Constructiile Geometrice

FUNDAMENTE TEORETICE

§.1. Istoricul construcțiilor geometrice

Geometria, având rădăcinile înfipte adânc în nevoile vitale ale societății omenești (agrimensura, construcții de locuințe, industria din fabrici de mai târziu), a atins un înalt nivel teoretic, a elaborat metode specifice și, în același timp, foarte generale, care la rândul lor, au făcut posibile noi aplicații importante ale geometriei la problemele practice. Un exemplu instructiv îl constituie tocmai construcțiile geometrice.

Începuturile construcțiilor geometrice se confundă cu începuturile geometriei. În apariția și formarea unor procedee de construcție o mare însemnătate o au tendințele omului, în diferite epoci istorice ale existenței lui, de a reprezenta prin desene (ornamente, reprezentări grafice, figuri geometrice) obiectele înconjurătoare și fenomenele observate, pe anumite suprafețe (obiecte de mobilier, pereții de stâncă , ceramică ), tendințe care au apărut în procesul muncii cu multe milenii înaintea erei noastre.

Tehnica reprezentărilor se perfecționează în neolitic și în epoca de aramă. Încetul cu încetul s-a ajuns la formarea unor reguli și procedee de construcții geometrice cum ar fi: trasarea liniei drepte cu ajutorul riglei sau cu ajutorul sforii, construcția unghiului drept, trasarea cercului, etc. Acestea au fost ținute în secret mult timp și se transmiteau din generație în generație ca meșteșuguri sau ca acte mistice. Oamenii erau tentați să le acorde puteri magice, neputându-le justifica în mod logic.

O teorie care să dea baze logice construcțiilor geometrice și să explice procedeele de rezolvare a apărut pentru prima oară la greci, unde tehnica constructoare a atins o mare dezvoltare. Astfel Platon pune condiția ca toate construcțiile geometrice să fie făcute numai cu rigla și compasul, condiție care este respectată și de Euclid, în cartea sa „Elementele“. De aceea construcțiile făcute cu rigla și compasul se mai numesc și construcții euclidiene.

Problema împărțirii unui segment și a unui unghi în două părți egale figurează în „ Elementele ” lui Euclid dar ele au fost cunoscute, cu siguranță, cu mult înainte.

Determinarea mijlocului unui segment, cea obișnuită în geometriile elementare de azi, a fost introdusă de Apollonius din Perga, cum rezultă dintr-o remarcă a lui Proclus, comentatorul lui Euclid.

Construcția perpendicularei provine de asemenea din timpuri mai vechi. În textele cuneiforme babiloniene apar termeni distincți pentru noțiunea ridicării perpendicularei dintr-un punct al dreptei și pentru noțiunea coborârii unei perpendiculare dintr-un punct exterior, problemă abordată și de Euclid, care construiește perpendiculara cu ajutorul triunghiului echilateral. Apollonius a fost primul care a considerat în locul triunghiului echilateral un triunghi isoscel. Heron a arătat cum se ridică perpendiculara din extremitatea segmentului în cazul când segmentul nu poate fi prelungit. Abū’l Wafā recurge la unghiul înscris în semicerc pentru a rezolva aceeași problemă. Proclus afirmă că problema construcției perpendicularei pe o dreaptă dintr-un punct exterior a fost rezolvată pentru prima oară de Oenopide din Chios.

Multe din metodele actuale de rezolvare a problemelor de construcție au apărut în Academia lui Platon. La început problema se concepea, apoi se punea în legătură cu o figură așternută pe o foaie de desen. Se presupunea problema rezolvată și se căuta să se tragă anumite consecințe pentru a o reduce la construcții cunoscute. În felul acesta se împletea metoda analitică cu metoda sintetică

Construcții geometrice găsim și în cartea „celor trei frați“, Liber trium fratrum de geometria,(865.d.H.). În evul mediu, cu probleme de construcții geometrice se ocupă câțiva matematicieni arabi, atrași de necesitățile tehnice din imperiul arab înfloritor. Astfel Abū’l Wafā efectuează construcții cu compasul cu deschizătură fixă, problemă cunoscută de altfel și de grecii antici. Al-Hajjāmī construiește rădăcinile ecuațiilor de gradul al treilea cu ajutorul conicelor, problemă care reapare la Leonardo da Vinci, apoi în prima geometrie tipărită, numită Geometria Deutsch (apărută între anii 1480 și 1490, fără autor), în General trattato di numeri et misure (Veneția 1556) a lui Tartaglia și în lucrarea De resolutione omnium Euclidis problematum aliorumque una tantummodo circini data apertura ( Veneția, 1553 ) a lui Benedetti.

Matematicianul danez Georg Mohr în lucrarea Euclides Danicus (Amsterdam, 1672) și independent de el matematicianul italian Lorenzo Mascheroni în celebra sa lucrare Geometria del compasso (Pavia, 1797) au arătat că toate construcțiile euclidiene pot fi făcute numai cu ajutorul compasului și dau o serie de rezolvări elegante.

La sfârșitul evului mediu și în timpul renașterii apare tendința de a rezolva cât mai multe probleme numai cu rigla. D.Schwenter în Geometria practică (Nürnberg, 1618/27), M.Gloskowski în Geometria peregrinans (Krakow, 1643), J.H.Lambert în

lucrarea Freye Perspective (Zürich, 1759) și Ch.J.Brianchon în lucrarea Applications de la théorie des transversales ( Paris, 1806 ) au rezolvat multe probleme numai cu ajutorul riglei. De asemenea, G.Desargues a fost un maestru al riglei.L.N.M.Carnot, cu lucrările Essai sur les transversales (Paris, 1806) și Géométrie de positions (Paris,1803), și J.V.Poncelet cu lucrarea Traité des propriétés projectives des figures (Metz et Paris, 1822) creează geometria proiectivă utilizând numai rigla.

J.Steiner studiază problemele care pot fi rezolvate numai prin trasarea de linii drepte, dacă avem desenată în prealabil o figură fixă, un paralelogram, pătrat sau cerc.

Teoria construcțiilor geometrice cuprinde și studierea posibilității rezolvării problemelor de construcții geometrice. Încă din antichitate au apărut unele probleme care n-au putut fi rezolvate cu rigla și compasul. De abia în secolul trecut matematicienii au găsit criterii pentru a dovedi în mod riguros că unele probleme de construcții geometrice nu pot fi rezolvate cu anumite instrumente. Astfel, P.L.Wantzel demonstrează, cu ajutorul algebrei moderne, că trisecția unghiului și dublarea cubului nu sunt posibile cu rigla și compasul.

Pentru lămurirea problemei cvadraturii cercului a fost nevoie de metodele mai complicate ale analizei.

A.Adler, în lucrarea Über die zur Ausführung geometrischer Konstruktionen notwendigen Hilfsmittel (Wiener Akademie, 1890), a arătat că numai cu ajutorul riglei (cu două margini) și numai cu ajutorul echerului mobil pot fi rezolvate strict toate problemele geometrice de gradul al doilea. Tot acolo se arată că instrumentul cel mai eficace este echerul, căci cu ajutorul a două echere dreptunghiulare pot fi rezolvate și probleme de gradele al treilea și al patrulea.

Cu problema construcției poligoanelor regulate, sau problema împărțirii cercurilor, matematicienii s-au ocupat încă din timpuri străvechi. În vremea lui Euclid această problemă era pur geometrică și se cunoștea rezolvarea ei numai în cazurile simple: 2k , 3•2k , 5•2k , 15•2k .

Pitagoricienii cunoșteau construcția pentagonului stelat, a pentagramei, care era simbolul lor. Gauss la vârsta de 19 ani a construit poligonul regulat cu 17 laturi, iar în lucrarea sa celebră „ Disquisitiones arthometice “ (Liepzig, 1801) a dat un răspuns definitiv la întrebarea: ce poligoane pot fi construite cu rigla și compasul.

Printre alți matematicieni din secolul nostru amintim și pe următorii: matematicianul danez J.Hjeslev a studiat construcțiile cu compasul cu deschidere fixă fără utilizarea riglei și construcțiile făcute cu ajutorul riglei cu etalon; H.Jietze a cercetat construcțiile care se pot face cu echerul; L.L.Ciacalof are contribuții la rezolvarea problemei lunulelor; J.Plemelj a studiat unele cazuri de ireductibilitate a ecuației împărțirii cercului; K.Yanagihara a cercetat construcțiile care se pot efectua cu rigla, dacă este dat un arc de cerc oricât de mic și centrul cercului, de asemenea a studiat posibilitatea construirii centrelor cercurilor cu ajutorul riglei, când sunt date două cercuri; D.Cauer a studiat de asemenea problema construirii centrului cercului numai cu rigla.

§.2. Măsuri în geometrie

Motto: Totul în geometrie este cu mõsurõ

Există ideea că ar exista, în regatul matematicii, două tărâmuri distincte și disjuncte:

o lume G a geometriei alcătuită din figuri ce se alătură, se corelează, se întrepătrund, conviețuind în armonii geometrice;

o lume N a numerelor cu ierarhii necontestate și operații precise.

De ce n-am încuviința și treceri de pe un tărâm pe celălalt stabilind anumite relații „diplomatice“. Să introducem așadar niște funcții din G în N, funcții nenegative subaditive, care să legitimeze și să coreleze aceste relații.

Zicem însă că realitatea matematică e mai complexă, că tărâmurile G și N se edifică și se legitimează simultan și nu e nici cuminte, nici posibil să tragem granițe în ape curgătoare.

Povestea noastră ar fi mai lungă decât o viață de om dacă ar fi să o luăm de la facerea lumii geometrice, să zicem cum s-au născut figurile, cum au început să fie măsurate și cum au evoluat vorbirile noastre despre ele. Ne vedem astfel siliți să acceptăm ca premize cunoștințe geometrice consistente, numeroase, variate și să ne rezumăm a le conexa prin măsurări diverse.

Motiv pentru a gândi geometria drept tărâm distinct este și înlesnirea naturală ce o are omul în perceperea figurilor, independent de poziție. Studiind reflexe necondiționate și pregătind altele condiționate, la păsări și la reptile cercetătorii au sesizat reacții complet diferite la semnele Δ și , și . Preșcolarii nu se simt deloc deranjați în recunoașterea literelor A, B, C, D, E, F, H, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z de faptul că acestea le apar în picioare, culcate sau răsturnate. La învățarea scrierii sunt destule necazuri spre a-i obișnui să nu întoarcă, N, S sau Z!

Existența unei etape în care geometria este intuită în mod natural constituie bun motiv de a zidi pe ea învățături care să câștige treptat niveluri de abstracție. Căutarea măsurilor este exemplu în această direcție.

Să căutăm deci astfel de relații (funcții) care să lege cele două tărâmuri (G și N).

1º. Lungimea unui segment – în raport cu etalonul standard generat de 0 și de 1, corespunde funcției f : ℝ2ℝ dată prin Este bine cunoscută funcție distanță pe ℝ, ce își binemerită numele deoarece satisface condițiile:

și

( inegalitatea triunghiulară )

2º. Lungimea unui segment orientat – corespunde funcției g : ℝ2ℝ, care nu prea ne aduce nimic nou.

3º. Noțiunea de arie (a unui triunghi) constituie una dintre cele mai importante măsuri geometrice. Începem prin a consemna că didactica școlară prevede două circuite pentru a asocia această măsură principalelor figuri.

► Circuitul 1 pornește de la aria pătratului ce precizează și unitățile de măsură. Urmează: dreptunghi, paralelogram, triunghi și apoi alte figuri (în baza triangulărilor și a aditivității ariilor).

► Circuitul 2 pornește de la triunghi și urmează paralelogram, dreptunghi, pătrat (justificând unitățile de măsură introduse de la început, relativ artificial).

Am putea afirma că circuitul 1 pare mai avantajos. Mai există însă un motiv ce pledează pentru al doilea. Alternativa apare și la introducerea …

(4º.)… volumelor (o altă funcție ce leagă cele două tărâmuri); trecerea de la volumul paralelipipedului la cel al piramidei (tetraedru) aduce dificultatea unei sumări infinite (rezumate de profesori sau de elevi prin expresia scara mâței).

Indiferent de varianta impusă de programa școlară, aici vom prefera circuitul 2, dând independență și relevanță ariei triunghiului.

După introducerea înălțimilor, definiția rezumată de formule de tipul este necesară o demonstrație de consistență: nu contează ce bază alegem etc. Zicem că această etapă este importantă din punct de vedere formativ. Ca urmare, dezaprobăm linia de predare frecventă în Balcani de a face întâi arii („mai intuitive“) și apoi relații metrice.

Cum înălțimile nu intră în lista datelor naturale pentru triunghi, vine vremea de a construi formula ce se referă exclusiv la laturile triunghiului. Rezumăm „ce se face“ pentru a sugera inserări. Din teorema lui Pitagora generalizată (figura I.1 )

c ha

desprindem pentru proiecția BD a lui AB pe BC o egalitate

Pentru calculul lui AD2 (cu teorema lui Pitagora) trecem prin egalitatea

(1).

De aici, descompunând de trei ori diferențe de pătrate în produse, notând semiperimetrul cu p, se ajunge la formula lui Heron. Zicem că parte din relevanța acestei formule derivă din avantajele „calculabilității prin logaritmi“.

Zicem că e păcat să nu continuăm (1) cu mai naturala formulă :

5º. Unghiul a două semidrepte cu aceeași origine. Pentru semidrepte Ox, Oy se folosește notația ∢xOy. Aceste măsuri se fac pe scale diferite și nu este totdeauna ușor să desprindem din context ce anume scală este considerată. Apar în discuție:

– grade sexagesimale, notate cu , variind de la 0 la 360, dar măsura unghiurilor nu poate depăși 180;

– radiani, variind în ℝ; măsura unui unghi fiind însă cuprinsă între 0 și π;

– unghiul drept, 1dr. , amplificat uneori cu numere raționale;

– grade centesimale (apar rar în texte matematice românești) notate cu c , variind de la 0c la 400c, pentru un unghi măsura neputând trece de 200c și altele.

Aici, folosim aproape exclusiv măsura ce s-a impus în geometrie în grade (sexagesimale). Măsura în radiani este prielnică analizei, unde funcțiile trigonometrice nu sunt definite pe unghiuri (cu extensie la cercul trigonometric) ci pe ℝ.

6º. Noțiunea de loc geometric.

Circulă o definiție: Loc geometric este mulțimea punctelor M ce satisfac o proprietate dată. Zicem că asta nu spune nimic, dar ne împiedecă să vedem mai departe. Atâta vreme cât locului îi spunem geometric trebuie să ne îngrijim ca proprietatea sa definitorie să fie geometrică. Este clar că despre un punct, privit ca entitate individuală și izolată nu avem ce zice; poate doar că binevoim a-l considera, sau nota. O proprietate geometrică a unui punct M nu poate fi formulată decât referitor la un set de date, D. Nu excludem eventualitatea ca D să conțină și date numerice (constante), dar este esențial să cuprindă și elemente geometrice. În consecință, listarea de mai sus a fost grupată în funcție de datele geometrice necesare formulării proprietății sale definitorii.

Constantele ce pot să apară între datele definitorii ale unui loc geometric exprimă măsuri geometrice. Numeroase familii de locuri geometrice constituie astfel vizualizări de măsuri. Exemplificăm asemenea vizualizări prin: distanța la un punct, sumă, diferență respectiv raport de distanțe, unghiuri, distanța la o dreaptă, distanța la un cerc ș.a.. Am ilustrat astfel parțial ideea că măsurile geometrice nu sărăcesc geometria (prin ieșirea lor în mulțimi numerice) ci o îmbogățesc prin reveniri fecunde.

Apare firesc o întrebare: dacă loc geometric = mulțime, de ce să-i spunem altfel? Credem că botezul a apărut în Grecia antică, dominată filosofic de contrapunerea continuu – discontinuu. Oricâte puncte aș gândi pe o dreaptă (discontinue, finite, cel mult numărabile) acestea nu fac dreapta (continuă). Ne referim acum și la disjuncția infiniților: actual și potențial. Conceptul de loc geometric ne impune să nu fim satisfăcuți de rețete care să producă oricât de multe puncte ale locului ci să investigăm caracterizări geometrice ale mulțimii obținute: dreapta prin …, cercul …, conica …, inclusiv cu excluderi sau limitări.

Vorba loc geometric sperie elevi și profesori. Poate și pentru faptul că este un concept practic neexplicat, al cărei utilitate nu este clară.

Educația matematică (cel puțin la noi) nu încurajează ghicitul. O problemă de loc geometric este deschisă: nu ni se spune ce anume trebuie să arătăm. Încadrarea locurilor în clasa problemelor deschise obligă însă la etape acceptabil rezumate de vorba ghicit. Se pot căuta sinonime ca intuire, lansare de ipoteze, …

Putem pregăti ghicirea unui loc geometric prin construcții de puncte particulare; între acestea unele pot fi relevante și merită prioritate în construcție și în atenția rezolvitorului. Fapt este că de bună vreme, programele de geometrie neglijează construcțiile. Acest fapt lovește de două ori în locuri geometrice: sunt greu de soluționat și li se interzice o piață de desfacere. [Între cele mai uzitate metode de construcție cităm metoda intersecției locurilor geometrice].

După ce știm suficiente puncte ale unui loc geometric, operațiunea ghicire nu mai conține nimic aleator și binemerită numirea lansare de ipoteze. Nu suntem siliți ca, încă de la lansare, să formulăm sarcini multiple; adesea este util să începem prin a constata doar una dintre incluziuni.

După lansarea unei ipoteze, problema nu mai este deschisă și nici de loc geometric: devine o problemă obișnuită de demonstrare.

§.3. Construcții geometrice

1º. Noțiuni introductive

Prin problemă de construcție geometrică înțelegem problema găsirii pe foaia de desen a unor puncte și linii căutate pornind de la anumite puncte și linii date, cu ajutorul unor instrumente.

Din această definiție rezultă că orice problemă de construcție ℙ cuprinde o clasă de elemente date (puncte, drepte) precis definite. Sunt indicate și instrumentele care pot fi folosite și procedeele cu ajutorul cărora trebuie rezolvată problema. Totodată sunt puse în evidență și regulile, condițiile care definesc elementele căutate. În construcțiile cu rigla și compasul, rigla se utilizează numai pentru trasarea unei drepte când se cunosc două puncte ale ei, iar compasul pentru trasarea unui cerc când se cunosc centrul și raza acestuia.

În construcțiile cu ajutorul compasului ( construcții Motar-Mascherani ) se impune mai întâi să se definească în mod riguros ce înseamnă „ a se construi cu compasul ”. Cu ajutorul compasului se pot obține punctele noi prin intersecție de cercuri, iar rigla poate fi folosită pentru unirea punctelor date sau deja obținute.

Există și alte tipuri de instrumente geometrice. Instrumente diferite impun și metode de rezolvări diferite. Sensul uneia sau alteia dintre probleme variază în mod radical, în funcție de instrumentul cu care construim .

Se întâlnesc cazuri în care construirea efectivă cere desenarea prea multor linii, încât figura căutată, în urma erorilor de desen inevitabile, nu poate fi efectuată cu exactitate. În schimb unele probleme de construcție pot fi efectuate cu exactitate în urma câtorva experimentări.

O formulare generală a problemelor ce se cer rezolvate cu rigla și compasul poate fi dată astfel: fiind dat un sistem finit de obiecte care să conțină puncte, drepte, segmente de dreaptă, unghiuri și cercuri, ce satisfac anumite condiții, se cere să se deducă din acesta, cu rigla și compasul, un alt sistem finit de obiecte care să conțină de asemenea puncte, drepte, segmente de dreaptă, unghiuri și cercuri care să satisfacă condițiile date înainte.

Teoria clasică a construcțiilor geometrice, de acord cu postulatele lui Euclid, presupune că:

1) prin două puncte oarecare cu ajutorul riglei se poate duce o dreaptă;

2) dintr-un punct oarecare ca centru și cu o rază dată se poate duce un cerc

cu ajutorul compasului.

Orice altă utilizare a riglei și a compasului se numește experiment geometric și soluțiile obținute nu se mai numesc construcții geometrice făcute cu rigla și compasul.

Dându-se anumite puncte, cu rigla și compasul, se pot obține puncte noi prin următoarele trei operații:

1) determinarea punctului de intersecție a două drepte;

2) determinarea punctelor de intersecție a dreptei și a cercului;

3) determinarea punctelor de intersecție a două cercuri.

Aceste trei operații împreună cu cele două amintite mai sus formează cele cinci construcții fundamentale. Așadar, putem spune că o problemă de construcție geometrică este rezolvabilă cu rigla și compasul când ea poate fi redusă la o combinație în număr finit, a celor cinci construcții fundamentale.

În rezolvarea unor astfel de probleme recurgem și la elemente luate arbitrar în ipoteza că:

se poate construi un punct al planului luat arbitrar în afara dreptei date;

se poate construi oricare punct luat arbitrar pe o dreaptă dată în afara punctelor sale în prealabil construite.

Aceste două cerințe împreună cu cele cinci construcții fundamentale pot fi numite condițiile utilizării nelimitate a riglei și compasului, lămurind astfel din punct de vedere principial rezolvarea problemelor de construcții cu ajutorul riglei și a compasului.

2º. Figuri

O caracteristică a geometriei elementare, probabil cea mai relevantă, este prezența figurilor. Fără a afirma că figurile sunt realități concrete, susținem că ele mediază oscilații fertile ale raționamentului între abstract și concret. Este deci firesc ca orice „rețetă“ de abordare a problemelor geometrice să înceapă cu imperativul DESENEAZĂ!

Desenul este un cofraj în care se depun idei răzlețe, se reînnoiesc și se capătă raționamentul geometric (într-o formă retușabilă).

Schița inițială (sau cea obținută la a n – a încercare) este și o cutie de rezonanță; executată din ochi și cu mâna liberă, figura depinde și de rezolvitor și de problemă. Mare sau delicată, fermă sau abia închipuită, uniformă sau cu diverse îngroșări, hașurată sau colorată, schița trebuie să devină mai expresivă decât enunțul.

Ca idee generală, desenul „neoficial“ este intim, netransmisibil, fiecărui rezolvitor convenindu-i propriul său desen ca start în atacarea problemei. După conturarea ideii de rezolvare, este util să se execute și un desen „oficial“: îngrijit, curat, lipsit de particularizări inutile, suficient de precis. Cele două tipuri de desene înlesnesc rezolvitorului adoptarea unui tonus cerebral optim: o căutare efervescentă, neconformistă va fi urmată de o exprimare exigentă, riguroasă, precisă.

Aici, și în general în geometrie, ne referim prin acest termen la entități distincte: – figura ca obiect de studiu al geometriei; – figura, ca rezumat al unui text geometric. Deosebim între texte: propoziții (axiome, teoreme, leme, probleme) și argumentări (demonstrații, determinări); ca urmare, figurile corespunzătoare vor fi ilustrații, sau instrumente de cercetare.

Figurile se realizează aproape exclusiv în cadrul modelului intuitiv al geometriei euclidiene. Aceasta înseamnă că ele nu au calitatea de a atesta un adevăr geometric.

Totuși, prin folosirea lor îndelung repetată, figurile au o enormă forță de sugestie. Prea des citata butadă geometria este arta de a judeca pe figuri greșite conține desigur un sâmbure de adevăr (liniile au grosimi, punctele au arii etc) dar o figură bună dă sfaturi bune, în timp ce una neglijentă nu spune nimic (sau minte).

Dorim să spunem că figurile geometrice oferă și un ajutor psihologic: recitirea unui enunț cu gândul de a-l ilustra printr-o figură permite simultan: concentrarea atenției și privirea dintr-un unghi de vedere mai mult sau mai puțin diferit, după plac. Zicem că figurile dau un ajutor substanțial în etapa de căutare; ulterior acestei etape este bine să ne asigurăm independența de ele; nici măcar notațiile nu trebuie să provină din figuri ci din textul argumentării .

Figurile (din modelul intuitiv) se realizează cu anumite instrumente; cele uzual permise, sunt așa cum am precizat anterior: rigla și compasul. (La gimnaziu se folosesc și raportorul și echerul iar rigla este gradată).

O bună etapă din studierea geometriei, instrumentele au un caracter concret; treptat ele trebuie să devină instrumente abstracte. Aceasta înseamnă că rigla permite doar să asociem la două puncte M, N dreapta MN incidentă lor iar compasul permite să asociem punctelor numite cercul de centru M ce trece prin N. (Este justificată folosirea compasului și prin luarea în compas a lungimii ce va constitui raza cercului). Punctul de vedere ansamblist, dominant în matematica actuală (și în didactica ei) merită îmbrățișat cu rezerve în cadrul geometriei școlare. Subliniem faptul că edificarea axiomatică de către Hilbert a geometriei evită complet orice referire la vreo teorie a mulțimilor.

În raport cu formulări acceptate cvasiunanim este util să remarcăm măcar că figurile din geometrie sunt finit generate. Nu este important că un segment sau un arc de cerc conțin infinități de puncte ci doar că având un număr finit de puncte le putem genera pe toate celelalte ce ne interesează.

Ca exemplu, un triunghi este generat de cele trei vârfuri ale sale, fie acestea A, B, C. Îl vom vedea trasând (în consens cu contextul) segmente [AB], [BC], [CA], sau dreptele lor suport. Îl vom completa apoi cu mediane, bisectoare, cercuri (înscrise, circumscrise, exînscrise etc). Cu un nou punct generic vom avea triunghiuri podare, pedale, circumpedale, polare triunghiulare sau circulare. Orice propoziție geometrică va putea fi gândită cu referire exclusivă la un set finit de puncte.

Această restrângere la domenii finite se extinde în mod automat și la constantele numerice ce intervin în configurații geometrice.

3º. Existențe

În diverse domenii ale matematicii, propozițiile de existență asigură temelia; geometria nu face excepție. Între demonstrațiile propozițiilor de existență le distingem pe cele constructive. Problemele de construcție se încadrează astfel în demonstrațiile constructive ale teoremelor de existență.

4º. Etapele unei probleme de construcție.

Așa cum am precizat o problemă P de construcție pune în evidență „datele problemei“ – o mulțime D „ alcătuită din puncte, drepte, cercuri sau lungimi, rapoarte, unghiuri, arii etc) și cere construirea cu rigla și compasul a unei mulțimi X de elemente geometrice, astfel încât să fie îndeplinită o anume proprietate P referitoare la D X (Facem abstracție de posibilitatea limitării sau extinderii instrumentelor geometrice sau de indicarea unor zone „inaccesibile“ ale planului).

Este corect să gândim că, în rezolvarea unei probleme P de construcție avem de parcurs, succesiv, patru etape. Sunt cazuri în care una sau alta dintre etape nu este necesară, dar și atunci este benefic să gândim la motivul ce-i justifică absența.

I. Analiza:

În această etapă se presupune problema rezolvată, deci avem figura X construită. Se adaugă figurii elemente noi (construcții ajutătoare) pe baza proprietăților P ale elementelor din D X, alcătuind o nouă mulțime A . Se pun în evidență proprietăți ale lui A ce folosesc doar elementele din D și proprietăți ale lui X formulate cu ajutorul elementelor din D și A Q. Prin aceasta demonstrăm de fapt că dacă figura X are proprietățile P atunci are și proprietățile Q.

II. Construcția (sinteza):

În această etapă sunt indicate succesiuni de utilizări ale instrumentelor pentru a construi figura A, apoi X pe baza proprietăților Q și o parte din proprietățile P. Dar nouă ni s–a cerut ca figura X să satisfacă toate proprietățile P din multimea P , deci este necesară parcurgerea următoarei etape.

III. Demonstrația:

Această etapă cuprinde justificarea faptului că figurile construite (și numai acestea) satisfac proprietățile date P.

IV. Discuția:

Se consideră toate cazurile particulare pe care le pot prezenta datele problemei și se discută construcția și câte soluții sunt în fiecare caz (în cazul unei infinități de soluții este necesară precizarea modalității de generare). Deasemenea se pun condiții asupra datelor problemei pentru ca să existe cel puțin o soluție.

În această etapă se pot face și generalizări sau analogii ale problemei.

Etapizarea „analiză“ – „construcție“ – „demonstrație“ – „discuție“ nu trebuie gândită dogmatic; cele patru etape se pot interfera, reordona, relua etc.

Vom exemplifica succesiunea acestor etape în rubrica următoare.

5º. Exemplificări .

Ex. 1. Construcția mediatoarei unui segment:

Prima etapă nu mai este necesară căci se presupune cunoscută definiția mediatoarei ca locul geometric al punctelor din plan egal depărtate de extremitățile segmentului.

Construcția: Cu ajutorul compasului trasăm două arce de cerc cu centrul în A și B și raza mai mare decât jumătate din lungimea segmentului dat (figura I.2). Aceste arce se vor intersecta în P și Q. Deci PQ este mediatoarea segmentului [AB].

Demonstrație: [PA] [PB], [QA] [QB], Deci P și Q aparțin mediatoarei. Două puncte determină o singură dreaptă, deci m = PQ .

Discuție: Această metodă poate fi folosită și pentru construcția mijlocului unui segment (care este dat de intersecția mediatoarei cu segmentul).

Ex. 2. Construcția bisectoarei interioare a unui unghi:

Construcție: Fie unghiul xOy (figura I.3). Cu centrul în O trasăm un arc de cerc care intersectează [Ox în P și [Oz în Q. Cu centrul în P și apoi în Q trasăm două arce de cerc în interiorul unghiului (arce de cerc de aceeași rază, dar nu neapărat cea interioară). Aceste arce se intersectează în M. [OM este bisectoarea interioară a unghiului xOy.

Demonstrație:

[QO] [PO] , [QM] [PM] , [OM] [OM] , rezultă că ΔQOM ΔMOP.

Din congruența triunghiurilor rezultă că ∢QOM ∢MOP deci : ∢yOM ∢MOx .

Ex. 3. Construcția perpendicularei dintr–un punct pe o dreaptă

Fie d și A d (figura I.4).

Construcție: Cu centrul în A trasăm un cerc oarecare C (A, AB) unde B d. (B arbitrar). C (A, AB) ∩ d = {B,B′}. Construim mediatoarea segmentului [BB′]. Fie această mediatoare m. Atunci m este perpendiculara din A pe d.

Demonstrație: A este centrul cercului C (A,AB) deci AB = AB′, Am. Dar m d.

Discuție: Dacă C (A, AB) este tangent dreptei d, atunci C (A,AB) ∩ d = {B,Bʹ} și AB este perpendiculară din A pe dreapta d.

Observație: Dacă A d , se efectuează aceeași construcție și rezultă perpendiculara într–un punct pe o dreaptă.

Ex. 4. Construcția pentagonului regulat:

Analiza. Presupunem problema rezolvată.

Fie C (O,R) cercul dat și un arc al său cu măsura de 72 (adică o cincime din măsura întregului cerc de 360). Proiectăm O în M pe AB (figura I.5). Desigur, M este mijlocul lui AB și OM bisectoarea unghiului AOB. Deducem AB = 2•AM = 2R•sin36. Știm (*) că are loc 4cos36 = 1 + Avem deci de construit un segment OM cu lungimea m = R• Fie A’ diametral opus lui A; problema revine la construcția unui segment A’•B = 2m.

Construcția. Luăm A arbitrar pe cercul C (figura I.6). Perpendiculara în O pe AO taie cercul într-un punct K. Construim mijlocul L al lui OK. Cercul L de centru L ce trece prin O intersectează prelungirea segmentului AL în N. Cercul de centru A’ de rază AN taie cercul într-un punct B. Afirmăm că este arcul căutat. (…)

Demonstrația. Cu teorema lui Pitagora deducem 2AL = RUrmează AB = AN = m. Din triunghiul dreptunghic AOM deducem m(∢AOM) = 36 etc.

Discuția. Împărțirea este unică până la o rotație a cercului dat în el însuși.

Comentarii. 1). Nu este de luat în considerație un răspuns de forma: măsurăm cu raportorul un unghi de 72 … .

2). Este discutabil dacă formula (*) este cunoscută. În fond problema dată este echivalentă cu construcția unui unghi u de 36.

Cunoscând cos u, construcția unghiului u nu ridică probleme. În funcție de contextul în care s-a cerut rezolvarea problemei, poate fi considerată datoria de a demonstra formula (*). Iată două variante.

Varianta 1 (trigonometrică). Ecuația sin2x = sin3x admite o singură soluție unghi ascuțit. După desfaceri și simplificarea factorului sinx, în necunoscuta c = cos x, apare ecuația 4c2 – 2c – 1 = 0, cu singura soluție pozitivă .

Varianta 2. Reluăm analiza problemei inițiale. Fie ABCDE pentagonul regulat înscris în cercul dat. Diagonala AC este intersectată de diagonalele BE, BD în F și în G. Pentru figura ABGF reținem proprietățile AF = FB = BG și AG = AB.

Ne propunem deci să construim aceste trei triunghiuri isoscele înlănțuite.

Notăm AB = a, AF = FB = BG = x (și FG = a – x).

Cum BF este bisectoare în triunghiul ABG, urmează :

, x2 + ax – a2 = 0, cu singura soluție convenabilă = 2 sin18º. [Funcțiile trigonometrice ale unghiurilor de 18 și 36 se citesc pe figură (figura I.7) după proiectarea lui B în mijlocul B’ al lui (FG)].

Continuare comentariu.

Determinarea din varianta 2 permite construirea unghiului de 36 de exemplu cu triunghiul isoscel GAB. În prima construcție se poate considera și intersecția N’ a cercului L cu segmentul AK; AN’ este latura decagonului regulat înscris în cercul dat.

Ex. 5.

Să se rezolve triunghiul ABC cunoscând laturile: AB = c, AC = b știind că are loc condiția : ∢B = 2∢C.

Aplicație numerică: b c = 2.

Tentativa 1 de rezolvare.

Cunoscând două laturi (figura I.8) ne propunem să o aflăm pe cea de a treia din explicitarea relației ∢B = 2∢C. Avem :

(1)

Urmează: ∢B = 2∢C ⇔ cos B = cos 2C ⇔ cos B = 2cos2 C – 1

Amplificând cu obținem :

Regrupând după puterile lui a găsim: (2).

Este drept că, înlocuind valorile date pentru b, c obținem o ecuație concretă

(3),

dar continuarea nu pare deloc atractivă!

Tentativa 2 de rezolvare.

Egalitatea desprinsă din teorema sinusurilor ne asigură de:

∢B = 2∢C ⇔ 2c cos C = b (4).

Pentru aplicația numerică deducem de aici (6) și devine operantă teorema cosinusurilor, cu exprimarea unghiurilor cerute prin intermediul funcției

Tentativa 3 de rezolvare.

A doua egalitate din (4) devine Acum rolul lui (2) și (3) îl preiau (7) și

(8).

De aici urmează două soluții. Prima, a =2, conduce la unghiuri A = C = 45, B = 90 dar …(*). A doua soluție, a = 1+ = b, asigură A = B = 72, C = 36.

Apreciem că cele trei tentative, în loc să ne lumineze, dau un sentiment de inconfort: soluțiile par a depinde mai mult de calea de căutare decât de datele problemei.

Încadrarea în clasa problemelor de construcție este obligatorie (nu doar pentru că suntem într-un paragraf destinat acestora).

Analiza. Presupunem problema rezolvată și ABC un triunghi satisfăcând condițiile date. În baza acestei propoziții formale, considerațiile din cele trei tentative au un aspect legal. Căutarea triunghiului ABC înseamnă căutarea tuturor laturilor (deci și a lui a), precum și a tuturor unghiurilor. Dacă notăm ∢C = u, deducem ∢B = 2u și ∢A = 180 3u. Triunghiul ABC urmează deci să fie rezolvat prin teorema sinusurilor. O scriem, amplificăm prin și notăm Deducem astfel (pe cazul general): b = 2ct, a = c(4t2 1) (9). Eliminând t din (9) găsim (10).

Ultima egalitate permite construcția grafică a lui a (în funcție de b, c date), construcția reducându-se la … L.L.L. Tentativele anterioare conțin (10) împreună cu relații parazite rezultate din folosirea unor relații ce nu determină unic triunghiul. Pentru (7) factorul parazit este (a – c); în (2) acest factor este și prezența sa întunecă substanțial vederea.

Discuția. este simplă. Din ∢C < ∢B se impune c < b. Deoarece în (9), t este un cosinus, trebuie să avem b < 2c. Reținem deci pentru datele problemei condiția c < b < 2c (11). Pentru a furnizat de (10), condițiile (11) asigură existența și unicitatea triunghiului ABC.