Contributii Privind Calculul Si Comportarea Plăcilor Stratificate la Constructiile Militare Supuse Actiunilor Dinamice
TEZĂ DE DOCTORAT
Contribuții privind calculul și comportarea plăcilor stratificate la construcțiile militare supuse acțiunilor dinamice
1.Introducere
Necesitatea realizării unor elemente stratificate utilizate pentru construcții, supuse acțiunilor dinamice, obiectul și scopul tezei
1.1. Necesitatea realizării unor elemente stratificate utilizate pentru construcții și supuse acțiunilor dinamice
Pentru unele lucrări de fortificații și de adăpostire a oamenilor sau a tehnicii de luptă, încă din timpul celui de-al doilea război mondial, s-au folosit în loc de planșee simple (monolite), planșeele compuse alcătuite din mai multe straturi. Dovedindu-se în mod practic, prin comportarea lor la acțiuni dinamice, ca o soluție rațională din punct de vedere constructiv, planșeele stratificate s-au folosit și în perioada de după război, la lucrările defensive executate în diverse țări și se folosesc și în prezent, acolo unde astfel de lucrări se mai execută.
Astăzi, lumea se confruntă cu o serie de riscuri în materie de securitate individuală și de grup. Printre acestea se înscriu atât catastrofele naturale (cutremurele de pământ), cât și unele provocate voluntar sau involuntar de om. În ceea ce privește pe cele din urmă, apreciez că ele pot fi produsul unui atentat terorist, al unui accident tehnologic sau al unor conflicte armate.
Prin urmare, este necesară adoptarea și, mai ales, punerea în practică a unui ansamblu de măsuri adecvate și coerente de protejarea populației de eventualele consecințe nedorite ale efectelor fenomenelor naturale menționate și ale actelor teroriste, ale accidentelor tehnologice și ale efectelor unei confruntări armate.
De aceea, în opinia mea, una din problemele nerezolvate, prin efectele imediate și pe termen lung privește direct protejarea populației împotriva riscurilor ce i-ar pune în pericol integritatea fizică și chiar viața. În acest context, comunitatea științifică internațională trebuie să răspundă astăzi cât mai convingător și mai eficient unor întrebări pe care opinia publică le pune tot mai des: Vor fi cutremure și conflicte armate devastatoare? Se vor înmulții atacurile teroriste?
Desigur, un răspuns cert este dificil de dat unor astfel de întrebări.
În acest scop, se impune, ca necesitate, adoptarea măsurilor adecvate pentru a limita consecințele nedorite ale riscurilor generate de fenomenele naturale sau prin acțiunea voluntară sau involuntară a omului. Pentru aceasta mai întâi, se cer deslușite mecanismele intrinseci care stau la baza fenomenelor extreme până la conturarea strategiilor de reducere a consecințelor.
Necesitatea realizării și menținerii adăposturilor pentru protecție civilă este evidentă. Toate statele civilizate au structură statală de protecție civilă în care sistemul de protecție bazat pe adăposturi este dezvoltat.
Conflictele militare din Golful Persic, în fosta Iugoslavie și îndeosebi în provincia Kosovo au scos în evidență rolul important al adăposturilor în protecția populației împotriva bombardamentelor cu mijloace de distrugere clasice folosite de atacatori. Adăposturile au asigurat nu numai protecție dar au contribuit la menținerea unei stări de siguranță și a moralului populației.
În condițiile în care în astfel de conflicte atacatorul folosește inclusiv mijloace de nimicire în masă (muniția nucleară, substanțe toxice și bactereologice de atac) protecția colectivă prin adăpostire constituie singura posibilitate de a salva viețile populației civile.
Important este că adăposturile respective să fie corect proiectate, executate și menținute în stare operativă permanent iar în situații de criză să fie exploatate corespunzător.
Construirea adăposturilor a cunoscut o amploare după încheierea celui de-al doilea război mondial și îndeosebi în anii 1950-1965. A continuat în anii următori pe măsura realizării obiectivelor industriale noi și altor centre cu multă populație pentru care se impunea asigurarea protecției prin adăpostire.
Pentru a diminua cheltuielile, s-a recurs la realizarea spațiilor de adăpostire în construcții de diverse destinații (metru, garaje subterane etc.) care, în situații de criză, pot fi folosite ca adăpost. În acest scop, investiția construcțiilor respective a fost mărită cu 5-10% pentru a acoperi suplimentul de rezistență și dotări reprezentând funcțiunile ca adăpost.
Adăposturile realizate până în anii 1965 au fost calculate pentru a prelua numai încărcări date de mijloacele clasice de distrugere (nu și muniția nucleară) iar instalațiile interioare, în cele mai dese situații, au rămas la nivelul acelor ani.
În mare parte adăposturile pentru populație au intrat în conservare.
În prezent sunt active punctele de comandă pentru protecție civilă, uzinale, de sector, municipale, județene și republicane datorită efectuarii unor exerciții de antrenament organizate și conduse de către comandamentele județene, municipale (de sector) și orășenești care au structuri reglementate prin lege.
Și în cazul punctelor de comandă se impune o dotare cu mijloace tehnice performante și totodată expertizarea și aducerea la parametri de protecție actuali a celor ce au fost proiectate și executate până în anul 1965 (când nu s-a ținut cont de efectele exploziei nucleare și îndeosebi a muniției cu neutroni).
Având în vedere riscurile menționate mai sus, la nivel național, a fost adoptată Hotărârea Guvernului nr. 560/2005 pentru aprobarea categoriilor de construcții la care este obligatorie realizarea adăposturilor de protecție civilă, precum și a celor la care se amenajează puncte de comandă.
La art. 1 din actul normativ specificat mai sus se precizează: „Se aprobă categoriile de construcții la care realizarea adăposturilor de protecție civilă este obligatorie, potrivit legii, dacă acestea au o suprafață construită, la sol, mai mare de 150 mp și sunt prevăzute cu subsol, din următoarele categorii de folosință:
a) clădiri pentru birouri și activități administrative;
b) clădiri pentru activități financiar-bancare;
c) clădiri pentru afaceri și comerț;
d) clădiri pentru învățământ, știință, cultură și artă;
e) clădiri pentru activități de ocrotire a sănătății și de asistență socială;
f) clădiri pentru activități industriale și de producție;
g) clădiri pentru activități turistice, destinate cazării;
h) clădiri și construcții speciale pentru transporturi;
i) clădiri și construcții speciale pentru telecomunicații;
j) clădiri de locuit, multietajate, cu regim de înălțime mai mare de S + P + 4 etaje”.
Deasemenea, la art. 2 se menționează categoriile de construcții la care se amenajează puncte de comandă, după cum urmează:
a) sediile autorităților administrației publice centrale;
b) sediile prefecturilor și ale consiliilor județene, precum și ale consiliilor locale ale municipiilor și orașelor, al Consiliului General al Municipiului București și ale consiliilor locale ale sectoarelor municipiului București;
c) sediile centrale ale instituțiilor financiar-bancare;
d) sediile centrale ale companiilor naționale și regiilor autonome;
e) sediile centrale ale posturilor de radio și televiziune;
f) sediile centrale ale operatorilor economici din industria de apărare.”
Din cele menționate mai sus, rezultă importanța realizării unor elemente de construcții care să reziste la acțiuni dinamice.
1.2. Obiectul și scopul tezei de doctorat
Obiectul tezei de doctorat derivă din necesitatea realizării unor elemente din materiale stratificate utilizate pentru construcții și îl constituie calculul, comportarea și utilizarea planșeelor stratificate solicitate de diverse sarcini cu acțiune dinamică.
Astfel de elemente de construcții, cu asemenea solicitări, sunt utilizate în mod curent în construcțiile militare cu caracter defensiv (cazemate, adăposturi etc.).
În funcție de importanța, de gradul de protecție pe care acestea trebuie să-l asigure și de natura construcției defensive (cazemată sau adăpost), plăcile care intră în alcătuirea acestor construcții (planșee, pereți, radiere etc.) pot fi plăci simple sau stratificate. În consecință, problemele tratate în teză se referă și ele la aceste două categorii de plăci.
Scopul tezei a constat în abordarea unor aspecte legate de:
alcătuirea, calculul și comportarea plăcilor stratificate solicitate la acțiuni dinamice provocate de loviturile directe sau de exploziile proiectilelor de artilerie sau bombelor de aviație;
stabilirea unor grosimi critice, periculoase ale straturilor care alcătuiesc plăcile stratificate;
determinarea influenței pe care o au caracteristicile materialelor din care sunt alcătuite plăcile stratificate;
Pentru îndeplinirea obiectivelor mai sus menționate, a fost necesar să se realizeze următoarele:
particularizarea, în partea teoretică a lucrării, a solicitărilor la specificul celor rezultate din explozii prin introducerea, ca solicitare dinamică specifică loviturilor directe ale proiectilelor sau bombelor și exploziilor acestora, a unor impulsuri cu legi de variație parabolică sau sinusoidală, descrescând de la centrul plăcii către margini;
efectuarea unor serii de simulări numerice privind comportarea elementelor stratificate la solicitări dinamice, pentru diferite scenarii de impact și explozie;
efectuarea unor încercări experimentale care au surprins etapele de acțiune ale exploziei în diferite scenarii (în stratul rigid, în stratul elastic, la contactul cu stratul portant).
În mod concret capitolele conținute în teză tratează comportarea plăcilor stratificate supuse acțiunilor dinamice (cu studierea principalelor aspecte legate de fenomenul de vibrație), astfel:
În capitolul I s-au tratat probleme referitoare la vibrațiile plăcii dreptunghiulare, solicitate de încărcări specifice celor provenite din șocul și explozia proiectilelor de artilerie sau bombelor de aviație. Pentru aceste încărcări s-au adoptat legi de variație exprimate matematic, similare legilor folosite în teoria exploziilor prin aplicarea unor impulsuri cu legi de variație parabolică sau sinusoidală, descrescând de la centrul plăcii către margini.
În capitolul II s-a fundamentat teoretic calculul și comportarea plăcilor stratificate la acțiunile dinamice, astfel:
s-au adoptat o serie de ipoteze referitoare la lucrul și comportarea plăcilor stratificate în ansamblul și influența fiecărui element component în parte, asupra întregului planșeu;
s-a ales o schemă de calcul care să permită extinderea și aplicarea metodelor de calcul de la placa simplă;
s-au dedus o serie de formule de calcul;
s-au aplicat aceste formule la cazurile cele mai reprezentative de planșee stratificate și s-au tras concluziile necesare.
La finalul capitolului, au fost efectuate o serie de calcule analitice, pe serii, folosind formulele (deplasarea și pulsațiea) determinate anterior. La fiecare serie s-a urmărit să se determine influența unui anumit element al planșeului stratificat în condițiile când restul parametrilor rămân cu valori constante.
În capitolul III au fost efectuate simulări numerice privind comportarea elementelor stratificate la solicitări dinamice.
Simulările numerice efectuate în acest capitol au avut ca scop determinarea comportării stratului portant din beton armat, în calitate de ultim strat dintr-o serie de trei sau mai multe straturi de protecție a unui adăpost, la acțiunea undei de șoc produsă în urma impactului dintre un proiectil/bombă și straturile de protecție sau a undei de șoc produsă în urma detonației încărcăturii de exploziv conținută în proiectil/bombă. S-a urmărit în acest fel și compararea rezultatelor obținute prin simulări numerice cu cele obținute prin calcule analitice pe modelele teoretice dezvoltate pe parcursul capitolelor anterioare și cu cele experimentale.
Pentru evidențierea influenței pe care o au diferiți parametri (grosime, material) ai diferitelor straturi asupra comportării stratului portant din beton armat ai unui adăpost, s-au stabilit scenarii de simulare pentru impact care au presupus atât variația parametrilor bombei (viteza și unghiul bombei în punctul de contact), cât și a celor care sunt legați de straturile de protecție (tipul materialului și grosimea stratului, numărul de straturi și dispunerera acestora) și pentru explozie, unde s-a urmărit în principal influența poziției bombei în raport cu stratul portant, în momentul inițierii încărcăturii de exploziv, asupra deformației maxime a acestuia (în contact cu stratul rigid, în interiorul stratului rigid, în interiorul stratului elastic și în contact cu stratul portant), în concordanță și cu calculele efectuate pe baza modelelor teoretice studiate în capitolul II.
Modelarea și simularea fenomenului referitoare la impactul bombei cu straturile de protecție ale unui adăpost și a detonației componentei de luptă a acesteia s-au efectuat folosind codul de simulare specializat AUTODYN/ANSYS. La realizarea modelului geometric s-a avut în vedere tipul de solver potrivit pentru fiecare din modele de material folosite. În cazul simulărilor privind impactul bombei asupra straturilor de protecție s-a folosit solverul Lagrange (rețeaua numerică se mișcă și se distorsionează odată cu materialul). Astfel toate straturile precum și bomba au fost modelate folosind solverul Lagrange.
În cazul simulării efectelor produse în urma detonației s-au modelat straturile și bomba ca și în cazul scenariului de impact s-a folosit solverul Euler (în această metodă rețeaua numerică este fixă în spațiu, iar materialul fizic se deplasează prin rețea) pentru modelarea aerului ca mediu de propagare a undei de șoc și a încărcăturii de exploziv.
Deoarece Autodyn 2D nu acceptă decât modele simetrice, iar modelul cu impact sub un anumit unghi nu este un model simetric, s-a considerat un impact normal dintre bombă și straturile de protecție. După modelarea geomerică a straturilor și a bombei și introducerea condițiilor inițiale și de contur, s-a rulat problema până la un timp corespunzător scenariului ales. La atingerea timpului stabilit s-a îndepărtat bomba și în locul ei, aproape în aceeași poziție a fost introdusă încărcătura de exploziv, care a fost apoi inițiată.
În finalul capitolului au fost formulate concluzii privind utilizarea, eficiența și calculul plăcilor stratificate în comparație cu cele obținute pe baza modelelor teoretice dezvoltate în capitolul II în vederea verificării în ce măsură acestea au fost confirmate.
În capitolul IV au fost efectuate cercetări experimentale.
Scopul acestui capitol a fost de a prezenta efectele pe care le poate avea detonația încărcăturii de exploziv a bombei/proiectilului asupra straturilor/elementelor de protecție a unui adăpost în funcție de poziția încărcăturii față de acestea.
Pentru a se vedea dacă schema de calcul și ipotezele admise au fost sau nu apropiate de realitate și pentru a determina în ce măsură diverșii parametrii ai plăcilor stratificate influențează asupra comportării de ansamblu a acestora la acțiuni dinamice, au fost necesare o serie de simulări pe calculator cu ajutorul programelor de calcul și efectuarea unor experimente.
Având în vedere poziția încărcăturii de exploziv față de plăcile din beton armat (în ordinea posibilă a locației: în stratul de mascare, la distanță față de placa din beton armat cu rol de strat rigid, la contactul cu aceasta sau în interiorul acesteia; în stratul elastic din nisip, la distanță față de placa din beton armat cu rol de strat portant, la contactul cu aceasta sau în în cel mai rău caz în interiorul acesteia) au fost realizate unele încercări experimentale care au surprins etapele de acțiune ale exploziei prezentate în subcapitolul anterior și care să poată fi folosite pentru calibrarea modelor de material folosite la simularea fenomenelor de impact și explozie corespunzătoare acțiunii proiectilului/bombei asupra adăposturilor.
Dată fiind multitudinea și complexitatea fenomenelor analizate precum și gradul lor de abstractizare au fost realizate o serie de studii experimentale menite să ateste veridicitatea modelelor teoretice propuse și să releve aspectele specifice distrugerii prin explozie a elementelor din beton armat.
Studiile experimentele au fost îndreptate în următoarele direcții:
studiul comportării elementelor de construcții din beton armat la acțiunea detonației încărcăturilor explozive dispuse în contact cu acestea:
mecanismul de distrugere;
caracterizarea zonei de distrugere;
studiul influenței caracteristicilor elementelor de construcții asupra modului de distrugere:
influența tipurilor și a dimensiunilor elementelor de construcții;
influența caracteristicilor betonului;
influența cantității de armătură;
studiul influenței caracteristicilor materialelor explozive asupra modului de distrugere a elementelor de construcții:
influența tipului de exploziv;
influența cantității de exploziv.
Încercările s-au desfășurat în două etape corespunzător celor trei direcții după care s-au desfășurat cercetările experimentale:
etapa a I-a – studiul comportării elementelor de construcții supuse acțiunii produse de detonația încărcăturilor de exploziv plasate în interiorul sau în contact cu acestea;
etapa a II-a – studiul acțiunii undelor de șoc rezultate în urma detonației încărcăturilor de exploziv plasate în sol, față de o structură.
În finalul capitolului au fost formulate concluzii în scopul confirmării în ce măsură acestea au fost validate în partea teoretică a capitolului.
În capitolul V au fost sistematizate concluziile reieșite din calculele analitice și din simulările efectuate cu ajutorul programelor de calcul, referitoare la comportarea planșeelor stratificate supuse acțiunilor dinamice, precum și din experimentele efectuate.
Lucrarea și-a propus să ofere elemente de natură științifică și un cadru general metodologic privind calculul, eficiența și utilizarea plăcilor stratificate supuse acțiunilor dinamice.
S-a urmărit în acest fel compararea rezultatelor obținute prin simulări numerice cu cele obținute prin calcule analitice pe modelele teoretice dezvoltate pe parcursul capitolelor anterioare și cu cele experimentale.
Noutatea temei abordată în teză a constat în faptul că, prin încercările și experimentele efectuate a rezultat că plăcile stratificate constituie soluții optime pentru acele elemente de construcții (ale lucrărilor militare) supuse acțiunii directe a șocului sau exploziei proiectilelor și bombelor.
Aceasta pentru că planșeele stratificate au un efect de amortizare mare și o capacitate portantă ridicată, asigurând în acest fel gradul de protecție necesar personalului sau tehnicii de luptă.
Din cele menționate mai sus s-au desprins următoarele direcții de acțiune, astfel:
îmbunătățirea modelelor teoretice prin luarea în considerare a fenomenului de modificare a proprietăților materialelor la viteze mari de deformație și prin introducerea unui coeficient de formă pentru proiectil/bombă, care are o influență considerabilă asupra perforării diferitelor straturi de protecție a adăposturilor pot conduce la rezultate similare cu cele rezultate din simulări;
deasemenea, ar fi necesar ca după aceste simulări efectuate cu ajutorul programelor de calcul și după efectuarea experimentelor, să urmeze o serie de încercări într-un poligon, unde pe modele mai mari, să se acționeze direct prin explozii: măsurătorile și rezultatele acestora s-ar putea considera concludente.
Teza de doctorat a fost elaborată în perioada anilor 2007 – 2014, în cadrul Academiei Tehnice Militare.
Doresc să-mi exprim respectul deosebit și întreaga recunoștință față de îndrumătorul științific, domnului colonel (r) prof. univ. dr. ing. Nicolae STOICA, pentru rigurozitatea și sprijinul permanent acordat pe întreaga perioadă a stagiului de pregătire, precum și în faza finală de elaborare și redactare a tezei de doctorat.
Aduc deosebite mulțumiri domnului general de brigadă (r), prof. univ. dr. ing. Gheorghe OPREA, pentru implicarea în procesul de elaborare a tezei precum și informațiile tehnice puse la dispoziție cu multă amabilitate.
Îmi exprim întreaga considerație și gratitudine față de membrii Comisiei, pentru disponibilitatea si amabilitatea cu care au acceptat să analizeze conținutul tezei.
Nu în ultimul rând doresc să mulțumesc domnilor col. (r) conf. univ. dr. ing. Gheorghe Olaru, lt.col.lector univ.dr.ing. Marin Lupoae, lt.col.dr.ing. Eftimie Florin și mr.dr.ing. Baciu Cătălin din aceeași catedră, pentru bogatul material pus la dispoziție, pentru sugestiile făcute pe parcursul pregătirii acestei lucrări și pentru ajutorul constant acordat, precum și pentru disponibilitatea de care au dat dovadă atunci când le-am solicitat sprijin în pregătirea lucrării de doctorat.
Capitolul I
1. Considerații privind calculul și comportarea plăcilor simple de formă dreptunghiulară supuse acțiunilor dinamice.
1.1. Probleme generale
Se vor trata unele probleme referitoare la vibrațiile plăcii dreptunghiulare, solicitate de încărcări specifice celor provenite din șocul și explozia proiectilelor de artilerie sau bombelor de aviație.
Pentru aceste încărcări s-au adoptat legi de variație exprimate matematic, similare legilor folosite în teoria exploziilor.
Tratarea diverselor probleme referitoare la plăci s-a făcut plecând de la cazul general de solicitare a plăcii, cu un impuls de formă oarecare.
În cele ce vor urma, rezolvarea efectivă a fiecărui caz în parte se va efectua, pornind de la ecuația diferențial generală de vibrație a plăcii:
În mod similar, pentru eforturi [83] se vor folosi următoarele expresii:
pentru momente:
;
și pentru forțele tăietoare:
(1.2`)
1.2 Placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur.
A. Oscilații proprii.
În funcția care reprezintă forța perturbatoare, în cazul oscilațiilor proprii ale plăcii:
, (1.3)
termenul F(x,y,t) = 0, deoarece nu există forță exterioară. Considerând deci numai forțele de inerție, ecuația diferențială (1.1) va fi de forma:
(1.4)
Rezolvarea acestei ecuații diferențiale, se efectuează prin metoda obișnuită a separării variabilelor [80]. Alegând, în acest scop, drept soluție particulară, o funcție (produs) de forma:
(1.5)
se ajunge la două ecuații independente:
; (2.6)
(2.6`)
unde ω – reprezintă frecvența circulară (pulsație) a oscilațiilor proprii ale plăcii, iar funcția W(x,y), care exprimă suprafața elastică a plăcii, va trebui să satisfacă condițiile limită corespunzătoare diverselor cazuri de rezemare.
1.2.1. Placa dreptunghiulară simplu rezemată sau rezemată articulat pe contur, secționată de impulsuri diferite [80]
Se alege sistemul de coordonate cu originea într-unul din vârfurile plăcii dreptunghiulare, axele Ox și Oy fiind duse în planul median al plăcii iar axa Oz perpendicular pe aceasta. Totodată, considerând placa de laturi a și b, latura a se va lua pe direcția axei Ox, iar latura b pe direcția Oy (fig. 1.1). Pentru a satisface pe întreg conturul condițiile de margine corespunzătoare plăcii simplu rezemate:
w(x,y,t) = 0;
(1.7)
este necesar a alege funcția W(x,y) sub forma unei serii duble:
(1.8)
aceasta substituită în (1.5), verificând condițiile (1.7).
Înlocuind funcția W(x,y) dată de (1.8) în prima ecuație din (1.6) se obține expresia:
Se înmulțesc, pe baza condițiilor de ortogonalitate ale funcțiilor trigonometrice [1], ambele părți ale acestei expresii cu , unde j și k, la fel ca și m și n sunt două numere întregi arbitrare. Efectuând apoi integrarea în limitele întregii suprafețe a plăcii, rezultă că în partea stângă a expresiei obținute mai sus, toți termenii, în afară de câte unul din fiecare tip de produs devin nuli. Rămân astfel, diferite de zero, numai acele integrale duble pentru care m=j și n=k . Scriind, m în loc de j și n în loc de k, din seria de mai sus rămâne numai expresia:
Expresia de mai sus devine nulă pentru , dar admiterea acestei posibilități echivalează cu ipoteza că deformațiile lipsesc. Rămâne atunci varianta ca factorul din parantezele mari să se anuleze adică:
rezultând astfel formula pentru frecvențele circulare ale oscilațiilor proprii ale plăcii simplu rezemată pe contur, sub forma:
(1.9)
Pulsația fundamentală (tonul fundamental) se obține pentru m=n=1:
(1.9`)
Pentru toate valorile întregi posibile ale numerelor m și n, se obține întregul spectru al frecvențelor circulare ale oscilațiilor proprii ale plăcii. Diverselor frecvențe le corespund forme diferite de suprafețe elastice (forme de oscilații):
(1.10)
Suprafața elastică se divide în m fâșii paralele axei Ox și în n fâșii paralele axei Oy. Limitele fâșiilor constituie o rețea ortogonală de drepte, unde săgețile sunt nule. Dacă această suprafața este simetrică sau antisimetrică în raport cu axa Ox, atunci numărul m va avea numai valori fără soț sau cu soț. În mod analog, cazurilor de simetrie sau antisimetrie în raport cu axa Oy le corespund valori impare, respectiv pare pentru numărul n.
Coeficienții se determină din condițiile inițiale, care, în cazul de față, sunt: la timpul t=0 săgeata este nulă iar viteza este funcție de impulsul specific aplicat pe o placă, adică:
și (1.11)
De exemplu, se va examina placa dreptunghiulară supusă acțiunii unui impuls instantaneu, a cărui intensitate raportată la unitatea de suprafață a plăcii este Presupunând că, în momentul inițial , placa se găsește în repaus, și luând pentru funcția din (1.5), expresia , în conformitate cu (1.5) și (1.8), ecuația deplasării (oscilațiilor) plăcii se scrie sub forma:
(1.12)
care satisface condițiile de margine (1.7) (pentru x=0, a și pentru y=0, b) și prima din condițiile inițiale (1.11).
Derivând (1.12) în raport cu timpul, rezultă expresia vitezei căreia punându-i a doua condiție inițială din (1.11), înmulțind-o cu și integrând, se obține:
Înlocuind valoarea coeficientului în expresia (1.12) rezultă expresia finală a deplasării w provocată de impulsul instantaneu p(x,y) sub forma:
(1.14)
unde .
1.2.1.a. Impuls uniform distribuit pe întreaga suprafață a plăcii [80] [86]
Din cele menționate mai înainte, deoarece în acest caz, încărcarea este simetrică față de cele două axe de simetrie ale plăcii, numerele m și n vor fi impare.
Notând prin p intensitatea impulsului pe unitatea de suprafață a plăcii și revenind la calculul coeficientului , atunci integrala de la numărătorul expresiei acestuia (1.13) are valoarea:
Astfel, coeficientul va fi egal cu:
În această expresie dacă se înlocuiește pulsația cu valoarea sa dată de (1.9) se obține:
Înlocund ultima valoare a coeficientului în expresia (1.12) a oscilațiilor libere ale plăcii, se obține relația:
(1.15)
în care sumele se referă la termenii cu m=1,3,5… și n=1,3,5… adică cu valori impare.
Folosindu-se relațiile (1.2), pentru a determina expresiile momentelor încovoietoare și de torsiune în funcție de săgeată, este necesar a determina în prealabil derivatele și a le înlocui în aceste relații.
După efectuarea calculelor rezultă:
;
; (1.16)
.
Determinarea momentelor după aceste expresii se face cu mare dificultate din cauza convergenței lente a seriilor.
Rezultate suficient de satisfăcătoare se obțin dacă în calcul se iau în considerare numai câțiva din primii termeni. Aceasta se explică prin aceea că, la deducerea ecuației diferențiale și a soluției acesteia nu s-a ținut seama de fenomenul de amortizare a oscilațiilor libere, problemă de o esențială importanță.
Astfel, s-a constatat că oscilațiile care se produc cu frecvențe superioare, se amortizează considerabil mai repede decât cele de frecvență joasă. Practic, în timpul în care săgeata care corespunde formei fundamentale de oscilație ajunge la valoarea maximă (pentru ), majoritatea oscilațiilor cu pulsație superioară se amortizează.
Atunci când, în cazul problemei tratate ne limităm numai la primul termen al seriei, săgeata va avea expresia:
(1.17)
iar momentele încovoietoare și de răsucire:
;
; (1.18)
.
Săgeata maximă va fi la mijlocul plăcii , pentru timpul și va avea valoarea:
(1.17’)
(1.18’)
.
Momentul de răsucire este nul la mijlocul plăcii și maxim pe contur (x=0, a; y= 0, b), pentru același timp , și are expresia:
(2.18”)
În aceste formule s-a notat prin H=pab – impulsul total pe placă, iar rigiditatea D a plăcii s-a înlocuit cu valoarea .
Comparând relațiile (1.17) și (1.18) între ele, se constată că momentele încovoietoare și de răsucire se pot exprima în funcție de săgeata w astfel:
;
; (1.19)
,
unde factorii de multiplicare au valorile:
;; (1.20)
În mod similar, se pot exprima valorile maxime ale momentelor încovoietoare și de răsucire în funcție de valoarea maximă a săgeții. Acest lucru rezultă din compararea relațiilor (1.18`) și (1.18”) cu (1.17`). Cu aceleași notații ale factorilor de multiplicare, vom avea:
; ; (1.19`)
unde valorile factorilor de multiplicare sunt date tot de relațiile (1.19) și (1.20).
1.2.1.b. Impuls care descrește de la centrul plăcii către margini după o lege parabolică [52]
Se consideră o placă dreptunghiulară solicitată de un impuls ce are o lege de distribuție parabolică, descrescând de la centrul plăcii către margini. În acest caz impulsul (încărcarea) admite două plane de simetrie (fig. 1.2) și pentru a folosi simplificările ce decurg din aceasta, este necesar a muta originea axelor de coordonate de la unul din vârfurile plăcii în centru acesteia, axele, ca și mai înainte, fiind dirijate paralel laturilor a și b.
Pentru a obține formule cât mai simple, se notează și .
Fig. 1.2
Pentru noul sistem de coordonate adoptat, suprafața elastică a plăcii (1.10) este reprezentată prin funcția:
(1.21)
care satisface condițiile de contur (1.7) pentru
Păstrând pentru funcția T(t) aceeași expresie și înlocuind în (1.5) rezultă:
, (1.22)
care este expresia oscilațiilor plăcii în cazul solicitării de către impulsul cu legea de variație parabolică, numerele m și n fiind tot numere impare.
Pentru legea de distribuție a impulsului, se alege o expresie de forma:
, (1.23)
unde:
po – intensitatea impulsului în centrul plăcii;
, β – numere pozitive date ().
Intensitatea maximă a impulsului se obține în centrul plăcii (egală cu p0) iar de la aceasta are loc o descreștere după direcțiile (către laturile conturului), ajungând ca pe acestea intensitatea impulsului pe unitatea de suprafață să fie:
.
La mijlocul laturilor, intensitatea impulsului are valorile:
și
iar la colțurile conturului:
Pentru = β = 1, impulsul are pe conturul plăcii intensitatea egală cu 0, iar pentru = β = ∞, intensitatea impulsului devine constantă pe întreaga suprafață a plăcii.
În acest mod, expresia (1.23) reprezintă o lege generală de descreștere a încărcării de la centrul plăcii către marginile sale.
Dacă se presupune că intensitățile impulsului la mijlocul laturilor conturului sunt cunoscute, și anume:
; ;
atunci mărimile și β se pot exprima cu relațiile:
;
Mărimea totală a impulsului se obține integrând în limitele conturului plăcii, expresia (1.23) și rezultă:
,
sau
(1.24)
Valorile maxime ale săgeții și momentelor, se determină în acest caz, revenind la formula (1.13) pentru a calcula coeficientul . În această formulă se ține seama, pe de o parte de noua expresie a suprafeței elastice (1.21) și de faptul că laturile plăcii sunt și .
Cu aceste observații, expresia (1.13) ia forma:
(1.25)
Pentru calculul primului termen al seriei, e necesar a determina numai valoarea coeficientului , deci:
Dacă luăm în considerare relația (2.22), săgeata maximă va fi tot la mijlocul plăcii, (pentru x = y = 0), pentru timpul și va avea valoarea:
Înlocund în această ultimă relație, valoarea frecvenței circulare dată de formula (1.19`), rezultă:
.
Ținând cont de expresia impulsului total (1.24), atunci săgeata maximă se exprimă sub forma:
(1.26)
Rezultă că pentru , (pentru un impuls de intensitate constantă pe întreaga suprafață a plăcii), această expresie coincide cu expresia (1.17’) din cazul anterior.
Valorile maxime ale momentelor încovoietoare și de răsucire se vor determina folosind relațiile (1.19’) în care acestea se exprimă în funcție de săgeata maximă . Pentru aceasta este necesar, în prealabil, să se determine factorii de multiplicare , și corespunzători noului sistem de coordonate.
Cu notațiile și vom avea:
;; (1.27)
Pe baza acestor considerente rezultă:
;
, (1.28)
.
Substituind în aceste formule , adică reducând impulsul la un impuls uniform distribuit pe întreaga suprafață a plăcii, se găsesc forumule (1.18’) și (1.18”) ale momentelor corespunzătoare de la cazul anterior.
1.2.1.c. Impuls care descrește de la centrul plăcii către margini după o lege sinusoidală [80] [86]
S-a demonstrat anterior că placa oscilând cu diverse pulsații , are, corespunzător pentru fiecare din acestea, o formă de suprafață elastică (1.11), sau, cum se mai numește, o formă a oscilațiilor proprii.
Dacă se ia pentru distribuția impulsului ce acționează pe suprafața plăcii, o lege apropiată de una din aceste forme ale oscilațiilor proprii ale plăcii, atunci seria care alcătuiește ecuația oscilațiilor plăcii (1.12) se încheie, din punct de vedere matematic, mult mai repede, adică este rapid convergentă.
Cea mai rapidă convergență se obține [50] în condițiile când funcția p(x,y) care reprezintă legea de distribuție a impulsului pe placă, exprimă din punct de vedere analitic, o suprafață bombată cu ordonata maximă în centrul plăcii și cu ordonate nule pe contur. În cazul coincidenței funcției p(x,y) cu una din formele oscilațiilor proprii ale grinzii, atunci seria (1.12) se reduce la un singur membru și placa oscilează ca un sistem cu un singur grad de libertate.
În baza acestor considerente, pentru distribuția impulsului pe placă alegem funcția:
(1.29)
unde care este intensitatea maximă a impulsului în centrul plăcii (pentru și ).
Pe contur (x = 0; a și y = 0; b) impulsul are intensitatea nulă. Expresia (1.29) se referă la sistemul inițial de coordonate.
Funcția care exprimă impulsul a fost aleasă ca să coincidă cu funcția care reprezintă suprafața elastică a plăcii (1.10), în cazul când m = n = 1 și .
Impulsul total pe placă, obținut prin integrarea în limitele plăcii a impulsului distribuit după legea (1.29), este:
(1.30)
Se determină acum numai coeficientul ai seriei duble (1.12) și aceasta se poate face direct, folosind relația (1.13). Substituind în aceasta p(x,y) prin (1.29) și făcând m = n = 1, rezultă:
(1.31)
Înlocuind acum pulsația prin valoarea sa dată de (1.9’) și luând totodată în considerare și expresia impulsului total (1.30) se obține:
(1.31’)
Pentru alte valori ale numerelor m și n, ceilalți coeficienți sunt nuli.
Expresia oscilațiilor proprii ale plăcii, corespunzătoare pulsației fundamentale , conform (1.12) și (1.31’) va fi:
(1.32)
Calculând derivatele de ordinul II ale funcție w(x,y,t), în raport cu variabilele x și y, și înlocuindu-le în expresiile (1.2) ale eforturilor, rezultă expresiile momentelor încovoietoare și de torsiune:
Folosind factorii de multiplicare , și , expresiile momentelor pot fi scrise în funcție de săgeată:
;; ,
coeficienții , și având aceleași expresii (1.20).
Valorile maxime ale săgeții și momentelor se obțin la mijlocul plăcii, pentru :
(1.34)
și
(1.35)
.
Aceste formule diferă foarte puțin de cele deduse anterior (1.26) și (1.28), pentru , în cazul săgeții se obține coeficientul 0,865 în loc de 0,845, iar în cazul momentelor, coeficientul 0,715 în loc de 0,695, deci o diferență de 2,3% și respectiv 2,8%.
B. Oscilațiile armonice forțate ale plăcii dreptunghiulare simplu rezemate.
1.2.2. Metoda generală.
Oscilațiile armonice forțate se produc atunci când asupra sistemului elastic acționează forțe exterioare perturbatoare cu variație periodică.
Problemele de acest gen se examinează plecând de la ecuația diferențială (1.1), deosebirea față de subcapitolul anterior constând în faptul că forțele perturbatoare au o pulsație a lor , diferită în general de pulsația proprie a sistemului elastic oscilant.
Fie o placă de formă dreptunghiulară, aflată în stare de oscilații armonice forțate sub acțiunea sarcinii perturbatoare .
Potrivit (1.1), ecuația diferențială ce urmează a fi rezolvată are forma:
(1.36)
unde include atât forțele de inerție cât și sarcinile exterioare perturbatoare, adică:
(1.37)
Notând: = și scriind simbolic operatorul Laplace, ecuația (1.36) se poate scrie:
(1.38)
Luând pentru deplasări expresia:
(1.39)
ecuația diferențială (1.23’) se reduce la forma:
; (1.40)
Admițând că atât sarcina q(x,y), cât și amplitudinile săgeților W(x,y), se pot exprima prin serii, după funcția oscilațiilor proprii, adică prin seria de funcție care să satisfacă ecuația:
(1.41)
cu aceleași condiții limită ca și ecuația (1.38), vom putea scrie:
; (1.42)
.
unde, folosind proprietatea de ortogonabilitate a funcțiilor proprii și admițând că aceste funcții sunt normate (adică satisfac ecuația (1.40)), expresiile pentru și pot fi de forma:
; (1.43)
Înmulțim ambele părți ale ecuației (1.40) cu și integrând pe întreaga suprafață a plăcii, se obține:
(1.44)
Efectuând integrarea prin părți și ținând seama de funcțiile (1.41) și (1.43) și, totodată, de condițiile la limită, se obține relația:
,
de unde rezultă:
Folosind prima serie din grupul (1.42) și a doua integrală din grupul (1.43) și ținând, seama și de ultima relație, rezultă expresia suprafeței elastice:
, (1.45)
unde:
; .
Ținând cont de expresia (2.39) se obține pentru deplasări, ecuația:
. (1.46)
Din ecuația (1.46), pentru , se obține soluția pentru solicitarea statică. Dacă , adică fecvența circulară a variației forței perturbatoare tinde către frecvența circulară a oscilațiilor proprii ale plăcii, atunci numitorul fracției (1.46) tinde către zero și săgețile w(x,y,t) vor crește nelimitat, ceea ce înseamnă apariția fenomenului de rezonanță.
În continuare, se va examina cazul particular când pe unitatea de placă acționează o forță concentrată care are o variație armonică în timp, si care acționează în punctul de coordonate și .
Atunci vom avea:
;
În acest caz:
și înlocuind în expresia (1.45), rezultă:
. (1.47)
Ecuația (1.45) se exprimă și sub forma:
(1.45’)
Dacă placa este simplu rezemată pe întregul contur, atunci suprafața elastică se poate lua sub forma:
,
unde
; ;
În acest caz, având în vedere relația (1.47), rezultă:
(1.48)
Pentru o sarcină q= constant pe întreaga suprafață a plăcii, ținâna cont și de relația (2.45’) se obține:
(1.49)
Dacă , atunci:
(1.50)
ceea ce concordă cu soluția obținută la studiul plăcilor la acțiunea statică a sarcinii q.
1.3. Placa dreptunghiulară cu alte condiții de rezemare decât placa simplu rezemată. [52]
A. Oscilații proprii
1.3.1. Descrierea metodelor de calcul
Pentru plăcile dreptunghiulare care au alte condiții de rezemare decât placa simplu rezemată pe contur (de exemplu, placa dreptunghiulară simplu rezemată pe contur și cu puncte izolate de sprijin în limitele suprafeței sale, sau placa dreptunghiulară cu una sau mai multe laturi încastrate), studiul oscilațiilor se poate face dacă se folosesc unele relații de calcul de la oscilațiile forțate.
Metoda constă în a aplica în punctele sau după dreptele de sprijin, forțe sau momente periodice, și determinând, după procedeul expus la subcapitolul oscilațiilor forțate, anumiți parametrii de calcul (deplasări, rotiri, etc.), apoi să se impună expresiilor acestor parametrii satisfacerea condițiilor de frontieră corespunzătoare.
Astfel, exemplificăm folosirea metodei în cazul simplu al grinzilor.
Fie o grindă oarecare, în a cărei secțiune este aplicată o sarcină concentrată periodică , săgeata în secțiunea curentă x este dată de relația:
(a)
unde și sunt funcțiile proprii ale grinzii, care trebuie să îndeplinească condițiile la limită, corespunzător modului de rezemare la capete. Pentru grinda simplă rezemată:
Dacă în secțiunea există un reazem intermediar (fig. a), atunci în acest punct săgeata trebuie să fie nulă, condiție care conform (a) duce la expresia:
(b)
Din această expresie se determină valorile succesive ale frecvenței circulare a oscilațiilor proprii pentru grinda cu două deschideri.
În mod analog, pentru grinda simplu rezemată solicitată de un moment în secțiunea x = 0 (fig.b), săgeata în secțiunea curentă x este dată de relația:
= 0
din care se determină valorile succesive ale frecvenței circulare a oscilațiilor proprii pentru grinda încastrată la un capăt și liber rezemată la celălalt.
Din cele de mai sus, rezultă că pentru determinarea pulsației oscilațiilor proprii ale grinzii drepte cu alte condiții de rezemare decât grinda simplu rezemată, se poate folosi următoarea metodă de calcul: în punctul unde există o legătură în plus față de cele ale grinzii simplu rezemate, se aplică o sarcină (forță, moment, etc.) cu variație periodică, care, pe grinda simplu rezemată, ar provoca oscilații (deplasări, eforturi, etc.) și punând condiția ca expresiile acestora să satisfacă modul real de rezemare, rezultă, valorile corespunzătoare ale pulsației oscilațiilor proprii pentru grinda studiată. Menționăm că acest procedeu este folosit în lucrarea [31]. Semnificația fizică constă în următoarele: sarcina aplicată nu reprezintă altceva decât reacțiunea din legătura corespunzătoare, reacțiune care are o variație periodică, cu pulsația egală cu cea a oscilațiilor proprii ale grinzii cu legături în plus față de numărul minim necesar pentru fixare.
Acest procedeu se va extinde la placa simplu rezemată și cu anumite puncte de fixare pe suprafața sa, iar apoi se vor studia oscilațiile libere ale plăcii dreptunghiulare încastrate pe contur.
1.3.2. Oscilațiile proprii ale plăcii dreptunghiulare simplu rezemate pe contur și în anumite puncte din limita suprafeței sale
Se consideră o placă dreptunghiulară (figura 1.3) simplu rezemată pe contur, solicitată de o sarcină de compresiune q – uniform distribuită după laturile plăcii paralele axei X(x=0,x=a). Concomitent, placa mai este acționată de o forță concentrată , aplicată în punctul , (unde se găsește un punct de rezemare izolat).
Rezolvarea acestei probleme se face așa cum s-a specificat la începutul acestui capitol, adică considerându-se că sarcinile aplicate normal pe placă, sunt sarcini perturbatoare cu variație periodică, având aceiași frecvență circulară ca și frecvența circulară a oscilațiilor proprii ale plăcii.
Ulterior, această frecvență se determină din anumite condiții limită impuse ecuației
de mișcare.
În cazul de față este mai comod a împărți placa prin dreaptă în două domenii I și II.
Eliminând secțiunea , pentru fiecare domeniu, ecuația de oscilație a plăcii va fi:
(1.51)
care diferă de ecuația diferențială obișnuită prin cel de-al doilea termen datorat sarcinii q.
În partea dreaptă, termenul corespunzător sarcinii normale pe placă este nul deoarece, prin împărțirea plăcii în cele două domenii, dreapta (secțiunea) nu face parte din nici unul din domenii.
Admițând că soluția ecuației diferențiale (1.51) este de forma
(1.52)
atunci, introducând expresia (1.52) în ecuația (1.51) se obține:
(1.53)
unde
și
Pentru fiecare din cele două domenii I și II, soluția ecuației diferențiale (1.53) o căutăm sub forma:
; (1.54)
;
Se constată că ambele ecuații (1.54) satisfac condițiile limită pe marginile plăcii (x=0; a), adică avem:
și , pentru J=I,II. (x=0; a). (a)
Pentru funcțiile Ynj se aleg expresiile:
;
(1.55)
unde
; ;
; (1.56)
De asemenea, și funcțiile date de expresiile (1.55) satisfac condițiile la limită pe celelalte două laturi ale plăcii (y=0 și y1=0), adică avem:
și , pentru J=I,II, (y=0, y1=0). (b)
Din condițiile (a) și (b), rezultă că și expresia deplasărilor (1.52) satisface condițiile la limită pentru marginile plăcii:
și , pentru J=I,II și x=0,a; y=0; y1=0,
după cum, în aceeași măsură este satisfăcută și ecuația diferențială (1.54) și (1.55).
Constantele se vor determina din cele patru condiții la limită care se pot scrie pentru secțiunea de mijloc a plăcii .
Din acestea, primele două, care trebuie îndeplinite simultan, se referă la săgeți și unghiuri de rotație:
(1.57)
iar celelalte două la aspecte de natură statică.
Prima condiție limită din acest ultim grup stabilește echilibrul momentelor încovoietoare , iar a doua se referă la echilibrul forțelor tăietoare care acționează la dreapta și la stânga secțiunii și concomitent al sarcinii exterioare din această secțiune.
Expresiile ultimelor două condiții, vor fi:
(1.58)
În ultima expresie din grupul (1.58) sarcina repartizată liniar provine din sarcina concentrată considerată anterior, iar intensitatea acesteia este exprimată cu ajutorul unei serii Faurier, sub forma:
(1.59)
Impunând soluțiilor (1.54) satisfacerea condițiilor limită (1.57) și (1.58) și ținând seama de expresiile (1.55), (1.56) și (1.59), rezultă valorile coeficienților sub forma relațiilor:
;
; (1.60)
;
Înlocuind expresiile acestor constante în ecuațiile (1.55) se obțin expresiile săgeților de deformare ale suprafeței mediane a plăcii în cele două domenii I și II.
Săgeata plăcii în punctul , unde se aplică sarcina perturbatoare care provoacă oscilații armonice, se exprimă în funcție de relațiile anterioare astfel:
(1.61)
Deoarece sarcina P aplicată în punctul , este considerată imaginar drept o sarcină perturbatoare, se alege pulsația a oscilațiilor proprii (ale sistemului placă-sarcină), în așa fel încât punctul , independent de timpul t, săgeata să fie nulă, așa cum s-a considerat în relația (1.57).
Din egalarea cu zero a expresiei (1.61), rezultă:
(1.62)
În parametrii și din această expresie este conținută, conform relațiilor (1.56), valoarea pulsației care îndeplinește condiția
Valorile consecutive ale pulsației , determinate din ecuația (1.62), vor fi valorile pulsației oscilațiilor proprii ale plăcii, simplu rezemate pe contur și cu un reazem punctiform (concentrat) în punctul unde se consideră aplicată forța concentrată P.
Exemplificăm astfel cu un caz mai simplu, și anume placa pătrată, cu punctul de rezemare la mijloc . În acest caz, ecuația (1.62) se exprimă, ținând seama de relația (1.56), astfel:
(1.63)
unde
; (1.64)
Ecuația (1.60) se referă la formele simetrice de oscilații.
Pentru șirul valorilor succesive și prin urmare, conform (1.64), pentru creșteri ale sarcinii de compresiune, au fost determinate valorile corespunzătoare ale parametrului , din condiția de a fi satisfăcută ecuația (1.63). În tabela 1.1 se dau comparativ primele patru valori pentru și .
Tabela 1.1
În funcție de valorile , din relația (1.64) se pot determina valorile corespunzătoare ale pulsației oscilațiilor proprii, cu formula:
(1.65)
Analizând relațiile (1.65) și (1.64) și tabela 1.1, se constată, că la creșterea sarcinii de compresiune q, pulsația oscilațiilor proprii ale plăcii scade.
Pentru sarcini q de întindere, parametrul crește odată cu și deci și pulsația oscilațiilor proprii crește.
Din ecuația generală (1.62) se pot deduce și alte situații.
Astfel, în cazul în când pulsația oscilațiilor proprii tinde către zero, se ajunge la pierderea stabilității plăcii.
Din relațiile (1.56) dacă , rezultă deci:
;
; (1.66)
Sarcina critică qcr, care provoacă pierderea stabilității plăcii se determină din relația (1.64):
(1.67)
unde este cea mai mică valoare a rădăcinilor ecuației următoare:
(1.68)
Un alt caz se obține dacă sarcina q=0 (). În această situație avem oscilații ale unei plăci dreptunghiulare, cu un reazem punctiform la mijloc, caz studiat anterior. Deosebirea constă în faptul că acum avem un reazem rigid și deci k=0, (k-fiind coeficientul de rigiditate).
În cazul de față, făcând în ecuația (1.63) se găsește ecuația caracteristică pulsațiilor ale oscilațiilor proprii ale plăcii sus menționate, sub forma:
(1.69)
Pentru diverse rapoarte între laturi, , se dau valorile parametrului , în funcție de care se pot determina prin relația (1.69), valorile corespunzătoare ale pulsațiilor oscilațiilor proprii.
Tabela 1.2
La deducerea valorilor s-a luat . Dacă această condiție nu este îndeplinită pentru toți termenii seriei (1.69), atunci în loc de se va lua .
Dacă reazemul punctiform nu se găsește la mijlocul plăcii ci undeva pe dreapta , atunci valorile sunt influențate de pozițiile acestui reazem, așa cum rezultă din tabela 1.3, unde poziția reazemului este dată prin parametrul
Tabela 1.3
1.3.3. Placa dreptunghiulară, încastrată pe contur, încărcată în planul său cu forțe dispuse pe întregul perimetru [86]
Se va examina problema oscilațiilor proprii ale unei plăci dreptunghiulare, în prezența unor sarcini constante de compresiune sau întindere ce vor acționa în planul median al plăcii.
Inițial, se consideră placa dreptunghiulară simplu rezemată pe margini, sub acțiunea sarcinilor de compresiune și în planul plăcii (fig. 1.4) și a sarcinii cu variație armonică în timp, care acționează perpendicular pe planul plăcii, de-a lungul dreptei . Fig. 1.4
Ecuația diferențială a oscilațiilor transversale ale plăcii, conform expresiilor (1.1) și (1.51), va avea următoarea formă:
(1.70)
Soluția generală a acestei ecuații se va putea scrie sub forma unei serii duble:
, (1.71)
unde
; , (1.72)
și:
(1.72’)
Dacă se diferențiază ecuația (1.71) în raport cu , atunci se poate folosi pentru cazul încărcării plăcii cu un moment înconvoietor, , uniform distribuit în lungul dreptei x=. După diferențiere rezultă:
(1.73)
unde este coeficient al seriei trigonometrice care determină amplitudinea momentului M(y):
M(y)= (2.74)
În lungul dreptei x=.
Pentru , placa va fi încărcată cu momentul M(y) de-a lungul dreptei y (latura x=0), iar pentru , același moment va acționa pe latura opusă (x=a) a plăcii.
Dacă se consideră placa încărcată în lungul dreptei y=η, procedând ca și mai sus, pentru η=0 placa va fi acționată de momentul M(x) în lungul axei x (latura y=0), iar pentru η=b acest moment va acționa pe latura opusă (y=b) a plăcii.
Folosind această metodă de rezolvare, pentru cazul când momentele încovoietoare sunt aplicate pe întregul contur al plăcii (M(y) pe laturile x=0, a și M(x) pe laturile y=0, b) cu coeficienții Am, Bn, Cm și Dn corespunzători seriilor Faurier, se obține următoarea ecuație pentru oscilațiile proprii ale plăcii examinate:
(2.75)
unde = a/b .
Impunând ecuației (1.75) satisfacerea condițiilor de încastrare perfectă a plăcii pe margini (referitoare la unghiul de rotire):
(2.76)
se obține un sistem de patru ecuații omogene din care se pot determina coeficienții Am, Bn, Cm și Dn.
În cazul simetriei, sistemul se reduce la două ecuații, funcție de formele de oscilație.
Astfel, pentru formele de oscilație simetrice, în raport cu cele două axe de simetrie ale plăcii, realizate pentru încărcări simetrice și condiții de margine simetrice, vom avea:
Am=Cm; Bn=Dn; (m,n=1,3,5,…) (1.77)
Pentru formele de oscilație simetrice, în raport cu axa x=a/2 și antisimetrice în raport cu axa y=b/2, realizate pentru condiții de margine și de încărcare analoage, avem:
Am=Cm; Bn= – Dn; (m=1,3,5,…; n=2,4,6,…) (1.78)
Invers, dacă oscilațiile și corespunzător, condițiile de margine și de încărcare sunt antisimetrice în raport cu axa și simetrice în raport cu axa , atunci:
; , (m=2,4,6,…; n=1,3,5..) (1.79)
În final, pentru formele de oscilații și pentru condițiile de margine și de încărcare antisimetrice în raport cu ambele axe de simetrie ale plăcii, vom avea:
; , (m,n=2,4,6,..) (1.80)
În cele ce urmează, se vor examina numai formele simetrice de oscilații proprii, în raport cu ambele axe de simetrie ale plăcii.
Impunând ecuației (1.75) satisfacerea condițiilor de margine:
; =0,
se obține sistemul de două ecuații:
(1.81)
Eliminând din aceste două ecuații coeficientul Bn rezultă sistemul:
(1.82)
unde
(1.83)
și de asemenea:
(1.83’)
Dacă se anulează determinantul alcătuit din coeficienții sistemului de ecuații (1.82), se obține un număr nelimitat de rădăcini din care se pot determina pulsațiile oscilațiilor proprii ale plăcii. Pentru rădăcina cu valoare minimă corespunde frecvența circulară fundamentală a oscilațiilor proprii.
Pentru placa pătrată (a=b, ) și pentru qx = qy = q, se obține o simplificare a sistemului de ecuații. În acest caz, mărimea Gmi dată de expresia (1.83) se reduce la forma:
(1.84)
Introducând notațiile:
s =; (1.85)
și ținând seama de relațiile (1.72), (1.72’) și (1.83’), rezultă:
(1.86)
Suma conținută de formula (1.86) se poate prezenta separat sub următoarea formă:
(1.87)
Calculând numai primii patru membrii ai acestei sume și, corespunzător, primii patru membrii ai expresiei (1.82) și anulând determinantul de ordinul patru obținut, rezultă valorile indicate în tabelul 1.4.
Tabelul 1.4
Având valorile , folosind a doua relație din grupul (1.85), se pot determina frecvențele circulare ale oscilațiilor proprii ale plăcii pătrate, cu condițiile de margine și încărcare menționate mai sus, cu formula:
(1.88)
Din tabelul 1.4 și relațiile (1.85), (1.88) se constată că pentru o creștere a forțelor de compresiune frecvența circulară a oscilațiilor proprii scade. La creșterea forțelor de întindere, frecvența oscilațiilor crește și ea.
Dacă în ecuația (1.82) se înlocuiește =0, anulând determinantul sistemului de ecuații astfel obținut, se obțin valorile critice ale sarcinilor care duc la pierderea stabilității plăcii.
Trebuie menționat faptul că metoda expusă, și concret relațiile (1.78)-(1.80) pot fi folosite și pentru determinarea oscilațiilor proprii ale plăcii dreptunghiulare cu alte condiții de rezemare.
Spre exemplu, pentru placa dreptunghiulară încastrată pe una din laturi (x=0) și simplu rezemată pe celelalte trei, având în vedere că:
Cm=Bn=Dn=0,
ecuația condițiilor la limită (1.81), devine
(1.89)
sau, scrisă dezvoltat, sub forma lui (1.86):
(1.90)
unde
; ; (1.91)
Pentru diverse sarcini și caracteristici ale plăcii, date, rezultă mărimile sx și sy și deci, din ecuația (1.90) se pot determina, prin selectare, valorile succesive , iar apoi, folosind ultima relație din grupul (1.91), respectiv formula (1.88) se calculează valorile corespunzătoare frecvențelor circulare
1.4.Concluzii generale privind calculul plăcilor simple dreptunghiulare supuse la acțiuni dinamice
Din cele tratate în acest capitol, rezultă că fenomenul oscilațiilor proprii și forțate ale plăcilor dreptunghiulare, este un fenomen complex care depinde de mai mulți factori.
În cazul oscilațiilor proprii, pentru explicarea influenței diferiților factori asupra principalilor parametrii care caracterizează aceste oscilații (frecvență circulară, perioadă, eforturi etc.), este suficient a examina formulele obținute pentru cazul particular al plăcii dreptunghiulare simplu rezemate pe contur, acționată de un impuls uniform distribuit. Acesta, deoarece așa după cum s-a putut constata, pentru alte serii de probleme, structura formulelor se menține fără modificări esențiale.
Principalele concluzii ce s-au desprins din analiza formulelor amintite (în comparație, unele din ele, cu cazul de acțiune statică a sarcinii) sunt următoarele:
– Referitor la dimensiunile geometrice ale plăcii, pentru o placă dată, frecvența circulară a oscilațiilor proprii, este invers proporțională cu pătratul dimensiunilor plane și direct proporțională cu grosimea plăcii. Cât privește proprietățile materialului, frecvența circulară este direct proporțională cu rădăcina pătrată din modulul de elasticitate și invers proporțională cu rădăcina pătrată din densitatea materialului și cu coeficientul lui Poisson.
– Dacă toate dimensiunile plăcii, inclusiv grosimea, cresc în aceeași proporție, perioada de oscilație crește cu dimensiunile liniare.
– Săgeata maximă a plăcii Wmax, pentru primul mod de vibrație, variază direct proporțional cu pătratul dimensiunilor plane și invers proporțional cu pătratul grosimii plăcii. Totodată săgeata plăcii depinde direct proporțional de mărimea impulsului și coeficientul lui Poisson, și invers proporțional cu rădăcina pătrată din modulul de elasticitate și densitatea materialului.
– Menținând constante înălțimea h și intensitatea impulsului, dacă se înmulțesc lungimile laturilor a și b ale plăcii dreptunghiulare, cu unul și același număr arbitrar n, atunci săgeata se înmulțește cu n2, în timp ce pentru acțiunea statică a sarcinii uniform distribuite, ea se înmulțește cu n4. Constatăm deci, că la acțiunea impulsului, mărirea deschiderii plăcii atrage după sine o creștere mult mai mică a săgeții, decât la acțiunea statică a sarcinii .
– Pentru una și aceiași intensitate a impulsului p și unul și același contur al plăcii, săgețile sunt invers proporționale cu mărimea . Pentru acțiunea statică, ele sunt invers proporționale cu mărimea Eh3. Prin urmare, o importantă modificare a rigidității statice a plăcii, atrage după sine o relativ mai mică modificare a rigidității sale dinamice.
– Pentru alte condiții similare, săgeata plăcii este invers proporțională cu mărimea . Rezultă că sporirea masei plăcii, sau așezarea pe ea a diverse sarcini, în aceleași condiții egale, scade săgeata provocată de impuls.
– Momentele încovoietoare nu sunt influențate în mare măsură de dimensiunile plane a și b, ale plăcii, deoarece ele depind de raportul sau . De grosimea h a plăcii, ele depind direct proporțional. Totodată, momentele încovoietoare variază direct proporțional cu intensitatea impulsului p, cu rădăcina pătrată a modului de elasticitate E și invers proporțional cu rădăcina pătrată a densității.
– Momentele încovoietoare rămân nemodificate, când pentru una și aceiași intensitate a impulsului p și pentru o grosime constantă h, laturile a și b ale plăcii, se modifică de un același număr de ori, adică, când conturul plăcii se modifică, păstrându-se asemănarea geometrică. De aici se trage concluzia că, spre deosebire de cazul încărcării statice, sporirea dimensiunilor liniare ale conturului plăcii, poate să nu provoace creșterea valorii momentelor încovoietoare. Rezultă că, în acele cazuri când sarcina statică nu este prea mare, încărcarea de bază constituind-o impulsul distribuit, nu este justificată evitarea deschiderilor mari.
– Creșterea înălțimii h și a modulului de elasticitate E, ducând la sporirea rigidității statice a plăcii, sporește în același timp și momentele încovoietoare care sunt proporționale cu mărimea . Mărimea valorii numerice a densității specifice , micșorează momentele încovoietoare.
– Eforturile unitare au, în general, aceeași lege de variație ca a momentelor încovoietoare. Astfel, pentru o intensitate dată a impulsului distribuit, mărirea proporțională a laturilor conturului nu influențează asupra eforturilor unitare normale. Totodată, eforturile unitare sunt invers proporționale cu înălțimea h a plăcii, invers proporțională cu mărimea , și direct proporționale cu .
Capitolul II
2. Considerații privind calculul și comportarea plăcilor plane stratificate supuse la acțiuni dinamice
2.1. Introducere [78] [79]
Lucrările de fortificații, în comparație cu celelalte construcții, din punct de vedere al calcului structurii de rezistență, prezintă o particularitate deosebită și anume aceea că, încărcările de bază care le solicită sunt încărcări dinamice rezultate din acțiunea asupra lor a mijloacelor de distrugere. Ca urmare, încărcarea de bază va fi acțiunea dinamică sub forma șocului rezultat prin lovirea acestora cu proiectile, bombe și rachete sau sub formă de impuls distribuit pe întreaga suprafață a lucrării dat de unda de șoc a exploziei acestor mijloace.
Elementele structurii de rezistență se comportă la acțiunile dinamice ca niște sisteme oscilante ale căror parametri de vibrație ajungând la anumite valori, conduc la pierderea stabilității și chiar la distrugerea elementelor de rezistență luate separat sau a construcției în ansamblu. La acțiunea șocului și impulsului se adaugă efectul mecanic, de rupere a mediului determinat de acțiunea energiei mecanice ce se degajă din explozia muniției pătrunsă în elementele de rezistență sau rămasă la suprafața acestora.
În general, prin acțiunea dinamică, se înțelege solicitarea produsă de sarcini care variază rapid în timp și care contribuie la apariția forțelor de inerție. O forță dinamică aplicată unei structuri de rezistență produce o mișcare de oscilație (vibrație) asociată cu anumite deformații și tensiuni care variază în funcție de timp. Caracterizarea efectului pe care îl produce o acțiune dinamică asupra unui sistem elestic se face prin noțiunea de răspuns sau răspuns dinamic.
Răspunsul unei structuri la acțiuni dinamice depinde, în afara solicitărilor efective care se transmit structurii, de capacitatea sa de rezistență precum și de mărimea și distribuția maselor, prin capacitatea de rezistență înțelegându-se totalitatea forțelor elastice și de frecare ce se opun mișcării structurii în ansamblu.
În cazul lucrărilor de fortificații, acțiunile dinamice pot căpăta, în general, valori foarte mari și sunt de o complexitate deosebită încât valoarea lor exactă, prin relații matematice, nu este pe deplin soluționată în toate cazurile. De aceea, și răspunsul structurii la aceste acțiuni este greu de definit. Aceasta sporește mult sarcina proiectantului care trebuie să adopte structuri în măsură să reziste efectului defavorabil produs de acțiunile ce dau naștere la vibrații și în același timp să aplice metode și procedee de combatere a șocurilor și vibrațiilor.
În evaluarea răspunsului dinamic trebuie avute în vedere în principal elementele ce caracterizează acțiunea dinamică sub forma unei forțe de excitație P(t) și caracteristicile sistemului oscilant.
În cazul acțiunilor asupra lucrărilor de fortificații, funcția de oscilație P(t), caracterizează șocul sau impulsul a căror durată de acțiune, în general, este foarte mică. Practic sistemul oscilant vibrează după ce forța P(t) încetează de a mai acționa, efectuând oscilații libere. Când acțiunea dinamică are o durată mai mare, așa cum se întâmplă în cazul acțiunii șocului concomitent cu pătrunderea proiectilelor în mediu, funcția de excitație P(t), caracterizează vibrațiile forțate sau întreținute.
Ele se produc în intervalul de timp în care forța acționează asupra sistemului.
Sistemul oscilant este un ansamblu material format din masa m, rigiditatea k a suportului elastic de care este atașată masa și o caracteristică de amortizare c datorită prezenței forțelor de frecare interioară.
În timpul mișcării, întrun sistem oscilant se produce un schimb permanent de energie și anume, energia de deformație a sistemului elastic se transformă în energie cinetică produsă de masă și invers, întrucât transferul de energie are caracter reciproc și mutual.
Sistemele oscilante în care energia totală se menține constantă în timpul unei vibrații se numesc sisteme conservative. Mișcarea unui astfel de sistem se numește vibrație liberă neamortizată.
Sistemele oscilante la care se produc pierderi de energie ca urmare a existenței unor forțe de frecare (amortizare) se numesc sisteme neconservative. Mișcarea acestor sisteme, când se produc în absența oricărei forțe exterioare dar în prezența unor forțe disipative, poartă numele de vibrație liberă amortizată.
În cazul când sistemul oscilant primește în mod continuu energie din afară, mișcarea pe care o efectuează se numește vibrație forțată.
În studiul vibrațiilor forțate interesează evaluarea răspunsului structurii cu referire concretă la deplasările și forțele de inerție care iau naștere ca efect direct al aplicării dinamice a sarcinilor.
Analiza vibrațiilor libere sau forțate ale structurii de rezistență transformată în sistem oscilant, se face prin intermediul ecuațiilor de mișcare care exprimă deplasările sistemului în funcție de timp și permit, în orice moment t, al mișcării determinarea pozițiilor instantanee ale maselor față de poziția de echilibru static.
Având poziția structurii astfel determinată, se pot determina, în afara poziției deformate, tensiunile și deformațiile specifice din orice secțiune a sa. Dacă la un moment dat t poziția structurii poate fi definită printr-un singur parametru sau o singură coordonată, atunci structura devenită sistem oscilant, are un singur grad de libertate dinamică. Numărul gradelor de libertate dinamică al unui sistem oscilant este dat de numărul minim de coordonate independente care pot defini complet poziția sistemului în orice moment al mișcării, sau este numărul minim de legături simple necesare pentru a fixa sistemul oscilant în poziția de repaus.
Practic, în cazul lucrărilor de fortificații se presupun cunoscute caracteristicile acțiunii dinamice ale mijloacelor de distrugere și caracteristicile elastice și geometrice ale structurii de rezistență. Se determină pulsația proprie de vibrație (ω), săgeata (deplasarea) y(t) și solicitările în diferite secțiuni ale structurii. Pe baza solicitărilor astfel determinate și a altor solicitări care se însumează cu acestea, se face verificarea de rezistență a schemei de calcul adoptate.
Dintre sistemele oscilante cu masa distribuită cele mai frecvent întâlnite în alcătuirea și calculul lucrărilor de fortificații sunt elemente de rezistență sub formă de plăci solicitate la acțiuni dinamice.
Calculul plăcilor în cazul lucrărilor de apărare are în vedere plăci de grosime medie la care raportul dintre grosimea (h) și cea mai mică dintre dimensiunile planului median este cuprins între 1/10 și 1/3, iar săgeata w este mai mică în raport cu grosimea. În ceea ce privește modul de solicitare, calculul se referă la acele încercări dinamice care acționează normal pe placă, acestea fiind starea de solicitare cea mai frecventă a construcțiilor de apărare.
Teoria izolării vibrațiilor
Izolarea vibrațiilor se referă la mijloacele de a obține o reducere a efectelor vibratorii. Forma cea mai elementară sub care se poate considera un izolator de vibrații constă dintrun element elastic ce leagă straturile între ele.
Funcția de izolator este de a reduce amplitudinea mișcării sau de a reduce mărimea forței transmise la plăci.
Părțile esențiale ale unui izolator sunt elementele elastice de susținere a sarcinii și cele de disipare a energiei. La unele tipuri de izolatori, funcțiile elementelor de susținere a sarcinilor și ale celor de disipare a energiei pot fi realizate de un singur element, de exemplu, cauciucul.
Modul și gradul de izolare a vibrației realizată cu un sistem de izolare sunt influențate în mod deosebit de caracteristicile amortizorului. Calitatea unui izolator este determinată de transmisibilitatea absolută, transmisibilitatea relativă și de răspunsul mișcării.
Eficacitatea materialelor amortizoare în combaterea vibrațiilor nu depinde de raportul masă-rigiditate de care depinde însă izolarea vibrațiilor și spectrul de șoc al unui sistem supus unei excitații date. Acest lucru este scos în evidență de idealizările clasice asupra rigidității, inerției și amortizării, care se consideră.
2.2. Probleme generale [52][78] [79]
Pentru unele lucrări de fortificații și de adapostire a oamenilor sau a tehnicii de luptă, încă din timpul celui de-al doilea război mondial, s-au folosit în loc de planșee simple (monolite), planșeele compuse alcătuite din mai multe straturi. Dovedindu-se în mod practic, prin comportarea lor la șoc și explozie, ca o soluție rațională din punct de vedere constructiv, planșeele stratificate s-au folosit și în perioada de după război, la lucrările defensive executate în diverse țări și se folosesc și în prezent, acolo unde astfel de lucrări se mai execută.
În literatura de specialitate nu există elaborată o teorie a acestor plăci. Unele referiri se fac în lucrările [25] și [38]. În prima se tratează oscilațiile plăcilor anizotrope, planșeele stratificate putând fi considerate ca un caz particular al acestor plăci iar în a doua se prezintă unele exemple practice de calcul, bazându-se pe folosirea metodelor aproximative.
În cele ce vor urma, se încearcă o fundamentare teoretică a calculului și comportării plăcilor stratificate supuse acțiunilor dinamice.
Se alege o schemă de calcul, adoptându-se în acest scop o serie de ipoteze simplificatoare, se deduce ecuația generală a deplasărilor (prin aplicarea ecuației corespunzătoare de la plăcile simple) și se rezolvă această ecuație pentru diverse cazuri particulare de planșee stratificate.
Planșeele unor lucrări de fortificații sau de apărare locală antiaeriană sunt planșeele plane stratificate alcătuite din mai multe elemente cu funcțiuni diferite și realizate din materiale diferite.
În general, un astfel de planșeu este format din următoarele elemente (figura 2.1)
Fig. 2.1
Rolul și modul de realizare ale fiecărui element component, în parte pot fi definite astfel:
Stratul de mascare – se realizează din pământ vegetal, având o grosime strict necesară creșterii vegetației care să acopere și deci să mascheze lucrarea.
Stratul rigid – are rolul de a nu lăsa proiectilul sau bomba de aviație să pătrundă prin el și de a obliga astfel ca aceste mijloace de distrugere să explodeze în interiorul lui. Din această cauză se realizează de obicei din beton sau zidărie de piatră și are o grosime mare, fapt ce-i dă o rigiditate la încovoiere foarte mare (în calcule, aceasta se poate considera infinită). La acțiunea unei sarcini dinamice, datorită rigidității sale foarte mari, acest strat se deplasează în întregime printr-o mișcare de translație. În acest fel, el repartizează totodată sarcina dinamică pe o suprafață mare, favorizând modul de lucru al construcției.
În literatura de specialitate acest strat se mai numește strat de explozie sau saltea de protecție, date fiind funcțiunile pe care el le îndeplinește.
Stratul elastic are rolul de a conlucra cu stratul rigid la repartizarea sarcinii dinamice pe o suprafață cât mai mare, și de a absorbi energia exploziei care se propagă prin materialul acestui strat, datorită deplasărilor pe care le suferă particulele de material.
Se realizează, de obicei, dintr-un material pulverulent cu sau fără coeziuni (argilă, nisip, pietriș, etc.).
Uneori, acest strat se mai numește strat de repartiție sau strat de distribuție.
Stratul de rezistență sau portant, constituie planșeul propriu-zis al construcției și ca atare are rolul și se realizează cu orice planșeu obișnuit, proiectat pentru sarcini dinamice.
În cele ce vor urma, se va neglija influența primului strat (de mascare) asupra ansamblului celorlalte straturi, urmând ca la proiectarea propriu-zisă, greutatea lui să constituie o sarcină de calcul pentru planșeul de rezistență.
Pentru fenomenul de oscilații al cărui studiu constituie obiectul acestui capitol, vom da, pe scurt, ansamblului celor trei straturi, rigid, elastic și portant, denumirea generică de “plăci stratificate”.
În scopul aplicării, la plăcile stratificate, a metodelor de calcul la oscilațiile deduse anterior pentru plăcile simple, este necesar a alege corect schema de calcul.
Schema de calcul pentru orice construcție trebuie astfel aleasă încât distribuția eforturilor în ea să fie cât mai apropiată de cea reală care există în construcție. În afară de aceasta, schema de calcul nu trebuie să fie excesiv de complicată.
Pentru plăcile stratificate alegerea schemei de calcul reprezintă o problemă dificilă întrucât diferitele straturi (ale planșeului) sunt alcătuite din materiale diferite și au forme constructive variate. Fixând schema de calcul a plăcilor stratificate, trebuie mai întâi să se aleagă corect schema de calcul a fiecărui strat în parte, iar după aceea, în schema generală de calcul, să se ia în considerare acțiunea reciprocă a diferitelor straturi.
Schema de calcul a plăcilor stratificate este impusă de comportarea stratului elastic, de la mijloc. Acesta, se execută din materiale pulverulente, în special din pământ de umplutură și nisip. Cu timpul, din cauza presării, între particulele de materiale iau naștere forțe de frecare și coeziune, mai importante pentru pământurile coezive și mai puțin importante pentru nisipuri. Umiditatea din porii pământului modifică, de asemenea, monolitatea și comportarea acestui strat. Așadar, proprietățile pământurilor folosite pentru executarea stratului elastic, depind, în mare măsură, de condițiile locale și pot să se modifice pentru o aceeași construcție în funcție de durata exploatării ei.
Prin urmare, alegerea schemei de calcul, nu se poate face în funcție de condițiile locale concrete deoarece aceste condiții pot să se schimbe mult în decursul timpului și construcția va lucra cu totul altfel.
În ceea ce privește modul cum se comportă stratul elastic și, în funcție de aceasta, alegerea schemei de calcul pentru plăcile stratificate, în lucrarea [38] se citează rezultatele unor încercări pe modele pentru planșeele stratificate supuse la acțiunea generală a exploziei.
Vor fi examinate mai jos două din cazurile citate în lucrarea amintită: cazul când stratul elastic este format dintr-un material necoeziv și cazul când acesta este format dintr-un material coeziv. În ambele situații se consideră că salteaua de protecție, având o rigiditate infinită, sub acțiunea impulsului H=pA, se deplasează în întregime paralel cu sine insuși.
În primul caz, stratul elastic fiind alcătuit dintr-un material necoeziv (nisip curat), figura 2.2, se poate asemăna cu un număr infinit de resorturi, independente între ele (datorită lipsei de coeziune dintre particule). Fiecare resort este constituit dintr-o coloană de grosime infinit mică, de nisip, care, din cauza impulsului H, se tasează independent de coloanele vecine. Eforturi de compresiune, datorită impulsului, și deci tasări, vor suferi numai acele resorturi care sunt așezate sub stratul rigid (saltea). Epura presiunilor pe planșeul portant va fi reprezentată de un dreptunghi care ocupă un sector orizontal așezat în limitele lungimii saltelei. Pe restul întinderii stratului elastic ordonatele epurei presiunilor vor fi nule.
Așadar, sub acțiunea impulsului H, va fi antrenată în mișcarea oscilatorie numai acea parte din masa stratului de repartiție așezată direct sub stratul rigid (saltea de protecție).
Fig. 2.2
Pentru problema plană se obține un caz unidimensional pentru că se poate considera că dimensiunea în planul perpendicular pe desen este egală cu unitatea.
În cazul când stratul elastic este format dintr-un material coeziv, în care între particulele de material există forțe de legătură, acesta se poate asemăna cu un sistem de resorturi legate între ele, la partea superioară, printr-un fir neextensibil (figura 2.3).
N
l
Fig. 2.3
Această legătură, la comprimarea resorturilor de sub stratul rigid, atrage cu sine și comprimarea parțială a resorturilor vecine, astfel că, sarcina provocată de impulsul H se repartizează nu numai în limitele saltelei de protecție ci și dincolo de aceasta. Presiunea maximă are loc sub stratul rigid unde este constantă pe lungimea acestui strat.
Din cele de mai sus, se vede că stratul elastic executat dintr-un material coeziv, se comportă mai bine decât cel din material necoeziv. În condiții reale de lucru însă se presupune că sub acțiunea vibrațiilor provocate de impuls, forțele de legătură dintre particule se distrug și astfel se revine la primul caz.
În acest mod, pentru stratul elastic și deci pentru întregul ansamblu, se alege ca model de calcul prima schema (figura 2.2) ca fiind cea mai dezavantajoasă în sensul sarcinilor dinamice provocate de explozie și transmise planșeului inferior, portant.
În final, schema de calcul aleasă permite transmiterea, de la stratul rigid (salteaua de protecție) la planșeul de rezistență, prin intermediul stratului elastic, numai a unor eforturi de compresiune deoarece coloanele de nisip, schematizate prin resorturi, nu pot prelua eforturile de întindere.
2.3. Rezolvarea exactă a problemei oscilațiilor proprii ale plăcilor stratificate, în cazul general. [14], [15], [29], [52], [57], [78], [79], [80], [83], [86]
2.3.1. Deducerea ecuației generale a deplasărilor
Conform cu cele arătate mai sus, schema de calcul pentru cele trei elemente care intră în alcătuirea planșeului stratificat, se alege în așa fel încât ansamblul plăcilor stratificate să poată fi considerat ca format dintr-o placă reprezentată de stratul rigid (salteaua de protecție) și planșeul de rezistență și dintr-o căptușeală elastică constituită din stratul elastic (figura 2.4). Se poate considera că elementele plăcii (deci ale stratului rigid și ale planșeului portant) vor efectua oscilații transversale, iar elementele căptușelii elastice (ale stratului elastic), oscilații longitudinale.
Fig.2.4
Ecuațiile diferențiale ale deplasărilor se pot alcătui separat pentru stratul rigid, planșeul portant și stratul elastic.
Aceste ecuații vor alcătui un sistem putând fi rezolvate numai împreună pentru că problema examinată se referă la oscilațiile ansamblului alcătuit din cele trei elemente.
Pentru stratul rigid, ecuația generală diferențială a oscilațiilor, se poate scrie sub forma:
D2∆2w2+ρ2 = q (x,y,t)-(N+I) (2.1)
unde w2 – săgeata saltelei;
D2 – rigiditatea la încovoiere a stratului rigid;
ρ2 – masa unității de suprafață a stratului rigid;
N – reacțiunea stratului elastic (de repartiție);
∆2- operatorul biarmonic Laplce-ian;
I – forța de inerție a unei coloane de material din stratul elastic.
Aceasta este ecuația diferențială obișnuită de oscilație a plăcii, conținând în plus numai reacțiunile N ale stratului elastic. De menționat că forțele N depind de săgețile ambelor plăci (strat rigid-planșeu portant) și de deformația longitudinală a coloanei corespunzătoare din stratul elastic.
Pentru a examina deplasările stratului elastic izolăm o coloană (în secțiune verticală, pe figura 2.4), din acest strat punând să acționeze asupra ei forțele de legătură corespunzătoare. Capătul de sus al acestei coloane se deplasează cu mărimea w2 a stratului rigid iar capătul de jos cu mărimea w1 a săgeții planșeului de rezistență. Facând notațiile:
w3 – deplasarea verticală a punctelor stratului elastic;
D0 – rigiditatea la compresiune a acestui strat;
ρ0 – masa unității de volum a materialului din stratul elastic,
ecuația de echilibru a unui element, izolat din coloana prin două secțiuni orizontale, este următoarea:
N + ∆N + dI- N =0
sau:
∆N + dI =0 (a)
Din rezistența materialelor alungirea specifică la compresiune este:
ε = =
de unde rezultă:
N = EAε =Eși ∆N == , (b)
unde D0 = EA
De asemenea:
dI = – m – ρ0 (c)
Înlocuind relațiile (b) și (c) în ecuația de echilibru (a), rezultă ecuația diferențială a oscilațiilor elementului izolat din stratul elastic, sub forma:
D0– = 0 (2.2)
Pentru planșeul de rezistență, ecuația diferențială a oscilațiilor se poate scrie astfel:
D1∆2w1+ ρ1 N (2.3)
unde: w1- este săgeata curentă a planșeului portant;
D1 – rigiditatea la încovoiere;
ρ1 – masa unității de suprafață a planșeului de rezistență.
Conform relațiilor (b) și (c), reacțiunea N și forța de inerție I, ale sistemului de repartiție, se pot exprima prin derivate și respectiv integrala deplasării w3 cu formulele:
N=D0z=0, ho; I = dz (2.4)
Înlocuind expresiile forțelor longitudinale, N și I, în ecuațiile diferențiale ale oscilațiilor saltelei de protecție (2.1) și planșeului de rezistență (2.3), se obține:
pentru planșeul de rezistență:
D1∆2w1 + ρ1– D0Z=h0= 0 (2.5)
pentru stratul rigid (salteaua de protecție):
D2∆2w2 + ρ2+ D0Z=0 + dz = q (x,y,t) (2.6)
Ecuațiile (2.2), (2.5) și (2.6) exprimă deplasările (oscilațiile) oricărui punct curent al planșeului stratificat. Ele trebuie rezolvate împreună pentru condițiile inițiale date și condițiile limită ale diverselor cazuri de rezemare a plăcilor. Din aceste ecuații se deduc deplasările w1, w2 și w3 ale oricărui punct, iar din acestea, după relațiile cunoscute, eforturile corespunzătoare.
Din examinarea ecuațiilor obținute rezultă că, continuarea studierii acestei probleme în formă generală este mult prea dificilă din cauza dificultăților întâmpinate la aflarea soluțiilor corespunzătoare ecuațiilor respective, de pe o parte și a volumului mare de calcule, pe de altă parte.
Vom examina în cele ce urmează numai rezolvările corespunzătoare unor cazuri particulare, mai frecvent întâlnite în practică.
2.3.2 Cazul planșeului stratificat cu o grosime mică a stratului elastică
Dacă stratul elastic are o grosime h0 mică în comparație cu deschiderea L, atunci deformația absolută de compresiune a stratului elastic va reprezenta o mărime mică în comparație cu săgețile w1 și w2 și din această cauză se poate neglija. În această situație, rămân numai ultimele două ecuații difiențiale (2.5) și (2.6) deoarece a treia (2.2) dispare din cauză că w3 are o valoare constantă pe înălțimea stratului elastic (figura 2.5).
Fig.2.5
Din cauză că tasarea w3 a stratului elastic este constantă, înseamnă că săgeata unui punct curent al planșeului stratificat poate fi considerată ca fiind constantă pe aceeași verticală a punctului, deci se poate scrie că:
w1 = w2 = w3 = w
Cu aceasta, adunând ecuațiile (2.5) și (2.6), rezultă:
(D1+D2) ∆2w +(+)+ = q (x,y,t)
Deoarecenu depinde de z, atunci:
dz = h0
și înlocuind în ecuația de mai sus, unde se notează:
D1+ D2 = D; =
Se obține o ecuație diferențială similară ca forma cu ecuația obișnuită de oscilație a plăcii.
D∆2w + (2.7)
Prin analogie cu formulele obținute la placa dreptunghilară, de laturi a și b, simplu rezemată pe contur, vom avea și în cazul de față, pentru mărimile care ne interesează, formule similare.
Astfel, pentru frecvența circulară a oscilațiilor proprii, în conformitate cu relația (1.9), vom avea formula:
ω2mn= π4( 2 (2.8)
Funcțiile proprii pentru condițiile la limita corespunzătoare conturului simplu rezemat sau articulat, prin analogie cu (1.10), vor fi date de expresia:
wmn= sin (2.9) Soluția general a ecuației diferențiale omogene are forma:
w1 = w2 = w = cosωmnt+Bmnsinωmnt) sin (2.10) Ca și la placa simplă, coeficienții Amn și Bmn se determină, în formă generală, din condițiile inițiale, rezultând expresiile:
Amn= sindxdy (2.11)
Bmn= sindxdy
undeși– reprezintă săgeata și viteza în momentul de timp considerat ca initial.
Dacă se consideră ca moment initial t=0, atunci în acel moment sistemul se află în repaus, deci w0= 0 și drept urmare și Amn= 0.
Viteza în momentul inițial considerat se determină din impulsul exterior dat, admițând că, cantitatea de mișcare a masei, în fiecare punct al saltelei de protecție (pe ea se aplicându-se impulsul), este egală cu impulsul exterior aplicat acelei mase:
=p(x,y); = p(x,y)
Înlocuind viteza în expresia 2.11 se obține pentru Bmn:
Bmn= p(x,y)dxdy (2.111)
În acest fel, pentru săgeata w în oricare punct al planșeului stratificat se obține înlocuind (2.11’) în (2.10) și ținând seama că Amn=0, următoarea expresie generală (similară cu (1.14)):
w = w1 = w2 = (2.12)
Această expresie este complicată din cauza coeficientului Bmn introdus în ea. Problema calculării coeficientului Bmn se reduce la descompunerea funcției impulsului p(xy) într-o serie dublă Fourier.
Problema se simplifică considerabil în cazul unui impuls uniform distribuit p(xy)=p0.
Atunci,
Bmn= (1-cos mπ)(1-cos nπ) (2.112)
Dacă m și n sunt numere pare, Bmn=0, iar dacă ambele sunt numere impare, atunci:
Bmn= (2.113)
Înlocuind în această expresie frecvența ωmn cu valoarea sa, dată de relația (2.8), se obține:
Bmn= (2.114)
Cu aceasta, săgeata maximă la mijlocul planșeului, pentru x= și y= , se obține, conform (2.12) și (2.114), sub forma:
= = (2.13) Momentele încovoietoare maxime, la mijlocul planșeului de rezistență, prin analogie cu formulele (2.16), vor avea expresiile:
= (2.14)
= (2.141)
unde – coeficientul lui Poisson
Momentul de răsucire Mxy, la mijlocul plăcii, va fi nul, iar pe contur va avea valoarea maximă:
= (2.15) Dacă la fel ca și în cazul plăcii simple ne limităm numai la primul termen al seriei (m=n=1), atunci săgeata maximă va avea loc la mijlocul plăcii, pentru timpul t = și va avea valoarea:
= 0,160,57 (2.16)
Pentru aceeași situație, momentele încovoietoare și de torsiune maxime, pentru planșeul de rezistență, vor fi:
= 0,47 ;
= 0,47 ;
= (1-) 0,47 (2.17)
Aceste relații diferă de cele de la placa simplă (1.18) și (1.18’) numai prin deosebiri în ceea ce privește rigiditatea (ca și acolo, s-a luat h=p0ab).
Dacă la momentul inițial t=0, în centrul plăcii va fi aplicat un impuls concentrat Hc, instantaneu, atunci pentru calculul coeficientului Bmn, valorile funcției proprii sin sin pot fi considerate constante și scoase de sub semnul integralei. În acest caz, se va obține:
Bmn= sin ;
integrala dublă fiind egală cu impulsul exterior concentrat Hc.
Considerând că m=1,3,5…; n=1,3,5…, atunci:
sin= ; sin =
și deci:
Bmn=
Înlocuind expresia săgeții, se obține pentru aceasta:
w = sinsin ∙sin (2.18)
De menționat că în această expresie se urmărește să se exprime săgeata în funcție de frecvența fundamentală ω11. Totodată, impulsul aplicat fiind concentrat, se consideră că el antrenează în mișcare întreaga masă a planșeului stratificat și de aceea s-a luat ρ în loc de ρ2.
Din relația (2.8) se constată că raportul frecvențelor se poate calcula cu formula:
= =
Pentru placa pătrată (a=b), se obține:
Folosind ecuația (2.18) se pot construi suprafețele deformate ale plăcii pentru diferite momente t.
Săgeata la mijlocul deschiderii plăcii x = și y = va fi:
w = (sin )(sin sin ()
Luând ca și mai sus:
sin = sin = .,
se obține:
w = sin (
Dacă se calculează valoarea săgeții pentru timpul t= T1, unde T1= este perioada de oscilație cu frecvența fundamentală, și dacă ne limităm la primii trei termeni ai seriei, atunci, ținând seama că === = 180, va rezulta:
w = sin 180 + sin 180 + ∙ sin 180 ]= 2,4
În mod analogic, folosind ecuația (2.18) pentru secțiunea de la sfertul deschiderii (x= , y= ), se obține:
w = sin
și pentru t= , rezultă:
= (0,500 sin 180*0,70 – 0,100 sin 180 x 0,707 ) ≅0,940
Urmând aceeași cale pentru secțiunea x= , y= , se obține:
= (0,500 x 0,707 x 0,709 sin 180 – 0,100 x 0,707 x 0,707 sin 900) ≅ 0,016
În figura 2.6 sunt prezentate suprafețele elastice deformate ale plăcii stratificate, atât pentru t =T1 cât și pentru t =T1.
t=0,25T
Fig.2.6
2.3.3 Cazul planșeului stratificat cu un strat rigid (saltea de protecție) de rigiditate infinită
Se consideră un planșeu stratificat alcătuit dintr-o saltea de rigiditate infinită, un strat elastic normal și un planșeu portant tot de rigiditate infinită (figura 2.7).
Fig.2.7
Pentru acest caz, se poate deduce că cele două plăci extreme (stratul rigid și planșeul portant) nu vor suferi deformații de încovoiere.
Datorită însă oscilațiilor longitudinale ale coloanelor stratului elastic, stratul rigid va efectua, ca un corp rigid, oscilații transversale.
În conformitate cu aceste precizăti, ecuația diferențială de mișcare a unui element izolat din stratul elastic, va fi ecuația (2.2), scrisă sub forma:
E0A0 + (2.19)
Vom căuta soluția acestei ecuații sub forma seriei:
W = T(t) (2.20) Derivând și introducând în (2.19), rezultă:
=
Lăsând la o parte soluția w(z,t)=0, împărțim cu și variabilele se separă:
= = k
Cele două rapoarte se reduc la o constantă k, deoarece variabilele z și t sunt independente.
Rezultă ecuațiile diferențiale:
+ = 0
+ = 0
sau:
+φ = 0, = (2.21)
+ = 0
Prima ecuație are soluția:
+ (2.22) iar a doua, analog:
= A sinωt + B cosω (2.23) Rezultă soluția generală a ecuației (2.20):
W = ) (sin (2.24) Determinăm mai întâi constantele și pentru următoarele condiții limită:
– pentru z=0, planșeul de rezistență are săgeata nulă, deci w=0 și rezultă =0;
– pentru z=, la partea superioară a stratului elastic forța normală de întindere – compresiune este egală cu forța de inerție a masei totale m a saltelei.
Conform relațiilor (b) și (c) de la subpunctul (a), avem:
z=h0 = – m z=h0 Calculăm derivatele funcției w(z,t) dată de ecuația (2.24), necesare egalității (d). Vom avea:
z=h0 = ∝Asin
z=h0 = -sin ∝ (Asin
Înlocuind în relația (d) se obține:
Simplificând cu și cu paranteza, rămâne:
m sin ∝
sau:
∝ ctg (∝ = m= m∙ ∙= m∙
Notând cu = masa stratului elastic și simplificând cu ∝ se obține ecuația frecvenței:
ctg (∝ ) = (∝ ) ∙
În cele de mai sus s-a ținut seama de relația (2.21):
=
Soluția acestei ecuații se poate obține pe cale grafică. Astfel, construind graficul funcției ctg(∝) și dreptele, la intersecția acestora, se găsesc pe axa absciselor mărimile ∝, . Spre exemplu, pentru dreapta 1, rezultă din grafic:
= 0,87; = 3,40; = 6,40
și în general:
= (n-ε)π; ε≤1
Corespunzător valorilor, avem frecvențele (conform formulei 2.21):
= 0,87 ; = 3,40 ; = 6,40
și în general:
=
Pentru valori mari ale mărimii, ecuația frecvenței se reduce la forma: ctg = 0
Pentru alte rapoarte m/, frecvențele vor fi altele, diferite de cele deduse mai sus. Cu creșterea raportului prima frecvență (fundamentală) se micșorează.
Dacă stratul rigid ar avea masa neglijabilă (sau n-ar exista), m=0, atunci ctg ∝=0 și = , unde n =1,3,5… Acestor valori le corespund frecvențele:
= ; = ;
și în general
= ;
Se observă că în acest caz (pentru m=0), micșorarea va fi periodică, deci avem de-a face cu oscilații armonice (frecvențele fiind multipli de numere întregi). În prezența saltelei de protecție, m>0 și deci mișcarea nu mai este periodică.
Dacă stratul rigid (salteaua de protecție) se realizează cu conturul încastrat, acesta echivalează cu m=∞. Dreapta corespunzătoare devine paralelă cu axa ordonatelor și nu intersectează curba ctg .
Rezultă că, nu vom avea oscilații (ω=0).
Folosind relația (2.22), funcțiile proprii pentru =1, au forma:
sin 0,87 ; sin 3,4 ; sin 6,4 .
Deplasarea unui punct curent al sistemului se determină cu formula (2.29), în care =0 și =1.
w(z,t) =sin (2.26)
unde depinde de raportul . De exemplu, pentru =1, expresia deplasării ia forma:
w(z,t) = sin 0,87 sin+ sin 3,40 sin + sin 6,40sin +…
Revenind la expresia (2.26), determinăm coeficienții și , folosind condițiile inițiale ale sistemului oscilant. La t=0, fie dată o lege de variație a deplasărilor=(z) și o lege de variație a vitezelor =. Pentru t=0, expresia (2.26) devine:
= w(z,0) = ∙ =
Înmulțim ambele părți ale acestei egalități cu sin și integrăm de la 0 la . Atunci, folosind proprietatea generală de ortogonalitate a funcțiilor proprii, toți termenii seriei care au produse de forma sin sin , pentru n=m devin nuli. Din această cauză, în partea stângă a egalității, din suma infinită de termeni rămâne numai unul (pentru n=m) și deci:
=
Pentru calculul coeficientului , se obține formula:
(2.27)
unde:
În mod analog, se determină coeficientul . Pentru aceasta calculăm prin derivarea expresiei (2.26), viteza :
=
Conform celor stabilite anterior, pentru t=0:
=
Procedând ca și pentru , rezultă:
(2.28) Admițând că stratul rigid, la t=0 viteza este , în punctul z=h0, iar în toate celelalte puncte ale sistemului ρ0(z)=0, atunci, conform formulei (2.28):
h1 fiind grosimea stratului rigid (figura 2.7).
Dar,
= h1
unde: H – impulsul comunicat stratului rigid;
M – masa stratului rigid;
Cu aceasta, coeficientul An va fi:
An=∙
Să determinăm pe βn:
βn = = (1- )
Pentru valori mari ∝0h0, care corespund frecvențelor superioare, rezultă:
βn = (1- )
și, așa cum s-a arătat:
ωn= (n-ε)
Cu aceste mărimi, coeficientul An devine:
An=
Pentru=1, dacă se folosesc cele trei rădăcini deduse mai înainte, pentru ecuația (2.25), atunci:
A1= = +4.125
A2= = 0,165
A3= = +0,040
Pentru restul coeficienților se poate lua ε=0,05π și atunci:
An= =
Din relația (2.27), coeficientul Bn rezultă nul, dacă se admite că la t=0, săgeata inițială f0(z) =0.
Săgeata maximă a stratului rigid (saltelei de protecție), pentru z=h0 va fi, după aceste precizări, dată de expresia:
Wmax= (3,155-0,043+0,004) = 3,15 (2.29)
2.3.4. Variația eforturilor în stratul de distribuție după o lege liniară
Presupunem de la început că examinăm oscilațiile proprii ale plăcilor stratificate, reprezentate schematic în figura 2.4.
În paragraful 2.2.1, conform figurii 2.4, au fost deduse ecuațiile diferențiale (2.1) și (2.3), care, pentru q(xyt)=0, pot fi scrise sub forma:
D1- N + = 0
D2 N + I+ = 0 (2.30)
unde, prima ecuație reprezintă condiția de echilibru a unui element izolat din placa de jos, iar a doua, ecuația de echilibru a unui element izolat din placa de sus a planșeului.
În aceste ecuații, N reprezintă presiunea care se transmite prin stratul elastic la placa de jos, iar I reprezintă forța de inerție a unei coloane verticale de material, separată din stratul elastic, celelalte notații își au semnificațiile conform figurii 2.4.
Forța de inerție a coloanei verticale o găsim prin însumarea tuturor forțelor de inerție care se referă la elementul izolat din coloană:
I =dz
Dacă se folosește figura 2.4 atunci săgeata w3 a stratului elastic se poate reprezenta în funcție de săgețile w1 și w2 ale planșeului portant și respectiv stratului rigid (saltelei de protecție). Avem deci:
w3 = w1 + (w2-w1) = w1 (1- + w2
Cum accelerația nu depinde de variabila z, atunci putem scrie:
= (1-)+ ∙
Înlocuind aceasta în expresia forței de inerție I, se obține:
I = (1-) dz + ∙dz = 0,5 + (2.31) Pentru a scoate forța N din ecuațiile (2.30), calculăm alungirea coloanei stratului elastic:
∆=
unde N0= N + I, este forța normală în secțiunea coloanei, situată la distanța z de jos.
N0= N + (1-) dz+ ∙dz = N + (z-) + ()
Înlocuind, rezultă:
∆h0= + ∙ ( – ) + ∙ ∙
sau:
∆h0= + +
Dar, alungirea coloanei stratului elastic este egală cu diferența săgeților plăcii superioare și inferioare, deci:
∆h0= w2 – w1 = + +
Rezolvând această ecuație în raport cu N, se obține:
N = () D3 – (2.32)
Substituim acum valorile lui N din ecuația (2.32) și I din ecuația (2.31) în ecuațiile (2.30), rezultă:
D11 – () D3 + + ρ1 =0
D22+()D3-+(+ =0
În final, ordonând altfel termenii, se obțin două ecuații cu două necunoscute:
D11+(ρ1 + – (w2- w1) =0 (2.33)
D22+(ρ2+(w2- w1) =0
Aceste două ecuații trebuie rezolvate împreună. Dacă se adună termen cu termen se obține o formă mai simplă:
D11+D22 + (ρ1 +) + (ρ2 +)= 0 (2.34)
Pot exista două cazuri de oscilație a sistemului.
Primul caz îl constituie o asemenea mișcare încât ambele plăci, superioară și inferioară, să efectueze o aceeași mișcare, adică w2= w1 = w.
În această situație, ecuația (2.34) va avea forma:
(D1 + D2) (++) = 0 (2.35)
Al doilea caz se întâmplă dacă cele două plăci au oscilații egale și de semn contrar, adică w2= -w1 și= .
Ecuația de mișcare pentru acest caz se obține scăzând prima din a doua ecuație din grupul (2.33):
D22+D11 + (ρ2 +) – (ρ1 + )= 0
Înlocuind în această ecuație w2= – w1 și = =, se obține pentru cel de-al doilea caz ecuația de mișcare sub forma:
(D1 + D2) (++) = 0 (2.36) Se poate urma și o altă cale pentru alcătuirea ecuației de mișcare a plăcii cu trei straturi. Pentru aceasta descompunem epura deplasărilor corespunzătoare unei coloane din stratul de repartiție în componentele simetrică și antisimetrică (figura 2.9).
În cazul general, pe grosimea stratului elastic, epura deplasărilor are un contur curb, dar pentru grosime nu prea mare a stratului elastic această epură poate fi considerată drept liniară. În această situație, în locul necunoscutelor w1 și w2 se introduce un alt grup de necunoscute s1 și s2 legate de cele vechi prin relațiile:
s1= ; s2= ;
Fig.2.9
Alcătuim acum, pentru noile variabile, două ecuații diferențiale. Prima va coincide cu ecuația (2.35) și are forma:
(D1 + D2) (++) = 0 (2.37)
Unde, primul termen reprezintă forțele elastice ale plăcilor inferioară și superioară, iar al doilea forța de inerție masică a tuturor celor trei elemente, acestea având aceeași deplasare
Cea de-a doua ecuație se obține dacă se egalează reacțiunea stratului elastic cu semisuma forțelor care acționează la părțile inferioară și superioară și care comprimă sau întind coloanele acestui strat.
Rezultă:
= s2 (2.38)
Această ecuație coincide cu ecuația (2.36).
În primul caz s-a obținut ecuația generală diferențială de oscilație a plăcii. Soluția acestei ecuații are forma obișnuită a unei serii:
S1= smn (Amncosωmnt + Bmnsinωmnt) (2.39) Ca și în cazul plăcii obișnuite, această ecuație corespunde întregului spectru al frecvențelor și funcțiilor proprii respective.
Astfel, în cazul când ambele plăci (stratul rigid și planșeul portant) sunt simplu rezemate pe contur, frecvențele circulare ale oscilațiilor proprii se vor calcula cu formula (1.10) în care trebuie să se înlocuiască D cu D1+D2 și ρ cu ρ1+ρ2+, deci:
ωmn= (+ ) (2.40)
Funcțiile proprii vor avea forma obișnuită, dacă ambele plăci sunt simplu rezemate pe contur:
Smn= sin sin
Pentru oscilațiile antisimetrice (w2=-w1), ecuația diferențială (2.38) corespunde oscilațiilor unei plăci care reazemă pe fundație elastică. Ca și în primul caz, soluția acestei ecuații o căutăm tot sub forma unei serii:
s2= (2.41)
Funcțiile proprii se vor determina din ecuația:
(D1 + D2) = 0
care, pentru plăcile superioară și inferioară, simpu rezemate pe contur, satisface atât funcția armonică,
Sik= sin sin
cât și condiția suplimentară:
(D1 + D2) (= 0
din care se scoate ecuația frecvențelor:
(2.42) Având în vedere relațiile (2.39) și (2.41), pe de-o parte, și relațile dintre s1, s2 și w1, w2, pe de altă parte, ecuația oscilațiilor proprii pentru planșeul de rezistență va fi:
w1=s1 – s2 = + – + (2.43) În mod analog, ținând seama de aceleași observații, ecuația oscilațiilor proprii ale stratului rigid, va avea forma:
w2= s1 + s2 = + + +) (2.44)
Analizând formulele (2.43) și (2.44), se poate da următoarea interpretare, din punct de vedere fizic, transformării efectuate: mișcarea elementului izolat din planșeu poate fi considerată ca rezultat al compunerii a două forme de oscilații, fiecare din ele corespunzând pe deplin condițiilor determinante exterioare.
De exemplu, dacă impulsul exterior este repartizat pe grosimea planșeului după o astfel de lege încât creează aceleași condiții inițiale pentru ambele plăci, atunci acest impuls va provoca forme de oscilații care corespund numai epurei simetrice de deplasare. Formele de oscilații corespunzătoare epurei antisimetrice de deplasare, vor fi în acest caz nule.
Rezultă că, un impuls oarecare aplicat unui planșeu stratificat, provoacă, în general, ambele forme de oscilații. Atunci, extinzând generalizarea, pentru rezolvarea problemei acțiunii comune a două impulsuri, e suficient a examina mișcarea considerând ambele forme de oscilații.
Revenind la cazul tratat, unde oscilațiile sistemului sunt provocate de un impuls exterior instantaneu, conform condiției inițiale ca la t=0 deplasările ambelor plăci să fie nule, rezultă din formulele (2.39) și (2.41) coeficienții Amn=0 și Aik=0.
Rămân de determinat coeficienții Bmn și Bik, în care scop descompunem impulsul p(x,y) dat în două componente, conform schemelor din figura 2.10b și 2.10c.
p(x,y) p’(x,y) p”(x,y)
a b p’(x,y)
c p”(x,y)
Fig.2.10
În figura 2.10b este reprezentată componenta impulsului care provoacă formele de oscilații corespunzătoare lui s1 iar pe figura 5.10c componenta care provoacă formele de oscilații corespunzătoare lui s2.
Pentru prima componentă a impulsului (figura 2.10b) condițiile inițiale sunt:
pentru t=0; s1= 0 și
Calculăm derivata din formula (2.39) ținând seama că Amn=0 și înlocuind pe smn rezultă:
Punând acum condiția inițială de mai sus, rezultă:
=
Înmulțind membrii acestei egalități cu sinși ținând seama pe baza proprietății de artogonalitate a funcțiilor proprii că în partea dreaptă toate produsele pentru care m≠n sunt nule, și efectuând totodată integrarea pe toată suprafața plăcii, rezultă:
Bmn= sin sin dxdy
Pentru cea de-a doua componentă a impulsului (figura 2.10c) condițiile inițiale sunt:
pentru t=0; s2=0 și =
Procedând la fel ca și în cazul lui Bmn, din ecuația (2.41) rezultă:
Bik= sin sin dxdy (2.46)
Cunoscând legea de distribuție a impulsului (xy) sau cu formulele (2.45) și (2.46) se pot calcula coeficienții Bmn și Bik.
Pentru impulsul distribuit pe suprafața plăcii, se obține:
Bmn= (2.47)
și
Bik=
În acest caz, conform formulei (2.43), săgeata planșeului de rezistență va fi:
W1 = sin sin sin –
sin sin sin
Făcând o analiză comparativă, între tratarea problemei prin descompunerea impulsului în cele două componente p’ și p’’ și tratarea problemei considerând impulsul uniform distribuit pe grosimea planșeului, rezultă, din formulele deduse, că săgeata reală a planșeului de rezistență, determinată în primul caz, este mai mică decât cea determinată în cel de-al doilea caz.
În detaliu, această problemă, se analizează printr-un exemplu de calcul.
Fie planșeul stratificat din figura 2.11, având stratul rigid identic ca rigiditate și masă cu planșeul portant, acționat în ansamblu de un impuls p, distribuit pe deschidere după o lege sinusoidală: p = p0sin . În direcția y impulsul este constant (pentru o abscisă x dată) și din această cauză putem considera plăcile ca două grinzi de lătime unitară. Ambele plăci se consideră simplu rezemate pe contur.
p
Fig.2.11
Voi descompune impulsul p în două componente:
-p1 care provoacă oscilarea ambelor plăci numai în aceeași fază, plăcile având săgețile, la un moment dat, sau în jos sau în sus (figura 2.12a);
-p2 care provoacă oscilarea plăcilor în sensuri opuse, adică la un moment dat stratul rigid se deplasează în jos, atunci planșeul portant se deplasează cu aceeași mărime în sus (figura 2.12b).
p1
p1 a)
p2
b) p2
Fig.2.12
Considerând că pe grosimea planșeului de rezistență impulsul se propagă uniform (are o distribuție constantă), rezultă mărimile celor două componente ale sale:
p1= p2 = sin (2.49)
Vom examina oscilațiile sistemului sub acțiunea fiecărui impuls în parte.
Pentru impulsul p1, după formula (2.39), considerând că la t=0 condițiile inițiale sunt:
S1= 0, rezultă Amn = 0 și
= ,
de unde, urmând ordinea obișnuită a calculelor și folosind ortogonaliatea funcțiilor proprii, se obține pentru Bmn expresia:
Bmn= smn dx
Înlocuind acum, p1= sinși smn = sin rezultă toți coeficienții Bmn=0, în afară de:
B1= ∙∙= (2.50)
Astfel, în cazul dat, din seria infinită rămâne numai primul termen deoarece impulsul exterior fiind distribuit pe lungimea plăcii, după o lege sinusoidală, coincide chiar cu una din formele oscilațiilor proprii. Această acțiune exterioară provoacă oscilații cu aspect corespunzător formei sale.
Pentru s1, înlocuind în expresia (5.30) pe smn și B1, se obține formula:
s1= sinsin ω1t (2.51) Frecvența circulară a acestei forme de oscilații se determină după formula (2.40) cu substituirile corespunzătoare.
Rezultă:
ω1= (2.52)
În cazul impulsului p2, după formula (2.41), considerând că la t=0 condițiile inițiale sunt:
S2= 0, rezultă Aik= 0
și = de unde, urmând aceeași ordine a calculelor și înlocuind, p2= sinși sik= sin , rezultă toți coeficienții Bik=0, în afară de
= ∙∙= (2.53) Pentru s2, înlocuind în expresia (2.41) pe sik și B’1, se obține:
s2= sinsin t (2.54) Frecvența circulară corespunzătoare acestei forme de oscilații se determină cu formula (2.42), în care trebuie să se înlocuiască i=1, k=0, D2=D1 și a=L, rezultă:
= (2.55) Compunând cele două forme de oscilații, date de relațiile (2.51) și (2.54), conform formulei (2.43), se determină oscilațiile planșeului de rezistență, rezultând expresia:
w1= s1- s2 =
sau:
w1 = sin (2.56) Determinăm raportul frecvențelor celor două forme de oscilații (conform formulelor (2.52) și (2.55):
∝ = = = = (2.57) Săgeata maximă a planșeului de rezistență va avea loc pentru maximul expresiei
În mod analog, efectuând compunerea celor două forme de oscilații, după formula (2.44), se determină oscilațile stratului rigid.
Rezultă expresia:
w2= s1 + s2 =sin (2.58)
Săgeata maximă a stratului rigid va avea loc pentru maximul expresiei:
Examinăm, deplasările ambelor plăci, pentru mărimile ∝ == 0,5 și = 1.
Conform formulelor (2.56) și (2.58), ecuațiile oscilațiilor celor două plăci, vor fi:
w1= sin (2.59)
w2= sin
Săgeata maxima a planșeului de rezistență va avea loc pentru maximul parantezei din expresia lui w1 din grupul de relații (2.59). Acest lucru se obține pentru:
2= , deci t = = = T1
Valoarea săgeții maxime a planșeului portant va fi:
sin=
= sin ≅ 0,23sin (2.60)
În mod analog, săgeata maximă a stratului rigid va avea loc pentru maximul parantezei din cea de-a doua expresie din grupul (2.59), lucru ce se obține pentru:
2= , deci t = =∙ = T1
Săgeata maximă a stratului rigid va avea, aceeași valoare ca și săgeata maximă a planșeului portant, dar ele sunt atinse în momente de timp diferite: T1 pentru planșeul de rezistență și T1 pentru stratul rigid, adică săgețile maxime ale plăcii inferioare se produc mai târziu cu un sfert de perioadă (T1 – T1 = T1) decât cele ale plăcii superioare.
Variația săgeților în timp este arătată pe graficul din figura 2.13 (pentru ∝= 0,5 deci = 2, adică un număr par).
Dacă este un număr impar, graficul oscilațiilor planșeului de rezistență va avea aspectul indicat pe figura 2.13a iar al oscilațiilor stratului rigid cel indicat pe figura 2.14b. Se constată că placa de sus se mișcă după o altă lege decât cea de jos. Aceste grafice au fost construite pentru ∝= 3.
W
∝=0,5
t
a)
∝=0,5
w
t
b)
Fig.2.13
∝=0,3
w
t
a)
∝=0,3
w
t
b)
Fig.2.14
2.5. Efectuarea calculelor analitice pe modele teoretice pentru o serie de ipoteze.
Calculele au fost efectuate pe serii, fiecare serie a urmărit să determine influența unui anumit element al planșeului stratificat în condițiile când restul parametrilor au valori constante, folosind formulele (deplasare și pulsație) determinate anterior în acest capitol.
2.5.1. În seria I-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează stratul de distribuție, prin grosimea sa, asupra fenomenului de oscilație a planșeului stratificat în ansamblu.
În acest scop calculele s-au făcut pentru un strat rigid și strat portant din beton armat cu o grosime de 30 cm. Deasemenea, s-a avut în vedere un impuls de 90.000 mkg/s provocat de o bombă de aviație cu P=500 KG, C=275 kg, Vr=200 și ∝=25.
Admițând ipotezele mai sus menționate au rezultat următoale grafice:
Din grafice se desprinde ideea că un efect mai mare în ceea ce privește amortizarea vibrațiilor îl are stratul de distribuție cu grosimi între 10-. O creștere a grosimii stratului de distribuție de la la au determinat o micșorare a vibrațiilor cu 50%. Aceeași micșorare a vibrațiilor poate fi realizată dacă se mărește stratul de distribuție de la 30 cm la 90 cm.
Din cele de mai sus, se poate observa că, o creștere a grosimii stratului de distribuție nu duce la o scădere corespunzătoare a valorilor săgeților sau pulsațiilor.
Deasemenea, un strat de distribuție cu o densitate mare determină o creștere a săgeților și a pulsațiilor.
2.5.2. În seria a II-a de calcule s-a urmărit să se determine influența impulsului asupra fenomenului de oscilație a planșeului considerat, în condițiile unui model de planșeu stratificat cu toți parametri constanți.
S-a considerat stratul rigid și portant din beton armat cu o grosime de fiecare și stratul de distribuție (elastic) din nisip cu o grosime de 80 cm.
A rezultat următorul grafic:
Din analiza graficului se constată liniaritatea legii de variație a funcției w= f(Hc). Totodată, se observă că valorile pulsației fundamentale nu depind de impuls, aceasta fiind o caracteristică dinamică a planșeului stratificat.
2.5.3. În seria a III-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură se modifică oscilațiile pentru grosimi, materiale și arii variabile ale stratului rigid (saltelei de protecție) păstrându-se constante celelalte mărimi (pentru o grosime de 80 cm a stratului elastic-nisip și un strat portant de beton armat de 30 cm). S-a avut în vedere un impuls de 90.000 mkg/s provocat de o bombă de aviație cu P=500 KG, C=275 kg, Vr=200 și ∝=25.
În condițiile specificate mai sus au rezultat următoarele grafice:
Reprezentările grafice arată că odată cu creșterea rigidității saltelei de protecție, săgețile scad, iar pulsațiile proprii cresc.
În ceea ce privește variația săgeții în funcție de rigiditate, se observă că aceasta scade pentru grosimi mari ale saltelei de protecție, iar după o anumită valoare a acestor grosimi (30-50 cm) scăderea săgeților este mai lentă.
Cum legea de variație a eforturilor este în general aceeași ca a săgeților, rezultă că graficul eforturilor are aproximativ aceeași alură.
2.5.4. În seria a IV-a de calcule s-a urmărit să se determine variația oscilațiilor pentru placa de rezistență variabilă ca material și grosime.
În calcule s-a considerat stratul de repartiție din nisip cu o grosime de 80 cm, iar stratul rigid din beton armat cu o grosime de 30 cm. Deasemenea, s-a avut în vedere un impuls de 90.000 mkg/s provocat de o bombă de aviație cu P=500 KG, C=275 kg, Vr=200 și ∝=25.
Așa cum rezultă din graficul de mai jos, odată cu creșterea grosimii plăcii de rezistență, valorile săgețiilor scad (mai intens la început și mai lent pentru plăci groase), iar ale pulsațiilor cresc.
2.5.5. În seria a V-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează modul de rezemare a plăcii de rezistență pe contur, asupra fenomenului de oscilație a întregului planșeu.
Placa încastrată pe contur.
Ca și la calculele anterioare, se constată micșorarea săgeților o dată cu creșterea grosimii stratului de distribuție și respectiv creșterea lor, direct proporțional, o dată cu creșterea impulsului.
Pentru grosimi mici ale stratului de distribuție diferențele între săgeți sunt mari (Wplacă simplu rezemată/Wplacă încastrată=2), pentru grosimi mari ale acestuia, diferențele aproape se anulează.
Rezultă că pentru planșee stratificate cu straturi de distribuție mari, modul de rezemare pe contur al plăcii de rezistență nu influențează mult asupra deformațiilor.
2.5.6. În seria a VI-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează un planșeu stratificat cu mai multe elemente se comportă sau nu după aceleași legi ca și planșeul stratificat alcătuit din numai trei straturi.
Pentru creșteri ale grosimii stratului de distribuție (ale numărului lor), rezultă ca și la planșeul cu 3 straturi, o micșorare a valorilor săgeților, și o creștere a frecvențelor circulare.
Aceasta se explică prin mărirea rigidității de ansamblu a planșeului din cauza măriri numărului de straturi.
2.5.7. În seria a VII-a de calcule s-a urmărit să se determine în ce măsură influențează oscilațiile unui planșeu stratificat dimensiunile laturilor.
Legea de variație a celor doi parametrii principali (săgeți și pulsații) este aceeași atât pentru o placă dreptunghiulară, cât și pentru placa pătrată. O dată cu creșterea grosimii stratului de distribuție săgețile și frecvențele circulare scad.
Capitolul III
3. Contribuții privind simularea numerică în ceea ce privește comportarea elementelor stratificate la solicitări dinamice și șocuri
Fenomenul interacțiunii dintre bombă/proiectil și elementele stratificate ale unui adăpost, precum și cel al interacțiunii dintre undele de șoc rezultate în urma detonației încărcăturii de exploziv a bombei/proiectilului și straturile de protecție ale structurii de adăpostire este foarte complex și se traduce prin studiul comportamentului materialelor straturilor, precum și propagarea undelor de șoc prin acestea. Condițiile în care se desfășoară fenomenele pot varia foarte mult, depinzând de viteza proiectilului/bombei, unghiul de contact, viteza rămasă în puctul de contact, numărul, tipul și grosimea straturilor de protecție, cantitatea de exploziv din proiectil/bombă, poziția acesteia în raport cu fiecare strat, precum și de condițiile inițiale de presiune și temperatură.
3.1. Date inițiale
Pentru determinarea influenței diferiților parametri ai plăcilor asupra comportamentului acestora în cazul acțiunilor dinamice a proiectilelor/bombelor, s-au stabilit în primul rând potențiale surse de acțiune dinamice. Principalele surse de acțiuni dinamice care se pot manifesta asupra plăcilor din compunerea unor adăposturi sunt bombele de aviație.
Principalele bombe de aviație care se pot întâlni sunt bombele de 50, 100, 250 și 500 kg. Imagini ale acestor bombe sunt prezentate în figura 3.1, iar principalele caracteristici în tabelul 3.1.
Figura 3.1 Principalele bombe care pot acționa asupra adăposturilor
Tabelul 3.1 Caracteristicile principalelor bombe care pot acționa asupra adăposturilor
Pentru evidențierea influenței pe care o au diferiți parametri ai diferitelor straturi asupra comportării stratului portant din beton armat ai unui adăpost, s-a optat pentru următoarea configurație inițială:
stratul rigid format dintr-o placă din beton armat cu dimensiunile de 6,00 x 5,00 x 0.30 m, simplu rezemată;
stratul elastic cu grosimea de 30 cm și dimensiunile de 6,00×5,00m, format din nisip;
stratul portant format dintr-o placă din beton armat cu dimensiunile de 6,00 x 5,00 x 0.30 m, simplu rezemată;
acțiunea asupra configurației prezentate este produsă de o bombă de aviație 500 kg, la un unghi de contact α de 25°și o viteză rămasă în punctual de contact de 200 m/s, figura 3.2;
caracteristicile bombei de aviație de 500 kg sunt prezentate în tabelul 3.1.
Pornind de la această configurație inițială s-au stabilit următoarele scenarii de simulare, în concordanță și cu calculele efectuate pe baza modelelor teoretice studiate (vezi paragraful 2.5).
Scenariile sunt prezentate în tabelul 3.2 și tabelul 3.3.
Tabelul 3.2 Scenarii de simulare pentru impact
Tabelul 3.3 Scenarii de simulare pentru explozie
3.2 Date privind programul de simulare folosit
Modelarea și simularea fenomenului referitoare la impactul bombei cu straturile de protecție ale unui adăpost și a detonației componentei de luptă a acesteia s-au efectuat folosind codul de simulare specializat AUTODYN/ANSYS.
3.2.1 Date generale
Codul AUTODYN [Century Dynamics 1997] a fost dezvoltat pentru rezolvarea problemelor de neliniaritate în dinamica mediilor continue, în special atunci când au loc modificări puternice ale parametrilor. Ecuațiile diferențiale care stau la baza codului sunt derivate din legile de continuitate ale masei, impulsului și energiei. Aceste legi sunt satisfăcute pentru fiecare pas de timp. Suplimentar, sunt necesare legi constitutive pentru modelarea propagării undelor de presiune și pentru evaluarea comportamentului materialelor, legi care permit crearea unei legături între câmpul de tensiuni și deformațiile suferite de material sau energia sa internă. Rezolvarea acestui sistem de ecuații diferențiale este efectuată în AUTODYN prin utilizarea unor tehnici cu elemente finite, volume finite sau tehnici fără rețea de noduri. Metodologia soluției este bazată pe un algoritm explicit de integrare în timp.
În metodele explicite, soluția pentru pasul de timp ti+1 este direct calculată prin intermediul cantităților cunoscute la pasul de timp ti. Stabilitatea schemelor explicite este condiționată. Limita de stabilitate este ca pasul de timp să satisfacă condiția Courant – Friedrich – Levi (CFL). Condiția CFL prevede ca pasul de timp să fie suficient de scurt pentru ca informația să străbată spațiul discretizat. În practică, aceasta presupune ca pasul de timp să fie mai mic decât timpul necesar traversării unei unde sonore a celui mai mic element. Formula matematică care exprimă condiția este:
(3.1)
unde: – cea mai mică dimensiune a rețelei;
– fracția de stabilitate (cu valori între 0,6 – 0,9);
– viteza sunetului.
3.2.2 Alegerea solverelor
Pentru realizarea simulării fenomenelor de impact și explozie, programul de simulare AUTODYN dispune de solverele clasice Lagrange și Euler și de solverul SPH.
Procesorul Lagrange, pentru care rețeaua de noduri se deformează odată cu materialul are avantajele unei viteze mari de calcul și o bună definire a interfețelor dintre materiale. Procesorul Euler, care folosește o rețea de noduri fixă prin care materialul curge, necesită un efort de calcul mai mare dar este mai potrivit pentru deformații mari și pentru curgerea materialelor.
Abilitatea procesorului Lagrange de a simula problemele de impact cu deformații mari poate fi îmbunătățită prin introducerea unui algoritm de eroziune. Algoritmul de eroziune elimină zonele Lagrange care au depășit valoarea deformației impusă de utilizator, de regulă peste 150%. Deși este o tehnică numerica eficientă în depășirea problemelor ridicate de distorsionarea rețelei de noduri, algoritmul de eroziune nu caracterizează fidel fenomenul fizic.
SPH reprezintă o tehnică Lagrange cu potențial în ceea ce privește modelarea cu acuratețe a interfețelor și flexibilă în ceea ce privește modelele de materiale. Suplimentar, fiind o metodă fără rețea, nu suferă de aceleași limitări observate la tehnicile Lagrange care nu suportă deformațiile puternice ale rețelei de noduri. Lipsa unei rețele permite de asemenea modelarea și vizualizarea fracturării materialelor, astfel procesul de fragmentare este rezolvat într-un mod natural.
Pentru simularea impactului dintre bombă și straturile de protecție s-a folosit solverul Lagrange, iar pentru simularea acțiunii produse de unda de șoc rezultate în urma detonației încărcăturii de exploziv a bombei asupra diferitelor straturi de beton armat și nisip s-a utilizat o combinație între solverul Lagrange și Euler.
Schema de calcul Lagrange
În figura 3.3 este reprezentată schematic seria de calcule necesare parcurgerii unui pas de timp. În prima instanță, condițiile de graniță și/sau forțele de interacțiune sunt actualizate și însumate cu forțele din elementele interioare calculate pentru pasul trecut. Apoi accelerațiile nodurilor sunt calculate folosindu-se ecuația impulsului. Urmează calculul vitezelor și a pozițiilor nodurilor prin integrare. Se calculează vitezele de deformare și modificarea volumelor. Apoi presiunea, tensiunile și energiile se calculează folosindu-se legea constitutivă de material și ecuația conservării energiei. Cu ecuația de conservare a impulsului se calculează forțele, care reprezintă valorile inițiale pentru pasul următor de integrare.
Fig.3.3 – Ciclul de calcul Lagrange implementat în AUTODYN
[Century Dynamics 1997]
Vitezele și accelerațiile sunt legate de pozițiile nodurilor. Celelalte variabile de material, precum presiunea, tensiunea, energia, densitatea sau masa sunt definite în centrul elementului, figura 3.4.
Datorită algoritmilor de calcul pot apărea erori, fapt care împiedică conservarea absolută a masei, impulsului și energiei. Din acest motiv, pentru fiecare pas de timp se evaluează valorile globale ale masei, impulsului și energiei prin însumarea valorilor înregistrate pentru fiecare element. Modificarea acestor valori față de cele inițiale poate duce la stoparea problemei.
Fig. 3.4 Rețeaua de discretizare în AUTODYN
Etape parcurse în realizarea simulărilor
Pentru realizarea simulărilor s-au parcurs următorele etape:
alegerea modelelor de material. Pentru simularea impactului dintre bombă și straturile de protecție s-au folosit șase modele de material dintre care patru sunt în biblioteca de materiale ale programului Autodyn: modelul de material Steel 1006 pentru modelarea învelișului bombei, modelul de material TNT pentru modelarea încărcăturii de exploziv, modelul de material Concrete 35 MPa, pentru modelarea plăcilor din beton armat și modelul de material Sand pentru nisip. Modelele de material sunt prezentate în Anexele 1-4. Pentru modelarea stratului elastic din pământ și a celui din LECA (Light Expanded Clay Aggregates) s-au folosit datele prezentate în literatura de specialitate [88], [89] și care au fost implementate în Autodyn. Modelele de material sunt prezentate în Anexele 5-6. Suplimentar pentru modelarea efectului produs de unda de șoc rezultată în urma exploziei încărcăturii bombei s-a folosit modelul de material Air, ai cărui parametri sunt prezentați în Anexa nr. 7. Deoarece ne interesează în mod special comportarea stratului portant din beton armat, se va prezenta o scurtă descriere a modelului de material pentru beton RHT folosit pentru simulări.
Modelul de material RHT pentru beton este un model de rezistență pe bază de plasticitate pentru materiale casante dezvoltat de Riedel, Hiermaier și Thomas de la Ernst Mach Institute [91]. Modelul ia în considerare următoarele fenomene asociate cu materialele casante:
creșterea rezistentei datorate presiunii;
creșterea rezistentei datorate deformației;
creșterea rezistentei datorate vitezei de deformație;
efectele produse de deteriorare;
compactarea;
reducerea capacității de transmitere a eforturilor datorită apariției fisurilor.
Figura 3.4’ Modelul RHT pentru beton [91]
Parametrul care interesează pentru acest model de material este deteriorarea sau distrugerea (damage).
Deteriorarea D se acumulează datorită deformației deviatorice inelastice folosind relația:
unde:
este deformația plastică echivalentă în timpul unui ciclu de integrare;
este deformația plastică de cedare;
D1, D2 sunt constante de material;
P* și P*spall sunt presiunea normalizată și presiunea normalizată la care apare desprinderea de material la întindere.
Toți parametrii de intrare pentru acest model de material sunt prezentați în Anexa nr. 3.
Pe baza acestui parametru, programul Autodyn, oferă ca și variabilă de ieșire deteriorarea/distrugerea (Damage) în cadrul rezultatelor furnizate.
realizarea modelului geometric. La realizarea modelului geometric s-a avut în vedere tipul de solver potrivit pentru fiecare din modele de material folosite. În cazul simulărilor privind impactul bombei asupra straturilor de protecție s-a folosit solverul Lagrange (rețeaua numerică se mișcă și se distorsionează odată cu materialul). Astfel toate straturile precum și bomba au fost modelate folosind solverul Lagrange. În acest caz încărcătura de exploziv din TNT este luată în calcul doar ca masă, fără a i se impune o inițiere în vederea detonației. La modelarea formei bombei s-a avut în vedere o formă cât mai apropiată de cea a bombei de 500 kg (figura 3.1d) dar fără a fi identică, deoarece în modelele teoretice realizate forma proiectilului nu apărea ca un parametru distinct. Din acest motiv s-a încercat o modelare astfel încât să fie în același timp apropiată de forma reală dar fără a realiza o perforare puternică, care să ne depărteze de modelul teoretic. Pentru cazul în care s-a dorit simularea efectelor produse la detonația încărcăturii de exploziv s-a folosit solverul Euler (în această metodă rețeaua numerică este fixă în spațiu, iar materialul fizic se deplasează prin rețea) pentru modelarea aerului ca mediu de propagare a undei de șoc și a încărcăturii de exploziv. Deoarece bomba impactează placa din beton sub un unghi de 25 ° (tabelul 3.2) strucuturile sunt simetrice doar după un plan și se poate modela doar jumătate din bombă, respectiv straturi (figura 3.5a). Modelul geometric este prezentat în figura 3.5b.
În cazul simulării efectelor produse în urma detonației, s-a optat pentru o modelare în 2D pentru a scădea numărul total de elemente și în acest fel timpul de rulare. Algoritmul de lucru a fost următorul: se modelează întâi straturile și bomba ca și în cazul impactului. Aici trebuie avut în vedere că pentru simularea 3D a detonației, pentru a putea realiza propagarea undei de șoc este nevoie de un volum suplimentar care să fie umplut cu aer și ale cărui limite să depășească limitele modelului pentru impact. Rezultă de aici un număr cel puțin dublu de elemente, care ar fi condus la un timp de rulare inacceptabil. Acesta este motivul pentru care s-a optat pentru modelarea 2D pentru impact cu explozie. Fiind vorba de o modelare 2D, în Autodyn 2D nu se acceptă decât modele simetrice (modelul cu impact sub un anumit unghi nu este un model simetric) și atunci s-a considerat un impact normal a bombei cu straturile (unghiul în punctul de contact fiind zero). După modelarea geomerică a straturilor și a bombei (figura 3.5c) și introducerea condițiilor inițiale și de contur, s-a rulat problema până la un timp corespunzător scenariului ales. La atingerea timpului stabilit s-a îndepărtat bomba și în locul ei, aproape în aceeași poziție (figura 3.5d), a fost introdusă încărcătura de exploziv, care apoi a fost inițiată și s-au înregistrat rezultatele.
Încărcătura de exploziv pentru cazul când aceasta detonează se modelează prin “umplerea” efectivă a unei spațiu din modelul de material aer cu material de tip TNT.
stabilirea condițiilor inițiale. Se folosește pentru a imprima viteza proiectului la contactul cu primul strat. Deoarece bomba este înclinată sub un unghi de 25° față de verticală se introduce viteza la impact prin intermediul celor două componente verticală și orizontală (figura 3.6).
d) stabilirea condițiilor de contur. Stratul portant este simplu rezemat (are blocată deplasarea după direcția axei Z) și toate straturile au limitată deplasarea în plan, după cele două direcții X și Y (în realitate straturile sunt înconjurate de sol, care le limitează deplasările laterale). În cazul detonației încărcăturii de exploziv, pentru ca unda de șoc să nu se reflecte de fețele laterale și cea superioară a volumului de aer, s-a folosit opțiunea Flow Out, care permite curgerea materialului (aer sau gaze de explozie rezultate în urma detonației încărcăturii), fără a ține seama de aceste suprafețe limită. Această opțiune permite folosirea unui volum mic de aer, care să înconjoare modelul Lagrange. Condițiile de contur pentru impact și explozie sunt prezentate în figura 3.7
stabilirea punctului de inițiere. Se realizează prin indicarea punctului de detonație, conform figurii 3.8.
dispunerea traductorilor virtuali în vederea extragerii diferiților parametri după rulare. Poziția traductorului cu ajutorul căruia s-a determinat viteza bombei presiunea în zona de detonație a încărcăturii de exploziv, precum și poziția tuturor traductorilor folosiți sunt prezentați în figurile următoare.
rularea și vizualizarea rezultatelor.
3.3 Prezentarea scenariilor de impact
La prezentarea scenariilor de impact trebuie avut în vedere faptul că timpul setat pentru rularea fiecărui scenariu a fost de aproximativ 12 ms, timp în care viteza proiectilului pe direcția axei Z (perpendiculară pe placa din beton armat) scade la zero. În situațiile în care s-a constatat că după 12 ms viteza proiectilului nu a scăzut la zero și s-a stabilizat la alta valoare, rularea a fost întreruptă și s-au luat în calcul valorile înregistrate la acel moment. Trebuie notat faptul că rularea pentru un scenariu poate dura între 20 și 26 ore în funcție de parametrii setați (grosime straturi, viteză bombă etc.).
3.3.1 Scenariul 1
Scenariul S1 constă în determinarea influenței pe care o are grosimea stratului elastic asupra deformației maxime a stratului portant, în condiții inițiale standard de dimensiuni ale plăcilor, masă bombă, viteză rămasă și unghi în punctul de contact (paragraful 3.1 și tabelul 3.2).
Scenariul S1.1
Stratul elastic din nisip are grosimea de 10 cm, iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S1.2
Stratul elastic din nisip are grosimea de 30 cm, iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S1.3
Stratul elastic din nisip are grosimea de 50 cm, iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S1.4
Stratul elastic din nisip are grosimea de 100 cm, iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S1.5
Stratul elastic din nisip are grosimea de 150 cm, iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
7.3.2 Scenariul 2
Scenariul S2 constă în determinarea influenței pe care o are tipul stratului elastic asupra deformației maxime a stratului portant, în condiții inițiale standard de dimensiuni ale plăcilor, masă bombă, viteză rămasă și unghi în punctul de contact (paragraful 3.1 și tabelul 3.2).
Scenariul S2.1
Stratul elastic este de tip pământ cu densitatea inițială de 1368 kg/m3 și o valoare a modulului de elasticitate transversal de 3764 kPa. Pentru simulare a fost creat un model de material nou având o ecuație de stare de tip Compactation, model de rezistență de tip Granular și un model de cedare de tip Hydro-tensile limit. Parametrii modelului de material au fost introduși conform datelor prezentate de Fiserova în lucrarea [88]. Stratul de pământ are grosimea de 150 cm iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S2.2
Stratul elastic este de tip LECA (Light Expanded Clay Aggregates) [89] cu densitatea inițială de 320.43 kg/m3 și o valoare a modulului de elasticitate transversal de 27.40 MPa. Materialul LECA este un material promițător pentru atenuarea șocului transmis prin sol datorită impedanței acustice scăzute. Pentru simulare a fost creat un model de material nou având o ecuație de stare de tip Compactation, model de rezistență de tip Granular și un model de cedare de tip Hydro-tensile limit. Parametrii modelului de material au fost introduși conform datelor prezentate de Laine în lucrarea [89]. Stratul de LECA are grosimea de 150 cm iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
3.3.3 Scenariul 3
Scenariul S3 constă în determinarea influenței pe care o are unghiul făcut de axa de simetrie a bombei cu normala la stratului elastic în punctul de contact, asupra deformației stratului portant. Toate celelalte scenarii sunt descrise pentru un unghi în punctul de contact (figura 3.2) de 25°. Acest unghi a fost ales deoarece este cel mai întălnit în cazul lansării bombelor din avion. Pentru acest scenariu s-a ales cazul cel mai defavorabil și anume un unghi de zero grade în punctul de contact. Stratul elastic este din nisip și are grosimea de 150 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2)
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
3.3.4 Scenariul 4
Scenariul S4 constă în determinarea influenței pe care o are viteza bombei în punctul de contact asupra deformației stratului portant. În calculele teoretice acest parametru corespunde impulsului bombei în punctul de contact H (paragraful 2.5.2. din capitolul II). Pentru acest scenariu grosimea straturilor a fost următoarea: 30 cm pentru straturile rigid și portant din beton armat și 80 cm pentru stratul elastic din nisip, figura 3.18. A fost alesă grosimea de 80 cm pentru stratul elastic din considerente privind reducerea timpului de calcul pentru simulări. Deoarece în modelele teoretice s-a luat în calcul un impactor care se deplasa pe o direcție perpendiculară pe stratul rigid, valorile vitezei bombei în punctul de contact au fost calculate astfel încât componentele pe direcția normală la placă să conducă la valoarea impulsului corespunzător fiecărui subscenariu S4 din tabelul 3.2. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Scenariul S4.1
Viteza bombei în punctul de contact este de 20 m/s și corespunzător acestei viteze valoarea impulsului pe direcția normală la stratul rigid este de 9000 kg*m/s. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S4.2
Viteza bombei în punctul de contact este de 33.2 m/s și corespunzător acestei viteze valoarea impulsului pe direcția normală la stratul rigid este de 15000 kg*m/s. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S4.3
Viteza bombei în punctul de contact este de 88.5 m/s și corespunzător acestei viteze valoarea impulsului pe direcția normală la stratul rigid este de 30000 kg*m/s. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S4.4
Viteza bombei în punctul de contact este de 133.5 m/s și corespunzător acestei viteze valoarea impulsului pe direcția normală la stratul rigid este de 60000 kg*m/s. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S4.5
Viteza bombei în punctul de contact este de 200 m/s (viteza în punctul de contact pentru toate celelalte scenarii)și corespunzător acestei viteze valoarea impulsului pe direcția normală la stratul rigid este de 90000 kg*m/s. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S4.6
Viteza bombei în punctul de contact este de 230 m/s (viteza în punctul de contact pentru toate celelalte scenarii)și corespunzător acestei viteze valoarea impulsului pe direcția normală la stratul rigid este de 100000 kg*m/s. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
3.3.5 Scenariul 5
Scenariul S5 constă în determinarea influenței pe care o are grosimea stratului portant asupra deformației acestuia. Pentru acest scenariu grosimea straturilor a fost următoarea: 30 cm pentru stratul rigid și 80 cm pentru stratul elastic din nisip. Grosimea stratului portant a variat de la 30 cm (sceanariul S4.5), la 50, 80 și 100 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Scenariul S5.1
Grosimea stratului portant din beton aramat este de 50 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S5.2
Grosimea stratului portant din beton aramat este de 80 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S5.3
Grosimea stratului portant din beton armat este de 100 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
3.3.6 Scenariul 6
Scenariul S6 constă în determinarea influenței pe care o are existența mai multor straturi rigide și elastice asupra deformației stratului portant. Pentru acest scenariu s-a plecat de la ideea utilizării a două straturi rigide din beton armat, două straturi elastice din nisip și un strat portant din beton armat. Pentru primele două scenarii stratul rigid de 30 cm a fost împărțit în două straturi de 20 și 10 cm grosime, straturile elastice din nisip a avut grosimea de 25 cm, respectiv 50 cm, iar stratul portant de 30 cm. Pentru scenariile 3 și 4 cele două straturi elastice din nisip au avut grimea de 40 cm fiecare, stratul rigid din mijloc de 30 cm și au fost variate grosimile straturilor portante și primul strat rigid, care au avut grosimile de 40 și 30 cm, respectiv 30 și 40 cm (tabelul 3.2). Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Scenariul S6.1
Grosimile straturilor și tipul lor au fost: rigid 20cm, elastic 25 cm, rigid 10 cm, elastic 25 cm și portant 30 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S6.2
Grosimile straturilor și tipul lor au fost: rigid 20cm, elastic 50 cm, rigid 10 cm, elastic 50 cm și portant 30 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S6.3
Grosimile straturilor și tipul lor au fost: rigid 30 cm, elastic 40 cm, rigid 30 cm, elastic 40 cm și portant 40 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
Scenariul S6.4
Grosimile straturilor și tipul lor au fost: rigid 40 cm, elastic 40 cm, rigid 30 cm, elastic 40 cm și portant 30 cm. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Nivelul de distrugere și presiunea corespunzătoare la același moment de timp sunt prezentate în figura următoare.
3.4 Prezentarea scenariilor de explozie
În cazul simulării efectelor produse în urma detonației, s-a optat pentru o modelare în 2D pentru a scădea numărul total de elemente și în acest fel timpul de rulare. Algoritmul de lucru a fost următorul: s-au modelat straturile și bomba ca și în cazul scenariului de impact. Deoarece Autodyn 2D nu acceptă decât modele simetrice, iar modelul cu impact sub un anumit unghi nu este un model simetric, s-a considerat un impact normal dintre bombă și straturile de protecție. După modelarea geomerică a straturilor și a bombei (figura 3.5c) și introducerea condițiilor inițiale și de contur, s-a rulat problema până la un timp corespunzător scenariului ales, tabelul 3.3. La atingerea timpului stabilit s-a îndepărtat bomba și în locul ei, aproape în aceeași poziție (figura 3.5d), a fost introdusă încărcătura de exploziv, care a fost apoi inițiată.
3.4.1 Scenariul 7.1
Scenariul S7.1 constă în explozia încărcăturii de 250 kg echivalent TNT în contact cu stratul rigid. Inițierea încărcăturii de exploziv se produce imediat după contactul bombei cu stratul rigid (t = 0.2 ms), presupunând că bomba este echipată cu focos de contact. Celelate caracteristici ale straturilor sunt prezentate în tabelul 3.3.
Fazele de acțiune ale bombei, de aplicare a încărcăturii de exploziv, nivelul de distrugere al stratului portant și variația presiunii sunt prezentate în figura următoare.
3.4.2 Scenariul 7.2
Scenariul S7.2 constă în explozia încărcăturii de 250 kg echivalent TNT în interiorul stratului rigid. Scopul acestui scenariu a fost determinarea influenței tipului stratului elastic (nisip, pământ, LECA) asupra deformației maxime a stratului portant. Înlăturarea bombei și aplicarea încărcăturii de exploziv s-a realizat la t = 2.80 ms, când stratul rigid aproape a fost străpuns. Celelate caracteristici ale straturilor sunt prezentate în tabelul 3.3.
Fazele de acțiune ale bombei, de aplicare a încărcăturii de exploziv, nivelul de distrugere al stratului portant și variația presiunii sunt prezentate în figura următoare.
3.4.3 Scenariul 7.3
Scenariul S7.3 constă în explozia încărcăturii de 250 kg echivalent TNT în interiorul stratului elastic din nisip pentru a observa nivelul de deteriorare al stratului portant. Înlăturarea bombei și aplicarea încărcăturii de exploziv s-a realizat la t = 12.46 ms, când bomba a pătruns dincolo de jumătatea stratului elastic. Celelate caracteristici ale straturilor sunt prezentate în tabelul 3.3.
Fazele de acțiune ale bombei, de aplicare a încărcăturii de exploziv, nivelul de distrugere al stratului portant și variația presiunii sunt prezentate în figura următoare.
3.4.4 Scenariul 7.4
Scenariul S7.4 constă în explozia încărcăturii de 250 kg echivalent TNT în contact cu stratul portant după perforarea stratului elastic din nisip. Înlăturarea bombei și aplicarea încărcăturii de exploziv s-a realizat la t = 21.93 ms, când bomba ajuns în contact cu stratul portant. Celelate caracteristici ale straturilor sunt prezentate în tabelul 3.3.
Fazele de acțiune ale bombei, de aplicare a încărcăturii de exploziv, nivelul de distrugere al stratului portant și variația presiunii sunt prezentate în figura următoare.
3.5 Interpretarea rezultatelor pentru scenariile de impact
Pentru intepretarea rezultatelor se vor urmări scenariile prezentate la punctul 3.3.
3.5.1 Influența grosimii stratului elastic
Pentru stabilirea influenței grosimii stratului elastic asupra deformației stratului portant s-a determinat variația deplasării după direcția axei Z (direcția perpendiculară pe straturile de protecție) a stratului portant în punctul de deformație maximă folosind traductoarele virtuale dispuse la partea inferioară a acestuia (figura 3.9b). Materialul folosit pentru stratul elastic a fost nisip, iar grosimile acestuia au fost de 10, 30, 50, 100 și 150 cm. Variația deformațiilor maxime a stratului portant în funcție de grosimea stratului elastic se poate vedea în figura 3.34.
Figura 3.34 Influența grosimii stratului elastic asupra deformației
maxime a stratului portant
Valorile maxime ale deformațiilor maxime ale stratului portant au fost determinate la momente de timp la care componenta normală la stratul rigid a vitezei bombei se apropie de valoarea zero sau stagnează la o valoare aproape de zero, figura 3.35.
Figura 3.35 Variația în timp a componentei după direcția axei Z
(normală la stratul rigid) a vitezei bombei
Analizând graficul din figura 3.34 s-a constatat că deformația maximă a stratului portant a scăzut odată cu creșterea grosimii stratului de nisip.
Pentru grosimi mici ale stratului de nisip (10-50 cm) deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mari cu 100-122% față de valorile calculate după modelul teoretic.
Pentru grosimi mai mari ale stratului elastic (100-150 cm) deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mici cu 14-51 % decât valorile calculate după modelul teoretic.
Cauzele pentru aceste diferențe ar putea fi neluarea în considerare în modelul teoretic a aspectelor legate de forma proiectilului și comportarea materialului la viteze mari de aplicare a încărcării.
Astfel factorul de creștere dinamică a rezistenței betonului este aproximativ 3 la compresiune [92] și 5 la întindere [93] [94] pentru viteze de deformație, cuprinse între 104 și 106 s-1, corespunzătoare fenomenelor de impact și detonație în contact [92].
Analizând nivelul de distrugere a stratului portant (nivelul de distrugere variază de la 0 – culoarea albastră, care înseamnă că nu sunt deformații plastice, până la 1 – culoarea rosie, care înseamnă că distrugerea materialului în acea zonă este completă) pentru grosimile stratului elastic studiat se constată că, (figura 3.36), pentru caracteristicile bombei și ale straturilor luate în considerare (tabelul 3.2), stratul portant nu este afectat în nici un fel doar pentru grosimea stratului de nisip de 150 cm.
3.5.2 Influența tipului de material al stratului elastic
Au fost testate trei tipuri de material pentru stratul elastic: nisip, pământ și material de tip LECA [3]. Pentru fiecare caz studiat grosimea stratului elastic a fost aceeași de 150 cm, celelalte caracteristici fiind prezentate în tabelul 3.2.
Variația deformațiilor maxime a stratului portant în funcție de tipul materialului stratului elastic se poate vedea în figura 3.37.
Figura 3.37 Influența tipului de material al stratului elastic asupra deformației
maxime a stratului portant
Valorile maxime ale deformațiilor maxime ale stratului portant au fost determinate la momente de timp la care componenta normală la stratul rigid a vitezei bombei se apropie de valoarea zero sau se menține constantă la o anumită valoare, figura 3.38.
Figura 3.38 Variația în timp a componentei după direcția axei Z
(normală la stratul rigid) a vitezei bombei
3.5.3 Influența unghiului bombei în punctul de contact
Pentru a studia influența pe care o are unghiul făcut de axa de simetrie a bombei cu normala la stratului elastic în punctul de contact, asupra deformației stratului portant, s-a ales un unghi de zero grade în loc de 25° cât este valoarea unghiului pentru toate celelalte cazuri. Stratul elastic este din nisip și are grosimea de 150 cm, iar celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Din analiza variației în timp a deformației stratului portant, figura 3.40, se poate constata că efectul produs de impactul bombei asupra stratului portant este maxim atunci când unghiul bombei în punctul de contact este zero. Acest lucru se poate observa și din analiza nivelului de deteriorare al stratului portant pentru unghiuri de douazeci și cinci, respectiv zero grade, pentru același tip de material și grosime al stratului elastic.
3.5.4 Influența impulsului bombei
Pentru determinarea influenței impulsului bombei în momentul impactului asupra deformației stratului portant, s-au imprimat bombei șase viteze diferite în punctul de contact, celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei fiind identice (tabelul 3.2).
Figura 3.41 Influența vitezei bombei în punctul de contact asupra deformației
maxime a stratului portant
Variația deformațiilor maxime a stratului portant în funcție de impulsul bombei în punctul de contact este prezentată în figura 3.41.
Figura 3.42 Variația în timp a componentei după direcția axei Z
(normală la stratul rigid) a vitezei bombei
Valorile maxime ale deformațiilor maxime ale stratului portant au fost determinate la momente de timp la care componenta normală la stratul rigid a vitezei bombei s-a apropiat de valoarea zero sau s-a menținut constantă la o anumită valoare, figura 3.42.
S-a constatat că valoarea deformației maxime a stratului portant a crescut pe măsură ce valoarea vitezei în punctul de contact crește, figura 3.41. Începând de la viteze de 150 m/s valoarea deformației maxime se apropie și depășește 10 cm.
Comparând valorile maxime ale deformației obținute prin simulare cu cele obținute prin calcule pe baza modelelor teoretice s-a constatat că valorile obținute prin simulare sunt mai mici cu procente cuprinse între 87% și 33% pentru viteze mici (20-65 m/s). Pentru viteze mari (133-225 m/s) deformațiile obținute prin simulare au fost mai mari cu procente cuprinse între 43% și 128% față de deformațiile calcule pe baza modelelor teoretice.
Explicația acestor diferențe poate fi aceea că rezultatele obținute prin simulare țin cont de comportarea materialelor la încărcări dinamice, respectiv viteze mari de încărcăre. Se poate constata din figura 3.43 că la viteze mici ale bombei în punctul de contact apare ricoșarea bombei datorită rezistenței betonului la pătrunderea bombei, fenomen ce nu poate fi suprins în modelele teoretice.
3.5.5 Influența grosimii stratului portant
Pentru determinarea influenței pe care o are grosimea stratului portant asupra deformației acestuia s-au făcut simulări cu grosimi ale stratului portant de 30, 50, 80 și 100 cm. Grosimea stratului rigid a fost de 30 cm și 80 cm pentru stratul elastic din nisip. Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale (tabelul 3.2).
Variația deformațiilor maxime a stratului portant în funcție de grosimea acestuia se prezintă în figura 3.44.
Figura 3.44 Influența grosimii stratului portant asupra deformației
maxime a acestuia
Valorile maxime ale deformațiilor maxime ale stratului portant au fost determinate la momente de timp la care componenta normală la stratul rigid a vitezei bombei se apropie de valoarea zero sau se menține constantă la o anumită valoare, figura 3.45.
Figura 3.45 Variația în timp a componentei după direcția axei Z
(normală la stratul rigid) a vitezei bombei
Din analiza graficelor prezentate în figura 3.44 se poate constata, cum era și firesc, că deformația maximă a stratului portant scade odată cu creșterea grosimii acestuia (stratului portant). Această deformație maximă a stratului portant va produce și un nivel corespunzător al deteriorării stratului portant în funcție de grosimea acestuia, figura 3.46.
Este interesant de observat o comparație între deformația maximă a stratului portant pentru diverse grosimi ale stratului portant (SP) și cel elastic (SE), figura 3.47. Se poate constata că se obțin aproximativ aceleași deformații maxime pentru următoarele combinații de grosimi ale straturilor:
30 cm pentru SP și 150 cm pentru SE cu 80 cm pentru SP și 80 cm pentru SE;
30 cm pentru SP și 100 cm pentru SE cu 50 cm pentru SP și 80 cm pentru SE.
Figura 3.47 Analiza comparativă a deformației maxime a stratului portant în
funcție de diferite grosimi ale stratului portant (SP) și cel elastic (SE)
3.5.6 Influența numărului de straturi și a grosimii acestora
Pentru determinarea influenței pe care o are existența mai multor straturi rigide și elastice asupra deformației stratului portant s-au utilizat două straturi rigide din beton armat, două straturi elastice din nisip și un strat portant din beton armat.
Pentru primele două scenarii stratul rigid de 30 cm a fost împărțit în două straturi de 20 și 10 cm grosime, straturile elastice din nisip a avut grosimea de 25 cm, respectiv 50 cm, iar stratul portant de 30 cm.
Pentru scenariile 3 și 4 cele două straturi elastice din nisip au avut grimea de 40 cm fiecare, stratul rigid din mijloc de 30 cm și au fost variate grosimile straturilor portante și primul strat rigid, care au avut grosimile de 40 și 30 cm, respectiv 30 și 40 cm (tabelul 3.2). Celelalte caracteristici ale plăcilor și bombei sunt cele inițiale.
Variația deformațiilor maxime a stratului portant în funcție de grosimea straturilor se prezintă în figura 3.48.
Figura 3.48 Influența grosimii straturilor rigid (SR), portant (SP) elastic (SE) asupra deformației maxime a stratului portant.
Semnificația legendei: 20_25_10_25_30 – SR 20cm, SE 25cm, SR 10cm, SE 25cm, SP 30cm
Analiza graficelor din figura 3.48 nu scoate foarte bine în evidență influența pe care numărul de straturi rigide și elastice precum și grosimea acestora o are asupra deformației stratului portant.
Se poate observa că este mai importantă grosimea stratului portant decât grosimea primului strat rigid (ultimele două scenarii SR30_SE40_SR30_SE40_SP40 și SR40_SE40_SR30_SE40_SP30).
De asemenea, se constată că grosimea stratului elastic este mai importantă decât grosimea stratului rigid (scenariul SR20_SE50_SR10_SE50_SP30 comparativ cu scenariul SR40_SE40_SR30_SE40_SP30).
Influența numărului de straturi și grosimea acestora asupra deformației maxime a stratului portant se poate observa mult mai bine dacă se compară scenariile în care grosimea totală a straturilor este aceeași.
Astfel scenariul SR20_SE25_SR10_SE25_SP30 se poate compara cu scenariul SR30_SE50_SP30, scenariul SR20_SE50_SR10_SE50_SP30 se poate compara cu scenariul SR30_SE100_SP30, iar ultimele două scenarii SR30_SE40_SR30_SE40_SP40 și SR40_SE40_SR30_SE40_SP30 se pot compara cu scenariul SR30_SE80_SP30, figura 3.49.
Se constată din analiza graficelor prezentate în figura 3.49 că deformația maximă a stratului portant în cazul scenariilor SR20_SE25_SR10_SE25_SP30 și SR30_SE50_SP30 (grosimea totala a straturilor rigide 30cm, a straturilor elastice 50cm și portant 30cm) este aproximativ aceeași după 7 ms. Stratul portant se deformează mai greu în cazul existenței a trei straturi dar după 7ms deformația este aceeași.
În cazul scenariilor SR20_SE50_SR10_SE50_SP30 și SR30_SE100_SP30 (grosimea totala a straturilor rigide 30cm, a straturilor elastice 100cm și portant 30cm) se constată că în cazul cu un singur strat rigid și unul elastic (stratul portant fiind la fel) deformația maximă a stratului portant este mai mică decât în cazul dispersării stratului rigid în două straturi și a celui elastic în alte două straturi.
Pentru ultimele trei scenarii, graficele din figura 3.49 arată că la aceeași grosime a straturilor elastice (80 cm) și existența unui strat rigid în plus de grosime 30cm, defomația maximă a stratului portant este aproape dublă.
Concluzia este că, pe măsură ce grosimea stratului elastic crește, se obțin rezultate mai bune dacă acesta rămâne singur și nu este distribuit în mai multe straturi.
Figura 3.49 Analiza comparativă a deformației maxime a stratului portant în
funcție de numărul de straturi și grosimile acestora
3.6 Interpretarea rezultatelor pentru scenariile de explozie
Pentru intepretarea rezultatelor scenariilor de explozie se va pleca de la o comparație între graficele deformațiilor maxime ale stratului portant pentru unele dintre scenariile prezentate în subcapitolul 3.4. Astfel, în figura 3.50 se prezintă deformația maximă a stratului portant (SP) atunci când bomba perforează stratul rigid (SR), trece prin stratul elastic (SE) din nisip și ajunge în contact cu stratul portant. Explozia încărcăturii de exploziv în acest punct al traiectoriei bombei în straturile de protecție produce o distrugere totală a stratului portant, fapt confirmat atât de graficul deplasării maxime din figura 3.50 cât și de nivelul de distrugere al stratului portant din figura 3.51.
Figura 3.50 Analiza comparativă a deformației maxime a stratului portant în
funcție de diferite scenarii de explozie
Este interesant de urmărit panta graficelor din figura 3.50. Astfel, panta deformației produsă de avansarea bombei este mai puțin accentuată în comparație cu cele produse de explozia încărcăturii bombei. Pe măsură ce detonația încărcăturii de exploziv se produce mai aproape de stratul portant, panta curbei crește (panta curbei Explozie în contact SR-nisip este mai lină decât a curbei Explozie in interior SE-LECA, care la rândul ei este mai mică decât cea pentru Explozie în contact SP). De asemenea, se poate constata că timpul la care începe deformația stratului portant pentru explozia în contact cu stratul rigid a încărcăturii bombei (Explozie in contact SR-nisip), de 4 ms este mai mic decât timpul la care începe deformația stratului portant pentru scenariul de impact a bombei cu straturile de protecție (Impact bombă), aproximativ 5.9 ms. Explicația poate fi aceea că viteza de propagare a undei de șoc produsă în urma detonației încărcăturii de exploziv este mai mare decât cea a undei de șoc rezultată în urma impactului dintre bombă și straturile de protecție.
O comparație între deformațiile stratului portant produse în urma detonației încărcăturii de exploziv a bombei în interioarul stratului rigid, pentru diferite materiale ce compun stratul elastic, este prezentată în figura 3.52. Deoarece timpul de rulare pentru cazurile în care stratul elastic era format din nisip și pământ a depășit 48 ore din cauza pasului de timp foarte mic (1s-5s), nu se poate face o apreciere corectă a nivelului de distrugere a stratului portant în funcție de tipul materialului. Se poate observa însă că din cauza densității mai mici a materialului de tip LECA [89] [90] deformația stratului portant începe puțin mai târziu (se produce o compactare mai mare a acestui tip de material), dar panta curbei este aproximativ aceeași ca și la celelalte două materiale și este mai mare decât cea a curbei care reprezintă deformația stratului portant în cazul în care se produce impactul cu bomba.
Figura 3.52. Deformațiile stratului portant produse în urma detonației încărcăturii de exploziv a bombei în interioarul stratului rigid, pentru diferite materiale ce compun stratul elastic
Concluzia este că detonația încărcăturii de exploziv va accentua distrugerea stratului portant cu atât mai mult cu cât se produce mai aproape de acesta și atenuarea undei de șoc produsă de explozie este mai bună pentru materialul de tip LECA decât pentru nisip sau pământ.
3.7 Concluziile rezultate în urma efectuării simulărilor numerice
Simulările numerice efectuate în acest capitol au avut ca scop determinarea comportării stratului portant din beton armat, în calitate de ultim strat dintr-o serie de trei sau mai multe straturi de protecție a unui adăpost, la acțiunea undei de șoc produsă în urma impactului dintre un proiectil/bombă și straturile de protecție sau a undei de șoc produsă în urma detonației încărcăturii de exploziv conținută în proiectil/bombă.
Pentru o analiza cât mai cuprinzătoare simulările au fost efectuate distinct pentru cazul impactului dintre bombă și straturile de protecție și cazul impact bombă și detonație încărcătură de exploziv conținută în bombă.
Pentru primul caz scenariile de simulare cuprinse în tabelul 3.2 au presupus atât variația parametrilor bombei (viteza și unghiul bombei în punctul de contact), cât și a celor care sunt legați de straturile de protecție (tipul materialului și grosimea stratului, numărul de straturi și dispunerera acestora).
Pentru cazul a doilea s-a urmărit în principal influența poziției bombei în raport cu stratul portant, în momentul inițierii încărcăturii de exploziv, asupra deformației maxime a acestuia.
După efectuarea simulărilor au rezultat următoarele concluziile și observații:
Calculele analitice pe baza modelelor teoretice dezvoltate în capitolul II, sunt validate doar în anumite condiții. Astfel s-a constatat că diferențele dintre deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mari cu 100-122% față de valorile calculate după modelul teoretic pentru grosimi mici ale stratului elastic (10-50 cm), după care, pe măsură ce stratul elastic se mărește ca grosime (100-150cm), deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mici cu 14-51 % decât valorile calculate după modelul teoretic.
De asemenea, au fost constatate prin simulare fenomene care nu pot fi surprinse în modelele teoretice. S-a constatat astfel că pentru viteze mici de impact ale bombei (mai mici de 90 m/s) apare fenomenul de ricoșare ceea ce duce la diferențe semnificative între rezultatele obținute prin simulare și cele analitice. S-a constatat că valorile obținute prin simulare sunt mai mici cu procente cuprinse între 87% și 33% pentru viteze mici (20-65 m/s). Pentru viteze mari (133-225 m/s) deformațiile obținute prin simulare au fost mai mari cu procente cuprinse între 43% și 128% față de deformațiile calcule pe baza modelelor teoretice.
Se recomandă îmbunătățirea modelelor teoretice prin luarea în considerare a fenomenului de modificare a proprietăților materialelor la viteze mari de deformație și prin introducerea unui coeficient de formă pentru proiectil/bombă, care are o influență considerabilă asupra perforării diferitelor straturi de protecție a adăposturilor;
În urma simulărilor a rezultat faptul că pentru caracteristicile bombei luate în calcul ( viteză în punctul de contact – 200 m/s și unghiul de înclinare 25°) și configurația cu trei straturi de protecție (strat rigid de 30 cm din beton, strat elastic și strat portant de 30 cm din beton), grosimea stratului elastic din nisip trebuie să fie de cel puțin 150 cm pentru ca stratul portant să nu sufere nici o deteriorare;
Prin introducerea în simulare ca parametru a tipului de material pentru stratul elastic s-a constatat că la impact cea mai bună atenuare o are stratul din pământ (sol de tip prerie cu 7% umiditate), la mică diferență față de nisip, iar la explozie cea mai bună atenuare o are materialul de tip LECA, dar diferențele față de pământ și nisip nu sunt mari și trebuie avut de asemenea în vedere și prețul de cost pentru fiecare.
Folosirea unui număr mai mare de straturi nu aduce întotdeauna rezultate mai bune în ceea ce privește deformarea stratului portant. S-a constatat că grosimea stratului elastic (cel care este și cel mai ieftin și a cărui grosime poate fi modificată cu costuri mai reduse) are un rol important în reducerea deformației stratului portant. Pe măsură ce grosimea stratului elastic crește, se obțin rezultate mai bune dacă acesta rămâne singur și nu este distribuit în mai multe straturi, chiar dacă între aceste straturi se mai dispune un strat rigid suplimentar.
În cazul detonației încărcăturii de exploziv s-a constatat că distrugerea stratului portant se va accentua cu atât mai mult cu cât explozia se produce mai aproape de acesta și atenuarea undei de șoc produsă de explozie este mai bună pentru materialul de tip LECA decât pentru nisip sau pământ.
Capitolul IV
4.Cercetări experimentale privind comportarea elementelor stratificate la acțiunile dinamice provocate de explozii
Din lectura părții teoretice referitoare la plăcile stratificate, s-a constatat că pentru efectuarea calculului acestor plăci a fost necesar să se aleagă o schemă de calcul și să se admită anumite ipoteze simplificatoare, fără de care calculul nu ar fi fost posibil.
Pentru a se vedea dacă schema de calcul și ipotezele admise au fost sau nu apropiate de realitate și pentru a determina în ce măsură diverșii parametrii ai plăcilor stratificate influențează asupra comportării de ansamblu a acestora la șocuri, au fost necesare o serie de simulări pe calculator cu ajutorul programelor de calcul și efectuarea unor experimente (încercări de laborator).
În capitolele anterioare au fost studiate, în principal, problemele legate de comportarea elementelor stratificate la acțiunea dinamică generată ca urmare a impactului/exploziei cu un proiectil/bombă.
Scopul acestui capitol este de a prezenta efectele pe care le poate avea detonația încărcăturii de exploziv a bombei/proiectilului asupra straturilor/elementelor de protecție a unui adăpost în funcție de poziția încărcăturii față de acestea.
4.1. Noțiuni generale privind interacțiunea proiectilului/bombei cu elemente de construcție
Un proiectil (bombă) lansat asupra unei construcții poate acționa asupra acesteia în una din următoarele situații (figura 4.1) [95]:
în aer, deasupra construcției la o anumită înalțime de la suprafața acesteia înainte de a ajunge în punctul de contact (figura 4.1a);
în aer, aproape de suprafața construcției după ce în prealabil a atins construcția și a ricoșat (figura 4.1b);
pe suprafața construcției, alăturat acesteia (figura 4.1c);
în corpul construcției sau în elementele rezistente care protejează construcția, după ce a pătruns la o anumită adâncime (figura 4.1d);
alăturat de obstacol sau la o anumită distanță (r) de acesta și la o anumită adâncime (h) în teren (figura 4.1e);
în interiorul construcției (în încăperea lucrării), după ce, eventual a străpuns stratul ( straturile de protecție) (figura 4.1f).
În situația când construcția este o lucrare de fortificație cu planșeu stratificat (figura 4.1e), bomba, după ce parcurge grosimea de mascare (vegetal), ajunge la stratul rigid asupra căruia determină următoarele efecte: realizează o acțiune generală ca urmare a șocului inițial, urmată apoi de o acțiune locală materializată prin pătrunderea bombei și o mică dislocare a materialului în imediata sa vecinătate. După realizarea exploziei acțiunea locală se amplifică prin crearea pâlniei de explozie ca urmare a efectului de brizanță și în același timp apare în construcție o acțiune generală, ca urmare a undelor elastice de deformație determinate de șocul produșilor de explozie. Dacă bomba nu are suficientă energie cinetică pentru a străpunge salteaua de protecție, atunci asupra structurii de rezistență a lucrării de fortificații va rezulta o acțiune generală ca urmare a presiunii distribuite și transmise prin stratul elastic (de distribuție).
Spre deosebire de celelalte structuri, unde efectele acțiunii locale și generale au loc concomitent, practic se suprapun, în cazul lucrărilor (elementelor) care folosesc saltele sau pinteni de protecție, asupra lucrării propriu-zise nu intervine decât acțiunea generală și care este cu mult diminuată.
Mărimea distrugerilor locale provocate de proiectil/bombă este în funcție de mai mulți factori, dintre care cei mai importanți sunt:
– tipul proiectilului sau bombei (cu acțiunea fugasă, ruptură-beton, perforant etc.);
– forma și rezistența proiectilului;
– viteza rămasă (de contact) Vr a proiectilului;
– mărimea unghiului de contact , în puntul de incidență al proiectilului cu suprafața construcției;
– mărimea încărcăturii active cu care este echipat proiectilul;
– caracteristicile materialului din care este alcătuită construcția.
Având în vedere factorii care influențează mărimea distrugerilor locale și scopul lucrării, s-au avut în vedere pentru acest capitol încercările experimentale care vizează efectele produse la detonația încărcăturii de exploziv asupra unui element de construcție.
Pentru o mai bună înțelegere a efectelor produse la detonația unei încărcături de exploziv asupra elementelor de construcții sau rocilor se vor prezenta în continuare câteva aspecte privind transferul energiei exploziei în materiale de tip beton, rocă sau sol.
4.2 Transferului energiei exploziei în materiale de tip rocă, sol sau beton
La detonarea unei încărcături explozive se produce o undă de șoc ce se propagă concentric și are intensitatea maximă la locul de producere, respectiv la limita exterioară a încărcăturii explozive.
Acțiunea undei de șoc asupra mediului și modificările structurale pe care le produce în acesta este dependentă de valoarea distanței de la centrul încărcăturii explozive la suprafața liberă.
Apar astfel două situații distincte și anume: explozia unei încărcături aflate la distanță mare față de suprafața liberă și explozia unei încărcături aflate în apropierea suprafeței libere. În această ultimă situație apare un caz particular și anume cazul în care adâncimea de pătrunere a bombei/proiectilului este mai mică decât raza zonei de sfărâmare distrugere, caz în care se produce o aruncare a materialului și formarea pâlniei pe direcția rezistenței minime.
Se va prezenta tabloul general al acțiunii exploziei asupra geomaterialelor (roci, sol, beton) prin prezentarea etapelor procesului de detonație a încărcăturii de exploziv în interiorul mediului, în ordinea apariției și manifestării lor, astfel:
Etapa I Inițierea și detonația substanței explozive
După inițierea încărcăturii de exploziv prin acesta se propagă o undă de detonație în toate părțile cu aceeași viteză. În frontul undei de detonație se dezvoltă o presiune de , care se transmite rocii sub forma unei unde de șoc având aceeași direcție ca unda de detonație.
Etapa a II – a Transmiterea undei de șoc către mediu
Transferul energiei se realizează în funcție atât de caracteristicile explozivului cât și de caracteristicile materialului în care este introdusă încărcătura de exploziv, fiind dependent de impedanțele acustice ale acestora. Partea de energie rezultată în urma exploziei și care este transmisă mediului va fi cu atât mai mare cu cât raportul impedanțelor acustice ale explozivului și rocii va fi mai aproape de unitate.
Etapa a III – a Apariția zonei de sfărâmare (mărunțire)
Presiunea transmisă de explozie se propagă prin rocă sub forma unei unde oscilante prin intermediul căreia se transmite energia șocului.
În zona imediat următoare camerei de explozie, datorită valorilor foarte mari ale presiunii, comparativ cu rezistența la compresiune a mediului, au loc deformații plastice, care se manifestă prin mărunțirea (sfărâmarea) excesivă a rocii.
După trecerea undei de șoc se formează o zonă de rocă puternic deformată în imediata apropiere a încărcăturii. Dacă mediul este omogen și nu are o structură prea densă înainte de explozie atunci se formează în el un sistem de linii spirale de alunecare, ale căror tangente formează un unghi de circa 45° față de razele ce pornesc de la centrul încărcăturii (figura 4.2).
În acest domeniu unda nu oscilează, ea propagându-se la viteze supersonice sub forma unei unde de compresiune.
Din analiza variației valorilor tensiunii radiale în raport cu distanța de la locul de producere r (figura 4.3) s-a constatat că panta de descreștere a graficului este în domeniul în care valoarea tensiunilor este mai mare decât rezistența la compresiune a materialului . Datorită inegalității , efectul generat de tensiunile radiale asupra mediului solid se manifestă prin sfărâmarea acestuia în vecinătatea încărcăturii după cum s-a amintit mai sus.
În zona de mărunțire se consumă o cantitate mare de energie ceea ce explică scăderea accentuată a intensității undei de șoc. Raza zonei de mărunțire este până la , ro fiind raza încărcăturii explozive, ().
Pentru determinarea pe cale analitică a razei zonei de mărunțire a rocii sub influența exploziei, se poate folosi următoarea relație:
, (4.1)
în care:
– raza zonei de mărunțire, [m];
– diametrul cartușului exploziv, [m];
– densitatea explozivului, [kg/m3];
– căldura specifică a explozivului, [J/kg].
Etapa a IV-a Formarea zonei de fisurare
Ca urmare a amortizării puternice a undei de șoc în zona de mărunțire, în exteriorul acestei zone unda de șoc nu se mai poate propaga sub forma unei unde de compresiune ci sub forma unei unde oscilante.
În acest domeniu unda de șoc se propagă la viteze apropiate de viteza de propagare a sunetului în tipul respectiv de rocă. Mișcarea generală a unei particule se compune din oscilații longitudinale și oscilații transversale.
Raza zonei de fisurare se poate determina analitic folosind următoarea relație:
, (4.2)
în care:
– raza zonei de fisurare, [m];
– masa încărcăturii de exploziv din fiecare gaură de mină;
– rezistența la compresiune a rocii, [daN/cm2].
Etapa a V-a Propagarea sub forma undelor elastice
În afara zonei II – zona de fisurare (, ), unda de șoc, dacă nu întâlnește o suprafață liberă, se va propaga sub forma unei unde elastice (undă de tip seismic) pănă la amortizarea ei completă.
Dacă întâlnește o suprafață liberă atunci unda de șoc transmisă sub forma tensiunilor radiale (de compresiune) se descompune în:
componenta normală care părăsește masivul de rocă și se transmite în aer transformându-se în undă de șoc aeriană și ulterior în undă acustică;
componenta reflectată care se transformă în undă tangențială (de tracțiune).
Repartiția energiei undei de șoc între cele două componente este dependentă de raportul impedanțelor materialelor ce caracterizează cele două medii, raport egal cu:
(4.3) unde: , – densitatea materialelor din cele două medii;
, – viteza de propagare a undelor în cele două medii.
Dacă se notează cu energia undei incidente, se pot determina valorile energiilor de care dispun cele două unde:
pentru unda reflectată de tracțiune:
, (4.4)
pentru unda normală care se transformă în energie acustică:
.
4.3 Scopul încercărilor experimentale
Având în vedere poziția încărcăturii de exploziv față de plăcile din beton armat, în ordinea posibilă a locației:
în stratul de mascare, la distanță față de placa din beton armat cu rol de strat rigid;
la contactul cu aceasta sau în interiorul acesteia;
în stratul elastic din nisip, la distanță față de placa din beton armat cu rol de strat portant,
la contactul cu stratul portant sau în în cel mai rău caz în interiorul acesteia,
s-au efectuat unele încercări experimentale care să surprindă etapele de acțiune ale exploziei prezentate în subcapitolul anterior și să poată fi folosite pentru calibrarea modelor de material folosite la simularea fenomenelor de impact și explozie corespunzătoare acțiunii proiectilului/bombei asupra adăposturilor.
Dată fiind multitudinea și complexitatea fenomenelor analizate precum și gradul lor de abstractizare au fost realizate o serie de studii experimentale menite să ateste veridicitatea modelelor teoretice propuse și să releve aspectele specifice distrugerii prin explozie a elementelor din beton armat.
Studiile experimentale au fost îndreptate în următoarele direcții:
studiul comportării elementelor de construcții din beton armat la acțiunea detonației încărcăturilor explozive dispuse în contact cu acestea:
mecanismul de distrugere;
caracterizarea zonei de distrugere;
studiul influenței caracteristicilor elementelor de construcții asupra modului de distrugere:
influența tipurilor și a dimensiunilor elementelor de construcții;
influența caracteristicilor betonului;
influența cantității de armătură;
studiul influenței caracteristicilor materialelor explozive asupra modului de distrugere a elementelor de construcții:
influența tipului de exploziv;
influența cantității de exploziv.
4.4. Elemente de construcții și structuri utilizate pentru experimentări
Încercările s-au desfășurat în două etape corespunzător celor trei direcții după care s-au desfășurat cercetările experimentale:
Etapa a I-a – studiul comportării elementelor de construcții supuse acțiunii produse de detonația încărcăturilor de exploziv plasate în interiorul sau în contact cu acestea. Elementele de construcții sunt descrise în tabelul 4.1 și prezentate în figura 4.4;
Etapa a II-a – studiul acțiunii undelor de șoc rezultate în urma detonației încărcăturilor de exploziv plasate în sol, față de o structură. Structura este prezentată în figura 4.5.
În etapa I s-a urmărit determinarea experimentală a modului de distrugere a elementelor din beton armat de tip placă și grindă la acțiunea detonației încărcăturilor de exploziv dispuse în contact sau în interiorul elementelor.
Caracteristicile elementelor folosite pentru experimentele din această etapă sunt prezentate în tabelul 4.1 și figura 4.4.
Tabelul 4.1 Caracteristicile elementelor folosite la experimentări în etapa I
Caracteristici fizico-mecanice ale elementelor folosite în această etapă au fost:
beton de clasă C 12 /15, Rc = 15.5 N/mm2;
oțel beton : OB 37, Ra = 210 N/mm2;
oțel beton : PC 52 , Ra = 300 N/mm2.
În etapa a II-a s-a urmărit modul de comportare a unei structuri, figura 4.5, atunci când este supusă acțiunii undelor de șoc propagate prin sol.
4.5. Explozivi și amestecuri explozive utilizate pentru experimentări
În scopul evaluării interacțiunii dintre încărcăturile explozive și elementele de construcții și pentru determinarea influenței caracteristicilor explozivilor asupra modului de sfărâmare și distrugere a elementelor structurale ale construcțiilor, s-au folosit trei tipuri de explozivi și amestecuri explozive, care pot constitui încărcătura de luptă a unor proiectile/ bombe.
Încărcăturile explozive folosite sunt constituite din explozivi sau amestecuri explozive brizante și prezintă următoarele caracteristici definitorii:
compoziția chimică: proporția masică a componenților și conținutul de substanțe volatile.
proprietăți fizice și geometrice: densitatea de încărcare; forma încărcăturii; diametrul și înălțimea; masa încărcăturii;
caracteristici de performanță: viteza de detonație; volumul util; energia specifică;
caracteristici de siguranță: sensibilitatea la temperatură; sensibilitatea la impact; sensibilitatea la unda de șoc (amorsibilitatea); stabilitatea.
Încărcăturile din exploziv plastic au fost fabricate conform rețetei prezentate în tabelul 4.2.
Tabelul 4.2. Compoziția chimică a încărcăturilor explozive testate
Liantul constituie un amestec omogen de cauciuc poliizobutadienic 80%, dizolvat în toluen, carbonat de calciu 10% și oxid de titan. Aceste ultime două elemente, care la prima vedere nu au nici un rol funcțional, asigură păstrarea plasticității amestecului exploziv timp de peste un an.
Tabelul 4.3 Caracteristicile fizice și explozive ale încărcăturilor explozive
Explozivii și amestecurile explozive utilizate pentru desfășurarea cercetărilor experimentale sunt prezentate în figura 4.6.
4.5.1. Mijloace de inițiere folosite
Pentru inițierea încărcăturilor de exploziv dispuse în interiorul găurilor de mină sau a celor dispuse pe elementele din beton armat s-au folosit 2 sisteme de inițiere: un sistem electric și un sistem NONEL. Sistemul de inițiere electric a fost format din capse electrice instantanee CEIN, cabluri electrice principale și explozor. Sistemul NONEL de inițiere a fost format din: capse NONEL cu microîntârziere MS 350, conectoare 17ms, 25ms și 42ms (figura 4.7).
4.6. Descrierea experimentelor
4.6.1. Încercări experimentale din etapa I
Pentru efectuarea încercărilor experimentale din etapa I au fost parcurse următoarele etape:
dispunerea și așezarea elementelor de construcții (figura 4.4a). Elementele de construcții au fost așezate astfel încât să se poată permite accesul pentru efectuarea lucrărilor de perforare și pentru lucrările de încărcare, burare și realizarea circuitului de inițiere.
executarea găurilor de mină la dimensiunile stabilite și evacuarea prafului din gaura de mină.
Operațiunile principale efectuate pentru studiul distrugerii elementelor de construcții au constat din:
plasarea pe suprafața elementelor din beton (figura 4.8.a) sau introducerea încărcăturilor de exploziv și a capselor electrice detonante sau neelectrice în gaura de mină (figura 4.8.b);
burarea cu argilă (figura 4.8.b);
realizarea circuitului de inițiere (figura 4.8.c).
După realizarea circuitului electric, inițierea capselor electrice s-a făcut prin acționarea butonului “FOC” al explozorului. Pentru sistemul de inițiere nonelectric după conectarea tuburilor de șoc ale capselor nonelectrice la conectori cu diferite întârzieri, în funcție de planul de testare, la tubul de șoc al conectorului final se leagă capsa electrică care produce inițierea sistemului nonelectric.
înregistrarea rezultatelor.
Pentru a putea analiza rezultatele obținute în etapa I trebuie consultată figura 4.9 unde se pot observa parametrii de perforare pentru elementele de construcție testate.
Rezultate experimentale înregistrate în etapa I de testare
Rezultatele încercărilor experimentale din etapa I, realizate în poligonul Dragomiresti sunt prezentate în tabelul de mai jos:
4.6.2. Încercări experimentale din etapa a II-a
În etapa a II-a s-au determinat experimental efectele produse de undele de șoc propagate prin sol produse de explozia unor încărcături dispuse față de o construcție din zidărie de cărămidă după cum urmează:
exploziile a două încărcături de 2 kg de TNT dispuse la distanță de 2 m de clădire și îngropate la aproximativ 80 cm în sol. Traductorii au fost dispuși ca în figura 4.10.
Achiziția datelor instrumentale s-a realizat cu aparatură specifică de înaltă performanță și sensibilitate ridicată, de proveniență americană (firma KINEMATICS). Alegerea aparatelor care au alcătuit sistemul de achiziție (figura 4.11) s-a făcut pe baza unei analize atente a obiectivelor urmărite, a condițiilor de efectuare a măsurătorilor, tinând cont de metoda de investigare experimentală aleasă și, nu în ultimul rând, având grijă să fie asigurată compatibilitatea elementelor componente ale sistemului de măsurare.
Din componența sistemelor de achiziție și prelucrare a datelor experimentale fac parte:
sistemul de achiziție format din:
captor seismometric SS-1 (WIDE BAND RANGER) produs de firma americană KINEMETRICS, care furnizează un semnal electric proporțional cu amplitudinea vitezei de oscilație a punctului în care este amplasat. Are următoarele caracteristici tehnice:
– perioada proprie ………………………………………. 1 sec.
– sensibilitatea …………………………………………. 200V/ms-1
– deplasarea maximă a masei ………………………….. 1 mm
– fracțiunea din amortizarea critică ……………………. 0.7
amplificator și condiționator de semnal SC-1 (KINEMETRICS) cu patru canale, folosit în cazul semnalelor de nivel scăzut, cu ajutorul căruia semnalele se pot amplifica de 200100000 ori în trepte de 6dB, cu posibilități de integrare și diferențiere simultană, cu următoarele caracteristici:
– domeniul frecvență 0100 Hz;
– filtrare cu filtru “trece jos”, cu frecvența de colț reglabilă în trepte, în domeniul 1100 Hz;
– stenuator tip KINEMATICS – 40 dB.
sistem de achiziție numeric VSS (Vibration Survey System), este destinat înregistrării semnalelor analogice, proiectat în vederea efectuarii de măsurători în condiții de teren sau în laborator. Stația constă dintr-un calculator tip “laptop”, un sistem de convertoare analog-numerice și o interfață pentru conectarea captorilor, montate într-o incintă portabilă rigidă. Are următoarele caracteristici tehnice:
– 16 canale de intrare analogice;
– rezoluție 12 biți;
– placă de analiză în timp real DSP 33C ;
– semnal de intrare 5V;
– convertor cuplat cu un calculator Pentium III (256 MB RAM).
sistemul de prelucare automat format din:
sistem de achiziție numeric utilizat la eșantionarea semnalelor înregistrate
microcomputer Hewlett-Packard Pentium III, 128 MB RAM;
imprimante grafice Hewlett-Packard LaserJet 5 și InkJet Color 2000.
4.7. Rezultatele experimentelor și interpretarea lor
Rezultatele experimentale obținute vor fi prezentate și interpretate în ordinea scopurilor stabilite la începutul capitolului.
4.7.1 Rezultate experimentale obținute în etapa I
4.7.1.1 Mecanismul distrugerii
Prezentarea și interpretarea rezultatelor experimentale referitoare la mecanismul distrugerii elementelor de construcții sub acțiunea exploziei încărcăturilor de exploziv plasate în contact și introduse în găurile de mină se va face conform zonelor descrise în subcapitolul 4.2 în cadrul modelului de acțiune a exploziei în roci și a modelelor pentru descrierea comportării elementelor de construcții la acțiunea detonației în contact.
zona de pulverizare și fărămițare fină
Conform modelului teoretic prezentat, această zonă trebuie să se întindă pe o distanță de aproximativ două – trei raze ale încărcăturii de exploziv. În general această zonă este greu de observat în cazul distrugerii elementelor de construcții folosind încărcături de exploziv plasate pe una din fețele elementului, figura 4.12. Încărcătura expozivă folosită a fost de 100 g EPH și a fost dispusă în contact cu o grindă din beton armat.
Se poate observa foarte bine craterul (zona de pulverizare și mărunțire) care se formează (figura 4.12.c și 5.12.f) în urma detonării și zona de fisurare puternică (figura 4.12.d și 4.12.e). Se constată că distrugerea provocată de o încărcătură de exploziv dispusă în contact cu un element de construcție este foarte mică în comparație cu cea provocată de încărcăturile introduse în găuri de mină.
În cazul încărcăturilor de exploziv introduse în găuri de mină (situația în care proiectilul pătrunde în elementele adăpostului dar nu reușește să perforeze) este dificil de observat această zonă deoarece, în urma detonației, betonul din imediata apropiere a găurii de mină va fi aruncat.
În urma experimentelor efectuate au apărut situații în care s-a putut observa că gaura de mină (sau porțiuni din aceasta) a rămas intactă sau a suferit deteriorări minore.
Aceste situații, prezentate în figura 4.13, arată că de fapt zona de pulverizare și fragmentare fină are dimensiuni reduse la distrugerea elemenetelor de construcții folosind încărcături de exploziv introduse în găurile de mină.
Explicația constă în folosirea unor cantități mici de exploziv care în urma detonației produc presiuni de explozie mici, insuficiente pentru pulverizarea materialului din jurul încărcăturii.
zona de fisurare și fragmentare
Zona de fisurare puternică, care urmează în continuarea zonei de pulverizare nu se poate observa din același motiv ca și pentru zona de pulverizare și anume aruncarea betonului.
Se observă totuși orientarea fisurilor îndreptate radial de la încărcătura de exploziv spre suprafețele libere sau transversal provenite de la reflectarea undelor de compresiune de suprafața liberă.
zona de detașare și aruncare de material
Această zonă care corespunde momentului ajungerii undelor de șoc sau compresiune la suprafețele libere și reflectarea sub forma undelor de întindere corespunde întocmai modelor de distrugere prezentate.
Detașarea materialului și îndepărtarea lui se face datorită acumulării de șocuri, prin formarea de noi suprafețe libere până în momentul când undele de destindere care se reflectă de suprafețele libere și ajung la gazele de explozie le găsesc pe acestea la presiuni care nu mai pot da naștere la noi unde de compresiune.
Se poate observa că detașarea de material se produce aproximativ egal pe toate suprafețele libere dacă elementul are dimensiuni egale ale secțiunii transversale, rezultând o formă piramidală a materialului rămas (figura 4.14.a, d, e, f și figura 4.14.d).
Dacă elementul de construcții are dimensiuni diferite ale secțiunii transversale și dacă cantitatea de exploziv este mică (figura 4.14.b și figurile 4.14.e și f) atunci se va produce detașarea și propulsia materialului doar pentru suprafețele libere cele mai apropiate.
Se constată că observațiile referitoare la mecanismul de distrugere a elementelor din beton armat, supuse acțiunii încărcăturilor de exploziv plasate în contact sau introduse în găurile de mină, sunt validate de încercările experimentale.
4.7.1.2 Studiul influenței caracteristicilor elementelor de construcții asupra modului de distrugere
Influența tipurilor de elemente de construcții se poate stabili prin următoarele caracteristici: cantitatea de armătură, poziția armăturilor și etrierilor.
Influența armăturii și etrierilor
În procesul de distrugere a elementelor din beton armat influența cantității de armătură este foarte importantă în anumite cazuri. Un astfel de caz în care cantitatea de armătură poate influența asupra efectelor distrugerii este cazul distrugerii unui stâlp în zona de petrecere a armăturii din fundație.
În marea majoritate a cazurilor influența confinării realizată cu ajutorul etrierilor este foarte importantă. Influența confinării foarte puternice a fost întâlnită pe timpul experimentărilor la distrugerea unei grinzi folosite pentru căile de rulare. Grinda având dimensiunile secțiunii transversale 20×50 cm era armată longitudinal cu patru bare diametru 20 mm la partea de sus și de jos și intermediar cu șase bare de diametru 18 mm; armătura transversală era constituită din etrieri de diametru de 8 mm dispuși la distanță de 16 cm între ei. În prima fază au fost practicate patru găuri pe o adâncime de aproximativ 5 cm. Aceste încărcături au produs doar îndepărtarea acoperii de beton (figura 4.15.a).
În grindă au fost perforate noi găuri de mină astfel: în zona în care acoperirea de beton a fost îndepărtată au fost practicate patru găuri de mină pe o adâncime de aproximativ 9 cm (figura 4.15.a). Găurile de mină au fost încărcate fiecare cu 10 g EPH și încărcăturile de exploziv au fost inițiate de la capse detonante electrice. După cum se poate vedea din figura 4.15.b nici de această dată grinda nu a fost distrusă în totalitate datorită armării puternice.
4.7.1.3 Studiul influenței caracteristicilor materialelor explozive
Influența caracteristicilor materialelor explozive asupra modului de distrugere a elementelor de construcții se poate determina prin următoarele:
influența tipului de exploziv;
influența cantității de exploziv;
Influența tipului de exploziv
Influența tipului și a cantității de exploziv s-au determinat prin cuantificarea următoarelor aspecte:
– zona în care betonul a fost fragmentat și aruncat dintre armături (zona distrusă), măsurată la nivelul găurii de mină și la nivelul armăturii;
– zona de distrugere și fisurare, măsurată la nivelul armăturii;
– dimensiunile fragmentului maxim rezultat;
– numărul de fragmente pe dimensiuni;
– îndoirea armăturii.
Influența tipului și a cantității de exploziv asupra distrugerii elementelor de construcții s-a realizat prin luarea în considerare a experimentelor efectuate asupra grinzilor
de aceleași dimensiuni și aceiași marcă a betonului.
Pentru tipul explozivului notat cu asterisc elementele au avut dimensiuni mai mici, iar pentru rezultatele pentru care se specifică n = 2 încărcăturile de exploziv de cantitate specificată s-au introdus în două găuri de mină.
După cum se observă din figura 4.16 zona în care betonul a fost fragmentat și aruncat crește pe măsură ce se folosește un exploziv cu brizanță mai ridicată în ordinea dinamită, TNT, Compoziție B și EPH la aceeași cantitate de exploziv și aceleași dimensiuni ale elementelor. Lungimea zonei de aruncare a betonului crește odată cu scăderea dimensiunilor elementelor de construcții (0,025 TNT* în comparație cu 0,025 TNT) și atunci când se introduce aceiași cantitate de exploziv în mai multe găuri de mină (0,025 EPH n = 2 în comparație cu 0,050 EPH). De asemenea, se observă, creșterea lungimii zonei de aruncare a betonului dintre armături de la nivelul găurii de mină spre suprafețele libere.
4.7.2 Rezultate experimentale obținute în etapa a II-a
Pentru cazul exploziei a două încărcăturii de 1 kg TNT (figura 4.17) s-a înregistrat variația vitezei de oscilație pentru locul de dispunere a traductorilor.
Pentru a putea compara vitezele de oscilație în punctele în care au fost dispuși traductorii, sunt prezentate, în tabelul 4.4, deteriorările probabile asociate cu diferite valori ale vitezei particulei.
Așa cum se poate observa din figura 4.18 viteza de oscilație la nivelul solului este aproximativ 0.5 mm/s la nivelul trotuarului exterior și la nivelul pardoselii în interiorul construcției. Aceste viteze de oscilații sunt mult sub nivelul celor care pot produce deteriorări construcției (limita de siguranță fiind de 50 mm/s conform tabelul 4.4.
Oscilațiile induse de undele de șoc, care sunt transmise din sol în aer, în construcție sunt la nivelul de 15 mm/s, dar acestea nu pot fi comparate cu datele din tabelul 4.4, nefiind vibrațiile solului ci efectul produs de acestea asupra construcției.
Tabelul 4.4 Deteriorări probabile asociate cu diferite valori ale vitezei particulei,
pentru diferite clădiri de locuit
4.8. Concluziile rezultate în urma încercărilor experimentale
Încercările experimentale au avut ca scop studierea modului de comportare a elementelor din beton armat de tip placă, grindă sau stâlp la acțiunea undei de șoc și a produșilor de explozie în cazul în care încărcătura de exploziv este dispusă într-una din situațiile care se pot întâlni în cazul adăposturilor, respectiv: în sol, la distanță de un element de construcție, în contact cu un element de construcție sau în interiorul acestuia. Pentru cazul în care încărcătura de exploziv a fost dispusă în interiorul elementului de construcție au fost perforate găuri de mină în acestea, au fost introduse încărcăturile de exploziv și apoi burate. În cazul proiectilelor sau bombelor pătrunse îm interiorul elementului de construcție burarea este realizată de învelișul metalic pe de-o parte și de materialul stratului vegetal sau stratului elastic pe de altă parte.
În ceea ce privește comportarea elementelor de construcții din beton armat a detonarea încărcăturilor de exploziv plasate în contact sau introduse în interiorul elementelor se pot face următoarele constatari:
Mărimea zonei distruse în cazul în care încărcătura de exploziv este dispusă în contact cu elementul de construcție este mai mică la explozia în aer și crește pentru explozia în sol datorită împiedicării de către particolele de sol a destinderii produșilor de explozie.
Zona de pulverizare și fragmentare fină are dimensiuni reduse la distrugerea elementelor de construcții folosind încărcături de exploziv introduse în găurile de mină, datorită prezenței suprafețelor libere, care permit distrugerea în zonele cu rezistența cea mai mică.
Prezența la prepararea betonului a agregatelor de diferite dimensiuni precum și existența unor pori fini, goluri și defecte, care conțin apă, vapori sau aer, influențează în cursul procesului de propagare a fisurilor.
Procesul de fisurare și fragmentare este influențat de prezența armăturii și a etrierilor, acestea constituind surse de dezvoltare a noi fisuri sau de formare a noi fragmente datorită eforturilor directe la care sunt supuse din partea undelor de șoc și compresie, dar și indirect ca urmare a acțiunii fragmentelor de beton propulsate de explozie.
Detașarea betonului și îndepărtarea lui se face datorită acumulării de șocuri prin formarea de noi suprafețe libere până în momentul când undele de destindere care se reflectă de suprafețele libere și ajung la gazele de explozie le găsesc pe acestea la presiuni care nu mai pot da naștere la noi unde de compresiune.
În procesul de distrugere a elementelor din beton armat influența cantității de armătură este foarte importantă dar nu trebuie luată separat. Rolul armăturii în procesul distrugerii elementelor de construcții crește atunci când cantitatea de armătură este considerabilă.
În marea majoritate a cazurilor influența confinării realizată cu ajutorul etrierilor este foarte importantă la distrugerea elementelor de construcții. Datorită confinării pe care o realizează, planul în care se găsește etrierul reprezintă o adevărată barieră pentru propagarea fisurilor sau formarea fragmentelor.
Influența tipului de exploziv folosit pentru distrugerea elementelor de construcții se manifestă prin viteza de detonație (brizanța) acestuia. Această caracteristică influențează și asupra distribuției și mărimii fragmentelor rezultate, precum și asupra deformației armăturii.
Deformația armăturii este mai mare atunci când se folosesc explozivi mai puțin brizanți (TNT) și deci rezultă fragmente de dimensiuni mai mari decât în cazul folosirii explozivilor care produc o fragmentare puternică a betonului (compoziție B și EPH) iar deformația armăturii în plan orizontal este mai mare decât în plan vertical.
Folosirea încărcăturilor aplicate pe elementele de construcții conduc la obținerea unor efecte reduse datorită destinderii în aer a produșilor rezultați în urma exploziei.
În cazul încercărilor experimentale efectuate pentru determinarea comportării unei structurii la acțiunea undelor de șoc transmise prin sol (cazul exploziei bombei în stratul vegetal de mascare sau în stratul elastic dintre stratul rigid și cel portant), rezultate în urma detonației unor încărcături de exploziv, au rezultat următoarele constatări:
în cazul exploziei în sol valorile vitezelor de oscilații ale solului, produse de undele de șoc, sunt mult sub nivelul celor care pot produce deteriorări construcției (aproximativ 0.5 mm/s față de limita de siguranță de 50 mm/s conform tabelului 4.4), dar și mult mai mici decât în cazul exploziei aeriene;
rezultatele experimentale obținute, privitoare la modul de comportare a betonului la acțiunea undelor de șoc rezultate în urma detonației în contact (formarea de cratere și desprinederea de material pe fața opusă aplicării încărcăturii de exploziv) sunt validate în totalitate.
Capitolul V
5. Concluzii privind calculul, eficiența și utilizarea plăcilor stratificate supuse acțiunilor dinamice.
Contribuții personale la realizarea tezei
Determinarea eforturilor în planșeele stratificate, chiar pentru solicitări statice, constituie o problemă dificilă, rezolvabilă cu un volum mare de calcule.
Gradul de dificultate crește pentru cazul solicitărilor cu sarcini dinamice, din care cauză calculul planșeelor stratificate nu este posibil fără o serie întreagă de ipoteze simplificatoare asupra modului de lucru al diverselor elemente componente.
Lucrarea și-a propus să ofere elemente de natură științifică și un cadru general metodologic privind calculul, eficiența și utilizarea plăcilor stratificate supuse acțiunilor dinamice.
S-a urmărit în acest fel compararea rezultatelor obținute prin simulări numerice cu cele obținute prin calcule analitice pe modelele teoretice dezvoltate pe parcursul capitolelor anterioare și cu cele experimentale.
Noutatea temei abordată în teză a constat în faptul că, prin încercările și experimentele efectuate a rezultat că plăcile stratificate constituie soluții optime pentru acele elemente de construcții (ale lucrărilor militare) supuse acțiunii directe a șocului sau exploziei proiectilelor și bombelor.
5.1.Concluziile reieșite în urma efectuării calculelor analitice pe modele teoretice pentru o serie de ipoteze prezentate în capitolul II.
În modelul ales pentru schema de calcul, s-a căutat pe cât posibil să nu se modifice esența fenomenului și totodată să se înlăture acei factori secundari care, deși au o influență mică asupra rezultatelor, complică foarte mult calculele.
Analiza rezultatelor obținute din calcule, arată că repartiția eforturilor provocate de acțiunea unui impuls pe salteaua de protecție, depinde de foarte mulți parametrii, din care cauză este dificil de stabilit anumite legi sau principii.
Totuși, dintr-o scurtă privire asupra formulelor finale obiținute pentru pulsații, deplasări și eforturi, se pot trage următoarele concluzii mai importante:
parametrii oscilațiilor proprii (pulsație, deplasări, eforturi), depind de caracteristicile planșeului luat în ansamblu (rigiditate, grosime, material etc) în același mod ca și în cazul plăcilor simple. Trebuie avut în vedere că aici caracteristicile planșeului sunt elemente complexe (de exemplu, rigiditatea D=D1+D2, densitatea ρ=ρ1+ρ2+ρ0h0 etc).
elementele componente ale planșeului stratificat influențează, fiecare în parte, asupra parametrilor oscilațiilor. Sub acest aspect, formulele obținute și aplicațiile efectuate arată că:
pentru un impuls constant, deplasările planșeului se micșorează odată cu creșterea grosimii saltelei de protecție pentru grosimi mari ale saltelei sporuri în plus ale acestora nu mai duc la micșorări eficiente ale deplasărilor, de unde se poate deduce că există o grosime optimă a saltelei, care este determinată prin încercări;
aportul stratului elastic, de atenuare a efortului impulsului, depinde de dimensiunile relative ale straturilor componente ale planșeului, de deschiderea acestuia și de valoarea impulsului. Pentru valori limită ale grosimii stratului de distribuție (mari sau mici), există o lege liniară de variație a deplasărilor funcție de impuls;
pentru un impuls constant, mărirea grosimii planșeului portant atrage după sine o creștere a momentelor încovoietoare la mijlocul deschiderii planșeului; pentru grosimi mici ale planșeului de rezistență această creștere este suficient de lentă, iar pentru grosimi mari ea se ridică brusc. Ca și mai sus, se poate trage concluzia că există o grosime optimă a planșeului portant, care depășită, nu justifică consumul de material.
Se observă din cele mai sus, că aceste concluzii concordă cu principiile cunoscute din mecanica construcțiilor.
Așa spre exemplu, variația dimensiunilor unui element duce la o redistribuire a eforturilor în întregul sistem, lucru pe deplin valabil la sistemele static nedeterminate.
La punctul 2.5. am aplicat formulele (deplasare și pulsație) determinate în capitolul II. pe serii, fiecare serie a urmărit să determine influența unui anumit element al planșeului stratificat în condițiile când restul parametrilor au valori constante și au rezultat următoarele concluzii:
un efect mai mare în ceea ce privește amortizarea vibrațiilor îl are stratul elastic cu grosimi între 10-. O creștere a grosimii acestuia de la la au determinat o micșorare a vibrațiilor cu 50%. Aceeași micșorare a vibrațiilor poate fi realizată dacă se mărește stratul elastic de la 30 cm la 90 cm;
creșterea grosimii stratului elastic nu duce la o scădere corespunzătoare a valorilor săgeților sau pulsațiilor;
un strat elastic cu o densitate mare determină o creștere a săgeților și a pulsațiilor;
valorile pulsației fundamentale nu depind de impuls, aceasta fiind o caracteristică dinamică a planșeului stratificat;
odată cu creșterea rigidității saltelei de protecție, săgețile scad, iar pulsațiile proprii cresc;
odată cu creșterea grosimii plăcii de rezistență, valorile săgețiilor scad (mai intens la început și mai lent pentru plăci groase), iar ale pulsațiilor cresc;
pentru planșee stratificate cu straturi elastice mari, modul de rezemare pe contur al plăcii de rezistență nu influențează mult asupra deformațiilor;
micșorarea săgeților o dată cu creșterea grosimii stratului elastic și respectiv creșterea lor, direct proporțional, o dată cu creșterea impulsului;
pentru creșteri ale grosimii stratului elastic (ale numărului lor), rezultă ca și la planșeul cu 3 straturi, o micșorare a valorilor săgeților, și o creștere a frecvențelor circulare. Aceasta se explică prin mărirea rigidității de ansamblu a planșeului din cauza măriri numărului de straturi;
legea de variație a celor doi parametrii principali (săgeți și pulsații) este aceeași atât pentru o placă dreptunghiulară, cât și pentru placa pătrată. O dată cu creșterea grosimii stratului elastic săgețile și frecvențele circulare scad.
5.2. Concluzii reieșite în urma efectuărilor simulărilor cu ajutorul programelor de calcul
Simulările numerice efectuate în capitolul III au avut ca scop determinarea comportării stratului portant din beton armat, în calitate de ultim strat dintr-o serie de trei sau mai multe straturi de protecție a unui adăpost, la acțiunea undei de șoc produsă în urma impactului dintre un proiectil/bombă și straturile de protecție sau a undei de șoc produsă în urma detonației încărcăturii de exploziv conținută în proiectil/bombă.
Pentru o analiza cât mai cuprinzătoare simulările au fost efectuate distinct pentru cazul impactului dintre bombă și straturile de protecție și cazul impact bombă și detonație încărcătură de exploziv conținută în bombă.
Pentru primul caz scenariile de simulare cuprinse în tabelul 3.2 au presupus atât variația parametrilor bombei (viteza și unghiul bombei în punctul de contact), cât și a celor care sunt legați de straturile de protecție (tipul materialului și grosimea stratului, numărul de straturi și dispunerera acestora).
Pentru cazul a doilea s-a urmărit în principal influența poziției bombei în raport cu stratul portant, în momentul inițierii încărcăturii de exploziv, asupra deformației maxime a acestuia.
concluziile reieșite pentru scenariile de impact:
deformația maximă a stratului portant a scăzut odată cu creșterea grosimii stratului de nisip. Pentru grosimi mici ale stratului de nisip (10-50 cm) deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mari cu 100-122% față de valorile calculate după modelul teoretic. Pentru grosimi mai mari ale stratului elastic (100-150 cm) deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mici cu 14-51 % decât valorile calculate după modelul teoretic.
Cauzele pentru aceste diferențe ar putea fi neluarea în considerare în modelul teoretic a aspectelor legate de forma proiectilului și comportarea materialului la vitezei mari de aplicare a încărcării. Astfel factorul de creștere dinamică a rezistenței betonului este aproximativ 3 la compresiune [5] și 5 la întindere [6, 7] pentru viteze de deformație, cuprinse între 104 și 106 s-1, corespunzătoare fenomenelor de impact și detonație în contact [5].
Analizând nivelul de distrugere a stratului portant (nivelul de distrugere variază de la 0 – culoarea albastră, care înseamnă că nu sunt deformații plastice, până la 1 – culoarea rosie, care înseamnă că distrugerea materialului în acea zonă este completă) pentru grosimile stratului elastic studiat se constată (figura 3.36) că, pentru caracteristicile bombei și ale straturilor luate în considerare (tabelul 3.2), stratul portant nu este afectat în nici un fel doar pentru grosimea stratului de nisip de 150 cm;
pământul este cea mai bună soluție de atenuare a șocului produs de impactul bombei, urmat de materialul de tip LECA și apoi de nisip;
de asemenea, din analiza nivelui de distugere, se constată că pentru grosimea stratului elastic de 150 cm nu apar deteriorări ale stratului portant. Se poate constata, de asemenea, că înclinarea față de verticală a bombei se schimbă cu atât mai mult cu cât stratul elastic este mai compresibil;
efectul produs de impactul bombei asupra stratului portant este maxim atunci când unghiul bombei în punctul de contact este zero;
valoarea deformației maxime a stratului portant crește pe măsură ce valoarea vitezei în punctul de contact crește, figura 3.41. Începând de la viteze de 150 m/s valoarea deformației maxime se apropie și depășește 10 cm;
se obțin aproximativ aceleași deformații maxime pentru următoarele combinații de grosimi ale straturilor:
30 cm pentru SP și 150 cm pentru SE cu 80 cm pentru SP și 80 cm pentru SE;
30 cm pentru SP și 100 cm pentru SE cu 50 cm pentru SP și 80 cm pentru SE.
Se poate observa că este mai importantă grosimea stratului portant decât grosimea primului strat rigid. De asemenea, se constată că grosimea stratului elastic este mai importantă decât grosimea stratului rigid.
concluziile reieșite pentru scenariile la explozie:
timpul la care începe deformația stratului portant pentru explozia în contact cu stratul rigid a încărcăturii bombei (Explozie in contact SR-nisip), de 4 ms este mai mic decât timpul la care începe deformația stratului portant pentru scenariul de impact a bombei cu straturile de protecție (Impact bombă), aproximativ 5.9ms. Explicația poate fi aceea că viteza de propagare a undei de șoc produsă în urma detonației încărcăturii de exploziv este mai mare decât cea a undei de șoc rezultată în urma impactului dintre bombă și straturile de protecție;
detonația încărcăturii de exploziv va accentua distrugerea stratului portant cu atât mai mult cu cât se produce mai aproape de acesta și atenuarea undei de șoc produsă de explozie este mai bună pentru materialul de tip LECA decât pentru nisip sau pământ.
5.3.Concluzii le rezultate în urma încercărilor experimentale
Încercările experimentale au avut ca scop studierea modului de comportare a elementelor din beton armat de tip placă, grindă sau stâlp la acțiunea undei de șoc și a produșilor de explozie în cazul în care încărcătura de exploziv este dispusă într-una din situațiile care se pot întâlni în cazul adăposturilor, respectiv: în sol, la distanță de un element de construcție, în contact cu un element de construcție sau în interiorul acestuia.
Pentru cazul în care încărcătura de exploziv a fost dispusă în interiorul elementului de construcție au fost perforate găuri de mină în acestea, au fost introduse încărcăturile de exploziv și apoi burate. În cazul proiectilelor sau bombelor pătrunse îm interiorul elementului de construcție burarea este realizată de învelișul metalic pe de-o parte și de materialul stratului vegetal sau stratului elastic pe de altă parte.
În ceea ce privește comportarea elementelor de construcții din beton armat a detonarea încărcăturilor de exploziv plasate în contact sau introduse în interiorul elementelor se pot face următoarele constatari:
mărimea zonei distruse în cazul în care încărcătura de exploziv este dispusă în contact cu elementul de construcție este mai mică la explozia în aer și crește pentru explozia în sol datorită împiedicării de către particolele de sol a destinderii produșilor de explozie;
zona de pulverizare și fragmentare fină are dimensiuni reduse la distrugerea elementelor de construcții folosind încărcături de exploziv introduse în găurile de mină, datorită prezenței suprafețelor libere, care permit distrugerea în zonele cu rezistența cea mai mică;
prezența la prepararea betonului a agregatelor de diferite dimensiuni precum și existența unor pori fini, goluri și defecte, care conțin apă, vapori sau aer, influențează în cursul procesului de propagare a fisurilor;
procesul de fisurare și fragmentare este influențat de prezența armăturii și a etrierilor, acestea constituind surse de dezvoltare a noi fisuri sau de formare a noi fragmente datorită eforturilor directe la care sunt supuse din partea undelor de șoc și compresie, dar și indirect ca urmare a acțiunii fragmentelor de beton propulsate de explozie;
detașarea betonului și îndepărtarea lui se face datorită acumulării de șocuri prin formarea de noi suprafețe libere până în momentul când undele de destindere care se reflectă de suprafețele libere și ajung la gazele de explozie le găsesc pe acestea la presiuni care nu mai pot da naștere la noi unde de compresiune;
în procesul de distrugere a elementelor din beton armat influența cantității de armătură este foarte importantă dar nu trebuie luată separat. Rolul armăturii în procesul distrugerii elementelor de construcții crește atunci când cantitatea de armătură este considerabilă;
în marea majoritate a cazurilor influența confinării realizată cu ajutorul etrierilor este foarte importantă la distrugerea elementelor de construcții. Datorită confinării pe care o realizează, planul în care se găsește etrierul reprezintă o adevărată barieră pentru propagarea fisurilor sau formarea fragmentelor;
influența tipului de exploziv folosit pentru distrugerea elementelor de construcții se manifestă prin viteza de detonație (brizanța) acestuia. Această caracteristică influențează și asupra distribuției și mărimii fragmentelor rezultate, precum și asupra deformației armăturii;
deformația armăturii este mai mare atunci când se folosesc explozivi mai puțin brizanți (TNT) și deci rezultă fragmente de dimensiuni mai mari decât în cazul folosirii explozivilor care produc o fragmentare puternică a betonului (compoziție B și EPH) iar deformația armăturii în plan orizontal este mai mare decât în plan vertical;
folosirea încărcăturilor aplicate pe elementele de construcții conduc la obținerea unor efecte reduse datorită destinderii în aer a produșilor rezultați în urma exploziei;
în cazul încercărilor experimentale efectuate pentru determinarea comportării unei structurii la acțiunea undelor de șoc transmise prin sol (cazul exploziei bombei în stratul vegetal de mascare sau în stratul elastic dintre stratul rigid și cel portant), rezultate în urma detonației unor încărcături de exploziv, a rezultat că în cazul exploziei în sol valorile vitezelor de oscilații ale solului, produse de undele de șoc, sunt mult sub nivelul celor care pot produce deteriorări construcției (aproximativ 0.5 mm/s față de limita de siguranță de 50 mm/s conform tabelului 5.10), dar și mult mai mici decât în cazul exploziei aeriene.
5.4 Concluzii și observații generale
Contribuțiile personale sunt sintetizate în următoarele concluzii și observații generale:
calculele analitice pe baza modelelor teoretice dezvoltate în capitolul II, sunt validate doar în anumite condiții. Astfel s-a constatat că diferențele dintre deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mari cu 100-122% față de valorile calculate după modelul teoretic pentru grosimi mici ale stratului elastic (10-50 cm), după care, pe măsură ce stratul elastic se mărește ca grosime (100-150cm), deformațiile rezultate în urma simulărilor au fost mai mici cu 14-51 % decât valorile calculate după modelul teoretic;
de asemenea, au fost constatate prin simulare fenomene care nu pot fi surprinse în modelele teoretice. S-a constatat astfel că pentru viteze mici de impact ale bombei (mai mici de 90 m/s) apare fenomenul de ricoșare ceea ce duce la diferențe semnificative între rezultatele obținute prin simulare și cele analitice. S-a constatat că valorile obținute prin simulare sunt mai mici cu procente cuprinse între 87% și 33% pentru viteze mici (20-65 m/s). Pentru viteze mari (133-225 m/s) deformațiile obținute prin simulare au fost mai mari cu procente cuprinse între 43% și 128% față de deformațiile calcule pe baza modelelor teoretice;
din cele menționate mai sus, se recomandă îmbunătățirea modelelor teoretice prin luarea în considerare a fenomenului de modificare a proprietăților materialelor la viteze mari de deformație și prin introducerea unui coeficient de formă pentru proiectil/bombă, care are o influență considerabilă asupra perforării diferitelor straturi de protecție a adăposturilor;
rezultatele experimentale obținute privitoare la modul de comportare a betonului la acțiunea undelor de șoc rezultate în urma detonației în contact (formarea de cratere și desprinederea de material pe fața opusă aplicării încărcăturii de exploziv) sunt validate în totalitate;
în urma simulărilor a rezultat faptul că pentru caracteristicile bombei luate în calcul ( viteză în punctul de contact – 200 m/s și unghiul de înclinare 25°) și configurația cu trei straturi de protecție (strat rigid de 30 cm din beton, strat elastic și strat portant de 30 cm din beton), grosimea stratului elastic din nisip trebuie să fie de cel puțin 150 cm pentru ca stratul portant să nu sufere nici o deteriorare;
prin introducerea în simulare ca parametru a tipului de material pentru stratul elastic s-a constatat că la impact cea mai bună atenuare o are stratul din pământ (sol de tip prerie cu 7% umiditate), la mică diferență față de nisip, iar la explozie cea mai bună atenuare o are materialul de tip LECA, dar diferențele față de pământ și nisip nu sunt mari și trebuie avut de asemenea în vedere și prețul de cost pentru fiecare;
folosirea unui număr mai mare de straturi nu aduce întotdeauna rezultate mai bune în ceea ce privește deformarea stratului portant. S-a constatat că grosimea stratului elastic (cel care este și cel mai ieftin și a cărui grosime poate fi modificată cu costuri mai reduse) are un rol important în reducerea deformației stratului portant. Pe măsură ce grosimea stratului elastic crește, se obțin rezultate mai bune dacă acesta rămâne singur și nu este distribuit în mai multe straturi, chiar dacă între aceste straturi se mai dispune un strat rigid suplimentar.
în cazul detonației încărcăturii de exploziv s-a constatat că distrugerea stratului portant se va accentua cu atât mai mult cu cât explozia se produce mai aproape de acesta și atenuarea undei de șoc produsă de explozie este mai bună pentru materialul de tip LECA decât pentru nisip sau pământ.
rolul și influența stratului de distribuție asupra comportării de ansamblu a planșeului stratificat la șoc, sunt diferite, funcție de grosimea sa. Pentru grosimi relativ mici ale stratului de distribuție (10-30 cm) efectul de amortizare este optim. Mărind peste această limită grosimea stratului de distribuție, micșorarea săgeților și respectiv a eforturilor este mai lentă. Nu este deci indicată folosirea unei grosimi mari a stratului de distribuție.
influența saltelei de protecție asupra comportării la șoc a planșeului stratificat este deasemenea diferită, funcție de grosimea sa. Creșteri mici ale grosimii saltelei duc la scăderi bruște ale săgeților. O mărire în continuare a grosimii saltelei nu mai este recomandată, micșorarea obținută pentru săgeți fiind foarte lentă. Pentru saltele foarte rigide săgețile sunt practic nule. Mărirea rigidității saltelei de protecție nu este recomandabilă și din alt punct de vedere: o dată cu această mărire pulsațiile proprii cresc și deci și sarcina echivalentă de calcul.
în mod aproape identic se comportă în ansamblu planșeul stratificat- și placa de rezistență. Deci nu sunt recomandate planșee portante groase.
în ceea ce privește rezemarea plăcii de rezistență, este recomandabil ca aceasta să fie încastrată pe contur pentru grosimi mici ale stratului elastic, obținându-se pentru acest caz săgeți de aproape de 2 ori mai mici decât dacă placa ar fi fimplu rezemată. Pentru grosimi mari ale stratului elastic, modul de rezemare nu mai influențează mult asupra săgeților.
planșeele stratificate cu mai mult decât trei elemente nu sunt recomandabile: o dată cu un aport pe care îl aduc la micșorarea săgeților, creșterea numărului de straturi duce la mărirea corespunzătoare a pulsației proprii și deci a sarcinii echivalente de calcul.
Din cele menționate mai sus, în comparație cu placa simplă, planșeele stratificate se comportă mult mai bile la șoc.
5.5. Diseminarea rezultatelor
Rezultatele experimentelor efectuate și concluziile reieșite din calculele analitice și din simulările efectuate cu ajutorul programelor de calcul, referitoare la comportarea planșeelor stratificate supuse acțiunilor dinamice pot fi puse la dispoziție factorilor responsabili din Ministerul Apărării Naționale pentru valorificarea rezultatelor obținute și pentru extinderea testelor experimentale, precum și studierea unei game mai largi de elemente.
În acest sens, este necesar, ca după aceste simulări efectuate cu ajutorul programelor de calcul și după efectuarea experimentelor, să urmeze o serie de încercări într-un poligon, unde, pe modele mai mari, să se optimizeze alcătuirea elementelor stratificate.
Prin încercările și experimentele efectuate a rezultat că plăcile stratificate constituie soluții optime pentru acele elemente de construcții (ale lucrărilor militare) supuse acțiunii directe a șocului sau exploziei proiectilelor și bombelor.
Deasemenea, rezultatele experimentelor efectuate și concluziile reieșite din calculele analitice și din simulările efectuate cu ajutorul programelor de calcul, pot fi puse la dispoziția și a proiectanților pentru îmbunătățirea (dezvoltarea) modelelor teoretice prin luarea în considerare și a fenomenului de modificare a proprietăților materialelor la viteze mari de deformație și prin introducerea unui coeficient de formă pentru proiectil/bombă, care are o influență considerabilă asupra perforării diferitelor straturi de protecție a adăposturilor.
Totodată, se impune dezvoltarea studiilor privind atenuarea acțiunilor dinamice prin urmărirea comportării structuriilor și cu alte tipuri de materiale.
Aceasta pentru că planșeele stratificate au un efect de amortizare mare și o capacitate portantă ridicată, asigurând în acest fel gradul de protecție necesar personalului sau tehnicii de luptă.
5.6. Publicații
Pe parcursul elaborării tezei de doctorat, am participat la diverse comunicări științifice și am publicat în diverse buletine și reviste științifice o serie de articole despre necesitatea realizării unor elemente din materiale stratificate utilizate pentru adăposturile pentru protecția civilă și fortificații, astfel:
Calculul construcțiilor la șoc, buletin stiintific publicatie stiintifica de informare a Academiei Fortelor Terestre Volumul XVI nr. 1 (31) / 2011;
Considerații referitoare la capacitatea de rezistență și stabilitate a materialelor compozite armate, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
Exemple de plăci stratificate, articol în Revista Forțelor Terestre, București 2011;
Necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru adăposturile pentru protecția civilă și fortificații, Revista „Colocviu Strategic ” nr.2, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
Plăci stratificate utilizate la realizarea construcțiilor militare și de protecție civilă, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
Comportarea plăcilor stratificate la solicitări dinamice și șocuri, Buletinul Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012.
Bibliografie
1. Andre Angot, Complemente de matematică, Editura Tehnică București, 1965;
2. Bălan Ștefan, Curs de mecanică, București 1950;
3. Bălan Ștefan, Încercarea construcțiilor, Editura Tehnică București, 1962;
4. Bănuț, V., Calculul neliniar al structurilor, Editura Tehnică, București, 1981;
5. Beleș A, Ifrim M, Elemente de seismologie inginerească, Editura Tehnică, București, 1962;
6. Bănuț, V., Popescu, H., Stabilitatea structurilor elastice, Editura Academiei R.S.R., București, 1975;
7. Bârsan, G.M., Dinamica și stabilitatea construcțiilor, EDP, București, 1979;
8. Bratu, Polidor, Vibrațiile sistemelor elastice, Editura Tehnică, București, 2000;
9. Buzdugan, Gh., Fetcu, L., Radeș, M., Vibrații mecanice, EDP, București, 1979;
10. Buzdugan, Gh., Rezistența materialelor, Editura Didactică și Pedagogică București, 1964;
11. Buzdugan, Gh., Mihăilescu El., Radeș, M., Măsurarea vibrațiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
12. Bălan, Șt., ș.a., Dicționar cronologic al științei și tehnicii universale, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1979;
13. Buzdugan, Gh., Izolarea antivibratilă a mașinilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
14. Buzdugan, Gh., Dinamica fundațiilor de mașini, Editura Academiei R.S.R., București, 1968.Silaș, Gh. ș.a., Culegere de probleme de vibrații mecanice, vol. I, Sisteme liniare cu un număr finit de grade de libertate, Editura Tehnică, București, 1967;
15. Caracostea, A., ș.a., Manual pentru calculul construcțiilor, Vol.I, Bazele teoretice de calcul al construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1977;
16. Darabont, Al., Iorga, I., Văiteanu, D., Simanschevici, H., Șocuri vibrații. Aplicații în tehnică, Editura Tehnică, București, 1988;
17. Filimon, I., Soare, M., Ecuații diferențiale cu aplicații în mecanica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1983;
18. Gheorghiu, Al., Statica construcțiilor, Vol.III, Formulări și metode matriceale în statica liniară. Comportarea și calculul neliniar al structurilor., Editura Tehnică, București, 1980;
19. Gioncu, V., Ivan, M., Bazele calculului structurilor la stabilitate, Editura Facla, Timișoara, 1983;
20.Hangan, S., Crainic, L., Concepte și metode energetice în dinamica construcțiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
21. Harris, C., Crede, Ch., Șocuri și Vibrații, vol. I, II și III, Editura Tehnică, București, 1968;
22. Ifrim, M., Dinamica structurilor și inginerie seismică, EDP, București, 1984;
23. Ifrim, M., Aplicații în Analiza Dinamică a Structurilor și Inginerie Seismică, EDP, București, 1974;
24. Marinov., R., Probleme de stabilitatate dinamică în construcții, EDP, București, 1985;
25. Lardy P., Sur une methodenouvelle de resolution du probleme des dalles restangulaires encastrees, Vol. 13, Zurich, 1953;
26. Ixaru, L. Gr., Metode numerice pentru ecuații diferențiale cu aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
27. Ispas, C., Simion, F.-P., Vibrațiile mașinilor – unelte. Teorie și aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
28. Oprea, Gh., Stabilitatea și calculul de ordinal II al structurilor din bare, Editura Național, 1999;
29. Manea V, Câteva probleme ale teoriei plăcilor plane elastice, Editura Academiei, București, 1965;
30. Mazilu P, Statica construcțiilor, Vol. 2, Editura Tehnică, București, 1959;
31. Nowacki, W., Dinamica sistemelor elastice, Editura Tehnică, 1969;
32. Matahală Dumitru, Calculul construcțiilor la șoc, buletin stiintific
publicatie stiintifica de informare a Academiei Fortelor Terestre Volumul XVI nr. 1 (31) / 2011;
33. Matahală Dumitru, Considerații referitoare la capacitatea de rezistență și stabilitate a materialelor compozite armate, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
34. Matahală Dumitru, Exemple de plăci stratificate, articol în Revista Forțelor Terestre, București 2011;
35. Matahală Dumitru , Necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru adăposturile pentru protecția civilă și fortificații, Revista „Colocviu Strategic ” nr.2, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
36 Matahală Dumitru, Plăci stratificate utilizate la realizarea construcțiilor militare și de protecție civilă, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
37. Matahală Dumitru, Comportarea plăcilor stratificate la solicitări dinamice și șocuri, Buletinul Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
38. Pastașihin V, Kolebania plstinck iz nlineino uprughih materialov, 1966;
39. Ponomariov S.D., Calculul de rezistență la construcția de mașini, vol.2 și 3, Editura Tehnică, București, 1964;
40. Munteanu, M., Introducere în dinamica mașinilor vibratoare, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
41. Pană, T., Absorbitori dinamici de vibrații, Editura Tehnică, București, 1984;
42. Posea, N., Calculul dinamic al structurilor, Editura Tehnică, București, 1991;
43. Radeș, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor mecanice, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
44. Sinițin A.P., Bazele teoriei calcului planșeelor stratificate, Editura A.M.I. 1950;
45.Sandi, H., Elemente de dinamica structurilor, EDP, București, 1983;
46. Snitko N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București 1962;
47. Scarlat, A., Stabilitatea și calulul de ordinul II al structurilor, Editura Tehnică, București, 1969;
48. Scarlat, A., Stabilitatea structurilor. Probleme speciale, Editura Tehnică, București, 1969;
49. Șabac I. Gh., Matematici speciale, EDP 1965;
50.Teodorescu P.P., Probleme plane în teoria elasticității, E.A., București, 1966;
51. Simonici, M., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1958;
52. Timoshenko-Teoria plăcilor plane și curbe, Editura Tehnică 1968;
53. Bănuț, V., „Calculul dinamic geometric neliniar”, Revista Construcții, nr. 3-4, 1989;
54. Bănuț, V., Teodorescu M., „Dinamica construcțiilor”, Editura MATRIXROM, București, 2007;
55. Bănuț, V., „Calculul de ordinul II și de stabilitate al elementelor și structurilor de rezistență”, Editura Conspress, București, 2005;
56. Felippa, C. A., „Introduction to Finite Element Methods”, ASEN5007, University of Colorado at Boulder, USA, 2004;
57. Ifrim, M., „Analiza dinamică a structurilor și inginerie seismică”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973;
58. Ilie, Gh., Fierbințeanu, V., Stănilă, N., Petrescu, I., „Mecanica Construcțiilor”, Editura Tehnică, București, 1987;
59. Szolga, V., „Comportarea la solicitări dinamice a unor structuri masive”, Teză de doctorat, I.C.B., 1988;
60. Thomson, W. T., „Theory of Vibration with Applications”, Nelson Thornes Ltd., United Kingdom, 2003;
61. STAS 3451 – 73, Statica, dinamica și stabilitatea structurilor. Terminologie;
62. Soare, M., Teodorescu, P.P., Toma, I., Ecuații diferențiale cu aplicații în Mecanica Consrucțiilor, Editura Tehnică, București, 1999;
63. Snitko, N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1965;
64. Țăposu, I., Mecanică analitică și vibrații, Teorie și probleme, Editura Tehnică, București, 1998;
65. A. Vaicum, Condiții de amplasament in ingineria seismica, Editura Academiei. București, 1985;
66. A. Vaicum si I. Vasile, Răspunsul masivului de pamant la acțiuni seismice, a IV- a Conferința de geotehnica si fundații, Iași, 1979;
67. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973;
68. S. Hangan, L. Crainic, Concepte si metode energetice in dinamica construcțiilor, Editura Academiei, București, 1980;
69. D. E Hudson, Man-Made Ground Motions, in monografia " Shock and Vibrations Handbook", McGraw-Hill Book Company, New York, 1961;
70. A. O. Awojobi, O.A. Sobayo, Ground Vibrations Due to Seismic Detonations in Oil Explorations;
71. P. B. Attewell, I. W. Farmer, D. Haslam, Prediction of Ground Vibration Parameters for Major Quarry Blasts, Mining and Mineral Engineering, London, 1965;
72. N. Newmark, R. Hansen, Proiectarea construcțiilor rezistente in șocuri si vibrații, Editura tehnica, București, 1985;
73. D. G. Fertis, Dynamics and Vibration of Structures, John Wiley and Sons, New York, 1973;
74. J. Biggs, Introduction to Structural Dynamics, McGraw Hill, Book Company, New York, 1964;
75. Indira Andeescu-Mecanica plăcilor compozite, Editura Matrix Rom 2001;
76.Elena Alămorăreanu-Bare și plăci din materiale composite, Editura Tehnică 1997
77."Ghid pentru stabilirea criteriilor de performanta si a compozitiilor pentru betoanele armate dispers cu fibre metalice", indicativ GP-075-02;
78.Colonel dr.ing. Oprea Gheorghe, lt.col.ing. Josan Miron- Elemente de calcul ale planșeelor stratificate, Editura A.M.1978;
79.Lt.col.ing. Josan Miron- Fortificații permanente-partea întâi- Editura A.M.1977;
80.Prof.univ. Panait Mazilu, prof.univ. Nicolae Țopa- Teoria și calculul plăcilor ortotrope, Editura Tehnică 1983;
81.Cornel Marin, Anton Hadăr, Ion Popa- Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
82.Anton Hadăr- Structuri din compozite stratificate, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
83.Cornel Marin- Aplicații ale teoriei elasticității și plasticității în inginerie, Editura Bibliotcheca, Târgoviște 2007;
84. Manoliu, Fundații si procedee de fundare, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1977;
85. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973
86. Prof.univ. Panait Mazilu, prof.univ. Nicolae Țopa- Aplicarea teoriei elasticității și a plăcilor în calculul construcțiilor, Editura Tehnică 1986;
87.Filipov, Kolebania uprughih system, Kiev, 1956
88. Fiserova D. – Numerical analyses of buried mine explosions with emphasis on effect of soil properties on loading, PhD thesis, Defence College of Management and Technology, Cranfield University, England, 2006
89. Laine L., – Numerical Simulations Of Ground Shock Attenuation Layers For Swedish Rescu Centres And Shelters , Proceedings of the 4th Asia-Pacific Conference on Shock and Impact Loads on Structures, CI-PremierPTE LTD, Singapore, November 2001, 353-360 pp.
http://www.diytrade.com/china/pd/11031824/6_10mm_Light_Expanded_Clay_Aggregate.html
Riedel W., Thoma K., Hiermaier S., Schmolinske E.: Penetration of Reinforced Concrete by BETA-B-500, Numerical Analysis using a New Macroscopic Concrete Model for Hydrocodes. Proc. (CD-ROM) 9. Internationales Symposium , Interaction of the Effects of Munitions with Structures, Berlin Strausberg, 03.-07. Mai 1999, pp 315 – 322
Ruppert M., Gebbeken N. Material Formulations for Concrete – High strain rates and high presures – Elasticity – Plasticity – Damage, Proceedings of the 9th International Symposium on Interaction of the Effects of Munitions with Structures, p 397- 405, Berlin-Strausberg, May 03-07, 1999
Concrete structures under impact and impulsive loading, Comite Euro-International du Beton, Synthesis report, Aout – 1988
Malvar J. , Crawford J. – Dynamic increase factors for concrete, Twenty-Eighth DDESB Seminar Orlando, FL, August 98
Josan M., – Fortificații permanente, Editura Academiei Militare, București, 1977
Lupoae M., Roșca R. – Comportarea structurilor din beton armat la acțiunea exploziei, Editura Academiei Tehnice Militare, București 2007
Fodor D. – Explozivi minieri și tehnica utilizării lor în exploatările la zi, Litografia Universității petroșani
Anexe
Anexa 1
Modelul de material pentru Concrete 35 Mpa
Anexa nr. 2
Modelul de material pentru nisip
Anexa nr. 3
Modelul de material pentru Steel 1006
Anexa nr. 4
Modelul de material pentru TNT
Anexa nr. 5
Modelul de material pentru pământ
Anexa nr. 6
Modelul de material pentru LECA
Anexa nr. 7
Modelul de material pentru aer
Bibliografie
1. Andre Angot, Complemente de matematică, Editura Tehnică București, 1965;
2. Bălan Ștefan, Curs de mecanică, București 1950;
3. Bălan Ștefan, Încercarea construcțiilor, Editura Tehnică București, 1962;
4. Bănuț, V., Calculul neliniar al structurilor, Editura Tehnică, București, 1981;
5. Beleș A, Ifrim M, Elemente de seismologie inginerească, Editura Tehnică, București, 1962;
6. Bănuț, V., Popescu, H., Stabilitatea structurilor elastice, Editura Academiei R.S.R., București, 1975;
7. Bârsan, G.M., Dinamica și stabilitatea construcțiilor, EDP, București, 1979;
8. Bratu, Polidor, Vibrațiile sistemelor elastice, Editura Tehnică, București, 2000;
9. Buzdugan, Gh., Fetcu, L., Radeș, M., Vibrații mecanice, EDP, București, 1979;
10. Buzdugan, Gh., Rezistența materialelor, Editura Didactică și Pedagogică București, 1964;
11. Buzdugan, Gh., Mihăilescu El., Radeș, M., Măsurarea vibrațiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
12. Bălan, Șt., ș.a., Dicționar cronologic al științei și tehnicii universale, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1979;
13. Buzdugan, Gh., Izolarea antivibratilă a mașinilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
14. Buzdugan, Gh., Dinamica fundațiilor de mașini, Editura Academiei R.S.R., București, 1968.Silaș, Gh. ș.a., Culegere de probleme de vibrații mecanice, vol. I, Sisteme liniare cu un număr finit de grade de libertate, Editura Tehnică, București, 1967;
15. Caracostea, A., ș.a., Manual pentru calculul construcțiilor, Vol.I, Bazele teoretice de calcul al construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1977;
16. Darabont, Al., Iorga, I., Văiteanu, D., Simanschevici, H., Șocuri vibrații. Aplicații în tehnică, Editura Tehnică, București, 1988;
17. Filimon, I., Soare, M., Ecuații diferențiale cu aplicații în mecanica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1983;
18. Gheorghiu, Al., Statica construcțiilor, Vol.III, Formulări și metode matriceale în statica liniară. Comportarea și calculul neliniar al structurilor., Editura Tehnică, București, 1980;
19. Gioncu, V., Ivan, M., Bazele calculului structurilor la stabilitate, Editura Facla, Timișoara, 1983;
20.Hangan, S., Crainic, L., Concepte și metode energetice în dinamica construcțiilor, Editura Academiei R.S.R., București, 1980;
21. Harris, C., Crede, Ch., Șocuri și Vibrații, vol. I, II și III, Editura Tehnică, București, 1968;
22. Ifrim, M., Dinamica structurilor și inginerie seismică, EDP, București, 1984;
23. Ifrim, M., Aplicații în Analiza Dinamică a Structurilor și Inginerie Seismică, EDP, București, 1974;
24. Marinov., R., Probleme de stabilitatate dinamică în construcții, EDP, București, 1985;
25. Lardy P., Sur une methodenouvelle de resolution du probleme des dalles restangulaires encastrees, Vol. 13, Zurich, 1953;
26. Ixaru, L. Gr., Metode numerice pentru ecuații diferențiale cu aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
27. Ispas, C., Simion, F.-P., Vibrațiile mașinilor – unelte. Teorie și aplicații, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
28. Oprea, Gh., Stabilitatea și calculul de ordinal II al structurilor din bare, Editura Național, 1999;
29. Manea V, Câteva probleme ale teoriei plăcilor plane elastice, Editura Academiei, București, 1965;
30. Mazilu P, Statica construcțiilor, Vol. 2, Editura Tehnică, București, 1959;
31. Nowacki, W., Dinamica sistemelor elastice, Editura Tehnică, 1969;
32. Matahală Dumitru, Calculul construcțiilor la șoc, buletin stiintific
publicatie stiintifica de informare a Academiei Fortelor Terestre Volumul XVI nr. 1 (31) / 2011;
33. Matahală Dumitru, Considerații referitoare la capacitatea de rezistență și stabilitate a materialelor compozite armate, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
34. Matahală Dumitru, Exemple de plăci stratificate, articol în Revista Forțelor Terestre, București 2011;
35. Matahală Dumitru , Necesitatea realizării unor elemente din materiale compozite stratificate utilizate pentru adăposturile pentru protecția civilă și fortificații, Revista „Colocviu Strategic ” nr.2, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
36 Matahală Dumitru, Plăci stratificate utilizate la realizarea construcțiilor militare și de protecție civilă, Comunicare ținută la Conferința internațională „Military science universe”, Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București aprilie 2011;
37. Matahală Dumitru, Comportarea plăcilor stratificate la solicitări dinamice și șocuri, Buletinul Universitatea Națională de Apărare „Carol I”, București 2012;
38. Pastașihin V, Kolebania plstinck iz nlineino uprughih materialov, 1966;
39. Ponomariov S.D., Calculul de rezistență la construcția de mașini, vol.2 și 3, Editura Tehnică, București, 1964;
40. Munteanu, M., Introducere în dinamica mașinilor vibratoare, Editura Academiei R.S.R., București, 1986;
41. Pană, T., Absorbitori dinamici de vibrații, Editura Tehnică, București, 1984;
42. Posea, N., Calculul dinamic al structurilor, Editura Tehnică, București, 1991;
43. Radeș, M., Metode dinamice pentru identificarea sistemelor mecanice, Editura Academiei R.S.R., București, 1979;
44. Sinițin A.P., Bazele teoriei calcului planșeelor stratificate, Editura A.M.I. 1950;
45.Sandi, H., Elemente de dinamica structurilor, EDP, București, 1983;
46. Snitko N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București 1962;
47. Scarlat, A., Stabilitatea și calulul de ordinul II al structurilor, Editura Tehnică, București, 1969;
48. Scarlat, A., Stabilitatea structurilor. Probleme speciale, Editura Tehnică, București, 1969;
49. Șabac I. Gh., Matematici speciale, EDP 1965;
50.Teodorescu P.P., Probleme plane în teoria elasticității, E.A., București, 1966;
51. Simonici, M., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1958;
52. Timoshenko-Teoria plăcilor plane și curbe, Editura Tehnică 1968;
53. Bănuț, V., „Calculul dinamic geometric neliniar”, Revista Construcții, nr. 3-4, 1989;
54. Bănuț, V., Teodorescu M., „Dinamica construcțiilor”, Editura MATRIXROM, București, 2007;
55. Bănuț, V., „Calculul de ordinul II și de stabilitate al elementelor și structurilor de rezistență”, Editura Conspress, București, 2005;
56. Felippa, C. A., „Introduction to Finite Element Methods”, ASEN5007, University of Colorado at Boulder, USA, 2004;
57. Ifrim, M., „Analiza dinamică a structurilor și inginerie seismică”, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973;
58. Ilie, Gh., Fierbințeanu, V., Stănilă, N., Petrescu, I., „Mecanica Construcțiilor”, Editura Tehnică, București, 1987;
59. Szolga, V., „Comportarea la solicitări dinamice a unor structuri masive”, Teză de doctorat, I.C.B., 1988;
60. Thomson, W. T., „Theory of Vibration with Applications”, Nelson Thornes Ltd., United Kingdom, 2003;
61. STAS 3451 – 73, Statica, dinamica și stabilitatea structurilor. Terminologie;
62. Soare, M., Teodorescu, P.P., Toma, I., Ecuații diferențiale cu aplicații în Mecanica Consrucțiilor, Editura Tehnică, București, 1999;
63. Snitko, N.K., Dinamica construcțiilor, Editura Tehnică, București, 1965;
64. Țăposu, I., Mecanică analitică și vibrații, Teorie și probleme, Editura Tehnică, București, 1998;
65. A. Vaicum, Condiții de amplasament in ingineria seismica, Editura Academiei. București, 1985;
66. A. Vaicum si I. Vasile, Răspunsul masivului de pamant la acțiuni seismice, a IV- a Conferința de geotehnica si fundații, Iași, 1979;
67. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973;
68. S. Hangan, L. Crainic, Concepte si metode energetice in dinamica construcțiilor, Editura Academiei, București, 1980;
69. D. E Hudson, Man-Made Ground Motions, in monografia " Shock and Vibrations Handbook", McGraw-Hill Book Company, New York, 1961;
70. A. O. Awojobi, O.A. Sobayo, Ground Vibrations Due to Seismic Detonations in Oil Explorations;
71. P. B. Attewell, I. W. Farmer, D. Haslam, Prediction of Ground Vibration Parameters for Major Quarry Blasts, Mining and Mineral Engineering, London, 1965;
72. N. Newmark, R. Hansen, Proiectarea construcțiilor rezistente in șocuri si vibrații, Editura tehnica, București, 1985;
73. D. G. Fertis, Dynamics and Vibration of Structures, John Wiley and Sons, New York, 1973;
74. J. Biggs, Introduction to Structural Dynamics, McGraw Hill, Book Company, New York, 1964;
75. Indira Andeescu-Mecanica plăcilor compozite, Editura Matrix Rom 2001;
76.Elena Alămorăreanu-Bare și plăci din materiale composite, Editura Tehnică 1997
77."Ghid pentru stabilirea criteriilor de performanta si a compozitiilor pentru betoanele armate dispers cu fibre metalice", indicativ GP-075-02;
78.Colonel dr.ing. Oprea Gheorghe, lt.col.ing. Josan Miron- Elemente de calcul ale planșeelor stratificate, Editura A.M.1978;
79.Lt.col.ing. Josan Miron- Fortificații permanente-partea întâi- Editura A.M.1977;
80.Prof.univ. Panait Mazilu, prof.univ. Nicolae Țopa- Teoria și calculul plăcilor ortotrope, Editura Tehnică 1983;
81.Cornel Marin, Anton Hadăr, Ion Popa- Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
82.Anton Hadăr- Structuri din compozite stratificate, Editura Academiei Române, Editura AGIR, 2002;
83.Cornel Marin- Aplicații ale teoriei elasticității și plasticității în inginerie, Editura Bibliotcheca, Târgoviște 2007;
84. Manoliu, Fundații si procedee de fundare, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1977;
85. R. Enescu, C. Radu, V. Marza, Contribuții la studiul efectului seismic al exploziilor asupra construcțiilor, St. cerc. geo., geofiz., geogr.. ser. Geofizica, București, 1973
86. Prof.univ. Panait Mazilu, prof.univ. Nicolae Țopa- Aplicarea teoriei elasticității și a plăcilor în calculul construcțiilor, Editura Tehnică 1986;
87.Filipov, Kolebania uprughih system, Kiev, 1956
88. Fiserova D. – Numerical analyses of buried mine explosions with emphasis on effect of soil properties on loading, PhD thesis, Defence College of Management and Technology, Cranfield University, England, 2006
89. Laine L., – Numerical Simulations Of Ground Shock Attenuation Layers For Swedish Rescu Centres And Shelters , Proceedings of the 4th Asia-Pacific Conference on Shock and Impact Loads on Structures, CI-PremierPTE LTD, Singapore, November 2001, 353-360 pp.
http://www.diytrade.com/china/pd/11031824/6_10mm_Light_Expanded_Clay_Aggregate.html
Riedel W., Thoma K., Hiermaier S., Schmolinske E.: Penetration of Reinforced Concrete by BETA-B-500, Numerical Analysis using a New Macroscopic Concrete Model for Hydrocodes. Proc. (CD-ROM) 9. Internationales Symposium , Interaction of the Effects of Munitions with Structures, Berlin Strausberg, 03.-07. Mai 1999, pp 315 – 322
Ruppert M., Gebbeken N. Material Formulations for Concrete – High strain rates and high presures – Elasticity – Plasticity – Damage, Proceedings of the 9th International Symposium on Interaction of the Effects of Munitions with Structures, p 397- 405, Berlin-Strausberg, May 03-07, 1999
Concrete structures under impact and impulsive loading, Comite Euro-International du Beton, Synthesis report, Aout – 1988
Malvar J. , Crawford J. – Dynamic increase factors for concrete, Twenty-Eighth DDESB Seminar Orlando, FL, August 98
Josan M., – Fortificații permanente, Editura Academiei Militare, București, 1977
Lupoae M., Roșca R. – Comportarea structurilor din beton armat la acțiunea exploziei, Editura Academiei Tehnice Militare, București 2007
Fodor D. – Explozivi minieri și tehnica utilizării lor în exploatările la zi, Litografia Universității petroșani
Anexa 2
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Contributii Privind Calculul Si Comportarea Plăcilor Stratificate la Constructiile Militare Supuse Actiunilor Dinamice (ID: 112794)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.