Contributii la Studiul Dinamicii Robotilor Industriali
CUPRINS
ANEXA 1 …………………………………………………………………………………………………………………………….A1_1
Modelări și Simulari cinematice și dinamice ale unor structuri reprezentative de roboți …………………………………………………………………………………………………………………..A1_11
ANEXA 2 …………………………………………………………………………………………………………………………….A2_1
SECVENȚE DIN PROGRAMUL DE CALCUL MATEMATIC………………………………………………….A2_19
Capitolul 1.
Cercetări și realizări în domeniul roboților industriali
1.1 Introducere
Studiul roboticii este motivat de fascinația exercitată asupra oamenilor de posibilitatea existenței unor mecanisme care să imite comportarea inteligentă, de dorința dintotdeauna de a realiza echipamente de producție cât mai performante și nu în ultimul rând, de necesitatea de a dispune de sisteme inteligente autonome care să acționeze în spații cu grad mare de periculozitate. Apariția roboților în epoca actuală poate fi justificată și prin necesitatea adecvării omului la mediu. Adecvarea la mediu a omului intră în categoria procesului de creștere a productivități interacțiunii, prin diminuarea efortului necesar și prin creșterea cantității și calității beneficiilor obținute de la mediu.
Cuvântul robot a intrat în vocabularul englezesc în 1923 odată cu traducerea piesei de Karel Capek, “RUR” “Rossum’s Universal Robots” (Roboții universali din Rossum). Capek era ceh și în limba sa cuvântul “robot” înseamnă muncitor. Constituind vreme îndelungată tema unei ample literaturi științifico-fantastice, roboții au fost realizați ca sisteme tehnice de dată relativ recentă, determinând apariția unei noi orientări tehnico-științifice – tehnica roboților. Domeniile de aplicare a tehnicii roboților se lărgesc mereu, ei putând fi utilizați în industrie, transporturi și agricultură, în sfera serviciilor, în cunoașterea oceanului și a spațiului cosmic, în cercetarea științifică etc.
În general, roboții constituie o clasă de sisteme tehnice care imită sau substituie funcții motrice sau intelectuale umane. Aceasta se realizează prin asocierea diferitelor tipuri de sisteme de manipulare sau locomotoare, deteminând caracterul antropomorfic al robotului, cu diferite tipuri de echipamente de calcul sau logice, care determină funcțiile intelectuale ale acestuia. Roboții își desfășoară activitatea într-un mediu concret, ale cărui caracteristici pot rămâne constante sau sunt variabile în timp [EDG 93], [CRA 05], [PoP 94].
Roboții ce acționează în medii industriale au căpătat denumirea de roboți industriali. În general, aceștia sunt roboți automați și în cazuri mai rare se utilizează în industrie și roboți biotehnici sau interactivi.
Diversitatea mare de tipuri de locuri de muncă și rapida dezvoltare a celulelor și instalațiilor de fabricație flexibile au dus la apariția nevoii de studiere a mai multor tipuri de manipulatoare. Așa cum se arată în figura1.1, există o diversificată tipologie de roboți, chiar fabricați de un același producător. Din punct de vedere teoretic, există o listă mult mai bogată, ca număr și diversitate, cu tipuri de manipulatoare decât cele utilizate în prezent. În industrie nu se găsesc manipulatoare cu geometrie “standard” sau simplificată, deci trebuie cunoscut bine modelul și comportamentul său. Această simplificare a morfologiei vine din faptul că axele articulațiilor succesive sunt paralele sau perpendiculare și cel mai adesea concurente.
De aici a apărut necesitatea unei analizări comportamentale a acestor structuri care să permită compararea performanțelor lor.
Față de mijloacele clasice de automatizare, introducerea roboților industriali conduce la universalitate, posibilitatea adaptării (reglării) lor rapide la noile cerințe, cu productivitate maximă și cheltuieli minime. Caracteristicile de mai sus sunt de primă importanță în domeniul producției de serie mică și mijlocie, adică acolo unde s-au dezvoltat sistemele de fabricație flexibilă.
În scopul realizării sarcinilor complexe de manipulare, poziționare și orientare, robotul se deplasează pe traiectorii bine definite și cu un control permanent asupra parametrilor de poziție-orientare și de viteze-accelerații, respectiv asupra forțelor generalizate motoare.
Direcțiile de cercetare curente sunt centrate pe creșterea peformanțelor roboților, reducerea costurilor de proiectare, fabricație și de exploatare a roboților, siguranță îmbunătățită în utilizare precum și introducerea de noi funcționalități [BRO07], [BRO09].
Dezvoltarea roboților industriali în mod sigur nu a atins limitele și mai există încă o mulțime de lucruri de făcut pentru a reduce decalajul între cercetarea academică și dezvoltarea industrială.
Indiferent de generația robotului problemele complexe se ivesc la realizarea structurii mecanice de manipulare și la generarea funcțiilor de comandă geometrică, cinematică și dinamică [MOB 10].
1.2 Definiții ale roboților
Nu este un lucru ușor de dat o definiție care să cuprindă toate caracteristicile unui robot în câteva rânduri. Din acest motiv, există mai multe definiții ale aceluiași termen, date de unele dintre companiile constructoare sau asociațiile naționale din domeniu. Fiecare dintre acestea încearcă să definească în moduri diferite, același produs al inteligenței umane [ISO 94], [ISO 98].
În continuare sunt trecute în revistă cele mai semnificative definiții:
– RIA (Robot Institute of America): "Robotul este un manipulator multifuncțional, reprogramabil, destinat deplasării materialelor, pieselor, sculelor sau altor dispozitive specializate prin mișcări variabile, programate pentru a îndeplini anumite sarcini."
– JARA (Japan Robot Association): "Robotul este un dispozitiv versatil și flexibil care oferă funcții de deplasare similare celor ale membrelor umane sau ale cărui funcții de deplasare sunt comandate de senzori și de mijloace proprii de recunoaștere."
– BRA (British Robot Association): "Robotul este un dispozitiv reprogramabil realizat pentru manipularea și transportul pieselor, sculelor sau altor mijloace de producție prin mișcări variabile programate pentru a îndeplini sarcini specifice de fabricație."
– General Motors: "Robotul este un echipament fizic cu funcționare programabilă capabil să efectueze anumite operații și secvențe de operații orientate spre manipularea de piese, scule, subansamble."
Din definițiile prezentate mai sus se poate observa că, în cele mai multe cazuri, accentul se pune pe latura industrială a robotului. Una dintre primele definiții date acestei creații mecanice arată că acesta imita omul sau posibilitățile sale de acțiune. Având în vedere dezvoltarea cercetării din domeniu și exemplarele fizice de roboți mobili construite care imită diferite vietăți, se pot completa aceste definiții astfel: ,,Roboții sunt sisteme mecanice cu structură variabilă, controlate de sisteme complexe care sunt concepute pentru executarea de operații asemănătoare acțiunilor ființelor (umane și nu numai)." [DRA 97], [PoP 94], [TOK 08]
Într-o accepțiune largă, robotul industrial este o mașină automată care conține un manipulator cu sisteme de conducere, reprogramabil și care are ca scop îndeplinirea, în procesul de producție, a funcțiilor de mișcare și de conducere, care îndeplinesc funcții asemănătoare ale omului în deplasarea obiectelor muncii și a dispozitivelor tehnologice. El poate realiza cele mai variate succesiuni de operații de manipulare în cadrul unor procese de fabricație, această flexibilitate fiind asigurată pe de o parte prin disponibilitatea unui număr suficient de grade de libertate (grade de mișcare), iar pe de altă parte prin programabilitate.
Performanțele în ceea ce privește controlul mișcării depinde de aplicație. Performanțe mai bune se obțin când anumite aplicații se realizează cu roboți dedicați.
Exemple de cerințe pentru diferite aplicații:
Precizie înaltă în parcurgerea traiectoriei pentru aplicații continue (sudarea cu laser, tăiere cu laser, dozare, tăiere cu jet de apă);
Precizie înaltă privind viteza de executare a aplicațiilor continue (vopsire sau dozare);
Timp minim de realizare a sarcinii (viteze și accelerații mari) în aplicațiile discrete (manipulare, stivuire).
Manipulatorul este un mecanism multimobil care poate fi comandat de om, însă acționarea se realizează de regulă, printr-o sursă de energie industrială. Manipulatorul se constituie ca o structură mecanică a unui robot industrial, fiind deci un subsistem al acesteia. Se poate defini manipulatorul ca un pseudorobot industrial cu un sistem de comandă rudimentar, fiind prevăzut cu un program rigid de lucru și având o versatilitate redusă. În cazul în care un manipulator este prevăzut cu un sistem de comandă – control suficient de dezvoltat, acesta va deveni robot industrial, putând efectua operații proprii inteligenței umane.
Mecanismele de tip manipulator utilizate în industrie reprezintă astăzi una din componentele indispensabile ale celulelor și liniilor flexibile, nu doar pentru faptul că asigură mișcările esențiale spre și între mașini, ci mai ales faptului că pot efectua și se pot adapta mișcărilor diverse impuse de zona de lucru de exemplu. Este motivul pentru care, în prezent, au devenit componente care se regăsesc în toate configurațiile modelelor de tip robot industrial în completarea altor materiale, echipamente și mașini.
1.3 Structura generală a unui robot industrial
Pentru a putea îndeplini funcțiile sale, robotul industrial trebuie să aibă în structura sa părțile componenete ce rezultă din fig.1.2. Acestea realizează funcțiile de lucru, de comandă și programare, precum și funcțiile de măsurare și recunoaștere.
Funcțiile de lucru ale robotului industrial sunt deplasarea și orientarea obiectului manipulat într-un anumit spațiu, apucarea-eliberarea obiectului manipulat și funcția locomotoare (deplasarea robotului în afara zonei de lucru). Aceste funcții sunt realizate de sistemul mecanic SM (fig.1.2) al robotului, care este denumit, uzual, manipulator.
Funcția de mișcare a robotului se obține prin subansamblele 1, 2, 3, și 4 (fig.1.2), care realizează mișcări de translație T și de rotație R după axele de coordonate (gradele de libertate sau de mișcare ale robotului), determinând prin aceasta deplasarea obiectului manipulat într-o poziție oarecare în spațiu. Funcția de apucare-eliberare a robotului este realizată de mâna 4. Obiectul manipulat de mâna 4 poate fi o piesă, o sculă, un pistol de vopsit, un cap de sudare, o șurubelniță etc., manipularea efectuându-se în cadrul procesului tehnologic asistat de robot.
Pentru a realiza funcția de mișcare, manipulatorul robotului industrial se constituie ca un lanț cinematic deschis (ca în fig.1.2) sau, uneori, parțial închis. Această funcție se execută în două faze distincte: deplasarea obiectului manipulat și orientarea acestuia, faze ce se pot defini cu ajutorul noțiunilor de punct caracteristic, dreaptă caracteristică și dreaptă auxiliară. Punctul caracteristic este un punct oarecare al obiectului manipulat, dreapta caracteristică este o dreaptă ce trece prin acest punct, iar dreapta auxiliară este o dreaptă perpendiculară pe dreapta caracteristică în punctul caracteristic. În prima fază, se realizează deplasarea punctului caracteristic dintr-o poziție în alta, pe o anumită traiectorie, mecanismul ce realizează această fază fiind numit generator de traiectorie. Orientarea dreptei caracteristice și a celei auxiliare în poziții corespunzătoare poziției finale impuse a obiectului manipulat se realizează prin mecanismul de orientare al robotului. În unele cazuri, cele două tipuri de mecanisme componente ale robotului sunt distincte, dar la alți roboți ele se întrepătrund.
Deplasarea obiectului manipulat înseamnă modificarea celor trei coordonate ale punctului caracteristic, deci sunt necesare pentru acestea trei grade de mișcare. Adăugarea unuia sau două grade de mișcare suplimenatre la mecanismul generator de traiectorie conduce la posibilitatea ocolirii obstacolelor în zona de lucru, a introducerii obiectului în recipienți sau la îmbunătățirea dinamicii mecanismului.
Pentru orientarea deplină a obiectului manipulat sunt necesare, de asemenea, trei grade de mișcare (trei rotații, de exemplu mișcările de rotație ale mâinii 4, fig.1.2). Unii roboți industriali pot fi numai cu mișcări pentru deplasarea obiectului, dar fără mișcări de orientare. De asemenea, trebuie amintit că mișcarea de apucare a obiectului manipulat nu se consideră grad de libertate (de mișcare).
Așa cum rezultă de mai sus, în construcția mecanismelor roboților industriali intră cuple cinematice de clasa a V-a (de rotație și/sau de translație). Modificarea poziției relative unghiulare sau liniare a elementelor ce compun aceste cuple se realizează prin elemente de acționare electromecanice, hidraulice sau pneumatice a acestor componente.
Comanda mișcărilor unui robot se poate realiza pe cale manuală, prin panoul PC (fig.1.2) sau automat, cu ajutorul echipamentului de comandă ECR. Introducerea programului de funcționare în memoria echipamentului ECR se poate face manual, cu panoul PC sau cu ajutorul unui dispozitiv special de programare DP. Pentru a sincroniza fazele ciclului de lucru ale robotului cu cele ale procesului tehnologic, echipamentul ECR trebuie să emită semnale de comandă și pentru utilajele pe care se execută procesul tehnologic și invers.
Funcția de măsurare și recunoaștere a robotului industrial se realizează cu senzori (Sz1, Sz2, fig.1.2) care determină starea robotului propriu-zis și a mediului exterior în care are loc acțiunea robotului. Asemenea senzori pot determina poziția sau viteza obiectului în timpul transportului, pot determina forța sau momentul de torsiune în timpul lucrului, măsoară temperatura sau zgomotul, pot sesiza poziția obiectului înainte de apucare, pot sesiza apariția unui obstacol în zona de lucru, pot fi sisteme de recunoaștere a formelor sau de înțelegere a vorbirii etc. Aceste informații sunt conduse la echipamentul de comandă ECR și prelucrate de acesta în mod corespunzător.
1.4 Clasificarea roboților industriali
Individualizarea roboților industriali se poate face după un mare număr de criterii, dintre care cele mai importante sunt cuprinse în fig. 1.3. În afara acestor criterii, se mai poate face clasificarea și după numărul gradelor de libertate care determină structura cinematică a robotului, după numărul manipulatoarelor cu care este prevăzut robotul (cu unul, două sau cu mai multe manipulatoare) etc.
1.4.1. Execuția și specializarea roboților industriali
În funcție de condițiile de exploatare, roboții industriali se pot construi în execuții diferite:
• execuție normală, când robotul lucrează în medii obișnuite (temperaturi, umiditate, concentrație de praf sau de gaze toxice normale), situații întâlnite la roboții destinați proceselor de prelucrare mecanică, precum și la cei de transport sau depozitare semifabricate, piese sau scule;
• execuție protectoare de căldură, necesară la roboții ce deservesc utilaje de forjare sau de tratamente termice;
• execuție care să înlăture pericolul de explozie, necesară la roboții de sudare, vopsire, acoperirii superficiale etc;
• execuție protectoare de praf, reclamată de roboții ce lucrează în turnătorii, la roboții pentru curățirea pieselor turnate etc.
Alături de condițiile de execuție impuse roboților industriali, prezintă importanță și gradul de universalitate al acestora. Din acest punct de vedere, deosebim:
• roboți speciali;
• roboți specializați;
• roboți universali.
Roboții industriali speciali sunt aceia care îndeplinesc operații determinate sau deservesc un model concret de utilaj tehnologic. Roboții industriali specializați sunt roboții destinați pentru procese tehnologice determinate (de exemplu, roboți pentru alimentarea cu piese sau scule a mașinilor unelte, roboți pentru deservirea utilajelor de forjă și presare, roboți de transport etc.)
Roboții industriali universali sunt destinați unor operații tehnologice diferite, deservind utilaje tehnologice cu cele mai diferite destinații. Asemenea roboți sunt destinați pentru operații de sudare (prin diferite metode), pentru operații de vopsire și acoperiri superficiale, pentru operații de montaj etc., fiind roboți cu număr mare de grade de libertate față de cei speciali sau specializați, înzestrați cu sisteme complexe de comandă și control, asociate cu minicalculatoare și echipamente adaptive.
La determinarea tipului robotului ce urmează să fie implementat într-un proces determinat, trebuie să avem în vedere mărimea seriilor de prelucrare, frecvența cu care trebuie să se schimbe programul de funcționare al robotului, sarcina ce trebuie manipulată de robot, precizia cu care se cere realizată traiectoria și poziția obiectului manipulat, timpul impus pentru ciclul de funcționare etc; în cazul alegerii unui robot universal, trebuie să avem grijă să folosim toate gradele de mișcare ale acestuia. De asemenea, trebuie să alegem acel tip de robot, pentru care interfața dintre robot și procesul tehnologic asistat de acesta se realizează cel mai simplu din punct de vedere tehnologic, cu dispozitive suplimentare cât mai puține și costuri minime.
1.4.2 Capacitatea de încărcare a roboților industriali
Prin capacitatea de încărcare a unui robot se înțelege greutatea obiectului sau sculei manipulate de robot. Determinarea seriilor de roboți având în vedere acest parametru se poate face fie plecând de la analiza roboților existenți, a capacității lor de încărcare, fie plecând de la masa obiectelor ce pot fi manipulate de roboți.
Ambele căi prezintă dificultăți datorită dinamicii foarte rapide a dezvoltării și construcției roboților industriali, pe de o parte și datorită înnoirii permanente a produselor, a pieselor manipulate de roboți, pe de altă parte. În figura 1.4 este prezentată evoluția în timp a roboților produși de firma ABB.
Ca exemplu avem evoluția în timp a roboților realizați de ABB Robotics care au următoarele capacități de încărcare relativ la masa lor:
1984 (fig.1.4 a): IRB90 1450 kg și sarcina utilă 90 kg (16:1),
1991 (fig.1.4 b): IRB6000 1750 kg și sarcina utilă 120 kg (15:1),
1997 (fig.1.4 c): IRB6400R 2100 kg și sarcina utilă 200 kg (10.5:1),
2007 (fig.1.4 d): IRB6640 1300 kg și sarcina utilă 235 kg (5.5:1)
În cele ce urmează, sunt prezentate seriile capacităților de încărcare standardizate pentru roboți industriali, precum și domeniile industriale în care este posibilă utilizarea lor. În acest sens, avem:
• Roboți industriali pentru sarcini foarte ușoare: 0,1; 0,16; 0,25; 0,4; 0,63 și 1,0 daN, utilizați în industria electrotehnică și electronică sau în construcția de aparate;
• Roboți pentru sarcini ușoare: 1,0; 1,6; 2,5; 4,0; 6,3; și 10 daN, utilizați în construcția de mașini, în industria electrotehnică etc.;
• Roboți pentru sarcini medii: 10; 16; 25; 40; 63; și 100 daN, utilizați în construcția de mașini;
• Roboți grei, pentru sarcini din seria: 100; 160; 250; 400; 630 și 1000 daN, utilizați în procese de forjare – presare, de tratamente termice etc.
Există un număr foarte redus de roboți industriali, realizați în unicate, care pot să manipuleze și sarcini mai mari decât 1000 daN.
Sarcina manipulată de un robot industrial este un parametru foarte important, valoarea sa influențând asupra construcției mecanice a robotului, asupra modului de acționare, a vitezei de lucru și asupra preciziei de poziționare și de realizare a traiectoriei.
1.4.3 Gradul de precizie a poziționării și redării traiectoriei
Gradul de precizie a poziționării este un parametru foarte important al roboților industriali cu comandă de poziționare punct cu punct, iar gradul de precizie a redării traiectoriei se definește în cazul roboților cu sisteme de comandă după contur. Acești parametri sunt determinanți în implementarea robotului industrial într-un anume proces tehnologic. Astfel, precizia de poziționare este mai puțin importantă în cazurile când robotul deservește un cuptor de încălzire, o baie de călire sau de acoperiri superficiale metalice sau plastice, dar trebuie să fie ridicată în cazul unui robot pentru alimentarea cu piese și scule a unei mașini unelte și mai ales în cazul roboților de montaj și control automat.
Trebuie avut în vedere că, în general, obținerea unei precizii de poziționare ridicate impune scăderea vitezei de mișcare, deci creșterea timpului ciclului de lucru al robotului. Pe de altă parte, sunt cazuri când viteza de lucru a robotului este foarte importantă. De exemplu, la alimentarea unui cuptor cu temperaturi înalte, mâna robotului nu trebuie să rămână multă vreme în cuptor.
Precizia ridicată de poziționare sau de realizare a traiectoriei unui robot se obține, pe de o parte printr-o realizare precisă a cuplelor cinematice ale acestuia, dar, pe de altă parte și printr-un sistem de comandă și de control corespunzătoare pentru deplasările robotului după axele de mișcare ale sale.
1.4.4 Spațiul de lucru al unui robot industrial
Prin spațiul de lucru al unui robot industrial se înțelege volumul ce cuprinde totalitatea pozițiilor pe care le poate ocupa punctul caracteristic sau, altfel spus, este volumul cuprins între suprafețele care înconjoară toate pozițiile posibile ale dispozitivului de apucare. În cadrul acestui spațiu sunt realizate traiectoriile și pozițiile obiectului manipulat de robot și, deci, forma spațiului de lucru este determinată de cele trei grade de mișcare de bază ale mecanismului generator de traiectorie, care pot fi translații sau rotații după cele trei axe de coordonate.
În funcție de modul cum sunt combinate aceste grade de mișcare în cadrul schemei cinematice de bază a robotului, obținem:
• spațiul de lucru în coordonate carteziene;
• spațiul de lucru în coordonate cilindrice;
• spațiul de lucru în coordonate sferice.
Coordonatele care determină poziția punctului caracteristic în spațiile de lucru cartezian, cilindric și sferic rezultă din fig. 1.5. Astfel, în spațiul de lucru cartezian (paralelipipedic), coordonatele punctului caracteristic sunt x, y, z, în spațiul de lucru cilindric coordonatele sunt r, φ, z, iar în spațiul de lucru sferic poziția punctului este determinată de parametrii ρ, φ, θ.
Din acestea rezultă tipul mișcărilor ce trebuie realizate de mecanismul generator de traiectorie, pentru realizarea lor fiind necesare trei cuple cinematice inferioare, de translație T sau de rotație R. Dacă se admit reprezentările convenționale din fig.1.6 pentru aceste cuple și mișcările lor, se pot stabili schemele cinematice pentru tipurile de spații de lucru prezentate. Posibilele mișcări față de axa Ox sunt reprezentate în figura 1.6 a), respectiv pentru axele Oy și Oz în figura 1.6 b) și c).
Schema robotului ce lucrează în coordonate carteziene și spațiul său de lucru sunt prezentate în fig.1.7. Spațiul de lucru în acest caz este un paralelipiped dreptunghic având dimensiunile a, b, h, acestea constituind mărimea curselor mișcărilor de translație după cele trei axe, Tx, Ty, Tz. Ca urmare, mecanismul generator de traiectiorie pentru acest tip de robot se realizează cu trei cuple de translație.
Roboții ce lucrează în coordonate cilindrice conțin două cuple cinematice de translație, având mișcările Ty, Tz și o cuplă de rotație având mișcarea Rz, cursele acestor mișcări fiind r, h respectiv unghiul φ. (fig.1.8).
Roboții industriali care lucrează în coordonate sferice (fig.1.9) se realizează cu o cuplă cinematică de translație, pentru realizarea parametrului ρ și două cuple cinematice de rotație pentru realizarea parametrilor φ și θ (fig1.5).
Spațiul de lucru de formă sferică se realizează și cu roboți la care toate cele trei grade de mișcare sunt rotații, dar în acest caz punctul caracteristic se poate deplasa numai pe suprafața sferei, ceea ce limitează utilizarea practică a acestei scheme.
Spațiile de lucru reale ale roboților industriali constituie numai o parte din spațiul de lucru teoretic (paralelipiped, cilindru, sferă). Acest lucru se datorează dulapurilor de comandă sau panourilor hidraulice ce se amplasează lângă robot sau faptului că procesul tehnologic pentru care se proiectează robotul respectiv nu reclamă utilizarea întregului spațiu teoretic. Trebuie subliniat și faptul că, în scopul asigurării protecției muncii la lucrul cu roboți industriali, în jurul spațiului de lucru se mai adaugă un spațiu de siguranță, în interiorul căruia, în timpul lucrului robotului, prezența omului este interzisă.
Un spațiu de lucru tridimensional se poate obține și cu mecanisme generatoare de traiectorie cu mai mult de trei grade de mișcare, de exemplu două translații și trei mișcări de rotație, lucrând în sistem de coordonate combinat. În aceste cazuri, spațiul de lucru nu mai are formă regulată, obținându-se prin combinarea formelor regulate prezentate mai sus. De asemenea, trebuie subliniat și faptul că mecanismele generatoare de traiectorie nu sunt totdeauna deschise ca cele din fig.1.7÷1.9. În special, în cazul roboților ce lucrează în coordonate combinate, cu mai mult de trei grade de mișcare, aceștia au la baza construcției lor un mecanism spațial deschis, dar care conține și unul sau mai multe contururi poligonale închise fig.1.10.
În fig. 1.11 este prezentat robotul GMF S-400 care, având toate cuplele de rotație, nu poate realiza, ca spațiu de lucru, o sferă întreagă.
1.4.5 Acționarea roboților industriali
Acționarea mișcărilor roboților industriali după diferite axe de mișcare se poate realiza cu motoare electrice, hidraulice sau pneumatice. În afară de acestea, există un număr de forme speciale de acțioanare realizate prin combinații ale formelor de acționare prezentate. În alegerea tipului acționării pentru un robot, trebuie să avem în vedere, pe de o parte, destinația robotului, iar pe de altă parte prezintă importanță deosebită și condițiile mediului în care va lucra robotul (gradul de umiditate, temperatura și presiunea mediului, concentrația de agenți corozivi sau explozivi, nivelul de radioactivitate).
Acționarea electrică asigură obținerea unor caracteristici dinamice bune, la o gamă largă de schimbare a vitezelor de lucru și o precizie suficient de înaltă. De asemenea, acest mod de acționare permite un control mai ușor al deplasărilor și vitezelor după diferite axe de mișcare. Se utilizează, în special, motoare electrice de curent continu cu rotor disc, precum și motoare electrice pas cu pas.
Pentru transmiterea mișcării de la motoarele electrice de acționare la elementele mobile ale robotului, se folosesc transmisii mecanice intermediare (reductoare armonice, reductoare planetare, reductoare melcate, transmisii șurub-piuliță cu bile etc.)
Sistemele de acționare electrică se aplică la roboții cu capacități de încărcare mici, dar la care obiectul manipulat trebuie să efectueze mișcări spațiale complexe. Din punctul de vedere al stării mediului de acțiune, acționarea electrică nu se poate folosi la roboți pentru operații de vopsire sau acoperiri superficiale din cauza pericolului de explozie.
Acționarea hidraulică, cea mai răspândită la roboții realizați până în prezent, se realizează cu motoare hidraulice rotative sau liniare și se aplică la roboții cu capacități de încărcare medie și ridicate. Asemenea roboți pot lucra în diferite medii, sistemul de acționare caracterizându-se prin suplețe ridicată și cu posibilități mari de reglare continuă a vitezei de mișcare. Dezavantajul de bază al acționării hidraulice constă în sensibilitatea sistemului la variațiile de temperatură ale mediului.
Acționarea pneumatică, asemănătoare ca concepție acționării hidraulice, se utilizează la roboții industriali simpli, cu capacitate de încărcare mică și, uneori, medie. Pentru acționare se utilizează cilindri pneumatici liniari, pentru mișcări de rotație fiind necesare elemente intermediare de transformare. În ultimul timp, își fac loc tot mai mult în acționarea roboților motoarele pneumatice pas cu pas.
Sistemele de acționare combinate se realizează, în special, prin combinarea acționării electrice cu cea pneumatică sau cu cea hidraulică (de exemplu, acționarea gradelor de mișcare ale robotului pe cale electromecanică, iar acționarea dispozitivului de apucare se face pneumatic.
1.4.6 Comanda și programarea roboților industriali
La roboții industriali se aplică diferite sisteme de comandă începând cu sistemele ciclice simple și terminând cu sistemele complexe cu elemente de inteligență artificială. Alegerea sistemului de comandă pentru un robot industrial determină, într-o măsură importantă, gradul de universalitate al acestuia, rapiditatea reprogramării sale în vederea îndeplinirii unui alt ciclu de lucru, precum și adaptabilitatea la diferitele sisteme de acționare a mișcărilor robotului. Pe lângă aceasta, sistemul de comandă trebuie să asigure sincronizarea ciclului de lucru automatizat al robotului cu ciclul de lucru al utilajelor tehnologice pe care acesta le deservește.
După caracterul programului, sistemele de comandă ale roboților industriali se împart în două mari grupe:
– sisteme de comandă cu program fix de funcționare;
– sisteme de comandă cu program flexibil.
Roboții industriali care lucrează după program fix sunt roboții din prima generație. Acești roboți lucrează după un program rigid, dinainte cunoscut, putând fi realizați cu comandă secvențială (ciclică) sau cu comandă numerică. Mediul de lucru al roboților din generația I trebuie să fie dinainte pe deplin cunoscut și organizat în mod determinat, iar obiectul pe care îl manipulează să fie orientat și poziționat corespunzător înainte de a fi preluat de robot.
La rândul lor, sistemele de comandă cu program rigid se subîmpart în următoarele grupe:
– sisteme de comandă ciclice;
– sisteme de comandă de poziționare;
– sisteme de comandă de conturare;
– sisteme de comandă combinate, de poziționare-conturare.
În cazul sistemelor de comandă ciclice și de poziționare sunt controlate unele puncte ale traiectoriei obiectului manipulat (la cele ciclice se comandă, în general, numai poziția inițială și cea finală după fiecare axă de mișcare a robotului). Asemenea sisteme se aplică atunci când robotul trebuie să asigure deplasarea obiectului manipulat fără controlul mișcării în punctele intermediare traiectoriei (de exemplu, la operații de alimentare a mașinilor-unelte cu piese sau scule, la operații de transport-depozitare etc.)
Sistemele de comandă de conturare realizează comanda mișcărilor robotului sub forma unei traiectorii continue. Aceasta permite deplasarea obiectului manipulat după traiectorii curbe complexe, ceea ce este necesar, de exemplu, la operații de sudare, vopsire, acoperiri superficiale etc. Dacă la sistemele ciclice și de poziționare programul este fixat prin limitatoare de cursă, senzori de proximitate sau este înregistrat (memorat) pe benzi perforate, la sistemele de conturare programul este memorat pe benzi perforate, benzi magnetice, tambure sau discuri magnetice.
Roboții industriali cu program flexibil de funcționare constituie generația a II-a și a III-a de roboți. Roboții din generația a II-a , denumiți și roboți adaptivi sau sensibilizați, sunt comandați de sisteme numerice sau de calculatorul electronic. Asemenea roboți sunt dotați cu traductoare și senzori de contact, de localizare a obiectului, de viteză, de forță sau moment de torsiune, de temperatură,de zgomot etc., ei putând determina prezența, poziția și dimensiunile obiectelor în zona de lucru și condițiile de apucare a lor. Primind aceste informații și având algoritmul de comandă cunoscut, sistemul de comandă corectează sau elaborează programul de acțiune al robotului în conformitate cu schimbarea condițiilor de lucru.
Roboții industriali din generația a III-a sunt dotați cu elemente de intelect artificial, sunt pe deplin adaptabili și sunt conduși de calculatorul electronic având programat scopul. Ei posedă vedere, simț tactil, auz, memorie. Astfel, ei pot alege varianta optimă a traiectoriei obiectului manipulat având în vedere condițiile mediului, timpul de execuție, consumul de energie etc.
Programarea roboților industriali poate fi:
• netextuală;
• textuală.
În cazul programării netextuale, programul se obține prin memorarea de către robot a pozițiilor succesive ale manipulatorului, poziții demonstrate de către operatorul uman prin acționarea elementelor de comandă de pe panoul de comandă sau acționând direct asupra elementelor mobile ale robotului (conducând dispozitivul de apucare după traiectoria dorită). În cazul programării textuale, sunt posibile două tipuri de programări după cum robotul este sau nu cu inteligență artificială. Astfel, pentru roboții fără inteligență artificială programarea se face cu ajutorul unor instrucțiuni corespunzătoare acțiunilor robotului. Se poate utiliza, în acest sens, un limbaj specializat și un compilator, dar nu se dispune de un model al mediului și nici de un sistem de planificare.
Pentru roboții cu inteligență artificială, sunt necesare anumite metode de reprezentare simbolică a realității și diverse metode de căutare a soluțiilor. Programul de manipulare este elaborat de robot funcție de scopul propus și de informațiile primite de la mediu.
1.4.7 Clasificarea roboților din punct de vedere al relației om-robot
În funcție de relația om-robot, roboții se împart în trei mari categorii:
• Roboți automați;
• Roboți biotehnici;
• Roboți interactivi.
1.4.7.1 Roboții automați realizează funcțiile lor fără participarea directă a omului în procesul de comandă. Având în vedere adaptibilitatea lor la condițiile (starea) mediului în care își realizează funcțiile, roboții automați se împart în trei generații:
1. Roboții din generația I, care se caracterizează prin program fix de funcționare, ei fiind capabili să repete în mod strict operațiile specificate în program, sub condiția invariabilității mediului în care lucrează, fără perturbații externe. Ei nu se adaptează la schimbările mediului, neavând, practic, nici o informație despre mediul extern. Programul acestor roboți se poate schimba într-o oarecare măsură și sunt utilizați cel mai bine la aplicații industriale pentru operații ce se repetă stereotip.
2. Generația a II-a cuprinde roboții adaptivi, capabili să lucreze în condiții de mediu variabile sau parțial necunoscute inițial. Capacitatea de adaptare a robotului la acțiunea perturbațiilor date de schimbările de mediu este determinată de senzorii cu care se dotează acești roboți, de la care se obțin informații asupra schimbării condițiilor externe. Acești roboți lucrează după un ciclu de operații definite în prealabil, dar pot să efectueze și operații sub schimbarea condițiilor de operare.
3. Generația a III-a cuprinde roboții inteligenți, posedând algoritmi de inteligență artificială, gradul lor de inteligență variind în raport cu funcțiile care au fost dorite inițial. Acești roboți sunt capabili să-și definească acțiunile instantanee luând în considerare informațiile obținute prin senzori tactili, vizuali sau de zgomot asupra mediului de operare, să rezolve probleme particulare și să-și modifice modul de acțiune în concordanță cu variațiile mediului de operare.
1.4.7.2 Roboții biotehnici sunt roboții la care există o permanentă participare a operatorului uman în procesul de comandă. Sunt împărțiți în trei subgrupe:
– roboți comandați pas cu pas;
– roboți copiativi, denumiți și master-slave robots;
– roboți semiautomați.
În cazul roboților comandați pas cu pas, prin acționarea de către operatorul uman a unui buton sau manetă, este pus în funcțiune unul din gradele de mișcare ale robotului. Roboții master-slave sunt constituiți din două lanțuri cinematice deschise, primul lanț (master) având mișcarea comandată de operatorul uman, iar al doilea (slave) copiind la scară această mișcare și efectuând operațiile de manipulare pentru care este destinat robotul. În alte cazuri, legătura dintre master și slave este indirectă, prin teletransmisie. În ambele cazuri, operatorul uman trebuie să vadă tot timpul mișcarea elementului manipulat de slave, aceasta printr-o fereastră sau pe un ecran display.
În cazul roboților biotehnici semiautomați, operatorul uman participă nemijlocit în procesul de comandă, dar în același timp cu el lucrează și un calculator universal sau specializat. Semnalul de comandă la aceste sisteme este dat de operatorul uman, obișnuit printr-o manetă de comandă ce poate avea 3-6 grade de mișcare. Semnalul obținut prin apăsarea manetei după un grad de mișcare oarecare este preluat de calculator, care efectuează calcule și formează semnalele de comandă pentru fiecare grad de mișcare al organului de execuție al robotului.
1.4.7.3 Roboții interactivi se caracterizează prin faptul că operatorul uman are numai o participare periodică în procesul de comandă, în restul timpului robotul fiind comandat automat de calculatorul electronic. Acești roboți pot funcționa în regim automatizat, cu alternarea permanentă a regimului biotehnic cu cel automat, cu comandă de supervizare sau cu comandă dialog. Prin utilizarea acestor roboți se ating două scopuri. Pe de o parte, efectuându-se automat toate operațiile robotului, se obține productivitatea maximă a lucrului acestuia. Pe de altă parte, înfăptuind comanda la distanță a robotului de către om, se obține posibilitatea efectuării unor operații complexe în locuri în care omul nu poate acționa nemijlocit. Ca urmare, acești roboți sunt utilizați în cercetarea spațiului cosmic, a oceanului, în cazul unor operații complexe din mediul industrial, în exploatarea minelor cu instalații de teleoperare.
1.5 Calculul mobilității roboților industriali
După cum reiese din structura generală a unui robot, indiferent de generația robotului, problemele complexe se ivesc la realizarea structurii mecanice de manipulare și la generarea funcțiilor de comandă geometrică, cinematică și dinamică. În acest scop, structura mecanică se modelează prin simboluri și modele matematice care se bazează pe anumite ipoteze simplificatoare ale mecanicii [PEL 85], [PoP 94], [FIL 99], [SIM 99].
Manipulatorul, definit ca partea mecanică a unui robot industrial, este un mecanism cu structură etajată, obținut prin materializarea unor lanțuri cinematice deschise, închise sau combinate.
Mobilitatea unui mecanism se definește prin numărul parametrilor geometro-cinematici independenți necesari controlului mișcării tuturor elementelor cinematice distincte.
Mobilitatea unui mecanism-manipulator se stabilește în raport cu elementul de bază care este fix sau se consideră fix.
Mobilitatea activă este dată de numărul elementelor conducătoare (motoare), fiind egală sau mai mică decât mobilitatea geometrică (care include și mobilitatea pasivă).
Pentru calculul mobilității unui mecanism-manipulator se folosește formula:
(1.1)
în care
f = (0÷5) – reprezintă rangul complementar al familiei fiind egal cu numărul restricțiilor impuse de spațiul de lucru pentru un contur independent;
n – este numărul elementelor componente mobile față de cel fix sau considerat fix;
m = (1÷5) – numărul mișcărilor anulate de o cuplă cinematică (definește clasa cuplei
respective);
Cm – reprezintă numărul cuplelor de clasa m.
Dacă mecanismul are în structură un lanț cinematic deschis cu cuple inferioare de rotație R și de translație T, n = C5 , iar mobilitatea
Mf = (6 – f)n – (5 – f) C5 = n (1.2)
În cazul mecanismelor plane și sferice f = 3, astfel că formula de calcul a mobilității este:
M3 = 3n – 2C5 – C4 (1.3)
Calculul mobilității mecanismelor complexe, cu contururi închise de rang complementar diferit , are ca formula
(1.4)
în care este rangul complementar aparent, iar clasa cuplelor m nu este limitată inferior de .
Mobilitatea unui mecanism-manipulator se poate calcula în mod unitar în funcție de gradele de libertate ale cuplelor cinematice și ale spațiilor cinematice (de lucru) specifice fiecărui contur închis independent.
Mobilitatea mecanismului cu contururi independente și cuple cinematice se calculează cu formula:
(1.5)
Unde se notează cu libertățile permise de o cuplă cinematică; cu numărul cuplelor cinematice cu mișcări elementare independente; cu rangul spațiului cinematic al unui contur independent și cu numărul contururilor independente. Formula (1.5) se obține din (1.1) observând că ; ; .
În această variantă se recomandă clasificarea cuplelor cinematice în funcție de numărul mișcărilor elementare permise astfel că Cm din (1.1) devine Cl în (1.5).
La stabilirea contururilor independente, dacă trebuie ales unul din două contururi de ranguri diferite, se va opta pentru cel cu rangul mai mic.
Dacă în structura manipulatorului sunt numai cuple cinematice de tip R și T (monomobile de clasa ), formula (1.5.) devine
(1.6)
În cazul că mecanismul-manipulator se mișcă într-un spațiu cinematic de rang maxim, cu ajutorul cuplelor monomobile R sau T, mobilitatea se calculează cu formula:
(1.7)
în care: este numărul cuplelor monomobile (R sau T);
este numărul contururilor de rang maxim ().
Dacă se consideră un manipulator plan cu mișcări în spațiul cinematic de rang 3, având numai cuple cinematice monomobile () și bimobile (), formula (1.5) devine:
M = C1 + 2C2 – 3N3 (1.8)
În cazul unui manipulator serial , mobilitatea se calculează cu formula .
Aplicarea formulei (1.5) și a celorlalte (1.6), (1.7), (1.8) (care sunt cazuri particulare), se procedează astfel:
se stabilesc numerele: (al elementelor mobile) și (al cuplelor de clasa ). Rezultă cuple cinematice distincte.
se calculează numărul (al contururilor închise independente) cu formula ;
se determină pentru fiecare contur independent, rangul care este egal cu numărul gradelor de libertate ale spațiului cinematic atașat conturului;
se notează cu numărul contururilor de același rang și se calculează (numărul total al gradelor de libertate al spațiilor cinematice atașate contururilor independente);
se ține seama de observația că din două contururi de ranguri diferite se va considera cel de rang mai mic (dacă se alege );
se calculează care reprezintă numărul total al gradelor de libertate al cuplelor cinematice din structura mecanismului-manipulator.
1.6 Manevrabilitatea roboților industriali
Manevrabilitatea este caracteristică mecanismelor-manipulatoare cu lanț cinematic deschis, când mobilitatea se calculează cu formula
(1.9)
Se vor anula trei grade de libertate prin fixarea unui punct al ultimului element cinematic. În acest caz se obține o nouă mobilitate a lanțului cinematic care a devenit închis.
Această mobilitate reziduală, este denumită manevrabilitate. Se calculează cu formula
(1.10)
Dacă se fixează elementul cinematic final al lanțului se vor anula șase grade de libertate astfel că formula de calcul a manevrabilității este
(1.11)
În cazul manipulatoarelor cu cuple tip R și T () formulele de calcul a manevrabilității devin:
Prin fixarea unui punct: pentru
pentru
Prin fixarea unui element: pentru
pentru
Formula care generalizează relațiile (1.10), (1.11) pentru manevrabilitatea manipulatorului:
(1.12)
unde este notat cu numărul gradelor de libertate anulate (ale ultimului element din lanțul cinematic deschis), iar pentru , se obțin următoarele cazuri particulare:
Cazul
situație când punctul caracteristic , al manipulatorului se deplasează pe o suprafață fixă în spațiul cinematic de rang , astfel ca. Dacă punctul se deplasează pe o curbă plană sau sferică.
Cazul
Se obține:
când punctul caracteristic se deplasează pe o curbă fixă în spațiul cinematic de rang , astfel că
dacă se consideră două puncte caracteristice , care se deplasează pe suprafețe distincte neparalele, astfel încât și .
Cazul
Se disting trei variante posibile :
punctul este fix, ceea ce se obține la intersecția a două curbe
punctele , aparțin unei curbe și unei suprafețe.
trei puncte caracteristice , , aparțin fiecare unei suprafețe distincte respectiv unde .
Cazul
Există următoarele patru variante:
două puncte distincte dintre care unul fix și celălalt situat pe o suprafață, astfel , .
două puncte distincte, situat fiecare pe o curbă distinctă, adică ,
trei puncte dintre care unul aparține unei curbe, iar celelalte două sunt situate pe câte o suprafață , și
patru puncte distincte, fiecare situat pe câte o suprafață, , 1 4.
Cazul
Cu cinci variante:
două puncte, unul fix și altul situat pe o curbă adică ,
trei puncte, dintre care două situate pe curbe , și unul pe suprafață,
trei puncte, dintre care unul fix și două pe suprafețe distincte
,
patru puncte, unul pe curbă și trei pe suprafețe distincte ,
cinci puncte, fiecare situat pe suprafață distinctă, .
Cazul
Corespunde elementului fixat în următoarele condiții geometrice:
două puncte fixe, ,
trei puncte, câte unul pe câte o curbă distinctă, ,
trei puncte, unul fix , unul pe curbă și unul pe suprafață
patru puncte, unul fix și trei pe suprafețe distincte ,
patru puncte, două pe curbe , și două pe suprafețe distincte ,
cinci puncte, unul pe curbă și patru pe suprafețe distincte ,
șase puncte, câte unul pe câte o suprafață distinctă: , .
1.7 Modelele de calcul ale structurii
În cadrul unei misiuni de deplasare, robotul trebuie să urmărească o traiectorie definită printr-o secvență de repere, în mod abuziv numite puncte, corespunzătoare efectorului, încadrându-se în același timp într-o lege de timp dată. Aceste puncte pot fi :
memorate în urma programului de învățare ;
generate de un senzor captiv exterior ;
extrase dintr-o bază de date asociată aplicației.
În figura 1.12 sarcina interpolatorului de traiectorie este de a calcula referințele blocului de urmărire (control) Xd(t), pentu ca robotul să urmeze traiectoria programată în același timp cu adaptarea la performanțele dinamice ale acestuia. Intrarea de la programul utilizator este lista de sarcini de mișcare, de exemplu, comenzile de mișcare care specifică o serie de poziții ale efectorului xi, împreună cu vitezele de lucru ale efectorului vi. Blocul de urmărire generează semnalul de control u(t) semnal ce va fi modificat de răspunsurile senzorilor y(t). Traiectoria Xd(t) poate conține informații de poziție pentru n roboți, și poate fi exprimată în spațiu cartezian sau spațiul articulațiilor.
Problema generării mișcării este de a calcula referința pentru realizarea unei comenzi care să asigure trecerea robotului prin fiecare din aceste puncte.
Se pot întâlni următoarele două situații:
Considerăm ca referință pentru mișcarea fiecărui grad de libertate al robotului, coordonata generalizată corespunzătoare poziției țintă dorită. Fiecare articulație se va mișca independent, fără a ține cont de ceea ce se întâmplă la nivelul efectorului. Nu există posibilitatea de coordonare a articulațiilor. Acestea nu-și termină mișcarea simultan, ceea ce împiedică efectiv realizarea controlului geometriei traiectoriei. Metoda este practic utilizabilă când punctele traiectoriei sunt apropiate, ca de exemplu în misiunile de “vopsire”. Pentru alte tipuri de roboți, metoda nu este aplicabilă neasigurând criteriile de performanță stabilite pentru roboți.
A doua soluție este de a utiliza funcții matematice care să asigure interpolarea traiectoriei dorite, și care să permită îndeplinirea unor condiții privind poziția, viteza, accelerația manipulatorului robot, atât la capetele intervalului de mișcare cât și pe parcursul întregii traiectorii.
Atât în etapa concepției cât și în cea a realizării operațiilor pentru comandă, structurile mecanice necesită efectuarea unor calcule pe baza anumitor modele matematice.
O descriere a celor mai importante modele utilizate în robotică pot fi găsite în [CRA 05], [POP 94], [NEG 97], [FIL 99], [SPO 06], [SAH 08], [SIC 08], [SIC 10] și altele.
1. Modelul direct geometric și cinematic:
a) Modelul geometric direct care exprimă poziția și orientarea corpului manipulat în spațiul de lucru, în funcție de parametrii geometrici ai cuplelor (unghiurile de poziționare din cuplele de rotație și poziția relativă din cuplele de translație).
b) Modelul cinematic direct permite, ca după determinarea geometrică directă și cunoscând cinematica coordonatelor robot (vitezele și accelerațiille din cuplele structurii), să se calculeze vitezele și accelerațiile liniare ale elementelor structurii.
Modelul cinematic direct admite soluție unică și necesită operații simple pentru determinarea acestei soluții.
2. Modelul invers geometric și cinematic
Modelul geometic invers. Aici sunt cunoscute poziția și orientarea obiectului manipulat și se cere determinarea parametrilor geometrici ai cuplelor.
Modelul cinematic invers. După rezolvarea modelului geometric invers și fiind cunoscute cinematica liniară și unghiulară a elementului manipulat vor fi determinați parametrii cinematici ai mișcărilor din cuple (vitezele și accelerațiile relative ale celor două părți ale cuplei).
Modelul cinematic invers admite mai multe soluții și necesită soluții pentru ecuații algebrice neliniare.
În figura 1.13 sunt prezentate corelațiile între modelul direct și invers pentru un robot serial cu trei grade de libertate, respectiv trei rotații.
3. Modelul dinamic
Modelul dinamic direct. Fiind rezolvat modelul geometric și cinematic direct și având, în plus, datele inerțiale ale elementelor (mase și momente de inerție) se calculează forțele motoare generalizate din cuple (forțe motoare pentru cuplele de translație și, respectiv, momente motoare pentru cuplele de rotație).
Modelul dinamic invers. Reprezintă problema generală a dinamicii structurii. Fiind cunoscute forțele generalizate din cuple se cere determinarea mișcării structurii.
Sub aspect formal, caracterizarea de direct sau invers referitor la modelul dinamic uneori apare inversată. Aici a fost preferată clasificarea de mai sus, din considerente de simetrie cu celelalte modele.
1.8 Generarea mișcării și sistemul de comandă
Dintre sarcinile de deplasare pură se pot cita:
mișcare între două puncte, mișcarea nefiind supusă unor constrângeri privind atingerea unor poziții intermediare, între cele două puncte;
mișcare între două puncte, via mai multe puncte intermediare, specificate în mod special pentru a se evita niste obstacole, traiectoria fiind totuși libera între punctele intermediare;
mișcare între două puncte pe o traiectorie impusă;
mișcare între două puncte, via mai multe puncte intermediare, traiectoria fiind supusă unor constrângeri între punctele intermediare.
urmărirea unui obiect mobil pe un conveior (urmărirea unor referințe date de un senzor extern).
În primele două cazuri, generarea mișcării se poate face direct în spațiul generalizat, ea se traduce printr-o secvență de poziții articulare (viteze și unghiuri), care vor constitui referințe pentru blocul de comandă. În ultimele trei cazuri, traiectoria fiind descrisă în spațiul operațional, este de preferat să se raționeze în acest spațiu. Legea de comandă generată trebuie să fie transformată în referințe articulare printr-o schimbare de coordonate.
Cele două abordări privind generarea mișcării, respectiv generarea mișcării în spațiul articulațiilor și generarea mișcării în spațiul operațional sunt schematizate în figurile 1.14 și respectiv 1.15.
În figura 1.15 s-a codificat cu MGD blocul de modelare geometrică directă, iar cu MGI blocul de modelare geometrică inversă.
Pentru a rezolva problema modelării geometrice inverse trebuie să se îndeplinească următoarele condiții de bază:
modelul geometric direct trebuie să fie inversabil;
deoarece modelul geometric se bazează pe ipoteza statică neglijând fenomenele dinamice și defectele inevitabile ale structurii mecanice (de exemplu jocurile), diferența dintre calculul pe model și realitate nu este totdeauna acceptabilă; un criteriu pentru aprecierea metodei de inversare este ca această diferență să fie cât mai mică;
timpul pentru calculul modelului invers nu trebuie să afecteze viteza de deplasare a robotului.
Capitolul 2.
Modele de calcul folosite în rezolvarea problemelor de cinematică și dinamică a roboților industriali
Cea mai mare parte a cinematicii roboților se ocupă cu stabilirea diferitelor sisteme de coordonate ce permit determinarea pozițiilor și a orientării corpurilor rigide și cu determinarea transformărilor care au loc între aceste sisteme. Geometria spațiului tridimensional și mișcarea rigidă, joacă un rol central în toate aspectele legate de sistemele robot. Pentru stabilirea ecuațiilor cinematice directe ale unui robot manipulator trebuie să se studieze operațiile de rotație și de translație luate separat precum și transformarea omogenă, care combină cele două operații într-o singură mișcare, rezultând, deci o singură matrice.
În general, pentru contextul sarcinii generale a unui robot manipulator, conform figurii 2.1, se pot stabili următoarele sisteme de referință atașate elementelor specifice [PoP 94], [ISO 99], [DIA 01]:
Sistemul universal (wOrld frame) – {O}, sistemul de referință global
Sistemul de bază (Base frame) – {B}, atașat elementului fix (bazei) robotului manipulator;
Sistemul încheieturii (Wrist frame) – {W}, aparținând ultimului element al mecanismului de ghidare;
Sistemul sculei (Tool frame) – {T}, fixat la capătul activ al sculei, manevrată de către robot și prinsă în gripper;
Sistemul sarcinii (taSk frame) – {S}, atașat punctului reprezentativ din punct de vedere al sarcinii din mediul de lucru al robotului;
Sistemul scopului (Goal frame) – {G}, atașat obiectului asupra căruia se acționează direct și prin care se descrie traiectoria pe care robotul deplasează scula;
Sistemul obiectului (obJect frame) – {J}, descrie poziția obiectului față de punctul reprezentativ al sarcinii.
În figura 2.2 sunt reprezentate sistemele de referință a căror definire este standardizată prin ISO 9787:1999.
În continuare este prezentată o metodologie ce permite determinarea poziției (coordonatelor carteziene) și a orientării efectorului față de bază, în funcție de valorile variabilelor generalizate atașate articulațiilor.
2.1 Modelul geometric direct
2.1.1 Descrierea poziției și a orientării
Un lucru important atunci când se face manipularea diferitelor scule, obiecte, cu ajutorul manipulatoarelor și a roboților industriali este să se știe în orice moment care este poziția acestora, poziție descrisă în raport cu diferite sisteme de referință. Sistemul de referință unanim folosit este sistemul cartezian ortonormat.
Pentru notarea unui sistem de referință O0x0y0z0 se va folosi notația {O}. Poziția unui punct P în raport cu sistemul de referință {O} este localizată prin vectorul de poziție , respectiv prin cele 3 coordonate carteziene px, py, pz (fig. 2.3).
Matriceal se poate scrie
(2.1)
Matricea de transformare de orientare (matricea de rotație)
Dacă considerăm două sisteme de coodonate x0y0z0 și x1y1z1, cu aceeași origine și un punct P din spațiu (fig. 2.4), putem scrie coordonatele punctului P față de cele două sisteme de coordonate sub forma:
(2.2)
unde: , , sunt versorii unitari asociați respectiv axelor de coordonate , , , iar , , cei asociați respectiv axelor de coordonate , , .
Înmulțind ecuația (2.1) pe rând cu i1, j1, și k1 obținem un sistem de ecuații care matriceal se scrie sub forma :
(2.3)
unde reprezintă coordonatele punctului P față de sistemul “0” și reprezintă coordonatele punctului P față de sistemul “1”, iar matricea
(2.4)
reprezintă matricea de transformare de coordonate de “orientare” (sau matricea de rotație) a sistemului “1” față de sistemul “0”. Semnificația coloanelor matricei de rotație (2.4) este următoarea: coloana 1 reprezintă proiecțiile versorului i1 în sistemul de coordonate “0” (i1i0, i1j0, i1k0), coloana 2 reprezintă proiecțiile versorului j1 în sistemul de coordonate “0” (j1i0, j1j0, j1k0), iar coloana 3 reprezintă proiecțiile versorului k1 în sistemul de coordonate “0” (k1i0, k1j0, k1k0) (înmulțirea dintre versori fiind evident înmulțire vectorială).
Pentru poziționarea unui solid rigid în raport cu un sistem de referință {0} se atașează rigidului un sistem de referință {1}, legat invariabil de acesta (fig. 2.5).
Determinarea poziției rigidului în raport cu sistemul {0} revine la precizarea poziției sistemului {1} în raport cu sistemul de referință {0}.
Sistemul {1} este complet localizat în raport cu sistemul {0} dacă se cunoaște poziția originii O1 dată prin vectorul și orientarea axelor dată prin vectorii , , .
Matriceal, orientarea se exprimă prin relația
(2.5)
unde: – este matricea care dă orientarea sistemului {1} în raport cu sistemul {0}.
Elementele matricei sunt cosinusurile directoare ale axelor sistemului {1} în raport cu sistemul {0}, care conform figurii 2.5 se mai pot scrie
(2.6)
Între cele nouă elemnte distincte ale matricei anterioare vor exista șase relații independente.
i j + i j + i j = ij; ; ,
Proprietățile matricei (2.6) permit scrierea următoarelor relații matriceale:
; (2.7)
(2.8)
unde:
– este transpusa matricei ;
[I3] – este matricea unitate 3 3;
– este inversa matricei .
Restrâns, poziția unui sistem {1} în raport cu sistemul {0} se scrie:
(2.9)
Regula de compunere a matricilor de rotație
Dacă în plus față de sistemul de baza “0” și de sistemul “1” considerat (numit și sistem curent), sisteme legate prin matricea de rotație , considerăm un al treilea sistem “2”, având originea comuna cu celelalte două, dar care s-a obținut printr-o rotație cu față de sistemul curent, atunci postmultiplicând cu obținem , adică matricea de rotație a sistemului “2” față de sistemul de bază “0”.
Dacă cea de-a doua rotație este realizată față de sistemul de bază, atunci premultiplicând cu obținem , adică matricea de rotație a sistemului “2” față de sistemul de bază “0”. În cazul sistemelor roboți, în general rotația se face față de sistemul curent, deci matricea rezultantă se obține prin postmultiplicare.
Dacă considerăm un număr de sisteme de coordonate având aceeași origine O, matricea de transformare de coordonate de orientare de la sistemul “k” la sistemul “q” (q<k) în mod general se scrie :
(2.10)
Unghiurile lui Euler
În funcție de alegerea celor trei unghiuri care descriu orientarea rigidului, s-au creat mai multe sisteme de orientare. O matrice de rotație poate fi exprimată ca produsul unor rotații succesive în jurul axelor principale, luate într-o ordine specificată. Aceste rotații definesc unghiurile roll (ruliu) (fig. 2.6), pitch (tangaj) (fig. 2.7) și yaw (derivă) (fig. 2.8) și secvența de rotație este (X_Y_Z). O altă secvență de rotație folosește unghiurile numite în literatură “unghiurile lui Euler” și se face în ordinea (Z_X_Z) [CRA 88], [PoP 94], [FIL 99], [SAH 08], [SIC 10].
Matricea de rotație în jurul axei X este:
(2.11)
unde s-a introdus notația pentru , respectiv pentru .
Matricea de rotație în jurul axei Y este: (2.12)
Matricea de rotație în jurul axei Z este: (2.13)
Matricea de transformare la sfârșitul celor trei rotații este :
(2.14)
Ordinea în care se fac cele trei rotații (2.11), (2.12) și (2.13), este determinantă pentru rezultatul final. De exemplu o rotație cu în jurul lui Z0, urmată de o rotație cu în jurul lui Y1 nu este egală cu o rotație cu în jurul lui Y0, urmată de o rotație cu în jurul lui Z1:
(2.15)
Matricea de transformare omogenă
Dacă sistemele de coordonate nu au aceeași origine se introduce o matrice care să cuprindă informații atât despre orientarea punctului P cât și despre deplasarea lui față de originea O.
Folosind raționamentul anterior (relația (2.3)), putem scrie , unde P0 reprezintă poziția punctului P în sistemul {0} și, conform figurii, , deci , unde reprezintă distanța de la O1 pâna la O0, exprimată față de sistemul “0”. Această ultimă relație se poate scrie sub forma matricială:
sau (2.16)
unde : (2.17)
reprezintă matricea de tranformare omogenă din sistemul “1” în sistemul “0” numită și matricea de transformare de configurare.
Generalizând, putem scrie că pentru q<k matricea de tranformare de coordonate “de configurare” din sistemul “k” în sistemul “q” este :
(2.18)
Spre deosebire de cazul anterior, matricea inversă, care dă orientarea și poziția sistemului “q” față de sistemul “k” are acum o formă mai complexă
(2.19)
Folosind relația (2.19) se poate deduce o relație de legatură între distanța dintre cele două sisteme, exprimată în sistemele “k” și respectiv “q” și anume :
(2.20)
2.1.2 Metoda matricelor bloc
Matricele bloc sunt specifice coordonatelor omogene. În spațiul coordonatelor omogene (x, y, z, w) pentru w = 1, un vector se scrie matriceal sub forma:
(2.21)
sau
(2.22)
Observație: forma a doua apare în cazul în care coordonatele omogene ale vectorului se consideră a fi:
(w, x, y, z), (w = 1).
O transformare generală din sistemul cartezian de forma:
0px = 0x1 + 11px + 21py + 31pz
0py = 0y1 + 11px + 21py + 31pz (2.23)
0pz = 0z1 + 11px + 21py + 31pz
în sistemul de coordonate omogene, devine:
0px = 11px + 21py + 31pz + w0x1
0py = 11px + 21py + 31pz + w0y1 (2.24)
0pz = 11px + 21py + 31pz + w0z1
Transpunând matriceal relațiile (2.16), se obține:
(2.25)
unde:
(2.26)
poartă numele de matrice bloc având dimensiunile 4 4 și constă din patru matrici:
matricea R de dimensiune 3 3;
matricea L de dimensiuni 3 1;
matricea nulă 0 de dimensiuni 1 3;
matricea unitate 1 de dimensiuni 1 1.
Utilizând matricile bloc există posibilitatea de a determina o transformare generală T ca produs al unei matrice de translație TrG și o matrice de rotație Tr.
T = TrG Tr (2.27)
unde:
(2.28)
(2.29)
E – este matricea unitară de dimensiuni 3 3;
R – este matricea de rotație de dimensiuni 3 3;
L și O* – sunt matricile 3 1 corespunzătoare translației.
O variantă a utilizării matricilor bloc este cea care folosește notația Denavit-Hartenberg (D – H).
2.1.2.1 Notația Denavit-Hartenberg (D – H)
Descrierea elementului
Orice robot industrial este format din mai multe corpuri (elemente) considerate rigide, legate între ele prin cuple de legătură care pot fi de rotație sau de translație, deci cu un singur grad de libertate. Scopul analizei cinematicii directe este de a determina cumularea efectelor întregului set de variabile, asociate articulațiilor.
Axele cuplelor sunt definite prin drepte în spațiu, axa cuplei “i-1” se rotește relativ față de elementul “i”.
Un element este caracterizat prin două numere care definesc poziția relativă a celor două axe la care este legat elementul (fig. 2.10).
În spațiul tridimensional aceste două numere sunt: distanța dintre axe, măsurată în lungul perpendicularei comune, numită lungimea elementului și unghiul dintre axe, numit unghiul elementului și notat cu (fig. 2.10).
În cazul unor axe paralele, perpendiculara comună nu este bine definită.
Pentru a evidenția unghiul al elementului, se duce un plan perpendicular pe direcția normalei comune la cele două axe și se proiectează axele. Unghiul plan corespunzător axelor este unghiul elementului. În cazul în care axele se intersectează, unghiul se măsoară în planul axelor, sensul însă se pierde.
Pentru cercetarea cinematică nu sunt suficiente numai două mărimi pentru a poziționa un element conectat într-un lanț cinematic.
Este necesar un parametru pentru interconectare. Acest parametru, numit ordonata elementului, se notează cu pentru axa cuplei “i”, și se măsoară în lungul axei comune a două elemente.
Al doilea parametru descrie rotația în jurul axei comune pentru a trece de la un element la cel vecin. Aceasta se numește unghiul cuplei și pentru axa “i” se notează cu .
În figura 2.11 se prezintă interconectarea elementelor “i-1” și “i”.
Dacă sistemele de referință atașate elementelor se acordă cu parametrii acestora, atunci:
ai – este distanța de la zi-1 la zi măsurată în lungul lui xi;
i – este unghiul dintre zi-1 și zi măsurat în jurul lui xi;
di – este distanța între axele xi-1 și xi, măsurată în lungul lui zi-1;
i – este unghiul dintre xi-1 și xi măsurat în jurul lui zi-1.
Uzual se alege ai > 0 pentru că aceasta corespunde unei distanțe indiferent de semnul cantităților i, di și i.
Axa yi-1 ca și axa yi completează sistemele de referință după regula mâinii drepte.
Prima metodă de parametrizare D-H
Prima metodă de alocare a sistemelor de coordonate este prezentată în figura 2.12.
În această convenție matricea de transformare omogenă de la sistemul “i” la sistemul “i-1” notată cu reprezintă rezultatul celor patru transformări și anume :
(2.30)
unde cei patru parametri i, ai, di, i, reprezintă parametri Denavit-Hartenberg asociați brațului “i”.
Această abordare presupune îndeplinirea a două condiții ce asigură unicitatea matricii de transformare omogenă de la sistemul “i” la sistemul “i-1” :
(DH1) axa xi să fie perpendiculara pe axa zi-1
(DH2) axa xi să intersecteze axa zi-1
Respectându-se aceste condiții există un set unic de parametrii a, d, , astfel încât:
(2.31)
Pentru a arăta că matricea poate fi scrisă în mod unic sub forma (2.30), se pleacă de la scrierea generală :
(2.32)
unde matricea R este de forma:
(2.33)
Cele două ipoteze (DH1) și (DH2) sunt reprezentate în figura 2.13
Conform ipotezei (DH1) vectorul r1 (prima coloana a matricei R, care reprezintă proiecția lui i1 în sistemul “0”) este ortogonal cu vectorul k0=[0 0 1]T, de unde rezultă că r31=0. În continuare trebuie arătat că există două unghiuri unice și (între 0 și 2) astfel încât :
(2.34)
Deoarece coloanele lui R sunt ortonormate, iar r31=0 rezultă
(2.35)
Relațiile (2.34) conduc la valori unice pentru și astfel încât :
(2.36)
Odată găsite valorile lui și , este ușor de verificat că elementele rămase din matricea R corespund formei (2.35), folosind faptul că matricea R este o matrice de rotație.
Ipoteza (DH2) înseamna că vectorul (vectorul de coordonate al originii sistemului “1” exprimat în coordonatele sistemului “0”) este o combinație liniara între k0 și Ri1.
Deoarece r31=0 putem exprima în mod unic :
(2.37)
Substituind R conform (2.34) și conform (2.37) în relația (2.32), obținem matricea de transformare omogenă.
(2.38)
Ceea ce s-a discutat anterior reprezintă semnificațiile logice și condițiile necesare aplicării formalismului Denavit-Hartenberg și a alegerii parametrilor. În plus se pot desprinde și semnificații fizice ale parametrilor și anume:
– a reprezintă distanța dintre axele z0 și z1, măsurată de-a lungul lui x1;
– unghiul este măsurat într-un plan perpendicular pe x1 între axele z0 și z1;
– parametrul d reprezintă distanța între O0 și intersectia lui x1 cu axa z0 măsurată de-a lungul lui z0;
– reprezintă unghiul dintre x0 și x1 măsurat într-un plan perpendicular pe axa z0.
Se poate arăta că pentru un sistem manipulator se pot alege întotdeauna sistemele de coordonate 0, 1,…n în așa fel încât să se respecte cele două ipoteze (DH1) și (DH2), în condițiile în care se acceptă posibilitatea că sistemul “i” să nu aparțină în unele situații articulației “i”.
La început se indentifică toate axele z0, z1, …zn unde zi este axa de rotație pentru articulația i, dacă aceasta este de revoluție și axa zi este axa de translație dacă articulația i este prismatică.
Se alege originea O0, care poate fi aleasă oriunde de-a lungul lui z0. În continuare se aleg axele x0 și y0, arbitrar, cu condiția ca împreună cu z0 să formeze un sistem de coordonate cartezian.
Stabilind sistemele 0, 1, i-1, pentru alegerea sistemului “i” pot apărea următoarele cazuri:
axele zi-1, zi nu sunt coplanare
axele zi-1, zi sunt coplanare.
Dacă axele zi-1, zi nu sunt coplanare, atunci există un unic segment perpendicular pe amândouă și de lungime minimă. Acest segment îl va defini pe xi și punctul de intersecție cu zi va defini originea Oi. Atunci prin construcție ambele condiții (DH1) și (DH2) sunt îndeplinite și vectorul de la Oi-1 la Oi este o combinație liniară între zi-1 și xi. Specificarea sistemului Oi este completată prin alegerea lui yi în așa fel încât să se obțină un sistem cartezian.
Dacă axele zi-1, zi sunt coplanare, atunci ele fie sunt paralele, fie se intersectează. Dacă sunt paralele, atunci există o infinitate de normale comune celor două axe și condiția (DH1) nu specifică în mod unic alegerea lui xi. În acest caz alegem originea Oi în articulația “i” în așa fel încât xi este cea normală la zi-1 care trece prin Oi. Alegerea lui Oi este arbitrară în acest caz, se poate alege xi ca fiind și normală care trece prin Oi-1, caz în care distanța di este egală cu 0. Cum axele zi-1, zi sunt paralele, unghiul i este 0. După ce a fost ales xi, yi se alege cu singura condiție să completeze sistemul.
Dacă axele zi-1, zi se intersectează, axa xi este aleasă perpendiculara pe planul format de zi-1, zi. Direcția pozitivă este arbitrară. Cea mai des întâlnită alegere a punctului Oi este la intersecția celor două axe, dar se poate alege orice punct convenabil de-a lungul lui zi. În acest caz parametrul ai este egal cu 0.
Pentru a se completa construcția este necesar să se aleagă sistemul de coordonate n al efectorului. Originea On este de obicei aleasă simetric față de “degetele” efectorului. Vectorii unitari ai axelor xn, yn, zn se notează cu n, s, a (figura 2.14). Terminologia vine de la faptul că direcția a este direcția de apropiere (approach) a efectorului față de obiect, direcția s este direcția de-a lungul căreia se mișcă (sliding) degetele efectorului în sensul de deschidere și închidere, iar direcția n (normal) este direcția normală pe planul format de s și a.
Pentru determinarea parametrilor ce caracterizează complet descrierea pozițiilor și a orientării în spațiu a brațelor unui robot, regulile folosite sunt următoarele:
Se stabilesc articulațiile și axele de mișcare z0, z1, ….zn-1.
Se stabilește sistemul de coordonate de bază. Se alege originea O0 oriunde de-a lungul axei z0. Axele x0 și y0 se aleg arbitrar în așa fel încât să formeze un sistem de coordonate cartezian.
Pentru i=1,…n-1 se parcurg iterativ următorii pași:
Se stabilește originea Oi în punctul în care normala comună la zi-1 și zi intersectează axa zi.
Dacă zi-1 și zi se intersectează se stabilește Oi în punctul de intersecție. Dacă zi-1 și zi sunt paralele se stabilește Oi în articulația “i”.
Se stabilește axa xi de-a lungul perpendicularei comune la axele zi și zi-1 care trece prin punctul Oi, sau în direcția normală la planul (zi-1,zi), dacă zi-1 și zi se intersectează.
Se stabilește axa yi astfel încât să completeze sistemul cartezian de coordonate Oixiyizi.
Se stabilește sistemul de coordonate asociat efectorului Onxnynzn. Dacă articulația n este de rotație se alege kn= a de-a lungul direcției zn-1. Se stabilește originea On convenabil de-a lungul lui zn, de preferință în centrul efectorului sau la capătul acestuia. Se alege jn= s în direcția de închidere a efectorului și se alege in= n în direcția normală. Dacă forma efectorului nu este simplă se aleg xn și yn convenabil în așa fel încât să se completeze sistemul de coordonate cartezian.
Se alcătuiește un tabel cu parametrii elementelor.
Setul de valori ai parametrilor Denavit-Hartenberg este dat de:
unghiul i de rotație în jurul axei zi-1 pentru a suprapune vectorul peste vectorul (paralela la xi dusă din Oi-1).
distanța di măsurată de-a lungul axei zi-1, de la originea Oi-1 până la punctul de intersecție dintre axele xi și zi-1.
unghiul αi de rotație în jurul axei xi-1 pentru a suprapune vectorul (paralela la zi-1 dusă din Oi) peste vectorul .
distanța ai măsurată de-a lungul axei xi, de la punctul de intersecție dintre axele xi și zi-1 până la originea Oi.
Prin această metodă sistemul de coordonate Oixiyizi este obținut din sistemul de coordonate Oi-1xi-1yi-1zi-1 prin următoarele mișcări:
o translație cu di de-a lungul lui zi-1, urmată de o rotație cu i în jurul lui zi-1;
o translație cu ai de-a lungul lui xi, urmată de o rotație cu αi în jurul lui xi.
Matricea care dă poziția efectorului față de bază se obține cumulând matricile de transformare omogenă ale sistemelor de coordonate intermediare după cum urmează :
(2.39)
În general mulțimea matricilor de transformare omogenă nu este comutativă. Numai în cazul în care avem o deplasare de-a lungul unei axe și o rotație în jurul aceleiaș axe, ordinea de înmulțire a matricilor nu contează:
(2.40)
Atașând fiecărui element al manipulatorului un sistem de referință legat invariabil de elementul respectiv, cu ajutorul operatorilor D-H, se poate poziționa orice sistem în raport cu sistemul de bază 0. Pentru un lanț cinematic cu N sisteme de referință, poziția sistemului N în raport cu sistemul 0 este dată de operatorul , transformarea (2.39) fiind funcție de cele “n” variabile ale cuplelor.
2.1.2.2 Metoda matricelor 3 3
Pentru poziționarea sistemului de referință Si (fig. 2.15), atașat elementului “i” al unui lanț cinematic deschis, în raport cu sistemul fix S0, este necesară cunoașterea orientării sistemului și poziția unui punct C aparținând elementului legat invariabil de sistemul Si. De cele mai multe ori acest punct este originea sistemului Si.
Pentru orice vector , dat în sistemul de referință Si, se poate scrie relația matriceală:
(2.41)
unde:
– reprezintă matricea corespunzătoare vectorului , exprimat în raport cu sistemul i; indicele matricei arată sistemul de referință în raport cu care este exprimat vectorul respectiv;
– este matricea care face trecerea de la sistemul 0 la sistemul i.
Indicele inferior arată sistemul de “plecare”, iar cel superior sistemul de “sosire”.
– este exprimarea matriceală a vectorului în proiecții pe sistemul 0.
În mod similar cu (2.41) se poate scrie și relația:
(2.42)
În general matricile și reprezintă un produs de matrici.
(2.43)
(2.44)
Adoptând pentru orientarea unui sistem de referință cosinusurile directoare ale axelor sistemului, respectiv vectorii sistemului, se pot scrie relațiile matriceale:
(2.45)
pentru cei trei versori ; ; ai axelor sistemului i+1.
Cei doi indici exteriori matricei arată sistemele de “plecare” i + 1 și de “sosire“ i.
Dezvoltat, expresiile (2.45) se scriu:
(2.46)
Considerând un lanț cinematic deschis (fig. 2.15), pe baza relației (2.42) se poate scrie expresia matriceală:
(2.47)
din care se pot obține coordonatele unui punct C legat invariabil de sistemul i în raport cu sistemul 0.
Considerând că vectorul dă orientarea și poziția punctului caracteristic C a sistemului i, expresiile (2.45) și (2.46) permit determinarea completă a vectorului .
(2.48)
2.1.3. Metoda numerelor duale. Matrici duale
Numere duale. Vectori duali
Un număr dual are forma:
a = a0 + a1 (2.49)
a0 – se numește partea principală,
a1 – se numește parte de moment,
0; 2 = 0 – se numește operatorul lui Clifford.
Pentru un vector se definește “vectorul dual” (vectorul complex) în raport cu un punct.
(2.50)
unde: – este vectorul aplicat în punctul 0;
– este vectorul moment al vectorului în raport cu punctul 0.
Cei doi vectori reprezintă torsorul vectorului în raport cu punctul 0.
Utilizând noțiunea de vector dual, poziția și orientarea unui sistem de referință Si în raport cu sistemul Si-1 (fig. 2.16), se poate defini cu ajutorul vectorilor duali corespunzători versorilor sistemului (șuruburilor unitare).
Notând cu torsorii în raport cu punctul “Oi-1” corespunzătoare versorilor sistemului Si se pot scrie relațiile vectoriale:
(2.51)
unde:
(2.52)
Introducând noțiunea de unghi dual (fig. 2.17) :
(2.53)
unde este unghiul șuruburilor unitare și corespunzătoare axelor (1) și (2), iar h distanța dintre axe, fiecărui unghi dual i se poate atașa un vector dual:
(2.54)
– este șurubul unitar corespunzător axei unghiului dual (unghiul complex).
Funcțiile trigonometrice corespunzătoare unui unghi dual sunt:
(2.55)
Matrice duale. Operatori duali simpli
O matrice, având toate elementele numere duale, se numește matrice duală.
Oricărui șurub i se poate asocia o matrice coloană cu elemente duale.
(2.56)
Oricărei transformări a unui sistem de referință în spațiul cartezian îi corespunde o matrice duală.
Se pot, astfel, defini operatorii duali corespunzători deplasărilor de roto-translație în jurul și în lungul axelor sistemului cartezian.
Astfel de operatori reprezentați prin matrice duale se vor numi operatori duali simpli.
Operatorul dual simplu pentru axa Ox:
(2.57)
unde: este unghiul dual corespunzător roto-translației în jurul și în lungul axei Ox.
Pentru axa Oy operatorul dual simplu este:
(2.58)
unghiul dual fiind .
Pentru axa Oz, căreia îi corespunde unghiul dual , operatorul dual simplu este:
(2.59)
Unei transformări generale îi corespunde operatorul dual:
(2.60)
unde: ; ; sunt unghiurile duale corespunzătoare axelor sistemului Si în raport cu axele sistemului Si-1 (indicele superior indică sistemul de “sosire”).
Uneori se elimină din scriere litera “C” notând cosinusurile duale directoare prin: .
Fiind dat un vector prin torsorul lui în raport cu sistemul Si, torsorul corespunzător vectorului în sistemul Si-1 se obține din relația matriceală duală:
(2.61)
sau
(2.62)
Operator dual D – H
Operatorul matriceal D – H corespunde la patru transformări ale sistemului de referință Si-1 pentru a coincide cu sistemul Si, fiecare transformare fiind caracterizată de o matrice.
Introducând mărimi duale, se poate obține un operator dual D – H, ca produs a două matrici duale.
Fie unghiul dual = i + di ce caracterizează poziția și orientarea sistemului
Oi-1x’i-1y’i-1z’i-1 în raport cu sistemul Oi-1 xi-1 yi-1 zi-1 (fig. 2.18). Unghiul dual marchează rotația de unghi i în jurul axei Oi-1 zi-1 și translația di în lungul aceleiași axe.
Operatorul matriceal dual corespunzător acestei transformări este:
(2.63)
Unghiul dual corespunzător transformării de la sistemul Si la sistemul S’i-1 este
, (2.64)
iar operatorul matriceal dual corespunzător acestei transformări, se notează:
(2.65)
Transformarea de la sistemul Si la sistemul Si-1 este dată de matricea duală:
(2.66)
Din compararea expresiilor (2.34) și (2.66) se poate observa asemănarea cu matricea 3 3 care dă orientarea sistemului Si în raport cu sistemul Si-1.
Prin dezvoltarea elementelor matricei duale se obțin toți parametrii care dau poziția și orientarea sistemului de referință Si în raport cu sistemul Si-1 în funcție de parametrii i, i, di și ai.
2.2. Modelarea geometrică inversă
2.2.1. Generalități
Modelul geometric pentru comandă (modelul geometric invers) constă în determinarea vectorului coordonatelor generalizate (coordonatelor robot) în funcție de vectorul coordonatelor operaționale (coordonatele punctului caracteristic P și unghiurile pentru orientarea efectorului în raport cu sistemul 0).
Algoritmii uzuali de comandă sunt formați din relații care exprimă deplasările motoarelor în funcție de parametrii de poziționare ai corpului condus.
Cum modelarea geometrică directă se definește prin expresia vectorială:
(2.67)
modelarea geometrică inversă (modelarea geometrică pentru comandă) va avea expresia vectorială:
(2.68)
Se spune că un robot este rezolvabil pentru o categorie de sarcini implicând un tip de vector al coordonatelor operaționale, dacă cunoscând modelul geometric direct , se poate obține matematic o soluție unică pentru sistemul .
Pentru realizarea comenzii geometrice se impune ca numărul (m) al parametrilor să nu depășească numărul (n) al gradelor de libertate:
(2.69)
Ecuațiile (2.69) reprezintă variante posibile ale vectorului coloană deoarece, tipul elementelor variază în raport cu natura gradelor de libertate și, respectiv, în raport cu procesul tehnologic în care este implementat robotul.
Dacă robotul are 6 grade de libertate, se subînțelege că reprezintă poziția și orientarea organului terminal în sistemul de referință fix S0. Cu un asemenea robot se pot face și sarcini care nu implică 6 grade de libertate. La inversarea modelului geometric direct, se pot întâlni unele dificultăți, cum ar fi:
alegerea valorilor parametrilor care dau poziția punctului caracteristic P(px, py, pz) și orientarea corpului (de exemplu unghiurile lui Euler , , ) nu sunt compatibile cu domeniul (spațiul) de lucru al robotului. În acest caz problema nu are soluție;
soluțiile constructive alese pentru structura mecanică limitează valorile unor coordonate robot;
în raport cu toate cele șase coordonate operaționale pentru o structură cu n grade de libertate se pot întâlni următoarele situații:
n < 6 problema nu are soluție;
n = 6 există o soluție sau un număr finit de soluții;
n > 6 există o infinitate de soluții.
Pentru cazul n = 5, problema se poate soluționa dacă parametrii operaționali se referă la poziționarea unei drepte aparținând corpului condus.
Pentru n = 4, se consideră coordonatele punctului caracteristic și un unghi de orientare, iar pentru n = 3, sunt date coordonatele punctului caracteristic.
Existența soluțiilor este o problemă legată de spațiul de lucru al robotului definit ca mulțimea tuturor pozițiilor pe care le poate ocupa punctul caracteristic. În funcție de schema cinematică, spațiul de lucru poate fi linear, plan sau tridimensional. Pentru ca soluția să existe, este necesar ca punctul ce trebuie atins să fie situat în interiorul spațiului de lucru sau la granița acestuia.
2.2.2. Subspațiul unui manipulator cu mai puțin de 6 grade de libertate
Pentru un manipulator cu n < 6 grade de libertate, spațiul de lucru capabil este o porțiune a subspațiului corespunzător celor n grade de libertate, așa după cum spațiul de lucru al unui manipulator cu 6 grade de libertate este o porțiune a spațiului.
O metodă pentru a specifica subspațiul unui manipulator cu n grade de libertate este găsirea unei expresii cu ajutorul căreia în funcție de cele n variabile să poată fi localizat sistemul încheieturii W sau T al sculei.
Considerând variabilele n libere (pot lua orice valoare) se determină subspațiul corespunzător. Pentru un robot plan cu două elemente și cuple de rotație, subspațiul este plan, dar spațiul de lucru este o porțiune (un domeniu) al planului, care în cazul l1 = l2 este un cerc cu raza l1 + l2, unde l1 și l2 reprezintă lungimile celor două elemente.
Pentru manipulatorul din figura 2.19, subspațiul este dat de matricea . Matricea care dă poziția originii sistemului S2 în raport cu sistemul S0, este:
(2.70)
unde x și y poate lua orice valoare.
Orientarea sistemului S2 este supusă restricției datorită faptului că axa O2Z2 (folosind notația D-H) este orientată în direcția dependentă de x și y, axa O2x2 este perpendiculară pe planul definit de O1z1 și O2z2, iar axa O2y2 este determinată de produsul vectorial .
Cosinusurile directoare ale axelor sistemului S2 sunt:
O2x2 ; ; 1 = 0;
O2y2 2 = 0; 2 = 0; 2 = -1; (2.71)
O2z2 ; ; 3 = 0;
Rezultă că subspațiul manipulatorului este dat de matricea:
(2.72)
Se observă că matricea care definește subspațiul manipulatorului plan cu n = 2 grade de libertate are elementele exprimate numai în funcție de doi parametrii independenți x și y.
Spațiul de lucru al manipulatorului va fi o zonă din plan determinată de dimensiunile elementelor și variațiile coordonatelor robot.
Uzual, când se specifică o sarcină a unui manipulator, se are în vedere numărul gradelor de libertate al acestuia.
Dacă se face o specificare pentru toate cele șase grade de libertate ale obiectului manipulat, în general nu este posibil a controla toate cele 6 grade de libertate cu un manipulator având un număr n < 6 de grade de libertate. În acest caz, strategia soluției este următoare:
Dându-se un sistem general al scopului prin matricea , se presupune scopul modificat la matricea , astfel ca să se afle în subspațiul manipulatorului corespunzător celor n < 6 grade de libertate ale acestuia și să fie cât mai apropiat posibil de . Apropierea trebuie aleasă în funcție de scop.
Se calculează, folosind cinematica inversă, coordonatele robot pentru . De notat că această rezolvare nu este posibilă dacă punctul caracteristic al scopului nu se află în spațiul de lucru al manipulatorului.
2.2.3. Moduri de determinare a coordonatelor generalizate
Legătura dintre vectorii coloană și este realizată prin operatorul f astfel:
(2.73)
Sub aspectul modelului geometric invers, sistemul de ecuații (2.73) reprezintă un sistem de ecuații neliniare și transcedente pentru care nu există un algoritm general de calcul. În anumite condiții particulare, legate de poziția și orientarea relativă a axelor cinematice învecinate , sistemul (2.73) se poate rezolva prin metode algebrice sau prin metode specifice geometriei plane. Spre deosebire de abordarea geometrică a MGI care diferă de la o problemă la alta, metodele algebrice se bazează pe reducerea ecuațiilor transcedente la ecuații algebrice cu o singură necunoscută și ca urmare, pot fi generalizate. Ecuația (2.68) se poate scrie sub forma:
(2.74)
Ecuațiile (2.74) exprimă o anumită configurație a robotului care satisface poziția și orientarea cunoscută a efectorului final.
Marele neajuns al sistemelor de ecuații (2.67), (2.68), este faptul că sunt neliniare. După cum este cunoscut, astfel de sisteme se rezolvă prin metode numerice care introduc inevitabil erori.
Metodele de rezolvare se împart în două categorii:
metode închise, algebrice sau geometrice (aplicabile pe cazuri particulare);
metode numerice.
a Metode închise
a.1 Metode algebrice
A. Soluții algebrice polinomiale
Sistemul de ecuații neliniare (2.73) conține, în general, ecuații transcedente de forma:
(2.75)
unde coeficienții aj, bj și cj sunt cunoscuți.
Pentru determinarea coordonatei generalizate qi ecuația transcedentă (2.75) se transformă într-o ecuație cu o singură necunoscută. În acest scop se prezintă două metode de rezolvare.Una dintre aceste metode constă în efectuarea substituției:
, parametrii și sunt cunoscuți conform expresiilor:
; (2.76)
Înlocuind se obține ecuația
respectiv . (2.77)
Din (2.77) se obține, pentru coordonata generalizată qi, următoarea expresie:
. (2.78)
A doua metodă constă în efectuarea următoarei substituții:
(2.79)
Înlocuind (2.79) în relația (2.75) se obține o ecuație algebrică de gradul al doilea în necunoscuta , adică:
(2.80)
În acest caz coordonata generalizată qi se obține sub forma
(2.81)
Implementarea în computer creează dificultăți pentru (q = 180), deorece la împărțirea cu zero programul se oprește. În această situație, ecuația (2.80) degenerează într-o ecuație lineară.
Această metodă este aplicabilă pentru ecuații care conduc la polinoame de grad 4, pentru care există soluții de formă închisă.
Metodelor mai sus prezentate se mai adaugă a treia variantă de calcul a coordonatei generalizate qi. Ea constă în rezolvarea sistemului de ecuații:
(2.82)
Astfel se obțin următorele expresii:
; (2.83)
respectiv . (2.84)
Așadar oricare dintre ecuațiile (2.78), (2.81) sau (2.84) conduc la soluții multiple pentru coordonata generalizată qi. Alegerea soluției unice depinde de geometria structurii mecanice a robotului și de interacțiunea acestuia cu mediul.
B. Metoda algebrică
Pentru a exemplifica metoda algebrică, se consideră mecanismul plan cu trei grade de libertate prezentat în figura 2.20.
Discuția va fi concentrată asupra determinării coordonatelor robot necesare aducerii unui obiect prins în efector într-o poziție dată prin poziția și orientarea sistemului scop G.
Notând cu T sistemul atașat invariabil de corpul prins în efector, atingerea scopului presupune coincidența sistemelor T și G.
Lungimile l1, l2 și l3 reprezintă lungimile elementelor.
Cum sistemul T este paralel cu sistemul încheieturii W, între acestea neexistând mișcare relativă, rezolvarea problemei revine la determinarea coordonatelor robot q1, q2 și q3, necesare poziționării și orientării sistemului W astfel încât sistemul T să coincidă cu sistemul G.
Matricea care dă orientarea și poziția sistemului W în raport cu sistemul de bază (fix) B, este:
(2.85)
Pentru scopul propus, coordonatele originii sistemului W sunt x și y, iar orientarea sistemului este dată prin unghiul .
Matricea corespunzătoare acestei orientări și poziționări a sistemului W, este
(2.86)
Atingerea scopului este realizată când elementele celor două matrice sunt egale.
Se obține, astfel, un sistem de patru ecuații neliniare:
c = c(q1 + q2 + q3) (2.87)
s = s(q1 + q2 + q3) (2.88)
x = l1cq1 + l2c(q1 + q2) (2.89)
y = l1sq1 + l2s(q1 + q2) (2.90)
Ridicând la pătrat și adunând (2.89) și (2.90), rezultă expresia
(2.91)
din care se obține:
(2.92)
cu restricția:
– 1 cq2 1 (2.93)
În algoritmul soluției această constrângere trebuie verificată pentru a fi siguri că soluția există. Fizic vorbind, aceasta înseamnă că poziția dată este departe pentru ca manipulatorul să o poată realiza.
Presupunând satisfăcută această condiție, se determină:
(2.94)
și apoi, folosind funcția Atan2, se calculează:
q2 = Atan2(sq2, cq2) , (2.95)
unde funcția geometrică are următoarea semnificație:
Alegerea semnului în (2.94) corespunde la două soluții din care se poate alege oricare.
Presupunând cunoscut q2 din (2.94) și (2.95) se obține:
(2.96)
Notând:
l1 + l 2cq2 = a1; l 2sq2 = a2 (2.97)
sistemul (2.96) devine:
(2.98)
Se obțin astfel expresiile:
; (2.99)
care permit determinarea lui q1:
q1 = Atan2(ya1 – xa2, xa1 + ya2) (2.100)
sau ținând seama de relația:
(2.101)
expresia (2.100) se poate aduce la o altă formă
Notând:
;
rezultă
De notat că schimbarea de semn în soluția q2 (2.94), atrage după sine schimbarea semnului lui a2, ceea ce afectează pe q1.
Pentru determinarea lui q3 se folosesc expresiile (2.87) și (2.88), rezultând expresia:
q1 + q2 + q3 = Atan2(s, c) = (2.102)
din care se obține q3, cunoscând primele două unghiuri.
Pentru roboți cu 6 grade de libertate care au 3 axe consecutive intersectate într-un punct, tehnica de transformare inversă, numită metoda Pieper, reprezintă o metodă analitică de modelare a geometriei inverse.
a.2 Metoda geometrică
O delimitare netă între metoda algebrică și cea geometrică este dificilă deoarece orice metodă geometrică, pentru a fi aplicată, folosește expresii algebrice. Aceste metode diferă numai prin modul de abordare al problemei.
De exemplu, pentru manipulatorul plan din figura 2.21, aplicând în triunghiul O1O2O3 teorema cosinusului, rezultă:
(2.103)
Pentru ca soluția să existe, trebuie verificată condiția:
(2.104)
Unghiul indicat pe figură rezultă din expresia:
= Atan2(y0, x0) (2.105)
care ține cont de semnele lui x0 și y0. Aplicând din nou teorema cosinusului în triunghiul O1AO3, se obține:
(2.106)
0 180
Rezultă q1 = (2.107)
unde semnul + corespunde pentru q2 < 0
semnul – pentru q2 > 0.
Presupunând cunoscut unghiul care dă orientare sistemului 3 în raport cu sistemul de bază 0, din relația:
q1 + q2 + q3 = (2.108)
se determină q3.
Observație: Urmărind figura 2.21, se observă că pentru poziția dată a punctului O3, corespund două poziții ale mecanismului caracterizat prin q2 < 0 și q2 > 0. Deasemenea, unghiul q1 are două valori.
b. Metode numerice
Soluția generală pentru rezolvarea sistemului (2.68) este cea numerică, dată fie de metoda dezvoltării în serie Taylor, fie de metoda Newton, fie de metoda Kani.
Din cauza naturii iterative a soluțiilor numerice, acestea sunt mult mai lente comparativ cu soluțiile de formă închisă, ceea ce conduce la un consum mai mare de timp.
Pe de altă parte, orice metodă numerică presupune cunoașterea unei soluții aproximative de la care se începe procesul de iterație existând totodată pericolul ca acest proces să fie divergent. Cu toate aceste dificultăți, cele mai recente rezultate arată că toate sistemele mecanice cu cuple de rotație și translație având 6 grade de libertate, cu un singur lanț cinematic, nu sunt solvabile prin metode închise, singurele metode care conduc la soluții fiind metodele numerice.
Atașând fiecărui element al manipulatorului un sistem de referință legat invariabil de elementul respectiv, cu ajutorul operatorilor D-H, se poate poziționa orice sistem în raport cu sistemul de bază 0. Pentru un lanț cinematic cu n sisteme de referință, poziția sistemului n în raport cu sistemul 0 este dată de operatorul:
(2.109)
Poziția și orientarea sarcinii pentru un robot cu n grade de libertate qi, i = 1, . . ., n în raport cu sistemul de bază 0 este dată de relația (2.109), care poate fi scrisă mai dezvoltat:
(2.110)
Primele trei coloane conțin cosinușii directori ai axelor sistemului de referință legat invariabil de efector, iar elementele ultimei coloane dau poziția punctului caracteristic.
Cum pentru poziționarea ultimului element sunt necesari 6 parametri independenți, se vor alege cele șase elemente subliniate.
Fiind date șase valori numerice pentru elementele matricei respective, se obțin, în cazul general (n = 6), 6 ecuații (în general transcendente) în necunoscutele q1 . . . q6.
În cazul în care n < 6, adică numărul coordonatelor robot este mai mic decât cel al coordonatelor operaționale, problema este imposibilă. Adică, cu un număr mai mic al coordonatelor robot este imposibil a determina o sarcină arbitrară în ceea ce privește poziția și orientarea efectorului final.
b.1 Metoda dezvoltării în serie Taylor
Presupunând cunoscute valorile coordonatelor robot în punctul k – 1, se determină coordonatele robot în punctul k.
Formula de calcul este următoarea:
(2.111)
unde este matricea cunoscută ale cărei elemente sunt exprimate printr-o valoare aproximativă cunoscută a coordonatelor robot.
În cazul unei rotații a sistemului Si în raport cu sistemul Si-1, matricea de transformare este:
(2.112)
Derivata matricei (2.112) este:
(2.113)
Introducând operatorul Üicker pentru rotața în jurul axei Oz, expresia (2.113) se poate scrie:
unde (2.114)
este operatorul Üicker pentru rotație.
Dacă transformarea de la sistemul Si la sistemul Si-1 este o translație în lungul axei Oz, expresia (2.114) devine
, unde (2.115)
este operatorul lui Üicker pentru translație.
Fiecare din termenii sumei (2.111) reprezintă o matrice 4 4 obținută prin folosirea operatorilor lui Üicker, dacă la alegerea sistemelor de coordonate s-a folosit notația D – H.
Notând:
(2.116)
se observă că fiecare din matricele depinde numai de coordonata robot qi.
Dezvoltat, (2.116) se scrie:
, (2.117)
Aplicând expresia (2.117) pentru termenii subliniați ai matricei (2.110), se obține:
(2.118)
În sistemul (2.118) singurele necunoscute sunt . Pentru k = 1, valorile sunt considerate cunoscute.
De obicei, acestea sunt numite valori inițiale: ceea ce se numește inițializarea sistemului. Dacă este posibil (mecanismul permite), se aleg ; .
Pentru aceste valori se determină termenii matricelor (2.110) și (2.117) (care interesează) în sistemul (2.118).
Membrii întâi fiind cunoscuți, se determină valorile .
Procesul se continuă apoi, considerând k = 2, k = 3 etc. și încetează iterația în momentul în care valorile coordonatelor robot se află sub limitele prescrise.
În cazul în care n < 6, numărul ecuațiilor sistemului (2.118) scade corespunzător acestora.
b.2 Metoda Newton de calcul numeric iterativ
Una dintre metodele numerice care permite determinarea unei soluții aproximative a sistemului (2.67) este metoda Newton.
Dezvoltat, sistemul (2.67) se scrie sub forma:
(2.119)
Considerând setul de argumente componente ale unui vector k – dimensional:
(2.120)
și similar, setul de funcții 1, 2, , k, componente ale unei funcții vectoriale:
(2.121)
Sistemul (2.119) se poate scrie compact:
(2.122)
Presupunând o soluție p a sistemului:
(2.123)
aceasta va reprezenta o valoare aproximativă a soluției exacte.
Soluția exactă este:
(2.124)
unde:
(2.125)
Dezvoltând după puterile vectorului mic și reținând termenii liniari, se obține:
(2.126)
unde:
(2.127)
este matricea Jacobi, dată de relația:
(2.128)
Înlocuind (2.127) în (2.126), rezultă:
(2.129)
Presupunând matricea nesingulară din (2.129), avem:
(2.130)
Înlocuind (2.130) în (2.124), se obține:
(p = 0, 1, 2, ) (2.131)
Expresia (2.131), pentru iterații (p = 0, 1, 2, ), reprezintă metoda Newton.
Iterația se oprește atunci când, înlocuind soluția aproximativă găsită în sistemul (2.119), se obține o eroare < 10-3.
b.3 Metoda KANI
Pentru un sistem de k ecuații neliniare cu k necunoscute, la care sunt cunoscute aproximațiile inițiale qj,0, apropiate ca valori de soluția sistemului, avem
i(qj) = 0 (i = 1, 2, , k; j = 1, 2, , k) (2.132)
În vecinătatea rădăcinilor qj care satisfac sistemul dat, variabilele pot fi exprimate ca funcții de un parametru , care variază între 0 și 1
qj = qj() (2.133)
Sistemul (2.132) poate fi scris sub forma
i(qj) = i,0(1 – ) , (2.134)
unde i,0 = i(qj,0) reprezintă valoarea membrului întâi al fiecărei ecuații pentru valorile inițiale.
Derivând (2.134) în raport cu și notând , se obține
(2.135)
Din (2.135) se obține sistemul de forma
care poate fi scris și sub forma
dqj = dFj(qi) (2.136)
Trecând la diferențe finite,
qj = Fj(qi) (2.137)
împărțind intervalul 0, 1 în subintervale egale și efectuând integrarea numerică pornind de la valorile inițiale, se calculează succesiv qj, și qj.
Pentru = 1, se obține soluția sistemului.
2.3 Modelarea cinematică
2.3.1. Generalități
Neliniaritatea ecuațiilor geometrice , care impune anumite restricții pentru ca robotul să fie inversabil, respective lipsa controlului asupra vitezei și accelerației pe traiectoria de mișcare reprezintă dezavantaje importante ale modelării geometrice. Ele sunt eliminate prin aplicarea modelării cinematice în comanda roboților. În acest caz se menține ipoteza conform căreia elementele robotului sunt rigide, iar cuplele cinematice motoare sunt perfecte sub aspect mecanic. Ipoteza statică este însă eliminată, astfel că vectorii coloană a coordonatelor operaționale și respectiv coordonatele generalizate devin funcții de timp, adică:
; (2.138)
Ecuațiile fundamentale pentru modelarea cinematică a unui robot cu n grade de libertate se poate scrie simbolic sub forma:
(2.139)
(2.140)
unde:
reprezintă vectorul coloană al variabilelor, vitezelor și respectiv al accelerațiilor generalizate ce caracterizează mișcarea din fiecare cuplă cinematică motoare
(2.141)
reprezintă vectorul coloană al vitezelor și respectiv al accelerațiilor operaționale exprimate în sistemul sau și caracterizează mișcarea efectorului final în raport cu sistemul fix .
(2.142)
Parametrii din (2.142), și reprezintă viteza și accelerația liniară respectiv viteza și accelerația unghiulară a sistemului , atașat efectorului final în raport cu sistemul fix .
Modelarea cinematică directă este reprezentată prin ecuațiile (2.139). Conform acestui model se cunosc variabilele, vitezele și accelerațiile generalizate. Se determină vitezele și accelerațiile operaționale ce definesc împreună cu , mișcarea efectorului final în spațiu cartezian (în raport cu sistemul fix ). Pentru soluționarea modelului cinematic direct se utilizează diferite metode dintre care se amintesc: metoda matricelor de poziție-orientare, metoda iterativă, metoda matricei Jacobi. În cadrul ultimei metode menționate, problema fundamentală o constituie matricea Jacobi și derivata acesteia în raport cu timpul. Ele se stabilesc fie cu ajutorul ecuațiilor cinematicii directe, fie prin aplicarea matricelor de transmitere ale vitezelor și accelerațiilor, fie prin intermediul operatorilor diferențiali ai tarnsformărilor omogene, aceștia din urmă fiind rezultatul aplicării operatorului de tip Üicker.
Ecuațiile (2.140) reprezintă modelarea cinematică inversă sau de comandă. Acest model presupune cunoscute variabile vitezele și accelerațiile operaționale. Se determină vitezele și accelerațiile generalizate ce definesc, împreună cu mișcările relative dintre elementele componente ale structurii mecanice a robotului. Dintre metodele de rezolvare a modelului cinematic invers se amintesc: metoda inverselor generalizate și metoda pseudoinversei.
2.3.2. Considerații asupra vitezei și accelerației
2.3.2.1. Viteza liniară
Se consideră un sistem de referință B mobil și un sistem de referință fix A (fig. 2.22).
Fie M un punct poziționat în raport cu sistemul B, prin vectorul . Poziția sistemului de referință B în raport cu sistemul A este dată de vectorul de poziție și de matricea de orientare (de rotație) . Se lucrează cu notația D – H varianta I. Pentru început se consideră că orientarea sistemului B este invariabilă.
Se dorește exprimarea mișcării și a vitezei punctului M în raport cu sistemul A, presupunând cunoscută mișcarea și viteza acestuia în raport cu sistemul B.
Mișcarea punctului M în raport cu sistemul A se compune din mișcarea sistemului B dată prin vectorul și din mișcarea punctului M în raport cu sistemul B dată de variația vectorului .
Se poate scrie relația vectorială:
(2.143)
Derivând în raport cu timpul, rezultă
(2.144)
Pentru a exprima relațiile (2.143) și (2.144) prin proiecțiile vectorilor pe sistemul de referință A, se ține seama de relațiile matriceale:
(2.145)
(2.146)
sau
(2.147)
Scriind matriceal expresia (2.144) în proiecții pe sistemul A, se obține:
(2.148)
Înlocuind în (2.148) relația (2.147), rezultă
(2.149)
Observație: Expresia (2.149) este valabilă numai în cazul în care orientarea sistemului B în raport cu sistemul A nu se modifică.
2.3.2.2. Viteza de rotație
Se consideră două sisteme de referință, sistemul A fix și sistemul B mobil, ambele având originea comună fixă (fig. 2.23). Viteza unghiulară a sistemului B în raport cu A este . Fie M un punct fix în raport cu B, având vectorul de poziție .
Viteza acestui punct în raport cu sistemul B este nulă: .
În raport cu sistemul A viteza acestui punct va fi , fiind dată de expresia vectorială:
(2.150)
În cazul în care punctul M se mișcă și în raport cu sistemul B, viteza punctului exprimată în sistemul A este:
(2.151)
sau
(2.152)
sau
(2.153)
unde: reprezintă matricea aferentă vectorului ce intervine în produsul vectorial.
2.3.2.3. Compunerea vitezelor
În cazul în care orientarea sistemului A nu coincide cu originea sistemului B și aceasta are o mișcare oarecare, expresia vitezei unui punct M în raport cu sistemul A staționar, când se cunoaște viteza punctului în raport cu sistemul mobil B, este:
(2.154)
Față de expresia (2.153) s-a adăugat termenul , ce reprezintă viteza originii sistemului B în raport cu sistemul A.
2.3.3. Torsorul cinematic al unui element
În analiza mișcării elementelor robotului totdeauna se va folosi sistemul de referință al elementului 0. În fiecare moment, fiecare element este caracterizat printr-o viteză liniară și o viteză unghiulară.
Pentru elementul “i”, este viteza liniară a originii sistemului de referință i atașat elementului, iar este viteza unghiulară a aceluiași sistem.
Ansamblu acestor doi vectori ( ,) se numește torsor cinematic.
Este indicat ca acești vectori să fie dați în sistemul de referință i.
Figura 2.24 arată poziția vectorilor respectivi.
2.3.4. Transmiterea vitezelor
Manipulatorul este un lanț de corpuri legate între ele prin cuple, fiecare corp fiind în mișcare relativă față de corpurile învecinate.
La analiza mișcării se va pleca de la corpul fix (de bază), respectiv de la sistemul de referință 0, iar viteza liniară și unghiulară se vor referi la mișcarea absolută.
Viteza liniară absolută a elementului “i + 1” față de bază va fi viteza elementului “i” față de bază, adunată cu viteza elementului “i + 1” în raport cu elementul “i”.
Viteza unghiulară absolută a elementului “i + 1” este suma dintre viteza unghiulară absolută a elementului “i” și viteza unghiulară relativă a elementului “i + 1” față de “i”.
Relația matriceală care dă componentele vitezei unghiulare absolute a sistemului (elementul) “i + 1” pe sistemul “i” este
(2.155. a)
în cazul utilizării notației Denavit – Hartenberg, varianta I și este
(2.155. b)
în cazul utilizării notației Denavit – Hartenberg, varianta a II – a.
Multiplicând la stânga relațiile (2.155) cu matricea se obțin componentele vitezei unghiulare absolute ale elementului “i + 1” pe sistemul “i + 1”
(2.156. a)
respectiv,
(2.156. b)
sau
(2.157. a)
respectiv,
(2.157. b)
Viteza liniară absolută a sistemului de referință “i + 1” (a originii sistemului) în proiecții pe sistemul “i” este dată de relația matriceală
(2.158. a)
în cazul utilizării notației Denavit – Hartenberg, varianta I și de relația
(2.158. b)
în cazul utilizării notației Denavit – Hartenberg, varianta a II – a.
Multiplicând la stânga relațiile (2.158) cu matricea , se obține
(2.159. a)
respectiv,
(2.159. b)
Observație: În cazul în care cupla “i + 1” este de rotație, din expresiile (2.159) lipsește ultimul termen, expresiile devenind:
(2.160. a)
(2.160. b)
În cazul în care cupla “i + 1” este prismatică, expresiile (2.157) devin:
(2.161. a)
(2.161. b)
Aplicând relațiile (2.157), (2.161) sau (2.159), (2.160) succesiv, se poate trece de la un element la următorul, ajungând la , , adică la viteza unghiulară și lineară absolută a ultimului element, exprimate în raport cu sistemul “n”.
Dacă se dorește exprimarea acestor viteze în proiecții pe sisteme de referință 0 (de bază), se vor multiplica expresiile respective cu matricea .
2.3.5. Matricea Jacobi în robotică
O matrice Jacobi este o formă multidimensională a unei derivate.
Fie șase funcțiuni , fiecare depinzând de șase variabile independente.
(2.162)
Diferențiind (2.162), se obțin expresiile:
(2.163)
care se pot scrie matriceal:
(2.164)
Matricea 6 6 conținând derivatele parțiale, se numește matrice Jacobi a funcțiilor respective și se notează cu J.
Utilizând notația matricea Jacobi sub forma (J), expresia (2.164) se poate scrie
(2.165)
Împărțind ambii membrii cu diferențialul timp, se obține expresia
(2.166)
În fiecare moment X are o anumită valoare, iar J(X) este o transformare liniară. La fiecare nou moment, X se schimbă transformându-se linear. Matricea Jacobi este variatorul în timp al transformării lineare.
În domeniul roboticii, exprimarea generală a matricei Jacobi face legătura între vitezele cuplelor (vitezele robot) și vitezele carteziene (operaționale) ale extremității brațului.
Modelul geometric direct al unui manipulator se exprimă prin relația matriceală
(2.167)
sau dezvoltat:
(2.168)
Având în vedere că un solid rigid are șase grade de libertate, numărul funcțiilor (fi) independente este șase.
De multe ori se alege un număr mai mare de funcțiuni între care există un număr de ecuații de constrângere. De exemplu, se pot alege trei funcțiuni, xT, yT, zT, pentru a defini originea sistemului de referință T, și nouă funcțiuni care reprezintă cei nouă cosinuși directori ai axelor sistemului T în raport cu sistemul fix 0. Aceștia din urmă definesc orientarea sistemului T și sunt notați , , , , , ,, , .
Diferențiind expresiile (2.168), se obține forma matriceală (2.165), care dezvoltată este
(2.169)
Așadar, matricea Jacobi în acest caz este
(2.170)
Observații: Numărul de linii al matricei Jacobi este egal cu numărul de grade de libertate în spațiul cartezian al corpului prins în efector în raport cu sistemul de referință. Deoarece, așa cum s-a arătat, se poate alege un număr mai mare de parametrii, numărul liniilor poate fi mai mare decât numărul gradelor de libertate.
Nu trebuie însă confundat numărul gradelor de libertate al corpului manipulat cu numărul gradelor de libertate al robotului care este egal cu numărul cuplelor (coordonatelor robot).
Numărul coloanelor matricei Jacobi este egal cu numărul cuplelor, respectiv numărul coordonatelor robot (numărul gradelor de libertate).
În cazul în care poziționarea sistemului de referință T se face prin parametrii indicați anterior, expresia matriceală (2.169) poate fi adusă la forma
(2.171)
În acest caz expresia matriceală poate fi scrisă restrâns sub forma
(2.172)
Se va face distincție între derivatele cosinusurilor directoare și componentele vitezei unghiulare absolute , a sistemului T în raport cu sistemul fix 0.
2.3.6. Utilizarea multiplicatorului matriceal Üicker la determinarea vitezelor și accelerațiilor
2.3.6.1. Viteze și accelerații liniare
Ecuația matriceală ce oferă poziția punctului caracteristic P în raport cu sistemul de bază este
, (2.173)
unde
este vectorul de poziție al punctului caracteristic P în raport cu sistemul de bază S0;
este operatorul omogen compus ce caracterizează poziția și orientarea sistemului încheieturii Sn în raport cu sistemul de bază;
vectorul de poziție al punctului caracteristic P în sistemul încheieturii.
Se derivează ecuația (2.174) și se obține
(2.174)
Derivarea matricei se face
(2.175. a)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta I și
(2.175. b)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta a II – a,
unde s-a notat ;
va fi dacă coordonata qi reprezintă o deplasare unghiulară sau va fi dacă qi reprezintă o deplasare liniară;
este operatorul omogen compus ce caracterizează poziția și orientarea sistemului Si+1 în raport cu Si.
Ecuația (2.174) permite determinarea vitezei liniare a punctului caracteristic P, prin componentele sale pe axele sistemului de bază.
Derivând ecuația (2.174) se obține
(2.176)
Relația cu ajutorul căreia se derivează matricea este
(2.177. a)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta I și
(2.177. b)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta a II – a,
unde va fi dacă qi/j este coordonata robot de rotație sau va fi dacă qi/j este coordonata robot de translație.
Ecuația (2.176) permite determinarea accelerației liniare a punctului caracteristic, prin proiecțiile sale pe axele sistemului de bază.
2.3.6.2. Viteze și accelerații unghiulare
Se cunoaște relația
(2.178)
în care S este matricea vitezei unghiulare, (2.179)
matrice ce caracterizează orientarea sistemului Sn față de sistemul S0. Matricea reprezintă derivata matricei de orientare și transpusa matricei .
Conform celor de mai sus matricea se poate deriva după relația
(2.180.a)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta I și
(2.180.b)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta a II – a,
în care (2.181)
dacă qi este coordonata robot de rotație sau
(2.182)
dacă qi este coordonata robot de translație.
Din ecuația (2.178) se obține prin identificare viteza unghiulară a punctului caracteristic P, prin proiecțiile sale pe axele sistemului de bază.
Se derivează ecuația (2.178)
(2.183)
în care (2.184)
Pentru calculul derivatei de ordinul II a matricei se utilizează relația
(2.185. a)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta I și
(2.185.b)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg, varianta a II – a,
unde (2.186)
dacă qi/j este coordonata robot de rotație;
, (2.187)
dacă qi/j este coordonata robot de translație.
Prin identificare se obțin accelerația unghiulară a punctului caracteristic, prin componentele sale pe axele sistemului de bază.
2.3.7. Utilizarea matricelor duale în studiul vitezelor
2.3.7.1. Formularea problemei
Matricea duală de trecere de la sistemul Si-1 la Si are forma
(2.188. a)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg varianta I
(2.188. b)
dacă se utilizează notația Denavit – Hartenberg varianta a II – a,
unde unghiul dual este și
unghiul dual este ,
unde: 0, 2 = 0 este simbolul lui Clifford;
ai-1 este distanța dintre axele zi-1 și zi, măsurată de-a lungul axei xi-1;
i-1 este unghiul format de axele zp-1 și zi, măsurat în jurul axei xi-1;
di este distanța dintre axele xi-1 și xi, măsurată de-a lungul axei zi;
i este unghiul format de axele xi-1 și xi, măsurat în jurul axei zi.
Funcțiile trigonometrice corespunzătoare unghiului dual sunt:
(2.189)
2.3.7.2. Metoda de calcul
Dacă este vectorul dual ce caracterizează mișcarea elementului i în raport cu elementul i – 1, exprimat pe axele sistemului de referință Si, iar reprezintă vectorul dual transferat în sistemul Si+1 atunci se poate scrie
, (2.190)
unde: reprezintă vectorul dual atașat sistemului de referință solidar cu punctul caracteristic, P.
, (2.191)
Vectorul dual din punctul P reprezintă suma tuturor vectorilor duali ce au fost transferați în acest punct
, (2.192)
unde n reprezintă numărul de elemente mobile.
2.3.8. Modelarea cinematică inversă
Modelul cinematic direct se poate scrie în mai multe moduri
sau (2.193)
Nivelului de comandă i se furnizează fie , fie sau și acest nivel trebuie să calculeze valorile lui și sau , ceea ce conduce la modelul cinematic invers:
(2.194)
Ecuația (2.194) nu dă decât creșterile variabilelor. Trebuie deci să se cunoască de unde se pleacă. Aceasta se obține fie plecând totdeauna de la o configurație cunoscută, zisă de inițializare, pentru care a fost măsurat sau calculat printr-un mod oarecare, fie utilizând în completarea modelului cinematic, modelul geometric direct care dă și măsurând valorile variabilelor din articulații.
Sistemul (2.194) este un sistem liniar în necunoscutele . Matematic vorbind, se pot întâlni trei cazuri:
a) m > n (m > 6) numărul gradelor de libertate m al robotului (coordonatele robot) este mai mare decât al coordonatelor operaționale n. Sistemul mecanic în acest caz se zice că este redundant. Cum în cazul general, poziționarea unui corp necesită 6 parametri independenți, rezultă că m 6. Dacă de exemplu, obiectul manipulat se reduce la un punct material, care coincide cu punctul caracteristic, atunci m = 3.
b) m = n numărul coordonatelor robot este egal cu numărul coordonatelor operaționale.
c) m < n numărul coordonatelor robot este mai mic decât cel al coordonatelor operaționale.
Pentru rezolvarea sistemelor de ecuații liniare și neomogene se utilizează două tipuri de metode:
metode exacte (Cramer, Metoda Matricei inverse, Gauss, Jordan – Gauss etc.);
metode iterative (Jacobi, Gauss – Seidel etc.)
Metodele exacte dau o soluție exactă sistemului folosind un număr finit de operații elementare.
Metodele iterative dau o soluție a sistemului care se obține ca limită a unui șir de vectori ce reprezintă soluția pentru diferite iterații. În cadrul acestor metode se pune problema alegerii metodei cea mai convenabile din punct de vedere al unei viteze sporite de convergență pentru o alegere a aproximării inițiale adecvate. Există numeroase sisteme dependente de natura coeficienților pentru care nu există soluție sau nu poate fi găsită o soluție cu un anume grad de precizie.
Există, de asemenea, sisteme pentru care o soluție exactă a sisemului este practic imposibil a fi determinată. Această deficiență a sistemului este pusă în evidență de natura coeficienților matricei asociate sistemului.
La alegerea unei metode de calcul numeric pentru un sistem dat este indicat a avea în vedere unele criterii, cum ar fi:
numărul de operații algebrice necesare;
precizia rezultatelor finale;
posibilitatea testării preciziei calculate prin verificări intermediare.
După cum s-a arătat (expresia (2.194)), la analiza modelului cinematic pentru comandă se utilizează metoda matricei inverse.
Este însă cunoscut faptul că sistemul (2.194) are o soluție unică dacă, și numai dacă, determinantul matricei Jacobi (Jacobianul) este diferit de zero (), ceea ce presupune că matricea respectivă este nesingulară.
Dacă este singulară, sistemul (2.194) va avea o soluție numai pentru anumite valori speciale ale vectorului și această soluție nu este unică.
În cele ce urmează se prezintă câteva probleme specifice comenzii cinematice a roboților, legate de inversarea matricei Jacobi.
2.3.8.1. Metoda variabilelor principale
Pentru un robot dat, numărul gradelor de libertate poate fi considerat fix, în schimb poate varia cu sarcina ce trebuie executată sau cu metoda de calcul pentru elaborarea modelului. La inversarea matricei Jacobi trebuie să se țină cont de câteva reguli:
1. Cu m grade de libertate a unui robot nu se va putea comanda mai mult de m componente independente ale vectorului sau .
Rezultă deci o primă condiție:
n m (2.195)
adică număul de parametri independenți ai vectorului sau trebuie să fie mai mic sau cel mult egal cu numărul coordonatelor robot (grade de libertate).
2. Determinantul matricei J nu trebuie să fie nul, ceea ce matematic presupune ca matricea să fie pătrată. Acest lucru se întâmplă foarte rar în practică.
În cazul în care J nu este pătrată, dar respectă condiția n < m se face apel la așa numita metodă a variabilelor principale, considerând variațiile unora din variabile , etc. ca fiind nule, astfel încât să se obțină o matrice pătrată care să permită inversarea.
Cum însă nu există o metodă care să indice care dintre variabile este mai bine să fie considerată a fi nulă, se utilizează diverse criterii de optimizare cu ajutorul cărora se găsește o valoare optimală pentru variabile.
Acest lucru revine la a mări dimensiunea lui J în loc de a o reduce prin neglijarea întâmplătoare a creșterii unei variabile.
Astfel, se adaugă sistemului de ecuații de constrângere care reprezintă un criteriu de optimizare. Între acestea se va găsi o valoare optimală pentru variabilele , , , .
2.3.8.2. Criteriul quadratic
Există o clasă de criterii pentru care soluția analitică este cunoscută. Acestea sunt criteriile quadratice. Forma generală a unui criteriu quadratic este o expresie de gradul doi:
(2.196)
x1, x2, , xk fiind variabilele, coeficienții a1, a2, , ak fiind pozitivi.
În cazul unui robot se utilizează pentru criteriul quadratic forma
(2.197)
matricea M fiind imperativ simetrică și pozitivă.
Problema se pune în felul următor, cum se poate găsi vectorul care minimizează criteriul E știind că acest vector trebuie să satisfacă un sistem de constrângeri lineare de forma
= J()
Soluția se obține folosind metoda multiplicatorilor lui Lagrange
(2.198)
unde este matricea corespunzătoare vectorului multiplicatorilor lui Lagrange. Paranteza reprezintă condițiile de constrângere a variabilelor.
Minimizarea funcției E, este identică cu minimizarea Lagrangianului L și este demonstrat că acest minim se obține dacă se alege:
= M-1 J()T (J() M-1 J())-1 (2.199)
De multe ori se alege matricea M cea mai simplă matrice, matricea unitate care este simetrică, bine definită și pozitivă.În acest caz expresia (2.197) devine:
(2.200)
Utilizând aceeași matrice , expresia (2.199) devine
(2.201)
2.3.8.3. Metoda inversei generalizate
Plecând de la ecuația care trebuie inversată
(2.202)
se definește ca inversa generalizată a lui J() matricea G care satisface relația:
G J() G = G (2.203)
În acest caz, soluția pentru (2.202) este
(2.204)
Teoria afirmă că:
1) există m – n + 1 soluții independente pentru .
2) orice vector q = k11 + k22 + + km-n+1m-n+1 este de asemenea o soluție a ecuației (2.204) cu condiția ca
k1 + k2 + + km-n+1 = 1
Procedeul de lucru are următorul itinerar:
se formează din matricea Jacobi J toate matricele pătrate excluzând coloana variabilei respective.
Fie matricele rezultate.
se calculează inversa acestor matrice Jacobi
(2.205)
se determină cele “k” inverse generalizate ale lui J printre care se va găsi baza tuturor soluțiilor. Inversele generalizate se obțin plecând de la adăugând o linie de zero corespunzând variabilei abandonate formând o matrice pătrată în J. Cele k soluții de bază pentru sistemul (2.204) vor fi:
(2.206)
Pentru precizări se consideră un caz particular când matricea Jacobi J are m = 3 coloane și n = 2 linii, iar numărul gradelor de libertate al robotului este de trei, coordonatele robot fiind q1, q2, q3.
În acest caz expresiile (2.206), devin:
(2.207)
Cele trei seturi de soluții nu formează baza de soluții ci numai le conține.
Numărul de soluții independente conform criteriului enunțat este
m – n + 1 = 3 – 2 + 1 = 2
Soluțiile posibile sunt date de combinațiile următoare:
(2.208)
cu
k1 + k2 = 1; k3 + k4 = 1; k5 + k6 = 1 (2.209)
Cu metoda precedentă este greu de operat întrucât trebuiesc calculate inverse parțiale pentru a avea infinitatea de soluții din care să se aleagă una.
Matematicienii au demonstrat însă că toate soluțiile pot fi obținute plecând de la o singură ecuație generatoare.
2.3.8.4. Metoda pseudoinversei. Algoritmul lui Grèville
Presupunând că G este o soluție a ecuației
(2.210)
atunci orice * definit de relația
* = G + (G J – I) Z (2.211)
este o soluție a ecuației
unde: I – este matricea unitară;
Z – este un vector de dimensiune m pentru care m – n componente sunt arbitrare.
G – este așa numita inversă generalizată.
Problema care trebuie rezolvată este alegerea lui G și Z.
S-a văzut anterior, că un mod de a elimina ambiguitatea când se alege o soluție (întrucât există mai multe posibilități) este alegerea unui criteriu de minimizare. Astfel, s-a ales criteriul quadratic.
(2.212)
Pentru definirea matricei numită pseudoinversă J+, se presupune că dintre toate inversele generalizate posibile G se alege aceea care corespunde criteriului de minimizare menționat (2.212).
Fie
J+ = G matricea care minimizează (2.213)
matricea inversă generalizată care în acest caz se numește pseudoinversă.
Expresia (2.211), având în vedere (2.213), se scrie
* = J+ + (J+ J – I Z (2.214)
În expresia (2.211) J* este bine definit, dar Z nu este încă.
Există mai multe metode pentru calculul pseudoinversei J+, una dintre acestea fiind algoritmul lui Grèville. Această metodă este foarte performantă având în vedere că scopul acestor calcule este elaborarea comenzii unui robot care se face prin calculator, care se blochează la împărțirea cu zero dacă rangul matricei de inversat nu este cel prevăzut, sau în cazul unor condiții de limită pentru sesizarea sau evitarea singularităților.
Caracteristicile principale ale acestui algoritm sunt:
1) este independent de dimensiunile lui J și, de asemenea, de rangul acestuia;
2) nu comportă nici o împărțire cu zero;
3) depistează automat singularitățile (configurațiile singulare ale robotului), dacă se face calculul urmei J+ J (suma elementelor de pe prima diagonală) care este egală cu rangul matricei J.
4) în prezența singularităților, algoritmul continuă a furniza o soluție “ca și cum nimic nu s-ar fi întâmplat”.
Algoritmul Grèville constă în următoarele:
J Jk = Jk-1, jk (2.215)
unde:
Jk-1 – este matricea formată cu k-1 prime coloane.
jk – este ultima coloană considerată ca un vector.
Pseudoinversa se calculează conform expresiei
(2.216)
unde:
(2.217)
Pentru bkT, se calculează
ck = jk – Jk-1 ak (2.218)
Dacă ck 0
(2.219)
Dacă ck = 0
(2.220)
Prin iterație, se ajunge la j1, dacă j1 = 0, se va lua
(2.221)
dacă j1 0 se va lua
(2.222)
Până acum din ecuația (2.214) s-a calculat pseudoinversa J+ care, așa cum s-a arătat, este unică.
Mai trebuie calculat vectorul ale cărui m – n + 1 componente sunt arbitrare.
Se va considera că vectorul este vectorul gradient al unei funcțiuni scalare care depinde de starea vectorului al robotului. În felul acesta expresia (2.214) va putea asigura minimizarea acestei funcțiuni scalare care poate fi o funcție potențială sau o funcție de cost.
Date fiind “constrângerile” constructive ale robotului, fiecare grad de libertate are goluri care limitează zona sa de lucru.
(2.223)
O constrângere fizică importantă pentru un robot este de a împiedica ca acesta să ajungă în goluri atunci când i se cere să execute o mișcare.
Pentru a evita aceasta se poate construi o funcție care să evalueze poziția momentană a fiecărei articulații și poziția mijlocie a ei. O asemenea funcție ar fi
Având în vedere valorile absolute este indicat a considera funcția
(2.224)
Pentru a evita așa numita problemă a ponderii părților, ca și pentru omogenizarea expresiei (2.224) (q1, , qk pot fi deplasări liniare sau unghiulare), expresia (2.224) se scrie sub forma
(2.225)
Factorul permite ca să evolueze de la 0 la 1. Funcția va fi minimizată dacă se alege soluția
Soluția completă a ecuației (2.224) se poate acum calcula. Se observă că această soluție are două părți care minimizează simultan două criterii:
prin partea J+ X se minimizează q2;
prin partea (J+ J – I)Z se asigură ca poziția fiecărei articulații față de poziția medie să fie aproape minimă (s-a minimizat suma ponderată a pătratelor distanțelor).
Observație: În comanda cinematică se lucrează cu creșterile X. Se încearcă deci a se controla o viteză (T fiind perioada de încercare). Linearizarea care are loc este validă numai în cazul în care X ca și rămân suficient de mici. Dacă impunerea creșterilor X este posibilă, nimic nu garantează că calculat cu ajutorul J-1 rămân mici.
Revenind la problema inversării matricei Jacobi, se mai analizează două cazuri.
1. Matricea Jacobi este o matrice pătrată, dar Det J = 0 pentru unele valori discrete ale variabilelor articulațiilor. În acest caz se zice că robotul se află într-o configurație numită singularitate. Toate manipulatoarele au singularități la granița spațiului de lucru, iar cele mai multe au localizări pentru singularități chiar în interiorul spațiului de lucru.
Singularitatea graniței spațiului de lucru are loc când întregul mecanism este întins, sau astfel îndoit încât capul efectorului este aproape de granița spațiului de lucru.
Singularitățile interioare spațiului de lucru sunt acelea care au loc în interiorul spațiului de lucru și, în general, atunci când două sau mai multe axe ale cuplelor sunt aliniate. Când un manipulator este în configurație singulară, pierde unul sau mai multe grade de libertate în ceea ce privește spațiul cartezian.
2. Matricea Jacobi este o matrice pătrată și DETJ = 0 oricare ar fi variabilele din legături. În acest caz ecuațiile care compun matricea Jacobi nu sunt independente.
2.4 Modelarea dinamică a roboților industriali
2.4.1 Generalități
Continuând analiza mișcării unui corp solid în cazul accelerațiilor, prin derivare în raport cu timpul a vitezei liniare și unghiulare se obține accelerația liniară respectiv accelerația unghiulară.
(2.226)
și
(2.227)
Față de un sistem de referință oarecare {U} se folosesc notațiile:
și (2.228)
Accelerația liniară
Pentru a descrie viteza vectorului , scriind față de sistemul {A} când originile sistemelor coincid, avem:
(2.229)
(2.230)
Derivând expresia (2.229) și exprimând-o în raport cu sistemul de referință {A} atunci când originile lui {A} și {B} coincid rezultă
(2.231)
Înlocuind în termenul din dreapta a (2.231) cu expresia (2.230) avem
(2.232)
Pentru cazul când originea sistemului {B} nu coincide cu originea lui {A} rezultă formula generală corespunzătoare unei articulații prismatice
(2.233)
Dacă articulația este de rotație avem și relația (2.233) devine
(2.234)
Accelerația unghiulară
Considerăm trei sisteme de referință {A}, {B} și {C} care se rotesc, {C} relativ la {B} cu și {B} relativ la {A} cu . Se calculează ca suma vectorilor față de sistemul {A}.
(2.235)
Prin derivare se obține
(2.236)
și dezvoltat
(2.237)
Distribuția de masă
Pentru un corp rigid care se mișcă liber într-un spațiu tridimensional există un număr infinit de posibile axe de rotație. În cazul unei rotații în jurul unei axe alese arbitrar este necesară o modalitate de caracterizare a distribuției de masă a corpului rigid. Se introduce un torsor de inerție care să realizeze generalizarea momentelor de inerție a unui obiect.
Masa reprezintă cantitatea de materie care ocupă un corp de o anumită formă și mărime. În figura 2.25 este un sistem de referință cartezian, este un element de volum al materialului corpului , reprezintă densitatea materialui și este vectorul de poziție a elementului față de originea a sistemului . Centrul de masă al corpului este definit de punctul definit de vectorul de forma
(2.238)
unde reprezintă masa totală a corpului .
Inerția relativă la sistemul este exprimată printr-o matrice 3×3 de forma:
(2.239)
unde reprezintă matricea unitate, rigidul este compus din volume elementare care conțin material de densitate fiecare element de volum fiind localizat prin vectorul (figura 2.25).
reprezintă matricea tensorului de inerție cu următoarea formă matriceală
(2.240)
Elementele tensorului de inerție sunt mărimile scalare
(2.241)
Dacă sistemul {C} are originea centrul de masă al rigidului și {A} este un sistem translatat, ales arbitrar, față de acest sistem se poate scrie:
(2.242)
(2.243)
unde reprezintă poziția centrului de masă relativ la sistemul {A}.
Forma generală poate fi exprimată matriceal astfel:
(2.244)
2.4.2 Ecuațiile lui Newton și Euler
Se consideră fiecare element al manipulatorului ca un corp rigid. Dacă se cunoaște poziția centrului de masă și torsorul de inerție al elementului atunci distribuția de masă este complet definită. Forța necesară realizării mișcării este funcție de accelerația dorită și de masa distribuită a elementelor.
În figura 2.26 este reprezentat un element rigid al cărui centru de masă este accelerat cu accelerația
Forța care acționează este dată de expresia:
(2.245)
unde m este masa totală a corpului.
Momentul care acționează asupra corpului și care are ca efect mișcarea este definit prin ecuația lui Euler
(2.246)
unde este tensorul de inerție al corpului descris față de sistemul {C} a cărui origine este centrul de masă.
2.4.3 Formularea iterativă Newton-Euler în dinamică
Pentru calculul momentelor care corespund unei traiectorii a manipulatorului se presupun cunoscute pozițiile, vitezele și accelerațiile din legături .
Inițial pentru a se calcula forțele de inerție care acționează asupra elementelor este necesar să se calculeze vitezele unghiulare și accelerațiile liniare și unghiulare ale centrelor de masă ale fiecărui element al manipulatorului.
Propagarea calculului se face iterativ din element în element de la elementul 1 la elementul n.
Viteza unghiulară pentru elementul i+1, element de rotație, este dată de formula
unde (2.247)
Pentru obținerea ecuației de transformare a accelerației unghiulare de la un element la următorul avem
(2.248)
Dacă legătura este prismatică, relația anterioară se simplifică
(2.249)
Accelerația liniară pentru originea fiecărui sistem de referință atașat elementelor se obține aplicând (2.234)
(2.250)
Pentru o legătură prismatică, relația anterioară devine
(2.251)
Accelerația liniară a centrului de masă a fiecărui element
(2.252)
unde sistemul atașat fiecărui element are originea în centrul de masă al elementului și aceeași orientare cu a sistemului elementului . Pentru elementul 1 avem .
Forța și momentul care acționează asupra unui element
Având calculate accelerațiile liniare și unghiulare ale centrului de masă ale fiecărui element se pot aplica ecuațiile Newton-Euler pentru a calcula momentul și forța inerțială care acționează asupra centrului de masă al fiecărui element.
(2.253)
Pentru a calcula momentele din fiecare legătură din care să rezulte forțele și momentele efective care acționează în fiecare element trebuie să scriem ecuațiile față de elementele vecine. În figura 2.27 este reprezentată influența acțiunilor forțelor și momentelor de pe elementele vecine asupra elementului . Astfel avem:
forța exercitată asupra elementul de elementul
forța exercitată asupra elementul de elementul
momentul exercitat asupra elementul de elementul
momentul exercitat asupra elementul de elementul
Ecuațiile de echilibrul ale forțelor și ale momentelor, exprimate față de centrul de masă al elementului , se scriu
(2.254)
(2.255)
Această ultimă relație se poate scrie
(2.256)
Dacă se rearanjează după avem:
(2.257)
(2.258)
Față de cazul determinării statice a forțelor, la determinarea dinamică se introduc forțele și momentele de inerție care acționează în centrele de masă ale fiecărui element.
Se poate determina momentul sau forța din legătura necesar relizării mișcării față de axa Z. Astfel, pentru o articulație de rotație, moment necesar unui actuator să realizeze mișcarea este determinat prin
(2.259)
Pentru o legătură prismatică se utilizează
(2.260)
Algoritmul iterativ Newton-Euler
Pentru calculul momentelor necesare mișcării articulațiilor trebuiesc parcurse două etape:
Iterații pasive
(2.261)
(2.262)
(2.263)
(2.264)
(2.265)
(2.266)
Iterații active
(2.267)
(2.268)
(2.269)
Algoritmul iterativ este avantajos de utilizat în cazul manipulatoarelor cu configurație simplă. Cu cât numărul coordonatelor robot, respectiv numărul de articulații, crește cu atât algoritmul este mai greu de utilizat.
2.4.4 Ecuațiile dinamice ale unei structuri robotice
Ecuațiile dinamicii ale unei structuri robotice se pot exprima printr-o singură ecuație care ascunde detaliile, dar arată structura acestor ecuații. Această ecuație este de forma
(2.270)
Unde:
este matricea maselor , respectiv matricea termenilor care sunt înmulțiți cu . Aceștia pot fi și funcție de .
este vectorul termenilor centrifugal și Coriolis . Termenii care conțin sunt caracteristici forțelor centrifugale, iar cei care conțin produsul dintre vitezele a două articulații diferite sunt caracteristici forțelor Coriolis.
este vectorul termenilor gravitaționali . Sunt termenii în care apare constanta accelerația gravitațională . Acești termeni depind decât de .
Scrisă sub altă formă ecuația (2.270) definește spațiul de configurare:
(2.271)
Unde:
este matricea coeficienților Coriolis
este matricea coeficienților centrifugali
Ecuația (2.271) este folosită în problema de control a manipulatoarelor.
2.4.5 Formularea Lagrange în dinamica roboților industriali
O alternativă a folosirii formalismului Newton-Euler în studiul dinamicii roboților industriali este formalismul Lagrange. Dacă formalismul Newton-Euler se bazează pe echilibrul forțelor în abordarea dinamicii, formalismul Lagrange se bazează pe calculul energetic în abordarea dinamicii. Ecuațiile de mișcare sunt identice în cele două abordări.
Energia cinetică a unui manipulator
Energia cinetică a elementului are expresia:
(2.272)
Unde reprezintă energia cinetică datorată vitezei liniare a elementului exprimată față de centrul de masă și reprezintă energia cinetică datorată vitezei unghiulare a elementului .
Energia cinetică totală este suma energiilor cinetice individuale ale elementelor robotului.
(2.273)
Întrucât și din (2.272) sunt funcții de și atunci și energia cinetică este exprimată în funcție de poziția articulațiilor și viteza acestora, . Energia cinetică totală este dată de:
(2.274)
Unde este matricea masă .
Expresii de forma (2.274) sunt cunoscute sub denumirea de forme quadratice, deci, făcându-se extindere la rezultatul scalar, acesta este compus exclusiv din termeni a căror dependență de este quadratică. Continuând raționamentul, deoarece energia cinetică totală trebuie să fie întotdeauna pozitivă, matricea masă a robotului trebuie să fie o așa-numită matrice pozitiv definită, adică acea matrice cu proprietatea că forma quadratică este întotdeauna un scalar pozitiv.
Analog cu energia cinetică a punctului de masă și expresia (2.274) se poate scrie sub forma:
(2.275)
Energia potențială a elementului
definită de are expresia:
(2.276)
Unde este vectorul gravitație
este vectorul care caracterizează centrul de masă al elementului
este o constantă
Energia potențială totală acumulată în robot este suma energiilor potențiale ale elementelor individuale ale acestuia:
(2.277)
Funcția de forță din care derivă forța conservativă depinde numai de coordonata generalizată
unde (2.278)
Cum vectorul depinde de atunci și energia potențială este funcție de acesta, .
Lagrangianul
Lagrangianul este definit ca diferența dintre energia cinetică și energia potențială și este dat de relația:
(2.279)
Ecuațiile de mișcare ale robotului sunt date de:
(2.280)
Unde este vector al momentelor din actuator, iar forțe generalizate. În cazul roboților ecuația devine:
(2.281)
sau
(2.282)
Termenul din partea dreaptă va fi numit generic
(2.283)
unde reprezintă forța generalizată și se calculează pentru fiecare categorie de forțe ce acționează asupra sistemului
(2.284)
unde
– reprezintă forța generalizată conservativă care derivă din forțe care depind de poziția sistemului (greutăți, forțe elastice);
– reprezintă forța generalizată neconservativă;
– forța generalizată perturbatoare care derivă din forțele perturbatoare exterioare ce acționează asupra sistemului.
Funcția de forță din care derivă forța conservativă depinde numai de coordonata generalizată.
Capitolul 3.
Contribuții în studiul cinematicii și dinamicii roboților industriali
Pentru un sistem de corpuri rigide există două diferențe esențiale între răspunsul dinamic și cel static.
Prima dintre acestea constă în variația în timp a acțiunii dinamice și, în consecință, a răspunsului sistemului în cazul unei acțiuni dinamice. În timp ce un sistem acționat de o încărcare statică are un răspuns caracterizat de o stare unică a sistemului, o acțiune dinamică implică determinarea unei succesiuni de stări ale sistemului la intervale succesive de timp. În consecință, o problemă de dinamică este complexă și consumatoare de timp și necesită mai multe resurse de calcul decât o problemă de statică.
Cea de-a doua diferență între acțiunile statice și cele dinamice constă în faptul că cele din urmă generează forțe de inerție, care intervin în echilibrul de forțe al structurii. Calculul răspunsului unui sistem ar putea fi realizat prin metodele staticii dacă forțele de inerție ar fi neglijabile, chiar dacă acțiunea și răspunsul sistemului variază în timp. Forțele de inerție sunt considerabile atunci când masa sistemului și accelerațiile acesteia sunt importante, determinarea răspunsului necesitând abordări specifice dinamicii sistemelor de corpuri.
Pentru un lanț cinematic serial, sistemul multicorp este reprezentat în figura 3.1. Dacă reprezintă masa elementului #i și matricea de inerție exprimată față de centrul de masa , așa cum se arată în figura 3.2, se pot exprima ecuațiile de mișcare Newton Euler atfel:
Ecuația lui Euler:
(3.1)
Ecuația lui Newton:
(3.2)
3.1. Mod de organizare a studiului cinematicii și dinamicii
O structură a unui robot serial este compusă din n elemente la care se adaugă și elementul fix și n legături. Elementul 0 este considerat bază a structurii și elementul n este elementul final sau efectorul. Legăturile pot fi de rotație sau de translație (prismatice), rigide sau elastice. Elementele sunt numărate și marcate consecutiv de la bază, elementul 0 (sistemul de referință fix), până la elementul final. Articulația „i” conectează elementul „i” la elementul anterior „i-1” ca în figura 3.1.
Scopul analizei cinematicii directe este de a determina cumularea efectelor întregului set de variabile, asociate articulațiilor.
Pentru a exprima legătura dintre corpuri, respectiv descrierea geometrică de transmitere a mișcării între elementele lanțului cinematic se utilizează parametri Denavit-Hartenberg sintetizați într-o matrice numită matricea de transformare omogenă.
Sistemele de coordonate utilizate în formalismul Denavit-Hartenberg trebuie să îndeplinească următoarele condiții (fig. 3.3):
Toate axele sunt paralele cu axele articulațiilor.
Perpendiculara comună pe axele și definește axa .
În general matricea de transformare omogenă este obținută ca funcție de 4 parametri geometrici .
Se definesc parametri Denavit-Hartenberg ca fiind:
– reprezintă distanța dintre legături măsurată în lungul axei ;
– reprezintă unghiul din articulația măsurat în jurul axei ;
– reprezintă lungimea elementului măsurată în lungul axei ;
– reprezintă unghiul din articulația măsurat în jurul axei .
Se realizează matricea de transformare omogenă prin succesiunea de transformări:
o translație în lungul axei (3.3)
o rotație în jurul axei cu unghiul
(3.4)
o translație în lungul axei cu (3.5)
o rotație în jurul axei cu unghiul
. (3.6)
Matricea de transformare omogenă de la sistemul “i” la sistemul “i+1” notată cu conform ecuației (2.30) reprezintă rezultatul celor patru transformări:
(3.7)
– este matricea care dă orientarea sistemului “i+1” față de sistemul “i” (conform ecuației (2.5)) și are forma
(3.8)
– este vectorul de coordonate al originii sistemului “i+1” exprimat în coordonatele sistemului “i” și are forma:
(3.9)
Cunoscând matricea de transfomare omogenă se pot determina parametrii cinematici și comportamentul dinamic ai structurii robotice.
Cele mai utilizate metode, așa cum reiese din studiile realizate de Popescu [POP94], Staicu [STA98], Craig [CRA05], Saha [SAH08], Siciliano [SIC10], pentru calculul modelelor dinamice, sunt ecuațiile lui Lagrange și ecuațiile Newton-Euler.
3.1.1. Dezvoltarea algoritmului Newton-Euler și folosirea principiului Lucrului mecanic virtual în determinarea torsorului dinamic intern al unui element oarecare din lanțul cinematic al unui robot industrial
Calculul dinamicii inverse utilizând algoritmul Newton-Euler recursiv
Algoritmul constă în parcurgerea a două calcule recursive, calculul înainte și calculul înapoi.
Ecuațiile pentru calculul înaite de la elementul #1 la elementul #n au ca rezultat parametrii cinematici, respectiv vitezele și accelerațiile elementelor, și în consecință răspunsul dinamic de tip torsor moment-forță ce acționează asupra fiecărui element (figura 3.4).
Calculul înapoi, de la elementul final #n către bază, are ca rezultat determinarea reacțiunilor moment-forță care acționează asupra elementelor și în consecință torsorul moment-forță din fiecare legătură.
Torsorul este dat de relațiile
(3.10)
În ecuațiile 3.10 mărimile și înglobează momentul de inerție, respectiv forța de inerție față de centrul de greutate , momentele și forțele aplicate, reacțiunile precum și momentele sau forțele de comandă, semnificațiile celorlalte mărimi sunt redate în figura 3.5.
Ecuațiile 3.10 se pot scrie concentrat sub forma:
(3.11)
În care:
produsul vectorial are dimensiuni și proprietatea că, pentru orice vector tridimensional , avem relația
produsul scalar
și sunt matricile unitate, respectiv zero.
Dacă se notează vectorii de 6 dimensiuni cu și torsorul cinematic și respectiv torsorul dinamic și matricile și , matrice extinsă de masă și matricea extinsă a vitezei unghiulare, ecuația (3.11) devine:
(3.12)
Atunci când există un sistem de elemente legate între ele prin legături de rotație sau de translație, sinteza dinamică pentru elementul #i este reprezentată în figura 3.6.
(3.13)
(3.14)
(3.15)
În ecuațiile (3.13), (3.14), (3.15) termenii sunt reprezentați față de sistemul de referință al articulației prin care elementul se leagă de elementul , iar ecuațiile (3.15) sunt cele prin care se determină torsorul moment-forță din articulații de la elementul #n către bază.
Termenii și reprezintă torsorul inerțial exprimat față de sistemul de referință din articulația și se determină folosind sinteza cinematică
(3.16)
(3.17)
În cazul elementului final termenii și reprezintă torsorul forțelor exterioare (presupuse cunoscute) ce acționează asupra efectorului.
3.2. Calculul forțelor interne
Răspunsul la acțiunea diferitelor încărcări al unei structuri de tip robot industrial (considerat ca un sistem de corpuri rigide interconectate) este important atât din punct de vedere al controlului și simulării îndeplinirii sarcinilor, dar și din punct de vedere al rezistenței structurii la o eventuală supraîncărcare.
Rezistența structurii poate fi afectată de o suprasarcină sau de o supraîncărcare datorată deplasării cu viteze și accelerații necorespunzătoare în timpul realizării sarcinii.
Folosind studiul dinamicii roboților industiali pot fi prevenite inconvenientele datorate suprasolicitării articulațiilor și a elementelor roboțior.
Dacă se consideră corpul „” rigid (nedeformabil) sub acțiunea încărcărilor exterioare și a forțelor de inerție produse de mișcarea sistemului din care corpul face parte (figura 3.7), pentru a i se putea da o deplasare virtuală, se întrerupe continuitatea la nivelul secțiunii „S” prin introducerea unei mobilități suplimentare (de rotație sau de translație). Pe timpul deplasării virtuale cele două tronsoane „” și „” rămân rigide.
În conformitate cu lucrul mecanic virtual, deplasările virtuale trebuie să fie infinit mici și compatibile cu legăturile sistemului, prin urmare, de acceași natură cu deplasările reale pe care le ia sistemul sub acțiunea sarcinilor reale. Astfel deplasările virtuale pot fi considerate ca fiind produse de către un sistem de sarcini virtuale.
Lucrul mecanic virtual elementar produs de către forțele interioare se exprimă prin expresia:
(3.18)
unde:
reprezintă forța generalizată perturbatoare interioară
și
reprezintă deplasarea virtuală unghiulară sau liniară în funcție de tipul de articulație introdus.
3.2.1. Determinarea momentului încovoietor într-un element aflat în mișcare de rotație
Se presupune că, pentru un element rigid de lungime și de masa aflat în mișcare de rotație, se întrerupe continuitatea într-o secțiune oarecare în care se dorește determinarea momentelor interne și se creează o legătură virtuală de rotație (figura 3.8). Deplasarea suplimentară va fi o rotație în jurul unei axe paralele cu axa de rotație a elementului inițial.
Existența unei sarcini virtuale de tip moment face ca deplasarea virtuală să fie unghiulară și se notează cu .
Energia cinetică a elementului se scrie:
(3.19)
Unde reprezintă coordonatele centrului de greutate a elementului exprimate față de sistemul de referință 1 prin vectorul
, (3.20)
Iar reprezintă lungimea curentă a elementului 1’.
Derivata în raport cu timpul (unghiul este variabil în raport cu timpul) a vectorului este
(3.21)
Pentru determinarea termenilor din ecuația energiei cinetice se folosește
(3.21)
Determinarea termenilor aferenți mișcării de rotație ai ecuației energiei cinetice
(3.22)
(unde reprezintă vectorul viteză unghiulară, iar tensorul de inerție exprimat față de centrul de greutate ).
Înlocuind în (3.19) rezutatele ecuațiilor (3.21) și (3.22), expresia energiei cinetice ia forma
(3.23)
Energia cinetică a elementului este
(3.24)
reprezintă coordonatele centrului de greutate a elementului 1” exprimate față de sistemul de referință 2 prin vectorul
, (3.25)
unde reprezintă lungimea curentă a elementului 1’, lungimea curentă a elementului 1” și o posibilă deplasare a elementului 1” față de elementul 1’.
Derivata în raport cu timpul a vectorului este
(3.26)
Se calculează
. (3.27)
Energia cinetică a elementului #1” este dată de expresia
(3.28)
Energia cinetică totală este
(3.29)
Dacă se consideră parametrul de poziție al sistemului de corpuri (coordonata generalizată), ecuația lui Lagrange este
, (3.30)
unde reprezintă forța generalizată și se calculează pentru fiecare categorie de forțe ce acționează asupra sistemului,
(3.31)
unde
– reprezintă forța generalizată conservativă care derivă din forțe care depind de poziția sistemului (greutăți, forțe elastice);
– reprezintă forța generalizată neconservativă;
– forța generalizată perturbatoare care derivă din forțele perturbatoare exterioare ce acționează asupra sistemului.
Funcția de forță din care derivă forța conservativă depinde numai de coordonata generalizată
(3.32)
Se va considera poziția de echilibru stabil ca origine de măsurare a coordonatei generalizate, deci, în poziția de echilibru, .
Funcția de forță este (3.33)
Câmpul gravitațional acționează în lungul axei .
Energia potențială a elementului #1’
(3.34)
Energia potențială a elementului #1”
(3.35)
Energia potențială totală a sistemului este dată de relația
(3.36)
Ținând cont de relațiile (3.33) și (3.36), forța conservativă este dată de expresia
(3.37)
Componentele ecuației lui Lagrange sunt:
(3.38)
(3.39)
și
(3.40)
Ecuația Lagrange devine
(3.41)
Unde reprezintă forța perturbatoare interioară și provine din formula
(3.42)
(3.43)
Pentru condițiile la limită (când se anulează deplasarea suplimentară), rezultă
(3.44)
Folosind relațiile (3.42) și (3.44), momentul are expresia
(3.45)
3.2.2. Determinarea forței tăietoare într-un element aflat în mișcare de rotație
Pentru un element rigid de lungime și de masa aflat în mișcare de rotație, se întrerupe continuitatea într-o secțiune oarecare în care se dorește determinarea unei forțe interne și se introduce o mobilitate suplimentară de translație (figura 3.9). În funcție de direcția de deplasare în lungul legăturii, respectiv perpendiculară pe element sau în lungul acestuia, forța determinată va fi una tăietoare sau una axială. În figura 3.9 deplasarea suplimentară este perpendiculară pe elementul . Deplasarea suplimentară va fi o translație în lungul axei , axă paralelă cu axa a elementului inițial.
Se reiau calculele pentru energia cinetică a elementului care are expresia similară cu cea din relația (3.19),
(3.46)
unde reprezintă coordonatele centrului de greutate a elementului 1’ exprimate față de sistemul de referință 1 prin vectorul
, unde reprezintă lungimea elementului #1’.
Derivata în raport cu timpul (unghiul este variabil în raport cu timpul) a vectorului este
(3.47)
Pentru determinarea termenilor din ecuația energiei cinetice se folosește
(3.48)
Pentru determinarea energiei cinetice se calculează
. (3.49)
Pentru elementul expresia energiei cinetice are forma
. (3.50)
Energia cinetică a elementului este
(3.51)
reprezintă coordonatele centrului de greutate a elementului #1” exprimate față de sistemul se referință 2 prin vectorul
, (3.52)
unde reprezintă lungimea elementului #1’, lungimea elementului #1” și o posibilă deplasare a elementului 1” față de elementul 1’.
Derivata în raport cu timpul (unghiul și deplasarea sunt variabile în raport cu timpul) a vectorului este
. (3.53)
Se calculează
(3.54)
Energia cinetică a elementului #1” este dată de expresia
(3.55)
Energia cinetică totală rezultă din însumarea relațiilor (3.50) și (3.55):
(3.56)
Dacă se consideră parametrul de poziție al sistemului de corpuri (coordonata generalizată), ecuația lui Lagrange este
,
unde reprezintă forța generalizată și se calculează pentru fiecare categorie de forțe ce acționează asupra sistemului,
unde
– reprezintă forța generalizată conservativă ce derivă din forțe care depind de poziția sistemului (greutăți, forțe elastice);
– reprezintă forța generalizată neconservativă;
– forța generalizată perturbatoare ce derivă din forțele perturbatoare exterioare ce acționează asupra sistemului.
Funcția de forță din care derivă forța conservativă depinde numai de coordonata generalizată
Se va considera poziția de echilibru stabil ca origine de măsurare a coordonatei generalizate, deci, în poziția de echilibru, .
Funcția de forță este
Energia potențială a elementului #1’ este
. (3.57)
Energia potențială a elementului #1” este
. (3.58)
Energia potențială totală a sistemului este dată de relația (3.59)
(3.59)
Forța conservativă este dată de expresia
. (3.60)
Derivatele parțiale ale energiei cinetice în funcție de deplasarea suplimentară sunt:
și
Rezultă
Ecuația Lagrange devine
(3.61)
În ecuația (3.61) termenul și provine din formula
(3.62)
Pentru condițiile la limită (când se îndepărtează perturbarea), rezultă:
(3.63)
Forța tăietoare are expresia
. (3.64)
3.2.3. Determinarea forței axiale într-un element aflat în mișcare de rotație
Dacă, pentru un element rigid de lungime și de masa aflat în mișcare de rotație, se dorește determinarea unei forțe interne, se întrerupe continuitatea într-o secțiune oarecare în care și se creează o mobilitate suplimentară virtuală prismatică (figura 3.10). Direcția de deplasare în lungul legăturii virtuale este după axa , forța determinată va fi una axială. În figura 3.10 deplasarea suplimentară este în lungul elementul . Deplasarea suplimentară va fi o translație în lungul axei , axă concurentă cu axa a elementului inițial.
Se reiau calculele pentru energia cinetică a elementului care are expresia similară cu cea din relația (3.19).
Energia cinetică a elementului este
reprezintă coordonatele centrului de greutate a elementului #1’ exprimate față de sistemul de referință 1 prin vectorul
, unde reprezintă lungimea curentă a elementului 1’.
Pentru determinarea termenilor din ecuația energiei cinetice se folosește
Pentru determinarea energiei cinetice se calculează
Se observă că pentru elementul expresia energiei cinetice are aceeași formă cu (3.50)
(3.65)
Energia cinetică a elementului este
(3.66)
reprezintă coordonatele centrului de greutate a elementului 1” exprimate față de sistemul se referință 2 prin vectorul
, (3.67)
unde reprezintă lungimea elementului #1’, lungimea elementului #1” și o posibilă deplasare a elementului 1” față de elementul 1’.
Derivata în raport cu timpul (unghiul și deplasarea sunt variabile în raport cu timpul) a vectorului este
(3.68)
Se calculează
(3.69)
Energia cinetică a elementului #1” este dată de expresia (3.70), unde se ține cont de relația (3.69)
(3.70)
Energia cinetică totală este
(3.71)
Dacă se consideră parametrul de poziție al sistemului de corpuri (coordonata generalizată), ecuația lui Lagrange este:
,
unde reprezintă forța generalizată și se calculează pentru fiecare categorie de forțe ce acționează asupra sistemului:
unde:
– reprezintă forța generalizată conservativă ce derivă din forțe care depind de poziția sistemului (greutăți, forțe elastice);
– reprezintă forța generalizată neconservativă;
– forța generalizată perturbatoare ce derivă din forțele perturbatoare exterioare ce acționează asupra sistemului.
Funcția de forță din care derivă forța conservativă depinde numai de coordonata generalizată
Se va considera poziția de echilibru stabil ca origine de măsurare a coordonatei generalizate, deci, în poziția de echilibru, .
Funcția de forță este
Energia potențială a elementului #1’ este
. (3.72)
Energia potențială a elementului #1” este
. (3.73)
Energia potențială totală a sistemului este dată de relația
(3.74)
Forța conservativă este dată de expresia
(3.75)
Se calculează
și .
Rezultă
Ecuația Lagrange devine:
(3.76)
unde și provine din formula (3.77)
. (3.78)
Pentru condițiile la limită (când se anulează deplasarea suplimentară)
(3.79)
Înlocuind în (3.77) relația(3.79) rezultă forța axială care are expresia
(3.80)
Utilizarea software-lor matematice existente care au posibilitatea de rezolvare simbolică a problemelor de cinematică și dinamică facilitează dezvoltarea de programe în care datele de intrare pot fi ușor schimbate.
Algoritmul propus este creat în software MathCAD, dezvoltat de Parametric Technology Corporation, care conține funcții de integrare a ecuațiilor diferențiale de ordin superior și permite obținerea rezultatelor cu mare precizie și rapiditate (figura 3.11). El poate fi folosit pentru manipulatoare robot 2D și 3D ce au în componență cuple de clasa a V-a, de translație sau rotație. Algoritmul poate trasa curbele de variație în timp ale diferitelor cerințe ale utilizatorului.
Algoritmul dezvoltat pentru calculul torsorului intern, respectiv momentul încovoietor, forță tăietoare și forță axială într-o secțiune curentă este ilustrat pentru o variație a unghiului pe o perioadă de 12 secunde.
Se consideră variația unghiului (cazul forței tăietoare și a forței axiale) ca fiind:
. (3.81)
Se presupune că elementul de tip bară #1 aflat în mișcare de rotație cu unghiul variabil , într-o secțiunea curentă este divizat în două elemene #1’ și #1’’ de lungimi respectiv și mase și .
Pentru aceste date cu ajutorul programului MathCAD s-au obținut următoarele reprezentări grafice ale variației unghiulare (figura 3.12), vitezei unghiulare a elementului #1’ (figura 3.13) și a accelerației ughiulare a acestuia (figura 3.14).
Momentul încovoietor intern din secțiunea curentă, forța tăietoare și forța axială exprimate prin relațiile (3.45), (3.64) și respectiv (3.80) au reprezentările grafice ale variațiilor lor în funcție de timp expuse în figurile care urmează, (figura 3.15, figura 3.16 și pentru forța axială figura 3.17).
Pentru cazul particular în care elementul #1’ are lungime zero și masă neglijabilă, prin această metodă se pot determina reacțiunile din articulația 1.
Relațiile (3.45), (3.64) și (3.80) când și devin
(3.82)
(3.83)
(3.84)
În figurile 3.20, 3.21, 3.22 sunt reprezentate variațiile momentului încovoietor, forței tăietoare și respectiv a forței axiale în articulația pentru cazul particular al unui pendul simplu cu lungimea elementului care a devenit () și de masă (figura 3.18).
În figura 3.19 sunt reprezentate reacțiunile care acționează asupra articulației datorate mișcării elementului de tip bară care se rotește cu unghiul în funcție de timp. Bara se află în câmp gravitațional, lucru care influențează expresiile acestor reacțiuni.
Exemplele prezentate anterior sunt modelate utilizând programul de simulare cinematică și dinamică MSC.visualNastran4D și sunt prezentate în Anexa 1.
3.2.4. Determinarea momentului încovoietor într-un element aflat în mișcare de translație
Pentru cazul unui singur element având o mișcare de translație față de bază (figura 3.23), se pleacă de la ipoteza că mișcarea se realizează în câmp gravitațional și elementul este considerat ca fiind o bară dreaptă omogenă de masă .
Energia cinetică are următoarea formă
(3.85)
Funcția de forță este
Energia potențială a elementului #1 este
(3.86)
Pentru parametrul ecuația lui Lagrange devine
(3.87)
Rezultă (3.88)
Pentru a determina torsorul forțelor interioare într-o secțiune curentă „S” se introduce o mobilitate suplimentară în secțiunea respectivă.
Introducerea unei legături de rotație pentru a afla momentul încovoietor intern
În figura 3.24 este exemplificat cazul unui element în mișcare de translație căruia, în secțiunea curentă „S”, i se adaugă o mobilitate suplimentară, respectiv o legătură de rotație. Sunt păstrate ipotezele inițiale conform cărora elementele sunt de tip bară omogenă care se mișcă în câmp gravitațional.
Energia cinetică a elementului este
(3.89)
Energia cinetică a elementului al doilea este dată de formula (3.90)
(3.90)
În expresia anterioară reprezintă viteza centrului de greutate a elementului exprimată ca derivata în funcție de timp a coordonatelor punctului în sistemul de referință , tensorul de inerție al elementului , elementul fiind considerat o bară dreaptă omogenă, iar viteza unghiulară datorată introducerii mobilității suplimentare.
Dezvoltând relația (3.90) se obține
(3.91)
Energia cinetică totală a sistemului este
(3.92)
Energia potențială a elementului este
(3.93)
Energia potențială a elementului este
(3.94)
Energia potențială a sistemului este dată de relația (3.95)
(3.95)
Ecuația lui Lagrange este:
unde reprezintă forța generalizată
Funcția de forță este
Se calculează
(3.96)
(3.97)
(3.98)
(3.99)
(3.100)
Formalismul Lagrange pentru coordonata generalizată este
(3.101)
unde reprezintă forța interioară perturbatoare și provine din formula
(3.102)
Rezultă
(3.103)
Atunci când se anulează deplasarea suplimentară, relația (3.103) ia forma
(3.104)
Folosind relațiile (3.102) și (3.104), momentul are expresia
(3.105)
3.2.5. Determinarea forței tăietoare într-un element aflat în mișcare de translație
În figura 3.25 este exemplificat cazul unui element în mișcare de translație căruia, în secțiunea curentă „S”, i se adaugă o mobilitate suplimentară, respectiv o legătură de translație. Mișcarea are loc după direcția axei perpendiculară pe axa elementului. Sunt păstrate ipotezele inițiale conform cărora elementele sunt de tip bară omogenă care se mișcă în câmp gravitațional.
Energia cinetică a elementului nu se modifică față de expresia determinată prin relația (3.89) și are forma
. (3.106)
Elementul , având decât mișcare de translație, va avea expresia energiei cinetice exprimată față de centrul de masă al acestui element.
(3.107)
Enegia cinetică totală
(3.108)
Energia potențială a elementului este
(3.109)
Energia potențială a elementului este
(3.110)
Energia potențială totală a sistemului este
(3.111)
Ecuația lui Lagrange este:
unde reprezintă forța generalizată
Funcția de forță este
Se calculează
(3.112)
(3.113)
(3.114)
(3.115)
(3.116)
Formalismul Lagrange pentru coordonata generalizată este
(3.117)
unde reprezintă forța interioară perturbatoare și provine din formula
(3.118)
Rezultă
(3.119)
Atunci când se îndepărtează perturbarea, relația (3.119) ia forma
(3.120)
Folosind relațiile (3.118) și (3.120), forța tăietoare are expresia
(3.121)
3.2.6. Determinarea forței axiale într-un element aflat în mișcare de translație
În cazul unui element în mișcare de translație căruia, în secțiunea curentă „S”, i se adaugă o mobilitate suplimentară de translație în lungul axei se poate determina forța internă axială care acționează în acea secțiune. În figura 3.26 este exemplificat cazul particular în care mobilitatea suplimentară este orientată în lungul axei elementului aflat în mișcare de translație. Sunt păstrate ipotezele inițiale conform cărora elementele sunt de tip bară omogenă care se mișcă în câmp gravitațional.
Energia cinetică a elementului nu se modifică față de expresia determinată prin relația (3.89) și are forma
. (3.122)
Elementului i se aplică mobilitatea suplimentară în lungul axei și are următoarea expresie a energiei cinetice
(3.123)
Enegia cinetică totală este
(3.124)
Energia potențială a elementului este
. (3.125)
Energia potențială a elementului este
. (3.126)
Energia potențială totală a sistemului
(3.127)
Ecuația lui Lagrange este:
unde reprezintă forța generalizată
Funcția de forță este
Se calculează:
(3.128)
(3.129)
(3.130)
(3.131)
(3.132)
Formalismul Lagrange pentru coordonata generalizată este
(3.133)
unde reprezintă forța interioară perturbatoare și provine din formula
(3.134)
Rezultă
(3.135)
Când se anulează deplasarea suplimentară
(3.136)
Folosind relațiile (3.134) și (3.136), forța axială în secțiunea de calcul are expresia
(3.137)
Algoritmul dezvoltat pentru calculul torsorului intern, respectiv momentul încovoietor, forță tăietoare și forță axială într-o secțiune curentă este ilustrat pentru o variație a deplasării pe o perioadă de 12 secunde.
Se impun condițiile de parcurgere a unei traiectorii astfel încât plecarea dintr-un punct inițial să se facă cu viteză și accelerație inițială zero, iar în punctul final viteza și accelerația finală să fie tot zero. Se propune o traiectorie de tip polinomial de ordinul cinci de forma:
(3.138)
Prin dezvoltare, ținându-se cont de condițiile inițiale și finale, se determină coeficienții polinomiali , unde .
Condițiile inițiale sunt propuse astfel
(3.139)
Iar condițiile finale
(3.140)
Se determină coeficienții polinomiali și ecuația (3.138) va avea forma
(3.141)
Se presupune că elementul de tip bară #1 aflat în mișcare de translație cu deplasarea variabilă , într-o secțiunea curentă este divizat în două elemene #1’ și #1’’ de lungimi respectiv și mase și .
Pentru aceste date cu ajutorul programului MathCAD (figura 3.27) s-au obținut următoarele reprezentări grafice ale variației deplasării (figura 3.28), vitezei elementului #1’ (figura 3.29) și a accelerației acestuia (figura 3.30).
Fig. 3.3 Captură ecran program MathCAD
Pentru determinarea torsorului intern în secțiunea curentă „S” se folosesc relațiile (3.105) pentru momentul de încovoiere, (3.121) pentru forța tăietoare și (3.137) pentru forța axială. Reprezentarea grafică este realizată ținându-se cont că lungimea elementului este și masa acestuia este . În relațiile anterioare mai intervine și accelerația gravitațională .
În figura 3.31 este reprezentat momentul încovoietor în secțiunea curentă. Se constată că nu depinde de variația în timp a mișcării elementului anterior, ci decât de masa și locul unde se calculează (respectiv masa și lungimea elementului ).
Conform formulei (3.121) și nu se modifică de-a lungul elementului aflat în mișcare de translație (figura 3.32).
Singura variație în raport cu timpul și în funcție de deplasarea elementului este variația forței axiale aplicate în secțiunea curentă respectiv în . Aceasta este ilustrată în figura 3.33.
Capitolul 4.
dezvoltarea metodei energetice bazate pe formalismul lagrange pentru determinarea torsorului intern din elementele sistemelor robotice
Metoda energetică propusă pentru determinarea torsorului intern din orice element al unui robot are la bază introducerea unor mobilități suplimentare. Pentru simplificarea calculelor, aceste mobilități se introduc separat pentru fiecare tip de forță internă ce se dorește a fi determinată.
Etapele propuse pentru aplicarea metodei energetice bazată pe formalismul Lagrange sunt:
Schematizarea robotului și alocarea sistemelor de referință pentru elementele acestuia, în conformitate cu formalismul Denavit-Hartenberg (D-H).
Schematizarea robotului adăugându-se mobilitatea suplimentară pe elementul a cărei forță sau moment intern se dorește a fi calculată într-o secțiune S. Se alocă sisteme de referință elementelor, inclusiv elementului nou creat.
Determinarea parametrilor D-H.
Calculul transformărilor omogene pentru determinarea orientării și poziției originilor sistemelor de referință alocate anterior.
Determinarea pozițiilor centrelor de masă pentru elementele robotului în configurația aplicării mobilității suplimentare (pentru simplificarea calculelor se poate face presupunerea că elementele sunt de tip bară) .
Determinarea vitezelor liniare și unghiulare ale elementelor prin derivarea relațiilor anterioare în funcție de timp.
Scrierea expresiilor energiei cinetice și energiei potențiale totale pentru elementele robotului în funcție de mobilitatea suplimentară introdusă.
Scrierea ecuației Lagrange ținându-se cont de forța generalizată.
Determinarea celor necunoscute date de coordonatele generalizate.
Determinarea celei de-a necunoscute care se realizează prin anularea deplasării suplimentare punându-se condițiile la limită, respectiv considerând zero deplasarea introdusă de mobilitatea suplimentară, viteza și accelerația datorate aceleiaș deplasări fiind considerate tot zero.
Determinarea expresiei forței sau momentului interior perturbator în secțiunea S considerată.
4.1. Aplicarea metodei energetice bazate pe formalismul Lagrange pentru cazul robotului 2-RR
Pentru cazul unui robot planar 2-RR aflarea torsorului intern pe elementele robotului se realizează prin introducerea unei mobilități suplimentare în secțiunea de studiu.
Formalismul Denavit-Hartenberg pentru cazul prezentat (figura 4.1) este redat în tabelul 1. Cele două grade de libertate ale robotului sunt caracterizate de deplasările unghiulare și , iar cele două elemente ale robotului au masele , și lungimile , respectiv .
Tabel 1
Sistemele de referință atașate elementelor țin cont de faptul că axele sunt orientate în lungul legăturilor dintre elemente, iar axele în lungul elementelor. Sistemul este considerat ca fiind atașat elementului fix.
În continuare, prin aplicarea etapelor propuse anterior, am determinat forța axială internă pe elementul #2 în cazul robotului 2-RR.
Pentru aceasta am utilizat programul MathCAD cu facilitatea acestuia de a realiza calcul simbolic.
a) Determinarea forței axiale interne în secțiunea S a elementului #2 a unui robot 2-RR
Tabel 2
Calculul detaliat pentru exemplul expus în figura 4.2 este prezentat în Anexa 2
Transformarea omogenă totală are expresia
(4.1)
După ce se înlocuiește expresia respectiv și expresia transformării totale are forma
(4.2)
unde , reprezintă coordonatele generalizate, iar reprezintă mobilitatea suplimentară introdusă.
Vectorii de poziție ai centrelor de masă față de sistemul de referință fix se determină din
(4.3)
-Vectorul de poziție al centrului de masă al elementului este
(4.4)
-Vectorul de poziție al centrului de masă al elementului este
(4.5)
Prin derivarea în funcție de timp a relațiilor anterioare rezultă vitezele liniare
(4.6)
(4.7)
(4.8)
După prelucrarea ecuației (2.261) a algoritmului Newton-Euler rezultă formulele pentru determinarea vitezelor unghiulare din legatura de rotație sau prismatică
În cazul de mai sus
, , (4.10)
Stabilirea modelării geometriei elementelor robotului, respectiv caracteristicile acestora sunt date de tensorul de inerție (ecuația (2.240)). Dacă se presupune un element de tip bară paralelipipedică având masa , lungimea , lățimea și înălțimea , ca în figura 4.3, tensorul de inerție față de sistemul de referință este
Tensorul de inerție al aceluiaș element obținut față de sistemul de referință atașat centrului de masă cu , și are forma
Dacă se consideră elementul #1 ca în figura 4.4, tensorul de inerție față de centrul de masă este
Dacă se consideră dimensiunile și mult mai mici decât , se poate aproxima tensorul față de centrul de masă astfel
Tensorul de inerție al celorlalte elemente se determină în mod asemănător (vezi Anexa 2)
Energia cinetică totală are forma
(4.14)
Energia potențială totală este
(4.15)
unde reprezintă accelerația gravitațională.
Funcția de forță este
Ecuația lui Lagrange are forma
unde reprezintă forța generalizată.
După calculul ecuațiilor pentru determinarea coordonatelor generalizate și se calculează ecuația introdusă de mobilitatea suplimentară.
Formalismul Lagrange pentru coordonata generalizată este
(4.16)
unde reprezintă forța interioară perturbatoare și provine din formula
(4.17)
Rezultă
(4.18)
Când se anulează mobilitatea suplimentară obținem
(4.19)
Folosind relațiile (4.17) și (4.19), forța axială în secțiunea de calcul are expresia
(4.20)
b) Determinarea forței tăietoare interne în secțiunea S a elementului #2 a unui robot 2-RR
Tabel 3
Calculul detaliat pentru exemplul expus în figura 4.5 este prezentat în Anexa 2 unde este redat programul matematic realizat cu software-ul MathCAD.
Folosind componentele tabelului 3 se determină transformarea omogenă totală
(4.21)
unde reprezintă mobilitatea suplimentară introdusă.
Vitezele liniare ale centrelor de masă sunt
(4.22)
(4.23)
(4.24)
Vitezele unghiulare sunt
, , (4.25)
Caracteristicile geometrice ale elementelor robotului sunt descrise în exemplul anterior.
Pornind de la aceste date se scrie expresia energiei cinetice totale
(4.26)
Energia potențială totală este
(4.27)
unde reprezintă accelerația gravitațională.
Funcția de forță este
Ecuația lui Lagrange are forma
unde reprezintă forța generalizată.
După calculul ecuațiilor pentru determinarea coordonatelor generalizate și se calculează ecuația introdusă de mobilitatea suplimentară.
Formalismul Lagrange pentru coordonata generalizată este
(4.28)
unde reprezintă forța interioară perturbatoare și provine din formula
(4.29)
Rezultă
(4.30)
Când se anulează mobilitatea suplimentară obținem
(4.31)
Folosind relațiile (4.29) și (4.31), forța tăietoare în secțiunea de calcul are expresia
(4.32)
c) Determinarea momentului încovoietor intern în secțiunea S a elementului #2 a unui robot 2-RR
Tabel 4
Calculul detaliat pentru exemplul expus în figura 4.6 este prezentat în Anexa 2 unde este redat programul matematic realizat cu software-ul MathCAD.
Folosind componentele tabelului 4 se determină transformarea omogenă totală
(4.33)
unde reprezintă mobilitatea suplimentară introdusă, iar .
Vitezele liniare ale centrelor de masă sunt
(4.34)
(4.35)
(4.36)
unde , , , respectiv , , , .
Vitezele unghiulare sunt
, , (4.37)
Pornind de la aceste date se scrie expresia energiei cinetice totale
(4.38)
Energia potențială totală este
(4.39)
unde reprezintă accelerația gravitațională.
Funcția de forță este
Ecuația lui Lagrange are forma
unde reprezintă forța generalizată.
După calculul ecuațiilor pentru determinarea coordonatelor generalizate și se calculează ecuația introdusă de mobilitatea suplimentară.
Formalismul Lagrange pentru coordonata generalizată este
(4.40)
unde reprezintă momentul încovoietor interior și provine din formula
(4.41)
Rezultă
(4.42)
Când se anulează mobilitatea suplimentară obținem
(4.43)
Folosind relațiile (4.41) și (4.43), momentul încovoietor în secțiunea de calcul are expresia
(4.44)
Programul de calcul prezentat în Anexa 2 având la bază facilitățile oferite de software-ul MathCAD, ușurează rezolvarea simbolică a problemelor complexe care apar în calculul mișcării roboților.
Metoda energetică dezvoltată ajută la determinarea forțelor și momentelor într-o secțiune oarecare a unuia din brațele robotului.
Chiar dacă la cele ecuații Lagrange utilizate pentru determinarea coordonatelor generalizate metoda prezentată anterior mai adaugă una sau mai multe ecuații în funcție de forțele interne ce se doresc a fi determinate, avantajul metodei constă în faptul că aceste forțe pot fi determinate.
Datele obținute pot fi utilizate ca date de intrare în planificarea și controlul mișcării roboților industriali.
Deasemenea, datele determinate pot interveni în comanda limitării mișcării cu anumite viteze și accelerații a elementelor robotului în cazul în care sarcinile interioare duc la suprasolicitări dinamice a structurii robot.
Exemplele prezentate anterior sunt modelate utilizând programul de simulare cinematică și dinamică MSC.visualNastran4D și sunt prezentate în Anexa 1.
Capitolul 5.
Determinarea forțelor interne în cazul roboților paraleli planari
Comparativ cu roboții cu lanț cinematic serial, roboții cu arhitecturi paralele prezintă potențiale avantaje cum ar fi: precizie cinematică mai mare, greutate mai mică și rigiditate mai bună, portanță mai mare, capacitate stabilă și modalitate de poziționare adecvată a elementelor de acționare. Echipați cu servomotoare rotative sau prismatice, manipulatorii paraleli au o construcție robustă și pot deplasa corpurile de dimensiuni mari, cu viteze și accelerații mari. De aceea, conceptul de manipulatori paraleli (din punct de vedere tehnologic), stă la baza dispozitivele care produc mișcare de translație sau sferică pentru o platformă [TSA99].
În ultimele trei decenii, au fost dedicate eforturi considerabile studiului cinematicii și analizei dinamicii manipulatorilor paraleli. Printre acestea, o mare atenție a fost acordată clasei de manipulatori cunoscută sub numele de platforma Stewart – Gough (Stewart [STE65]; Merlet [MER00], Parenti Castelli și Di Gregorio [PAR00]) . Ele sunt folosite pentru simulatoare de zbor și, mai recent, pentru mașini unelte “multi axis” bazate pe cinematică paralelă. Prototipul Delta al robotului paralel (Clavel [CLA88], Tsai și Stamper [TSA96]), dezvoltat de Clavel la Institutul Federal Politehnic din Lausanne și Tsai și Stamper de la Universitatea din Maryland, precum și manipulatorul paralel Star (Hervé și Sparacino [HER92]), sunt echipate cu trei motoare, care se deplasează pe platforma mobilă într-o mișcare de translație generală cu trei grade de libertate.
Se știe că un mecanism este considerat robot planar dacă toate elementele mobile din mecanism efectuează mișcări plane. Într-o legătură plană, axele tuturor articulațiilor de rotație trebuie să fie perpendiculare pe planul de mișcare, în timp ce mișcarea de translație a unei legături prismatice trebuie să fie paralelă cu planul de mișcare.
Aradyfio și Qiao [ARA85] au examinat soluția cinematicii inverse pentru trei roboți paraleli planari diferiți cu trei grade de libertate. Gosselin și Angeles [GOS98] și Pennock și Kassner [PEN90] prezintă câte un studiu cinematic al unui robot paralel planar, în care o platformă în mișcare este conectată la o bază fixă prin trei legături, fiecare picior constând din două legături binare conectate prin trei articulații paralele de rotație. Pentru acest tip de robot planar, o soluție numerică interesantă o dau Sefrioui și Gosselin [SEF95] utilizând cinematica directă și inversă. Daniali și colab. [DAN95] prezintă un studiu general pentru roboții paraleli planari privind determinarea vitezelor și condițiilor de singularitate. Williams și Reinholtz [WIL88] au analizat dinamica și controlul unui manipulator paralel planar cu trei grade de libertate la Universitatea din Ohio, în timp ce Yang și colab. [YAN02] se concentrează pe analiza singularității unei clase de roboți paraleli în plan de tip 3-RRR, dezvoltați în laboratorul său. Bonev, Zlatanov și Gosselin [BON03] descriu mai multe tipuri de configurații singulare prin studierea modelului cinematicii directe a unui robot paralel 3-RPR.
Staicu și colab. [STA14] introduc o metodă recursivă, pentru a reduce în mod semnificativ numărul de ecuații și operațiuni de calcul prin utilizarea unui set de matrici pentru cinematica și dinamica robotului planar paralel RRR. Metoda are la bază principiul lucrului mecanic virtual, iar ecuațiile compacte rezultate stabilesc o determinare directă, în funcție de evoluția în timp a momentelor de intrare ale celor trei elemente de acționare, a forțelor de reacțiune interne din articulații.
Având o structură în buclă închisă, robotul planar paralel 3-RRR este un mecanism simetric special compus din trei lanțuri cinematice plane cu topologie identică, toate conectând baza fixă la platforma mobilă. Centrele cu trei pivoți ficși definesc poziția unei baze fixe, iar cele trei articulații mobile de rotație definesc geometria platformei plane mobile. Fiecare picior al mecanismului este reprezentat de două legături binare cu trei articulații de rotație cu axe paralele.
Împreună, manipulatorul este format din șapte elemente în mișcare, nouă articulații de rotație și trei actuatoare de rotație instalate pe baza fixă. Conform criteriul de mobilitate Grübler-Kutzbach platforma mobilă a robotului are trei grade de libertate (figura 5.1).
În scopul analizei, se atașează sistemul de referință cartezian la baza fixă cu originea situată în centrul triunghiului , axa este perpendiculară pe bază și axa indică direcția . La platforma mobilă este atașat sistemul de referință mobil cu originea în centrul de greutate al platformei mobile determinată de triunghiul .
În continuare considerăm că cele două sisteme de referință se suprapun într-o configurație centrală unde centrul de masă coincide cu originea a cadrului fix. Se remarcă faptul că rotația relativă a unui corp cu unghi trebuie să fie întotdeauna îndreptată în direcția axei.
Unul dintre cele trei picioare active (de exemplu piciorul) este format dintr-o articulație de rotație dintre baza fixă și elementul 1, elementul 1 de lungime , masă și tensor de inerție , care are o rotație în jurul axei cu unghiul , viteza unghiulară și accelerația unghiulară . Un alt element al piciorului este o tijă rigidă 2 legată la cadrul , care are o rotație relativă cu unghiul , viteza și accelerația . Ea are o lungime , masă și tensorul de inerție. În final, o articulație de rotație face legătura între elementul 2 și platforma mobilă, care este schematizată ca un triunghi echilateral cu latura , masă și un tensor simetric de inerție în raport cu sistemul de referință .
La configurația centrală, considerăm că toate picioarele sunt simetric distribuite cu unghiurile , oferind poziția inițială a mecanismului.
În studiul cinematicii manipulatoarelor robot, suntem interesați de obținerea unor ecuații matriceale privind localizarea unui sistem de referință arbitrar în funcție de variabilele din articulații. Numim matricea , matricea de transformare ortogonală de rotație relativă cu unghiul al legăturii în jurul axei . Pornind de la originea sistemului de referință și urmărind picioarele independente , , , obținem următoarele matrici de transformare:
, (5.1)
de unde, conform [STA11], se obțin matricile de transformare:
,
, . (5.2)
În problema geometrică inversă, se poate considera că poziția mecanismului planar este complet determinată prin intermediul coordonatelor , ale centrului de masă al platformei mobile și unghiul de orientare al sistemului mobil . Matricea de rotație ortogonală cunoscută a platformei de la până la se obține prin înmulțirea matricilor relative de bază:
,, , , (5.3)
s-au utilizat notațiile
, , . (5.4)
Se presupune că vectorul de poziție al centrului și unghiul de orientare , sunt exprimate prin următoarele funcții analitice
(5.5)
Mișcarea absolută generală a platformei mobile în planul său vertical poate fi definită de ecuațiile (5.5).
Cele șase variabile ,, vor fi determinate de următoarele ecuații
, (5.6)
de unde rezultă
(5.7)
Ecuațiile vectoriale ne arată că există doar o singură soluție geometrică inversă pentru poziția manipulatorului:
. (5.8)
Presupunând că se cunoaște mișcarea în plan a platformei mobile, dezvoltăm problema cinematicii inverse și determinăm vitezele și accelerațiile. În primul rând, calculăm vitezele liniare și unghiulare ale fiecărui picior raportate la viteza unghiulară și viteza centrului platformei mobile.
Rotațiile elementelor componente ale fiecare picior sunt caracterizate prin relații recursive ale următoarelor matrici
, (5.9)
care sunt asociate cu vitezele unghiulare absolute
,. (5.10)
Următoarele expresii dau vitezele absolute ale centrelor tuturor articulațiilor
(5.11)
Derivarea în raport cu timpul a ecuațiilor de constrângeri geometrice (5.6) duc la obținerea următoarele condiții de conectivitate matriceală [LI 12]
(5.12)
Din aceste ecuații, se obține matricea Jacobiană a manipulatorului și vitezele unghiulare relative ca funcții ale vitezei unghiulare a platformei și viteza centrului de masă .
Derivatele în raport cu timpul ale ecuațiilor (5.12) duc la obținerea următoarelor condiții de conectivitate
,
. (5.13)
Următoarele relații recursive dau accelerațiile unghiulare și accelerațiile ale articulațiilor:
,
. (5.14)
Relațiile matriceale (5.13), (5.14), vor fi folosite în continuare pentru calculul forțelor de inerție ale fiecărui element rigid al robotului.
În contextul controlului în timp real, neglijând forțele de frecare și luând în considerare efectele gravitaționale, obiectivul relevant al dinamicii complete este mai întâi să determine cuplurile sau forțele de acționare, care trebuie să fie exercitate de actuatori în scopul de a produce o traiectorie dată a efectorului final, dar și pentru a calcula forțele sau cuplurile interne.
Dasgupta și Mruthyunjaya [DAS18] au utilizat abordarea Newton-Euler pentru a dezvolta ecuații dinamice cu formă închisă ale platformei Stewart, luând în considerare toate efectele dinamice și de gravitație, precum și frecarea vâscoasă la articulații. Tsai [TSA99] a prezentat un algoritm pentru a rezolva dinamica inversă pentru o platformă de tip Stewart folosind, de asemenea, ecuații Newton-Euler. Această abordare cunoscută necesită calculul tuturor forțelor de constrângere și momentelor din legături.
În continuare aplicăm principiul lucrului mecanic virtual pentru problema dinamicii inverse în vederea stabilirii unor relații matriceale recursive pentru calculul cuplurilor de intrare ale actuatorilor și forțele interne la nivelul articulațiilor.
Mișcarea platformei este controlată de trei motoare electrice care generează momentele , , , în jurul axelor paralele fixe. Robotul paralel poate fi artificial transformat într-un set de trei lanțuri cinematice deschise supuse constrângerilor. Acest lucru este posibil prin eliminarea fiecărei aticulații pentru platforma mobilă, și se ia în considerare efectul prin introducerea de condiții de constrângere corespunzătoare.
Torsorul vectorilor și evaluează influența acțiunii greutății și a altor forțe externe și interne aplicate aceluiași element al mecanismului
, , . (5.15)
Forța de inerție și momentul rezultant al forțelor de inerție al unui corp rigid oarecare de masa, față de centrul primei articulații a elementului au forma:
(5.16)
Pentru piciorul , două relații recursive generează vectorii
, (5.17)
de unde rezultă
, . (5.18)
Începând de la relația (5.17), se poate dezvolta un set de relații recursive pentru piciorul :
,
, (5.19)
și pentru platforma mobilă
,,
,,,. (5.20)
Principiul fundamental al lucrului mecanic virtual afirmă că un mecanism este în echilibru dinamic dacă și numai dacă lucrul mecanic virtual dezvoltat de toate forțele externe, interne și de inerție dispare în timpul oricărei deplasări virtuale generale, care este compatibilă cu constrângerile impuse asupra mecanismului.
Vitezele virtuale caracteristice sunt exprimate ca funcții ale poziției mecanismului prin ecuațiile generale cinematice (5.12), unde se adaugă contribuțiile translațiilor virtuale succesive în timpul unor deplasări fictive de-a lungul direcțiilor , , ale articulațiilor de rotație , , :
. (5.21)
Având în vedere unele mișcări virtuale independente ale mecanismului planar, deplasările virtuale și vitezele ar trebui să fie compatibile cu mișcările virtuale impuse de toate constrângerile cinematice și de articulații, în orice moment în timp.
Să presupunem că robotul are succesiv nouă deplasări virtuale determinate de următoarele seturi de viteze:
, ,,;
, ,,;
, ,,;
,,,;
,,,; (5.22)
,,,;
,,,;
,,,;
,,,, .
Aceste viteze virtuale sunt necesare în calculul puterii virtuale și lucrului mecanic virtual al tuturor forțelor aplicate elementele componente ale robotului.
Lucru mecanic virtual total, împreună cu contribuția forțelor de inerție și momentele datorate forțelor de inerție , , prin torsorul de forțe externe cunoscute , și de primul moment de acționare sau unele forțe interne din articulații, pot fi scrise într-o formă compactă numai pe baza vitezelor unghiulare virtuale relative. Aplicarea formei explicite a ecuațiilor dinamicii roboților paraleli, stabilite de Ștefan Staicu [STA99], urmărind rezultatele relațiilor matriciale compacte
(5.23)
pentru momentul actuatorului de rotație din ,
(5.24)
pentru prima forță din articulație și
(5.25)
pentru a doua forță din articulația .
Relațiile (5.17)-(5.25) reprezintă modelul complet al dinamicii inverse a robotului planar paralel 3-RRR. Sunt luate în considerare în aceste ecuații explicite diversele efecte dinamice, inclusiv cuplarea forțelor Coriolis și a forțelor centrifugale și acțiunile gravitaționale.
Ca aplicație, considerăm un robot planar 3-RRR, care are următoarele caracteristici geometrice și de arhitectură:
. (5.26)
Folosind mediul de programare MATLAB, a fost dezvoltat un program de calculator pentru a rezolva dinamica inversă a robotului paralel planar. Pentru a ilustra algoritmul, se presupune că pentru o perioadă de trei secunde, platforma începe din repaus dintr-o configurație centrală și se rotește sau translatează de-a lungul unor direcții rectilinii.
Presupunând că nu există nici o forță externă și niciun moment care acționează asupra platformei mobile, simularea dinamică se bazează pe calculul a trei cupluri de intrare cerute de fiecare dispozitiv de acționare (actuator) în timpul evoluției platformei și a forțelor interne din articulații .
Următoarele trei exemple sunt rezolvate pentru a ilustra simularea.
Pentru primul exemplu avem în vedere mișcarea cu accelerare variabilă de translație a platformei mobile de-a lungul axei orizontale în timp ce toți ceilalți parametri poziționali sunt păstrați egali cu zero. Cuplurile de intrare a celor trei actuatori și forțele interne din articulații sunt calculate de program și reprezentate grafic în funcție de timp, în figurile: Fig. 5.2, Fig. 5.3 și Fig. 5.4.
Dacă centrul platformei se deplasează de-a lungul axei verticale fără rotația platformei, graficele sunt schițate în Fig. 5.5, Fig. 5.6 și Fig. 5.7
Pentru al treilea exemplu avem în vedere mișcarea de rotație a platformei mobile în jurul axei orizontale cu accelerația unghiulară variabilă: Fig. 5.8, 5.9, 5.10.
Exemplele prezentate anterior sunt modelate din punct de vedere cinematic și dinamic utilizând programul de simulare MSC.visualNastran4D și sunt prezentate în Anexa 1.
Capitolul 6.
concluzii finale, contribuții originale și forme de valorificare a rezultatelor cercetării
Roboții industriali sunt destinați proceselor tehnologice determinate. Datorită dinamicii foarte rapide a dezvoltării și construcției roboților industriali, precum și datorită domeniilor tot mai diversificate în care aceștia lucrează, se dorește optimizarea structurală a acestora. O astfel de optimizare pornește de la studiul modelelor geometric, cinematic și dinamic și se continuă cu optimizarea structurii astfel încât robotul industrial să realizeze sarcinile în timp cât mai scurt și cu consum minim de energie.
Primul capitol reprezintă o cercetare bibliografică selectivă esențială în domeniul roboților industriali. Concluziile ce pot fi desprinse din această cercetare sunt:
În industrie nu se găsesc manipulatoare cu geometrie „standard” sau simplificată, deci trebuie cunoscut bine modelul și comportamentul său;
Din punct de vedere teoretic există o listă mult mai bogată, ca număr și diversitate, cu tipuri de manipulatoare decât cele utilizate în practică;
Cu toate că în acest capitol sunt prezentate realizări în domeniul roboților industriali, poate fi considerată contribuție personală cercetarea bibliografică selectivă precum și clasificarea roboților;
Direcțiile de cercetare curente sunt centrate pe creșterea peformanțelor roboților, reducerea costurilor de proiectare, fabricație și de exploatare a roboților, siguranță îmbunătățită în utilizare precum și introducerea de noi funcționalități;
Indiferent de generația robotului problemele complexe se ivesc la realizarea structurii mecanice de manipulare și la generarea funcțiilor de comandă geometrică, cinematică și dinamică;
Dezvoltarea roboților industriali în mod sigur nu a atins limitele și mai există încă o mulțime de lucruri de făcut pentru a reduce decalajul între cercetarea academică și dezvoltarea industrială.
Atât în etapa concepției cât și în cea a realizării operațiilor pentru comandă, structurile mecanice necesită efectuarea unor calcule pe baza anumitor modele matematice prezentate în capitolul 2 al lucrării.
Cea mai mare parte a cinematicii roboților se ocupă cu stabilirea diferitelor sisteme de coordonate ce permit determinarea pozițiilor și a orientării corpurilor rigide și cu determinarea transformărilor care au loc între aceste sisteme. Geometria spațiului tridimensional și mișcarea rigidă, joacă un rol central în toate aspectele legate de sistemele robot.
Pentru stabilirea ecuațiilor cinematice directe ale unui robot manipulator trebuie să se studieze operațiile de rotație și de translație luate separat precum și transformarea omogenă, care combină cele două operații într-o singură mișcare, rezultând, deci o singură matrice.
În cazul modelelor geometric, cinematic și dinamic direct și invers prezentate în acest capitol putem concluziona:
Menținându-se ipoteza conform căreia elementele robotului sunt rigide, iar cuplele cinematice motoare sunt perfecte sub aspect mecanic, generarea mișcării se poate face în mod direct, în spațiul generalizat. Atunci mișcarea se traduce printr-o secvență de poziții, viteze și accelerații din legături care vor constitui referințe pentru blocul de comandă;
Dacă generarea mișcării se face pornind de la poziția, viteza și accelerația coordonatelor generalizate corespunzătoare poziției țintă dorită, atunci se determină coordonatele operaționale din fiecare articulație (legătură), acesta numindu-se modul invers de generare a mișcării;
În cazul modelului direct soluția este unică în timp ce în cazul modelului invers apar o serie de soluții, multe dintre ele fiind inacceptabile din punct de vedere al realizării sarcinii, ceea ce duce la implementarea în bucla de comandă a algoritmilor de selecție și separare a soluțiilor valide;
Algoritmii uzuali de comandă sunt formați din relații care exprimă deplasările motoarelor în funcție de parametrii de poziționare ai corpului condus, respectiv modelul invers. Se impune ca timpul pentru calculul modelului invers să nu afecteze viteza de deplasare a robotului.
Fiind rezolvat modelul geometric și cinematic și având, în plus, datele inerțiale ale elementelor (mase și momente de inerție, forma structurilor elementelor) pot fi calculate forțele motoare generalizate din cuple, forțele de reacțiune din legături, forțele de inerție ale structurii robotice.
În capitolul 3 intitulat „Contribuții în studiul cinematicii și dinamicii roboților industriali” am dezvoltat o metodă energetică bazată pe principiul lucrului mecanic vitrtual și ecuațiile Lagrange pentru determinarea torsorului dinamic intern al unui element oarecare, aflat în mișcare de rotație sau translație, din lanțul cinematic al unui robot industrial.
Putem desprinde următoarele concluzii:
Pentru un sistem de corpuri rigide există două diferențe esențiale între răspunsul dinamic și cel static.
– Prima dintre acestea constă în variația în timp a acțiunii dinamice și, în consecință, a răspunsului sistemului în cazul unei acțiuni dinamice. În timp ce un sistem acționat de o încărcare statică are un răspuns caracterizat de o stare unică a sistemului, o acțiune dinamică implică determinarea unei succesiuni de stări ale sistemului la intervale succesive de timp.
– Cea de-a doua diferență între acțiunile statice și cele dinamice constă în faptul că cele din urmă generează forțe de inerție, care intervin în echilibrul de forțe al structurii.
Calculul răspunsului unui sistem ar putea fi realizat prin metodele staticii dacă forțele de inerție ar fi neglijabile, chiar dacă acțiunea și răspunsul sistemului variază în timp. Forțele de inerție sunt considerabile atunci când masa sistemului și accelerațiile acestuia sunt importante, determinarea răspunsului necesitând abordări specifice dinamicii sistemelor de corpuri.
Metoda derivată din ecuațiile lui Lagrange permite direct deducerea forțelor. Prin abordare analitică această metodă se poate aplica și pentru rezolvarea problemei inverse a dinamicii.
Răspunsul la acțiunea diferitelor încărcări al unei structuri de tip robot industrial (considerat ca un sistem de corpuri rigide interconectate) este important atât din punct de vedere al controlului și simulării îndeplinirii sarcinilor, dar și din punct de vedere al rezistenței structurii la o eventuală supraîncărcare.
Rezistența structurii poate fi afectată de o suprasarcină sau de o supraîncărcare datorată deplasării cu viteze și accelerații necorespunzătoare în timpul realizării sarcinii.
În acest capitol se regăsesc ca și contribuții personale:
Dezvoltarea metodei de determinare a torsorului dinamic intern într-o secțiune de calcul.
Metoda constă în introducerea în secțiunea de calcul a unei deplasări suplimentare care poate fi de translație sau de rotație. Acest lucru presupune existența unei legături suplimentare de rotație sau de translație care să permită efectuarea unei astfel de deplasări. După determinarea ecuației și utilizarea principiului lucrului mecanic virtual, se anulează deplasarea suplimentară și odată cu aceasta și viteza și accelerația introduse de deplasarea suplimentară. Se obține expresia forței sau a momentului în secțiunea unde s-a dorit determinarea.
Metoda adaugă la rezolvarea celor ecuații derivate din ecuațiile lui Lagrange pentru determinare coordonatelor generalizate, rezolvarea celei de-a ecuație pentru determinarea forței sau a momentului intern.
Modelarea numerică a metodei pe care am realizat-o utilizând programul de calcul matematic simbolic MathCAD care permite rezolvarea expresiilor ce conțin funcții de integrare a ecuațiilor diferențiale de ordin superior și permite obținerea rezultatelor cu mare precizie și rapiditate. Această modelare permite determinarea și vizualizarea grafică a variației într-un interval de timp a forțelor sau momentelor interne dintr-un element al robotului.
În capitolul 4 a fost dezvoltată metoda energetică propusă pentru determinarea torsorului intern din orice element al unui robot care are la bază introducerea unor mobilități suplimentare. Pentru simplificarea calculelor, aceste mobilități se introduc separat pentru fiecare tip de forță internă ce se dorește a fi determinată.
Acest capitol evidențiază ca și contribuții personale:
Dezvoltarea unei proceduri pentru determinarea forțelor interne utilizând ipoteze simplificatoare care să permită vizualizarea variației acestor mărimi, respectiv a distribuției lor pe lungimea elementelor, în regim dinamic. Procedura stabilește etapele pentru aplicarea metodei energetice bazată pe formalismul Lagrange. Parcurgerea celor 11 etape are ca rezultat determinarea valorilor forței sau momentului din interiorul elementului. Pentru determinarea torsorului intern (forța axială, forța tăietoare și momentul încovoietor intern) se parcurg etapele de trei ori, existând elemente comune care mai ușurează calculul.
Stabilirea ecuațiilor care exprimă comportamentul dinamic interior într-o secțiune oarecare a unui element al robotului.
Chiar dacă, la cele ecuații Lagrange utilizate pentru determinarea coordonatelor generalizate, metoda prezentată anterior mai adaugă una sau mai multe ecuații în funcție de forțele interne care se doresc a fi determinate, avantajul metodei constă în faptul că aceste forțe pot fi determinate.
Capitolul 5 este destinat studiului cinematicii și dinamicii roboților planari paraleli. Comparativ cu roboții cu lanț cinematic serial, roboții cu arhitecturi paralele prezintă potențiale avantaje cum ar fi: precizie cinematică mai mare, greutate mai mică și rigiditate mai bună, portanță mai mare, capacitate stabilă și modalitate de poziționare adecvată a elementelor de acționare.
În acest capitol putem concluziona că
a fost dezvoltată o metodă recursivă care permite reducerea în mod semnificativ a numărului de ecuații și operațiuni de calcul, prin utilizarea unui set de matrici, pentru cinematica și dinamica unui robot planar paralel RRR. Metoda are la bază principiul lucrului mecanic virtual, iar ecuațiile compacte rezultate stabilesc o determinare directă, în funcție de evoluția în timp a momentelor de intrare ale celor trei elemente de acționare, a forțelor de reacțiune interne din articulații.
Folosind mediul de programare MATLAB a fost dezvoltat un program de calculator pentru a rezolva dinamica inversa a robotului planar paralel 3RRR.
Modelele analitice utilizând programul MATLAB pentru a ilustra simularea mișcării în lungul axelor Ox și Oy prezentate în acest capitol reprezintă o contribuție personală.
Utilizarea calculatoarelor cu putere mare de procesare a datelor a dus la posibilitatea studierii unui număr mare de variante de structuri care să realizeaze funcții asemănătoare, însă alegerea algoritmilor de calcul a acestor structuri se bazează pe principii și notații deja existente (utilizarea programului de simulare MSC.visualNastran4D).
În anexa 1 din prezenta lucrare, este evidențiată o contribuție personală unde, prin utilizarea programului de simulare cinematică și dinamică MSC.visualNastran4D au fost modelate exemplele aferente capitolelor 3, 4 și 5 .
Tot în această anexă consacrată modelării și simulării, o contribuție importantă este modelarea robotului SCORBOT ER VII. Realizarea modelului CAD a robotului 5R în copie fidelă a robotului SCORBOT este utilizat pentru dezvoltarea analizelor numerice (SolidWorks, visualNastran4D, MathCAD) pentru identificarea momentelor de inerție, respectiv a tensorului de inerție al elementelor robotului. Simularea mișcării după diferite legi de mișcare impuse are ca rezultat obținerea de variații ale valorilor reacțiunilor din articulații în funcție de timp.
Ca și concluzii finale putem spune că:
Datele obținute folosind metoda propusă în prezenta lucrare pot fi utilizate ca date de intrare în planificarea și controlul roboților industriali.
Datorită adaptibilității prelucrării modelelor analitice rezultate ca urmare a utilizării metodei propuse, cu ajutorul diferitelor medii de programare software, se poate face un control în timp real a structurilor robotice industriale.
Deasemenea, datele determinate pot interveni în comanda limitării mișcării cu anumite viteze și accelerații a elementelor robotului în cazul în care sarcinile interioare duc la suprasolicitări dinamice a structurii robot.
În urma cercetărilor întreprinse și a rezultatelor obținute se propun următoarele direcții de cercetare:
Identificarea și validarea numerică și experimentală a unor legi de similitudine generalizate, pentru diferite clase de roboți industriali cu mai multe grade de libertate .
Aplicarea metodelor de investigare optice în studiul dinamic al structurilor robotice studiate.
Realizarea unui pachet software destinat evaluării cinematicii, dinamicii și preciziei roboților industriali cu structură serială sau paralelă.
REFERINȚE BIBLIOGRAFICE
[AAR06] Ronald G.K.M. Aarts, Ben J.B. Jonker and Rob R. Waiboer, Realistic dynamic simulation of an industrial robot with joint friction, INFORMATICS IN CONTROL, AUTOMATION AND ROBOTICS I, Published by Springer, 2006, pag 187
[ABD00] Abdel-Malek Karim, Harn-Jou Yeh: Crossable Surfaces of Robotic Manipulators With Joint Limits, Journal of Mechanical Design, Published Quarterly by ASME Vol 122 • Nr 1 , 2000 pag. 52
[ADL95] M. A. Adli, H. Hanafusa: Contribution of internal forces to the dynamics of closed chain mechanisms, Robotica, Vol. 13, pag. 507-514, 1995.
[ANS99] ANSI/RIA R15.06-1999 National Robot Safety Standard Published by Robotic Industries Association,
[ARA04] V. Arakelian, The history of the creation and development of hand-operated balanced manipulators, Proceedings of the HMM2004, Kluwer Academic Publishers, 2004.
[ARA85] D.D. Aradyfio, D. Qiao, Kinematic simulation of novel robotic mechanisms having closed chains, ASME Mechanisms Conference, Paper 85-DET-81, 1985
[BES92] G. Bessonnet, Optimisation dynamique des mouvements point à point de robots manipulateurs, Thèse d’état, Université de Poitiers, 1992.
[BON03] I. Bonev, D. Zlatanov, C. Gosselin, Singularity analysis of 3-DOF planar parallel mechanisms via screw theory, Journal of Mechanical Design, 125, 3, pp. 573-581, 2003
[BON03] I.A. Bonev, The true origins of parallel robots, 2003, www.parallemic.org.
[BOU05] Bourgeot, J.M. & Brogliato, B., Tracking control of complementarity lagrangian systems, The International Journal of Bifurcation and Chaos, special issue on Non-smooth Dynamical Systems, 15(3), 2005.
[BRI03] Sébastien Briot, Analyse et Optimisation d’une Nouvelle Famille de Manipulateurs Parallèles aux Mouvements Découplés, pag 129-150, Springer, 2003,
[BRO07] T. Brogårdh: Present and future robot control development—an industrial perspective, Annual Reviews in Control, 31(1):pag 69–79, 2007.
[BRO09] T. Brogårdh: Robot control overview: An industrial perspective, Modeling, Identification and Control MIC, 30(3):pag 167–180, 2009.
[BRY75] A.E.Bryson and J.Yu-Chi-Ho: Applied Optimal Control, Hemisphere Publishing Corporation, 1975
[CHE90] Y. Chen, A.A. Desrochers, A proof of the structure of the minimum-time control law robotic manipulators using a hamiltonian formulation, IEEE Transactions on Robotics and Automation, pag. 388-393, 1990.
[CLA88] R. Clavel, Delta: a fast robot with parallel geometry, Proceedings of 18th International Symposium on Industrial Robots, Lausanne, pp. 91-100, 1988
[CLE05] Cedric Clevy: Contribution a la micromanipulation robotisee un systeme de changement d’outils automatique pour le micro-assemblage, Teza de doctorat, 2005
[COE04] T.A.H Coelho, L. Yong and V.F.A. Alves Decoupling of dynamic equations by means of adaptative balancing of 2-DOF open-loop mechanisms, 2004, Mechanism and Machine Theory, Vol. 39, pp. 871-881.
[COI92] P.Coiffet, La robotique. Principes et applications, Hermes, 1992
[CRA05] Craig John J.: Introduction to robotics Mechanics and control, 3rd Edition Mass., Addison Wesley, 2005
[DAS98] B. Dasgupta, T.S. Mruthyunjaya, A Newton-Euler formulation for the inverse dynamics of the Stewart platform manipulator, Mechanism and Machine Theory, Elsevier, 34, pp. 711-725, 1998
[DEL00] A. De Luca: Feedforward/feedback laws for the control of flexible robots, Proceedings of the 2000 IEEE International Conference on Robotics and Automation,pag 233–240, San Francisco, Aprilie 2000.
[DEL08] De Luca Alessandro, Book Wayne: Robots with flexible elements, Springer Handbook Robotics, Siciliano, Kathib (Eds), Springer, 2008
[DIE06] Diez-Martinez C.R., Rico J.M., Cervantes-Sanchez J.J., Gallardo J.: Mobility and connectivity in multiloop linkages, ADVANCES IN ROBOT KINEMATICS, Published by Springer, 2006, pag 455
[DRA97] Drăgulescu Doina: Dinamica roboților, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București, 1997
[DUM03] D. Dumitru, V. Filip, L. Predescu, Contributions at the optimization of the kinematic synthesis for the adjustment mechanisms of the feed linkages from the engine lathe structure, ICEEMS Proceedings, pag.190-195, Brașov, 2003
[DUM04] D. Dumitru, E. Străjescu, L. Predescu, About the performances optimization of the mechanical driving from the structure of the CNC machine tools feed axes, Proceedings of the International Conference on Manufacturing Systems ICMaS 2004, Romanian Journal of Tehnological Sciences, Tome 49, pag. 175-178, Editura Academiei Române, București, 2004
[EDG93] Edgar John: Principles of robot modelling and simulation, Wiley &Sons, 1993
[ELO96] El Omri Jaouad: Analyse Geometrique et Cinematique des Mecanismes de Type Manipulateur, Teză de doctorat, Ecole Doctorale Sciences Pour L’Ingenieur de Nantes, 1996
[FEA00] Featherstone Roy, Orin David: Robot Dynamics: Equations and Algorithms, Proc. IEEE Int. Conf. Robotics & Automation, San Francisco, CA, 2000, pag. 826-834
[FIL01] Viviana Filip, Sorin Zaharia, A Symbolic computational method for dynamic simulation of robot manipulator, 2nd European Conference on Computational Mechanics, ECCM 2001, Krakova, Poland, 2001
[FIL04] Viviana Filip, A symbolic computational method for robot-manipulator modelling, International Scientific Conference, M.T.M. 2004, Cluj-Napoca, 2004
[FIL99] Filip Viviana: Modelarea manipulatoarelor robot. Calcul simbolic, 1. Geometria directă și inversă. Cinematica directă, Editura PRINTECH, București, 1999
[FIL99] Filip Viviana: Modelarea manipulatoarelor robot. Calcul simbolic, 1. Cinematica inversă. Ecuațiile mișcării. Simularea dinamicii. Aplicații. Editura PRINTECH, București, 1999
[FIL99] Filip Viviana, Antonescu Păun, Utilizarea calculului simbolic în simularea dinamicii manipulatoarelor–robot, Revista Robotica & Management, vol. 4, nr.2, Timișoara, p. 18-22, 1999
[GAL00] M. Galicki, D. Ucinsky, Time-optimal motions of robotic manipulators, Robotica, Vol. 18, N°3, pp. 659-667, 2000.
[GAR94] J. Garcia de Jalon, E. Bayo, Kinematic and dynamic simulation of multibody systems, the real-time challenge, Sringer-Verlag, 1994.
[GOS98] C. Gosselin, J. Angeles, The optimum kinematic design of a planar three-degree-of-freedom parallel manipulator, ASME Journal of Mechanisms, Trans. and Automation in Design, 110, 1, pp. 35-41, 1998
[HER92] J-M. Herve, F. Sparacino, Star. A New Concept in Robotics, Proceedings of the Third International Workshop on Advances in Robot Kinematics, Ferrara, pp.176-183, 1992
[HOL80] John M. Hollerbach: A recursive Lagrangian formulation of manipulator dynamics and a comparative study of dynamics formulation complexity, IEEE 1980
[IFT03] IFToMM 2003, Terminology for the mechanism and machine science, 2003 Mechanism and Machine Theory, Vol. 38, pp.597-605
[INN06] Innocenti C., Paganelli D.: Determining the 3×3 rotation matrices that satisfy three linear equations in the direction cosines, ADVANCES IN ROBOT KINEMATICS, Published by Springer, 2006, pag 23
[ISO98] ISO 9283:1998, Manipulating industrial robots – performance criteria and related test methods. http://www.iso.org, 1998.
[JOH93] R. Johansson, System Modeling and Identification, Prentice Hall, 1993
[JUT96] A-D. Jutard-Malinge, Optimisation dynamique de mouvements de robots manipulateurs aux évolution partiellement spécifiées et à état final contraint, Thèse, Université de Poitiers, 1996.
[KAN85] T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics: Theory and Applications, McGraw-Hill Publishing Company, 1985
[KHA06] Khan W.A., Caro S., Pasini D., Angeles J:. Complexity analysis for the conceptual design of robotic architecture, ADVANCES IN ROBOT KINEMATICS, Published by Springer, 2006, pag 359
[KHA07] Khalil W., G. Gallot G., Boyer F., Dynamic Modeling and Simulation of a 3-D Serial Eel-Like Robot. In IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics, Part C: Application and reviews, Vol. 37, N° 6, 2007
[LES00] M. Lesser, The Analysis of Complex Nonlinear Mechanical Systems: A Computer Algebra assisted approach, World Scientific Publishing Co Pte Ltd, Singapore, 2000.
[LEW86] Lewis F. L.: Optimal Control, John Wiley and Sons, 1986
[LEW95] F. L. Lewis, V. L. Syrmos, Optimal control, John Wiley, 1995.
[LI 12] Y. Li, S. Staicu, Inverse dynamics of a 3-PRC parallel kinematic machine, Nonlinear Dynamics, Springer, 67, 2, pp. 1031-1041, 2012
[MAA06] J. Maass, M. Kolbus, C. Budde, J. Hesselbach and W.Schumacher, Control Strategies for Elarging a Spatial Robot’s Workspace by Change of Configuration, 2006, Proceedings of the 5-th Chemnitz Parallel Kinematics Seminar, Chemnitz, Germany, pp. 515-530.
[MAH04] Maher Baili: Analyse et classification de manipulateurs 3R à axes orthogonaux, Teza de doctorat, 2004
[MAR99] B. J. Martin, J. E. Bobrow, Minimum effort motions for open chains manipulators with task-dependent end-effector constraints, International Journal of Robotics Research 18, N°2, pp. 213-324, 1999.
[MAS01] Mason M. T., Salisburz J. K., Robot Hands and the Mechanics of Manipulation, The MIT Press Cambridge, Massachusetts, Londra, 2001
[MAT94] Matieș Vistrian, Roboți industriali, Editura DACIA, Cluj Napoca , 1994
[MEG92] Megahead Said, Efficient computation algorithm for dynamic modelling of tree structure robot arms, Robotics and Autonomous Systems 10, Elsevier, 1992, pag. 225-242
[MEG93] Megahead Said: Principles of Robot Modeling and Simulation, John-Wiley & Sons Publisher Ltd.,England, 1993
[MER06] J.-P. Merlet, Parallel Robots, 2nd ed., Springer, pp. 4–7, 2006.
[MOH95] H. Mohammadi-Daniali, P. Zsombor-Murray, J. Angeles, Singularity Analysis of Planar Parallel Manipulators, Mechanism and Machine Theory, Elsevier, 30, 5, pp. 665-678, 1995
[MOT09] Motoman, Introducing NX100 – the Next Generation of Robot Controller, http://www.motoman.co.uk/NX100.htm, 2009. 2009-12-03
[MUR94] Murray M. Richard, Li Zexiang, Sastry S. Shakar: A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation, CRC Press,1994
[NEG97] Negrean Iuliu, Vușcan Ioan, Haiduc Nicolae, Robotică. Modelare cinematică și dinamică, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București, 1997
[PAN00] Pandrea, N., Popa, D., Mecanisme. Teorie și aplicații CAD, Editura Tehnică, București, 2000
[PAN01] Pandrea, N., Popa, D., An algorithm and calculus program for the positional analysis of the spatial mechanism by the Mangeron iterative method, Buletinul Institutului Politehnic Iași, tomul XLVII (LI), Iași 2001
[PAR00] V. Parenti Castelli, R. Di Gregorio, A new algorithm based on two extra-sensors for real-time computation of the actual configuration of generalized Stewart-Gough manipulator, Journal of Mechanical Design, 122, pp. 17-24, 2000
[PEL85] Chr. Pelecudi, D. Maros, V.Merticaru, N. Pandrea, I. Simionescu, Mecanisme, Editura Didactică și Pedagogică, București,1985
[PEN90] G.R. Pennock, D.J. Kassner, Kinematic Analysis of a Planar Eight-Bar Linkage: Application to a Platform-type Robot, ASME Mechanisms Conference, Paper DE – 25, pp. 37-43, 1990
[PON62] L. Pontryagin, V. Boltiansky, A. Gamkrelidze, E. Mischchenko, The Mathematical Theory of Optimal Processes, Wiley, New-York: Interscience, 1962
[POP03] Popa, D., Metodă de analiză cinematică a mecanismelor spațiale bazată pe restricțiile geometrice ale elementelor, A XXVII-a Conferința Națională de Mecanica Solidelor, Pitești 23-24 mai 2003, Buletinul Univ. din Pitești, Seria Mecanică Aplicată.
[POP03] Popa, D., Popa, Claudia, Proiectarea asistată în ingineria mecanică, Editura Tehnică, București, 2003
[POP07] Popa, D., Chiroiu, V., Munteanu, L., Onisoru, J., Iarovici, A., Secara, C., On the modeling of hybrid systems, Proc. of the Romanian Academy, Series A: Mathematics, Physics, Technical Sciences, Information Science, vol. 8, nr.1, 2007.
[POP09] Popa, D., Solomon, L., Chiroiu, V., Stănescu, N-D., Secară C., On the uniaxial deformation of nonhomogeneous materials, Reserch Trends in Mechanics, vol. 3, Editura Academiei Române, București, 2009
[POP10] Popa, D., Elastodinamica mecanismelor spațiale cu bare, Editura Universității din Pitești, 2010
[PoP94] P.Popescu, I.Negrean, I.Vușcan, N.Haiduc, Mecanica Manipulatoare-lor și roboților, Vol.1 și 2, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București 1994
[PoP94] P.Popescu, I.Negrean, I.Vușcan, N.Haiduc, R.Popescu, Mecanica manipulatoarelor și roboților, Vol.3 și 4, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București 1994
[POP96] Popa D., Pandrea, N., Analiza elastodinamică a mecanismelor spațiale, Al VII- lea simpozion național de mecanisme și transmisii mecanice MTM' 96 Reșița 10 – 12 octombrie 1996
[PoP97] P.Popescu, Gh.Olea, Mecanica manipulatoarelor și roboților, Vol.5, Editura Didactică și Pedagogică R.A., București 1997
[POP97] Popa, D., Pandrea, N., Pandrea, M., Analiza elastodinamică a mecanismului R-5R, Analele Universității din Oradea, Fascicola Mecanică seria: Mecanisme, Organe de mașini, Tribologie, Mecanică fină, Roboți și Desen tehnic, pag. 93-98, Oradea, 1997.
[POP98] Popa, D., Pandrea, N., Calculul forțelor din mecanismele spațiale cu constrângeri generale și abateri geometrice, Construcția de mașini nr. 12, București 1998.
[POS03] N.Posea, Șt. Iordache, L. Predescu, I. Costache, Metoda elementului finit pentru structuri de rezistență, Editura Bibliotheca, Târgoviște 2003
[PRE03] L. Predescu, D. Dumitru, I.Costache, Metode de sinteză a mecanismelor cu came utilizând tehnici matematice avansate și modelare 3D – a XXVII-a Conferință de mecanica solidelor, Pitești 2003
[PRE05] Laurențiu PREDESCU, The kinematic synthesis using dual quaternions, Analele Universității Valahia, Fascicula de Inginerie Mecanică, octombrie 2005
[PRE06] Laurențiu PREDESCU, About the dimensional synthesis of robots using dual quaternions, First International Conference Optimization of the robots and manipulators „OPTIROB 2006” București, România, 2006
[PRE13] L. Predescu, M. Predescu, Planning the trajectory of the SCORBOT-ER VII robot, Proceedings of the 5th International conference „COMPUTATIONAL MECHANICS AND VIRTUAL ENGINEERING” COMEC, Brașov, 2013
[PRE15] Laurențiu Predescu, Ion Stroe, On the kinematics of the SCORBOT ER-VII robot, UPB Scientific Bulletin, Series D: Mechanical Engineering, Vol. 77, Iss. 2, 2015
[SAH08] Saha S. K.: Introduction to Robotics, McGraw-Hill Education (India), 2008
[SCI00] L. Sciavicco and B. Siciliano, Modeling and Control of Robotic Manipulators, Springer, London, Great Britain, 2000
[SEF95] J. Sefioui, C. Gosselin, On the quadratic nature of the singularity curves of planar three-degree-of-freedom parallel manipulators, Mechanism and Machine Theory, Elsevier, 30, 4, pp. 533-551, 1995
[SHA98] A.A. Shabana, Dynamics of Multibody Systems. Cambridge University Press, Cambridge, United Kingdom, 1998
[SIC08] B. Siciliano and O. Khatib, editors, Springer Handbook of Robotics. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2008
[SIC10] B. Siciliano, L. Sciavicco, L. Villani, and G. Oriolo, Robotics – Modelling, Planning and Control, Springer, London, Great Britain, 2010
[SIM99] Simionescu I., Moise V.: Mecanisme, Editura Tehnica, București, 1999
[SKO86] J.M. Skowronski, Control dynamics of robotic manipulators, Academic Press,1986.
[SPO06] Spong M. W., Hutchinson S., Vidyasagar M., Robot Modeling and Control, New York, Wiley, 2006
[SPO96] M.W. Spong. Handbook of Control, CRC Press, 1996, Chapter, Motion Control of Robot Manipulators, pag. 1339–1350
[STA10] Stefan Staicu, Ion Stroe, Comparative Analysis in Dynamics of the 3-RRR Planar Parallel Robot, Proceedings of the Romanian Academy, Series A, Volume 11, Number 4/2010, pp. 247-254.
[STA11] S. Staicu, Dynamics of the 6-6 Stewart parallel manipulator, Robotics and Computer-Integrated Manufacturing, Elsevier, 27, 1, pp. 212-220, 2011
[STA14] S. Staicu, I. Stroe, L. Predescu, Internal reaction forces in dynamics of a planar parallel manipulator, Romanian Journal of Technical Sciences: Applied Mechanics, Vol. 59, No. 3, 2014, ISSN 0035-4074.
[STA98] S. Staicu, Mecanică teoretică, Editura Didactică și Pedagogică, R.A., București, 1998
[STA99] S. Staicu, Modèle dynamique en robotique, UPB Scientific Bulletin, Series D: Mechanical Engineering, 61, 3-4, pp. 5-19, 1999
[STE65] D. Stewart, A Platform with Six Degrees of Freedom, Proc. Inst. Mech. Eng., 1, 15, 180, pp.371-378, 1965
[STR01] I.Stroe, Kinetics of Multibody Systems in Gravitational Field, The Eight IFToMM International Symposium on Theory of Machines and Mechanisms, Bucharest-ROMANIA, August 28-September 1, 2001,vol. II, pp.309-314.
[STR02] I. Stroe, Multibody Systems with Holonomic and Nonholonomic Constraints, Virtual Nonlinear Multibody Systems, NATO Advanced Study Institute, Vol.I, pp. 183-189, Edited by Werner Schiehlen and Michael Valasek, Prague, June 23- July 3, 2002.
[STR06] I. Stroe, M.I. Piso, S. Zaharia, G.V. Manciu, Multibody Systems in Central Gravitational Field, IC-SCCE, International Conference “From Scientific Computing to Computational Engineering”, 5-8 July, 2006, Athens, Greece.
[STR07] Ion Stroe, Petrisor Parvu, Dumitru Caruntu, Multibody Systems with Holonomic and Nonholonomic Constraints, The 31st Annual Congress of the American Romanian Academy of Arts and Sciences, Brasov, Romania, July, 31-August,5, 2007.
[STR10] Ion Stroe, Petrisor Parvu, Holonomic and Nonholonomic Constraints in Dynamics of Multibody Systems, 7th International DAAAM Baltic Conference "INDUSTRIAL ENGINEERING, 22-24 April 2010, Tallinn, Estonia.
[STR10] Ion Stroe, Stefan Staicu, Calculus of Joint Forces Using Lagrange Equations and Principle of Virtual Work, Proceedings of the Romanian Academy, Series A, Volume 11, Number 3/2010, pp. 253-260.
[STR11] I.Stroe, S.Staicu, A. Craifaleanu, Internal Forces calculus of Compass Robotic Arm Using Lagrange Equations, 11th Symposium on Advanced Space Tehnologies for Robotics and Automation, “ASTRA 2011”, ESTEC, Noordwijk, The Nederlands, April 12-14, 2011.
[STR14] Ion Stroe, Andrei Craifaleanu, Generalization of the Lagrange Equations Formalism, for Motions with Respect to Non-Inertial Reference Frames, Applied Mechanics and Materials Vol. 656 (2014) pp 171-180, © (2014) Trans Tech Publications, Switzerland, doi:10.4028/www.scientific.net/AMM.656.171
[TAC06] C. Tache, L.Predescu, M. Zaharia, D.Dumitru, Numerical evaluation for the time response of a vibrating system, Simpozionul internațional „SISOM 2006”, București, 2006
[TOK08] Tokhi M.O. and Azad A.K.M., Flexible Robot Manipulators Modelling, simulation and control, Published by IET, London,2008
[TSA96] L-W. Tsai, R. Stamper, A parallel manipulator with only translational degrees of freedom, ASME Design Engineering Technical Conferences, Irvine, CA, 1996
[TSA99] Lung-Wen Tsai: Robot analysis: the mechanics of serial and parallel manipulators, New York, Wiley, 1999.
[VOI00] Radu P. Voinea, Ion V. Stroe, Introducere în teoria sistemelor dinamice, Editura Academiei Române, Bucuresti, 2000.
[VOI12] R. Voinea, I. Stroe, M. V. Predoi, Technical Mechanics, Editura Politehnica Press, Bucuresti, 2010, reeditare in 2012.
[VOI64] Voinea R., Atanasiu M., Metode analitice noi în teoria mecanismelor, Editura Tehnică , București 1964
[VOI95] R.Voinea, I. Stroe – A General Method for Kinematics Pairs Synthesis, The Scientific Journal of IFToMM, Mech. Mach. Theory, Pergamon, Elsevier Science Ltd., 30, 3, pp. 461-470, 1995.
[WAL08] Waldron K., Schmiedeier J., Handbook of robotics Kinematics, Siciliano B., Khatib O. editors, Springer 2008, pp.9-pp.33
[WAR93] Warwick Manufacturing Group, Introduction to Industrial Robots, University of Warwick, 1993
[WEN99] P. Wenger, C. Gosselin, and B. Maillé, A comparative study of serial and parallel mechanism topologies for machine tools, International Workshop on Parallel Kinematics Machines, Milan, Italy, pp. 25–35, 1999.
[WIL88] R.L. Williams II, C.F. Reinholtz, Closed-form workspace determination and optimization for parallel mechanisms, The 20th Biennial ASME Mechanisms Conference, Kissimmee, Florida, DE, Vol. 5, pp. 341-351, 1988
[YAN02] G. Yang, W. Chen, I-M. Chen, A geometrical method for the singularity analysis of 3-RRR planar parallel robots with different actuation schemes’, Proceedings of the IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems, Lausanne, Switzerland, pp. 2055-2060, 2002
[YEG92] Yeghloul S. and Pamanes-Garcia J.A., Multi-criteria optimal placement of robots in constrained environments, Paris, Robotica, Volumul 11, pag 105-110, 1992
[ZAH00] Sorin Zaharia, Viviana Filip, A Symbolic Computational Method for a Dynamic Model of Robot Manipulators, European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering ECOMAS, Barcelona, Spania, 2000
[ZAH03] S. Zaharia, L. Predescu, M. Zaharia, Teorie și probleme de mecanică-Teste de Mecanică analitică, Editura Punct, București 2003
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Contributii la Studiul Dinamicii Robotilor Industriali (ID: 162220)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.