Controlabilitatea sistemelor nit dimensionale Absolvent Cacaliceanu Eugenia Conduc ator  stiint i c Prof. dr. Micu Sorin -2017- Cuprins… [616201]

UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I S TIINT  E
ALE NATURII
SPECIALIZAREA MATEMATIC A
INFORMATIC A
LUCRARE DE
DISERTAT IE
Absolvent: [anonimizat] ator  stiint ic
Prof. dr. Micu Sorin
-2017-
1

2
UNIVERSITATEA DIN CRAIOVA
FACULTATEA DE MATEMATIC A S I S TIINT  E
ALE NATURII
SPECIALIZAREA MATEMATIC A
INFORMATIC A
LUCRARE DE
DISERTAT IE
Controlabilitatea sistemelornit dimensionale
Absolvent: [anonimizat] ator  stiint ic
Prof. dr. Micu Sorin
-2017-

Cuprins
Introducere 4
1. Ecuat ie cu coecient i constant i  si condit ii Dirichlet omogene 5
3

4 CUPRINS
Introducere
^In aceast a lucrare vom ar ata cum poate  utilizat a metoda ele-
mentului nit pentru aproximarea solut iilor ecuat iilor eliptice ^ n cazul
unidimensional. Vom prezenta ^ n detaliu ecare pas al metodei  si vom
discuta rezultatele numerice, consider^ and diferite exemple de ecuat ii
(cu coecient i constant i sau variabili, cu condit ii Dirichlet sau Neu-
mann, de ordin doi sau patru etc. )  si folosind mai multe tipuri de
elemente nite.
Problemele prezentate ^ n aceasta lucrare pot  rezolvate prin alte
metode (Fourier, diferent e nite)  si chiar exact. Prin simplitatea lor,
ele se constituie ^ nsa  si in foarte bune exemple pentru ^ nt elegerea prin-
cipiilor de baz a ale metodei elementului nit. De aceea, trebuie s a
acord am important a cuvenit a, s a sesiz am particularul  si generalul din
ecare exemplu  si s a putem adapta cuno stint ele dob^ andite la cazul
unor noi probleme.
Vom ilustra ecare tip de problem a considerat cu exemple concrete,
care admit solut ii explicite, coment^ and rezultatele numerice obt inute
 si evident iind sursa  si m arimea erorilor.

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 5
1. Ecuat ie cu coecient i constant i  si condit ii Dirichlet
omogene
Fiind date
= (0 ;1)R sif2L2(
), se consider a ecuat ia eliptic a
de ordin doi cu condit ii Dirichlet omogene
(1.1)(
uxx=f;x2
u(0) =u(1) = 0:
Datorit a condit iilor la limit a din 1.1, solut ia va apart ine spat iului
V=H1
0(
)
Formularea variat ional a corespunz atoare problemei 1.1 este
(1.2) a(u;') =l(');8'2V
unde
a(u;') =Z1
0ux(x)'x(x)dx; L (') =Z1
0f(x)'(x)dx:
Este u sor de ar atat c a a:VV!Reste biliniar a, continu a,
simetric a  si coerciv a iar L:V!Reste liniar a  si continu a. Rezult a
din teorema Lax-Milgram c a exist a o unic a solut ie u2Va ecuat iei
variat ionale 1.2. Ne propunem s a aporxim am aceast a solut ie cu ajuto-
rul metodei elementului nit. Vom considera pentru aceasta trei tipuri
diferite de elemente nite iar la nal vom realiza o comparare a lor.
1.1. Elemente nite liniare. Acesta este cel mai elementar exem-
plu de folosire a metodei elementului nit. De si foarte simplu, ind
primul exemplu, vom prezenta in detaliu pasii necesari obt inerii apro-
xim arii numerice. Apoi, vom aplica totul ^ n mod asem an ator la cazuri
mai complicate.
1. Alegerea elementelor nite.
FieN2N sih=1
N+ 1:Consider am o diviziune echidistant a a
intervalului
,
0 =x0<x 1<


<xN<xN+1;
undexj=jh;0jN+ 1:
Not^ andKj= [x;xj+1] vom observa imediat c a Th=fKjg0jN
este o triangulat ie a lui
.

6 CUPRINS
Figura 1. Exemplu de funct ie din Vh.
Asociem triangulat iei familia de elemente nite fKj;j;Pjg0jN
denit a astfel:
j=fxj;xj+1g;Pj=fv:Kj!R:v(x) =x+;;2Rg:
Este u sor de ar atat c a familia de elemente nite introdus a mau sus
^ ndepline ste condit iile de clas a zero  si de compatibilitate C1C4  si
este o familie regulat a.
2. Denirea spat iului de aproximat ii  si alegerea unei baze.
Folosind elementele nite de mai sus, denim spat iul de aproximat ii
Vh=f'2C[0;1] :'jKj2Pj;0jN;'(0) ='(1) = 0g:
Spat iulVheste format din funct ii continue  si liniare pe port iuni.
De aici  si denumirea elementelor nite. Observ am c a orice funct ie din
spat iulVheste unic determinat a dac a se dau valorile ei ^ n nodurile
triangulat iei. Deoarece PjH1(xj;xj+1)  sifKjg0jNeste o partit ie
a lui
, rezult a c a VhH1
0(
). ^In gura (1) am schit at gracul unei
funct ii dinVh.
Pentru ecare 1jN, denim funct ia '(j) : [0;1]!Rastfel
ca

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 7
'j2Vh; ' j(xi) =ji;8i2f0;1;:::;N + 1g:
Funct ia'jeste denit a ^ n mod unic iar expresia ei analitic a este
'j(x) =8
>><
>>:xxj1
hdac ax2(xj1;xj)
xj+1x
hdac ax2[xj;xj+1]
0 ^ n celelalte cazuri ;
^In gura (2) am reprezentat grac una dintre funct iile 'j. Ob-
serv am suportul foarte localizat al acesteia  si liniaritatea ei pe ecare
elementKial triangulat iei.
Teorem a1.FieTho triangulat ie a lui
 si(K;K;PK)K2Tho
familie de elmente nite asociate care satisfac condit iile C1-C5. Atunci
Xh=fhv:v2C(
)g;
X0h=fhv:v2C(
);vj0= 0g
Teorem a2.^In ipotezele teoremei (1), exist a o baz a ('i)1iIa lui
Xhcu proprietatea c a
'i(aj) =ij;1i;jI
.
^In acela si timp, ('i)1iI0este o baz a a lui X0h
Din denit ia funct iilor 'j si din teorema (2), f'1;:::;' Ngeste o
baz a ^ nVh. O consecint a a acestui fapt este c a dim(Vh) =N.
3. Determinarea solut iei aproximative. .
Solut ia aproximativ a uh2Vhse scrie sub forma
uh=NX
j=1j'j;
ind complet determinat a dac a se cunosc coecient ii j2R;1
jN:
Ea trebuie s a verice
(1.3) a(uh;') =L(');8'2Vh
Cumf'jg1jNeste baz a ^ n Vh, obt inem c a (1.3) se veric a numai
dac a  si numai dac a

8 CUPRINS
Figura 2. Funct ia'j.
(1.4) a(uh;'j) =L('j);8j2f1;2;:::;Ng:
Prin urmare, = (j)1jN2RNva  solut ia sistemului
(1.5) R=F;
undeR2M N(R) este matrice p atratic a de elemente Rij=a('j;'i)
iarF2RNeste vectorul de elemente Fj=L('j).
Dup a un calcul elementar, obt inem c a
Rij=('j;'i) =8
>><
>>:2
hdac ai=j
1
hdac ajijj= 1
0 ^ n celelalte cazuri
 si prin urmare
R=1
h0
BBBBB@21 0 0


0 0
1 21 0


0 0
01 21


0 0






















0 0 0 0


21
0 0 0 0


1 21
CCCCCA:

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 9
Figura 3. Solut ia exact a  si aproximat iile ei cu h= 1=10
^ n Exemplul 1.
S a remarc am faptul c a matricea Ra sitemului (1.5), de si poate avea
dimensiunea Nfoarte mare, nu are mai mult e trei elemente nenule pe
o linie. De fapt, ea este o matrice tridiagonal a.
Termenul liber Fpoate  determinat prin calcul direct al lui L('j),
atunci c and acest lucru este posibil  si nu presupune o munc a prea
mare. ^In general, se obi snuie ste s a se foloeasc a o formul a de integrare
numeric a precum
Metoda trapezelor:
L('j) =Z1
0f(x)'j(x)dx=Zxj
xj1f(x)'j(x)dx+Zxj+1
xjf(x)'j(x)dx
h
2[f(xj1)'j(xj1) +f(xj)'j(xj)
+h
2[f(xj)'j(xj) +f(xj+1)'j(xj+1):
Metoda Simpson:
L('j) =Z1
0f(x)'j(x)dx=Zxj
xj1f(x)'j(x)dx+Zxj+1
xjf(x)'j(x)dx

10 CUPRINS
h
6[f(xj1)'j(xj1) + 4f(xjh=2)'j(xjh=2) +f(xj)'j(xj)]+
+h
6[f(xj)'j(xj) + 4f(xj+h=2)'j(xj+h=2) +f(xj+1)'j(xj+1)] =
=h
3[f(xjh=2) +f(xj) +f(xj+h=2)]:
Putem lua, piin urmare,
Fj=8
>>>><
>>>>:L('j) (exact)
sau (aproximat ie cu metoda trapezelor)
hf(xj)
sau (aproximat ie cu metoda Simpson)
h
3[f(xjh=2) +f(xj) +f(xj+h=2)]
Cu aceasta, sistemul (1.5) este complet  si se poate trece la deter-
minarea solut iei lui.
4. Rezultate  si comentarii numerice.
Exemplul 1: Rezultate ^ n nodurile triangulat iei .
Consider am
f(x) = 162sin(4x);
ceea ce ne permite s a g asim solut ia exact a a ecuat iei (1.1),
u(x) = sin(4x):
Pentru a pun ^ n evident a fenomenul de superconvergent  a  si
pentur a vedea in
uent a aproxim arilor termenului liber asupra
preciziei rezultatului nal, vor rezolva pe r^ and sitemul (1.5) cu:
(1)Fj= 162hsin(4xj) (metoda trapezelor)
(2)Fj=162h
3[sin(4(xjh=2)) + sin(4xj) + sin(4(xj+
h=2))] (metoda Simpson)
(3)
Fj=Z1
0f'jdx=
=1
h[sin(4xj1) + 2 sin(4xj)sin(4xj+1)]
(calcul exact)
Tabelul 1: Valorile aproximat iilor cu h= 1=10  si elemente
nite liniare ^ n cele trei cazuri de alegere a termenului liber,
comparate ci valorile solut iei exacte ^ n Exemplul 7.1.
Tabelul 2: Eroarea maxim a la fuecare alegere a termenului
liber ^ n Exemplul 7.1.

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 11
Figura 4. Solut ia exact a  si aproximat iile ei cu h= 1=10
^ n Exemplul 2.
^In Figura 3 prezent am gracul solut iei exacte prin linie
punctat a  si aproxim arile numerice: cerculet ele obt inute folo-
sind metoda trapezelor (metoda (a))  si stelut ele obt inute folo-
sind metoda Simpson(metoda (b)) pentru calculul termenului
liber. S-a folosit h= 1=10.
Rezultatele numerice detaliate se g asesc ^ n cele dou a tabele
1  si 2. ^In tabelul 1 sunt date valorile aproximative ^ n nodurile
triangulat iei, folosind cele trei medote de alegere a termenu-
lui liber (metoda trapezelor (a), metoda Simpson (b), metoda
exact a (c)). De asemenea, pentru comparat ie, ^ n ultima co-
loan a sunt specicate valorile solut iei exacte. ^In tabelul 2 sunt
date duferent ele maxime ^ ntre aproxim ari  si valorile exacte ^ n
nodurile triangulat iei cu ecare dintre cele trei metode.
Pe de o parte, ^ n tabelul 2 se observ a c a eroarea este mai
mare ^ n coloana 2 dec^ at ^ n coloana 3. Prin urmare, c^ and folo-
sim metoda Simpson obt inem rezultate mai bune dec^ at c^ and
folosim metoda trapezelor. Acest lucru ne arat a c a eroarea
aproximat ie depinde de metoda de integrare pe care o uti-
liz am. Este posibil ca metoda de aproximare s a dea rezultate
de o precizie bun'u a pe care folosirea unei metode de integrare
nepotrivite s a o "strice". Astef, vom aveam o grij a deosebit a
pentru alegerea unei metode de integrare a termenului liber
care s a aib a cel put in ordinul de precizie al metodei elemen-
tului nit alese. Dar care este cea mai bun a metod'u a de
integrare ^ n acest caz?
Pentru a r aspunde la aceast a ^ ntrebare, s a observ am c a
cele mai bune rezultate (precizie maxim a cel put in ^ n limitele

12 CUPRINS
de a sare alese) s-au obt inut ^ n ultima coloan a, c^ and terme-
nul liber a fost calculat exact. Prin urmare, se pare c a nicio
formul ade integrare numeric a nu este de precizia metodei.
Acest fenomen, cu totul singular, este specic ecuat iei lini-
are ^ ntr-o dimensiune cu coecient i constant i  si poarte numele
de superconvergent  a. Dac a nu sunt folosite aproxim ari ale
integralelor termenilor liberi, medota elementului nit ofer a
valorile exacte ale solut iei ^ n noduri, indiferent de valoarea lui
N.
Exemplul 2: Rezultate ^ n alte puncte dec^ at nodurile
triangulat iei.
Consider am acum f(x) = 5ex si observ am c a solut ia exact a
este dat a de
u(x) =1X
n=110(1(1)ne)
n(1 +n22)sin(nx):
Din nou, vom rezolva pe r^ and sitemul (1.5) cu trei posi-
bilt at i de alegere a termenului liber:
(1)Fj=hexj(metoda trapezelor).
(2)Fj=h
3[exjh=2+exj+exj+h=2(metoda Simpson).
(3)Fj=R1
0f(x)'j(x)dx=1
h[exj+12exj+exj1] (calcul
exact).
^In gura 4 reprezent am prin linie punctat a gracul solut iei
exacte  si prin cerculet e aproxim arile numerice obt inute folo-
sindh= 1=10  si metoda trapezelor(metoda (a)) pentru calcu-
lul termenului liber.
Rezultatele numerice detaliate se g asesc ^ n tabelele 3 si 4.
^In tabelul 3 sunt date valorile aproximative ^ n nodurile
triangulat iei , folosind cele trei metode de alegere a termenu-
lui liber( metoda trapezelor (a), metoda Simpson (b), metoda
exact a (c)). De asemenea, ^ n ultima coloan a sunt specicate
valorile solut iei exacte.
Tabelul 3: Valorile aproxim arilor cu h= 1=10  si elemente
nite liniare ^ n cele trei cazuri de alegere a termenului liber,
comparate cu valorile solut iei exacte ^ n Exemplul 2.
Tabelul 4: Eroarea maxim a ^ n ecare caz de alegere a ter-
menului liber ^ n Exemplul 2.
Valorile solut iilor exacte s-au obt inut ^ n acest caz prin
^ nsumarea primilor 10000 de termeni din seria Fourier a lui
u. Avem c a
ju(x)10000X
n=110(1(1)ne)
n(1 +n22)sin(nx)j1X
x=1000140
3n3108:

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 13
Tabelul 3 arat a similar cu tabelul 1: eroarea este mai mic a
^ n coloana 2 dec^ at ^ n coloana 3  si practic zero ^ n coloana 3.
Explicat ia acestui fapt este cea dat a ^ n exemplul precedent  si
are la baz a fenomenul de superconvergent  a.
^In tabelul 4 sunt date erorile maxime^ n aproximarea solut iei
folosind cele trei metode de calcul al termenilor liberi. ^In con-
cluzie, ^ n punctele triangulat iei metoda d a rezultate exacte
care pot  deteriorate prin folosirea unor formule de aproxi-
mare a termenulu liber.
Vom analiza ^ n continuare  si cazul altor puncte, diferite de
nodurile triangulat iei. Mai precis, vom alege punctele
xj+1=2=jh+h
2;1jN
.
Aproximat iile se calculeaza astfel
u(xj+1=2uh(xj+1=2) = (j'j+j+1'j+1)(xj+1=2) =1
2(j+j+1)
Tabelul 5: Valorile aproximat iilor cu h= 1=10  si elemente
nite liniare ^ n cele trei cazuri de alegere a termenului li-
ber, comparate cu valorile solut iei exacte ^ n puncte situate la
jum atatea distant ei dintre nodurile triangulat iei ^ n Exemplul
2.
Tabelul 6: Eroarea maxim a ^ n ecare caz de alegere a ter-
menului liber ^ n puncte situate la jum atatea distant ei dintre
nodurile triangulat iei. Ca  si mai ^ nainte se folosesc trei me-
tode de alegere a termenului liber (metoda trapezelor (a), me-
toda Simpson (b), metoda exacta (c)). De asemenea, pentru
comparat ie, ^ n ultima coloan a sunt specicate valorile solut iei
exacte. ^In tabelul 6 sunt date erorile maxime ^ n ecare dintre
cele trei aproxim ari ^ n punctele situate la jum atatea distant ei
dintre nodurile triangulat iei.
S a observ am c a situat ia este diferit a de cazul ^ n care s-au
considerat doar nodurile triangulat iei. Vedem c a, atunci c^ and
se consider a puncte diferite de nodurile triangulat iei (tabelele
5  si 6), erorile de aproximare sunt practit egale. Rezultatele
nu se ^ mbun at at esc prin folosirea unor metode mai precise de
calcul al termenului liber (Simpson sau calculul exact). Acest
lucru ne arat a c a eroarea aproximat ia cu metoda elementului
nit este cel put in egal a cu eroarea metodei de integrare a
trapezelor.
5. Concluzii. Prin folosirea elementelor nite liniare s-au obt inut:
Rezultatele exacte ^ n nodurile triangulat iei dac a termenul li-
ber  si matricea sistemului au fost calculate exact  si erori de

14 CUPRINS
ordinul metodelor de aproximare folosite pentru determina-
rea termenului liber  si a matricii sistemului^ n caz contrar.
Rezultatele exacte obt inute sunt consecint a fenomenului de
superconvergent a.
Rezultate cu o precizie de ordin h2atunci c^ and s-au conside-
rat alte puncte, diferite de nodurile triangulat iei. ^In acest caz,
formula trapezelor este sucient a pentru determinarea terme-
nului liber, ea av^ and o eroare de acest ordin.
1.2. Elemente nite p atratice. Vom considera din nou ecuat ia
(1.1)  si vom schimba elementele nite. Vom parcurge aceia si pa si ca
mai ^ nainte, subliniind diferent ele.
1. Alegerea elementelor nite. DateN2N sih=1
N, consi-
der am o nou a diviziune echidistant a a intervalului
, 0 = x0<x 1=2<
x1< x 3=2<


< x N< x N+1=2< x N+1= 1, undexj=jh;0j
N+ 1  sixj+1=2=xj+h=2;0jN:
Not^ andKj=fxj;xj+1g, vom observa imediat c a Th=fKjg0jN
este o triangulat ie a lui
.
Asociem triangulat iei familia de elemente nite fKj;j;Pjg0jN
denit a astfel:
j=fxj;xj+1=2;xj+1g;
Pj=fv:Kj!R:v(x) =x2+x+
;;;
2Rg
.
Este u sor de ar atat c a familia de elemente nite introdus a mai sus
^ ndepline ste condit iile de clas a zero  si de compatibilitate  si este o familie
regulat a. ^Intr-adev ar,
Condit ii de clas a zero: Pentru elementul nit fKj;j;Pjg, avem
c a
Fiind polinoame, funct iile din Pjsunt continue.
Restrict iile funct iilor din Pjla una dintre extremit at ile inter-
valuluiKjdescru mult imea numerelor reale (sau, echivalent, a
funct iilor constante denite ^ ntr-un punct). Evident, acestea
sunt unic determinate de valoarea lor ^ ntr-un punct.
Condit ii de compatibiliate: Fiind date dou a elemente nite ad-
iacente  siT0punctul comun, avem c a:
T0se g ase ste ^ n ambele mult imi 
Elementele din ambele mult imi Prestrict ionate la T0formeaz a
mult imea funct iilor constante denite ^ ntru-un punct.

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 15
Figura 5. Exemplu de funct ie din Vh.
2. Denirea spat iului de aproximat ii  si alegerea unei baze.
Date elementelor nite de mai sus, introducem spat iul de aproximat ii
Vh=f'2(C)[0;1] :'jkj2Pj;0jN;'(0) ='(1) =g:
Vom nota
 =[N
j=0j;D= nf0;1g:
Spat iulVheste format din funct ii continue  si p atratice pe port iuni
care sunt unic determinate de valorile lor ^ n punctele din  D. Din
teorema triangulat iilor domeniului rezult a c a VhH1
0(
). ^In Figura
(5) am schit at gracul unei funct ii din Vh.
Pentru ecare 1jN, denim funct ia 'j: [0;1]!RdinVhcu
proprietatea c a
'j(xi) =ij;0iN+ 1; ' j(xi+1=2= 0;0iN
iar pentru ecare 0 jN, denim funct ia 'j+1=2: [0;1]!R
dinVhcu proprietatea c a
'j+1=2(xi) = 0;0iN+ 1; ' j+1=2(xj+1=2) =ij;0iN:
Expresia analitic a a funct iilor 'j si'j+1=2este dat a de
'j(x) =8
>>><
>>>:2
h2(xh
2jh)(xhjh) dac a x2[xj;xj+1]
2
h2(x+h
2jh)(x+hjh) dac a x2[xj1;xj)
0 ^ n celelalte cazuri,

16 CUPRINS
Figura 6. Funct iile'j si'j+1=2.
'j+1=2(x) =(
4
h2(xjh)(xhjh) dac a x2[xj;xj+1]
0 ^ n celelalte cazuri.
Teorema (2) asigur a c a f'1=2;'1;:::;' N+1=2geste o baz a ^ n Vh. O
consecint  a a acestui fapt este c a dim(Vh) = 2N+ 1:
3. Determinarea solut iei aproximative. Scriem solut ia apro-
ximativ auh2Vhsub forma
uh=NX
j=1j'j+NX
j=0j+1=2'j+1=2:
Pentru determinarea necunoscutelor ( j)1jN;(j+1=2)0jNca solut ii
ale unui sistem liniar, este necesar a renumerotarea lor.
Astfel, nodurile ( xj)0jN+1vor deveni ( x2k)0kN+1iar (xj+1=2)0jN
vor  notate ( x2k+ 1) 0kN. Necunoscutele  si funct iile de baz a '
vor , de asemenea, numerotate de la 1 la 2 N+ 1. Vom avea c a
Uh=2N+1X
k=1k'k;
= (k)1k2N+1ind solut ia sistemului
(1.6) R=F
undeR2M 2N+1este matricea p atratic a de elemente Rkl=('l;'k)
iarF2R2N+1este vectorul de elemente Fk=L('k).
Dup a un calcul elementar obt inem c a

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 17
Rij=8
>>>>>>>>><
>>>>>>>>>:16
3hdac ak=l;kimpar
14
3hdac ak=l;kpar
8
3hdac ajklj= 1
1
3hdac ajkj= 2;kpar
0 ^ n celelalte cazuri
 si prin urmare
R=1
3h0
BBBBBBBBB@168 0 0 0 0 0


0 0
8 148 1 0 0 0


0 0
08 168 0 0 0


0 0
0 18 148 1 0


0 0
0 0 08 168 0


0 0































0 0 0 0 0 0 0


148
0 0 0 0 0 0 0


8 161
CCCCCCCCCA:
Putem remarca faptul c a matricea R, de si poate avea dimensiunea
Nfoarte mare, nu are mai mult de cinci elemente nenule pe o linie. De
fapt, ea este o matrice pentadiagonal a.
Termenul liber Fpoate  determinat prin calcul direct al lul L('k),
atunci c^ and acest lucru este posibil  si nu presupune o munc aprea mare.
^In general, ^ ns a, se obi snuie ste s a se foloseasc a o formul a de integrare
numeric a precum
Metoda trapezelor: Vom deosebi dou a cazuri, k= 2jsauk=
2j+ 1.
i)keste par,k= 2j
L('k) =Z1
0f(x)'k(x)dx
=Zxk
xk1f(x)'k(x)dx+Zxk+1
xkf(x)'k(x)dx=
=Zxj
xj1f(x)'j(x)dx+Zxj+1
xjf(x)'j(x)dx
h
4[f(xj1=2)'j(xj1=2) +f(xj)'j(xj)] +h
4[f(xj)'j(xj)+
+f(xj+1=2)'j(xj+1=2)] =h
2f(xj)]
.

18 CUPRINS
ii)keste impar, k= 2j1 :
L('k) =Z1
0f(x)'k(x)dx=Zxk+1
xk1f(x)'k(x)dx=
Zxj1=2
xj1f(x)'j1=2(x)dx+Zxj
xj1=2f(x)'j1=2(x)
h
2[f(xj1'j1=2+f(xj1=2)'j1=2(xj1=2)]+
+h
4[f(xj1=2)'j1=2(xk1=2) +f(xj)'j1=2(xj)] =h
2f(xj1=2)
Metoda Simpson: Vom deosebi dou a cazuri, k= 2jsauk=
2j+ 1.
i)keste par,k= 2j
L('k) =Z1
0f(x)'k(x)dx
=Zxk
xk1f(x)'k(x)dx+Zxk+1
xkf(x)'k(x)dx=
=Zxj
xj1f(x)'j(x)dx+Zxj+1
xjf(x)'j(x)dx
h
6[f(xj1)'j(xj1) + 4f(xj1=2)'j(xj1=2) +f(xj)'j(xj)]+
+h
6[f(xj)'j(xj) + 4f(xj+1=2)'j(xj+1=2) +f(xj+1)'j(xj+1)]
h
3f(xj):
ii)keste impar, k= 2j1:
L('k) =Z1
0f(x)'k(x)dx
=Zxk+1
xk1f(x)'k(x)dx=Zxj
xj1f(x)'j1=2(x)dx
h
6[f(xj1)'j1=2(xj1)+4f(xj1=2)'j1=2(xj1=2)+f(xj)'j1=2(xj)]+
=2h
3f(xj1=2):

1. ECUAT  IE CU COEFICIENT I CONSTANT  I S I CONDIT  II DIRICHLET OMOGENE 19
Prin urmare, putem lua
Fk=8
>>>>>><
>>>>>>:L('k) (exact)
sau (aproximat ie cu metoda trapezelor)
h
2f(xk)
sau (aproximat ie cu metoda Simpson)
h
3f(xk)dac akeste par
2h
3f(xk)dac akeste impar.
Cu aceasta sitemul (1.6) este complet  si se poate trece la determi-
narea solut iei lui.
4. Rezultate  si comentarii numerice.
Exemplul 1 (continuare): Rezultate^ n nodurile triangulat iei.
Consider am din nou f(x) = 162sin(4x)  si aproxim am
solut ia ecuat iei (1.1) folosind elementele nite p atratice  si re-
zolv^ and sistemul (1.6).
Vom considera toate cele trei posibilit at i de alegere a ter-
menului liber descrise mai sus.
(1)Fk= 82hsin(4xk)
(metoda trapezelor)
(2)Fk=8
><
>:162h
3dac akpar
322h
3dac akimpar
(metoda Simpson)
(3)Fk=8
>>>>>>><
>>>>>>>:1
h(6 sin(4xk) + sin(4xk+2)) + sin(4xk2)+
+1
h2(cos(4x+k+ 2)cos(4xk2));kpar
4
h(sin(4xk+2) + sin(4xk))+
+1
h2(cos(4xk)cos(4xk+2));kimpar
(calcul exact).