CUPRINS Introducere _____________________________________________________2 1. Filtre adaptive ________________________________________________3 1.1…. [302103]

CUPRINS Introducere _____________________________________________________2

1. Filtre adaptive ________________________________________________3

1.1. Filtru FIR ________________________________________________5

1.2. Filtru IIR ________________________________________________6

1.3. Implementare _____________________________________________8

2. Tehnici optime de estimare _____________________________________11

2.1. Proprietățile semnalului necesar_______________________________11

2.2. Definiția funcției de cost_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11

3. Estimarea optimă Wiener _____________________________________ 13

4. Aplicații ale filtrelor adaptive_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 17

4.1. Identificare de sistem_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _17

4.2. Filtrare de zgomot_ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 28

4.3. Predicție ___________ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _33

4.4. Filtrare inversă_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _41

Bibliografie _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __ _ _ _ _ 51

Introducere

Cuvântul adaptiv este întâlnit adesea în contexte care au mai mult sau mai puțin o conotație tehnică. [anonimizat], modificarea comportării unui sistem fizic sub acțiunea unor factori externi în sensul optimizării performanțelor acestuia. Pornind de la această definiție putem evidenția câteva caracteristici specifice ale oricărui proces adaptive:

– [anonimizat] (de scurtă durată), deși pe ansamblu conduc la efectul scontat. [anonimizat], diferența dintre comportarea “dorită” și comportarea reală;

– [anonimizat], amplitudinea modificărilor succesive se diminuează;

-putem cuantifica starea spre care tinde sistemul. [anonimizat];

-[anonimizat].

[anonimizat], algoritmii adaptivi o [anonimizat]:

Această aplicație urmărește determinarea parametrilor care definesc un filtru (liniar) [anonimizat], astfel încât răspunsul acestuia să fie cât mai curat (să conțină semnal util). [anonimizat] a fi utilizat pentru a determina valorile parametrilor filtrului. [anonimizat], iar semnalele de intrare și de ieșire sunt considerate realizări individuale ale unor procese aleatoare. [anonimizat].

În legătură cu schema de mai sus se pot face câteva observații:

a) datorită caracterului liniar al filtrului a [anonimizat] a valorii erorii estimate.

b) filtrul este cu funcționare discretă în timp, cu avantajul particular că algoritmii de procesare pot fi implementați folosind circuite digitale specializate.

c) ieșirea filtrului (y[n]) oferă o valoare estimată a unui semnal dorit d[n]. Diferența dintre aceste două semnale este constituită de eroarea de estimare e[n]. În condițiile în care atât semnalul de intrare cât și cel de ieșire (dorit) reprezintă realizări ale unor procese aleatoare, eroarea devine ea însăși un proces aleatoriu cu caracteristici statice proprii. Scopul urmărit este diminuarea erorii estimate conform unui criteriu static precizat (valoarea pătratică medie a procesului e[n], media aritmetică a valorilor absolute ale erorii, media aritmetică a unor puteri de ordin superior ale valorilor absolute ale erorii).

1. Filtre adaptive

Multe tipuri de semnale din viața reală le putem găsi în domenii de procesare a semnalelor digitale cum ar fi prelucrarea convorbirilor, comunicații, radar, sonar, seismologie, fiind necesar ca filtrul optim sau sistemul coeficienților să fie ajustat în timp, depinzând de semnalul de intrare. Dacă parametrul se schimba încet comparativ cu frecvența eșantionată, putem crea cea mai bună estimare a coeficienților optimi și putem ajusta corespunzător filtrul.

În general, orice structură de filtru, FIR (Finite Impulse Response) sau IIR (Infinite Impulse Respunse), poate fi folosită ca un filtru adaptiv digital.

1.1. Filtru FIR

Pentru filtrele FIR forma din următoarea figură pare a fi avantajoasă deoarece actualizarea coeficienților poate fi făcută în același timp.

Un filtru FIR cu coeficienți constanți este un filtru digital liniar invariant în timp. Ieșirea unui filtru FIR de ordin L în funcție de intrarea x[n] este dată de o versiune finită a convoluției liniare:

unde f[0] ≠ 0, iar f[L-1] ≠ 0 sunt coeficienții filtrului. Aceștia corespund răspunsului la impuls al filtrului FIR. Pentru sistemele liniare invariante în timp uneori este mai convenabil să scriem ecuațiile în domeniul Z:

𝑌(𝑧) = 𝐻(𝑧)𝑋(𝑧)

unde H(z) este funcția de transfer a filtrului definită în domeniul Z în felul următor:

Ordinul filtrului liniar invariant în timp este interpretat grafic în figura de mai sus. Se poate vedea că acesta (filtrul) conține elemente de întârziere, sumatoare si multiplicatoare. Unul operand prezent în fiecare multiplicator este un coeficient al filtrului FIR.

1.2.Filtru IIR

Pentru filtrele IIR structura din următoarea figură pare a fi o bună alegere deoarece filtrele structurate grilă deține o scăzută sensibilitate a aproximării erorii aritmetice în punct fix (fixed-point) si o simplificată stabilitate a controlului coeficienților.

Filtrele IIR sunt descrise și implementate în termenii unei ecuații diferențiale care definește legătura dintre semnalul de ieșire și cel de intrare:

𝑎𝑖 − 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛ț𝑖𝑖 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖 𝑎𝑖 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑢𝑙𝑢𝑖

𝑏𝑖 − 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛ț𝑖𝑖 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖 𝑎𝑖 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑢𝑙𝑢𝑖

𝑃 − 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑢𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛ț𝑖𝑙𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑧𝑖𝑡𝑖𝑣𝑖

𝑄 − 𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑢𝑙 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛ț𝑖𝑙𝑜𝑟 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖

𝑥[𝑛] − 𝑠𝑒𝑚𝑛𝑎𝑙𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑒

𝑦[𝑛] − 𝑠𝑒𝑚𝑛𝑎𝑙𝑢𝑙 𝑑𝑒 𝑖𝑒ș𝑖𝑟𝑒

O forma mai compactă a ecuației este următoarea:

dacă rearanjăm devine:

Pentru a obține funcția de transfer trebuie să aplicăm pe ecuația de mai sus transformata Z:

Definim funcția de transfer astfel:

Considerând 𝑎0 = 1 funcția de transfer a filtrului IIR este următoarea:

1.3.Implementare

După analiza celor două structuri se va implementa un filtru adaptiv, după modelul FIR, de ordinul 12. Implementarea circuitului se va realiza în Simulink.

Pentru a crea blocul LMS se va folosi comanda ”Create Subsystem”. Subsistemul se va verifica în Simulink.

Pentru constanta de adaptare miu (µ) se va folosi opțiunea ”Mask” din Simulink.

2. Tehnici optime de estimare

2.1.Proprietățile semnalului necesar

Pentru a folosi cu succes algoritmii filtrelor adaptive și pentru a garanta convergența și

stabilitatea algoritmilor este necesar să facem câteva presupuneri asupra naturii semnalului de

intrare, care dintr-un punct de vedere al probabilității poate fi văzut ca un vector de variabile

aleatoare. În primul rând, semnalul de intrare (variabilele aleatoare ale vectorului) ar trebui sa fie ergodic (static, reprezentativ pentru realizările posibile), proprietățile statistice însemnând:

sau variația

calculată folosind un singur semnal de intrare, ar trebui să arate aceleași proprietăți statistice,

cum ar fi media unui ansamblu de astfel de variabile aleatoare. În al doilea rând, semnalele

trebuie să fie staționare pe sens larg, măsurătorile statistice, cum ar fi media sau variația

măsurată pe mai multe medii nu este o funcție de timp, iar funcția de autocorelație

depinde doar de diferența .

2.2.Definiția funcției de cost.

Definiția funcției de cost aplicată pe o ieșire estimată este un parametru critic al tuturor

algoritmilor filtrelor adaptive. Avem nevoie să ‘valorificăm’ cumva eroarea de estimare

Ecuația de bază a identificării

Trei posibile erori ale funcției de cost

unde d[n] este variabila aleatoare ce trebuie estimată, iar y[n] este estimarea calculată prin filtrul adaptiv. Cea mai des folosită funcție de cost este least-mean-sqares (LMS) și este descrisă de următoarea ecuație:

Trebuie remarcat faptul că aceasta nu este singura funcție de cost care poate fi folosită.

Pot exista și alte tipuri de funcții cum ar fi eroarea absolută sau funcții de prag neliniare așa cum se poate observa în figura de mai sus în partea dreaptă. Tipul de prag neliniar poate fi folosit dacă un anumit nivel de eroare este acceptabil și poate să reducă calculul algoritmului de adaptare.

Pe de altă parte funcția de eroare pătratică a metodei LMS ne va permite să construim o abordare a unui gradient stocastic pe baza relației Wiener-Hopf dezvoltată inițial în domeniul de semnal continuu.

3. Estimarea optimă Wiener

Ieșirea filtrului adaptiv FIR este calculată prin sumă de convoluție

unde coeficienții filtrului, , trebuie să fie adaptați în așa fel încât funcția de cost J sa fie minimă. Este, în general, mult mai convenabil de a scrie convoluția sub formă de vector astfel

cu , dimensiunea vectorului [L x 1] si T însemnând transpusa matricei sau transpusa Hermitian pentru date complexe. Pentru matricea transpusă este oglindirea diagonalei principale, Folosind definiții de eroare avem

valoarea mediei pătratice a funcției de eroare devine

Reținem că eroarea este o funcție pătratică a coeficienților filtrului care poate fi reprezentată printr-o suprafață concavă hiperboloidală, o funcție care nu poate fi negativă.

Reglând ponderea filtrului pentru a minimiza eroarea implică coborârea de-a lungul suprafeței cu obiectivul de a ajunge la fundul bolului. Metodele gradient sunt folosite de obicei cu acest scop. Alegerea mediei pătratice a funcției de cost va permite o suprafață de eroare pătratică cu un bun comportament cu un singur minim. Costul este minim dacă gradientul este zero.

Presupunând că vectorul f ce conține ponderea filtrului și vectorul semnalului x[n] sunt static independente, rezultă că:

atunci vectorul ce conține coeficienții optimi ai filtrului poate fi calculat cu

Eroarea de estimare devine:

,

unde este variația vectorului d.

Algoritmul LMS, pentru a ajusta coeficienții L ai filtrului adaptiv utilizează următorii pași:

a) Inițializează vectorul de dimensiune L x 1.

b) Acceptă o nouă pereche de eșantioane la intrare {x[n],d[n]} și schimbă x[n] în

vectorul semnal de referință x[n].

c) Calculează semnalul de ieșire al filtrului FIR prin:

d) Calculează funcția de eroare cu

e) Actualizează coeficienții filtrului conform cu:

După care se repetă aceeași pași începând cu b).

4. Aplicații ale filtrelor adaptive

Deși domeniile de aplicare a filtrelor adaptive sunt destul de largi în natură, de obicei pot

fi caracterizate cu una dintre următoarele patru configurări:

– Identificare de sistem

– Filtrare de zgomot

– Predicție

– Filtrare inversă

Am dori să discutam despre aceste sisteme si să prezentăm câteva dintre aplicațiile de succes ale acestor clase. Deși nu ar putea întotdeauna să descrie exact natura semnalului, exista un mod general de a utiliza următoarele notații pentru toate sistemele:

x = intrarea filtrului adaptiv

y = ieșirea filtrului adaptiv

d = răspunsul dorit

e = d – y = eroarea estimată

4.1. Identificare de sistem

Într-o aplicație de indentificare de sistem coeficienții filtrului adaptiv reprezintă un sistem necunoscut sau un filtru. Identificarea de sistem este ilustrată în următoarea figură și se poate observa că intrarea filtrului adaptiv, cât si intrarea celuilalt sistem lliniar cu funție de transfer necunoscută este simultană. Ieșirea sistemului necunoscut d[n] devine ieșirea întregului sistem.După convergență ieșirea filtrului adaptiv y[n] va aproxima d[n] la o valoare optimă. Dat fiind că ordinul filtrului adaptiv se potrivește cu ordinul sistemului necunoscut, coeficienții filtrului adaptiv vor converge la aceleași valori ca și sistemul necunoscut. În aplicații practice apare un sunet la ieșirea sistemului necunoscut, iar structura filtrului nu se potrivește exact cu sistemul necunoscut. Datorită flexibilității acestei structuri si abilității de a regla individual un numar de parametri de intrare independent este una dintre structurile des folosite la evaluarea performanțefiltrelor adaptive. Vom folosi aceste configurații pentru a face o comparație detaliată între LMS și RLS doi dintre cei mai populari algoritmi de reglare a coeficienților unui filtru adaptiv.

Filtru RLC trece-jos

Filtrul trece-jos permite trecerea semnalelor de frecventa joasa si blocheaza trecerea celor de frecventa inalta.

Prin conectarea în serie a unei bobine și a unui condensator (componente tehnice) se obține un circuit rezonant serie RLC deoarece pierderile de putere prin efect Joule din bobina cât și din condensator pot fi modelate printr-un același rezistor în serie cu L si C. Dacă în cazul condensatorului rezistența proprie de pierderi serie are o valoare destul de mică, în cazul bobinei rezistența de pierderi serie nu poate fi neglijată.

Pentru implementarea circuitului de test din Simulink am folosit blocurile:

– Signal Generator:

Acest block poate oferi la ieșire diferite forme de undă:

-forme de undă sinus

-forme de undă pătrate

-forme de undă de fierăstrău

– forme de undă aleatoare

Parametrii de semnal pot fi exprimați în hertz sau radiani pe secundă.

– Controlled Voltage Source

Blocul sursă de tensiune controlată convertește semnalul de intrare Simulink într-o sursă de tensiune echivalentă.Tensiunea specifică a blocului de tensiune din circuitul RLC este DC.

– Zero – Order Hold

Blocul Hold Zero-Order păstrează intrarea pentru perioada de eșantionare specificată.Dacă intrarea este un vector, blocul deține toate elementele vectorului pentru aceeași perioadă de eșantionare.

Timpul de esantionare in cazul acesta este 3e-6.

– Scope

Acest bloc afiseaza semnalele generate in timpul simularii.

-Voltage Measurement

Blocul de măsurare a tensiunii măsoară tensiunea instantanee între două noduri electrice.

Ieșirea este un semnal complex.

-LMS Filter

Blocul Filtru LMS poate implementa un filtru adaptiv FIR utilizând cinci algoritmi diferiți. Blocul estimează coeficienții necesari pentru a minimiza eroarea e[n], între semnalul de ieșire y[n] și semnalul dorit, d[n]. Semnalul dorit spre a fi filtrat este conectat la portul de intrare.Semnalul dorit trebuie să aibă același tip de date, complexitate și dimensiuni ca semnalul de intrare. Portul de ieșire transmite semnalul de intrare filtrat, care reprezintă estimarea semnalului dorit. Portul Error afișează rezultatul scăderii semnalului de ieșire de la semnalul dorit.

Valorile componentelor circuitului sunt:

R=91;

L=1e-3;

C=100e-9;

Constanta de adaptare µ este:0.01.

În urma parametrilor de simulare

se vor obține urmatoarele semnale pentru valori diferite ale constantei de adaptare:

x[n]

y[n]

d[n]

e[n]

Filtru RLC trece-banda

Filtre „trece – bandă” sunt filtre care permit să treacă neatenuate sau atenuate foarte puțin, semnalele cu frecvențe cuprinse într-un anumit domeniu de frecvențe, numit bandă de trecere. Semnalele cu frecvențe aflate în afara benzii de trecere sunt atenuate foarte puternic

Valorile componentelor sunt:

R=5.9e3;

L=0.53;

C=330e-9;

fc=378;

Constanta de adaptare pentru acest filtru este:

x[n]

y[n]

d[n]

e[n]

4.2 Filtrare de zgomot

În acest gen de aplicații apar 2 intrări. Intrarea primară este constituită dintr-un semnal util peste care este suprapus zgomot. La cea de a doua intrare se aplică numai un semnal de tip zgomot

prelevat dintr-un punct foarte apropiat sursei de semnal primar, astfel încât acesta să

fie puternic corelat cu cel prezent în semnalul primar. Rolul filtrului adaptiv este de a

furniza la ieșire un semnal cât mai apropiat de componenta de zgomot prezentă în

semnalul primar, astfel încât prin scădere să obținem un semnal mai “curat”.

Acest exemplu arată modul de utilizare a algoritmului Least Medium Square (LMS) pentru a scădea zgomotul de la un semnal de intrare. Filtrul adaptiv LMS utilizează semnalul de referință de pe portul de intrare și semnalul dorit de pe portul dorit pentru a se potrivi automat cu răspunsul filtrului. Pe măsură ce converge la modelul corect al filtrului, zgomotul filtrat este scos și semnalul de eroare trebuie să conțină doar semnalul original.

Pentru verifica aplicatia am folosit „Anularea zgomotului acustic folosind LMS” din modelul programului Matlab Simulink.

În model, ieșirea semnalului de la portul superior al subsistemului Acoustic Environment este zgomot alb. Ieșirea semnalului de la portul inferior este compusă din zgomot colorat și un semnal dintr-un fișier .wav. Acest exemplu utilizează un filtru adaptiv pentru a elimina zgomotul de la ieșirea semnalului de la portul inferior.

Făcând dublu clic pe blocul Acoustic Environment putem vedea detaliile subsistemului acestuia.

În acest subsistem avem urmatoarele blocuri:

-From Multimedia File

Blocul Fișier Multimedia citește mostre audio, cadre video sau ambele dintr-un fișier multimedia. Blocul importa datele din fișier într-un model Simulink.

-Terminator

Utilizam blocul PS Terminator pentru a capta porturile de semnal fizic de ieșire care nu se conectează la alte blocuri.Spre deosebire de porturile de conservare în modelarea fizică sau porturile de ieșire Simulink, porturile de ieșire a semnalelor fizice neelectate nu generează avertismente.

-Digital Filter

Se filtrează independent fiecare canal al intrării în timp utilizând o implementare specifică a filtrului digital. Se pot specifica coeficienții de filtrare utilizând fie parametri de dialog mascabili sau porturi de intrare separate, care sunt utile pentru coeficienții de variație de timp.

-Demux

Blocul Demux extrage componentele unui semnal vectorial de intrare și emite semnale separate. Porturile de semnal de ieșire sunt comandate de sus în jos.

-Gain

Blocul de Gain multiplică intrarea cu o valoare constantă (câștig). Intrările și câștigurile pot fi fiecare un scalar, un vector sau o matrice. Specificăm valoarea câștigului în parametrul Gain. Parametrul de multiplicare ne permite să specificăm multiplicarea elementului sau matricei.

Putem citi cu ajutorul blocului Scope frecvența fișierului media încarcat în blocul respectiv.

Aceasta este frecventa semnalului util.

Iar aceasta este frecventa zgomotului suprapus.

După analiza celor două structuri se implementeaza un filtru adaptiv, după modelul FIR, de ordinul 12. Implementarea circuitului se realizeaza în Simulink.

Această structură cuprinde următoarele blocuri:

-Unit Delay

Acest bloc este echivalent cu operatorul în timp discret. Întârzie intrarea în perioada de eșantionare specificata.

Blocul acceptă o intrare și generează o ieșire.

-Product

Blocul de produse scoate rezultatul multiplicării a două intrări: două scalare, un scalar și un nonscalar sau două nonscalarii care au aceleași dimensiuni. Valorile implicite ale parametrilor care specifică acest comportament sunt:

-To Audio Device

Blocul Dispozitiv audio trimite date audio pe dispozitivul audio al computerului personal.

4.3. Predicție

În aplicația de predicție sarcina filtrului adaptiv este de a asigura cea mai bună anticipare a unei valori prezente a semnalului aleator. Acest lucru este în mod evident posibil doar dacă semnalul de intrare este diferit față de zgomotul alb. Anticiparea poate fi observată în urmatoarea figură. Se poate observa ca intrarea d[n] este aplicată peste un delay al intrarii filtrului adaptiv, pentru a compune eroarea de estimare.

Diagrama bloc pentru predicție

Pentru implementarea circuitului de predicție se vor utiliza următoarele blocuri cu următoarele descrieri în Simulink:

Chirp:

Blocul Chirp generează o undă sinusoidală a cărei frecvență crește liniar cu timpul. Acest bloc se poate utiliza pentru analiza spectrală a sistemelor neliniare. Blocul poate genera la ieșire un scalar sau un vector.

Delay:

Blocul Delay întârzie un semnal de intrare conform unui parametru de lungime. În cazul de față parametrul de lungime trebuie să fie egal cu ordinul filtrului adaptiv (12).

Filtrul adaptiv.

După instanțierea acestor blocuri circuitul devine:

După setarea parametrilor de simulare

se vor obține semnale de eroare diferite pentru valori diferite ale constantei de adaptare:

µ=0.1

µ=0.05

µ=0.01

Dacă se compară semnalele filtrului adaptiv implemenatat cu cazul ideal se va observa ca cele doua semnale se suprapun perfect.

4.4.Modelare inversă

În structura modelării inverse sarcina asigură un model invers care să fie cel mai potrivit pentru un sistem necunoscut. Un exemplu de comunicație tipica ar fi sarcina de a estimarea propagarea pe mai multe căi a unui semnal pentru a aproxima o transmisie ideală. Configurația sistemului se poate observa în figura de mai jos. Semnalul de intrare d[n] intra în sistem și ieșirea sistemului necunoscut x[n] reprezintă intrarea filtrului adaptiv. O versiune intarziată a semnalului de intrare d[n] este folosită pentru a compune semnalul de eroare e[n] și pentru a regla coeficientii filtrului adaptiv. Astfel, după convergență, funția de tranfer a filtrului adaptiv aproximează inversul funției de transfer a sistemului necunoscut.

Schema bloc pentru modelare inversă

Pentru a implementa circuitul pentru modelare inversă se vor folosi următoarele blocuri cu următorii parametri.

Digital Filter Design:

Răspunsul la impuls al filtrului fiind:

Random Source:

Delay

Filtru LMS ideal de ordin 50, cu constanta de adaptare

După setarea parametrilor de simulare:

Pentru valori µ=0.1, µ=0.05 și µ=0.01 se vor obtine următoarele semnale de eroare:

µ=0.1

µ=0.05

µ=0.01

După cum se observă cu cât constanta de adaptare este mai mică și atenuarea erorii este din ce în ce mai mică.

Pentru modelare inversă ieșirea trebuie să fie aproape identică cu semnalul dorit.

µ=0.1

µ=0.05

µ=0.01

Perioada de învățare diferă în funcție de constanta de adaptare.

Bibliografie

[Iulian Ciocoiu] – Circuite integrate pentru prelucrarea semnalelor

(http://edu.etti.tuiasi.ro/pluginfile.php/723/mod_resource/content/2/Curs6_CIPS.pdf)

Uwe Meyer-Baese, Digital Signal Processing with Field Programmable Gate Arrays, Third Edition

O. Macchi, Adaptive Processing: The LMS Approach with Applications in Transmission, New York: Wiley, 1995.

B. Widrow and S.D. Stearns, Adaptive Signal Processing, Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1985