Cu titlu de manuscris [630098]

UNIVERSITATEA DE STAT DIN MOLDOVA

Cu titlu de manuscris
C.Z.U.: [53:004.004+005.53 ](043.2)

CIOBU VICTOR

APLICAȚII ADAPTIV -PARAMETRIC E ÎN CERCETAREA
SISTEMELOR FIZICE COMPLEXE

131.04 – FIZICĂ COMPUTAȚIONALĂ ȘI MODELAREA PROCESELOR
Teză de doctor în științe fizice

Conducător științific: PALADI Florentin, conferențiar universitar ,
doctor habilitat în științe fizico -matematice

Consultant științific: CĂPĂȚÂNĂ Gheorghe , profesor universitar ,
doctor inginer

Autor ul: CIOBU Victor

Chișinău, 201 6

2

© CIOBU VICTOR, 201 6

3
CUPRINS

ADNOTARE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 5
АННОТАЦИЯ ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 6
SUMMARY ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 7
LISTA DE ABREVIERI ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 8
INTRODUCERE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 9
1. CONCEPTE EVOLUATE ALE MODELĂRII PROCESELOR FIZICE PRIN UTILIZAREA
APLICAȚIILOR A DAPTIVE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 17
1.1. Analiza situației existente în domeniul aplicațiilor adaptive ………………………….. …………. 17
1.2. Stabilirea familiilor de probleme care necesită soluționarea prin intermediul aplicațiilor
adaptive ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 22
1.3. Metode și tehnici de dezvoltare și implementare a aplicațiilor adaptive ……………………… 24
1.4. Cercetarea p roprietăților fullerenelor și cristalelor dopate cu ioni de pământuri rare ……. 30
1.4.1. Molecula și ionul de fullerene ………………………….. ………………………….. …………………. 30
1.4.2. Cristale dopate cu ioni de pământuri rare ………………………….. ………………………….. ….. 40
1.5. Concluzii la Capitolul 1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 42
2. MODELAREA VIBRAȚIILOR MOLECULARE ȘI SPECTRELOR DE OSCILAȚIE ÎN
SISTEME SIMETRICE CU MULTE GRADE DE LIBERTATE ȘI DETERMINAREA
STĂRILOR PROPRII ALE MOLECULEI ȘI IONULUI DE FULLERENE ………………………… 44
2.1. Rezolvarea problemei inverse pentru dinamica fullerenului C60 ………………………….. …….. 44
2.2. Operatorul de interacțiune electron -vibrațională pentru fullerenul C60 ………………………… 51
2.3. Modelul semiclasic și metoda numerică de evaluare a spectrului energetic …………………. 53
2.4. Influența re zonanței electron -vibraționale asupra liniei de absorbție în ionul de fullerene
C60-1……….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. 56
2.5. Elaborarea algoritmului de obținere a deplasărilor simetrizate i n sistemele simetrice
complexe prin reducerea la problema vectorilor proprii și compararea cu rezultatele
experimentale pentru fullerene ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 67
2.5.1. Modelul teoretic și algoritmul de calcul dezvoltat ………………………….. ………………….. 68
2.5.2. Rezultatele calculului pentru molecula de fullerene ………………………….. ……………….. 72
2.6. Aplicația adaptiv -parametrică pentru determinarea stărilor proprii ale moleculelor de
fullerene ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 80
2.7. Concluzii la Capitolul 2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. …… 90

4
3. MODELAREA EFECTELOR INTERACȚIUNII ELECTRON -FONONICE ÎN CRISTALE
DOPATE CU IONI DE PĂMÂNTURI RARE ………………………….. ………………………….. …………. 92
3.1. Fundamente teoretice pentru modelarea proceselor în cristale dopate cu ioni de pământuri
rare…… ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 92
3.1.1. Modelul de acoperire al câmpului cristalin ………………………….. ………………………….. … 92
3.1.2. Stările electronice și interacțiunea electron -fononică în cristale ce conțin impurități de
ioni de pământuri rare ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 95
3.1.3. Tehnici de calcul al secțiunii medii de împrăștiere ………………………….. ………………….. 98
3.1.4. Elementele de matrice ale operatorului evoluției ………………………….. ………………….. 100
3.1.5. Tehnici de calcul al corelatorului ………………………….. ………………………….. …………… 102
3.2. Transfer de energie în cristale dopate cu ioni de pământuri rare ………………………….. …… 103
3.3. Modelul hamiltonianului de interacțiune multipolară a ionilor ………………………….. …….. 110
3.3.1. Transferul rezonant de energie între patru centre în cristale dopate cu ioni PR …….. 110
3.3.2. Modelarea interacțiunii electron -fononice de rezonanță pentru ionii de pământuri rare
în cristale laser ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………………. 118
3.4. Concluzii la Capitolul 3 ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 129
CONCLUZII GENERALE ȘI RECOMANDĂRI ………………………….. ………………………….. …… 131
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………. 133
Anexa 1. Elementele de matrice K(n)(γ)………………………….. ………………………….. ………………….. 145
Anexa 2. Valorile frecvențelor teoretice și experimente le în C60 (Ih). ………………………….. …….. 155
Anexa 3. Programul de calcul al vectorilor proprii ………………………….. ………………………….. ….. 156
Anexa 4. Rezultatul diagonalizării pentru calculul vectorilor proprii ………………………….. ……… 160
Anexa 5. Structura aplicației adaptiv -parametrice pentru modelarea IEF de rezonanță pentru ioni
în cristale laser ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 163
DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDERII ………………………….. ………………….. 166
CURRICULUM VITAE ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 167
LISTA LUCRĂRILOR ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 170

5
ADNOTARE
la teza de doctor „ Aplicații adaptiv -parametrice în cercetarea sistemelor fizice complexe ”,
specialitatea 131.04 – Fizică computațională și modelarea proceselor ,
prezentată de Victor CIOBU, Universitatea de Stat din Moldova, Chișinău, 2016,
pentru a obține titlul de doctor în științe fizice

Structura tezei: Teza constă din introducere, trei capitole, concluzii și recomandări,
bibliografie ce cuprinde 1 73 titluri. Lucrarea conține 2 5 figuri, 7 tabele, 5 anexe și este expusă pe
173 pagini (13 2 pagini de text de bază). Rezultatele obținute sunt publicate în 2 0 lucrări
științifice.
Cuvinte -cheie: aplicație adaptivă, sistem complex, fullerene, ioni de pământ uri rare,
interacțiune electron -vibrațională, interacțiune electron -fononică, modelare.
Domeniul de studiu îl constituie aspectele teoretice și aplicative d e modelare pe calculator
și dezvoltare a aplicațiilor adaptive în cercetarea sistemelor fizice complexe.
Scopul și obiectivele lucrării este dezvoltarea modelelor teoretice și a tehnicilor de creare
a aplicațiilor adaptive pentru modelarea pe calculator a vibrațiilor moleculare și spectrelor de
oscilație în sisteme simetrice complexe cu multe grade de libertate, determinarea stărilor proprii
ale moleculei și ionului de fullerene, a interacțiunii electron -fononice în cristale dopate cu ioni de
pământ rar, co mparația rezultatelor teoretice obținute cu datele experimentale, determinând astfel
setul de valori corespunzătoare ale parametrilor modelelor fizice aplicate.
Noutatea și originalitatea științifică a rezultatelor obținute . A fost calculat spectrul de
oscilație al moleculei de fullerene în baza algoritmului ameliorat. A fost arătat că lărgimea liniei
de absorbție pentru ionul de fullerene depinde de probabilitatea tranziției radiative spontană. A
fost simulată pe calculator interacțiunea electron -fononică de rezonanță în cadrul aplicației
adaptive elaborate.
Problema științifică importantă soluționată constă în modelarea vibrațiilor moleculare și
a spectrelor de oscilație în sisteme fizice simetrice cu multe grade de libertate și determinarea
stărilor pro prii ale moleculei și ionului de fullerene, precum și în modelarea interacțiunii
electron -fononice în cristale dopate cu ioni de pământuri rare pe baza aplicației adaptive.
Semnificația teoretică a tezei constă în elaborarea unui algoritm ameliorat de
descompunere a reprezentării mecanice a sistemului în reprezentări ireductibile, precum și în
studiul transferului rezonant de energie între patru centre în formalismul hamiltonianului
multipolar de interacțiune a ionilor. A fost, de asemenea, propusă și impl ementată o tehnică de
elaborare a aplicațiilor adaptive pentru asistența modelării pe calculator a problemelor fizice
complexe.
Valoarea aplicativă a lucrării este determinată, în primul rând, utilizarea aplicațiilor
adaptive pentru determinarea stărilor p roprii ale moleculelor de fullerene și modelarea
interacțiunii electron -fononice de rezonanță pentru ionii de pământ uri rare în diferite cristale
laser, precum și în validarea a însăși metodei de elaborare a aplicațiilor adaptive pentru asistența
soluționă rii pe calculator a problemelor din fizica sistemelor complexe .
Implementarea rezultatelor : Rezultatele obținute sunt utilizate în cadrul proiectului
instituțional de cercetări științifice fundamentale 15.817.02.29F, direcția strategică „Materiale,
tehnol ogii și produse inovative”. Cercetările respective sunt reflectate și în curriculele cursurilor
universitare „Fizica clusterilor” și „Modelarea sistemelor complexe”, ținute la Universitatea de
Stat din Moldova), precum și la proiectarea și crearea aplicați ilor pe calculator.

6
АННОТАЦИЯ
Докторская работа „ Параметрически -адаптивные приложения в исследовании сложных
физических систем ” по специальности 131.04 – Вычислительная физика и моделирование
процессов , представлена Виктором Чобу, Государственный университет Молдовы,
Кишинев, 2016
для получения степени доктора физических наук

Структура диссертации : Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и
рекомендаций, литературы, содержащей 1 73 наименований. Работа содержит 2 5 рисунков,
7 таблиц, 5 п риложений, изложенно на 173 страниц ах (из них 1 32 страниц это основной
текст), Результаты, представленные в диссертации , опубликованы в 2 0-х научных работах.
Ключевые слова: адаптивные приложения, сложные системы, фуллерены, ионы
редкоземельных элементов, электрон -колебательное взаимодействие, электрон -фононное
взаимодействие, моделирование.
Область исследований: теоретические и практические аспекты моделирования и
разработки адаптивных приложений в исследовании сложных физических систем .
Цели и задачи раб оты: развитие теоретических моделей и методов разработки
адаптивных приложений для моделирования на компьютере колебаний молекул и
энергетических спектров сложных симметричных систем с многими степенями свободы,
определение нормальных колебаний молекул ы и иона фуллерена, электрон -фононное
взаимодействие в кристаллах , легированны х ионами редкоземельных элементов,
сравнение полученных теоретических результатов с экспериментальными данными, и
определение на этой основе соотвествующего набор а параметров приклад ных физических
моделей.
Научная новизна и оригинальность полученных результатов : Был вычислен
спектр коллебаний молекулы фуллерена, при помощи улучшенн ого алгоритм а. Было
показанно, что ширина линии поглощения для иона фуллерена зависит от вероятности
спонтанного перехода. Было промоделированно на компьютере элетрон -фононный
резонанс, при помощи внедрён ого адаптивного приложения.
Решённая научная задача состоит в моделировании колебаний молекул и
колебательных спектров в симметричных физических системах с большим количеством
степеней свободы и определении нормальных колебаний молекулы и иона фуллерена ,
моделировании электрон -фононного взаимодействия в кристаллах, легированных ионами
редкоземельных элементов на основе адаптивного приложения.
Теоретическа я значимость работы , во-первых, состоит в разработке улучшенного
алгоритма для разложения механического представления систем ы на неприводимые
представления группы симметрии этой системы , во-вторых, в исследовании резонансного
переноса энергии между 4 -мя це нтрами в гамильтоновом формализме мультипольного
взаимодействия ионов. Предложена также реализация собственного метода , и разработано
адаптивное приложение для моделирования сложных физических задач на компьютере.
Практическое значение работы определено, в первую очередь, реализацией
адаптивных приложений для определения нормальных колебаний молекулы фуллерена и
моделирования резонансного электрон -фононного взаимодействия для ионов
редкоземельных элементов в различных лазерных кристаллах, а также проверк ой самого
метода разработки адаптивных приложений для решения задач сложных физических
систем на компьютере.
Внедрение результатов : Полученные результаты используются в фундаментальных
научных исследованиях проекта 15.817.02.29F, стратегическое направление "Материалы,
технологии и инновационные продукты". Эти исследования отражены в учебных планах
университетских курсов " Физика кластеров" и "Моделирование сложных систем" в
Государственном Университете Молдовы, а также при разработке и создании
компьютерных приложений.

7
SUMMARY
of the doctoral thesis „ Parametric adaptive applications in complex physical systems rersearch ”
Specialty 131.04 – Computational Physics and Process Modeling ,
presented by Victor CIOBU, State University of Moldova, Chisinau, 2016
to obtain title of doctor in the Physical Sciences

Thesis Structure : The thesis consists of introduction, three chapters, conclusions and
recommendations, bibliography of 1 73 references. It contains 2 5 figures, 7 tables, 5 annexes and
is carried on 1 73 pages (13 2 pages – basic text). The presented results are published in 2 0
research papers.
Keywords : adaptive application, complex system, fullerene, rare earth ions, electron –
vibrational interaction, electron -phonon interaction, modeling.
Field of study is theoretical and applied computer modeling, and adaptive applications
development for the research of complex physical systems.
Goals and objectives of thesis are the development of theoretical models and techniques
for creating adaptive applications for c omputer modeling of molecular vibration and spectra in
symmetrical complex systems with many degrees of freedom, determining the eigenstates of
fullerene molecule and ion, electron -phonon interaction for rare earth ions in laser crystals,
comparison of the obtained theoretical results with experimental data, thereby setting up the
appropriate values of the parameters in the applied physical models.
Scientific novelty and originality of the obtained results. The oscillation spectrum of the
fullerene molecu le was calculated based on the improved algorithm. It was shown that the
absorption line width of the fullerene ion depends on the probability of spontaneous radiative
transition. The resonance electron -phonon interaction was simulated based on the develop ed
adaptive computer application.
Important scientific solved problem consists in modeling of the molecular vibration and
spectra in the symmetrical physical systems with many degrees of freedom and determination of
the eigenstates of fullerene molecule a nd ion, as well as in modeling of the electron -phonon
interaction for rare earth ions in laser crystals based on the adaptive application.
Theoretical significance of the thesis is to develop an improved algorithm for
decomposition of the mechanical repre sentation of the system into irreducible representations, as
well as the study of four -center resonance energy transfer in the formalism of multipolar
interaction Hamiltonian of ions. It was also proposed and implemented a method for
development of adaptiv e applications for assistance in computer modeling of complex physical
problems.
Applicative value of the work is determined primarily by the development of adaptive
applications to determine the eigenstates of fullerene molecule and modeling the resonance
electron -phonon interaction for rare earth ions in various laser crystals, and the validation of t he
method itself for drawing the adaptive applications for assistance in computer modeling of
problems in the field of physics of complex systems.
Implementation of results: The obtained results are used in the institutional fundamental
research project 15.817.02.29F, strategic direction „Materials, Technologies and Innovative
products.” These investigations are reflected in the university courses curricula „Physics of
Clusters” and „Complex Systems Modeling” held at the Moldova State University, as well as in
designing and building of computer applications.

8

LISTA DE ABREVIERI

AA
AAP Aplicație adaptivă
Aplicație adaptivă parametri că
BC Bază de cunoștințe
BD Bază de date
DA
DC
ÎR
DRh
DFT
DFPT Domeniu de aplicare
Domeniu de cercetare
Împrăștierea Raman
Dispersia Rayleigh
Teoria funcționalei de densitate
Teoria de perturbație a funcției de densitate
IEF
LiNbO 3
LDA
PC
PR
SA Interacțiunea electron -fononică
Niobat de litiu
Aproximația densității locale
Program calculator
Pământ rar
Sistem adaptiv
SAC Sistem adaptiv complex
SI Sistem informațional
SIA Sistem informațional adaptiv
SSD Sistem suport de decizie
SSDA Sistem suport de decizie adaptiv
SGBD Sistem de gestiune a bazelor de date
TRE
YAG
YLF
Transfer rezonant de energie
Granatul de itrium și aluminiu
Itrium -litium -fluorid

9
INTRODUCERE
Actualitatea și importanța problemei
În teză autorul și -a propus să contribuie la dezvoltarea unor aspecte teoretice și aplicative
de modelare a proceselor fizice pe calculator prin elaborarea aplicațiilor adaptive pentru asistența
rezolvării problemelor din două domenii de activitate/cerceta re (DA/DC). Pentru aceasta a fost
efectuată o analiză a experienței acumulate în domeniul dezvoltării aplicațiilor adaptive (AA),
sistemelor suport de decizie (SSD), a unor compartimente adiacente din matematică, în scopul
elaborării unor propuneri origina le de construire a aplicațiilor adaptiv -parametrice în fizica
teoretică [2, 3, 98]. Prima aplicație adaptivă a fost utilizată pentru determinarea stărilor proprii
ale moleculei de fullerene, fiind inițial elaborat algoritmul de obținere a deplasărilor sime trizate
în sistemele simetrice complexe prin reducerea la problema vectorilor proprii și compararea cu
rezultatele experimentale pentru fullerene. Această problemă este una importantă în contextul
modelării vibrațiilor moleculare și spectrelor de oscilație în sisteme simetrice cu multe grade de
libertate. De menționat, că fullerenul C60 reprezintă o moleculă alcătuită din atomi de carbon
care sunt plasați în vârfurile unui icosaedru trunchiat și sunt uniți între ei prin legături simple și
duble, iar 12 fețe pentagonale și 20 hexagonale formează astfel structura simetrică a fullerenului
C60. Denumirea moleculei vine de la numele arhitectului american R.Buckminster Fuller, care
folosea structuri similare în arhitectură, de unde și denumirea moleculei C60 –
buckminsterfullerene sau fullerene [4, 9, 26, 40]. Se consideră că prima mențiune în literatura de
specialitate a moleculei C60 a fost într -un articol în limba japoneză de Eiji Osawa [ 134].
Cea de -a doua problemă soluționată se referă la modelarea interacțiu nii electron -fononice
în cristale dopate cu ioni de pământ uri rare (PR). Efectele cele mai studiate ale interacțiunii
electron -fononice în cazul ionilor de (PR) în cristale sunt relaxarea multifononică, benzile
vibronice, lărgirea benzii în funcție de temp eratură sau transferul de energie non -rezonant asistat
de fononi. Având în vedere că despicările Stark pentru ionii de PR sunt de ordinul fononilor de
rețea, ar putea apărea și alte efecte legate, în special, de procesele în aproximația de
cvasirezonanță. Dacă distanța dintre două nivele Stark este aproape de rezonanță în regiunea
spectrului fononic, atunci interacțiunea electron -fononică crează stări vibronice mixte, care
determină modificări ale liniilor spectrale optice (lărgirea, asimetria, despicarea s au deplasarea)
[66, 73, 74]. În unele cazuri, tranzițiile vibronice și efectele de rezonanță sunt atât de puternice,
încât atribuirea nivelelor electronice este ambiguă. Pentru a avea efecte de rezonanță intense este
necesară existența cuplajului electron -fononic destul de puternic și vârfuri ascuțite în densitatea
fononică din regiunea de rezonanță. Acest lucru explică de ce datele experimentale raportate

10
privind efectele de rezonanță în compușii ionici se referă, în special, la ionii Yb3+ (4f13) [74,
142], Tm3+ (4f12) [117], Pr3+ (4f2) [66, 73] sau Ce3+ (4f1) [91], adică ionii de PR la începutul și la
sfârșitul seriei lantanidelor, care prezintă o interacțiune electron -fononică destul de puternică [ 80,
81]. Cercetarea din teză reprezintă atât o abordare t eoretică a proceselor fizice în aproximația de
cvasirezonanță pentru ionii de PR în cazul nivelelor Stark nedegenerate, cât și dezvoltarea în
acest context a modelării interacțiunii electron -fononice de rezonanță pentru ionii de PR în
cristale laser, care a fost propusă inițial în lucrarea [ 118]. Este prezentată analiza spectrelor Yb3+
în YAG (Y 3A15O12). Cristalul YAG este cunoscut ca având vârfuri ascuțite în densitatea
fononică [ 80, 81, 123]. Aceste investigații sunt importante atât din punct de vedere al fizicii
teoretice și computaționale, cât și din perspectiva utilizării practice a acestor materiale în calitate
de activator laser. Într -adevăr, interacțiunea electron -fononică cvasirezonantă în spectrele optice
ale ionilor de PR în compuși anorganici se manifestă prin despicările sau deplasările liniilor
electronice, precum și prin efectele termice (deplasări sau lărgiri). Pentru unii ioni, cuplajul
electron -fononic determină interferențe destul de mari ale nivelelor electronice pure cu cele
vibronice, as tfel încât elucidarea structurii electronice constituie o importantă problemă de
soluționat. Aceste efecte depind în mare măsură de rezonanța între nivelele Stark și vârfurile
densității fononilor în apropierea de rezonanță și cuplarea electron -fononică. A ceastă ultimă
condiție determină ca efectele să fie mai pronunțate pentru ionii de PR3+ în seria lantanidelor,
adică a elementelor chimice din grupa metalelor tranziționale de tip f [38, 74, 101, 142].
Expresiile analitice obținute pentru despicarea unui n ivel electronic în rezonanță cu un nivel
vibronic descriu bine datele experimentale pentru Yb3+ în YAG. S -a arătat că aceeași cuplare
cvasirezonantă ale primelor două nivele Stark pentru multipletul 2F5/2 cu un fonon cu 𝜔 ~327
cm-1 este responsabilă pentru despicarea celui de -al doilea nivel Stark. Explicarea unor astfel de
efecte electron -fononice pronunțate pentru Yb3+ este condiționată de configurația ionilor
(deplasări electron -fononice de până la 35 cm-1 au fost estimate [ 101] pentru nivelele electronice
Tm2+ (4f13) în CaF 2 sau SrF 2) și vârfurile de vibrație ascuțite în YAG care ar putea fi asociate cu
mișcarea în interiorul sau în exteriorul grupului tetraedric AlO4−5 [126]. Modelele analitice sunt
aplicabile limitat din cauza caracterului complex al sistemelor cercetate, de aceea modelele
numerice și simularea pe calculator devin tot mai des folosite în aceste DC, care astăzi posedă
trăsături interdisciplinare tot mai pronunțate.
Astfel, scopul principal al tezei este de a dez volta modele teoretice și tehnici de creare a
aplicațiilor adaptive pentru modelarea pe calculator a vibrațiilor moleculare și spectrelor de
oscilație în sisteme simetrice complexe cu multe grade de libertate și, în particular, determinarea
stărilor propri i ale moleculei și ionului de fullerene, a interacțiunii electron -fononice în cristale

11
dopate cu ioni de pământ uri rare, precum și pentru a efectua comparația rezultatelor teoretice
obținute cu datele experimentale, determinând astfel setul de valori cores punzătoare ale
parametrilor modelelor fizice folosite. Un alt aspect important al cercetării reprezintă
promovarea utilizării ajunsurilor moderne în teoria dezvoltării aplicațiilor adaptive în
proiectarea, dezvoltarea și realizarea aplicațiilor adaptive pa rametrice în fizica teoretică.
În acest context, obiectivele majore ale tezei sunt următoarele:
1. A formula algoritmul ameliorat de obținere a deplasărilor simetrizate în sistemele simetrice
complexe cu multe particule prin reducerea la problema vecto rilor proprii și a calcula
spectrul de oscilație al moleculei de fullerene.
2. A compara , pe baza a plicației adaptiv -parametrice elaborate, rezultatele obținute ale
modelării pe calculator cu datele experimentale pentru fullerene.
3. A cerceta transferul rezonant de energie între patru centre în formalismul hamiltonianului de
interacțiune multipolară a ionilor de pământ uri rare cu componenta transversală a câmpului
electromagnetic.
4. A modela interacțiunea electron -fononică de rezonanță pentru ionii de pămâ nturi rare în
cristale laser și a compara s pectrele de absorbție, pe baza a plicației adaptiv -parametrice
elaborate, cu rezultatele numerice obținute pentru form -liniile de absorbție corespunzătoare.
Metodologia cercetării științifice se întemeiază pe teoria grupurilor, teoria rezonanței
electron -fononice, teoria aproximației adiabatice în reprezentarea cuantică secundară, modelul
hamiltonianului de interacțiune multipolară a ionilor, metode și tehnici de dezvoltare și
implementare a aplicațiilor adapt ive.
Noutatea științifică a rezultatelor obținute:
1. Au fost modelate pe calculator oscilațiile moleculei de fullerene și s -a obținut forma liniei
de absorbție pentru ionul . Pentru prima data s -a constatat că lărgimea structurilor
obținute depinde d e probabilitatea tranziției radiative spontană .
2. A fost elaborat un algoritm ameliorat care permite automatizarea procesului de
descompunere a reprezentării mecanice a sistemului în reprezentări ireductibile, ce este
crucial la cercetarea sistemul simetric complex prin utilizarea teoriei grupurilor.
3. A fost calculat spectrul de oscilație al moleculei de fullerene în baza algoritmului
ameliorat și a fost efectuată comparația cu datele experimentale.
4. A fost cercetat transferul rezonant de energie între patru centre în formalismul
hamiltonianului de interacțiune multipolară a ionilor cu componenta transversală a
câmpului electromagnetic local. A fost analizată structura topologică a diagramelor ce
1
60C

12
descriu fenomenul fi zic respectiv, identificându -se mecanisme distincte de transfer în
conformitate cu cuplajul acceptorului la donori și după reductibilitatea diagramelor.
5. A fost modelată interacțiunea electron -fononică de rezonanță pentru ionul Yb3+ în trei
cristale laser diferite. i.e. Yb3+(5at.%.) în YAG , Yb3+(0.2at.%.) în LiNbO 3 și
Yb3+(20at.%.) în YLF, și a fost efectuată comparația rezultatelor numerice obținute
pentru form -liniile de absorbție cu spectrele experimentale .
6. A fost proiectată și r ealizată AAP pentru soluționarea a două familii de probleme:
determinarea stărilor proprii ale moleculelor de fullerene și modelarea interacțiunii
electron -fononice de rezonanță pentru ionii de pământ uri rare în diferite cristale laser.
Importanța te oretică și valoarea aplicativă a lucrării
Importanța teoretică a tezei constă în elaborarea unui algoritm ameliorat de descompunere a
reprezentării mecanice a sistemului în reprezentări ireductibile și modelarea oscilațiilor
moleculei de fullerene. A fost cercetat transferul rezonant de energie între patru centre în
formalismul hamiltonianului de interacțiune multipolară a ionilor. A fost, de asemenea, propusă
și implementată o tehnică proprie de elabor are a aplicațiilor adaptive pentru asistența modelării
pe calculator a problemelor fizice complexe.
Valoarea aplicativă a lucrării este determinată, în primul rând, de realizarea aplicațiilor
adaptiv e pentru determinarea stărilor proprii ale moleculelor d e fullerene și modelarea
interacțiunii electron -fononice de rezonanță pentru ionii de pământ uri rare în diferite cristale
laser. De asemenea, rezultatele obținute în domeniul modelării sistemelor complexe au fost și
sunt intens utilizate în cadrul Proiectu lui instituțional de cercetări științifice fundamentale
15.817.02.29F, direcția strategică ,,Materiale, tehnologii și produse inovative”. Bineînțeles,
cercetările respective sunt reflectate în curriculele cursurilor universitare pentru studii la masterat
„Fizica clusterilor” și „Modelarea sistemelor complexe”, ținute la Universitatea de Stat din
Moldova (USM), precum și la proiectarea și crearea aplicațiilor pe calculator.
Rezultatele științifice principale înaintate spre susținere:
1. Pentru studiul vib rațiilor moleculare și a spectrelor de oscilație ale sistemelor cu un număr
arbitrar de particule a fost elaborat algoritmul ameliorat de obținere a deplasărilor simetrizate
in sistemele simetrice complexe cu multe grade de libertate prin reducerea la prob lema
vectorilor proprii , bazată pe reprezentările regulate .
2. A fost elaborată aplicația adaptivă pentru determinarea stărilor proprii ale moleculelor de
fullerene și realizată comparația rezultatelor teoretice cu datele experimentale , în baza teoriei
grupu rilor, cu utilizarea reprezentărilor regulate .

13
3. Hamiltonianul de interacțiune multipolară a ionilor de pământ uri rare a fost generalizat
pentru cazul a patru centre și a fost cercetat transferul rezonant de energie.
4. Pe baza a plicației adaptiv -parametrice elaborate au fost simulate form -liniile de absorbție în
cristale laser dopate cu ioni de Yb3+ și comparate cu rezultatele experimentale.
Problema științifică soluționată constă în modelarea vibrațiilor moleculare și a spectrelor de
oscilație în sisteme fizice simetrice cu multe grade de libertate și determinarea stărilor proprii ale
moleculei și ionului de fullerene, precum și în modelarea interacțiunii electron -fononice în
cristale dopate cu ioni de pământ uri rare pe baza aplicațiilor adaptive e laborate.
Aprobarea și implementarea rezultatelor științifice: Materialele tezei au fost prezentate la
conferințele naționale și internaționale „Mathematics&IT: Research and Education ” (MITRE –
2015), conferințele științifice naționale cu participare i nternațională de la USM „Integrare prin
cercetare și inovare. Atelierul „Fizică și Inginerie”, 7th International Conference on Physics of
Advanced Materials (Iasi, UAIC), Conferința Națională de Fizică etc. Rezultatele obținute sunt
utilizate în cadrul pro iectului instituțional de cercetări științifice fundamentale 15.817.02.29F,
direcția strategică „Materiale, tehnologii și produse inovative”. Cercetările respective sunt
reflectate și în curriculele cursurilor universitare „Fizica clusterilor” și „Modelare a sistemelor
complexe”, ținute la Universitatea de Stat din Moldova.
Publicații la tema tezei . Conținutul de bază al tezei este reflectat în 20 lucrări științifice la
tema tezei , inclusiv 2 articole cotate ISI, 4 articole în reviste științifice cu re cenzenți din
Registrul național al revistelor științifice (categoria B) și 8 teze la conferințe internaționale și
naționale de specialitate, inclusiv 5 publicații fără coautori și 4 comunicări la foruri științifice
naționale și internaționale de specialita te.
Volumul și structura tezei. Teza constă din introducere, trei capitole, concluzii generale și
recomandări , bibliografia ce cuprinde 173 titluri. Lucrarea conține 2 5 figuri, 7 tabele, 5 anexe și
este expusă pe 1 73 pagini.
Sumarul capitolelor tezei:
În Introducere sunt argumentate actualitatea și importanța problemei abordate, sunt
specificate scopul și obiectivele tezei, noutatea științifică a rezultatelor obținute, importanța
teoretică și valoarea aplicativă a lucrării, finalizând cu a probarea rezultatelor.
În Capitolul 1 , intitulat „ Concepte evoluate ale modelării proceselor fizice prin utilizarea
aplicațiilor adaptive ”, este efectuată o analiză generală a situației în domeniul investigat și a
calităților de adaptare a aplicațiil or informaționale sub diferite aspecte . Capitolul respectiv
conține referințe bibliografice ce vizează publicații importante în domeniu, o atenție deosebită
fiind acordată realizărilor din ultimii ani. În rezultatul studierii literaturii de specialitate, este

14
realizată o analiză comparativă a situației existente în domeniul aplicațiilor adaptive și sunt
formulate problemele proprii de cercetare, precum și direcțiile de soluționare a lor. Se introduc
noțiunile de decizie, sistem informațional, informatic, aplicație adaptivă, sistem complex. S unt
stabilite familiile de probleme care necesită soluționarea prin intermediul aplicațiilor adaptive,
fiind analizate metodele și tehnicile de dezvoltare și implementare a aplicațiilor adaptive. Se redă
clasificarea mulțimilor de probleme: bine-structurate , non-structurate și slab-structurate și unele
tehnici generice de rezolvare a lor. Se face introducerea în sistemele suport de decizie și tipurile
de probleme decizionale soluționate cu ajutorul acestor sisteme. Se face introducerea în metodele
și tehnicile de dezvoltare și implementare a aplicațiilor adaptive. Se definește domeniul de
aplicație (DA) : [2], unde este mulțimea obiectelor din , ,
este mulțimea relațiilor dintre aceste obiecte , este mulțimea procedurilor,
, fiecare procedură realizează transformarea : . În particular,
este menționată importanța practică a cercetării proprietăților fullerenelor și a cristalelor dopate
cu ioni pământ uri rare.
În Capitolul 2 , intitulat „ Modelarea vibrațiilor moleculare și spectrelor de oscilație în
sisteme simetrice cu multe grade de libertate și determinarea stărilor proprii ale moleculei și
ionului de fullerene ”, este rezolvată problema inversă pentru dinamica fullerenului C60, sunt
formulate modelul semiclasic și metoda numerică de ev aluare a spectrului energetic, fiind
prezentat operatorul de interacțiune electron -vibrațională pentru fullerenul C60 și cercetată
influența rezonanței electron -vibraționale asupra liniei de absorbție în ionul
1
60C . În acest context,
este dezvoltat modelul teoretic și formulat algoritmul de calcul pentru obținerea deplasărilor
simetrizate in sistemele simetrice complexe prin reducerea la problema vectorilor proprii.
Rezultatele calculului pentru molecula de fullerene sunt comparate cu date le experimentale, fiind
prezentată structura sistemul informatic adaptiv pentru determinarea stărilor proprii ale
moleculei de fullerene, precum și implementarea practică a aplicației. Importanța practică a
algoritmului respectiv se bazează pe posibilitate a automatizării procesului de descompunere a
reprezentării mecanice a sistemului în reprezentări ireductibile, care este crucial la cercetarea
sistemului simetric complex prin utilizarea teoriei grupurilor. Metod a propusă utilizează
conceptele informatice: problemă, problemă bine -structurată, problemă slab -structurată, sistem
suport pentru decizii, familie de fullerene, familia problemelor de determinare a stărilor proprii a
moleculelor de fullerene, teorie formală (axiomatizată) a domeniului de cercetare. Familia
problemelor de determinare a stărilor proprii a moleculelor de fullerene este o familie numărabilă
de probleme, iar elementele acestei familii sunt probleme slab -structurate.
),,( PRO DA
O
DA
}1|{ io Oi
R
} { OO R
Р
}1|{ kp Pk
kp
O Opk:

15
În Capitolul 3 , intitula t „Modelarea interacțiunii electron -fononice în cristale dopate cu
ioni de pământuri rare ”, sunt, mai întâi, prezentate fundamentele teoretice ale modelării
proceselor fizice în cristalele dopate cu ioni de pământ uri rare, care includ modelul de acoperire
al câmpului cristalin, definirea stărilor electronice, a elementelor de matrice ale operatorului
evoluției și a interacțiunii electron -fononice în cristale ce conțin impurități de ioni de pământ uri
rare, precum și elucidarea tehnicilor de calcul pentru sec țiunea medie de împrăștiere și corelator.
În continuare este aplicat transferul rezonant de energie între patru centre în modelul
hamiltonianului de interacțiune multipolară a ionilor. A fost obținută formula pentru
probabilitatea de transfer a energiei în cristale dopate cu ioni pământuri rare utilizând metoda
dată a hamiltonianului de interacțiune multipolară. S -au analizat tranzițiile fononice și rezonante,
care pot fi utilizate în selectarea cristalelor dopate cu pământ uri rare pentru obținerea elemente lor
logice pentru calculatoarele cuantice. Modelarea interacțiunii electron -fononice de rezonanță
pentru Yb3+ în trei cristale laser este implementată pe baza a plicației adaptiv -parametrice
elaborate, fiind efectuată și comparația dintre spectrele de absor bție experimentale cu rezultatele
numerice obținute pentru form -liniile de absorbție, care demonstrează o bună concordanță cu
datele experimentale la tranziția 2F7 / 2 (1) → 2F5/2 pentru Yb3+(5at.%.) în YAG , a unei părți a
spectrului de absorbție al Yb3+(0.2at.%. ) în LiNbO 3 la 10 K și a spectrului de absorbție polarizat
pentru Yb3+(20at.%.) în YLF la 10K .
În „Concluzii generale și recomandări ” se face o analiză a contribuției autorului la
dezvoltarea aspectelor teoretice și aplicative cercetate în teză, în special cu referire la elaborarea
modelelor teoretice, proiectarea și implementarea aplicațiilor adaptiv -parametrice în cercetarea
sistemelor fizice pentru asistența modelării pe calculator a problemelor slab -structurate din
diverse domenii aplicative.

16

Un pios omagiu pentru regretatul profesor dl Viorel ENACHI , sub îndrumarea
căruia am început activitatea de cercetare în domeniile fizicii computaționale și
computere cuantice. Am avut onoarea să fac cunoștință cu dl Viorel ENACHI
chiar de pe băncile Universității. Mi -a fost conducător științific la teza de licență,
sub conducerea dânsului am început și activitatea de doctorand. Am învățat foarte
mult de la el și sub conducerea dumnealui m -am format ca cercetător. Am avut
multiple discuții despre fizica computațională și computere cuantice, care s -au
fructificat în circa 12 articole științi fice scrise împreună.

Regretatul profesor dl Viorel ENACHI
va rămâne veșnic în amintirile și în inimile noastre…

17
1. CONCEPTE EVOLUATE ALE MODELĂRII PROCESELOR FIZICE PRIN
UTILIZAREA A PLICAȚIILOR ADAPTIVE

“Es ist nicht genug zu wissen – man muss auch anwenden” .
Johann Wolfgang von Goethe

“Nu e destul să știi, trebuie să și aplici” .
Johann Wolfgang von Goethe

“Недостаточно только получить знания – надо найти
им приложение” .
Иоганн Вольфганг фон Гёте

În acest capitol se analizează situația existentă în domeniul de cercetare al tezei. Sunt
argumentate avantajele aplicațiilor adaptive, care pot diminua semnificativ impactul
complexității DC. Este evidențiată sub -mulțimea de probleme din mulțimea universa lă a
problemelor, care necesită soluționarea prin intermediul aplicațiilor adaptive. Sunt expuse
metode și tehnici relevante de dezvoltare și implementare a aplicațiilor adaptive în cercetarea
sistemelor fizice complexe.
1.1. Analiza situației existente în dom eniul aplicațiilor adaptive

În cadrul fizicii computaționale, utilizarea calculatoarelor contribuie la extinderea și
aprofundarea înțelegerii fenomenelor fizice prin creșterea considerabilă a numărului de calcule
matematice pe care le putem efectua. Mai m ult ca atât, 131.04. Fizică computațională și
modelarea proceselor este specialitatea științifică de unde se așteaptă metode noi de calcul, de
operare [17]. De exemplu, metodele spectroscopiei computaționale se extind de la studiile unei
singure molecule p ână la simularea de clustere și stări cristaline ale substanței, de la molecule
organice la sisteme anorganice complexe și de la cercetarea fundamentală la aplicații comerciale
în domeniul mediului [70].
Modelarea matematică a proceselor din sistemele complexe poate include o varietate de
modele, cum sunt modele matematice clasice, derivate din analiza matematică și teoria ecuațiilor
diferențiale; modele de inteligență artificială; modele discrete, pentru sisteme cu evenimente
discrete (aplicate, în special, în informatică și știința calculatoarelor) etc. În cadrul cunoașterii

18
cantitative, obiectivul cercetării științifice este de a stabili modele matematice ale relațiilor
cauză -efect, puse în evidență de c unoașterea calitativă și fenomenologică. Predicția efectelor,
atunci când „ mărimile cauză ” sunt cunoscute, se realizează în baza simulării sistemelor. Mărimi
esențiale în model sunt variabilele care prezintă interes sub aspectul funcționalității si
perform anței procesului implicat. Se selectează, între mărimile de intrare sau variabile externe,
acele variabile care au rol de comandă a procesului. Restul mărimilor de intrare pot fi
considerate ca perturbații. În metodologia de modelare a proceselor este esen țială modelarea
perturbației. Există două abordări uzuale: ea se consideră ca fiind o variabilă deterministă. Acest
caz implică, în mod evident, o simplificare a realității, impusă de necesitatea unei abordări sub
aspectul complexității. Modelarea procesel or permite și stabilirea relațiilor de proiectare a
sistemelor complexe și a diverselor tehnologii, iar scopul urmărit de cercetarea aplicativă din
științele naturale și inginerești, care este inter – sau pluridisciplinară, este dezvoltarea de noi
aplicații software în activitatea umană, pe baza cunoașterii științifice din cercetarea fundamental ă
[18, 87, 98, 164]. De exemplu, pentru a realiza un produs soft nou, cunoștințele fundamentale
sunt cele aferente metodelor de calcul și de operare dezvoltate în fiz ica computațională și
modelarea proceselor, iar ca sa -l aplice, atribuindu -i și o utilitate socială, inginerul fizician
trebuie să mai cunoască normele de natură juridică și economică care reglementează aceste
raporturi sociale, la care se mai adaugă cunoș tințe din domeniul echipamentelor și tehnologiilor
informaționale și de comunicare, a sistemelor de gestiune / procesare a unor cantități mari de
date, inclusiv la scară națională, etc. Astfel de studii interdisciplinare și pluridisciplinare conțin
întotde auna legături între domeniile menționate și sunt direcții prioritare de cercetare și
implementare pe plan mondial, cum ar fi, de exemplu, bio – sau nanotehnologiile, e -guvernarea
etc.
Problema de analiză , care presupune modelarea și simularea sistemului co mplex, se
transformă astfel într -o problemă de sinteză și de proiectare, iar în orice problemă de sinteză
trebuie rezolvată o problemă preliminară: realizabilitatea problemei formulate. Aplicațiile
adaptive trebuie să țină cont de specificul infrastructuri i din ingineria sistemelor complexe, iar
infrastructura de cercetare propriu -zisă poate fi o arie de cercetare aplicativă (elaborarea de noi
tipuri de sisteme de dezvoltare). Sistemele complexe, de regulă, posedă câteva caracteristici de
bază. În primul râ nd, ele sunt formate dintr -un număr mare de elemente care interacționează
reciproc în diverse moduri. În al doilea rând, rolul central la cercetarea acestor sisteme îl
reprezintă elucidarea proprietăților lor colective, care pot rezulta în structuri comple xe noi. În al
treilea rând, efectele aleatorii sau stocastice sunt importante pentru descrierea adecvată a
evoluției sistemelor. În al patrulea rând, în cazul sistemelor complexe biologice și social –

19
economice pot fi observate proprietăți accentuate de adap tare, astfel încât studiul sistemelor
complexe cuprinde astăzi și multe cercetări interdisciplinare. Astfel, apariția structurilor noi
complexe are loc în sisteme puternic dezechilibrate, iar fenomenele respective pot fi studiate și
cu ajutorul modelelor d ezvoltate în cadrul fizicii. Aplicabilitatea modelelor analitice este deseori
limitată de caracterul complex al sistemelor cercetate, de aceea modelele numerice și simularea
pe calculator devin tot mai des folosite în acest domeniu de cercetare, care astă zi posedă trăsături
interdisciplinare tot mai pronunțate [18]. Deseori procesele sunt declarate de tip Markov, iar
dinamica este descrisă de ecuațiile Chapman -Kolmogorov. Soluțiile obținute caracterizează
distribuția de echilibru sau staționară a modelului . Fluctuațiile în sistem sunt cercetate ca soluție
a ecuației Fokker -Planck, adică distribuții de probabilitate pentru fluctuații aproape de echilibru.
Trebuie, însă, de menționat, că ecuațiile descriu evoluția distribuției de probabilitate a stărilor, nu
a stării propriu -zise. Astfel dacă stările pot manifesta o comportare anormală pentru valorile
critice, atunci distribuția de probabilitate – nu. Prin urmare, pentru a construi un model stocastic
pentru un grup de agenți, în primul rând se va alege un set de variabile în calitate de vector de
stare a modelului. Astfel se va putea, în principiu, calcula distribuțiile vectorilor stărilor viitoare
în baza celor curente, cel puțin pentru un număr finit de pași în timp. Acest aspect al modelului
este descris de ecuația master, care este o ecuație diferențială și indică cum probabilitatea
modelului de a se afla în careva moment de timp într -o anumită stare variază din cauza fluxurilor
de probabilitate. Ecuația de bază este determinată odată cu specificarea setului relevant al ratelor
de tranziție pentru stările examinate, fapt ce substituie descrierea la micronivel a modelelor. Un
exemplu elocvent în acest context poate fi considerat modelul Szilard [107, 85, 138, 139]. Pe de
altă parte, dacă modelul Szilard necesi tă o implicare esențială a calculului numeric, evoluția
structurilor cluster în modele herding este cercetată analitic. Rodgers et al [72, 149, 151, 152] a
dezvoltat și soluționat analitic un model cinetic care descrie distribuția clusterilor după
dimensiu ne în prezența a doar două fenomene din următoarele posibile: creștere (growth),
fragmentare (fragmentation), coagulare (coagulation), adunare (addition) și anexare
(attachment). Celor 10 combinații posibile le vor corespunde diferite variante ale modelulu i.
Vom defini în continuare aceste fenomene pe baza noțiunii de cluster. Astfel, prin creștere se va
denumi procesul în care un nou cluster de dimensiunea 1 (monomer) sau agent liber este introdus
în sistem, fapt ce contribuie la creșterea dimensiunii aces tuia. Fragmentarea poate fi definită ca
un proces în care un cluster se divizează în agenți liberi. Coagularea este procesul de conexiune a
doi clusteri, formând un singur cluster din cei doi prezenți inițial. Adunarea poate fi descrisă ca
un caz special a l coagulării, când un agent liber din sistem este anexat aleator la un oarecare
cluster. Prin urmare, acest proces este posibil doar în cazul existenței agenților liberi în sistem.

20
Anexarea este procesul în care un agent nou din exteriorul sistemului se an exează unui oarecare
cluster contribuind la creșterea dimensiunii atât a clusterului corespunzător, cât și a sistemului în
întregime. În continuare vom efectua o analiză succintă a modelelor corespunzătoare. Sunt
analizate ambele cazuri când ratele de tran ziție sunt independente sau dependente de
dimensiunea clusterilor. În cel din urmă caz, clusterii cu dimensiunea mai mare se dezvoltă mai
rapid decât cei mici, deoarece este mai probabil cazul că doi agenți aparținând la diferiți clusteri
cu dimensiuni mar i vor contacta între ei. Distribuția de echilibru a clusterilor după dimensiune,
obținută de către autori în formă analitică, posedă o dependență de putere truncată exponențial
(power law with an exponential cut -off).
Modelele ABM (agent based models) rep rezintă o metodologie relativ nouă dezvoltată cu
scopul de a studia procese din sisteme complexe la interacțiunea dintre structurile macro – și
microscopice. De regulă, multe asemenea sisteme sunt caracterizate prin faptul că proprietățile
lor generale, rez ultat al superpoziției mai multor stări individuale ale subsistemelor componente
sau un agregat al acestora, nu pot fi deduse printr -o simplă extrapolare a evoluției părților
componentelor de la un nivel structural inferior la unul mai superior, ci reprezi ntă proprietăți
calitativ noi. Acesta este cazul sistemelor complexe care manifestă deseori proprietatea de
autoorganizare. Metodologia ABM s -a consolidat pe parcursul ultimilor decenii și este astăzi
aplicată cu succes la studierea fenomenelor sociale și economice ca cele mai reprezentative
exemple de “fenomene complexe”, deși ponderea acestor studii în totalul cercetărilor științifice
respective rămâne încă nesemnificativă [95, 96, 135-137].
În DEX, un sistem este definit ca un ansamblu de elemente (principii, reguli, forțe etc.)
dependente între ele și formând un întreg organizat, care pune ordine într -un domeniu de gândire
teoretică, reglementează clasificarea materialului într -un domeniu de științe ale natur ii sau face
ca o activitate practică să funcționeze potrivit scopului urmărit. Un sistem informatic este
ansamblul de elemente implicate în procesul de prelucrare și transmitere a datelor pe cale
electronică. Sistemul informatic este alcătuit din calculato are, sisteme de transmisie a datelor,
datele prelucrate, personalul implicat, teoriile la baza algoritmilor de prelucrare și aplicațiile
informatice (soft). Cele trei componente majore care formează sistemul informatic sunt:
intrările, prelucrările, ieșiri le. Intrările reprezintă ansamblul datelor încărcate, stocate și
prelucrate în cadrul sistemului în vederea obținerii unor informații solicitate de către beneficiarul
sistemului. Prelucrările , reprezintă un ansamblu omogen de proceduri automate realizând:
crearea inițială și actualizarea bazei de date; exploatarea bazei de date; reorganizarea bazei de
date; salvarea/restaurarea bazei de date. Ieșirile sistemului informatic sunt reprezentate de
rezultatele prelucrărilor desfășurate.

21
Sistemul informațional este ansamblul de elemente implicate în procesul de colectare, de
transmisie, prelucrare de informație, informației revenindu -i rolul principal din sistem. În sensul
larg, sistemul informațional se referă la diverse interacțiuni dintre oameni, procese, date și
tehnologii, termenul nu se referă numai la aspectele TIC. Sistemul informațional reprezintă un
ansamblu de fluxuri și circuite informaționale organizate într -o concepție unitară. Sistem
informațional adaptiv este numit sistemul informațional care își sc himbă algoritmul de
funcționare, și (uneori), structura lui, în scopul de a menține sau pentru a atinge o stare optimă
atunci când se schimbă condițiile externe [79, 127].
Calitatea de adaptare a sistemului informatic poate fi realizată sub următoarele aspect [21,
127]:
 Adaptarea se efectuează apriori, prin proiectarea orientată spre un anumit tip de
utilizatori.
 Sistemul permite o adaptare dinamică, care este efectuată de către utilizator în
procesul de comunicare cu sistemul.
 Adaptarea este realizată d e către sistem în procesul de comunicare cu utilizatorul.
Elaborarea sistemelor informa tice adaptive se poate face prin mai multe metode. Expunem
unele din aceste metode:
 Adaptarea sistemului informatic la domeniul de aplicație se face la etapa proiectării
acestuia.
 Mediul de dezvoltare al sistemelor informatice comandat este dotat cu funcții de
macroprocesare. Sistemul solicitat este realizat în formă de sistem generic
parametrizat. Parametrii de adaptare a sistemului generic sunt macrovariabile ale
sistemului generic. Atribuind valori simbolice oportune parametrilor de adaptare a
sistemului generic este generată versiunea SI solicitată de către beneficiar.
 Sistemul informatic comandat de către beneficiar este realizat în formă de sistem
generic parametrizat realizat în formă de interpretor, care permite beneficiarului
sistemului specificarea parametrilor de adaptare. În rezultatul acestei atribuiri,
sistemul informatic este adaptat la condițiile curen te ale domeniului de aplicație.
 Sistemul infor matic poate îmbina tehnici mixte de realizare a adaptivității. O parte
din parametrii de adaptare ale SI solicitat de către beneficiar, care își modifică
valorile rar, pot fi realizați în sistemul generic în formă de macrovariabile. Altă parte,
care î -și m odifică frecvent valorile, sunt realizați în calitate de variabile
interpretabile.

22
Un sistem complex se referă la orice sistem informatic ce conține un număr mare de entități
(agenți, procese, etc.) interdependente ce interacționează. Printre esențialele c aracteristici ale
sistemelor complexe includ emergența , autoorganizarea și adaptabilitatea [129, p. 2]. Ordinea
spontană care apare atunci când sistemul, pentru a răspunde la influențele exercitate de mediul
înconjurător, trece la un nou mod de organizare se numește autoorganizare și reprezintă una
dintre cele mai uimitoare proprietăți a sistemelor complexe, fie că este vorba despre sisteme
umane, ecosisteme sau organizații. Proprietățile emergente, calitățile noi, paternele structurale
apar în sistemul ada ptiv complex (SAC) din interacțiunea elementelor individuale, acestea
reprezentând mai mult decât suma părților componente și sunt dificil de prevăzut studiind doar
elementele considerate individual. Emergența este procesul care determină apariția unei noi
ordini împreună cu auto -organizarea.
Sumarizat, sistemele adaptive complexe prezintă următoarele proprietăți:
• Interacțiunile locale, neliniare ale părților au ca rezultat auto -organizarea globală a
sistemului;
• Condiția mixtă între ordine și haos a acest or sisteme depinde de stabilitatea și
flexibilitatea simultană a acestora;
• În loc să asigure stări optimale dar instabile, aceste sisteme sunt organizate într -un
mod ce le asigură o bună funcționare dar și flexibilitate.

1.2. Stabilirea familiilor de probleme care necesită soluționarea prin int ermediul
aplicațiilor adaptive
Conform DEX, problema se definește ca o ” chestiune în care, fiind date anumite ipoteze,
se cere rezolvarea, prin calcule sau prin raționamente, a unor date ”.
În literatura de specialitate mulțimea universală a problemelor este divizată în trei clase
[4, p.10 -11]:
 bine-structurate (well-structured ), sau probleme exprimate cantitativ, în care
dependențele esențiale sunt clarificate foarte bine;
 non-structurate (unstructured ), sau probleme exprimate calitativ, care conțin doar
descrierea resurselor, a trăsăturilor și caracteristicilor mai importante iar dependențele
cantitative dintre acestea sunt complet necunoscute;
 slab-structurate (ill-structured ), sau probleme combinate, ca re conțin și elemente
cantitative, dar elementele calitative demonstrează tendința de a domina.
Problemele bine -structurate pot fi reprezentate algoritmic și rezolvate efectiv în cadrul
tehnologiilor informaționale convenționale bazate pe conceptele: algor itm, limbaj imperativ de

23
programare și mașina cu arhitectură von Neumann [4, p.11 ]. Problema este bine structurată pe
măsura sat isfacerii următoarelor criterii [4]:
• poate fi descrisă în termenii variabilelor (scalare sau vectoriale), care au valori
numer ice;
• obiectivele pot fi definite cu ajutorul unor funcții obiectiv clare și bine determinate (de
exemplu, maximizarea venitului sau minimizarea cheltuielilor);
• există algoritmi de obținere a soluției numerice.
Problemele bine -structurate sunt cele mai ușor de rezolvat.
Problemele slab -structurate nu pot fi realizate algoritmic și, de aceea, rezolvarea lor pe
calculator este asistată de un sistem suport pentru decizii (SSD) corespunzător. Algoritmul de
soluționare a unei problemele slab -structurate este construit în procesul dialogului dintre
utilizatorul final – beneficiarul problemei, expertul domeniului de activitate/cercetare, frecvent,
non-informaticianul și SSD [4, p.11 ]. Această clasă de SSD este destinată pentru asistarea
rezolvării cu ajutorul co mputerului a problemelor de luare a deciziilor în managementul
unităților economice, de cercetare, de educație, ocrotire a sănătății, administrative, militare etc.
Problemele slab structurate se caracterizează prin următoarele trăsături [4]:
 deciziile prep onderent sunt orientate spre viitor;
 există un mare diapazon de alternative;
 soluțiile (deci și deciziile) depind în mare măsură de imperfecțiunea curentă a
tehnologiilor;
 deciziile necesită alocări considerabile și conțin elemente de risc;
 sunt incomplete cerințele referitoare la costul și timpul soluționării problemei;
 problema are o structură complexă fiindcă pentru soluționarea ei e necesară
îmbinarea resurselor de diferită natură.
Poate cea mai importantă trăsătură a problemei slab structurat e constă în aceea, că modelul
ei poate fi construit numai în baza informațiilor suplimentare de la persoana, care participă la
soluționarea problemei. Deci, nu putem vorbi de construirea unui model obiectiv, nepărtinitor.
Neînțelegerea acestui lucru a fost cauza multor eșecuri în implementarea modelelor matematice.
Luarea deciziilor este o activitate practicată non -stop de către oameni în diverse domenii
de activitate. F. Gh. Filip definește conceptul „ decizie ” în modul următor: „Decizia reprezentă
rezul tatul unor activități conștiente de alegere a unei direcții de acțiune și a angajării în aceasta,
fapt care implică, de obicei, alocarea unor resurse. Decizia rezultă ca urmare a prelucrării unor
informații și cunoștințe și aparține unei persoane sau unui grup de persoane, care dispun de

24
autoritatea necesară și care răspund pentru folosirea eficace a resurs elor în anumite situații date”
[14, p.12 ].
Conceptul sistemului suport pentru decizii este extrem de larg iar definiția sa diferă în
funcție de punc tul de vedere al autorului (Druzdzel și Flyn , 1999).
Există mai multe definiții a SSD în contextul soluționării familiei de probleme pentru
aplicații adaptive. Prima definiție SSD a fost dată de Little, la începutul anilor ’70. El
definea SSD -ul ca fiind: “ un model bazat pe un set de proceduri pentru procesarea datelor și
pentru asistarea unui manager în procesul decizional. Un SSD trebuie să fie simplu, robust, ușor
de întreținut, adaptiv, ușor de comunicat cu el etc. ”. Aceste atribute, formulate de Little sunt
valabile și astăzi. Tipurile de probleme decizionale și modul de găsire al soluțiilor la aceste tipuri
de probleme sunt redate în Figura 1.1.

Moore și Chang (1980) definesc SSD -ul ca “ un sistem extensibil, capabil să suporte
analize ad -hoc și modelarea deciziei, orientat pentru planificări viitoare și folosit la intervale
neplani ficate și neregulate ”. Power (2002) citat de Filip (2004) definește SSD ca “ un sistem
informatic interactiv menit să -l ajute pe decident să utilizeze date, documente și modele pentru a
identifica și rezolva probleme și a lua decizii ”.

1.3. Metode și tehnici de dezvoltare și implementare a aplicațiilor adaptive
DEX definește noțiunea de metodă ca ”procedeu sau ansamblu de procedee folosite în
realizarea unui scop; metodologie ”.
DEX definește noțiunea de tehnici ca ”Ansamblu de procedee și deprinderi folosite într-un
anumit domeniu de activitate(DA) ”.
Aplicația informatică sau un program de computer, în general, este o secvență de
instrucțiuni concepute pentru dispozitivul de control de execuție a computerului [27].
Probleme bine -structurate
Probleme
non-structurate și slab –
structurate
Toate tipurile de
probleme
Fig.1.1 . Găsirea soluțiilor la problemel e decizionale .

25
Aplicație informatică adaptivă este numită aplicația informatică care își ajustează automat
algoritmul de funcționare la modificările funcționale și structurale ale domeniului de aplicație în
care funcționează [8, 21].
Aplicație adaptiv -parametrică este numită aplicația informatică care își ajustează automat
algoritmul de funcționare la modificarea parametrilor de intrare [8, 79].
Domeniul de aplicație (abreviat ) este un 3 -tuplu:
[2] (1.1)
unde:
(i) este mulțimea obiectelor din , ,
(ii) este mulțimea relațiilor dintre aceste obiecte ,
(iii) este mulțimea procedurilor, ,
(iv) fiecare procedură realizează transformarea: .
Programarea de sistem definește noțiunea program de computer ca date informatice și cod
de computer în memorie executate de procesor pentru a atinge un anumit scop . Această definiție
subliniază două dimen siuni de procesare pe computer : codul programului – acesta reprezintă
algoritmul programului creat de către programator și datele informatice pe care algoritmul
„programului este capabil să le prelucreze [8, 27 ].
Datele informatice cu care operează programul sunt datele de intrare (pentru intrare) și de
ieșire (pentru a afișa rezultatele). Starea de ieșire de obicei depinde de datele de intrare . Pe
parcursul timpului, pe de o parte, volumul datelor de intrare crește, iar pe de altă parte, cerințele
față de stările de ieșire pot suferi modificări. Dacă programul nu este capabil să se acomodeze la
aceste modificări, apare necesitatea de modificare a algoritmului de către programator. Deseori,
este mai avantajos de elaborat o aplicație nouă decât de modificat cea existentă, care la fiecare
modificare a domeniului de aplicare, solicită un efort considerabil din partea informaticianului
pentru a o menține viabilă și utilă. Este evident, că aceste modificări ale aplicației, dacă sunt
acceptate, solicită timp pentru realizare și remunerarea informaticianului. În plus, modificarea
aplicației poate afecta fiabilitatea ei. Din acest motiv, este foarte important ca aplicaț iile să fie cât
mai adaptive [8, 21].
Aplicațiile adaptive funcționează după două principii de bază: auto-ajustarea și auto-
organizarea . În primul caz, în conformitate cu schimbările din mediul extern se schimbă modul
de funcționare a sistemului, iar al do ilea, se schimbă structura, organizarea sistemului [8].
Metodele și tehnicile informatice dezvoltate servesc la:
DA
),,( PRO DA
O
DA
}1|{ io Oi
R
} { OO R
Р
}1|{ kp Pk
kp
O Opk:

26
 facilitarea comunicării între actorii care participă la elaborarea deciziei și structurarea
problemelor decizionale folosind diagramele de influență și arborii decizionali ;
 analiza datelor și extragerea informațiilor și cunoștințelor relevante folosind tehnici de
depozitare a datelor, de prelucrare analitică on -line și de descoperire a cunoștințelor
nontriviale din baze mari de date;
 evaluarea efectelor aplicării unor posibile variante decizionale prin analize de tip
“What if … ?” folosind tehnici de simulare ;
 construirea și recomandarea variantei decizionale optime prin tehnici de optimizare
multicriterială în condițiil e existenței unui număr nelimitat de variante posibile care
trebuiesc apreciate după mai multe criterii de evaluare;
 recomandarea unei alternative dintr -un număr finit de alternative -candidat prin tehnici de
analiză a valorilor luate de un număr de carac teristici ale variantelor prin metode de
analiză multiatribut a deciziilor ;
 sugerarea unei variante decizionale folosind tehnici de inteligență artificială : sistemele
expert, rețelele neurale artificiale, raționamentul bazat pe cazuri.algoritmii genetici etc.
În marea majoritatea cazurilor acestea facilitează numai una (sau un număr limitat) dintre
activitățile decizionale cuprinse în fazele procesului decizional. Astfel:
 tehnicile de analiză on -line a datelor pot fi foarte utile în activitățile decizionale de
culegere a datelor și de identificare a situației decizionale;
 simularea servește cu precădere la facilitarea activităților decizionale care privesc
alegerea unei va riante acceptabile în analiza de sensibilitate a modelului și a soluției;
 optimizarea multicriterială și analiza deciziilor multiatribut sunt folositoare la modelarea
variantelor și la alegerea soluției;
 diagramele de influență ajută la definirea problem ei și la construirea arborilor decizionali,
care, la rândul lor, modelează variantele și facilitează alegerea;
 tehnicile bazate pe inteligență artificială sunt folosite, în primul rând, la alegerea soluției,
dar se pot dovedi utile și în activitățile de id entificare (diagnoză) a problemei (sistemele
expert), construire a modelului (rețelele neurale artificiale) și proiectare a variantelor
(raționamentul bazat pe cazuri).
Familiile de probleme a DA cercetate în lucrare sunt slab -structurate, astfel trebuie s a
utilizăm în calitate de suport pentru cercetările și activitățile noastre SSD adaptive. Aceasta
implică studierea și aplicarea următoarelor tipuri de instrumente software:
1) sisteme suport de decizie

27
2) aplicații adaptive
3) sisteme de inteligență artificiale
În rezultatul integrării acestor trei tehnici de adaptare putem obține un nou tip de sistem
software – SSD adaptiv inteligent , care integrează avantajele celor trei paradigme de dezvoltare a
sistemelor informatice menționate.
Sistemele informaționale pot dem onstra următoarele adaptivități:
(1)adăugarea/excluderea unui nod al rețelei de calculatoare ( RC) – adaptarea RC (
RCA );
(2)ameliorarea vitezei de calcul a soluționării problemelor de cercetare într -un oarecare
nod al RC (
VA);
(3)adăugarea/excluderea unui laborator de cercetare științifică (LCȘ) în cadrul
sistemului informațional (
LCSA );
(4)adăugarea/excluderea unui Post în cadrul sistemului informațional (
PostA );
(5)extinderea în nodul
ix a software aplicativ pentru rezolvare a unei noi probleme de
cercetare
p (
A );
(6)construirea bazei de cunoștințe pentru un nou nod al RC (
BCA );
(7)extinderea norului sistemului informațional la un nou nod al RC (
NorA );
(8)modificarea sistemului de operare, a software de sistem și aplicativ în unul sau mai
multe noduri al RC (
SoftA );
Pentru adaptarea unei aplicații la n oile condiții ale domeniului de aplicație sunt necesare
următoarele resurse: financiare , personal și timp. Reperul dimensiunilor resurselor necesare
pentru adaptarea aplicației este prezentat în Figura 1.2.

28

În contextul celor expuse dimensiunile adaptivității aplicației sunt următoarele (a vedea
Tabelul 1.1):
Tabelul 1.1. Dimensiunile adaptivității sistemelor informaționale

RCA
VA
LCSA
PostA
A
BCA
NorA
SoftA
F
RCFA,
VFA,
LCSFA,
PostFA,
,FA
BCFA,
NorFA,
SoftFA,
P
RCPA,
VPA,
LCSPA,
PostPA,
,PA
BCPA,
NorPA,
SoftPA,
T
RCTA,
VTA,
LCSTA,
PostTA,
,TA
BCTA,
NorTA,
SoftTA,

Cele trei definiții ce urmează, prez intă conceptul nostru original referitor la definiția
aplicațiilor adaptive, măsurarea gradului de adaptivitate al aplicațiilor și compararea gradului de
adaptivitate a diferitor aplicații utilizând una, mai multe sau toate dimensiunile adaptivității
aplica țiilor prezentate în Tabelul 1.1.
O definiție alternativă a aplicației adaptive (AA) este: sistemul (mijloacele hardware,
software, metodice, de proiectare și organizatorice), care realizează aspectele generale de
automatizare a unor clase definite de pro bleme, caracterizate de o tehnologie unică de prelucrare
a datelor, regimuri de prelucrare a informațiilor și condiții de exploatare unice a mijloacelor
hardware și software [8].
Aplicația cercetătorului (AC) reprezintă mijloacele hardware și software ale AA,
destinate soluționării problemelor concrete ale cercetătorului.
Gradul de adaptivitate a AA la familia de probleme de cercetare (FOP) este
caracterizat de trei indicatori:
 raportul dintre costul mediu a realizării unei noi probleme din FOP într -o AC utilizând
AA și costul mediu a realizării aceleiași probleme fără utilizarea AA;
Necesarul de personal (P)

Necesarul de resurse financiare (F)
Necesarul de timp (T)

Fig.1. 2 Resursele necesare pentru adaptarea aplicațiilor.

29
 raportul dintre necesarul mediu de personal (om
 zile) a realizării unei noi probleme din
FOP într -o AC utilizând AA și necesarul mediu de personal (om
 zile) a realizării
aceleiași probleme fără utilizarea AA;
 raportul dintre necesarul mediu de timp a realizării unei noi probleme din FOP într -o AC
utilizând AA și necesarul mediu de timp a realizării aceleiași probleme fără utilizarea
AA.
Măsurarea gradului de adaptivitate al aplicațiilor și/sau compararea gradului de adaptivitate
a diferitor aplicații utilizează una, mai multe sau toate dimensiunile adaptivității aplicațiilor
prezentate în Tabelul 1.1.
Această definiție a fost inspira tă de ideea gradului de orientare pe problemă a complexelor
orientate pe problemă din materialele metodice corespunzătoare elaborate de Consiliului
Constructorilor Principali, Comisia Interguvernamentală a Statelor Socialiste în Domeniul
Tehnicii de Calcul (1981).
Aplicațiil e adaptive oferă următoarele avantaje [8]:
• diminuarea timpului, necesarul mediu de personal și costul mediu a realizării
problemelor din FOP într-o AC;
• un grad înalt de standardizare a AC;
• o calitate mai bună a AC și AA ș. a.
Redenumim ș i numerotăm sistemul de indicatori de adaptabilitate a SI din Tabelul 1.1., în
rezultat obținem un tabel din 24 de indicatori indexați ai adaptivității aplicațiilor (a se vedea
Tabelul 1.2). Acest sistem de măsurare a adaptivității aplicațiilor este univer sal. Fiecare indicator
reprezintă o dimensiune de măsurare a adaptivității aplicațiilor.

Tabelul 1.2. Dimensiunile adaptivității aplicațiilor (redenumite și numerotate)

RCA
VA
LCSA
PostA
A
BCA
NorA
SoftA
1 2 3 4 5 6 7 8
1 F
RCFA, /
1,1a

VFA,/
1,2a

LCSFA,/
1,3a

PostFA,/
1,4a

,FA/
1,5a

BCFA,/
1,6a

NorFA,/
1,7a

SoftFA,/
1,8a

2 P
RCPA, /
2,1a

VPA,/
2,2a

LCSPA,/
2,3a

PostPA,/
2,4a

,PA/
2,5a

BCPA,/
2,6a

NorPA,/
2,7a

SoftPA,/
2,8a

3 T
RCTA, /
3,1a

VTA,/
3,2a

LCSTA,/
3,3a

PostTA,/
3,4a

,TA/
3,5a

BCTA,/
3,6a

NorTA,/
3,7a

SoftTA,/
3,8a

Fie
SI – o mulțime de sisteme informaționale
} |{ Ii SI SIi , unde I este mulțimea de
indici; iar mulțimea
}8,1 ;3,1 ;0 | {, ,   k j cc Criteriikj kj reprezintă sistemul de criterii al

30
beneficiarului de evaluare a adaptabilității sistemelor informaționale. Notăm cu
iSI
kja, mulțimea
performanțelor de adaptivitate a sistemului
SI SI SIi i ,
} 8,1 ;3,1 ;0 | {, , SI SI k j cc CriteriiiSI
kjSI
kjSIi i i 
.
Astfel, oricare beneficiar poate construi propriul s istem de evaluare a adaptivității
sistemelor informaționale (
SIAdapt ) în funcție de sistemul său de criterii de evaluare a
adaptabilității sistemelor informaționale
} , {8
1, ,3
1SI SI a c Adapti
jSI
ji ji
iSIi  
 .
Faptul că o aplicație adaptivă realizează calități software suplimentare necesităților
beneficiarului, impune o tehnică de construire a aplicațiilor adaptive care include [2]:
(1) Definirea cerințelor AA;
(2) Descrierea DA;
(3) Construirea teoriei formale (axiomatiz ate) în sensul Mendelson [127] a DA elaborat
la pasul (2);
(4) Construirea limbajului DA teoriei formale elaborată la pasul (3);
(5) Specificarea familiilor de probleme din DA solicitate de beneficiar pentru realizarea
pe calculator;
(6) Elaborarea constructorului componentelor cognitive a platformei informatice pentru
DA;
(7) Construirea platformei informatice a DA;
(8) Elaborarea componentelor de adaptare ale platformei informatice elaborate la pasul
(7) (Adaptorul, Ajustorul și alte module auxiliare);
(9) Generarea de că tre utilizatorii finali a versiunilor originale personalizate a
aplicațiilor adaptive utilizând componentele elaborate la pașii (6), (7), (8) conform
specificărilor utilizatori finali;
(10) Exploatarea, menținerea și dezvoltarea aplicațiilor personalizate construite la pasul
(9) de către utilizatorii finali.
1.4. Cercetarea proprietăților fullerene lor și cristalelor dopate cu ioni de pământ uri rare
1.4.1. Molecula și ionul de fullerene

Dintre toate structurile de carbon, ce au o stabilitate superioară, se caracterizează molecula
C60, la care se face referință adesea ca fiind cea de -a treia stare a carbonului după diamant și
grafit. Proprietățile electrice, optice și mecanice ale fulleren elor în stare condensată atrag atenția

31
atât prin bogatul evantai de fenomene fizice, care au loc în fullerene, cât și prin perspectivele
utilizării lor în electronică, optoelectronică și în alte domenii ale tehnicii, inclusiv computere
moleculare [145]. Mo lecula C60 are structura icosaedrului trunchiat. Icosaedrul reprezintă o
figură geometrică regulată, suprafața căruia constă din 20 de triunghiuri regulate. Ele au 12
vârfuri comune și 20 laturi comune. Moleculele stabile de carbon au structura unei supraf ețe
închise, pe care sunt așezați atomii de carbon. Această suprafață închisă e formată din hexagoane
și pentagoane, în vârfurile cărora sunt așezați atomii de carbon. În realitate, în structura C60
există două tipuri de legături, una din ele este dublă (cea care coincide cu latura care mărginește
două hexagoane vecine) și cealaltă este simplă (coincide cu latura care mărginește un hexagon și
un pentagon). Rezultatul diferitor experimente arată că lungimile corespunzătoare legăturilor
respective sunt 0.139 0.001 și 0.144 0.001 nm, respectiv. Din această cauză hexagoanele din
componența moleculei C60 se deosebesc de cele regulate. Menționăm că toți atomii moleculei
C60 se află într -o stare echivalentă, astfel încât fiecare atom aparține simultan la două hexagoane
și un pentagon (vezi Figura 1.3).

Simetria fullerenului C60 aparține de grupul punctiform Ih, cea mai superioară simetrie din
grupurile punctiforme existente în spațiul euclidian. Cele 12 fețe pentagonale și 20 hexagonale
ale fullerenului C60 coincid cu cele 12 vârfuri și 20 de fețe ale icosaedronului. Fiecare atom de
carbon este localizat în unul dintre cele 60 de vârfuri ale acestui icosaedru trunchiat. Fiecare
punct este legat într -un plan simetric de reflexie și de -a lungul unei axe simetrice de rotație.
Grupul punctiform Ih icosaedral format din 120 de elemente este cel icosaedral I înmulțit d irect
cu grupul C2. Grupul C2 constă doar din operatorul unitate și operatorul de inversie, fiecare dintre
aceștia comutând cu cele 60 de rotații ale grupului I. Fiecare operator de rotație a l icosaedrului
rotește icosaedrul sub un unghi  în raport cu o a xă de simetrie de gradul 2,3 sau 5.Acest unghi
de rotație  separă rotațiile icosaedrale în 5 clase. Aceste clase sunt notate astfel: C1, CR, ,Cr
și Ci și conțin respectiv 1, 12, 12, 20 și 15 operatori. Clasa C1 conține doar operatorul unitate cu
unghiul de rotație =0. Clasele CR și conțin toate rotațiile în raport cu axele de simetrie de
2RC
2RC
Fig. 1.3. Structura moleculei de fullerene [1].

32
ordinul 5 cu unghiul de rotație =72 și =144, respectiv. Clasa Cr conține toate rotațiile în
raport cu axele de simetri e de ordinul 3 cu =120, iar clasa Ci conține toate rotațiile în raport cu
axele de ordinul 2 cu unghiul de rotație =180.
Deci
.
Elementele grupului icosaedral Ih sunt generate de toate rotațiile din I cu operatorul unitate din
Ci. Atunci toate rotațiile grupului I sunt înmulțite direct cu grupul C2. Astfel în grupul icosaedral
de simetrie avem 120 de operații și 10 clase (vezi Tabelul 1.3).

Tabelul 1.3. Structura claselor grupului icosaedral de simetrie [67, 169, p.4747 ]
Structura clase i icosaedral e
{I} Structura clase i icosaedral e {Ih}
=1
=I
=72 =144 =120 =180
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I = I = I =

9i I = I = I = I
9i=
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I = I = I =
I = I =
    i r R R C C C C CI2 1
1C
RC
2RC
rC
iC
IC




C
2C
C
C
1R
2
1R
1r
1i
1R
1
2
1R
2
1
1r
1
1i
1
2R
2
2R
2r
2i
2R
2
2
2R
2
2
2r
2
2i
2
3R
2
3R
3r
3i
3R
3
2
3R
2
3
3r
3
3i
3
4R
2
4R
4r
4i
4R
4
2
4R
2
4
4r
4
4i
4
5R
2
5R
5r
5i
5R
5
2
5R
2
5
5r
5
5i
5
6R
2
6R
6r
6i
6R
6
2
6R
2
6
6r
6
6i
6
4
1R
3
1R
7r
7i
4
1R
4
1
3
1R
3
1
7r
7
7i
7
4
2R
3
2R
8r
8i
4
2R
4
2
3
2R
3
2
8r
8
8i
8
4
3R
3
3R
9r
4
3R
4
3
3
3R
3
3
9r
9
9
4
4R
3
4R
10r
10i
4
4R
4
4
3
4R
3
4
10r
10
10i
10
4
5R
3
5R
2
1r
11i
4
5R
4
5
3
5R
3
5
2
1r
2
1
11i
11
4
6R
3
6R
2
2r
12i
4
6R
4
6
3
6R
3
6
2
2r
2
2
12i
12
2
3r
13i
2
3r
2
3
13i
13

33
I = I =
I = I =
I =
I =
I =
I =
I =

Operatorii grupului și structura claselor grupului Ih sunt arătate în Tabelul 1.4.

Tabelul 1.4. Operatorii grupului și structura claselor grupului Ih [67]
C1 CR CR2 Cr Ci CI C C2 C C
Ag 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
T1g 3 2cos𝜋
5 2cos3𝜋
5 0 1 3 2cos𝜋
5
2cos3𝜋
5 0 -1
T3g 3 2cos3𝜋
5 2cos𝜋
5 0 -1 3 2cos3𝜋
5 2cos𝜋
5 0 -1
Gg 4 -1 -1 1 0 4 -1 -1 1 0
Hg 5 0 0 -1 1 5 0 0 -1 1
Au 1 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1 -1
T1u 3 2cos𝜋
5
2cos3𝜋
5 0 -1 -3 −2cos𝜋
5
−2cos3𝜋
5 0 1
T3u 3 2cos3𝜋
5 2cos𝜋
5 0 -1 3 −2cos3𝜋
5 −2cos𝜋
5 0 1
Gu 4 -1 -1 1 0 -4 1 1 -1 0
Hu 5 0 0 -1 1 -5 0 0 1 -1

Din tabelul Kelley pentru operațiile din primele 5 clase se observă, că orice operație poate fi
generată doar de 2 operații: (rotirea cu ) și (rotirea cu ). Prin urmare,
reprezentările oricărei operații de aici se vor exprima prin reprezentările acestor două operații
generatoare. Reprezentările ireductibile generatoare au fost prezentate de David E. Weeks și
William G. Harter în lucrarea [169]. Reprezentări le ireductibile ale grupului Ih sunt: Au, Ag, T1u,
T1g, T3u, T3g și Hu, Hg de dimensiunile 1, 1, 3, 3, 3, 3, 4, 4 și 5, 5, respectiv.
Pentru descrierea spectrelor vibraționale ale nanostructurilor pe baza atomilor de carbon se
aplică diferite modele, cum ar fi Valence Force Field [ 131], aproximația de ordinul întâi a
2
4r
14i
2
4r
2
4
14i
14
2
5r
15i
2
5r
2
5
15i
15
2
6r
2
6r
2
6
2
7r
2
7r
2
7
2
8r
2
8r
2
8
2
9r
2
9r
2
9
2
10r
2
10r
2
10
1r
0120
11i
0180

34
densității locale [ 146], abordările constantelor de forță pentru al cincilea și al patrulea cei mai
apropiați vecini [ 165] sau sunt folosite potențialele Tersoff, Brenner or Lennard -Jones [ 115,
159]. Potențialele Tersoff -Brenner optimizate pentru studiul dinamicii rețelei și a transportului
termic fononic în nanotuburi de carbon si grafen au fost propuse în 2010 de către Lindsay și
Broido [ 114], fiind obținut un set de parametri care oferă ajus tări îmbunătățite la unele date
experimentale, inclusiv datele privind dispersia fononică în plan pentru grafit. Aceste modele
depind de un număr diferit de parametri ajustabili, care, de regulă, se determină din comparația
spectrelor de oscilație care se obțin prin metode teoretice cu datele experimentale. În cazul
grafitului și grafenului, numărul parametrilor în medelele teoretice poate varia de la 5 până la 23
[130, 165]. Creșterea numărului de parametri ai modelelor conduce la o descriere mai detaliată a
caracteristicilor spectrelor stărilor de vibrație [ 165]. Astfel, în modelarea dinamicii moleculare o
funcție de potențial definită analitic sau empiric este folosită pentru a evalua interacțiunea între
atomi sau energia de legătură, astfel încât formula rea dinamicii moleculare este efectuată prin
determinarea gradientului de la un anumit potențial. Structura și proprietățile termofizice ale
soluțiilor apoase de fullerene C60 au fost investigate atât în mod experimental, cât și teoretic în
abordarea dinam icii moleculare [ 144] și filme de fullerit [ 15, 16, 46, 88-90, 121]. Pentru a
descrie mai exact proprietățile fizice, alegerea unui potențial de interacțiune cât mai adecvat este
extrem de necesară. Pentru legăturile covalente ale atomilor de carbon este necesară utilizarea
unui potențial al sistemului multiparticule, care ar include și energia potențială indusă de variația
unghiului legăturii. Potențialul interatomic empiric Tersoff -Brenner este cel mai des folosit
potențial al trei corpuri pentru legătur a chimică covalentă, așa ca siliciu și carbon. Acest
potențial a fost propus inițial de către Tersoff [ 162] pentru simularea siliciului solid. Mai târziu,
în lucrarea [62] a fost dezvoltat potențialul Tersoff pentru carbon și hidrocarbon. Potențialul a
devenit des utilizat la cercetarea proprietăților fizice pentru formele alotropice ale carbonului,
potențialul covalent total al sistemului fizic reprezentând suma energiilor de legătură covalente
individuale:
𝑈𝑐𝑜𝑣=𝑓𝑐(𝑟𝑖𝑗){𝑉𝑅(𝑟𝑖𝑗)−𝑏𝑖𝑗𝑉𝐴(𝑟𝑖𝑗)}, (1.2)
unde 𝑓𝑐(𝑟𝑖𝑗) este funcția de tăiere a potențialului Tersoff -Brenner. Funcția dată din (1.2) poate fi
definită astfel:
𝑓𝑐(𝑟𝑖𝑗)={1 𝑟𝑖𝑗<𝑅̅−𝐷̅
1
2−1
2𝑠𝑖𝑛[𝜋
2𝐷̅(𝑟𝑖𝑗−𝑅̅)]𝑅̅−𝐷̅<𝑟𝑖𝑗<𝑅̅+𝐷̅
0 𝑟𝑖𝑗>𝑅̅+𝐷̅}, (1.3)

35
unde 𝑟𝑖𝑗 este d istanța dintre atomii i și j, 𝐷̅ este jumătate de distanța și 𝑅̅ este lungimea de tăiere.
În general, funcția de tăiere a potențialului este o funcție descrescătoare simplă, care indică
ponderarea legăturilor covalente centrate la 𝑟𝑖𝑗=𝑅̅. Dacă în (1.3) 𝑟𝑖𝑗 este mai mic decât 𝑅̅−𝐷̅,
atunci energia potențială trebuie luată în considerație cu ponderea 1. Dacă 𝑟𝑖𝑗 este cuprins între
𝑅̅−𝐷̅ și 𝑅̅+𝐷̅, atunci ponderea variază între 0 și 1. Atunci când 𝑟𝑖𝑗 depășește 𝑅̅+𝐷̅, energia
potențială este ignorată în model. 𝑉𝑅(𝑟𝑖𝑗) și 𝑉𝐴(𝑟𝑖𝑗) în (1.2) reprezintă interacțiunile de
respingere și, respectiv, de atracție. Aceste două componente de interacțiune pot fi descrise de
potențialul de tip Morse [ 92]:
𝑉𝑅(𝑟𝑖𝑗)=𝐷𝑒
𝑆−1exp{−𝛽√2𝑆 (𝑟𝑖𝑗−𝑅𝑒)}, (1.4)
și
𝑉𝐴(𝑟𝑖𝑗)=𝐷𝑒𝑆
𝑆−1exp {−𝛽√2𝑆⁄ (𝑟𝑖𝑗−𝑅𝑒)}, (1.5)
unde în (1.4) și (1.5) 𝐷𝑒 și 𝑅𝑒 sunt, respectiv, energia de disociere și lungimea legăturii de
echilibru pentru materiale, 𝑆 și 𝛽 sunt coeficie nți specifici ai materialelor. Mai mult decât atât,
𝑏𝑖𝑗 în relația (1.2) reprezintă modificarea energiei legăturii covalente în funcție de unghiul 𝜗𝑖𝑗𝑘 și
se exprimă astfel:
𝑏𝑖𝑗=(1+𝑎𝑛{∑ 𝑔(𝜗𝑖𝑗𝑘) 𝑘(≠𝑖,𝑗) }𝑛)−𝛿
, (1.6)
unde
𝑔(𝜗𝑖𝑗𝑘)=1+𝑐2𝑑2⁄ −𝑐2(𝑑2+(ℎ−𝑐𝑜𝑠𝜗𝑖𝑗𝑘)2) ⁄ , (1.7)
iar parametrii 𝑎,𝑛,𝛿,𝑐,𝑑,ℎ din (1.6) și (1.7) sunt determinați în funcție de material. Pentru un
sistem format din atomi de carbon, a fost cercetată dependența energiei potențiale de distanță în
funcție de diferite unghiuri 𝜗𝑖𝑗𝑘ale legăturii între atomi [ 125]. Trebuie de remarc at faptul că
forțele van der Waals (vdW) nu sunt luate în considerație în potențialul Tersoff -Brenner.
Apariția acestor forțe între moleculele neutre se datorează tendinței acestora de a constitui dipoli
electrici, aliniindu -se între ele și transmițând pol arizarea la moleculele învecinate. Totuși, pentru
unele formele alotropice ale carbonului, interacțiunile atomice transversal straturilor sunt
modelate cu potențialul van der Waals. Un potențial pereche utilizat pe scară largă, funcția de
potențial Lennard -Jones 12 -6 [57, 113], este folosit pentru a descrie interacțiunile
intermoleculare van der Waals:
𝑈𝑣𝑑𝑊(𝑟𝑖𝑗)=4𝜀0[(𝑟0
𝑟𝑖𝑗)12
−(𝑟0
𝑟𝑖𝑗)6
], (1.8)

36
unde 𝜀0 este energia pentru 𝑈𝑣𝑑𝑊 minimal și 𝑟0 este distanța între doi atomi la care 𝑈𝑣𝑑𝑊 devine
egal ciu zero. Pentru atomii de carbon 𝜀0=3.8791 ×10−10fJ și 𝑟0=0.34 nm. Prima derivată
după 𝑟𝑖𝑗 a potențialului 𝑈𝑣𝑑𝑊 descris de (1.8) reprezintă forța atomară van der Waals:
𝐹𝑣𝑑𝑊(𝑟𝑖𝑗)=−𝑑𝑈𝑣𝑑𝑊 (𝑟𝑖𝑗)
𝑑𝑟𝑖𝑗=24𝜀0
𝑟0[2(𝑟0
𝑟𝑖𝑗)13
−(𝑟0
𝑟𝑖𝑗)7
]. (1.9)
De regulă, potențialul Tersoff -Benner este folosit pentru a descrie legătura covalentă din
fullerene, precum și legăturile covalente în straturile nanotuburilor de carbon, grafit și diamant,
pe când interacțiunile tr ansversal straturilor sunt modelate cu potențialul Lennard -Jones.
Totodată, potențialul Lennard -Jones este adesea folosit ca un model aproximativ pentru partea
izotropă a forței totale cu rază scurtă van der Waals (repulsie plus atracție) în funcție de dis tanță
[69].
În cadrul simulărilor dinamicii moleculare în nanostructuri s -a calculat valoarea numerică
pentru energia potențială obținută din interacțiunea fiecărui atom dintr -o moleculă cu fiecare
atom din a doua moleculă [112]. Cu toate că simularea imp lică doar rază mică de interacțiune
atom -atom și ignoră aceste interacțiuni la distanțe mai mari, simularea respectivă necesită un
timp de calcul semnificativ. Astfel, în această lucrare au fost stabilite formulele analitice pentru
patru tipuri de interacț iuni Lennard -Jones: (i) o nanoparticulă solidă sferică cu un atom, (ii) două
fullerene sferice cu raze distincte, (iii) o nanoparticulă solidă sferică cu o moleculă de fullerene
sferică și (iv) două nanoparticule solide sferice cu raze distincte. Energiile de interacțiune,
folosind potențialul Lennard -Jones 6 -12 pentru aceste patru tipuri de interacțiuni, sunt
determinate în aproximația continuă, care presupune că o structură atomică discretă poate fi
înlocuită fie cu o densitatea atomică de suprafață medie , fie cu o densitate atomică de volum
medie. Timpul de calcul ar putea fi redus semnificativ cu ajutorul acestor formule pentru
interactiunile moleculare care implică nanoparticule sferice sau fullerene. Este arătat că astfel de
formule pot fi utilizate în scheme de calcul hibride analitic -numerice, precum și în
metalofullerene și în anumite modele sferice pentru molecule cum ar fi metanul și amoniacul. Au
fost determinate atât raza cea mai stabilă, cât și raza maximală pentru nanoparticula solidă
sferică a flată în interiorul unei fullerene, care sunt utile în sistemele de calcul.
În ultumul deceniu cercetările proprietăților fullerenelor s -au desfășurat pe diverse
direcții. Astfel, rezultatele unei investigații experimentale și teoretice a efectelor excit ațiilor
colective în spectrul energetic al fullerenului sunt prezentate în lucrarea [60]. Molecula de
fullerene este cercetată ca un înveliș sferic cu o lățime finită și se arată că la unghiuri mici
secțiunea de împrăștiere transversală inelastică este determinată în principal de excitația modului
simetric al plasmonului de suprafață, în tim p ce la unghiuri mai mari excitația plasmonilor

37
antisimetrici de suprafață și de volum devine semnificativă. În lucrarea [119] sunt investigate
configurațiile stărilor fundamentale pentru potențialele atomice cu doi și trei termeni de
interacțiune din prim a sferă de vecinătate, pentru a dovedi că potențialul propus poate descrie
cristalizarea in nanostructuri de carbon, cum ar fi grafenul, nanotuburile și fullerenul, și a oferi o
anumită descriere a geometriei stărilor fundamentale, demonstrându -se ca molec ulele de
fullerene C20 și C60 sunt stabile.
Un număr considerabil de publicații recente sunt în domeniul biofizicii și în medicină.
Astfel în [ 143, 157, 173] este prezentată acțiunea antiamiloidă a fullerenei C60 și corectarea
proceselor cognitive pertu rbate, fiind discutate perspectivele de dezvoltare a medicamentelor
bazate pe fullerene care acționează asupra mecanismelor moleculare -cheie în stadiul incipient al
bolii Alzheimer. În lucrarea [86] este cercetat un compus antiviral pe bază de fullerene, c are
poate fi utilizat pentru a trata virusul imunodeficienței umane (HIV). A fost formulat un model
matematic care poate descrie energia de interacțiune dintre compușii antivirali ce conțin C60 și
HIV. În special, în aceast articol sunt modelate energia și forța care rezultă din interacțiunea
dintre regiunea activă HIV și molecula antivirală care este atașată la suprafața exterioară a unei
molecule de fullerene C60. Aceste interacțiuni sunt calculate în baza structurii moleculelor
antivirale, iar rezultatel e arată că legătura moleculei de fullerene cu moleculele antivirale crește
eficiența compusului de a suprima activitatea HIV. A fost realizată și analiza efectelor toxice ale
fullerenelor și derivaților acestora față de organismele vii [99]. Relația dintre activitatea
biologică a fullerenelor și a proprietăților lor fizico -chimice este caracterizată, iar pentru a
permite o mai bună evaluare a efectelor toxice ale nanomaterialelor, atât pentru experimente, cât
și pentru evaluarea rezultatelor, au fost recoma ndate proceduri standardizate in vivo. În lucrarea
respectivă sunt prezentate și date privind adsorbția, distribuția și metabolismul de fullerene
pentru diferite căi de expunere.
Se consideră că evoluțiile actuale ale studiului materialelor nanostructurate și
nanotehnologie va avea, în general, un impact profund în multe domenii, cum ar fi tehnologiile
cu utilizare în energetică și aplicațiile biomedicale [122]. Acestea includ celu lele solare și de
stocare a energiei, monitorizarea stării mediului, ingineria țesuturilor, bioprobe, diagnosticul și
terapia cancerului, precum și metode avansate de livrare a medicamentului. Realizările recente
acoperă o gamă largă de cercetare a nanomat erialelor pentru o varietate de aplicații, inclusiv
pentru producerea nanocompozitelor organice/anorganice, care pot fi utilizate în construcția
diodelor emițătoare de lumină, celulelor fotovoltaice, precum și în biomedicină. Fullerenele au
atras o atenție considerabilă în diverse domenii ale științei și tehnologiei. Datorită proprietăților
lor chimice, fizice și biologice excepționale, ele au multe aplicații și în tehnologia produselor

38
cosmetice și medicale. Cu ajutorul funcției de potențial Lennard -Jones 6-12 și în aproximarea
continuă, care presupune că interacțiunile intermoleculare pot fi aproximate prin densitatea
atomică medie de suprafață, au fost calculate energiile de legătură între moleculele de fullerene
C60 și ADN [ 45].
Cercetările în acest domeniu sunt interesante și din perspectiva găsiri unor modalități de
identificare a geometriei fullerenelor Cn din materialul fullerenic, precum și descrierea rețelelor
cristaline care au scop simularea canalelor care apar în zeoliți [19]. Astfel, pentru calculele
bazate pe teoria funcționalei de densitate (DFT) pentru fullerene a fost folosit programul
Turbomole cu scopul de a identifica geometria cuști Cn, precum și proprietățilie vibronice ale
fullerenelor mici Cn (n<70). A fost ară tat, că cu ajutorul calculelor de DFT se poate face
distincție nu numai între stările electronice ale cuștilor Cn (neutre, cationi și anioni), dar și
specificarea structuri izomerului specific. DFT a prezis, astfel, structurile și proprietățile
acestora, c are pot fi în continuare verificate cu rezultate experimentale obținute recent (spectre
Raman și IR). În această lucrare se arată că materialele solide Cn pot fi fabricate prin selectarea
perfectă de masă, dar controlul cu privire la componența izomerică r amăne încă o provocare.
O altă metodă de cercetare a fullerenelor se bazează pe teoria grafurilor, care a fost
aplicată în studiul structurilor moleculare, care în prezent se constituie ca ramură
interdisciplinară, numită topologie moleculară [20, 106, 110]. Topologia moleculară urmărește
identificarea, din studii comparate asupra unui set de molecule, a factorilor structurali implicați
în relația structură – proprietate / activitate biologică. Partiționarea unor proprietăți moleculare și
exprimarea lor pr in modele aditive, cu ajutorul descriptorilor moleculari (indici topologici) și a
analizei de regresie reprezintă unul din obiectivele topologiei moleculare. Caracterizarea
topologică a nanostructurilor de carbon a permis ordonarea acestora după criterii d e similaritate,
ca și modelarea de noi structuri, cu proprietăți dorite. Prin urmare, studiul relaților cantitative
structură -proprietate (QSPR) și structură -activitate (QSAR) aduce un suport simplu și convenabil
pentru predicția de proprietăți fizico -chim ice și biologice.
Funcțiile Green și spectrul energetic al moleculei C60 au fost calculate în aproximația
fluctuațiilor statice în cadrul modelului Hubbard [158]. Pe baza acestui spectru, a fost propusă o
interpretare a benzilor de absorbție observate experimental în fullerene. Parametrii moleculei
C60, care o caracterizează în cadrul modelului Hubbard, se calculează din spectrul optic de
absorbție.
Fullerenele, dar mai ales molecula C60 fiind cel mai cunoscut și stabil reprezentant al
fullerenelor, oferă și proprietăți electronice interesante [ 156]. Tranzistorii cu efect de câmp în

39
bază de fullerene sunt prezentate aici ca un anumit tip de comutatoare electronice , în care
fullerenele servesc în calitate de materiale semiconductoare active.
În lucrarea [76] sunt examinate f ormele alotropice de carbon, precum și se efectuează
analiza structurii, proprietăților electronice și chimice ale grafenului, moleculei de ful lerene și
nanotuburilor de carbon cu un singur perete (SWCNT), prezentându -se diferite metode de calcul
care au fost folosite pentru interpretarea proprietăților nanostructurilor de carbon, precum și
utilizarea curentă a nanostructurilor carbon și a aplica țiilor potențiale ale lor. Importanța aplicării
metodelor de calcul în explorarea diferitelor dimensiuni ale fullerenelor și izomerilor acestora
este analizată. Conceptul regulei pentagonului izolat (IPR) în chimia fullerenelor a fost descris.
Studiile com putaționale și experimentale, care implica defecte structurale în fullerene sunt la fel
discutate, iar relația dintre curbura locală și reactivitatea nanotuburilor de carbon SWCNT și
fullerenelor, cu și fără defecte de structură, este prezentată în lucrare a sus -menționată. Algoritmi
de clasificare și taxonomie, pe baza unor criterii, cum ar fi entropia informațională și modificarea
ei, sunt analizați în [163]. A fost studiată fezabilitatea înlocuirii unei anumite molecule (de
exemplu, anestezic) cu altele s imilare din compoziția unui medicament complex. Metoda se
aplică și la clasificarea în acest context a fullerenelor și SWCN. Evident, studiul respectiv nu se
încadrează în domeniul de aplicare al metodei noastre de simulare, dar astfel de modelare ar fi
utilă pentru a sugera prioritățile cercetării experimentale detaliate.
În articolul [102] sunt prezentate c ercetările teoretice îndreptate spre obținerea
materialelor extradure bazate pe fullerene și nanotuburi de carbon. Autorii au luat în considerare
datel e disponibile privind proprietățile elastice care se formează datorită interacțiunii fullerenelor
sau (și) nanotuburi atât datorită legăturilor slabe (de tipul van der Waals), cât și a celor covalente
puternice. Modele de noi materiale nanostructurate ipot etice pe bază de carbon, de exemplu
cristale cubice tubulare, au fost analizate, iar proprietățile elastice ale acestora sunt considerate
ca fiind dependente de structura lor atomică, caracteristicile structurii lor electronice și legăturile
chimice coresp unzătoare. De asemenea, au fost examinate și problemele de sinteză a acestor
structuri extradure.
În prezent, în ciuda interesului tot mai mare a comunității științifice în nanotuburi de
carbon si grafen, molecula de fullerene C60 joacă un rol semnificati v în familia de nanocarboni
mai ales din punct de vedere tehnologic. Un sfert de secol de cercetare a fullerenelor a fost
dedicat înțelegerii modului de a produce derivați de fullerene stabili, bine caracterizați și foarte
solubili, care păstrează propriet ățile originale ale moleculei C60. Aplicațiile într -un număr mare
de domenii, în special cu privire la designul de noi materiale, în care sunt folosite fullerenele, au
îmbogățit literatura științifică cu exemple fascinante [116].

40
1.4.2. Cristale dopate cu ioni de pământuri rare

Când electronii se excită prin absorbția luminii, energia asociată este, în multe cazuri,
transmisă departe de locul absorbției. Acest fenomen este binecunoscut în multe domenii ale
fizicii stării solide și dependența lui exactă de distanță se adeverește a fi din ce în ce mai
importantă, spre exemplu în analiza detaliată a structurii proteinelor. Dacă transferul de la donor
la acceptor are loc între două tipuri distincte de atomi, departe de regiunea superpoziției
funcțiilor lor d e undă, în mod obișnuit se consideră două mecanisme diferite: la distanțe scurte ,
transfer neradiativ , cu o dependență invers proporțională puterii a șasea a separării dintre donor –
acceptor și la distanțe mari , transfer radiativ , cu dependența invers proporțională a puterii a
doua. La distanțe intermediare probabilitatea de transfer depinde mult mai complicat de distanță.
Cercetările bazate pe formalismul electrodinamicii cuantice și al hamiltonianului de interacțiune
multipolar ă cu câmpul local transversal au calificat aceste „mecanisme” drept două extreme ale
unei interacțiuni mai generale [ 71].
În afara aplicațiilor pentru materialele organice [ 48], este acceptată importanța majoră a
transferului rezonant de energie (TRE) î n fotofizica cristalelor dopate cu ioni de pământuri rare
) (3PR
. Poziția relativă a nivelelor lantanidelor favorizează posibilitatea creării materialelor ce
invocă nu numai TRE convențională, dar și ordine superioare de interacțiune. Ionii
) (3PR
posedă proprietăți unice care sporesc interesul implementării lor în calculul cuantic. Tranzițiile
optice considerate aici implică electroni din stratul f, care, după cum se știe, este puternic ecranat
de perturbațiile din exterior, consecința acestui fapt fiind o lărgire foarte mică a liniei de
absorbție. În același timp, frecvența exactă a acestor tranziții depinde puternic de câmpul
cristalin, lărgind astfel neomogen linia de absorbție. Din combinarea acestor două efecte rezultă
posibilitatea separării unui larg număr de canale într -un mare interval de frecvențe [ 111]. Pentru
YAlO 3 dopat cu ioni de Eu lărgimea omogenă este aproximativ 1 kHz, iar cea neomogenă este
mai mare de 10 GHz, de unde rezultă 107 canale. Fiecărui canal de fr ecvențe i se asociază un
qubit, iar interacțiunea între ei are loc prin TRE. Se poate realiza o dinamică condiționată care
duce direct la implementarea canalelor cuantice de n biți.
Pentru implementarea calcului cuantic în sisteme concrete este necesară examinarea
ratelor de evoluție pentru toate canalele: radiative, neradiative, multifononice etc. Pentru prima
dată un proces colectiv de TRE a fost cercetat de Andrews pentru trei centre [ 53, 54]. Sunt
câteva motive care justifică interesul pentru cercetar ea unei astfel de interacțiuni. Prima constă în
faptul că așa model poate reprezenta un proces de pompare a energiei de la un „rezervor” de mai

41
mulți donori la un singur acceptor. Aceasta oferă un mijloc convenabil de excitare a acceptorului
într-o stare d e energie mai mare decât energia fiecărui donor aparte. Transferul de energie în
trepte prezintă unele dezavantaje față de acest mechanism, pentru că el cere o amplasare potrivită
a nivelelor de energie ale acceptorului. Dacă donorii identici sunt excitați cu un puls laser
monocromatic, atunci ar apărea concurența între procesul de interacțiune între centre și cel al
excitării directe a acceptorului prin absorbție multifononică. În general, probabilitatea pentru
primul mecanism este mai mare, cu toate că d ependența lui de intensitatea laserului este aceeași.
Altă diferență în raport cu absorbția multifononică este posibilitatea exploatării orientării spațiale
a centrelor, de care în mod necesar depinde fenomenul.
Împrăștierea fotonului de către subsistemul electronic reprezintă absorbția fotonului
inițial
0K cu emiterea simultană a altui foton
K . Atomul poate rămâne la nivelul inițial sau la
alt nivel energetic discret. În primul caz fre cvența fotonului nu variază, adică avem de a face cu
dispersia Rayleigh. În cazul al doilea frecvența variază cu mărimea
if0 , unde
i ,
f
sunt energiile inițială și finală ale atomului, respectiv. Aici are loc împrăștierea Raman
(ÎR). Dacă starea inițială a atomului este cea de bază, în cazul împrăștierea Raman
0fi , deci
0
, adică dispersia decurge cu micșorarea frecvenței (cazul Stokes). La dispersia pe un ato m
excitat sunt posibile atât cazul Stokes, cât și cazul and anti -Stokes (
0 ). Ca împrăștierea
rezonantă înțelegem dispersia la care frecvența luminii incidente pe sistemul atomic sau
molecular este apropiată unei frecvențe proprii a absorbției electronice a sistemului. Procesul
capătă multe trăsături specifice. În particular, crește brusc intensit atea dispersiei, iar dependența
procesului de diferite nivele electronice intermediare devine selectivă și evidentă.
Aceste împrejurări sunt utilizate în spectroscopia oscilatorie a împrăștierii spontane
Raman. Pentru studierea structurii moleculelor com plexe și proprietăților stărilor lor electronice,
precum și a naturii și detaliilor mecanismului a însuși fenomenului. ÎR rezonantă are o
importanță deosebită, în primul rând, deoarece are un volum mare de informație despre diverse
proprietăți ale sistemul ui dispersant. Pentru a extrage această informație este necesară o metodă
complexă de studiere a ÎR rezonante impuse și a tuturor proceselor însoțitoare de interacțiune a
radiației incidente puternice cu materia. ÎR pe nivele electronice în perioada din an ul 1935 și
până la apariția laserului a fost observată doar pentru cazul moleculei NO. În timpul celui de -al
doilea Război Mondial C.J.Gorter a întreprins experiențe cu ioni de pământ uri rare (PR) și doar
în anul 1964 O.Singh a reușit să excite ÎR pe tranz ițiile electronice în
3Pr în PrCl 3. Nemijlocit
înainte de aceasta Elliot a prezis posibilitatea observării ÎR pe nivele electronice în ioni de

42
lantanide. În toate aceste experiențe sursa de lumină era lampa de mercur [ 154]. Cu apariția
laserului situația s -a schimbat și în anul 1966 Koningstein a început programul de excitare a PR
pe nivelele electronice ale ionilor de PR în unele cristale cu ajutorul radiației laserului heliu –
neonic. Utilizând un sistem de înregistrare mai sensibil, în a ceastă experiență s -a reușit excitarea
PR pentru 3 ioni de PR. Cu apariția laserelor pe ioni de argon și cripton au fost obținute date
experimentate ma i amănunțite, a fost observată Î R pe nivelele electronice ale tuturor
lantanidelor, dar în aceste studii nu erau luate în considerație efectele legate de interacțiunea
electron -fononică (IEF) în ionii de PR cu impurități, care a fost cercetată, începând cu anul 1979,
în absorbția și radiația luminii de ioni PR [ 83, 109].

1.5. Concluzii la Capitolul 1
1. În primul capitol a fost efectuată o analiză comparativă a situației existente în domeniul
tezei. Compartimentul respectiv conține numeroase referințe publicate peste hotare și în țară, o
atenție deosebită acordându -se realizărilor din ultimii ani. În rezu ltatul studierii literaturii de
specialitate, au fost formulate problemele proprii de cercetare și direcțiile de soluționare a lor.
2. În baza studiului efectuat a fost concluzionat faptul că cercetarea proceselor fizice poate
fi asistată cu aplicații adapti ve cu aceeași arhitectură, construite în baza unei singure tehnologii
informaționale, și a fost propus un sistem original din 28 de indicatori pentru măsurarea
adaptivității sistemelor informaționale. În baza acestui sistem de indicatori se pot construi
sisteme personalizate de evaluare a adaptivității în funcție de problemele cercetate.
3. A fost propusă o tehnică originală de dezvoltare a aplicațiilor adaptive. Această tehnic ă
se bazează pe conceptul ”teorie formală (axiomatizată) în sensul Mendelson”. Graț ie acestui fapt
aplicațiile adaptive dezvoltate sunt produse de inteligență artificială capabile de a fi menținute și
adaptate de către utilizatorul final fără asistență obligatorie din partea dezvoltatorului aplicațiilor.
Tehnica propusă este folosită la dezvoltarea aplicațiilor adaptiv -parametrice prezentate în teză.
4. Ținând cont de cele menționate mai sus, au fost formulate următoarele probleme de
cercetare și căile de soluționare a lor:
• Dezvoltarea modelului teoretic și a aplicației adaptive pentru mod elarea vibrațiilor
moleculare și a spectrelor de oscilație în sisteme simetrice cu multe grade de libertate și
determinarea stărilor proprii ale moleculei și ionului de fullerene. Cercetarea dinamicii
fullerenului C60, dezvoltându -se astfel un procedeu com putațional general pentru studierea
oscilațiilor moleculare și a spectrelor pentru sistemele complexe simetrice cu multe grade de
libertate, ar consta în reducerea problemei moleculei C60 la determinarea vectorilor proprii
prin metodele numerice cunoscute.

43
• Modelarea interacțiunii electron -fononice în cristale dopate cu ioni de pământ uri rare,
fiind inițial studiate stările e lectronice ale ionului de pământuri rare în cristale, pentru care
este dedusă formula generală pentru form -funcția benzii de disipație prin secțiunea de
disipație, se obține ecuația integro -diferențială pentru elementele matriciale rezonante ale
operatorului de evoluție, se calculează corelatorul care se conține în această ecuație și se
obține expresia finală a form -funcției benzii de ab sorbție a luminii.
5. Utilizatorul final poate ajusta parametrii specifici ai modelelor fizice cercetate folosind
rezultatele experimentale acumulate la moment în sistemul informatic. Hamiltonianul sistemului
fizic, ecuațiile Hamilton, modelele teoretice, fr ecvențele experimentale reprezintă compartimente
ale bazei de cunoștințe a SSD inteligent. Astfel, modelul SSD adaptiv -parametric expus
reprezintă un sistem software efectiv pentru adaptarea/extinderea SSD pentru asistența
utilizatorului final la cercetare a oricărui element dintr -o familie finită și numărabilă de probleme.

44
2. MODELAREA VIBRAȚIILOR MOLECULARE ȘI SPECTRELOR DE OSCILAȚIE
ÎN SISTEME SIMETRICE CU MULTE GRADE DE LIBERTATE ȘI
DETERMINAREA STĂRILOR PROPRII ALE MOLECULEI ȘI IONULUI DE
FULLERENE

2.1. Rezolvarea problemei inverse pentru d inamica fullerenului C60

Problema dată se consideră ”inversă” problemei directe, care asociază parametrii
modelului cu datele observabile experimental [55]. Transformarea datele experimentale →
parametrii modelului (sau vice versa) este un rezultat al efectelor de interacțiune ale sistemului
fizic. Cu alte cuvinte, transformarea se referă la parametrii modelului și datele experimentale. În
teză rezolvarea pro blemei inverse pentru dinamica fullerenului C60 constă în determinarea
parametrilor Hooke ai modelului folosind datele experimentale corespunzătoare în baza
mecanismului presupus.
În aproximația armonică energia potențială este pătratică după deplasările atomilor și
hamiltonianul osc ilațiilor are forma următoare [9, 40]:
𝐻=∑∑𝑃𝛼2(𝑙)
2𝑀𝑙3
𝛼=160
𝑙=1+1
2∑ ∑ 𝐾𝛼𝛼′(𝑙,𝑙′)Δ𝑅𝛼(𝑙)Δ𝑅𝛼′(𝑙′) 3
𝛼,𝛼′=160
𝑙,𝑙′=1
(2.1)

unde  determină proecția x, y, z, R(l) sunt deplasările de la poziția de echilibru a atomului l,
P(l)-impulsul atomului l, iar K(l,l) se numește matricea dinamică a sistemului.
Pentru a scrie ecuația mișcării pentru deplasările atomului R(l) în aproximația armonică
vom reieși din ecuațiile Hamilton clasice:
lMlP
lPHlR)(
)()(

, (2.2)

   60
1'3
1)( ),()()(
llRll KlRHlP
 

. (2.3)
Derivând (2 .2) încă o dată după timp și punând în relația obținută expresia ( 2.3), obținem
ecuațiile mișcării:

   60
1'3
1')( ),( )(
ll lRll K lRM
  
. (2.4)
Dacă vom căuta soluția ecuației (2.4) în forma
ti
le
MlBlR 
)()(
, (2.5)

45
atunci amplitudinea, care nu depinde de timp B(l), va satisface următoarea ecuație:


60
1'3
1'2)(),()(
l l llB
MMll KlB


, (2.6)
care este echivalentă cu ecuația:
∑ ∑ (𝐾𝛼𝛼′(𝑙,𝑙′)
√𝑀𝑙𝑀𝑙′−𝜔𝜌2𝛿𝛼𝛼′𝛿𝑙𝑙′)𝐵𝛼′(𝑙′)=0 3
𝛼′=160
𝑙′=1
(2.7)
În cazul unui sistem format din N atomi, matricea dinamică este o
matrice reală, simetrică cu dimensiunea 3N. Astfel ecuația (2.7) pentru valorile proprii are 3N
soluții, notate cu indicele 𝜌=1,…,3𝑁:
𝜔𝜌2𝐵𝛼𝜌(𝑙)=∑ ∑𝐾𝛼𝛼′(𝑙,𝑙′)
√𝑀𝑙𝑀𝑙′𝐵𝛼′𝜌(𝑙′) 3
𝛼′=160
𝑙′=1
(2.8)
Deoarece matricea dinamică este reală și simetrică , atunci valorile ei proprii ρ sunt reale ,
iar vectorii proprii Bρ(l) pot fi aleși astfel reali și ortogonali încât să satisfacă condițiilor de
ortonormare și completitate :
∑∑𝐵𝛼𝜌(𝑙)𝐵𝛼𝜌′(𝑙) =𝛿𝜌𝜌′3
𝛼=160
𝑙=1
(2.9)
∑𝐵𝛼𝜌(𝑙)𝐵𝛼′𝜌(𝑙′) =𝛿𝛼𝛼′𝛿𝑙𝑙′3𝑁
𝜌=1
(2.10)
Vectorul propriu B ρ (l) se numește coordonata normală a sistemului dinamic.
Utilizînd aparatul matematic pentru cuantificarea oscilațiilor în rețeaua cristalină [ 22,
pp.173 -177] și c onsiderând soluția ecuației (2.8) cunoscută, putem construi operatorul
Hamiltonian reieșind din (2.1), înlocuind operatorii și cu noii operatori de
generare și anihilare, care se determină de relațiile:

 180
1)ˆˆ()(
2)(



bblB
MlR
l 
, (2.11)


 180
1)ˆˆ)((21)(

   bblBM
ilPl 
. (2.12)
Transformarea inversă se află ușor cu ajutorul relațiilor (2.9) și (2.10):
l lMM ll K /),(

)(lR
)(lP

46


 

 60
13
1)()( )(21ˆ
l llMlPilR M lB b
 

 
, (2.13)
iar pentru operatorul de generare:




 60
13
1)()( )(21ˆ
l llMlPilR M lB b
 

 

. (2.14)
Utilizînd relațiile (2.11) și (2.12) în (2.1) și neglijînd translația și rotația moleculei de fullerene
obținem următoarea formă a hamiltonianului:
𝐻̂=∑ħ𝜔𝜌(𝑏̂𝜌+𝑏̂𝜌+1
2)180
𝜌=1
(2.15)
care reprezintă hamiltonianul unui sistem care constă din 180 oscilatori armonici independenți.
Ecuațiile mișcării pentru atomii de carbon le vom scrie în formă matricială :
uKMdtud1
22

, (2.16)
unde este vectorul deplasărilor (180 -dimensional) a atomilor din poziția de echilibru, M este
operatorul mas ei, K este operatorul constantelor de forță. Pentru obținerea formei explicite a
operatorului din (2.16) vom folosi simetria moleculei C60 și vom atribui fiecărui atom
triada locală a deplasărilor. Fiecare din cele 60 triade locale a le deplasărilor pot fi obținute numai
dintr-o singură triadă , dacă: a) utilizăm simetria fullerenului ce aparține grupului punctiform Ih,
icosaedral și b) împărțim triada inițială în componenta radială pe care o vom numi componenta
(orbita) A, și tangențială – orbita B.
În sistemul de axe de coordonate fixate în centrul moleculei C60, rotațiile proprii sunt
descrise de reprezentarea T1 a grupului I. Orbita inițială A, după efectuarea operației g a grupului,
va trece în gA:
gA gT)(1
, (2.17)
unde este matricea 3×3 a reprezentării T1 [169]. Deci, fiecare vector gA va fi etichetat prin
operația g care l -a generat. Utilizând 60 de rotații proprii g, putem obține 60 de componente
radiale a le triadei plasate pe fiecare atom, iar utilizarea rotațiilor improprii ale grupului Ih va
schimba cu locul vectorii gA și, prin urmare, nu va crea vectori noi. Cei 60 de vectori gA obținuți
din vectorul A se vor numi orbita A. A doua orbită B, care conține 120 de vectori locali
tangențiali, este generată utilizând numai grupul punctiform Ih.
u
KM1
)(1gT

47
Vom nota prin deplasarea de la poziția de echilibru în direcția gO a masei
punctiforme a atomului de carbon localizată pe atomul etichetat prin operația g, unde O este
orbita inițială de start A sau B. În reprezentarea orbitelor , ecuația (2.16) va avea următoarea
formă [169] :

 
oguOgOgKMgO ugOdtd
,1
22
.
(2.18)
Operatorul M în baza este diagonal și fiecare element a său este egal cu masa
atomului de carbon mc. Matricea constantelor de forță determină forța , care
acționează asupra atomului g în direcția gO, când atomul este deplasat în direcția .
Structura matricei K depinde de geometria fullerenului și de constantele de forță.
În modelul adoptat în [10] și prezentat în Figura 2.1, forțele de interacțiune între atomi sunt
de tip Hooke: fiecărui legături chimice (monovalente pe pentagoane și bivalente pe hexagoane)
se pun în evidență constante de elasticitate Hooke : p pentru pentagoane și h pentru hexagoane.
Se introduc și constantele elastice  pentru interacțiunea între două legături monovalente și 
pentru interacțiunea între legături le de diferite tipuri. Astfel, potențialul de interacțiune are
forma:
𝑈(𝑟𝑖(𝑝),𝑟𝑖(ℎ),𝜃𝑖(𝜋),𝜃𝑖(𝜂);𝑝,ℎ,𝜋,𝜂)
=∑𝑝(𝑟𝑖(𝑝)−𝑟0(𝑝))2
260
𝑖=1+∑ℎ(𝑟𝑖(ℎ)−𝑟0(ℎ))2
230
𝑖=1+∑𝜋(𝜃𝑖(𝜋)−𝜃0(𝜋))2
260
𝑖=1
+∑𝜂(𝜃𝑖(𝜂)−𝜃0(𝜂))2
2120
𝑖=1 (2.19)
unde 𝑟𝑖(𝑝), 𝑟𝑖(ℎ) este distanța dintre atomi în legatura i monovalentă sau bivalentă , corespunzător ;
𝑟0(𝑝), 𝑟0(ℎ) este distanța dintre atomi în legatura neperturbată monoval entă sau bivalentă ,
corespunzător ; 𝜃𝑖(𝜋), 𝜃𝑖(𝜂) este unghiul i dintre legaturi echivalente sau diferite , corespunzător ;
𝜃0(𝜋), 𝜃0(𝜂) este unghiul neperturbat dintre legaturi echivalente sau diferite , corespunzător.
Simetria tipurilor de oscilații se determină din dezvoltarea reprezentării reductibile
mecanice după reprezentări le ireductibile a le grupului Ih [39, pp. 38-40]:
𝛤𝑚𝑒𝑐 =2𝐴𝑔+4𝑇1𝑔+4𝑇3𝑔+6𝐺𝑔+8𝐻𝑔+𝐴𝑢+5𝑇1𝑢+5𝑇3𝑢+6𝐺𝑢+7𝐻𝑢 . (2.20)
Indicii g și u din (2.19) denotă reprezentarea ireductibilă pară s i, respectiv , impară.
Deoarece operatorul K comută cu toate operațiile g ale grupului Ih , atunci acesta
gO
gO
OgKgO 
g
Og
) (1K Kgg

48
poate fi adus la forma cvas idiagonală utilizând proiectorul simetric [10, 39, pp. 82-84, 78, p.
4736 ]:


Ggij ij gg DGlP )(*

, (2.21 )
unde G este ordinul grupei, iar este dimensiunea reprezentării . Utilizând operatorul de
proiecție (2.2 1), pot fi construite deplasări le simetrice:


Ggij ij gOgDGlO )( )(*21


. (2.22)

În baza deplasărilor simetrice (2.2 2), operatorul K are formă cva sidiagonală , care reiese din
(2.20) [9]:
      )( 5)( 4)( 3)( 3)()8( )6(
3)4(
1)4( )2(
g g g g g H K G K T K T K A KK

)( 5)( 4)( 3)( 3)()7( )6(
3)5(
1)5( )1(
u u u u u H K G K T K T K A K    
, (2.23)
unde denotă blocul matricial de dimensiune a (n x n) și care posedă n valori proprii de
tip , iar N denotă degenerarea oricărei valori proprii. Elementele de matrice din (2.2 3) se
calculează după formula:


Ggik jl kl ij gYKXgD YKX    )(*
, (2.24)
unde X, Y denotă orice orbită A, B , fiind tabulate în [169], iar este matricea
reprezentării ireductibile  a grupului Ih.
Pentru obținerea elementelor de matrice din (2.2 4) în formă analitică în raport cu
parametrii Hooke p,h,, a fost utilizat pachetul de programe Mathematica . Folosind tabelele
Kelly și operațiile generatoare pentru grupul icosaedral Ih , au fost calculate matricele , iar
l
)()(nNK
gYKX

jlD

jlD
Fig. 2.1. M odelul interacțiunii elastice pentru un fragment

49
apoi din (2.2 4) sunt obținu te matricele (vezi Anexa 1). Pentru obținerea frecvențelor de
vibrație (2.8) a fost fo losită procedura standardă de diagonalizare EIGEN scrisă în FORTRAN.
De menționat că în lucrar ea [9] a fost efectuată diagonalizarea matricelor folosind valorile
parametrilor ale moleculei de benzen, iar valorile obținute a le frecvențelor diferă ,
după cum s-a constatat ulterior, de cele experimentale. Metoda de a afla valorile realistice a le
parametrilor este compararea valorilor experimentale pentru frecvențel e proprii cu cele d in
model ul teoretic. Acest fapt conduce la rezolvarea problemei invers e.
Rezolvarea problemei inverse pentru fullerene conduc e la minimizarea funcționale i:

10
12)( )(
exp ),,,(
ii
teorihpF 
, (2.25)
unde vectorul frecvențelor experimentale, corespunzător blocului de tip i, este
vectorul frecvențelor calculate cu parametrii (vezi Anexa 2), având 46 de frecvențe
vibraționale în total. Suma lui i este de la 1 la 10 după numărul reprezentărilor ireductibile care
intră în descompunerea reprezentării reductibile mecanice ale grupului de simetrie icosaedral Ih
(2.20) . În rezultatul comparației frecvențelor obținute cu cele experimentale, abaterea strandard
relativă este de 18.4%.
Diagonalizarea blocului i pentru calculul vectorului se face după metoda Jacobi, iar
minimizar ea funcționalei se realizează prin metoda Powe ll [10] (vezi Anexele 3 și
4). În calitate de valori inițiale în procesul de minimizare , parametrii sunt cei din inelul
hexagonal al benzenului:
mN ph / 760
,
270radmN

.
Valoarea funcționalei F pentru parametrii de start are ordinul 109. În rezultatul comparației
se obțin următoarele valori:
mN h / 388
,
285radmN


mN p / 355
,
253radmN

.
)()(nK
)(nK
,,,hp

)(
expi
)(i
teor
,,,hp
)(i
teor
),,,(hpF
,,,hp

50
De remarcat că , în rezultat , p≠h, ceea ce și era de așteptat , întrucât pentru legătura
bivalen tă constanta Hook e este diferită față de cea simplă , iar valorile parametrilor sunt mai mici
de două ori decât pentru benzen. Remarcabil este și faptul că algoritmul folosit pen tru a obține
valorile parametrilor pentru fullerenul C60 poate fi aplicat la rezolvarea problemei dinamice
pentru moleculele de fullerene cu un alt număr de atomi, de exemplu pentru C70, C76, C82 etc.
Așadar, considerăm algoritmul obținut ca fiind unul parametric adaptiv. Evident că problem a
invers ă poate fi rezolvată și pentru acești fulleren i. Algoritmul programului de rezolvare a
probleme i inverse este prezentat schematic în Figura 2.2.

Fig.2.2. Schema bloc p entru algoritmul de rezolvare a problemei inverse.

Vom concluziona că în modelul aplicat forțele de interacțiune între atomi sunt de tip
Hooke: fiecărei legături chimice (monovalente pe pentagoane și bivalente pe hexagoane) i se pun
în corespundere constante le de elasticitate Hooke: p pentru pentagoane și h pentru hexagoane. Se
introduc și constantele de elasticitate
 pentru interacțiunea între doua legături monovalente și

pentru interacțiunea între legături de diferite tipuri. Elementele de matrice calculate ale
forțelor cuasidiagonale se exprimă liniar prin constantele de elasticitate p, h,
 ,
.
Blocurile acestei matrice sunt prezentate in Anexa 1. Dimensiunile blocurilor coincid cu
multiplicitatea reprezentării ireductibile respective.

MAIN
PROGRAM

SUBROUTINE
POWEL

FUNCTION
FUN

SUBROUTINE
EIGEN
)()(nK

51
2.2. Oper atorul de interacțiune electron -vibrațional ă pentru fullerenul C60

În cazul fullerenului C60 avem un sistem format din 60 de -electroni. Hamiltonianul
definit pentru o singură particulă este:
)(2ˆ2
rVmHe 
, (2.26)
unde descrie interacțiunea dintre acest electron cu ceilalți electroni , precum și cu toate
nucleele. Utilizînd aproximația electronilor strîns legați, v om construi matricea hamiltonianului
(2.26) luând ca bază -electronul de pe atomul 𝜑𝑖( 𝑟⃗−𝑅⃗⃗𝑖) [22, pp. 231-246]. Vom examina
soluția ecuației Schrödinger ca o combinație liniară din aceste orbitale:

 60
1) (
ii ii Rr C
. (2.27)
Dacă calculăm elementele de matrice ale hamiltonianului (2.2 6) după funcțiile de undă
(2.27), atunci se obține :




vj j i i j i ij rdRr rVmRr RRt32
*) ()(2) ( ) (  
 
(2.28)
și
  
jij i ijj i e RRtCC H
,*) ( ˆ
. (2.29)
Elementele de matrice (2.2 8) tij se numesc elemente de matrice de transfer și posedă sensul
energi ei necesar e pentru ca electronul să treacă din atomul i pe atomul j.
Pentru a trece în (2.29 ) la operatori de generare și anihilare ne folosim de metoda din teoria
cuantică a câmpului, când funcția  se declară operator și se numește operator de câmp. Prin
urmare , se declară operatori și coeficienții Ci din combinația liniară (2.2 7) [29]:

 60
1) (ˆˆ
ii ii Rr C
, (2.30)
unde Ci este operator ul de anihilare a electronului pe atomul i și

  60
1*) (ˆˆ
ii ii Rr C 
, (2.31)
unde este operator ul de generare a electronului pe atomul j. Deoarece electronul posedă spin ,
se adaugă indicele . Obține m:

  i j
jij i ij
jij i j i ij e CCRRt CCRRt H     
,, ,,) ( ) ( ˆ
(2.32)
)(rV

iC

52
Deoarece probabilitatea că electronul va trece pe atomii mai îndepărtați este mică , se
calculează suma după cei mai apropiați atomi:

  i j
jij i ij
jij i j i ij e CCRRt CCRRt H 
      
, ,) ( ) ( ˆ
. (2.33 )
Deoarece atomii oscilează în vecinătatea poziției de echilibru, introduce m în (2.3 1) și
oscilațiile date:
j j j i i i R R RR R R
0 0 ,
. (2.34)
Vom descompune parametrul în seria Taylor în vecinătatea poziției de
echilibru și vom menține doar termenii liniari:

000 0 0
j ji i
RRRRj i ij
ij i ij j i ij RRt
RR Rt RRt





00
j ji i
RRRRj i ij
ji RRt
RR




jR
 . (2.35)
Simplificând expresia (2.3 5), putem scrie:
j i
j ij
j ij ij
j i ij j i ij R R
R RR
RRR tR Rt RRt




0 00 0
i i 0 0 0R ) R(
(2.36)
sau, introducând constantele interacțiunii electron -vibrațional e, obținem:


j ij i ij
ijRRRRt

,
) (
0 00 0
0
j i
j ij i
ij ij ij R R
R RR Rtt


 . (2.37 )
Introducând (2.3 7) în relația (2.3 3), obținem hamiltonianul:
    
 
  
  

 
jii j j i j i
j ij i
ij
jii j j i j i ij e CC CCR R
R RR RCC CCR Rt H
,0 00 0
,0 0 0

 
. (2.38)
Termenul al doilea în (2.3 8) este operatorul de interacțiune electron -vibrațională , îl vom nota
prin
  
  

 
jii j j i j i
j ij i
ij CC CCR R
R RR RH
,0 00 0
int


. (2.39)
Atunci hamiltonianul (2.3 8) se va scrie:
int0ˆˆ H H He
, (2.40)
unde partea electronică este:
  
   

jii j j i j i ij e CC CCR Rt H
,0 0 0 0 
. (2.41)
) (j i ij RRt

0 0,j iRR

53
Dacă presupunem că lungimea legăturilor între atomul i și atomul j este una și aceeași , atunci
, și, alegând vectorii și ca fiind paraleli
(breathing mode ) în aproximația vecinilor apropiați , obținem forma nouă a hamiltonianului cu
componentele (2.39) și (2.4 1):
     
 
   


  
jii j j i j i
jii j j i j i
j ij iCC CCR R CC CCR R
R RR RH
, ,0 00 0
int 


, (2.42)
  
  

jii j j i e CC CC t H
,00 
. (2.43)
Vom introduce parametrul care descrie fluctuațiile lungimii legăturilor definit ca
și hamiltonianul (2.3 8), ținând cont de (2.42) și (2.4 3), devine:
    
 
   

 
jii j j i ij
jii j j i e CC CCy CC CC t H
, ,0  
. (2.44)
Adăugând energia de elasticitate la expresia (2.44), vom obține hamiltonianul total în
aproximația:


jiij e yKH H
,2
2ˆ
. (2.45)
unde K este constanta de elasticitate mediată după legătur i.
Putem scrie Hint folosind nu aproximația de mai sus , dar următoarea relație:

174
1)(1)(
sss
cqiB
miR 
,
unde  indică proiecțiile, iar qs sunt coordonatele normale ale fullerenului C60. În form ă
vectorială expresia se va scrie :

174
1)(1)(
sss
cqiB
miR  
,
unde Bs(i) sunt vectorii proprii a le matricei dinamice
),(ll K .

2.3. Modelul semiclasic și metoda numerică de evaluare a spectrului energetic

Revenim la hamiltonianul sistemului ( fullerenul C60) din formula (2.4 5)
2
,int0
2

jij i e R RKH H H 
. (2.46)
Substituind (2.4 4) în relația (2.4 6), se obține :
  2
, ,02 
   
jij i
jii j j i j i e R RKCC CCR R t H  
 
, (2.47)
ij
) (0 0 0
0 j i ij R Rtt

j i R R

0 0
j iR R

j i ij R R y


54
unde t0 este „energia cinetică ” necesară ca electronul de pe i să treacă pe atomul j, iar  este
constanta de interacțiune electron -vibrațional ă, 𝐶̂𝑖𝜎+ și 𝐶̂𝑗𝜎 sunt operatori i de generare și ,
respectiv , de anihilare a unui -electron de pe atomul i și de pe atomul j, respectiv, < i, j > indică
că suma se calculează după cei mai apropiați indici; sunt deplasările atomilor i și,
respectiv , j în direcția atomului j și, respectiv , i. Mărimea este schimbarea lungimii
legăturii între atomii i și j. Al doilea termen din (2.46 ) est e energia cinetică a sistemului ,
mărimea K fiind constant a de forță.
Modelul (2.4 7) este soluționat în aproximația adiabatică. Ecuația Schrödinger pentru -
electroni e ste


jik ij kk j ay t ia
,0 )( )(   
, (2.48)
unde
j i ij R R y

, (2.49)
iar este valoarea proprie a stării k, yij este variația legăturii.
Starea fundamentală
s a fullerenului se reprezintă astfel:

 s
, (2.50)
unde

60
1iiia 
. (2.51)
Scriem potențialul adiabatic în forma :

 
jiij ij s s yH yKH
,2
int )(2
. (2.52)
Calcul ăm derivata de la (2.5 2), , și aflăm punctul extrem . Obținem, ținând cont de
(2.42):
 ij
kk k s s y jaia H 
   )()( 2int
. (2.53 )
Ținând cont de (2.5 2), transformăm (2.5 3) și egalăm derivatele parțiale după variațiile
deplasărilor . Obținem:
0)()( 2  

kk k ij j aia Ky
, (2.54)
j iR R
,
j i R R

k
0)(
ijij
yyH

55



kk k ij j aiaKy )()(2. (2.55 )
Calculând suma de la (2.5 5), vom obține :


jiijy
,0
. (2.56)
Atunci ecuația self consistentă se reprezintă în următoarea formă :
 
 
nm kk k
kk k ij namaKNjaiaKy
,)()(2)()(2
 
 
, (2.57)
unde N este numărul de legături. P entru fullerenul C60 avem 90 de legături, adică N=90. Suma în
(2.57) se calculează după toate stările ocupate.
Algoritmul numeric de obținere a soluției ecuației (2.5 7) este următorul [9]:
1. Se generează numere aleatorii în intervalul
0 0y,y (y0=0.1Å) p entru valorile inițiale
ale variației lungimii legăturilor
0
ijy . Iterațiile programului încep din aceată stare .
2. La pasul k al iterațiilor, partea electronică a hamiltonianului este diagonalizată
rezolvând ecuația (2.4 8) pentru setul
k
ijy .
3. Folosind funcțiile de undă electronică obținute deja, calculăm următorul set
1k
ijy
.
4. Iterația se repetă până când suma devine neglijabil de mică (
1 ).
Utilizînd algoritmul descris mai sus, s -a rezolvat ecuația (2.4 8) cu parametrii 𝛼=3,15 𝑒𝑉
și constanta de forță 𝐾=24 𝑒𝑉/𝐴2 luată din fitarea problemei vibraționale inverse ( α și K fiind
de două ori mai mici decît în [ 97]). Au fost calculate deplas ările 𝑦𝑖𝑗 pentru molecula 𝐶60𝑛, unde n
este num ărul de electroni plasați pe starea LUMO, iar n=0, 1, …,6 . Au fost observate despicările
nivelelor energetice degenerate. Pentru molecula neutră (n=0) a fost studiat și spectrul excitonic
(un electron fiind deplasat de pe starea HOMO pe LUMO). En ergia de legătură Un pentru n
electroni plasați pe LUMO a fost calculată conform formulei:
𝑈𝑛=𝐸𝑛+1+𝐸𝑛−1−2∙𝐸𝑛, (2.58)
unde En este energia stării de bază pentru n electroni.
Dacă Un<0, atunci are loc atracția electronilor din cauza interacțiunii electron -vibraționale ; dacă
Un>0 are loc respingerea lor. Valorile calculate ale energiilor En și Un sunt următoarele:
E1 = -177.9509 eV; E2 = -176.1241 eV;
E3 = -173.9413 eV; E4 = -172.3471 eV;
E5 = -170.278 eV; E6 = -168.5964 eV.
)(iak


jik
ijk
ij y y
,21

56
𝑈2=𝐸3+𝐸1−2∙𝐸2=0.356 𝑒𝑉
𝑈3=𝐸4+𝐸2−2∙𝐸3=−0.5886 𝑒𝑉
𝑈4=𝐸5+𝐸3−2∙𝐸4=0.4748 𝑒𝑉
𝑈5=𝐸6+𝐸4−2∙𝐸5=−0.3873 𝑒𝑉
Astfel, pentru n = 3, 5 are loc împerecherea electronilor datorită interacțiunii electron –
vibraționale de atracție și, deci, va apare efectul de supraconductibilitate. Într -adevăr, este
cunoscut efectul de supraconductibilitate în sistemul K3C60, Rb3C60. Faptul că efectul de
supraconductibilitate în acest sistem este prioritar electron -vibrațional ne demonstrează
experiențele în care atomii de carbon sunt înlocuiți cu izitopii carbonului. Înlocuirea carbonului
cu izotopi schimbă temperatura critică Tc (Tc=18K) [26].
În continuare , este dezvoltată teoria aproximației adiabatice în reprezentarea cuan tică
secundară pentru oscilațiile moleculei . S-a obținut forma liniei de absorbție pentru ionul ,
care posedă o structură specifică datorită rezonanței electron -vibraționale , și s-a constatat că
lărgimea structurilor obținute în mare parte depinde de probabilitatea tranziției radiative spontană
intr-o secundă de pe nivelul final.

2.4. Influența rezonanței electron -vibraționale asupra liniei de absorbție în ionul de
fullerene 𝑪𝟔𝟎−𝟏

Începând cu cu noscut a lucrare a lui Pekar [34], inte racțiunea electron -vibrațional ă este
realizată în aproxima ție adiabatică, în care electronii localizați și slab legați joacă rolul
subsistemului rapid, iar oscilațiile moleculei îndeplinesc rolul subsistemului lent. Hamiltonianul
ionului de fulleren e este [11]
intH H HHe f
, (2.59)
unde
 
 174
121
 aa Hf
, (2.60)

 174
1int
 a av H
, (2.61)

 

i j j i
jij i
ccc ccjiljilB B v   ,,
211
,
. (2.62)
1
60C
1
60C

57
În formulele (2.5 9–2.62) este hamiltonianul electronic, este masa atomului de
carbon, sunt frecventele proprii, este constanta interacțiunii electron -vibrațional e, este
operatorul de creare a electronului , iar este operatorul de anihilare a electronului, denotă
numărul cuantic de spin ( ), sunt vectorii proprii a i matricei dinamice,
, unde sunt razele vecto are ale atomului și din moleculă.
Funcția de undă are următoarea formă:
  
nn aa rnaa aa r ,,,, , ,,,   
, (2.63)
unde este setul de operatori de generare și anihilare, reprezentând soluția ecuației
electronice a lui Schrödinger cu configurație fixată a subsistemei oscilatorie, în care operatorii
și sunt parametri, iar indică coordonatele electronilor:
  aa rnaaE aa rn av av r Hn e ,,,, , ,,,,*
,    


   
   
. (2.64 )
Funcțiile de undă (2.6 3) sunt ortogonale:
    mn aa rmaa rn ,,,, ,,,, 
, (2.65)
unde este simbolul Kronecker .
Substituim (2. 64) în ecuația Schrödinger cu hamiltonianul (2.5 9), înmulțind la stângă cu
și luând în considerație (2.6 3) și (2.6 5). Obținem ecuați a:
 0 , , , ,,,, 21 ,,,,            aa aaE aa aa rn aa aa rmm m
nn    

, (2.6 6)
unde este energia totală.
Transformăm (2.6 6) utilizând formulele [30]:

 aaafaaafaafa ,,,

, (2.67)



 aaafaaafaafa ,,,
, (2.68)
unde este orice funcție față de operatorii și .
Mai întâi, utilizând (2.67) și (2.6 8), vom modifica produsele de tip ul
aafaa , 
 .
Obține m:
eH
c


cˆ
cˆ

21

jiB
 , , ,i jR Rjil

),(jiR
i
j
aa,
a
a
r
mn
aa rm ,,,,

aaf,
a
a

58

 


 aaaaf aaaafaaaaaf
aaaafaafaa



  ,, , ,,2.
(2.69)
Substitui m în (2.6 9) funcțiile de undă în loc de , și, ca rezultat,
obținem:
       


 
nm m n mn m m aa aa L aa aa aa E , , , 21 ,, ,  
  
, (2.70)
unde .
Coeficienții din (2.70) reprezintă termeni i neadiabatici. Luând în considerație ,
ecuațiile (2. 70) sunt ecuații diferențiale legate prin funcțiile . Rezolvarea acestui sistem
întâlnește mari greutăți, dar sistemul (2. 70) mai poate fi simplificat. Vom analiza cazul când
funcția de undă a stării electronului m=s nu este degenerată. Ecuația electronică (2. 64) se rezolvă
prin metoda teoriei perturbațiilor. În calitate de perturbație va servi operatorul (2.61), care
corespunde c azului legăturii slabe. În aproxim ația zero soluția ecuației date se va obține în modul
următor:
   ,, ,,, rsE rsr Hs e 
. (2.71)
Corecți a la energie în prima aproximație după este
       
         a rsVrs a rsVrs rsrHrs aaEe s ,, ,, ,, ,, ,, ,, ,*
,    
. (2.72)
Funcția de undă în prima aproximați e a teoriei perturbațiilor este
,,,, ,, ,, ,,,, ,,,,*
rpE Ea rsvrs a rsvrprs aa rs
sp p s    







      
(2.73)
unde sunt soluțiile ecuației (2. 71).
Pentru calcularea soluției expresiei (2.70) vom lua (2.73) în calitate de funcție de undă
, iar în calitate de se va considera funcția de undă a aproximației
zero . Atunci obținem:




 
   
  
m nmnE Ea rnvrm a rnvrmL,, ,, ,, ,,
,   

. (2.74)
aa rn ,,,,
aaf,









 
 




 
 
    

aaa rnaaa rmaaa rn
aaa rm aa rn
aaaa rm
Lmn
,,,, ,,,,,,,, ,,,, ,,,, ,,,,2
,    

,mnL
,mnL
aan,
intH
sE
intH
rp,
aa rn ,,,,
aa rm ,,,,
rm,

59
Dacă , atunci termenii neadiabatici sunt mici și pot fi considerați egali cu zero .
Astfel n eglijând în (2. 70) coeficienții și luând m=s, obținem:
aa aa aa aaEs s s s , , 21 ,, ,   


  
   
. (2.75)
Ecuația (2. 71) este ecuația Schrödinger . Pentru oscilator ul în câmpul potențialului
adiabatic vom lua în calitate de expresia (2.7 2) și vom omite în continuare variabila
în funcțiile de undă . Atunci se obține:
 
,21~~21 , , , ,
*
, , ,,
  
    
 

       
  
aa s s Eaa asvs asvs E
SS
 
(2.76)
unde , , .
Valorile proprii și funcțiile proprii ale ecuației (2.7 5), luând in considerație (2.7 6), se vor
scrie astfel :
    

      21~ *
, , , , n s s ES S  
, (2.77)
ns~
, (2.78)
unde este numărul de ocupare a stării , iar înseamnă produsul funcțiilor de undă.
Astfel, funcția de undă în aproximația adiabatică are forma:
 n snS~,,~,
. (2.79)
Pentru următoarea aplicare introducem hamiltonianul cu variabile separate, pentru care
energia (2.7 7) și funcția de undă (2.7 9) vor fi valoarea proprie și funcția proprie. Cu acest scop
vom prezent a hamiltonianul în tr-o formă similar ă expresiei (2.59):
int~ ~ ~ ~H H H HL e
, (2.80)
unde
   


   s s s v H H He e e  ˆ~ ~
,
,
 21~~ ~
, ,
,  
 aa Hf
,
       
 .~ ~~~ ~ ~
int

 

    
av avas v as v H  

m nE E
,mnL
aa Es ,,

r



, ,
,svss
a a~
a a~
n~
{…}

60
Hamiltonianul este hamiltonianul renormat cercetat .
Pentru a determina forma liniei în aproximația de rezonanță pentru , vom analiza
tranziția din starea orbitală nedegenerată a stării adiabatice . Să considerăm că starea
electronică nedegenerată excitată este , fiind separată de subnivelul apropiat
(vezi Figura 2.3). În continuare vom omite numărul de spin din funcția de undă.

Fig.2.3. O parte a structurii energetice de model a fullerenului și .

Form -funcția bandei de absorb ție a luminii de frecvența pentru tranziția electronică dată
are forma [9]:
   
0ˆˆ exp Re1dttM Mtti F 
, (2.81)
unde constanta ține cont de lărgirea liniilor datori tă interacțiunii cu câmpul electromagnetic.
este operatorul electronic ( operatorul momentului electric dipolar ):
  iHt M iHt tM   expˆ expˆ
. (2.82)
În formula (2.8 2) hamilt onianul are următoarea formă (2. 80):
int 0 int~ ~ ~ ~ ~~H H H H H Hf e 
, (2.83)
unde este op eratorul interacțiunii electron -vibrațional e, care este determinat din (2.80). În
continuare nu vom scrie simbolul ”~” deasupra operatorilor și . În (2. 81)
înseamnă medierea termică:
L eH H H~ ~ ~
0
1
60C
uA i1
gA f2
gE r1
hIC60
dDC51
60


Mˆ
int~H
int~H
0~H
…..

LUMO

HOMO

61

kTH kTHSpe eSp  …) ( …… (2.84)
Să transformăm operatorii exponențiali din (2.8 2) cu ajutorul formulei:
tUtiH iHt  0 exp exp
, (2.85)
unde
    


t
n ntn
ndtdttHtHTnitU
01 int 1 int00… … …!1

(2.86)
este operatorul evoluției în reprezentarea interacțiunii, este simbolul de ordonare
anticronologică.
Pentru calcul ul șpurului în (2. 81) este comod de a utiliza funcțiile proprii a le
hamiltonianului : . Deci, după soluționarea ecuației pentru valori le proprii,
operatorul se va reprezenta prin proiectori în felul următor:
iiE H
ii0
. (2.87)
Utilizând proprietatea caracterului complet al funcțiilor proprii, care satisfac ecuația
Schrödinger și relați ei (2.85), precum și din definiția șpurului, formula (2. 81) se va aduce la
următoarea form ă:
      
00 0 expˆ expˆ exp Re1dtitUtiH MtU tiH MittiZFL  
, (2.88)
unde Z este suma statistică, care se determină din formula:
  
iikTH i Z exp
. (2.89)
Dacă, după cum a fost menționat , ne vom limita doar la starea electronică inițială izolată, atunci
pentru calcul ul șpurului este comod de a lua funcțiile de undă electron -vibrațional e
n ii
, (2.90)
unde este funcția proprie a hamiltonianului electronic , care se transformă conform
reprezentării ireductibile a grupului de simetrie pentru ionul de fullerene , 𝑛ᵡ este numărul de
ocupare a stării, unde înseamnă produsul funcțiilor de undă .
Să remarcăm că, conform notației (2.80), operatorul satisface următoarea relație:
0inti iH
. (2.91)
În virtutea acestei relații , precum și neglijând amestecul stării inițiale izolate cu alte st ări
prin interacțiunea electron -vibrațional ă în (2.8 8), putem scrie . În aceiași aprox imație
în (2.8 9) vom avea .
T
0H
fE fHf o
0H
i
eH
dD5
{…}
intH
 iitU
0HH

62
Trecând la reprezentările grupului de simetrie a moleculei, modificăm (2.8 8) în următoarea
formă:
  
   
ifffidt tU e M F
Lff fftt i
ff ii
  02
Re ˆ1
, (2.92)
unde și sunt reprezentările ireductibile după care se transformă stările electronice a le
ionului de fullerene pentru starea inițială și , corespunzător, cea finală, desemnează coloana
reprezentării, . Medierea în (2.9 2) să referă numai la subsistemul fononic.
La interacțiunea electron -vibrațional ă slabe și în lipsa rezonanței electron -vibrațional e,
factorul din formula (2.9 2) contribuie la deplasarea acestei frecvențe. Efectul respectiv
poate fi inclus schimbând frecvența Fran ck-Condon cu frecvența tranziției fără participarea
vibrațiilor . În afar ă de acest efect, în prezența rezonanței electron -vibrațional e, în elementul
matricei operatorului (2.8 6) apar termeni care conțin numitori de tipul , unde este
frecvența oscilației normale.
Să notăm cu partea rezonantă a elementului de matrice . Luând în
considerație oper atorul de interacțiune electron -vibrațional ă (2.39) în forma
 
 av av Hint
, (2.93)
se poate obțin e ecuația integro -diferențială pentru . De fapt, din definiția (2.8 6) operatorul de
evoluție este
      
  …11
1 1 1 102 2 2 2
',0 02 1 2 1 1 1 11
      
   
tatvtatvtatv tatvdt dt dttatvtatvitUt t t
  
  
(2.94)
La medierea după stările vibraționale cu utilizarea teoremei stati stice a lui Wick –Bloch –
Dominicis , toți termenii impari din (2.9 4) dispar. La calculul restului elementelor de matrice , noi
vom păstra numai acele a care conțin în toate ordine le teori ei perturbației puterea maximală a
numitorilor rezonanți de tipul . Aceasta aproximație se numește aproximație rezonantă.
Astfel obținem:
i
f
fi
i f fi E E
f…
f…
fr


fU~

fff ff tU  

fU~
fr

63

  
  … exp exp1exp11~
4 3 2 1 4 3' 2 12
02
4
03
02
01 22 1 2 12
02
01 2
3 2 11
   
 

tt tt tt i tt iv v dtdtdtdttt tti v dtdt tU
fr frff rrt
ff rrt t trft
ff rrt
f
rr rrrr
 


 
 (2.95)
unde
  ti nti n t         exp exp1
, (2.96)
faa n
. (2.97)
Dacă diferenț iem după , atunci obținem ecuația integro -diferențială pentru :
  2 2 1022
2~exp 11~
tUtt i dt n vdttUd
f frt
ff rrf
rr

     
   
. (2.98)
Ecuația (2.9 8) se referă la cazul . La trebuie să schimbăm cu și
cu . De aceea, la temperaturile joase rezonanța cu subnivele electronice aflate
mai sus nu apare.
Luând în vedere condiția inițială , ecuația (2.9 8) se rezolvă cu ajutorul
transformării Laplace:
   
0exp~ ~dtPt tU PUf f
. (2.99)
Soluția obținuta pentru T=0 K are forma:
12
21 ~





 

rr frrr ff
fiPv
P PU
, (2.100)
unde , .
Revenind la formula (2.9 2) și ținând cont de (2.9 9), obținem următoarea formulă:
 PU M Ff ff ii
f ~Re ˆ12

, (2.101)
unde

 



 
 

rr fr firr ff
fif
iv
iPU2
211 ~
 (2.10 2)
Form -funcția (2. 101), care se referă la această linie nefononică, are form a:
t

fU~
0fr
0fr
1n
n
fr
fr
10~
fU
r f
frE E
fi i P 

64


  4ˆ
21 ~
222
, 
fiff iiM F
f, (2.10 3)
unde
 





 
 

rr fr firr ffv
2 22
21
 , (2.10 4)
 
 
 

  
  
rr fr fifr fi rr ffv
2 22
21

. (2.10 5)
Următoarea transformare a formulelor (2.10 4) și (2.10 5) se obține dacă clasificăm operatorii
ai interacțiunii electron -vibrațional e (2.80) după reprezentările ireductibile ale grupei a
ionului de fullerene .
Pentru determinarea frecvențelor oscilațiilor proprii ale fullerenului cu simetria
este necesar de a diagon aliza matricea dinamică. Având în vedere că lungimea legăturilor dintre
atomii de carbon în variază puțin , fiind (lungimea legăturilor în este ),
atunci putem presupune că și frecvențele proprii a le ionului se vor modifica puțin în
comparație cu frecvențele moleculei . Folosind regula de reducere a simetriei la ,
putem determina simetriile oscilațiilor proprii a le ionului . Regula de reducere este [11, 78,
Tabela 4.15 , p.99]

Deoarece în (2.10 4) și (2.10 5) trebuie să calculăm elementul de matrice , atunci
elementele de matrice nenule , la care aduc contribuție oscilațiile , sunt determinate de produsul
v

dD5
1
60C
1
60C
dD5
1
60C

A02,0~
60C

A4,1~
1
60C
60C
hI
dD5
1
60C
g g A A1
g g g E A T1 2 1
g g g E A T2 2 3
g g g E A G2 2
g g g g E E A H2 1 1
u u A A1
u u u E A T1 2 1
u u u E A T2 2 3
u u u E E G2 1
u u u u E E A H2 1 1
g gE A1 2…

65
direct . Astfel, trebuie de determinat frecvențele de simetria . Reprezentarea
vibrațională reductibil ă a fullerenului este [ 39, pp. 38 -40]:
Γ𝑣𝑖𝑏𝐶60−1
=2𝐴𝑔+3𝑇1𝑔+4𝑇3𝑔+6𝐺𝑔+8𝐻𝑔+𝐴𝑢+4𝑇1𝑢+5𝑇3𝑢+6𝐺𝑢+7𝐻𝑢 .
Utilizând regula de reducere vom obține reprezentarea vibrațională pentru fullerenul :

g g g g g g g g gC
vib E A E E E A E A A1 2 2 1 2 2 1 2 1 8 8 6 6 4 4 3 3 21
60

u u u u u u u u u u g E E A E E E A E A A E2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 7 7 7 6 6 5 5 4 4 8 

sau
u u u u g g g gC
vib E E A A E E A A2 1 2 1 2 1 2 1 18 17 16 18 17 15 21
60
.
Analizând datele experimentale [26] pentru fullerenul neutru, p ot fi scrise 18 frecvențe
aproximative a le oscilațiilor cu simetria pentru ionul de fullerene :

Pentru obținerea funcțiilor proprii și valorilor proprii de energie a le ionului a fost efectuată
diagonalizarea hamiltonianului (2.80) și s-au obținut următoarele valori ale energiilor proprii
(vezi Tabelul 2. 1).

Tabelul 2. 1. Nivelele energetice ale ionului de fullerene ()
Nivelele energetice, eV
4.8498 4.8340 4.8335
4.7370 4.7370 4.7307
4.7305 3.6955 3.6955
3.6943 3.6943 3.0348
3.0133 3.0133 2.9766
2.9764 2.4396 2.4380
2.3744 2.2121 2.2118
2.1797 2.1708 2.1708
1.6044 1.5273 1.5273
1.1752 1.1752 1.0417
-1.4027 -1.5616 -1.5638
-1.5699 -1.5700 -1.8945
g g g E E A2 1 2
gE2
60C
1
60C
gE2
. 1596, 1544, 1345, 1330, 1214, 1189,961,764,541,485, 1576, 1425, 1252, 1102,995,709,431,2731cmg
1
60C
1
60C
eV

66
-1.8946 -1.9390 -1.9399
-1.9558 -2.2057 -2.2057
-2.2569 -2.2584 -2.9683
-2.9689 -2.9919 -3.2493
-3.2501 -3.2832 -3.2832
-4.1781 -4.1781 -4.1965
-4.1966 -4.2011 -4.9759
-4.9759 -4.9794 -5.4000

Nivelelor de energie , , le corespunde următoarele valori: ,
, , respectiv, iar în formulele (2.1 04) și (2.10 5) . Luând în
considerație că constanta de interacțiune electron -vibrațional ă [9] și folosind
funcțiile proprii, a fost estimat pătratul elementelor de matrice din aceste re lații. În rezultatul
estimării am obținut valoare a , unde s reprezintă numărul
de atomi în molecula de fullerene . Forma liniei de absorbție (2.10 3) în dependență de parametrul
, care este frecvența tranziției radiative spontan e de pe nivelul final [11], este prezentată în
Figurile 2. 4-2.7.

Fig.2.4. Forma liniei Fig.2.5. Forma liniei
în dependenț ă de . în dependenț ă de .

uA1
gE1
gA2
eV 4027.1
eV 5273.1
eV 6044.1
1560 cmfr
eV15.3
162
2108
31 1
 cmsv
rrrr ff
 

250 500 750 1000 1250 15000.511.52
250 500 750 1000 1250 15000.20.40.60.8
F
F
ri
1
ri
4Ω Ω

67

Fig.2.6. Forma liniei Fig.2. 7.Forma liniei
în dependenț ă de . în dependenț ă de .
Din aceste figuri se observă structura generată a vibrațiilor care intră în rezonanță cu
nivelul electronic de energie . În afară de aceasta, se observă lărgire a structurilor în
dependență de parametrul . Pentru valorile mari ale lui , forma liniei devin e de tip
Lorentzian. Această dependență permite de a estima valorile lui , dacă se cunoaște forma
experimentală a liniei de absorbție.

2.5.Elaborarea a lgoritmul ui de obținere a deplasărilor simetrizate in sistemele simetrice
complexe prin reducerea la problema vectorilor proprii și compararea cu rezultatele
experimentale pentru fullerene

În probleme aplicative o importanță deosebită capătă clasificarea vibrației moleculei
conform teoriei grupurilor. Acesta permite de a revizui simetria oscilației sau paritatea oscilației
la acționarea cu operatorul de refle xie vis -a-vis de o anumită suprafață. Pentru sistemele cu un
grad înalt de libertate această problemă devine anevoioasă. La abordarea clasică a problemei,
descrisă în [ 32, 39], algoritmul se supune greu automatizării pentru realizarea modelării pe
calculator, deoarece acest algoritm a fost alcătuit pentru rezolvarea manuală , care lucrează cu un
șir de combinații liniare ale vectorilor de deplasare, dar nu cu un vector concret . Dacă matric ele
operatorilor în spațiu l unei an umite reprezentări ireductibile sunt necunoscute , atunci trebuie de
soluționat problem a determinării bazei reprezentării ireductibile. Această problemă poate fi
ocoli tă prin metoda dezvoltată în acest paragraf al tezei [ 1]. Algoritmul determinării
coordonatelor normale cu ajutorul aparatului teoriei grupurilor a fost aplicat moleculei de
250 500 750 1000 1250 15000.10.20.30.40.5
250 500 750 1000 1250 15000.20.40.60.8
F
F
ri
11
ri
22
gA2


Ω Ω

68
fullerene , ca o moleculă cu un număr mare de grade de libertate și cu o simetrie înaltă, atipică
pentru fizica corpului solid.

2.5.1. Modelul teoretic și algoritmul de calcul dezvolt at

Să cercetăm molecula formată din 𝑁 atomi. Vom fixa originea sistemului cartezian de
coordonate în centrul de masă al moleculei. Poziția atomului i se descrie prin raza vectoare:
𝑟⃗𝑖(𝑡)=𝑟⃗𝑖0+𝑠⃗𝑖(𝑡), 𝑖=1,2,…,𝑁, (2.106 )
unde 𝑟⃗𝑖0 este poziția atomului i în molecula neexcitată, 𝑠⃗𝑖 este vectorul deplasării atomului 𝑖 din
poziția inițială. Atunci energia sistemului poate fi reprezentată:
𝐻(𝑠⃗1,𝑠⃗2,…,𝑠⃗𝑁,𝑠⃗1̇,𝑠⃗2̇,…,𝑠⃗𝑁̇)=𝑇(𝑠⃗1̇,𝑠⃗2̇,…,𝑠⃗𝑁̇)+𝑈(𝑠⃗1,𝑠⃗2,…,𝑠⃗𝑁). (2.107 )
Energia cinetică depinde de pătratul vitezelor, iar funcția energiei potențiale are formă
pătratică, deoarece oscilațiile normale ale moleculei sunt armonice. Fiecar ui atom i se asoci ază o
bază locală ortonormată {𝑒⃗1(𝑖),𝑒⃗2(𝑖),𝑒⃗3(𝑖)}.
Starea sistemului se descrie totalmente prin 3𝑁 coordonate 𝑠𝛼(𝑖) în spațiu l euclidian ℝ3𝑁,
unde 𝑠𝛼(𝑖) este proiecția deplasării atomului 𝑖 pe axa 𝛼 a bazei locale . Vectorul în acest spațiu este
definit de următoarea expresie:
𝑥⃗=(𝑠1(1),𝑠2(1),𝑠3(1),𝑠1(2),𝑠2(2),𝑠3(2),…,𝑠1(𝑁),𝑠2(𝑁),𝑠3(𝑁)) . (2.10 8)
Această reprezentare se numește reprezentare mecanică.
În total există 3𝑁−6 oscilați normale a molecule i (3𝑁−5 pentru moleculele liniare) .
Vectorul 𝑥⃗ poate fi descompus pe 3𝑁 coordonate normale, din care 3 corespund translației și 3 –
rotației. Dacă impulsul total și momentul total al moleculei sunt nule, atunci 𝑥⃗ poate fi reprezentat
în forma:
𝑥⃗=∑ 𝑄𝑗𝑒⃗𝑗sin(𝜔𝑗𝑡+𝛼𝑗) 3𝑁−6
𝑗=1 (2.109)

unde 𝑄𝑗 – coordonată normală 𝑗, 𝜔𝑗 – este frecvența ciclică a oscilației 𝑗, {𝑒⃗𝑗} formează o bază
nouă ortonormată pentru coordonate normale.
Dacă frecvențele 𝜔𝑖≠𝜔𝑗 pentru 𝑖≠𝑗, atunci vectorii vor fi ortogonali: e⃗⃗𝑖⊥e⃗⃗𝑗. Dacă
frecvențele coincid, atunci vectorii de bază care îi corespund sunt determina ți cu exactitatea
combinației liniar e vectorilor corespunzători . De aceea, întotdeauna putem cere îndeplinirea

69
condiției de ortonormare a vectorilor bazei . Această reprezentare se numește reprezentare
vibrațională.
În continuare este cercetată problema stabilirii și clasificării după simetrie a oscilațiilor
normale, adică a vectorilor 𝑒⃗𝑗 cu ajutorul teoriei grupurilor. Fie dat grupul punctiform de simetrie
a moleculei 𝐺, 𝑔∈𝐺, |𝐺|=𝑚. Prin Γ𝑣𝑖𝑏 vom nota reprezentarea vibrațională a grupului cu
dimensiunea 3𝑁−6, prin Γ𝑚𝑒𝑐 – reprezentarea mecanică a grupului, care include în sine translația
și rotația moleculei în întregime. Γ𝑚𝑒𝑐, Γ𝑣𝑖𝑏 sunt reductibile și pot fi descompuse în reprezentări
ireductibile Γ𝑖′. Descompunerea reprezentării reductibile în reprezentări ireductibile se efectuează
conform procedurii standarde descrise în [39, pp. 38-40] Reprezentarea ireductibilă a căre i bază
este translarea după axe, este reprezentarea tridimensională antisimetrică 𝑇𝑢, iar reprezentarea
ireductibilă cu bază de rotație este reprezentarea tridimensională simetrică 𝑇𝑔 (sau bidimensională
simetrică pentru molecule liniare 𝐵𝑔). Notăm prin 𝑇̂(𝑔) operatorul elementului 𝑔 în reprezentarea
mecanică , 𝐷𝛼β(𝑖)(𝑔) este matricea elementului în reprezentare ireductibilă 𝑖, 𝑇𝑟 𝐷𝛼β(𝑖)(𝑔)≡𝜒𝑖(𝑔)
reprezintă caracterul elementului 𝑔 în reprezentarea 𝑖, 𝑙𝑖 notează dimensiunea reprezent ării.
Proiectorii pe subspațiul invariant al reprezentării ireductibile sunt definiți după următoarea
formul ă [39, pp. 82 -84]:
𝑃̂𝛼𝛽(𝑖)=√𝑙𝑖
𝑚∑𝐷̅𝛼β(𝑖)(𝑔)
𝑔∈𝐺𝑇̂(𝑔), (2.110 )
unde 𝐷̅𝛼β(𝑖)(𝑔) este element ul complex conjugat elementului 𝐷𝛼β(𝑖)(𝑔).
Algoritmul clasic:
Vom cerceta algoritmul clasic de determinare a coordonatelor normale, descris în [ 39]:
1. Se efectuează reprezentarea mecanică ireductibilă.
2. Se compun deplasările simetrice și antisimetrice.
3. Acționând cu operatorii reprezentării mecanice asupra vectorilor deplasărilor se obține
lanțul vectorilor.
4. Se alcătuiesc operatorii proiectorilor reprezentărilor ireductibile cu ajutorul elementelor
matricei operatorilor în această reprezentare.
5. Acționând cu proiectorii asupra unui a dintre ve ctorii fiecărui lanț este obținut setul de
vectori de bază.
6. Se găsește combinația liniară de vectori de bază, obținuți pentru proiectori i de o anumită
reprezentare ireductibilă, care va fi vectorul oscilației normale.

70
Descompunerea reprezentării pe repre zentările ireductibile nu este obligatorie. Cunoașterea
faptului de câte ori reprezentarea ireductibilă se conține în cea mecanică permite excluderea din
calcule a acelor acțiuni ale operatorilor pe diferite deplasări , care nu aduc informație nouă despre
subspațiul invariant. Compunerea deplasărilor simetrice și antisimetrice la fel nu este necesară, dar
permite în locul întregului grup de simetrie să fie vizat doar grupul de rotații fără inversii
(imaginea în oglindă). Stabilirea lanțurilor de vectori nu este obligatorie , dar permite de a nu
efectua calcule suplimentare . În continuare se stabilesc proiectorii în baza formulei (2.1 10) și se
acționează asupra oricărui vector a fiecărui lanț. Aflarea tuturor proiectorilor nu este necesară ,
deoarece număru l total de vectori independenți este egal cu produsul dintre dimensiunea
reprezentării și numărul de apariții de la reprezentarea mecanică. Acționând cu setul de operatori
pentru tipul concret de reprezentare ire reductbilă, se obține baza invariantă a spaț iului an samblului
tuturor reprezentărilor ireductibile de acest tip. În continuare se găsește o altă bază a acestui
subspațiu în așa fel , încât fiecare vector din această bază să corespundă oscilației normale a
sistemului de atomi. Acest pas este efectuat fie intuitiv pentru cazuri triviale de dimensiuni mici,
fie diagonaliz ând hamiltonianul format din coordonatele unuia din spații. Metoda, în care sunt
excluși unii din pașii indicați , este descrisă în [ 32]. Metoda dată a fost elaborată pentru micșorarea
numărului de calcule anevoioase pentru om. Odată cu dezvoltarea tehnicii de calcul , a devenit
posibil de exclus etapa de creare a vectorilor simetrici și antisimetrici de deplasare cu scopul de a
micșora numărul de elemente din grup ul utilizat în calcule . Pentru crearea proiectorului se folosesc
caractere în loc de matric e în reprezentări ireductibile, ceea ce permite utilizarea metodei în cazul
lipsei unei asemenea reprezentări.
Metoda de calcul ameliorată [1]
Algoritmul metodei ameliorate se prezint ă în modul următor:
1. Se construiește câte un proiector pentru fiecare tip a reprezentări i ireductibile după formula
(2.11 0).
2. Se găsesc vectorii proprii cu valori proprii nenule, care vor servi bază a subspațiului
invariant al proiectorului.
3. Se obține combinația liniară a vectorilor d e bază obținuți pentru proiectorul unei
reprezentări ireductibile concrete, care va fi vectorul oscilației normale.
Să luăm în considerare un număr de N atomi, m fiind numărul de elemente din grup, iar γ
este numărul de p roiectori. Complexitatea computațională al calculării unui operator este 𝑂(𝑚𝑁2),
iar primul pas constituie 𝑂(𝛾𝑚𝑁2). Cea de -a doua etapă soluționează problema vectorilor proprii
pentru fiecare proiector. Complexitatea problemei determinării vectorului pr opriu are forma
𝑂(𝑁𝜔), unde ω este o constantă aproximativ egală cu 3 în dependență de metoda de diagonalizare

71
a matricilor . Prin urmare, complexitatea întregului pas 2 al algoritmului este 𝑂(𝛾𝑁3).
Complexitatea pasului trei este proporțională cu complexitatea funcției potențial ului de
interacțiune între atomi , cu complexitatea algoritmului determinării vectorilor proprii .
La pasul 1 s ă construim proiectorul 𝑃̂(𝑖) sumând proiectorii 𝑃̂𝛼𝛼(𝑖) după toate 𝛼 [23, p.79]:
𝑃̂(𝑖)=∑𝑃̂𝛼𝛼(𝑖)
𝛼=∑√𝑙𝑖
𝑚∑𝐷̅𝛼𝛼(𝑖)(𝑔)
𝑔∈𝐺𝑇̂(𝑔)
𝛼=√𝑙𝑖
𝑚∑(∑𝐷̅𝛼𝛼(𝑖)(𝑔)
𝛼)𝑇̂(𝑔)
𝑔∈𝐺
=√𝑙𝑖
𝑚∑𝜒̅𝑖(𝑔)𝑇̂(𝑔)
𝑔∈𝐺
(2.11 1))
Alegem baza spațiului 𝐿 astfel , încâ t o parte din vectori să formeze baza subspațiului proiectorului
𝑃̂(𝑖). Atunci orice vector al spațiului poate fi descompus în suma vectorială:
𝑥̅=∑𝑥𝑗𝑒̅𝑗(𝑥)
𝑗+∑𝑦𝑘𝑒̅𝑘(𝑦)
𝑘 (2.11 2))
unde 𝑒̅𝑘(𝑦) este vectorul d e bază în subspațiu, iar 𝑒̅𝑗(𝑥) este vector ul de bază complement ar
ortogonal. Indicele k parcurge toate proiecțiile în subsțaiul invariant, iar indicele j parcurge toate
proiecțiile în afara de subspațiul invariant. Vom acționa asupra vectorului cu p roiectorul, luând în
considerație că elementul trebuie să se afle în tr-un subspațiu invariant:
𝑃̂(𝑖)𝑥̅=∑𝑥𝑗𝑃̂(𝑖)𝑒̅𝑗(𝑥)
𝑗 +∑𝑦𝑘𝑃̂(𝑖)𝑒̅𝑘(𝑦)
𝑘 =∑𝑦𝑘𝑃̂(𝑖)𝑒̅𝑘(𝑦)
𝑘 =∑𝑦𝑘′𝑒̅𝑘(𝑦)
𝑘 . (2.11 3)
Vom înlocui 𝑥̅ cu orice vector propriu a l proiectorului cu valorile proprii 𝜆 și-l vom compara
cu (2.11 3):
𝑃̂(𝑖)𝑥̅=𝜆𝑥̅=∑𝑦𝑘′𝑒̅𝑘(𝑦)
𝑘 . (2.11 4)
Dacă vectorul propriu se află în afara subspațiului, atunci este imposibilă prezentarea lui sub
formă de combinație liniară a vectorilor d e bază în subspațiu, de aceea valoarea sa proprie este
egală cu zero. Deoarece vectorii proprii trebuie să formeze o bază a spațiu lui, numărul de vectori
proprii aflați în subspațiu trebuie să coincidă cu dimensiunea subspațiului. Din proprietățile
proiectorului 𝑃̂(𝑖)𝑥̅=𝑥̅, pentru orice 𝑥̅ din subspațiu , rezultă că valorile proprii ale vectorilor
proprii care se află în subspațiu trebuie să fie egal e cu 1. De aceea, pentru a obține o bază de
reprezentare ireductibilă de tipul dat, este suficient de selectat vectorii proprii cu valoarea proprie
egală cu 1 . Oscilațiile normale ale sistemului, care aparține unei anumite reprezentări ireductibile,
se obțin prin reduce rea energiei potențiale la suma pătratelor coordonatelor vectorului subspațiului
invariant. Degenerarea frecvenței de oscilații este egală cu dimensiunea reprezentării ireductibile.
Deoarece vibrațiile normale sunt ortogonale, ele pot fi folosite pentru a construi o bază
ortonormală a reprezentării ireductibile pentru a obține matricele elementelor de grup.

72

2.5.2. Rezultate le calculului pentru molecula de fullerene

Molecula de fullerene 𝐶60 posedă simetria icosaedrului ( vezi Figura 2. 8 (а)), iar însuși
fullerenul reprezintă un icosaedru cu vârfurile teșite ( vezi Figura 2. 8 (b)). Există 60 de operatori
diferiți de rotație, acțiunea cărora transformă icosaedru l în sine. Fiecărui operator de rotație i se
poate pune în corespondență operator ul de reflexie care păstrează simetria icosaedrului.

(a) (b)
Fig.2. 8. Icosaedru (a) și icosaedru trunchiat (b).

Cu ajutorul coordonatelor vârfurilor se poate construi reprezentarea tridimensională a
grupului de rotație, baza căruia coincide cu baza sistemului cartezian de coordonate (𝑥,𝑦,𝑧). Acest
proces constă din două etape. Prima etapă reprezintă stabilirea a 12 rotații ale icosaedrului, care
translează unul din cele 12 vârfuri ale icosaedrului într -un vârf prestabilit (de exemplu , în punctul
2 din Figura 2. 8 (a)), pentru care însuși icosaedru l se transformă singur în sine fără modificarea
orientă rii în sistemul de coordonate. Aceste rotații se găsesc într -un mod simplu din considerente
geometrice. Al doilea pas este de a aplica operatorul de rotație în jurul unei axe care trece prin
vârful selectat la prima etapă (în exemplul nostru, axa trece pri n nodurile 1, 2 din Figura 2.8. (a) ),
pentru fiecare operator utilizat la etapa dată. Astfel, aplicând 5 operatori de rotație în jurul axei cu
2𝜋
5𝑖, unde 𝑖=0,1,2,3,4, fiecăr ei din prim ele 12 vârfuri , vom obține toți cei 60 operatori de
rotație. Pent ru a obține grup ul complet, care ar conține și reflexia, fiecare din cei 60 de operatori de

73
rotație se multiplică cu operatorul de reflexie (inversie) față de unul din planurile de reflexie (de
exemplu, în Figura 2. 8 (a) se poate alege planul (x,z), ceea c e este echivalent operatorului 𝑦→
−𝑦).
Pentru stabilirea reprezentării mecanice a grupului, fiecare atom de fullerene (adică vârful
icosaedrului teșit) trebuie asociat cu o bază locală, pe vectorii căreia va fi descompus vectorul de
deplasare , așa cum este prezentat în Figura 2.9 . Se poate alege orice bază ortonormată, de
exemplu, care ar coincide cu axele x,y,z. Pentru comoditate, unuia din atomi i s-a atribuit
următoarea bază: primul vector coincide cu raza vectoare a atomului , al doilea vector se ale ge
perpendicular primului, astfel încât să fie coplanar cu muchia formată de două fețe hexagonale , al
treilea vector se determină ca produs vectorial al primilor doi vectori, ceea ce automat îi asigură
ortogonalitatea în raport cu primii doi vectori. Un as tfel de triplet ordonat de vectori formează o
bază de dreapta, adică produsul mixt al acestor vectori este mai mare decât zero. Prin rotirea
acestui atom cu operatorii de rotație, putem obține baza locală pentru orice alt atom.

Fig.2. 9. Formarea bazelor locale ale deplasărilor atomilor moleculei de fullerene .

Pentru a obține reprezentarea mecanică a operatorilor, operatorul elementului 𝑔𝑖 se prezintă
ca o matrice 𝐴(𝑖) din 60×60=3600 blocuri 𝐵𝑙𝑚(𝑖), unde fiecare bloc este o matrice 3 x3. Adică ,
dimensiunea matricei operatorului elementului 𝑔𝑖 coincide cu numărul de grade de libertate ale

74
fullerenului și conține 32400 de elemente. Dacă operatorul i transfer ă atomul m în l, atunci
matricea 𝐵𝑙𝑚(𝑖) este o matrice unitară care transformă baza atomului m în baza atomului l. Dacă
operatorul nu transformă atomul m în atomul l, atunci matricea 𝐵𝑙𝑚(𝑖) este nulă. Evident că doar un
singur bloc este nenul în fiecare coloană și în fiecare rând al matricei 𝐴(𝑖), deoarece fiecare atom se
transfromă doar în tr-un alt atom. Reprezentarea mecanică a moleculei de fullerene poate fi
descompusă în reprezentări ireductibile (2.20) [39, pp. 38-40].
Reprezentarea oscilatorul ui conține toate reprezentările ireductibile, cu excepția
reprezentări lor tridimensionale care corespund translării (𝑇1𝑢) și rotați ei (𝑇1𝑔). Cunoscând
reprezentarea mecanică nu este complicat de a crea proiectorii după formula (2.11 4) și de a găsi
vectorii lor proprii, care reprezintă o bază a subspațiului său invariant. Formând funcția energiei
potențiale de la coordonate în această bază a subspațiului, nu este greu de stabilit asemenea
combinații liniare ale acestor vectori care ar fi coordonate n ormale. Descompunem energia
potentială în seria Taylor pînă la derivata doi în jurul punctului cu starea neperturbată. Putem alege
energia potentială astfel ca termenul zero să fie nul, iar suma termenelor cu derivata întîi să fie
egală cu zero, deoarece energia potențială este minimală în starea neperturbată. Atunci energia
potențială va avea forma 𝑈=∑𝑎𝑖𝑗𝑥𝑖𝑥𝑗 𝑖,𝑗 . Diagonalizâ nd matricea |𝑎𝑖𝑗|, vom obține vectorii
proprii care coincid cu vectorii oscilațiilor normale, ce reiese din sensul procedur ii de
diagonalizare a matrice i, deoarece matricea obținută va avea valori nenule doar pe diagonală care
corespund termenului 𝑎𝑖𝑖′𝑥𝑖′2. Substituind vectorii obținuți ai oscilațiilor normale în funcția energiei
potențiale , din ecuația Lagrange vom avea:
𝑚𝑥̈𝑖′+𝑎𝑖𝑖′𝑥𝑖′=0, (2.115)
𝑎𝑖𝑖′
𝑚=𝜔𝑖2 (2.116)
unde 𝜔𝑖2 este pătratul frecvenței unghiulare a oscilațiilor normale .
Valorile ωtheor sunt obținute pentru fullerene după modelul descris în paragraful 2 .1 al tezei
și sunt prezentate în Tabelul 2.2. Parametrii au fost calculați minimizînd funcționala din (2.2 5) prin
metoda gradientului [ 160]. După minimizarea funcționalei, a baterea standard relativă s-a micșorat
pînă la valoarea de 14 .7%.
𝑝=384 .0 𝑁/𝑚
ℎ=443 .8 𝑁/𝑚
𝜋
𝑎2⁄ = 67.4𝑁
𝑚⋅𝑟𝑎𝑑2
𝜂
𝑎2⁄ = 54.3𝑁
𝑚⋅𝑟𝑎𝑑2

75
unde 𝑎=0.14 𝑛𝑚 este distanța dintre atomii vecini. Rezultatul obținut diferă de acel obținut în
paragraful 2.1 din următoarele motive:
– au fost folosite date experimentale precizate [100, 128];
– a fost utilizată o precizie mai mare datorită numărului de iterații mai mare.

76
Tabelul 2.2. Comparația dintre frecvențele unghiulare teoretice și experimentale ale oscilațiilor
normale pentru molecula de fullerene
Gradul
degenerării 𝝎𝐭𝐡𝐞𝐨𝐫 ,𝒄𝒎−𝟏 𝝎𝐭𝐡𝐞𝐨𝐫 ,𝒄𝒎−𝟏
[168] 𝝎𝐭𝐡𝐞𝐨𝐫 ,𝒄𝒎−𝟏
[128] 𝛚𝐞𝐱𝐩,𝒄𝒎−𝟏
[100,128] 𝝎𝐞𝐱𝐩,𝒄𝒎−𝟏
[140]
𝐴𝑔 1 374
1369 510
1830 494
1607 496
1470 497
1469
𝑇1𝑔 3 450
885
1327 513
1045
1662 565
813
1309 568
831
1289 567
875
1282
𝑇3𝑔 3 542
638
874
1491 615
724
951
1900 547
717
757
1385 553
756
796
1345 536
–
800
1333
𝐺𝑔 4 369
513
599
1012
1443
1600 433
593
657
1327
1813
2006 484
554
745
1123
1332
1578 485
567
736
1079
1310
1482 487
569
756
–
1307
1501
𝐻𝑔 5 229
357
485
627
999
1187
1479
1675 274
413
526
828
1292
1575
1910
2068 259
427
694
760
1103
1328
1535
1628 272
433
709
772
1099
1252
1425
1575 271
434
711
774
1101
1248
1422
1573
𝐴𝑢 1 1101 1243 929 984 946
𝑇1𝑢 3 419
457
1098
1416 478
618
1462
1868 522
570
1227
1560 526
575
1182
1429 –
574
1182
1427
𝑇3𝑢 3 307
483
851
1123
1574 358
526
1122
1543
1954 330
696
954
1239
1598 343
753
973
1205
1525 –
–
1044
1200
1536
𝐺𝑢 4 300
604
769
849
1440
1571 360
663
876
1086
1845
2004 353
708
753
970
1369
1525 353
764
776
961
1309
1422 –
–
–
960
1313
–
𝐻𝑢 5 339
414
514
731
1167
1426
1676 405
470
569
849
1464
1797
2086 399
533
654
727
1243
1387
1622 403
534
668
743
1223
1344
1567 –
–
667
682
1219
1375
–

77
Prin metoda descrisă în paragraful 2.1. au fost obținute frecvențe cu abaterea standard
relativă de la cele experimentale (Anexa 2) egală cu 18.4%. Deci, algoritmul ameliorat a condus la
o micșorare a abater ii standard relativă cu 3.7%, pe când în comparatiție cu rezultatele teoretice
din [168] micșorarea este cu 8.1%.
În lucrările [42, 43, 93, 148, 166] au fost obținute frecvențele teoretice cu ajutorul teoriei
funcționalei de densitate (DFT) în aproximația densității locale (LDA). În dependență de alegerea
setului de funcți i ale bazei, de exemplu în descompunerea a 24000 de unde pl ane [93], care
necesită resurse computaționale substanțiale, au fost obținute următoarele abateri standard relative
de la valorile experimentale: 0.019 [93], 0.1 [ 43], 0.019 [ 148], 0.022 [ 166], 0.039 [ 42]. În lucrarea
[168], ca și în cazul studiului nostru, este folosit modelul interacțiunii elastice pentru patru
parametri . S-a obținut abaterea standard relativă de 0.228, care este cu 8.1% mai mare decât în
calculele noastre. Această diferență poate fi explicată prin faptul că în studiul nostru am opt imizat
parametrii de interacțiune dintre atomi, ținându -se cont de legăturile cu valențe dif erite din
molecula de fullerene , pe când în lucrarea [168] parametrii 𝑝, ℎ, pe de o parte, și 𝜋, 𝜂, pe de altă
parte, sunt egali. Astfel, d in comparația frecvenț elor teoretice obținute cu cele prezentate în
lucrările [ 42, 43, 93, 148, 166, 168] putem conclude că rezultatele noastre au îmbunătățit cu 8.1%
rezultatele modelului elastic, însă DFT poate conduce la rezultate mai exacte în cadrul unor calcule
cu un cons um ridicat de resurse computaționale.
În Figura 2.1 0 se compară datele teoretice calculate în baza algoritmului dezvoltat cu valorile
experimentale [128, 100]. Mai multe rezultate experimentale sunt raportate în [44, 61, 63, 77, 94,
124, 155, 167].

78

Fig.2.10. Compararea rezultatelor teoretice cu datele experiment ale: deviația
frecvențelor teoretice de cele experimentale (a), dependența erorii relative de
frecvența experimentală (b);”o” – rezultatele teoretice, obținute în paragraful 2.5
(metoda algoritmului ameliorat), ”x” – rezultatele teoretice, obținute în paragraful
2.1, Δ – rezultatele teoretice din [16 8].

Dreapta punctată din Figura 2.10 (a) reprezintă bisectoarea cadranului întâi. Din figurele
2.10(a) și 2.10(b) se observă că oscilații cu frecvențele mai mici aduc un aport mai mare în
abaterea de la valorile experimentale . Tot odată putem observa că modelul teoretic micșorează
(a)
(b)

79
frecvențele mici și mărește frecvențel e mai mari. Pentru a descrie oscilațiile fullerenului mai exact,
se pot utiliza funcțiile potențiale optimizate Tersoff sau Brenner [ 68], teoria funcți onalei de
densitate (DFT) sau teoria de perturbație a funcți onalei de densitate (DFPT) [ 140, 150, 155]. Se
poate menționa că spectrul de vibrație al structurii cristaline (grupul de simetrie Th) formată din
molecule de fullerene C60 hidratate în soluții apoase a fost calculat folosind și abordarea dinamicii
moleculare (MD) [ 144], precum și ecuația de stare pe ntru soluții apoase de fullerene C60 a fost
propusă [ 41].
În Figura 2.11 sunt prezentate exemple de deformări ale fullerenului la oscilații normale,
unde (a) și (b) corespund reprezentărilor unidimensionale simetrică și antisimetrică . Figura 2.11 (c)
reprezintă un exemplu tipic de oscilații în reprezentarea simetrică pentadimensională, iar Figura
2.11 (d) este un exemplu de oscilații în reprezentarea antisimetrică cuadridimensională.

(a) (b)

(c) (d)
Fig.2.1 1. Exemple de oscilații pentru reprezentările:
Ag (a), Au (b), Hg (c), Gu (d).

80
2.6. Aplicația adaptiv -parametrică pentru determinarea stărilor proprii ale moleculelor de
fullerene
În termeni matematici, structura un ei molecule de fullerene este un poliedru convex cu fețe
pentagonale și hexagonale. Familia de fulleren i are următoarea reprezentare C = {C2n, n=12, 13,
14, … } . În această familie probleme importante de studiu sunt considerate ” Determinarea
stărilor proprii a moleculelor de fullerene (DSPMF)” ( 1). Dicționarul explicativ al limbii
român e definește problema ca o ”chestiune în care, fiind date anumite ipoteze, se cere
rezolvarea, prin calcule sau prin raționamente, a unor date [7]”.
Fiecare din elementele familiei (1) reprezintă o problemă slab -structurată. În literatura de
specialitate mulțimea universală a problemelor este divizată în trei clase (a vedea, de exemplu,
[171]):
 bine-structurate ( well-structured ), sau probleme exprimate cantitativ, în care
dependențele esențiale sunt clarificate foarte bine;
 non-structurate (unstructured ), sau probleme exprimate calitativ, care conțin doar
descrierea resurselor, a trăsăturilor și caracteristicilor mai importante iar dependențele
cantitative dintre acestea sunt complet necunoscute;
 slab-structurate (ill-structured ), sau probleme combinate, care conțin și elemente
cantitative, dar elementele calitative demonstrează tendința de a domina.
Problemele bine-structurate pot fi repreze ntate algoritmic și rezolvate efectiv în cadrul
tehnologiilor informaționale convenționale bazate pe conceptele: algoritm, limbaj imperativ de
programare și mașina cu arhi tectură von Neumann.
Problemele slab -structurate nu pot fi realizate algoritmic și, de a ceea, rezolvarea lor pe
calculator este asistată de un sistem suport pentru decizii (SSD) corespunzător. Algoritmul de
soluționare a unei problemele slab -structurate este construit în procesul dialogului dintre
utilizatorul final – beneficiarul problemei, expertul domeniului de activitate/cercetare, frecvent,
non-informaticianul – și SSD [2].
SSD sunt numite ”o clasa de sisteme informatice, cu caracteristici antropocentrice,
adaptive si evolutive, care integrează o serie de tehnologii informatice si de comu nicații de uz
general si specifice și interacț ioneaz ă cu celelalte parți ale sistemului informatic global al
organizației” [14].
În cadrul tehnologiilor informaț ionale convenționale rezolvarea oricărei probleme pe
calculator solicită, preventiv, proiectarea de către informatician a unei aplicații informatice .

81
Aplicația informatică este o secvență de instrucțiuni concepute pentru dispozitivul de
control de execuție a computerului, ad ică reprezintă algoritmul problemei formulate prezentat
într-un limbaj imperativ de programare [21].
După ce calculatorul electronic este dotat cu algoritmul elaborat, beneficiarul problemei
poate rezolva pe calculator problema/problemele corespu nzătoare solicitării specificate. În cadrul
tehnologiilor informaț ionale convenționale ”instruirea ” calculatoarelor electronice solicită
resurse financiare și timp pentru proiectarea aplicațiilor informatice corespunzătoare.
În cadrul tehnologiilor informaț ionale non -convenționale – tehnologii, care folosesc
metodele de inteligență artificială, algoritmul problemei formulate de către beneficiar este
construit automat în cadrul tehnologiei inteligente, care preventiv, este instruită cu cunoștințe
referitoare la domeniul problemei. Aceste cunoștințe sunt stocate în baze de cunoștințe [27].
Baza de cunoștințe – servește pentru stocarea tuturor elementelor cunoașterii (fapte, reguli,
metode de rezolvare, euristici) specifice domeniului de aplicație, preluate de la experții umani
sau din alte surse [27].
În cadrul prezentei lucrări vom folosi conceptul de SSD inteligent – o simbioză a
conceptelor: (a) SSD și (b) tehnologie informațională inteligentă . Avantajul SSD este de a asista
beneficiarul la rezolvarea pe calculator a problemelor slab -structurate.
Se observă, că în cadrul dialogului, utilizatorul final ghidează SSD inteligent, analogic
modului în care conducătorul auto ghidează navigatorul unui automobil la rezolvarea unei
probleme de deplasare din punctul curent în punctul dorit .
Domeniului de cerc etare DSPMF este un domeniu adaptiv .
Aplicație informatică adaptivă este numită aplicația informatică care își schimbă automat
algoritmul de funcționare, și (uneori), structura ei, în scopul de a menține sau pentru a atinge o
stare funcțională sau și optim ă atunci când se schimbă condițiile mediului de funcționare.
Pentru a proiecta un SSD inteligent original vom folosi conceptul de teorie formală
(axiomatizată) a domeniului de cercetare DSPMF .
Teorie – formă superioară a cunoașterii științifice – model al realității obiective. Teoria
formală (axiomatizată)
 a unui oarecare domeniu de cercetare, conform [ 31], este considerată
definită, dacă:
(1) Este specificat un alfabet finit .
(2) Mulțimea cuvintelor finite peste acest alfabet este numită mulțimea expresiilor ale
teoriei
 .
(3) Există o submulțime a expresiilor, numită mulțimea formulelor .
(4) În mulțimea formulelor este conturată o submulțime, numită mulțimea axiomelor .

82
(5) Există o mulțime finită de relații stabilită între formule, numită mulțimea regulilor
de inferență .
Alfabetul, mulțimea formulelor și mulțimea regulilor de inferență constituie limbajul teoriei
formale
 .
Pentru descrierea teorie i form ale (axiomatizate) a domeniului de cercetare DSPMF vom folosi
forma de descriere Backus -Naur [ 170].
<teoria formală (axiomatizată) a DSPMF> ::= <alfabetul DSPMF> | <mulțimea cuvintelor
finite peste alfabetul DSPMF> | <mulțimea formulelor DSPMF> | <mulțimea axiomelor
DSPMF> | <mulțimea regulilor de inferență ale DSPMF>
<alfabetul DSPMF> ::= <atom de carbon> | <număr natural> | <frecvențele proprii a
moleculelor de fullerene >
<atom de carbon> ::= C
<număr natural> ::= 1 | 2 | 3 | …
<frecvențele proprii a moleculelor de fullerene > ::= ω(1) | ω (2) | ω (3) | … | ω(2n)
<mulțimea cuvintelor finite peste alfabetul DSPMF> ::= <mulțimea moleculelor din atomi de
carbon>
<mulțimea formulelor DSPMF> ::= < mulțimea cuvintelor finite peste alfabetul DSPMF, care
respectă topologia fullerene ă>
<topologie fullerene ă> ::= <atomi care respectă simetria icosaedrală a familiei de molecule
fullerene >
<mulțimea axiomelor DSPMF> ::= <familia moleculelor de fullerene , formule DSPMF
alcătuite din i atomi de carbon, unde: i = 2n, n ≥ 12 >
Moleculele de fullerene sunt sisteme complexe . Un sistem complex se referă la orice sistem
informatic ce conține un număr mare de entități (agenți, procese, etc.) interdependente ce
interacționează. Principalele proprietăți ale sistemelor complexe includ emergența , auto-
organizarea și adaptabilitatea. În sistemele compl exe se manifestă fenomenul sinergetic, adică
de asociere a mai multor subsisteme, care desfășoară activități simultane. Un siste m com plex
demonstrează unele caracteristici noi, care nu se întâln esc la elementele sau subsistemele
separate ale sistemului.
<mulțimea regulilor de inferență ale DSPMF> ::= < hamiltonianul oscilațiilor > , < ecuațiile
Hamilton clasice >, <frecvențele proprii a experimentelor finalizate la moment>

83
< hamiltonianul oscilațiilor > ::= H(=x,y,z, R(l), P(l), K(l,l)) ,
unde H(=x,y,z, R(l), P(l), K(l,l)) =

   
  

,,, ,2
)( )( ),(21
2)(
ll l llRlRll KMlP ,
=x,y,z, R(l) sunt deplasările d in poziția de echilibru a atomului l, P(l) este impulsul
atomului l, iar K(l,l) a fost definită ca matrice dinamică a sistemului.
< ecuațiile Hamilton clasice > ::= <
lMlP
lPHlR)(
)()(
 > |
<

   
 

llRll KlRHlP )( ),()()( >, unde
),(ll K este o matrice reală.
<frecvențele proprii a experimentelor finalizate la moment> ::=
}.13 | {)(
exp,2ni
n
Utilizatorul final po ate, independent de informatician , să adapteze SSD inteligent la
cercetarea oricărei molecule de fullerene (vezi Figura 2 .12, [4]). Extinderea sistemului se face
declarând , de exemplu, un nou model de moleculă de fullerene . Operațiunea solicită numărul de
identificare n.
Ajustarea mode lului specific al moleculei de fullerene se face utilizînd <frecvențele
proprii a le experimentelor finalizate la moment>.

84

SGBD

bBAzBaze de
Modulul de achiziție a
cunoașterii
Fig.2.12. Structura SSD adaptiv pentru determinarea stărilor proprii ale
moleculelor de fullerene .
Date C 26
Date C28
Date C60
Date C2n
Modelul generic al
fullerene lor
Modelul specific C 26
Modelul specific C28
Modelul specific C60
Modelul specific C2n
Ajustorul
Adaptorul

REZOLVITORUL
DE PROBLEME
Hamiltoni
anul
oscilațiilor
E
c
u
a
ț
i
i
l
e

Interfața utilizatorului
(**)
(*)
(*)
(**)
Baza de cunoștințe
Baza de
cunoștințe
. . .

.

.

.

.

.

.

85
Fie DC – domeniul de cercetare a proprietăților fizice ale fullerenelor. Aplicația adaptivă
AA_Fullerene este destinată studierii proprietăților fizice a fullerenelor și integrează o rețea de
calculatoare, numită rețeaua de calculatoare a AA_Fullerene, norul AA_Fullerene , unul sau mai
multe posturi automatizate de lucru (abreviat Posturi ) și unul sau mai multe laboratoare de
cercetare științifică (abreviat LCȘ) în domeniul cercetării proprietăților fullerenelor. Fiecare
laborator, la rândul său, constă din unul sau mai multe Posturi.
Posturile și LCȘ sunt conectate la rețeaua de calculatoare (RC) a AA_Fullerene, iar prin
intermediul ei, la norul AA_Fullerene. Norul AA_Fullerene integrează baza de cunoștințe
BC_Fullerene și baza de date BD_Fullerene. BC_Fullerene stochează cunoștințele re feritoare la
structura fullerenelor cercetate. Aceste cunoștințe sunt folosite de aplicația adaptivă la rezolvarea
problemelor de cercetare a proprietăților fizice a le fullerenelor. BD_Fullerene păstrează datele
experimentatele și rezultatele cercetărilor efectuate la fiecare post automatizat de lucru sau în
cadrul fiecărui LCȘ.
) , , _ , _( _ Posturi LCS Fullerene AA Norul Fulerene RC Fullerene AA 
.
Arhitectura rețelei de calculatoare AA_Fullerene poate fi reprezintă printr -un graf
),( _ UX Fullerene RC 
,
unde:
•
X este o mulțime finită și nevidă de elemente numite noduri ,
}{ix X ;
•
U este o mulțime de perechi ordonate de elemente din
X ,
}{,kju U . Fiecare element
al mulțimii
U reprezintă o muchie
],[, k j kj xx u unește nodurile:
jx și
kx;
•
) _ , _( _ Fullerene BC Fullerene BD Fullerene AA Norul 
•
} | { Ii LCS LCSi , I – mulțime de indici;
•
} ,,… {1 nPost Post Posturi ;
•
} |} ,,… {, 1, Ii Posti Post LCS
ini i i   .
Fie
 este mulțimea universală de probleme de cercetare a proprietăților fizice a
fullerenelor,
i reprezintă o submulțime de probleme de cercetare a proprietăților fizice a
fullerenelor realizate în cadrul nodului
ix . Fiecare nod al re țelei
ix, care este specializat în
rezolvarea submulțimii de probleme
i , este dotat cu sistem de operare, software aplicativ și are
următoarea structură:
Ii n j p t p t p SA SO xj i ji ni ni i i i i ii i   },,1 , |) , (),…,,(, , {, , , 1, 1,
,
unde:

86
•
iSO este tipul sistemului de operare în nodul
ix ;
•
iSA este software aplicativ în nodul
ix ;
•
jit, este timpul mediu de rezolvare a problemei
jip, în nodul
ix .
Fiecare muchie a rețelei de calculatoare
kju, unește două noduri ale rețelei
jx și
kx .
Conexiunea de rețea dintre nodurile
jx și
kx este caracterizată de viteza traficului de informații
kjv,
dintre aceste noduri . Muchiile
kju, reprezintă construcții
U u vxx ukj kj k j kj  , , , ),,,(
.
Vom prezenta în continu are un exemplu de procesare a datelor într -un nod din RC a
AA_Fullerene . Să stabilim mapa de lucru unde vor fi salvate fișierile de date . Aici încărcăm
valorile inițiale privind vârfurile, muchiile și fețele icosaedrului trunchiat :

Definim funcția ce construiește molecula de fullerene, care are în calitate de date de intrare
coordonatele atomilor ce oscilează. Se desenează fiecare punct pentru vârfuri , apoi fiecare linie
corespunzătoare muchiei icosaedrului trunchiat, iar în cele din urmă – fiecare față :

Definim o funcție care primește la intrare o matric e m și mapa în care fișierele sunt salvate .
Matricea m este o matrice dinamică, renormată la masa unui atom de carbon din molecul a de
fullerene. Variabilele din program frequencies și oscillations corespund, respectiv, valorilor

87
proprii și vectorilor proprii din matrice . Vectori i proprii determin ă configurația sistemului
(fulleren ului) într -un anumit spațiu configurațional :
,
unde fiecare coordonată caracterizează deplasarea unui atom din poziția inițială. Frecvența
oscilațiilor ω este definită ca rădăcina pătrată a valorii proprii corespunzătoare. Fiecare vector
propriu se adaugă la coordonatele inițiale ale atomilor din fullerene , iar c oordonatele obținute sunt
transmise funcției draw , imaginea rezultată fiind salvată în fișier . După salvarea tuturor figurilor,
este creat și un fișier de tipul csv cu lista completă de fișiere și frecvențel e corespunzătoare ω:

Următoarea funcție createFolder primește numele fișierului cu matricea care urmează a fi
procesată, creează o mapă nouă de fișiere pentru rezultate și transferă în această mapă fișierul cu
matricea, iar apoi definește adresa la mapa nouă:

88

În final, elaborăm sarcina programată pentru kernel -ul Mathematica , care monitorizează noi
fișiere cu matrice, transmite numele fișierului funcției createFolder , iar apoi matricea și adresa la o
nouă mapă a funcției handle .

Screenshotul imaginii interfeței aplicației adaptiv -parametrice pentru determinarea stărilor
proprii ale moleculelor de fullerene este prezentat în Figura 2.13.

Fig.2.13. Interfața AA_Fullerene .

În Figura 2.14. este reprezentat rezultatul AAP: frecvențele și reprezentările grafice ale
oscilațiilor normale.

89

Fig.2.1 4. AAP -rezultat: frecvențele și reprezentările grafice ale oscilațiilor normale.

90

În final vom concluziona că meto da propusă utilizează conceptele problemă , problemă
bine-structurată , problemă slab -structurat ă, sistem suport pentru decizii , aplicaț ie inteligentă ,
familie de de fullerenee , familia problemelor de determinare a stărilor proprii a le moleculelor
de fullerene, teorie formală (axiomatizată) a domeniului de cercetare. Familia problemelor de
determinare a stărilor proprii a moleculelor de fu llerene este o familie numărabilă de probleme.
Hamiltonianul sistemului , ecuațiile Hamilton, frecvențele experimentale menționate etc. sunt
componente ale bazei de cunoștinț e a SSD inteligent. Astfel, modelul SSD inteligent reprezintă
un sistem software efectiv pentru adaptarea/extinderea SSD pentru asistența utilizatorului final la
cercetarea oricărui element din familia universală (infinită, numărabilă) a fullerenelor.
2.7. Concluzii la Capitolul 2

1. S-a obținut forma liniei de absorbție pentru ionul , care posedă o structură specifi că
datorită rezonanței electron -vibrațional e. Pentru prima data s -a constatat că lărgimea
structurilor obținute în mare parte depinde de probabilitatea tranziției radiative spontană .
2. Au fost obținute frecvențele ionului
1
60C cu simetria
dD5 prin metoda reducției grupului
icosaedral
hI către grupului
dD5 , folosind datele experimentale pentru oscilațiile
fullerenului neutru . S-a arătat că oscilațiile respective aduc aport în rezonanța electron –
vibrațional ă.
3. În cadrul a lgoritmul ui metodei modificate de calcul se construiește , mai întâi, câte un
proiector pen tru fiecare tip a reprezentării ireductibile, se găsesc apoi vectorii proprii cu
valori proprii nenule, care vor servi bază a subspațiului invariant al proiectorului și se
obține combinația liniară a vectorilor de bază obținuți pentru proiectorul unei repr ezentări
ireductibile concrete, care va fi vectorul oscilației normale.
4. Algoritmul dezvoltat respectiv permite automatizarea procesului de descompunere a
reprezentării mecanice a sistemului în reprezentări ireductibile, care este crucial la
cercetarea sis temul simetric complex prin utilizarea teoriei grupurilor . Astfel, metoda
propusă permite descompunerea reprezentării mecanice a sistemului rezolvând problema
vectorilor proprii. Aplicarea acestui algoritm pentru sistemele simetrice cu o funcție
armonică de potențial, care nu -i necesar să fie a priori cunoscută, permite a studia sisteme
complexe cu un număr mare de particule.
5. A fost arătat că pentru un număr de N atomi, m fiind numărul de elemente din grup, iar γ –
numărul de proiectori, complexitatea computațională a unui operator este 𝑂(𝑚𝑁2), iar
1
60C

91
primul pas constituie 𝑂(𝛾𝑚𝑁2). Cea de -a doua etapă soluționează problema vectorilor
proprii pentru fiecare proiector. Complexitatea problemei determinării vectorului propriu
are forma 𝑂(𝑁𝜔), unde ω este o este o constantă aproximativ egală cu 3 în dependență de
metoda de diagonalizare a matricilor . Prin urmare, complexitatea întregului pas 2 al
algoritmului este 𝑂(𝛾𝑁3). Complexitatea pasului trei este proporțională cu complexitatea
funcției potențialui de interacțiune între atomi.
6. Avantajul algoritmului ameliorat propus constă în faptul că se determină deplasările de
oscilație simetrizate ale căror frecvențe pot fi apoi comparate corect cu frecvențele
experimentale corespunzătoare. Compararea rezultatelor teoretice obținute pentru C60 cu
datele experimentale indică că oscilațiile cu frecvențe mai mici aduc un aport mai mare în
abaterea de la valorile experimentale . Astfel , în modelul teoretic propus sunt redus e
vibrațiile de frecvență joasă și măr ite cele cu frecvență înaltă.
7. A fost prezentată structura SSD intelegent adaptiv pentru determinarea stărilor proprii ale
moleculelor de fullerene și este dezvoltat conceptul rețelei de calculatoare (RC) a
AA_Fullerene, iar prin intermediul ei, la norul AA_Fullerene. Norul AA_Fullerene
integrează baza de cunoștințe BC_Fullerene și baza de date BD_Fullerene. BC_Fullerene
stochează cunoștințele referitoare la structura fullerenel or cercetate. Aceste cunoștințe sunt
folosite de aplicația adaptivă la rezolvarea problemelor de cercetare a proprietăților fizice
ale fullerenelor. BD_Fullerene păstrează datele experimentatele și rezultatele cercetărilor
efectuate la fiecare post automat izat de lucru . Utilizatorul final poate ajusta parametrii
modelelor teoretice folosite la rezultatele experimentale stocate în baza de cunoștințe .
8. A fost dezvoltată și implimentată o metodă originală de proiectare a AAP pentru asistența
cercetătorilor în soluționarea familiei problemelor de determinare a stărilor proprii a
moleculelor de fullerene. Algoritmul folosit pentru C60 este parametric adaptiv și poate fi
aplicat la rezolvarea problemei dinamice pentru moleculele de fullerene cu un alt număr de
atomi, de exemplu pentru C70, C76, C82 etc.

Rezultatele obținute sunt publicate în următoarele lucrări științifice : [1, 4, 9, 10, 11, 40]

92
3. MODELAREA EFECTELOR INTERACȚIUNII ELECTRON -FONONICE ÎN
CRISTALE DOPATE CU IONI DE PĂMÂNT URI RAR E

Metalele pământ uri rare (PR) posedă proprietăți unic ale care le determină să prezinte un
interes sporit, de exemplu, pentru calculul cuantic [12, 111]. Tranzițiile optice cercetate în
lucrarea [65] implică electronii situați într -un înveliș electronic intern, orbitali de tip f, care este
„ecranat” de perturbațiile induse de mediul înconjurător, ca o consecință fiind faptul că ionii PR
posedă benzile spectrale omogene și foarte înguste. Pe de altă parte, frecvențele exacte ale
acestor tranziții depind puternic de câmpurile elect rice înconjurătoare. Combinația remarcabilă
dintre benzile spectrale omogene înguste și extinderea neomogenă semnificativă oferă
posibilități de a folosi canalele înguste de frecvență individuală într -un interval mare frecvențe
[49, 51, 133]. Acest fapt cr eează posibilitatea realizării dinamicii controlate, care permite
implementarea porților cuantice de n-biți. Pentru punerea în aplicare a calculului cuantic în
sisteme fizice concrete este de mare interes compararea ratelor de degenerare ale stărilor excit ate
pentru PR de-a lungul canal elor neradiativ e. Astfel, proprietăți specifice ale elementelor de
matrice dipolare de tranziție pentru PR au fost studiate [65]. Totodată, spre deosebire de cazul
TRE în modelul cu trei centre [ 53, 54], pentru TRE între patru centre în cristale dopate cu ioni
PR este identificat un nou tip de clasificare a fenomenelor de transfer – după reductibilitate, fiind
elaborată și aplicația adaptivă de modela re pe calculator a interacțiun ii electron -fononic e (IEF)
de rezonanță pen tru ioni în cristale laser.

3.1. Fundamente teoretice pentru modelare a proceselor în cristale dopate cu ioni de
pământ uri rare
3.1.1. Modelul de acoperire al câmpului cristalin

Există mai multe modele de câmpuri cristaline , de exemplu modelul sarcinii punctiforme a
liganzilor și modelul de acoperire sau overlap. Vom folosi în continuare modelul de acoperire al
câmpului cristalin [64, 120]. Pentru a evidenția efectele de rezonanță s -a calculat în formă
generală a form -funcției, care este proporțională cu coeficientul de absorbție [6, 82]:


 
0)( ) exp(Re1)( dt tMM tti F  , (3.1)
unde M este operatorul momentului electric dipolar efectiv ,
)/ exp()/ exp()(   iHt M iHt tM  
, (3.2)

93
iar hamiltonianul are forma
V H HHL e
,
unde V este operatorul interacțiunii electron -fononice, He – hamiltonianul electronilo r, HL –
hamiltonianul fononilor, iar <<… >> denotă medierea după stările hamiltonianului H0=H e+H L.
Exponenta din dreapta expresiei (3.2) poate fi exprimată în felul următor:
)()/ exp()/ exp(0 tUtiH iHt  
, (3.3)
unde U(t) este operatorul de evoluție. La fel obținem și altă exponentă:
)()/ exp()/ exp(0 tUtiH iHt  
. (3.4)
Utilizând principiul stabilității spectroscopice [ 35], F(Ω) din (3.1) poate fi scrisă astfel:
    
fLfi dt ftUf tt i fMi F )( ] ) [(expRe ||1)(
02 
, (3.5)
unde
L… este medierea fononică,
fi – frecvența tranziției electronice, i – starea inițială, f –
starea finală. În aproximația de rezonanță [ 35, 36, 82, 153], termenul <f|U(t)|f> satisface ecuația
integrală:
    1
02 2 1 2 1 2
012)( |)(| |)(| )) ( exp( 11)( |)(|t
f L fr
rt
f L tU ftVr rtVf tt i dtdt tU ftUf 
, (3.6)
care ușor poate fi adusă la ecuație integro -diferențială cu condiția inițială U(0)= 1 și
)/ exp()()/ exp()(   tiH rVtiH tVL L
. (3.7)
Partea spațială a interacțiunii V(r) o reprezentăm prin integrala Fourier [ 64]:
 
jii jjrqi Rqi qfqqdeerV
,23
222
) exp() exp()(2)(

, (3.8)
unde funcția f(q) descrie acoperirea electronilor ionilor PR și distribuția de sarcină a liganzilor și
are forma:
𝑓(𝑞)=𝜆2
𝜆2+𝑞2 . (3.9)
În (3.9) parametrul
 este parametrul de acoperire. Dacă f(q)=1 , ceea ce înseamnă trecerea la
sarcini punctiforme a liganzilor (
 ), atunci interacțiunea V este interacțiunea dintre
sarcinile punctiforme al electronilor și liganzilor.
Funcția f(q) este determinată de repartiția sarcini lor pe liganzi conform transformării
Fourier [ 64].
)) ( exp()()2(1) (3
3 j j Rrqi qfqd Rr  

, (3.10)

94
unde
)) ( exp(81) (3
j j Rr e jRr   
. (3.11)
Trecând în ( 3.5) la ecuația integro -diferențială, a fost obținut :

   
rft
fiftU ftVr rtVf tt i dtdtt dU
)( )( )( ) ( exp(1 )(
2 2 2
02 2
. (3.12)
Rezolvarea acestei ecuații se obține cu ajutorul transformării Laplace. Efectuând calculele
necesare în [37], a fost obținut ă imaginea Laplace pentru T=0:
1
1 0 0 ) 1 11
1max max
… ( (…)()…(… )( )(





n n fr nn n
fiPdd nA P PU 
 
, (3.13)
unde
) (fi i p  ,
),( *20 0 )!122(!!)2/3()!2()!2()! )(12()12 2*( |||| | |||| |)]1 2)(1 2[( )(
, , ,,2 2 2 1
,22
jm mmlnnl
m mnlnl
nlln nnl n ln nl n f f JS U SLJ J JeenA
nlnlnll n
jnn
nmll
mljr
j









   

 
(3.14)
)( )(0 2
,, ,,,, j lnnl nlnlnll R j   
, (3.15)
]61 exp[)() ()( )(2 0
00
,, L j l j lnn
j lnnl R q qPRqjqfqdq R   

, (3.16)
)()( )(
022qrjrRrdr qPl uf l

, (3.17)
unde
)(rqjl sunt funcții Bessel sferice,
)(4r Rf este funcția radială a 4f electronilor PR,
)(
este densitatea fononică,
  …||||…lU – elementul ireductibil de matrice a l operatorului Racah,
  …||Y||…l
– elementul ireductibil de matrice a funcției sferice
m
lΥ ,




 – simboluri 3j.
Deci, form -funcția
)(F se va scrie:
 
ffU fMi F )( Re||||1)(2
(3.18)
sau în mod explicit obținem:


f
fifMi F
4)(])( [)(||21)(2
22

, (3.19)

95
unde
 
n r n fr fin ndd nAm ax m ax
0 0 11
1) … ()()…(… )( )( 

, (3.20)
 
n rn fr fi
nn ndd nAm ax m ax
0 01
11
1 ) … (…)()…(… )( 2)( 
  
. (3.21)
Stările electron -fononice legate se obțin la rezolvarea ecuației:
0)( fi
. (3.22)
Rădăcinile acestei ecuații dau posibilitatea de a stabili „gapul” electronic
fr în cazul
absorbției luminii , |f> fiind î n ecuația (3.22) starea finală [ 36].

3.1.2. Stările electronice și interacțiunea electron -fononică în cristale ce conțin i mpurități
de ioni de pământ uri rare
Cristale ionice cu bandă largă activate cu elemente de pământ uri rare aparțin mediil or de
lucru a laserelor cu cea mai mare eficență . Datorită ecranării electronilor 4f a ionilor de PR de
către învelișurile exterioare, influența ambianței cristalice asupra acestui centru poartă caracter
de perturbație . Câmpul cristali n statistic creat de ionii înconjurători anulează (total sau parțial)
degenerarea nivele lor ionului liber, generând așa -numita structură Star k a nivelelor .
Hamiltonianul sistemului de impurități și fononi poate fi scris folosind aproximarea
adiabat ică astfel:
𝐻=𝐻𝑒(𝑟)+𝐻𝐿(𝑅)+𝑉(𝑟,𝑅) (3.23)
unde este hamiltonianul electronilor legați slab ai ionului liber a l impurității, 𝐻𝐿(𝑅) –
este hamiltonianul vibrațiilor rețelei cristaline , care depinde numai de coordonatele nucleelor,
),(RrV
– conține toți termenii de interacțiune între electronii 4f și nuclee, precum și energia
subsistemului rap id (electronii legați puternic), iar
R și
r sunt coordonatele respective a
nucleelor și electronilor.
Considerăm că pentru orice nucleu
R RR
0
,
unde
0R este vectorul fixat, care corespunde anumitui nod a grilei, iar
R
 fiind o deplasare
mică . Descompunând 𝐻𝐿(𝑅) în serie după deplasarea
R
 și introducând operatorii de creare și
anihilare a fononilor, obținem:
𝐻𝐿(𝑅)=𝐻𝐿(𝑅0)+∑ħ𝜅𝜔𝜅(𝑎𝜅+𝑎𝜅+1
2), (3.24)
)(rHe

96
unde
),( este totalitatea vectorilor de undă
 și indicilor
 , care determină ramurile
oscilațiilor. Forma explicită pentru
)(rHe și
),(RrV se obține din hamiltonianul ( 3.23) cu
ajutorul reprezentării -model pentru centrul impur itar.
Impuritățile de ioni de PR reprezintă în acest studiu un exemplu caracteristic de centre
locale de rază mică. Ca urmare a unei ecranări puternice a electronilor 4 f de către învelișurile
exterioare (5 s, 5p), acești ioni interacționează slab cu ambian ța cristali nă în aproxima ția nulă. În
acest caz , utilizăm teoria câmpului cristali n, în care
)(rHe este hamiltonianul ionului de
pământ uri rare liber și
),(RrV este energia potențială de interacțiune cu ionii înconjurători, pe
care o scriem în forma:
),( ),(*
jn i
ij jn ij
ijRrV
Rree
RrV  

(3.25)
unde
e este s arcina electronului,
*
je este sarcina ionului j,
ir este raza vecto are a electronului i,
iar
jnR este raza vecto are a ionului j al din celul a elementar ă n. Descompunem
),(RrV în seria
Taylor după puterile deplasărilor mici
0
jn jn jn R R R
 ale ionilor din starea de echilibru:
int ),( H V RrVcr
, (3.26)
),(0
j i
ijcr RrV V
. (3.27)
   j j j i R
ijR R RrV H
j) ,(0
int

Dacă presupunem că norii electronici 4fn ai ionului de PR nu se suprapun cu cei ai io nilor
învecinați ,
0
jRr , atunci potențialul
),(j iRrV poate fi descompus în seri e pe funcțiile
sferice:
),( ),(
)12(4
),(*
1*
0ii lmj j lml
jl
ij
lm lj i Y Y
R lree
RrV 



. (3.28)
Expresia (3.28 ) poate fi reprezentată într -o formă mai compactă:
𝑉(𝑟⃗,𝑅⃗⃗)=∑ ∑ 𝑟𝑖𝑙𝐴𝑙𝑚𝑌𝑙𝑚(𝜃𝑖,𝜑𝑖),
|𝑚|≤𝑙∞
𝑙=0 (3.29)
unde

97

),(
)12(4*
1*
j j lml
jj
jm
l Y
R lee
A 

 , (3.30)
iar
),(lmY sunt funcțiile sferice.
Neglijăm , de asemenea , oscilațiile cvas ilocale și, ținând cont de cele spuse mai sus ,
problema oscilatorie a cristalului cu impurități se reduce la problema oscialtorie a cristalului
ideal. În cristalul fără i mpurități deplasările
R
 pot fi descompuse pe coordonate normale
q
în felul următor [33]:

 
  
  
qRi jd Nm Rjn j jn ) exp(),(021
, (3.31)
unde
N este numărul celulelor elementare în volumul normat,
s j ,…,2,1 numerot ează ionii
în elementul n al celulelei, s fiind numărul ionilor în celula elementară,
),(
jd este vectorul
de polarizare,
jm reprezintă masa nucleului j. Vectorii de polarizare sunt vectorii proprii ai
matricei dinamice a oscilațiilor mici și se determină împreună cu propriile frecvențe
 prin
soluționarea problemei seculare corespunzătoare. Acești vectori satisfac rel ațiile [33]:





 

jjj
jd jdjd jd
),(),(),(),(
**
 
(3.32)
În afară de aceasta , deoarece numărul vectorilor de undă
 în prima zonă Brillouin este
determinată de cantitatea celulelor elementare examinate N, mai are loc următoarea relație:
jj N jd jd  

),(),(*  

. (3.33)
unde
        
  q q,) ,j(d),j(d* *
. (3.34)
Vom reprezenta c oordonatele normale prin operatorii de creare și anihilare a fononilor:




 
 

 
a a q ˆˆ
221
. (3.35)

98
3.1.3. Tehnici de c alcul al secțiunii medii de împrăștiere

Fie că fluxul de fotoni cade pe cristal. Partea cea mai mare de fotoni nu va interacționa cu
particulele, dar o parte di n ei ( mai puțin de 1% ) – va interacționa elastic. Frecvența radiației
electromagnetice în acest caz nu se va schimba și interacțiunea elast ică conduce la împrăștierea
sau dispersia Rayleigh (DR h). O cantitate și mai mică de fotoni va interacționa neelastic. Atomul
fiind trecut din starea sa inițială în tr-o altă stare , din legea conservării energiei re iese că fotonii
dispersați au energia, dec i și frecvența, diferită de frecvența fotonilor incidenți. Desigur, e posibil
ca particula să revină în starea inițială. As tfel, spectrul DR h se manifestă în formă de linii de
emisie situate în regiunea energiilor mai mari sau mai mici față de linia nedeplasată a DR h. În
virtutea faptului că în stare excitată se va afla un număr mai mic de particule în comparație cu
numărul particulelor din sta rea fundamentală, intensitatea liniilor anti-Stokes a DR h este mai
mică decât intensitatea liniilor Stokes respective.
În calitate de stări inițială și finală considerăm stările
i și
f . Intensitatea luminii
Id la
împrăștierea într-o unitate de timp în unghiul spațial
d se exprimă prin intensitatea
I
(densitatea fluxului de energie) a luminii incidente cu ajutorul formul ei:
d IId
0
, (3.36)
unde
0 este frecvența luminii incidente,
 – frecvența luminii împrăștiate ,
d – secțiunea
efectivă de împrăștiere , care se exprimă prin tenzorul împrăștierii
if
mnC:
  d
cfMi d423
0 2

, (3.37)
unde:
,eeC fMif
n*i
mif
mn
n,m

 


k kikim fkn
kikin fk m if
mn)d()d()d()d(C
0 01
. (3.38)
Aici
)(nme reprezintă componentele vectorului și obținem :
fi0
. (3.39)
Elementele matriciale ale proiecției momentului electric dipolar
fkmd)( se calculează în
aproxima ția secundă a teoriei pert urbați ilor. Suma după
k se efectuează după toate stările
posibile ale atomului, inclusiv și nivel ele mai înalte.
Trebuie de ținut cont că în (3. 36) se află energia împrăștierii (într-o unitate de timp ) cu
frecvența
 , iar frecvența dată poate varia nu numai la tranziția
f i . De aceea , pentru

99
obținerea energiei medii totale de împrăștiere a cristalului este necesar de a su ma în (3. 36) după
toate stările finale și inițiale, care asigură frecvența dată a tranziției , și de împărțit la variația
mică
 a frecvenței radiației împrăștiate . Atunci se obține :
  d IId
0
, (3.40)
unde
Id este această energie medie (în unități obișnuite),
d reprezintă s ecțiunea medie de
împrăștiere
 d di
fi
,1 , unde
i este probabilitatea de populare a nivelul ui inițial.
Putem scrie altfel, înlocuind
1 cu funcția delta , care satisface următoarea condiție :
) (0
,   fi i
fid d
, (3.41)
unde
0 fi .
Atunci când nu se calculează valoarea absolută a energiei luminii împrăștiate , dar este
necesar de obținut forma benzii de împrăștiere , atunci din ( 3.40), ținând cont de ( 3.37) și ( 3.41),
forma benzii se determină astfel :
) ( )(02
,    fi i
fifMi F
. (3.42)
Folosind reprezentarea integrală a
 – funcției, atunci [38]
)(21)() (0 tI edt Ft i


, (3.43)
.)t(MM i)t(MMii Meeff Mi eiMff Mi )t(I
ii
iiHt iHt
i
f,i)E E(it
i
f,ii f
 
   
 
   

Introducem în formula (3.43) atenuarea mică
 , care ține cont de lărgirea radiațională a liniei
spectrului. Astfel , obținem expresia pentru form -funcția benzii de împrăștiere a luminii:
itMMtt i F )( ) ) ( exp( Re1)(0
0
  
. (3.44)
Trecem la reprezentarea de interacțiune:
)(0 0
tU e e etHi tVitHi tHi
    
, (3.45)

100

V H HHL e,
unde
eH este hamiltonianul ionilor liberi de PR ,
LH este hamilitonianul subsistemei fononice ,
V
este operatorul interacțiunii electron -fononice, iar este operatorul de evoluție . Astfel:
i etUMtU eMi tMMtHi tHi
i
i i 0 0
)( )( )(  
.
Utilizăm caracterul complet al funcțiilor proprii a le hamiltonianului total 𝐻0:
.i ess)t(UmmMll)t(Urr eff Mi )t(MM
tHitHi
s m l r fi
ii

00
 
  

Neglijăm amestecul stării inițiale
i cu cele excitate datorită interacțiunii electron fononice :
t i
fi
i iifeitUiiMfftUff Mi tMM    )( )( )(

și în aproximația zero a teoriei perturbațiilor putem considera:
,i i)t(U

. ef)t(Uf fMi ef)t(Uf fMi )t(MM
it i
ft i
fi
iiif if  2 2   

Atunci
dtf)t(Uf e Re fMi )(Fitt) (i
fif 

 0
02 1
(3.46)
reprezintă form -funcția benzii de dispersie a luminii.

3.1.4. Elementele de matric e ale operatorului evoluției
Este cunoscută forma generală a soluției pentru operatorul de evoluție [161, pp.81 -85]:
 nt t
n
nn
dt dt)t(v)t(vT!ni)t(U   1
0 01
01



, (3.47)
unde T – produsul cronologic.
Să calculăm elementu l de matric e de forma
iftUf )( , presupunând că termenii impari
din ( 3.47) posedă un aport neglijabil de mic în comparație cu termenii pari. Astfel , se obține din
(3.47) :
)(tU

101


  

  
it t t tit t
f i
ftvtvtvtvTf dt dt dt dtftvtvTf dt dt tU ftUf
)()()()(
241)()(
211)( )(
4 3 2 1
04
0 03 2
0142 1
02
012 (3.48)
Vom examina termenul al doilea :
it t
it t
ftvtvf dt dt ftvtvTf dt dt    )()(1)()(
21
2 1
02
0122 1
02
0121
 
.
Al treilea termen din (3.48) îl determinăm în baza teoremei lui Wick . Conform
aproximației de rezonanță , vom lua în considera ție doar termenii care descriu rezonanț a. Atunci ,
al doilea termen di n (3.48) se va scrie:
 
.f)t(v)t(vf f)t(v)t(vf dtdtdtdtf)t(v)t(v)t(v)t(vTf dtdtdtdt
i it t t titttt
    

4 3 2 1
04
03
02
01 44 3 2 1 4 3 2
00001 4
3 2 11241


Proced ând analogic pentru ceilalți termeni de ordin superior , atunci se obține :



   

    



i it t t tit tit t
f
ftvtvf ftvtvf dt dt dt dtftvtvf dt dtftvtvf dtdt tU
)()( )()(1)()(11)()(11~
6 5 4 3
06
0 05 4
0344 3
04
0322 1
02
012
5 3 4 23 21

sau
 2 2 1
02
012~)()(11~1
tUftvtvf dtdt tUf it t
f    
.
Din proprietatea elementului de matrice al prodsului a doi operatori , obținem:

𝑈̃𝑓(𝑡)=1−1
ħ2∫𝑑𝑡1∫𝑑𝑡2𝑡1
0∑<𝑓|𝜈(𝑡1)|𝑟><𝑟|𝜈(𝑡2)|𝑓>𝑖𝑈̃𝑓(𝑡2).
𝑟𝑡
0 (3.49)
Descompunem
   1 1 1 1 10 10
)(1tiH tiH tiHtiH tiH tiHe L L e
e ve e e ve e tv 
 

și înlocuim
f e f etiE tiH f e
  , unde
fE este energia stărilor electronice
f .

102
Notăm
)(~tv
 tiH tiHL L
ve e și, înlocuind -o în (3.49), obținem:
 2 2 1) (
02
012~)(~)(~ 11~211
tUftvr rtvf edtdt tUfittfrit t
f  
, (3.50)
unde
/) (r fE E fr . Derivăm (3.50) după t imp:
)(~)(~)(~ 1 )(~
2 2) (
2
022tUftvrrtvf edtdttUd
fitt it
rf fr

(3.51)
sau
)(~),(1 )(~
2 2) (
2
022tUttA edtdttUd
ftt it
rf fr

, (3.52)
unde
iftvrrtvf ttA )(~)(~),(2 2 . Ecuația obținut ă pentru
)(~tUf este o ecuație
integr o-difer ențială. Următoarea sarcină este calcul ul corelatorului
),(2ttA din (3. 52).
3.1.5. Tehnici de c alcul al corelatorului
Scriem operatorul interacțiunii electron -fononice din expresia (3.45). Reprezentăm
intH în
formă de integrală Fourier :
, eqqd eeV)r R(qi*
j
j,ii jn23
22

.f e e)q(qd eeerr e eqqd eeef )t,t(A
itiH
)r R R(qi*
j
j,itiHtiH
)r R R(qi*
j
j,itiH
L
i nj njLL
i jn jnL



2020
23
223
2 2
22
 


 



Ținând cont de
)(fnf f
 și hami ltonianul ermitic, se obține:
. n e e en n e ee nr e fr e f e)q(qd
qqdeee)t,t(A
i)f(tiH
RqitiH
)r(
i)r(tiH
RqitiH
)f(* rqi
irqi
iRqi Rqi*
j*
j
j,j
L
njL L
jnLi i nj jn
       

 
 
2 20 0
23
23
42
24
   


  

Luând î n considerație proprietatea caracterului complet al funcțiilor fononice , putem scrie :

103

 






  j l , lml l
l
jl
*
j
f rl J JJOJ J
Rf r
!lee t,tA6
22
2
l0022
2121 21 2 4
1214

 

.ttDnl
pn
ml nl
pn
ml
Rl n
!n!l n
n lm npn
j n
jn 
 








02 220 0 012 2
22 2

Folosim proprietatea caracterului complet pentru simbolul 3j și, în final , se obține o formulă mai
simplă pentru corelator:

,ttD
R!n!
Rf r
!lk
Ree t,tAn
j n
jnl
jl
e
j*
j
j  










6
2l 0n2 202
02
02
222l 2n 4
12
(3.53)
unde este introdusă notația:

 
,l J JJOJJ Jl
l e121 21 242
1 2
0


(3.54)
unde
 este densitatea fononică.

3.2. Transfer de energie în cristale dopate cu ioni de pământ uri rare
Argumentarea procesului de transfer ireversibil a l energiei între ce ntre impuritare de
pământ uri rare a fost efectuată în lucrarea [24] pentru două centre în cazul nivelelor discrete de
energie. A fost demonstrate, că ireversibilitatea în procesul de transfer este asigurată de
interacțiunea
H , care leagă stările spectrului discret cu stările sistemului disipativ. În calitate de
sistem disipativ pot servi fononii cristalului, iar interacțiunea
H este interacțiunea electron –
fononică . Hamiltonianul sistemului posedă forma:
,H V H H'
DA0
(3.55)
unde
DAV este interacțiunea dintre două centre – donor și acceptor,
0H este hamiltonianul c are
include partea electronică și fononică fără interac țiune. Ulterior hamiltonianul (3. 55) a fost
utilizat în această lucrare, unde
DAV este interacțiunea electrostatică dipol -dipol care nu conține
retardarea intera cțiunii electromagnetice. Pentru ca
DAV să conțină retardarea vom considera
interacțiunea locală a dipolului centrului de impurit ate cu câmpul electromagnetic transversal
cuantificat în formalismul hamiltonianului de interacțiune multipo lară [50, 71]. În acest caz la
hamiltonianul ( 3.55) se mai adaugă componenta fotonic ă.
 ,d en e nNsmttDtti tti
jjmax
    
   2 21602

104
Spre deosebire de [ 24], vom considera cazul a 4 centre , dintre care cel puțin un centru este
acceptor sau donor, iar
DAV în (3.55) se va înlocui cu
NV . Prin urmare , formula (3. 55) se va scrie
în forma [13]:
,H V)N(HHNo
(3.56)
unde
)(NHo descrie partea diagonală care include hamiltonianul centrelor impuritare , inclusiv
sistemul fononic și fotonic liber,
NV descrie interacțiunea locală a centrelor cu câmpul
electromagnetic în formalismul hamiltonianului de interacțiune multipolar ă, iar N este numărul
de centre care pot participa în transferul de energie. Probabilitatea de transfer între centre se scrie
în forma:
 
fi f N N E E iVfnW ) (2 2
(3.57)
unde
f și
i sunt funcțiile proprii care aparțin valorilor proprii
fE și
iE ale hamiltonianului
NVH H
. Astfel, interacțiunea
H este inclusă în hamiltonianul H, reprezentând
interacțiunea electron -fononică slabă. Hamiltonianul H se va scrie:
ph L lL lL l l l H H NH H NH H H H  )( …)1( )( …)2( )1(
, (3.58)
unde
)(KHl este hamiltonianul electronic a ionului impuritar K,
)(KHlL este hamiltonianul
interacțiunii electron -fononice a ionului K,
LH este hamiltonianul fononic,
phH reprezintă
hamiltonianul fotonic. În aproximație liniară după coordonatele normale
Hq ale cristalului ,
interacțiunea electron -fononică a centrului K cu cristalul se reprezintă în următoarea formă:

 qKV KHlL )( )(
, (3.59)
unde
HV este operator ul electronic,
),( . Interacțiunea locală
NV se va scrie [71]:
)( …)2( )1(int int int N H H H VN 
, (3.60)
unde
)()( )(1
0 int KRdK K H  este interacțiunea locală a centrului K cu câmpul electric
transversal
d ,
KR este coordonata spațială a centrului K, iar
)(K este dipolul electric a l
centrului K.
Vom considera că interacțiunea
)(KHlL este slabă și se re spectă criteriul aproximației
adiabatice cel puțin pentru starea inițială
i . În formula (3 .57) putem înlocui starea inițială

105
exactă
i cu funcția Franck –Condon adiabatică, presupunând că starea inițială este
nedegenerată:
  
 ) (0 00 i n q q i i
, (3.61)
unde
iq este coordonata de echilibru în starea
0i a oscilatorului
 . Starea
0i este funcția
proprie a hamiltonianului electronic:
     
     2 0
21)( …)1( )( …)1(i i l l l q qNV V NH H H 
(3.62)
cu energia proprie
0
iE . Coordonata de echilibru
iq se determină din relația
))( …)1( (1
0 0 iNV Vi qi  
 
. (3.63)
Utilizând reprezentarea integrală a funcției
 , formula ( 3.57) poate fi adusă la forma
 

fN N N dtitVf fVi W )(1
2
, (3.64)
unde
) exp() exp()( iHt ViHt tVN N  
. (3.65)
Deoarece
∑|𝑓><𝑓|
𝑓 este invariantă unitate ,
atunci suma respectivă poate fi înlocuită cu suma după stările proprii a le hamiltonianului
phot L l H H H H 0 0
. Utilizând relațiile Feynman [ 84], expon enta din ( 3.96) se exprimă în
felul următor:
𝑒−𝑖𝐻𝑡/ħ=𝑒−𝑖𝐻0𝑡
ħ𝑈(𝑡), (3.66)
unde
)ds)S(Hiexp(T e e)t(Ut
olL/iHt /tiHo 
 
(3.67)
este operatorul de evoluție, iar operatorul renormat
lLH se va scrie în forma :
     
     ) (* )( …)1(i i olL q q q NV V HH H 
(3.68)
și
)/ exp( )/ exp()(   SiH H SiH S Ho
lLo
lL  
, (3.69)

106
unde
LlTTT din (3. 67) este operatorul de aranjare cronologică [ 38].
Vom înlocui
) (iq q în (3.99) cu
q și astfel obținem operatorul
)(KV renormat :
iq NV V NV V      )( …)1( )( …)1(
. (3.70)
Din ( 3.63) și (3. 70) obținem:
0 )( …)1(  o o iNV Vi 
. (3.71)
În așa fel ( 3.64), după medierea fononică , se va scrie:
𝑊𝑁=1
ħ2∑ ∫𝑒𝑖𝜔𝑓𝑖𝑡∞
−∞⟨𝑖0|𝑉𝑁+|𝑓0⟩⟨𝑓0|𝑈(𝑡)|𝑓0⟩𝐿⟨𝑓0|𝑉𝑁|𝑖0⟩𝑑𝑡
𝑓0, (3.72)
unde
fi este frecvența Franck –Condon a tranziției i→f cu ajutorul cumulantei, adică:
)]( exp[ )( tg T ftUfo o 
>, (3.73)
unde

  
11 11
nt
o ct
onlL lLnn)t(H….)t(H(T dt…dt!n)i( )t(g
(3.74)
se numește cumulantă, iar
C… este media cumulantă. În [126] a fost demonstrat că ( 3.73)
poate fi reprezentată astfel:
dt tHtHT dtdtiT ftUft
oLlL lLt
oo o
L


   )( )( )(!21exp )(2 1 2 12

. (3.75)
Dacă efectuăm medierea fononică obținem:
  o lo L o o ftC Tf ftUf )]( exp[ )(
, (3.76)
unde
      

t
ot
ott tNV t VtNV t V dtdtitC
     ) ( *))(( …))(1( )(( …))(1( )(2 1 2*
2*
1 1 2 12

(3.77)
] exp[ ] exp[)1 ()(ti nti n t      
, (3.78)
unde
n este numărul mediu de fononi cu frecvența
 în starea de echilibru. Funcția C(t)
poate fi scrisă în felul următor:

  
jiijN
kk tC tC tC )( )( )(
1
. (3.79)
Componenta
)(tCij în (3.79) depinde de distanța între centrul i și centrul j și, după cum a fost
demonstrat în [ 25] în cazul densității mici a centrelor ,
)(tCij poate fi omisă din ecuație .

107
După cum a mai menționat , starea
oi și starea
of sunt starea inițială și , respective,
starea finală a sistemului din N centre , unele fiind acceptori și altele donori , și aceste stări sunt
produsul stărilor date, inclusiv starea fotonilor în vid, care intervin la transferul de energi e.
Astfel, (3.72) se va scrie:
  

 
ofN
ii fi o N o N dttg ti fVi W ])( [exp] exp[1
12
2

, (3.80)
unde
 ok k l ok k ftC Tf tg )( exp )]( exp[
, (3.81)
iar k indică centrul K ca fiind acceptor sau donor. Efectuând integrarea după t în (3.77), a fost
obțin ut:
   
 


  

  
 okfok ok
ok ok ok okok ok k )]tff (iexp[
ff ffitf)k(Vf )t(q 11 1
22
2

      ,n ff i exp
ff ffitU* kt
ok ok
ok ok ok ok 




 1112 
  
 
(3.82)
unde

/ok ok ok ok fE Ef ff  , (3.83)
iar
okEf și
okfE sunt nivelele energetice Stark în starea finală.
Introducem ( 3.82) în ( 3.80) și, în rezultatul integr ării după t, se obține probabilitatea
actului elementar de transfer a l energiei. Aici pot fi două cazuri:
a) Transfer de energie prin intermediul fononilor;
b) Transfer de energie electronic ă rezonantă .
Elementul de matrice
 o N o fVi din ( 3.80) poate fi calculat conform teoriei
perturbațiilor. Ordinul de calcul a l perturbațiilor depinde de numărul centre lor elementare
exist ente în cristal. Într-adevăr, operatorul transversal a l câmpului electromagnetic
)(kRd
poate fi exprimat prin operato rii de generare și anihilare [71]. Elementul de matrice diagonal
după stările fotonice în vid ( 3.61) este
0o NfVi , adică amplitudinea de tranziție
0 o N o o o fVi fMi
, de aceea trebuie aplicată teoria perturbațiilor de ordin superior
utilizând procese virtuale pentru care amplitudinea de tranziție să fie diferită de zero. În caz
general , amplitudinea de tranziție se va scrie:
〈𝑖0|𝑀|𝑓0〉=〈𝑖0|𝑉𝑁|𝑓0〉+∑〈𝑖0|𝑉𝑁|𝑟1〉〈𝑟1|𝑉𝑁|𝑓0〉
𝐸𝑓0−𝐸𝑟1𝑟1+∑∑〈𝑖0|𝑉𝑁|𝑟1〉〈𝑟1|𝑉𝑁|𝑟2〉〈𝑟2|𝑉𝑁|𝑓0〉
(𝐸𝑓0−𝐸𝑟1)(𝐸𝑓0−𝐸𝑟2)
𝑟2 𝑟1+⋯ (3.84)

108
Numărul total minim de stări virtuale
jr în (3.84), pentru care
0o o fMi , este de
N(N–1)/2. De exemplu , fie N=2. Prin urmare, a vem un donor și un acceptor. În acest caz se
utilizează termenul doi din (3 .84). Dacă N=3, atunci putem avea doi donori și un acceptor sau un
donor și doi acceptori, ceea ce înseamnă că se vor folosi stări le virtuale
1r ,
2r ,
3r , adică
termenul patru din ( 3.84). Pentru N=4 vom obține termenul cinci din (3 .84) etc. În caz general ,
pentru N centre se va utiliza termenul (N(N–1)/2)+1 și termenul respectiv se va introduce în
(3.80), adică
  o o o N o fMi fVi . În lucrarea [ 50] a fost calculat cazul N=2, iar în [52] –
cazul N=3. Vom nota în continuare:
9/),()( )(2 2 2RKAB A fMimo om
o o 
, (3.85)
unde
2)(Aom este p ătratul momentului dipolar efectiv în tranziția o→m a acceptorului A,
2)(Bmo
este pătratul momentului dipolar efectiv pentru donorul B, iar A(K,R) este
) 3()(2),(44 22 2 3RK RK R RKA  
. (3.86)
În formula (3 .86) R este distanța între donorul A și acceptorul B, K se calculează din relația
0E Ekm
. Formula dată este valabilă pentru orice R în cazul proceselor neradiative.
Din ( 3.86) putem obține cazuri le limită:
a) kR<<1. Se obține rezultatul interacțiunii dipol -dipol simultane [ 24, 25] sau așa -numit a
zonă cea mai apropiată;
b) kR>>1. Se obține o dependenț ă proporțională cu
21
R , care este identică cu dependența
radiativă.
Dacă în exprersia (3. 85) notăm
mm , atunci vom avea donor și acceptor identici și , prin
urmare, procesul de transfer se va produce fără fononi . În caz contrar , trebuie să fie implicați și
fononii conform relației (3.80).
Ideea utilizării neomogenității liniilor spectrale de absorbție se află la baza cercetări lor în
direcția creării calculatoarelor cuantice bazate pe impurități PR în cristale [ 132]. Operațiile
logice asupra ionilor PR se efectuează prin linia de absorbție neomogenă. Timpul necesar pentru
efectuarea operațiilor logice trebuie să fie mai mic decât timpul mediu
 de aflare a ionilor PR în
starea excitată:
N nonrad rad W W W 1
, (3.87)

109
unde
radW este probabilitatea de iradiere,
nonradW este probabilitatea tranziții lor multifononice în
centrul impuritar PR. Deoarece lărgimea liniei spectrale neomogene este de ordinul 10 cm,
transferul de energie între donor și acceptor ( N=2) va avea un c aracter cva sirezonant și pentru
funcționarea eficientă a calculatoarelor cuantice este necesar să fie mare, ceea ce înseamnă că
probabilitățile W ar trebui să fie mici. De exemplu, pentru a micșora
2W concentrația impurității
de PR în cristale trebuie să fie mic ă. Astfel, trebuie efectuate calculele teoretice a le proba bilității
cu scopul determinării tipului cristalului și impurității de PR, care ulterior pot fi alese ca suport
pentru realizarea calculatoarelor cuantice . Probabilitatea
2W pentru transferul rezonant a l
energiei se obține prin ut ilizar ea aproximației rezonante la calculul seriei perturbaționale ale
operatorului de evoluție
)t(U din (3.67). Așa dar, pentru un donor D și un acceptor A obținem
(T=0):
 
ofi fo oE EfMi W
41
2 22
2 2
, (3.88)
unde
 



 
A A DD AAr r rf ifD D
rf ifA A rDVf rAV Kf
  

 2 2
2| |)(| | | |)(| 1

, (3.89)
Γ=2𝜋
ℏ2(∑|⟨𝑓𝐴|𝑉𝜒(𝐴)|𝑟𝐴⟩|2⋅𝛿(Ω𝑖𝑓+Δ𝑓𝐴𝑟𝐴)
𝜒𝑟𝐴
+∑|⟨𝑓𝐷|𝑉𝜒(𝐷)|𝑟𝐷⟩|2⋅𝛿(Ω𝑖𝑓+Δ𝑓𝐷𝑟𝐷−𝜔𝑛)
𝜒𝑟𝐷). (3.90)
Putem obține expresia pentru
2W asemănătoare cu ( 3.88) din ( 3.80), dacă g(t) se înlocuiește cu
formula asimptotic ă corespunzătoare [38]. Însă în acest caz
 ~
) (nw , iar numitorul
 ~
ri1
. Prin urmare, sumarea seriei perturbaționale pentru operatorul
)t(U în aproximația
rezonanței ne conduce la un rezultat calitativ nou.

110
3.3. Modelu l hamiltonianului de interacțiune multipolar ă a ionilor
3.3.1. T ransferul rezonant de energie între patru centre în cristale dopate cu ioni PR

Vom cerceta, în cazul cel mai general, procesul TRE pentru patru centre în formalismul
Hamiltonianului de interacțiune multipolar ă de interacțiune a ionilor cu componenta transversală
a câmpului electromagnetic local [65]. Determin ăm rata de transfer
 folosind regula de aur a lui
Fermi:
 2)/2(fiM
, (3.91)
unde
 este densitatea stărilor finale ale acceptorului. În ceea ce urmează se introduce
formalismul electrodinamicii cuantice pentru calculul elementului de matrice ce conectează
starea inițială
i la starea finală
f .
Fie că există în vecinătatea acceptorului trei excitații aparținând moleculelor donoare (D1,
D2, D3) chimic identice, care evoluează din starea excitată
1 spre starea fundamentală
0 .
Molecula acceptor A evoluează din starea fundamentală
0 spre starea excitată
1 printr -un
transfer de energie din partea donorilor. Moleculele D1, D2, D3 sunt considerate chimic identice,
însă distincte în procesul de calcul, astfel lu ându -se în considerație posibilitatea transferului nu
numai de la vecinii cei mai apropiați, dar și de la toate moleculele (în cazul cristalelor dopate cu
PR3+ simetria este hexagonală). Condiția de rezonanță rezidă în egalitatea
a dE E10 103 , unde
dE10
este energia cedată de donor, iar
aE10 este cea primită de acceptor. Folosind formalismul
electrodinamicii cuantic e, transferul este realizat prin intermediul schimbului de fotoni virtuali
pe care îi vom nota cu
),p(p , unde
p este impulsul fotonului, iar
 este polarizarea lui.
Moleculele cuplate la câțiva propagatori fotonici trec prin stări intermediare sau virtuale notate
cu a, b.
Hamiltonianul complet al sistemului poate fi scris sub forma:

   
ADDDrad
ADDDH H H H
,,,)(
int
,,,)(
3 2 1 3 2 1 

, (3.92)
unde
)(H este hamiltonianul moleculei
 ,
radH este hamiltonianul c âmpului electromagnetic,
iar
)(
intH este hamiltonianul de interacțiune a moleculei
 cu componenta transversală a câ mpului
electromagnetic local. În aproximația dipolară operatorul respectiv are forma:
)R(d)( Htr )(
int 1
0
, (3.93)

111
unde
)( este operatorul momentului electric dipolar al tranziției cercetate, iar
R este vectorul
poziți ei moleculei
 . Operatorul vectorul ui transversal de deplasare a câ mpului electromagnetic
)R(dtr
poate fi dezvoltat în termenii unde i plane:
   


pRpi * Rpi tre)p(a)p(e e)p(a)p(eiVcp)R(d   21
0
2
. (3.94)
Aici
)p(e reprezintă vectorul de polarizare, a+(a) sunt operatorii de generare (anihilare), iar V
este volumul de cuantificare.
Amplitudinea de probabilitate sau elementul de matrice între starea inițială
i și finală
f
este c alculat în ordinul șase al teoriei perturbațiilor, corespunzând celor trei evenimente de creare
și de anihilare a fotonilor virtuali:

tsrqp t i s i r i q i p ifiEEEEEEEEEEiHttHssHrrHqqHpp HfM
,,,,int int int int int int
) )( )( )( )( (
, (3.95)
unde En este energia stării
n =
nn n n nradADDD ,,,3 2 1 . Suma în formula (3. 95) se efectuează
după setul complet al stărilor intermediare, care po t fi generate prin permutarea evenimentelor
din diagramel e prezentate în Figura 3. 1.

Fig. 3.1. Exemple de diagrame ce corespund diferitor mecanisme de transfer, care
generează setul complet de stări intermediare prin permutarea evenimentelor [65].

112
Diagramele au fost obținute din considerente topologice care indică două posibilități ale
construcției diagramelor conexe cu patru centre: trei propagatori fotonici pot fi cuplați la un
capăt cu un propagator molecular, care intervine formal în calitate de „acceptor” , și cu celălalt
capăt la restul propagatorilor moleculari „donori” și mai poate fi posibilitatea în care un
propagator molecular – „donor direct” este cuplat la un altul – „acceptor”, iar un „donor indirect”
se cuplează la un „acceptor” prin intermediul a ltui donor. Făcând distincție între molecule ,
obținem patru diagrame de primul tip și douăsprezece de al doilea tip, care sunt indicate în
Figura 3.1 . Fiecare tip prin permutare generează o clasă de 6!=72 0 diagrame. Setul complet al
stărilor intermediare c uprinde în total 11520 diagrame.
Să analizăm , de exemplu , contribuția de la o singură diagramă. Vom considera prima
diagramă din Fig ura 3 .1. Această diagramă
 poate fi reprezentată prin următoarea succesiune
de evenimente:
),,,,,(1 2 3 3 2 1 aaaddd
. (3.96)
Starea inițială și finală a sistemului este univoc determinată de următoarele expresii:
.E E , A,D,D,D f,E E , A,D,D,D i
A
DA
D
1 0 f1 0
30
20
10 1 i0 1
31
21
1
3 E 03 E 0
  

Aici starea
0 este inclusă pentru plenitudine și indică vidul câ mpului electromagnetic unde nu
sunt prezenți fotoni reali. După fiecare eveniment din diagramă sistemul trece într -o nouă stare ,
așa cum se vede din relația (3. 95). Astfel, după emisia primului foton în D1, sistemul trece î n
starea
p definită de vector ii
.cp E E E E E, A,D,D,D pA D D D
p 1 0 1 1 0 1 01
31
20
13 2 11   Apoi
sistemul trece succesiv prin stările
q și
r cu dezexcitarea succesivă a donorilor D2 și D3:

21 01
30
20
1 1,1,,, ADDD q ,
) (2 1 0 1 0 03 2 1ppc E E E E EA D D D
q   ,
321 00
30
20
1 1,1,1,,, ADDD r
,
) (3 2 1 0 0 0 03 2 1p ppc E E E E EA D D D
r   .
În continuare, după cum se vede din diagramă, fotonii p3, p2, p1 sunt anihilați de acceptorul A,
care evoluează prin stările intermediare a și b:
210
30
20
1 1,1 ,,,aADDD s
,
) (2 1 0 0 03 2 1ppc E E E E EA
aD D D
s   ,
10
30
20
1 1 ,,,bADDD t
,
1 0 0 03 2 1cp E E E E EA
bD D D
t  .
Pentru a studia mai ușor construcția amplitudinii de probabilitate pentru fiecare diagramă ,
vom prezenta mai jos rezultatele unor etape a le procesului de calcul. La crearea unui foton cu
impuls ul
p și polarizare a
 în poziția
R elementul de matrice pentru ha miltonianul
intH este

113

Rpi )(*
i i int e)p(eVcpi H 
02. D acă fotonul se anihilează , atunci elementul
corespunzător de matrice va fi
Rpi )(
i i int e)p(eVcpi H 
02 . Numitorul ecuației ( 3.95)
(𝐸𝑖−𝐸𝑝) (𝐸𝑖−𝐸𝑞)(𝐸𝑖−𝐸𝑟)(𝐸𝑖−𝐸𝑠)(𝐸𝑖−𝐸𝑡) se obține din expresiile:
1 101cp E EED
p i 
,
) (2 1 10 102 1ppc E E EED D
q i  
,
) (3 2 1 10 10 103 2 1p ppc E E E EED D D
r i  
,
) (2 1 0 10 10 103 2 1ppc E E E E EEA
aD D D
s i  
,
1 0 10 10 103 2 1cp E E E E EEA
bD D D
t i 
.
După aplicarea formulei ( 3.95), aportul
)(
fiM pentru diagram a
 la amplitudinea totală de
probabilitate va fi:
 



3213 2 13
32
21
1)(1)( )(0 )(01)(01)(01
2 3
0321 )(
)() 2( pppAb
jAba
jAa
jD
iD
iD
i fic VpppM 


)p kk)(p p kk(e
)p p pk)(p pk)(pk()p(e)p(e)p(e)p(e)p(e)p(e
b aRipRipRip
j j j*
i*
i*
i
1 2 1 3 2 1 2 1 13 2 1 3 2 1
3 3 3 233 22 11
3 2 1 3 2 1

,
unde

y x xy E E E ,
ck E EA D3 310 10 ,
A D i R RR
i ,
y xxy )( )(    . Sumând toate 11520
de diagrame și divizâ ndu-le în clase , precum și ținând cont de relații
ji ij)*(
j)(
i pp )p(e)p(e    

,

pVpd
V33
)2(1lim , s-au obținut următoarele expresii pentru
amplitudinea de probabilitate:
  
i ji jiDA
DDD
AD A
fij
ij i iM M M M M
, ,),( ) ( )( )( ,
, (3.97)
unde, de exemplu:
)R,k(V)R,k(V)R,k(V),,( )D()D()D( Mji ji ji)A)( )((
jjj i i i)A(
3 2 1103
301
201
101
33 22 11 321 3 2 1   
, (3.98)
)R,k(V)R,k(V)R,k(V),,( )A()D()D( Mji ji ji)D)( )((
jjj i i i)D(
1 13 12013 10
301
2013 3
33 22 111
321 3 2 11   
, (3.99)
)R,k(V)R,k(V)R,k(V) ,( ),( )D()D( Mji ji ji)A)( )((
jj)D)( )((
jj i i)D,D(
A 1 13 2102 012
301
2012 2 2
33 22 11 131
32 2 13 2     
, (3.100)
)R,k(V)R,k(V)R,k(V), ( ),( )D()A( Mji ji ji)D)( )((
jj)D)( )((
jj i i)D,A(
D 1 13 2012 012
301 012 3 32 2
33 22 112
131
32 2 13
2     
, (3.101)
Aici
i sunt elementele de matrice ale momentelor dipolare de tranziție între stările
 și
 ,
iar
ij și
ijk sunt tensorii absorbției bifonice și trifotonice , respectiv:

114

 




 



2 12 1 ) , ( 
ii
if
j
ii
jf
i fi
ijE E, (3.102)
 




 





1 21 22
3 13 12
3 22 32
3 2 1


ii)(
ijf
k
ii)(
kif
j
ii)(
jkf
i fi
ijkE) , (
E) , (
E) , () , , (
.
(3.103)
În relațiile (3. 98) – (3.101)
)R,k(Vij este potențialul electric dipolar retardat de interacțiune
după Andrews:
   kRcosRkRR kRsinkR kRcosRRR)R,k(Vji ij ji ij ij22
3
0341   
     
. (3.104)
Pentru interval e mici acest cuplaj depinde de distanță ca
3R . În calcule „distanțe mici” po t
însemna mai puțin de 100 Å. Devierile de la această dependență , adică termenii c e conțin
kR și
2)kR(
, cresc odată cu distanța
R . Rata de transfer
 se obține introducând elementul de matrice
(3.97) în regula de aur a lui Fermi (3.91). Dacă condiția de rezonanță este satisfăcută doar
aproximativ, atunci TRE are loc numai cu emisia sau absorbția de fononi. Rata de transfer ( 3.91)
poate fi calculată folosind ca aproximație același element de matric e (3.97), însă calculul lui

necesită considerarea interacțiunii electron -fononice. O includere eficientă a acestei contribuții o
constituie aproximația interacțiunii electron -fononice rezonante [82], care va fi examinată în
paragraful următor.
Claselor de diagrame deduse mai sus le corespund patru mecanisme distincte, însă care pot
fi grupate două câ te două după structura lor. Primele două, reprezentate în Fig ura 3. 2 , sunt
procese colective ireductibile de ordinul șase, ceea ce se poate observa direct atât din diagramele
corespunzătoare , cât și din prezența în
)(M a tensorului absorbției trifotonice. În primul caz,
acceptorul , fiind cuplat la donori, primește direct energia de excitație, iar în cel de -al doilea caz –
cuplajul are loc numai cu un singur donor, pe care energia se transferă înainte de desfășurarea
procesu lui. Le vom numi , respective, mecanism ireductibil direct (IR -D) și indirect (IR -IN).
Celelalte două sunt la fel procese de ordinul șase, însă reductibile structural, nu însă și
fenomenologic , la două procese de ordinul patru . Diferența între ele este aceeași ca și în cazul
precedent. Le vom numi mecanism e reductibil direct (R-D) și indirect (R -IN). Mecanismul D
predomină în fenomene de pompare a energiei de la donori la acceptori. Mecanismul IN
prevalează în procesele de tran sfer a două excitații. Dependența fiecărui mecanism de distanțele
dintre centre și de geometria transferului pentru probabilități semnificative este ilustrată în
Figura 3.3, unde fiecare segment ce unește două centre reprezintă distanța dintre ele.

115

Elementele de matrice ale operatorului dipolar pentru tranzițiile electronilor din învelișul f
a ionilor PR3+ sunt egale cu zero , dacă calculul lor are loc în cadrul aceluiași model al atomului
cu două nivele. Tranzițiile sunt posibile din cauza perturbați ei exercitate de nivelele superioare.
Calculul lor este dificil și , de obicei , se recurge la o abordare semi -empirică , utilizându -se
parametrii Judd [ 104]. Întroducînd elementele de matrice ( 3.97) în ( 3.91) și ridicându -le la pătrat ,
se obțin , pentru o orientare mutuală spațială fixă a dipolilor centrelor , expresiile pătratelor
Fig. 3.2. Mecanisme de transfer: IR și R denotă ireductibil și reductibil, D și IN –
mecanismul direct și indirect, respectiv [65].
Fig. 3.3. Reprezentarea schematică a dependenței amplitudinii de probabilitate de
distanțele dintre centre [65].

116
momentelor dipolare
2)(fi . Dacă ținem cont de faptul că stările inițială și finală au următoarea
formă în baza reprezentării ireductibile a grupului de simetrie a centrului:

|𝛼⟩=∑𝑎𝑀𝛼|𝐽𝛼,𝑀𝛼⟩
𝑀𝛼, (3.105)
atunci aceste elementele de matrice pot fi aduse la următoarea form ă [75, pp.430 -433]:
  

ji f i i j f f
MMJUJ MJ MJ
i f 6,4,22 2
, 
 
, (3.106 )
unde
U sunt tensorii sferici ireductibili,
 sunt parametrii Judd cu valori tabulate în tabelele
respective ,
J indică dimensiunea reprezentării,
M este indicele de degenerare a nivel elor
energetic e în raport cu simetria de rotație, iar
 poate primi valorile i sau f.
Structura nivelelor energetice ale centrelor influențeaz ă puternic forma detaliată a
rezultatelor prin modifi carea tensorilor absorbției bifotonice și trifotonice . La calculul tensorilor
)(fi
ijk
și
)(fi
ij vom considera c ă tranzițiile sunt condiționate numai de nivelele i și f , deci vom
opera cu un model al atomilor cu două nivele. Această situație deseori apare atunci când nivelul
inferior al tranziției este nivelul fundamental al învelișului electronic f sau c ând celelalte nivele
sunt suficient de îndepărtate ca să îndeplineas că rolul de imagine. Cazul unor nivele intermediare
nu este cercetat , deoarece procesul se reduce la o interacțiune în trepte a patru centre . Prezența
unei diferențe semnificative între dipolii statici a i stărilor inițiale și finale este o condiție absolut
necesară pentru desfășurarea procesului TRE colectiv , exercit ând o influență considerabil ă
asupra valorii probabilității. Pentru a îndeplini condițiile sus -menționate , vom separa tensorii de
absorbție în două părți, termenul guvernant asociat cu transferu l de sarcină
)(TS , și un termen
puțin semnificativ și neglijabil,
)(YF , asociat cu zgomotul de fundal:
)( )( )(   ZF TS fi
, (3.107)
unde, de exemplu, pentru tensorul absorbției bifotonice la acceptor din starea
0 în starea
1
vom avea:

 
1.0)(0 )(1 )(0 )(1
)(
) ( 
kkcA
iA
jA
jA
i AZF
ij
(3.108)
și, explicit:
ckd dA
iA
jA
jA
i ATS
ij)()(10 )()(10
)( 
, (3.109)
unde am introdus diferența
Ad între dipolii statici ale stărilor finale și inițiale:

117

)(00 )(11 A A Ad . (3.110)
În conformitate cu cele spuse mai sus , se poate considera
)( )(10 ATS A
ij . Același lucru poate fi
repetat și pentru tensorul absorbției trifotonice:

 
1.00 1 0 1 0 1
)(
) 2() (
  
kkcij k ki j jk i AZF
ijk

și, respectiv:
ckA
ijA
kA
kiA
jA
jkA
i ATS
ijk)(10)(11 )(10)(11 )(10)(11
)( 
. (3.111)
În acest caz dependența de dipolii statici a i stărilor inițiale și finale este și mai sensibilă. Este util
să evidențiem considerente le de simetrie în prezen tarea tensorilor de absorbție în procesul de
transfer a patru centre. Pentru a studia integral structura tensorilor este comod să -i descompunem
în componentele ireductibile și să determinam reguli le de transformare. Com parându -le cu
reprezentările din care fac parte stările finale și inițiale , putem determina care tranziții sunt
permise și care sunt interzise. De exemplu, pentru tensorul absorbției bifotonice vom avea:
)2( )1( )0(
2 1)(10) , (ij ij ij ij ij 
, (3.112)
unde comp onentele
)2( )1( )0(,,ij ij ij se transformă sub acțiunea grupului de rotație SO(3) ca
componentele uni scalar, pseudovector și tensor simetric cu urma nulă. Ei pot fi scriși explicit în
forma:
kkij ij31)0(
, (3.113)
) (21)1(
ij ij ij  
, (3.114)
kkij ijij ij 31) (21)2( 
. (3.115)
La fel se poate reprezenta și tensorul absorbției trifotonice în componentele sale ireductibile.
Regulile de selecție, determinate de simetria stărilor inițiale și finale , deci de simetria cristalului,
stabilesc opțiunile pentru mecanismele de reductibilitate diferită, deoarece este clar ca produsul
de tensori de absorbție de ordin mai inferior , reprezenta ți de procesele reductibile, se transformă
diferit de tensorii de absorbție de ordin superior, reprezentați de procesele ireductibile.

118
3.3.2. Modelarea interacțiunii electron -fononice de rezonanță pentru ioni i de pământ uri
rare în cristale laser

Cercetarea re prezintă o abordare atât teoretică [82] asupra problemei interacțiunii electron –
fononice (IEF) în aproximația de cvasirezonan ță pentru ionii de păm ânturi rare (PR) în cristale
laser, precum și este dezvoltat în acest context aspectul de modelare a IEF, care a fost propusă în
lucrarea [ 118]. Sunt prezentate expresiile pentru ab sorbția sau emisia form -liniei , iar modelul
teoretic este aplicat pentru a explica unele caracteristici spectrale ale tranzițiilor observate
experimental [5, 82, 118 ].
Problema este de a obține form -funcția liniei a absorbției sau emisia luminii de frecvență Ω
între cele două stări ale sistemului electron -fonon ic în condiții apropiate de rezonanță
(cvasirezonanță) . Hamiltonianul total H = H L + H e + V, conține hamiltonianul electronic He ,
hamiltonianul de vibrație HL și hamiltonianul de interacție electron -fononi că V. Hamiltonianul de
interacție poate fi scris , în primul r ând, ca
𝑉=∑(𝑣𝑘𝑎𝑘+𝑣𝑘∗𝑎𝑘+) , (3.116 )
𝑘
Aici k = ( 𝑘⃗⃗, 𝜇) caracterizează fononii, 𝑘⃗⃗ fiind impulsul fononic și 𝜇 ramura vibrației, iar 𝑎𝑘 , 𝑎𝑘+
denotă operatorii de anihilare și de creare și 𝑣𝑘 operatori electronici. În cazul în care |𝑠⟩ și |𝑝⟩
sunt funcțiile proprii ale Hamiltonianului total H = H L + H e + V și |𝑠⟩ este starea inițială, atunci
se poate scrie form -funcția liniei pentru absorbția luminii de frecvență Ω în modul următor:
𝐹(Ω)=∑│⟨𝑝|𝑑|𝑠⟩│2
𝑝𝛿(Ω−Ω𝑝𝑠), (3.117)
unde Ω𝑝𝑠=𝐸𝑃−𝐸𝑠 și 𝑑 este operator electronic de tranziție. Folosind formula
𝛿(Ω−Ω𝑝𝑠)=1
𝜋𝑅𝑒∫𝑒𝑥𝑝[𝑖(Ω𝑝𝑠−Ω)𝑡−𝛾𝑡]𝑑𝑡 , (3.118)+∞
0
unde 𝛾 este lărgimea intrinsecă a liniei, form -funcția liniei devine:
𝐹(Ω)=1
𝜋𝑅𝑒∫𝐼(𝑡)𝑒𝑥𝑝[−𝑖Ω𝑡−𝛾𝑡]𝑑𝑡 (3.119)+∞
0
cu
𝐼(𝑡)=∑⟨𝑠|𝑑+|𝑝⟩𝑒𝑖(𝐸𝑃−𝐸𝑠)𝑡
𝑝⟨𝑝|𝑑|𝑠⟩, (3.120 )
scrisă cu 𝐼(𝑡)=∑⟨𝑠|𝑑+|𝑝⟩𝑝 ⟨𝑝|𝑒𝑖𝐻𝑡𝑑 𝑒−𝑖𝐻𝑡|𝑠⟩. În notația 𝑑(𝑡)=𝑒𝑖𝐻𝑡𝑑 𝑒−𝑖𝐻𝑡 , formula (3. 120)
devine [38]:

119
𝐼(𝑡)=⟨𝑠|𝑑+𝑑(𝑡)|𝑠⟩. (3.121 )
Operatorul unita te poate fi scris ca o sumă după funcțiile proprii ale hamiltonianului nepert urbat
𝐻0= 𝐻𝐿+ 𝐻𝑒:
𝐼=∑│𝑟;…𝑛𝑘′…⟩
𝑟,𝑛𝑘′⟨𝑟;…𝑛𝑘′…| , (3.122 )
unde 𝑟 reprezintă stările electronice și 𝑛𝑘′ este numărul de ocupare a stării fononice cu vectorul
de undă 𝑘.
Dacă presupunem că nivelul inițial este neperturbat de interacțiunea electron -fonon ică,
atunci starea inițială |𝑠⟩ este funcția proprie pentru 𝐻0= 𝐻𝐿+ 𝐻𝑒 și poate fi scrisă ca
│𝑖;…𝑛𝑘…⟩, unde 𝑖 este starea electronică inițială și 𝑛𝑘 este numărul de ocupare a stării fononice
cu vectorul 𝑘.
În reprezentarea de interacțiune avem:
exp(𝑖𝐻𝑡)=exp(𝑖𝐻0𝑡)𝑈(𝑡), (3.123 )
unde 𝑈(𝑡) este operatorul de evoluție definit de expresia:
𝑈(𝑡)=∑(𝑖
ℎ)𝑛1
𝑛!∫…∫𝑇[𝑉(𝑡1)…𝑉(𝑡𝑛)]𝑡
0𝑡
0∞
𝑛=0𝑑𝑡1…𝑑𝑡𝑛 (3.124 )
și
𝑉(𝑡)=exp(𝑖𝐻0𝑡)𝑉exp(−𝑖𝐻0𝑡). (3.125 )
Substituind ( 3.123) în ( 3.121), rezultă că
𝐼(𝑡)= ∑ ⟨𝑖;…𝑛𝑘…|𝑑+|𝑓;…𝑛𝑘′…⟩⟨𝑓;…𝑛𝑘′…|𝑒𝑖𝐻0𝑡𝑈(𝑡)𝑑 𝑈+(𝑡) 𝑒−𝑖𝐻0𝑡|𝑖;…𝑛𝑘…⟩
𝑓,𝑃( 𝑛𝑘′)(3.126 )
Deoarece operatorul electronic acționează numai pe componenta electronică, se poate scrie:
𝐼(𝑡)=∑⟨𝑖|𝑑+|𝑓⟩𝑒𝑖(𝐸𝑓−𝐸𝑖)𝑡⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡)𝑑 𝑈+(𝑡)|𝑖;…𝑛𝑘…⟩
𝑓. (3.127 )
Deoarece s -a consider at că starea inițială nu interacționează cu celelalte stări și, utilizând relația
𝑈+=𝑈−1, rezultă că
𝑈+(𝑡)│𝑖;..𝑛𝑘…⟩=│𝑖;..𝑛𝑘…⟩. (3.128 )
Prin urmare, utilizând expresia ( 3.122), obținem :
𝐼(𝑡)=∑⟨𝑖|𝑑+|𝑓⟩𝑒𝑖(𝐸𝑓−𝐸𝑖)𝑡⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡)|𝑟;…𝑛𝑘…⟩⟨𝑟|𝑑|𝑖⟩
𝑓,𝑟. (3.129)
Printre termenii ⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡)|𝑟;…𝑛𝑘…⟩, cei mai mari sunt pe diagonală, astfel încât:
⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡)|𝑟;…𝑛𝑘…⟩=𝛿𝑓,𝑟⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡)|𝑓;…𝑛𝑘…⟩ , (3.130 )
fiind introdu să în ( 3.129) și (3.119) conduce la următoarea formă a funcției form -liniei:

120
𝐹(Ω)=1
𝜋∑│⟨𝑖|𝑑|𝑓⟩│2
𝑓 𝑅𝑒∫𝑒𝑥𝑝[𝑖(𝐸𝑓−𝐸𝑖−Ω)𝑡+∞
0
−𝛾𝑡]⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡)|𝑓;…𝑛𝑘…⟩. (3.131 )
Notând 𝑈𝑓=⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡)|𝑓;…𝑛𝑘…⟩ și utilizând transforma rea Laplace
𝑈𝑓̃(𝑝)=∫𝑈𝑓(𝑡)+∞
0exp(−𝑝𝑡)𝑑𝑡, (3.132 )
se ajunge la relați a
𝐹(Ω)=1
𝜋∑│⟨𝑖|𝑑|𝑓⟩│2𝑅𝑒𝑈𝑓̃(𝑝), 𝑝=𝑖(Ω+Ω𝑖,𝑓)+𝛾. (3.133 )
𝑓
Deoarece 𝑈(𝑡) satisface ecuația [28]
𝑈(𝑡)=1−𝑖
ℎ∫𝑑𝑡1𝑉(𝑡1)+(−𝑖
ℎ)2
∫𝑑𝑡1∫𝑑𝑡2𝑉(𝑡1)𝑉(𝑡2)𝑈(𝑡2), (3.134 )𝑡1
0𝑡
0𝑡
0
putem obține că
𝑈𝑓(𝑡)=1+∑ (−𝑖
ℎ)2
∫𝑑𝑡1∫𝑑𝑡2𝑡1
0𝑡
0 𝑟,𝑃( 𝑛𝑘′)⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑉(𝑡1)𝑉(𝑡2)|𝑟;…𝑛𝑘′…⟩
∙⟨𝑟;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡2)|𝑓;…𝑛𝑘…⟩. (3.135 )
Utilizând aproximația ( 3.130) avem:
𝑈𝑓(𝑡)=1+(−𝑖
ℎ)2
∫𝑑𝑡1∫𝑑𝑡2𝑡1
0𝑡
0⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑉(𝑡1)𝑉(𝑡2)|𝑓;…𝑛𝑘…⟩
∙⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑈(𝑡2)|𝑓;…𝑛𝑘…⟩. (3.136 )
Primul termen de sub integrală poate fi ușor calculat utilizând ( 3.122) și, folosind iarăși ( 3.116)
și (3.125), expresia primește forma:
⟨𝑓;…𝑛𝑘…|𝑉(𝑡1)𝑉(𝑡2)|𝑓;…𝑛𝑘…⟩
=∑│⟨𝑓|𝑣𝑘|𝑟⟩│2
𝑟,𝑘{(𝑛𝑘+1)𝑒𝑥𝑝[𝑖(∆𝑓,𝑟−𝜔𝑘)(𝑡1−𝑡2)]
+𝑛𝑘𝑒𝑥𝑝[𝑖(∆𝑓,𝑟+𝜔𝑘)(𝑡1−𝑡2)]}. (3.137 )
Diferențiind ( 3.136) și substituind (3. 137), se obține următoarea ecuație:

121
𝑑𝑈𝑓(𝑡)
𝑑𝑡=−1
ℎ2∑│⟨𝑓|𝑣𝑘|𝑟⟩│2
𝑟,𝑘{(𝑛𝑘+1)∫𝑑𝑡1𝑡
0𝑒𝑥𝑝[𝑖(∆𝑓,𝑟−𝜔𝑘)(𝑡−𝑡1)]𝑈𝑓(𝑡1)
+𝑛𝑘∫𝑑𝑡1𝑒𝑥𝑝[𝑖(∆𝑓,𝑟+𝜔𝑘)(𝑡1−𝑡2)]𝑡
0𝑈𝑓(𝑡1)}. (3.138 )
Aplicând transformata Laplace, obținem ecuația:
𝑝𝑈𝑓̃(𝑝)−1=1
ℎ2∑│⟨𝑓|𝑣𝑘|𝑟⟩│2
𝑟,𝑘{(𝑛𝑘+1)𝑈𝑓̃(𝑝)
𝑝+𝑖(∆𝑓,𝑟−𝜔𝑘)
+𝑛𝑘𝑈𝑓̃(𝑝)
𝑝+𝑖(∆𝑓,𝑟+𝜔𝑘)}, (3.139 )
care are soluția
𝑈𝑓̃(𝑝)={𝑝+1
ℎ2∑│⟨𝑓|𝑣𝑘|𝑟⟩│2
𝑟,𝑘[𝑛𝑘+1
𝑝+𝑖(∆𝑓,𝑟−𝜔𝑘)+𝑛𝑘
𝑝+𝑖(∆𝑓,𝑟+𝜔𝑘)]}−1
. (3.140 )
Utilizând ( 3.140), putem scrie forma finală pentru form -funcția liniei ( 3.133):
𝐹(Ω)=1
𝜋∑│⟨𝑖|𝑑|𝑓⟩│2
𝑓𝛾+𝛤𝑓(Ω)
[Ω−Ω𝑓,𝑖−𝛴𝑓(Ω)]2+[𝛾+𝛤𝑓(Ω)]2 . (3.141 )
Neglijând lățimea intrinsecă 𝛾, putem scrie:
𝛤𝑓(Ω)=𝜋
ℎ2∑│⟨𝑓|𝑣𝑘|𝑟⟩│2
𝑟,𝑘[(𝑛𝑘+1)𝛿(Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟−𝜔)
+𝑛𝑘𝛿(Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟+𝜔)] (3.142 )
𝛴𝑓(Ω)=1
ℎ2𝑃∑│⟨𝑓|𝑣𝑘|𝑟⟩│2
𝑟,𝑘[𝑛𝑘+1
Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟−𝜔𝑘+𝑛𝑘
Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟+𝜔𝑘]. (3.143 )
Dacă vom trece de la sume la integrale și vom utiliza densitatea stărilor fononice , obținem:
𝛤(Ω)=𝜋
ℎ2∑∫𝐴𝑟(𝜔)𝜌(𝜔){[𝑛(𝜔)+1]𝛿(Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟−𝜔) ∞
0𝑟
+𝑛(𝜔)𝛿(Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟+𝜔)}𝑑𝜔, (3.144)
𝛴(Ω)=1
ℎ2∑𝑃∫𝐴𝑟(𝜔)𝜌(𝜔)∞
0 𝑟[𝑛(𝜔)+1
Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟−𝜔+𝑛(𝜔)
Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟+𝜔]𝑑𝜔, (3.145)
unde 𝜌(𝜔) indică densitatea stărilor fononice, iar 𝐴𝑟(𝜔) reprezintă elementul de matrice al
interacțiunii electron -fononice mediată după fononii cu frecvența 𝜔. Conform expresiei ( 3.141),
𝛤(Ω) reprezintă lărgirea form -liniei, iar 𝛴(Ω) este deplasarea ei. Despicarea este data de ecuația
[6]:

122
Ω−Ω𝑓,𝑖−𝛴𝑓(Ω)=0. (3.146 )
În cazul în care rezonanța implică doar un fonon 𝜔0(vezi Figura 3.4 [82]), densitatea fononilor în
jurul acestui maxim poate fi aproximată ca
𝜌(𝜔)=𝑎𝛿(𝜔−𝜔0)+𝜌′(𝜔) (3.147)

Fig.3.4 . Modelul schematic pentru efect ele în condiții apropiate de rezonanță , ∆𝑓,𝑟~𝜔0.

cu o mică deviere 𝜌′(𝜔) de la funcția 𝛿, pentru 𝜌′(𝜔) neglijabilă avem:
𝛴(Ω)=𝐵[𝑛(𝜔0)+1
Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟−𝜔0+𝑛(𝜔0)
Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟+𝜔0], (3.148 )
unde
𝐵=𝑎∗𝐴(𝜔0)
ℎ2 .
La temperature joase, 𝑇=0°𝐾, ecuația se transformă în
𝛴(Ω)=𝐵
Ω−Ω𝑓,𝑖+∆𝑓,𝑟−𝜔0 . (3.149 )
Substituim (3 .149) în (3. 146) și obținem ecuația pentru temperaturi joase:
Ω′−∆𝑓,𝑟−𝐵
Ω′−𝜔0=0 , (3.150 )
unde Ω′=Ω−Ω𝑟,𝑖, adică energia se măsoară de la nivelul intermediar r. Ecuația (3.1 50)
primește soluția
Ω1,2′=∆𝑓,𝑟+𝜔0
2 ±1
2[(∆𝑓,𝑟−𝜔0)2+4𝐵]1
2. (3.151)
Dacă lățimea liniei dintre cele două componente despicate este egală, atunci raportul dintre
intens itățile celor 2 vâ rfuri îndeplinesc condiția:
𝐼1
𝐼2=Ω2′−∆𝑓,𝑟
∆𝑓,𝑟−Ω1′ . (3.152 )

123
Din datele experimentale pentru Ω1′ , Ω2′ și 𝐼1𝐼2⁄ pot fi determinate 𝜔0, ∆𝑓,𝑟 și 𝐵. Problema
cvasi rezonan tă în cazul cu mai mulți fononi este ușor de extins. Pot fi luate în considera ție
diferite forme ale spectrului fononic în apropierea frecvenței de rezonanță și, în particular, o
formă a liniei de tip Lorentzian .
Acest model teoretic este folosit în continuare pentru obținerea nivelelor energetice pentru
Yb3+ în YAG. Spectrele de absorbție pentru Yb3+ în YAG la diferite temperaturi au fost măsurate
cu un sistem de rezoluție înaltă. Deoarece Yb3+ (4f13) înlocuiește în YAG Y3- pozițiile
dodecahedrale de simetrie local ă D2, atunci 2 multipleți 2F7/2 (fundamental) și 2F5/2 (excitat ) se
despică în 4 și 3 dublete Stark, respectiv. În Fig ura 3. 6(a) este prezentat spectrul de absorbție la
10K, c are corespunde tranzițiilor 2F7/2 →2F5/2 pentru Yb3+(5at.%.) în YAG. Spectrul ar trebui să
conțină doar trei linii zero -fononice pentru Yb3+ corespunzătoare tranzițiilor permise 2F7 / 2 (1) →
2F5/2 în D2 din componenta Stark fundamentală [82].
Pentru a explica spectrele a fost propu s următorul model [82]: liniile B și C sunt
componentele resonante despicate pentru al doilea nivel Stark E2 pentru multipletul excitat 2F5/2
al Yb3+, în timp ce liniile C ′ și C" corespund despicării pentru al treilea nivel Stark E3. Dacă B și
C sunt componente rezon ante despicate, potrivit relației (3. 152) se obține poziția nivelului
electronic nedespicat, adică ∆𝑓,𝑟 ~323 𝑐𝑚−1 (E2~10650 𝑐𝑚−1), energia fononilor
cvasirezonantă 𝜔1~327 𝑐𝑚−1 și parametru l de interacțiune 𝐵1/2~26 𝑐𝑚−1. Trebuie de
menționat faptul că densitatea fononilor în YAG are un vârf ascuțit și intens la 𝜔1~327 𝑐𝑚−1,
așa cum s -a observat și la alți ioni [ 123]. Celelalte vârfuri din jurul lui B sau C sunt vibronice ,
care indic ă o creștere în intensitate, deși poziția lor în raport cu A (în limita erorilor
experimentale ale acestor date publicate) este nede plasată . Dacă liniile C ′ și C" sunt considerate
despicate resonant, atunci din relația ( 3.152) se obține ∆𝑓,𝑟 ~596 𝑐𝑚−1 (E3 ~10921 𝑐𝑚−1),
𝜔2~603 𝑐𝑚−1, fiind într -o concordanță bună cu vârf ul fononic ascuțit din YAG [ 80, 81] și
𝐵12⁄~13 𝑐𝑚−1. Acest model oferă o schemă nouă pentru nivel ul energetic electronic pentru
multipletul 2F5/2 al Yb3+ în YAG: 10327, 10650 și 10921 cm-1 [82]. Diagrama nivelului de
energie propusă pentru Yb3+ in YAG diferă de cele anterioare [ 58, 59, 105, 108, 141, 172].
Aplicația adaptiv -parametrică elaborată conține p rogramul de calcul , care începe cu
definirea mapei în care sunt stocate datele, sunt apoi definite și constantele : constant a de
transformare cm-1 în J, precum și contanta Boltzmann în J/K:

124

Funcția execute îndeplinește toate calculele necesare. În calitate de valori fizice de intrare sunt
temperatura T, liniile electronice și fononice experimentale . Fiecare element de matrice cu liniile
electronice posedă următoarea structură :
{numărul liniei , energi a în cm-1, lățimea în cm-1, |⟨𝑖|𝑑|𝑓⟩|2 },
iar pentru elementul de matrice al benzilor fononice avem :
{numărul liniei f, numărul liniei r, energia fononului în cm-1,
lățimea în cm-1, parametrul de cuplaj 𝐴𝑟(𝜔)⋅𝑎(𝜔)/ ℎ2}.
Screenshotul imaginii interfeței sistemul informatic adaptiv pentru modelarea form -liniei
de absorbție pentru ionii de PR în cristale laser este prezentat în Figura 3.5.

Fig. 3.5. Interfața aplicației pentru ionii de PR în cristale laser.

Valorile parametrilor fizici folosiți în modelare sunt prezentate în Tabelul 3.1 [ 118], iar
rezultatele calculelor numerice sunt prezentate în Figurile 3.6−3.8 .

125
Tabelul 3.1. Parametrii utilizați pentru modelarea form -liniei de absorbție Yb3+ în cvasirezonanță
Cristalul Nivelul Yb3+
𝑬𝒊(𝒄𝒎−𝟏) Nivelul Yb3+
lățimea
liniei 𝜸(𝒄𝒎−𝟏) Energia
fononului
𝝎(𝒄𝒎−𝟏) Lățimea
liniei
fononului Cuplarea
𝑨(𝝎)∗𝒂 Valoarea
maxima a
densității stărilor
fononice în
cristal (Raman)
E1―10 327 5

YAG E2―10 646 5 289
300
327
344 3
4
18
1 20
60
700
20 290
305
325
340
E3―10 914 14 599 10 140 600
E1― 10201.5 5
LiNbO 3 E2―10 462 50
232
270 5
8 90
150 232
270
E1―10 290 1
YLF E2―10 418 2
E3―10 559 10 272 5 50 273

126

Fig. 3. 6. Spectrul de absorbție la tranziția 2F7 / 2 (1) → 2F5/2 pentru Yb3+(5at.%.)
în YAG la 10 K (a) și modelarea teoretică a form -liniei (b) .

(a)
(b) Absor ption (arbitrar units)
Absor ption (arbitrar units) YAG: Yb3+(5at.%), 10K
2F7/2 → 2F5/2 A
B
B'
C
C'
E(cm-1) E(cm-1)

127

Fig. 3. 7. Spectrul de absorbție al Yb3+(0.2at.%. ) în LiNbO 3 la 10 K (a) și modelarea teoretică a
form -liniei (b).

E(cm-1) Absor ption (arbitrar units) Absor ption (arbitrar units) (a)
(b)
E(cm-1) LiNbO 3: Yb3+, 10K
A
B

128

Fig. 3. 8. Spectrul de absorbție polarizat pentru Yb3+(20at.%.) în YLF la 10K (a) și modelarea
teoretică a form -liniei (b).
Structura matricelor se transformă pentru comoditate în e, uniqueElectronLines ,
uniqueResonance , ph (vezi Anexa 5). Se determină funcția de distribuție Bose -Einstein n[ω_].
Funcția ArRho reprezintă produsul 𝐴𝑟(𝜔)𝜌(𝜔), calculat conform formulelor ( 3.145) și
E(cm-1) Absor ption (arbitrar units) Absor ption (arbitrar units) (a)
(b)
E(cm-1) YLF: Yb3+(20at.%), 10K
A B
C

129
densitatea stărilor fononice 𝜌(𝜔)=∑𝑎𝑖𝑣𝑖(𝜔) 𝑖 , unde 𝑣𝑖(𝜔)=1
𝜋𝛼𝑖
(𝜔−𝜔𝑖)2+𝛼𝑖2, iar 𝑎𝑖 este
contribuția fononului i și 𝛼𝑖 este jumătate din lățimea vârfului fononic. Γr[Ω_,f_,r_] este funcția
pentru care se determină integrala din expresia ( 3.144) pentru liniile concrete
f și r. Γ[Ω_,f_] reprezintă funcția completă din formula (3.144) pentru o anumită valoare f.
Analogic se procedează în cazul formulei (3.145) Σr[Ω_,f_,r_] и Σ[Ω_,f_] , însă integrarea se
efectuează nu în limitele de la 0 până la ∞, dar în anumite intervale concrete, determinate de
liniile fononice. Dacă mărimea expresiei se găsește în acest interval, atunci această
valoare se exclude din integrare, deoarece este un p unct singular. Funcția FF[Ω_] denotă
formula (3.141), iar funcția drawPlot[] construiește graficul respectiv. În final, funcția execute
afișează acest grafic. Funcția createFolder și algoritmul programat sunt similare în fișierul
ScheduledTaskFullerene.nb .

3.4. Concluzii la Capitolul 3

1. A fost examinat , în cazul cel mai general , transferul rezonant de energie (TRE) între patru
centre în formalismul hamiltonianului de interacțiune multipolară a ionilor cu componenta
transversală a câmpului electromagnetic local .
2. A fost analizată structura topologică a diagramelor ce descriu fenomenul fizic respectiv ,
identificându -se, astfel, mecanisme distincte de transfer în conformitate cu cuplajul
acceptorului la donori și după reductibilitatea diagramelor.
3. Spre deosebire de cazul TRE în modelul cu trei centre , a fost identificat un nou tip de
clasificare a fenomenelor de transfer – după reductibilitate. Eficiența mecanismelor D în
raport cu IN depinde foarte sensibil de raportul între distanțele mutuale dintre acceptor și
donori și distanțele între donori.
4. Mecanismele IR și R corespund transferului de la donorii apropiați și, respectiv, îndepărtați la
acceptor. Mecanismele R și IR se deosebesc prin reguli diferite de selecție pe care le impune
simetria tenso rilor de absorbție multifotonică. Pentru diferite structuri cristaline pot interveni
diferite preferințe pentru mecanismele R și IR. Pentru aplicații numerice a fost cercetat
calculul elementelor de matrice ale operatorului momentului dipolar al tranziției în PR3+
folosind parametrii Judd.
5. A fost modelată interacțiunea electron -fononică de rezonanță pentru ionii de PR în cristale
laser . Comparația rezultatelor numerice obținute pentru form -liniile de absorbție din aplicația
adaptiv -parametrică elaborată , cu spectr ele experimentale , demonstrează o bună concordanță :

130
a tranziți ei 2F7 / 2 (1) → 2F5/2 pentru Yb3+(5at.%.) în YAG , a unei părți a spectrului de
absorbție al Yb3+(0.2at.%. ) în LiNbO 3 la 10 K și a s pectrul ui de absorbție polarizat pentru
Yb3+(20at.%.) în YLF la 10K . Îmbunătățirea calculelor parametrice pentru câmpul cristalin
are o semnificație limitată în astfel de cazuri, deoarece deplasările induse de cuplajul electron –
fononic ar putea depăși precizia calculelor numerice.
6. Metalele pământur i rare posedă proprietăți unice și interes sporit pentru calculul cuantic,
creând posibilitatea realizării dinamicii controlate care permite implementarea porților
cuantice de n-biți. Frecvențele exacte ale tranzițiilor optice depind puternic de câmpurile
electrice înconjurătoare, iar combinația dintre benzile spectrale omogene înguste și extinderea
neomogenă semnificativă într -un interval mare de frecvențe oferă pentru cercetările ulterioare
diferite posibilități de adaptivitate parametrică.

Rezultatele obținute sunt publicate în următoarele lucrări științifice: [5, 6, 12, 13, 65, 82].

131
CONCLUZII GENERALE ȘI RECOMANDĂRI
1. A fost obținut ă forma liniei de absorbție pentru ionul , care posedă o structură specifică
datorită rezonanței electron -vibrațional e. Pentru prima data s -a constatat că lărgimea
structurilor obținute depinde de probabilitatea tranziției radiative spontană .
2. Frecvențele ionului
1
60C cu simetria
dD5 au fost obținute prin metoda reducției grupului
icosaedral
hI către grupului
dD5 , folosind datele experimentale pentru oscilațiile fullerenului
neutru.
3. În cadrul algoritmului metodei modificate de calcul se construiește, mai întâi, câte un
proiector pent ru fiecare tip a reprezentării ireductibile, se găsesc apoi vectorii proprii cu
valori proprii nenule, care vor servi bază a subspațiului invariant al proiectorului și se obține
combinația liniară a vectorilor de bază obținuți pentru proiectorul unei repre zentări
ireductibile concrete, care va fi vectorul oscilației normale. Acest algoritm permite
automatizarea procesului de descompunere a reprezentării mecanice a sistemului în
reprezentări ireductibile, care este crucial la cercetarea sistemul simetric com plex prin
utilizarea teoriei grupurilor . Astfel, metoda propusă permite descompunerea reprezentării
mecanice a sistemului rezolvând problema vectorilor proprii. Aplicarea acestui algoritm
pentru sistemele simetrice cu o funcție de potențial, care nu -i nece sar să fie a priori
cunoscută, permite a studia sisteme complexe cu un număr mare de particule.
4. Am arătat că pentru un număr de N atomi, m fiind numărul de elemente din grup, iar γ –
numărul de proiectori, complexitatea computațională a unui operator este 𝑂(𝑚𝑁2), iar
primul pas constituie 𝑂(𝛾𝑚𝑁2). Cea de -a doua etapă soluționează problema vectorilor
proprii pentru fiecare proiector. Complexitatea problemei determinării vectorului propriu are
forma 𝑂(𝑁𝜔), unde ω este o constantă aproximativ egală cu 3 , în dependență de metoda de
diagonalizare a matricilor . Prin urmare, complexitatea întregului pas 2 al algoritmului este
𝑂(𝛾𝑁3). Complexitatea pasului trei este proporțională cu c omplexitatea funcției
potențialu lui de interacțiune între atomi. Totodată, compararea rezultatelor teoretice obținute
pentru C60 cu datele experimentale indică că oscilațiile cu frecvențe mai mici aduc un aport
mai mare în abaterea de la valorile experimentale. Astfel, modelul teoretic propus reduce
vibrațiile de frecvență joasă și mărește cele cu frecvență înaltă .
5. Am aplicat , în cazul cel mai general, transferul rezonant de energie (TRE) între patru centre
în formalismul hamiltonianului interacțiune multipolar ă de a ionilor cu componenta
transversală a câmpului electromagnetic local. A fost analizată structura topologică a
diagramelor ce descriu fenomenul fizic respectiv, identificându -se, astfel, mecanisme
1
60C

132
distincte de transfer în conformitate cu cuplajul acceptorului la donori și după reductibilitatea
diagramelor. Spre deosebire de cazul TRE în modelul cu trei centre, a fost identificat un nou
tip de clasificare a fenomenelor de transfer – după reductibilitate. Eficiența mecanismelor D
în raport cu IN depinde foarte sensibil de raportul între distanțele mutuale dintre acceptor și
donori și distanțele între donori. Mecanismele IR și R corespund transferului de la donorii
apropiați și, respectiv, îndepărtați la acceptor. Mecanismele R și IR se deosebesc prin reguli
diferite de selecție pe care le impune simetria tensorilor de absorbție multifotonică. Pentru
diferite structuri cr istaline pot interveni diferite preferințe pentru mecanismele R și IR. Pentru
aplicații numerice a fost cercetat calculul elementelor de matrice ale operatorului momentului
dipolar al tranziției în PR3+ folosind parametrii Judd.
6. A fost modelată interacțiu nea electron -fononică de rezonanță pentru ion ul de PR Yb3+ în trei
cristale laser diferite . Comparația rezultatelor numerice obținute pentru form -liniile de
absorbție din aplicația adaptiv -parametrică elaborată, cu spectrele experimentale,
demonstrează o b ună concordanță: a tranziției 2F7 / 2 (1) → 2F5/2 pentru Yb3+(5at.%.) în
YAG , a unei părți a spectrului de absorbție al Yb3+(0.2at.%. ) în LiNbO 3 la 10 K și a
spectrului de absorbție polarizat pentru Yb3+(20at.%.) în YLF la 10K . Îmbunătățirea
calculelor parametrice pentru câmpul cristalin are o semnificație limitată în astfel de cazuri,
deoarece deplasările induse de cuplajul electron -fononic ar putea depăși precizia calculelor
numerice. Metalele pământuri rare posedă proprietăț i unice și interes sporit pentru calculul
cuantic, creând posibilitatea realizării dinamicii controlate care permite implementarea
porților cuantice de n-biți. Frecvențele exacte ale tranzițiilor optice depind puternic de
câmpurile electrice înconjurătoare , iar combinația dintre benzile spectrale omogene înguste
și extinderea neomogenă semnificativă într -un interval mare de frecvențe oferă pentru
cercetările ulterioare diferite posibilități de adaptivitate parametrică.
7. Pentru asistența utilizatorilor final i în soluționarea a două familii de probleme: determinarea
stărilor proprii ale moleculelor de fullerene și modelarea interacțiunii electron -fononice de
rezonanță pentru ionii de PR în diferite cristale laser, a fost elaborată o AAP cu utilizarea
softurilo r Wolfram Mathematica v.10 și Oracle Application Express v.4.2. Pentru această
AAP s -a realizat o interfața Web destinată specialiștilor în domeniul fizicii, fără cunoștințe în
programare și tehnologii informaționale. Termenii utilizați în interfață și des crierea lor
amănunțită sunt din domeniul fizicii. Softurile sunt instalate pe serverul din Laboratorul
Cercetare Științifică „Fizica și ingineria nanomaterialelor și sinergetica „E.P.Pokatilov”.
Cercetătorii pot ajusta parametrii modelelor teoretice folosi te la rezultatele experimentale,
astfel completând baza de cunoștințe a AAP cu date de intrare și rezultate noi.

133
BIBLIOGRAFIE

în limba română
1. Boguș I., Ciobu V., Paladi F. Algoritmul de obținere a deplasărilor simetrizate în sistemele
simetrice complexe prin reducerea la problema vectorilor proprii. Chișinău: Studia
Universitatis Moldaviae, seria „Fizică” (Categoria B), nr.7(87) , 2015 . p.3-8.
2. Căpățână Gh. Experiența elaborării sistemelor informatice orientate la problemă. Chișinău :
Studia Universitatis, Nr.2, CEP USM, 2007. p. 23-28.
3. Ciobu V. Elaborarea sistemului informațional național adaptiv pentru automatizarea
proceselor t estării tehnice ale vehiculelor. Chișinău: Revista științifică a Universității de
Stat din Moldova „Studia Universitatis Moldaviae” (seria Informatica) , nr.2(82) , 2015.
pp.3-9.
4. Ciobu V., Paladi F., Căpățână Gh. Sistem informatic adaptiv ”Determinarea stărilor proprii
ale moleculelor de fullerene ”, Revista științifică a Universității de Stat din Moldova
„Studia Universitatis Moldaviae” (seria Informatica). nr.2(82) , 2015. pp.10 -15.
5. Ciobu V. Modelarea interacțiunii electron -fononice de rezonanță pentru ionii de pământ rar
în cristale laser. Chișinău: Revista științifică a Universității de Stat din Moldova „Studia
Universitatis Moldaviae” (Seria Fizică), nr.2(92) , 2016 . pp.3−10.
6. Ciobu V. Influența rezonanței electron -fononice asupra spectrelor de împrăștiere raman și
asupra spectrelor de absor bție a luminii în cristale dopate cu ioni pământ -rar. Chișinău:
Analele științifice ale USM, Seria "Științe fizico -matematice", 2003 . p.53-55.
7. Dicționarul limbii române www.dexonline.ro (vizitat 21.12.2015).
8. Dumitrache I., Petre E., Feștilă C. Automatica vol.II. București: Editura Academiei
Române, 2013.
9. Enachi V., Ciobu V. Modelul semiclasic și metoda numerică de evaluare a proprietăților
electron -fononice în fullerenul C60. Chișinău: Anale științifice ale U SM. Seria „Științe
fizico -matematice” , 1999 . p.117 -118.
10. Enachi V., Ciobu V. Oscilații murmurale în particule onionice fullerenice . Chișinău:
Buletinul ASRM, Seria Fizică și Tehnica, Nr.2(23), 1998 . pp.13 -30.
11. Enachi V., Isacova C., Ciobu V. Influența rezon anței electron -fononice asupra liniei de
absorbție a luminii în ionul de fulleren 𝐶60−1. Chișinău: Anale științifice ale USM, Seria
”Științe fizico -matematice”, 2005 . p.62-71.

134
12. Enachi V., Ciobu V. Celule logice CNOT ale computerului cuantic bazate pe molecule
fullerenice activate și dopate . Chișinău: Anale științifice ale USM, Seria “Științe fizico –
matematice”, 2001 . p.106 -108.
13. Enachi V., Ciobu V. Transfer de energie în cristale dopate cu ioni de pământ -rar. Chișinău:
Analele științifice ale USM, S eria "Științe fizico -matematice", 2003 . p. 56-61.
14. Filip F. Decizie asistată de calculator: decizii, decidenți – metode de bază și instrumente
informatice asociate. Ediția a 2 -a, revăzută și adăugită. București: Editura Tehnică, 2005.
376 p.
15. Geru I. ș.a. Mo duri vibraționale intramoleculare IR active, tranziții optice interbande și
rotații ale moleculelor C 60 în filme de fullerit. Chișinău: Anale științifice ale USM, Seria
”Științe fizico -matematice”, 1997. p. 76 -92.
16. Geru I., Spoiala D., Dihor I. Influența ra diației infraroșii laser asupra proprietăților optice
ale straturilor subțiri de fullerit C60. Chișinău: Anale științifice ale USM, Seria ”Științe
fizico -matematice”, 1998. p. 208 -220.
17. Holban I., Petrov C. Intensificarea cercetărilor și a pregătirii cadre lor științifice în
domeniul tehnologiei informației și comunicațiilor – un imperativ al timpului. 5th
International Conference “Telecommunications, Electronics and Informatics” (ICTEI
2015), Chisinau :, 20-23 May 2015, p. 305-310.
18. Paladi F. Sisteme complexe : modele analitice și numerice avansate de tip cluster. Chișinău:
CEP USM, 2005. 174 p.
19. Pop M. Modelarea cuantică și topologică a unor fullerene non -IPR. Rezumatul tezei de
doctorat, Universitatea “Babes -Bolyai”, Cluj -Napoca, 2012 . 59 p.
20. Tasnádi E. Caracterizarea topologică și funcționalizarea nanostructurilor de carbon.
Rezumatul tezei de doctorat, Universitatea “Babes -Bolyai”, Cluj -Napoca, 2014 . 48 p.
în limba rusă
21. Александровский Н., Егоров С., Кузин Р. Адаптивные системы автоматического
управлен ия сложными технологическими объектами/под общей ред.
Н.М.Александровского. Москва: Энергия, 1973. 272 с.
22. Ансельм А. Введение в теорию полупроводников. Москва: 1978 . 618 стр.
23. Бир Г., Пикус Г. Симметрия и деформационные эффекты в полупроводниках.
Москва : Наука, 1972. 584 с.
24. Болдырев С., Думбрэвяну Р., Перлин Ю. Многофононный перенос возбуждения
между примесными редкоземенными ионами. ФТТ, т.23, в.3 , 1981 . с.787 -795.

135
25. Гамурарь В., Перлин Ю. , Цукерблат Б. Многофононные безызлучательные переходы
в примесных ред коземельных ионах. Изв.АН СССР, сер.физическая, Т.35, 1971.
с.1429-1432.
26. Елецкий А. , Смирнов Б. Фуллерены и структура углерода. УФН. т.165, №9, 1995.
с.977 -1009.
27. Избачков Ю., Петров В. Информационные системы 2 -издание. Питер: 2006. 656 с.
28. Киттель Ч. Квантовая теория твёрдых тел. Москва: Наука, 1967. 492 с.
29. Ландау Л., Лившиц Е. Квантовая механика. Нерелятивистская теория ,
Т.3, Москва : Наука, 1974. 702 с.
30. Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике. Москва: Наука, 1972. 398с.
31. Мендельсон Э. Введе ние в математическую логику. Москва: Наука, 1971. 320 с.
32. Поклонский Н. Точечные группы симметрии. Минск : БГУ, 2003. 222 с.
33. Пулье A., Матье Ж. Колебательные спектры и симметрия кристаллов. Москва: Мир ,
1973. 437 с.
34. Пекар С. Исследование по электронной теори и кристаллов. Москва :
Государственное издательство тех -теор. литературы, 1951. 256 с.
35. Перлин Ю., Енакий В. Штарк – фононные резонансы в оптических спектрах
глубоких примесных центров . Физические явления в полупроводниках. Кишинев :
Штиинца , 1981 . c. 3-11.
36. Перлин Ю. и др. Электрон -фононные резонансы в спектре примесного
редкоземельного иона . Письма в ЖЭТФ , Вып. 7, 1979 . c. 426 -429.
37. Перлин Ю. и др. Нелинейное электрон -фононное взаимодействие как причина
безызлучательных переходов ионов в кристаллах . ФТТ , Вып. 3 , 1982. с. 685 -692.
38. Перлин Ю., Цукерблат Б. Эффекты электронно -колебательного взаимодействия в
оптических спектрах примасных парамагнитных ионов. Кишинев: Штиинца, 1974 .
368 c.
39. Петрашень М., Триф онов Е. Применение теории групп в квантовой механике.
Издание четвёртое, стереотипное. Москва: 2002. 280 с.
40. Чобу В. Электрон -фононный резонанс в ионах фуллерена Chișinău: Conferința
corpului didactico -științific “ Bilanțul activității șt iințifice a USM pe anii 1 998-99”, 2000 .
p.194 -195.

1
60C

136
în limba engleză
41. Adamenko I . et al. Equation of state for C60 fullerene aqueous solutions. Int. J.
Thermophys 26, 2005. 795 p.
42. Adams G. et al. Polymerized C 60 Studied by First Principles Molecular Dynamics. Phys.
Rev. B, vol. 50, 1994. p.17471 -17479.
43. Adams G. et al. First -principles quantum molecular -dynamics study of the vibrations of
icosahedral C 60. Phys. Rev. B, vol. 44, 1991. p.4052.
44. Akselrod L. et al. Raman analysis of C60 at low temperatures: a study of molecular and
crystal -field effects. Chem. Phys. 192, 1995 . 307 p.
45. Alshehri M., Cox B., Hill J. C60 fullerene binding to DNA. The European Physical Journal
B 87:199, 2014.
46. Andrieș A. et al. Electrical an d optical properties of C 60 thin films. Molecular Materials,
vol. 10, N4, 1998. p. 111 -114.
47. Andreoni J., Miller J. Auctions with artificial adaptive agents, Games and Economic
Behavior, vol. 10, no. 1, 1995. p. 39 –64.
48. Andrews D. Energy Harvesting Materials. World Scientific, 2005 . 388 p.
49. Andrews D. A simple statistical treatment of multiphoton absorption. American Journal of
Physics, vol.53, no.10, 1985 . p.1001 –1002.
50. Andrews D. A Unified Theory of radiative and Radiation less molecular energy tran sfer.
Chem.Phys.v.135, 1989 . p.195 -201.
51. Andrews D. Optical energy harvesting materials. Introduction to Complex Mediums for
Optics and Electromagnetics. SPIE digital library, 2003 .
http://ebooks.spiedigitallibrary.org/book.aspx?bookid=160 (vizitat 07.08.2015).
52. Andrews D., Jenkins R. A quantum electodinamical theory of three -center energy transfer
for upconversion and downconversion i n rare earth doped materials. Journal of Chem.
Physics. V.114, 2001 . p.1089 -1100.
53. Andrews D., Jenkins R. Three – Center Systems for Energy Pooling: Quantum Electro
dynamical Theory. J.Phys. Chem. A, 102, 1998. pp.10834 -10842.
54. Andrews D., Jenkins R. Twin -donor systems for resonance energy transfer.Chem. Ph ys.
Lett., 301, 1999. pp.235 -240.
55. Aster R., Borchers B., Thurber C. Parameter Estimation and Inverse Problems, 2nd edition,
Elsevier, 2012. 376 p.
56. Bakhturin Yu. Campbell –Hausdorff formula . In Encyclopedia of Mathematics, Springer,
2001.

137
57. Battezzatti L., Pi sani C., Ricca F. Equilibrium conformation and surface motion of
hydrocarbon molecules physisorbed on graphit. J. Chem. Soc., Faraday Trans. 2:
Mol.Chem. Phys. vol.71, 1975. pp.1629 -1639.
58. Bogomolova G. et al. Crystalline field in laser garnets with TR3+ ions in exchange charge
model. Sov. Solid State Phys., vol. 19, 1977. p. 1439.
59. Bogomolova G., Vylegzhanian D., Kaminskii A. Spectral and lasing investigations of
garnets with Yb3+ ions. Sov. Phys. J. E. T. F, vol. 69, 1975. p. 860 -874.
60. Bolognesi P. et al. Collective excitations in the electron energy loss spectra of C60. The
European Physical Journal D 66 :254, 2012.
61. Bowmar P. et al. Raman and infrared determination of vibrational fundamentals of single –
crystal C60 and derivatives and of C70. Journal of Phy sics: Condensed Matter, vol. 6, N17,
1994.
62. Brenner D. Empirical potential for hydrocarbons for use in simulating the chemical vapor
deposition of diamond films. Phys. Rev. : Condensed Matter B, 42(15), 1990. p. 9458 –
9471.
63. Brockner W., Menzel F. Genetic rel ationship between intrinsic Raman and infrared
fundamental vibrations of the C60 and C70 fullerenes. J.Mol.Struct. 378, 1996 .
64. Bron W. Dynamical charge overlap, electron -lattice coupling strength, and lattice
dynamics of ionic crystals . Phys.Rev.B. , vol. 11, N10, 1975. p . 3951 -3959.
65. Candu C., Ciobu V., Enaki V. Four -center resonance energy transfer in rare earth doped
crystals, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, Vol.7, No.2, București:
INOE 2000, 2005 . p.781 -786.
66. Caro P. et al. Vibronic opt ical transitions in inorganic and organic rare earth materials. J.
Less. Common. Metals, vol. 112(1), 1985. p. 153 -173.
67. Character table for the I h point group, http://www.gernot -katzers -spice –
pages.com/character_tables/Ih.html (vizitat 10.12.2015)
68. Che J., Cagın T., Goddard W.A. Studies of fullerenes and carbon nanotubes by an
extended bond order potential. Nanotechnology 10, 1999 . 263 p.
69. Chen Wen -Hwa, Cheng Hsien -Chie, Molecular modeling and simulation of physical
properties and behavior of low -dimensional carbon allotropes carbon nanotubes,
deformation and fracture. Trends in Nanoscale Mechanics. Mechanics of Carbon
Nanotubes, Graphene, Nanocomposites and Molecular Dynamics (Ed .: Vasyl Harik),
Springer, 2014. p.45-109.

138
70. Computational Spectroscopy: Methods, Experiments and Applications. Jorg Grunenberg
(Editor), WILEY -VCH, 2010 . 432 p.
71. Craig D., Thirunamachandran T. Molecular Quantum Electrodynamics . Dover
Publications, Mineola, Inc. New York, 1998 . p. 324
72. D’Hulst R., Rodgers G.J. Transition from coherence t o bistability in a model of financial
markets . The European Physical Journal B, vol. 20, no. 4, 2001. p. 619 –625.
73. Dahl M., Schaak G. Davydov splitting of crystal -field excitations and magnetic phonon
splitting in PrF 3. Phys. Rev. Lett., vol. 56, 1986. p. 232-236.
74. DeLoach L. et al. Vibrational structure in the emission spectra of Yb3+ doped apatite
crystals. Journal of Luminescence, vol. 62 (3), 1994. p. 85 -94.
75. Di Bartolo B., Forte O. Advanceds in Spectroscopy for Lasers an d Sensing. Springer
Netherlands, 2006. 564 p.
76. Dinadayalane T., Leszczynski J. Fundamental structural, electronic, and chemical
properties of carbon nanostructures: graphene, fullerenes, carbon nanotubes, and their
derivatives. Handbook of Computational Chemistry, 2014 . p.793 -867.
77. Dong Z. et al. Observation of higher -order Raman modes in C60 films. Phys. Rev. B 48,
1993 . p.2862 -2865 .
78. Dresselhaus M., Dresselhaus G., Eklund P. Science of Fullerens and Carbon Nanotubes.
New York: Academic Press, 1995. 965 p.
79. Eidelson R. Complex adaptive system s in the behavioral and social sciences. Review of
General Psychology, vol. 1(1), 1997. p. 42 -71.
80. Ellens A. et al. Spectral -line-broadening study of the trivalent lanthanide -ion series.I. Line
broadening as a probe of the electron -phonon coupling strength. Phys. Rev. B, vol.55,
1997. p.173 -178.
81. Ellens A. et al. Spectral -line-broadening study of the trivalent lanthanide -ion series.II. The
variation of the electron -phonon coupling strength through the series. Phys. Rev. B, vol.
55, 1997. p.180 -185.
82. Enaki V. e al. Effects of resonant electron -phonon interactions for the RE3+ ions in laser
crystals . Proceeding of SPIE. Fift h Conference in Optics. ROMOPTO’97, v.3405, 9-12
sept.-1997. p.570 -577.
83. Eyring L., Gschneidner K., Lander G. Handbook on the Physics and Chemistry of Rare
Earths, Vol. 32, 1st Edition, North Holland, 2002 . 772 p.
84. Feynman R. An operator calculus having app licators in quantum electrodynamics. Phys.
Rev. v.84, N1, 1951. p.108 -121.

139
85. Gamurari V. et al. Computational study of non -stationary cluster size distribution and rate
of nucleation in case of pre -existing clusters. Moldavian Journal of Physical Sciences.
vol.5, no.1, 2006. p.113 –116.
86. Garalleh H. et al. Modeling interactions between C60 antiviral compounds and HIV
protease. Bulletin of Mathematical Biology, 77, 2015. p.184 -201.
87. Gardiner C. Handbook of stochastic methods for physics, chemistry, and the natur al
sciences (Springer series in synergetics, vol.13). Berlin -Heidelberg: Springer -Verlag, 1983.
442 p.
88. Geru I., Spoiala D., Dihor I. Optical transparence of quartz and fullerene C60 at high power
infrared Laser irradiation. Abstracts of International Conference on Physics of Laser
Crystals, 26 august – 09 september 2002, Kharkiv -Stary Saltov, Ukraine. p.IL9.
89. Geru I., Spoiala D. Influence of Fermi resonance on infrared and Raman spect ra of
fullerene C60. Moldavian Journal of the Physical Sciences, No2, 2002. p.147 -151.
90. Geru I., Spoiala D., Dihor I. Optical transparency of quartz and fullerene C60 at high power
infrared laser irradiation. Physics of Laser Crystals, Edited by Jean -Claude and Nicolay A.
Kulagin, NATO Science Serie, II. Mathematics, Physics and Chemistry, vol.126, 2003,
p.201 -217.
91. Gerlinger H., Schaach G. Crystal -field states of the Ce3+ ion in CeF 3: A demonstration of
vibronic interaction in ionic rare -earth compounds. Ph ys. Rev. B, vol. 33, 1986 . p.7438 –
7450.
92. Girifalco L., Weizer V. Application of the Morse potential function to cubic metals. Phys.
Rev. 114, 1959, p.687 –690.
93. Giannozzi P., Baroni S. Vibrational and dielectric properties of C 60 from density -functional
perturbation theory. J. Chem. Phys. vol.100(11), 1994. p.8537 -8539.
94. Graja A., Łapiński A., Król S. Silent and higher -order vibrations of C60 and its compounds.
J.Mol.Struct ure, 404, 1997 . p.147-156.
95. Gubceac G., Gutu R., Paladi F. A new formula for partitions in a set of entities into empty
and nonempty subsets, and its application to stochastic and agent -based computational
models. Applied Mathematics (Special Issue on Advances in Mathematical Physics ),
Scientific Research Publishing (USA), vol.4, no.10C, 2013. p.14–21.
96. Gubceac G., Paladi F. Probabilistic approach to stochastic and agent -based computational
models. Proceedings of the 3rd Conference of Mathematical Society of Moldova (IMCS –
50), Chisina u, Moldova, August 19 -23, 2014 . p.358−361.

140
97. Harigaya K. Lattice distortion and energy -level structures in C60 and C70 molecules studied
with the extended Su -Schrieffer -Heeger model: Polaron excitations and optical absorbtion.
Phys. Rev. B. , vol.45, N23, 1992. p.13676 -13684.
98. Heer B., Maußner A. Dynamic general equilibrium modelling, computational methods and
applications. Berlin -Heidelberg: Springer, 2005. 540 p.
99. Hendrickson O. et al. Fullerenes: In vivo studies of biodistribution, toxicity, and biological
action. Nanotechnologies in Russia, 9, 11, 2014. p.601 -617.
100. Hou J. et al. C60 – Based Materials. Encyclopedia of Nanoscience and Nanotechnology
(Edited by H.S.Nalwa) 1, 2004 . p. 409 -474.
101. Ignatiev I., Ovsyankin V. Electron -vibrational shift of f -levels in CaF 2 and SrF 2 crystals
with Tm2+ ions. Journal of Luminescence, vol. 72 -74, 1997 . p. 679 -680.
102. Ivanovskaya V., Ivanovskii A. Simulation of novel superhard carbon materials based on
fullerenes and nanotubes. Journal of Superhard Materials, 32, 2, 2010. p. 67 -87.
103. Johnson N., Kotz S., Kemp A. Univariate discrete distributions. New York: J.Wiley &
Sons, 1993.
104. Judd B. Optical absorbation intensities of rare -earth. Phys. Rev. , 127, 1962 . pp.75 0-761.
105. Kaminskii A. Laser Crystals: Their Physics and Properties, Berlin: Springer Verlag, 1990 .
459 p.
106. Kardoš F. et al. Fullerene graphs have exponentially many perfect matchings. Journal of
Mathematical Chemistry, 46, 2, 2009. p. 443 -447.
107. Kashchiev D. Nu cleation: Basic Theory with Applications. Butterworth -Heinemann, 2000.
529 p.
108. Koningstein J. Energy levels and crystal -field calculations of trivalent ytterbium in yttrium
aluminum garnet and yttrium gallium garnet. Theoret. Chim. Acta, vol. 3, 1965 . p.271 -277.
109. Koningstein J., Mortensen O. Laser -excited phonon Raman spectrum of garnets. Journal of
Molecular Spectroscopy. vol. 27, Issues 1 –4, 1968. p.343 –350.
110. Král D. et al. Long cycles in fullerene graphs. Journal of Mathematical Chemistry. 45, 4,
2009. p. 1021 -1031.
111. Kroll S. Quantum computer hardware based on rare -earth -ion-doped inorganic crystals .
Opt. Comm. 201, 2002. p.71-77.
112. Lee R., Hill J. General formula for interacting spherical nanoparticles and fullerenes.
Journal of Mathematical Chemistry, 50 , 2012 . p. 1289 -1303.
113. Lennard -Jones J. The determination of molecular fields from the variation of the viscosity
of a gas with temperature. Proceding of the Royal Society (London) 106A, 1924 . p.441.

141
114. Lindsay L., Broido D. Optimized Tersoff and Brenner empir ical potential parameters for
lattice dynamics and phonon thermal transport in carbon nanotubes and graphene. Physical
Review B, vol. 81, 82 , 2010.
115. Lindsay L., Broido D., Mingo N. Flexural phonons and thermal transport in multilayer
graphene and graphite. Physical Review B, vol. 83. 2011.
116. López A., Mateo -Alonso A., Prato M. Materials chemistry of fullerene C60 derivatives.
Journal of Materials Chemistry, vol.21, 2011. 1305 -1318.
117. Lupei A., Lupei V. Resonance between electronic and vibronic levels of in yttrium
aluminium garnet. J. Phys.: Condens. Matter, vol. 9, 1997. p. 2807 –2813.
118. Lupei A. et al. Electron -phonon coupling effects on Yb3+ spectra in several laser crystals. J.
Phys. : Condens. Matter, vol. 11, 1999. p. 3769 –3778.
119. Mainini E., Stefanelli U. Crystallization in Carbon Nanostructures. Communications in
Mathematical Physics, 328, 2014. p. 545 -571.
120. Man A., Bron W. Degree of dynamical charge overlap in ionic crystals. Phys.Rev.B,
vol.13(12), 1976. pp.5591 -5596.
121. Manila R. et al. Structure and defects in thin C 60 films. Fullerene Science and Tehnology,
vol. 7, N1, 1999. p. 59 -75.
122. Mandal G., Ganguly T. Applications of nanomaterials in the different fields of
photosciences. Indian Journal of Physics, vol.85, N8, 2011. p. 1229 -1245 .
123. Markushev V., Tsaryuk V., Zolin V. Vibronic luminescence excitation spectra of europium
in Y 2O3 and Y 3AI5O12. Opt. i Spectr., vol. 58, 1985. p.583 -588.
124. Martin M. et al. Observation and assignment of silent and higher -order vibrations in the
infrared transmission of C60 crystals. Phys ical Review B, vol.50, N1, 1994 . p.173-183.
125. Maruyama S. Molecular dynamics method for microscale heat transfer. Advances in
Numerical Heat T ransfer, vol.2, Chap.6, 2000. p .189–226.
126. McCumber D. Theory of vibrational structure in optical spectra of impurities in Solids.
I.Singlets. J.Math. Phys. V.5, N2, 1964. p.221 -224.
127. Mendelson E. Introduction to Mathematical Logic. 2nd. ed. New York: D. Van Nostrand.
1979. 328 p.
128. Menendez J., Page J. Vibrational spectroscopy of C60. Light Scattering in Solids VIII.
Berlin/Heidelberg: Topics in Applied Physics (M.Cardona and G.Guntherodt, Eds.),
Springer Verlag, vol.76, 2000 . p.27-95.
129. Mitleton -Kelly E. Complex Systems & Evolutionary Perspectives of Organisations: The
Application of Complexity Theory to Organisations, 2003 Ed.

142
130. Nika D., Balandin A. Two -dimensional phonon transport in graphene. Journal of Physics:
Condensed Matter, vol. 24, 2012.
131. Nika D. et al. Phonon thermal conduction in graphene: Role of Umklapp and edge
roughness scattering. Physical Review B, vol.79, 2009.
132. Nilsson M. et al. Initial experiments concerning quantum information processing in rare –
earth -ion doped crystals. Physica Scripta. vol.102, 2002 . p.178 -202.
133. Ohlsson N., Mohan R.K., Kröll S. Quantum computer hardware based on rare -earth -ion-
doped inorganic crystals. Optics Communications, vol.201, nos.1 –3, 2002 . p.71–77.
134. Osawa E. Superaromaticity. Kagaku (Kyoto) : vol. 25, 1970 . p.854 –863.
135. Paladi F. Bridging the gap between stochastic and agent -based computational models.
Chișinău: Anale Științifice ale USM, seria "Stiințe fizico -matematice". 2005 . p.78–81.
136. Paladi F. On the probabilistic approach to heterogeneous structure interactions in agent –
based computational models. Applied Mathematics and Computation, vol.219, no.24,
2013 . p.11430 –11437.
137. Paladi F., Dotenco D., Gamurari V. Measuring heterogeneity in stochastic models.
Chișinău: Studia Universitatis USM, no.1 (01), 2007. p.319 –322.
138. Paladi F., Eremeev V. A Szilard model -based computational study of the evolution of
agents -clusters. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, vol.348, 2005 .
p.630 –640.
139. Paladi F., Gamurari V. Computational study of the agent -based self -organization in an
open system. Chișinău: Anale Științifice ale USM, seria "Stiințe fizico -matematice" , 2006 .
p.136 –150.
140. Parker S. et al. Complete assignment of the vibrational modes of C60 by inelastic neutron
scattering spectroscopy and periodic -DFT. Phys. Chem. Chem. Phys. , vol.13, 2011 .
p.7789.
141. Pearson J. et al. Energy levels of Yb3+ in gallium and aluminum garnets. I.Spectra. Phys.
Review, vol. 159, 1967. p. 245 -250.
142. Perlin Yu. et al. Electron -phonon resonances in the spectrum of a rare -earth impurity ion.
Pisma J. E. T. F., vol. 30, 1979. p. 426 -429.
143. Podolski I., Podlubnaya Z., Godukhin O. Fullerenes C60 antiamyloid action, the brain, and
cognitive processes. Biophysics, vol.55, N1, 2010. p. 71 -76.
144. Prylu rskyy Yu. et al. Structure and thermophysical properties of fullerene C60 aqueous
solutions. Int ernational Journal of Thermophys vol.22, N3, Plenum Publishing
Corporation, 2001 . pp.943-956.

143
145. Puente F., Nierengarten J. Fullerenes: Principles and Applications (RSC Nanoscience &
Nanotechnology), Royal Society of Chemistry, 1 edition, 2007 . 410 p.
146. Qian J. et al. Quantized long -wavelength optical phonon modes in graphene nanoribbon in
the elastic continuum model. Superlattices and Mic rostructures, vol. 46, 2009. p. 881 -888.
147. Racah G. Theory of complex spectra. IV. Phys ical Review, vol.76, 1949. p.1352.
148. Quong A., Pederson M., Feldman J. First principles determination of the interatomic force –
constant tensor of the fullerene molecule. Sol id State Commun. Vol.87, 1993. p.535 -539.
149. Rawal S., Rodgers G. Growth and coagulation in a herding model, Physica A, vol. 344, no.
1–2, 2004. p. 50 –55.
150. Refson K., Tulip P., Clark S. Variational density -functional perturbation theory for
dielectrics and lattice dynamics. Phys ical Review B, vol. 73, 2006.
151. Rodgers G., Yap Y. Growth and addition in a herding model, The European Physical
Journal B, vol. 28, no. 1, 2002. p. 129 –132.
152. Rodgers G., Zheng D. A herding model with preferential attachment and fragment ation,
Physica A, vol. 308, no. 1 –4, 2002. p. 375 –380.
153. Rodriges S., Shults T. Effects of resonant phonon interaction on shapes of impurity
absorption lines . Phys ical Review, vol. 178 , 1969 . p.1252 -1263.
154. Sastri V. et al. Modern Aspects of Rare Earths and their Complexes . Elsevier, 2003 . 1006p.
155. Schettino V. et al. The Vibrational Spectrum of Fullerene C60. Journal of Phys ical
Chem istry A, vol. 105, no.50, 2001 . p.11192 -11196 .
156. Schmaltz T., Halik M. Fullerene -Based FETs. Encyclopedia of Polymeric Nanomaterials,
2015, p. 829 -839.
157. Sheka E. Fullerene -silica complexes for medical chemistry. Russian Journal of Physical
Chemistry A (Physical Chemistry of Nanoclusters and Nanomaterials), vol.81, no.6, 2007.
p.959 -966.
158. Silantiev A. The energy spectrum and the optical absorption spectrum of C60 fullerene
within the Hubbard model. Journal of Experimental and Theoretical Physics, vol.121, no.4,
2015. p. 653 -660.
159. Singh D., Murthy J., Fisher T. Mechanism of thermal conductivity reduction in few -layer
graphene. J ournal of Applied Physics, vol. 110. 2011.
160. Snyman J. Practical Mathematical Optimization: An Introduction to Basic Optimization
Theory and Classical and New Gradient -Based Algorithms. Springer Publishing. 2005.
161. Stefanucci G., van Leeuwen R. Nonequilibrium Many -Body Theory of Quantum Systems.
Cambridge University Press, 2013. 620 p.

144
162. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems.
Phys ical Review B, vol. 37, no.12, 1988. p. 6991 –7000.
163. Torrens F., Castellano G. Classification of Complex Molecules. Berlin: Foundations of
Computational Intelligence, vol.5, 2009 . p.243 -315.
164. van Kampen N.G. Stochastic processes in physics and chemistry. Dordrecht: Elsevier,
1992. 480 p.
165. Wang H. et al. Vibra tional properties of graphene and graphene layers. Journal of Raman
Spectroscopy, vol. 40, 2009. p. 1791 -1796.
166. Wang X., Wang C., Ho K. First -principles study of vibrational modes in icosahedral C60.
Phys. Rev. B, vol. 48, 1993. p.1884.
167. Wang K. et al. Observation of higher -order infrared modes in solid C60 films. Phys ical
Review B, vol. 48, 1993 . 11375.
168. Weeks D., Harter W. Vibrational Frequencies and Normal Modes of Buckminsterfullerene.
Chem. Phys. Lett. vol.144(4), 1988. p.366 -372.
169. Weeks D., Harter W. Rotation –vibration spectra of icosahedral molecules. J.Chem. Phys.
vol.90, 1989. p.4744 -4771.
170. Wikipedia . Backus -Naur https://en.wikipedia.org/wiki/Backus -Naur_Form (vizita t
24.12.2015 ).
171. Wikipedia . Systems analysis https://en.wikipedia.org/wiki/Systems_analysis (vizitat
10.12.2015).
172. Wood D. Energy levels of YB3+ in garnets . J. Chem. Phys., vol. 39, 1963 . p.1671 -1672.
173. Zhou R. Fullerene and derivatives. Modeling of Nanotoxicit y, 2015 . p.17-43.

145
ANEXE
Anexa 1. Elementele de matrice K(n)(γ)

Elementele de matrice K(2)(Ag).
Ag(1,1)=8,143·10-2·(h-1,228·10-5· -2,456·10-5·+2·p)
Ag(1,2)=0,2795·( h+0,9469·-1,127· p)
Ag(2,1)=0,2795·( h+0,9469·-1,127· p)
Ag(2,2)=1,919·( h+2,007·10-4· +1,612·10-4·+0,6354· p)

Elementele de matrice K(1)(Au).
Au(1,1)=15,71·( +2,045·10-5·)

Elementele de matrice K(6)(Gg).
Gg(1,1)=4,071·10-2·(h+55,42· -24,80·+0,3820· p)
Gg(1,2)=0
Gg(1,3)=0,1398·( h+14,62· -13,39·-0,2153· p)
Gg(1,4)=0,7998·( -0,2991·-0,1697· p)
Gg(1,5)= -0,1397·( h-4,511· )
Gg(1,6)= -0,4998· 
Gg(2,1)=0
Gg(2,2)=4,2982·10-3·(h+810,5· +234,9·+3,618· p)
Gg(2,3)= -0,4357·(-0,5491·+0,3114· p)
Gg(2,4)=1,475·10-2·(h+174,3· -126,9·-2,039· p)
Gg(2,5)= -0,3321· 
Gg(2,6)=6,249·10-2·(h-4,511· )
Gg(3,1)=0,1397·( h+14,62· -13,39·-0,2153· p)
Gg(3,2)= -0,4357·(-0,5491·+0,3114· p)
Gg(3,3)=0,9593·( h+4,557· +7,879·+0,1214· p)
Gg(3,4)= -0,9465·(+2,007·-0,5547· p)
Gg(3,5)= -0,9593·( h+0,2835· )
Gg(3,6)= -0,3349· 
Gg(4,1)=0,7998·( -0,2991·-0,1697· p)

146
Gg(4,2)=1,475·10-2·(h+174,3· -126,9·-2,039· p)
Gg(4,3)= -0,9465·(+2,007·-0,5547· p)
Gu(4,4)=0,5707·( +0,8361·+4,149· p)
Gg(4,5)= -0,6059·
Gg(4,6)=2,146· 
Gg(5,1)= -0,1397·( h-4,511· )
Gg(5,2)= -0,3321· 
Gg(5,3)= -0,9593·( h+0,2835· )
Gg(5,4)= -0,6059·
Gg(5,5)=0,9593·( h+0,2835· )
Gg(5,6)= -4,113·(+0,2854·+0,2065· p)
Gg(6,1)= -0,4998· 
Gg(6,2)=6,249·10-2·(h-4,511· )
Gg(6,3)= -0,3349· 
Gg(6,4)=2,146· 
Gg(6,5)= -4,113·(+0,2854·+0,2065· p)
Gg(6,6)=12,08·( +0,1035·+7,486· p)

Elementele de matrice K(6)(Gu).
Gu(1,1)=4,071·10-2·(h+55,42· -24,80·+0,3820· p)
Gu(1,2)=0
Gu(1,3)=0,1397·( h+14,62· -13,39·-0,2153· p)
Gu(1,4)=0,7998·( -0,2991·-0,1697· p)
Gu(1,5)= -0,1397·( h-4,511· )
Gu(1,6)= -0,4998· 
Gu(2,1)=0
Gu(2,2)=4,2982·10-3·(h+810,5· +234,9·+3,618· p)
Gu(2,3)= -0,4357·(-0,5491·+0,3114· p)
Gu(2,4)=1,475·10-2·(h+174,3· -126,9·-2,039· p)
Gu(2,5)= -0,3321· 
Gu(2,6)=6,249·10-2·(h-4,511· )
Gu(3,1)=0,1397·( h+14,62· -13,39·-0,2153· p)

147
Gu(3,2)= -0,4357·(-0,5491·+0,3114· p)
Gu(3,3)=3,991·( +0,1196·+0,5934· p)
Gu(3,4)=1,709·( +1,112·+0,3072· p)
Gu(3,5)= -4,799· 
Gu(3,6)= -1,426· 
Gu(4,1)=0,7998·( -0,2991·-0,1697· p)
Gu(4,2)=1,475·10-2·(h+174,3· -126,9·-2,039· p)
Gu(4,3)= 1,709·( +1,112·+0,3072· p)
Gu(4,4)=0,1013·( h+39,60· +74,63·+1,150· p)
Gu(4,5)= -0,8634·
Gu(4,6)=0,4290·( h+0,2835· )
Gu(5,1)= -0,1397·( h-4,511· )
Gu(5,2)= -0,3321· 
Gu(5,3)= -4,799· 
Gu(5,4)= -0,8634·
Gu(5,5)=6,9177·( +0,1807·+0,1308· p)
Gu(5,6)=2,880·( +0,4078·+0,2950· p)
Gu(6,1)= -0,4998· 
Gu(6,2)=6,249·10-2·(h-4,511· )
Gu(6,3)= -1,426· 
Gu(6,4)= 0,4290·( h+0,2835· )
Gu(6,5)= 2,880·( +0,4078·+0,2950· p)
Gu(6,6)=1,817·( h+0,9953·+0,6068·+0,4391· p)

Elementele de matrice K(8)(Hg).
Hg(1,1)=3,257·10-2·(h+18,00· -6,141·10-5·+5·p)
Hg(1,2)= 2,821·10-2·(h-22,85· )
Hg(1,3)=0
Hg(1,4)=0,1118·( h-0,7639·-2,818· p)
Hg(1,5)=9,682·10-2·(h+0,9699· )
Hg(1,6)=0,1880· 
Hg(1,7)= -9,682·10-2·(h+0,6852· )

148
Hg(1,8)= -0,3042· 
Hg(2,1)= 2,821·10-2·(h-22,85· )
Hg(2,2)=6,514·10-2·(h+21,99· +15,50·+0,2387· p)
Hg(2,3)=0
Hg(2,4)=9,682·10-2·(h-4,687· )
Hg(2,5)= 0,2236·( h+7,553· -8,736·-0,1346· p)
Hg(2,6)=0,7806·( -0,6289·-0,1738· p)
Hg(2,7)=5,590·10-2·(h-4.511·)
Hg(2,8)=5,428·10-2·
Hg(3,1)=0
Hg(3,2)=0
Hg(3,3)=5,892·10-2· (h+27,88· +17,14·+0,2639· p)
Hg(3,4)=9,401·10-2·
Hg(3,5)= -0,7184·(-0,6289·-0,1889· p)
Hg(3,6)=0,2022·( h+8,796· -9,658·-0,1488· p)
Hg(3,7)= -0,3385·
Hg(3,8)=0,1250·( h-4.511·)
Hg(4,1)= 0,1118·( h-0,7639·-2,818· p)
Hg(4,2)= 9,682·10-2·(h-4,687· )
Hg(4,3)= 9,401·10-2·
Hu(4,4)= 0,7674· ( h+3,246·10-2· +4,030·10-4·+1,589· p)
Hg(4,5)=0,6646·( h+0,1993·)
Hg(4,6)= -2,739·10-2·
Hg(4,7)= -0,6646·( h+6,294·10-2·)
Hg(4,8)=4,432·10-2·
Hg(5,1)= 9,682·10-2·(h+0,9699· )
Hg(5,2)= 0,2236·0,6646·( h+0,1993·)
Hg(5,3)= -0,7184·(-0,6289·-0,1889· p)
Hg(5,4)= 0,6646·( h+0,1993·)
Hg(5,5)=1,535·( h+3,005· +4,924·+7,585· p)
Hg(5,6)= -2,167·(+0,8766·+0,2423· p)
Hg(5,7)= 0,3837·( h+0,2835·)

149
Hg(5,8)= – 0,8234·
Hg(6,1)= 0,1880· 
Hg(6,2)= 0,7806·( -0,6289·-0,1738· p)
Hg(6,3)= 0,2022·( h+8,796· -9,658·-0,1488· p)
Hg(6,4)= -2,739·10-2·
Hg(6,5)= -2,167·(+0,8766·+0,2423· p)
Hg(6,6)=5,701·( +8,371·10-2·+0,4154· p)
Hg(6,7)= -1,307·
Hg(6,8)= 4,293· 
Hg(7,1)= -9,682·10-2·(h+0,6852· )
Hg(7,2)=5,590·10-2·(h-4.511·)
Hg(7,3)= -0,3385·
Hg(7,4)= -0,6646·( h+6,294·10-2·)
Hg(7,5)= 0,3837·( h+0,2835·)
Hg(7,6)= -1,307·
Hg(7,7)=1,535·( h+1,151· +0,7185·+0,5199· p)
Hg(7,8)= -2,215·(+0,5298·+0,3835· p)
Hg(8,1)= -0,3042· 
Hg(8,2)=5,428·10-2·
Hg(8,3)=0,1250·( h-4.511·)
Hg(8,4)=4,432·10-2·
Hg(8,5)= – 0,8234·
Hg(8,6)= 4,293· 
Hg(8,7)= -2,215·(+0,5298·+0,3835· p)
Hg(8,8)= 4,335·(+0,2884·+0,2087· p)

Elementele de matrice K(7)(Hu).
Hu(1,1)=3,257·10-2·(h+18,00· -6,141·10-5·+5·p)
Hu(1,2)= 2,821·10-2·(h-22,85· )
Hu(1,3)= 0,1118·( h-0,7639·-2,818· p)
Hu(1,4)= 9,682·10-2·(h+0,9699· )
Hu(1,5)= 9,401·10-2· 

150
Hu(1,6)= -9,682·10-2·(h-1,476·)
Hu(1,7)= -0,1521·
Hu(2,1)= 2,821·10-2·(h-22,85·)
Hu(2,2)=6,514·10-2·(h+21,99·+15,50·+0,2387· p)
Hu(2,3)= 9,682·10-2·(h-4,687·)
Hu(2,4)= 0,2236·( h+7,553·-8,736·-0,1346· p)
Hu(2,5)= -0,7184·(-0,6834·-0,1889· p)
Hu(2,6)= 5,590·10-2·(h-4.511·)
Hu(2,7)= -0,1549·
Hu(3,1)= 0,1118·( h-0,7639·-2,818· p)
Hu(3,2)= 9,682·10-2·(h-4,687·)
Hu(3,3)=7,330·( +4,382·10-5·-1,364·10-6·p)
Hu(3,4)=3,743· 
Hu(3,5)=0,6180· 
Hu(3,6)= -4,419·
Hu(3,7)= -0,9999·
Hu(4,1)= 9,682·10-2·(h+0,9699·)
Hu(4,2)= 0,2236·( h+7,553·-8,736·-0,1346· p)
Hu(4,3)= 3,743· 
Hu(4,4)= 6,285· ( +7,593·10-2·+0,3768· p)
Hu(4,5)= 2,297· ( +0,8270·+0,2286· p)
Hu(4,6)=1,920· 
Hu(4,7)=0,6126· 
Hu(5,1)= 9,401·10-2·
Hu(5,2)= -0,7184·(-0,6834·-0,1889· p)
Hu(5,3)= 0,6180· 
Hu(5,4)= 2,297· ( +0,8270·+0,2286· p)
Hu(5,5)=1,388·( h+3,275·+5,444·+8,386·10-2·p)
Hu(5,6)=0,4140· 
Hu(5,7)= 0,8580·( h+0,2835·)
Hu(6,1)= -9,682·10-2·(h-1,476·)
Hu(6,2)= 5,590·10-2·(h-4.511·)

151
Hu(6,3)= -4,419·
Hu(6,4)= 1,920· 
Hu(6,5)= 0,4140· 
Hg(6,6)=10,38·( +0,1204·+8,712·10-2·p)
Hg(6,7)= 3,660·( +0,3209·+0,2321· p)
Hg(7,1)= -0,1521·
Hg(7,2)= -0,1549·
Hg(7,3)= -0,9999·
Hg(7,4)= 0,6126· 
Hg(7,5)= 0,8580·( h+0,2835·)
Hg(7,6)=3,660·( +0,3209·+0,2321· p)
Hg(7,7)=0,5303·( h+3,054·+2,080·+1,505· p)

Elementele de matrice K(4)(T1g).
T1g(1,1)=5,892·10-2·(h+4,584·-3,394·10-5·+2,764· p)
T1g(1,2)= 0,2022·( h-0,1945·+1,309·-1,558· p)
T1g(1,3)= -0,3928·
T1g (1,4)=0,1250·( h+0,6852·)
T1g (2,1)= 0,2022·( h-0,1945·+1,309·-1,558· p)
T1g (2,2)=11,85·( +2,711·10-5·)
T1g (2,3)= -1,291·
T1g (2,4)=5,705· 
T1g (3,1)= -0,3928·
T1g (3,2)= -1,291·
T1g (3,3)=1,541·( +0,7155·+0,5177· p)
T1g (3,4)= -2,113·(+0,5555·+0,4021· p)
T1g (4,1)=0,1250·( h+0,6852·)
T1g (4,2)=5,705· 
T1g (4,3)= -2,113·(+0,5555·+0,4021· p)
T1g (4,4)= 4,335·( +0,2884·+0,2087· p)

Elementele de matrice K(5)(T1u).

152
T1u(1,1)=5,892·10-2·(h+4,584·-3,394·10-5·+2,764· p)
T1u(1,2)=0
T1u(1,3)= 0,2022·( h-0,1945·+1,309·-1,558· p)
T1u (1,4)= -0,3928·
T1u (1,5)= 0,1250·( h+0,6852·)
T1u (2,1)=0
T1u (2,2)=1,990·( +7,403·10-2·+5,357·10-2·p)
T1u (2,3)= -0,1964·
T1u (2,4)= 0,9180·( -0,5437·-0,2246· p)
T1u (2,5)= 0,7569·( -0,6064·-0,2901· p)
T1u (3,1)= 0,2022·( h-0,1945·+1,309·-1,558· p)
T1u (3,2)= -0,1964·
T1u (3,3)=1,388·( h+8,415·10-3·+2,227·10-4·+0,8781· p)
T1u (3,4)=5,721·10-2·
T1u (3,5)=0,8580·( h+6,294·10-2·)
T1u (4,1)= -0,3928·
T1u (4,2)= 0,9180·( -0,5437·-0,2246· p)
T1u (4,3)= 5,721·10-2·
T1u (4,4)=1,143·( +1,094·+0,7916· p)
T1u (4,5)=1,315·( +0,8695·+0,6290· p)
T1u (5,1)= 0,1250·( h+0,6852·)
T1u (5,2)= 0,7569·( -0,6064·-0,2901· p)
T1u (5,3)=0,8580·( h+6,294·10-2·)
T1u (5,4)=1,315·( +0,8695·+0,6290· p)
T1u (5,4)=0,5303·( h+3,054· +2,080·+1,505· p)

Elementele de matrice K(4)(T3g).
T3g(1,1)=2,251·10-2·(h+31,42·-8,887·10-5·+7,236· p)
T3g(1,2)= 7,725·10-2· (h-1,333·+3,426·-4,079· p)
T3g(1,3)= -0,2427·
T3g (1,4)=0,1250·( h+0,9699·)
T3g (2,1)= 7,725·10-2· (h-1,333·+3,426·-4,079· p)

153
T3g (2,2)=5,605·( +5,732·10-5·-1,784·10-6·p)
T3g (2,3)= -0,7978·
T3g (2,4)=4,832· 
T3g (3,1)= -0,2427·
T3g (3,2)= -0,7978·
T3g (3,3)=3,968·( +1,904·+2,934·10-2·p)
T3g (3,4)= -2,104·(+0,9029·+0,2496· p)
T3g (4,1)=0,1250·( h+0,6852·)
T3g (4,2)=4,832· 
T3g (4,3)= -2,104·(+0,9029·+0,2496· p)
T3g (4,4)= 5,701·( +8,371·10-2·+0,4154· p)

Elementele de matrice K(4)(T3u).
T3u(1,1)=2,251·10-2·(h+31,42·-8,887·10-5·+7,236· p)
T3u(1,2)= 0
T3u(1,3)= 7,725·10-2· (h-1,333·+3,426·-4,079· p)
T3u (1,4)= -0,2427·
T3u (1,5)= 0,1250·( h+0,9699·)
T3u (2,1)= 0
T3u (2,2)= 3,629·( +0,2782·+4,286·10-3·p)
T3u (2,3)=0,1214· 
T3u (2,4)= 2,634·( -0,7106·-1,142·10-2·p)
T3u (2,5)= 0,3464·( -0,6907·-0,3917· p)
T3u (3,1)= 7,725·10-2· (h-1,333·+3,426·-4,079· p)
T3u (3,2)= 0,1214· 
T3u (3,3)=0,5303·( h+5,650·10-2·+5,832·10-4·+2,299· p)
T3u (3,4)=3,536·10-2· 
T3u (3,5)=0,8580·( h+0,1993·)
T3u (4,1)= -0,2427·
T3u (4,2)= 2,634·( -0,7106·-1,142·10-2·p)
T3u (4,3)= 3,536·10-2· 
T3u (4,4)= 0,1670·( +2,857·+14,18· p)

154
T3u (4,5)= 0,8701·( +2,184·+0,6035· p)
T3u (5,1)= 0,1250·( h+0,9699·)
T3u (5,2)= 0,3464·( -0,6907·-0,3917· p)
T3u (5,3)=0,8580·( h+0,1993·)
T3u (5,4)= 0,8701·( +2,184·+0,6035· p)
T3u (5,5)=1,388·( h+3,278·+5,444·+8,386·10-2·p)

155
Anexa 2. Valorile frecvențelo r teoretice și experimentele în C60 (Ih).

Simetria
(pară)
oscilațiilor
exp
) (1cm

teor
) (1cm
Simetria
(impară)
oscilațiilor
exp
) (1cm

teor
) (1cm

Ag(1) 495 355 T1u(1) 526 454
Ag(2) 1470 1291 T1u(2) 577 549
Hg(1) 273 252 T1u(3) 1183 1057
Hg(2) 431 515 T1u(4) 1429 1362
Hg(3) 709 551 Hu(1) 342 305
Hg(4) 775 625 T3u(1) 353 374
Hg(5) 1102 961 Gu(1) 402 571
Hg(6) 1252 1176 Hu(2) 579 400
Hg(7) 1425 1444 Hu(3) 664 548
Hg(8) 1576 1716 T3u(2) 712 681
Gg(1) 485 544 Gu(2) 739 668
T3g(1) 541 350 Gu(3) 753 757
T1g(1) 568 378 T3u(3) 797 832
T3g(2) 764 667 Hu(4) 828 819
Gg(2) 961 612 T3u(4) 1038 1071
T1g(2) 973 980 Gu(4) 1080 864
Gg(3) 1199 677 Au(1) 1122 1374
T3g(3) 1214 919 Hu(5) 1222 1190
Gg(4) 1330 998 Hu(6) 1242 1559
Gg(5) 1345 1471 Gu(5) 1290 1418
T1g(3) 1479 1487 T3u(5) 1313 1531
T3g(4) 1544 1567 Gu(6) 1526 1652
Gg(6) 1596 1667 Hu(7) 1600 1719

156
Anexa 3. Programul de calcul al vectorilor proprii

PROGRAM SUBST
C USE DFLIB
DIMENSION
A1(1830),T(60,60),R(60,60),A2(60)
DIMENSION VE(60)
DIMENSION
MY1(60,60),MY2(60,60),MA(60,60)
DOUBLE PRECISION A1,T,R,A2,VE
,MY1,MY2,
1 MA,EPSILON,TERMEN
C COMMON/ZA/VE
C INITIALIZAREA PARAMETRILOR
CK=49.7
CN=90
CALFA=6.31
NL=90
N=60
T1=1.692
T2=2.016

Y0=0.1
EPSILON=1.0D -008
ITERATII=0
C CALL SD(1998)
C PREGATIREA MATRICII T
DO 15 K=1,60
DO 15 J=1,60
15 T(K,J)=0.0
T(1,2)=T1
T(1,5)=T1
T(1,8)=T2 T(2,3)=T1
T(2,7)=T2
T(3,4 )=T1
T(3,6)=T2
T(4,5)=T1
T(4,10)=T2
T(5,9)=T2
T(6,11)=T1
T(6,14)=T1
T(7,13)=T1
T(7,15)=T1
T(8,16)=T1
T(8,20)=T1
T(9,17)=T1
T(9,19)=T1
T(10,12)=T1
T(10,18)=T1
T(11,15)=T2
T(11,23)=T1
T(12,14)=T2
T(12,25)=T1
T(13,20)=T2
T(13,21)=T1
T(14,24)=T1
T(15,22)=T1
T(16,19)=T2
T(16,29)=T1
T(17,18)=T2
T(17,27)=T1
T(18,26)=T1
T(19,28)=T1

157
T(20,30)=T1
T(21,22)=T1
T(21,40)=T2
T(22,31)=T2
T(23,24)=T1
T(23,32)=T2
T(24,33)=T2
T(25,26)=T1
T(25,34)=T2
T(26,36)=T2
T(27,28)=T1
T(27,35)=T2
T(28,37)=T2
T(29,30)=T1
T(29,38)=T2
T(30,39)=T2
T(31,32)=T1
T(31,41)=T1
T(32,49)=T1
T(33,34)=T1
T(33,48)=T1
T(34,47)=T1
T(35,36)=T1
T(35,45)=T1
T(36,46)=T1
T(37,38)=T1
T(37,44)=T1
T(38,50)=T1
T(39,40)=T1
T(39,43)=T1
T(40,42)=T1
T(41,42)=T2
T(41,51)=T1
T(42,55)=T1 T(43,50)=T2
T(43,55)=T1
T(44,45)=T2
T(44,54)=T1
T(45,53)=T1
T(46,47)=T2
T(46,53)=T1
T(47,52)=T1
T(48,49)=T2
T(48,52)=T1
T(49,51)=T1
T(50,54)=T1
T(51,60)=T2
T(52,59)=T2
T(53,58)=T2
T(54,57)=T2
T(55,56)=T2
T(56,57)=T1
T(56,60)=T1
T(57,58)=T1
T(58,59)=T1
T(59,60)=T1
DO 65 K=1,60
DO 65 J=1,K
65 T(K,J)=T(J,K)
C GENERAM SETUL INITIAL
ALEATOR
DO 25 I=1,N
DO 25 J=1,I
C CALL RANDOM(RNDNUMBER)
25 MY1(J,I) = ((2*Y0*0.49) -Y0)*( -1)**(I –
J)
C DO 30 I=1,N
C DO 30 J=1,I

158
C 30 MY1(I,J)=MY1(J,I)
C CALCULAM VECTORII PROPRII
60 I1=1
DO 10 K1=1,N
DO 10 J1=1,K1
IF (T(J1,K1).EQ.0.) MY1(J1,K1)=0.0
A1(I1)= -T(J1,K1) -CALFA*MY1(J1,K1)
I1=I1+1
10 CONTINUE
CALL EIGEN(A1,R,N,0)

C SCOATEM VALORILE PROPRII
C CALL ORDONARE(A1,N,R)

DO 70 I=1,N
70 VE(I)=A1(I*(I+1)/2)
C CALL ORDONARE(VE,N,R)
C ATRIBUIM VALORI MATRICII MA
WRITE(*,*) VE
DO 35 I=1,N
DO 35 J=1,N
35 MA(I,J)=R(I,J)
C CALCULAM URMATORUL SET DE
VALORI MY2
TERMEN=0.0D+000
DO 40 M1=1,N
DO 40 N1=1,M1
DO 40 K=30,60
40 IF(T(N1,M1).NE.0.)
TERMEN=TERMEN+2*MA(M1,K)*MA(N
1,K)

TERMEN=TERMEN*2*CALFA/(CK*CN)
DO 50 I=1,N DO 50 J=1,I
MY2(J,I)=0.0
DO 45 K=30,60
45 IF (T(J,I).NE.0.)
MY2(J,I)=MY2(J,I)+2*MA(I,K)*MA(J,K)
IF(I.NE.J)
MY2(J,I)=MY2(J,I)*2*CALFA/CK –
DABS(TERMEN)
C IF (T(J,I).NE.0.0) MY2(J,I)=MY2(J,I) –
TERMEN
50 CONTINUE
C CALCULAM VARIATIA SOLUTIEI
LA ITERATIE
ITERATII=ITERATII+1
VARIATIA=0.0
DO 55 I=1,N
DO 55 J=1,I
IF (T(J,I).NE.0.)
VARIATIA=VARIATIA+(MY2(J,I)
1-MY1(J,I))*(MY2(J,I) -MY1(J,I))
55 MY1(J,I)=MY2(J,I)
WRITE(*,*)ITERATII,VARIATIA
IF (VARIATIA.GT.EPSILON) GOTO 6 0

C WRITE(*,*)VE,R
C DO 20 L=1,N
C WRITE(*,'("E(",I3.3,")=")') L
C WRITE(*,*)VE
DO 66 I=1,60
DO 66 J=1,I
66 IF (T(J,I).NE.0) WRITE(*,*)
J,I,MY1(J,I)
TE=0.0
DO 22 I=30,60

159
22 TE=TE+VE(I)*2
WRITE(*,*)TE
C DO 20 I=1,N
C WRITE(*,'("Vectorul propriu
(",I3.3,"):")') L
C WRITE(*,*) (R(L,I),I=1,180)
C 20 CONTINUE
END
SUBROUTINE ORDONARE (A,N,R)
DIMENSION A(60),R(60,60)
DOUBLE PRECISION A,R,S
C COMMON/ZA/A1
DO 5 L=1,N
DO 5 J=1,N -1
IF(A(J).GE.A(J+1)) GO TO 5
S=A(J)
A(J)=A(J+1)
A(J+1)=S
DO 4 K=1,N
S=R(K,J)
R(K,J)=R(K,J+1)
R(K,J+1)=S
4 CONTINUE
5 CONTINUE
RETURN
END

160
Anexa 4. Rezultatul diagonalizării pentru calculul vectorilor proprii

1 2 -3.450521125970324E -002
2 3 -3.439975072497412E -002
3 4 -3.430399184546970E -002
1 5 -3.447573559144139E -002
4 5 -3.435138611459446E -002
3 6 6.967716044846808E -002
2 7 6.982502202426635E -002
1 8 6.988046725343106E -002
5 9 6.976743837011820E -002
4 10 6.964126625446412E -002
6 11 -3.613344717847730E -002
10 12 -3.615469740825304E -002
7 13 -3.621472714329664E -002
6 14 -3.6178 41248061786E -002
12 14 7.444057283873065E -002
7 15 -3.628394052581987E -002
11 15 7.447444089195521E -002
8 16 -3.628557828172756E -002
9 17 -3.624873379478113E -002
10 18 -3.611230256130256E -002
17 18 7.445432693199913E -002
9 19 -3.617805979529404E -002
16 19 7.449752780494445E -002
8 20 -3.628368858215744E -002
13 20 7.451004645802356E -002
13 21 -3.891746611148769E -002
15 22 -3.875702506572670E -002
21 22 -5.077032331073164E -003
11 23 -3.894415975943417E -002
14 24 -3.881897682409000E -002
23 24 -4.961022531914772E -003

161
12 25 -3.884697465700479E -002
18 26 -3.893002368971313E -002
25 26 -4.85872 3667140713E -003
17 27 -3.875935303790669E -002
19 28 -3.893655242784839E -002
27 28 -4.912123447179645E -003
16 29 -3.880359268963375E -002
20 30 -3.883017819249314E -002
29 30 -5.046845886185897E -003
22 31 4.527311304947795E -002
23 32 4.535361620776365E -002
31 32 -5.024896705486254E -003
24 33 4.519273917227981E -002
25 34 4.513750442949588E -002
33 34 -4.879465835875535E -003
27 35 4.510189409039986E -002
26 36 4.521683536851048E -002
35 36 -4.860227490037880E -003
28 37 4.531254663820147E -002
29 38 4.529661091578546E -002
37 38 -4.994202378584486E -003
30 39 4.534741211657728E -002
21 40 4.545164137292113E -002
39 40 -5.095959537425088E -003
31 41 -3.878689915470375E -002
40 42 -3.891983037691790E -002
41 42 7.448190305072105E -002
39 43 -3.882350523339798E -002
37 44 -3.89032 8037833464E -002
35 45 -3.878971358956146E -002
44 45 7.446052067332512E -002
36 46 -3.891597978052122E -002
34 47 -3.881339471243055E -002
46 47 7.448026081636233E -002

162
33 48 -3.884415766934814E -002
32 49 -3.889390125121275E -002
48 49 7.449360068484601E -002
38 50 -3.885577235421336E -002
43 50 7.446183696638056E -002
41 51 -3.627097065703914E -002
49 51 -3.620738423995845E -002
47 52 -3.624870094723373E -002
48 52 -3.624487919695910E -002
45 53 -3.623327823164729E -002
46 53 -3.616696394755124E -002
44 54 -3.614485219328711E -002
50 54 -3.618242883377647E -002
42 55 -3.616620322340207E -002
43 55 -3.620954963373875E -002
55 56 6.972830404226710E -002
54 57 6.968954110480427E -002
56 57 -3.435536661158310E -002
53 58 6.974627707096417E -002
57 58 -3.436513376259989E -002
52 59 6.981989540822128E -002
58 59 -3.443342286419168E -002
51 60 6.980875815106594E -002
56 60 -3.441747709317582E -002
59 60 -3.44655 6911583716E -002
-176.1241

163
Anexa 5. Structura aplicației adaptiv -parametrice pentru modelarea
IEF de rezonanță pentru ioni în cristale laser

164

165

166
DECLARAȚIA PRIVIND ASUMAREA RĂSPUNDERII

Subsemnatul, declar pe răspundere personală că materialele prezentate în teza
de doctorat sunt rezultatul propriilor cercetări și realizări științifice. Conștientizez
că, în caz contrar, urmează să suport consecințele în conformitate cu legislația în
vigoare.

CIOBU Victor

Data: ___/___/______

167
CURRICULUM VITAE

Nume, prenume: CIOBU Victor
Data nașterii: 03 septembrie 19 68

Experiența profesională:
 Lector universitar
 Conducerea subdiviziunilor T.I.C.
 Experiență de lucru cu Organizații Internaționale;
 Cunoașterea legislației privind achizițiile publice, legislația vamală, sistemului și procesului
bugetar de stat, operațiunilor trezoreriale.
 Experiență de lucru în echipă în diferite proiecte;
 Experiență de elaborare a sistemelor informaționale bazate pe arhitectură Client/Server;
 Experiență în programarea Web utilizînd PL/SQL, HTML , DHTML, XML;
 Experiență în testarea echipamentelor hardware, instalarea și menținerea software.
 Cunoașterea și utilizarea următoarelor s isteme de operare:
 Windows Vista/XP/2003/2000/NT/9x, MS DOS, Novell DOS 7.0, Novell NetWare 3.x, 4.x.,
5.x, Red Hat Linux 5.0, SUSE Linux 11, UNIX SUN Solaris x86 v. 2.4, Novell UnixWare
2.1/1.1, Oracle Enterprise Linux v.5.x;
 Lucrul cu: SQL*PLUS 11g/10g/9 i/8.x, Microsoft Visual Basic 6.0/5.0, Microsoft Office VBA
2007/2003/2000/97/95;
 Baze de date: Oracle 11g/10g/9i/8i/8.x/7.x, Lotus Domino Server v. 4.6, MySQL 5.x;
 Data Access: JDBC, Oracle Net, ODBC;
 Utilite speciale:
 Oracle Developer Suite 10g/9i/6i ( Procedure Builder, Forms, Reports), Oracle WebDB 2.x,
WebView, Oracle Portal, Oracle APEX, Lotus Notes 4.6
 Utilite de modelare: Oracle Designer 9i/8i, Oracle Database Designer, Computer Associates
ERwin 4.0, Visual Paradigm v.6.3.
 Cinci ani de experiență î n administrarea LAN, instalarea sistemelor de operare și administrare
a lor;
 Mai mult de zece ani de experiență în programare și administrare a bazelor de date Oracle;
 Mai mult de zece ani de experiență în conducerea subdiviziunilor IT;
 Mai mult de zece ani de experiență de lector universitar (tehnologii informationale).

Home:  (+373 22) 343720
Mobil:  (+373 79) 800700
E-mail: vciobu@gmail.com

168
2004 -Present :
Universitatea de Stat din Moldova. Lector superior universitar.
Predarea următoarelor disciplini:
 Baze de date și algoritmi;
 Limbajul SQL;
 Designul bazelor de date relați onale, Oracle Designer, Computer Associates Erwin,
Visual Paradigm.
 Proiectarea și administrarea bazelor de date, Limbajul PL/SQL.
 Sisteme de gestiune a bazelor de date.
 Proiectarea și crearea formelor și rapoartelor unei aplicații informaționale în Oracle
Forms/Reports Developer;

2010 -2013 :
Întreprinderea de Stat Centrul Resurselor Informaționale de Stat „REGISTRU”, șef -adjunct
Direcție elaborare și dezvoltare sisteme informaționale.

2005 – 2007 :
Ministerul Apărării al Republicii Moldova, Consilierul Ministrului apărării pe probleme
economice, relații internaționale și implementarea proiectelor noi:
 Manager al Proiectului NATO “distrugerea pesticidelor și substanțelor chimice
periculoase în Moldo va”,
 Participarea la planificarea și elaborarea bugetului anual a Ministerului Apărării și
Armatei Naționale,
 Planificarea și organizarea achizițiilor de stat (echipament, software, hardware, etc.),
 Responsabil de activitatea instituțiilor cu autogestiune subordonate Ministerului Apărării.

2001 – 2005 :
Ministerul Finanțelor al Republicii Moldova, Șef al Direcției Generale Tehnologii
Informaționale:
 Gestionarea proceselor de proiectare, elaborare și implementare aplicațiilor
informaționale ale Ministerului Finanțelor;
 Gestionarea instalării, deservirii și menținerii rețelelor globale și locale a Ministerului
Finanțelor.
 Elaborarea standartelor și cerințelor tehnice pentru tehnica de calcul, sisteme
informaționale și de telecomunicații, responsabil de procur area echipamentelor de de
calcul și de rețea pentru Ministerul Finanțelor.

2000 -2001 :
SGS Soćiété Générale de Surveillance SA, SGS Chisinau Liaison Office.
 Manager IT.
 Gestionarea și dezvoltarea unui sistem informațional intelegent pentru automatizare a
proceselor de inspecție preexport.
 Responsabil de achiziționarea tehnicii de calcul, rețelelor și echipamentelor de
telecomunicații.
 Design -ul și implementarea rețelei oficiului SGS din Chișinău.

169
1996 – 2000:
Implicat în Proiectul TACIS “Cooperarea transfrontalieră”, comanager de proiect din partea
Departamentului Vamal al Republicii Moldova:
 Crearea, dezvoltarea și implementarea sistemului informațional vamal la birourile vamale
Ungheni și Leuseni;
 Responsabi l de instalarea, și suportul serverelor Oracle, designul bazei de date,
exportul/importul datelor;
 Replicarea datelor dintre Departamentul Controlului Vamal și vămi;

1992 – 2000 :
Departamentul Control Vamal al Republicii Moldova, CIS (Centrul Informațio nal Specializat cu
statut de Directie). Șef-adjunct CIS “Vama Moldovei”:
 Crearea sistemului automatizat de introducere și control a declarațiilor vamale;
 Crearea rețelei de telecomunicații (sediul central, birouri vamale și posturi vamale);
 Proiectarea, cr earea și implementarea sistemului informațional “Frontiera” la punctul de
trecere a frontierei de stat Sculeni bazat pe tehnologii WEB, server Windows NT 4.0,
RDBMS Oracle Enterprise Server 8.05 și Oracle WebDB 2.x;

Studii:
 2009 -2014, Universitatea de Stat din Moldova; studii doctorale , Programarea calculatoarelor .
 2003 -2007, Universitatea de Stat din Moldova, Facultatea de Drept, Dreptul Administrativ și
Constituțional.
 2005: Cursuri de perfecționare petrecute de „RDTEX – Cent rul de formare și certificare a
specialiștilor în tehnologii informaționale”, în or.Moscova, Federația Rusă:
Oracle Database 10g: PL/SQL Fundamentals
Oracle Database 10g: Develop PL/SQL Program Units
Oracle Database 10g: Administration Workshop I
Oracle Database 10g: Administration Workshop II
OracleAS Portal 10g: Build Corporate Portals
OracleAS Portal 10g: Build Portlets with Java
OracleAS Portal 10g: Build Portlets with PL/SQL
 1985 -1992: Universitatea de Stat din Moldova, Facultatea de Fizică.
Diplomă cu distincție – media 9,68 (max. 10,0):
– Specialitatea: Fizica teoretică.
– Calificarea: inginer, Fizica teoretică.

Limbi posedate:
– Limba română : maternă
– Limba rusă: excelent
– Limba engleză: fluent
– Limba franceză: mediu

170
LISTA LUCRĂRILOR
ȘTIINȚIFICE, ȘTIINȚIFICO -METODICE, DIDACTICE

LUCRĂRI ȘTIINȚIFICE
 Articole de sinteză
1. Progrese în Fizica Teoretică: Culegere de lucrări științifice, F.Paladi, V.Ciobu, Aplicații
adaptiv -parametrice în fizica teoretică. Chișinău, CEP USM, 2016. p.230 -261.

 Articole în reviste de circulație internațională (cotate ISI și SCOPUS)
2. C.Candu, V. Ciobu, V. Enaki , Four-center resonance energy transfer in rare earth doped
crystals, Journal of Optoelectronics and Advanced Materials, ISSN 1454 -4164, Vol.7,
No. 2, INOE 2000, Bucuresti, April 2005, p.781 –786, ISI, Impact Factor = 0,563.
3. V.Enaki, A.Lupei, V.Lupei, C.Presura, V.Ciobu, Effects of resonant electron -phonon
interactions for the RE3+ ions in laser crystals, Bellingham, Wash.: SPIE – the
International Society for Optical Engineering, ISSN: 0277786X, ISBN:
9780819428578 [0819428574], 1998, pp.570 -577, ISI, Impact Factor = 0,2.
 Articole în reviste științifice cu recenzen ți din Registrul na țional al revistelor științifice:
Categoria B
4. V.Ciobu, Modelarea interacțiunii electron -fononice de rezonanță pentru ionii de pământ
rar în cristale laser. Revista științifică a Universității de Stat din Moldova „Studia
Universitatis Moldavia e” (Seria Fizică), nr.2(92) 2016, pp.3−10.
5. I.Boguș, V.Ciobu, F.Paladi, Algoritmul de obținere a deplasărilor simetrizate în sistemele
simetrice complexe prin reducerea la problema vectorilor proprii. Revista științifică a
Universității de Stat din Moldova „Studia Universitatis Moldaviae” (seria Fiz ică), nr.7(87)
2015, pp.3−8.
6. V.Ciobu, Elaborarea sistemului informațional național adaptiv pentru automatizarea
proceselor testării tehnice ale vehiculilor, Revista științifică a Universității de Stat din
Moldova „Studia Universitatis Moldaviae” (seria Informatica ), nr.2(82) 2015, pp.3 -9;
7. V.Ciobu, F.Paladi, Gh.Căpățână, Sistem informatic adaptiv ”Determinarea stărilor proprii
ale moleculelor de fullerene”, Revista științifică a Universității de Stat din Moldova
„Studia Universitatis Moldaviae” (seria Infor matica ), nr.2(82) 2015, pp.10 -15;
8. V.Enachi , V.Ciobu, Oscilații murmurale î n particule onionice fullerenice, Buletinul
ASRM, Seria Fizica și Tehnica, Nr.2(23), 1998, pp.13 -30.

 Articole în culegeri naționale
9. V.Enachi, C.Isacova, V.Ciobu, Influența rezonanței electron -fononice asupra liniei de
absorbție a luminii în ionul de fulleren C 60-1, Anale științifice ale USM, Seria ”Științe
fizico -matematice”, Chișinău, 2005, p.62 -71;

171
10. V.Ciobu, Influența rezonanței electron -fononice asupra spectrelor d e împrăștiere raman și
asupra spectrelor de absorbție a luminii în cristale dopate cu ioni pământ -rar, Analele
științifice ale USM, Seria "Științe fizico -matematice", Chișinău, 2003, p.53 -55;
11. V.Enachi, V.Ciobu, Transfer de energie în cristale dopate cu io ni de pământ -rar, Analele
științifice ale USM, Seria "Științe fizico -matematice", Chișinău, 2003, p.56 -61;
12. D.Zatic, V.Ciobu, V.Enachi, Efectele interacțiunii electron -fononice rezonante la
împrăștierea neutronilor in cristale ce conțin ioni Re3+, Anale științifice ale USM,
Seria ”Științe fizico -matematice”, Chișinău, 2002, p.179 -182;
13. V.Enachi, V.Ciobu, Celule logice CNOT ale computerului cuantic bazate pe molecule
fullerenice activate și dopate, Anale științifice ale USM, Seria “Științe fizico –
matematice”, Chișinău, 2001, p.106 -108;
14. V.Enachi, V.Ciobu, Modelul semiclasic și metoda numerică de evaluare a proprietăților
electron -fononice în fullerenul C 60, Anale științifice ale USM, Seria ”Științe fizico –
matematice”, Chișinău,1999 p.117 -118;

 Materiale la forurile științifice naționale cu participare internațională
15. V.Ciobu, I.Bogush, F.Paladi, Modeling molecular vibrations and spectra of fullerene C 60.
8th International Conference Materials Scien ce and Condensed Matter Physics (MSCMP
2016). Poster Session Condensed Matter Theory (CMT), Chișinău. p.60;
16. V.Ciobu, Distributed adaptive information system for the management of technical testing
of automobiles. Conferința Internațională: Mathematics & I T: Research and Education
(MITRE -2015). Centrul de Educatie si Cercetare in Matematica si Informatica (CECMI).
Chișinău. pp.92-94. – ISBN 978 -9975 -71-678-9;
17. V.Ciobu, F.Paladi, Synchronization of distributed databases. Conferința Internațională:
Mathematics & IT: Research and Education (MITRE -2015). Centrul de Educatie si
Cercetare in Matematica si Informatica (CECMI). pp.94 -95. – ISBN 978 -9975 -71-678-9;
18. V.Ciobu, Aplicații adaptive pentru cercetarea sistemelor fizice și managementul
resurselor, Conferința Șt iințifică Națională cu participare internațională "Integrare prin
cercetare și inovare", Universitatea de Stat din Moldova, Chișinău, 2014, pp.121 -123.

 Materiale la forurile științifice internațională(peste hotare)
19. C.Candu, V.Ciobu, V.Enaki, Theory of four-center systems for energy Transfer in Rare –
Erth doped Materials, 7 -International Conference on Physics of Advanced Materials, June
10-12.2004, Section Optical and Photoelectric Properties, Universitatea Alexandru Ioan
Cuza (UAIC), Iași, Romania, p.60;
20. C.Candu, V.Ciobu, V.Enaki, Theory of Resonantn Electron -Phonon interaction for energy
pooling in Rare -Earth Doped Materials, 7 -International Conference on Physics of
Advanced Materials, June 10 -12.2004, Section Optical and Photoelectric Properties,
Univer sitatea Alexandru Ioan Cuza (UAIC), Iași, România, p.166;
21. V.Enachi, V.Ciobu, Z.Bazalic, Exhibitions of Electron -phonon interaction in C 60 Fulleren,
Conferința Națională de Fizică, Constanța, România, 1998, p.161;

172
22. V.Enachi, V.Ciobu, Problema inversă vibraț ională în fulereni, Sesiunea a V -a științifică a
cadrelor didactice, Iași, România, 1996;

 Materiale la forurile științifice naționale
23. V.Ciobu, Электрон -фононный резонанс в ионах фуллерена C60-1, Conferința corpului
didactico -științific ”Bilanțul activității științifice a USM pe anii 1998 -99”, 27 septembrie –
2 octombrie 2000, pp.194 -195;
24. V.Ciobu, V.Gribovan, V.Enachi, Влияние резонансного электрон -фононного
взаимодействия на рамановское рассеяние света примесными редкоземельными
ионами , Conferința corpului didactico -științific ”Bilanțul activității științifice a USM pe
anii 1998 -99”, 27 septembrie -2 octombrie 2000, pp.192 -193;
25. V.Enachi, V.Ciobu, Mecanis mul Jahn -Teller de imperechere a electronilor în anionii
𝐶60−𝑛, Conferința corpului didactic USM, 1995, p.73.

 Brevete de invenții, patente, certificate de înregistrare, materiale la saloanele de invenții
26. V.Ciobu, V.Primac, Certificat de înregistrare a obiectelor dreptului de autor și drepturilor
conexe, Sistemul automatizat de evidență și căutare a unităților de transport supuse
testării tehnice ”AutoTEST”, Seria PC Nr.3554 din 05.12.2012 înregistrat în baza de
date a Agenției de Stat pentru Proprietatea Intelectuală a Republicii Moldova.

LUCRĂRI DIDACTICE
 Culegere de probleme îndrumări metodice

27. V.Ciobu, N.Eni, Limbajul SQL: Culegere de probleme și îndrumări metodice, Chișinău,
CEP USM, 2016.
28. F.Paladi, V.Ciobu, N.Eni, V.Primac, Procesarea datelor. Studii de caz. ISBN 978 -9975 –
71-801-1. Chișinău, CEP USM, 2016, 120 p.

 Curicule elaborate pentru cursurile universitare
29. Proiectarea și crearea portalelor Internet – Facultatea de Fizică și Inginerie, specialitatea
Tehnologii informationale în modelare, ciclul II;
30. Baze de date web -orientate – Facultatea de Fizică și Inginerie, specialitatea Tehnologii
informationale in modelare, ciclul II;
31. Elaborarea aplica țiilor WEB – Facultatea de Fizică și Inginerie, specialitatea Tehnologii
informationale in modelare, ciclul II;
32. Depozite de date și Data Mining – Facultatea de Fizică și Inginerie, speciali tatea Sisteme
informa ționale, ciclul II;
33. Forma și reports Developer – Mining – Facultatea de Fizică și Inginerie, specialitatea
Sisteme informa ționale, ciclul II;
34. Baze de date și algoritmi – Facultatea de Fizică și Inginerie, specialitatea Tehnologii
Infor maționale, ciclul I;

173
35. Limbajul SQL – Facultatea de Fizică și Inginerie, specialitatea Tehnologii
Informa ționale, ciclul I;
36. Sisteme de dirijare cu bazele de date – Facultatea de Fizică și Inginerie, specialitatea
Tehnologii Informa ționale, ciclul I;
37. Proiecta rea și administrarea bazelor de date – Facultatea de Fizică și Inginerie,
specialitatea Tehnologii Informaționale, ciclul I.