Controlul optimal devine cunoscut după al doilea război mondial odată cu apariția războiului rece , [606009]

1. Introducere

Controlul optimal devine cunoscut după al doilea război mondial odată cu apariția războiului rece ,
când matematicienii au fost implicați în noua confruntare dintre SUA și URSS. O provocare
matematică a celor vremuri cu care s -au confruntat a fost : Care este traiectoria optimal ă a unui avion
ce urmează a fi direcționat dintr-o poziție de croazier ă dată, într-o poziț ie
favorabil ă necesară răspunderii unui posibil atac?
Răspunsul la acestă problem ă a fost ușor de sesizat . Matematicienii au recunoscut imediat asemănarea
cu întrebarea lui John Bernoulli din 1969 : Care este curba celei mai rapide coborâri înt re două puncte
date într -un plan vertical? , care și-a imaginat în acest fel problema brachistochronei (în grecește,
brachistos=cel mai scurt, chrones=timp).
În ultimele decade domeniile teoriei controlului și optimizării au fost la interfața dintre creativitatea
matematică, inginerie si informatică. Scopul teoriei controlului este să ajute la îınțelegerea principiilor
fundamentale ale controlului și să le carac terizeze matematic într -un mod ce poate fi folosit pentru
obținerea exactă a unor controale ce ne ajută să îndeplinim un scop precizat. De fapt, scopul
optimizării performanțelor ne duce către controlul optimal ce ilustrează afinitatea dintre teoria
contro lului, calculul variațional și optimizare.
Optimizarea poate fi definită ca știința determinării «celei mai bune» soluții la anumite probleme
definite matematic, care sunt adesea modele ale realității fizice.
A face « cel mai bine posibil » este sensul or icărei atitudini naturale în viața de zi cu zi .
Pentru un inginer « a face cel mai bine posibil » ar trebui să f ie un obiectiv permanent atunci când are
de conceput o clădire, de dimensionat o instalație etc.
Metodele de optimizare au o largă aplicabilitat e în aproape orice activitate în care sunt prelucrate
informațiile numerice: știință, inginerie, matematică, economie etc. O selecție a domeniilor în care apar
probleme de optimizare ar cuprinde: proiectarea reactoarelor chimice, a aparatelor aerospația le, a
clădirilor, a podurilor, în diferite ramuri ale analizei numerice, principii în sisteme de ecuații
diferențiale și cu derivate parțiale etc.
Lucrare a de față își propune să prezinte controlul optimal aflat în strânsă legatură cu teoria sistemelor
și mod ul în care ecuația matriceală Riccati poate ajuta în găsirea unei comenzi optimale ce
minimizează o func țională asociată unei reprezentari în spațiul stărilor a unui si stem fizic . Conținutul
lucrării se axează în principal pe rezolvarea problemei liniar pătratice și aparițiile acesteia în diverse
domenii, mai multă atenție a fost acordat ă ecuaț iei matriceale algebrice Riccati .
În acest sens al 2-lea capitol abordează aspectele teoretice cu privire la conceptul general de control
optimal. De asemenea, sunt ilustarte și noțiunile de calcul variațional care au o temelie esențială asupra
controlului optimal și condițiile necesare de optimalitate.
În capitolul al 3-lea este realizată o prezentare generală a o ptimizării cu criteriu pătratic a sistemelor
liniare, făcându -se referie la problema de optimizare pătratică , la soluția problemei liniar pătratice cu
timp final finit, p roblema reglării optimale a mărimii de ie șire si a r egulatorului liniar pătratic.
Capitolul al 4-lea intitulat “Ecuația matriceală Riccati cu metode de rezolvare ” se centreaz ă pe ecuația
matriceală algebrică Riccati și prezintă principalele metode de rezolvare ale acesteia. Metodele de
rezolvare folosite pe parcursul acestei lucrări sunt: rezolvarea analitică, metoda Potter, metoda Sc hur și
metoda Newton.
Capitol ul al 5 -lea conține prezentarea în întregime a aplicațiilor. Sunt prezentate exemple ce pot
fi rezolvate atât analitic, cât și folosind programul MATLAB.

2. Control Optimal

2.1 Noțiuni de calcul variațional

Se dă sistem ul Σ descris de ecuația de stare :
),(xtfx
,
mR x tx 0 0)( (2.1)
Aici,





)()(
)(1
txtx
tx
n este vectorul de stare și
f o funcție vectorială de clasă .
Căutăm construirea unui sistem Hamilton canonic , pentru găsir ea extremalelor funcționalei
  2
1),,,,,,( ],,[][1 1 1t
tn n n dtx xx xtL x xIxI  
(2.2)
în mulțimea
},1, )(, )(|]),([ )),(( ),,({2 1 210
212
1 n ib txa txttC ttC x xx Mi i i i n      
,
unde
abi nii,, ,1 sunt numere reale date . Integrând prin pă rți termenii ținând seama de proprietăț ile
funcțiilor și aplic ând lema fundamentală , deducem sistemul de ecuaț ii diferenț iale ordinare de ordinul
al doilea
















0. ………. ………. ……….00
2 21 1
i i xL
dtd
xLxL
dtd
xLxL
dtd
xL
,
n i,1 . (2.3)
care este un sistem de n ecuații diferențiale de ordinul al doilea cu n funcții necunoscut
x xn 1,, și
care mai poate fi scris și sub forma