultim element în mul țimea topologiilor. Între aceste dou ă topologii exist ă
alte topologii. Una dintre acestea este topologia optim ă din punct de vedere
al rezultatelor matematice pe mul țimea respectiv ă.

DEFINIȚIA 2.1.3 Fie E o mulțime înzestrat ă cu topologia t și 0xE∈ un
punct oarecare. Mul țimea V este o vecinătate a punctului 0x, dacă există
o mulțime Gt∈ astfel încât 0xGV∈⊂ .

Exemplu.
Dacă ,≡¡E atunci ()( ) { } ,, 0 xxxxteee=−+∈≥¡ ¡ este o topologie pe
mulțimea numerelor reale. Aceast ă topologie este topologia natural ă a
numerelor reale .
Soluție. Se verific ă i) –iii) din Defini ția 2.1.1.
Ținând cont de Defini ția 2.1.3 rezult ă că orice interval deschis este o
vecinătate pentru orice punct con ținut de acest interval. Într-adev ăr,
()0 , xab∈ . Se consider ă { }00 min, axbx e=−− . Deci, (),ab este
vecinătate a lui 0x. Se consider ă ( )00, Gxx ee=−+ . Este evident c ă

24
()0 , xGab∈⊂ . De exemplu, fie ()0 2,4 V=− , 00x=, 11,22G=−.
Rezultă 0 0GV∈⊂ .

În spațiul topologic ( ) ,()xt¡¡ se poate defini no țiunea de mul țime deschis ă
astfel.

DEFINIȚIA 2.1.4 E⊂¡ este mulțime deschisă dacă Ef= sau oricare ar
fi xE∈ există 0r> astfel încât ( ) ,xrxrE−+⊂ .

OBSERVAȚIA 2.1.2 Mulțimile unei topologii sunt mul țimi deschise.

O noțiune important ă este noțiunea de topologie indus ă. Cu ajutorul acestei
noțiuni, pornind de la o topologie dat ă t se pot crea alte topologii, conform
următoarei propozi ții.

PROPOZIȚIA 2.1.1 (TOPOLOGIA INDUS Ă) Fie (),Et – spațiu
topologic și FE⊂ o submul țime oarecare a acestuia. Atunci
{ } , F FDD tt=∩∈ (t restrâns la F) este o topologie pe mul țimea F și
se numește topologia indus ă pe F de topologia t.

Demonstrație. Trebuie verificate cele trei axiome din defini ția topologiei.
i) F ft∈ și F Ft∈ . Într-adev ăr, deoarece t este o topologie a mul țimii E
și ft∈ și Et∈, atunci pe rolul lui D pot fi considerate:
Df=
sau
ED= rezultă F FDF ft ∩=∩∈
sau
F FDFE t ∩=∩∈
ii) Fie iFGt∈ oricare ar fi i∈ℑ. Rezult ă iF
iGt
∈ℑ∈U . Într-adev ăr, dacă
iFGt∈, oricare ar fi i∈ℑ, rezultă că există iDt∈ astfel încât iiGFD=∩ ,
pentru orice i∈ℑ. Atunci:
() iiiF
iiiGFDFD t
∈ℑ∈ℑ∈ℑ=∩=∩∈ UUU .

25
iii) Fie iFGt∈, pentru orice 1,in= , rezultă
1n
iF
iGt
=∈I . Într-adev ăr, dacă
iFGt∈, pentru orice 1,in= există iDt∈ astfel încât iiGFD=∩ , pentru
orice 1,in= . Atunci:
()
111nnn
iiiF
iiiGFDFD t
====∩=∩∈ III .

2. CARACTERIZAREA TOPOLOGIC Ă A PUNCTELOR UNEI
MULȚIMI
Noțiunea de vecin ătate permite clasificarea punctelor unei mul țimi.

DEFINIȚIA 2.2.1 Fie (),Et un spa țiu topologic și AE⊂ o mulțime
oarecare.
1) Punctul 0xE∈ se nume ște punct interior al mulțimii A, dacă există
0xV (vecinătatea punctului 0x) astfel încât
0xVA⊂.
2) Punctul 0xE∈ se nume ște punct exterior al mulțimii A, dacă există
0xV (vecinătatea punctului 0x) astfel încât
0xAV⊂C (complementara lui A).
3) Punctul 0xE∈ se nume ște punct frontier ă al mulțimii A, dacă pentru
orice
0xV (vecinătate a punctului 0x) are loc rela ția:
00xxAVAV f∩≠≠∩ C.
4) Punctul 0xE∈ se nume ște punct aderent pentru mul țimea A, dacă
pentru orice
0xV (vecinătate a punctului 0x) are loc rela ția:
0xVA∩≠Φ .
5) Punctul 0xE∈ se nume ște punct de acumulare pentru mul țimea A,
dacă pentru orice
0xV (vecinătate a punctului 0x) are loc rela ția:
{}
0 0\xVAx∩≠Φ .
6) Punctul 0xE∈ se nume ște punct izolat al mulțimii A, dacă există
0xV
(vecinătate a punctului 0x) astfel încât {}
0 0 xVAx∩= .

OBSERVAȚIA 2.2.1
1) Mulțimea tuturor punctelor interioare mul țimii A formeaz ă interiorul
mulțimii A și se noteaz ă astfel: IntA sau 0
A.

26
2) Mulțimea tuturor punctelor exterioare mul țimii A formeaz ă exteriorul
lui A și se noteaz ă astfel: ExtA .
3) Mulțimea tuturor punctelor frontier ă ale mulțimii A formeaz ă frontiera
lui A și se noteaz ă FrA sau A∂.
4) Mulțimea tuturor punctelor aderente mul țimii A formeaz ă închiderea
sau aderența mulțimii A și se noteaz ă astfel: A.
5) Mulțimea tuturor punctelor de acumulare ale mul țimii A formeaz ă
derivata mul țimii A și se noteaz ă astfel: A′.
6) Mulțimea tuturor punctelor izolate ale mul țimii A formeaz ă partea
discretă a mulțimii A și se noteaz ă astfel: IzA.
Dacă se consider ă E≡¡ și t topologia natural ă, adică topologia
intervalelor deschise simetrice, atunci are loc urm ătoarea propozi ție.

Propoziția 2.2.1
a) În topologia natural ă a lui ¡ (topologia intervalelor deschise), interiorul
oricărui interval de numere reale este intervalul deschis.
b) Interiorul oric ărei reuniuni de intervale din ¡ este reuniunea intervalelor
deschise.
Demonstrație. a) Fie [], Aab= rezultă ()
0
, Aab= . Este evident c ă spațiul
topologic în care se afl ă intervalul [],ab este ¡ înzestrat cu topologia
naturală a intervalelor deschise simetrice. Punctele lui ¡ raportate la
intervalul [],ab sunt de mai multe tipuri dup ă cum urmeaz ă:
°1 xxa∈<¡ ,
2° [], xxab∈∈¡ ,
3° xxb∈>¡ .
°1 Punctele xxa∈<¡ nu pot s ă fie puncte interioare ale intervalului
[],ab. Într-adev ăr, oricare ar fi 0x∈¡ cu 0xa< rezultă:
( )0
00,, 2axxdxdAd−−+⊄= .
Orice interval deschis de acest tip nu poate s ă fie inclus în mul țimea A.
Ceea ce arat ă că aceste puncte nu sunt puncte interioare lui [],ab.
Se consider ă 0xa=. În topologia natural ă a lui ¡, orice vecin ătate a lui 0x
este de forma ( ) , aaee−+ , 0e>. Dar, se observ ă că pentru orice 0e>,
avem ( )[] ,, aaabee−+⊄ , ceea ce arat ă că nu este un punct interior.

27
În mod asem ănător se arat ă că punctul 0xb= nu este un punct interior al
intervalului [],ab. Se arat ă că oricare ar fi xb> acesta nu este punct
interior al intervalului [],ab.
2° Fie 00xaxb∈<<¡ se noteaz ă cu { } 00 inf,dxaxb=−− , atunci este
evident c ă intervalul []
00 ,,22ddxxabA−+⊂=. Deci, rezult ă că 0x este
punct interior al intervalului [],ab rezultă []}
()
00
,, Aabab== . Interiorul
oricărui interval de numere reale este intervalul deschis de numerele reale.
Mulțimea vecin ătăților în topologia natural ă este mult mai bogat ă decât
mulțimea tuturor intervalelor deschise simetrice, centrate în x. Dar, xΙ
(mulțimea tuturor intervalelor deschise simetrice) este un sistem
fundamental de vecin ătăți pe x.

3. SPAȚIU METRIC

Dacă în cadrul structurii de spa țiu topologic densitatea elementelor putea fi
dată numai cu ajutorul vecin ătăților în cadrul structurii de spa țiu metric
poate fi stabilit ă și în alt mod.

DEFINIȚIA 2.3.1 (DISTANȚĂ SAU METRIC Ă) Fie E o mulțime
oarecare și aplicația :dEE+ ×→ ¡. Dacă:
i) (),0dxy > oricare ar fi ,xyE∈ și (),0dxy = dacă și numai dac ă
yx=;
ii) (,)(,)dxydyx = , oricare ar fi ,xyE∈;
iii) (,)(,)(,)dxydxzdzy ≤+ ,()∀,,xyzE∈ (inegalitatea triunghiului ),
atunci aplica ția d este distanță sau metrică pe mul țimea E.
Cupletul (,)Ed poartă denumirea de spațiu metric .

PROPOZIȚIA 2.3.1 Orice mul țime E poate fi metrizabil ă (înzestrat ă cu
structură de spațiu metric).
Demonstrație. Pentru a ar ăta aceast ă afirmație este suficient s ă se
construiasc ă pe EE× o aplica ție d, care să verifice axiomele Defini ției
2.3.1. Într-adev ăr, dacă se consider ă:
:dEE+ ×→ ¡, 1, (,)0, ,xydxyxy≠==
atunci d este o distan ță pe E deoarece verific ă toate cele trei axiome:

28
i) Prima axiom ă este evident ă din modulul de construc ție;
ii) Pentru orice ,xyExy∈≠ rezultă (,)1(,)dxydyx == ;
iii) Pentru axioma a 3-a pot exista mai multe posibilit ăți:
xyzx≠≠≠ sau xyz≠= sau yxz≠= sau xyz== etc.
Pentru xyzx≠≠≠ avem:
(,)1, (,)1, (,)1dxydxzdzy === .
Rezultă:
(,)111(,)(,)dxydxzdzy =≤+=+ .
În mod analog se demonstreaz ă axioma 3 pentru celelalte cazuri, astfel
rezultă că orice mul țime poate fi metrizabil ă.

OBSERVAȚIA 2.3.1 Pe o mul țime E pot fi considerate mai multe metrici
care au proprietatea c ă pe acea mul țime una m ăsoară mai fin decât cealalt ă.
Pornind de la o metric ă dată pe o mul țime, se pot construi și alte metrici a șa
cum arat ă următoarea propozi ție.

PROPOZIȚIA 2.3.2 Fie (,)Ed un spa țiu metric. Aplica ția
()()
()
,,1,dxyxydxyr =+ este o metric ă pe E. Metrica r este metrica indus ă
de metrica d.
Demonstrație. Este evident c ă aplicația r verifică axiomele i) și ii) ale
metricii. Ar ătăm în continuare c ă este verificat ă și axioma iii). Deoarece d
este metric ă, atunci
(,)(,)(,)dxydxzdzy ≤+ , ,,xyzE∈. (1)
Se știe că, dacă 0ab≤≤ , atunci
11ab
ab≤++. (2)
Din (1) și (2) rezult ă că:
(,)(,)(,)(,)(,)
1(,)1(,)(,)1(,)(,)1(,)(,)
(,)(,),,,.1(,)1(,)dxydxzdzydxzdzy
dxydxzdzydxzdzydxzdzy
dxzdzyxyzEdxzdzy+≤=++++++++
≤+∈++
Deci, (,)(,)(,)xyxzzyrrr ≤+ , ,,xyzE∈.

Exemple.
Aplicațiile definite mai jos sunt metrici sau distan țe pe mul țimile
specificate:

29
a) 2:d+→¡¡ , (,)-dxyxy = este metric ă pe ¡.
b) 2:d+→¡¡ , ()()22
1122 (,)dxyxyxy =−+− , unde 12(,)xxx= ,
12(,)yyy= este metric ă pe 2¡.
c) 3:d+→¡¡ , ()()()222
112233 (,)dxyxyxyxy =−+−+− , unde
123(,,)xxxx= , 123(,,)yyyy= este metric ă pe 3¡.
d) :md+→¡¡ , ()2
1(,)-m
ii
idxyxy
==∑ , unde 12(,,…,)m xxxx= ,
12(,,…,)m yyyy= este metric ă pe m¡.
Aceste distan țe se numesc distanțe euclidiene .
În mulțimea m¡ sunt uzuale urm ătoarele distan țe:
()
1,m
ii
ixyxyr
==−∑ și ()
1,maxiiimxyxyr
≤≤=− ,
unde 12(,,…,)m xxxx= , 12(,,…,)m yyyy= .

DEFINIȚIA 2.3.2 Fie 1d și 2d două distanțe definite pe o mul țime E.
Spunem c ă 1d și 2d sunt distanțe echivalente dacă există 0a> și 0b>,
astfel încât
12dda≤ și 21dd b≤ .
Exemplu. Distanțele d, r (date mai sus) și distanța euclidian ă sunt
distanțe echivalente pe m¡.
Soluție. Se arată că ()()()()
1,,,,xydxyxyxyndrd ≥≥≥ .

DEFINIȚIA 2.3.3 Fie (,)Ed spațiu numeric. Mul țimile:
{ } 000(,)(,),0, SxrxEdxxrrxEfixat =∈<≥∈
și:
{ } 000(,)(,);0, SxrxEdxxrrxEfixat =∈<≥∈
se numesc sferele deschise, respectiv închise ale spațiului metric (,)Ed .

OBSERVAȚIA 2.3.2
a) E≡¡, d metrică euclidian ă, atunci:
000(,)(-,)Sxrxrxr =+ și [ ] 000(,)-,Sxrxrxr =+ .
b) 2E≡¡ și d metrică euclidian ă, atunci:

30
{ }2222
012101202(,)(,)(-)(-)Sxrxxxxxxxr ==∈+< ¡
și se nume ște discul plan deschis , iar:
{ }2222
012101202(,)(,)(-)(-)Sxrxxxxxxxr ==∈+≤ ¡
și se nume ște discul plan închis .
c) { }32222
0123101202303(,)(,,)(-)(-)(-)Sxrxxxxxxxxxxr ==∈++< ¡ și se
numește sfera deschis ă din 3¡, iar
{ }32222
0123101202303(,)(,,)(-)(-)(-)Sxrxxxxxxxxxxr ==∈++≤ ¡
și se nume ște sfera închisă din 3¡.

PROPOZIȚIA 2.3.2 Orice spa țiu metric (,)Ed este un spa țiu topologic.
Reciproca nu este în general adev ărată.
Demonstrație. Se arat ă că { } (,), 0M SxrxEr t=∈≥ formeaz ă o
topologie. Aceast ă topologie mai poart ă denumirea și de topologie metric ă.
Pentru a ar ăta că Mt este o topologie se arat ă că 0(,)Sxr sunt mul țimi
deschise, pentru orice 0xE∈ fixat și orice 0r≥.
Indica ție. Se arată că 0
00(,)(,)SxrSxr ≡64748
(interior).
În mod analog, se arat ă că dacă 12,,…,nM GGG t∈ (sunt mul țimi deschise)
atunci 12 …nM GGG t ∩∩∩∈ .
Dacă iMGt∈ pentru orice i∈ℑ avem iM
iGt
∈ℑ∈U , de unde rezult ă că
într-adev ăr Mt este o topologie.

4. NORMĂ. SPAȚIU VECTORIAL NORMAT

DEFINIȚIA 2.4.1 Fie E un spațiu vectorial și :Ej+→¡ o aplica ție.
Dacă:
i) ()0xj>, pentru orice xE∈, 0E x≠ și ()0xj= dacă 0E x= (0E
elementul neutru în raport cu adunarea în spa țiul vectorial E);
ii) ()()()xyxyjjj+≤+ , pentru orice ,xyE∈;
iii) ()()axaxjj= , pentru orice xE∈, aK∈,
atunci aplica ția ()xj este o normă pe E. Cupletul (),Ej se nume ște
spațiu vectorial normat , iar norma j mai are și următoarea nota ție
()xxj≡ .

31
Exemple. i) E=¡, xx=; ii) mE=¡, 2
1m
i
ixx
==∑ – norma euclidian ă,
1maxiimxx∞≤≤= ,
1m
i
ixx
==∑ .
DEFINIȚIA 2.4.2 Fie 12,⋅⋅ norme definite pe spa țiul vectorial E
Spunem c ă 1⋅ și 2⋅ sunt echivalente dac ă există ,0ab> astfel încât:
12a⋅≤⋅ și 21b⋅≤⋅ .
Exemplu. Normele din exemplele de mai sus sunt echivalente. Se arat ă că
1xxx∞≤≤ .

PROPOZIȚIA 2.4.1 Orice norm ă definește o distan ță.
Demonstrație. Fie (),E⋅ un spa țiu vectorial normat. Aplica ția
(,)dxyxy =− , :dEE×→ ¡ este o distan ță (metrică) pe mul țimea E.
Pentru aceasta trebuie verificate axiomele metricii, ținând cont c ă axiomele
normei sunt verificate.
i) (,)0dxy >, pentru orice ,xyE∈, xy≠ și (,)0dxy = rezultă xy=.
Într-adev ăr, (,)0dxyxy =−> , pentru orice 0 xy−≠ . Dar, 0 xy−≠ dacă
și numai dac ă xy≠ și din (,)0dxy = rezultă 0 xy−= . Dar, 0 xy−=
dacă și numai dac ă xy=.
ii) Trebuie ar ătat că (,)(,)dxydyx = , pentru orice ,xyE∈. Într-adev ăr:
() () (,)11,dxyxyyxyxyxdyx =−=−−=−−=−= .
iii) Trebuie ar ătat că (,)(,)(,)dxydxzdzy ≤+ , oricare ar fi ,,xyzE∈.
Într-adev ăr:
()() (,),,dxyxyxzzyxzzydxzdzy =−=−+−≤−+−=+ .
Astfel am demonstrat c ă orice norm ă definește o distan ță.

OBSERVAȚIA 2.4.1 Ținând cont de Propozi ția 2.4.1, orice spa țiu vectorial
normat este și un spațiu metric, dar reciproca nu este în general adev ărată.
Într-un spa țiu vectorial normat se poate opera cu elementele și se pot crea
vecinătăți în care se poate determina precis densitatea elementelor prin
măsurarea distan ței dintre ele, dar într-o astfel de structur ă nu se poate defini
noțiunea de direc ție, deci de unghi. Aceast ă direcție poate fi stabilit ă cu
ajutorul no țiunii de produs scalar.

32
DEFINIȚIA 2.4.3 Fie E un spațiu vectorial normat peste câmpul K și
aplicația :pEEK×→ , dacă:
i) ()() ,,pxypyx = , oricare ar fi ,xyE∈;
ii) ( )()()1212 ,,, pxxypxypxy+=+ , oricare ar fi 12,,xxyE ∈;
iii) ()() ,,,pxypxyaa = , oricare ar fi ,xyE∈;
iv) (),0pxx >, oricare ar fi xE∈, 0x≠ și (),0pxx = dacă și numai dac ă
0x=,
atunci aplica ția p se nume ște produs scalar pe spațiul vectorial normat E.
Produsul scalar (),pxx se noteaz ă și astfel xy⋅ sau (),xy sau ,xy .

OBSERVAȚIA 2.4.2 Fie E spațiu vectorial. Dac ă acest spa țiu vectorial
este înzestrat cu un produs scalar, atunci poart ă denumirea de spațiu
prehilbertian .

PROPOZIȚIA 2.4.2 Fie E spațiu vectorial și :pEEK×→ un produs
scalar ( E un spațiu prehilbertian), atunci au loc urm ătoarele rela ții:
i) 1212,,,xyyxyxy+=+ ;
ii) ,,,xyxyaa= ;
iii) ,xyxy≤⋅ (inegalitatea Cauchy-Buniakovski-Schwarz).
Demonstrație.
i) Ținând cont de axioma i) din Defini ția 2.4.2 rezult ă:
)))
1212121212,,,,,,,,iiii
xyyyyxyxyxxyxyxyxy+=+=+=+=+
ii) )))
,,,,,iiiii
xyyxyxyxxyaaaaa⋅=⋅=⋅=⋅=⋅
iii) Fie l∈¡ atunci conform defini ției produsului scalar se poate scrie c ă:
0,,, xyxyxxyyxylllll≤++=+++=
22,,,,,2,,xxxyyxyyyyxyxx lllll =+++=++ .
Deci, pentru orice l∈¡ avem:
2,2,,0yyxyxxll ++≥ (trinom de gradul doi în l),
de unde 24,4,,xyxxyyΔ=− . Din propriet ățile trinomului de gradul
doi, este evident c ă 0Δ≤ . Așadar:
,,,xyxxyyxy≤=⋅ .

33
PROPOZIȚIA 2.4.3 Orice produs scalar define ște o norm ă.
Demonstrație.
Într-adev ăr, dacă se consider ă aplicația:
, xxx= , :E+ ⋅→ ¡,
atunci aceast ă aplicație este o norm ă pe mul țimea E. Ținând cont c ă
proprietățile produsului scalar sunt verificate, trebuie ar ătat că această
aplicație verific ă propriet ățile normei.
i) 0x>, pentru orice xE∈, 0x≠ și 0x= rezultă 0x=.
Într-adev ăr, din )
,0iv
xx>, pentru orice 0x≠, rezult ă ,0xx>,
echivalent cu 0x>, pentru orice xE∈, 0x≠. Pentru cea de-a doua parte,
,00xxx=⇒= ⇔
00xx=⇒=.
ii) Trebuie ar ătat că axax⋅=⋅ , pentru orice xE∈, a∈¡.
Într-adev ăr, 2;,;,axaxaxxaxaxaxxaxax =⇒=⇒⋅=⋅ .
iii) Trebuie ar ătat că xyxy+≤+ , pentru orice ,xyE∈.
Într-adev ăr:
22,,2,,2 xyxyxxxyyyxxyy++=++≤+⋅+ .
Deci, ( )2 2xyxyxyxy+≤+⇔+≤+ .

Exemplu. Fie nE=¡. Să se arate c ă aplicația:
a) 1122 ,…nn xyxyxyxy=+++ este un produs scalar pe n¡.
b) Dacă ,cosabab q =⋅ , (),ab q= este un produs scalar.
Soluție. Vezi Exerci țiul 2.5.14.

DEFINIȚIA 2.4.4 Fie (),Et un spațiu topologic. Acest spa țiu topologic se
numește topologic separat dacă, pentru orice ,xyE∈ cu xy≠ există
vecinătățile xV, yV astfel încât xyVV f∩= .
Spațiu topologic separat prezint ă o importan ță deosebit ă deoarece numai
într-un astfel de spa țiu topologic, atunci când limita exist ă, ea este unic ă.
Noțiunea de convergen ță este binedefinit ă într-un spa țiu topologic separat.

PROPOZIȚIA 2.4.4 Orice spa țiu vectorial normat este un spa țiu topologic
separat.

34
Demonstrație. Fie (),E⋅ spațiu vectorial normat. Fie 0000,xyExy∈≠
arbitrare. Se consider ă 00
13xyr−= . Se consider ă sferele:
(){ } 0101, SxryExyr =∈−< , (){ } 0101, SyryEyyr =∈−< .
Aceste mul țimi sunt vecin ătăți ale lui 0x, respectiv 0y, în topologia metric ă.
Dar, este evident c ă ()()0101,, SxrSyr f ∩= .

PROPOZIȚIA 2.4.5 Spațiile 2,,…,n¡¡¡ sunt spa ții topologice separate în
cazul în care sunt înzestrate cu topologia metric ă.

PROPOZIȚIA 2.4.6 Într-un spa țiu prehilbertian au loc propriet ățile:
i) ( )22222 xyxyxy++−=+ – regula paralelogramului;
ii) , xyxyxyxy+=+⇔=⋅ ;
iii) ,xyxy a =⋅⇔∃∈ ¡ astfel încât yxa=⋅ .

5. EXERCIȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 2.5.1 Fie () Bx¡ familia intervalelor deschise ce îl con țin pe
x∈¡. Să se arate c ă această mulțime formeaz ă o topologie pe ¡.
Soluție. Trebuie ar ătat că () Bx¡ verifică propriet ățile unei topologii.
i) () Bxf∈¡ deoarece (),xx f= și () Bx∈¡¡ deoarece (),=−∞∞¡ .

35
ii) Fie ()x
kIBx∈¡ , k∈ℑ (mulțime de indici). Aceste intervale sunt de
forma (),x
kkkIab= cu proprietatea c ă (),kk xab∈ , ()k∀∈ℑ . Fie
kkrbx=− și kkxa e=− . Se noteaz ă {} maxkkrbx
∈ℑ=− și {} maxkkxa e
∈ℑ=− .
Atunci ( ) ,x
k
kIxxr e
∈ℑ=−+U și ( ) , xxxr e∈−+ . Deci, ()x
k
kIBx
∈ℑ=¡ U .
iii) Fie ()x
kIBx∈¡ , 1,kn∈ . Fie {} minkkrbx
∈ℑ=− și {} minkkxa e
∈ℑ=− .
Atunci, ( )
1,n
x
k
kIxxr e
==−+I și ( ) , xxxr e∈−+ . Deci, ()
1n
x
k
kIBx
=∈¡ I .

Observație.
i) ()( ) { }() ,, 0 xxxxBxteee=−+∈>⊂¡¡ ¡ .
ii) Dacă se consider ă
() () ( ) { } 0 astfel încât ,, DxDxxDx eee =⊂∃>−+⊂∈¡ ¡¡ ,
atunci este evident c ă ()() BxDx⊂¡¡ .

EXERCIȚIUL 2.5.2 Fie () () { } 222,; 0 xDxx tee =∈>¡¡¡ mulțimea
discurilor deschise de centru x și rază e și () () { } 33 ,, 0 xDxx tee =>¡¡
mulțimea sferelor deschise de centru x și rază e. Să se arate c ă () 2x t¡ și
() 3x t¡ sunt topologii pe 2¡ și respectiv 3¡.
Soluție. Verificăm cele trei axiome ale topologiei. Când e→∞ ,
() 22, Dx e≡¡¡. Deci, () 22x t∈¡¡ . Când 0 e→, () 2, Dx ef=¡. Deci,
() 2x ft∈¡.
Fie ℑ o familie de indici și ()() 22,k Dxx et∈¡¡, k∈ℑ.
Dacă {}
maxkkIee
∈= , atunci ()() 22,,k
k
kDxDx ee
∈ℑ=¡¡U .
Deci, ()() 22,k
k
kDxx et
∈ℑ∈¡¡U .
Fie () 22,()k Dxx et∈¡¡, 1,kn= .
Dacă {}
1,minkknee
== , atunci ()()
22
1,,n
k
kDxDx ee
==¡¡I .
Deci, ()()
22
1,n
k
kDxx et
=∈¡¡I .

36
Astfel s-a ar ătat că () 2x t¡ este topologie în 2¡. Analog se arat ă că () 3x t¡
este topologie în 3¡.

Observație.
• Topologiile () 2x t¡ și () 3x t¡ sunt topologiile naturale ale lui 2¡ și
respectiv 3¡.
• Dacă 0x∈¡, atunci ( ) { } 00,0 xxree−+> reprezint ă mulțimea
vecinătăților lui 0x în topologia ()xt¡ .
• Dacă 2
0x∈¡, atunci () { } 2 0,0 Dx ee>¡ este mul țimea vecin ătăților lui
0x în topologia () 2x t¡.
• Dacă 3
0x∈¡, atunci () { } 3 0,0 Dx ee>¡ este mul țimea vecin ătăților lui
0x în topologia () 3x t¡.
• În general, dac ă t este o topologie oarecare a lui X, atunci
{ } 0 GxGt∈∈ este mul țimea vecin ătăților lui 0xX∈. O astfel de mul țime
se noteaz ă
0xV iar mulțimea vecin ătăților lui 0x se noteaz ă cu
0xV.

EXERCIȚIUL 2.5.3
Fie (),Xt spațiu topologic. Atunci urm ătoarele afirma ții sunt echivalente:
a) At∈;
b) x A∈V, pentru orice xA∈.
Soluție. a)⇒b) Fie At∈. Atunci xAA∈⊆ , pentru orice xA∈. Deci A
este o vecin ătate a lui x. Așadar, x A∈V.
b)⇒a) Fie x A∈V, pentru orice xA∈. Deci, exist ă xG t∈ astfel încât
x xGA∈⊆ . Cum {}
xAAx
∈=U , din xGA⊆ se obține x
xAAG
∈⊂U . Din
xGA⊆ rezultă că x
xAGA
∈⊆U . Așadar, avem c ă x
xAAG t
∈=∈U .

EXERCIȚIUL 2.5.4 Fie (),Xt spațiu topologic și xX∈. Atunci xV are
următoarele propriet ăți:
a) dacă x V∈V și UV⊃, atunci x U∈V;
b) dacă ixV∈V, 1,in= , atunci
1n
ix
iV
=∈I V

37
c) pentru orice x V∈V, atunci xV∈.
Soluție. a) Dacă x V∈V, atunci exist ă Gt∈ astfel încât xGU∈⊂ . Cum
UV⊃, atunci xGU∈⊂ . Deci, x U∈V.
b) Dacă ixV∈V, 1,in= , atunci exist ă iGt∈ astfel încât ii xGV∈⊂ ,
1,in= . Așadar,
11nn
ii
iixGV
==∈⊂II . Dar cum
1n
i
iGt
=∈I , atunci
1n
ix
iV
=∈I V.
c) Evident, ținând cont de defini ția vecinătății.

EXERCIȚIUL 2.5.5 Orice interval deschis de numere reale este o mul țime
deschisă.
Soluție. Conform cu Defini ția 2.1.4 trebuie ar ătat că pentru orice (), xab∈
există 0r> astfel încât ( )() ,,xrxrab−+⊂ . Fie { } :min,dxabx=−− .
Atunci este evident c ă () ,,22ddxxab−+⊂. Deci (),ab este mul țime
deschisă.

Observație. Analog se arat ă că:
() ()( ) { } 222 22
101202 , Dxrxxxxxr =∈−+−<¡¡ ,
unde ()12, xxx= , ()00102 , xxx= , este o mul țime deschis ă în 2t¡, iar
() ()( )( ) { } 3222 32
0101202303, Dxxxxxxxxr g=∈−+−+−<¡¡ ,
unde
( )123,, xxxx= , ( )0010203 ,, xxxx= este mul țime deschis ă în () 3x t¡.

EXERCIȚIUL 2.5.6 Fie (),Xt spațiu topologic și ,ABX⊂ . Să se arate
că:
a) 0
AA=;
b) 0 0
ACAB⊂⇒⊂
c) ¼00 0
ABAB∩=∩
d) ¼00 0
ABAB∪⊃∪
Soluție. Conform cu Defini ția 2.2.1 punctele a) și b) sunt evidente.
c) Se arat ă dubla incluziune:

38
¼
00 0
ABAB∩⊆∩ și ¼
00 0
ABAB∩⊆∩ .
Într-adev ăr, fie ¼
0
xAB∈∩ . Atunci exist ă xV astfel încât xVAB⊂∩ . Deci,
xVA⊂ și xVB⊂. Așadar, 0 0
xAB∈∩ . De aici rezult ă că ¼
00 0
ABAB∩⊆∩ .
Fie acum 0 0
xAB∈∩ . Atunci 0
xA∈ și 0
xB∈. Așadar, xVAB⊂∩ .
Atunci, ¼
0
xAB∈∩ . Deci, ¼00 0
ABAB∩⊂∩ .
d) Fie 0 0
xAB∈∪ . Atunci 0
xA∈ sau 0
xB∈. Deci, exist ă xV astfel încât
xVA⊂ sau xVB⊂. Atunci, conform cu Defini ția 2.2.1, avem ¼
0
0xAB∈∪ .

Observație. Punctele c) și d) se generalizeaz ă astfel:
¼
00
ii
iIiIAA
∈∈⊂II , ¼
00
ii
iIiIAA
∈∈⊃UU .

EXERCIȚIUL 2.5.7 Fie (),Xt spațiu topologic și ,ABX⊂ . Să se arate
că:
a) ABAB⊂⇒⊂
b) ABAB∪=∪
c) ABAB∩⊆∩
d) AA=
Soluție.
a) Este evident ținând cont de Defini ția 2.2.1.
b) Cum ,ABAB⊂∪ , atunci conform cu a) avem ,ABAB⊂∪ . Așadar
ABAB∪⊂∪ . Fie () xABAB∈∪=∩CCC . Așadar, xA∉ și xB∉.
Atunci, exist ă xU și xV astfel încât xUA f∩= și xVA f∩= . Cum
xxxWUV=∩ (vezi Exerci țiul 2.5.4), atunci conform cu distributivitatea
intersecției față de reuniune se ob ține ()xWAB f ∩∪= . Deci, xAB∉∪ .
Cu alte cuvinte, xAB∈∪C . Așadar, am ar ătat că
() xABxAB∈∪⇒∈∪CC . Deci, ABAB∪⊂∪ .
c) Se procedeaz ă ca la punctul b).

39
d) Fie xA∈. Conform cu Defini ția 2.2.1, pentru orice xV, xVA f∩≠ . Fie
x yVA∈∩ . Atunci, x yV∈ și yA∈. Deci, xVAxA f∩≠⇒∈ . Ținând
cont de faptul c ă AA⊂ și de punctul a) se ob ține AA=.

Observație. Proprietățile b) și c) se generalizeaz ă astfel:
11nn
nnAA∞∞
==⊂UU și
11nn
nnAA∞∞
==⊂II .
Generalizarea lui b) se poate verifica u șor pe mul țimile 1,1nAn=, iar
generalizarea lui c) se poate verifica u șor pe mul țimile
()()
*,,,,1nmBmnmnn=∈=¥ .

EXERCIȚIUL 2.5.8 Fie (),Xt spațiu topologic și ,ABX⊂ . Să se arate
că:
a) '' ABAB⊂⇒⊂ ;
b) ()''' ABAB∪=∪ ;
c) ()''' ABAB∩⊂∩ ;
d) ()'''AA= .
Soluție. Aceste propriet ăți se pot demonstra folosind defini ția punctului de
acumulare. Se poate folosi și următoarea proprietate
() ()0 'card x xAVVvVA  ∈⇔∀∈⇒∩≥ℵ.
Folosind aceast ă proprietate se arat ă că ()''' ABAB∪=∪ . Într-adev ăr, fie
()' xAB∈∪ . Atunci, orice vecin ătate x V∈V conține o infinitate de puncte
din AB∪. Aceasta implic ă faptul c ă conține o infinitate de puncte din A,
deci ' xA∈ sau o infinitate de puncte din B, deci ' xB∈ . Așadar,
'' xAB∈∪ . Deci, ()''' ABAB∪⊂∪ . Fie '',∈∪xAB atunci ' xA∈ sau
' xB∈ . Deci, în orice vecin ătate x V∈V se află o infinitate de puncte din A
sau infinitate de puncte din B. Deci, în orice vecin ătate x V∈V se află o
infinitate de puncte din AB∪. Deci, ()' xAB∈∪ . Așadar,
() '''ABAB∪⊂∪ . În mod analog se arat ă celelalte propriet ăți.

40
EXERCIȚIUL 2.5.9 Să se arate c ă mulțimea numerelor ra ționale ¤ este
densă în mulțimea numerelor reale ¡.
Soluție. Se știe că mulțimea A este dens ă în mulțimea X dacă AX=.
Ținând cont de aceasta, trebuie ar ătat că =¤¡ . Incluziunea ⊇¡¤ este
evidentă. Trebuie ar ătat că ⊇¤¡ . Fie x∈¡. Atunci oricare ar fi 0e>,
există q∈¤. Deci, ( ) ,xxeef−+∩≠ ¤ . Atunci, x∈¤. Așadar, ⊇¤¡ .

EXERCIȚIUL 2.5.10 Fie []0,1. Se împarte acest interval în trei p ărți egale
și se obține 112,33E= treimea mijlocie. Intervalele r ămase 10,3
, 2,13

se împart fiecare în trei p ărți egale și se obține: 2 22221278,,3333E=∪.
Intervalele r ămase 210,3
, 2223,33
, 2267,33
, 2289,33
 se împart fiecare
în câte trei p ărți egale și se rețin treimile mijlocii ale fiec ăruia, deci se ob ține
mulțimea 3 22222222127819202526,,,,33333333E=∪∪∪ și se continu ă
indefinit procedeul.
Să se arate c ă mulțimea []
10,1\n
nCE∞
==U are propriet ățile:
a) ' CC= ;
b) 0
Cf=.
Soluție. Din modul de construc ție al mul țimii C se observ ă că în aceast ă
mulțime rămân toate numerele reale care se scriu în baza de numera ție trei
numai cu ajutorul cifrelor 0 și 2.
a) Deoarece pentru orice 12,,,…,,…n xaaaa= cu proprietatea c ă {}0,2ia∈ ,
atunci în orice interval care îl con ține se afl ă și numere reale care în scrierea
triadică conțin cifra 1 și nu apar țin lui C. Deci ' CC= .
b) Este evident c ă []0,1 nu include niciun interval deschis ale c ărui elemente
să fie numai cu ajutorul lui 0 și 2. De aici este evident c ă 0
Cf= și 00
CC=.
Deci, 0
Cf=.

41
Observație. Mulțimea []
10,1\n
nCE∞
==U se nume ște mulțimea lui Cantor .
EXERCIȚIUL 2.5.11 Să se determine interiorul, exteriorul, frontiera,
aderența și partea discret ă pentru mul țimile ¤ și 1Enn∗ =∈¥.
Soluție. Ținând cont de Defini ția 2.2.1 și de faptul c ă: Oricare ar fi x∈¡
intervalul ( ) ,xxee−+ , 0e> conține o infinitate de numere ra ționale și o
infinitate de numere ira ționale se ob ține imediat c ă: 0
f=¤ , Ext f=¤ ,
Fr=¤¡ , '=¤¡ , Iz f=¤ și 0
Ef=, 110,1,,…,,…2FrEn=,
ExtEFrE=−¡ , EFrE= , {} '0E= , IzEE=.

EXERCIȚIUL 2.5.12 Fie :nnd+ ×→¡¡¡ ,
unde ()()2
1,n
ii
idxyxy
==−∑ , ( )1,…,n xxx= , ( )1,…,n yyy= . Să se arate
că această aplicație este o metric ă pe n¡.
Soluție. În rezolvarea acestui exerci țiu este nevoie de inegalitatea lui
Cauchy-Buniacovski 22
111nnn
iiii
iiiabab
===≤⋅∑∑∑ , ,iiab∈¡, 1,in= . Ținând
cont de Propozi ția 2.4.2. iii), avem: , xxx= , iar
1122 ,…nn xxxyxyxy=+++ inegalitatea lui Cauchy-Buniacovski este
evidentă. Pentru ca (),dxy să fie metric ă sau distan ță trebuie s ă verifice
Definiția 2.3.1.
i)() () ()
22
1,000n
iiiiii
idxyxyxyxy
==⇔−=⇔−=⇔=∑ ,
1,inxy=⇔= . Deci, (),0dxyxy =⇔= . Deoarece ()
2
10n
ii
ixy
=−≥∑,
1,in= este evident ă, atunci (),0, ,ndxyxy ≥∈ ¡.
ii) ()() ()()
22
11,,nn
iiii
iidxyxyyxdyx
===−=−=∑∑ .
Deci, ()() ,,dxydyx = .

42
iii)
()() () ()()()
2 2222
1111,,2nnnn
iiiiiiii
iiiidxydyxxyxyyzyz
====+=−+−⋅−+−  ∑∑∑∑
.
() ()( )()
22
1112nnn
iiiiiiii
iiixyxyyzyz
===≥−+⋅−−+−=∑∑∑
()() ()()
2 2 2
11,nn
iiiiii
iixyyzxzdxz
===−+−=−=∑∑ .
Așadar, ()()()22,,, dxydxydyx ≤+. De aici rezult ă faptul c ă
()()() ,,,dxydxydyx ≤+ .
Așadar, ()()2
1,n
ii
idxyxy
==−∑ verifică Definiția 2.3.1. și deci este
metrică pe n¡.

EXERCIȚIUL 2.5.13 Fie :nnd+ ×→¡¡¡
unde ()1
1,n pp
ii
idxyxy
==−∑ , ( )1 1, ,…,n pxxx≥= , ( )1,…,n yyy= . Să se
arate că aplicația este o metric ă pe n¡.
Soluție. În rezolvarea acestui exerci țiu este nevoie de inegalitatea lui
Minkowski. Dac ă ,iiab∈¡ și 1p≥,
atunci 111
111nnn pppppp
iiii
iiiabab
===+≤+∑∑∑ .
Pentru 1p= inegalitatea se reduce la inegalitatea cunoscut ă – modulul
sumei este mai mic sau egal decât suma modulelor.
În continuare se consider ă 1p> și atunci:
11
111nnnppp
iiiiiiii
iiiabaabbab−−
===+≤⋅++⋅+∑∑∑ .
Dacă se consider ă 1pqp=− atunci folosind inegalitatea lui Hölder rezult ă
inegalitatea lui Minkowski.

43
Inegalitatea lui Hölder este urm ătoarea. Dac ă ,iiab∈¡ și ,0pq> astfel
încât 111pq+= , atunci 11
111nnn pqpq
iiii
iiiabab
===≤⋅∑∑∑ . Această inegalitate
se obține imediat din urm ătoarea inegalitate. Dac ă ,0pq> astfel încât
111pq+= , atunci ,pqababpq≤+ pentru orice ,ab∈¡.
Trebuie ar ătat că aplicația (),dxy verifică Definiția 2.3.1.
i)
()
1,0000npp
iiiiiiii
idxyxyxyxyxyxy
==⇔−=⇔−=⇔−=⇔=⇔=∑
Deci, (),0dxyxy =⇔= . Cum:
1
1000pp np
iiiiii
ixyxyxy
=
−≥⇒−≥⇒−≥ ∑ (),0dxy⇔≥ .
ii) Cum iiiixyyx−=− , rezultă pp
iiiixyyx−=− .
Deci, 11
11pppp nn
iiii
iixyyx
==
−=−∑∑ ()()() ,,,ndxydyxxy⇔=∀∈ ¡.
iii) Avem ()()( )pp p
iiiiiiiiiixyxzzyxzzy−=−+−≤−+− .
Deci,
( )11
1111pppp pp nnnn
iiiiiiiiii
iiiixyxzzyxzzy
====
−≤−+−≤−+− ∑∑∑∑ .
Pentru 1p> este evident c ă 1
11ppp nn
iiii
iixyxy
==
−≤−∑∑ .
Așadar, 111
111pppppp nnn
iiiiii
iiixyxzzy
===
−≤−+−∑∑∑ .
Deci, ()()() ,,,dxydyzdzy ≤+ .

EXERCIȚIUL 2.5.14 Să se arate c ă:
1122 ,…,nn xyxyxyxy=+++ ,nxy∈¡
este un produs scalar pe n¡.

44
Soluție. Trebuie ar ătat că această aplicație verific ă Definiția 2.4.3.
i) Relația ,,xyyx= este evident ă deoarece
1,n
ii
ixyxy
==⋅∈∑ ¡ și
11nn
iiii
iixyyx
==⋅=⋅∑∑ .
ii) ()
111,,,nnn
iiiiiii
iiixyzxyzxzyzxzyz
===+=+⋅=⋅+⋅=+∑∑∑ .
iii)
11,,nn
iiii
iixyxyxyxyaaaa
==⋅=⋅⋅=⋅=∑∑
iv) ( )
2
1,0, 0,0,…,00n
i
ixxxx
==>∀≠=∑
și 22
1,00 0n
ii
ixxxx
==⇔=⇔=∑ 0, 1, 0ixinx⇔==⇔= .

Observație. Ținând cont de Propoziția 2.4.3, rezultă că
222
12 …n xxxx=+++ este o norm ă pe n¡.

EXERCIȚIUL 2.5.15 Mulțimile () () { } ,,SxryEdyxr =∈< , unde
(),Ed este spa țiu metric, sunt mul țimi deschise.
Soluție. Trebuie ar ătat că ()()
0
,,SxrSxr = . Fie (), ySxr∈ și
() ',rrdxy=− . Fie (),' zSyr∈ .
Atunci, ()()() ,,,''dzxdzydyxrrrr ≤+<+−= . Deci, (),' zSxr∈ . Se
obține că ()() ,',SyrSxr ⊂ . Aceast ă incluziune arat ă că orice punct al
mulțimii (),Sxr este punct interior al s ău. Deci, ()()
0
,,SxrSxr ⊆ .
Incluziunea ()()
0
,,SxrSxr ⊆ este evident ă. Deci, ()()
0
,,SxrSxr = .

EXERCIȚIUL 2.5.16 Folosind inegalitatea lui Schwarz, s ă se demonstreze
inegalitatea lui Cauchy – Buniacovski.
Soluție. Trebuie demonstrat c ă, pentru ,iiab∈¡, 1,in= , avem c ă:
2
22
111nnn
iiii
iiiabab
===≤ ∑∑∑ .

45
Ținând cont de produsul scalar din Exerci țiul 2.5.14 și de faptul c ă el
definește norma euclidian ă conform cu inegalitatea lui Schwarz și luând
iixa= și iiyb= în rela ția ()2 22,xyxy≤⋅ , ( )12,,,n xxxx= K ,
( )12,,,n yyyy= K , obținem astfel inegalitatea din enun ț.

46
CAPITOLUL III: CARACTERIZAREA TOPOLOGIC Ă A
MULȚIMILOR. ȘIRURI ÎN SPA ȚII TOPOLOGICE,
ȘIRURI ÎN SPA ȚII METRICE, ȘIRURI ÎN SPA ȚII
VECTORIALE NORMATE

1. MULȚIMI MĂRGINITE
Problema m ărginirii mul țimilor este o problema prioritar ă în ceea ce
privește controlul rezultatelor matematice ce se pot ob ține pe acest tip de
mulțimi.
Cadrul general în care poate fi definit ă noțiunea de m ărginire este cel de
spațiul vectorial normat și cel de spa țiu metric.

DEFINIȚIA 3.1.1 Fie (),Ed spațiu metric. Mul țimea EA⊂ se spune c ă
este o mulțime mărginită în acest spa țiu metric dac ă există 0xE∈ arbitrat
dar fixat și 0r>, astfel încât ()0, dxxr ≤, pentru orice xA∈.

OBSERVAȚIA 3.1.1
a) Mulțimile mărginite nu sunt echivalente cu mul țimile cu un num ăr finit
de elemente.
b) Dacă A este o mul țime mărginită, atunci (){}
,sup,
xyAdxy
∈ se nume ște
diametrul mul țimii A și se noteaz ă diam A.

Exemple.
a) Dacă E=¡ și d este metrica euclidian ă, se spune c ă mulțimea A⊂¡
este mărginită, dacă există 0r> astfel încât [], Arr⊂− .
b) Dacă 2E=¡ și d este metrica euclidian ă, se spune c ă mulțimea
2A⊂¡ este m ărginită dacă și numai dac ă există 0r> astfel încât
22
12xxr+≤ pentru orice ()12, xxxA=∈ adică există un disc cu centrul în
origine care s ă includă mulțimea A.
c) Dacă 3E=¡ și d este metrica euclidian ă, se spune c ă mulțimea
3A⊂¡ este m ărginită dacă și numai dac ă există 0r> astfel încât
222
123xxxr++≤ , oricare ar fi ( )123,, xxxxA=∈ , adică există o sferă cu
centrul în origine care s ă includă pe A.

47
d) Dacă ,=¡nE se spune c ă nA⊂¡ este mărginită dacă și numai dac ă
există 0r> astfel încât 2
1n
i
ixr
=≤∑ oricare ar fi 12(,,…,)n xxxxA=∈ .

PROPOZIȚIA 3.1.1 Fie nA⊂¡. Se spune c ă mulțimea A este mărginită
dacă și numai dac ă mulțimea proiec țiilor elementelor lui A sunt mul țimi
mărginite de numere reale.
Demonstrație. Se presupune c ă nA⊂¡ este m ărginită. Conform cu
exemplul anterior punctul d) rezult ă 2
1n
i
ixr
=≤∑ , ( )12,,…,n xxxxA∀=∈ ,
unde 0r> este un num ăr real fixat. Ținând cont de aceast ă inegalitate se
poate afirma c ă: 12 ,,,nrrrxxx
nnn≤≤≤ K . Deci, cu alte cuvinte,
mărginirea mul țimii A implică faptul c ă există 0r> astfel încât
irrx
nn−≤≤ , oricare ar fi 1,in= rezultă că mulțimea proiec țiilor de
indice i fixat ale elementelor mul țimii A este o mul țime mărginită. Să
arătăm acum reciproca. Se presupune c ă fiecare proiec ție este m ărginită și se
demonstreaz ă că nA⊂¡ este mărginită.
Într-adev ăr, dacă fiecare proiec ție este m ărginită, atunci are loc rela ția:
irrx
nn−≤≤ , pentru 0r> și orice 1,in= . Deci, irx
n≤ , oricare ar fi
1,in= sau, echivalent, 2
2
irxn≤ , pentru orice 1,in= . Atunci
222
11nn
ii
iixrxr
==≤⇒≤∑∑ . Deci, nA⊂¡ este mărginită.
Așadar conform propozi ției anterioare, pentru a studia m ărginirea
mulțimilor din n¡ este suficient s ă se studieze m ărginirea mul țimilor din
¡.

DEFINIȚIA 3.1.2 Fie A⊂¡. Mulțimea A este mărginită dacă există un
interval [],ab⊂¡, unde a și b sunt numere reale finite astfel încât
[], Aab⊂ . Vom spune c ă a∈¡ este un minorant pentru mul țimea A și
b∈¡este un majorant pentru A.

48
OBSERVAȚIA 3.1.2 Din Defini ția 3.1.2 este evident c ă o mul țime
mărginită are o infinitate de minoran ți și o infinitate de majoran ți.

DEFINIȚIA 3.1.3 Cel mai mare minorant al mul țimii A poartă denumirea
de margine inferioar ă a mulțimii A și se noteaz ă cu Am, iar cel mai mic
majorant poart ă denumirea de margine superioar ă a mulțimii A și se
notează cu AM.

OBSERVAȚIA 3.1.3
a) Dacă AM este margine superioar ă a mulțimii A⊂¡, atunci are
următoarele propriet ăți:
i) pentru orice xA∈, A xM≤ ;
ii) pentru orice 0e>, există xA∈ astfel încât . >−A xM e
b) Dacă Am este margine inferioar ă a mul țimii A⊂¡, atunci are
următoarele propriet ăți:
i) pentru orice xA∈, A xm≥ ;
ii) pentru orice 0e>, există xA∈ astfel încât A xm e<+ .

PROPOZIȚIA 3.1.2 (Unicitatea și existența marginilor unei mul țimi).
Orice mul țime de numere reale m ărginită are o margine superioar ă,
respectiv o margine inferioar ă. Aceste margini sunt unice.
Demonstrație. Fie A⊂¡ mărginită. Existen ța marginii superioare AM se
arată prin construc ția efectiv ă a acesteia. Procedeul de construc ție este
următorul. Fie n primul num ăr întreg care verific ă proprietatea xn<,
pentru orice xA∈. Acest num ăr există deoarece mul țimea A este
mărginită, deci majorat ă superior. 1n− reprezint ă partea întreag ă a marginii
superioare AM. Se împarte intervalul ()1,nn− în zece p ărți egale. Fie
()1 1, nnn∈− cel mai mic num ăr de diviziune astfel încât 1 xn<, oricare ar
fi xA∈. Numărul 10,1n− reprezint ă pe AM cu o zecimal ă exactă. Se
consider ă intervalul ( )110,1,nn− . Acest interval se împarte în zece p ărți
egale. Fie ( )211 0,1, nnn∈− cel mai mic num ăr de diviziune pentru care are
loc proprietatea: 2 xn< pentru orice xA∈. Numărul 20,1n− reprezint ă pe
AM cu dou ă zecimale exacte. Se poate continua procedeul pentru
determinarea lui AM cu oricâte zecimale exacte. În acest mod, teoretic
rezultă existența lui AM (deși, uneori, practic este imposibil s ă se determine

49
AM). Unicitatea lui AM se demonstreaz ă prin reducere la absurd. Adic ă se
presupune c ă mai exist ă o margine superioar ă a lui A notată 1AM astfel
încât 1AAMM> . Fie 1
2AAMMe−= . Atunci, conform propriet ății marginii
superioare se afirm ă că există un xA′∈ astfel încât:
11
112
222AAAAA
AAAMMMMMxMMM e−+′>−=−=>=
deci, ,A xMxA′′>∈ . Dar aceasta contrazice faptul c ă AM este marginea
superioar ă. Contradic ția provine din faptul c ă s-a presupus c ă mai exist ă
încă o margine superioar ă. Așadar marginea superioar ă este unic ă. În mod
analog se ra ționează pentru marginea inferioar ă.

PROPOZIȚIA 3.1.3 Fie (),Ed spațiu metric și 0x un punct de acumulare
al mulțimii EA⊂. Orice vecin ătate a punctului 0x conține o infinitate de
puncte din mul țimea A.
Demonstrație. Se raționează prin reducere la absurd. Se presupune c ă există
o vecinătate ()0, Sxr a lui 0x care să conțină un num ăr finit de puncte din
A. Fie acestea 12,,…,n yyy . Fie ()0,iidxyd= distanța de la 0x la iy. Se
notează { }12 min,,…,n dddd= . Atunci (){}00,\i SxyAx f= I . Se ajunge la
contradic ție cu defini ția punctului de acumulare. Dac ă E≡¡, atunci
()[ ]000,, Sxrxrxr =−+ .

OBSERVAȚIA 3.1.4
a) Ținând cont de Propozi ția 3.1.3, rezult ă că mulțimile cu un num ăr finit de
elemente nu au puncte de acumulare.
b) După cum se știe f′=¥ . Deci, exist ă și mulțimi cu o infinitate de
elemente care nu au puncte de acumulare. Atunci se pune problema care
sunt mul țimile care au puncte de acumulare.

PROPOZIȚIA 3.1.4 (Teorema lui Weirstrass-Bolzano). Orice mul țime
infinită și mărginită are cel pu țin un punct de acumulare.
Demonstrație. Se consider ă că mulțimea A este o mul țime de numere
reale. Fie A⊂¡ o mulțime mărginită cu o infinitate de elemente. Datorit ă
faptului c ă mulțimea este m ărginită rezultă că există [],ab astfel încât
[], Aab⊂ , ,ab∈¤. Fie
2abc+= mijlocul acestui interval. Deoarece A

50
este infinit ă, cel pu țin unul din intervalele [],ac sau [],cb conțin o
infinitate de elemente și se noteaz ă [] 11,ab intervalul cu o infinitate de
puncte din A. Din modul cum a fost construit, rezult ă că 112baba−−= . Fie
11
12abc+= mijlocul intervalului [] 11,ab . Atunci cel pu țin unul din
intervalele [] 11,ac sau [] 11,cb conține o infinitate de elemente ale mul țimii
A și se noteaz ă [] 22,ab intervalul care con ține infinitatea de puncte. Din
modul cum a fost construit, rezult ă 22 22baba−−= . Fie 22
22abc+= mijlocul
intervalului [] 22,ab . Deoarece acest interval con ține o infinitate de puncte
ale mulțimii A, atunci cel pu țin unul din intervalele [] 22,ac sau [] 22,cb
conține o infinitate de elemente ale mul țimii A și se noteaz ă [] 33,ab
intervalul ce con ține o infinitate de puncte. Din modul cum a fost construit,
rezultă 33 32baba−−= . Continuând astfel, se ob ține intervalul [],nnab ce
conține o infinitate de puncte din mul țimea A și 2nn nbaba−−= . În acest
mod s-au construit șirurile de numere ra ționale ()1 nna≥, ()1 nnb≥ care verific ă
următoarele propriet ăți:
i) 1221 ………nn aaabbb<<<<<<<< ;
ii) 2nn nbaba−−= .
Două șiruri de numere ra ționale care verific ă aceste propriet ăți au limit ă și
limita lor este comun ă. Deci, exist ă 0limnnxa
→∞= și 0limnnxb
→∞= . Se arat ă în
continuare c ă punctul 0x astfel construit este un punct de acumulare al
mulțimii A. Fie 0e> un num ăr pozitiv arbitrar, atunci exist ă un rang
N∈¥ astfel încât pentru orice nN> să rezulte c ă intervalul [],nnab este
inclus în intervalul ( )00, xxee−+ care este o vecin ătate oarecare a lui 0x în
cazul topologiei metrice a lui ¡ cu metrica euclidian ă. Dar, intervalul
[],nnab conține o infinitate de termeni ai mul țimii A. Deci, rezult ă
( ){}000,\ xxAxeef−+∩≠ . Cum e a fost ales arbitrar, rezult ă 0 ' xA∈ ,
adică 0x este punct de acumulare al mul țimii A.

51
Observația 3.1.5
a) Demonstra ția anterioar ă este dat ă pentru mul țimi de numere reale
() A⊂¡, dar ea este adev ărată și pentru mul țimi mA⊂¡ și în acest caz
intervalul [],ab care s-a considerat în demonstra ție se înlocuie ște cu o sfer ă
închisă ()0, Sxr ce include mul țimea A.
b) Dacă 0xA∈ nu este punct de acumulare al mul țimii A, atunci el este un
punct izolat al acesteia.
c) Dacă A⊂¡ este mărginită, rezultă că 'A este o mul țime mărginită.
Marginea superioar ă a mulțimii 'A se noteaz ă AL, iar marginea inferioar ă
se noteaz ă cu Al și mai poart ă denumirea de limită superioară, respectiv
limită inferioară a mul țimii A. Se mai scrie astfel: limALA= și
limAlA= .
Limita superioar ă AL are urm ătoarele propriet ăți:
1) la dreapta lui ALe+, oricare ar fi 0e>, există un num ăr finit de puncte
din mulțimea A;
2. la dreapta lui ALe−, oricare ar fi 0e>, există o infinitate de puncte ale
mulțimii A.
Limita inferioar ă Al are propriet ăți analoage cu AL.
Între cele patru numere importante pentru o mul țime mărginită A există
următoarea rela ție:
AAAAmlLM≤≤≤ .
Punctul c) al Observa ției 3.1.5 este evident ținând cont de aceste inegalit ăți.

2. TIPURI DE MUL ȚIMI
2.1 MULȚIMI COMPACTE

DEFINIȚIA 3.2.1 O familie de mul țimi { } |iAiI∈ constituie o
acoperire a mul țimii B, dacă i
IiA BU
∈⊂ . Dacă mulțimile iA sunt toate
mulțimi deschise, se spune c ă familia de mul țimi este o acoperire deschis ă a
lui B. Dacă I este finit ă atunci acoperirea este finit ă.

OBSERVAȚIA 3.2.1 Mulțimea A este deschis ă dacă 0
AA=, iar A este
închisă dacă AA= sau AC este deschis ă.

52
DEFINIȚIA 3.2.2 O mulțime C⊂¡ este compactă dacă este închis ă și
mărginită.

Exemple.
i) Dacă { }12,,…,n Axxx= , atunci A este compact ă.
ii) (),,abab∀∈< ¡ , intervalul [],ab este mul țime compact ă.
iii) În 23,,n¡¡¡ , ()0, Sxr , r<∞ este o mul țime compact ă.

PROPOZIȚIA 3.2.1 Dacă C⊂¡ este o mul țime compact ă, atunci din
orice acoperire a sa cu intervale deschise se poate extrage o acoperire finit ă
(Borel-Lebesque ).

2.2 MULȚIMI CONEXE

Noțiunea de mul țime conex ă poate fi exprimat ă intuitiv spunând c ă este
formată dintr-o singur ă bucată.

DEFINIȚIA 3.2.3 Fie A și B două mulțimi. Se spune c ă A și B sunt
separate dacă:
ABAB f ∩=∩= .

DEFINIȚIA 3.2.4 Mulțimea M este conexă dacă nu poate fi scris ă ca o
reuniune a dou ă mulțimi nevide și separate.
Un criteriu destul de intuitiv care exprim ă conexitatea unei mul țimi din 2¡
sau 3¡ este dat de propozi ția următoare.

PROPOZIȚIA 3.2.2 Mulțimea nA⊂¡, 1,2n= , este conex ă dacă orice
două puncte ,xyA∈ pot fi legate între ele cu o linie poligonal ă L ale cărei
puncte apar țin în totalitate lui A.

53
Exemple

Figura 1 Figura 2

Mulțimea din figura 1 este conex ă, iar mul țimea din figura 2 (nu se
consider ă punctele curbei 2C) nu este conex ă.

DEFINIȚIA 3.2.5
a) O mul țime D deschisă și conexă se nume ște domeniu .
b) O mul țime F închisă și conexă se nume ște continuu .

Exemple.
1) (),ab , ()0, Sxr , 0r>, este domeniu
2) [],ab, ()0, Sxr , 0r>, este continuu.

O categorie foarte important ă de mulțimi sunt cele definite în continuare.

DEFINIȚIA 3.2.6
a) A este mul țime rară dacă 0
Af=.
b) Dacă
1n
nAA∞
==U și nA sunt mul țimi rare atunci A este mul țime slabă sau
de categoria I-a Baire .
c) Dacă ' AA=, atunci A este mul țime perfectă.

Un exemplu de mul țime rară și perfect ă este mul țimea lui Cantor
(vezi Exerci țiul 2.5.10)

54
3. ȘIRURI ÎN SPA ȚII TOPOLOGICE, SPA ȚII METRICE, SPA ȚII
VECTORIALE NORMATE

DEFINIȚIA 3.3.1 Fie E o mulțime oarecare și :fE→¥ o func ție,
()nxfn= poartă denumirea de termenul general al șirului , generat de
funcția f în mulțimea E, iar șirul de elemente din mul țimea E ce are acest
termen general se mai noteaz ă și astfel:
()0 nnx≥ (nu intereseaz ă forma termenilor șirului)
sau
{}0 nnx≥ (șirul este considerat ca o mul țime; intereseaz ă elementele lui).

OBSERVAȚIA 3.3.1
a) Se observ ă din defini ția anterioar ă că șirul este mul țimea valorilor unei
funcții oarecare f, dar care are domeniul de defini ție ¥.
b) Natura elementelor mul țimii E dă tipul șirului. Astfel:
• E=¡ – șir de numere reale;
• E=£ – șirul este de numere complexe;
• nE=¡ – șir de elemente din n¡;
• AEB= – șirul func țiilor :fAB→ .
c) Pentru a putea fi f ăcut un studiu complet al șirurilor, mul țimea E trebuie
să fie organizat ă cu structura de spa țiu vectorial normat. Dar studiul șirurilor
mai poate fi efectuat și dacă E este înzestrat ă cu structura de spa țiu metric
sau de spa țiu topologic (nu se pot face opera ții cu șiruri).
Problema care se pune în leg ătură cu șirurile, dup ă cum se știe, este
monotonia, m ărginirea și convergen ța acestora.
Monotonia. Monotonia șirului ()0 nnx≥, nxE∈, are sens numai dac ă E este
o mulțime ordonat ă și această noțiune se define ște astfel:

DEFINIȚIA 3.3.2 Fie ℜ o relație de ordine pe mul țimea E. Se spune c ă
șirul ()0 nnx≥ este monoton dacă oricare ar fi ,nm∈¥, cu nm>, rezultă
nmxxℜ.
Dacă ,=¡E atunci ""ℜ≡< sau ""ℜ≡≤ .
După cum se știe, monotonia șirurilor de numere reale este:
a) nm< rezultă nmxx< – șirul strict cresc ător;
b) nm< rezultă nmxx≤ – șirul cresc ător.
În mod asem ănător se definesc șirurile descresc ătoare.
Aceste afirma ții sunt cazuri particulare ale Defini ției 3.2.2.

55
Mărginirea. Noțiunea de m ărginire a unui șir este posibil ă dacă mulțimea
E este un spa țiu metric cel pu țin. Cum șirul este de fapt mul țimea {}0 nnx≥,
definiția mărginirii este urm ătoarea.

DEFINIȚIA 3.3.3 Fie (),Ed spațiu metric, șirul {}0 nnx≥, nxE∈, este
mărginit , dacă există 0xE∈ fixat și 0r>, astfel încât ()0,n dxxr ≤,
pentru orice {}nnxx∈ , 0n≥.
Cum orice șir poate fi considerat ca o mul țime, folosind nota ția {}0 nnx≥
toate afirma țiile legate de mul țimi mărginite sunt valabile și pentru șiruri.
Dacă mE=¡, atunci șirul ()0 nnx≥, m
nx∈¡ are urm ătoarea form ă:
( )121,,…,,mm
nnnnnxxxxx−= ,
unde ()0i
nnx
≥, 1,im= sunt șiruri de numere reale care se mai numesc
proiecțiile șirului ()0 nnx≥.

Deoarece un șir este o mul țime, propozi ția referitoare la m ărginirea
mulțimilor din m¡ se transpune și la mărginirea șirurilor astfel.

PROPOZIȚIA 3.3.1 Fie ()0 nnx≥, m
nx∈¡ un șir de elemente din m¡.
Acest șir este m ărginit dac ă și numai dac ă fiecare proiec ție a sa ()0i
nnx
≥,
1,im= , este un șir mărginit.

Convergența. Noțiunea de convergen ță a unui șir ()0≥nnx este posibil ă dacă
mulțimea E este înzestrat ă cu structura de spa țiu topologic, spa țiu metric,
spațiu vectorial normat. Definirea convergentei în aceste structuri este
următoarea.

DEFINIȚIA 3.3.4 Fie (),Et un spațiu topologic și ()0 nnx≥ un șir din acest
spațiu. Se spune c ă șirul ()0 nnx≥ este convergent în topologia t dacă există
0xE∈ astfel încât pentru orice
0,xV o vecinătate a punctului 0x, există un
rang N astfel încât pentru orice Nn> rezultă
0 nxxV∈ . Definiția 3.3.4 se
mai poate enun ța și astfel. Șirul ()0 nnx≥ converge c ătre 0x, dacă orice
vecinătate con ține un num ăr infinit de termeni, iar în afara oric ărei
vecinătăți se află un număr finit de termeni ai șirului.

56
DEFINIȚIA 3.3.5 Fie (),Ed un spațiu metric și ()0 nnx≥ un șir din acest
spațiu. se spune c ă ()0 nnx≥ este convergent în metrica d, dacă există
0xE∈ astfel încât oricare ar fi 0>e , există ()0 Ne> astfel încât pentru
orice () nN e> rezultă ()0,n dxx e<.
Dacă E=¡ și d este metrica euclidian ă pe ¡, adică modulul, atunci
Definiția 3.2.5 are forma: ()0 nnx≥, nx∈¡ este convergent, dac ă există
0x∈¡ astfel încât oricare ar fi 0>e , există ()0 Ne> astfel încât oricare
ar fi () nN e> rezultă 0 nxx e−< .

DEFINIȚIA 3.3.6 Fie (),E⋅ spațiu vectorial normat. Șirul ()0 nnx≥,
nxE∈ este convergent dacă există 0xE∈ astfel încât oricare ar fi 0>e ,
există ()0 Ne> astfel încât pentru orice () nN e> rezultă 0 nxx e−< .

OBSERVAȚIA 3.3.2
a) Elementul 0xE∈ care apare în Defini țiile 3.3.4, 3.3.5, 3.3.6 poart ă
denumirea de limit ă a șirului ()0 nnx≥ și acest lucru se scrie astfel:
0 limnnxx
→∞= sau 0 nxx→ .
b) Defini țiile 3.3.4., 3.3.5., 3.3.6. sunt echivalente.

PROPOZIȚIA 3.3.2 (Unicitatea limitei) Fie (),Et spațiu topologic
separat și 0 nxxt→ . Atunci 0x este unic ă.
Demonstrație. Se presupune c ă 0x nu este unic ă, adică există 0yE∈ astfel
încât 0 nxyt→ . Conform Defini ției 3.3.4 se poate scrie c ă:
()() ()
00 011 a.î. nxnxxxVNnNxVt →⇔∀∃∈∀>⇒∈¥
și
()() ()
00 011 a.î. nynyxyVNnNxVt →⇔∀∃∈∀>⇒∈¥ ..
Dacă se noteaz ă {}12 max,NNN= , atunci din cele dou ă afirmații rezultă că
pentru orice nN> avem
0 nxxV∈ și
0 nyxV∈ , de unde rezult ă
00xyVV f ∩≠ ,
contradic ție cu faptul c ă E este spa țiu topologic separat. Deci, rezult ă
00xy≡, ceea ce demonstreaz ă unicitatea limitei.

57
OBSERVAȚIA 3.3.2 Dacă spațiul topologic nu este separat, un șir
convergent poate avea mai multe limite, ceea ce arat ă că în spații topologice
neseparate convergen ța nu este bine definit ă. În spa țiul metric și spațiul
vectorial normat convergen ța este bine definit ă deoarece se știe că orice
spațiu vectorial normat este un spa țiu metric și orice spa țiu metric este
spațiu topologic separat.

PROPOZIȚIA 3.3.3 Fie ()0 nnx≥, n
nx∈¡. Șirul ()0 nnx≥ este convergent
dacă și numai dac ă orice proiec ție a sa este convergent ă.
Demonstrație.
Se presupune c ă ()0 nnx≥, n
nx∈¡ este un șir convergent. Se demonstreaz ă
că ()0i
nnx
≥ este convergent, oricare ar fi 1,im= . Fie m
nx∈¡ ⇒
( )123,,,…,m
nnnnnxxxxx= . Datorit ă faptului c ă șirul este convergent c ătre
( )123
00000 ,,,…,mxxxxx= , rezultă conform Defini ției 3.3.5 c ă: () 0e∀> ,
()()0 Ne∃> astfel încât ()() nN e ∀> , rezultă:
1122222
000 ()()…()mm
nnnxxxxxx e −+−++−< .
Din aceast ă inegalitate se ob ține:
11
0
22
0
0',
',
'.n
n
mm
nxx
m
xx
m
xx
mee
ee
ee−<=

−<=


−<=M

Deci, rezult ă că proiecțiile ()0i
nnx
≥, 1,im= sunt convergente c ătre numerele
reale 0ix, 1,im= .
Reciproc. Se presupune c ă 0ii
nxx→ , m i,1= și se demonstreaz ă că 0 nxx→ .
Raționamentul se face în mod analog. Într-adev ăr, () 0e∀> , ()()0 Ne∃>
astfel încât ()(): ∀>nN e

58
11
0
0,
.n
mm
nxx
n
xx
ne
e−<


−<
M
Prin ridicare la p ătrat se ob ține:
()
()
2
11
0
2
0,
.n
mm
nxxn
xxne
e−<


−<M
Adunând inegalit ățile termen cu termen se ob ține:
2
122
00 ()…()imm
nnnxxxxne−++−< ,
deci
1122
00 ()…()mm
nnxxxx e −++−< .

OBSERVAȚIA 3.3.4
a) Propozi ția 3.3.3 reduce convergen ța șirurilor din m¡ la convergen ța a m
șiruri de numere reale ()0i
nnx
≥, 1,im= , numite proiec țiile șirului din m¡.
b) Conform Propozi ției 3.3.3, dac ă ()0 nnx≥, m
nx∈¡ este convergent c ătre
0mx∈¡, atunci are loc urm ătoarea egalitate:
( )12limlim,lim,…,limm
nnnnnnnnxxxx
→∞→∞→∞→∞= .
c) Ținând cont de defini ția mărginirii și definiția convergen ței, rezult ă că
orice șir convergent este m ărginit, dar reciproca nu este în general valabil ă.
Exemple
1. Fie ()1 nnx≥, 1,,sin1n
nxnnnnp =+. Să se studieze convergen ța acestui
șir și în caz afirmativ s ă se calculeze limita sa.
Soluție. Proiecțiile șirului sunt:
1 1
1nxn=+, 2 n
nxn= , 3sinnxnnp= .
Conform Propozi ției 3.3.3, șirul ()1 nnx≥ este convergent dac ă fiecare
proiecție a sa este convergent ă și are loc rela ția:

59
( )123limlim,lim,limnnnnnnnnxxxx
→∞→∞→∞→∞= .
Se studiaz ă convergen ța proiecțiilor calculând direct limitele:
1 1limlim01nnnxn→∞→∞==+, 2 1limlimlim1n
nnn nnxnn→∞→∞ →∞+=== (s-a aplicat consecin ța
lemei lui Stolz),
3sin
limlimsinlimnnnnnxnn
np
pppp →∞→∞→∞=== . Deci, lim(0,1,)nnx p
→∞= .
2. Fie ()1 nnx≥,
221111,(1)nn
n
kKxkk nk===+ + ∑∑ . Să se studieze convergen ța
acestui șir și în caz afirmativ s ă se calculeze limita sa.
Soluție. Avem:
1
22211111
1nn
n
kkxn nk k
n====
+ +∑∑ ,
2
1111111(1)11nn
n
KKxkkkkn====−=− +++ ∑∑ . Deci,
( ) ( )
1
121
02
0limlim,lim,1arcsin, 1, 12 1nnnnnndxxxx
xp
→∞→∞→∞ ====   −∫.

4. ȘIRURI CAUCHY

Noțiunea de șir Cauchy sau fundamental este o no țiune util ă în studiul
convergen ței șirurilor atunci când limita este greu sau imposibil de calculat.
Această noțiune se define ște astfel.

DEFINIȚIA 3.4.1 Fie (),Ed spațiul metric și ()0 nnx≥, nxE∈, un șir de
elemente ale acestui spa țiu. Se spune c ă șirul ()0 nnx≥ este un șir Cauchy sau
șir fundamental , dacă pentru orice 0e>, există ()0 Ne> astfel încât
oricare ar fi () ,nmN e> rezultă că (,)nmdxx e<.

OBSERVAȚIA 3.4.1
a) Este simplu de observat c ă dacă E=¡ sau pE=¡, atunci condi ția din
Definiția 3.4.1 devine:

60
nmxx e−< sau ()
2
1p
ii
nm
ixx e
=−<∑ ..
b) Deoarece ,nm∈¥, dacă se consider ă mn>, atunci exist ă un num ăr
natural p oarecare, dar fixat astfel încât mnp=+ .
c) Ținând cont de “b)” condi ția din Defini ția 3.3.1 în acest caz devine
(,)nnpdxx e+<, pentru orice p∈¥, p fixat.

PROPOZIȚIA 3.4.1 Orice șir convergent este un șir fundamental sau un șir
Cauchy.

Demonstrație. Fie ()0 nnx≥ un șir convergent c ătre 0xE∈, unde E este un
spațiu metric înzestrat cu metrica d. Conform defini ției convergen ței în
spații metrice, au loc urm ătoarele afirma ții:
• pentru orice 0e>, există ()1 0 Ne> astfel încât ()1 nN e> rezultă
0(,)n dxx e<.
• pentru orice 0e>, există ()2 0 Ne> astfel încât ()2 mN e> rezultă
0(,)m dxx e<.
Fie () ()() { } 12 max, NNNeee= . Atunci au loc simultan rela țiile:
• oricare ar fi () nN e> rezultă 0(,)n dxx e<
• oricare ar fi () mN e> rezultă 0(,)m dxx e<. Atunci rezult ă că pentru
orice () ,nmN e> avem:
00 (,)(,)(,)2'nmnmdxxdxxdxx ee ≤+<= . Deci, (,)nmdxx e<.
Conform cu Defini ția 3.4.1 șirul ()0 nnx≥ este un șir Cauchy.

OBSERVAȚIA 3.4.2 Reciproca Propozi ției 3.4.1 nu este în general
valabilă, așa cum reiese din exemplul urm ător:

Exemplu. Fie nx∈¤ definit astfel 11x=, 21,4x= , 31,41x= , … șirul care
aproximeaz ă prin lips ă pe 2. Este evident c ă oricare ar fi 0e>, există
()0 Ne>, astfel încât () () ,nmN e ∀> rezultă că nmxx e−< . Deci
()1 nnx≥ este un șir Cauchy .
Dar în spa țiul metric (),d¤ , spațiu din care fac parte to ți termenii șirului,
acesta nu este convergent pentru c ă el are limita 2∉¤.

61
Acest exemplu arat ă că există șiruri Cauchy care nu sunt convergente în
spațiul termenilor șirurilor.

PROPOZIȚIA 3.4.2 Orice șir Cauchy este un șir mărginit.
Demonstrație. Fie ()0 nnx≥, nxE∈, E spațiu metric înzestrat cu metrica d.
Dacă ()0 nnx≥ este un șir Cauchy , atunci conform Defini ției 3.4.1 se poate
afirma c ă pentru orice 0e> există ()00 Nne=> , astfel încât oricare ar fi
0 ,nmn>, rezultă (),nmdxx e<. Aceasta înseamn ă că pentru termenii
01,,…,n xxx are loc rela ția: ()0,nidxx e≥, ()00,in∀= . Fie
(){ }0
00,max,niindxx d
== . Atunci, ()0,,0nmdxxrr de<+=> , pentru orice
m∈¥. Ceea ce arat ă că mulțimea { }0 01,,…,,…n xxx este mărginită, adică
șirul ()0 nnx≥ este un șir mărginit.

OBSERVAȚIA 3.4.3
a) S-a văzut că nu orice șir Cauchy este și șir convergent. Spa țiile metrice în
care are loc aceast ă afirmație se numesc spații metrice complete sau spații
BANACH . Deci, un spa țiu BANACH este un spa țiu metric care verific ă
următoarea proprietate: Orice șir de elemente din spa țiul BANACH este
convergent și are limită în acest spațiu.
b) • E=¤, d – metric ă euclidian ă, nu este spa țiu BANACH;
• ,1mEm=≥¡ , d – metric ă euclidian ă, este spa țiu BANACH.
• [], Eab=⊂ ¡, d – metric ă euclidian ă, este spa țiu BANACH.

PROPOZIȚIA 3.4.3 (Criteriul de convergen ță al lui Cauchy pentru
șiruri ) Într-un spa țiu metric complet, un șir este convergent dac ă și numai
dacă este un șir Cauchy .
Demonstrație. Faptul c ă orice șir convergent este un șir Cauchy s-a
demonstrat. Se presupune c ă șirul este Cauchy și se va ar ăta că este
convergent. Pentru a u șura scrierea se presupune E=¡, iar metrica se
consider ă ca fiind cea euclidian ă. Fie nx∈¡ termenul general al unui șir
Cauchy. Rezultă că pentru orice 0e>, există ()0 Ne>, astfel încât
()() nN e ∀> avem npnxx e+−< , pentru orice p∈¥. Ținând cont de
proprietatea modulului, rela ția anterioar ă devine:
npnxx e+−< ⇔ nnpnxxxee+ −<<+ .

62
Dacă în aceast ă inegalitate se fixeaz ă 0 nn=, rezultă
000nnpnxxx ee+ −<<+ , oricare ar fi p∈¥ ceea ce arat ă că mulțimea
0012,,…nnxx++ , este o mul țime mărginită, adică șirul {}0 nnx≥ este mărginit.
Dar se știe conform teoremei Weierstrass-Bolzano că orice mul țime
infinită și mărginită are cel pu țin un punct de acumulare. Dac ă în cazul de
față punctul de acumulare este unic, teorema este demonstrat ă. Se presupune
că există mai multe puncte de acumulare pentru șirul {}0 nnx≥. Fie L cel mai
mare dintre acestea și l cel mai mic dintre acestea. Deci, vor avea loc
relațiile:
00nnxLx ee−<<+ echivalent cu
0n Lx e −<
și
00nnxlx ee−<<+ echivalent cu
0nlx e −< .
Rezultă:
002'nn Lxxl ee −+−<=
și
' Ll e−< .
Cum 'e este orice num ăr pozitiv, rezult ă Ll=, adică nu pot exista mai
multe puncte de acumulare.

5. SUBȘIRURI. PRINCIPIUL CONTRAC ȚIEI

DEFINIȚIA 3.5.1 Fie ()nxfn= termenul general al unui șir de elemente
din spațiul metric E, generat de func ția f și :g→¥¥ o funcție oarecare.
Atunci ()()()gnxfgn=o este termenul general al unui sub șir al șirului
()0 nnx≥ generat de func ția g.

OBSERVAȚIA 3.5.1
a) Cum mul țimea ¥¥ este o mul țime de puterea con ținutului, rezult ă că un
șir are o infinitate de puterea con ținutului de sub șiruri.
b) Este evident c ă {}(){}00n gn nnxx≥≥⊇ .

Exemplu. Dacă :g→¥¥ , ()2 gnn= , atunci sub șirul extras de aceast ă
funcție din șirul ()0 nnx≥ este format numai din termenii indice par ai șirului
inițial, adică 024222,,,…,,,…nn xxxxx+ .

63
Subșirurile pot fi considerate ca șiruri dac ă ele nu se raporteaz ă la șirurile
din care sunt extrase.
Subșirurile prezint ă un rol de seam ă în studiul convergen ței șirului din care
ele sunt extrase, a șa cum rezult ă din urm ătoarea propozi ție.

PROPOZIȚIA 3.5.1
a) Fie p∈¥ un num ăr oarecare, dar fixat. Atunci func țiile :ig→¥¥ ,
definite prin ()igkpki=+ , 0,1ip=− , genereaz ă p subșiruri ale șirului
dat ()0 nnx≥. Acestea sunt {}{}{}{} 1210000,,,…,pkpkpkpkpkkkkxxxx++++≥≥≥≥.
Dacă fiecare din aceste sub șiruri sunt convergente și au fiecare aceea și
limită l, atunci șirul ()0 nnx≥ este convergent și are limita l.
b) Orice sub șir al unui șir convergent este convergent și are aceea și limită ca
a șirului.

PROPOZIȚIA 3.5.2 (Lema lui Cesaro ). Din orice șir mărginit se poate
extrage un sub șir convergent.
Demonstrație. Fie ()0 nnx≥ un șir mărginit de numere reale. Deci, conform
definiției mărginirii rezult ă că există ,ab∈¤ astfel încât n axb≤≤ , pentru
orice 0n≥. Dacă mulțimea valorilor șirului {}0 nnx≥ are un num ăr finit de
elemente, atunci cu siguran ță șirul {}0 nnx≥ conține cel pu țin un sub șir
constant. Și cum orice șir constant este convergent, rezult ă că din orice șir
mărginit se poate extrage un sub șir convergent. Dac ă mulțimea
{}0 0 nnx≥∈ℵ , atunci aceasta fiind și o mul țime mărginită, conform cu
teorema Weierstrass-Bolzano , rezultă că are cel pu țin un punct de
acumulare. Fie 0x unul dintre punctele de acumulare. Atunci, conform
definiției punctului de acumulare, în interiorul intervalului 00(1,1)xx−+
există o infinitate de termeni ai șirului ()0 nnx≥. Fie 10xx′≠ unul dintre
acestea. În vecin ătatea 0011,,22−+xx de asemenea, exist ă o infinitate de
termeni ai șirului. Fie 2x′ unul dintre ace știa cu proprietatea c ă 20xx′≠ și
12xx′′≠. Continuând ra ționamentul, rezult ă că în vecin ătatea
0011, xxnn−+ există o infinitate de termeni ai șirului ()0 nnx≥. Fie nx′ unul
dintre ace știa cu proprietatea c ă nkxx′′≠, pentru orice 0,1kn=− . În acest

64
fel s-a construit șirul 12,,,,n xxx′′′KK care din modul de construc ție este
evident c ă are limita 0x. Dar acest șir așa cum a fost construit este un sub șir
al șirului ()0 nnx≥. Așadar, lema a fost demonstrat ă.

PROPOZIȚIA 3.5.3 Orice șir monoton și mărginit de numere reale este
convergent.
Demonstrație. Fie ()0 nnx≥, nx∈¡ șir monoton și mărginit. Fără a micșora
generalitatea propozi ției presupunem c ă ()0 nnx≥ este cresc ător. Mul țimea
{}0 nnx≥ fiind m ărginită nu poate avea puncte de acumulare infinite. Fie
{} limn Lx= și {} limn lx= . Se consider ă 3Lle−= . Atunci, conform
definiției punctului de acumulare rezult ă că în vecin ătatea (,)llee−+ și
(,)LLee−+ există câte o infinitate de termeni ai șirului. Fie
1(,)nxll ee∈−+ ,
2(,)nxLL ee∈−+ astfel încât 12nn≥. Datorit ă faptului
că vecinătățile conțin o infinitate din termenii șirului, aceast ă alegere este
posibilă. În plus, exist ă
3(,)nxll ee∈−+ astfel încât 23nn<. Dar,
12nnxx<
și
23nnxx> contrazic faptul c ă șirul este cresc ător. Contradic ția provine din
faptul c ă a fost admis ă existen ța celor dou ă vecinătăți (,)llee−+ și
(,)LLee−+ . Cum aceste vecin ătăți nu pot exista simultan, rezult ă ,=Ll
adică șirul trebuie s ă fie convergent.

PROPOZIȚIA 3.5.4 (Lema lui Stolz ). Fie ()0 nnx≥ și ()0 nny≥ două șiruri de
numere reale care satisfac propriet ățile:
i) ()0 nnx≥ șir oarecare;
ii) ()0 nny≥ șir monoton și nemărginit;
iii) 1
1nn
nnxx
yy+
+−→−l.
Atunci, n
nx
y→l.
Această lemă, pe lâng ă faptul c ă contribuie direct la determinarea limitei
unor șiruri, are dou ă consecin țe importante:
Consecința 1. Dacă limnnxl
→∞=, atunci 12 …limn
nxxxln→∞+++=

65
Consecința 2. Dacă 1limn
n
nxlx+
→∞=, atunci limn
nnxl
→∞=.
În continuare, cu ajutorul șirurilor se va demonstra propozi ția intitulat ă
“Principiul contrac ției” care are o importan ță deosebit ă în demonstrarea
unor importante teoreme de analiz ă matematic ă, cum ar fi: Teorema de
existență și unicitate pentru func țiile implicite și Teorema de existen ță și
unicitate a solu ției problemei Cauchy pentru ecua ții și sisteme de ecua ții
diferențiale.

DEFINIȚIA 3.5.2 Fie (),Xd un spațiu metric și :XXj→ o aplica ție
oarecare. Dac ă există [0,1)c∈ astfel încât ((),())(,)dxycdxyjj ≤⋅ ,
oricare ar fi ,xyX∈, atunci aplica ția j se nume ște contracția spațiului
metric X și [0,1)c∈ este coeficientul de contrac ție.

OBSERVAȚIA 3.5.2
a) Dacă [][] :,,fabab → este o func ție monoton ă, atunci f are un punct
fix.
b) Dacă [][] :,,fabab → este o func ție derivabil ă și
[]()
,sup1
xabcfx
∈′ =< ,
atunci f este contrac ție pe [],ab.

PROPOZIȚIA 3.5.5 (Principiul contrac ției) Fie (),Xd spațiu metric
complet și :XXj→ o contrac ție a acestuia. Exist ă și este unic punctul
Xx∈ astfel încât ()jxx=.
Demonstrație. Punctul x care verific ă condiția din Propozi ția 3.5.5 poart ă
denumirea de punct fix al contrac ției j. Pentru demonstrarea propozi ției
trebuie demonstrat ă unicitatea și existen ța acestui punct.
Unicitatea. Se presupune prin absurd c ă există 'xx≠ două puncte fixe ale
lui j. Atunci, ținând cont de faptul c ă j este o contrac ție,
rezultă:((),('))(,')dcdjxjxxx ≤⋅ . Din faptul c ă x și 'x sunt puncte fixe
rezultă: ()() jxxjxx==,'' . Deci, rezult ă că (,')(,')dcdxxxx≤⋅ . Adică,
(,')(1)0dcxx −≤ . Din aceast ă inegalitate se ob ține (,')0dxx≤. Dar se știe
că d este o metric ă și deci, (,')0dxx≥. Din cele dou ă inegalități, rezultă că
(,')0'dxxxx=⇔= .
Existența. Pentru a demonstra existen ța punctului fix se construie ște în
spațiul metric X șirul aproxima țiilor succesive și se demonstreaz ă că acest

66
șir este un șir Cauchy . Fie 0xX∈ un punct arbitrar, dar fixat. Șirul
aproxima țiilor succesive se construie ște astfel:
10211 (), (), … , (), …nn xxxxxxjjj− === . Se arat ă că acest șir este un șir
Cauchy. Pentru aceasta se procedeaz ă astfel. Fie:
01(,)dxxd= ,
120101(,)((),())(,)dxxdxxcdxxc jjd=≤⋅=⋅ ,
2
231212(,)((),())(,)dxxdxxcdxxc jjd=≤⋅≤⋅ ,
3
342323(,)((),())(,)dxxdxxcdxxc jjd=≤⋅≤⋅ ,
………………………………………………………..
1
1(,)n
nndxxc d−
−≤⋅ .
………………………………………………………..
Ținând cont de aceste rela ții, rezult ă că (,)npndxx e+<, pentru orice 0e>.
Așadar, șirul aproxima țiilor succesive este un șir Cauchy, și cum spa țiul
metric (),Xd este complet (spa țiul Banach), rezult ă că acest șir este
convergent. Fie limnnx x
→∞= .
Atunci 11 0((),())(,())(,)nnn dxdxcdxjjxjxx−− ≤=≤⋅ . Așadar se ob ține că
lim()nnxjx
→∞= . Deoarece orice șir convergent are limit ă unică, rezultă că
()jxx=. Deci, contrac ția X X→:j are punct fix.

OBSERVAȚIA 3.5.2
a) Propozi ția 3.5.5. se mai nume ște și Teorema de punct fix a lui Banach.
b) Metoda aproxima țiilor succesive utilizat ă în demonstrarea Principiului
contracției se mai nume ște și Metoda itera ției care este una din cele mai
importante metode numerice de rezolvare a ecua țiilor algebrice sau
transcedentale. Vitezele de convergen ță ale șirurilor care intervin în Metoda
iterației de rezolvare a ecua țiilor de forma () xfx= are o importan ță foarte
mare. Pentru a putea construi șiruri cu viteze diferite de convergen ță sunt
necesare urm ătoarele no țiuni.

DEFINIȚIA 3.5.3 Șirul nxa→ cu ordinul de convergen ță p dacă există
0c≠ astfel încât
()
limn
pn
nxac
xa→∞−=
−. Constanta c se nume ște eroare
asimptotică.

67
DEFINIȚIA 3.5.4 Fie nxa→ și nxa′→ . Dacă lim0n
n
nxa
xa→∞′−=−, atunci
()nnx′ converge mai repede decât ()nnx.

PROPOZIȚIA 3.5.6 Dacă nxa→ cu ordinul de convergen ță 1, atunci
șirul ( )
2
1
212nn
nn
nnnxxxxxxx+
++−′=−−+ converge la a mai repede decât ()nnx.

6. EXERCIȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 3.6.1 Să se determine marginea inferioar ă m, marginea
superioar ă M, limita inferioar ă l, limita superioar ă L a mulțimilor:
a) { }12,,…,n Exxx= , (), ijxxij<∀< ;
b) [][]{} 1,23,45E=∪∪ ;
c) , EE==¤¥ ;
d) 1Enn∗ =∈¥;
e)
1p
pEE∞
==U , unde 11
pEnpn∗ =+∈
¥, p∗∈¥.
Soluție. După cum se știe l, respectiv L, reprezint ă marginea inferioar ă m,
respectiv marginea superioar ă M a mulțimii 'E.
a) 'Ef=. Este evident c ă 1 mx=, n Mx=, iar l și L nu exist ă.
b) [][] '1,23,4E=∪ . Este evident c ă 1m=, 5 M=, 1l=, 4L=.
c) '=¤¡ ; Este evident c ă nu exist ă (în sensul c ă nu sunt finite) ,,,mMlL .
Deci, ¤ și '¤ nu sunt m ărginite. 'f=¥ (în spațiu topologic () ( ) , xt¡¡ .
Este evident c ă 0m=, M nu exist ă. Cum 'f=¥ , nu exist ă l și L
(în sensul c ă pot fi orice numere finite).
d) {} '0E= . Este evident c ă 1M=, 0m= și 0 lL== .
e) {}
1'0Epp∗ =∈∪
¥ . Se observ ă că 0m=, 2 M=, 1L=, 0l=.

EXERCIȚIUL 3.6.2 Orice mul țime compact ă din ¡ este mul țimea
perfectă, dar nu orice mul țime perfect ă de numere reale este compact ă.

68
Soluție. În spațiu topologic () ( ) , xt¡¡ singurele mul țimi compacte sunt
intervalele [], Iab= , ab<, ,ab∈¡. Dar ținând cont de Defini ția 2.2.1
punctul 5), 'II=. Deci, [], Iab= este mul țime perfect ă. Fie mul țimea
[][] ,, Aabcd=∪ , bc<. Ținând cont de aceea și definiție, se observ ă că
'AA=. Deci, A este o mul țime perfect ă. Conform cu Propozi ția 3.2.2
segmentul de dreapt ă ce unește punctul xb= cu yc= nu este con ținut în
A, deci A nu este compact ă.

Observație. Din rezolvarea acestui exerci țiu, reiese c ă nu întotdeauna
reuniunea a dou ă mulțimi compacte este o mul țime compact ă (în
23,,¡¡¡ ).

EXERCIȚIUL 3.6.3 Fie {} limnnllx∈=¥ și {} limnnLx∈=¥. Șirul {}nnx∈¥
este convergent dac ă și numai dac ă lL=.
Soluție. Dacă lL= atunci nu mai exist ă un alt punct de acumulare al
mulțimii {}nnx∈¥ și în acest caz a este limita șirului. Într-adev ăr, în orice
vecinătate ( ) , aaee−+ există o infinitate de termeni ai șirului {}nnx∈¥
conform cu Propozi ția 3.1.3. Dac ă ar exista o vecin ătate ( ) , aaee−+ astfel
încât în afara ei s ă fie o infinitate de termeni ai șirului (îi presupunem la
stânga vecin ătății), acești termeni îi putem include într-o vecin ătate
( )0101 , yyee−+ , 0ya<. Deci, 0y este punct de acumulare al șirului
{}nnx∈¥. Aceasta contrazice faptul c ă există un singur punct de acumulare
xa=. Deci, în orice vecin ătate ( ) , aaee−+ există o infinitate de termeni
ai șirului {}nnx∈¥, iar în afar ă un num ăr finit. Deci, xa= este limita șirului
{}nnx∈¥. Dacă lL≠, atunci exist ă cel puțin două puncte de acumulare. Fie
acestea xa= și yb=. Este evident c ă xa= și yb= și niciun alt num ăr
real diferit de acestea nu poate fi limit ă a șirului {}nnx∈¥ deoarece exist ă cel
puțin o vecin ătate a acestora în afara c ăreia exist ă o infinitate de elemente
ale șirului {}nnx∈¥.

EXERCIȚIUL 3.6.4 Să se cerceteze dac ă șirurile cu termeni generali:
a) ()
1
1n
nnnxn−⋅+=−

69
b) ()
11
n
nx
n
−+
=
sunt convergente.
Soluție. a) {}{}
'0,20
nn
xl
∈
=⇒=
¥ și
2
L
=
. Deci, șirul nu este convergent.
b) {}{}
'00
nnxlL∈
=⇒==
¥ . Deci, șirul este convergent și
0
nx
→
.
Observație. Pentru a determina pe {}
'
nnx
∈
¥
s-a procedat astfel:
{}{}{}
221 nnnnnnxxx+
∈∈∈
=∪
¥¥¥
și {}{}{}
221
'''
nnnnnnxxx
∈∈+∈
=∪
¥¥¥
.

EXERCIȚIUL 3.6.5 Dacă 1limn
n
nx
l
x+
→∞
=
, atunci limn
nn
xl
→∞
=
.
Soluție. Pentru a avea sens exerci țiul, este evident c ă ()
0, 2
nxn
>∀≥
. Fie
ln
n
n
nn
x
yx
n
== . Atunci:
11 lnlnln
limlimlnlimlimlimlnln
1LemaStolz
nnNn n
nnnnnnn
nxxxx
yxl
nnnx++
→∞→∞→∞→∞→∞
−
=====+−.
Deci, ()
lnlimln
n
nn
xl
→∞= . Ținând cont de injectivitatea logaritmului se ob ține
că:
1
limlimn n
nnn
n
x
xl
x
+
→∞→∞== .
Observație. Exercițiul 3.6.5 este dat în paragraful 5 ca și consecin ță a lemei
lui Stolz.

EXERCIȚIUL 3.6.6 Dacă limnn
xl
→∞
=
, atunci 1…limn
nxx
l
n
→∞
++
=
.
Soluție.
Avem:
( )( )
111 1
1…… …limlimlim
1
LemaStolz
nnn n
nnnnxxxxx xx
xl
nnn
+
+→∞→∞→∞+++−++ ++
===
+−.
Observație. Exercițiul 3.6.6 este dat în paragraful 5 ca și consecin ță a lemei
Stolz.

70
EXERCIȚIUL 3.6.7 Să se arate c ă șirul ()12,nnnxxx= , unde 1
1nnxn=+,
2 2
2nnxn=+, are limita ()1,2l= și să se determine rangul începând de la
care toți termenii șirului sunt la o distan ță mai mic ă decât 1
300 de ()1,2.
Soluție. Știm că limnnxl
→∞= dacă () 0e∀> , există () Ne finit, astfel încât
oricare ar fi () nN e> , (),ndxl e<. Așadar:
()()()()
22 22212
2221736201212.12 12nnnnnnxxnn nneee++ −+−<⇒−+−<⇒< ++ ++
Deoarece
()()
2
221736205
2 12nn
n nn++<+ ++, atunci este suficient s ă se rezolve
inegalitatea 555222nnneeee−<⇒+>⇒>+. Deci, ()52Neee−=.
Cum ()Ne este finit pentru orice 0e>, ()1,2 este limita șirului nx. Fie
01
300e= , 251 30014981 300
300N− ==  
.
Deci, (){}12
1498,kkkxx
≥()11,2,300D⊂, unde ()11,2,300D
 este discul cu
centrul în punctul ()1,2 și de rază 1
300.

EXERCIȚIUL 3.6.8 Fie șirul cu termenul general
()
11cos!1,1!nn
n
kkkxkkk=== +∑∑ . Folosind criteriul de convergen ță a lui Cauchy
pentru șiruri din 2¡, să se studieze convergen ța șirului nx.
Soluție. Trebuie ar ătat că ()()() 0, N ee∀>∃ finit astfel încât
()() nN e ∀> ()() ,, npndxxp e+<∀∈ ¥.
Deci, () ( )( )
221122,npnnpnnpndxxxxxx ee+++<⇒−+−< ,

71
unde 1
1cos!
(1)n
n
kkxkk==+∑ și 2
11
!n
n
kxk==∑ . Așadar,
()
()( ) ()
22
11cos! 1
1!pp
kknk
nknknke
== ++< ++++∑∑ .
Dar, ()
()( )()( )
11cos! 1
11pp
kknk
nknknknk==+≤=++++++∑∑

111111…12231nnnnnpnp =−+−++−=  +++++++ 

111
111nnpn=−<++++. (1)
()()()()
11111…!1!2!!p
knknnnp==+++=++++∑
()()()()()
1111…!11212…nnnnnnnp=+++≤++++++

()()()
211
1 111111…1 !1!1 1111p
pn
nnnn nn
n− +≤+++=⋅⋅<++ ++ −+
1111
1 !1!11n
nnnn
n<⋅⋅=⋅+−+. (2)
Din (1) și (2), avem:
()
()( ) () ()()
22
22 2
11cos! 1112
1! 1!pp
kknk
nknknkn nnn == ++<+< ++++ + ∑∑ .
Este suficient s ă se rezolve inegalitatea ()222nNneeee<⇒>⇒= 

care este finit pentru orice 0e>. Deci, șirul ()12,nnnxxx= este un șir
Cauchy în 2¡, deci este un șir convergent.

72
Observație. Ținând cont de Propozi ția 3.2.3 și Propozi ția 3.3.3 rezult ă că
șirul ( )12,,…,m
nnnnxxxx= este șir Cauchy dac ă șirurile ()0k
nnx
≥ 1,kn= sunt
șiruri Cauchy.

EXERCIȚIUL 3.6.9 Fie 1 1 1
1
1,,!n
a
n n n n
k
nk a
kknxann−
=
=
 =   ∑
∏ , unde limnnal
→∞=,
0na> și 0.a> Să se calculeze limnnx
→∞.
Soluție. Conform cu Propozi ția 3.2.3, avem ( )123limlim,lim,limnnnnnnnnxxxx
→∞→∞→∞→∞= ,
unde 1
1
1n n
nk
kxa
==∏ , 1
2 1n
a
k
n ak
xn−
==∑
, 1
3
!nn
nnxn=. Atunci,
1 121
121
12…..limlim….limlim….nn n
nnnnnnn
naaaaxaaaalaaa+
+→∞→∞→∞→∞==== (vezi Exerci țiul 3.6.5),
()
()
1
1
2 11
11limlimlimlim
1 1111n
a
a
k
n aa a a nnnnknnxn nn
n−
−
=
→∞→∞→∞→∞++===
+− −−+∑ (vezi Exerci țiul 3.6.6).
Deci, 2 11limlim
1111n annxa
n→∞→∞==
−−+.
()
()
1
31
1! 1limlimlimlim!
!n
n n
n
n nnnnnn
n nnxen nn
n+
→∞→∞→∞→∞+
+ +==== .
Așadar, 1lim,,nnxlea→∞=.

EXERCIȚIUL 3.6.10 Fie șirul ()12,nnnxxx= , unde 1
00x= și
()()211
11
2nnxxb+=+ , 0n≥, []0,1b∈ , iar 2
1xa= , 22
1 nnxx a− =+ , 2n≥,
0a>. Să se cerceteze dac ă șirul este convergent și în caz afirmativ s ă se
calculeze limita sa.

73
Soluție. Ținând cont de Propozi ția 3.2.3, șirul ()0 nnx≥ este convergent dac ă
și numai dac ă șirurile ()1
0nnx
≥ și ()2
0nnx
≥ sunt convergente și
( )12limlim,limnnnnnnxxx
→∞→∞→∞= . Se știe că un șir de numere reale, monoton și
mărginit este convergent. Fie 1
00x=, ()()211
101122bxxb=+=< ,
()()()
21
211111122xxb=+<+= . Se propune c ă 11nx< și se demonstreaz ă că
1
11nx+<. Într-adev ăr, ()()()
21
11111122nnxxb+=+<+= . Așadar, conform
inducției 11nx<, ()∀ 0n≥. Deci,
[]10,1nx∈ ,
1
00x=, ()
2111
1001
22bxxbx=+=>,
() ()
221111
210111
22xxbxbx=+>+=,
() ()
221111
321211
22xxbxbx=+>+=, …
Se presupune c ă 11
1 nnxx−> și se demonstreaz ă că 11
1nnxx+>. Într-adev ăr,
() ()
22111
111
2nnnnxxbxbx+−=+>+=. Așadar, 11
1nnxx+>. Atunci, conform
inducției, șirul ()1
0nnx
≥ este cresc ător. Așadar, rezult ă că șirul este
convergent.
Deci, exist ă l finit astfel încât 1limnnx
→∞=l . Trecând la limit ă în relația de
recurență se obține 220b−+=ll , 111 b =−−l ,211 b =+−l . Cum
[] 20,1∉l , atunci 1lim11nnxb
→∞=−− . Pentru șirul ()2
1nnx
≥ se obține:
2
1x a= , 222
211xxx aaaa=+=+>= ,
2222
3212xxxx aa=+>+= ,…
Se presupune c ă 22
1 nnxx−> și se demonstreaz ă că 22
1nnxx+>. Într-adev ăr,
2222
11nnnnxxxx aa+−=+>+= . Așadar, 22
1 .+>nnxx Deci conform induc ției,
șirul ()2
nx este cresc ător. Avem:

74
2
1 11 x aa=<++ evident.
2
21 11121111 xx aaaaaa=+<+++<++++=++ …
Se presupune c ă 211nx a<++ și se demonstreaz ă că 2
111nx a+<++ .
Într-adev ăr,
22
1 11121111nnxx aaaaaa+=+<+++<++++=++ . Așadar,
2
111nx a+<++ . Atunci, conform induc ției, rezult ă că 211nx a<++ ,
pentru orice 1n≥. Deci ( )20,11nx a ∈++ , pentru orice 1n≥. Așadar,
rezultă că șirul ()2
1nnx
≥ este convergent. Adic ă există l finit astfel încât
2limnnx
→∞=l. Trecând la limit ă în relația de recuren ță se obține:
20 aa=+⇒−−=llll , 1114
2a −+=l ,2114
2a ++=l ,
( ) 10,11 a ∉++l , ( ) 20,11 a ∈++l .
Deci, 2114lim2nnxa
→∞++= . Așadar, am ob ținut că șirul ()0nnx
≥ este
convergent și
( )
12 114limlim,lim11,2nnnnnnxxxba
→∞→∞→∞ ++==−− .

EXERCIȚIUL 3.6.11 Fie ( )123,,nnnnxxxx= unde:
4
1 1
5n
k
nk
xn==∑
; 22
2
3122…
1nnnx
nn+++=
+;33
01 0 xx== ;
()2333
111
3nnnxaxx+−=++
cu []0,1a∈ . Să se calculeze limnnx
→∞.
Soluție. Dacă 123…kkkk
kSn=++++ , atunci are loc urm ătoarea rela ție:
()
1 121
1111 11…k
kkkkkk nCSCSCSn+
++−+ +=+++++ . (1)
Pentru a demonstra rela ția de recuren ță se porne ște de la egalitatea:
()
1 1121
1111 1…k kkkkkkn
kkkk aaCaCaCaC+ +−+
++++ +=+++++ .

75
În aceast ă egalitate se dau lui a succesiv valorile 1,2,, nK și se adun ă
membru cu membru cele n egalități. Dacă în egalitatea (1) se consider ă
4k= se obține:
()
5 1234
54535251 11nCSCSCSCSn+=+++++ . (2)
În aceast ă egalitate ()
11
2nnS+= , ()()
2121
6nnnS++= , ()2 2
31
4nnS+= .
Ținând cont de 1S, 2S, 3S din egalitatea (2) se ob țin
()()( )2
4121331
30nnnnn
S++++
= .
Atunci ()()( )2
11
4 5121331 1lim305nnnnnnn
xxn→∞++++
=⇒= .
Conform cu lema lui Stolz, șirul ()2
1nnx
≥ are aceea și limită cu șirul
()
()
2
3 311
11nnny
nnnn++=
++−. Acum,
()
( )()
( )
22
22111
1331331nnnnny
nnnnnn+++≤≤
+++++. (3)
Deci, conform cu inegalitatea (3) se ob ține 1lim3nny
→∞=. Deci, 21lim3nnx
→∞=.
Pentru ()3
1nnx
≥ se arată că este monoton și mărginit.
Monotonia. Avem 3
21
3xa= , 3
34
9xa= . Se observ ă că 333
123xxx<< . Se
presupune c ă 33
1 kkxx+≤ .
Avem: () ( ) () ( )22333333
121111
33kkkkkkxaxxaxxx−−−+ =++≤++= adică 33
1 kkxx+≤ .
Deci, conform induc ției rezult ă că șirul este cresc ător.
Mărginirea. Avem 3
01x≤, 3
11x≤, 3
2 13ax=≤ , 3
3419xa≤≤ . Se presupune c ă
3
11kx−≤, 31kx≤ și se demonstreaz ă că 3
11kx+≤. Într-adev ăr,
() ( )2333
111
3kkkxaxx+−=++ ( )
11113a ≤++≤ . Deci, conform induc ției, șirul
()3
0nnx
≥ este mărginit și anume []()30,1, 0nxn∈∀≥ .

76
Așadar, rezult ă că șirul este convergent. Exist ă l finit astfel încât
3limnnx
→∞=l. Trecând la limit ă în rela ția de recuren ță se ob ține:
22 1203aa=++⇒−+=lllll , []1110,1 a =+−∉l
și []2110,1 a ∈−−∈l . Deci, 3
4 lim11
nxa
→∞=−− .
Așadar, 11lim,,1153nnxa
→∞=−−.

EXERCIȚIUL 3.6.12 Se consider ă șirul ( )1234,,,nnnnnxxxxx= , unde
1 111…ln2nxnn=+++− , 2111…12nxnnn=++++, 3
2
211n
n
kxk ==−∏ ,
4
1xa= , 4
2 ,… xaa=+ ,} ori
4…n
nxaaaa=++++ , 0a>.
Să se calculeze limnnx
→∞.
Soluție. Este evident c ă:
() ()
11111111ln1lnnnnnennnnnn+++ +>>+⇔+>>⋅⇒
()11111ln1lnln111nnnnnnn⇒<+−<⇔<+< ++ . (1)
Avem: ()
1111ln1lnln1011nnxxnnnnn+−=−++=−+< ++  (s-a ținut
cont de inegalitatea (1)). De asemenea, din inegalitatea (1) se ob ține că
10nx>, ()1n∀≥ . Așadar, șirul ()3
1nnx
≥ este monoton și mărginit. Deci,
există ()1lim0,1nnx
→∞∈ . Aceast ă limită este 0,5772…g= și se nume ște
constanta lui Euler.
Dacă scriem 2
00111
1nn
n
kkxk nkn
n====++∑∑ , atunci aceasta este suma Riemann a
funcției [] :0,1f →¡, ()1
1fxx=+. Funcția fiind integrabil ă se observ ă că
()
121
00limln1ln21nndxxxx→∞==+=+∫.

77
Avem ()()3
22
222211 1111nnnn
n
kkkkkk kkxkkkk ====−+ −+ =−===∏∏∏∏
()() 34…1 123…1111
23…123…22nn nnn
nnnnn⋅⋅+ ⋅⋅−++=⋅=⋅=⋅−+⋅. Deci, 3 1
2nnxn+= .
Atunci, 31lim2nnx
→∞=.
Este evident c ă șirul ()4
1nnx
≥ este cresc ător și 40nx>. De asemenea, este
evident c ă ()
42444 1
1 441n
nnn
nnxaxaxxaxx−
− =+⇒=+<+ (deoarece șirul este
crescător). Deci, ()4
1nnx
≥ este mărginit, ()40,1nxa∈+ . Așadar, avem c ă
șirul este convergent, adic ă există l finit astfel încât 4limnnx
→∞=l . Trecând la
limită în relația de recuren ță ()244
1,− =+nnxax se obține 20a−−=ll cu
111402a −+=<l (nu convine) 2114
2a ++=l , () 20,1 a ∈+l . Deci,
4114lim2nnax
→∞++= .
Concluzionând, avem 1114lim,ln2,,22nnax g
→∞ ++=.

EXERCIȚIUL 3.6.13
a) Să se arate c ă :f→¡¡ definită prin ()
21143xfxx=+−+ este o
contracție.
b) Să se găsească punctul fix.
Soluție. a) Se observ ă că ()
()2212
43xfx
x′=−
+. Fie ()
()222
3xgx
x−=
+.
Rezultă că 1
8gm=− . Atunci ()
113sup1488 xcfx
∈′ ==+=<
¡. Deci, conform
cu Observa ția 3.5.2 b) rezult ă că f este o contrac ție pe ¡.
b) Se observ ă că ()11f−=− . Deci, 1 x=− este unicul punct fix.

78
EXERCIȚIUL 3.6.14 Să se arate c ă ecuația ln1x nex+= are o solu ție
unică.

Soluție. Conform Principiului contrac ției, dacă funcția ()
ln1x nfxe=+
este o contrac ție, cum [],xy este spa țiu metric complet, oricare ar fi
,xy∈¡ cu xy<, atunci rezult ă că există [],xy x∈ astfel încât ()fxx=.
Deci, ln1nexx+= . Așadar, dac ă f este contrac ție, atunci exerci țiul este
rezolvat. Avem, () ()
1
1,1x
xenfxxen′=<∀∈+¡. Conform teoremei lui
Lagrange, exist ă (), cxy∈ astfel încât ()()()() fxfyfcxy ′ −=− . Dar,
()1fcn′<. Deci, ()()()
1fxfyxyn−≤− , fapt care arat ă că f este o
contracție. Soluția ecuației se găsește din 1ln1,0nx n
nxen+=+≥ , cu 0x dat.

EXERCIȚIUL 3.6.15 Să se determine condi ția ca ecua ția sin xqxm−=
(ecuația lui Kepler) s ă admită o soluție reală unică.
Soluție. Este suficient s ă se arate c ă () sin fxqxm=+ este o contrac ție pe
¡. Într-adev ăr, () cos fxqx′= . Deci, () supsupcos
xxfxqxq
∈∈′==
¡¡.
Conform cu Observa ția 3.5.2 b), rezult ă că f este contrac ție dacă 1q<.
Soluția se găsește din 1 sin,0nnxqxmn+=+≥ cu 0x dat.

EXERCIȚIUL 3.6.16 Să se arate c ă ecuația 2xx−= are o solu ție unică în
intervalul []0,1.
Soluție. Se procedeaz ă ca la exerci țiul de mai sus. Avem: ()2xfx−= .
Rezultă ()2ln2xfx−′=− . Deci, () supsup2ln2ln21x
xxfx−
∈∈′=−=<
¡¡. Deci,
există un unic [] 00,1 x∈ astfel încât 0
0 2xx−=.

79
CAPITOLUL IV: SERII

Cadrul general în care poate fi construit ă și studiată o serie este cel de spa țiu
vectorial normat complet (spa țiu Banach).

1. SERII. GENERALIT ĂȚI
DEFINIȚIA 4.1.1 Fie (),X⋅ spațiu vectorial normat complet și un șir de
elemente din acest spa țiu ()0 nnx≥, nxX∈, pentru orice n∈¥.
Considerând șirul:
00Sx=, 101Sxx=+ , 2012Sxxx=++ , …, 01
0n
nkn
kSxxxx
===+++∑ K ,
cupletul ()0,nn nxS≥ definește o serie în spațiul vectorial X, unde nx este
termenul general al seriei , iar nS este termenul general al șirului sumelor
parțiale.
Seria astfel generat ă se noteaz ă:
0n
nx∞
=∑ sau
0n
nx
≥∑ .

OBSERVAȚIA 4.1.1
a) Se observ ă că seria este generalizarea sumei într-un spa țiu vectorial.
b) Denumirea elementelor spa țiului vectorial X dă și denumirea seriei,
adică:
• X=¡ – seria este o serie de numere reale;
• X=£ – seria este o serie de numere complexe;
• nX=¡ – seria este o serie de elemente din n¡;
• AXB= – seria este o serie de func ții, :fAB→ .

Exemple.
a)
11
nn∞
=∑ este o serie de numere reale care poart ă denumirea și de serie
armonică, iar
11
nna∞
=∑ , *a∈¡ este seria lui Riemann și este o serie de
numere reale;
b)
0111
1 nnnna∞∞
==++∑∑ , 1 i=− , este serie de numere complexe;

80
c) ()
2
1011;ln1,1n
nnnnqn∞∞∞
===++∑∑∑ este serie de elemente din 3¡.

Problematica pus ă în legătură cu o serie dintr-un spa țiu vectorial este
următoarea:
• convergen ța sau divergen ța (are sens suma sau nu);
• în cazul convergen ței, găsirea efectiv ă a sumei seriei.

DEFINIȚIA 4.1.2 (Convergența) Fie (),X⋅ spațiu vectorial normat
complet și
0n
nx∞
=∑ o serie din acest spa țiu. Se spune c ă seria este
convergentă dacă șirul sumelor par țiale
0n
nk
kSx
==∑ este convergent și are
loc egalitatea
0n
nxS∞
==∑ , unde limnnSS
→∞= .
• Dacă șirul ()0 nnS≥ este divergent, atunci seria este divergentă.
• În cazul în care șirul ()0 nnS≥ este divergent, f ără limită, seria
0n
nx∞
=∑
poartă denumirea de serie oscilant ă.

În marea majoritate a cazurilor, Defini ția 4.1.2 este greu sau imposibil s ă se
aplice datorit ă faptului c ă șirul
0n
nk
kSx
==∑ este complicat. De aceea, este
necesar s ă se construiasc ă o teorie care s ă suplineasc ă această definiție.

PROPOZIȚIA 4.1.1 Natura unei serii nu se schimb ă dacă se neglijeaz ă un
număr finit de termeni ai s ăi. (Prin natura unei serii se în țelege convergen ța
sau divergen ța seriei).
Demonstrație. Fie
0n
nx∞
=∑ , S suma seriei și
0p
n
nx m
==∑ o sumă finită din
primii p termeni ai seriei. Cu aceste nota ții, sunt evidente egalit ățile:
1
100p
nnn
npnnSxxxS m∞∞
=+====−=−∑∑∑ .
Deoarece m este finit, rezult ă că în cazul în care S este finit ă, adică seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă, rezultă că și 1S este finit ă, adică seria
1n
npx∞
=+∑ este

81
convergent ă. Dacă S este infinit ă, adică seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă, atunci
și 1S este infinit ă, adică seria
1n
npx∞
=+∑ este divergent ă.

Exemplu. Să se arate c ă:
a) seria armonic ă
11
nn∞
=∑ este o serie divergent ă.
b) seria 2
11
1 narctgnn∞
= ++∑ este convergent ă și să se calculeze suma sa.
Soluție. a) Avem:

1111111111111111…234567891011121314 nn∞
==++++++++++++++=∑
111111112345678
11111111….910111213141516=++++++++
+++++++++
În urma acestei grup ări se pot face urm ătoarele major ări:
221
2S>, 321
2S>, 421
2S>,…,2
2
11
2n
n
knSk==>∑ .
Rezultă că 2
2
11n
n
kSk==∑ reprezint ă unul din termenii generali ai șirului
sumelor par țiale pentru seria
11
nn∞
=∑ . Conform criteriului major ării, din
inegalitatea anterioar ă rezultă că 2
11limn
nkk→∞==∞∑ . Conform cu Defini ția 4.1.2
rezultă că seria
11
nn∞
=∑ este divergent ă.
b) Conform Defini ției 4.1.2, dac ă limnnSS
→∞= există și este finit ă, atunci seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă și
0n
nxS∞
==∑ . În cazul de fa ță,
2
11
1n
n
kSarctgkk ==++∑ care se mai scrie astfel:

82
() ( ) ()
111n
n
kSarctgkarctgkarctgn
==+−=+∑ .
Deci, ()
limlim12nnnSarctgnp
→∞→∞=+= . Deci, seria din enun ț este convergent ă
și suma este 2p.

PROPOZIȚIA 4.1.2 (Criteriul general de convergen ță al lui Cauchy
pentru serii )
Fie (),X⋅ spațiu vectorial normat complet și
0n
nx∞
=∑ o serie din acest
spațiu. Seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă dacă și numai dac ă pentru orice 0e>,
există un rang ()0 ne> astfel încât oricare ar fi () nn e> rezultă:
12 …nnnpxxx e++++++< , pentru orice p∗∈¥.
Demonstrație. Necesitatea (""⇒) Presupunem c ă seria
0n
nx∞
=∑ este
convergent ă atunci conform cu Defini ția 4.1.2,
0nk
kSx∞
==∑ este șir
convergent. Rezult ă ()0 nnS≥ șir fundamental sau șir Cauchy. Deci:
()()() 0, 0 n ee∀>∃> astfel încât ()()npn nnSS ee+ ∀>⇒−< ,
()*p∀∈ ¥, p fixat]. Așadar:
12
00…np n
kknnnp
kkxxxxx ee+
+++
==−<⇒+++<∑∑ , ()*p∀∈ ¥, fixat
Suficiența (""⇐) Se presupune c ă relația din enun ț este adev ărată și se
demonstreaz ă că seria este convergent ă. Într-adev ăr, din afirma ția
()()() 0, 0 n ee∀>∃> astfel încât
()()12 …nnnp nnxxx ee+++ ∀>⇒+++< , ()p∀∈ ¥, p fixat], rezultă
npnSS e+−< . Deci, ()0 nnS≥ este șir fundamental. Dar spa țiul X este un
spațiu vectorial complet, deci ()0 nnS≥ convergent. Atunci, conform cu
Definiția 4.1.2, avem c ă
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.

83
Exemplu. Să se studieze convergen ța seriei 2
1sin
nn
n∞
=∑ .
Soluție. Aplicăm criteriul de mai sus. Avem:
()
()()
()()
()
()
()()
()()
()()() ()
()
12 222
222222
*sin1sin2sin
12
sin1sin2sin 111
1212
111111111,.1121nnnpnnnpxxx
nnnp
nnnp
nnnpnnnp
pnnnnnpnpnnpne+++++++++=+++≤
+++
+++≤+++≤+++
++++++
≤−+−++−=−<<∀∈++++−++KK
KK
K¥

Deci, conform Criteriului de convergen ță al lui Cauchy, seria este
convergent ă.

PROPOZIȚIA 4.1.3 (Consecință criteriului general de convergen ță al
lui Cauchy ) O condi ție necesar ă pentru convergen ța unei serii este ca
termenul general al seriei, s ă aibă limita zero.
Demonstrație. Într-adev ăr, dacă în condi ția Propozi ției 4.1.2 se consider ă
1,=p atunci se ob ține:()()() 0, 0 n ee∀>∃> astfel încât
()()1n nnx ee+ ∀>⇒< , atunci lim0nnx
→∞=.

Forma practic ă a Propozi ției 4.1.3 este urm ătoarea:
0Pentru 0, seria este divergent ă.lim:
Pentru 0, nu se poate afirma nimic despr e natura seriei.n
n nnxxxx
x∞
=→∞≠ =
= ∑
Dacă limnnx
→∞ nu exist ă, atunci seria este divergent ă.
Exemplu. Să se studieze natura seriilor:
a) 3 4
3 411
22 nn
n∞
=+
+∑ ;
b)
11sin
nnn∞
=∑ .
Solușie. a) Se observ ă că:
3 4
3 41
22nnx
n+=
+3 4
4 3 411limlim0
2 22nnnnx
n→∞→∞+⇒==≠
+.

84
Atunci, seria 3 4
3 411
22 nn
n∞
=+
+∑ este divergent ă.
b) Deoarece 1limlimsin10nnnxnn→∞→∞==≠ , atunci seria
11sin
nnn∞
=∑ este
divergent ă.

O categorie important ă de serii sunt seriile din m¡. Acestea se definesc
după cum urmeaz ă:
DEFINIȚIA 4.1.3 Fie m¡ înzestrat cu norm ă euclidian ă (spațiu vectorial
normat complet) și ( )12,,…,m
nnnnxxxx= un șir din m¡. Atunci
12
0000,,…,m
nnnn
nnnnxxxx∞∞∞∞
=====∑∑∑∑ este o serie din m¡, unde
0i
n
nx∞
=∑ , 1,im=
sunt serii de numere reale care poart ă denumirea de proiecțiile seriei din
m¡. Seria din m¡ se mai nume ște și serie vectorial ă.

PROPOZIȚIA 4.1.5 O serie din m¡ este convergent ă dacă și numai dac ă
fiecare proiec ție este convergent ă.
Demonstrație. Necesitatea (""⇒) Se presupune c ă seria
( )
12
0, ,,…,m
nnnnn
nxxxxx∞
==∑ este convergent ă și se demonstreaz ă că seriile
0i
n
nx∞
=∑ , 1,im= sunt convergente.
Într-adev ăr, din convergen ța seriei rezult ă că șirul sumelor par țiale
( )
1212
0000,,…,,,…,nnnn
mm
nkkkknnn
kkkkSxxxxSSS
=======∑∑∑∑ este un șir convergent.
Dar, se știe că un șir din m¡ este convergent dac ă și numai dac ă proiecțiile
sale sunt convergente. Rezult ă
0n
ii
nk
kSx
==∑ , 1,im= sunt șiruri convergente.
Deci, seriile
0i
n
nx∞
=∑ , 1,im= sunt convergente.
Reciproca se demonstreaz ă în mod asem ănător.

OBSERVAȚIA 4.1.2
a) Propozi ția 4.1.5 reduce studiul seriilor din m¡ la studiul seriilor de
numere reale.

85
b) Ținând cont de Propozi ția 4.1.5, ( )12,,…,m SSSS= , unde iS, 1,im= sunt
sumele seriilor proiec ții ale seriei din m¡.

2. SERII CU TERMENI POZITIVI

Un caz particular de serii de numere reale îl reprezint ă seriile cu termeni
pozitivi . Aceste serii se definesc astfel.
DEFINIȚIA 4.2.1 Seria
0n
nx∞
=∑ , nx∈¡ se nume ște serie cu termeni
pozitivi, dac ă există un rang N∈¥ astfel încât pentru orice nN>, 0nx>.

OBSERVAȚIA 4.2.1 Ținând cont de Propozi ția 4.1.1, rezult ă, fără a
micșora generalitatea, c ă se poate considera 0N=.

PROPOZIȚIA 4.2.1 Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni pozitivi. Șirul sumelor
parțiale ale acestei serii este un șir crescător.
Demonstrație. Șirul sumelor par țiale pentru seria dat ă este:
0n
nk
kSx
==∑ .
Deoarece 1
1
0n
nk
kSx+
+
==∑ , se ob ține:1
11
000nn
nnkkn
kkSSxxx+
++
==−=−=>∑∑ , deci
1 0nnSS+−> . Atunci, șirul nS este cresc ător.

PROPOZIȚIA 4.2.2 (Criteriul monotoniei ) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie de termeni
pozitivi. Dac ă șirul ()1 nnS≥ este mărginit, seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
Demonstrație. Cum seria este cu termeni pozitivi, din Propozi ția 4.2.1,
rezultă că șirul este cresc ător. Cum acest șir este și mărginit, rezult ă că el
este și convergent. Conform defini ției convergen ței seriei, rezult ă că seria
este convergent ă.

Exemplu. Să se arate c ă seria
11
nna∞
=∑ , 1a> este o serie convergent ă.
Soluție. Se aranjeaz ă seria sub forma urm ătoare:

86
111111111111……2345678915 nnaaaaaaaaaa∞
==+++++++++++∑

()()()()
11111……
2212221mmmmaaaa+
++++++++−.
Se observ ă că:
112
232aaa+<
11114
45674aaaaa+++<
1118…89158aaaa+++<
………………………………….
()()()()
11112…,…
221212m
mmmmaaaa++++<
+−
Deci,
() () ()
11
1 21311 21
111111111 21…11 2 222122mp
p mSSa
a aaa
aa+−
− −−− −
−−−=<+++++=<
−.
Dacă 1a>, se observ ă că 121mS+− este mărginit deoarece
11
112a−− este un
număr finit cuprins în intervalul ()0,1. Dar 121mS+− este monoton. Fiind și
mărginit, rezult ă că este convergent, adic ă seria
11
nna∞
=∑ , 1a> este o serie
convergent ă.

PROPOZIȚIA 4.2.3 (Primul criteriu al compara ției) Fie
0n
nx∞
=∑și
0n
ny∞
=∑
două serii cu termeni pozitivi. Dac ă există N∈¥ astfel încât pentru orice
nN>, nnxy≤, și
i)
0n
ny∞
=∑ convergent ă, atunci
0n
nx∞
=∑ convergent ă;

87
ii)
0n
nx∞
=∑ divergent ă, atunci
0n
ny∞
=∑ divergent ă.
Demonstrație. Se consider ă 0N=.
i) Fie ()0 nx nS≥ și ()0nynS
≥ termenii generali ai șirurilor sumelor par țiale
pentru seriile
0n
nx∞
=∑și
0n
ny∞
=∑ . Deoarece nnxy≤, pentru orice nN≥, rezultă:
00nxkkny
kkSxyS∞∞
===≤=∑∑ . Cum seria
0n
ny∞
=∑ este convergent ă, rezultă că șirul
()0nynS
≥ este convergent. Ținând cont de criteriul major ării pentru șiruri și
de inegalitatea nxnySS≤ , rezultă că șirul ()0 nx nS≥ convergent. Deci, seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Se demonstreaz ă analog ca la punctul i).

PROPOZIȚIA 4.2.4 (Al doilea criteriu al compara ției) Fie
0n
nx∞
=∑și
0n
ny∞
=∑ două serii cu termeni pozitivi. Dac ă există N∈¥ astfel încât oricare
ar fi nN>, 11nn
nnxy
xy++≤ și
i)
0n
ny∞
=∑ este convergent ă, atunci
0n
nx∞
=∑ convergent ă;
ii)
0n
nx∞
=∑ este divergent ă, atunci
0n
ny∞
=∑ divergent ă.
Demonstrație. Fără a micșora generalitatea se consider ă 0N= și se
notează ()0 nx nS≥ și ()0nynS
≥ șirul sumelor par țiale ale celor dou ă serii.
Deoarece, 11nn
nnxy
xy++≤ , atunci pentru orice 0n≥ avem
11nn
nnxy
xy++≥ . Prin
înmulțirea acestei inegalit ăți cu 1n
nx
y+, se obține 1
1nn
nnxx
yy+
+≥ , oricare ar fi
0n≥. Deci are loc urm ătorul șir de inegalit ăți:
0 12
012x xx
yyy≥≥ , 3 2
23x x
yy≥ , …, 1
1nn
nnxx
yy+
+≥ .

88
Dacă se noteaz ă 0
00x
ya=> , atunci șirul anterior de inegalit ăți devine
11xya≤ , 22xya≤ , …, nnxya≤ .
Adunând membrii acestor inegalit ăți se ob ține:
00nn
ii
iixya
==≤∑∑ . Adică,
nxnySS a≤ .
i) Ținând cont c ă nxnySS a≤ și
0n
ny∞
=∑ este convergent ă, atunci rezult ă că
șirul ()0 nx nS≥ este convergent. Deci,
0n
nx∞
=∑ este o serie convergent ă.
ii) Din nxnySS a≤ și
0n
nx∞
=∑ divergent ă, rezultă că nyS→∞ , adică seria
0n
ny∞
=∑ este divergent ă.

Exemplu. Să se arate c ă seria Riemann
11
nna∞
=∑ este divergent ă pentru 1a<.
Soluție. Deoarece 1a<⇒11
nna>. Se știe că seria
11
nn∞
=∑ este divergent ă.
Atunci, conform cu Propozi ția 4.2.4 rezult ă că seria
11
nna∞
=∑ este divergent ă.

Ținând cont și de exemplele anterioare, rezult ă că natura seriei lui Riemann
este urm ătoarea:
11
nna∞
=∑ : este divergent ă, pentru 1,
este convergent ă, pentru 1.a
a≤ 
> 

LEMĂ. Fie
0n
nq∞
=∑ (seria geometric ă). Natura acestei serii este urm ătoarea:
0n
nq∞
=∑ : () este convergent ă, pentru 1,1,
este divergent ă, pentru 1,
este oscilant ă pentru 1.q
q
q∈− 
≥ 
≤−

89
Demonstrație. Fie
0n
k
n
kSq
==∑ termenul general al șirului sumelor par țiale
pentru aceast ă serie. Atunci 1
1n
nqSqq−=⋅− (suma progresiei geometrice cu
rația q care are n termeni). Trecând la limit ă se obține:
() , pentru 1,1,1
1limlim, pentru 1,1nu există, pentru q-1.n
nnnqqq
qSqqq→∞→∞∈−−−=⋅=∞≥ −≤

Așadar, pentru ()1,1 q∈− rezultă că
0n
nq∞
=∑ este serie convergent ă pentru c ă
șirul sumelor par țiale are limit ă finită și
01
1n
nqq∞
==−∑ . În general,
0,1n
naaqaq∞
∗
==∈−∑ ¡. Pentru 1q≥ rezultă că
0n
nq∞
=∑ este serie divergent ă
pentru că șirul numerelor par țiale are limita +∞, iar pentru 1 q≤− oscilant ă
pentru că șirul sumelor par țiale nu are limit ă.
În general,
0 1n
k
kaqaqq ==−∑ , a∗∈¡, ()1,1 q∈− .

PROPOZIȚIA 4.2.5 (Criteriul rădăcinii) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni
pozitivi. Dac ă există rangul N∈¥ astfel încât:
i) 1n
nx l≤< , pentru orice nN>, atunci seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă;
ii) 1n
nx l≥> , pentru orice nN>, seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.
Demonstrație. Fără a micșora generalitatea se consider ă 0N=.
ii) Din inegalitatea n
nx l≤, () 0n∀≥ , rezultă că n
nxl≤ ,() 0n∀≥ .
Conform lemei anterioare, seria progresie geometric ă
0n
nl∞
=∑ este

90
convergent ă pentru ()0,1 l∈ . Conform primului criteriu al compara ției
rezultă că seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Se demonstreaz ă analog ca i).

Forma practic ă a criteriului r ădăcinii
n
n=1
n
n=1dacă 1, seria x este convergent ă,
lim:dac ă 1, seria x este divergent ă,
dacă 1, nu se poate afirma nimic despre natura seriei.n
nnx
xxx
x∞
∞
→∞<

=>

 =

∑
∑
Criteriul r ădăcinii mai poart ă denumirea și de criteriul lui Cauchy .

Exemplu. Să se studieze convergen ța seriilor:
a) 2
2
032
23n
nn
n∞
=+
+∑ ;
b)
02n
nn∞
=∑ .
Soluție. Aplicăm criteriul r ădăcinii.
a) 2
2323limlim1232n
nnnnxn→∞→∞+==>+. Deci, avem serie divergent ă.
b) 1limlim122n
n
nnnnx
→∞→∞==< . Deci, avem serie convergent ă.

PROPOZIȚIA 4.2.6 (Criteriul raportului sau criteriul d’Alembert ) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni pozitivi. Dac ă există N∈¥ astfel încât:
i) 11n
nx
xl+≤< , pentru orice nN>, atunci seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă;
ii) 11n
nx
xl+≥> , pentru orice nN>, atunci seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.

91
Demonstrație. Fără a micșora generalitatea se consider ă 0N=.
i) Din inegalitatea 1n
nx
xl+≤, pentru orice 0n≥, rezultă 1nnxx l+≤ , oricare
ar fi 0n≥. Adică are loc urm ătorul șir de inegalit ăți:
10211 ,,…,nn xxxxxxlll+ ≤≤≤ . Rezultă 0n
nxxl≤ , () 0n∀≥ . Cum
0n
nl∞
=∑
este convergent ă, pentru orice ()0,1 l∈ , conform primului criteriu al
compara ției, rezult ă că
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Se demonstreaz ă analog ca la punctul i).

Forma practic ă a criteriului raportului

n
n=0
1
n
n=0dacă 1, seria x este convergent ă,
lim:dac ă 1, seria x este divergent ă,
dacă 1, nu se poate afirma nimic despre natura seriei.n
n
nx
xxxx
x∞
∞
+
→∞<

=>

 =

∑
∑
Exemplu. Se se studieze natura seriilor:
a)
04!n
n
nn
n∞
=∑ ;
b) ()()()
0!
12 nn
n aaa∞
=+++∑K.
Soluție. Vom aplica criteriul raportului.
a) Deoarece 4!n
n nnxn= , atunci()
()
1
1 141!
1n
n nnx
n+
+ ++=
+.
Deci, 1 4limlim41.1n
n
nnnx n
xne+
→∞→∞==>+ Așadar, avem o serie divergent ă.
b) Analog, ()()()
!
12nnxn aaa=+++ K,
()
()()()( )
11!
121nnxnn aaaa++=+++++ K, 1 1limlim11n
nn
nx n
xn a+
→∞→∞+==++. Deci,
utilizând acest criteriu, nu putem afirma nimic despre natura seriei.

92
OBSERVAȚIA 4.2.3 Se știe că limita 1limlimn n
nnn
nxxx+
→∞→∞= (consecin ța lemei
lui Stolz). Rezult ă că cele dou ă criterii anterioare, al raportului și al
rădăcinii, sunt criterii echivalente, adic ă au aceea și sferă de aplicabilitate.

PROPOZIȚIA 4.2.7 (Criteriul logaritmic ) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni
pozitivi. Dac ă există N∈¥ și
i) 1log
1lognx
nl≥> , ()nN∀≥ , atunci seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă;
ii) 1log
1lognx
nl≤< , ()nN∀≥ , atunci seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.
Demonstrație. Fără a micșora generalitatea se consider ă 2N=.
i) Pentru demonstra ție se consider ă baza logaritmului supraunitar ă
(raționamentul f ăcându-se în mod analog dac ă baza este subunitar ă). Din
1log
lognx
nl≥, obținem 1loglog
nnxl≥ , oricare ar fi 1n>. Datorit ă faptului c ă
logaritmul în baz ă supraunitar ă este cresc ător, rezult ă 1
nnxl≥, deci
1
nxnl≤ , oricare ar fi 1n>. Ținând cont de seria Riemann
11
nnl∞
=∑ este
convergent ă pentru 1l>, conform primului criteriu al compara ției rezult ă
că seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Se demonstreaz ă analog ca la punctul i).

Forma practic ă a criteriului logaritmic
n
n=0
n
n=0dacă 1, seria x este convergent ă,
1log
lim:dac ă 1, seria x este divergent ă,log
dacă 1, nu se poate afirma nimic despre natura seriei.n
nx
xxxn
x∞
∞
→∞>

=<

 =

∑
∑

93
Exemplu. Să se studieze natura seriei
0ln
nn
nn∞
=∑ .
Soluție. Aplicând criteriul logaritmic, ob ținem:
()
1lnln 3lnlnln3 2limlim1lnln2nnnnnnn
nn→∞→∞−
==> .
Deci, avem serie convergent ă.

PROPOZIȚIA 4.2.8 (Criteriul lui Kummer ) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni
pozitivi și ()0 nna≥ șir cu termeni pozitivi. Dac ă există N∈¥ astfel încât:
i) 1
10n
nn
nxaaxl+
+⋅−≥> , ()nN∀≥ , atunci seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă
ii) 1
10n
nn
nxaaxl+
+⋅−≤< , ()nN∀≥ , și seria
01
n na∞
=∑ este divergent ă, atunci
seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.
Demonstrație. Fără a micșora generalitatea se presupune 1N=.
i) Din inegalitatea 1
10n
nn
nxaaxl+
+⋅−≥> ,
se obține 111 0nnnnnaxaxx l+++ ⋅−⋅≥⋅> . Deci șirul ()0 nn nax≥⋅ este un șir
descresc ător. Fiind șir descresc ător și cu termeni pozitivi înseamn ă că este
mărginit, deci convergent. Atunci exist ă ∈l¡ finit astfel încât
limnnnax
→∞⋅=l. Se consider ă seria cu termenul general 11 nnnnnuaxax++ =⋅−⋅ .
Termenul general al șirului sumelor par țiale pentru aceast ă serie este:
( ) 110011
0n
nkkkknn
kSaxaxaxax++++
==−=−∑ . Deci, 00 limnnSax
→∞=⋅− l. Așadar
seria ( ) 11
0n
kkkk
kaxax++
=−∑ este convergent ă. Conform primului criteriu al
compara ției rezult ă că seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Se demonstreaz ă analog ca la punctul i).

94
PROPOZIȚIA 4.2.9 (Criteriul Raabe-Duhamel ) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu
termeni pozitivi.
i) Dacă există N∈¥ astfel încât:
110n
nxnxl
+⋅−≥>
, ()nN∀≥ , atunci
seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Dacă există N∈¥ astfel încât:
110n
nxnxl
+⋅−≤<
, ()nN∀≥ , atunci
seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.
Demonstrație. Dacă în criteriul lui Kummer se considera nan= se obține
criteriul lui Raabe-Duhamel. Deci, acest criteriu este un caz particular al
criteriului lui Kummer.

Forma practic ă a criteriului Raabe-Duhamel
1dacă 1, seria este convergent ă,
lim1:dac ă 1, seria este divergent ă,
dacă 1, nu se poate afirma nimic despre natura seriei.n
n
nx
xnxxxx→∞
+>  −=<  
 = 

După cum se poate observa, formele practice ale criteriilor de convergen ță
rezultă direct din aceste criterii.

Exemplu. Să se studieze convergen ța seriilor:
a) ()()()
0!,\12… nnaaaaan∞
=∈−−−∑ ¡¥ ;
b) ()()()
0!
12 nn
n aaa∞
=+++∑K, a∈¡.

Soluție. Aplicăm criteriul lui Raabe-Duhamel.
a) Se observ ă că termenul general al seriei este:
()()()
!
12…nnxaaaan=−−−.

95
Deci,
()()()()( )
()
11…1
!1
12…1!1
n
naaaan x
nan
xaaaannn+−−−
−−
=⋅=−−−++.
Atunci,
1122
lim1lim1lim1
11n
nnn
nx anannnnxnn→∞→∞→∞
+ −−−−
−=−==−∞<
 ++ .
Așadar, avem serie divergent ă.
b) Analog, avem:
11lim1lim11n
nnnx nnnxna
a
→∞→∞+ ++
−=−=
 + .
Deci, seria este convergent ă dacă
1
a
>
.

OBSERVAȚIA 4.2.4 Criteriul lui Raabe-Duhamel se folose ște de obicei în
studiul convergen ței seriilor pentru care criteriul raportului nu poate da
natura seriei.

PROPOZIȚIA 4.2.10 (Al treilea criteriu al comparatiei ) Fie
0
n
n
x
∞
=
∑
și
n
n=0
y
∞
∑
două serii cu termeni pozitivi astfel încât limn
n
nx
L
y→∞
=
. Dacă:
i) ()
0,
L
∈∞
, atunci seriile au aceea și natură;
ii)
0
L
=
și seria
n
n=0
y
∞
∑
este convergent ă, atunci rezult ă că seria
0
n
n
x
∞
=
∑
este
convergent ă;
iii)
L
=∞
și seria
n
n=0
y
∞
∑
este divergent ă rezultă că seria
0
n
n
x
∞
=
∑
este
divergent ă.
Demonstrație.
i) Se presupune c ă seriile nu sunt oscilante. Atunci șirurile ()
0
nnx
≥
și
()
0
n
n
y
≥
au limit ă (finită sau infinit ă) și
limlim
nn
nn
xLy
→∞→∞=⋅ . Cum
L
este
finită, atunci
lim
n
n
x
→∞ este finit ă (infinită)
⇔

lim
n
n
y
→∞ finită (infinită). Deci,
seriile au aceea și natură.

96
ii) Dacă 0L=, atunci () ()() 0, 0 n ee∀>∃> astfel încât ()() nn e ∀> ,
n
nx
ye<. Adică nnxye<⋅ , ()n∀∈ ¥. Deoarece seria n
n=0y∞
∑ este
convergent ă, atunci conform primului criteriu al compara ției seria
0n
nx∞
=∑
este convergent ă.
iii) Dacă L=∞, atunci ()()() 0, 0 n ee∀>∃> astfel încât ()() nn e ∀> ,
n
ny
xe<. Adică nnyxe<⋅ . Cum seria n
n=0y∞
∑ este divergent ă, conform
primului criteriu al compara ției seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.
Exemplu . Să se studieze natura seriei 2
12 ntgnp∞
=∑ .
Soluție. Pe lângă seria din enun ț consider ăm și seria 2
11
nn∞
=∑ care este o serie
convergent ă. Fie 22nxtgnp= și 21
nyn= . Deci, ()
2
22lim0,1 2ntgn
np
p
→∞=∈∞ .
Aplicând criteriul al treilea al compara ției, obținem că cele dou ă serii au
aceeași natură. Deci, seria 2
12 ntgnp∞
=∑ este convergent ă.

PROPOZIȚIA 4.2.11 (Criteriul lui Gauss ) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni
pozitivi și 2
1nn
nx
xnnqba
+=++ , cu ,ab∈¡, ()0 nnq≥ șir mărginit.
i) Dacă 1a>, atunci seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Dacă 1a<, atunci seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.

97
iii) Dacă 1a= și 1b>, seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă, iar pentru 1a= și
1b≤, seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.
Demonstrație. Deoarece
1limn
n
nx
xa
→∞
+=, atunci ținând cont de criteriul
raportului avem c ă:
i) dacă 1a>, atunci 11lim1n
n
nx
x a+
→∞=< și deci seria este convergent ă;
ii) dacă 1a<, atunci 11lim1n
n
nx
x a+
→∞=> și deci seria este divergent ă;
iii) dac ă 1a=, atunci egalitatea din ipotez ă se pune sub forma
11nn
nxnxnqb
+−=+
 și
1lim1n
nnxnxb
→∞+−=
. Atunci, conform cu criteriul lui
Raabe-Duhamel, pentru 1b>, seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă și pentru 1b≤,
seria este divergent ă.

PROPOZIȚIA 4.2.12 (Forma echivalent ă a criteriului lui Gauss ) Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni pozitivi și 12
12
12
112…
…ppp
p n
ppp
npnanana x
xnbnbnb−−
−−
+++++=++++.
i) Dacă 11 1 ba−> , atunci seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
ii) Dacă 11 1 ba−≤ , atunci seria
0n
nx∞
=∑ este divergent ă.

Se dau în continuare dou ă criterii foarte utile în studiul convergen ței seriilor
cu termeni pozitivi.

PROPOZIȚIA 4.2.13. Dacă seria
0n
nx∞
=∑ este o serie cu termeni pozitivi,
atunci ea are aceea și natură cu seria n
n=0v∞
∑ , unde
11…
nn nkkvxx
−+=++ , unde
()0 nnk≥ este șir crescător nemărginit de numere reale.

98
PROPOZIȚIA 4.2.14 (Criteriul de condensare al lui Cauchy ) Fie
0n
nx∞
=∑ ,
unde ()0 nnx≥ este șir descresc ător de numere pozitive și ()0 nna≥ un șir
crescător nemărginit de numere naturale astfel încât șirul 1
1nn
n
nnaabaa+
−−=− este
mărginit. Atunci seriile
0n
nx∞
=∑ și ( )
1
0n nna
naax∞
+
=−∑ au aceea și natură.
Exemplu . Să se studieze natura seriei
3ntgnp∞
=∑ .
Soluție. Termenul general al serieinxtgnp= este un șir descresc ător de
numere pozitive. Se consider ă 2n
na=. Acesta este un șir crescător și
mărginit de numere pozitive. Se consider ă seria
322n
n
ntgp∞
=∑ . Aceasta este o
serie divergent ă, deoarece lim202n
nntgpp
→∞=≠ . Conform criteriului de
condensare al lui Cauchy, rezult ă că seria
3ntgnp∞
=∑ este divergent ă.

3. SERII CU TERMENI OARECARE

DEFINIȚIA 4.3.1 Seria
0n
nx∞
=∑ este o serie cu termeni oarecare dacă are o
infinitate de termeni pozitivi și o infinitate de termeni negativi.

OBSERVAȚIA 4.3.1 Seriile cu o infinitate de termeni negativi, dar cu un
număr finit de termeni pozitivi pot fi considerate serii cu termeni pozitivi.

Pentru seriile cu termeni oarecare se pune, ca și la celelalte tipuri de serii,
problema convergen ței sau divergen ței. În acest caz, convergen ța are dou ă
aspecte:
a) convergen ță absolută;
b) convergen ță simplă (semiconvergen ță).
Aceste no țiuni se definesc astfel:
DEFINIȚIA 4.3.1 Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni oarecare.

99
a) Se spune c ă seria este absolut convergent ă dacă seria
0n
nx∞
=∑ este
convergent ă.
b) Dacă seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă și seria
0n
nx∞
=∑ nu este convergent ă,
atunci se spune c ă seria
0n
nx∞
=∑ este semiconvergent ă sau simplu
convergentă sau convergentă.

Legătura dintre absolut convergen ță și semiconvergen ță este dat ă de
următoarea propozi ție.

PROPOZIȚIA 4.3.1 Fie
0n
nx∞
=∑ o serie cu termeni oarecare. Dac ă seria
0n
nx∞
=∑ este absolut convergent ă rezultă că este convergent ă. Reciproca nu
este în general adev ărată.
Demonstrație. Dacă seria
0n
nx∞
=∑ este absolut convergent ă rezultă că seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă. Ținând cont de criteriul de convergen ță al lui
Cauchy se poate afirma c ă: oricare ar fi 0e>, există ()0 ne>, astfel încât
pentru orice () nn e> rezultă 12 …nnnpxxx e++++++< , pentru orice
p∈¥ fixat. Dar se știe că modulul sumei este mai mic sau egal decât suma
modulelor, adic ă:
1212 ……nnnpnnnpxxxxxx+++++++++≥+++ .
Rezultă
0n
nx∞
=∑ este convergent ă.
Pentru a demonstra c ă reciproca nu este în general adev ărată se consider ă
seria
() ()11
111 1111……234nn
n nn++∞
=−−−+−+++= ∑
numită serie armonic ă alternantă. Aceast ă serie este convergent ă și are
suma ln2S= .
Într-adev ăr, se consider ă termenul general al șirului sumelor par țiale

100
2111111…234212nSnn=−+−++−−
Fie 1111…23nun=++++ . Atunci este evident c ă 22122nnnnuuuu−=−.
Dacă se înlocuie ște efectiv, se ob ține:
211111121……22341nnuunn−=++++++++− 
1111112…2122462nnn++−++++= − 
111111…234212 nn=−+−++−−. (1)
2111…122nnuunnn−=+++++. (2)

Deci, din (1) și (2) obținem:
2111111…234212nSnn=−+−++−=−111…122nnn+++++
(identitatea lui Catalan ).
Dar, 2
111
1n
n
kSk n
n==⋅
+∑ este suma Riemann a func ției ()1
1fxx=+ pe []0,1.
Cum func ția este integrabil ă, atunci 1
2
0limln21nndxSx→∞==+∫. Deci, într-
adevăr seria este convergent ă și are suma ln2.
Dar se observ ă că, dacă se porne ște de la seria (1) și se trece la module, se
obține seria 1111……23 n+++++ care este seria armonic ă și care se știe că
este divergent ă. Aceasta demonstreaz ă că reciproca nu este în general
adevărată.

OBSERVAȚIA 4.3.2
a) Ținând cont de Defini ția 4.3.2, rezult ă că seriile cu termeni pozitivi sunt
serii absolut convergente deoarece nnxx=.
b) Deoarece 0nx>, pentru studiul absolut convergentei pot fi folosite și
criteriile de la serii cu termeni pozitivi.

101
PROPOZIȚIA 4.3.2 Seria termenilor pozitivi și seria termenilor negativi
dintr-o serie semiconvergent ă sunt serii divergente.
Demonstrație. Fie
0n
nx∞
=∑ o serie semiconvergent ă. Atunci, conform cu
Definiția 4.3.2, seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă și
0n
nx∞
=∑ este divergent ă. Fie
0n
nk
kSx
==∑ și
0n
nk
kx s
==∑ termenii generali ai șirurilor sumelor par țiale
pentru cele dou ă serii. Atunci limnnSS
→∞= finită și limnns
→∞=+∞ . Fie na
termenul general al șirului sumelor par țiale din seria termenilor pozitivi și
nb termenul general al șirului sumelor par țiale din seria termenilor negativi.
Atunci au loc rela țiile:
,
.nnn
nnnS ab
abs+=
−=
Ținând cont de aceste rela ții, se obține: 2nnnS as=+ . Adică
2nn
nSsa+= .
Deci, limnna
→∞=∞. Adică, seria termenilor pozitivi este divergent ă, deoarece
șirul sumelor par țiale pentru aceast ă serie are limita +∞. Tot din rela țiile
anterioare se ob ține 2nnnS bs=− . Adică, 2nn
nSsb−= . Deci, limnnb
→∞=−∞ .
Adică seria termenilor negativi este divergent ă, deoarece șirul sumelor
parțiale pentru aceast ă serie are limita −∞.

Pentru studiul convergen ței seriilor cu termeni oarecare, pe lâng ă criteriul
general de convergen ță al lui Cauchy se mai pot folosi:
i) Criteriul lui Abel;
ii) Criteriul lui Dirichlet;
iii) Criteriul lui Leibniz.

PROPOZIȚIA 4.3.3 (Criteriul lui Abel ) Dacă ()0 nnb≥ este un șir monoton
și mărginit, iar seria
0n
nx∞
=∑ este o serie cu termeni oarecare, convergent ă,
atunci și seria
0nn
nbx∞
=∑ este o serie convergent ă.

102
Demonstrație. Fără a micșora generalitatea se poate presupune c ă șirul
()0 nnb≥ este descresc ător și are limita zero. Fie
0n
nkk
kSbx
==∑ și
0n
nk
kax
==∑
termenii generali ai șirurilor sumelor par țiale pentru seriile
0nn
nbx∞
=∑ și
0n
nx∞
=∑ . Pentru a ar ăta că seria
0nn
nbx∞
=∑ este o serie convergent ă, se arată că
șirul ()0 nnS≥ este un șir fundamental. Cum ¡ este spa țiu vectorial normat
complet rezult ă că ()0 nnS≥, este convergent. Într-adev ăr,
1122 …npnnnnnnpnpSSbxbxbx+++++++−=⋅+⋅++⋅=
( )( ) ( ) 112211 …nnnnnnnpnpnpbaabaabaa++++++++−=−+−++−=
( )( )
1
11
1p
npnpnnnknknk
kbababba−
+++++++
==⋅−⋅+− ∑
Se trece la modul în aceast ă egalitate și se obține:
( )
1
11
1p
npnnpnpnnnknknk
kSSbababba−
++++++++
=−≤⋅+⋅+− ∑ .
Deoarece seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă, rezultă că ()0 nna≥ este mărginit.
Așadar:
( )
1
11
1p
npnnpnpnnnknknk
kSSbababba−
++++++++
=−≤⋅+⋅+− ∑ ≤
( )
1
111
120p
npnnknkn
kMbbbbMb−
++++++
=≤++−=⋅→∑ .
Așadar, npnSS+−≤1 20n Mb+⋅→ . De aici rezult ă că șirul ()0 nnS≥ este șir
Cauchy, deci convergent. Deci, seria
0nn
nbx∞
=∑ este convergent ă.

Exemplu . Să se studieze natura seriei 2
111
narctgnn∞
=∑ .
Soluție. Se consider ă șirurile 1
nbarctgn= și 21
nxn= . Șirul ()1 nnb≥ este un
șir descresc ător și mărginit de zero, iar seria 2
11
nn∞
=∑ este convergent ă.

103
Atunci, din criteriul lui Abel, seria 2
0111
nn
nnbxarctgnn∞∞
===∑∑ este
convergent ă.

PROPOZIȚIA 4.3.4 (Criteriul lui Dirichlet ) Fie ()0 nna≥ un șir monoton
cu limita zero și 01 …nnSxxx=+++ șir mărginit. Atunci seria
0nn
nax∞
=∑ este
o serie convergent ă.
Demonstrație. Se noteaz ă cu ()0 nns≥ șirul sumelor par țiale al seriei
0nn
nax∞
=∑ . Se arată în continuare c ă șirul ()0 nns≥ este șir Cauchy, ceea ce este
echivalent cu faptul c ă seria
0nn
nax∞
=∑ este convergent ă. Avem:
( )( )
1
111
10p
npnnpnpnnnknknkn
kaSaSaaSMa ss−
+++++++++
=−=−+−≤⋅→ ∑ ,
deoarece 0na] și nSM≤ , ()n∀∈ ¥. Deci, șirul ()0 nns≥ este șir
Cauchy.

Exemplu . Să se studieze natura seriei
0sin
nn
naa∞
=∑ , 0a>.
Soluție. Pentru kap= , termenii seriei sunt nuli. Deci, seria este
convergent ă. Pentru kap≠ , șirul cu termenul general 1
nana= este
descresc ător și convergent c ătre zero.
Cum, ()()1sinsin2sinsinsin22nn nSna aaaaa+=+++= K , rezultă că
()1
sin2nSnaa≤ . Deci, acest șir este m ărginit și din criteriul lui Dirichlet,
rezultă că seria
0sin
nn
naa∞
=∑ este convergent ă.

O categorie particular ă de serii cu termeni oarecare sunt seriile alternante
care se definesc astfel.

104
DEFINIȚIA 4.3.3 Seria
() () ()
11
1234
1…1…1, 0,nn
nnn
nxxxxxxxn∞++
=−+−++−+=−>∀∈ ∑ ¥
se numește serie alternant ă.
Pentru o astfel de serie pot fi folosite în studiul convergen ței atât criteriul lui
Abel, cât și criteriul lui Dirichlet, dar în mod special pentru convergen ța
acestui tip de serie se folose ște următorul criteriu.

PROPOZIȚIA 4.3.5 (Criteriul lui Leibniz ) Fie seria ()
1
11n
n
nx∞+
=−∑ o serie
alternant ă. Dacă șirul ()1 nnx≥ este un șir descresc ător cu limita zero, atunci
seria alternant ă este convergent ă.
Demonstrație. Criteriul lui Leibniz este un caz particular al criteriului lui
Dirichlet. Într-adev ăr, în criteriul lui Dirichlet, dac ă se consider ă în locul lui
1n
nk
kSx
==∑ șirul ()1
11nk
k+
=−∑ , iar în rolul șirului ()1 nna≥ se consider ă șirul
()1 nnx≥ se obține seria ()
1
11n
n
nx∞+
=−∑ din enun ț.

Exemplu . Să se studieze natura seriei ()
1
111n
ntgn∞+
=−∑ .
Soluție. Cum ()
10,1nxtgnn=>∀≥ , rezultă că ()
1
111n
ntgn∞+
=−∑ este o serie
alternant ă. Fie 12nn<, cu 12,nn∈¥. Cum
1211
nn> , rezult ă că
12
1211
nnxtgtgxnn=>= . Deci, ()1 nnx≥ este descresc ător. Deoarece,
1limlim0nnnxtgn→∞→∞== , atunci din criteriul lui Leibniz rezult ă că seria
()
1
111n
ntgn∞+
=−∑ este convergent ă.

În continuare se pun în eviden ță câteva rezultate foarte utile în studiul
seriilor.

105
PROPOZIȚIA 4.3.6 Dacă într-o serie absolut convergent ă se schimb ă
ordinea termenilor, se ob ține tot o serie absolut convergent ă cu aceea și
sumă.
PROPOZIȚIA 4.3.7 (Teorema lui Riemann ) Într-o serie semiconvergent ă
se poate schimba ordinea termenilor astfel încât seria ob ținută să fie o serie
convergent ă către un num ăr dat dinainte, finit sau infinit sau s ă fie o serie
oscilantă.

Cu seriile numerice se pot face opera ții algebrice, deoarece ele sunt
elemente ale unui spa țiu vectorial normat. Aceste opera ții se definesc astfel:

DEFINIȚIA 4.3.4 Fie
0n
nx∞
=∑ și
0n
ny∞
=∑ două serii numerice. Atunc, avem:
i) ()
000nnnn
nnnxyxy∞∞∞
===+=+∑∑∑ – adunarea a dou ă serii;
ii) ()
000nnnn
nnnxyxy∞∞∞
===−=−∑∑∑ – scăderea a dou ă serii;
iii)
00nn
nnxx aa∞∞
===∑∑ – înmulțirea unei serii cu un num ăr;
iv)
000nnn
nnnxyz∞∞∞
===⋅=∑∑∑ – produsul a dou ă serii,
unde 121121 …nnnnnzxyxyxyxy−− =++++ .

PROPOZIȚIA 4.3.8 Dacă s, S, s, S′ sunt sumele seriilor
0n
nx∞
=∑ ,
0n
ny∞
=∑ ,
()
0nn
nxy∞
=+∑ și respectiv ()
0nn
nxy∞
=−∑ , atunci au loc rela țiile:
i) sSs=+ ,
ii) 'SsS=− .

Exemplu . Fie ( )( )
2
111
121n
n
kzarctgnknkkk==+−+−++∑ . Să se studieze
natura seriei
0n
nz∞
=∑ .

106
Soluție. Ținând cont de produsul a dou ă serii, se observ ă că
()
2
01111
11n
nnnzarctgnnnn∞∞∞
=== =   +++ ∑∑∑ . Cum seria ()
11
1 nnn∞
=+∑ este
convergent ă și ()
1111 nnn∞
==+∑ , iar seria 2
11
1 narctgnn∞
= ++∑ este convergent ă
și 2
11
12 narctgnnp∞
==++∑ , atunci seria
0n
nz∞
=∑ este convergent ă și
0 2n
nzp∞
==∑ .

PROPOZIȚIA 4.3.9 Fie
0n
nx∞
=∑ și
0n
ny∞
=∑ două serii convergente ale c ăror
sume sunt s și S. Atunci seria produs
0n
nz∞
=∑ este convergent ă și are suma
q și are loc rela ția sSq=⋅ .

4. EXERCIȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 4.4.1 Să se arate c ă următoarele serii sunt convergente și să
se găsească suma lor:
a)
11
(1)(2)(3) nnnnn∞
=+++∑ ;
b)
2ln(1)ln
lnln(1) nnn
nn∞
=+−
⋅+∑ ;
c)
212121
41 nnn
n∞
=+−−
−∑ ;
d)
11ln1
n n∞
=+∑ ;
e) 1
12(1)
5nn
n
n+ ∞
=+−∑ ;
f)
1lncos, 0,22n
nxxp∞
=∈∑ ;
g) 2
23
! nnn
n∞
=+−∑ .

107
Soluție. Seria
0n
nx∞
=∑ este convergent ă dacă
1n
nk
kSx
==∑ este convergent și
limnnSS
→∞= este suma seriei, adic ă
1n
nSx∞
==∑ .
a) Fie
11
(1)(2)(3)n
n
kSkkkk==+++∑ . Descompunem în frac ții simple și
obținem:
03 12 1
(1)(2)(3)123AA AA
kkkkkkkk=+++++++++,
cu 01
3!A=, 11
1!2!A=− , 21
2!1!A= și 31
3!A−= . Deci,

11111111
3!32!12nn
n
kkSkkkk===−−−= +++∑∑
1111111111623123222 nnnn=++−−−−−++++ .
Trecând la limit ă, obținem: 111211lim364361833!nnS
→∞=−===⋅. Deci,
11
(1)(2)(3) nnnnn∞
=+++∑ este convergent ă și
111
(1)(2)(3)33! nnnnn∞
==+++⋅∑ .
Acest exerci țiu se poate generaliza astfel:
Seria
11
(1)(2)() nnnnnp∞
=+++∑K este convergent ă și are loc egalitatea
111
(1)(2)()! nnnnnppp∞
==+++⋅∑K
b) Avem:
22ln(1)ln1111
lnln(1lnln(1)ln2ln(1)nn
n
kkkkSkkkkn == +−==−=− ⋅+++ ∑∑ .
Deci, 1limln2nnS
→∞= .
Așadar, seria
2ln(1)ln
lnln(1) nnn
nn∞
=+−
⋅+∑ este convergent ă și
2ln(1)ln1
lnln(1)ln2 nnn
nn∞
=+−=⋅+∑ .

108
c) Avem:
211212111
2121 41nn
n
kkkkS
kk k ==+−− ==−=−+ −∑∑11
21n−
+.
Deci, lim1nnS
→∞=.
Așadar, seria
212121
41 nnn
n∞
=+−−
−∑ este convergent ă și are suma 1.
d) Avem:
1 111ln1lnn n
n
k kkSkk = =+ =+==∑ ∏234(1)ln123nn
n⋅⋅+=⋅⋅K
Kln(1)n+.
Cum limnnS
→∞=∞, atunci seria
11ln1
n n∞
=+∑ este divergent ă.
e) Avem:
11
1112(1)2(1)2211115553365knn kkk nnn
n kk
kkkS++
=== +−−− ==+=−+−   ∑∑∑ .
Deci, 215lim366nnS
→∞=+= . Așadar, seria 1
12(1)
5nn
n
n+ ∞
=+−∑ este convergent ă și
1
12(1)5
56nn
n
n+ ∞
=+−= ∑ .
f) Avem:
1 1lncoslncos22n n
n kk
k kxxS
= ===∑ ∏ .
Fie 23coscoscoscos2222nxxxxP=⋅⋅⋅⋅ L . Rezult ă că 1sinsin22nnxPx =⋅ .
Deci, 1
2sin.
sin2n
nPxx=⋅ Așadar, sin 2ln
sin2n
n
nx
xSx x=⋅⋅
Atunci, sinlimlnnnxSx→∞= . Deci, seria
1lncos2n
nx∞
=∑ este convergent ă și
1sinlncosln2n
nxx
x∞
== ∑ .
g) Avem: 2
23
!n
n
kkkSk =+−=∑ . Dar,
23(1)2(1)111112!!!!(2)!!(1)!!kkkkk
kkkkkkkk +−−−=+−=−+− −−.

109
Deci,
221111112132224(2)!!(1)!!(1)!!!(1)!()!nn
n
kkSkkkknnnnn ===−+−=−−+−=−−  −−−−∑∑.
Așadar, 134(1)!!nSnn=−−− și lim4nnS
→∞=. Deci, seria 2
23
! nnn
n∞
=+−∑ este
convergent ă și 2
234! nnn
n∞
=+−= ∑ .

EXERCI ȚIUL 4.4.2 Să se studieze convergen ța următoarelor serii:
a) 11
123
23nn
nn
n∞
++
=+
+∑ ;
b)
12, 0,22n
n
natgap∞
=⋅∈ ∑ ;
c) ()
2
1coscoscos, 0,222n
naaaap∞
=⋅∈∑ L ;
d) ()
2n
1(1,)tg(cosx), 0,1n
nxxxx∞
=++++⋅∈∑ K .
Soluție. Conform cu Propozi ția 4.1.3, dac ă lim0nnx
→∞≠, atunci seria
1n
nx∞
=∑
este divergent ă.
a) Avem: 112123 3
23 2233n
nn
n n nnx++++ ==+ ⋅+. Deci, 211 3limlim3 2233n
n nnnx
→∞→∞+==
⋅+.
Cum 1lim03nnx
→∞=≠ , seria 11
123
23nn
nn
n∞
++
=+
+∑ este divergent ă.
b) Avem: 22,2
2nn
n n
natgaxtgaa=⋅=⋅ cu 2limlim0
2n
nnn
natg
xaaa →∞→∞=⋅=≠
deoarece 0,2ap∈. Cum lim0,nnxa
→∞=≠ atunci seria
122n
n
natg∞
=⋅∑ este
divergent ă.

110
c) Avem: 21coscoscoscos2222n nnxaaaa
−=⋅⋅ L . Înmul țind cu sin2na,
obținem:
21222111sincoscossincoscossinsin2222222222n nnnnxaaaaaaaa−−⋅=⋅=⋅⋅== LLL
Deci, 1sinsin 2
2sinsin22n
n n
nnxa
aa
aa a=⋅=⋅ cu sinsin 2limlim
sin2n
nnn
nxa
aa
a aa→∞→∞=⋅= .
Cum, sinlim0nnxa
a→∞=≠ atunci seria
1coscos22n
naa∞
=∑ L este divergent ă.
d) Avem: 2 1(1,)(cos)(cos)1n
nnn
nxxxxxtgxtgxx−=+++…+⋅=⋅− cu
11limlim(cos).11n
n
nnnxtgxtgxxx→∞→∞−=⋅=−−
Cum 1lim0,1nntgxx→∞=≠− atunci seria
1(1)(cos)nn
nxxtgx∞
=++…+⋅∑ este
divergent ă.

EXERCI ȚIUL 4.4.3 Folosind criteriul compara ției să se arate c ă
următoarele serii sunt convergente:
a)
1111,, 1,0(1)nn
nnaxanpnxx∞∞
==>−> ++++…+ ∑∑ ;
b) ln
2211,(ln)(ln)n
nn nna∞∞
==
∑∑ ;
c)
2211,ln(!)ln nn nnn∞∞
==
⋅ ∑∑ .
Soluție. Conform cu Propozi ția 4.1.5, seria 12
111,,,m
nnn
nnnxxx∞∞∞
===…∑∑∑ este
convergent ă dacă și numai dac ă fiecare proiec ție
1i
n
nx∞
=∑ , 1,im= este
convergent ă.

111
a) Pentru 1a>, avem 11
nnanpa<++. Seria
11
n
na∞
=∑ este convergent ă (vezi
natura seriei progresiei geometrice). Conform primului criteriu al
compara ției seria
11
n
nanp∞
=++∑ este convergent ă.
Pentru 1a<, avem 1
1
11n
n nn anp
pa npa
n nn++==++++. Atunci
1
1limlim111n
nnnanp
pa
n nn→∞→∞++==
++.
Conform cu Propozi ția 4.2.10, seriile
11
n
nanp∞
=++∑ ,
11
nn∞
=∑ au aceea și natură
și anume sunt serii divergente (vezi seria armonic ă).
Studiem natura celei de-a doua proiec ții. Pentru 1x>, avem
11
(1…)nnnxxx<+++. Cum seria
11
n
nx∞
=∑ este convergent ă atunci, conform
primului criteriu al compara ției, seria
11
(1)n
nnxx∞
=+++∑K este convergent ă.
Pentru (0,1)x∈ , avem 11
11 (1…)
1 1…1n
nnx nxx
xxx
n+− +++==+++−. Atunci,
1
11
(1…) 1limlim11 1n
nnnnxx xxx
n+→∞→∞+++ −==−−.
Conform cu Propozi ția 4.2.10, seriile
1 11
(1) n n nxx∞
=+++∑K,
11
nn∞
=∑ au aceea și
natură. Deci, sunt divergente. A șadar, se poate concluziona c ă seria
11 1211,()nn
nnanpnxxx∞∞
==
+++++ ∑∑K este convergent ă pentru 1a> și
1x> și divergent ă (1,1)a∈− sau (0,1)x∈ .

112
b) Este evident c ă (ln)lim0
nn
na
→∞= pentru orice a∈¡. Ținând cont de
definiția limitei unui șir, se ob ține (ln)nna< pentru orice nN>∈ ¥ (N
este un rang). Atunci, 11
(ln)nna>. Conform cu Propozi ția 4.2.3, seria
21
(ln) n na∞
=∑ este divergent ă.
Pentru cea de-a doua proiec ție, avem lnlnlnlnlnln(ln)()nnnnnnneen⋅=== .
Așadar,lnln(ln).nnnn=
Pentru2ne>, rezultă că ln2
211
lnnnnnnn>⇒< . Deci, rezultă că
ln211
(ln)nnn< . Conform cu Propozi ția 4.2.3, deoarece seria 2
21
nn∞
=∑ este
convergent ă, rezultă că seria ln
21
(ln)n
n n∞
=∑ este convergent ă. Deci, se poate
concluziona c ă seria ln
2211,(ln)(ln)n
nn nna∞∞
==
∑∑ este divergent ă deoarece
prima proiec ție este divergent ă pentru orice a∈¡, deși a doua proiec ție
este convergent ă.
c) Deoarece 11!ln()!lnln(!)lnnnnnnnnnn<⇒<⋅⇒>⋅. Ținând cont de
Propoziția 4.2.14, seriile
21,ln nnn∞
=⋅∑
2221
2ln2ln2n
nn
nn n∞
===⋅⋅∑∑ au aceea și
natură. Deci, seria
21
ln nnn∞
=⋅∑ este divergent ă, deoarece seria
21
ln2 nn∞
=⋅∑ este
divergent ă. Așadar, conform cu Propozi ția 4.2.3 se ob ține că seria
11
ln(!) n n∞
=∑
este divergent ă.

EXERCI ȚIUL 4.4.4 Folosind criteriul raportului și radicalului s ă se
studieze convergen ța seriilor:
a) 2
114!!,n
nn
nnnn
nn∞∞
==⋅
∑∑ ;

113
b) }ori
11222…2,(1)!(3)!n n
nn nn∞∞
==++  +++∑∑ ;
c)
1112…,,0fixat211n n mmm
m
nnnnnmnnm∞∞
== +++  −>   ++  ∑∑ ;
d) 2
11,(1)(),0,0nn
nnanbnnxnaxanc∞∞
==⋅+  ++−>>    ⋅+∑∑ .
Soluție. Conform cu Propozi ția 4.1.5 ca și la exerci țiul precedent, se
studiază convergen ța fiecărei proiec ții pentru aceste serii din 2¡.
a) Fie 4!n
n nnxn⋅= Atunci 1
1
14(1)!4(1)4!1n nn
n
nn
nx nnn
xnnn+
+
+⋅+ =⋅=⋅ +⋅+ . Dar,
14lim1n
n
nx
xe+
→∞=> și conform cu Propozi ția 4.2.6, seria
14!n
n
nn
n∞
=⋅∑ este
divergent ă.
Pentru cea de-a doua proiec ție, fie 2!
n nnxn= . Atunci,
22
1
2(1)(1)!1.(1)!11n n
n
n
nx nnn
xnnnn+
+ + =⋅=⋅ +++ 
Deci, 2
1 1limlim011n
n
nn
nx n
xnn+
→∞→∞=⋅= ++ și conform cu Propozi ția 4.2.6,
seria 2
1!
n
nn
n∞
=∑ este convergent ă. Se poate concluziona c ă seria
2
114!!,n
nn
nnnn
nn∞∞
==⋅
∑∑ este divergent ă deoarece prima sa proiec ție este o serie
divergent ă, deși a doua proiec ție este convergent ă.
b) Fie }ori
22…2n
nx=+++ . Deci, avem recuren ța 2
1 2nnxx− =+ . De
aici rezult ă că șirul este monoton și mărginit, deci este convergent și
220 ll−−=⇒ lim20nnx
→∞=≠ . Așadar, seria }ori
122…2n
n∞
=+++∑ este
divergent ă.

114
Pentru cea de-a doua proiec ție, fie ()()
2
1!3!n
nxnn=+++. Atunci,
1
1 2(1)!(3)!1(2)(3)2(2)!(4)!22(2)(3)(4)n
n
n
nx nnnn
xnnnnnn+
+ ++++++=⋅=⋅++++++++.
Deci,
1 1(2)(3)lim2lim012(2)(3)(4)n
nn
nx nn
xnnnn+
→∞→∞+++=⋅=<+++++.
Conform cu Propozi ția 4.2.6, seria
12
(1)!(3)!n
nnn∞
=+++∑ este convergent ă.
Se poate concluziona c ă seria }ori
11222…2,(1)!(3)!n n
nn nn∞∞
==++  +++∑∑
este divergent ă deoarece prima proiec ție a sa este o serie divergent ă, deși a
doua proiec ție este serie convergent ă.
c) Fie 21n
nnxn=+. Atunci, 1limlim212n
nnnnxn→∞→∞==+ și conform cu
Propoziția 4.2.5, seria
121n
nn
n∞
=
+∑ este convergent ă.
Pentru cea de-a doua proiec ție, fie 12…
1nmmm
n mnnxnm+++=−+ . Atunci,
12…limlim1mmm
n
n mnnnnxnm→∞→∞+++=−=+ 

111(1)…2(1)1(1)(1)(1)limlim
(1)(1)[(1)]mmmmmm
mmmnnnmnmmnnmn
mnmnn+++
→∞→∞−+++++++−+++⋅++===
+++−
121 322
1
112[(1)]… 2323lim(1)[…1]1m
mm
mn
mmCCnm mmmmm
mCnmmm−
+
−→∞+−++ −++−++===+++++
Dacă 2223210{0;1}11mmmmmmm −++−++>⇔>⇒∈++ ,
atunci lim1n
nnx
→∞> și deci seria divergent ă. Dacă 3m≥, m∈¥ fixat, atunci
lim1n
nnx
→∞<, deci seria
1n
nx∞
=∑ convergent ă. Pentru 2m=, avem

115
222
2212…(1)(21)
36n
nnnnnnxnn+++++=−= cu 1lim12n
nnx
→∞=< . Așadar,
seria 222
2
112…
3n
nnn
n∞
=+++− ∑ este convergent ă. Deci, se poate concluziona
că seria
1112…,211n n mmm
m
nnnnn
nnm∞∞
== +++  −   ++  ∑∑ este divergent ă
pentru {0,1}m∈ (deoarece proiec ția a doua este divergent ă) și convergent ă
pentru 2m≥, m∈¥ fixat.
d) Fie 2n
nanbxanc⋅+=⋅+. Deci, ⋅+=⋅+n
n
nanbxanc, iar
()
limlimlim1lim1nbc
anc ancnn bcbc
a n
nnnnnanbbcbcxeancancanc−
⋅+ ⋅+−−
→∞→∞→∞→∞⋅+−− ==+=+= ⋅+⋅+⋅+.
Dacă 0bc
a−>, atunci seria 2
1n
nanb
anc∞
=⋅+
⋅+∑ este divergent ă, iar pentru
0bc
a−< seria este convergent ă. Dacă bc=, atunci se ob ține
11
n∞
=∑ care este
divergent ă.
Pentru cea de-a doua proiec ție, fie (1)()n
nxnnxn=++−. Atunci,
(1)()n
nxnnxn=++− , iar:
( )(1)1limlim(1)()lim2 (1)()n
nnnnxnxxxnnxn
nnxn→∞→∞→∞+⋅++=++−==
+++.
Pentru (0,1)x∈ , seria
1(1)()n
nnnxn∞
=++−∑ este convergent ă, iar pentru
1x> este divergent ă. Pentru 1x= se obține
11
n∞
=∑ care este divergent ă. Se
poate concluziona c ă seria 2
11,(1)()nn
nnanbnnxnanc∞∞
==⋅+  ++−    ⋅+∑∑ este
convergent ă dacă bc< și (0,1)x∈ . Dacă bc≥ sau 1x≥, atunci seria este
divergent ă.

116
EXERCI ȚIUL 4.4.5 Să se studieze convergen ța seriilor:
a)
12!
11(21)(22)…(2)2n
nn
nn∞
=⋅
+⋅++∑ ; să se generalizeze;
b)
12(2)(22)…(2(1))
3(31)(32)…(3(1)) nrrnr
rnra∞
=+++−
+++−∑ , , 0r a∈>¡ ; să se generalizeze;
c)
1!1
2(21)(22)…(21) nn
n na∞
=⋅
+++−∑ ; a∈¡; să se generalizeze;
d)
12(21)…(21)3(31)…(31)1
!5(51)(52)…(51) nnn
nn∞
=++−⋅++−+
+++−∑ ; să se
generalizeze.
Soluție.
a) Fie 2!
11(21)(22)…(2)2n
nnx
nn⋅=
+⋅++. Deci,
1
11111(21)(22)…(2)(22)222! 211.11 2(1)!22(21)(22)…(2)2n
n
n
nnnnx n nnn
xnnnn+
++⋅++++++⋅ ++=⋅=⋅+++⋅++
Deoarece 1lim1n
n
nx
x+
→∞=, atunci nu se poate aplica Propozi ția 4.2.6. Se aplic ă
Propoziția 4.2.9 și se obține:
2
11122111122222(1)n
nnx n nnnnnxnnn+++ ++−=−=⋅=  +++  
. Așadar,
2
1lim1lim02(1)n
nnnx nnxn→∞→∞+−==+ .
Conform cu Propozi ția 4.2.9, rezult ă că seria
12!
11(21)(22)…(2)2n
nn
nn∞
=⋅
+⋅++∑
este divergent ă.
Generalizarea acestei serii este urm ătoarea:
1 12!
()(2)…()n
n nnb
bababna∞
=+++∑ ,
0b> și limnnaa
→∞=. Pentru aceast ă serie, procedând analog se ob ține

117
1lim1n
n
nx anxb→∞
+−=
. Atunci, pentru 1a
b> este convergent ă și pentru 1a
b<
seria este divergent ă.
b) Fie 2(2)(22)…[2(1)]
3(31)(32)…[3(1)]nrrnrxrnra+++−=+++−. Deci,
13
2n
nx nr
xnra
+⋅+=⋅+. Cum
1lim1n
n
nx
x+
→∞=
nu poate fi aplicat ă Propozi ția 4.2.6. Se aplic ă Propozi ția 4.2.9
și se obține
113
112
11n
nrn
rx nnx
na
++⋅− 
+⋅ −=
.
Pentru a se putea calcula 13
112
lim1 nrn
rn
na
→∞+⋅− 
+⋅ se aplic ă regula l’Hospital
pentru 1
200313 2limlim2(2)xxrx
rxr rx
xrxrxa
a
a−
→→+− + +  =⋅⋅ ++.
Deci,
1lim1n
nnxnxra
→∞+−=
. Conform Propozi ției 4.2.9 pentru ra< seria este
convergent ă, iar pentru ra> este divergent ă.
Generalizarea acestei serii este seria
1()…()
()…() naaranrr
bbrbnrraa
=++−
++−∑ ,
0, 0, 0, abr a >>>∈ ¡.
Procedând analog se g ăsește
1()lim1n
nnx banxra
→∞+ −−=
. Deci, pentru
() rbaa<− seria este convergent ă, iar pentru () rbaa>− seria este
divergent ă.
c) Fie!1
2(21)…(21)nnxn na=⋅
++−.

118
Deci, 1
12121111n
nx nn
xnnnnaa −
+ ++=⋅=+⋅+    + .
Așadar, 1
121111
11n
nnn xnx
na−
+ +⋅+−   −=
.
Pentru a calcula
1lim1n
n
nxnx→∞
+−
 se aplică regula lui l’Hospital pentru:
1
12
00(12)(1)1limlim2(1)(1)(12)(1)21
xxxxxxxxa
aaaa−
−−
→→++−=++−++=+−
.
Deci,
1lim121n
nnxnxa
→∞+−=+−
. Așadar, pentru 22a>− seria este
convergent ă, iar pentru 22a<− seria este divergent ă.
Generalizarea acestei serii este seria
1!1
(1)…(1) nn
aaanna∞
=⋅++−∑ , 0,a>
a∈¡. Procedând analog se g ăsește:
1lim11n
n
nxnaxa
→∞
+−=+−
. Așadar,
pentru 2a a<− seria este divergent ă, iar pentru 2a a>− seria este
convergent ă.

Observa ție. Convergen ța acestei serii se poate determina și cu ajutorul
Propoziției 4.2.11
2
111nn
nx a
xnnd a
++−=++ , (1)
unde 33(1)(2)(1)(2)(1)1122n
nannnaaaqaaaqda−−−−−− =−++++ ,
(0,1)q∈ .
Se observ ă că șirul este convergent și
(1)(2)(1)(22)lim(1)22nnaaaaaada
→∞−−−+−=−+= .
Deci, șirul este și mărginit. Din egalitatea (1), conform cu Propozi ția 4.2.11,
112 aaaa+−>⇔>− seria este convergent ă, iar pentru 2a a<− seria
este divergent ă.

119
Pentru a pune pe
1n
nx
x+ sub forma (1) se folose ște formula lui Mac-Laurin de
ordin 3 pentru func ția 1()(1)fnna−=+ și
111n
nx afxnn+=+⋅.
d) Fie 2(21)…(21)3(31)…(31)
!5(51)…(51)nnnx
nn++−⋅++−=
++−.
Deci,
1(1)(5)
(2)(3)n
nx nn
x nn +++=
++. Cum 1lim1n
n
nx
x+
→∞=, atunci
nu se poate folosi
Propoziția 4.2.6 și se aplic ă Propozi ția 4.2.9. Se ob ține
2
1(1)(5)(5231)2311
(2)(3)(2)(3)n
nx nnnnnnx nnnn +  ++−−+−⋅⋅−=−=   ++++  .
Așadar,
1lim152310n
n
nxnx→∞
+−=−−+>
. Deci, seria din enun ț este
convergent ă.

Observa ție
• Pentru a ar ăta că 52310−−+> se utilizeaz ă inegalit ățile
52,23> , 21,48< , 31,74< .
• Generalizarea acestei serii este
1(1)(2)…(1)(1)(2)…(1)
!(1)(2)…(1) naaaanbbbbn
nccccn∞
=+++−⋅+++−
+++−∑ .
• Fie {} max,, abc a= și {} min,, abc b= . Dacă [][] { } 0max,n ab > ,
atunci termenii seriei au acela și semn. Deci, aceast ă serie poate fi
considerat ă ca serie cu termeni pozitivi și aplicând Propozi ția 4.2.9 se ob ține
( )
()()
2
111n
nncabnab xnxnanb+⋅−−+−⋅⋅ −=++ . Dar,
1lim11n
n
nxncabx→∞
+−=−−+
.
Conform cu Propozi ția 4.2.9, pentru 0 cab−−< seria este divergent ă.
Seria
1(1)…(1)(1)…(1)
!(1)…(1) naaanbbbn
ncccn∞
=++−⋅++−
++−∑ se nume ște serie
hipergeometric ă.

EXERCI ȚIUL 4.4.6 Să se studieze natura urm ătoarelor serii alternante:
a) ()
111n
ntgn∞
=−∑ ;

120
b) ()()
1
1
2
111n
n
n
nn
n
+
∞−
+
=+−∑ ;
c) ()
()
1
111
ln1
n
n n
a
∞−
=−
+


∑ ,
a
∈
¡
;
d) ()
1
1
1
1n
nn
n
a
∞−
=−∑ ,
a
∈
¡
.
Soluție. Conform cu Propozi ția 4.3.5, seria ()
11n
n
n
x
∞
=−∑ este convergent ă
dacă
0
nx
]
.
a) Fie
1
n
xtg
n
= . Deoarece ()
1
n
∀≥
, 1
0,
2
n
p

∈


, atunci ()
fxtgx
= este
funcție crescătoare pe
0,
2
p



. Se obține 12
1212
1111
nntgtg
nnnn
<⇒>⇒> .
Așadar ()
n
n
x
este șir descresc ător și este evident c ă
lim0
nnx
→∞
=
. Deci, seria
()
1
1
1n
n
tg
n
∞
=−∑ este convergent ă.
Deoarece
11
tg
nn
≥⇒
seria
1
1
n
tg
n
∞
=∑ nu este convergent ă. Deci, seria
alternant ă ()
1
1
1n
n
tg
n
∞
=−∑ nu este absolut convergent ă.
b) Fie ()
()
1
2 21
11
n
n
n nn nnxnn n+
++ ++

==⋅


. Deci,
lim00
nnxe
→∞
=⋅=
. Se consider ă
funcția [)
:1,f∞→
¡
, ()
1
11
xxfx
xx
++
=⋅
.
Deci, ()
1
1121
'lnxxxfx
xxxx
+
+−+

=⋅+


. Fie ()
21
ln
x
gx
xx
−+
=+ , cu
()()
22
'0
1xgxxx
+
=>
+. Deci,
g
este cresc ătoare și
0
gM
→
. Deci,
()
0
gx
<
. Rezultă că ()
'0
fx
<⇒

f
descresc ătoare. Atunci ()
n
xfn
=

121
este șir descresc ător și conform cu Propoziția 4.3.5, seria
()()
1
1
2
111n
n
n
nn
n
+
∞−
+
=+−∑ este convergent ă.
Deoarece ()
()
1
2 221 111n n
nn
nnne
e
nnnn
n+
++ +++
=⋅>⋅>
, rezult ă că seria
()
1
2
11n
n
nn
n
+
∞
+
=+∑ este divergent ă. Deci, seria alternant ă ()()
1
1
2
111n
n
n
nn
n
+
∞−
+
=+−∑ nu
este absolut convergent ă.
c) Fie
()
1
ln1
nx
n
a
=
+


. Pentru
0
a
<
, șirul ()
()
1 11
ln1
n
n
a
+−⋅
+


nu are
limită. Deci, seria ()
()
1
111
ln1n
n n
a
∞−
=−⋅
+


∑ este oscilant ă. Pentru
0
a
>
,
lim0
nnx
→∞
=
și ()
()
1ln1
1
ln2n
nn x
xna
++
=<
+. Deci, ()
n
n
x
este șir descresc ător.
Conform cu Propoziția 4.3.5, seria ()
()
1
111
ln1n
n n
a
∞−
=−⋅
+


∑ este
convergent ă.
Deoarece
()()
11
1
ln1 n n
aa
>
+ +, ()
0
a
∀>
, atunci pentru
1
a
≤
seria
()
11
ln1 n n
a
∞
= +


∑ este divergent ă. Deci, pentru (]
0,1
a∈ , seria
()
()
1
111
ln1n
n n
a
∞−
=−⋅
+


∑ nu este absolut convergent ă.
Pentru
1
a
>
, seria
()
11
ln1 n n
a
∞
= +


∑ nu este convergent ă deoarece
() ()
11
ln1ln1n
n
knS
knaa
=
=>→∞
++∑ .
Deci, seria ()
()
1
111
ln1n
n n
a
∞−
=−⋅
+


∑ nu este absolut convergent ă nici pentru
1
a
>
.

122
d) Fie
()
11
nnnx
n
n
a
a== . Atunci
lim1
nnx
→∞
=
. Așadar, Propozi ția 4.3.5 nu
mai poate fi folosit ă. Dacă se consider ă ()
1
1
1n
nny
n
a
−=− este evident c ă
2
1
ny
→−
, 21
1
ny+
→
. Atunci, ()
1
n
n
y
≥
nu are limit ă și seria ()
1
1
1
1n
nn
n
a
∞−
=−⋅∑ ,
a
∈
¡
este oscilant ă.

EXERCI ȚIUL 4.4.7 Să se arate c ă seriile de mai jos au sumele indicate:
a) ()
1
1111
1…2 n
nnkkk
∞
=

=+++

+

∑ , k
∗
∈
¥
;
b)
111ln
nn
nn
g
∞
=+ 
−=
∑ ,
0,577215…
g
=
;
c) 2
11
14
narctgnn
p
∞
=
=
++∑ ;
d) 4
1
15
! nn
e
n∞
==∑ .
Soluție.
a) Fie ()
1
1
n
n
iS
iik
==
+
∑ . Cum ()
1111
iikkiik

=−

++

, rezult ă că
111111
1……212nS
kknnnk

=+++−+++

+++

.
Atunci,
111
lim1…2nnS
kk
→∞

=+++



b) Fie ()
111111111
lnlnln1
nnnn
n
kkkkkkSnkkkkk====++ 
=−=−=−+
∑∑∑∑ . S-a arătat
în secțiunea 3.6 c ă șirul ()
11
ln1
n
n
kSnk=
=−+
∑ este convergent și are limita
0,577215…
g
=
, iar
g
se mai nume ște constanta lui Euler.
c) Deoarece ()
211
1
arctgarctgkarctgk
kk
=+−++, atunci
() ()
111
4
nSarctgnarctgarctgn
p
=+−=+−
.

123
Deci, lim244nnSppp
→∞=−= . Așadar, seria este convergent ă și
2
11
14 narctgnnp∞
==++∑ .
d) Fie 4
1!n
n
kkSk==∑ . Dar, ()()()()
41671
!4!3!2!1!k
kkkkk=+++−−−−. Fie
11
!ni
i
n
kSk−
==∑ , 1,2,3,4.i= Avem: 123476nnnnnSSSSS=+++ . Deoarece
limi
nnSe
→∞=, 1,2,3,4i= , atunci se ob ține lim15nnSe
→∞= . Deci, 4
115! knen∞
==∑ .

124
CAPITOLUL V: ȘIRURI ȘI SERII DE FUNC ȚII

1. ȘIRURI DE FUNC ȚII
Fie X și Y spații vectoriale normate. Se știe c ă
{ } :; func țieXYffXYf=→− este mul țimea func țiilor definite pe X cu
valori în Y.

DEFINIȚIA 5.1.1 Fie :XSY→¥ , ()()n Snfx= (pune în coresponden ță
fiecare num ăr natural cu un element din XY). Vom spune c ă ()()n Snfx=
este termenul general al unui șir de funcții și se noteaz ă cu ()()0nnfx≥.

OBSERVA ȚIA 5.1.1
a) Dacă X⊂¡ și Y⊂¡, atunci șirul ()()0nnfx
≥ se nume ște șir de func ții
reale de variabil ă reală.
b) Dac ă mX⊆¡ și kY⊂¡, atunci șirul ()()0nnfx≥ se nume ște șir de
funcții vectoriale de variabil ă vectorial ă.
c) Fie 0xX∈. Atunci ()()00nnfx
≥ este un șir de elemente din spa țiul
vectorial normat Y.
Un șir de func ții ()()0nnfx
≥ genereaz ă șiruri de elemente ()()00nnfx
≥ din
spațiul vectorial normat Y. Aceste șiruri de elemente pot fi convergente sau
divergente. Num ărul acestor șiruri este cardX .

DEFINIȚIA 5.1.2 Punctul 0xX∈ se nume ște punct de convergen ță al
șirului de func ții ()()0nnfx≥ dacă șirul de elemente ()()00nnfx≥ ale spa țiului
vectorial normat Y este un șir convergent. Mul țimea tuturor punctelor de
convergen ță ale șirului de func ții ()()0nnfx
≥ se nume ște mulțimea de
convergen ță a șirului și se noteaz ă în general cu CM.

OBSERVA ȚIA 5.1.2
a) Între domeniul de defini ție X al tuturor func țiilor din șir și mulțimea de
convergen ță există relația CMX⊆ .
b) Func ția :C fMY→ , () () limnnfxfx
→∞= , se nume ște func ția limit ă a
șirului de func ții ()()0nnfx
≥.

125
c) Punctul 0xX∈ dacă nu este un punct de convergen ță al șirului de func ții
se nume ște punct de divergen ță al acestui șir și mulțimea tuturor punctelor
de divergen ță ale șirului de func ții se noteaz ă cu DM și este evident ă relația
\DCMXM= .

Exemple.
1. Fie :nfXY⊆→⊆¡¡ , ()1
2nnxfxn⋅+=+ un șir de func ții reale de
variabil ă reală. Să se arate c ă:
a) 01x= este punct de convergen ță al șirului;
b) CM=¡.
Soluție.
a) Dacă în șirul de func ții ()1
2nnxfxn⋅+=+ se înlocuie ște x cu 1, atunci se
obține șirul de numere reale ()112nnfn+=+. Deoarece () lim11nnf
→∞= (șirul
este convergent), rezult ă că 01x= este punct de convergen ță al șirului de
funcții.
b) Pentru a determina mul țimea de convergen ță a șirului de func ții
()()0nnfx
≥se calculeaz ă () limnnfx
→∞, unde x este considerat ca parametru, iar
domeniul de defini ție al func ției ()fx , care este limita acestui șir,
reprezint ă chiar mul țimea de convergen ță a șirului de func ții ()()0nnfx
≥. În
cazul de fa ță ()
1limlim2nnnnxfxxn→∞→∞⋅+==+. Rezult ă că ()fxx=. Cum
domeniul de defini ție al acestei func ții este ¡, atunci avem c ă CM=¡.
2. Fie :nfXY⊆→⊆¡¡ , ()2
22nx
nnfxep−=⋅ un șir de func ții reale de
variabil ă reală. Să se arate c ă:
a) 00x= este punct de divergen ță al șirului de func ții.
b) să se determine CM.
Soluție.
a) Din ()20nnfp= ⇒ ()
2lim0limnnnnfp→∞→∞==∞ ⇒ șirul ()()00nnf
≥ este
divergent. Deci 00x= este punct de divergen ță al șirului de func ții.

126
b) Cum ()
2
22limlim0nnx nnnfx
ep→∞→∞==
⋅ (viteza de convergen ță a exponen țialei
este mai mare decât a func ției putere)
(){}\0 x∀∈ ¡ ⇒ ()() ,00,CM=−∞∪∞ ⇒ {}0CM= .

În continuare se vor studia șiruri de func ții vectoriale de variabil ă vectorial ă,
adică mX⊆¡ și kY⊆¡. Așa cum s-a v ăzut din exemplele anterioare,
problema care se pune în leg ătură cu un șir de func ții este studierea
convergen ței sau divergen ței și, în cazul de convergen ță, găsirea func ției
limită, dacă acest lucru este posibil.
Pentru șirurile de func ții, convergen ța este de dou ă tipuri:
• convergen ță simplă sau punctual ă,
• convergen ță uniform ă sau global ă.
Aceste no țiuni se definesc dup ă cum urmeaz ă.

DEFINIȚIA 5.1.3 (Convergen ța simplă) Fie :mk
nfXY⊆→⊆¡¡ un
șir de func ții vectoriale de variabil ă vectorial ă. Acest șir este convergent
simplu sau punctual pe mul țimea X, către func ția ()fx , dacă oricare ar fi
0e>, exist ă (),0nxe> astfel încât pentru orice (), nnx e> ,
()()nfxfx e −< . Se scrie astfel: () ()s
n Xfxfx→ (converge simplu pe
mulțimea X către ()fx ).

DEFINIȚIA 5.1.4 (Convergen ța uniform ă) Fie :mk
nfXY⊆→⊆¡¡ un
șir de func ții vectoriale de variabil ă vectorial ă. Șirul ()0()n nfx≥ converge
uniform c ătre func ția ()fx pe mul țimea X dacă oricare ar fi 0e>, există
()0 ne> astfel încât pentru orice () nn e≥ și xX∈ , ()()nfxfx e −< .
Se scrie astfel: () ()u
n Xfxfx→ (converge uniform pe mul țimea X către
()fx ).

OBSERVA ȚIA 5.1.3
a) Din Defini țiile 5.1.3 și 5.1.4 se observ ă că orice șir uniform, convergent
este și un șir simplu convergent, pe când reciproca nu este în general
adevărată.
b) O consecin ță imediat ă a Defini ției 5.1.4 este urm ătoarea:

127
Fie ()1()n nfx≥, :nfA⊆→¡¡ un șir de func ții reale de variabil ă reală.
Următoarele afirma ții sunt echivalente:
i) () ()u
n Xfxfx→ ;
ii) ()() sup0n
n
xAfxfx→∞
∈−→ ;
iii) ()() 0n
nfxfx→∞
∞−→ .
Exemple.
1. Fie (] :0,1nf →¡, ()n
nfxx=, un șir de func ții reale de variabil ă reală.
Să se arate c ă acest șir converge simplu c ătre () 0, 0,1()
1, 1xfx
x∈==, dar nu
converge uniform c ătre aceast ă funcție.
Soluție. Deoarece:
() 0, 0,1lim()lim
1, 1n
nnnxfxx
x→∞→∞∈== =
rezultă că ()(]()0,1s
nfxfx→ .
Dacă se consider ă 11nxn=− , cum ()0,1nx∈ și ()1101n
nnfxne−=−→
rezultă, conform Defini ției 5.1.4 c ă diferen ța ()()nnfxfx− nu poate fi
făcută oricât de mic ă deoarece pentru 11nxn=− diferen ța se afl ă într-o
vecinătate a lui 1
e. Deci, convergen ța șirului ()0()n nfx≥ nu este o
convergen ță uniform ă.
Observație. a) Dac ă se consider ă 1:0,3nf→¡, ()n
nfxx=, atunci
()()
1
3n
nn nfxfxx e −=<< , 0e∀> și 10,3x∈. Deci, ()10,30u
nfx
→ .
b) Dacă se consider ă 1,12X=, atunci pe aceast ă mulțime convergen ța nu
este uniform ă, deoarece pentru 1
5e= avem c ă 1,1
5nx∃∈  astfel încât
()()1
5n
nnfxfxx e −=>= .

128
2. Fie :nf→¡¡ ,
()
2 22 211()
1nfxnx nx=++ ++. Să se arate c ă acest șir
este uniform convergent pe ¡ către ()0fx=.
Soluție. Într-adev ăr limita acestui șir este func ția :f→¡¡ prin ()0fx=,
deoarece:
()
2 22 211lim()lim0
1nnnfxnx nx→∞→∞
=+=+ ++.
Această convergen ță este uniform ă pe ¡ deoarece:
()()
() ()
22 222 2111100
11nfxfxnxn nxn−=+−≤+→+ +++.
Înseamn ă că ()()nfxfx e −< , () 0e∀> indiferent de valoarea lui x∈¡.
Deci, acest șir converge uniform pe ¡ către ()0fx=.

Cu ajutorul Defini țiilor 5.1.3 și 5.1.4 poate fi studiat ă convergen ța simpl ă
sau uniform ă numai în cazul în care se cunoa ște funcția limit ă. Sunt îns ă
șiruri de func ții pentru care func ția limit ă nu poate fi determinat ă și
convergen ța acestora nu poate fi studiat ă cu ajutorul Defini țiilor 5.1.3 și
5.1.4. Ea se va studia cu una din propozi țiile urm ătoare:

PROPOZI ȚIA 5.1.1 (Criteriul de uniform convergen ță al lui Cauchy
pentru șiruri de func ții) Fie :mk
nfXY⊆→⊆¡¡ un șir de func ții
vectoriale de variabil ă vectorial ă. Condi ția necesar ă și suficient ă ca acest șir
de func ții să fie uniform convergent pe mul țimea X este: oricare ar fi
0e>, exist ă un rang ()ne astfel încât pentru orice () nn e> ,
()()npnfxfx e+−< , oricare ar fi 1p≥ și xX∈.
Demonstra ție. Se presupune c ă ()0()n nfx≥ este un șir uniform convergent
pe mul țimea X către o anumit ă funcție limit ă ()fx . Atunci, conform
Definiției 5.1.4 au loc rela țiile:
() 0e∀> , ()()1 0 ne∃> a.î. ()()1 nn e ∀>⇒ ()()nfxfx e −< ,
()xX∀∈ ,
și
() 0e∀> , ()()2 0 ne∃> a.î. ()()2 nn e ∀>⇒ ()()npfxfx e+−< ,
()xX∀∈ .

129
Dacă se noteaz ă () ()() { } 12 max, nnneee= , atunci are loc rela ția:
()() ()()()()
()() ()() 2'.npnnpn
npnfxfxfxfxfxfx
fxfxfxfx eeee++
+−=−+−≤
≤−+−<+==
Așadar, ()()npnfxfx e+−< , pentru orice 0e> și 1p≥.
Reciproc. Presupunem c ă relația din Propozi ția 5.1.1 este îndeplinit ă, adică:
pentru orice 0e>, există ()0 ne> astfel încât pentru orice () nn e> ,
()()npnfxfx e+−< , oricare ar fi 1p≥ și xX∈. Conform defini ției unui
șir fundamental rezult ă că șirul ()0()n nfx≥ este un șir fundamental pentru
orice xX∈ .
Cum spa țiul vectorial normat k¡ este un spa țiu Banach (spa țiu metric
complet) rezult ă că există o func ție ()fx (:mkfXY⊆→⊆¡¡ ) astfel
încât: ()()nfxfx→ , oricare ar fi xX∈ . Atunci în inegalitatea
()()npnfxfx e+−< dacă se trece la limit ă după p→∞ , se ob ține că:
() 0e∀> , ()()0 ne∃> a.î. ()() nn e ∀>⇒ ()()nfxfx e −< , ()xX∀∈ .
De aici rezult ă că șirul este uniform convergent conform Defini ției 5.1.4.

PROPOZI ȚIA 5.1.2 (Criteriul Weierstrass de convergen ță uniformă)
Fie :mk
nfXY⊆→⊆¡¡ un șir de func ții vectoriale de variabil ă
vectorial ă. Dacă există un șir ()0 nna≥ de numere reale pozitive convergent
către 0 și are loc inegalitatea ()()nnfxfxa−≤ începând de la un anumit
rang ()0ne, oricare ar fi xX∈, atunci ()nfx converge uniform pe
mulțimea X către ()fx , () () ( )u
n xfxfx→ .
Demonstra ție. Deoarece lim0nna
→∞= conform cu defini ția convergen ței unui
șir de numere reale se poate afirma c ă () 0e∀> , ()()0 ne∃> astfel încât
()() nn e ∀> , nae<. Ținând cont de aceast ă inegalitate și de inegalitatea
din enun țul propozi ției rezult ă că ()()nfxfx e −< , () 0e∀> și
() nn e> . Aceasta arat ă că ()1()n nfx≥ converge uniform pe X către ()fx .

130
Exemple.
1. Se consider ă șirul ()0()n nfx≥, () nfxxarctgnx=⋅ . Să se arate c ă șirul
este uniform convergent, ()[)0,x∀∈∞ .
Soluție. Deoarece func ția limită ()fx nu poate fi determinat ă, în acest caz
nu poate fi folosit ă definiția convergen ței și atunci se va folosi Propozi ția
5.1.1 și rezultă că:
()() ()
()()
() () ()
2
22
p 1
pxppp10.1npnfxfxxarctgnpxxarctgnx
xxarctgnpxarctgnxxarctgnpnx
xxxnpnxnpnxnpnnpn+−=⋅+⋅−⋅⋅=
⋅=+⋅−⋅=≤++⋅⋅
⋅⋅⋅≤<=≤=→++⋅+⋅⋅+⋅⋅
Deoarece 10n→ atunci exist ă ()0 0 ne≥ astfel încât pentru orice 0e> și
()0 nn e> rezultă 1
ne< și ()()npnfxfx e+−< în condi țiile date. Conform
criteriului de uniform convergen ță al lui Cauchy rezult ă că șirul este
uniform convergent.

2. Să se arate c ă șirul ()
2sin
nnxfxn= , xX∈ este uniform convergent pe
mulțimea numerelor reale c ătre ()0fx=.
Soluție. Deoarece Defini ția 5.1.4 este greu de aplicat, în acest caz se va
folosi Propozi ția 5.1.2. Avem:
()()
22sin10nnxfxfxnn−=≤→ .
Conform Propozi ției 5.1.2 rezult ă că 2sin0u nx
n→¡.

Se știe că noțiunile de limit ă, continuitate, derivabilitate și integrabilitate
sunt noțiuni de baz ă pentru func țiile reale de variabil ă reală.
În continuare, se vor da condi țiile în care aceste no țiuni se transfer ă de la
termenii unui șir de func ții la func ția limită a șirului.

PROPOZI ȚIA 5.1.3 (Continuitatea ) Fie ()0()n nfx≥ un șir de func ții
continue, uniform convergente c ătre func ția ()fx pe mul țimea mX⊆¡.
Atunci func ția limită ()fx este continu ă.

131
Demonstra ție. Ținând cont c ă () ()u
n Xfxfx→ , atunci conform Defini ției
5.1.4 se poate scrie c ă pentru orice 0e>, există ()1 0 ne> astfel încât
oricare ar fi ()1 nn e> , avem:
()()nfxfx e −< , ∀xX∈ . (1)
Datorită faptului c ă funcțiile ()nfx sunt continue în punctul 0x, conform
definiției continuit ății, se poate scrie c ă oricare ar fi 0e> există ()0,x de
astfel încât pentru orice xX∈ cu ()0xx de−< , are loc inegalitatea:
()()0 nnfxfx e −< . (2)
Pentru a demonstra c ă funcția limit ă ()nfx este continu ă în punctul 0x,
trebuie ar ătat că ()()0 fxfx− poate fi f ăcută oricât de mic ă (adică mai
mică decât o m ărime de tip e).
Avem:
()()()() ( )()() ( )()() ( )
()() ()()()()
0000
000 3'.nnnn
nnnnfxfxfxfxfxfxfxfx
fxfxfxfxfxfx eeeee−=−+−+−≤
≤−+−+−≤++==
S-a ținut cont de inegalit ățile (1) și (2) de unde rezult ă că funcția ()fx este
o funcție continu ă în punctul 0x. Cum 0x a fost ales arbitrar în X, rezultă
că ()fx este continu ă pe mul țimea X.

PROPOZI ȚIA 5.1.4 (Derivabilitatea ) Fie ()0()n nfx≥ un șir de func ții
derivabile pe mul țimea X⊆¡ care este convergent c ătre func ția ()fx .
Dacă șirul ()0'()n nfx≥ este uniform convergent pe mul țimea X către
funcția ()gx , atunci func ția ()fx este derivabil ă pe mul țimea X și are loc
relația ()() 'fxgx= , pentru orice xX∈ .

PROPOZI ȚIA 5.1.5 (Integrabilitatea ) Fie ()0()n nfx≥ un șir de func ții
continue pe intervalul închis [],ab și uniform convergent pe acest interval
către func ția ()fx . Atunci func ția ()fx este integrabil ă și are loc
egalitatea () ()
limbb
nn
aafxdxfxdx
→∞=∫∫.

132
OBSERVA ȚIA 5.1.4
a) Dacă X este interval compact de numere reale, atunci în Propozi ția 5.1.4
se poate considera c ă ()()0nnfx
≥ este convergent într-un singur punct
0xX∈.
b) Egalitatea din Propozi ția 5.1.5 se poate scrie și astfel:
() ()( ) limlimxx
nnnn
aaftdtftdt
→∞→∞=∫∫, ()[][] ,,axab∀⊆ .
c) Propozi țiile 5.1.4 și 5.1.5 au o mare utilitate în practic ă atunci când șirul
()0()n nfx≥ este dificil de studiat, dar șirurile ob ținute din acestea prin
derivare sau integrare sunt șiruri mai simple care pot fi studiate.

Exemple.
1. Să se determine limita urm ătorului șir de func ții cu termenul general:
()1
11k n
n
kxfxk+
==+∑ , [) :0,1nf →¡.
Soluție. Se observ ă că ()
'
1n
k
n
kfxx
==∑ atunci ()
' 1
1n
nxfxxx−=⋅−. Trecând la
limită se obține ()
'lim1nnxfxx→∞=− (convergen ța este uniform ă). Deci, fiind
îndeplinite condi țiile Propozi ției 5.1.4, rezult ă că funcția ()fx , limita
șirului ()()0nnfx
≥, este derivabil ă și are loc rela ția ()
'1xfxx=−. Integrând
în aceast ă egalitate se ob ține:
()
0ln11xtfxdtxxt==−−−∫, ()[][) 0,0,1x∀⊂ .
Deci, 1
1limln11k n
nkxxxk+
→∞==−−+∑ .

2. Fie șirul de func ții cu termenul general () ()
11n
k
n
kfxkx
==+∑ , []0,1x∈ .
Să se determine limita acestui șir.
Soluție. Se integreaz ă de la 0 la x șirul, termen cu termen și obținem:
() () ()
1
1
111 00 0111xxx k nnn
kk
n
kkkxfxdxkxdxkxk+
+
====+=+=+∑∑∑ ∫∫, [][] 0,0,1x⊆ .

133
Rezultă:
()
12
1 01
1x n n
k
n
kxfxdxxxx+
=−==−∑ ∫.
Trecând la limit ă în aceast ă egalitate, conform cu Propozi ția 5.1.5 se ob ține:
() ()2
2
001limlim11xx n
nnnnxxftdtftdtxxx→∞→∞−===−− ∫∫.
Deci, ()2
0 1x
nxftdtx=− ∫. Derivând aceast ă egalitate conform cu Propozi ția
5.1.5, rezult ă ()2
0 1xxftdtx=− ∫ deci ()
()
2
2(2)
1 1xxxfxx x′ −==− − . Așadar,
limita șirului este:
()()2(2)
1xxfx
x−=
−.

Există un rezultat mai puternic decât Propozi ția 5.1.4 și anume urm ătorul
rezultat.

PROPOZI ȚIA 5.1.6 (Teorema Weierstrass-Stone ) Orice func ție continu ă
pe un interval compact [], Iab=⊂ ¡ este limita uniform ă pe I a unui șir
de polinoame.

2. SERII DE FUNC ȚII

DEFINIȚIA 5.2.1 Fie ()0()n nfx≥ un șir de func ții unde :nfXY→ , ,XY
spații vectoriale normate. Se consider ă șirul cu termenul general
() ()
0n
nk
kSxfx
==∑ . Atunci cupletul ()() ( ) ,nnfxSx define ște o serie de
funcții care se noteaz ă ()
0n
nfx∞
=∑ unde:
• ()nfx – termenul general al seriei de func ții;
• ()nSx – termenul general al șirului sumelor par țiale.

Problema care se pune în leg ătură cu o serie de func ții este problema
convergen ței seriei de func ții și atunci când este posibil, determinarea sumei

134
seriei de func ții, care este o func ție notat ă cu ()Sx . Definirea acestei
noțiunise face astfel.
Definiția 5.2.2 Fie ()
0n
nfx∞
=∑ , ( :nfXY→ , unde ,XY spații vectoriale
normate) o serie de func ții.
a) Seria este convergent ă simplu pe mul țimea X către func ția ()fx , dacă
șirul sumelor par țiale () ()s
n XSxSx→ .
b) Seria de func ții este uniform convergent ă pe mul țimea X către func ția
()Sx , dacă șirul sumelor par țiale () ()u
n XSxSx→ .
c) Seria de func ții ()
0n
nfx∞
=∑ este absolut convergent ă, dacă seria ()
0n
nfx∞
=∑
este convergent ă.

OBSERVA ȚIA 5.2.1
a) Se observ ă că pentru o serie de func ții există trei tipuri de convergen ță:
convergen ță simplă, uniform ă și absolut ă, iar problema convergen ței unei
serii este rezolvat ă prin convergen ța șirului de func ții ()()0nnSx≥.
b) Deoarece, de cele mai multe ori, studiul convergen ței șirului ()()0nnSx
≥
este dificil, problema convergen ței seriei ()
0n
nfx∞
=∑ nu poate fi în aceste
cazuri rezolvat ă cu ajutorul Defini ției 5.2.2. Din acest motiv, se apeleaz ă la
următoarele propozi ții în care se consider ă serii de func ții vectoriale de
variabil ă vectorial ă :mk
nfXY⊆→⊆¡¡ .

PROPOZI ȚIA 5.2.1 (Criteriul general de uniform convergen ță al lui
Cauchy pentru serii de func ții) Condi ția necesar ă și suficient ă ca seria de
funcții ()
0n
nfx∞
=∑ să fie uniform convergent ă pe mul țimea mX⊆¡ este:
pentru orice 0e>, există ()0 ne> astfel încât oricare ar fi () nn e> și
1p≥, ()() ()12 …nnnpfxfxfx e++++++< , pentru orice xX∈ .
Demonstra ție. Conform Defini ției 5.2.2, punctul b), seria ()
0n
nfx∞
=∑ este
uniform convergent ă pe X dacă șirul ()()0nnSx
≥ este uniform convergent
pe mulțimea X. Din criteriul de uniform convergen ță al lui Cauchy pentru

135
șirul ()0()n nSx≥ se ob ține condi ția necesar ă și suficient ă de uniform
convergen ță a acestui șir pe mul țimea X: pentru orice 0e>, există
()0 ne> astfel încât oricare ar fi () nn e> și 1p≥, ()()npnSxSx e+−< ,
pentru orice xX∈ . Dar,
()() () () () ()
1
00…np n
npnkknnp
kkSxSxfxfxfxfx+
+++
−−−=−=++ ∑∑ .
Astfel, se ob ține condi ția din enun țul Propozi ției 5.2.1.
O consecin ță imediat ă a Propozi ției 5.2.1 este urm ătoarea propozi ție.

PROPOZI ȚIA 5.2.2 Fie ()
0n
nfx∞
=∑ o serie de func ții simplu convergent ă pe
mulțimea X⊂¡ către func ția ()fx . Condi ția necesar ă și suficient ă ca
seria de func ții ()
0n
nfx∞
=∑ să convearg ă uniform pe mul țimea A către func ția
()fx este ca mul țimea (){ } ,,0NxxAee∈> să fie mărginită, ((),Nxe
este rangul începând de la care ()()
1n
k
kfxfx e
=−<∑ ).

PROPOZI ȚIA 5.2.3 (Criteriul lui Weierstrass ) Condi țiile necesare de
uniform convergen ță pe mul țimea X a seriei ()
0n
nfx∞
=∑ sunt:
i) ()nnfxa≤, n∈¥;
ii) seria de numere reale pozitive
0n
na∞
=∑ este convergent ă.
Demonstra ție. Știind că seria
0n
na∞
=∑ este convergent ă, conform criteriului
general de convergen ță al lui Cauchy pentru serii numerice, are loc
afirmația: pentru orice 0e>, există ()0 ne> astfel încât oricare ar fi
() nn e> și 1p≥, 12 …nnnpaaa e++++++< , pentru orice xX∈ și p∈¥.
Din ipoteza i) se obține urm ătorul șir de inegalit ăți:
() ()1122 ,,…,nnnnnpnpfxafxafa++++++≤≤≤ .
Adunând termen cu termen aceste inegalit ăți, rezult ă:
() () ()1212 ……nnnpnnnpfxfxfxaaa e+++++++++≤+++< .

136
Știind că norma este mai mic ă decât suma normelor, rezult ă:
()() ()12 …nnnpfxfxfx e+++++< .
Conform cu Propozi ția 5.2.1 rezult ă că seria ()
0n
nfx∞
=∑ este uniform
convergent ă pe X.
Ca și la șirurile de func ții și pentru seriile de func ții se pune problema
transfer ării propriet ăților de continuitate, derivabilitate și integrabilitate de
la termenii seriei la suma seriei de func ții. Aceast ă problem ă este rezolvat ă
de următoarele propozi ții.

PROPOZI ȚIA 5.2.4 (Continuitatea ) Fie ()
0n
nfx∞
=∑ o serie de func ții,
:mk
nfXY⊆→⊆¡¡ . Dacă ()nfx sunt func ții continue pe X, oricare ar
fi n∈¥ și seria ()
0n
nfx∞
=∑ este uniform convergent ă către func ția ()fx pe
mulțimea X, atunci ()fx este continu ă pe X.

PROPOZI ȚIA 5.2.5 (Derivabilitatea )
Fie ()
0n
nfx∞
=∑ , [] :,nfabY ⊆→⊆¡¡ o serie de func ții reale de variabil ă
reală. Dacă seria ()
0n
nfx∞
=∑ este simplu convergent ă pe [],ab către func ția
()fx , (),nfx sunt func ții derivabile pe [],ab, oricare ar fi n∈¥, iar seria
()
0n
nfx∞
=′∑ este uniform convergent ă pe [],ab către ()gx , atunci ()fx este
derivabil ă pe [],ab și are loc rela ția ()() 'fxgx= .

PROPOZI ȚIA 5.2.6 (Integrabilitatea )
Fie seria ()
0n
nfx∞
=∑ , [] :,nfab ⊂→¡¡ o serie de func ții. Dacă ()nfx sunt
funcții integrabile pe [],ab, oricare ar fi n∈¥, iar seria ()
0n
nfx∞
=∑ converge
uniform pe intervalul [],ab către func ția ()fx , atunci ()fx este
integrabil ă pe [],ab și are loc egalitatea:

137
() ()
0bb
n
n aafxdxfxdx∞
==∑ ∫∫.
OBSERVA ȚIA 5.2.2
a) Demonstra ția Propozi țiilor 5.2.4, 5.2.5 și 5.2.6 se face aplicând
propozi țiile similare de la șirurile de func ții, șirului ()()0nnSx
≥.
b) Propozi țiile 5.2.4 și 5.2.5 se folosesc de obicei în calculul sumei anumitor
serii atunci când () limnnSx
→∞ este dificil sau imposibil de calculat.
c) Dacă în Propozi ția 5.2.4, X este interval compact de numere reale, atunci
proprietatea ca ()nfx sunt func ții continue pe X, oricare ar fi n∈¥, poate
fi înlocuit ă cu faptul c ă seria ()nfx∑ să fie convergent ă într-un punct
xX∈.

3. SERII DE PUTERI

DEFINIȚIA 5.3.1 O serie de forma
0n
n
nax∞
=∑ , unde na∈¡, n∈¥ se
numește serie de puteri .

OBSERVA ȚIA 5.3.1
a) Se observ ă că orice serie de puteri este un caz particular de serie de
funcții, unde ()n
nnfxax= . De aceea teoria de la seriile de func ții se aplic ă
și seriilor de puteri.
b) Fiind un caz particular de serie de func ții, exist ă și alte propozi ții în plus
care se vor trata în cele ce urmeaz ă.
c) Suma unei serii de puteri se nume ște funcție analitică.
d) Mulțimea de convergen ță a unei serii de puteri nu este vid ă.
Există serii de puteri pentru care {}0CM= și există serii de puteri pentru
care CM=¡ (exemplu:
11nn
nnx∞
=+⋅∑ ;
0!n
nx
n∞
=∑ ).

PROPOZI ȚIA 5.3.1 (Teorema lui Abel ) Fie
0n
n
nax∞
=∑ o serie de puteri.
Atunci exist ă 0R≥, astfel încât:
i) seria
0n
n
nax∞
=∑ este absolut convergent ă pentru (),;∈−xRR

138
ii) seria
0n
n
nax∞
=∑ este divergent ă pentru ( )() ,,.∈−∞−∪+∞xRR
Numărul R se nume ște rază de convergen ță a seriei de puteri.
Demonstra ție. i) Se observ ă că pentru seria
0n
n
nax∞
=∑ , 0x= este punct de
convergen ță.
Dacă nu exist ă un alt punct de convergen ță pentru seria de puteri, luând
0,=R teorema lui Abel este satisf ăcută. Să presupunem c ă există 00x≠
punct de convergen ță pentru seria de puteri. Conform consecin ței criteriului
general de convergen ță al lui Cauchy pentru serii numerice, rezult ă că șirul
cu termenul general ()00n
nnfxax= are limita zero. Fiind un șir convergent,
el este și un șir mărginit. Deci, exist ă 0 M> astfel încât 0n
naxM⋅≤ . Dacă
se consider ă 0 xx< atunci au loc rela țiile:
0
00nn
nn
nn nxxaxaxMxx⋅=⋅⋅≤ 
, unde
01x
x<.
Dar seria geometric ă
0n
nq∞
=∑ este convergent ă pentru 1q<. Luând
0,=xqx
rezultă că seria
0 0n
nx
x∞
=∑ este convergent ă. Deci, conform primului criteriu al
compara ției, rezult ă că seria
0n
n
nax∞
=⋅∑ este convergent ă, pentru orice
( ) 00, xxx∈− . Cum 0x este un punct de convergen ță arbitrar, dac ă se
notează cu {}0 supRx= rezultă că
0n
n
nax∞
=⋅∑ este convergent ă, pentru orice
(), xRR∈− . Deci, rezult ă că seria
0n
n
nax∞
=⋅∑ este absolut convergent ă,
oricare ar fi (), xRR∈− .
ii) Dacă 1x este un punct de divergen ță al seriei de puteri, atunci rezult ă că
oricare ar fi x cu 1 xx> și conform criteriului compara ției avem c ă seria
0n
n
nax∞
=∑ este divergent ă. Continuând ra ționamentul ca la punctul i), rezult ă

139
că oricare ar fi ( )() 11,,,∈−∞−∪+∞xxx seria
0n
n
nax∞
=∑ este divergent ă.
Dar, este evident c ă și în acest caz {}1 sup xR=. Deci, rezult ă că mulțimea
de divergen ță este ( )() ,,RR−∞−∪+∞ .

OBSERVA ȚIA 5.3.2
a) Se observ ă că teorema lui Abel afirm ă existen ța razei de convergen ță
pentru orice serie de puteri, dar nu indic ă modul de determinare a acesteia.
b) Cu ajutorul razei de convergen ță a seriei de puteri, teorema lui Abel
determin ă mulțimea de absolut convergen ță și divergen ță a seriei de puteri
fără punctele xR=− și xR=.
c) Pentru a stabili natura seriei de puteri în aceste puncte se consider ă seriile
numerice
0n
n
naR∞
=⋅∑ și ()
01n n
n
naR∞
=−⋅∑ . În func ție de natura acestor serii este
și natura seriei de puteri în cele dou ă puncte.
d) Dac ă CM este mu țimea de convergen ță a seriei de puteri, atunci
() [] ,,C RRMRR−⊆⊆− .

PROPOZI ȚIA 5.3.2 (Cauchy-Hadamard ) Raza de convergen ță R pentru
seria
0n
n
nax∞
=∑ este dat ă de rela ția
1limn
nnaRa→∞+= .
DEMONSTRA ȚIE. Se consider ă punctul 0 xx= fixat. Atunci seria:
2
010200 ……n
n aaxaxax+⋅+⋅++⋅+
poate fi considerat ă o serie de puteri. Conform cu Propozi ția 5.3.1, rezult ă
că aceasta este convergent ă pentru orice:
()0 , xRR∈− . (1)
Dar seria anterioar ă, concomitent, poate fi considerat ă și o serie cu termeni
pozitivi și pentru stabilirea naturii acesteia poate fi aplicat criteriul lui
D’Alembert și, conform formei practice a acestui criteriu, se ob ține:
1
101
0
0limlimn
nn
nnnnnaxaxaxa+
++
→∞→∞= .

140
Dacă:
1
0
1
0lim1, atunci seria este convergent ă,
lim1, atunci seria este divergent ă.n
n
n
n
nnaxa
axa+
→∞
+
→∞< 

>
Deci, pentru orice 0
1limn
n
naxa→∞
+< , adică
0
11lim,limnn
nnnnaaxaa→∞→∞++∈− (2)
seria este convergent ă.
Comparând (1) cu (2) rezult ă că:
1limn
nnaRa→∞+=.

OBSERVA ȚIA 5.3.3
a) Pentru a calcula
1limn
nna
a→∞+ se folose ște o form ă echivalent ă și se obține:
1
limn
nR
a= .
b) Dacă R este raza de convergen ță a seriei
0n
n
nax∞
=∑ , atunci
i) seria derivatelor de ordin n are aceea și rază de convergen ță;
ii) dacă ()n
n Sxax=∑ , ()()nSx este suma seriei derivatelor de ordin n.

Exemplu. Fie seria
0 1n
nnxn∞
=
+∑ . Să se determine mul țimea de convergen ță
CM și mulțimea de divergen ță DM.
Soluție. Deoarece seria este o serie de puteri conform teoremei lui Abel,
pentru a determina pe CM și DM, trebuie determinat ă raza de convergen ță
R. Conform formulei lui Cauchy-Hadamard rezult ă că:
12limlim111n
nnna nnRann→∞→∞++==⋅=++.

141
Deci, pentru orice ()1,1 x∈− , seria
01n
nnxn∞
=+∑ este convergent ă și oricare ar
fi ()() ,11, x∈−∞−∪∞ , seria
01n
nnxn∞
=+∑ este divergent ă.
Se studiaz ă natura acestei serii în punctele 1x= și 1 x=− .
Pentru aceasta se studiaz ă următoarele serii numerice:
11 nn
n∞
=+∑ și
()
111n
nn
n∞
=−+∑ .
Cum 1
11n
nn>++ și cum seria armonic ă este divergent ă, conform criteriului
compara ției rezult ă că seria
11 nn
n∞
=+∑ este divergent ă. Deci, punctul 1x=
este punct de divergen ță pentru seria de puteri
01n
nnxn∞
=+∑ .
Folosim opera ția cu serii numerice:
() ()()
1
000111111nnn
nnnn
nn∞∞∞+
===−=−+−++∑∑∑ .
Cum ()
01n
n∞
=−∑ este serie divergent ă și seria ()
1
0111n
n n∞+
=−+∑ , rezultă că seria
()
111n
nn
n∞
=−+∑ este divergent ă. Deci, 1 x=− este punct de divergen ță pentru
seria
01n
nnxn∞
=+∑ . Așadar, (][) ,11,DM=−∞−∪∞ , ()1,1CM=− .

La seriile de func ții, pe lâng ă convergen ța simpl ă, se pune și problema
convergen ței uniforme. Seriile de puteri fiind serii particulare de func ții,
această problem ă a convergen ței uniforme se pune și pentru seriile de puteri.

PROPOZI ȚIA 5.3.3 Fie seria
0n
n
nax∞
=∑ o serie de puteri. Atunci oricare ar fi
[ ] , xRR ee ∈−+− , unde ()0,R e∈ , seria este uniform convergent ă.
Demonstra ție. Într-adev ăr, dac ă xR e≤− , rezult ă că
()n n
nnaxaR e ⋅≤− . Cum seria ()
0n
n
naR e∞
=⋅−∑ este convergent ă,

142
conform cu criteriul lui Weierstrass, rezult ă că seria
0n
n
nax∞
=∑ este uniform
convergent ă.

OBSERVA ȚIA 5.3.4
a) Se observ ă că cel mai mare interval de uniform convergen ță este (),RR− .
b) Ținând cont de Propozi ția 5.3.3, se poate afirma c ă (),rr− , ()0,rR∈
este intervalul de uniform convergen ță pentru seria de puteri.

4. FORMULA TAYLOR PENTRU POLINOAME ȘI FUNCȚII

PROPOZI ȚIA 5.4.1 Fie ()
0n
k
k
kPxax
==⋅∑ , ka∈¡. Dacă se consider ă
0xa=∈¡, atunci are loc rela ția:
()() ()()()()()()()()()
2
0'''…
1!2!!!nkn
nk
kxaxaxa xaPxPaPaPaPaPa
nk =−−− −=++++= ∑.
Demonstra ție. Dacă în polinomul ()
0n
k
k
kPxax
==⋅∑ , se consider ă că
xxh→+ , obținem: () ()
0nk
k
kPxhaxh
=+=+∑ . Dacă se ordoneaz ă după
puterile lui h, atunci acest polinom are forma:
()
0n
k
k
kPxhAh
=+=∑ , (1)
unde kA sunt coeficien ți care de fapt sunt expresii de x ce urmeaz ă a fi
determina ți.
În relația (1), dac ă se face 0h=, rezultă ()0 PxA= . Se deriveaz ă relația (1)
și se obține
()21
123 '23…n
n PxhAAhAhnAh−+=++++ . (2)
În aceast ă relație, dacă se consider ă 0h=, se obține ()1 'PxA=. Dacă se
deriveaz ă relația (2), ob ținem:
() ()2
23 ''26…1n
n PxhAAhnnAh−+=+++− . (3)
În relația (3), dac ă se consider ă 0h=, atunci se ob ține ()22 ''22!PxAA== .
Procedând în mod analog, se ob ține că ()() !k
k PxkA = , oricare ar fi 0,kn= .
Cu coeficien ții kA astfel determina ți, dacă se revine în rela ția (1), se ob ține

143
()()()
0!k n
k
khPxhPxk=+=∑ .
Dacă se consider ă xa= și xhy+= , se obține hya=− . Cu aceste nota ții
egalitatea anterioar ă devine
()()()()
0 !kn
k
kyaPyPak =−=∑ .
Făcând schimbarea yx→ , se obține ()()()()
0 !nn
k
kxaPxPan =−=∑ care este
tocmai formula lui Taylor pentru polinoame .

Observația 5.4.1
a) Formula lui Taylor pentru polinoame are o importan ță calculatorie, în
sensul c ă permite dezvoltarea polinomului ()Px după puterile lui xa±.
b) În formula lui Taylor pentru polinoame, dac ă se consider ă 0,=a se
obține formula lui Mac-Laurin , care are urm ătoarea form ă:
()()()
00!k n
k
kxPxPk==∑ .

Exemplu. Folosind formula lui Taylor pentru polinoame s ă se descompun ă
în fracții simple frac ția:
a)
()
432
5321
1xxxx
x++++
−;
b)
()
1
011
0nn
nn
maxaxaxa
xx−
− ++++
−K, mn>
Soluție. a) Se consider ă polinomul ()432321 Pxxxxx=++++ . Se scrie
formula lui Taylor pentru acest polinom, pentru punctul 1a=. Avem:
()()()()
4
011!k
k
kxPxPk =−=∑ .
Trebuie calculate derivatele pân ă la ordinul patru inclusiv ale polinomului
()Px în punctul 1x=. Avem:
()18P=,
()32'4941Pxxxx=+++ , deci ()'118P=,
()2''12184Pxxx=++ , deci ()''134P= ,

144
()'''2418Pxx=+ , deci ()'''142P= ,
()()424 Px = , deci ()()4124P = .
Așadar, () ()()()()234 18344224811111!2!3!4!Pxxxxx=+−+−+−+− , adică
() ()()()()2348181171711 Pxxxxx=+−+−+−+− .

Atunci,

()()()()()
()
234432
558181171711 321
11xxxx xxxx
xx+−+−+−+− ++++==
−−

()()()()()
54328181771
1 1111 x xxxx=++++− −−−−.
b) Fie polinomul ()
0n
nk
k
kPxax−
==∑ pentru care scriem formula lui Taylor
pentru punctul 0 ax=:
()()()()
0
0
0 !kn
k
kxxPxPxk =−=∑ .
Deci,
()
()()()()0
0001
!kn
mmk
kPxPx
k xxxx−
==
−−∑ .

PROPOZI ȚIA 5.4.2 (Formula lui Taylor pentru func ții care nu sunt
polinoame ) Fie :fI⊂→¡¡ o func ție derivabil ă de 1n+ ori în punctul
0xI∈ și ()()()()
0
0
0 !kn
k
n
kxxPxfxk =−=∑ polinomul lui Taylor ata șat funcției
()fx pe intervalul [], Iab= . Atunci ()()()nn fxPxRx=+ (formula lui
Taylor ), unde: ()()() ()()
1
1
!npp
n
nbxaRxfnpxx+−
+ −−=⋅⋅, (),ab x∈ . ()nRx
se nume ște restul de ordinul n din formula lui Taylor.
Demonstra ție. Pentru a determina restul ()nRx este evident c ă el trebuie
luat sub forma:
()()
p
nRxxaA=− , (1)

145
unde A este un num ăr real care se determin ă. Eviden ța constă în faptul c ă
trebuie continuat ()nPx . Pentru determinarea lui A se consider ă funcția:
()() ()()()()()()()
2
'''…1!2!!n
p n bxbx bxFxfxfxfxfxbxAn−− −=+⋅+⋅++⋅+−⋅ .
Se observ ă că funcția ()Fx este o func ție Rolle raportat ă la intervalul
[],ab, adică ea are propriet ățile:
i) ()Fx continu ă pe [],ab,
ii) ()Fx derivabil ă pe [],ab,
iii) ()() FaFb= .
Deci, conform teoremei lui Rolle, exist ă (),ab x∈ astfel încât ()'0Fx=.
Dar:
() ()() () ()()()
()
()()()() ()()()
2
1
1 1''''''''''…1!1!2!
.1!!nn
p nnbx bxbxFxfxfxfxfxfx
bxbxfxfxpbxAnn−
− +− −−=−+⋅−⋅+⋅−−
−−−⋅+⋅−−⋅−

Așadar:
()() ()()()
1 1'!n
p n bxFxfxpbxAn− + −=⋅−−⋅ .
Ținând cont de aceasta, se ob ține:
() ()()()
1 10!n
p n bfpbAnxxx− + −⋅−−⋅= .
Deci, () ()()
1
1
!np
n bAfnpxx+−
+ −=⋅⋅. Cu A astfel determinat, conform (1)
rezultă că:
()()() ()()
1
1
!npp
n
nbxaRxfnpxx+−
+ −−=⋅⋅.
Dacă ()[] ,,axab x∈⊂ , atunci ()()() ()()
1
1
!npp
n
nxxaRxfnpxx+−
+ −−=⋅⋅.
Deoarece (),ax x∈ , rezultă că () axaxq=+− , ()0,1 q∈ .

146
OBSERVA ȚIA 5.4.2
a) Restul ()nRx din Propozi ția 5.4.2 se nume ște restul lui Taylor sub
forma general ă sau restul Schlömlich-Roche .
• Dacă în restul sub form ă general ă se consider ă 1,=+pn se obține restul
sub forma Lagrange care are evident forma:
()()
()()()
1
1
1!n
n
nxaRxfnx+
+ −=⋅+, () axaxq=+− , ()0,1 q∈ .
• Dacă se consider ă 1p= în forma general ă a restului, se ob ține restul sub
forma lui Cauchy :
()()() ()()
1
!n
n
nxaxRxfnxx+ −−=⋅
sau:
()() ()()
1 1 1
!n
n n
nRxxfxnqq+ + −=⋅⋅ , ()0,1 q∈ , numai dac ă ()[] 0,,xab x∈⊂ .
• Restul sub forma integral ă este:
()()()()
01x
n n
n
xRxxtftdt+=−∫, [][] 0,,xxab⊂ .
b) Resturile din formula lui Taylor au o importan ță deosebit ă în stabilirea
erorii prin care formula lui Taylor aproximeaz ă funcția ()fx prin
polinomul lui Taylor ()nPx . Dacă se consider ă restul sub forma lui
Lagrange și se noteaz ă xah−= și ()(){ } supn
nMfxaxah=≤≤+ ,
atunci eroarea absolut ă de aproximare a func ției ()fx cu polinomul Taylor
()nPx este ()()
1
1
11!n
n
nhhMp+
+
+ =+O și este evident c ă ()()1n
nRxh+≤O . Se
pot rezolva probleme de utilitate practic ă, și anume:
i) dându-se n și h, se determin ă ()1nh+O ;
ii) dându-se n și ()1nh+O , se determin ă h;
iii) dându-se h și ()1nh+O , se determin ă n.
c) Formula lui Taylor pentru func ții are o importan ță practic ă deosebit ă,
deoarece permite tabelarea func țiilor derivabile de 1n+ ori.
d) Dacă se consider ă 00x=, formula lui Taylor pentru func ții capătă forma:

147
() ()()
()
00!k n
k
n
kxfxfRxk==+∑
numită formula lui Mac-Laurin pentru func ții.

PROPOZI ȚIA 5.4.3 Dacă ()nRx este restul din formula lui Taylor pentru
funcția ()fx dezvoltat ă în jurul punctului xa=, are loc rela ția:
()
()lim0n
nxRx
xa→∞=
−
Exemplu. Să se calculeze 2
3012limx
xxex
x→−−−
.
Soluție. Deoarece ()
23
3 11!2!3!x xxxeRx=++++ , atunci:
()()
3 2
33
33311 3! 2
6x x xRx exRx
xxx+ −−−
==+ .
Rezultă că:
()
2
3
3300111 2limlim66x
xxxexRx
xx→→−−−
=+= .

OBSERVA ȚIA 5.4.3 Relația din propozi ția anterioar ă prezint ă o
importan ță deosebit ă în calculul limitelor diverselor func ții, folosind
dezvoltarea lor din formula lui Taylor.

Exemplu. Fie :f→¡¡ , unde
a) ()sin fxx= ,
b) ()cos fxx= ,
c) ()xfxe=.
Să se dezvolte func țiile folosind formula Mac-Laurin cu restul lui Lagrange.
Soluție. Este evident c ă formula Mac-Laurin cu restul lui Lagrange are
forma:
()()()()()()
1
1
00!1!kn n
kn
kxxfxffxknq+
+
==+⋅+∑ , ()0,1 q∈ .
Pentru a g ăsi aceast ă dezvoltare este suficient s ă se găsească ()()0kf .

148
a) Dar, se știe că ()()
sinsin2k kxxp=+. Atunci ()
()0sin2k kfp= . Rezult ă
()()
1
0sin12sinsin!1!2n n
k
kk
n xxxxknp
pq+
=+ =++ + ∑ .
Deci aceasta este egalitatea cu ajutorul c ăreia se tabeleaz ă funcția sinx.
b) În mod analog se g ăsește că:
()()
1
0cos12coscos!1!2n n
k
kk
n xxxxknp
pq+
=+ =++ + ∑
și
c) ()
1
0!1!kn n
x
kxxekn+
==++∑ .

DERIVATE DE ORDIN SUPERIOR

1. Formula Leibniz:
()()()()()()()() ()()()()()()11 11',n nnnn nn
nnn fgxfxgxCfxgxCfxgxCfxgx−− −⋅=++++ K
()xI∀∈ ;
2. ()()
sinsin2nxxnp=+, ()x∀∈ ¡, n∈¥;
3. ()()
coscos2nxxnp=+, ()x∀∈ ¡, n∈¥;
4. ()
()11!1n
n
nn
xx+=−, (){}\0 x∀∈ ¡ , n∈¥;
5. ()()nxxaeae⋅=⋅ , ()x∀∈ ¡, a∈¡, n∈¥;
6. ()()nmnmn
m xAx−= , ()x∀∈ ¡, 1nm≤≤ ;
7. ()()()
lnn n xxaaa= , 0a>, ()x∀∈ ¡, n∈¥;
8. ()()()()
111!lnn
n
nnxx−−−= , ()x∀∈ ¡, n∈¥;
9. ()()2shshnxx= , ()() 21shchnxx−= , ()x∀∈ ¡, 1n≥;
10. ()()2chchnxx= , ()() 21chshnxx−= , ()x∀∈ ¡, 1n≥;
11. arctgyx= ,

149
()()()
1!cossin2n nyxnyynp=−⋅+ , ()x∀∈ ¡, ,22ypp∈−, 1n≥;
12. ()
()()11!1n
n
nn
xa xa+=− ± ±.

5. SERIA TAYLOR

DEFINIȚIA 5.5.1 Fie :fI⊂→¡¡ o func ție indefinit derivabil ă în
punctul xaI=⊂ . Atunci seria de puteri () ()()
0 !n
n
nxafan∞
=−⋅ ∑ se nume ște
seria Taylor ata șată funcției ()fx pentru xa=.
Dacă seria Taylor ata șată funcției ()fx este convergent ă și are ca sum ă
funcția (), fx atunci ea se nume ște serie Taylor a func ției ()fx .
PROPOZI ȚIA 5.5.1 (Seria Taylor pentru func ția () yfx= ) Fie
:fI⊂→¡¡ o func ție indefinit derivabil ă în punctul xa= și ()nRx
restul din formula Taylor pentru func ția ()fx . Condi ția necesar ă și
suficient ă ca func ția ()fx să fie dezvoltabil ă în serie Taylor în punctul
xa= este ca:
() lim0nnRx
→∞=.
Demonstra ție. Trebuie ar ătat că în condi țiile Propozi ției 5.5.1, seria Taylor
atașată funcției ()fx devine seria Taylor a func ției ()fx , adică are loc
egalitatea:
()() ()()
0 !n
n
nxafxfan∞
=−=⋅∑ .
Se consider ă formula Taylor pentru func ția ()fx :
()()()nn fxPxRx=+ ,
unde ()() ()()
0 !kn
k
n
kxaPxfak =−=⋅∑ este polinomul Taylor al func ției.
Dacă se consider ă () lim0nnRx
→∞=, atunci se ob ține:
()() () limlimnnnnRxfxPx
→∞→∞=−

150
Deci, ()() limnnPxfx
→∞= . Dar, ()() ()()
0 !kn
k
n
kxaPxfak =−=⋅∑ este de fapt
termenul general al șirului sumelor par țiale pentru seria de puteri
() ()()
0 !n
n
nxafan∞
=−⋅ ∑ . Cum acest termen general are o limit ă finită ()fx ,
rezultă că seria este convergent ă pe o vecin ătate a punctului xa= către
()fx și are loc egalitatea:
()() ()()
0 !n
n
nxafxfan∞
=−=⋅∑ .

OBSERVA ȚIA 5.5.1
a) Clasa func țiilor dezvoltabile în serie Taylor conform Propozi ției 5.5.1
este inclus ă în clasa func țiilor ce admit dezvoltarea dup ă formula lui Taylor.
b) Dacă în seria Taylor a func ției ()fx se consider ă xa=, atunci se ob ține
()()()
00!n
n
nxfxfn∞
==⋅∑
care se nume ște seria lui Mac-Laurin ata șată funcției ()fx .

PROPOZI ȚIA 5.5.2 Funcția ()fx este dezvoltabil ă în serie Mac-Laurin
(serie de puteri) pe (),ee− , dacă există 0 M> astfel încât ()()nfxM < ,
oricare ar fi (), x ee∈− .
Demonstra ție. Se știe că restul ()nRx sub forma lui Lagrange pentru
funcția ()fx este:
()()()()
1
1
1!n
n
nxRxfxnq+
+=⋅+.
Pentru demonstra ție se consider ă ()0,1 q∈ . Din aceast ă formă rezultă:
()()()()()
11
1
1!1!nn
n
nxxRxfxMnnq++
+=⋅<⋅++.
Se noteaz ă: ()
1
1!n
nxun+
=+. Atunci, 1
2n
nu x
un+=+. Deci, 1lim01n
n
nu
u+
→∞=< .

151
Deci, conform criteriului lui D’Alembert (al raportului), rezult ă că seria
0n
nu∞
=∑ este convergent ă. Dar, conform consecin ței criteriului general de
convergen ță al lui Cauchy pentru serii numerice rezult ă lim0nnu
→∞=. Conform
criteriului major ării, rezult ă () lim0nnRx
→∞=. Conform Propozi ției 5.5.1
rezultă că funcția ()fx este dezvoltabil ă în serie Taylor.
Exemple.
1. Să se cerceteze dac ă funcția :f→¡¡ , ()xfxe=, este dezvoltabil ă în
serie de puteri și în caz afirmativ s ă se determine aceast ă dezvoltare.
Soluție. Pentru a cerceta dac ă funcția ()xfxe= este dezvoltabil ă în serie
Mac-Laurin (Taylor), conform Propozi ției 5.5.2 trebuie ar ătat că există 0V
astfel încât oricare ar fi 0 xV∈, să avem ()()nfxM < , pentru orice n∈¥.
Într-adev ăr, ()()n xfxe =. Se știe că pentru orice (), xaa∈− , are loc rela ția
axaeee−<< datorită monotoniei func ției ()xfxe=. Deci, rezult ă că pentru
orice (), xaa∈− , ()()n afxeM <= . Deoarece intervalul (),aa− este o
vecinătate oarecare a lui 0, rezultă că funcția ()xfxe= este dezvoltabil ă în
serie Mac-Laurin și avem: ()()()
00!n
n
nxfxfn∞
==⋅∑ . Cum ()()01nf =, atunci
2
01……!1!2!!nn
x
nxxxxenn∞
===+++++∑ .
Afirmațiile anterioare r ămân valabile și pentru a→∞ . Deci, ()xfxe= este
dezvoltabil ă în serie de puteri ()x∀∈ ¡.

2. Să se cerceteze dac ă funcția ()sin fxx= , x∈¡ este dezvoltabil ă în
serie de puteri și în caz afirmativ s ă se determine aceast ă dezvoltare.
Soluție. Se știe că:
()()
sin2n nfxxp=+.
Cum sin12nxp+≤, oricare ar fi x∈¡ rezultă că ()()1nfxM ≤= ,
pentru orice (), x∈−∞∞ care poate fi considerat ă cea mai mare vecin ătate a

152
lui 0. Conform Propozi ției 5.5.2 rezult ă că ()sin fxx= este dezvoltabil ă
în serie de puteri sau serie Mac-Laurin. Avem:
()()
0, 4
1, 410sin0, 42 2
1, 43.nnp
np nfnp
npp=
=+ == =+
−=+

Deci, seria de puteri este:
()()
35721
21
00sinsin…1!21!3!5!7!21!nn
n
nnxnxxxxxxnnp+ ∞∞+
====−+−+=−+∑∑ .

3. Să se cerceteze dac ă funcția ()cos fxx= , x∈¡ este dezvoltabil ă în
serie de puteri și în caz afirmativ s ă se determine aceast ă dezvoltare.
Soluție. Se știe că:
()()()()
sincos2n n nfxxxp==+ .
Rezultă că cos12nxp+≤. Deci, ()()1nfxM ≤= , pentru orice
(), x∈−∞∞ care poate fi considerat ă cea mai mare vecin ătate a punctului
0. Conform Propozi ției 5.5.2 rezult ă ()cos fxx= este dezvoltabil ă în serie
de puteri și aceasta este:
()()
24682
2
00coscos1…1!22!4!6!8!2!nn
n
nnxnxxxxxxnnp∞∞
====−+−+−=−∑∑ .

Exerciții. Să se dezvolte în serie Mac-Laurin func țiile:
1) ()() ln1 fxx=+ ;
2) ()() ln1 fxx=− ;
3) ()()1
1nfx
x=
−, 1,2,3n= ;
4) ()()1
1nfx
x=
+, 1,2,3n= ;
5) ()fxarctgx= .

153
PROPOZI ȚIA 5.5.3 (Formulele lui Euler ) Pentru orice x∈¡, au loc
relațiile:
cos2ixixeex−+= , sin2ixixeexi−−= , 1 i=− ,
numite formulele lui Euler .
Demonstra ție. Se știe că oricare ar fi x∈¡, avem:
357
sin…1!3!5!7!xxxxx=−+−− (1)
și
246
cos1…2!4!6!xxxx=−+−+ . (2)
Se consider ă funcția ()xfxea= . Deoarece ()()n nxfxeaa=⋅ , rezult ă că
()()0n nf a= .
Deci, seria Mac-Laurin pentru func ția ()xfxea= este:
234567
234567
01…!1!2!3!4!5!6!7!n
x
nxxxxxxxxenaaaaaaaa∞
===++++++++∑
În aceast ă egalitate dac ă se consider ă ia= și i a=− se obțin următoarele
relații:
Se știe că:
234567
1…1!2!3!4!5!6!7!ix xxxxxxxeiiii=+−−+−−−+ (3)
și

234567
1…1!2!3!4!5!6!7!ix xxxxxxxeiiii−=−−++−−++ . (4)
Conform rela țiilor (1) și (2), rela țiile (3) și (4) devin:
cossinixexix=+ , cossinixexix−=− .
Dacă se adun ă cele dou ă relații se obține:
cos2ixixeex−+= ,
iar dacă se scad, se ob ține:
sin2ixixeexi−−= .
Astfel s-au ob ținut formulele lui Euler.

154
PROPOZI ȚIA 5.5.4 (Seria binomial ă) Dacă 1x<, atunci seria binomial ă
() ()( )211…11……1!2!!n nxxxnlllll l −−−++++++ este convergent ă
către ()()
1 fxxl=+ , oricare ar fi l∈¡.
Demonstra ție. Se scrie formula lui Mac-Laurin cu restul sub forma lui
Cauchy pentru func ția ()()
1 fxxl=+ . Într-adev ăr, pentru a putea scrie
această formul ă, se știe că:
()() ()()
1 1 1
!n
n n
nRxxfxnqq+ + −=⋅⋅⋅ , ()0,1 q∈
este restul sub forma lui Cauchy pentru func ția () yfx= . Deoarece în cazul
de față
()()()()( )()
12…11n nfxnxlllll−=−−−++ ,
rezultă:
()()()()()()1 112…1n nfxnxlqllllq−− +⋅=−−−+ ,
iar restul sub forma lui Cauchy este:
()()()()()( )1 1 112…1!n
n n
nRxxnxnl qllllq−− + −=⋅⋅−−−⋅+ .
Conform Propozi ției 5.5.1, ca aceast ă funcție să fie dezvoltabil ă în serie de
puteri (Mac-Laurin), trebuie ca () lim0nnRx
→∞=. Pentru a ar ăta aceast ă
egalitate se fac urm ătoarele nota ții:
()()() 12…
!nnunllll−−−= și ()1 111n
nvxxl qqq− −=⋅++.
Cu aceste nota ții rezult ă că:
()nnnRxvu=⋅ . (1)
Dacă se aplic ă criteriul raportului seriei
0n
nu∞
=∑ , rezultă:
()()( )
() ()()
2
1 112…1 !1
1!1…1n
n n
nnx u nnxxunnnllll l
lll+
−− +−−−−⋅ −−=⋅⋅=+−−+.
Deci, 1lim1n
n
nuxu+
→∞=< , oricare ar fi ()1,1 x∈− . Așadar, seria
0n
nu∞
=∑ este
convergent ă pentru ()1,1 x∈− . Atunci,
lim0nnu
→∞=. (2)

155
Cum:
()
1 1limlim101n
nnnvxxl qqq−
→∞→∞−=+=+, (3)
din (1), (2) și (3) se ob ține:
() limlim0nnnnnRxuv
→∞→∞=⋅= , ()()1,1 x∀∈− .
Din Propozi ția 5.5.1 rezult ă că funcția ()()
1 fxxl=+ este dezvoltabil ă în
serie de puteri pe intervalul ()1,1− .
Ținând cont de faptul c ă ()()()
00!n
n
nxfxfn∞
==⋅∑ , avem c ă:
()()()()( )()
12…11n nfxnxlllll−=−−−++ .
Deci,
()()()()( ) 012…1nfn llll=−−−+ .
Așadar,
()() ()()( )2112…111……1!2!2!n nxxxxl llllll l −−−−−+=+++++ .

Exemplu. Să se dezvolte în serie de puteri func ția () 1 fxx=+ ,
()1,1 x∈− .
Rezolvare. Evident ()1
2 11xx+=+ . Deci, pentru a ob ține dezvoltarea în
serie a acestei func ții se înlocuie ște în seria binomial ă 1
2l= și se obține:
()() 1 234
234135…23 11313511…1…222!23!24!2!n n
nn xxxxxxn+⋅⋅⋅⋅− ⋅⋅⋅+=+−+−++−⋅+⋅⋅⋅⋅.

6. EXERCI ȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 5.6.1 Să se studieze convergen ța (simpl ă și uniform ă)
pentru urm ătoarele șiruri de func ții cu termenul general:
a) :[0,1], ()n
nnffxx →=¡ ;
b) :[0,), ()1nnnxffxnx⋅∞→=+¡ ;
c) 2:, ()1nnxffxnx→=+¡¡ ;
d) 2:, ()sinnx
nnffxex−→=¡¡ ;

156
e) *:, ()n
nnffxx+→=¡¡ .
Soluție. După cum se știe, sunt adev ărate urm ătoarele afirma ții:
1° Dacă lim()()nnfxfx
→∞= atunci ()()S
nAfxfx→
2° ()u
nAffx→ dacă și numai dac ă
i) sup|()()|0n
n
xAfxfx→∞
∈−→
sau
ii) exist ă un șir de numere pozitive 0na→ a.î. |()()|nnfxfxa−≤
()xA∀∈
sau
iii) exist ă șirul de func ții ()0u
nAqx→ a.î. |()()|()nnfxfxqx−≤ ()xA∀∈
sau
iv) ||()()||0nfxfx∞ −→ .

a) Avem: 0, [0,1)lim()lim1, 1.n
nnnxfxxx→∞→∞∈ == = 
Deci, :[0,1]f →¡, 0, [0,1)()1, 1 xfxx∈ ==  este func ția spre care șirul de
funcții converge simplu. Avem:
, [0,1)|()()|
1, 1. n
nxxfxfx
x ∈−= = 
Deci,
[0,1]sup|()()|1n
xfxfx
∈−= , ()1n∀≥ . Deoarece este evident c ă nu este
satisfăcut 2° i), atunci șirul nu este uniform convergent.
Observație. Dacă (0,1)a∈ , atunci
[0,]sup|()()|n
n
xafxfxa
∈−= și lim0n
na
→∞=.
Așadar,
[0,]sup|()()|0n
n
xafxfx→∞
∈−→ și, conform cu 2 ° i), șirul converge
uniform la ()fx pe [0,]a.
b) Avem: lim()1, nnfxx+→∞=∀∈ ¡. Deci, func ția :[0,)f∞→ ¡, ()1fx=
este func ția spre care șirul ()1()n nfx≥ converge simplu. Deci,
[0,)1|()()|sup|()()|11nn
xfxfxfxfxnx ∈∞−=⇒−=+.

157
Atunci,
[0,)limsup|()()|1nnxfxfx
→∞∈∞−= și, conform cu 2 ° i), șirul ()nfx nu
converge uniform la ()fx .
Observație. Fie 0a>, atunci
[,)1sup|()()|1n
xafxfxna ∈∞−=+. Atunci,
[,)limsup|()()|0nnxafxfx
→∞∈∞−= și, conform cu 2 ° i),
[,)()(), 0.u
nafxfxa
∞→>
c) Avem: lim()0, .nnfxx
→∞=∀∈ ¡ Deci, func ția :, ()0ffx→=¡¡ este
funcția spre care șirul converge simplu. Deci,
2|()()|1nxfxfxnx−=+.
Se calculeaz ă ||()()||||()||nnfxfxfx∞∞ −= . Pentru aceasta se folose ște
relația:
{ } 1 ||||max|(), |()|, …, |()|, ()pxfffxfxf∞∈=−∞+∞
¡,
unde 12,,…,p xxx sunt r ădăcinile ecua ției '()0fx=. În acest caz,
2
11'()010fxnxx
n=⇒−=⇒=− , 21n
n= . Deci, 11
2nf
nn±=.
Atunci, 1||||0
2nf
n∞=→ . Deci, conform cu 2 ° iv), ()0u
nfx→
¡.
d) Avem: 22–*|()||sin|, () nxnx
nfxenxex=⋅≤∀∈ ¡. Atunci, lim()0nnfx
→∞=.
Cum, (0)0nf=, rezultă că ()0.s
nfx→
¡
Deci, 1
1
[0,1]sup|()|sin1sin10n
n
xfxee−
∈>⋅>⋅> . Așadar,
[0,1]limsup|()|0nnxfx
→∞∈≠ .
Deci, ()()n nfx nu converge uniform pe []0,1.
Fie 0a>. Atunci, 2
||sup|()|0na
n
xafxe−
≥<→ . Deci,
||limsup|()|0nnxafx
→∞≥=.
Conform cu 2 ° iv), ()0u
nAfx→, unde {\}Axxa=∈≥ ¡ .

EXERCIȚIUL 5.6.2 Fie :nf→¡¡ un șir de func ții definit astfel:
12()
1xfx
x=
+ și ( )()11 (), () 2nnfxffxn− =∀≥o . Să se arate c ă 0u
nf→
¡.

158
Soluție. Din rela ția de recuren ță 1
2
1()()
1()n
n
nfxfx
fx−
−=
+, se ob ține
22()
12xfx
x=
+, 32()
13xfx
x=
+, … Se presupune adev ărat că
2()
1nxfx
nx=
+ și se demonstreaz ă că 12()
1(1)nxfx
nx+=
++.

Într-adev ăr,
2 2
122222
2() 1 1()
1()11(1)1(1)11n
n
nx
fx xnxx nxfx
fxxnxnxnx
nx++ +===⋅=
++++++++.
Așadar,
()
12()
11nxfx
nx+=
++ ceea ce trebuia demonstrat. Atunci,
conform induc ției, rezult ă că
2(), () 1
1nxfxn
nx=∀≥
+.
Avem:
2lim()lim0, () x
1nnnxfx
nx→∞→∞==∀∈
+¡. Așadar ()0s
nfx→
¡. Se
cerceteaz ă dacă convergen ța este și uniform ă. Avem:
2
221()11 1nxnxfxnxnx nx ⋅′=+−⋅=+ + 22
221
(1)1nxnx
nxnx+−=
++
221
(1)1nxnx++.
Deoarece
()0nfx′= nu are r ădăcini, atunci ||||max{(),()}0nnnfff∞=+∞+∞= . Deci,
lim||||0nnf∞→∞= și atunci, conform cu 2 ° iv), ()0u
nfx→
¡.

Observație. Faptul c ă șirul
2()
1nxfx
nx=
+ converge uniform pe ¡ la 0
se poate ar ăta folosind Propozi ția 5.1.2. Într-adev ăr,
2||||1|()|0, ()
|| 1nxxfxx
xnn nx=≤=→∀∈
⋅ +¡.

159
EXERCIȚIUL 5.6.3 Să se arate c ă șirul de func ții :[,]nfab →¡,
1sin()(1)n
n
kxfxkk==+∑ este uniform convergent pe [],ab și funcția limită ()fx
este o func ție uniform continu ă.
Rezolvare. Deoarece nu se poate determina func ția limit ă ()fx pentru a
studia uniform convergen ța, se utilizeaz ă Propozi ția 5.1.1. Avem:
111sinsin1()()(1)(1)(1)npnpnp
npn
knknknkxkxfxfxkkkkkk+++
+
=+=+=+−=≤≤=+++∑∑∑
11
1nnp−=++
11
(1)()(1)()1npnp
nnpnnpne+−+=<=<+++++,
1() [()]nNeee−∀>= care este finit () 0e∀> . Cum, () 0e∀> și
1 () ne
e−∀>, ()()npnfxfx e+−< , () p∀∈ ¥, conform cu Propozi ția
5.1.1 șirul ()()n nfx este uniform convergent pe [,]ab către func ția
:[,]fab →¡.
Cum func țiile sin()(1)nxfxnn=+ sunt continue pe [,]ab, atunci conform cu
Propozi ția 5.1.3, func ția :[,]fab →¡ este continu ă. Domeniul de defini ție
fiind compactul [,]ab ea este uniform continu ă.

EXERCIȚIUL 5.6.4 Fie :nf→¡¡ , 2
4
1cos()n
n
kkxfxk ==∑ . Să se arate c ă
șirul de func ții este uniform convergent c ătre o func ție derivabil ă
:f→¡¡ .
Soluție. Avem:
22
4442
1111
1cos|cos|11()()
1111.(1)npnpnpnp
npn
knknknkn
np
knkxkxfxfxkkkk
kknnpn++++
+
=+=+=+=+
+
=+−=≤≤<≤
≤=−<−⋅+∑∑∑∑
∑
Dar, 1, () 0nee<∀> . Deci, ()()npnfxfx e+−< , () 0e∀>

160
și 1 () ne∀>.
Așadar, conform cu Propozi ția 5.1.3 exist ă o funcție :f→¡¡ astfel încât
()()u
nfxfx→
¡. Funcțiile 2
4
1cos()n
n
kkxfxk ==∑ sunt derivabile și
2
2
1sin()n
n
kkxfxk =′=∑ .
În mod analog se arat ă că acest șir al derivatelor este, de asemenea, uniform
convergent c ătre o func ție :q→¡¡ .
Conform cu Propozi ția 5.1.4 func ția :f→¡¡ este derivabil ă și
'()()fxqx= .

EXERCIȚIUL 5.6.5 Să se determine mul țimea de convergen ță pentru
următoarele serii de func ții:
a)
1(2)(2)…(2), 0n
nxxxx∞
=−−−>∑ ;
b)
1ln(1), 0n
x
naan∞
=+> ∑ ;
c) 2
11
() nnxa∞
=+∑ .
Rezolvare. a) Pentru 2x= seria este evident convergent ă. Fie 0x>.
Atunci lim1n
nx
→∞=. Deci, exist ă un rang 0N astfel încât 0 () nN∀> termenii
seriei vor fi pozitivi. Deci, seria poate fi considerat ă ca serie cu termeni
pozitivi. I se aplic ă acestei serii criteriul Raabe-Duhamel și se obține:
1
1
1
1 11
()lim1lim()2n
n
nn
n nnx
fxnfxx+
→∞→∞
+ +− −== 
− lim1nn
n→∞+,
1
1
1
111limlimln121n
nn
nxx
xn+
→∞→∞
+−⋅=
−+.
Deci pentru ln1(,)xxe>⇔∈∞ , seria este convergent ă. Pentru xe= seria
este divergent ă. Deci, mul țimea de convergen ță a seriei este (,)e∞.
b) Seria este evident o serie cu termeni pozitivi () x∀∈ ¡ și 0a>. Folosind
criteriul raportului se ob ține:

161
1
1() ln(1)limlim()1ln(1)x n
n
nnn
nfx naafxna+
+
→∞→∞+ =⋅=++.
Dacă 1a<, adică pentru (0,1)a∈ , seria este convergent ă () x∀∈ ¡.
Pentru 1a=, seria este
1ln2
x
nn∞
=∑ care este convergent ă oricare ar fi 1n>.
Pentru 1a> are loc egalitatea:
111ln1ln1ln(1)lnn
n nn
xxxxaaa aa
nnnn−+++ ==+ .
Deci, 1
1111ln1ln(1)lnn n
xxx
nnnaa a
nnn∞∞∞
−
===++ =+ ∑∑∑ . Ținând cont de seria lui
Reimann, seria 1
1ln
x
na
n∞
−
=∑ este convergent ă () 2x∀> .
Deoarece 1ln1ln2n
xxa
nn+< , seria
11ln1n
x
na
n∞
=+∑ este convergent ă pentru
1x>. Deci, pentru 2x>, seria
1ln(1)n
x
na
n∞
=+∑ este convergent ă pentru
() 1a∀> .
c) Se observ ă că seria 2
11
() nnxa∞
=+∑ este o serie cu termeni pozitivi
() x∀∈ ¡. Folosind al treilea criteriu al compara ției se ob ține:
22limlim1()nnnn
xnnxa a
a→∞→∞==++ , () x∀∈ ¡. Deci,
11
nna∞
=∑ și 2
11
() nnxa∞
=+∑
au aceea și natură () x∀∈ ¡. Așadar, pentru 1a> seria 2
11
() nnxa∞
=+∑ este
convergent ă () x∀∈ ¡, iar pentru 1a≤ seria de func ții 2
11
() nnxa∞
=+∑ are
mulțimea de convergen ță vidă.

162
EXERCIȚIUL 5.6.6 Se consider ă seria de func ții 1
11()nn
nxx∞
−
=+−∑ . Să se
determine mul țimea de convergen ță a seriei și să se arate c ă mulțimea
10,2
 este o mul țime de uniform convergen ță.
Rezolvare. Termenul general al șirului sumelor par țiale al seriei
1
11()nn
nxx∞
−
=+−∑ este 1
11()n
kkn
n
kSxxx−
==+−=∑ .
Cum 0, (1,1)
1, x1lim, 1
nu exist ă pentru 1.→∞∈−
==∞>
 ≤− nnx
Sx
x
Deci, mul țimea de convergen ță a seriei este (]0,1. Din cele ar ătate anterior,
rezultă că 1
10, 121()0snn
nxx∞
−
=++→∑. Deci, 1:0,2f→¡, ()0fx= este suma seriei.
Din |0|n
nSx ee−<⇔< , () 0e∀> , se obțineln(,)lnNxxee=.
Se observ ă că mulțimea 1(,)0,,02Nxxee ∈>    este m ărginită de 0 și
ln
ln0,5e
. Deci, conform Propozi ției 5.2.2 rezult ă că 1
10, 121()0unn
nxx∞
−
=++→∑ .

EXERCIȚIUL 5.6.7 Să se determine mul țimea de convergen ță a
următoarelor serii de puteri:
a) 11
1 1n
n
n
nnx
nn+∞
=⋅
+∑ ;
b) 2
2
12cos(1)3n
nn
n
nnnxnp∞
=⋅⋅+∑ ;
c) 2
111n
n
nxn−∞
=+∑ .

163
Rezolvare.
a) Avem: 2211
22sup||supsupsup111 111nnn n
n
n nnnnnnna
n nnnn n+⋅====
 +++ +.
Deci, limsup||11n
nnaR w
→∞==⇒= . Deoarece conform cu Observa ția 5.3.3,
1Rw=. Din seria dat ă, pentru 1x= și 1 x=− , se obțin seriile 1
1 1nn
n
nn
nn+∞
=+∑ ,
1
1(1)
1nn
n
n
nn
nn+∞
=−
+∑ . Datorit ă faptului c ă:
1
limlim1 1n
n
n
n
nnnnnn
n nn n+
→∞→∞
== 
 + +  21
21lim
11n
n
n nn
n→∞

=+0111e⋅=,
rezultă că seriile nu sunt convergente. Deci, mul țimea de convergen ță a
seriei este ()1,1− .
b) Avem: 2
22||cos13n
n
nnnanp=⋅+. Cum 6cos13np=
și 2(31)2(32)1coscos332nn pp++== (s-au folosit schimb ările de func ție
3, nn→ 31, nn→+ 32 nn→+ ), se ob ține 2
2sup||1n
n
nnan=+. Deci,
limsup||n
nna w
→∞== 2
lim11nn
n→∞==+. Atunci 11 Rw== .
Pentru 1x= și 1 x=− , se obțin seriile numerice 2
2
12cos(1)3n
n
n
nnn
np∞
=⋅+∑ și
2
2
12(1)cos(1)3n
nn
n
nnn
np∞
=−⋅⋅+∑ . Se observ ă că șirul 2
22cos(1)3n
n
n nnnanp=⋅+
nu este convergent deoarece 3 1na→ și 31 0na+→. Într-adev ăr,

164
62
3 232(3)limlimlim[(3)1](1)nm
n nmnnnnmanm→∞→∞→∞===++1
21lim
11m
mn
m→∞

 =+011e=
(3)mn= ,
2(31)2
31 2313122(31)11limlimlim100[(31)1]2(1)2np
n nnppnnpnpanp+
+ ++→∞→∞→∞+=⋅=⋅=⋅=+++,
(31)pn=+ .
Cum termenul general al celor dou ă serii nu are limit ă, rezultă că seriile sunt
divergente. Deci, mul țimea de convergen ță a seriei de puteri este ()1,1− .
c) Avem: 2
111lim1lim
11n
n
nnn ne
nw−
→∞→∞=+==  +. Deci, 1Rew== .
Pentru xe=− și xe= se obțin seriile 2
1,
11n
n
ne
n∞
=+∑ 2
1(1)
11n
n
n
ne
n∞
=−⋅
+∑ .
Avem:
2
221
lim111 111n
nn n
nn neee
nnn→∞
== 
 +++ .
Se consider ă funcția 21
()1xx efxx=+. Se calculeaz ă:
2
21
11(1)
1
001limlim111x
xex
xxxxxxex
xxeex
xx−−
++
−−
→→ −− =+  ++, (1)
232000111limlimlim23262xxx
xxxexee
xxxxx→→→−−−===+++. (2)
Din (1) și (2) avem c ă
0lim()
xfxe
→= . Deci,

165
21limlim
11n
n nxefen
n→∞→∞==  +.
Așadar, seria 2
1 11n
n
ne
n∞
=+∑ este divergent ă.
Dacă se consider ă 2(1)
11nn
nnex
n−⋅=
+ 2nxe⇒→ și 21nxe+→− . Atunci
seria 2
1(1)
11nn
n
ne
n∞
=−⋅
+∑ nu este convergent ă. Deci, seria de puteri are mul țimea
de convergen ță (,)ee− .

EXERCIȚIUL 5.6.8 Să se determine raza de convergen ță și suma seriilor:
a) 21
1, 121n
nx|x|n− ∞
=<−∑ ;
b) 41
1, 141n
nx|x|n− ∞
=<−∑ ;
c) 43
1, 143n
nx|x|n− ∞
=<−∑ .
Rezolvare. a) Avem: 1,21nan=−
121limlim121n
nn
na nRan→∞→∞
++===−. Seria
este uniform convergent ă pe intervalul [0,](1,1)x⊂− . Se consider ă seria
geometric ă 22
1n
nt∞
−
=∑ , [0,]tx∈ care, de asemenea, este uniform convergent ă
și se poate integra termen cu termen. Deci,
21
22
2001111ln21121nxxn
nnxdtxtdtntx− ∞∞
−
==−===−−+∑∑ ∫∫.
b) Avem: 1,41nan=−
143limlim141n
nnna nRan→∞→∞++===−. Seria 42
1n
nt∞
−
=∑ este
uniform convergent ă pe intervalul [0,](1,1)x⊂− și se poate integra termen
cu termen și astfel se ob ține:

166
412
42
42200011111111ln411211412nxxxn
nnxtdtxtdtdtarctgxntttx− ∞∞
−
==− ===−=− −−−++ ∑∑ ∫∫∫.
c) Avem: 1,43nan=−
141limlim143n
nn
na nRan→∞→∞
++===−. Seria 44
1n
nt∞
−
=∑ este
uniform convergent ă pe intervalul [0,](1,1)x⊂− și se integreaz ă termen cu
termen. Deci,
43
44
220011111111ln43211412nxxn
nnxxtdtdtarctgxnttx− ∞∞
−
==− ==−=+ −+−+ ∑∑ ∫∫.

EXERCIȚIUL 5.6.9 Să se determine mul țimea de convergen ță și suma
următoarelor serii de puteri:
a) 2
1n
nnx∞
=⋅∑ ;
b) 4
0(4)!n
nx
n∞
=∑ ;
c)
0(1)(2)(1)n
nnnnx∞
=+++⋅∑ .
Rezolvare. a) Se observ ă că (1,1)CM=− . Se consider ă seria geometric ă
1n
nx∞
=∑ care este uniform convergent ă pe ()1,1− și se poate deriva termen cu
termen. Deci, dac ă se deriveaz ă egalitatea
1 1n
nxxx∞
==−∑ , se ob ține
1
2
11
(1)n
nnxx∞
−
==−∑ . Se înmul țește aceast ă egalitate cu x și se ob ține:
2
1 (1)n
nxnxx∞
==−∑ . Se deriveaz ă termen cu termen și se ob ține:
21
3
11
(1)n
nxnxx∞
−
=+=−∑ . Se înmul țește aceast ă egalitate cu x și se rezult ă:
2
3
1(1)
(1)n
nxxnxx∞
=+=−∑ .
b) Se ob ține ușor că CM=¡. Acum, se știe că:
2345678
1…1!2!3!4!5!6!7!8!x xxxxxxxxe=+++++++++

167
2345678
1…1!2!3!4!5!6!7!8!x xxxxxxxxe−=−+−+−+−++
2468
cos1…2!4!6!8!xxxxx=−+−++ .
Se observ ă că: 4
01(2cos)4(4)!n
xx
nxeexn∞
−
=++= ∑ .
c) Evident (1,1)CM=− . Se știe că seria geometric ă 3
0n
nx∞
+
=∑ este uniform
convergent ă pe ()1,1− . Dacă se deriveaz ă termen cu termen egalitatea
3
3
0 1n
nxxx∞
+
==−∑ , se obține:
32
2
2
023(3)(1)n
nxxnxx∞
+
=−++=−∑ .
Se deriveaz ă această egalitate termen cu termen și se obține:
32
1
3
0266(2)(3)(1)n
nxxxnnxx∞
+
=−+++⋅=−∑ .
În fine, dac ă se deriveaz ă termen cu termen, ob ținem:
4
06(1)(2)(3)(1)n
nnnnxx∞
=+++⋅=−∑ .

EXERCIȚIUL 5.6.10 Să se descompun ă în func ții simple func ția
432
62345()(1)xxxxfxx++++=−.
Rezolvare. Fie 432()2345Pxxxxx=++++ . Folosind formula lui Taylor
pentru polinoame, se ob ține:
()
234
4 1(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)1!2!3!4!xxxxPxPPPPP−−−−′′′′′′ =+⋅+⋅+⋅+⋅ ,
(1)15P=, 32()4664Pxxxx′=+++ , (1)20P′= ,
2()12126Pxxx′′=++ , (1)30P′′= , ()2412Pxx′′′=+ , (1)36P′′′=,
()4()24Px = , ()4(1)24P= .
Ținând cont de acestea, se ob ține:
234(1)(1)(1)(1)()15203036241!2!3!4!xxxxPx−−−−=+⋅+⋅+⋅+⋅ ,

168
Deci:
234()1520(1)15(1)6(1)(1)Pxxxxx=+−+−+−+− . (1)
Ținând cont de egalitatea (1), se ob ține:
432
623456234516152015
(1)(1)(1)(1)(1)(1)xxxx
xxxxxx++++=++++−−−−−−.
Observație. Această modalitate de descompunere în frac ții simple (în cazuri
de acest tip) este mult mai comod ă din punct de vedere al calcului, decât
metoda clasic ă de descompunere.

EXERCIȚIUL 5.6.11 Să se dezvolte în serie de puteri func țiile:
a) 1()ln, ||11-xfxxx+=< ;
b) 23(), (,3)(3,2)(2,)56xfxxxx=∈−∞−∪−−∪−∞++;
c) 2()ln(1), fxxxx=++∈ ¡;
d) 4()cos, fxxx=∈ ¡;
e) 66()sincos, fxxxx=+∈ ¡.
Rezolvare. a) Avem: 21
21'()(1), ||11fxxxx−==−<−. Dacă se înlocuie ște
2xt−= se obține
2112
00(1)(1)(1)nnn
nnxttx∞∞
−−
==−=+=−⋅= ∑∑ .
Deci,
2
0'(), 1n
nfxx|x|∞
==<∑ . (1)
Se știe că pentru 1 |x|< seria 2
0n
nx∞
=∑ este uniform convergent ă, deci se poate
integra termen cu termen pe [0,](1,1)x⊂− . Așadar, din egalitatea (1) se
obține:
21
2
0001ln , ||11-21nxn
nnxxxdxxxn+ ∞∞
==+==<+∑∑∫.
Deci, 21
01ln 1-21n
nxx
xn+ ∞
=+=+∑ .

169
b) Se observ ă că 2396
5632x
xxxx=−++++. Deci, 12 ()()()fxfxfx=+ ,
unde 19()3fxx=+, 26()2fxx=−+. Dar, 1
1()313xfx−=⋅+,
1
2()312xfx−=−⋅+. Funcția 1()fx se poate dezvolta în serie de puteri
pentru 3 |x|<, iar 2()fx se poate dezvolta în serie de puteri pentru 2 |x|<.
Ținând cont de acestea, rezult ă că funcția 12 ()()()fxfxfx=+ este
dezvoltabil ă în serie de puteri pentru 2 |x|<. Deci,
1
0()3(1)3n
n
n
nxfx∞
==−∑ și 2
0()3(1)2n
n
n
nxfx∞
==−−∑ .
Așadar, 1
2
03113(1), 25623nn
nn
nxx|x|xx∞
+
==−−< ++ ∑ .
c) Avem: 2211'()22(1)221(1)xfxxxxx+=−⋅=−+⋅++++.
Se observ ă că funcția 1 21()1(1)fxn=++ este dezvoltabil ă în jurul punctului
0 1 x=− pe orice interval [1,](2,0)x−⊂− și se ob ține
212
1
0()[1(1)](1)(1)nn
nfxxx∞
−
==++=−+ ∑ pentru (2,0)x∈− . Așadar, se
obține: 121
0'()2(1)(1)nn
nfxx∞
++
==−+∑ . Integrând aceast ă egalitate pe
intervalul [1,](2,0)x−⊂− , se ob ține 21
1
2
01(1)ln(1)211n
n
nx
xnn+ ∞
+
=+=−⋅+++∑ ,
(2,0)x∈− .
d) Deoarece 4 31coscos2cos444xxx=++ , se știe că:
2
0cos(-1), (2)!!n
n
nxxxn∞
==∈∑ ¡. De aici rezult ă că:
2
04cos2(1)(2)!!nn
n
nxxn∞
=⋅=−∑ și 2
016cos4(1)(2)!!nn
n
nxxn∞
=⋅=−∑ .
Ținând cont de acestea, se ob ține:
1
42
03416cos(-1), 44(2)!!nn
nn
nxxxn+ ∞
=+=+⋅∈⋅∑ ¡.

170
e) Deoarece 66 53cossincos488xxx+=+⋅ și 2
016cos4(1)(2)!!nn
n
nxxn∞
=⋅=−∑ ,
atunci 2
66
05316cossin(1)88(2)!!nn
n
nxxxn∞
=⋅+=+− ∑ .

EXERCIȚIUL 5.6.12 Să se calculeze:
a) 2
2
40coslimx
xxe
x−
→−;
b) 2 1limln1
xxxx→∞ −⋅+   .
Rezolvare Dacă ()nRx este restul de ordinul n din formula lui Taylor a
funcției ()fx dezvoltat ă în jurul punctului xa=, atunci are loc rela ția
()lim0()n
nxaRx
xa→=−. (1)
a) Știm că:
24
1
4 cos1()224xxxRx=−++ (2)
și
224
2 2
4 1()28nxxeRx−=−++ . (3)
Din (2) și (3) se ob ține: 2
12 2
44
444()() cos11
248x
RxRx xe
xxx−−=−+− . Atunci
ținând cont de (1), se ob ține:
2
2
40cos1lim12x
xxe
x−
→−=− .
b) Dacă se face substitu ția 1xt= se obține:
2
2200111ln(1)limln1limln(1)lim
xttttxxtxttt→∞→→ −+ −+=−⋅+=  ,
2
2 ln(1)()2tttRt+=−+ .
Atunci, 2
2200() ln(1)11limlim22ttRt tt
tt→→−+=+= .

171
EXERCIȚIUL 5.6.13 Să se calculeze cu patru zecimale exacte 2
1
2
0x
edx−∫.
Rezolvare. Seria Mac-Laurin a func ției 2
2 ()x
fxe−=
este 22
2
0(1)!x n
n
nxen∞−
==−∑ . Se integreaz ă aceast ă egalitate pe intervalul
[0,]x⊂¡ și se obține:
221
2
00(1)!(21)x nxn
nxedxnn+ ∞−
==−+∑ ∫.
Considerând 1x=, obținem:
2
12
001(1)!(21)x
n
nedxnn∞−
==−=+∑∫
11111111…310422161320936075600−+−+−+−+ .
Dacă se adun ă acești termeni, eroarea f ăcută este mai mic ă decât
11,5
75600105< . Calculând suma acestor frac ții prin lips ă și prin adaos la
zecimala a cincea se ob ține:
2
1
2
00,746810,74685x
edx−<<∫.
Deci, 2
1
2
00,7468…x
edx−<∫.

172
CAPITOLUL VI: FUNC ȚII REALE ȘI FUNCȚII
VECTORIALE

1. LIMITĂ. DEFINIȚII. PROPRIET ĂȚI GENERALE
După cum se știe, tipurile de func ții se clasific ă în func ție de natura
domeniului, respectiv codomeniului. În acest sens, exist ă următoarele tipuri
de funcții:

DEFINIȚIA 6.1.1
a) Funcțiile :fXY⊆→⊆¡¡ se numesc func ții reale de variabil ă reală și
au forma general ă () yfx= . De exemplu, ()() :,11,f−∞−∞→ U¡ ,
()
2
21
1xfxx+=−.
b) Funcțiile :mFXY⊆→⊆¡¡ se numesc func ții vectoriale din variabil ă
reală și au urm ătoarea form ă: ()()()() ( ) 12,,…,m Fxfxfxfx= unde ()1fx ,
oricare ar fi 1,im= se numesc protec țiile funcției vectoriale ()Fx și aceste
protecții sunt func ții reale de variabil ă reală. De exemplu,
()()2:1,11,F−∞→U¡ , () ()
2,ln11xFxxx=+−.
c) Func țiile :mfXY⊆→⊆¡¡ se numesc func ții reale de variabil ă
vectorial ă și au forma general ă ()( )12,,…,m yfxfxxx== . Aceste func ții
mai poart ă denumirea de func ții de mai multe variabile. De exemplu,
3:f→¡¡ , ()222,,1xyzfxyzxyz++=+++.
d) Funcțiile :mpFXY⊆→⊆¡¡ se numesc func ții vectoriale de variabil ă
vectorial ă și au forma ()()()() ( ) 12 ,,…,n Fxfxfxfx= unde
( )12,,…,m xxxx= iar func țiile ()ifx , oricare ar fi 1,ip= sunt func ții reale
de variabil ă vectorial ă. De exemplu, ()()2:0,0,1FD →¡,
()( )
22
22
22,ln1,1xyFxyxyxy
=++ −−, unde ()() 0,0,1D este discul cu
centrul în origine și de rază 1.
Aceste tipuri de func ții vor fi studiate în cele ce urmeaz ă din punct de
vedere al limitei și continuit ății.

173
Cel mai general cadru în care poate fi definit ă noțiunea de limit ă este atunci
când domeniul și codomeniul sunt înzestrate cu structura de spa țiu
topologic.
Cum spa țiul metric și spațiul vectorial normat sunt spa ții topologice,
noțiunea de limit ă are sens și atunci când domeniul și codomeniul sunt
înzestrate cu aceste structuri.
Limita unei func ții în punctul de acumulare 0x a lui X se define ște după
cum urmeaz ă:

DEFINIȚIA 6.1.2 (Limita în spa țiu topologic ) Fie :fXY→ , unde
()1,Xt și ()2,Yt sunt dou ă spații topologice oarecare. Se spune c ă funcția
()fx are limita l în punctul 0x și se scrie ()
0lim
xxfx
→=l dacă pentru orice
W vecinătate a lui l, există o vecin ătate V a punctului 0x, astfel încât
pentru orice 0 xxxVX≠∈∩ , rezultă ()fxW∈.

OBSERVAȚIA 6.1.1 Ca noțiunea de limit ă dată de Defini ția 6.1.2 s ă aibă
sens (limita s ă fie unic ă) trebuie ca spa țiile topologice ()1,Xt și ()2,Yt să
fie spații topologice separate (Haussdorf).

DEFINIȚIA 6.1.3 (Limita în spa ții metrice ) Fie :,→ fXY iar (),Xd și
(),Yr spații metrice. Func ția ()fx are limit ă Y∈l în punctul 0x și se
scrie () lim
o xxfx
→=l dacă pentru orice 0e>, există ()0 de> astfel încât
pentru orice ()()00 , xxdxx de ≠< rezultă ()(), fxre <l .

OBSERVAȚIA 6.1.2
a) Se știe că spațiul metric este un spa țiu topologic separat, de aceea limita
definită de Defini ția 6.1.3 este unic ă, deci no țiunea este bine definit ă.
b) Dacă se particularizeaz ă metricile d și r se obțin diverse forme
echivalente ale acestei defini ții.

Exemple.
1. X⊂¡, Y⊂¡ d metrica euclidian ă a lui ¡, adică modulul, atunci
Definiția 6.1.3 cap ătă forma cunoscut ă, adică:() lim
o xxfx
→=l dacă oricare ar

174
fi 0e>, există ()0 de>, astfel încât pentru orice ()0 xXxx de ∈−<
rezultă ()fx e−<l .
2. Defini ția 6.1.3, dac ă mX⊆¡ și pY⊆¡, pentru cazurile:
a) 2p≥, 1m=,
b) 2m≥, 1p=,
are următoarele forme:
a) Func ția este de forma :pFXY⊆→⊆¡¡ ,
()()()() ( ) 12,,…,p Fxfxfxfx= și în acest caz defini ția este:
()
0lim
xxFxL
→=, ( ) 12,,…,p L=lll dacă () 0e∀> , ()()0 de∃> a.î.
() ()00 xxXxx de ∀≠∈−< rezultă ()( )
2
1p
kk
kfx e
=−<∑ l .
b) Funcția este de forma :mfXY⊆→⊆¡¡ și în acest caz defini ția este:
()
0lim
xxfx
→=l, dacă () 0e∀> , ()()0 de∃> a.î.
() ( )()
2
00
1 m
kk
kxxXxx de
=∀≠∈−< ∑ rezultă ()fx e−<l .

DEFINIȚIA 6.1.4 (Limita în spa țiu vectorial normat ) Fie :fXY→ o
funcție și ()1,X⋅, ()2,Y⋅ spații vectoriale normate. Se spune c ă funcția
f are limita Y∈l în punctul 0x și se scrie () lim
o xxfx
→=l dacă oricare ar fi
0e>, există ()0 de> astfel încât pentru orice ()00 1xxxx de ≠−<
rezultă ()2fx e−<l .

OBSERVAȚIA 6.1.3
a) Deoarece spa țiile vectoriale normate sunt spa ții topologice separate,
limita definit ă de Defini ția 6.1.4 este unic ă. Particularizând normele 1⋅ și
2⋅se obțin definiții echivalente cu Defini ția 6.1.4.
b) Defini țiile 6.1.2, 6.1.3, 6.1.4 sunt defini ții echivalente, adic ă
considerând-o pe una ca defini ție, celelalte dou ă devin propozi ții care pot fi
demonstrate.

175
În cele ce urmeaz ă se vor considera func țiile vectoriale de variabil ă
vectorial ă, adic ă func ții de forma :nmFXY⊆→⊆¡¡ ,
()()()() ( ) 12 ,,…,m Fxfxfxfx= ,
unde :n
ifX⊂→¡¡ , ( )12,,…,n xxxx= .
Dacă 1n= și 2m≥, atunci se ob țin funcții vectoriale de variabil ă reală,
care au forma ()()()() ( ) 12,,…,m Fxfxfxfx= , x∈¡.
Dacă avem simultan 1n= și 1m=, atunci se ob țin funcții reale de variabil ă
reală.
Deoarece mul țimea numerelor reale este o mul țime ordonat ă, se poate stabili
dacă x converge c ătre punctul de acumulare 0x, crescător sau descresc ător
și astfel se poate defini limita la stânga, respectiv limita la dreapta în punctul
0x pentru func ția :fXY⊂→⊂¡¡ .

OBSERVAȚIA 6.1.4
a) Defini țiile limitei unei func ții într-un punct au fost date considerând
limita l, cât și punctul 0x finite. Cea mai utilizat ă dintre cele trei defini ții
ale limitei func ției într-un punct este Defini ția 6.1.3.
b) Pentru func țiile vectoriale de variabil ă vectorial ă, dacă se consider ă
metrica euclidian ă a lui n¡, respectiv m¡, atunci Defini ția 6.1.3 are
următoarea form ă:
() ( ) ( )
012 lim ,,…,mxxFxLL
→== lll
dacă pentru orice 0e>, există ()0 de>, astfel încât pentru orice xX∈ cu
proprietatea c ă:
()()
0
1n
ii
ixx de
=−<∑ rezultă ()( )
2
1m
jj
jfx e
=−<∑ l .
c) Defini țiile 6.1.2, 6.1.3, 6.1.4 pot fi particularizate pentru func țiile reale de
variabilă reală și în cazul în care =∞l sau 0x=∞, l finit, 0x=∞, 0x
finit, =∞l .

PROPOZIȚIA 6.1.1 Fie :fXY⊂→⊂¡¡ și 0 ' xX∈ un punct de
acumulare al domeniului de defini ție:
a) Dacă există , sdll în punctul 0x pentru func ția f și sd==lll , atunci
funcția f are limit ă în punctul 0x și această limită are valoarea l.
b) Dacă funcția f are limit ă l în punctul 0x, atunci exist ă sl și dl și
sd==lll .

176
Dacă se consider ă 2:fXY⊂→⊂¡¡ și ()00102 ,' xxxX=∈ , atunci, spre
deosebire de cazul când X⊂¡ există o infinitate de posibilit ăți ca punctul
()12, xxx= să convearg ă către punctul ()00102 , xxx= . Aceste posibilit ăți
sunt date de toate drumurile plane ce trec prin punctul ()00102 , xxx= . Prin
drum se în țelege orice curb ă plană regulat ă (continu ă și simplă). De
exemplu, graficele func țiilor elementare definite pe intervale [],ab din
domeniul de defini ție sunt drumuri.

PROPOZIȚIA 6.1.2 Funcția 2:fXY⊂→⊂¡¡ are limita în punctul
()00102 ,' xxxX=∈ dacă și numai dac ă pe orice drum ce trece prin acest
punct, func ția f are limit ă și aceste limite sunt egale.
Folosind Propozi ția 6.1.2, se poate ar ăta că o funcție nu are limit ă într-un
punct ca în exemplul urm ător.
Exemplu. Fie (), ffxy= și ()00,xy punctul în care se pune problema
limitei și () ygx= , () yhx= curbe ce trec prin punctul ()00,xy .
Dacă:
()() ()()
00
01 lim,lim,
xxxx
yy
ygxfxyfxgx
→→
→
=== l
și
()() ()()
00
02 lim,lim,
xxxx
yy
yhxfxyfxhx
→→
→
=== l
și
12≠ll .
Atunci func ția (), ffxy= nu are limit ă în punctul ()00,xy .

Propoziția 6.1.3 (Limita func țiilor vectoriale de variabil ă vectorială) Fie
()()()() ( ) 12 ,,…,m Fxfxfxfx= , ( )12,,…,n xxxx= o funcție vectorial ă de
variabilă vectorial ă. Funcția ()Fx are limita ( )12,,…,m L=lll în punctul
( )001020 ,,…,n xxxx= dacă și numai dac ă ()
0limjjxxfx
→=l, oricare ar fi
1,jm= .
Demonstrație. Într-adev ăr, ținând cont de Defini ția 6.1.4, punctul b) rezult ă
()
0lim
xxFxL
→= dacă:

177
()()() () ()() ()( )
2 2
0
110,0 a.î. nm
iijj
ijxXxxfx ededee
==
∀>∃>∀∈−<⇒−<
∑∑ l
Rezultă că () 'jjfx
mee −<=l , oricare ar fi 1,jm= . Dar, ținând cont de
limita unei func ții reale de variabil ă vectorial ă, rezultă ()
0limjjxxfx
→=l,
1,jm= .
Reciproca se demonstreaz ă în mod analog.

Observația 6.1.5
a) Funcția ()Fx are limita L în punctul 0x dacă și numai dac ă fiecare
proiecție a sa are limit ă în acel punct.
b) Ținând cont de Propozi ția 6.1.3, dac ă funcția ()Fx are limit ă în punctul
( )001020 ,,…,n xxxx= , atunci are loc egalitatea
() () () () ( )
000012 limlim,lim,…limmxxxxxxxxFxfxfxfx
→→→→= .
c) Dacă funcțiile ()Fx și () Gx , ( )12,,…,n xxxx= au limita în punctul
( )001020 ,,…,n xxxx= , atunci func țiile ()() FxGx± ; ()Fxl⋅ , l∈¡ au
limită în 0x și au loc egalit ățile:
()() ( ) () ()
000limlimlim
xxxxxxFxGxFxGx
→→→±=± ; () ()
00limlim
xxxxFxFxll
→→⋅= .

Un rol deosebit din punct de vedere practic îl are limita unei func ții definit ă
cu ajutorul șirurilor. Aceast ă problem ă este rezolvat ă de urm ătoarea
propoziție.

PROPOZIȚIA 6.1.4 Fie :pmfXY⊂→⊂¡¡ . Condi ția necesar ă și
suficient ă ca func ția ()Fx să aibă limita L în punctul 0 ' xX∈ este ca
oricare ar fi ()0 0 nnnxxx≥≠; nxX∈ și 0 nxx→ să rezulte c ă șirul
()()0nnFxL≥→ (unic).
Demonstrație. În defini ția dată de Observa ția 6.1.4, punctul b), dac ă se
înlocuiește:
( ) 12,,…,p xxxx= cu ( ) 12,,…,nnnnpxxxx=
și
()()()() ( ) 12 ,,…,m Fxfxfxfx= cu ()()()() ( ) 12 ,,…,nnnmnFxfxfxfx=

178
se obține Propozi ția 6.1.4 care mai poart ă denumirea de teorema lui Heine .

OBSERVAȚIA 6.1.6 a) Aceast ă propozi ție se enun ță mai general pentru
funcții :fXY→ , ,XY organizate ca spa ții topologice.
b) Ținând cont de Propozi ția 6.1.4, rezult ă că dacă există 0 nxx′→ și
0 nxx′′→ astfel încât unul din șirurile ()nFx′ sau ()nFx′′ nu este
convergent sau aceste șiruri sunt convergente cu limite diferite, atunci
funcția ()Fx nu are limit ă în 0x.

PROPOZIȚIA 6.1.5. (Criteriul Cauchy – Bolzano ) Fie :fXY→ ,
(),Xd și (),Yr spații metrice complete. Atunci ()
0lim
xxfx
→ dacă și numai
dacă 0e∀> , ()0 de∃>
astfel încât {}()()()()000 ,\,,,xxXxdxxdxx dede ′′′′′′∀∈<< să rezulte
că ()() ( ) , fxfxre′′′ <.

Algoritm pentru calculul limitelor pentru func țiile reale de variabil ă
vectorială

Fără a afecta generalitatea problemei, se vor considera func țiile reale de
două variabile.
Pentru a studia existen ța limitei ()
0
0lim,
xx
yyfxy
→
→ și eventual a o determina se
procedeaz ă astfel:
i) se consider ă fascicolul de drepte care trec prin punctul ()00,xy . Acest
fascicol are urm ătoarea ecua ție ()00 yymxx=+− , m∈¡.
ii) se calculeaz ă limita pe o dreapt ă oarecare din fascicol
() ( )() () ( )()
00
0
0000 lim,lim,
xxxx
yy
yymxxfxyfxymxxm
→→
→
=+−=+−= l .
iii) a) dac ă (), =ll m adică limita depinde de parametrul ,m funcția nu are
limită în punctul ()00,xy ( vezi Propozi ția 6.1.2.)
b) dac ă l=c (nu depinde de m) funcția poate s ă aibă sau să nu aibă
limită în punctul ()00,xy conform Propozi ția 6.1.2.
În cazul 30 b) studiul se continu ă astfel:

179
iv) dacă funcția nu are limit ă, există cel puțin un drum de ecua ție () ygx=
care trece prin punctul ()00,xy și are loc rela ția:
()()
0lim,
xxfxgx
→≠l.
v) dacă funcția are limit ă, ea nu poate fi decât constanta l și se
demonstreaz ă acest lucru folosind Defini ția 6.1.3 particularizat ă la funcțiile
reale de dou ă variabile ( 2p=, 1n=) sau criterii ale major ării.
Pentru calculul limitelor func țiilor de mai multe variabile se poate folosi
acest algoritm combinat cu tabelul limitelor fundamentale pentru func ții de
mai multe variabile.
Acest tabel este urm ătorul:
10 ()
()
0
0sin,lim1
,m
mxx
yyfxy
fxy→
→=
, dacă ()
0
0lim,0
xx
yyfxy
→
→=;
20 ()
()
0
0,lim1
,m
mxx
yytgfxy
fxy→
→=
, dacă ()
0
0lim,0
xx
yyfxy
→
→=;
30 ()
()
0
0arcsin,lim1
,m
mxx
yyfxy
fxy→
→=
, dacă ()
0
0lim,0
xx
yyfxy
→
→=;
40 ()
()
0
0,lim1
,m
mxx
yyarctgfxy
fxy→
→=
, dacă ()
0
0lim,0
xx
yyfxy
→
→=;
50 ()()
0
01
, lim1,fxy
xx
yyfxye
→
→+=, dacă ()
0
0lim,0
xx
yyfxy
→
→=;
60 () ( )
()
0
0ln1,lim,xx
yyfxy
fxyaa
→
→+=, dacă ()
0
0lim,0
xx
yyfxy
→
→=;
70 ()
()
0
0,1limln,fxy
xx
yyaafxy→
→−= , dacă ()
0
0lim,0
xx
yyfxy
→
→=.
Tabelul se poate generaliza la func ții de trei sau mai multe variabile.

DEFINIȚIA 6.1.4 Limitele ()
00limlim,
xxyyfxy
→→
, ()
00limlim,
yyxxfxy
→→
 se
numesc limite iterate . Mai general,
() () () ()( )
010112 limlim,,,
nnnxxxxfxxxl
sssss→→= KKK ,

180
unde s este o permutare a mul țimii { } 1,2,, nK , iar ls se nume ște limită
iterată. Pot exista !n limite iterate în ( )01020,,,n xxx K .
Între limita func ției (),fxy în punctul ()00,xy și limitele iterate în acest
punct exist ă următoarea leg ătură:

PROPOZIȚIA 6.1.6 Dacă există limita func ției într-un punct și una din
limitele iterate în acest punct, atunci acestea sunt egale.

OBSERVAȚIA 6.1.7 a) Dacă există două limite iterate distincte ale func ției
()fx în punctul 0x, atunci func ția nu are limit ă în acel punct.
b) Existen ța și egalitatea limitelor iterate nu implic ă existența limitei în
punctul 0x.
c) Existen ța limitei func ției ()fx în 0x nu implic ă existen ța limitelor
iterate.

DEFINIȚIA 6.1.5 Fie nv∈¡, 0v≠. Se define ște limita func ției ()fx în
punctul 0x după direcția v ca fiind ()
0lim
tfxtv
→+ .

PROPOZIȚIA 6.1.7 Dacă ()
0lim
xxfx
→∃ , atunci exist ă și limita func ției
()fx în punctul 0x după orice direc ție.

Exemplu . Să se arate c ă ( )2
2
1lim28
x
yxxy
→
→+= .
Soluție. Trebuie s ă arătam că ∀ 0e>, există ()0 de> astfel încât
() 2x de−< și () 1y de−< să rezulte c ă (),8fxy e−< , unde
()2,2fxyxxy =+ . Într-adev ăr,
()()()()()()2,822216241fxyxxyxy −=−+−−+−+− .
Deci,
()2
222,822216241
26431013,fxyxxyxy
ddddddd−<−+−−+−+−
<+++=+<

181
unde am considerat c ă ()0,1 d∈ . Pentru 13de<, rezult ă că
(),8fxy e−< și conform cu Defini ția 6.1.3, rezult ă că ()
2
1lim,8
x
yfxy
→
→=..
2. CONTINUITATEA

Noțiunea de continuitate a derivat din aspectul fizic sau geometric a
numeroase procese practice. Astfel, drumul parcurs de un proiectil în spa țiu
este o linie continu ă. Din punct de vedere matematic, no țiunea de
continuitate a unei func ții are sens (poate fi pus ă) numai dac ă domeniul și
codomeniul func ției sunt organizate ca: spa ții topologice, spa ții metrice sau
spații vectoriale normate.
În aceste cazuri, no țiunea de continuitate este definit ă după cum urmeaz ă.

DEFINIȚIA 6.2.1 (Continuitatea în spa ții topologice ) Fie ()1,Xt și
()2,Yt spații topologice și :fXY→ o funcție oarecare. Func ția f este
continuă în punctul 0xX∈ dacă oricare ar fi W vecinătate a lui ()0fxY∈,
există V vecinătate a lui 0x astfel încât ()fVW⊆ . Punctul 0xX∈ care
satisface aceste propriet ăți este punct de continuitate a func ției ()fx .

DEFINIȚIA 6.2.2 (Continuitatea în spa ții metrice ) Fie (),Xd și (),Yr
spații metrice și :fXY→ o funcție oarecare. Func ția f este continu ă în
punctul 0xX∈ dacă oricare ar fi 0e>, există ()0 de> astfel încât pentru
orice {}()()00\ , xXxdxx de ∈< rezultă ()() ( )0 , fxfxre <.

DEFINIȚIA 6.2.3 (Continuitatea în spa ții vectoriale normate ) Fie
()1,X⋅ și ()2,Y⋅ spații vectoriale normate și :fXY→ o func ție
oarecare. Func ția f este continu ă în punctul 0xX∈ dacă oricare ar fi
0e>, exist ă ()0 de> astfel încât pentru orice
{} ()00 1\ xXxxx de ∈−< rezultă ()()02fxfx e −< .

OBSERVAȚIA 6.2.1
a) Spre deosebire de no țiunea de limit ă care are sens numai în punctele de
acumulare ale domeniului de defini ție, noțiunea de continuitate are sens,
după cum se observ ă din cele trei defini ții, numai în punctele domeniului de
definiție.

182
b) Noțiunea de continuitate este o particularizare a no țiunii de limit ă.
Particularizarea const ă în faptul c ă limita l este înlocuit ă cu ()0fx , iar
0xX∈.
c) Cea mai des utilizat ă definiție a continuit ății este Defini ția 6.2.2, aceast ă
definiție pentru func țiile vectoriale cap ătă următoarea form ă:
Funcția :nmFXY⊂→⊂¡¡ , ()()()() ( ) 12 ,,…,m Fxfxfxfx= unde
( )12,,…,n xxxx= este continu ă în punctul ( )001020 ,,…,n xxxxX=∈ dacă
oricare ar fi 0e>, există ()0 de> astfel încât pentru orice
{}()()
2
00
1\ n
ii
ixXxxx de
=∈−< ∑ rezultă ()() ( )
2
0
1m
jj
jfxfx e
=−<∑ .

PROPOZIȚIA 6.2.1 Fie :nmFXY⊂→⊂¡¡ o funcție vectorial ă de
variabilă vectorial ă. Condiția necesar ă și suficient ă ca func ția ()Fx să fie
continuă în punctul 0xX∈ este ca orice proiec ție a sa s ă fie continu ă în
acest punct.
Demonstrație. Se consider ă ()()()() ( ) 12 ,,…,m Fxfxfxfx= continu ă în
( )001020 ,,…,n xxxx= și se demonstreaz ă că ()jfx , 1,jm= sunt continue în
0x.
Într-adev ăr, ținând cont de Observa ția 6.2.1 b), rezult ă ()Fx continuă în 0x
dacă:
()()() () {}()()
() () ( )
2
00
1
2
0
10,0 a.î. \
.n
ii
i
m
jj
jxXxxx
fxfxedede
e=
=∀>∃>∀∈−<⇒
⇒−<∑
∑
Deci, rezult ă că:
()()
0 jjfxfx
me−< , oricare ar fi 1,jm= .
Dar, ținând cont de continuitatea func țiilor reale de variabil ă vectorial ă,
rezultă ()jfx continuă în 0xX∈, oricare ar fi 1,jm= .
Reciproca se demonstreaz ă în mod analog.

183
Ținând cont de defini ția limitei și definiția continuit ății sunt evidente
următoarele propozi ții care au o mare utilitate practic ă în studiul
continuit ății.

PROPOZIȚIA 6.2.2 Fie :fXY→ o funcție oarecare. Func ția f este
continuă în punctul 0xX∈ dacă și numai dac ă ()()
00 lim
xxfxfx
→= .

PROPOZIȚIA 6.2.3 Fie :fXY→ o func ție oarecare. Func ția f
continuă în punctul 0xX∈ dacă și numai dac ă pentru orice șir
()0 nnnxxX≥∈ , 0 nxx≠, 0 nxx→ rezultă ()()0nnfx≥ este șir convergent și
are limita ()0fx .
Pentru func țiile de mai multe variabile exist ă două tipuri de continuit ăți,
continuitate par țială și continuitate global ă. Legătura dintre aceste tipuri de
continuitate este dat ă în următoarele dou ă propoziții.

PROPOZIȚIA 6.2.4 Fie :nfXY⊂→⊂¡¡ o funcție reală de variabil ă
vectorial ă. Dacă funcția f este continu ă în 0xX∈, atunci f este continu ă
în raport cu fiecare variabil ă ix, 1,in= în parte (continu ă parțial).
Demonstrație. Fie f continu ă în ( )001020 ,,…,n xxxx= . Ținând cont de
continuitatea func țiilor reale de variabil ă vectorial ă rezultă că pentru orice
0e> există ()0 de> astfel încât oricare ar fi
{}()()
2
00
1\ n
ii
ixXxxx de
=∈−< ∑ rezultă ()()0 fxfx e −< . Relația
anterioar ă ()()
2
0
1n
ii
ixx de
=−<∑ este satisf ăcută și de ( )1020 ',,…,n xxxx= .
Dar aceast ă relație pentru 'xcapătă următoarea form ă: oricare ar fi
1 10 x xprX∈ verifică relația ()101xx de −<
și ( )( )10203001020,,,…,,,…,nn fxxxxfxxx e −< . Deci, rezult ă că funcția
()fx este continu ă în punctul 0x în raport cu variabila 1x.
În mod analog se demonstreaz ă continuitatea cu 23,,…,n xxx .

PROPOZIȚIA 6.2.5 Dacă funcția :nFXY⊂→⊂¡¡ este continu ă în
punctul 0xX∈ în raport cu fiecare dintre variabilele ix, 1,in= în parte nu

184
se poate afirma nimic despre continuitatea global ă a funcției în punctul 0x
(în raport cu ansamblul variabilelor).
Demonstrație. Se consider ă un contraexemplu, adic ă se alege o func ție care
este continu ă parțial în raport cu variabilele sale, dar care nu este continu ă
global. Fie 2:f→¡¡ , ()
4
63, 0,
0 , 0 xyxyfxy xy
xy⋅⋅≠ =+
⋅=  și se arată că, deși în
punctul ()0,0O este continu ă, atât în raport cu x, cât și în raport cu y nu
este continu ă global în acest punct.
Într-adev ăr, din:
()
4
6300lim,lim0
xxxyfxyxy→→⋅==+ și ()0,0fy =
rezultă că (),fxy este continu ă în raport cu x în punctele ()0,,yy∈¡
deci și în ()0,0 .
()
4
6300lim,lim0
yyxyfxyxy→→⋅==+ și ()0,0fy =
rezultă (),fxy este continu ă în raport cu y în punctele (),0x oricare ar fi
x∈¡ deci și în ()0,0 . Dar,

()()
32
632000
0lim,limlim01xxx
y
xyxxfxyxxx→→→
→
====++, (1)

()()
26
6600
01lim,lim2xx
y
yxxfxyxx→→
→
===+. (2)
Din (1) și (2) rezult ă că funcția (),fxy nu are limit ă în punctul ()0,0 , deci
ea nu este continu ă în acest punct în raport cu ansamblul variabilelor.

OBSERVAȚIA 6.2.2
a) Ținând cont de Propozi țiile 6.2.4 și 6.2.5 rezult ă că pentru func țiile reale
de variabil ă vectorial ă (funcțiile de mai multe variabile) exist ă continuitate
globală și continuitate par țială și că orice func ție continu ă globală este
continuă și parțial, dar reciproc nu.
b) Punctul 0x care nu este punct de continuitate pentru func ția f se va
numi punct de discontinuitate al acestei func ții.
c) Pentru func țiile reale de variabil ă reală există trei tipuri de discontinuit ăți:

185
– discontinuitate de spe ța întâi;
– discontinuitate de spe ța a doua;
– discontinuitate de spe ța a treia;
Acestea se definesc astfel.

DEFINIȚIA 6.2.4
a) Punctul 0xX∈⊂ ¡ este punct de discontinuitate de spe ța întâi pentru
funcția :fXY⊂→⊂¡¡ dacă există sl, dl finite și diferite sau
()0 sd fx =≠ll .
b) Punctul 0xX∈⊂ ¡ este punct de discontinuitate de spe ța a doua
pentru func ția :fXY⊂→⊂¡¡ dacă sl sau dl au valori infinite.
c) Punctul 0xX∈⊂ ¡ este punct de discontinuitate de spe ța a treia
pentru func ția :fXY⊂→⊂¡¡ dacă sl sau dl nu exist ă.

DEFINIȚIA 6.2.5 (Prelungirea prin continuitate ) Fie :fX⊂→¡¡ și
0x punct de acumulare ce nu apar ține lui X⊂¡. Dacă ()
00lim
xxyfx
→= , 0y
finit, atunci func ția
()()
00,
, fxxXfx
yxx∈ == %
se numește prelungirea prin continuitate în punctul 0x a funcției ()fx .
Pentru func țiile reale de variabil ă reală, pe lâng ă noțiunea de continuitate
mai apare și noțiunea de continuitate uniform ă care se define ște după cum
urmează.

DEFINIȚIA 6.2.5 (Continuitatea uniform ă) Fie :fX⊂→¡¡ . Se
spune că funcția ()fx este uniform continu ă pe mulțimea X dacă: pentru
orice 0e>, exist ă ()0 de> astfel încât pentru orice
() ','' '''xxXxx de ∈−< să rezulte c ă ()() '''fxfx e −< .

OBSERVAȚIA 6.2.3 a) Dacă continuitatea este o no țiune punctual ă, adică
ea are sens într-un punct 0xX∈, continuitatea uniform ă este o proprietate
globală, adică ea are sens sau se pune pe o întreag ă mulțime .X
Fenomenele practice a c ăror modelare matematic ă conduce c ătre funcții
uniform continue sunt fenomene pentru care se poate asigura un proces de
prognoză. De aceea, uniform continuitatea este foarte important ă.

186
b) Uniform continuitatea se poate generaliza pentru func ții în care domeniile
și codomeniile sunt spa ții metrice, astfel: func ția :fXY→ , unde
()() ,,,XdX r sunt spa ții metrice, este uniform continu ă pe X dacă 0e>,
()0 de∃> astfel încât ()() ','' '','xxXdxx de ∀∈< să rezulte c ă
()() ( ) '','. < fxfxre
În continuare, se dau câteva propriet ăți ale func țiilor continue și uniform
continue. Propriet ățile se enun ță pentru func ții reale de variabil ă, dar sunt
valabile pentru orice func ție definit ă pe un spa țiu metric și având ca și
codomeniu tot un spa țiu metric.

PROPOZIȚIA 6.2.6 Fie [] :,fab →¡.
a) Dacă f este o func ție monoton ă, atunci aceasta poate avea numai puncte
de discontinuitate de spe ța I și acestea formeaz ă o mulțime cel mult
numărabilă.
b) Dacă f este continu ă, atunci f este o func ție mărginită și își atinge
marginile.

PROPOZIȚIA 6.2.7 Fie [] :,fab →¡. Dacă funcția f este continu ă pe
[],ab, atunci ea este uniform continu ă pe [],ab.
Demonstrație. Se presupune c ă f nu este uniform continu ă pe [],ab. Deci
() 0e∃> , ()()0 de∀> astfel încât ()'x∃ , [] () '', '''ab xxxde∈−< să
rezulte:
()() '''ffxxe−> . (1)
Dacă se consider ă ()1
nde= și se dau lui n valorile 1,2,3,K, se obțin două
șiruri ()1'nnx≥ și ()1''nnx≥ cu proprietatea c ă [] ','',nn ab xx ∈ și
1'''nnnxx−< , 1,2,3,…n= . Deci, șirurile sunt m ărginite și conform lemei
lui Cesaro exist ă subșirurile convergente ()'
pnx , ()''
pnx către aceea și limită
x deoarece 1'''
ppnnnxx−< . Cum f este continu ă pe [],ab, rezultă
()() '
pnffxx→ și ()() ''
pn ffxx→ , adică ()() '''
ppnnffxxe−< .
Această inegalitate intr ă în contradic ție cu egalitatea (1). Deci, presupunerea

187
că ()fx nu este uniform continu ă pe [],ab este fals ă. Această propoziție se
numește Teorema lui Cantor .

OBSERVAȚIA 6.2.4 Ținând cont de defini ția celor dou ă noțiuni rezult ă că,
continuitatea uniform ă implică continuitatea, dar reciproca nu este general
valabilă. Propozi ția 6.2.7 pune în eviden ță condițiile particulare în care și
reciproca este adev ărată.
DEFINIȚIA 6.2.7 Fie :fX⊂→¡¡ o funcție reală de variabil ă reală.
Dacă pentru orice ',''xxX∈, exist ă 0 M> astfel încât
()() ''''''fxfxMxx−<− , atunci func ția f se nume ște funcție de tip
Lipschitz sau o funcție lipschitzian ă.

PROPOZIȚIA 6.2.8 Orice func ție lipschitzian ă este o func ție uniform
continuă.
Demonstrație. Într-adev ăr, în defini ția uniform continuit ății, dacă se alege
()Mede= , pentru orice 0e> atunci din condi ția Lipschitz se ob ține că
()()
'''fxfxMMee −<= . Deci,
() ()()
''''''xxfxfxMedee−<=⇒−<,
relație care define ște uniform continuitatea.

PROPOZIȚIA 6.2.9 Fie :fX→¡ o funcție continu ă în punctul 0xX∈
astfel încât ()0 fx> (()0 fx<), unde (),Xd este un spa țiu metric. Atunci
funcția f este pozitiv ă (negativ ă) pe o vecin ătate a lui 0x.

PROPOZIȚIA 6.2.10 Fie [] :,fab →¡. Dacă:
i) f continuă,
ii) ()()0 fafb⋅< ,
atunci exist ă ()0 , xab∈ astfel încât ()00 fx=.

PROPOZIȚIA 6.2.11 Dacă f este o func ție continu ă pe intervalul
compact [],ab, atunci f are proprietatea lui Darboux.
Demonstrație. După cum se știe, pentru a ar ăta că o funcție are proprietatea
lui Darboux trebuie ar ătat că atunci când trece de la o valoare 0y la o

188
valoare 1y, ia toate valorile cuprinse între 0y și 1y cel puțin o dat ă
(01yy<). În condi țiile din ipotez ă, ținând cont de Propozi ția 6.2.6 b),
rezultă că există fm și fM. Deci, în mod normal, pentru a ar ăta că o funcție
are proprietatea lui Darboux trebuie ar ătat că există ()0 , xab∈ astfel încât
()0fx a=, oricare ar fi () ,ffmM a∈ . Într-adev ăr, se consider ă funcția
()() gxfx a =− . Cum func ția f este o func ție continu ă pe [],ab, rezultă
g este continu ă pe [],ab. Fie [] ','', ab xx∈ astfel încât ()'fmf x= și
()''fMf x= . Atunci,
()()
()()()()
''0'''0''''0f
fgfmgggfMxxaaxxxxaa=−=−< ⇒< =−=−> 
Cum func ția g este continu ă pe [],ab, conform Propozi ției 6.2.10 rezult ă
că există ()0 ','' x xx∈ astfel încât ()00 gx=, ()()00 0 gxfx a =−= . Deci,
()0fx a=.

OBSERVAȚIA 6.2.5
a) Proprietatea lui Darboux nu este o proprietate caracteristic ă funcțiilor
continue, adic ă există funcții care nu sunt continue, dar au proprietatea lui
Darboux.
b) Dacă []0, Cab este mul țimea func țiilor continue pe intervalul [],ab și
[],Dab este mul țimea func țiilor care au proprietatea lui Darboux pe [],ab,
atunci are loc rela ția:
[][]0,, CabDab ⊂ .

Definiția 6.2.6 poate fi generalizat ă și pentru func țiile :nmFE⊂→¡¡
astfel.

DEFINIȚIA 6.2.8 Funcția ()Fx este uniform continu ă pe E dacă pentru
orice 0e>, există ()0 de> astfel încât oricare ar fi ',''xxE∈, cu
() '''xx de −< , să avem ()() ''' FxFx e −< .

189
PROPOZIȚIA 6.2.12 Funcția vectorial ă de variabil ă vectorial ă
:nmFE⊂→¡¡ este uniform continu ă pe E dacă și numai dac ă toate
proiecțiile sale :n
ifE⊂→¡¡ , 1,im= sunt uniform continue pe E.
Demonstrație. Se folosesc inegalit ățile evidente:
()()()() ()()2
1'''''''''n
iiii
ifxfxFxFxfxfx
=−≤−≤− ∑ .

PROPOZIȚIA 6.2.13 Dacă ()Fx este uniform continu ă (în raport cu
ansamblul variabilelor) pe E, atunci ea este uniform continu ă cu fiecare
variabilă în parte ix pe
iOxprE , 1,in= .
Reciproca nu este în general valabil ă.
Demonstrație. Modul de ra ționare este cel din Propozi ția 6.2.4 ținând cont
de Defini ția 6.2.8.
Pentru a ar ăta că reciproca nu este în general valabil ă se folose ște un
contraexemplu.
Fie [][] :1,11,1f−×−→ ¡,
()
22
22
22, dacă 0
,
0, dac ă 0.xyxyxy fxy
xy+> +=
+= 
Fie ()[][] 00,1,11,1xy∈−×− arbitrar, dar fixat. Funcțiile par țiale
[] :1,1f−→ ¡, ()
0
0 22
0,xyfxyxy=+ și [] :1,1f−→ ¡, ()
0
0 22
0,xyfxyxy=+
sunt uniform continue.
Dar, (),fxy nu este continu ă în origine. Deci, nu este uniform continu ă pe
[][] 1,11,1−×− .

Propoziția 6.2.14 Fie :nmFE⊂→¡¡ .
a) Dacă E este compact ă și F este continu ă pe E, atunci F este
mărginită.
b) Dacă E este compact ă și F continu ă pe E, atunci F este uniform
continuă pe E.
c) Dacă F continuă și E compact ă, atunci () FE este compact ă.
Demonstrație. Pentru demonstra țiile propriet ăților a), b), c) se ra ționează ca
la funcțiile reale de variabil ă reală (înlocuind modulul cu norma euclidian ă
pe n¡, respectiv m¡).

190
OBSERVAȚIA 6.2.6 Dacă funcția este real ă de mai multe variabile atunci
proprietatea a) din Propozi ția 6.2.13 are urm ătoarea form ă:
O funcție reală de mai multe variabile continu ă pe mul țimea compact ă
nE⊂¡ este mărginită și își atinge marginile.

PROPOZIȚIA 6.2.15 Suma și produsul unui num ăr finit de func ții uniform
continue este o func ție uniform continu ă.

3. EXERCIȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 6.3.1 Să se calculeze urm ătoarele limite:
a) ()
sin
3 sin
20sin coscoslim,sinx
xx
xx xx
xx−
→−


b) ()()
() ()
sin2sin
0ln1ln1lim,11xx
xxx ee
xarctgxarctgx→ +−− −
+−−
c) ()
()
1 2
2111 …lim,1 1nn n
xnxnx xxxn
x x+
→⋅−++ +++−− − 
d) lim,, 0xaxaaa
xaxaaaaxaxa→−−> −−
Soluție. Dacă 2:FXY⊂→⊆¡¡ unde ()()() ( ) 12, Fxfxfx= atunci
() () () ( )
00012 limlim,lim
xxxxxxFxfxfx
→→→=
a) Avem:
() ()
sinsin
33 coscos
22000sinsin coscoscoscoslim,lim,limsinsinxx
xxxx
xxxxx xxxx
xxxx−−
→→→−−=.
Pentru a calcula 3
20coscoslimsinxxx
x→− se procedeaz ă astfel:
()
66 3232 3
222coscoscoscoscoscos
sinsinsinxxxxxx
xxxx−−−==⋅Ε,
unde ()
666666 151413121110coscoscoscoscoscos Exxxxxxx=+++++ .
Este evident c ă ()
0lim6
xEx
→=. Dar,

191
( )
()
222 32
22
222cossincoscos1 coscos 2
sinsin4sincos22xxxx xx
xx xExEEx−⋅−− −===⋅⋅⋅⋅

()
2
2cos
2cos2x
xEx=−
⋅.
Deci,
()
2 3
2
2coscoscos
sin2cos2xxx
x xEx−=−
⋅.
Așadar, avem c ă:
()
2 3
2002coscoscos1limlimsin122cos2xxxxx
x xEx→→−=−=−
⋅.
Avem:
sin1
1 sin11sin sin sin1 1sin
000sinsinsinlimlimlim11x
x
x x
x x xx x
x x
xxxxxx
xxx−
−−− −
→→→ ==+−=    
sin
1
sin1
0sin1lim11x
x
x
x
xx
xe−
−
→=+−=.
Așadar, sin
3sin
20coscossin11lim,,sin12x
xx
xxxx
xxe−
→−  =−  .
b) Se procedeaz ă ca la punctul anterior și se calculeaz ă:
sin2sin
0limxx
xee
x→− și ()()
() ()
0ln1ln1lim11xxx
arctgxarctgx→+−−
+−−.
Avem:

( )sinsin2sinsin2sinsin2sin
sin1 sin2sin
sin2sinxxxxxxx
xee eeexxexxxxx−− ⋅− −−==⋅⋅=−
( )
sin2sin
sin 1sin2cos1sin2sinxx
xexexxxx−−=⋅⋅⋅−−.

192
Ținând cont de aceasta se ob ține:
( )
sin2sinsin2sin
sin
001sinlimlim2cos11ln111sin2sinxxxx
x
xxeeexexexxxx−
→→−−=⋅⋅⋅−=⋅⋅⋅=−.
Cum
()()
() ()22
222 12ln1 lnln1ln1 2 1 12
222 111
212x xx
xx x x xx
xxx arctgxarctgxxarctgarctgxxx ++ +−− − − −−==⋅⋅+−−−
−−−,
obținem:
()()
() ()
22
00
22 2ln1ln1ln1 2 1 2limlim112222 111
12xxx x
xx x x x
xx arctgxarctgxxarctgxx→→++−− − − −=⋅⋅=⋅⋅=+−−−
−−.
Așadar, ()()
() ()()
sin2sin
0ln1ln1lim,1,211xx
xxx ee
xarctgxarctgx→ +−− −=  +−−.
c) Avem:
()
()()()
()
1 123
2211 11 …1
1 11nn nn nnnn nxxx nxnx nxxxxx
x xx+ −−− ⋅−−− ⋅−+⋅+ −−−−−−===− −−
()()()()( )()( )12321211111…1…1
1nnnnnxxxxxxxxxxxxx
x−−−−−−+−++−++++−++++
==−
()( )( )12321211……1nnnnnxxxxxxxxx−−−−−=+++++++++++ .
Deci,
()
()()( )
()
1
121
20011limlim1…1
1
1123….2nn
nnn
xxnxnxxxxxx
x
nnn+
−−+
→→⋅−++=+++++=−
+=++++=
Avem:
()()()()( )122 111…1…1 …
11nnn xxxxxxx xxxn
xx−−−+−+++−++++ +++−==−−
()( )1211……1nnxxxx−−=++++++++ .
Deci: ()( ) ( )
()
2
12
11…limlim11……11
112….2n
nn
xxxxxnxxxxx
nnn−−
→→+++−=++++++++=−
+=+++=

193
Așadar,
()
()( )()()
2 1
21…
1111
lim,,122 1n nn
xxxxn nxnxnnnn
x x+
→ +++− ⋅−++++

 =

 − −

.
d) Avem:
xaxaaa
xaxxxa
xaxaxa
−−−
=+
−−−
. Dar,
()
1
ln
ln1xaxa
aa xxxt
xxx
xaxat−−−
=⋅=⋅
−−+,
unde
1
xatx−
=−
.
Deci, ()()
0
limlimlnlimln
ln1xa
aa
xaxatxxt
xxaa
xat→→→−=⋅⋅==⋅−+.
Acum,
lnlnlnln
lnln1lnln
lnln
ln11.lnlnaaaxaaaxaa
a
axaa
a
xaeeeaxaa
axaxaaxaaxa
xa
e aaaaxaaxa−
−−−−−
==⋅=
−−−−
−+− =⋅⋅−−
Deci, lnln ln11limlimlim11lnlnxaaxaa
aaa
xaxaxaxa
xxe a
aaa
xa xaaxaa
a−
→→→−+−− 
=⋅⋅=⋅⋅=
− −−.
Așadar, am ob ținut că:
()
limlnln1
xa
aaa
xaxaaaaaa
xa
→−
=⋅+=+
−
.

Limita anterioar ă se poate generaliza astfel:
lim
xa
aa
xa
aa
xa
→−
−.
Cum:
11
xaxa
aaaaaxa
aa
xaaaaaaa
xaaaxa
−−
−−−
=⋅⋅⋅
−−−
, atunci:
2 11
limlimlimln
xaxa
aaaaaaxa
aaaa
xaxaxaxaaaaa
aaaaa
xaaaxa
−−
→→→−−−=⋅⋅⋅=⋅⋅−−−.
Deci, avem c ă:
() ( )
2lim,ln1,lnxa
axaaa
aaa
xaxaaa
aaaaa
xaxa→−−=⋅+⋅⋅ −−.

194
EXERCIȚIUL 6.3.2 Să se cerceteze dac ă funcțiile au limit ă în punctele
specificate și în caz afirmativ s ă se calculeze:
a) ()
1,1xyfxyarctgxyxy+=⋅⋅−, ()() ,0,0xy= ;
b) () ( )22 1,ln1fxyxyxy=⋅++⋅,()() ,0,0xy= ;
c) ()32
44,xyfxyxy⋅=+, ()() ,0,0xy= ;
d) ()
,1yxyfxyarctgxxy+=⋅−, ()() ,0,0xy= ;
e) ()
22
2211,xyfxyxy⋅+−=+, ()() ,0,0xy= ;
f) ()
2
22,xyfxyxy=+, ()() ,0,0xy= ;
g) ()33
22,xyfxyxy+=+, ()() ,0,0xy= ;
h) ()22,xyfxyxy=+, ()() ,0,0xy= ;
i) ()22
22,xyfxyxy−=+, ()() ,0,0xy= .
Soluție. a) Fie ymx= un fascicul de drepte ce trece prin punctul ()0,0 .
Avem:
()()
()()
()
2
22 2200
21
11 1 1limlim1 1 1
1xxmxarctgmxmxmxarctgmx mxmx mxmx
mx→→−
+−−⋅=⋅+ − −⋅
−.
Această limită nu exist ă deoarece pentru func ția ()()
21
1mgx
mxmx+=
−⋅,
()
0lim
xgx
Z și ()
0lim
xgx
] sunt infinite și de semn contrar. Deci, nu exist ă
0
01lim1x
yxyarctgxyxy→
→+⋅−.
b) Se procedeaz ă analog ca la punctul a) și avem:

195
()()
()()
22 22
2
22
22 2200ln11 1 11limln11lim
1xxmx mx
m
mx
mxmxm
mx→→++⋅ +⋅ + ⋅++⋅=⋅=+⋅
.
Deoarece aceast ă limită depinde de
m
, rezultă că nu exist ă
( )
22
0
01limln1
x
y
xy
xy→
→⋅++ .
c) Ca și la punctele anterioare, se calculeaz ă:
()
252
4 4400
limlim0
1 1xxmxmx
m mx→→
==
+ +.
Dacă
32
44
0
0lim
x
y
xy
xy
→
→
⋅
+
există, ea nu poate fi decât
0
. Dar, este evident c ă
3232
44221
0
22xyxyxxyxy⋅⋅
<=→
+. Deci, conform criteriului major ării avem c ă
32
440
0
lim0
x
yxy
xy→
→⋅
=
+.
d) Se observ ă că ()()
()
1,1
1xyarctg
yxy
xyfxyxy
xxy
xy
+
+
−=⋅+ −
−.
Dar,
0
01
lim1
1x
yxyarctgxy
xy
xy→
→
+
−
=
+
−. Se cerceteaz ă dacă există ()
()
0
0lim1x
y
yxy
xxy
→
→+
−. Avem:
()
()()
2 2001
limlim0
1 1xxmxxmxmxm
mx xmx→→++
==
− −.
Se consider ă curba
yx
= care trece prin ()
0,0
și avem c ă:
()
()()
()
0001
limlimlim1
1 1 1xxx
yxxxx yxy x
xxy xx xxx→→→
=+ + +
===
− − −

196
Deci, rezult ă că limita ()
()
0
0lim1x
yyxy
xxy→
→+
− nu exist ă. Deci, nici limita
0
0lim1x
yyxyarctgxxy→
→+⋅− nu exist ă.
e) Avem: 22 22
22222211 1
11xy xy
xyxy xy⋅+− ⋅=⋅++ +⋅+.
Dar,
22 0
011lim2 11x
y xy→
→=
+⋅+. Se cerceteaz ă dacă există 22
220
0lim
x
yxy
xy→
→⋅
+. Avem:
()
2222422
2222 22000limlimlim01 1xxxxmxmxmx
xmxm mxx→→→⋅===++ +.
Dacă există această limită nu poate fi decât 0. Cum:
2222
221022xyxyxyxyxy⋅⋅<=⋅→+⋅,
atunci conform criteriului major ării avem 22
220
0lim0
x
yxy
xy→
→⋅=+. Așadar, am
obținut că 22
220
011lim0
x
yxy
xy→
→⋅+−=⋅.
f) Avem: 2
222200limlim01xxxmxxm
xmxm→→⋅==++. Cum 22
221022xyxyxxyxy⋅⋅<=→+,
atunci 2
220
0lim0
x
yxy
xy→
→⋅=+.
g) Avem: ()3333
2222001
limlim01xxxm xmx
xmxm→→+ +==++. Cum
()
222223
222222
22
22330.22xyxxyyxyxyxy xy
xyxyxy
xyxy
xyxy +−++++ + =≤≤+++
++
≤=+→+
Deci, conform criteriului major ării 33
220
0lim0
x
yxy
xy→
→+=+.

197
h) Avem: ()
2
2222 222 00limlim1 1xxxmxmxm
xmxm xmx→→⋅==++ +.
Deci, limita 220
0lim
x
yxy
xy→
→⋅
+ nu exist ă.
i) Avem: ()
()
222222
2222 222001 1limlim1 1xxmx xmxm
xmxm xmx→→− −−==++ +.
Deci, limita 22
220
0lim
x
yxy
xy→
→−
+ nu exist ă.

EXERCIȚIUL 6.3.3. Să se calculeze:
a) 22
44lim
x
yxy
xy→∞
→∞+
+;
b) 22lim
x
yxy
xxyy→∞
→∞+
−+;
c) 2
lim1xy
xy
x
yxa⋅
+
→∞
→∞+, 0a>
d) ()
1
0
0lim1 xy
x
yxy +
→
→+ .
Soluție. a) Se face substituirea 1ux= și 1vy= și se obține
()222222
44440
0limlim
xu
yvuvuv xy
xyuv→∞→
→∞→+ +=++.
Se folose ște fascicolul de dreapta vmu= . Avem:
()
()()262222
4 440011
limlim01 1uumummmu
m um→→++⋅
==+ ++.
Dacă există 22
44lim
x
yxy
xy→∞
→∞+
+ nu poate fi decât 0. Cum:
2222
442222111022x
yxyxy
xyxyxy→∞
→∞ ++<=+→ + ,

198
atunci conform criteriului major ării 22
44lim0
x
yxy
xy→∞
→∞+=+.
b) Se procedeaz ă ca la punctul a) și se obține 1ux=, 1vy=. Avem:
()
22220
0limlim
xu
yvuvuv xy
xyxyuuvv→∞→
→∞→⋅+ +=+−−+. Se folose ște fascicolul de drepte vmu=
și obținem că ()
( )()3
2 220011limlim01 1uummummu
mm mmu→→++==+− +−. Dacă există limita
22lim
x
yxy
xyxy→∞
→∞+
+−, atunci aceasta nu poate fi decât 0. Cum
22110x
yxyxy
xyxyxyxy→∞
→∞++±±<=+→+−,
atunci conform criteriului major ării 22lim0
x
yxy
xyxy→∞
→∞+=+−.
c) Avem: 2
lim1lim1xy
xyxxy
xy
xx
yyxxa
a aa⋅+
+
→∞→∞
→∞→∞ +=+ . Se noteaz ă ()
1x
fxxaa=+
și ()
,xygxyxya=+. Evident () lim
xfxe
→∞=. Se cerceteaz ă dacă există
lim
x
yxy
xya
→∞
→∞+. Procedând ca mai sus, avem: 1ux=, 1vy=,
0
0limlim
xu
yvxy
xyuvaa
→∞→
→∞→==∞++. Așadar, 2
lim1xy
xy
x
yexa⋅
+∞
→∞
→∞+==∞.
d) Avem: () ()
11
00
00lim1lim1xy
xy
xy xy
xx
yyxyxy+
+
→→
→→+=+. Se noteaz ă
()()1
,1 xy fxyxy =+ și ()
,xygxy
xy=
+. Evident ()
0
0lim,
x
yfxye
→
→=. Se
cerceteaz ă dacă limita
0
0lim
x
yxy
xy→
→+ există. Cum:

199
30 2
04102 2x
yxyxyxy
xyxy→
⇒<=→
+,
atunci conform cu criteriul major ării
0
0lim0
x
yxy
xy→
→=
+.
Deci, ()
1
0
0
0lim11 xy
x
yxye +
→
→+== .

EXERCIȚIUL 6.3.4 Să se cerceteze continuitatea global ă și continuitatea
parțială a funcțiilor:
a) ()()()
()()
22sin, x,y0,0
,
, x,y0,0x
xy fxy
a≠+ =
=
b) ()
22sin, xy0
,
, xy0 xy
xy fxy
a⋅≠ +=
⋅= 
c) ()()
()
22
2, ,\ sin ,
,,.xyxyOxOyxy fxy
xyOxOy a+∈∪ =
∈∪¡

Soluție. Se știe că (),fxy este continu ă în punctul ()00,xy dacă:
()()
0
000 lim,,
xx
yyfxyfxy
→
→= ,
unde ()00,xy este punct al domeniului de defini ție. De asemenea, se știe că
dacă o funcție (),fxy este continu ă într-un punct, ea este continu ă parțial
în acel punct, dar reciproca nu este valabil ă.
a) Se consider ă fascicolul de drepte ymx= și se calculeaz ă
222 00sinsin1limlim
1 1xx
ymxxx
m xyxm→→
===
+ ++. Deci, nu exist ă
22 0
0sinlim
x
yx
xy→
→ +.
Așadar, func ția nu este continu ă în ()0,0. Se consider ă funcția
()sin,0xfxx= . Avem: ()
00sinlim,0lim1
xxxfxx→→== . Deci, pentru 1a=,
funcția (),fxy este continu ă parțial în raport cu x în punctul ()0,0. Se

200
consider ă funcția ()0,0fy =. Funcția (),fxy este continu ă parțial în
raport cu y în punctul ()0,0 pentru 0a=.
b) Se consider ă fascicolul de drepte ymx= și se calculeaz ă
2220sinlim1x
ymxxym
xym→
==++. Deci, limita ()
0
0lim,
x
yfxy
→
→ nu exist ă. Atunci aceast ă
funcție nu poate fi continu ă în ()0,0, ()a∀∈ ¡. Se observ ă că (),0fx a=
și ()0,fy a=. Deci, sunt continue în punctul ()0,0. Așadar, pentru
()a∀∈ ¡ funcția (),fxy este continu ă parțial în ()0,0 atât cu variabila x
cât și cu variabila y.
c) Fie ymx= , 0m≠. Avem: ()22222
22001 11limlimsinsinxxxm mxmm
mxmxmm→→+ ++=⋅= .
Deci, func ția (),fxy nu are limit ă în ()0,0. Așadar (),fxy nu este
continuă în ()0,0, ()a∀∈ ¡. Cum (),0fx a= și ()0,fy a=, atunci
aceste func ții sunt continue în ()0,0, oricare ar fi a∈¡. Așadar, func ția
(),fxy este continu ă parțial în ()0,0, ()a∀∈ ¡. În punctul ()0,0x
funcția (),fxy nu este continu ă deoarece
022
0limsinxx
yxy
xy→
→+=±∞ . Analog
funcția nu este continu ă în punctul ()00,y. Deci, punctele de discontinuitate
ale funcției sunt OxOyU . Deoarece (),0fx a= este continu ă în ()0,0x ,
()a∀∈ ¡ rezultă că funcția (),fxy este continu ă parțial în raport cu x pe
mulțimea (){} \0,0Ox . Avem:
()()2222
000
0000
000lim,limlimsinsinxxxxy xyyxfxyyxyxyx→→→+ +==⋅=±∞ .
Deci, func ția ()0,fxy nu este continu ă în punctele ()00,y, ()a∀∈ ¡.
Așadar, func ția (),fxy nu este continu ă parțial în raport cu x pe mulțimea
(){} \0,0Ox . Analog se studiaz ă continuitatea par țială în raport cu y.

EXERCIȚIUL 6.3.5 Să se studieze uniform continuitatea func țiilor:
a) () :0,f∞→ ¡, ()1xfxxx=++;

201
b) () :1,f−∞→ ¡, ()1xfxxx=++;
c) () :0,1f →¡, ()ln fxx= ;
d) [] :,fee→¡, ()ln fxx= , ()0,e e∈ .
Soluție. a) Fie 12,0xx>. Avem:
()() ()()()
12121122
121212
12121111xxxxxxxxfxfxxxxxxxxx+−−−=+−−=−+=++++
()()
1212
1211211xxxxxxd =−+<−=++.
Dacă se consider ă 2ed=, atunci
() ()12,0,xx∀∈∞ , ()()
12122xxfxfxee −<⇒−< . Deci, ()fx este
uniform continu ă pe ()0,∞, deși se observ ă că este nem ărginită pe acest
interval deoarece () lim
xfx
→∞=+∞ .
b) Fie 2'3nxn+=−+ și 21
2nxn+=−+. Avem: ()()
1'''12xxnn−=++. Rezultă
că 'x și ''x sunt suficient de apropiate pentru n suficient de mare. Deci,
()()()()
1'''1112fxfxnn−=+>++.
Așadar, func ția ()fx nu este uniform continu ă pe ()1,−∞ .
c) Fie 1'nxe= , 11''nxe+= , () ',''0,1xx∈ . Avem: 11111'''nnnexxeee++−−=−= .
Rezultă că 'x și ''x sunt suficient de apropiate când n este suficient de
mare. Deci,
()()
111'''lnln11nnfxfxnnee+−=−=−++= .
Deci, ()fx nu este uniform continu ă pe ()0,1.
d) Este evident c ă ()ln fxx= este continu ă pe [],ee, ()0,e e∈ . Deci,
()fx este continu ă pe intervalul compact [],ee. Conform cu Propozi ția
6.2.7, func ția ()fx este uniform continu ă.

202
EXERCIȚIUL 6.3.6 Să se studieze uniform continuitatea func ției
()() :0,0,f∞×∞→ ¡, ()()()
2,11xyxyfxyxyxy++=++++.
Soluție. Fie ()()()() ',','',''0,0,xyxy ∈∞×∞ cu proprietatea '''xx d−< și
'''yy d−< . Atunci:
()()()() ()()''2''''''2''''',''','''''''''1'1''1''1xyxyxyxyfxyfxyxyxyxyxy++++−=++−−−≤++++
''''''''''''1'1'1''1''
24.xyxyxxyyxyxy
d≤−+++−++<++++
<+
Luând 2ed′=, atunci ()()()()() ',','',''0,0,xyxy∀∈∞×∞ cu proprietatea
'''xx d−< și '''yy d−< , rezultă că ()()
',''',''2fxyfxye−< și funcția
(),fxy este uniform continu ă pe ()() 0,0,∞×∞ .

203
CAPITOLUL VII: DERIVATA ȘI DIFEREN ȚIALA

1. DERIVATA

Pentru func țiile reale de variabil ă real ă, defini ția derivatei, precum și
formulele și regulile de derivare ca și unele propriet ăți legate de derivat ă
cum ar fi teoremele: Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange, l’Hospital se
consider ă cunoscute. În cazul acestor func ții se discut ă în continuare despre:
derivata func ției compuse, derivata func ției inverse, teorema lui Darboux.

PROPOZI ȚIA 7.1.1 (Derivata func ției compuse pentru func ții reale de
variabilă reală) Fie :uIJ→ , :fJ→¡, ,IJ- intervale de numere reale.
Dacă func ția u este derivabil ă în punctul 0xI∈ și f este derivabil ă în
punctul ()0uxJ∈, atunci func ția :FI→¡, ()()() Fxfux= este
derivabil ă în punctul 0x și are loc rela ția: () ()()()000'''Fxfuxux =⋅ .
Demonstra ție. Știind c ă func țiile u și f sunt derivabile în punctul 0x,
respectiv ()00uux= , conform defini ției derivatei unei func ții reale de
variabil ă reală au loc rela țiile:
()()()
00
0
0'lim
xxuxuxuxxx→−=− și ()()()
00
0
0lim'
uufufufuuu→−=−.
Pentru a ar ăta că funcția ()Fx este derivabil ă în punctul 0x trebuie ar ătat că
există și că este finit ă ()()
00
0lim
xxFxFx
xx→−
−. Într-adev ăr,
()()()()()()
()()()() 0 00
000fuxfux FxFxuxux
xxuxuxxx− −−=⋅−−−.
Trecând la limite și ținând de rela țiile anterioare, rezult ă că exist ă și este
finită:
()() ()()()()
()()()()()()
0000 00
00
000limlimlim''
xxxxxxfuxfux FxFxuxuxfuuxxxuxuxxx→→→− −−=⋅=⋅−−−
(limitele din membrul drept exist ă și sunt finite din ipotez ă)
Așadar, () ()()()000'''Fxfuxux =⋅ .

OBSERVA ȚIA 7.1.1 Dacă funcția u este derivabil ă în orice punct xI∈ și
funcția f este derivabil ă în orice punct ()uxJ∈, atunci func ția ()Fx este
derivabil ă pe intervalul I și are loc egalitatea: () ()()() '''Fxfuxux=⋅ .

204
Aceasta reprezint ă formula de derivare a func țiilor compuse reale de
variabil ă reală.

PROPOZI ȚIA 7.1.2 (Derivata func ției inverse pentru func ții reale de
variabilă reală). Fie :fIJ⊂→⊂¡¡ , ,IJ – intervale. Dac ă func ția f
este bijectiv ă pe intervalul I și derivabil ă în punctul 0xI∈ astfel încât
()0'0fx≠, atunci exist ă 1:fJI−→ derivabil ă în ()00yfx= și are loc
egalitatea ()()()
1
0
01''fyfx−= .
Demonstra ție. Funcția f este bijectiv ă ⇔ f este inversabil ă. Deci, exist ă
1:fJI−→. Cum f este derivabil ă în 0xI∈, atunci f este continu ă în
acest punct. Adic ă, pentru orice 0 nyy→ , exist ă 0 nxx→ astfel încât
()nnyfx= . Deci, ()1
nnxfy−= . Ținând cont de acestea, rezult ă că exist ă și
este finit ă ()()
011
0
0limn
yy
nfyfy
yy−−
→−
−. Deci, ()()()
1
0
01''fyfx−= .

OBSERVA ȚIA 7.1.2 Dacă func ția f este derivabil ă în orice punct xI∈,
rezult ă că func ția 1f− derivabil ă în orice punct () yfxJ=∈ și are loc
egalitatea ()()()
1 1''fyfx−= care reprezint ă formula de derivare a func ției
inverse.

PROPOZI ȚIA 7.1.3 (Teorema lui Darboux ) Dac ă func ția ()fx este
funcție derivat ă, atunci func ția f are proprietatea lui Darboux.
Demonstra ție. Funcția f este func ție derivat ă dacă exist ă o func ție
derivabil ă :gI⊂→¡¡ astfel încât ()() 'gxfx= . Pentru a demonstra c ă
funcția f are proprietatea lui Darboux trebuie ar ătat că oricare ar fi
()() ( ) , fafb a∈ , exist ă (), caba∈ astfel încât () fcaa=. Deci, dup ă
cum se observ ă, fără a mic șora generalitatea, se consider ă că dacă ab<,
,abI∈ și ()() fafb< . Se consider ă funcția ()() hxgxx a =−⋅ . Pentru c ă
funcția g este o func ție derivabil ă pe I, rezult ă că ()hx este derivabil ă pe
I, deci și pe intervalul [],ab și are loc egalitatea ()() ''hxgx a =− .
Rezult ă că ()() 'hxfx a =− . Cum h este derivabil ă pe intervalul [],,ab

205
înseamn ă că funcția h este continu ă. Deci, dac ă se consider ă [],ab ca fiind
domeniul de defini ție al acestei func ții, rezult ă că func ția h este o func ție
mărginit ă și își atinge marginile. Se observ ă că ()'0ha< și ()'0hb>. Într-
adevăr, ()() '0hafa a =−< și ()() '0hbfb a =−> . Cum func ția este și o
funcție continu ă, rezult ă că aceste dou ă propriet ăți sunt valabile pe o
vecin ătate întreag ă a punctului a, respectiv b. Deci, se poate afirma c ă
există () Va∈V și () Wb∈V astfel încât ()()0hxha
xa−<−, pentru orice
[], xVab∈∩ și ()()0hxhb
xb−>−, oricare ar fi [], xWab∈∩ . Dar,
()()() []
()() () []0 0, ,,
0 0, ,.xahxhaxab
xbhxhbxWabJ −>⇒−<∀∈∩−<⇒−<∀∈∩
Rezult ă că exist ă (), cab∈ astfel încât ()h hcm= (valoarea minim ă a
funcției h). Conform teoremei lui Fermat, rezult ă că ()'0hc=. Dar,
()() 'hcfc a =− . Deci, ()fc a=. Dac ă se consider ă ,=cca atunci
proprietatea este demonstrat ă.

OBSERVA ȚIA 7.1.3
a) O func ție derivat ă nu are puncte de discontinuitate de spe ța I.
b) Func țiile care nu au proprietatea lui Darboux nu sunt func ții derivate.

O altă categorie de func ții pentru care se studiaz ă noțiunea de derivat ă sunt
funcțiile vectoriale de variabil ă reală.

PROPOZI ȚIA 7.1.4
Fie :YnFX⊂→⊂¡¡ ; ()()()() ( ) 12,,…,n Fxfxfxfx= o func ție
vectorial ă de variabil ă reală. Func ția ()Fx este derivabil ă în punctul
0xX∈ dacă și numai dac ă ()ifx , 1,in= sunt derivabile în 0x și are loc
relația:
()()()() ( ) 010200',,…,n Fxfxfxfx ′ ′′= .
Demonstra ție. Se presupune c ă func ția ()Fx este derivabil ă în 0x și se
demonstreaz ă că ()ifx , 1,in= sunt derivabile în 0x. Într-adev ăr, din

206
derivabilitatea lui ()Fx în punctul 0x rezult ă că exist ă și este finit ă
()()
00
0lim
xxFxFx
xx→−
−. Dar,
()()()()()()()()01102200
0000,,…,nn FxFxfxfxfxfxfxfx
xxxxxxxx−−−− =−−−− .
Ținând cont de egalitatea anterioar ă și de limita func țiilor vectoriale de
variabil ă reală rezult ă că fiecare raport ()()0
0iifxfx
xx−
− are limit ă finită în
punctul 0x. Deci, func țiile ()ifx , 1,in= sunt derivabile în punctul 0x. Din
egalitatea evident ă
()() ()() ()() ()()
000001102200
0000limlim,lim,…,limnn
xxxxxxxxFxFxfxfxfxfxfxfx
xxxxxxxx→→→→−−−− =−−−− ,
rezult ă ()()()() ( ) 010200',,…,n Fxfxfxfx ′ ′′= .
Afirma ția reciproc ă se demonstreaz ă în mod asem ănător.

OBSERVA ȚIA 7.1.4 Dacă func ția ()Fx este derivabil ă în orice punct al
domeniului s ău de defini ție X⊂¡, atunci prin înlocuirea lui 0x cu x are
loc egalitatea:
() ()() () ( ) 12,,…,n Fxfxfxfx ′ ′′′= .
Aceasta reprezint ă formula de derivare a func țiilor vectoriale de variabil ă
reală.

Exemplu. Fie ()()() ( ) 12, Fxfxfx= , ()
11fxxa=−, ()()2 ln fxxa=− . Să
se cerceteze dac ă func ția ()Fx este derivabil ă pe domeniul maxim de
defini ție și să se găseasc ă derivata acesteia.
Soluție. Se observ ă că (),FDa=+∞ . Cum func țiile 1f și 2f sunt func ții
elementare definite pe (),a+∞ și cum orice func ție elementar ă este
derivabil ă pe domeniul s ău de defini ție, rezult ă 1f și 2f sunt derivabile
simultan, pentru orice (), xa∈+∞ . Conform Propozi ției 7.1.4, rezult ă
()Fx este derivabil ă, oricare ar fi (), xa∈+∞ și are loc egalitatea:

207
() ()() ( )()
12 211,, Fxfxfxxa xa−′′′==  − −.
DEFINIȚIA 7.1.1 Func ția ()()()() ( ) 12,,…,n Fxfxfxfx= este derivabil ă
de dou ă ori în punctul 0x din domeniul s ău de defini ție dac ă func ția
() ()() () ( )()
12,,…,n HxfxfxfxFx ′ ′′′== este derivabil ă în punctul 0x și
are loc rela ția () ()() () ( )()
12 ,,…,n FxfxfxfxHx ′′′′′′ ′′′== .

OBSERVA ȚIA 7.1.5
a) Ținând cont de Defini ția 7.1.1 și continuând ra ționamentul din aproape în
aproape, se spune c ă func ția ()Fx este derivabil ă de n ori în punctul
0 F xD∈ , dac ă func ția ()()()()()()() ( )111
12 ,,…,nnn
n Gxfxfxfx−−−= este
derivabil ă în 0x.
b) Dac ă se înlocuie ște 0x cu x, adic ă funcția este derivabil ă pe întregul s ău
domeniu de defini ție, atunci se ob ține egalitatea:
()()()()()()()() ( ) 12 ,,…,nnnn
n Fxfxfxfx = .
Aceast ă formul ă reprezint ă formula de calcul a derivatei de ordinul n
pentru o func ție vectorial ă de variabil ă reală.
c) Func ția ()Fx este derivabil ă de n ori pe domeniul de defini ție, dac ă
proiec țiile sale ()ifx , 1,in= sunt derivabile de n ori pe acest domeniu.

Exemplu. Dacă se consider ă funcția din exemplul anterior, atunci
()()()()()() ( ) 12 ,nnnFxfxfx = , ()()()
()()()
()
1
11!11!,nn
n
nnnnFx
xaxa+
+−⋅−⋅−=−−.

Un alt tip de func ții pentru care se studiaz ă derivabilitatea și derivata sunt
funcțiile reale de variabil ă vectorial ă :nfX⊂→¡¡ .

DEFINIȚIA 7.1.2 Fie ,nab∈¡, ab≠.
a) mul țimea () { } , nxxatbat∈=+−∈¡¡ se nume ște dreapta ce trece
prin a și b.

208
b) mul țimea () { } , 0nxxatbat∈=+−≥¡ este semidreapta ce porne ște
din a și trece prin b.
c) mul țimea ()[] { } , 0,1nxxatbat∈=+−∈¡ este segmentul de dreapt ă
de capete a, b și se noteaz ă ,ab.
d) Orice semidreapt ă ce porne ște din nO∈¡ se nume ște direc ție în n¡.

OBSERVA ȚIA 7.1.6
a) Dac ă se consider ă semidreapta () { } , 0nxxatbat∈=+−≥¡ , atunci
direcția determinat ă de aceast ă semidreapt ă este bas
ba−=
−.
b) Fie :nfA⊂→¡¡ și ( )12,,…,n aaaaA=∈ fixat, iar
( )12,,…,n xxxxA=∈ punct curent și ( )12,,…,n
n ssss=∈ ¡ astfel încât
1s=. Cu aceste nota ții este bine definit ă func ția () :,grr−→ ¡,
()() gtfats=+ , 0r> astfel încât (),SarA ⊂.

DEFINIȚIA 7.1.3 Func ția :nfA⊂→¡¡ este derivabil ă în punctul
aA∈ după direc ția s, dacă func ția g este derivabil ă în 0t= și are loc
egalitatea
()()()()
00'0lim
tdfagtggdst→−== ,
iar ()()
.
,not dfafasds′= este derivata lui f dup ă direc ția s în punctul
na∈¡.

OBSERVA ȚIA 7.1.7 Dac ă în locul lui s se consider ă versorii
( )11,0,0,…,0 e= , ( )20,1,0,…,0 e= , …, ( ) 0,0,…,0,1ne= , atunci din derivata
lui f după direc ția s se ob țin derivatele par țiale, în raport cu variabilele
12,,…,n xxx . În mod explicit acestea se definesc dup ă cum urmeaz ă.

DEFINIȚIA 7.1.4 Fie :nfXY⊂→⊂¡¡ o func ție real ă de variabil ă
vectorial ă definit ă prin ( )1211,,…,,,,…,kkkn ffxxxxxx−+ = . Func ția este

209
derivabil ă în punctul ( )00102010010 ,,…,,,,…,kkkn xxxxxxx−+ = în raport cu
variabila kx dacă exist ă și este finit ă:
()
( )( )
0
000
0
0102010100102010010
0lim
,,…,,,,…,,,…,,,,…,lim,kk
kkk
xxkk
kkknkkkn
xx
kkfxx
xx
fxxxxxxfxxxxxx
xx→
−+−+
→−
=−
−=−
unde ( )0010201010 ,,…,,,,…,k
kkkn xxxxxxx−+ = .
Limita de mai sus, în cazul în care exist ă și este finit ă, se noteaz ă astfel cu
()0
kfx
x∂
∂ sau ()0kxfx′ și poart ă denumirea de derivata par țială a funcției f
în raport cu kx calculată în punctul 0x.

OBSERVA ȚIA 7.1.8
a) Dac ă func ția este derivabil ă parțial în raport cu variabila kx pe întreg
domeniul s ău de defini ție, atunci se ob ține, prin înlocuirea lui 0x cu x,
funcția ()
kfx
x∂
∂ sau ()kxfx′ care poart ă denumirea de derivata par țială a
funcției f în raport cu variabila kx.
b) În cazul în care func ția are dou ă sau trei variabile nu se mai noteaz ă
acestea cu ()12,xx sau ( )123,,xxx . În acest caz, nota țiile sunt (),xy sau
(),,xyz și atunci Defini ția 7.1.4 are urm ătoarele forme particulare:
i) Dac ă (), ffxy= , atunci se spune c ă func ția f este derivabil ă în
punctul ()00,xy în raport cu variabila x, dac ă ()()
0000
0,,lim
xxfxyfxy
xx→−
−
există și este finit ă, iar aceast ă limit ă se noteaz ă cu ()00,fxy
x∂
∂ sau
()00,xfxy′ .
ii) În mod asem ănător, (),fxy este derivabil ă în raport cu y dacă
()()
0000
0,,lim
xyfxyfxy
yy→−
− exist ă și este finit ă, iar aceast ă limit ă se noteaz ă cu
()00,fxy
y∂
∂ sau ()00,yfxy′ .

210
c) Ținând cont de defini ția derivatei unei func ții reale de variabil ă reală și de
Defini ția 7.1.4, se poate afirma c ă pentru a determina derivatele par țiale ale
unei func ții reale de variabil ă vectorial ă se folosesc formulele și regulile de
derivare de la func ții reale de variabil ă reală, considerând ca variabil ă doar
variabila specificat ă în procesul de derivare, iar celelalte variabile se
consider ă constante.
d) Func ția derivabil ă :nmFX⊆→¡¡ , ()()()() ( ) 12 ,,,m Fxfxfxfx= K
este derivabil ă parțial în 0xX∈ dacă fiecare proiec ție 12,,,m fff K este
derivabil ă parțial în 0x, în raport cu toate variabilele 12,,,n xxxK .
Matricea cu m linii și n coloane:
()()() ()
()() ()
()() ()
101010
12
202020
0 12
000
12n
F n
mmm
nfxfxfx
xxx
fxfxfx
Jx xxx
fxfxfx
xxx∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
=∂∂∂


∂∂∂
∂∂∂K
K
LKKK
K
se nume ște matricea jacobian ă a lui F în 0x. Dac ă mn=, atunci
()( )
( )()
12
00
12,,,det,,,n
F
nDfffJxxDxxx=K
K se nume ște jacobianul funcțiilor
12,,,n fffK .
Exemplu. Fie 2:fX⊂→¡¡ , ()( )23,ln2fxyxy =++ . Să se calculeze:
f
x∂
∂ și f
y∂
∂.
Soluție. Avem:
( ) ( )( )
23
23
23232 2ln222x
xxy fxxyxxyxy′++ ∂ ′=++==∂++++,
( ) ( )( )
232
23
232323ln222y
yxyfyxyyxyxy′++∂ ′=++==∂++++.

Exemplu.
Fie [)23:0,F∞⊆→¡¡ , ()()()() ( ) 123 ,,,,,,,,,,Frzfrzfrzfrz jjjj= ,

211
()1,,cosfrzrjj= , ()2,,sinfrzr jj= , ()3,,frzz j=. Să se scrie
matricea jacobian ă și jacobianul func țiilor 123,,fff .
Soluție. Avem:
()cossin0
,,sincos0
001Fr
Jrzrjj
jjj− 
=,
iar:
( )
()
123 2 ,,
,,DfffrDrz j=
și reprezint ă legătura dintre coordonatele polare și cele carteziene în spa țiu.

DEFINIȚIA 7.1.5 Func ția :nfXY⊂→⊂¡¡ este derivabil ă parțial de
două ori în raport cu variabila kx dacă func ția ( )()
12,,…n
kfxhxxxx∂=∂ este
derivabil ă parțial în raport cu variabila kx și se ob ține rela ția:
()2
2
kkhx f
xx∂∂=∂∂, ( )12,,…n xxxx= .
Din aproape în aproape, se spune c ă funcția () ffx= este derivabil ă de n
ori în raport cu variabila kx dacă func ția ()()1
1n
n
kfxgxx−
−∂=∂ este derivabil ă
în raport cu variabila kx și se ob ține egalitatea:
()() ()()
n
kn
n
n x
kkfxgxfxxx∂∂==∂∂.

DEFINIȚIA 7.1.6 Se spune c ă func ția () ffx= este derivabil ă în raport
cu variabila kx și lx (în aceast ă ordine) dac ă func ția ()()
kfxhxx∂=∂ este
derivabil ă în raport cu variabila lx și se ob ține rela ția:
()2
kllhx f
xxx∂ ∂=∂∂∂,
care poart ă denumirea de derivată mixtă de ordinul al doilea al func ției
f în raport cu kx și lx. Aceasta se mai noteaz ă și cu ()
klxxfx′′ .

212
OBSERVA ȚIA 7.1.9 Numărul derivatelor mixte de ordinul k pentru
funcția ( )12,,…n ffxxx= este 1k
nkC+−. Deci, pentru func ția de trei variabile
(),, ffxyz= num ărul derivatelor mixte de ordinul al doilea este 2
46 C=.
În general, derivatele par țiale mixte nu sunt egale, conform cu exemplul
următor.

Exemplu. Fie 2:f→¡¡ ,
()()()
()()
3
22,,0,0
,
0,,0,0.xyxyxy fxy
xy≠ +=
=
Să se calculeze derivatele mixte ale func ției în origine.
Soluție. Utilizând defini ția, ob ținem:
(),0fxxy∂=∂, ()0,0fy
y∂=∂.
Deci,
()()()()
2
00,00,0
0,00,0limlim1
xxfxf
f fx yy
xyxyxx→→∂∂−∂ ∂∂ ∂∂====∂∂∂∂ ,
iar analog, se ob ține:
()20,00f
yx∂=∂∂.
Așadar, în origine, derivatele par țiale mixte nu sunt egale.

Dar, în anumite situa ții, derivatele mixte pot fi egale. Acest lucru este dat de
următoarea teorem ă.

PROPOZI ȚIA 7.1.5 (Teorema lui Schwarz ) Fie 2:fX⊂→¡¡ , X un
deschis din 2¡. Dac ă ()2fCX∈ , atunci ()() ,,xyyxfxyfxy′′′′ = ,
(),xyX∀∈ .
Demonstra ție. Se consider ă expresia:
( )( )( )() ,,,, Efxhykfxhyfxykfxy=++−+−++ .
Se noteaz ă ()( )() ,, xfxykfxyj=+− . În urma acestei nota ții, expresia
E capătă forma:
()() Exhxjj=+− .

213
Se observ ă că funcția j este continu ă și derivabil ă și are loc egalitatea:
()( )() ,,xx xfxykfxyj′′′=+− . (1)
Se aplic ă formula lui Lagrange expresiei E și se ob ține:
()' Eh jx=⋅ , [] ,xxh x∈+ . (2)
Ținând cont de rela țiile (1) și (2), rezult ă:
( )() ,,xx Ehfykfy xx′′=+−. (3)
Prin aplicarea teoremei lui Lagrange func ției xf′, obținem:
( )() () ,,,xxxyfxykfxykfx h ′′′′+−=⋅ , [ ] ,yyk h∈+ . (4)
Ținând cont de rela țiile (3) și (4), rezult ă:
(),xy Ehkf xh′′ =⋅⋅ . (5)
Revenind la func ția j, se poate observa c ă:
() ( )()()
00,,limlim,ykkxfxykfxyfxykykyj
→→+−′ ==+−. (6)
Ținând cont de expresia lui E în raport de func ția j, rezult ă:
()()( )()
00limlim,,yykkxhx Efxhyfxykkjj
→→+−′′ ==+− . (7)
Din continuitatea lui (),xyfxy′′ și relația (5), rezult ă că:
() ()
00limlim,,xyxykkEhfhfykxhx
→→′′′′ =⋅=⋅ . (8)
Din (7) și (8), rezult ă:
()( )() ,,,xyyyhfyfxhyfxy x′′′′⋅=+− ,
deci,
()( )() ,,,yy
xyfxhyfxyfyhx′′+−′′ = .
Prin trecere la limit ă când 0 h→ și ținând cont de continuitatea lui
(),xyfxy′′ , se ob ține ()() ,,xyyxfxyfxy′′′′ =
și astfel teorema este demonstrat ă.

Alte forme ale teoremei sunt:
A) Dacă: i) exist ă xf′, yf′ și xyf′′ pe (),abV ii) xyf′′ este continu ă în (),ab,
atunci exist ă (),yxfab′′ și ()() ,,xyyxfabfab′′′′ = .
B) Criteriul lui Young
Dacă: i) exist ă (),fxy
x∂
∂ și (),fxy
y∂
∂ într-o vecin ătate (),abV a lui (),ab ,

214
ii) (),fxy
x∂
∂ și (),fxy
y∂
∂ sunt diferen țiabile în (),ab ,
atunci exist ă ()2,fab
xy∂
∂∂ și ()2,fab
yx∂
∂∂ și avem ()()22,,fabfab
xyyx∂∂=∂∂∂∂.
(Diferen țiabilitatea se studiaz ă în paragraful urm ător)

OBSERVA ȚIA 7.1.10
Teorema (criteriul) lui Schwarz este valabil ă și pentru func țiile de trei sau
mai multe variabile și are urm ătorul enun ț.
Fie :nfX⊂→¡¡ , ()2fCX∈ , X un deschis din n¡. Atunci, pentru
orice xX∈ și pentru orice indici ,,1,ijijn∈≤≤¥ , are loc egalitatea:
()()
ijjixxxxfxfx′′′′= .

Problema derivatelor par țiale se pune și pentru func țiile compuse de mai
multe variabile. Aceast ă problem ă este rezolvat ă de urm ătoarea propozi ție.

PROPOZI ȚIA 7.1.6 Fie :uXA⊂→⊂¡¡ și :vXB⊂→⊂¡¡ ,
funcții derivabile în punctul 0xX∈ cu derivata continu ă. Dac ă func ția
2:fY⊂→¡¡ , YAB=× , are derivate par țiale continue pe mul țimea Y,
atunci func ția compus ă ()()() , Fxfuxvx= este derivabil ă în punctul 0x
și are loc egalitatea:
()() ()00
0'duxdvxffFxudxvdx∂∂=⋅+⋅∂∂.
Demonstra ție. Pentru a ar ăta că func ția ()Fx este derivabil ă în punctul
0xX∈⊂ ¡ trebuie ar ătat că raportul ()()0
0FxFx
xx−
− are limit ă finit ă în
punctul 0x. Se noteaz ă:
() ()()()0000 ,,, uuxvvxuuxvvx==== .
Atunci:
()()()() ( )()() ( ) 00 0
00,, fuxvxfuxvx FxFx
xxxx− −==−−
()() ( ) ()( ) ()( )()0000
0,,,, fuxvxfuvxfuvxfuv
xx−+−==−

215
()() ( ) ()( ) ()( )() 0000
0,,,, fuxvxfuvxfuvxfuv
xx −+−=−.
Ținând cont de teorema lui Lagrange, se ob ține:
()()()()00 ,,,u fuvfuvuufv x′ −=−⋅ , unde 0uux≤≤
și
()()()()00000,,,v fuvfuvvvfu h′ −=−⋅ , unde 0vvh≤≤ .
Deci,
()()() ()
0 00
0
000,,uvFxFx uuvvfvfuxxxxxxxh− −−′′ =⋅+⋅−−−. (1)
În egalitatea (1), datorit ă faptului c ă func țiile u și v sunt derivabile în
punctul 0x și datorit ă continuit ății derivatelor par țiale pentru func ția f
rezult ă că membrul drept al egalit ății are limit ă finită în punctul 0x. Deci și
membrul stâng al egalit ății (1) are limit ă finită în punctul 0x, ceea ce arat ă
că funcția ()Fx este derivabil ă în 0x și are loc egalitatea:
()()() ()
000000 00
0
000limlimlim,limlim,nnxxxxxxxxxxFxFx uuvvfvfuxxxxxxzh
→→→→→− −−′′ =⋅+⋅−−−.
Rezult ă că:
()()()()()0000000'',',uv Fxuxfuvvxfuv ′′ =⋅+⋅
sau
()() ()00
0'duxdvxffFxudxudx∂∂=⋅+⋅∂∂.
Dacă se consider ă că funcțiile u și v sunt derivabile pe întreg domeniul lor
de defini ție, iar func ția f admite derivate par țiale continue în orice punct al
domeniului de defini ție, atunci rezult ă că ()Fx este derivabil ă pe întreg
domeniul de defini ție și are loc egalitatea:
()() ()'duxdvxffFxudxvdx∂∂=⋅+⋅∂∂,
relație care reprezint ă formula de derivare a unei func ții compuse care
conține doi intermediari care sunt func ții reale de variabil ă reală.

OBSERVA ȚIA 7.1.9
a) Propozi ția 7.1.6 este adev ărată și în cazul în care :nfX⊂→¡¡ și
conține n intermediari, adic ă: dac ă func ția compus ă are forma

216
() ()()() ( ) 12,,…,n Fxfuxuxux= , unde :iiuAB⊂→⊂¡¡ , 1,in= și
12 …n XBBB=××× , atunci:
()()
1'n
i
i iduxfFxudx=∂=⋅∂∑ .
b) Propozi ția 7.1.6 se poate generaliza și astfel: Fie func ția compus ă
:nFX⊂→¡¡ definit ă astfel:
( ) ( )( )( ) ( ) 1211221212,,…,,,…,,,,…,,…,,,…,nnnmn Fxxxfuxxxuxxxuxxx = ,
unde func țiile :n
iiuAB⊂→⊂¡¡ , 1,im= sunt derivabile în raport cu
kx, pentru orice 1,im= și func ția f admite derivate par țiale continue în
raport cu fiecare din variabilele sale iu, pentru orice 1,im= . Atunci F este
derivabil ă parțial în raport cu variabila kx și are loc egalitatea:
1m
i
i kiku Ff
xux =∂ ∂∂=⋅∂∂∑
numit ă formula pentru derivata par țială a funcției compuse F care are
m intermediari , care sunt func ții de n variabile.

Exemplu. Fie :FX⊂→¡¡ , ()( )() ( )22ln21,sin1 Fxfxxx=+++ și
2:GX⊂→¡¡ , () () ( )2222,cos,Gxygxyxy =++ .
Să se calculeze ()'Fx , G
x∂
∂, G
y∂
∂.
Soluție. Calcul ăm ()'Fx . Dac ă se consider ă ()( )2
1 ln21 uxxx=++ ,
()()2
2 sin1 uxx=+ , atunci avem c ă () ()() ( ) 12, Fxfuxux= . Ținând cont
de Propozi ția 7.1.6, rezult ă că:
()12
12'duduffFxudxudx∂∂=⋅+⋅∂∂.
Dar,
()
1
2222
1 1du x
dxx x+==+ +, ()
2 22cos1duxxdx=+ .
Deci,
() ()
2
122'2cos11ffFxxxuxu∂∂=⋅+⋅+∂+∂,

217
unde
1f
u∂
∂ și
2f
u∂
∂ rămân sub aceast ă form ă deoarece func ția f este
derivabil ă, dar necunoscut ă.
Dacă ()12,fuu era înlocuit ă spre exemplu cu ()1212,fuuuu =+ , atunci
1 121
2f
u uu∂=∂ +,
2 121
2f
u uu∂=∂ +.
Pentru calculul derivatelor G
x∂
∂, G
y∂
∂ consider ăm ()()22
1,cosuxyxy =+ ,
()22
2, uxyxy =+ . Avem () ()() ( ) 12 ,,,,Gxyguxyuxy = . Ținând cont de
Observa ția 7.1.9 b), rezult ă:
12
12uu Ggg
xuxux∂∂ ∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂ și 12
12uu Ggg
yuyuy∂∂ ∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂.
Dar,
()22 12sinuxxyx∂=−+∂, 2
22u x
x xy∂=∂ +,
()22 12sinuyxyy∂=−+∂, 2
22u y
y xy∂=∂ +.
Ținând cont de acestea, rezult ă că:
()
22
22
112sinGggxxxyxuu xy∂∂∂=−⋅++⋅∂∂∂ +.
Analog pentru G
y∂
∂.

PROPOZI ȚIA 7.1.7 (Teorema lui Euler pentru func ții omogene ) Fie
:nfX⊂→¡¡ o func ție real ă de variabil ă vectorial ă. Dac ă:
i) f este omogen ă de ordin m∈¡,
ii) exist ă
if
x∂
∂, 1,in= ,
atunci are loc egalitatea:
( )
12
1,,…,n
in
i ifxmfxxxx =∂⋅=⋅∂∑ .
Demonstra ție. Dacă funcția f este omogen ă de ordin m are loc egalitatea:
( )( )1212,,…,,,…,m
nn ftxtxtxtfxxx = .
Dacă membrul stâng se consider ă ca fiind func ția compus ă:

218
()( )12,,…,n Ftfuuu= , 11utx=, 22utx= , …, nnutx= ,
atunci, conform cu Observa ția 7.1.9 a), rezult ă că:
()()
1'n
i
i ifxFttx =∂⋅=∂∑ .
Dacă se deriveaz ă și membrul drept în raport cu t se ob ține:
()( )
1
12
1,,…,n
m
in
i ifxmtfxxxtx−
=∂⋅=⋅⋅∂∑ ,
egalitate adev ărată pentru orice t număr real.
Dacă se particularizeaz ă 1t= în aceast ă egalitate rezult ă:
( )
12
1,,…,n
in
i ifxmfxxxx =∂⋅=⋅∂∑ ,
care este relația lui Euler pentru func ții omogene de ordin m. Aceast ă
relație se poate generaliza la derivatele par țiale de ordinul al doilea (vezi
Exerci țiul 7.4.5).
Se cunoa ște că pentru func țiile reale de variabil ă reală exist ă teorema lui
Lagrange . Aceast ă teorem ă a lui Lagrange este valabil ă și pentru func țiile
reale de variabil ă vectorial ă și ea se prezint ă sub urm ătoarea form ă.

PROPOZI ȚIA 7.1.8 (Teorema lui Lagrange ) Fie 2:fX⊂→¡¡ ,
(),abX∈. Dac ă func ția (), ffxy= admite derivate par țiale pe o
vecin ătate (),ab V∈V , atunci pentru orice (),xyV∈ exist ă (),ax x∈ și
(),by h∈ astfel încât:
()()()()()() ,,,,xy fxyfabxafyybfa xh′′ −=−⋅+−⋅ .

OBSERVA ȚIA 7.1.10 Dacă derivatele par țiale sunt continue pe V, atunci
egalitatea din teorema lui Lagrange are urm ătoarea form ă:
()()()()()() ,,,,xy fxyfabxafybf xhxh′′ −=−⋅+−⋅ .
Aceast ă egalitate este valabil ă și pentru func ții de n variabile, unde 3n≥:
( )( )()( )12
1212
1,,…,,,…,,,…,n
n
nnii
i iffxxxfaaaxaxxxx
=∂−=−⋅∂∑ , (),iiiax x∈ ,
1,in= .

219
2. DIFEREN ȚIALA

DEFINIȚIA 7.2.1 Fie :fX⊂→¡¡ o func ție real ă de variabil ă reală.
Funcția f este diferen țiabilă în punctul 0xX∈ dacă exist ă L⊂¡ și
:Xq⊂→¡¡ cu proprietatea ()
0lim0
xxxq
→= astfel încât
()()()()()000 fxfxLxxxxx q =+−+− .

OBSERVA ȚIA 7.2.1
a) Dac ă egalitatea din Defini ția 7.2.1 se împarte cu ()0xx− și se trece la
limită, atunci se ob ține ()0' Lfx= .
Așadar, ()()()()()()000 ' fxfxfxxxxxx q =+−+− .
b) Dac ă se noteaz ă 0xxh−= , atunci ()() ()00 ' fxfxhfx−≅⋅ . Func ția
()0'hfx⋅ , care depinde liniar de h, se nume ște diferențiala funcției f în
punctul 0x și se noteaz ă cu ()0 dfx și are loc egalitatea
() ()00 ' dfxhfx =⋅ . Pe o vecin ătate foarte mic ă a punctului 0x, diferen ța
0xxh−= este foarte mic ă și deci ea poate fi notat ă cu dx. Atunci,
diferen țiala func ției f în punctul 0x capătă următoarea form ă:
()()00 dfxfxdx ′= .
Dacă func ția f este diferen țiabilă în orice punct al domeniului s ău de
defini ție, atunci diferen țiala sa este: ()() dfxfxdx ′= .
Se observ ă că diferen țiabilitatea și diferen țiala nu sunt no țiuni echivalente.
O func ție diferen țiabilă are o diferen țială. Diferen țiabilitatea este o
proprietate, diferen țiala este o expresie. Diferen țiala ()0 dfx aproximeaz ă
diferen ța ()()0 fxfx− .

DEFINIȚIA 7.2.2 Se spune c ă func ția f este diferen țiabilă de n ori în
punctul 0x dacă func ția ()()1nfx− este diferen țiabilă în punctul 0x și
diferen țiala de ordin n este ()()()00n nndfxfxdx = .
Problema diferen țiabilit ății poate fi pus ă și pentru func țiile reale de variabil ă
vectorial ă și se define ște astfel.

220
DEFINIȚIA 7.2.3 Fie :nfX⊂→¡¡ . Se spune c ă ( )12,,…,n ffxxx=
este diferen țiabilă în punctul ( )001020 ,,…,n xxxx= , dac ă exist ă iA∈¡,
1,in= și :n
iXq⊂→¡¡ , 1,in= cu proprietatea ()
0lim0ixxxq
→=, 1,in=
astfel încât:
()()() ()()
000
11nn
iiiiii
iifxfxxxAxxx q
===+−⋅+−⋅∑∑ .
Dacă func ția f are 2 sau 3 variabile, atunci egalitatea care define ște
diferen țiabilitatea are una din formele:

()()()()()()()()0001020102 ,,,,fxyfxyxxAyyAxxxyyyxy qq =+−+−+−+−
()( )()()()()()
()()()()
00001020301
0203,,,,,,
,,,,.fxyzfxyzxxAyyAzzAxxxyz
yyxyzzzxyzq
qq=+−+−+−+−+
+−+−

OBSERVA ȚIA 7.2.2 În Defini ția 7.2.3 expresia ()()
0
1n
iii
ixxx q
=−⋅∑ se
poate înlocui cu () ()2
0
1n
iii
ixxxq
=⋅−∑ , unde ()
0lim0
xxxq
→=.
În cele ce urmeaz ă se pune problema leg ăturii ce exist ă între
diferen țiabilitate și derivabilitate.

PROPOZI ȚIA 7.2.1 Fie 2:fX⊂→¡¡ , (),abX∈. Dac ă funcția f este
diferen țiabilă în punctul (),ab , atunci f este continu ă în (),ab și
derivabil ă în (),ab în raport cu variabilele sale.
Demonstra ție. Funcția f fiind diferen țiabilă și ținând cont de defini ția
diferen țiabilit ății func țiilor de dou ă variabile, se poate afirma c ă exist ă
,AB∈¡ și ()1,xyq , ()2,xyq , cu proprietatea () lim,0ixa
ybxyq
→
→=, 1,2i= ,
astfel încât:
()()()()()()()()12 ,,,,fxyfabAxaBybxyxaxyyb qq =+−+−+−+− . (*)
Trecând la limit ă în egalitatea (*), se ob ține ()() lim,,
xa
ybfxyfab
→
→= , ceea ce
arată că (),fxy este continu ă în (),ab. În egalitatea (*) se pune yb= și se
obține:

221
()()()
1,,,fxbfabAxyxaq−=+−. (**)
Trecând la limit ă în (**), se ob ține:
()() ,,lim
xafxbfabAxa→−=−.
Deci, (),fxy este derivabil ă în (),ab în raport cu x. Raționând analog se
obține că (),fxy este derivabil ă în (),ab în raport cu y, (),x Afab′= ,
(),y Bfab′= .

OBSERVA ȚIA 7.2.3 Propozi ția 7.2.1 este adev ărată și pentru func ții de
trei sau mai multe variabile.

PROPOZI ȚIA 7.2.2 1 Fie 2:fX⊂→¡¡ . Dac ă func ția f admite
derivabile par țiale de ordinul întâi continue pe o vecin ătate V a punctului
(),abX∈, atunci aceast ă funcție este diferen țiabilă în punctul (),ab.
Demonstra ție. Ținând cont c ă func ția f admite derivate par țiale continue
pe o vecin ătate V a punctului (),ab, acesteia i se poate aplica teorema lui
Lagrange pentru func ții de dou ă variabile și se ob ține:
()()()()()() ,,,,xy fxyfabxafyybfa xh′′ =+−+− .
Aceast ă egalitate se poate scrie sub forma:
()()()()()()()()() ,,,,,,xyxx fxyfabxafabybfabfyfabxa x ′′′′  =+−+−+−−+
()()() ,,yyfafabyb h′′+−−.
Dacă se noteaz ă:
()()()1 ,,,xxfyfabxyxq′′ −= , ()()()2 ,,,yyfafabxy hq′′ −=
și ținând cont de continuitatea derivatelor par țiale, rezult ă:
() lim,0ixa
ybxyq
→
→=, 1,2i= .
În aceste condi ții va avea loc egalitatea:
()()()()()()()()12 ,,,,fxyfabxaAybBxaxyybxy qq =+−+−+−+− ,
unde (),x Afab′= , (),y Bfab′= . Aceast ă egalitate exprim ă faptul c ă
funcția f este diferen țiabilă în punctul (),ab.

OBSERVA ȚIA 7.2.4 Propozi ția 7.2.2 are o importan ță deosebit ă în studiul
diferen țiabilit ății func țiilor de dou ă variabile (ea se poate generaliza și la

222
funcții de trei sau mai multe variabile) deoarece reduce studiul
diferen țiabilit ății la existen ța și continuitatea derivatelor par țiale.

DEFINIȚIA 7.2.4 Funcția liniar ă în x și y,
()()()() ,,xy xafabybfab ′′−⋅+− se nume ște diferențiala de ordinul
întâi a func ției (),fxy în (),ab și se noteaz ă (), dfab . Diferen țiala pe o
întreaga vecin ătate a lui (),ab este:
()() () ,,,fxyfxydfxydxdyxy∂∂=+∂∂.
Aceasta se poate generaliza la func țiile de n variabile și se ob ține
()()n
i
in ifxdfxdxx =∂=∂∑ .
Operatorul ddxdyxy∂⋅∂⋅⋅=+∂∂ se nume ște operatorul de diferen țiere de
ordinul întâi pentru func ția (),fxy . Pentru func țiile de n variabile, acest
operator are forma n
i
in iddxx=∂⋅⋅=∂∑ . Dac ă operatorul de diferen țiere se aplic ă
în mod repetat unei func ții de dou ă sau mai multe variabile se ob ține
diferen țiala de ordin superior a acesteia.
Pentru func țiile de dou ă variabile, diferen țiala de ordinul n are urm ătoarea
formă:
()
1,n n
niini
n ini
ifdfxyCdxdyxy−
−
=∂=∂∂∑
sau, scris ă ținând cont de modul recursiv în care se define ște diferen țiala de
ordinul n, aceasta poate fi pus ă sub urm ătoarea form ă:
()()
() ,,n
ndfxydxdxfxyxy∂⋅∂⋅=+∂∂,
unde se ridic ă formal la putere dup ă formula binomului lui Newton, ridicând
efectiv la puteri lungimile dx, dy, iar operatorilor ,xy∂⋅∂⋅
∂∂ li se m ărește
ordinul de derivare specificat dup ă formula binomului.
Pentru func țiile :nfX⊂→¡¡ , 3n≥, nu exist ă o formul ă pentru
diferen țiala de ordinul n a lui f, deoarece nu se cunoa ște formula pentru
( )
12 …n
n AAA+++ . În acest caz, diferen țialele de ordinul n se ob țin dup ă
procedeul recursiv de definire a diferen țialei de ordin n.

223
Se consider ă cel mai simplu caz care nu se încadreaz ă în formula anterioar ă,
adică se calculeaz ă ()3,, dfxyz .

222222
322222
222222 ffffffdfdfdfdxdydzdxdxdzdxdyxyzxyxzxy∂∂∂∂∂∂==+++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂oo
33
32
323…fffffdxdydzdxdydxxyzxyx∂∂∂∂∂++=++ ∂∂∂∂∂∂o .
Deoarece se cunoa ște formula:
( )
2 222
1212
,1……2n
nnij
ij
ijAAAAAAAA
=
<+++=++++ ∑ ,
rezult ă:
( )
22
22
121 2
1,1 1,,…,2nn
nij
iij ij
ijffdfxxxdxdxdxxxx==
<∂∂=+∂∂∂∑∑ .

Diferen țiala definit ă anterior este o particularizare a diferen țialei Gâteaux.
Aceasta se define ște astfel: fie :nfX⊂→¡¡ , X un deschis din n¡ și
0xX∈. Se spune c ă func ția f este diferențiabilă Gâteaux (slab) în 0x
dacă este derivabil ă după orice direc ție ns∈¡ în 0x. Num ărul ()0, fxs′ se
nume ște diferențiala Gâteaux a func ției f în punctul 0x, iar func ționala
()0:ndfx →¡¡ , ()()()00 , dfxsfxs ′= , ns∀∈¡, se nume ște
diferențiala Gâteaux a func ției f în punctul 0x.
Dacă se consider ă vectorul ()() ()00
0
1,,
nfxfxfxxx∂∂∇= ∂∂K (care reprezint ă
gradientul func ției f), atunci ()()()( ) 00 , dfxsfxs =∇ ,
()()
0
1n
ii
idfxss a
==∑ , ,iisa∈¡, este o aplica ție liniar ă. Înlocuind i se=,
1,in= , se ob ține:
()()()()0
00 ,iii
ifxdfxefxexa∂′===∂, 1,in= .
Considerând aplica țiile liniare :npr →¡¡ , iiprxx=, și înlocuind iixdx= ,
se ob ține:

224
()()
0
0
1n
i
i ifx
dfxdx
x =∂=∂∑ .

Exemplu. Fie func țiile:

( )( )
2222
,,,ln
fxyzuxyzu
=+++ , ()( )
,,ln
xyz
gxyzxyz
=⋅⋅
.
Să se calculeze: 22,,,,n
dfdfdgdgdg
,
3
n
≥
.
Soluție. Se știe că ( )
,,,
ffff
dfxyzudxdydzdu
xyzu
∂∂∂∂
=+++∂∂∂∂.
Dar,
2222
2 fx
xxyzu
∂
=
∂+++
,
2222
2 fy
yxyzu
∂
=
∂+++
,
2222
2 fz
zxyzu
∂
=
∂+++
,
2222
2 fu
uxyzu
∂
=
∂+++
.
Rezult ă că:
( ) ( )
22222,,,
dfxyzuxdxydyzdzudu
xyzu=++++++.
Se știe că:

222222
22222
2222222ffffff
dfdxdydzdudxdydxdz
xyzuxyxz∂∂∂∂∂∂
=++++++
∂∂∂∂∂∂∂∂
2222
2222ffff
dxdudydzdydudzdu
xuyzyuzu∂∂∂∂++++∂∂∂∂∂∂∂∂.
( )
( )
2222
2
2
222222
xyzu
f
x xyzu−+++ ∂=∂ +++, ( )
( )
2222
2
2
222222
xyzu
f
y xyzu−++ ∂=∂ +++,
( )
( )
2222
2
2
222222
xyzu
f
z xyzu+−+ ∂=∂ +++, ( )
( )
2222
2
2
222222
xyzu
f
u xyzu++− ∂=∂ +++.

Analog se calculeaz ă derivate mixte de ordin doi.
Înlocuind în formula diferen țialei de ordinul al doilea a func ției
f
, se ob ține
( )
2
,,,
dfxyzu
.
Funcției ()
,,
gxyz
, pentru a-i putea g ăsi în mod simplu derivate ce intervin
în diferen țialele cerute, i se face urm ătoarea transformare:
()
,,lnlnln
gxyzxxyyzz
=++ .

225
Se știe că:
gggdgdxdydzxyz∂∂∂=++∂∂∂,
unde: ln1gxx∂=+∂, ln1gyy∂=+∂, ln1gzz∂=+∂. Deci,
()()() ln1ln1ln1 dgxdxydyzdz=+++++ .
Se știe că:
222222
2222
222222ggggggdgdxdydzdxdydxdzdydzxyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂,
unde 222
222111,,ggg
xxyyxz∂∂∂===∂∂∂, 222
0ggg
xyxzyz∂∂∂===∂∂∂∂∂∂. Deci,
2222 111dgdxdydzxyz=++ .
Pentru calculul lui ndg, 3n≥, nefiind o formul ă pentru astfel de
diferen țiale în mod general, se aplic ă principiul de deducere al acesteia din
aproape în aproape. Dar, dup ă cu s-a v ăzut acesta este destul de greoi.
Totuși se știe că diferen țiala de ordinul n a unei func ții de mai multe
variabile con ține dou ă sume distincte: suma în care intervin derivatele
parțiale de ordinul n în raport cu fiecare variabil ă în parte și suma în care
intervin derivatele par țiale mixte de ordinul n. În cazul func ției (),,gxyz
suma derivatelor par țiale mixte de ordinul n este 0, deoarece derivatele
parțiale mixte de ordin doi dup ă cum se observ ă sunt nule.
Deci, nnn
nnnn
nnngggdgdxdydzxyz∂∂∂=++∂∂∂.
Dar, ()()
111!nn
nnn g
xx−−⋅− ∂=∂, ()()
111!nn
nnn g
yy−−⋅− ∂=∂, ()()
111!nn
nnn g
zz−−⋅− ∂=∂.
Așadar,
()()()
111111,,11!n nnnn
nnndgxyzndxdydzxyz−−−=−⋅−++ .

O clas ă important ă de func ții sunt func țiile compuse. În continuare, se pun
în eviden ță câteva reguli pentru determinarea diferen țialei func țiilor
compuse.

PROPOZI ȚIA 7.2.3 Fie mD⊂¡, nE⊂¡ două mulțimi deschise. Dac ă
:DEj→ și :pfE→¡ sunt dou ă aplica ții cu propriet ățile:

226
i) j diferen țiabilă în aD∈,
ii) f diferen țiabilă în () baj= ,
atunci func ția compus ă fjo este diferen țiabilă în a și
()()()() dfadfbdfa j= oo .

Se știe că matricea asociat ă compunerii a dou ă aplica ții liniare este produsul
matricelor celor dou ă aplica ții. Ținând cont de Propozi ția 7.2.3, se ob ține
egalitatea:
()()()ffJaJbJajj=o .
Exemplu . Fie 2,DE⊂¡ dou ă mul țimi deschise și 2:Dj→¡,
()() ,,xyuvj = , :fE→¡, (),fuvw =, ()()() ( ) ,,,,wxyfuxyvxy = .
Ținând cont de egalitatea anterioar ă, se ob ține:
uu
xy wwff
vy xyuw
xy∂∂
∂∂ ∂∂∂∂  =  ∂∂ ∂∂∂∂  ∂∂.
În continuare se pun în eviden ță câteva propozi ții care arat ă utilitatea
practic ă a diferen țialei.

PROPOZI ȚIA 7.2.4 Condi ția necesar ă și suficient ă ca ( )12,,…,n dfxxx să
fie identic nul ă pe nX⊂¡, este ca func ția ( )12,,…,n fxxx să fie constant ă
pe nX⊆¡.

PROPOZI ȚIA 7.2.5 Dacă expresia diferen țială ()
1n
ij
iEPxdx
==∑ ,
( )12,,…,n xxxx= este diferen țiala unei func ții ( )12,,…,n fxxx , atunci
()
i
ifPxx∂=∂ și reciproc.
Demonstra țiile acestor dou ă propozi ții sunt imediate.

3. UNELE APLICA ȚII ALE DIFEREN ȚIALEI
A. FORMULA LUI TAYLOR

Într-un capitol anterior s-a demonstrat formula lui Taylor pentru func ții reale
de variabil ă reală. Aceast ă formul ă poate fi generalizat ă și pentru func ții de

227
două sau mai multe variabile. În cele ce urmeaz ă se dă formula lui Taylor
pentru func ții de dou ă variabile.

PROPOZI ȚIA 7.2.6 (Formula lui Taylor pentru func ții de dou ă
variabile ) Fie 2:fX⊂→¡¡ diferen țiabilă de n ori în (),ab ,
(),abX∈. Atunci are loc egalitatea:
()()()()()()
,, 1,,1!fabfabfxyfabxayaxy∂∂=+⋅−+⋅−+ ∂∂
()()()()()()()()
222
22
22,,, 12…,,2!nfabfabfabxayaxaybRxyxyxy∂∂∂+⋅−+⋅−+−−⋅++∂∂∂∂
unde:
()()()()()
()() ()
11,,,0,1.1!n
nRxyxaybfaxabybnxyqqq+∂∂=−+−+−⋅+−⋅∈   +∂∂
Aceast ă egalitate poart ă denumirea de formula lui Taylor pentru func ții
de două variabile .
Demonstra ție. Restul (),nRxy este dat în expresia anterioar ă sub forma
unui operator aplicat func ției f. Operatorul este similar cu operatorul
pentru determinarea diferen țialei de ordinul 1n+ în func țiile de dou ă
variabile.
În continuare, ra ționamentele se fac pe segmentul care une ște pe (),ab cu
(),xy ca în figura al ăturată.

Fie () ()() ( ) , tfaxatbybtj=+−+− , []0,1t∈ . Se observ ă că
()() 0, fab j= iar ()() 1, fxy j= . Deoarece func ția (),fxy este
derivabil ă de 1n+ ori, rezult ă că și func ția j este derivabil ă de 1n+ ori pe (a,b) (x,y) V(a,b) I y
x O

228
intervalul închis []0,1. Deci, acesteia i se aplic ă formula lui Mac-Laurin.
Conform acestei formule se ob ține rela ția:
()() () () ()()()()
21
10'00…01!2!!1!nn
n nn ttttttnnjjjjjjq+
+=+⋅++++⋅+,
()0,1 q∈ .
Dar, pentru 1t= se ob ține:
()()()()()()()()
()
1'0''00,,…1!2!1!nn
fxyfabnnjjjjq+
=++++++.
Pentru a calcula derivatele ()()()()()()1'0,''0,…,0,nnjjjjq+ se calculeaz ă
derivatele func ției ()()() ( ) , tfxtytj= considerat ă că o func ție compus ă
cu doi intermediari pe segmentul I care une ște punctul (),ab cu un punct
arbitrar ()(),,abxyV∈ fixat, unde: ()() xtaxat=+− , ()() ytbybt=+− ,
variabila independent ă fiind t. Deci, ()() ( ) ,xtytI ∈. Ținând cont de
aceasta, se ob ține:
() ()()
'fftxaybxyj∂∂=−+−∂∂.
Rezult ă că:
()()()()()
,,'0fabfabxaybxyj∂∂=−+−∂∂,
() ()()() () ()( )
2222
222''fffftxaybxaybxaybxyyyxj∂∂∂∂=−+−⋅−+−+−−∂∂∂∂∂.
Ținând cont de egalitatea derivatelor mixte ob ținem c ă:
() () ()()()
222
22
222''ffftxaxaybybxxyyj∂∂∂=−+−−+−∂∂∂∂.
Deci,
()()()()()()()()
222
22
22,,,''0fabfabfabxaxaybybxxyyj∂∂∂−+−−+−=∂∂∂∂.

Astfel, s-a ob ținut al treilea termen din formula lui Taylor pentru func ții de
două variabile. În mod analog se calculeaz ă ()'''0j , …,()()0nj , ()()10nj+ și
prin înlocuire în formula lui Mac-Laurin pentru func ția ()tj se ob ține
formula lui Taylor pentru func ții de dou ă variabile.

229
OBSERVA ȚIA 7.3.1
a) Egalitatea din Propozi ția 7.2.6 se mai scrie și astfel:
()()()()() ()
10, 1
,,,
!k nniki
n iki
kifab
fxyfabxaybRxy
kxx−
−
==∂=+−−+ ∂∂∑∑ ,
unde ()()()()()
1 1
1
1, 1,1!n n
knk
k
nn knk
kfuvRxyCxaybnxx+ +
−
+ −
=∂=−−+∂∂∑ ,
iar ()
uaxa
q
=+− , ()
vbyb
q
=+− , ()
0,1
q∈ .
b) Dac ă în formula lui Taylor se consider ă
0
n
=
, atunci se ob ține formula
lui Lagrange pentru func ții de dou ă sau mai multe variabile.
c) Folosind diferen țiala, formula lui Taylor pentru ()
,
fxy
în punctul
()
0
,
abX
∈
este:
()()() () ()()
2 111
,,,,…,,
1!2!!
n
n
fxyfabdfabdfabdfabRxy
n
=+++++ .
d) Dac ă ()
,
fxy
este diferen țiabilă de
1
n
+
ori pe ()
,
ab
V
, atunci
()()()
,
,
ab
xyV
∀∈ , ()()
,
xh
∃ pe segmentul care une ște pe ()
,
ab
cu ()
,
xy

astfel încât ()()()
1 1
,,
1!n
nRxydfn
xh
+=+.
e) Dac ă :mfX⊂→
¡¡
o func ție de
n
ori diferen țiabilă pe deschisul
X
,
atunci
aX
∀∈
fixat și
xX
∈
, exist ă []
,
ax
h∈ astfel încât
()() () () ()()()
21 1111…1!2!!1!nnfxfadfadfadfadfnn
h
+=++++++.

B. PUNCTE DE EXTREM
În cele ce urmeaz ă se consider ă 2:fX⊂→
¡¡
, dar rezultatele ob ținute
pentru aceast ă funcție se vor generaliza pentru func țiile de
n
variabile.

DEFINIȚIA 7.3.1. Fie 2:fX⊂→
¡¡
și ()
0
,
abX
∈
. Dac ă exist ă
()
,
Vab
∈
V
astfel încât:
i) ()()
,,0
fabfxy
−<
, pentru orice ()
,
xyV
∈
, atunci punctul ()
0
,
abX
∈

se nume ște punct de minim local pentru ()
,
fxy
;

230
ii) ()() ,,0fabfxy −> , pentru orice (),xyV∈, atunci punctul ()0
,abX∈
se nume ște punct de maxim local pentru (),fxy .
Dacă inegalit ățile i) și ii) sunt satisf ăcute pentru orice (),xyX∈, atunci
extremele se numesc globale . Condi ția necesar ă ca (),ab să nu fie extrem
global este () lim,
xa
ymxfxmx
→
==±∞ .

Se știe că pentru func țiile reale de variabil ă reală, minimele și maximele
verific ă teorema Fermat . Aceast ă teorem ă poate fi generalizat ă și pentru
funcțiile de mai multe variabile astfel:

PROPOZI ȚIA 7.3.2 (Teorema lui Fermat ) Dac ă 2:fX⊂→¡¡ și
()0
,abX∈ este un punct de extrem local al func ției (),fxy , atunci rezult ă
că:
(),0fab
x∂=∂, (),0fab
y∂=∂
(se presupune c ă derivatele par țiale exist ă).
Demonstra ție. Dacă punctul (),ab este un punct de extrem local al func ției
(),fxy , atunci acest punct este de extrem local și pentru func țiile
()(), gxfxb= , ()(), hyfay= . Dar, aceste func ții sunt func ții de o
singur ă variabil ă și rezult ă că ()'0ga=, ()'0hb=. Deci, rezult ă:
(),0fab
x∂=∂ și (),0fab
y∂=∂.

OBSERVA ȚIA 7.3.2
a) Ca și la func țiile reale de variabil ă reală, reciproca acestei teoreme nu este
în general valabil ă.
b) Punctele interioare ale lui X pentru care (),0 dfxy = se numesc puncte
staționare ale func ției (),fxy .
c) Ținând cont de punctele a) și b) rezult ă că mulțimea punctelor de extrem
a unei func ții de mai multe variabile este inclus ă în mul țimea punctelor
staționare.

231
d) Punctele sta ționare ale func ției (),fxy care nu sunt puncte de extrem se
numesc puncte șa și sunt echivalente punctelor de inflexiune ale func țiilor
de variabil ă reală.

PROPOZI ȚIA 7.3.3 (Determinarea punctelor de extrem ) Fie
2:fX⊂→¡¡ o func ție care admite derivate par țiale mixte de ordinul al
doilea continue pe o vecin ătate V a lui (),ab și ()0
,abX∈ un punct
staționar. Dac ă se noteaz ă:
()() ()2222
22,,,fabfabfab
xyxy ∂∂∂Δ=⋅− ∂∂∂∂,
atunci:
i) pentru 0Δ> și ()2
2,0fab
x∂<∂, rezult ă că (),ab punct de maxim local.
ii) pentru 0Δ> și ()2
2,0fab
x∂>∂, rezult ă că (),ab punct de minim local.
iii) pentru 0Δ< , rezult ă că (),ab nu este punct de extrem.
Demonstra ție. Se consider ă formula lui Taylor de ordinul al doilea pentru
funcția (),fxy :
()()()()()()
,, 1,,1!fabfabfxyfabxayaxy∂∂=+⋅−+⋅−+ ∂∂
()()()()()()()()
222
22
2 22,,, 12,.2!fabfabfabxaxaybybRxyxxyy∂∂∂+⋅−+−−⋅+⋅−+∂∂∂∂
Ținând cont de faptul c ă (),ab este punct sta ționar și ()2 lim,0
xa
ybRxy
→
→=
rezult ă:
()()()()()()()
()()
22
2
2
2
2
2,, 1,,2
, 1,2fabfabfxyfabxaxaybxxy
fabyby∂∂=+⋅⋅−+−−⋅+∂∂∂
∂+⋅⋅−∂
pentru orice (),xyV∈, unde V este o vecin ătate foarte mic ă a punctului
(),ab. Dac ă se noteaz ă:
()2
11 2,fabax∂=∂, ()2
12,fabaxy∂=∂∂, ()2
22 2,fabay∂=∂,

232
atunci rezult ă că:
()()()
2
2
1112221,,22xaxaEfxyfabybaaaybyb−−=−=⋅−++ −− .
Se observ ă că pe vecin ătatea V a punctului (),ab, semnul expresiei E este
dat de expresia din paranteza dreapt ă. Dar, aceast ă expresie poate fi
considerat ă un trinom de gradul al doilea în variabila xatyb−=−. Cum
2
121122444Daaa=−⋅=−Δ , atunci dac ă 0D<, (deci, 0Δ> ) trinomul are
peste tot semnul lui 11a. Deci, cu alte cuvinte, dac ă:
i) 0Δ> și ()2
11 2,0fabax∂=<∂, rezult ă că ()() ,,0fxyfab −< , adic ă
punctul (),ab este un punct de maxim;
ii) 0Δ> și ()2
11 2,0fabax∂=>∂, rezult ă că ()() ,,0fxyfab −> ,
adică punctul (),ab este un punct de minim.
iii) pentru 0Δ< , ()() ,,fxyfab − are varia ție de semn pe vecin ătatea ,V
deci punctul (),ab nu mai este punct de extrem.

OBSERVA ȚIA 7.3.3
a) Dac ă 0,Δ= nu se poate afirma nimic despre natura punctului (),ab ,
adică (),ab poate fi punct de extrem sau nu. Aceast ă afirma ție rezult ă din
exemplul urm ător.
Exemplu . Se consider ă func țiile ()24,fxyxy =+ și ()23,gxyxy =+ și
()() ,0,0ab= . Se observ ă că ()0,0 este punct de minim pentru (),fxy și
nu este punct de extrem pentru (),gxy , dar în ambele cazuri 0Δ= .

b) Propozi ția anterioar ă este valabil ă și pentru func țiile de trei sau mai multe
variabile. În cazul în care ( )0
12,,…,n aaaX ∈ este punct sta ționar pentru
funcția ( )12,,…,n fxxx , se face nota ția ( )2
12,,…,n
ij
ijfaaaaxx∂=∂∂.

233
c) Se consider ă forma p ătratică ()
1,ijij
ijnqxaxx
≤≤=∑ . Spunem c ă ()qx este
pozitiv definit ă dacă () {} 0,\0nqxx>∀∈ ¡ .
d) Dac ă ()qx este pozitiv definit ă, atunci exist ă k∈¡ astfel încât
()2qxkx≥ , nx∀∈¡.
e) Fie nX⊂¡ un deschis, ()2fCX∈ și aX∈ un punct sta ționar (critic)
pentru f. Dac ă ()2dfa este pozitiv (negativ) definit ă, atunci a este un
punct de minim (maxim) pentru f (generalizarea Propozi ției 7.3.3).
f) Dac ă matricea ()()2
1,
1,in ij
jnfaHaxx=
=∂=∂∂ are toate valorile proprii strict
pozitive (strict negative), atunci ()2dfa este pozitiv (negativ) definit ă.

Ținând cont de observa ția 7.3.3. e) + f) se ob ține urm ătoarea propozi ție.

PROPOZI ȚIA 7.3.4 (Teorema lui Sylvester ) Fie :nfX⊂→¡¡ și
( )0
12,,…,n aaaX ∈ punct sta ționar al func ției ()fx .
i) Dac ă 110 a>, 1112
21220aa
aa>, 111213
212223
3132330aaa
aaa
aaa>, …, 11121
21222
120n
n
nnnnaaa
aaa
aaa>L
L
MMLM
L,
atunci punctul ( )12,,…,n aaa este punct de minim local pentru
( )12,,…,n fxxx .
ii) Dacă 110 a<, 1112
21220aa
aa>, 111213
212223
3132330aaa
aaa
aaa<, …,
()
11121
21222
1210n
n n
nnnnaaa
aaa
aaa−⋅>L
L
MMLM
L, atunci punctul ( )12,,…,n aaa este punct de
maxim local pentru func ția ( )12,,…,n fxxx .

234
Exemplu. Să se determine punctele de extrem ale func ției 3:f→¡¡ ,
() ( )222,,222227fxyzxyzxyyzxyz =++++++++ .
Soluție. Algoritmul de determinare a punctelor de extrem pentru func țiile de
mai multe variabile are dou ă etape distincte. Mai întâi determin ăm puncte
staționare ale func ției ( )12,,…,n fxxx , adic ă rezolv ăm sistemul 1
20
0
0.
nf
x
f
x
f
x∂=∂
∂=∂


∂=∂M
Apoi, separ ăm punctele de extrem din mul țimea punctelor sta ționare
folosind teorema Sylvester.
Concret, din exemplul dat, rezult ă:
0
0
0f
x
f
y
f
z∂=∂
∂=∂
∂=∂⇒4220
42220
2260xy
yxz
zy++=
+++=
++=.
Acest sistem are solu ția ( ) 3,5,8−− , adic ă 3 x=− , 5y=, 8 z=− . Deci,
mulțimea punctelor sta ționare are doar un singur element.
Se verific ă cu ajutorul teoremei Sylvester dac ă punctul ( ) 3,5,8−− este
punct de extrem. Pentru aceasta este nevoie de numerele ija care reprezint ă
valorile derivatelor de ordinul al doilea și derivatelor mixte de ordinul al
doilea în punctul ( ) 3,5,8−− . Ob ținem: 114 a=, 2112 2 aa== , 224 a=,
1331 0 aa== , 2332 2 aa== , 332 a=.
Dar,
1140 a=> , 1112
21224212024aa
aa==> , 111213
212223
313233420
24280
022aaa
aaa
aaa==> .
Conform teoremei Sylvester , rezult ă ( ) 3,5,8−− este un minim local al
funcției (),,fxyz .

235
OBSERVA ȚIA 7.3.4 Exerci țiul anterior poate fi enun țat și sub forma:
Să se arate c ă ( )22222222400xyzxyyzxyz+++++++−> , pentru
orice ()3,,xyz∈¡.

Exemplu . Să se cerceteze dac ă ()0,l, l∈¡, sunt puncte de extrem pentru
2:f→¡¡ , ()223,xyfxyxye+= .
Soluție. Găsim punctele sta ționare:
0
0f
x
f
y∂=∂∂=∂ ⇔()
()
23
223210
130xy
xyxyex
xey+
+ += += ⇔220
0xy
x=
= sau 10
130x
y+=
+=.
Așadar, ob ținem punctele critice ()0,yy∈¡ și 11,3−−. Deci,
()()223,0,xyfxyfyxye+−= .
Distingem cazurile:
i) 0y<. În acest caz, ()0,y este punct de maxim pentru func ția f,
deoarece exist ă o vecin ătate a lui ()0,y astfel încât ()() ,0,0fxyfy −< .
ii) 0y>. În acest caz, ()0,y este punct de minim pentru func ția f,
deoarece exist ă o vecin ătate a lui ()0,y astfel încât ()() ,0,0fxyfy −> .
iii) Expresia ()() ,0,fxyfy − nu are semn constant pe nicio vecin ătate a
lui ()0,0 . Deci, ()0,0 nu este punct de extreme pentru f.
Pentru 11,3−− nu se poate stabili cu ajutorul defini ției dac ă acesta este
sau nu punct de extreme și se folose ște teorema lui Sylvester. Ob ținem:
11 32
3ae= , 22 33ae= , 1221 0 aa== , 1112
6
212230aa
aa e=> . Deci, 11,3−− este
punct de minim local.
Așadar, se poate afirma c ă 223
3103xyxyee++> , (),xy∀∈ ¡ | 0r∃> ,
22299186109xyxyr++++< .

236
În cele ce urmeaz ă se pune problema afl ării punctelor de extrem cu
legături pentru o func ție cu n variabile, dându-se algoritmul de rezolvare al
acestei probleme. Problema se formuleaz ă astfel.
Să se afle punctele de extrem pentru func ția ( )12,,…,n fxxx , știind c ă
acestea îndeplinesc condi țiile:
( )
( )
( )
112
212
12,,…,0
,,…,0
,,…,0n
n
mnxxx
xxx
xxxj
j
j= 
= 

=M, mn<, ( )
( )
12
12,,…,0,,…,m
m xxxjjjΔ≠Δ,
unde ( )
( )111
12
222
12
12
12
12,,…,
,,…,m
m
m
m
mmm
mxxx
xxx
xxx
xxxjjj
jjjjjj
jjj∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂Δ∂∂∂=Δ
∂∂∂
∂∂∂L
L
LLLL
L.

Condi țiile din aceast ă problem ă mai poart ă denumirea și de legături pentru
puncte de extrem . Pentru a rezolva aceast ă problem ă se urm ărește
următorul algoritm:
i) Se construie ște funcția lui Lagrange :
( )( ) ( )()
1212121112
1,,…,,,,…,,,…,,,…,m
nmnn
ixxxfxxxxxxFxfllllj
==+= ∑ ,
unde 1,iiml= sunt variabile noi și poart ă denumirea de multiplicatorii lui
Lagrange . ( ) ( ) 12,,…,n xxxx= .
ii) Se determin ă punctele sta ționare ale func ției lui Lagrange .
iii) Fie ( )1212,,…,,,,…,nm aaa mmm unul din punctele sta ționare ale func ției
lui Lagrange (adic ă, punctul ( )12,,…,n aaa este punct sta ționar al func ției
()fx ).
Se calculeaz ă diferen țiala ()2dFx (()( )1212,,…,,,,…,nm Fxxxx mmm =Φ ).

237
iv) Se rezolv ă sistemul ( )
( )
( )
112
212
12,,…,0
,,…,0
,,…,0n
n
mndaaa
daaa
daaaj
j
j= 
= 

=M
în care necunoscute sunt 121,,…,,,…,mmn dxdxdxdxdx+ .
Se exprim ă 12,,…,m dxdxdx în func ție de celelalte necunoscute 1,…,mndxdx+ .
v) Aceste valori se înlocuiesc în diferen țiala de la punctul iii), în care se
înlocuiesc și 12,,…,n xxx cu 12,,…,n aaa și se ob ține urm ătoarea egalitate:
( )
2
12
,1,,…,n
nijij
ijmdFaaaadxdx
=+=∑
care este o form ă pătratică.
vi) Acestei forme p ătratice i se aplic ă teorema lui Sylvester pentru a decide
natura punctului sta ționar ( )12,,…,n aaa . Dac ă
,1n
ijij
ijmadxdx
=+∑ este pozitiv
(negativ) definit ă punctul ( )12,,…,n aaa este punct de minim (maxim) al lui
()fx ce verific ă legăturile.

OBSERVA ȚIA 7.3.5 Etapele acestui algoritm sunt prezentate pe larg în
capitolul 8 paragraful 5.

Exemplu. Să se afle paralelipipedul de volumul maxim ale c ărui dimensiuni
sunt supuse condi țiilor:
4
8xyz
xyz+−=
−−=
Rezolvare. Din punct de vedere matematic, problema mai poate fi enun țată
și astfel.
Să se afle punctele de extrem ale func ției (),,fxyzxyz = care îndeplinesc
condi țiile:
4
8xyz
xyz+−=
−−=
Pentru rezolvarea acestei probleme se folose ște algoritmul prezentat.
i) Se construie ște funcția lui Lagrange :
( )() ()()121122 ,,,,,,,,,,xyzfxyzxyzxyzfllljlj =+⋅+
și se ob ține:

238
() ( )( )12 ,,48xyzxyzxyzxyzfll =⋅⋅++−−+−−− .
ii) Se determin ă punctele sta ționare ale acestei func ții, rezolvând urm ătorul
sistem:
12
12
12
1
20
0 0
0
0 0
40
080
0x
yz
yxz
xyzxyz
xyzf
fll
ll
fll
f
l
f
l∂=∂
∂++= =∂  +−=∂=⇒−−=∂+−−=∂=−−−=   ∂
∂=∂.
Soluția acestui sistem este:
1
23
2
3
32
152x
y
z
l
l
=
=−=−
=
=−.
Deci, func ția lui Lagrange admite un singur punct sta ționar și acesta este
3153,2,3,,22−−−.
iii) ()
31533315,,,,,,6222222Fxyzxyzxyzxyzx f=−=⋅⋅++−−−+
1515606965422yzxyzxyz+++=⋅⋅−+++ .
Acestei func ții îi afl ăm diferen țiala de ordinul al doilea:
()
222222
2222
222222,,FFFFFFdFxyzdxdydzdxdydxdzdydz
xyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂=+++++
∂∂∂∂∂∂∂∂∂.
Deci,
()2,,222 dFxyzdxdydxdzdydz =++ .
iv) Se rezolv ă sistemul

239
( )
( )
1
23,2,30 0
0 3,2,30d dxdydz
dxdydz dj
j−−=  +−= ⇔ −−= −−=   
220dxdydxdz−=⇒= ,
200dydy=⇒= .
Se înlocuie ște 0 dy= și dzdx= , 3x=, 2 y=− ; 3 z=− în diferen țiala de la
punctul iii) și se ob ține:
( ) ( )2223,2,323,2,32 dFdxdzdFdz −−=⇒−−=⇒ ( )23,2,30 df−−> .
Rezult ă că punctul sta ționar determinat este un punct de minim al func ției
(),,fxyzxyz = care verific ă legăturile date.

4. EXERCI ȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 7.4.1 Folosind defini ția derivatei, s ă se calculeze derivatele
următoarelor func ții:
a) 1(),cosnFxxxxx=++;
b)
2()arccos,1 1xxFxarctgx x=− + .
Soluție. Se observ ă că funcțiile date sunt func ții vectoriale de variabil ă reală
de forma 12 ()((),())Fxfxfx= . Derivata func țiilor are sens numai în
domeniul de defini ție. Dac ă 0x este un punct al domeniului de defini ție,
atunci se știe că ()Fx este derivabil ă în acest punct dac ă exist ă și este finit ă
00
0()()lim
xxFxFx
xx→−
− și aceast ă limit ă este 0'()Fx .
a) Fie 3
12 ()((),())Fxfxfx= , unde 3
1()fxxxx=++ și 21()cosnfxx= .
Indicele superior din 1f reprezint ă numărul radicalilor. Se observ ă că
2:[0,)\2kFDkpp
∈=∞∩+→  ¢¡¡ .
Fie 0xD∈. Avem:
0033
0110220
000()()()()()()limlim,
xxxxFxFxfxfxfxfx
xxxxxx→→ −−−=−−− ,

240
0033000110
00
321
101010()()limlim
111,2()2()2()xxxxxxxxxx fxfx
xxxx
fxfxfx→→++−++ −==−−
=++
00022000
0000
1 0
00
011
()()coscoscoscos 1limlimlimcoscos()
sincos.cosnnnn
nnxxxxxx
n
nfxfxxxxx
xxxxxxxx
nxxntgxx→→→
−−−−===−−−
=⋅=⋅
Deci,
03
00
1 0100()() 11lim,2()cosknxxkFxFxtgxnxxfxx→= −=⋅− ∑ . Rezult ă că:
3
0
0
110011'(),2()coskn
ktgxFxnfxx==
∑ .
Cum 0x a fost ales arbitrar în domeniul de defini ție, rezult ă că:
3
0
1111'(),2()coskn
kntgxFxfxx==
∑ .

OBSERVA ȚIE. Se poate generaliza luând n radicali, adic ă
1()…nfxxxx=+++ și atunci 0
1111'(),2()cosn
kn
kntgxFxfxx==
∑ .
b) Fie 12 ()((),())Fxfxfx= , unde 12()arccos
1xfx
x=
+,
2()1xfxarctgx=+, 2:FD+=→¡¡ . Fie 0x+∈¡. Atunci 0
2
0[0,1)
1x
x∈
+
și 0
0[0,1)1x
x∈+. Avem:
000110220
000()()()()()()limlim,
xxxxFxFxfxfxfxfx
xxxxxx→→ −−−=−−− .,
Dar,
000
22
0 110
00arccosarccos
11 ()()limlim
xxxxx x
xx fxfx
xxxx→→−
++ −=−−.

241
Se știe c ă 22arccosarccosarcsin(11) abbaab−=−−−− ,
(),[0,1)ab∀∈ .
Deci,
000
22
0 110
2
000arcsin
(1)(1) ()() 1limlim1xxxxxx
xx fxfx
xxxxx→→−
++ −=−=−−−+.
și,
000
2200
00()()11limlim
xxxxx xarctgarctgfxfxxx
xxxx→→−−++=−−.
Se știe că 1arctgarctgarctgababab−−=+⋅, (),0ab∀> . Deci,
000
22000
2
0000()()(1)(1) 1limlim122xxxxxxarctgfxfxxxxx
xxxxxx→→−
−+++=−=−−−++.
Deci,
00
22
0000()() 11lim,1122xxFxFx
xxxxx→ −=−−+++ . Rezult ă că:
0 22
00011'(),1122Fxxxx−=+++.
Cum 0x a fost ales arbitrar în domeniul de defini ție, rezult ă că:
2211'(),1122Fxxxx−=+++.

EXERCIȚIUL 7.4.2 Fie :[,]kfab →¡, 0,km= , func ții continue pe
[],ab și derivabile pe (),ab și 12 …m axxxb≤<<<≤ . Să se arate c ă exist ă
1 (,)kkxx x+ ∈ , 1,1km=− , astfel încât 01
01111
01()()()
()()()0
()()()m
m
mmmmfff
fxfxfx
fxfxfxxxx′′′
=L
L
MMM
L.

242
Soluție. Se consider ă funcția:
01
01111
01()()()
()()()()
()()()m
m
mmmmfxfxfx
fxfxfxFx
fxfxfx=L
L
MMM
L.
Se observ ă că ()Fx este o func ție Rolle pe intervalul 1 [,]kkxx+,
() 1,1km∀=− . Deci, exist ă 1 (,)kkxx x+ ∈ astfel încât '()0Fx=. Dar, dac ă
0
0()()in ij
jnDxfx≤≤
≤≤= , unde ()ijfx sunt derivabile, atunci ()Dx este o func ție
derivabil ă. Se noteaz ă ()
iLDx funcția care se ob ține din ()Dx prin derivarea
liniei i. Deci,
1'()()
in
L
iDxDx
==∑ . Ținând cont de acest rezultat, rezult ă că
'()Fx este:
01
01111
01()()()
()()()'()
()()()m
m
mmmmfxfxfx
fxfxfxFx
fxfxfx′′′
=L
L
MMM
L
și exerci țiul este rezolvat.

EXERCIȚIUL 7.4.3 Fie 2:F→¡¡ , ( ) ()cos(),sin()Fxaxbaxb=±± . Să
se arate c ă ()Fx este indefinit derivabil ă și să se calculeze ()()nFx .
Soluție. Funcția 12 ()((),())Fxfxfx= este indefinit derivabil ă, dac ă
funcțiile 1()fx și 2()fx sunt indefinit derivabile și
()()()
12 ()((),())nnnFxfxfx = , )(∀ 1n≥, n∈¥.
Funcțiile :[1,1]if→−¡ , 1,2i= , unde 1()cos()fxaxb=± și
2()sin()fxaxb=± sunt indefinit derivabile,
deci ( ) ()cos(),sin()Fxaxbaxb=±± este indefinit derivabil ă.
Acum: 1()cos()fxaxb=± , 1()sin()cos()2fxaaxbaaxbp′=−±=−±+ și
22
12()sin()cos()22fxaaxbaaxbpp′′=±+=±+ . Se observ ă că:
()
1()cos()2nn nfxaaxbp=±+ .

243
Se presupune aceast ă lege adev ărată și se demonstreaz ă că
(1)1
11()cos()2nn nfxaaxb p++ +=±+⋅ . Avem:
()
(1)()
11()()cos()2nnn nfxfxaaxbp+′′==⋅±+=1sin()2n naaxbp +−⋅±+=
1 (1)cos()2n naaxbp+ +=⋅±+ .
Deci, conform induc ției, rezult ă că ()
1()cos()2nn nfxaaxbp=±+ , ()n∀∈ ¥.
Analog se procedeaz ă cu 2()fx și se ob ține ()
2()sin()2nn nfxaaxbp=±+ .
Deci,
()cos(),sin()22nn nnFxaaxbaaxbpp =⋅±+⋅±+.

EXERCIȚIUL 7.4.4 Fie { 0}Dxaxb=∈±> ¡ și 2:FD→¡, unde
1(),ln()Fxaxbaxb=±±. Să se arate c ă ()Fx este indefinit derivabil ă și
să se calculeze ()()nFx .
Soluție. Funcțiile 11()fxaxb=± și 2()ln()fxaxb=± sunt indefinit
derivabile, deci func ția ()Fx este indefinit derivabil ă și
()()()
12 ()((),())nnnFxfxfx = .
Avem: 1 2()()afxaxb−′=± 2
1 312()()afxaxb⋅′′=± 3
1 4123()()afxaxb−⋅⋅′′′=±, …. Se
presupune c ă ()
1 1(1)!()()nn
n
nnafxaxb+−⋅=± este adev ărată și se demonstreaz ă că
11
(1)
1 2(1)(1)!()()nn
n
nnafxaxb++
+
+−⋅+=±. Într-adev ăr:
()11
(1)()
11 12(1)!(1)(1)!()()()()nnnn
nn
nnnanafxfxaxbaxb++
+
++′−⋅−⋅+′=== ±±.
Atunci, conform cu principiul induc ției , avem c ă ()
1 1(1)!()()nn
n
nnafxaxb+−⋅=±.

244
Analog, 2()afxaxb′=±, 2
2 2()()afxaxb−′′=±, 3
2 3123(),…()afxaxb⋅⋅′′′=±. Se
presupune c ă 1
()
2(1)(1)!()()nn
n
nnafxaxb+−⋅−=± este adev ărată și se demonstreaz ă
că 21
(1)
2 1(1)!()()nn
n
nnafxaxb++
+
+−⋅=±. Într-adev ăr:
()121
(1)()
22 1(1)(1)!(1)!()()()()nnnn
nn
nnnanafxfxaxbaxb+++
+
+′−⋅−−⋅′=== ±± .
Așadar, conform cu principiul induc ției, avem c ă:
1
()
2(1)(1)!()()nn
n
nnafxaxb+−⋅−=±, ()n∀∈ ¥.
Deci,
1
()
1(1)!(1)(1)!(),()()nnnn
n
nnnanaFxaxbaxb+
+−⋅−⋅−=±±.

EXERCIȚIUL 7.4.5 Fie (,,)fxyz o func ție omogen ă de ordinul n, care
admite derivate par țiale de ordinul doi continue. S ă se arate c ă:
222222
222
222222ffffffxyzxyxzyzxyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂
(1)(,,)nnfxyz−⋅ .
(relația Euler de ordin doi pentru func ții de două variabile ).
Soluție. Conform rela ției lui Euler se ob ține:
(1)(1)(1)fffnxnynzxyz∂∂∂−⋅+−⋅+−⋅=∂∂∂ (1)(,,)nnfxyz−⋅ . (1)
Funcțiile ,,fff
xyz∂∂∂
∂∂∂ sunt omogene de ordinul (1)n−. Deoarece (,,)fxyz
este omogen ă de ordin n, atunci are loc egalitatea
(,,)(,,)nftxyttztfxyz =⋅ . Se deriveaz ă egalitatea în raport cu x și se
obține:
(,,)(,,)n
xxftxyttztfxyz′′ =⋅⇒ 1(,,)(,,)n
xxftxtytztfxyz−′′ =⋅ .

245
De aici rezult ă că f
x∂
∂ este omogen ă de ordin (1)n−. Analog se arat ă că f
y∂
∂
și f
z∂
∂ sunt omogene de ordinul (1)n−. Așadar, func țiile ,ff
xy∂∂
∂∂ și f
z∂
∂
verific ă relația lui Euler și se ob ține:
222
2(1)(,,)xfffxyznfxyzxxyxz∂∂∂′ ++=−⋅∂∂∂∂∂, (2)
222
2
2(1)(,,)yfffxyznfxyzyxyyz∂∂∂′ ++=−⋅∂∂∂∂∂, (3)
222
2(1)(,,)zfffxyznfxyzzxzyz∂∂∂′ ++=−⋅∂∂∂∂∂. (4)
Înmul țind rela ția (2) cu x, rela ția (3) cu y, rela ția (4) cu z, adunând
relațiile ob ținute și ținând cont de rela ția (1), se ob ține
222222
222
222222ffffffxyzxyxzyzxyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂
(1)(,,)nnfxyz−⋅ .

OBSERVA ȚIE. Dacă func ția 12(,,…,)n fxxx este omogen ă de ordin n și
admite derivate par țiale mixte de ordinul doi continue, atunci
22
2
12 2
12(1)(,,…,)n
kkjn
kkj kkjffxxxnnfxxxxxx =≠∂∂+=−⋅∂∂∂∑∑ .

EXERCIȚIUL 7.4.6 Fie 12222
121(,,…,)
…n
nfxxx
xxx=
+++. Să se
calculeze:
22
2
2
12n
kkj
kkj kkjffxxxxxx =≠∂∂+∂∂∂∑∑ .
Soluție. Se observ ă că func ția este omogen ă de ordin 1 n=− . Conform cu
exerci țiul 7.4.5, avem c ă: 22
2
222211222
…n
kkj
kkj kkjnffxxxxxx xxx =≠∂∂+=∂∂∂ +++∑∑ .

EXERCIȚIUL 7.4.7 Fie 2
22(,)arcsin.xfxy
xy=
+ Să se arate, folosind
defini ția derivatelor par țiale, c ă (,)fxy este derivabil ă parțial în raport cu

246
x și în raport cu y în orice punct (){}2
00(,)\0,0xy∈¡ și să se calculeze
(,)fxy
x∂
∂ și (,)fxy
y∂
∂.
Soluție. Func ția (,)fxy este derivabil ă în raport cu x în punctul 00(,)xy
dacă
0000
0(,)(,)lim
xxfxyfxy
xx→−
− exist ă și este finit ă și aceast ă limit ă este chiar
00(,)fxy
x∂
∂. Avem:

000
2222
000 000
00arcsinarcsin
(,)(,)limlim
xxxxx x
xyxy fxyfxy
xxxx→→−
++ −=−−.
Se știe că:
22arcsinarcsinarcsin(11) ababba−=−−− , (),(0,1)ab∀∈ .
Se observ ă că (){}2
00(,)\0,0xy∈¡ , 0
22
00(0,1)x
xy∈
+. Deci,
000
02222 22
000 00000
000arcsin()
()() (,)(,)limlim
xxxxyxx
xyxy fxyfxyxy
xxxxy→→−⋅
++ −+==−−.
Deci, aceast ă limit ă exist ă și este finit ă, ceea ce arat ă că func ția
2
22(,)arcsinxfxy
xy=
+ este derivabil ă par țial în raport cu x în
00(,)(0,0)xy≠ și 22
0000
0(,)fxyxy
xy∂+=∂. Cum 00(,)xy a fost ales arbitrar se
obține: 22(,) xy fxy
xy+ ∂=∂.
Analog,
000
02222 22
000 00000
000arcsin()
()() (,)(,)limlim
yyyyyyyx
xyxy fxyfxyxy
yyyyx→→−⋅
++ −+==−−.
Cum 00(,)(0,0)xy≠ , limita exist ă și este finit ă, ceea ce arat ă că func ția
2
22(,)arcsinxfxy
xy=
+ este derivabil ă par țial în raport cu y și

247
22
0000
0(,)fxyxy
yx∂+=−∂. Cum 00(,)(0,0)xy≠ a fost ales arbitrar rezult ă că
22(,) xy fxy
yx+ ∂=−∂.

EXERCIȚIUL 7.4.8 Să se calculeze 12(,,…,)n
n
n
ifxxx
x∂
∂ și
12(,,…,)nm
n
nm
ijfxxx
xx+∂
∂∂ pentru func țiile:
i) 12
1(,,…,)cosn
nkk
kfxxxax
==∑ ;
ii) 12
1(,,…,)sinn
nkk
kfxxxax
==∑ ;
iii) 12
11(,,…,)n n
kk
kfxxx
ax
==
∑;
iv) 12
1(,,…,)lnn
nkk
kfxxxax
==∑ .
Soluție. Fie 12(,,…,)n xxxx= .
i) Avem:
11()sincos2nn
ikkikk
kk ifxaaxaaxxp
==∂ =−=++ ∂ ∑∑ ,
2
22
2
11()sincos222nn
ikkikk
kk ifxaaxaaxxpp
==∂ =−+=+⋅ ∂ ∑∑ .
Se consider ă
1()cos2n n
n
ikk n
k ifxaaxnxp
=∂ =+⋅ ∂ ∑ și se demonstreaz ă că
1
1
1
1()cos(1)2n n
n
ikk n
k ifxaaxnxp+
+
+
=∂ =++ ∂ ∑ . Într-adev ăr,
1
1
1
1()()sin2nn n
n
ikk nn
k iiifxfxaaxnxxxp+
+
+
= ∂∂∂ ==−+= ∂∂∂  ∑
1
1cos(1)2n
n
ikk
kaaxnp +
=++ ∑ .

248
Atunci, conform principiului induc ției,
1()cos2n n
n
ikk n
k ifxaaxnxp
=∂ =+⋅ ∂ ∑ ()* n∀∈ ¥.
ii) Se ra ționeaz ă analog ca la punctul i) și se ob ține:
1()sin2n n
n
ikk
k ifxaaxnxp
=∂ =+⋅ ∂ ∑ ()* n∀∈ ¥.
iii) Avem:
2
1()i
ni
kk
ka fx
x
ax
=− ∂=∂
∑, 2 2
3 2
112 ()i
ni
kk
ka fx
x
ax
=⋅ ∂=∂ 
∑,3 3
4 3
1123 ()i
ni
kk
ka fx
x
ax
=−⋅⋅ ∂=∂ 
∑.
Se presupune c ă 1
1(1)! ()nn n
i
n nni
kk
kna fx
x
ax+
=−⋅ ∂=∂ 
∑ este adev ărată și se demonstreaz ă
că 11 1
2 1
1(1)(1)! ()nn n
i
n nni
kk
kna fx
x
ax++ +
+ +
=−⋅+ ∂=∂ 
∑. Într-adev ăr:
'
1
1 1
1(1)! ()()
inn nn
i
n nnniii
kk
kxna fxfx
xxx
ax+
+ +
=
 −⋅ ∂∂∂ ===  ∂∂∂  ∑11
2
1(1)(1)!nn
i
nn
kk
kna
ax++
+
=−⋅+

∑.
Atunci, conform principiului induc ției, 1
1(1)! ()nn n
i
n nni
kk
kna fx
x
ax+
=−⋅ ∂=∂ 
∑ ()* n∀∈ ¥.
iv) Avem:
1()i
n
i
kk
ka fx
xax
=∂=∂∑, 2 2
2 2
1()i
ni
kk
ka fx
x
ax
=− ∂=∂ 
∑, 3 3
3 3
112 ()i
ni
kk
ka fx
x
ax
=⋅ ∂=∂ 
∑.
Se presupune c ă 1
1(1)(1)! ()nn n
i
n nni
kk
kna fx
x
ax+
=−⋅− ∂=∂ 
∑ este adev ărată și se
demonstreaz ă că 21 1
1 1
1(1)! ()nn n
i
n nni
kk
kna fx
x
ax++ +
+ +
=−⋅ ∂=∂ 
∑. Într-adev ăr,

249
'
1 1
1
1(1)(1)! ()()
inn nn
i
n nnniii
kk
kxna fxfx
xxx
ax+ +
+
=
 −⋅− ∂∂∂ ===  ∂∂∂  ∑21
1
1(1)!nn
i
nn
kk
kna
ax++
+
=−⋅

∑.
Atunci, conform principiului induc ției, 1
1(1)(1)! ()nn n
i
n nni
kk
kna fx
x
ax+
=−⋅− ∂=∂ 
∑,
()* n∀∈ ¥.
Ținând cont de faptul c ă ()()nmmn
nmmn
ijjifxfx
xxxx+ ∂∂∂=∂∂∂∂  se ra ționeaz ă în mod
asemănător cum s-a ra ționat la punctele anterioare și se ob ține:
i)
1()cos()2nm n
nm
ijkk nm
k ijfxaaaxnmxxp+
=∂ =⋅⋅++ ∂∂ ∑ , ()*, nm∀∈ ¥;
ii)
1()sin()2nm n
nm
ijkk nm
k ijfxaaaxnmxxp+
=∂ =⋅⋅++ ∂∂ ∑ , ()*, nm∀∈ ¥;
iii) 2
1(1)()! ()nmnm nm
ij
nm nmnij
kk
knmaa fx
xx
ax+ +
++
=−⋅+⋅ ∂=∂∂ 
∑, ()*, nm∀∈ ¥;
iv) 2
1(1)(1)! ()nmnm nm
ij
nm nmnij
kk
knmaa fx
xx
ax++ +
+
=−⋅+−⋅ ∂=∂∂ 
∑, ()*, nm∀∈ ¥.

EXERCIȚIUL 7.4.9 Să se calculeze 12(,,…,)n
n
n
ifxxx
x∂
∂ pentru func țiile:
i) 1 3
12
1(,,…,)n
kk
knax
nkk
kfxxxaxe=∑
==⋅∑ ;
ii) 3
12
11(,,…,)lnnn
nkkkk
kkfxxxaxax
===⋅∑∑ ;

250
iii) 1
12
1(,,…,)n
kk
k
n n
kk
kax
fxxx
bx=
==∑
∑;
iv) 3
12
11(,,…,)sinnn
nkkkk
kkfxxxaxax
===⋅∑∑ .
Soluție. Fie 12(,,…,)n xxxx= și ()()()fxuxvx=⋅ . Conform formulei lui
Leibniz pentru derivata de ordinul n a produsului ()()()fxuxvx=⋅ se
obține
0()()()nn n
n nn
iiifxuxvxCxxx−
−
=∂∂∂=⋅∂∂∂∑ll
l
ll
l.
i) Se observ ă că ()()()fxuxvx=⋅ , unde 3
1()n
kk
kuxax
==∑ și 1 ()n
kk
kax
vxe=∑= .
Avem:
11122
012
122
33
303131
33
1
22()()()()()()()
()()3
6nn
kkkk
kk
kknnnn
nnn nnnn
iiiiii
n naxaxnn
nnkkiniii n
k ii
axn
niiifxvxuxvxuxvxCuxCC
xxxxxx
uxvxCCaxaeCaxaexx
Caxae==−−
−−
−∑∑−
−
=
−∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅⋅+⋅⋅+
∂∂∂∂∂∂
∂∂+⋅⋅=⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+∂∂
+⋅⋅⋅∑
11
133
22321223
16
366.nn
kk
kk
n
kk
kaxn
nii
naxn
iikkiniinin
kCaae
aeaaxaCxaCxC==
=∑∑−
∑−
=++⋅⋅=
=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+ ∑
(derivatele de ordinul 4, 5, … ale lui ()ux sunt zero)
ii) Ținând cont de exerci țiul 7.4.8 iv), avem c ă 1
1(1)(1)! ()nn n
i
n nni
kk
kna vx
x
ax+
=−− ∂=∂ ⋅∑.
Se observ ă că ()()()fxuxvx=⋅ , unde 3
1()n
kk
kuxax
==∑ și
1()lnn
kk
kvxax
==∑ . Conform formulei lui Leibniz se ob ține:

251
1
01
1()()()()()nnn
nn nnn
iiiifxvxuxvxCuxCxxxx−
−∂∂∂∂=⋅+⋅⋅∂∂∂∂22
2
22()()n
n n
iiuxvxCxx−
−∂∂+⋅⋅+∂∂
33
3
33()()n
n n
iiuxvxCxx−
−∂∂⋅⋅=∂∂1
03
1
1(1)(1)!nn n
i
nkk nnk
kk
knaCax
ax+
=
=−⋅−⋅⋅+
⋅∑
∑
1
12
1
1(1)(2)!3nn
i
nii nn
kk
knaCax
ax−
−
=−⋅−+⋅
⋅∑12
2
2
1(1)(3)!6nn
i
nii nn
kk
knaCax
ax−−
−
=−⋅−+⋅+
⋅∑
23
3
3
1(1)(4)!6nn
i
ni nn
kk
knaCa
ax−−
−
=−⋅−⋅=
⋅∑

3
222
221 1
332
111(1)(4)!(1)(2)(3)3(2)(3)n
nn kk
iki
iin nnnn
kkkkkk
kkkaxnaxannnannC
axaxax−−
=
−
===
 ⋅−⋅− ⋅−−−−⋅+−−⋅− ⋅⋅  ∑
∑∑∑
23
16(3)6i
inn n
kk
kxanCC
ax
=

 −−⋅⋅+⋅

∑.
(derivatele de ordinul 4, 5, … ale lui ()ux sunt zero)
iii) Se observ ă că ()()()fxuxvx=⋅ , unde
1()n
kk
kuxax
==∑ și
11()n
kk
kvx
bx
==
∑. Ținând cont de exerci țiul 7.4.8 c), avem c ă:
1
1(1)! ()nn n
i
n nni
kk
knb vx
x
bx+
=−⋅ ∂=∂ ⋅∑. Conform formulei lui Leibniz, se ob ține:
1
01
1()()()()()nnn
nn nnn
iiiifxvxuxvxCuxCxxxx−
−∂∂∂∂=⋅++⋅⋅=∂∂∂∂
1
1
1(1)!nn n
i
kk nnk
kk
knbax
bx+
=
=−⋅ =⋅+ ⋅∑
∑11
1
1(1)(1)!nn
i
ni nn
kk
knbCa
bx−−
=−⋅−⋅=
⋅∑

252
11
1
1
1(1)(1)!nn n
i
ikkin nnk
kk
knbnbaxaC
bx−−
=
=−⋅− =−⋅⋅⋅+ ⋅∑
∑.
(derivatele de ordinul 4, 5, … ale lui ()ux sunt zero)
iv) Se observ ă că ()()()fxuxvx=⋅ , unde 3
1()n
kk
kuxax
==∑ și
1()sinn
kk
kvxax
==∑ . Ținând cont de exerci țiul 7.4.8 b, avem c ă:
1()sin2n n
n
ikk n
k ivxaaxnxp
=∂ =⋅+⋅ ∂ ∑ . Conform formulei lui Leibniz, se ob ține:
122
012
122()()()()()()()nnnn
nnn nnnn
iiiiiifxvxuxvxuxvxCuxCCxxxxxx−−
−−∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅⋅+⋅⋅+∂∂∂∂∂∂

33
3
33()()n
n n
iiuxvxCxx−
−∂∂+⋅⋅∂∂.
(derivatele de ordinul 4, 5, … ale lui ()ux sunt zero)

EXERCIȚIUL 7.4.10 Presupunând c ă f și y sunt derivabile de dou ă ori,
să se arate c ă:
i) (,,)uuuxyznxuxyzxyzab∂∂∂⋅+⋅+⋅=⋅∂∂∂, (,,),nx yzuxyzexxabf=⋅ ;
ii) 0uuuxyzxyz∂∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂ , (,,),yyuxyzxzf=;
iii) 22
2
22uuatx∂∂=⋅∂∂, ()() uxatxatfy=−++ ;
iv) 222
2220uuu
xxyy∂∂∂−+=∂∂∂∂, ()() uxxyyxy fy=⋅++⋅+ ;
v) 222
22
222(1)(,,)uuuxxyynnuxyzxyxy∂∂∂+⋅+⋅=−⋅∂∂∂∂,
nn yyuxyxxfy=⋅+⋅.
Soluție. Fie 1211212(,,…,)((,,…,),…,(,,…,))nnmn Fxxxfuxxxuxxx = , atunci
1212
1(,,…,)(,,…,)n
nin
i iFxxxuxxx f
xux =∂∂ ∂=⋅∂∂∂∑
ll.

253
i) Fie 1(,,)yvxyzxa= , 2(,,)zvxyzxb= . Atunci:
12
11
1212nxnxnxnxnx vv uyzneeneeexvxvxxvxvabffffffab++∂∂ ∂∂∂∂∂=⋅⋅+⋅+⋅=⋅⋅−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅ ∂∂∂∂∂∂∂ ,
12
1211nxnx vv ueeyvyvyxvafff∂∂ ∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅∂∂∂∂∂∂ ,
12
1221 nxnx vv ueezvzvzxvbfff∂∂ ∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅∂∂∂∂∂∂ .
Înmul țind aceste egalit ăți cu ,,xya respectiv zbși adunându-le, se ob ține:
121nxnxnxnx uuuyzyxyznxeeeexyzxvxvxvabafffabfaba∂∂∂∂∂∂⋅+⋅+⋅=⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+∂∂∂∂∂∂

12nxnxnxyzeenxexvxvabjjabj∂∂+⋅⋅+⋅⋅=⋅∂∂.
Deci, (,,)uuuxyznxuxyzxyzab∂∂∂⋅+⋅+⋅=⋅∂∂∂.
ii) Fie 1(,,)yvxyzx=, 2(,,)yvxyzz=. Atunci:
12
2
121vv uy
xvxvxxvfff∂∂ ∂∂∂∂=⋅+⋅=−⋅∂∂∂∂∂∂,
12
121211 vv u
yvyvyxvzvffff∂∂ ∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂,
12
2
122vv uy
zvzvzzvfff∂∂ ∂∂∂∂=⋅+⋅=−⋅∂∂∂∂∂∂.
Înmul țind cu ,xy respectiv z aceste egalit ăți și adunându-le, se ob ține:
11220uuuyyyyxyzxyzxvxvzvzvffff ∂∂∂∂∂∂∂⋅+⋅+⋅=−⋅+⋅+⋅−⋅=∂∂∂∂∂∂∂.
Deci, 0uuuxyzxyz∂∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂.
OBSERVA ȚIE.
Din (,,),yyuxyzxzf=, rezult ă 0(,,)(,,)utxtytztuxyz =⋅ . Deci, (,,)uxyz
este omogen ă de grad zero. Conform rela ției lui Euler,
0uuuxyzxyz∂∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂.

254
iii) Fie 1(,)vxtxat=− , 2(,)vxtxat =+ . Atunci:
12''''vv uaatttfyfy∂∂ ∂=+=−⋅+⋅∂∂∂,
2
2 12
2""("")vv uaaatttfyfy∂∂ ∂=−⋅⋅+⋅=++∂∂∂.
Deci, 2
2
2("")uatfy∂=+∂. (1)
12''''vv u
xxxfyfy∂∂ ∂=⋅+⋅=+∂∂∂
2
12
2""""vv u
xxxjyjy∂∂ ∂=⋅+⋅=+∂∂∂
Deci, 2
2""u
xfy∂=+∂ (2)
Din (1) și (2) se ob ține: 22
2
22uuatx∂∂=⋅∂∂ (ecua ția coardei vibrante).
iv) Fie (,)vxyxy=+ . Atunci:
''''uvvxyxyxxxffyffy∂∂∂=+⋅+⋅=+⋅+⋅∂∂∂,
''''uvvxyxyyyyfyyfyy∂∂∂=⋅++⋅=⋅++⋅∂∂∂,
2
2''""2'""uvvvxyxyxxxxjjjyjjy∂∂∂∂=⋅++⋅⋅+⋅⋅=+⋅+⋅∂∂∂∂,
2
2"''""2'"uvvvxyxyyyyyjyyyjyy∂∂∂∂=⋅⋅+⋅++⋅⋅=⋅++⋅∂∂∂∂,
2
'"'"''""uvvvxyxyxyyyyjjyyjyjy∂∂∂∂=⋅+⋅⋅++⋅⋅=+++∂∂∂∂∂.
Ținând cont de acestea se ob ține:
22
2222'""2'2'2"2""2'"0uuuxyxyxy
xxyyffyfyfyfyy∂∂∂−+=++−−−−+++=
∂∂∂∂
Deci, 22
2220uuu
xxyy∂∂∂−+=∂∂∂∂.
v) Fie (,)yvxyx=. Atunci:
1
112
2''''n
nnnnn uvvynxxynxxyxxxxffyffy+
−−− ∂∂∂=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅−⋅⋅−⋅∂∂∂

255
211
2132
2322(1)'(2)'"'"nn
nnnn uvvyyvnnxnxnxyxxxxxxxffffyy++
−−−− ∂∂∂∂=−⋅⋅+⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=∂∂∂∂
12
23342
34(1)'(2)'"2'"nn
nnnn yynnxnxynxyxyxxffffyy++
−−−−=−⋅⋅−⋅⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=
12
2342
34(1)2(1)'2'""nn
nnn yynnxnxyxyxxffyfy++
−−−=−⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅ ,
111''''n
nnnnn uvvyxnyyxnyyyyxfyyfyy−−− ∂∂∂=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅+⋅⋅+⋅∂∂∂,
21
121
23"(1)''"nn
nnn uvvyyvxnnynynyyyxxyjyyyy−
−−− ∂∂∂∂=⋅⋅+−⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=∂∂∂∂
211
2
2"(1)''"nnnn
n yyyyxnnnnxxxxjyyyy−−−
−=⋅+−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅ .
Deci, 221
2
22"(1)2'"nnn
n uyyyxnnnyxxxfyyy−−
− ∂=⋅+−⋅⋅+⋅⋅+⋅∂,
21
122
22''"(1)'"nn
nnn uvvyyvnxxxn
xyyyxxyjjjyy+
−−− ∂∂∂∂=⋅⋅⋅−⋅−⋅⋅−+⋅⋅−⋅⋅=
∂∂∂∂∂
1
223
23''"(1)'"nn
nnn yynxxxynxxfffyy+
−−−=⋅⋅−⋅−⋅⋅−+⋅⋅−⋅ .
Ținând cont de aceste egalit ăți, se ob ține:
221
22122
222(1)2(1)'2'"n
nnn uuuyxxyynnxnxyxy
xxyyxffyf+
−− ∂∂∂⋅+⋅+⋅=−⋅⋅−−⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+
∂∂∂∂
212
1122
22"2'2'2(1)'2""(1)nnnn
nnn yyyynxyxynxynnxxxxyffyyfy+++
−−−+⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅−+⋅⋅−⋅+⋅⋅+−⋅⋅+
12
2'"(1)[](1)(,)nn
nn yynnnxynnuxyxxyyfy++
+⋅⋅+⋅=−⋅⋅+⋅=−⋅ .
OBSERVA ȚIE. Ținând cont de exerci țiul 7.4.5, egalitatea este evident ă
deoarece din (,)nn yyuxyxyxxfy=⋅+⋅ se ob ține:
(,)(,)nnnn yyutxtytxytuxyxxfy=⋅+⋅=⋅ . Deci, (,)uxy este omogen ă de
ordin n.

EXERCIȚIUL 7.4.11 Să se calculeze diferen țialele indicate pentru fiecare
funcție în parte:
i) 2(,)(), , , axbynfxyaxbyedfdfdf+=+⋅ ;
ii) 2(,)()cos(), , , nfxyaxbyaxbydfdfdf =++ ;

256
iii) 23(,,), , , axbyczfxyzedfdfdf++= ;
iv) 2(,,)cos(), , , nfxyzaxbyczdfdfdf =++ .
Soluție. Se știe că dacă (,)fxy este diferen țiabilă de n ori în domeniul s ău
de defini ție, atunci:
(,)ffdfxydxdyxy∂∂=+∂∂, 222
222
22(,)2fffdfxydxdydxdyxyxy∂∂∂=++∂∂∂∂,
0(,)n n
nkknk
n knk
kfdfxyCdxdyxy−
−
=∂=⋅∂∂∑ .
Se știe că dacă (,,)fxyz este diferen țiabilă de 3 ori în domeniul de
defini ție, atunci:
(,,)fffdfxyzdxdydzxyz∂∂∂=++∂∂∂,
222222
2222
222(,,)222ffffffdfxyzdxdydzdxdydxdzdydzxyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂,
33333
333322
33322(,,)33fffffdfxyzdxdydzdxdydxdyxyzxyxy∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂
33333
2222
222233336fffffdxdzdxdzdydzdydzdxdydzxzxzyzyzxyz∂∂∂∂∂+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂.
i) Avem: (,)(1)()axbydfxyaxbyeadxbdy+=++⋅+ ,
22222
2(,)(2)(2)
(2)(),axby
axbydfxyaxbyeadxabdxdybdy
axbyeadxbdy+
+=++++=
=++⋅+
0(,)n n
nkknk
n knk
kfdfxyCdxdyxy−
−
=∂=⋅∂∂∑ .
Folosind formula lui Leibniz pentru derivata de ordin n a produsului
(,)()axbyfxyaxbye+=+⋅ , se ob ține (,)()n
knkaxby
knkfxyabaxbynexy−+
−∂=⋅++⋅∂∂.
Deci, avem c ă:
0(,)()
()().n
nkknkaxbyknk
n
k
axbyndfxyCabaxbynedxdy
axbyneadxbdy−+−
=
+=⋅⋅⋅++⋅⋅=
=++⋅+∑
Deci, (,)()()naxbyndfxyaxbyneadxbdy+=++⋅+ .

ii) Se procedeaz ă analog ca la punctul i) și se ob ține:
[cos()()cos()]2ffdfdxdyaaxbyaaxbyaxbydxxyp ∂∂=+=+++⋅+++∂∂

257
[cos()()cos()]2baxbybaxbyaxbydyp++++⋅++=
cos()()()cos()()2axbyadxbdyaxbyaxbyadxbdyp=++++⋅+++=
[cos()()cos()]()2axbyaxbyaxbyadxbdyp=++++++ .
Deci, (,)[cos()()cos()]()2dfxyaxbyaxbyaxbyadxbdyp=++++++ ,
222
2222
22(,)2[2cos()2fffdfxydxdxdydyaaxbyxxyyp ∂∂∂=++=+++∂∂∂∂
22()cos(2)][4cos()2()22aaxbyaxbydxabaxbyabaxbypp+⋅++⋅+⋅++++⋅
222cos(2)][2cos()()cos(2]222axbydxdybaxbybaxbyaxbydyppp⋅++⋅+++++⋅++⋅=
222cos()()()cos(2)()22axbyadxbdyaxbyaxbyadxbdypp=+++++⋅+++=
2[2cos()()cos(2)]()22axbyaxbyaxbyadxbdypp=++++⋅++⋅+ .
Deci,
22(,)[2cos()()cos(2)]()22dfxyaxbyaxbyaxbyadxbdypp=++++⋅++⋅+ ,

0(,)n n
nkknk
n knk
kfdfxyCdxdyxy−
−
=∂=⋅∂∂∑ .

Folosind formula lui Leibniz pentru derivata de ordin n a produsului
()cos()(,)axbyaxbyfxy++= , obținem:
(,)[()cos()cos((1)]22n
knk
knkfxyabaxbyaxbynnaxbynxypp −
−∂=+⋅+++++−∂∂.
Deci,

0(,)[()cos()2
cos((1)],2n
n
kknkknk
n
kndfxyaxbyaxby
naxbynCabdxdyp
p−−
==+⋅+++
+++−⋅ ∑

(,)[()cos()cos((1)]()22nn ndfxyaxbyaxbynaxbynadxbdypp=+⋅+++++−+ .

258
iii) Avem:
(,,)axbyczaxbyczaxbycz fffdfxyzdxdydzeadxebdyecdzxyz++++++ ∂∂∂=++=⋅+⋅+⋅=∂∂∂
()axbyczeadxbdycdz++=⋅++ ,
(,,)()axbyczdfxyzeadxbdycdz++=⋅++ ,
222222
2222
222(,,)222ffffffdfxyzdxdydzdxdydxdzdydzxyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂=+++++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂
222222(222)axbyczeadxbdycdzabdxdyacdxdzbcdydz++=+++++=
2()axbyczeadxbdycdz++=++ ,
3333333222222(,,)(333axbyczdfxyzeadxbdycdzabdxdyabdxdyacdxdz++=++++++
2222223336)acdxdzbcdydzbcdydzabcdxdydz++++ .
Deci, 33(,,)()axbyczdfxyzeadxbdycdz++=⋅++ .
OBSERVA ȚIE. Se observ ă că: (,,)()naxbyczndfxyzeadxbdycdz++=⋅++ ,
egalitate care se poate demonstra prin induc ție.
iv)
Avem:
(,,)cos()()2fffdfxyzdxdydzaxbyczadxbdycdzxyzp ∂∂∂=++=+++++∂∂∂,
222222
2222
222(,,)222ffffffdfxyzdxdydzdxdydxdzdydzxyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂=+++++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂
222222cos(2)(222)2axbyczadxbdycdzabdxdyacdxdzbcdydzp=++++++++=
2cos(2)()2axbyczadxbdycdzp=+++++ ,
33333
333322
33322(,,)33fffffdfxyzdxdydzdxdydxdyxyzxyxy∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂
33333
2222
222233336fffffdxdzdxdzdydzdydzdxdydzxzxzyzyzxyz∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
3 3cos()()2axbyczadxbdycdzp=+++++ .
Deci, 33 3(,,)cos()()2dfxyzaxbyczadxbdycdzp=+++++ .

OBSERVA ȚIE.
i) Se observ ă că (,,)cos()()2nn ndfxyzaxbyczadxbdycdzp=+++++ ,
egalitate care se poate demonstra prin induc ție.

259
ii) Dac ă se analizeaz ă exerci țiul 7.4.11 c), iv) se poate face urm ătoarea
generalizare.
Dacă 12
1(,,…,)n
nkk
kfxxxfax
==⋅∑ este diferen țiabilă de n ori, atunci
()
121122
1(,,…,)(…)n
nnn
nkknn
kdfxxxfaxadxadxadx
==⋅⋅+++∑ .

EXERCIȚIUL 7.4.12 Să se calculeze diferen țialele de ordinul specificat
pentru func țiile urm ătoare:
i) 22(,),, , xFxyfxdFdFy=;
ii) () (,),, yxGxygxydG = ;
iii) ( )2(,,),, , HxyzhxyzxyzdHdH =++⋅⋅ .
Soluție. a) Avem: FFdFdxdyxy∂∂=+∂∂. Notăm: 2(,)uxyx =, (,)xvxyy=.
Deci,
12Ffufvffxxuxvxuyv∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂∂∂∂, 2Ffufvxf
yuyvyyv∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=−⋅∂∂∂∂∂∂,
222
222
222FFFdFdxdydxdyxyxy∂∂∂=++∂∂∂∂.
Așadar,
212ffxfdFxdxdyuyvyv∂∂∂=+⋅−⋅∂∂∂,
22222
22211222
xFffffufvfufvxxxuyvuuxuvxyvuxvx′ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅+⋅+⋅+⋅=  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 
2222222
2
2222211112222244,fffffffxffxxxxuuyuvyvuyvuuyuvyv∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅++⋅=++⋅⋅+⋅ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
22222
2232234222
yFxfxfxfufvxfxf
yyvyvyvuyvyyvyv′ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−⋅=⋅−⋅+⋅=⋅+⋅  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 
222222
22222232112.
xFxffxfufvfxfxf
yxyvyvyvuxvxyvyuvyv′ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=−⋅=−⋅−⋅+⋅=−⋅−⋅−⋅  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 

260
Deci,
22222
2222
22234212244ffxffxfxfdFxdxdyuuyuvyvyvyv ∂∂∂∂∂=+⋅+⋅⋅+⋅+⋅+⋅+∂∂∂∂∂∂∂
222
223212fxfxfdxdyyvyuvyv∂∂∂+−⋅−⋅⋅−⋅∂∂∂∂.
b) Avem: (,)GGdGxydxdyxy∂∂=+∂∂. Not ăm: yux=, xvy=, adic ă
lnyxue= , lnxyve= . Deci,
lnyx Ggugvgygxyyxuxvxuxv∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂,
lnyx Ggugvggxxxyyuyvyuvy∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=⋅⋅+⋅⋅∂∂∂∂∂∂∂.
Deci,
(,)lnlnyxyx gygggxdGxyxyydxxxydyuxvuvy ∂∂∂∂=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅  ∂∂∂∂ .
c) Avem: (,,)HHHdHxyzdxdydzxyz∂∂∂=++∂∂∂. Not ăm: uxyz=++ ,
vxyz=⋅⋅ . Deci,
Hhuhvhhyzxuxvxuv∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂∂∂∂,
Hhuhvhhxzyuyvyuv∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂∂∂∂,
Hhuhvhhxyzuzvzuv∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅=+⋅∂∂∂∂∂∂∂.
Așadar,
hhhhhhdHyzdxxzdyxydzuvuvuv∂∂∂∂∂∂=+⋅++⋅++⋅=∂∂∂∂∂∂
( )( )
hhdxdydzyzdxxzdyxydzuv∂∂=+++++∂∂.
Avem:
222222
2222
222(,,)222HHHHHHdHxyzdxdydzdxdydxdzdydzxyzxyxzyz∂∂∂∂∂∂=+++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂.

261
Deci,
22222
222
xHhhhuhvhuhvyzyzxuvuxuvxvuxvx′  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =+=⋅+⋅+⋅+⋅=  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 
222
22
222hhhyzyzuuvv∂∂∂=++⋅∂∂∂∂,
22222
222
yHhhhuhvhuhvxzxzyuvuyuvyvuyvy′ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =+=⋅+⋅+⋅+⋅=  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 
222
22
222hhhxzxzuuvv∂∂∂=++⋅∂∂∂∂,
22222
222
zHhhhuhvhuhvxyxyzuvuzuvzvuzvz′ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =+=⋅+⋅+⋅+⋅=  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 
222
22
222hhhxyxyuuvv∂∂∂=++⋅∂∂∂∂,
22222
22
yHhhhuhvhhuhvyzzyzxyuvuyuvyvvuyvy′ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =+=⋅+⋅++⋅+⋅=  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂  
222
2
22()hhhhxzyzzxyzuuvvv∂∂∂∂=+++⋅+⋅∂∂∂∂∂,
22222
22
zHhhhuhvhhuhvyzyyzxzuvuzuvzvvuzvz′ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =+=⋅+⋅++⋅+⋅=  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂  
222
2
22()hhhhxyyzyxyzuuvvv∂∂∂∂=+++⋅+⋅∂∂∂∂∂,
22222
22
zHhhhuhvhhuhvxzxxzyzuvuzuvzvvuzvz′  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =+=⋅+⋅++⋅+⋅=  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂  
222
2
22()hhhhxyxzxxyzuuvvv∂∂∂∂=+++⋅+⋅∂∂∂∂∂.
Așadar,
( )
22
2222
2[222()()hhdHdxdydzyzdxxzdyxydzxzyzdxdyxyyzdxdzuuv∂∂=++++++++++∂∂∂
2
222222222
2()][()]hxyxzdydzyzdxxzdyxydzxyzzdxdyydxdzxdydzv∂+++++++++∂
()hzdxdyydxdzxdydzv∂+++∂.

EXERCIȚIUL 7.4.13 Să se calculeze punctele de extrem ale func țiilor:
i) 22(,)ln(), (,)(0,0)fxyxyxyxy =⋅+≠ ;

262
ii) (,)sincoscos(), (,)[0,][0,]22fxyxyxyxypp=++−∈× ;
iii) 23(,,)(23), 0fxyzxyzaxyza =−−−> .
Soluție. i) Se determin ă punctele sta ționare ale func ției (,)fxy rezolvând
sistemul:
2 2
22 22
22 22
2 2
22 22
22 222 2ln()0 ln()0 00
0 2 20 ln()0 ln()0x xy fyxy yxyxy x xy x
f y xy yxxy xxyy xy xy  ∂++= ⋅++=  =    + = +  ∂⇒⇒⇒ ∂ =   = ⋅++= ++= ∂+ +  
sau 20
ln0x
y=
= sau 20
ln0y
x=
= sau 2
22
22
2
22
222ln()0
2ln()0.xxyxy
yxyxy++=+ 
++= + 
Punctul 1(0,0)A nu convine, 2(0,1)A , 3(0,1)A−, 4(1,0)A , 5(1,0)A . Ultimul
sistem este echivalent cu sistemele ln21xy
x=
=− sau ln21xy
x=−
=−. De aici se
obțin 611,22Aee
, 711,22Aee−, 811,22Aee−. Se cerceteaz ă care din
aceste opt puncte sta ționare sunt puncte de extrem. Cercetarea se face pentru
fiecare punct în parte. În continuare se va studia doar punctul
711,22Aee−. Avem:
222
2222
11222
22 2222
1221 2244
22
2222(3)
()2
2(3)2()1ln2.
2()ln()()fxyxy
xxya
fxyxyayxyaa
ffxxyxyxyyxxy∂+=∂+ =−∂+=⇒=−∂+==−− ∂∂+==++∂∂∂∂+
Cum 1112 2
212221ln24(1ln2)01ln22aa
aa−−−==−+>−−−, deoarece
1ln22+< , conform cu Propozi ția 7.3.3 (teorema Sylvester), punctul
711,22Aee− este un punct de maxim local al func ției (,)fxy .

263
Analog se cerceteaz ă celelalte puncte.
ii) Se determin ă punctele sta ționare ale func ției (,)fxy rezolvând sistemul:
0coscos cossin()0cossin2sinsin()0cossin()0 cossin()f
xy xxyxy x
f yxyxxyxxyyp∂=   =− −−== ∂ ⇒⇒⇒⇒  ∂ −+−==− = =−∂
2222
coscos2cos1yxkyxk
xxxpppp=−++=−++⇒⇒
=−=− sau
2 22
1 2cos 22xk yxk
ykxppp p
pp=−+ =−++ ⇒ =−+=  sau 23
26xk
ykpp
pp=+
=+ sau
523
2.3xk
ykpp
pp=+
=−+
Singurul punct sta ționar care satisface condi țiile ini țiale adic ă este din
[0,][0,]22pp× este ,36App
. Se cerceteaz ă dacă acesta este sau nu punct
de extrem. Avem:
2
2
11
2
22 2
1221sincos() 13
2
coscos()1
1.cos() 2fxxya x
fyxyay
aa fxyxy∂ =−−− + =− ∂   ∂ =−−−⇒=−∂
 == ∂=−   ∂∂
Cum 131
13131 220244 112+−+−=−=>
−, conform cu Propozi ția 7.3.3
(teorema Sylvester), punctul ,36App
 este un punct de maxim local.
iii) Se determin ă punctele sta ționare ale func ției (,)fxy rezolvând sistemul:

264
2323
323
22230
(23)0
02(23)20
3(23)30.
0f
x yzaxyzxyz
fxyzaxyzxyzy
xyzaxyzxyzf
z∂=∂  −−−−=  ∂=⇒−−−−=∂−−−−= ∂=∂
Din fiecare ecua ție a sistemului rezult ă câte dou ă ecua ții. Cu aceste ecua ții
se pot forma mai multe sisteme. În continuare se consider ă sistemul:
223
33
24.xyza
xyza
xyza++=
++=
++=
Calcul ăm determinan ții:
223
1337
124Δ== , 23
33
24xa
aa
aΔ== , 23
13
14ya
aa
aΔ== ,
22
13
12za
aa
aΔ== .
Deci,
7ax=,
7ay=,
7az=. Se cerceteaz ă dac ă punctul sta ționar
,,777aaaA
 este sau nu punct de extrem. Avem:
2
23
2
2
3
2
2
2
22
2(63)
6(26)fyzx
fxzaxyzy
fxyzaxyzz∂=−∂
∂=−−−∂
∂=−−−∂⇒2
3
2
22
2
22(233)
3(224)
6(34).fyzaxyzxy
fyzaxyzxz
fxyzaxyzyz∂=−−−∂∂
∂=−−−∂∂
∂=−−−∂∂
Deci,
5
11 52
7aa=− , 5
22 56
7aa=− , 5
33 512
7aa=− , 5
1221 52
7aaa==− , 5
1331 53
7aaa==− ,
5
2332 52
7aaa==− ,

265
5
11 52
7aa=− , 55
1010 55
1112
1010 55
2122
5522
11 48 7701377 26
77aa
aa aa
aa aa−−
===>
−−.
555
555
111213 5551515
212223 5551515
555 313233
555223
777211
2666422320777773343612
777aaa
aaa
aaaaaaaa
aaaaaa−−−
=−−−=−=−<
−−−.
(0)a>
Ținând cont de Propozi ția 7.3.4 ii), punctul ,,777aaaA
 este punct de
maxim local.

EXERCIȚIUL 7.4.14 Să se g ăseasc ă extremele ce verific ă legăturile
specificate pentru func țiile:
i) 23(,,)fxyzxyz = , 23xyza++= , 0, 0, 0, 0xyza>>>> ;
ii) (,)fxyxy = , xya+= ;
iii) 22(,)coscosfxyxy =+ ,
4xyp−= .
Soluție. i) Se construie ște func ția lui Lagrange:
23(,,,)(23)xyzxyzxyzafll =+++− .
Se afl ă punctele sta ționare ale func ției lui Lagrange rezolvând sistemul:
23
3
220
0
0220
3300
230.
0x
yz
xyz y
xyz
z xyzaf
l f
l
f l
f
l∂=∂+= ∂= += ∂⇒ ∂ += =∂ ++−=∂=∂
Rezolvând acest sistem și ținând cont de faptul c ă 0, 0, 0, 0xyza>>>> ,
obținem:

266
6ax=, 6ay=, 6az=, 5
56al= .
Se calculeaz ă diferen țiala de ordinul doi a func ției:
5
23
5(,,,)(23)6axyzxyzxyzafl =−++−
în punctul ,,666aaaA
 și se ob ține:
44444
222
444426412366666aaaaaddydzdxdydydzdzdxf=++++ .
Diferen țiind leg ătura, se ob ține 23 dxdydz=−− . Se înlocuie ște aceasta în
2df și se ob ține urm ătoarea form ă pătratică:
4
222
4(636)6addydzdydzf=−−− .
De aici rezult ă: 11 6 a=− , 22 3 a=− , 1221 3 aa==− ,
1112
2122631899033aa
aa−−==−=>−−.
Conform cu teorema lui Sylvester, forma p ătratică este negativ definit ă, deci
,,666aaaA
 este un punct de maxim.
ii) Se construie ște func ția lui Lagrange: (,,)()xyxyxyafll =++−
Se afl ă punctele sta ționare ale func ției lui Lagrange rezolvând sistemul:
0
0
00
.0 2xyx
xxyyxyaaxf
ll
fl
f
l∂=  ∂  +==−   ∂=⇒+=⇒=∂+= = ∂=  ∂
Deci, func ția are ca punct sta ționar punctul ,,222aaaA−.

Se calculeaz ă diferen țiala de ordinul doi a func ției
(,)()2axyxyxyaf =−+− în punctul ,22aaA
 și se ob ține 22 ddxdyf= .
Se diferen țiază legătura și se ob ține dxdy=− . Înlocuind în diferen țiala de
ordinul doi, se ob ține urm ătoarea form ă pătratică 222() ddyf=− care

267
evident este negativ definit ă. Deci, punctul ,22aaA
 este punct de maxim
al func ției (,)fxy care verific ă legătura xya+= .
OBSERVA ȚIE. Din leg ătură se poate explicita yax=− și se ob ține
funcția de o singur ă variabil ă 2()fxaxx=− . Aceasta este o parabol ă care
admite un maxim în punctul 2ax=. Deci, ,22aaA
 este un punct de maxim
pentru func ția (,)fxy care satisface leg ătura xya+= .
iii) Se construie ște func ția lui Lagrange:
22(,,)coscos()4xyxyxypfll =++−− .
Se afl ă punctele sta ționare ale func ției lui Lagrange rezolvând sistemul:
0
2sincos0
02sincos0
0.0 4xxx
yyy
xyf
l
fl
pf
l∂= ∂ −+=  ∂=⇒−−=∂
 −−= ∂= ∂

Deci,
sin2
sin2sin20,(21),024
4kx
xyAkk
xyl
pp
p
=
 +=⇒⋅−⋅   
−=.
Se determin ă diferen țiala de ordinul doi a func ției 22(,)coscosxyxyf =+
în punctul ,(21)24kkpp−⋅ . Se deosebesc dou ă situa ții: k par și kimpar.
Pentru k par, se ob ține 222 ddxf=− . Deci, în acest caz, punctele sunt de
maxim. Pentru k impar, se ob ține 222 ddxf= . Deci, în acest caz, punctele
sunt de minim.

268
CAPITOLUL VIII: FUNC ȚII IMPLICITE. DEPENDEN ȚĂ
FUNCȚIONALĂ. SCHIMBĂRI DE VARIABIL Ă

1. FUNCȚII IMPLICITE

Fie 2:FD⊂→¡¡ . După cum se știe, graficul acestei func ții reprezint ă o
suprafață având ecua ția:
(), zFxy= , (),xyD∈. (1)
Intersectând graficul cu planul xOy se obține o mul țime de puncte, solu ții
ale ecuației:
(),0Fxy =, (),xyD∈. (2)
Este firesc s ă ne întreb ăm dacă această mulțime de puncte din plan
reprezint ă graficul unei func ții de o variabil ă. După cum se știe, pentru
aceasta este necesar și suficient ca orice paralel ă la Oy să intersecteze
mulțimea cel mult într-un punct. Într-adev ăr, dacă această condiție este
îndeplinit ă, notând cu 0D mulțimea punctelor 0x∈¡ pentru care paralela la
Oy intersecteaz ă efectiv mul țimea într-un punct, iar prin 0:Dj→¡
funcția definit ă prin ()xyj=, 0 xD∈ , unde y este ordonata punctului de
intersecție, atunci graficul func ției j coincide cu mul țimea solu țiilor
ecuației (2)
()() { }()()() { } 0 , , ,0, ,xxxDxyFxyxyDj ∈≡=∈ .
În acest caz, spunem c ă ecuația (2) define ște o funcție implicită, adică
funcția j este definită implicit prin ecua ția (2).

OBSERVAȚIA 8.1.1
i) Este posibil ca o func ție F să nu defineasc ă o funcție implicit ă, dar să
admită restricții care defineasc ă o funcție implicit ă.
ii) Mai mult, ne-ar interesa urm ătorul aspect: dac ă fixăm o solu ție ()00,xy a
ecuației (2), este posibil s ă punem în eviden ță o vecin ătate convenabil ă a
punctului astfel încât mul țimea solu țiilor ecua ției (2) din aceast ă vecinătate
să reprezinte graficul unei func ții de o variabil ă? Răspunsul la aceast ă
întrebare este dat de urm ătoarea propozi ție.

PROPOZIȚIA 8.1.1 (Teorema de existen ță și unicitate a func țiilor
definite implicit ) Fie 2:FΔ⊂→¡¡ , unde Δ este un dreptunghi cu
centrul într-un punct ()000, Pxy cu laturile paralel cu axele de coordonate.

269
Dacă:
i) ()00,0 Fxy =,
ii) F este continu ă pe Δ,
iii) pentru fiecare x fixat (din intervalul de pe axa Ox corespunz ător lui Δ
paralele cu Ox), funcția ()0, yFxy→ este strict cresc ătoare (sau strict
descresc ătoare), atunci exist ă un interval I⊂¡ cu 0x în interior și o funcție
:Ij→¡ cu următoarele propriet ăți:
1) ()00xyj=,
2) ()() ,0Fxx j=, pentru orice xI∈,
3) j este continu ă pe I,
4) dacă (),xy∈Δ și (),0Fxy =, cu xI∈, atunci () yxj= .
Funcția j este unica func ție cu propriet ățile 1)-4) pe .I
Demonstrație. Conform enun țului, fie un dreptunghi cu centrul în
()000, Pxy și cu laturile paralele cu axele de coordonate ca în figur ă:

și prin 0P o paralel ă la Oy și se cerceteaz ă comportarea func ției F în
punctele acestei paralele, adic ă valorile func ției ()0, yFxy= când yJ∈.
Deoarece ()00,0 Fxy =, rezultă:
()00,0 Fxy <, pentru 0 yy<
și
()00,0 Fxy >, pentru 0 yy>. P0 I2 M0
L0 I1 J
I y
x

270
De aici, rezult ă că ()00 FL<. Cum F este continu ă, conform ipotezei ii),
rezultă că există 1I pe latura inferioar ă a dreptunghiului cu centrul în 0L pe
care F este negativ ă. În mod analog, exist ă 2I pe latura superioar ă a
dreptunghiului cu centrul în 0M pe care F este pozitiv ă. Proiect ăm aceste
intervale pe axa Ox și notăm cu {}12 min,III= . Fie xI∈ un punct
arbitrar. Paralela dup ă acest punct la Oy intersecteaz ă laturile
dreptunghiului în punctele ,L respectiv M și ()0 FL< și ()0 FM>.
Restricția lui F la aceast ă paralelă este tocmai func ția de o variabil ă
(), uFxy→ , uJ∈, funcție continu ă, deoarece F este o func ție continu ă
pe Δ. Din proprietatea lui Cauchy, rezult ă că există yJ∈, astfel încât
(),0Fxy =. Acest punct yJ∈ este unic determinat de xI∈, deoarece în
caz contrar am ajunge la o contradic ție cu condi ția iii) de strict monotonie.
Definim func ția :Ij→¡ prin ()xyj=, unde y este deci un punct unic
din J astfel încât (),0Fxy =. Deci, propriet ățile 2) și 4) sunt îndeplinite.
Dacă 0 xx=, atunci 0 yy=. Deoarece ()00,0 Fxy =, înseamn ă că
()00xyj=. Deci, are loc proprietatea 1).
Să observăm că j este continu ă în 0x, deoarece pentru orice 0e>, există
( )00, xxdd−+ , cu 0d>, astfel încât, oricare ar fi ( )00, xxx dd ∈−+ ,
ecuația (),0Fxy = să aibă o solu ție unică ()() ( ) 00 , yxxjeje∈−+ ,
pentru orice ( )00, xxx dd ∈−+ . Cu alte cuvinte, 0xx d−< , deci
()()0 xxjje−< .

OBSERVAȚIA 8.1.2 Condiția ii) din Propozi ția 8.1.1 se poate înlocui cu
condiția mai slab ă ca F să fie continu ă separat cu fiecare variabil ă.

PROPOZIȚIA 8.1.2 (Teorema de existen ță, derivabilitate și unicitate)
Fie :FΔ→¡, unde Δ este un dreptunghi cu laturile paralele cu axele de
coordonate având centrul în ()000, Pxy cu următoarele propriet ăți:
i) ()00,0 Fxy =,
ii) F are derivate par țiale continue pe Δ,
iii) (),0Fxyy∂≠∂ pe Δ.

271
Atunci, exist ă un interval I cu centrul în 0x și o funcție :Ij→¡ având
următoarele propriet ăți:
1) ()00xyj=,
2) ()() ,0Fxx j=, pentru orice xI∈,
3) dacă (),xy∈Δ și (),0Fxy =, cu xI∈, atunci () yxj= ,
4) j este derivabil ă pe I și:
()()()
()()
,
,FxxxxFxxyj
j
j∂
∂′=−∂
∂. (3)
Funcția j este unic ă cu propriet ățile 1)-4) pe I.
Demonstrație. Observăm în primul rând c ă sunt asigurate condi țiile din
ipoteza teoremei precedente, dup ă cum urmeaz ă:
– prima condi ție este aceea și în amblele teoreme;
– întrucât prin ii) din Propozi ția 8.1.2, F are derivate par țiale continue pe
Δ, din criteriul de diferen țiabilitate rezult ă că F este diferen țiabilă pe Δ,
deci cu atât mai mult este continu ă pe Δ. Așadar este îndeplinit ă condiția ii)
din Propozi ția 8.1.1.
– din condi ța iii) a Propozi ției 8.1.2, rezult ă (),0Fxyy∂≠∂. Se presupune
fără a restrânge generalitatea c ă (),0Fxyy∂>∂. Prin urmare, pentru fiecare
x fixat, func ția (), yFxy→ este strict cresc ătoare. Deci, toate ipotezele
Propoziției 8.1.1 sunt îndeplinite. Exist ă I⊂¡ cu centrul în 0x și
:Ij→¡ cu propriet ățile 1)-4) din Propozi ția 8.1.1. Deci, func ția j are și
proprietățile 1), 2) și 3) din Propozi ția 8.1.2. Conform criteriului de
diferențiabilitate, F este diferen țiabilă pe Δ. În particular, F este
diferențiabilă în ()00,xy . Deci, exist ă :,:abΔ→Δ→¡¡ continue în
()00,xy , cu ()()0000,,0xyxyab == , astfel încât pentru orice (),xy∈Δ
are loc rela ția:
()()()( )()( ) 000000 ,,,,FFxyFxyxyyyxyyyxa∂−=−+−∂.
Luând xI∈, () yxj= , avem ()() ,0Fxx j=. Deci, rela ția precedent ă
devine:
()()()()() ( )()()
0000000,,,FFxyxxxyxxxyxxxxjja∂∂−+−+−+∂∂

272
()()() ( )0 ,0xyxxbjj+−= .
Împărțind cu 0xx−, obținem:
()()()()
()()
000
0
00,,
,,Fxyxyxxx
F xxxyxyyajj
b∂+−∂=−∂ −+∂.
Dacă 0 xx→ , rezultă ()()0 xxjj→ , deoarece j este continu ă în 0x.

OBSERVAȚIA 8.1.4 Aplicând regula de derivare a unui cât și regula de
derivare a func țiilor compuse din rela ția (3), avem:
()
2222
22
2FFdyFFFFdy
xxydxyxxyydxx
F
yj∂∂∂∂∂∂+⋅−+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂′′=−
∂
∂.

Se generalizeaz ă Propozi ția 8.1.2 la func țiile definite implicit de n ori
variabile, astfel:

PROPOZIȚIA 8.1.3 Fie nD⊂¡ o mul țime convex ă deschis ă și
:k FDI×→ ¡, [ ] 00,kIykyk=−+ , 0k>, unde 1
kDI FC×∈ . Dacă:
i) există ()¼
0
00,k xyDI∈× , astfel încât ()00,0 Fxy =,
2) F este derivabil ă în raport cu y pe ¼
0
k DI× și (),0yFxy′ ≠,
atunci exist ă 0ih>, astfel încât [ ][ ]
00001,,n
iiiikixhxhykykDI
=×−+×−+⊂×
și există [ ]
001:,n
iiiikifxhxhI
=×−+→ , cu propriet ățile:
a) ()00fxy=
b) ()( ) ,0Fxfx =, ()[ ]
001,n
iiiiixXxhxh
=∀∈−+
c) f admite derivate par țiale continue pe domeniul s ău de defini ție și
()
(),
,i
ix
x
yFxyfFxy′
′=−′, f este unic ă cu aceste propriet ăți.

273
Aplicație geometric ă
Fie curba dat ă implicit.
(),0Fxy =. (5)
Graficul acestei curbe este mul țimea punctelor (),xy din plan care verific ă
ecuația (5). Dac ă sunt îndeplinite, în vecin ătatea unui punct ()00,xy de pe
curbă, condițiile din Propozi ția 8.1.1, rezult ă că pe o vecin ătate a acestui
punct graficul coincide cu graficul func ției () yxj= . Mai mult, dac ă j
este derivabil ă în 0x atunci, dup ă cum se știe, curba admite tangent ă în
punctul ()00,xy a cărei pantă este ()xj′. Prin urmare, ținând seama de
relația (3), ecua ția:
()()000 yyxxx j′ −=−
devine:
()()()()
000000 ,,0FFxxxyyyxyxy∂∂−+−=∂∂.

Exemplu. Să se calculeze dy
dx și 2
2dy
dx pentru y definit de
( ) sin,cos0Fxyyx ++= , cu ()2FCD∈ , 2D⊂¡.
Soluție. Notând cu sinuxy=+ și cosvyx=+ , rezultă (),0Fuv =. Se
deriveaz ă în funcție de x (ținând cont c ă u și v sunt func ții de x și y, iar
y este func ție de x):
0FuFv
uxvx∂∂∂∂+=∂∂∂∂
sau:
cos1sin0FdyFdyxyudxvdx∂∂++−⋅=∂∂, (*)
de unde:
cos
sinFFxdy uv
FF dxyuv∂∂⋅+∂∂=−∂∂−⋅∂∂.
Dacă se deriveaz ă încă o dată relația (*) în raport cu x, se obține:
2 222
22sincos2cos1sinFdyFdyFdydyxxxyudxudxuvdxdx∂∂∂ ⋅−++⋅++⋅+−⋅+  ∂∂∂∂  

274
22 22
221sin0sincos0FdyFdydyyyyvdxvdxdx ∂∂+−⋅+−⋅−=  ∂∂ .
Exemplu. Să se arate c ă funcția (), zzxy= , definită implicit de ecua ția
( ) ,0 Fxazybz−−= , unde ,ab∈¡, ()1FCD∈ , verifică ecuația
1zzabxy∂∂⋅+⋅=∂∂.
Soluție. Se noteaz ă cu uxaz=− și vybz=− și rezultă:
10zFzFabxuxv∂∂∂∂−⋅⋅−⋅⋅=∂∂∂∂,
10zFzFabyuyv ∂∂∂∂−⋅⋅+−⋅⋅= ∂∂∂∂ .
Deci,
1 zF
FF xuabuv∂∂=⋅∂∂ ∂∂⋅+⋅∂∂,
1 zF
FF yvabuv∂∂=⋅∂∂ ∂∂⋅+⋅∂∂.
Așadar, 1zzabxy∂∂⋅+⋅=∂∂.

Exemplu. Să se calculeze dy
dx și 2
2dy
dx, dacă () yyx= este definit ă implicit
de ecuația ()()32222310 xyxy+−++= .
Soluție. Se noteaz ă ()()()32222,31Fxyxyxy =+−++ . Obținem:
() ()
222222323261Fxyxxxxyx∂ =+⋅−⋅=+− ∂,
() ()
222222323261Fxyyyyxyy∂=+⋅−⋅=+− ∂.
Ținând cont de aceste derivate, ob ținem:
()
()
,
,Fxydyx x
F dxyxyy∂
∂=−=−∂
∂,

275
de unde:
222
22221x dyyx yxy dydxxy dx
dxdxyyyy−−− ⋅−⋅ + =−=−==−
(s-a ținut cont c ă () yyx= ).

Exemplu. Funcția () yyx= este definit ă prin ecua ția
22lnyxyaarctgx+=⋅ ()0a≠. Calcula ți dy
dx și 2
2dy
dx.
Soluție. Se deriveaz ă ecuația ținând cont c ă () yyx= și se obține:
2
22222
222
21dyydy dxxydxxay xyxy
x−
+
=⋅
+⋅++.
Se rezolv ă această ecuație în raport cu dy
dx.
Exemplu. Să se arate c ă ecuația (),0Fxy = definește implicit pe () yfx=
și să se calculeze ()fx′,
unde () ( )2,2lnln3Fxyxyxxy =++⋅−− .
Soluție. Se observ ă că pentru ()1,1 se obține:
i) () ( ) 1,1121ln1ln13330F=++⋅−−=−= ,
ii) 2Fx
yy∂=−∂⇒ ()1,12110F
y∂=−=≠∂.
De asemenea, exist ă F
x∂
∂ și F
y∂
∂ continue în ()() 1,1,Dr , ()0,1r∈ .
Deci, fiind satisf ăcute condi țiile din Propozi ția 8.1.3, ()[ ] 1,1Ihk∃=−− ,
[ ] 1,1Jhk=++ și :fIJ→ , IJD×⊂ o funcție unică cu propriet ățile:
a) ()11f=;
b) ()() ,0Fxfx =;
c) ()1fCI∈ și ()( ) 2lnln1
2yxxyfxyx+−+′=−−.

276
O altă problem ă care se pune în leg ătură cu func țiile definite implicit este
determinarea diferen țialelor (de diverse ordine) ale acestora. Pentru a g ăsi
diferențiala de ordinul întâi, al doilea,… pentru func ția () yfx= definită
implicit de ecua ția (),0Fxy =, trebuie calculate derivatele de ordinul întâi,
al doilea,… ale func ției () yfx= . Se știe că:
()() ()
()
11,
,inn
x
ii
ii iyFxy fxdfxdxdxxFxy ==′ ∂==−′ ∂∑∑ .
Deci, ()()()
11,,in
xi
i ydfxFxydxFxy =′ =−⋅′∑ .
Se dă în continuare un algoritm pentru determinarea punctelor de extrem ale
funcției () yfx= definită implicit de ecua ția (),0Fxy =.
Acest algoritm are urm ătorii pași:
1) Se afl ă punctele sta ționare ale func ției () yfx= care satisfac condi ția
(),0yFxy′ ≠.
Pentru aceasta se rezolv ă sistemul
()
()
()
1,0
,0
,0.
nx
xFxy
Fxy
Fxy= 
′ = 


′ =M
2) Fie ()00,xy o soluție a sistemului anterior. Se calculeaz ă ()2
0
ij
ijfxaxx∂=∂∂.
3) Se calculeaz ă determinan ții:
11121
21222
12k
k
k
kkkkaaa
aaa
aaaΔ=K
K
LLLL
K, 1,kn= ,
și se aplic ă teorema lui Sylvester [vezi cap. 7, paragraful 3.8].

Exemplu. Să se afle extremele func ției (),zxy definită implicit de ecua ția:
2222270 xyzxy++−−−=
Soluție. Fie 222(,,)227Fxyzxyzxy =++−−− . Se rezolv ă sistemul

277
()
()
(),,0
,,0
,,0x
yFxyz
Fxyz
Fxyz =
′ = 
′ = 
și se ob țin soluțiile () 1, 1, 3 și () 1, 1,3−. Pentru () 1, 1, 3 , se obține
111
3a=− , 221
3a=− , 1221 0 aa== , 1103Δ=−< , 2109Δ=> . Deci ,() 1, 1, 3
este punct de maxim.
Analog se cerceteaz ă cel de-al doilea punct sta ționar.

2. SISTEME DE FUNC ȚII IMPLICITE

DEFINIȚIA 8.2.1
Un sistem de m ecuații:
( )
( )
( )
11212
21212
1212,,…,;,,…,0
,,…,;,,…,0
,,…,;,,…,0nm
nm
mnmFxxxyyy
Fxxxyyy
Fxxxyyy= 
= 

=M (1)
unde ( )1212,,…,;,,…,0knmFxxxyyy =, 1,km= , sunt m funcții de () nm+
variabile definite pe XY× cu nX⊂¡, mY⊂¡ se nume ște sistem de m
funcții implicite .
Un sistem de m funcții
( )
( )
( )
1112
2212
12,,…,
,,…,
,,…,n
n
mmnyfxxx
yfxxx
yfxxx=
=

=M (2)
de n variabile definite pe nAX⊂⊂ ¡ este o soluție a sistemului (1) în
raport cu variabilele 12,,…,m yyy pe mul țimea A, dacă înlocuind pe iy
()1,im= în sistem îl verific ă identic:
( )( ) ( ) 1211212,,…,;,,…,,…,,,…,0knnmnFxxxfxxxfxxx =, 1,km= .

OBSERVAȚIA 8.2.1 În cazul în care sistemul (1) are pe mul țimea A o
singură soluție (2), se spune c ă funcțiile 12,,…,m fff sunt definite implicit

278
de sistemul de ecua ții (1) sau c ă sistemul de func ții (2) s-a ob ținut din
sistemul de ecua ții (1) prin rezolvare în raport cu variabilele 12,,…,m yyy .

DEFINIȚIA 8.2.2 Dacă ( )12,,…,iimFFyyy= , 1,im= au derivate par țiale
în raport cu variabilele 12,,…,m yyy pe mulțimea E, atunci determinantul de
funcții
111
12
222
12
12m
m
mmm
mFFF
yyy
FFF
yyy
FFF
yyy∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂K
K
MMLM
K
se nume ște determinantul func țional al funcțiilor 12,,…,m FFF în raport cu
variabilele 12,,…,m yyy și se noteaz ă cu:
( )
( )
12
12,,…,
,,…,m
mDFFF
Dyyy sau ()
()DF
Dy
sau iacobian și se noteaz ă cu J.

PROPOZIȚIA 8.2.1 (Teorema de existență) Fie nmE+⊂¡ și
()( )000000
001212,,,…,;,,…,intnm xyxxxyyyE=∈ și funcția vectorial ă
( )12,,…,:m
m FFFFE=→ ¡.
Dacă:
i) ()00,0 Fxy =,
ii) funcțiile reale kF, ()1,km= au derivate par țiale continue
k
iF
x∂
∂( ) 1in≤≤ , k
jF
y∂
∂( ) 1jm≤≤ într-o vecin ătate UV× a punctului
()00,xy ,
iii) iacobianul ()
()DF
Dy este diferit de 0 în punctul ()00,xy , atunci:

279
1) există o vecin ătate 00UV× a lui ()00,xy cu 0nU⊂¡, 0mV⊂¡ și o
funcție vectorial ă unică ()()()() ( ) 1200 ,,…,:m fxfxfxfxUV=→ , astfel
încât ()00yfx= și ()() ,0Fxfx =, pentru orice 0 xU∈ .
2) funcțiile reale ()()()12 ,,…,m fxfxfx au derivate par țiale continue pe
0U și
( )
( )
( )
( )
12
2 1
12
12,,…,
,,…,,…,,…,
,,…,m
im
m i
mDFFF
Dxyy f
DFFF x
Dyyy∂=−∂, ( )
( )
( )
( )
12
121
12
12,,…,
,,…,,,…,,…,
,,…,m
mi m
m i
mDFFF
Dyyyx f
DFFF x
Dyyy− ∂=−∂.
3) dacă funcțiile 12,,…,m FFF au derivate par țiale de ordinul k pe UV×,
atunci func țiile 12,,…,m fff au derivate par țiale de ordinul k continue pe
0U.

Demonstrație. Se face prin induc ție după m. Pentru 1m= (un sistem
format dintr-o singur ă ecuație care define ște o singur ă funcție reală
implicită) Propozi ția 8.1.1.

3. DEPENDEN ȚĂ FUNCȚIONALĂ

DEFINIȚIA 8.3.1 Dacă:
( )1112 ,,…,n yfxxx= , ( )2212 ,,…,n yfxxx= ,…, ( )12,,…,mmnyfxxx=
sunt m funcții reale definite pe o mul țime nX⊂¡, funcția reală
( )12,,…,:n FFxxxX=→ ¡ depinde de func țiile 12,,…,m fff pe mulțimea
X dacă exist ă o func ție real ă de m variabile
( )12,,…,:m
m yyyY Φ=Φ⊂→ ¡¡ astfel încât pentru orice xX∈ să avem
identitatea:
( ) ( )( )1211212,,…,,,…,,…,,,…,nnmn Fxxxfxxxfxxx ≡Φ

DEFINIȚIA 8.3.2 Funcțiile reale:
( )1112 ,,…,n yfxxx= , ( )2212 ,,…,n yfxxx= , …, ( )12,,…,mmnyfxxx=
definite pe nX⊂¡ sunt în dependență funcțională pe o mul țime AX⊂ ,
dacă cel puțin una din ele depinde de celelalte pe mul țimea A.

280
Exemplu. Fie funcțiile:
2:f→¡¡ , (),fxyxy =− , 2:g→¡¡ , (),gxyxy = ,
2:h→¡¡ , ()22,hxyxy =+ .
Să se cerceteze dac ă funcțiile sunt în dependen ță funcțională.
Soluție. Deoarece ()
2 222 xyxyxy−=+− , rezultă că 22 hfg=+ . Deci, h
depinde de f și g pe 2¡.

PROPOZIȚIA 8.3.1 Condiția necesar ă și suficient ă pentru ca n funcții de
n variabile independente:
( )1112 ,,…,n yfxxx= , ( )2212 ,,…,n yfxxx= ,…, ( )12,,…,nnnyfxxx=
definite pe o mul țime nX⊂¡ cu derivate par țiale continue pe ,X să fie în
dependen ță funcțională pe mulțimea AX⊂ este ca iacobianul:
( )
( )111
12
222
12
12
12
12,,…,
,,…,n
n
n
n
nnn
nfff
xxx
fffDyyyxxx
Dxxx
fff
xxx∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂=
∂∂∂
∂∂∂K
K
MMLM
K
să fie identic nul pe A.
Demonstrație. Necesitatea. Pentru 3n=. Fie:
( )
( )
( )
11123
22123
33123,,
,,
,,yfxxx
yfxxx
yfxxx=
=
= (3)
și să presupunem c ă între func țiile 1y, 2y, 3y avem rela ția:
( )123,,0yyyΦ= . (4)
Diferențiind în (4), se ob ține:
123
1230 dydydyyyy∂Φ∂Φ∂Φ++=∂∂∂. (5)
Însă, din (3), se ob ține evident:
111
1123
123fffdydxdxdxxxx∂∂∂=++∂∂∂,

281
222
2123
123fffdydxdxdxxxx∂∂∂=++∂∂∂,
333
3123
123fffdydxdxdxxxx∂∂∂=++∂∂∂,
care, înlocuite în (5) și regrupate dup ă 1dx, 2dx, 3dx, dau egalitatea:
33 1212
12
112131122232ff ffffdxdxyxyxyxyxyxyx ∂∂ ∂∂∂∂∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ∂Φ++++++ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
3 12
3
1323330f ffdxyxyxyx ∂ ∂∂∂Φ∂Φ∂Φ+++=∂∂∂∂∂∂,
relație care trebuie s ă fie adev ărată oricare ar fi 1dx, 2dx, 3dx și care
conduce la sistemul omogen:
3 12
112131
3 12
122232
3 12
1323330
0
0,f ff
yxyxyx
f ff
yxyxyx
f ff
yxyxyx ∂ ∂∂∂Φ∂Φ∂Φ++= ∂∂∂∂∂∂
 ∂ ∂∂∂Φ∂Φ∂Φ++= ∂∂∂∂∂∂
 ∂ ∂∂∂Φ∂Φ∂Φ++= ∂∂∂∂∂∂
în care necunoscutele sunt
1y∂Φ
∂,
2y∂Φ
∂,
3y∂Φ
∂.
Asupra rela ției ( )123,,0yyyΦ= am făcut ipoteza c ă nu este identic nul ă în
1y, 2y, 3y, deci
1y∂Φ
∂,
2y∂Φ
∂,
3y∂Φ
∂ nu trebuie s ă fie simultan nule, ceea ce
conform teoremei lui Rouché conduce la:
111
123
222
123
333
1230fff
xxx
fff
xxx
fff
xxx∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂=∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂, pentru orice ( )123,,xxxA ∈.
Reciproc ( suficiența). Dacă ( )
( )
123
123,,0,,Dyyy
Dxxx= pe A, atunci exist ă cel puțin
o legătură între 1y, 2y, 3y pe A.

282
Această propozi ție se poate generaliza la un sistem de n funcții cu m
variabile astfel:

PROPOZIȚIA 8.3.2 Fie sistemul de func ții ()1fx , ()2fx , …, ()nfx ,
( )12,,…,m xxxx= . Dacă există un minor r al matricii iacobiene al acestui
sistem de func ții, diferit de zero în 0xD∈ și toți minorii de ordin 1r+ sunt
nuli în vecin ătatea V a lui 0x, atunci cele r funcții care apar în minorul de
ordinul r sunt independente în V, celelalte nr− funcții depind de aceste r
funcții.

DEFINIȚIA 8.3.3 Funcțiile ( )( )11212,,,,,,,,nnn fxxxfxxx KKK definite
pe o mul țime nX⊂¡ se spune c ă sunt independente într-un punct
( )000
12,,,n xxxX ∈ K , dacă niciuna din func ții nu depinde de celelalte într-o
vecinătate a lui ( )000
12,,,.n xxx K Funcțiile 12,,,n fffK sunt independente pe
X, dacă sunt independente în orice punct interior al lui X.

PROPOZIȚIA 8.3.2 Fie func țiile ( )( )11212,,,,,,,,nmn fxxxfxxx KKK
definite pe o mul țime .nXR⊂ Dacă funcțiile if au derivate par țiale i
if
x∂
∂
continue pe X și dacă rangul matricei:
111
12
222
12
12n
n
mmm
nfff
xxx
fff
xxx M
fff
xxx∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂=

∂∂∂∂∂∂L
L
MMLM
L
este sm≤ pe X, atunci din cele m funcții date, exist ă s dintre ele
independente pe X, iar celelalte ms− rămase sunt dependente de acestea.

Exemplu. Sistemul:
()
223333
222
221
2
ln3zuxyzu
xyyzzu
xye++++=++=
++=

283
definește y, zși u ca funcții de x în 3. D∈¡ Să se calculeze ,,.dydzdu
dxdxdx
Soluție. Derivând în raport cu x ecuațiile sistemului și ținând seama c ă y,
zși u sunt func ții de ,x obținem:
2222222
22
222233320
2220
22220.zuzudzduxyzudxdx
dydzdzduyxyyzuzudxdxdxdx
xydzduzeuexyxydxdx+++++=

++++=

+++=++
Sistemul are o unic ă soluție dacă:
222222
22
22332
2220
222zuzuyzu
xyzyzuzu
yzeuexy++Δ=++≠
+.
Avem:
222222
22 1
1
22332
,22
222zuzuyzu
dyyyzuzudxyzeuexy++−
Δ=Δ=−+Δ
+,
2222
22 2
2
2222332
,22
222zuyzu
dzxyzyzudxyxuexyxy+−
Δ=Δ=+−Δ
−++,
22222
222 3
3
2222333
,22
222zuyzx
duxyzyzuydxyxzexyxy+−
Δ=Δ=++−Δ
−++.

284
Exemplu . Se dau func țiile: ,,xyyzzxufvgwhyzzxxy−−− === −−−   cu
()13,,,.fghCDD∈⊆ ¡ Să se arate c ă funcțiile sunt în dependen ță
funcțională și să se găsească legătura dintre ele.
Soluție. Trebuie s ă arătăm că:
()
()
,,0.,,uuu
xyz
Duvw vvv
Dxyzxyz
www
xyz∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂==∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂
Notând ,,xyyzzx
yzzxxy−−−α=β=γ=−−−, obținem:
()
()2
21
.udfdf
xdxdyz
udfdfzx
ydyd yz
udfdfxy
zdzd yz∂∂α==∂α∂α−
∂∂α−==∂α∂α −
∂∂α−==∂α∂α −
De aici rezult ă că:
()
() ()()()
222,, 10,,yzzxxyDuvwfghyzzxxyDxyz yzzxxyyzzxxy−−−
′′′=⋅⋅−−−⋅=
−−−−−−
Pe DD′⊂ , funcțiile f, g, h fiind monotone, avem:
() () ()
111,,xyyzzxfugvhwyzzxxy−−− −−−===−−−.
Deci,
()()()1111. fugvhw−−−⋅⋅=
Exemplu . Să se determine α astfel încât func țiile:
( )( )( ) 2,2,32 ufxyzvgxyzwhxyz=α+−=−−+=+−
(unde ,,fgh sunt func ții derivabile în raport cu argumentul lor într-un
domeniu 3) V∈¡ să fie în dependen ță funcțională în .V

285
Soluție. Avem:
()
()
21,,11202,,132DuvwfghDxyzα−
′′′=⋅⋅−−=⇒α=
−.
Pentru a g ăsi legătura, pentru 5
4α= , avem:
()
()
()
1
1
1524
2
32,xyzfu
xyzgv
xyzhw−
−
−+−=
−−+=
+−=

de unde:
21413012−=−=≠−
Pentru ca sistemul s ă fie compatibil, trebuie ca:
()
()
()
1
1
121
120
32carfu
gv
hw−
−
−−
Δ=−=
−.

4. EXTREME CONDI ȚIONATE

În paragraful 3 din capitolul VII este dat algoritmul de determinare a
punctelor de extrem condi ționate. În continuare se prezint ă pe larg
extremele condi ționate.

Fie ()( )12 :,,,,n
n fEfxfxxx⊂→=¡¡K și fie . AE⊂

DEFINIȚIA 8.4.1 Se spune c ă funcția f are în punctul aA∈ un extrem
relativ la mulțimea A, dacă restricția funcției f la mulțimea A are în punctul
aA∈ un extrem obi șnuit.

DEFINIȚIA 8.4.2 Extremele func ției f relative la o submul țime AE⊂ se
numesc extreme condi ționate .

286
OBSERVAȚIA 8.4.1 Vom considera un sistem de kn< funcții reale
()()()12 ,,,k FxFxFx K definite pe E, iar mul țimea A va fi definit ă ca
mulțime a solu țiilor sistemului:
( )
( )
( )
112
212
12,,,0
,,,0
,,,0.n
n
knFxxx
Fxxx
Fxxx =
= 

=K
K
M
K (1)
Așadar, ()() () { } 12 ,0,0,,0n AxxEFxFxFx=∈=== K . În acest caz,
extremele func ției f relative la mul țimea A se mai numesc extreme
condiționate de sistemul (1).

Următoarea propozi ție dă condiții necesare de existen ță a punctului de
extrem condi ționat.

PROPOZIȚIA 8.4.1 Fie a un punct care verific ă sistemul (1). S ă
presupunem c ă funcția f și funcțiile ()()()12 ,,,k FxFxFx K au derivate
parțiale continue într-o vecin ătate V a lui a și că matricea func țională
i
jFMx∂=∂ are în punctul a rangul k (egal cu num ărul relațiilor sistemului
(1)). Dac ă a este punctul extrem al func ției ,f condiționat de sistemul (1),
atunci exist ă k numere iλ astfel încât s ă avem:
() () () ()
() () () ()
() () () ()
12
12
1111
12
22
2222
12
120
0
0.k
k
k
k
k
k
nnnnF FF faaaaxxxx
F FF faaaaxxxx
F FF faaaaxxxx∂ ∂∂ ∂+λ+λ++λ=∂∂∂∂
∂  ∂∂ ∂+λ+λ++λ= ∂∂∂∂


∂ ∂∂ ∂+λ+λ++λ=∂∂∂∂K
K
M
K (2)

Demonstrație. Deoarece matricea func țională i
jFMx∂=∂ are în punctul a
rangul k, există un determinant de ordinul k al acestei matrici diferit de 0

287
în punctul a. Pentru a face o alegere presupunem c ă: ( )
( )
12
12,,,0,,,k
kDFFF
Dxxx≠K
K
în punctul a. Sistemul (1) se poate rezolva în raport cu variabilele
12,,,k xxxK în jurul punctului ( )121,,,,,,kkn aaaaaa+ = KK , deoarece:
– prin ipotez ă () () ()12 0,0,,0;n FaFaFa=== K
– funcțiile ()()()12 ,,,k FxFxFx K au derivate par țiale continue într-o
vecinătate a lui a;
– iacobianul acestor func ții în raport cu variabilele 12,,,k xxxK este diferit
de zero.
Conform propozi ției relative la sisteme de func ții implicite, exist ă kVA⊂ a
punctului ( )12,,,k aaaK în spațiul k¡ și o vecin ătate nkV− a punctului
( )12,,,kKnaaa++ K în spa țiul nk−¡ , astfel încât, pentru orice punct
( )12,,,nk
kknxxxV−
++ ∈ K , sistemul (1) s ă aibă o soluție unică 12,,,k xxxK în
kV:
( )
( )
( )
111
221
1,,
,,
,,.kn
kn
kkknxxx
xxx
xxx+
+
+=ϕ
=ϕ

=ϕK
K
M
K (3)
Avem: ( ) ( )1111 ,,,,,,.knkkkn aaaaaa++ =ϕ=ϕ KKK Funcțiile 12,,,k ϕϕϕ K
au derivate par țiale continue pe mul țimea nkV−. Să scriem c ă sistemul (3)
este o solu ție a sistemului (1), pentru orice ( )12,,,.nk
kknxxxV−
++ ∈ K Avem:
( )( ) ( )
( )( ) ( )
11111
1111,,,,,,;,,0
,,,,,,;,,0.knkknkn
kknkknknFxxxxxx
Fxxxxxx+++
+++ϕϕ=

ϕϕ=KKKK
M
KKKK (4)
Diferențialele acestor func ții sunt nule pe nkV− (în particular și în punctul
( )) 12,,,.kknaaa++ K

288

11111
121
121
22222
121
121
121
121,,0
,,0
,,0.kkn
kkn
kkn
kkn
kkkkk
kkn
kknFFFFFddddxdxxxxxx
FFFFFddddxdxxxxxx
FFFFFddddxdxxxxxx+
+
+
+
+
+∂∂∂∂∂ϕ+ϕϕ++=∂∂∂∂∂
∂∂∂∂∂ϕ+ϕϕ++=∂∂∂∂∂


∂∂∂∂∂ϕ+ϕϕ++=∂∂∂∂∂KK
KK
M
KK(5)
În sistemul (5), 12,,,k dddϕϕϕ K reprezint ă diferen țialele func țiilor
12,,,k ϕϕϕ K calculate în punctul ( )12,,,kknaaa++ K , iar 1,,kndxdx+K sunt
variabile independente.
Să consider ăm funcția compus ă:
( )12,,,kknFxxx++ = K
( )( )( ) ( ) 1121212 ,,,,,,,,;,,,kknkkknkkn fxxxxxxxxx++++++ =ϕϕ KKKK (6)
definită pentru ( )12,,,nk
kknxxxV−
++ ∈ K .
Deoarece func ția ( )12,,,n fxxx K are în punctul ( )12,,,n aaaa= K un
extrem condi ționat de sistemul (1), func ția ( )12,,,kknFxxx++ K are în
punctul ( )12,,,kknaaa++ K un extrem obi șnuit (lucru evident). În acest caz,
diferențiala acestei func ții în punctul ( )12,,,kknaaa++ K este nulă:

121
1210kkn
kknfffffdFdddddxxxxx+
+∂∂∂∂∂=ϕ+ϕ++ϕ+ϕ++ϕ=∂∂∂∂∂KK (7)
și aici 12,,,k dddϕϕϕ K sunt diferen țialele func țiilor 12,,,k ϕϕϕ K în punctul
( )12,,,kknaaa++ K , iar 1,,kndxdx+K sunt variabile independente.
Ținând seama de (5) și (7), pentru orice sistem de numere 12,,,k λλλ K ,
avem:
111
12
1111122kkk
iiik
iiikkFFF fffdddxxxxxx ===  ∂∂∂ ∂∂∂+λϕ++λϕ+++λϕ+  ∂∂∂∂∂∂ ∑∑∑ K

11
1
11110kk
ikin
iikknnFF ffddxxxx+
==++ ∂∂ ∂∂++λϕ+++λϕ=∂∂∂∂∑∑ K . (8)

289
Vom alege un num ăr 12,,,k λλλ K astfel încât coeficien ții diferen țialelor
12,,,k dddϕϕϕ K să se anuleze.
11
1
111
11
10
0,k
k
kkkFF f
xxx
FF f
xxx∂∂ ∂+λ++λ=∂∂∂
∂∂ ∂+λ++λ=∂∂∂K
M
K (*)
derivatele fiind calculate în ( )12,,,.n aaaa= K Acest lucru este posibil
deoarece determinantul coeficien ților lui 12,,,k λλλ K din (*) este
( )
( )
12
12,,,0,,,k
kDFFF
Dxxx≠K
K calculat în ( )12,,,.n aaaK Cu aceste valori ob ținute
pentru 12,,,k λλλ K , egalitatea (8) se scrie:
11
1
11110kk
ikin
iikknnFF ffddxxxx+
==++ ∂∂ ∂∂+λϕ+++λϕ=∂∂∂∂∑∑ K .
Pentru ca aceast ă egalitate s ă aibă loc pentru orice valori ale variabilelor
independente 1,,kndxdx+K , este necesar și suficient s ă se anuleze
coeficien ții acestor variabile, adic ă:
11
1
111
11
10
0.k
kkk
k
nnnFF f
xxx
FF f
xxx+++∂∂ ∂+λ++λ=∂∂∂
∂∂ ∂+λ++λ=∂∂∂K
M
K (**)
Egalitățile (*) și (**) formeaz ă sistemul doi de egalit ăți.

OBSERVAȚIA 8.4.2 Orice punct ( )12,,,n aaaa= K care verific ă sistemul
(1) în care matricea i
jFMx∂∂= are rangul k și care verific ă sistemul (2)
pentru anumite valori 12,,,k λλλ K se nume ște punct staționar al funcției f
condiționat de sistemul (1).
Coeficien ții 12,,,k λλλ K se numesc multiplicatorii lui Lagrange.

290
OBSERVAȚIA 8.4.3 Se observ ă că în sistemul (2) apar derivatele par țiale
ale func ției ()() ()11 kk fxFxFx+λ++λ K definită pentru
( )12,,,n xxxx=∈ K¡ .

OBSERVAȚIA 8.4.4 Din cele de mai sus, rezult ă că pentru o func ție f cu
derivate par țiale continue pe o mul țime deschis ă ,⊂¡nE calea de urmat
pentru aflarea punctelor sta ționare condi ționate de sistemul (1) în care
funcțiile 12,,,k FFF K au derivate par țiale continue pe E este:
1) se formeaz ă funcția ajutătoare:
( )()() ()121211,,,;,,,nnkk xxxfxFxFxΦλλλ=+λ++λ KKK
cu coeficien ții 12,,,k λλλ K nedetermina ți;
2) se formeaz ă sistemul de nk+ ecuații:
( )
( )
( )
1212
1
1212
2
1212
1
2,,,;,,,0
,,,;,,,0
,,,;,,,0
0
0
0,nk
nk
nk
n
kxxxx
xxxx
xxxx
F
F
F∂Φλλλ=∂
∂Φλλλ=∂

∂Φλλλ=∂=
=

=KK
KK
M
KK
M
cu nk+ necunoscute: 1212,,,;,,,nk xxx λλλ KK și se caut ă soluții ale
acestui sistem;
3) dacă 1212,,,;,,,nk xxx λλλ KK este o solu ție a acestui sistem atunci
punctul 12,,,n xxxK este punct sta ționar condi ționat al func ției .f
Fie ( )12,,,n aaaa= K un punct sta ționar al func ției f condiționat de (1).
Pentru a vedea dac ă a este sau nu un punct de extrem condi ționat va trebui
să studiem semnul diferen ței:
()()( )( )1212,,,,,,nn fxfafxxxfaaa−=− KK ,
pentru punctele ( )12,,,n xxxx= K care verific ă sistemul (1), deci pentru
care () () ()12 0,0,,0k FxFxFx=== K . Se observ ă că pentru asemenea

291
puncte x, avem ()() xfxΦ= și deci ()()()() fxfaxa−=Φ−Φ . Pe de
altă parte, func ția ()xΦ are derivate par țiale de ordinul al doilea continue
într-o vecin ătate a lui a. Deci, putem scrie formula lui Taylor de ordinul al
doilea:
()()()()2
,111
22n
ij
ijijaxadxdxxxx=∂ΦΦ−Φ=+ωρ∂∂∑ ,
unde:
() lim0
xaa
→ω= , ()()22
11 nn xaxaρ=−+− K .
Dacă diferen țiem rela țiile sistemului (1), ob ținem k relații liniare în
1,,n dxdxK :
11
1
1
1
10
0.n
n
kk
n
nFFdxdxxx
FFdxdxxx∂∂++=∂∂
∂∂ ++=∂∂K
M
K
Deoarece matricea acestui sistem liniar este matricea func țională
i
jFMx∂∂= care are rangul k, se pot exprima ca diferen țiale în func ție de
celelalte nk−, introducând în formula lui Taylor de mai sus ob ținem în
membrul drept o form ă pătratică definită sau nu ( ).ijijAdxdx∑ În cazul
când ijijAdxdx∑ este definit ă pozitiv, avem minim condi ționat, iar când
este definit ă negativ avem un maxim condi ționat.

Exemplu. Să se găsească extremele func ției (),,fxyzxyxzyz =++
condiționate de 1 xyz= în domeniul 0,0,0.xyz>>>
Soluție. Fie ()()() ,,,,1xyzfxyzxyzΦ=+λ− . Rezolvând sistemul:

292
()
0
0
0
,,10,x
y
z
Fxyzxyz∂Φ=∂∂Φ=∂
∂Φ=∂
 =−=
obținem 1,1,1xyz=== , () 2,1,1,1.A λ=− De aici rezult ă:
(),,22xyzxyxzyzxyzΦ=++−+ , ( )2
A ddxdydydzdxdzΦ=−++ .
Diferențiind 1 xyz= și calculând în punctul A, rezultă 0 dxdydz++= .
Deci, 222
A ddxdxdydyΦ=++ este definit ă pozitiv, de unde rezult ă A este
minim condi ționat.
Exemplu. Să se studieze extremele func ției (),,fxyzxyyzzx =++ , unde
()3,,xyz∈¡ cu legăturile: 1 xyz−++= și 0. xz−=
Soluție. Vom folosi metoda multiplicatorilor lui Lagrange. Se consider ă
funcția atașată:
( ) ( )() ,,,,Fxyzxyyzzxxyzxz λµ=+++λ−+++µ− .
Dacă există, extremele se g ăsesc printre punctele sta ționare, care sunt solu ții
ale sistemului:
0
0
0
10
0,Fyzx
Fxzy
Fxyz
Fxyz
Fxz∂=+−λ+µ=∂∂=++λ=∂∂=++λ−µ=∂
∂=−++−=∂λ∂=−=∂µ
Rezolvând acest sistem, ob ținem: 1,1,1,2,2. xyz=−==−λ=µ= Avem,
( )22.A dFdxdydxdzdydz=⋅+⋅+⋅ Diferen țiind leg ăturile în punctul
()1,1,1− , avem:

293
0
.dzdydz
dxdz−++=
=
Înlocuindu-le, se ob ține 2220A dFdx=> . Rezultă că ()1,1,1− este punct
de minim.

5. SCHIMB ĂRI DE VARIABIL Ă ȘI FUNCȚII

Rezolvarea multor probleme se simplific ă prin schimbarea variabilelor
independente sau a func țiilor care intervin în aceste probleme.

A. Schimbarea variabilelor independente la func țiile de o variabil ă

PROPOZIȚIA 8.5.1 Fie () yfx= , xXyY∈⊂→∈⊆ ¡¡ și funcția
() xtj= , tT∈, (),nfCj∈ , 1,2,…n= . Atunci, ()
1
'dydy
dxtdt j=⋅ .
Demonstrație. Funcția compus ă ()() yft j= , tT∈, realizeaz ă o aplica ție
a mulțimii T în mulțimea Y. Aplicând regula de derivare a unei func ții
compuse, ob ținem:
dydfd
dtdxdtj=⋅ ⇒ dydyd
dtdxdtj=⋅ ⇒ ()
1
'dydy
dxtdt j=⋅ ,
relație care exprim ă pe dy
dx prin derivata dy
dt.

OBSERVAȚIA 8.5.1
a) Deci operatorul diferen țial este:
()
1
'dd
dxtdt j⋅⋅=⋅ . (1)
Ținând cont de regula (1), se ob ține:
() () ()
22
222111''1
'''''dyddydydy
dxtdttdttdtdtj
jjjjj =⋅⋅=−⋅+⋅     ⇒
⇒
()()
()
22
2 22'' 1
' 't ddd
dxtdtdt tj
j j ⋅⋅⋅=−⋅+ 
  , etc.

Exemplu. Fie ecua ția ()21'''0xyxy−⋅+= . Ce devine ecua ția dacă se face
schimbarea cosxt= ?

294
Soluție. Fie ()costtj= . Avem:
1
sindydy
dxtdt=−⋅ ,
()
222
222221''11cos1
'''sinsinsindydydytdydy
dxtdtdtttdttdtj
jjj=−⋅+⋅=−−⋅+⋅= 
2
221ctgsindydyttdtdt=+⋅ .
Așadar, prin înlocuire în ecua ția dată, se obține:
( )
2
2
22111cosctgcos0sinsindydydyttttdtdttdt −−⋅+⋅+⋅⋅=⇒ 
2
22ctg0dydytdtdt−⋅= .

B. Schimbarea variabilelor independente la func țiile de două variabile
PROPOZIȚIA 8.5.2 Fie func ția (), zfxy= , 2:fX⊂→¡¡ și funcțiile
(), xuvj= , (), yuvy= , 2,:V jy ⊂→¡¡ astfel încât (),xyX∈,
,,fjy au derivatele par țiale de ordinul al doilea continue pe domeniul de
definiție. Atunci 1 dfdzdz
dxDvduudvyj∂∂=⋅−⋅∂∂, unde ()
(),
,DDDuvjy= .
Demonstrație. Din compunerea func țiilor ,,fjy , rezultă:
()()() ( ) ,,,,zuvfuvuv jy= .
Aplicând regula de derivare a func țiilor compuse, se ob ține:
.zff
uxuyu
zff
vxvyvjy
jy∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂
Deci,
11 fzz
xvDuuDvyy∂∂∂∂∂=⋅⋅−⋅⋅∂∂∂∂∂⇒1fzz
xDvuuvyy ∂∂∂∂∂ =⋅⋅−⋅∂∂∂∂∂ ,
1fzz
yDuvvujj ∂∂∂∂∂ =⋅⋅−⋅∂∂∂∂∂ .

OBSERVAȚIA 8.5.2 Pentru calculul derivatelor de ordinul al doilea se
folosesc operatorii:

295
1
xDvduudvyy ∂⋅∂∂⋅∂∂⋅ =⋅⋅−⋅∂∂∂ , 1
yDuvvujj ∂⋅∂∂⋅∂∂⋅ =⋅⋅−⋅∂∂∂∂∂ ,
aplicați unul altuia sau aplica ți în mod repetat.

C. Transformarea punctual ă a curbelor plane
Problema se pune astfel: fie o transformare regulat ă
()()
(),
:
,ufxy
T
vgxy== 2,:fgA ⊂→¡¡
și ()() :Cyyx= o curb ă plană. Dacă curbei plane ()C i se aplic ă
transformarea ()T, se obține ()()() : TCvvu=Γ= . Pentru studiul curbei
()Γ trebuie exprimate derivatele 2
2,,…dvdv
dudu în func ție de derivatele
2
2,,…dydy
dxdx
Problema este rezolvat ă de următoarea propozi ție.

PROPOZIȚIA 8.5.3 Dacă există derivatele n
ndy
dx și n
ndv
du, 1,2,…n= ,
atunci:
ggdy
dv xydx
ffdy du
xydx∂∂+⋅∂∂=∂∂+⋅∂∂.
Demonstrație. Deoarece (), ufxy= și (), vgxy= , rezultă că:
xy
xyff gg dy dudxdy dxdy ggxy dvdv xy dx
ffdy gg dududxdyff dvdxdyxydx xy∂∂ ∂∂=+ + ′′+⋅ ∂∂ ∂∂ ⇒=⇒= ∂∂ ∂∂ ′′ ++⋅ =+∂∂ ∂∂.

OBSERVAȚIA 8.5.3 Din Propozi ția 8.4.3 se ob ține operatorul
1
xdd
duudx⋅⋅=⋅′. Pentru calculul derivatelor de ordin superior ale lui () vvu= ,
se aplică în mod repetat acest operator. Deci,

296
2
21,…xy
x
xydyggdvd dx
dy duudxffdx′′+⋅=⋅ ′′′+⋅.

Exemplu. Să se transforme ecua ția diferen țială 3'''0yxy+⋅= , unde
() yyx= , pentru schimbarea de variabil ă:
cos
sinxt
ytr
r=⋅
=⋅
în noua func ție ()t rr= .
Soluție. Avem:
( )
( )
'sincos
'cossindyttdt
dxttdtrr
rr=+⇒ =−'sincos
'cossindxtt
dyttrr
rr+=−. (1)
Deci,
2
21
tdyddy
dxxdtdx=⋅⇒ ′ ( )
2
21'sincos
'cossin'cossintdytt
dxttttrr
rrrr′ +=⋅⇒ −− 

( )
222
3 22'''
'cossindy
dx ttrrrr
rr−+⇒=
−. (2)
Ținând cont de (1) și (2), ecua ția diferen țială devine:
( )
3 22''2'cos'sincos0 ttt rrrrrrr⋅−−+−= .

D. Transformarea punctual ă a suprafețelor
Problema se pune în felul urm ător: fiind dat ă suprafața ()S de ecuație
(), zzxy= și transformarea punctual ă regulată:
()()
()
(),,
:,,
,,ufxyz
Tvgxyz
whxyz=
=
=, 3,,:fghA ⊂→¡¡ ,
atunci dac ă suprafeței supraf ței ()S i se aplic ă transformarea ()T, se obține
suprafața ()TSΣ= : (), wwuv= .

297
Pentru a studia suprafa ța ()Σ trebuie exprimate derivatele w
u∂
∂, w
v∂
∂, 2
2w
u∂
∂,
2
2w
v∂
∂, 2w
uv∂
∂∂,… în raport cu derivatele z
x∂
∂, z
y∂
∂, 2
2z
x∂
∂, 2
2z
y∂
∂, 2z
xy∂
∂∂,….
Această problem ă se rezolv ă astfel:
PROPOZIȚIA 8.5.4 În cazul în care exist ă: z
x∂
∂, z
y∂
∂,… și w
u∂
∂, w
v∂
∂,…
atunci
1
1xxx
yyy
zz
xxx
yyy
zzhgz
hgz
hg w
u fgh
fgh
fg′′′
′′′
′′ − ∂=∂ ′′′
′′′
′′ −, 1
1xxx
yyy
zz
xxx
yyy
zzfhz
fhz
fh w
v fgh
fgh
fg′′′
′′′
′′ − ∂=∂ ′′′
′′′
′′ −.
Demonstrație. Avem:
wwdwdudvuv∂∂=+∂∂, (1)

(2)
(3)
fffdudxdydzxyz
gggdudxdydzxyz
hhhdwdxdydzxyz
zzdzdxdyxy∂∂∂ =++∂∂∂ ∂∂∂ =++ ∂∂∂ 
∂∂∂=++∂∂∂
∂∂=+∂∂ (4)














Înlocuind rela țiile (4) în rela țiile (2) și (3), iar dup ă aceea rela țiile (2) în
relația (1) dup ă care egalând cu (3), se ob ține:
hhzhhzdxdyxzxyzy ∂∂∂∂∂∂+⋅++⋅=  ∂∂∂∂∂∂ 
wffzwggzdxuxzxvxzx∂∂∂∂∂∂∂∂=+⋅++⋅+∂∂∂∂∂∂∂∂

298
wffzwggzdyuyzyvyzy∂∂∂∂∂∂∂∂++⋅++⋅∂∂∂∂∂∂∂∂.
Prin identificare, se ob ține sistemul liniar în w
u∂
∂, w
v∂
∂:
( )( )
( )( ),
.xzxxzxxzx
yzyyzyyzywwffzggzhhzuv
wwffzggzhhzuv∂∂′′′′′′′′′+⋅++⋅=+⋅∂∂∂∂ ′′′′′′′′′+⋅++⋅=+⋅∂∂
Prin rezolvarea acestui sistem, se ob ține:
1
1xxx
yyy
zz
xxx
yyy
zzhgz
hgz
hg w
u fgh
fgh
fg′′′
′′′
′′ − ∂=∂ ′′′
′′′
′′ −, 1
1xxx
yyy
zz
xxx
yyy
zzfhz
fhz
fh w
v fgh
fgh
fg′′′
′′′
′′ − ∂=∂ ′′′
′′′
′′ −.

Exemplu. Ce devine rela ția zzxyzxy∂∂⋅+⋅=∂∂; (), zzxy= dacă se face
schimbarea de variabile:
()
:uxz
Tvyz
wxy=+
=+
=+
în noua func ție (), wwuv= ?
Soluție. Prin diferen țiere se ob ține sistemul:
1
1
.zzdudxdyxy
zzdvdxdyxy
wwdxdydudvuv∂∂=+⋅+⋅∂∂
  ∂∂=⋅++⋅ ∂∂  
 ∂∂+=⋅+⋅∂∂ 
În acest sistem, eliminând pe u și v, se obține:
wzwwwzwwdxdydxdyuxuvvyuv ∂∂∂∂∂∂∂∂ +=+⋅+++⋅+⇒   ∂∂∂∂∂∂∂∂   

299
1w
z u
ww x
uv∂−∂ ∂⇒=∂∂∂+∂∂
și
1w
z v
ww y
uv∂−∂ ∂=∂∂∂+∂∂. (1)
Din transformarea ()T, se obține:
2uwvx+−= , 2vwuy+−= , 2uvwz+−= . (2)
Ținând cont de rela țiile (1) și (2), ecua ția din enun ț devine:
( )( )
3wwuwvvwuwuvuv∂∂+−++−=−−∂∂.

6. EXERCIȚII REZOLVATE

EXERCIȚIUL 8.6.1 Se dă ecuația 251 yx+= . Să se cerceteze dac ă această
ecuație define ște pe y ca funcție de x.
Soluție. Se noteaz ă 25(,)1Fxyyx =+− . Ținând cont de faptul c ă
251yx=− , atunci evident 10(,1]xx−≥⇒∈−∞ . În acest caz, (,0]y∈−∞
sau [0,)y∈∞ . Deci, exist ă două situații pentru ca (,)Fxy să fie o func ție
de două variabile și anume:
a) :(,1][0,)F−∞+×∞→ ¡;
b) :(,1](,0]F−∞×−∞→ ¡.
Considerând :(,1][0,)F−∞×∞→ ¡, ecuația (,)0Fxy = definește pe y ca
funcție de x, dacă există 00(,)(,1][0,)xy∈−∞×∞ astfel încât 00(,)0Fxy =
și există (,)0Fxy
y∂≠∂ într-o vecin ătate a lui 00(,)xy .
Dacă se consider ă punctul (0,1) , atunci este evident c ă (0,1)0F= și
20Fyy∂=≠∂, (0,1) () (,) xyV∀∈ . (0,1)V este prezentat în figura al ăturată:

300

Exercițiul 8.6.2 Se dă ecuația 222231xyz++= . În ce condi ții ecuația
definește pe z ca func ție de x, y. Să se determine mul țimea de
continuitate și diferen țiabilitate a func ției (,)zxy .
Soluție. Ecuația se mai scrie și astfel: 222312zxy=−− . Este evident c ă
această egalitate are sens în cazul în care 2222120210xyxy−−≥⇔+−≤ .
Se noteaz ă 222(,,)231Fxyzxyz =++− . În acest caz, [1,0]z∈− sau
[0,1)z∈ . Deci, exist ă situațiile:
a):[0,1]FD×→ ¡;
b) :[1,0]FD×−→ ¡, unde 222{(,) 210}Dxyxy=∈+−≤ ¡ .
Există 000(,,)[0,1]xyzD ∈× astfel încât 000(,,)0Fxyz =. Într-adev ăr,
111,,0
369F= . Deci, :[0,1]FD×→ ¡ și atunci ecua ția
(,,)0Fxyz = definește pe z funcție de (),xy . Dacă se consider ă
:[1,1]FD×−→ ¡, atunci fie 12,DD⊂¡ astfel încât 12DDD∪= și
12DD j ∩= . În acest caz, (,,)0Fxyz = implică:
22
1
22
2112, (,)
3(,)112, (,).
3xyxyD
zxy
xyxyD⋅−−∈=
−⋅−−∈
Deci, ecua ția (,,)0Fxyz = are o infinitate de solu ții (,)zxy pe D. Aceste
soluții nu sunt func ții continue. Într-adev ăr, fie1 (,)FrabD∈ (de exemplu).

x y
1 0

301
Avem:
122222
(,)(,)11lim(,)12lim(,)12
33xaxa
ybyb
xyDxyDzxyabzxyab
→→
→→
∈∈=⋅−−≠=−⋅−− .
Dacă se consider ă funcția :[0,1]FD×→ ¡, atunci ecua ția (,,)0Fxyz =
definește pe (,)zxy și aceasta este continu ă. Analog pentru cazul
:[1,0]FD×−→ ¡. Deci, 222{(,) 210}Dxyxy=∈+−≤ ¡ este mul țimea
de continuitate pentru func ția (,)zxy definit ă implicit de ecua ția
(,,)0Fxyz = atât în cazul a), cât și în cazul b).
Pentru ca (,)zxy să fie diferen țiabilă, trebuie ca (,,)0Fxyz = să admită
derivate par țiale continue și (,,)0zFxyz′ ≠. Aceste condi ții implic ă faptul că
domeniul de diferen țiabilitate a lui (,)zxy este
222'{(,) 210}Dxyxy=∈+−< ¡ atât în cazul a), cât și în cazul b).

EXERCIȚIUL 8.6.3 Să se calculeze 2z
xy∂
∂∂ pentru func ția (,)zxy definită
implicit de ecua ția 222ln()1xyzaxbycz+++++= .
Soluție.
Fie 3:\{(0,0,0)}F+ → ¡¡ , 222(,,)ln()1Fxyzxyzaxbycz =+++++− .
Avem:
2zz
xyyx∂∂∂ =∂∂∂∂ ,
222 222
222
2222
2()
2 2()x Fazxaxyz xyz x
Fz xzcxyzczxyz∂+∂+++ ++ ∂=−==−∂∂++++∂++,
222
2222()
2()zybxyz
yzcxyz∂+++=−∂+++.
Se deriveaz ă egalitatea (,,)0Fxyz = în raport cu x și apoi în raport cu y,
ținând cont c ă z este func ție de x și y, și se obține:
2
222222122222()[2()]zzzzzxzxzxyxyzzcxyzxyxy  ∂∂∂∂∂ =+⋅⋅+⋅−⋅   ∂∂+++++∂∂∂∂   .

302
EXERCIȚIUL 8.6.4 Să se arate c ă funcția (,)zxy definit ă de
(,)0Fxmzynz−−= , ,mn∈¡, verifică relația 1zzmnxy∂∂⋅+⋅=∂∂.
Soluție. Fie uxmz=− și vynz=− . Derivând egalitatea
(,)0Fxmzynz−−= în raport cu x, se obține:
0110FuFvFzFzmnuxvxuxvx∂∂∂∂∂∂∂∂ ⋅+⋅=⇒−⋅+−⋅=⇒ ∂∂∂∂∂∂∂∂ 
F
z u
FF xmnuv∂
∂ ∂⇒=∂∂ ∂+∂∂. (1)
Analog,
F
z v
FF ymnuv∂
∂ ∂=∂∂ ∂⋅+⋅∂∂. (2)
Ținând cont de egalit ățile (1) și (2), se ob ține:
1FFFFmnmnzz uvuvmnFFFFFF xymnmnmnuvuvuv∂∂∂∂⋅⋅⋅+⋅∂∂ ∂∂∂∂⋅+⋅=+==∂∂∂∂∂∂ ∂∂⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅∂∂∂∂∂∂.

EXERCIȚIUL 8.6.5 Să se afle punctele de extrem ale func ției (,) zzxy=
definită implicit de ecua ția: 2222270 xyzxy++−−−= .
Soluție. Se noteaz ă 222(,,)227Fxyzxyzxy =++−−− . Punctele
staționare sunt solu țiile sistemului (,,)0
(,,)0
(,,)0x
yFxyz
Fxyz
Fxyz′ =
′ = 
= care verific ă condiția
(,,)0zFxyz′ ≠.
Deci,
222220
220
2270.x
y
xyzxy−=
−=
++−−−=

303
Se obțin soluțiile (1,1,3) și (1,1,3)−. Cum (,,)2zFxyzz′ = , se observ ă că
(1,1,3)60zF′ =≠ și (1,1,3)60zF′−=−≠ . Deci, atât (1,1,3) cât și (1,1,3)−
sunt puncte sta ționare. Avem:
(,,) 1
(,,x
zFxyz zx
xFxyzz′ ∂−=−=′ ∂, (1)
(,,) 1
(,,y
zFxyz zy
yFxyzz′ ∂−=−=′ ∂. (2)
Se deriveaz ă (1) în raport cu x și se obține:
222
22231(1) (1)(1)z xzx zxzzx x z
xzzz∂ −−−− −−−∂+− ∂===−∂. (3)
Se deriveaz ă (2) în raport cu y și se obține:
222
23(1) zzy
yz∂+−=−∂. (4)
Se deriveaz ă (1) în raport cu y și se obține:
2
23(1)(1)(1)zxzxy y
xyzz∂−−⋅∂−− ∂==−∂∂.
Se cerceteaz ă dacă (1,1,3) este punct de extrem. Avem:
1191
273a=−=− , 221
3a=− , 1221 0 aa== ,
11103a=−< , 1112
2122101 301903aa
aa==> .
Deci, (1,1,3) este punct de maxim pentru func ția definit ă implicit.
Se cerceteaz ă dacă (1,1,3)− este punct de extrem. Avem:
11910273a==> , 221
3a=, 1221 0 aa== ,
11103a=> , 1112
2122101 301903aa
aa==> .
Deci, (1,1,3)− este punct de minim pentru func ția definit ă implicit.

304
EXERCIȚIUL 8.6.6 Funcția (,) zfxy= este definit ă implicit de sistemul
de ecuații:
cos
sin
.xuv
yuv
zv=⋅
=⋅
=
Să se calculeze derivata func ției f după direcția 2 sij=+rrr
în punctul
22,,,1,2244pp 
.
Soluție. Se noteaz ă 1(,,,,)cosFxyzuvxuv =−⋅ ,
2(,,,,)sinFxyzuvyuv =−⋅ , 3(,,,,)Fxyzuvzv =− . Se observ ă că funcțiile
123,,FFF sunt continue și derivabile în 5¡. Avem:
1230cossin
(,,)0sincos(,,)101vuv
DFFFvuvuDzuv−
=−−=
−.
Se observ ă că:
123
22,,,1,2244(,,)10(,,)DFFF
Duvw pp 
=≠ .
Conform cu teorema de existen ță a sistemelor de func ții implicite, din cele
arătate anterior, rezult ă că sistemul:
1
2
3(,,,,)0
(,,,,)0
(,,,,)0Fxyzuv
Fxyzuv
Fxyzuv= 
= 
= 
definește implicit func țiile (,) zfxy= , (,) ugxy= , (,) vhxy= .
Conform aceleia și teoreme, avem:
123
123(,,)
(,,,)
(,,)
(,,)DFFF
f Dxzuv
DFFF x
Dzuv∂=−∂, 123
123(,,)
(,,,)
(,,)
(,,)DFFF
f Dyzuv
DFFF y
Dzuv∂=−∂,
1sinfvxu∂−=−⋅∂, cosfv
yu∂=∂.

305
Așadar,
22,22 2
2f
x∂
=−∂, 22,22 2
2f
y∂
=∂.
Dacă saibj=⋅+⋅rrr
, atunci ffffffijsabxyxy ss∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅⋅⇒=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂rrr
rr .
Dacă 2 sij=+rrr
, atunci 2222222222f
s∂=−+⋅=−=
∂r .

EXERCIȚIUL 8.6.7 Sistemul 22
331
2xyuv
xyuv+++=++= definește pe u și v ca
funcții de x și y. Să se determine (,)duxy și (,)dvxy .
Soluție. Se știe că uududxdyxy∂∂=+∂∂ și vvdvdxdyxy∂∂=+∂∂. Pentru
determinarea derivatelor ,,,uuvv
xyxy∂∂∂∂
∂∂∂∂ se folose ște o altă modalitate fa ță
de cea din exerci țiul anterior și anume, se deriveaz ă sistemul în raport cu x,
respectiv în raport cu y, ținând cont c ă x și y sunt variabile independente, iar
u și v sunt func ții de x și y. Avem:
22221
33.uvuvxx
uvuvyxx∂∂⋅+⋅=−∂∂∂∂⋅+⋅=−∂∂
Deci,
2 2
22
2212
3 2323
22 666()
33v
yv uyvvyv
uv xuvuvuvu
uv−
−∂−−===∂−−,
2 2
22
2221
3 3232
22 666()
33u
uy vuyuuy
uv xuvuvvvu
uv−
− ∂−−===∂−−.

306
Analog se determin ă u
y∂
∂ și v
y∂
∂ rezolvând sistemul
22221
33uvuvyy
uvuvxyy∂∂⋅+⋅=−∂∂∂∂⋅+⋅=−∂∂
și se obține:
2
22
2212
3 2323
22 666()
33v
xv uvxvx
uv yuvuvuvu
uv−
−∂−−===∂−−,
2 2
22
2221
3 3232
22 666()
33u
ux vuuxux
uv yuvuvvvu
uv−
∂+−===∂−−.
Așadar,
23231[(2)(23)]6()6()6()yvxdudxdyduyvdxxdyuvuuvuuvu−−=+⇒=−+−−−−
1[(32)(32)]6()dvuydxuxdyuvu=−++−.

EXERCIȚIUL 8.6.8 Fie
3
1:u→¡¡ , 222
1123123(,,)uxxxxxx =++ ,
3
2:u→¡¡ , 2123123(,,)uxxxxxx =++ ,
3
3:u→¡¡ , 3123121323(,,)uxxxxxxxxx =++ .
Să se arate c ă 123,,uuu sunt în dependen ță funcțională.
Soluție. Este evident 2222
123123121323()2()xxxxxxxxxxxx++=+++++ .
Deci, 22
213123 22 uuuuuu=+⇒=− . Se consider ă 2
2323(,)2uuuuj =− . Deci,
123 (,) uuuj= , ceea ce arat ă că 1u depinde func țional de 2u și 3u.

EXERCIȚIUL 8.6.9 Fie f, g, h bijecții și *3,,:uvw+→¡¡ , yufz=,
zvgx=, xwfy=. Să se arate c ă u, v, w sunt dependente func țional și
să se găsească relația dintre ele.
Soluție. Se știe că u, v, w sunt dependente func țional dac ă și numai dac ă:

307
0uuu
xyz
vvv
xyz
www
xyz∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂=∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂.
Avem:
0u
x∂=∂, 1'ufyz∂=⋅∂, 2'uyfzz∂=−⋅∂,
2'vzgxx∂=−⋅∂, 0v
y∂=∂, 1'vgzx∂=⋅∂,
1'whxy∂=⋅∂, 2'wxhyy∂=−⋅∂, 0w
z∂=∂.
Deci,
2
2
21001
1''''''001
1010uuu yy
xyz zzz
vvvzfghzfghxyzxxxyzx
xx www
yyy xyz∂∂∂
−−∂∂∂
∂∂∂⋅⋅=⋅⋅⋅−=⋅−=∂∂∂⋅⋅
∂∂∂−−
∂∂∂

()
01 ''''''110
1 10zzfghyfgh xxx xyzzxyz
y− − ⋅⋅⋅⋅ =⋅−−⋅=⋅−=⋅⋅⋅⋅−.
Așadar, u, v, w sunt în dependen ță funcțională. Cum ,,fgh sunt bijec ții,
atunci exist ă 111,,fgh−−− și:
1
1
1()
()
().yfuz
zgvx
xhwy−
−
−=

−=

=

308
Rezultă că 111()()()1fugvhw−−−⋅⋅= sau 111
()()ufgvhw−−=⋅  care
reprezint ă relația între func țiile ,,uvw .

EXERCIȚIUL 8.6.10 Fie ,,fgh bijecții și ,,:uvwA →¡, unde
2
()()xufxyxz=−−, 2
()()yvgyxyz=−−, 2
()()zwhzxzy=−−. Să se
arate că ,,uvw sunt în dependen ță funcțională și să se găsească relația dintre
ele.
Soluție. Pentru a ar ăta ca ,,uvw sunt în dependen ță funcțională trebuie
arătat că:
0uuu
xyz
vvv
xyz
www
xyz∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂Δ==∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂.
Dar,
22
22222()()()()2()''()()()()uxxyxzxxzxxyyzxyzffxxyxzxyxz∂−−−−−−−+=⋅=⋅∂−−−−,
22
22()''()()()()uxxzxffyxyxzxyxz∂−=⋅=⋅∂−−−−, 2
2'()()uxfzxyxz∂=⋅∂−−,
2
2'()()vygxyzyx∂=⋅∂−−, 222()'()()vxzyxzgyyzyx∂−+=⋅∂−−,
2
2'()()vygzyzyx∂=⋅∂−−,
2
2'()()wzhxzxzy∂=⋅∂−−, 2
2'()()wzhyzxzy∂=⋅∂−−,
222()'()()wxyzxyhzzxzy∂−+=⋅∂−−.

309
Atunci,
22
22
222
222()
()()
'''2()0()()()()()
2()
()()yzxyzxx
xyxzxyxz
fghyxzyxzy
xyxzyzyxyzyxyz
zzxyzxy
zxzyzxzy−+
−−−−
⋅⋅−+Δ=⋅=−−−−−−−
−+
−−−−.
Deci, ,,uvw sunt în dependen ță funcțională pe A (A fiind 3¡ mai puțin
planele bisectoare). Deoarece ,,fgh sunt bijec ții, exist ă
111,,:fghA−−−→¡ astfel încât:
2
1()()()xfuxyxz−=−−, 2
1()()()ygvyxyz−=−−, 2
1()()()zhwzxzy−=−−.
Dar,
222
1()()()()()()xyz
xyxzyxyzzxzy++=−−−−−−.
Atunci, 111()()()1fugvhw−−−++= .

OBSERVAȚIE. Deoarece pentru a ar ăta că 0Δ= sunt necesare calcule
foarte lungi, se poate ar ăta dependen ța funcțională, arătând direct rela ția
dintre ,,uvw .

EXERCIȚIUL 8.9.11 Să se arate c ă funcțiile
1n
k
kux
==∑ , 2
1n
k
kvx
==∑ și
12131231 ……nnn wxxxxxxxxxx− =++++++ sunt în dependen ță funcțională
pe n¡.
Soluție. Pentru ca func țiile ,,uvw să fie în dependen ță funcțională pe n¡
trebuie ca matricea jacobian ă
12
12
12n
n
nuuu
xxx
vvvJxxx
www
xxx∂∂∂
∂∂∂
∂∂∂=∂∂∂
∂∂∂∂∂∂L
L
L

310
să nu aibă rangul trei. În acest caz, matricea jacobian ă este:
12
12111
222n
nJxxx
SSS
=L
L
L,
unde
1n
jk
kSxj
==−∑ , 1,jn= . Într-adev ăr, 3 rangJ <, deoarece to ți minorii
de ordin 3 sunt nuli.
Fie
1111111111111
222221110nnnn
ijkijkllll
llll
ijkijk
ijkxxxxxxx
SSSSSSSSS====Δ==== ∑∑∑∑ .
Rezultă că 0ijkΔ= . Cum ijkΔ este un determinant de ordin 3 oarecare al
matricii J, rezultă că 3 rangJ <. Deci, ,,uvw sunt în dependen ță
funcțională pe 3¡.

OBSERVAȚIE. Dependen ța funcțională a lui ,,uvw se observ ă și direct,
deoarece 22 vuw=− .

EXERCIȚIUL 8.6.12 Se consider ă ecuația diferen țială
2(1)"2(1)'4ln|1|xyxyyx++++=+ .
Care este forma ecua ției dacă se utilizeaz ă substitu ția |1|txe+= , t∈¡?
Soluție. Se consider ă 10x+> . Deci, substitu ția devine 1txe+= . Deci,
1()txet f =−= . Se știe că:
1
'()dydy
dxtdt f=⋅ , 2
211
'()'()dyddy
dxtdttdt ff=⋅⋅ .
Deci,
t dydyedxdt−=⋅ , 22
2
22t dydydyedxdtdt−=−+.
Ținând cont de acestea, ecua ția devine 2
24dydyytdtdt++= .
Dacă se consider ă 10x+< , atunci 1txe+=− și se obține acela și rezultat.

311
EXERCIȚIUL 8.6.13 Ce devine ecua ția "sin'(cos1)0yxyx⋅+⋅+= dacă
se folose ște schimbarea de variabil ă
2xttg= ?
Soluție. Se observ ă că:
2xarctgt= , 22
1dtdxt=+, 2
221
12dxdtt
dttdx+=⇒=+.
Cum 21(1)2dydydtdytdxdtdxdt=⋅=+⋅ , atunci:
22
2222
221111(1)(1)(1)(1)2222dyddydydytttttdtdtdtdtdt =+⋅+⋅=+⋅++⋅=   
2222
2(1)(1)
24ttdytdy
dtdt++=⋅+⋅ .
De asemenea, se știe că22sin1txt=+ și 2
21cos1txt−=+. Ținând cont de toate
acestea, se ob ține: 2
220dydytdtdt⋅+⋅= .

EXERCIȚIUL 8.6.14 Ce devine ecua ția "'yyxye+= dacă se consider ă x
funcție de y?
Soluție. Avem:
11''dyydx dxx
dy=== ,
231111"""''''(')(')ddyxxyxdydxxxxxx′− =⋅=⋅=⋅=− .
Deci, ecua ția devine:
3"
(')'y xxexx−+= , adică 2"(')yxxxe−+⋅= .

EXERCIȚIUL 8.6.15 Ce devine ecua ția 3"()(1')0yxyy+++= dacă se
face schimbarea de variabil ă și funcție xut=+ , yut=− , unde () uut= ?
Soluție. Avem: dxdudt=+ , dydudt=− . Deci,

312
1
1du
dydudt dt
du dxdudt
dt−−==++,
22
222
23 211221
111 11dudududu
dydddt dtdtdtdt
dududu dxdxdtdx dudu
dtdtdt dtdt−−⋅⋅==⋅=⋅=
 +++ ++ .
Ținând cont de aceste egalit ăți, ecuația devine 3"8(')0uuu+⋅= .

EXERCIȚIUL 8.6.16 Să se transforme ecua ția: 2"'0yyyx+⋅+= luând pe
x ca funcție de t și pe txy=⋅ ca variabil ă independent ă.
Soluție. Avem: dtydxxdy=⋅+⋅ . Atunci,
11dxydxdxdxdy dt
dydx dtydxxdydtdxyxxdxdt−⋅
=⇒=⇒=⇒++⋅⋅
2dxxtdy dt
dx dxxdt−⋅
=
⋅,

23 2
2
2 2
3 2
2322
:dxdxdx dxxxt xtdyddyddx dtdtdt dt
dx dxdxdxdtdt dxx xdt dt −⋅−⋅+⋅ −⋅   ===    ⋅ ⋅ .
Înlocuind acestea în ecua ția dată, se obține: 3 2
2dxdxtdtdt=⋅.

EXERCIȚIUL 8.6.17 Să se transforme ecua ția:
2
23222
222()0zzzxyyyxyzxxx∂∂∂+⋅+⋅−⋅+⋅⋅=∂∂∂,
considerând schimbarea de variabile independente xuv=⋅ , 1yv=.
Soluție. Avem:
.zzxzy
uxuyu
zzxzy
vxvyv∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂

313
Ținând cont c ă xuv=⋅ și 1yv=, se obține:
21.zzvux
zzzuvxvy∂∂=⋅∂∂∂∂∂=⋅−⋅∂∂∂
Deci,
21
.zz
xvu
zzzuvvyuv∂∂=⋅∂∂∂∂∂=⋅⋅−⋅∂∂∂
Ținând cont c ă 1zz
xvu∂∂=⋅∂∂, rezultă 22
222111zzz
xvuvuvu∂∂∂∂ =⋅⋅=⋅ ∂∂∂∂ . Din
aceste egalit ăți, ecuația devine:
2
23222
222()0zzzuvvvxyzuuv∂∂∂+⋅⋅+⋅−⋅+⋅⋅=∂∂∂.

EXERCIȚIUL 8.6.18 Să se determine 2z
xy∂
∂∂ dacă se trece de la coordonate
carteziene la coordonate polare.
Soluție. Trecerea de la coordonate carteziene la coordonate polare este dat ă
de relațiile:
cos
sin.x
yrq
rq=⋅
=⋅ (1)
Atunci,
,
.dzzxzy
dxy
zzxzy
xyrrr
qqq∂∂∂∂ =⋅+⋅∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂
Ținând cont de egalit ățile (1), se ob ține:
cossin
sincos.zzz
xy
zzz
xyqqr
rqrqq∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂=−⋅⋅+⋅⋅∂∂∂

314
Rezolvând sistemul în raport cu z
x∂
∂ și z
y∂
∂, se obține:
sincos
cossin.zzz
x
dzzz
yqqrrq
qqrrq∂∂∂=⋅−⋅∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂
Din aceste egalit ăți se obțin următorii operatori de derivare:
sincos
cossin.x
yqqrrq
qqrrq∂⋅∂⋅∂⋅=⋅−⋅∂∂∂∂⋅∂⋅∂⋅=⋅+⋅∂∂∂
Ținând cont de ace ști operatori, ob ținem:
2cossinzzz
xyxqqrrq ∂∂∂∂=⋅+⋅=∂∂∂∂∂ 
cossincoscossinsinzzzz qqqqqqrrrqrqrrq∂∂∂∂∂∂=⋅⋅+⋅−⋅⋅+⋅= ∂∂∂∂∂∂
222
222sincoscos2cossinzzz qqqqqrrqrqr∂⋅∂∂=⋅⋅−⋅+⋅−∂∂∂∂
cos2sincos zz qqq
rqrr∂⋅∂−⋅−⋅∂∂.
EXERCIȚIUL 8.6.19 Ce devine ecua ția 222
2220zzz
xxyy∂∂∂+⋅+=∂∂∂∂ dacă se
fac schimb ările de variabile uxz=+ , vyz=+ ?
Rezolvare:

.zzuzv
xuxvx
zzuzv
yuyvy∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=⋅+⋅∂∂∂∂∂
Ținând cont c ă 1uz
xx∂∂=+∂∂, vz
xx∂∂=∂∂, uz
yy∂∂=∂∂, 1vz
yy∂∂=+∂∂ se obține că:

315
1
.
1z
z u
zz x
uv
z
z v
zz y
uv∂ 
∂ ∂=∂∂ ∂ −− ∂∂∂∂ ∂= ∂∂ ∂−− ∂∂  (1)
Relațiile (1) se mai pot pune și sub forma:
1
1.zzzzzzzzz
xuxuvxuxv
zzzzz
yyuyu∂∂∂∂∂∂∂∂∂ =+⋅+=+⋅+⋅  ∂∂∂∂∂∂∂∂∂   ∂∂∂∂∂=⋅++ ∂∂∂∂∂   (2)
Ținând cont de rela țiile (2) se ob ține:
2
21
11zz
zzz uu
zzzz xxuxv
uvuv∂∂
 ∂∂∂∂∂ ∂∂=+⋅+⋅=  ∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂ −−−−∂∂∂∂
(2)
311()
1zzzvuuv zz
uv∂∂⋅∂∂⋅⋅−+⋅∂∂∂∂ ∂∂  −−∂∂
(2)2
3 211()
1zzzzyvuuv zz
uv ∂∂∂⋅∂∂⋅ =⋅⋅+−⋅  ∂∂∂∂∂  ∂∂  −−∂∂
2
3111()
1zzzzzzxyvuuvvuuv zz
uv ∂∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅∂∂⋅ =⋅⋅−−⋅⋅−+⋅   ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂  ∂∂   −−∂∂

Ținând cont de acestea se ob ține că:
(2) 222
3 2212()
1zzzzxxyyuv zz
uv∂∂∂∂⋅∂⋅ +⋅+=⋅+∂∂∂∂∂∂  ∂∂−−∂∂
Deci, ecua ția obținută este: 222
2220zzz
uuvv∂∂∂+⋅+=∂∂∂∂.

316
EXERCIȚIUL 8.6.20 Să se determine 2zzzxy∂∂⋅+∂∂ dacă se face
schimbarea: yux=, 22vxy=+ , 2wz=.
Soluție. Sunt evidente rela țiile:
2
2.wuwvzzuxvxx
wuwvzzuyvyy∂∂∂∂∂⋅+⋅=⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⋅+⋅=⋅∂∂∂∂∂
Ținând cont c ă yux=, 22vxy=+ , relațiile anterioare devin:
222
122.ywwzxzxuvx
wwzyzxuvy∂∂∂−⋅+⋅⋅=⋅∂∂∂ ∂∂∂⋅+⋅=⋅∂∂∂
Atunci,
22()2xywwzzxyzxuvxy −∂∂∂∂⋅++⋅=+ ∂∂∂∂ .

EXERCIȚIUL 8.6.21 Ce devine ecua ția 22
2220zzz
xyxy∂∂∂+−⋅=∂∂∂∂ dacă se
face schimbarea de variabil ă și funcție: uxy=+ , yvx=, zwx=?
Soluție. Din datele problemei se ob ține:
21
1.wuwvzz
uxvxxxx
wuwvz
uyvyxy∂∂∂∂∂⋅+⋅=−+⋅∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⋅+⋅=⋅∂∂∂∂∂
Ținând cont c ă uxy=+ și yvx=, obținem:
221
11.wywzz
uxvxxx
wwz
uxvxy∂∂∂−⋅=−+⋅∂∂∂∂∂∂−⋅=⋅∂∂∂

317
Deci,
.zwywzxxuxvx
zwwxyuv∂∂∂=⋅−⋅+∂∂∂∂∂∂=⋅+∂∂∂
Se calculeaz ă derivatele de ordinul al doilea și obținem:
22222
223222zwwywywxxuuxxyxv∂∂∂∂∂=⋅+⋅−⋅⋅+⋅∂∂∂∂∂∂,
2222
22212zwwwxyuuvxv∂∂∂∂=⋅−⋅+⋅∂∂∂∂∂,
2222
2221zwwywywxxyuuxuvxv∂∂∂∂∂ =+⋅+−⋅−⋅ ∂∂∂∂∂∂∂ .
Dacă se înlocuiesc valorile lui 2
2z
x∂
∂, 2
2z
y∂
∂, 2z
xy∂
∂∂ în ecua ția dată se obține
2
20w
v∂=∂.

318
CAPITOLUL IX: EXERCI ȚII PROPUSE

EXERCIȚIUL 9.1.1 Să se arate c ă funcția :fXY→ este inversabil ă dacă
și numai dac ă este bijectiv ă.

EXERCIȚIUL 9.1.2 Să se arate c ă dacă funcțiile :fXY→ și :gYZ→
sunt bijective atunci:
a) : gfXZ → o este bijectiv ă;
b) ()
1 11gffg− −−= oo .

EXERCIȚIUL 9.1.3 Fie { }12,,…,n Xxxx= o mulțime format ă dintr-un
număr finit de elemente și :fXX→ o funcție. Următoarele afirma ții sunt
echivalente:
a) f este injectiv ă;
b) f este surjectiv ă;
c) f este bijectiv ă.

EXERCIȚIUL 9.1.4. Fie :fXY→ o funcție. Să se arate c ă:
a) relația fℜ definită prin fxyℜ dacă și numai dac ă ()() fxfy= este o
relație de echivalen ță pe X;
b) există o func ție injectiv ă :
fXhY →ℜ astfel încât diagrama s ă fie
comutativ ă, unde p este aplica ția canonic ă;

c) dacă f este surjectiv ă, atunci h este bijectiv ă.

EXERCIȚIUL 9.1.5 Fie M o mulțime arbitrar ă. Să se arate c ă:
a) ()( ),M⊂ P este o structur ă de ordine par țială în care f este primul
element, iar M ultimul element;
b) oricare ar fi ()iAM∈P , iI∈ au loc rela țiile: p h X Y
X/Rf f

319
i) {} supiii
iAA∈Ι
∈Ι=U ;
ii) {} infiii
iAA∈Ι
∈Ι=I .

EXERCIȚIUL 9.1.6 Fie {}{}{}{} { } 1,1,2,2,3,4,5 X= ordonat ă prin
incluziune.
a) Să se determine elementele maximale și minimale.
b) Există un cel mai mare element?

EXERCIȚIUL 9.1.7 Fie ¢ mulțimea numerelor întregi pe care se define ște
relația:
xyℜ⇔ 3 divide pe xy−.
a) Să se arate c ă ℜ este o rela ție de echivalen ță.
b) Să se determine /xC∈ℜ¢ care con ține întregul x.
c) Să se determine mul țimea factor /ℜ¢ .

EXERCIȚIUL 9.1.8 Fie :fAB→ . Să se arate c ă:
a) f surjecție ⇒ cardcardBA≤ ;
b) f injecție ⇒ cardcardAB≥ .

EXERCIȚIUL 9.1.9 Să se demonstreze c ă mulțimea ¥ a numerelor
naturale este infinit ă.

EXERCIȚIUL 9.1.10 Să se arate c ă mulțimea ×¥¥ este num ărabilă.

EXERCIȚIUL 9.1.11 Să se arate c ă:
a) 0 cardn
nA
∈=ℵ¥U , unde 0 cardnA=ℵ ;
b) 0 cardn
nA
∈≤ℵ¥U , unde 0 cardnA<ℵ ;
c) [] 0 card AB×=ℵ , unde 0 cardA=ℵ , 0 cardB=ℵ ;
d) 0
1cardn
i
iA
==ℵ∏ , unde 0 cardiA=ℵ , ()1,in∀= .

EXERCIȚIUL 9.1.12 Să se arate c ă pentru orice numere reale ,,,abcd , cu
ab< și cd<, există relațiile:

320
a) [][] ,~,abcd , ()() ,~,abcd ;
b) [)()(][] ,~,~,~,abababab .

EXERCIȚIUL 9.1.13 Să se arate c ă:
a) ()0 card =ℵ¢ ;
b) ()0 card =ℵ¤ ;
c) ()0 card P=ℵ , P mulțimea numerelor prime;
d) mulțimea polinoamelor cu coeficien ți reali este num ărabilă;
e) ()0 card A=ℵ , A mulțimea numerelor algebrice.

EXERCIȚIUL 9.1.14 Fie M o mulțime oarecare. S ă se arate c ă:
a) ()cardcard2MPM= ;
b) card2mM<, unde cardmM= .

EXERCIȚIUL 9.1.15 Să se arate c ă:
a) [)() ()()[]() card,card,,c ababab===ℵ ;
b) () card=cΙℵ , Ι mulțimea numerelor ira ționale;
c) () card=c Tℵ; T mulțimea numerelor transcedente;
d) () 0 card= ℵ¥¥ .

EXERCIȚIUL 9.1.16 Să se arate c ă:
a) ()
1cardn
ic
iA
==ℵU , card, , icijAAAij f  =ℵ∩=≠;
b) cardic
iNA
∈=ℵ U , card, , icijAAAij f  =ℵ∩=≠;
c) () cardc AB×=ℵ , [ ] cardcard=c AB=ℵ .

EXERCIȚIUL 9.1.17 Să se afle:
a) () card ¥P ;
b) () card ¡P ;
c) card ¡¡.

321
EXERCIȚIUL 9.2.1 Să se arate c ă familia F a mulțimilor închise din
spațiul topologic (),t¡¡ are urm ătoarele propriet ăți:
a) , F f∈¡
b) pentru orice k
kIkIFF
∈∈⇒∈I ;
c) pentru orice
1, 1,n
kk
kFFknFF
=∈=⇒∈ U .

EXERCIȚIUL 9.2.2 Să se arate folosind mul țimile [] 1/,1nFn= , * n∈¥,
că proprietatea c) de la Exerci țiul 9.2.1 nu este adev ărată pentru reuniune
infinită.

EXERCIȚIUL 9.2.3 Fie (),Xt un spațiu topologic și ,ABX⊂ . Să se
arate că:
a) 0
AA⊂;
b) 00
ABAB⊂⇒⊂ ;
c) ¼00 0
ABAB∩=∩ ;
d) ¼
00
ii
iiAA
∈Ι∈Ι=II ;
e) ¼
00
ii
iiAA
∈Ι∈Ι=UU .

EXERCIȚIUL 9.2.4 Fie (),Xt un spațiu topologic și ,ABX⊂ . Să se
arate că:
a) AA⊂;
b) ABAB⊂⇒⊂ ;
c) ABAB∪=∪ ;
d) AA=.

EXERCIȚIUL 9.2.5 Fie (),Xt un spațiu topologic și ,ABX⊂ . Să se
arate că:
a) '' ABAB⊂⇒⊂ ;
b) ()''' ABAB∪=∪ ;
c) ()'''AA= ;

322
d) 'AA⊂.

EXERCIȚIUL 9.2.6 Fie (),Xt un spațiu topologic și AX⊂ . Să se arate
că următoarele afirma ții sunt echivalente:
a) A este închis ă;
b) AA⊃, () AA= ;
c) ' AA⊃ ;
d) frAA⊃ .

EXERCIȚIUL 9.2.7 Fie (),t¡¡ spațiu topologic. Se consider ă mulțimile:
11 *pAnpn=+∈
¥ , p∗∈¥ și
1p
pAA∞
==U .
Să se determine punctele lor importante.

EXERCIȚIUL 9.2.8 Să se arate c ă:
a) AACA∂=∩ ;
b) 00
\Iz'\ AAAAAA∂==∪ ;
c) AA∂=∂ ;
d) ()0
\ AAA∂∂=∂∂ ;
e) () ABAB∂∪⊂∂∪∂ .

EXERCIȚIUL 9.2.9 Fie (),t¡¡ spațiu topologic real. S ă se determine:
0
,,,,',EextEfrEEEzE Ι,
dacă:
a) ( )12,,…,n Exxx= ;
b) [](){} 1,23,45E=∪∪ ;
c) E=¤.

EXERCIȚIUL 9.2.10 Fie {} () { } ,nnnSxxn∈=∈∀∈¥¡¥ (mulțimea
șirurilor de numere reale). S ă se arate c ă:
:dSS×→ ¡, ()
1,21nn
nn n
n nnxydxyxy ∈−=+−∑
¥,

323
este o metric ă pe S. Să se calculeze distan ța dintre șirurile:
() 11n
nx=+− și ()()1
2 11nn
ny+
=−− .

EXERCIȚIUL 9.2.11 Se consider ă mulțimea:
[]1, SCab=
(mulțimea func țiilor continue și cu derivata de ordinul întâi continu ă pe
[],ab) și se define ște funcția :dSS+ ×→ ¡, astfel:
()
[]()()
[]()()
,,,maxmax''
xabxabdfgfxgxfxgx
∈∈=−+− .
Să se arate c ă d este o metric ă.

EXERCIȚIUL 9.2.12 Considerând metrica de la Exerci țiul 9.2.11, s ă se
calculeze (),dfg dacă:
a) ()fxx=, ()ln gxx= , 1, xee−∈;
b) ()2fxx=, ()3gxx=, []0,1x∈ ;
c) () sinnxfxn= , ()0 gx=, []0,1x∈ ;
d) ()
2cos1nnxfxn=+, ()0 gx=, [] 0,2x p∈ .

EXERCIȚIUL 9.2.13 Se dau:
()1,dxyxy =− și ()2,lnln dxyxy =− ,
oricare ar fi {} ,\0xyE+∈=¡ .
a) Să se arate c ă ()1,Ed și ()2,Ed sunt spa ții metrice.
b) Cum arat ă sferele deschise pentru fiecare din cele dou ă spații metrice?

EXERCIȚIUL 9.2.14 Să se arate c ă dacă (),Sd este spa țiu metric, atunci
următoarele aplica ții sunt metrici:
a) 1:dSS+ ×→ ¡, ()()
()
1,,1,dxydxydxy=+, (),xyS∀∈ ;
b) 2:dSS+ ×→ ¡, () () ( ) 2,ln1, dxydxy =+ , (),xyS∀∈ ;
c) 3:dSS+ ×→ ¡, ()()() 3,, dxydxya= , ()0,1 a∈ , (),xyS∀∈

324
d) Dacă 2S=¡ și d este metrica euclidian ă, atunci s ă se calculeze 1d, 2d,
3d pentru ()1,2x= și ()3,1 y=−− .

EXERCIȚIUL 9.2.15 Fie n¡ înzestrat cu structura de spa țiu vectorial, real.
Să se arate c ă:
a) :nj+→¡¡ , ()2
1n
i
ixxxj
===∑ este norm ă;
b) :nj+→¡¡ , ()
1n
i
ixxxj
===∑ este norm ă.

EXERCIȚIUL 9.2.16 Doi vectori , xy ai unui spa țiu prehilbertian sunt
ortogonali 222xyxy⇔+=+ .

EXERCIȚIUL 9.3.1 Să se găsească marginile mul țimilor de numere reale:
a) 6 !n
Ann=∈
¥;
b) ()
1 21nnAnnn−=+∈+¥;
c) ()()
1111 21nnnAnnn−−−=++∈−¥;
d) 2211 , Amnmn=+∈¥;
e) (){ }11 n
Ann−=+∈ ¥;
f) ()
11sin 2nAnnnp −=−+⋅⋅∈¥.

EXERCIȚIUL 9.3.2 Să se găsească un interval închis care con ține toți
termenii șirurilor:
a) ()nnx∈¥, sin12nnxnp=⋅+;
b) ()nnI∈¥, 2
0n
x
nIedx−=∫.

325
EXERCIȚIUL 9.3.3 Să se precizeze dac ă următoarele șiruri sunt m ărginite
sau nu:
a)
1cosn
n
kxk a
==∑ , ()0, ap∈ ;
b) ()
11cosnk
n
kxk a
==−∑ , ()0, ap∈ ;
c)
1sinn
n
kxk a
==∑ , ()0, ap∈ ;
d) ()
11sinnk
n
kxk a
==−∑ , ()0, ap∈ ;
e) ()
11n
nxn−=+ , ()0, ap∈ ;
f) ()
1sin2n
nnxnp=−⋅ ;
g) 123…nxn=++++ .

EXERCIȚIUL 9.3.4 Să se studieze monotonia urm ătoarelor șiruri:
a) 11n
nxn=+;
b) 111n
nxn+=+;
c)
1113n
n
kxk ==−∏ ;
d)
1112n
n
kxk ==+∏ ;
e) ()
1 1!
!n
nnn
x
n++
= ;
f) 2
1!1n
n nnxn nn=+⋅⋅ .

EXERCIȚIUL 9.3.5 Să se studieze convergen ța următoarelor șiruri:
a) 1
nxna= ; b) ()11n
nxna=−⋅ ; c) n
nxl= ;

326
d) 2n nnx= ; e) 2
!n
nxn= ;
f) , a0n nnxa=> ;
g)
121
2n
n
kkxk =−=∏ ; h) ()
3 2sin!
21nnnxn⋅=+; i) ln
nnxna= ;
j) ()
11n
nnxn=−⋅+; k) sin4nnxp= ; l) sinnxn= ;
m) cos2n nxp= ; n) 2
214nnxtgnp=⋅+; o)
()
2
211arcsin2n
nnxnn−⋅+=+;
p) ()2
211arctg1n
nnxn+−⋅=+.

EXERCIȚIUL 9.3.6 Să se calculeze:
a) 2
11limn
nktgnka
→∞=⋅∑ , 0,2pa∈; b) limn k
nn
→∞, k∈¢;
c) 1lim
!n n n→∞; d) !limn
nn
n→∞;
e) ()
1limn
n
k
nnk
n=
→∞+∏
; f) ()1
2 lim!2nnn
nn+−
→∞⋅ ;
g) ()
()3!lim3!n
nn
n→∞; h) ()3lim2!k
n
nnn→∞⋅ ;
i) ()
()
3!lim21!n
n
nna
n→∞⋅
−, 0a>; j) ()1 lim1!!n n
nnn+
→∞+− ;
k)
11lim!n
nkk→∞=∑ ; l)
11limlnn
nknk→∞=−∑ ;
m) 2limcosln1nnnnp
→∞⋅ + , 0a>; n)
121lim2n
knkk
→∞=−∑ ;

327
o) 1
lim1n
nna
→∞−
, 0a>; p) ()
()
2 22lim
2!n
nn
nn→∞⋅;
r)
()2
11lim
2n
nk k→∞=∑ ; s)
11limn
nknk→∞=+∑ ;
t)
211limn
nknk→∞=+∑ ; u) 3
2
1limn
nkkk
nk→∞=+
+∑ ;
v)
4
11limn
nknk→∞=+∑ ; w)
()22211limn
nknk→∞=+∑ ;
x)
()2
11limn
nknk→∞=+∑ ; z) 1
1limn
m
k
mnk
n=
+→∞∑
;
a1) 1
1lim1n
m
k
mnkn
nm=
+→∞

 −+ ∑
, m∈¥; b1) ()
11lim1!n
nkk→∞=+∑ ;
c1)
1limn
knnnkC
→∞=∏ ; d1) 1
2
0lim
1n
nxdx
x→∞−∫;
e1) ( )
1
01limarcsin!n
nxn→∞∫; f1) 1
1
1lim n
n
narctgnxdx
→∞
+∫.

EXERCIȚIUL 9.3.7 Să se studieze convergen ța și în caz afirmativ s ă se
determine limita pentru șirurile definite recurent dup ă cum urmeaz ă:
a) ()()12 21nnnxnxnx−− =+−+ , 0xa=, 12xa= ;
b) ()21 10nnnnxnxx++⋅−−−= , n∈¥, 0xa=;
c) ()
2 2
1 121nn nxnxn− +⋅−⋅=+ , n∈¥;
d) ()
2 3
1 11nn nxnxn+ +⋅−⋅=+ , 1xa=, n∈¥;
e) 132n
n
nxxx+=−⋅, n∈¥, 03
2xa=≠ ;
f) 121n
n
nxxx+⋅−= , n∈¥, 0xa=.

328
EXERCIȚIUL 9.3.8 Folosind defini ția limitei, s ă se arate c ă:
a) ( )()()
()()
2
2
3 612!1!lim,4,03! 1nnnnn
n n→∞+++++ = + + ;
b) ()()
()()
1134lim1,,0,0,1
34nn n
n n nnnn+→∞ −−++−= −+;
c) ()()
1
11! 2lim,,1,0,112n
n
k
nknkn
kknn=
→∞=−
 =++ ∑
∑ ;
d) ()()
2111lim,,cos1!2nn
nn
nnp
→∞−+−+ nu exist ă.

EXERCIȚIUL 9.3.9 În 2¡ se consider ă șirul: ()11,0 x= , ()20,1 x= ,
()31,0 x= , ()40,1 x= ,… Să se arate c ă:
a) în metrica uzual ă acest șir este divergent.
b) șirul ()nnx
∈¥ este convergent.

EXERCIȚIUL 9.3.10. Se consider ă spațiul metric ()1,d¡ , unde
()1,dxyarctgxarctgy =− . Să se arate c ă șirul () () , , nnnxxnn∈=∀∈¥¥
este fundamental, dar nu este convergent.

EXERCIȚIUL 9.3.11 Fie []()0
,,abCd spațiu metric, unde
() ()() ( )
[]
2
0,1,dfgfxgxdx =−∫. Să se arate c ă șirul ()() nnfx
∈¥,
()n
nfxx=, []0,1x∈ nu este convergent în []() ( )00,1,Cd , dar este șir
fundamental.

EXERCIȚIUL 9.3.12 Fie ()2,d¡ spațiu metric, cu metrica euclidian ă
uzuală. Folosind criteriul lui Cauchy, s ă se studieze convergen ța
următoarelor șiruri;

329
a) ()
1
11 1,kn
n
knxkn−
=− +=∑ ;
b) ()
()
1
2
111 1,ln1knn
n
kkxkk−
== −= +∑∑ ;
c) ()()
11cos1 6,21!1nn
n
kkk
xkkkp
==
=++
∑∑ ;
d) ()()
12
2111,331n
n nnxnn−+−+= ++.

EXERCIȚIUL 9.3.13 Să se găsească punctele limit ă ale șirului
( ) ,,nnnnuxyz= pentru urm ătoarele cazuri:
a) () () 11 0nn
nx aa =+−⋅> , 2sin4nnyp= ; ()112nn n
nz−=+ , n∈¥;
b)
5 4ln
nnx
n= , 2cos3nnyp= , ()
1nn
nzn=−⋅ , n∈¥.

EXERCIȚIUL 9.3.14 Să se stabileasc ă dacă funcțiile de mai jos admit
puncte fixe și apoi să se găsească:
a) :f→¡¡ , ()2fxx=;
b) :f→¡¡ , ()3fxx=;
c) :f→¡¡ , ()sin fxx= ;
d) :f→¡¡ , ()cos fxx= ;
e) :f→¡¡ , () 1xfxe=− ;
f) :f→¡¡ , (){}
1sin, \0, 0,
0, 0.xxfx x
xaa⋅∈>=
 = ¡

EXERCIȚIUL 9.3.15 Fie [][] :,,fabab → , () ab< crescătoare. S ă se
arate că f admite cel pu țin un punct fix.

330
EXERCIȚIUL 9.3.16 Să se arate c ă următoarele func ții sunt contrac ții pe
mulțimile indicate, considerate ca spa ții metrice cu metrica euclidian ă:
a) 4141:,,9292f→, ()()21
1fx
x=
+;
b) [][] :3,23,2f−−→−− , ()31 fxx=− ;
c) [][] :1,01,0f−→− , ()
()
311
4xfx
x−=−
−;
d) [][] :1,21,2f → , ()35 fxx=− ;
e) [][] :3,23,2f−−→−− , ()1arcsin4xfx+= .

EXERCIȚIUL 9.3.17 Să se aplice principiul contrac ției pentru studiul
convergen ței șirurilor date prin rela țiile de recuren ță:
a) 133nnxxp
− = , 0x∈¡ dat, n∈¥;
b) 14arctgnnxxp− = , 0x∈¡ dat, n∈¥;
c) 1 1lnnnxx− =+ , [)01, x∈+∞ dat, n∈¥.

EXERCIȚIUL 9.4.1 Utilizând șirul sumelor par țiale să se studieze natura
seriilor urm ătoare și, în caz afirmativ, s ă se calculeze sumele acestor serii:
a) ()()
123
12 nn
nnn∞
=+
++∑ ;
b) ()
12ln13 n nn∞
=++∑ ;
c) ( )
1221
nnnn∞
=+−++∑ ;
d)
1lnch2n
na∞
=
∑ , a∈¡;
e)
132
6nn
n
n∞
=+∑ ;
f)
1n
nu∞
=∑ , unde ()
2
1sin21n
n
kkauk =−=∑ ;

331
g)
1n
nu∞
=∑ , unde 1
2
11arctg2n
n
kuk+
==∑ .

EXERCIȚIUL 9.4.2 Să se cerceteze dac ă seriile urm ătoare satisfac condi ția
necesară de convergen ță:
a)
1n
nna
nb∞
=+
+∑ , ,ab∈¡;
b)
122n
n
natg∞
=⋅∑ , 0,2ap∈;
c)
21ln1
nnn∞
=⋅−∑ ;
d) 21
2 21
2
11
1n
n
nn
n−
∞ +
=−
+∑ .

EXERCIȚIUL 9.4.3 Folosind primul și al doilea criteriu al compara ției să
se studieze natura seriilor:
a)
11
nna∞
=∑ , a+∈¡;
b) 2
17
35 nn
nn∞
=++∑ ;
c) ()
1sin1 n nnp∞
= +∑ ;
d) ( )
( )
33 44 111
812p
q
nnn
nn∞
=+−−
+++∑ ;
e)
( )
33 22
321233
2 nnnnn
nnn∞
=++−++
++∑ ;
f)
111
ln11ntgn
tgn∞
=+
−∑ .

EXERCIȚIUL 9.4.4 Folosind criteriile de convergen ță, să se stabileasc ă
natura seriilor:

332
a)
1222…2
n∞
=−+++∑ (de 1n+ ori se repet ă radicalul);
b) 2
11
31n
n
nn
n∞
=⋅+∑ ;
c) 2
1 1n
n
nn
na∞
=⋅ +∑ , 0a>;
d) ()
()2
1!
2!n
nan
n∞
=⋅∑ , 0a>;
e) ()()()
()()()
1121…1
121…1 naana
bbnb∞
=+++
+++∑ , 0a>, 0b>;
f) ()( )
()( )()
11…121…1n
npppn
qqqnl∞
=++−⋅−++−∑ , ,0pq>, 2l>;
g) ()( )
1!1
1…1 nn
aaanna∞
=⋅++−∑ , 0a>; a∈¡;
h) 1111…
23
1n
na∞++++
=∑ , 0a>;
i)
21
ln n na∞
=∑ , a∈¡;
j)
2n
nx∞
=∑ , 2
2n
nx∞
=∑ , unde ()00,1 x∈ , 1 1nnnxxx+=− , 1n≥.

EXERCIȚIUL 9.4.5 Să se arate c ă seria 1
11
3n
nn∞
−
=⋅∑ este convergent ă și să
se aproximeze suma sa cu trei zecimale exacte.

EXERCIȚIUL 9.4.6 Să se arate c ă seria ()
3
21
lnn
n n∞
=−∑ este convergent ă și să se
determine num ărul de termeni ce trebuie însuma ți pentru a ob ține suma
seriei cu trei zecimale exacte.

EXERCIȚIUL 9.4.7 Să se cerceteze natura seriilor:
a) ()( )
1
111n
nnn∞+
=−+−∑ ;

333
b) ()
1
121131n
n
nn
n∞+
=+−+∑ ;
c) ()
1
111ln1n
nnnn∞+
=+−⋅⋅−∑ ;
d) ()
1
111sinnn
nnn∞+
=−⋅⋅∑ .

EXERCIȚIUL 9.4.8 Să se studieze convergen ța absolut ă sau
semiconvergen ța următoarelor serii:
a) 2
1sin
nnx
n∞
=∑ , x∈¡;
b) 2
1cos
nnx
n∞
=∑ , x∈¡;
c) ()
1
2
1sin!1n
nn
n∞−
=−⋅∑ ;
d) ()
1
111lnn
n nn∞−
=−⋅−∑ ;
e) ()()
1
1tg511n
nn
nn∞−
=−⋅+∑ .

EXERCIȚIUL 9.4.9 Fie
1n
nu∞
=∑ o serie cu termeni pozitivi astfel încât șirul
()1 nnu≥ este descresc ător, iar ()1 nna≥ un șir crescător divergent de numere
naturale în a șa fel încât șirul cu termenul general s ă fie mărginit. Să se arate
că seriile
1n
nu∞
=∑ și ( )
1
1nnn
naau∞
+
=−⋅∑ au aceea și natură.

EXERCIȚIUL 9.4.10 Fie seria
1n
nu∞
=∑ , 0nu>, convergent ă. Să se arate c ă:
a) 122…lim0n
nuunu
n→∞+++=;
b) ()
12
112…lim1n
nnnnuunuunn∞∞
→∞==+++=+∑∑ .

334
EXERCIȚIUL 9.5.1 Se dă șirul de func ții ()21n
nfxx=+ , x∈¡, și se
cere:
i) mulțimea de convergen ță și funcția limită;
ii) să se arate c ă nu este uniform convergent pe ()1,1− . Să se determine o
mulțime de uniform convergen ță.

EXERCIȚIUL 9.5.2 Se dă șirul de func ții:
()() ()
22 22 22111
12nfxnx nxnx=+++ ++++, x∈¡.
Să se studieze convergen ța.

EXERCIȚIUL 9.5.3 Se dă șirul de func ții:
()
222sinsin2sin…12nxxnxfxn=+++ , x∈¡.
Să se studieze convergen ța.

EXERCIȚIUL 9.5.4 Fie :nf→¡¡ , ()sincosnn
nfxxx=+ , ()1n∀≥ . Să
se studieze convergen ța șirului ()()1nnfx
≥.

EXERCIȚIUL 9.5.5 Fie ()
2
21nnxfxnx=+, x∈¡.
Să se studieze convergen ța șirului.

EXERCIȚIUL 9.5.6 Să se determine mul țimea de convergen ță pentru
următoarele serii de func ții:
a)
111
12nn
nnx
nx∞
=+−
− ∑ ;
b)
1sinn
nx
na∞
=∑ , a∈¡;
c) ()
2
2
21 1
ln1n n
nx
nx∞
=−−
+∑ ;
d) ()
1ln1n
na
n∞
=+∑ , 0a≥.

EXERCIȚIUL 9.5.7 Să se studieze caracterul convergen ței următoarelor
serii de func ții pe mul țimile indicate:

335
a) ( )
1
11nn
nxx∞
−
=+−∑ , când:
i)
1
0,
2
x

∈


;
ii) []
0,1
x∈ ;
b) ()
1111 nxxx
nxnx
∞
=

+−

++−

∑ , []
0,1
x∈ ;
c)
212cos3
nn
x
xn
p
∞
=
⋅
+∑ , x
∈
¡
;
d)
1
sin
n
nx
n
∞
=∑ , când:
i) [ ]
,2 x
apa
∈−
, ()
0,2
ap
∈ ;
ii) []
0,2
x
p
∈ ;
e)
24
1
1
arctg
n
xn
∞
=
+
∑ , x
∈
¡
.

EXERCIȚIUL 9.5.8 Este posibil ă integrarea termen cu termen a seriei:
a) ()()
22 22 2 1 2
121nx nx
nxnene∞
−− −
=

⋅−−⋅


∑ , []
0,1?
x∈
b)
22
1
1
arctg
n
xn
∞
=
+
∑ , []
,?
xab
∈

EXERCIȚIUL 9.5.9 Este posibil ă derivarea termen cu termen a seriei:
()
2 21
1nx nx
nee∞
−− −
=

−

∑ , []
0,1?
x∈

EXERCIȚIUL 9.5.10 Să se determine mul țimea de convergen ță pentru
următoarele serii de puteri:
a) ()
112n
n
n
x
∞
=

−−

∑ ;
b)
1
23
n
nn
n
x
∞
=
+
∑ ;

336
c) ()
121!1!n
nnxn∞
=−+⋅∑ ;
d)
1!n n
nnx∞
=⋅∑ ;
e)
1n
nx
n∞
=
∑ ;
f) ()
2
1221n
nnxn∞
=+−+∑ .

EXERCIȚIUL 9.5.11 Să se determine mul țimea de convergen ță și suma
următoarelor serii de puteri:
a) ()()
2
111n n
nnx∞
=−+⋅∑ ;
b) ()()
112n
nnnx∞
=++⋅∑ ;
c) 3
1n
nnx∞
=⋅∑ ;
d) ()
4
14!n
nx
n∞
=∑ .

EXERCIȚIUL 9.5.12 Să se determine dac ă funcțiile urm ătoare sunt
dezvoltate în serii de puteri și să se găsească această dezvoltare,
specificându-se intervalul în care este valabil ă:
a) ()2sin fxx= , x∈¡;
b) ()
()()
2
21
12xxfx
xx++=
−−, {} \1,2 x∈¡ ;
c) ()( )2ln1 fxxx=−+ , x∈¡;
d) ()2fxxa=+ , 2xa≥− ;
e) ()21
1fxxx=−+, x∈¡;
f) ()ln fxx= , 02x=.

EXERCIȚIUL 9.6.1 Se consider ă funcția:
2:FX⊂→¡¡ , ()()() ( ) 12, Fxfxfx= . Să se calculeze ()
0lim
xFx
→ dacă:

337
a) ()
2
2cos11,x nnexxxFxxx−+−−=;
b) ()
231coscos2…cosarcsin,xxnxxarctgxFxxx−⋅−=;
c) ()
3
2111cos,sinnxxFxxxx+−−= ⋅.

EXERCIȚIUL 9.6.2 Se consider ă funcția 2:FX⊂→¡¡ . Să se calculeze
() lim
xFx
→∞ dacă:
a) ()()
1
1,cosnx
mxnFxxx=+  ;
b) ()()
()
2
42ln
,1 lnmactg xm x
m xxe xFxx xe
+ =− + ;
c) ()() ln1
,x xxx
xxe eeFxxee−
−+−=  + .

EXERCIȚIUL 9.6.3 Folosind defini ția limitei, s ă se arate c ă:
a) 2
1
21lim2x
yx
y→
→=;
b) 2
1
24lim15x
yx
xy→
→=+.

EXERCIȚIUL 9.6.4 Fie {} :\0f → ¡¡ , ()1,sinfxyxx=⋅ .
a) Să se studieze existen ța limitei în ()0,0 și ()1,0.
b) Să se studieze existen ța limitelor iterate în aceste puncte.

EXERCIȚIUL 9.6.5 Să se arate c ă pentru func țiile de mai jos nu exist ă
()
0
0lim,
x
yfxy
→
→.

338
a) (){}2:\0,0f → ¡¡ , ()22
44,xyfxyxy⋅=+;
b) (){}2:\0,0f → ¡¡ , ()
2
24,xyfxyxy=+;
c) (){ }2:\,0fxyxy +=→ ¡¡ , ()33
33,xyfxyxy⋅=+.

EXERCIȚIUL 9.6.6 Pentru func țiile de mai jos, s ă se calculeze
()
0
0lim,
x
yfxy
→
→:
a) (){}2:\0,0f → ¡¡ , ()
2
22,xyfxyxy⋅=+;
b) **:f++×→¡¡¡ , ()
1,1xyfxytgxyxy⋅=⋅⋅+;
c) (){}2:\0,0f → ¡¡ , ()221
441,xyfxyexy−
+=⋅+;
d) (){}22:\0,0f → ¡¡ , ()()()3333
2222cossin
,1,xyxy
fxyxyxy ++=− ++.

EXERCIȚIUL 9.6.7 Să se studieze continuitatea par țială a funcțiilor:

a) 22:f→¡¡ , ()()()
()()
22
443, ,0,0
,
0, ,0,0xyxyxy fxy
xy≠ +=
=
b) 22:f→¡¡ , ()()()
()()
22, ,0,0,
1, ,0,0x
xyexyfxy
xy+ ≠=
 =
c) 22:f→¡¡ , ()()()()
()()
222ln, ,0,0
,
0, ,0,0.xxyxy
fxy
xy⋅+≠== 

339
EXERCIȚIUL 9.6.8 Să se studieze continuitatea func țiilor:
a) 22:f→¡¡ , ()()()
()()
2
21
2
2, ,0,0
,
0, ,0,0x
xyexy
fxyye
xy−
−⋅≠ =+
 =
b) 22:f→¡¡ , ()()
22 1sin, 0
,
0, 0xyxyxy fxy
xy+⋅⋅≠=
⋅= 
c) :f++×→¡¡¡ , ()()()()
()()
1
1, ,0,0,
1, ,0,0.xyxyxyfxy
xy++≠=
= 

EXERCIȚIUL 9.6.9 Să se studieze continuitatea func țiilor:
a) 22:f→¡¡ ,
()()()()()
() ()()
22
2222
22,ln, ,0,0
,
0,0, ,0,0xyxyxyxyxyxy fxy
xy −⋅+⋅+≠+ =
=
b) 22:f→¡¡ ,
()()()()()
() ()()
33
22
2222sin 1cos,, ,0,0
,
0,0, ,0,0.xy
xyxyxyxy fxy
xy ++⋅≠ ++ == 

EXERCIȚIUL 9.6.10 Să se discute dup ă a∈¡ continuitatea func țiilor:
a) 22:f→¡¡ , ()()()
()()
22, ,0,0,
0, ,0,0xyxyfxy xy
xya⋅≠ =+
=
b) 22:f→¡¡ , ()( )()()
()()
22
44sin
, ,0,0,
0, ,0,0.xy
xyfxy xy
xya+ ⋅
 ≠= + 
=

EXERCIȚIUL 9.6.11 Care din func țiile de mai jos se pot prelungi prin
continuitate?

340
a) (){}2:\0,0f → ¡¡ , ()22
22,xxyyfxyxy++=+;
b) (){}2:\0,0f → ¡¡ , ()222,xy
xxyyfxye−
−+= ;
c) (){}22:\0,0f → ¡¡ ,()()( )
22221
22
22ln1
,,1sinxyxy
fxyyxy++=++.

EXERCIȚIUL 9.6.12 Să se studieze continuitatea uniform ă a funcțiilor:
a) :f→¡¡ , ()sin fxx= ;
b) :+→¡¡f , ()22sin fxxx=⋅ ;
c) [) :1,f∞→ ¡, ()nfxx= , n∈¥;
d) ()()2:1,21,2f ×→ ¡, (),,xyxfxyxyy−=+.

EXERCIȚIUL 9.7.1 Pornind de la defini ție, să se calculeze derivatele și
derivatele par țiale ale func țiilor de mai jos în punctele specificate:
a) () 51 fxx=+ , 03x=;
b) ()()2ln5 fxxx=+ , 01x=;
c) ()
22,sinsinfxyxy =+ , ,04xfp′, ,44yfpp′;
d) ()sin,xyfxye = , 1,4xfp′, ()1,0yf′ ;
e) ()
2 3,fxyxy = , ()2,2xf′− , ()2,2yf′− , ()2,2xyf′′− .

EXERCIȚIUL 9.7.2 Să se studieze derivabilitatea func țiilor:
a) 3:f+→¡¡ , ()()()() ( ) 123,, fxfxfxfx= , unde
()()
()
2
1ln3, 01
512ln2, 14xxx
fx
xx +<<=
−+≥, ()
3
2ln, 0
, xxefx
axbxe <≤=+>,
()3 ln1 fxx=− , 0x>;
b) 3:f→¡¡ , ()()()() ( ) 123,, fxfxfxfx= , unde:

341
()
( )
1
1
1
2 2, 1
0, 1
ln2, 1x x
fxx
xxxx−< ==
−+>, ()3
2 max1,3
xfxxx
∈=−¡,
(){ }2
3 min3,
xfxxxx
∈=+
¡.

EXERCIȚIUL 9.7.3 Să se calculeze derivatele urm ătoarelor func ții:
a) ()()()() ( ) 123,, fxfxfxfx= , unde:
()
2
1 21
1xfxx−=+, ()
3 3 2
2 1 fxx=+ , ()1sin
3xfxe= ;
b) ()()()() ( ) 123,, fxfxfxfx= , unde:
()32
1 2tgxfx= , ()
2
21xfxx−= , ()
31arccos fx
x= ;
c) ()()()() ( ) 123,, fxfxfxfx= , unde:
()
12arctg
11xfx
x=
+−, ()
222arctg
2axfx
axx−=
−, 0a>.

EXERCIȚIUL 9.7.4 Să se demonstreze urm ătoarele egalit ăți:
a) 2arcsin1arccos xx p −+= , ()1,0 x∈− ;
b) ()
()
, 1,1 4arctgarctg3 1, ,1;4xxxxxp
p∈−∞−+= +−∈−∞−
c) 23arcsin3arccosarcsin212xxxxp++−= , 22,22x∈−.

EXERCIȚIUL 9.7.5 Să se calculeze derivatele de ordinul n pentru
funcțiile:
a) ()()()() ( ) 123,, fxfxfxfx= , unde:
()
11
1xfxx+=−, ()
21ln1xfxx+=−, ()
3 21
235fxxx=−+;
b) ()()()() ( ) 123,, fxfxfxfx= , unde:

342
()3
1mxfxxe=⋅ , () ( )
2 5
2 ln156xfxxx=−+ , ()2
3 sin3cos fxxx=⋅ .

EXERCIȚIUL 9.7.6 Să se arate c ă funcțiile următoare satisfac rela ția lui
Euler și să se verifice prin calculul direct al derivatelor rela ția găsită:
a) ()
222,,lnxfxyzxyzy=++⋅ ;
b) ()
,,x
yxfxyzey=⋅ ;
c) ()
( )1
222 2,,xyzfxyz
xyz++=
++.

EXERCIȚIUL 9.7.7 Să se calculeze derivatele specificate pentru
următoarele func ții:
a) ()()
,ln,xyFxyaxbyxy +=+− , nm
nmF
xy+∂
∂∂;
b) ()() () ( )22,,cosxyFxyxyexy+=+⋅+ , nm
nmF
xy+∂
∂∂;
c) ()( )( )( ) ( )66,sin,sincosFxyaxbyaxbyaxby =++++ , nm
nmF
xy+∂
∂∂.

EXERCIȚIUL 9.7.8 Presupunând c ă funcțiile j și y sunt derivabile de un
număr suficient de ori, s ă se verifice urm ătoarele egalit ăți:
a) 0zzyxxy∂∂⋅−⋅=∂∂, ()22zxyj=+ ;
b) 23zzxxyxzxy∂∂⋅−⋅=∂∂, ()
2
3yzxyxj=⋅ ;
c) ()
22 zzxyxyxyzxy∂∂−⋅+⋅=∂∂, 2
22x
y yzeye j
=⋅⋅;
d) uuuxyxyyuxyzz∂∂∂⋅+⋅+⋅=+∂∂∂, ln,xyyzuxxzxxj=⋅+⋅ ;
e) 222
22
2220uuuxxyyxyxy∂∂∂⋅+⋅+⋅=∂∂∂∂, yyuxxxjy=+⋅.

343
EXERCIȚIUL 9.7.9 Pornind de la defini ția diferen țialei, să se arate c ă
funcția:
()3223,2754368fxyxxyxyy =++−
este diferen țiabilă pe 2¡.

EXERCIȚIUL 9.7.10 Se consider ă funcția:
()()()
()()
22
22, ,0,0
,
0, ,0,0.xyxyxyxy fxy
xy −⋅≠+ =
=
a) Să se arate c ă f este diferen țiabilă pe 2¡.
b) Să se arate c ă f admite în orice punct derivate par țiale de ordinul doi.
c) Să se arate c ă xyf′′ și yxf′′ nu sunt continue în origine.

EXERCIȚIUL 9.7.11 Să se calculeze diferen țialele de ordinul indicat
pentru urm ătoarele func ții:
a) 3du, ()333 uxyxyxy=+−− ;
b) 3du, ()22sinuxy=+ ;
c) 4du, ( ) lnxyzuxyz=⋅⋅ ;
d) ndu, axbyue+= ;
e) ndu, axbyczue++= .

EXERCIȚIUL 9.7.12 Să se calculeze diferen țialele de ordinul al doilea
pentru urm ătoarele func ții:
a) ()()2,ln Ftftt= ;
b) ()( )2,ln,tGtgtte= ;
c) ()( )222,,,Uxyzuxyzxyz =++++ .

EXERCIȚIUL 9.7.13 Să se scrie formula lui Taylor pentru func țiile de mai
jos în punctele specificate:
a) (),xyfxye+= , în punctul ()1,1−;
b) (),sinxfxyey =⋅ , în punctul ()0,0 , formula lui Taylor de ordinul al
treilea.

344
EXERCIȚIUL 9.7.14 Să se determine punctele de extrem local pentru
funcțiile:
a) ()
5020
,fxyxy
xy
=++ ,
0,0
xy
>>
;
b) ()()
22
,ln
fxyxyxy
=+ , () (){}
2
,\0,0
xy∈
¡
;
c) ()
222
,,2
fxyzxyzxyxz
=++−+−
;
d) ()
22
2
,,4yzfxyzx
xyz
=+++
,
0,0,0
xyz
>>>
;
e) ()
1,,
16
xyz
fxyzxyz
=+++
,
0,0,0
xyz
>>>
.

EXERCIȚIUL 9.7.15 Să se găsească punctele de extrem și extremele
funcțiilor cu leg ăturile specificate:
a) () ( )
,,0,0,1
mmfxyxyxym
=+≥≥>
, cu condi ția
20
xy
+−=
;
b) ()
22
,1
fxyxxyyxy
=+++−+
, cu condi ția 22
10
xy
+−=
;
c) ()
222
,,
fxyzxyz
=++
, cu condi ția 222
222
10
xyz
abc
++−=
,
( )
0,0,0
abc
>>>
;
d) ()
,,
fxyzxyz
= , cu condi țiile
30
80;
xyz
xyz
+−−=


−−−=

e) ()
,,
fxyzxyz
= , cu condi țiile 5
8.
xyz
xyyzzx++=

++=


EXERCIȚIUL 9.7.16 Fie 2:f→
¡¡
, ()
223
,
xy
fxyxye+= . Să se arate c ă
dacă
0
r
∃>
astfel încât ,xy
∀∈
¡
cu proprietatea c ă
()
2
2
2
113
xyr

+++<
, atunci 223
31
0
3
xyxye
e
+
+>
.

EXERCIȚIUL 9.8.1 Să se calculeze derivata întâi și a doua a func țiilor
definite implicit de urm ătoarele egalit ăți:
a) 33
30
xyaxy
+−=
, ()
yyx
= ;
b)
lnch0
xyxy
−=
, ()
yyx
= .

345
EXERCIȚIUL 9.8.2 Să se calculeze derivata întâi și a doua ale func ției
() yyx= definită implicit de ecua ția: ()
22arctgln0yxyx−+= .

EXERCIȚIUL 9.8.3 Să se calculeze y′ din relația: 0yxxy−= .

EXERCIȚIUL 9.8.4 Să se calculeze y′′ din relația: 2ch220xye−= .

EXERCIȚIUL 9.8.5 Să se calculeze y′′ din relația:
3 0 xyzyx+++−= .

EXERCIȚIUL 9.8.6 Să se calculeze y′′ din relația: 0yyex−⋅−= .

EXERCIȚIUL 9.8.7 Să se calculeze derivatele par țiale de ordinul întâi și
doi ale func ției (), zzxy= definită implicit de egalit ățile următoare:
a) 222
22210xyz
abc++−= ;
b) arcsin0xzxy zzeyex−−⋅+⋅−= .

EXERCIȚIUL 9.8.8 Știind că (), zzxy= este definit ă implicit de ecua ția:
a) ()22ln40zxxyze−+−⋅= ,
b) tgch022zxzy−= ,
să se calculeze derivatele par țiale de ordinul întâi și al doilea.

EXERCIȚIUL 9.8.9 O funcție ( ) ,,, uuxyzt= este definit ă implicit de
ecuația ( ) ,,,,0fxyztu =. Să se arate c ă:
22
30
1xu
yxyyu
uxu uff
ufffxy ffff
u′′
∂′′′′′ =⋅∂∂ ∂′′′′′∂.

346
EXERCIȚIUL 9.8.10 Relațiile:
222
333310
20
0xyz
xyzt
xyzt++−=
++−=
++−=
K definesc pe x, y, z ca funcții de t. Să se calculeze: dx
dt, dy
dt, dz
dt.

EXERCIȚIUL 9.8.11 Relațiile:
2222
33330
30xyzR
xyzxyza++−=++−−=
definesc pe y, z ca funcții de x. Să se calculeze: dy
dx și dz
dx.

EXERCIȚIUL 9.8.12 Să se arate c ă funcția (), zzxy= definită implicit de
ecuația ,0xyFzz= , 0z≠, unde (),Fuv este derivabil ă parțial în raport
cu u și v verifică relația xyxzyzz′′⋅+⋅= .

EXERCIȚIUL 9.8.13 Să se calculeze xz′, yz′, 2xz′′ dacă (), zzxy= este
definită implicit de ecua ția ( ) ,,0Fxxyxyz+++= , unde () ,,Fuvw este o
funcție care admite derivate par țiale de ordinul întâi și al doilea în raport cu
u, v, w.

EXERCIȚIUL 9.8.14 Să se arate c ă ecuațiile de mai jos definesc implicit o
funcție (), zfxy= în vecin ătatea punctelor indicate:
a) 31 xyyzzx++= , () 1,1,0 ;
b) 222
2221xyz
abc++= , ,,0abc>, () 0,0,c;
c) 333zxyza−= , 0a≠, () 0,1,a;
d) 2zxyze++= , () 1,0,0 ;
e) 22
22z2tgzxy
xy=+⋅
+, () 1,1,0 ;
f) () 0zxyexyz+⋅−−= , () 2,2,0 .

347
EXERCIȚIUL 9.8.15 Să se afle extremele func ției () yfx= definită de
ecuațiile:
a) 2222460xyxyxy+−+−+= ;
b) 22230yxy+−= ;
c) 332330 xyxy+−−= .

EXERCIȚIUL 9.8.16 Să se găsească punctele de extrem ale func țiilor
(), zfxy= definite de ecua țiile:
a) 22226284830xyzxzxy+++−−+= ;
b) 32223673140 xyxyyzxyz−++++−−= ;
c) ( )4442222 xyzxyz++=++ .

EXERCIȚIUL 9.8.17 Să se arate c ă funcțiile:

222uxyz
vxyz
wxyyzzx=++
=++
=++
sunt în dependen ță funcțională și să se determine rela ția dintre ele.

EXERCIȚIUL 9.8.18 Să se arate c ă funcțiile:

11324
21423
2222
31234
2222
41234yxxxx
yxxxx
yxxxx
yxxxx=+
=+=+−−
=+++
sunt în dependen ță funcțională și să se determine rela ția dintre ele.

EXERCIȚIUL 9.8.19 Se consider ă funcțiile:

yzufxz−=+, 2xyzvgxz++=+, xywhyz−=+

unde , , fgh sunt bijec ții. Să se arate c ă , v, wu sunt în dependen ță
funcțională și să se determine rela ția dintre ele.

348
EXERCIȚIUL 9.8.20 Fie funcțiile:
yzufyzx
zxvgzxy
xywhxyz+=+−
+ =+−
+=+− ,
unde , , fgh sunt bijec ții. Să se arate c ă , v, wu sunt în dependen ță
funcțională și să se determine rela ția dintre ele.

EXERCIȚIUL 9.8.21 Fie funcțiile:
123
111
123
123
111
123
123
111
123axayazuaxayaz
bxbybzvbxbybz
cxcyczwcxcycz ++=++
 ++=++
 ++=++ .
Să se arate c ă , v, wu sunt în dependen ță funcțională și să se determine
relația dintre ele.

EXERCIȚIUL 9.8.22 Să se determine func ția j derivabil ă, astfel încât
() uxyj=+ , ()()
()()
1xyvxyjj
jj+=−⋅ să fie în dependen ță funcțională.

EXERCIȚIUL 9.8.23 Să se determine func ția j, astfel ca () uxyj=+ ,
()() vxyjj=⋅ să fie în dependen ță funcțională.

349
BIBLIOGRAFIE

1. Aram ă L., Morozan C., Culegere de probleme de calcul diferen țial și
integral , vol.1, Editura Tehnic ă, Bucure ști, 1964

2. Colțescu I., Dogaru Gh., Calcul diferen țial. Teorie. Exemple. Aplica ții,
Editura ExPonto, Constan ța, 2004

3. Craiu M., T ănase V., Analiz ă matematic ă, Editura Didactic ă și
Pedagogic ă, Bucure ști, 1980

4. Demidovitch B., Recueil d’exercices et problemes d’analyse
mathematique , Editions Mir, Moscou, 1971

5. Dogaru Gh., Col țescu I., Exerci ții și probleme de analiz ă matematic ă,
Institutul de Marin ă „Mircea cel B ătrân”, Constan ța, 1990

6. Dogaru Gh., Col țescu I., Analiz ă matematic ă. Calcul diferen țial, Editura
Academiei Navale „Mircea cel B ătrân”, Constan ța, 1998

7. Dogaru Gh., Andrei T., Col țescu I., Exerci ții și probleme de analiz ă
matematic ă, vol. I, Editura Academiei Navale „Mircea cel B ătrân”,
Constanța, 1990

8. Fihtelhon ț G.M., Curs de calcul diferen țial și integral , vol. 1, 2, 3,
Editura Tehnic ă, Bucure ști, 1963, 1964, 1965

9. Flondor D., Donciu N., Culegere de probleme – Algebr ă și analiz ă
matematic ă, Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 1979

10. Flondor P., St ănășilă O., Lecții de analiz ă matematic ă, Editura ALL,
București, 1993

11. Găină St, Cîmpu E., Bucur Gh., Culegere de probleme de calcul
diferen țial și integral, vol. 2,3 , Editura Tehnic ă, Bucure ști, 1966, 1967

12. Günter N.M., Kuzmin R., Culegere de probleme de matematici
superioare , vol. 1, 2, Editura Tehnic ă, Bucure ști, 1958

350
13. Iacob C., Curs de matematici superioare , Editura Tehnic ă, Bucure ști,
1957

14. Nicolescu M., Dinculeanu N., Marcus S., Analiz ă matematic ă, vol. I și
II, Editura Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 1971

15. Olariu V., Analiz ă matematic ă, Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
București, 1981

16. Olariu V., Halanay A., Turbatu S., Analiz ă matematic ă, Editura
Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 1983

17. Roșculeț M., Culegere de probleme de analiz ă matematic ă, Editura
Didactic ă și Pedagogic ă, Bucure ști, 1968

18. Roșculeț M., Analiz ă matematic ă, Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
București, 1984

19. Sirețchi Gh., Calcul diferen țial și integral , vol. 1, 2, Editura Academiei
de Studii Economice, Bucure ști, 1985

20. Stănășilă D., Analiz ă matematic ă, Editura Didactic ă și Pedagogic ă,
București, 1981