Coordonator  stiint i c: Prof. univ. dr. Ernest Scheiber BRAS OV 2010 CALCUL SIMBOLIC ^IN MAXIMA Autor: Dunca Teodora Angelica Coordonator … [600567]

LUCRARE DE LICENT A
Autor: Dunca Teodora Angelica
Coordonator  stiint ic: Prof. univ. dr. Ernest Scheiber
BRAS OV
2010

CALCUL SIMBOLIC ^IN MAXIMA
Autor: Dunca Teodora Angelica
Coordonator  stiint ic: Prof. univ. dr. Ernest Scheiber
BRAS OV
2010

Cuprins
1 Aplicat ii elementare de calcul simbolic 5
1.1 Instrumente de calcul simbolic ^ n Maxima . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Exemple ilustrative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 Simplicarea unei expresii algebrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Descompunere ^ n factori a unui polinom . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.3 Dezvoltarea unui produs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2.4 Dezvoltarea ^ n fract ii simple a unei funct ii rat ionale . . . . . . . . . 7
1.2.5 Calculul unei limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.6 Calculul unei derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.7 Calculul unei primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2.8 Calculul unei integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 Ecuat ii diferent iale ordinare 11
2.1 Ecuat ia diferent ial a cu variabile separabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Ecuat ia diferent ial a omogen a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Ecuat ia diferent ial a exact a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4 Ecuat ia diferent ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Ecuat ia diferent ial a a lui Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.6 Ecuat ia diferent ial a a lui Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.7 Ecuat ia diferent ial a liniar a de ordin n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.8 Sisteme de ecuat ii diferent iale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.9 Matricea eAx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3 Serii Fourier 24
3.1 Calculul coecient ilor Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Elemente de teoria c^ ampului 29
4.1 C^ ampuri scalare  si c^ ampuri vectoriale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Funct ii complexe 32
5.1 Numere complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.2 Derivarea funct iilor de variabil a complex a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Integrarea funct iilor complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6 Transform ari integrale 39
6.1 Transformata Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1

7 Ecuat ii integrale 42
7.1 Ecuat ia integral a Volterra cu nucleu degenerat . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Ecuat ia integral a Volterra cu nucleu convolutiv . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.3 Ecuat ia integral a Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.4 Ecuat ia integral a Schl omilch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Ecuat ii cu derivate part iale 49
8.1 Reducerea la forma canonic a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
8.2 E.d.p. cu coecient i constant i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.3 Problema Cauchy pentru ecuat ii hiperbolice . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.4 Rezolvarea simbolic a a ecuat iei lui Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
9 Reprezentari grace 58
9.1 Gracul unei funct ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
9.2 Gracul solut iei unei ecuat ii diferent iale de ordinul 2 . . . . . . . . . . . . 59
9.3 Grace 2 D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3.1 Funct ii explicite  si parametrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9.3.2 Funct ii polare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.3.3 Funct ii implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.4 Grace 3 D. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.4.1 Grace explicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.4.2 Grace implicite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.4.3 Grace parametrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
9.4.4 Animat ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
10 Programare ^ n Maxima 66
10.1 Metoda lui Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
10.2 Metoda lui Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10.3 Regula lui Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
Bibliograe 71
2

Introducere
Prezenta lucrare are ca scop prezentarea programului Maxima care este esent ial pen-
tru un matematician profesional, om de  stiinta  si inginer. Maxima este un sistem complet
CAS (Computer Algebra System) bazat pe versiunea din 1982 a Macsyma, ind un soft-
ware gratuit.
Maxima include un limbaj de programare complet asem an ator ca sintaxa cu ALGOL
dar ca semantic a se aseam an a cu Lisp. Este scris ^ n Common Lisp,  si poate  accesat din
punct de vedere al program arii dar  si extins, astfel ^ nc^ at, la baz a, Lisp poate  apelat din
Maxima. Maxima folose ste Gnuplot pentru desenarea gracelor.
^In ultimul timp s-au dezvoltat o serie de produse informatice capabile s a rezolve
probleme de calcul din domenilu algebrei, geometriei, analizei matematice, a ecuat iilor
diferent iale ordinare  si cu derivate part iale, a funct iilor complexe.
Toate acestea se bazeaz a pe un nou domeniu de cercetare a
at la intersect ia alge-
brei  si informaticii numit calcul simbolic (sau calcul formal sau algebr a computational a).
Utilizarea acestor instrumente de calcul presupune cunoa sterea teoretic a a metodelor de
solut ionare a problemelor.
Maxima este un sistem complex de calcul algebric care este specializat ^ n calcul sim-
bolic (calcul algebric) dar ofer a posibilitatea efectu arii de calcule numerice, cum ar
calcule cu precizie arbitrar a: numere ^ ntregi  si numere rat ionale a c aror precizie poate
cre ste la m arimi limitate numai de memoria ma sinii de calcul,  si numere cu virgula mo-
bil a a c aror precizie poate  oric^ at de mare ("b
oats").
Pentru calculele care folosesc intensiv virgula mobil a  si matrice, Maxima ofer a posi-
bilitatea gener ari de cod ^ n alte limbaje de programare (^ n special Fortran) care ^ l pot
executa mult mai ecient. Maxima este sistem cu utilizare general a,  si ^ n special pentru
calculele de factorizare a numerelor mari, manipularea polinoamelor extrem de mari, etc..
Uneori rezultatele obt inute sunt mai bune dec^ at cele obt inute de sistemele specializate.
Primul capitol al lucrarii, intitulat "Aplicat ii elementare de calcul simbolic", descrie
instrumentele de calcul simbolic ^ n Maxima, teoria expus a ind ^ nsot it a de o serie de
exemple ilustrative, (simplicarea unei expresii algebrice, descompunerea ^ n fract ii simple
a unei funct ii rat ionale, calcularea unei limite, a unei derivate, calcularea unei primitive
 si a unei integrale).
Urm atorul capitol este dedicat ^ n exclusivitate ecuat iilor diferent iale ordinare, cu ex-
emplic ari ale diferitelor tipuri de ecuat ii: cu variabile separabile, omogene, exacte, liniare
de ordinul int^ ai, a lui Bernoulli, a lui Ricatti, liniare de ordin n, sisteme de ecuat ii liniare,
precum  si matricea eAx.
Al treilea capitol denumit "Serii Fourier" prezint a o metod a de a
are a coecient ilor
Fourier utiliz^ and Maxima.
3

^In capitolul patru sunt prezentate pe scurt c^ ateva not iuni introductive despre c^ ampurile
scalare  si vectoriale.
Urm atorul capitol este dedicat studiului funct iilor complexe  si anume: lucrul cu nu-
mere complexe, derivarea funct iilor de variabil a complex a  si integrarea funct iilor com-
plexe.
Cel de-al  saselea capitol este rezervat transform arilor integrale, ^ n particular studiul
transformatei Laplace.
Urm atorul capitol este numit "Ecuat ii integrale"  si reprezint a o privire de ansamblu
asupra ecuat iilor integrale Volterra cu nucleu degenerat  si convolutiv, ecuat iilor integrale
Abel  si Schl omilch.
^In capitolul opt sunt studiate ecuat iile cu derivate part iale, reducerea acestora la forma
canonic a, ecuat ii cu derivate part iale cu coecient i constant i precum  si probleme Cauchy
pentru ecuat ii hiperbolice  si rezolvarea simbolic a a ecuat iilor Poisson.
S i nu ^ n cele din urm a, capitolul nou a se axeaza pe reprezent ari grace, ind exem-
plicate at^ at gracele unei funct ii, c^ at  si animat ii folosind reprezent arile 2 D, respectiv
3D.
Ultimul capitol este dedicat ^ n exclusivitate program arii ^ n Maxima, pun^ and accent
pe metoda lui Newton, metoda lui Euler  si regula lui Simpson.
Fiecare capitol cont ine exemple ce vin ^ n sprijinul ^ nt elegerii funct iilor specice de
rezolvare a diferitelor probleme precum  si al dezvolt arii unor programe mai complexe.
Maxima este u sor de ^ nt eles  si de utilizat.
4

Capitolul 1
Aplicat ii elementare de calcul
simbolic
Pentru produsul utilizat (Maxima) prezent am pe scurt unele facilit at i de calcul sim-
bolic pe care le vom folosi ^ n capitolele urm atoare. Acest produs ruleaz a ^ n sistemul de
operare Windows  si interfat a lui grac a posed a toate elementele uzuale ale acestui mediu.
Principalele utilit at i de calcul simbolic puse la dispozit ie sunt:
Simplicarea unei expresii algebrice;
Descompunerea ^ n factori a unui polinom;
Dezvoltarea unui produs de polinoame;
Descompunerea ^ n fract ii simple a unei funct ii rat ionale;
Calculul unei sume  si a unui produs;
Calculul unei limite;
Calculul unei derivate;
Calculul unei primitive;
Calculul unei integrale.
1.1 Instrumente de calcul simbolic ^ n Maxima
Maxima este un pachet de programe de ^ nalt a performant  a dedicat calculului numeric
 si simbolic, precum  si reprezent arilor grace^ n domeniul  stiint ei  si ingineriei. El integreaz a
analiza numeric a, calculul matriceal, procesarea semnalului  si reprezent arile grace ^ ntr-
un mediu u sor de ^ nv at at  si folosit, ^ n care enunt urile problemelor  si rezolv arile acestora
sunt exprimate^ n modul cel mai natural posibil, documentarea ind foarte u soar a datorit a
Help-ului incorporat.
Pentru a
area unor detalii despre o anumit a funct ie, se poate folosi  si comanda ex-
ample(func). Comanda example() returneaz a lista tuturor exemplelor disponibile. O
5

linie de comand a are un num ar, de exemplu (% i1), (%i2), etc.  si se termin a prin ";"
(dac a se dore ste a sarea rezultatului) sau "$" ( dac a nu se dore ste a sarea rezultatu-
lui). Rezultatele a sate sunt numerotate dup a liniile de comand a corespunz atoare, astfel:
(%o1);(%o2), etc.
Pentru a fort a ca o expresie s a r am^ an a neevaluat a, se folose ste "0". Astfel, de exemplu,
rezultatul comenzii 'di(3*x, x) ested
dx(3x) , pe c^ and rezultatul comenzii di(3*x, x) este
3. Pentru a repeta o comand a se folose ste "00", operator care fort eaz a reevaluarea comenzii
respective (de exemplu, pentru repetarea comenzii de la linia (% i3) se poate scrie (00%i3).
Urm atoarele funct ii Maxima sunt utile ^ n aplicat iile care constituie obiectivul acestei
lucr ari:
Sintaxa Funct iune
ratsimp( expr) Simplicarea expresiei expr
factor( expr) Descompunerea ^ n factori a expresiei expr
expand( expr) Dezvoltarea produsului expr
sum(f(k), k, 1, inf), simpsum Calculul sumeiPinf
k=1f(k)
product(f(k), k, 1, n) Calculul produsuluiQn
k=1f(k)
limit(f(x), x, 0) Calculul limitei limx!0f(x)
di(f(x),x) Calculul derivatei f0(x)
di(f(x);x;m ) Calculul derivatei f(m)(x)
integrate(f(x), x) Calculul primitiveiRf(x)dx
integrate(f(x), x, a, b) Calculul integraleiRb
af(x)dx
1.2 Exemple ilustrative
1.2.1 Simplicarea unei expresii algebrice
Exemplul 1.2.1 S a se aduc a la o form a mai simpl a expresiile:
1:a2+b2+c2
(ab)(ac)+a2b2+c2
(ba)(bc)+a2+b2c2
(ca)(cb)
2: (x+y)7x7y7
Rezolvarea ^ n Maxima
Pentru simplicarea primei expresii apel am funct ia de simplicare ratsimp .
(%i1)ratsimp((-a^2+b^2+c^2)/((a-b)*(a-c))+(a^2-b^2+c^2)/((b-a)*(b-c))+
(a^2+b^2-c^2)/((c-a)*(c-b)));
(%o1)
2
Pentru simplicarea celei de-a doua expresii apel am funct iile de simplicare ratsimp  si
factor .
6

(%i1)ratsimp((x+y)^7-x^7-y^7);
(%o1)
7xy6+ 21x2y5+ 35x3y4+ 35x4y3+ 21x5y2+ 7x6y
(%i2)factor(7*x*y^6+21*x^2*y^5+35*x^3*y^4+35*x^4*y^3+21*x^5*y^2+7*x^6*y);
(%o2)
7xy(y+x) (y2+xy+x2)2
1.2.2 Descompunere ^ n factori a unui polinom
Exemplul 1.2.2 S a se descompun a ^ n factori polinomul x4+x2+ 1:
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)factor(x^4+x^2+1);
(%o1)
(x2x+ 1) (x2+x+ 1)
1.2.3 Dezvoltarea unui produs
Exemplul 1.2.3 S a se calculeze (x+ 1)3(x2+ 1).
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)expand((x+1)^3*(x^2+1)^2);
(%o1)
x7+ 3×6+ 5×5+ 7×4+ 7×3+ 5×2+ 3x+ 1
1.2.4 Dezvoltarea ^ n fract ii simple a unei funct ii rat ionale
Exemplul 1.2.4 S a se descompun a ^ n fract ii simple expresia rat ional a:
1
(x+ 1)(x2+ 1)2
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)partfrac(1/((x+1)*(x^2+1)^2), x);
(%o1)
x1
4(x2+ 1)x1
2(x2+ 1)2+1
4(x+ 1)
7

1.2.5 Calculul unei limite
Exemplul 1.2.5 S a se calculeze limitele:
1: limx!0ax1
x
2: limx!0earctanxearcsinx
tanxsinx
3: limx!0(1+x)1
xe
x
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)limit((a^x-1)/x,x,0);
(%o1)
log(a)
(%i1)limit((%e^atan(x)-%e^asin(x))/(tan(x)-sin(x),x,0);
(%o1)
1
(%i1)limit(((1+x)^(1/x)-%e)/x,x,0);
(%o1)
%e
2
1.2.6 Calculul unei derivate
Exemplul 1.2.6 S a se calculeze derivatele:
1:d
dx(1 +x)1
x
2:d2
dx2arctan(x)
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)diff((1+x)^(1/x),x);
(%o1)
(x+ 1)1
x 1
x(x+ 1 )log(x+ 1 )
x2!
(%i1)diff(atan(x),x,2);
(%o1)
2x
(x2+ 1)2
8

1.2.7 Calculul unei primitive
Exemplul 1.2.7 S a se calculezeR1
x4+1:
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)integrate(1/(x^4+1), x);
(%o1)
log(x2+p
2x+ 1)
25
2log(x2p
2x+ 1)
25
2+atan(2x+p
2p
2)
23
2+atan(2xp
2p
2)
23
2
Vom simplica aceasta expresie apel^ and funct ia de simplicare ratsimp .
(%i2)ratsimp(log(x^2+sqrt(2)*x+1)/2^(5/2)-log(x^2-sqrt(2)*x+
+1)/2^(5/2)+atan((2*x+sqrt(2))/sqrt(2))/2^(3/2)+
+atan((2*x-sqrt(2))/sqrt(2))/2^(3/2));
(%o2)
p
2log(x2+p
2x+ 1)p
2log(x2p
2x+ 1) + 23
2atan(2x+p
2p
2) + 23
2atan(2xp
2p
2)
8
1.2.8 Calculul unei integrale
Exemplul 1.2.8 S a se calculeze:
1:R1
11
x4+1
2:R1
0sinx2dx
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)integrate(1/(x^4+1), x, minf, inf);
(%o1)p
2
(%i1)int(sin(x^2), x, 0, inf);
(%o1)p
23
2
Exemplul 1.2.9 S a se verice c a funct ia y(x) =x
(1+x2)5
2este solut ia ecuatiei integrale:
y(x)3x+ 2×3
3(1 +x2)2+Zx
03x+ 2×3t
(1 +x2)2y(t)dt= 0
9

Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)ratsimp(y(x)-(3*x+2*x^3)/(3*(1+x^2)^2)+integrate((3*x+2*x^3-t)/
/(1+x^2)^2*y(t),t,0,x));
(%o1)
0
10

Capitolul 2
Ecuat ii diferent iale ordinare
2.1 Ecuat ia diferent ial a cu variabile separabile
Consider am ecuat ia:
_y(x) =f(x)g(y) (2.1)
^ n ipoteza ^ n care f(x)  sig(y) sunt continue iar g(y) nu se anuleaz a. Solut ia y(x) pentru
care
y(x0) =y0 (2.2)
se obt ine din ecuat iaZy
y0dt
g(t)=Zx
x0f(s)ds: (2.3)
Exemplul 2.1.1 S a se rezolve:
1:(1 +ex)y_y=exy(0) = 1
2:_y= 1 +y2y(0) = 1
3:_y= (2y) tanx
Rezolvarea ^ n Maxima
Rezolvarea unei ecuat ii diferent iale ordinare se poate face ^ n Maxima utiliz^ and funct ia
ode2, care calculeaz a ODE de ordinul 1 sau 2. C^ and nu primim un r aspuns direct apel am
funct ia solve . Sintaxa de utilizare a funct iei solve este:
solve (mult imea ecuat iilor, mult imea funct iilor necunoscute )
Cu ajutorul acestei funct ii se pot rezolva at^ at probleme cu valori init iale, probleme bilo-
cale, c^ at  si obt ine solut iile generale ale unor ecuat ii diferent iale. Rezolvarea celor trei
exemple de mai sus este:
1. Introducem pe rand:
(%i1) (1+%e^x)*y*'diff(y,x)=%e^x;
11

(%o1)
(%ex+ 1)y(d
dx) = %ex
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
y2
2=log(%ex+ 1) + %c
(%i3) ic1(%o2,x=0,y=1);
(%o3)
y2
2=2log(%ex+ 1)2log(2) + 1
2
Apel am funct ia solve :
(%i4) solve([y^2/2=(2*log(%e^x+1)-2*log(2)+1)/2], [y]);
(%o4)
[y=q
2log(ex+ 1)2log(2) + 1;y=q
2log(ex+ 1)2log(2) + 1]
2.
(%i1) 'diff(y,x)=1+y^2;
(%o1)
d
dxy=y2+ 1
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
atan(y) =x+ %c
(%i3) ic1(%o2,x=0,y=1);
(%o3)
atan(y) =4x+
4
3.
(%i1) 'diff(y,x)=(2-y)*tan(x);
(%o1)
d
dxy=tan(x) (2y)
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
y=2
cos(x)+ %c
sec(x)
(%i3) trigrat(%o2);
(%o3)
y= %ccos(x) + 2
12

2.2 Ecuat ia diferent ial a omogen a
Ecuat ia diferent ial a:
_y(x) =h(y
x)x2I;
se nume ste ecuat ie diferent ial a omogen a. Presupunem c a heste o funct ie continu a ^ n
intervalulI si satisface condit ia h(x)6=x;pentru orice x.
Efectu^ and substitut ia u(x) =y(x)
xdeducem c a u(x) este solut ia ecuat iei diferent iale cu
variabile separabile:
_u(x) =1
x[h(u)u]
Dac a se impune condit ia init ial a y(x0) =y0;x06= 0 atunci funct ia urezult a din ecuat ia:
Zu
u01
h(t)tdt=Zx
x01
sds
^ n careu0=y0
x0;iary(x) =xu(x):
Exemplul 2.2.1 S a se rezolve:
1: _y=x2+y2
xyy(1) = 0
2: xycosy
x+xcosy
x_y= 0
Rezolvarea ^ n Maxima
1.
(%i1) 'diff(y,x)=(x^2+y^2)/(x*y);
(%o1)
d
dxy=y2+x2
xy
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
y22x2log(x)
2×2= %c
(%i3) ic1(%o2,x=1,y=1);
(%o3)
y22x2log(x)
2×2=1
2
Apel am funct ia solve :
(%i4) solve([(y^2-2*x^2*log(x))/(2*x^2)=1/2], [y]);
(%o4)
[y=xq
2log(x) + 1;y=xq
2log(x) + 1]
13

2.
(%i1) x-y*cos(y/x)+x*cos(y/x)*'diff(y,x)=0;
(%o1)
x(d
dxy)cos(y
x)ycos(y
x) +x= 0
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
sin(y
x) +log(x) = %c
(%i3) ic1(%o2,x=1,y=0);
(%o3)
sin(y
x) +log(x) = 0
Apel am funct ia solve :
(%i4) solve([sin(y/x)+log(x)=0], [y]);
(%o4)
[y=xasin (log(x))]
2.3 Ecuat ia diferent ial a exact a
Ecuat ia diferent ial a:
_y(x) =P(x;y)
Q(x;y)(2.4)
scris a sub forma:
P(x;y)dx+Q(x;y)dy= 0 (2.5)
se nume ste ecuat ia diferent ial a exact a dac a exist a o funct ie U(x;y) astfel^ nc^ at diferent iala
ei s a coincid a cu membrul st^ ang al ecuat iei (2.5),
dU(x;y)(dx;dy ) =P(x;y)dx+Q(x;y)dy;
ceea ce echivaleaz a cu:@U
@x=P(x;y);@U
@y=Q(x;y): (2.6)
Funct iileP(x;y);Q(x;y) se consider a continue, ^ ntr-un domeniu D, ^ n care
Q(x;y)6= 0:
O solut ie a ecuat iei (2.4) sau (2.5) se obt ine din ecuat ia ^ n necunoscuta y
U(x;y) =C;
Cind o constant a arbitrar a real a, adic a dac a funct ia '(x) veric a egalitatea U(x;'(x)) =
Catunci'(x) este o solut ie pentru (2.5).
Condit ia necesar a  si sucient a ca (2.5) s a e ecuat ia diferent ial a exact a este:
@P
@y=@Q
@x: (2.7)
14

Utiliz^ and (2.6) se obt ine
U(x;y) =Zx
x0P(s;y0)ds+Zy
y0Q(x;t)dt+k; (2.8)
unde (x0;y0)2D sikeste o constant a real a. A sadar, solut ia ecuat iei (2.5) se obt ine
rezolv^ and ecuat ia:
U(x;y) =Zx
x0P(s;y0)ds+Zy
y0Q(x;t)dt=C: (2.9)
Exemplul 2.3.1 S a se rezolve ecuat iile:
1:(yx)dx+ (x+y)dy= 0
2:(1eyx)dx+ (1 +eyx)dy= 0
Rezolvarea ^ n Maxima
Rezolvarea ecuat iilor este urm atoarea:
1.
(%i1) 'diff(y(x),x)-(x-y(x))/(x+y(x));
(%o1)
d
dxy(x) =xy(x)
y(x) +x
(%i2) ode2(%o1,y(x),x);
(%o2)
y(x)2+ 2xy(x)x2
2= %c
Apel am funct ia solve :
(%i3) solve(%o2,y(x));
(%o3)
[y=p
2q
x2+ %cx;y=p
2q
x2+ %cx]
2.
(%i1) 'diff(y(x),x)+(1-\%e^(y-x))/(1+\%e^(y-x));
(%o1)
1%eyx
%eyx+ 1+d
dxy(x)
(%i2) ode2(%o1,y(x),x);
(%o2)
y(x) =2log(%ey+ %ex) +x+ %c
(%i3) ic1(%o2,x=1,y(x)=0);
(%o3)
y(x) =2log(%ey+ %ex) + 2log(%ey+ %e) +x+y(1)1
15

2.4 Ecuat ia diferent ial a liniar a de ordinul ^ nt^ ai
Aceast a ecuat ie are forma:
_y(x) =a(x)y(x) +b(x)x2I (2.10)
unde presupunem c a funct iile a(x)  sib(x) sunt continue ^ n I:
Ecuat ia omogen a corespunz atoare este:
_z(x) =a(x)z(x)
Utiliz^ and metoda separ arii variabilelor g asim:
z(x) =CeRx
x0a(s)ds:
Solut ia general a a ecuat iei neomogene se obt ine utiliz^ and metoda variat iei constantei:
y(x) =c(x)eRx
x0a(s)ds: (2.11)
Substituind ^ n (2.10) se obt ine:
_c(x) =b(x)eRx
x0a(s)ds
iar ^ n urma integr arii  si substituirii ^ n (2.11) g asim:
y(x) =keRx
x0a(s)ds+Zx
x0b(t)eRx
ta(s)dsdt;
undekeste o constant a.
Solut ia general a a ecuat iei (2.10) se mai poate scrie:
y(x) =eR
a(s)ds(k+Z
b(t)eR
a(s)dsdt): (2.12)
Dac a se impune conditia init ial a:
y(x0) =y0 (2.13)
atunci rezult a k=y0. Astfel solut ia problemei Cauchy: (2.10)+(2.13) este:
y(x) =y0eRx
x0a(s)ds+Zx
x0b(t)eRx
ta(s)dsdt:
Exemplul 2.4.1 S a se rezolve problema Cauchy:
_y+ytan(x) =1
cos(x)y(0) = 1
16

Rezolvarea ^ n Maxima
1.
(%i1) 'diff(y,x)+y*tan(x)=1/cos(x);
(%o1)
d
dxy+tan(x)y= 1=cos(x)
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
y=tan(x) + %c
sec(x)
(%i3) ic1(%o2,x=0,y=1);
(%o3)
y=tan(x) + 1
sec(x)
2.5 Ecuat ia diferent ial a a lui Bernoulli
Aceast a ecuat ie are forma:
_y(x) =a(x)y(x) +b(x)[y(x)]kx2I
undea(x)  sib(x) sunt funct ii continue ^ n intervalul I, iar keste un num ar real diferit de 0
 si 1. Prin substitut ia y(x) = [z(x)]1
1kecuat ia se transform a ^ n ecuat ia diferent ial a liniar a
de ordinul ^ nt^ ai:
_z(x) = (1k)z(x) + (1k)b(x)
Exemplul 2.5.1 S a se rezolve problema Cauchy:
_y=ycos(x) +y2cos(x)y(0) = 1
Rezolvarea ^ n Maxima
1.
(%i1) 'diff(y,x)=y*cos(x)+y^2*cos(x);
(%o1)
d
dxy=cos(x)y2+cos(x)y
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
log(y)log(y+ 1) =sin(x) + %c
(%i3) ic1(%o2,x=0,y=1);
(%o3)
log(y)log(y+ 1) =sin(x)log(2)
17

2.6 Ecuat ia diferent ial a a lui Riccati
Ecuat ia diferent ial a Riccati :
_y+P(x)y2+Q(x)y+R(x) = 0 (2.14)
se poate integra prin cvadraturi dac a se cunoa ste o solut ie particular a. ^Intr-adev ar, dac a
z(x) este o solut ie particular a a ecuat iei (2.14) atunci funct ia uintrodus a prin:
y=z+1
u(2.15)
veric a ecuat ia diferent ial a :
_u= (2P(x)z(x) +Q(x))u+P(x); (2.16)
care se integreaz a prin cvadraturi.
Exemplul 2.6.1 S a se rezolve ecuat ia _y+ 2xy2yx1
x2= 0
Rezolvarea ^ n Maxima
1.
(%i1) 'diff(y,x,2)-y=x*cos(x);
(%o1)
2xy2y+d
dxy(x) +1x
x= 0
(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
y(x) =2x2y2+x(2y2)
2log(x) + %c
(%i3) solve(%o2,y(x));
(%o3)
y(x) =x2y2+xylog(x) +x+ %c
2.7 Ecuat ia diferent ial a liniar a de ordin n
Solut ia general a a ecuat iei diferent iale liniare de ordin n:
y(n)(x) +a1(x)y(n1)(x) +:::+an(x)y(x) =f(x) (2.17)
este:
y(x) =c1y1(x) +:::+cnyn(x) +z(x) (2.18)
undey1(x);:::;yn(x) formeaz a un sistem fundamental de solut ii ale ecuat iei omogene,
c1;:::;cnsunt constante reale  si z(x) este o solut ie a ecuat iei diferent iale neomogene. ^In
18

ecuat ia (2.19), coecient ii a1(x);:::;an(x)  sif(x) s-au presupus funct ii continue. Ream-
intim c a solut iile y1(x);:::;yn(x) ale ecuat iei diferent iale omogene formeaz a un sistem
fundamental dac a determinantul:
y1(x)::: yn(x)
_y1(x)::: _yn(x)
::: ::: :::
y(n1)
1(x)::: y(n1)
n(x)
nu este identic nul.
Dac a coecient ii a1;:::;anai ecuat iei diferent iale sunt constante reale atunci sistemul
fundamental se obt ine u sor. Astfel, dac a presupunem c a polinomul caracteristic ata sat
ecuat iei diferent iale:
rn+a1rn1+:::+an1r+an= 0
admite r ad acinile r1;:::;rp;av^ and respectiv ordinele de multiplicitate
k1;:::;kp(k1+:::+kp=n);atunci funct iile:
er1x; xer1x; :::; xk11er1x;
er2x; xer2x; :::; xk21er2x;
::: ::: ::: :::
erpx; xerpx; :::; xkp1erpx;
formeaz a un sistem fundamental de solut ii. Deoarece polinomul caracteristic are coeci-
ent ii reali, ^ n cazul unei r ad acini complexe r=+i;apare ca r ad acin a  si num arul
complex conjugat r=i;ambele r ad acini av^ and acela si ordin de multiplicitate k. ^In
acest caz, pentru j2f0;1;:::;k1g;^ n locul perechii ( xje(+i)x;xje(i)x) se consider a
drept solut ii fundamentale perechea
(xjexcosx;xjexsinx):O solut ie particular a a ecuat iei diferent iale neomogene se
poate obt ine prin metoda variat iei constantei, a lui Lagrange, sau ^ n cazul ^ n care f
are o expresie convenabil a prin metoda coecient ilor nederminat i, solut ia c aut^ andu-se
sub o form a sugerat a de f. Condit iile init iale:
y(x0) =y0;_y(x0) =y1; :::;y(n1)(x0) =yn1
xeaz a valorile coecient ilor c1;:::;cn:
Exemplul 2.7.1 S a se rezolve ecuat iile:
yy=xcos(x)
Rezolvarea ^ n Maxima
1. Introducem pe rand:
(%i1) 'diff(y,x,2)-y=x*cos(x);
(%o1)
d2
dx2yy=xcos (x)
19

(%i2) ode2(%o1,y,x);
(%o2)
y=sin(x)xcos (x)
2+ %k1%ex+ %k2%ex
(%i3) solve(%o2,y);
(%o3)
y=%ex(%exsin(x)x%excos(x) + 2 %k1%e2x+ 2 %k2)
2
Apel am funct ia ratsimp pentru simplicare:
(%i4) ratsimp(ic2(%o2,x=0,y=0,'diff(y,x)=2));
(%o4)
y=%ex(%exsin(x)x%excos(x) + 2 %e2x2)
2
2.8 Sisteme de ecuat ii diferent iale de ordinul ^ nt^ ai
liniare
Sistemul de ecuat ii diferent iale de ordinul ^ nt^ ai :
_y1(x) =a1;1(x)y1(x) +:::+a1;n(x)yn(x) +f1(x)
_y2(x) =a2;1(x)y1(x) +:::+a2;n(x)yn(x) +f1(x)
::: ::: :::
_yn(x) =an;1(x)y1(x) +:::+an;n(x)yn(x) +f1(x)
se poate scrie sub form a matriceal a:
_Y(x) =A(x)Y(x) +F(x): (2.19)
^In formularea de mai sus s-au notat:
Y(x) =0
B@y1(x)
:::
yn(x)1
CA; F (x) =0
B@f1(x)
:::
fn(x)1
CA;
A(x) =0
B@a1;1(x)::: a 1;n(x)
::: ::: :::
an;1(x)::: an;n(x)1
CA:
Sistemul _Y(x) =A(x)Y(x) se nume ste omogen. Presupunem c a funct iile ai;j(x)  sifi(x)
sunt continue.
O familie de nsolut ii ale sistemului omogen:
Yi(x) =0
B@yi
1(x)
:::
yi
n(x)1
CAi= 1;:::;n
20

formeaz a un sistem fundamental dac a determinantul:
y1
1(x)::: yn
1(x)
y1
2(x)::: yn
2(x)
::: ::: :::
y1
n(x)::: yn
n(x)
nu este identic nul.
FieY1(x);:::;Yn(x) un sistem fundamental  si not am cu Y(x) matricea fundamental a:
Y(x) =0
BBB@y1
1(x)::: yn
1(x)
y1
2(x)::: yn
2(x)
::: ::: :::
y1
n(x)::: yn
n(x)1
CCCA
 si prinH(x;t) =Y(x)[Y(t)]1:Are loc egalitatea matriceal a _Y(x) =A(x)Y(x).
Solut ia general a a sistemului omogen este:
Y(x) =Y(x)c
cuc2Rn:Utiliz^ and metoda variat iei constantelor se obt ine solut ia sistemului (2.19) sub
forma:
Y(x) =Y(x)c+Zx
x0H(x;t)F(t)dt:
Condit ia init ial a Y(x0) =Y0= (y0
1;:::;y0
n) permite xarea parametrului c;rezult^ and
formula:
Y(x) =H(x;x 0)Y0+Zx
x0H(x;t)F(t)dt:
Dac a coecient ii ai;jsunt constante atunci o matrice fundamental a este
eAx=P1
n=0xn
n!An:
Exemplul 2.8.1 S a se rezolve :
8
><
>:_x(t) = 3x(t)y(t) +z(t)x(0) = 1
_y(t) =x(t) + 5y(t)z(t)y(0) = 2
_z(t) =x(t)y(t) + 3z(t)z(0) = 3
Rezolvarea ^ n Maxima
Solut ia general a a sistemului diferent ial liniar este:
Pentru a a
a solut ia general a a sistemului diferent ial liniar apel am funct ia desolve
(%i1)s(t):=['diff(x(t),t)=3*x(t)-y(t)+z(t),
'diff(y(t),t)=-x(t)+5*y(t)-z(t),
'diff(z(t),t)=x(t)-y(t)+3*z(t)]$
iv(t):=[x(0):=1,y(0):=2,z(0):=3]$
21

Dup a comenzile de mai sus vom pune semnul $ pentru a  oprit a compilarea. Apel^ and
^ n continuare funct ia desolve :s
(%i2)desolve(s(t),[x(t),y(t),z(t)]);
(%o2)
x(t) =(z(0)2y(0) +x(0)) %e6t
6+(z(0) +y(0) +x(0)) %e3t
3(z(0)x(0)) %e2t
2
y(t) =(z(0) +y(0) +x(0)) %e3t
3(z(0)2y(0) +x(0)) %e6t
3
z(t) =(z(0)2y(0) +x(0)) %e6t
6+(z(0) +y(0) +x(0)) %e3t
3+(z(0)x(0)) %e2t
2
Rezultatele x(t);y(t);z(t) le vom simplica pe r^ and cu ajutorul funct iei ratsimp :
(%i3)ratsimp(x(t)=((z(0)-2*y(0)+x(0))*%e^(6*t))/6+ ((z(0)+y(0)+x(0))*
*%e^(3*t))/3-((z(0)-x(0))*%e^(2*t))/2);
ratsimp(y(t)=((z(0)+y(0)+x(0))*%e^(3*t))/3-((z(0)- 2*y(0)+x(0))*
*%e^(6*t))/3);
ratsimp(z(t)=((z(0)-2*y(0)+x(0))*%e^(6*t))/6+ ((z(0)+y(0)+x(0))*
*%e^(3*t))/3+((z(0)-x(0))*%e^(2*t))/2);
(%i2)desolve(s(t),[x(t),y(t),z(t)]);
(%o2)
x(t) =(z(0)2y(0) +x(0)) %e6t+ (2z(0) + 2y(0) + 2x(0)) %e3t+ (3x(0)3z(0)) %e2t
6
y(t) =(z(0)2y(0) +x(0)) %e6t+ (z(0)y(0)x(0)) %e3t
3
z(t) =(z(0)2y(0) +x(0)) %e6t+ (2z(0) + 2y(0) + 2x(0)) %e3t+ (3x(0)3z(0)) %e2t
6
2.9 Matricea eAx
FieAo matrice p atratic a de numere reale. Matricea eAxeste denit a prin :
eAx=1X
k=0xk
k!Ak=1
2iZ

(IA)1exd (2.20)
22

unde
este o curb a neted a, ^ nchis a ce delimiteaz a ^ n planul complex un domeniu care
cont ine toate valorile proprii ale matricei A:
Pentru2
;matriceaIAeste inversabil a  si putem presupune c akAk
jj<1;
deoarece prin norma matricei Ase ^ nt elege norma operatorului liniar  si continuu generat
de matricea A;A(x) =Ax, astfel :
(IA)1=1
(I1
A)1=1
1X
k=0Ak
k=1X
k=0Ak
k+1;
 si ^ n consecint  a :
1
2iZ

(IA)1ex=1X
k=0Ak
k! k!
2iZ

ex
k+1d!
=
=1X
k=0Ak
k!
ex(k)
=0=1X
k=0xk
k!Ak;
demonstr^ and astfel (2.20).
Exemplul 2.9.1 S a se calculeze matricea eAxpentru:
A=0
B@31 1
1 51
11 31
CA:
Rezolvarea ^ n Maxima
Pentru a calcula matricea eAxfolosim funct ia exp(A*x) .
(%i1) A: matrix ([3, -1,1], [-1, 5,-1],[1, -1, 3]);
(%o1)2
666431 1
1 51
11 33
7775
(%i2) exp(A*x)
(%o2)2
6664%e3x%ex%ex
%ex%e5x%ex
%ex%ex%e3x3
7775
23

Capitolul 3
Serii Fourier
Not am prin ( I) mult imea funct iilor f:I!Rcare sunt m asurabile pe intervalul
IR si nite a.p.t. (O proprietate are loc a.p.t. (aproape peste tot) dac a m asura
Lebesgue a mult imii ^ n care proprietatea nu are loc este 0.) pe I. ^In aceast a mult ime
introducem relat ia de echivalent  a denit a prin:
f1f2,f1(x) =f2(x)a:p:t:
Mult imea c^ at S(I) = (I)=^ n raport cu operat iile de adunare  si ^ nmult ire cu scalari
devine un spat iu liniar, numit spat iul claselor de funct ii m asurabile  si nite a.p.t.
Not am prin L2(I) mult imea claselor ~f2S(I) de funct ii f2(I) pentru care funct ia
x!jf(x)j2este integrabil a Lebesgue pe I, adic a:
L2(I) =f~f2S(I) :9f2~f;Z
Ijf(x)j2dx<1g
L2(I) se nume ste spat iul claselor de funct ii la p atrat integrabile. Pentru simplitate,
elementele spat iului L2(I) le vom numi tot funct ii.
Relativ la produsul scalar :
<f;g> =Z
If(x)g(x)dx
 si la norma indus a :
kfk=sZ
If2(x)dx
L2(I) este un spat iu Hilbert.
^In spat iulL2([l;l]) orice funct ie se poate reprezenta sub forma:
f(x) =a0
2+1X
k=1(akcoskx
l+bksinkx
l) (3.1)
unde:
a0=1
lZl
lf(x)dx;ak=1
lZl
lf(x) coskx
ldx;bk=1
lZl
lf(x) sinkx
ldx;
24

Egalitatea ^ n (3.1) este ^ n sensul:
limn!1sZl
l[f(x)sn(s)]2dx= 0
unde:
sn(x) =a0
2+nX
k=1(akcoskx
l+bksinkx
l): (3.2)
Seria din membrul drept al formulei (3.1) se nume ste seria Fourier ata sat a funct iei fiar
sneste polinomul trigonometric Fourier de grad n ata sat funct iei f.
Urm atoarele criterii cuprind ipoteze ^ n care seria Fourier ata sat a unei funct ii este
punctual convergent a.
Teorema 3.0.1 Dac afeste o funct ie periodic a, de perioad a T, ce veric a urm atoarele
condit ii:
este monoton a pe port iuni ^ ntr-un interval de forma [;+T];
are ^ n acest interval un num ar nit de puncte de discontinuitate de prima spet  a;
atunci seria Fourier ata sat a funct iei converge ^ n ecare punct xc atre:
f(x+ 0) +f(x0)
2:
Teorema 3.0.2 Dac afeste o funct ie periodic a, de perioad a T, derivabil a pe port iuni
^ ntr-un interval [;+T];atunci seria Fourier ata sat a funct iei converge ^ n ecare punct
xc atre:
f(x+ 0) +f(x0)
2:
Amintim egalitatea:
1
lZl
lf2(x)dx=a2
0
2+1X
k=1(a2
k+b2
k)
cunoscut a sub numele de identitatea lui Parceval.
3.1 Calculul coecient ilor Fourier
Deducem dezvolt arile Fourier ale unor funct ii calcul^ and cu ajutorul programelor de
calcul simbolic coecient ii:
a0 =1
lZ+2l
f(t)dt;a=1
lZ+2l
f(t) cosnt
ldt;b=1
lZ+2l
f(t) sinnt
ldt:
Se presupune c a feste o funct ie periodic a, de perioad a 2 l;a c arei expresie este dat a ^ n
intervalul [;+ 2l]:
25

Exemplul 3.1.1 S a se deduc a dezvoltarea ^ n serie Fourier a funct iilor:
1: f(x) =x
2×2[0;2)
2: f(x) =x2x2[;)
3: f(x) =
2 sinhexx2[;)
4: f(x) = cos(zx)x2[;)
Rezolvarea ^ n Maxima
Pentru rezolvarea acestor probleme ^ n Maxima folosim instrumentele din pachetul
fourie . Funct ia fourier rezolv a direct aceste probleme. Funt ia fourier are urm atoarea
form a:
fourier (f;x;p )
Unde freprezint a funct ia ce vrem s a o calcul am, xeste variabila, iar preprezint a intervalul
pe care este denit a funct ia.
Apel am funct ia fourier din pachetul fourie prin:
(%i1)load(fourie)$
1.
(%i2)fourier(((%pi-x)/2),x,%pi);
(%o2)
a0=
2
an=sin(n)
n
bn=cos (n)
nsin(n)
n2

Folosim funct ia ratsimp pentru simplicarea lui bn.
(%i3)ratsimp(b[n]=((%pi*cos(%pi*n))/n-sin(%pi*n)/n^2)/%pi);
(%o3)
bn=sin(n)ncos (n)
n2
2.
(%i2)fourier((x^2),x,%pi);
(%o2)
a0=2
3
an=2 (2sin(n)
n2sin(n)
n3+2cos (n)
n2)

26

bn= 0
Folosim funct ia ratsimp pentru simplicarea lui an.
(%i3)ratsimp(a[n]=(2*((%pi^2*sin(%pi*n))/n-(2*sin(%pi*n))/n^3+
+(2*%pi*cos(%pi*n))/n^2))/%pi);
(%o3)
an=(22n24)sin(n) + 4ncos (n)
n3
3.
(%i2)fourier(((%pi-x)/2),x,%pi);
(%o2)
a0=%e2
8%e2
82
2
2
an=2sin (n)
n3+4n+nsin (n)
4 %e2n2+16 %e2+%e2nsin (n)
4n2+162nsin (n)
4n2+16cos (n)
2 %e2n2+8 %e2+%e2cos(n)
2n2+8

bn=sin (n)
2 %e2n2+8 %e2+%e2sin(n)
2n2+8+ncos (n)
4 %e2n2+16 %e2%e2ncos (n)
4n2+16

Folosim funct ia ratsimp pentru simplicarea lui a0,an,bn.
(%i3)ratsimp(a[0]=((%pi*%e^(2*%pi))/8-(%pi*%e^(-2*%pi))/8-%pi^2/2)/(2*%pi));
ratsimp(a[n]=(-(2*%pi*sin(%pi*n))/(n^3+4*n)+(%pi*n*sin(%pi*n))/(4*%e^
^(2*%pi*%pi)*n^2+16*%e^(2*%pi))+(%pi*%e^(2*%pi)*n*sin(%pi*n))/(4*n^2+
+16)-(2*n*sin(%pi*n))/(4*n^2+16)-(%pi*cos(%pi*n))/(2*%e^(2*%pi)*n^2+8*
*%e^(2*%pi))+(%pi*%e^(2*%pi)*cos(%pi*n))/(2*n^2+8))/%pi);
ratsimp(b[n]=((%pi*sin(%pi*n))/(2*%e^(2*%pi)*n^2+8*%e^(2*%pi))+(%pi*
*%e^(2*%pi)*sin(%pi*n))/(2*n^2+8)+(%pi*n*cos(%pi*n))/(4*%e^(2*%pi)*
*n^2+16*%e^(2*%pi))-(%pi*%e^(2*%pi)*n*cos(%pi*n))/(4*n^2+16))/%pi);
(%o3)
a0=%e2(%e4+ 4%e2+ 1)
16
an=((%e42 %e2+ 1)n28 %e2)sin(n) + (2 %e42)ncos (n)
4 %e2n3+ 16 %e2n
bn=(2 %e4+ 2)sin(n) + (1%e4)ncos (n)
4 %e2n2+ 16 %e2
27

4.
(%i2)fourier((cos(z*x)),x,%pi);
(%o2)
a0=sin(z)
z
an=2zsin(z+n)
2z22n2nsin (z+n)
2z22n2+zsin(zn)
2z22n2+nsin (zn)
2z22n2

bn= 0
Folosim funct ia ratsimp pentru simplicarea lui an.
(%i3)ratsimp(a[n]=(2*((z*sin(%pi*z+%pi*n))/(2*z^2-2*n^2)-(n*sin(%pi*
*z+%pi*n))/(2*z^2-2*n^2)+(z*sin(%pi*z-%pi*n))/(2*z^2-2*n^2)+
+(n*sin(%pi*z-%pi*n))/(2*z^2-2*n^2)))/%pi);
(%o3)
an=(zn)sin(z+n) + (z+n)sin(zn)
z2n2
28

Capitolul 4
Elemente de teoria c^ ampului
4.1 C^ ampuri scalare  si c^ ampuri vectoriale
FieDun domeniu din R3. O funct ie f:D!Rse nume ste c^ amp scalar. Un c^ amp
scalar continuu se nume ste de clas a C0:Un c^ amp scalar care are derivate part iale continue
p^ an a la ordinul pse nume ste de clas a Cp:Mult imea c^ ampurilor scalare de clas a Cpo not am
S3;p(D):
Not am prin V3spat iul liniar al vectorilor liberi din R3:Un element din V3se poate
reprezenta prin a~ {+b~ |+c~k;unde~ {;~ |;~ksunt versorii axelor de coordonate, iar a;b;c sunt
numere reale. Ca spat iu liniar V3este izomorf cu R3prin:
a~ {+b~ |+c~k() (a;b;c ):
O funct ie~ v:D!V3se nume ste c^ amp vectorial. Un c^ amp vectorial se poate introduce
prin:
~ v(x;y;z ) =P(x;y;z )~ {+Q(x;y;z )~ |+R(x;y;z )~k;
undeP;Q;R sunt c^ ampuri scalare. Dac a P;Q;R sunt de clas a Cpatunci c^ ampul ~ vse
nume ste de clas a Cp:Mult imea c^ ampurilor vectoriale de clas a Cpo not amV3;p(D):Se
denesc operatorii:
grad :S3;1(D)! V 3;0(D) prin grad (f) =@f
@x~ {+@f
@y~ |+@f
@z~k
4 :S3;2(D)! S 3;0(D) prin4(f) =@2P
@x2+@2Q
@y2+@2R
@z2
4 :V3;2(D)! V 3;0(D) prin4(~ v) =4(P)~ {+4(Q)~ |+4(R)~k
div :V3;1(D)! S 3;0(D) prin div(~ v) =@P
@x+@Q
@y+@R
@z
rot :V3;1(D)! V 3;0(D) prin rot(~ v) =~ { ~ |~k
@
@x@
@y@
@z
P Q R=
= (@R
@y@Q
@z)~ {+ (@P
@z@R
@x)~ |+ (@Q
@x@P
@y)~k:
29

Au loc urm atoatele egalit at i:
1.div(f~ v) =fdiv(~ v) +grad (f)
~ v;
2.rot(f~ v) =frot(~ v) +grad (f)~ v;
3.div(~ v~ w) =rot(~ v)
~ w~ vrot(~ w):
Compunerea, atunci c^ and este posibil a, a operatorilor grad;div;rotproduce relat iile:
1.grad (div(~ v)) = rot(rot(~ v)) +4~ v;
2.div(grad (f)) =4f;
3.div(rot(~ v)) = 0;
4.rot(grad (f)) = 0:
Exemplele urm atoare se refer a la evaluarea unor expresii. S-au folosit urm atoarele
notat ii:
~ r=x~ {+y~ |+z~k s =jrj=q
x2+y2+z2~ v=a~ {+b~ |+c~k
Exemplul 4.1.1 S a se calculeze:
(i)grads(iv)grad~ v
~ r
(ii)div~ r(v)div~ v~ r
(iii)rot~ r(vi)rot~ v~ r
Rezolvarea ^ n Maxima
Instrumentele Maxima specice calculului vectorial  si teoriei c^ ampurilor se g asesc ^ n
pachetul vect.
Un vector se poate reprezenta prin sintaxa [ v1;v2;v3];undev1;v2;v3 reprezint a com-
ponentele vectorului.
Operat iile cu vectori se efectueaz a prin intermediul funct iilor Maxima :
~ u
~ v$grad(u:v);
~ u~ v$div(u v);
unde u  si v sunt vectori n-dimensionali.
Operatorii grad, div  sirotsunt implementat i ^ n funct iile Maxima :
evalV (grad(expr;ogCoord ));
evalV (div(expr;ogCoord ));
evalV (curl(expr;ogCoord ));:
unde:
expr xeaz a c^ ampul scalar/vectorial;
30

ogCoord precizeaz a sistemul de coordonate ^ n care se face calculul: cartezian, sferic
(spherical), cilindric ( cylindrical). Acest parametru este facultativ, implicit calculul
se efectueaz a ^ n sistemul cartezian.
Efectuarea calculelor din exemplul dat revine la:
(%i1)load(vect)$
(%i2)evalV(v):=ev(express(v),nouns)$
(%i3)s(t):=sqrt(x^2+y^2+z^2)$
(%i4)evalV(grad(s(t)));
(%o4)"x
(z2+y2+x2);y
(z2+y2+x2);z
(z2+y2+x2)#
(%i5)r(t):=[x,y,z]$
(%i6)evalV(div(r(t)));
(%o6)
3
(%i7)evalV(div(r(t)));
(%o7)
[0;0;0]
(%i8)v(t):=[a,b,c]$
(%i9)evalV(grad(v(t).r(t)));
(%o9)
[a;b;c ]
(%i10) evalV(div(v(t)~r(t)));
(%o10)
0
(%i11) evalV(curl(v(t)~r(t)));
(%o11)
[2a;2b;2c]
31

Capitolul 5
Funct ii complexe
5.1 Numere complexe
FieDo submult ime nevid a  si deschis a a mult imii numerelor complexe C. Un num ar
complex se poate reprezenta sub form a algebric a:
z=x+iy;
^ n care caz x=<zreprezint a partea real a, iar y==zreprezint a partea imaginar a, sau
se poate reprezenta sub form a trigonometric a:
z=r(cost+isint) =reit;
under sitreprezint a modulul  si respectiv argumentul num arului complex.
FieDo submult ime nevid a  si deschis a a mult imii numerelor complexe C.^In consecint  a,
o funct ief:DC!Cse poate deni e prin:
f(z) =u(x;y) +iv(x;y) sauf(z) =R(x;y)ei(x;y);
e prin:
f(z) =u(r;t) +iv(r;t) sauf(z) =R(r;t)ei(r;t);
^ n ecare caz z=x+iysauz=reit:Funct iileu;vdenesc partea real a  si respectiv partea
imaginar a a funct iei f(z);^ n timp ce R; denesc modulul  si argumentul lui f(z):
Exemplul 5.1.1 Dac aa;b2C;jaj= 1 siab6= 1 atuncijab
1abj= 1:
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)a(x):=cos(t)+%i*sin(t)$
(%i2)b(x):=r*(cos(s)*%i*sin(s))$
32

(%i3)ratsimp(ev(abs(a(x)-b(x))/(1-a(x)*conjugate(b(x)))));
(%o3)
q
sin (t)22rcos (s) sin (s) sin (t) + cos (t)2+r2cos (s)2sin (s)2
rcos (s) sin (s) sin (t)%ircos (s) sin (s) cos (t)1
Exemplul 5.1.2 S a se pun a sub forma a+ibexpresiileii siln(2i):
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)ev(%i^(-%i));
(%o1)
1
(1)i
2
(%i2)ev(log(-2*%i));
(%o2)
log(2 %i)
Exemplul 5.1.3 S a se calculeze :
limn!1(1 +i
2n)n
Rezolvarea ^ n Maxima
(%i1)limit(((1+%i)/2)^n,n,inf);
(%o1)
0
(%i2)limit((1+i*%pi/(2*n))^n,n,inf);
(%o2)
%ei
2
33

5.2 Derivarea funct iilor de variabil a complex a
O funct ief:DC!Ceste diferent iabil a (Fr echet) ^ n punctul z2Ddac a exist a
un num arLz2Castfel ^ nc^ at:
lim
h!0f(z+h)f(z)Lzh
h= 0
Teorema 5.2.1 Dac a funct ia f:DC!Ceste diferent iabil a ^ n punctul z=x+iy
atunci funct iile u;v:R2!R;u =<f;v==fsunt diferent iabile ^ n punctul (x;y) si se
veric a relat iile:
@u
@x(x;y) =@v
@y(x;y) si@u
@y(x;y) =@v
@x(x;y);
numite relat iile lui Cauchy-Riemann. ^In acest caz:
Lz=f0(z) =@u
@x(x;y) +i@v
@x(x;y):
^In continuare presupunem c a f(z) =u(x;y) +iv(x;y) este diferent iabil a ^ n toate
punctele domeniului Diar funct iile u;vsunt de clas a C2(D). Atunci u sivveric a
relat iile:
4u= 04v= 0
unde:4=@2
@x2+@2
@y2:
Ecuat ia cu derivate part iale 4u= 0 este numit a ecuat ia lui Laplace iar solut iile ei
sunt numite funct ii armonice. Astfel, dac a partea real a  si partea imaginar a a unei funct ii
diferent iabile sunt de clas a C2(D) atunci ele sunt funct ii armonice.
Condit iile Cauchy-Riemann arat a c a pentru ca f=u+ivs a e diferent iabil a este
sucient s a se cunoasc a partea real a sau partea imaginar a.
O funct ie diferent iabil a ^ n orice punct al mult imii deschise Dse nume ste olomorf a ^ n
D. Not am prinH(D) mult imea funct iilor olomorfe ^ n D.
Determinarea funct iei diferent iale ^ n funct ie de partea real a (imaginar a).
Fiez0=x0+iy+ 0  siz=x+x+iy:Dac a:
f(z) =u(x;y) +iv(x;y) =1X
n=0cn(zz0)n
atunci:
u(x;y) =1
2[f(z) +f(z)] = (5.1)
=c0+c0
2+1
21X
n=1fcn[xx0+i(yy0)]n+cn[xx0i(yy0)]ng:
Introduc^ and:
x=x0+1
2(zz0)
y=y0+1
2i(zz0)
34

^ n (5.1) obt inem:
u(x;y) =c0+c0
2+1
21X
n=1cn(zz0)n=1
2f(z) +1
2c0
de unde:
f(z) = 2u(x;y)c0
sau:
f(z) = 2u(x0+1
2(zz0);y0+1
2i(zz0))c0:
Dinf(z0) =u(x0;y0) +iv(x0;y0) =c0g asimc0=u(x0;y0)iv(x0;y0)  si ^ n continuare:
f(z) = 2u(x0+1
2(zz0);y0+1
2i(zz0))u(x0;y0) +ic; (5.2)
undeceste o constant a real a.
Dac a se cunoa ste partea imaginar a, atunci :
if(z) =v(x;y) +iu(x;y):
Utiliz^ and (5.2) deducem:
if(z) =2v(x0+1
2(zz0);y0+1
2i(zz0)) +v(x0;y0) +ic
sau:
f(z) = 2iv(x0+1
2(zz0);y0+1
2i(zz0))iv(x0;y0) +c: (5.3)
Exemplul 5.2.1 S a se determine funct iile complexe diferent iabile
f(z) = =u(x;y) +iv(x;y); z=x+iy stiind c a:
1.u(x;y) = lnpx2+y2
2.v(x;y) =exsiny
Rezolvarea ^ n Maxima
Potrivit formulelor (5.2), (5.3) denim funct iile fctu(u,z,x 0,y0,c)  si
fctv(v,z,x 0,y0,c) prin:
(%i1)fctu(u,z,x_0,y_0,c):=2*limit(limit(u,x,x_0+(z-x_0-%i*y_0)/2),y,
,y_0+(z-x_0-%i*y_0)/(2*%i))-limit(limit(u,x,x_0),y,y_0)+%i*c$
(%i2)fctv(v,z,x_0,y_0,c):=2*%i*limit(limit(v,x,x_0+(z-x_0-%i*y_0)/2),
,y,y_0+(z-x_0-%i*y_0)/(2*%i))-%i*limit(limit(v,x,x_0),y,y_0)+c$
35

De asemenea trebuie denite  si funct iile it u(x)  si v(x):
(%i3)u(x):=log(sqrt(x^2+y^2))$
(%i4)v(x):=%e^x*sin(y)$
(%i5)fctu(u(x),z,1,0,c);
(%o5)
log (z) + %ic
(%i6)fctv(v(x),z,0,0,c);
(%o6)
2 %ez
2sinhz
2
+c
5.3 Integrarea funct iilor complexe
Se nume ste drum o funct ie continu a
: [a;b]!C. Imaginea funct iei
, adic a mult imea
=fz=
(t) :atbg
se nume ste arc. Arcul se nume ste neted dac a
(t) este o funct ie continu a  si
(t)6= 0,
8t2[a;b]. Un arc este neted pe port iuni dac a este format dintr-un num ar nit de arce
netede, lipite cap la cap. Un arc este simplu dac a nu se intersecteaz a, cel mult
(a) =

(b).^In acest caz se nume ste curb a ^ nchis a, iar funct ia
se nume ste contur. O curb a
simpl a  si ^ nchis a ^ mparte planul complex ^ n dou a regiuni. Regiunea care cont ine punctul
de la innit se nume ste exteriorul curbei iar cealalt a regiune se nume ste interiorul curbei.
Conturul
reprezint a o parametrizare a curbei ^ n sens pozitiv dac a la parcurgerea
curbei interiorul r am^ ane ^ n s^ anga. Orice arc este denit prin intermediul unui drum
care induce un sens de parcurgere. Fie un arc  si f(z) = u(x,y) + i v(x,y) o funct ie
complex a continu a. Prin denit ie
Z
f(z)dz=Z
u(x;y)dxv(x;y)dy+iZ
v(x;y)dx+u(x;y)dy
Au loc urm atoarele rezultate remarcabile:
Teorema 5.3.1 Daca D este un domeniu simplu conex, f o funct ie olomorf a ^ n D si 
D o curb a ^ nchis a atunci
Z
f(z)dz= 0:
Teorema 5.3.2 Daca D este un domeniu simplu conex delimitat de curba simplu ^ nchis a
, f o funct ie continu a ^ n D si olomorf a ^ n D atunci
36

f(z) =1
2iZ
f()
(z)d
O funct ie olomorf a f2H(D) este indenit derivabil a  si
f(n)(z) =n!
2iZ
f()
(z)n+1d
Dac a teste o functie olomorf a ^ n bila de centru z0 si de raz a r>0, B(z 0;r) =z2C:
jzz0j<r, atunci funci a se poate reprezenta prin seria taylorian a
f(z) =1X
n=0an(zz0)n8z2B(z0;r);
undean=1
2iR
f()
(z)n+1d,8n2N si =z inC :jzz0j=r. Dac a feste o funct ie olo-
morf a ^ n coroana U(z0;r;R ) =z2C:r<jzz0j<R atunci funct ia se poate reprezenta
prin seria Laurent
f(z) =1X
n=1an(zz0)n8z2U(z0;r;R );
undean=1
2iR
f()
(z)n+1d;8n2Z si =z2C:jzz0j=rSz2C:jzz0j=R:
Un punctz0este punct singular izolat al funct iei f2H(D) dac a exist a r>0 astfel ^ nc^ at
B(z0;r)nfz0gD.
Dac az0este pol al funct iei fatunci exist a n2Nastfel ^ nc^ at
1.f(x) =an
(zz0)n+:::+a1
(zz0)+P1
k=0ak(zz0)k;
2.f(z) =g(z)
(zz0)n; g (z)2H(D)
pentru orice zdintr-o vecinatate a lui z0. Num arul natural nse nume ste ordinul polului.
Dac az0este punct singular izolat al funct iei f si nu exist a limita funct iei fpentru z
t in^ and c atre z0atunciz0se nume ste punct singular esent ial izolat.
Fief2Hu(D)  siz0un punct singular izolat al lui f. Atunci ^ n coroana U(z0;0;r) =
z: 0<jzz0j<rDare loc dezvoltarea Laurent
f(z) =1X
n=1an(zz0)n:
Coecientul a1=1
2iR
jzz0j=rf(z)dzse nume ste reziduul funct iei f^ nz0 si se noteaz a
a1=Rez(f;z0):
Dac az0este pol de ordinul n atunci
Rez(f;z0) =1
(n1)
z=z0:
Calculul integralei unei funct ii olomorfe pe un contur se reduce la calculul reziduurilor
punctelor singulare situate ^ n domeniul delimitat de contur conform urm atoarei teoreme
37

Teorema 5.3.3 Fief2 H (D) siDo curb a simpl a  si neted a. Dac a z1;:::;zn
 siw1;:::;wmsunt puncte singulare izolate ale funt iei f situate ^ n regiunea delitat a de
;respectiv ^ natunci
Z
f(z) = 2inX
k=1Rez(f;zk) +imX
j=1Rez(f;wj):
Calculul unor integrale denite cu ajutorul reziduurilor.
O integral a de formaZ2
0R(sin(x);cos(x))dx
unde R(u,v) este o funct ie rat ional a este dat a de formula
Z2
0R(sin(x);cos(x))dx= 2X
jzj<1Rez(g;z) +X
jzj=1Rez(g;z);
undeg(z) =1
2R(1
2i(z1
z));iar ^ n membrul drept prima sum a se refer a la tot i polii funct iei
gdin disculjzj<1  si a doua sum a la polii acelea si funct ii situate pe cercul jzj= 1:Acest
rezultat se obt ine prin schimbarea de variabil a z=eix si aplicarea teoremei reziduurilor.
Exemplul 5.3.1 S a se calculeze:
Z2
0dx
12acos(x) +a2(1<a< 1):
Rezolvarea ^ n Maxima
Reziduul unei funct ii f(z) corespunz ator polului a de ordin n se calculeaz a cu ajurotul
funct iei residue . Care se noteaz a: residue ( expr;z;z 0), unde expr reprezint a expresia de
calculat, zeste variabila, iar z0punctul singular.
(%i1)g(z):=1/(z*(1-2*a*(z^2+1)/(2*z)+a^2))$
(%i2)2*%pi*residue(g(z),z,a);
(%o2)
2
a21
38

Capitolul 6
Transform ari integrale
6.1 Transformata Laplace
Transformata Laplace ata seaz a unei funct ii original o funct ie complex a de variabil a
complex a. Se nume ste funct ie original o funct ie f:R!Ccu propriet at ile:
1.f(t) = 0 pentru t<0;
2. ^ n orice interval marginit, f are cel mult un numar nit de puncte de discontinuitate
de spet a ^ nt^ ai;
3. exist a numerele reale M sisastfel ^ nc^ at :
jf(t)jMestpentrut>0: (6.1)
Se nume ste abscis a de convergent  a marginea inferioar a a numerelor spentru care are
loc (6.1).
Transformata Laplace a funct iei original feste:
L[f(t)](p) =Z1
0f(t)eptdt
denit a ^ nfp2C:<p>s 0g;undes0este abscisa de convergent  a a funct iei f(t):
Sunt importante urm atoarele propriet at i ale transformatei Laplace:
Teorema 6.1.1 [de liniaritate] Dac af sigsunt funct ii original  si a;b2Catunci:
L[af(t) +bg(t)](p) =aL[f(t)](p) +bL[g(t)](p):
Teorema 6.1.2 [asem an arii] Dac afeste o funct ie original  si a>0atunci:
L[f(at)](p) =1
aL[f(t)](p
a):
39

Teorema 6.1.3 [^ nt^ arzierii] Dac afeste o funct ie original  si a>0atunci:
L[f(ta)(ta)](p) =eatL[f(t)](p);
unde(t) =8
><
>:1t>0
1
2t= 0
0t<0:
Teorema 6.1.4 [deplas arii] Dac afeste o funct ie original  si a2Catunci:
L[eatf(t)](p) =L[f(t)](p+a):
Teorema 6.1.5 [deriv arii imaginii] Dac afeste o funct ie original atunci:
d
dpL[f(t)](p) =L[tf(t)](p):
Teorema 6.1.6 [deriv arii originalului] Fief2Cn:Dac afeste o funct ie original
atunci:
L[f(n)(t)](p) =pnL[f(t)](p)pn1f(0 + 0)pn2f0(0 + 0)):::
:::pf(n2)(0 + 0)f(n1)(0 + 0):
Teorema 6.1.7 [integr arii originalului] Dac afeste o funct ie original continu a atunci:
L[Zt
0f()d](p) =1
pL[f(t)](p):
Teorema 6.1.8 [integr arii imaginii] Dac af(t) si:f(t)
tsunt funct ii original atunci:
Z1
pL[f(t)](q)dq=L[f(t)
t](p):
Teorema 6.1.9 [produsului de convolut ie] Dac af(t) sig(t)sunt funct ii original
atunci:
L[(fg)(t)](p) =L[Zt
0f()g(t)d](p) =L[f(t)](p)L[g(t)](p):
Teorema 6.1.10 [de inversare] Dac af(t)este o funct ie original cu abscisa de convergent  a
s0 siF(p) =L[f(t)](p)atunci are loc formula de inversare:
f(t) =1
2iZs+i1
si1eptF(p)dp; s>s 0
^ n toate punctele de continuitate ale funct iei f.
Maxima ofer a posibilitatea de a folosi transformata Laplace ^ ntr-un mod foarte u sor
av^ and implementate funct ii de lucru cu aceast a transformat a.
40

Utilizarea transformatei Laplace ^ n Maxima
Din toolboks-ul Calculus se pot apela comenzile: laplace  siilt. Cele dou a comenzi
se aplic a asupra expresiei ^ n care s-a selectat variabila funct iei original, respectiv variabila
funct iei imagine. Aplic^ and transformata Laplace, funct ia imagine va  ^ n variabila s;iar
aplic^ and transformata Laplace invers a, rezultatul va  pus ^ n variabila t:
Exemplul 6.1.1 S a se calculeze integralele:
1:R1
0eat2cos(2bt)dt
2:R1
0eptsint
tdt
Rezolvarea ^ n Maxima
Maxima calculeaz a direct prima din integralele de mai sus cu ajutorul funct iei integrate .
1.Folosim metoda integrate:
(%i1)integrate(exp(-a*t^2)*cos(2*b*t),t,0,inf);
(%o1)p%eb2
a
2pa
2.Calcul^ andR1
pL[sint](s)dsg asim:
(%i1)integrate(laplace(sin(t), t, s), s, p, inf);
(%o1)
2arctan (p)
41

Capitolul 7
Ecuat ii integrale
Acest capitol este dedicat unor ecuat ii integrale rezolvabile prin mijloacele calculului
simbolic. Ne vom ocupa de urm atoarele tipuri de ecuat ii integrale:
Ecuat ia Volterra de spet a a doua:
y(x)Zx
K(x;s)y(s)ds=f(x)x2[;]; (7.1)
Ecuat ia Volterra de spet a ^ nt^ ai:
y(x) =Zx
K(x;s)y(s)ds x2[;]; (7.2)
Ecuat ia Fredholm de spet a ^ nt^ ai:
y(x) =Z
K(x;s)y(s)ds x2[;]: (7.3)
^In formul arile de mai sus y(x) este funct ia necunoscut a, K(x;s);f(x) sunt funct ii continue
date.
Funct iaK(x;s) se nume ste nucleul ecuat iei integrale.
Dac aK(x;s) :=K(xs) atunci nucleul se nume ste convolutiv.
7.1 Ecuat ia integral a Volterra cu nucleu degenerat
Ecuat ia integral a Volterra de spet a a doua (^ nt^ ai) se poate rezolva ^ n cazul nucleului
degenerat:
k(x;s) =a1(x)b1(s) +a2(x)b2(s) +:::+an(x)bn(s) (7.4)
undea1(x);:::;an(x);b1(s);:::;bn(s) sunt continue ^ n [ ;]:
Rezolvarea se reduce la un sistem diferent ial liniar de ordinul ^ nt^ ai (omogen ^ n cazul
ecuat iei integrale de spet a ^ nt^ ai).
Ecuat ia (7.4) devine:
y(x) =nX
i=1ai(x)Zx
bi(s)y(s)ds+f(x) (7.5)
42

Not am:
zi(x) =Zx
bi(s)y(s)ds i = 1;2;:::;n; (7.6)
ce reprezint a funct ii care urmeaz a a se determina. Din (7.5) deducem:
y(x) =nX
i=1ai(x)zi(x) +f(x) (7.7)
iar din (7.6) g asim _ zi(x) =bi(x)y(x);i= 1;2;:::;n  si combinat cu (7.7) conduce la
problema Cauchy:
_zi=nX
j=1aj(x)bi(x)zj+bi(x)f(x)i= 1;2;:::;n
zi() = 0:
^In cazul ecuat iei integrale de spet a ^ nt^ ai termenii liberi lipsesc.
^In cazuln= 1 problema Cauchy a funct iei z=z1este:
_z=a1(x)b1(x)z+f1(x)b1(x) (7.8)
z() = 0
 si solut ia ecuat iei integrale este:
y(x) =f1(x) +a1(x)z(x): (7.9)
Exemplul 7.1.1 S a se rezolve ecuat ia integral a:
y(x)2Zx
0exsy(s)ds= sin(x)
Rezolvarea ^ n Maxima
Rezolvarea acestei probleme const a ^ n urm atoarea succesiune de operat ii:
(%i1)a(x):=2*%e^x$
(%i2)b(x):=%e^-x$
(%i3)f(x):=sin(x)$
(%i4)f(x)+a(x)*integrate(f(t)*b(t)*%e^(integrate(a(s)*b(s),s,t,x)),t,0,x);
(%o4)
2 %ex(%e2x
10%ex(3sin(x) +cos(x))
10) +sin(x)
43

Apel am funct ia ratsimp pentru simplicare:
(%i5)ratsimp(2*%e^x*(%e^(2*x)/10-(%e^(-x)*(3*sin(x)+cos(x)))/10)+sin(x));
(%o5)
2sin(x)cos(x) + %e3x
5
7.2 Ecuat ia integral a Volterra cu nucleu convolutiv
Consider am ecuat ia integral a:
y(t) =Zt
0k(ts)y(s)ds+f(t)
undek(t)  sif(t) sunt funct ii original continue. Aplic^ and transformata Laplace ambilor
membri ai ecuat iei obt inem:
Y(p) =K(p)Y(p) +F(p)
unde:
Y(p) =L[y(t)](p); K (p) =L[k(t)](p); F (p) =L[f(t)](p):
Rezult a :
Y(p) =F(p)
1K(p)
 si solut ia ecuat iei integrale se obt ine aplic^ and transformata Laplace invers a asupra imaginii
solut iei.
Exemplul 7.2.1 S a se rezolve ecuat iile integrale:
1: y (t) = 2!Rt
0y(s) sin!(ts)ds+cos!t
2:Rt
0y(s)ptsds= sin(2
p
t) (ecuat ie integral a Abel)
Rezolvarea ^ n Maxima
1. Calcul am transformatele Laplace ale funct iilor :
sin(!
t)
cos(!
t)
(%i1)laplace(sin(k*t), t, s);
(%o1)
k
s2+k2
44

(%i2)laplace(l*cos(k*t), t, s);
(%o2)
ls
s2+k2
(%i3)%o2/(1-2*k*%o1);
(%o3)
ls
(s2+k2) (12k2
s2+k2)
(%i4)ilt((l*s)/((s^2+k^2)*(1-(2*k^2)/(s^2+k^2))), s, t);
(%o4)
(%i5)ratsimp((l*%e^(k*t))/2+(l*%e^(-k*t))/2);
(%o5)
%ekt(l%e2kt+ 1)
2
2.
(%i1)laplace(1/sqrt(t), t, s);
(%o1)pps
(%i2)laplace(sin(2*sqrt(t)), t, s);
(%o2)
%i%e1
2s0
@%e1
2s
s%e1
s+p%ierf
%ips
ps
sp%i%e1
2sps1
A
s
2
%i%e1
2s0
@%e1
2s
s%e1
s+p%ierf
%ips
ps
s+p%i%e1
2sps1
A
s
2
(%i3)ratsimp(((%i*%e^(-1/(2*s))*((%e^(-1/(2*s))*(s*%e^(1/s)+sqrt(%pi)*%i*
*erf(%i/sqrt(s))*sqrt(s)))/s-(sqrt(%pi)*%i*%e^(-1/(2*s)))/sqrt(s)))/
/s-(%i*%e^(-1/(2*s))*((%e^(-1/(2*s))*(s*%e^(1/s)+sqrt(%pi)*%i*erf(%i/
/sqrt(s))*sqrt(s)))/s+(sqrt(%pi)*%i*%e^(-1/(2*s)))/sqrt(s)))/s)/2);
(%o3)p%e1
s
s3
2
45

(%i4)ratsimp(%o3/%o1);
(%o4)
%e1
s
s
7.3 Ecuat ia integral a Abel
Ecuat ia integral a Volterra de spet a ^ nt^ ai:
Zx
0y(s)
(xs)ads=f(x);0<a< 1;0<x; (7.10)
cu funct ia din membrul drept f(x) continu a, se nume ste ecuat ia integral a Abel.
Solut ia acestei ecuat ii se obt ine utiliz^ and transformata Laplace (Exemplul 7.2.1 pct.
2) sau cu ajutorul rezultatului prezentat ^ n continuare.
^In ipoteza c a ecuat ia integral a (7.10) admite o solut ie, o rescriem sub forma :
Zt
0y(s)
(ts)ads=f(t): (7.11)
^Inmult ind (7.11) cu:1
(xt)1a si integr^ and de la 0 la xrezult a egalitatea:
Zx
0dt
(xt)1aZt
0y(s)
(ts)ads=Zx
0f(t)
(xt)1adt: (7.12)
Schimb^ and ordinea integr arilor ^ n membrul st^ ang g asim:
Zx
0dt
(xt)1aZt
0y(s)
(ts)ads=Zx
0y(s)(Zx
sdt
(xt)1a(ts)a)ds:
Prin substitut ia: t=s+ (xs)z
1+zintegrala interioar a devine:
Zx
0y(s)(Zx
sdt
(xt)1a(ts)a)ds=Z1
0za
1 +zdz=
sin(1a)=
sina
Din (7.12) g asim:Zx
0y(s)ds=sina
Zx
0f(t)
(xt)1adt;
de unde:
y(x) =sina
d
dx(Zx
0f(t)
(xt)1adt): (7.13)
^In cazul ^ n care f(x) are derivat a continu a, ^ n urma integr arii prin p art i, solut ia devine:
y(x) =sina
(f(0)
x1a+Zx
0f0(t)
(xt)1adt): (7.14)
Exemplul 7.3.1 S a se rezolve ecuat ia integral a Abel:
Zx
0y(s)pxs=ex:
46

Rezolvarea ^ n Maxima
Evalu am solut ia dat a de formula (7.14):
(%i1)f(x):=%e^x$
(%i2)a(x):=1/2$
(%i3)sin(a(x)*%pi)/%pi*(f(0)/x^(1-a(x))+integrate((diff(f(t),t))/
/(x-t)^(1-a(x)),t,0,x));
(%o3)
expintegral e
1
2;xpx%ex+
limt!0expintegral e
1
2;tpt
%ex+1px

7.4 Ecuat ia integral a Schl omilch
Sub acest nume este cunoscut a ecuat ia integral a Fredholm de spet a ^ nt^ ai:
2
Z
2
0y(xsint)dt=f(x): (7.15)
Se presupune c a feste o funct ie dat a, av^ and derivat a continu a ^ n [0 ;]:^In acest caz
solut ia este:
y(x) =f(0) +xZ
2
0f0(xsint)dt: (7.16)
Pun^ andx= 0 ^ n (7.15) deducem y(0) =f(0):Deriv^ and (7.15) rezult a:
f0(x) =2
Z
2
0y0(xsint) sintdt:
Dac ax:=xsinsatunci :
f0(xsins) =2
Z
2
0y0(xsintsins) sintdt;
integr^ and de la 0 la
2avem succesiv:
Z
2
0f0(xsins)ds=2
Z
2
0(Z
2
0y0(xsintsins) sintdt)ds=
=2
Z
2
0(sintZ
2
0y0(xsintsins)ds)dt:
^In integrala interioar a se efectueaz a schimbarea de variabil a sin = sinssint:Pentru
s= 0 rezult a = 0, pentru s=
2rezult a=tiar din egalitatea cos d= sintcossds
deducem:
ds=cos
sintcossd=cosp
sin2tsin2tsin2sd=
47

=cosq
sin2tsin2d=cospcos2cos2td:
Atunci :
2
Z
2
0(sintZ
2
0y0(xsintsins)ds)dt=2
Z
2
0(sintZt
0y0(xsin) cospcos2cos2td)dt
 si schimb^ and ordinea de integrare g asim:
Z
2
0f0(xsins)ds=2
Z
2
0y0(xsin) cos(Zt
0sintpcos2cos2tdt)d=
=2
Z
2
0y0(xsin) cos[arcsin(cost
cos)]
2
d=
=2
Z
2
0y0(xsin) cosd=1
xy(xsin)j
2
0=y(x)y(0)
x;
de unde formula (7.16).
Exemplul 7.4.1 S a se rezolve ecuat ia integral a Schl omilch:
2
Z
2
0y(xsint)dt=x2:
Rezolvarea ^ n Maxima
Rezolvarea revine la efectuarea urm atoarelor operat ii:
(%i1)f(x):=x^2$
(%i2)f(0)+x*integrate(limit(diff(f(x),x),x,x*sin(t)),t,0,%pi/2);
(%o2)
2×2
48

Capitolul 8
Ecuat ii cu derivate part iale
Ecuat ia cu derivate part iale (e.d.p.) de ordinul ^ nt^ ai liniar a  si omogen a  si e.d.p. de
ordinul ^ nt^ ai cvaziliniar a poate  rezolvat a prin metode simbolice de calcul ^ n cazul ^ n
care sistemul diferent ial caracteristic asociat este rezolvabil prin metode algebrice.
Studiul unor fenomene practice conduc la e.d.p. de ordinul al doilea sau mai mare.
Dintre acestea, ^ n cele ce urmeaz a ne vom ocupa de:
ecuat ia coardei vibrante:
1
a2utt4u=F(t;x)
ecuat ia c aldurii:
1
a2ut4u=F(t;x)
ecuat ia lui Poisson:
4u=F(x)
^In ecuat iile de mai sus, ureprezint a funct ia necunoscut a, treprezint a o variabil a scalar a
(timpul) iar xcorespunde variabilelor spat iale. Operatorul 4act ioneaz a asupra vari-
abilelor spat iale.
R aspunz^ and unor probleme concrete, aceste ecuat ii nu se integreaz a ^ n toat a general-
itatea lor ci ^ n anumite condit ii suplimentare. ^In mod obi snuit se impun condit ii init iale
 si/sau condit ii la limit a. Astfel se formuleaz a:
Probleme cu condit ii init iale (sau probleme Cauchy);
Probleme cu condit ii la limit a;
Probleme mixte, cu condit ii init iale  si cu condit ii la limit a.
8.1 E.d.p. de ordinul doi ^ n dou a variabile
Reducerea la forma canonic a
^In e.d.p.:
a(x;y)@2u
@x2+ 2b(x;y)@2u
@x@y+c(x;y)@2u
@y2+ (8.1)
49

+d(x;y)@u
@x+e(x;y)@u
@y+f(x;y)u='(x;y)
efectu^ and schimbarea de variabile:
p=p(x;y) (8.2)
q=q(x;y) (8.3)
obt inem:
A(p;q)@2U
@p2+ 2B(p;q)@2U
@p@q+C(p;q)@2U
@q2+
+D(p;q)@U
@p+E(p;q)@U
@q+F(p;q)U= (p;q);
unde:
u(x;y) =u(x(p;q);y(p;q)) =U(p;q)
A=a(x;y)(@p
@x)2+ 2b(x;y)@p
@x@p
@y+c(x;y)(@p
@y)2
B=a(x;y)@p
@x@q
@x+b(x;y)(@p
@x@q
@y+@p
@y@q
@x) +c(x;y)@p
@y@q
@y
C=a(x;y)(@q
@x)2+ 2b(x;y)@q
@x@q
@y+c(x;y)(@q
@y)2
D=a(x;y)@2p
@x2+ 2b(x;y)@2p
@x@y+c(x;y)@2p
@y2+d(x;y)@p
@x+e(x;y)@p
@y
E=a(x;y)@2q
@x2+ 2b(x;y)@2q
@x@y+c(x;y)@2q
@y2+d(x;y)@q
@x+e(x;y)@q
@y
E.d.p. (8.1) i se ata seaz a ecuat ia diferent ial a caracteristic a:
a(x;y) _y22b(x;y) _y+c(x;y) = 0: (8.4)
Dac a ^ ntr-un domeniu DR2ecuat ia caracteristic a (8.4) are dou a solut ii distincte
_y=y1(x;y)  si _y=y2(x;y);c arora le corespund integralele prime p(x;y) =C1 si respectiv
q(x;y) =C2atunci prin substitut iile (8.2)-(8.3) e.d.p. (8.1) se transform a ^ n forma
canonic a a ecuat iei liniare hiperbolice:
@2U
@p@q+D(p;q)@U
@p+E(p;q)@U
@q+F(p;q)U= (p;q):
Dac a ^ ntr-un domeniu DR2ecuat ia caracteristic a (8.4) are o singur a solut ie _ y=
y1(x;y) c areia ^ i corespunde integrala prim a p(x;y) =C1 si dac aq(x;y) este o funct ie
astfel ^ nc^ at p siqsunt funct ional independente, adic a:D(p;q)
D(x;y)6= 0;atunci prin substitut iile
(8.2)-(8.3) e.d.p. (8.1) se transform a ^ n forma canonic a a ecuat iei liniare parabolice:
@2U
@p2+D(p;q)@U
@p+E(p;q)@U
@q+F(p;q)U= (p;q):
50

Dac a ^ ntr-un domeniu DR2solut iile ecuat ia caracteristic a (8.4) sunt _ y=(x;y)
i(x;y)  si dac a ecuat iilor _ y=(x;y);_y=(x;y) le corespund integralele prime p(x;y) =
C1 si respectiv q(x;y) =C2atunci prin substitut iile (8.2)-(8.3) e.d.p. (8.1) se transform a
^ n forma canonic a a ecuat iei liniare eliptice:
@2U
@p2+@2U
@q2+D(p;q)@U
@p+E(p;q)@U
@q+F(p;q)U= (p;q):
Exemplul 8.1.1 S a se aduc a la forma canonic a e.d.p.:
y2@2u
@x22xy@2u
@x@y+x2@2u
@y2x@u
@xy@u
@y= 0:
E.d.p. propus a este de tip parabolic, ecuat ia diferent ial a caracteristic a are singura
solut ie: _y=x
y, c areia ^ i corespunde integrala prim a x2+y2=C1. Pentru reducerea la
forma canonic a schimbarea de variabile este:
p=x2+y2(8.5)
q=x
Rezolvarea ^ n Maxima
Efectu^ and urm atoarele operat ii ^ n linia de comand a obt inem forma canonic a:
(%i1) load(vect)$
(%i2) evalV(v):=ev(express(v),nouns)$
(%i3) a(x):=y^2$
(%i4) b(x):=-x*y$
(%i5) c(x):=x^2$
(%i6) d(x):=-x$
(%i7) e(x):=-y$
(%i8) p(x):=x^2+y^2$
(%i9) q(x):=x$
(%i10) A(x):=a(x)*'diff(p(x),x)^2+2*b(x)*'diff(p(x),x)*'diff(p(x),y)+
+c(x)*'diff(p(x),y)^2$
51

(%i11) B(x):=a(x)*'diff(p(x),x)*'diff(q(x),x)+b(x)*('diff(p(x),x)*
*'diff(q(x),y)+'diff(p(x),y)*'diff(q(x),x))+c(x)*
*'diff(p(x),y)*'diff(q(x),y)$
(%i12) C(x):=a(x)*'diff(q(x),x)^2+2*b(x)*'diff(q(x),x)*'diff(q(x),y)+
+c(x)*'diff(q(x),y)^2$
(%i13) D(x):=a(x)*'diff(p(x),x,2)+2*b(x)*'diff('diff(p(x),y),x)+c(x)*
*'diff(p(x),y,2)+d(x)*'diff(p(x),x)+e(x)*'diff(p(x),y)$
(%i14) E(x):=a(x)*'diff(q(x),x,2)+2*b(x)*'diff('diff(q(x),y),x)+c(x)*
*'diff(q(x),y,2)+d(x)*'diff(q(x),x)+e(x)*'diff(q(x),y)$
(%i15) evalV([A(x),B(x),C(x),D(x),E(x)]);
(%o15)
[0;0;y2;0;x]
Rezult a urm atoarea form a canonic a a e.d.p.:
(pq2)@2u
@q2q@u
@q= 0:
8.2 E.d.p. cu coecient i constant i ^ n dou a variabile
Fie e.d.p. liniar a  si cu coecient i constant i:
X
i;jci;j@i+ju
@xi@yj= 0: (8.6)
Not^ and:D1=@
@x siD2=@
@yecuat ia (8.6) devine:
X
i;jci;jDi
1Dj
2u= 0:
Se ata seaz a e.d.p. (8.6) operatorul diferent ial liniar: F(D1;D2) =P
i;jci;jDi
1Dj
2:Acest
operator este reductibil dac a exist a descompunerea "^ n factori" liniari:
F(D1;D2) =Y
k(kD1+kD2+
kI)rk
undeIeste operatorul identic, k;k;
k2R;rk2N si ireductibil ^ n caz contrar.
Consider am acum operatorul reductibil:
F(D1;D2) =Y
k(kD1+kD2+
kI): (8.7)
52

Fiec arui factor de forma: D1+D2+
I^ i corespunde o solut ie a e.d.p. ata sat opera-
toruluiF(D1;D2) de forma:
u(x;y) =(
e

x'(xy) dac a6= 0
e

y'(x) dac a = 0(8.8)
unde'este o funct ie de clas a C1:
^Intr-adev ar, pentru 6= 0 ecuat iei:
(D1+D2+
I)u= 0$@u
@x+@u
@y+
u= 0 (8.9)
^ i corespunde sistemul caracteristic:
dx
=dy
=du

u:
Integralele prime sunt: xy=C1 siue

x=C2:Tin^ and seam a de forma solut iei unei
e.d.p. liniare de ordinul ^ nt^ ai g asim: u(x;y) =e

x'(xy);unde'este o funct ie de
clas aC1:
Dac a= 0 atunci prin integrare direct a se obt ine : u(x;y) =e

y'(x):
^In consecint  a solut ia e.d.p. corespunz atoare operatorului (8.7) este o sum a de funct ii
de forma (8.8)  si num arul termenilor din sum a coincide cu ordinul e.d.p.
Unui factor de forma ( D1+D2+
I)2al unui operator reductibil F(D1;D2) ^ i
corespunde o solut ie de forma:
u(x;y) =(
e

x[x'(xy) + (xy)] dac a6= 0
e

y[y'(x) + (x)] dac a = 0
unde'; sunt funct ii de clas a C1:
Pentru rezolvarea ecuat iei:
(D1+D2+
I)(D1+D2+
I)u= 0 (8.10)
introducem:
(D1+D2+
I)u=z (8.11)
 si (8.10) devine ( D1+D2+
I)z= 0:
Dac a6= 0 atunci, potrivit lui (8.8) solut ia este de forma :
z(x;y) =e

x'(xy):
Revenind ^ n (8.11), rezult a e.d.p. de ordinul ^ nt^ ai:
@u
@x+@u
@y+
u=e

x'(xy):
Sistemul caracteristic este:
dx
=dy
=du

u+e

x'(xy):
53

O integral a prim a este xy=C1;iar a doua rezult a din ecuat ia diferent ial a:
_u=

u+1
e

x'(C1):
Se obt ine integrala prim a: u=x
e

x'(xy) +C2e

x si ^ n consecint  a solut ia e.d.p.
(8.11) este: u(x;y) =e

x[x'(xy) + (xy)]:
Din nou, pentru = 0 solut ia se obt ine prin integrare.
^In general, unui factor ( D1+D2+
I)r^ i corespunde o solut ie a e.d.p. de forma:
u(x;y) =8
><
>:e

x[xr1'1(xy) +xr2'2(xy) +:::+'r(xy)]
dac a6= 0
e

y[yr1'1(x) +yr2'2(x) +:::+'r(x)] dac a= 0
unde'1;:::;'rsunt funct ii de clas a C1:
Exemplul 8.2.1 S a se rezolve e.d.p.:
1: 4@2u
@x2+ 16@2u
@x@y+ 15@2u
@y28@u
@x22@u
@y5u= 0
2: 6@2u
@x@y3@u
@x+ 10@u
@y5u= 0
Rezolvarea ^ n Maxima
1.Introducem operatorul ata sat e.d.p. substituind D1=a siD2=b;dup a care descom-
punem expresia ^ n factori.
(%i1) factor(4*a^2+16*a*b+15*b^2-8*a-22*b-5);
(%o1)
(3b+ 2a5) (5b+ 2a+ 1)
Se obt ine astfel solut ia e.d.p.:
u(x;y) =e1
2x'1(5x2y) +e5
2x'2(3x2y)
2.Proced^ and analog, avem:
(%i1) factor(6*a*b-3*a+10*b-5);
(%o1)
(3a+ 5) (2b1)
Se obt ine astfel solut ia e.d.p.:
u(x;y) =e5
3x'1(y) +e1
2y'2(x)
54

8.3 Rezolvarea problemei Cauchy
pentru ecuatii hiperbolice
Prin reducere la forma canonic a  si ^ n urma utiliz arii principiului lui Duhamel se obt ine
solut ia problemei Cauchy cu o variabil a spat ial a:
1
a2@2u
@t2@2u
@x2=f(t;x)t>0; x2R;
u(0;x) =g(x)x2R;
@u
@tu(0;x) =h(x)x2R
dat a de formula d'Alambert:
u(t;x) =1
2[g(x+at) +g(xat)] +1
2aZx+at
xath(y)dy+a
2Zt
0(Zx+a(ts)
xa(ts)f(s;y)dy)ds:
Exemplul 8.3.1 S a se rezolve urm atoarele probleme Cauchy:
1:1
4@2u
@t2@2u
@x2= 0t>0; x2R;
u(0;x) =exx2R;
@u
@tu(0;x) = 1 x2R
2:@2u
@t2@2u
@x2=t t> 0; x2R;
u(0;x) = 0 x2R;
@u
@tu(0;x) = 0 x2R
Rezolvarea ^ n Maxima
1.Introducem urm atoarele operat ii ^ n linia de comand a:
(%i1) f(t,x):=0$
(%i2) g(x):=%e^x$
(%i3) h(x):=1$
(%i4) a(x):=2$
(%i5) 1/2*(g(x+a(x)*t)+g(x-a(x)*t))+1/(2*a(x))*integrate(h(y),y,(x-a(x)*t),
,(x+a(x)*t))+a(x)/2*(integrate(integrate(f(s,y),s,(x-a(x)*(t-s)),
,(x+a(x)*(t-s))),y,0,t));
(%o5)
55

%2x+2t+ %2x2t
2+t
2.
(%i1) f(t,x):=t$
(%i2) g(x):=0$
(%i3) h(x):=0$
(%i4) a(x):=1$
(%i5) 1/2*(g(x+a(x)*t)+g(x-a(x)*t))+1/(2*a(x))*integrate(h(y),y,(x-a(x)*t),
,(x+a(x)*t))+a(x)/2*(integrate(integrate(f(s,y),y,(x-a(x)*(t-s)),
,(x+a(x)*(t-s))),s,0,t));
(%o5)
t3
6
8.4 Rezolvarea simbolic a a ecuat iei lui Poisson
Fief(x;y) sauf(z); z =x+iyo funct ie cu valori reale sau complexe, av^ and derivate
partiale de ordinul ^ nt^ ai ^ n x siycontinue. T  in^ and seama egalit at ile:
df=@f
@xdx+@f
@ydy=@f
@xdz+dz
2+@f
@ydzdz
2i=
=1
2(@f
@xi@f
@y)dz+1
2(@f
@x+i@f
@y)dz
se denesc operatorii – derivatele Wirtinger:
@
@z=1
2(@
@xi@
@y)  si@
@z=1
2(@
@x+i@
@y):
Dac afadmite derivate part iale continue de ordinul al doilea atunci:
@2f
@z@z=1
4(@2f
@x2+@2f
@y2):
Ecuat ia lui Poisson:
4u=g(x;y)
se rescrie ^ n termenii derivatelor lui Wirtinger:
@2u
@z@z=1
4g(z+z
2;zz
2i) =f(z;z)
56

de unde, simbolic se obt ine:
u(z) =Z
(Z
f(z;z)dz)dz:
Exemplul 8.4.1 S a se rezolve ecuat ia lui Poisson 4u=xy:
Rezolvarea ^ n Maxima
Solut ia ecuat iei lui Poisson se obt ine din:
(%i1)a(t):=(z(t)+w(t))/2$
(%i2)b(t):=(z(t)-w(t))/(2*%i)$
(%i3)g(t):=a(t)*b(t)$
(%i4)g(t);
(%o4)
%i(z(t)w(t)) (z(t) +w(t))
4
(%i5)-1/4*integrate(integrate(%o4,w(t)),z(t));
(%o5)
%i(w(t)3z(t)w(t)z(t)3)
48
(%i6)z(t):=x+%i*y$
(%i7)w(t):=x-%i*y$
(%i8)-(%i*(w(t)^3*z(t)-w(t)*z(t)^3))/48;
(%o8)
%i((x%iy)3(%iy+x)(x%iy) (%iy+x)3)
48
(%i9)ratsimp(-(%i*((x-%i*y)^3*(%i*y+x)-(x-%i*y)*(%i*y+x)^3))/48);
(%o9)
xy3+x3y
12
57

Capitolul 9
Reprezentari grace
Una dintre practicile cele mai frecvente ^ n studiul de calcul sunt schit ele grace. Max-
ima furnizeaz a un set foarte bogat de comenzi pentru producerea de grace de funct ii  si
relat ii.
9.1 Gracul unei funct ii
Maxima poate s a reprezinte grac expresii de o variabil a (folosind funct ia plot2d) sau
de dou a variabile (folosind funct ia plot3d).^In continuare vom exemplica doar folosirea
funct ieiplot2d, funct iaplot3dav^ and o sintax a asem an atoare.
Pentru a reprezenta grac funct iile y=y(x);z=z(x) se folose ste una din variantele:
(%i1)plot2d([y(x),z(x)],[x,x_min,x_max])
(%i1)plot2d([y(x),z(x)],[x,x_min,x_max],[y,y_min,y_max])
De exemplu, comanda:
(%i1)
plot2d(sin(x);[x;%pi;%pi]);
produce urm atorul rezultat:
58

Se pot reprezenta grac  si curbe date parametric. De exemplu, un cerc dat parametric
se poate reprezenta cu comanda:
(%i1)
plot2d([parametric;cos (t);sin(t);[t;%pi;%pi];[nticks; 80]]);
produce urm atorul rezultat:
Opt iunea [nticks,n] care dene ste num arul de puncte ^ n care se calculeaz a valoarea
funct iei de reprezentat.
9.2 Gracul solut iei unei ecuat ii diferent iale de or-
dinul 2
Fie de exemplu ecuat ia diferent ial a:
_x= 1 +x2
cu condit ia init ial a x(0) =p3. Rezolvarea acestei ecuat ii se face ^ n doi pa si: ^ nt^ ai se
a
 a solut ia ecuat iei, apoi se rezolv a problema cu date init iale. Obt inem astfel:
(%i1)ode2('diff(x,t)=1+x^2,x,t);
(%o1)
atan (x) =t+ %c
(%i2)ic1(%o1,t=0,x=sqrt(3));
(%o2)
atan (x) =3t+
3
Funct ia x dat a ^ n (% o2) poate  reprezentat a grac. La prima vedere, putem folosi
sintaxa
(%i3)plot2d(%o2, [t,-5,5],[y,-5,5]);
(%o3)
59

care nu va da nici un rezultat. Explicat ia este c a expresia de la (% o3) este o ecuat ie,
 si nu o funct ie de t. Pentru a remedia aceast a situat ie, extragem pe x^ n funct ie de t,  si
apoi reprezent am partea dreapt a a ecuat iei obt inute:
(%i4)solve(%o2,x);
(%o4)
x= tan
t+
3
ceea ce ne va da o list a cu solut ia ecuat iei (% o2). Pentru a g asi primul element din
aceast a list a (adic a ecuat ia care ne intereseaz a pe noi) folosim:
(%i5)%o4[1];
(%o5)
x= tan
t+
3
Pentru a selecta partea dreapt a a ecuat iei, scriem:
(%i6)rhs(%o5);
(%o6)
tan
t+
3
iar (%o6) este o funct ie de treprezentabil a grac:
(%i7)plot2d(%o6, [t,-5,5],[y,-5,5]);
(%o7)
Rezultatul acestei instruct iuni este dat ^ n gura de mai jos:
Acela si rezultat poate  scris  si pe scurt, dac a de la linia (% i5) scriem:
(%i5)plot2d(rhs(%o4[1]);[t;5;5];[y;5;5]);
60

9.3 Grace 2D
9.3.1 Funct ii explicite  si parametrice
Comandadraw 2d() este utilizat a pentru funct ii plot sau expresii de o singur a variabil a.
Argumentele trebuie s a cont in a funct ii care urmeaz a s a e reprezentate grac,  si se aplic a
la toate funct iile ind reprezentate de aceast a comand a.
Opt iunile la nivel global poate  plasat oriunde ^ n secvent a de argumente. Opt iunile
locale se aplic a numai pentru funct iile pe care le urmat i ^ n lista de argumente trebuie s a
e funct ii plot. Acesta poate  explicite, implicite, polare, parametrice, sau puncte. Iat a
c^ ateva exemple de baz a.
Nu uitat i, comanda draw 2d() face parte din pachetul "draw", a sa c a va trebui s a e
^ nc arcate ^ nainte de a  utilizate.
(%i1)load (draw)$
(%i2)expr:x^2$
(%i3)F(x):= if x<0 then x^4-1 else 1-x^5$
(%i4) draw2d(key="x",color="blue",explicit(expr,x,-1,1),
key="x^3",color="red",explicit(x^3,x,-1,1),key="F(x)",
color="magenta",explicit(F(x),x,-1,1),yrange=[-1.5,1.5])$
produce urm atorul rezultat:
(%i1)crv1:parametric(cos(t)/2,(sin(t)-0.8)/3,t,-7*%pi/8,0)$
(%i2)crv2:parametric(cos(t),sin(t),t,-%pi,%pi)$
(%i3)crv3:parametric(0.35+cos(t)/5,0.4+sin(t)/5,t,-%pi,%pi)$
(%i4)crv4:parametric(-0.35+cos(t)/5,0.4+sin(t)/5,t,-9*%pi/8,%pi/8)$
(%i5)draw2d(xrange=[-1.2,1.2],yrange=[-1.2,1.2],line_width=3,
color=red, user_preamble=["set size ratio 1",
61

"set zeroaxis lt -1 lw 0"], crv1,crv2,crv3,crv4)$
produce urm atorul rezultat:
9.3.2 Funct ii polare
Comandadraw 2d() are capacitatea de a reprezenta grace de funct ii polare folosind
constructorul polar (). Apelarea constructorului polar () este folosit a doar de apelarea de
c atreexplicit () cu except ia faptului c a variabila independent a este interpretat a ca unghi
 si variabila dependent a ca raz a.
(%i1)load (draw)$
(%i2)draw2d(user_preamble="set grid polar", color=red,
line_width=3,xrange=[-4,4],yrange=[-3,3],nticks=300,
title="Hyperbolic Spiral", polar(10/theta,theta,1,15*%pi));
produce urm atorul rezultat:
9.3.3 Funct ii implicite
^Inc a o alt a caracteristic a grac a a comenzii draw 2d() este abilitatea de a face grace
relat iilor denite implicit. Sintaxa este foarte asem an atoare ca  si cea a lui explicit (),
darimplicit () prevede ca intervalele pentru ambele variabile implicate ^ n relat ie s a e
specicate.
62

(%i1)load (draw)$
(%i2)eqn:(u^2+v^3)*sin(sqrt(4*u^2+v^2))=3$
(%i2)draw2d(implicit(eqn,u,-5,5,v,-5,5))$
produce urm atorul rezultat:
9.4 Grace 3D
La fal ca gracele 2D, Maxima are facilitatea de a reprezenta grace 3D explicite,
implicite  si grace parametrice. De fapt, construirea  si sintaxa sunt aproape identice.
Singura modicare necesar a pentru construirea acestora este ad augarea de a treia vari-
abil a.
9.4.1 Grace explicite
Gracul funct iei f(x;y) =sin(xy) peste dreptunghiul [ 2;2] x [2;2]. Opt iunea
surfacehide ^ i spune lui Maxima s a nu a seze suprafet ele ascunse. C^ and surfacehide
estetrue, ecare suprafat  a va  tratat a ca  si cum ar  optuz a. C^ and surfacehide este
false , suprafat a va  a sat a doar ca o s^ arm a cadru.
(%i1)load (draw)$
(%i2)draw3d(surface_hide=true,color=blue,explicit(sin(x*y),x,-2,2,y,-2,2));
produce urm atorul rezultat:
63

9.4.2 Grace implicite
Gracul de solut ii x2sin(y) =z2n cub [2;2] x [2;2] x [2;2]. C^ andenhanced 3d
estetrue, Maxima va reprezenta grac o suprafat  a ^ n culori  si va a sa o colorbox indic^ and
ceea ce reprezint a culorile ^ n valori.
(%i1)load (draw)$
(%i2)draw3d(enhanced3d=true,implicit(x^2-sin(y)=z^2,x,-2,2,y,-2,2,z,-2,2));
produce urm atorul rezultat:
9.4.3 Grace parametrice
Gracul arcului denit de ecuat ia parametric a x=cos(t);y=sint(t);z=t;t2[0;30]:
(%i1)load (draw)$
(%i2)draw3d(nticks=200,line_width=2,color=salmon,
parametric(cos(t),sin(t),t,t,0,30));
produce urm atorul rezultat:
9.4.4 Animat ii
Putem face o animat ie utiliz^ and funct ia withsliderdraw , a se vedea mai jos. Pentru
a vizualiza animat ia avet i nevoie s a facet i clic ^ n interiorul ferestrei gracului  si apoi
opereaz a controlul cursorului de pe bara de unelte de sus. De asemenea, odat a ce animat ia
funct ioneaz a putet i utiliza rotit a mouse-ului.
64

O epicicloid a animat a
with slider draw(
/* primele doua argumente sunt parametrii si urmatoarele valorile parametrilor */
ang, makelist(i,i,0,20)*
/* restul argumentelor descriu o actiune draw2d */
picwidth = 600,
picheight = 400,
xrange = [-10,10],
yrange = [-11,10],
nticks = 80,
color = red,
parametric(6*cos(u),
6*sin(u),
u,0,2*%pi),
parametric((6+2)*sin(ang)+2*cos(u),
(6+2)*cos(ang)+2*sin(u),
u,0,2*
color = blue,
linewidth = 2,
parametric((6+2)*sin(a)-2*sin(a*(1+6/2)),
(6+2)*cos(a)-2*cos(a*(1+6/2)),
a,0,ang),
color = black,
point size = 1,
points joined = true,
linewidth = 1,
points([
[0,0],
(6+2)*[sin(ang),cos(ang)],
[(6+2)*sin(ang)-2*sin(ang*(1+6/2)),
(6+2)*cos(ang)-2*cos(ang*(1+6/2))]
]))$
produce urm atorul rezultat:
65

Capitolul 10
Programare ^ n Maxima
Metodele iterative cum ar  metoda lui Newton, metoda lui Euler,  si regula lui Simpson
sunt adesea parte din secvent a de calcul comune. Uneori acestea sunt pur  si simplu
demonstrate  si, uneori, student ilor li se cere s a pun a ^ n aplicare algoritmi ^ n unele tipuri
de limbaje de programare. Toate acestea pot  u sor programate  si executate folosind
Maxima.
Ingredientul principal este loop, ^ n Maxima, exist a doar o singur a structur a pentru
loop: comanda do() ^ n forma sa cea mai simpla, aceasta este utilizat a f ar a nici un prex.
^In acest caz, argumentele sale trebuie s a e interpretate ca o list a de comenzi pentru a
executate ^ n mod repetat (loop) la innit. Desigur, pentru a  practice, o bucl a trebuie
s a aib a o procedur a de ie sire. Acest lucru este furnizat de comanda return (). Atunci
c^ and s-a ajuns la comanda return (), comanda do() loop a ajuns la ie sire  si argumentul
comenziireturn () devine valoarea loopde ^ ntoarcere. Astfel un "innit" do() loop va avea
de obicei forma:
do(
comanda1(),
comanda2(),
.
.
.
comandaN(),
if conditieIndeplinita then return(valoare)
)
comenziiledo() loop poate , de asemenea, prexate cu condit iile cu privire la modul
de multe ori de a executa bucla local a  si pentru ce valori ale variabilei loop. Dac a suntet i
familiar cu forloop de la alte limbaje de programare, acest lucru vi se va p area u sor.
Formele pentru forloop sunt:
for var: startval thru endval step increment do(comanda)
for var: startval while conditie step increment do(comanda)
66

for var: startval unless conditie step increment do(comanda)
Singura diferent  a dintre cele trei forme este condit ia de ie sire. La prima ie sirea va
 dup a ce loop a executat forpentruendval . A doua va avea ie sirea c^ and nu reu se ste
s a ^ nt^ alneasc a condit ia while . A treia va avea ie sirea c^ and s-a ajuns la condit ia unless .
Deci, cele trei bucle do() sunt echivalente cu:
for i:1 thru 10 step 1 do(comanda)
for i:1 while i<11 step 1 do(comanda)
for i:1 unless i>10 step 1 do(comanda)
De fapt, c^ and incrementarea este 1, putet i omite step ca ^ n
for i:1 while i<11 do(comanda)
10.1 Metoda lui Newton
S a ne uit am la metoda lui Newton cu intent ia de a crea o implementare funct ional a.
Ca privire de asamblu, dac a avem funct ia f(x)  si aproximat ia init ial a x0, atunci metoda
Newton este de a calcula iterativ x1;x2;:::;xnpotrivit formulei:
xi+1=xif(xi)
f0(xi):
Num arul de iterat ii trebuie s a e monitorizate ^ ntr-un fel, deoarece metoda lui Newton ^ n
general, nu converge garantat. Deci, funct ia ce am construit-o trebuie s a aplice iterativ
formula de mai sus la un minim  si trebuie num arat i num arul de iterat ii. Se obi snuie ste
s a se includ a capacitatea de a opri iterarea atunci c^ and jf(xi)jeste mai mic a dec^ at unele
tolerant e,. A sa c a, o implementare bun a va avea aceast a capacitate.
newton(f,x0,tol,maxits):=([t,df,c],
df:di(f(t),t),
c:0,
do(
x0:x0-f(x0)/ev(df,t=x0),
if abs(f(x0)) <tol then return (x0),
c>c+1,
if c=maxits then return("s-a ajuns la iteratia maxima")
)
)$
Intr arile funct iei sunt f(funct ie a c arei zerouri sunt dorite), x0(aproximatia init ial a),
tol(tolerant a)  si maxits (num arul maxim de iterat ii pe care le ^ ncerc am). Variabila t;df;
 sicsunt declarate ca ind locale pentru aceast a funct ie, trebuie incluse ^ n paranteze
67

p atrate imediat dup a paranteza deschis a pentru aceast a funct ie. Fiecare linie a funct iei,
cu except ia ultimei este terminat a cu o virgul a ^ n loc de punct  si virgul a ca de obicei
sau semnul dolar. Acesta este modul de a include mai mult de o comand a ^ ntr-o funct ie.
^In mod similar, comanda do() const a din mai multe linii, ecare cu except ia ultimelor
terminate prin virgula. Aceasta form a a comandei dova simplica bucla p^ an a c^ a comanda
return() este ^ nt^ alnit a.
Exist a dou a condit ii la care comanda do() va ajunge la ie sire: if abs(f(x0))< tol
sau ifc=maxits . Cu alte cuvinte, dac a jf(xi)j<  sau dac a num arul de iterat ii a
ajuns la maxim. ^In cazul primei condit ii, valoarea primei iterat ii este returnat a. ^In cazul
celei de a doua condit ii, este returnat un mesaj care s a ne arate c a num arul maxim de
iterat ii a fost atins, indic^ and lipsa de a obt ine acuratet ea dorit a. Utilizarea direct a a lui
if…then …construire pentru a apela de funct ie, avet i nevoie de patru argumente. De
exemplu, g asirea unui zero lui f(x) =xcos(x) ^ n termen de 5(10)10de precizie folosind
o aproximare init ial a de 300 ar putea  f acut, dup a cum urmeaz a:
(%i7)f(x):=x-cos(x);
(%o7)
f (x) :=xcos (x)
(%i7)newton(f,300.0,5e-10,50);
(%o7)
0:73908513321516
Desigur, punerea ^ n aplicare ar putea  modicat a pentru a include declarat ia print ()
^ n cadrul lui do() loop, de a raporta ecare repetare ^ n cazul ^ n care astfel de informat ii
au fost de dorit. S i s a fac a apel la funct ii.
10.2 Metoda lui Euler
Prima metod a numeric a pentru rezolvarea ecuat iilor diferent iale ce se bazeaz a pe
ipoteza c a
y(t+h)y(t) +hy0(t;y(t)):
Vom construi o implementare conceput a s a execute metoda lui Euler  si s a a seze grac
rezultatul. Vom simula o ecuat ie diferent ial a de forma:
y0=f(t;y):
Metoda va ^ ncepe de la condit ia init ial a y(t0) =y0, calcul am yi+1=yi+hf(ti;yi)  si
ti+1=ti+hpentrui= 0;1;2;:::;n1. De data aceasta, vom renunt a la scrierea
unei funct ii denite multiline ^ n favoarea unui cod a c arui prim a linie ar trebui s a e
modicat a, dar ultima linie nu. Primele c^ ateva linii vor cont ine informat ii despre ecuat ia
diferent ial a  si condit iile sale init iale. Ultimele c^ ateva linii vor cont ine punerea ^ n aplicare
a algoritmului  si codul pentru a a sa rezultatul. Aici este o modalitate de a face acest
lucru.
(%i1)load(draw)$
68

(%i2)f(t,y):=t+y$
(%i3)tt:[0.0]$
(%i4)yy:[1.0]$
(%i5)h:0.2$
(%i6)print(exact)$
(%i7)n:10$
(%i8)yactual(t):=-1-t+2*%e^t$
(%i9)yr:[0,12]$
(%i10) for j:1 thru n do(yy:append(yy,[yy[j]+h*f(tt[j],yy[j])]),
tt:append(tt,[tt[j]+h]))$
(%i9)draw2d(key="exact solution", explicit(yactual(x),x,t[0],t[0]+h*n),
key="approximate solution",points_joined=true, color=red,
point_type=circle, point_size=2, points(tt,yy),
title="Demonstratia metodei lui Euler", yrange=yr);
Observat i c a programul este de 28 de linii de lung, dar inima metodei Euler reprezint a
numai 4 linii din cod. Restul liniilor sunt o chestiune de confort  si lizibilitate. Toate liniile
ce cont in text sunt delimitate cu = si=, care se folosesc pentru a trata un comentariu.
Aceste p art i ale codului nu fac nimic, doar instruiesc cititorul. Comanda do() ^ n aceast a
form a execut a o singur a dat a pentru ecare num ar ^ ntreg de la 1 la n.
10.3 Regula lui Simpson
Implementarea regulei lui Simpson va  o combinare ^ ntre implementarea metodei lui
Newton  si metoda lui Euler. Vom construi o funct ie Simpson multiline. ^Incep^ and cu
regula lui Simpson, vom folosi comanda do() cu opt iunea step.
simpsons(f,x1,x2,n):=([j,h,total],
total:0.0,h:ev((x2-x1)/(2*n),numer),
for j:0 thru 2*(n-1) step 2
do(
total:total+f(x1+j*h)+4.0*f(x1+(j+1)*h)+f(x1+(j+2)*h)),
h*total/3.0
)$
69

Aici sunt c ai mai eciente de a programa acest calcul, dar aceast a cale favorizeaz a
o simplitate. Aceasta poate face un exercit iu frumos s a rescrie aceast a funct ie pentru a
face calcul ^ n mod mai ecient. ^In orice caz, ret inet i c a funct ia necesit a patru argumente:
funct iile de integrare (f), limitele de integrare ( x1tox2),  si num arul de intervale ce sunt
folosite ^ n regula lui Simpson ( n). Din acest moment aceast a funct ie poate  utilizat a
at^ at ^ n cadrul unui utilitar de mod a ca ^ n:
(%i1)f(x):=sin(x)*%e^x+1$ simpsons(f,0,%pi,10);
(%o1)
15:21177471542183
 si ^ ntr-un mod mai mult frilly ca ^ n:
(%i1)f(x):=sin(x)*%e^x+1$
(%i2)x1:0$
(%i3)x2:%pi$
(%i4)n:10$
(%i5)exact:'integrate(f(x),x,x1,x2)$
(%i6)print(exact)$
(%o6)Z
0exsin (x) + 1dx
(%i7)print("este arpoximativ ", simpsons(f,x1,x2,n))$
(%o7)
este arpoximativ 15.21177471542183
(%i8)print("si este exact ",ev(exact,nouns))$
(%o8)
si este exact2+%e+1
2
(%i9)print("care aste aproape ", ev(%,numer))$
(%o9)
care aste aproape 15.21193896997943
70

Bibliograe
[1] SCHEIBER E., LUPU M., 2003, Rezolvarea asistat a de calculator a problemelor de
matematic a. Matrix Rom, Bucuresti.
[2] RICHARD H. RAND, Introduction to Maxima,
http://maxima.sourceforge.net/documentation.html
[3] LEON Q. BRIN, August 25, 2009, Maxima (5.18.1) and the Calculus,
http://maxima.sourceforge.net/documentation.html
[4] Maxima Manual (Ver. 5.21), http://maxima.sourceforge.net/documentation.html
[5] Macsyma Scientic Graphics Reference Manual, http://www.cs.berkeley.edu/ fate-
man/macsyma/docs/
[6] Introduction to Macsyma, http://www.cs.berkeley.edu/ fateman/macsyma/docs/
[7] Macsyma User's Guide, http://www.cs.berkeley.edu/ fateman/macsyma/docs/
[8] Macsyma Mathematics and System Reference Manual,
http://www.cs.berkeley.edu/ fateman/macsyma/docs/
[9] JAIME E. VILLATE, Introdu c~ ao aos Sistemas Din^ amicos,
http://tero.s.uncor.edu/ tamarit/biologia/villate.pdf
[10] http://www.telefonica.net/web2/biomates/maxima/gpdraw/animation/index.html
[11] http://ro.wikipedia.org/wiki/Maxima (software)
71