Continuturi Matematice In Gimnaziu
Cuprins
Argument
Capitolul I. Conținuturi matematice în gimnaziu
I.1. Cunoștințe, atitudini, competențe pentru matematica gimnazială
I.2. Mulțimea numerelor naturale
I.3. Mulțimea numerelor întregi
I.4. Axiomatica spațiului Euclidian
Capitolul II. Softuri educaționale
II.1. Clasificarea aplicațiilor educaționale
II. 2. Instrumente TIC pentru procesul didactic
Capitolul III. Coordonatele cercetării privind predarea și învățarea matematicii cu ajutorul informaticii
III.1. Ipoteza și obiectivele cercetării
III. 2. Metodica cercetării
III.3. Descrierea eșantionului
III. 4. Desfășurarea cercetării
Capitolul IV. Descrierea rezultatelor cercetării
IV. 1. Prelucrarea, analiza și interpretarea datelor
IV. 2. Concluzii
Anexe
Bibliografie
Argument
Școala trebuie să manifeste prin specialiștii săi deschidere față de dezvoltarea tehnologiilor informațiilor și comunicării și avantajele folosirii acestora, capacitate de asimilare, adaptare și valorificare eficientă în raport cu beneficiari direcți, adică elevii. Dacă acceptăm ca profesori, că tehnologia modernă care înlesnește accesul la informație precum și relaționarea rapidă și complexă cu medii dintre cele mai diverse ocupă astăzi un loc foarte important în viața elevilor noștri, trebuie să înțelegem și că acest aspect poate și trebuie valorificat și în activitatea noastră.
Un prim avantaj îl constituie chiar faptul că elevii, fiind deja familiarizați cel puțin cu utilizarea internetului și a mediilor de socializare, cărora statistic vorbind, le acordă o bună parte din timpul lor, pot fi, în principiu, convinși să le utilizeze și în activitatea școlară. Internetul, spațiu virtual labirintic, vine spre noi cu bune și cu rele. Integrarea TIC în activitatea didactică, din această perspectivă, poate avea un dublu avantaj: pe de o parte, permite accesul rapid la informații, pe de altă parte, contactul cu aceste informații poate fi orientat într-o manieră constructivă și eficientă. Rolul profesorului este important aici în formarea elevilor în direcția selectării judicioase și critice a surselor pe care le au la dispoziție. Faptul că elevul înțelege că nu orice informație găsită pe internet este valoaroasă, ci numai cea care răspunde unei teme, unor ipoteze de lucru sau ca dovadă în susținerea unor argumente este adevăratul câștig al întâlnirii dintre tehnologie și educație. Elevul beneficiază de plăcerea explorării, urmată de dezvoltarea capacității de analiză, selectare, combinare și sintetizare a datelor obținute. Obișnuința de a verifica o informație folosind mai multe surse poate dezvolta elevilor deprinderea de a gândi critic și de a rezolva autonom o problemă.
Opiniile referitoare la instruirea asistată de calculator în învățământul preuniversitar sunt evidențiate în rapoartele de evaluare și aduc în prim plan o serie întreagă de avantaje, de la beneficiile în planul coordonării lecției și al orientării către strategii constructiviste până la facilitarea atingerii obiectivelor de învățare și a diferențierii instruirii la clasă.
Studiile efectuate dovedesc că:
Lecțiile în care au folosit TIC s-au adresat diferitelor stiluri de învățare ale elevilor și au facilitat abordarea unor strategii didactice activ-participative (Toma, 2009) și facilitează tranziția rapidă de la modelul de predare prin expunere la modelul centrat pe elev care cuprinde strategii constructiviste de predare/ învățare. (Escorza 2007).
TIC le permite elevilor să lucreze după propriile stiluri de învățare. Colaborarea dintre elevi este mai bună atunci când folosesc TIC. (Balanskat, 2006).
80% dintre cadrele didactice sunt de acord că tehnologia are un impact asupra implicării elevilor în învățare. Profesorii au descoperit că folosirea tehnologiei pentru a facilita învățarea creativă și bazată pe proiecte îi poate motiva pe elevii nemulțumiți de școală.(BECTA, 2008).
Lucrarea de față încearcă să evidențieze aceste avantaje. Lucrarea este grupată pe 4 capitole: Capitolul I: Conținuturi matematice în gimnaziu; Capitolul II: Softuri educaționale; Capitolul III: Coordonatele cercetării și Capitolul IV: Descrierea rezultatelor cercetării.
În capitolul I se evidențiază termenul de conținut al învățării, criteriile de selecție ale conținuturilor și sunt prezentate Mulțimea numerelor naturale, Mulțimea numerelor întregi și Axiomele geometriei euclidiene. În capitolul al II-lea este facută o clasificare a softurilor și sunt descrise câteva softuri cu exemple de aplicații în matematică. Capitolele III și IV cuprind cercetarea aplicativă efectuată pentru stabilirea influenței informaticii în predarea matematicii.
Elaborarea lucrării s-a bazat pe documentare menționată în bibliografie.
Informatica, respectiv softul nu va înlocui niciodată total acțiunea profesorului dar a ignora rolul și importanța lui înseamnă a te opune firescului. Este evident necesitatea accesului la informație, este evident necesitatea utilizării calculatorului în toate școlile, măcar pentru asigurarea reală a șanselor egale în educație.
Capitolul I
CONȚINUTURI MATEMATICE ÎN GIMNAZIU
I.1. Cunoștințe, atitudini, competențe pentru matematica gimnazială
Din perspectiva științelor educației, conținuturile învățământului pot fi definite ca “mijloace prin care se urmărește atingerea obiectivelor cadru și de referință stabilite. ” (Dumitriu G. 2007). Domeniul conținutului învățământului se vede clar atunci când suntem in situația de a întreba “ce este mai valoros pentru a fi însușit în școală?” și “cât?” se comunică prin procesul de învățământ.
Matematica din gimnaziu urmărește două aspecte importante, vis-a-vis de finalitățile urmărite și anume:
– Cuprinderea unor noțiuni de bază necesare aprofundării unei matematici superioare, eventual de studiat ulterior, respectiv noțiuni necesare studiului celorlaltor științe;
– Formarea unor capacități intelectuale și abilități specifice, cum ar fi logica în gândire, aprecierea adevărului, respect pentru corectitudine.
Conținutul învățământului matematic, văzut ca un sistem, promovează următoarele valori: cunoștințe; priceperi și deprinderi (abilități) intelectuale și practice; capacități intelectuale și practice; competențe intelectuale și practice; atitudini; aptitudini; comportamente.
Programele școlare urmăresc învățarea matematicii cu noțiuni acumulate asemănător unei spirale ascendente. Pe măsură ce elevii înaintează în vârstă, maturitatea și experiențele dobândite îi ajută nu doar să adauge noi informații celor deja acumulate, ci și să crească calitativ (în profunzime) pe cele vechi. În clasa a V-a, elevii studiază numerele naturale: operații, inclusiv ridicarea la putere a unui număr natural și pentru prima dată se definește noțiunea de divizibilitate; este învățat apoi conceptul de mulțime, iar din mulțimea numerelor raționale pozitive se studiază adunarea fracțiilor ordinare cu celași numitor, aflarea unei fracții dintr-un număr natural și fracțiile zecimale. Tot în clasa a V-a elevii iau contact cu elemente de geometrie și cu noțiunile de arie a unei suprafețe și volum al unui corp . În clasa a VI-a matematica se desparte în două ramuri: algebra și geometria sintetică. La algebră elevii își completează cunoștințele despre divizibilitate cu proprietăți, cu noțiunile c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.. În studiul numerelor raționale pozitive se adaugă operații cu fracții ordinare și se învață conceptele de raport, proporție, mărimi direct și invers proporționale precum și conceptul de număr întreg. În geometrie se pun bazele raționamentului ipotetico-deductiv, se însușesc definiții, teoreme axiome legate de puncte, drepte, unghiuri; se studiază perpendicularitatea și paralelismul dreptelor, precum și proprietăți ale triunghiurilor particulare. În clasa a VII-a elevii studiază mulțimea numerelor raționale, conceptul de număr real și se face trecerea la calcul cu numere reprezentate prin litere. În geometrie la clasa a VII-a se studiază patrulaterele, relațiile metrice din triunghiuri și cercul. În clasa a VIII-a se completează noțiunile despre mulțimea numerelor reale și se introduce noțiunea de funcție; se introduc elementele de geometrie spațială. Este necesar să li se releve elevilor atât ordinea în care multe dintre noțiuni au fost descoperite și demonstrate, dar și modul în care ele, de-a lungul timpului se clădesc pentru a ajunge la matematicile superioare din zilele noastre.
În următoarele pagini se abordează în detaliu mulțimea numerelor naturale, concept introdus în clasa a V-a, mulțimea numerelor întregi și axiomele din geometria plană cu care elevii se întâlnesc la finalul clasei a V-a și în următoarele clase gimnaziale.
I.2. Mulțimea numerelor naturale
Necesitatea și utilitatea introducerii axiomatice a mulțimii numerelor naturale apare evident abia în secolul al XIX-lea. La începutul secolului al XIX-lea, Carl Friedrich Gauss propune o abordare filozofică numerelor, considerând ca numerele sunt concepte distincte de spațiu și timp, în sensul că sunt o creație pură a minții umane. În 1858, Julius Wilhelm Richard Dedekind descrie o metodă de construcție a mulțimii numerelor reale pornind de la numerele raționale, metodă cunoscută astăzi ca metoda tăieturilor a lui Dedekind. Numerele raționale la rândul lor pot fi construite plecând de la cele întregi, iar acestea folosind numerele naturale. Astfel, noțiunea de număr natural și cum poate fi introdusă mulțimea numerelor naturale a devenit o preocupare importantă. În 1860, Hermann Grassmann evidențiază rolul noțiunii de succesor și a inducției în introducerea noțiunii de număr natural și în demonstrarea unor proprietăți ale acestora. În 1888, Richard Dedekind propune o colecție de axiome pentru numerele naturale, iar în 1889 Giuseppe Peano publica o versiune mai riguroasă acestor axiome în “Arithmetices principia, nova methodo exposita".
Pentru descrierea sistemului axiomatic al lui Peano (cunoscut si ca Peano-Dedekind) trebuie să descriem ceva noțiuni. Noțiunile primare sunt: noțiunea de număr natural (un element al unei mulțimi N) și numărul natural zero (un element fixat al mulțimii N), iar relația primară este cea de succesor. De asemenea trebuie cunoscute elemente de teoria mulțimilor, noțiunile de funcție, funcție injectivă, surjectivă, bijectivă.
I.2.1.Noțiuni fundamentale pregătitoare pentru introducerea noțiunii de cardinal
Relații binare
O relație binară între elemente ale mulțimii A și elemente ale mulțimii B este un triplet , unde .
Notăm „” (a este în relația cu b) dacă și numai dacă .
O relație binară se numește omogenă dacă și numai dacă ; în acest caz se numește relație binară pe mulțimea .
Definiție. Fie A o mulțime oarecare nevidă și o relație binară pe A
Relația este reflexivă dacă aA, avem (aa)
Relația este simetrică dacă aA cu (a , avem (ba)
Relația este tranzitivă dacă aA cu (a, avem (ac).
Relații de echivalență
O relație pe A care este simultan reflexivă, simetrică și tranzitivă se numește relație de echivalență pe A.
Dacă este relație de echilalență pe A și xA, se numește clasa de echivalență a elementului x mulțimea elementelor din A echivalente cu x prin , notată cu .
Astfel,
Clasele de echivalență sunt submulțimi nevide și disjuncte ale lui , iar reuniunea lor este .
Funcții Definim noțiunea fundamentală de funcție cu ajutorul noțiunii de relație binară.
Definiție Fie și două mulțimi nevide. O relație binară se numește funcție de la X la Y dacă G are proprietățile:
Pentru orice , există astefel încât
Dacă (x,), (x,)G, atunci =.
Terminologie
Mulțimile X și Y se numesc domeniul de definiție al funcției f, respectiv codomeniul (domeniul valorilor) funcției f.
Mulțimea G se numește graficul funcției f.
Dacă este o funcție, pentru fiecare xX există și este unic elementul yY astfel încât (x,y)G; în aceste condiții, notăm . Spunem că „yY este imaginea elementului xX prin funcția f” sau „y este asociat lui x prin f” sau „y corespunde lui x prin f”.
Funcția se notează în mo disjuncte ale lui , iar reuniunea lor este .
Funcții Definim noțiunea fundamentală de funcție cu ajutorul noțiunii de relație binară.
Definiție Fie și două mulțimi nevide. O relație binară se numește funcție de la X la Y dacă G are proprietățile:
Pentru orice , există astefel încât
Dacă (x,), (x,)G, atunci =.
Terminologie
Mulțimile X și Y se numesc domeniul de definiție al funcției f, respectiv codomeniul (domeniul valorilor) funcției f.
Mulțimea G se numește graficul funcției f.
Dacă este o funcție, pentru fiecare xX există și este unic elementul yY astfel încât (x,y)G; în aceste condiții, notăm . Spunem că „yY este imaginea elementului xX prin funcția f” sau „y este asociat lui x prin f” sau „y corespunde lui x prin f”.
Funcția se notează în mod uzual sub forma .
Funcții injective, funcții surjective, funcții bijective
Definiție O funcție se numește injectivă dacă ,X cu , avem , avem f()f.
(La orice două elemente distincte din domeniul de definiție corespund prin f elemente distincte din codomeniu).
Observație este injectivă dacă și numai dacă ,X, (f)=f(=).
Definiție. O funcție se numește surjectivă dacă yY, xX astfel încât
(Orice element din domeniu corespunde prin f cel puțin unui element din domeniul de definiție).
Definiție O funcție se numește bijectivă dacă este injectivă și surjectivă.
Observație este bijectivă dacă și numai dacă unic determinat astfel încât
Orice element din domeniu corespunde prin f unui singur element din domeniul de definiție.
Observații
O funcție bijectivă se numește și „corespondență biunivocă” sau „corespondență 1 la 1” între mulțimile X și Y.
Inversa unei funcții bijective este relația definită de
Fie și două funcții. Funcția compusă gf: XZ este definită prin (gf)(x)=g(f(x)).
Se demonstrează că funcția compusă este bijectivă dacă și sunt bijective.
Mulțimi echipotente (echivalente)
Definiție Două mulțimi nevide A și B se numesc echipotente dacă există cel puțin o funcție bijectivă f:AB.
Relația de echipotență „” pe mulțimea pîrților unei mulțimi X ( notată cu P(x)) este o relație de echivalență.
Reflexivitate : (orice mulțime este echipotentă cu ea însăși)
Simetrie : (dacă A este echipotentă cu B, atunci și B este echipotentă cu A)
Tranzitivitate: (dacă două mulțimi sunt echipotente cu o a treia mulțime, atunci sunt echpotente și între ele).
Să justificăm îndeplinirea condiților de mai sus:
Reflexivitate Funcția identitate definită prin este bijectivă.
Simetrie Fie A,B X cu AB. Există o funcție bijectivă f:AB. Atunci funcția inversă :BA este bine definită și bijectivă; de unde BA.
Tranzitivitate Fie A,B,CX cu proprietatea că AB și BC. Există atunci funcțiile bijective f:AB și g:BC. Funcția compusă gf:A este bijectivă, de unde AC.
Fie F clasa tuturor mulțimilor și „” relația de echipotență pe F.
Cardinalul unei mulțimi AF este clasa de echivalență a lui A prin relația de echipotență a mulțimilor „”.
Spunem că două mulțimi au același cardinal dacă sunt echipotente.
Mulțimi finite
Prin definiție , o mulțime este numită „infinită” dacă este echipotentă cu o submulțime strictă a sa. O mulțime care nu este infinită se numește „finită”.
Se demonstrează că orice mulțime finită nevidă este echipotentă cu o mulțime de numere naturale de forma {1,2,3,…,n}. Se spune că o astfel de mulțime are n elemente sau „are cardinalul n”. Mulțimea vidă are cardinalul 0 (zero).
I.2.2.Axiomele lui Peano
Fie N o mulțime nevidă, un element fixat al său și o funcție , pentru care sunt satisfăcute următoarele axiome:
P1: (0 nu este succesorul unui număr natural);
P2: este aplicație injectivă (la elemente distincte ale mulțimii N corespund succesori distincți);
P3: (Axioma inducției) dacă astfel încât și atunci M = N.
Convenim să numim tripleta un sistem Peano. În acest context, N se numește mulțime a numerelor naturale, elementul fixat se numește elemental zero (sau nul), iar funcția se numește funcție de succesiune.
Principiul I al inducției matematice. (PI) Fie P(n) o propoziție ce poate fi asociată cu orice număr natural n. Dacă P(0) este adevărată și pentru un număr natural arbitrar m avem că P(m) adevărată implică P(σ(m)) adevărată, atunci P(n) este adevărată pentru orice număr natural n.
PI al inducției matematice este o consecință imediată a axiomei inducției matematice (P3).
Propoziția 1 Fie un sistem Peano. Orice număr natural nenul este succesorul unui număr natural.
Demonstrație. Notăm . Vom demonstra, folosind axioma inducție, P3, că M = N. Avem . Pentru se obține că . În consecință . Conform P3 se obține M = N și deci orice număr natural nenul este succesorul unui număr natural.
În continuare demonstrăm că oricare două sisteme Peano sunt "echivalente", ceea ce implică "unicitatea" (modulo această echivalență) mulțimii numerelor naturale.
Teorema 3.1. (Teorema recursiei) Fie un sistem Peano. Pentru orice triplet , există o unică funcție astfel încât f(0) = θ și următoarea diagramă este comutativă:
(1)
Teoremă Fie un sistem Peano. Pentru orice sistem Peano , există o unică bijecție astfel încât f(0) =θ și diagrama (1) este comutativă.
Observație. Teorema precedentă afirmă că orice două sisteme Peano sunt echivalente modulo o bijecție. În consecință, până la o bijecție, mulțimea numerelor naturale este unică.
Pentru un sistem Peano vom nota ceea ce înseamnă că putem scrie Pentru moment 2 este un simbol pentru a desemna succesorul lui 1, care la rândul său este succesorul lui 0, numărul natural fixat inițial. Vom arăta că putem dețini o operație pe , față de care are loc
Vom nota mult_imea numerelor naturale nenule.
Propoziția 3.2. Dacă este un sistem Peano, atunci N este o mulțime infinită.
I.2.3. Operații binare pe N
Operația de adunare a numerelor naturale
Teorema 3.3.. Considerăm (N; 0; σ) un sistem Peano. Există o unică lege de compoziție
(pentru care vom folosi notația ) care satisface următoarele axiome:
A1:
A2:
Proprietăți ale adunării:
A3:
A4: ;
A5: asociativitate: ;
A6: comutativitate:
A7: reducere:
A8:
A9: sau ():
Observație. Conform proprietăților A5, A1, A3, A6 obținem că este un monoid comutativ, al cărui element neutru este 0.
Operația de înmulțire a numerelor naturale
Teorema 3.4. Considerăm (N; 0; ) un sistem Peano. Există o unică lege de compoziție , pentru care vom folosi notația și pe care o numim înmulțirea numerelor naturale, care satisface următoarele axiome:
M1: sau ), ;
M2: sau (),.
Proprietăți ale înmulțirii:
M3:
M4: , ;
M5: asociativitate: , ;
M6: element neutru: , ;
M7: comutativitate:, ;
M8: simplificare:, ;
M9: distributivitate: , , .
I.2.4.Relația de ordine pe N
Definiție: Pentru două numere naturale spunem că:
1: m precede n, sau că m este mai mic decât n, și scriem m < n, dacă , astfel încât ; mai scriem și citim n este mai mare decât m;
2: m precede sau este egal cu n, sau că m este mai mic sau egal decât n, și scriem , dacă astfel încât ; mai scriem și citim n este mai mare sau egal decât m.
Următoarele proprietăți se obțin imediat din definiția precedentă:
1) avem: și ; în plus dacă și numai dacă .
2) dacă și numai dacă .
Proprietăți ale relației de ordine pe mulțimea numerelor naturale:
O1: relația "" este tranzitivă;
O2: relația "" este o relație de ordine pe reflexivă, antisimetrică și tranzitivă.
O3: compatibilitatea cu adunarea: dacă și numai dacă pentru avem
O4: compatibilitatea cu înmulțirea: dacă și numai dacă pentru , avem ;
O5: (Proprietatea lui Arhimede) astfel încât .
Teorema 3.5. (Principiul trihotomiei, PT) Pentru două numere naturale m și n una și numai una din următoarele relații are loc: sau .
Teorema 3.6. (Principiul bunei ordonări, PBO) este o mulțime bine ordonată. Aceasta înseamnă că orice submulțime nevidă a mulțimii numerelor naturale admite un prim element: 8A astfel încât .
Lemă. Orice șir descrescător de numere naturale conține un număr finit de termini distincți.
Teorema 3.7. Orice mulțime de numere naturale nevidă și mărginită admite un ultim element.
I.2.5.Relația de divizibilitate pe N
Definiție. Fiind date două numere naturale a și b, spunem că a divide b dacă există numărul natural c astfel încât .
Dacă a divide b vom nota sau și citim a este divizor al lui b, b se divide la a sau că b este multiplu de a. Dacă și înseamnă că restul împărțirii lui b la a este zero.
Proprietăți imediate ale relației de divizibilitate:
D1: ;
D2: și admite cel puțin doi divizori;
D3: relația de divizibilitate este o relație de ordine parțială pe N:
reflexivă: ;
antisimetrică: și ;
tranzitivă: și ;
nu este totală: astfel încât a să nu fie divizibil cu b și a să nu dividă b.
D4: , relația de divizibilitate este compatibilă cu relația de ordine;
D5: și , relația de divizibilitate este compatibilă cu operațiile de adunare și înmulțire;
D6: și .
Definiție 1) Un număr natural p se numește indecompozabil (sau ireductibil) dacă și singurii săi divizori sunt 1 și p;
2) Un număr natural se numește compus (decompozabil sau reductibil) dacă admite mai mult de doi divizori;
Propoziție. Fie a > 1 un număr natural.
1) Dacă a este decompozabil atunci există cu ; astfel încât
.
2) Numărul natural a admite un divizor indecompozabil.
Teoremă Fie p un număr natural, . Următoarele afirmații sunt echivalente:
1) p este număr prim;
2) p este număr indecompozabil.
Teoremă (Teorema lui Euclid) Există o infinitate de numere prime.
Ciurul lui Eratostene: O modalitate simplă de a obține numere prime constă în a scrie numere naturale succesive și a elimina multiplii numerelor care nu au fost eliminate anterior: 2; 3; ; 5; ; 7; ; ; 11; ; 13; ….
Teoremă (Teorema Fundamentală a Aritmeticii) Orice număr natural admite o scriere unică, până la ordinea factorilor, ca produs finit de numere prime.
Demonstrație. Existența scrierii: Notăm n nu se poate scrie ca un produs finit de numere indecompozabile. Dacă prin reducere la absurd presupunem că conform PBO, există un prim element al mulțimii . Deoarece nu este prim atunci se poate scrie . Rezultă și deci și se pot scrie ca un produs finit de factori primi. Aceasta înseamnă că are aceeași proprietate, ceea ce contrazice .
Unicitatea scrierii: Presupunem . Demonstrăm prin inducție după că și după o eventuală permutare a factorilor .
Pentru avem . Rezultă și deci astfel încât . Deoarece este indecompozabil rezultă și .
Presupunem proprietatea adevărată pentru și considerăm . Din se obține (printr-o eventuală renumerotare).
Deoarece este indecompozabil obținem și deci . Folosind ipoteza inductivă avem și după o eventual renumerotare , .
Observație. Factorii din descompunerea precedentă pot să coincidă. Vom scrie
(descompunerea canonică)
Fie . Atunci dacă șî numai dacă , cu , .
Criterii de divizibilitate (pentru numere scrise în baza zece). Fie numărul . Atunci numărul se divide la :
CD1: 2, 5 sau 10 dacă și numai dacă ultima cifră, , are această proprietate;
CD2: dacă și numai dacă si numai dacă numărul format cu ultimele m cifre, are această proprietate ;
CD3: 3 sau 9 dacă și numai dacă suma cifrelor, ,are această proprietate.
Deoarece
Atunci și .
CD4: 11 dacă și numai dacă . Deoarece
atunci .
Observație. Ideile folosite în demostrație criteriilor de divizibilitate precedente permit de asemeni să obținem mai ușor restul împărțirii numărului la diverse numere. Astfel, restul împărțirii numărului la:
R1: 2 sau 5 este egal cu restul împărțirii ultimei cifre la 2 sau la 5;
R2: sau este egal cu restul împărțirii numărului format cu ultimele m cifre ale numărului la sau ;
R3: 3 sau 9 este agal cu restul împărțirii sumei cifrelor la 3 sau 9;
R4: 11 este egal cu restul împărțirii sumei alternate a cifrelor la 11.
I.4. Mulțimea numerelor întregi
Fie mulțimea numerelor naturale. Pe mulțimea definim relația " " prin dacă
Relația " " este o relație de echivalența pe mulțimea .
Clasa de echivalență corespunzătoare perechii se notează și se numește număr întreg. Mulțimea claselor de echivalență se numește mulțimea numerelor întregi și se notează cu .
I.4.1.Adunarea numerelor întregi
Pe mulțimea numerelor întregi se definește operația binară astfel: pentru două numere întregi și suma lor este dată de:
Trebuie demonstrat mai întâi că această operație nu depinde de reprezentanții cu ajutorul cărora a fost definită. Fie și ceea ce înseamnă că și . Adunând membru cu membru aceste egalități obținem și deci .
Proprietăți ale adunării numerelor întregi:
1) asociativitatea: ,;
2) comutativitatea: , ;
3) element neutru: astfel încât ,;
4) element simetrizabil: , astfel încât
Vom folosi notația .
Conform acestor proprietăți se obține că este un grup abelian.
I.4.2. Înmulțirea numerelor întregi
Pe mulțimea numerelor întregi se definește operația binară astfel: pentru două numere întregi (m; n) și (p; q) produsul lor este dat de: .
La fel ca în cazul operației de adunare, operația de înmulțire este bine definită (nu depinde de reprezentanți).
Proprietăți ale operației de înmulțire:
1) asociativitatea: ;
2) comutativitatea:, ;
3) element neutru: astfel încât , ;
4) Înmulțirea este distributivă la dreapta și la stânga față de adunare:
și , ;
5) fără divizori ai lui zero: sau .
Observație: Conform acestor proprietăți se obține că este un domeniu de integritate.
Dintre proprietățile enunțate anterior o vom demonstra pe ultima: fie și astfel încât . Conform Principiului Trihotomiei avem una și numai una din următoarele situații: sau . Vom demonstra că oricare din ultimele două posibilități implică . Să presupunem , există atunci astfel încât , ceea ce înseamnă că . Obținem atunci ceea ce este echivalent cu . În consecință și cum obținem . Cazul se analizează asemănător.
I.4.3. Relația de ordine pe Z
Definiție: Fie și două numere întregi. Vom spune că (m; n) este mai mic sau egal (mai mic strict) decât și scriem dacă
Trebuie demontrat mai întâi că relația " " (" < ") nu depinde de reprezentanți.
Proprietăți ale relatiei de ordine:
1) astfel încât ;
2) astfel încât ;
3) " " este o relație de ordine totală (este reflexivă, antinsimetrică, tranzitivă și totală), față de relația de ordine pe N pierdem buna ordonare;
4) este compatibilă cu operația de adunare: avem ; și ;
5) este compatibilă cu operația de înmulțire:
pentru avem ;
pentru avem .
Vom demonstra ultima proprietate. Fie și .Dacă
atunci , există astfel încât și .
Avem următorul șir de echivalențe .
Teorema 4.1 (Principiul trihotomiei pentru numere întregi). Pentru oricare două numere întregi x și y una și numai una din următoarele relații este adevărată: sau
Teorema 4.2 (Teorema de scufundare a mulțimii numerelor naturale în mulțimea numerelor întregi) Funcția , definită prin are următoarele proprietăți:
1) este injectivă;
2) este aditivă (compatibilă cu operațiile corespunzătoare de adunare): ,;
3) este multiplicativă (compatibilă cu operațiile corespunzătoare de înmulțire):
,
4) este monotonă (compatibilă cu relațiile corespunzătoare de ordine): .
Deoarece este o bijecție, în continuare, vom identificacu (spunem că am scufundat mulțimea numerelor naturale în mulțimea numerelor întregi). Aceasta înseamnă că vom identifica numărul natural cu numărul întreg . Deoarece simetricul la adunare (opusul) numărului întreg este identificarea ne permite să identificăm de asemenea
.
Pe baza acestor identificări vom putea descrie elementele mulțimii numerelor
întregi astfel: Z = {…..;-4;-3;-2;-1; 0; 1; 2; 3; 4; …..}.
Funcția modul. Definim prin Următoarele proprietăți ale funcției modul sunt imediate:; , .
Teorema 4.3. (Teorema împărțirii cu rest în ). Pentru orice două numere întregi și , , există și sunt unice numerele întregi și astfel încât și .
Demonstrație. Existența: Pentru numerele naturale și există numerele naturale și astfel încât , cu . Trebuiesc analizate patru cazuri, după cum numerele întregi și sunt pozitive sau nu.
Dacă atunci considerăm și .
Dacă și atunci . Avem . Dacă
atunci și . Dacă avem . Considerăm și . Deoarece se obține .
Cazurile , și , se analizează în mod asemănător.
Unicitatea: Să presupunem că , cu . Obținem că . Deoarece , folosind proprietățile modulului avem . Dacă prin reducere la absurd presupunem atunci și deci , ceea ce contrazice principiul trihotomiei.
I.4.4. Divizibilitatea pe
Definiție. Pentru două numere întregi și spunem că dacă există astfel încât ( se numește divizor al lui , se numește multiplu al lui ).
Proprietăți ale relației de divizibilitate.
1) și ; ;
2) reflexivă: ;
3) tranzitivă și ;
4) și (spunem că și sunt asociate în divizibilitate);
5) și .
Definiție. Un număr ; se numește
1) indecompozabil (ireductibil) dacă singurii divizori ai lui sunt ;
2) prim dacă implică sau .
Teorema 4.4.. Un număr întreg este indecompozabil dacă și numai dacă este prim.
Cel mai mare divizor comun a două numere întregi
Definiție. Pentru două numere întregi și spunem că numărul întreg este cel mai mare divizor comun al lor (scriu d = cmmdc{a; b} sau ) dacă:
1) și ;
2) , și .
Teorema 4.5. (Algoritmul lui Euclid de existență a cmmdc). Pentru orice numere întregi și există cel mai mare divizor comun.
Demonstrație. Considerăm . Dacă atunci . Dacă astfel încât:
La fel ca și în cazul numerelor naturale se obține imediat că .
Proprietăți:
1) dacă și numai dacă există astfel încât și este cel mai mic număr nenul cu această proprietate;
2) , ;
3) ,;
4) și ;
5) ; și ;;
6) ;
7) .
Cel mai mic multiplu comun a două numere întregi
Definiție. Pentru două numere întregi și spunem că numărul întreg este cel mai mic multiplu comun al lor (scriu sau ) dacă:
1) și ;
2) și .
Observație. Dacă și sunt cmmmc a două numere întregi a și b atunci și sunt asociate în divizibilitate (se obține unicitate dacă cerem ca cmmmc să fie un număr natural).
Teoremă 4.6. (De existență a cmmmc a două numere întregi). Date două numere întregi și există cel mai mic multiplu comun al lor și este unic până la asocierea în divizibilitate.
I.5. Axiomatica spațiului Euclidian
Geometria, această artă subtilă de a stabili proprietăți prin raționament, a fost inventată mai întâi de egipteni, avându-și originea în măsurarea câmpurilor. Deși a pornit de la necesități practice, geometria a evoluat idealizând, abstractizând realitatea.
Euclid este cel care a clasificat toate cunoștințele geometrice din acea epocă în definiții, axiome, teoreme. Acesta a demostrat caracterul deductiv al geometriei: proprietățile, teoremele decurg unele din altele și la bază sunt axiomele. Datorită evoluțiilor din toate științele de-a lungul timpului geometria lui Euclid nu mai corespundea, era necesară o reformulare care a fost realizată de David Hilbert în lucrarea “Fundamentele geometriei“ în anul 1899. În constucția logică realizată, David Hilbert nu face apel la nici un fel de descrieri intuitive ale elementelor cu care operează. El consider trei sisteme diferite de obiecte: obiectele primului sistem le numim puncte și le notăm cu litere A, B, C,..; obiectele sistemului al doilea le numim drepte și le notam cu a, b, c,..; obiectele sistemului al treilea le numim plane și le notam cu literele α, β, γ..; punctele sunt numite elementele geometrice pe dreaptă; punctele și dreptele sunt numite elementele geometrice în plan; iar punctele, dreptele și planele sunt numite elementele geometrice în spațiu.
Presupunem că punctele, dreptele, planele se află în anumite relații unele față de altele, relații pe care le exprimăm prin cuvintele “sunt situate“, “între”, “congruent”, “paralel”, “continuu”. Aceste obiecte și relații nu sunt descrise. David Hilbert își construiește sistemul din cinci grupe de axiome corespunzător celor cinci tipuri de relații dintre elementele considerate și anume:
a) axiome de incidență,
b) patru axiome de ordonare,
c) cinci axiome de congruență,
d) o axiomă a paralelelor,
e) două axiome de continuitate.
Sistemul lui Hilbert este avatajos din punct de vedere științific, el este pur deductiv, nu face apel la intuiție, imagini, însă este greu de aplicat didactic. În predarea geometriei este nevoie de un sistem care face legătura între intuiție și deducție logică cu respectarea rigorilor științifice.
În sistemul Birkhoff spațiul euclidian se consideră o mulțime formată din puncte. Punctele se notează cu litere mari indexate sau accentuate. În acest stadiu există submulțimi numite drepte notate cu litere latine mici, plane notate cu litere grecești mici. Între elemente și submulțimi se folosește relația de apartenență “ϵ”, iar între submulțimi se folosește relația de incluziune “”.
I.5.1. Axiome de incidență.
I1. Fiind date punctele A și B există cel puțin o dreaptă incidentă lor.
I2. Pentru orice două puncte există cel mult o dreaptă care le conține .
I3. Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte. Există trei puncte necoliniare.
I4. Pentru punctele A, B, C există cel puțin un plan incident lor. Orice plan este incident măcar unui punct.
I5. Fiind date trei puncte necoliniare, există cel mult un plan incident lor.
I6. Dacă două puncte distincte ale unei drepte sunt incidente unui plan, atunci dreapta este inclusă în plan.
Aceste trei axiome sunt acceptate doar în plan, pentru spațiu mai sunt necesare urmatoarele:.
I7. Dacă două plane au un punct comun, atunci ele mai au cel puțin un punct
comun.
I8. Există patru puncte necoplanare.
Din aceste axiome se deduc următoarele teoreme.
Teorema 5.1.1. Oricare ar fi punctele necoliniare A, B, C există un plan unic α incident lor.
Demonstație. Evident conform axiomelor I4, I5 planul se mai notează (ABC) prin trei puncte necoliniare pe care le conține.
Teorema 5.1.2. Oricare ar fi un punct A neincident unei drepte d, există un plan unic β incident lui A care include dreapta d.
Demonstrație: Conform I3 există punctele B și C pe dreapta d. Atunci β =(ABC) dar conform I6 d este inclusa în β. Unicitatea: Dacă există un alt plan γ și d inclusă în γ atunci B, C aparțin lui γ și dacă A aparține lui γ din I5 avem β = γ.
Teorema 5.1.3. Fie a, b drepte distincte secante; există un plan unic α ce include dreptele a și b.
Demonstrație: Fie O punctul comun dreptelor a și b, fie A pe a, B pe b atunci O, A, B sunt necoliniare deci sunt conținute într-un planα. Conform I6 α = (a,b). Unicitatea: Orice plan ce include dreptele a și b conține și punctele O, A, B deci va coincide cu α.
Teorema 5.1.4. Oricare ar fi un plan α, există cel puțin un punct neincident planului dat.
Demonstrație: Conform axiomei I6 există patru puncte necoplanare deci cel puțin un punct este neincident planului.
Teorema 5.1.5. Dacă intersecția a două plane distincte este nevidă, atunci este o dreaptă.
Demonstrație: Fie planele α, β și , conform I7 mai există un punctcomun planelor considerate, notat B diferit de A. Conform I6 dreapta AB va fi inclusă în fiecare din planele α, β deci și în . Dacă ar exista în și un punct C nesituat pe AB am ajunge prin teorema 1.1.2. la concluzia absurdă ca planele considerate coincid.
Teorema 5.1.6. În fiecare plan există cel puțin trei puncte necoliniare.
Demonstrație: Conform I4, există . Prin teorema 1.1.4 există un punct M neincident lui α și apoi un punct N nesituat pe (AM). Fie, în baza teoremei 1.1.1., planul β=(AMN). Deoarece α și β au în comun punctul A vor mai avea în comun un punct .
Conform teoremei 1.1.4 va exista un punct P nesituat în planul β, deci nici pe dreapta AM. Punctele necoliniare A, M, P sunt incidente unui plan γ Conform I7, planele α și γ au în comun un punct .
Desigur C (AM) deoarece în caz contrar ar urma M (AC) contrar ipotezei M.
Dacă, prin absurd, punctele A, B, C ar fi coliniare, atunci și planele β și γ ar coincide, conform teoremei 1.1.1, deoarece ar contine punctele necoliniare A, C, M. Dar , și nu pot avea loc simultan. Contradicția obținută probează că A, B, C, sunt necoliniare, q.e.d.
Axiomele de incidență prezentate de Birkhoff sunt următoarele:
B1 Prin orice două puncte distincte trece o singură dreaptă.
B2 Prin trei puncte necoliniare trece un singur plan.
B3 O dreaptă care are două puncte distincte situate într-un plan este inclusă în acel plan.
B4 Dacă două plane au un punct comun, atunci au o dreaptă comună.
B5 Orice dreaptă conține cel puțin două puncte distincte. Orice plan conține trei puncte necoliniare. Există patru puncte necoplanare.
Sistemul axiomatic al lui Birkhoff se remarcă prin exprimarea mai concisă a axiomelor.
I.5.2. Axiome de ordine
Axiomele de ordine formulate de Hilbert sunt constituite în jurul relației “între”.
O1 Dacă punctul B este “între“ punctele A și C, atunci A, B, C sunt coliniare distincte; avem B “între” C și A (notăm A – B – C respectiv C – B – A)
O2 Oricare ar fi două puncte distincte A și B, există cel puțin un punct C coliniar cu A și B astfel încât punctul B se afla “între” A și C (A – B – C).
O3 Dintre trei puncte distincte două câte două, unul și numai unul se afla “între” celelalte două.
Definitie: Se numește segment deschis determinat de punctele A și B, mulțimea:
(AB) = {MAB/ A-M-B}
Definitie: Se numește segment închis determinat de punctele A și B mulțimea notată astfel [AB] =(AB) {A, B}
Definitie: Dacă A, B, C sunt trei puncte coliniare, atunci urmatoarea mulțime notată formează un triunghi. Punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului, iar segmentele AB, BC, AC se numesc laturile triunghiului.
O4 (Axioma lui Pasch): Fie dat un triunghi ABC și o dreaptă a situată în planul triunghiului ABC care nu trece prin nici unul din vârfurile A, B, C ale triunghiului, atunci ea mai intersectează cel puțin una.
În cadrul axiomaticii sale Birkhoff a introdus noțiunea primară de “distanță”, concepută ca o funcție . Se introduce apoi notiunea derivată de sistem de coordonate pe dreapta a, o aplicatie bijectivă (unde x(M) se renotează ), având proprietatea pentru orice M, N de pe dreapta a .
Noțiunea “a fi între“ devine noțiune derivată, definită prin: A – B – C dacă și numai dacă și d(AB) + d(BC) = d(AC)
Axiomele referitoare la ordonare sunt :
B6 (Axioma riglei): Oricare ar fi punctele distincte A, B distincte, exista un sistem unic de coordonate x pentru dreapta AB încât = 0 și > 0.
B7 (Axioma de separare): Fie un plan α puncte A, B, C incidente lui și o dreaptă d inclusă în α, neincidentă cu punctul C. Dacă d separă punctele A, B și nu separă A, C atunci d separă punctele B, C.
Din aceste axiome rezultă urmatoarele noțiuni și proprietăți.
Teorema 5.2.1. Pentru orice două puncte A, B, A diferit de B, (AB) diferit de 0.
Definitie. Dacă A și B sunt două puncte, atunci semidreapta de la A spre B este mulțimea tuturor punctelor de pe dreapta AB astfel încât A nu este între X și B. Punctul A se numește originea semidreptei:
Propoziție 5.2.2.: Fie d o dreaptă și un punct fixat O, incident dreptei d. Există două și numai două semidrepte de origine O pe dreapta d, cu proprietatea ca reuniunea lor și a originii O este dreapta d, iar intersectia lor este {O}.
Definitie: Fie un plan și o dreaptă inclusa în el; atunci dreapta separă planul în două mulțimi nevide numite semiplane.
Teorema 5.2.3.: Pentru orice dreaptă d, multimea se descompune în două clase disjuncte, nevide H1 și H2, astfel încât:
a) când punctele A și B arbitrare aparțin unei aceleiași clase
b) când punctele A și B arbitrare aparțin la clase diferite
Multimile H1 și H2 se numesc semiplane delimitate de d.
Definiție: Se numește unghi o pereche de semidrepte [Oh, [Ok care
au aceeași origine. Unghiul format de ele se va nota . Dacă [Oh = [Ok unghiul se numește nul, iar dacă [Oh și [Ok sunt semidrepte opuse atunci unghiul se numește unghi alungit. Un unghi care nu este nici nul nici alungit se numește unghi propriu .
Definiție: Se numește interiorul unghiului o mulțime ce o vom nota prin Intși care apare ca intersecție a două semiplane: unul delimitat de dreapta h și incluzând [Ok și celalalt delimitat de dreapta k și incluzând [Oh.
Definiție: Două unghiuri se numesc adiacente dacă au o latură comună și interioarele disjuncte. Două unghiuri se numesc adiacente suplementare dacă laturile necomune sunt opuse.
Teorema 5.2.4.: Semidreapta (OX este interioară unghiului dacă și numai dacă
Demonstație Se pune în evidență un punct C încât are loc B – C – D. Punctele interioare segmentelor AC respectiv AB aparțin mulțimilor disjuncte Int respectiv Int .
Dacă [OX este interioară unghiului AOB, atunci nu poate avea puncte comune cu [AC] și ca urmare a teoremei lui Pasch conținând , va mai conține și un punct Y pe [OX încât A – Y – B, este evident că Y este interior unghiului AOB și toate punctele X ale semidreptei [OX sunt în aceleași regiuni delimitate de dreptele OA respectiv OB ca și punctul Y, deci [OX] .
Teorema 5.2.5.: Fiind dat un plan α și un punct , există mulțimi unice , încât:
a) ;
b) ;
c) ,
d) și un punct , încât M – P – N.
Definitie: Mulțimea a cărei existență și unicitate a fost dovedită în teoremă, se numește semispațiu delimitat de α conținând A.
Definitie: Se numește unghi diedru o mulțime alcatuită dintr-o dreaptă (numită muchia unghiului diedru) și două semiplane delimitate de dreapta dată (numite fețele unghiului diedru). Dacă dreapta este a iar B, C puncte din cele două semiplane, unghiul diedru corespunzator se va nota sau .
Definitie: Se numește interiorul unghiului diedru propriu mulțimea notată cu Int a punctelor X situate în semispațiile delimitate de (ABC) respectiv (BCD) ce conțin D respectiv A, adică Int A(BC)D =
I.5.3. Axiome de congruența
Pentru noțiunile de segment și unghi, Hilbert a introdus relația primară de “congruență “. Intuitiv, congruența a două figuri înseamnă coincidența lor în cazul în care ar putea fi deplasate una din ele. Se va nota cu același simbol ““ congruenta segmentelor și a unghiurilor.
C1: Oricare ar fi A, B și o semidreapta [A’x există cel puțin un punct încât
.
C2: Din și rezultă .
C3: Din A – B – C, A’ – B’ – C’, și rezultă .
C4 : Pentru orice unghi propriu , orice semiplan (d, X) și orice semidreapta unica h’ inclusa în d, există o semidreaptă unică în (d, X), k’, încât . Orice unghi este congruent cu el însuși.
C5: Pentru triunghiurile ABC și A’B’C’, din și rezultă .
Drept consecințe ale acestei grupe de axiome, relațiile de congruență (ale segmentelor și ale unghiurilor) se dovedesc a fi relații de echivalență.
Teorema 5.3.1.: (Cazul I – LUL – de congruență a triunghiurilor) Dacă (A ,B, C) și (A’, B’, C’) sunt triplete de puncte necoliniare și , , atunci .
Teorema 5.3.2.: (Cazul II – ULU – de congruență a triunghiurilor) Dacă (A, B, C) și (A’,B’, C’) sunt triplete de puncte necoliniare și , și , atunci .
Teorema 5.3.3.: (Cazul III – LLL – de congruență a triunghiurilor) Dacă (A, B, C ) și (A’,B’, C’) sunt triplete de puncte necoliniare și și , atunci .
Definitie: Se numește mijloc al segmentului [AB] un punct M pentru care are loc .
Teorema 5.3.4.: Orice segment [AB] admite mijloc unic.
Definitie: Se spune ca unghiul xOy este unghi drept dacă este congruent cu un unghi adiacent suplementar.
Teorema 5.3.5.: Toate unghiurile drepte sunt congruente.
Teorema 5.3.6.: Un unghi exterior unui triunghi este mai mare ca orice unghi interior neadiacent lui.
În sistemul lui Birkhoff primele trei axiome devin teoreme care sunt demonstrate cu axioma riglei.
Pentru unghiuri se introduce noțiunea de măsură a unghiurilor cu valori în intervalul .
B8: dacă și numai dacă semidreptele [OA , [OB coincid; dacă și numai dacă are loc A – O – B.
B9: Dacă sau dacă are loc A – O – C, atunci .
B10: (axioma raportorului): Fie un semiplan s delimitat de dreapta OA. Pentru orice număr real exista în s o semidreaptă [OB încât .
B11: Dacă ABC și A’B’C’ sunt triunghiuri ce satisfac: d(A,B) = d(A’, B’), d(A,C) = d (A’,C’) și , atunci au loc și egalitățile: d(B,C) = d(B’,C’), și
I.5.4. Axiome de continuitate.
Din axiomele de congruență rezultă proprietățile de inegalitate a segmentelor și a unghiurilor astfel: [AB] < [CD] dacă și numai dacă există X așa încât C – X – D și
Simbolul , unde n este număr natural nenul iar , este precizat prin , unde punctele sunt definite recursiv prin , și A – – pentru 0 < i < n – 1.
Cu ajutorul acestor noțiuni derivate se formulează și cele două axiome de continuitate din grupa D.
D1 (Arhimede): Oricare ar fi , C, și D există un numar natural n încât
D2 (Cantor): Fie, pentru orice număr natural n, segmentul , inclus în dreapta a. Dacă au loc incluziunile și nu există un segment nenul [CD] inclus în toate segmentele , atunci există pe a un punct M interior tuturor segmentelor .
Rolul axiomelor de continuitate în sistemul Hilbert este imens. Fixând punctele distincte O, E apare posibilitatea de a găsi pentru orice număr real pozitiv x un punct X al semidreptei [OE încât pentru orice numar rațional m/n pozitiv, să aibă loc dubla implicație:
atunci ,
atunci
ce se transcrie mai compact sub forma . Apare astfel posibilitatea extreme de utilă în aplicații de a asocia unui “etalon arbitrar [OE] o funcție care să constituie o distanță” deci să verifice condițiile:
1. și d(A,B) = 0 A = B
2. și
3.
În raport cu aceasta, distanța d se vor verifica afirmațiile din axioma riglei. Înlocuind însă etalonul [OE] prin altul , [O’E’], funcția d mai sus considerată se va înlocui printr-o altă funcție distanță d’ ce satisface d’ = k d, numărul pozitiv k fiind distanța între O, E în raport cu etalonul [O’E’].
I.5.5. Axioma paralelelor
Axiomele de mai sus alcătuiesc geometria absolută. Pentru a trece de la geometria absolută la geometria euclidiană este necesară o singură axiomă numită axioma paralelelor a lui Euclid, formulată cu ajutorul relației derivate numită “relație de paralelism”
Relația de paralelism nu constituie o noțiune primară ci este definită simplu și natural prin: dreptele coplanare a și b sunt paralele dacă nu au puncte comune sau coincid.
V1= B12: Oricare ar fi o dreaptă d și un punct exterior acestei drepte, în planul determinat de punct și dreptă există cel mult o paralelă la dreapta dată care să conțină punctul dat.
Această axiomă a fost stabilita de Euclid, poate el însuși și mulți urmași au considerat-o ca teoremă, încercând să o demonstreze. În cercările au eșuat, ceea ce arată că sistemul de axiome este minimal.
În secolul al XIX -lea matematicienii Lobacevski și Bolyai au dovedit că se poate face o teorie matematică consistentă dacă la axiomele geometriei absolute se adaugă negații ale axiomei lui Euclid. Aceste teorii matematice se numesc geometrii neeuclidiene.
Definitie: Dacă d, d’ și s sunt trei drepte în același plan, iar s intersectează pe d și d’ în două puncte diferite A și B, respectiv, atunci s este o secant pentru d și d’.
Dacă două drepte d și d’ sunt intersectate de o secantă s în punctele A și B, în aceste puncte unghiurile formate se vor grupa câte două și se vor numi:
alterne interne (1, 2);
(3 , 4);
alterne externe (5, 6);
(7, 8);
corespondente (1, 6 );
(3, 8 ); (2, 5 ); (4, 7)
Teorema 5.5.1.: Fie date două drepte paralele și o secantă. Dacă o pereche de unghiuri alterne interne sunt congruente, atunci dreptele sunt paralele.
Demonstrație: Presupunem că dreptele d și d’ diferite nu sunt paralele; atunci au un punct comun C. Fie A și B punctele de intersecție ale dreptelor d și respectiv d’ cu secanta s, atunci există un unghi exterior triunghiului ABC congruent cu un unghi interior neadiacent, deci este contrazisă teorema unghiului exterior. Cum dreptele au fost presupuse diferite rămâne să fie doar paralele.
Consecința: Două drepte perpendiculare pe a treia sunt paralele.
Cele două sisteme axiomatice sunt echivalente, ele folosesc aceleași noțiuni fundamentale; punctul, dreapta, planul în anumite relații numite axiome.
Modul în care a conceput Hilbert geometria este numit sintetic, în demonstrațiile date nu a folosit conceptul de distanță. Birkhoff a folosit de la început distanța, și multe axiome din sistemul sintetic au devenit teoreme. Geometria lui Birkhoff se numește metrică, și având mai puține axiome, este mai concisă, astfel proprietățile de congruență se reduc la proprietățile algebrice și de ordine ale numerelor reale.
Capitolul II
SOFTURI EDUCAȚIONALE
II.1. Clasificarea aplicațiilor educaționale
Folosirea calculatorului (computerului) a condus, concomitent cu evoluția lui, la dezvoltarea unui sistem didactic foarte flexibil, numit instruire asistată de computer (IAC). Flexibilitatea este dată de elaborarea softului educațional și de organizarea interacțiunii elev-aplicație cu posibilitatea de modificare a instruirii după modelul sistemelor cibernetice cu comandă și control. Individualizarea traseului educațional în funcție de reacțiile elevului și a proiectăria întregului demers utilizând cea mai eficientă strategie pedagogică în raport cu obiectivele planificate sunt alte caracteristici importante ale IAC. Nu trebuie să se înțeleagă prin IAC doar folosirea computerelor pentru activități limitate. Când vorbim despre “soft educațional” înțelegem, un program proiectat să rezolve o sarcină/ problemă pedagogică, adică softul proiectat pentru a fi utilizat în instruire/ învățare. Există o gamă variată de softuri: fiecare din activitățile aflate în domeniul educație – training, instruire, învățare, predare – la limita întnirii cu specificul intervenției noilor tehnologii – aided, assisted, managed etc. – dobdește o imagine proprie, diferentă; de aici rezultă și specificitatea softului creat pentru respectiva formă de activitate.
Aplicațiile educaționale în format electronic pot fi clasificate din mai multe puncte de vedere, relevante pentru noi fiind o serie de criterii care le diferențiază după finalitate, tipurile de strategii abordate, procesele învățării pe care le favorizează etc.
Schema de mai jos are un scop didactic și urmărește realizarea unei delimitări a softului didactic propriu-zis de aplicațiile-suport pentru diverse acțiuni educative:
(Istrate, 2003)
Se poate face o distincție între softul folosit ca resursă (sau suport) pentru activitățile didactice și softul prin care sunt utilizate direct în procese de învățare. Curriculumul școlar, înțeles ca un traseu de învățare propus de către cel care educă și realizat cu cei educați, capătă noi dimensiuni prin intervenția conținutului digital și a instrumentelor online: mijloacele didactice devin mai variate și mai complexe, rolul profesorului este predominant de ghidare a învățării mai degrabă decât de sursă de cunoaștere sau cunoștințe, iar curriculumul poate fi adaptat și orientat către necesităților elevilor.
Activitatea celor care învață individual utilizând un soft educațional poate fi monitorizată și evaluată de la distanță și poate fi susținută de către un tutor/ cadru didactic aflat într-o altă locație. Însă cel mai mare câștig îl constituie posibilitatea de a învăța împreună cu alții, comunicând în mediul educațional virtual sau interacționând de la distanță în cadrul simulărilor construite ca situații de învățare. Acest tip de învățare este cunoscut sub denumirea de e-learning. E-Learning reprezintă procesul de învățare asincronă sau sincronă, condus prin intermediul internetului, intranetului, extranetului sau a altor tehnologii bazate pe internet și care include diferite metodologii bazate pe conținut personalizat, clase virtuale, simulări, forumuri, discuții focalizate etc.
O taxonomie a softurilor didactice poate cuprinde softuri clasificate funcție de:
rezultatele așteptate ale instruirii;
strategia didactică dominantă.
După tipul de rezultate așteptate ale intruirii putem distinge între:
softuri care dezvoltă comportamente de cunoaștere specific unei anumite discipline;
softuri care dezvoltă capacități de înțelegere a unui material faptic;
softuri care dezvoltă capacități de aplicare a unor algoritmi și procedee de lucru;
softuri care vizează capacități de analiză;
softuri care vizează capacități de sinteză;
softuri care dezvoltă competențe de evaluare.
Se identifică astfel tipurile de comportamente observabile șî măsurabile care se formează, se dezvoltă sau se modifică la elevi prin utilizarea unei secvențea aplicației. Indentificarea exactă a scopului și a tipurilor de obiective urmărite în cadrul unui soft educațional pe fiecare secvență a acestuia ajută profesorul să-și proiecteze strategia didactică adecvată atunci când utilizează respectivul soft, precum și să elaboreze intrumente de evaluarecare verifică atingerea obiectivelor de referința/ competențelor specific în accord cu curriculumul școlar.
După tipul de strategie dominantă, se pot face diverse distincții între softurile educaționale – cu mențiunea valorii strict didactice a taxonomiei – aplicațiile folosite în mod curent în educație combinând două sau mai multe strategii sau aspecte ale acestora:
softuri ce favorizează strategii/ abordări de tip inductiv
softuri în care predomină strategii/ abordări de tip deductiv
softuri ce favorizează activități colaborative
softuri care permit învățarea independentă
softuri în care învățarea este condusă/ mediată de profesor etc.
Astfel, în cadrul softului educațional, se pot favoriza: rezolvarea de probleme, cercetarea experimentală/ de documentare, demonstrația, simularea, brainstorming-ul, dezbaterile, jocurile didactice, aplicații/ sarcini practice etc.
O taxonomie operațională a softului folosit în activitatea didactică și care poate fi util în procesul de învățare a matematicii este expusă mai jos (prelucrare după E. Noveanu, 2005):
Raportat la funcția pedagogică specifică pe care softul o îndeplinește în cadrul unui proces de instruire pot fi grupate în mai multe categorii:
Softurile interactive pentru însușirea unor cunoștințe noi. Acestea creează un dialog între cel educat și programul respectiv. Există posibilitatea ca interacțiunea să fie controlată de computer (dialog tutorial) sau de educabil (dialog de investigare). Termenul generic de tutor definește un soft în care "drumul" celui educat este dirijat de computer. De obicei, un tutor preia una din funcțiile profesorului, fiind creat pentru a conduce pe educabilul, pas cu pas, în procesul de învățare după o strategie stabilită de proiectantul softului. Acest soft utilizează o strategie algoritmică.
Softul de investigare utilizează o strategie diferită: elevului nu i se indică calea de parcurs – informațiile deja structurate, ci un mediu din care elevul are posibilitatea să își extragă toate informațiile (atât cele factuale, cât și cele procedurale) care consider că în sunt necesare pentru rezolvarea sarcinii, pe baza unui set de reguli; calea parcursă depinde într-o mare măsură de cel care învață (atât de nivelul propriu de cunoștințe, cât și de stilul de învățare). Acest soft va duce la o dezvoltare a gândirii euristice.
Softuri de exersare (Drill-and-Practice). Prin softurile de acest se realizează exersarea individuală pentru însușirea unor date, procedee, tehnici sau formării unor deprinderi specifice; sunt, de obicei, un supliment al lecției tradiționale. Acestea îl ajută pe profesor să realizeze activitățile de exersare, permițând fiecărui elev să lucreze în ritm propriu și să aibă mereu aprecierea corectitudinii răspunsului dat.
Valoarea pedagogică este reflectată de măsura integrării în realizarea activității de învățare. În cadrul platformelor educaționale Ael și Moodle putem accesa numeroase aplicații drill and practice. Internetul oferă posibilitatea utilizării aplicațiilor online Math Open Reference, Microsoft Math 4.0 sau GeoGebra. Ele pot fi utilizate de elevi ca instrumente de fixare a cunoștințelor.
Un exemplu din matematică îl constituie reprezentarea corpurilor, respectiv desenarea piramidei
Evoluția pedagogică a exercițiilor marchează saltul formativ, realizabil de la exercițiul automatismelor (care are o sferă de acțiune limitată) la exercițiul operațiilor, care angajează un câmp aplicativ mai larg, perfectibil la diferite niveluri de referință didactică și extradidactică. (Cerghit, I., 1980)
Softuri de simulare sunt create pentru a permite reprezentarea unui fenomen sau sistem real controlat, folosind unui model cu comportament analog. Astfel există posibilitatea schimbării unor parametri și a remarcării modului cum se modifică comportamentul sistemului.
Simularea ajută elevul să își creeze un model mental util, dând posibilitatea acestuia să testeze în mod sigur și eficient comportarea sistemului în diverse situații. Simulările pot conține o prezentare inițială a fenomenului, procesului sau echipamentului; orientează activitatea celui educat; oferă situații practice pe care elevul trebuie să le rezolve și dovedește astfel ce nivel de cunoștințe și deprinderi posedă educatul după parcurgerea programului de instruire.
Există numeroase exemple de softuri de simulare în domeniul matematic. Printre ele pot fi enumerate Math Open Reference, MAFA Plotter, Graphs, Wolfram Mathematica sau SolveMyMath (acesta din urma pune la dispoziție o serie de calculatoare matematice).
Softuri pentru testarea cunoștințelor. Specificitatea acestora depinde de mai mulți factori – momentul testării, scopul testării, tipologia interacțiunii (feedback imediat sau nu). Aceste softuri apar uneori independente, alteori făcând parte integrantă dintr-un mediu de instruire complex; secvențe de testare pot exista și în alte tipuri de softuri, în dependență de strategia pedagogică și sunt destinate pentru a măsura progresul în învățare.
Platforma Insam este o platformă creată special pentru testarea cunoștințelor. De asemenea în cadrul platformei educaționale AeL putem găsi un pachet bogat de instrumente de testare. O aplicație online utilă este și EMathLab.
Jocuri educative. Softuri care se prezintă sub forma unui joc- atingerea unui scop, prin aplicarea inteligentă a unui set de reguli- îl implică pe elev într-un proces de rezolvare de probleme. De obicei se realizează o simulare a unui fenomen real, oferindu-i elevului diverse modalități de a influența atingerea scopului. Aplicația Hot Potatoes poate fi folosită cu succes pentru realizarea unor astfel de jocuri educative. De asemenea există colecția “Geometria pentru nota 10”, care conține lecții prevăzute în programa școlară pentru clasa a VI-a și a VII-a.
O clasificare având drept criteriu scopul în procesul educativ:
Suporturi pentru open learning
Sisteme folosite în învățarea prin descoperire dirijată
Resurse pentru predare și învățare
Jocuri educative
Auxiliare pentru managementul educațional și administrarea unităților școlare.
Suporturi pentru open learning sunt:
Instrumente pentru problem-solving
– sisteme de programare (Logo, Prolog, ș.a.m.d);
– sisteme de modelare dinamică;
Instrumente pentru structurarea cunoașterii prin organizarea datelor
– procesarea textelor și pregătirea documentelor
(Ms Office ș.a.m.d);
– utilitare pentru design;
– baze de date;
– tabele matematice;
sisteme de comunicare
sisteme de regăsire a informației .
Sisteme folosite în învățarea prin descoperire dirijată:
Sisteme de simulare
Jocuri (didactice) asistate de calculator
Sisteme de monitorizare (procese, robotică)
Sisteme tutoriale inteligente.
Resurse pentru predare și învățare:
Sisteme drill and practice
Tutoriale
Tablă electronică etc., inclusiv multimedia.
Un educator poate utiliza în demersul instruirii atât softuri educaționale, cât și softuri utilitare și softurile de prezentare (tematice).
Toate aceste tipuri pot fi utilizate, dar numai softul educațional (IAC- instruire asistată de calculator) cuprinde în el și o strategie pedagogică (concretizată în sarcinile de lucru) care determină modul de interacțiune al elevului cu programul: această interacțiune, a cărei specificitate este determinată de obiectivele urmărite, produce învățarea.
În cazul utilizării unui soft de prezentare (tematic)- care cuprinde informația, uneori extrem de interesant structurată, pentru descrierea unui domeniu, fenomen, eveniment etc.- profesorul este cel care decide modul în care elevii vor utiliza respectiva informație.
II.2. Instrumente TIC pentru procesul didactic
Favorizate de gradul din ce în ce mai extins de conectivitate la Internet a școlilor și a cadrelor didactice și datorită avantajelor pe care le au în construirea unor situații de instruire, aplicațiile online câștigă teren pe zi ce trece, fiind din ce în ce mai valorificate în activități de învățare formale și nonformale.
Instrumente online – softuri educaționale/ didactice, resurse și referințe existente în mediul virtual care pot fi utilizate în procesul de instruire asistată pe calculator pentru activitatea didactică atât de către profesor cât și de către elevi în activitatea didactică face-to-face sau e-learning.
Internetul este resursă și în același timp un excepțional suport în activitățile de predare și învățare, pentru că are o mare capacitate de a oferi oricărui elev sau profesor, din orice instituție școlară, beneficii formative în procesul de învățare:
acces la informații din toate domeniile de cunoaștere și activitate; posibilități de documentare, de obținere de informații specifice și actuale;
exersarea capacităților de informare, actualizare, selecție, și prelucrare a informației;
multiplicarea ocaziilor de manifestare a creativității și a anticipării rezolutive;
mediu de comunicare (sincron și asincron) chiar și în afara programului școlar;
exersarea competențelor comunicative în scris; exersarea unor modalități alternative de expresie culturală, artistică, științifică, prin includerea de imagini, filme, sunet;
spațiu pentru învățare în cooperare și de creare colaborativă de produse inovative;
acces la forme de instruire la distanță de tip formal și nonformal.
În cele ce urmează mi-am propus enomerarea câtorva aplicații utile în procesul de învățare a matematicii propuse de platforma iTeach pentru cadre didactice (www.iteach.ro), cu o scurtă descriere în dreptul fiecăreia și cu sugestii de utilizare în activitatea didactică.
II.2.1. Instrumente pentru cooperare și proiecte educaționale colaborative
Wikispaces – http://www.wikispaces.com/
Un wiki este o aplicație care ajută la crearea unui site web al cărui conținut să fie făcut în colaborare de mai mulți utilizatori, păstrând versiunile succesive. Wikispaces este simplu de utilizat, conține forum, inserare de fișiere, linkuri, imagini, statistici și un număr nelimitat de pagini. Poate fi folosit gratuit.
Alternative: pbwiki, Wetpaint
În matematică poate fi utilizat în realizarea de proiecte disciplinare sau interdisciplinare sau a unor proiecte educaționale prin activități colaborative interactive.
Un avantaj al aplicației este că se pot păstra materialele realizate și postate de către fiecare membru al grupului de lucru,iar profesorul poate să aprecieze contribuția fiecărui elev la proiect.
Google Docs – http://www.google.com/google-d-s/hpp/hpp_ro_ro.html
Este un instrument on-line de creare în colaborare de documente, prezentări, foi de calcul, chestionare. Pot fi formatate și încărcate imagini, comentarii, tabele, formule. Ca și la wiki colaboratorii sunt invitați prin email, existând o evidență a modificărilor făcute.
Google Docs este un pachet de produse care permite, pe de o parte, crearea unor diferite tipuri de documente on-line, editarea în tip real de către mai mulți utilizatori dar și stocarea documentelor și fișierelor utilizatorilor. Pentru asta este nevoie de o conexiune la Internet și un cont Google. Conectarea se poate face de la adresa www.google.ro. După logare și accesarea pachetului Docs, utilizatorul se află în zona listei documentelor sale.
Este un instrument puternic pentru structurarea cunoașterii prin organizarea datelor, punând la dispoziție resurse necesare procesării textelor, pregătirea documentelor și calcul tabelar .
Google Docs – Lista documentelor este spațiul în care se găsesc toate fișierele create, încărcate sau partajate către utilizatorul respectiv. În cadrul colecțiilor, utilizatorul își organizează fișierele asemănător unor foldere.
Google Docs – Operații disponibile în zona Listei Documentelor
1. Crearea de documente Google, foi de calcul, prezentări, formulare, alte tipuri de fișiere și colecții. Apăsarea butonului Creați dă posibilitatea selectării tipului de fișier care va fi creat.
2. Încărcarea, administrarea și stocarea fișierelor, folderelor preluate de pe calculatorul utilizatorului. La încărcare se permite setarea conversiei care va fi făcută asupra fișierului (Google Docs/PDF/tip imagine).
3. Partajarea (distribuirea) fișierelor și colecțiilor proprii. Se poate face direct fără previzualizare, prin selectarea fișierului și acționarea butonului Colaborare.
4. Vizualizarea imaginilor și video deja încărcate. Operația se poate face fără deschiderea fișierului, ci doar selecția acestuia și acționarea butonului Vizualizare.
5. Căutarea fișierelor după nume, tip, proprietar sau setări de vizibilitate. Caseta Google de căutare are opțiuni suplimentare ce pot fi accesate apăsând butonul Opțiuni de căutare avansată.
Editorul pus la dispoziție de Google Docs este un procesor de text online, care permite crearea și formatarea online a documentelor de către unul sau mai utilizatori, în timp real.
Astfel, utilizatorilor chiar mai puțin familiarizați cu rigorile procesoarelor de text li se pun la dispoziție facilități de creare și editare de documente, inserare de imagini, tabele, comentarii, ecuații, formatare a textului, a paragrafelor și a paginilor.
În matematică poate fi utilizat la realizarea de proiecte disciplinare sau interdisciplinare sau a unor proiecte educaționale prin activități colaborative interactive; la realizarea unor evaluări formative sau sumative online prin încărcarea de documente cu dimensiuni mari ale fișierelor și vizualizarea de către toți elevii a comentariilor/corecțiilor realizate de profesor; la realizarea unor portofolii tematice pentru teme disciplinare sau intedisciplinare ale unui CDȘ.
Documentele rămân stocate online și pot fi acesate de oriunde prin internet. De asemenea pot fi postate pe blog sau publicate ca pagina web.
Wallwisher – http://www.wallwisher.com/
Este o aplicație care dă posibilitatea creării unui “avizier” virtual pe care pot fi postate scurte mesaje conținând text, imagini și legături.
Este util de folosit pentru brainstorming, pentru a posta cuvinte noi, termeni sau comentarii pe o temă dată. Putem invita colaboratorii prin e-mail sau cu ajutorul URL–ului.
În matematică poate fi folosit în realizarea unor materiale pentru teme de recapitulare sau sistematizare a informațiilor și aplicațiilor relevante pentru acea temă de către elevi prin activitate colaborativă în grup sau realizarea unor portofolii tematice pentru teme disciplinare sau intedisciplinare ale unui CDȘ.
Glogster – http://www.glogster.com/
Este un program simplu pentru crearea de postere interactive ce pot fi încorporate în pagini web. Putem combina imagini, video, muzică, fotografii, linkuri și audio pentru a crea pagini multimedia.
Poate fi folosit în matematică la crearea unor postere necesare în prezentarea unor proiecte tematice disciplinare sau interdisciplinare.
II.2.2. Instrumente pentru prelucrarea imaginilor
Slide – http://www.slide.com/
Este o aplicație online gratuită pentru creare și stocare de slideshow-uri, incluzând efecte, tranziții și muzică care pot fi înglobate într-un blog sau pagina web. Interfață simplă, mai multe moduri de vizualizare.
Picnik – http://www.picnik.com
Editare online simplă și precisă a fotografiilor: redimensionare, rotire, aplicare de efecte și text. Poate fi folosite pe mai multe sisteme de operare, nu necesită download sau instalare.
Picasa – http://picasa.google.com/
Aplicație gratuită oferită de Google pentru organizare, stocare și editare de fotografii. Oferă numeroase instrumente de editare, precum și posibilitatea de a crea slideshow-uri, colaje, publicare de albume pe Internet, pregătirea fotografiilor pentru utilizare externă (tiparire, email), geo-tagging. Necesită download și instalare.
Fotobabble – http://www.fotobabble.com/
Permite adăugarea unui comentariu la o imagine sau fotografie. Se încarcă imaginea și apoi se înregistrează narațiunea folosind un microfon și poate fi înglobat în bloguri sau pagini web.
Posibile utilizări în procesul didactic pentru Matematică
Realizarea unui album de fotografii care cuprinde imagini din timpul realizării unor activități de proiect sau de CDȘ.
II.2.3 Teste, chestionare și instrumente ludice
Hot potatoes -http://hotpot.uvic.ca/
Este un soft gratuit cu ajutorul căruia se pot construi exerciții interactive, aritmogrife, rebusuri, teste grilă. Hot Potatoes 6 cuprinde șase instrumente
JQuiz este un instrument ce permite construirea testelor cu un număr nelimitat de itemi. Pot fi creați itemi cu răspuns scurt, itemi cu alegere multiplă având unul sau mai multe răspunsuri corecte și itemi structurați.
JCloze poate fi utilizat pentru a crea itemi de completare și itemi cu răspuns scurt.
JCross permite construirea aritmografelor, rebusurilor.
JMatch este un instrument ce permite construirea itemilor de asociere.
JMix permite crearea itemilor de ordonare.
JMasher oferă posibilitatea obținerii unor teste care să includă itemi creați utilizând unul sau mai multe din celelalte cinci instrumente sau cu alte aplicații.
Pe pagina principală a softului avem, în partea stângă cinci butoane – cartofi, care permit accesarea primelor cinci instrumente, iar în partea dreaptă butonul corespunzător instrumentului Masher. Fiecare buton deschide fereastra corespunzătoare instrumentului asociat urmând a se crea apoi un item sau un test utilizând uneltele din fereastra deschisă.
Pentru a crea un rebus, se acționează butonul JCross, iar în fereastra deschisă se optează pentru gestionarea automată sau manuală caroiajul, sau se scriu cuvintele în forma corespunzătoare soluției.
În câmpul din partea stângă a ferestrei care apare se scriu cuvintele care vor constitui soluția rebusului (câte unul pe rând), se stabilește dimensiunea maximă a grilei și se acționează butonul .
Cuvintele au fost dispuse în cadrul grilei, urmează adăugarea definițiilor. Se acționează butonul . În fereastra deschisă se selectează fiecare cuvânt și se scrie definiția corespunzătoare
Selectând opțiunea Configure Output din meniul Options se poate configura forma finală a exercițiului (locul în care sunt afișate definițiile, titlul rebusului, evaluarea promptă a fiecărui răspuns, indicații pentru rezolvare, timp de lucru, culori pentru precizarea unei adrese de mail la care să se transmită rezultatul).
ProProfs – http://www.proprofs.com/quiz-school/
Este un instrument gratuit pentru generare de teste online cu opțiuni variate de siguranță, notare, limitare în timp, afișare a statisticilor etc. Conține șase tipuri de teste și chestionare, în care pot fi incluse imagini sau videoclipuri. Testele pot fi tipărite, trimise prin email sau înglobate în bloguri sau pagini web.
Posibile utilizări în procesul didactic pentru Matematică
Realizarea de către cadrele didactice de instrumente de evaluare a activității formale și informale a elevilor.
Realizarea de teste obiective și semiobiective pentru matematică și discipline economice.
II.2.4. Instrumente pentru creare de pagini web și publicare online
Google Sites – http://www.google.com/sites/help/intl/en/overview.html
Serviciu gratuit care permite crearea de site-uri după șabloane prestabilite. Pot fi încărcate fișiere și informații de la alte aplicații Google (Google Docs, Google Calendar, YouTube and Picasa), precum și conținut nou. Pot contribui mai mulți autori, interfața este simplă și accesul poate fi controlat.
Posibile utilizări în procesul didactic pentru Matematică
Sursă de documentare și identificarea de resurse pentru învățarea disciplinară, interdisciplinară și realizarea de proiecte.
– Sursă de documentare pentru dezvoltare profesională și personală.
II.2.5. Instrumente pentru prezentări
Slideshare – http://www.slideshare.net/ este un site pentru stocarea și publicarea gratuită de prezentări PowerPoint, Word sau pdf. Se poate face trimitere ca link sau pot fi înglobate în blog sau pagină web. De asemenea, se pot sincroniza cu un fișier audio (MP3, podcast) pentru a crea un slidecast – un mod mai puternic de a distribui prezentări sau tutoriale. Slideshare este, de asemenea, un site valoros de resurse sub formă de prezentări.
Prezi – http://prezi.com/ este un soft online care permite creare de prezentări non-liniare, cu posibilități ca: zoom, itinerar al prezentării, inserare de legături, imagini, videoclipuri, texte, fișiere pdf, desene. Poate fi utilizat cu succes la o lecție de predare, de recapitulare, dată fiind grafica sa prietenoasă și posibilitatea de a evidenția relațiile dintre componentele prezentării.
Posibile utilizări în procesul didactic pentru Matematică
Realizarea unor prezentări tematice sau pentru a susține activitatea desfășurată în cadrul unor proiecte disciplinare sau interdisciplinare.
Realizarea unor prezentări integrate în procesul de predare – învățare la disciplina matematică
II.2.6. Platforme educaționale online
Platforma iTeach – http://www.iteach.ro/
iTeach propune și implementează două concepții actuale asupra activității de perfecționare: una că formarea continuă a cadrelor didactice nu se rezumă la parcurgerea unor cursuri, ci este un proces care include și schimb colegial de experiență, participare în proiecte, vizite de studiu, activități colaborative, cercetare pedagogică și în domeniul de specializare, experiență și reflecție asupra propriei activități didactice, eforturi personale de sinteză și de valorificare a experienței prin publicarea de articole și materiale didactice, iar cea de-a doua că rețelele socio-profesionale online pot fi folosite cu succes ca și comunități de învățare și de transfer de idei, informații, resurse, valori, practici și atitudini.
Platforma permite integrarea cadrelor didactice într-o rețea națională dedicată dezvoltării socioprofesionale oferind oportunități pentru dezvoltare profesională, prin publicarea de materiale și participarea la grupuri de discuții sau cursuri online de formare continuă.
Platforma AeL – Advanced eLearning – www.advancedelearling.com/
Platformă integrată completă de instruire asistată de calculator, dezvoltată de SIVECO România. Aceasta oferă suport atât pentru predare – învățare – evaluare, cât și pentru monitorizarea procesului de învățământ.
AeL Educational conține patru categorii de elemente componente:
bibliotecă virtuală
clasă virtual
administrare și testare
dicționar integrat cu toate celelalte module.
Utilizarea lecțiilor AeL în la matematică permite:
– accentuarea laturii pragmatice a aplicării curriculum-ului: profesorul face legătura directă și evidentă între ce se învață și de ce se învață;
– integrarea tehnologiei informației și a comunicațiilor în procesul didactic ceea ce poate contribuie la creșterea eficienței formative a învățării și dezvoltarea deprinderilor de lucru în grup;
– îmbinarea eficientă a metodelor de învățare programată – algoritmizarea, modelarea și simularea – cu cele euristice, asigurându-se astfel formarea unui stil de muncă participativ, prospectiv și creativ;
– auto-instruirea și învățarea angajată; profesorii devenind ghizi, consilieri, chiar componenți ai unor echipe create cu scopul investigării unei situații.
Platforma INSAM – www.insam.softwin.ro/
Platforma își propune să dezvolte și să implementeze instrumente și mecanisme digitale de îmbunătățire a proceselor evaluative și de autopoziționare/ autoevaluare a elevilor din învățământul preuniversitar liceal.
Sistemul este accesibil atât cadrelor didactice cât și elevilor din învățământul preuniversitar și cuprinde 150.000 de itemi de evaluare și 5000 de teste de evaluare predefinite pentru 12 discipline. Pentru Matematică și pentru disciplinele socio-umane: Logică, argumentare și comunicare, Psihologie, Economie, Sociologie, Filosofie au fost realizați aproximativ 25.000 itemi de evaluare.
Posibile utilizări în procesul didactic pentru Matematică
Realizarea evaluărilor formative prin utilizarea itemilor obiectivi, semiobiectivi sau subiectivi de la fiecare unitate de învățare de la disciplinele matematică și socio-umane pentru pentru clasele IX-XII.
Realizarea evaluărilor sumative prin utilizarea testelor existente pe platformă pentru fiecare unitate de învățare de la disciplinele matematică și socio-umane pentru toate clasele IX-XII.
Sursă de aplicații interdisciplinare structurate pe teme la disciplinele matematică și socio-umane pentru clasele IX-XII.
Platforma Moodle – http://www.moodle.ro/
Moodle este un LMS (Learning Management System – EN, Sistem de Administrare a Învățării) Open Source și este cea mai populară platformă de administrare a învățării la nivel mondial.. Accesul pe platformă se face gratuit, prin identificarea ca utilizator și parolă.
Recomandările de utilizare și implementarea platformei de e-learning pentru învățământul preuniversitar vizează:
Postarea lecțiilor, bibliografiei, temelor;
Evaluarea si autoevaluarea cunoștințelor;
Crearea unor clase virtuale de colaborare intre licee;
Organizarea de concursuri și dezvoltarea de proiecte între licee;
Pregătiri pentru bacalaureat;
Comunicarea și socializare.
II.2.7. Instrumente TIC – Aplicații de tip calculator
Aplicațiile online de tip calculator reprezintă resurse utile pentru rezolvarea unor probleme matematice sau pentru verificarea rezultatelor obținute pe cale tradițională. Un astfel de exemplu este Solve My Math și este disponibil la adresa: http://www.solvemymath.com/online_math_calculator/calculus/
Definite Integrals Calculator . Este o aplicație online de calculare a integralelor definite. Interfața prietenoasă, chiar dacă este în engleză, ne ajută să completăm foarte ușor expresia funcției și extremitățile intervalului de integrare.
Derivative Calculator . Este o aplicație online de determinare a derivatei unei funcții. Interfața prietenoasă, chiar dacă este în engleză, ne ajută să completăm foarte ușor expresia funcției a cărei derivată se dorește a fi calculată. Graficul funcției și al derivatei poate fi vizualizat apăsând butonul View Function And Derivative Graphs
Limit Calculator . Este o aplicație online de determinare a limitei unei funcții într-un punct, sau a limitelor laterale. Interfața prietenoasă, chiar dacă este în engleză, ne ajută să completăm foarte ușor expresia funcției, punctul limită în care dorim limita sau limitele laterale.
MAFA Plotter de Grafice Matematice -http://www.mathe-fa.de/ro
Este un software online care calculează și generează grafice de funcții matematice introduse de utilizator. Este intuitiv si ușor de folosit, dar în același timp oferă posibilitatea unor setări de mare precizie și complexitate, fiind astfel capabil să afișeze graficele majorității funcțiilor introduse. Oferă reprezentarea grafică a funcțiilor matematice sau crearea tabelelor de valori.
Pentru a utiliza MAFA Plotter de Grafice Matematice se accesează linkului corespunzător se deschide pagina WEB corespunzătoare aplicației.
Exemplu de utilizare
Pentru afișarea într-o altă fereastră a tabelului de valori și a graficului funcției:
se completează câmpurile evidențiate și se acționează butonul
Wolfram Mathematica online integrator- http://integrals.wolfram.com/
Este un software gratuit, online, de calcul al integralelor nedefinite. Funcția introdusă trebuie să respecte anumite notații (HOW TO ENTER INPUT). Există și integrale deja completate (RANDOM EXAMPLE).
Exemple de utilizare:
1.
2.
II.2.8. Programe utilitare
Geogebra este o aplicație special adaptată matematicii. Este un instrument ideal pentru învățare și predare; este util, atractiv, ușor de folosit, și se adresează atât cadrelor didactice, cât șî elevilor. Este un sowfware util și în orele de algebră (grafice de funcții, inegalități), șî în orele de geometrie (puncte, unghiuri, figuri geometrice regulate sau neregulate). Fiifd o aplicație interactivă, atenția elevilor este stimulată permanent; în consecință cunoștințele se vor fixa mai ușor și va crește randamentul școlar.
Softul Geogebra oferă:
posibilitatea realizării de construcții geometrice incluzând puncte, vectori, segmente, drepte sau conice, toate putând fi modificate dinamic
posibilitatea introducerii directe a ecuațiilor unor curbe
posibilitatea vizualizării derivatei, a ariei subgraficului unei funcții, a aproximării prin polinoame Taylor etc.
posibilitatea vizualizării simultane a unei expresii în fereastra algebrică și a corespondentului său din fereastra geometrică (grafică)
posibilitatea vizualizării simultane a formei algebrice (analitice) a unei funcții cât și formei sale grafice
obținerea soluțiilor unor ecuații sau a unor sisteme de ecuații.
Geogebra are o interfață prietenoasă, organizată ca în imaginea următoare
În fereastra Algebra (fereastra algebrică) putem vizualiza coordonatele punctelor, ecuațiile dreptelor, a cercurilor desenate în fereastra Graphics (fereastra grafică sau geometrică). Cele două ferestre sunt interdependente. De exemplu, dacă modificăm ecuația unei drepte în fereastra Algebra făcând dublu clic pe ea și modificând cu tastatura anumite valori, atunci în fereastra Graphics se redesenează automat noua dreaptă.
Fereastra Spreadsheet (foaie de calcul) este similară cu o foaie de calcul din Excel. Aici pot fi introduse numere sau obiecte matematice cum ar fi: matrice, coordonate de puncte, liste, formule.
În Geogebra se lucrează, în general, cu 2 ferestre: Algebra și Graphics sau cu Spreadsheet și Graphics. În modul grafic putem să vizualizăm sau nu axele de coordonate sau liniile de grilă.
În bara (câmpul) de introducere de date putem scrie o ecuație sau o formulă. Dacă scriem o formulă, ea va fi calculată direct. Ecuațiile și formulele pot fi complexe. Funcțiile care pot fi utilizate apar într-o listă în urma apăsării butonului din partea dreaptă a acesteia.
Exemple de utilizare Geogebra––Proprietăți în cerc
Anulăm apariția axelor de coordinate din fereastra Graphics (geometrică) prin debifarea opțiunii Axes (Axe) din meniul View (Vizualizare).
Cu ajutorul instrumentului construim un cerc cu central într-un punct A, ales cu ajutorul mouse-ului. Clicul de mouse care stabilește forma finală a cercului implică și apariția unui al doilea punct B pe cerc.
În fereastra Algebra (algebrică) au apărut automat coordonatele celor două puncte și ecuația cercului de centru A și rază AB.
Alegem un punct oarecare C pe cerc și cu ajutorul instrumentului construim segmentele [AB] și [AC]. Putem schimba și culoarea punctelor. De exemplu alegem punctual C, facem dublu click pe el și din fereastra deschisă alegem opțiunea Object Proprietis.
(Proprietăți obiect). În noua fereastră putem modifica culoarea punctului, stilul etc.
Cu ajutorul instrumentului obținem unghiul (α) prin selectarea, in ordine a punctelor B, A și C. Deplasăm punctul C, după ce în prealabil am acționat instrumentul astfel încât unghiul (α) să devină de 1250 .
Alegem un punct oarecare D pe cerc șî construim segmentele DB, respectiv DC și unghiul (β).
Exemple de utilizare Geogebra-Proprietățile funcției de gradul al II-lea (monotonie, convexitate, intersecția cu axele de coordonate etc.) ax2+bx+c
Cu ajutorul instrumentului de glisare stabilim intervalul de valori și pasul de incrementare pentru variabila a. Obținem:
Repetăm procedeul pentru variabilele b și c. introducem forma funcției de gradul al II-lea ax2+bx+c în câmpul de introducere de date.
Pentru a=b=c=1 obținem graficul:
Glisăm cursorul lui a până la valoarea -1 și observăm că obținem o nouă imagine a graficului funcției:
Cu ajotorul intrumentului determinăm și punctele de intersecție ale graficului funției cu axa Ox. Glisăm cursoarele atașate celor 3 variabile astfel încât: a=2, b=0 și c=2. Obținem:
Cabri II Plus. Această aplicație este special adaptată pentru geometria plană. Cu ajutorul programului Cabri II Plus putem desena și manipula figurile în plan beneficiind de gama de caracteristici ușor de utilizat. Se poate face astfel trecerea de la matematica rezolvată în mod tradițional pe hârtie la construirea corpurilor pe calculator.
Programul este însoțit de un tutorial de utilizare, astfel facilitâdu-se folosirea lui și de către persoane care nu au multe cunoștințe de utilizare IT.
În tutorial ne este descrisă bara de instrumente care se pot folosi pentru a desena și a modifica o figură geometrică. Este compusă din mai multe cutii de instrumente, fiecare dintre acestea afișând un instrument ca o pictogramă pe bara. Putem alege instrumentul corespunzător dând click pe pictogramă.
Câteva exemple de utilizare ne sunt furnizate și în ghid.
Pentru a construi un triunghi dreptunghic trebuie să parcurgem următorii pași: desenăm un segment care să reprezinte ipotenuza, apoi prin punctual A construim o dreaptă folosind pictograma “line”; alegem pictograma “perpendicular”, selectăm dreapta trasată și apoi punctul B; în final fixăm punctual de intersecție dintre cele două perpendiculare.
Cu ajutorul intrumentului de manipulare putem să schimbăm poziția dreptei d și astfel elevul vede că punctul de intersecție dintre cele două perpendicular descrie un cerc.
O activitate utilă este și demonstrația Teoremei lui Pitagora.
Folosind funcția de manipulare a figurilor se poate schmba poziția punctelor P și Q astfel încât să coincidă cu punctual R. sunt întrebați elevii dacă cele două suprafețe colorate își schimbă aria.
Apoi schimbăm iar poziția punctelor P și Q, astfel încât să coincidă cu S.
Se solicită elevilor să exprime aria celor doua suprafețe colorate diferit în funcție de și , precum și a pătratului obținut în funcție de c. Se arătă astfel că
Un alt exemplu relevant este utilizarea programului Cabri pentru a evidenția Dreapta lui Euler
Verificarea coliniarității se poate face selectând instrumentul „proprieties”, iar acesta va crea un mesaj scris dacă punctele sunt sau nu coliniare. Folosind instrumentul „atribute” putem face vizibilă prin grosime Dreapta lui Euler.
Putem să schimbăm forma triunghiului, prin mutarea poziției relative a vârfurilor și se evidențiază astfel că centru de greutate G este întotdeauna situat între centrul cercului circumscris O și ortocentrul H, și, de asemenea, că poziția sa relativă pe dreaptă răme aceeași. Putem să verificăm acest lucru și prin măsurarea lungimilor segmentelor GO și GH. Pentru aceasta selectăm instrumentul măsurare. Acest instrument măsoară distanța dintre două puncte, sau lungimea unui segment, prin selectarea celor două puncte sau capete ale segmentului.După măsurare, se poate edita mesajul text corespunzător prin adăugarea de caractere „GO =…”.
Construcții folosind programul Cabri 3D. Cu ajutorul acestui program se pot constriu și manipula corpuri geometrice, ajutând elevii să-și dezvolte percepția spațială. Aplicația pune la dispoziție instrucțiuni ajutătoare și o serie de tutoriale.
Este foarte simplu de utilizat, bara de instrumente folosind pictograme reprezentative.
Pentru a construi o sferă alegem din bară pictograma specific, dăm click în central planului și apoi încă un click la o dinstanță mică și astfel am construit sfera.
Pentru modificarea sferei, facem click pe caseta de instrumente de manipulare.
Dacă se vrea modificarea dimensiunilor sferei, folosim mouse-ul și tragem fie primul, fie al doilea punct pe care l-am construit. Poate fi mutată ușor: o selectam și o translatăm într-o poziție nouă utilizând mouse-ul.
Pentru construcția unui poliedru selectăm din bara de instrumente pictograma corespunzătoare, facem click pe planul de bază gri în dreptul sferei.
Apoi, mutăm mouse-ul la aproximativ 2 cm la dreapta și 1 cm în sus. Ținem apăsată tasta Shift și deplasăm mouse-ul în sus 5 cm, apoi facek click. Am construit un paralelipiped XYZ.
Construcția Cabri 3D poate fi exportată într-un format HTML sau un PNG; selectăm Export din meniul File.
Pentru constructia unui con:
– construim prima dată vârful conului – un punct în spațiu folosind instrumentul “Punct”
– construim baza conului – cerc sau elipsa cu instrumentul “Circle”
– selectăm punctul și cercul și am construim conul.
Pot fi trasate înălțimea, raza. Pot fi alese stilul, culoarea, etc
Poate fi adăugat și text și să alegem stilul.
Putem schimba culoarea și stilul suprafeței laterale a conului printr-un click dreapta pe obiectul construit.
După fiecare element construit putem da click pe Manipulare
Pentru a constriu un cub:
Selectăm planul ca fiind o față a cubului
Selectăm un punct din plan
Selectăm al doilea punct din plan
Click pe Butonul Manipulare
Putem face modificări cubului referitor la culoarea și stilul fețelor, a muchiilor, a vârfurilor, să adăugăm text, să scriem ce lungime are muchia cubului.
Putem roti cubul, putem translata vârfurile sau cubul, modificându-se poziția cubului și lungimea muchiei.
CAPITOLUL III
COORDONATELE CERCETĂRII PRIVIND PREDAREA ȘI ÎNVĂȚAREA MATEMATICII CU AJUTORUL INFORMATICII
III.1 Ipoteza cercetării și obiectivele
“Tehnologia, prin ea însăși, nu schimbă și nu îmbunătățește predarea și învățarea. Cheia pentru introducerea cu succes a tehnologiei în predare și în învățare constă în acordarea unei atenții sporite, managementului proceselor, strategiei, structurii și mai ales rolurilor și deprinderilor.” (Wills, S. și Alexander, S). Tehnologia este doar vârful icebergului în procesul de planificare a instruirii, servind doar ca vehicul util, printre altele vitale.
Rezultatele evaluărilor realizate până acum în țările cu tradiție în educația asistată de calculator relevă faptul că procesul de învățământ realizat cu ajutorul noilor tehnologii este la fel de eficient ca formele tradiționale de educație, cu condiția unei proiectări corespunzătoare.
Tehnologia informației și comunicării (TIC) are un mare potențial pentru ameliorarea rezultatelor instruirii și pentru eficientizarea învățării, însă valorificarea maximă în educație ține de implicarea cadrul didactic, de pregătirea acestuia să le integreze, de capacitatea lui, de modul în care este sprijinit și deschiderea întregului colectiv de profesori și de manageri școlari, precum și de resursele tehnologice disponibile din școala cum ar fi: accesul la laboratorul de informatică, existența softului educațional în școală, conectivitatea la serviciul internet.
Rolul cadrului didactic din învățământului tradițional, de transmițător al informației, se poate transforma în cel de facilitator al învățării prin regândirea propriei misiuni: crearea unui ambient (scop, informații, resurse, strategie) care să-i permită elevului să-și construiască/ dezvolte cunoașterea, cu ajutorul TIC.
Prin cercetarea pe care am făcut-o am încercat să atrag elevii către studiul matematicii, să îi stimulez și să îi motivez în învățarea matematicii. Am considerat că acest lucru este posibil prin folosirea mijoacelor tehnologice în cadrul orei, în special a softurilor educaționale.
Ipoteza pe care mi-am propus să o verific în cadrul practic al realității școlare este următoarea: dacă voi proiecta și desfășura sistematic activități de predare cu ajutorul informaticii, respectând ritmul de lucru al fiecărui elev, voi contribui la creșterea randamentului școlar.
Obiectivele cercetării de față sunt:
Să stabilesc nivelului de cunoștințe al elevilor prin evaluare inițială.
Să proiectez și desfășor predarea prin utilizarea mijloacelor IT.
Să formez la elevi a competențele specifice nivelului de învățământ menționate în programa școlară.
Să evidențiez valorile formativ-educative ale mijloacelor IT.
Să identific rolul pe care îl are folosirea mijloacelor IT în îmbunătățirea performanțelor școlare.
Scopul cercetării constă în eficientizarea predării – învățării prin folosirea informaticii.
III. 2. Metodica cercetării
Tipul cercetării: Cercetarea a fost una experimentală și s-a desfășurat la clasa a V-a B din Școala Gimnazială “Liviu Rebreanu” Comănești.
Metode și tehnici de cercetare. Metoda principală folosită în cercatarea de față este experimentul. Cercetarea experimentală constă în declanșarea unor acțiuni educaționale originale în vederea descoperirii unor relații cauzale și a unor legități după care se desfășoară procesul educațional. Rezultatele sunt înregistrate și prelucrate pentru a demonstra eficiența lor educativă. În lucrare am ales să verific experimental dacă predarea și învățarea matematicii cu ajutorul informaticii este eficientă și conduce la creșterea randamentului școlar. Pentru culegerea datelor s-au utilizat:
– evaluarea produselor activității elevilor, respectiv, a temelor pe care le-au încărcat pe platforma wikispaces.com, altor produse realizate de aceștia în urma activităților și care au avut relevanță pentru atingerea obiectivelor de la activitățile matematice.
– pentru a diagnostica nivelul la care se află preșcolarii la activitățile matematice, precum și eventualele obstacole, am aplicat teste: inițiale, sumative și finale.
-pentru prelucrarea și interpretarea datelor cercetării am utilizat metode precum:
realizarea unor tabele în care am trecut informațiile obținute în urma aplicării unor teste de evaluare, sau în urma observărilor efectuate la grupă;
reprezentarea grafică a datelor din tabele prin diagrame radiale, poligoane de frecvență și histograme;
III. 3. Descrierea eșantionului
Pentru verificarea ipotezei de lucru și atingerea obiectivelor, mi-am orientat atenția asupra unui eșantion experimental reprezentând elevii clasei a V-a B din Școala Gimnazială “Liviu Rebreanu” Comănești și un eșantion martor reprezentând elevii din clasa a V-a C din aceeași unitate școlară. Caracteristic pentru eșantionul experimental este că asupra lui s-a acționat cu un factor experimental în conformitate cu cele propuse în ipoteza cercetării în vederea producerii unor modificări în desfășurarea acțiunii educaționale; în acest caz la clasa a V-a B s-au desfașurat mai multe activități în care s-au folosit mijloace informatice.
Clasa experiment este format din 22 de elevi, dintre care 13 fete și 9 băieți. Cel de-al doilea eșantion de control, clasa a V-a C, format din 19 copii la începutul anului școlar a rămas la finalul anului cu 18 elevi. Clasa martor este folosită pentru compararea rezultatelor la finalul experimentului.
III.4. Desfășurarea cercetării
Cele trei etape ale desfășurării cercetării au fost:
etapa preexperimentală, când s-au aplicat teste inițiale pentru a constata nivelul de la care începe cercetarea (perioada septembrie 2013);
etapa experimental, când elevii de la clasa experimental au desfășurat mai multe activități folosind mijloace IT;
etapa finală, cand s-au aplicat teste finale (perioada iunie 2014).
În prima etapă la cele două clase s-a aplicat testul de evaluare inițială. În elaborarea testului am ținut cont de precizările metodologice și de obiectivele cadru urmărite pe parcursul ciclului gimnazial.
Matricea de specificații pe baza căreia a fost elaborat testul de evaluare inițială pentru clasa a V-a este următoarea :
Matricea de specificații
Competențele de evaluat asociate testului inițial sunt:
C1. Identificarea, în contexte variate, a unor corespondențe simple după reguli date
C2. Recunoașterea unor figuri geometrice
C3. Utilizarea numerelor fracționare pentru a exprima subdiviziuni ale întregului
C4. Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere
naturale
C5. Analizarea, pe baza unui plan simplu de idei, a demersului parcurs în rezolvarea unei
ecuații sau a unei probleme
C6. Interpretarea semnificației operațiilor aritmetice în rezolvarea unor situații problemă
TEST DE EVALUARE INIȚIALA
MATEMATICĂ cls a V a
Toate subiectele sunt obligatorii
Timp de lucru 50 minute
Se acorda 10 puncte din oficiu
Subiectul I (40 puncte)-Pe foia de test scrieți direct rezultatele
Subiectul II (50 puncte )-Scrieți rezolvările complete:
10p 9. Calculati :
75 – 3 [ 8 6 – 26 : (111 – 110 ) + 14 : 7 ] =
10p 10. Aflați a din :
17-[(a+5)x3-7]=6
11. Suma a trei numere naturale este 4500 . Al doilea numar este de doua ori mai mare decat primul , iar al treilea este cu 5 mai mare decat al doilea .
5 p a) Realizati reprezentarea grafica a datelor problemei
15 p b) Aflati numerele ;
10p 12. Trei drumeți iau masa împreună. Primul are în traistă 3 pâini, al doilea are în traistă 2 pâini, iar a l treilea niciuna. La despărțire, al treilea drumeț le dă celorlalți doi 1000 lei.
Cum trebuie să-și împartă cei doi drumeți banii, știind că toți trei au consumat în mod egal cele 5 pâini?
Barem de evaluare
Subiectul I
Se puncteaza astfel : – pentru fiecare raspuns corect se acorda 5 pct.
– pentru fiecare raspuns incorect se acorda 0 pct.
Subiectul II
Pentru fiecare solutie corecta , chiar daca este diferita de cea din barem se acorda punctaj maxim.
Se acorda 10 puncte din oficiu
Total :100 puncte
Tot în prima etapă elevii clase experiment au răspuns la întrebările unui chestionar cu privire la utilizarea calculatorului.
Chestionar
1. Aveți calculator personal?
a. Da b. Nu
2. Știți să utilizați calculatorul?
a. Foarte bine b. Bine c. Puțin d. Deloc
3. Unde ați învățat să utilizați calculatorul
a. La școală b. Acasă, rude, prieteni c. Alte cursuri
4. La ce este bun calculatorul?
a. Pentru a învăța ceva nou, pentru a vă documenta
b. Pentru divertisment
5. Utilizați serviciile Internet?
a. Da b. Nu
6. Cât de des folosiți calculatorul ?
a. În fiecare zi b. Săptămânal c. De câteva ori pe lună d. De câteva ori pe an
7. Credeți că este util calculatorul în procesul instructiv-educativ?
a. Da b. Nu
8. Enumerați cel puțin trei motive pentru care considerați că este utilă folosirea calculatorului la clasă.
………………………
………………………
………………………
9. Enumerați cel puțin trei motive pentru care considerați că nu este utilă folosirea calculatorului la clasă.
………………………
………………………
……………………..
10. Credeți că utilizând calculatorul veți înregistra un progres la învățătură, o stagnare sau un regres?
a. Un progres b. O stagnare c. Un regres
11. La ce arie curriculară este utilă folosirea calculatorului?
a. Limbă și comunicare
b. Matematică și științe ale naturii
c. Om si societate
d. Arte
e. Educație fizică și sport
f. Tehnologii
g. Consiliere și orientare
În etapa a doua a cercetării elevii din clasa experiment au desfășurat mai multe activități în care s-a folosit predominant calculatorul.
Dacă în general orele de matematică îi „înspaimântă” pe elevi prin rigiditatea cifrelor, formulelor și a formelor geometrice, prin utilizarea informaticii reușim să le stimulăm interesul și să-i motivăm să participe la activități de învățare. De asemenea se urmărește îmbinarea muncii individuale cu munca în echipă. Utilizarea soft-urilor a avut menirea să îi apropie pe copii de matematică, să înlesnească însușirea corectă a noțiunilor teoretice.
Instruirea asistată de calculator s-a dovedit a fi un răspuns social la cererea în creștere de educație, la necesitatea de diversificare și sofisticare a ofertelor și instituțiilor de formare, pe mai multe planuri:
persoanele implicate – formatori competenți, comunități mixte de învățare;
conținuturile utilizate – suporturi și mijloace didactice diverse, multitudinea de elemente didactice dezvoltate doar pe suport electronic cum ar fi programe modulare, o gamă largă de conținuturi adiacente, complementare, alternative, discipline noi;
proceduri de evaluare – teste adaptive, teste standardizate cu feedback imediat;
proceduri de management instituțional, activități extrașcolare – resurse online, activități colaborative la distanță, participarea în comunități online de practică sau în campusuri virtuale etc.
Instruirea asistată de calculator reprezintă o metodă didactică care valorifică principiile de modelare și analiză cibernetică a activității de instruire în contextul noilor tehnologii informatice și de comunicații, caracteristice societății contemporane bazate pe cunoaștere.
Sinteza dintre resursele pedagogice ale instruirii programate și disponibilitățile tehnologice ale calculatorului (sistemului de procesare a informației) conferă acestei metode didactice calități privind :
informatizarea activității de predare– învățare–evaluare;
îmbunătățirea procesului de instruire asistată pe calculator prin intermediul unor acțiuni de: gestionare, documentare, interogare;
simulare automatizată interactivă a cunoștințelor și capacităților angajate în procesul de învățământ, conform documentelor oficiale de planificare a educației.
Ca metodă didactică, instruirea asistată pe calculator valorifică următoarele operații didactice integrate la nivelul unei acțiuni de dirijare euristică și individualizată a procesului de învățare:
organizarea informației conform cerințelor curriculareprin adaptarea la capacitățile fiecărui elev;
provocarea cognitivă a elevului în procesul de învățare prin secvențe didactice și întrebări care vizează depistarea unor lacune, probleme neclare, sau crearea unor situații problemă a căror rezolvare este bazată pe problematizare;
rezolvarea sarcinilor didactice prin valorificarea informațiilor necesare din resursele informatice la dispoziția elevului;
realizarea unor sinteze recapitulative după parcurgerea unor teme, module de studiu, lecții, unități de învățare.
Proiectarea unei lecții/secvențe de instruire pe calculator implică organizarea și ordonarea materialului care urmează să fie predat → învățat → evaluat la nivelul corelației funcțional–structurale dintre profesor și elev.
Profesorul proiectează o acțiune bazată pe patru operații concrete :
identificarea obiectivelor/competențelor vizate în acord cu curriculumul
identificarea conținutului
alegerea strategiei didactice adaptate colectivului de elevi și softului
alegerea strategiei de evaluare.
Proiectarea instruirii este definită de un proces bazat pe:
analiză a necesarului de deprinderi și cunoștințe și a obiectivelor învățării;
conceperea unui strategii care să asigure satisfacerea acestor necesități educaționale.
Proiectarea instruirii include procesele de dezvoltare a unor activități și materiale de instruire; și testarea și evaluarea tuturor activităților de instruire și învățare proiectate.
Instruirea asistată de calculator vine în completarea activităților didactice convenționale și aduce un plus de valoare la nivelul facilitării înțelegerii conținuturilor de către elevi, al creșterii motivației pentru învățare, al atractivității cursurilor școlare, la nivelul integrării cu activități educaționale nonformale. Importantă este în ceea ce privește proiectarea și desfășurarea lecțiilor de către profesor: favorizează activitățile de instruire diferențiată, o coordonare mai bună a activității didactice, activități colaborative, creative, punând accent pe învățarea centrată pe elev.
În experiment am ales predominant 3 activități:
Meditații online utilizând rețeaua skype;
Fixarea cunoștințelor prin folosirea testelor generate de HotPotatoes;
Formarea clasei virtuale pe www.wikispaces.com.
Cu ajutorul rețelei de socializare Skype, am putut menține o strâsă legătură cu elevii. Atunci când elevii au solicitat explicații suplimentare, au beneficiat de sprijinul profesorului prin acest site de socializare. Astfel elevii și-au fixat cunoștințele mult mai ușor. În urma desfășurării acestor întâlniri online, am putut constata că nivelul pregătirii elevilor a crescut. Un alt avantaj a fost de ordin psihosocial, elevii devenind mai apropiați de profesor, depășind barierele emoționale.
La unitatea de învățare “Fracții zecimale” care a fost studiată în primele 7 săptămâni din al doilea semestru am ales ca mijloc dominant utilizarea testelor generate de HotPotateos. Elevii aveau de efectuat ca temă acasă pe lângă exercițiile din auxiliare, care erau rezolvate pe caiete, și câte un scurt test generat de HotPotateos. Prin intermediul unor astfel de teste profesorul a urmarit să consolideze și să verifice temeinicia cunoștințelor elevilor. Faptul că aveau un feed-back imediat a condus la remedierea greșelilor și la însușirea corectă mult mai rapid a regulilor de calcul cu fracții zecimale finite. Utilizarea unui astfel de mijloc a avut și efect în plan motivațional, elevii dovedind entuziasm în a-l folosi, acest mijloc imprimând învățării un caracter mai atrăgător. Testele propuse au fost concepute în așa fel încât și elevii cu rezultate mai slabe la matematică să le poată rezolva, pentru că fără succes e greu de admis că elevul poate fi convins și determinat să depună eforturi, să persevereze.
Utilizarea site-ului wikispaces.com a oferit numeroase avantaje. Elevii au dovedit entuziasm în utilizare. Am deschis clasă virtuală și fiecare elev și-a facut cont pe site. Am lucrat în acest mod la unitatea de învățare „Elemente de geometrie și unități de măsură”. Pagina web deschisă este http://elementedegeometriesiunitatidemasura.wikispaces.com/. Unitățile de învățare bazate pe proiecte includ strategii instrucționale variate care să îi implice pe elevi indiferent de stilul lor de învățare. Tehnologia a fost utilizată pentru a sprijini învățarea. Pe întreg parcursul realizării proiectului, au fost incluse multiple tipuri de evaluare pentru a asigura calitatea în procesul de învățare. Iată cum arată rezumatul unității de învățare „Elemente de geometrie și unități de măsură”.
În această unitate, elevii învață despre:
Punctul.Dreapta . Segmentul de dreaptă.Măsurarea lungimii unui segment
Unghiul. Triunghiul
Patrulaterul. Cercul
Simetria, axa de simetrie și translația
Cubul. Paralelipipedul dreptunghic
Unități de măsură pentru lungime; transformări
Unități de măsură pentru arie; transformări
Unități de măsură pentru volum; transformări
Unități de măsură pentru capacitate; transformări
Unități de măsură pentru masă; transformări
Unități de măsură pentru timp;transformări
Unități monetare; transformări
Elevii au participat la rezolvarea de aplicații individuale și de grup, cu grad de dificultate progresiv și diferențiat în funcție de stilurile de învățare și de nivelul de înțelegere orientate pe:
Identificarea unor elemente de geometrie;
Caracterizarea prin descriere și desen a unei configurații geometrice date;
Intepretarea unei configurații geometrice în sensul recunoașterii elementelor ei și a relaționării cu unitățile de măsură studiate;
Identificarea unor unități de măsură în diferite contexte;
Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice cu referire la figurile geometrice și la unitățile de măsură studiate;
Determinarea perimetrelor, a ariilor (pătrat, dreptunghi) și a volumelor(cub, paralelipiped dreptunghic) și exprimarea acestora în unități de măsură corespunzătoare;
Transpunerea în limbaj specific geometriei a unor probleme practice referitoare la perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură;
Analizarea și interpretarea rezultatelor obținute prin rezolvarea unor probleme practice cu referire la figurile geometrice și la unitățile de măsură studiate.
Prin activitățile desfășurate pe parcursul unității de învățare elevii au legat cunoștințele teoretice cu viața reală, au utilizat facilitățile TIC pentru a-și dezvolta competențele prevăzute în programa școlară.
Pe parcursul celor orelor alocate acestei unități de învățare, activitățile s-au desfășurat astfel:
– S-a lansat întrebarea esențială "Pot fi aplicate cunoștințele de geometrie în viața de zi cu zi?" (brainstorming)
– Profesorul a făcut o scurtă prezentare a unității ce urmează a fi parcursă și enumeră care sunt așteptările după parcurgerea unității.
Elevii au fost împărțiți pe trei grupe: elevii cu aptitudini la matematică- grupa I, cei mediocri- grupa a II-a și care nu au aptitudini/ interes pentru matematică – grupa a III-a. Adaptare pentru diferențierea instruirii: Pentru elevii cu dificultăți de învățare sarcinile de lucru vor fi adaptate ținând cont de tipurile de inteligențe multiple ale grupului, cu posibilitatea de a primi indicații, exemple, șabloane de ghidare. Din fișele de lucru folosite aceștia vor avea sarcini speciale având în vedere nivelul mai scăzut de înțelegere. Pentru elevii supradotați: sugerarea de a compune probleme, trasarea de sarcini de lucru vizualizarea pe wiki a explicațiilor celorlalți elevi, oferirea de feed-back către aceștia.
Derularea orelor și introducerea noilor noțiuni se va face conform planificării. La sfsitul fiecărei ore elevii vor primi temă pentru acasă care va fi încărcată pe wiki. Se vizualizează produsele și mesajele elevilor. Dacă este cazul, profesorul intervene în ameliorarea lacunelor. Elevii din grupa I au realizat prezentări Power Point cu sinteza noțiunilor studiate pe parcursul unității de învățare pe care le-au încărcat pe pagina site-ului wiki. Profesorul a ghidat și monitorizat activitatea fiecărei grupe prin întrebări ajutătoare și discuții încurajatoare, dar și cu explicații tehnice atunci când a fost nevoie. Elevii din grupa III au realizat teme în paint sau alte medii de lucru accesibile lor și aceste teme fiind încărcate pe wiki. Tot aici au fost puse la dispoziție de către profesor și alte materiale de conținut al învățării.
Evaluarea s-a facut atât prin aprecierea temelor pentru acasă, prin scurte fișe de evaluare în fiecare oră care au ca rol oferirea de feed-back către profesor, pentru ca acesta să depisteze și apoi să completeze eventualele lacune ale elevilor, prin analiza răspunsurilor elevilor date la conversații în clasă, test de evaluare sumativă.
Un avantaj este că prin publicarea și prezentarea propriilor aplicații, vizualizarea aplicațiilor colegilor, oferirea de feed-back către aceștia, elevii își dezvoltă competențele de documentare, comunicare, responsabilitate, investigare. Elevii s-au aflat permanent în centrul procesului de învățare, respectându-se astfel principiul învățării conștiente și active. Prin realizarea aplicațiilor elevii au aplicat practic ceea ce au învățat utilizând abilitățile TIC dobândite. S-au putut aplica mai multe metode de evaluare.
În etapa finală a cercetării la cele două clase s-a aplicat testul de evaluare finală. Tetul a fost dat la sfârșitul anului școlar. În elaborarea lui am ținut cont de competențele menționate în programa școlară.
Matricea de specificații asociată testului este:
Competențele de evaluat asociate testului sunt
C1. Utilizarea operațiilor și a proprietăților acestora în calcule cu numere naturale/ raționale pozitive
C2. Utilizarea de algoritmi pentru divizibilitatea cu 10, 2 și 5
C3. Identificarea și utilizarea noțiunilor specifice teoriei mulțimilor
C4. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic/ limbajul ecuațiilor, rezolvarea ecuației obținute și interpretarea rezultatului
C5. Alegerea formei de reprezentare a unui număr rațional pozitiv și utilizarea de algoritmi pentru optimizarea calculului cu fracții zecimale
C6. Transpunerea în limbaj specific geometriei a unor probleme practice referitoare la perimetre, arii, volume, utilizând transformarea convenabilă a unităților de măsură
TEST DE EVALUARE FINALĂ
An școlar 2013-2014
Clasa a V-a
Pentru rezolvarea corectă a tuturor cerințelor din Partea I și Partea a II-a se acordă 90 de puncte. Din oficiu se acordă 10 puncte.
Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul efectiv de lucru este de 45 de minute.
PARTEA I Completați propozițiile cu răspuns corect. (45 de puncte)
5p 1. Rezultatul calculului: este………
5p 2. Cel mai mare divizor al lui 21 este………
5p 3. Media aritmetică a numerelor a=2,36 și b=1,5 este………
5p 4. Rezultatul calculului +este ……….
5p 5. Numărul care este egal cu 25% din 120 este ………
5p 6. Fie mulțimea A={1;2 ;7} și B={. Cardinalul mulțimii AB este…….
5p 7. Scris ca fracție ireductibilă, numărul 1,(3) este egal cu………
5p 8. O oră și jumătate are în total un număr de ……….minute.
5p 9. Aria unui dreptunghi cu lungimea de 6,5 cm si lățimea de 4 cm este egală cu………
PARTEA a II-a La următoarele probleme se cer rezolvări complete. (45 de puncte)
9p 10. Calculați :
9p 11. Rezolvați ecuația: 1,2x + 4,5 = 28,5
9p 12. Un bazin în formă de paralelipiped dreptunghic cu dimensiunile de 20m, 10m respectiv 1,5 metri se umple cu apă folosind 3 pompe cu debitul de 200litri/min .
9p 13. Aflați cel mai mare număr natural de forma, 3xy scris în baza 10, divizibil cu 5.
9p 14. Într-un coș sunt de trei ori mai multe mere decât pere. Adăugând patru fructe de același fel , numărul merelor devine de cinci ori mai mare decât al perelor. Câte mere au fost în coș?
Barem de evaluare și notare
PARTEA I (45 de puncte)
Se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie punctajul maxim prevăzut în dreptul fiecărei cerințe, fie 0 puncte.
Nu se acordă punctaje intermediare.
PARTEA a II-a (45 de puncte)
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul
maxim corespunzător.
Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea punctajului obținut la 10
Capitolul IV
DESCRIEREA REZULTATELOR CERCETĂRII
IV.1. Prelucrarea, analiza și interpretarea datelor
Adimistrarea chestionarului cu privire la utilizarea calculatorului
1. Aveți calculator personal?
a. Da (21 elevi) b. Nu (1elev)
2. Știți să utilizați calculatorul?
a. Foarte bine (7 elevi) b. Bine (12elevi) c. Puțin (3elevi) d. Deloc (0)
3. Unde ați învățat să utilizați calculatorul
a. La școală (0) b. Acasă, rude, prieteni(20elevi) c. Alte cursuri (2 elevi)
4. La ce este bun calculatorul?
a. Pentru a învăța ceva nou, pentru a vă documenta (22 elevi)
b. Pentru divertisment (22 elevi)
5. Utilizați serviciile Internet?
a. Da (20 elevi) b. Nu (2 elevi)
6. Cât de des folosiți calculatorul ?
a. În fiecare zi (9 elevi) b. Săptămânal (6 elevi)
c. De câteva ori pe lună (5 elevi) d. De câteva ori pe an (2elevi)
7. Credeți că este util calculatorul în procesul instructiv-educativ?
a. Da (10elevi) b. Nu (12 elevi)
8. Enumerați cel puțin trei motive pentru care considerați că este utilă folosirea calculatorului la clasă.
Cele mai frecvente motive au fost:
a. Lecțiile devin mai atractive
b. Se pot realiza experimente greu de efectuat în laborator
9. Enumerați cel puțin trei motive pentru care considerați că nu este utilă folosirea calculatorului la clasă.
a. Dotarea insuficientă a școlilor cu calculatoare
b. Distragerea atenției de la explicațiile profesorului datorită tendinței elevilor de a se juca
c. Afectează sănătatea
10. Credeți că utilizând calculatorul veți înregistra un progres la învățătură, o stagnare sau un regres?
a. Un progress(15 elevi) b. O stagnare (7 elevi) c. Un regres (0 elevi)
11. La ce arie curriculară este utilă folosirea calculatorului?
a. Limbă și comunicare (0 elevi)
b. Matematică și științe ale naturii (20 elevi)
c. Om si societate (0 elevi)
d. Arte (0 elevi)
e. Educație fizică și sport (0 elevi)
f. Tehnologii (2elevi)
g. Consiliere și orientare (0 elevi)
Răspunsurile din acest chestionar dovedesc că majoritatea elevilor din clasa experiment utilizează frecvent calculatorul și au cunoștințele necesare utilizarii.
Administrarea testului de evaluare inițială
Clasa a V-a B (clasa experiment)
Școala Gimnazială “Liviu Rebreanu” Comănești
Număr de elevi: 22 prezenți :22
Notele obținute de elevi:
Media clasei
(3 x 2 + 4 x 0 +5 x 3 + 6 x 3 + 7 x 4 +8 x 5 +9 x 5 ) : 22=6,90
Interpretarea rezultatelor
După studierea rezultatelor s-a constatat:
-itemul 1 a fost rezolvat de toți elevi, itemii 3,4 au fot rezolvați de majoritatea elevilor ceea ce dovedește că elevii știu operațiile cu numere naturale , dar și terminologia specifică;
-itemul 2 a fost rezolvat de 20 de elevi, deci majoritatea elevilor știu sirul numerelor pare și impare;
-la itemul 5 au rezolvat corect o problemă cu două operații 18 elevi;
-itemul 6 a fost rezolvat de 14 elevi; greșeala frecventă a fost că nu au scris numărul format din cifre distincte;
-la itemul 7 au răspuns corect 17 elevi; ceilalți au greșit rezultatul împărțirii;
-itemul 8 a fost rezolvat de toți elevii dovedind că știu să compare două numere natural;
-la itemul 9 elevii aveau de rezolvat un exercițiu în care trebuia să se respecte ordinea efectuării operațiilor; a fost rezolvat corect de 20 dintre elevii clasei a V-a B; un elev nu a respectat ordinea efectuării operațiilor;
-la itemul 10 elevii aveau de rezolvat o ecuație folosind metoda mersului invers; a fost rezolvat de 6 elevi, ceea ce arată că elevii în majotitate nu rezolvă o ecuație aplicând metoda mersului invers;
-itemul 11 este o problemă care se rezolvă prin metoda grafică; am urmărit astfel dacă elevii pot reprezenta prin segmente datele unei probleme și dacă pot să rezolve; a fost rezolvat de jumătate din elevi; ceilalți elevi nu au făcut reprezentarea grafică corect;
-itemul 12 este o problemă cu un grad mai ridicat de dificultate pentru a găsi elevi capabili de performanță; a fost rezolvat parțial de 4 elevi.
Concluzii și recomandări:
-în ceea ce privește operațiile cu numere naturale s-a dovedit ca elevii efectuează corect adunări, scăderi, înmulțiri, respectând ordinea efectuării operațiilor;
-elevii întâmpină dificultăți în rezolvare de probleme, dovedind că este necesar să exerseze pentru a-si forma deprinderea de rezolvare respectând un algoritm de lucru;
-elevii nu au rezolvat ecuația, de aceea se recomanda o atenție mai deosebită la această lecție, precum și exerciții de aflarea necunoscutei oricând e posibil;
-se recomandă lucru diferențiat și individual pentru a îmbunătăți rezultatele copiilor capabili de performanță, dar și pentru remedierea rezultatelor celor cu note sub 5;
-se recomandă insistarea pe rezolvare de probleme;
Clasa a V-a C (clasa martor)
Școala Gimnazială “Liviu Rebreanu” Comănești
Număr de elevi: 19 prezenți :19
Notele obținute de elevi:
Media clasei
(4 x3 +5×1+6×1+7×5+8×1+9×8):19=7,26
Interpretarea rezultatelor
După studierea rezultatelor s-a constatat:
-itemul 1, 3 și 4 au fost rezolvați corect de toți elevii ceea ce dovedește că elevii știu operațiile cu numere naturale , dar și terminologia specifică;
-itemul 2 a fost rezolvat de 18 de elevi;
-la itemul 5 au rezolvat corect o problemă cu două operații 12 elevi;
-itemul 6 a fost rezolvat de 17 elevi;
-la itemul 7 au răspuns corect 15 elevi;
-itemul 19 a fost rezolvat de toți elevii dovedind că știu să compare două numere naturale;
-la itemul 9 elevii aveau de rezolvat un exercițiu în care trebuia să se respecte ordinea efectuării operațiilor; a fost rezolvat corect de 16 dintre elevii clasei a V-a C; ceilalți 3 elevi au greșit la calcule;
-la itemul 10 elevii aveau de rezolvat o ecuație folosind metoda mersului invers; a fost rezolvat de 7 elevi în totalitate; alți 2 elevi au primit câte 8 puncte , iar doi elevi au primit câte 5 puncte din 10 ceea ce arată că sunt elevi care întâmpină dificultăți în a rezolva o ecuație aplicând metoda mersului invers;
-itemul 11 este o problemă care se rezolvă prin metoda grafică; am urmărit astfel dacă elevii pot reprezenta prin segmente datele unei probleme și dacă pot să rezolve; a fost rezolvat de jumătate din elevi; ceilalți elevi nu au făcut reprezentarea grafică corect;
-itemul 12 este o problemă cu un grad mai ridicat de dificultate pentru a găsi elevi capabili de performanță, nu a fost rezolvat de nici un elev.
Concluzii și recomandări:
-în ceea ce privește operațiile cu numere naturale s-a dovedit ca elevii calculează corect, respectând ordinea efectuării operațiilor;
-elevii întâmpină dificultăți în rezolvare de probleme, dovedind că este necesar să exerseze pentru a-si forma deprinderea de rezolvare respectând un algoritm de lucru;
-8 dintre elevii clasei a V-a C nu au rezolvat ecuația, de aceea se recomandă, exerciții de aflarea necunoscutei oricând e posibil;
-se recomandă lucru diferențiat și individual pentru evitarea rămânerii în urmă a elevilor care au obținut note mai mici de 5, dar și pentru îmbunătațirea rezultatelor celor care au obținut nota 9;
-se recomandă insistarea pe rezolvare de probleme;
Clasa experiment
Avem 3, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9.
Locul medianei N1 :2=11, atunci mediana este 7.
Aplitudinea împrăștierii A= X max- X min=9-3=6. Apreciem că amplitudinea este mare deci grupa este eterogenă.
Abaterea medie A.M.==1,48
Dispersia
Abaterea standard :
Clasa martor
Avem notele: 4, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9.
Locul medianei (N+1):2=10, atunci mediana este 7.
Amplitudinea împrăștierii A-Xmax-Xmin=9-4=5.
Abaterea medie A.M.==1,54
Dispersia
Abaterea standard :
Comparând mediile obținute, am vrut să verific dacă diferențele constatate sunt semnificative sau nu și dacă grupurile experimental și martor sunt sau nu omogene sub raportul capacității de învățare și al performanțelor școlare.
Datele înregistrate sunt :
m1=6,90 N1=22
m2=7.26 N2=19
verificăm pe baza criteriului t:
unde .
În cazul nostru și =
În tabelul distribuțiilor întocmit de Student căutăm în coloana n pe 22+19-2=39. Mergând pe rândul respectiv și citind valorile lui observăm că valoarea este mai mică decât pragul 0,01. Considerăm deci diferența dintre medii drept nesemnificativă. S-a demonstrate aslfel că grupul experimental și grupul martor sunt aproximativ egale sub aspectul performanțelor școlare și al capacităților de învățare.
La fel procedăm pentru a afla la final dacă diferențele dintre cele două clase sunt sau nu semnificative.
Administrarea testului de evaluare finală
Clasa a V-a B (clasa experiment)
Școala Gimnazială “Liviu Rebreanu” Comănești
Număr de elevi: 22 prezenți :22
Notele obținute de elevi:
Media clasei
(4 x1 +5×1+6×3+7×7+8×4+9×3+10×3):22=7,5
Interpretarea rezultatelor
După studierea rezultatelor s-a constatat:
-itemul 1 a fost rezolvat de toți elevii ceea ce dovedește ca și-au însușit nițiunea de putere a unui număr natural;
-itemul 2 a fost rezolvat de toți elevii, deci sunt capabili să enumere divizorii unui număr natural;
-prin itemul 3 se dorea verificarea însușirii noțiunii de medie aritmetică, precum și a capacității de operare cu fracții zecimale finite; au răspuns corect 21 elevi;
-itemul 4 , unde se verificau operațiile cu fracții ordinare a fost rezolvat de 20 elevi;
-18 elevi au calculat corect procentul dintr-un număr natural;
-doar 15 elevi au determinat cardinalul unei mulțimi;
-5 elevi nu au transformat fracția peroidică în fracție ordinară ireductibilă;
-itemii 8 și 9 au fost rezolvați de toți elevii, dovedind că unitățile de măsura au fost corect însușite;
-la itemul 10 unde s-a urmărit efectuarea operațiilor cu fracții zecimale finite, dar și respectarea ordinii efectuării operațiilor, au obținut punctaj total 6 elevi și parțial 10; greșeala frecventă a fost la ridicarea la putere, elevii neefectuând această operație;
-ecuația a fot rezolvată de 16 elevi;
-itemii 13 și 14 au fost rezolvați de 5 elevi.
Concluzii și recomandări
-elevii cunosc regulile de calcul cu fracții zecimale, dar nu sunt atenți la toate operațiile . de aceea se recomandă teme individuale mai multe;
– elevii știu cum se calculează un procent;
-unitățile de măsura au fost corect însușite;
-se recomandă ca în clasa a VI-a la unitatea de învățare “Divizibilitatea numerelor naturale” să se insiste pe proprietățile relației de divizibilitate;
-elevii au dovedit că nu toți reușesc să rezolve o problemă prin ecuații, de aceea se recomandă o atenție deosebită și asupra acestui aspect.
Clasa a V-a C (clasa martor)
Școala Gimnazială “Liviu Rebreanu” Comănești
Număr de elevi: 18 prezenți :17
Notele obținute de elevi:
Media clasei
(4 x1 +5×2+6×1+7×5+8×1+9×6+10×1):17=7,47
Interpretarea rezultatelor
După studierea rezultatelor s-a constatat:
-itemii 1, 2, 3 și 4 au fost rezolvați corect de toți elevii;
-11 elevi au calculat corect precentul dintr-un număr natural;
-doar 12 elevi au determinat cardinalul unei mulțimi;
-5 elevi nu au transformat fracția peroidică în fracție ordinară ireductibilă;
-itemii 8 și 9 au fost rezolvați de toți elevii, dovedind că unitățile de măsura au fost corect însușite;
-la itemul 10 unde s-a urmărit efectuarea operațiilor cu fracții zecimale finite, dar și respectarea ordinii efectuării operațiilor, au obținut punctaj total 11 elevi și parțial 16;
-ecuația a fot rezolvată de 12 elevi; ceilalți elevi au facut greșeli de calcul;
-itemul 13 a fost rezolvat de un singur elev total și de un elev parțial
-itemul 14 au fost rezolvați de 5 elevi.
Concluzii și recomandări
-elevii cunosc regulile de calcul cu fracții zecimale, dar nu sunt atenți la toate operațiile . de aceea se recomandă teme individuale mai multe;
– elevii știu cum se calculează un procent;
-unitățile de măsură au fost corect însușite;
-se recomandă ca în clasa a VI-a să se resolve mai multe exerciții cu grad sporit de dificultate;
-se recomandă atenție și la rezolvarea de problene prin ecuații.
Clasa experiment
Avem 4, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10.
Locul medianei N1 :2=11, atunci mediana este 7.
Aplitudinea împrăștierii A= X max- X min=10-4=6.
Abaterea medie A.M.==1,27
Dispersia
Abaterea standard :
Clasa martor
Avem notele: 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7 ,7, 7, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10.
Locul medianei (N+1):2=9, atunci mediana este 7.
Amplitudinea împrăștierii A-Xmax-Xmin=10-4=6.
Abaterea medie A.M.==1,17
Dispersia
Abaterea standard :
Comparând mediile obținute, mi-am pus întrebarea dacă diferențele constatate sunt sau nu semnificative și dacă grupurile experiment si martor sunt sau nu și acum omogene după ce a acționat factorul experiment, sub raportul performanțelor școlare.
Comparând mediile obținute, am vrut să verific dacă diferențele constatate sunt semnificative sau nu și dacă grupurile experimental și martor sunt sau nu omogene sub raportul capacității de învățare și al performanțelor școlare.
Datele înregistrate sunt :
m1=7,50 N1=22
m2=7.47 N2=17
verificăm pe baza criteriului t:
unde .
În cazul nostru și =
Căutând în tabelul distribuțiilor se constată că diferența dintre cele două grupuri s-a diminuat și mai mult. Comparând mediile obținute se constată că grupul experiment a avut un progress de 0.60 puncte, în timp ce clasa maryor a obținut aproximativ aceeași medie.
S-a experimentat rolul informaticii în creșterea randamentul școlar precum și a motivației învățării matematicii în gimnaziu.
IV.2. Concluzii
Pe parcursul anului școlar am observat și constatat contribuția informaticii în predarea și învățarea matematicii. După prelucrarea datelor cercetării făcută pe baza unor indicatori statistici s-a constatat că inovația introdusă își dovedește valabilitatea și ipoteza cercetată este verificată.
Conform observațiilor făcute pe parcursul anului școlar, dar și în urma administrării testului final se poate afirma că nivelul clasei a crescut , nu foarte spectaculos, dar cred eu destul de important. Același lucru se poate vedea și dacă privim rezultatele fiecărui elev în parte. La majoritatea elevilor se constată o creștere, iar acest lucru se datorează și faptului că pe parcursul anului am folosit frecvent softuri în predare.
Aceleași teste au fost administrate și clasei a V-a C, la care pe parcursul anului nu am folosit ca mijloc de învățare softul si calculatorul. Se poate observa din analiza rezultatelor că acest grup a rămas constant.
Rezultatele obținute în urma aplicării probelor au condus la următoarele constatări:
Creșterea motivației pentru studiul matematicii la elevii care au utilizat softuri în învățare;
Rezultatele obținute de elevii care au folosit mijloace informatice sunt în progres;
La clasa la care s-au folosit diferite softuri în predare s-a observat:
Activitățile propuse i-au antrenat pe elevii cu rezultate scăzute;
Depistarea unor carențe în însușiri teoretice și remedierea lor într-un mod mai atractiv;
Obținerea unor aptitudini necesare în societatea contemporană: utilizarea calculatorului; memorie; capacitate de abstractizare;
Implicarea elevilor în activități de învățare bazate pe explorare, descoperire, cooperare;
Antrenarea abilității de a lucra cu calculatorul;
Implementarea cunoștințelor pe care elevii le posedă deja în diverse activități;
Obținerea unui comportament prosocial pentru elevii timizi prin activitățile desfășurate în grup;
Demostrarea faptului că rezolvarea exercițiilor de matematică este un mod plăcut de ați petrece timpul;
Învățarea în echipă, documentarea și informarea au avut efect în plan motivațional: succesul grupului motivează la nivel individual și stimulează stima de sine;
Autoevaluarea folosind softuri a condus la reducerea blocajului emoțional și a stimulat efortul și productivitatea individuală;
Elevii au fost încurajați să folosească accesul la informația științifică în avantajul lor;
Adaptarea la stilul de învățare al fiecărui elev, a dus la progres individual;
Utilizarea TIC a favorizat învățarea activă, interactivă, participativă;
Învățarea s-a putut face diferențiat;
Folosirea softurilor a favorizat efectuarea unor simulări și formarea la elevi a unor reprezentări corecte.
Elevii au reușit prin folosirea softurilor în învățare, să înregistreze progrese în rezultatele școlare. Informatica le-a înlesnit însușirea noțiunilor matematice, recuperarea lipsurilor din cunoștințe, într-un mod mai plăcut și mai atractiv. Procesul de învățare a fost dinamizat, asigurându-se un cadru interactive învățării. De asemenea a fost facilitată alternarea lucrului individual, pe echipe și în grupuri mici. Am considerat că prin utilizarea testelor generate de HotPotateos a crescut obiectivitatea și transparența evaluării elevilor, precum și capacitatea acestora de a se autoevalua.
Credem cu tărie că secretul succesului în însușirea și îndrăgirea matematicii constă în înțelegere incepând cu cele mai simple noțiuni. Orice act de învățare este o construcție intelectuală care trebuie să fie așezată pe o temelie solidă, costituită din cunoștințele anterioare. Încercarea de a clădi noi cunoștințe pe o temelie șubredă este sortită eșecului.
Unirea mai multor factori cum ar fi activitatea profesorului la clasă, organizarea conținuturilor, aplicarea strategiilor potrivite și ajutorul individual susținut vor reuși să apropie elevii de studiul matematicii.
Încheind, consider că integrarea TIC-ului în activitatea didactică are numeroase avantaje, în măsura în care se identifică nevoile reale care pot fi împlinite prin metodele specifice și atât timp cât școala reușește să formeze un elev care să înțelegă critic importanța folosirii TIC.
Anexa 1
PROBLEMĂ REZOLVATĂ CU AJUTORUL IMAGINILOR
FIȘA PROFESORULUI
Nivelul: clasa a V-a
Obiective
Elevii vor realiza corelațiile între elementele simbolice și cele grafice.
Elevii vor utiliza editor grafic pentru a reproduce desenul corespunzător celei de-a doua probleme.
Elevii vor descoperi și alte probleme pe care le pot rezolva utilizând reprezentări grafice.
Standarde naționale
Activitatea urmărește să creeze premizele pentru dobândirea următoarelor competențe generale (1-2) precum și a unor atitudini (3-5) prevăzute în programele școlare ale disciplinei Matematică (pentru clasa a V-a)
Informații pentru profesor
Găsirea unor soluții deosebite pentru problemele abordate la clasă oferă premizele dezvoltării creativității elevilor, având în același timp rolul de a face plăcută și îndrăgită disciplina Matematică.
În sensul acestei abordări, vor fi propuse și, după rezolvare, va fi discutată cu elevii problema pentru care va fi cerută rezolvărea grafică.
Problema
Să se realizeze înmulțirea numerelor 22 și 13 folosind procedeul descris în continuare.
Se trasează două linii cu orientarea SV-NE, apoi încă două, (aproximativ) paralele cu primele, mutându-ne în spațiul de desenare către în jos. Apoi o linie pe direcția NV-SE, și încă trei, (aproximativ) paralele cu primele, mutându-ne în spațiul de desenare către dreapta, ca în imaginea de mai jos:
Acum se numără punctele de intersecție din zonele colorate. Numărul punctelor din zona galbenă (2) reprezintă și prima cifră a rezultatului. Suma numerelor punctelor din zonele violet (8) reprezintă a doua cifră a rezultatului. Numărul punctelor din zona bleu (6) reprezintă a treia cifră a rezultatului înmulțirii. Rezultatul înmulțirii este 286.
Acest procedeu poate fi folosit pentru a înmulți oricare numere de două cifre dar, dacă într-o zonă din cele trei numărul punctelor este mai mare decât zece, cifra zecilor se transportă către stânga.
Rezolvarea
Putem scrie
22 x 13 = ( 2 x 10 + 2 ) x ( 1 x 10 + 3 ) = 2 x 1 x 10 x 10 + 2 x 3 x 10 + 2 x 1 x 10 + 2 x 3 = 286.
Cele trei zone colorate în galben, mov, bleu acționează ca niște locațiii pentru puterile lui 10: 102, 101, 100. În zona mov însumăm produsele care sunt coeficienți ai aceleiași puteri a lui 10.
Diagrama afișează rezultatul înmulțirii în mod vizual. În zona galbenă sunt 2×1=2 puncte. În zona violet sunt 2 x 3+2 x 1=8 puncte. În zona bleu sunt 2 x 3=6 puncte.
Metoda lucrează similar modului de înmulțire obișnuit:
22 x
13
66
22 6
286
Materiale
Calculator personal (cu aplicația Excel și un editor grafic instalate)
Videoproiector
Procedura de lucru
Elevii vor fi grupați în câteva echipe cu câte 3-4 membri și vor urmări să rezolve problemele. Vor primi sprijinul profesorului.
Elevii vor realiza desenul prezentat de profesor într-un editor grafic și vor urmări să exprime corespondența între desen și înmulțire.
Fiecare echipă va primi o nouă înmulțire, pe care să o rezolve folosind procedeul indicat.
Elevii vor urmări să realizeze înmulțirea în minte, explicând cum au procedat.
Întrebări, discuții
Putem identifica situații practice în care să aplicăm procedeele descoperite?
Cunoaștem și alte tipuri de exerciții care se pot rezolva mental?
Care este rolul geometriei în viața obișnuită? Dar rolul aritmeticii?
Prezentarea
Îndrumați fiecare echipă să realizeze o prezentare care să includă rezolvările propuse de membrii echipei și care să fie susținută în fața clasei, utilizând videoproiectorul.
Suplimentar
Se vor indica elevilor resursele http://www.makemegenius.com/ pentru ca ei să descopere și alte rezolvări inedite pentru probleme din diferite domenii ale matematicii.
Anexa 2
PROBLEMĂ REZOLVATĂ CU AJUTORUL IMAGINILOR
Informații inițiale
Matematica poate fi distractivă, iar unele probleme pot avea soluții ingenioase. Domeniile matematicii nu sunt strict delimitate, ci se întrepătrund, oferind unele altora instrumente pentru rezolvarea problemelor. În cadrul acestei lecții vom aborda o problemă simplă, oferind soluții bazate pe reprezentări vizuale.
Problema
Să se realizeze înmulțirea numerelor 22 și 13 folosind procedeul descris în continuare.
Se trasează două linii cu orientarea SV-NE, apoi încă două, (aproximativ) paralele cu primele, mutându-ne în spațiul de desenare către în jos. Apoi o linie pe direcția NV-SE, și încă trei, (aproximativ) paralele cu primele, mutându-ne în spațiul de desenare către dreapta, ca în imaginea de mai jos:
Care este rezultatul înmulțirii propuse?
Realizați un desen pentru o altă înmulțire, în care factorii (care au cel mult două cifre) sunt aleși de voi.
Materiale
Calculator personal (cu aplicația Excel și un editor grafic instalate)
Videoproiector
Procedura de lucru
Grupați-vă în câteva echipe cu câte 3-4 membri și urmăriți să rezolvați problema. Veți primi sprijin atunci când îl solicitați.
Realizați desenul prezentat într-un editor grafic și urmăriți să exprimați corespondența între desen și înmulțire.
Propuneți o nouă înmulțire, pe care să o rezolvați folosind procedeul indicat.
Urmăriți să realizați înmulțirea în minte. Cum ați procedat?
Întrebări
Putem identifica situații practice în care să aplicăm procedeul descoperite?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Cunoașteți și alte tipuri de exerciții care se pot rezolva mental?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Care este rolul aritmeticii în viața obișnuită?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Prezentarea activității
Realizați, în echipă, o prezentare care să includă rezolvările propuse de membrii echipei și argumentați soluțiile propuse în fața clasei, utilizând videoproiectorul.
Temă
Studiați resursele
http://www.makemegenius.com/
pentru a descoperi și alte rezolvări inedite pentru probleme din diferite domenii ale matematicii.
Anexa 3
Anexa 4
BIBLIOGRAFIE
Atanasiu, Ghe., Munteanu Ghe.,(1992) – Curs de algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferențială și ecuații diferențiale, tipografia Universității “TRANSILVANIA” Brașov.
Brânzei D., Anița S., Cocea C., (1986) -Planul și spațiul euclidian, Ed. Academiei RSR,
Cojocariu, V., M. (2001) -Introducere în pedagogie. Teoria și metodologia curriculum-ului, curs, Universitatea din Bacău
Cojocariu,V., M. (2003) -Educație pentru schimbare și creativitate, București: E.D.P
Dumitriu C. (2004)- Introducere în cerecetarea pedagogică, București, E.D.P.
Dumitriu G., Dumitriu C. (2004) -Psihopedagogie. Curriculum-suport pentru examenele de definitivare și gradul II în învățământ, București E.D.P.
Făt S., Labăr A. (2009) –Eficiența utilizării noilor tehnologii în educație. eduTIC 2009. Raport de cerecetare evaluativă, București: Centrul pentru Inovare în Educație
Ion D. I., Niță C. (1978) -Elemente de aritmetică, București, Ed. Tehnică
Istrate O. (2000) –Educația la distanță. Proiectarea materialelor, Botoșani, Ed. Agata
Miron R., Brânzei D.(1983) -Fundamentele aritmeticii și geometriei, București, Editura Academiei
Moise, Edwin E. (1980) -Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, București E.D.P.
Neveanu, P., P. (coord.) (1995). Psihologie, Manual pentru clasa a X-a, școli normale și licee, București:E.D.P.;
Nicola, I. (1996). Tratat de pedagogie școlară, București: E.D.P
Noveanu E., (coord.) (2004)– Impactul formativ al utilizării Ael în educație, București, Centrul pentru inovare în educație
Osterrieth P, (1976) -Introducere în psihologia copilului, București, E.D.P.
Potolea D., Noveanu E. (coord) (2008) –Informatizarea sistemului de învățământ: Progeamul S.E.I. Raport de cercetare evaluativă, București: Univ. București, Facultatea de Psihologie și Știintele Educației
Radovici-Mărculescu, P. -Probleme de teoria elementară a numerelor, București, Ed. Tehnică
Rusu E. (1964)- Geometrie elementară, București, E.D.P.
Șchiopu U., Piscoi V. (1980) -Psihologia generală a copilului, București, EDP
Ștefănescu M., Savin D.(2008) –Lecții de aritmetică și teoria numerelor, București, Ed. Matrixrom
Țârcovnicu, V. (1975) -Pedagogie generală, Timișoara: Ed.Facla;
Vlada M. (2009) –Utilizarea Tehnologiilor eLearing: cele mai importante 10 inițiative proiecte din România, București: Centrul pentru Inovare în Educație
Wills, S. și Alexander, S. (2000). Managing Technological Change and University Teaching. În Evans, T. și Nation, D. (eds) Changing University Teaching: reflections on creating educational technologies
***- Colecția “Gazeta Matematică”
*** -(2001) -Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică primar – gimnaziu, București, Editura SC Aramis Print
***-(2009) –Programa Școlara Matematică, clasele a V-a, aVI-a, a VII-a, a VIII-a
***-http://www.cabri.com/
***-Innovative Maths Tools – Tutorial Cabri ®II Plus
***-Innovative Math Tools – Tutorial CABRI® 3D V2
****-(2011) Geogebra, Didactica Matematica nr 2, p48
***-(2014) Considerații privind editarea computerizată a textelor matematice cu grafică . Pledoarie pentru aplicația GEOGebra, Didactica Matematică nr 1, p23
BIBLIOGRAFIE
Atanasiu, Ghe., Munteanu Ghe.,(1992) – Curs de algebră liniară, geometrie analitică, geometrie diferențială și ecuații diferențiale, tipografia Universității “TRANSILVANIA” Brașov.
Brânzei D., Anița S., Cocea C., (1986) -Planul și spațiul euclidian, Ed. Academiei RSR,
Cojocariu, V., M. (2001) -Introducere în pedagogie. Teoria și metodologia curriculum-ului, curs, Universitatea din Bacău
Cojocariu,V., M. (2003) -Educație pentru schimbare și creativitate, București: E.D.P
Dumitriu C. (2004)- Introducere în cerecetarea pedagogică, București, E.D.P.
Dumitriu G., Dumitriu C. (2004) -Psihopedagogie. Curriculum-suport pentru examenele de definitivare și gradul II în învățământ, București E.D.P.
Făt S., Labăr A. (2009) –Eficiența utilizării noilor tehnologii în educație. eduTIC 2009. Raport de cerecetare evaluativă, București: Centrul pentru Inovare în Educație
Ion D. I., Niță C. (1978) -Elemente de aritmetică, București, Ed. Tehnică
Istrate O. (2000) –Educația la distanță. Proiectarea materialelor, Botoșani, Ed. Agata
Miron R., Brânzei D.(1983) -Fundamentele aritmeticii și geometriei, București, Editura Academiei
Moise, Edwin E. (1980) -Geometrie elementară dintr-un punct de vedere superior, București E.D.P.
Neveanu, P., P. (coord.) (1995). Psihologie, Manual pentru clasa a X-a, școli normale și licee, București:E.D.P.;
Nicola, I. (1996). Tratat de pedagogie școlară, București: E.D.P
Noveanu E., (coord.) (2004)– Impactul formativ al utilizării Ael în educație, București, Centrul pentru inovare în educație
Osterrieth P, (1976) -Introducere în psihologia copilului, București, E.D.P.
Potolea D., Noveanu E. (coord) (2008) –Informatizarea sistemului de învățământ: Progeamul S.E.I. Raport de cercetare evaluativă, București: Univ. București, Facultatea de Psihologie și Știintele Educației
Radovici-Mărculescu, P. -Probleme de teoria elementară a numerelor, București, Ed. Tehnică
Rusu E. (1964)- Geometrie elementară, București, E.D.P.
Șchiopu U., Piscoi V. (1980) -Psihologia generală a copilului, București, EDP
Ștefănescu M., Savin D.(2008) –Lecții de aritmetică și teoria numerelor, București, Ed. Matrixrom
Țârcovnicu, V. (1975) -Pedagogie generală, Timișoara: Ed.Facla;
Vlada M. (2009) –Utilizarea Tehnologiilor eLearing: cele mai importante 10 inițiative proiecte din România, București: Centrul pentru Inovare în Educație
Wills, S. și Alexander, S. (2000). Managing Technological Change and University Teaching. În Evans, T. și Nation, D. (eds) Changing University Teaching: reflections on creating educational technologies
***- Colecția “Gazeta Matematică”
*** -(2001) -Ghid metodologic pentru aplicarea programelor de matematică primar – gimnaziu, București, Editura SC Aramis Print
***-(2009) –Programa Școlara Matematică, clasele a V-a, aVI-a, a VII-a, a VIII-a
***-http://www.cabri.com/
***-Innovative Maths Tools – Tutorial Cabri ®II Plus
***-Innovative Math Tools – Tutorial CABRI® 3D V2
****-(2011) Geogebra, Didactica Matematica nr 2, p48
***-(2014) Considerații privind editarea computerizată a textelor matematice cu grafică . Pledoarie pentru aplicația GEOGebra, Didactica Matematică nr 1, p23
Anexa 2
PROBLEMĂ REZOLVATĂ CU AJUTORUL IMAGINILOR
Informații inițiale
Matematica poate fi distractivă, iar unele probleme pot avea soluții ingenioase. Domeniile matematicii nu sunt strict delimitate, ci se întrepătrund, oferind unele altora instrumente pentru rezolvarea problemelor. În cadrul acestei lecții vom aborda o problemă simplă, oferind soluții bazate pe reprezentări vizuale.
Problema
Să se realizeze înmulțirea numerelor 22 și 13 folosind procedeul descris în continuare.
Se trasează două linii cu orientarea SV-NE, apoi încă două, (aproximativ) paralele cu primele, mutându-ne în spațiul de desenare către în jos. Apoi o linie pe direcția NV-SE, și încă trei, (aproximativ) paralele cu primele, mutându-ne în spațiul de desenare către dreapta, ca în imaginea de mai jos:
Care este rezultatul înmulțirii propuse?
Realizați un desen pentru o altă înmulțire, în care factorii (care au cel mult două cifre) sunt aleși de voi.
Materiale
Calculator personal (cu aplicația Excel și un editor grafic instalate)
Videoproiector
Procedura de lucru
Grupați-vă în câteva echipe cu câte 3-4 membri și urmăriți să rezolvați problema. Veți primi sprijin atunci când îl solicitați.
Realizați desenul prezentat într-un editor grafic și urmăriți să exprimați corespondența între desen și înmulțire.
Propuneți o nouă înmulțire, pe care să o rezolvați folosind procedeul indicat.
Urmăriți să realizați înmulțirea în minte. Cum ați procedat?
Întrebări
Putem identifica situații practice în care să aplicăm procedeul descoperite?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Cunoașteți și alte tipuri de exerciții care se pot rezolva mental?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Care este rolul aritmeticii în viața obișnuită?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Prezentarea activității
Realizați, în echipă, o prezentare care să includă rezolvările propuse de membrii echipei și argumentați soluțiile propuse în fața clasei, utilizând videoproiectorul.
Temă
Studiați resursele
http://www.makemegenius.com/
pentru a descoperi și alte rezolvări inedite pentru probleme din diferite domenii ale matematicii.
Anexa 3
Anexa 4
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Continuturi Matematice In Gimnaziu (ID: 158952)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.