Culegere Nicoara 9 [615105]

EDITURA FUNDAȚIEI

„MOISE NICOARĂ
”

ARSENOV BRANCO

ARSENOV SIMONA

BIRIȘ SOFIA

MAJOR CSABA

ȘTEFAN ALEXANDRU

PROBLEME DE FIZICĂ

CLASA A IX
­
A

ARAD

20
09

2

Descrierea CIP a Bibliotecii Naționale a României

Probleme de fizică : clasa a IX
­
a /
Arsenov Simona, Arsenov

Branco, Biriș Sofia, …
­

Arad : Editura Fundației „Moise
Nicoară”, 2009

Bibliogr.

ISBN 978
­
973
­
1721
­
01
­
9

I. Arsenov, Simona

II. Arsenov, Branco

III. Biriș, Sofia

53(075.35)(076)

3

Cuprins

Mecanica

1. Operații cu vectori
…………….………………..….…

5

2
. Cinematica punctului material ……….………..……… 8

3. Mișcarea rectilinie uniformă …………………..……. 12

4. Mișcarea rectilinie uniform variată …………..……… 19

5. Principiul al II
­
lea al mecanicii ………………..….… 28

5.1. Forța și accelerația ……………………..……….. 28

5.2. Greutatea, n
ormala și tensiunea …………..……. 28

5.3. Forța de frecare ………………………………… 33

5.4. Forța elastică …………………………………… 45

5.5. Legea atra
cției universale ………..…………..… 50

5.6. Forța de inerție …………………………………. 50

6. Mișcarea circulară ……………………………
….
.…. 52

7. Noțiuni energetice ………………………………..…. 60

8. Teorema variației
impulsului. Ciocniri. ………….…. 77

9. Statica …………………………………………….…. 90

Optica

10. Reflexia luminii. Oglinzi. …………………………… 94

11. Refracția luminii. Prisme. ………………………….. 106

12. Lenti
le

……………………………………………… 116

Bibliografie …………………………………………….. 13
7

4

5

1. Operații cu vectori

1.1. Reprezentați și calculați suma a doi vectori cu modulele
a=3

și
b=4

dacă unghiul dintre ei este de
0

,
60

,
90

,
120


și
180

.

R: 7; 6,08; 5; 3,6; 1.

1.2. Reprezentați și calculați diferența a doi vectori cu modulele
a=8

și
b=6

dacă unghiul dintre ei este de
0

,
60

,
90

,
120


și
180

.

R: 2; 7,21; 10; 12,16; 14.

1.3. Vectorul
AB
a


unde A și B sunt două p
uncte cu
coordonatele: A(1, 3) și B(4, 1). Să se scrie analitic vectorul
AB
a

, să se reprezinte grafic și să se afle ce unghi face direcția
vectorului cu axa Ox?

R:
3
2



tg
.

1.4. Reprezentați din originea sistemului de a
xe vectorii
j
i
a


5

respectiv

j
i
b
5



. Reprezentați vectorul sumă
s
=
a
+
b
, vectorul diferență
d
=
a
­
b
, scrieți expresiile lor
analitice și determinați unghiul dintre vectorii
a

și
b
.

R:

s
=4
i
­
6
j
;
d
=6
i
+4
j
; α=90
0
.

1.5. Se dau vectorii:
j
i
a
3
6


,
j
i
b
4
2



și
j
i
c
3
4


.

a) Să se construiască cei trei vectori.

b) Să se calculeze mărimile lor numerice.

c) Să se scrie analitic suma
c
b
a
s




și diferența
c
b
d


, să se construiască vectorii
s

și
d
; să se calculeze
valorile lor numerice.

R: b) a=6,7; b

4.5; c=5;

c)
j
i
s
4
12


;
j
i
d


2
;
10
4

s
;
5

d
.

6
1.6. Se dau vectorii:
j
i
a
3
2


,
j
i
b
2
3



și
j
i
c
3
4


.

a) Să se reprezinte cei trei vectori.

b) Să se calculeze mărimile lor numerice.

c) Să se s
crie analitic suma
c
b
a
s




și diferența
b
c
d


, să se reprezinte vectorii
s

și
d

și să se calculeze
valorile lor numerice.

R: b) a=b=
13
; c=5;

c)
j
i
s
4
9


;
j
i
d
5


; s=
97
; d=
26
.

1.7. Suma a doi vectori
a

și
b

este
j
i
s


2

iar diferența
j
i
d
3
2


. Să se sc
rie analitic vectorii
a

și
b
.

R:
j
i
a


2
,
j
b
2

.

1.8. Fie punctele de coordonate
A(
­
1,
­
3)
,
B(
­
4, +6)

și
C(3,3)
.
Reprezentați vectorii
AB
,
BC

și
AC
. Scrie
ți expresiile lor
analitice. Stabiliți relația dintre cei trei vectori.

R:

AB
=
j
i
9
3


;

BC
j
i
3
7


;

AC
=
j
i
6
4

;

AB+BC=AC.

1.9. Vectorul
a
, cu modulul
a=
8
,
formează c
u axa Ox un
unghi de
45

, iar vectorul
b
, cu modulul
b=
18
,

face cu axa
Ox

un unghi de
135


(măsurat în sens trigonometric). Cei doi vectori
au originea în originea sistemului de axe.

a) Calculați proiecțiile celo
r doi vectori pe axele
Ox

respectiv
Oy

și scrieți expresiile lor analitice.

b) Reprezentați vectorii
s
=
a
+
b

și
d
=
a
­
b
.

c) Sc
rieți expresiile analitice ale vectorilor
s

și
d
.

d) Determinați modulul sumei și a diferenței vectorilor
a

și
b
.

R:

a)

a
=2
i
+2
j
;
b
=
­
3
i
+3
j

c)

s
=
­
i
+5
j
;
d
=5
i
­
j
; s
=d=
26
.

7

1.10. As
upra unui corp acționează patru forțe cu valorile numerice
și orientările următoare:
F
1
=2N,

orientată pe orizontală, spre
dreapta,
F
2
=5N

–

orizontală spre stânga,
F
3
=3N

–

pe verticală în
sus,
F
4
=7N

–

pe verticală în jos. Să se reprezinte grafic cei patru
v
ectori și să se găsească rezultanta lor grafic și numeric.

R: R=5N.

1.11. Rezultanta maximă a două forțe concurente
1
F

și
2
F

este
R
max
=3,5 N

iar rezultanta minimă a celor două forțe este
R
min
=0,5
N.

Să se calculez
e mărimile numerice ale celor două forțe, precum
și rezultanta lor când unghiul dintre ele este
α=90
0
.

R: F
1
=2N; F
2
=1,5N; R=2,5N.

1.12. Fie trei vectori
a
,
b

și
c
, cu modulele
a=2
,
b=
3,6

și

c
=6
,

care au toți originea în originea sistemului de axe, având
următoarele orientări:
a

de
­
a lungul axei
Ox

în sensul pozitiv,
b

de
­
a lungul axei
Oy

în sensul negativ iar
c

în cadranul al
II
­
lea face cu axa
Oy

un unghi al cărui sinus este egal cu
0,6
.
Determinați modulul rezultantei (sumei) celor trei vectori.

R: s=
2
.

1.13. Doi vectori, cu mărimile numerice
a=
14

și
b=8,

au valoarea
numerică a sumei
s=
37
2

(unde
b
a
s


). Să se afle unghiul
dintre cei doi vectori și mărimea numerică a diferenței
b
a
d


.

R: α=120
0
; d=1
9
,
28
.

1.14. Diferența
d

a doi vectori (
b
a
d


) are valoarea
numerică
d=9.

Valorile num
erice ale vectorilor sunt
a=4

și
b=7.

Să se determine valoarea
cosα

și valoarea numerică a sumei
s

(
b
a
s


).

R: cosα=
­
2/7; s=7.

8
1.15. Suma a doi vectori
a

și
b

are modulul
7

iar diferența lor
ar
e modulul
9
. Calculați suma pătratelor modulelor celor doi
vectori.

R: a
2
+b
2
=65.

1.16. Doi vectori
a

și
b
având valorile numerice
a=4

respectiv
b=6

sunt concurenți, unghiul dintre ei fiind de
60

. Calculați valoa
rea
proiecției vectorului
a

pe direcția vectorului
b
.

R: a
b
=2.

1.17. Se dau următoarele proiecții:
a
x
=6, a
y
=3; b
x
=?, b
y
=
­
4.

Să
se determine
b
x

astfel încât vectorii
a

și
b

să fie ortogonali.

R: b
x
=2.

2. Cinematica punctului material

2.1. Se dau punctele
A(1,3)

și
B(4,1).

Se cere :

a) Să se deseneze vectorii de poziție
1
r

și
2
r

ai punctelor
A

și
B,

să se scrie analitic cei do
i vectori și să se afle valoarea lor
numerică.

b) Să se deseneze vectorul deplasare
r

, să se scrie analitic
și să se afle valoarea lui numerică.

R: a)
j
i
r
3
1


;
j
i
r


4
2
; r
1
=3,16 m; r
2
=4,12 m;

b)
j
i
r
2
3



;

r
=
3,6m.

2.2 Se dau punctele
A(4,3)

și
B(10,6).

a) Să se construiască vectorii de poziție
1
r
,
2
r

și vectorul
deplasare
r

.

b) Să se scrie analitic cei trei vectori.

c) Să s
e calculeze valorile lor numerice și unghiul
α

dintre
vectorii
1
r

și
2
r
.

9

R : b)
j
i
r
3
4
1


;
j
i
r
6
10
2


;
j
i
r
3
6




c) r
1
=5 m; r
2
=11,67 m;

r=6,7 m; α=6
0
.

2.3. Se

dau punctele
A(2,4)

și
B(8,10)
.

a) Să se construiască vectorii de poziție
1
r
,
2
r

și vectorul
deplasare
r

.

b) Să se scrie analitic cei trei vectori.

c) Să se calculeze valorile lor numerice ș
i unghiul
α

dintre
vectorii
1
r

și
2
r
.

R : b)
j
i
r
4
2
1


;
j
i
r
10
8
2


;
j
i
r
6
6




c) r
1
=4.47 m; r
2
=12,8 m; [
r

]=8,48 m; α=12
0
.

2.4. Un mobil se mișcă față
de un sistem de axe xOy. La
momentul inițial mobilul se află în punctul de coordonate
A(3,4),

iar după un interval de timp

t=2s
, mobilul ajunge în punctul
B(7,10).

a) Să se construiască vectorii de poziție
1
r
,
2
r

și vectorul
deplasare
r

.

b) Să se scrie analitic cei trei vectori și să se calculeze
valorile lor numerice.

c) Să se scrie analitic vectorul viteză medie
m
v

și să se
calculeze valoarea lui numerică.

R : b)
j
i
r
4
3
1


;
j
i
r
10
7
2


;
j
i
r
6
4



;

r
1
=5 m; r
2
=12,2 m;

r=7,2 m

c)
j
i
v
m
3
2


; v
m
=3,6 m/s.

2.5 Un mobil se mișcă față de un sistem de axe xOy. La
momentul inițial, mobilul se află într
­
un punct
A

cu vectorul d
e
poziție
j
i
r
5
1


, iar după un interval de timp

t=2 s, mobilul
ajunge în punctul
B

care are vectorul de poziție
j
i
r


4
2
. Se
cer:

10
a) Coordonatele punctelor
A

și
B,

să se construiască vectorii
de poziție
1
r
,
2
r

și vectorul deplasare
r

.

b) Să se scrie analitic vectorul deplasare și să se calculeze
valoarea lui numerică.

c) Să se scrie analitic vectorul viteză medie
m
v

și să se
calculeze valoar
ea lui numerică.

R: b)
j
i
r
4
3



;

r=5 m;

c)
j
i
v
m
2
5
,
1


; v
m
=2,5 m/s.

2.6. Un mobil se găsește la momentul
t
0
=0s

în punctul
A(2,5)

iar
la momentul
t
1
=4s

în punctul
B(6,2)
. Reprezentați și scrieți
expresiile analitice ale celor d
oi vectori de poziție. Reprezentați
și scrieți expresia analitică a vectorului deplasare în intervalul
[0;4s]
. Scrieți expresia analitică a vectorului viteză medie
intervalul
[0;4s]

și calculați modulul acesteia.

R:
j
i
r
5
2
)
0
(


;
r
(4)=6
i
+2
j
; Δ
r
=4
i
­
3
j

m
v
=
i
­
0,75
j
; v
m
=1,25m/s.

2.7. Pentru mișcarea unui mo
bil se cunoaște poziția acestuia la
câteva momente de timp:

Reprezentați traiectoria mobilului unind punctele cu o linie
curbă. Reprezentați vectorii de poziție la momentele
t
1
=1s

respectiv
t
2
=6s

și scrieț
i expresiile lor analitice. Reprezentați și
scrieți expresia analitică a vectorului deplasare în intervalul
[1s;6s]
. Calculați viteza medie a mobilului în intervalul
t

[1s;6s]
.

R:
r
(1)=
­
3
i
+
j
;
r
(6)=2
i
+6
j

Δ
r
=5
i
+5
j
; v
m
=1,41m/s.

t(s)

0

1

3

4

6

x(m)

­
4

­
3

­
1

0

2

y(m)

0

1

6

7

6

11

2.8. Pentru un mobil se cunosc ecuațiile cinematice ale mișcării:
x
(t)=
­
2t+6

respectiv
y(t)=t+2
. Reprezentați traiectoria mobilului
în intervalul
t

[0;4s]
.

Reprezentați vectorii de poziție la
momentele
t
1
=0s

respectiv
t
2
=4s

și scrieți expresiile lor analitice.
Reprezentați și scrieți expresia analiti
că a vectorului deplasare în
intervalul
[0;4s]
. Scrieți expresia analitică a vectorului viteză
medie intervalul
[0;4s]

și calculați modulul acesteia.

R:
r
(0)=6
i
+2
j
;
r
(4
)=
­
2
i
+6
j
;

Δ
r
=
­
8
i
+4
j
;
m
v
=
­
2
i
+
j
; v
m
=
5
m/s.

2.9. Un autoturism

descrie un semicerc de rază
R=20m,

în
continuare parcurge încă o distanță de
d=20m.

Determinați
distanța parcursă și modulul vectorului deplasare.

R: s=82,8m;
Δ
r=44,72m.

2.10. Un mobil se mișcă pe o traiectorie circulară cu o viteză
v=4
m/s,

constantă în

modul, parcurgând un sfert de cerc într
­
un
interval de timp

t =4 s.

Se cer:

a) să se construiască vectorii variația vitezei
v


și
accelerația medie
m
a
;

b) să se calculeze valorile numerice ale celor doi vectori.

R : b)

v=4
2
m/s; a
m
=
2
m/s
2
.

2.11. Un mobil se deplasează rectiliniu conform legii
x(t)=t
2
­2t+1
. Calculați viteza lui medie în intervalul
t

[0;4s]
.
Determinați expresia vitezei instantanee a

mobilului. Calculați
valoarea vitezei instantanee la momentul
t=1s
. Determinați
accelerația.

R: v
m
=2m/s; v=2t
­
2 (m/s); v(1)=0; a=2m/s
2
.

2.12. Ecuațiile cinematice ale mișcării unui mobil sunt
x(t)=t
­
2
,
respectiv
y(t)=2t
2
+4t+1
. Scrieți expresia vectorului

de poziție al
mobilului la momentul
t=1s
. Determinați expresia vitezei

12
instantanee. Calculați viteza instantanee la momentul
t=1s
.
Determinați accelerația mobilului.

R:
r
(1)=
­
i
+7
j
;
v
(1)=
i
+8
j
;
a
=4
j
.

3. Mișcarea rectilinie uniformă

3.1. Vitezele a trei mobile sunt:
v
1
=5m/s
,

v
2
=18km/h
și
v
3
=0,3km/min
. Care din mobile se deplasează ma
i repede?

R: v
1
=v
2
=v
3
=5m/s.

3.2. Completați tabelul de mai jos:

Nr.

d(m)

t(s)

v(m/s)

v(km/h)

1

5400

2700

2

5400

100

3

1080

180

4

4000

0.5

3.3. O mașină se deplasează cu viteza de
54km/h
. Ce distanță
parcurge într
­
un minut?

R: d=900m.

3.4.
Un biciclist se deplasează timp de
2 minute

cu viteza de
5m/s

iar următoarele
8 minute

cu
36km/h
. Calculați viteza
medie.

R: v
m
=9m/s.

3.5. O mașină parcurge
20%

din drum cu
30m/s
, iar restul
drumului cu
10m/s
. Calculați viteza medie.

R: v
m

11,54m/s.

3.6. O mașină se deplasează jumătate din timpul de mișcare cu
36km/h

iar restul cu
54km/h
. Calculați viteza medie.

R: v
m
=12,5m/s.

13

3.7. Un mobil trebuie să parcurgă distanța
D=800m

în două
etape. În prima etapă se deplasează cu viteza de
1
0m/s

timp de
30s
, iar în a doua etapă se deplasează cu viteza de
20m/s
.
Calculați viteza medie a mișcării.

R: v
m

14,54m/s.

3.8. Un elicopter parcurge distanța
x=25km

în
t
1
=0,15h.

Aceeași
distanță este parcursă înapoi în
t
2
=0,25h.

Cal
culați viteza medie
a elicopterului.

R: 125km/h.

3.9. Figura alăturată reprezintă graficul distanță
­
durată pentru un
autobuz. Determinați viteza medie.

Fig. 3.9.

R: 33,3km/h.

3.10. Un camion parcurge distanța
d
cu viteza constantă
v
1

și
înapoi, aceeași

distanță, cu viteza
v
2
.

Calculați durata mișcării și
viteza medie.

Aplicație numerică: d=50km; v
1
=50km/h; v
2
=72km/h.

R: T=1,69h; v
m
=59km/h.

3.11.

Un mobil parcurge
o treime

din distanța pe care trebuie să
o parcurgă cu viteza
v
1
=54km/h
, iar restul drumul
ui cu viteza
v
2
=108km/h
. Să se afle viteza medie a mobilului.

R: v
m
=81km/h.

14
3.12.

Viteza medie a unui mobil este
v
m
=49,5km/h

când
parcurge dus
–
întors o distanță
d
. La dus viteza mobilului este
v
1
=55km/h
. Să se calculeze viteza
v
2

a mobilului la întors.

R:
v
2
=45km/h.

3.13. Graficul alăturat reprezintă viteza unui mobil în funcție de
timp. Calculați distanța parcursă și viteza medie pentru intervalul
de timp 0
–
2h.

Fig. 3.13.

R: s=90km; v
m
=45km/h.

3.14. Să se reprezinte pe același grafic
mișcările a două mobile
care se deplasează conform datelor din tabelul de mai jos:

t(s)

0

1

2

3

4

5

6

7

Mobilul M
1

X
1
(m)

0

4

8

12

12

10

8

6

Mobilul M
2

X
2
(m)

12

10

8

6

4

2

0

0

Aflați:

a) vitezele mobilului 1 în intervalele de timp [0; 3s];

[3s; 4s]; [
4s; 7s];

b) viteza mobilului 2;

c) momentul de timp și locul întâlnirii celor două mobile;

R: a) v
11
=4m/s; v
12
=0m/s; v
13
=
­
2m/s;

b) v
2
=
­
2m/s; c) t
i
=2s, x
i
=8m.

3.15. Să se reprezinte grafic ecuațiile de mișcare a două mobile:
x
1
=50
–
20t
și

x
2
=5t

și să se pr
ecizeze
momentul

și locul întâlnirii.

R: t=2s și x=10m.

15

3.16. În graficul din figură sunt reprezentate mișcările a două
mobile, A și B. Să se afle:

a) viteza mobilului A;

b) vitezele mobilului B în cele trei etape ale mișcării;

c) momentul și locul întâln
irii celor două mobile;

Figura 3.16.

R: a) 1
,
67m/s; b)
­
1
,
25m/s; 0m/s;
­
3
,
75m/s

c) t
i
=6s; x
i
=15m.

3.17. Un mobil pleacă dintr
­
un punct cu viteza de
5m/s
. După
30s
, din același punct pleacă în urmărirea primului un al doilea
mobil cu viteza de
8m/s
. La c
e distanță de punctul de plecare îl
ajunge al doilea din urmă pe primul.

R: d=400m.

3.18. Dintr
­
un punct pleacă simultan două mobile cu vitezele de
20m/s
, respectiv
25m/s

în același sens. După cât timp de la
plecare distanța dintre ele devine de
250m
.

R: t
=50s.

3.19. Din două puncte situate la distanța de
1000m,

pleacă
simultan unul spre celălalt, două mobile cu vitezele de
6m/s
,
respectiv
14m/s
. După cât timp de la plecare se întâlnesc?

R: t=50s.

3.20. Două mașini pornesc simultan
una spre cealaltă
din d
ouă
localități aflate
la distanța
d=66km
. Vitezele lor
sunt

v
1=
60km/h

16
respectiv
v
2=
72km/h
.

C
alculați
distanța parcursă de fiecare mașină
p
ân
ă

în momentul în care se întâlnesc
.

R: 30km
; 36km
.

3.21. Din Arad pleacă spre Deva un autocamion cu viteza de
54km/
h

la ora
9:30
. La ora
10:00
, din Deva pleacă spre Arad un
autoturism cu viteza de
72km/h
. Presupunând că distanța dintre
cele două orașe este de
149,5km

determinați la ce distanță de
Arad se întâlnesc cele două vehicule.

R: 79,5km.

3.22. Distanța dintre d
ouă localități A și B este
d=60 km
. Un
mobil pleacă din A cu viteza
v
1
=50km/h,

iar al doilea mobil, cu
viteza
v
2
=60km/h
, pleacă din B, în același sens cu primul mobil
dar la

1,5 h

după plecarea primului mobil. Mișcările celor două
mobile sunt rectilinii un
iforme.

a) Să se afle timpul și locul întâlnirii celor două mobile, față
de
A
;

b) Să se reprezinte pe același grafic legile de mișcare ale
celor două mobile.

R: a) t=3h; x=150km;

b) x
1
=50t și x
2
=60+60(t
–
1,5).

3.23.

Distanța dintre două localități A și B
este
d=100km
. Un mobil
pleacă din A cu viteza
v
1
=60km/h,

iar al doilea mobil, cu viteza
v
2
=40km/h
, pleacă din B, în același sens cu primul mobil dar la
momentul
t
02
=1h
, după plecarea primului mobil. Mișcările celor
două mobile sunt rectilinii uniforme. Să
se afle:

a) timpul și locul întâlnirii celor două mobile, față de A;

b) să se reprezinte pe același grafic legile de mișcare ale
celor două mobile.

R: a) t=3h; x=180km;

b) x
1
=60t; x
2
=100+40(t
–
1).

17

3.24.

Distanța dintre două localități A și B este
d=500k
m
. Un
mobil pleacă din A cu viteza
v
1
=40km/h
, iar al doilea mobil
pleacă simultan din B cu viteza
v
2
=60km/h
, în sens contrar cu
primul mobil. Mișcările celor două mobile sunt rectilinii
uniforme.

a) Să se afle timpul și locul întâlnirii celor două mobile,

față
de A.

b) Să se reprezinte pe același grafic legile de mișcare ale
celor două mobile.

R: a) t=5h; x=200km;

b) x
1
=40t și x
2
=500
–
60t.

3.25. Într
­
o intersecție se întâlnesc două șosele cu lățimea
l=10m

fiecare. De intersecție se apropie două camioane
cu lungimea
L=15m

fiecare, astfel încât la un
moment dat se găsesc la distanțele
d
1
=50m

respectiv
d
2
=30m

de
colțurile cele mai apropiate. Ce
viteză
v
1

trebuie să aibă unul din
camioane dacă celălalt are viteza
v
2=
54km/h

și amândouă traversează
intersecția
fără schimbarea vitezei?

Fig. 3.25.

R: v
1
<
20
m/s
sau

v
1
’>37,5m/s.

3.26. O șalupă parcurge distanța de
10km

în sensul curgerii apei
în
2 ore.

Știind că viteza de curgere a apei este
2km/h,

să se
calculeze:

a) viteza bărcii față de apă;

b) timpul în care șalu
pa parcurge aceeași distanță înapoi.

R: a) 3km/h; b) 10h.

3.27. O șalupă parcurge distanța
D=160km

dintre două porturi în
5 ore

mergând în josul unui fluviu și în
8 ore

mergând în sens
contrar. Care sunt vitezele șalupei și a fluviului față de țărm?

R: v
s
=26km/h; v
a
=6km/h.

18
3.28. Viteza unui râu este
v
a
=6km/h
. Un barcagiu, care poate vâsli
cu viteza
v
b
=10km/h
, trebuie să ajungă pe malul celălalt al râului,
vâslind perpendicular pe direcția curentului.

a) Care va fi viteza bărcii față de mal și cu ce unghi v
a fi
deviată barca din cauza curentului?

b) În ce direcție ar trebui să vâslească barcagiul și care ar fi
viteza bărcii față de mal, pentru a trece perpendicular pe direcția
curentului?

Fig. 3.28a

Fig.3.28b

R: a) v=11,66km/h; tgα
=5/3; α=59


față de direcția curentului.

b) v=8km/h; α=127
0

față de direcția în care curge râul.

3.29.
Un avion trebuie să ajungă într
­
o localitate situată la Est
față de locul de decolare. Vântul suflă spre Nord cu viteza de
50km/h
iar viteza avionului f
ață de aer este de
300
km/h. Să se
afle viteza avionului față de sol și cu ce unghi față de direcția Est
trebuie să zboare avionul în aer?

R: v=295,8km/h; α

9.6
0

față de Est.

3.30. Pe o pistă circulară de rază
50m

sunt așezați doi bicicliști la
capetele un
ui diametru. Cei doi sportivi pornesc în același sens
cu vitezele
28,8km/h

respectiv
36km/h.

Să se determine după
cât timp, câte ture și distanță parcursă se întâlnesc cei doi
bicicliști. După cât timp ajung din nou în poziția de plecare?

R: 78,5s; 2,5ture

respectiv 2 ture;

785m respectiv 628m; 157s.

19

4. Mișcarea rectilinie uniform variată

4.1 Se dă legea de mișcare:
x=20+2t
–
2t
2
. Să se identifice mărimile
caracteristice ale mișcării și să se scrie legea vitezei.

R: x
0
=20m; v
0
=2m/s; a=
­
4m/s
2
; v=2
–
4t.

4.2 Se dă legea de mișcare:
x=2+2t+0,5t
2
. Să se identifice
mărimile caracteristice ale mișcării și să se scrie legea vitezei
.

R: x
0
=2m; v
0
=2m/s; a=1m/s
2
;
v=2+t.

4.3 Se dă legea de mișcare:
x=1,5t+t
2
. Să se identifice
mărimile
caracteristice ale mișcării ș
i să se scrie legea vitezei.

R: v
0
=1,5m/s; a=2m/s
2

; v=1,5+2t.

4.4 Un mobil care are o viteză inițială
v
0
=10m/s

se mișcă
uniform accelerat cu accelerația
a=1m/s
2

și parcurge o distanță
d=150m
. Care va fi viteza finală a mobilului?

R: v=20m/s.

4.5. Un mo
bil pleacă din repaus cu accelerația de
2m/s
2
. După
cât timp de la plecare viteza lui devine
15m/s
?

R: t=7,5s.

4.6. Un automobil având viteza inițială
36km/h,
se oprește într
­
un interval de timp de
4s.

Calculați accelerația și distanța
parcursă.

R:
­
2,5m/s
2
; 20m.

4.7. O mașină se deplasează cu viteza de
54km/h
. La un moment
dat frânează și se oprește în
5s
. Calculați accelerația pe perioada
de frânare.

R: a=
­
3m/s
2
.

4.8. Un automobil pleacă din repaus cu accelerația de
1,2 m/s
2
.
Calculați d
istanța parcursă după
10s

de la plecare. Care este
viteza automobilului după cele
10s
? Calculați viteza medie.

R: d=60m; v=12m/s; v
m
=6m/s.

20
4.9. Un tren care are viteza de
72km/h

frânează și se oprește
după ce parcurge distanța de
200m
. Calculați accelerați
a trenului
și timpul de frânare.

R: a=
­
1 m/s
2
; t=20s.

4.10. Un mobil pleacă din repaus și atinge viteza de
15m/s

după
5s
. Din acel moment se deplasează cu viteză constantă timp de
40s
, după care frânează și se oprește în
10s
. Calculați distanța
totală par
cursă.

R: D=712,5m.

4.11. Un automobil de curse atinge viteza de
144km/h

în
8s.

Se
cere accelerația lui. În cât timp atinge jumătate din această
viteză? Ce distanță parcurge în acest timp?

R: 5m/s
2
; 4s; 40m.

4.12. Un mobil cu viteza inițială
v
0
=20m/s

ar
e o mișcare uniform
încetinită, astfel că el se oprește după
t
op
=20s
. Să se afle:

a) accelerația mișcării;

b) distanța parcursă până la oprire;

c) viteza mobilului la jumătatea distanței de frânare.

R: a) a=
­
1m/s
2
; b) d=200m; c) v=14,1m/s.

4.13. Un mob
il cu viteza inițială
v
0
=80m/s

are o mișcare uniform
încetinită, astfel că el se oprește după parcurgerea unei distanțe
d=1600m.

Să se afle:

a) accelerația mișcării;

b) durata mișcării până la oprire;

c) viteza mobilului la jumătatea timpului de frânare
.

R: a) a=
­

2m/s
2
; b) t=40s; c) v=40m/s.

4.14. Un corp care are o viteză inițială
v
0
=10m/s
se mișcă
uniform accelerat cu accelerația
a=1m/s
2
. Ce distanță parcurge
corpul în timp de
10 minute?

R: x=186000m.

21

4.15. Un mobil cu viteza inițială
v
0
=60m/s

are o
mișcare uniform
încetinită, astfel că el se oprește după parcurgerea unei distanțe
d=1200m
. Să se afle:

a) accelerația mișcării;

b) viteza și timpul după care mobilul parcurge jumătate din
distanță;

c) cât este timpul până la oprire?;

d) distanța parcu
rsă în prima jumătate a timpului de frânare.

R: a) a=
­
1,5m/s
2
; b) v=30
2
m/s; t=11,8s;

c) t
op
=40s; d) x=900m.

4.16. În figura alăturată este reprezentat graficul vitezei unui
mobil funcție de timp,
v=f(t).

Să se
reprezinte:

a) grafi
cul accelerației mobilului
funcție de timp,
a=f(t)
;

b) graficul coordonatei mobilului,
x=f(t),
presupunând că la momentul
inițial,
x(0)=0
;

c) să se calculeze distanța totală

Fig.4.16.

parcursă de mobil.

R: a) pentru t
1

[0,2s] a
1
=2m/s
2
; pentru t
2

[2
s;5s] a
2
=0;
pentru t
3

[5s,7s] a
3
=
­

6m/s
2
;

b) x(2)=8m, x(5)=26 m, x(6)=29m,

x(7)=26m c) d=32m.

4.17. Dintr
­
un punct pleacă, în mișcare rectilinie uniformă, un
mobil cu viteza de
10m/s
. Din același punct, după
20s,

pleacă
din repaus un al doilea mobil, cu
accelerația de
2m/s
2
. La ce
distanță de punctul de plecare îl ajunge din urmă al doilea pe
primul?

R: d=400m.

22
4.18. O mașină frânează cu accelerație constantă și se oprește
după ce parcurge distanța de
300m

în
15s
. Calculați viteza
inițială a mașinii.

R:

v
0
=40m/s.

4.19. Pentru mișcarea unui mobil se cunoaște graficul din figură.
Calculați accelerația mobilului pe fiecare etapă și distanța totală
parcursă.

Fig. 4.19.

R: a
1
=1 m/s
2
; a
2
=0; a
3
=
­
0,5 m/s
2
; d=1000m.

4.20.

Un pasager a întâr
ziat la tren. Ajuns pe peron a observat
trenul în mișcare și a constatat că unul din vagoane a trecut prin
fața sa în intervalul de timp
t
1
=6,6s
, iar vagonul al doilea în
t
2
=6,0s
. Considerând mișcarea trenului rectilinie uniform
accelerată, să se determine
:

a) intervalul de timp
τ

cu care a întârziat pasagerul;

b) intervalul de timp
t
3

în care prin fața sa trece vagonul
următor.

R:
τ
=59,7s; t
3
=5,53s.

4.21.

Un elev studiază mișcarea unui cărucior dotat cu un
dispozitiv care marchează pozițiile lui la interv
ale egale
succesive de timp. Măsurând distanțele parcurse de cărucior, el
obține că în primele două intervale de timp succesive acestea
sunt egale respectiv cu
18cm

și
14cm
. Care este distanța
parcursă în următorul interval de timp?

R: 10cm.

23

4.22.

O garni
tură de tren formată dintr
­
o locomotivă și trei
vagoane identice se deplasează rectiliniu și uniform, pe un sector
orizontal, cu viteza
v
=
20m/s.

La fiecare interval de timp
Δ
t
=
10s

se desprinde câte un vagon, astfel încât, de fiecare dată, imediat
după desp
rinderea fiecărui vagon, viteza garniturii de tren crește
instantaneu cu
Δ
v=5m/s
.

a) Să se determine

viteza finală a locomotivei și să se traseze
graficul dependenței de timp a vitezei sale, dacă prima
desprindere s
­
a realizat după un timp
T
=
20s.

b) După d
esprindere, fiecare vagon se deplasează uniform
încetinit până la oprire, durata mișcării sale încetinite fiind direct
proporțională cu viteza în momentul desprinderii (constanta de
proporționalitate având valoarea
k=0,25s
2
/m
), iar distanța maximă
parcursă

de fiecare vagon în mișcare uniform încetinită până la
oprire fiind direct proporțională cu pătratul vitezei în momentul
desprinderii (constanta de proporționalitate fiind
k/2).

Să se
determine

durata întregii mișcări a fiecărui vagon și distanța totală
p
arcursă de fiecare vagon, de la desprindere până la oprire.

R: a) 35m/s; b)
5s;

6,25s; 7,5s;

50m;

7
8,125m;

112,5m.

4.23.

Două corpuri aflate la distanța
s=100m

pornesc simultan
unul spre celălalt. Primul se mișcă uniform, cu viteza
v
1
=3m/s,

iar
al doilea
corp uniform accelerat cu
a=4m/s
2
,
având viteza inițială
v
0=
7m/s.

Să se determine locul și momentul întâlnirii lor.

R: t=5s, s
1
=15m.

4.24. Un corp este aruncat vertical în sus cu viteza
v
0
=80m/s
.
Calculați timpul de urcare, înălțimea maximă atinsă de corp
,
timpul de coborâre și viteza cu care revine în punctul din care a
fost aruncat.

R: t
u
=8s; H=320m; t
c
=8s; v
f
=80m/s.

4.25. De la înălțimea
H=180m

este lăsat să cadă liber un corp.
Calculați timpul de cădere și viteza corpului la sol.

R: t=6s; v=60m/s.

24
4.2
6. Un corp parcurge în ultima secundă de cădere liberă distanța
h=35m
. De la ce înălțime a fost lăsat corpul să cadă liber?

R: H=80m.

4.27. Un corp cade liber de la înălțimea
h=19,6m.

Să se
calculeze:

a) timpul de cădere;

b) viteza corpului în momentul at
ingerii solului;

c) înălțimea la care se află corpul la jumătatea timpului de
cădere. (
g=9,8m/s
2
)

R: 2s; 19,6m/s; 14,7m.

4.28. Să se calculeze înălțimea de la care cade liber un corp, dacă
în ultima secundă parcurge o distanță
h=10m.

Ce viteză are la
jumă
tatea înălțimii maxime?

R: 11,25m; 10,6m/s.

4.29. Dintr
­
un punct se lasă să cadă liber două corpuri, unul dup
ă
celălalt
,

la un interval
τ
=2s
.
După cât timp de la eliberarea
primului corp distanța dintre ele devine de
100m
.

R: t=6s.

4.30. De la înălțimea
h=160m
se aruncă vertical în sus un corp
cu viteza
v
0
=20m/s
. Calculați înălțimea maximă atinsă de corp,
viteza cu care corpul revine la sol și timpul total de mișcare.

R: H=180m; v
sol
=60m/s; T=8s.

4.31. Un pod se află la înălțimea
h=3m

deasupra unui vagon
, cu
lungimea de
10m,

care se mișcă cu viteză constantă. Un corp
este lăsat liber de pe pod în momentul în care trece un capăt al
vagonului. Ce viteză are vagonul, dacă corpul a căzut în capătul
celălalt al vagonului? Calculați viteza finală și timpul de c
ădere
al corpului.

R: 12,9m/s; 7,7m/s; 0,77s.

25

4.32. Un corp cade liber de la înălțimea
h=25m.

Cu ce viteză
inițială trebuie aruncat un alt corp, în același moment, în sus,
pentru ca întâlnirea lor să aibă loc la jumătatea înălțimii? Ce
viteze au corpurile

în momentul întâlnirii lor? Ce interval de
timp separă cele două momente de atingere a solului?

R: v
o
=15,8m/s; v
1
=15,8m/s; v
2
=0;
Δ
t=0,92s.

4.33. Un corp cade liber de la înălțimea
y
0
=1960m
. Să se
determine viteza la sol și timpul de cădere (
g=9,8m/s
2
).

R: v
sol
=196m/s; t
c
=20s.

4.34. De la înălțimea
y
0
=80m
, cade liber un corp. Să se afle
viteza
v
1

și înălțimea
y
1

după
t
1
=2s

de la pornire, viteza la sol și
timpul
total
de
cădere
.

R: v
1
=20m/s; y
1
=60 m; v
sol
=40m/s; t
c
=4s.

4.35. Un corp cade liber de la în
ălțimea
h
. Viteza la sol este
v
s
=20m/s
. Să se afle
h

și durata mișcării
.

R: h
=20 m; t
c
=2s.

4.36. Un corp cade liber de la înălțimea
y
0
=490m.

Să se
determine viteza la sol, timpul de cădere și distanța parcursă în
ultima secundă înainte de a atinge solul.

(
g=9,8m/s
2
)

R: v
sol
=98m/s; t
c
=10s; h=93,1m.

4.37. Viteza la sol a unui corp care cade liber de la înălțimea
y
0
,

este
v
s
=100m/s
. Să se determine înălțimea față de sol
y
0
, timpul
de cădere și distanța parcursă în ultima secundă înainte de a
atinge solul.

R: y
0
=500m; t
c
=10 s; y=95m.

4.38. Un corp este aruncat vertical în sus atingând o înălțime
maximă
y
max
=19,6m
. Să se afle viteza inițială și după cât timp
revine din nou la sol? (
g=9,8m/s
2
)

R: v
0
=19,6m/s; t=2t
u
=4s.

26
4.39. Un corp este aruncat pe verticală d
e jos în sus cu viteza
inițială
v
0
=30m/s
. Să se afle
y
max

și timpul de urcare la înălțimea
maximă?

R: y
max
=45m; t
u
=3s.

4.40. Un corp este aruncat pe verticală de jos în sus cu viteza
v
0
=40m/s.

Să se afle la ce moment de timp
t
1

viteza
v
1

a
corpului
este u
n sfert din viteza inițială și la ce înălțime
y
1

se găsește
corpul la acest moment timp ?

R: v
1
=10m/s; t
1
=3s; y
1
=75m.

4.41. Un corp cade liber de la o înălțime
y
01
=40m

fără viteză
inițială. Simultan este aruncat vertical în sus un al doilea corp cu
viteza

inițială
v
02
=20m/s.

După cât timp se întâlnesc cele două
corpuri și la ce înălțime față de sol?

R: t=2s; y
1
=y
2
=20m.

4.42. Două corpuri sunt aruncate de la sol, vertical în sus cu
vitezele inițiale
v
01
=60m/s

și
v
02
=40m/s
, corpul 2 fiind aruncat
cu
t
02
=5s

mai târziu decât primul. După cât timp se întâlnesc?
Care sunt valorile limită între care poate fi cuprins
t
02

pentru ca
cele două corpuri să se poată întâlni în aer?

R: t=10,83s; 4s<t
02
<12s.

4.43. Se lasă să cadă liber un corp de la înălțimea
y
01
=90 m

ș
i
după
2s
, se aruncă vertical în sus un alt corp cu viteza inițială
v
02
=30m/s
. După cât timp se întâlnesc corpurile și la ce înălțime
față de sol?

R: t=3,4s; y=32,2m.

4.44. Dintr
­
un avion care zboară orizontal cu viteza
v=360km/h,
la altitudinea
h=200m

ca
de liber un corp. Neglijând frecarea cu
aerul, determinați:

a) timpul și viteza de cădere a corpului;

27

b) poziția avionului față de corp, în momentul atingerii
solului.

c) De la ce distanță, măsurată pe orizontală, trebuie lăsat corpul
din avion pentru ca a
cesta să lovească o ținta aflată pe sol?

R: a) 6,32s; 118,3m/s;

b) pe verticala punctului de cădere; c) 632m.

4.45. O sală de sport are lungimea de
30m

și înălțimea
15m.

Se
cere:

a) Cu ce viteză maximă poate fi aruncată o minge sub
unghiul de
60°

față de

orizontală pentru a nu lovi plafonul?

b) La ce înălțime lovește mingea peretele opus dacă este
aruncată cu viteza inițială de la pct. a), de lângă perete?

c) Care este viteza minimă cu care trebuie aruncată mingea
pentru ca să ajungă la celălalt perete (f
ără să atingă solul sau
tavanul) și care este unghiul de lansare? Se neglijează înălțimea
inițială de aruncare.

R: a) 20m/s; b) 6,93m; c) 17,3m/s.

4.46
.
Pentru simularea stării de imponderabilitate se folosesc
avioane speciale care zboară pe o traiectorie

parabolică, pornind
de la o înălțime mare. În momentul inițial viteza avionului este
orizontală și are valoarea
120m/s,

iar la sfârșitul simulării ea
crește la
150m/s.

a) Cât durează starea de imponderabilitate?

b) Cât pierde din altitudine avionul în ti
mpul simulării?

R: a) t
c
=9s; b)
Δ
y=405m.

5. Principiul al II
­
lea al mecanicii

5.1. Forța și accelerația

5.1. Un vagon aflat în mișcare se cuplează cu un alt vagon aflat
în repaus. În ambele vagoane se găsește câte o bilă în repaus. Ce
se va întâmpla cu
bilele în momentul ciocnirii vagoanelor?

28
5.2. Asupra unui corp acționează o forță de
10N

care îi imprimă
o accelerație de
6m/s
2
. Ce accelerație va imprima aceluiași corp
o forță de
6N
?

R: a
2
=3,6 m/s
2
.

5.3. Un corp se află în repaus pe masă. Putem afirma c
ă nu
acționează nici o forță asupra lui?

5.4.

Asupra unui corp, aflat inițial în repaus, acționează succesiv
trei forțe:
F
1
=10N,

F
2
=4N

și
F
3
=
–
15N.

Duratele acțiunilor sunt:
t
1
=4s,

t
2
=14s

respectiv
t
3
=2s.

Cu ce forță constantă s
­
ar obține
aceeași viteză fi
nală a corpului în:

a) în același interval de timp;

b) pe aceeași distanță totală?

R: a) F=3,3N; b) F=2,74N.

5.2. Greutatea, normala și tensiunea

5.5. Asupra unui corp cu masa de
2kg

așezat pe o suprafață
orizontală acționează, vertical în jos o forță
F=10N
. Reprezentați
forțele și calculați forța cu care corpul acționează asupra
suprafeței.

R: N=30N.

5.6. Pe podeaua unui lift care coboară cu accelerația de
1m/s
2

se
găsește un corp cu masa de
1kg
. Reprezentați forțele și calculați
forța cu care liftul
acționează asupra corpului.

Fig. 5.6.

R: N=9N.

29

5.7. Trei corpuri sunt suspendate cu ajutorul unor fire inextensi
­
bile conform figurii. Ce valori au tensiunile mecanice din fire?

Fig. 5.7.

R: T
1
=100N; T
2
=80N; T
3
=50N.

5.8. Un corp cu masa de
10kg

este ridicat vertical cu accelerația
de
2m/s
2

prin intermediul unui cablu. Calculați forța de tensiune
din cablu.

R: T=120N.

5.9. Un cablu rezistă până la o tensiune maximă de
1000N
. Care
este masa maximă pe care o putem cob
orî cu accelerația de
2
m/s
2
.

R: m
maxim
=125kg.

5.10.

Două corpuri cu masele
m=2kg

și
M=3kg

sunt legate
printr
­
un fir ca în figură. Cunoscând că forța care acționează
vertical asupra corpului
m

are valoarea
F=75N

calculați
accelerația corpurilor și tensiun
ea din fir.

Fig. 5.10.

R: a=5 m/s
2
; T=45N.

30
5.11.

Cele două corpuri din figură au masele
m=4kg

respectiv
M=6kg
. Cunoscând că
F=8N

și că frecările sunt neglijabile
determinați accelerația corpurilor, normalele și tensiunea din fir.

Fig
. 5.11.

R: a=0,8 m/s
2
; N
m
=40N;

N
M
=60N; T=4,8N.

5.12. De tavanul unui ascensor care urcă cu accelerația
a=3m/s
2

sunt atârnate ca în figură două corpuri cu masele
m=1kg

respectiv
M=2kg
. Calculați forțele de tensiune din cele două fire.

Fig. 5.12.

R: T
1
=39N; T
2
=13N.

5.13. Un scripete cu masa neglijabilă este prins de un dinamo
­
metru, peste care este trecut un fir inextensibil. La cele două
capete ale firului sunt suspendate două corpuri cu masele
m
1
=0,3kg

respectiv
m
2
=0,2kg.

a) Calculați

accelerația corpurilor.

b) Ce forță indică dinamometrul?

R: a) 2m/s
2
; b) 4,8N.

5.14. Un corp cu masa
m=0,5kg

este suspendat de un fir
inextensibil. Ce forță orizontală trebuie să acționeze asupra

31

corpului pentru ca firul să devieze cu

=30


față de verti
cală?
Care este valoarea tensiunii din fir?

Fig. 5.14.

R: F=2,88N; T=5,78N.

5.15. Determinați forțele indicate de dinamometre în cazurile b)
și c).

Fig. 5.15.

R: 4N; 2,82N.

5.16. Forța care acționează asupra corpului cu masa
m=200g

din
figură ar
e valoarea
F=2N

și face cu orizontala unghiul

α
=
60
0
.
Determinați accelerația corpului și forța de reacțiune normală
dacă frecările sunt neglijabile.

32

Figura 5.16.

R: a=5 m/s
2
; N=0,26N.

5.17. Un corp este lăsat liber din vârful unui plan înclinat care
fac
e cu orizontala unghiu
l
α
=
30
0
.

Cunoscând că lungimea
planului este
l=10m

calculați timpul în care corpul ajunge la
baza planului și viteza lui în acest punct. Frecările se neglijează.

R: t=2s; v=10m/s.

5.3. Forța de frecare

5.18. Asupra unui corp cu mas
a
m=1kg

aflat pe o suprafață
orizontală acționează o forță
F=6N

orientată orizontal.
Cunoscând coeficientul de frecare dintre corp și planul orizontal
μ
=0,4

determinați accelerația corpului.

R: a=2 m/s
2
.

5.19. Cele două corpuri din figură au masele
m=2kg

respectiv
M=3kg
. Cunoscând că forța are valoarea
F=15N

iar coeficientul
de frecare dintre corpuri și suprafața orizontală este
μ
=0,2

determinați accelerația corpurilor și tensiunea din fir.

Fig. 5.19.

R: a=1 m/s
2
; T=9N.

33

5.20. Calculați accelerația corpu
rilor din figura alăturată
cunoscând că masele lor au valorile
M=400g
,
m=200g

iar
coeficientul de frecare dintre
M

și suprafața orizontală este
μ
=0,3
. Care este forța de reacțiune din axul scripetelui?

Fig. 5.20.

R: a=1,33 m/s
2
; R=2,45N.

5.21. a) Să se
calculeze accelerația sistemului dacă corpul de
greutate
G
1

alunecă cu frecare pe suprafața orizontală.

b) Ce valoare
m'
2

trebuie să aibă masa corpului suspendat,
pentru o alunecare uniformă a sistemului?

c) Ce forță acționează asupra axului scripetelui în

cazurile a) și
b)?

Aplicație numerică:
G
1
=50N, m
2
=5kg,
μ
=0,2.

Fig. 5.21.

R: a) 4m/s
2
; b) 1kg; c) 42,4N; 14,1N.

5.22. Un corp este lăsat să coboare liber pe un plan înclinat care
face cu orizontala unghiul

α
=
30
0
. Cunoscând coeficientul de
frecare dintre

corp și suprafața pe care alunecă
μ
=
3
2
1

determinați accelerația corpului.

R: a=2,5 m/s
2

34
5.23. În desenul din figura alăturată se cunosc
M=2kg
,
α
=
45
0

iar
coeficientul de frecare dintre
M

și planul înclinat este
μ
=
2
2
1
.
Determinați masa corpului
m

pentru ca
M

să urce pe plan cu
accelerația de
2m/s
2
.

Fig. 5.23.

R: m

2,9kg.

5.24. Un corp cu masa
m=400g

este așezat peste un alt corp cu
masa
M=600g

ca în figură. Coeficientul de frecare dintre cele
două corpuri este
μ
=0,2

iar frecarea dintre
M

și planul orizontal
se neglijează. Calculați tensiunea din fir dacă forța aplicată
corpului cu masa
M

are valoarea
F=2N
. Care este forța de
reacțiune din axul scripetelui?

Fig. 5.24.

R: T=0,96N; R=1,92N.

5.2
5. Un corp de masă
m=1kg

este lansat pe o suprafață
orizontală cu viteza inițială
v
0
=10m/s.

Știind că, până la oprire,
corpul parcurge o distanță
x=
20
m,

să se calculeze:

a) accelerația corpului;

b) forța de frecare;

c) coeficientul de frecare.

R: a)
–
2,5
m/
s
2
; b)
2,5
N; c)
0,25
.

35

5.26. Un corp cu masa
m=1kg

alunecă pe o suprafață orizontală
cu frecare (
μ
=0,4
). Asupra corpului acționează o forță
F=10N.

Se cere:

a) accelerația corpului, dacă direcția forței formează un
unghi
α
=30°

cu verticala;

b) unghiul
α

pent
ru care accelerația corpului este maximă.

R: a)
4
,
46
m/s
2
; b)
68
0
11
’
.

5.27. Pentru sistemul din figură se dau
m
1
=2kg
,
m
2
=3kg
, iar
între corpuri precum și între corpul 2 și podea există frecare
(μ
1
=μ
2
=μ=0,1
). Care este forța orizontală minimă necesară
pentr
u ca
m
2

să înceapă să se miște?

Fig. 5.27.

R: F=μ(2m
1
+m
2
)g=7 N.

5.28. Pe o podea stă o scândură de masă
m
2
=1kg

peste care este
așezat un corp de masă
m
1
=2kg.

Coeficientul de frecare între
podea și scândură este
μ
2
=0,3
, iar între corpul
1

și scândur
ă este
μ
1
=0,2.
Cu ce forță minimă orizontală trebuie trasă scândura,
pentru ca aceasta să înceapă să iasă de sub corpul de masă
m
1

?

Fig. 5.28.

R : F=g[(μ
1
+μ
2
)m
1
+μ
2
m
2
]=13 N.

5.29. În sistemul din figură
m
2
=2kg, α=30
0

și
μ=0,1.
Să s
e
determine între ce valori trebuie să fie cuprinsă masa
m
1

pentru
ca sistemul să rămână în repaus?

36

Fig. 5.29.

R: 0,827 kg


m
1



1,173 kg.

5.30. În sistemul din figură,

α=30
0

și
μ=0,2.
Să se determine
între ce valori trebuie să fie cuprins raportul mas
elor
m
2
/m
1
,
pentru ca sistemul să rămână în repaus?

Fig. 5.30.

R: 0,327

m
2
/m
1


0,673.

5.31. Să se calculeze între ce limite de valori poate fi cuprinsă
forța
F

orizontală care menține în repaus un corp de masă
m

aflat
pe un plan înc
linat de unghi
α.

Se cunosc
m, α

și coeficientul de
frecare
μ
dintre corp și planul înclinat.

Fig. 5.31.

R:












sin
cos
)
cos
(sin
sin
cos
)
cos
(sin






mg
F
mg
.

5.32. Să se calculeze coeficientul de frecare
μ

dintre un corp și
planul înclinat, dacă se cunosc: forța orizontală min
imă
F

care

37

menține corpul în repaus, masa
m

a corpului și unghiul
α
al
planului. (fig. 5.31)

R





sin
cos
cos
sin
F
mg
F
mg



.

5.33. Pe un plan înclinat de unghi
α
și coeficient de frecare
μ
, se
află corpul de masă
m
1

care se leagă de corpul cu masa
m
2

cu un
fir
ideal trecut peste un scripete ideal. Să se afle accelerația
a

cu
care coboară corpul cu masa
m
2

și tensiunea
T
din fir.

Fig. 5.33.

R: a=
2
1
1
2
)]
cos
(sin
[
m
m
m
m
g






; T=m
2
(g
–
a).

5.34. Pe un plan înclinat de unghi
α
și coeficient de frecare
μ
, se
află corpul
de masă
m
1
,
care se leagă de corpul cu masa
m
2

cu un
fir ideal trecut peste un scripete ideal. Cele două corpuri se mișcă
accelerat. Să se afle: accelerația
a

și tensiunea
T
din fir.

Fig. 5.34.

R: a=
2
1
1
2
)]
cos
(sin
[
m
m
m
m
g






; T=m
2
(g
–
a).

38
5.35.

De la baza unui plan înclinat se lansează de
­
a lungul
planului în sus un corp cu viteza
v
0
=10m/s
. Cunoscând
coeficientul de frecare
μ
=
3
2
1

și unghiul planului înclinat
α
=
30
0
, determinați înălțimea maximă la care ajunge corpul, și
timpul

de urcare. Care este viteza cu care corpul revine la baza
planului înclinat și care este timpul de coborâre?

R: h=3,33m; t
u
=1,33s; v
f

5,77m/s; t
c

2,3s.

5.36. Din vârful unui plan înclinat cu unghiul

=45
0

și lu
ngime
L
=1m
, pornește un corp din repaus
.
Coeficientul de frecare pe
plan este

=
0,1
. Să se determine:

a) accelerația la coborârea pe planul înclinat; b) viteza la
baza planului înclinat;

c
) durata mișcării.

R: a) a=6,36m/s
2
; b) v
3,56m/s; c) t

0,56 s.

5.37. Un corp este lansat cu viteză inițială
v
0

în sus pe un plan
înclinat de unghi
α=30
0

și coeficient de frecare
μ=
3
2
1
. Să se
determine:

a) accelerația la urcarea pe plan înclinat;

b) viteza inițială
minimă cu care trebuie lansat corpul pentru
ca să urce pe planul înclinat pe distanța
L=0,5m
;

c) durata mișcării?

R: a) a=
­

7,5m/s
2
; b) v
0

2,74m/s; c) t=0,36s.

5.38. Un punct material pornește din repaus din vârful unui plan
înclina
t de unghi

=60
0

și lungime
L
=1m
, după care intră pe un
plan orizontal pe care se oprește datorită frecării. Pe planul
înclinat coeficientul de frecare este

1
=
3
1
, iar pe planul
orizontal coeficientul de frecare este
μ
2
=0,2
. Să se afle
:

a) accelerația la coborârea pe planul înclinat;

39

b) viteza la baza planului înclinat;

c) accelerația pe planul
orizontal;

d) distanța parcursă până la
oprire pe planul orizontal;

e) durata totală a mișcării.

Fig. 5.38.

R: a) a
1
=5,77m/s
2
; b) v

3,4m/s;

c) a
2
=
­
2m/s
2
; d) d=2,89m; e) t

2,3s.

5.39. Pe un plan orizontal este lansat un corp cu viteza inițială
v
0
=10m/s
.Pe planul orizontal corpul parcurge o distanță
d
=1m
,
apoi urcă pe un plan înclinat de unghi

=3
0
0

și se oprește după
parcurgerea unei distanțe
L

datorită frecării. Pe ambele planuri
coeficientul de frecare este

=
0,1.

Planul înclinat se consideră
suficient de lung. Să se determine:

a) accelerația pe planul orizontal;

b) viteza corpului după ce a

parcurs planul orizontal;

c) accelerația corpului la urcarea pe plan înclinat;

d) distanța parcursă pe planul înclinat;

e) durata totală a mișcării.

Fig. 5.39.

R: a) a
1
=
­
1m/s
2
; b) v

9,89m/s;

c) a
2

­
5,87m/s
2
; d)

L=8,35m; e) t

1,78s.

5.40.

Un plan înclinat, cu

=
3
0

,

are două secțiuni, de lungimi
egală. Jumătatea de sus este netedă, iar cealaltă jumătate are
asperități. Un corp paralelipipedic de masă
200g

alunecă liber de
la vârful planului înclinat. Viteza corp
ului la jumătatea distanței
este
2,3m/s,

iar la baza planului devine zero.

40
a) Calculați coeficientul de frecare pe a doua jumătate a
planului înclinat.

b) Care este durata mișcării?

c) Cu ce forțe și în ce direcții acționează corpul asupra
planului înclina
t?

R: a) 1,15; b) 0,92s; c) G
n
=1,73N, F
f
=2N (în jos).

5.41. Un corp cu masa de
50kg

este tras pe o suprafață orizontală
cu o forță de
400N.

Știind că unghiul de frecare este
φ
=30°,
să se
calculeze:

a) accelerația corpului dacă direcția forței formează un
unghi
de
60°

cu orizontala;

b) timpul după care viteza corpului va deveni
5m/s,

dacă
pornește din repaus;

c) distanța parcursă de corp de la plecare până la oprire dacă
acțiunea forței încetează la momentul de la pct. b).

R: a) 2,226m/s
2
; b) 2,24s; c) 7,78
m.

5.42. Un cărucior de masă
m
1

se mișcă pe o suprafață orizontală,
fără frecare. Pe cărucior se află un corp de masă
m
3
,

iar alte două
corpuri de mase
m
2

și
m
4

sunt legate prin intermediul a două fire
inextensibile conform desenului.

a) Ce valoare minimă

trebuie să aibă coeficientul de frecare
dintre cărucior și corpul
m
3
,

pentru ca acesta să rămână pe
cărucior (
m
4
>m
2
)?

b) Ce accelerație are sistemul în acest caz?

Fig. 5.42.

R: a)
μ
=[m
4
.(m
1
+2.m
2
)+m
2
.m
3
]/[m
3
.(m
1
+m
2
+m
3
+m
4
)];

b) a=g(m
4
–
m
2
)/(m
1
+m
2
+m
3
+m
4
).

41

5.43
. Un corp plasat pe un plan înclinat de unghi
α

coboară cu
accelerația
a
c
. Același corp fiind aruncat de jos în sus de
­
a lungul
planului înclinat urcă uniform încetinit cu accelerația al cărei
modul este egal cu
a
u
.

Determinați coeficientul de frecare

dintre
corp și planul înclinat. Calculați valoarea acestuia pentru

a
c
=1
m/s
2

și a
u
=1,5
m/s
2
.

R:
μ
=0,025.

5.44. Un corp este lansat de jos în sus pe un plan înclinat cu
α
=30°.

Lungimea planului este
l=2m,

iar coeficientul de frecare
dintre corp și suprafa
ță

0,2.

Se cere:

a) viteza inițială a corpului pentru care acesta se oprește pe
vârful planului înclinat;

b) viteza cu care ajunge înapoi la baza planului înclinat.

c) Corpul își continuă mișcarea pe o suprafață orizontală cu același
coeficient de frecar
e. Ce distanță parcurge până la oprire?

R: a) 5,19m/s; b) 3,6m/s; c) 3,27m.

5.45. Pe un plan înclinat cu
α

=
3
0
°

și lungimea
l=8m,

alunecă
în jos, cu frecare, un corp. Știind că viteza corpului la baza
planului înclinat este jumătate din valoarea pe care a
r avea în
absența frecării, calculați coeficientul de frecare. Ce valoare au
vitezele la baza planului înclinat?

R: 0,43; 4,47m/s, 8,94m/s.

5.46. Pe un plan înclinat cu
α
1
=30°

alunecă uniform în jos un
corp. Să se calculeze:

a) coeficientul de frecare din
tre corp și planul înclinat;

b) accelerația corpului dacă înclinarea planului ar fi
α
2
=60°
.

c) Cu ce accelerație trebuie împins planul înclinat pentru ca acest
corp să rămână în repaus față de plan, în condițiile de la pct. b)?

R: a) μ=α
1
,
3
3


; b) 5,77m/s; c)
a’
=5,77m/s
2
.

5.47. Un corp este lansat în sus pe un plan înclinat cu
α

=
3
0
°

față
de orizontală, cu viteza inițială
v
0=
15m/s.
Să se calculeze:

42
a) înălțimea maximă la care ajunge corpul în absența frecării.

b) Se micșorează la jumăta
te înălțimea planului față de
valoarea obținută. Ce înălțime maximă atinge corpul după
părăsirea planului?

c) Dacă masa corpului este de
30kg,

cu ce forță orizontală
poate fi menținut corpul în repaus pe planul înclinat?

R: a) 11,25m; b) 7,03m; c) 173,2N.

5.48. Un corp este lansat de jos în sus pe un plan înclinat cu
α=30°.

Viteza inițială a corpului este
v
0=
20m/s

iar coeficientul de
frecare
μ=0,2.

Se cere:

a) înălțimea la care se oprește corpul.

b) Se taie planul înclinat astfel încât înălțimea lui devine

jumătate din valoarea obținută la pct. a). La ce înălțime maximă
se ridică corpul?

c) După cât timp cade înapoi pe sol?

R: a)14,85m; b) 9,925m; c) 2,98s.

5.49. Un corp cu masa
m=25kg

se găsește pe un plan înclinat cu
α=30°

la înălțimea
h=2,5m
față de baz
a planului. Coeficientul de
frecare dintre corp și suprafață este
)
3
2
(
1


. Să se calculeze:

a) forța orizontală minimă cu care corpul este menținut în
repaus pe planul înclinat;

b) dacă încetează acțiunea forței, cu ce accelerație alunecă
c
orpul? Ce viteză va avea la baza planului înclinat?

c) Corpul continuă mișcarea pe o suprafață orizontală. Ce
distanță parcurge până la oprire dacă aici coeficientul de frecare
este
μ
'=0,2?

R: a) F=61,86N; b) 2,5m/s
2

; 5m/s; c) 6,25m.

5.50. Un corp cu mas
a
m=20kg

se găsește pe un plan înclinat cu
α

=
3
0
°
.

Calculați valoarea forței orizontale cu care corpul poate
fi menținut în repaus pe plan, dacă:

a) frecarea este neglijabilă;

b) coeficientul de frecare este
μ=0,2.

43

R: a) 115,47N; b) 67,66N


F
175,76N.

5.51. O săniuță cu masa
m
1
=10kg

este trasă cu viteză constantă
în sus pe un deal cu înclinarea
α

=
6
0
°

față de orizontală.
Frecarea dintre săniuță și zăpada este neglijabilă, iar pe săniuță
se află un corp de masă
m
2
=30kg.

a) Pentru ce valoa
re minimă a coeficientului de frecare dintre
săniuță și corp, acesta rămâne în repaus pe ea?

b) Pentru ce valoare minimă a coeficientului rămâne corpul
pe săniuță, dacă sfoara este legată de corp?

R: a) 1,73 b) 0,577.

5.52. Un corp de masă
m
1
=10kg

alunecă

în jos cu viteză
constantă pe un plan înclinat cu
30°

față de orizontală. Să se
calculeze:

a) coeficientul de frecare dintre corp și suprafața planului
înclinat.

b) Unghiul de înclinare se mărește la
45°
și se leagă de
m
1

un alt corp prin intermediul unui

fir trecut peste un scripete ideal.
Ce masă
m
2

trebuie să aibă corpul suspendat pentru ca sistemul
să fie în echilibru?

Fig. 5.52.

R: a) 0,577 b) 2,99kg


2
m
11,15kg.

5.53
.
Căruciorul de masă
m
1=
100g

este legat de un fir
inextensibil,
trecut peste un scripete, conform desenului. La
capătul celălalt al firului este legată o găleată, de masă
m
2=
50g.

O parte dintr
­
o cantitate totală de
m=350g

de nisip se toarnă pe
cărucior iar restul în găleată. Să se determine:

44
a) masa nisipului din gălea
tă pentru ca tensiunea din fir să fie
de
0,8N;

b) masa nisipului din găleată, pentru ca tensiunea din fir să
fie maximă. Care este această valoare a tensiunii?

Fig. 5.53.

R: a) 50g sau 350g;

b) m
2
=200g, T
max
=1,25N.

5.54.

Un vagon de ma
rfă ajunge la viteza finală de
16m/s

uniform accelerat. În acest timp o ladă alunecă înapoi pe o
distanță de 4m pe platforma vagonului (
μ
=0,2
). Să se calculeze
durata mișcării accelerate și valoarea accelerației.

R: a=2,14m/s
2

și t=7,48s (soluția a=29,85m/
s
2

și t=0,535s nu are semnificație practică).

5.55. De la înălțimea
H=180m
este lăsat să cadă liber un corp cu
masa
m=200g
. Știind că în urma impactului acesta pătrunde în
pământ pe distanța
h=20cm

determinați forța de rezistență pe
care o întâmpină din
partea solului.

R: F
r
=1802N.

5.4. Forța elastică

5.56.
Un fir de oțel având modulul de elasticitate
E
=2,1
10
11
N/m
2

are o alungire relativă
ε
=4,5
10
3
. Calcula
ți
efortul unitar care a produs alungirea firului.

R: σ

=
9,45•10
8

N/m
2
.

45

5.57
. Un corp cu masa
m
=9t

este atârn
a
t de un cablu din oțel cu
modulul de elasticitate
E
=21
10
10
N/m
2
, care are lungimea în
stare nedeformată
l
0

=
7m

și secțiunea
S
0

=
15cm
2
. Cu cât s
­
a
alungit cablul? (alungirea produsă de greutatea cablului s
e
neglijează).

R: Δl=2 mm
.

5.58
.

Un fir din cauciuc are modulul de elasticitate
E
=
10
6
N/m
2
,
secțiunea
S
=
2cm
2

și lungimea inițială
l
0
=0
,
5m
. De fir se
suspendă un corp cu masa de
1kg
.
Să se calculeze efortul unitar
,
alungirea relativă și lungimea totală a f
irului după deformare.

R : σ =5
10
4
N/m
2
; ε =
5%;

l=
0,
5
25
m
.

5.59
. Un fir de pescuit, de lungime
5m

și diametrul
0,2mm,

se
alungește cu
2cm,

dacă se ridică uniform un pește de
un
kilogram.

Calculați modulul de elasticitate al firului.

R:

7,9
10
10
N/m
2
.

5.
6
0
. Un resort cu constanta elastică
k=20N/m

are în stare
nedeformată lungimea
l
0
=40cm
. Care va fi lungimea acestui
resort dacă atârnăm de el un corp cu masa de
100g
?

R: l=45cm.

5.61
. Un corp cu masa de
200g

at
â
rnat de un resort îl alungește
cu
Δ
l=30cm
. Care va fi alungirea resortului dacă schimbam
corpul cu altul cu masa de
0,45kg
?

R:
Δ
l=67,5cm.

5.
62
. Un resort se alungește cu
4cm

sub acțiunea unei forțe de
10N.

a) Cu cât se alungește sub acțiunea unei forțe de
15N?

b) Cu ce forță se produce o
alungire de
2cm?

c) Două resorturi identice sunt legate în serie. Ce alungire
vor avea sub acțiunea unei forțe de
25N?

R: a) 6cm; b) 5N; c) 20cm.

46

5.63
. Într
­
un lift care coboară cu accelerația
a
1
=1m/s
2

se găsește
un resort cu
k=10N/m

pe care este așezat u
n corp corp cu masa
m=100g
. Care este lungimea resortului dacă lungimea lui în stare
nedeformată este
l
0
=20cm
? Rezolvați aceeași problemă cu
următoarele valori ale accelerației liftului:
a
2
=10m/s
2
,

respectiv

a
3
=11m/s
2
.

Fig. 5.63
.

R: l
1
=11cm; l
2
=20cm (ned
eformat); l
3
=21cm.

5.64
. Un corp cu masa
m=200g

este tras pe o suprafață
orizontală prin intermediul unui fir cu o forță
F=2N
. Pe fir este
inserat un resort cu
k=10N/m
. Cunoscând coeficientul de frecare
dintre corp și suprafața orizontală
μ
=0,4

determinaț
i alungirea
resortului și accelerația corpului.

Fig. 5.64
.

R:
Δ
l=
20cm; a=6m/s
2
.

5.65
. Două corpuri cu masele
m
1
=100g

și
m
2
=300g

sunt legate
printr
­
un fir trecut peste un scripete ca în figură. Scripetele este
suspendat printr
­
un resort cu
k=20N/m
. Deter
minați accelerația
corpurilor și alungirea resortului.

47

Fig. 5.65
.

R: a=5 m/s
2
;
Δ
l
=15cm.

5.66
. Un corp de masă
m=10kg

este legat de un resort cu
lungimea
l
0
=20cm

și constanta elastică
k=50N/m.

Capătul
celălalt al resortului este tras orizontal cu o vitez
ă constantă de
v=2cm/s.

Coeficientul de frecare dintre corp și suprafața
orizontală este
μ
=0,2.

Să se calculeze:

a) după cât timp începe să alunece corpul;

b) ce lungime are resortul în acest moment (vom presupune
că forța de frecare de alunecare este egal
ă cu forța de frecare
statică maximă)?

Fig. 5.66
.

R: a) 20s; b) 60cm.

5.67
. Sistemul din figură conține două resorturi întinse. Desenați
forțele care acționează în sistem și aflați deformarea
Δl

a
sistemului de resorturi pentru care corpul de masă
m

înc
epe să se

48
miște pe planul orizontal. Se cunosc coeficientul de frecare
μ

dintre corp și planul orizontal și constantele elastice ale
resorturilor
k
1
și

k
2
.

Fig. 5.67
.

R:
2
1
2
1
)
(
k
k
k
k
mg
l





.

5.68
. Sistemul din figură conține două resort
uri comprimate.
Desenați forțele care acționează în sistem și aflați deformarea
Δl

a sistemului de resorturi pentru care corpul de masă
m

începe să
se miște pe planul orizontal.

Se cunosc coeficientul de frecare
μ

dintre corp și planul orizontal și constan
tele elastice ale
resorturilor
k
1
și

k
2
.

Fig. 5.68
.

R:
2
1
k
k
mg
l




.

49

5.5. Legea atracției universale

5.69
. Cunoscând masa Pământului
M
P
=6
·10
24
kg
, masa Lunii
M
L
=7,3
·10
22
kg

precum și distanța dintre centrul Pământului și al
Lu
nii
d=3,8
·
10
8
m
, determinați la ce distanță de centrul
Pământului un corp cu masa
m

ar fi în echilibru.

R: x=3,4
·
10
8
m.

5.70
. La ce altitudine forța de atracție gravitațională a
Pământului este de 4 ori mai mică decât la suprafața lui (se
cunoaște raza Pămâ
ntului
R
P
=6400km
)?

R: h=6,4
·
10
6
m.

5.71
. Calculați variația relativă a accelerației gravitaționale
atunci când urcăm la altitudinea
h=10km
(indicație:
0
0
g
g
g
g



; se cunoaște
R
P
=6400km
).

R:
δg=
­
0,3%
.

5.72
. O stea neutronică tipică are raza
R=
10km
iar masa

M=9
·
10
24
kg
. Care este accelerația gravitațională si care ar fi
greutatea unui corp cu masa
m=20g
la suprafața acesteia
(K=6,67
·
10
­
11
Nm
2
/kg
2
).

R: g
0
=6
·
10
6
m/s
2
; G=120
k
N.

5.6. Forța de inerție

5.73
. Un corp cu masa de 10kg este plasat într
­
o

rachetă care
urcă cu accelerația

a=3g.

Calculați forța cu care racheta
acționează asupra corpului.

50

Fig. 5.73
.

R: N=400N.

5.74
. De tavanul unui vagonet care se mișcă accelerat este
suspendat printr
­
un fir un corp cu masa
m=1kg
. Cunoscând că
firul deviaz
ă față de verticală cu unghiul
α
=30
0

determinați
accelerația vagonului și tensiunea din fir.

Fig. 5.74
.

R: a=5,77m/s
2
; T=11,5N.

5.75
. De tavanul unui lift care urcă cu
accelerația
a=2m/s
2

este legat un scripete
peste care este trecut un fir la capetele

căruia sunt legate două corpuri cu masele
m
1
=100g

respectiv
m
2
=300g
. Calculați
tensiunea din fir și accelerația corpurilor
față de lift.

Fig. 5.75
.

R: T=1,8N; a
rel
=6m/s
2
.

51

5.76
. Pe un plan înclinat cu unghiul față de orizontală
α
=30
0

este
așezat un corp

care se poate mișca fără frecare. Cu ce accelerație
orizontală trebuie împins planul înclinat pentru ca acel corp să
rămână în repaus față de planul înclinat?

Fig. 5.76
.

R: a=5,77m/s
2
.

6. Mișcarea circulară

6.1.

Care sunt perioadele de rotație

ale acelor secundar, minutar
și orar ale unui ceas ?

R: T
s
=60 s; T
m
=3600 s; T
o
=43200s.

6.2.

Calculați viteza unghiulară a acelor secundar, minutar și orar
ale unui ceas.

R : ω
s
=0,1 rad/s; ω
m
=1,7
10
­
3

rad/s; ω
o
=1,5
10
­
4

rad/s.

6.
3.

Un ceas indică ora
12:00
. Care este intervalul de timp după
care acele secundar și minutar vor fi din nou suprapuse.

R: t

61,017s.

6.4.

Un ceas stradal ornamental are lungimea acului minutar
l=1,5m
. Calculați viteza capătului minu
tarului.

R: v=0,
0
026m/s.

6.5.

În cât timp efectuează
N=100
de rotații o roată care are
viteza unghiulară
ω=4π rad/s
?

R: t=50s.

52
6.6.

Viteza tangențială a unui corp care se rotește este
v=2 m/s
.
Diametrul cercului descrie mișcarea circulară este
D=20cm.

Cu
ce turație
ν

se rotește corpul?

R: ν=10/π rot/s.

6
.7.

Diametrul roților unei biciclete este
70cm.

Știind că viteza
bicicletei este
v=18km/h,

calculați:

a) viteza punctului superior de pe roată, față de punctul de
contact cu solul;

b) viteza unghiulară a

roții;

c) turația roții.

R: v
B
=2v=10m/s; ω=14,28 rad/s; ν=2,27rot/s.

6.8. Diametrul roților unei mașini este de
80cm

și efectuează
8
rotații

într
­
o secundă. Calculați viteza unghiulară a roții și viteza
automobilului.

R: ω=50,2rad/s; v=20,1m/s.

6.9. Pe

o anumită distanță, roata din față a unui tractor efectuează
cu
n=15

mai multe rotații decât cea din spate. Știind că
circumferințele celor două roți sunt
2,5m

respectiv
4m
,
determinați distanța parcursă de tractor și numărul rotațiilor
efectuate de fieca
re roată.

R: n
1
=40rot; n
2
=25rot; d=100m.

6.10. Un biciclist descrie o traiectorie circulară cu raza
R=50m

cu viteza
v=6,28m/s
. Calculați perioada mișcării circulare
precum și viteza unghiulară a biciclistului.

R: T=50s; ω=0,125rad/s.

6.11. Un hard disk a
re diametrul
d=8,8cm

și turația
n=7200rpm

(rotații pe minut). Calculați viteza punctelor aflate la periferia
discului.

R: v=33,17m/s.

53

6.12. Pe o pistă circulară cu raza
R=45m,

pleacă din același
punct, în sensuri contrare doi alergători cu vitezele
v
1
=8m
/s

respectiv
v
2
=7m/s
. După cât timp de la plecare se întâlnesc cei
doi alergători?

R: t

18,85s.

6.13. Un pulsar (stea neutronică) are raza de
10km

și emite câte
un puls la fiecare
5ms.
Știind că la o rotație completă se emit
două pul
suri calculați frecvența pulsurilor, perioada de rotație a
pulsarului și viteza punctelor aflate pe ecuatorul stelei
neutronice.

R: ν=200pulsuri/s; T=10ms; v=6280km/s.

6.14 La ce distanță maximă față de centrul unei platforme
circulare trebuie așezat un c
orp, pentru ca să nu alunece de pe
platformă? Frecvența de rotație a platformei este
υ=1,2rot/s
, iar
μ=0,3.
(π
2

g)

R: r=0,
0
52m.

6.15. Pe un disc orizontal care se rotește cu frecvența
ν=30rot/min

este așezat un corp la distanța
R=20
cm față de
centrul dis
cului. Cât trebuie să fie coeficientul de frecare
μ

între
corp și disc pentru ca să rămână corpul pe disc
? (
π
2

g=9,8

m/s
2
)

R: μ=0,2.

6.16. Un patinator are
v=36km/h.

Cu ce
unghi
maxim față de
verticală

se poate înclina patinatorul fără să cadă, dacă
μ=0,
1

și
care este
raza minimă

de viraj?
(g=10m/s
2
)

R: tgφ=μ=0,1; r=100m.

6.17
.

Cu ce viteză maximă poate intra într
­
un viraj cu raza
R=100m
un autoturism dacă între roți și asfalt coeficientul de
frecare este
μ=0,4
?

R: v=20m/s.

54
6.18
.

Viteza maximă cu care o
mașină poate intra într
­
un viraj
orizontal cu raza
R=50m

este
v=54km/h
. Care ar fi noua viteză
maximă dacă s
­
ar înălța partea exterioară a drumului astfel încât
suprafața șoselei să facă cu planul orizontal un unghi
α

(sinα=0,28)
?

R: v=20,66m/s.

6.19
. O g
ăleată mică, umplută cu apă, este legată de un fir
inextensibil de lungime
l=50cm

și este rotită în plan vertical. Să
se calculeze:

a) turația minimă pentru care apa nu curge din găleată;

b) dacă masa apei și a găleții este
m=2kg
și rotația se face cu
tura
ția minimă,

la ce tensiune maximă trebuie să reziste firul?

c) Între ce valori variază tensiunea din fir? (
π
2

g)

R: ν
min
=0,71rot/s; T
max
=39,2N; 0<T<T
max
.

6.20
. O piatră cu masa
m=100g,

legată de un fir cu
L=80cm,
este
rotită

astfel încât descrie un cerc î
n plan vertical cu viteza

v=4m/s
. Care este tensiunea în fir în punctele inferior respectiv
superior al traiectoriei?

R: T
inf
=3N; T
sup
=1N.

6.21
. O bilă de dimensiuni mici este suspendată de un fir
inextensibil de lungime
l=0,2m.

Corpul este rotit astfel
încât firul
se mișcă pe o suprafață conică, formând un unghi de
60°

cu
verticala. Calculați turația corpului și tensiunea din fir dacă masa
corpului este
m=0,02kg. (g=10m/s
2
)

R: ν=1,59rot/s; T
F
=0,4N.

6.22
. Un corp cu masa
m=200g,
legat cu un fir cu lungim
ea

l=80cm,
descrie o mișcare circulară în plan orizontal. Cunoscând
că firul formează cu verticala unghiul
α=60
0
,
determinați
perioada de rotație, viteza corpului și tensiunea din fir.

55

Fig. 6.22
.

R: T
rotatie
=1,256s; v=2
3
m/s; T
fir
=4N.

6.23
. Pe peretele interior al unui cilindru cu raza
R=25cm
care se
rotește cu turația
n=120rotații/minut

se găsește un corp cu masa
m.
Calculați valoarea coeficientului de frecare minim dintre corp
și suprafața interioară a cilindrului pentru ca

m

să răm
ână în
repaus față de cilindru.

Fig. 6.2
3
.

R: μ=0,25.

6.24
. O bară orizontală are lungimea
L=50cm
și

se rotește în
jurul unui ax vertical care trece printr
­
un capăt. La celălalt capăt
este legat de un fir cu lungimea
l=50
2
cm
un corp

cu
m=100g
.
Determinați tensiunea din fir și frecvența de rotație atunci când
firul formează cu verticala un unghi de
45
0
.

56

Fig. 6.24
.

R: T=1,41N; ν=0,5rot/s.

6.25
. O tijă
este
prinsă de un ax vertical

sub
un unghi
α
,

ca în
figură. Pe tijă, la distanța
r

față de axa de rotație stă în repaus

un
manșon de cauciuc cu masa
m
. Care este viteză unghiulară
minimă cu care trebuie rotit sistemul

pentru

ca manșonul să
înceapă să

alunece spre capătul tijei? Se dă coeficientul de
frecare
μ

între manșon și tijă.

Fig
.6.2
5
.

R:
)
sin
cos
(
)
cos
sin
(
min










R
g
im
.

6.26
.

O pâlnie cu deschiderea
2


este rotită la o mașină
centrifugă. Un corp mic se află pe peretele pâlniei la distanța
r
de
axa de rotație. Se dă coeficientul de frecare


dintre corp și

peretele pâlniei. Între ce limi
te de valori poate varia viteza
unghiulară
ω,
de rotație a mașinii centrifuge, pentru ca acel corp
să rămână în echilibru?

57

Fig.6.2
6
.

R:
)
cos
(sin
)
sin
(cos
)
cos
(sin
)
sin
(cos



















r
g
r
g
.

6.2
7
.

Un corp mic considerat punct material se află pe suprafața
interioară unei sfere cu r
aza
R=1m.

Sfera se rotește cu turația
ν=
2
/2 rot/s

în jurul diametrului vertical. În ce poziție va sta
corpul în echilibru în interiorul sferei? (poziție determinată de
unghiul făcut de raza sferei cu verticala). (Se neglijează frecări
le,
π
2

g.)

Fig. 6.2
7
.

R: α=60
0
.

6.2
8
.

Ce perioadă de rotație are un satelit aflat pe o orbită
circulară la o altitudine
h=2R
P
?
Se dau: R
P
=6400km,
(π
2

g
0
=9,8m/s
2
).

R: T=26304s

7,3h.

6.29
.

Să se afle viteza unui satelit care se rotește pe o orbită la o
altitudine
h
la care accelerația gravitațională este de
4
ori mai

58
mică decât la suprafața Pământului. Se dau:
R
P
=6400km
,
g
0
=9,8m/s
2
.

R: v=5600m/s.

6.3
0
.

Să se afle viteza unui satelit care se rotește pe o orbită la o
altitudine
h=2R
p
. Se dau:
R
P
=6400km,
g
0
=9,8m/s
2
.

R: v=4572,3m/s.

6.31
. Un satelit, evoluând deasupra Ecuatorului, fotografiază
relieful. La ce altitudine se găsește dacă durata unei înregistrări
complete este
6ore
?
(R
P
=6400km; g

π
2
).

R: h=
p
R
T
gR

3
2
2
2
4

=20,335
10
3
km.

6.32
. Determinați viteza unui satelit plasat la altitudinea
h=200km
cunoscând

g
0
=9,8m/s
2

și
R
Pământ
=6400km
. În cât timp
face o rotație completă?

R: v

7,8km/s; T=1,47h.

6.33
. Determinați la ce altitudine se găsesc sateliții g
eostaționari
cunoscând

g
0
=9,8m/s
2
,
R
Pământ
=6400km
și perioada de rotație a
Pământului în jurul axei proprii,
T=24h
.

R: h=35.940km.

6.34
. Cunoscând că distanța de la Soare la Pământ este
d=1,5
·10
8
km
și constanta gravitațională
K=6,67
·10
­11
Nm
2
/kg
2
,

determin
ați masa Soarelui. Care este viteza liniară a Pământului
în mișcarea lui în jurul Soarelui?

R: M
S
=2
·10
30
kg; v=29,82km/s.

6.35
.

Câte ore ar avea lungimea unei zile pe o planetă, de formă
sferică, pe care greutatea corpurilor la ecuator ar fi cu
10%

mai
mic
ă decât la poli. Se presupune că planeta are aceeași densitate
medie ca Pământul (
ρ=5510kg/m
3
).

59

R.
K
ρ
1
,
0
π
3

T
=16006,63s=4,446h.

7. Noțiuni energetice

7.
1
.

Un corp cu masa
m=200kg

este ridicat cu o macara la
înălțimea
h=20m
cu viteză consta
ntă. Calculați lucrul mecanic
efectuat de forța de tensiune din cablul macaralei și lucrul
mecanic efectuat de greutatea corpului.

R: L
F
=40kJ; L
G
=
­
40kJ.

7.2
. Un corp cu masa
m=2kg

lansat pe o suprafață orizontală se
oprește după ce parcurge distanța
d=4m
.

Cunoscând coeficientul
de frecare dintre corp și suprafața orizontală
μ=0,2

determinați
lucrul mecanic efectuat de forța de frecare.

R: L
Ff
=
­
16J.

7.3
. Ce lucru mecanic efectuează motorul unui elicopter
­
jucărie
cu masa
m=5kg
, dacă acesta urcă vertical cu
accelerația
a=2m/s
2

la altitudinea

h=10m
.

R: L=600J.

7.4
. Un utilaj cu masa
m=50kg
este lăsat să coboare într
­
o mină
cu accelerația
a=1m/s
2

un timp
t=4s
. Cunoscând că viteza
inițială a utilajului a fost nulă, calculați lucrul mecanic efectuat
de greutate
a utilajului și lucrul mecanic efectuat de forța de
tensiune din cablul cu care a fost legat.

R: L
G
=4kJ; L
T
=
­
3,6 kJ.

7.5
. Graficul alăturat reprezintă variația forței în funcție de
distanța parcursă. Calculați lucrul mecanic efectuat în fiecare
etapă.

60

Fig. 7.5
.

R: L
I
=37,5J; L
II
=75J; L
III
=150J; L
IV
=75J.

7.6
. Un corp cu masa
m=100g
este lăsat liber de la înălțimea
h=2m

pe un plan înclinat care face unghiul
α=30
0
cu orizontala.
Cunoscând coeficientul de frecare dintre corp și planul înclinat
μ
=
3
2
1

determinați lucrul mecanic efectuat de forța de greutate
și de forța de frecare până în momentul în care corpul ajunge la
baza planului înclinat.

R: L
G
=2J; L
Ff
=
­
1J.

7.7
. Asupra unui corp cu
m=2kg,
aflat în stare de repaus pe o
suprafață o
rizontală, începe să acționeze o forță
F=14,2N
(F=10
2
N)

orientată sub un unghi
α=45
0
. După
t
1
=6s
acțiunea
forței încetează iar corpul își continuă mișcarea până la oprire.
Cunoscând coeficientul de frecare dintre corp și suprafața pe c
are
alunecă
μ=0,3

determinați accelerația corpului în primele 6s de
mișcare, lucrul mecanic efectuat de forța
F
și lucrul mecanic
efectuat de forța de frecare de la plecarea corpului până la
oprirea.

Fig. 7.
7
.

R: a=3,5m/s
2
; L
F
=630J; Ff=
­
630J.

61

***

7.8. O
macara ridică uniform un corp cu masa
m=500kg

la
înălțimea
H=20m
în
t=40s
. Determinați lucrul mecanic efectuat
de macara și puterea dezvoltată de motorul acesteia.

R: L=100kJ; P=2500W.

7.9
. O mașină cu masa
m=1000kg
pleacă din repaus cu
accelerația
a=1,5m
/s
2
. Cunoscând că forțele de rezistență
reprezintă
1%

din greutatea mașinii determinați lucrul mecanic
efectuat de motorul mașinii pe distanța
d=192m

precum și
puterea medie dezvoltată de acesta.

R: L=307,2kJ; P=19,2kW.

7.1
0.
Forța de rezistență la înain
tare pe care o întâmpină o
mașină reprezintă o fracțiune
f=0,15
din greutatea ei
.

Ce putere
are motorul dacă masa autoturismului este
1,5t

și atinge viteza
maximă de
144km/h?

R: P=90kW.

7.1
1
. Un tren are masa totală
m=300t
.

Puterea locomotivei

P=600kW
se
presupune constantă
. Forțele de rezistență
reprezintă o fracțiune
f=0,01
din greutatea trenului. Determinați
viteza maximă pe care o poate atinge trenul precum și accelerația
acestuia atunci când viteza lui este
v
1
=36km/h
.

R: v
max
=72km/h; a
1
=0,1m/s
2
.

***

7
.
1
2
.

Randamentul unui plan înclinat cu unghi
α

pentru care
cos
α
=
0,8
este
η
=
0,6
.
Să se afle coeficientul de frecare la
alunecare
dintre corp și

planul înclinat.

R:
μ

=0,50
.

7
.
13
.

Un corp lăsat liber pe un plan înclinat coboară cu viteză
constantă. Care e
ste
randament
ul ridicării acestui corp pe

planul
înclinat?

R:
50%.

62
7
.
14
.

Un corp cu masa de
64 kg

este urcat uniform pe un plan
înclinat cu ajutorul unei forțe
F
. Planul înclinat are lungimea de
4 ori

mai mare decât înălțimea. Randamentul planului înclinat

este
0,8
. Calculați forța
F
care acționează asupra corpului și forța
de frecare.

R : F =200 N; F
f =
40N.

7
.
15
.

O ladă cu masa de
m=200kg

se poate ridica la înălțimea de
h=1,5m

utilizând fie scânduri de lungime
l
1
=3m,

fie de lungime
l
2
=5m
. Coeficientul de

frecare are aceeași valoare în ambele
cazuri,

=0,2
.
Calculați pentru fiecare caz:

a) forța de tracțiune;

b
) randamentul.

Interpretați rezultatele obținute.

R:
a) F
1
=1,35
10
3
N; F
2
=0,98
10
3
N; b)

1
=74%,

2
=61%.

7.16
. Pe un plan î
nclinat cu
α=45°
,

este ridicat cu viteză
constantă un corp

care are greutatea
G
, cu o forță constantă de
0,85G
.

Se cere:

a) valoarea forței de frecare ce acționează asupra corpului;

b) randamentul planului înclinat.

c) Ce forță paralelă cu planul înclinat
trebuie să acționeze
asupra corpului, pentru ca acesta să coboare cu viteză constantă?

R: F
f
=0,14G; η=83%; F’=0,57G.

7.17
. Un corp de masă
m=2kg

este tras uniform în sus cu o forță
F=12N

pe un plan înclinat cu

α=30
0
. Să se calculeze:

a) valoarea forței c
u care
este coborât
corpul cu viteză
constantă pe planul înclinat;

b) coeficientul de frecare dintre corp și planul înclinat;

c) randamentul planului înclinat.

R: F’=8N; μ=0,
115
; η=83%.

7.18
. Pe un plan înclinat care face cu orizontala un unghi
α=30
0
și c
are are randamentul
η=75%
este ridicat uniform un corp cu

63

masa

m=30kg

la înălțimea
h=4m
. Determinați lucrul mecanic
efectuat de forța de tracțiune și coeficientul de frecare dintre corp
și planul înclinat.

R: L
F
=1600J; μ=0,19.

7.19
. Calculați randamentul
unui motor cu benzină, dacă la
parcurgerea unei distanțe de
100km
, se consumă
12kg

de
benzină și se dezvoltă o forță de tracțiune constantă de
920N.

Se
dă puterea calorică a benzinei:
q=46MJ/kg.

R: η=16,66%.

7.20
. Să se calculeze lucrul mecanic efectuat l
a ridicarea cu viteză
constantă, a unui corp de masă
m=30kg

la înălțimea
h=12m

folosind un scripete fix cu randamentul
80%.

(
g=10m/s
2
)

R: L
c
=4500J.

***

7.21
. Un corp cum masa
m=2kg

este lansat pe o suprafață
orizontală cu viteza
v
0
=10m/s
. Coeficientul de
frecare dintre
corp și suprafață este
μ=0,2
. Determinați lucrul mecanic efectuat
de forța de frecare până la oprirea corpului precum și distanța
parcursă de acesta.

R: L
Ff
=
­
100J; d=25m.

7.22
. Asupra unui corp cu masa
m=5kg

aflat în repaus începe să
acțion
eze o forță orizontală
F=
7
N
. Cunoscând coeficientul de
frecare dintre corp și planul orizontal

μ=0,1
determinați:

a) viteza corpului după ce parcurge distanța
d
1
=5m
;

b) distanța parcursă până la oprire dacă după parcurgerea
distanței
d
1

acțiunea forței
F

î
ncetează.

R: v
1
=2m/s; d
2
=
2m.

7.
23
. Asupra unui corp cu masa
m=1kg
care se poate mișca pe o
suprafață orizontală acționează o forță orizontală
F

a cărei
dependență de coordonata
x

se găsește în figura alăturată.
Cunoscând coeficientul de frecare cu planul
orizontal,
μ=0,4,
și

64
că în punctul de coordonată
x
0
=0,
viteza corpului este nulă,
determinați viteza pe care o atinge corpul în punctul de
coordonată
x=6
m
.

Fig. 7.23
.

R: v=5,66m/s.

7.24
. Un automobil cu masa
m=500kg

este accelerat de la viteza
v
1
=36km/h

la
v
2
=72km/h

într
­
un interval de timp de Δ
t=20s.

Se
cere:

a) accelerația și forța de tracțiune a motorului dacă se
neglijează frecările;

b) distanța parcursă și lucrul mecanic efectuat;

c) energia cinetică a automobilului la jumătatea distanței
parcurse.

R: a) a=0,5m/s
2
; F=250N; b) d=300m; L=75kJ;

c) E
c
=62,5kJ.

7.25
. Două autoturisme cu masele
m
1
=1500kg

respectiv
m
2
=1200kg

se deplasează, unul spre celălalt, cu vitezele
v
1
=45km/h

și respectiv
v
2
=54km/h.

Aflați energia cinetică a
automobilelor în raport cu
:

a) sistemul de referință legat de pământ;

b) sistemul de referință legat de un automobil.

R: a) E
c1
=117187,5J; E
c2
=135000J; b) E
’
c1
=0;

E
’
c2
=453750J, față de primul sau

E
”
c1
=567187,5J; E
”
c2
=0 față de al doilea autoturism.

65

7.26
.

Un corp de masă
m=75kg

es
te tras uniform în sus pe un
plan înclinat, cu lungimea de
l=2m

și înălțimea
h=1m.

Știind că
forța de frecare este o fracțiune de
20%

din greutatea corpului,
să se calculeze:

a) forța de tracțiune;

b) lucrul mecanic efectuat de forța de frecare;

c) viteza

corpului la baza planului înclinat, dacă este lăsat
liber de pe vârful planului.
(g=10m/s
2
)

R: a) F=525N; b) L
f
=
­
300J; v=3,46m/s.

***

7.27
. Un liniar metalic, cu lungimea
l=50cm,
este suspendat de
un capăt. Cu cât se modifică energia potențială dacă, din

cauza
încălzirii, rigla se dilată cu
2mm?

Masa riglei este de
20g.

R: ΔE
p
=
­
2.
10
­
4
J.

7.28
. Un corp de masă
m=500kg

este ridicat uniform accelerat în
sus, la înălțimea
h=12,5m,

într
­
un interval de timp de t=5s. Se
cere:

a) accelerația corpului;

b) energia potențială maximă;

c) viteza finală și energia cinetică la înălțimea h;

d) înălțimea la
t=2s. (g=10m/s
2
).

R: a) a=1m/s
2
; b) E
pmax
=62500J;

c) v=5m/s; E
c
=6250J; d) h
1
=2m.

7.29
. Ce lucru mecanic trebuie efectuat pentru a mări alungirea
unui reso
rt cu constanta
k=50N/m
de la
Δl
1
=4cm

la
Δl
2
=8cm
?

R: L
F
=0,12J.

7.30
. Un resort cu constanta elastică
k=40N/m,
inițial
nedeformat, este comprimat cu
x=10cm

în
t=2s
. Determinați
lucrul mecanic efectuat de forța elastică și puterea medie
dezvoltată de forța
deformatoare.

R: L
Fe
=
­
0,2J; P=0,1W.

66
7.31
. Un fir elastic de cauciuc de lungime
l
0
=2
m

și de secțiune
S=1
cm
2

(în stare nedeformată) are modulul de elasticitate
E=32
·
10
5
N/m
2
.

Firul este alungit cu

l=0,5
m
. Să se determine:

a) energia înmagazinată în fir prin
deformare;

b) puterea medie consumată dacă alungirea durează

t=1,6
s
.

R: a) E
p
=20J; b) P=12,5W.

***

7.32
. Un corp cu masa
m=2kg

este aruncat de la nivelul solului
vertical în sus cu viteza
v
0
=5
m/s
.

Calculați:

a) înălțimea maximă pe care o atinge corpul;

b
) înălțimea la care viteza corpului este
v=3m/s
.

c) energia cinetică a corpului la înălțimea
h
’
=1m
.

R: H=1,25m; h=0,8m; Ec
’
=5j.

7.33
. Un corp este lăsat să cadă liber de la înălțimea
h=1,8m
.
Calculați viteza corpului înainte de a atinge solul și înălțimea

la
care energia lui cinetică este egală cu energia potențială.

R: v=6m/s; h
1
=0,9m.

7.34
.

Un corp este aruncat de jos în sus de la sol cu viteza inițială
v
0
. Să se afle prin considerente energetice, la ce înălțime
h
energia
cinetică este un sfert din energ
ia potențială (
E
c
=¼E
p
).

R: h=
g
v
5
2
2
0
.

7.35
.

Un corp cade liber de la o înălțime
H

față de sol. Să se afle
prin considerente energetice, la ce înălțime
h

față de sol,
E
C
=(¾)E
P
?

R: h=4H/7.

7. 36. O minge cu masa de
100g

este lăsată liber de

la înălțimea
h=3m.

După ciocnirea cu solul, se ridică la înălțimea de
2m.

Se
cere:

a) căldura degajată în timpul ciocnirii cu solul;

67

b) energia cinetică înainte și după ciocnire cu solul.
(g=10m/s
2
)

R: a) Q=1J; b) E
c1
=3J; E
c2
=2J.

7.37
. Un lanț cu lungime
a
L=40cm

se găsește la marginea unei
mese orizontale pe care se poate mișca fără frecare. La un
moment dat lanțul începe să alunece de pe masă. Care este viteza
lui în momentul în care părăsește masa?

Fig. 7.
37
.

R: v=2m/s.

7.38
. Un corp cu masa
m=100g

l
egat de un fir cu lungimea
l=80cm
este deviat sub unghiul
α=90
0
față de verticală și lăsat
liber. Determinați viteza corpului în momentul în care acesta trece
prin poziția aflată pe verticala care trece prin punctul de suspensie
precum și tensiunea din fir

în aceasta poziție.

Fig. 7.
38
.

R: v=4m/s; T=3N.

7.39
. Un fir cu lungimea
l=40cm
suspendat de un suport are la
capăt agățat un corp cu masa
m=200g
. Firul este deviat față de
verticală cu un unghi
α=60
0

de unde corpul este lăsat liber.
Determinați v
iteza acestuia în momentul în care firul trece prin
poziția verticală precum și tensiunea din fir în această poziție.

R: v=2m/s; T=4N.

68
7.40
. La capătul unei sfori, de lungime
l=1,2m,

este fixat un corp
mic cu masa de
0,2kg
. Firul este deviat până la un ung
hi de
α
1
=60°

față de verticală și lăsat liber. Să se calculeze:

a) viteza maximă a corpului;

b) forța de întindere maximă din fir;

c) energia cinetică și potențială în momentul în care firul
formează un unghi de
α
2
=30°

cu verticala.
(g=10m/s
2
)

R: a) v=3,46
m/s; b) T=2mg=4N; c) E
p
=0,324J; E
c
=0,876J.

7.41
. O bilă cu masa
m=0,2kg

suspendată de un fir cu lungimea
L=20cm
, este deviată cu unghiul
α=60
0

față de verticală. Bilei i
se imprimă viteza
v
0
=2m/s

perpendiculară pe fir. Ce valoare va
avea tensiunea maximă
în fir?

R: T
max
=8N.

7.42
. Un corp cu masa
m=20kg
este atașat la capătul inferior al
unei bare verticale care se poate roti în plan vertical în jurul unui
punct aflat la capătul superior al acesteia. Cunoscând că
lungimea barei este
l=22,5cm,
determinați v
iteza minimă care
trebuie imprimată în poziția de repaus pentru ca acesta să descrie
un cerc în plan vertical precum și tensiunea maximă din bară în
timpul mișcării.

Fig. 7.42. și 7.43
.

R: v=3m/s; T
max
=1000N.

7.43
. O bilă cu masa
m=0,2kg
, suspendată de
un fir cu lungimea
L=1m
, se rotește în plan vertical. Când bila trece prin inferior al
traiectoriei, tensiunea în fir este maximă
T
A
=20N.
Să se afle

69

viteza corpului

când ajunge în la același nivel cu punctul de
suspensie. (g=10m/s
2
)

R: v=8,37m/s.

7
.44
.
Un

corp cu masa
m=10kg
este atașat la capătul inferior al
unui fir vertical care se poate roti în plan vertical în jurul unui
punct aflat la capătul superior al acestuia. Cunoscând că
lungimea firului este
l=50cm,
determinați viteza minimă, care
trebuie impr
imată corpului în poziția de repaus pentru ca acesta
să descrie un cerc în plan vertical precum și tensiunea maximă
din fir în timpul mișcării.

R: v=5m/s; T=600N.

7.
45
. Un corp considerat punct material, suspendat de un fir
inextensibil, este deviat cu un

unghi α=
60°

față de verticală și i
se dă drumul. Calculați raportul dintre tensiunea maximă și
minimă din fir în timpul mișcării corpului de o parte și de alta a
poziției de echilibru.

R: T
max
/T
min
=4.

7.46
. Ce lucru mecanic trebuie efectuat pentru a ridi
ca în poziție
verticală un stâlp cu masa
m=200kg
care are lungimea
l=5m
.

R: L=5000J.

7.47
. Un stâlp, cu masa
m=500kg

și lungimea
l=4m,

trebuie
ridicat în poziție verticală.

a) Ce valoare are lucrul mecanic efectuat?

b) Calculați valoarea lucrului mecani
c efectuat dacă la
capătul superior al stâlpului este montată o instalație cu masa
M=300kg?

R: L
a
=9800J; L
b
=21560J.

7.48
. Un corp de masă
m=10kg

se lovește de sol cu viteza de
15m/s

și pătrunde la o adâncime de
10cm.

Se cere:

a) energia cinetică a corpulu
i în momentul atingerii solului;

70
b) energia potențială în raport cu suprafața Pământului în
poziția finală;

c) lucrul mecanic efectuat de forța de greutate și de forța de
rezistență.
(g=10m/s
2
)

R: a) E
c
=1125J; b) E
’
p
=
­
10J; c) L
G
=10J; L
r
=
­
1135J.

7.49
. Un c
orp cu masa
m=10kg

alunecă cu frecare pe un plan
înclinat cu
α=30°

de la înălțimea
h=8m.

Cunoscând coeficien
­
tul
de frecare,
μ=0,173,

să se calculeze:

a) accelerația corpului;

b) energia cinetică a corpului la baza planului înclinat;

c) distanța parcursă p
ână la oprire pe suprafața orizontală, pe
care corpul continuă mișcarea, cu frecare,

μ'=0,2;

d) lucrul mecanic efectuat de forța de frecare.
(g=10m/s
2
)

R: a) a=3,5m/s
2
; b) E
c
=560J; c) d=28m; L
f
=
­
800J.

7.50
. O sanie cu masa
m=10kg

coboară fără viteză iniți
ală o
pârtie cu diferența de nivel
H=200m

se oprește pe o suprafață
orizontală. Ce lucru mecanic este necesar pentru a trage sania
înapoi în punctul de plecare?

R: L
F
=40kJ.

7.51
. Un vultur cu masa
m=4kg
planează cu viteză constantă în
căutarea prăzii ast
fel încât pe distanța
d
pierde

h=1m
din

altitudine
.
Ce lucru mecanic trebuie să efectueze pasărea pentru a
reveni la altitudinea inițială cu aceeași viteză și pe aceeași
distanță
d
?

R: L=80J.

7.52
. Pe o suprafață de forma unui sfert de cilindru cu raza
R
=1,8m
coboară fără frecare și fără viteză inițială un corp cu
masa
m=1kg
. Ajuns pe planul orizontal își continua mișcarea cu
frecare până la oprire. Se cunoaște coeficientul de frecare cu
planul orizontal
μ=0,1
. Determinați viteza corpului în momentul
în c
are pătrunde pe suprafața orizontală, lucrul mecanic efectuat

71

de forța de frecare și distanța parcursă pe planul orizontal până la
oprire.

Fig. 7.5
2
.

R: v
1
=6m/s; L
Ff
=
­
18J; d=18m.

7.53
. Un corp alunecă fără frecare pe suprafața interio
ară a unui
cilindru de rază
R=4m
, după care intră pe un plan orizontal unde
coeficientul de frecare este
μ=0,2
.

a) De la ce înălțime H față de sol trebuie să înceapă mișcarea
corpului, astfel ca să se oprească după parcurgerea unei distanțe
d=20m
.

b) La ce

înălțime
h

față de sol, corpul apasă pe peretele
cilindrului cu o forță
N=2mg?

Fig. 7.5
3
.

R
: H=4m; h=4/3m.

7.54
.

Un corp

lansat de jos în sus de
­
a lungul unui plan înclinat
revine la baza planului cu o viteză de n=3 ori mai mică decât
viteza de lansare
. Să se afle randamentul planului înclinat.

R:
η

=
2
2
2
1
n
n


=10/18.

72
7.
55
.
Un corp este aruncat pe verticală de jos în sus cu viteza
inițială
v
0
. Să se arate că există două momente de timp la care
E
c
=E
p
/4

și apoi să se determine
aceste momente de timp.

R: t
1,2

=
)
5
1
1
(
0

g
v
.

7.56
.

Un corp de masă
m
este lansat cu viteza
v
0

de jos în sus
spre vârful unui plan înclinat. La întoarcere, corpul are la baza
planului viteza
v
. Să se afle randamentul planului înclinat și
lucru
l mecanic al forței de frecare în tot timpul mișcării pe planul
înclinat.

R: η=
2
0
2
2
0
2
v
v
v

; L
r
=m(v
2
–
v
0
2
)/4.

7.57
. De la înălțimea
h=2m
cade fără viteză inițială pe un resort
inițial nedeformat un corp cu masa
m=200g
. Determinați
co
nstanta elastică cunoscând comprimarea maximă a resortului
x=50cm
.

Fig. 7.57
.

R: k=40N/m.

7.58
. Dacă pe un resort comprimat cu

x
1
=2cm

se așează un
corp de masă
m
1
=10g,

acesta, în urma destinderii resortului, se
ridică la înălțimea maximă de
h
1
=0,5m.

a)
Ce valoare are constanta elastică a resortului?

73

b) La ce înălțime se ridică un alt corp, cu masa
m
2
=5g,

dacă
se așează pe resortul comprimat cu
Δx
2
=5cm? (g=10m/s
2
)

R : a) k = 250 N/m ; b) h
2
= 6,25 m

7.59
. În sistemul din figură resortul are constanta
k=8
0N/m
,
corpul are masa

m=200g
iar forța
deformatoare este
F=12N
.

Neglijând frecările determinați
viteza maximă atinsă de corp
după încetarea acțiunii forței
F
.

Figura 7.59
.

R: v=3m/s.

7.
60
. Skyjump

este cel mai înalt
bungee jumping

din lume. De pe
platfor
ma „
Macau Tower
” aflată la înălțimea
H=233m

se sare cu
o coardă elastică care are constanta elastică
k=9N/m
. Pentru ce
lungime a corzii nedeformate pentru un săritor cu masa
m=60kg

s
­
ar opri chiar la suprafața solului dacă se neglijează frecarea cu
aerul?
Care ar fi viteza maximă atinsă?

Figura7.60
.

R: l
0

56,7m; v
max

152,6km/h.

74
7.61
. Cu ajutorul sistemului din figură se ridică uniform un corp
cu masa
m=10kg

la înălțimea
h=4m

resortul fiind nedeformat în
starea in
ițială. Constanta elastică a resortului este
k=50N/m
.
Determinați lucrul mecanic consumat pentru ridicarea corpului.

F
igura 7.61
.

R: L=500J.

7.62
. Un corp cu masa
m=4kg

este împins de un resort
comprimat cu
x=0,1m
. Constanta elastică a resortului este
k
=10
4
N/m
. Să se afle:

a) energia cinetică imprimată corpului prin destinderea
resortului.

b) Corpul se deplasează în continuare pe un plan orizontal cu
frecare, coeficientul de frecare fiind
μ=0,1
pe

distanța
AB=5m
.
Ce energie cinetică va avea corpul în pun
ctul B?

c) Corpul continuă să se deplaseze fără frecare pe un sfert de
cilindru cu raza
R=5m
. La ce înălțime
h
față de sol se desprinde
corpul de cilindru?

Fig. 7.62
.

R: a) E
cA
=50J; b) E
cB
=30J; c) h=3,83m.

75

7.63
.

O forță acționând asupra unui corp, aflat
inițial în repaus,
produce un lucru mecanic de
2

ori mai mare atunci când
acționează orizontal, decât atunci când formează un unghi
α
cu
orizontala, durata acțiunii în ambele cazuri fiind aceeași. Să se
determine unghiul f
ăcut de direcția forței cu orizontala în al
doilea caz. Se neglijează frecarea.

R: α=45
0
.

7.64
.

Două suprafețe cilindrice, de raze
R=0,5m,

sunt îmbinate
conform desenului. Corpul lăsat liber de pe suprafața de sus din
punctul
A

alunecă fără frecare și se
desprinde de suprafața de jos
în punctul
B,

la înălțimea
3R/4.

Să se calculeze:

a) de la ce înălțime față de sol începe să alunece corpul;

b) lungimea totală
AB

a traiectoriei corpului pe suprafețele
aflate în contact.

Figur
a 7.64
.

R
: y=9R/8=0,56m; l=0,61m.

76
8. Teorema variației impulsului.

Ciocniri

8.
1
. Impulsul unui corp este
p=6kgm/s

iar energia cinetică
E
c
=9J.

Aflați masa corpului.

R: m=2kg.

8.2
. Un punct material
m=2kg

se mișcă după legea
x=5­8t­4t
2
.

Care va fi impulsul d
upă
3s?

R: p=64kgm/s.

8.3
. Un motociclist cu masa
m=60kg

se deplasează pe o pistă
circulară cu
R=100m

cu o motocicletă de masă
M=340kg.

Dacă
o tură completă o face în

t=62,8s

(20

s). Aflați:

a) viteza motociclistului;

b) variația impulsului după un sfe
rt de tură.

R: a) v=10m/s; b)

p=5,64
·10
3
Ns.

***

8.4. Un glonț cu masa
m=60g

are la ieșirea din țeava armei lungă
de
70cm
, viteza de
700m/s
. Aflați:

a) impulsul glonțului;

b) timpul în care străbate lungimea țevii;

c) forța
medie
exercitată de gaze as
upra glonțului.

R: a) p=42kgm/s; b)

t=2
·10
­
3
s; c) F=21kN.

8.5
. Asupra unui corp acționează o forță
F=50N

timp de

t=10s.

Aflați masa corpului dacă variația vitezei este

v=5m/s.

R: m=100kg.

8.6
. Un corp, pornind din repaus atinge v
iteza
v=4m/s
în

t=10s,

sub acțiunea unei forțe
F=100N.

Aflați masa corpului.

R: m=250kg.

77

8.7
. O bilă cu masa
m=100g

lovește perpendicular un perete cu
viteza
v=5m/s.

Durata ciocnirii este în

t=10
­
3
s
.
După lovire bila
va avea aceeași viteză dar de sens op
us. Aflați:

a) forța
medie
exercitată de bilă asupra peretelui
;

b)
variația
impulsul
ui

bilei.

R: a) F=1000N; b)

p=1kgm/s.

8.8
. Un glonț are masa
m=11g

și diametrul
d=7,62mm.

Știind
presiunea medie a gazelor
p
m
=10
8
m/s
2

și că glonțul iese în

t=2
·10
­
3
s,

a
flați:

a) forța exercitată asupra glonțului;

b) viteza la ieșirea din țeavă.

R: a) F

4,56kN; b) v=829m/s.

8.9
. Un corp cu masa
m=2kg

aflat
î
n stare de repaus

primește în

t=50s

un impuls
p=100kgm/s

sub acțiunea unei forțe

F

constante
. Aflați:

a) viteza

corpului după aceste 50s;

b) valoarea forței

F
, dacă
forța de frecare este de cinci ori
mai mică decât
F
.

c) spațiul parcurs în acest timp;

R: a) v=50m/s; b) F=2,5N; c) S=1250m.

8.1
0
. Două corpuri care au același impuls ciocnesc frontal un
perete fix.

Considerând durata ciocnirii aceeași, aflați raportul
forțelor de impact în cazul că o ciocnire este perfect elastică iar
cealaltă plastică.

R:

F
el
/F
pl
=2
.

8.1
1
. Un automobil cu masa
m

și viteza
v
se oprește într
­
un
interval

t.

În cât timp se va opri un
alt automobil cu masa
2m

și
viteza
3v

dacă forța de frânare este aceeași?

R:

t
2
=6

t.

78
8.1
2
. O bilă cu masa
m=10g

cade pe o masă de la
h
1
=1,25m

și
după ciocnire se ridică la
h
2
=0,45m.

Aflați forța de impact dacă
ciocnirea a durat

t=10
­
4
s.

R: F=800N.

8.13
. O minge cu masa de
m=250g

lovește perfect elastic cu
viteza
v=10m/s

dușumeaua, sub unghiul
α=60


față de verticală.
Dacă impactul durează

t=1ms
,

aflați forța medie.

R: F=2,5kN.

8
.14
. Asupra unui corp cu masa
m=0,1kg

acționează o forță
variabilă ca în f
igură. Ce viteza va avea corpul după
4s
?

Fig. 8.
1
4
.

R: v=40m/s.

8.1
5
. Asupra unui corp cu
m=2kg

acționează
pe direcția și în
sensul mișcării
o forță variabilă
(vezi
figur
a)
. Dacă viteza inițială
este
v
0
=4m/s
,

care va fi viteza finală du
pă
5s
?

Figura 8.1
5.

R : v=24
s
m
.

79

8.1
6
. O forță variabilă după graficul din figură acționează asupra
unui punct material. Care va fi variația impulsului punctului în
cele
10s?

Fig. 8.1
6
.

R:

p=20Ns.

8.1
7
. Un corp de masă
m=50g

este a
runcat în sus în câmp
gravitațional. Graficul descrie variația vitezei pe parcursul a
6s.

Aflați:

a) înălțimea maximă atinsă de corp după prima ciocnire;

b) variația impulsului la a doua ciocnire.

Figura 8.1
7
.

R: a) h
max
=5m; b) (

p)
2
=
0,75Ns.

80
***

8.1
8
. Un vagonet de masă
M

și un om de masă
m

se deplasează
cu viteza
0
v
. Omul sare din vagonet cu viteza v=3v
0
/2
față de
Pământ
în sensul de mers al vagonetului. Cu ce viteză se va
deplasa vagonetul?

R: v’=v
0
(1
­
M
m
2
).

8.19
. Un cărucior cu masa
m=10kg

se deplasează cu viteza
v=3m/s.

Pe el se plasează
, fără viteză inițială față de Pământ,

un
obiect astfel că viteza comună ajunge la
v’=2m/s.

Ce masă are
obiectul?

R: m’=5kg.

8.20
. Pe un vagon de masă

m
1
=10t,

care se deplasează cu viteza
constantă
v
0
=3m/s
,

fără frecare, se așează un container de masă
m
2
=20t
.

Calculați viteza finală.

R: 1m/s.

8.21
. O barcă cu masa
M=90kg

aflată inițial în repaus
are
lungimea
l=10m
.

Un om cu masa
m=60kg

se deplasează de

la un
capăt la celălalt cu viteza
v=3m/s

față de Pământ.

a) Ce viteză va avea barca față de Pământ?

b) Ce distanță va străbate barca în timpul cât omul ajunge la
un capăt la celălalt?

R: a) v
b
=2m/s; b) d=4m.

8.22
. Un patinator cu masa
m
1
=75kg,

având un

rucsac de masă
m
2
=5kg,

patinează cu viteza
v
1
=3m/s.

La un moment dat își
aruncă rucsacul în sens opus mișcării cu viteza
v
2
=12m/s

față de
Pământ
.

Aflați:

a) viteza patinatorului după aruncarea rucsacului;

b) timpul până la oprire dacă coeficientul de fr
ecare este
μ=0,02.

R: a) v
'
1
=4m/s; b)

t=
2
0s.

81

8.23
. O barcă, având masa totală
m
1
=100kg
,

se deplasează cu
viteza
v
1
=2m/s
.

Calculați viteza bărcii, dacă se aruncă înapoi un
corp de masă
m
2
=20kg

cu o viteză
v
2
=10m/s,

în raport cu barca.
Cu ce viteză trebuie aruncat același corp înainte pentru a opri
barca?

R: v=4,8m/s; v’=8m/s.

8.24
.
Pe un cărucior cu masa
m=20kg

care se poate deplasa fără
frecare pe un drum orizontal stă un om cu masa
M=60kg
. Inițial
atât omul cât și căruciorul se depla
sează cu viteza
v=1m/s

față de
Pământ. La un moment dat omul începe să alerge pe platforma
căruciorului cu viteza
u=2m/s

față de acesta înspre înainte.
Determinați:

a)

viteza căruciorului;

b)

lucrul mecanic efectuat de om.

R: a)
v
c
=
0,5m/s; b)
L=30j
.

***

8.25
.
O bilă de lemn de masă
M=0,99kg

este lovită de un glonț
cu masa
m=10g

și viteza
v
0
=200m/s.

Ce viteză vor avea
corpurile dacă glontele se oprește în bilă?

R: v=2m/s.

8.26
. Două corpuri de mase
m
1
=3kg

și
m
2
=2kg

se mișcă în
sensuri opuse și se ciocnesc plasti
c, după care se opresc. Ce
viteză
v
2

are corpul
m
2

dacă
v
1
=4m/s?

R: v
2
=6m/s.

8.27
. Două corpuri cu masele
m
1
=4kg

și
m
2
=2kg

se mișcă unul
spre altul cu vitezele
v
1
=4m/s

respectiv
v
2
=2m/s.

După ciocnire
corpurile se mișcă împreună. Aflați:

a) viteza comună

după ciocnire;

b) căldura degajată.

R: a) v’=2m/s; b) Q=24J.

82
8.28
. Un corp cu masa
m
1
=0,5kg

ce se deplasează cu
v
1
=1m/s

este ciocnit plastic de un alt corp cu masa
m
2
=1,5kg

și
v
2
=3m/s.

Aflați căldura degajată dacă cele două corpuri se mișcă în același
s
ens, respectiv sensuri opuse.

R: Q
1
=0,75J; Q
2
=3J.

8.29
. Două corpuri cu masele
m
1
=1kg

și
m
2
=2kg

se ciocnesc
plastic venind unul spre altul cu aceeași viteză
v.

Căldura
degajată este
12J.

Aflați
v
.

R:
v
=3m/s.

8.30
. Două corpuri cu masele
m
1
=20kg
respectiv

m
2
=16kg

și
vitezele
v
1
=4m/s
, respectiv
v
2
=5m/s,

se ciocnesc plastic în plan
orizontal sub unghiul
α=90
o
. Aflați:

a) viteza comună după ciocnire și direcția ei;

b) căldura degajată.

R: a) v
’
=3,13m/s; β=45

;b) Q=182,2J.

8.31
. Două corpuri de mase egale,
m=4kg

și viteze egale, dar de
sens opus, se ciocnesc inelastic. Dacă energia cinetică a mișcării
lor relative are valoarea 100J, aflați:

a) căldura degajată în timpul ciocnirii;

b) vitezele lor înainte de ciocnire.

R: a) Q=100J; b) v
1
=v
2
=5m/s.

8.32
. Un
vagonet cu masa
m=1t
, aflat în repaus, este ciocnit
plastic de un vagonet identic care se mișcă cu viteza
v=5m/s.

Forța de frecare pentru un vagonet

fiind
F
f
=200N,

aflați:

a) viteza vagonetelor după ciocnire;

b) spațiul parcurs până la oprire;

c) timpul

până la oprire;

d) coeficientul de frecare.

R: a) v
’
=2,5m/s; b) S=31,25m; b)

t=25s; d)

=0,01.

83

8
.33
. Un corp cu masa
m
1
=50g

cu

viteza
orizontală
v
0
=10m/s

ciocnește plastic un alt corp cu
m
2
=200g

care este suspendat de
un fir și se găsește

în
stare de
repaus. Aflați:

a) viteza comună după ciocnire;

b)

căldura degajată;

c) înălțimea la care urcă sistemul.

R: a) v=2m/s; b) Q=2J; c) h=0,2m.

8.34
. Două corpuri de mișcă după legile x
1
(t)=
3
+2t și
x
2
(t)=­1+2t+t
2
. Aflați:

a) momentul întâlnirii corpurilor;

b) vitezele lor în acel moment;

c) căldura degajată dacă se ciocnesc plastic iar masele sunt
egale
m
1
=m
2
=0,5kg.

R: a) t=2s; b) v
1
=2m/s; v
2
=
8
m/s; c) Q=
4,5
J.

8.35
. Un corp de masă
m
1
=0,8kg,

legat de un fir de lungime
l=1,6m

este lansat în jos cu
v
0
=2m/s

c
a în figură.

a) Ce viteză va avea corpul
m
1

înainte de ciocnire cu corpul
de masa
m
2
=0,4kg;

b) unghiul făcut de fir cu verticala când corpurile ajung la
înălțimea maximă după ciocnirea lor plastică.

Figura 8.3
5.

R: a) v
1
=6m/s; b) α=60
0
.

8.3
6
. Se lasă
liber un corp cu
m
1
=3kg

de la înălțimea
h=40m,

iar
simultan se aruncă în sus de la sol cu viteza
v
02
=20m/s,

un alt
corp cu
m
2
=1kg.

Se cere:

a) viteza comună după ciocnirea plastică;

84
b) căldura degajată;

c) înălțimea la care are loc ciocnirea.

R: a) v
’
=1
5m/s; b) Q=150J; c) h’=20m.

8.37
. Un corp de masă
m
1
=100g

este aruncat de la sol în sus cu
v
01
=40m/s.

În același moment, de la înălțimea maximă la care ar
ajunge primul, se lasă să cadă un alt corp de masă
m
2
=60g.

Aflați:

a) înălțimea la care se întâlnes
c corpurile;

b) viteza comună după ciocnirea plastică;

c) căldura degajată.

R: a) h’=60m; b) 5m/s; c) Q=30J.

8.38
. Se lasă liber de la înălțimea
h=70m

un corp cu masa
m
1
=5kg,

iar în același moment se aruncă în sus un corp cu masa
m
2
=2kg.

Aflați:

a) vit
ezele corpurilor în momentul ciocnirii plastice, știind
că, imediat după ciocnire, viteza comună este zero;

b) raportul energiilor cinetice imediat înainte de ciocnire;

c) căldura degajată.

R: a) v
1
=10
2
m/s; v
2
=25
2
m/s; b)
1
2
Ec
Ec
=2,5; c) Q=1750J.

8.39
. Un corp de masă
m
1
=2kg

este lansat pe o suprafață
orizontală, cu viteza inițială de
v
1
=10m/s.

După parcurgerea
distanței
d=5m,

se ciocnește inelastic, cu viteza
v'
1
=5m/s,

de un
alt corp de masă
m
2
=
3kg,

aflat în repaus. Să se calculeze:

a) coeficientul de frecare dintre primul corp și suprafața
orizontală;

b) viteza lor după ciocnire;

c) distanța parcursă până la oprire dacă coeficientul de
frecare rămâne același.

R: a)

=0,75; b) u=2m/s; c) d’=0,26
6m.

85

***

8.40
. Un glonț pleacă din țeava armei cu
v=850m/s.

Masa
glonțului fiind
m=9,6g,

masa armei
M=4,45kg,

aflați viteza de
recul a armei.

R: v’=1,85m/s.

8.41
. Un proiectil cu masa de
15kg

este lansat vertical în sus. În
momentul în care viteza lui es
te
200m/s,

o explozie îl
fragmentează în două bucăți. Fragmentul mai mare, cu masa de
10kg

începe să cadă înapoi cu viteza de
50m/s.

Ce viteză capătă
celălalt fragment?

R: v
1
=700m/s.

***

8.42
. O bilă cu
m
1
=2kg

și viteza
v
1
=3m/s

ciocnește perfect elastic o

altă bilă aflată în repaus, după care se oprește. Aflați
m
2
.

R: m
2
=2kg.

8.43
. O bilă cu
m
1
=3kg

ciocnește perfect elastic o altă bilă aflată
în repaus. După ciocnire viteza primei bile scade la jumătate.
Aflați masa m
2
a celeilalte bile.

R: m
2
=1kg.

8.4
4
.
O bilă de masă
m
1
=0,5kg

se ciocnește elastic cu viteza
v
1
=4m/s

de o altă bilă de masă
m
2
=0,3kg,

aflată în repaus. Se
cere:

a) viteza bilelor după ciocnire;

b) condiția care ar trebui îndeplinită pentru ca prima bilă să
se oprească după ciocnire.

R: a)
l
v
1
=1m/s,
l
v
2
=5m/s; b) m
1
=m
2
.

8.4
5
. O bilă cu masa
m
2

se ciocnește elastic, cu viteza
v
2
,

de o
altă bilă cu masa
m
1
,

aflată în repaus. Care trebuie să fie raportul
maselor lor, pentru ca ele să se îndepărteze, pe aceea
și direcție,
cu aceeași viteză?

R: m
1
/m
2
=3.

86
8.46
. Un corp cu masa
m
1
=1kg

și viteza
0
v
, se ciocnește elastic
cu un alt corp aflat în repaus, cu masa
m
2
=2kg.

După ciocnire
corpul al doilea va avea viteza
v
2
=12m/s

în același sens cu
0
v
.
Aflați
:

a) viteza inițială
v
o
;

b) viteza finală
v
1
.

R: a)
v
o
=18m/s; b)
v
1
=6m/s.

8.47
. Două particule
m
1

și
m
2
=3m
1

se mișcă una spre alta cu
vitezele v
1
=20m/s respectiv
v
2
=4m/s.

Aflați:

a) viteza comună după ciocnirea plastică;

b)
vitezele după ciocnirea perfect elastică.

R: a) v
’
=2m/s; b) v
'
1
=16m/s; v
'
2
=8m/s.

8.48
. Un corp cu masa
m
1
=2kg

se mișcă după legea x(t)=­t
2
+10t.
La momentul
t=
3s

el ciocnește elastic un alt corp
m
2
=1,2kg,

aflat în
repaus. Aflați:

a) impulsul primului corp înainte de ciocnire;

b) energiile cinetice după ciocnire;

R: a) p
1
=8kgm/s; b) Ec
1
=1J; Ec
2
=15J.

8.49
. Două bile
A

și
B
, de aceeași masă
m
, se ciocnesc perfect
elastic în plan orizontal conform figurii. După cio
cnire bila
B

se
oprește. Se cere:

a) raportul
1
2
v
v
;

b) raportul
1
'
1
v
v
.

Figura 8.49
.

87

R: a)
1
2
v
v
=
3
3
;b)
1
'
1
v
v
=2
3
3
.

8.50
. Două corpuri cu masele
m
1
=0,1kg

și respectiv
m
2
=0,2kg,

sunt suspendate de două fire de lungime
l=1,5m

fiecare. Corpul cu
masa
m
1

este deplasat până când firul
formează un unghi

1
=60ș

cu verticala.
Lăsând liber, se ciocnește cu celălalt corp.
La ce înălț
ime se ridică corpurile dacă:

a) ciocnirea este inelastică;

b) cioc
nirea este elastică?

Fig. 8.50
.

R: a) h=8,3cm; b) h
1
=33,

2cm; h
2
=8,3cm.

8.51
. Un resort, având constanta elastică
k=100N/m
,

este așezat
pe o suprafață orizontală. Un c
apăt al resortului se sprijină de un
perete iar de celălalt capăt este fixat un corp cu masa
m
1
=300g.

De acest corp se lovește elastic un alt corp cu masa
m
2
=100g,

cu
viteza
v
2
=5m/s.

Să se calculeze comprimarea resortului dacă:

a) se neglijează frec
ările dintre corpuri și suprafață;

b) coeficientul de frecare este


=
0
,
3
.

Fig. 8.51
.

R: a)

l=
13
,
6
cm; b)

l
’
=
12
,8cm.

8.5
2
.

O bilă este lăsată liber de
pe punctul superior al unui
jgheab de forma unui
semicilindru, cu raza de
R=0,8m.

Suprafața co
ntinuă în plan
orizontal, pe care se află o altă
bilă, aflată la distanța
R.

Masa bilei

Fig. 8.52
.

88
mici este
m=0,5kg,

iar cea a

celei mari
M=1,5kg.

Ce distanță totală parcurge bila cea mică
până la prima oprire, dacă ciocnirea dintre bile este perfect
elastică?

R: 3,64m.

8.5
3
.

Bilele suspendate de două fire de aceeași lungime, au
masele
m
1
=0,2kg

respectiv
m
2

(Fig. 8.62.). Inițial, firele se află
în poziție verticală iar bilele se ating. Firul cu bila
m
1

este deviat
până când bila se ridică la înălțime
a
H,
după care se lasă liber. Se
constată ca, după ciocnirea
perfect elastică

și centrală, ambele
bile se ridică la aceeași înălțime
h
.

a) Ce masă are cealaltă bilă?

b) Care este raportul h/H?

Fig. 8.
5
3
.

R: a) 0,
6
kg; b) 0,
2
5.

8.5
4
. Un corp cu masa
m
1
=2kg

se mișcă cu viteza
v
1
=3m/s

și
ciocnește perfect elastic un perete cu masa
M

foarte mare
(M


) care se deplasează în același sens cu
m
1
,

cu viteza
v
2
=1m/s.

Aflați:

a) forța de impact dacă durata ciocnirii este

t=10
­
3
s;

b) rapo
rtul vitezelor
v
1
/v
2

înainte de ciocnire pentru ca să se
oprească corpul
m
1
.

R: a) F=8kN; b) v
1
/v
2
=2.

8.
55
. Distanța dintre doi pereți verticali, de înălțime
h=3m,

este
d=1,5m.

De pe marginea superioară a unui perete se aruncă
orizontal o minge, cu viteza

inițială
v
0
=20m/s.

De câte ori se
lovește mingea de pereți? Ce viteză va avea în momentul
atingerii solului?

R: n=10; v
c
=
21,43
m/s.

89

9. Statica

9.1. Dintr
­
un creion cu lungimea
l=10cm,

se taie o bucată de
2cm.

Calculați distanța cu care s
­
a deplasat centru
l de greutate al
creionului.

R: 1cm.

9.2. Pe un capăt al unui liniar de lungime
l=30cm

se așează o
radieră cu masa
m
1
=10g

iar pe capătul celălalt un stilou cu masa
m
2
=25g.
În ce punct trebuie susținut liniarul pentru a
­
l menține
în echilibru? Masa liniaru
lui este
m
3
=20g.

R: d=10,9cm, de la capătul cu stilou.

9.3. Sub un liniar de lungime
l=40cm

se așează un creion în
poziția de
„30cm”.

La capătul mai scurt al liniarului se așează un
penar de masă
200g.

Cu ce forță trebuie apăsat în jos capătul
celălalt al

liniarului pentru a
­
l menține în poziția orizontală?
Masa liniarului este
20g.

R: 0,6N.

9.4. O barcă de lungime
l=4m

și masă
m=40kg

se află în repaus
pe apă. Cu cât se deplasează barca dacă un om cu masa
M=70kg

trece dintr
­
un capăt în celălalt al bă
rcii?

R: x=2,54m.

9.5. O scândură de lungime
l=6m

și masă
m
1
=24kg

este
sprijinită la distanța

l=2m,

de un capăt. Ce masă are corpul
care, așezat pe capătul mai scurt, menține scândura în echilibru?

R: m
2
=12kg.

9.6. O bară de lungime
l=4m

este sprijinită

la un capăt, iar
capătul celălalt este suspendat prin intermediul unui scripete fix.

Dacă masa barei este
m
1
=10kg,

ce masă trebuie să aibă corpul
suspendat la capătul celălalt al firului? Cu cât trebuie mărită
masa
m
2
,

dacă pe bară se așează un copil cu
masa
m
3
=30kg,

la
distanța de
1m

de capătul sprijinit?

90

Fig. 9.6.

R: m
2
=5kg;

m=7,5kg.

9.7. La capetele unei bare de masă
m
1
=5kg

și lungimea
l=2m
,

sunt suspendate două corpuri de mase
m
2
=
5
kg

respectiv
m
3
=15kg.

La ce distanță de un capăt trebuie suspendată

bara
pentru a o menține în poziția orizontală.

R: d
1
=1,
4
m.

9.8. Un camion cu masa de
20t

trece pe un pod cu deschiderea de
25m,

cu viteză constantă. Să se determine:

a) dependența de timp a forțelor ce acționează asupra
pilonilor;

b) forțele ce

acționează asupra pilonilor când camionul se
află la distanța de
15m

de capătul podului.

R: a) F
1
=mg(1
­
vt/d); F
2
=mgvt/d

b) F
1
=8
·10
4
N; F
2
=12
·10
4
N.

9.9. O balanță are lungimile brațelor inegale. Dacă corpul de
cântărit se așează pe un taler se obține o mas
ă
m
1
=3,6kg,

punându
­
l pe celălalt taler, se obține
m
2
=3,9kg.

Calculați masa
reală a corpului.

R: m=
2
1
.
m
m
=3,74kg.

9.10. O sfoară de lungime
l=2m

este fixată în poziție orizontală
de cele două capete. Dacă de mijlocul ei se suspendă un cor
p cu
masa de
m=2kg,
acest punct coboară cu
d=10cm.
Să se
calculeze:

a) tensiunea din sfoară;

91

b) alungirea sforii și constanta elastică.

R: a) T=100,45N; b)

l=9mm; k=11,1kN/m.

9.11. Cu ce forța apasă corpul cu masa
m
1

suprafața orizontală în
c
azul următor? Se dau masele:
m
1
=100kg, m
2
=40kg.

Fig. 9.11.

R: N=200N.

9.12. O grindă cu masa
m=100kg

este ridicată în poziție
orizontală cu un sistem de scripeți. Cunoscând randamentul
scripeților,


=80%

respectiv

2
=60%,

calculați fo
rțele de
tracțiune necesare.

Fig. 9.12.

R: F
1
=312,5N; F
2
=416,6N.

9.13. Poziția centrului de greutate la o bară neomogenă se poate
determina în felul următor: sprijinim bara, în poziția orizontală,
de cele două capete. Apropiind cele do
uă puncte de sprijin, se
observă că bara alunecă alternativ pe cele două puncte până când
se ajunge în dreptul centrului de greutate. Explicați cauzele
acestei alunecări alternative. Metoda se poate încerca cu un
baston ținut pe cele două degete arătătoare

în poziția orizontală.

92
9.14. Dintr
­
o bucată de tablă de formă pătrată, cu latura
l=10cm,

se decupează un sfert conform desenului. Determinați poziția
centrului de greutate al corpului obținut.

Fig. 9.14.

R: d=5,8cm de la colțul opus.

Optică

10. R
eflexia luminii. Oglinzi.

10.1. Distanța Pământ
–
Soare este aproximativ
d=150·10
6
km
, iar
viteza luminii este
c=3·10
8
m/s.

Aflați în cât timp ajunge lumina de
la Soare la Pământ.

R:

t=8 min și 20 sec.

10.2. Steaua Alpha
­
Centauri se află la aproximativ 4 an
i lumină
de Pământ. Presupunând că la un moment dat nu mai transmite
lumină spre noi, aflați cât timp o mai putem vedea din acel
moment?

R:

t=4 ani.

10.3. În fața unei surse punctiforme se așează un disc opac cu
raza
r=10cm,

la jumătatea distanței dintr
e sursă și ecran. Aflați
diametrul umbrei.

R: D=40cm.

93

10.4. O sursă de lumină punctiformă se află la distanța
L=2m

de
perete. La ce distanță de sursă trebuie așezat un disc cu diametrul
d=5cm

pentru ca umbra lui pe perete să aibă diametrul
D=2m?

R: l=5cm.

10.5. O sursă punctiformă se află la o înălțime
H=8m

deasupra
solului. Un elev se apropie de această sursă și la un moment dat
umbra lui devine egală cu înălțimea sa
(1,7 m).

Aflați la ce
distanță se află elevul față de verticala sursei.

R: d=6,3m.

10.
6. La ce înălțime se află un bec electric, dacă umbra unui copac
înalt de
3m,

aflat la
8m

de stâlpul becului, este de 4m?

R: H=9m.

10.7. Diametrul mediu al Soarelui este
D
S
=1,4
·10
6
km,

al
Pământului
D
P
=13800km

și al Lunii
D
L
=1760km.

Dacă distanța
medie din
tre Pământ și Soare este
R
P
=
149,5
·10
6
km,

raza
traiectoriei Lunii
R
L
=
384,4
·10
3
km,

calculați durata unei eclipse
totale respectiv parțiale de Lună!

R:

t=4,8h

(În realitate durata este de aproximativ 3,5h, datorită refracției
luminii prin atmosfera terestră

și din cauza traiectoriei ecliptice
a Pământului și a Lunii.)

10.8. În fața unei cutii negre de lungime
L=30
cm se află o
lumânare aprinsă, la distanța
d=40cm

de orificiul cutiei. Flacăra
lumânării măsoară
2cm
. Cum va fi imaginea flăcării pe peretele
opus

orificiului și ce dimensiune va avea? Dar dacă se apropie
lumânarea la
d
’
=20cm
?

R: a) răsturnată mai mică h
1
=1,5cm

b) răsturnată mai mare h
2
=3cm.

94
***

10.9. Care este valoarea cea mai mare a unghiului dintre raza
incidentă și cea reflectată?

R: α=180
o
.

10.10. Unghiul dintre raza reflectată și suprafața unei oglinzi
plane este
α=30
o
.

Aflați valoarea unghiului de incidență.

R: i=60
o
.

10.11. În fața unei oglinzi plane
,

circulare
, verticale

de rază
r=15cm,

se află o sursă punctiformă, la distanța
d=0,5m

pe

axa
optică principală. Aflați diametrul cercului luminos proiectat de
oglindă pe un perete vertical aflat la
L=1,5m

de oglindă.

R: D=1,2m.

10.12. O rază de lumină orizontală reflectată într
­
o oglindă plană
întâlnește un ecran la înălțimea
h=50cm

față de
punctul în care ar
cădea pe ecran în lipsa oglinzii. Dacă distanța dintre punctul de
incidență și ecran este tot de
50cm
, aflați unghiul de incidență.

R: 67
o
30
’
.

10.13. Două oglinzi plane formează un unghi
A=60°.
Determinați unghiul dintre raza incidentă
și reflectată de pe
ambele oglinzi!

Fig. 10.13.

R:

=60
o
.

10.14. Două oglinzi formează un unghi diedru drept. Arătați că
raza reflectată pe a doua oglindă este întotdeauna paralelă cu cea
incidentă pe prima oglindă.

95

10.15. Două oglinzi formează unghiul
diedru
α

între ele. Aflați
acest unghi dacă raza reflectată pe a doua oglindă este
perpendiculară pe cea incidentă.

R: α
1
=45
o
sau α
2
=135
o
.

10.16. Trei oglinzi plane sunt așezate perpendicular una pe alta
în forma literei
U.

O rază de lumină cade sub unghiu
l
i=30
o

pe
una din oglinzi și se reflectă pe rând pe fiecare
. Aflați unghiul
format dintre raza incidentă și cea emergentă.

R: δ=2i=60
o
.

10.17. Pentru două oglinzi care formează un unghi diedru
α
,
arătați că unghiul dintre raza incidentă și cea reflectată

pe a doua
oglindă nu depinde de unghiul de incidență.

R: δ=2α sau, δ=180
­
2α.

10.18. La rotirea unei oglinzi plane cu un unghi
β

în jurul unui
ax care trece prin punctul de incidență și este perpendicular pe
planul format de raza incidentă și normala la o
glindă, raza
reflectată se rotește cu unghiul


Calculați valoarea acestui
unghi.

R: α=2β.

10.19. Pe o oglindă plană cade o rază de lumină sub un unghi de
incidență
i=30°

și se reflectă spre un ecran cilindric, cu raza de
R=2m.

Calculați unghiul cu care
se rotește raza reflectată dacă
oglinda se rotește în jurul punctului de incidență cu unghiul
α=15

!
Ce distanță parcurge spotul de lumină pe scală?

Fig. 10.19.

R:

=30

; s=1,04m.

96
10.20. Un obiect se află la distanța
d=50cm

în fața unei oglinzi
plane. Af
lați:

a) distanța dintre obiect și imaginea sa;

b) Dacă obiectul se depărtează cu
15 cm

cu cât se va depărta
imaginea de obiect?

R: a) D=100cm; b)

d=30cm.

10.21. Un obiect se îndepărtează de o oglindă plană cu viteza
v=0,5m/s.

Cu ce viteză se va depărt
a imaginea față de obiect?

R: v
’
=1m/s.

10.22. Două oglinzi plane formează între ele unghiul diedru
α=120
o
. Un obiect se află între oglinzi pe axa de simetrie, la
egală distanță
d

de fiecare dintre ele.

a) Câte imagini se formează? Reprezentați grafic.

b) Aflați distanța dintre imagini.

R: a) 2 imagini; b) D=2d.

10.23. Două oglinzi formează unghiul diedru
α=120
o
. Distanțele
dintre imaginile virtuale ale unei surse aflată pe axa de simetrie a
sistemului este d. Dacă unghiul diedru se micșorează de
2 ori

cât
devine distanța d’ între primele imagini virtuale.

R: d’=2d.

10.24. Două oglinzi plane formează între ele unghiul diedru
α=90
o
.

Un obiect se află între ele, la egală distanță de fiecare și la
20cm de muchia comună. Aflați: numărul de imagini obținute
și
distanțele dintre ele. (Construcția imaginilor)

R: 3 imagini; d
1
=d
3
=20
2
cm, d
2
=40cm.

10.25
. Două oglinzi plane formează unghiul diedru
α=60
o
. O rază
de lumină cade sub unghiul de incidență
i
1
=45
o

pe prima oglindă.
Aflați:

a) unghi
ul de reflexie pe a doua oglindă;

97

b) unghiul dintre raza incidentă pe prima și raza reflectată pe
a doua oglindă (
δ);

R: a) r
2
=15

; b) δ=60

.

10.26. Un om cu înălțimea
H=1,80m

are ochii la
h=1,60m
. El se
privește într
­
o oglindă plană aflată pe un perete

vertical în fața
sa. Aflați:

a) înălțimea minimă a oglinzii;

b) distanța dintre podea și latura ei inferioară, astfel încât
omul să se vadă complet (în condițiile punctului a)).

R: a) h
1
=90cm; b) h
2
=80cm.

10.27. Razele care vin de la Soare, considerate

paralele, se
reflectă pe o oglindă plană orizontală și cad pe un ecran vertical.
Perpendicular pe oglindă, la distanța

d

de ecran se așează un
obiect subțire de înălțime
h
. Aflați imaginea acestuia pe ecranul
vertical.

Fig. 10.27.

R: p
t. d
≥h.tgi, 2 imagini în prelungire

(dreaptă și răsturnată).

10.28. Mărirea transversală a unei oglinzi plane este
1.

Cum
explicați faptul că desenând conturul imaginii feței noastre pe
oglindă, de exemplu cu o bucată de săpun, acesta este mult mai
mic?

***

10.29. Un obiect de
2cm
se află în fața unei oglinzi concave cu
raza
R=
­
40cm

la
120cm

de aceasta. Aflați:

98
a) poziția imaginii;

b) înălțimea imaginii;

c) construiți grafic imaginea obiectului.

R: a) x
2
=
­
24cm; b) y
2
=
­
4mm.

10.30. O oglindă concavă are
R=
­
60cm
. Aflați distanța la care
trebuie plasat un obiect care are înălțimea
y
1
=1cm

pentru

a obține
imaginea la
x
2
=2R
. Care este mărimea imaginii?
Construiți grafic
imaginea obiectului.

R: x
1
=
­
40cm; y
2
=
­
3cm.

10.31. În fața unei oglinzi concave de raza
R=
­
1m

se află un
obiect cu
y
1
=2cm

la

distanța de
40cm
. Aflați poziția imaginii,
mărimea imaginii și mărirea transversală. Construiți grafic
imaginea obiectului.

R: x
2
=2m; y
2
=
10
cm; β=5.

10.32. Imaginea unui obiect cu
y
1
=4cm

se formează pe un ecran
aflat la
60c
m

de o oglindă concavă cu distanța focală
40cm
.
Unde trebuie plasat obiectul față de oglindă? Care este mărimea
imaginii? Construiți grafic imaginea obiectului.

R: x
1
=
­
120cm; y
2
=
­
2cm.

10.33. În fața unei oglinzi concave cu raza de curbură
R=­50cm

se află
un obiect la distanța
x
1
=
­
75cm.
Să se determine:

a) mersul razelor de lumină;

b) poziția imaginii.

c) Cu cât se deplasează imaginea dacă obiectul se apropie de
oglindă cu

x=25cm?

R: b) x
2
=
­
37,5cm; c)

x
2
=12,5cm.

10.34. O oglindă concavă are distanța fo
cală de

48cm
. Pe un
ecran aflat la
1,2m

de oglindă, se formează imaginea unui obiect.
La ce distanță se află obiectul de oglindă?

R: x
1
=
­
80cm.

99

10.35. Un obiect se află în centrul de curbură a unei oglinzi
concave. Unde se formează imaginea?

R: tot în cent
rul de curbură.

10.36. Un obiect de înălțime
y
1
=2cm

se află în fața unei oglinzi
concave la distanța
x
1
=
­
10cm.
Știind că înălțimea imaginii reale
este
y
2
=
­
8cm,
determinați poziția imaginii față de oglindă și raza
de curbură a oglinzii.

R: x
2
=
­
40cm; R=
­
16c
m.

10.37. Raza de curbură a unei oglinzi concave este
50cm.

Unde
trebuie așezat un obiect plan, perpendicular pe axa optică, pentru
ca imaginea lui să se formeze în același plan? Se poate obține
suprapunerea perfectă a imaginii peste obiect?

R: x
1
=x
2
=R

(
Imaginea răsturnată se poate suprapune peste obiectul drept
dacă axul optic principal trece prin centrul obiectului)

10.38. Un obiect de
3cm

are imaginea reală de
­
6cm

într
­
o oglindă
sferică. Distanța dintre obiect și imagine este
30cm
. Aflați:

a) poziț
ia obiectului și a imaginii față de oglindă;

b) distanța focală.

R: a) x
1
=
­
30cm; x=
­
60cm; b)
f
=
­
20cm.

10.39. O oglindă concavă din trusa de machiaj are raza
R=­30cm
. Dacă fața persoanei se află la
10cm

de oglindă, de
câte ori mărește aceasta?

R: β=3.

1
0.40. Un obiect este plasat la
3
f

în fața unei oglinzi concave.
Unde se formează imaginea?

R: x
2
=3f/2.

100
10.41. Imaginea unui punct luminos într
­
o oglindă concavă de
rază
R=
­
40cm

se formează în același loc cu obiectul. Care este
distanța dintre obiect și o
glindă?

R: d=40cm.

10.42. Imaginea unui obiect se formează în aceeași poziție cu
obiectul. Ce mărire transversală dă această oglindă sferică?

R: β=
­
1.

10.43.

Un obiect cu
y
1
=5cm

se află la
10cm

în fața unei oglinzi
convexe
cu raza de
30cm.

Determinați p
oziția imaginii, mărimea
acesteia și distanța obiect
­
imagine. Construiți grafic imaginea
obiectului.

R: x
2
=6cm; y
2
=3cm; d=16cm.

10.44. Un obiect cu înălțimea de
3cm

se află la
30cm

de o
oglindă convexă cu distanța focală de
20cm
. Unde se formează
imaginea

și care este mărimea ei? Construiți grafic imaginea
obiectului.

R: x
2
=12cm; y
2
=1,2cm.

10.45. Un obiect cu înălțimea de
5cm

este așezat la
9cm

de o
oglindă convexă care are
R=12cm
. Determinați poziția imaginii,
mărimea ei și distanța la care se formează f
ață de obiect.
Construiți grafic imaginea obiectului.

R:
x
2
=3,6cm; y
2
=2cm;
d
=12,6cm.

10.46. La ce distanță se află un obiect de o oglindă convexă, dacă
imaginea sa se formează la
20cm

de aceasta, iar raza oglinzii
este
R=50cm
?

R: x
1
=
­
100cm.

10.47. Raza d
e curbură a unei oglinzi convexe este
R=30cm.

La ce
distanță se găsește un obiect dacă imaginea lui se vede la
10cm

de
oglindă? De câte ori este mai mare obiectul decât imaginea lui?

101

R: x
1
=
­
30cm; de 3 ori.

10.48. Un camion aflat la
12m

de oglinda retroviz
oare a unui
autoturism are imaginea în înălțime
h=10cm
. Ce înălțime are
camionul în realitate? Se cunoaște:
R=1,2m.

R: 2,1m.

10.49. O oglindă sferică are
R=
­
50cm
. Care este distanța focală?
Dar dacă se introduce oglinda în apă
(n=3/4)?

R:
f
1
=
­
25cm=
f
2
.

**
*

10.50. Care este mărirea liniară transversală a unei oglinzi plane,
respectiv relația între coordonatele imaginii și a obiectului?

R: β=1; x
1
=
­
x
2
.

10.51. O oglindă formează o imagine virtuală
mărită de 2 ori

pentru un obiect aflat la
60cm

de ea. Aflați
raza de curbură a
oglinzii.

R: R=
­
240cm.

10.52. O oglindă concavă cu raza de
1m

formează o imagine
reală mărită de
2 ori

a unui obiect. Aflați distanța dintre obiect și
imaginea sa.

R: d=75cm.

10.53. Imaginea reală a unui obiect este egală cu acesta, cân
d
obiectul se află la
30cm

în fața oglinzii. Aflați distanța focală.

R:
f
=
­
15cm.

10.54. O oglindă concavă cu distanța focală
f

formează o
imagine reală, răsturnată și de două ori mai mare decât obiectul.
Aflați poziția obiectului.

R: x
1
=3f/2.

102
10.55. Ce o
glindă folosim și care va fi raza de curbură a ei pentru
a ne vedea fața de
2 ori mai mare

când este la
40 cm

în fața
noastră?

R: concavă, R=
­
160cm.

10.56. O oglindă sferică cu raza de
6cm

poate forma imagini de
5 ori mai mari

ca obiectul (reale respecti
v virtuale). Aflați
pozițiile obiectului.

R: x
1
=
­
3,6cm;
'
1
x
=
­
2,4cm.

10.57. Distanța dintre un obiect și imaginea sa reală, de două ori
mai mică, într
­
o oglindă sferică este de
10cm
. Aflați unde e
plasat obiectul față de oglindă.

R: x
1
=
­
20cm.

10.58. O oglindă concavă formează o imagine reală de
3 ori mai
mare

decât obiectul. Aflați distanța dintre obiect și imagine dacă
această se formează la

90cm

de oglindă.

R: d=60cm.

10.59. O oglindă concavă cu
R=
­
1m

dă o imagine reală
mărită
de 2 o
ri
. Aflați:

a) poziția imaginii față de oglindă;

b) cu cât se deplasează imaginea dacă obiectul se depărtează
cu
15cm
.

R: a) x
2
=
­
150cm; b)

d=37,5cm (se apropie).

10.60. Un obiect se află la
90cm

de o oglindă concavă. Imaginea
sa este de
2ori mai mică

d
ecât obiectul. Aflați:

a) distanța focală;

b) β' dac
ă distanța obiect
–
oglindă se mărește cu
33%.

R: a)
f
=
–
30cm; b) β'=
­
1/3.

103

10.61. O oglindă concavă formează o imagine reală, micșorată
de
2ori
, respectiv de
4 ori

pentru două poziții ale obiectului între

care distanța este de
10cm
. Aflați distanța focală.

R:
f
=
­
5cm.

10.62. O oglindă convexă are raza de curbură de
20cm
. Un
obiect de înălțime
10cm

are imaginea înaltă de

4cm
. Aflați:

a) distanța obiect
­
oglindă.

b) Cu cât s
­
a deplasat obiectul dacă imagine
a sa a crescut cu
1cm?

R: a) x
1
=
­
15cm; b)

x=5cm (se apropie).

10.63.

Un ecran se află la
60cm

de obiect. O oglindă cu distanța
focală
40cm

proiectează imaginea acestuia pe ecran. La ce
distanță trebuie plasată oglinda de ecran?

R: d=60cm sau d’=120cm.

1
0.64. Distanța dintre un obiect și imaginea sa într
­
o oglindă
convexă este egală cu distanța focală a acesteia. Aflați mărirea
transversală.

R: β=0,62.

10.65
.

Două oglinzi convexe au distanțele focale
f
1
<f
2
.
Ce relație
există între măririle lor pentru un
obiect situat la aceeași distanța
de fiecare din ele.

R: β
1
<β
2
.

10.66. Două oglinzi sferice, una concavă cu raza de
10cm,

și
cealaltă convexă, cu raza de
50cm,

se află pe același ax optic la
50cm

una de alta. La jumătatea distanței dintre oglinzi se
poziț
ionează un obiect. Aflați

a) distanța dintre primele imagini ale obiectului, formate de
cele 2 oglinzi;

b) măririle transversale date de oglinzi.

R: a)

x=56,25cm; b) β
1
=
­
1/4; β
2
=1/2.

104
10.67. O oglindă concavă are raza de
80cm
. În fața ei, la
50cm

se
află

o sursă punctiformă pe axul optic principal. La ce distanță de
oglinda concavă trebuie așezată o oglindă plană, perpendiculară pe
axul optic pentru a reflecta razele înapoi în sursă.

R: d=125cm.

10.68
. Două raze paralele între ele și cu axul optic al une
i oglinzi
concave cu
R=
­
50cm

se reflectă și intersectează axul optic
principal. Aflați distanța între punctele de intersecție dacă razele
sunt la
2mm

respectiv
4mm

de ax.

R: d=0,006mm

0m.

11. Refracția luminii. Prisme.

11.1. De ce nu se observă ciob
urile de sticlă transparentă în apă?

11.2. Aerul uscat este complet transparent. Dacă ne uităm însă
deasupra asfaltului încălzit la obiectele îndepărtate, conturul lor
vibrează iar pe jos se poate observa a umbră slabă tremurătoare.
Cum se explică acest f
enomen?

11.3. O rază de lumină parcurge distanța
d
1
=100cm

într
­
un
mediu cu
n
1
=1,5

în intervalul de timp

t
. În același interval
parcurge o distanță
d
2
=150cm

într
­
un alt mediu transparent.
Aflați

n
2
.

R: n
2
=1.

11.4. O rază de lumină parcurge succesiv câte
d=3m

în vid, apă,
respectiv sticlă. Care este timpul total?

R:

t=38,33ns.

105

11.5. O rază de lumină cade sub unghiul
i=30
o

pe suprafața de
separare dintre două medii cu indicii de refracție
n
1
=2

și
n
2
=
2
.

Aflați unghiul dintre raza ref
ractată și reflectată.

R: α=105
o
.

11.6. La trecerea din aer într
­
un mediu cu
n=
3
raza refractată
este perpendiculară pe cea reflectată. Cât este unghiul de
incidență?

R: i=60
o
.

11.7. O rază de lumină cade sub
i=30
o

pe suprafața de se
parare a
două medii cu
n
1
=2,4

respectiv
n
2

necunoscut. Dacă razele
reflectată și refractată sunt perpendiculare aflați
n
2
.

R: n
2
=1,387.

11.8. Un fascicul luminos cade pe suprafața plană a unui mediu
transparent cu
n=1,5
. Ce valoare are unghiul de incidenț
ă dacă
fascicolul refractat este perpendicular pe cel reflectat?

R:
tg
i=1,5; (i=56
o
20’).

11.9. O rază de lumină cade sub unghiul
α=30
o

față de suprafața
unui lichid și este deviată cu
15
o
. Aflați n
lichid
.

R: n=1,22.

11.10. Un fascicul conic, cu deschider
ea unghiulară
2i

produce
un cerc luminos pe masă. Așezând pe cercul de lumină un disc
de sticlă
(R<h),

se constată că pata de lumină se restrânge,
iluminând doar suprafața inferioară a discului. Să se calculeze
raza acestuia. Se dau: i=45

, h=25cm, d=5cm,
n=1,5.

Fig. 11.10.

106
R: R=22,6cm.

11.11. Aflați unghiul de refracție
r

în figura următoare .

Figura 11.11.

R: r=45

.

11.12. O placă de sticlă
(n=1,52)

este mărginită, sus de aer iar
jos de o soluție de lichid cu
n=1
,41
. Un fascicul de lumină cade
sub
i=45
o

pe sticlă venind din aer. Ce unghi de refracție va forma
fasciculul în lichid?

R: r’=30

.

11.13. O rază de lumină cade pe suprafața unei sfere de sticlă
(n=
3
)

sub unghiul de
60
o

ca în figură.

Aflați unghiul
α.

Figura 11.13.

R: α=120
o
.

11.14. O rază de lumină se propagă într
­
un mediu cu
n
1
=
3
și
pătrunde într
­
o bulă de aer de formă sferică sub un unghiu de
incidență de
30
o
. Aflați:

a) unghiul de emergen
ță;

b) unghiul dintre raza incidentă și cea emergentă.

R: a) i’=30
o
; b) α=120
o
.

107

11.15. Un fascicul paralel este incident pe suprafața apei
(n=4/3)

venind din aer sub unghiul de
30
o
. Dacă lărgimea fasciculului în
apă este
6,43cm
, aflați lărgimea lui în aer.

R:

x=6cm.

11.16
. Un fascicul paralel de lumină care are lărgimea
d = 5cm
în aer este incident sub un unghi
i = 60°

pe suprafața apei.
Calculați lărgimea fascicolului în apă (n=4/3).

R: d
’
=7,6cm.

***

11.17. Pe fundul unui vas de înălțime
h=1,2m

plin cu

un lichid
cu
n=5/4,

se află o sursă de lumină. Pe suprafața lichidului
plutește un disc opac. Ce rază minimă trebuie să aibă discul
pentru ca lumina să nu iasă din lichid?

R: r
min
=1,6m.

11.18. O rază de lumină se propagă într
­
un mediu cu
n=2
și
ajunge l
a suprafața de separare cu aerul sub unghiul
i=60
o
.Cu cât
va fi deviată raza refractată?

R: nu se refractă.

11.19. O sursă punctiformă de lumină se află pe una din fețele
unei lame de sticlă care are indicele de refracție
n=1,5
. Care este
grosimea lamei d
acă discul luminos pe fața opusă are raza
R=20cm
.

R: d=22,4cm.

11.20. Peste apa dintr
­
un pahar
(n=4/3)

se așează o placă de
sticlă
(n=3/2).

O rază de lumină care vine din aer și se refractă în
sticlă poate suferi reflexie totală la intrarea în apă? Argume
ntați
răspunsul.

R: nu.

108
11.21. Un bloc de sticlă are indicele de refracție n=
2
. Un
fascicul de lumină paralel vine din sticlă la suprafața de separare
cu aerul. Care este domeniul de variație a unghiului de incidență
pentru ca fascic
ulul să nu fie reflectat total?

R: 0<i

45
0
.

11.22. O fibră optică are miezul din material cu
n
1
=1,5
, iar
învelișul din material cu
n
2
=
2
.

O rază de lumină provenită din
aer cade pe miezul fibrei sub unghiul de in
cidență
i.

Aflați
valoarea maximă a acestui unghi pentru care lumina se propagă
prin fibră (prin reflexie totală).

Fig. 11.22.

R: i
max
=30
o
.

***

11.23. Un om privește o piatră pe fundul unui bazin plin cu apă
(n
apă
=4/3).

Adâncimea bazin
ului este de
2m
. Cu cât pare mai
ridicată piatra față de fundul bazinului când este privită sub
incidența normală (
sin
i

tg
i).

R:

h=0,5m.

11.24. Pe fundul unei piscine se află o piatră. Un copil vrea să o
miște cu un baston pe care î
l introduce în apă
(
n
=4/3)

sub
unghiul de
45
o
.
Adâncimea apei este de
40cm
. La ce depărtare de
piatră atinge bastonul fundul piscinei?

R:

x=15cm.

11.25. Se scufundă o riglă gradată în apă limpede
(n=4/3).

Observatorul privește rigla pe direcție normală (
s
in
i

tg
i). Aflați
raportul dintre diviziunile milimetrice d
apa
/d
aer
!

109

R:
aer
apa
d
d
=
4
3
.

11.26. Într
­
un vas paralelipipedic transparent se află apă. Dacă în
apă se aruncă o monedă, cu ajutorul unui liniar ținut în afara
vasu
lui putem estima adâncimea aparentă la care se găsește
moneda:
h
1
=4cm.

Dacă se introduce liniarul în apă, se măsoară o
adâncime
h
2
=5,5cm.

Calculați indicele de refracție al apei.

R: n=h
2
/h
1
=1,375.

11.27. Un scafandru aflat în apă
(n=4/3)

privește o pasăre

care
zboară la înălțimea
h=10m

deasupra apei. Când sunt pe aceeași
verticală, la ce înălțime vede scafandrul pasărea?

R: h’=
3
40
m.

11.28. Un bec este suspendat la
h=3m

deasupra apei dintr
­
un bazin
.
Un înotător aflat sub apă pe aceeași
verticală cu becul observă
imaginea acestuia. Care este distanța dintre imaginea becului și
poziția lui reală?

R:

h=1m (mai sus).

11.29
. Care va fi viteza unui avion măsurată dintr
­
un submarin
aflat sub apă
(
n
apă
=4/3
)
pe aceeași verticală cu avionul. Se
presupune că adâncimea la care se găsește submarinul este foarte
mică, neglijabilă în raport cu altitudinea avionului. Viteza reală a
avionului este
v=600km/h
.

R: v
ap
arent
=800km/h.

11.30. O rază de lumină se propagă în aer și cade sub
i=45
o

pe
suprafața g
heții unui lac. Unghiul de refracție este
r=30
o
. În
gheață, la
20cm

se află un peștișor. Care este adâncimea aparentă
la care a fost înghețat acesta dacă e privit sub incidența normală?

R: h’=14,1cm.

110
11.31. Pe fundul unui vas ce conține apă până la o înăl
țime
h

se
află o oglindă plană. La distanța
d

deasupra apei se află o sursă
de lumină. Aflați distanța dintre sursă și imaginea sa (sini

tgi).

R: D=2
d
+2h/n.

***

11.32. Pe o lamă de sticlă de grosime
e=1cm

și indicele de
refracție
n=5/3

cade o rază de
lum
ină sub un unghi de incidență
i=60°.

Se cere:

a) deplasarea razei emergente
față de direcția inițială;

b) distanța dintre punctul de
incidență și punctul de emergență

Fig. 11.32.

al razei reflectate pe a doua față (AC).

R: a) BD=0,56cm; AC=1,21c
m.

11.33. Se consideră două plăci de sticlă cu fețele plan
­
paralele
aflate în aer, inițial lipite, apoi se distanțează rămânând paralele.
Cum variază deplasarea dintre raza emergentă și cea incidentă, la
modificarea distanței dintre plăci?

R:

=

1
+

2
=ct!

11.34. O lamă cu fețele plan
­
paralele de grosime
d=6mm

și
indice
n=3/2

este intercalată între un observator și un obiect.
Când observatorul privește pe direcție normală, care va fi
apropierea aparentă a obiectului?

R:

x=d(1
­
n
1
)=2mm.

11.35. O rază de lumină cade sub incidența
i=45
o

pe o lamă cu
fețe plan paralel cu
n=
2
și de grosime
d=3cm
. Aflați
deplasarea razei emergente față de cea incidentă. Se dă
sin15
o

0,258
.

R:

x

8,9mm.

111

11.36. Un observator privește normal

printr
­
o placă de sticlă
(n=1,5)

de grosime
l=60cm
o sursă luminoasă punctiformă,
aflată la
d=2m
de ochiul său. Aflați distanța aparentă dintre sursă
și ochiul observatorului dacă sursa este lipită de fața opusă a
plăcii.

R: d
ap.
=1,8m.

11.37. În fața une
i lame cu fețe plan
­
paralele se află un obiect.
Care este distanța dintre obiect și imaginea sa dacă lama are
grosimea
d=3cm

și
n=1,5
?

R:
x

=1cm.

11.38. În cât timp iese o rază de lumină dintr
­
o lamă groasă de
10
2
cm

cu n=1,5 când unghiul de incidență este i
=30
o
?

R:

t=0,75ns.

11.39. Un fascicul luminos se propagă în aer și se refractă pe mai
multe lame cu fețe plan
­
paralele. Demonstrați că direcția razei
emergente depinde doar de unghiul de incidență și de indice
le
ultimului mediu.

R: sini
final
=
final
n
i
sin
.

11.40. Se poate produce reflexie totală pe suprafața unei lame
plan
­
paralele?

11.41. Cum se poate determina indicele de refracție a unui lichid
aflat într
­
un vas transparent de formă paralelipiped
ică?

***

11.42. O rază de lumină cade normal pe o față a prismei cu
unghiul
A=30
o

și emerge, fiind deviată cu
δ=30

. Aflați
n
.

R:
n
=
3
.

112
11.43. O prismă cu unghiul de
45°

are indicele de refracție
1,5.

Pentru ce unghi de incidență dir
ecția razei emergente va fi
perpendiculară pe fața
AB?

Fig. 11.43.

R: i=25

50’.

11.44. O rază de lumină cade perpendicular pe o față a unei
prisme și iese prin cealaltă față, deviată cu unghiul
δ=60
0
. Aflați
unghiul prismei dacă materi
alul din care este făcută are indicele
de refracție
n=2
.

R: A=30
0
.

11.45. O prismă cu
n
=
3
are unghiul de deviație minim egal cu
unghiul de refringență. Aflați valoarea acestui unghi
(sin2α=2sinαcosα).

R: A=60

.

11.46. Care este indice
le de refracție al unei prisme optice dacă
deviația minimă este egală cu jumătate din unghiul prismei
(
A=60
o
).

R:
n
=
2
.

11.47. Secțiunea unei prisme este un triunghi isoscel
dreptunghic. O rază de lumină cade perpendicular pe una din
fețele egale ale prismei. Aflați indicele de refracție minim pentru
care se produce reflexia totală.

R:
n
>
2
.

113

11.48. Secțiunea unei prisme este un triunghi echilateral.
Unghiul de incidență este egal cu cel de emergență având
valoarea

de
45
0
. Aflați indicele de refracție al materialului
prismei
.

R:
n
=
2
.

11.49. Trei prisme echilaterale sunt așezate ca în figură. Indicele
de refracție al prismelor este
n
=
2
.

Aflați unghiul de incidență
pentru d
eviația minimă.

Figura 11.49.

R: i=45
o
.

11.50. În prisma optică din figură o rază de lumină pătrunde
perpendicular pe fața BC, se reflectă succesiv pe DA și AB,
ieșind prin CD. Aflați unghiul dintre raza incidentă și cea
emergentă.

Figura 11.50.

R: δ=
2α.

11.51. Se consideră prisma cu reflexie totală din figură cu
n=3/2

aflată în aer. Ce se întâmplă cu raza de lumină dacă prisma se
introduce în apă(
n=4/3)?

114

Figura 11.51.

R: se refractă pe BC (r=52

30’).

11.52. O prismă de diamant
(n
2
=2,43)

se află într
­
un lichid cu
indicele
n
1
(vezi figura). Știind că raza refractată este
perpendiculară pe cea reflectată aflați
n
1
.

Figura 11.52.

R: n
1
=1,4.

11.53. O prismă cu unghiul diedru de
60


are unghiul de deviație
minimă de

35

.

Ce valoare va avea acest unghi dacă prisma este
scufundată în apă?

R: 7

.

10.54
. Dacă se studiază de aproape imaginea formată de o
oglindă obișnuită, se observă o dublare a conturului imaginii.
Care este explicația? Ce fel de oglinzi se folosesc în
instrumentele optice?

12. Lentile

12.1. Cum se poate aprinde focul cu o bucată de gheață?

115

12.2. Ce dispozitive optice simple trebuie așezate în următoarele
cutii pentru a obține mersul razelor date pe desene?

Fig. 10.2.

12.3. Imagi
nea unui obiect cu
y
1
=3
cm

aflat la o distanța de
30cm

de o lentilă subțire cu
f=
+20cm
,

se formează pe un ecran.

a)

Determinați distanța de la lentilă la ecran.

b)

Calculați distanța dintre obiect și imaginea sa prin lentilă
.

c) Calculați mărimea imaginii.

c)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

R: a) x
2
=60cm; b) d=90cm; c) y
2
=
­
6cm.

12.4. În fața unei lentile convergente cu
f=
+
25cm

se așează,
perpendicular
pe axa optică principală, un obiect de înălțime
y
1
=
4cm
. Poziția obiectului este dată de coordonata acestuia față
de lentilă,
x
1
=
­
5
0cm
.

a)

Determinați distanța dintre lentilă și imaginea obiectului.

b)

Determinați valoarea măririi liniare transversale
β
.

c)

Calculați înălțimea imaginii obiectului.

d)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

R: a) x
2
=50cm; b) β=
­
1; c) y
2
=
­
4cm.

12.5. La distanța de
8cm

în fața un
ei lentile având
f=+16cm

se
așează, perpendicular pe axa optică principală, un obiect de
înălțime
y
1
=2cm
.

116
a)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

b)

Deter
minați distanța dintre lentilă și imaginea formată.

c)

Calculați înălțimea imaginii.

d)

Determinați mărirea liniară transversală.

R: b) x
2
=
­
16cm; c) y
2
=+4cm;e) β=2.

12.6. Imaginea virtuală a unui obiect liniar, plasat perpendicular pe
axa optică principal
ă a unei lentile convergente având distanța
focală
f=25cm
, se formează la distanța de
75cm

de lentilă.
Înălțimea obiectului este
y
1
=1cm
.

a)

Determinați distanța dintre obiect și lentilă.

b)

Calculați înălțimea imaginii.

c)

Realizați un desen în care să evi
dențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

R: a) x
1
=
­
18,75cm; b) y
2
=4cm.

12.7. O lentilă convergentă formează imaginea reală a unui
obiect liniar plasat în fața ei, perpendicular pe axa optică

principală. Distanța focală a lentilei este
f=20cm

iar obiectul se
află la
0,6m

în fața lentilei.

a)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

b)

Calculați co
ordonata imaginii față de lentilă.

c)

Determinați raportul dintre înălțimea imaginii și cea a
obiectului dacă acesta este adus la
0,1m

în fața lentilei.

R: b) x
2
=30cm; c) β
’
=2.

12.8. În fața unei lentile convergente cu distanța focală de
6
cm

se găsește un

obiect cu înălțimea de
2
cm

la distanța de
4
cm

față
de lentilă.

a)

Calculați coordonata imaginii față de lentilă.

117

b)

Determinați mărimea imaginii.

c)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, î
n situația
descrisă de problemă.

R: a) x
2
=
­
12cm; b) y
2
=6cm.

12.9. În fața unei lentile divergente cu distanța focală de
8cm

se
găsește un obiect cu înălțimea de
6cm

la distanța de
12cm

față
de lentilă.

a)

Calculați coordonata imaginii față de lentilă.

b)

Determinați mărimea imaginii.

c)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

R: a) x
2
=
­
4,8cm; b) y
2
=2,4cm.

12.10
. O lentilă divergentă formează o imagine virtu
ală a unui
obiect care se vede la
36cm

de lentilă. Distanța focală a lentilei
fiind
40cm,

să se determine:

a) distanța dintre obiect și imagine;

b) mărirea liniară.

R: a) d=3,24m; b)

=0,1.

12.11
. Distanța focală a unei lentile convergente este
10cm.

La

ce distanță de lentilă trebuie așezat un obiect cu înălțimea de
2cm

pentru ca imaginea proiecta
tă pe un ecran să aibă mărimea

de
20cm?

R: x
1
=
­
11cm.

12.12
. Distanța dintre un obiect și ecran este
d
1
=1,5m.

O lentilă
convergentă formează o imagine înaltă de

y
2
=20cm

a obiectului.
Dacă ecranul se îndepărtează la
d
2
=2m,

înălțimea imaginii crește
la
y
2
'=30cm.
Calculați distanța focală a lentilei și înălțimea
obiectului!

118
R: f=2
1
,3cm; y
1
=4,
1
4cm.

12.13
. Cu ajutorul unei lentile convergente cu distanța focală
f=36c
m

se obține pe un ecran aflat la distanța
D

de obiect, o
imagine înaltă de
1cm.

Dacă se apropie lentila de obiect, o nouă
imagine clară va avea înălțimea de
81cm.

Calculați distanța
D

dintre obiect și ecran. Pentru ce distanță minimă
D
m

dintre obiect
și ec
ran se poate obține încă imagine clară pe ecran?

R: D=4m; D
m
=4f=144cm.

12.14
. În fața unei lentile cu distanța focală
f=50cm

se
deplasează o sursă punctiformă într
­
o direcție perpendiculară pe
axa optică. Viteza sursei este
v=0,5m/s

iar traiectoria
inters
ectează axa optică la
75cm

de lentilă. Unde trebuie așezat
ecranul pentru ca imaginea surse să se formeze pe acesta? Cât
timp se vede lumina pe ecran dacă lățimea lui este
d=2m?

Axa
optică trece prin mijlocul ecranului.

R: x
2
=150cm;

t=1s.

***

12.15. Un o
biect liniar este așezat în fața unei lentile subțiri,
perpendicular pe axul optic principal, la
50cm

de lentilă. Un
observator, privind prin lentilă, vede imaginea virtuală a
obiectului, de trei ori mai mică decât acesta. Determinați distanța
focală a len
tilei.

R: f=
­
25cm.

12.16. O lentilă convergentă cu distanța focală
f=40cm

formează
pentru un obiect real o imagine reală, de două ori mai mare decât
obiectul.

a)

Calculați poziția obiectului față de lentilă.

b)

Determinați distanța la care trebuie așezat
un ecran față de
lentilă în situația dată, pentru a obține imaginea clară a
obiectului.

119

c)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

d)

Determinați poziția ima
ginii dacă obiectul se află la
20cm

în fața lentilei.

R: a) x
1
=
­
60cm; b) x
2
=120; d)
'
2
x
=
­
40cm.

12.17. Un obiect cu înălțimea de
2cm

este așezat perpendicular
pe axa optică a unei lentile subțiri cu distanța focală
f=+60cm
.

Determinați:

a)

distanța la care trebuie așezat obiectul față de lentilă
pentru a se obține pe un ecran o imagine reală de trei ori mai
mare decât obiectul;

b)

distanța de la obiect la ecranul pe care se formează
imaginea, în condițiile de la punctul
a
);

c)

înălțimea
imaginii formate de lentilă.

R: a) x
1
=
­
80cm; b) d=320cm; c) y
2
=
­
6cm.

12.18. Distanța focală a unei lentile divergente de
40cm
.
Imaginea virtuală a unui obiect real are înălțimea egală cu
jumătate din înălțimea obiectului.

a)

Calculați valoarea măririi lin
iare transversale.

b)

Calculați distanța la care trebuie așezat obiectul în fața
lentilei.

c)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

d)

Calculați distanța d
intre imagine și lentilă.

R: a) β=0,5; b) x
1
=
­
40cm; d) x
2
=
­
20cm.

12.19. În fața unei lentile subțiri convergente cu distanța focală

f=40cm

este plasat, perpendicular pe axul optic principal, un
obiect liniar. Imaginea, obținută pe un ecran, este de
două o
ri
mai mică

decât obiectul.

b) Calculați distanța dintre ecran și lentilă.

120
c) Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

d) Dacă obiectul s
­
ar apropia de lentil
ă, precizați dacă, pentru a
se forma o imagine clară, ecranul ar trebui apropiat de lentilă,
îndepărtat de aceasta sau ar trebui să
­
și păstreze poziția.

R: a) x
2
=60cm.

12.20
. În fața unei lentile subțiri este plasat, perpendicular pe axul
optic principal,

un obiect liniar drept, astfel încât imaginea, obținută
pe un ecran, este de
patru ori mai mare

decât obiectul. Distanța
dintre ecran și obiect are valoarea
d=5m
.

a) Calculați distanța dintre ecran și lentilă.

b) Calculați distanța focală a lentilei.

c
) R
ealizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

d
) Dacă obiectul s
­
ar îndepărta de lentilă, precizați dacă, pentru
a se forma o imagine clară, ecranul ar trebui aprop
iat de lentilă,
îndepărtat de aceasta sau ar trebui să
­
și păstreze poziția.

R: a) x
2
=4m; f=0,8m.

12.
21
. Imaginea unui obiect liniar situat perpendicular pe axul
optic principal al unei lentile subțiri, este răsturnată și de două
ori mai mare ca obiectul.
Distanța dintre obiect și imaginea sa
este

d=45cm.

a)

Determinați poziția obiectului în raport cu lentila.

b)

Calculați distanța focală a lentilei.

c)

Construiți imaginea obiectului prin lentilă.

R: a) x
1
=
­
15cm; b) f=10cm.

***

12.22. Raza de curbură a une
i lentile plan
­
convexe este
6cm

și
formează o imagine reală, de șase ori mărită a unui obiect.
Indicele de refracție a lentilei fiind
n=1,5,
să se afle:

121

a) distanța focală a lentilei;

b) distanța dintre obiect și imaginea lui.

R: a) f=12cm; b) d=98cm.

12
.23. O lentilă plan convexă cu raza de curbură
R=0,1m

are
indicele de refracție
n=1,5
. În fața acestei lentile, la o distanță de
0,15m
, este plasat perpendicular pe axa optică principală un
obiect liniar.

a)

Determinați distanța focală a lentilei.

b)

Reali
zați un desen prin care să evidențiați construcția
imaginii în lentilă, pentru obiectul considerat, în situația descrisă
de problemă.

c)

Determinați poziția imaginii față de lentilă.

d)

Calculați valoarea raportului dintre înălțimea imaginii și a
obiectulu
i.

e)

Determinați distanța dintre obiect și noua sa imagine dacă
lentila este deplasată cu
0,25m
, îndepărtându
­
se față de obiect.

R: a) f=20cm; c) x
2
=
­
60cm; d) β=4; e)
'
2
x
=40cm.

12.24. O lentilă biconvexă simetrică
(R
1
=

R
2

=20cm
),
conf
ecționată din sticlă, formează o imagine reală și de
3 ori

mai
mare decât obiectul . Distanța dintre obiect și imaginea sa este de
80cm.

a)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația

descrisă de problemă.

b)

Determinați distanța de la lentilă la obiect.

c)

Determinați distanța de la lentilă la imagine.

d)

Calculați distanța focală a lentilei.

e)

Calculați indicele de refracție al lentilei.

R: b) x
1
=
­
20cm; c) x
2
=60cm; d) f=15cm; e) n=5
/3.

12.25. Convergența unei lentile biconvexe din sticlă
(n
s
=1,5),

introduse în apă
(n
a
=4/3)

are valoarea
C=1m
­
1
. Între razele de
curbură
R
1

și
R
2

ale fețelor lentilei există relația
R
1
=

R
2

=R
. În

122
fața lentilei aflate în aer
(n
aer

1)

se așează, perpendicu
lar pe axa
optică principală, un creion. Imaginea virtuală are înălțime dublă
față de înălțimea creionului. Determinați:

a)

raza de curbură
R
a fețelor lentilei;

b)

distanța focală a lentilei în aer;

c)

distanța dintre creion și imaginea sa formată de lent
ilă;

d)

realizați construcția grafică a imaginii creionului prin
lentilă.

e) Presupunând că lentila se depărtează de creion cu
37,5cm
,
determinați distanța față de lentilă la care ar trebui așezat un
ecran, astfel încât pe acesta să se obțină o imagine cla
ră a
creionului.

R: R=25cm; b) f=25cm; c) 12,5cm; e)
'
2
x
=50cm.

12.26. O lentilă biconvexă cu razele de curbură de
50cm

respectiv
12,5cm

are indicele de refracție
n=1,5
. În fața acestei
lentile, la o distanță de
0,15m,

este plasat, perp
endicular pe axa
optică principală, un obiect liniar cu înălțimea de
0,05m
.

a)

Determinați distanța focală a lentilei.

b)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de probl
emă.

c)

Determinați poziția imaginii față de lentilă.

d)

Calculați înălțimea imaginii obiectului.

e)

Determinați distanța dintre obiect și noua sa imagine dacă
lentila este deplasată cu
0,25m,

îndepărtându
­
se față de obiect.

R: a) f=20cm; c) x
2
=
­
60cm; d) y
2
=20cm; e) d
’
=80cm.

12.27. O lentilă plan
­
concavă subțire are raza de curbură a
suprafeței sferice de
24
cm

și distanța focală în aer
f=
­
40cm
.
Determinați:

a)

convergența lentilei;

b)

indicele de refracție al materialului din care este făcută
lentila;

123

c)

c
oordonata imaginii unui obiect situat la distanța
d=10cm

în fața lentilei, măsurată față de lentilă;

d)

mărirea liniară transversală dată de această lentilă în
situația de la punctul anterior.

e. Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imagin
ii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă la punctul c).

R: a) C=
­
2,5

; b) n=1,6; c) x
2
=
­
8cm; d) β=0,8.

12.28. Pe un banc optic se află o lentilă plan convexă cu indicele
de refracție
n=1,5
. Lentila formează pe un ecran imaginea mă
rită
de
două ori

a unui obiect situat perpendicular pe axul optic
principal. Distanța dintre obiect și lentilă este
d=30cm
.
Determinați:

a)

distanță focală a lentilei;

b)

convergența lentilei;

c)

raza de curbură a feței sferice a lentilei;

d)

convergența l
entilei, dacă aceasta se scufundă într
­
un
mediu cu indice de refracție
n
1
=4/3.

R: a) f=20cm; b) C=5

; c) R=10cm; d) C
’
=1,25

.

12.29. O lentilă biconcavă cu razele de curbură de valori egale cu
0,2m

are indicele de refracție
n=1,5
. În fața acestei lentile
la o
distanță de
0,5m

este plasat, perpendicular pe axa optică
principală, un obiect liniar cu înălțimea de
0,2m
.

a)

Determinați distanța la care se formează imaginea față de
lentilă.

b)

Calculați valoarea raportului dintre înălțimea imaginii și
înălțimea
obiectului.

c)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

R: a) x
2
=
­
100/7cm; b) β=2/7.

124
12.30. O lentilă menisc
­
convergent din sticlă având indicele de
refracți
e
n=1,5

și razele de curbură de
30cm

respectiv
12cm

este
situată în aer
(
n
aer

1).

Un obiect liniar cu înălțimea de
10mm

este situat perpendicular pe axul optic principal al lentilei, la
20cm

în fața acesteia. Determinați:

a)

distanța focală a lentilei în a
er;

b)

coordonata imaginii obiectului față de lentilă;

c)

înălțimea imaginii obiectului;

d)

distanța focală a lentilei, dacă aceasta este cufundată în
apă (
n
a
=4/3
).

R: a) f=40cm; b) x
2
=
­
40cm;

c) y
2
=20mm; d) f
’
=160cm.

12.31. O lentilă plan convexă, din sti
clă cu indicele de refracție
absolut
n
s
=1,5
, proiectează pe un ecran imaginea unui obiect
înalt de
5cm
. Când obiectul se află la
30cm

de lentilă, imaginea
de pe ecran este de
2 ori mai mare

ca obiectul. Presupunând că
obiectul este perpendicular pe axul op
tic principal al lentilei,
determinați:

a)

distanța focală a lentilei;

b)

raza de curbură a suprafeței sferice;

c)

distanța focală a lentilei în apă
(n
a
=4/3);

d)

înălțimea imaginii obiectului atunci când întregul sistem
se află în apă, iar distanța de la o
biect la lentilă nu se modifică.

R: a) f=20cm; b) R=10cm; c) f
’
=80cm; d)
'
2
y
=8cm.

12.32. O lentilă biconvexă subțire, simetrică, din sticlă având
indicele de refracție
n
sticlă
=1,8

este situată în aer și are razele de
curbură ale fețelo
r de
20cm
. Pe axul optic principal al lentilei, la
distanța de
25cm

de lentilă, se așează o sursă de lumină de forma
unui disc având raza de
3mm
. Discul este așezat perpendicular
pe axul optic principal și are centrul situat pe acest ax.

a)

Calculați dista
nța focală a lentilei.

b)

Precizați natura imaginii formate de lentilă și justificați
răspunsul.

125

c)

Determinați distanța dintre obiect și imaginea sa produsă
de lentilă.

d)

Determinați raza imaginii formate de către lentilă.

e)

Realizați un desen în care s
ă evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă, specificând valorile distanțelor și
înălțimilor din reprezentare.

R: a) f=12,5cm; b) d=50cm; c) r
’
=3mm.

12.33. Pe un cilindru de lungime aproxim
ativ
5cm

și diametrul
20cm

se fixează două folii transparente. Dacă cilindrul se
scufundă în apă, din cauza presiunii hidrostatice, foliile devin
calote sferice concave cu raza de curbură
R=40cm.
Calculați
distanța focală a „lentilei” astfel obținute. Unde

se poate folosi
acest dispozitiv?

Fig. 12.33.

R: f=80cm. Se poate folosi ca lupă subacvatică.

12.34. O lentilă menisc divergentă, cu razele de curbură ale
suprafețelor sferice în raportul
R
1
:R
2
=3:4,

este confecționată din
sticlă optică cu indicele de r
efracție
n=1,6
. Imaginea unui obiect
luminos liniar, plasat la
120cm

în stânga lentilei, se formează la

60cm

față de aceasta.

a)

Calculați distanța focală a lentilei plasate în aer.

b)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin len
tilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

c)

Calculați razele de curbură ale celor două suprafețe.

d)

Determinați distanța focală a lentilei introduse într
­
un
mediu al cărui indice de refracție este
n
0
=1,8
.

R: a) f=
­
120cm; c) R
1
=
­
18cm; R
2
=
­
24cm; d) f
’
=648cm.

126
12.35. Distanța focală a unei lentile groase se calculează cu
formula:
, unde
d

este grosimea
lentilei. Cât este diferența dintre valoarea obținută cu această
relație și cea cu formula distanței focale pentru o len
tilă subțire
în cazul unei sfere din sticlă transparentă cu raza de curbură
R=10cm

și indicele de refracție
n=1,5?

R: f=1,5cm; f’=10cm.

12.36. Incendiile de pădure se pot explica prin aprinderea
frunzelor uscate de picăturile de rouă care focalizează raze
le
solare. La ce distanță ar trebui să fie suprafața unei frunze de o
picătură de apă cu diametrul de
5mm

pentru a se produce
aprinderea ei?

R: x
2
=f=5mm.

***

12.37. Două lentile, având distanțele focale
f
1
=20cm

respectiv
f
2
=15cm,
sunt așezate la distanța
d=50cm

între ele. În fața
primei lentile este așezat un obiect cu înălțimea de
y
1
=2cm,
la
distanța de 6
0cm

de lentilă. Se cere:

a) Determinați pozițiile imaginilor față de lentile;

b) Calculați mărimea imaginii finale;

c) Reprezentați mersul razelor de
lumină prin lentile.

R: a) x
2
=30cm; x
2
’=60cm; b) y
2
’
=3cm.

12.38. La distanța de
30cm

în fața unei lentile convergente având
distanța focală
f
1
=
10cm

este plasat, perpendicular pe axa optică
principală, un obiect care are înălțimea
y
1
=6cm
. Imaginea
obiectu
lui formată de prima lentilă constituie obiect pentru o a
doua lentilă, a cărei distanță focală este
f
2
=20cm
. Axele optice
principale ale celor două lentile coincid iar distanța dintre lentile
este de
55cm.

a) Determinați pozițiile imaginilor față de lenti
le;

b) Calculați mărimea imaginii finale;

c) Calculați mărirea liniară transversală a sistemului;

127

d) Reprezentați mersul razelor de lumină prin lentile.

R: a) x
2
=15cm,
'
2
x
=40cm; b) y
2
’
=3cm; c) β=1/2.

12.39. Un sistem este format din

două lentile subțiri plan
­
convexe, de
10 dioptrii

fiecare, așezate coaxial la
35cm

depărtare una de alta. La distanța de
15cm

în fața primei lentile
se găsește un obiect luminos așezat perpendicular pe axa optică
principală. Determinați:

a)

distanța focal
ă a unei lentile;

b)

raza de curbură a feței convexe, știind că indicele de refracție
al sticlei din care sunt confecționate lentilele este
n=1,8
;

c)

distanța la care se formează, față de prima lentilă,
imaginea finală a obiectului;

d) Reprezentați mersul
razelor de lumină prin lentile.

R: a) f=10cm; b) R=8cm; c) d
’
=25cm.

12.40
. Distanțele focale ale două lentile convergente sunt
f
1
=20cm

respectiv
f
2
=5cm.

Cele două lentile se află la distanța
de
25cm

între ele. Ce fel de imagine formează acest sistem
pentr
u un obiect aflat la distanța de
50cm

de prima lentilă?

R: x
2
’=3,125cm
­

reală.

***

12.41. Un sistem de două lentile subțiri alipite are distanța focală
f=
4cm.

Acest sistem optic formează imaginea unui corp așezat
perpendicular pe axa optică principală.

Imaginea are înălțimea de
10cm

și se formează pe un ecran situat la distanța
x
2
=20cm

de
sistem. Una din lentile are distanța focală
f
1
=6cm
. Determinați:

a)

distanța focală a celei de
­
a doua lentile;

b)

distanța de la obiect la sistemul de lentile;

c)

mări
mea obiectului;

d)

mărirea liniară transversală.

R: a) f
2
=12cm; b) x
1
=
­
5cm; c) y
1
=2,5cm; d) β=
­
4.

128
12.42. În fața unei lentile subțiri plan convexe cu distanța focală
de
50cm
, situată în aer, se află un obiect plasat perpendicular pe
axa optică principală.

a)

Calculați convergența lentilei.

b)

Determinați poziția imaginii formate de lentilă, știind că
aceasta este reală și de două ori mai mică decât obiectul.

c)

Realizați un desen prin care să evidențiați construcția
imaginii pentru obiectul considerat, în s
ituația descrisă de
problemă.

d)

Calculați convergența unui sistem optic centrat format
prin alipirea la lentila dată a unei a doua lentile cu distanța focală
f
1
=20cm
.

R: a) C=2

; b) x
2
=75cm; d) C
’
=7

.

12.43. Două lentile alipite, prima convergentă cu dis
tanța focală
de

12cm

iar a doua divergentă

cu distanța focală de
24cm
, sunt
centrate pe același ax. Un obiect liniar având dimensiunea
y
1
=20mm

se află la

8cm

în fața sistemului. Determinați:

a)

distanța focală a sistemului de lentile alipite;

b) distanța
la care se formează imaginea față de sistemul optic;

c)

dimensiunea imaginii date de sistem;

d)

Realizați un desen prin care să evidențiați construcția
imaginii, pentru obiectul considerat, în situația descrisă de
problemă.

R: a) f=24cm; b) x
2
=
­
12cm; c)
y
2
=
3
c
m
.

12.44. Imaginea reală a unui obiect cu înălțimea
h=6cm
, plasat la
distanța de
90cm

de o lentilă subțire, așezat perpendicular pe
axul optic principal al acesteia, se formează la
45cm

de lentilă.
Dacă alipim de prima lentilă o a doua lentilă, iar dis
tanța obiect
­
sistem optic rămâne neschimbată, imaginea reală a obiectului se
va forma la
72cm

de sistemul celor două lentile alipite.
Determinați:

a)

convergența primei lentile;

b)

distanța focală a celei de a doua lentile;

129

c)

înălțimea imaginii formate de

sistemul celor două lentile
a
lipite.

R: a) C=10/3

; b) f
2
=
­
120cm; c)
'
2
y
=
­
4,8cm.

12.45. În fața unei lentile subțiri este plasat, perpendicular pe
axul optic principal, la
10cm

de lentilă, un obiect liniar.
Imaginea formată prin lenti
lă este virtuală și de
cinci ori mai
mare

decât obiectul.

a) Determinați distanța focală a lentilei.

b) Calculați convergența lentilei.

c) Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația

descrisă de problemă.

d) Fără a modifica poziția obiectului și a lentilei, se lipește
de prima lentilă o a doua lentilă subțire. Noua imagine a
obiectului este prinsă pe un ecran aflat la
40cm

de sistemul de
lentile. Determinați convergența celei de
­
a dou
a lentile.

R: a) f=12,5cm; b) C=8

; d) C’=4,5

.

12.46. O lentilă
L
1

formează, pe un ecran aflat la distanța de
40cm
de obiect, o imagine reală egală cu obiectul. Obiectul este
plasat perpendicular pe axul optic principal. Lipim apoi de lentila
L
1

o altă l
entilă
L
2

care are distanța focală
f
2
=15cm

și se obține
un sistem echivalent cu o lentilă convergentă care formează,
pentru
un
alt

obiect o imagine reală de
două ori mai mică

decât
obiectul. Determinați:

a)

distanța la care se afla inițial obiectul în fața

lentilei
L
1
;

b)

convergența lentilei
L
1

;

c)

distanța focală a sistemului format din lentilele
L
1

și
L
2
;

d)

distanța la care se formează imaginea față de sistemul de
lentile.

R: a) x
1
=
­
20cm; b) C
1
=10

; c) f=6cm;

d)
'
2
x
=9cm (
'
1
x
=
­
18cm).

130
12.47.
Un obiect este situat la distanța de
50cm

în fața unei lentile
biconvexe simetrice, perpendicular pe axul optic principal. Raza de
curbură a fețelor lentilei are valoarea de
30cm
. Indicele de refracție al
materialului lentilei

este
n=1,5
.

a)

Determinați distanța focală a lentilei.

b)

Determinați distanța dintre lentilă și imaginea obiectului
.

c)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de probl
emă.

d) Fără a modifica poziția obiectului și a lentilei, se lipește
de prima lentilă o a doua lentilă subțire divergentă cu distanța
focală
f
2
=
­
60cm
. Determinați distanța față de sistemul de lentile
la care se formează noua imagine a obiectului.

e)

Calcul
ați mărirea liniară transversală în situația de la
punctul d).

R: a) f
1
=30cm; b) x
2
=75cm; d)
'
2
x
=
­
300cm; e) β’=6.

12.48. Pe un banc optic, plasat în aer, se află o lentilă subțire,
plan convexă, cu convergența
C=10


și cu indicele de r
efracție
n=1,5
. Pe un ecran care se află într
­
o poziție convenabilă se
obține o imagine reală, de înălțime
6mm
, a unui obiect liniar,
luminos, cu înălțimea
y
1
=3mm
, așezat perpendicular pe axa
optică principală.

a)

Determinați distanța focală a lentilei.

b)

Realizați un desen în care să evidențiați construcția
imaginii prin lentilă, pentru obiectul considerat, în situația
descrisă de problemă.

c)

Calculați coordonata imaginii față de lentilă.

d)

Determinați raza de curbură a feței sferice a lentilei.

e)

Se a
lipește la lentila dată o lentilă divergentă cu
convergența
C
d
=
­
6

.

Stabiliți dacă imaginea poate fi vizualizată
pe ecran în situația în care obiectul este plasat la
15cm

față de
lentilă! Justificați răspunsul!

R: a) f=10cm; c) x
2
=30cm; d) R=5cm; e) NU, f
’
=25cm.

131

12.49. Două lentile subțiri biconvexe, simetrice și identice, cu
distanța focală
f=20cm

și indicele de refracție
n=1,5
, centrate pe
același ax, sunt așezate la distanța
d

una față de alta.

a)

Calculați distanța
d

astfel încât un fascicul paralel cu

axul
optic principal, care pătrunde prin prima lentilă, să rămână
paralel și după ce iese prin a doua lentilă.

b)

Se pun în contact cele două lentile. Spațiul rămas liber
între ele se umple cu lichid. Imaginea unui obiect situat la o
distanță de
20cm
de s
istem este reală și situată la o distanță de
60cm

față de sistem. Determinați distanța focală a sistemului.

c)

Calculați indicele de refracție al lichidului.

R: a) d=40cm; b) f
’
=15cm; c) n=4/3.

12.50
. Se alipesc două lentile plan concave cu suprafețele sf
erice
față în față. Se cunoaște indicele de refracție al materialului
lentilelor
n=1,4

și distanța lor focală
f=
­
50cm
. Spațiul dintre
lentile se umple cu un lichid. În fața sistemului se așează un
obiect la distanța de
30cm
pentru care imaginea se formează

pe
un ecran aflat la
180cm

de obiect.

a)

Calculați raza de curbură a feței sferice a lentilelor;

b)

Determinați distanța focală a sistemului;

c)

Determinați indicele de refracție al lichidului.

R:
R
=20cm; b) F=25cm; c) n=1,8.

12.51.

Două lentile plan
­
convexe identice, având indicele de
refracție
n=1,5

și raza feței sferice
R=20cm
, sunt așezate coaxial
în aer. Determinați:

a)

distanța focală a unei lentile;

b)

distanța la care ar trebui așezate lentilele una față de alta
pentru a form
a un sistem afocal;

c)

convergența sistemului format prin lipirea celor două lentile;

d)

poziția imaginii unui obiect aflat pe axul optic principal la
30cm

de centrul sistemului obținut prin alipirea celor două
lentile.

R: a) f=40cm; b) d=80cm; c) C=5

; d)

x
2
=60cm.

132
12.52. Raportul razelor de curbură pentru o lentilă menisc
­
convergentă este
R
1
/R
2
=4.

Dacă se argintează fața concavă,
distanța focală devine infinită. Calculați distanța focală a lentilei
înainte de argintare!

R: f=4R
2
.

***

12.53. Un obiectiv al

unui aparat de fotografiat este format din
două lentile subțiri: una divergentă, cu distanța focală
f
1
=
­
20
cm

și
una convergentă, cu distanța focală
f
2
=5cm
. Cele două lentile se
află la distanța de
10cm

una de alta iar în fața lentilei divergente,
la
60cm

de aceasta, se află un obiect.

a)

Determinați distanța față de lentila divergentă la care se
situează imaginea formată de aceasta.

b)

Realizați un desen în care să figurați mersul razelor de
lumină prin sistemul de lentile.

c)

Calculați distanța la care se

formează imaginea finală, față
de lentila convergentă, dacă imaginea în lentila divergentă se
formează la
15cm
în fața lentilei divergente.

d)

Știind că imaginea finală se formează la
6,25cm

în spatele
lentilei convergente, determinați distanța focală a u
nei singure
lentile care, așezată în punctul corespunzător mijlocului distanței
dintre cele două lentile, ar forma imaginea obiectului în aceeași
poziție în care se formează imaginea prin sistemul de lentile.

R: a) x
2
=
­
15cm; c)
4
25
'
2

x
cm; d
) f
’
=7,58cm.

12.54.
Un teleobiectiv est
e

format dintr
­
o lentil
ă convergentă cu
distanța focală
f
1
=6
cm

și o lentilă divergentă cu distanța focală
f
2
=
­
10cm

centrate la distanța
d=1,5cm

una de alta. În fața lentilei
convergente la distanța
x
1
=
­
30
cm

este așez
at un obiect luminos
perpendicular pe axa optică principală. Se cere:

a)

să se verifice dacă sistemul de lentile este unul afocal
;

b)

să se calculeze
x
2
, x
1
’, x
2
’
, β

și să se reprezinte grafic.

R: x
2
=7,5cm; x
1
’
=6cm;
x
2
’=15cm
; β=
­
0,625=
­

5/8
.

133

12.55. O persoană
în vârstă poate vedea cu ochiul liber obiecte
situate între
d
min
=66,6cm

și
d
max
=2m
. Din această cauză,
persoana trebuie să poarte ochelari bifocali. Ce convergențe vor
avea lentilele ochelarilor bifocali pentru vederea de aproape,
respectiv de departe ?

R
: C
aproape
+2,5
dr
; C
departe
=
­
0,
5dr.

12.56. La ce distanță trebuie ținută o lupă de
10

dioptrii de un
text pentru ca literele să fie mărite de patru ori?

R: x
1
=
­
7,5cm.

12.57. O lupă cu distanța focală
f=6cm

formează imaginea unui
obiect la distanța optimă de citire
δ=25cm
. Distanța dintre lupă
și ochiul observatorului este
d=15cm
. Determinați:

a) puterea lupei;

b) grosismentul.

R: a) P=10,67dr; b) G=2,67x.

12.58.
Un microscop are distanța focală a obiectivului
+3cm

iar
a ocularu
lui

+5cm
. Se consideră că ochiul observatorului este
foarte aproape de ocular. Obiectul vizat se găsește la
3,4cm

de
o
biectiv

iar imaginea finală se formează la distanța optimă de
citire
δ=25cm
. Calculați:

a) distanța dintre obiect
iv

și ocular;

b)
p
utere
a de mărire a microscopului;

b)
g
rosismentul.

R: a) L=29,67cm; b) P=180dr; c) G=45x.

12.59. O lunetă astronomică are distanța focală a obiectivului
f
ob
=
1,2m
. Calculați convergența lentilei ocular, astfel încât
grosismentul lunetei să fie
G
=
60
x
.

R : C
oc

=50m
­
1
.

134
12.60.
O lunetă
astronomică
are distanța focală a obiectivului de
+
1
m

iar a ocularului de
+5
cm
.
Se consideră că ochiul
observatorului este foarte aproape de ocular. Calculați:

a) grosismentul comercial (imaginea se formează la infinit);

b) grosi
smentul când imaginea se formează la distanța
optimă de citire (
δ=25cm
).

R: a) G
com
=20x; b) G=24
x.

12.61.
O lunetă
terestră
are distanța focală a obiectivului de
1
25cm

iar a ocularului de
­
10cm
.
Se consideră că ochiul
observatorului este foarte aproape de

ocular. Calculați:

a) grosismentul comercial (imaginea se formează la infinit);

b) grosismentul când imaginea se formează la distanța
optimă de citire (
δ=25cm).

R: a) G
com
=12,5x; b) G=7,5
x.

135

Bibliografie

1. Anatolie Hristev,
Probl
eme de fizică pentru clasele IX
–
X
,

Editura APH, București 2003;

2. Anatolie Hristev, Vasile Falie, Dumitru Manda,

Manual

de fizică pentru clasa a IX
–
a
, Editura Didactică și

Pedagogică , Bucuresti 1995;

3. Charles Kittel, W.D. Knight,
Cursul de fizică Be
rkeley,vol.

I Mecanică
,
Editura Didactică și Pedagogică, Bucuresti 1981;

4. Uri Haber
­
Schaim, Judson Cross, John Dodge, James Walter,

Fizica PSSC
,
Editura Didactică și Pedagogică, București, 1974;

5. *** Colecția revistei de fizică
Evrika
, 1996
­
2003;

6.
Gabriela Cone, Gheorghe Stanciu,
Probleme de fizică,

Editura Academiei R.S.R., București, 1987;

7. Major Csaba,
Probleme de fizică,
ediție personală, Arad, 1995;

8. ***,
Kömal, Fizikai feladatok,
1993
–
1996;

9. Mihail Sandu,
Probleme de fizică,
Editura Scr
isul Românesc,

Craiova, 1987.