CONTRIBUȚII PRIVIND ANALIZA ANGRENAJELOR [622511]

UNIVERSITATEA TEHNICĂ “GHEORGHE ASACHI” DIN IAȘI
FACULTATEA DE MECANICĂ

CONTRIBUȚII PRIVIND ANALIZA ANGRENAJELOR
CU ROȚI DINȚATE EVOLVENTICE CU BOMBAMENT ȘI FLANCA RE

Rezumat

Ing. Pop Nicolae
Conducător de doctorat: prof. univ. dr. ing. Spirid on Crețu

IAȘI, 2018

CONTRIBUȚII PRIVIND ANALIZA ANGRENAJELOR
CU ROȚI DINȚATE EVOLVENTICE CU BOMBAMENT ȘI FLANCA RE

Rezumat

Ing. POP NICOLAE

domeniul INGINERIE MECANICA

Președinte comisie doctorat: prof. univ. dr. ing . Paul Bârsănescu
Conducător de doctorat: prof. univ. dr. ing. Spiridon Crețu
Referenți oficiali: prof. univ. dr. ing. Andrei Tudor
prof. univ. dr. ing. Gheorghe Mogan
prof. univ. dr. ing. Laurențiu Slătineanu

IAȘI 2018

1

Cuprins
1. Stadiul actual al cercetărilor privind angrenajele cu roți dințate cilindrice evolventice cu
dinți drepți ……………………………….. …………………………………………… …………………………….5
1.1 Transmisii mecanice. Tendințe actuale …………. …………………………………………… ……..5
1.2 Definiții și notații ………………………… …………………………………………… …………………..5
1.3 Forțe în angrenaje ………………………….. …………………………………………… ………………..5
1.4 Moduri de distrugere ale angrenajelor …………. …………………………………………… ………7
1.5 Modificări ale danturii ……………………… …………………………………………… ………………8
1.6 Modelul actual folosit pentru contactul între flanc urile dinților roților dințate
cilindrice cu profil evolventic și dinți drepți … …………………………………………… ……….9
Concluzii: …………………………………. …………………………………………… …………………………. 13
Direcții de cercetare ……………………….. …………………………………………… ……………………… 13
2. Contactul elastic concentrat …………………. …………………………………………… ………………….. 14
2.1 Ecuația geometrica a contactului normal ……….. …………………………………………… ….. 15
2.2 Ecuația integrala a contactului elastic normal …. …………………………………………… ….. 15
2.3 Contactul liniar hertzian ……………………. …………………………………………… ……………. 16
2.4 Domeniul de contact. Presiunea maxima 0σ ………………………………………….. ……….. 16
3. Contactul elastic concentrat nehertzian ……….. …………………………………………… …………….. 17
3.1 Formularea analitica a problemelor de contact conce ntrat nehertzian …………………… 18
3.2 Formularea numerica a problemelor de contactul elas tic concentrat nehertzian ……… 19
Concluzii ………………………………….. …………………………………………… …………………………. 22
4. Determinarea matricii de separație și modelarea rep artiției sarcinii pe profilul evolventic
al flancului dinților ……………………….. …………………………………………… ……………………….. 23
4.1 Matricea de separație pentru studiul contactului în tre flancurile roților dințate
cilindrice cu dinți drepți și profil evolventic … …………………………………………… …….. 23
4.2 Modelarea distribuției sarcinii pe profilul dintelu i …………………………………………. …. 26
Concluzii. …………………………………. …………………………………………… …………………………. 27
5. TCA pentru angrenaje cilindrice standard cu dinți d repți ……………………………………… ……. 27
5.1 Angrenaje cu roți dințate cilindrice standard – efe ctul de capăt …………………………… 27

2
5.2 Soluții constructive utilizate pentru atenuarea efe ctului de capăt…………………………. 30
5.3 Modificarea prin teșirea flancurilor dinților ….. …………………………………………… …… 34
Concluzii ………………………………….. …………………………………………… …………………………. 37
6. Contactul liniar real –problema de sfert de spațiu …………………………………………… ……….. 37
6.1 Limite ale metodelor semianalitice derivate din teo ria semispațiului elastic ………….. 37
6.2 Abordarea Hetenyi a problemei contactului concentra t în cazul sfertului de spațiu
………………………………………….. …………………………………………… ……………………… 38
6.3 Abordarea de Mul și completarea Guilbault a problem ei sfertului de spațiu ………….. 38
6.4 Algoritmul de calcul…………………………. …………………………………………… …………… 39
6.5 Validarea modelului SAM-C ……………………. …………………………………………… …….. 39
6.6 Utilizarea SAM-C pentru determinarea distribuției de presiuni între flancurile
angrenajelor cilindrice cu dinți drepți. ………. …………………………………………… ……… 43
Concluzii ………………………………….. …………………………………………… …………………………. 46
7. Contribuții privind prelucrarea roților dințate cil indrice cu profil evolventic cu axe
paralele cu bombament sau flancare ……………. …………………………………………… …………… 47
7.1 Simularea procesului de prelucrare a danturii drept e cu profil evolventic prin
generare …………………………………… …………………………………………… …………………. 47
7.2 Considerații privind procesul tehnologic de fabrica ție al roților dințate ……………….. 50
7.3 Obținerea modificărilor liniei flancului în procese le de finisare prin rectificare …….. 50
8. Concluzii și direcții de cercetare ……………. …………………………………………… ………………… 52
8.1 Concluzii ………………………………….. …………………………………………… ………………… 52
8.2 Contribuții originale ……………………….. …………………………………………… …………….. 54
8.3 Direcții de cercetare viitoare………………… …………………………………………… …………. 54
Bibliografie ……………………………….. …………………………………………… ……………………………… 55

3
Introducere

Solicitarea de contact concentrat cu rostogolire ap are drept solicitarea decisivă pentru fiabilitatea,
respectiv durabilitatea, unor organe de mașini prec um: rulmenți, angrenaje, interfața roată-șină
(material rulant). Procesele care duc la distruger e sunt determinate de cauze diverse: uzură
adezivă, uzură abrazivă, oboseala materialului. Obo seala de contact ( rolling contact fatigue –
RCF) conduce la deteriorarea stratului superficial, fiind forma finală de distrugere atunci când
griparea este evitată printr-o lubrificație adecvat ă, iar alte forme de oboseală precum încovoierea
dinților la bază, dar și ruperea statică, au putut fi evitate încă din faza de proiectare. Oboseala de
contact este puternic influențată de prezența conce ntratorilor de tensiuni: de adâncime (incluziuni
nemetalice etc…) sau de suprafață (microtopografi a neadecvată regimului de lubrificație). Un rol
major îl are modul de repartizare a sarcinii. Preze nța vârfurilor în distribuția de presiuni determină
reducerea drastică a durabilității la oboseală de c ontact.
Capitolul 1 al tezei prezintă stadiul actual în dom eniul angrenajelor cu dinți drepți, cu prezentarea
sintetică a elementelor privind geometria, cinemati ca, modurile de deteriorare, metodologia de
proiectare și verificare.
In cazul roților dințate cilindrice cu dinți drepți , îmbunătățirea distribuției neuniforme a sarcinii
normale se poate realiza prin modificarea flancului dinților, cele mai cunoscute modificări fiind
bombamentul și flancarea. Deși standardele internaț ionale conțin recomandări de alegere a para-
metrilor modificării flancului, acestea sunt în lim ite largi fără a exista posibilitatea de optimizare .
Criteriul utilizat la determinarea relațiilor de pr oiectare și de verificare este rezistența la obosea la
de contact, respectiv comparația tensiunii hertzien e corectată cu o serie factori, cu o valoare ad-
misibilă. În cadrul tezei, sunt menționate motivele de considerare a tensiunii echivalente von
Mises drept tensiune critică pentru oboseala de con tact. Pentru calculul tensiunii von Mises critice
este necesară cunoașterea stării elastice pe supraf ața de contact și în adâncime pe porțiunea solic-
itată semnificativ.
Capitolul 2 este dedicat prezentării succinte a sol icitării de contact elastic concentrat. Se foloseșt e
ca punct de pornire vectorul deplasare dat de ecuaț ia lui Lame ́ din teoria semispațiului elastic.
Scopul urmărit a fost că pentru cazul încărcării cu o sarcină normală, distribuită pe un domeniu al
frontierei semispațiului, să obținem relațiile de c alcul pentru cele trei componente ale vectorului
deplasare. În continuare, se utilizează relațiile g enerale dintre componentele tensorului deformație
și cele ale vectorului deplasare ale teoriei elasti cității, iar componentele tensorului tensiune se
obțin prin considerarea legăturii tensiune – deform ație dată de legea lui Hooke generalizată. Pentru
contactul liniar se obțin relații direct calculabil e, deduse inițial de Hertz, iar pentru contactele
punctuale integralele obținute nu au primitive decâ t în cazuri cu totul particulare.
În capitolul 3, problema contactului nehertzian est e soluționată numeric folosind un algoritm rapid
bazat pe metoda coeficienților de influență. Sistem ul de ecuații obținut poate avea până la câteva
sute de mii de ecuații algebrice liniare. Rezolvare a acestui sistem s-a realizat iterativ cu metoda

4
gradienților conjugați. Algoritmul și codul derivat au fost validate prin comparații cu date furni-
zate analitic (contacte hertziene) sau obținute pri n Metoda de Analiză cu Elemente Finite (contacte
nehertziene) de un colectiv neutru de mare prestigi u, rezultate publicate în Journal of Tribology .
Capitolul 4.1 prezintă relația analitică obținută p entru funcția separație corespunzător contactului
între flancurile celor două roti. În relația finală a separației, au fost incluse, atât mărimile
corespunzătoare unei eventuale modificări pe lungim ea flancului prin bombament sau flancare,
cât și modificările determinate de abaterile de la paralelism generate de deformația arborilor la
încovoiere.
Capitolul 4.2 tratează problema modelării repartiți ei sarcinii pe profilul dintelui scop în care
apelează la o abordare actuală – energia potențială minimă.
Capitolul 5 analizează distribuțiile de presiuni, a riile de contact și distribuția 3D a tensiunilor vo n
Mises pentru un angrenaj standard fără modificări d e profil și angrenaje cu profilul modificat prin
bombament ( crowning ) sau flancare ( endrelief ). Se analizează avantajele și limitele modificăril or
posibile.
Capitolul 6 tratează contactul liniar cu lungime fi nită ca pe o problemă de sfert de spațiu. Este
folosită o metodă modernă, prezentată în 2011-2015. În cadrul tezei este dezvoltat un algoritm de
considerare în codul prezentat în capitolul 5 și a lungimii finite a flancului dinților. Comparația
realizată cu rezultate obținute de autorii corecție i a validat algoritmul corectat și a condus în con-
tinuare la câteva observații utile în privința modu lui de construire a rețelei de discretizare.
Capitolul 7 este dedicat posibilităților tehnologic e de realizare a soluțiilor propuse pentru modi-
ficările de profil.
Capitolul 8 prezintă sintetic concluziile generale, contribuțiile originale și direcțiile posibile de
continuare a cercetărilor.

5
1. Stadiul actual al cercetărilor privind angrenajele cu roți dințate cilindrice
evolventice cu dinți drepți
1.1 Transmisii mecanice. Tendințe actuale
Transmisiile mecanice cu roți dințate sunt folosite pe scara largă într-o mare varietate de domenii
industriale. Roțile dințate sunt folosite de peste 3000 de ani (Dudley, 1994).
Transmisiile cu roți dințate sunt unele dintre cele mai folosite datorită avantajelor pe care le pre-
zintă. Printre acestea se numără durabilitatea mare , randament ridicat, siguranță în funcționare și
durabilitate superioară altor transmisii și gabarit ul redus. Angrenajele pot asigura transmiterea
mișcării între arbori cu axele dispuse în poziție o arecare în spațiu. Un alt avantaj este reprezentat
de gama largă de puteri transmise și a raportului d e transmitere mediu. Ca și dezavantaje tehno-
logice pot fi reținute costul mare, tehnologia de o bținere complicată iar din punct de vedere
funcțional, zgomotele și vibrațiile (Paizi, 1977), (O.I.D.I.C.M, 1997).
Tendințele actuale în proiectarea angrenajelor cu r oți dințate sunt reducerea costului, reducerea
zgomotului și vibrațiilor în funcționare și creșter ea perioadei de exploatare. În domeniul transpor-
turilor dar și în alte industrii reglementările cu privire la zgomot sunt din ce în ce mai restrictive
(Brumm, 2002). Reducerea gabaritului și masei rămâ ne ca și direcție în dezvoltarea viitoare a
angrenajelor ceea ce implică creșterea capacitații portante. În acest sens se dezvolta noi materiale
și metode de tratament termic. În prezent cca. 90% din rotile dințate produse în Europa și SUA
sunt fabricate din oteluri de cementare (Niemann, 2 003). În ceea ce privesc costurile de producție
se urmărește în continuare reducerea lor prin reduc erea consumului de materiale și dezvoltarea de
noi metode de prelucrare ale roților dințate.
Cu toate că dezvoltarea în domeniul informatic, al electronicii de putere și electromecanicii per-
mite realizarea de motoare electrice la turații și puterii convenabile utilizării, cel puțin pe termen
scurt exista tendințe de creștere a pieței transmis iilor mecanice cu roți dințate atât în cele mai
importante piețe din Europa cât și în Statele Unite ale Americii, creșterea anuala estimata fiind de
peste 5% anual pentru următorii ani (Kremar, 2013).
1.2 Definiții și notații
Definițiile și termenii pentru noțiunile generale d in geometria și cinematica angrenajelor sunt sta-
bilite prin standarde naționale și internaționale. Pe parcursul acestei lucrări unele definiții au fos t
simplificate.
Transmisia mecanică este un ansamblu cinematic de elemente constituite în scopul transmiterii
energiei mecanice și mișcării cu sau fără transform area acesteia (O.I.D.I.C.M, 1997). Pe parcursul
acestei lucrări vor fi folosit notațiile utilizate în standarde (ISO 21771, 2007)
1.3 Forțe în angrenaje
Transmiterea mișcării și energiei mecanice în angre naje se face de la roata conducătoare la roata
condusă, prin intermediul dinților conjugați aflați în angrenare. În cazul angrenajelor cu roți
dințate cilindrice cu axe paralele și profil evolve ntic, direcția forței de angrenare este în planul d e
angrenare tangent la cilindrii de baza ai celor dou ă roti.
1.3.1 Forțe nominale
Forța de angrenare generată de momentul de torsiune transmis arborelui de intrare este forța nor-
mala .nFcu direcție normala la flancurile dinților conjugaț i în contact:
1
1t
n
bMFr= (1.1)

6
1.3.2 Forțe reale
Transmiterea energiei mecanice în angrenaje prin in termediul dinților este însoțită de fenomene
fizice generatoare de sarcini suplimentare – suprasarcini .
Forța tangențială efectivă se determină separat pen tru solicitarea de contact la flancurilor dinților:
tHef tH A V H HF F K K K Kβ α= (1.2)
și pentru solicitarea la încovoiere a dinților:
tFef tF A V F FF F K K K Kβ α= (1.3)
unde factorii sunt adoptați potrivit recomandărilor din standarde.
1.3.3 Forțe dinamice exterioare
Neconcordanțele între caracteristicile mașinii cond ucătoare și cele ale mașinii conduse se mani-
festă asupra angrenajului sub forma unor sarcini di namice. Pentru a lua în considerare efectele
acestor sarcini, în calculele de dimensionare ale a ngrenajului se folosește factorul sarcinii
dinamice exterioare AKsupraunitar.
1.3.4 Repartiția neuniformă a încărcării pe lățimea dinți lor
In calculele de dimensionare, se folosește factorul de repartiție longitudinala a sarcinii FKβpentru
rezistența la încovoiere și HKβpentru calculul de rezistență la solicitarea de con tact, ca și raport
între sarcina specifica maxima maxwsi sarcina specifica medie medw
max
, 1H F
medwKwβ β= >
(1.4)
Factorul distribuției longitudinale a sarciniiHKβ ține cont de efectele produse de distribuția neu-
niformă a sarcinii și se definește ca raportul dint re nivelul maxim al sarcinii pe unitatea de lățime
a danturii și sarcina medie:
max Sarcina maxima
Sarcina medie H
mF
bKF
bβ   = =
(1.5)
ISO 6336 prevede trei metode de determinare a facto rului tensiunii de contact.
1.3.5 Repartiția frontală a sarcinii
Distribuția forței normale este influențată de eror ile de execuție ale roților și în special de eroril e
de pas. Pentru a compensa aceste erori se folosește un factor de corecție numit factorul de dis-
tribuție frontală a sarcinii Kα.
1.3.6 Cauzele distribuirii neuniforme a sarcinii
Distribuirea sarcinii pe flancul dintelui este depe ndentă de factori independenți de sarcină – abateri
și erori de fabricație – și factori dependenți de s arcina aplicată – deformații elastice ale elementel or
componente.
Observație: O soluție pentru compensarea distribuir ii neuniforme a sarcinii pe flancul dintelui
datorate deformațiilor este adoptarea modificărilor danturii fără a fi necesară supradimen-
sionarea.

7
1.4 Moduri de distrugere a angrenajelor
Modurile de distrugere a danturii sunt specificate și descrise în standard, dar și în literatura de
specialitate. (Dudley, 1994)
1.4.1 Deteriorări datorate fenomenului de oboseala de con tact RCF. Propunere de
clasificare.
RCF încorporează o gamă largă de fenomene și proces e dar pentru care încă nu s-a reușit o clas-
ificare standardizată a termenilor. Considerând cla sificările propuse anterior de Littman (1970) și
Olver (2005), Santus (2012) concluzionează: RCF se poate manifesta prin patru forme distincte
de deteriorare:
• Case crushing : RCF dezvoltat la suprafețele durificate superfici al.
• Spalling : RCF cu originea sub suprafața de contact la adâ ncimi de /g466610 − 135 /g4667/g2020/g1865.
• Pitting : RCF cu originea pe suprafața de contact.
• Micropitting : RCF cu originea în stratul imediat sub suprafaț a de contact ( ~10) /g2020/g1865.
Pitting-ul se manifestă în suprafața de contact după un anumi t număr de cicluri. În faza
incipientă, apar ciupituri cu diametre de 0.05 mm.
Spalling-ul este similar cu pitting-ul , are originea în adâncime. Ciupiturile sau urmele de
material îndepărtat sunt neuniforme și mult mai mar i (0.2..1mm).
Micropitting-ul este, de asemenea, o manifestare a oboselii de con tact și are loc datorită
unui film de lubrifiant prea subțire. Prima dată ap are în zona de picior a roții conducătoare.
(Houser, 2016), (Kissling, 2012), (Dwyer-Joyce, 199 0), (Sheng, 2015), (Al-Tubi, 2015), (Clarke,
2016).
Spargerea învelișului dur (case crushing ) – este o formă de oboseală de contact care
apare datorită supraîncărcării roților durificate p rin nitrurare, cementare sau călire prin inducție.
1.4.2 Prevenirea defectării angrenajelor
Angrenajele se defectează, în principal, din trei c auze: eroare de proiectare, eroare de operare,
eroare de fabricație.
Erorile de proiectare se datorează geometriei nepotrivite, alegerii greș ite a materialului și/sau
tratamentului termic, calității, ungerii sau altor specificații. Tabelul 1-1 Potențialele cauze care pot conduce la defectarea angrenajelor
Proiectare Prelucrare Instalare Mediu Funcționare
Tipul de angrenaj
Configurație
Forma dintelui
Profilul roților și
arborilor
Lăgăruirile
Forma carcasei
Sistem de ungere
Vibrațiile Precizia și jocul
Bătăi, echilibrare,
ajustaje
Carcasa
Asamblarea Rigiditate
Dezaxarea
Ungere
Monitorizare
Fixarea Ventila ție, agenți
corozivi
Temperatura
Apă
Curățenie Rodaj
Parametrii de
funcționare
Suprasarcină
Solicitări parazite
Porniri

8
Erorile de aplicație se datorează vibrațiilor, rigidizării si/sau asamb lării, răcirii și întreținerii.
Erorile de fabricație consistă în erori de formă la prelucrare sau dator ate tratamentului termic.
Dintre cauzele de defectare prezentate anterior, o mare parte sunt cauză sau efect al distribuirii
neuniforme a sarcinii pe flancul dintelui. Măsurile de prevenire sunt fie supradimensionarea an-
grenajelor deoarece o distribuire neuniforma genere ază suprasarcini la încovoiere și contact și
suprasarcini dinamice, fie modificări ale direcției , profilului sau ambelor pentru a reduce su-
prasarcinile și reducerea erorilor de angrenare, re spectiv modificarea contactului de tip liniar în
(Litvin, 2004):
– contact punctual;
– contact liniar modificat
1.5 Modificări ale danturii
Modificarea danturii constă în schimbarea geometri ei profilului sau direcției flancurilor dinților
față de geometria standard obținută cu ajutorul scu lei de danturat. Obiectivul urmărit poate fi
creșterea unor performanțe sau limitarea influențel or unor factori cinematici sau geometrici ai
angrenajelor reale.
1.5.1 Flancarea
Flancarea reprezintă abaterea de la profilul evolve ntic al dintelui, pe direcția acestuia cu
scopul compensării efectului încovoierii dintelui ș i atenuarea șocurilor la intrarea în angrenare. În
practica cele mai des întâlnite modificări ale prof ilului dintelui sunt flancările de cap aplicate atâ t
pinionului cât și roții și bombarea profilului, de obicei al roții.
1.5.2 Bombamentul
Bombarea dintelui are ca scop evitarea concentrării tensiunilor de contact la capetele dinților da-
torate deformațiilor arborilor, carcasei, lagărelor , erorilor de execuție ale tuturor elementelor din
angrenaj care pot produce deviații ale pozițiilor r elative ale flancurilor dinților.
Pentru angrenaje obișnuite se recomanda o mărime a modificării 0,025 cβ<(ISO 6336, 2016)
Fig. 1-1 Bombare și flancare
cl
crb b
ccβ

9
1.6 Modelul actual folosit pentru contactul între flanc urile dinților roților
dințate cilindrice cu profil evolventic și dinți dr epți
Pentru efectuarea calculului de rezistenta la obose ala de contact manualele și îndrumătoarele de
proiectare (Gafitanu, et al., 1983), (Radulescu, et al., 1986), (Shiegley, 2005) prezintă relații care
se bazează pe următoarele ipoteze admise de standar dele naționale și internaționale (DIN 3690,
1987), (ISO 6336, 2016):
– Flancurile dinților în contact sunt doi cilindrii a le căror raze sunt egale cu razele de
curbură ale flancurilor în punctul de contact;
– Materialele din care sunt fabricate cele două roți sunt omogene și izotrope, fiind caracter-
izate de modulul lui Young și coeficienții Poisson;
– Între flancurile dinților nu există lubrifiant.
– Suprafețele flancurilor sunt netede.
1.6.1 Contactul real
Datorită abaterilor geometrice și modificărilor rel ative de poziție și formă datorate deformațiilor
tuturor elementelor componente ale angrenajului, co ntactul între flancurile dinților nu mai are loc
după o dreaptă, iar distribuția sarcinii nu mai est e uniformă. Pentru compensarea acestor fe-
nomene, sunt introduși în calculul de dimensionare coeficienți de corecție atât pentru distribuția
frontala HKαcât și pentru distribuția longitudinală a sarciniiHKβ.
1.6.1.1 Distribuția longitudinală a sarcinii pe flancul din telui

Fig. 1-2

Fig. 1-3
Sub acțiunea forței de angrenare se produc deforma ții ale componentelor angrenajului și, în spe-
cial, deformații ale arborelui (ISO 6336, 2016) Fig . 1-3a. O măsură acceptată pentru compensarea
efectelor dezaxărilor în limite mici (20 mµ) este bombarea profilului (sau bombamentul) descri se
în subcapitolele anterioare Fig. 1-3b
NFHfβNF
a
b

10
1.6.2 Relațiile și metodica de dimensionare a angrenajelo r cilindrice cu profil evolventic
și axe paralele
Dimensionarea angrenajelor se face pe baza datelor inițiale în funcție de care, pe baza recoman-
dărilor, se adoptă valori ale coeficienților specif ice aplicației.
1.6.2.1 Calculul de predimensionare
Distanța între axe se determină din condiția de rez istență la oboseală de contact (ISO 6336,
2016), criteriul fiind bazat pe tensiunea hertziană H HPσ σ≤ :
1
23
14 cos( 1)2 cost A V H E H
w
a HP wM K K K Z Z Za iiβ εα
ψ σ α     ±       ≥ (1.6)
Distanța între axe se adoptă la valori standardizat e.
1.6.2.2 Calculul de dimensionare
In această etapă, se calculează și se adopta modulu l normal din condițiile de rezistență la încov-
oiere la baza dinteluiH FPσ σ≤ :
( )
21t A V F F
n
a w FPM i K K K K Y Y Ymaα β β ε
ψ σ±≥ (1.7)
1.6.2.3 Calculul solicitării la piciorul dintelui
Modelul adoptat pentru solicitarea de încovoiere la baza dintelui este de grindă încastrată, iar ca
solicitare se consideră forța normală care acționea ză asupra dintelui la ieșirea din angrenare.
1,2
1,2t A V F F
F FpF K K K K Y
b mα βσ σ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅= ≤⋅ (1.8)
unde Fpσ este rezistența admisibilă pentru solicitarea de încovoi ere la oboseală la piciorul din-
telui:
limF FN Fx S
Fp
FK Y Yσσσ⋅ ⋅ ⋅= (1.9)
1.6.2.4 Calculul solicitărilor de contact ale flancurilor
In standarde precum ISO 6336, forma finală a tensiu nii efective de contact este:
1
2
lim
11t H
HC M H A V H Hp HN R W
HFiZ Z Z K K K K K Z Zb d i Sε β ασσσ ≤  += ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅  ⋅  (1.10)
unde:
HCσ- tensiunea hertziană maxim pentru contact în polul angrenării;
1.6.3 Concluzii privind necesitatea abordării numerice a problemelor de contact la
roți dințate
• Metodele actuale de proiectare a roților dințate ad mit tensiunea hertziană ca și tensiune
critica în elaborarea relațiilor de proiectare și v erificare H HPσ σ≤ .
• Relațiile actuale de dimensionare și proiectare a r oților dințate consideră distribuția neu-
niformă a sarcinii pe flancul dinților prin coefici enți de influență ale căror valori sunt

11
precizate în normative și standarde în limite largi . Acest lucru poate conduce la supradi-
mensionarea angrenajelor 1HKβ> .
• Repartiția neuniformă a sarcinii pe flancurile dinț ilor roților dințate cilindrice cu dinți
drepți cu prezența de vârfuri periculoase în zonele de capăt, poate fi eliminată prin modi-
ficarea contactului liniar în contact punctual – bombament sau în contact liniar modificat
– flancare .
• Metodologia de proiectare a roților dințate nu perm ite obținerea distribuției sarcinii pe
flancul dinților.
1.6.1 Ipoteze actuale privind criteriile de distrugere pr in oboseala de contact
RCF poate avea originea la (2.5…5) µm de la suprafa ță sau într-un strat sub-superficial la
adâncimi de (25…135) µm, (Santus, 2012), (Nelias, 1 999), (Harris, 2007), (Sadeghi, 2009). Se
admite că valoareazzσ este solicitarea critică pentru RCF în cazul roțil or dințate (ISO 6336 1..5).
La suprafațamax (0,0, 0)H ZZ ZZσ σ σ= = și scade abrupt cu adâncimea Fig. 1-4 și, ca urmare , nu
poate susține RCF cu origine sub suprafața de conta ct. În plus, Hσ nu ține cont de factorii reali
cum ar fi erorile de aliniere (Fig. 1-4).
Ca și alternative sunt considerate tensiunile 45τ sau tensiunea von Mises vMσ, Fig. 1-4 b ca fiind
responsabile pentru inițierea RCF (Popinceanu, 1981 ), (Ioannides, 1999), (Harris, 2007), (Zu,
2009), (Morales, 2015, 2018).

Ecuația (1.11) pentru tensiunea echivalenta von Mis es reflectă contribuția fiecărei componente a
tensorului tensiune:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1/22 2 2 2 2 2
vM1, , 6
2xx yy yy zz zz xx xy yz zx x y z σ σ σ σ σ σ σ τ τ τ   = − + − + − + + +    (1.11)

Fig. 1-4 Starea de tensiuni în jurul axei zonei de contact: a) tensiune normal, b) tensiune critica pe ntru RCF, (con-
tact punctual cu raportul semiaxelor elipsei Hβ = 0,05) b a

12
Popinceanu et al. a realizat o analiză comparativă a diferitelor elemente ale tensorului tensiune,
considerate ipotetic tensiuni critice pentru RCF și a concluzionat că tensiunea echivalentă von
Mises, derivată din ipoteza energetică, asigură cea mai bună corelație cu alte rezultate teoretice și
cu rezultatele experimentale. Valoarea maximă a ten siunii von Mises se obține sub suprafața de
contact, dar o valoare importantă există și la supr afață (Popinceanu, 1981).
Mărimea tensiunii pentru fiecare unitate de volum e lementară din volumul încărcat semnificativ
este importantă pentru studiul RCF și evaluarea dur atei de viață (Ioannides, 1985, 1999), (Dwyer-
Joyce, 1990), (Zu, 2009), (Morales, 2015, 2018).
Ioannides și Harris propun un model statistic tip W eibulll bazat pe tensiuni echivalente pentru
studiul RCF. Pentru fiecare element de volum infini tezimal mic din volumul încărcat semnificativ,
abordarea Ioannides-Harris ia în considerare probab ilitatea S ca elementul infinitesimal mic să
reziste după numărul N de cicluri de solicitări la contact:
( ) 1ln ~ dc
eq u
Ve
hN VS zσ σ −
′ ∫∫∫ (1.12)
unde eqσ este solicitarea echivalenta în elementul de volum infinitezimal mic, uσ este limita so-
licitării de oboseală, c este exponentul tensiunii critice, z' este media ponderata a adâncimii, h
este exponentul adâncimii, e este panta Weibull iar V este volumul solicitat semnificativ. Con-
stantele de material uσ , e, c și h trebuiesc determinate experimental (Olssen, 2016).
Valoarea maximă operațională a tensiunii echivalent e von Mises poate să fie întâlnită la suprafața
flancului sau în adâncime, în funcție de rugozitate a suprafeței, condițiile de ungere, nivelul de
contaminare etc., (Nelias, 1999), (Morales, 2015, 2 018), (Zhu, 1991, 2001, 2016).
In present, sarcina dinamică de baza a rulmenților se calculează pe baza ipotezei tensiunii echiv-
alente von Mises drept tensiune critică pentru RCF (Harris, 2007), (Ioannides, 1999).
Zaretsky propune un model de evaluare a durabilităț ilor contactelor cu rostogolire care folosește
o formă simplificată a relației (1.20) (Zaretsky, 1 987).
Adoptând, pentru contactele concentrate cu suprafeț e rugoase, modelul de lubrificație 3D liniar
elaborat de Ren et al. (2009), Zhu Dong et al. (20 10), folosesc tensiunea von Mises în relația
(1.12) pentru a prezice durata de viață până la apa riția pittingului în regim de ungere elasto-hidro-
dinamic mixt. Admițând funcția de repartiție Weibul l, valorile durabilităților L 50 determinate cu
modelul dezvoltat au fost apreciate ca fiind în aco rd cu valorile obținute experimental în urma
încercării la fiabilitate a 15 loturi de roți dința te, (Zhu Dong et al. 2010).
În vederea stabilirii coeficienților necesari aprec ierii durabilității angrenajelor folosind tensiunea
echivalentă, a fost desfășurat un vast program de c ercetări teoretice și experimentale, prezentat în
(Epstein et al., 2003). Pentru a evalua durata de v iață RCF Morales-Espejel et al folosesc tensiunea
echivalentă von Mises în modelul general elaborat p entru mecanismul de distrugere RCF, la su-
prafață sau în substrat (Morales-Espejel et al, 201 5, 2018).
Diminuarea efectelor erorilor de aliniere se face p rin modificări ale direcției dinților cum ar fi
bombarea și flancarea, aplicate cu scopul de a modi fica poziția inițială a liniei de contact (ISO
6336 2016 1..5), (Johnson, 1985), (Litvin, 2004).
Analiza cu elemente finite (FEM) s-a dovedit a fi c onsumatoare de timp în cazul problemelor de
contact concentrat. În consecință au fost dezvoltat e metode semi-analitice (SAM) pentru deter-
minarea distribuției de presiuni, ariei de contact și stării de tensiuni în cazul contactului concentr at
nehertzian (Siang, 2016), (Polonski, 2000), (Crețu, 1996, 2003, 2005, 2017), (Zhu, 2012), (Hu,
1999), (Guilbault, 2011, 2015), (Pop, 2017).

13
Concluzii:
• Există tendințe de creștere ușoară, în viitorul apr opiat, a pieței roților dințate și a pieței
transmisiilor mecanice
• Direcțiile de cercetare în domeniul angrenajelor su nt îndreptate spre reducerea zgo-
motului și vibrațiilor prin optimizarea contactului între flancuri și compensarea erorilor
de angrenare și a suprasarcinilor prin modificări a le profilului și direcției dinților.
• Standardele în vigoare recomanda metode de calcul a le deformațiilor elementelor an-
grenajelor și oferă recomandări pentru adoptarea un or coeficienți în vederea compensării
acestora. Recomandările oferite de standarde sunt a coperitoare dar pot conduce la supra-
dimensionarea angrenajelor.
• In literatura de specialitate studiată, numeroși au tori prezintă metode de calcul ale de-
formațiilor elementelor angrenajelor care cauzează distribuirea neuniformă a sarcinii pe
flancul dinților dar nu a fost identificată o metod ă robustă.
• Metodica actuală de calcul a angrenajelor este baza tă pe teoria lui Hertz și nu poate ex-
plica:
o inițierea deteriorării din adâncime;
o efectul de capăt;
o influența existenței unei stări de tensiune remanen tă asupra durabilității;
o nu poate stabili valori optime pentru modificările de profil și direcție ale flancului.
Aceste lipsuri pot fi compensate prin abordarea num erică bazată pe adoptarea unei noi tensiuni
critice pentru oboseala de contact.
Direcții de cercetare
In urma studiului literaturii de specialitate dispo nibile despre metodele de optimizare a contactului
între flancurile dinților roților dințate cilindric e cu profil evolventic, am identificat zone încă in –
suficient studiate despre modificări ale danturii ș i ale efectelor acestora asupra distribuției sarcin ii
pe flancul dinților.
In cadrul tezei de doctorat mi-am propus:
• Soluționarea și furnizarea de informații asupra met odelor de atenuare a efectelor dis-
tribuției neuniforme a sarcinii pe flancurile dinți lor;
• Elaborarea unui model parametrizat de roată dințată cu flancare și bombament.
• Dezvoltarea unei metode numerice de cercetare a con tactului nehertzian cu aplicații
la contactul flancurilor roților dințate cu dinți d repți;
• Efectuarea de cercetări teoretice și analize numeri ce privind optimizarea parametrilor
care definesc bombamentul flancurilor roților dința te cu dinți drepți pentru optimi-
zarea distribuției sarcinii;
• Validarea rezultatelor obținute pe cale teoretică ș i analiză numerică.
• Analizarea și precizarea posibilităților tehnologic e de realizare a modificărilor flancu-
lui pe direcție longitudinală propuse.
Cu mici excepții în cazul contactelor concentrate r eale, nu există posibilitatea soluționării
analitice până la forme direct calculabile ale pent ru mărimile specifice:
– forma și mărimea ariei de contact;
– distribuția de presiuni;
– starea de tensiuni.

14
2. Contactul elastic concentrat
Capitolul 2 este dedicat prezentării so-
licitării generale de contact elastic con-
centrate, astfel încât solicitările de con-
tact hertzian, punctual sau liniar, să
reprezinte cazuri particulare.
Se folosește ca punct de pornire vec-
torul deplasare dat de ecuația lui Lame
din teoria semispațiului elastic a elas-
ticității liniare. Astfel, pentru cazul
încărcării cu o sarcină normală dis-
tribuită Fig. 2-1 pe un domeniu al fron-
tierei semispațiului elastic, se prezintă
modul de obtinere a relațiilor de calcul
pentru cele trei componente ale vec-
torului deplasare.
Se determină relațiile care definesc
starea elastică produsă de o sarcină
uniform distribuită pe un domeniu
dreptunghiular Fig. 2-2 ca un caz
partciular de încărcare a frontierei
semispațiului (relațiile lui Love),
relații ce urmează a fi utilizate în capi-
tolul capitolul 3 pentru dezvoltarea
metodei semi-analitice (SAM), (Crețu,
2009).
Se obține expresia deplasării unui
punct de pe suprafața de contact după
direcția normalei la frontieră:
( )( )
( ) ( )2
2 2, 1, ,0z
Dpu x y d dEx yξ η υξ ηπξ η−=
− + −∫ ∫ (2.1)
Pentru presiune 0p constantă, integrala are primitivă și se obține (L ove, 1929):
2
01( , , 0) ( ) ln ( ) ln
( ) ln ( ) lnC B
z
D A
C D
B Ax a r x a ru x y p y b y bE x a r x a r
y b r y b ra x x ay b r y b rυ
π     − + + + += + − − +     − + − +    
    + + + ++ + − −     − + − +     (2.2)
unde: rA, rB, rC, rD sunt distanțele de la punctul de observație M(x, y, z) la colțurile A, B, C, D ale
domeniului dreptunghiular.
Componentele tensorului tensiune se obțin din forma legii lui Hooke în care acestea sunt expri-
mate prin componentele vectorului deplasare (Solomo n, 1969):
, ( , , )1 1 2ij i jEu U i x y zυσυ υ = + ∇ ⋅ =  + − r
(2.3)
Fig. 2-1

Fig. 2-2

15
( )( ) , , , ( , ; )1ij i j j iEu u i j x i j τυ= + = ≠+ (2.4)
Prin înlocuirea în aceste relații a componentelor v ectorului deplasare, se obțin cele șase compo-
nente ale tensorului tensiune (Crețu, 2009).
Pentru contactul liniar se obțin relații direct cal culabile, deduse inițial de Hertz, iar pentru conta cte
punctuale integralele obținute nu au primitive decî t in cazuri cu totul particulare.
2.1 Ecuația geometrică a contactului normal
Se consideră cele două corpuri I și II care inițial, în lipsa solicitării, se ating într- un punct O. În O
se consideră planul tangent comun la cele două supr afețe, și și SII și de asemenea planele principale
1 și 2, care pot fi diferite pentru fiecare corp. Interse cția planelor principale cu planul tangent
determină drepte care vor forma axele sistemelor ca rteziene OxIyIzI și OxIIyIIzII, Fig. 2-3. (Crețu,
2009)
Întrucât sarcina exterioară este diri-
jată după direcția normalei în O ,
putem admite că înainte de aplicarea
forței exterioare punctele MI și MII se
aflau pe aceeași normală la planul
tangent, normală care trece și prin
punctul final M.
Ca rezultat al deformațiilor elastice
din zona contactului, punctele aflate
suficient de departe de zona contac-
tului vor suporta numai câte o de-
plasare rigidă, δI și respectiv δII, în
sensul apropierii de zona de contact.
Am considerat că, sub acțiunea solicitării exterioa re, cele două puncte MI și MII se suprapun pe
domeniul D de contact în punctul M(x,y) :
( ) ( ) ( ) ( ) , , , , ,zI zIIu x y u x y z x y M x y D δ + = − ∈ (2.5)
unde zIu si zIIu sunt deplasările elastice ale corpurilor în punctu l ( , )M x y , δ este apropierea
rigidă, iar ( , )z x y este separația inițială între suprafețe.
Ecuația (2.5) o numim ecuația geometrică a contactului elastic sub solici tarea normală .
2.2 Ecuația integrală a contactului elastic normal
Se apreciază fiecare din cele două corpuri ca fiind câte un semispațiu elastic cu aceeași problemă
de tip Neumann creată de o aceeași solicitare normală p(ξ,η) , repartizată pe un același domeniu
D. În aceasta situație, distribuția p(ξ,η) , cât și domeniul D sunt necunoscute.
În forma (2.5) a ecuației geometrice a contactului, vom aprecia deplasările elastice uzI și uzII prin
relațiile stabilite pentru componentele vectorului deplasare pe frontiera semispațiului:

( )
( ) ( )2
2 21 ,, ( , )
jj j
zj
jDpu d d j I IIEx yυ ξ ηξ ηπξ η−= =
− + −∫ ∫ (2.6)
Pentru ca si ( , ) ( , ) ( , )I II I IID D D p p p ξ η ξ η ξ η = = = = relația (2.5) devine:
Fig. 2-3

16
( )
( ) ( )( ) ( )2 2
2 2p , 1 11, ,
x-I II
I II
I II Dd d z x y z x yE Eyξ η υ υξ η δπξ η − −+ = − −  
  + −∫ ∫ (2.7)
Relația este cunoscuta sub numele de ecuația integrală a contactului elastic, sau relația sarcină-
deplasare a lui Boussinesq. Forma acestei relații în sistemul xOyeste:
( )
( ) ( )2 2
2 2
2 2
1 2p , 1 11 1 1
2 2x-I II
I II Dd d x yE E R Ryξ η υ υξ η δπξ η − −+ = − −  
  + −∫ ∫ (2.8)
2.3 Contactul liniar hertzian
Se consideră cazul ideal a doi cilindri de lungime in-
finită, cu axele paralele și razele R1 și R2, în contact
după o generatoare comună, reprezentând domeniul
de contact în absența solicitării
Relația care stabilește distanța dintre două puncte MI
și MII aflate pe suprafețele corpurilor I și II și pe o
aceeași normală la planul tangent comun, devine:
( ) ( )2
1 21 1 1
2I II I IIM M z z y z y yR R 
= = + = + ⋅    
(2.9)
În cazul contactului liniar, ecuația geometrică gen –
erală (2.5) capătă forma:
( ) ( )2
1 21 1 1,0 , 02zI zIIu y u y yR Rδ 
+ = − + ⋅     (2.10)
Pentru contactul liniar ideal se obține ecuația int e-
grală sub forma:
( )2 2
1 21 11 1 1b
I II
I II bpd yE E y R Rη υ υηπ η−   − −+ = +      −    ∫ (2.11)
2.4 Domeniul de contact. Presiunea maxima 0σ
Pentru o solicitare de contact liniar hertzian, dom eniul de contact este reprezentat de o fâșie drep-
tunghiulară cu lățime 2b și lungime infinită. Distribuția de presiuni pe ac est domeniu, este:
( )221q yp yb bπ = −    (2.12)
Având în vedere că:
1 21 1
R Rρ + =∑ și 2 2
01 12I II
I II E E Eυ υ− −= + relația semilățimii de contact:
022qbEπ ρ= ⋅∑ (2.13)
Pentru presiunea maximă σ 0 se obține expresia finală:
Fig. 2-4

17
0 0 2 21
2 1 1I II
I IIqq E
E Eρσ ρπ υ υπ= = ⋅
 − −+  
 ∑∑ (2.14)
în care pentru cilindrii reali, cu lungime finită L:
FqL= (2.15)

3. Contactul elastic concentrat nehertzian
Dacă geometria corpurilor aflate în contact respect ă ipotezele lui Hertz, iar încărcarea exterioară
este pur normală, contactul concentrat este hertzian.

Fig. 3-1
În cazul contactului concentrat punctual, geometria de contact este nehertziană dacă în jurul punc-
tului inițial de contact separarea dintre suprafețe nu poate fi redusă la o formă pătratică.

Fig. 3-2
Pentru cazul contactului liniar geometria de conta ct este nehertziană dacă:

18
– generatoarea comună pe care se realizează atingerea este de lungime finită;
– raza unuia dintre cilindrii în contact nu rămâne co nstantă ci urmează o variație după o lege
oarecare.
Doi cilindri cu lungime infinită în contact după o generatoare comună și solicitați de o încărcare
pur normală determină o distribuție de presiuni de forma unui cilindru eliptic, numită distribuție
hertziană liniară. Dacă unul dintre cilindri are lungime finită , Fig. 3-2, atunci presiunile de contact
și lățimea ariei de contact cresc pe măsura apropie rii de capătul cilindrului scurt, procesul fiind
cunoscut sub numele de efect de capăt sau efect de muchie. Eliminarea fenomenului de concen-
trare în cazul roților dințate se realizează prin u tilizarea danturii linia flancului modificată prin
flancare sau bombare (Gafitanu, et al., 1983), (Shi gley, et al., 2005), (ISO 6336, 2016).
3.1 Formularea analitică a problemelor de contact conce ntrat nehertzian
Contactul între corpuri se va realiza între su-
prafețele deformate elastic pe o arie reală no-
tată prin Ar, Fig. 3-3. Ipoteza funcționării în
domeniul elastic cere revenirea corpurilor la
starea inițială la înlăturarea sarcini. Forma ar-
iei reale, mărimea acesteia cât și distribuția
de presiuni pe aria reală sunt necunoscute.
Modelul elastic al deformării suprafeței este
definit de următorul grup de ecuații:
a) Ecuația geometrică a contactului
elastic:
0 ( , ) ( , ) ( , )g x y h x y w x y δ = + − (3.1)
b) Ecuația integrală a deplasării nor-
male a frontierei semispațiului elastic se
obține folosind relația deplasării unui punct de
pe frontieră, prezentata anterior:
( )2 2
2 21 1 1 ( , )( , )
( ) ( )rI II
A
I IIpw x y d dE E x yυ υ ξ ηξ ηπ ξ η− −= +
− + −∫∫
(3.2)
în care: EI, E II sunt modulul lui Young de elasticitate longitudinal a; , ,II Iυυ sunt coeficienții lui
Poisson de contracție transversală; p(x, y) este presiunea de pe suprafața de contact în punctu l
considerat.
c) Ecuația de echilibru:
( , )
rAp x y dxdy F ⋅ = ∫ (3.3)
Condițiile fizice de neadeziune și nepenetrare:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ), 0, , 0, ,
, 0, , 0, ,r
rg x y p x y x y A
g x y p x y x y A= > ∈
> = ∉ (3.4)
Admițând cunoscută aria reală de contact și distri buția de presiuni, determinarea stării de elastic-
itate în întreg semispațiul elastic este tratată ca o problema de tip Neumann, caz pentru care
abordarea Boussinesq furnizează soluția prin vect orul deplasare.
Pentru a obține starea de tensiuni, se utilizează l egea lui Hooke în formularea generalizată.
Pentru cazul contactelor concentrate nehertziene, s istemul de ecuații (3.1) .. (3.4) nu are soluție
analitică, astfel încât, pentru o abordare numerică se impune prezentarea sub formă discretă a
problemei contactului concentrat nehertzian.
Fig. 3-3

19
3.2 Formularea numerică a problemelor de contact elasti c concentrat
nehertzian
Pe planul tangent, în jurul punctului inițial de co ntact, se consideră o arie virtuală de contact, de
forma dreptunghiulară și notată cu hA. Această
arie virtuală de contact este aleasă suficient de
mare pentru a supraestima aria reală de contact,
r hAA≥ . Pe planul tangent comun x-O-y se
consideră un sistem de coordonate triortogonal
(x, y, z) având drept origine punctul O situat la
colțul stâng al domeniului dreptunghiular vir-
tual.
Deplasarea elastică a fiecărei suprafețe, w I(x, y)
și respectiv wII( x, y), este măsurată pe direcția
corespunzătoare a normalei exterioare.
Pentru un punct (x, y) de pe planul tangent,
suma deplasărilor individuale va fi notată prin
w(x, y).
Pe domeniul virtual de contact, de forma drep-
tunghiulară, se construiește o rețea drep-
tunghiulară uniformă cu liniile rețelei paralele
cu axele x și y ale sistemului de coordonate
(Crețu, 1996, 2003).
În sistemul de coordonate cartezian considerat
anterior, coordonatele nodului de rețea (i, j)
sunt notate prin ( x i, y j )
Distribuția reală de presiuni este aproximată
printr-o distribuție de presiuni virtuală, cu
valoare necunoscută, dar constantă în interiorul
fiecărui dreptunghi elementar al rețelei. Ec-
uațiile (3.1) – (3.4) devin:
a) ecuația geometrica de contact elastic:
0 ij ij ijg h w δ = + − (3.5)
unde: ℎ/g1861/g1862 este separația suprafețelor în contact fără sarcin ă, /g1859/g1861/g1862 este separatia dintre suprafetele
aflate sub sarcina normală, /g1875/g1861/g1862 este deformația elastică a celor două suprafețe mă surată pe direcția
încărcării normale iar /g20120 este deplasarea rigida determinata de încărcarea normala a celor două
corpuri în contact;
b) ecuația deplasării normale a suprafețelor:
1 1
,
0 0 ( * )Ny Nx
ij i k j l kl
k jw K p− −
− −
= ==∑∑ (3.6)
c) ecuația de echilibru:
1 1
0 0Ny Nx
ij
i jx y p F− −
= =∆ ∆ =∑∑ (3.7)
d) ecuația condiției de nepenetrare:
( ) 0, 0, ,yields
ij ij rg p i j A= → > ∃ (3.8)
Fig. 3-4 Discretizarea planului de separație
x
ip
( )p xji
j∆i∆ y
,x i

20
e) condiția de neadeziune:
( ) 0, 0, ,yields
ij ij rg p i j A> → = ∄ (3.9)
f) comportamentul elastic-perfect plastic al materialului:
ij Y ij Yp p p p> ==> = (3.10)
unde Yp reprezintă valoarea presiunii capabile sa genereze deformații plastice.
Funcția de influență , i k j lK− − reprezintă valoarea deformației suprafeței ij urmare a acțiunii unei
presiuni unitare pe elementul de rețea (k,l). Valorile numerice ale coeficienților de influență s unt
determinate prin integrarea ecuației lui Boussinesq pentru acest caz de încărcare.
22 2 2
,2 2
1 11 1 1 1,
( ) ( )y x
I II
i k j l
I II y x i jK d dE E x yυ υξ ηπ ξ η− − − −= +  − + −  ∫ ∫ (3.11)
Se obține reprezentarea analitică:
( )2 2
,1 1 1( 1 , 1) ( 2, 2) ( 1 , 2) ( 2, 1)I II
i k j l
I IIK f x y f x y f x y f x yE Eυ υ
π− − − −= + + − −   (3.12)
unde funcția f(x, y) are forma :
( ) ( )2 2 2 2( , ) ln lnf x y x y x y y x x y = + + + + + (3.13)
cu:
1 / 2, 2 / 2
1 / 2, 2 / 2.k k
l lx x x x x x
y y y y y y= − ∆ = + ∆
= − ∆ = + ∆ (3.14)
Ecuațiile (3.11) – (3.14) reprezintă, sub o altă fo rmă, ecuația (2.2) prezentata în capitolul 2.
Distribuția de presiuni de pe microariile de contac t induce într-un punct generic M(x,y,z ) din sem-
ispațiul elastic o stare de tensiuni care, în cadru l elasticității liniare, poate fi determinată prin con-
siderarea principiului suprapunerii efectelor:
1 1
0 0( , , )Ny Nx
ij ijkl kl
k lx y z C pσ− −
= ==∑∑ (3.15)
unde funcția de influența ) , , (z yx Cijkl este corespunzătoare componentei ) , , (z y xijσ determinată
de o presiune unitară care acționează pe dreptunghi ul elementar (k,l) al rețelei de discretizare a
domeniului virtual.
3.2.1 Algoritmul numeric
Sistemul format din ecuațiile (3.5) – (3.10) va cup rinde ( )2
x yN N× adunări și ( )2
x yN N× înmulțiri
fapt care conduce la timp de calcul de ordinul zeci lor de ore. Pentru alegerea algoritmului de
rezolvare s-au impus două caracteristici:
– viteza de calcul pentru care algoritmul converge as upra soluției;
– cantitatea de memorie necesara pentru rularea progr amului;
În ultimele decenii au apărut noi metode de abordar e numerică a problemelor de contact concentrat
nehertzian, metode ce sunt cu câteva ordine de mări me mai rapide decât metodele clasice bazate
pe o abordare directa a sistemului de ecuații.

21
3.2.1.1 Alegerea algoritmului
La rezolvarea sistemului (3.5) – (3.10), s-a folosi t metoda gradienților conjugați (Sewchuk, 1996)
și utilizarea unei scheme iterative propuse de (Po lonsky, Keer, 1999, 2000).
Algoritmul final utilizat are câteva particularităț i (Crețu, 2009):
i. materialul solicitat este considerat ca având o com portare de tip elastic-perfect plastic, ceea
ce impune ca fiecare componenta a matricei presiuni lor să îndeplinească condiția supli-
mentară:
daca , atunci ij Y ij yp p p p≥ = (3.16)
unde Yp este valoarea presiunii capabilă să genereze curge rea plastică.
ii. aria de contact este determinată în procesul de ite rație al presiunilor, astfel încât nu mai
este necesar un proces de iterație suplimentar pent ru aria reală de contact;
iii. ecuația de echilibru (3.7) este introdusă la fiecar e ciclul de iterație din bucla de evaluare a
presiunilor.
3.2.1.2 Utilizarea transformatei Fourier
Componenta w a vectorului deplasare elastică este privită ca un produs de convoluție între
presiunea p și răspunsul elastic K . În conformitate cu teorema convoluției, transformat a Fourier
a deplasării w apare ca un simplu produs scalar între transformate le Fourier ale matricelor p și K.
3.2.2 Validarea modelului
Validarea programului dezvoltat s-a realizat prin c ompararea rezultatelor cu cele obținute prin
utilizarea unor metode recunoscute. În acest sens a u fost considerate două situații:
a. Contacte hertziene pentru care există soluție anali tică;
b. Contacte nehertziene soluționate prin metoda de ana liză cu elemente finite.
3.2.2.1 Comparație cu model de contact hertzian
A fost considerată solicitarea de contact dintre d ouă sfere de oțel, având caracteristicele:
1 2
550 ;
2.08 10 ; 0.3;
8000 .R R mm
E MPa
F Nν= =
= ⋅ =
=.
Distribuția de presiuni și aria
de contact sunt prezentate în
Fig. 3-5 unde se poate observa
o suprapunere perfectă.
3.2.2.2 Comparație cu
metoda elementelor finite
Comparația a fost realizată în-
tre rezultatele furnizate de cele
două metode pentru distribuția
de presiuni și aria reală de con-
tact dezvoltate la contactul din-
tre o rolă cilindrică bombată cu
șanfren de capăt și calea de
Fig. 3-5

22
rulare corespunzătoare dintr-un rulment radial cu r ole cilindrice. Geometria de contact și re-
zultatele corespunzătoare analizei cu elemente fini te fiind cele furnizate de către de Mul, (de Mul,
1986). Comparația rezultatelor este prezentată în d iagrama din Fig 3-7.
Concluzii
• A fost adoptata metoda de analiza bazata pe utiliza rea metodei gradienților conjugați
pentru rezolvarea sistemului presiunilor.
• In cazul analizei stării de tensiuni din semispațiu l elastic, produsele de convoluție impli-
cate au fost soluționate folosind transformata Four ier discretă.
• Validarea metodei semianalitice (SAM) inclusiv a pr ogramelor de calcul computerizat s-
a realizat prin compararea rezultatelor furnizate d e SAM astfel:
– pentru cazul contactelor concentrate de tip hertz ian cu rezultatele obținute pe cale
analitică;
– pentru contacte de tip nehertzian comparația s-a realizat cu rezultatele obținute
prin FEM de autori de largă recunoaștere și publica te în reviste prestigioase.
In ambele formule de comparație rezultatele obținut e cu programul SAM s-au dovedit practic
identice cu rezultatele determinate analitic sau fo losind FEM.
kN F mm Dmm amm R mm R mm L mm D
ci xw w
8 . 33 , 5 . 58 , 994 . 6, 006 . 1 , 1114 , 16 , 152 1
=======

Fig. 3-6
Fig. 3-7 Comparație cu FEM 6.4 6.6 6.8 7 7.2 7.4 7.6 7.8 801000200030004000500060007000
Roller Length [mm]Pressure [MPa]FEM
CGM (512×31)
CGM+FFT (512×512)

23
4. Determinarea matricii de separație și modelarea rep artiției sarcinii pe
profilul evolventic al flancului dinților
Modelul elastic al deformării suprafețelor în conta ct folosește drept date de intrare:
– caracteristicile elastice ale celor două corpuri ,I IEν și ,II IIEν;
– separația dintre suprafețele aflate în contact dar fără prezenta sarcinii normale;
Separația inițială este dată de intrare care partic ularizează contactul concentrat supus studiului.
4.1 Matricea de separație pentru studiul contactului în tre flancurile
roților dințate cilindrice cu dinți drepți și profi l evolventic
Separația inițială se poate determina pe cale anali tică folosind ecuațiile celor 2 suprafețe. Pentru
un punct situat pe planul tangent la suprafețe, se determină valoarea separației ca fiind suma dis-
tanțelor măsurate pe normala comună dintre punctul , ,0x y și punctele în care normala înțeapă
fiecare suprafață.
Se consideră o arie dreptunghiulară în planul de se parație între cele două flancuri. Pe aria drep-
tunghiulară, numită în continuare dreptunghi virtua l, se construiește o rețea formată din drep-
tunghiuri elementare cu dimensiunile x∆, respectiv y∆. Scopul este de a calcula matricea de sep-
arație inițială ijh respectiv determinarea valorii ijz pentru fiecare punct j din fiecare secțiune
transversală i a roții Fig. 4-1.
Deoarece funcția involută nu are inversă, determina rea distantei de la planul de separație la profil
se va face printr-o metoda iterativă, respectiv New ton-Raphson (Pop, 2014), (Crețu, 2017).
Poziția punctului de contact C este dată de unghiul de rostogolire /g2009/g18292 corespunzator punctului 2C
pe profilul flancului roții conduse. Pentru pinion, se consideră punctul de contact1C corespunzător
unghiului de rulare /g2009/g18291:
( ) ( ) ( )1 1 2 2 2
11atan tan tanC b b w b C
br r rrα α α = + −    (4.1)
Coordonatele punctului de contact 2C sunt:
( )( )( )
( )( )( )2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2sin sin
cos coscosb
C C C C
C
b
C C C C
Crv rcos
rw rϕ ϕα
ϕ ϕα= =
= = (4.2)

Fig. 4-1 Dreptunghiul virtual

24

Se considera punctul 2M situat pe raza /g1870/g18392 pe profilul flancului și unghiul /g2030/g18392. Coordonatele
Carteziene vor fi:
( ) ( )
( )( )( )
( )( )( )2 2 2 2
2
2 2 2 2
2
2
2 2 2 2
2 inv inv
sin sincos
cos coscosM C M C
b
M M M M
M
b
M M M M
Mrv r
rw rϕ ϕ α α
ϕ ϕα
ϕ ϕα= − −   
= =
= = (4.3)
Sunt necesare două transformări de coordinate pentr u a trece din sistemul de coordinate fix O2v2w2
în sistemul de coordinate mobil /g1874′/g1829/g1875′, Fig. 4-2b:
( )( )( )( )
( )( )( )( )' 2 2
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
2 2 sin sincos cos
' cos coscos cos
b b
M M C M C
M C
b b
M M C M C
M Cr rv v v
r rw w wϕ ϕα α
ϕ ϕα α= − = −
= − = − (4.4)
A doua transformare de coordonate este rotirea cu u nghiul /g2016 necesara obținerii axei zC în direcția
normalei comune la cele 2 suprafețe. Cy este axa în planul tangent care conține punctul de contact
Fig. 4-2b:
2wπθ α = − −   (4.5)

Fig. 4-2 Elemente geometrice (a), sisteme de coordi nate (b) a b

25
( ) ( )2 2 2 sin cosM M Mz v wθ θ ′ ′=− + (4.6)
In rețeaua virtuală rectangulară, punctul ( , )i j se află la distanța jy față de linia de contact. Se
consideră un punct 2M pe profilul roții 2 având unghiul de poziție φ/g2897/g2870 cu scopul de a afla unghiul
de rulare α/g2897/g2870 pentru care y/g2897/g2870/g3404 y /g2920. Pentru roata 2 și punctul M/g2870/g3435x/g2919, y/g2920/g3439 , unghiul α/g2897/g2870 este soluția
ecuației (Duca, 2003):
( ) ( ) ( )
( ) ( )M2 M M j
b2 b2
M2 M2 C2 j
M2 C2f α v cos θ w sin θ y 0
r rf α sin θ φ sin(θ φ ) y 0cosα cos α= + − =
= +′
+ −′
− = (4.7)
Metoda iterativă Newton-Raphson conduce la soluția α/g2897/g2870:
( ) ( )( )
( )M 2 k
M 2 M 2 k 1 k
M 2 kαα ααf
f+= −′ (4.8)
Pentru punctul ( , )i j de pe aria virtuală de contact ecuația (4.6) oferă valoarea inițiala a separației
h2/g2919/g2920 între planul tangent și cele două suprafețe:
[ ] ij M 2 i,jh2 z= (4.9)
Se procedează similar pentru obținerea separației i nițiale /g18601/g3036/g3037 pentru același punct ( , )i j și supra-
fața flancului roții 1:
[ ] ij M1 i,jh1 z = (4.10)
Separația normală între flancurile dinților în cont act este:
ij ij ijh h1 h2= + (4.11)
Dezaxarea și compensarea acesteia prin bombare sau flancare au fost incluse și în procesul de
calcul pentru matricea de separație inițială a prog ramului Non-Hertz pentru determinarea pe cale
iterativa a distribuției de presiuni, a ariei de co ntact și a stării de tensiuni în substratul suprafe ței
flancurilor dinților solicitați (Pop, 2014, 2017).
Dezaxarea echivalentă este exprimată prin unghiul ψformat între linia flancului pinionului și linia
flancului roții în planul de angrenare. Păstrând fi x sistemul de referință al roții, în cazul dezaxări i,
punctul inițial de contact considerat inițial în se cțiunea mediana a roții se deplasează spre una
dintre fete în punctul C′, în funcție de
dezaxarea echivalentă ψ și raza de curbură
a liniei flancului pinionuluiβρ :
sinCxβρ ψ′= (4.12)
βρ se calculează în funcție de bombamen-
tul flancului cβ și lățimea b a pinionului:
2 24
2b c
cβ
β
βρ+= (4.13)
Separația pe linia flancului în planul de an-
grenare în funcție de poziția secțiunii Cix
este dată de relația:
( )22sinCi i z xβ β βρ ρ ρ ψ= − − + (4.14)
Fig. 4-3 Calculul separației longitudinale pentru d ezaxare
și bombament
βρ
cβ
ixψ
Ciz
C′CCx′ix′2z
2x

26
Considerând dezaxarea echivalentă dij∆ generată de unghiul ψ separația normală între flancurile
dinților în contact devine:
ij ij ijh h1 h2dij = + + ∆ (4.15)
Prin adăugarea modificărilor liniei flancului aplic ate pinionului, separația normală între flancurile
dinților în contact devine:
ij ij ijh h1 h2dij cij+ ∆ + ∆ = + (4.16)
In mod similar, au fost calculate separațiile în pl anul de angrenare pentru flancare și flancare cu
racordare în diferite condiții de dezaxare.
4.2 Modelarea distribuției sarcinii pe profilul dintelu i
Metodele de calcul indicate de standarde apreciază sarcina nominală ca fiind uniform distribuită
pe lungimea liniei de contact (ISO 6336, 2016), (AG MA 2001-D04, 2004), (AGMA 908-B89,
1989). Pentru modelarea repartiției sarcinii pe pro filul dintelui se apelează la o abordare actuală
derivată din energia potențială minimă, folosind pe ntru punctul de contact un parametru de profil
/g2022 definit prin ecuația:
2
2 12C
bz r
rξπ= −
(Pedrero, 2010, 2013).
4.2.1 Distribuția sarcinii pe profil
În cadrul simulărilor a fost considerat angrenajul cu următoarele date principale:
Unghiul de presiune ∝/g2868= 20,/g3042 ℎ/g3028/g3042∗= 1, /g1855/g2868∗= 0.25, /g2025/g2868∗= 0.38
Numerele de dinți Z 11 =23, Z 2=51.
Modulul normal m n = 4 mm, /g1876/g2869= 0, /g1876 /g2870= 0
Unghiul de înclinare a dinților /g2010/g2868= 0.

pentru care repartiția forței normale pe profil est e prezentată in Fig. 4-4. Toate simulările au fost
realizate corespunzător procesului de angrenare din punctul B de pe linia de angrenare.
În condițiile ipotezei lui Hertz rezultă σ/g2892= 584.2 MPa și lățimea suprafeței hertziene de contact
b/g2892= 0.103 mm.

Punct pe linia de angrenare
Um A B C D E
rX1 mm 43.556 45.232 46 46.508 50
/g1870X2 mm 106 102.849 102 101.52 99.18
Raport de distributie
a sarcinii 0.33 1 1 1 0.33
Forța normală F n N 960 2910 2910 2910 960
Presiune hertziană /g2026H MPa 481 584 556 543 296

Tabelul 4-1 Valorile presiunii hertziene pe profilu l dintelui

27

Fig. 4-4 Funcția de repartiție R(ξ) a sarcinii pe p rofilul dintelui.
Concluzii.
• S-a determinat o cale analitică pentru constituirea matricii de separație pentru cazul ana-
lizei roților dințate cilindrice cu dinți drepți și profil evolventic.
• S-au introdus în matricea de separație modificările liniei flancului pinionului.
• A fost inclus în matricea de separație efectul deza xării sub forma unui unghi al dezaxării
echivalente, format între linia flancului roții și linia flancului pinionului în planul de an-
grenare.
• A fost dezvoltat un nou algoritm de calcul pentru r epartiția sarcinii în plan frontal, algoritm
obținut prin utilizarea criteriului energiei potenț iale minime.

5. TCA pentru angrenaje cilindrice standard cu dinți d repți
Modelul hertzian de contact liniar presupune o dist ribuție uniformă a sarcinii normale și o valoare
constantă /g2026/g2892 în lungul liniei de contact. Standardele de angren aje consideră tensiunea /g2026/g2892 ca fiind
tensiunea critică pentru distrugerea prin oboseala de contact a angrenajelor cilindrice cu dinți
drepți sau inclinați (ISO 6336, 2016).
5.1 Angrenaje cu roți dințate cilindrice standard – efe ctul de capăt
Pentru a evita calculele laborioase necesare evaluă rii efectului de capăt în angrenajele standard,
algoritmul utilizat consideră pentru ambele parți a le flancului o racordare cu raza de 0.2 mm.
5.1.1 Angrenaje cu roți dințate standard, făra dezaxări
Sunt considerate ca referința angrenaje cilindrice cu dinți drepți obținute în condiții de fabricație
cu bune practici și operand în condiții ideale.
5.1.1.1 Distribuția de presiuni
Distribuțiile de presiuni sunt foarte apropiate de distribuția ideală Hertz, cu excepția fenomenelor
de capăt unde racordarea creează creșteri bruște al e valorii separațiilor și se manifesta efectul de

28
capăt.

5.1.1.2 Distribuția tensiunilor von Mises
Distribuțiile de tensiuni von Mises au fost evaluat e în două plane: planul longitudinal ,xOz 0,y=
Fig. 5-1 și planul transversal yOz ( 0),x= Fig. 5-3. În Fig. 5-2 este detaliată zona în care se man-
ifestă valoarea maximă a tensiunii von Mises: /g2026vM= 0.88 /g2026H.
0
vM H 0 0.539 0.539 0.5560.97yy
yypp σ σ= = = (5.1)

Fig. 5-2 Distribuție von Mises în planul y=0
Fig. 5-1 Flanc cu direcție nemodificata distribuția de presiuni fără dezaxare

29

Fig. 5-3 distribuția de tensiuni von Mises în panul x=0
5.1.2 Angrenaje standard funcționând cu abateri de la par alelism între flancuri
Efectul de muchie devine mai puternic, daca există chiar o valoare mică pentru abaterea de la
paralelism.
5.1.2.1 Distribuția de presiuni .
Fig. 5-4 Distribuția de presiuni pentru o abatere d e la paralelism ψ= 0.5 min.
Fig. 5-4 prezintă distribuția de presiuni obținută prin considerarea unei abateri /g2032= 0.5 /g2020/g1865 de la
paralelism a flancurilor și care are drept efect o creștere a presiunii maxime de la
1.44/g2026/g3009 la 2.12/g2026/g3009.
5.1.2.2 Distribuția de tensiuni von Mises.
Criterii de plasticitate de largă utilizare conside ră valoarea tensiunii von Mises ca fiind re-
sponsabilă de inițierea procesului de curgere în vo lumul de material tensionat (Cretu, 2009), cât

30
și pentru inițierea fenomenului de oboseală de cont act (Sadeghi, 2009), (Ioannides, 1985), (Zhu,
2009). Pentru cazul în discuție, tensiunea maximă v on Mises, Fig. 5-5 a crescut de la
0.877 /g2026/g3009 la 1.3/g2026/g3009.
Fig. 5-5 Distribuția de tensiuni von Mises pentru o valoare a abaterii ψ=0.5 minute.
5.1.2.3 Evoluția ariei de contact.
Pentru condiții de funcționare fără abateri de la p aralelism aria de contact prezintă o formă quasi
rectangulară, mai largă în zonele de capăt Fig. 5-6 a. Această formă dreptunghiulară devine trape-
zoidală sau chiar triunghiulară dacă au loc creșter i ale abaterii de la paralelism.

a b
Fig. 5-6 Arii de contact: (a)-contact fără abatere de la paralelism; (b)-contact cu abatere de la par alelism ψ=0.5
min.
5.2 Soluții constructive utilizate pentru atenuarea efe ctului de capăt.
Pentru angrenajele cilindrice cu dinți drepți sau î nclinați tehnologiile cele mai folosite cu scopul
eliminării sau atenuării efectelor de muchie sunt:
– realizarea flancului cu bombament,
– teșirea flancului la capete.

31

a b
5.2.1 Angrenaj având dinții pinionului cu flancurile bomb ate
Parametrul care caracterizează mărimea bombamentulu i este valoarea descărcării /g1855/g3081, (ISO 6336,
2016) și realizează eliminarea efectul de capăt, pr in transformarea contactului de tip liniar într-un
contact punctual. Se prezintă în continuare, pentru diferite condiții, rolul jucat de prezența bom-
bamentului la flancurile dinților pinionului.
5.2.1.1 Angrenaj având dinții pinionului cu bombament, func ționare fără abatere de la
paralelism.
Distribuția de presiuni este sub forma unui elipso id, Fig. 5-8. Dacă mărimea descărcării /g1855/g3081 a fost
bine corelată cu valoarea sarcinii normale nu exist ă efect de capăt.

Fig. 5-8 Distribuții de presiuni pentru pinion avân d flancuri cu bombament.
Lipsa concentratorului de capăt este un câștig de f iabilitate, dar comparativ cu o distribuție hertz-
iană soluția flancurilor bombate conduce la o distr ibuție elipsoidală, Fig. 5-8, caracterizată și de
un volum ridicat de material solicitat la tensiuni echivalente von Mises superioare valorii maxime
din distribuția hertziană. Relația fiabilității, pr ezentată în capitolul 1, consideră sub forma unei
funcții putere, influența cu care intervine valoare a tensiunii echivalente din fiecare volum elemen-
tar, parte din volumul de material solicitat semnif icativ.
Considerând durabilitatea unui contact cu rostogoli re ca fiind o mărime statistică având o funcție
de distribuție de tip Weibull, cercetătorii Lundber g și Palmgrenau de la compania SKF din Gote-
Fig. 5-7 Modificări ale direcției flancului

32
borg au publicat două lucrări, (1947, 1952) în care definesc și deduc relațiile pentru calculul sarci-
nii dinamice de bază a rulmenților adoptând drept t ensiune critică valoarea maximă a tensiunii
tangențiale ortogonale /g2028/g2868=/g1865/g1853/g1876/g3435/g2028/g3052/g3053/g3439.
Relația de legătură fiabilitate, solicitare, durabi litate folosită de Lundberg și Palmgren este con-
siderat direct un anumit volum V din materialul solicitat:
0 01ln ~ /c e hN V zSτ (5.2)
Analiza durabilităților rezultate în urma distruger ii prin fenomenul de oboseală de contact (RCF)
a peste 1500 de rulmenți de tipuri și de mărimi dif erite a condus la următoarele valori:
c = 31/3, e = 10/9, h = 7/3 (pentru contacte concen trate de tip punctual).
Trebuie evidențiată valoarea foarte ridicată a expo nentului tensiunii /g2028/g2868. O dependență similară va
corespunde desigur și pentru cazul roților dințate având contacte concentrate de tip punctual, cum
este cazul roților având flancurile cu bombament. A stfel, creșterea valorii /g1855/g3081 conduce la o dis-
tribuție de presiuni și respectiv tensiuni echivale nte cu valori mult mai ridicate, Fig. 5-9, față de
cazul anterior (/g1855/g3081= 5 /g2020/g1865,/g2032= 0).
Dacă angrenarea este realizată când există o abater e de la paralelism între flancuri, alegerea unei
valori mici pentru parametrul cβ poate determina diferite efecte: de la o distribuț ie asimetrică a
presiunilor cu inflențarea și a distribuției tensiu nilor echivalente, la dezvoltarea la unul din cape-
tele flancului a unui vârf de presiune, Fig. 5-9.
O bună corelare a valorii parametrului cβ cu parametrii de funcționare (sarcina, abateri de la par-
alelism) va determină numai o translație în limitel e lățimii flancului a distribuției de presiuni și a
distribuției de tensiuni von Mises, Fig. 5-10.
Fig. 5-9 Distribuție asimetrică de presiuni cu apar iția unui concentrator tip vârf de presiune.

33
5.2.1.2 Ariile de contact
Pentru câteva din cazurile discutate, ariile de con tact elastic sunt prezentate în Fig. 5-11. Se re-
marcă influența valorii parametrului cβ și a valorii abaterii de la paralelism asupra pozi ției și
formei ariei de contact elastic, forța normală fiin d aceeași.

a b

c d
Fig. 5-11 Poziția și forma ariei de contact elastic pentru diferite valori ale parametrului C_β și a abaterii ψ: (a)-
ψ=0.,C_β=5 µm; (b)- ψ=0.5 min.,C_β=5 µm; (c)- ψ=0,C _β=20 µm; (d) ψ=3 min.,C_β=20 µm.
Fig. 5-11 evidențiază că selectarea pentru paramet rulcβ a unei valori corespunzătoare condițiilor
de funcționare determină o arie de contact cu forma de elipsă foarte alungită, având unul din cape-
tele axei mari situat în imediata apropiere a unuia dintre cele două flancuri (pozițiile a, c, d).

Fig. 5-10 Translatarea distribuției de presiuni det erminată de abaterea flancurilor de la paralelism

34
O valoare prea mică pentru parametrul cβ conduce la o arie de contact cu forma de elipsă pa rțială
(pozitia b) ceea ce indică existența unui efect de muchie.
O valoare prea mare a parametrului cβ conduce la o arie de forma unei elipse având axa m are mai
mică decât lățimea flancului dintelui (poziția d) c eea ce reprezintă și o creștere a valorii presiunii
maxime, cu implicații negative asupra fiabilității angrenajului.
5.3 Modificarea prin teșirea flancurilor dinților
Teșirea flancurilor este definită de ISO 6336 prin doi parametrii: b și c, Fig. 5-7, reprezentând:
– b – lungimea de flanc modificată;
– c – valoarea descărcării create la capătul flancului.
În studiul de caz efectuat parametrul b a fost menținut constant la valoarea b = 0.1B iar parametrul
c a fost variabil.
5.3.1 Cazul funcționării fără abateri de la paralelism
Pentru condiții de funcționare fără abateri de la p aralelism /g2032= 0 și valoarea a parametrului
flancării /g1855 = 5 /g2020/g1865, rezultatele obținute sunt prezentate în Fig. 5-12 și Fig. 5-13 . Distribuția de
presiuni este foarte apropiată de cea hertziană (se mi-cilindru eliptic) existând o foarte mică evi-
dențiere a efectului de capăt. Distribuția tensiuni lor von Mises în planul longitudinal x-O – z
expusă în Fig. 5-13 prezintă pe lângă valoarea maxi mă situată pe axa Oz încă două maxime locale
determinate de efectele de capăt manifestate în dis tribuția de presiuni. Valorile maxime ale presi-
unilor de pe suprafața de contact, cât și valorile maxime ale tensiunilor von Mises din figurile de
mai sus au valori mai mici comparativ cu valorile m ărimilor similare determinate pentru cazul
pinionului cu dinții având flancurile bombate la ac eeași valoare a descărcării /g1855/g3081=/g1855= 5 /g2020/g1865, Fig.
5-8
Fig. 5-12 Pinion cu flancurile teșite – Distribuții le de presiuni

35
5.3.2 Angrenaj cilindric cu dinți drepți cu flancare long itudinală și abateri /g2258≠/g2777
Dacă angrenajul cu flancare longitudinală prezentat în paragraful anterior va funcționa în con-
dițiile existenței unei abateri de la paralelism /g2032=0.5 minute, distribuția de presiuni va prezenta o
asimetrie cu o slabă manifestare a efectului de cap ăt, Fig. 5-14. Existența abaterii cu valoarea de
0.5 minute a determinat creșterea presiunii maxime de la /g1868/g3040/g3028/g3051= 1.14 /g2026/g2892 la valoarea
max H 1.45 pσ= .

Fig. 5-14 Pinion cu dinții flancați longitudinal: d istribuția de presiuni, ( ψ=0.5 min., și c =5 µm).

Fig. 5-13 Distribuția tensiunilor von Mises în plan ul y =0 determinată de distribuția de presiuni din Fig. 5-12

36
Distribuția asimetrică a presiunilor determină o di stribuție asimetrică și a tensiunilor echivalente
von Mises care prezintă un singur maxim situat la o valoare a abscisei apropiată de abscisa presi-
unii maxime.
5.3.2.1 Ariile de contact elastic
Pentru condiții de funcționare fără abateri de la p arallelism, procesul de angrenare a unui pinion
cu dantura flancată longitudinal și o roată cu dant ura standard dezvoltă o arie de contact de formă
dreptunghiulară, Fig. 5-16(a).
Dacă același angrenaj funcționează cu existența une i mici valori pentru abaterea de la paralelism
de exemplu /g2032= 0.5 minute, forma ariei de contact va fi trapezoidală Fig. 5- 16 (b), iar pentru
valori mai mari ale abaterii /g2032, aria devine triunghiulară Fig. 5-16(c) ocupând nu mai o porțiune
din lățimea flancului care poate ajunge sub jumătat e din lățimea acestuia Fig. 5-16(d).

a b

c d
Fig. 5-16 Pinion cu flancare longitudinală a dinți lor-dependența formei și poziției ariei de contact elastic de
valoarea parametrului c și de mărimea abaterii de la paralelism: (a)- ψ=0,c=5 µm; (b)- ψ=0.5 min,c=5 µm;(c)-
ψ=1,c=10 µm; (d)- ψ=3 min.,c=20 µm.

Fig. 5-15 Pinion cu dinții flancați longitudinal: d istribuția tensiunilor von Mises generate, de distr ibuția de presi-
uni din Fig. 5-14

37
Concluzii
1. Ipoteza tensiunii echivalente von Mises drept tensi une critică pentru RCF propusă în anul
1981 de Popinceanu et.al, explică inițierea RCF pe suprafața de contact sau sub-suprafața
de contact, dar și celelalte particularități mențio nate anterior, motiv pentru care la fiecare
caz analiza a prezentat și evoluția tensiunii von M ises. Pentru facilitarea comparațiilor,
distribuțiile de presiuni includ și cazul distribuț iei de presiuni hertziene corespunzătoare
pentru aceleași condiții de macrogeometrie și sarci nă.
2. Studii de caz orientate către angrenajele cu roți d ințate cilindrice cu dinți drepți varianta
standard au evidențiat necesitatea modificării long itudinale a profilului flancului dinților
pentru evitarea apariției efectului de capăt caract erizat prin dezvoltarea în zonele de capăt
a unor vârfuri mari în distribuția de presiuni. Pre zența acestor vârfuri determină acceler-
area apariției și dezvoltării, în zonele de capăt, a fenomenelor precum RCF, care conduc
într-un timp foarte scurt la deteriorarea flancuril or.
3. Angrenajele la care flancul pinionului a fost modif icat în varianta de flanc bombat realiz-
ează o distribuție elipsoidală a presiunilor, aria de contact elastic fiind o elipsă. Acest tip
de modificare a profilului longitudinal oferă o bun ă capacitate de evita efectele de capăt
chiar pentru situații în care abaterile de la paral elism au valori mai ridicate.
4. Angrenajul având pinionul modificat prin teșirea fl ancului la fiecare din cele două capete
poate determina, în condiții de lipsă a abaterilor de la paralelism, distibuții de presiuni
foarte apropiate de tensiunea hertziană. Prezența u nor abateri de la paralelism conduce la
o distribuție asimetrică a presiunilor cu apariția de vârfuri de presiune la unul din capete.
5. Pentru ambele tipuri de modificare longitudinală a profilului flancului valorile para-
metrilor c și respectiv cβ și b trebuie stabilite pe baza unor analize de caz (TCA ) cu
considerarea atentă a solicitărilor și evaluarea re alistă a deformațiilor, în special de încov-
oierea arborilor.

6. Contactul liniar real –problema de sfert de spațiu
Abordarea contactului liniar hertzian ca problemă a semispațiului elastic implică ipoteza lungimii
infinite pentru linia inițială de contact. Sub acți unea sarcinii normale, linia inițială de contact
devine aria dreptunghiulară de contact.
6.1 Limite ale metodelor semianalitice derivate din teo ria semispațiului
elastic
Aria hertziană de contact are lungimea infinită și lățimea dependentă de valoarea sarcinii normale
Fig. 6-1. Lungimea infinită a ariei hertziene de co ntact implică existența stării plane de deformații
pentru oricare secțiune transversală.
Soluționarea stării elastice pentru contactele conc entrate reale de tip liniar, cu lungime finită, se
realizează prin metode numerice cu utilizarea relaț iilor din teoria semispațiului elastic. Pentru ca-
zul solicitării de contact concentrat liniar, o ast fel de analiză reliefează:
-o stare plană de deformații în zona mediană și
-o stare plană de tensiuni, la capetele corpurilor în contact, caracterizată prin prezența a
trei tensiuni dintre care două tensiuni tangențiale : /g2028/g3053/g3051 și /g2028/g3051/g3052și tensiunea normală /g2026/g3051/g3051, Fig. 6-2.

38
Fig. 6-1 Distribuția teoretică de presiuni la cont actul concentrat liniar hertzian.

6.2 Abordarea Hetenyi a
problemei contactului
concentrat în cazul sfertului de
spațiu
In lucrările sale Hetenyi a dezvoltat
pentru sfertul de spațiu un algoritm itera-
tiv de corecție a rezultatelor furnizate de
teoria semispațiului elastic (Hetenyi,
1960, 1970). Metoda propusă de Hetenyi
conduce la un șir de integrale, număr te-
oretic infinit, capabil sa obțină precizia
impusă.
6.3 Abordarea de Mul și
completarea Guilbault a
problemei sfertului de spațiu
Soluția propusă de Hetenyi arată că o
corecție parțială a rezultatului furnizat de
metodele bazate pe teoria semispațiului
se poate obține atunci când pentru ani-
hilarea tensiunilor tangențiale /g2028/g3053/g3051 și /g2028/g3051/g3052 de pe suprafețele libere de capăt, distribuția de presiuni
este completată cu o distribuție de presiuni simetr ică în raport cu suprafața liberă Fig. 6-2. Această
metodă conduce la timpi de calcul semnificativ mai mici și a fost utilizată în 1986 de către de Mul,
Kalker și Frederiksson.
Plecând de la propunerea lui Hetenyi din 1970 și ut ilizarea de către de Mul a metodei de corecție
prin distribuții simetrice de presiuni virtuale, Gu ilbault introduce un factor de corecție /g2032/g3008 care

Fig. 6-2 Sfert de spațiu elastic cu evidențierea la capete a
stării plane de tensiuni
zxτ
zzσ
xyτx
xxσ
xzτyzτ
yyσyxτy
zzyτ

39
multiplicând distribuțiile virtuale de presiuni sim etrice determină o supracorecție capabilă să ani-
hileze și tensiunea normală /g2026/g3051/g3051 (Guilbault, 2011). Factorul de corecție /g2032/g3008 a fost determinat de
către Guilbault pe baza procesului iterativ Hetenyi :
( ) 1 1 .29 0.08 0.51Gψ υυ− −−= (5.3)
Metoda a fost aplicată pentru soluționarea unor pro bleme de contact concentrat liniar cu lungime
finite, iar rezultatele au fost comparate cu cele f urnizate de modelarea fiecărei probleme pentru
analiză FEM. Concluzia fost că pentru analiza conta ctelor liniare cu lungime finită soluția SAM
corijată asigură o precizie ridicată pentru a putea fi utilizată drept alternativă la analiza FEM. Dup ă
Guilbault și Najjari, (Najjari, 2015) pentru analiz a efectuată folosind FEM timpul a fost de 125
ori superior timpului analizei SAM–C.
Corecțiile introduse de Guilbault (2011), sunt util izate și în cazurile distribuției elasto-hidro-
dinamice de presiuni (Zhang, 2017).
6.4 Algoritmul de calcul
Pentru implementarea corecției propusă de Guilbault s-a folosit modelul SAM general prezentat
anterior în capitolul 5, cu deosebirea că matricea coeficienților de influență a fost înlocuită cu tre i
matrici de influență corespunzătoare celor trei dis tribuții de presiuni prezentate schematic în Fig.
6-3. Rezolvarea sistemului de ecuații algebrice lin iare derivate se face folosind metoda gradi-
enților conjugați. Ecuația de echilibru se scrie pe ntru distribuția obiectiv. Algoritmul corectat a
fost denumit SAM-C.
6.5 Validarea modelului SAM-C
Validarea modelării numerice prezentate s-a realiza t prin compararea rezultatelor obținute de
SAM-C cu rezultatele furnizate, pentru aceleași con diții constructive și de încărcare, de o analiză
FEM. Ca element de comparație au servit rezultatele obținute în 2015 de Guilbault și Najjari ur-
mare a unei analize cu elemente finite a contactulu i liniar dintre două role cilindrice.
6.5.1 Particularități ale analizei FEM admisă pentru comp arații și validare
Analiza FEM prezentată de Guilbault și Najjari s-a realizat folosind softul specializat ABAQUS.
O modelare pentru un contact liniar ne-coincident e ste prezentată în Fig. 6-4. Fig. 6-3 Distribuțiile Guilbault pentru presiunea o biectiv și presiunile virtuale de corecție după mul tiplicarea cu
factorul de supra-corecție ψ_G.

40

Fig. 6-4 Modelul FEM utilizat de Guilbault și Najja ri (2015)
Existența planelor de simetrie a permis discretizar ea numai a câte un sfert din fiecare corp. În plus,
folosirea unei discretizări neuniforme a determinat ca în zona contactului concentrat să se obțină
elementele cu dimensiunile cel mai mici. Condițiile de contact ne-coincident produc o singulari-
tate locală. În cazul unui material pur elastic ace astă singularitate introduce tensiuni ale căror val –
ori cresc invers proporțional cu mărimea elementulu i finit din zona singularității. Pentru a evita
solicitarea materialului în domeniul elastic-plasti c autorii au continuat să reducă dimensiunea el-
ementelor finite din zona singularității numai până când presiunea calculată a devenit egală cu
1.7*σ Y. Valoarea reprezintă limita de elasticitatea la soli citarea de contact (criteriul de plasticitate
Tresca). Au rezultat valorile minime pentru element ele din zona singularității: 12.5 µm pe direcția
transversala și 35 µm pe direcție axială. În toate simulările, partea inferioară a corpului inferior a
fost considerata fixă. Sarcina a fost aplicată pe s uprafața de vârf a corpului superior. Nu a fost
considerată existența frecării între elementele car e realizează interfața de contact a celor două
superfețe.
6.5.2 Rezultate și comparații.
6.5.2.1 Distribuția de presiuni pentru contactul coincident rola-suprafață plană
Datele furnizate de abordările SAM-C și FEM sunt p rezentate în Fig. 6-5 – Fig. 6-6.
Valoarea maxima a presiunii în planul 0x= este notata cu 0p și va fi utilizata drept element de
comparație pentru prezentarea adimensionala Fig. 6- 6.
Foarte buna concordanță între distribuția longitudi nală de presiuni furnizată de SAM corijată
(SAM-C) și valorile furnizate de analiza cu element e finite reprezintă o solidă validare a posibil-
ității de abordare a contactelor liniare coinciden te cu SAM corijată prin includerea presiunilor
virtuale multiplicate cu factorul /g2032/g3008în bucla de iterații de calcul a distribuției obiec tiv.

41

Fig. 6-6 Distribuțiile longitudinale de presiuni ob ținute pentru contactul coincident prin utilizarea SAM-C și re-
spectiv FEM , (Guilbault și Najjari, 2015).
Fig. 6-5 Distribuția 3D a presiunilor furnizata de SAM-C (metoda de calcul semianalitică ce include și
corecția Guilbault)
6.5.2.2 Distribuția de presiuni pentru un contact concentra t liniar ne-coincident.

Fig. 6-7 Distribuția 3D de presiuni furnizată de SA M-C pentru cazul contactului liniar ne-coincident.

42
A fost analizat cazul contactului dintre rola cu lă țimea B = 22.5 mm și o suprafață plană cu lățimea
de 31.5 mm. Distribuțiile de presiuni obținute sunt evidențiate în Fig. 6-7…Fig. 6-9.

Fig. 6-8 Distribuții longitudinale de presiuni la c ontactul concentrat liniar ne-coincident
6.5.2.3 Distribuții de presiuni la un contact coincident cu abateri de la paralelism.
Abaterile de la paralelism determină modificarea se veră a distribuției de presiuni Fig. 6-9.

Fig. 6-9 Distribuții de presiuni determinata de o a batere de la paralelism de 0.2 minute.

43
6.6 Utilizarea SAM-C pentru determinarea distribuției de presiuni între
flancurile angrenajelor cilindrice cu dinți drepți.
Analiza numerică a fost realizată pentru angrenajul cilindric cu dinți drepți studiat în capitolul 5.3 .
6.6.1 Distribuția de presiuni pentru cazul flancurilor co incidente.
Soluționarea acestei probleme cu metode derivate di n teoria semispațiului elastic conduce la re-
zultate necontrolabile datorită singularităților ex istente în zonele de capăt.
Funcționarea în condiții de neparalelism conduce la o distorsionare a distribuțiilor de presiuni
prezentate anterior, fără a introduce vârfuri de pr esiune ca în cazul abordării prin metode SAM
necorijate Fig. 5-1.

Fig. 6-10 Distribuția 3D de presiuni pentru cazul u nui contact coincident intre flancuri.

Fig. 6-11 Distribuții longitudinale ale presiunii m axime: distribuția obținută folosind SAM-C și dist ribuția 2D
hertziană.

44

Fig. 6-12 Distribuția de presiuni pentru cazul prez enței unei abateri de la paralelism de 0.5 minute între flancuri.
6.6.2 Distribuția de presiuni pentru cazul flancurilor ne -coincidente.
Se va analiza cu metoda Non Hertz-C (semianalitică corijată SAM-C) cazul în care pinionul este
fabricat în zona de capăt a flancului, cu o teșitu ră de 0.5 mm. În algoritmul de calcul, teșitura a
fost introdusă sub forma ecuației unei racordări a suprafeței flancului cu suprafața frontală.

Fig. 6-13 Distribuția 3D de presiuni la contactul n e-coincident dintre flancuri.

45

Fig. 6-14 Distribuția longitudinală corespunzătoar e presiunilor maxime din Fig. 6-13
6.6.3 Influenta fineței discretizării.
Valoarea atinsă de vârful de presiune din zona sing ularității depinde semnificativ de discretizarea
folosită. Astfel o rețea mai fină conduce la valori mai mari ale vârfurilor de presiune.

Fig. 6-15 Distribuția transversală de presiuni în z ona mediană pentru o rețea cu 64×32 dreptunghiuri e lementare.

Fig. 6-16 Distribuția longitudinală a presiunilor m axime pentru o rețea cu128x32 dreptunghiuri element are.

46

Pentru exemplificare se prezintă în Fig. 6-16 și Fi g. 6-17 cazul anterior, dar folosind rețele având
128×32, respectiv 64×32 dreptunghiuri elementare. A ceastă constatare impune restricția ca rețe-
lele de discretizare să fie identice sau foarte apr opiate dacă se procedează la comparații privind
valorile maxime reprezentând vârfuri de presiune.
Partea bună care apare din această comparație este constatarea privind menținerea, pentru cele trei
discretizări, a presiunilor maxime din zonele media ne strict la aceeași valoare p 0 = 591 MPa, foarte
apropiată de valoarea presiunii hertziene /g2026/g2868/g2892= 589.8 MPa, Fig. 6-14 .. Fig. 6-17.
Concluzii
1. Organele de mașini care funcționează sub solicitări de contact concentrat au dimensiuni
finite, iar utilizarea metodelor și relațiilor deri vate din teoria semispațiului elastic pre-
supune contactul liniar realizat pe o lungime infin ită.
2. Lungimea infinită a contactului liniar conduce la o stare plană de deformații care la un
contact liniar cu lungime finită se regăsește numai în zona mediană. Pe de altă parte, la
capetele contactului liniar cu lungime finită secți unile plane respective sunt libere, fără
tensiuni, în timp ce relațiile derivate din teoria semispațiului cer existența unei stări plane
de tensiuni determinată de două tensiuni tangențial e și o tensiune normală. Ca urmare la
capete este o zonă de tip sfert de spațiu dar asimi lată prin relațiile utilizate, ca fiind sem-
ispațiu.
3. Pentru eliminarea tensiunilor tangențiale din secți unile de capăt Heteneyi (1970) a propus
considerarea suplimentară a două distribuții simetr ice în oglindă a distribuției obiectiv a
presiunilor, fapt realizat în lucrarea lui de Mul, Kalker și Frederksson (1986) iar Guilbault
(2011, 2015) consideră de asemenea distribuțiile vi rtuale dar multiplicate cu un factor de
supracorecție astfel încât să fie anihilată în secț iunile de capăt și tensiunea normală.
4. Soluția propusă de Guilbault a fost utilizată și în cadrul prezentei teze cu deosebirea că în
algoritmul elaborat și denumit SAM-C au fost consid erate matrici ale factorilor de influ-
ență separat pentru fiecare distribuție de presiuni , obiectiv și virtuale. Această abordare
este posibilă în domeniul elastic și asigură o mai mare flexibilitate în modelarea situațiilor
reale.
5. Validarea algoritmului SAM-C și a codului de calcul ator dezvoltat s-a făcut utilizând codul
SAM-C pentru cazul analizat prin metoda FEM de Guil bault și Najjari în 2015. Dis-
tribuțiile de presiuni obținute prin FEM și SAM-C a u fost identice pentru cazul contactelor
coincidente și foarte apropiate pentru contactele n e-coincidente.
Fig. 6-17 Distribuția longitudinală de presiuni pen tru o rețea cu 64×32 dreptunghiuri elementare.

47
6. Confirmarea prin validarea menționată a permis trat area contactelor dintre flancurile
roților dințate prezentate anterior în capitolul 5 și prin algoritmul SAM-C cu evidențierea
diferențelor și a limitelor de aplicare a algoritmu lui SAM. Pentru aceeași acuratețe privind
rețeaua de discretizare algoritmul SAM-C conduce la distribuții de presiuni având vârfurile
de presiuni mult atenuate în raport cu rezultatele furnizate de algoritmul SAM. În cazul
flancurilor coincidente vârfurile de presiune sunt practic anulate.
7. Valoarea vârfurilor din cadrul distribuțiilor de pr esiuni este influențată semnificativ de
acuratețea rețelei utilizate pentru discretizare. C omparații între valori de vârf obținute cu
discretizări diferite nu pot fi concludente. Valori le presiunilor pentru zonele mediene sunt
puțin sensibile la nivelul de precizie al discretiz ării.

7. Contribuții privind prelucrarea roților dințate cil indrice cu profil
evolventic cu axe paralele cu bombament sau flancar e
Modalitatea de obținere a roților dințate se alege în funcție de criterii calitative și cantitative.
Din punct de vedere calitativ, rotile dințate de cl asa inferioară pot fi obținute direct din turnare s au
forjare, iar în cazul roților dințate de precizie r idicată va fi necesară parcurgerea a mai multe etap e
de finisare.
7.1 Simularea procesului de prelucrare a danturii drept e cu profil
evolventic prin generare
Modelarea parametrica 3D a roții dințate cu dinți d repți are ca scop elaborarea rapida pe baza
datelor inițiale care definesc semifabricatul și da ntura a modelelor tridimensionale.
Au fost elaborate două modele, am-
bele în Pro Engineer Wildfire 4
diferența majora între ele constând în
modul de furnizare a datelor inițiale
pentru dantură. În cazul primului
model datele privind geometria sculei,
frezei melc modul, se introduc sub
forma de schița. Aceste date cuprind
inclusiv protuberanța, șanfrenul la
capul dintelui, toping sau semitoping.
În cazul protuberanței, rezultatul mod-
elarii 3D este o roata dințată având
adaos de prelucrare pe flancurile
dinților. De asemenea, modelul per-
mite măsurarea parametrilor geome-
trici ai danturii, începutul profilului
activ, sfârșitul profilului activ, true in-
volute profile etc. Prin adaptarea
acestui model, respectiv prin alungi-
rea șanfrenului de cap se poate obține
flancarea capului iar prin modificarea
zonei de protuberanță se poate obține
flancarea piciorului dintelui.

Fig. 7-1 Cremaliera generatoare

48
0
0tanM n
M
M
M
dy m xx
uRα  +−   =
(6.1)

0
0cos( ) sin sintan
sin( ) cos costanM
uM M n M d M
M
M
uM M n M d M
Mux y m x u R u
uy y m x u R uα
α = + − −  
 
 = + + +  
 
(6.2)

Generarea profilului se face printr-o ecuație param etrică,
cu ajutorul unui parametru adimensional taparținând in-
tervalului [ ]0,1. Mărimea pașilor (incrementului)
depinde de parametrul absolute accuracy sau relative ac-
curacy . Curba generatoare a profilului este de tip polino mial iar eroarea măsurată atât la angrena-
rea roata-cremaliera cât și eroarea la angrenarea r oata-pinion este mai mica de 910−mm pentru
abosolute accuracy 0.0001.

Fig. 7-3 Angrenare perfecta (fără joc)
Al doilea model este simplificat prin faptul că dat ele inițiale despre dantură se refera doar la par-
ametrii cremalierei generatoare. Specific acestui m odel este ecuația sculei care este abordată pe
segmente.
( )0 0 0
0 0 0 0 0
0 0 0 0tan4
sin 1 tan4
cosn
A f
n
B a a
D B amx h
mx h
x xπα
πρ α α
ρ α= −
  = + + − 
= + (6.3)

Fig. 7-2 Sistemul de referința

49

0
0 0
0 0
0
0
00 for 0 x
tan for
tan for
0 for 2A
A B
a a
M B D
D
n
Dx
x x x
hx x xx x
mx xα
ρα
π≤ < 
≤ ≤
 −= < < − 

 ≤ ≤ (6.4)
De asemenea, o altă caracteristică este exprimarea profilu-
lui sculei ca și funcție 0 0( )y x
( )
( )0 0
0 0
0
0 02 2
0 0 0 0 0
0 0 for 0 x
1 for 4 tan
for
for 2f A
n
A B
a a a D B D
n
a Dh x
mx x x x
y x
h x x x x x
mh x xπ
α
ρ ρ
π≤ < 
 − ≤ ≤  =
− + − − − < <

≤ ≤
(6.5)
Pentru generarea danturii prin rulare se folosește modelul Fig. 7-5 și relațiile care descriu rularea:
( )0 0
0
0tan 0
tann E M
n E
My m x r x
y m xx
rϕ α
αϕ+ − + =
+−
= (6.6)
( )
( )0
1 0cossin sintan
sincos costan
1n E
M
n E
My m x r
X y m x r
Cϕϕ ϕα
ϕϕ ϕα   + − −    
   
   = + + +      
 
   (6.7)
unde
0 1
0 1
0 1 ,0 0
1 1x x
y yX X   
   
   = =   
   
   sunt exprimările matriciale ale sculei re-
spectiv a roții.
Funcția tanMαin punctul D este nulă, și deci nu pot fi calcu-
late punctele de profilul dintelui corespunzătoare de aceea
calculul profilului se face în vecinătatea acestui punct.
O problema întâmpinată la realizarea acestui model a fost im-
posibilitatea folosirii metodei Sketch Extrude pentru întreg
profilul datorită faptului că la numere de dinți su b 22 raza de
racordare la piciorul dintelui nu mai este tangenta la profil.

Fig. 7-5
Fig. 7-4 Profilul sculei pe segmente

50
Intersecția curbei generatoare a razei și curbei ge neratoare a profilului se realizează pe un diametru
mai mare decât cel al cercul de bază. Problema a fo st rezolvată prin folosirea de două ori a metodei
Sketch – Extrude , odată pentru profil și încă o dată pentru curba g eneratoare a racordării.
Pentru obtinerea modificarilor liniei flancului pri n generare, se foloseste metoda sweep , după o
curbă plană obținută prin ecuatiile din capitolul 4 referitoare la bombament si dezaxare.
7.2 Considerații privind procesul tehnologic de fabrica ție al roților dințate
Roțile dințate cilindrice se obțin prin prelucrarea dinților, fie prin îndepărtare de material, fie de –
formarea materialului semifabricatului având o form a cilindrica. Procedeele de prelucrare prevăd
centre de prelucrare cu comanda numerica grupate în celule sau linii cu diferite grade de automa-
tizare având ca scop reducerea costurilor concomite nt cu creșterea stabilității proceselor. În con-
tinuare sunt scoase în evidenta aspecte specifice f iecărui proces.
pentru care procesul de finisare a flancurilor dant urii prin rectificare va fi tratat pe larg.
7.3 Obținerea modificărilor liniei flancului în procese le de finisare prin
rectificare
7.3.1 Rectificarea danturii cu piatra melc.
Profilul dintelui este generat prin combinarea sinc ronizata a mișcării de rotație pietrei, mișcarea
de rotație a piesei și avansul axial. Piatra melc m odul are profilul generatoarei într-o secțiune
normala la elice de forma profilului cremalierei ge neratoare incluzând și modificările de profil
(corecție de cap, de picior, bombare). Forma profil ului pietrei se obține prin diamantate cu disc
profilat sau cu diamant punctiform
Prelucrarea poate fi făcută pe ambele flancuri simu ltan oferind avantajul productivității sau pe un
singur flanc, atunci când sunt cerute modificări di ferite ale direcției unui flanc față de a celuilalt
(compensarea torsiunii și/sau deformațiilor compone ntelor transmisiei).
Modificările de direcție (flancare, bombament) în c azul rectificării cu piatra melc modul se obțin
prin combinarea mișcărilor de avans axial, radial ș i unghiular, mărimea și gradientul corecțiilor
fiind limitat de gradul de acoperire între piatra ș i piesa, unghiul de elicei pietrei melc, unghiul de
inclinare a danturii și prelucrarea „double flank” sau „single flank”
7.3.2 Rectificarea danturii cu piatra disc profilată
Generatoarea pietrei pentru fiecare flanc într-o se cțiune care conține axa de rotație, are forma
profilului dorit al flancului dintelui atunci când se prelucrează doar flancurile sau forma golului
atunci când se prelucrează și piciorul dintelui. Pr elucrarea se face prin treceri succesive în fiecare
gol îndepărtând material de pe ambele flancuri în c azul degroșării și finisării double flank sau pe
cate un flanc în cazul finisării în single flank .
În cazul acestei metode de prelucrare, suprafața ac tivă a pietrei fiind mică în raport cu cantitatea
de material de îndepărtat, sunt necesare mai multe profilări, în special în cazul finisării pentru a
evita apariția erorilor de pas. Profilarea pietrei are loc în incinta mașinii, cu ajutorul unui diaman t
rolă, acest lucru afectând negativ productivitatea. Pe de altă parte, metoda oferă o foarte bună
stabilitate, o foarte buna precizie și versatilitat e fiind posibilaă obținerea cu ușurința a modi-
ficărilor de profil și de direcție speciale.
Modificările liniei flancului în metoda dublu flanc se obțin prin modificarea distanței dintre piatra
și axa piesei în funcție de înălțime după o funcție pătratică. O metodă simplă de obținere a bom-
bamentului este mișcarea pietrei în plan vertical p e un arc de cerc cu raza:
2 2
0 04
8c
c
cb xr rxβ
β
β+ ∆= +∆

51
unde 0r este raza sculei pe diametrul de divizare, b este lățimea roții iar cxβ∆este deplasarea
pietrei pe direcția x pentru obținerea bombamentului cβ.
sinccxβ
βα∆ =

Fig. 7-6 Obținerea bombamentului prin copiere în du blu flanc

In detaliul b Fig. 7-6 se poate observa eroarea dat orată deplasării în direcție radiala a profilului,
fapt care constituie una dintre limitările metodei. Aceasta eroare nu este sesizabilă în cazul
măsurării profilului în plan median, dar creste pe măsura depărtării față de acesta. În aceleași
condiții, eroarea de profil este mai mare în cazul modificărilor de profil pozitive și mai mari pentru
roți cu număr de dinți mic.
0Wp0WpWpz
xy−0r
rx
br0crβ cβcxβ∆
cxβ∆
profil in plan median
profil in plan frontaldetaliul bdetaliul a
ba

52
Prelucrarea prin metoda single flank este utilizată atunci când metoda prelucrării în d ublu flanc
nu se poate adopta, de exemplu, modificări asimetri ce, cu mărimi peste 30 microni etc.
Geometria profilului se obține prin combinarea roti rii piesei în jurul axei z cu valoarea ccβ∆ în
funcție de poziția sculei în plan vertical, concomi tent cu menținerea profilului sculei tangent la
profilul droit, prin rotirea în jurul axei ycu valoarea cbβ∆.

8. Concluzii și direcții de cercetare
8.1 Concluzii
1. Relațiile actuale recomandate de standarde internaț ionale precum ISO 6336 – 2016, pentru
dimensionarea sau verificarea angrenajelor admit ip oteza tensiunii hertziene /g2026/g3009 fiind crit-
ică pentru fenomenul de oboseală de contact. Aceas tă ipoteză poate explica deteriorarea
prin RCF cu inițierea procesului pe suprafața de co ntact dar nu poate da o explicație con-
vingătoare pentru RCF cu originea sub suprafața de contact, zona 25…150 /g2020m. De ase-
menea această ipoteză nu oferă răspunsuri pentru al te particularități ale RCF precum: in-
fluența tensiunilor remanente în procesul RCF, apar iția efectului de capăt, posibilități de
atenuare a efectului de capăt.
2. Ipoteza tensiunii echivalente von Mises drept tensi une critică pentru RCF a fost propusă
în anul 1981 de un colectiv coordonat de Popinceanu N. Ipoteza poate explica inițierea
RCF pe suprafața de contact sau sub suprafața de co ntact, dar și celelalte particularități
menționate.
Fig. 7-7 Obținerea bombamentului prin copiere în single flank
br
cβr Wpzx−
y
ycbβ∆
adetaliul a linia flancului
ccβ∆
profil in plan median
profil in plan frontal

53
3. Contactul concentrat dezvoltat în procesul de angre nare, cu puține excepții, este de tip
nehertzian. Pentru contactele concentrate nehertzie ne nu sunt relații analitice care pe baza
unor date de intrare să furnizeze starea elastică d e tensiuni și deformații.
4. A fost pregătită baza teoretică necesară pentru ela borarea unei metode numerice care să se
dovedească a fi precisă robustă și foarte rapidă.
5. Algoritmul dezvoltat în prezenta teza folosește met oda coeficienților de influență din te-
oria semispațiului elastic parte a teoriei generale a elasticității liniare.
6. In cadrul lucrării, elementele matricei de separați e sunt determinate analitic considerând
separația pentru angrenajul standard la care se ada ugă mărimile necesare considerării mod-
ificărilor în plan longitudinal, a formei flancului și considerării abaterilor de la paralelism
ale flancurilor.
7. Coeficienții de influență derivați din ecuația inte grală a lui Boussinesq au fost utilizați
pentru a obține sistemul algebric de ecuații al pre siunilor. Metoda iterativa a gradienților
conjugați a fost utilizata pentru a obține distribu țiile presiunilor și a ariilor de contact. Pro-
dusele de convoluție au fost rezolvate direct, alge bric.
8. Componentele tensorului tensiune în semispațiul ela stic au fost obținute prin convoluție,
folosind coeficienții de influență derivați din ecu ațiile lui Love pentru semispațiul elastic
supus pe frontieră la o presiune uniformă pe o arie dreptunghiulară. În acest caz, produsele
de convoluție au fost soluționate prin utilizarea t ransformatelor Fourier, directă și indi-
rectă, în varianta discretă și algoritmul Cooley-Tu key.
9. Bombamentul aplicat roților dințate cilindrice cu d inți drepți generează o distribuție elip-
soidala de presiuni pe o arie de contact eliptică. Aceste angrenaje posedă o bună capacitate
de a evita efectul de muchie generat de abaterile d e paralelism.
10. In cazul roților dințate cu flancare, în condiții p erfecte de aliniere a flancurilor, distribuția
de presiuni este apropiată de distribuția de presiu ni specifică contactului hertzian liniar.
Prezența unor abateri de la paralelism determină o distribuție asimetrică de presiuni cu o
severă concentrare spre unul dintre capetele flancu lui.
11. Lungimea infinită a contactului liniar conduce la o stare plană de deformații, care la un
contact liniar cu lungime finită se regăsește numai în zona mediană. Ca urmare, la capete
este o zonă de tip sfert de spațiu dar asimilată pr in relațiile utilizate, ca fiind semispațiu.
12. Soluția propusă de Guilbault în 2011, 2015 a fost u tilizată și în cadrul prezentei teze cu
deosebirea că în algoritmul elaborat și denumit SAM -C, au fost considerate matrici ale
factorilor de influență separat pentru fiecare dist ribuție de presiuni: distribuție obiectiv și
distribuții virtuale. Această abordare este posibil ă în domeniul elastic și asigură un grad
mai mare de flexibilitate în utilizarea programului computerizat.
13. Validarea algoritmului SAM-C și a codului de calcul ator dezvoltat s-a făcut utilizând pro-
gramul de calcul Non Hertz-C pentru cazul analizat prin metoda FEM de Guilbault și Naj-
jari în 2015. Distribuțiile de presiuni obținute p rin FEM și SAM-C au fost identice pentru
cazul contactelor coincidente și foarte apropiate p entru contacte ne-coincidente.
14. Confirmarea prin validarea menționată a permis trat area contactelor dintre flancurile
roților dințate prezentate anterior în capitolul 6 și prin algoritmul SAM-C cu evidențierea
diferențelor și a limitelor de aplicare a algoritmu lui SAM. Pentru aceeași acuratețe privind
rețeaua de discretizare algoritmul SAM-C conduce la distribuții de presiuni cu vârfurile
mult atenuate în raport cu rezultatele furnizate de algoritmul SAM. În cazul flancurilor
coincidente vârfurile de presiune sunt practic anul ate.
15. Valoarea vârfurilor din cadrul distribuțiilor de pr esiuni este influențată semnificativ de
acuratețea rețelei utilizate pentru discretizare. C omparații între valori de vârf obținute cu
discretizări diferite nu pot fi concludente. Valori le presiunilor pentru zonele mediane sunt
puțin sensibile la nivelul de precizie al discretiz ării.

54
16. TCA este utilă pentru stabilirea valorilor optime a le modificărilor de profil pentru condiții
de exploatare impuse (sarcină normală, abateri de l a paralelism).

8.2 Contribuții originale
1. Utilizarea teoriei semispațiului elastic pentru sta bilirea relațiilor generale ale solicitării de
contact concentrat:
a. Pentru cazul particular al contactelor concentrate de tip hertzian relațiile generale
de calcul au permis formularea unor expresii direct calculabile.
b. Pentru cazurile de contact nehertzian, teoria semi spațiului elastic conține relații
care nu au soluții direct calculabile, fiind necesa re abordări numerice.
2. Utilizarea teoriei semispațiului elastic pentru fur nizarea relațiilor necesare formării algo-
ritmului numeric (SAM) care să conducă la soluționa rea problemelor contactului nehertz-
ian: distribuția de presiuni, forma și mărimea arie i de contact, starea de tensiuni în sem-
ispațiul elastic, inclusiv tensiunea echivalenta vo n Mises.
3. Implementarea algoritmului numeric sub forma unui c od de calculator SAM Non Hertz.
Pe întregul parcurs al analizelor numerice, rezulta tele obținute au fost comparate cu re-
zultate furnizate de modelul hertzian.
4. Determinarea pe cale analitică a matricei de separa ție pentru cazul contactului între flan-
curile dinților roților dințate cilindrice cu dinți drepți și profil evolventic nemodificat.
5. Elaborarea unui algoritm și cod de calculator pentr u aprecierea repartiției sarcinii pe pro-
filul flancului folosind metoda energetică propusa de Pedrero (2010).
6. Particularizarea programului Non Hertz pentru aplic ații TCA la angrenaje de roți dințate
cilindrice cu dinți drepți standard și modificate p rin flancări sau bombament.
7. Posibilitatea includerii în matricea de separație a abaterilor de la paralelism generate de
condițiile de exploatare reale (erori de prelucrare , deformații ale arborilor și carcasei).
8. Dezvoltarea algoritmului semianalitic SAM-C cu dist ribuții virtuale de presiuni capabile
să elimine erorile introduse de ipoteza semispațiul ui pentru cazul real al contactului con-
centrat liniar cu lungime finită.
9. Dezvoltarea codului de calculator Non Hertz-C confo rm cerințelor algoritmului SAM-C.
10. Obținerea matricii coeficienților de influență sepa rat pentru fiecare distribuție de presiuni,
ceea ce oferă o mai mare flexibilitate în utilizare a programului Non Hertz-C.
11. Studii de caz efectuate pe cele 3 variante, standar d, flancare și bombament în condiții de
aliniere perfecta sau de dezaxare care au permis gă sirea valorilor optime pentru parametrii
modificărilor de profil pe baza analizei tensiunii echivalente von Mises.

8.3 Direcții de cercetare viitoare
1. Considerarea microtopografiei flancurilor în determ inarea stării de tensiuni.
2. Includerea alunecărilor în stabilirea regimului de ungere specific fiecărei porțiuni din profilul
flancului, ca etapă intermediară în aprecierea sarc inilor tangențiale de frecare.
3. Considerarea solicitărilor normale și tangențiale î n aprecierea distribuției stării de tensiuni de
contact concentrat.
4. Elaborarea unui criteriu robust pentru analiza rezi stentei la gripare.
5. Dezvoltarea unui algoritm și a programului de calcu l TCA pentru roți dințate cilindrice cu
dinți înclinați.

55
Bibliografie
Ahmadi N., Keer, L.M., Mura T. “Non-hertzian contac t stress analysis for and elastic half space
normal and sliding contact” International Journal o f Solids and Structures, 19 (4), pp157-
378, 1983.
Ai X., Savemihakdi K., “Solving elastic contact bet ween rough surfaces as an unconstrained strain
energy minimization by using CGM and FFT techniques ”, Jurnal of Tribology, 121, pp.
639-647, 1999.
Allwood J., Survey and Performance Assessment of So lution Methods for Elastic Rough Contact
Problem, ASME – J.Tribol., 127, pp 10-23, 2005.
Boussinesq J., Application des Potentiels a l’Etude del’Equilibreet du Mouvement des Solides
Elastistiques”,in Timoshenko, Goodier Theory of Ela sticiy New York,1970, Paris:
Gauthie-Villars, 1885.
Brandt, A., Lubrecht A. A. “Multilevel matrix multi plication and fast solution of integral equa-
tion” Jurnal of Computation Phisics, vol. 90, issue 2, pp 348-370, 1990.
Brumm M., Requirements for the Gear Manufacturing î n the Future, Aachen: Aachen University,
2002.
Casanova R. V., Simulacion del engrane y analisis del contactoen sistemas de transmission por
engranajes mediante la modelizacion avansada del co njunto eles-engranajes, Tesis Doc-
toral, Universitat Jaume, Diciembre 2015.
Casanova V.R., Sanchez-Marin F., Perez I.G., Isert e J.L., Fuentes A., Determination of the ISO
load factor în spur drives by finite element modeli ng of gears and shafts, Mech. Mach.
Theory, 65, pp.1-13, 2013.
Cheng Wangquan, Wenke Tu, Semi-analytical modeling of spalling life of spur and helical gears,
Tribology Research from Model Experiment to Industr ial Problem, G. Dalmaz, Elsevier
Science B,V., 2001.
Crețu S. “Initial plastic deformation of cilindrica l roller geometry – stress distribution analysis”,
Acta tribologica,4 pp.1-6, 1996.
Crețu S., Antalucă E., Crețu O., The study of non-h ertzian concentrated contacts by a GC-FFT
technique, Annals Univ. Galați Romania 24, 26-35, 2 003.
Crețu S., Antalucè E. “A comparative study on numer ical methods use do obtain pressure distri-
bution în non-hertzian concentrated contact” PRASIC ’02 nov. pp. 421-426, Brasov, 2002.
Crețu S., Benchea M., Iovan Dragomir A., On basic r eference rating life of cylindrical roller bear-
ings. Part 1-Elastic analysis, J. Balkan Tribol. A ssoc. 21, 4 , 820-830, 2015.en,
Crețu S., Benchea M., Iovan-Dragomir, A. On basic r eference rating life of cylindrical roller bear-
ings. Part 2-Elastic -plastic analysis, J. Balkan Tribol. Assoc. 22, 1, 272-280, 2016.
Crețu S., Contactul concentrat elastic-plastic, Ed. Politehnium, Iași, Romania, 2009.
Crețu S., Mecanica Contactului, Ed. Gheorghe Asachi , Iași, 2002.
Crețu S., Pop N., Cazan S., Tooth contact analysis of spur gears. Par t 1-SAM analysis of standard
gears, IManE&E, May 25-26, Iași, Romania 2017.
Crețu S., Pressure distribution în concentrated rou gh contacts, Bull. Inst. Polit. Iași, LI (LV) 1-2,
1-31, 2005.

56
Crețu S.,Cazan S., Pop N., Considerations regarding pressures distribution on leads of spur and
helical gears, Int. Conf. ACME 2018, July, 07-08, Iași, Romania.
D. I. C. M, Angrenaje.Reductoare, Bucuresti: Oficiu l de Informare Documentara pentru Industria
Constructiilor de Masini, 1997.
Davis J.,Gear Materials, Properties, and Manufactur e, OH 44073-0002: ASM International, 2006.
De Mul J. M., Kalker J. J., Fredriksson B., The con tact between arbitrarily curved bodies of finite
dimensions, ASME Trans. J. Lub. Tribol., 108,140-14 8, 1986.
Deng X., Qian Z., Li Z., Dollevoet R., Applicabilit y of half-space-based method to non-conform-
ing elastic normal contact problems, Int. J. Mechan ical Sciences, 126, 229-134, 2017.
Diaconescu E., Glovnea M., Mecanica mediilor contin ue, Ed. Universitatii Suceava, 1995.
Diaconescu E., GlovneaM., Uniform contact pressure between a rigid punch and an elastic-half-
space, Acta Tribologica, 2, 1, pp. 7-14, 1994.
DIN 3990, 1987.
Dobre G., Gabroveanu I. S., Mirica R. “On the torsi on gear tooth stiffness at helical gears” 21st
DAAAM World Symposium, Zadar, Croatia, 2010.
Dobre G., Gabroveanu I. S., Mirica R. “FEA and appl ication principles for the studdy of gears. “
Conferinta Internationala de Stiinte Aerospatiale, INCAS, Bucuresti, 2008.
Duca C.,Buium Fl., Pârăoaru G., Mecanisme,Ed. Gh. A sachi, Iași, 2003.
Dudley W. D., Practical gear design, New York: CRC Press, 1994.
Epstein D., Wang J. Q., Keer L., Cheng H., Zhu D., Harris S., Gangaopadhyay A., “A macro-
micro fatigue approach for predicting fatigue life în mixed EHL contact în tribological
research and design for engineering system”, D. Dow son et al. (editor) Elsevier, pp. 835-
843, 2003.
Frazer R., Optimizing Gear Geometry for Minimum Tra nsmission Error, Mesh Friction Losses
and Scuffing Risk Through Computer- Aided Engineeri ng, Gear Technology, 2010.
Fernandez del Rincon A., Viadero F., Iglesias M. A model for the study of meshing stiffness în
spur gear transmissions, Mechanism and Machine Theo ry, 61, pp. 30-58, 2013.
Gabroveanu I. S., Tudor A. , Cananau S., Mirica R. “The method and a stand to determine the
statical stiffness of helical gears” Constructia de masini, 2015.
Gabroveanu I. S., Tudor A. , Cananau S., Mirica R. “Method and a stand to determine the dynamic
performances helical gears” Constructia de masini, 2015.
Gabroveanu I. S., Cananau S., Mirica R., Tudor A. “ Overlap contact ratio effects on the perfor-
mance of helical gears. Mechanical testing and diag nosis.” Scientific jurnal – Universitatea
Dunarea de Jos Galati, 2015.
Gabroveanu I. S., Tudor A., Mirica R., Cananau S., “FEM analysis of gear width influence on the
mesh stifness of helical gears.” Scientific buletin , series D – Universitatea POLITEHNICA
din Bucuresti, 2016.
Gafițanu M. Crețu S., Pavelescu D., Rădulescu Gh., Organe de Masini Vol II, Bucuresti: Editura
tehnica, 1983.
Gladwell G.M., Contact problems în the classical th eory of elasticity, 1980, Sijthoff & Noordhoff
Int. Publishing House.

57
Glovnea M. Diaconescu E.M., “New investigations of finite length line contact”. Procedings of
Trib 2004, ASME ISTLE, Intrenational Joint Tribolog y Conference, Long Beach, Califor-
nia USA, 2004.
Glovnea M., Contactul elastic de suprafața, Editura Matrix Rom, Bucuresti. 2007.
Gradinaru D. “Numerical modeling în elastic eontact theory”, phd thesis, Uneiversity of Suceava,
2006.
Guilbault R., A fast correction for elastic quarter -space applied to 3D modelling of edge contact
problems, ASME Trans. J. Tribol. 133, 2, 2011.
Harris A. T., Kotzalas N. M., Rolling Bearing Analy sis – 5th edition, Taylor&Francis, CRC Press,
Boca Raton, New-York, 2007.
Hartnet M. J., The analysis of contact stresses în rolling contact bearings, ASME Trans. J. Tribol.,
101, pp. 105-109, 1979.
Hartnett M., Kannel W. “Contact stress between elas tic cylinders. A comprehensive theoretical
and experimental approach” ASME Jurnal of Lubrifica tion Technology. 903, pp. 40-45,
1981.
Hetenyi M. A general solution for the elstic quarte r space, ASME Trans.,Series E, J. Appl. Me-
chanics, 37, pp.70-76, 1970.
Hetenyi M. A method of solution for the elastic qua rter plane, J. Appl. Mechanics, 27, pp.289-
296, 1960.
Hill D. A., Nowell D., Sackfield A.,Mechanics of El astic Contacts, Butterworth, Oxford, 1993.
Houpert L., An Engineering Approach to Hertzian Con tact Elasticity Part I, ASME- J. Tribol.,
123, pp 582-588, 2001.
Houpert L., An Engineering Approach to Hertzian Con tact Elasticity Part II, ASME- J. Tribol.,
123, pp 589-594, 2001.
Hu Y., Barber G. C., Zhu D., Numerical analysis for the elastic contact of real rough surfaces,
Tribol. Trans., 42, 3, 443-452, 1999.
Hyatt Piber M., Chaphalkar N., Kleinhenz O., Mori M ., A review of new strategies for gear pro-
duction, 6th CIRP Int. Conf. on High Performance Cutting, HPC20 14, Procedia CIRP pp.
72-76, 2014/
Ioannides E., Bergling G., and Gabelli A., An analy tical formulation for the life of rolling bear-
ings, Acta Polytech. Scand., Mech. Eng. Series No 1 37, Finnish Institute of Technology,
1999.
Ioannides E., Harris A. T., A new fatigue life mode l for rolling bearings, ASME Trans. J. Tribol.,
107, 367-378, 1985.
ISO 21771, Gears-cylindrical Involute Gears and Gea r Pairs–Concepts and Geometry, 2007
ISO 6336-1-5, Calculation of load capacity of spur and helical gears, Switzerland, 2016.
Johnson L. K., Contact mechanics, Cambridge Univers ity Press,1985.
Ju Y., Farris T.N., “Spectral analysis of two dimen sion contact problems” ASME, Journal of Tri-
bology, 118, pp. 320-328, 1996.
Kalker J.J., Three Dimenional Elastic Bodies în Con tact, Kulwer Acad. Publ. Dordrecht, Boston,
London 1990.

58
Kalker J.J., van Randen, A Minimum Principle for Fr ictionless Elastic Contact with Application
to Non-Hertzian Half-space Contact Problems, J. Eng . Math., 6, (2), pp.193-206, 1972.
Kissling U., Effects of Profile Corrections on Peak to Peak Transmission Error, Gear Technology,
2010.
Kremar K., US Economic and Gear Industry Outlook, A GMA, IHS, 2013.
L. C, Optimal modifiation on helical gears for good load distribution and minimal wear, Lyon:
IGC2014 Conference proceedings, 2014.
Lemaitre J., Chaboche J.L., Mechanics of Solid Mate rials., Cambridge University Press., 1994.
Li S., Effects of machining errors, assembly errors and tooth modifications on load -carrying ca-
pacity, load-sharing rate and transmission error of a pair of spur gear, Mech. Mach. The-
ory, 42, 698-726, 2007.
Li S., Effects of misalignment error, tooth modific ations and transmitted torque on tooth engage-
ments of a pair of spur gear, Mech. Mach. Theory, 8 3, 125-136, 2015.
Litman W. E. The mechanism of rolling contact fatig ue. În Ku P. M., editor, Interdisciplinary
approachto the lubrication of concentrated contacts , 1969
Litvin F., Fuentes A., Gear geometry and applied th eory, Cambridge University Press, 2004.
Liu S., Wang Q., “Studying contact stress fields ca use by surface tractions with a discrete convo-
lution and fast Fourier transformation algorithm”, ASME, Journal of Tribology, 124, pp.
36-45, 2002.
Liu S., Wang Q., Liug G. “A versatile method of dis crete convolution and FFT (DC-FFT) for
contact analysis”, Wear, 243 11-2 , pp. 101-111, 20 00.
Love A.E.H., The Stress Produced în a Semi-Infinite Solid by Presure on Part of the Boundary,
Phil. Trans. Royal Society of London, A-228, pp. 37 7-420, 1929.
Lubrecht, Ioannides S., A Fast Solution of the Dry Contact Problem and the Associated Subsur-
face Stress Field Using Multilevel Technique, ASME- J. Tribol.,113, pp.128-133, 1991.
Mao K., Gear tooth contact analysis and its applica tion în the reduction of fatigue wear, WEAR,
262, pp.1281-1288, 2007.
Marques P., Martins M., Seabra J., Analytical load sharing and mesh stiffness model for spur/hel-
ical and internal/external gears – Towards constant mesh stiffness gear design, Mechanism
and Machine Theory, 113, pp.126-140, 2017.
Martini A., Escofler B., Wang Q.,Liu S.B., Keer L., Zhu D. and Bujold M., Prediction of subsur-
face stress în elastic perfectly plastic rough comp onents, Tribology Letters, 23,3, pp.243-
Morales-Espejel G. E., Gabelli A., DeVries A. J., A model of rolling bearing life with surface and
subsurface survival–Tribological effects, Tribol. Trans., 58, 5, pp. 894-906, 2015.
Morales-Espejel G. E., Rycerz P., Kadiric A., Predi ction of micropitting damage în gear teeth
contacts considering the concurrent effects of surf ace fatigue and mild wear., WEAR, 398-
399, pp. 99-115, 2018.
Nagy T., Kato T., “Influence of hard surface on the limits of elastic contact – analysis using a real
surface model” ASME, Jurnal of Tribology, 119, pp. 493-500, 1997.
Najjari M.,Guilbault R. Modeling the edge contact l ines on subsurface stresses, Tribology Int.,
2015.

59
Najjari M.,Guilbault R., Modeling the edge contact lines on subsurface stresses, Tribology Int.,
2015.
Nelias D., Boucly V., Antălucă, E., Crețu S., A thr ee-dimensional semi-analytical model for elas-
tic-plastic contacts, ASME Trans. J. Tribol. 129 , 761-771, 2007.
Nelias D., Dumont M.L., Champiot F., Vincent A., Gi rodin D., Fougeres R., Flamand L., Role of
inclusions, surface roughness and operating conditi ons on rolling contact fatigue, ASME
Trans. J. Tribol. 128, 240-251, 1999.
Niemann Gustav, Machinen-elemente, Berlin: Springe r, 2003.
Olsson E., Olander A., Oberg M. “Fatigue of gears î n finite life regime – experiments and proba-
bilistic modelling” Engineering Failure Analysis, 6 2, pp. 276-286, 2016.
Olver A.V. The mechanismof rolling contact fatigue : an update.Proc.Inst.Mech.Eng. Part J: Eng.
Tribol., 2005; 219,(5): 13-30.
Osman T., Velex Ph. Static and dynamic simulation o f mild abrasive wear în wide-faced solid
spur and helical gears, Mechanism and Machine Theor y, 45, p. 911-924, 2010.
Pedrero I. J., Pleguezuelos M., Artes M., Load dist ribution model of contact for involute external
gears, Mech. Mach. Theory, 45, 780-794, 2010.
Pedrero I. J., Pleguezuelos M., Munoz M., Contact s tress calculation of undercut spur and helical
gear teeth, Mech. Mach. Theory, 46, pp.1633-1646, 2 011.
Pedrero I. J., Pleguezuelos M., Munoz M., Critical stresses and load conditions for pitting calcu-
lations of involute spur and helical gear teeth, Me ch. Mach. Theory, 46, 425-437, 2011.
Polonsky I. A., Keer L., A Numerical Method For So lving Contact Problems Based On The
Multilevel Multisumation and Conjugate Gradient Tec hniques, Wear, 231,pp. 206-
219,1999.
Polonsky I. A., Keer L., Fast methods for solving r ough contact problems, ASME Trans. J. Tribol.
122, 1, 2000.
Pop N., Coteață M. “Some aspects of parametrized CNC programming” The 15th Int. Conf. Tech-
nomus May 8-9, 2009.
Pop N., Crețu S., Tooth contact analysis of spur gears. Pa rt 2-SAM analysis of modified gears,
IManE&E, May 25-26, Iași, Romania 2017.
Pop N ., Crețu S., Tufescu A., Non-hertzian contact model for tooth contact analysis of spur gear
with lead crowning, App. Mech. Mat. 658, 531-556, 2014.
Pop N., Crețu S.,Yaldiz S.,Iovan A., A semi-analytical met hod for teeth contact analysis of spur
gears with modified profiles, Int. Conf. BalkanTrib ’17,Cappadocia, Turkey, 13-15 Sept.
2017, Proc. of BalkanTrib’17 pp.267-288, 2017.
Popinceanu N, Gafitanu M., Diaconescu E. și Crețu S , Problemele fundamentale ale contactelor
cu rostogolire. Ed. Tehnică, București, 1981.
Popinceanu N., Diaconescu E., Crețu S., Critical st resses în rolling contact, WEAR, 71, 265-282,
1981.
Pu W., Zhu D., Wang J. ”A Starved Mixed Elastohydro dynamic Lubrication Model for the Pre-
diction of Lubrication Performance, Friction and Fl ash Temperature With Arbitrary En-
trainment Angle” Jurnal of Tribology 140 (3), May 2 018.

60
Qin J.W., Guan Y. C., An Investigation on contact s tresses and crack initiation în spur gears based
on finite element dynamic analysis, Int. J. Mech. S ciences, 83, pp.96-103, 2014.
Rădulescu Gh., Miloiu G., Gheorghiu N., Muntean G., Vișa Fl., Popovici Vl., Rașeev M., In-
drumar de proiectare în construcția de mașini, Ed. Tehnică. 1986.
Rakhit A., Heat Treatment of Gears: A Practical Gui de for Engineers, OH44073-0002: ASM In-
ternational, 2006.
Reagor C. P. An optimal gear design method for mini mization, Pensilvanya USA: The Pennsyl-
vania State University, 2010.
Ristiovojevic M., Studying the doad carrying capaci ty of spur gear tooth flanks, Mechanism and
Machine Theory, 59, p. 125-137, 2013
Sadeghi F., Jalalahmadi B., Slack T., Raje N., Ara kere N., A review of rolling contact fatigue,
ASME Trans. J. Tribol., 131, 2, 2009.
Sanchez M. F., Iserte L. J., Casanova R.V., Numeric al tooth contact analysis of gear transmissions
through the discretization and adaptive refinement of the contact surfaces, Mech.
Mach.Theory, 101, pp/79-94. 2016.
Sanchez M.F, Pleguezuelos M., Pedrero J., Approxima te equations for the meshing stiffnesss and
the load sharing ratio of spur gears including hert zian effects, Mech. Mach.Theory, 109,pp.
231-249, 2017.
Sanchez M.F., Pedrero J., Pleguezuelos M., Contact stress calculation of high transverse contact
ratio spur and helical gear teeth, Mech. Mach.Theor y, 64m pp.931-10, 2013.
Sanchez M.F., Pedrero J., Pleguezuelos M., Critical stress and load conditions for bending calcu-
lation of involute spur and helical gears, Int. J. Fatigue, 48,pp. 28-38, 2013.
Sanchez M.F., Pleguezuelos M., Pedrero J., Enhanced modelof load distribution along the line of
contact for non-standard involute external gears,Me ccanica, 48,pp.527-543, 2013.
Santus C., Beghini M., Bartilotta I., Facchini M., Surface and subsurface rolling contact charac-
teristic depth and proposal of stresses indexes, In t. J. Fatigue. 45, 71-81, 2012.
Shewchuk J.R, An Introduction to the Conjugate Gr adient Method without Agonizing Pain,
http:/www.cs.cmu.edu/~quake-papers/painless-conjuga te-gradient.ps, 1996.
Shigley E. J., Mischke R. C., Budynas G.R., Progett o e construzione di macchine, McGraw-Hill,
Publishing Group Italia, Milano, 2005.
Shuting, L., E ffects of machining errors assembly errors and tooth modifications, Elsevier Mech.
Mach. Theory, 2007.
Si C. Lee, Ning Ren, The subsurface stress field c reated by three-dimensionally rough bodies în
contact with traction, Tribol. Trans. 34, 3, 615-62 1, 1994.
Siang-Yu Ye, Shyi-Jeng Tsai, A computerized method for loaded tooth contact analysis of high-
contact-ratio spur gears with or without flank modi fication considering tip corner contact
and shaft misalignment, Mech. Mach. Theory, 97, pp. 190-214, 2016.
Siang-Yu Ye, Shyi-Jeng Tsai, A computerized method for loaded tooth contact analysis of high-
contact-ratio spur gears with or without flank modi fication considering tip corner contact
and shaft misalignment, Mech. Mach. Theory, 97, 190 -214, 2016.
Solomon L., Elastcitate liniară. Introducere matema tică în statica solidului elastic, Ed. Academiei,
București, 1969.

61
Soos E., Teodosiu C., Calculul Tensorial cu Aplicat ii în Mecanica Solidelor, Ed. Stiintifica și
Enciclopedica, Bucuresti, 1983.
Spânu S. G., Cerlincă A. D., Modelarea și simularea contactului mecanic în domeniul elastic, Ed.
Matrix, București, 2017.
STAS 821, Agrenaje cilindrice în evolventă de uz ge neral, Romania 1982.
Torstenfelt B., Fredriksson B., “Pressure distribut ion în crowned roller contacts” Engineering
Analysis, 1 (1), pp. 32-39, 1984.
Tudor A., Contactul real al suprafetelor de frecare , Ed. Academiei, Bucuresti. 1990.
Weber C., Elastische Formänderungder Zähne und der anschliessenden Teile der Radkörper von
Zahnradgetrieben, FVA, 195.
Wei J., Aigiang Z., Gao P. “A study of spur gear pi tting under EHL condition, theoretical analysis
and experiments”, Tribology International, 94, pp.1 46-154, 2016.
Wu, J. W. Static/dynamic contact FEA and experimen tal study for tooth profile, Journal of Me-
chanical Science and Technology, 2012.
Zaretsky E. V. “Fatigue rCiterion în System Design , Life and Reliability “, J. Propul. Power, 3,
(1), pp. 76-83, 1987.
Zhang H, Wang W. Zhang S., Zhao Z. “Elastohidrodyna mic lubrication analysis of finite line
contacts problem with consideration of two free end surfaces”, ASME, Jurnal of Tribol-
ogy, 139, May, 2017.
Zhu D., Hu Y., “A computer program package for the prediction of EHL and mixed lubrication
caratheristics, friction sub surface stress, and fl ash temperature based on measured 3D
surface roughness” Tribology transactions, 44 (3), pp. 383-390, 2016.
Zhu D., Ren N., Wang Q. J., Pitting life prediction based on 3D line contact mixed EHL analysis
and subsurface von Mises stress calculation, ASME T rans. J. Tribol.131, 4,1-8, 2009.
Zhu D., Wang J., Ren N., Wang J. Q., Mixed elastohy drodynamic lubrication în finite roller con-
tacts involving realistic geometry and surface roug hness, ASME Trans. J. Tribol.134, 1,
2012.
Zhu D., Wang Q., Elastohydrodynamic lubrication (EH L): A gateway to interfacial mechanics –
review and prospect, ASME Trans. J. Tribol.133, 4, 2012.
Zhu Dong, Cheng S. H.,A comprehensive analysis for contact geometry, kinematics, lubrication
performance, bulk and flash temperature, Tribology and Interface Engineering Series, 18,
pp. 383-389, 1991.
Zwirlein O., Schlicht H., Werkstoffanstrengung bei Walzbeanspruchung – Einfluss von Ribung
und Eigenspannungen, Z. Werkstofftech., 11, 1-14, 1 980.
**** SKF- General Catalogue 6000/1, 2008.