Curs 1Didactica matematicii în [631259]

Curs 1Didactica matematicii în
învățământul primar și preșcolar
Curs 1
Formarea conceptului de număr natural în
învățământul preșcolar și primar
Predarea-învățarea numerelornaturale în diferite
concentre

“Numărul constituie substanța tuturor lucrurilor”
(Aristotel, Metafizica; despre filozofia lui Pitagora)
“Precum Atlas în vechime sprijinea cerul pe umăr
Așa el sprijină lumea și vecia într-un număr”
(MihaiEminescu, Scrisoarea I)
“Age is just a number. Life and aging are the greatest gifts “Age is just a number. Life and aging are the greatest gifts
that we could possibly have”
(C. Tyson, 1924-)

1. Aspectul cardinal al numărului natural
1.1. Introducere
Din cele mai vechi timpuri, omul trebuiasăcomparediferite
mulțimi de obiecte(care mulțimeare mai multe elemente?)
O modalitate directă de a compara două mulțimi este
punerea în perechi : punem corespondență un element din
prima mulțime cu un element din a doua mulțime,
dăm la o parte perechea formată și continuăm să formăm perechi. dăm la o parte perechea formată și continuăm să formăm perechi.
Dacă la un moment dat toate elementele sunt puse în perechi,
cele două mulțimi “ au tot atâtea elemente ”.

Punerea în perechi
•Dacă toate elementele celor două mulțimi sunt puse în
perechi, spunem că am stabilit o corespondență unu la unu
între mulțimi.
•Dacă însă toate elementele primei mulțimi sunt puse în
corespondențănumai cu o parte a elementelor celei de a doua
mulțimi, atunci sespune că prima mulțime are mai puține
elemente decât a doua sau căa doua mulțime aremai multe
elemente decât prima.elemente decât prima.
Compararea indirectă a mulțimilor
•Dacă două mulțimi nu se găsesc în același timp în același loc,
cum le putem compara?
•Le vom număra și vom compara cele două numere.
•Transferăm ceea ce cunoaștem despre unele mulțimi
reprezentative (zise: cu un element, cu două elemente, cu trei
elemente…) la mulțimi finite puse fiecare în corespondență
unu la unu cu câte una din aceste mulțimi reprezentative.

1.2. Suportul științific al aspectului cardinal al numerelor
naturale
Definirea riguroasă a noțiunii de număr natural se bazează pe
noțiunile de mulțime, relație, funcție, funcție bijectivă (bijecție,
corespondențăunu launu).
Definiție. FieA și B două mulțimi. Spunem că cele două mulțimi
suntechipotente dacăexistăobijecțieƒamulțimiiApemulțimea suntechipotente dacăexistăobijecțieƒamulțimiiApemulțimea
B. În acest caz notăm “A ~B” și citim: mulțimea Aeste echipotentă
cumulțimeaB.
Exemplu :mulțimileAși B
dinfiguraalăturată
suntechipotente.
.

Relația de echipotență“~” areurmătoarele proprietăți(este relație de
echivalență):
1. Este reflexivă, adică A ~ A.
2. Este simetrică, adică, dacă A ~ B atunci și B ~ A.
3. Este tranzitivă, adică, dacă A ~ B și B ~ C, atunciA ~ C.
Se grupează toate mulțimile echipotente între ele într-o clasă (familie
de mulțimi), numită clasă de echipotență.
Clasa de echipotență a unei mulțimi se numește cardinalul acelei Clasa de echipotență a unei mulțimi se numește cardinalul acelei
mulțimi.
O mulțime este finită dacă nu este echipotentă cu o submulțime a sa.
Se numește număr natural cardinalul unei mulțimi finite.
Observație. Definiția noțiunii de număr natural ca număr cardinal
estefoarteabstractă.
Problemă . Cum trebuie introdus acest concept pentru a fi asimilat
decătre(pre)școlari?

1.3. Aspectul ordinal al numărului natural
Necesitatea de a stabili o ordine în interiorul unei mulțimi a
conduslaaspectulordinalal număruluinatural.
Exemplu. Rezultatelelaînvățăturăexprimateprin mediile obținute,
alcătuiesc o ierarhie a elevilor într-o clasă stabilind cine este primul
laînvățătură,cineesteal doilea, altreileaș.a.m.d.
Numărul deordineatașatîntr-oasemenea succesiune se Numărul deordineatașatîntr-oasemenea succesiune se
numeștenumărordinal .
Aspectul cardinal și cel ordinal al numerelor naturale
diferitedenumărul zero suntîn strânsălegătură.

CONCLUZII
Numărul care arată cardinalul unei mulțimi se numește
numărcardinal.

CONCLUZII
Numărul care arată cardinalul unei mulțimi se numește
numărcardinal.
Numărul care arată rangul unui element din mulțimea
considerată, arată locul pe care îl ocupă în succesiunea ordonată a
elementelormulțimii,senumește numărordinal.

CONCLUZII
Numărul care arată cardinalul unei mulțimi se numește
numărcardinal.
Numărul care arată rangul unui element din mulțimea
considerată, arată locul pe care îl ocupă în succesiunea ordonată a
elementelormulțimii,senumește numărordinal.
Exemplu. Elevii unei clase sunt înscriși în catalog într-o anumită
ordine.Cereprezintă numărulfiecăruielev?Daraultimului elev? ordine.Cereprezintă numărulfiecăruielev?Daraultimului elev?

CONCLUZII
Numărul care arată cardinalul unei mulțimi se numește
numărcardinal.
Numărul care arată rangul unui element din mulțimea
considerată, arată locul pe care îl ocupă în succesiunea ordonată a
elementelormulțimii,se numește numărordinal.
Exemplu. Elevii unei clase sunt înscriși în catalog într-o anumită
ordine.Cereprezintă numărulfiecăruielev?Daraultimului elev? ordine.Cereprezintă numărulfiecăruielev?Daraultimului elev?
Numărul pecareîl are fiecare elev în ordinea înscrierii în catalog
reprezintă numărul ordinal.

CONCLUZII
Numărul care arată câte elemente are o mulțime se
numeștenumărcardinal.
Numărul care arată rangulunui element din mulțimea
considerată (locul pe care îl ocupă în succesiunea ordonată a
elementelormulțimii)senumește numărordinal.
(Legăturacunumeralele)
Exemplu. Elevii unei clase sunt înscriși în catalog într-o anumită
ordine.Cereprezintă numărulatașatfiecăruielev?Daralultimului ordine.Cereprezintă numărulatașatfiecăruielev?Daralultimului
elev?
Numărul pecareîl are fiecare elev în ordinea înscrierii în catalog
reprezintă numărul ordinal.
Numărul pe care îl are ultimul elev în ordinea înscrierii în
catalog reprezintă număr cardinal, fiindcă indică numărul total al
elevilor din clasă, darreprezintă și un număr ordinal, pentru că
indicăalcâteleaelev esteacesta.

1.5. Construcțiaaxiomaticăa aritmeticii
Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a
așezat la baza studiului numerelor naturale un grup de 5 axiome.
Cele care ne interesează sunt primele 4, ultima fiind un prim
principiudeinducție.Eleseenunțăastfel:
1. Zeroesteun număr natural.

1.5. Construcțiaaxiomaticăa aritmeticii
Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a
așezat la baza studiului numerelor naturale un grup de 5 axiome.
Cele care ne interesează sunt primele 4, ultima fiind un prim
principiudeinducție.Eleseenunțăastfel:
1. Zeroesteun număr natural.
2.Oricenumărnaturalareunsuccesor. 2.Oricenumărnaturalareunsuccesor.

1.5. Construcțiaaxiomaticăa aritmeticii
Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a
așezat la baza studiului numerelor naturale un grup de 5 axiome.
Cele care ne interesează sunt primele 4, ultima fiind un prim
principiudeinducție.Eleseenunțăastfel:
1. Zeroesteun număr natural.
2.Oricenumărnaturalareunsuccesor. 2.Oricenumărnaturalareunsuccesor.
3. Oricenumăr naturalareun predecesor.

1.5. Construcțiaaxiomaticăa aritmeticii
Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a
așezat la baza studiului numerelor naturale un grup de 5 axiome.
Cele care ne interesează sunt primele 4, ultima fiind un prim
principiudeinducție.Eleseenunțăastfel:
1. Zeroesteun număr natural.
2.Oricenumărnaturalareunsuccesor. 2.Oricenumărnaturalareunsuccesor.
3. Oricenumăr natural diferitde zero areun predecesor.
4. Douănumere naturalecareau acelașisuccesorsunt egale.

1.4. Construcțiaaxiomaticăa mulțimiinumerelornaturale
Matematicianul italian Giuseppe Peano (1858-1932) a
așezat la baza studiului numerelor naturale un grup de 5 axiome.
Cele care ne interesează aici sunt primele patru axiome, ultima
fiindun principiual inducțieimatematice.Eleseenunțăastfel:
1. Zeroesteun număr natural.
2.Oricenumărnaturalareunsuccesor. 2.Oricenumărnaturalareunsuccesor.
3. Oricenumăr natural diferitde zero areun predecesor.
4. Douănumere naturalecareau acelașisuccesorsunt egale.
Întrebare.Careesteprimulnumărnatural?De ce?
Obs.Orice număr natural diferit de zero se formează prin
adăugareauneiunitățilapredecesorulsău.
Numerelenaturalesepot ordona(într-unșirstrictcrescător).

2. Elemente pregătitoare pentru înțelegerea conceptului de
numărnatural
2.1. Introducere-”Acțiunea precede intuiția”
Copiii de vârsta școlară mică se găsesc în stadiul
operațiilor concrete, învățând prin manipularea directă a
obiectelor concrete, pornind de la senzații, percepții și reprezentări.
Treptat are loc trecerea către prelucrarea informației la nivel logic,
rațional,implicândoperațiilepsihicealegândirii.
Înformarea conceptului denumărnaturalsuntparcurse,din Înformarea conceptului denumărnaturalsuntparcurse,din
punctul de vedere al psihologiei învățării, următoarele etape
(JeromeBruner,1915-2016 ):
activități și acțiuni cu mulțimi de obiecte ( etapa acțională,
concretă);
schematizarea acțiunii și reprezentarea grafică a mulțimilor
(etapaiconică, semiabstractă );
traducerea simbolică a acțiunilor ( etapa simbolică, abstractă).

2.2. Perioada prenumerică-Abilități
Capacitatea de comparare a mulțimilor prin apreciere
globală
-se dobândește mai întâi în planul percepțiilor, apoi în
planul reprezentărilor
-se bazează pe abilități de identificare, grupare, seriere,
formulare de judecăți logice
Se dezvoltă treptat abilitățile de
1.Identificare a obiectelor (culoare, formă, mărime, 1.Identificare a obiectelor (culoare, formă, mărime,
natură)
2. Triere și apreciere a apartenenței unui obiect la o
mulțime (formarea unei mulțimi de obiecte având o
proprietate caracteristică dată)
3. Separare a unor obiecte pe baza unor criterii
4. Apreciere a cantității prin punere în perechi, prin:
suprapunere, alăturare, trasare de săgeți, numărare

2.3. Perioada prenumerică-Activități
1. Formare de mulțimi după unul sau mai multe criterii
2. Punere în corespondență a elementelor a două mulțimi
3. Compararea numărului de elemente pentru două mulțimi
4. Numărare și numire a numărului de elemente al unei mulțimi
5. Asociere a numărului la cantitate
6.Asociere a cantității la număr6.Asociere a cantității la număr
7. Utilizarea simbolurilor pentru caracterizarea numerică a unei
mulțimi
(C. Petrovici, pag. 159 ) ( M. Roșu, pag. 30)
“Una din premisele psihopedagogiceesențiale […] esteapariția la
6-7 ani a reprezentărilor despre conservarea numerică și
invarianța numărului -cardinalul unei mulțimi nu depinde de
forma/mărimea/culoarea/natura elementelor, poziția spațială a
elementelor, distanța dintre elemente “

2.3. Perioada prenumerică-Observații de ordin psihopedagogic
Cerințe privind predarea-învățarea în perioada prenumerică (C.
Petrovici, pag. 159 )
-utilizarea exercițiului cu material individual/expozitiv
-utilizarea jocului didactic (ca metodă/formă de organizare a lecției)
-învățarea prin acțiune și verbalizarea acțiunilor
Stadii de înțelegere (C. Petrovici, pag. 160 -161 și 156 -157 ) Stadii de înțelegere (C. Petrovici, pag. 160 -161 și 156 -157 )
-La 3-4 ani: confuzie între număr și numărarea mecanică
-La 4-5 ani elementul spațial joacă un rol perturbator în înțelegerea
însușirilor numerice ale mulțimilor (confuzie mărime-număr);
predomină aspectul ordinal al numărului
-la 5-7 ani copilul se detașează de configurația spațială a
elementelor și realizează corespondența între mulțimi (face
pasul de la percepție la reprezentare)
-la 6-7 ani copilul interiorizează operația de numărare și este
pregătit pentru contactul perceptiv cu operațiile aritmetice

3. Etape de predare-învățarealeunui numărnatural
Activitatea de punere în corespondență a elementelor a
douămulțimi sepoatedesfășuraîndouădirecțiiprincipale:
•stabilirea echipotenței a două mulțimi (prin relația de
corespondențăelementcuelement)
•construireademulțimi echipotentecu o mulțimedată
Oatențiedeosebită trebuieacordată: Oatențiedeosebită trebuieacordată:
•mijloacelordidactice utilizate
•manipulării obiectelor prin care mulțimile se formează și se pun
încorespondență
•folosiriiunui limbajadecvat
(funcție bijectivă = corespondența element cu element sau relația:
tot atâtea elemente, mulțimi echipotente = mulțimi cu tot atâtea
elemente)

3.1. Etape alepredării-învățăriiunui numărnatural
(Concentrul0-10 )
1. Se construiește o mulțime având atâtea elemente cât este
ultimulnumăr cunoscut( n).
2. Se construiește o altă mulțime având tot atâtea elemente ca
prima;severificăprinnumărareși punereîncorespondență.
3. Se adaugălaceade-adouamulțimeun element.
4.Sepunîncorespondență celedouămulțimievidențiindu -se 4.Sepunîncorespondență celedouămulțimievidențiindu -se
elementulîn plus.
5. Se denumeștenumărul deelementedinnouamulțime( n+1).
6. Se formează alte mulțimi cu tot atâtea elemente cât noua
mulțime ( n+1), pentru a sublinia “independența de alegerea
reprezentanților”; se verifică prin numărare și punere în
corespondență.
7. Se prezintă cifracorespunzătoare noului număr introdus (simbol
grafic)-încazulcând n<9.

3.1. Etape alepredării-învățăriiunui numărnatural
8. Se compune noul număr din precedentul său și încă o unitate,
apoise compune folosind numerelecunoscute.
9. Se descompunenoul număr în diferiteforme.
10.Seîncadrează noulnumărînșirulnumeric, sestabilesc vecinii 10.Seîncadrează noulnumărînșirulnumeric, sestabilesc vecinii
numerelorcunoscute,
11.Senumără crescător,apoi descrescător.
12. Se lucreazăcumaterialobiectual.

3.2. Etape ale scrierii cifrei corespunzătoare unui număr
natural
Într-o etapă superioară a procesului de abstractizare se reprezintă
numereleîn scris.
Cifrareprezintă semnul grafic al numărului (delazero la nouă), așa
cum litera reprezintă semnul grafic al sunetului. Apar dificultăți
deoarece copilul trebuie să realizeze o legatură strânsă între trei
elemente:
conceptul numeric, exprimarea sa verbal ăși semnul grafic. conceptul numeric, exprimarea sa verbal ăși semnul grafic.
Scrierea de mâna a cifrei se face o dată cu predarea corespunzătoare
a numărului (de la zero la nouă) pentru a se realiza o strânsă
legaturăîntrenumăr, exprimareasaverbalăși simbolulsău grafic.
27

3.2. Etape ale scrierii cifrei corespunzătoare unui număr
natural
Seintuieșteforma cifrei.
Serecunoaștecifraîndiferitecontexte.
Sefamiliarizeazăcu forma cifreiprin scrieresuprapusă.
Semodeleazădin sârmă, plastilină…
Sescriecifracudegetulîn aer.
Sescriu3-4cifre, se corectează,se scriu1-2 rânduri.
Secorectează,selucreazăfișade lucru,pemanual.

3. 3. Compunerea șidescompunerea numerelornaturale
Compunerea și descompunerea numerelor naturale au ca
punct de plecare procesul de formare a numărului prin adăugarea
unei unități la numărul anterior. Prin exerciții de compunere și
descompunere se realizează pregătirea copiilor pentru însușirea
operațiiloraritmeticedeadunareși scădere.
Sepleacăde la:
-raportarea cantitate-număr-cifră(sedăomulțimedeobiecteșise -raportarea cantitate-număr-cifră(sedăomulțimedeobiecteșise
cerenumărul acestorașiatașareacifreicorespunzătoare)
-raportarea cifră-număr-cantitate(construim o mulțime având
numărul deelementecorespunzătorcifreidate)
Concret, se realizează operații cu mulțimi având numărul de elemente
corespunzătorunei cerințe.
-Compunere : construim 2 mulțimi disjuncte având împreună n
elemente
-Descompunere : o mulțime dată cu nelemente se separă în 2 mulțimi
disjuncte

3.3. Compunerea șidescompunerea numerelornaturale
Exercițiipentru compunereanumerelor
1. Compunerea numărului 5: Se împart copiilor tablouri în două
culoriși câte5 (sau mai multe) buline colorate. Se cere
copiilor să găsească variante de compunere a numărului 5,
așezând un număr de buline pe ambele culori ale tabloului.
Fiecare copil anunță posibilitățile găsite (5 și 0, 3 și 2, 4 și 1, 1
și4,2și3,0și5),explicând cumalucrat.Pentruacunoaște și4,2și3,0și5),explicând cumalucrat.Pentruacunoaște
toate variantele de compunere a numărului 5, se vor efectua
exercițiipe tablamagnetică.
2. Compunerea numărului 5: Se împart copiilor câte 4 buline. Se
va cere copiilor să numere bulinele și să așeze alături cifra
corespunzătoare. Apoi se va solicita copiilor să specifice câte
buline trebuie adăugate pentru a avea 5. Se va trage concluzia
ca numărul 5 a fost compus dintr-o mulțime cu 4 elemente la
cares-a reunito mulțime cu un element.

Exercițiipentru compunereanumerelor
3. Compunerease poaterealizași prin desen.
Copiiisunt rugațisăcolorezeun numărde 5flori
îndouă culori( cîtevaflori roșii,câtevaflori galbene),
dupăpreferință.
Laexaminareadesenelorsevaarăta,prinnumărare,
câtefloriauo culoareși câtealtăculoare.
Seevidențiază toatemodalitățile decompunere anumărului 5. Seevidențiază toatemodalitățile decompunere anumărului 5.

Exercițiipentru descompunereanumerelor
1. Pentru descompunerea numerelor, copiii vor primi câte 2 cutii,
identice, goale și câte 5 mingi. În aceste cutii copiii trebuie să
așeze cele 5 mingi după preferință. Discutând variantele găsite
de copii, aceștia sunt dirijați să ajungă la concluzia că, oricum ar
așezaelementelemulțimii,tot5 sunt.
2.Profesorul vaașezagrupede5magneți perânduldesusal 2.Profesorul vaașezagrupede5magneți perânduldesusal
tablei magnetice și va lua pe rând câte un magnet și îl va așeza
peun rând mai jos. Se explicăfiecaredescompunere.
OBS.Trebuie să li se atragă atenția copiilor că fiecare număr este
format din unități și că atunci când este descompus în două numere
(diferite de zero), fiecare din acestea este mai mic decât numărul
descompus, darcăîmpreunăformeazănumăruldat laînceput.

4. Predarea-învățarea numerelor naturale
în concentrul 0-10
Elevii construiesc mulțimi echipotente cu o mulțime dată și,
în acest proces activ de comparare, înțeleg mai bine proprietățile
numericealemulțimilorcareau acelașinumăr deelemente.
Pornind de la mulțimi cu tot atâtea elemente se detașează
progresiv, noțiunea de număr ca reprezentând o clasă de
echipotență. echipotență.
Clasa tuturor mulțimilor finite echipotente cu o mulțime cu
un singurelementestenumărulnatural 1.
“Sămaipunem una, să sefacă două
Două mâinicopilulare
Una esteluna”
33

4. Predarea-învățarea numerelor naturale
în concentrul 0-10
Clasa mulțimilor echipotente cu o mulțime cu două elemente
estenumărul natural 2.
Clasa mulțimilor echipotente cu o mulțime cu trei elemente
estenumărul natural 3ș.a.m.d.
Atenție!! Cifra 0 (zero), reprezintă pentru copil o dublă
abstracție: cifra zero nu mai exprimă ceva concret, ea este simbolul
clasei de mulțimi care nu au nici un element, adică a mulțimilor
vide.
“Sămaipunem una, să sefacă trei
Treicraivin din depărtare
Două mâinicopilulare
Una esteluna”

Pentru a-i deprinde pe elevi cu succesiunea numerelor este
necesar ca, imediat după introducerea numărului nou, să se
compareacesta cu numărul/numerelepredateanterior
(săse așezeîn ordinecrescătoare,apoi descrescătoare).
Esteimportantcaeleviisă înțeleagă:
-faptul că există un număr nesfârșit de mulțimi echipotente cu
mulțimea model(aspectul cardinalalnumărului) mulțimea model(aspectul cardinalalnumărului)
-distincția dintre număr și semnul său grafic (rostim numerele, citim
șiscriemcifrelecorespunzătoare).
-semnificația numărului zero (dificultate de limbaj: folosirea
negației,“înaceastămulțime nu esteniciunelement”)
-Scrierea numărului zece (primul număr care se scrie folosind două
cifre),înțelegereazeciica unitatede numerație
35

Însușirea conștientă a noțiunii de număr natural se
fundamentează pe:
înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor
cuacelașinumăr deelemente(cardinalulmulțimilorechivalente);
36

Însușirea conștientă a noțiunii de număr natural se
fundamentează pe:
înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor
cuacelașinumăr deelemente(cardinalulmulțimilorechivalente);
înțelegerea locului fiecarui număr în șirul numerelor de la 0 la 10
(aspectulordinalal numărului);
37

Însușirea conștientă a noțiunii de număr natural se
fundamentează pe:
înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor
cuacelașinumăr deelemente(cardinalulmulțimilorechivalente);
înțelegerea locului fiecarui număr în șirul numerelor de la 0 la 10
(aspectulordinalal numărului);
înțelegerea semnificației relației deordine pemulțimea numerelor
naturaleșiadenumirilor corespunz ătoare(maimare,maimic); naturaleșiadenumirilor corespunz ătoare(maimare,maimic);
38

Însușirea conștientă a noțiunii de număr natural se
fundamentează pe:
înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor
cuacelașinumăr deelemente(cardinalulmulțimilorechivalente);
înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la 0 la 10
(aspectulordinalal numărului);
înțelegerea semnificației relației deordine pemulțimea numerelor
naturaleșiadenumirilor corespunz ătoare(maimare,maimic); naturaleșiadenumirilor corespunz ătoare(maimare,maimic);
cunoaștereacifrelorcorespunzătoarenumărului;
39

Însușirea conștientă a noțiunii de număr natural se
fundamentează pe:
înțelegerea de către copil a numărului ca proprietate a mulțimilor
cuacelașinumăr deelemente(cardinalulmulțimilorechivalente);
înțelegerea locului fiecărui număr în șirul numerelor de la 0 la 10
(aspectulordinalal numărului);
înțelegerea semnificației relației deordine pemulțimea numerelor
naturaleșiadenumirilor corespunz ătoare(maimare,maimic); naturaleșiadenumirilor corespunz ătoare(maimare,maimic);
cunoaștereacifrelorcorespunzătoarenumărului;
citireacifrelordetiparși scriereacifrelordemână.
(M.Roșu, pag. 37 )
Atenție!! Relația de ordine pe mulțimea numerelor naturale nu este
dată de denumirea lor, care de multe ori se învață mecanic, ci de
relațiilemai mic sau mai mare care se stabilesc între numere și
care corespund relațiilor: mai puținesau maimulte elemente între
mulțimiasociatenumerelordate.40

Exemple:
Exercițiipentru însușireanoțiuniidenumărnatural:
Secerecopiilor:
•să descopere în clasă mulțimi care să aibă un număr de elemente
corespunzătornumărului predat,
•săașezepeo etajerăun anumit numărdecărți,
•să determine prin pipăit numărul de obiecte de pe masă sau dintr-
un săculeț,
•săbatădinpalmedeunanumitnumărdeori, •săbatădinpalmedeunanumitnumărdeori,
•sănumere cu pas dat,săcompletezeveciniiunui număr,
•săordonezedupă numărulde elementemulțimi date(formareaunei
scărinumerice).
Materialdidactic:
-Material individual :material concret, obiectual, apoi substitute:
bețișoare,jetoane,riglete
-Material expozitiv :numărătoare pozițională, tablă magnetică,
flanelograf41

5. Predarea-învățarea numerelor naturale
în concentrul 10-100
5.1.Aspecte de bază:
înțelegerea zeciica unitate de numerație (este baza sistemului de
numerațieutilizatdeoareceavem 10 degete lamâini);
lărgirea noțiunii de zece ca unitate de calcul, scrierea și citirea
numerelorformate dinzeci,introducereanoțiuniide sută;
formarea, citirea,scrierea șicompararea numerelor naturale formarea, citirea,scrierea șicompararea numerelor naturale
formatedin zeciși unități;
compararea și ordonarea numerelor învățate (de o cifră, de două
cifre);
conștientizarea semnificației cifrelor după locul pe care îl ocupă
înscriereanumerelor.
42

5. Predarea-învățarea numerelor naturale
în concentrul 10-100
5.2. Predarea numărului zece ( C. Petrovici, pag. 170 )
-Se urmează algoritmul cunoscut, pornind de la numărul nouă
(reprezentat prin cifra 9)
-NOU! Pentru prima dată, e nevoie de două cifre pentru a
reprezenta un număr. Zero este pe locul unităților, iar unu pe locul
zecilor. zecilor.
-Se face astfel pregătirea pentru introducerea reprezentării
numerelor în sistemul zecimal, pozițional
-E importantă intuirea zecii ca entitate, ca nouă unitate numerică.
Exerciții: se formează un mănunchi de 10 bețișoare, se folosesc
riglete (o rigletă de lungime 10 sau 10 riglete de lungime 1),
se schimbă 10 bancnote de un leu cu o bancnotă de 10 lei,
se schimbă 10 bile de o culoare,reprezentând 10 unități, cu o bilă
de altă culoare, reprezentând o zece (penumărătoarea pozițională)

5.3. Predarea numerelordin concentrul11-99
Seurmeazăalgoritmulcunoscut.(Dificultăți:de limbaj,de scriere)
Exemplu. Pentru a introduce numărul 11 se pleacă de la cea mai
mare mulțime deja formată (cea cu 10 elemente). Apoi se formează
o mulțime cu un element (se poate face pe tabla magnetică, cu
figurine,cu riglete,urmatădedesen petablă).
Se reunesc cele două mulțimi, obținându-se o mulțime
formatădin10elemente șiîncăunelement.Sespunecăaceastă formatădin10elemente șiîncăunelement.Sespunecăaceastă
mulțime are 11 elemente și că semnul grafic sau simbolul acestui
număr este “11” , adică două cifre 1, prima reprezentând zecea și
ceade-a doua, unitatea adăugată zecii respective.
•Sefac exercițiidecomparare:10 < 11, 11 > 10, etc.
•Sefac exercițiidecompunereșidescompunerea numărului 11.
44

Structura unui număr mai mare decât 10 și mai mic decât
douăzeci: la “zecea legată” (mănunchi de 10 bețișoare) se pot atașa
unul sau mai multe elemente (bețișoare), spunând că “unul vine spre
zece,doivin sprezece,treivinspre zece,…, nouăvin spre zece”.
Se continuă cu introducerea numărului 20, format dintr-o zece și
încăalte10 unități,adică două zeci.
Se încheie o etapă esențială ce condiționează înțelegerea ulterioară a
moduluideformare,scriereșicitireaoricăruinumărnatural. moduluideformare,scriereșicitireaoricăruinumărnatural.
Prin scrierea numerelor formate din zeci și unități, elevii iau
contact cu ideea de baza a sistemului zecimal de scriere și notare a
numerelor.
Seva pune accentpepronunția și scriereacorectăa numerelor!
Copiii trebuie să înțeleagă că semnificația unei cifre este dată de
pozițiapecareo ocupă.
Atenție!12 și21 sunt numerediferite,etc.45

Exerciții: cu mănunchiuri de bețișoare, cu figuri geometrice
de forme și culori diferite (reprezentând zeci și unități), cu
numărătoarepozițională(U, Z, S, M, etc.-deladreaptalastânga).
46

6. Predarea-învățarea numerelor naturale scrise
cu trei sau mai multecifre
6.1. Unități de numerație noi
Se utilizează analogia cu procedeele din concentrul anterior
învățat.
Se formează ideea că 10 unități de un anumit fel formează o
unitatenouă,mai mare( deordinimediatsuperior ).
Elevii adaugă la unitățile de numerație cunoscute: unitatea
simplă, zecea, unități noi: suta, mia, ș.a.m.d., fixându-se ideea că
zecesuteformează o mie, ș.a.m.d.
Predarea oricărui număr natural mai mare decât o sută se
realizează după algoritmul cunoscut de la formarea numerelor
naturale mai mari decât 10: o sută și încă o unitate formează 101,
ș.a.m.d.47

6.2. Formareanoțiunilorde ordinși clasă de numerație
Problema metodică nouă ce apare în acest concentru estelegată de
formarea, citirea și scrierea numerelor ce conțin pe 0(zero), care
semnifică absența unitățilorde un anumitordin.
Pentrusistematizareseintroducnoțiunilede:
ordin (ce reprezintă numărul de ordine în scrierea
numărului):
unitățile(simple)vorfi numiteunitățideordinulîntâi,
zecile–unitățideordinuldoi, zecile–unitățideordinuldoi,
sutele – unitățide ordinultrei,
unitățilede mii – unitățideordinulpatru,
zeciledemii – unitățideordinulcinci,ș.a.m.d.
clasă (o structură nouă formată dintr-un grup de trei ordine
consecutive):
ordinele1, 2 și 3 formează clasaunităților,
ordinele4, 5 și 6 formeazăclasamiilor,
ordinele7, 8 și 9 formeazăclasamilioanelor,ș.a.m.d.48

Se explică faptul că procedeul poate fi aplicat în continuare
lanesfârșit,decic ă existănumere naturaleoricâtde mari.
În scrierea numerelor naturale din acest concentru
evidențierea claselor se realizează prin plasarea unui spațiu liber
întreele.
Ex.: 325 613; 15 478; 326; 1 058
Sevorformadeprinderi corecteșiconștientedecitireșiscrierea Sevorformadeprinderi corecteșiconștientedecitireșiscrierea
numerelor naturale de mai multe cifre, în special a celor în care
lipsescunasau mai multeunitățide un anumit ordin.
Se vor realiza corelații interdisciplinare, se va matematiza
realitatea înconjurătoare (M.E.M.) obținând numeroase posibilități
de exersare a numerelor, se va utiliza frecvent jocul didactic
matematic.
49

6.3. Sugestiimetodologicepentru învățareanumerației
Generale(maiimportantelaclaselemici)
-necesitatea ca fiecare elev să opereze direct cu un material didactic
variatșiatractiv
-gradarea solicitărilor, cu orientare spre abstractizare (de la operare
cu obiecte concrete, la folosirea jetoanelor cu imagini, a figurilor
simboliceșia schemelor-deexemplu, axa numerelor )
-antrenarea analizatorilor (vizual,auditiv,tactil)înînvățare -antrenarea analizatorilor (vizual,auditiv,tactil)înînvățare
Laclaselea III-a șia IV-a
-sublinierea necesității de a lărgi concentrul numeric cunoscut
(descriereaunorcantitățimari:distanțecosmice, populație,prețuri)
-exersarea citirii și scrierii numerelor cu cel mult 6 cifre (atenție la
cazulcând avemcifreegalecuzero)
-sugerarea ideii că există numere naturale oricât de mari (nu există
un celmai mare număr natural)
50

7. Relațiiîn mulțimeanumerelornaturale
7.1. Relațiade egalitate
-esteprimarelațieintuitădeeleviînînvățareanumerației
-este întâlnită în procesul introducerii numerelor mai mici decât 10,
cuajutorulmulțimilorechipotente(“cu totatâteaelemente”)
-Reamintim că numărul de elemente al unei mulțimi nu depinde de
ordineparcurgeriilorîn procesulde numărare
-Seintuieștereflexivitatea relațieideegalitate (a=apentruoricea) -Seintuieștereflexivitatea relațieideegalitate (a=apentruoricea)
(vezicorespondențadintredouăcòpiialeuneimulțimi)
-Seintuiește simetriaegalității (dacă a=b,atuncib=a)
(vezicomutareastânga-dreapta,sus-jos)
-Cea de-a treia proprietate, tranzitivitatea relației de egalitate va fi
întâlnită mai târziu, în raționamente legate de rezolvarea
problemelor (dacă a=bșib=c,atuncia=c).
–
51

7. Relațiiîn mulțimeanumerelornaturale
7.2. Relațiade ordine. Compararea și ordonarea numerelor
-apar încă de la concentrul 0-10: elevii învață să compare cantitativ
două mulțimi prin punere în corespondență (mai multe/mai puține
elemente↔numărulcorespunzătorestemai mare/maimic)
-relația de ordine permite formarea unui șir ordonat crescător cu
numereleînvățate,apoiprecizarealoculuișia vecinilor
-Relațiiintroduse laclaseleprimare:<,apoi>(a>bînseamnă -Relațiiintroduse laclaseleprimare:<,apoi>(a>bînseamnă
b<a)(“Peștelecelmareînghitepecelmic”)(Sunt tranzitive )
a>bînseamnă b<a:o primă apariție a operațiilor logice de
implicațieși echivalență
-La gimnaziu se introduc și relațiile “mai mic sau egal”, “mai mare
sau egal”(reflexive,antisimetrice,tranzitive)
-Problema comparării numerelor se complică prin trecerea la
numerecudouă sau mai multecifre
52

7. Relațiiîn mulțimeanumerelornaturale
7.2. Compararea șiordonarea numerelor
Compararea numerelor cu număr oarecare de cifre a?b.
Algoritm
-dacăbaremaipuținecifredecât a, atuncib<a(vezicazulinvers)
-dacăbaretotatâteacifrecași a,atunci:
comparămcifrelecelemaisemnificative (primeledin stânga):
-dacăsuntdiferite,numărul cuprimacifrămaimareeste -dacăsuntdiferite,numărul cuprimacifrămaimareeste
maimare
-dacă sunt egale, trecem la cifrele de ordin următor, mai mic
șilecomparăm (repetămprocedeuldemai sus)
Exemplu: comparaținumerele:
a) 132 548 698 și32 548 698
b) 132 547 698 și232 547 698
c) 132 547 698 și132 548 698
53

7. Relațiiîn mulțimeanumerelornaturale
7.2. Compararea șiordonarea numerelor
Ordonareaa două sau maimultenumere
-sebazeazăpecomparareanumerelordouăcâtedouă
-Fiea,b,cnumeredistincte.Să presupunemcăamgăsitcă a<b.
-Sunt 3 posibilități incompatibile: c<a, a<c <b șib<c(explorăm
celmult 2 variante)
Observații
-efortul de gândire sporește cu cât sunt mai multe numere de
comparat,iarordinuldemărime alacestoraestefoartediferit.
-Algoritmiauxiliari,caresăfacilitezeraționamentul:
-sortarea numerelor după numărul de cifre și ordonarea
prealabilăîn cadrulfiecăreigrupe
-alegereasuccesivăaceluimaimicnumărrămas
Informatică:algoritmidesortare(Select,Insert,Bubble,Merge,…)
54