Contributii Privind Analiza Solicitarii de Contact Elastic Plastic cu Frecare
Cuprins
STRUCTURA ȘI CONȚINUTUL TEZEI …………………………………………………………………………………………………6
1. STADIUL CERCETĂRILOR PRIVIND FRECAREA ÎN CONTACTELE MECANICE ȘI FENOMENUL DE „STICK- SLIP”……………………………………………………………………………………………………………………………………………8
1.1 Introducere……………………………………………………………………………………………………………………8
1.2 Evoluția istorică a cercetărilor privind frecarea ………………………………………………………………….8
1.3 Cercetări în domeniul frecării cu alunecare parțială ……………………………………………………………8
1.4 Exemplificarea fenomenului de stick-slip în natură și în ingineria mecanică…………………………..9
1.5 Direcții de cercetare ……………………………………………………………………………………………………. 14
2. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI ELASTIC-PLASTIC RUGOS ………………………………………………. 15
2.1 Contactul elastic Hertzian ……………………………………………………………………………………………. 15
2.1.1 Geometria locală de contact …………………………………………………………………………………. 15
2.1.2 Ecuația geometrică a contactului normal ……………………………………………………………….. 17
2.1.3 Ipotezele contactului elastic Hertzian …………………………………………………………………….. 18
2.1.4 Distribuția de presiuni ………………………………………………………………………………………….. 19
2.2 Contactul elastic ne-Hertzian ……………………………………………………………………………………….. 19
2.2.1 Contactul elastic concentrat solicitat normal…………………………………………………………… 19
2.3 Studiul contactului concentrat elastic ne-Hertzian ………………………………………………………….. 21
2.3.1 Formularea analitică…………………………………………………………………………………………….. 21
2.3.2 Formularea discretă …………………………………………………………………………………………….. 22
2.4 Elemente de rugozitate a suprafețelor ………………………………………………………………………….. 23
2.4.1 Parametrii medii de caracterizare a rugozității ………………………………………………………… 24
2.4.2 Funcții statistice de distribuție a înălțimilor …………………………………………………………….. 28
2.4.3 Funcții statistice spațiale ………………………………………………………………………………………. 28
2.4.4 Caracteristici spectrale ale suprafeței rugoase ………………………………………………………… 29
2.4.5 Caracterizarea rugozității compuse a două suprafețe rugoase ………………………………….. 29
2.5 Contactul concentrat rugos ………………………………………………………………………………………….. 29
2.5.1 Modelul Greenwood-Williamson …………………………………………………………………………… 31
2.5.2 Modelul Nayak ……………………………………………………………………………………………………. 31
2.6 Elemente de plasticitate………………………………………………………………………………………………. 31
2.6.1 Criterii de curgere izotropă …………………………………………………………………………………… 32
2.6.2 Condiția de plasticitate von Mises …………………………………………………………………………. 33
2.6.3 Condiția de plasticitate Tresca ………………………………………………………………………………. 34
2.7 Concluzii ……………………………………………………………………………………………………………………. 34
3. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI CU FRECARE ………………………………………………………………… 36
3.1 Încărcarea tangențială și contactul cu alunecare …………………………………………………………….. 36
3.1.1 Alunecarea corpurilor elastice neconforme…………………………………………………………….. 36
3.1.2 Alunecarea cilindrului pe direcție perpendiculară axei sale (2D)………………………………… 37
3.1.3 Alunecarea unei sfere pe plan……………………………………………………………………………….. 40
3.2 Inițializarea alunecării la corpurile elastice …………………………………………………………………….. 40
3.3 Contactul elastic dintre două sfere – fără alunecare ……………………………………………………….. 43
3.4 Contactul elastic dintre două sfere – alunecare parțială ………………………………………………….. 44
3.5 Concluzii ……………………………………………………………………………………………………………………. 44
4. MODELAREA NUMERICĂ A UZURII PENTRU CONTACTUL SFERĂ-PLAN ÎN CONDIȚII DE ALUNECARE PARȚIALĂ …………………………………………………………………………………………………………………………………. 46
4.1 Introducere………………………………………………………………………………………………………………… 46
4.2 Ipotezele modelului numeric ……………………………………………………………………………………….. 46
4.3 Calculul distribuției de presiuni normale și tensiuni tangențiale ……………………………………….. 47
4.4 Generarea suprafeței ………………………………………………………………………………………………….. 50
4.5 Evoluția uzurii …………………………………………………………………………………………………………….. 51
4.6 Rezultate numerice …………………………………………………………………………………………………….. 52
4.7 Concluzii ……………………………………………………………………………………………………………………. 60
5. MODELAREA NUMERICĂ A UZURII PENTRU CONTACTUL ROATĂ-ȘINĂ ÎN CONDIȚII DE ALUNECARE PARȚIALĂ …………………………………………………………………………………………………………………………………. 62
5.1 Introducere………………………………………………………………………………………………………………… 62
5.2 Descrierea ipotezelor modelului numeric ………………………………………………………………………. 63
5.3 Calculul distribuțiilor de presiuni și tensiuni tangențiale ………………………………………………….. 64
5.4 Calculul micro-alunecării și uzurii………………………………………………………………………………….. 67
5.5 Rezultate numerice …………………………………………………………………………………………………….. 67
5.6 Concluzii ……………………………………………………………………………………………………………………. 73
6. STUDIUL EXPERIMENTAL AL FEMONENULUI DE „STICK-SLIP” ………………………………………………….. 74
6.1 Standardul VDA 230-206 ……………………………………………………………………………………………… 74
6.1.1 Principiul de funcționare ………………………………………………………………………………………. 74
6.1.2 Descrierea dispozitivului de testare ……………………………………………………………………….. 75
6.1.3 Procedura de testare ……………………………………………………………………………………………. 76
6.2 Testarea fenomenului de „stick-slip” cu ajutorul tribometrului Pin-Disc UMTR 2M-CTR ……… 77
6.2.1 Descrierea tribometrului ………………………………………………………………………………………. 77
6.2.2 Descrierea adaptărilor necesare pentru evaluarea fenomenului de „stick-slip” …………… 77
6.3 Rezultate experimentale ……………………………………………………………………………………………… 80
6.3.1 Influența vitezei asupra riscului de „stick-slip” ………………………………………………………… 80
6.3.2 Influența regimului de frecare asupra riscului de „stick-slip” …………………………………….. 82
6.4 Concluzii ……………………………………………………………………………………………………………………. 94
CONCLUZII FINALE ȘI DIRECȚII NECESARE DE CERCETARE ………………………………………………………………. 95
7. BIBLIOGRAFIE ………………………………………………………………………………………………………………….. 101
STRUCTURA ȘI CONȚINUTUL TEZEI
Mecanica solidelor și, în mod particular, disciplina mecanica contactului reprezintă un instrument puternic pentru investigarea problemelor tribologice. Mecanica contactului investighează starea tensiunilor și deformațiilor în zona de contact a corpurilor, în funcție de forma lor, proprietățile de material și condițiile de încărcare.
Prima investigație importantă în domeniul mecanicii contactului a fost făcută de Hertz [1882], care a analizat tensiunile în contactul a două solide elastice. Teoria lui Hertz inițial intenționa să studieze influența deformației elastice asupra franjurilor de interferență optică ale lui Newton la jocul dintre două lentile de sticlă. Această teorie a oferit baza soluționării mai multor probleme de tribologie. A condus la multe metode pentru calculul ariei reale de contact a suprafețelor rugoase, pentru investigarea contactelor cu alunecare și rostogolire, studiul uzurii camelor și roților dințate, estimarea încărcărilor limită la rulmenți, etc.
Totuși este bine cunoscut că teoria lui Hertz este bazată pe anumite ipoteze ce idealizează proprietățile și condițiile limită ale corpurilor în contact. Se pot enumera următoarele: corpurile în contact sunt elastice, omogene și izotrope, deformațiile sunt mici, suprafețele în contact sunt netede, forma suprafețelor nu se schimbă în timp, contactul este fără frecare. Chiar și în aceste condiții, teoria lui Hertz constituie fundamentului studiului mecanicii contactului de astăzi și implicit al fenomenului de frecare.
În această teză, pe langă elemente de teoria contactului hertzian, nehertzian și elemente de teoria contactului cu frecare, sunt prezentate contribuții originale de modelare numerică a contactului cu frecare în condiții de alunecare parțială precum și a uzurii generate de aceasta. De asemenea este propus un concept de testare a fenomenului de stick-slip pe baza standardului VDA 230-206 cu ajutorul căruia sunt evidențiate condițiile care influentează și cresc riscul apariției stick-slip- ului.
Teza este împărțită în 6 capitole, după cum urmează:
Capitolul 1 prezintă urmatoarele aspecte:
– introducere cu privire la definiția frecării și a celor două componente ce o generează:
adezivă și mecanică;
– stadiul cercetărilor privind frecarea și în special privind problemele de contact cu alunecare parțială;
– exemplificarea fenomenului de stick-slip în ingineria mecanică dar și în natură;
– direcțiile de cercetare ale prezentei teze.
În cadrul capitolului 2 sunt prezentate elemente teoretice de contact elastic hertzian și nehertzian. De asemenea sunt prezentate elemente de rugozitatea suprafețelor, de contact concentrat rugos, precum și elemente de teoria plasticității necesare pentru studiul contactelor mecanice.
Capitolul 3 descrie elemente teoretice de contact cu frecare:
– contactul cu aluncare și începutul alunecării;
– alunecarea totală și parțială a unei sfere pe un plan;
– alunecarea totală și parțială a unui cilindru pe un plan;
– teoria alunecării parțiale propusă de Cattaneo [1938].
Toate aceste elemente de teorie a contactului elastic-plastic rugos cu frecare stau la baza modelelor numerice descrise în capitolele următoare.
În capitolul 4 este prezentat un model numeric de calcul al uzurii pentru contactul nehertzian cu frecare. Geometria considerată este reprezentată de contactul sferă-plan în condiții de alunecare parțială. În ce privește condițiile de încărcare, ansamblul este solicitat normal de o sarcină constantă și tangențial de o forța oscilatorie. Este evidențiată uzura generată în zona de alunecare atât pentru un singur ciclu de variație a forței tangențiale cât și după mai multe cicluri, precum și influența acesteia asupra distribuției de presiuni, distribuției de tensiuni tangențiale și geometriei contactului. Atât suprafețe netede cât și suprafețe rugoase sunt considerate în cadrul simulării.
Capitolul 5 prezintă un model numeric de calcul al uzurii la contactul roată-șină în condiții de alunecare parțială. O ondulație inițială este considerată pe suprafața șinei, generând efecte dinamice asupra încărcării normale. Aceste efecte dinamice sunt considerate în calculul vitezei de alunecare în zona de slip, precum și în calculul uzurii la o singură trecere a roții. Valorile uzurii obținute la o singură trecere se suprapun separației celor două solide în contact și ciclul se repetă, ducând la evoluția și schibarea geometriei inițiale de contact.
În cadrul capitolului 6 este descris un concept de testare a fenomenului de stick-slip având la bază standardul VDA 230-206 și folosind un tribometru profesional asupra căruia au fost efectuate anumite adaptări necesare. Pe baza măsurătorilor și investigațiilor efectuate, este scoasă în evidență influența mai multor factori asupra fenomenului de stick-slip: materialul și rugozitatea suprafețelor în contact, viteza relativă și prezența lubrifiantului.
Teza conține și documente anexe cu scopul de a întări concluziile și observațiile menționate în capitolul 6. Aceste anexe conțin măsurători adiționale cu diferite condiții limită (condiții de încărcare, viteză, starea suprafeței, etc.) precum și măsurători ale rugozităților probelor testate.
În finalul lucrării sunt prezentate concluziile generale si direcțiile ce se desprind pentru continuarea și aplicarea cercetărilor.
Rezultatele numerice prezentate în lucrare au fost realizate folosind coduri scrise în limbajele
C++, MATLAB și EXCEL.
1. STADIUL CERCETĂRILOR PRIVIND FRECAREA ÎN CONTACTELE MECANICE ȘI FENOMENUL DE
„STICK-SLIP”
1.1 Introducere
Mecanica Contactului și Fizica Frecării sunt discipline fundamentale ale științei inginerești și sunt de asemenea indispensabile în activitățile de cercetare și dezvoltare a produselor ingineriei mecanice. Ele se întâlnesc în cazul a nenumărate aplicații, ca de exemplu în dezvoltarea și realizarea următoarelor produse: ambreiaje, frâne, anvelope, lagăre cu alunecare, lagăre cu rostogolire, roți dințate, motoare cu combustie internă, contacte electrice și multe altele. Contactele determină solicitări mecanice (șuruburile), pot transfera forțe (transmisiile mecanice și rulmenții), pot conduce electricitate sau căldură, sau pot preveni scurgerea unor materiale (garniturile).
Forța de frecare reprezintă acea forța care se opune mișcării relative a suprafețelor a două corpuri în contact, sau a straturilor fluide ale unor materiale.
1.2 Evoluția istorică a cercetărilor privind frecarea
Primul mare nume important în domeniul studiului frecării este Leonardo da Vinci. El a fost primul inginer care a formulat persistent și cantitativ legile de frecare. El a ajuns la concluzia care poate fi rezumată în limba de astăzi ca două legi fundamentale ale frecării:
– Forța de frecare este proporțională cu încărcarea normală.
– Forța de frecare este independentă de suprafața de contact.
Da Vinci a fost, de facto, primul care a introdus termenul de coeficient de frecare și primul care experimental i-a determinat valoarea. După cum se întâmpla deseori în istoria științei, aceste rezultate au fost uitate, și redescoperite 200 de ani mai târziu, de fizicianul francez Guillaume Amontons [1699], (Popov [2009]). Proporționalitatea dintre forța de frecare și forța normală este deci cunoscută ca „Legea lui Amontons”.
1.3 Cercetări în domeniul frecării cu alunecare parțială
După cum a fost amintit și în subcapitolele anterioare, o importantă componentă a interacțiunii și a contactului dintre corpuri solide este frecarea. În problemele clasice de mecanica contactului frecarea este introdusă de o relație predefinită (legea de frecare) dintre tensiunile tangențiale și cele normale în zona de contact. Metoda variabilelor complexe realizată de Muskhelishvili [1949], Galin [1953], Kalandiya [1975] este în principal utilizată pentru determinarea tensiunilor în probleme de contact cu frecare 2D. Forma liniară a legii frecării este în mod normal folosită în formulările problemei.
Dacă forța tangențială T aplicată unui corp satisface inegalitatea T < µ P, unde P este forța normală și µ reprezintă coeficientul de frecare, atunci apare fenomenul de alunecare parțială;
acest fenomen este caracterizat de existența zonelor de „stick” și „slip” în zona de contact. Frecarea se numește frecare statică. În zonele de „slip” este folosită relația liniară dintre tensiunile normale (p) și cele tangențiale (τ) τ ≈ µ p. În zonele de „stick” deplasările corpurilor în contact sunt egale în fiecare punct. Probleme de contact cu alunecare parțială au fost considerate de Mindlin [1949], Galin [1945, 1953], Lur’e [1955], Spence [1973], Keer și Goodman [1976], Mossakovsky și Petrov [1976], Mossakovsky, Kachalovskaya și Samarsky [1986], Goldstein și Spector [1986], etc. Soluția problemelor include determinarea pozițiilor și dimensiunilor zonelor de „stick” și „slip” pentru condiții de încărcare date. În particular, se arată că zona de „stick” descrește și tinde spre zero dacă T → µ P.
1.4 Exemplificarea fenomenului de stick-slip în natură și în ingineria mecanică
După cum s-a explicat în partea introductivă a acestui capitol, pentru a îndeplini condițiile frecării statice forța tangențială trebuie să fie mai mică decât produsul dintre coeficientul de frecare și forța normală (T < µ P). În tot acest timp zona de contact este împărțită într-o zona de
„stick” și o zonă de „slip”. Dimensiunea acestora depinde de raportul dintre forța tangențială și forța normală. Odată ce forța tangențială depășeste ca mărime forța normală se generează mișcare relativă între cele două corpuri și astfel frecarea devine dinamică. Fenomenul de stick- slip, întâlnit într-o multitudine de aplicații inginerești dar și în alte domenii, prezintă ambele tipuri de frecare, atât statică cât și dinamică. Există o variație a forței de frecare care produce intermitența alunecării denumită „stick-slip” (Tudor [1977]).
Fig. 1.1 Descrierea schematică a fenomenului de stick-slip [http://en.wikipedia.org]
Pentru două suprafețe în contact, frecarea de tip stick-slip poate avea loc ori de câte ori coeficientul de frecare cinetică este mai mic decât coeficientul de frecare statică ducând la o anumită elasticitate în sistem. Atunci când forța motrice este aplicată la o suprafață, o forță statică ridicată previne mișcarea până când forța motrice este suficientă pentru a depăși elasticitatea sistemului. Ca rezultat, suprafața începe apoi să se deplaseze cu schimbarea frecării din statică în dinamică, forța elastică accelerează suprafața în timp ce elasticitatea sistemului se descarcă rapid.
Suprafața în mișcare încetinește, forța de frecare începe din nou să crească până când nu mai există mișcare între cele două corpuri, și apoi ciclul se repetă. Prin urmare mișcarea relativă dintre cele două corpuri este intermitentă.
În figura 1.1 este descris schematic fenomenul de stick-slip. V reprezintă sistemul de acționare, R reprezintă elasticitatea din sistem, iar greutatea masei M este sarcina normală pe suprafață și impinsă orizontal. Atunci când este pornit sistemul de acționare, arcul R este încărcat și apasă cu o forță asupra masei M până când coeficientul de frecare static dintre masa M și suprafața pe care este așezată nu mai este capabil să oprească deplasarea masei. Corpul M începe alunecarea și coeficientul de frecare descrește de la valoarea statică la valoarea dinamică. În acest moment arcul poate poate accelera masa M. În timpul mișcării masei M, forța arcului descrește până cand devine insuficientă pentru a depăși frecarea dinamică. Din acest moment M frânează până la oprire. Funcționând continuu sistemul de acționare reîncarcă arcul și fenomenul descris se repetă.
Câteva exemplificări, în care frecarea de tip stick-slip este importantă: ghidajele la mașini unelte, mașini de finisare, simulatoarele de aeronave și producția textilă.
Există foarte multe exemple de frecare de tip stick-slip și cu efecte pozitive dorite. De exemplu sunetele făcute de instrumentele cu coarde (vioara, violoncelul) sau chiar sunetele făcute de lăcuste sunt generate de stick-slip. Atunci când arcușul se deplasează pe coarde sau când lăcusta își freacă piciorușele, vibrațiile ce rezultă din mișcarea de stick-slip generează sunetele caracteristice.
În cazul viorii, acțiunea arcușului asupra coardei reprezintă un ciclul repetitiv de stick-slip. Acest lucru implică unele proprietăți interesante de frecare, respectiv pentru forța care se opune mișcării relative.
Și în acest caz, frecarea statică (stick) este mai mare decât frecarea dinamică (slip). Acest lucru este valabil pentru cele mai multe suprafețe uscate. Este de asemenea adevărat și în cazul arcușului și coardei viorii, unde instrumentistul pune colofoniu pe arcuș pentru a face și o mai mare diferență dintre cele două condiții: coeficientul de frecare statică este foarte mare în timp ce frecarea cu alunecare este foarte scăzută.
Fig. 1.2 Fenomenul de stick-slip exemplificat în cazul viorii [www.chemistryviews.org]
În figura 1.2 se poate observa forma coardei în timpul vibrației de stick-slip. Coarda are acea formă de V, reprezentată în culorile roșu și albastru atât cu linie punctătă cât și cu linie întreruptă. Punctul ce formează baza V-ului se numește „colțul lui Helmhotz”. Acest punct se deplasează după arcele de cerc și direcția aratată în figura 1.2. De fiecare dată când „colțul lui Helmhotz ajunge la nivelul arcușului, se face trecerea dintre stick și slip și invers. Atunci când punctul trece spre degetele instrumentistului și înapoi spre partea opusă unde sunt încastrate coardele, arcușul aderă la coardă (zona de stick), în partea opusă alunecând (zona de slip).
Un alt exemplu extrem de interesant este cel al langustei (Patek, [2001]). Aceste crustacee pot speria prădătorii chiar dacă armura lor obișnuită este destul de moale. Multe antropode sunt în măsură sa producă sunete, impulsuri de frecare, prin frecarea unui element rigid de anumite muchii macroscopice. Langustele (Palinuridae) fac de asemenea astfel de sunete în virtutea unui mecanism de tip stick-slip. Prin utilizarea acestei tehnici, homarii pot produce de asemenea sunete stridente de avertizare împotriva animalelor de pradă pe perioada ciclului lor de năpârlilre în special în perioada când exoscheletul lor este moale și sunt mai sensibile la prădare.
Fig. 1.3 Morfologia producătoare de sunet a langustelor, Patek [2007]
O pereche de plectre (maro deschis ), o extensie de pe fiecare antenă, freacă peste cele două
„pile” (maro închis) pentru a produce sunet. Săgeata verde indică direcția mișcării plectrului atunci când produce sunetul. În figura 1.3 se poate observa și o reprezentare masă-arc a mecanismului de stick-slip întâlnit la languste (Patek [2001]). Plectrul este modelat ca o masă prinsă între două arcuri. Plectrul se deplasează peste „pilă”, element ce este fix, încastrat corpului langustei. De fiecare dată când alunecă plectruul se produce un puls de sunet.
Patek [2007] a examinat în detaliu anatomia microscopică, cinematica, acustică și proprietățile de frecare ale langustelor cu scopul de a caracteriza cantitativ mecanica frecării și acusticii ale acestui sistem. Folosind sincron video de mare viteză și înregistrări sonore, a testat dacă cinematica plectrului este corelată cu caracateristicile acustice de semnal și a constatat că viteza plectrului este corelată pozitiv cu amplitudinea acustică. Pentru a caracteriza mecanica de frecare a sistemului, a măsurat forțe de frecare în timpul producerii sunetului folosind plectre și „pile” excizate. Similar cu materialele din cauciuc glisante pe suprafețe dure, coeficientul de frecare în acest sistem a fost de 1.7. Modificarea coeficientului de frecare pe fiecare ciclu de stick-slip a variat substanțial cu o schimbare medie de 1.1. Deși condus cu o viteză constantă, plectrul a alunecat cu viteze care au fost corelate pozitiv cu forța normală dintre cele două suprafețe. Studii de frecare pe sisteme biologice s-au concentrat în primul rând pe adeziune și mișcare, în timp ce studiile de acustică de stick-slip au rămas în sfera de competență a acusticii muzicale și a proiectării mecanice. Studiul lui Patek [2007] oferă o analiză integratoare a unui mecanism bioacustic neobișnuit și contrastează parametrii săi fizici cu alte sisteme biologice și de inginerie.
Un alt exemplu de fenomen de stick slip este acela când se produc note muzicale cu ajutorul unei harpe din pahare de sticlă prin frecarea cu degetul umed de-a lungul marginii unui pahar de cristal. Harpa din pahare a fost creată în 1741 de irlandezul Richard Pockrich, care este cunoscut ca primul virtuoz al acestui instrument.
Fig. 1.4 Harpă din pahare ce produce sunete prin fenomenul de stick-slip
Fiecare pahar este acordat pentru un anumit sunet, fie prin șlefuirea și dimensionarea paharului, caz în care acordarea este permanentă, fie prin umplerea paharului cu apă până la obținerea sunetului dorit.
În cazul cutremurelor, fenomonemul se explică tot prin stick-slip.
Fig. 1.5 Schematica fenomenului de stick-slip în cazul cutremurelor [quakeinfo.ucsd.edu] Dacă există deja un defect între două plăci tectonice, care duce la mișcare și la generarea unui
cutremur, se pune întrebarea de ce nu durează continuu. Răspunsul este dat de faptul că frecarea între blocuri le fixează împreună până când este depășit un anumit prag. Frecarea este generată și de marginile inegale ale celor două blocuri, făcând o paralelă cu piesele mecanice, de rugozitatea celor două blocuri. Proeminențe ale blocurilor din planul de contact cresc frecarea, acestea acționând ca niște ancore pentru fiecare bloc în parte. Frecarea este o forță care contracarează tensiunea. Un cutremur are loc atunci când tensiunea acumulată este mai mare decât frecarea statică ce le menține în poziție. În timpul unui cutremur, sau în timpul unei alunecări cu pericol seismic redus (mișcare fără cutremur), unele asperități sunt zdrobite. Acest material este zdrobit grosier (falie „breccia”) sau fin (falie „gouge”). Falia „gouge” poate avea lățimi de mai mulți metri.
Comportamentul de stick-slip este dat de acumularea repetată a tensiunilor între cutremure și apoi scăderea instantanee a acestora în timpul unui cutremur. Ca o scurtă descriere a stick-slip- ului în cazul cutremurelor se pot enumera următorii pași:
– inițial cele două blocuri sunt în contact (frecare statică);
– tensiunile și deformațiile se acumulează (blocurile sunt tot fixe, fără mișcare);
– tensiunea acumulată devine mai mare decât forța de frecare ce i se opune;
– are loc alunecarea (cutremurul) și tensiunea scade în timpul cutremurului, dar deformațiile continuă să crească;
– apoi ciclul se repetă.
1.5 Direcții de cercetare
Studiul de sinteză bibliografică prezentat în acest capitol a permis stabilirea direcțiilor de cercetare necesare pentru finalizarea acestei teze, după cum urmează:
– Dezvoltări teoretice pentru simularea analitică a contactelor mecanice în condiții de alunecare parțială;
– Dezvoltări de soft pentru simularea numerică a alunecării parțiale din contactele mecanice;
– Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactele mecanice fără rostogolire;
– Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactul roată-șină cu scopul de a scoate în evidență potențiale cauze ce generează uzura ondulatorie;
– Dezvoltatea și proiectarea de dispozitive precise de cuantificare a fenomenului de stick-slip la perechi de materiale în contact;
– Scoaterea în evidență a factorilor ce influiețează creșterea riscului de apariție a fenomenului de stick-slip;
– Propunerea de soluții teoretice și practice de ameliorare a efectelor negative ale fenomenului de stick-slip;
– Proiectarea de soluții tehnice de exploatare pozitivă și benefică a fenomenului de stick-slip, ca de exemplu mijloace de avertizare sonoră pe bază de stick-slip având un consum energetic redus sau echipamente motrice folosind undele de vibrații generate de stick-slip (folosind așa-numitul fenomen „stick-slip motion”).
2. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI ELASTIC- PLASTIC RUGOS
2.1 Contactul elastic Hertzian
În lipsa oricărei solicitări, două corpuri cu suprafețe neconforme se ating inițial într-un punct, sau dupa o linie, figura 2.1. Dacă peste această stare inițială se suprapune o solicitare exterioară, zona de atingere devine un domeniu D, de arie finită și redusă în comparație cu dimensiunile corpurilor.
Fig. 2.1 a) Contact roata-șină, b) Contact sferă-plan, c) Contact bilă-cale de rulare, (Hamrock
[1983])
Întrucât la solicitarea de contact a corpurilor având suprafețe neconforme, aria domeniului de contact este foarte mică, în comparație cu dimensiunile corpurilor, ideea de bază care se va urma în soluționarea problemelor ridicate este de a asimila fiecare dintre cele două corpuri cu câte un semispațiu elastic.
Apar două necunoscute:
– domeniul de contact, care este necunoscut atât ca formă cât și ca dimensiuni;
– distribuția, necunoscută pe acest domeniu a sarcinii exterioare.
Forma domeniului de contact este determinată evident de geometria locală în jurul punctului de atingere a suprafețelor corpurilor în contact.
2.1.1 Geometria locală de contact
Se consideră două corpuri elastice I și II care se ating într-un punct O, figura 2.2. În punctul O, cele două suprafețe au un plan tangent comun și normale cu aceeași direcție, sensurile putând diferi. Fiecare suprafață este considerată netedă, la scala microgeometrică însemnând lipsa rugozităților.
I
Fig. 2.2 Solide elastice în contact
Pentru fiecare corp se alege cate un sistem de coordonate OxIyIzI și OxIIyIIzII, cu originea în O și având planele xIOyI, respectiv xIIOyII, comune cu planul tangent. Dezvoltând în serie Mac Laurin, în jurul originii O, ecuațiile celor două suprafețe (I și II) în sistemul de coordonate atașate corpurilor I și II și folosind faptul că cele două suprafețe sunt tangente la planul comun,
în condițiile neglijării termenilor superior lui doi, se obține:
1
1
∈ 1
∈ 1
2
2
2
2
(2.1)
1
2
1
2
1
2
1
2
(2.2)
Unde cu R , R , R , R au fost notate razele de curbură principale pentru cele două corpuri,
cuprinse în două plane, 1 și 2, care se intersectează după normala comună în punctul de contact.
O normală în planul tangent înțeapă cele două suprafețe în punctele M și M , distanța dintre cele
două puncte fiind:
1
1
1
1
(2.3)
Pentru a obține o formă mai simplă a relației (2.3) se alege un sistem de coordonate astfel încât
distanța z dintre punctele M și M aflate pe aceeași normlă la planul tangent, si pe suprafețele
celor două corpuri, să se exprime ca o sumă de două pătrate:
2
2
(2.4)
Planele principale 1 și 2 sunt alese astfel încât razele de curbură reduse R și R să rezulte
pozitive.
Fig. 2.3 Raze de curbură pentru diverse elemente. a) corpuri de rostogolire; b) căi de rulare pentru rulmenți cu bilă; c) căi de rulare pentru rulmenți cu role cilindrice (Hamrock [1983]).
2.1.2 Ecuația geometrică a contactului normal
În lipsa solicitării, cele două corpuri I și II se ating într-un punct O, Figura 2.2. Sub acțiunea unei sarcini F dirijate după o normală comună în punctul de contact inițial, între cele două corpuri se va crea un domeniu comun D de mărime și formă necunoscută.
Numai punctele aflate în vecinătatea domeniului de contact vor suferi deformații elastice, conform principiului lui Saint-Venant. Ca rezultat al deformațiilor elastice din zona contactului, punctele aflate suficient de departe de zona contactului vor suporta numai câte o deplasare rigidă,
δ și respectiv δ . Deplasările elastice ale punctelor M și M sunt u și u , iar cotele după
deformație vor fi:
∗ , , − , , (2.8)
∗ ,
, −
, , (2.9)
Dacă după deformare punctele M și M coincid de domeniul comun D, rezultă:
∗ ∗
0 , , − , , , ∈ ! (2.10)
Ecuația algebrică 2.10 este denumită ecuația geometrică a contactului elastic sub solicitarea
normală.
, , − 2
−
2
(2.11)
În care: .
Deoarece domeniul de contact D este mic în comparație cu dimensiunile corpurilor, cele două corpuri pot fi apreciate prin două semispații supuse fiecare la o aceeași sarcină, o sarcină normală repartizată într-un mod neprecizat pe un domeniu necunoscut D. În aceste condiții
deplasările u și u , se pot exprima prin relația particularizată pentru cazul când z = 0. Existența potențialului de simplu strat este asigurată de faptul că distribuția de presiuni " #, $ pe domeniul D (figura 2.4) este de clasă %& . Respectarea principiului lui Saint-Venant impune ca
starea elastică creată de distribuția de presiuni să se anuleze la infinit. Pentru soluționarea stării
elastice se folosește inițial soluția Papkovici-Boussinesq a ecuației lui Lamé [Crețu, 2009].
1 − '
" #, $
1 − '
(2.12)
, , 0
* ,#,$ () + − # − $
–
. , , 0 ()
Relația devine:
1 1 − '
/
( )
1 − '
)
" #, $
0 * ,#,$ −
+ − # − $
–
∈
2
∈
−
2
(2.13)
Aceasta reprezintă așa numita ecuație integrală a contactului elastic, fiind numită de asemenea
relația sarcină deplasare a lui Boussinesq.
2.1.3 Ipotezele contactului elastic Hertzian
În lucrarea sa din 1881, Hertz soluționează analitic problema contactului elastic pe baza următoarelor ipoteze, valabile și în prezent:
– forma domeniului de contact este eliptică, conform ecuației (2.4);
– se consideră fiecare corp ca fiind un semispațiu elastic;
– suprafețele sunt considerate ca fiind ideale, fără rugozitate, între corpuri transmițându-se numai o distribuție normală de presiuni;
– deși suprafața reală de contact poate să nu fie plană, corpurilor fiind semispații, se consideră ca sarcina normală este transmisă după o direcție paralelă cu axa Oz, iar tensiunile tangențiale de pe frontieră, acționează în planul xOy.
2.1.4 Distribuția de presiuni
Rezolvarea generală a unei probleme de teoria elasticității constă în determinarea stării elastice a corpului analizat, ceea ce înseamnă precizarea stării de deformare și a celei de tensiuni pentru condiții la limită impuse.
Pentru a determina distribuția de presiuni trebuie soluționată o problemă de tip Neuman, [Liviu
Solomon, 1969]. Se cere determinarea stării elastice într-un semispațiu z>0 supus unei încărcări
normale, repartizată după o anumită lege p ξ, η , pe un domeniu mărginit situat pe frontiera z=0,
figura 2.4.
Fig. 2.4 Sarcină distribuită pe domeniul D cuprins pe frontiera z=0, Crețu [2009]
2.2 Contactul elastic ne-Hertzian
2.2.1 Contactul elastic concentrat solicitat normal
Dacă geometria corpurilor aflate în contact respectă ipotezele lui Hertz, iar încărcarea exterioară
este pur normală, contactul concentrat este Herzian.
Suprafețele reale de contact prezintă microgeometrii, contactul real nerespectând ipotezele lui
Herz, acesta numindu-se „contact elastic ne-Hertzian”.
În cazul contactului concentrat punctual, geometria de contact este ne-Hertziană dacă în jurul punctului initial de contact, separarea dintre suprafețe nu poate fi redusă la o formă patratică.
Fig. 2.5 Distribuția de presiuni și aria de contact pentru contactul cilindru/plan și cilindru/cilindru, Crețu [2009]
Pentru cazul contactului liniar, geometria de contact este ne-Hertziană dacă:
– generatoarea comună pe care se realizează atingerea este de lungime finită;
– raza unuia dintre cilindrii în contact nu rămâne constantă ci urmează o variație după o lege oarecare.
Dacă unul dintre cilindri are lungime finită, figura 2.7a, atunci presiunile de contact cresc pe măsura apropierii de capătul cilindrului scurt, procesul fiind cunoscut sub numele de efect de capăt, sau efect de muchie, figura 2.7b. Efectul de capăt este cu atât mai accentuat cu cât raza de racordare de la capătul cilindrului scurt este mai mică.
Organe de mașini dintre cele mai importante, la care manifestarea efectului de capăt când realizeaza transmiterea sarcinilor prin intermediul unor solicitări de contact liniar ne-Hertzian, sunt: rulmenții – contactul dintre rolele cilindrice sau conice și căile de rulare ale celor două inele, angrenajele – contactul între flancurile dinților, transmisiile prin lanțuri – contactul dintre dintele roții și rola lanțului, variatoare de turație – contactul între elementele active, mecanismele de distribuție la motoarele cu ardere internă – contactul dintre camă și tachet, material rulant – contactul dintre șină și bandajul roții.
2.3 Studiul contactului concentrat elastic ne-Hertzian
2.3.1 Formularea analitică
În absența unei solicitări exterioare, două corpuri limitate de suprafețe netede se ating într-un punct inițial de contact, punct în care există un plan tangent comun și o normală comună. Aplicarea unei solicitări exterioare dirijată după direcția normalei comune și în sensul apropierii
dintre corpuri, va determina deformarea suprafețelor notată prin 45 , figura 2.7a.
Forma ariei reale, mărimea acesteia cât și distribuția de presiuni pe aria reală sunt
necunoscute.
Pentru cazul contactului elastic între corpuri limitate de suprafețe rugoase, aria reală de contact apare ca o sumă de microarii 56 :
7 56 45 (2.35)
Pe planul tangent, în jurul punctului inițial de contact, se consideră o arie virtuală de contact, de
formă dreptunghiulară și notată cu 48 . Această arie virtuală de contact este aleasă suficient de mare pentru a supraestima aria reală de contact, 48 ≥ 45 .
Relația dintre aria reală de contact și aria virtuală este exemplificată în figura 2.7a pentru cazul contactului realizat în interiorul unui rulment radial cu role cilindrice între rola cilindrică și calea de rulare.
Se introduce un sistem cartezian de coordonate (x,y,z), planul x-O-y fiind planul tangent comun, iar originea sistemul de coordonate situată la colțul stâng al domeniului virtual dreptunghiular.
Deplasarea elastică a fiecărei suprafețe, : , și respectiv : , , este măsurată pe direcția
corespunzătoare a normalei exterioare.
Pentru un punct (x,y) de pe planul tangent, suma deplasărilor individuale va fi notată prin
: , .
Modelul elastic al deformării suprafeței este definit de următorul grup de 3 ecuații:
a) Ecuația geometrică a contactului elastic:
; , ℎ , : , − & (2.36)
b) Ecuația integrală a deplasării normale a frontierei semispațiului elastic:
: ,
1 1 − '
/
( )
1 − '
)
" #, $
0 * ,#,$
+ − # − $
=>
(2.37)
În care, E și E sunt modulii lui Young de elasticitate longitudinală; ϑ și ϑ sunt coeficienții lui
Poisson de contracție transversală; p(x,y) este presiunea de pe suprafața de contact în punctul
considerat.
c) Ecuația de echilibru:
A " , , , B (2.38)
=>
Unde F este forța normală care se transmite între cele două corpuri. Condițiile fizice de neadeziune și nepenetrare conduc la ecuațiile:
; , 0, " , > 0, , ∈ 45 (2.39)
; , > 0, " , 0, , ∉ 45 (2.40)
Pentru cazul contactelor concentrate ne-Hertziene sistemul de ecuații (2.36) – (2.40) nu are
soluție analitică, astfel încât, pentru o abordare numerică se impune prezentarea sub formă
discretă a problemei contactului concentrat ne-Hertzian.
2.3.2 Formularea discretă
Pe domeniul virtual de contact, de formă dreptunghiulară, se construiește o rețea dreptunghiulară, uniformă cu liniile rețelei paralele cu axele x și y ale sistemului de coordonate. Nodurile rețelei se notează prin (i, j), unde indicii i și j se referă la coloanele și respectiv la liniile rețelei figurile 2.8 și 2.9.
Fig. 2.6
Fig. 2.7 Discretizarea domeniului contactului și exemplificarea folosind aria de contact a contactului roata șină fără deplasare laterala, Crețu [2009]
În aceste condiții, formularea analitică reprezentată de ecuațiile (2.36) – (2.40) este înlocuită cu formularea discretă dată de ecuațiile (2.47) – (2.51).
;6E ℎ6E :6E − & (2.47)
JMG JKG
:6E 7 7 F6GH,EGI "HI (2.48)
6L&
EL&
JMG JKG
∆ ∆ 7 7 "6E B
(2.49)
6L&
EL&
;6E 0, "6E > 0, O, P ∈ 45 (2.50)
;6E > 0, "6E 0, O, P ∉ 45 (2.51)
Funcția de influență Kij reprezintă valoarea deformației suprafeței urmare a acțiunii unei presiuni
unitare pe elementul de rețea (k,l). Valorile numerice ale coeficienților de influență Kij sunt determinate prin integrarea ecuației lui Boussinesq pentru acest caz de încărcare. Calculul numeric
Sistemul de ecuații (2.47) – (2.51) va cuprinde un număr de până la un milion de ecuații, mărime ce impune ca în alegerea algoritmului de rezolvare două caracteristici să fie esențiale:
– viteza cu care, pentru o precizie impusă, algoritmul converge impus asupra soluției;
– cantitatea de memorie necesară pentru rularea codului.
Viteza algoritmului de calcul este în general dependentă de numărul de operații cu virgulă
mobilă solicitat. Dacă matricea Q6E are mărimea R ∗ R , atunci produsul matrice vector va include R ∗ R înmulțiri și R ∗ R adunări. Rezultă că soluționarea problemei prin
metoda Gauss sau prin metoda factorizării Choleski poate dura zeci de ore, chiar dacă se
utilizează un calculator cu frecvență de lucru ridicată. De asemenea, necesitățile de memorie cresc tot cu pătratul numărului de puncte al rețelei.
2.4 Elemente de rugozitate a suprafețelor
În raport cu suprafața nominală orice suprafață reală prezintă abateri dimensionale, de formă și de topografie. Topografia unei suprafețe reale, figura 2.10, cuprinde:
– microtopografia care include nano și microrugozitățile;
– macrotopografia care include ondulațiile și defectele accidentale.
Nano și microrugozitățile sunt abateri repetitive, sau aleatoare, ale suprafeței reale, având lungime de undă mică și caracterizate prin maxime locale (numite vârfuri sau piscuri), respectiv minime locale (numite văi).
Valorile diametrului bazei rugozităților este de 10-100 ori mai mare decât înălțimile acestora. Nano și microrugozitățile sunt determinate de procesul de prelucrare putând fi alterate prin procesul de rodaj.
Ondulațiile numite și macrorugozități, au lungimea de undă mai mare fiind determinate de deformațiile elastice din procesul de prelucrare, deformațiile induse de tensiunile remanente, vibrații, și sunt puțin influențate de rodaj.
Fig. 2.8 Descompunerea profilului suprafeței reale
2.4.1 Parametrii medii de caracterizare a rugozității
În mod obișnuit rugozitatea unei suprafețe apreciază variația în înălțime a suprafeței reale în raport cu o suprafață nominală. Rugozitatea se poate măsura în lungul unui singur profil al suprafeței obținând o caracterizare bidimensională, sau în lungul unui set de profile paralele, obținând o caracterizare tridimensională, figura 2.11.
Fig. 2.9 Caracterizare tridimensională a profilului suprafeței
Înălțimea rugozității z(x) într-un punct de pe abscisa x al profilului este o variabilă aleatoare, fiind caracterizată de ansamblul statistic al volorilor acesteia în toate profilele posibile. În cele ce urmează înălțimea rugozităților va fi considerată ca fiind o variabilă aleatoare staționară ergodică în sensul că valorile medii definite pentru un profil nu depind de profilul ales și coincid cu valorile medii definite pe ansamblu.
Dat fiind caracterul aleatoriu al distribuției înâlțimilor rugozității suprafețelor reale se va proceda la:
– Definirea parametrilor medii de caracterizare ai rugozităților;
– Analiza statistică a distribuției înălțimilor rugozității;
– Caracterizarea fractală a rugozității suprafețelor.
Parametrii medii ai înalțimii rugozității
Parametrii capabili să aprecieze înălțimea sunt considerați ca fiind cei mai importanți parametri de caracterizare ai rugozității. Se consideră un profil z(x), figura 2.12, obținut prin intersectarea suprafeței rugoase cu un plan normal.
Fig. 2.10 Descriere bidimensională a rugozității suprafeței
Se definește linia medie ca linia centrală, astfel încât porțiunile de profil situate deasupra liniei
medii și respectiv sub linia medie, să aiba ariile sumate egale.
1 W
V A ,
T &
(2.59)
În ce privește liniile de referință, în literatură sunt definite în special 3 tipuri: linia medie, cea definită anterior în care porțiunile de deasupra și respectiv de sub linia medie au arii egale, linia definită prin 10 puncte, 5 cele mai înalte și 5 cele mai joase și linia medie înclinată numită și
„least squares”.
Fig. 2.11 Comparație între 3 tipuri de linii de referință: a) linia medie; b) linia definită prin zece puncte; c)linia media înclinată („least squares”).
Înălțimea medie aritmetică
Este notată uneori CLA („center line average”) sau AA („arithmetic average”), fiind definită ca media aritmetică a valorilor absolute ale abaterilor verticale ale profilului, în limita distanței de
măsurare L.
1 W
S %T4 44 A | − V|,
&
(2.60)
În varianta numerică profilul este discretizat de lungimea de referință L într-un numar N de
eșantioane 6 , O 1 … R cu pasul de eșantionare ∆ JG
6LJ
1
S 4 7| 6 − V|
6L
(2.61)
Fig. 2.12 Profile geometrice având același valori ale mediei aritmetice Ra, Halling [1976], Tudor
[1990].
Valoarea medie pătratică a înâlțimii
Este definită ca rădăcina pătrată a mediei aritmetice aplicate sumei pătratelor ale abaterilor
verticale ale profilului în raport cu linia de referință.
6LJ
1
[ \
R
7 6
6L
(2.62)
Dacă linia de referință coincide cu linia medie:
V 0 și [ _
(2.63)
Abaterea standard sau varianta, Z
1
[ \
J
7 6 − V
(2.64)
R
6L
Parametrii medii care caracterizează valorile extreme ale înălțimii:
– Distanța dintre vârful cel mai înalt și cea mai adâncă vale, ` ;
– Distanța dintre cel mai înalt vârf și linia medie, a ;
– Distanța dintre cea mai adâncă vale și linia medie, b ;
– Distanța dintre media celor mai înalte cinci vârfuri și linia medie, ac ;
– Distanța , dintre mediile celor mai înalte 5 vârfuri și a celor mai adânci 5 văi,
măsurate în limitele lungimii de referință:
g g
1
5 e7 "6 − 7 fE h (2.65)
6L
EL
Semnificația parametrilor Ri , Rj și Rk, este prezentată în figura 2.15.
Fig. 2.13 Reprezentarea grafică a parametrilor lm , ln șo lp
Deși parametrii Rq , σ și Rk sunt cei mai utilizați în specificațiile tehnice ale organelor de mașini,
toți parametrii menționați oferă indicații privind numai abaterile relative pe înălțimea profilului,
fără a furniza nici un fel de indicații privind panta, forma sau frecvența. Este posibil, ca suprafețe care au profile cu totul diferite ca formă sau frecvență, să furnizeze aceleași valori pentru
parametrii medii Rq sau σ, figura 2.14.
Momentul centrat de ordinul trei, (skewness), uv
J
wF
1
_xR
7 6 − V x
6L
(2.66)
Valoarea parametrului skewness depinde de felul în care este distribuit materialul solid în cadrul profilului în raport cu linia medie: dacă acesta se află majoritar deasupra liniei medii atunci valoarea parametrului skewness este negativă, iar dacă materialul solid se află majoritar sub linia medie atunci valoarea parametrului skewness este pozitivă, figura 2.16. O distribuție simetrică a
înălțimilor pentru care numărul vârfurilor este egal cu cel al văilor determină un Sk ≈ 0. Astfel
parametrul skewness poate fi utilizat pentru a diferenția suprafețe care au aceeași valoare pentru
înălțimea medie aritmetică Rq , deși sunt caracterizate prin forme mult diferite ale profilelor.
Fig. 2.14 Reprezentarea relației dintre rugozitate și parametrul skewness
Rugozități, la care au fost îndepărtate vârfurile sau care prezintă zgârieturi adânci, conduc la valori negative ale parametrului skewness. Profilele caracterizate prin vârfuri înalte, la care văile sunt domoale, au valori pozitive ale parametrului skewness.
Momentul centrat de ordinul patru, (kurtosis), K
J
wF
1
_|R
7 6 − V |
6L
(2.67)
Parametrul kurtosis apreciază de asemenea forma profilului. Astfel dacă în limitele lungimii de referință profilul prezintă relativ puține vârfuri înalte și văi adânci, figura 2.17, rezultă K<3 („profil platkurtoic”), iar dacă din contră profilul prezintă multe vârfuri înalte și văi adânci rezultă K>3 („profil leptokurtoic”).
Fig. 2.15 Reprezentarea relației dintre rugozitate și parametrul kurtosis
2.4.2 Funcții statistice de distribuție a înălțimilor
Înălțimea rugozităților z(x) este privită ca o variabilă aleatoare. Funcția densitate de probabilitate p(z) este definită ca limita raportului dintre probabilitatea ca înălțimea rugozităților să se afle în
intervalul h, h ∆z și mărimea intervalului ∆z, când acesta tinde la zero.
Cele mai cunoscute forme analitice utilizate pentru funcțiile densitate de distribuție a înălțimii
rugozității sunt:
– Funcția densitate de distribuție exponențial negativă;
– Funcția densitate de distribuție Gauss sau normală.
2.4.3 Funcții statistice spațiale
Privite ca un proces aleatoriu rugozitățile sunt caracterizate în domeniul spațial prin următoarele funcții statistice:
– Funcția de autocovarianță și funcția de autocorelație % ;
– Funcția densitate spectrală de putere a mediei pătratice ‚ .
2.4.4 Caracteristici spectrale ale suprafeței rugoase
Caracteristicile spectrale ale suprafeței rugoase pot fi descrise în mod similar cu cele prezentate la descrierea caracteristicilor spectrale ale profilului, cu observația că în acest caz vor fi utilizate două direcții perpendiculare, pe care le vom nota generic cu x și respectiv cu y.
Astfel se definește funcția de autocovarianță F, ƒ :
JGH ‡GI
1
F, ƒ R − F − ƒ 7 7„ a[ a…H,[…I †
aL [L
(2.88)
Funcția de autocorelație corespunzătoare profilului unei direcții ˆ se poate exprima în funcție de
funcția de autocorelație a suprafeței:
F ‰ Š‹ ˆ
‰ ‰ F, ƒ ƒ
OŒˆ (2.89)
2.4.5 Caracterizarea rugozității compuse a două suprafețe rugoase
Atunci când se află în contact două suprafețe rugoase cu distribuții aleatoare a înălțimii asperităților, se poate defini o rugozitate compusă care are valori locale ale asperităților, pantei și curburii obținute prin însumarea valorilor corespunzătoare ale rugozităților celor două suprafețe
de contact:
(2.95)
ˆ ˆ ˆ (2.96)
F F F (2.97)
Pentru cele două suprafețe rugoase aflate în contact se definește o suprafață rugoasă echivalentă
având mărimile:
_, , ‚ , & , , | (2.98)
2.5 Contactul concentrat rugos
Dacă în lipsa oricărei solicitări, o suprafața rugoasă este adusă în contact cu frontiera netedă a unui semispațiu, atunci atingerea celor două suprafețe se va limita la nivelul punctelor determinate de cele mai înalte vârfuri ale rugozităților. Aplicarea unei sarcini oarecare, dar care cuprinde și o componentă normală de compresiune, va determina deformarea atât a asperităților cât și a semispațiului, cu pătrunderea asperităților în semispațiu, figura 2.23.
Deformarea materialului are loc numai în vecinătatea punctelor de contact și funcție de nivelul încărcării va fi o deformare elastică, plastică sau mixtă.
Fig. 2.23 Contact concentrat rugos, Cretu [2009]
Pe microariile comune de contact, numite și microariile reale, se dezvoltă presiuni care sumate sunt capabile să echilibreze componenta normală a solicitării. Aria reală a contactului este dată de suma tuturor microarrilor realizate la nivelul rugozităților.
Similar, atunci când între două corpuri limitate de suprafețe rugoase, se transmite o sarcină normală, tangențială sau combinată, această sarcină se repartizează sub forma unui număr finit de forțe distribuite discret pe microariile realizate la nivelul contactelor dintre asperitățile celor două suprafețe. În cazul unor încărcări mici, aria reală de contact reprezintă numai câteva procente din aria aparentă, geometrică a contactului.
Solicitarea unui semispațiu elastic pe frontieră cu o forță normală concentrată produce o deformație elastică, figura 2.24., deformație care la nivelul frontierei este descrisă analitic de
relația:
B 1 − ' (2.104)
()
Deformația elastică totală a frontierei, și în consecință întreaga stare elastică, se poate astfel evalua prin întregirea efectului determinat de distribuția de forțe concentrate de la nivelul tuturor microariilor reale de contact.
În acest fel problema stării elastice a contactului concentrat rugos se reduce la:
– Determinarea ariilor reale de la nivelul contactului între asperități;
– Determinarea distribuțiilor de presiuni pe aceste arii.
Fig. 2.24 Deformația elastică a semispațiului solicitat normal pe frontieră, Cretu [2009]
2.5.1 Modelul Greenwood-Williamson
Cea mai simplă metodă pentru modelarea suprafețelor rugoase a fost propusă în 1966 de către J. A. Greenwood și J. B. P. Williamson. Greenwood și Williamson au asumat că toate asperitățile rugozității au aceași rază de curbură și că asperitățile sunt distribuite în mod stohastic după o valoare medie, figura 2.25.
Dacă asperitățile în contact sunt suficient de depărtate una față de cealaltă, atunci deformarea fiecărui corp elastic poate fi considerată independentă iar, poziția asperităților, și mai ales configurația exactă a suprafeței contează foarte puțin în problema de contact. Doar distribuția înălțimilor asperităților este importantă. Se va descrie probabilitatea densității unei asperități
având înălțimea maximă ca fiind ˆ . Aceasta înseamnă că probabilitatea ca o asperitate să aibă înălțimea maximă în intervalul Ž , , este egală cu ˆ , . Dacă numărul total de asperități este R& , atunci numărul de asperități în intervalul Ž , , este egal cu R&ˆ , .
Fig. 2.25. Model cu suprafață distribuită stohastic după Greenwood și Williamson
2.5.2 Modelul Nayak
Modelul Nayak utilizează dezvoltarea matematică realizată de către Longuet-Higgins în 1957 pentru modelarea valurilor oceanelor. În raport cu modelul Greenwood Williamson, modelul Nayak are următoarele particularități:
– Vârfurile suprafeței, respectiv summit-urile, sunt modelate ca paraboloizi eliptici având curburile principale cu valori diferite în fiecare dintre cele două plane principale;
– Curburile diferă de la un summit la altul, variind în funcție de înălțimea summit-ului, astfel încât summit-urile mai înalte au curburile mai mari și deci sunt mai ascuțite.
2.6 Elemente de plasticitate
Deformațiile plastice care însoțesc funcționarea în domeniul elasto-plastic a organelor de mașini sunt cu circa trei ordine de mărime mai mici decât dimensiunile corpurilor. Această constatare permite să fie utilizate în continuare elementele teoretice specifice teoriei micilor deformații din teoria generală a plasticității.
Deformațiile elastice corespund unor variații ale distanțelor interatomice, fără modificarea poziției acestora, în timp ce deformațiile plastice implică mișcări de alunecare cu modificarea acestor distanțe. Dacă o solicitare de contact se realizează cu o creștere graduală a sarcinii exterioare, procesul de deformare parcurge 3 stadii, figura 2.18.
Stadiul I corespunde solicitării pur elastice.
Stadiul II corespunde unei solicitări elasto-plastice, când într-un domeniu limitat în interiorul corpurilor se depășește limita de curgere, fără însă ca zona deformată plastic să atingă suprafața, domeniul interior solicitat plastic fiind înconjurat de material solicitat pur elastic. Mărimea deformațiilor plastice este de același ordin de mărime cu a deformațiilor elastice din zona care înconjoară domeniul interior deformat platic.
Stadiul III, corespunde unei solicitări complet plastice, în cazul în care zona de curgere cuprinde și o porțiune din suprafața de contact, ceea ce oferă posibilitatea curgerii materialului prin zona care delimitează cele două corpuri, deformațiile plastice putând fi cu câteva ordine de mărime mai mari decât deformațiile din zona rămasă sub o solicitare pur elastică.
Fig. 2.16 Stadiile de solicitare: elastic, elastic-plastic și plastic, Crețu [2009] Organele de mașini care funcționează sub solicitări de contact au regimurile de funcționare
corespunzătoare stadiilor I și II, cu producerea unor efecte specifice:
– Ecruisarea materialului;
– O nouă stare de tensiuni remanente;
– Deformații ireversibile ale geometriei de contact.
Aceste efecte sunt capabile să modifice considerabil comportarea în continuare a stratului superficial de material.
Încercări experimentale efectuate în diverse condiții de solicitare, monoaxială sau compusă, au condus la observații importante din punct de vedere al formulării condițiilor de plasticitate:
– Deformația plastică este determinată de forfecări la nivelul structurii cristaline, în zone în care există anumite defecte ale structurii, numite dislocații;
– Deformația plastică nu determină și modificarea volumului materialului;
– Solicitarea de compresiune hidrostatică, nu este capabilă să conducă la intrarea materialului în stare de curgere.
2.6.1 Criterii de curgere izotropă
Condiția de plasticitate în cazul materialelor ecruisabile încorporează suplimentar un parametru de ecruisare „R” care are valoare nulă dacă materialul nu este încă deformat plastic.
‚„_6E , † 0 (2.121)
Unde f este o funcție de tensorul tensiune, iar scalarul R definește mărimea suprafeței de curgere.
În cursul procesului de deformare plastică cu ecruisare izotropă, parametrul R, trebuie să provoace numai o dilatare treptată a suprafeței de curgere, fară să influențeze forma suprafeței de curgere.
Alegând pentru această variabilă valoarea limitei de curgere _ din cazul solicitării monoaxiale
de tracțiune, criteriul de curgere corespunzător modelului de ecruisare izotropă se scrie sub
forma generală:
‚„_6E , _† 0 (2.122)
Unde _ este dat de raportul dintre forța de tracțiune și secțiunea probei testate (_ B/4).
Una din condițiile de izotropie inpune ca frontiera domeniului să fie invariantă la schimbarea
axelor, ceea ce înseamnă că funcția f să depindă numai de cele trei mărimi invariante ale tensorului tensiune:
‚ _ , _ , _ , _ 0 (2.123)
Folosind invarianții tensorului deviator se obține, pentru corpurile incompresibile o altă formă
generală a criteriilor izotrope de plasticitate:
1
w 2 ’ w
1
șO w 3 w
x → ‚ w , w , _ (2.124)
În locul invarianților w , w ai tensorului deviator, se pot utiliza invarianții omogeni J2, J3:
2
– _ +3w —˜
3
› 27 w6E w6E ™ , –x _ — 2
› 9
w —2
w6E wEH wH6
(2.125)
2.6.2 Condiția de plasticitate von Mises
Criteriul de plasticitate von Mises consideră toate cele 3 observații experimentale menționate:
– Deformarea plastică a metalelor este determinată de forfecări la nivelul structurii cristaline;
– Deformarea plastică nu determină și modificarea volumului materialului;
– Solicitarea de compresiune hidrostatică nu determină intrarea materialului în stare de curgere.
În spațiul de trei dimensiuni al tensiunilor normale principale, condiția de plasticitate von Mises este:
1
+Ž _ − _ _ − _x _x − _ − _ž 0 (2.133)
√2
Pentru un material elastic-perfect plastic, relația sarcină deformație corespunzătoare solicitării multiaxială, cum este cea de contact, suprafața de plasticizare F(σij, R), corespunzătoare criteriului von Mises, este prezentată în figura 2.19. Pe durata solicitării în domeniul elasto- plastic, suprafața de plasticizare nu își modifică forma, mărimea sau poziția, materialul fiind fără ecruisare.
Fig. 2.17 Curba tensiune-deformație pentru un material elastic perfect-plastic
2.6.3 Condiția de plasticitate Tresca
Condiția de plasticitate Tresca se bazează pe prima din observațiile menționate și este
reprezentată în spațiul tensiunilor de ecuația:
¡_6 − _E ¡ 1
B„_6E † max /
0 − _ 0 (2.137)
2 2
Fig. 2.18 Suprafețele de curgere Von Mises și Tresca în spațiul tensiunilor principale. Cilindrul de curgere și prisma de curgere au axele paralele cu axa hidrostatică care este
perpendiculară pe planul π (σ1 + σ2 + σ3 = 0)
2.7 Concluzii
În cadrul acestui capitol au fost prezentate elemente teoretice esențiale și fundamentale continuării studiilor prezentei teze și elaborării modelelor numerice de calcul ale uzurii în condiții de alunecare parțială evidențiate în următoarele capitole.
Au fost sublinitate următoarele elemente de teoria contactului:
1. Contacul elastic Hertzian și ipotezele corespunzătoare acestui tip de contact;
2. Contactul elastic ne-Hertzian, ecuațiile necesare pentru rezolvarea acestui tip de contact precum și metodologia de soluționare numerică a acestora (utilizarea metodei Gradientului Conjugat și a Transformatei Fourier);
3. Parametrii atât fizici cât și statistici pentru decrierea unei suprafețe rugoase;
4. Modelele Greenwood – Williamson și Nayak pentru contactele concentrate rugoase;
5. Elemente de plasticitate, punându-se accentul pe curgerea izotropă a materialelor.
3. ELEMENTE DE TEORIA CONTACTULUI CU FRECARE
3.1 Încărcarea tangențială și contactul cu alunecare
3.1.1 Alunecarea corpurilor elastice neconforme
Alunecarea constă în viteza periferică relativă a suprafețelor în punctul de contact, în timp ce rostogolirea implică viteza unghiulară relativă a celor două corpuri în jurul axelor paralele la planul lor tangent. În mod cert rostogolirea și alunecarea pot apărea în mod simultan, dar în cele ce urmează, vom exclude rostogolirea și se va prezena contactul considerând doar cazul alunecării rectilinii. Acesta se poate observa în figura 3.1., corpul 2, având un profil curbat, se deplasează de la dreapta la stânga pe o suprafață plană. Considerăm punctul de contact un punct fix (origine), corpul 1 se deplasează prin zona de contact de la stânga la dreapta cu o viteză constantă V. Princ convenție alegem axa x pe direcția alunecării.
Fig. 3.1 Contactul cu alunecare Johnson [1985]
Forța normală P, crează o arie de contact, care pentru cazul contactelor concentrate și în absența forțelor de frecare ar avea dimensiunile date de teoria lui Hertz. Totuși mișcarea cu alunecare, sau orice tendință de alunecare a suprafețelor reale, introduce o forță tangențială de frecare Q, ce acționează pe fiecare suprafață în direcția opusă mișcării relative.
În continuare, interesul cade asupra influienței forței tangențiale Q asupra tensiunilor din contact.
În acest capitol, se consideră corpurile ca având o mișcare de alunecare constantă, și deci Q reprezintă o forță de „frecare cinetică” dintre suprafețe. Așadar trebuie investigată situația celor două corpuri și fără o viteză relativă între suprafețe, dar supuse unor forțe tangențiale ce tind a le induce alunecarea. În acest caz forța Q apare din „frecarea statică”; poate avea orice valoare ce nu depășește „forța limită de frecare”, la care alunecarea este aproape de a se produce.
În ce privește mărimea și forma suprafeței de contact, trebuie definit dacă tensiunile tangențiale ce apar în urma frecării au o influiență sau cele două elemente sunt determinate doar de distribuția normală a presiunii.
Pentru motive de calcul ale tensiunilor și deplasărilor elastice datorare sarcinilor tangențiale, trebuie reținută premiza de bază a teoriei lui Hertz, și anume că cele două corpuri trebuie considerate semi-spații elastice în apropierea zonei de contact.
Componenta normală a deplasării la suprafață u¢¢¢ , datorată forței tangențiale Q, este
proporțională cu constanta elastică (1-2ν)/G.
Tensiunile tangențiale ce acționează pe fiecare suprafață la nivelul contactului sunt egale ca mărime și opuse ca direcție, și anume:
£ , −£ , (3.1)
Astfel, deplasările normale datorate acestor tensiuni sunt proporționale respectivelor valori (1-
2ν)/G ale fiecărui corp și opuse ca semn:
¤
1 − 2¥
¢¢ ¢ ¢ −
¤
1 − 2¥
¢¢ ¢ ¢ (3.2)
Din ecuația precedentă reiese că, dacă cele două solide au aceleași constante elastice, orice solicitare tangențială transmisă între ele dă naștere la deplasări normale și opuse în fiecare punct din suprafața de contact. Astfel, deformarea unei suprafețe de contact este conformă cu deformația celeilalte și nu modifică distribuția presiunii normale de contact. Forma și dimensiunea ariei de contact sunt independente de forța tangențială.
În cazul în care avem corpuri cu proprietăți elastice diferite, acest lucru se modifică și eforturile tangențiale au influiență asupra presiunii de contact. Efectul este în întregime analog interacțiunii dintre tensiunile normale și tangențiale în contactul normal dintre solide diferite. Totuși, se pare că influiența tensiunilor tangențiale asupra distribuției presiunii normale și a ariei de contact este în general mică, în mod particular când coeficientul de frecare limită este considerabil mai mic decât unitatea. În continuare, în analiza problemelor ce implică eforturi tangențiale, se va neglija această interacțiune și se va asuma că tensiunile și deformația datorate presiunii normale și efortului tangențial sunt independente una de acealaltă, și pot fi suprapuse pentru a se obține tensiunea rezultantă.
3.1.2 Alunecarea cilindrului pe direcție perpendiculară axei sale (2D)
Dacă cilindrul și planul pe care alunecă au aceleași proprietăți elastice, se cunoaște că lățimea
zonei de contact este 2a și distribuția normală a presiunii este data de teoria lui Hertz:
"
2
(
− (3.4)
Unde P este forța normală pe unitatea de lungime axială, ce apasă cilindrul în contact cu suprafața plană. Apoi, considerând legea lui Amontons privind frecarea, tensiunea tangențială
este:
£ ∓
2§
(
− (3.5)
unde semnul negativ este asociat cu viteza pozitivă V (figura 3.1).
Se poate observa cum prezența solicitării de frecare mută către suprafață punctul în care se atinge maximul maximorum pentru tensiunea tangențială responsabilă de inițierea procesului de curgere plastică. Pentru a găsi presiunea de contact p0 corespunzătoare inițierii curgerii (criteriul de curgere Tresca), poziția și amplitudinea tensiunii tangențiale maxime se exprimă folosind tensiunea de curgere k la forfecare. Astfel creștererea valorilor coeficientului de frecare µ determină evoluția prezentată în figura 3.5.
Fig. 3.5 Efectul frecării asupra presiunii de contact pentru prima curgere și apoi adaptabilitate. Linia mare punctată – linie de contact, prima curgere (Tresca). Linia lanț – linie de contact, prima curgere (Von Mises). Linia plină – linie de contact, adaptabilitate (Tresca).
Linia mică punctată – punctul de contact, prima curgere (Von Mises) Johnson [1985]
În figura 3.6 este prezentată dependența limitei de adaptabilitate de valoarea coeficientului de frecare; curba A corespunde limitei elastice, respectiv atingerii limitei de plasticizare la prima încărcare.
În cazul solicitărilor repetate de contact cu frecare procesul de adaptabilitate se produce de asemenea. Acest poate fi studiat utilizând starea de tensiuni determinată de solicitarea compusă normală și tangențială în determinarea unei stări corespondente de tensiuni remanente, (Crețu [2009]).
Valorile critice ale intensității solicitării, corespunzătoare limitei de adaptabilitate sunt prezentate în figura 3.6 prin linia punct notată cu B.
Pentru materialele elastic-perfect plastice intervalul cuprins între liniile A și B reprezintă câștigul posibil de sarcină determinat de procesul de adaptabilitate.Studii amănunțite sunt prezentate de Johnson [1992].
Johnson determină limitele de adaptabilitate la solicitarea de contact cu frecare a materialelor cu ecruisare cinematică, limite care în figura 3.6 sunt corespunzătoare liniei pline notate cu C.
Fig. 3.6 Dependența limitei de adaptabilitate de valoarea coeficientului de frecare, (Crețu
[2009])
Analizând diagramele din figura 3.6 se pot formula următoarele observații generale asupra procesului de adaptabilitate la contactele liniare concentrate cu frecare (Crețu [2009]):
– Dacă punctul corespunzător solicitării critice se află în zona cuprinsă între axe și linia A atunci în niciun punct din material nu se atinge limita de plasticizare, respectiv solicitarea se află de la început în domeniul elastic;
– Dacă pentru un material având comportament elastic-perfect plastic, punctul de solicitare critic se află în zona cuprinsă între punctele A și B atunci materialul va curge inițial, dar după un număr de cicluri de solicitare va intra într-o stare elastică ca urmare a procesului de adaptabilitate elastică; distanța în lungul ordonatei dintre curbele A și B indică contribuția tensiunilor remanente în procesul de adaptabilitate;
– Dacă solicitarea critică conduce la un punct situat în zona dintre curbele B și C, se va manifesta efectul de adaptabilitate numai dacă materialul este capabil să suporte un proces de ecruisare cinematică, iar distanța măsurată în lungul ordonatei între cele două curbe B și C reprezintă contribuția acestei forme de ecruisare la procesul de adaptabilitate.
– Dacă solicitarea de contact este astfel încât punctul critic se află deasupra curbei C atunci deformarea plastică se va produce la fiecare ciclu de solicitare, putându-se distinge două moduri de evoluție:
i. Materialele cu ecruisare cinematică liniară vor avea un proces de deformare plastică cu buclă închisă, numit adaptabilitate plastică sau adaptabilitate ciclică;
ii. Materiale cu ecruisare neliniară vor realiza un proces continuu de deformare plastică de tip colaps incremental, („ratchetting”).
3.1.3 Alunecarea unei sfere pe plan
Vom considera în continuare o sferă, asupra căreia acționeaza o forță P, care alunecă pe o suprafață plană într-o direcție aleasă paralelă cu axa x. Neglijând orice interacțiune dintre presiunea normală și tensiunea tangențială apărută din diferența constantelor elastice ale celor două solide, mărimea ariei de contact circulare și a distribuției presiunii sunt date de teoria lui Hertz. Legea frecării lui Amontons specifică tensiunea tangențială prin relația:
3§
£
2( x
− / (3.27)
Tensiunea tangențială acționează paralel la axa x oriunde în aria de contact.
In interiorul solidului componentele tensorului tensiune produse la suprafață pot fi determinate folosind:
i. formulele lui Cerruti din teoria semispațiului elastic încărcat pe frontieră cu o sarcină
tangențială distribuită, (Crețu 2009, p.109), sau
ii. relațiile derivate din teoria semispațiului elastic încărcat pe frontieră cu o sarcină
tangențială concentrată., (Crețu 2009, p.113),
Fig.3.7 Influiența unei diferențe a constantelor elastice asupra distribuției presiunii și efortului tangențial în contactul cu alunecare, pentru β=0.2, µ=1 (γ=0.06) (Johnson [1985])
3.2 Inițializarea alunecării la corpurile elastice
Considerăm două corpuri în contact și supuse la o forță normală. O forță tangențială, având o amplitudine mai mică decât forța care limitează alunecarea, va determina tensiuni tangențiale pe suprafața de contact, deși evident alunecare nu există.
În continuare se vor examina tensiunile tangențiale la suprafață care apar din combinarea forțelor normale și tangențiale ce nu produc alunecarea corpurilor unul față de celălalt.
Acest problemă este prezentată în figura 3.8. Forța normală P dă naștere la o arie de contact și o distribuție a presiunii, despre care putem asuma că nu este influențată de existența forței tangențiale Q, și deci este dată de teoria lui Hertz.
Efectul forței tangențiale Q este de a cauza corpurilor o deformație prin forfecare, după cum este indicat prin linia de centru distorsionată în figura 3.8. Punctele de pe pe suprafața de contact vor suporta deplasări tangențiale ux și uy fața de punctele de la distanță T1 și T2 în regiunea nedeformată a fiecărui corp. În mod clar, dacă nu există mișcare cu alunecare dintre cele două corpuri, trebuie să existe măcar un punct la nivel de interfață unde suprafețele se deformează fără mișcare relativă; dar aceasta nu înseamnă că nu există alunecare în cadrul ariei de contact. De fapt se va observa că efectul unei forței tangențiale, cu amplitudinea mai mică decât forța limită de frecare (Q<µP) este de a cauza o mișcare relativă mică, referindu-se la fenomenul de „slip” sau „micro-slip”, ce apare la nivel de suprafață. Restul interfeței se deformează fără mișcare relativă și în astfel de regiuni există aderență sau „stick”.
Pentru a putea analiza trebuie considerate condițiile care guvernează fenomenele de „stick” și
„slip”. În figura 3.8 A1 și A2 semnifică două puncte la nivel de suprafață care erau coincidente înainte de aplicarea forței tangențiale. Sub acțiunea forței, punctele T1 sau T2, la distanță față de interfață, se deplasează efectiv prin deplasări rigide δx1, δy1 și δx2, δy2 în timp ce punctele A1 și A2 suportă deplasările elastice ux1, uy1 și ux2, uy2 relative la punctele T1 și T2. Dacă deplasările absolute ale lui A1 și A2 (relative la O) sunt notate sx1, sy1 și sx2, sy2, atunci componentele alunecării dintre A1 și A2 pot fi scrise:
M M − M M − M − M − M M − M − M − M (3.28)
O relație similară guvernează și deplasările tangențiale pe direcția y. Dacă punctele A1 și A2 sunt
localizate într-o zonă de „stick”, alunecările (slip) sx și sy vor fi 0, deci:
M − M M − M M , K − K K − K K
Fig. 3.8. Inițierea alunecării (Johnson [1985])
Se poate observa că partea dreaptă a ecuațiilor anterioare indică deplasările tangențiale relative dintre cele două corpuri ca un întreg sub acțiunea forței tangențiale. Astfel δx și δy sunt constante, independente de poziția lui A1 și A2 în cadrul regiunii de „stick”. Dacă cele două corpuri au aceleași module de elasticitate, sunt supuse pe suprafața de contact la tensiuni tangențiale egale în modul dar de semne contrare, avem: ux2=-ux1 și uy2=-uy1.
Condiția fără alunecare poate fi declarată astfel: toate punctele de pe suprafață din cadrul regiunii de „stick” suportă același efort tangențial.
Acest lucru este de asemenea adevărat când constantele elastice sunt diferite dar deplasările relative globale δx și δy sunt atunci divizate inegal între cele două corpuri, Johnson [1985].
În punctele din cadrul regiunii de „stick” tensiunea tangențială nu poate excede valoarea sa limită. Considerând legea frecării lui Amontons și un coeficient de frecare cu valoare constantă
µ, această restricție poate fi declarată prin inegalitatea:
|q(x,y)| ≤ µ|p(x,y)| (3.29)
În regiunile unde suprafețele alunecă, condițiile amintite din această inegalitate sunt încălcate, iar tensiunile tangențiale sunt legate direct de distribuția de presiuni:
|q(x,y)| = µ|p(x,y)| (3.30)
Direcția tensiunilor de frecare q, trebuie să se opună sensului mișcării de alunecare. Astfel:
£ ,
,
|£ , | − | , | (3.31)
Ecuațiile de mai sus, dau condițiile limită care trebuie respectate de tensiunile și deplasările de pe suprafața comună de contact.
Dificultatea apare în ce privește soluția acestor probleme, deoarece separarea zonei de contact în
„stick” și „slip” nu este cunoscută de la început și trebuie găsită prin încercări.
În aceste circumstanțe un prim pas este de a considera că nu apare fenomenul de „slip” nicăieri în zona de contact.
In pasul următor se admite că mișcarea de slip se produce numai în acele regiuni unde tensiunea tangențială, determinată în pasul anterior, depășește valoarea limită.
3.3 Contactul elastic dintre două sfere – fără alunecare
Două corpuri sferice aflate în contact sub o forță normală P au o arie circulară de contact a carei rază este:
3
4)∗
x (3.32)
unde:
1
)∗
1 − '
)
1 − '
−
)
(3.33)
Presiunea de contact are formă elipsoidală și este dată de ecuația:
"
"& −
(3.34)
Dacă forța tangențială, Q, aplicată în mod subsecvent, cauzează deformații plastice fară
alunecare, atunci din ecuațiile, ¢¢¢M¢ ¢ − ¢¢M¢ M − M M șO ¢¢¢K¢ ¢ − ¢¢¢K¢ ¢ K − K K ,
rezultă ca deplasarea tangențială a tuturor punctelor, din zona de contact, este aceeași.
Dacă forța Q acționează paralel cu axa X, atunci din condiții de simetrie deplasarea tangențială
trebuie să fie la rându-i paralelă cu axa X. Forțele tangențiale sunt radial simetrice în magnitudine și peste tot paralele cu axa X.
£M £& 1 −
(3.35)
în care £ ©ª .
«S
Deplasarea corespunzătoare, care în acest caz poate fi precis definită, este dată de ecuația:
( 2 − '
¢M
£& (3.36)
4¤
Din relația de mai sus se poate obține deplasarea relativă tangențială:
¢ − ¢ M
M M M 8
2 − '
¤
2 − '
¤
(3.37)
Această relație este indicată prin linie întreruptă în figura 3.10. Deplasarea tangențială este direct proporțională cu forța tangențială.
Această deplasare reprezintă apropierea normală a două corpuri elastice care variază într-un mod nonlinear cu încărcarea normală deoarece aria de contact crește odată ce încărcarea crește.
Forțele tangențiale necesare pentru a evita fenomenul de alunecare duc la o teoretic infinită valoare la periferia cercului de contact (stick) și de aceea microslip-ul este inevitabil la marginea contactului.
Fig. 3.10 Deplasarea tangențială δx a unui contact circular supus unei solicitări combinate: forță normală P și forță tangențială Qx; (A) fără alunecare, (B) cu alunecare la
periferia contactului (Johnson [1985])
3.4 Contactul elastic dintre două sfere – alunecare parțială
Tehnica lui Cattaneo se aplică și în cazul sferelor în contact. Simetria amintită mai sus, sugerează
ca zona de „stick” în acest caz poate fi circulară și concentrică cu cercul de contact. În punctul de alunecare unde doar două puncte în contact sunt blocate, distribuția forțelor tangențiale este:
£′ , §" , "& − (3.38)
În punctul de alunecare deplasarea totală δx este doar dublul alunecării relative sx pe marginea
contactului.
3.5 Concluzii
În cadrul acestui capitol au fost prezentate elemente teoretice esențiale și fundamentale continuării studiilor prezentei teze și elaborării modelelor numerice de calcul ale uzurii în condiții de alunecare parțială evidențiate în următoarele capitole.
Au fost sublinitate următoarele elemente de teoria contactului cu frecare punându-se în special accent pe cazul alunecării parțiale:
1. Alunecarea pentru cazul corpurilor elastice neconforme;
2. Începutul alunecării la corpurile elastice;
3. Alunecarea cilindrului pe direcția perpendiculară axei sale pentru cazul 2D;
4. Alunecarea unei sfere atât pentru cazul alunecării totale cât și pentru cel al alunecării parțiale;
5. Generalizarea modelului Cattaneo-Mindlin propusă de Ciavarella [1998] și Jager
[1999].
4. MODELAREA NUMERICĂ A UZURII PENTRU CONTACTUL SFERĂ-PLAN ÎN CONDIȚII DE
ALUNECARE PARȚIALĂ
4.1 Introducere
În multe aplicații ale ingineriei mecanice forța normală la corpurile în contact rămâne cvasiconstantă în funcție de timp, în timp ce forța tangențială variază ciclic. Fenomenul de
„fretting” apare atunci când există o asemenea încărcare asupra corpurilor în contact și forța tangențială oscilatorie este insuficientă pentru a genera alunecarea totală.
Alunecarea parțială la piesele mecanice apare în condiții de vibrații de mică amplitudine, și în toate cazurile, regiuni de microalunecare se formează la limita contactului. Alunecarea parțială este caracterizată de prezența celor două zone de stick, și respectiv de slip. Condiția necesară deja menționată pentru a se realiza alunecare parțială este Q ≤ µ P, unde în cazul de față Q și P reprezintă forța tangențială, respectiv normală aplicată contactului, și µ reprezintă coeficientul de frecare.
4.2 Ipotezele modelului numeric
Se consideră două corpuri elastice în contact asupra cărora acționează, în planul XZ, o forță
normală P și o forță tangențială Q(t).
Pentru a evita alunecarea totală și a rămâne în domeniul alunecării parțiale, se consideră îndeplinită condiția Q(t) ≤ µ P, unde µ reprezintă coeficientul de frecare și este admis constant pe parcursul simulării.
Analiza numerică a evoluției presiunilor din contact la interfața dintre sferă și semispațiul elastic în timpul fenomenului de fretting, se realizează considerând că particulele de uzură sunt înlăturate de la nivelul contactului. Materialul uzat, eliminat, nu are un alt efect decât acela de a modifica geometria de contact. Analiza ilustrează că presiunea diferă considerabil de cea definită de Hertz după efectuarea mai multor cicluri de uzură.
În ce privește rugozitatea, pentru a simplifica modelul, aceasta este aplicată unui singur corp solid dintre cele două în contact. La începutul simulării, rugozitatea este suprapusă peste funcția de separație a celor două corpuri în contact.
Fig. 4.1 Geometria contactului
Având în vedere că modelul numeric consideră și suprafețe rugoase în contact cu un număr mare de asperități, presiunea de contact depășește limita elastică a multor materiale. Pentru a evita aceste vârfuri de presiune s-a asumat folosirea unui material elastic-perfect plastic. Presiunea este limitată la o valoare predeterminată de 4500MPa. Această valoare este calculată ca fiind de
3 ori limita de curgere a unei largi categorii de oțeluri utilizate în confecționarea organelor de mașini care funcționează sub solicitări de contact concentrat.
4.3 Calculul distribuției de presiuni normale și tensiuni tangențiale
Având în vedere că se folosesc ipotezele semispațiului elastic curburile celor două corpuri pot fi reprezentate printr-un indentor echivalent și un semispațiu elastic.
Ecuațiile analitice pentru rezolvarea problemei distribuției de presiuni normale sunt date de Crețu [2009]. Atât ecuația geometrică, ecuația integrală a contactului cât și ecuația de echilibru au fost deja enunțate în capitolul 2 al acestei teze.
De asemenea condițiile de nepenetrare și neadeziune se aplică (ecuațiile 2.50 și 2.51 din capitolul 2).
Pentru rezolvarea numerică a ecuațiilor 2.36 – 2.38, a fost folosită forma discretă, 2.47 – 2.49.
Rezolvarea lor s-a efectuat folosind metoda Gradientului Conjugat și a Transformatei Fourier descrisă de asemenea în capitolul 2.3.3.
Problema tensiunilor tangențiale a fost rezolvată folosind modelul Cattaneo-Mindlin, dezvoltată
pentru cazul a două corpuri elastice în contact și solicitate simultan de forța normală P și forța
tangențială M cu respectarea condiției M ≤ §.
Condiția anterioară asigură echilibrul static și lipsa alunecării totale.
Alunecarea în mod invariabil pornește la marginea contactului, și după Cattaneo [1938], tensiunile tangențiale sunt considerate ca fiind o suprapunere a unei componente cu alunecare
totală și o parte corectivă £∗ , diferită de zero doar în zona de stick.
Fig. 4.2 Schematic – aria de contact sferă-plan
Componenta tensiunilor tangențiale pentru cazul alunecării totale este dată de Johnson [1985]:
£ , §" , (4.5)
Tensiunile tangențiale pentru alunecarea parțială sunt apoi calculate introducând termenul
corectiv q∗ x :
£ , §" , , ∈ wžI6a (4.6)
£ , §" , £∗ , , ∈ wž`6±H (4.7)
Considerând £′ , ca fiind tensiunile tangențiale în zona de slip și £′′ , ca fiind tensiunile
tangențiale în zona de stick și folosind relațiile lui Hertz pentru distribuția de presiuni normală
obținem:
£′ , §" , §"& /1 −
/
0
, ≤ (4.8)
£′′ , −§
Š
"& /1 −
/
0
Š
, ≤ Š (4.9)
£′′ , 0, > Š (4.10)
unde,
3
"& 2( "² O Œ² ℎ²³ O Œă V OVă (4.11)
Pentru un contact circular neted, zona de stick este localizată în centrul contactului hertzian. Pentru un identor sferic pe un semispațiu elastic zona de stick de rază c poate fi obținută cu
relația (Johnson [1985]):
Š ›
—1 −
§
(4.12)
Sunt date de asemenea și expresiile alunecării. Datorită tensiunilor tangențiale apare și o micro- alunecare pe direcția Y, care poate fi neglijată, (Johnson [1985]).
Pentru aprecierea alunecărilor au fost considerate relațiile:
3§
2 Š Š 2Š Š
M ≈ 16¤ 2 − ' ¶/1 − ( Š OŒ ·¸0 /1 − 2 0 ( /1 − 0 ¹ (4.13)
K ≈ 0 (4.14)
Validarea modelului numeric pentru calculul presiunilor normale și tensiunilor tangențiale a fost
făcută folosind un material propus de Kasarekar [2008] pentru ambele corpuri în contact și rezultatele obținute sunt identice.
Materialul propus este un aliaj din aluminiu Al2024 având proprietățile elastice: E=72.4 Gpa și ν=0.3.
Raza bilei este R=800mm și forțele aplicate sunt P=7000N și M =3063N.
Presiunea maximă hertziană este pH=150MPa și raza contactului º =4.72mm.
Valori similare au fost obținute folosind programul numeric cSM =149.62MPa și a=4.694mm.
În figurile următoare se prezintă distribuția de presiuni normală și cea a tensiunilor tangențiale,
precum și separația inițială, fără uzură, dintre cele două corpuri în contact.
Fig. 4.3 Distribuția de presiuni (3D)
Fig. 4.4 Distribuția tensiunilor tangențiale (3D)
Fig. 4.5 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale (2D)
4.4 Generarea suprafeței
Calculele numerice au fost realizate folosind atât suprafețe netede cât și rugoase ale celor două corpuri în contact. Într-o primă situație rugozitatea suprafeței a fost introdusă folosind o soluție analitică, o combinație de funcții sinus și cosinus descrise de Crețu [2005, 2006, 2009]. Frecvența acestor funcții poate fi diferită în funcție de direcția X sau Y. A fost folosită
următoarea relație:
( ( (
6E 4 × cos ·2 × 4 × E × tan„ˆK †¸ × OŒ ·2 2 × 4 × 6 × tan ˆM ¸ (4.15)
După cum a fost deja menționat, rugozitatea a fost suprapusă unui singur corp și celălalt a fost
considerat ca fiind neted. Parametrii considerați în ecuația 4.11 au următoarele valori:
aplitudinea cSM 0.2μV, ˆM 5.7° considerând axa x – O – x și ˆK 1° considerând axa y – O – y.
De asemenea a fost introdusă în simularea numerică și o suprafață generată aleatoriu, de tip
Gaussian descrisă de Urzică [2010]. Metoda folosește un generator de numere pentru a crea o matrice de intrare ca o primă reprezentare a rugozității Gaussiene cu media zero și deviația standard unitară. Funcția de autocorelație a fost asumată a avea o formă exponențială. Matricea ce conține înălțimile rugozității a fost obținută prin transformarea liniară a matricei de intrare. În ce privește dimensiune rugozității folosite, această a fost impusă ca rugozitate medie
Ra=0.01µ m. În figurile 4.6 și 4.7 se pot vedea comparativ distribuțiile de presiuni și de tensiuni tangențiale pentru suprafețe netede și suprafețe rugoase.
Fig. 4.6 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale – suprafață netedă
Fig. 4.7 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale – suprafață rugoasă, distribuție simulată
prin funcții trigonometrice
Fig. 4.8 Distribuția de presiuni și tensiuni tangențiale – suprafață rugoasă, distribuție aleatorie
Gaussiană
4.5 Evoluția uzurii
După evaluarea distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale uzura este calculată cu ajutorul metodei propuse de Goryacheva [2001].
Pentru modelul numeric a fost elaborat un algoritm pentru studiul evoluției profilului suprafeței
și al presiunii. Figura 4.10 prezintă acest algoritm.
i. Inițial este calculată distribuția de presiuni considerând constantele elastice ale materialului și geometria de proiect sau măsurată a profilului.
ii. Folosind datele din i. sunt determinate tensiunile tangențiale și alunecările în zona de slip. iii. Valorile alunecărilor din ii. sunt folosite pentru a calcula uzura locală la un singur ciclu. iv. Uzura locală este apoi suprapusă separației inițiale și presiunea de contact este
recalculată.
Acest ciclu se repetă până se ajunge la valoarea numărului de cicluri deja predefinită.
Fig. 4.9 Algoritmul de calcul al evoluției a uzurii
4.6 Rezultate numerice
Rezultatele care urmează au fost obținute pe baza următoarelor date de intrare:
P 50N (forța normală);
20R (forța tangențială);
§ 0.5 (coeficient de frecare);
) 208 ¤ (modulul lui Young);
¥ 0.3 (coeficietul lui Poisson).
Pentru a simplifica modelul, în cadrul acestei investigații, coeficientul de uzură QÅ 7 ×
10G x G (Stowers [1973]) a fost menținut constant.
Analizele numerice s-au efectuat considerând trei tipuri de suprafețe:
i. Suprafețe netede;
ii. Suprafețe rugoase simulate prin funcții trigonometrice;
iii. Suprafețe rugoase simulate aleatoriu, de tip Gaussian.
Evoluțiile rezultate pentru distribuțiile de presiuni de contact și tensiuni tangențiale sunt arătate în figurile 4.11-4.13.
Aceste rezultate indică faptul că presiunea de contact se schimbă în mod esențial datorită uzurii. Există o creștere în zona de stick și o descreștere în zona de slip acolo unde alunecarea și uzura apar. Cel mai mare vârf de presiune în cazul suprafețelor netede apare la limita zonei de stick după terminarea numarului maxim de cicluri impus inițial, 30000. Un comportament similar s-a putut observa și în cazul distribuției tensiunilor tangențiale.
Fig. 4.10 Evoluția distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale datorită uzurii (suprafețe netede)
Fig. 4.11 Evoluția distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale urmare uzurii (suprafețe rugoase simulate cu funcții trigonometrice)
Fig. 4.12 Evoluția distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale urmare uzurii (suprafețe rugoase
Gaussiene)
Simulările pentru cazul suprafețelor rugoase au fost făcute pâna la 7000 de cicluri.
După acest număr presiunea și alunecarea se mențin la valori aproape identice și conduc la o comportare similară cu cel al suprafețelor netede.
În figurile 4.14 – 4.16 este prezentată evoluția separației celor doua suprafețe în contact.
După cum se poate observa, valori maxime ale uzurii au loc aproximativ la mijlocul zonei de slip pentru ambele tipuri de suprafețe, atât rugoase cât și netede.
Fig. 4.13 Evoluția separației datorită uzurii la suprafețe netede
Fig. 4.14 Evoluția separației datorită uzurii la suprafețe rugoase Gaussiene distribuite aleatoriu
Fig. 4.15 Evoluția separației datorită uzurii la suprafețe rugoase simulate prin funcții trigonometrice
Uzura la un singur ciclu este direct proporțională cu presiunea normală și cu alunecarea. Aceast lucru conduce la faptul că valoarea maximă a uzurii se află la mijlocul zonei de slip. Această zona este cea care suportă rata cea mai mare de uzura la începutul ciclului. Acest fapt este valid pentru suprafețele netede. În cazul suprafețelor rugoase uzura are loc mai întâi pe asperități acolo unde sunt localizate vârfurile maxime de presiune. După un anumit număr de cicluri (în cazul de față 7000), asperitățile în zona de slip sunt uzate și materialul este înlăturat. Pentru alte noi cicluri, adică peste 7000, comportamentul este similar între suprafețele netede și cele rugoase. După un anumit număr de ciclu, rata uzurii începe să devină constantă aproape în orice punct din zona de slip. Graficele evoluției ratei uzurii se pot observa în figurile 4.17 – 4.19, pentru toate cele 3 situații simulate.
Fig. 4.16 Evoluția ratei uzurii la suprafețele netede
Fig. 4.17 Evoluția ratei uzurii la suprafețele rugoase Gaussiene distribuite aleatoriu
O alta observație importantă legată de diferența dintre o suprafața rugoasă și una neteda se referă la evoluția ariei de contact. Aria de contact pentru ambele tipuri de suprafețe suferă o creștere datorită uzurii. În cazul suprafețelor rugoase, această creștere este mult mai abruptă, dar după un anumit număr de cicluri ajunge la o stabilitate similară suprafețelor netede. Acest lucru se poate observa în figura. 4.20.
Fig. 4.18 Evoluția ratei uzurii la suprafețele rugoase simulate cu funcții trigonometrice
Fig. 4.19 Evoluția razei ariei de contact datorită uzurii
Aceeași simulare a fost efectuată pentru cazul suprafețelor netede, folosind un coeficient de frecare variabil liniar având o valoare constantă de 0.5 în zona de stick și crescând liniar în zona de slip până la o valoare de 0.8 la marginea ariei de contact. După cum se poate observa în figurile 4.21-4.24 există niște mici diferențe, dar care după un anumit număr de cicluri devin nesemnificative.
O contribuție mai mare a coeficientului de frecare variabil poate fi observată la începul simulării când are loc o creștere a ratei de uzură. Această nouă condiție limită afectează mai întâi valorile alunecării și apoi cele ale uzurii în zona de slip.
Mai multe observații au putu fi făcute:
i. Vârfurile de presiune sunt mai mai mari la limita dintre stick și slip;
ii. Presiunea crește mai mult în zona de stick și scade mai mult în zona de slip;
iii. S-a putut observa și o schimbare mai mare a separației dintre cele două corpuri în contact;
iv. De asemenea, o diferență prea mare între cele două valori extreme ale coeficientului de frecare duce la o linearizare a valorilor alunecării.
Fig. 4.20 Distribuția de presiuni – comparație considerând un coeficient de frecare µ variabil
Fig. 4.21 Distribuția de tensiuni tangențiale – comparație considerând un coeficient de frecare µ
variabil
Fig. 4.22 Evoluția ratei uzurii – comparație considerând un coeficient de frecare µ variabil
Fig. 4.23 Evoluția separației – comparație considerând un coeficient de frecare µ variabil
Goryacheva [2001] nu descrie nicio schimbare a dimensiunii zonei de stick odată cu creșterea numărului de cicluri. Dar în realitate, după cum poate fi observat în figurile 4.25 – 4.26, datorită deformărilor plastice zona de stick se mărește. Acest lucru se datorează vârfurilor de presiune de la trecerea dintre zona de stick și cea de slip. Acest aspect este menționat și de Kasarekar [2007].
Fig. 4.24 Evoluția distribuției de presiuni datorită uzurii pentru o suprafață netedă și una rugoasă
considerând un material elastic-perfect plastic
Fig. 4.25 Evoluția disitribuției de presiuni pentru o suprafață rugoasă – grafic comparativ pentru un material elastic/elastic-perfect plastic
4.7 Concluzii
1. În cadrul acestui capitol s-a prezentat un model numeric pentru calculul uzurii în condiții de alunecare parțială pentru contactul sferă-plan introducând atât suprafețe nedete cât și suprafețe rugoase.
2. S-a scos în evidență influența presiunii asupra uzurii și efectele acesteia asupra: distribuției de presiuni, distribuției de tensiuni tangențiale, ratei de uzură, separației dintre cele două solide și ariei de contact obținute după un număr N de cicluri oscilatorii ale forței tangențiale.
3. S-au evidențiat mai multe aspecte referitoare la influența rugozității (simulate prin funcții trigonometrice dar și distribuite aleatoriu Gaussian) asupra uzurii în condiții de alunecare parțială, de remarcat fiind:
– uzura are loc pe vârful asperităților în cazul suprafețelor rugoase datorită presiunii ridicate pe aceste vârfuri în comparație cu suprafețele netede unde uzura are loc la mijlocul zonei de slip;
– aria de contact crește mult mai rapid în cazul suprafețelor rugoase dar după un anumit număr de cicluri se stabilizează și comportamentul este similar cu cel al suprafețelor netede;
4. S-a evidențiat influența comportamentului elastic-perfect plastic asupra dimensiunii zonei de stick.
5. A fost propusă o soluție analitică pentru un coeficient de frecare variabil în zona de slip și folosind modelul numeric s-au scos în evidență influențele acestuia asupra uzurii.
Pe baza cercetărilor și studiilor descrise în acest capitol au fost redactate și prezentate la conferințe următoarele lucrări științifice:
– „Wear Investigation of Rough Bodies in Contact under Partial Slip Conditions”, Gavrilă și Crețu [2012], lucrare publicată în „MECHANICAL TESTING AND DIAGNOSIS” ISSN 2247 – 9635, 2012 (II), Volume 3, 44-54.
– „Wear Evolution in Circular Contacts in Partial Slip”, Gavrilă și Crețu [2012], lucrare prezentată în cadrul conferinței internaționale ACME’12 și publicată în „BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAȘI”, Tomul (LVIII), Fasc. 2.
– „Influence of Roughness and Friction Coefficient on the Contact Wear in Partial Slip Conditions”, Gavrilă și Crețu [2012], lucrare prezentată în cadrul conferinței internaționale MECAHITECH’12, și publicată în „TRANSACTION ON CONTROL AND MECHANICAL SYSTEMS”, Vol. 2, No. 3, pp. 115-121, mar., 2013.
5. MODELAREA NUMERICĂ A UZURII PENTRU CONTACTUL ROATĂ-ȘINĂ ÎN CONDIȚII DE
ALUNECARE PARȚIALĂ
5.1 Introducere
În contactele cu rostogolire din aplicațiile ingineriei mecanice, interacțiunea dintre cele două corpuri se realizează prin intermediul a două zone: stick și slip (Johnson [1985], Kimura [2002], Alwahdi [2005], Vasic [2011], etc.). Chiar dacă forțele tangențiale nu sunt suficient de mari pentru a îndeplini condițiile alunecării totale, micro-alunecările prezente la nivelul contactului au un rol critic în ce privește uzura și oboseala de contact.
Există o legătură directă între forța de tracțiune și dimensiunile zonelor de stick și slip, după cum se poate observa în figura 5.1.
Alunecarea longitudinală și forțele tangențiale cresc datorită existenței și creșterii zonei de slip din zona contactului unde se realizează transmiterea forței de tracțiune. Mărimea zonei de slip este proporțională cu forța de tracțiune și își realizează creșterea în detrimentul zonei de stick. Când forța de tracțiune atinge valoarea ei maximă, zonă de stick dispare și ne aflăm în prezența unei alunecări totale (Olofsson [2009]).
Fig. 5.1 Relația dintre forța de tracțiune și alunecare pentru contactul roată-șină și influențele asupra zonelor de stick și slip (Olofsson [2009])
5.2 Descrierea ipotezelor modelului numeric
Distribuția de presiuni este calculată folosind o șină UIC 60 cu înclinarea 1/40 și un profil al roții
S1002.
Distanța dintre șine este 1435mm, la interiorul roților 1360mm iar raza roții 460mm (figura 5.2).
Fig. 5.2 Dimeniunile principale ale ansamblului roată-șină
Figura 5.3 prezintă schematic modelul folosit în analiza numerică dezvoltată: două corpuri solide elastice în contact, reprezentate de un cilindru ce se rostogolește la o viteză constantă V peste o șină deja ondulată.
Fig. 5.3 Reprezentare schematică a sistemului de coordonate roată-șină
Două sisteme de coordonate sunt considerate:
– Sistemul global de coordonate necesar pentru definirea lungimii de rostogolire, a ondulației și de asemenea folosit pentru a descrie efectele dinamice ale încărcării datorate ondulației;
– Sistemul local de coordonate necesar pentru a defini parametrii contactului concentrat, distribuția presiunii, tensiunile tangențiale, viteza alunecării și uzura locală în zona de slip.
Ondulația inițială este suprapusă peste separația contactului roată-șină.
5.3 Calculul distribuțiilor de presiuni și tensiuni tangențiale
Calculul distribuției de presiuni a fost efectuat tot prin metoda descrisă în capitolul 2, folosind softul de calcul NON-HERTZ, dezvoltat de Crețu [2003, 2005].
– geometria contactului concentrat roată-șină, pe baza căreia s-a putut calcula analitic funcția tridimensională a separației dintre cele două solide elastice;
– proprietățile de material;
– încărcarea normală;
– coeficientul de frecare pe direcția de rostogolire;
– rugozitatea suprafețelor.
Modelul a fost folosit pentru a studia distribuția de presiuni dintre roată și șină pentru diferite deplasări laterale ale osiei față de calea de rulare.
Separația introdusă în programul de calcul este cea pentru ansamblul roată-șină menționat în subcapitolul 5.2.
Atât profilul roții cât și cel al șinei sunt aproximate prin funcții polinomiale descrise de Popovici
[2010]. Aceste funcții sunt descrise în anexa 3 a prezentei teze.
În figura 5.4 se pot vedea profilele introduse polinomial atât cel al roții S1002 cât și cel al șinei
UIC60, fără deplasare laterală.
Fig. 5.4 Profilele contactului roată-șină
Fig. 5.5 Separația contactului roată-șină
Fig. 5.6 Punctele de contact și razele de curbură pentru mai multe deplasări laterale (Popovici
[2010]
Fig. 5.7 Distribuțiile de presiuni în funcție de deplasarea laterală
În timpul funcționării osia se deplasează lateral față de șină ducând la modificări ale presiunii de contact. Preluând datele de intrare indicate în Popovici [2010] au fost calculate distribuțiile de presiuni pentru mai multe deplasări laterale. Unele rezultatele sunt exemplificate în figurile 5.6-
5.7.
După cum s-a specificat în introducere, pentru calculul alunecării și al apoi al uzurii s-a folosit
teoria lui Carter [1926] pentru
cazul 2D. Distribuția de presiuni 2D a fost preluată prin
secționarea distribuției de presiuni 3D corespunzătoare cazului ∆y=0 (fără deplasare laterală).
Uzura se dezvoltă în zona de
slip, unde există alunecare, iar tensiunile tangențiale au fost
calculate pentru acestă zonă folosind relația 5.1:
£Æ , ƒ μ" , ƒ
(5.1)
Fig. 5.8 Schema de calcul și distribuția tensiunilor tangențiale (2D)
5.4 Calculul micro-alunecării și uzurii
În cadrul acestui subcapitol problema de mecanica contactului a sistemului roată-șină este simplicată la cazul 2D, o roată de rază Rw rostogolindu-se la o viteză constantă V peste o șină ondulată sinusoidal. Metodologia folosită pentru calculul alunecării și uzurii în zona de slip, este cea propusă de Wu [2005].
5.5 Rezultate numerice
Pentru evaluarea uzurii, calculele s-au făcut cu următoarele date de intrare:
– Componenta dinamică a forței normale Fd, 25 kN și 40kN;
– Componenta statică Fs, 100kN;
– Lungimea de undă o ondulației λ, 25mm, 40mm și 60mm;
– Amplitudinea ondulației A, 10µ m;
– Coeficientul de uzură K, 2.5 × 10GÇ kg/Nm;
– Forța tangențială datorată tracțiunii și considerată constantă Q, 15kN;
– Coeficientul de frecare µ , 0.3;
– Defazajul forței dinamice ÈÉ , -45°, -90°,-135° și -180°.
Semnul defazajului a fost considerat în asa fel încât, forța dinamică să atingă valoarea minimă pe
crestele ondulației și respectiv valoarea maximă pe văile acesteia.
Pentru cuplul de forțe dat, valoare alunecării longitudinale ξ a fost considerată constantă,
aproximativ 0.1%. Variațiile lui în funcție de defazajul forței dinamice se poate vedea în figura
5.11.
Variația uzurii ∆, după o singură trecere a roții se poate observa în figurile 5.12-5.17.
Rezultatele sunt evidențiate compartiv pentru diferite valori ale forței dinamice combinate cu
diferite lungimi de undă ale ondulației inițiale.
Fig. 5.11 Variația alunecării longitudinale ξ pentru Fs = 100kN, Fd =40kN și diferite defazaje
Fig. 5.12 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 25kN și Ë = 25mm
Fig. 5.13 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 25kN și Ë = 40mm
Fig. 5.14 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 25kN și Ë = 60mm
Fig. 5.15 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 40kN și Ë = 25mm
Fig. 5.16 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 40kN și Ë = 40mm
Fig. 5.17 Uzura ∆Ê, pentru Fd = 40kN și Ë = 60mm
Pentru o mai bună vizualizare în figurile 5.12 – 5.17 a fost reprezentată și ondulația inițială a
șinei.
Important este faptul că uzura apare pe toată suprafața șinei, și datorită efectelor dinamice are valori mai mari în anumite poziții.
Comparând figurile se poate observa că uzura este mai mare pentru lungimi de undă ale ondulației mai mici și crește odată cu creșterea amplitudinii componentei dinamice a forței normale, dar totuși relația dintre forță și uzură este neliniară.
Se poate de asemenea observa că pentru defazajul de 180° ondulația nu ar trebui să se modifice datorită faptului ca uzura prezintă valorile mai mari în afara văilor, pe când în cazul defazajului de 135° uzura este maximă în aceste zone. Faptul că există zone în care uzura este mai mare în afara văilor, acolo unde forța normală ar trebui să aibă valori mai mari datorită efectelor dinamice, se datorează combinației mai multor factori explicați de Wu [2005]:
– uzura apare doar în zona de slip;
– uzura este un proces de acumulare continuu pe perioada rostogolirii;
– forța dinamică și geometria contactului variază cu poziția ondulației și astfel variază și viteza de alunecare și frecarea.
În figura 5.18 se poate observa ca datorită defazajul forța normală nu are întotdeauna valoarea ei maximă pe mijlocul văii ondulației.
Fig. 5.18 Variația sarcinii normale în funcție de componenta dinamică și defazaj
5.6 Concluzii
În acest capitol s-a prezentat un model numeric pentru calculul uzurii la contactul cu rostogolire roată-șină în condiții de alunecare parțială, considerând suprafața șinei cu o ondulație inițială.
Pe baza modelului numeric s-au scos in evidență:
1. Distribuția (3D) de presiuni pentru contactul roată-șină pentru diverse deplasări laterale ale osiei față de calea de rulare;
2. Distribuția (2D) de tensiuni tangențiale pe suprafață având la baza teoria lui Carter
[1926];
3. Dimensiunile zonelor de stick și slip în funcție de forța de tracțiune și alunecarea longitudinală;
4. Viteza de alunecare și uzura generată în zona de slip atât în sistemul local de coordonate al contactului concentrat cât și în cel global raportat la ondulația inițială;
5. Efectele dinamice determinate de prezența ondulației, asupra uzurii, la o singură trecere a roții.
Pe baza cercetărilor și studiilor descrise în acest capitol au fost redactate și prezentate la conferințe următoarele lucrări științifice:
– „A numerical method to predict wear evolution in wheel-rail contact under partial slip conditions”, Gavrilă și Crețu [2013], lucrare prezentată în cadrul „WORLD TRIBOLOGY CONGRESS”, 8-13 September 2013, Torino, Italy și publicată în PROCEEDINGS OF WTC 2013.
– „Wear prediction in wheel-rail contact under partial slip conditions”, Gavrilă, Crețu și Benchea [2014], lucrare prezentată în cadrul ACME’14 și publicată de Trans. Tech. Publications Inc. (Switzerland) în „Applied Mechanics and Materials”.
6. STUDIUL EXPERIMENTAL AL FEMONENULUI DE
„STICK-SLIP”
6.1 Standardul VDA 230-206
Standardul german VDA 230-206, ce are ca țintă investigarea comportamentului de stick-slip la perechi de materiale în contact, reprezintă în momentul de față etalonul în domeniul testării acestui fenomen. Respectând acest standard, compania Ziegler Instruments a dezvoltat un intrument de masură avansat, ce este folosit și acceptat la scară largă în special în domeniul autovehiculelor.
6.1.1 Principiul de funcționare
Elementul cheie al principiului de funcționare este reprezentat de un arc lamelar ce are rolul de a amplifica fenomenul de stick-slip si de al face mai ușor sesizabil. După cum se poate vedea în figura 6.1 arcul este încastrat în corpul principal al mașinii iar la celălalt capăt este conectat la un dispozitiv pe care se montează proba ce urmeaza a fi testată. Unul din materialele ce urmează a fi testate este montat la capătul arcului iar celălalt material este montat pe un platou ce va efectua mișcări de translație repetitive. Contactul dintre arc și platou se realizează prin aplicarea unei forțe constante FN. Prin mișcarea platoului arcul este deformat elastic la încovoiere de către forța de frecare statică (de adeziune) dintre cele două materiale. Atunci când forța elastică de revenire a arcului devine egală sau superioară forței de adeziune se realizează mișcare relativă și frecarea statică trece în frecare dinamică. Imediat ce forța elastică de revenire a arcului devine inferioară forței de frecare dinamică, mișcarea relativă dispare și se realizează din nou condiția de frecare statică. Așadar, în zona de contact, perechea de materiale este solicitată de o forță de frecare a cărei amplitudine alternează periodic între forța de frecare statică de adeziune si cea de frecare cinetică.
Diferența dintre cele două forțe este esențială pentru fenomenul de stick-slip. Atât deformarea elastică a arcului cât si accelerația sunt introduse într-un algoritm special de evaluare.
Accelerația maximă, amplitudinea impulsului, rata impulsului (dată frecvența vârfurilor de accelerație pentru o anumită deplasare prestabilită) și rata energetică (calculată folosind valoarea forței de frecare și a forței de revenire a arcului) sunt determinate.
Algoritmul calculează un așa numit „risk priority number” ce clasifică riscul în trei categorii:
critic (roșu), necritic (verde) și un risc de mijloc (galben).
Pe baza acestui principiu, dispozitivul se poate folosi pentru o diversitate de materiale, ca de exemplu piele, piele sintetică, elastomeri, metale, sticlă, textile, lemn, etc.
Fig. 6.1 Schema dispozitivului de testare [www.belotti-online.it]
6.1.2 Descrierea dispozitivului de testare
Dispozitivul pentru determinarea efectului de stick-slip este format dintr-un platou ce poate efectua mișcări de translație. Platoul se poate deplasa la o viteză și distanță impusă și cu o anumită frecvență. Pe acest platou, este asigurată posibilitatea de a se fixa un material probă ce urmează a fi testat.
Fig. 6.2 Mașina de testare marca „Ziegler Instruments” [www.mbdynamics.com]
Al doilea material probă, care în timpul testării urmează a fi în contact cu platoul, se fixează pe dispozitivul conectat la un capăt al arcului lamelar. Arcul de tip lamelă are o suprafață de lucru, reprezentând zona liberă ce nu este încastrată în dispozitiv și nici conectată la dispozitivul ce reține proba de 31mm x 50 mm. Arcul este confectionat din oțel de grosime 1.6mm. Forța normală, cu ajutorul careia materialele sunt puse în contact, este ajustabilă. Aceasta este transmisă probelor în contact prin intermediul arcului.
Fig. 6.3 Dispozitivul de testare pe care se fixează proba, conectat la arc [VDA 230 – 206]
Forța de revenire este generată de deformația elastică a arcului în timpul funcționării. Accelerația este măsurata la mijlocul arcului, la o distanță de 19mm față de probă. Suportul de testare conectat la arc, se poate vedea în figura 5.4. Masa acestuia nu trebuie să depășească 50 de grame.
După cum a fost menționat și în subcapitolul anterior, evaluarea riscului de stick-slip se face cu un ajutorul unui algoritm care generează așa numitul risk priority number abreviat prin acronimele RPN. Standardul VDA 230-206 oferă urmatoarea relație de calcul.
2R‹³²5S`S ÌÍÌ5ÎÌ`6±S R‹³²5S`S aÏIžÏIÏ6 R‹³²S±±ÌIÌ5S`6Ì
R
4
(6.1)
6.1.3 Procedura de testare
Inițial se montează și se fixează epruveta de test pe platou.
Epruveta ce trebuie fixată pe suportul arcului este montată provizoriu. Fixarea ei definitivă se face cu o forță de pretensionare a arcului de 10N.
Înainte de a se începe testarea se verifică distanța dintre cele două materiale ce urmează a fi în contact și se reglează eventuale probleme de poziție sau paralelism pentru a evita un contact defectuos.
La fiecare început de test se setează si verifică punctul zero. Pot apărea deplasări nedorite cu influență asupra senzorilor de măsură, datorită schimbărilor de umiditate și temperatură. Reglarea punctului de zero trebuie să se facă cu motorul pornit dar fără a avea probele în contact.
Masurătorile se repetă de 3 ori și apoi se face media. Fiecare măsurătoare se realizează pe două probe teoretic indentice pentru a confirma rezultatul testului. Dacă între cele două probe există o diferență mai mare de 2 RPN, atunci testul trebuie refăcut.
6.2 Testarea fenomenului de „stick-slip” cu ajutorul tribometrului Pin-Disc
UMTR 2M-CTR
Pentru efectuarea testelor ce vor fi prezentate în capitolele următoare a fost folosit un tribometru profesional. Acest tribometru a fost adaptat, astfel încât la nivel de concept să fie similar cu cel descris de standardul VDA 230-206.
6.2.1 Descrierea tribometrului
Tribometrul folosit, este de tipul Pin-Disc UMTR 2M-CTR produs de firma CETR – Schaefer. Acest tribometru profesional oferă diverse posibilități de testare, după cum urmează: determinări ale forțelor de frecare și a coeficienților de frecare statici și dinamici în mișcare de rotație și translație pentru diverse combinații de materiale, studiul proceselor de alunecare sacadată (stick
– slip), studiul forțelor de adeziune, studiul proceselor de uzare, determinări de duritate și de modul de elasticitate prin micro și nano identare, etc.
Pentru testele de față acest tribometru a fost folosit pentru a aplica și controla forța normală din timpul testării, pentru a controla distanța și viteza de deplasare a platoului și pentru a înregistra forțele de frecare precum și variația coeficientului de frecare din timpul testării.
Fig. 6.4 Microtribometrul pin-disc UMTR 2M – CTR
6.2.2 Descrierea adaptărilor necesare pentru evaluarea fenomenului de „stick-slip”
Au fost necesare mai multe adaptări pentru a putea cuantifica fenomenul și riscul de „stick-slip”
într-o manieră similară cu cea descrisă de standardul VDA 230-206.
Fig. 6.5 Schema adaptării făcute tribometrului
După cum se poate observa în figura 6.5 elementul cheie al adaptării făcute tribometrului este reprezentat de un arc de tip lamelă, ce are rolul de a amplifica fenomenul de stick-slip. Definirea sectiunii optime a acestui arc a fost obținută în urma unor teste preliminarii. Dimensionarea lui este în strânsă legatură cu senzorul de forță folosit, ce are o valoare maximă de măsurare de
500mN. Lamela este confectionată din oțel de arc și are o lățime de 10mm și o grosime de
0.8mm. La 10mm de dispozitivul de fixare al bilei de test a fost montat un accelerometru.
Fig. 6.6 Tribometrul modificat pentru evaluarea „stick-slip”-ului
S-a folosit accelerometrul MMA8451Q, de tip capacitiv, pe trei axe. Acesta este un accelerometru digital, cu un consum de energie foarte redus având o rezoluție pe 14 biți. Acest acceleromtru este dotat cu funcții integrate, cu opțiuni flexibile de programare.
Un avantaj foarte mare al acestui accelerometru este dimensiunea lui de doar 3mm x 3mm x
1mm.
Fig. 6.7 Accelerometrul MMA8451Q
Fig. 6.8 Placa de dezvoltare „Arduino Uno”
Achiziția datelor de la accelerometru s-a făcut cu ajutorul unei plăci de dezvoltare „Arduino
Uno” conectate la calculator.
„Arduino Uno” este o placă microcontroler bazată pe Atmega328. Această placă are 14 pini digitali de intrare/ieșire (din care 6 pot fi utilizați ca ieșiri PWM), 6 intrări analogice, un rezonator ceramic de 16Mhz, o conexiune USB, un „jack” de putere, în afara ICSP, și un buton de resetare. Această placă de dezvoltare conține tot ceea ce este necesar pentru a susține un microcontroler, conexiunea ei la calculator făcându-se simplu, prin USB.
6.3 Rezultate experimentale
În cadrul acestui subcapitol vor fi prezentate o serie de măsuratori și investigații efectuate pentru a evalua și cuantifica riscul de apariție a fenomenului de „stick-slip” la diverse perechi de materiale în contact.
În primul rând, scopul efectuării acestor experimente și măsuratori a fost de a obține un aparat de măsura și de evaluare a fenomenului de stick-slip pe baza standardului VDA 230-206 folosind tribometrul profesional și adaptările menționate în capitolul precedent.
Un al doilea scop al acestei părți experimentale, a fost acela de a scoate în evidență elementele ce influentează din punct de vedere tehnic riscul de stick-slip, ca de exemplu viteza, rugozitatea, starea suprafeței uscată sau cu lubrifiant, materialul, temperatura, umiditatea, etc.
Având în vedere că dimensiunile și geometria dispozitivului sunt diferite față de cele definite de standardul VDA 230-206, nu s-a putut folosi scala pentru RPN-uri definită de acest standard. Evaluarea riscului de „stick-slip” s-a făcut individual prin analizarea graficelor și valorilor fiecărui parametru măsurat.
6.3.1 Influența vitezei asupra riscului de „stick-slip”
Testele efectuate au arătat ca viteza de deplasare a platoului reprezintă un factor important atunci când se evaluează riscul de stick-slip. La contactele uscate, fără lubrifiant, odată cu creșterea vitezei platoului s-a observat o creștere în amplitudine și variație a tututor parametrilor măsurați.
Pentru acest test au fost folosite:
– O bilă din oțel de diametru Ø6.3 mm, cu rugozitatea Ra = 0.04 µ m;
– O placă confeționată dintr-un aliaj de aluminiu AlCu4PbMgMn (EN AW-2007), cu rugozitatea Ra = 0.2µ m;
– Sarcina normală a fost de 400mN.
Comparația a fost făcută pentru două viteze de deplasare a platoului tribometrului, 1mm/s si respectiv 10mm/s.
Fig. 6.9 Evoluția accelerației – contact uscat, V=1mm/s / V=10mm/s, bilă oțel Ra = 0.04µ m, placă aluminiu EN AW2007 Ra = 0.2µ m
Fig. 6.10 Evoluția forței de frecare – contact uscat, V=1mm/s / V=10mm/s, bilă oțel Ra =
0.04µ m, placă aluminiu EN AW2007 Ra = 0.2µ m
Fig. 6.11 Evoluția coeficientului de frecare – contact uscat, V=1mm/s / V=10mm/s, bilă oțel Ra
= 0,04µ m, placă aluminiu EN AW2007 Ra = 0,2µ m
În cazul contactului lubrifiat, efectul este diferit, viteza având o influență benefică în sensul reducerii riscului apariției stick-slip-ului. Acest lucru va fi prezentat într-un capitol următor când se va prezenta contactul lubrifiat.
6.3.2 Influența regimului de frecare asupra riscului de „stick-slip”
Regimul de frecare este dictat de relatia dintre grosimea filmului de lubrifiant si rugozitate. Pentru contactele concentrate grosimea filmului de lubrifiant depinde esențial de valoarea vâscozitătii dinamice a lubrifiantului si de viteza relativă dintre suprafețele în contact.
Pentru regimul de frecare mixt, dar în special pentru regimul de frecare limită, natura materialelor este un parametru important în stabilrea coeficentului de frecare.
Teste efectuate cu modificarea grosimii filmului de lubrifiant
Testele în cazul contactului lubrifiat au fost efectuate folosind două uleiuri diferite: un ulei hidraulic H46 și un ulei de transimisie aditivat T90 EP2.
Pentru acest test au fost folosite:
– O bilă din oțel de diametru Ø6.3mm, cu rugozitatea Ra = 0,04µ m;
– O placă rectificată din oțel cu rugozitatea Ra = 0,04µ m;
– Sarcina normală a fost variată între 200mN și 400mN;
– Viteza de deplasare a platoului a fost variată între 1mm/s și 10mm/s.
Testele au fost repetate folosind și o bilă cermică, cu materialul Si3N4 și rugozitatea Ra =
0.03µ m.
În urma analizei parametrilor măsurați, s-au putut face următoarele observații:
– Riscul fenomenului de stick-slip este mai ridicat la contactele lubrifiate decât la contactele uscate folosind metoda propusă de standardul VDA 230-206;
– Creșterea vitezei la contactele lubrifiate reduce sau chiar elimină variațiile parametrilor măsurați (accelerație, forță de frecare, coeficient de frecare) nemaiputându-se sesiza vreo diferență între contactul uscat și cel lubrifiat;
– Media aritmetică a parametrilor măsurați este similară cu cea a contactului uscat, doar variațiile în cazul contactului lubrifiat fiind mai mari;
– La viteze mici de deplasare ale platoului, datorită vâscozității substanțial diferite dintre cele două uleiuri riscul de stick-slip este mai mare la uleiul hidraulic H46 decât la uleiul de transmisie T90EP2, creșterea vitezei eliminând această diferență.
Fig. 6.12 Evoluția accelerației – Contact uscat/Contact lubrifiat (ulei H46); V=1mm/s; Bilă
oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.13 Evoluția forței de frecare – Contact uscat/Contact lubrifiat (ulei H46); V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.14 Evoluția coeficientului de frecare – Contact uscat/Contact lubrifiat (ulei H46); V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
După cum se poate observa în figurile 6.12 – 6.14 riscul de stick-slip este mai ridicat la contactele lubrifiate. Acest lucru este datorat faptului că lubrifiantul facilitează alunecare sferei pe plan în etapa de revenire a arcului.
Inițial, în lipsa mișcării platoului, nu există diferență între contactul lubrifiat și cel uscat, datorită
faptului că în contactul lubrifiat nu se formează film de ulei.
Prin punerea în mișcare a platoului, forța de revenire a arcului crește pană ce depășește forța de adeziune dintre bilă și suprafața în contact. Când forța de revenire a arcului pune în mișcare bila, acest lucru se realizează cu o anumită viteza ce duce la formarea unui film de lubrifiant ce facilitează alunecarea. Apoi acest ciclu se repetă.
Acest test a fost repetat și cu alte sarcini normale și viteze de lucru, rezultele fiind confirmate. Grafice adiționale se pot vedea în anexele aceastei lucrări.
Fig. 6.15 Evoluția Accelerației – Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat (ulei H46);
V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.16 Evoluția forței de frecare – Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat (ulei
H46); V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0,04µ m; Placă rectificată oțel Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.17 Evoluția coeficientului de frecare – Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat
(ulei H46); V=1mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN =
200mN
Fig. 6.18 Evoluția accelerației – Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat (ulei H46); V=10mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.19 Evoluția forței de frecare – Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat (ulei
H46); V=10mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.20 Evoluția coeficientului de frecare – Contact lubrifiat (ulei T90EP2)/Contact lubrifiat
(ulei H46); V=10mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; Placă rectificată din oțel Ra = 0.04µ m; FN =
200mN
În figurile 6.15 – 6.17 se poate observa că variațiile sunt mai mari pentru uleiul hidraulic H46. Explicația ce se poate da acestui fenomen este aceea că uleiul hidraulic H46 are o vâscozitate mică în comparație cu uleiul T90EP2, iar la viteze mici de deplasare ale platoului (și implicit ale bilei atunci când forța de revenire a arcului o pune în mișcare) nu reușește să formeze un film de lubrifiant asemănător uleiului de transmisie.
În figurile 6.18 – 6.20 diferența observată la viteze mici (1mm/s) nu mai este vizibilă în cazul testului cu o viteză mai mare de deplasare a platoului (10mm/s). Acest lucru se explică prin viteza de deplasare mai ridicată a platoului la care chiar și uleiul hidraulic H46 cu vâscozitate mai redusă reușește să formeze un film de lubrifiat suficient încât să faciliteze revenirea arcului într-un mod similar cu cel al uleiului T90EP2.
Pentru a întări această explicație a fost făcut un studiu al vâscozității celor două uleiuri și al filmului de lubrifiat dintre cele două corpuri în contact pentru fiecare ulei folosit.
Vâscozitatea cinematică a celor două uleiuri este dată în fișa tehnică a acestora pentru pentru
40°C și 100°C. Cu aceste două informații disponibile s-a calculat pentru temperatura ambiantă de 23°C mai întâi vâscozitatea cinematică și apoi vâscozitatea dinamică necesară calculului filmului de lubrifiant.
Pentru viteze cuprinse între 4mm/s și 10mm/s, uleiul hidraulic H46 formează o grosime a filmului similară cu cea formată de uleiul de transmisie T90EP2 pentru viteze cuprinse între
1mm/s și 3mm/s.
Pentru viteze inferioare valorii de 4 mm/s uleiul H46 formează un film de lubrifiant cu o grosime mult inferioară celei asigurate de uleiul T90EP2, care determină regimuri diferite de ungere- frecare ceea ce poate explica diferențele menționate în ce privește riscul de apariție a fenomenului de stick-slip.
Important de remarcat este faptul că nu viteza de deplasare a platoului este cea care generează un film de lubrifiant suficient cât să acopere vârfurile asperităților celor două corpuri în contact. În figura 6.24 se poate observa că la o viteză de 10mm/s se formează un film de lubrifiant de aproximativ 0.023 – 0.024µ m, prea mic pentru a acoperi vârfurile asperităților. În realitate pentru intervale mici de timp viteza de deplasare a bilei este mult mai mare, ceea ce duce la grosimi ale filmului de lubrifiant mai mari de 0.1µ m. Acest lucru a fost verificat, făcând integrarea accelariției în funcție de timp pentru a evalua local variație vitezei de deplasare a bilei. Această viteză este generată de forța de revenire a arcului. Integrarea accelerației a fost făcută numeric, folosind metoda trapezului.
În figura 6.26 este prezentat eșantionul pentru care a fost făcută integrarea, adică între secunda
16.43 și 17.8, pentru care a fost obținută o variație a vitezei de ~80mm/s. Aceasta înseamnă că pentru intervalul verificat bila a avut o variație a vitezei de alunecare de aproximativ 80 de ori mai mare decât viteza de deplasare a platoului.
Fig. 6.21 Evoluția accelerației – contact lubrifiat ulei H46; bilă oțel Ra=0,04µ m; placă oțel Ra =
0,04µ m; V1=mm/s – eșantion pentru măsurarea variației vitezei de deplasare a bilei
Teste efectuate cu modificarea naturii materialelor și rugozității suprafețelor
S-au efectuat teste cu diverse încărcări normale și viteze de deplasare având ca materiale urmatoarele combinații: oțel/oțel, material ceramic/oțel și oțel/aluminiu. Rugozitatea de la nivelul suprafeței a fost unul din parametrii ce a fost considerat în timpul testării.
Pentru acest test s-au folosit:
– Bilă din oțel, Ø6.3mm cu rugozitatea Ra = 0.04µ m;
– Bila ceramică Si3N4, Ø6.3mm cu rugozitatea Ra = 0.03µ m;
– Placă din oțel, cu rugozitatea Ra = 1µ m;
– Placă din aliaj aluminiu, EN AW 2007 cu rugozitatea Ra = 0.2µ m;
– Placa rectificată din oțel cu rugozitatea Ra = 0.04µ m.
Testele s-au făcut pentru mai multe viteze de deplasare ale platoului cuprinse între 1mm/s și
10mm/s, în combinație cu forțe cuprinse între 200mN și 400mN.
Fig. 6.22 Evoluția accelerației – Contact uscat placă oțel Ra =1µm/placă aluminiu Ra =
0.2µm; V=5mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.23 Evoluția forței de frecare – Contact uscat placă oțel Ra =1µm/placă aluminiu Ra =
0.2µm; V=5mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.24 Evoluția coeficientului de frecare – Contact uscat placă oțel Ra =1µm/placă
aluminiu Ra = 0.2µm; V=5mm/s; Bilă oțel, Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
Fig. 6.25 Evoluția accelerației – Contact uscat bilă oțel Ra =0.04µm/bilă ceramică Ra =
0.03µm; V=5mm/s; Placă oțel, Ra = 0.04µ m; FN = 400mN
Fig. 6.26 Evoluția forței de frecare – Contact uscat bilă oțel Ra =0.04µm/bilă ceramică Ra =
0.03µm; V=5mm/s; Placă oțel, Ra = 0.04µ m; FN = 400mN
Fig. 6.27 Evoluția coeficientului de frecare – Contact uscat bilă oțel Ra =0.04µm/bilă ceramică
Ra = 0.03µm; V=5mm/s; Placă oțel, Ra = 0.04µ m; FN = 400mN
În figurile 6.27 – 6.29 se pot observa rezultatele obținute pentru contactul dintre o bilă de oțel cu două plăci diferite atât ca material cât și ca rugozitate.
În ce privește placa de aluminiu aceasta prezintă o rugozitate medie de aproximativ 5 ori mai mare, ceea ce duce la un risc al apariției fenomenului de stick-slip mai mare, amplitudinile și variațiile atât ale accelerației cât și ale forței de frecare sunt mai mari. Deși există o diferență de material, rezultatele obținute se datorează cu precădere în cazul de față rugozității. Aliajul de aluminiu folosit prezintă din punct de vedere mecanic proprietăți similare cu ale unui oțel OL37 (limita de curgere și de rupere aproape identice). Totuși din punct de vedere ale proprietăților de frecare (coeficientul de frecare) cele două materiale sunt diferite acest lucru putându-se observa în figura 6.28.
În figurile 6.30 – 6.32, sunt prezentate rezultatele obținute când a fost folosită o placă rectificată din oțel având o rugozitate medie Ra = 0.04µ m în combinație cu bile din materiale diferite, respectiv oțel și ceramică Si3N4. Exceptând diferența dintre bile, testele au fost făcute identic, aceeași viteză, aceeași încărcare și același mediu nelubrifiat la nivelul contactului. Următoarele diferențe pot fi subliniate la nivelul celor doua bile de test:
– Materialul: oțel/ceramic Si3N4;
– Rugozitatea: bilă oțel cu Ra = 0,04µ m / bilă ceramică cu Ra = 0,03µ m;
– Masa bilelor, bila ceramică fiind mai usoară.
În condițiile date a rezultat contactul făcut de bila de oțel ca fiind mai predispus la stick-slip, amplitudinile parametrilor măsurați fiind mai mari. Pentru a putea distinge care din diferențele de mai sus este responsabilă de acest rezultat ar trebui repetat testul introducându-se pe cât posibil cât mai puține diferente în timpul unui test (de exemplu repetarea testului având bile din materiale diferite dar cu aceeași rugozitate).
6.28 Evoluția forței de de frecare – Contact uscat / Contact lubrifiat (uleiH46); V=1mm/s; Bilă ceramică Ra 0.03µm; Placă oțel, Ra = 0.04µ m; FN = 200mN
În figura 6.33 se poate observa o creștere a vârfurilor măsurate pentru forța de frecare la primele două curse efectuale ale bilei. Explicația pe care o putem da acestui fenomen este pusă tot pe seama diferențelor de rugozitate. Mai exact suprafața prezintă ințial anumite asperități ce duc la variații mai mari ale forței de frecare și la o influență mai ridicată asupra fenomenului de stick- slip. După mai multe treceri, aceste asperități sunt netezite efectul rugozității fiind diminuat pentu celelalte curse efectuate.
6.4 Concluzii
În cadrul acestui capitol s-a prezentat un concept de măsurare al fenomenului de stick-slip având la baza standardul VDA 230-206 și folosind un tribometru profesional de măsură a parametrilor de frecare.
1. Pe baza principiului din standardul VDA 230-206 a fost conceput și construit un dispozitiv pentru cuantificarea fenomenului de stick-slip la perechi de materiale în contact.
2. Influența regimului de frecare s-a realizat prin modificarea grosimii filmului de lubrifiant cât și prin modificarea valorii rugozității suprafețelor. Rezultatele scot în evidență influența vâscozității lubrifiantului în funcție de diverse viteze deplasare ale platoului auspra fenomenului de stick-slip. De asemenea în condițiile de încărcare și viteză date în prezentul capitol s-a arătat că riscul de creștere a fenomenului de stick-slip este mai mare la materialele cu valori ale rugozității mai mari.
3. Influența naturii materialului a fost evidențiată folosind combinații ale următoarelor materiale: oțel, ceramică Si3N4 și un aliaj din aluminiu.
4. De asemenea, s-a scos în evidență faptul că viteza de deplasare a platoului reprezintă un
factor esențial în studiul fenomenului de stick-slip atât la contactele uscat cât și la contactele lubrifiate.
Măsurători adiționale au fost efectuate în scopul de a întări concluziile și observațiile făcute în cadrul acestui capitol. Rezultatele acestora pot fi găsite în anexa 2 a prezentei teze.
Pe baza cercetărilor și studiilor descrise în acest capitol a fost redactată lucrarea „Experimental Evaluation of the Stick-Slip Phenomenon”, Gavrilă G., Crețu S. și Benchea M. [2014] și a fost înaintată spre prezentare în cadrul celei de a 8-a Conferințe Internaționale în Tribologie, BalkanTrib’14.
CONCLUZII FINALE ȘI DIRECȚII NECESARE DE CERCETARE
Prezenta teză de doctorat este rezultatul unei activități de documentare și cercetare științifică ce a avut ca scop dezvoltarea unui instrument numeric de calcul al uzurii la contactele cu frecare în condiții de alunecare parțială în domeniul elastic, efectele de plasticitate fiind evidențiate doar succint pe parcursul lucrării.
De asemenea, un alt scop a fost acela de a dezvolta un instrument practic de cuantificare a fenomenului de stick-slip și de a scoate în evidență factorii ce influențează riscul apariției acestui fenomen.
Din elaborarea lucrării de doctorat s-au desprins mai multe concluzii structurate în continuare pe fiecare capitol în parte.
Capitolul 1 cuprinde un studiu al stadiului de cercetare în domeniul contactului cu frecare punând accent pe contactele cu alunecare parțială. Se exemplifică impactul, negativ sau pozitiv, al fenomenului de stick-slip în procesele tehnologice dar și in natură.
În urma acestui studiu s-au evidențiat posibile direcții de cercetare necesare investigării fenomenologice și de modelare a fenomenului complex de stick-slip dintre care s-au desprins și direcțiile de urmat în cadrul prezentei teze:
– Dezvoltări teoretice pentru simularea analitică a contactelor mecanice în condiții de alunecare parțială;
– Dezvoltări de soft pentru simularea numerică a alunecării parțiale din contactele mecanice;
– Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactele mecanice fără
rostogolire;
– Modelarea numerică a uzurii generate de alunecarea parțială la contactul roată-șină cu scopul de a scoate în evidență potențiale cauze ce generează uzura ondulatorie;
– Conceperea și proiectarea de dispozitive precise de cuantificare a fenomenului de stick- slip la perechi de materiale în contact
– Scoaterea în evidență a factorilor ce influiețează creșterea riscului de apariție a fenomenului de stick-slip
Capitolul 2 cuprinde un studiu de sinteză al elementelor teoretice al contactului concentrat elastic-plastic, atât pentru contactul concentrat clasic de tip hertzian, cât și modalitățile actuale de rezolvare numerică a problemelor de contact concentrat nehertzian.
De asemenea, prezintă modele de contact concentrat rugos și descrie pe scurt elemente de teoria plasticității punând accent pe curgerea izotropă.
Toate aceste elemente teoretice reprezintă fundamentul modelelor numerice dezvoltate și prezentate în actuala teză de doctorat.
Capitolul 3 face o sinteză teoretică a contactelor cu alunecare totală și parțială, necesare
și utilizate în capitolele 4 și 5 de modelare numerică a uzurii generate de aceste alunecări, astfel:
– Alunecarea pentru cazul corpurilor elastice neconforme;
– Începutul alunecării la corpurile elastice;
– Alunecarea cilindrului pe direcția perpendiculară axei sale pentru cazul 2D;
– Alunecarea unei sfere atât pentru cazul alunecării totale cât și pentru cel al alunecării parțiale;
– Generalizarea modelului Cattaneo-Mindlin propusă de Ciavarella [1998], și Jager [1999].
În cadrul Capitolului 4 s-au realizat și evidențiat următoarele rezultate:
– S-a prezentat un model numeric pentru calculul uzurii în condiții de alunecare parțială
pentru contactul sferă-plan.
– S-a scos în evidență influența presiunii asupra uzurii și efectele acesteia asupra: distribuției de presiuni, distribuției de tensiuni tangențiale, ratei de uzură, separației dintre cele două solide și ariei de contact, obținute după un număr N de cicluri oscilatorii ale forței tangențiale.
– S-au evidențiat mai multe aspecte referitoare la influența rugozității (simulate prin funcții trigonometrice dar și distribuite aleatoriu Gaussian) asupra uzurii în condiții de alunecare parțială.
– S-a evidențiat influența comportamentului elastic-perfect plastic asupra dimensiunii zonei de stick.
– A fost propusă o soluție analitică pentru un coeficient de frecare variabil în zona de slip și folosind modelul numeric s-au scos în evidență influențele acestuia asupra uzurii.
Capitolul 5 prezintă un model numeric pentru calculul uzurii la contactul cu rostogolire roată-șină în condiții de alunecare parțială, considerând suprafața șinei cu o ondulație inițială.
Pe baza modelului numeric s-au scos in evidență:
– Distribuția (3D) de presiuni pentru contactul roată-șină pentru diverse deplasări laterale ale osiei față de calea de rulare;
– Distribuția (2D) tensiuni tangențiale pe suprafața de contact având la baza teoria lui
Carter [1926];
– Dimensiunile zonelor de stick și slip în funcție de forța de tracțiune și alunecarea longitudinală;
– Viteza de alunecare și uzura generată în zona de slip și posibile influențe asupra ondulației inițiale;
– Efectele dinamice, determinate de prezența ondulației, asupra uzurii, la o singură trecere a roții peste șina ondulată.
În cadrul Capitolului 6 s-a prezentat un concept de măsurare al fenomenului de stick-slip având la baza standardul VDA 230-206 și folosind un tribometru profesional de măsură a parametrilor de frecare.
– Pe baza principiului din standardul VDA 230-206 a fost conceput și construit un dispozitiv pentru cuantificarea fenomenului de stick-slip la perechi de materiale în contact.
– Influența regimului de frecare s-a realizat prin modificarea grosimii filmului de lubrifiant cât și prin modificarea valorii rugozității suprafețelor. Rezultatele scot în evidență influența vâscozității lubrifiantului în funcție de diverse viteze deplasare ale platoului auspra fenomenului de stick-slip. De asemenea în condițiile de încărcare și viteză date în prezentul capitol s-a arătat că riscul de creștere a fenomenului de stick-slip este mai mare la materialele cu valori ale rugozității mai mari.
– Influența naturii materialului a fost evidențiată folosind combinații ale următoarelor materiale: oțel, ceramică Si3N4 și un aliaj din aluminiu.
– De asemenea, s-a scos în evidență faptul că viteza de deplasare a platoului reprezintă un
factor esențial în studiul fenomenului de stick-slip atât la contactele uscat cât și la contactele lubrifiate.
Cercetările efectuate pe durata stagiului de doctorat si prezentate în cadrul tezei de doctorat au făcut obiectul a 7 lucrări stiințifice:
– „Wear Investigation of Rough Bodies in Contact under Partial Slip Conditions”, Gavrilă G. și Crețu S. [2012], lucrare publicată în „MECHANICAL TESTING AND DIAGNOSIS” ISSN 2247 – 9635, 2012 (II), Volume 3, 44-54.
– „Wear Evolution in Circular Contacts in Partial Slip”, Gavrilă G. și Crețu S. [2012], lucrare prezentată în cadrul conferinței internaționale ACME’12 și publicată în
„BULETINUL INSTITUTULUI POLITEHNIC DIN IAȘI”, Tomul (LVIII), Fasc. 2.
– „Influence of Roughness and Friction Coefficient on the Contact Wear in Partial Slip Conditions”, Gavrilă G. și Crețu S. [2012], lucrare prezentată în cadrul conferinței internaționale MECAHITECH’12, și publicată în „TRANSACTION ON CONTROL AND MECHANICAL SYSTEMS”, Vol. 2, No. 3, pp. 115-121, mar., 2013.
– „A numerical method to predict wear evolution in wheel-rail contact under partial slip
conditions”, Gavrilă G. și Crețu S. [2013], lucrare prezentată în cadrul „WORLD TRIBOLOGY CONGRESS”, 8-13 September 2013, Torino, Italy și publicată în PROCEEDINGS OF WTC 2013.
– „Wear prediction in wheel-rail contact under partial slip conditions”, Gavrilă G., Crețu S. și Benchea M. [2014], lucrare prezentată în cadrul ACME’14 și publicată de Trans. Tech. Publications Inc. (Switzerland) în „Applied Mechanics and Materials”.
– „Experimental Evaluation of the Stick-Slip Phenomenon”, Gavrilă G., Crețu S. și Benchea M. [2014] ce a fost înaintată spre prezentare în cadrul celei de a 8-a Conferințe Internaționale în Tribologie, BalkanTrib’14.
Contribuții originale teoretice
Cercetările efectuate în cadrul activității de doctorat și prezentate în cadrul tezei de doctorat au permis elaborarea a 7 lucrări științifice publicate în reviste sau comunicate la manifestări științifice naționale sau internaționale, printre care de menționat și o participare la Congresul Mondial de Tribologie ce a avut loc la Torino în Italia în septembrie 2013.
În cadrul prezentei teze de doctorat s-au realizat o serie de sinteze bibliografice esențiale soluționării direcțiilor de cercetare menționate deja în capitolul 1.
1. Studiul de sinteză bibliografică privind: teoria contactului concentrat Hertzian; modelarea contactului concentrat elastic-plastic nehertzian, ecuațiile fundamentale ce stau la baza rezolvării acestui tip de contact și metodologia de soluționare numerică a acestora.
2. Studiile de sinteză bibliografică privind metodele de rezolvare analitică și numerică a problemei tangențiale pentru cazul contactelor cu alunecare parțială, cu și fără rostogolire: delimitarea zonelor de stick și slip, calculul tensiunilor tangențiale, distanței de alunecare și vitezei de alunecare pentru zona de slip.
3. Metode de calcul a uzurii generate de alunecarea în zona de slip pentru contactele concentrate, cu și fără rostogolire.
4. Aplicarea modelului de calcul al uzurii generate de alunecarea în zona de slip la contactul sferă – plan solicitat normal de o forță constantă și oscilatoriu de o forță tangențială.
5. Modelul de calcul al uzurii generate de alunecarea în zona de slip la contactul roată –
șină de cale ferată.
6. Efectele fenomenului de stick-slip, atât benefice cât și negative, precum și metodologii de determinare și cuantificare a acestui fenomen.
7. Metodologia de măsurare standard, existentă în domeniul automotive și folosită pentru cuantificarea fenomenului de stick-slip la contactul dintre perechi de materiale specifice acestui domeniu, ce este descrisă în standardul german VDA 230-206.
Contribuții la modelarea numerică
S-au realizat două coduri de calculator în limbajul de programare C++ pentru rezolvarea problemei tangențiale și calculul uzurii în condiții de alunecare parțială, astfel:
1. Program pentru calculul uzurii la contactul sferă-plan în condiții de alunecare parțială, fără mișcare relativă între cele două solide, și s-a scos în evidență:
– influența uzurii din zona de slip asupra distribuției de presiuni și tensiuni tangențiale și asupra zonelor de stick și slip;
– influența rugozității asupra ratei de uzură și asupra creșterii dimensiunii ariei de contact;
– influența comportamentului elastic-perfect plastic asupra dimensiunii zonei de stick;
2. Program pentru calculul uzurii la contactul cu rostogolire roată-șină în condiții de alunecare parțială considerând șina cu ondulație inițială la nivelul suprafeței și s-a evidențiat:
– valoarea uzurii în zona de slip, atât în sistemul de coordonate al contactului concentrat cât și în sistemul de coordonate al lungimii de undă a ondulației;
– efectele dinamice ale încărcării normale asupra uzurii din zona de slip;
– influența uzurii asupra ondulației inițiale pentru anumite condiții dinamice ale încărcării normale.
Contribuții originale experimentale
S-a conceput și realizat un dispozitiv având la baza un tribometru profesional pin-disc UMTR 2M-CTR, asupra căruia s-au adus o serie de adaptări esențiale, în vederea determinării și cuantificării riscului de stick slip la perechi de materiale în contact.
Testele efectuate au scos în evidență o serie factori cu rol determinant în apariția și dezvoltarea riscului de stick-slip:
– influența vitezei de lucru;
– influența regimului de frecare, folosindu-se atât contacte lubrifiate cât și uscate precum și suprafețe cu diferite valori ale rugozității;
– influența materialului, folosindu-se în cadrul testelor: oțel, material ceramic și un aliaj din aluminiu.
S-au realizat de asemenea, măsuratori ale rugozității pentru toate materialele testate, folosindu-se un rugozimetru Taylor Hobson.
Direcții necesare de continuare a cercetărilor
Ceretările efectuate a fost orientate pentru cazul bidimensional, aceasta fiind o primă
etapă în validarea modelului de calcul.
Următorul pas este realizarea acestei modelări în ceea ce privește problemele tangențiale specifice tridimensional. In acest sens unii cercetatori precum Goryacheva [1998], Kalker [1999], etc., prezintă posibile abordări analitice sau numerice.
Partea experimentală prezentată în lucrare prezintă o bună bază pentru următoarea etapă de a continua experimentele cu alte condiții limită și de a evidenția noi factori ce influențează fenomenul de stick-slip (încărcări mai mari, combinații de materiale noi, alte condiții de mediu de testare, ca de exemplu temperatură, umiditate, etc.).
De asemenea, partea experimentală necesită continuarea pe partea de achiziție și analiză a experiențelor iar următorul pas ar fi dezvoltarea unui algoritm pe baza standardului VDA 230-
206 de calcul și cuantificare a fenomenului de stick-slip (evaluarea așa-numitului RPN, „risk priority number” din standardul mai sus menționat).
Viitoarele cercetări necesare trebuie sa fie orientate și către găsirea unor noi metode de diminuare a fenomenului de stick-slip atunci când acestă are un impact negativ și de asemnea găsirea de soluții pentru exploatarea lui benefică.
7. BIBLIOGRAFIE
1. Alekseev N.M. și Dobychin M.N., 1994, Wear models, in Belyi, V.A., Ludema, K.C, și Myshkin, N.K. (Eds.) Tribology in the USA and the Former Soviet Union: Studies and Application, Allerton Press, pp. 67-88.
2. Alwahdi F., Franklin F.J., Kapoor A., 2005, The effect of partial slip on the wear rate of rails, Wear, 258, pp. 1031-1037.
3. Amontons G., 1699, De la resistance cause dans les machines, Histoire de L’Academie
Royale des Sciences, 206-227.
4. Archard J. F., Elastic deformation and laws of friction, Proceedings oft he Royal Society of London, Series A, Mathematical and Physical Sciences, Volume 243, Issue 1233, pp.
190-205
5. Archard J.F., 1953, Contact and rubbing of flat surfaces, J. Appl. Phys., 24, 981-988.
6. Bowden F.P. și Tabor D., 1950, The Friction and Lubrication of Solids, Part 1, Clarendon, Oxford.
7. Bowden F.P., și Tabor D., 1964, The Friction and Lubrication of Solids, Part 2, Clarendon, Oxford.
8. Brandt A., Lubrecht A.A., 1990, Multilevel Matrix Multiplication and Fast Solution of
Integral Equations, J. Comp. Physics, 90, pp. 348-37.
9. Buffler H., 1959, Zur Theorie der Rollenden Reibung, Ing. Arch., 27, 137.
10. Bush A. W., Gibson R. D., și Thomas T. R., 1975, The elastic contact of a rough surface, Wear, 35(1):87–111.
11. Carter F.W., 1926, On the action of a locomotive driving wheel, Proc. Roy. Soc, A, 112,
151.
12. Cattaneo C., 1938, Sul contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli sforzi.
Rend. Accad. Naz. Lincei, 27, pp. 342-348, 434-436, 474-478.
13. Chen F. și Trapp M., 2012, Automotive Buzz, Squeak and Rattle, Mechanisms, Analysis, Evaluation and Prevention.
14. Ciavarella M., 1998a, The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. I- Theory. Int. J. Solids Struct., 35 (18), pp. 2349-2362.
15. Ciavarella M., 1998b, The generalized Cattaneo partial slip plane contact problem. II- Examples. Int. J. Solids Struct., 35 (18), pp. 2363-2378.
16. Coulomb Ch.A., 1785, Theorie des machines simples, Memoire de Mathematiques et de
Physique de VAcademie Royale.
17. Crețu S., 2005, Pressure Distribution in Concentrated Rough Contacts, Bull.IPI, LI (LV),1-2, pp. 1-31.
18. Crețu S., 2009, Contactul concentrat elasto-plastic, Politehnium,, Iași.
19. Crețu S. și Antaluca E., 2003 The Study of Non-Hertzian Concentrated Contacts by a GC-DFFT technique Analele Universitatii Dunarea de Jos – Galati, I, f. VIII, (Tribology), pp.39- 47
20. Cretu S., 2007, The influence of roughness on pressure distribution and stress state of concentrated contacts subjected to normal loads, Bul. Inst. Polit. Iasi, XLXIII (LVII), 1-
2, s. Constructii de masini, 1-12.
21. Crețu S., 2006, The Influence of the Correlation Length on Pressure Distribution and Stress State in Concentrated Rough Contacts, Proc. ASME/ASLE IJTC 2006, track 25, San Antonio, Tx, USA.
22. Crețu S., Popinceanu N., 1985, Influence of Residual Stresses on Rolling Contact
Fatigue, WEAR, 105, pp.153-157.
23. Deryagin B.V., 1934, Molecular theory of friction and sliding, (LR.) J. Physical
Chemistry, 5, 9, pp. 1165-1172.
24. Flom D.G., 1962, Dynamic mechanical losses in rolling contacts, in Rolling Contact
Phenomena, Bidwell, Elsevier, London, pp. 97-112.
25. Flom D.G., and Bueche A.M., 1959, Theory of rolling friction for spheres, J. Appl. Phys.,
30, 11, pp. 1725-1730.
26. Fromm H., 1927, Berechnung des Schlupfes beim Rollen deformierbaren Scheiben, ZAMM1 7, pp. 27-58.
27. Galin L. A., 1945, Pressure of punch with friction and adhesion domains, J. Appl. Math.
Mech., 9, 5, 413-424.
28. Galin L.A., 1953, Contact Problem of the Theory of Elasticity, (LR.) Gostekhizdat, Moscow. (English translation by Moss, H., North Carolina State College, Department of Mathematics, 1961).
29. Galin L.A., and Goryacheva LG., 1983, Three-dimensional contact problem of the motion of a stamp with friction, J. Appl Math. Mech., 46, 6, pp. 819-824.
30. Gallego L., Fulleringer B., Deyber S., Nelias D., 2010, Multiscale computation of fretting wear at the blade/disk interface, Tribology International 43, pp. 708-718
31. Gavrilă G. și Crețu S., 2012, Wear evolution in contacts in partial slip, Buletinul Inst.
Pol. Iași, Tomul (LVIII), Fasc.2.
32. Gavrilă G. și Crețu S., 2012, Wear investigation of rough bodies in contact under partial slip conditions, Mechanical Testing and Diagnosis, ISSN 2247 – 9635, Volume 3, pp. 44
– 54.
33. Gavrilă G. și Crețu S., Benchea, M., 2014, Wear prediction in wheel-rail contact under partial slip conditions, Applied Mechanics and Materials, Trans. Tech. Publications Inc., Switzerland.
34. Gavrilă G. și Crețu S., 2013, A numerical method to predict wear evolution in wheel-rail contact under partial slip conditions, Proceedings of World Tribology Congress, Torino, Italy.
35. Gavrilă G., Crețu. S., Benchea M., 2014, Experimental evaluation of the stick-slip phenomenon, înaintată la 8th International Tribology Conference, BalkanTrib’14.
36. Gavrilă G. și Crețu S., 2013, Influence of roughness and friction coefficient on the contact wear in partial slip conditions, Trans. On Control and Mech. Systems, Vol. 2, No. 3, pp. 115-121.
37. Gladwell G.M.L., 1980, Contact Problems in the Classical Theory of Elasticity, Sijthoff and Noordhoff, Alphen aan den Rijn.
38. Glagolev N.I., 1945, Resistance of cylindrical bodies in rolling, J. Appl. Math. Mech., 9,
4, pp. 318-333.
39. Godet M., 1984, The third-body approach: a mechanical view of wear, Wear, 100, 437.
40. Goldstein R.V. și Spector A.A., 1986, Variational methods of analysis of space contact and mixed problems with friction, in Mechanics of Deformable Bodies, (LR.) Nauka, pp.
52-73.
41. Goryacheva I. G., Rajeev P. T., Farris T. N., 2001, Wear in partial slip contact, J. Tribol.,
123, pp. 848-856.
42. Goryacheva I. G., 1998, Contact Mechanics in Tribology, Solid Mechanics and its applications, volum 61, Kluwer Academic Publishers.
43. Grassie S.L. și Johnson, K.L., 1985, Periodic microslip between a rolling wheel and a corrugated rail, Wear 101 pp. 291–309.
44. Greenwood J.A. și Williamson J.B.P., 1966, Contact of Nominally Flat Surfaces, Proceedings of the Royal of Society, London, A295, pp. 300-319.
45. Halling J.,1976, Introduction to tribology, Wykeham Publications, London and Andover.
46. Hamilton G.N., și Goodman L.E., 1966, The stress field created by a circular sliding contact, Trans. ASME, J. Appl Mech., ser. E, 33, 2, pp. 371-376.
47. Hamrock B.J. si Brewe D.E., 1983, Simplified solution for stresses and deformations, Trans. Of ASME, J. Lubr. Technol., 105, nr. 2, pp. 171-177.
48. Hamrock B.J., Dowson D., 1976, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point
Contacts. Part I – Theoretical Formulation, Journal of Lubrication Technology, pp. 223-
229.
49. Hamrock B.J., Dowson D., 1976, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point
Contacts. Part II – Ellipticity Parameter Results, Journal of Lubrication Technology, pp.
375-383.
50. Hamrock B.J., Dowson D., 1976, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point
Contacts. Part IV – Starvation Results, Journal of Lubrication Technology, pp. 15-23.
51. Hamrock B.J., Dowson D., 1977, Isothermal Elastohydrodynamic Lubrication of Point
Contacts. Part III – Fully Flooded Results, Journal of Lubrication Technology, pp. 264-
276.
52. Heathcote H.L., 1921, The ball bearing: in the making, under test on service, Proc. Inst.
Auto. Engs., 15, pp. 569.
53. Hills D. A., Nowell D., Sackfield A., 1994, Mechanics of Elastic Contacts, Butterworth- Heinemann. Oxford.
54. Hooke R. 1685, Discourse of carriages before the Royal Society, on Feb. 25 1685. With a description of Stevin’s Sailing Chariot, made for the Prince of Orange. In Philosophical Experiments and Observations of the Late Emitent Dr. Robert Hooke, 150-167, 1726, London: W. Derham and J. Innys
55. Hunter S.C., 1961, The rolling contact of a rigid cylinder with a viscoelastic half-space, ASME, J. Appl Mech., Ser. E, 28, 611.
56. Hyun S., Pei L., Molinari J.-F., și M. O. Robbins, 2004, Finite-element analysis of contact between elastic self-affine surfaces, Phys. Rev. E, v. 70, pp. 12.
57. Ishlinsky A.Yu., 1956, On partial slip in rolling contact, (LR.) Izv. AN SSSR, OTN, 6, pp. 3-15.
58. Jäger J., 1998, A New Principle in Contact Mechanics, ASME J. Tribol., 120(4), pp. 677–
684.
59. Jin O., Mall S., 2004, Shear force effects on fretting fatigue behavior of Ti–6Al–4V Metall. Mater. Trans. A 35A, pp. 131–138.
60. Johansson L., 1994, Numerical Simulation of contact pressure evolution in fretting, Journal of Tribology, 116(2):247-54.
61. Johnson K.L., 1992, The application of shakedown principles in rolling and sliding contact, Eur. J. Mech., Part A : Solids 11 (Special Issue), pp. 155-172.
62. Johnson K. L., 1985, Contact Mechanics, Cambridge: Cambridge University Press.
63. Johnson K. L., Jefferis, J. A., 1963, Plastic flow and residual stresses in rolling and sliding contact. Proc. Institution of Mechanical Engineers Symposium and Rolling Contact Fatigue, London, p.50.
64. Johnson K.L., 1962, Tangential traction and microslip in rolling contact, in Rolling
Contact Phenomena, Bidwell, Elsevier, London, pp. 6.
65. Kalandiya A.I., 1975, Mathematical Methods of Two-Dimensional Elasticity, Mir, Moscow.
66. Kalker J.J., 1990, Three-Dimensional Elastic Bodies in Rolling Contact, Kluwer
Academic Publishers, Dordrecht.
67. Kalker J.J., 1991, Viscoelastic multilayered cylinders rolling with dry friction, ASME, J.
Appl. Mech., 58, pp. 666-679.
68. Kasarekar A. T., Bolander N. W., Saghedi F., Tseregounis S., 2007, Modeling of fretting wear evolution in rough circular contacts in partial slip. Int. J. of Mechanical Sciences,
49, pp. 690-703.
69. Kasarekar A. T., Saghedi F., Tseregounis S., 2008, Fretting fatigue of rough surfaces, Wear 264, pp. 719-730.
70. Keer L.M., și Goodman L.E., 1976, Tangential loading of two bodies in contact, ASME, J. Appl Mech., 42, pp. 513-514.
71. Khrushchov M.M., și Babichev M.A., 1970, Abrasive Wear, (LR.) Nauka, Moscow.
72. Kimura Y., Sekizawa M., Nitanai A., 2002, Wear and fatigue in rolling contact, Wear,
253, pp. 9-16.
73. Konvisarov D.V., și Pokrovskaia A.A., 1955, Influence of the radii of curvature of cylindrical bodies on their resistance to rolling under different loads, (LR.) Proc. Sib. Phys.-Tech. InsL, 34, pp. 62-79.
74. Korovchinsky M.V., 1967, Stress distribution in contact of elastic bodies under the normal and tangential load, (LR.) Mashinovedenie, 6, pp. 85-96.
75. Kragelsky LV., 1965, Friction and Wear, Butterworths, London.
76. Kravchuk A.S., 1980, To theory of contact problem with interfacial friction, J. Appl.
Math. Mech., pp. 44, 1, 122-129.
77. Kravchuk A.S., 1981, The solution of the 3-D contact problems with interfacial friction, Soviet Journal of Friction and Wear, 2, 4, pp. 589-595.
78. Lemaitre J., Chaboche J.L., 1994, Mechanics of Solid Materials, Cambridge University
Press.
79. Leonhard Euler, 1750, Sur le Frottement des Corps Solides, Mémoires de l'académie des sciences de Berlin, pp. 122-132.
80. Liu S., Wang Q., 2002, Studying Contact Stress Fields Caused by Surface Tractions with a Discrete Convolution and Fast Fourier Transform Algorithm, ASME- J.Tribol, 124, pp
36-45.
81. Lubrecht Ioannides S., 1991, A Fast Solution of the Dry Contact Problem and the Associated Subsurface Stress Field Using Multilevel Technique, ASME- J. Tribol.,113, pp.128-133.
82. Lur'e A.I., 1955, Three-dimensional Problems of the Theory of Elasticity, (LR.) Nauka, Moscow. (English translation by Radok, J.R.M., Interscience, 1964).
83. Mindlin R.D., 1949, Compliance of elastic bodies in contact, J. Appl. Mech., 16, 3, 259-
268.
84. Moore D.F., 1975, Principles and Applications of Tribology, Pergamon Press, London.
85. Morland L.W., 1962, A plane problem of rolling contact in linear viscoelasticity theory, ASME, J. Appl. Mech., 29, ser. E, 2, pp. 345-352.
86. Mossakovsky V.I., Kachalovskaya N.E. și Samarsky V.I., 1986, Contact problem with friction for the axisymmetric punch, in Mathematical Methods of Mechanics of Solid, (LR.) Nauka, Moscow, pp. 96-104.
87. Mossakovsky V.I., și Mishchishin LI., 1967, Rolling contact of elastic bodies, J. Appl
Math. Mech., 31, 5, pp. 870-876.
88. Mossakovsky V.I., și Petrov V.V., 1976, Influence of friction on microslip, Dokl. Akad.
Nauk SSSR, 231, 3, pp. 603-606.
89. Muki R., 1960, Asymmetric problems of the theory of elasticity for a semi-infinite solid and thick plate, in Sneddon, LN., and Hill, R. (Eds.) Progress in Solid Mechanics, North Holland, pp. 401-439.
90. Muskhelishvili N.I., 1949, Some Basic Problems of the Mathematical Theory of Elasticity, 3rd Edn., (LR.) Nauka, Moscow. (English translation by Radok, J.R.M., Noordhoff, 1953).
91. Nasser Sia Nemat, 2004, Plasticity – A Treatise of Finite Deformation of Heterogeneous
Inelastic Materials, Cambridge University Press, UK.
92. Nielsen J.B., 1999, Evolution of rail corrugation predicted with a non-linear wear model, J. Sound Vibr. 227, pp. 915–933.
93. Nielsen J.C.O., 2003, Numerical prediction of rail roughness growth on tangent tracks, in: Proceedings of the Seventh International Workshop on Railway Noise, Portland, Maine, October, 2001, J. Sound Vibr. 267, pp. 537–548.
94. Nishioka K., Hirakawa K., 1969, Fundamental investigations into fretting fatigue. Part 3, Bull. J.S.M.E. 12 (51), pp. 397–407
95. Nix K. J., Lindley T. C., 1988, The influence of relative slip range and contact materials on the fretting fatigue properties of 3.5NiCrMoV rotor steel, Wear 125, pp. 147–162.
96. Olaru D.N., 2003, Fundamente de lubrificație, Editura Gheorghe Asachi, Iasi.
97. Olofsson U., and Levis R., 2009, Wheel-rail interface handbook, Woodhead Publishing.
98. Patek S. N, Baio J. E., 2007, The acoustic mechanics of stick slip friction in the
California spiny lobster (Panulirus interruptus). J Exp Biol. 210(Pt 20):3538-46.
99. Patek S. N., 2001, Spiny lobsters stick and slip to make sound, Nature 411, 153-154.
100. Persson B. N. J., Bucher F., și Chiaia B., 2002, Elastic contact between randomly rough surfaces: Comparison of theory with numerical results. Phys Rev B, 65:184106.
101. Pinegin S.V., și Orlov A.V., 1961, Resistance to motion for certain types of free rolling, (LR.) Izv. AN SSSR, Mekhanika i Mashinostroenie, 3, pp. 91-97.
102. Polonsky I.A., Keer L., 1999, A Numerical Method to Solve Rough Contact Problems Based on Multi-Lvel Multi-Sumation and Conjugate Gradient Techniques, WEAR, 231, pp. 206-219.
103. Popov L. V., Contact Mechanics and Friction. Physical Principles and Applications, Springer Heidelberg Dordrecht London New York, 2010.
104. Popovici R., 2010, Friction in Wheel – Rail Contacts, Phd Thesis.
105. Poritsky H., 1950, Stresses and deflections of cylindrical bodies in contact with application to contact of gears and of locomotive wheels, J. Appl. Mech., 17, 2, pp. 191-
201.
106. Ren N., Lee S.C., 1993, Contact Simulation of Three-Dimensional Rough Surfaces Using
Moving Grid Method, ASME-J.Tribol,115, pp.597-601.
107. Reynolds O., 1875, On rolling friction, Phil. Trans. Roy. Soc, 166, pp. 155-175.
108. Reynolds O., 1886, On the Theory of Lubrication and Its Application to Mr. Beauchamp Tower's Experiments, Including an Experimental Determination of the Viscosity of Olive Oil. Philosophical Transactions of the Royal Society of London.
109. Shuangbiao L., Wang Q., Liu G., 2000, A versatile method of discrete convolution and
FFT (DC-FFT) for contact analyses, Wear 243, pp.101-111.
110. Spence D.A., 1973, An eigenvalue problem for elastic contact with finite friction, Proc.
Cambridge Philosophical Society, 73, pp. 249-268.
111. Standardul VDA 230 – 206, părțile 1 – 3.
112. Stowers I. F., Rabinowicz E., 1973, The mechanism of fretting wear, Journal of
Lubrication Technology, 95:65-70
113. Stribeck R., 1902, Die wesentlichen Eigenschaften der Gleit- und Rollenlager
(Characteristics of Plain and Roller Bearings), Zeit. des VDI 46.
114. Tabor D., 1952, The mechanism of rolling friction, Phil Mag., Ser. 7, 43, 345.
115. Tomlinson J.A., 1929, A molecular theory of friction, Phil. Mag., Ser. 7, 46, pp. 905-939.
116. Truman C. E., Sackfield A., Hills D. A., 1995, Contact mechanics of wedge and cone indenters. Int. J. Mech. Sci., 37 (3), pp. 261-175.
117. Tudor A., 1990, Contactul real al suprafețelor de frecare, Ed. Academiei, Bucuresti.
118. Tudor A., Pavelescu D., Mușat M., 1977, Tribologie, Editura Didactică și Pedagogică, București.
119. Urzică A., Balan R., Cretu S., 2010, Simulation methods of Gaussian surfaces, Bul. Inst.
Pol. Iasi, Tomul LVI (LX), Fasc. 4.
120. Urzică A., 2011, Cercetări privind influența microtopografiei asupra stării de tensiuni dezvoltate în contactele concentrate, Teză de doctorat.
121. Vasic G., Franklin F.J., Fletcher D.I., 2011, Influence of partial slip and direction of traction on wear rate in wheel-rail contact, Wear, 270, pp. 163-171.
122. Wang R.H., Jain V. K., Mall S., 2007, A non-uniform friction distribution model for partial slip fretting contact, Wear 262, pp. 607-616.
123. Westman R.A., 1965, Axisymmetric mixed boundary-value problems of the elastic halfspace, ASME J. Appl. Mech., Ser. E, 32, pp. 411-417.
124. Wu T.X. și Thomson D.J., 2005, An investigation into rail corrugation due to micro-slip under multiple wheel/rail interactions, Wear, 258, pp. 1115-1125.
125. http://en.wikipedia.org
126. http://quakeinfo.ucsd.edu
127. http://www.phys.unsw.edu.au/
128. www.belotti-online.it
129. www.chemistryviews.org
130. www.mbdynamics.com
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Contributii Privind Analiza Solicitarii de Contact Elastic Plastic cu Frecare (ID: 162221)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.