Curbe Si Suprafete DIN Geometria Diferentiala Modelate In Geogebra

Politehnica

Curbe Si Suprafete DIN Geometria Diferentiala Modelate In Geogebra

Byadmin ianuarie 1, 2024

CURBE ȘI SUPRAFEȚE DIN GEOMETRIA DIFERENȚIALĂ MODELATE ÎN GEOGEBRA

CUPRINS

INTRODUCERE:

CAPITOLUL I. ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENȚIALĂ A CURBELOR PLANE

1.1. Noțiuni generale în geometria diferențială

1.2. Reprezentarea analitică, ecuații ale curbelor plane. Exemple în Geogebra

1.3.Tangenta și normal la o curbă plană. Curbe netede

1.4. Clase remarcabile de curbe plane

CAPITOLUL II. GEOMETRIA DIFERENȚIALĂ A CURBELOR ÎN SPAȚIU

2.1. Reprezentarea analitică a curbelor în spațiu

2.2. Tangenta, planul normal, normala și binormala la o curbă în spațiu

2.3. Formulele lui Frenet. Calculul curburii și al torsiunii

CAPITOLUL III. SUPRAFEȚE ÎN SPAȚIUL EUCLIDIAN TRIDIMENSIONAL

3.1. Cercetarea analitică a unei suprafețe și planul tangent

3.2. Prima formă fundamentală a unei suprafețe

3.3. Curburi principale. Curbură totală și medie

3.4. Clase remarcabile de suprafețe. Exemple în Geogebra

CONCLUZII

BIBLIOGRAFIE

ANEXE

INTRODUCERE:

Geometria diferențială este o ramură a matematicii, care combină geometria analitică cu analiza matematică. Geometria diferențială studiază curbele și suprafețele cu mijloacele analizei, în special prin calcul diferențial și integral, cu scopul de a calcula lungimea totală sau parțială a unei curbe precum și alți parametrii ai acesteia cum ar fi subtangenta, subnormala.

Geometria diferențială își începe studiul din punctul în care ecuațiile curbelor și ale suprafețelor sunt cunoscute. Văzută din acest unghi poate fi considerată o continuare a geometriei analitice.

Geometria diferențială are ca scop definirea și înțelegerea intrinsecă a spațiului și a ideii de curbură. Nu se descrie spațiul fizic, ci un spațiu abstract care, în mod aproape miraculos, se pliază corect pe modelarea unor teorii cu baze experimentale, ca teoria relativității sau mecanica cuantică.

Scopul lucrării constă în studierea curburilor și suprafețelor clasice în geometria diferențială cu mijloacele analizei matematice și a geometriei analitice cât și posibilitatea de realizare grafică a problemelor analizate.

Scopul lucrării are ca obiective:

realizarea unei sinteze a geometriei diferențiale;

reprezentarea analitică a ecuațiilor unor curbe și suprafețe;

analiza unor curbe plane și suprafețe remarcabile;

realizarea grafică a unor exemple de curburi și suprafețe realizate cu softul “Geogebra”.

Crearea unor simulări interactive a unor curburi și suprafețe în spațiu realizate cu softul “Geogebra”.

În lucrarea de față, mi-am propus să realizez aceste obiective pe parcursul a trei capitole. Denumirile capitolelor semnifică și o clasificare în geometria diferențială, după modul de cercetare a marilor matematiciieni, care au realizat următoarea clasificare:studierea curbelor în plan, studierea curbelor în spațiu și a suprafețelor în spațiul Euclidian tridimensional.

Capitolul 1, intitulat: Elemente de geometrie diferențială a curbelor plane, se referă, pe parcursul a patru subcapitole, la studiul noțiunilor generale de geometrie diferențială, tangentă și normală la curba plană, lungimea unui arc de curbă plană, curbură și rază de curbură, element de arc, puncte multiple ale unei curbe plane.

De asemenea, sunt reprezentate clase remarcabile de curbe plane, des utilizate în tehnică, a căror reprezentare grafică sunt realizate cu softul “Geogebra”.

Capitolul 2, intitulat: Geometria diferențială a curburilor în spațiu, include reprezentarea curbelor în spațiu, se extinde studiul curbelor din plan în spațiu, a noțiunilor de: tangentă, plan normal, normala principală, binormala, curbura, torsiune. Sunt prezentate de asemenea câteva clase remarcabile de curbe în spațiu fiind realizate cu softul “Geogebra.

Capitolul 3, intitulat „Suprafețe în spațiu Euclidian tridimensional„. Aici se realizează studiul noțiunilor de: curba trasată pe suprafață, curbe coordonate, normala, prima forma fundamentală, secțiune normală, plan tangent la o suprafață, curburi normale și tangențiale, curburi principale, curbura totală și medie.

Sunt de asemenea prezentate câteva clase remarcabile de suprafețe. Pentru realizarea grafică a figurilor incluse în această lucrare am utilizat un soft numit „Geogebra„ recomandat de mulți matematicieni. Cu ajutorul acestui soft putem modela diverse figuri, suprafețe cît și o multitudine de probleme de geometrie.

CAPITOLUL I. ELEMENTE DE GEOMETRIE DIFERENȚIALĂ A CURBELOR PLANE

Noțiuni generale în geometria diferențială

Multe probleme semnificative de fizică, chimie, inginerie cer în formularea lor matematică determinarea unei funcții care, împreună cu derivatele sale, satisface o relație dată. Astfel de relații se numesc ecuații diferențiale. Pentru studierea ecuațiilor diferențiale este necesară o clasificare a acestora. Clasificarea uzuală este cea legată de numărul variabilelor independente de care depinde funcția necunoscută. Dacă funcția necunoscută depinde de o singură variabilă independentă spunem, că avem de-a face cu o ecuație diferențială ordinară.

În cazul în care funcția necunoscută depinde de mai multe variabile independente și în relația respectivă apar și derivatele parțiale ale funcției necunoscute, relația se numește ecuație cu derivate parțiale. În mod curent, în locul denumirii de ecuație diferențială ordinară se folosește cea de ecuație diferențială.

Denumirea de ecuație diferențială a fost folosită prima dată de G.W. Leibniz (1646-1716) în 1676 într-o accepțiune apropiată de cea de azi. Dezvoltarea ecuațiilor diferențiale a fost în strânsă legătură cu dezvoltarea integralei. Au fost identificate clase de ecuații diferențiale rezolvabile prin cuadraturi (integrări).[2]

Începuturile geometriei diferențiale se găsesc în lucrările lui Leibniz (1646-1716) și sunt legate de începuturile analizei matematice. În a doua jumătate a secolului al XVII-lea a fost elaborată teoria curbelor plane și în prima jumătate a secolului al XVIII-lea, Euler (1707-1783) a cercetat curburile secțiunilor normale ale suprafețelor, a dat definiția direcțiilor principale și a curburii unei suprafețe, proprietățile suprafețelor desfășurabile și unele proprietăți ale curbelor în spațiu.

A doua etapă în dezvoltarea geometriei diferențiale a fost inaugurată de G. Monge, care în lucrarea „Application de l’analyse a la geometrie”, publicată în 1795, construiește teoria curbelor în spațiu. S-a ocupat, de asemenea, cu studiul generării suprafețelor prin curbe.[3]

A treia etapă în dezvoltarea geometriei diferențiale o inaugurează K. Gauss (1777-1855), care s-a ocupat de teoria suprafețelor, pornind de la geodezie.

Contribuții la dezvoltarea acestei teorii au avut de asemenea: J. Schouten, G. Darboux, E.J. Cartan, G. Fubini, I.N. Lobacevski, I. Bolyai, E. Beltrami, F. Klein, H. Poincaré, B. Riemannși alții.

Printre matematicienii care au adus contribuții remarcabile la dezvoltarea ecuațiilor diferențiale se numără Isac Newton (1642-1727), precum si membrii celebrei familii (de matematicieni) Bernoulli între care remarcam pe Jakob Bernoulli (1654-1705), Johann Bernoulli (1667-1748) și Daniel Bernoulli (1700-1782). Urmează J. Riccati (1776-1754), L. Euler (1707-1783), J. Lagrange (1736-1813). Secolul al XlX-lea este caracterizat de cercetări în problema existenței, unicității și comportării soluțiilor unei ecuații diferențiale. A. Cauchy (1789-1857), R. Lipschitz (1832-1903) și G. Peano (1858-1932) au impus metoda liniilor poligonale (utilizată anterior și de Euler) ca metoda eficientă de demonstrare a existenței locale a soluției unei ecuații diferențiale cu condiții inițiale. [2]

Primele cercetări asupra ecuațiilor diferențiale au vizat existența soluțiilor (eventual determinarea explicită a acestora atunci când acest lucru este posibil) sau aproximarea acestora.

În partea a doua a secolului al XlX-lea s-au pus bazele teoriei moderne a stabilității prin lucrările matematicianului rus A.M. Liapunov (1857-1918) care, în teza sa de doctorat, a definit principalele concepte de stabilitate.

Contribuții anterioare în această direcție au avut H. Poincare (1854-1912) și J.C. Maxwell (1831-1879) în studiul stabilității mișcării corpurilor cerești.

Acestea sunt elementele care sunt cuprinse în teoria clasică a ecuațiilor diferențiale. Secolul al XX-lea a însemnat un salt calitativ în abordarea ecuațiilor diferențiale prin introducerea unor metode noi precum cea a gradului topologic etc. De asemenea, s-a extins studiul ecuațiilor diferențiale la spații infinit dimensionale unde s-au obținut rezultate notabile.

Cercetând problema coardei vibrante, J.E. D’Alembert (1717-1753) a obținut în 1747 prima ecuație cu derivate parțiale. Ulterior, L. Euler a lărgit clasa ecuațiilor cu derivate parțiale și a introdus noțiunea de unicitate a soluției unei ecuații.

Marii matematicieni ai vremii, între care D. Bernoulli, J. Lagrange, P. Laplace (1749-1827) și alții, au fost preocupați de acest domeniu al matematicii care începea să prindă contur. J. d’Alembert, L. Euler si D. Bernoulli au fost primii care, pornind de la câteva probleme concrete, au avut ideea căutării soluției unei ecuații cu derivate parțiale sub forma unei serii trigonometrice. Această idee a fost luată și perfecționată de J. Fourier (1758-1830), care a folosit-o pentru rezolvarea ecuației propagării căldurii.[1]

S-a conturat o ramura nouă a analizei matematice: teoria seriilor Fourier. Un alt moment important în dezvoltarea ecuațiilor cu derivate parțiale îl constituie observarea de către P. Laplace (1749-1827) a faptului ca potențialul interacțiunii dintre două mase satisface o relație cunoscută azi sub numele de ecuația lui Laplace.

S-a constatat ca fenomene de aceeași natură au loc în electrostatică și teoria magnetismului. Acest fapt a dus la crearea de către G. Green (1793-1841), K.F. Gauss (1777-1855) și S.D. Poisson (1781-1840) a teoriei potențialului.

Secolul al XIX-lea a fost marcat de descoperiri fundamentale în domeniul analizei matematice prin rezultate datorate lui A. Cauchy și mai târziu lui K. Weierstrass (1815-1897). Aceste rezultate și-au pus amprenta și asupra ecuațiilor diferențiale și cu derivate parțiale. A fost fundamentată teoria soluțiilor analitice de către A. Cauchy și S. Kovalevsky (1850-1891). Lucrările lui V. Volterra (1860-1940) și I. Fredholm (1866¬1927) au dus la crearea teoriei ecuațiilor integrale care a facilitat demonstrarea existenței soluțiilor pentru probleme la limită în special în teoria potențialului.

In 1904, D. Hilbert (1862-1943) a deschis câmpul soluțiilor slabe pentru ecuații cu derivate parțiale construind aceste soluții pentru problema Dirichlet ca minimizanți ai integralei Dirichlet asociate. Evident că aceste soluții nu sunt soluții clasice pentru problema Dirichlet.

În această lucrare, Hilbert a formulat un program de extindere a conceptului de soluție care sa includă problemele variaționale ce nu au soluții clasice. Progresele realizate la mijlocul secolului al XX-lea de analiza funcțională si teoria distribuțiilor au condus la noi metode de investigare a ecuațiilor cu derivate parțiale.

Rezultate notabile au fost obținute de J. Schauder (1899-1943), S. Sobolev (1908-1980), L. Schwartz, J. Leray.

Primul geometru român, ale cărui lucrări de geometrie diferențială s-au impus atenției matematicienilor din întreaga lume, este Gh. Țițeica (1873-1939). Deoarece el a introdus și studiat o clasă de curbe și una de suprafețe, astăzi el este considerat unul din creatorii geometriei diferențiale centro-afine, care astăzi în și poată numele.

In ultimul timp un impact deosebit în studiul ecuațiilor diferențiale și cu derivate parțiale îl are tehnica de calcul din ce în ce mai performantă care oferă rezultate de aproximare a soluțiilor, foarte bune din punct de vedere practic. În acest fel, cercetările teoretice de existență, comportare în raport cu datele etc. sunt completate de rezultate numerice foarte utile.

Studiul fenomenelor naturii i-a condus pe oamenii de știință la crearea unor modele matematice care să cuprindă într-o formulare S. Sobolev (1908-1980), L. Schwartz, J. Leray.

Primul geometru român, ale cărui lucrări de geometrie diferențială s-au impus atenției matematicienilor din întreaga lume, este Gh. Țițeica (1873-1939). Deoarece el a introdus și studiat o clasă de curbe și una de suprafețe, astăzi el este considerat unul din creatorii geometriei diferențiale centro-afine, care astăzi în și poată numele.

In ultimul timp un impact deosebit în studiul ecuațiilor diferențiale și cu derivate parțiale îl are tehnica de calcul din ce în ce mai performantă care oferă rezultate de aproximare a soluțiilor, foarte bune din punct de vedere practic. În acest fel, cercetările teoretice de existență, comportare în raport cu datele etc. sunt completate de rezultate numerice foarte utile.

Studiul fenomenelor naturii i-a condus pe oamenii de știință la crearea unor modele matematice care să cuprindă într-o formulare abstractă principalele caracteristici ale acestora. Pentru fenomenele evolutive cel mai potrivit model s-a dovedit acela dat sub forma unei ecuații (sau sistem de ecuații) diferențiale.

Într-o formulare aproximativă prin ecuație diferențială se înțelege o ecuație în care necunoscuta este o funcție de una sau mai multe variabile care apare (în ecuație) alături de derivatele sale până la un anumit ordin.

Ordinul maxim al acestor derivate se numește ordinul ecuației. Studiul ecuațiilor diferențiale într-o manieră sistematică beneficiază de o clasificare a acestora.

Cea mai uzuală clasificare este cea dată de numărul de variabile independente de care depinde funcția necunoscută. În cazul în care funcția necunoscută depinde de mai multe variabile independente, iar în ecuație apar efectiv derivatele funcției în raport cu aceste variabile, ecuația se numește cu derivate parțiale. Dacă însă funcția necunoscută depinde de o singura variabilă, ecuația se numește ordinară.

Probabil cel mai cunoscut model de ecuație diferențială ordinară este cel dat de legea lui Newton

(1.1)

care exprimă legea de mișcare a unui punct material de masă asupra căruia acționează o forță . În relația de mai sus , reprezintă poziția, viteza și respectiv accelerația punctului material la momentul .

Dacă, de exemplu, este forța de gravitație, atunci relația (1.1) se scrie sub forma

(1.2)

care, prin integrare, conduce la:

,

și fiind constante oarecare.

Așadar, problema determinării legii de mișcare a unui punct material sub acțiunea unei forțe (care depinde de poziția și viteza punctului material) revine la aflarea unei funcții care verifică o ecuație diferențială de ordinul al doilea de forma

(1.3)

Forma generală a unei ecuații diferențiale de ordinul este

(1.4)

În anumite condiții, ecuația (4) se poate scrie sub forma echivalentă

(1.5)

numită și forma normală. Precizăm că pentru simplificarea expunerii, atunci când nu este pericol de confuzie, se renunță la scrierea argumentului funcției necunoscute.

Prin soluție a ecuației diferențiale ordinare (1.5) pe intervalul înțelegem o funcție pentru care există derivatele și verifică relația (5) pe , adică

(.

Mulțimea soluțiilor unei ecuații diferențiale se numește soluție generală. Pentru a individualiza una dintre soluții sunt necesare informații suplimentare despre aceasta.[4]

Această problemă legată de condițiile care asigură existența și unicitatea soluției unei ecuații diferențiale ordinare a fost studiată pentru prima dată de matematicianul francez Augustin Cauchy la începutul secolului al XlX-lea. Odată stabilit un rezultat de existență și unicitate pentru o ecuație diferențială, rămâne problema determinării efective a soluției. S-a demonstrat că de cele mai multe ori acest lucru este imposibil – clasa ecuațiilor diferențiale rezolvabile prin cuadraturi (integrări) fiind foarte restrânsă. Tehnica de calcul foarte performantă permite aproximarea soluției unei ecuații diferențiale cu o acuratețe suficient de bună, diminuând astfel interesul pentru găsirea soluției exacte.

Totuși, exprimarea soluției printr-o formulă explicită rămâne un fapt incitant și util, motiv pentru care am și introdus un paragraf ce conține câteva tipuri de ecuații diferențiale rezolvabile prin cuadraturi.[5]

1.2. Reprezentarea analitică, ecuații ale curbelor plane. Exemple în Geogebra

Fie) planul () în care s-a fixat un sistem de coordonate carteziene

Definiția 1.1. Se numește arc simplu de curbă plană, o mulțime () de puncte M din plan ale căror coordonate carteziene în raport cu reperul ortonormat =al lui și vectorii de poziție satisfac una din următoarele relații:

() : , (1.6)

() : , (1.7)

() : (1.8)

() : , (1.9)

unde funcțiile satisfac condițiile:

sunt reale, uniforme și continue;

funcțiile și stabilesc o corespondență biunivocă și bicontinuă între punctele () și mulțimea valorilor parametrului real ;

admit derivate de ordinul întâi continue.

Relațiile de mai sus (1.6-1.9) se numesc respectiv reprezentarea analitică implicită sau ecuația implicită a arcului simplu de curbă plană (), reprezentarea analitică explicită sau ecuația explicită a arcului simplu de curbă plană (), reprezentarea analitică parametrică sau ecuațiile parametrice ale arcului simplu de curbă plană () și reprezentarea vectorială sau ecuația vectorială a arcului simplu de curbă plană ().

Definiția 1.2. Se numește arc regulat de curbă plană, mulțimea () a punctelor M din , ale căror coordonate carteziene , în raport cu reperul ortonormat =al lui și vectorii de poziție satisfac ecuația (1.6), sau ecuația (1.7), sau sistemul (1.8), sau ecuația (1.9), unde funcțiile satisfac condițiile de regularitate:

sunt reale, uniforme și continue;

funcțiile și stabilesc o corespondență biunivocă și bicontinuă între punctele () și mulțimea valorilor parametrului real ;

admit derivate de ordinul întâi continue.

În intervalele considerate sunt îndeplinite relațiile:

unde:

Se numește arc regulat de ordinul n, sau clasă n un arc regulat de curbă plană (), pentru care funcțiile admit derivate (parțiale, respective ordinare) continue până la și inclusive ordinal n>1, astfel încât nu toate derivatele de acelaș ordin să se anuleze.

Se numește curbă regulată de ordinul n, sau curbă de clasă n, o reuniune de arce regulate de ordinul n, care au extremitățile, eventual, puncte singulare, adică:

Definiția 1.3. Se numește punct singular al unei curbe plane, punctul în care este îndeplinită cel puțin una din condițiile de regularitate.

Se numește punct ordinar al unei curbe plane, punctul în care sunt îndeplinite toate condițiile de regularitate.

Pentru a studia curbele plane este nevoie de ecuațiile lor, adică de reprezentările lor analitice. Se pot studia curbele plane în doua moduri:

fie se pleacă de la o reprezentare analitică, adică de la ecuația sau ecuațiile curbei;

fie se stabilește ecuația curbei, prin determinarea ei ca loc geometric, adică se pleacă de la o anumită proprietate a ei.

1.3.Tangenta și normal la o curbă plană. Curbe netede

Raportăm planul la reperul natural și considerăm curba

Fie un punct regulat al curbei. Se știe că dreapta care trece prin și are ca vector director pe se numește tangenta la curba în . Deoarece suntem în plan, hiperplanul normal se reduce la o dreaptă, numită normala curbei.

Definiția 1.4. Dreapta care trece prin punctul regulat și este perpendiculară pe se numește normala curbei în punctul . Într-un punct regulat fixat, , tangenta și normala la curbă au respectiv ecuațiile:

dacă este un punct singular de ordinul atunci dreapta care trece prin și are ca vector director pe se numește tangenta curbei în puctul .

Definiția 1.5. Fie un punct singular de ordinul pentru curba . Dreapta care trece prin punctul și este perpendicular pe se numște normala curbei în punctul .

Într-un punct singular de ordinul , , tangenta și normala la curbă au respectiv ecuațiile:

Observație. Segmentul de pe tangentă (normală) determinat de punctul de pe curbă și de intersecția acestei tangente (normale) cu, se numește segment tangentă (normală). Proiecția acestui segment pe se numște subtangentă ( subnormală) (Fig. 1, PT-segment tangentă, PN-segment normală, ST-subtangentă, SN-subnormală).

Fig.1

Segmentul tangentă într-un punct ordinar al unei curbe plane este segmentul de pe tangentă cuprins între punct și intersecția acestei tangente cu axa .

Segmentul normală într-un punct ordinar al unei curbe plane este segmentul de pe normală cuprins între punct și intersecția aceste normale cu axa .

Subtangenta într-un punct ordinar al unei curbe plane este proiecția ortogonală pe axa a segmentului tangentă.

Subnormala într-un punct ordinar al unei curbe plane este proiecția ortogonală pe axa a segmentului normală.

Lungimea segmentelor tangentă, normală, subtangentă și subnormală se notează cu , , și respectiv .

Fie curba plană () dată prin ecuația explicită:

():

și fie un punct ordinar oarecare de pe această curbă. Se notează cu punctele de intersecție cu axa a tangentei , respectiv a normalei , în punctul la curba plană (), cu proiecția ortogonală pe axa a punctului și cu unghiul format de tangentă cu sensul pozitiv al axei (Fig. 2).

Fig. 2

Conform definițiilor se obține:

=subtangenta,

=subnormala,

=segmentul tangentă,

=segmentul normală.

În triunghiurile dreptunghice și , au loc relațiile:

se obține apoi succesiv:

Rezultă astfel că se poate scrie:

adică:

unde valorile lui și se calculează în abcisa punctului considerat.

Fie o aplicație de clasă definită pe intervalul real

Dacă vom spune că este o curbă continuă.

Dacă vom spune că este o curbă diferențiabilă.

Dacă adică este o curbă ce admite derivate continue de ordin, atunci vom spune că este o curbă netedă.

Definiția 1.6. Fie o curbă netedă. Pentru orice verctorul se numește vectorul tangent sau vectorul viteză al curbei în punctul . Norma sa euclidiană se numește viteza în punctul

Cisoida lui Diocles

Se consideră un cerc de rază dată a și o tangentă într-un punct A fixat pe cerc. O secantă oarecare, dusă prin punctul O, diametral opus lui A, taie cercul în C și tangenta în B (Fig. 3).

Definiția 1.7. Locul geometric al punctului P care are proprietatea:

este curba ce poartă numele de cisoida lui Diocles.

Pentru a determina ecuația locului geometric, se consideră punctul originea reperului, axa dreapta () și axa perpendiculara în pe (Fig. 3).

Fie unghiul variabil format de secantă cu axa și lungimea segmentului . Coordonatele ale punctului sunt: Fig. 3

Deoarece variază cu , trebuie exprimat printr-o funcție de și în acest scop se obține:

cum rezultă din triunghiurile dreptunghice și .

Deci:

relație care reprezintă ecuația cisoidei în coordinate polare, sau reprezentarea polară a cisoidei.

Prin introducerea valorii lui în expresiile pentru și , se obține:

relație ce exprimă reprezentarea parametrică a cisoidei.

Prin eliminarea între cele două ecuații a parametrului , se obțne:

deci:

sau:

Fig. 4

relație care constituie reprezentarea implicită a cisoidei.(Fig. 4)

Din ultima relație se obține reprezentarea explicită a cisoidei:

Cicloida

Definiția 1.8. Cicloida este curba plană descrisă de un punct fix de pe un cerc, care rulează, fără să alunece, pe o dreaptă fixă.

Fie un punct fix al unui cerc de rază a, tangent în la dreapta

Pentru a determina ecuația cicloidei se consider punctual fix drept origine a reperului, dreapta tangent , drept axă și axa perpendicular în pe (Fig. 5).

Fig. 5

Când cercul rulează din poziția pînă în poziția A, punctul care a fost a ajuns în . Se obține:

unde este unghiul de rulare.

În triunghiul se obține:

Dacă se proiectează pe axa respective pe axa , ultima egalitate și se notează cu coordonatele carteziene ale lui rezultă:

Dar:

,

de unde:

sau:

care constituie reprezentarea explicită a cicloidei și care în general nu este utilizată.

Cicloida este reprezentată grafic în Fig .6.

Fig. 6

Spirala lui Arhimede

Definiția 1.9. Spirala lui Arhimede ia naștere prin deplasarea unui punct cu o mișcare uniformă pe o semidreaptă, în timp ce semidreapta se rotește în jurul unei extremități fixe cu o viteză unghiulară constantă.

Se consideră semidreapta care se rotește cu viteză unghiulară constantă în jurul punctului . Punctul parcurge dreapta cu o viteză constantă (Fig. 7).

Se notează:

și cu timpul.

Se obține:

de unde:

adică:

,

care constituie ecuația spiralei lui Arhimede în coordonate polare, sau reprezentarea polară a spiralei lui Arhimede (Fig. 8,9).

Fig. 8 Fig. 9

Lemniscata

Definiția 1.10. Lemniscata este locul geometric al punctelor cu proprietatea că produsul la două puncte fixe este constant și egal cu pătratul jumătății distanței între cele două puncte fixe.

Se consideră , cele două puncte fixe, mijlocul segmentului [] și un punct oarecare al lemniscatei. Prin alegerea reperului polar cu drept pol și axă polară dreapta se obține:

Dacă se aplică teorema cosinusului în triunghiurile , respective rezultă relațiile:

,

care introduse în definiția locului geometric:

conduc la ecuația: Fig. 10

Ultima ecuație este echivalentă cu ecuația:

sau ecuația:

și prin înlocuirea parantezei, se obține ecuația lemniscatei în coordonate polare, sau reprezentarea polară a lemniscatei, de forma:

.

Dacă se folosesc formulele se obține ecuația:

.

adică reprezentarea implicită a lemniscatei.

1.4. Clase remarcabile de curbe plane

Definiția 1.11. Se numește curbă unicursală o curbă ale cărei ecuații parametrice exprimă coordonatele ale unui punct oarecare al curbei, ca funcții raționale de un parametru

Teorema. O curbă plană a cărei ecuație implicită este:

,

unde este polinom omogen de grad , este o curbă unicursală.

Demonstrație. Dacă se intersectează curba cu dreapta de ecuație:

se obține:

Rezultă rădăcina simplă:

și rădăcina multiplă de ordinul .

Deci dreapta intersectează curba în puncte confundate în și în punctul de coordinate:

Când se rotește în jurul lui , -care este coeficientul ei unghiular-variază de la la , iar descrie curba . Rezultă că sunt ecuațiile parametrice ale curbei și cum sunt funcții raționale , curba este unicursală.

Definiția 1.12. Locul geometric al proiecțiilor unui punct fix pe tangentele la o curbă plană dată se numește podara punctului față de .

Teoremă. Se consideră curba plană dată în reprezentarea vectorială:

și punctul de vector de poziție .

Reprezentarea vectorială a podarei este:

unde este vectorul de poziție al punctului curent al podarei.

Reprezentarea analitică parametrică a podarei este:

Demonstrație. Se determină vectorul de poziție al proiecției a punctului pe vectorul tangent dus într-un punct oarecare al curbei . Are loc relația:

Pentru a determina pe se consideră vectorul:

Perpendicular pe , deci:

de unde rezultă:

Dacă:

Sunt ecuațiile parametrice ale unei curbe plane , se consideră

Se notează coordonatele proiecției lui pe o tangentă în , atunci prin transcrierea analitică a ecuației vectoriale, rezultă reprezentarea analitică parametrică a podarei.

CAPITOLUL II. GEOMETRIA DIFERENȚIALĂ A CURBELOR ÎN SPAȚIU

2.1. Reprezentarea analitică a curbelor în spațiu

Definiția 2.1. Se numește arc simplu de curbă în spațiu o mulțime de puncte din spațiul euclidian real cu trei dimensiuni ale căror coordonate în raport cu reperul ortonormat a lui și vectorii de poziție satisfac una din următoarele relații:

unde funcțiile satisfac condițiile:

sunt reale, uniforme și continue,

funcțiile stabilesc o corespondență biunivocă între punctele și mulțimea valorilor parametrului real ,

admit derivate de ordinul întâi continue.

Relațiile (2.1), (2.2), (2.3), (2.4), se numesc respectiv reprezentarea analitică implicită sau ecuațiile implicite ale arcului simplu de curbă în spațiu (), reprezentarea analitică explicită sau ecuațiile explicite ale arcului simplu de curbă în spațiu (), reprezentarea analitică parametrică sau ecuațiile parametrice ale arcului simplu de curba în spațiu () și reprezentarea analitică vectorială sau ecuația vectorială a arcului simplu de curbă în spațiu ().

Observație. Un arc de curbă simplu admite o infinitate de reprezentări parametrice. Într-adevăr, dacă unde este un parametru real, atunci reprezentarea parametrică (2.3) devine:

adică:

Definiția 2.2. Se numește arc regulat de curbă în spațiu o mulțime () de puncte din spațiul , ale căror coordonate în raport cu reperul ortonormat al lui și vectori de poziție verifică una din relațiile (2.1), (2.2), (2.3) sau (2.4) unde funcțiile satisfac următoarele condiții numite de regularitate:

sunt reale, uniforme și continue,

funcțiile stabilesc o corespondență biunivocă și bicontinuă între punctele și mulțimea valorilor parametrului real ,

admit derivate de ordinul întâi continue, nu toate nule,

cel puțin unul dintre determinanții funcționali (jacobienii):

este diferit de zero.

Definiția 2.3. Fie un arc regulat de curbă în spațiu. Se spune că este un arc de curbă regulat de ordinul n, sau de clasă n dacă funcțiile din relațiile (2.1), (2.2), (2.3), (2.4) admit derivate (parțiale, respectiv ordinare) continue până la și inclusiv ordinul , astfel încât nu toate derivatele de același ordin să se anuleze.

Definiția 2.4. Fie o mulțime de arce de curbă regulate de ordinul care au extremitățile, eventual, puncte singulare. Se numește curbă regulată de ordinul n, sau de clasă n, reuniunea arcelor adică:

.

Definiția 2.5. Se numește punct ordinar al curbei în spațiu , un punct în care sunt satisfăcute toate condițiile de regularitate. În caz contrar (cel puțin una din condițiile de regularitate nu este satisfăcută), punctul se numește singular.

Observație. Punctele singulare sunt de două categorii: puncte singulare proprii: sunt puncte singulare în orice reprezentare analitică a curbei în spațiu și puncte singulare improprii: există cel puțin o reprezentare analitică a lui în care punctul să nu fie singular.

2.2. Tangenta, planul normal, normala și binormala la o curbă în spațiu

Definiția 2.6. Se numește tangentă la curba în spațiu în punctul ordinar , poziția limită a dreptei secante când (Fig. ).

Fie curba în spațiu dată în reprezentarea vectorială:

Se consideră două puncte ordinare infinit vecine pe curba de vectori de poziție: Se notează: Fig. 11

Rezultă că vectorii , sunt coliniari. Are loc prin definiție:

Pe de altă parte, când punctul , iar va tinde către , care este vectorul tangent în punctul la curba în spațiu

Pentru a găsi ecuația vectorială a tangentei se consider pe tangent în la curba în spațiu un punct de vector de poziție .

Cum vectorul , este situat pe tangenta , rezultă că este coliniar cu (t), adică:

(t),

unde este un scalar real.

Se poate deci scrie:

: =+, .

Aceasta este ecuația vectorială a tangentei în punctul ordinar la curba în spațiu .

Definiția 2.7. Fie curba în spațiu și fie un punct de vector de poziție . Punctul se numește punct de inflexiune al curbei , dacă toate derivatele vectorului de la ordinul doi și până la ordinul sunt coliniare cu derivata de ordinul întâi în a vectorului , adică dacă în punctul sunt satisfăcute condițiile:

Definiția 2.8. Fie o curbă în spațiu , dată în reprezentare vectorială:

,

și fie un punct de vector de poziție Dacă în punctul este satisfăcută condiția:

atunci tangenta la curba în punctul se numește tangentă staționară.

Observație. Din ultimele două definiții rezultă că tangenta într-un punct de inflexiune este o tangentă staționară. Reciproca nu este mereu adevărată, adică punctul prin care trece o tangentă staționară nu este întotdeauna punct de inflexiune.

Definiția 2.9. Fie o curbă în spațiu regulată și fie . Se numește plan

normal în punctul la curba în spațiu , planul ce trece prin punctul și este

perpendicular pe tangenta în la curba .

Fie o curbă în spațiu regulată, dată în reprezentare vectorială:

,

un punct curent de vector de poziție , planul normal la curba în punctul .

Pentru a scrie ecuația vectorială a planului normal se consideră în acest plan un punct curent de vector de poziție (Fig. ).

Deoarece planul () este perpendicular pe tangenta rezultă că vectorii și sunt ortogonali, adică are loc:

Dacă se ține seama de relațiile:

=-

(t),

rezultă că se poate scrie:

(): ()(t)=0.

Aceasta este ecuația vectorială a planului normal în punctul ordinar la curbă în spațiul

Observații. Dacă curba în spațiul este dată în reprezentarea parametrică:

atunci pentru a scrie ecuația planului normal se consideră punctul curent de coordonate sși punctul curent de coordonate . Rezultă că:

(t)=+

și prin înlocuirea lor în ecuația vectorială a planului normal în punctul , la curba în spațiu se obține ecuația planului normal sub forma:

,

sau dacă se ține seama de coliniaritatea vectorilor și (t), rezultă:

.

Dacă curba în spațiu este dată în reprezentarea implicită:

iar de coordonate și un punct curent de coordonate . S-a văzut că parametrii directori ai direcției tangentei sunt proporționali cu jacobienii:

Rezultă că ecuația planului normal în punctul la curba în spațiul este:

care se scrie sub formă de determinat astfel:

Definiția 2.10. Fie o curbă în spațiu regulată și fie două puncte Se numește plan osculator la curba în punctul poziția limită a planului ce trece prin punctul și prin tangenta la curba în punctul , când , dacă această poziție există și este unică, tangenta în punctul M este presupusa nestaționară.

Definiția 2.11. Se numește normala principală la curba în spațiu , în punctul

ordinar dreapta de intersecție dintre planul normal și planul osculator duse în punctul la curba în spațiu adică:

Versorul direcției dreptei normale principale se notează cu .Aceasta are aceeași direcție cu iar sensul lui se ia astfel încât să coincidă cu sensul vectorului adică:

În scopul determinării ecuației vectoriale a dreptei normale principale se

consideră o curbă în spațiu regulată dată în reprezentare vectorială:

,

Fie un punct curent de vector de poziție și normala principală la curba în punctul ordinar . Se consideră un punct curent de vector de poziție .

Deoarece rezultă că vectorul care dă direcția normalei principale este coplanar cu vectorii și care determină planul osculator în punctul la curba în spațiu , iar din faptul că rezultă că direcția normalei principale este ortogonală pe vectorul , deci direcția dreptei este coliniară cu vectorul .

Deoarece rezultă că , se obține deci:

,

dar :

rezultă:

,

Care este ecuația vectorială a normalei principale în punctul la curba în spațiul

Definiția 2.12. Se numește binormala la curba în spațiu în punctul ordinar dreapta ce trece prin , perpendiculară pe planul osculator al punctului considerat.

În scopul determinării ecuației vectoriale a dreptei binormale se consideră curba în spațiu dată în reprezentare vectorială:

,

Fie un punct curent de vector de poziție și binormala la curba în punctul ordinar . Se consideră un punct curent de vector de poziție .

Deoarece binormala la curba în spațiu în punctul ordinar este prin definiție perpendiculară pe planul osculator , determinat de vectorii și , rezultă că direcția dreptei binormale este coliniară cu produsul vectorial . Deci vectorul este coliniar cu vectorul ), adică are loc:

,

Dacă se ține seama de relația:

=-(t).

Se obține ecuația vectorială a binormalei în punctul ordinar la curba în spațiu :

,

Observație. Dacă punctul ordinar nu este un punct de inflexiune, sau nu aparține unui segment, iar curba în spațiu nu este un punct de inflexiune, sau nu aparține unui segment, iar curba în spațiu este de clasă cel puțin 2, atunci planul osculator în este unic determinat și de aici și sunt unic determinate.

Definiția 2.13. Se numește versor binormal la curba în spațiu , în punctul ordinar , vectorul unitar al dreptei binormale, notat cu , orientat astfel încît ansamblul să formeze un reper orientat ca și reperul , (Fig. 12). Fig. 12

Din această definiție rezultă că:

2.3. Formulele lui Frenet. Calculul curburii și al torsiunii

Teorema. Se consideră o curbă în spațiu regulată de ordinul dată de reprezentarea naturală:

parametru natural.

Fie un punct curent pe curba , de vector de poziție care nu este punct de inflexiune, iar versorii tangentei, normalei principale și respectiv binormalei în .

Dacă razele de curbură și de torsiune și respectiv sunt nenule în punctul și dacă este elementul de arc pe curba , atunci au loc următoarele relații:

Definiția. 2.14. Egalitățile (2.5), (2.6) și (2.7) obținute, se numesc formulele lui Frenet relative la curba în spațiu . Formulele lui frenet sunt de mare importanță pentru demonstrarea urătoarei teoreme fundamentale a teoriei curbelor în spațiu și anume:

Teorema. Fie două funcții continue pe intervalul și astfel încât pentru orice În aceste condiții există o curbă care admite o reprezentare naturală cu ca parametru și sunt corbura și respectiv torsiunea. Două curbe cu această proprietate diferă cel mult printr-o rotație și o translație.

Observație. Rezultatul dat în teorema de mai sus arată că funcțiile continue:

Determină o curbă până la rotații și translații în spațiu. Din acest motiv, ecuațiile (2.13) se numesc ecuații intrinseci ale curbelor în spațiu.

Teorema. Fie o curbă în spațiu regulată de ordinul un punct curent, elementul de arc pe curba , iar raza de curbură a curbei în punctul .

Dacă curba este dată în reprezentarea vectorială naturală:

parametru natural,

iar este vector de poziție , atunci:

Dacă curba este dată în reprezentarea vectorială oarecare:

iar este vector de poziție , atunci:

Dacă curba este dată în reprezentarea parametrică oarecare:

iar este de coordonate atunci:

Observație. Dacă curba în spațiu este dată în reprezentarea vectorială naturală:

parametru natural,

atunci curbura sa poate fi exprimată și prin relația:

deoarece:

rezultă că:

Atunci are loc:

adică:

Observație. Din ultimele relații rezultă că curbura într-un punct este un număr real nenegativ.

Teorema. Fie o curbă în spațiu regulată de ordinul un punct curent, elementul de arc pe curba , iar raza de curbură a curbei în punctul .

Dacă curba este dată în reprezentarea vectorială naturală:

parametru natural,

iar este vector de poziție , atunci:

Dacă curba este dată în reprezentarea vectorială oarecare:

iar este vector de poziție , atunci:

Dacă curba este dată în reprezentarea parametrică oarecare:

iar este de coordonate atunci:

Observație. Din ultima relație rezultă că torsiunea într-un punct de

vector de poziție este un număr real care poate fi negativ, zero sau pozitiv. Semnul torsiunii este același cu semnul produsului mixt: .

CAPITOLUL III. SUPRAFEȚE ÎN SPAȚIUL EUCLIDIAN TRIDIMENSIONAL

3.1. Cercetarea analitică a unei suprafețe și planul tangent

Definiția 3.1. Se numește porțiune simplă de suprafață, o mulțime de puncte din spațiu ale căror coordonate în raport cu reperul ortonormat al lui și ai căror vectori de poziție satisfac una din următoarele ecuații:

unde funcțiile satisfac condițiile:

sunt funcții continue,

funcțiileși stabilesc o corespondență biunivocă și bicontinuă între punctele și perechile de coordonate de numere reale admit derivate parțiale de ordinul întâi, continue.

admit derivate parțiale de ordinul întâi, continue.

Relațiile (3.1), (3.2), (3.3), (3.4), se numesc respectiv reprezentarea analitică implicită sau ecuația implicită a porțiunii simple de suprafață; reprezentarea analitică explicită sau ecuația explicită a porțiunii simple de suprafață; reprezentarea analitică parametrică sau ecuațiile parametrice ale porțiunii simple de suprafață; reprezentarea analitică vectorială sau ecuația vectorială a porțiunii simple de suprafață.

Observație. O porțiune simplă de suprafață admite o infinitate de reprezentări parametrice.

Într-adevăr, dacă și sunt parametri reali, atunci reprezentarea parametrică (3.3) devine:

adică:

Definiția 3.2. Se numește porțiune regulată de suprafață, o mulțime de puncte din spațiu ale căror coordonate în raport cu reperul al lui și ai căror vectori de poziție satisfac una din relațiile (3.1), (3.2), (3.3.), 3.4), unde funcțiile satisfac următoarele condiții numite de regularitate:

sunt funcții reale, uniforme și continue,

admit derivate (derivate parțiale, derivate ordinare) de ordinul întâi, continue, nu toate nule,

funcțiile stabilesc o corespondență biunivocă și bicontinuă între punctele și perechile ordonate de parametri reali

cel puțin unul dintre determinanți funcționali (jacobienii):

este nenul.

Definiția 3.3. Se spune că o porțiune regulată de suprafață este o porțiune de suprafață regulată de ordinul n, dacă funcțiile din relațiile (3.1), (3.2), (3.3), (3.4) admit derivate parțiale continue până la și inclusiv ordinul , astfel încât nu toate derivatele de același ordin să se anuleze.

Definiția 3.4. Fie o porțiune simplă de suprafață. Un punct se numește punct ordinar, dacă în punctul sunt satisfăcute toate condițiile de regularitate. În caz contrar se numește punct singular.

Observație. Punctele singulare sunt de două categorii: proprii și improprii.

Un punct singular este propriu, dacă este singular în orice reprezentare analitica a lui .

Un punct singular este impropriu, dacă există cel puțin o reprezentare analitică a lui , în care M să nu fie singular.

Definiția 3.5. Fie o familie de porțiuni de suprafață regulate. Se numește suprafață regulată, reuniunea tuturor porțiunilor de suprafață regulate din familia , adică:

.

unde frontierele porțiunilor pot fi eventual curbe singulare.

3.2. Prima formă fundamentală a unei suprafețe

Teorema. Se consideră o suprafață regulată , dată în reprezentare vectorială:

și fie o curbă trasată pe suprafața , dată de:

Dacă este elementul de arc pe curba atunci:

Demonstrație. Dacă se ține cont că pe curba are loc relația

atunci se obține:

de unde:

Dar:

prin urmare:

deci:

Definiția 3.6. Se consideră o suprafață regulată o curbă arbitrară trasată pe suprafața și fie elementul de arc pe curba .

Se numește prima forma fundamentală a suprafeței expresia .

Observație. Prima formă fundamentală a unei suprafețe se notează cu și se mai numește metrica suprafeței , sau pătratul elementului liniar al suprafeței, sau forma lui Gauss, deoarece este introdusă în geometrie de matematicianul K.F. Gauss.

Deci:

Teorema. Se consideră o suprafață regulată și o curbă trasată pe suprafața .

Dacă suprafața este dată în reprezentarea vectorială:

atunci prima formă fundamentală are expresia:

unde pe baza notațiilor:

unde sunt funcții luate în punctul

Dacă suprafața este dată în reprezentare analitică parametrică:

atunci prima formă fundamentală are expresia:

unde sunt funcții luate în punctul :

Observație. Dacă suprafața este dată în reprezentarea analitică explicită:

Atunci prima formă fundamentală are expresia:

unde și sunt dați de notațiile lui Monge.

Într-adevăr, dacă se utilizează parametrizarea:

Se obțin egalitățile:

de unde:

iar

de unde rezultă pentru expresia rezultată.

Dacă suprafața este dată în reprezentarea analitică implicită:

atunci prima formă fundamentală are expresia:

Teorema. Se consideră o suprafață regulată, dată în reprezentare vectorială:

și fie metrica sa:

Dacă este vectorul normal în punctul la suprafața , atunci:

Demonstrație. Prin definire are loc:

deci:

prin urmare:

Observație. Dacă suprafața regulată este dată în reprezentare analitică parametrică:

atunci conform teoremei de mai sus are loc:

așadar:

3.3. Curburi principale. Curbură totală și medie

Se consideră o suprafață regulată , dată în reprezentare vectorială:

și fie o curbă arbitrară trasată pe suprafața , ce trece prin , iar planul determinat de vecorii și .

Definiția 3.7. Se numesc curburi principale la suprafața în punctul valorile extreme ale curburii normale. Curburile principale se notează cu

Definiția 3.8. Se numesc raze de curbură principale inversele curburilor principale. Razele de curbură principale se notează cu

Deci:

Definiția 3.9. Se consideră o suprafață regulată și . Fie curburile principale pe suprafața în punctul , iar , două curbe trasate pe suprafața , ce trec prin punctul și care au curburile normale în egale cu respectiv .

Se numesc tangente principale pe suprafața în punctul , tangentele duse în la , respectiv , adică tangentele pentru care funcția ia valori extreme.

Definiția 3.10. Se numesc direcții principale pe suprafața în punctul , valorile argumentului pentru care funcția admite extreme.

Definiția 3.11. Se numesc secțiuni normale principale pe suprafața în punctul , secțiunile normale , atașate curbelor , respectiv .

Teorema. Se consideră o suprafață regulată . Atunci , curburile principale ale suprafeței într-un punct sunt rădăcinile următoarei ecuații în :

unde sunt coeficienții primei forme fundamentale, iar sunt coeficienții celei de-a doua formă fundamentală a suprafeței .

Definiția 3.11. Se numește curbură totală sau curbura lui Gauss într-un punct al unei suprafețe regulate , produsul curburilor principale.

Definiția 3.12. Se numește curbură medie într-un punct al unei suprafețe regulate , semisuma curburilor principale. Curbura totală se notează cu , iar curbura medie cu

Deci:

Curbura totală și curbura medie în punctul al unei suprafețe sunt date de formulele:

Teorema. (Teorema lui Gauss). Se consideră o suprafață , dată în reprezentarea vectorială:

curbura totală într-un punct curent al acesteia, iar , coeficienții primei forme fundamentale a suprafeței în punctul . Atunci curbura , poate fi exprimată în funcție de coeficienții și de derivatele parțiale de ordinul întâi și doi ale acestor coeficienți.

Definiția 3.13. Se consideră o suprafață regulată și fie curbura totală într-un punct atunci:

Punctul se numește punct eliptic al suprafeței dacă în curbura totală este pozitivă. O suprafață care este formată numai din puncte eliptice se numește suprafață de tip eliptic.

Punctul se numește punct hiperbolic al suprafeței , dacă în curbura totală este negativă. O suprafață care este formată numai din puncte hiperbolice se numește suprafață de tip hiperbolic.

Punctul se numește punct parabolic al suprafeței , dacă în curbura totală se anulează. O suprafață care este formată numai din puncte parabolice se numește suprafață de tip parabolic.

3.4. Clase remarcabile de suprafețe. Exemple în Geogebra

Definiția 3.14. Se numește suprafață riglată, o suprafața generată de o dreaptă numită generatoare, care se sprijină pe o curbă în spațiu , numită curba directoare a suprafeței riglate.

Se consideră curba în spațiu de clasa 1, dată în reprezentare vectorială:

Fie , și un versor al dreptei , ce trece prin acest punct (Fig. ). Deoarece orice punct , al suprafeței riglate , aparține unei drepte , se obține că acestă suprafață poate fi dată printr=o reprezentare vectorială de forma:

unde:

Din ecuația vectorială a suprafeței riglate se obțin ecuațiile parametrice ale acesteia:

unde sunt coordonate carteziene ale punctului , , , sunt coordonatele punctului , iar , , sunt componentele versorului .

Observație. Ecuația vectorială a unei suprafețe riglate este liniară în raport cu parametrul . Reciproc, se arată imediat că orice ecuație liniară în raport cu unul dintre parametri, reprezintă o suprafață riglată.

Teoremă. Se consideră o suprafață riglată dată în reprezentare vectorială:

și un punct curent, atunci planul tangent în punctul la suprafața conține generatoarele ce trec prin punctul .

Definiția 3.15. Se numește suprafață desfășurabilă, o suprafață riglată , cu proprietatea că planul tangent la suprafața în punctul rămâne constant, atunci când punctul parcurge generatoare oarecare a suprafeței.

Teorema. Se consideră o suprafață riglată dată în reprezentare vectorială:

Condiția necesară și suficientă ca suprafața să fie suprafață desfășurabilă este ca:

Suficiența. Se presupune că are loc relația:

rezultă că vectorii sunt coplanari, așadar vectorii , sunt coliniari sau unul dintre ei este vectorul nul.

Prin urmare vectorul normal păstrează aceeași direcție de-a lungul oricărei generatoare, adică planul tangent este constant de-a lungul unei generatoare, deci este o suprafață desfășurabilă.

Definiția 3.16. Se numește suprafață cilindrică, o suprafață riglată ale cărei generatoare păstrează aceeași direcție.

Prin urmare o suprafață cilindrică admite o reprezentare vectorială de forma:

unde este un vector constant.

Definiția 3.17. Se numește suprafață conică, o suprafață riglată ale cărei generatoare trec printr-un punct fix , numit vârf al suprafeței.

Prin urmare o suprafață conică admite o prezentare vectoarială de forma:

unde este un vector constant (Fig.13).

Definiția 3.18. Se numește conoid cu plan director, o suprafață riglată ale cărei generatoare sunt paralele cu un plan numit plan director și se sprijină pe o dreaptă fixă , numită axă. Fig. 13

Prin urmare reprezentarea vectorială a unui conoid cu plan director este:

cu:

unde este vectorul director al dreptei

Definiția 3.19. Se numește suprafață de rotație, o suprafață generată prin rotirea unei curbe în jurul unei drepte, numită axă de rotație.

În situația când axa de rotație este , iar curba este plană și admite o reprezentare parametrică de forma:

atunci suprafața de rotație are reprezentarea parametrică:

Definiția 3.20. Se numește suprafață minimală (minimă), o suprafață pentru care curbura medie este egală cu zero în toate punctele sale.

Dacă este suprafață minimală, atunci curbura sa totală, , este negativă.

Demonstrație. Deoarece este o suprafață minimală, rezultă că:

de unde:

Curburile principale sunt deci de semne contrare, așadar:

Teorema. Dacă există o suprafață de arie minimă, mărginită de o curbă închisă, dată, atunci aceasta este minimală.

Definiția 3.21. Suprafața pentru care curbura totală este aceeași în orice punct al suprafeței se numește suprafață de curbură totală constantă.

Definiția 3.22. Se numește geometrie intrinsecă a unei superfețe, totalitatea noțiunilor și proprietăților definite cu ajutorul primei forme fundamentale a respectivei suprafețe. Fig. 14

Definiția 3.23. Se numește suprafață elicoidală, o suprafață generată de o curbă ce execută o mișcare obținută din compunerea unei rotații în jurul unei axe cu o translație paralelă cu axa respectivă-direct proporțională cu unghiul de rotație.

Din această definiție și din parametrizarea unei suprafețe de rotație rezultă următoarea parametrizare pentru o suprafață elicoidală:

Dacă se particularizează curba generatoare într-o dreaptă chiar într-o poziție inițială-se va lua:

se obține elicoidul drept cu plan director, o suprafață cu aplicații fizice, a cărei reprezentare vectorială este:

Curbele coordonate sunt:

Care este reprezentarea vectorială a unei elice.

Deoarece această suprafață conține drepte paralele cu un plan fix (plan director) și elice, se justifică denumirea acestei suprafețe.

Evident, elicoidul drept cu un plan director este și o suprafață riglată.

CONCLUZII

Teza de licență intitulată “Curbe și suprafețe din Geometria diferențială modelate în Geogebra” conține o sinteză asupra curburilor și suprafețelor din geometria diferențială, analiza teoretică a ecuațiilor curburilor și suprafețelor.

În capitolul I am realizat o descriere a elementelor de geometrie diferențială a curbelor în plan prin descrierea ecuațiilor analitice, a tangentei și normala la o curbă în plan. Contribuțiile proprii sunt graficele realizate pentru curbele în plan cît și explicațiile în urma exemplificării unor noțiuni și definiții. Am realizat și cîteva grafice ale unor curbe plane remarcabile.

În capitolul II am realizat o cercetare analitică a curbelor în spațiu prin reprezentarea analitică, trasarea planului normal. În aspect practic am realizat cîteva exemplificări prin calcule cu ajutorul formulelor lui Frenet pentru calcularea curburii și a torsiunii. Analiza explicativă a curburilor în spațiu este urmată de reprezentarea grafică, ce oferă o înțelegere mai efectivă a celor expuse.

În capitolul III, și ultimul conține o analiză asupra suprafețelor în spațiul Euclidian tridimensional. În acest capitol am abordat o descriere subiectivă a ceea ce reprezintă o suprafață, planul tangent dus la această suprafață cât și prima formă fundamentală. Reprezentarea grafică la acest capitol este mai puțin efectivă deoarece pentru a realiza acest lucru este necesar de poziționale tridimensională, ținând cont de aceasta am realizat exemplele grafice tridimensionale cu ajutorul softului specializat “GeoGebra” care ne oferă această posibilitate, însă pentru a le însera în conținutul capitolului am apelat la proiectarea în plan.

În concluzi aș dori să menționez că “Geometria diferențială” este un obiect care continuă să se evidențieze tot mai mult prin aplicativitatea sa în determinarea lungimii unor curbe în plan și spațiu, necesare în diverse domenii cum ar cel al construcțiilor etc.

BIBLIOGRAFIE

Port Sergiu, Geometrie Diferențială, Universitatea Pedagogică de Stat “Ion Creangă”, Chișinău 2008.

Ecuații diferențiale [online]. [accesat 2 martie 2015]; Available from URL :http://www.math.uaic.ro/~gani/depozit/ED.pdf

Geometrie Diferențială [online]. [accesat 4 martie 2015]; Available from URL http://ro.math.wikia.com/wiki/Geometrie_diferen%C8%9Bial%C4%83

Atanasiu, Gh.; Munteanu, Gh., Curs de algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferențială și ecuații diferențiale, (Partea I), Universitatea “Transilvania” din Brașov, 1992.

Atanasiu, Gh.; Munteanu, Gh.; Păun M., Curs de algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferențială și ecuații diferențiale, (Partea II), Universitatea “Transilvania” din Brașov, 1993.

Geometrie diferențială [online]. [accesat 2 aprilie 2015]; Available from URL https://www.scribd.com/doc/60135471/Curs-Geometrie-Analitica-Diferentiala-an-1-Sem-2

Curbe în plan și spațiu [online]. [accesat 2 aprilie 2015]; Available from URL:https://www.scribd.com/doc/230719298/Geometrie-Diferentiala

O introducere în geometria diferențială [online]. [accesat 2 aprilie 2015]; Available from URL: https://www.scribd.com/doc/175734083/Geometrie-diferentiala

Miron, R. Introducere în geometria diferențială, Litografia Universității Iași, 1971.

Mihu, C.; Jambor, I.P., Curbe plane, Ed. Tehnică, București, 1989.

Radu, Gh., Algebră liniară, geometrie analitică și diferențială, Ed. All, București, 1996.

Nicolescu, L., Geometrie diferențială-Culegere de probleme, Litografia Universității București, 1982.

ANEXE

Anexa 1. Curbe plane remarcabile

Cisoida lui Diocles

Cicloida

Spirala lui Arhimede

Lemniscata lui Bernulli

Linia Elicoidală