Corpul Numerelor Complexedocx

=== Corpul numerelor complexe ===

CAPITOLUL V

CORPUL NUMERELOR COMPLEXE

Date generale

Încercările rezolvării ecuațiilor polinomiale cu coeficienți reali au fost unele din motivele dezvoltării algebrei. S-a observat că ecuația de forma nu are soluții în mulțimea numerelor reale. Soluția acestei ecuații este egală cu rădăcina pătrată din numărul .

Pentru exprimarea soluțiilor unor ecuații s-a folosit notația și s-a constatat că este mai ușor să lucrăm cu numere de forma a + bi, unde a și b sunt numere reale. Numerele de forma aceasta se adună și se înmulțesc folosind regulile de adunare și înmulțire definite pe mulțimea numerelor reale, dar trebuie să ținem seama de faptul că .

Un număr complex de forma a+bi este alcătuit dintr-o parte reală “a” și o parte imaginară “bi”. Se folosește termenul imaginar pentru a arăta că nu avem de-a face cu numere reale.

Construcția corpului numerelor complexe

Vom face notația . Dacă , atunci vom defini:

,

.

Teorema 2.1 Tripletul este un corp comutativ, iar ecuația are soluția în acest corp.

Demonstrație Elementul neutru pentru adunare este perechea , iar opusul elementului este . Asociativitatea și comutativitatea adunării pe rezultă imediat din proprietățile adunării pe . Prin urmare, este un grup abelian.

Vom considera pentru a arăta că dubletul este grup comutativ.

Deoarece

,

iar

rezultă folosind proprietățile înmulțirii și adunării pe că

.

Deci înmulțirea este comutativă pe .

Asociativitatea înmulțirii rezultă din relația

.

Elementul neutru pentru înmulțire este pentru că

.

Vom considera, unde sau. Inversul numărului (a,b) este numărul

,

deoarece

.

Înmulțirea este distributivă față de adunare pentru că

,

oricare ar fi .

Pentru i=(0,1), vom avea că . Deci, ecuația are soluția în .

este un subcorp al lui , deoarece putem define o functie injectivă pe , cu valori în , care asociază numărului real x perechea (x,0).

Orice număr se poate scrie

,

unde i=(0,1).

Vom numi mulțimea numerelor complexe, mulțimea definită anterior. Tripletul este corpul numerelor complexe, iar elementele mulțimii se numesc pur imaginare. Pentru vom numi partea reală a numarului complex x numărul a, iar partea imaginară a numărului este ib.

Modulul unui număr complex

Numărul se va numi conjugatul numărului complex z, unde,

iar modulul lui z va fi dat de relația

.

Teorema 3.1 Dacă , atunci:

,

,

;

;

;

;

;

;

;

.

Demonstrație Vom demonstra doar unele relații, celelalte probându-se ușor.

Considerăm , pentru vom avea că , altfel spus . Pentru vom avea că ,atfel spus , rezultă .

Pentru a demonstra , vom alege si , unde .Vom avea că

.

Vom avea egalitate pentru .

Teorema fundamentală a algebrei

Vom spune despre un corp M că este o extindere corpului C dacă C este subcorp al lui M.

Lema 4.1 Considerăm C un corp comutativ și , unde . Va exista o extindere M a lui C unde se găsesc toate rădăcinile lui f.

Lema 4.2 Considerăm C un corp comutativ și , unde . Fie M o extindere a lui C care conține rădăcinile ale lui f și un polinom simetric vom avea ca .

Prima lemă exprimă un rezultat clasic, iar a doua lemă se obține din teorema fundamentală a polinoamelor simetrice.

Teorema (fundamentală a algebrei ) 4.3 Fiecare polinom cu gradul mai mare sau egal cu unu are cel puțin o rădăcină în mulțimea numerelor complexe.

Demonstrație Notăm cu conjugatul lui , pentru orice vom considera

și

.

Pentru

,

unde , vom avea că

.

Dar din vom avea că .

Vom presupune că teorema este verificata de toate polinoamele din .Va exista numărul complex a pentru care

sau

.

Rezultă că presupunerea este suficientă. Considerăm că f are gradul impar rezultă că funcția polinomială a polinomului considerat este continuă și la va lua semne opuse, deci pentru care f(a)=0.

Notăm n=grad(f), unde n=2kp, și p impar . Dacă k=0 este evident afirmația. Considerăm afirmația adevărată pentru oricare polinoame a căror grade se împart exact prin 2k-1 și nu se împart exact prin 2k.

Din prima lemă rezultă că există o extindere M a mulțimii numerelor complexe în care polinomul f va avea toate rădăcinile .

Fie

,

unde si .

Polinomul

are gradul egal cu

,

unde m este impar. Polinomul va avea coeficienții polinoame simetrice de . Din lema a doua rezultă că .

Deoarece 2k-1 împarte exact gradul lui și 2k nu împarte exact gradul lui , va rezulta că va avea cel puțin o rădăcină în . Vor exista , pentru care .

Cum

și

vom avea că

Va rezulta că și , deci .

Folosind teorema tragem concluzia că un polinom de grad mai mare sau egal cu unu are toate rădăcinile în mulțimea numerelor complexe, deci corpul numerelor complexe va fi algebric închis. În mulțimea numerelor complexe polinoamele ireductibile au gradul unu.