Contribut ii la Teoria Aproxim arii Funct iilor [616074]

Universitatea Babes »-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematic ¸a s »i Informatic ¸a
Tez¸a de Doctorat
Contribut »ii la Teoria Aproxim¸ arii Funct »iilor
de Variabil¸ a Real¸ a » si Complex¸ a
Doctorand: [anonimizat] »Conduc¸ ator » stiint »i¯c:
Prof. univ. dr. Sorin G. Gal
Cluj-Napoca
2017

Cuprins
1 Introducere General¸ a 5
2 Aproximare cu operatori integrali neliniari 13
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Choquet . . . . . . . . 13
2.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.3 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Aproximare cu operatori integrali posibilistici . . . . . . . . 23
2.2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Schema lui Feller ^ ³n termenii integralei posibilistice . 25
2.2.3 Aproximare cu operatori posibilistici de convolut »ie . . 36
3 Ordin arbitrar cu operatori Sz¶ asz » si Baskakov 45
3.1 Operatori Baskakov generalizat »i pe R+. . . . . . . . . . . . 46
3.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.1.2 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.3 Cazul operatorilor q-Baskakov, 0 < q < 1 . . . . . . . 52
3.2 Operatori Sz¶ asz-Stancu generalizat »i pe [0 ;+1) . . . . . . . 56
3.3 Operatori Baskakov-Stancu generalizat »i pe [0 ;+1) . . . . . 60
3

4 CUPRINS
4 Operatori Sz¶ asz » si Baskakov ^ ³n planul complex 65
4.1 Ordin arbitrar ^ ³n discuri compacte . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1.2 Operatori Sz¶ asz » si Sz¶ asz-Kantorovich . . . . . . . . . 67
4.1.3 Operatori Baskakov generalizat »i . . . . . . . . . . . . 73
4.2 Ordin arbitrar prin operatori Baskakov-Faber . . . . . . . . 78
4.2.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.2.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.2.3 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Bibliogra¯e 86

Cap. 1
Introducere General¸ a
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine rezultatele pe care le-am obt »inut ^ ³n domeniul teoriei
aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de o variabil¸ a complex¸ a.
Teoria aproxim¸ arii este o parte a analizei matematice ap¸ arut¸ a ^ ³n secolul
al 19-lea, care se ocup¸ a, ^ ³n esent »¸ a, cu aproximarea unor elemente compli-
cate (de cele mai multe ori funct »ii), cu elemente mai simple (de cele mai
multe ori polinoame algebrice, polinoame trigonometrice sau funct »ii spline,
etc). ^In plus, ^ ³n cadrul acelea» si teorii, se obt »in » si caracteriz¸ ari cantitative
ale aproxim¸ arii, de cele mai multe ori ^ ³n termenii a» sa numit »ilor moduli de
continuitate (de netezime).
Din punct de vedere istoric, ^ ³n cazul aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a
real¸ a, probabil c¸ a primul rezultat principal ^ ³n aceast¸ a teorie a fost obt »inut
de c¸ atre matematicianul german K. Weierstrass ^ ³n 1895, rezultat care poate
¯ enunt »at ^ ³n felul urm¸ ator :
Teorema A. Dac¸ a f: [a; b]!Reste o funct »ie continu¸ a pe inter-
valul [a; b], atunci exist¸ a un » sir de polinoame algebrice cu coe¯cient »i reali,
Pmn(x) =a0xmn+:+amn¡1x+amn, astfel ^ ³nc^ ³t limn!1Pmn(x) =f(x),
uniform ^ ³n raport cu x2[a; b].
5

6 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
O demonstrat »ie constructiv¸ a a teoremei de mai sus a fost obt »inut¸ a de
c¸ atre matematicianul rus S.N. Bernstein ^ ³n 1912, care a ar¸ atat c¸ a » sirul
de polinoame algebrice care ast¸ azi ii poart¸ a numele, anume Bn(f)(x) =
Pn
k=0¡n
k¢
xk(1¡x)n¡kf)k=n), converge uniform la funct »ia fpresupus¸ a con-
tinu¸ a pe [0 ;1].
Primul rezultat cantitativ ^ ³n teoremele lui Weierstrass » si Bernstein de
mai sus, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul rom^ an Tiberiu Popoviciu
^ ³n anul 1942, care a ar¸ atat c¸ a
jBn(f)(x)¡f(x)j ·3
2!1(f; 1=pn);8×2[0;1]; n2N;
unde !1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1];jx¡yj ·±greprezint¸ a
modulul de continuitate al funct »iei f.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor continue » si 2 ¼-periodice, primul rezultat
constructiv a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul maghiar L. Fej¶ er ^ ³n anul
1900, care a ar¸ atat urm¸ atoarele : dac¸ a f:R!Reste o funct »ie 2 ¼-periodic¸ a
» si continu¸ a pe R, not^ ³nd cu Sn(f)(x) =Pn
k=0akcos(kx) +bksin(kx), unde
ak» sibksunt coe¯cient »ii Fourier ai lui f, atunci Tn(f)(x) =S0(f)(x)+:::+Sn(f)(x)
n+1
reprezint¸ a un » sir de polinoame trigonometrice care converge uniform la
funct »ia fpeR.
Primul rezultat cantitativ » si constructiv ^ ³n cazul aproxim¸ arii cu poli-
noame trigonometrice, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul american D.
Jackson ^ ³n teza lui de doctorat din 1911, care poate ¯ enunt »at ^ ³n felul
urm¸ ator : dac¸ a f:R!Reste continu¸ a » si 2 ¼-periodica, atunci se poate
construi un » sir de polinoame trigonometrice Jn(f)(x),n2N, cu propri-
etatea c¸ a
jJn(f)(x)¡f(x)j ·C!2(f; 1=n);8x2R; n2N;

7
unde !2(f;±) = sup fjf(x+h)¡2f(x) +f(x¡h)j; 0·h·±; x2Rg
reprezint¸ a modulul de netezime de ordinul 2 al funct »iei f.
O direct »ie important¸ a ^ ³n teoria aproxim¸ arii funct »iilor este reprezentat¸ a
de teoria aproxim¸ arii cu » siruri de operatori liniari si pozitivi, cu r¸ ad¸ acinile
^ ³ntre anii 1950 » si 1970 prin rezultatele de acum clasice ale lui Tiberiu Popovi-
ciu, Bohman, Korovkin, Shisha-Mond » si alt »ii. ^In esent »¸ a, aceste rezultate
a¯rm¸ a faptul c¸ a (vezi teoremele lui Korovkin) pentru ca un » sir de operatori
liniari si pozitivi, ( Ln(f))n2N, s¸ a convearga uniform la fpentru orice funct »ie
continu¸ a pe [ a; b], este su¯cient ca Ln(ek) s¸ a convearg¸ a uniform la ek, doar
pentru trei valori ale lui k, adic¸ a k= 0;1 » si 2, unde e0(x) = 1, e1(x) =x» si
e2(x) =x2.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor complexe sau/si » de o variabil¸ a complex¸ a,
r¸ ad¸ acinile acestei teorii se g¸ asesc ^ ³n aproximarea funct »iilor continue prin
polinoame sau prin funct »ii ^ ³ntregi, prin lucr¸ arile lui MÄ untz-Sz¶ asz » si Carle-
man, iar ^ ³n aproximarea funct »iilor analitice de variabil¸ a complex¸ a prin poli-
noame sau prin funct »ii rat »ionale, ment »ion^ ³nd aici, ^ ³n principal, rezultatele
obt »inute de c¸ atre Runge, Walsh, Faber, Mergelyan, Arakelyan » si Dzyadyk.
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine, in principal, contribut »iile originale pe care le-am
obt »inut ^ ³n domeniul teoriei aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de
o variabil¸ a complex¸ a.
Teza este structurat¸ a ^ ³n 4 capitole.
^In Capitolul prezent, 1, se face o introducere general¸ a ^ ³n teoria aproxi-
m¸ arii » si o descriere rezumativ¸ a a tezei.
^In Capitolul 2 ^ ³ntitulat Aproximare cu operatori integrali neliniari , idea
de baz¸ a este ^ ³nlocuirea integralei clasice ^ ³n expresiile unor operatori de
aproximare liniari integrali, cu integrale mai generale (care nu mai sunt
liniare), » si studierea propriet¸ at »ilor de aproximare ale operatorilor noi obt »inut »i.

8 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
Capitolul are dou¸ a sect »iuni.
Astfel, ^ ³n prima sect »iune, ^ ³ntitulat¸ a Aproximare cu operatori Durrmeyer-
Choquet , ^ ³n expresiile operatorilor clasici Bernstein-Durrmeyer, se ^ ³nlocuie» s-
te integrala Lebesgue cu integrala (neliniara) a lui Choquet ^ ³n raport cu o
funct »ie de mult »ime monoton¸ a si submodular¸ a. Se arat¸ a ca noii operatori
(neliniari de data asta) ram^ ³n uniform convergent »i la funct »ia continua aprox-
imat¸ a.
^In a doua sect »iune a capitolului, ^ ³n clasica schem¸ a de aproximare a lui
Feller de generare a operatorilor liniari si pozitivi cu propriet¸ at »i de aprox-
imare, se ^ ³nlocuieste integrala clasica liniara ^ ³n raport cu o masur¸ a tip
Lebesgue, cu integrala neliniar¸ a posibilistic¸ a. ^In acest mod, se genereaz¸ a
noi operatori (neliniari) cu propriet¸ at »i bune de aproximare, incluz^ ³nd » si a» sa
numit »ii operatori max-produs studiat »i ^ ³ntr-o lung¸ a serie de lucr¸ ari de c¸ atre
B. Bede, L. Coroianu » si S.G. Gal (care culmineaz¸ a cu monogra¯a de cerc-
etare [12] aparuta la editura Springer).
Tot ^ ³n aceast¸ a sect »iune se studiaz¸ a » si propriet¸ at »ile cantitative de aprox-
imare ale operatorilor posibilistici de convolut »ie obt »inut »i prin schema lui
Feller adaptat¸ a.
^In Capitolul 3 ^ ³ntitulat Ordin arbitrar prin operatori Sz¶ asz » si Baskakov ,
plec^ ³nd de la un » sir ¸n>0,n2N, converg^ ³nd la zero c^ ³t de rapid dorim
(adic¸ a arbitrar de rapid), se construiesc » siruri de operatori Baskakov, q-
Baskakov, Sz¶ asz-Stancu » si Baskakov-Stancu, care converg la funct »ia aproxi-
mat¸ a f: [0;1)!Rcu ordinul de convergent »a !1(f;p¸n) (^ ³n fapt, arbitrar
de bun, deoarece ¸npoate s¸ a ¯e ales ca s¸ a tind¸ a la zero, arbitrar de rapid).
Din acest motiv, rezultatele din acest capitol obt »inute pentru operatori
de tip Sz¶ asz si Baskakov, sunt de tip de¯nitiv (adic¸ a cele mai bune posibile).
^In acela» si timp, rezultatele obt »inute au » si un puternic caracter uni¯cator,

9
^ ³n sensul c¸ a se pot reobt »ine din ele toate rezultatele obt »inute anterior de
numero» si alt »i autori, prin diferite alegeri particulare ale nodurilor ¸n.
^In Capitolul 4, ^ ³ntitulat Operatori Sz¶ asz » si Baskakov complec» si , se aplic¸ a
ideile din Capitolul 3, la cazul aproxim¸ arii funct »iilor analitice de o variabil¸ a
complex¸ a, prin operatori complec» si Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich » si Baskakov.
^In prima sect »iune a capitolului, plec^ ³nd din nou de la un » sir ¸n>0,
n2N, converg^ ³nd la zero c^ ³t de rapid dorim (adic¸ a arbitrar de rapid), se
construiesc » siruri de operatori Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich » si Baskakov ata» sat »i
unei funct »ii analitice si de cre» stere exponential¸ a ^ ³ntr-un disc compact cu
centrul^ ³n origine, care aproximeaz¸ a functia fcu ordinul O(¸n) » si pentru care
se obt »in rezultate tip Voronovskaja, cantitative cu ordinul de aproximare
O(¸2
n).
^In a doua sect »iune a capitolului, se consider¸ a aceea» si problematic¸ a ca
» si ^ ³n sect »iunea ^ ³ntii, cu deosebirea c¸ a acum se consider¸ a operatori de tip
Baskakov-Faber, ata» sat »i prin intermediul polinoamelor Faber, unei funct »ii
analitice de cre» stere exponential¸ a ^ ³ntr-o mult »ime compact¸ a arbitrar¸ a (care
nu este neap¸ arat un disc).
S »i rezultatele din aceast¸ a sect »iune se pot considera de tip de¯nitiv, ^ ³n
sensul c¸ a sunt cele mai bune posibile. De asemenea, ca » si in cazul opera-
torilor de o variabil¸ a real¸ a, rezultatele obt »inute ^ ³n Sect »iunea 4.2 au » si un
caracter uni¯cator, ^ ³n sensul c¸ a se pot reobt »ine din ele toate rezultatele
obt »inute anterior de alt »i autori, prin diferite alegeri particulare ale » sirului
¸n.
Rezultatele prezentate ^ ³n aceast¸ a tez¸ a au fost obt »inute de c¸ atre
autor, ^ ³n colaborare cu domnul profesor universitar dr. Sorin Gal,
cu Nazim Mahmodov, cu Lucian Coroianu, cu Sorin Trifa sau ca » si
singur autor, ^ ³n 6 lucr¸ ari, publicate ^ ³n urm¸ atoarele reviste, dup¸ a

10 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
cum urmeaz¸ a :
1) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D. ,Approximation with an arbitrary
order by modi¯ed Baskakov type operators .Appl. Math. Comput. , 265
(2015), 329-332 (Factor de impact (FI ISI) pe 2015 : 1.345, Scor relativ de
in°uent »¸ a (SRI) pe 2016 : 0.733)
2) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D. ,Uniform and pointwise con-
vergence of Bernstein-Durrmeyer operators with respect to monotone and
submodular set functions .J. Math. Anal. Appl. 424 (2015), no. 2,
1374-1379 (FI pe 2015 : 1.014, SRI pe 2016 : 1.125)
3) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D. ,Approximation of analytic func-
tions with an arbitrary order by generalized Baskakov-Faber operators in
compact sets .Complex Anal. Oper. Theory 10 (2016), no. 2, 369-377
(FI ISI pe 2015 : 0.663, SRI pe 2016 : 0.724)
4) Coroianu, Lucian ; Gal, Sorin G. ; Opri» s, Bogdan D. ; Trifa, Sorin,
Feller's scheme in approximation by nonlinear possibilistic integral opera-
tors,Numer. Funct. Anal. and Optim. , 38 (2017), No. 3, 327-343 (FI
ISI pe 2015 : 0.649, SRI pe 2016 : 0.540).
5) Gal, Sorin G.; Mahmudov, Nazim I.; Opri» s, Bogdan D. ,Approx-
imation with an arbitrary order of Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich and Baskakov
complex operators in compact disks .Azerb. J. Math. 6 (2016), no. 2,
3-12 (revist¸ a recenzat¸ a ^ ³n Mathematical Reviews » si Zentralblatt fÄ ur Math-
ematik » si indexata in Web of Science).
6)Opri» s, Bogdan, D. ,Approximation with an arbitrary order by gen-
eralized Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu type operators ,Anal. Univ.
Oradea, fasc. math. , XXIV(2017), No. 1, 75-81 (revist¸ a B+, recenzat¸ a
^ ³n Mathematical Reviews » si Zentralblatt fÄ ur Mathematik).
Rezultatele originale obt »inute ^ ³n tez¸ a sunt urm¸ atoarele :

11
Capitolul 2.
Sect »iunea 2.1 : Lema 2.1.2, Teorema 2.1.3, Teorema 2.1.4 ; Rezultatele
au fost publicate ^ ³n lucrarea [46];
Sect »iunea 2.2 : Teorema 2.2.2, Lema 2.2.3, Teorema 2.2.4, Teorema 2.2.5,
Corolarul 2.2.6, Teorema 2.2.7, Corolarul 2.2.8, Teorema 2.2.9, Corolarul
2.2.9 ; Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [23] ;
Capitolul 3.
Sect »iunea 3.1 : Lema 3.1.1, Corolarul 3.1.2, Teorema 3.1.3, Corolarul
3.1.4, Lema 3.1.5, Teorema 3.1.6, Corolarul 3.1.7, Corolarul 3.1.8 ; Rezul-
tatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [45];
Sect »iunea 3.2 : Lema 3.2.1, Teorema 3.2.2, Corolarul 3.2.3 ; Rezultatele
au fost publicate ^ ³n lucrarea [62];
Sect »iunea 3.3 : Lema 3.3.1, Teorema 3.3.2, Corolarul 3.3.3 ; Rezultatele
au fost publicate ^ ³n lucrarea [62];
Capitolul 4.
Sect »iunea 4.1 : Teorema 4.1.1, Teorema 4.1.2, Teorema 4.1.3 ; Rezul-
tatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [48];
Sect »iunea 4.2 : De¯nit »ia 4.2.1, Lema 4.2.2, Lema 4.2.3, Teorema 4.2.4.
Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [47].
Doresc s¸ a mult »umesc conduc¸ atorului » stiint »i¯c, domnului profesor uni-
versitar dr. Sorin Gal, pentru deosebita ^ ³ndrumare a mea pe parcursul
elabor¸ arii tezei.

12 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A

Cap. 2
Aproximare cu operatori
integrali neliniari
^In acest capitol, ne ocup¸ am de studiul propriet¸ at »ilor de aproximare ale
unor operatori de tip integrali, ^ ³n care integrala liniara clasica este ^ ³nlocuita
cu integrala neliniara Choquet » si/sau cu integrala neliniara posibilistic¸ a.
Capitolul are dou¸ a sect »iuni : ^ ³n prima sect »iune ne ocup¸ am de operatorii
Durrmeyer-Choquet, iar ^ ³n sect »iunea a doua ne ocup¸ am de operatorii posi-
bilistici.
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Ch-
oquet
^In aceast¸ a sect »iune ne ocup¸ am de operatorul Bernstein-Durrmeyer de d
variabile reale, Mn;¹, ^ ³n care integralele scrise in raport cu o masur¸ a ¹de
tip Borel de¯nit¸ a pe simplexul d-dimensional (adic¸ a num¸ arabil aditiv¸ a, deci
incluz^ ³nd » si m¸ asura Lebesgue), se ^ ³nlocuiesc cu integrale Choquet ^ ³n raport
13

14CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
cu¹, presupus¸ a doar monoton¸ a » si submodular¸ a. Se obt »ine astfel un operator
neliniar, care este mai general dec^ ³t operatorul liniar Bernstein-Durrmeyer.
Pentru acest operator neliniar, pe care putem s¸ a-l denumim operator de
tip Durrmeyer-Choquet, demonstr¸ am convergent »a punctual¸ a » si uniform¸ a
c¸ atre f(x).
^In consecint »¸ a, rezultatele obt »inute le generalizeaz¸ a pe cele recente din
lucr¸ arile [13], [14].
2.1.1 Introducere
Fie simplexul standard din Rd
Sd=f(x1; :::; x d); 0·x1; :::; x d·1;0·x1+:::+xd·1g:
Inspirate de lucrarea [15], ^ ³n lucr¸ arile recente [13], [14] » si [55], s-a demon-
strat convergent »a (pentru n! 1 ) punctual¸ a, uniform¸ a » si ^ ³n spat »iul Lpa
luiMn;¹(f)(x) c¸ atre f(x), unde Mn;¹(f)(x) desemneaz¸ a operatorul liniar de
tip mixt Bernstein-Durrmeyer de mai multe variabile, ^ ³n raport cu o masur¸ a
Borel ¹:Sd!R+, m¸ arginit¸ a), de¯nit prin formula (presupun^ ³nd c¸ a feste
¹-integrabila pe Sd)
Mn;¹(f)(x)
=X
j®j=nR
Sdf(t)B®(t)d¹(t)R
SdB®(t)d¹(t)¢B®(x) :=X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N:
(2.1)
^In formula (2.1) de mai sus, am folosit notat »iile ®= (®0; ®1; :::; ® n), cu
®j¸0 pentru tot »i indicii j= 0; :::; n ,j®j=®0+®1+:::+®n=n» si
B®(x) =n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!(1¡x1¡x2¡:::¡xd)®0¢x®1
1¢:::¢x®d
d
:=n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!¢P®(x):

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 15
Vom ar¸ ata c¸ a rezultatele de tip calitativ din [13] » si [14] (privind convergent »a
punctual¸ a » si uniform¸ a), ram^ ³n valabile ^ ³n cadrul mult mai general c^ ³nd ¹
este o funct »ie de mult »ime doar m¸ arginit¸ a, monoton¸ a » si submodular¸ a pe
Sdiar integralele care apar ^ ³n ^ ³n formula (2.1), reprezint¸ a integrale de tip
Choquet ^ ³n raport cu ¹.
2.1.2 Preliminarii
^In aceast¸ a subsect »iune, prin De¯nit »ia 2.1.1 » si prin Observat »iile de dup¸ a
aceast¸ a de¯nit »ie, vom prezenta concepte » si rezultate cunoscute, dar care
vor ¯ utile ^ ³n subsect »iunile urm¸ atoare.
De¯nit »ia 2.1.1. Consider¸ am o mult »ime nevid¸ a, Co¾-algebra de
submult »imi ale lui iar ( ;C) un spat »iu m¸ asurabil.
(i) (vezi, de exemplu, [66], p. 63) Funct »ia de mult »imi ¹:C ! [0;+1] se
va numi monoton¸ a (sau capacitate), dac¸ a ¹(;) = 0 iar A; B2 C, cuA½B,
implic¸ a ¹(A)·¹(B). Dac¸ a
¹(A[
B) +¹(A\
B)·¹(A) +¹(B);pentru tot »i A; B2 C;
atunci ¹este numit¸ a submodular¸ a. In ¯ne, ¹se va numi normalizat¸ a, dac¸ a
¹() = 1.
(ii) (vezi [18], sau [66], p. 233) Fie ¹:C ! [0;+1], normalizat¸ a » si
monoton¸ a. Funct »ia f: !Rse nume» ste C-m¸ asurabil¸ a, dac¸ a pentru
oricare submult »ime Borel B½R, are loc f¡1(B)2 C.
Dac¸ a f: !ResteC-m¸ asurabil¸ a, atunci pentru ¯ecare A2 C, inte-
grala Choquet va ¯ de¯nit¸ a prin formula
(C)Z
Afd¹=Z+1
0¹(F¯(f)\
A)d¯+Z0
¡1[¹(F¯(f)\
A)¡¹(A)]d¯;
unde F¯(f) =f!2;f(!)¸¯g. Dac¸ a ( C)R
Afd¹exist¸ a ^ ³nR, atunci fse
nume» ste integrabil¸ a Choquet pe A. Observ¸ am c¸ a dac¸ a f¸0 on A, atunci

16CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
termenul din formula de mai sus care cont »ine integralaR0
¡1, devine egal cu
zero.
In cazul^ ³n care ¹este m¸ asura Lebesgue (adic¸ a num¸ arabil aditiv¸ a), atunci
integrala Choquet ( C)R
Afd¹se reduce la integrala Lebesgue.
^In r^ ³ndurile observat »iilor urm¸ atoare, prezent¸ am (f¸ ar¸ a demonstrat »ii) ni» ste
propriet¸ at »i cunoscute, de care vom avea nevoie pe mai departe.
Observat »ii. Fie¹:C ! [0;+1] o funct »ie monoton¸ a de mult »imi. Au
loc propriet¸ at »ile :
(i) (C)R
Aeste pozitiv omogen¸ a, adic¸ a pentru orice a¸0 avem
(C)Z
Aafd¹ =a¢(C)Z
Afd¹;
(pentru f¸0 vezi, de exemplu, [66], Teorema 11.2, (5), p. 228 iar pentru
fde semn arbitrar, vezi, de exemplu, [25], p. 64, Propozit »ia 5.1, (ii)).
(ii)^In cazul general pentru f» sig, avem ( C)R
A(f+g)d¹6= (C)R
Afd¹+
(C)R
Agd¹. Dac¸ a ¹este » si submodular¸ a, atunci integrala Choquet este
subliniar¸ a, adic¸ a
(C)Z
A(f+g)d¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Agd¹;
pentru toate funct »iile f; gde semn arbitrar » si m¸ arginite inferior (vezi, de
exemplu, [25], p. 75, Teorema 6.3).
Apoi, pentru orice c2R» sifde semn arbitrar, are loc
(C)Z
A(f+c)d¹= (C)Z
Afd¹+c¢¹(A);
(vezi, de exemplu, [66], pp. 232-233, sau [25], p. 65).
(iii) Dac¸ a f·gpeAatunci ( C)R
Afd¹·(C)R
Agd¹(vezi, de exemplu,
[66], p. 228, Teorema 11.2, (3) pentru f; g¸0 » si p. 232 pentru f; gde semn
arbitrar).

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 17
(iv) Fie f¸0. Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult¸ a imediat ca dac¸ a
A½Batunci
(C)Z
Afd¹·(C)Z
Bfd¹
iar dac¸ a, ^ ³n plus, ¹este ¯nit subaditiv¸ a, atunci
(C)Z
ASBfd¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Bfd¹:
(v) Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult· a imediat c¸ a
(C)Z
A1¢d¹(t) =¹(A):
(vi) Exemple simple de funct »ii de mult »imi ¹, monotone » si submodulare,
pot ¯ obt »inute dintr-o masur¸ a probabilist¸ a Mde¯nit¸ a pe o ¾-algebr¸ a a
lui (adic¸ a M(;) = 0, M() = 1 » si Meste num¸ arabil aditiv¸ a), prin
formula ¹(A) =°(M(A)), unde °: [0;1]![0;1] este o funct »ie cresc¸ atoare
» si concav¸ a, iar °(0) = 0, °(1) = 1 (vezi, de exemplu, [25], pp. 16-17,
Exemplu 2.1). Observ¸ am c¸ a dac¸ a de fapt Meste doar ¯nit aditiv¸ a, atunci
¹(A) =°(M(A)) ram^ ³ne ^ ³nca submodular¸ a.
Reamintim aici ca o funct »ie de mult »imi ¹:P()![0;1] (unde P()
noteaz¸ a famila tuturor submult »imilor lui ) se nume» ste m¸ asur¸ a de posibil-
itate pe mult »imea nevid¸ a , dac¸ a ea satisface axiomele ¹(;) = 0, ¹() = 1
» si¹(S
i2IAi) = sup f¹(Ai);i2Igpentru toate Ai2, » si orice familie Ide
indici.
Legat de acest concept, se observ¸ a c¸ a orice masur¸ a de posibilitate ¹
este monoton¸ a » si submodular¸ a. ^Intra-adev¸ ar, ^ ³n timp ce monotonia este
imediat¸ a din axioma ¹(ASB) = max f¹(A); ¹(B)g, submodularitatea este
imediat¸ a din proprietatea ¹(ATB)·minf¹(A); ¹(B)g.
Se mai » stie c¸ a orice distribut »ie de posibilitate (pe ), adic¸ a o funct »ie
¸: ![0;1] cu proprietatea sup f¸(s);s2g= 1, induce m¸ asura de

18CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
posibilitate ¹¸:P()![0;1], de¯nit¸ a de formula ¹¸(A) = sup f¸(s);s2
Ag, pentru orice A½,A6=;,¹¸(;) = 0.
Pentru de¯nit »ia si propriet¸ at »ile de mai sus legate de m¸ asurile de posibil-
itate, se poate consulta, de exemplu, [29], Capitolul 1.
2.1.3 Rezultate principale
Not¸ am cu BSd, sigma algebra a tuturor submult »imilor m¸ asurabile Borel din
P(Sd). Fie ¹:BSd![0;+1) o funct »ie de mult »imi, normalizat¸ a, monoton¸ a
» si submodular¸ a.
¹se va numi strict pozitiv¸ a dac¸ a ¹(A\Sd)>0, pentru orice mult »ime
deschis¸ a A½Rncu proprietatea A\Sd6=;.
De asemenea, tot prin de¯nit »ie, suportul lui ¹, notat cu supp(¹), este
mult »imea tuturor x2Sdcu proprietatea c¸ a pentru ¯ecare vecin¸ atate de-
schis¸ a Nx2 B Sda lui x, avem ¹(Nx)>0.
Desemn¸ am prin C+(Sd), spat »iul tuturor funct »iilor pozitive » si continue
peSdiar cu L1
¹(Sd), spat »iul funct »iilor reale, BSd-m¸ asurabile f, astfel c¸ a
exist¸ a o mult »ime E½Sd(depinz^ ³nd de f) cu¹(E) = 0 iar feste m¸ arginit¸ a
peSdnE.
Not¸ am
Mn;¹(f)(x) =X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N:
Aplic^ ³nd Observat »ia 2.2, (i), rezult· a u» sor
c(®; ¹) =(C)R
Sdf(t)B®(t)d¹(t)
(C)R
SdB®(t)d¹(t)=(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t):
Este bine de ment »ionat aici ca prin normalizarea funct »iei de mult »imi
¹, nu se pierde generalitatea rezultatelor obt »inute » si c¸ a, condit »ia supp(¹)n
@Sd6=;, garanteaz¸ a c¸ a ( C)R
SdB®(t)d¹(t)>0, pentru tot »i B®.

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 19
^In demonstrarea rezultatelor principale, vom avem nevoie de urm¸ atoarea
lemm¸ a important¸ a.
Lema 2.1.2. (Gal-Opri» s [46]) Fie¹o funct »ie de mult »imi, normalizat¸ a,
monoton¸ a » si submodular¸ a. Dac¸ a de¯nim Tn:C+(Sd)!R+prin
Tn(f) = (C)Z
Sdf(t)P®(t)d¹(t); f2C+(Sd); n2N;j®j=n;
atunci pentru toate funct »iile f; g2C+(Sd), avem
jTn(f)¡Tn(g)j ·Tn(jf¡gj) = (C)Z
Sdjf(t)¡g(t)j ¢P®(t)d¹(t):
Demonstrat »ie. Deoarece P®(t)¸0 pentru orice t2Sd, funct »ionala
Tnare urm¸ atoarele propriet¸ at »i : este pozitiv omogen¸ a (din Observat »ia an-
terioar¸ a (i)), monoton cresc¸ atoare (din Observat »ia (iii)) » si subliniar¸ a (din
Observat »ia (ii)).
Fief; g2C+(Sd). Avem f=f¡g+g· jf¡gj+g, din care, ^ ³n
mod succesiv obt »inem Tn(f)·Tn(jf¡gj) +Tn(g), that is Tn(f)¡Tn(g)·
Tn(jf¡gj).
Scriind acum g=g¡f+f· jf¡gj+f» si aplic^ ³nd rat »ionamentele de
mai sus, rezult· a Tn(g)¡Tn(f)·Tn(jf¡gj), care combinata cu inegalitatea
de mai sus, ne da jTn(f)¡Tn(g)j ·Tn(jf¡gj). ¤
Primul rezultat principal este analog Teoremei 1 din [13] » si se refer¸ a la
aproximare uniform¸ a.
Teorema 2.1.3. (Gal-Opri» s [46]) Fie¹o funct »ie de mult »imi, normal-
izata, monoton¸ a, submodular¸ a » si strict pozitiva pe BSd, astfel ^ ³nc^ ³t supp(¹)n
@Sd6=;. Pentru ¯ecare f2C+(Sd)avem
lim
n!1kMn;¹(f)¡fkC(Sd)= 0;
undekFkC(Sd)= max fjF(x)j;x2Sdg.

20CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Demonstrat »ie. Urmam rat »ionamentele din demonstrat »ia Teoremei 1
din [13], pastr^ ³nd » si notat »iile de acolo.
^In acest sens, ¯e ¦ dmult »imea tuturor permutarilor mult »imii fd; d¡
1; :::;1;0g» si notam a=®
n=¡®0
n; :::;®d
n¢
2Sd, ^ ³n coordonate baricentrice.
Pentru ¼2¦d, s¸ a consider¸ am (^ ³n coordonate baricentrice)
S¼=fa= (a0; a1; :::; a d)2Sd;a¼(d)·a¼(d¡1)·:::·a¼(1)·a¼(0)g:
De asemenea, pentru ´ > 0,a2Sd» si¼2¦d, s¸ a de¯nim cubul deschis
d-dimensional
U¼(a;´)
=fx2Rd;a¼(d)¡´ < x ¼(d)< a ¼(d)+´; :::; a ¼(1)¡´ < x ¼(1)< a ¼(1)+´g
» si simplexul ^ ³nchis, d-dimensional
V¼(a;´) =fx2Rd;a¼(d)·x¼(d)·a¼(d)+´; :::; a ¼(1)·x¼(1)·a¼(1)+´;
a¼(d)+:::+a¼(1)·x¼(d)+:::+x¼(1)·a¼(d)+:::+a¼(1)+´g:
Observ¸ am c¸ a dac¸ a a2Sd» si 0< ´·1
d+1, atunci V¼(a;´)µSd(vezi [13],
p. 327).
Pentru " >0, din continuitatea uniform¸ a a lui fpeSd, exist¸ a ± >0,
astfel ^ ³nc^ ³t pentru tot »i x; y2Sdcukx¡yk1<±, rezult· a jf(x)¡f(y)j< ",
undekx¡yk1:= max fjxi¡yij;i= 1; :::; dg.
S¸ a lu¸ am ±= min f±=d;1=(d+ 1);1=6g,M=kfkC(Sd),j®j=n,¼2¦d,
a=®
n2Sd.
Urmimd ideile demonstrat »iei din [13], p. 328, putem scrie
jc(®; ¹)¡f(a)j
=¯¯¯¯(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)¡(C)R
Sdf(a)¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)¯¯¯¯(2.2)

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 21
=j(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)¡(C)R
Sdf(a)¢P®(t)d¹(t)j
(C)R
SdP®(t)d¹(t)
·(C)R
Sdjf(t)¡f(a)j ¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)(2.3)
·(C)R
SdTU¼(a;±)jf(t)¡f(a)j ¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)
+(C)R
SdnU¼(a;±)jf(t)¡f(a)jP®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)(2.4)
·"+ 2M¢(C)R
SdnU¼(a;±)P®(t)d¹(t)
(C)R
Sd\U¼(a;±)P®(t)d¹(t)(2.5)
·"+ 2M¢(C)R
SdnU¼(a;±)P®(t)d¹(t)
(C)R
V¼(a;±2)P®(t)d¹(t)(2.6)
·"+ 2M¢maxfP®(x);x2SdnU¼(a;±)g ¢¹(Sd)
minfP®(x);x2V¼(a;±2)g ¢¹(V¼(a;±2))(2.7)
·"+ 2M¢maxfP®(x);x2SdnU¼(a;±)g
minfP®(x);x2V¼(a;±2)g ¢infa2S¼¹(V¼(a;±2)):
Observ¸ am c¸ a mai sus, (2.2) este obt »inut¸ a din Observat »ia anterioar¸ a, (i),
(2.3) este obt »inut¸ a din Lema 2.1.2, (2.4) este obt »inut¸ a din inegalitatea a
doua a Observat »iei (iv) (deoarece ¹este » si subaditiv¸ a), (2.5), (2.6) sunt
obt »inute din Observat »iile (iii), (i) » si din prima inegalitate din Observat »ia
(iv), ^ ³n timp ce (2.7) este obt »inut¸ a din Observat »iile (iii), (i) » si (v).
Deoarece ^ ³n demonstrat »ia Lemei 2 din [13], doar monotonia » si strict
pozitivitatea m¸ asurii este folosit¸ a, ^ ³n mod analog rezult· a c¸ a
inf
a2S¼¹(V¼(a;±2))>0:
Pe deasupra, deoarece ^ ³n restul demonstrat »iei Teoremei 1 din [13], m¸ asura
nu mai este implicat¸ a (vazi Lemele 3, 4 » si 5 din [13]), obt »inem imediat » si
demonstrat »ia Teoremei 2.1.3. ¤

22CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Al doilea rezultat principal este un analog al Teoremei 1 din [14] » si se
refera la convergent »a punctual¸ a. ^In acest sens, analiz^ ³nd rat »ionamentele
din demonstrat »ia Teoremei 1 din [14] » si folosind acelea» si propriet¸ at »i ale
integralei Choquet ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.1.3 de mai sus, rezult· a
u» sor urm¸ atoarea.
Teorema 2.1.4. (Gal-Opri» s [46]) Fie¹o funct »ie de mult »imi, nor-
malizata, monoton¸ a, submodular¸ a pe BSd, cu supp(¹)n@Sd6=;. Dac¸ a
f2L1
¹(Sd)» sif(x)¸0, pentru tot »i x2Sd, atunci ^ ³n ¯ecare punct
x2supp(¹)unde fese continu¸ a, avem
lim
n!1jMn;¹(f)(x)¡f(x)j= 0:
Observat »ii. 1) Potrivit cu Observat »ia anterioara, (vi), un exemplu
de funct »ie de mult »imi ¹, submodular¸ a » si satisfac^ ³nd toate cerint »ele din
enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4, poate ¯ simplu de¯nita prin ¹(A) =
p
ș(A), unde șeste o m¸ asur¸ a Borel de probabilitate ca » si ^ ³n [13] » si [14].
De asemenea, este bine de notat ca datorita nonlinearitat »ii integralei Cho-
quet (vezi Observat »ia (ii)), spre deosebire de cazul din [13], [14], operatorul
Bernstein-Durrmeyer-Choquet este nelinear.
2) Pozitivitatea funct »iei fdin Teoremele 2.1.3 » si 2.1.4 este necesar¸ a din
cauza pozitiv omogeneitat »ii integralei Choquet, aplicata ^ ³n demonstrarea
relat »iei (2.2). Totusi, dac¸ a feste de semn arbitrar pe Sd, atunci rezult· a
imediat ca enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4 au loc pentru operatorii
Bernstein-Durrmeyer-Choquet u» sor modi¯cat »i, de¯nit »i prin
M¤
n;¹(f)(x) =Mn;¹(f¡m)(x) +m;
unde m2Reste o margine inferioar¸ a pentru f, adic¸ a f(x)¸m, pentru
tot »ix2Sd.

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 23
2.2 Aproximare cu operatori integrali posi-
bilistici
Prin analogie cu schema general¸ a a lui Feller folosit¸ a ^ ³n construct »ia » sirurilor
de operatori liniari » si pozitivi, convergent »i la funct »ia aproximata, ^ ³n aceast¸ a
sect »iune vom introduce » si studia schema lui Feller bazata pe ^ ³nlocuirea inte-
gralei clasice, cu integrala posibilistic¸ a. ^In acest mod, se vor construi » siruri
de operatori neliniari, care converg la funct »ia aproximata. ^In particular, ^ ³n
cazul discret, se reobt »in a» sa numit »ii operatori de tip max-produs Bernstein
» si rezultatele lor calitative de convergent »a. De asemenea, operatori posi-
bilistici neliniari de tip Picard, Gauss-Weierstrass » si Poisson-Cauchy sunt
studiat »i iar cei de tipul de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jackson sunt mentionat »i
pentru direct »ii viitoare de cercetare.
2.2.1 Introducere
^In lucrarea foarte recent¸ a Gal [34], a» sa numit »ii operatori max-produs de tip
Bernstein, tip Favard-Sz¶ asz-Mirakjan, tip Baskakov, tip Bleimann-Butzer-
Hahn » si tip Meyer-KÄ onig-Zeller (ale c¸ aror propriet¸ ati cantitative de aproxi-
mare au fost studiate intensiv ^ ³n multe lucr¸ ari, ca de exemplu, ^ ³n [10], [11],
[19]-[22], vezi » si bibliogra¯a din [34]), au fost ^ ³n mod natural interpretat »i
ca » si valori de expectant »a posibilistic¸ a ale unor variabile fuzzy particulare
discrete, av^ ³nd variate distribut »ii de posibilitate. Folosind idea lui Bernstein
din [16], (vezi de asemenea mult mai accesibila lucrare [54]), dar bazat »i pe
o inegalitate de tip Chebyshev din teoria posibilit¸ at »ii, aceste interpret¸ ari au
permis obt »inerea unor rezultate calitative de convergent »¸ a.
Este bine de ment »ionat aici c¸ ateoria posibilit¸ atii este o teoria matematic¸ a
bine dezvoltat¸ a, ocup^ ³ndu-se cu anumite tipuri de fenomene de incertitu-

24CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
dine, ¯ind considerat¸ a ca » si o alternativ¸ a la teoria probabilit¸ at »ilor (vezi, de
exemplu, [29], [24]).
Scopul principal al acestei sect »iuni este de a prezenta binecunoscuta
schem¸ a probabilistic¸ a a lui Feller , ^ ³n cadrul teoriei posibilitat »ii. ^In par-
ticular, aceast¸ a schem¸ a va permite nu doar o alta abordare a operatorilor
max-produs, dar » si introducerea a multor altor operatori posibilistici de
aproximare.
Mai ^ ³nt^ ³i, s¸ a reamintim c¸ a o schem¸ a clasic¸ a ^ ³n construirea de » siruri de
operatori liniari » si pozitivi, este schema probabilistic¸ a a lui Feller (vezi [31],
Capitolul 7, sau mai detailat, [4], sect »iunea 5.2, pp. 283-319).
Descris¸ a pe scurt, ea const¸ a^ ³n ata» sarea la o funct »ie continu¸ a » si m¸ arginit¸ a
f:R!R, a unor operatori de aproximare de forma
Ln(f)(x) =Z
f±Z(n; x)dP=Z
RfdP Z(n;x);
unde Peste o m¸ asur¸ a de probabilitate pe spat »iul m¸ asurabil ( ;C),Z:
N£I! M 2(), cu Iun subinterval a lui R,M2() reprezint¸ a spat »iul
tuturor variabilelor aleatoare de patrat integrabile pe ^ ³n raport cu Piar
PZ(n;x)denota distibutia variabilei aleatoare Z(n; x) ^ ³n raport cu Pde¯nita
prin PZ(n;x)(B) =P(Z¡1(n; x)(B)), pentru toate submult »imile lui R,B-
Borel m¸ asurabile. Apoi, not^ ³nd cu E(Z(n; x)) » si V ar(Z(n; x)) expectant »a
» si variant »a variabilei aleatoare Z(n; x), ^ ³n mod respectiv, » si presupun^ ³nd c¸ a
limn!1E(Z(n; x)) = x, lim n!1V ar(Z(n; x)) = 0, ^ ³n mod uniform pe I,
este demonstrat c¸ a pentru toate fca mai sus, Ln(f) converge la funiform
pe ¯ecare subinterval compact al lui I.
^In plus, dac¸ a pentru variabila aleatoare Z(n; x), densitatea ei de proba-
bilitate ¸n;xeste cunoscuta, atunci pentru orice fputem scrie
Z
RfdP Z(n;x)=Z
Rf(t)¢¸n;x(t)dP(t);

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 25
formula care este folositoare ^ ³n construirea de operatori concreti Ln(f)(x).
^In lucrarea foarte recenta Gal [35], schema lui Feller a fost generalizata
la cazul c^ ³nd integrala liniara clasica, este ^ ³nlocuita cu integrala neliniara
Choquet ^ ³n raport cu o funct »ie de mult »imi, monoton¸ a » si subaditiv¸ a.
Prin analogie cu considerat »iile de mai sus, ^ ³n subsect »iunea urm¸ atoare
vom considera o schem¸ a Feller bazata pe integrala posibilistic¸ a, pentru con-
struirea de » siruri convergente de operatori neliniari.
^In particular, ^ ³n cazul discret, se reobt »in a» sa numit »ii operatori de tip
max-produs Bernstein » si rezultatele lor calitative de convergent »a. De aseme-
nea, operatori posibilistici neliniari de tip Picard, Gauss-Weierstrass » si Pois-
son-Cauchy sunt studiat »i, iar cei de tipul de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jack-
son sunt mentionati pentru directii viitoare de cercetare.
2.2.2 Schema lui Feller^ ³n termenii integralei posibilis-
tice
Mai ^ ³ntii sumariz¸ am concepte binecunoscute pentru variabile fuzzy dis-
crete » si ne-discrete din teoria posibilitatii, care ne vor ¯ utile ^ ³n celelalte
subsect »iuni ale acestei sect »iuni.
Dup¸ a cum se vede u» sor, aceste concepte sunt corespondente celor din
teoria probabilitat »ilor, precum variabila aleatoare, distribut »ie de probabili-
tate, valoare medie (expectant »a), probabilitate, etc. Pentru detalii, se pot
consulta, de exemplu, [29] » si [24].
De¯nit »ia 2.2.1. Fie o mult »ime nevid¸ a, discret¸ a (adic¸ a cel mult
num¸ arabila) sau o mult »ime ne-discret¸ a.
(i) O variabil¸ a fuzzy Xeste o aplicat »ie X: !R. Dac¸ a este o
mult »ime discret¸ a, atunci Xeste numit¸ a variabil¸ a fuzzy discret¸ a. Dac¸ a

26CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
este ¯nita atunci Xeste numit¸ a o variabil¸ a fuzzy ¯nita. Dac¸ a este ne
discret¸ a, atunci Xeste numit¸ a variabil¸ a fuzzy ne-discret¸ a.
(ii) O distribut »ie posibilistic¸ a (pe ), este o funct »ie ¸: ![0;1], astfel
^ ³nc^ ³t sup f¸(s);s2g= 1.
(iii) Expectant »a posibilistic¸ a a unei variabile fuzzy X(pe ), cu distribut »ia
posibilistic¸ a ¸este de¯nita prin Msup(X) = sups2X(s)¸(s). Variant »a posi-
bilistic¸ a a lui Xeste de¯nita prin
Vsup(X) = sup f(X(s)¡Msup(X))2¸(s);s2g:
(iv) Dac¸ a este o mult »ime nevid¸ a, atunci o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a este
o aplicat »ie P:P()![0;1], satisfac^ ³nd axiomele P(;) = 0, P() = 1 » si
P(S
i2IAi) = sup fP(Ai);i2Igpentru toate Ai2, » si orice I, o familie
de indici cel mult num¸ arabila (dac¸ a este ¯nita, atunci ^ ³n mod evident » si I
trebuie s¸ a ¯e ¯nita). Observ¸ am c¸ a dac¸ a A; B½, satisface A½B, atunci
din ultima proprietate rezult¸ a u» sor c¸ a P(A)·P(B) » si c¸ a P(ASB)·
P(A) +P(B).
Este binecunoscut faptul (vezi, de exemplu, [29]) c¸ a orice distribut »ie
posibilistic¸ a ¸pe , induce o m¸ asur¸ a de posibilitate P¸:P()![0;1],
dat¸ a de formula P¸(A) = sup f¸(s);s2Ag, pentru toate A½.
Pentru ¯ecare variabil¸ a fuzzy (posibilistic¸ a) X: !R, putem de¯ni
m¸ asura ei de distribut »ie ^ ³n raport cu m¸ asura de posibilitate Pindus¸ a de
distribut »ia posibilistic¸ a ¸, prin formula
PX:B !R+; PX(B) =P(X¡1(B)) =P(f!2;X(!)2Bg); B2 B;
undeR+= [0;+1) iarBeste clasa tuturor submult »imilor lui Rcare sunt
Borel m¸ asurabile. Este clar c¸ a PXeste o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a pe B, indus¸ a
de c¸ atre distribut »ia posibilistic¸ a de¯nit¸ a de
¸¤
X:R![0;1]; ¸¤
X(t) = sup f¸(!);!2X¡1(t)g;ifX¡1(t)6=;;

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 27
¸¤
X(t) = 0 ;ifX¡1(t) =;:
(v) (vezi, de exemplu, [24]) Integrala posibilistic¸ a a lui f: !R+
peA½, ^ ³n raport cu m¸ asura posibilistic¸ a P¸indus¸ a de c¸ atre distribut »ia
posibilistic¸ a ¸, este de¯nita prin
(Pos)Z
Af(t)dP¸(t) = sup ff(t)¢¸(t);t2Ag:
Este clar c¸ a aceast¸ a De¯nit »ie este un caz particular al integralei posibilistice
^ ³n raport cu o semi-norma t, introdus¸ a ^ ³n [24], lu^ ³nd acolo t(x; y) =x¢y.
De asemenea, not^ ³nd ¤ 1: ![0;1], ¤ 1(x) = 1, pentru tot »i x2, este
imediat c¸ a putem scrie
(Pos)Z
Af(t)dP¤1(t) = sup ff(t);t2Ag;
(Pos)Z
Af(t)dP¸(t) = (Pos)Z
Af(t)¢¸(t)dP¤1
» sidP¸(t) =¸(t)¢dP¤1(t).
Este de asemenea bine de mentionat c¸ a de¯nit »ia conceptului de mai sus
de integrala posibilistic¸ a, are un sens doar pentru funct »ii cu valori poz-
itive, deoarece, de exemplu, dac¸ a notam R¡= (¡1;0], atunci pentru
price f: !R¡cuf(!0) = 0 pentru un anumit !02A½, primim
(Pos)R
Af(t)dP¸(t) = 0.
^In cele ce urmeaz¸ a, de asemenea avem nevoie^ ³n cadrul teoriei posibilitat »ii
de o analoaga a inegalitat »ii lui Chebyshev din teoria probabilitat »ilor.
Teorema 2.2.2. (vezi [34]) Fieo mult »ime nevid¸ a, ¸: ![0;1]» si
consider¸ am X: !Rcu distribut »ia de posibilitate ¸. Atunci, pentru orice
r >0avem
P¸(fs2;jX(s)¡Msup(X)j ¸rg)·Vsup(X)
r2;
unde P¸este m¸ asur¸ a de posibilitate indus¸ a de ¸.

28CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Acest rezultat a fost demonstrat ^ ³n Teorema 2.2 din [34] pentru
mult »ime discret¸ a, dar analiz^ ³nd demonstrat »ia ei, este evident c¸ a ea ram^ ³ne
adevarata » si ^ ³n cazul ne-discret.
^In cazul particular c^ ³nd X: !R+, ^ ³n termenii integralei posibilistice,
inegalitatea lui Chebyshev poate ¯ scris¸ a ca si
P¸(fs2;jX(s)¡(Pos)Z
X(t)dP¸(t)j ¸rg)
·(Pos)R
(X¡(Pos)R
X(t)dP¸(t))2dP¸
r2:
^In cele ce urmeaz¸ a, prin analogie cu schema lui Feller din teoria probabi-
litat »ilor, care produce operatori liniari » si pozitivi cu propriet¸ at »i frumoase de
aproximare, vom considera o schem¸ a de aproximare analoaga, dar care va
produce operatori de aproximare neliniari, construiti cu ajutorul integralei
posibilistice.
^In acest scop, s¸ a notam cu V arb() clasa tuturor X: !Rm¸ arginite
» si cu V arb
+() clasa tuturor X: !R+, m¸ arginite. De asemenea, pentru
I½Run interval (m¸ arginit sau nem¸ arginit), s¸ a consider¸ am aplicat »ia Z
de¯nita peN£I!Yunde Y=V arb() sau Y=V arb
+(), depinz^ ³nd de
context.
observ¸ am c¸ a dac¸ a pentru orice ( n; x)2N£Iavem Z(n; x)2V arb
+(),
atunci pentru conceptele de expectant »a posibilistic¸ a » si variant »a posibilistic¸ a
a lui Z(n; x) (de¯nite prin De¯nit »ia 2.2.1, (iii), de mai sus) putem scrie
formulele integrale
Msup(Z(n; x)) = ( Pos)Z
Z(n; x)(t)dP¸(t) :=®n;x; (2.8)
Vsup(Z(n; x)) = ( Pos)Z
(Z(n; x)(t)¡®n;x)2dP¸(t) :=¾2
n;x: (2.9)

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 29
Acum, potrivit schemei lui Feller, la f:R!R+s¸ a ata» sam un » sir de
operatori prin formula
Ln(f)(x) := ( Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t); n2N; x2I; (2.10)
unde PZ(n;x)este de¯nita ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv), adic¸ a ^ ³n raport cu
m¸ asura de posibilitate P¸indus¸ a de distribut »ia posibilistic¸ a ¸.
Mai ^ ³nt^ ³i, pentru operatorii dat »i de (2.10), are loc urm¸ atoarea formul¸ a
de reprezentare.
Lema 2.2.3. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Cu notat »iile anterioare,
dac¸ a Z:N£I!V arb()si, ^ ³n plus, f:R!R+este m¸ arginit¸ a pe R,
atunci are loc formula
Ln(f)(x) = (Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸; x2I
(2.11)
» si ambele integrale sunt ¯nite.
Dac¸ a f:I!R+este m¸ arginit¸ a pe I, unde I½Reste un subinterval
» siP¸(f!2;Z(n; x)(!)62Ig) = 0 , atunci avem
Ln(f)(x) = (Pos)Z
If(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸:
Demonstrat »ie. Din de¯nit »ia integralei posibilistice (vezi De¯nit »ia 2.2.1,
(v)), putem scrie
R:= (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸= supff[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2g
si
L:= (Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = sup ff(t)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg
= supff(t)¢supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g;t2Rg;

30CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
unde ¸¤
Z(n;x)induce m¸ asura posibilistic¸ a PZ(n;x)» si este de¯nit¸ a cu ajutorul
lui¸, ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv).
Fie!2 ¯xata, arbitrara » si notam Z(n; x)(!) =t. Primim
f[Z(n; x)(!)]¢¸(!) =f(t)¢¸(!)·f(t)¢supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g
·supff(t)¢supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g;t2Rg=L:
Trec^ ³nd la supremum dup¸ a !2, primim R·L.
Invers, ¯e " >0 » sit2Rarbitrare, ¯xate. exist¸ a !"2Z¡1(n; x)(t),
astfel ^ ³nc^ ³t
supf¸(!);!2Z¡1(n; x)(t)g< ¸(!") +":
Aceasta implic¸ a
f(t)¢¸¤
Z(n;x)(t)< f[Z(n; x)(!")]¢(¸(!") +")
·supff[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2g+"¢K=R+"¢K;
unde K= sup ff(t);t2Rg. Trec^ ³nd la supremum cu t2R, primim
L·R+"¢K. Cum " >0 este arbitrar, trec^ ³nd aici la supremum cu "!0,
rezult¸ a L·R, ceea ce conduce la L=R.
Deoarece fese m¸ arginit¸ a pe R, ¯nitudinea ambelor integrale L» siReste
imediat¸ a.
Pentru a doua parte a lemei, extindem fla o funct »ie m¸ arginit¸ a f¤:
R!R+. Deoarece P¸este o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a, aceasta implic¸ a faptul c¸ a
PZ(n;x)este o m¸ asur¸ a posibilistic¸ a.
Dar, pentru orice m¸ asur¸ a posibilistic¸ a P½,A» siBcuP½(B) = 0 » si orice
funct »ie m¸ arginit¸ a F:ASB!R+, avem
(Pos)Z
AFdP ½·(Pos)Z
ASBFdP ½= supfF(t)¢½(t);t2A[
Bg

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 31
= max fsupfF(t)¢½(t);t2Ag;supfF(t)¢½(t);t2Bgg
·supfF(t)¢½(t);t2Ag+ supfF(t)¢½(t);t2Bg
= (Pos)Z
AFdP ½+ (Pos)Z
BFdP ½= (Pos)Z
AFdP ½;
adic¸ a,
(Pos)Z
ASBFdP ½= (Pos)Z
AFdP ½;
pentru ca
(Pos)Z
BFdP ½= supfF(t)¢½(t);t2Bg · k FkB¢supf½(t);t2Bg
=kFkB¢P½(B) = 0 :
AicikFkB= supfF(t);t2Bg<1.
Aplic^ ³nd asta pentru A=I,B=RnI,F=f¤» siP½=PZ(n;x), din
concluzia primei parti a lemei, obt »inem imediat
(Pos)Z
f¤±Z(n; x)dP¸= (Pos)Z
Rf¤dPZ(n;x)= (Pos)Z
IfdP Z(n;x):
Apoi, deoarece prin ipotez¸ a avem sup f¸(!);!2; !62Z¡1(n; x)(I)g= 0
» si deci sup f¸(!);!2; !2Z¡1(n; x)(I)g= 1, obt »inem
(Pos)Z
f¤±Z(n; x)dP¸
= max fsupff¤[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2; !2Z¡1(n; x)(I)g;
supff¤[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2; !62Z¡1(n; x)(I)gg
= supff[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2; !2Z¡1(n; x)(I)g
= (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸;
deoarece
0·supff¤[Z(n; x)(!)]¢¸(!);!2; !62Z¡1(n; x)(I)g

32CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
· kf¤k ¢supf¸(!);!2; !62Z¡1(n; x)(I)g= 0:
Demonstrat »ia lemei este completa. ¤
Observat »ie. ^In mod explicit, formula (2.11) poate ¯ scris¸ a ca
Ln(f)(x) = sup ff(t)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg= supff[Z(n; x)(t)]¢¸(t);t2g;
unde ¸¤
Z(n;x)(t) este de¯nita ^ ³n raport cu ¸, ca » si ^ ³n De¯nit »ia 2.2.1, (iv).
Deoarece urm¸ atorul rezultat principal folose» ste cantitatea ®n;xdat¸ a de
formula (2.8), ^ ³n mod necesar vom presupune ca Z(n; x)2V arb
+().
Are loc urm¸ atorul rezultat de tip Feller.
Teorema 2.2.4. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) FieI½Run subin-
terval, Z(n; x)2V arb
+()pentru tot »i (n; x)2N£I» si s¸ a presupunem c¸ a
f:R!R+este uniform continu¸ a » si m¸ arginit¸ a pe R. Cu notat »iile din
formulele (2.8), (2.9) » si din enunt »ul Lemei 2.2.3, dac¸ a limn!+1®n;x=x» si
limn!+1¾2
n;x= 0, uniform ^ ³n raport cu x2I, atunci limn!1Ln(f)(x) =
f(x), uniform ^ ³n raport cu x2I.
Demonstrat »ie. Deoarece feste uniform continu¸ a pe R, pentru orice
" >0, exist¸ a ± >0, astfel ^ ³nc^ ³t pentru tot »i t; x2Rcujt¡xj< ±, avem
jf(t)¡f(s)j ·"=2.
Avem
jLn(f)(x)¡f(®n;x)j=j(Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t)¡f(®n;x)j
=jsupff(t)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg ¡supff(®n;x)¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rgj
·supfjf(t)¡f(®n;x)j¢¸¤
Z(n;x)(t);t2Rg= (Pos)Z
Rjf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t):
S¸ a consider¸ am descompunerea
R=ft2R;jt¡®n;xj< ±g[
ft2R;jt¡®n;xj ¸±g:=T1[
T2

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 33
» si s¸ a not¸ am T1=Z¡1(n; x)(T1), T2=Z¡1(n; x)(T2).
Din de¯nit »ia integralei posibilistice, obt »inem u» sor
(Pos)Z
Rjf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)
= max
f(Pos)Z
T1jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t);(Pos)Z
T2jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)g
·(Pos)Z
T1jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t) + (Pos)Z
T2jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)
·"
2(Pos)Z
T11¢dPZ(n;x)(t) + 2kfk ¢P¸(fjZ(n; x)¡®n;xj ¸±g)
·"
2+ 2kfk ¢¾2
n;x¢±¡2·"
2+"
2=";
pentru tot »i n¸n0, uniform ^ ³n raport cu x2I.
Mai sus, kfk= supfjf(t)j;t2Rg» si de asemenea am folosit relat »iile
(Pos)Z
T11¢dPZ(n;x)(t) = sup f1¢¸¤
Z(n;x)(t);t2T1g
= supf¸(!);!2T1g ·1;
(Pos)Z
T2jf(t)¡f(®n;x)jdPZ(n;x)(t)·2kfk ¢(Pos)Z
T21¢dPZ(n;x)(t)
= 2kfk ¢supf¸(!);!2T2g
= 2kfk ¢P¸(T2) = 2kfk ¢P¸(f!2;jZ(n; x)(!)¡®n;xj ¸±g)
» si inegalitatea lui Chebyshev din Teorema 2.2.2, ceea ce implic¸ a
P¸(f!2;jZ(n; x)(!)¡®n;xj ¸±g)
=P¸µ½
!2;¯¯¯¯Z(n; x)(!)¡(Pos)Z
Z(n; x)dP¸¯¯¯¯¸±¾¶
·(Pos)R
[Z(n; x)¡(Pos)R
Z(n; x)dP¸]2dP¸
±2=Vsup(Z(n; x))
±2=¾2
n;x
±2:¤

34CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Observat »ii. 1) Analiz^ ³nd demonstrat »ia Teoremei 2.2.4, rezult¸ a u» sor c¸ a
fara nici o schimbare ^ ³n demonstrat »ia ei, constructia operatorilor Ln(f)(x)
poate ¯ u» sor generalizata consider^ ³nd c¸ a nu doar Zdepinde de n» six, dar
c¸ a » si ¸(» si ^ ³n consecint »¸ a » si P¸) pot depinde de n» six. Mai exact, putem
considera Ln(f)(x) de forma mai geerala
Ln(f)(x) := ( Pos)Z
Rf(t)dPZ(n;x)(t) = (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸n;x; x2I;
unde P¸n;x:P()![0;1], (n; x)2N£I, este o familie de masuri posi-
bilistice induse de o familie de distribut »ii posibilistice ¸n;x, (n; x)2N£I.
Aceast¸ a Observat »ie este folositoare ^ ³n producerea de exemple concrete de
astfel de operatori.
De asemenea, este bine de notat aici c¸ a dac¸ a presupunem c¸ a P¸(f!2
;Z(n; x)(!)62Ig= 0, atunci operatorii Lnpot ¯ ata» sat »i la funct »ii con-
tinue, m¸ arginite de¯nite pe subinterval I½R,f:I!R+, extinz^ ³nd f
la o funct »ie continu¸ a » si m¸ arginit¸ a, f¤:R!R+» si tin^ ³nd cont the relat »ia
evidenta
(Pos)Z
Rf¤dPZ(n;x)= (Pos)Z
IfdP Z(n;x):
2) Dac¸ a f:I!Rnu este neaparat pozitiva, dar este m¸ arginit¸ a, atunci
^ ³n mod evident c¸ a exist¸ a o constant¸ a c >0 astfel ^ ³nc^ ³t f(x) +c¸0, pentru
tot »ix2I» si ^ ³n acest caz, pentru n2N, putem ata» sa lui foperatorii de
aproximare
Ln(f)(x) = (Pos)Z
I(f(t) +c)dPZ(n;x)(t)¡c
= (Pos)Z
(f+c)±Z(n; x)dP¸n;x¡c:
3) Ca » si cazuri particulare de operatori pentru care propriet¸ at »ile cal-
itative de aproximare pot ¯ deduse prin schema lui Feller din Teorema

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 35
2.2.4, sunt tot »i a» sa numit »ii operatori Bernstein de tip max-produs. Ast-
fel, de exemplu, dac¸ a luam = f0;1; :::; ng,I= [0;1],Z(n; x)(k) =k
n,
f: [0;1]!R+,¸n;x(k) =pn;k(x)Wn
j=0pn;j(x), cu pn;k(x) =¡n
k¢
xk(1¡x)n¡k» si
Wn
j=0pn;j(x) = max j=f0;:::;ngfpn;j(x)g, atunci prin formula din Lema 2.2.3 » si
din de¯nit »ia integralei posibilistice, primim
Ln(f)(x) = (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸n;x=nW
k=0pn;k(x)f¡k
n¢
nW
k=0pn;k(x);
care sunt exact operatorii Bernstein max-produs B(M)
n(f)(x). Propriet¸ at »ile
calitative de aproximare ale lui B(M)
n(f)(x) pot ¯ deduse acum din Teorema
2.2.4.
^In mod analog, dac¸ a, de exemplu, luam = f0;1; :::; k; :::; gnum¸ arabil¸ a
» siP¸n;xm¸ asura posibilistic¸ a indus¸ a de distribut »ia posibilistic¸ a
¸n;x(k) =sn;k(x)W1
k=0sn;k(x); x2[0;+1); k2N[
f0g;
cusn;k(x) =(nx)k
k!» siW1
k=0sn;k(x) = max k=f0;1;:::;k;:::; gfsn;k(x)g, atunci for-
mula din Lema 2.2.3 ne da operatorii max-produs Favard-Sz¶ asz-Mirakjan.
^Intr-un mod similar, din Teorema 2.2.4 pot ¯ obt »inute propriet¸ at »i de
aproximare calitative » si pentru alti operatori de tip max-produs, precum
pentru cei de tip Baskakov, de tip Bleimann-Butzer-Hahn » si de tip Meyer-
KÄ onig-Zeller.
Este bine de mentionat aici c¸ a folosind alte metode (directe), pentru
ace» sti operatori s-au obt »inut estim¸ ari cantitative^ ³ntr-o serie lunga de lucr¸ ari,
vezi de exemplu, [10], [11], [19]-[22] » si bibliogra¯ile lor.

36CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
2.2.3 Aproximare cu operatori posibilistici de convo-
lut »ie
^In aceast¸ a subsect »iune, folosind schema lui Feller anterioara, introducem » si
studiem variante posibilistice ale operatorilor liniari clasici de convolutie ai
lui Picard, Gauss-Weierstrass » si Poisson-Cauchy, date ^ ³n mod formal prin
formulele
Pn(f)(x) =n
2Z
Rf(t)e¡njx¡tjdt; W n(f)(x) =pnp¼Z
Rf(t)e¡njt¡xj2dt;
Qn(f)(x) =n
¼Z
Rf(t)
n2(t¡x)2+ 1;
^ ³n mod respectiv, unde n2Nandx2R.
Not^ ³nd = f0;1; :::; k; :::; g» siZ(n; x) ca » si ^ ³n Observat »ia 3) anterioara
» si de¯nind ¸n;x(k) =e¡njx¡k=njW1
k=¡1e¡njx¡k=nj, prin formula din Lema 2.2.3
Ln(f)(x) = (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸n;x;
obt »inem urmatorii operatori posibilistici (max-produs !) discreti, ai lui Pi-
card
P(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢e¡njx¡k=nj
W+1
k=¡1e¡njx¡k=nj:
^In mod similar, pentru ¸n;x(k) =e¡n(x¡k=n)2
W1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2si
¸n;x(k) =1=(n2(x¡k=n)2+ 1)W1
k=01=(n2(x¡k=n)2+ 1);
obt »inem urm¸ atorii operatori posibilistici (max-produs !) discret »i
W(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2
W+1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2;- de tip Gauss-Weierstrass ;
Q(M)
n(f)(x) =W+1
k=¡1f(k=n)¢1
n2(x¡k=n)2+1W+1
k=¡11
n2(x¡k=n)2+1;- de tip Poisson-Cauchy :

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 37
S¸ a not¸ am cu BUC +(R), spat »iul tuturor funct »iilor uniform continue, m¸ arginite
» si cu valori pozitive. Convergent »a acestor operatori poate ¯ demonstratat¸ a
folosind Teorema 2.2.4. Totu» si, putem obt »ine » si urm¸ atoarele estim¸ ari can-
titative, prin demonstrat »ie direct¸ a, dup¸ a cum urmeaz¸ a.
Teorema 2.2.5. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Pentru orice f2
BUC +(R)avem
jP(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=n)R:
Demonstrat »ie. Este u» sor de vazut c¸ a au loc propriet¸ at »ile P(M)
n(f+g)(x)·
P(M)
n(f)(x) +P(M)
n(g)(x),P(M)
n(®f)(x) =®¢P(M)
n(f)(x) » si ca f(x)·g(x),
pentru tot »i x2R, implic¸ a P(M)
n(f)(x)·P(M)
n(g)(x), pentru tot »i x2R,
n2N.
Deci, potrivit estim¸ arii din Corolarul 2.4 din [10], primim
jP(M)
n(f)(x)¡f(x)j ··
1 +1
±P(M)
n('x)(x)¸
!1(f;±)R;
unde 'x(t) =jt¡xj.
Aici
P(M)
n('x)(x) =W+1
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡njx¡k=nj
W+1
k=¡1e¡njx¡k=nj; x2R:
Fien2N» six2R¯xate. Exist¸ a un unic k02Z, astfel ^ ³nc^ ³t x2£k0
n;k0+1
n¤
.
Este clar c¸ a supremumul de la numitorul lui P(M)
n('x)(x) este atins pentru
acelk2Zpentru care jx¡k=njare valoare minima, ceea ce implic¸ a faptul
ca
minfjx¡k=nj;k2Zg= min fx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg:
De asemenea, deoarece functia h(y) =y¢e¡ny,y¸0 are y=1
nca » si punct
de maxim global, rezult¸ a u» sor c¸ a supremumul de la numaratorul lui este
at »ins de acel k2Zpentru care jx¡k=njeste cel mai aproape de valoarea

38CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
1
n, ceea ce implic¸ a acea valoare a lui kpentru care jx¡k=njare valoare
maxim¸ a, adic¸ a
maxfjx¡k=nj;k2Zg= max fx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg:
^In concluzie, pentru tot »i n2N» six2£k0
n;k0+1
n¤
, obt »inem
P(M)
n('x)(x) =maxfx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg ¢e¡n¢maxfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
e¡n¢minfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
= max fx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg ¢en¢minfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
en¢maxfx¡k0=n;(k0+1)=n¡xg
·maxfx¡k0=n;(k0+ 1)=n¡xg ·1
n:
Aceasta implic¸ a imediat estimarea dorit¸ a. ¤
De asemenea, putem considera trunchiat »ii operatorului P(M)
n.^In acest
sens, putem enunt »a urm¸ atorul.
Corolar 2.2.6. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Fie(m(n))n2Nun » sir
de numere naturale cu proprietatea ca limn!1m(n)
n= +1iar pentru f2
BUC +(R)s¸ a de¯nim
T(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢e¡njx¡k=nj
W+m(n)
k=¡m(n)e¡njx¡k=nj:
Atunci, T(M)
n(f)converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe orice subinterval
compact de forma [¡A; A],A >0.
Demonstrat »ie. Rat »ion^ ³nd exact ca » si^ ³n cazul operatorului netrunchiat,
ajungem la estimarea
jT(M)
n(f)(x)¡f(x)j ··
1 +1
±T(M)
n('x)(x)¸
!1(f;±)R;
unde
T(M)
n('x)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)jx¡k=nj ¢e¡njx¡k=nj
W+m(n)
k=¡m(n)e¡njx¡k=nj; x2R:

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 39
FieA > 0 arbitrar, ¯xat. Exist¸ a n02N(depinz^ ³nd de A), astfel ^ ³nc^ ³t
m(n)
n> A, pentru tot »i n¸n0.
Acum, pentru n¸n0» six2[¡A; A] ¯xat »i, exist¸ a un unic k02Z, astfel
^ ³nc^ ³t¡m(n)·k0< k 0+ 1·m(n), » six2£k0
n;k0+1
n¤
. Rat »ion^ ³nd exact ca » si
^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.5, obt »inem T(M)
n('x)(x)·1
n» si deci
jT(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=n)R;for all x2[¡A; A]; n¸n0:
Aceasta demonstreaz¸ a corolarul. ¤
^In cele ce urmeaz¸ a, prezent¸ am rezultate similare pentru ceilalt »i operatori
posibilistici, W(M)
n(f)(x),Q(M)
n(f)(x) » si trunchiat »ii lor corespunzatori dat »i
de
S(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2
W+m(n)
k=¡m(n)e¡n(x¡k=n)2
si
U(M)
n(f)(x) =W+m(n)
k=¡m(n)f(k=n)¢1
n2(x¡k=n)2+1W+m(n)
k=¡m(n)1
n2(x¡k=n)2+1:
Teorema 2.2.7. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Pentru tot »i f2BUC +(R)
avem
jW(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=pn)R:
Demonstrat »ie. Rat »ion^ ³nd ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.5, este
su¯cient s¸ a estim¸ am expresia
W(M)
n('x)(x) =W+1
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2
W+1
k=¡1e¡n(x¡k=n)2; x2R:
Pentru x2R¯ek02Z, astfel ^ ³nc^ ³t x2£k0
n;k0+1
n¤
, este u» sor de vazut c¸ a
pentru orice k2Zn fk0; k0+ 1gavem
e¡n(x¡k=n)2·maxn
e¡n(x¡k0=n)2; e¡n(x¡(k0+1)=n)2o
:

40CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Aceasta implic¸ a
+1_
k=¡1e¡n(x¡k=n)2= maxn
e¡n(x¡k0=n)2; e¡n(x¡(k0+1)=n)2o
:
Pe de alta parte, deoarece 0 ·minfjx¡k0=nj;jx¡(k0+ 1)=n)jg · 1=2n,
rezult¸ a ca e¡1=4n·maxn
e¡n(x¡k0=n)2; e¡n(x¡(k0+1)=n)2o
·1. Astfel, primim
e¡1=4n·+1_
k=¡1e¡n(x¡k=n)2·1.
Apoi, observ¸ am c¸ a pe [0 ;1), punctul de maxim global al funct »iei y!
y¢e¡ny2este atins ^ ³n y= 1=p
2n. Aceasta implic¸ a
+1_
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2·1=p
2n¢e¡n(1=p
2n)2
= 1=p
2n¢e¡1=2:
Din aceste dou¸ a ultime inegalitat »i, primim W(M)
n('x)(x)·e1=4np
2en·1=pn.
Acum, rat »ion^ ³nd exact ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.5, rezult¸ a esti-
marea din enunt ». ¤
Corolar 2.2.8. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Fie(m(n))n2Nun » sir
de numere naturale cu proprietatea ca limn!1m(n)
n= +1. Atunci, pentru
orice f2BUC +(R),S(M)
n(f)converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe
orice subinterval compact de forma [¡A; A],A > 0(S(M)
n(f)este de¯nit
chiar deasupra enunt »ului Teoremei 2.2.7).
Demonstrat »ie. Rat »ion^ ³nd ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.2.7, este
su¯cient s¸ a estim¸ am expresia
S(M)
n('x)(x) =Wm(n)
k=¡m(n)jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2
Wm(n)
k=¡m(n)e¡n(x¡k=n)2; x2R:
Acum, ¯e din nou (ca » si ^ ³n demonstrat »ia Corolarului 2.2.6) n02Nastfel
^ ³nc^ ³tm(n)
n> A, pentru tot »i n¸n0. Aceasta implic¸ a u» sor (trebuie doar s¸ a

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 41
repet¸ am rat »ionamentele din demonstrat »ia Teoremei 2.2.7) c¸ a pentru orice
x2[¡A; A] avem
m(n)_
k=¡m(n)e¡n(x¡k=n)2=1_
k=¡1e¡n(x¡k=n)2
si
m(n)_
k=¡m(n)jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2·1_
k=¡1jx¡k=nj ¢e¡n(x¡k=n)2
» si deci din estimarea pentru W(M)
n('x)(x) din demonstrat »ia Teoremei 2.2.7,
rezult¸ a ca
S(M)
n('x)(x)·W(M)
n('x)(x)·1pn:
De aici, obt »inem u» sor concluzia din corolar. ¤
Teorema 2.2.9. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Pentru toate f2
BUC +(R)avem
jQ(M)
n(f)(x)¡f(x)j ·2¢!1(f; 1=(2n))R:
Demonstrat »ie. De aceast¸ a dat¸ a, trebuie s¸ a estim¸ am expresia
Q(M)
n('x)(x) =W+1
k=¡1jx¡k=nj ¢1
n2(x¡k=n)2+1W+1
k=¡11
n2(x¡k=n)2+1; x2R:
Pentru x2Rarbitrar, ¯e din nou k02Z, astfel ^ ³nc^ ³t x2£k0
n;k0+1
n¤
.
Aceasta implic¸ a
+1_
k=¡11
n2(x¡k=n)2+ 1
= max½1
n2(x¡k0=n)2+ 1;1
n2(x¡(k0+ 1)=n)2+ 1¾
» si de aici obt »inem u» sorW+1
k=¡11
n2(x¡k=n)2+1¸4
5.

42CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Apoi, observ¸ am c¸ a pe [0 ;1), maximul global al funct »iei g(y) =y
n2y2+1
este atins ^ ³n y= 1=niar aceasta implic¸ a
+1_
k=¡1jx¡k=nj ¢1
n2(x¡k=n)2+ 1·g(1=n) =1
2n:
Din cele dou¸ a inegalitat »i de mai sus, primim Q(M)
n('x)(x)·5
8n<1
n. De
aici, primim u» sor concluzia dorit¸ a. ¤
Corolar 2.2.10. (Coroianu-Gal-Opri» s-Trifa [23]) Fie(m(n))n2Nun » sir
de numere naturale cu proprietatea c¸ a limn!1m(n)
n= +1. Atunci, pentru
orice f2BUC +(R),U(M)
n(f)converge uniform (pentru n! 1 ) laf, pe
orice subinterval compact de forma [¡A; A],A > 0(U(M)
n(f)este de¯nit
tocmai deasupra enunt »ului Teoremei 2.2.7).
Demonstrat »ie. Demonstrat »ia este identic¸ a cu cea pentru operatorul
S(M)
n(f). ¤
Observat »ii. 1) S¸ a not¸ am ca ^ ³n [30], Favard a introdus forma discret¸ a a
integralei singulare clasice a lui Gauss-Weierstrass, prin formula
Fn(f)(x) =1p¼n¢+1X
k=¡1f(k=n)¢e¡n(x¡k=n)2; n2N; x2R
» si a demonstrat c¸ a dac¸ a f:R!Reste continu¸ a pe R, cu cresterea expone-
tialajf(t)j ·MeAt2pentru tot »i t2R(aici M; A > 0), atunci Fn(f)(x)
converge la f(x) punctual pentru ¯ecare x2R» si uniform ^ ³n orice subin-
terval compact al lui R. Alte propriet¸ at »i de aproximare ale lui Fn(f)(x), ^ ³n
mod special, ^ ³n variate spat »ii ponderate, au fost studiate ^ ³n multe lucr¸ ari,
vezi, de exemplu, [1] » si biblioga¯a de acolo.
Exact ca » si pentru alt »i operatori max-produs studiat »i ^ ³n lucr¸ ari ante-
rioare (vezi, de exemplu, [19]-[22]), legat de contrapartea ei liniara, Fn(f)(x),
pentru operatorii max-produs W(M)
n(f)(x), poate ¯ demonstrat c¸ a ^ ³n anu-

2.2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI POSIBILISTICI 43
mite subclase de funct »ii f, au propriet¸ at »i de aproximare global¸ a mai bune
» si prezint¸ a rezultate de localizare mult mai puternice.
Mai precis, ei reprezint¸ a local, mult mai bine (probabil cel mai bine)
functia aproximata, ^ ³n sensul c¸ a dac¸ a f» sigcoincid pe un subinterval strict
inclus^ ³n I½R, atunci pentru orice subinterval I0strict inclus^ ³n I,W(M)
n(f)
» siW(M)
n(g) coincid ^ ³n I0pentru nsu¯cient de mare.
2) Folosind schema posibilistic¸ a Feller, putem introduce pentru studiu
variante posibilistice ale operatorilor liniari clasici, trigonometrici de con-
volutie, ai lui de la Vall¶ ee-Poussin, Fej¶ er » si Jackson, ^ ³n mod formal de¯nit »i
prin formulele
Vn(f)(x) =1
2¼Z¼
¡¼f(t)kn(x¡t)dt; F n(f)(x) =1
2¼Z¼
¡¼f(t)bn(x¡t)dt;
Jn(f)(x) =1
¼Z¼
¡¼f(t)cn(x¡t)dt;
^ ³n mod respectiv, unde feste 2 ¼-periodic,
kn(t) =(n!)2
(2n)!(2 cos( t=2))2n; bn(t) =1
nµsin(nt=2)
sin(t=2)¶2
» sicn(t) =3
2n(2n2+1)³
sin(nt=2)
sin(t=2)´4
.
Mai precis, not^ ³nd = f¡n; :::;¡1;0;1; :::; ng» si de¯nind Zn;x(k) =k¼
n,
pentru f: [¡¼; ¼]!R» si¸n;x(k) =kn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nkn(x¡k¼=n ), prin formula din Lema
2.2.3 » si din de¯nit »ia integralei posibilistice, obt »inem operatorii posibilistici
ai lui de la Vall¶ ee-Poussin
V(M)
n(f)(x) = (Pos)Z
f±Z(n; x)dP¸n;x=Wn
k=¡nf(k¼=n )kn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nkn(x¡k¼=n ):
^In mod similar, putem obt »ine operatorii posibilistici de tip Fej¶ er
F(M)
n(f)(x) =Wn
k=¡nf(k¼=n )bn(x¡k¼=n )Wn
k=¡nbn(x¡k¼=n )

44CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
» si de tip Jackson
J(M)
n(f)(x) =Wn
k=¡nf(k¼=n )cn(x¡k¼=n )Wn
k=¡ncn(x¡k¼=n ):
Studierea acestor operatori ram^ ³ne ca » si o direct »ie de cercetare viitoare.

Cap. 3
Aproximare cu un ordin
arbitrar prin operatori Sz¶ asz » si
Baskakov de variabil¸ a real¸ a
Fiind dat un » sir arbitrar ¸n>0,n2N, cu proprietatea c¸ a lim n!1¸n= 0
c^ ³t de rapid dorim, ^ ³n acest capitol construim operatori de tip Baskakov » si
Sz¶ asz, av^ ³nd ordinul de aproximare !1(f;¸n).
Construct »ia acestor operatori generalizat »i, se bazeaz¸ a pe urm¸ atoarea
idee simpl¸ a : ^ ³n formulele clasice ale operatorilor de tip Baskakov si de tip
Sz¶ asz, se ^ ³nlocuie» ste pest tot ncu1
¸n.
Spre exempli¯care, plec^ ³nd de la formula clasic¸ a a operatorilor Sz¶ asz
Sn(f)(x) =e¡nx1X
k=0(nx)k
k!f(k=n);
prin ^ ³nlocuirea lui ncu1
¸nobt »inem operatorul Sz¶ asz generalizat
Sn(f;¸n)(x) =e¡x=¸n1X
k=01
k!µx
¸n¶k
¢f(k¸n);
45

46CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
iar plec^ ³nd de la formula clasic¸ a a operatorului Baskakov
Vn(f)(x) = (1 + x)¡n1X
j=0µn+j¡1
j¶µx
1 +x¶j
¢fµj
n¶
= (1 + x)¡n1X
j=0(n+j¡1)!
(n¡1)!j!µx
1 +x¶j
¢fµj
n¶
= (1 + x)¡n1X
j=01
j!¢n(n+ 1)¢:::¢(n+j¡1)µx
1 +x¶j
¢fµj
n¶
;
prin ^ ³nlocuirea lui ncu1
¸nobt »inem operatorul Baskakov generalizat
Vn(f;¸n)(x)
= (1 + x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢µx
1 +x¶j
f(j¸n):
3.1 Operatori Baskakov generalizat »i pe R+
Fiind dat un » sir arbitrar ¸n>0,n2N, cu proprietatea c¸ a lim n!1¸n= 0
c^ ³t de rapid dorim, ^ ³n aceast¸ a sect »iune introducem » si studiem operatori
de tip Baskakov, astfel ^ ³nc^ ³t pe ¯ecare subinterval compact din [0 ;+1),
s¸ a obt »inem ordinul de aproximare uniform¸ a !1(f;p¸n). Ace» sti operatori
modi¯cat »i, pot aproxima o funct »ie 1-Lipschitz pe ¯ecare subinterval compact
din [0 ;+1), cu ordinul de aproximare arbitrar de bun,p¸n. De asemenea,
considerat »ii similare facem pentru operatori modi¯cat »i qn-Baskakov, cu 0 <
qn<1, lim n!1qn= 1.
3.1.1 Introducere
Fie (¸n)nun » sir de numere reale pozitive cu proprietatea c¸ a lim n!1¸n= 0.

3.1. OPERATORI BASKAKOV GENERALIZAT »I PE R+ 47
^In lucrarea [17], Cetin » si Ispir au introdus o remarcabila generalizare
a operatorilor Sz¶ asz-Mirakjan ata» sat »i unei funct »ii analitice f, de crestere
exponentiala ^ ³ntr-un disc compact,
Sn(f;¸n)(z) =e¡z=¸n1X
k=01
k!µz
¸n¶k
¢f(k¸n);
care aproximeaza f^ ³n orice disc compact jzj ·r,r < R , cu ordinul de
aproximare ¸n.
Implic^ ³nd ^ ³n construirea lor » si polinoamele Faber, ace» sti operatori » si
ordinul lor de aproximare au fost extinse ^ ³n Gal [38], pentru a aproxima
funct »ii analitice ^ ³n submult »imi compacte ale planului complex.
^In primul r^ ³nd, vom introduce » si studia operatorii liniari modi¯cat »i/gene-
ralizat »i de tip Baskakov de¯nit »i prin
Ln(f;¸n)(x) =1X
j=0(¡1)j'(j)(¸n;x)xj
j!f(j¸n); (3.1)
pentru funct »ii f: [0; b)!R(aicibpoate ¯ » si + 1) astel c¸ a seria de mai sus
converge (de exemplu, dac¸ a feste m¸ arginit¸ a » si uniform continu¸ a pe [0 ; b)),
unde » sirul de funct »ii analitice 'n: [0; b)!R,n2N, satisface ipotezele :
(i)'(¸n; 0) = 1; (ii) ( ¡1)j'(j)(¸n;x)¸0, pentru tot »i n; j2N,x2[0; b].
Este bine de observat c¸ a pentru cazul particular ¸n=1
n» si sub ipoteza
adit »ional¸ a
(iii) exist¸ a un » sir m(n),n2Ncu lim n!1n
m(n)= 1 si '(k)
n(¸n;x) =
¡n'(k¡1)
n(¸n;x), pentru tot »i x2[0; b),n2N,k2N, operatorii din (3.1)
au fost introdu» si » si studiat »i ^ ³n Baskakov [9].
Aleg^ ³nd '(¸n;x) = (1 + x)¡1=¸n^ ³n (3.1), din cauza formulei
'(j)(¸n;x) = (¡1)j1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢(1 +x)¡j¡1=¸n;(3.2)

48CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
obt »inem imediat operatorii Baskakov modi¯cat »i de¯nit »i prin
Vn(f;¸n)(x)
= (1 + x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢µx
1 +x¶j
f(j¸n);
(3.3)
x¸0, unde prin convent »ie1
¸n³
1 +1
¸n´
¢:::¢³
j¡1 +1
¸n´
= 1 pentru j= 0.
Pentru ace» sti operatori Vn(f;¸n)(x) din (3.3),^ ³n Subsect »iunea urm¸ atoare
demonstr¸ am c¸ a^ ³n ¯ecare subinterval compact din [0 ;+1), ordinul de aprox-
imare uniform obt »inut este !1(f;p¸n), » si ^ ³n consecint »a, aproximeaz¸ a uni-
form o funct »ie 1-Lipschitz, pe ¯ecare subinterval compact din [0 ;1), cu
ordinul de aproximare arbitrar de bunp¸n. Cu alte cuvinte, din punct de
vedere al teoriei aproxim¸ arii, ace» sti operatori Baskakov modi¯cat »i reprezint¸ a
cea mai bun¸ a construct »ie. ^In acela» si timp, rezultatele obt »inute au » si un put-
ernic caracter uni¯cator, ^ ³n sensul c¸ a se pot reobt »ine din ele toate rezultatele
obt »inute anterior de numero» si alt »i autori, prin diferite alegeri particulare ale
nodurilor ¸n. Este de asemenea de remarcat, c¸ a modi¯c^ ³nd un tip de op-
erator Baskakov introdus ^ ³n Lopez-Moreno [56], considerat »ii similare pot ¯
facute pentru operatorul de¯nit prin formula
Ln;r(f;¸n)(x) =1X
j=0(¡1)rf(j¸n)¢'(j+r)(¸n;x)¢(¡x)j
j!¢(¸n)r; r; n2N:
(3.4)
Apoi, ^ ³n subsect »iunea urm¸ atoare facem considerat »ii similare pentru op-
eratorii modi¯cat »i q-Baskakov, 0 < q < 1.
3.1.2 Rezultate principale
Mai ^ ³ntii, avem nevoie de urm¸ atoarele rezultate auxiliare.
Lema 3.1.1. (Gal-Opri» s [45]) Fie¸n>0,n2N, culimn!1¸n= 0.

3.1. OPERATORI BASKAKOV GENERALIZAT »I PE R+ 49
(i) Dac¸ a Ln(f;¸n)(x)dat de (3.1) este bine de¯nit¸ a, atunci se poate
scrie
Ln(f;¸n)(x) =1X
j=0(¸n)j¢(¡1)j¢'(j)(¸n; 0)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;f]¢xj; x2[0; b];
unde [0; ¸n; :::; j¸ n;f]este diferent »a divizat¸ a a lui fpe nodurile 0; ¸n; :::; j¸ n.
(ii) Not^ ³nd ek(x) =xk, avem
Ln(e0;¸n)(x) = 1 ; Ln(e1;¸n)(x) =¡x¸n'0(¸n; 0);
Ln(e2;¸n)(x) = (¸n)2¢[x2'00(¸n; 0)¡x'0(¸n; 0)]:
Demonstrat »ie. (i) Deriv^ ³nd expresia lui Ln(f;¸n)(x) din (3.1), primim
L0
n(f;¸n)(x) =1X
j=0(¡1)j+1'(j+1)(¸n;x)¢xj
j!¢[f((j+ 1)¸n)¡f(j¸n)]
=¸n¢1X
j=0(¡1)j+1'(j+1)(¸n;x)¢xj
j!¢[j¸n;(j+ 1)¸n;f]:
Apoi, prin induct »ie matematic¸ a rezult· a u» sor
L(k)
n(f;¸n)(x) = (k!)¢(¸n)k¢1X
j=0(¡1)j+k'(j+k)(¸n;x)¢xj
j!
¢[j¸n;(j+ 1)¸n; :::;(j+k)¸n;f]:
Aceasta implic¸ a
L(j)
n(f;¸n)(0) = ( j!)¢(¸n)j¢(¡1)j'(j)(¸n; 0)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;f];
ceea ce combinat cu dezvoltarea lui Ln^ ³n serie Maclaurin, conduce la for-
mula dorit¸ a.
(ii) Sunt imediate din punctul de mai sus (i). ¤
Observat »ie. ^In cazul c^ ³nd ¸n=1
n, formula din Lema 3.1.1, (i) a fost
obt »inuta de c¸ atre Lupas [57].

50CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
Corolar 3.1.2. (Gal-Opri» s [45]) (i) Dac¸ a (1 +¸n):::(1 + ( j¡1)¸n) =
1pentru j= 0(prin convent »ie), atunci pentru Vn(f;¸n)(x)dat de (3.3),
avem
Vn(f;¸n)(x) =1X
j=0(1 +¸n):::(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;f]xj; x¸0:
(ii)Vn(e0;¸n)(x) = 1 ,Vn(e1;¸n)(x) =x,Vn(e2;¸n)(x) =x2+¸n¢x(1+x)
;
Vn((¢ ¡x)2;¸n)(x) =¸nx(1 +x):
Demonstrat »ie. S¸ a alegem ^ ³n Lema 3.1.1 '(¸n;x) = (1 + x)¡1=¸n.
(i) Din Lema 3.1.1, (i) » si folosind formula (3.2), primim
'(j)(¸n; 0) = ( ¡1)j¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
;
ceea ce implic¸ a ( ¸n)j¢(¡1)j¢'(j)(¸n; 0) = (1 + ¸n):::(1 + ( j¡1)¸n) » si
demonstreaz¸ a (i).
(ii) Este imediat¸ a din Lema 3.1.1, (ii). ¤
Deoarece Vn(f;¸n),n2N, sunt operatori liniari » si pozitivi, putem
enunt »a urm¸ atorul rezultat.
Teorema 3.1.3. (Gal-Opri» s [45]) Fief: [0;1)!Runiform continu¸ a
pe[0;1). Not¸ am !1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;jx¡yj ·±; x; y 2[0;1)g.
Pentru tot »i x2[0;1),n2Navem
jVn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2¢!1³
f;p
¸n¢p
x(1 +x)´
:
Demonstrat »ie. Din teoria standard (vezi, de exemplu, e.g. Shisha-Mond
[64] unde desi rezultatele sunt obt »inute pentru funct »ii continue pe inter-
vale compacte, rat »ionamentele ram^ ³n acelea» si dac¸ a funct »iile sunt (uniform)
continue pe [0 ;+1)), avem
jVn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·(1 +±¡1p
Vn((¢ ¡x)2;¸n)(x))!1(f;±):

3.1. OPERATORI BASKAKOV GENERALIZAT »I PE R+ 51
^Inlocuind ±=p¸n¢p
x(1 +x) » si folosind Corolarul 3.1.2, (ii), ajungem la
estimarea dorit¸ a. ¤
Ca » si o consecint »a imediat¸ a a Teoremei 3.1.3, primim urm¸ atorul rezultat.
Corolar 3.1.4. (Gal-Opri» s [45]) Dac¸ a exist¸ a L >0astfel ^ ³nc^ ³t jf(x)¡
f(y)j ·Ljx¡yj, pentru tot »i x; y2[0;1), atunci
jVn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2Lp
x(1 +x)¢p
¸n; n2N; x¸0:
Observat »ii. 1) Dac¸ a xapart »ine la un subinterval compact al lui [0 ;+1),
atunci evident c¸ a primim convergent »a uniform¸ a ^ ³n acel subinterval.
2) Optimalitatea estim¸ arilor din Teorema 3.1.3 » si Corolarul 3.1.4 consist¸ a
^ ³n faptul c¸ a ¯ind dat un » sir arbitrar de numere strict pozitive ( °n)n, cu
limn!1°n= 0 » si un subinterval compact al lui [0 ; b], putem gasi un » sir ¸n,
satisfac^ ³nd 2 !1(f;p¸n¢p
x(1 +x))·°npentru tot »i n2N,x2[0; b] ^ ³n
cazul Teoremei 3.1.3 » si 2 Lp¸n¢p
x(1 +x)·°npentru tot »i n2N,x2[0; b]
^ ³n cazul Corolarului 3.1.4.
3) Dac¸ a feste uniform continu¸ a pe [0 ;+1), atunci este binecunoscut
faptul ca cresterea ei pe [0 ;+1) este liniara, adic¸ a exist¸ a ®; ¯ > 0 astfel
^ ³nc^ ³tjf(x)j ·®x+¯, pentru tot »i x2[0;+1) (vezi, de exemplu, [27], p. 48,
Problµ eme 4, sau [28]). Aceasta implic¸ a faptul c¸ a ^ ³n acest caz, Vn(f;¸n)(x)
este bine de¯nita pentru tot »i x2[0;1).
4)^In lucrarea [56], au fost studiat »i operatorii Baskakov de forma
Ln;r(f)(x) =1X
j=0(¡1)rfµj
n¶
¢'(j+r)
n(x)¢(¡x)j
j!¢µ1
n¶r
; r; n2N;
obt »in^ ³nd, de exemplu dac¸ a 'n(x) = (1 + x)¡n, estim¸ arile cantitative de or-
dinul ( f;n¡1=2)+C
n, unde ( f;±) este un modul de continuitate ponderat.
Urm^ ³nd liniile demonstrat »iilor din [56], aleg^ ³nd '(¸n;x) = (1 + x)¡1=¸n^ ³n
operatorul Baskakov modi¯cat Ln;r(f;¸n)(x) dat de formula (3.4), se obt »ine

52CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
ordinul de aproximare ¡
f;p¸n¢
+C¸n, unde ¸npoate ¯ ales s¸ a convearga
la zero c^ ³t de rapid dorim.
3.1.3 Cazul operatorilor q-Baskakov, 0< q < 1
Mai ^ ³ntii, avem nevoie de urm¸ atoarele concepte din "quantum calculus"
(vezi, de exemplu, e.g. [53], pp. 7-13).
Pentru 0 < q,q6= 1, » si a2R,q-analogul lui aeste de¯nit prin [ a]q=
1¡qa
1¡q. Pentru n2N[f0g, primim [ n]q= 1+ q+:::+qn¡1,n2N, [0] q= 1. q-
factorialul este de¯nit prin [ n]q! = [1] q¢[2]q¢:::¢[n]q» si coe¯cientul q-binomial
este dat de¡n
k¢
q=[n]q!
[k]q!¢[n¡k]q!,k= 0;1; :::n.
Observ¸ am c¸ a pentru q= 1 primim [ n]q=n» si ^ ³n consecint »¸ a, [ n]q! =n!
» si¡n
k¢
q=¡n
k¢
.
q-derivativa unei funct »ii f:R!Reste de¯nit¸ a prin Dq(f)(x) =
f(x)¡f(qx)
x(1¡q); x6= 0,Dq(f)(0) = lim x!0Dq(f)(x), » siq-derivatele de ordin supe-
rior sunt date recursiv prin D0
q(f) =f,Dn
q(f) =Dq(Dn¡1
q(f)),n2N.
Peste tot ^ ³n aceast¸ a sect »iune, consider¸ am 0 < q < 1.
^In, de exemplu, lucr¸ arile [3], [63], [5]{[7], [51], [32], au fost studiate
diverse tipuri de operatori q-Baskakov.
Urm^ ³nd ideile anterioare » si sugerat de operatorii q-Baskakov introdu» si » si
studiat »i ^ ³n [63] » si [3], introducem ^ ³n cele ce urmeaz¸ a un operator q-Baskakov
modi¯cat, astfel.
Fie¸n>0,n2Ncu lim n!11
¸n= +1. Este clar c¸ a fara a pierde din
generalitate, putem presupune c¸ a1
¸n¸1,n2N. Pentru '(¸n;¢) : [0;1)!
R,n2N, un » sir de funct »ii analitice satisfac^ ³nd ipotezele (i) '(¸n; 0) = 1;
(ii) (¡1)j'(j)(¸n;x)¸0, pentru tot »i n; j2N,x2[0;1), s¸ a introducem

3.1. OPERATORI BASKAKOV GENERALIZAT »I PE R+ 53
operatorii q-Baskakov dat »i prin
Tn;q(f;¸n)(x) =1X
j=0(¡x)j
[j]q!¢q(k(k¡1)=2Dk
q'(¸n;x)fµ[j]q
qk¡1¢1
[1=¸n]q¶
;(3.5)
ata» sat »i funct »iilor pentru care Tn;q(f;¸n)(x) este bine de¯nit.
Observ¸ am c¸ a pentru 1 =¸n=n, reobt »inem operatorii q-Baskakov din
[63], [3].
Urm^ ³nd exact liniile din demonstrat »ia Lemei 1 din [63] » si de asemenea
folosind relat »iile (21) » si (22) din [3], obt »inem imediat urm¸ atoarea.
Lema 3.1.5. (Gal-Opri» s [45]) Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Nculimn!11
¸n=
+1. Pentru tot »i n2N; x¸0» si0< q < 1, avem :
(i)Tn;q(e0;¸n)(x) = 1 ;Tn;q(e1;¸n)(x) =¡x¢Dq('(¸n;¢))(0)¢1
[1=¸n]q;
(ii)Tn;q(e2;¸n)(x) =x2¢D2
q('(¸n;¢))(0)¢1
q¢[1=¸n]2q¡x¢Dq('(¸n;¢))(0)¢
1
[1=¸n]2q;
(iii)Tn;q((¢ ¡x)2;¸n)(x) =An;qx2+Bn;qx, unde
An;q= 1 + D2
q('(¸n;¢))(0)¢1
q¢[1=¸n]2
q+ 2¢Dq('(¸n;¢))(0)¢1
[1=¸n]q
si
Bn;q=¡Dq'(¸n; 0)
[1=¸n]2
q:
Not^ ³nd cu CB(R+) spat »iul tuturor funct »iilor reale m¸ arginite » si continue pe
[0;1) » si urm^ ³nd exact liniile de demonstrat »ie a Teoremei 2 din [3], putem
enunt »a urm¸ atoarea.
Teorema 3.1.6. (Gal-Opri» s [45]) Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Ncu
limn!11
¸n= +1» si ¯e (qn)n2Nun » sir astfel ^ ³nc^ ³t 0< q n<1pentru tot »i
n2N» silimn!1qn= 1. Atunci, pentru f2CB(R+)uniform continu¸ a,
operatorii qndat »i de formula (3.5), satisfac
jTn;qn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·(1 +p
maxfx; x2g)¢!1(f;p
Cn;qn); n2N; x¸0;

54CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
unde Cn;qn=jAn;qnj+Bn;qn,(An;qn)n;(Bn;qn)nsunt date de Lema 3.1.5, (iii)
» si!1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1);jx¡yj ·±g.
Drept consecint »e ale Teoremei 3.1.6, primim urm¸ atoarele dou¸ a corolare.
Corolar 3.1.7. (Gal-Opri» s [45]) Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Ncu
limn!11
¸n= +1» si(qn)n2Nun » sir astfel ^ ³nc^ ³t 0< q n<1pentru tot »i
n2Nandlimn!1qn= 1. Atunci, pentru f2CB(R+)uniform continu¸ a,
operatorii dat »i de
Tn;qn(f;¸n)(x) =1
(1 +x)1=¸n
¢1X
j=0[1=¸n]qn¢[1=¸n+ 1] qn¢:::¢[1=¸n+j¡1]qn
[j]qn!¢qj(j¡1)=2
¢xj
(1 +x)j¢fµ[j]qn
qj¡1
n¢1
[1=¸n]qn¶
; (3.6)
satisfac estimarea
jTn;qn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·(1+p
maxfx; x2g)¢!1Ã
f;r1 +qn
qn¢1p
[1=¸n]qn!
;
n2N; x¸0:
Demonstrat »ie. S¸ a alegem '(¸n;x) = (1+ q1=¸nx)¡1=¸nq . Folosind relat »ia
evident¸ a [ ¡1=¸n]q=¡[¸n]q
q1=¸n» si faptul c¸ a din Lema 2 din [63], pentru tot »i
t; a2R» si 0< q < 1, avem
Dq[(1 + a¢)t
q](x) = [t]q¢a(1 +aqx)t¡1;(1 +x)¡t
q=1
(1 +q¡tx)t
q;
obt »inem u» sor
Dq['(¸n;¢)](x) =¡[1=¸n]q
(1 +x)1=¸n+1
q
si, ^ ³n general,
Dj
q['(¸n;¢)](x) = (¡1)j[1=¸n]q¢[1=¸n+1] q¢:::¢[1=¸n+j¡1]q¢1
(1 +x)1=¸n+j:

3.1. OPERATORI BASKAKOV GENERALIZAT »I PE R+ 55
Aceasta implic¸ a imediat
An;qn=1
qn¢[1=¸n]qn; Bn;qn=1
[1=¸n]qn; Cn;qn=1 +qn
qn¢[1=¸n]qn;
ceea ce demonstreaz¸ a corolarul. ¤
Corolar 3.1.8. (Gal-Opri» s [45]) Fie¸n>0,1
¸n¸1,n2Ncu
limn!11
¸n= +1» si(qn)n2Nun » sir astfel ^ ³nc^ ³t 0< q n<1pentru tot »i
n2N» silimn!1qn= 1. Atunci, pentru f2CB(R+)uniform continu¸ a,
operatorii dat »i de
Sn;qn(f;¸n)(x)
=1X
j=0([1=¸n]qnx)j
[j]qn!¢qj(j¡1)
n¢Eqn(¡[1=¸n]qnqj
nx)¢fµ[j]qn
qj¡1
n¢1
[1=¸n]qn¶
;(3.7)
satisfac estimarea
jSn;qn(f;¸n)(x)¡f(x)j ·(1 +p
maxfx; x2g)¢!1Ã
f;1p
[1=¸n]qn!
;
n2N; x¸0:
Demonstrat »ie. Dac¸ a alegem ^ ³n Teorema 3.1.6, ^ ³n particular '(¸n;x) =
Eq(¡[1=¸n]qx), unde Eq(x) =P1
k=0qk(k¡1)=2¢xk
[k]q!, atunci un calcul simplu
(facut ca, de exemplu, ^ ³n [3]) ne conduce la An;q= 0, Bn;q=Cn;q=1
[1=¸n]q
» si primim imediat relat »ia dorit¸ a. ¤
Observat »ie. Ordinul de aproximare pentru operatorii qn-Baskakov din
Corolarul 3.1.7 » si pentru operatorii qn-Sz¶ asz-Mirakjan din Corolarul 3.1.8
este
O(1=q
[1=¸n]qn):
Pe de alta parte, pentru qn= 1, pentru tot »i n2N, ordinul de aproximare
esteO(1=p
1=¸n) =O(p¸n) (vezi Teorema 3.1.3 din cazul operatorilor tip
Baskakov).

56CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
Totu» si, pentru 0 < q n<1 pentru tot »i n2N, este u» sor de v¸ azut c¸ a
p¸n·p
2p
[1=¸n]qn, deoarece [1 =¸n]qn·2=¸n.
^Intr-adevar, not^ ³nd cu [ a]¤partea^ ³ntreag¸ a a lui a, avem 1 =¸n·[1=¸n]¤+
1, ceea ce prin 0 < qn<1 implic¸ a q[1=¸n]¤+1
n ·q1=¸nn, conduc^ ³nd la [1 =¸n]qn·
[[1=¸n]¤+ 1] qn·[1=¸n]¤+ 1·2=¸n.
Pe de alta parte, din [26], Lema 3.4, n·C0[n]qn, pentru tot »i n2N(cu
C0>0 independent¸ a de n), dac¸ a » si numai dac¸ a exist¸ a o constant¸ a c >0 » si
n02N(independent¸ a de n) astfel ^ ³nc^ ³t qn
n¸c, pentru tot »i n¸n0. Deci,
^ ³n acest caz, obt »inem
1=¸n·[1=¸n]¤+ 1·C0[[1=¸n]¤+ 1] qn
·C0[2[1=¸n]¤]qn·2C0[[1=¸n]¤]qn·2C0[1=¸n]qn:
^In concluzie, dac¸ a ^ ³n Corolariile 3.1.7 » si 3.1.8, qneste ales s¸ a satisfac¸ a qn
n¸
c, pentru tot »i n¸n0, 0< q n<1,n2N, » si lim n!1qn= 1, atunci
ordinele de aproximare pentru operatorii qn-Baskakov » si qn-Sz¶ asz-Mirakjan
corespunzatori, sunt !1¡
f;p¸n¢
, care pot ¯ alese s¸ a convearg¸ a la zero c^ ³t
de rapid dorim.
3.2 Operatori Sz¶ asz-Stancu generalizat »i pe
[0;+1)
Fie 0·®·¯» si¸n>0,n2Nsatisfac^ ³nd lim n!1¸n= 0.
^In aceast¸ a sect »iune obt »inem estim¸ ari pentru operatorii generalizat »i Sz¶ asz-
Stancu dat »i de formula
L(®;¯)
n(f;¸n)(x) =e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢fµ¸n(j+®)
1 +¯¸n¶
; x¸0:

3.2. OPERATORI SZ ¶ASZ-STANCU GENERALIZAT »I PE [0;+1) 57
Operatorii de mai sus s-au obt »inut folosind idea din Sect »iunea 3.1 (adic¸ a
de ^ ³nlocuire a lui ncu1
¸n) ^ ³n formula operatorilor clasici Sz¶ asz-Stancu de
variabil¸ a real¸ a, de¯nit »i prin (vezi, de exemplu, [52])
S(®;¯)
n(f)(x) =e¡nx1X
k=01
k!(nx)k¢f((k+®)=(n+¯)); x¸0:
Este clar c¸ a L(®;¯)
neste operator liniar » si pozitiv pe [0 ;+1), pentru orice
n2N.
Mai ^ ³nt^ ³i, avem nevoie de urm¸ atorul rezultat auxiliar.
Lema 3.2.1. (Opri» s [62]) Fie0·®·¯» si¸n>0,n2Ncu
limn!1¸n= 0. Pentru tot »i n2N» six¸0au loc :
(i)L(®;¯)
n(e0;¸n)(x) = 1 ;L(®;¯)
n(e1;¸n)(x) =x+¸n®
1+¸n¯;
(ii)L(®;¯)
n(e2;¸n)(x) =(x+¸n®)2+¸nx
(1+¸n¯)2=h
x+¸n®
1+¸n¯i2
+¸nx
(1+¸n¯)2;
(iii)L(®;¯)
n((¢ ¡x)2;¸n)(x) =¸n¢¸n(®¡x¯)2+x
(1+¸n¯)2.
Demonstrat »ie. (i) Relat »ia K(®;¯)
n(e0;¸n)(x) = 1 rezult¸ a imediat¸ a.
Apoi, rezult¸ a
L(®;¯)
n(e1;¸n)(x) =e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸n(j+®)
1 +¯¸n=e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸nj+¸n®
1 +¯¸n
=e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸nj
1 +¯¸n+e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸n®
1 +¯¸n
=1
1 +¸n¯¢Sn(e1;¸n)(x) +¸n®
1 +¸n¯¢Sn(e0;¸n)(x) =x
1 +¸n¯+¸n®
1 +¸n¯;
deoarece pentru operatorii Sn(f;¸n)(x) de¯nit »i la inceputul Subsectiunii
3.1.1, din lucrarea [17] (pentrubn
aninlocuit de ¸n), obt »inem imediat c¸ a
Sn(e1;¸n)(x) =x» siSn(e0;¸n)(x) = 1.
(ii) Rezult¸ a
L(®;¯)
n(e2;¸n)(x) =e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢µ¸n(j+®)
1 +¯¸n¶2

58CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
=e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸2
n(j2+ 2j®+®2)
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n
=e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸2
nj2+ 2j¸2
n®+¸2
n®2
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n=e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸2
nj2
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n
+e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢j¸n2¸n®
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n+e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢¸2
n®2
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n
=Sn(e2;¸n)(x)¢1
1 + 2 ¯¸n+¸2
n¯2+Sn(e1;¸n)(x)¢2¸n®
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2
+Sn(e0;¸n)(x)¢¸2
n®2
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2
= [x2+¸nx]¢1
1 + 2 ¯¸n+¸2
n¯2+x¢2¸n®
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2+¸2
n®2
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2
=(x+¸n®)2+¸nx
(1 +¸n¯)2;
deoarece din nou, din lucrarea [17] avem deasemenea Sn(e2;¸n)(x) =x2+
¸nx.
(iii) Din relat »ia de la punctele anterioare (i) » si (ii), obt »inem
L(®;¯)
n((t¡x)2;¸n)(x) =e¡x=¸n1X
k=0xk
¸k
nk!¢·¸n(j+®)
1 +¯¸n¡x¸2
=L(®;¯)
n(e2;¸n)(x)¡2xL(®;¯)
n(e1;¸n)(x) +x2L(®;¯)
n(e0;¸n)(x)
=·x+¸n®
1 +¸n¯¸2
+¸nx
(1 +¸n¯)2¡2xµx+¸n®
1 +¸n¯¶
+x2
=x2+ 2¸n®x+¸2
n®2+¸nx¡(2×2+ 2x¸n®)(1 + ¸n¯) +x2(1 +¸n¯)2
(1 +¸n¯)2
¸2
n®2+¸nx¡2x¸2
n®¯+x2¸2
n¯2
(1 +¸n¯)2=(¸n®¡x¸n¯)2+¸nx
(1 +¸n¯)2
=¸n¢¸n(®¡x¯)2+x
(1 +¸n¯)2:
¤

3.2. OPERATORI SZ ¶ASZ-STANCU GENERALIZAT »I PE [0;+1) 59
Not¸ am cu CB(R+) spat »iul tuturor funct »iilor reale, continue » si m¸ arginite
pe [0;1). Are loc urm¸ atorul rezultat.
Teorema 3.2.2. (Opri» s [62]) Fie0·®·¯,¸n>0,n2Ncu
limn!1¸n= 0, c^ ³t de rapid dorim. Atunci, pentru f2CB(R+)uniform
continu¸ a, are loc estimarea
jL(®;¯)
n(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2!1³
f;p
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x´
; x¸0;
unde !1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1);jx¡yj ·±greprezint¸ a
modulul de continuitate al funct »iei f.
Demonstrat »ie. Aplic^ ³nd teorema lui Shisha-Mond pentru operatori
liniari » si pozitivi din [64] (vezi de asemenea Corolarul 1.6.3, (i), p. 55 din
[2]) » si folosind Lemma 3.2.1, (iii), obt »inem
jL(®;¯)
n(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2!1(f;q
L(®;¯)
n((t¡x)2;¸n)(x))
= 2!1Ã
f;p
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x
1 +¸n¯!
·2!1³
f;p
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x´
:
¤
Corolarul urm¸ ator este o consecint »¸ a imediat¸ a a Teoremei 3.2.2.
Corolar 3.2.3. (Opri» s [62]) Sub ipotezele Teoremei 3.2.2, dac¸ a, ^ ³n plus,
exist¸ a L >0astfel ^ ³nc^ ³t jf(x)¡f(y)j ·Ljx¡yj, pentru tot »i x; y2[0;1)
(feste funct »ie Lipschitz), atunci
jL(®;¯)
n(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2Lp
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x; n2N; x¸0:
Observat »ii. 1) Dac¸ a xapart »ine unui subinterval compact al lui [0 ;+1),
atunci ^ ³n mod evident primim convergent »a uniform¸ a in acel subinterval.
2) Deoarece » sirul ¸npoate ¯ ales s¸ a convearg¸ a la zero c^ ³t de rapid dorim,
rezultatele din Teorema 3.2.2 » si Corolar 3.2.3 sunt de tip de¯nitiv, adic¸ a sunt
cele mai bune posibile (nu se mai pot ^ ³mbun¸ at¸ at »i).

60CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
3.3 Operatori Baskakov-Stancu generalizat »i
pe[0;+1)
Fie 0·®·¯» si (¸n)nun » sir de numere reale pozitive cu proprietatea c¸ a
limn!1¸n= 0, c^ ³t de rapid dorim.
Scopul acestei sect »iuni este de a folosi idea din Sect »iunea 3.1 (adic¸ a de
^ ³n;ocuire a lui ncu1
¸n) ^ ³n formula operatorilor clasici Baskakov-Stancu de
variabil¸ a real¸ a, de¯nit »i prin (vezi, de exemplu, [8])
W(®;¯)
n(f)(x) = (1 + x)¡n1X
j=0µn+j¡1
j¶µx
1 +x¶j
f((j+®)=(n+¯))
= (1 + x)¡n1X
j=0n(n+ 1)¢:::(n+j¡1)
j!¢xj
(1 +x)jfµj+®
n+¯¶
; x¸0:
^In acest mod, putem de¯ni operatorii Baskakov-Stancu generalizat »i prin
formula
K(®;¯)
n(f;¸n)(x)
= (1+ x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)jfµ¸n(j+®)
1 +¯¸n¶
=1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)·¸n®
1 +¸n¯; :::;¸n(®+j)
1 +¸n¯;f¸
xj; x¸0:
Evident c¸ a K(®;¯)
neste operator liniar » si pozitiv pe [0 ;+1), pentru orice
n2N.
Mai ^ ³nt^ ³i, avem nevoie de urm¸ atorul rezultat auxiliar.
Lema 3.3.1. (Opri» s [62]) Fie0·®·¯» si¸n>0,n2Ncu
limn!1¸n= 0. Pentru tot »i n2N» six¸0au loc :
(i)K(®;¯)
n(e0;¸n)(x) = 1 ;K(®;¯)
n(e1;¸n)(x) =x+¸n®
1+¸n¯;
(ii)K(®;¯)
n(e2;¸n)(x) =(x+¸n®)2+¸nx(x+1)
(1+¸n¯)2 =h
x+¸n®
1+¸n¯i2
+¸nx(x+1)
(1+¸n¯)2;

3.3. OPERATORI BASKAKOV-STANCU GENERALIZAT »I PE [0;+1)61
(iii)K(®;¯)
n((¢ ¡x)2;¸n)(x) =¸n¢¸n(®¡x¯)2+x(1+x)
(1+¸n¯)2.
Demonstrat »ie. (i) Relat »ia K(®;¯)
n(e0;¸n)(x) = 1 rezult¸ a imediat¸ a din a
doua forma a operatorului K(®;¯)
n.
Apoi, rezult¸ a
K(®;¯)
n(e1;¸n)(x)
= (1+ x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸n(j+®)
1 +¯¸n
= (1+ x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸nj+¸n®
1 +¯¸n
= (1 + x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸nj
1 +¯¸n
+(1 + x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸n®
1 +¯¸n
=1
1 +¸n¯¢Vn(e1;¸n)(x) +¸n®
1 +¸n¯¢Vn(e0;¸n)(x) =x
1 +¸n¯+¸n®
1 +¸n¯:
Mai sus am folosit faptul c¸ a din Corolarul 2.1, (i) din [45], avem
Vn(e1;¸n)(x) =xandVn(e0;¸n)(x) = 1 :
(ii) Rezult¸ a
K(®;¯)
n(e2;¸n)(x)
= (1+ x)¡1=¸n1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢·¸n(j+®)
1 +¯¸n¸2
= (1 + x)¡1=¸n
¢1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸2
n(j2+ 2j®+®2)
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n
= (1 + x)¡1=¸n
¢1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸2
nj2+ 2j¸2
n®+¸2
n®2
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n

62CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
= (1 + x)¡1=¸n
¢1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸2
nj2
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n
+(1 + x)¡1=¸n
¢1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢j¸n2¸n®
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n
+(1 + x)¡1=¸n
¢1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢¸2
n®2
1 + 2 ¯¸n+¯2¸2
n
=Vn(e2;¸n)(x)¢1
1 + 2 ¯¸n+¸2
n¯2+Vn(e1;¸n)(x)¢2¸n®
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2
+Vn(e0;¸n)(x)¢¸2
n®2
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2
= [x2+¸nx(1+x)]¢1
1 + 2 ¯¸n+¸2
n¯2+x¢2¸n®
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2+¸2
n®2
1 + 2 ¸n¯+¸2
n¯2
=(x+¸n®)2+¸nx(x+ 1)
(1 +¸n¯)2:
Mai sus am folosit relat »ia (din Corolarul 2.1, (ii) din [45]) Vn(e2;¸n)(x) =
x2+¸nx(1 +x).
(iii) Din relat » de la punctele anterioare (i) » si (ii), obt »inem
K(®;¯)
n((t¡x)2;¸n)(x) = (1 + x)¡1=¸n
¢1X
j=01
j!¢1
¸n¢µ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢xj
(1 +x)j¢·¸n(j+®)
1 +¯¸n¡x¸2
=K(®;¯)
n(e2;¸n)(x)¡2xK(®;¯)
n(e1;¸n)(x) +x2K(®;¯)
n(e0;¸n)(x)
=·x+¸n®
1 +¸n¯¸2
+¸nx(x+ 1)
(1 +¸n¯)2¡2xµx+¸n®
1 +¸n¯¶
+x2
=x2+ 2¸n®x+¸2
n®2+¸nx(1 +x)¡(2×2+ 2x¸n®)(1 + ¸n¯)
(1 +¸n¯)2

3.3. OPERATORI BASKAKOV-STANCU GENERALIZAT »I PE [0;+1)63
+x2(1 +¸n¯)2
(1 +¸n¯)2
=¸2
n®2+¸nx(1 +x)¡2x¸2
n®¯+x2¸2
n¯2
(1 +¸n¯)2=(¸n®¡x¸n¯)2+¸nx(1 +x)
(1 +¸n¯)2
=¸n¢¸n(®¡x¯)2+x(1 +x)
(1 +¸n¯)2:
¤
Not¸ am cu CB(R+) spat »iul tuturor funct »iilor reale, continue » si m¸ arginite
pe [0;1). Are loc urm¸ atorul rezultat.
Teorema 3.3.2. (Opri» s [62]) Fie0·®·¯,¸n>0,n2Ncu
limn!1¸n= 0, c^ ³t de rapid dorim. Atunci, pentru f2CB(R+)uniform
continu¸ a, are loc estimarea
jK(®;¯)
n(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2!1³
f;p
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x(1 +x)´
; x¸0;
unde !1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1);jx¡yj ·±greprezint¸ a
modulul de continuitate al funct »iei f.
Demonstrat »ie. Aplic^ ³nd teorema lui Shisha-Mond pentru operatori
liniari » si pozitivi din [64] (vezi de asemenea Corolarul 1.6.3, (i), p. 55 din
[2]) » si folosind Lemma 3.3.1, (iii), obt »inem
jK(®;¯)
n(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2!1(f;q
K(®;¯)
n((t¡x)2;¸n)(x))
= 2!1Ã
f;p
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x(1 +x)
1 +¸n¯!
·2!1³
f;p
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x(1 +x)´
:
¤
Observat »ie. Pentru ®=¯= 0, reobt »inem estimarea pentru Vn(f;¸n)
obt »inut¸ a ^ ³n Corolarul 2.1, (ii) din [45] (vezi de asemenea Sect »iunea 3.1 an-
terioar¸ a).

64CAP. 3. ORDIN ARBITRAR CU OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV
Corolarul urm¸ ator este o consecint »¸ a imediat¸ a a Teoremei 3.3.2.
Corolar 3.3.3. (Opri» s [62]) Sub ipotezele Teoremei 3.3.2, dac¸ a, ^ ³n plus,
exist¸ a L >0astfel ^ ³nc^ ³t jf(x)¡f(y)j ·Ljx¡yj, pentru tot »i x; y2[0;1)
(feste funct »ie Lipschitz), atunci
jK(®;¯)
n(f;¸n)(x)¡f(x)j ·2Lp
¸n¢p
¸n(®¡x¯)2+x(1 +x); n2N; x¸0:
Observat »ii. 1) Dac¸ a xapart »ine unui subinterval compact al lui [0 ;+1),
atunci ^ ³n mod evident primim convergent »a uniform¸ a in acel subinterval.
2) Deoarece » sirul ¸npoate ¯ ales s¸ a convearg¸ a la zero c^ ³t de rapid dorim,
rezultatele din Teorema 3.3.2 » si Corolar 3.3.3 sunt de tip de¯nitiv, adic¸ a sunt
cele mai bune posibile (nu se mai pot ^ ³mbun¸ at¸ at »i).

Cap. 4
Aproximarea cu un ordin
arbitrar prin operatori de tip
Sz¶ asz » si Baskakov de variabil¸ a
complex¸ a
^In acest capitol, se reiau ideile din capitolul precedent » si se transpun la cazul
aproxim¸ arii funct »iilor analitice, prin operatori complec» si Sz¶ asz » si Baskakov,
^ ³n mult »imi compacte din C. Studiem dou¸ a cazuri : (i) aproximare ^ ³n discuri
compacte cu centrul ^ ³n origine ; (ii) aproximare ^ ³n mult »imi compacte arbi-
trare, prin folosirea polinoamelor Faber ata» sate acestor mult »imi compacte.
4.1 Ordin arbitrar ^ ³n discuri compacte
Fie deci ¸n>0,n2N, un » sir cu proprietatea c¸ a ¸n!0 c^ ³t de rapid dorim.
Pentru c^ ³t »iva operatori complec» si generalizat »i de tip Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kan-
torovich, » si Baskakov, ata» sat »i funct »iilor ^ ³ntregi sau funct »iilor analitice de
65

66CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
crestere exponentiala ^ ³n discuri compacte ( » si fara a mai implica » si valorile
funct »iei fpe [0;+1), obt »inem ordinul de aproximare O(¸n) .
4.1.1 Introducere
^In lucrarea [17], cu notat »iile de acolo pentru dou¸ a » siruri anandbn,n2N
(si not^ ³nd aici ¸n=bn
an) autorii au introdus operatorul complex generalizat
de tip Sz¶ asz, prin formula
Sn(f;¸n)(z) =e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢f(j¸n); (4.1)
unde ¸n>0,¸n!0.
Pentru acest operator, ata» sat funct »iilor f:DRS[R;+1)!Cde
crestere exponentiala^ ³n DRS[R;+1), analitic¸ a^ ³n discul DR=fz2C;jzj<
Rg,R > 1 » si continu¸ a pe [0 ;+1), ^ ³n [17] a fost obt »inut ordinul exact de
aproximare O(¸n). De asemenea, ^ ³n aceeasi lucrare a fost obt »inut un rezul-
tat de tip Voronovskaja, cu o estimare superioara de ordinul O(¸2
n).
Primul scop al acestei sect »iuni este de a extinde rezultatele din [17] la
cazul funct »iilor ^ ³ntregi » si apoi, la un tip de operator Sz¶ asz, care nu implic¸ a
valorile lui fpe [0 ;+1). De asemenea, se introduce un operator de tip
Sz¶ asz-Kantorovich, pentru care se obt »in rezultate similare, imbun¸ at¸ at »ind
atfel ^ ³n mod esent »ial ordinul de aproximare O(1=n) obt »inut ^ ³n [61].
^In al doilea r^ ³nd, ^ ³n aceast¸ a sect »iune introducem operatori complec» si
Baskakov generalizat »i, pentru care se obt »in rezultate similare cu cele pentru
operatorii de tip Sz¶ asz.

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 67
4.1.2 Operatori Sz¶ asz » si Sz¶ asz-Kantorovich
^In cazul operatorului complex de tip Sz¶ asz, putem demonstra urm¸ atorul
rezultat.
Teorema 4.1.1. (Gal-Opri» s [48]) Fie¸n>0,n2Ncu¸n!0c^ ³t
de rapid dorim. Fie f:DR!C,1< R·+1, adic¸ a f(z) =P1
k=0ckzk,
pentru tot »i z2DR. Presupunem c¸ a exist¸ a M > 0» siA2(1=R;1), cu
proprietatea jckj ·MAk
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a jf(z)j ·
MeAjzjpentru tot »i z2DR). Consider¸ am 1·r <1
A.
(i) Dac¸ a R= +1, (1=R= 0), adic¸ a feste o funct »ie ^ ³ntreag¸ a, atunci
Sn(f;¸n)(z)este funct »ie ^ ³ntreag¸ a, pentru tot »i z2C,n2Navem
Sn(f;¸n)(z) =1X
k=0ckSn(ek;¸n)(z)
» si pentru tot »i jzj ·rurm¸ atoarele estim¸ ari au loc :
jSn(f;¸n)(z)¡f(z)j ·Cr;M;A¢¸n;
jS(p)
n(f;¸n)(z)¡f(p)(z)j ·p!r1¢Cr1;M;A
(r1¡r¢¸n;
¯¯¯¯Sn(f;¸n)(z)¡f(z)¡¸n
2zf00(z)¯¯¯¯·Mr(f)(z)¢¸2
n·Cr(f)¢¸2
n;
kS(p)
n(f;¸n)¡f(p)kr»¸n;
ultima echivalent »a av^ ³nd loc dac¸ a fnu este un polinom de gradul ·p2N
iar constantele din echivalent »a depind de f,r,p.
Mai sus avem, Cr;M;A =M
2rP1
k=2(k+1)(rA)k<1,p2N,1·r < r 1<
1
A,Mr(f)(z) =3MAjzj
r2¢P1
k=2(k+ 1)( rA)k¡1<1,Cr(f) =3MA
r¢P1
k=2(k+
1)(rA)k¡1sikfkr= max fjf(z)j;jzj ·rg.
(ii) Dac¸ a R <+1, atunci operatorul de aproximare complex
S¤
n(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢Sn(ek;¸n)(z); z2Dr;

68CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
este bine de¯nit » si S¤
n(f;¸n)(z)satisface toate estim¸ arile de la punctul (i),
pentru tot »i 1·r <1
A< R.
Demonstrat »ie. (i) Primim
jSn(f;¸n)(z)j · je¡z=¸nj ¢1X
j=0(jzj=¸n)j
j!¢ jf(j¸n)j
·M¢ je¡z=¸nj ¢1X
j=0(jzj=¸n)j
j!¢eAj¸n=M¢ je¡z=¸nj ¢1X
j=0(eA¸njzj=¸n)j
j!¢eAj¸n
=M¢ je¡z=¸nj ¢eeA¸njzj=¸n<+1;
pentru tot »i z2C, ceea ce arata c¸ a Sn(f;¸n) este o funct »ie ^ ³ntreag¸ a.
Acum, deoarece putem scrie
Sn(f;¸n)(z) =e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢"1X
k=0ck¢(j¸n)k#
;
dac¸ a cele dou¸ a sume in¯nite de mai sus ar comuta, atunci am obt »ine
Sn(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢"
e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢(j¸n)k#
=1X
k=0ckSn(ek;¸n)(z):
Este binecunoscut rezultatul de tip Fubini, care spune c¸ a o condit »ie su¯-
cient¸ a pentru comutativitatea a dou¸ a sume in¯nite, adic¸ a pentru
1X
k=01X
j=0ak;j=1X
j=01X
k=0ak;j;
este caP1
j=0P1
k=0jak;jj<+1.
Aplicat¸ a la cazul nostru, ultima condit »ie devine
je¡z=¸nj ¢1X
j=0(jzj=¸n)j
j!1X
k=0jckj ¢(j¸n)k
·Mje¡z=¸nj ¢1X
j=0(jzj=¸n)j
j!1X
k=0(Aj¸ n)k
k!

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 69
=Mje¡z=¸nj ¢1X
j=0(jzj=¸n)j
j!eAj¸n=Mje¡z=¸nj ¢eeA¸njzj=¸n<1;
pentru tot »i z2C, ceea ce arata
Sn(f;¸n)(z) =1X
k=0ckSn(ek;¸n)(z); z2C:
Acum, prima estimare este imediat¸ a din Teorema 3, (i) din [17], a doua
estimare este imediat¸ a din Teorema 3, (ii) din [17], a treia estimare este
imediat¸ a din Teeorema 4 din [17] iar a patra estimare este imediat¸ a din
Teorema 7 din [17], lu^ ³nd ^ ³n toate aceste rezultatebn
an:=¸n.
(ii)S¤
n(f;¸n)(z) este bine de¯nit pentru tot »i z2DR(adic¸ a pentru tot »i
jzj ·rcur < R ),n2N, deoarece
jS¤
n(f;¸n)(z)j ·1X
k=0jckj ¢ jSn(ek;¸n)(z)j ·M1X
k=0Ak
k!¢ jSn(ek;¸n)(z)j:
Pe de alta parte, din inegalitatea (6) din demonstrat »ia Teoremei 3, (i) din
[17] (not^ ³nd acolobn
an=¸n), obt »inem
jSn(ek;¸n)(z)j · jSn(ek;¸n)(z)¡ek(z)j+jek(z)j ·(k+ 1)!
2rk¡1¸n+rk;
ceea ce ^ ³nlocuita mai sus, conduce la
jS¤
n(f;¸n)(z)j ·M1X
k=0Ak
k!¢(k+ 1)!
2¢rk¡1¢¸n+M1X
k=0Ak
k!rk
=M
2r¸n1X
k=0(k+ 1)( Ar)k+MeAr<1:
^In ¯nal, estim¸ arile din acest caz rezult· a imediat din acelea» si teoreme ca
» si cele ment »ionate la punctul (i). ¤
^In cele ce urmeaz¸ a, putem de¯ni operatorul complex, generalizat Sz¶ asz-
Kantorovich prin formula
Kn(f;¸n)(z) =e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢1
¸n¢Z(j+1)¸n
j¸nf(v)dv

70CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
=e¡z=¸n1X
j=0(z=¸ n)j
j!¢Z1
0f((t+j)¸n)dt:
Not^ ³nd F(z) =Rz
0f(t)dt, un calcul simplu ne conduce la formula (sub
ipoteza c¸ a seria Sn(F;¸n)(z) este uniform convergenta)
Kn(f;¸n)(z) =S0
n(F;¸n)(z): (4.2)
Putem demonstra urm¸ atoarele rezultate.
Teorema 4.1.2. (Gal-Opri» s [48]) Fie¸n>0,n2Ncu¸n!0oric^ ³t
de rapid dorim. Fie f:DR!C,1< R·+1, adic¸ a f(z) =P1
k=0ckzk,
pentru tot »i z2DR. Presupunem c¸ a exist¸ a M > 0» siA2(1=R;1), cu
proprietatea jckj ·MAk
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a jf(z)j ·
MeAjzjpentru tot »i z2DR). De asemenea, consider¸ am 1·r <1=A.
(i) Dac¸ a R= +1, (1=R= 0), adic¸ a feste o funct »ie ^ ³ntreag¸ a, atunci
Kn(f;¸n)(z)este funct »ie ^ ³ntreag¸ a, pentru tot »i z2C,n2Navem
Kn(f;¸n)(z) =1X
k=0ckKn(ek;¸n)(z)
» si pentru tot »i jzj ·r, au loc urm¸ atoarele estim¸ ari :
¯¯¯¯Kn(f;¸n)(z)¡f(z)¡¸n
2[f0(z) +zf00(z)]¯¯¯¯·C0
r(f)¢¸2
n;
kK(p)
n(f;¸n)¡f(p)kr»¸n;
ultima echivalent »a av^ ³nd loc dac¸ a fnu este un polinom de gradul ·p» si
constantele din echivalent »a depind de f,r,p.
Mai sus, avem p2NSf0g,C0
r(f)<1este o constant¸ a independent¸ a
den» siziarkfkr= max fjf(z)j;jzj ·rg.
(ii) Dac¸ a R <+1, atunci operatorul complex de aproximare
K¤
n(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢Kn(ek;¸n)(z); z2Dr;

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 71
este bine de¯nit » si K¤
n(f;¸n)(z)satisface toate estim¸ arile de la punctul (i),
pentru tot »i 1·r <1
A< R.
Demonstrat »ie. (i) Din (4.2) putem scrie
¯¯¯¯Kn(f;¸n)(z)¡f(z)¡¸n
2[f0(z) +zf00(z)]¯¯¯¯
=¯¯¯¯S0
n(F;¸n)(z)¡F0(z)¡¸n
2[F00(z) +zF000(z)]¯¯¯¯
=¯¯¯¯·
Sn(F;¸n)(z)¡F(z)¡¸n
2zF00(z)¸0¯¯¯¯:
Fie ¡ cercul de raz¸ a r1» si centru 0, cu1
A> r 1> r. Pentru orice jzj ·r» si
v2¡, avem jv¡zj ¸r1¡r.
Not^ ³nd En(F)(z) =Sn(F;¸n)(z)¡F(z)¡¸n
2zF00(z), din formula lui
Cauchy » si din Teorema 4.1.1 de mai sus, primim
jE0
n(F)(z)j=1
2¼¯¯¯¯Z
¡En(F)(z)
(v¡z)2dv¯¯¯¯·Cr(F)¢1
2¼¢2¼r1
(r1¡r)2¢¸2
n:=C0
r(f)¢¸2
n;
unde C0
r(f) =Cr(F)¢r1
(r1¡r)2este o constant¸ a independent¸ a de n» siz.
Pe de alta parte, din (4.2) » si din echivalenta din Teorema 4.1.1, (i) de
mai sus, primim
kK(p)
n(f;¸n)¡f(p)kr=kS(p+1)
n(F;¸n)¡F(p+1)kr»¸n;
dac¸ a Fnu este un polinom de grad ·p+1, adic¸ a dac¸ a fnu este un polinom
de grad ·p.
(ii) Mai ^ ³nt^ ³i ar¸ at¸ am c¸ a K¤
n(f;¸n)(z) este bine de¯nit¸ a pentru tot »i z2
DR.^Intr-adev¸ ar, primim
jK¤
n(f;¸n)(z)j ·1X
k=0jckj ¢ jKn(ek;¸n)(z)j ·M1X
k=0Ak
k!¢ jKn(ek;¸n)(z)j
=M1X
k=0Ak
k!¢1
k+ 1¢ jS0
n(ek+1;¸n)(z)j;

72CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
unde din formula lui Cauchy » si tin^ ³nd cont de estimarea de la punctul (ii)
a Teoremei 4.1.1 de mai sus pentru Sn(ek+1;¸n)(z), rezult· a
jS0
n(ek+1;¸n)(z)j ·¯¯¯¯1
2¼Z
¡Sn(ek+1;¸n)(v)
(v¡z)2dv¯¯¯¯
·r1
(r1¡r)2·(k+ 2)!
2rk¸n+rk+1¸
:
Mai sus, ¡ este un cerc de raza r1cur < r 1< R» si centru 0.
Acum, ^ ³nlocuind estimarea de mai sus, rezult· a
jK¤
n(f;¸n)(z)j ·Mr1
(r1¡r)2¢1X
k=0Ak
k!¢1
k+ 1¢·(k+ 2)!
2rk¸n+rk+1¸
=Mr1¸n
2(r1¡r)2¢1X
k=0(k+ 2)( Ar)k+Mr1r
(r1¡r)2¢eAr<1:
^In ¯nal, estim¸ arile din acest caz, rezult· a imediat din acelea» si teoreme
ment »ionate la punctul (i). ¤
Observat »ii. 1)^In concluzie, rezultatele din cazul complex, Teoremele
4.1.1 » si 4.1.2, sunt de tip de¯nitiv, ^ ³n sensul c¸ a permit construirea de opera-
tori care pot aproxima funct »iile cu un ordin arbitrar, ales dinainte. ^In acela» si
timp, rezultatele obt »inute au » si un puternic caracter uni¯cator, ^ ³n sensul c¸ a
se pot reobt »ine din ele toate rezultatele obt »inute anterior de numero» si alt »i
autori, prin diferite alegeri particulare ale nodurilor ¸n.
2) Prima estimare din enunt »ul Teoremei 4.1.1, (i), a fost extins¸ a (cu o
constant¸ a diferit¸ a desigur) ^ ³n [38] la aproximarea cu operatori generalizat »i
Sz¶ asz-Faber, ^ ³n mult »imi compacte din C.

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 73
4.1.3 Operatori Baskakov generalizat »i
Pentru xreal » si ¸0, formula original¸ a a operatorului clasic al lui Baskakov,
este dat¸ a de (vezi [9])
Zn(f)(x) = (1 + x)¡n1X
k=0µn+k¡1
k¶µx
1 +x¶k
f(k=n):
Multe rezultate de aproximare ale acestui operator clasic au fost publicate
dea lungul timpului.
Potrivit Teoremei 2 din [57], sub acelea» si ipoteze ale lui fpotrivit c¸ arora
Zn(f)(x) este bine de¯nit » si not^ ³nd cu [0 ;1=n; :::; j=n ;f] diferent »a divizat¸ a a
luifpe nodurile 0, …, j=n, pentru x¸0 putem scrie Zn(f)(x) =Wn(f)(x),
x¸0, unde
Wn(f)(x) :=1X
j=0µ
1 +1
n¶
¢:::¢µ
1 +j¡1
n¶
¢[0;1=n; :::; j=n ;f]xj; x¸0;
(4.3)
(aici pentru j= 0 » si j= 1 luam (1 + 1 =n)¢:::¢(1 + ( j¡1)=n) = 1).
Pentru ¸n&0, arbitrar, din formula (1) din lucrarea [45] (particu-
lariz^ ³nd acolo 'n(¸n;x) = (1 + x)¡1=¸n),Zn(f)(x) poate ¯ generalizat prin
formula
Zn(f;¸n)(x)
= (1+ x)¡1=¸n¢1X
j=01
j!¢1
¸nµ
1 +1
¸n¶
¢:::¢µ
j¡1 +1
¸n¶
¢µx
1 +x¶j
f(j¸n);
x¸0;unde prin convent »ie avem1
¸n³
1 +1
¸n´
¢:::¢³
j¡1 +1
¸n´
= 1 pentru
j= 0.
Pentru aceast¸ a generalizare, ^ ³n [45] s-a obt »inut ordinul de aproximare
!1(f;p¸n¢p
x(1 +x)).

74CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
^In mod corespunzator, Wn(f)(x) dat de formula (4.3), poate ¯ general-
izat prin formula
Wn(f;¸n)(x) =1X
j=0(1 +¸n):::(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;f]xj; x¸0;
unde prin convent »ie, (1 + ¸n):::(1 + ( j¡1)¸n) = 1 pentru j= 0.
Este clar c¸ a Zn(f;¸n)(x) =Wn(f;¸n)(x) for all x¸0, dar dup¸ a cum
a fost observat ^ ³n [36], p. 124, ^ ³n cazul particular ¸n=1
n, dac¸ a jxj<1 nu
este pozitiv, atunci Wn(f;¸n)(x) » siZn(f;¸n)(x) nu neaparat coincid » si din
cauza acestui motiv, ^ ³n sect »iunea 1.8 a cart »ii [36], pp. 124-138, ei au fost
studiat »i separat, sub diferite ipoteze asupra lui f» siz2C.
^In cele ce urmeaz¸ a, vom studia propriet¸ at »ile de aproximare ale op-
eratorilor Baskakov generalizat »i complec» si Wn(f;¸n)(z), ata» sat »i funct »iilor
analitice satisfac^ ³nd anumite condit »ii de cre» stere exponentiala.
^In acest sens, putem enunt »a urm¸ atoarea.
Teorema 4.1.3. (Gal-Opri» s [48]) Fie0< ¸ n·1
2,n2Ncu¸n!0c^ ³t
de ra[id dorim. Fie f:DR!C,1< R·+1, adic¸ a f(z) =P1
k=0ckzk,
pentru tot »i z2DR. Presupunem c¸ a exist¸ a M > 0» siA2(1=R;1), cu
proprietatea jckj ·MAk
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a jf(z)j ·
MeAjzjpentru tot »i z2DR). Consider¸ am 1·r <1
A.
(i) Dac¸ a R= +1, (1=R= 0), adic¸ a feste o funct »ie ^ ³ntreag¸ a, atunci
pentru jzj ·r,Wn(f;¸n)(z)este funct »ie analitic¸ a, avem Wn(f;¸n)(z) =
P1
k=0ckWn(ek;¸n)(z)» si au loc urm¸ atoarele estim¸ ari :
jWn(f;¸n)(z)¡f(z)j ·Cr;M;A¢¸n;
jW(p)
n(f;¸n)(z)¡f(p)(z)j ·p!r1¢Cr1;M;A
(r1¡r¢¸n;
¯¯¯¯Wn(f;¸n)(z)¡f(z)¡¸n
2z(1 +z)f00(z)¯¯¯¯·Mr(f)¢¸2
n;

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 75
kW(p)
n(f;¸n)¡f(p)kr»¸n;
ultima echivalent »a av^ ³nd loc dac¸ a fnu este un polinom de grad ·p2Niar
constantele din echivalent »¸ a depind de f,r,p.
Mai sus, Cr;M;A = 6MP1
k=2(k+ 1)( k¡1)(rA)k<1,p2N,1·
r < r 1<1
A,Mr(f) = 16 M¢P1
k=3(k¡1)(k¡2)(rA)k<1andkfkr=
maxfjf(z)j;jzj ·rg.
(ii) Dac¸ a R <+1, atunci operatorul complex de aproximare
W¤
n(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢Wn(ek;¸n)(z); z2Dr;
este bine de¯nit » si W¤
n(f;¸n)(z)satisface toate estim¸ arile de la punctul (i),
pentru tot »i 1·r <1
A< R.
Demonstrat »ie. (i) Fie f(z) =P1
k=0ckzk,z2C.^In mod formal,
putem scrie
Wn(f;¸n)(z) =1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;1X
k=0ckek]¢zj:
Deoarece, ^ ³n general, pentru o diferent »a divizat¸ a avem formula [ x0; :::; x j¡1:
F] =Pj¡1
p=0F(xp)
up(xp), unde up(x) = (x¡x0)¢:::¢(x¡xp¡1)(x¡xp+1)¢:::¢(x¡xj¡1)
» si deoaree o suma ¯nita comuta cu o suma in¯nita, obt »inem
Wn(f;¸n)(z) =1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢1X
k=0ck¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]¢zj:
Acum, dac¸ a cele dou¸ a sume in¯nite de mai sus ar comuta, atunci am obt »ine
Wn(f;¸n)(z) =1X
k=0ck¢1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]¢zj
=1X
k=0ckWn(ek;¸n)(z):

76CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
Este binecunoscut rezultatul de tip Fubini care spune c¸ a o condit »ie su¯cient¸ a
pentru comutativitatea a dou¸ a sume in¯nite, adic¸ a pentruP1
k=0P1
j=0ak;j=
P1
j=0P1
k=0ak;j, este caP1
k=0P1
j=0jak;jj<+1.
Pentru jzj ·r, not^ ³nd
ak;j:=ck(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]zj;
ultima conditie devine
1X
k=01X
j=0jckj(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)[0; ¸n; :::;(j¡1)¸n;ek]jzjj
=1X
k=0kX
j=0jckj(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)[0; ¸n; :::;(j¡1)¸n;ek]jzjj
·M1X
k=0(Ar)k
k!kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)[0; ¸n; :::;(j¡1)¸n;ek]
·M1X
k=0(Ar)k
k!(k+ 1)! = M1X
k=0(k+ 1)( Ar)k<1:
Mai sus am folosit inegalitatea din Lema 3.2 din [47]
kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)[0; ¸n; :::;(j¡1)¸n;ek]·(k+ 1)!; z2C:
Deci obt »inem
Wn(f;¸n)(z) =1X
k=0ckWn(ek;¸n)(z); z2C;jzj ·r:
Aceast¸ a relat »ie deasemenea demonstreaz¸ a c¸ a Wn(f;¸n)(z) este analitic¸ a ^ ³n
jzj< r, pentru c¸ a, ca » si mai sus, primim
jWn(f;¸n)(z)j ·M1X
k=0(Ajzj)k
k!¢(k+1)! = M1X
k=0(k+1)(Ajzj)k<1;jzj< r:

4.1. ORDIN ARBITRAR ^IN DISCURI COMPACTE 77
Acum, s¸ a not¸ am
Tn;k(z) =Wn(ek;¸n)(z) =kX
j=0(1+¸n)¢:::¢(1+( j¡1)¸n)[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]zj:
Folosind ^ ³n mod identic rat »ionamentele din demonstrat »ia Teoremei 1.9.1,
pagina 126 din [36], obt »inem formula de recurent »a
Tn;p+1(z) =z(1 +z)¢¸nT0
n;p(z) +zTn;p(z)
» si urm^ ³nd exact rat »ionamentele din demonstrat »ia Teoremei 1.9.1 (ceea ce ^ ³n
fapt ^ ³nseamna ^ ³nlocuirea lui1
ncu¸n^ ³n toate formulele de acolo), ajungem
u» sor la estimarea
kTn;p¡epkr·6rp(p+ 1)!( p¡1)¢¸n; p= 2;3; :::;
care ^ ³n ¯nal ne conduce la estimarea
jWn(f;¸n)(z)¡f(z)j ·"
6M1X
k=2(k+ 1)( k¡1((rA)k#
¢¸n;
pentru tot »i jzj ·r,n2N.
Notam cu °cercul de raza r1> r» si centru 0. Aplic^ ³nd exact rat »iona-
mentele din [36], punctul (ii), pagina 128, ajunge u» sor la a doua estimare
din teorem¸ a.
Analog, ^ ³nlocuind de fapt1
nby¸n^ ³n toate formulele » si ^ ³n enunt »ul » si
demonstrat »ia Teoremei 1.9.3 din [36], paginile 130-131, primim » si a treia
estimare din teorema prezent¸ a.
^In ¯nal, a patra estimare rezult· a din Corolarul 1.9.4, din [36], p. 132,
^ ³nlocuind ^ ³n fapt ^ ³n toate formulele » si ^ ³n demonstrat »ia lui, peste tot1
ncu
¸n.
(ii) Din ultima estimare din demonstrat »ia punctului de mai sus (i), este
imediat c¸ a W¤
n(f;¸n)(z) este bine de¯nita pentru tot »i jzj ·r.

78CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
^In ¯nal, estim¸ arile din acest caz rezult· a imediat din acelea» si teoreme
ment »ionate la punctul (i). ¤
Observat »ie. Datorita rezultatelor din cazul variabilei reale din [45]
» si celor din cazul complex din Teorema 4.1.3, putem spune c¸ a ele sunt
de¯nitive, ^ ³n sensul c¸ a pun ^ ³n evident »a operatori de tip Baskakov care pot
aproxima funct »iile cu un ordin arbitrar, ales dinainte.
4.2 Ordin arbitrar prin operatori Baskakov-
Faber
Fie un » sir ¸n>0,n2Ncu proprietatea c¸ a ¸n!0 c^ ³t de repede dorim. ^In
aceast¸ a sect »iune, pentru un operator generalizat Baskakov-Faber, ata» sat
funct »iilor analitice de crestere exponentiala ^ ³ntr-un continuum G½C,
obt »inem ordinul de aproximare O(¸n). Indic¸ am mai multe exemple concrete
de continuumuri G, pentru care acest operator poate ¯ construit ^ ³n mod
explicit. ^In acest mod, se generalizeaz¸ a rezultatele obt »inute ^ ³n sect »iunea
anterioara pentru discuri compacte, la cazul mai general c^ ³nd discul este
^ ³nlocuit cu o mult »ime compact¸ a din C.
4.2.1 Introducere
^In conformitate cu considerat »iile din Subsect »iunea 4.1.1, not^ ³nd
Wn(f)(z) =1X
j=0µ
1 +1
n¶
¢:::¢µ
1 +j¡1
n¶
¢[0;1=n; :::; j=n ;f]zj;
pentru funct »ii analitice satisfac^ ³nd anumite condit »ii de cre» stere exponen-
tial¸ a, estim¸ ari cantitative de ordinul O¡1
n¢
^ ³n aproximarea cu Wn(f)(z) ^ ³n
discuri compacte cu centrul ^ ³n origine, au fost pentru prima dat¸ a obt »inute

4.2. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI BASKAKOV-FABER 79
^ ³n [36], sect »iunea 1.9, pp. 124-138. Pentru f(z) =P1
k=0akzk, toate rezul-
tatele cantitative se bazeaz¸ a pe formula Wn(f)(z) =P1
k=0ak¢Wn(ek)(z),
cuek(z) =zk, adic¸ a
Wn(f)(z) =1X
k=0ak¢kX
j=0µ
1 +1
n¶
¢:::¢µ
1 +j¡1
n¶
¢[0;1=n; :::; j=n ;ek]zj:
(4.4)
De asemenea, este bine de notat c¸ a estim¸ ari cantitative similare ^ ³n aprox-
imare cu alt »i operatori complec» si pot ¯ g¸ asite ^ ³n, de exemplu, c¸ artile [36],
[37], [50] » si ^ ³n lucr¸ arile [17], [39], [40]-[49], [58]-[60].
Folosind un » sir de numere reale pozitive, ( ¸n)n2N, cu¸n!0 » si sug-
erata » si de formula (4.4), ^ ³n aceast¸ a sect »iune com generaliza rezultatele
obt »inute pentru operatorii Wn(f)(z), la aproximarea prin a» sa numit »ii oper-
atori Baskakov-Faber generalizat »i, ata» sat »i unor funct »ii cu cresteri exponen-
tiale ^ ³ntr-un continuum din C, obt »in^ ³nd » si ordinul de aproximare O(¸n).
Deoarece ¸n!0, evident c¸ a fara a pierde din generalitate, putem pre-
supune c¸ a 0 < ¸ n·1
2, pentru tot »i n2N.
4.2.2 Preliminarii
Mai ^ ³ntii, amintim pe scurt c^ ³teva concepte de baz¸ a asupra polinoamelor
Faber » si ale dezvolt¸ arilor ^ ³n serie Faber.
Pentru G½Co mult »ime compact¸ a astfel^ ³nc^ ³t ~CnGeste conexa, ¯e A(G)
spat »iul Banach al tuturor funct »iilor care sunt cont^ ³nue pe G» si analitice ^ ³n
interiorul lui G, ^ ³nzesrat cu norma kfkG= supfjf(z)j;z2Gg. Not^ ³ndDr=
fz2C;jzj< rg, potrivit Teoremei lui Riemann, exist¸ a o unica aplicat »ie
conforma ă of ~CnD1pe~CnGastfel c¸ a ă( 1) =1» si ă0(1)>0. Atunci,
luiGse poate ata» sa polinomul de grad exact n,Fn(z), numit polinom Faber ,
de¯nit prină0(w)
ă(w)¡z=P1
n=0Fn(z)
wn+1; z2G;jwj>1.

80CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
Dac¸ a f2A(G) atunci
an(f) =1
2¼iZ
juj=1f(ă(u))
un+1du=1
2¼Z¼
¡¼f(ă(eit))e¡intdt; n2N[ f0g
sunt numit »i coe¯cientii Faber ai lui fiarP1
n=0an(f)Fn(z) este numit¸ a seria
(dezvoltarea) Faber ata» sata lui fpeG. Este bine de notat c¸ a seria Faber
reprezint¸ a o generalizare natural¸ a a serie Taylor, c^ ³nd discul unitate este
^ ³nlocuit cu un domeniu simplu conex m¸ arginit de o curb¸ a cu propriet¸ at »i
de netezime su¯cient de bune. Detalii asupra propriet¸ at »ilor polinoamelor » si
dezvoltarilor Faber pot ¯ gasite ^ ³n, de exemplu, [33], [65].
FieGun compact conex din C(adic¸ a un continuum) » si presupunem c¸ a
feste analitic¸ a pe G, adic¸ a exist¸ a R >1 astfel ^ ³nc^ ³t feste analitic¸ a ^ ³n GR,
dat¸ a prin formula f(z) =P1
k=0ak(f)Fk(z),z2GR. Reamintim aici c¸ a GR
noteaz¸ a ^ ³nteriorul curbei de nivel ^ ³nchise ¡ R, dat¸ a de ¡ R=fă(w);jwj=Rg
(si c¸ a G½Grpentru tot »i 1 < r < R ).
Sugerat¸ a de formula (4.4), putem introduce urm¸ atoarea.
De¯nit »ia 4.2.1. (Gal-Opri» s [47]) Operatorul Baskakov-Faber gener-
alizat ata» sat lui G» sifeste de¯nit prin Wn(f;¸n; G;z) =P1
k=0ak(f)¢
Wn(ek;¸n; G;z), adic¸ a,
Wn(f;¸n; G;z)
=1X
k=0ak(f)¢kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]¢Fj(z);(4.5)
unde pentru j= 0 » si j= 1, prin convent »ie lu» am (1 + ¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n) =
1.
Observat »ie. Pentru ¸n= 1=n,n2N» siG=D1, deoarece Fj(z) =zj,
generalizarea de mai sus se reduce la operatorul complex Baskakov clasic,
introdus » si studiat ^ ³n [36], sect »iunea 1.9.

4.2. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI BASKAKOV-FABER 81
4.2.3 Rezultate principale
Pentru demonstrat »ia rezultatului principal, avem nevoie de dou¸ a leme, dup¸ a
cum urmeaz¸ a.
Lema 4.2.2. (Gal-Opri» s [47]) Fie0< ¸ n·1
2<1,n2N, cu¸n!0.
Pentru tot »i k; n2Ncuk·[1=¸n](aici [a]noteaz¸ a partea ^ ³ntreag¸ a a lui a)
avem inegalitatea
Ek;n:=k¡1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]·¸n¢(k+ 3)!:
Prin convent »ie, pentru j= 0» sij= 1lu¸ am (1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n) = 1 :
Demonstrat »ie. Vom folosi induct »ia matematic¸ a. Pentru k= 1 inegal-
itatea este imediat¸ a. S¸ a presupunem c¸ a inegalitatea este adevarat¸ a pentru
k. Atunci, pentru k+ 1 primim
Ek+1;n=kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek+1]
=kX
j=1(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek¢z]
=kX
j=1(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::;(j¡1)¸n;ek]¢[(j¡1)¸n; j¸n;z]
+kX
j=1(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]¢j¸n
=kX
j=1(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::;(j¡1)¸n;ek]
+kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]¢j¸n
=k¡1X
i=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( i¡1)¸n)¢(1 +i¸n)¢[0; ¸n; :::; i¸ n;ek]

82CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
+¸n¢kX
j=0j¢(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]
·2Ek;n+k¸nEk;n+k¸n¢(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( k¡1)¸n)·3Ek;n+¸n¢k¢2k¡1
·4¸n¢(k+ 3)!·¸n(k+ 4)!;
deoarece k¢2k¡1·(k+3)! (poate ¯ u» sor demonstrat¸ a prin induct »ie matem-
atic¸ a dup¸ a k). ¤
De asemenea, putem demonstra urm¸ atoarea.
Lema 4.2.3. (Gal-Opri» s [47]) Fie0< ¸ n·1
2,n2N, cu ¸n!0.
Pentru tot »i k¸0» sin2N, avem
Gk;n:=kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]·(k+ 1)!:
Demonstrat »ie. Folosim induct »ia matematic¸ a ^ ³n raport cu k. Astfel,
pentru k= 0 » si tot »i n2N, inegalitatea este imediat¸ a. Presupunem c¸ a
inegalitatea are loc pentru k» si tot »i n2N. Atunci, pentru k+ 1 » si tot »i
n2N, primim
Gk+1;n=k+1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek+1]
=k+1X
j=1(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek¢e1]
=k+1X
j=1(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢f[0; ¸n; :::;(j¡1)¸n;ek]¢[(j¡1)¸n; j¸n;e1]
+[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]¢(j¸n)g
=kX
i=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( i¡1)¸n)(1 + i¸n)¢[0; ¸n; :::; i¸ n;ek]
+¸nkX
j=0j(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n; :::; j¸ n;ek]

4.2. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI BASKAKOV-FABER 83
·(1 +k¸n)Gk;n+k¸nGk;n= (1 + 2 ¸nk)Gk;n·(k+ 1)¢(k+ 1)!·(k+ 2)!;
ceea ce demonstreaz¸ a lema. ¤
Rezultatul principal este urm¸ atorul.
Teorema 4.2.4. (Gal-Opri» s [47]) Fiefanalitic¸ a pe continuumul G,
adic¸ a exist¸ a R > 1astfel ^ ³nc^ ³t feste analitic¸ a ^ ³n GR, dat¸ a prin f(z) =
P1
k=0ak(f)Fk(z),z2GR. Deasemenea, presupunem c¸ a exist¸ a M > 0and
A2¡1
R;1¢
, cujak(f)j ·MAk
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;(ceea ce implic¸ a
jf(z)j ·C(r)MeArpentru tot »i z2Gr,1< r < R ).
Fie1< r <1
Aarbitrar ¯xat. Atunci, exist¸ a un indice n02N» si o
constant¸ a C(r; f)>0depinz^ ³nd doar de r» sif, astfel ^ ³nc^ ³t pentru tot »i
z2Gr» sin¸n0, avem
jWn(f;¸n; G;z)¡f(z)j ·C(r; f)¢¸n:
Demonstrat »ie. ^In demonstrat »ie vom folosi urm¸ atoarele estim¸ ari pentru
polinoamele Faber (vezi, de exemplu, inequalitatea(8), p. 43 din [65])
jFj(z)j ·C(r)¢rj; z2Gr; j¸0:
Mai ^ ³nt^ ³i, demonstr¸ am c¸ a sub ipotezele din enunt », Wn(f;¸n; G;z) dat
de formula (4.5) este bine de¯nit. ^Intr-adev¸ ar, din Lema 4.2.3, pentru tot »i
k¸0,n2N» si 1< r < 1=A, primim
jWn(f;¸n; G;z)j ·2C(r)1X
k=0jak(f)j ¢(k+ 1)!rk
·2MC(r)1X
k=0(k+ 1)( Ar)k<1; z2Gr; n2N:
S¸ a not¸ am
Tn;k(z) =kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n;2¸n; :::; j¸ n;ek]¢Fj(z);

84CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
z2G; n2N; k¸0; m(n) = [1 =¸n]. Pentru 1 < r < R » siz2Gr, din
formula (4.5) din De¯nit »ia 4.2.1, primim
jWn(f;¸n; G;z)¡f(z)j ·1X
k=0jak(f)j ¢ jTn;k(z)¡Fk(z)j
=m(n)X
k=0jak(f)j ¢ jTn;k(z)¡Fk(z)j+1X
k=m(n)+1jak(f)j ¢ jTn;k(z)¡Fk(z)j
·m(n)X
k=0jak(f)j ¢ jTn;k(z)¡Fk(z)j+1X
k=m(n)+1jak(f)j ¢ jTn;k(z)j
+1X
k=m(n)+1jak(f)j ¢ jFk(z)j:=S1+S2+S3:
^In cazul lui S1, folosind Lema 4.2.2, primim estimarea
S1·m(n)X
k=0jak(f)j¢k¡1X
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)¢[0; ¸n;2¸n; :::; j¸ n;ek]¢jFj(z)j
+m(n)X
k=0jak(f)j ¢[(1 + ¸n)¢:::¢(1 + ( k¡1)¸n)¡1]¢ jFk(z)j
·C(r)¢¸n¢m(n)X
k=0jak(f)j ¢(k+ 3)!¢rk
+C(r)m(n)X
k=0jak(f)j ¢[(1 + ¸n)¢:::¢(1 + ( k¡1)¸n)¡1]¢rk:
Deoarece
(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( k¡1)¸n)¡1·(1 + ( k¡1)¸n)k¡1¡1
=k¡1X
j=1µk¡1
j¶
((k¡1)¸n)j
=¸n¢k¡1X
j=1µk¡1
j¶
((k¡1)¸n)j¡1·¸n¢2k¡1;

4.2. ORDIN ARBITRAR PRIN OPERATORI BASKAKOV-FABER 85
primim (din 2k¡1<(k+ 3)! )
S1·C(r)¸nm(n)X
k=0jak(f)j(k+ 3)!rk+C(r)¸nm(n)X
k=0jak(f)j2k¡1rk
·2C(r)¸nm(n)X
k=0jak(f)j(k+ 3)!rk:
Acum, pentru c¸ a jak(f)j ·M¢Ak
k!, pentru tot »i k= 0;1; :::;, unde A2
¡1
R;1
r¢
, rezult· a
S1·2M¢C(r)¢¸nm(n)X
k=0(k+ 1)( k+ 2)( k+ 3)¢(Ar)k
·2M¢C(r)¢¸n¢1X
k=0(k+ 1)( k+ 2)( k+ 3)¢(Ar)k:
Pentru a estima S2, folosind » si Lema 4.2.3 , obt »inem
S2·1X
k=m(n)+1jak(f)j ¢ jTn;k(z)j
·1X
k=m(n)+1jak(f)j ¢kX
j=0(1 +¸n)¢:::¢(1 + ( j¡1)¸n)
¢[0; ¸n;2¸n; :::; j¸ n;ek]¢ jFj(z)j ·C(r)¢1X
k=m(n)+1jak(f)j ¢(k+ 1)!¢rk
= (m(n)+2)¢(Ar)m(n)+1¢M¢C(r)1X
k=0(k+1)(Ar)k·MC(r)¸n¢1X
k=0(k+1)(Ar)k;
pentru tot »i n¸n0, cun0depinz^ ³nd de r» siA.
^Intr-adev¸ ar, deoarece Ar < 1,a¡1·[a]·a+ 1 » si m(n)!+1c^ ³nd
n! 1 , rezult· a u» sor c¸ a exist¸ a acest n0cu proprietatea c¸ a ( m(n) + 2) ¢
(Ar)m(n)+1·(1=¸n+ 2)¢(Ar)1=¸n·¸n, pentru tot »i n¸n0.

86CAP. 4. OPERATORI SZ ¶ASZ S »I BASKAKOV ^IN PLANUL COMPLEX
Pentru a esima S3, deoarecek
m(n)+1¸1, primim
S3·C(r)M
m(n) + 11X
k=m(n)+1kAk
k!rk
·A¢r¢C(r)¢M¸ n1X
k=m(n)+1(Ar)k¡1
(k¡1)!·A¢r¢C(r)¢MeAr¢¸n:
Colect^ ³nd acum toate estim¸ arile pentru S1; S2andS3, ajungem la estimarea
dorit¸ a din enunt ». ¤
Observat »ii. 1) Teorema 4.2.4 generalizeaz¸ a Teorema 1.9.1, p. 126 din
[36], ^ ³n dou¸ a sensuri : mai ^ ³nt^ ³i, este extins¸ a de la discuri compacte centrate
^ ³n origine, la mult »imi compacte, iar ^ ³n al doilea r^ ³nd, ordinul de aproximare
O¡1
n¢
este ^ ³n mod esent »ial ^ ³mbun¸ at¸ at »it la ordinul O(¸n), cu ¸n!0 c^ ³t de
rapid dorim.
2) Este clar c¸ a Teorema 4.2.4 are loc sub ipoteza mult mai general¸ a
jak(f)j ·Pm(k)¢Ak
k!, pentru tot »i k¸0, unde Pmeste un polinom algebric
de grad mcuPm(k)>0 pentru tot »i k¸0.
3) Sunt multe exemple pentru Gc^ ³nd aplicat »ia conforma ă » si poli-
noamele Faber asociate lui G, » si ^ ³n consecint »¸ a c^ ³nd » si operatorii Baskakov-
Faber, pot ¯ explicit scrisi (vezi, de exemplu, [37], pp. 81-83, sau [38]),
dup¸ a cum urmeaz¸ a : G= [¡1; 1], Geste continuumul m¸ arginit de m-
hypocycloidul, Gestem-steaua regulata ( m= 2;3; :::;),Gestem-lemnis-
cata simetric¸ a, m= 2;3; :::;sauGeste un semidisc.

Bibliogra¯e
[1] Abel, U., Butzer, P. L., Complete asymptotic expansion for general-
ized Favard operators, Constr. Approx. ,35(2012), 73-88.
[2] Agratini, O., Approximation by Linear Operators (Romanian), Uni-
versity Press, "Babe» s-Bolyai" University, Cluj-Napoca, 2000.
[3] Agratini, O., Radu, C., On q-Baskakov-Mastroianni operators, Rocky
Mount. J. Math. ,42(3)(2012), 773-790.
[4] Altomare F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and
its Applications , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17. New
York, Berlin (1994).
[5] Aral, A., A generalization of Sz¶ asz-Mirakjan operator based on q-
integers, Math. Comput. Model. ,47(2008), 1052-1062.
[6] Aral, A., Gupta, V., On q-Baskakov type operators, Demonstratio
Math. ,47(1)(2009), 109-122.
[7] Aral, A., Gupta, V., On the Durrmeyer type modiication of q-
Baskakov type operators, Nonlinear Anal. ,72(2010), No. 3-4, 1171-
1180.
87

88 BIBLIOGRAFIE
[8] Akut, C., On the approximation of functions together with derivatives
by certain linear positive operators , Commun. Fac. Sci. Ankara Univ.,
ser. A1, math. stat., 46(1997), nr. 1-2, 57-65.
[9] Baskakov, V. A., An example of a sequence of linear positive opera-
tors in the space of continuous functions (Russian), Dokl. Akad. Nauk
SSSR ,113(1957), 249-251.
[10] Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the Bernstein operator of max-product kind,
Int. J. Math. Math. Sci. , volume 2009, Article ID 590589 , 26 pages,
doi:10.1155/2009/590589.
[11] Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the nonlinear Meyer-KÄ onig and Zeller operator
of max-product kind, Numer. Funct. Anal. Optim. ,31(2010), No. 3,
232-253.
[12] Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation by Max-Product
Type Operators , Springer, New York, 2016.
[13] Berdysheva, E. E., Uniform convergence of Bernstein-Durrmeyer op-
erators with respect to arbitrary measure, J. Math. Anal. Appl.
394(2012) 324-336.
[14] Berdysheva, E. E., Bernstein-Durrmeyer operators with respect to
arbitrary measure, II : Pointwise convergence, J. Math. Anal. Appl.
418(2014) 734-752.

BIBLIOGRAFIE 89
[15] Berdysheva, E. E., Jetter, K., Multivariate Bernstein-Durrmeyer op-
erators with arbitrary weight functions, J. Approx. Theory 162(2010)
576-598.
[16] Bernstein, S. N., D¶ emonstration du th¶ eor¶ em de Weierstrass fonde¶ e
sur le calcul des probabilit¶ es, Commun. Soc. Math. Kharkov ,
13(1912/1913), 1-2.
[17] Cetin, N., Ispir, N., Approximation by complex modi¯ed Sz¶ asz-
Mirakjan operators, Studia Sci. Math. Hungar. ,50(3) (2013), 355-
372.
[18] Choquet, G., Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
5(1954) 131-295.
[19] Coroianu, L., Gal, S. G., Classes of functions with improved estimates
in approximation by the max-product Bernstein operator, Anal. Appl.
(Singap.) ,9(2011), No. 3, 249-274.
[20] Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the Bernstein max-
product operator, Appl. Math. Comp. ,231(2014), 73-78.
[21] Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the max-product
Meyer-KÄ onig and Zeller operator, Numer. Funct. Anal. Optim. ,
34(2013), No. 7, 713-727.
[22] Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the non-truncated
max-product sampling operators based on Fej¶ er and sinc-type kernels,
Demonstratio Math. ,49(2016), No. 1, 38-49.

90 BIBLIOGRAFIE
[23] Coroianu, L., Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Trifa, S., Feller's scheme in
approximation by nonlinear possibilistic integral operators, Numer.
Funct. Anal. and Optim. ,38(2017), No. 3, 327-343.
[24] De Cooman, G., Possibility theory. I. The measure-and integral-
theoretic groundwork, Internat. J. Gen. Systems ,25(1997), No. 4,
291-323.
[25] Denneberg, D., Non-Additive Measure and Integral , Kluwer Academic
Publisher, Dordrecht, 1994.
[26] Derriennic, M. M., Modi¯ed Bernstein polynomials and Jacobi poly-
nomials in q-calculus, Rend. Circ. Mat. Palermo ,76(2005), 269-290.
[27] Dieudonn¶ e, J., ¶El¶ ements dAnalyse ; 1. Fondements de l'Analyse Mod-
erne, Gauthiers Villars, Paris, 1968.
[28] Djebali, S., Uniform continuity and growth of real continuous func-
tions, Int. J. Math. Education in Science and Technology ,32(2001),
No. 5, 677-689.
[29] Dubois D., Prade, H., Possibility Theory , Plenum Press, New York,
1988.
[30] Favard, J., Sur les multiplicateurs d'interpolation, J. Math. Pures
Appl. ,23(1944), No. 9, 219-247.
[31] Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications ,
vol. II, Wiley, New York, 1966.
[32] Finta, Z., Gupta, V., Approximation propertis of q-Baskakov opera-
tors, Centr. Eur. J. Math. ,8(2010), No. 1, 199-211.

BIBLIOGRAFIE 91
[33] Gaier, D., Lectures on Complex Approximation , Birkhauser, Boston,
1987.
[34] Gal, S. G., A possibilistic approach of the max-product Bernstein kind
operators, Results Math. ,65(2014), 453-462.
[35] Gal, S. G., Approximation by Choquet integral operators, Annali Mat.
Pura Appl. ,195(2016), No. 3, 881-896.
[36] Gal, S. G., Approximation by Complex Bernstein and Convolution-
Type Operators , World Scienti¯c Publ. Co, Singapore-Hong Kong-
London-New Jersey, 2009.
[37] Gal, S. G., Overconvergence in Complex Approximation , Springer,
New York, 2013.
[38] Gal, S. G., Approximation of analytic functions by generalized Favard-
Sz¶ asz-Mirakjan-Faber operators in compact sets, Complex Anal. Oper.
Theory ,9(2015), No. 5, 975-984.
[39] Gal, S. G., Approximation in compact sets by q-Stancu-Faber poly-
nomials, q >1,Comput. Math. Appl. ,61(2011), no. 10, 3003-3009.
[40] Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by complex Durrmeyer type op-
erators in compact disks , in : Mathematics without Boundaries, Sur-
veys in Interdisciplinary Research, P.M. Pardalos and T.M. Rassias
(editors), Springer, New York-Heidelberg-Dordrecht-London, 2014,
pp. 263-284.
[41] Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by the complex form of a link
operator between the Phillips and the Sz¶ asz-Mirakjan operators, Re-
sults Math. ,67(2015), 381-393.

92 BIBLIOGRAFIE
[42] Gal, S. G., Gupta, V., Mahmudov, N. I., Approximation by a complex
q-Durrmeyer type operator, Ann. Univ. Ferrara ,58(1) (2012), 65-87.
[43] Gal, S. G., Gupta, V., Verma, D. K., Agrawal, P. N., Approximation
by complex Baskakov-Stancu operators in compact disks, Rend. Circ.
Mat. Palermo ,61(2012), no. 2, 153-165.
[44] Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation by complex q-
Sz¶ asz-Kantorovich operators in compact disks, q >1,Complex Anal.
Oper. Theory ,7(2013), No. 6, 1853-1867.
[45] Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation with an arbitrary order by
modi¯ed Baskakov type operators, Appl. Math. Comp. ,265(2015),
329-332.
[46] Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Uniform and pointwise convergence of
Bernstein-Durrmeyer operators with respect to monotone and sub-
modular set functions, J. Math. Anal. Appl. ,424(2015), 1374-1379.
[47] Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation of analytic functions with an
arbitrary order by generalized Baskakov-Faber operators in compact
sets, Complex Anal. Oper. Theory ,10(2016), No. 2, 369-377.
[48] Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Opri» s, D. B. , Approximation with an
arbitrary order by Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich and Baskakov complex
operators in compact disks, Azerbaijan J. Math. ,6(2016), No. 2, 3-
12.
[49] Gupta, V., Complex Baskakov-Sz¶ asz operators in compact semi-disks,
Lobachevskii J. Math. ,35(2014), no. 2, 65-73.

BIBLIOGRAFIE 93
[50] Gupta, V., Agarwal, R. P., Convergence Estimates in Approximation
Theory , Springer, New York, 2014.
[51] Gupta, V., Aral, A., Some approximation properties of q-Baskakov-
Durrmeyer operators, Appl. Math. Comput. ,218(2011), No. 3, 783-
788.
[52] Gupta, V., Verma, D., Approximation by complex Favard-S¶ asz-
Mirakjan-Stancu operators in compact disks, Math. Sci. (Springer) ,
6(2012), Art. 25, 8 pages.
[53] Kac, V., Cheung, P., Quantum Calculus , Universitext, Springer-
Verlag, New York, 2002.
[54] Levasseur, K. N., A probabilistic proof of the Weierstrass approxima-
tion theorem, Amer. Math. Monthly ,91(1984), No. 4, 249-250.
[55] Li, B.-Z., Approximation by multivariate Bernstein-Durrmeyer oper-
ators and learning rates of least-square regularized regression with
multivariate polynomial kernel, J. Approx. Theory 173(2013) 33-55.
[56] Lopez-Moreno, A.-J., Weighted simultaneous approximation with
Baskakov type operators, Acta Math. Hungar. ,104(1-2) (2004), 143-
151.
[57] Lupa» s, A., Some properties of the linear positive operators, II, Math-
ematica(Cluj) ,9(32) (1967), 295-298.
[58] Mahmudov, N. I., Approximation properties of complex q-Sz¶ asz-
Mirakjan operators in compact disks, Comput. Math. Appl. ,60(6)
(2010), 1784-1791.

94 BIBLIOGRAFIE
[59] Mahmudov, N. I., Convergence properties and iterations for q-Stancu
polynomials in compact disks, Comput. Math. Appl. ,59 (12) (2010),
3763-3769.
[60] Mahmudov, N. I., Approximation by Bernstein-Durrmeyer-type oper-
ators in compact disks, Appl. Math. Lett. ,24(7) (2011), 1231-1238.
[61] Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation theorems for complex
Sz¶ asz-Kantorovich operators, J. Comput. Anal. Appl. ,15(1) (2013),
32-38.
[62]Opri» s, D, B. , Approximation with an arbitrary order by general-
ized Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu type operators, Anal. Univ.
Oradea, fasc. math. ,XXIV (2017), No. 1, 75-81.
[63] Radu, C., On statistical approximation of a general class of posi-
tive linear operators extended in q-calculus, Appl. Math. Comput. ,
215(2009), 2317-2325.
[64] Shisha, O., Mond, B., The degree of convergence of linear positive
operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. ,60(1968), 1196-1200.
[65] Suetin, P. K., Series of Faber Polynomials , Gordon and Breach, Am-
sterdam, 1998.
[66] Wang, Z., Klir, G.J., Generalized Measure Theory , Springer, New
York, 2009.

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: Contribut ii la Teoria Aproxim arii Funct iilor [616074] (ID: 616074)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

Contribut ii la Teoria Aproxim arii Funct iilor [616074]

Copyright Notice

Domeniul Arte Plastice și Decorative [609238]

Catedra de Chirurgie [609112]

DEFINIREA ȘI IDENTIFICAREA PUTERII ÎN SISTEMUL INTERNAȚIONAL CONTEMPORAN Coordonator Științific Doctorand Prof. univ. dr. Vasile Pușcaș Szabo Noemi… [619283]

Adresa: Str. Universității nr. 1, cod 410087 – Oradea, România Telefon: +40 259 432830 Fax: +40 259 432789 E-mail: rectorat@uoradea.ro Pagina web:… [616606]

În cadrul acest ui text îmi propun să readuc în discuție contribuția fundamentală a lui [620306]

Vlaescudan@yahoo.com 2 Teza Verificare Plagiarism Text

Copyright Notice

Similar Posts