Corpuri Reale Inchise Si Teorema Lui Sturm

CUPRINS

=== cap II ===

CAPITOLUL 2.

CORPURI REAL ÎNCHISE

2.1. Mulțimi ordonate

Fie un corp de caracteristică (adică , pentru orice , număr natural nenul și unde este elementul neutru al lui ). Pentru polinomul

Polinomul derivat al polinomului este definit astfel:

(41)

Prin aplicarea succesivă a operației de derivare se poate obține o regulă generală, pentru i succesiuni și anume:

Propoziția 2.1. ([1], pag.29) Dacă și sunt două polinoame din atunci au loc următoarele relații:

i) dacă

ii)

iii)dacă (42)

vi)

v)

Demonstrație: i) Dacă atunci , constanta. Conform regulilor de derivare, orice constantă derivată este egală cu .

ii) Fie și (43)

.

Presupunem , pentru ușurarea scrierii. Această presupunere nu restricționează în niciun fel generalitatea demonstrației.

Atunci polinomul

După derivare se obține polinomul

Prin derivarea formulelor (43) se obține

și

Din adunarea ultimelor două relații se ajunge la egalitatea ce trebuia a fi demonstrată.

iii) Fie și .

Polinomul Prin operația de derivare se obține

Relațiile vi) și v) se demonstrează cu ajutorul proprietăților operațiilor cu polinoame pentru generalizare, dar și considerând, pe rândși polinoame constante. Se poate atașa și o funcție polinomială și utiliza definiția funcției derivabile.

Aplicația 17. Fie polinomul Să se calculeze derivatele polinomului.

Aplicând formula de derivare (41) se obțin pe rând următoarele polinoame

Aplicația 18. Dacă și să se calculeze .

Conform proprietății (42) vi) se poate calcula

Dacă și să se calculeze .

Conform proprietății (42) v) se poate calcula

Dacă ținem cont de formula de calcul prescurtat: , se poate obține o altă rezolvare a acestui exercițiu:

Propoziția 2.2. ([1], pag.30) Formula lui Taylor. Fie un corp de caracteristică (adică , pentru orice n, număr natural nenul și unde este elementul neutru al lui ).

Pentru polinomul

și atunci

(44)

Demonstrație: Vom demonstra Formula lui Taylor pentru monoame de forma

, prin inducție după .

Dacă formula este evident adevărată. Prin inducție matematică după , presupunem că Formula lui Taylor este adevărată pentru, adică

Apoi, întrucât , se poate obține relația

întrucât

Prin urmare, formula lui Taylor este valabilă pentru orice polinom.

Aplicația 19. Să se dezvolte polinomul după puterile lui .

Se aplică formula lui Taylor cu . (Obs. )

Aplicația 20. Dezvoltați polinomul după puterile lui .

Se aplică formula lui Taylor cu . (Obs.)

Aplicația 21. Dezvoltați polinomul

după puterile lui .

Se aplică formula lui Taylor cu . (Obs. )

Fie și un polinom . Spunem că este ca o rădăcină multiplă de ordin a lui , unde este număr natural, dacă există un polinom astfel încât

și

Exemplu: Pentru polinomul

întâlnim următoarele rădăcini: este rădăcină de ordinal , este rădăcină de ordinul ,este rădăcină de ordinul șieste rădăcină de ordinul .

Propoziția 2.3. ([1], pag.30) Fie un corp de caracteristică zero. Elementul este o rădăcină a polinomului de multiplicitate dacă și numai dacă

(45)

Demonstrație: Presupunem că și . Este evident că deoarece este rădăcină a polinomului .

Demonstrarea afirmației se face prin inducție matematică după gradul polinomului P. Relația este evidentă pentru cazul în care gradul polinomului este .

Să presupunem că relația (45) este adevărată pentru orice polinom de grad mai mic decât . Deoarece derivata polinomului este

și cum , prin inducție matematică

Invers, să presupunem că

Utilizând propoziția 2.1. (Formula lui Taylor) pentru x și polinomul

cu

atunci rezultă că x este o rădăcină de multuplicitate a polinomului .

Aplicația 22. Să se determine ordinul de multiplicitate a rădăcinii pentru polinomul

Avem . Deci este măcar rădăcină a polinomului .

Calculăm

Atunci

Deci este măcar rădăcină dublă a polinomului .

Calculăm

și

Numărul 1 este măcar rădăcină triplă a polinomului P.

Calculăm

și

Cum și rezultă că este rădăcină triplă a polinomului sau de multiplicitate .

Un polinom este separabil, dacă cel mai mare divizor comun al și al lui este un element din . Un polinom este liber de pătrate dacă nu există niciun polinom neconstant astfel încât să dividă polinomul .

Definiția 2.4. Printr-o mulțime ordonată înțelegem un dublet format dintr-o mulțime nevidă și o relație binară pe notată tradițional care are următoarele proprietăți:

– este tranzitivă, adică și ,

– este reflexivă, adică ,

– este antisimetrică, adică și .

Vom spune că este o ordine pe .

Pentru vom scrie dacă și .

Dacă relația este doar reflexivă și tranzitivă, vom spune că ea este o ordine parțială sau că este o mulțime parțial ordonată.

Relația are următoarele proprietăți:

.

Definiția 2.5 Se definește semnul elementului a din mulțimea ordonată prin

Atunci când spunem că a este pozitiv, și atunci când vom spune că este negativ.

Valoarea absolută, sau modulul unui număr este egal cu valoarea maximă dintre și, și este nu este negativ niciodată.

Respectiv .

Mulțimile și, împreună cu ordinea lor naturală sunt ordonate.

Într-o mulțime ordonată, valoarea unui polinom în are semnul de monom sau de lider pentru suficient de mare. Mai precis

Propoziția 2.6. ([1], pag.32) Fie , un polinom cu coeficienți din mulțimea ordonată . Dacă

atunci și au același semn.

Demonstrație: Presupunem că

care implică. Întrucât

,

Vom examina acum o modalitate de a ordona domeniul de funcții raționale .

În acest scop, avem nevoie de o definiție: Fie două mulțimi ordonate. Elementul este infinitezimal peste , dacă valoarea sa absolută este un număr pozitiv mai mic decât orice număr pozitiv . Elementul este nemărginit peste în cazul în care valoarea sa absolută este un element pozitiv, mai mare decât orice număr pozitiv .

Vom defini acum un con al unui corp, care ar trebui să fie gândit ca o mulțime de elemente nenegative. Un con a mulțimii este un subgrup C din astfel încât:

Dacă este con atunci .

Fie o mulțime ordonată. Subgrupul este un con, conul pozitiv al lui .

Propoziția 2.7. ([1], pag.33) Fie este o mulțime ordonată. Conul pozitiv al lui este un con care satisface proprietatea . Invers, în cazul în care este un con care satisface relația , atunci este ordonat prin .

Demonstrație: Fie un domeniu. Notăm cu o mulțime de pătrate de elemente din și cu serie de sume de pătrate de elemente de . În mod evident, este un con conținut în orice con din .

Un domeniu este un domeniu reală, dacă .

2.2. Corpuri reale și corpuri real închise

Teorema 2.8. ([1], pag.33) Fie un corp. Atunci următoarele proprietăți sunt echivalente:

este real

are proprietatea de con

poate fi ordonat

Pentru orice din , .

Demonstrație: Pentru a demonstra aceasta teoremă este nevoie de următoarea propoziție:

Propoziția 2.9. ([1], pag.33) Fie un con al lui . Atunci este inclus în conul pozitiv pentru unele ordonări ale lui .

Demonstrație: Demonstrația acestei propoziții se bazează pe următoarea lemă:

Lema 2.10. ([1], pag.34) Fie con al lui . Dacă atunci

are proprietatea de con pe .

Demonstrație: Să presupunem că cu. În cazul în care avem , care este imposibil. În cazul în care atunci

, care este de asemenea imposibil.

Revenim la demonstrația propoziției 2.9. Întrucât reuniunea mai multor conuri este un con, lema lui Zorn presupune existența unui con maximal care-l conține pe . Este suficient să se arate că , și să se definească de către . Să presupunem că . Din lema 2.10, este un con, prin urmare, rezultă maximalitatea lui și, astfel, .

Continuăm demonstrația teoremei 2.8.

a) ⇒ b) întrucât într-un câmp real este inevitabil un con.

b) ⇒ c) de Propozitia 2.7.

c) ⇒ d), deoarece într-un câmp ordonat, dacă atunci .

d) ⇒ a), întrucât într-un domeniu în care , rezultă faptul că

este imposibil.

Un corp real închis este un domeniu ordonat al cărui con pozitiv este serie de pătrate astfel încât fiecare polinom din de grad impar are o rădăcină în .

De reținut este faptul că condiția ca un con pozitiv al unui corp real închis este înseamnă că are o ordine unică, ca un domeniu ordonat, deoarece conul pozitiv al unui ordin conține în mod obligatoriu .

Un corp are proprietatea valorii intermediare dacă este un domeniu ordonat, astfel încât, pentru orice , în cazul în care există , atunci , există astfel încât . Corpurile reale închise sunt caracterizate după cum urmează:

Teorema 2.11. ([1], pag.34) este un corp. Atunci următoarele proprietăți sunt echivalente:

a) este real închisă

b) este un corp algebric închis.

c) are proprietatea valorii intermediare.

d) este un corp real, care nu are nici o prelungire netrivială real algebrică, în care nu există niciun corp , care să fie algebric peste și diferit de.

Demonstrație: Fie un câmp. Un polinom este simetric dacă pentru fiecare permutare din

Pentru , funcția simetrică elementară este

Funcțiile elementare simetrice au legătură cu coeficienții polinoamelor. Pentru a continua demonstrația avem nevoie de următoarea teoremă:

Teorema 2.12. ([1], pag.35) Fie elemente ale unui domeniu și

,

atunci .

Demonstrație: Identificând coeficienții lui în ambii membri se obține:

Propoziția 2.13. ([1], pag.35) Fie un corp și

.

să fie simetrice. Există un polinom

.

astfel încât .

Demonstrație: Pentru a demonstra această propoziție vom defini unele noțiuni matematice, care vor mai fi utilizate pe parcursul aceste lucrări.

Notăm cu seria monomială în variabilele . De reținut că poate fi identificat cu , definind .

Continuăm demonstrația propoziției 2.13.

Deoarece este simetric, monom ordonat lexicografic cu gradul cel mai mare satisface . Cel mai mare monom de în ordonarea lexicografică treptată este, de asemenea, .

Știm că

În cazul în care , relația este evidentă. În celelalte situații, cel mai mare monom lexicografic ordonat este strict mai mic decât , și este posibilă construcția cu . Deoarece nu există o scădere infinită a monoamelor ordonate lexicografic, demonstrația a acoperit toate cazurile.

Propoziția 2.14. ([1], pag.36) Fie , de grad , și rădăcinile lui într-un corp algebric închis care-l conține pe . Dacă un polinom este simetric, atunci .

Demonstrație: Fie , pentru , se obține funcția elementară simetrică de rang raportată la . Deoarece , lema 2.12 ne asigură că . Din propoziția 2.13, există astfel încât

Astfel .

Cu aceste rezultate preliminarii, este posibil să se continue demonstrarea teoremei 2.11.

a) b) Fie un polinom separabil de grad cu impar. Se obține prin inducție matematică după m că P are o rădăcină în .

Dacă , atuncieste impar și are o rădăcină în corpul algebric închis . Notăm cu rădăcinile lui în corpul algebric închis . Fie o nouă nedeterminată și , polinomul având ca rădăcini unde .

Coeficienții lui pot fi în mod explicit calculați ca polinoame de coeficienții de , folosind propoziția 2.14, astfel . Gradul
lui , în și este .

Ordonarea lexicografică a cuplurilor , definește discriminantul lui ca fiind

pentru .

Din cele de sus, se obține

Deoarece toate rădăcinile lui sunt distincte, vom obține următoarele relații:

Deci fiecare factor este diferit de zero. Rezultă că nu este identic zero.
Având o valoare de astfel încât , polinomul este un pătrat liber polinomial deoarece toate rădăcinile sale sunt distincte.
Vom demonstra acum că este posibil să se exprime, pentru fiecare și raționale în termenul
Într-adevăr

Menționăm că, prin propozitia 2.14, și sunt elemente din .

În final, pentru ,

.

Atunci rezultă

Cu alte cuvinte, rădăcinile polinomului de gradul II

sunt rădăcinile lui .

Polinomul este de gradul , adică pentru , cu diferit. Prin inducție matematică, are o rădăcină în . Deoarece metoda clasică pentru rezolvarea polinoamelor de gradul funcționează în atunci când R este real închisă, rădăcinile polinomului de gradul al doilea

sunt rădăcinile lui care aparțin lui . Am demonstrat că polinomul are o rădăcină în .

Pentru scriem

.

Deoarece , au o rădăcină în . Astfel, sau . În primul caz este demonstrat și în al doilea caz, .

b) ⇒ c) Deoarece este algebric închisă, factorii lui sunt liniari peste . Deoarece daca este o rădăcină a lui , este, de asemenea, o rădăcină a lui , factori ireductibili ai lui sunt liniari sau au forma

Dacă și au semne diferite, atunci și au semne diferite pentru orice factor linear din . Prin urmare, rădăcina este în .

c) ⇒ a) În cazul în care y este pozitiv, are valoare negativă în și valoare pozitivă pentru destul de mare, din propozitia 2.5. Astfel, are o rădăcină, care este o rădăcină pătrată a lui . În mod similar un polinom de grad impar cu coeficienti în are semne diferite pentru un a număr pozitiv și pentru un număr negativ și destul de mic, folosind propozitia 2.5. Astfel, acesta are o rădăcină în .

b) ⇒ d) Deoarece este un corp, este ireductibil peste . Prin urmare, – 1 nu este pătrat în . În plus, în , o sumă de pătrate este un pătrat: fie și astfel încât atunci

Acest lucru dovedește faptul că este real. În cele din urmă, deoarece polinoamele ireductibile numai din de sunt de forma

atunci , singura nebanală extensie algebrică din este , care nu este reală.

⇒ a) Presupunem că un , Dacă a nu este un pătrat în , atunci

​

este o extensie nontrivială algebrică a lui , și, astfel,nu este reală. Astfel

Deoarece este real, și Prin urmare

Acest lucru arată că și că, prin urmare există doar un singur posibil ordin pe cu , con pozitiv.

Rămâne să arătăm că dacă are grad impar, atunci are o rădăcină în . În caz contrar, este un polinom de grad impar astfel că fiecare polinom de grad impar are o rădăcină în . Din moment ce un polinom de grad impar are cel puțin un factor ireductibil diferit, presupunem, fără a pierde din generalitate, că este ireductibil. Coeficientul este o extindere algebrică nebanală pe și, prin urmare având gradul lui .

Întrucât termenul de grad cel mai înalt în extinderea are o sumă de pătrate ca coeficienți din este real, este un polinom de grad . Prin urmare, polinomul are grad impar și, astfel, are o rădăcină în . Dar, apoi, , ceea ce contrazice faptul că este real.

Definiția 2.15. ([1], pag.40) Dacă este real închisă și , putem identifica cu . Pentru , definim conjugatul lui prin . Modulul numărului este

Propoziția 2.16. ([1], pag.40) Fie un corp real închis, . Factorii ireductibili din sunt liniari sau au forma

când .

Demonstrație: Se folosește faptul că este algebric închis, cu teorema 2.11 și că conjugata unei rădăcini din este o rădăcină din .

Intervalele închise, deschise și combinate în vor fi notate în mod obișnuit astfel:

Propoziția 2.17. ([1], pag.41) Teorema lui Rolle

Fie un corp real închis, cu și. Derivata polinomului , are o rădăcină în intervalul , adică există un punct astfel încât .

Demonstrație: Se poate reduce la cazul în care și sunt două rădăcini consecutive ale lui , adică atunci când nu se anulează pe . Atunci

,

în cazul în care nu se anulează pe . Astfel, are semn constant pe din propozitia 2.16. Atunci, în cazul în care

Astfel, , și, prin urmare și au semne opuse. Prin proprietatea valorilor intermediare, are o rădăcină în , și la fel și .

Aplicația 23. Dacă atunci .

Rădăcinile polinomului , deoarece se poate descompune, spre exemplu,

, sunt și . Conform teoremei lui Rolle rădăcina polinomului derivat este in intervalul .

Pentru a verifica, se poate observa că rădăcina polinomului derivat este și

Aplicația 24. Dacă atunci

Rădăcinile polinomului , deoarece se poate descompune, spre exemplu,

sunt și . Deci după teorema lui Rolle polinomul derivat are rădăcini, una în intervalul și una în intervalul .

Pentru a verifica, putem determina rădăcinile polinomului derivat rezolvând ecuația de gradul al II-lea astfel:

Deci rădăcinile polinomului derivat sunt: și .

Cele rădăcini respectă condițiile deoarece

și .

Corolar 2.18. ([1], pag.41) Teorema valorii medii

Fie un corp real închis, cu . Există astfel încât

Demonstrație: Se aplică teorema lui Rolle în relația

Aplicația 25. Dacă considerăm polinomul atunci . Pentru un interval, spre exemplu, atunci

Corolar 2.19. ([1], pag.41) Fie un corp real închis, cu . Dacă polinomul derivat al polinomului este pozitiv (respectiv negativ) pe , atunci este crescător (respectiv descrescător) pe .

Demonstrație: Pentru a demonstra această lemă avem nevoie de câteva definiții:

Definiția 2.20. ([1], pag.41) Fie o submulțime finită din . Semnul lui este un element din , adică o aplicație de la la . O condiție strictă de semn pentru este un element din , adică o aplicație de la la . Noi spunem că realizează condiția semnului pentru dacă .

Realizarea condiției semnului este

Fie un polinom univariabil de gradul din .Vom nota prin

Propoziția 2.21. ([1], pag.42) Lema de bază a lui Thom

Fie un polinom univariabil de gradul și fie o condiție de semn pentru . Atunci este fie nul, un punct, sau un interval deschis.

Demonstrație: Această propoziție se demonstrează prin inducție matematică după p, gradul lui . Este banal pentru . Să presupunem că propoziția este adevărată pentru . Să considerăm o condiție de semn pentru , și să restricție lui . Dacă este fie un punct sau nul, atunci

este fie un punct fie nul. Dacă este un interval deschis, are semnul o constantă diferită de zero. Astfel, este strict monoton și proprietățile revendicate sunt îndeplinite pentru .

Propoziția 2.21 are consecințe interesante.

Definiția 2.22. ([1], pag.43) Fie și , o condiție de semn pentru . Condiția de semn este codul Thom pentru în cazul în care și , adică este condiția semnului luat de în .

Aplicația 26. În orice domeniu real închis , are două rădăcini, caracterizate prin semnul derivatei sale, care este o rădăcină pentru și o rădăcină pentru .

Polinomul P se poate descompune cu ajutorul formulelor de calcul prescurtat astfel

și are rădăcini: pe și.

De reținut este faptul că nu avem, la acest nivel, nici o informație despre valorile numerice ale rădăcinilor ci doar despre intervalul în care se pot afla.

Aplicația 27. Fie polinomul

Atunci

Din care rezultă că polinomul derivat al polinomului se poate descompune

are rădăcinile și . Fiind polinom de gradul al doilea, va fi negativ între rădăcini, adică pe intervalul, și pozitiv în rest, adică pentru .

Deci polinomul are trei rădăcini, câte una în fiecare interval și anume și .

Orice corp ordonat poate fi inclus într-un corp real închis. Mai precis, pentru orice corp ordonat există un corp real închis care să fie extinderea acesteia. Elementele de închidere sunt real algebrice peste (adică satisface o ecuație cu coeficienți în ).

Aplicația 28. Dacă este inclus într-un corp real închis , închiderea reală a lui F este formată din elemente de care sunt algebrice peste deoarece se poate considera că sunt date și rădăcinile lui și Q din , polinoame din cu rădăcinile și .

Următoarea teoremă ne dovedește că orice corp algebric închis de caracteristică zero este închiderea algebrică a unui corp real închis.

Teorema 2.23. ([1], pag.43) Dacă este un corp algebric închis de caracteristică zero, există un corp real închis astfel încât .

Demonstrație: Corpul conține un subcorp real, corp de numere raționale.

Fie un subcorp maximal real a corpului . este adevărat închisă, deoarece nu are nicio prelungire netrivial reală algebrică inclusă în .

De reținut este faptul că nu poate conține pe care este transcendent peste , deoarece în caz contrar ar fi un corp real care include în mod corespunzător .

Un corp ordonat este arhimedian în cazul în care, ori de câte ori ​, sunt elemente pozitive ale lui , există un număr natural , astfel încât n.
Corpurile real închise nu sunt neapărat arhimediene și pot conține elemente infinitezimale.

=== cap IV ===

CAPITOLUL 4

STUDIU DE CAZ: EFICACITATEA APLICABILITĂȚII TEOREMELOR STUDIATE

Aplicația 40. Dacă , sunt numere negative să se arate că polinomul

are rădăcini reale.

Calculând

și și considerând tabelul următor

putem conchide că polinomul dat are rădăcini reale dacă .

Dacă atunci polinomul devine

care are rădăcini reale, respectiv

și .

Aplicația 41. Să se arate că polinomul

are toate rădăcinile reale, știind că .

Cum și , se poate studia tabelul următor:

Deci polinomul, care poate avea maxim rădăcini reale, are rădăcinile în intervalele: respectiv pe

Aplicația 42. Să se afle numărul rădăcinilor reale pozitive ale polinomului

.

Construim un șir Sturm de polinoame atașat polinomului dat astfel:

Aplicând algoritmul lui Euclid obținem

.

Apoi .

După care .

Continuând procedeul obținem

și în final .

Se obține astfel următorul șir Sturm

.

Putem completa tabelul semnelor astfel

obținând și polinomul are patru rădăcini reale pozitive.

Aplicația 44. Să se afle numărul rădăcinilor reale ale polinomului

, în intervalul

utilizând succesiv șirul lui Rolle, teorema lui Dercartes, teorema Budan-Fourier și teorema lui Sturm.

Pentru obținerea șirului lui Rolle procedăm astfel:

Utilizând teorema lui Bézout constatăm că .

Astfel se obține

care are patru rădăcini reale: .

Calculăm valorile sau numai semnele pentru , ,

, și . În acest context construim șirul lui Rolle astfel

Conform acestui tabel se poate conchide că polinomul are ca rădăcină multiplă pe (deoarece este și rădăcină a derivatei) și mai are alte 2 rădăcini reale astfel, câte una în fiecare din intervalele:

În intervalul , putem spune că are minim trei rădăcini reale.

Pentru aflarea ordinului de multiplicitate a rădăcinii , trebuie verificat dacă termenii , … sunt nuli.

Aplicarea acestui procedeu necesită rezolvarea unei ecuații (pentru derivata polinomului inițial, care, în cele mai multe situații nu se poate realiza sau este foarte dificil) și astfel el are o sferă restrânsă de cazuri pe care le poate rezolva efectiv. Mai mult decât atât, el este inoperant în aproape toate cazurile polinoamelor cu coeficienți iraționali.

Cu teorema lui Descartes nu putem calcula decât, în cel mai fericit caz, numărul de rădăcini pozitive ale polinomului . Astfel pentru polinomul dat

variația semnelor coeficienților este . Adică polinomul inițial poate avea cel mult rădăcini pozitive .

Pentru a aplica teorema Budan-Fourier avem nevoie de derivatele succesive ale polinomului inițial, astfel

și pentru .

Să studiem aplicabilitatea teoremei pentru intervalul . Atunci

și

și

Atunci . Deci în intervalul are , sau rădăcini reale.

Pentru a determina numărul de rădăcini reale ale polinomului dat cu ajutorul șirului lui Sturm avem nevoie de polinomul derivat al acestuia, adică, dacă

atunci

.

Construim un șir Sturm de polinoame atașat polinomului dat astfel:

Aplicând algoritmul lui Euclid obținem

.

Apoi După care

Continuând procedeul obținem

Se obține astfel următorul șir Sturm

Putem completa tabelul semnelor astfel

obținând și polinomul are cinci rădăcini reale.

Pentru a studia, tot cu șirul lui Sturm câte rădăcini are în intervalul , completăm tabelul cu valorile pentru polinoamele unde .

și polinomul are două rădăcini reale în intervalul . Nu știm dacă există aici rădăcini multiple.

Pentru aceasta ar trebui, dacă se poate, să căutăm aceste rădăcini. Polinomul inițial se poate scrie

Astfel, se constată că este rădăcină triplă a polinomului. și atunci polinomul inițial are rădăcini în intervalul studiat.

Dacă studiem și graficul funcției polinomiale atașate, din figura 10, realizat în GeoGebra, se constată că are intersecții cu axa , dar în este rădăcină triplă datorită schimbării de inflexiune a curbei. Deci are rădăcini reale.

Figura 9. Graficul funcției polinomiale

CONCLUZII

În această lucrare s-au prezentat proprietățile polinoamelor și a corpurilor reale închise ordonate precum și principalele teoreme cu ajutorul cărora se pot studia numărul rădăcinilor reale ale unui polinom de grad mai mare sau egal cu trei. De asemenea, s-a studiat aplicarea acestor teoreme pentru precizarea numărului de rădăcini reale situate într-un interval dat. În contextul analizei comparative s-au rezolvat mai multe exemple pentru fiecare teoremă prezentată, lucrarea finalizându-se cu aplicarea succesivă a acestor teoreme pentru același polinom în vederea găsirii de rădăcini reale într-un interval dat.

Prin rezolvarea aplicațiilor din lucrare s-a dovedit simplitatea, eleganța, și eficacitatea teoremei lui Sturm, ceea ce denotă importanța acesteia în studiul rădăcinilor reale ale unui polinom cu coeficienți reali, într-un interval dat, situând-o la un loc de întâitate prin rezultatele obținute și originalitatea sa.

BIBLIOGRAFIE

S. Basu, R. Pollack, Marie-Francoise Roy, Algorithms in Real Algebraic Geometry, Springer (2009).

I.C.Drăghicescu, L.Panaitopol, Polinoame și ecuații algebrice, Editura Albatros (1980).

C. Năstase, C. Niță, C.Vraciu, Bazele algebrei, Vol.I., Ed.Academiei, București (1986).

Sarton, George, The study of the history of mathematic,  Harvard, (1936).

=== rezumat ===

CORPURI REALE ÎNCHISE ȘI TEOREMA LUI STURM

Matematica este știința care oprește răsuflarea, numără bătăile inimii și poate umple tăcerea unui amfiteatru.

Filozofii și matematicienii Greciei antice au ridicat găndirea matematică la un nivel pe care-l descoperim în moștenirea trecutului investind-o cu un dar nemuritor și anume raționamentul logic-deductiv. Pornind de la acest “miracol grec” matematica din zilele noastre a ajuns la un nivel de abstracție și generalizare nebănuit de cei din antichitate.

Progresul tehnic din ultimii ani a generat descoperiri miraculoase, o multitudine de modele matematice cu aplicații în toate domeniile fac ca necunoscutul de ieri să fie obișnuitul de azi și provocarea de mâine.

Lucrarea tratatează una dintre cele mai importante probleme ale matematicii, considerată mult timp obiectul principal de studiu al algebrei: și anume, determinarea numărului de rădăcini reale ale unui polinom cu coeficienți reali, de grad mai mare sau egal cu trei, respectiv determinarea numărului de rădăcini reale ale acestuia într-un interval dat.

Lucrarea este structurată pe patru capitole cuprizănd un număr total de 44 de aplicații. Primul capitol prezintă proprietățile polinoamelor și operațiile de bază care se efectuează cu acestea.

Al doilea capitol prezintă principalele proprietăți și teoreme caracteristice corpurilor reale și corpurilor real închise ordonate, realizăndu-se o construcție algebrică a corpului numerelor reale, fără a se face apel la noțiunea de convergență specifică analizei matematice.

În al treilea capitol se prezintă succesiv principalele teoreme folosite în determinarea numărului de rădăcini reale, pentru un polinom cu coeficienți reali, iar prin numeroasele aplicații realizate se pot evidenția cu ușurință rezultatele si eficacitatea fiecăreia dintre acestea. De asemenea, prin folosirea programului GeoGebra s-au putut verifica soluțiile găsite.

Capitolul patru conține mai multe exemple la care s-au aplicat teoremele prezentate anterior în contextul analizei comparative, lucrarea finalizându-se cu aplicarea succesivă a acestor teoreme pentru același polinom în vederea găsirii de rădăcini reale într-un interval dat.

Prin simpla analogie cu celelalte teoreme prezentate, Teorema lui Sturm se detașează reliefat prin acuratețea, simplitatea și originalitatea sa, precum și prin rezultatele cele mai concrete, ceea ce denotă importanța acesteia în studiul rădăcinilor reale ale unui polinom cu coeficienți reali, într-un interval dat.

Matematica este provocarea în care omul își găsește limitele și se poate întoarce la pudoarea și smerenia cea dintâi sau se poate răzvrăti, dar putem lua aminte la cuvintele Sfantului Isaac Sirul și anume: “Desăvârsirea adevărată este un munte de smerenie”.

REAL CLOSED FIELDS AND STURM’S THEORY

Mathematics is a breathtaking science, a science that counts one’s heartbeats and can fill the silence of an amphitheatre.

The philosophers and mathematicians of Ancient Greece raised mathematical thinking to a level we meet and discover in the valuable heritage of the past, providing it an eternal gift: namely, the logical-deductive way of reasoning. Since this “Greek miracle” mathematics has developed so extensively that nowadays it has reached an unbelievable level of abstraction or degree of generalization to the ancient science people.

For the past years, technolgical advancement has generated amazing discoveries, a remarkable number of mathematical models have had their applicability identified in almost every domain of activitiy, thus turning yesterday’s unknown into something commonly known and challenging for the future.

The paper deals with one of the most important issues in mathematics, which has long been considered to pertain to the study of algebra: namely, finding the number of real roots of polynomials with real coefficients, of equal or greater rank than three, respectively, finding the number of these real roots of a polynomial on a set interval.

The present paper is structured into four chapters, including a total number of 44 applications. In the Chapter 1, the properties of polynomials and the basic operations which can be performed using them are presented

In Chapter 2 the main properties and theorems typical of fields of real numbers and algebraically closed ordered field, realizing an algebraic object or structure of real number fields and without resorting to the concept of convergence, which is specific to calculus or mathematical analysis.

Successively, the main theorems used in finding the number of real roots of polynomials with real coefficients are approached in Chapter 3. The large number of various cases of application of these theorems comes to fully illustrate the outcome and effectiveness of each concept presented. Furthermore, using the software called GeoGebra the validity of the solutions identified could be checked.

Chapter 4 includes several examples of cases in which the theorems mentioned above are applied comparatively. The paper concludes by a demonstration of successive application of the theorems mentioned previously to the same polynomial expression with a view to identifying real roots on a given interval.

A simple comparative analysis of the theorems of fields mentioned earlier and Sturm’s theorem gives the latter prominence by accuracy, simplicity, originality as well as by the concreteness of the results its application yields, by the fact that it yields the number of distinct real roots of a polynomial and locates them in intervals.

Mathematics is the challenging science in which man either rediscovers his limits and resumes to his initial discretion and humbleness or rebels against all odds to go further, believing in his power to overcome whatever obstacles he may stumble upon through reasoning out, ever deeper, for a solution. However, we should mind the words of Saint Isaac the Syrus: “True perfection is a mountain of humbleness”.