Contribut ii la Teoria Aproxim arii Funct iilor [616067]

Universitatea Babes »-Bolyai Cluj-Napoca
Facultatea de Matematic ¸a s »i Informatic ¸a
Tez¸a de Doctorat
Contribut »ii la Teoria Aproxim¸ arii Funct »iilor
de Variabil¸ a Real¸ a » si Complex¸ a
Doctorand: [anonimizat] »Conduc¸ ator » stiint »i¯c:
Prof. univ. dr. Sorin Gal
Cluj-Napoca
2017

2

Cuprins
1 Introducere General¸ a 5
2 Aproximare cu operatori integrali neliniari 1
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Choquet . . . . . . . . 1
2.1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1.2 Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.1.3 Rezultate principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Bibliogra¯e 10
3

4 CUPRINS

Cap. 1
Introducere General¸ a
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine rezultatele pe care le-am obt »inut ^ ³n domeniul teoriei
aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de o variabil¸ a complex¸ a.
Teoria aproxim¸ arii este o parte a analizei matematice ap¸ arut¸ a ^ ³n secolul
al 19-lea, care se ocup¸ a, ^ ³n esent »¸ a, cu aproximarea unor elemente compli-
cate (de cele mai multe ori funct »ii), cu elemente mai simple (de cele mai
multe ori polinoame algebrice, polinoame trigonometrice sau funct »ii spline,
etc). ^In plus, ^ ³n cadrul acelea» si teorii, se obt »in » si caracteriz¸ ari cantitative
ale aproxim¸ arii, de cele mai multe ori ^ ³n termenii a» sa numit »ilor moduli de
continuitate (de netezime).
Din punct de vedere istoric, ^ ³n cazul aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a
real¸ a, probabil c¸ a primul rezultat principal ^ ³n aceast¸ a teorie a fost obt »inut
de c¸ atre matematicianul german K. Weierstrass ^ ³n 1895, rezultat care poate
¯ enunt »at ^ ³n felul urm¸ ator :
Teorema A. Dac¸ a f: [a; b]!Reste o funct »ie continu¸ a pe inter-
valul [a; b], atunci exist¸ a un » sir de polinoame algebrice cu coe¯cient »i reali,
Pmn(x) =a0xmn+:+amn¡1x+amn, astfel ^ ³nc^ ³t limn!1Pmn(x) =f(x),
uniform ^ ³n raport cu x2[a; b].
5

6 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
O demonstrat »ie constructiv¸ a a teoremei de mai sus a fost obt »inut¸ a de
c¸ atre matematicianul rus S.N. Bernstein ^ ³n 1912, care a ar¸ atat c¸ a » sirul
de polinoame algebrice care ast¸ azi ii poart¸ a numele, anume Bn(f)(x) =
Pn
k=0¡n
k¢
xk(1¡x)n¡kf)k=n), converge uniform la funct »ia fpresupus¸ a con-
tinu¸ a pe [0 ;1].
Primul rezultat cantitativ ^ ³n teoremele lui Weierstrass » si Bernstein de
mai sus, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul rom^ an Tiberiu Popoviciu
^ ³n anul 1942, care a ar¸ atat c¸ a
jBn(f)(x)¡f(x)j ·3
2!1(f; 1=pn);8×2[0;1]; n2N;
unde !1(f;±) = sup fjf(x)¡f(y)j;x; y2[0;1];jx¡yj ·±greprezint¸ a
modulul de continuitate al funct »iei f.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor continue » si 2 ¼-periodice, primul rezultat
constructiv a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul maghiar L. Fej¶ er ^ ³n anul
1900, care a ar¸ atat urm¸ atoarele : dac¸ a f:R!Reste o funct »ie 2 ¼-periodic¸ a
» si continu¸ a pe R, not^ ³nd cu Sn(f)(x) =Pn
k=0akcos(kx) +bksin(kx), unde
ak» sibksunt coe¯cient »ii Fourier ai lui f, atunci Tn(f)(x) =S0(f)(x)+:::+Sn(f)(x)
n+1
reprezint¸ a un » sir de polinoame trigonometrice care converge uniform la
funct »ia fpeR.
Primul rezultat cantitativ » si constructiv ^ ³n cazul aproxim¸ arii cu poli-
noame trigonometrice, a fost obt »inut de c¸ atre matematicianul american D.
Jackson ^ ³n teza lui de doctorat din 1911, care poate ¯ enunt »at ^ ³n felul
urm¸ ator : dac¸ a f:R!Reste continu¸ a » si 2 ¼-periodica, atunci se poate
construi un » sir de polinoame trigonometrice Jn(f)(x),n2N, cu propri-
etatea c¸ a
jJn(f)(x)¡f(x)j ·C!2(f; 1=n);8x2R; n2N;

7
unde !2(f;±) = sup fjf(x+h)¡2f(x) +f(x¡h)j; 0·h·±; x2Rg
reprezint¸ a modulul de netezime de ordinul 2 al funct »iei f.
O direct »ie important¸ a ^ ³n teoria aproxim¸ arii funct »iilor este reprezentat¸ a
de teoria aproxim¸ arii cu » siruri de operatori liniari si pozitivi, cu r¸ ad¸ acinile
^ ³ntre anii 1950 » si 1970 prin rezultatele de acum clasice ale lui Tiberiu Popovi-
ciu, Bohman, Korovkin, Shisha-Mond » si alt »ii. ^In esent »¸ a, aceste rezultate
a¯rm¸ a faptul c¸ a (vezi teoremele lui Korovkin) pentru ca un » sir de operatori
liniari si pozitivi, ( Ln(f))n2N, s¸ a convearga uniform la fpentru orice funct »ie
continu¸ a pe [ a; b], este su¯cient ca Ln(ek) s¸ a convearg¸ a uniform la ek, doar
pentru trei valori ale lui k, adic¸ a k= 0;1 » si 2, unde e0(x) = 1, e1(x) =x» si
e2(x) =x2.
^In cazul aproxim¸ arii funct »iilor complexe sau/si » de o variabil¸ a complex¸ a,
r¸ ad¸ acinile acestei teorii se g¸ asesc ^ ³n aproximarea funct »iilor continue prin
polinoame sau prin funct »ii ^ ³ntregi, prin lucr¸ arile lui MÄ untz-Sz¶ asz » si Carle-
man, iar ^ ³n aproximarea funct »iilor analitice de variabil¸ a complex¸ a prin poli-
noame sau prin funct »ii rat »ionale, ment »ion^ ³nd aici, ^ ³n principal, rezultatele
obt »inute de c¸ atre Runge, Walsh, Faber, Mergelyan, Arakelyan » si Dzyadyk.
Aceast¸ a tez¸ a cont »ine, in principal, contribut »iile originale pe care le-am
obt »inut ^ ³n domeniul teoriei aproxim¸ arii funct »iilor de o variabil¸ a real¸ a » si de
o variabil¸ a complex¸ a.
Teza este structurat¸ a ^ ³n 4 capitole.
^In Capitolul prezent, 1, se face o introducere general¸ a ^ ³n teoria aproxi-
m¸ arii » si o descriere rezumativ¸ a a tezei.
^In Capitolul 2 ^ ³ntitulat Aproximare cu operatori integrali neliniari , idea
de baz¸ a este ^ ³nlocuirea integralei clasice ^ ³n expresiile unor operatori de
aproximare liniari integrali, cu integrale mai generale (care nu mai sunt
liniare), » si studierea propriet¸ at »ilor de aproximare ale operatorilor noi obt »inut »i.

8 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
Capitolul are dou¸ a sect »iuni.
Astfel, ^ ³n prima sect »iune, ^ ³ntitulat¸ a Aproximare cu operatori Durrmeyer-
Choquet , ^ ³n expresiile operatorilor clasici Bernstein-Durrmeyer, se ^ ³nlocuie» s-
te integrala Lebesgue cu integrala (neliniara) a lui Choquet ^ ³n raport cu o
funct »ie de mult »ime monoton¸ a si submodular¸ a. Se arat¸ a ca noii operatori
(neliniari de data asta) ram^ ³n uniform convergent »i la funct »ia continua aprox-
imat¸ a.
^In a doua sect »iune a capitolului, ^ ³n clasica schem¸ a de aproximare a lui
Feller de generare a operatorilor liniari si pozitivi cu propriet¸ at »i de aprox-
imare, se ^ ³nlocuieste integrala clasica liniara ^ ³n raport cu o masur¸ a tip
Lebesgue, cu integrala neliniar¸ a posibilistic¸ a. ^In acest mod, se genereaz¸ a
noi operatori (neliniari) cu propriet¸ at »i bune de aproximare, incluz^ ³nd » si a» sa
numit »ii operatori max-produs studiat »i ^ ³ntr-o lung¸ a serie de lucr¸ ari de c¸ atre
B. Bede, L. Coroianu » si S.G. Gal (care culmineaz¸ a cu monogra¯a de cerc-
etare [10] aparuta la editura Springer).
Tot ^ ³n aceast¸ a sect »iune se studiaz¸ a » si propriet¸ at »ile cantitative de aprox-
imare ale operatorilor posibilistici de convolut »ie obt »inut »i prin schema lui
Feller adaptat¸ a.
^In Capitolul 3 ^ ³ntitulat Ordin arbitrar prin operatori Sz¶ asz » si Baskakov ,
plec^ ³nd de la un » sir ¸n>0,n2N, converg^ ³nd la zero c^ ³t de rapid dorim
(adic¸ a arbitrar de rapid), se construiesc » siruri de operatori Baskakov, q-
Baskakov, Sz¶ asz-Stancu » si Baskakov-Stancu, care converg la funct »ia aproxi-
mat¸ a f: [0;1)!Rcu ordinul de convergent »a !1(f;p¸n) (^ ³n fapt, arbitrar
de bun, deoarece ¸npoate s¸ a ¯e ales ca s¸ a tind¸ a la zero, arbitrar de rapid).
Din acest motiv, rezultatele din acest capitol obt »inute pentru operatori
de tip Sz¶ asz si Baskakov, sunt de tip de¯nitiv (adic¸ a cele mai bune posibile).
^In acela» si timp, rezultatele obt »inute au » si un puternic caracter uni¯cator,

9
^ ³n sensul c¸ a se pot reobt »ine din ele toate rezultatele obt »inute anterior de
numero» si alt »i autori, prin diferite alegeri particulare ale nodurilor ¸n.
^In Capitolul 4, ^ ³ntitulat Operatori Sz¶ asz » si Baskakov complec» si , se aplic¸ a
ideile din Capitolul 3, la cazul aproxim¸ arii funct »iilor analitice de o variabil¸ a
complex¸ a, prin operatori complec» si Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich » si Baskakov.
^In prima sect »iune a capitolului, plec^ ³nd din nou de la un » sir ¸n>0,
n2N, converg^ ³nd la zero c^ ³t de rapid dorim (adic¸ a arbitrar de rapid), se
construiesc » siruri de operatori Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich » si Baskakov ata» sat »i
unei funct »ii analitice si de cre» stere exponential¸ a ^ ³ntr-un disc compact cu
centrul^ ³n origine, care aproximeaz¸ a functia fcu ordinul O(¸n) » si pentru care
se obt »in rezultate tip Voronovskaja, cantitative cu ordinul de aproximare
O(¸2
n).
^In a doua sect »iune a capitolului, se consider¸ a aceea» si problematic¸ a ca
» si ^ ³n sect »iunea ^ ³ntii, cu deosebirea c¸ a acum se consider¸ a operatori de tip
Baskakov-Faber, ata» sat »i prin intermediul polinoamelor Faber, unei funct »ii
analitice de cre» stere exponential¸ a ^ ³ntr-o mult »ime compact¸ a arbitrar¸ a (care
nu este neap¸ arat un disc).
S »i rezultatele din aceast¸ a sect »iune se pot considera de tip de¯nitiv, ^ ³n
sensul c¸ a sunt cele mai bune posibile. De asemenea, ca » si in cazul opera-
torilor de o variabil¸ a real¸ a, rezultatele obt »inute ^ ³n Sect »iunea 4.2 au » si un
caracter uni¯cator, ^ ³n sensul c¸ a se pot reobt »ine din ele toate rezultatele
obt »inute anterior de alt »i autori, prin diferite alegeri particulare ale » sirului
¸n.
Rezultatele prezentate ^ ³n aceast¸ a tez¸ a au fost obt »inute de c¸ atre
autor, ^ ³n colaborare cu domnul profesor universitar dr. Sorin Gal,
cu Nazim Mahmodov, cu Lucian Coroianu, cu Sorin Trifa sau ca » si
singur autor, ^ ³n 6 lucr¸ ari, publicate ^ ³n urm¸ atoarele reviste, dup¸ a

10 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A
cum urmeaz¸ a :
1) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D., Approximation with an ar-
bitrary order by modi¯ed Baskakov type operators. Appl. Math.
Comput., 265 (2015), 329-332 (Factor de impact (FI ISI) pe 2015
: 1.345, Scor relativ de in°uent »¸ a (SRI) pe 2015 : 0.694)
2) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D., Uniform and pointwise
convergence of Bernstein-Durrmeyer operators with respect to
monotone and submodular set functions. J. Math. Anal. Appl.
424 (2015), no. 2, 1374-1379 (FI pe 2015 : 1.014, SRI pe 2015 :
1.121)
3) Gal, Sorin G.; Opri» s, Bogdan D., Approximation of analytic
functions with an arbitrary order by generalized Baskakov-Faber
operators in compact sets. Complex Anal. Oper. Theory 10
(2016), no. 2, 369-377 (FI ISI pe 2015 : 0.663, SRI pe 2016 :
0.724)
4) Gal, Sorin G.; Mahmudov, Nazim I.; Opri» s, Bogdan D., Ap-
proximation with an arbitrary order of Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich
and Baskakov complex operators in compact disks. Azerb. J.
Math. 6 (2016), no. 2, 3-12 (revist¸ a recenzat¸ a ^ ³n Mathematical
Reviews » si Zentralblatt fÄ ur Mathematik)
5) Coroianu, Lucian ; Gal, Sorin G. ; Opri» s, Bogdan D.; Trifa,
Sorin, Feller's scheme in approximation by nonlinear possibilistic
integral operators, trimis¸ a spre publicare.
6) Opri» s, Bogdan, D., Approximation with an arbitrary or-
der by generalized Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu operators,
trimis¸ a spre publicare.
Rezultatele originale obt »inute ^ ³n tez¸ a sunt urm¸ atoarele :

11
Capitolul 2.
Sect »iunea 2.1 : Lema 2.1.2, Teorema 2.1.3, Teorema 2.14 ; Rezultatele
au fost publicate ^ ³n lucrarea [46];
Sect »iunea 2.2 : Teorema 2.2.2, Lema 2.2.3, Teorema 2.2.4, Teorema 2.2.5,
Corolarul 2.2.6, Teorema 2.2.7, Corolarul 2.2.8, Teorema 2.2.9, Corolarul
2.2.9 ; Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [21] ;
Capitolul 3.
Sect »iunea 3.1 : Lema 3.1.1, Corolarul 3.1.2, Teorema 3.1.3, Corolarul
3.1.4, Lema 3.1.5, Teorema 3.1.6, Corolarul 3.1.7, Corolarul 3.1.8 ; Rezul-
tatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [45];
Sect »iunea 3.2 : [61]
Sect »iunea 3.3 :
Capitolul 4.
Sect »iunea 4.1 : Teorema 4.1.1, Teorema 4.1.2, Teorema 4.1.3 ; Rezul-
tatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [48];
Sect »iunea 4.2 : De¯nit »ia 4.2.1, Lema 4.2.2, Lema 4.2.3, Teorema 4.2.4.
Rezultatele au fost publicate ^ ³n lucrarea [47].
Doresc s¸ a mult »umesc conduc¸ atorului » stiint »i¯c, domnului profesor uni-
versitar dr. Sorin Gal, pentru deosebita ^ ³ndrumare a mea pe parcursul
elabor¸ arii tezei.

12 CAP. 1. INTRODUCERE GENERAL ¸A

Cap. 2
Aproximare cu operatori
integrali neliniari
^In acest capitol, ne ocup¸ am de studiul propriet¸ at »ilor de aproximare ale
unor operatori de tip integrali, ^ ³n care integrala liniara clasica este ^ ³nlocuita
cu integrala neliniara Choquet » si/sau cu integrala neliniara posibilistic¸ a.
Capitolul are dou¸ a sect »iuni : ^ ³n prima sect »iune ne ocup¸ am de operatorii
Durrmeyer-Choquet, iar ^ ³n sect »iunea a doua ne ocup¸ am de operatorii posi-
bilistici.
2.1 Aproximare cu operatori Durrmeyer-Ch-
oquet
^In aceast¸ a sect »iune ne ocup¸ am de operatorul Bernstein-Durrmeyer de d
variabile reale, Mn;¹, ^ ³n care integralele scrise in raport cu o masur¸ a ¹de
tip Borel de¯nit¸ a pe simplexul d-dimensional (adic¸ a num¸ arabil aditiv¸ a, deci
incluz^ ³nd » si m¸ asura Lebesgue), se ^ ³nlocuiesc cu integrale Choquet ^ ³n raport
1

2CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
cu¹, presupus¸ a doar monoton¸ a » si submodular¸ a. Se obt »ine astfel un operator
neliniar, care este mai general dec^ ³t operatorul liniar Bernstein-Durrmeyer.
Pentru acest operator neliniar, pe care putem s¸ a-l denumim operator de
tip Durrmeyer-Choquet, demonstr¸ am convergent »a punctual¸ a » si uniform¸ a
c¸ atre f(x).
^In consecint »¸ a, rezultatele obt »inute le generalizeaz¸ a pe cele recente din
lucr¸ arile [11], [12].
2.1.1 Introducere
Fie simplexul standard din Rd
Sd=f(x1; :::; x d); 0·x1; :::; x d·1;0·x1+:::+xd·1g:
Inspirate de lucrarea [13], ^ ³n lucr¸ arile recente [11], [12] » si [54], s-a demon-
strat convergent »a (pentru n! 1 ) punctual¸ a, uniform¸ a » si ^ ³n spat »iul Lpa
luiMn;¹(f)(x) c¸ atre f(x), unde Mn;¹(f)(x) desemneaz¸ a operatorul liniar de
tip mixt Bernstein-Durrmeyer de mai multe variabile, ^ ³n raport cu o masur¸ a
Borel ¹:Sd!R+, m¸ arginit¸ a), de¯nit prin formula (presupun^ ³nd c¸ a feste
¹-integrabila pe Sd)
Mn;¹(f)(x)
=X
j®j=nR
Sdf(t)B®(t)d¹(t)R
SdB®(t)d¹(t)¢B®(x) :=X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N:
(2.1)
^In formula (2.1) de mai sus, am folosit notat »iile ®= (®0; ®1; :::; ® n), cu
®j¸0 pentru tot »i indicii j= 0; :::; n ,j®j=®0+®1+:::+®n=n» si
B®(x) =n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!(1¡x1¡x2¡:::¡xd)®0¢x®1
1¢:::¢x®d
d
:=n!
®0!¢®1!¢:::¢®n!¢P®(x):

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 3
Vom ar¸ ata c¸ a rezultatele de tip calitativ din [11] » si [12] (privind convergent »a
punctual¸ a » si uniform¸ a), ram^ ³n valabile ^ ³n cadrul mult mai general c^ ³nd ¹
este o funct »ie de mult »ime doar m¸ arginit¸ a, monoton¸ a » si submodular¸ a pe
Sdiar integralele care apar ^ ³n ^ ³n formula (2.1), reprezint¸ a integrale de tip
Choquet ^ ³n raport cu ¹.
2.1.2 Preliminarii
^In aceast¸ a subsect »iune, prin De¯nit »ia 2.1.1 » si prin Observat »iile de dup¸ a
aceast¸ a de¯nit »ie, vom prezenta concepte » si rezultate cunoscute, dar care
vor ¯ utile ^ ³n subsect »iunile urm¸ atoare.
De¯nit »ia 2.1.1. Consider¸ am ­ o mult »ime nevid¸ a, Co¾-algebra de
submult »imi ale lui ­ iar (­ ;C) un spat »iu m¸ asurabil.
(i) (vezi, de exemplu, [65], p. 63) Funct »ia de mult »imi ¹:C ! [0;+1] se
va numi monoton¸ a (sau capacitate), dac¸ a ¹(;) = 0 iar A; B2 C, cuA½B,
implic¸ a ¹(A)·¹(B). Dac¸ a
¹(A[
B) +¹(A\
B)·¹(A) +¹(B);pentru tot »i A; B2 C;
atunci ¹este numit¸ a submodular¸ a. In ¯ne, ¹se va numi normalizat¸ a, dac¸ a
¹(­) = 1.
(ii) (vezi [16], sau [65], p. 233) Fie ¹:C ! [0;+1], normalizat¸ a » si
monoton¸ a. Funct »ia f: ­!Rse nume» ste C-m¸ asurabil¸ a, dac¸ a pentru
oricare submult »ime Borel B½R, are loc f¡1(B)2 C.
Dac¸ a f: ­!ResteC-m¸ asurabil¸ a, atunci pentru ¯ecare A2 C, inte-
grala Choquet va ¯ de¯nit¸ a prin formula
(C)Z
Afd¹=Z+1
0¹(F¯(f)\
A)d¯+Z0
¡1[¹(F¯(f)\
A)¡¹(A)]d¯;
unde F¯(f) =f!2­;f(!)¸¯g. Dac¸ a ( C)R
Afd¹exist¸ a ^ ³nR, atunci fse
nume» ste integrabil¸ a Choquet pe A. Observ¸ am c¸ a dac¸ a f¸0 on A, atunci

4CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
termenul din formula de mai sus care cont »ine integralaR0
¡1, devine egal cu
zero.
In cazul^ ³n care ¹este m¸ asura Lebesgue (adic¸ a num¸ arabil aditiv¸ a), atunci
integrala Choquet ( C)R
Afd¹se reduce la integrala Lebesgue.
^In r^ ³ndurile observat »iilor urm¸ atoare, prezent¸ am (f¸ ar¸ a demonstrat »ii) ni» ste
propriet¸ at »i cunoscute, de care vom avea nevoie pe mai departe.
Observat »ii. Fie¹:C ! [0;+1] o funct »ie monoton¸ a de mult »imi. Au
loc propriet¸ at »ile :
(i) (C)R
Aeste pozitiv omogen¸ a, adic¸ a pentru orice a¸0 avem
(C)Z
Aafd¹ =a¢(C)Z
Afd¹;
(pentru f¸0 vezi, de exemplu, [65], Teorema 11.2, (5), p. 228 iar pentru
fde semn arbitrar, vezi, de exemplu, [23], p. 64, Propozit »ia 5.1, (ii)).
(ii)^In cazul general pentru f» sig, avem ( C)R
A(f+g)d¹6= (C)R
Afd¹+
(C)R
Agd¹. Dac¸ a ¹este » si submodular¸ a, atunci integrala Choquet este
subliniar¸ a, adic¸ a
(C)Z
A(f+g)d¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Agd¹;
pentru toate funct »iile f; gde semn arbitrar » si m¸ arginite inferior (vezi, de
exemplu, [23], p. 75, Teorema 6.3).
Apoi, pentru orice c2R» sifde semn arbitrar, are loc
(C)Z
A(f+c)d¹= (C)Z
Afd¹+c¢¹(A);
(vezi, de exemplu, [65], pp. 232-233, sau [23], p. 65).
(iii) Dac¸ a f·gpeAatunci ( C)R
Afd¹·(C)R
Agd¹(vezi, de exemplu,
[65], p. 228, Teorema 11.2, (3) pentru f; g¸0 » si p. 232 pentru f; gde semn
arbitrar).

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 5
(iv) Fie f¸0. Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult¸ a imediat ca dac¸ a
A½Batunci
(C)Z
Afd¹·(C)Z
Bfd¹
iar dac¸ a, ^ ³n plus, ¹este ¯nit subaditiv¸ a, atunci
(C)Z
ASBfd¹·(C)Z
Afd¹+ (C)Z
Bfd¹:
(v) Din de¯nit »ia integralei Choquet, rezult· a imediat c¸ a
(C)Z
A1¢d¹(t) =¹(A):
(vi) Exemple simple de funct »ii de mult »imi ¹, monotone » si submodulare,
pot ¯ obt »inute dintr-o masur¸ a probabilist¸ a Mde¯nit¸ a pe o ¾-algebr¸ a a
lui ­ (adic¸ a M(;) = 0, M(­) = 1 » si Meste num¸ arabil aditiv¸ a), prin
formula ¹(A) =°(M(A)), unde °: [0;1]![0;1] este o funct »ie cresc¸ atoare
» si concav¸ a, iar °(0) = 0, °(1) = 1 (vezi, de exemplu, [23], pp. 16-17,
Exemplu 2.1). Observ¸ am c¸ a dac¸ a de fapt Meste doar ¯nit aditiv¸ a, atunci
¹(A) =°(M(A)) ram^ ³ne ^ ³nca submodular¸ a.
Reamintim aici ca o funct »ie de mult »imi ¹:P(­)![0;1] (unde P(­)
noteaz¸ a famila tuturor submult »imilor lui ­) se nume» ste m¸ asur¸ a de posibil-
itate pe mult »imea nevid¸ a ­, dac¸ a ea satisface axiomele ¹(;) = 0, ¹(­) = 1
» si¹(S
i2IAi) = sup f¹(Ai);i2Igpentru toate Ai2­, » si orice familie Ide
indici.
Legat de acest concept, se observ¸ a c¸ a orice masur¸ a de posibilitate ¹
este monoton¸ a » si submodular¸ a. ^Intra-adev¸ ar, ^ ³n timp ce monotonia este
imediat¸ a din axioma ¹(ASB) = max f¹(A); ¹(B)g, submodularitatea este
imediat¸ a din proprietatea ¹(ATB)·minf¹(A); ¹(B)g.
Se mai » stie c¸ a orice distribut »ie de posibilitate (pe ­), adic¸ a o funct »ie
¸: ­![0;1] cu proprietatea sup f¸(s);s2­g= 1, induce m¸ asura de

6CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
posibilitate ¹¸:P(­)![0;1], de¯nit¸ a de formula ¹¸(A) = sup f¸(s);s2
Ag, pentru orice A½­,A6=;,¹¸(;) = 0.
Pentru de¯nit »ia si propriet¸ at »ile de mai sus legate de m¸ asurile de posibil-
itate, se poate consulta, de exemplu, [27], Capitolul 1.
2.1.3 Rezultate principale
Not¸ am cu BSd, sigma algebra a tuturor submult »imilor m¸ asurabile Borel din
P(Sd). Fie ¹:BSd![0;+1) o funct »ie de mult »imi, normalizat¸ a, monoton¸ a
» si submodular¸ a.
¹se va numi strict pozitiv¸ a dac¸ a ¹(A\Sd)>0, pentru orice mult »ime
deschis¸ a A½Rncu proprietatea A\Sd6=;.
De asemenea, tot prin de¯nit »ie, suportul lui ¹, notat cu supp(¹), este
mult »imea tuturor x2Sdcu proprietatea c¸ a pentru ¯ecare vecin¸ atate de-
schis¸ a Nx2 B Sda lui x, avem ¹(Nx)>0.
Desemn¸ am prin C+(Sd), spat »iul tuturor funct »iilor pozitive » si continue
peSdiar cu L1
¹(Sd), spat »iul funct »iilor reale, BSd-m¸ asurabile f, astfel c¸ a
exist¸ a o mult »ime E½Sd(depinz^ ³nd de f) cu¹(E) = 0 iar feste m¸ arginit¸ a
peSdnE.
Not¸ am
Mn;¹(f)(x) =X
j®j=nc(®; ¹)¢B®(x); x2Sd; n2N:
Aplic^ ³nd Observat »ia 2.2, (i), rezult· a u» sor
c(®; ¹) =(C)R
Sdf(t)B®(t)d¹(t)
(C)R
SdB®(t)d¹(t)=(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t):
Este bine de ment »ionat aici ca prin normalizarea funct »iei de mult »imi
¹, nu se pierde generalitatea rezultatelor obt »inute » si c¸ a, condit »ia supp(¹)n
@Sd6=;, garanteaz¸ a c¸ a ( C)R
SdB®(t)d¹(t)>0, pentru tot »i B®.

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 7
^In demonstrarea rezultatelor principale, vom avem nevoie de urm¸ atoarea
lemm¸ a important¸ a.
Lema 2.1.2. Fie¹o funct »ie de mult »imi, normalizat¸ a, monoton¸ a » si
submodular¸ a. Dac¸ a de¯nim Tn:C+(Sd)!R+prin
Tn(f) = (C)Z
Sdf(t)P®(t)d¹(t); f2C+(Sd); n2N;j®j=n;
atunci pentru toate funct »iile f; g2C+(Sd), avem
jTn(f)¡Tn(g)j ·Tn(jf¡gj) = (C)Z
Sdjf(t)¡g(t)j ¢P®(t)d¹(t):
Demonstrat »ie. Deoarece P®(t)¸0 pentru orice t2Sd, funct »ionala
Tnare urm¸ atoarele propriet¸ at »i : este pozitiv omogen¸ a (din Observat »ia an-
terioar¸ a (i)), monoton cresc¸ atoare (din Observat »ia (iii)) » si subliniar¸ a (din
Observat »ia (ii)).
Fief; g2C+(Sd). Avem f=f¡g+g· jf¡gj+g, din care, ^ ³n
mod succesiv obt »inem Tn(f)·Tn(jf¡gj) +Tn(g), that is Tn(f)¡Tn(g)·
Tn(jf¡gj).
Scriind acum g=g¡f+f· jf¡gj+f» si aplic^ ³nd rat »ionamentele de
mai sus, rezult· a Tn(g)¡Tn(f)·Tn(jf¡gj), care combinata cu inegalitatea
de mai sus, ne da jTn(f)¡Tn(g)j ·Tn(jf¡gj). ¤
Primul rezultat principal este analog Teoremei 1 din [11] » si se refer¸ a la
aproximare uniform¸ a.
Teorema 2.1.3. Fie¹o funct »ie de mult »imi, normalizata, monoton¸ a,
submodular¸ a » si strict pozitiva pe BSd, astfel ^ ³nc^ ³t supp(¹)n@Sd6=;. Pentru
¯ecare f2C+(Sd)avem
lim
n!1kMn;¹(f)¡fkC(Sd)= 0;
undekFkC(Sd)= max fjF(x)j;x2Sdg.

8CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Demonstrat »ie. Urmam rat »ionamentele din demonstrat »ia Teoremei 1
din [11], pastr^ ³nd » si notat »iile de acolo.
^In acest sens, ¯e ¦ dmult »imea tuturor permutarilor mult »imii fd; d¡
1; :::;1;0g» si notam a=®
n=¡®0
n; :::;®d
n¢
2Sd, ^ ³n coordonate baricentrice.
Pentru ¼2¦d, s¸ a consider¸ am (^ ³n coordonate baricentrice)
S¼=fa= (a0; a1; :::; a d)2Sd;a¼(d)·a¼(d¡1)·:::·a¼(1)·a¼(0)g:
De asemenea, pentru ´ > 0,a2Sd» si¼2¦d, s¸ a de¯nim cubul deschis
d-dimensional
U¼(a;´)
=fx2Rd;a¼(d)¡´ < x ¼(d)< a ¼(d)+´; :::; a ¼(1)¡´ < x ¼(1)< a ¼(1)+´g
» si simplexul ^ ³nchis, d-dimensional
V¼(a;´) =fx2Rd;a¼(d)·x¼(d)·a¼(d)+´; :::; a ¼(1)·x¼(1)·a¼(1)+´;
a¼(d)+:::+a¼(1)·x¼(d)+:::+x¼(1)·a¼(d)+:::+a¼(1)+´g:
Observ¸ am c¸ a dac¸ a a2Sd» si 0< ´·1
d+1, atunci V¼(a;´)µSd(vezi [11],
p. 327).
Pentru " >0, din continuitatea uniform¸ a a lui fpeSd, exist¸ a ± >0,
astfel ^ ³nc^ ³t pentru tot »i x; y2Sdcukx¡yk1<±, rezult· a jf(x)¡f(y)j< ",
undekx¡yk1:= max fjxi¡yij;i= 1; :::; dg.
S¸ a lu¸ am ±= min f±=d;1=(d+ 1);1=6g,M=kfkC(Sd),j®j=n,¼2¦d,
a=®
n2Sd.
Urmimd ideile demonstrat »iei din [11], p. 328, putem scrie
jc(®; ¹)¡f(a)j
=¯¯¯¯(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)¡(C)R
Sdf(a)¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)¯¯¯¯(2.2)

2.1. APROXIMARE CU OPERATORI DURRMEYER-CHOQUET 9
=j(C)R
Sdf(t)P®(t)d¹(t)¡(C)R
Sdf(a)¢P®(t)d¹(t)j
(C)R
SdP®(t)d¹(t)
·(C)R
Sdjf(t)¡f(a)j ¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)(2.3)
·(C)R
SdTU¼(a;±)jf(t)¡f(a)j ¢P®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)
+(C)R
SdnU¼(a;±)jf(t)¡f(a)jP®(t)d¹(t)
(C)R
SdP®(t)d¹(t)(2.4)
·"+ 2M¢(C)R
SdnU¼(a;±)P®(t)d¹(t)
(C)R
Sd\U¼(a;±)P®(t)d¹(t)(2.5)
·"+ 2M¢(C)R
SdnU¼(a;±)P®(t)d¹(t)
(C)R
V¼(a;±2)P®(t)d¹(t)(2.6)
·"+ 2M¢maxfP®(x);x2SdnU¼(a;±)g ¢¹(Sd)
minfP®(x);x2V¼(a;±2)g ¢¹(V¼(a;±2))(2.7)
·"+ 2M¢maxfP®(x);x2SdnU¼(a;±)g
minfP®(x);x2V¼(a;±2)g ¢infa2S¼¹(V¼(a;±2)):
Observ¸ am c¸ a mai sus, (2.2) este obt »inut¸ a din Observat »ia anterioar¸ a, (i),
(2.3) este obt »inut¸ a din Lema 2.1.2, (2.4) este obt »inut¸ a din inegalitatea a
doua a Observat »iei (iv) (deoarece ¹este » si subaditiv¸ a), (2.5), (2.6) sunt
obt »inute din Observat »iile (iii), (i) » si din prima inegalitate din Observat »ia
(iv), ^ ³n timp ce (2.7) este obt »inut¸ a din Observat »iile (iii), (i) » si (v).
Deoarece ^ ³n demonstrat »ia Lemei 2 din [11], doar monotonia » si strict
pozitivitatea m¸ asurii este folosit¸ a, ^ ³n mod analog rezult· a c¸ a
inf
a2S¼¹(V¼(a;±2))>0:
Pe deasupra, deoarece ^ ³n restul demonstrat »iei Teoremei 1 din [11], m¸ asura
nu mai este implicat¸ a (vazi Lemele 3, 4 » si 5 din [11]), obt »inem imediat » si
demonstrat »ia Teoremei 2.1.3. ¤

10CAP. 2. APROXIMARE CU OPERATORI INTEGRALI NELINIARI
Al doilea rezultat principal este un analog al Teoremei 1 din [12] » si se
refera la convergent »a punctual¸ a. ^In acest sens, analiz^ ³nd rat »ionamentele
din demonstrat »ia Teoremei 1 din [12] » si folosind acelea» si propriet¸ at »i ale
integralei Choquet ca » si ^ ³n demonstrat »ia Teoremei 2.1.3 de mai sus, rezult· a
u» sor urm¸ atoarea.
Teorema 2.1.4. Fie¹o funct »ie de mult »imi, normalizata, monoton¸ a,
submodular¸ a pe BSd, cusupp(¹)n@Sd6=;. Dac¸ a f2L1
¹(Sd)» sif(x)¸0,
pentru tot »i x2Sd, atunci ^ ³n ¯ecare punct x2supp(¹)unde fese continu¸ a,
avem
lim
n!1jMn;¹(f)(x)¡f(x)j= 0:
Observat »ii. 1) Potrivit cu Observat »ia anterioara, (vi), un exemplu
de funct »ie de mult »imi ¹, submodular¸ a » si satisfac^ ³nd toate cerint »ele din
enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4, poate ¯ simplu de¯nita prin ¹(A) =
p
ș(A), unde șeste o m¸ asur¸ a Borel de probabilitate ca » si ^ ³n [11] » si [12].
De asemenea, este bine de notat ca datorita nonlinearitat »ii integralei Cho-
quet (vezi Observat »ia (ii)), spre deosebire de cazul din [11], [12], operatorul
Bernstein-Durrmeyer-Choquet este nelinear.
2) Pozitivitatea funct »iei fdin Teoremele 2.1.3 » si 2.1.4 este necesar¸ a din
cauza pozitiv omogeneitat »ii integralei Choquet, aplicata ^ ³n demonstrarea
relat »iei (2.2). Totusi, dac¸ a feste de semn arbitrar pe Sd, atunci rezult· a
imediat ca enunt »urile Teoremelor 2.1.3 » si 2.1.4 au loc pentru operatorii
Bernstein-Durrmeyer-Choquet u» sor modi¯cat »i, de¯nit »i prin
M¤
n;¹(f)(x) =Mn;¹(f¡m)(x) +m;
unde m2Reste o margine inferioar¸ a pentru f, adic¸ a f(x)¸m, pentru
tot »ix2Sd.

Bibliogra¯e
[1]Abel, U., Butzer, P. L., Complete asymptotic expansion for general-
ized Favard operators, Constr. Approx. ,35(2012), 73-88.
[2]Agratini, O., Radu, C., On q-Baskakov-Mastroianni operators, Rocky
Mount. J. Math. ,42(3)(2012), 773-790.
[3]Altomare F., Campiti, M., Korovkin-type Approximation Theory and
its Applications , de Gruyter Studies in Mathematics, vol. 17. New
York, Berlin (1994).
[4]Aral, A., A generalization of Sz¶ asz-Mirakjan operator based on q-
integers, Math. Comput. Model. ,47(2008), 1052-1062.
[5]Aral, A., Gupta, V., On q-Baskakov type operators, Demonstratio
Math. ,47(1)(2009), 109-122.
[6]Aral, A., Gupta, V., On the Durrmeyer type modiication of q-
Baskakov type operators, Nonlinear Anal. ,72(2010), No. 3-4, 1171-
1180.
[7]Baskakov, V. A., An example of a sequence of linear positive opera-
tors in the space of continuous functions (Russian), Dokl. Akad. Nauk
SSSR ,113(1957), 249-251.
11

12 BIBLIOGRAFIE
[8]Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the Bernstein operator of max-product kind,
Int. J. Math. Math. Sci. , volume 2009, Article ID 590589 , 26 pages,
doi:10.1155/2009/590589.
[9]Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation and shape pre-
serving properties of the nonlinear Meyer-KÄ onig and Zeller operator
of max-product kind, Numer. Funct. Anal. Optim. ,31(2010), No. 3,
232-253.
[10]Bede, B., Coroianu, L., Gal, S. G., Approximation by Max-Product
Type Operators , Springer, New York, 2016.
[11]Berdysheva, E. E., Uniform convergence of Bernstein-Durrmeyer op-
erators with respect to arbitrary measure, J. Math. Anal. Appl.
394(2012) 324-336.
[12]Berdysheva, E. E., Bernstein-Durrmeyer operators with respect to
arbitrary measure, II : Pointwise convergence, J. Math. Anal. Appl.
418(2014) 734-752.
[13]Berdysheva, E. E., Jetter, K., Multivariate Bernstein-Durrmeyer op-
erators with arbitrary weight functions, J. Approx. Theory 162(2010)
576-598.
[14]Bernstein, S. N., D¶ emonstration du th¶ eor¶ em de Weierstrass fonde¶ e
sur le calcul des probabilit¶ es, Commun. Soc. Math. Kharkov ,
13(1912/1913), 1-2.

BIBLIOGRAFIE 13
[15]Cetin, N., Ispir, N., Approximation by complex modi¯ed Sz¶ asz-
Mirakjan operators, Studia Sci. Math. Hungar. ,50(3) (2013), 355-
372.
[16]Choquet, G., Theory of capacities, Ann. Inst. Fourier (Grenoble)
5(1954) 131-295.
[17]Coroianu, L., Gal, S. G., Classes of functions with improved estimates
in approximation by the max-product Bernstein operator, Anal. Appl.
(Singap.) ,9(2011), No. 3, 249-274.
[18]Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the Bernstein max-
product operator, Appl. Math. Comp. ,231(2014), 73-78.
[19]Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the max-product
Meyer-KÄ onig and Zeller operator, Numer. Funct. Anal. Optim. ,
34(2013), No. 7, 713-727.
[20]Coroianu, L., Gal, S. G., Localization results for the non-truncated
max-product sampling operators based on Fej¶ er and sinc-type kernels,
Demonstratio Math. ,49(2016), no. 1, 38-49.
[21]Coroianu, L., Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Trifa, S., Feller's scheme
in approximation by nonlinear possibilistic integral operators, trimis¸ a
spre publicare .
[22]De Cooman, G., Possibility theory. I. The measure-and integral-
theoretic groundwork, Internat. J. Gen. Systems ,25(1997), no. 4,
291-323.
[23]Denneberg, D., Non-Additive Measure and Integral , Kluwer Academic
Publisher, Dordrecht, 1994.

14 BIBLIOGRAFIE
[24]Derriennic, M. M., Modi¯ed Bernstein polynomials and Jacobi poly-
nomials in q-calculus, Rend. Circ. Mat. Palermo ,76(2005), 269-290.
[25]Dieudonn¶ e, J., ¶El¶ ements dAnalyse ; 1. Fondements de l'Analyse Mod-
erne, Gauthiers Villars, Paris, 1968.
[26]Djebali, S., Uniform continuity and growth of real continuous func-
tions, Int. J. Math. Education in Science and Technology ,32(2001),
No. 5, 677-689.
[27]Dubois D., Prade, H., Possibility Theory , Plenum Press, New York,
1988.
[28]Favard, J., Sur les multiplicateurs d'interpolation, J. Math. Pures
Appl. ,23(1944), No. 9, 219-247.
[29]Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications ,
vol. II, Wiley, New York, 1966.
[30]Finta, Z., Gupta, V., Approximation propertis of q-Baskakov opera-
tors, Centr. Eur. J. Math. ,8(2010), No. 1, 199-211.
[31]Gaier, D., Lectures on Complex Approximation , Birkhauser, Boston,
1987.
[32]Gal, S. G., Approximation with an arbitrary order by generalized
Sz¶ asz-Mirakjan operators, Stud. Univ. Babes-Bolyai Math. ,59(2014),
77-81.
[33]Gal, S. G., A possibilistic approach of the max-product Bernstein kind
operators, Results Math. ,65(2014), 453-462.

BIBLIOGRAFIE 15
[34]Gal, S. G., Approximation by Choquet integral operators, Annali Mat.
Pura Appl. ,195(2016), No. 3, 881-896.
[35]Gal, S. G., Approximation by Complex Bernstein and Convolution-
Type Operators , World Scienti¯c Publ. Co, Singapore-Hong Kong-
London-New Jersey, 2009.
[36]Gal, S. G., Overconvergence in Complex Approximation , Springer,
New York, 2013.
[37]Gal, S. G., Approximation of analytic functions by generalized Favard-
Sz¶ asz-Mirakjan-Faber operators in compact sets, Complex Anal. Oper.
Theory ,9(2015), No. 5, 975-984.
[38]Gal, S. G., Approximation in compact sets by q-Stancu-Faber poly-
nomials, q >1,Comput. Math. Appl. ,61(2011), no. 10, 3003-3009.
[39]Gal, S. G., Approximation with an arbitrary order by generalized
Sz¶ asz-Mirakjan operators, Studia Univ. Babes-Bolyai Math. ,59(1)
(2014), 77-81.
[40]Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by complex Durrmeyer type op-
erators in compact disks , in : Mathematics without Boundaries, Sur-
veys in Interdisciplinary Research, P.M. Pardalos and T.M. Rassias
(editors), Springer, New York-Heidelberg-Dordrecht-London, 2014,
pp. 263-284.
[41]Gal, S. G., Gupta, V., Approximation by the complex form of a link
operator between the Phillips and the Sz¶ asz-Mirakjan operators, Re-
sults Math. ,67(2015), 381-393.

16 BIBLIOGRAFIE
[42]Gal, S. G., Gupta, V., Mahmudov, N. I., Approximation by a complex
q-Durrmeyer type operator, Ann. Univ. Ferrara ,58(1) (2012), 65-87.
[43]Gal, S. G., Gupta, V., Verma, D. K., Agrawal, P. N., Approximation
by complex Baskakov-Stancu operators in compact disks, Rend. Circ.
Mat. Palermo ,61(2012), no. 2, 153-165.
[44]Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation by complex q-
Sz¶ asz-Kantorovich operators in compact disks, q >1,Complex Anal.
Oper. Theory ,7(2013), No. 6, 1853-1867.
[45]Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation with an arbitrary order by
modi¯ed Baskakov type operators, Appl. Math. Comp. ,265(2015),
329-332.
[46]Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Uniform and pointwise convergence of
Bernstein-Durrmeyer operators with respect to monotone and sub-
modular set functions, J. Math. Anal. Appl. ,424(2015), 1374-1379.
[47]Gal, S. G., Opri» s, D. B. , Approximation of analytic functions with an
arbitrary order by generalized Baskakov-Faber operators in compact
sets, Complex Anal. Oper. Theory ,10(2016), No. 2, 369-377.
[48]Gal, S. G., Mahmudov, N. I., Opri» s, D. B. , Approximation with an
arbitrary order by Sz¶ asz, Sz¶ asz-Kantorovich and Baskakov complex
operators in compact disks, Azerbaijan J. Math. ,6(2016), No. 2, 3-
12.
[49]Gupta, V., Complex Baskakov-Sz¶ asz operators in compact semi-disks,
Lobachevskii J. Math. ,35(2014), no. 2, 65-73.

BIBLIOGRAFIE 17
[50]Gupta, V., Agarwal, R. P., Convergence Estimates in Approximation
Theory , Springer, New York, 2014.
[51]Gupta, V., Aral, A., Some approximation properties of q-Baskakov-
Durrmeyer operators, Appl. Math. Comput. ,218(2011), No. 3, 783-
788.
[52]Kac, V., Cheung, P., Quantum Calculus , Universitext, Springer-
Verlag, New York, 2002.
[53]Levasseur, K. N., A probabilistic proof of the Weierstrass approxima-
tion theorem, Amer. Math. Monthly ,91(1984), No. 4, 249-250.
[54]Li, B.-Z., Approximation by multivariate Bernstein-Durrmeyer oper-
ators and learning rates of least-square regularized regression with
multivariate polynomial kernel, J. Approx. Theory 173(2013) 33-55.
[55]Lopez-Moreno, A.-J., Weighted simultaneous approximation with
Baskakov type operators, Acta Math. Hungar. ,104(1-2) (2004), 143-
151.
[56]Lupa» s, A., Some properties of the linear positive operators, II, Math-
ematica(Cluj) ,9(32) (1967), 295-298.
[57]Mahmudov, N. I., Approximation properties of complex q-Sz¶ asz-
Mirakjan operators in compact disks, Comput. Math. Appl. ,60(6)
(2010), 1784-1791.
[58]Mahmudov, N. I., Convergence properties and iterations for q-Stancu
polynomials in compact disks, Comput. Math. Appl. ,59 (12) (2010),
3763-3769.

18 BIBLIOGRAFIE
[59]Mahmudov, N. I., Approximation by Bernstein-Durrmeyer-type oper-
ators in compact disks, Appl. Math. Lett. ,24(7) (2011), 1231-1238.
[60]Mahmudov, N. I., Kara, M., Approximation theorems for complex
Sz¶ asz-Kantorovich operators, J. Comput. Anal. Appl. ,15(1) (2013),
32-38.
[61]Opri» s, D, B. , Approximation with an arbitrary order by generalized
Sz¶ asz-Stancu and Baskakov-Stancu operators, trimis¸ a spre publicare.
[62]Radu, C., On statistical approximation of a general class of posi-
tive linear operators extended in q-calculus, Appl. Math. Comput. ,
215(2009), 2317-2325.
[63]Shisha, O., Mond, B., The degree of convergence of linear positive
operators, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. ,60(1968), 1196-1200.
[64]Suetin, P. K., Series of Faber Polynomials , Gordon and Breach, Am-
sterdam, 1998.
[65]Wang, Z., Klir, G.J., Generalized Measure Theory , Springer, New
York, 2009.