Curbura Grupurilor Pseudo Riemanniene

INTRODUCERE

CURBURA GRUPURILOR PSEUDO-RIEMANNIENE este, in mare măsura, o tema inedita care reflecta proprietati geometrice ale grupurilor Lie.

Teoria grupurilor Lie a fost construita începând din 1873, întreaga teorie a lui Marius Sophus Lie bazându-se pe proprietatile operatorilor diferențiali si ale constantelor de structura.

In dezvoltarea teoriei grupurilor Lie se pot distinge mai multe etape:

1.Etapa clasica, caracterizata prin contributiile aduse de S. Lie si unii dintre elevii sai.

2.A doua etapa in dezvoltarea teoriei grupurilor Lie este marcata de cercetarile lui Elie Cartan, care reia multe dintre rezultatele anterioare completându-le si demonstrându-le intr-un mod riguros.

3.A treia etapa in dezvoltarea teoriei grupurilor Lie este etapa actuala, cercetarile evoluând in doua directii importante: algebrizare si globalizare.

In prima jumatate a secolului nostru intreaga teorie a grupurilor Lie a fost reconsiderata din punct de vedere al structurilor matematice de baza.

Acesta lucrare este structurata in patru capitole, primele trei capitole continand elemente si rezultate necesare ultimului capitol care poarta numele lucrarii de fata.

Primul capitol al acestei lucrări contine generalitati asupra varietatilor analitice, elemente geometrice pe varietati analitice (conexiuni liniare, curbura, torsiune, tensorul lui Ricci), varietati pseudo-riemanniene si riemanniene, elemente geometrice pe varietati pseudo-riemanniene.

In al doilea capitol sunt cuprinse definiții si rezultate privind grupurile Lie, algebre Lie, algebra Lie a unui grup Lie, subgrupurile cu un parametru.

Capitolul 3, reflecta invarianta metricilor si conexiunilor pe grupuri Lie. Al doilea paragraf din acest capitol contine o teorema (de caracterizare a metricilor pseudo-riemanniene bi-invariante pe un grup Lie) importanta din teoria grupurilor Lie, care, in particular, ne caracterizează grupurile pseudo-riemanniene.

Ultimul capitol, contine rezultate privind curbura grupurilor pseudo-riemanniene si exemple de curburi pe grupuri riemanniene.

Numele lui S.Lie ramane profund legat de teoria grupurilor care-i poarta numele, teorie centrala in matematica moderna, la intersectia analizei, algebrei si geometriei si fundamentala pentru modelele actuale ale fizicii teoretice.

CAPITOLUL Ⅰ.

GENERALITAI PRIVIND VARIETAI ANALITICE.

ELEMENTE DE GEOMETRIE RIEMANNIANA.

Primul capitol al lucrarii contine generalitati privind varietatile analitice, conexiunile liniare si metricile Riemann pe varietati analitice, varietati pseudo-riemanniene, elemente de geometrie riemanniana. Definițiile, propozițiile si notațiile din paragrafele primului capitol vor fi folosite in capitolele ce urmează.

§ 1. VARIETATI ANALITICE

1.1.Definitie: Fie M o mulțime nevida si A o mulțime oarecare de indici. Se numește structura analitica pe M o familie A={(Ua,ha)|aA}, unde Ua este mulțime deschisa in M pentru aA, ha:UaRn este injectiva aA astfel încât sunt îndeplinite următoarele condiții:

(i) familia {Ua | aA} de deschiși din M formează o acoperire deschisa a lui M;

(ii) ha(UaUb) Rn este mulțime deschisa, a,b A;

(ⅲ) pentru a,bA, pentru care UaUb aplicația hbha-1 : ha(UaUb) hb(UaUb) este analitica;

(ⅳ)A este maximal cu aceste proprietati, i.e. pentru orice pereche (U,h) formata dintr-o mulțime deschisa U din M si un homeomorfism h:Uh(U) Rn , cu h(U) mulțime deschisa in Rn si cu proprietatea ca pentru orice (Ua,ha) A care verifica UaU, aplicația

hha-1 : ha(UaU) h(UaU) este analitica , exista indicele bA astfel încât (U,h)= (Ub,hb).

O pereche (Ua,ha) din atlasul A se numește harta. Aplicația hbha-1 este numita aplicație de identificare pentru Ua si Ub.

1.2.Definitie: Perechea (M,A) se numește varietate analitica.

1.3. Observații:

1.3.1. ha:Uaha(Ua) Rn este difeomorfism.

Fie (U,h) o harta a varietatii M si fie pM. Daca se notează : x1(p),…, xn(p) coordonatele punctului h(p) in Rn , se spune ca acestea sunt coordonatele locale ale punctului p in harta (U,h).

Funcțiile xi:UR

pxi(p) ,i=1,2,…,n se numesc funcțiile coordonate asociate harții (U,h).

Spațiul Rn se numește spațiu de modelare, iar numărul natural n este dimensiunea varietatii M.

1.4.Observatie: Topologia de varietate este data de :

(A)={V (M)| ha(VUa) Rn este mulțime deschisa, aA.

1.5.Definitie: Fie M,N varietati analitice, m=dimM, n=dimN si fie f:MN aplicație continua. Spunem ca f este aplicație analitica daca pentru orice xM exista o harta (U,h) a varietatii M cu xU si o harta (V,k) a varietatii N cu f(x) V astfel încât aplicația kfh-1 :h(Uf-1(V)) k(Vf(U)) este analitica.

1.6.Observatii:

1.6.1. h(Uf-1(V)) Rm ;

1.6.2. k(Vf(U)) Rn .

1.7.Definitie: Varietatea analitica M se numește separata daca x, yM, UM deschisa VM deschisa cu xU, yV astfel incat UV=.

Convenție: Vom considera M este varietate analitica separata cu baza numarabila (i.e.

A={(Ua,ha)|aA} familia {Ua} aA este numarabila).

1.8.Propozitie: Fie M varietate analitica n dimensionala. Fie UM, U submulțime deschisa.

Atunci U este varietate analitica n-dimensionala.

1.9.Propozitie: Fie M varietate analitica m-dimensionala, N varietate analitica n-dimensionala. Atunci M N este varietate analitica de dimensiune m+n.

1.10.Propozitie: Fie N o mulțime nevida, M varietate analitica n-dimensionala. Fie f:MN aplicație bijectiva. Atunci exista o structura analitica pe N astfel încât f este difeomorfism analitic.

1.11.Observatie: Este suficient sa evidențiem un atlas oarecare pe o mulțime nevida pentru a arata ca acea mulțime formează o varietate analitica pentru ca functioneaza următoarea teorema: ”Orice atlas poate fi completat (in mod unic ) pana la un atlas maximal”.

1.12.Exemple:

Rn este varietate analitica n-dimensionala. Un atlas pe Rn :A={( Rn,Id Rn )}.

1.12.2. GL(n, R)={AMn(R)|det(A)0} este varietate analitica n2-dimensionala.

GL(n, R) R este mulțime deschisa si conform propoziției 1.8. rezulta ca GL(n, R) este varietate n2-dimensionala.

Fie c:IEn , I R interval deschis, c curba parametrizata, injectiva. Atunci c:Ic(I) En

este bijecție, I este varietate 1-dimensionala, deci c(I) este varietate analitica 1-dimensionala.

1.13. Se notează ℱ(M) inelul funcțiilor reale analitice definite pe varietatea analitica M. Daca p este un punct din varietatea M, atunci mulțimea TpM, formata din aplicațiile: v:ℱ(M) R care verifica condițiile:

(i) v este aplicație R-liniara ;

(ii) v(fg)=v(f)g(p)+f(p)v(g) f,gℱ(M) ,

este un spațiu liniar real de dimensiune n, numit spațiul vectorilor tangenți la varietatea M in punctul p.

1.14.Definitie: Prin X(M) vom nota mulțimea aplicațiilor X: ℱ(M) ℱ(M)

care verifica condițiile:

(ⅰ) X este o aplicatie R-liniara;

(ⅱ) X(fg)=X(f)g+fX(g) .

O astfel de aplicație se numește câmp de vectori tangenți la varietatea M, deoarece pentru fiecare punct pM aplicatia : Xp : ℱ(M) R, definita prin Xp(f)=X(f)(p) , este un vector tangent in punctul p la varietatea M.

1.15.Observatie: X(M) este un modul peste inelul ℱ(M).

1.16.Definitie: Fie X,YX(M) . Atunci aplicația [X ,Y] : ℱ(M) ℱ(M), definita prin

[X,Y](f):=X(Y(f))-Y(X(f)) este un câmp de vectori, numit paranteza Poisson a câmpurilor X si Y.

1.17.Propozitie: Pentru orice f,gℱ(M) si orice X,YX(M) este satisfăcuta următoarea egalitate:

[fX,gY]=fg[X,Y]+fX(g)Y-gY(f)X .

1.18.Notatii: Fie pM. Prin Tp* M se notează dualul spațiului tangent Tp M (Tp* M este numit spațiul cotangent in punctul p).

Prin 1(M) notam mulțimea formata din aplicațiile ω:X(M)ℱ(M), care sunt ℱ(M)-liniare. 1(M) se numește spațiul 1-formelor pe varietatea M. Orice 1-forma asociază fiecărui punct

pM un vector cotangent ω(p) Tp* M.

1.19.Definitie:Fie r,s doua numere naturale. Se numeste camp tensorial de tip (r,s) pe varietatea M orice aplicatie ℱ(M)-liniara T: 1(M) …1(M) X(M) …X(M) ℱ(M),

unde produsul direct contine de r ori factorul 1(M) si de s ori factorul X(M), daca r+s>1.

Pentru r si s fixati, spațiul câmpurilor tensoriale de tip (r,s) se notează prin: sr (M) si este un

ℱ(M)-modul. Prin convenție 00(M)= ℱ(M).

1.20.Observatie: Proprietati de algebra liniara permit identificarea câmpurilor tensoriale de tip (r,s) cu aplicațiile ℱ(M)-multiliniare T:X(M) …X(M) X(M) …X(M) , unde in cele doua produse directe avem s si respectiv r factori.

1.21.Definitie: Fie M si M’ doua varietati analitice si fie f:MM’ o aplicație analitica. Fie

pM. Consideram aplicatia f*,p : Tp MTf(p)M’ definita prin:

f*,p(Xp)(f ’):=Xp(f ’f ), pentru f ’ℱ(M’).

Aplicația f*,p se numește diferențiala aplicației f in punctul p.

Observații: (i) f*,p este R-liniara ;

(ii) Daca f este aplicație constanta, atunci f*,p=0, pentru pM .

1.22.Observatie: Fie M varietate analitica reala n-dimensionala si fie TM=TpM. Atunci

TM este varietate analitica reala de dimensiune 2n.

Fie M si M’ doua varietati analitice si fie f:MM’ o aplicație analitica. Atunci aplicația f*:TM TM’ ,

Xp f*(Xp)=f*,p(Xp) este aplicație analitica.

1.23.Propozitie: Fie M, M1, M2 trei varietati analitice de dimensiuni finite.

Daca f1:M M1 si f2:M M2 sunt doua aplicații analitice , atunci funcția f:MM1M2 definita prin : f(x)=( f1(x), f2(x)) este aplicație analitica .

(ii) Daca f:MM1 si h:M1M2 sunt doua aplicații analitice, atunci (hf)*=h*f* si (IdM)*=IdTM.

1.24.Definitii: Fie M si M’ doua varietati analitice si fie f:M M’ o aplicație analitica .

1.24.1.Fie pM. Spunem ca f este imersie (respectiv submersie ) in punctul p daca aplicația liniara :

f*,p:TpMTf(p)M’ este injectiva (respectiv surjectiva).

1.24.2.Fie pM . Spunem ca f este difeomorfism local in punctul p daca aplicația liniara f*,p este izomorfism de spatii vectoriale.

1.24.3.Aplicatia f se numește imersie (respectiv submersie) daca f este imersie (respectiv submersie ) in orice punct pM.

1.24.4.Aplicatia f se numește difeomorfism local daca f este difeomorfism local in orice punct pM.

1.25.Definitie: Fie M,M’ doua varietati analitice si fie f:MM’ o aplicație analitica; f se numește difeomorfism analitic de la M in M’ daca f este difeomorfism local si aplicație injectiva.

§2.CONEXIUNI LINIARE.

VARIETATI PSEUDO-RIEMANNIENE.

2.1.Definitie: Se numește conexiune liniara pe varietatea analitica M orice aplicație

:X(M)X(M) X(M) ,care asociază oricărei perechi (X,Y) X(M)X(M) câmpul de vectori (X,Y)=XY X(M), cu următoarele proprietati:

(i) X+YZ=XZ+YZ , X,Y,Z X(M)

(ii) X(Y+Z)= XY+XZ , X,Y,Z X(M)

(iii) fXY=fXY , X,YX(M) , fℱ(M)

(iv) XfY= fXY+X(f)Y , X,YX(M) , fℱ(M) .

2.2.Definitii: Unei conexiuni liniare pe o varietate analitica M ii corespund doua câmpuri tensoriale T si R de tip (1,2) si respectiv (1,3), numite torsiunea si curbura conexiunii .

Aplicațiile T: X(M)X(M) X(M) si

R: X(M)X(M)X(M)X(M)

sunt definite prin formulele:

T(X,Y)=XY-YX-[X,Y] , X,YX(M);

R(X,Y)Z=XYZ-YXZ-[X,Y]Z , X,Y,ZX(M);

2.3.Definitie: Câmpul tensorial al lui Ricci se notează cu S si este un câmp de tensori asociat unei conexiuni liniare , de tip (0,2) si este definit prin:ua varietati analitice si fie f:MM’ o aplicație analitica; f se numește difeomorfism analitic de la M in M’ daca f este difeomorfism local si aplicație injectiva.

§2.CONEXIUNI LINIARE.

VARIETATI PSEUDO-RIEMANNIENE.

2.1.Definitie: Se numește conexiune liniara pe varietatea analitica M orice aplicație

:X(M)X(M) X(M) ,care asociază oricărei perechi (X,Y) X(M)X(M) câmpul de vectori (X,Y)=XY X(M), cu următoarele proprietati:

(i) X+YZ=XZ+YZ , X,Y,Z X(M)

(ii) X(Y+Z)= XY+XZ , X,Y,Z X(M)

(iii) fXY=fXY , X,YX(M) , fℱ(M)

(iv) XfY= fXY+X(f)Y , X,YX(M) , fℱ(M) .

2.2.Definitii: Unei conexiuni liniare pe o varietate analitica M ii corespund doua câmpuri tensoriale T si R de tip (1,2) si respectiv (1,3), numite torsiunea si curbura conexiunii .

Aplicațiile T: X(M)X(M) X(M) si

R: X(M)X(M)X(M)X(M)

sunt definite prin formulele:

T(X,Y)=XY-YX-[X,Y] , X,YX(M);

R(X,Y)Z=XYZ-YXZ-[X,Y]Z , X,Y,ZX(M);

2.3.Definitie: Câmpul tensorial al lui Ricci se notează cu S si este un câmp de tensori asociat unei conexiuni liniare , de tip (0,2) si este definit prin:

S(X,Y)=trace(ZR(X,Y)Y), unde R este curbura conexiunii .

Notație: S=Ricc.

2.4.Observatie: Consideram o conexiune liniara pe varietatea analitica M. Fie UM o submulțime deschisa si fie (e1,e2,…,en) un reper pe U. Definim componentele ale conexiunii prin:

ej=ek .

In raport cu reperul (e1,e2,…,en), componentele torsiunii T si respectiv ale curburii R se definesc prin:

T(ei,ej)=Tek;

R(ei,ej)ek=Rel .

Au loc egalitatile:

T=-;

R=ei()-ej()+-.

Componentele tensorului Ricci se introduc prin: S(ei,ej)=Rij si verifica egalitatile :

Rij=.

2.5.Definitie: Fie o conexiune liniara pe varietatea analitica M si c:IRM o curba analitica regulata. Notam cu c:ITM câmpul vectorial tangent curbei. Curba c se numește -autoparalela daca exista o funcție a:IR astfel încât c(t)c(t)=a(t)c(t), tI.

2.6.Observatii:

2.6.1.Printr-o schimbare convenabila de parametru pe curba c se poate face ca in ultima formula, membrul drept sa devină nul.

2.6.2.Doua conexiuni liniare simetrice si pe o varietate analitica M, admit aceleași curbe autoparalele daca si numai daca exista o 1-forma ω pe M astfel încât sa avem formula lui Weyl:

XY=XY+ω(X)Y+ω(Y)X, X,YX(M).

2.7.Definitie: Fie M o varietate analitica. O metrica pseudo-riemanniana pe M este un câmp tensorial g de tip (0,2) pe M care satisface următoarele condiții:

(i) g este simetrica, adică g(X,Y)=g(Y,X), X,YX(M)

(ii)pentru pM, aplicația gp:TpMTpMR este o forma biliniara nedegenerata si indexul lui gp este același oricare ar fi pM.

2.8.Definitie: O varietate pseudo-riemanniana este un cuplu (M,g) unde M este varietate analitica, iar g este o metrica pseudo-riemanniana pe M.

2.9.Observatie: Un caz particular de metrica pseudo-riemanniana pe M este metrica Riemann pe M obținuta înlocuind in definiția 2.7. condiția (ii) prin condiția

(ii’): gp este pozitiv definita , pM.

Perechea (M,g) se numește spațiu Riemann.

2.10.Observatie: Fie (M,g) o varietate pseudo-riemanniana si fie (e1,…,en) reper pe o mulțime deschisa UM. Componentele metricii g in acest reper se definesc prin: g(ei,ej)=gij.

Condițiile (i) si (ii) din definiția 2.7. sunt echivalente cu: gij=gji si matricea (gij)i,j{1,…,n} este nedegenerata.

2.11.Propozitie: Pe o varietate pseudo-riemanniana exista o unica conexiune liniara satisfăcând următoarele doua condiții:

i) T(X,Y)=XY-YX-[X,Y]=0 , X,YX(M);

ii) (Xg)(Y,Z)=X(g(Y,Z))-g(XY,Z)-g(Y,XZ)=0 , X,Y,ZX(M).

2.12.Definitie: Conexiunea liniara ce satisface condițiile i) si ii) din propoziția 2.11. este data de formula:

2g(XY,Z)=X(g(Y,Z))+Y(g(X,Z))-Z(g(X,Z))-g(Y,[X,Z])-g(Z,[X,Y])+g(X,[Y,Z]), X,Y,ZX(M).

Conexiunea ce satisface condițiile i) si ii) din propoziția 2.11. se numește conexiunea Levi-Civita asociata metricii g.

2.13.Definitii: Consideram o varietate pseudo-riemanniana (M,g). Fie conexiunea Levi-Civita asociata lui g, R câmpul tensorial de curbura al conexiunii , S tenorul Ricci.

2.13.1. Spațiul (M,g) se numește spațiu cu curbura constanta daca satisface egalitatea:

R(X,Y)Z=k{g(Z,Y)X-g(Z,X)Y}, X,Y,ZX(M), unde k este un număr real.

2.13.2. Spațiul (M,g) se numește spațiu Einstein daca exista o funcție constanta ℱ(M) astfel încât S=g.

2.14.Definitii: Fie si doua conexiuni liniare pe o varietate analitica M si fie A=- 21(M).

2.14.1.Daca se definește produsul a doua câmpuri de vectori X,YX(M) prin formula X*Y=A(X,Y), atunci ℱ(M)-modulul X(M) devine o ℱ(M)-algebra. Aceasta algebra se numește algebra de deformare asociata cuplului de conexiuni liniare (,) si o notam cu U(M,A).

2.14.2. Un element XU(M,A) se numește câmp 2-nilpotent daca A(X,X)=0;

2.14.3. Un element XU(M,A) se numește câmp principal daca exista o 1-forma ω pe M astfel încât A(Z,X)= ω(Z)X , ZX(M). Daca ω=0, atunci X se numește câmp special;

2.14.4. Un element XU(M,A) se numește câmp aproape principal daca exista o funcție fℱ(M) si o 1-forma ω pe M astfel încât A(Z,X)=fZ+ω(Z)X , ZX(M). Daca ω=0, atunci X se numește câmp aproape special.

2.15.Definitie: Fie (M,g) si (M’,g’) doua varietati pseudo-riemanniene. Un difeomorfism analitic h:MM’ izometrie daca gp(Xp,Yp)=g’h(p)(h*(Xp),h*(Yp)) , pentru pM si pentru orice vectori tangenți Xp,YpTpM.

2.16. Fie (M,g) o varietate pseudo-riemanniana. Tensorul de curbura R04(M) este definit prin :

R(X,Y,Z)W :=g(R(Z,W)Y,X) , X,Y,Z,WX(M) .

Fie UM, mulțime deschisa; (U,h) harta a varietatii M si (x1,…,xn) funcțiile coordonate in harta (U,h).

Notam R(,,,)=Rijklℱ(U).

Legătura dintre tensorul de curbura de tip (1,3) si tensorul de curbura de tip (0,4) este data de relațiile:

Rsijk=glsRlijk ; Rijkl=glsRsjkl .

Proprietati:

(i) Rijkl=-Rjikl ; Rijkl=-Rijlk ; Rijkl=Rklij ;

(ii) Prima identitate a lui Bianchi:

Rijkl+Rjkil+Rkijl=0;

(iii) A doua identitate a lui Bianchi:

Rijkl,s+Rijls,k+Rijsk,l=0 , unde Rijkl,s=(R)( ,,,).

2.17.Fie (M,g) varietate pseudo-riemanniana.

2.17.1.Definim curbura scalara prin :=trace(S) ℱ(M), unde S este câmpul tensorial al lui Ricci.

2.17.2.Fie pM un punct fixat, TpM un 2-plan, =Sp{X,Y}, pentru doua câmpuri X,YX(M).

Se numește curbura sectionala a lui , numărul :K()= .

CAPITOLUL Ⅱ

GENERALITATI ASUPRA GRUPURILOR SI ALGEBRELOR LIE

§1.GRUPURI LIE. DEFINITIE.EXEMPLE. PROPRIETATI

1.1.Definitie: Se numește grup Lie un triplet (G,A , ) unde G, verifica urmatoarele conditii:

i)mulțimea G este înzestrata cu o structura de grup: : GGG, notata multiplicativ: (x,y)=xy ;

ii)(G,A) este varietate analitica reala, de dimensiune finita n;

iii)aplicația :GGG este analitica

1.2.Exemple:

1.2.1. Rn inzestrat cu structura canonica de varietate analitica reala si cu structura de grup aditiv este un grup Lie.

:RnRnRn

(x,y) x+y=(x1+y1,x2+y2,…,xn+yn), x=(x1,x2,…,xn), y=(y1,y2,…,yn)Rn ; este aplicatie analitica (componentele lui sunt analitice).

Rn este grup Lie-abelian

-necompact

-conex

-de dimensiune finita n, cu elementul neutru e=(0,0,…,0)Rn 

1.2.2. Pe mulțimea R2\{0} se poate  introduce o structura de grup cu ajutorul numerelor complexe de modul nenul.

z=a1+ia2; z’=a’1+ia’2 , cu |z|0,|z’|0; i2=-1; a1,a2,a’1,a’2 numere reale;

zz’=a1a’1-a2a’2+i(a1a’1+a2a’2) ; |zz’|0;

Mulțimea G = R2\{0}, înzestrata cu legea de compozitie : GGG , definita prin:((a1,a2),(a’1,a’2))=(a’’1,a’’2), unde a’’1=a1a’1-a2a’2 ; a’’2=a1a’2+a2a’1, este grup. este aplicație analitica (componentele lui sunt functii analitice), iar G = R2\{0} este varietate analitica reala, 2-dimensionala, conform propozitiei 1.8. din primul capitolul, pentru ca G= R2\{0} este submulțime deschisa in varietatea analitica reala R2.

Deci, G= R2\{0} este grup Lie de dimensiune 2, abelian, necompact, conex, cu elementul neutru

e=(1,0) R2\{0}.

1.2.3. Daca in exemplul 1.2.2 consideram numerele complexe de modul 1: |z|=|z’|=1; z=a1+ia2; z’=a’1+ia’2 |zz’|==

==

==

==1.

In acest caz se obține o structura de grup Lie pe cercul S1 din planul euclidian. Cercul S1 este un grup Lie abelian ,conex, compact, de dimensiune 1. Elementul neutru al grupului S1 este e=(1,0).

1.2.4 Fie Mn(R) mulțimea matricilor pătratice de ordin n cu elemente in mulțimea numerelor reale.

Consideram mulțimea GL(n,R)={aMn(R)|det(a)0}. GL(n,R) se identifica cu o mulțime deschisa in , asociind fiecărei matrici (aij)i,j{1,…,n} punctual (a11,…,an1,…,a1n,…,ann) .

GL(n,R) este varietate analitica reala de dimensiune n2.

Consideram operația de inmultire a matricelor:

: GL(n,R)GL(n,R)GL(n,R)

(a,b) (a,b)=ab=c=(cij)i,j{1,…,n}

a=(aij)i,j{1,…,n};b=(bij) i,j{1,…,n} c=cij=aikbkj (sumare dupa k), împreuna cu care GL(n,R) devine grup.

este aplicatie analitica, rezulta ca GL(n,R) este grup Lie.

Grupul Lie GL(n,R) este numit grupul liniar general real si este un grup Lie neabelian (pentru n>1),neconex, necompact,de dimensiune n2. Elementul neutru in grup este e=In=(ij)i,j{1,…,n}.

1.2.5. Consideram multimea R4 si {1,i,j,k} o baza. Este valabila urmatoarea regula de inmultire:

1.i=i.1=i ; 1.j=j.1=j ; 1.k=k.1=k ;

i2=j2=k2=-1; ij=-ji=k; ik=-ki=j; jk=-kj=i;

q R4 q=x1+x2i+x3j+x4k .Conjugatul lui q este q-=x1-x2i-x3j-x4k.

|q|2=qq-=(x1)2+(x2)2+(x3)2+(x4)2.

In multimea G=R4\{0} se poate introduce o structura de grup Lie cu ajutorul cuaternionilor de modul nenul.

Definim inmultirea cuaternionilor :

: GGG

((x1,x2,x3,x4),(x’1,x’2,x’3,x’4))=(x’’1,x’’2,x’’3,x’’4)

x’’1=x1x’1-x2x’2-x3x’3-x4x’4

: x’’2=x1x’2+x2x’1+x3x’4-x4x’3

x’’3=x1x’3+x3x’1+x4x’2-x2x’4

x’’4=x1x’4+x4x’1+x2x’3-x3x’2

q=x1+x2i+x3j+x4k; q’=x’1+x’2i+x’3j+x’4k; qq’=x’’1+x’’2i+x’’3j+x’’4k;

|q|0; |q’|0; |qq’|0;

(G, ) este grup, este analitica, R4\{0} este varietate analitica reala, fiind multime deschisa in R4 , de dimensiune 4.Rezulta ca G este grup Lie de dimensiune 4, neabelian, conex si necompact.

Elementul neutru al grupului G este e=(1,0,0,0) R4\{0}.

1.2.6. Daca in exemplul 1.2.5. consideram cuaternionii de modul 1, se obtine o structura de grup Lie pe sfera unitate S3 (ca subgrup al grupului cuaternionolor nenuli).

Grupul Lie S3 este neabelian, compact, conex, de dimensiune 3.Elementul neutru al grupului este e=(1,0,0,0).

1.3.Observatie :Consideram multimea G=R si aplicatia

:GGG, definita prin: (x,y)= .

G este varietate analitica reala de dimensiune n=1, iar este lege de grup pe multimea G. Aplicatia nu este analitica ( nu este diferentiabila in 0),rezulta ca nu determina o structura de grup Lie pe varietatea analitica G.

1.4.Definitii : Fie G un grup Lie, e=elementul neutru al grupului, notam (x,y)=xy.

1.4.1.Aplicatia j:GG, definita prin j(x)=x-1 se numește aplicația de inversare in grupul G;

1.4.2.Fie aG. Aplicatia La:GG, definita prin:

La(x)=ax , se numește translația le stânga a grupului Lie G determinata de aG.

1.4.3. Aplicatia Ra:GG, definita prin

Ra(x)=xa , se numește translația la dreapta a grupului Lie G definita de aG.

1.5.Propozitie : Fie G un grup Lie, aG. Atunci aplicatia La:GG

xLa(x)=ax este un difeomorfism (analitic).

1.6.Propozitie: Fie G un grup Lie, aG. Atunci aplicația Ra:GG

xRa(x)=xa este un difeomorfism (analitic).

1.7.Propozitie: Fie G un grup Lie. Aplicația de inversare j:GG , j(x)=x-1 este un difeomorfism (analitic).

1.8.Propozitie: Fie G o variatate analitica de dimensiune finita înzestrata cu o structura de grup:

: GGG

(x,y) (x,y)=xy.

Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

i)G este grup Lie

ii)Aplicația definita pe produsul GG cu valori in G care asociază fiecărei perechi (x,y)GG elementul xy-1G este aplicație analitica.

1.9.Propozitie: Fie G si G’ doua grupuri Lie de dimensiune n si, respectiv n’.Atunci produsul direct GG’ este grup Lie de dimensiune n+n’.

Exemple:

i)Cilindrul real cu doua dimensiuni RS1 este un grup Lie de dimensiune 2.

ii)Torul n-dimensional Tn=S1…S1, produs in care factorul S1 apare de n ori, este un grup Lie abelian, compact si conex.

1.9.Definitie: Fie G un grup Lie, e=elementul neutru al grupului. Notam cu Ge=multimea punctelor din G care pot fi unite cu elementul neutru printr-un drum continuu conținut in G:

Ge={xG| fe,x:[0,1] G continua cu fe,x(0)=e si fe,x(1)=x}.

Ge se numeste componenta conexa a unitatii.

1.10.Propozitie: Fie G un grup Lie n-dimensional. Atunci Ge este un grup Lie n-dimensional.

1.11.Propozitie: Fie G un grup Lie de dimensiune n si fie TG=, unde TpG este spatiul liniar tangent la varietatea G intr-un punct oarecare pG. Atunci pe TG se poate introduce o structura

de grup Lie de dimensiune 2n.

§2.ALGEBRE LIE.DEFINITIE.EXEMPLE.PROPRIETATI

2.1.Definitie: Fie K un corp comutativ. Se numește algebra Lie peste corpul K, o mulțime L înzestrata cu o structura de K-spațiu vectorial si cu o aplicație :

[ , ]:LLL

(a,b)[a,b] (numita croșetul vectorilor a si b ), care satisface următoarele condiții:

(al 1) [a+b,c]= [a.c]+[b,c] , a,b,cL si ,K ;

(al 2) [a,b]+[b,a]=0 , a,bL (croșetul este anticomutativ);

(al 3) Identitatea lui Jacobi:

[[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=0 , a,b,cL.

2.2.Exemple:

2.2.1. Rn este algebra Lie.

Rn este spațiu vectorial real pe care definim crosetul [ , ]:RnRnRn

[x,y]=0 , x,y Rn .

Croșetul definit in acest fel verifica cele trei condiții din definiția algebrei Lie. Deci Rn este algebra Lie.

2.2.2.Fie K corp comutativ. Mn(K)=mulțimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente din corpul K este algebra Lie, impruna cu aplicația:[ , ]: Mn(K)Mn(K)Mn(K)

[a,b]=ab-ba , a,bMn(K).

Croșetul definit in acest fel verifica cele trei condiții din definiția algebrei Lie, iar Mn(K) formează un spațiu vectorial peste corpul K împreuna cu adunarea vectorilor (a,b) a+b si cu inmultirea cu scalari (,a)a , a,bMn(K) , K.

Prin urmare Mn(K) este o algebra Lie notata gl(n;K).

2.2.3.Spatiul euclidian R3 , împreuna cu operația [ , ]: R3R3R3

(a,b)[a,b]=ab R3 (produsul vectorial al vectorilor a si b.

Verificam proprietatile algebrei Lie:

(al 1): [a+b,c]=(a+b)c=ac+bc=[a,c]+[b,c] , a,b,cR3 , ,R;

(al 2): [a,b]+[b,a]=ab+ba= ab- ab=0 , a,bR3 ;

(al 3): [[a,b],c]+[[b,c],a]+[[c,a],b]=(ab)c+(bc)a+(ca)b=-c(ab)-a(bc)-b(ca) =

=<c,a>b-<c,b>a+<a,b>c-<a,c>b+<b,c>a-<b,a>c=0 (pentru ca produsul scalar este simetric).

2.2.4.Fie X(M) mulțimea câmpurilor de vectori tangenți la o varietate analitica M. Mulțimea X(M) împreuna cu operațiile de adunare a doua câmpuri de vectori ((X,Y)X+Y; (X+Y)(p)=Xp+Yp) si de inmultire a unui câmp de vectori cu un scalar ((,X)X ; R ; (X)(p)=Xp ) este un spatiu vectorial real.

Ca operație de inmultire in X(M) vom considera paranteza Poisson a doua câmpuri de vectori definita prin :

[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f)) , fℱ(M) .

In acest fel X(M) devine o algebra Lie reala, deoarece paranteza Poisson este antisimetrica, R-liniara in fiecare argument si satisface identitatea lui Jacobi :

[[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0 , X,Y,ZX(M).

2.3.Definitie: Fie L o algebra Lie. Se numeste subalgebra Lie a algebrei Lie L, un subspatiu vectorial L’ al lui L cu proprietatea ca [a,b]L’ , a,bL’.

2.4.Propozitie : Fie L o algebra Lie peste un corp comutativ K si fie E1,E2,…,ErL. Daca

[Ei,Ej]Sp{E1,E2,…,Er} , pentru orice i,j{1,2,…,r}, atunci Sp{E1,E2,…,Er} este o subalgebra Lie notata cu L’ a algebrei Lie L. ( Se mai spune ca E1,E2,…,Er genereaza liniar subalgebra L’).

2.5.Definitie: Fie L o algebra Lie peste corpul comutativ K. Fie {E1,E2,…,En} o baza in spatiul vectorial L. Relațiile [Ei,Ej]=cijkEk se numesc ecuațiile de structura ale algebrei Lie L, iar scalarii cijkK,

pentru i,j,k{1,2,…,n}, se numesc constantele de structura ale algebrei Lie L relative la baza {E1,E2,…,En}.

2.6.Propozitie: Fie L o algebra Lie de dimensiune finita n si fie {E1,…,En} o baza in L. Constantele de structura cijk (relative la baza considerata) sunt antisimetrice in indicii i si j si verifica relatiile patratice ale lui Lie :

cijrcrks+cjkrcris+ckircrjs=0 , cu sumare dupa r si pentru orice indici i,j,k,s {1,2,…,n}

2.7.Definitie: Fie L si L’ doua algebre Lie (peste corpul comutativ K). Spunem ca L si L’ sunt izomorfe daca exista un izomorfism liniar (de spatii vectoriale) h:LL’ astfel încât [h(a),h(b)]=h([a,b]) pentru a,bL.

§3.ALGEBRA LIE A UNUI GRUP LIE

3.1.Definitie: Fie G un grup Lie si XX(G). Câmpul X se numeste camp de vectori stang invariant daca (La)(X)=X , aG , unde La este translatia la stanga a grupului Lie G, definita de elementul aG.

Observatie : Analog se definesc câmpurile de vectori drept invariante, pentru care (Rb)(X)=X , bG unde Rb este translația la dreapta a grupului Lie G, definita de elementul bG.

Notatie :L(G)=mulțimea câmpurilor stâng invariante pe G;

R(G)=mulțimea câmpurilor drept invariante pe G .

Observatie: X(G) L(G) ;X(G) R(G).

3.2.Propozitie: Fie G un grup Lie. Mulțimea L(G) a câmpurilor de vectori stâng invariante pe grupul Lie G este o subalgebra Lie a algebrei Lie X(G).

L(G) se mai numește algebra Lie a grupului Lie G.

Observație: Analog, mulțimea R(G) a câmpurilor de vectori drept invariante pe grupul Lie G este o subalgebra Lie a algebrei Lie X(G).

3.3.Propozitie: Fie G un grup Lie. Algebra Lie L(G) a grupului Lie G este de dimensiune finita n=dimG.

Observație: Daca G este un grup Lie de dimensiune finita n, atunci subalgebra Lie R(G) a algebrei Lie X(G) este de dimensiune finita n=dimG.

3.4.Propozitie: Fie G un grup Lie de dimensiune finita n si {E1,E2,…,En} o baza in algebra Lie L(G) a grupului Lie G. Atunci, orice câmp XX(G) se scrie sub forma: X=fiEi , cu convenția de sumare Einstein , unde fiℱ(G) pentru i{1,2,…,n}.

3.5.Propozitie: Fie G un grup Lie, e=elementul neutru al grupului si XX(G). Atunci, următoarele afirmații sunt echivalente :

(i) XL(G);

(ii) X(a)=(La)(Xe) , aG;

(iii) X(b)=(Lba-1)(Xa), a,bG.

3.6.Propozitie: Fie G un grup Lie, XL(G) si fℱ(G). Atunci:

(i) daca exista un punct aG cu Xa=0 X(b)=0 , bG;

(ii) X se anulează intr-un punct aG X este câmpul nul;

(iii) X 0 si fX L(G) f este constanta.

3.7.Propozitie: Câmpurile de vectori stâng sau drept invariante pe grupul aditiv Rn sunt câmpurile constante.

§4.SUBGRUPURILE CU UN PARAMETRU ALE UNUI GRUP LIE

4.1.Definitie: Un subgrup cu un parametru al unui grup Lie G este un homomorfism al grupului aditiv Lie al numerelor reale R in G, adică o aplicație analitica

:RG , astfel încât

(t+s)= (t)(s) , t,sR

este un homomorfism :RG. Notând cu mulțimea subgrupurilor cu un parametru ale lui G, rezulta ca aplicația :L(G) este bijectiva.

4.2.Propozitie: Fie :RG un subgrup cu un parametru al grupului Lie G.Atunci lui i se asociaza un camp stâng invariant XL(G). In plus, X este complet, fiind asociat acțiunii :RGG ,

definita prin: (t,a)=a(t) , tR , aG.

Observație : In condițiile propoziției 4.2., consideram vectorul Xe=(t=0)TeG. Cu ajutorul vectorului Xe construim câmpul stâng invariant XL(G) asociat lui , folosind punctul (ii) din propoziția 3.5. :

X(a)=(La)(Xe)=(La)((t=0)). Deci lui i-am asociat un câmp stâng invariant X prin formula:

X(a)=(Laº)(t=0).

In plus, X este complet si asociat acțiunii :RGG , (t,a)=a(t). Reciproc, acțiunii i se asociază un câmp de vectori tangenți varietatii G, care in orice punct aG ne da vectorul: (a)( t=0), unde a(t)=(t,a).

Notație : Pentru a pune in evidenta faptul ca subgrupul cu un parametru e este determinat de câmpul stâng invariant XL(G), vom mai folosi notația e=X.

Observație : Fie L(G) algebra Lie a unui grup Lie G. Conform definiției un subgrup cu un parametru al lui G este un homomorfism de grupuri Lie :RG. Daca notam cu mulțimea subgrupurilor cu un parametru ale lui G, rezulta ca : L(G) este aplicație bijectiva.

Pentru un subgrup cu un parametru oarecare , elementul ()L(G) este câmpul stâng invariant asociat acțiunii :RGG , definita prin (t,a)=a(t).

4.3.Exemplu : Fie L(Rn) algebra Lie a grupului Lie aditiv Rn. Pentru un câmp oarecare XL(Rn) se poate determina grupul cu un parametru asociat câmpului si subgrupurile cu un parametru ale grupului Lie Rn.

Un câmp XL(Rn) se scrie X=ai , ai=constante pentru i=1,2,…,n.

Traiectoriile câmpului X sunt date de sistemul: =ai , i=1,2,…,n.

Din acest sistem, rezulta ca

Xi=ait+bi , unde bi sunt constante, i=1,2,…,n.

Daca notam cu xi0=xi(0), rezulta bi=xi0.

Deci traiectoria centrata in punctul p0=(x10,…,xn0) este curba parametrizata

p(t):RRn , definita prin p(t)=(a1t+x10,…,ant+xn0).

Variind punctul p0Rn , obținem acțiunea :RRnRn , data prin

(t,p)=(a1t+x1,…,ant+xn) , unde p=(x1,…,xn) Rn.

Pentru p=e=(0,0,…,0) Rn obținem e(t)=(a1t,…,ant).

Rezulta ca subgrupurile cu un parametru ale lui Rn sunt date de :

RRn

t(a1t,…,ant)

Prin urmare, subgrupurile cu un parametru ale lui Rn se identifica cu dreptele din Rn ce trec prin origine.

4.4.Propozitie : Fie G un grup Lie si fie :RG o curba analitica inG cu (0)=e, unde cu e am notat elementul neutru al grupului. Notam cu Xe= (0). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :

(i) este subgrup cu un parametru ;

(ii) satisface ecuația diferențiala : (t)=(L(t)) (Xe).

Observație : Tinand seama de identificarea L(G)TeG

XXe ,

Rezulta ca poate fi privita si ca bijectie, intre L(G) si TeG data de Xe , Xe=t=0=(0).

CAPITOLUL Ⅲ

INVARIANA PE GRUPURI LIE

§1.CONEXIUNI LINIARE STANG INVARIANTE PE UN GRUP LIE

1.1.Definitie : Fie G un grup Lie si fie o conexiune liniara pe G. Spunem ca este conexiune stâng invarianta pe G daca (La)( XY)=(La)(X) (La)(Y) , X,YX(G) , aG.

Observație : Analog se definesc conexiunile drept invariante pe G. O conexiune care este simultan stâng si drept invarianta se numește conexiune bi-invarianta .

1.2.Propozitie : Fie G un grup Lie si fie {E1,…,En} o baza in algebra Lie L(G).

Consideram o conexiune liniara pe varietatea G.Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

(i) este conexiune stâng invarianta pe G;

(ii) XYL(G) , X,YL(G);

(iii) EiEjL(G) , i,j{1,2,…,n}.

1.3.Propozitie: Fie o conexiune liniara pe un grup Lie G. Definim conexiunile liniare :

t, s :X(G)X(G)X(G) , prin: tXY=YX+[X,Y], sXY=(XY+tXY) , X,YX(G).

(t este transpusa conexiunii , iar s este conexiunea simetrica asociata lui ).

Daca este conexiune stâng invarianta atunci si conexiunile liniare t, s sunt stâng invariante.

1.4.Propozitie : Fiecărei conexiuni liniare stâng invariante pe un grup Lie G ii corespunde o unica aplicație b R-biliniara definita pe L(G)L(G) cu valori in L(G) si reciproc, fiecărei aplicații R-biliniare b:L(G)L(G)L(G) ii corespunde o unica conexiune liniara stâng invarianta pe grupul Lie G.

Observație: In condițiile propoziției 1.4. avem b(X,Y)=XY.

1.5.Observație : i)Fie XTeG. Exista un unic camp X1L(G) astfel încât X1(e)=X. Deoarece

X1(a)=(La)(X), aG,

rezulta ca X1(a)(f)= (La)(X)(f), fℱ(G),

adică X1(f)(a)=X(fºLa), fℱ(G), aG.

Fie :RG o curba analitica astfel incat (0)=e si (0)=X.

Din egalitatea : X=(t=0) , rezulta ca pentru orice a G si orice fℱ(G),avem:

X(fºLa)= (La)(X)(f)= (Laº )(t=0)(f)= t=0 (f(Laº (t)))={ f(a(t))}t=0

Am obținut deci egalitatea :

X1(f)(a)={ f(a(t))}t=0 , fℱ(G), aG.

ii) Fie X,Y TeG si fie X1,Y1L(G) cu X1(e)=X si Y1(e)=Y. Atunci [X1,Y1] L(G).

Vectorul [X1,Y1](e) il vom nota cu [X,Y]. Spațiul vectorial TeG cu operatia (X,Y)[X,Y] este o algebra Lie reala.

1.6.Propozitie: Fie G un grup Lie. Exista o corespondenta bijectiva intre mulțimile :

{:X(G)X(G)X(G)| este conexiune stâng invarianta pe G} si

{ b:TeGTeGTeG| B este R-biliniara} data de b(X,Y)= X1Y1 , X,YTeG.

1.7.Propozitie: Fie o conexiune liniara stâng invarianta pe grupul Lie G si fie b:L(G)L(G)L(G) aplicația R-biliniara data de b(X,Y)= XY , X,YL(G).

Următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) conexiunea este bi-invarianta;

(ii) aplicatia b este AdG-invarianta, adica satisface relația:

(Ad a)(b(X,Y))=b((Ad a)(X),(Ad a)(Y)) , aG , X,YL(G).

§2.METRICI RIEMANNIENE SI PSEUDO-RIEMANNIENE

STÂNG INVARIANTE SI BI-INVARIANTE

2.1.Definitie: Fie G un grup Lie de dimensiune n si g o metrica pseudo-riemanniana pe G. Spunem ca g este stâng invarianta daca este invarianta la toate translațiile la stânga.

Observatie: Analog se definesc metricile pseudo-riemanniene drept invariante pe grupul Lie G.(g este drept invarianta daca este invarianta la toate translațiile la dreapta).

2.2.Observatii:

(i) g este stâng invarianta aG avem (La)*g=g.

(ii)Fie M si M’ doua varietati arbitrare si :MM’ diferentiabila, pM.

dp=,p:TpMT(p)M’ este liniara.

*:T*(p)M’ T*pM;

* se poate extinde la multimea campurilor de tensori in urmatorul fel :

* : 0k(M’)0k(M) , 0k(M’)

*()(x1,…,xk)=:(p)(,p(x1),…,,p(xk)) , unde pM , x1,…,xkTpM .

* se numeste aplicatia ”imagine inversa”

In particular, pentru k=2, (La)* este un camp tensorial de tip (0,2).

(iii) Daca X,YX(G) , unde G este un grup Lie, atunci g este stâng invarianta

[(La)*g](X,Y)=g(X,Y) g((La)X,(La)Y)=g(X,Y) aG , adica translațiile la stânga sunt izometrii.

2.3.Definitie: O metrica pseudo-riemanniana pe un grup Lie G se numește bi-invarianta daca ea este simultan stâng si drept invarianta.

2.4.Propozitie: Fie G un grup Lie, {E1,…,En} o baza in algebra Lie L(G) a grupului Lie G si g o metrica pseudo-riemanniana pe G. Următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) g este stang invarianta;

(ii)X,YL(G), funcția g(X,Y) este constanta ;

(iii) i,j{1,2,…,n}, g(Ei,Ej) este funcție constanta.

2.5.Propozitie: Fie G un grup Lie, g o metrica pseudo-riemanniana stâng invarianta pe G . Atunci conexiunea Levi-Civita asociata lui g este conexiune stâng invarianta.

Observație : Analog, unei metrici pseudo-riemanniene drept invariante i se asociaza o conexiune Levi-Civita drept invarianta.

In concluzie, unei merici bi-invariante i se asociaza o conexiune bi-invarianta.

2.6.Observatie:

2.6.1.Fie G un grup Lie , g o metrica pseudo-riemanniana pe G: pG;

gp :TpGTpGR este R-biliniara, simetrica si nedegenerata, adica (gp(X,Y)=0, YTpG)X=0.

Exemple de metrici pseudo-riemanniene :

(i)gp este pozitiv definita ;

(ii)gp este negativ definite ;

(iii)gp este de tip Lorenz, in sensul ca signatura este (-1,1,…,1).

Conform teoremei lui Sylvester gp poate avea una si numai una din signaturile : (1,1,…,1) ;

(-1,1,…,1);(-1,-1,1,…,1) ;… ;(-1,-1,…,-1).

Numarul de semne ’’-’’ se numește index si se notează .

Daca G este neconexa presupunem indexul constant (in cazul in care G este conex indexul este constant).

2.6.2.Fie M o varietate pseudo-riemanniana oarecare, n-dimensionala si fie pM. Atunci (TpM,gp) este spatiu vectorial pseudo-euclidian .

Daca =0 (TpM,gp) este spatiu vectorial euclidian.

Daca =n (maxim) (TpM,-gp) este spatiu vectorial Euclidian.

2.7.Propozitie:Fie G un grup Lie n-dimensional.Fie{E1,…,En} baza in algebra Lie a grupului Lie G, L(G).Fie {0,1,…,n} si =(-1,…,-1,1,…,1), unde factorul cu ”-“ apare de ori iar cel pozitiv de n- ori. Atunci o metrica pseudo-riemanniana g pe G stâng invarianta si cu proprietatea ca

g(Ei,Ej)=iij i,j{1,…,n}, unde ij este 1 daca i=j si 0 daca ij.

2.8.Propozitie :Fie G un grup Lie n-dimensional, g o metrica pseudo-riemanniana de index , stâng invarianta pe G. Atunci :

(i) o forma biliniara simetrica, nedegenerata pe L(G), canonic asociata lui g prin B(X,Y):=g(X,Y), X,YL(G).

(ii) Reciproc, fie B :L(G) L(G)R o forma biliniara simetrica, nedegenerata pe L(G).Atunci o metrica pseudo-riemanniana g pe G stâng invarianta astfel incat g|e=B.

2.9.Teorema de caracterizare pentru metricile bi-invariante:

Fie G un grup Lie n-dimensional, e=elementul neutru al grupului, g o metrica pseudo-riemanniana stâng invarianta pe G, Fie B:L(G) L(G)R aplicatia R-biliniara, simetrica, nedegenerata asociata lui g.

Următoarele afirmații sunt echivalente:

(i) geodezicele varietatii (G,g) prin e sunt subgrupurile cu un parametru ale lui G;

(ii) XL(G), XX=0 , unde este conexiunea Levi-Civita asociata lui g ;

(iii) B(X,[X,Z])=0 , X,ZL(G);

(iv) B(X,[Y,Z])+B(Y,[X,Z])=0 , X,Y,ZL(G) ;

(v) g(adXY,Z)+g(Y,adXZ)=0, X,Y,ZL(G) ,

unde adX este aplicatia adjuncta adx: L(G)L(G) data prin: adX(Y)=[X,Y] , YL(G) ;

(vi) adX+adX*=0, XL(G) , adX fiind aplicația adjuncta;

(vii) g este metrica drept invarianta (din ipoteza g este metrica stang invarianta, deci g este metrica bi-invarianta);

(viii) Ia este izometrie aG ,

unde aplicația Ia: GG este definita prin: Ia(x)=axa-1 , xG; (ix) j este izometrie ,

unde j: GG este aplicația de inversare definita prin: j(x)=x-1.

2.10.Observatie: Fie {E1,…En} o baza in algebra Lie L(G) a grupului Lie G. Atunci, egalitatea (ii) din teorema de caracterizare a metricilor bi-invariante se scrie (luand X=Ei ; Z=Ej):

B(Ei,[Ei,Ej])=0 , i,j{1,2,…,n} B(Ei,cijkEk)=0 , i,j{1,2,…,n} cijkB(Ei,Ek)=0, i,j{1,2,…,n} cijkgki=0 , i,j{1,2,…,n}, unde gik=B(Ei,Ek) . 2.11.Observatie: In general, pe un grup Lie G nu exista neapărat o metrica bi-invarianta. Conform teoremei 2.9. avem existenta pe un grup Lie G a unei metrici pseudo-riemanniene stang invariante pe G, in particular o metrica riemanniana.

Pentru existenta metricilor riemanniene bi-invariante avem urmatorul rezultat:

2.12.Propozitie: Fie G un grup Lie compact. Atunci exista o metrica riemanniana bi-invarianta pe G.

2.13.Propozitie: Fie g o metrica pseudo-riemanniana arbitrara bi-invarianta pe un grup Lie G. Atunci conexiunea Levi-Civita asociata metricii g este bi-invarianta.

2.14.Observatie: Fie G un grup Lie, XL(G)=algebra Lie a grupului Lie G, adX:L(G)L(G) endomorfism al algebrei Lie L(G), adX(Y)=[X,Y].

Notam cu Bk:L(G) L(G)R ; Bk(X,Y):=trace{adX º adY};

adX, adYEnd(L(G)), unde cu End(L(G)) am notat mulțimea endomorfismelor de la L(G) cu valori in L(G) adX º adYEnd(L(G)) are sens trace{adX º adY}.

Proprietati ale aplicației Bk:

(i) Bk este forma biliniara pe L(G):

Bk(X1+X2,Y)=Bk(X1,Y)+Bk(X2,Y) , X1,X2,YL(G)

Bk(X,Y1+Y2)=Bk(X,Y1)+Bk(X,Y2) , X,Y1,Y2L(G)

Bk(X,Y)=Bk(X,Y) , X,YL(G) R

(ii) G este semisimplu daca Bk este nedegenerata , adica daca Bk(X,Y)=0 pentru orice YL(G), atunci X=0.

2.15.Definitie: Bk se numește forma Killing a grupului Lie G.

2.16.Rezultate importante privind metricile stang invariante pe grupuri Lie:

Teorema lui Shur: Daca (M,g) este o varietate pseudo-riemanniana, conexa, de dimensiune n3 si orice punct este de izotropie (adica curbura sectionala in punctul respectiv este aceeași, oricare ar fi 2-planul nedegenerat), atunci (M,g) este cu curbura sectionala constanta.

J.Milnor a demonstrat ca daca G este un grup Lie care aparține clasei , atunci pentru orice metrica riemanniana stâng invarianta pe G, G are curbura sectionala constanta si negativa.

(Un grup Lie G necomutativ si de dimensiune n3 este din clasa daca pentru orice doua campuri stâng invariante X,Y din L(G), [X,Y] este o combinație liniara de X si Y. Am pus condiția ca grupul Lie G sa fie neabelian si de dimensiune cel puțin 3, pentru ca grupurile Lie abeliene si grupurile Lie de dimensiune 2 sunt exemple de grupuri din clasa , ca si produsele de grupuri din cele doua categorii).

Daca g este o metrica de tip Lorenz (adică de signatura (-,+,…,+) ) pe grupul Lie G din clasa , atunci un rezultat datorat lui K.Nomizu ne asigura ca G este cu curbura sectionala constanta.

Recent, G.Pripoae a stabilit urmatoarea teorema : ’’Fie G un grup Lie conex de dimensiune n3 . Presupunem ca pentru orice doua câmpuri stâng invariante X si Y, câmpul [X,Y] este o combinatie liniara de X si Y. Atunci pentru orice metrica pseudo-riemanniana stâng invarianta pe G, grupul G are curbura sectionala constanta.’’

Demonstratie :

Fie X,YL(G). Atun ci exista o 1-forma l, stâng invarianta pe G astfel incat

[X,Y]=l(X)Y-l(Y)X, X,YL(G). (1)

Presupunem ca g este metrica de signatura . Fie un 2-plan nedegenerat si {u,v} o baza ortonormala a lui , cu u,v L(G).

Consideram {e1,…,en} baza in L(G), cu e1:=u; e2:=v. Avem: g(ei,ej)= iij , unde primele constante i sunt (-1), ultimile (n-) fiind (+1). Notam cu ckij constantele de structura asociate acestei baze, constante ce verifica :

[ei,ej]=ckijek.

Determinam forma generala a curburii sectionale K()=K(e1,e2).

Formula lui Koszul pentru conexiunea Levi-Civita a unei metrici stâng invariante este :

2g(XY,Z)=g([X,Y],Z)+g([Z,X],Y)-g([Y,Z],X), unde X,Y,Z L(G). In particular,

eiej= k(ckijk+cjkij+cijki)ek.

Rezulta: K(e1,e2)= =12g(e1e2e2-e2e1e2-[e1,e2]e2,e1) ,

De unde obtinem:

K(e1,e2)= 12{ck12(-ck12k+c12k1+c2k12)-

-k(ck12k-c12k1+c2k12)(ck12k+c12k1-c2k12)-12kc2k2c1k1} (2)

Relatia (1) se mai scrie :

ckij=likj-ljki (1’)

Cu notatia li=l(ei). Avem cijk=0, pentru ijki si li=cjij pentru ji.

1-forma l este stâng invarianta, deci:

|| l ||2:= =constanta

Inlocuind (1’) in (2), obtinem:

K()= -{(c212)21+(c121) 2+}=

= -{ 1(l1)2+ = -|| l ||2

Rezulta ca curbura sectionala depinde numai de structura de algebra Lie si de metrica g, si ca este independenta de alegerea 2-planului .

Observație : Daca G este de clasa si g este bi-invarianta, atunci G este cu curbura nula.

CAPITOLUL Ⅳ

CURBURA GRUPURILOR PSEUDO-RIEMANNIENE

1.Definitie: Un grup Lie G împreuna cu o metrica pseudo-riemanniana bi-invarianta se numește grup pseudo-riemannian.

2.Observatii:

2.1. Fie g o metrica pseudo-riemanniana stâng invarianta pe un grup Lie G si B:L(G) L(G)R forma biliniara, simetrica asociata lui G. Folosind teorema de caracterizare a metricilor bi-invariante (teorema 2.9.) si observatia 2.10. din capitolul 3, paragraful 2, obținem ca următoarele afirmații sunt echivalente:

(i)(G,g) este grup pseudo-riemannian;

(ii) B(X,[X,Z])=0, X,ZL(G);

(iii) B(X,[Y,Z])=B(Y,[X,Z]) , X,Y,ZL(G);

(iv) geodezicele prin elementul neutru e al grupului, sunt subgrupurile cu un parametru;

(v) g este invarianta fata de aplicația de inversare ;

(vi) g((Ia)(X), (Ia)(Y)) ºIa=g(X,Y) , X,YL(G), aG,

unde pentru aG Ia: GG este definita prin: Ia(x)=axa-1 , xG;

(vii) g(adXY,Z)+g(Y,adXZ)=0 , X,Y,ZL(G);

(viii) cijkgki=0 , i,j{1,2,…,n} unde cijk sunt constantele de structura ale algebrei Lie L(G) relative la baza {E1,…,En}, iar gij=g(Ei,Ej).

2.2.Un grup Lie G împreuna cu o metrica Riemann bi-invarianta se numește grup riemannian.

3.Propozitie: Fie G un grup Lie, g o metrica pseudo-riemanniana stâng invarianta pe G, conexiunea Levi-Civita a spațiului pseudo-riemannian (G,g) si fie B:L(G) L(G)R si

b: L(G) L(G)L(G), aplicațiile R-biliniare asociate lui g respectiv .Daca notam:

a(X,Y)= {b(X,Y)-b(Y,X)};

S(X,Y)= {b(X,Y)+b(X,Y)}, atunci X,Y,Z,WL(G) avem:

(i) g(XY,Z)= {g([X,Y],Z)-g([Y,Z],X)+g([Z,X],Y)};

(ii) a(X,Y)= [X,Y];

(iii)B(S(X,Y),Z)= {B([Z,X],Y)+B(X,[Z,Y])};

(iv) g(X,R(Z,W)Y)= {g(Y,[[Z,W],X])-g([[Z,W],Y],X)-g([[Y,X],Z],W)+g([[Y,X],W],Z)}+ {g([Z,Y],[W,X])-g([W,Y],[Z,X])}+g([Y,X],[Z,W])+g(S(X,W),S(Z,Y))-g(S(X,Z),S(W,Y)),

unde R este câmpul tensorial de curbura al conexiunii , de tip (1,3) pe G.

4.Propozitie: Fie (G,g) un grup pseudo-riemannian. Notam cu conexiunea Levi-Civita a spațiului pseudo-riemannian (G,g) si fie R31(G) câmpul tensorial de curbura al conexiunii . Atunci, pentru orice câmpuri X,Y,ZL(G) avem:

(i) XY+ YX=0; (ii) XY=[X,Y]; (iii) R(X,Y)Z= -[[X,Y],Z]; (iv) g(X,R(Z,W)Y)= g([X,Y],[Z,W]).

Demonstratie:

(i)(G,g) este grup pseudo-riemannian g este metrica bi-invarianta. Aplicam observația 2.1. punctul (iii) B(X,[Y,Z])=B(Y,[X,Z]) , X,Y,ZL(G) , unde

B:L(G) L(G)R este aplicație R-biliniara asociata lui g.

Folosind propoziția 3, punctul (iii) B(S(X,Y),Z)= {B([Z,X],Y)+B(X,[Z,Y])}=0 , X,Y,ZL(G)

B este nedegenerata S(X,Y)=0 , X,YL(G)

S(X,Y)= {XY+YX} XY+YX=0 , X,YL(G) (i)

(ii) conform punctului (i) XY=-YX , X,YL(G)

este simetrica torsiunea T=0 XY-YX-[X,Y]=0 , X,YL(G) XY-YX=[X,Y]

2XY=[X,Y] XY=[X,Y] , X,YL(G) , adică (ii)

(iii)conform definiției R(X,Y)Z=XYZ-YXZ-[X,Y]Z , X,Y,ZL(G)

conform punctului (ii) XY=[X,Y] , X,YL(G) si înlocuim in formula de definiție a lui R R(X,Y)Z=X([Y,Z])- Y([X,Z])- [[X,Y],Z]=

=[X,[Y,Z]]- [Y,[X,Z]] -[[X,Y],Z]=

=[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]] -[[X,Y],Z]= =([X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]) -[[X,Y],Z]

Aplicam identitatea lui Jacobi: [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]+[Z,[X,Y]]=0 , X,Y,Z

[X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]]=-[Z,[X,Y]]=[[X,Y],Z]

R(X,Y)Z=[[X,Y],Z] -[[X,Y],Z]= -[[X,Y],Z]

(iv) conform punctului precedent g(X,R(Z,W)Y)=g(X, -[[Z,W],Y])= -g(X,[[Z,W],Y])=

=g(X,[Y,[Z,W]])=B(X,[Y,[Z,W]])

g este bi-invarianta B(X,[Y,[Z,W]])=B([X,Y],[Z,W]) , X,Y,Z,WL(G)

g(X,R(Z,W)Y)= g([X,Y],[Z,W]) , X,Y,Z,WL(G) , adică afirmația (iv). 5.Propozitie: Cu notațiile anterioare, fie g un grup Lie si g o metrica Riemann stâng invarianta pe G. Fie X,Y doua câmpuri ortonormale din algebra Lie L(G) a grupului Lie G (X,Y sunt ortonormale , adică g(X,X)=g(Y,Y)=1; g(X,Y)=0). Atunci:

(i)curbura sectionala a 2-planului generat de X si Y este:

K(X,Y)={g([[X,Y],X],Y)+g(X,[Y,[X,Y]])}-g([X,Y],[X,Y])+g(S(X,Y),S(X,Y))-g(S(X,X),S(Y,Y));

(ii)daca (G,g) este grup riemannian, atunci:

K(X,Y)= g([X,Y],[X,Y]);

(iii)curbura sectionala a grupului riemannian (G,g) este nenegativa

si este nula algebra Lie L(G) este abeliana.

Demonstratie :

(i) Conform definiției K(X,Y)= =

Câmpurile X,Y sunt ortonormale K(X,Y)=g(X,R(X,Y)Y)

Conform propoziției 3, punctul (iv)

g(X,R(X,Y)Y)= {g(Y,[[X,Y],X])-g([[X,Y],Y],X)-g([[Y,X],X],Y)+g([[Y,X],Y],X)}+ {g([X,Y],[Y,X])-g([Y,Y],[X,X])}+g([Y,X],[X,Y])+g(S(X,Y),S(X,Y))-g(S(X,X),S(Y,Y)),

K(X,Y)={g(Y,[[X,Y],X]+g([[Y,X],Y].X)}-g([X,Y],[X,Y])+g(S(X,Y),S(X,Y))-g(S(X,X),S(Y,Y))

(ii)aplicam punctul (iv) din propoziția anterioara, g(X,R(Z,W)Y)= g([X,Y],[Z,W]), pentru X,Y,Z:=X si W:=Y K(X,Y)= g(X,R(X,Y)Y)= g([X,Y],[X,Y])

(iii)g este metrica Riemann g este pozitiv definite K(X,Y)= g([X,Y],[X,Y]) 0, deci curbura sectionala este nenegativa;

K(X,Y)=0 g([X,Y],[X,Y])=0 [X,Y]=0 X,YL(G), adică L(G) este abeliana.

6.Observație: Conform propoziției anterioare, punctul (iii), rezulta ca un grup Riemann are întotdeauna curbura sectionala pozitiva.

Exista grupuri Lie înzestrate cu metrici Riemann stâng invariante, dar care nu sunt bi-invariante si a căror curbura sectonala este negativa.

7.Propozitie: Fie (G,g) un grup pseudo-riemannian. Atunci, tensorul lui Ricci este dat de relația:

Ric|L(G)= -Bk ,

unde Ric|L(G) este restricția la L(g) a tensorului Ricci, iar Bk este forma Killing a algebrei Lie L(G).

Demonstratie:

Conform definiției Ric(X,Y)=trace(ZR(Z,X)Y),

Conform propoziției 4, punctul (iii) R(Z,X)Y= -[[Z,X],Y]

Rezulta, ca pentru orice X,Y L(G) avem:

Ric(X,Y)= -trace(Z[[Z,X],Y])=

= -trace(ZadYºadXZ)= -trace(adXºadY)= -Bk(X,Y).

8.Corolar: Fie G un grup Lie semisimplu si g:=Bk metrica pseudo-riemanniana bi-invarianta. Atunci (G,g) este spațiu Einstein.

Demonstratie:

Aplicam direct propoziția 7 , conform căreia Ric= -Bk

Din ipoteza, g=Bk , rezulta Ric=-g. Deci Ric si g sunt proporționale, rezulta (G,g) este spațiu Einstein.

9.Exemple de grupuri riemanniene cu curbura nula:

9.1.Fie G=R2\{0}.

Legea in raport cu care G devine grup este:

GG((a1,a2),(a’1,a’2))(a’’1,a’’2) G,

unde

a’’1=a1a’1-a2a’2,

a’’2=a1a’2+a2a’1

R2 este varietate analitica 2-dimensionala si R2G , G mulțime deschisa.

Aplicația in raport cu care G devine grup este analitica (componentele sunt analitice).

Deci G este grup Lie.

Fie (x1,x2) funcțiile coordonate ale varietatii G. Atunci {,} formează o baza a ℱ(G)-modulului X(G).

Un câmp X=Xi X(G) este stâng invariant daca:

(1)X(a)=(La)(Xe) aG, unde e=(1,0) este elementul neutru al grupului, iar La este translația la stânga a grupului Lie G definita de elementul aG.

Aplicam funcția coordonata xi relației (1), obținem:

Xi(a)=(La)(Xe)(xi)

(2) Xe(xi ºLa)=Xi(a).

Pentru aG, avem : xiºLa(a’)=xi(aa’)=a’’i , i=1,2.

Pe componente:

x1ºLa(a’)=x1(a)x1(a’)-x2(a)x2(a’)

x2ºLa(a’)=x1(a)x2(a’)+x2(a)x1(a’) a’G

Rezulta:

x1ºLa=x1(a)x1-x2(a)x2

x2ºLa=x1(a)x2+x2(a)x1

Inlocuind aceste relații in (2),rezulta:

X1(a)=x1(a)X1(e)-x2(a)X2(e)

X2(a)=x1(a)X2(e)+x2(a)X1(e)

Rezulta: X=(X1(e)x1-X2(e)x2)+(X2(e)x1+X1(e)x2) X=Xi(e)Ei , unde

E1= x1+x2

E2= -x2+x1 {E1,E2} este baza in algebra Lie L(G).

Din ultimile doua egalitati rezulta:

=E1-E2

=E1+E2

Consideram pe G metrica Riemann g:X(G)X(G)ℱ(G) , definita prin g(Ei,Ej)= ij.

Fie gij=g(,). Rezulta ca g11=g22=; g12=g21=0 ;

Simbolurile lui Christoffel construite cu ajutorul metricii g sunt:

| | = -| |=| |=| |=-

| | = -| |=-| |=-| |=.

Deoarece R1212=0 , rezulta ca R1212=0 si deci, (G,g) este spațiu cu curbura constanta nula.

Observații:

(i) Calculând croșetele [Ei,Ej]=0 , pentru orice i,j=1,2. Rezulta ca algebra Lie L(G)este abeliana . Conform propoziției 4 , conexiunea Levi-Civita asociata metricii g este data de: EiEj=0, pentru orice i,j=1,2 . Rezulta:

R(Ei,Ej)Ek=EiEjEk-EjEiEk-[Ei,Ej]Ek=0 , ceea ce ne arata ca R(X,Y)Z=0 , pentru orice câmpuri X,Y,Z din X(G), adică (G,g) este spațiu cu curbura constanta nula.

(ii)Deoarece algebra Lie L(G) este abeliana, iar relația B(X,[Y,Z])=B([X,Y],Z) este satisfăcuta pentru orice câmpuri X,Y,Z stâng invariante pe G, conform teoremei de caracterizare a metricilor bi-invariante obtinem ca g este o metrica bi-invarianta pe G.

Conform propoziției 4, câmpul tensorial de curbura este dat de relația:

g(X,R(Z,W)Y)= g([X,Y],[Z,W]), de unde rezulta R=0, algebra Lie L(G) fiind abeliana.

9.2. Consideram mulțimea G={(x,y,z)R3|(y2-z2)x0} si aplicația

:GGG

definita prin:

((x,y,z),(x’,y’,z’))=(xx’,yz’+y’z,yy’+zz’)

astfel definite este lege de grup pe mulțimea G.

G este varietate analitica reala de dimensiune 3 iar este aplicație analitica.

Rezulta ca varietatea G cu legea data este grup Lie de dimensiune trei.

O baza in algebra Lie L(G) a grupului Lie G este {E1,E2,E3}, unde:

E1=x1;

E2=x3+x2;

E3=x2+x3.

Fiecare croșet [Ei,Ej]=0 , i,j{1,2,3}, rezulta ca algebra Lie L(G) este abeliana. Folosind propoziția 4 si definiția tensorului de curbura, rezulta ca

R(Ei,Ej)Ek=EiEjEk-EjEiEk-[Ei,Ej]Ek=0 i,j,k{1,2,3}, de unde rezulta ca R(X,Y)Z=0, pentru orice câmpuri X,Y,Z stâng invariante pe G, deci R=0.

10. Exemplu de grup Riemann cu curbura neconstanta:

Consideram grupul Lie G=R4\{0}din exemplul 1.2.5. (capitolul 2, paragraful 1).

Legea in raport cu care G devine grup este

:GGG

((x1,x2,x3,x4),(x’1,x’2,x’3,x’4))=(x’’1,x’’2,x’’3,x’’4)

x’’1=x1x’1-x2x’2-x3x’3-x4x’4

: x’’2=x1x’2+x2x’1+x3x’4-x4x’3

x’’3=x1x’3+x3x’1+x4x’2-x2x’4

x’’4=x1x’4+x4x’1+x2x’3-x3x’2

Fie (x1,x2,x3,x4) funcțiile coordonate ale varietatii G.

Atunci { ,,,} formează o baza in ℱ(G)-modulul X(G).

Un câmp X=Xi X(G), unde Xi ℱ(G), este stâng invariant daca (3) X(a)=(La)(Xe) aR4\{0}, unde e=(1,0,0,0) este elmentul neutru al grupului G si unde La este translația la stânga a grupului alie G definita de elementul aG.

Aplicam funcția coordonata xi relației (3), obținem:

Xi(a)=(La)(Xe)(xi)

(4) Xe(xi ºLa)=Xi(a).

Pentru aG, avem : xiºLa(a’)=xi(aa’)=a’’i , i=1,2,3,4

Pe componente:

x1ºLa(a’)=x1(a)x1(a’)-x2(a)x2(a’)-x3(a)x3(a’)-x4(a)x4(a’);

x2ºLa(a’)=x3(a)x4(a’)-x4(a)x3(a’)+x1(a)x2(a’)+x2(a)x1(a’);

x3ºLa(a’)=x4(a)x2(a’)-x2(a)x4(a’)+x1(a)x3(a’)+x3(a)x1(a’);

x4ºLa(a’)=x2(a)x3(a’)-x3(a)x2(a’)+x1(a)x4(a’)+x4(a)x1(a’)

Aceste relații sunt valabile pentru a’G, rezulta :

x1ºLa=x1(a)x1-x2(a)x2-x3(a)x3-x4(a)x4;

x2ºLa=x3(a)x4-x4(a)x3+x1(a)x2+x2(a)x1;

x3ºLa=x4(a)x2-x2(a)x4+x1(a)x3+x3(a)x1;

x4ºLa=x2(a)x3-x3(a)x2+x1(a)x4+x4(a)x1.

Calculând membru drept din relațiile(4), rezulta:

Xe(x1ºLa)=x1(a)X1(e)-x2(a)X2(e)-x3(a)X3(e)-x4(a)X4(e);

Xe(x2ºLa)=x3(a)X4(e)-x4(a)X3(e)+x1(a)X2(e)+x2(a)X1(e);

Xe(x3ºLa)=x4(a)X2(e)-x2(a)X4(e)+x1(a)X3(e)+x3(a)X1(e);

Xe(x4ºLa)=x2(a)X3(e)-x3(a)X2(e)+x1(a)X4(e)+x4(a)X1(e).

Rezulta ca, pentru aG, avem :

X(a)=Xi(a) a=Xe(xiºLa) a= (x1(a)X1(e)-x2(a)X2(e)-x3(a)X3(e)-x4(a)X4(e))|a+

+ (x3(a)X4(e)-x4(a)X3(e)+x1(a)X2(e)+x2(a)X1(e))|a+

+( x4(a)X2(e)-x2(a)X4(e)+x1(a)X3(e)+x3(a)X1(e))|a+

+(x2(a)X3(e)-x3(a)X2(e)+x1(a)X4(e)+x4(a)X1(e))|a .

Rezulta ca orice câmp stâng invariant pe grupul Lie R4\{0} se scrie sub forma X=Xi(e)Ei ,unde

E1=x1+x2+x3+x4

E2=-x2+x1+x4-x3

E3=-x3-x4+x1+x2

E4=-x4+x3-x2+x1

Fie L(G) algebra Lie a grupului Lie G.

Aplicația f:L(G)TeG

Xf(X)=Xe

este un izomorfism liniar.

Deoarece f(Ei)=Ei(e)= e , rezulta ca {E1,E2,E3,E4} formează o baza in algebra Lie L(G).

Fie ckij constantele de structura ale ale algebrei Lie L(G) relative la baza {E1,E2,E3,E4};

[Ei,Ej]=ckijEk.

Rezulta ca, constantele de structura sunt:c234=c342=c423= -c243= -c324= -c432=2, restul fiind 0.

Consideram pe G metrica g definita prin: g(Ei,Ej)= ij pentru i,j{1,2,3,4}.

g este metrica stâng invarianta. Calculam suma ckijgkj=c1ijg1j+c2ijg2j+c3ijg3j+c4ijg4j=0, de unde rezulta ca g este bi-invarianta (folosind observația 2.10., din capitolul 3, paragraful 2).

Rezulta ca (G,g) este grup riemannian.

(G,g) nu este varietate cu curbura constanta.

Demonstrație:

Daca presupunem ca (G,g) este spațiu cu curbura constanta , rezulta ca exista k un număr real astfel încât K(U,V)=k, pentru orice doua câmpuri pe G.

Conform propoziției 5, avem: g([U,V],[U,V]). Folosind acesta formula pentru U:=E2 si V:=E3,

obtinem: K(E2,E3)= g([E2,E3],[E2,E3])= g(2E4,2E4)=g(E4,E4)=1.

Folosind aceeași formula pentru U:=E1, V:=E2, rezulta:

K(E1,E2)= g([E1,E2],[E1,E2])=0.

Egalitatile K(E2,E3)=1, K(E1,E2)=0 contrazic presupunerea conform careia spatiul (G,g) este cu curbura constanta.

Rezulta ca, spatiul (G,g)este spatiu Riemann cu curbura neconstanta.

11.Exemplu de spatiu Riemann cu curbura constanta negativa:

Consideram aplicatia R2R2 R2 , data prin:

((a1,a2),(a’1,a’2))(a’’1,a’’2)

unde a’’1=a1+a’1+k-a

a’’2=a2+a’2 cu k0.

Legea data determina pe R2 o structura de grup Lie .

Fie (x1,x2) funcțiile coordonate ale varietatii R2 si fie {,} baza canonica a ℱ(R2)-modulului

X(R2).

Un câmp X=Xi X(R2) este stâng invariant daca:

(1)X(a)=(La)(Xe) a R2, unde e=(0,0) este elementul neutru al grupului, iar La este translația la stânga a grupului Lie R2 definita de elementul a R2.

Aplicam funcția coordonata xi relatiei (1), obținem:

Xi(a)=(La)(Xe)(xi)

(2) Xe(xi ºLa)=Xi(a).

Pentru a R2, avem : xiºLa(a’)=xi(aa’)=a’’i , i=1,2.

Pe componente:

x1 ºLa(a’) =x1(a)+x1(a’)k-x(a)

x2 ºLa(a’)=x2(a)+x2(a’)

Rezulta : x1 ºLa=x1(a)+x1k-x(a)

x2 ºLa=x2(a)+x2

Obtinem : X(a)=Xi(a) a=X1(e)k-x(a) |a+X2(e)|a.

Rezulta ca orice câmp stâng invariant pe grupul Lie R2se scrie sub forma:

X=X1(e) k-x +X2(e)

Fie L(G) algebra Lie a grupului Lie G.

Aplicația f:L(G)TeG , G=R2 ,

Xf(X)=Xe

este un izomorfism liniar de spatii vectoriale.

Deoarece f(Ei)=Ei(e)= e , rezulta ca {E1,E2} formează o baza in algebra Lie L(G).

Avem [E1,E2]=(ln k)E1. Rezulta, constantele de structura ale algebrei Lie L(G) relative la baza considerata sunt nule in afara de : c112= -c121=ln k.

E1= k-x = kxE1

E2=.

Componentele gij=g(,) ale metricii g sunt: g11=k2x ;g12=g21=0; g22=1;

Simbolurile lui Christoffel de prima speța sunt: |12,1|=|21,1|= -|11,2|=k2xln k.

Simbolurole lui Christoffel de speta a doua sunt toate nule in afara de :

| |=| |=ln k si | |= -k2xln k.

R1212=| |-| |+| || |+| || |-| || |-| || |= -(ln k)2 .

Rezulta ca R1212=g11R1212= -k2x (ln k)2 .

Deoarece det(g)=g11g22-(g12)2=k2x , rezulta ca R1212=k(g11g22-(g12)2) , unde k= -(ln k)2.

Prin urmare (R2,g) este spațiu cu curbura constanta negativa.

Observație: Metrica g nu este bi-invarianta.

Daca presupunem ca g este bi-invarianta, rezulta, conform teoremei de caracterizare a metricilor bi-invariante , ca pentru orice X,Y din algebra Lie L(R2) avem:

B(X,[X,Y])=0.

Fie X=E1 si Y=E2 g(E1,[E1,E2])=ln k , k1 ln k0 g nu poate fi bi-invarianta.

Acest exemplu ne da o metrica care este stâng invarianta dar nu este bi-invarianta.

BIBLIOGRAFIE

1.Ianus S. Geometrie diferentiabila cu aplicații in teoria relativitatii.

Editura Academiei R.S.R., București (1983)

2.Mihai I. Capitole speciale de geometria varietatilor complexe.

Editura Universitatii București (1994)

3.Nicolescu L. Grupuri Lie

Editura Universitatii București (1994)

4.Nicolescu L. Grupuri si algebre Lie

Tipografia Universitatii București (1993)

5.Nicolescu L.,Pripoae G., Zara C. Teoreme si probleme de grupuri Lie

Editura Universitatii București (1996)

6.Nicolescu L., Popovici I. Grupuri si algebre Lie (Exemple. Aplicații geometrice)

Centrul de multiplicare al Universitatii București (1981)

7.Pripoae G. Journal of the Indian Mathematrical Society.Vol. 58 No. 3(1992)

8.Teleman K. Introducere in geometria diferențiala

Tipografia Universitatii București (1986)