Constructii Geometrice

Constructii geometrice

CUPRINS

3

4 Cuprins

Partea III

Constructibilitate cu rigla s¸i compasul

5

CAPITOLUL 1

Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

Puncte constructibile s¸i numere constructibile

Am lamurit,˘ speram,˘ care este semnificat¸ia construct¸iilor cu rigla s¸i compasul ˆın pla-nul euclidian. Abordarea de panˆa˘ acum, pur geometrica,˘ nu ne permite, din pacate,˘ sa˘ precizam˘ care figuri geometrice se pot construi folosind, ˆın exclusivitate, aceste doua˘ in-strumente clasice. Pentru a obt¸ine raspunsul˘ la aceasta˘ ˆıntrebare, trebuie sa˘ reformulam˘ o problema˘ de construct¸ii ˆıntr-un alt limbaj. Cel mai potrivit s-a dovedit a fi cel algebric.

Vom ˆıncepe, prin urmare, acest capitol tocmai cu formularea problemei de construct¸ii (mai precis, formularea not¸iunii de constructibilitate) ˆıntr-un limbaj algebric. Primul pas este sa˘ dam˘ o definit¸ie (deocamdata˘ geometrica)˘ riguroasa˘ a not¸iunii de punct construc-tibil.

Definit¸ia 1.1. Fie … planul euclidian s¸i B … o submult¸ime finita˘ a planului, care cont¸ine cel put¸in doua˘ elemente. Elementele lui B se numesc puncte de baza˘. Atunci:

Un punct M 2 … se numes¸te constructibil cu rigla s¸i compasul daca˘ exista˘ un s¸ir finit de muncte care se termina˘ cu M : M1; M2; : : : ; Mn D M astfel ˆıncatˆ pentru fiecare i, 1 i n este un punct de intersect¸ie

fie a doua˘ drepte,

fie a unei drepte s¸i a unui cerc, fie a doua˘ cercuri,

aceste drepte s¸i cercuri obt¸inanduˆ-se, pentru fiecare i, cu ajutorul mult¸imii Ei D B [ fM1; : : : ; Mi 1g ˆın modul urmator:˘

7

8 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

orice dreapta˘ trece prin doua˘ puncte distincte din Ei ,

fiecare cerc are centrul ˆıntr-un punct din Ei , iar raza sa este egala˘ cu distant¸a dintre doua˘ puncte din Ei .

O dreapta˘ care trece prin doua˘ puncte constructibile se numes¸te constructibila˘.

Un cerc ce are centrul ˆıntr-un punct constructibil s¸i are raza egala˘ cu distant¸a dintre doua˘ puncte constructibile se numes¸te constructibil.

Observat¸ia 1. Toate punctele de baza˘ din B sunt constructibile cu rigla s¸i compasul.

P 2 B ˆ

Fie, de exemplu, un punct de baza˘. Intrucatˆ am admis ca˘ exista˘ cel put¸in doua˘ puncte de baza,˘ rezulta˘ ca˘ exista˘ un punct P 0 2 B, P 0 ¤ P . Atunci P se poate obt¸ine ca intersect¸ie a dreptei PP 0 cu cercul de centru P 0 s¸i de raza˘ PP 0, ceea ce ˆınseamna˘ ca˘ P este constructibil. Cum P este un punct de baza˘ ales la ˆıntamplare,ˆ rezulta˘ ca˘ orice punct de baza˘ este constructibil.

Observat¸ia 2. De acum ˆıncolo, daca˘ nu se ment¸ioneaza˘ explicit altfel, pentru noi construct¸ie geometrica˘ va ˆınsemna construct¸ie geometrica˘ realizata˘ cu rigla s¸i compasul s¸i nu vom mai ment¸iona explicit instrumentele utilizate.

K

J

J 0

Figura 1.1

ˆ

In cele ce urmeaza,˘ scopul nostru este sa˘ introducem not¸iunea de numar˘ constructi-

ˆ

bil, alaturi˘ de cea de punct constructibil. In acest scop, vom introduce un reper cartezian ˆın plan, plecandˆ de la doua˘ puncte de baza˘.

Mai precis, pe moment presupunem ca˘ exista˘ doar doua˘ puncte de baza,˘ fie ele O s¸i I , adica˘ B D fO; I g. Vom evident¸ia nis¸te puncte constructibile, plecandˆ de la cele doua˘ puncte de baza˘.

Punctele O s¸i I determina˘ dreapta OI (vezi figura 1.1). Consideram˘ cercul (con-structibil) €, cu centrul ˆın punctul O s¸i de raza˘ OI . Cercul € intersecteaza˘ dreapta OI ˆın punctul I s¸i ˆıntr-un al doilea punct, I 0, simetricul lui I fat¸a˘ de punctul O. Prin urmare, punctul I 0 este constructibil. Vom construi acum mediatoarea segmentului II 0. Pentru aceasta, consideram,˘ mai ˆıntai,ˆ cercul C de centru I s¸i de raza˘ II 0, precum s¸i cercul C 0, de centru I 0 s¸i de aceeas¸i raza,˘ II 0. Notam˘ cu K unul dintre punctele de intersect¸ie dintre cele doua˘ cercuri. Evident, punctul K este constructibil, ˆıntrucatˆ este intersect¸ia a doua˘ cercuri constructibile. Este us¸or de demonstrat ca˘ dreapta OK este perpendiculara˘ pe dreapta OI , deci ea este mediatoarea segmentului II 0. Dreapta OK intersecteaza˘ cercul € ˆın doua˘ puncte, pe care le vom nota cu J s¸i J 0, ele fiind, de asemenea, constructibile.

Am pus, astfel, ˆın evident¸a˘ o serie de puncte constructibile: O; I; I 0; K; J; J 0. Vom folosi unele dintre ele pentru a construi un reper ortonormat. Astfel, alegem ca unitate de lungime distant¸a OI . Atunci, ˆın mod evident, avem s¸i OJ D 1. Reperul nostru va fi

! !

.O; OI; OJ /. Pentru a simplifica notat¸iile, vom nota acest reper cu .O; I; J /. Avem acum tot ce ne trebuie pentru a da urmatoarea˘ definit¸ie:

Definit¸ia 1.2. Un numar˘ real se numes¸te constructibil daca˘ el este una dintre coordona-tele unui punct constructibil fat¸a˘ de reperul ortonormat .O; I; J ).

ˆ

Observat¸ia 3. In mod normal, exprimarea corecta˘ este ca˘ numarul˘ real este constructibil relativ la punctele de baza˘ O s¸i I 0. Vom utiliza exprimarea prescurtata,˘ de acum ˆıncolo.

Exemplul 1.1.1. Numerele reale 0; 1; 1 sunt constructibile, deoarece ele sunt abscisele punctelor O; I; I 0.

Modalitat˘¸i elementare de construire a unor obiecte con-structibile

Propozit¸ia 1.1. Daca˘ d este o dreapta˘ constructibila,˘ iar A este un punct constructibil, atunci perpendiculara pe d care trece prin A este, de asemenea, o dreapta˘ constructi-bila˘.

Demonstrat¸ie. Din moment ce dreapta d este constructibila,˘ ea cont¸ine cel put¸in doua˘ puncte constructibile, fie ele B s¸i C . Consideram˘ cercul (evident constructibil) de centru A s¸i de raza˘ AB. Acest cerc intersecteaza˘ dreapta d ˆın B s¸i ˆıntr-un alt punct, fie el D. Construim acum doua˘ cercuri cu centrele ˆın B s¸i D s¸i de raza˘ BD. Aceste doua˘ cercuri se intersecteaza˘ ˆın doua˘ puncte, fie ele E s¸i F . Atunci dreapta AE este dreapta cautat˘a˘.

10 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

A

.d/

E

Figura 1.2

Observat¸ia 4. De remarcat ca˘ demonstrat¸ia data˘ funct¸ioneaza˘ doar daca˘ A ¤ B. Dar daca˘ A D B, atunci, cu sigurant¸a,˘ A ¤ C , deci putem reface demonstrat¸ia, folosind punctul C ˆın locul punctului B.

Propozit¸ia 1.2. Daca˘ d este o dreapta˘ constructibila,˘ iar A este un punct constructibil, care nu apart¸ine dreptei d , atunci paralela d 0 la d care trece prin A este, de asemenea, o dreapta˘ constructibila˘.

A

.d/

.d0 /

Figura 1.3

Demonstrat¸ie. Conform propozit¸iei 1.1, putem construi perpendiculara d 00 care trece prin A. Atunci dreapta d 0 este perpendiculara care trece prin A pe dreapta d 00, prin urmare, conform aceleias¸i propozit¸ii 1.1, este constructibila˘ (vezi figura 1.3).

Propozit¸ia 1.3. Daca˘ A s¸i B sunt doua˘ puncte constructibile, atunci mijlocul segmen-tului AB s¸i mediatoarea sa sunt, de asemenea, constructibile.

M B

Figura 1.4

Demonstrat¸ie. Cercurile de centre A s¸i B s¸i de raze egale cu AB sunt ambele construc-tibile. Cele doua˘ cercuri se intersecteaza˘ ˆın doua˘ puncte, care determina˘ mediatoarea segmentului. Punctul de intersect¸ie dintre dreapta AB s¸i mediatoare determina˘ mijlocul M segmentului, care este, prin urmare, constructibil (vezifigura 1.4).

Propozit¸ia 1.4. Daca˘ d s¸i d 0 sunt doua˘ drepte constructibile concurente, atunci bisec-toarele unghiurilor formate de cele doua˘ drepte sunt, de asemenea, constructibile.

Demonstrat¸ie. Fie A punctul de intersect¸ie al dreptelor d s¸i d 0. Consideram˘ cercul

.C/ de centru A s¸i raza˘ OI , care taie dreapta d ˆın punctele B s¸i C s¸i dreapta d 0 ˆın

verificat ca˘ dreptele AD s¸i AE sunt bisectoarele unghiului, deci aceste bisectoare sunt constructibile.

Propozit¸ia 1.5. Un numar˘ real t este constructibil daca˘ s¸i numai daca˘ punctul de pe axa Ox de abscisa˘ t este constructibil. Analog, t este constructibil daca˘ s¸i numai daca˘ punctul de pe axa Oy de ordonata˘ t este constructibil.

Figura 1.5

Demonstrat¸ie. Vom face demonstrat¸ia doar pentru afirmat¸ia referitoare la axa Ox, cea-lalta˘ se demonstreaza˘ ˆın mod absolut analog (vezi figura 1.6).

.H)/ Daca˘ punctul de pe axa Ox de abscisa˘ t este constructibil, atunci t este construc-tibil, din ˆınsas˘¸i definit¸ia unui numar˘ constructibil.

y

M2M

Figura 1.6

.(H/ Daca˘ t este un numar˘ constructibil, atunci el este una dintre coordonatele unui punct constructibil M . Atunci proiect¸iile M1 s¸i M2 ale lui M pe axa Ox, respectiv pe axa Oy, sunt constructibile, conform propozit¸iei 1.1. Avem doua˘ cazuri:

Daca˘ t este abscisa lui M , atunci el este s¸i abscisa lui M1, iar rezultatul este stabilit.

Daca˘ t este ordonata lui M , atunci el este s¸i ordonata lui M2, prin urmare este s¸i abscisa punctului M20, obt¸inut intersectandˆ cercul (constructibil) de centru O s¸i raza˘ OM2 cu axa Ox.

Propozit¸ia 1.6. Daca˘ A este un punct constructibil, iar t este un numar˘ constructibil, atunci cercul de centru A s¸i de raza˘ jtj este constructibil.

Demonstrat¸ie. Punctul M de abscisa˘ t de pe axa Ox este constructibil, conform propozit¸iei 1.5. Cercul de centru A s¸i de raza˘ jtj este, atunci, cercul de centru A s¸i de raza˘ OM , deci este constructibil.

Corpul numerelor constructibile

Teorema 1.1. Mult¸imea C a numerelor reale constructibile este un subcorp al lui R, stabil fat¸a˘ de rad˘acina˘ patrat˘a˘1.

Demonstrat¸ie. S¸tim deja ca˘ numerele reale 0 s¸i 1 sunt constructibile, deoarece sunt abs-cisele punctelor de baza˘ O s¸i I . Mai departe,

u 2 C u 2 C ˆ A Ox

1) Daca˘ , vom demonstra ca˘ s¸i . Intr-adevar,˘ fie punctul de pe axa de abscisa˘ u. Consideram˘ cercul cu centrul ˆın O s¸i de raza˘ juj (presupunem fires¸te, ca˘ u ¤ 0, altfel nu avem ce demonstra). Acest cerc intersecteaza˘ din nou axa Ox ˆıntr-un punct B, a carui˘ abscisa˘ este u. Cum punctul B este, ˆın mod evident, constructibil, rezulta˘ ca˘ s¸i abscisa lui, u este ˆın C.

Fie u; v 2 C s¸i fie A s¸i B punctele de pe axa Ox pentru care OA D u s¸i AB D v. Punctul A este constructibil, conform propozit¸iei 1.5, iar punctul B este constructibil conform propozit¸iei 1.6, daca˘ utilizam˘ cercul de centru A s¸i de raza˘ jvj. Prin urmare, avem OB D u C v, ceea ce ˆınseamna˘ ca˘ u C v D C.

y C

B

x

I A

Figura 1.7

1Asta ˆınseamna˘ ca˘ daca˘ un numar˘ real pozitiv este constructibil, atunci s¸i rad˘acina˘ sa patrat˘a˘ este con-structibila˘.

de unde rezulta˘ ca˘ OC D uv, adica˘ uv 2 C (vezi figura 1.7).

Fie u 2 C, u ¤ 0. Fie, mai departe, A pe axa Ox astfel ˆıncatˆ OA D u. Paralela la AJ dusa˘ prin I taie axa Oy ˆıntr-un punct B. Din Teorema lui Thales, avem ca˘

OB D OI ;

OJ OA

de unde rezulta˘ ca˘ OB D 1=u, deci 1=u 2 C (vezi figura 1.8).

y

J

B

Figura 1.8

p

5) Daca˘ u 2 C, u 0. Daca˘ u D 0, atunci u este tot 0, deci este constructibil. Presupunem, ˆın cele ce urmeaza,˘ ca˘ u > 0. Fie A punctul de pe axa Ox astfel ˆıncatˆ

IA D u s¸i M – mijlocul segmentului OA. Perpendiculara ˆın I pe Ox taie cercul cu

ˆ

Observat¸ii. 1) Ment¸ionam,˘ mai ˆıntai,ˆ ca˘ Q este cel mai mic subcorp al lui R. Intr-adevar,˘ fie K un subcorp oarecare al lui R. Atunci, ˆınainte de toate, 1 2 K. Din stabilitatea lui K fat¸a˘ de adunare, rezulta˘ imediat ca˘ N K, ˆın timp ce stabilitatea

K ˆ

fat¸a˘ de trecerea la opus implica˘ . In sfarsˆ¸it, din stabilitatea fat¸a˘ de produs s¸i

Z

trecerea la invers rezulta˘ ca˘ Q K. Rezulta˘ de aici ca˘ Q C R.

y

B

Figura 1.9

As¸adar, din moment ce corpul C este stabil fat¸a˘ de rad˘acina˘ patrat˘a˘ s¸i cont¸ine nume-rele rat¸ionale, se pot da multe exemple de numere constructibile, ca de exemplu:

Mai mult, folosind construct¸iile din teorema 1.1, putem construi efectiv punctele de pe axa Ox care au ca abscise aceste numere.

Caracterizarea numerelor constructibile

1.4.1 Extinderi de corpuri

Ceea ce vom prezenta ˆın acest paragraf este doar o trecere ˆın revista˘ a not¸iunilor s¸i rezul-tatelor de teoria extinderilor de corpuri care vor fi necesare ˆın analiza ce urmeaza˘ a con-structibilitat˘¸ii cu rigla s¸i compasul. Cititorul interesat poate gasi˘ detalii s¸i demonstrat¸ii detaliate ˆın orice carte de teoria corpurilor. Reamintim ca˘ toate corpurile conurile considerate de noi se presupune a fi comutative.

Definit¸ia 1.3. Fie K s¸i L doua˘ corpuri astfel ˆıncatˆ K sa˘ fie un subcorp al lui L. Vom spune atunci despre corpul K ca˘ este o extindere a corpului K s¸i vom nota acest fapt cu

K L.

Evident, orice corp este o extindere a lui ˆınsus¸i.

Daca˘ a 2 L, vom nota cu K.a/ cel mai mic subcorp al lui L care cont¸ine pe K s¸i pe a. Este us¸or de constatat ca˘ acest corp exista˘ s¸i poate fi construit fie ca intersect¸ia tuturor subcorpurilor lui L care cont¸in a s¸i K fie (ceea ce este acelas¸i lucru) ca fiind subcorpul lui L generate de a s¸i de K (mai precis, de a s¸i de elementele lui K). Mai general, daca˘ a1; a2; : : : ; an 2 L, vom nota cu K.a1; : : : ; an/ cel mai mic subcorp al lui L care cont¸ine elementele lui K s¸i, ˆın plus, elementele a1; : : : ; an s¸i vom spune ca˘ acest

16 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

corp a fost obt¸inut din corpul K prin adjunct¸ionarea elementelor a1; : : : ; an. Iata˘ catevaˆ exemple:

Q.1/ D Q 23 D Q;

p

Q.i/ D C i j ; 2 Q ;

R.i/ D C i j ; 2 R D C.

ˆ K L L

In cazul care este o extindere de corpuri, atunci corpul mai mare, cazul ˆın

ˆın

nostru, poate fi privit ca fiind un spat¸iu vectorial peste corpul mai mic (K, ˆın cazul nostru). Aici adunarea ˆın spat¸iul vectorial L este adunarea ˆın L (ca s¸i corp, de data aceasta), ˆın timp ce ˆınmult¸irea cu scalari este restrict¸ia la K L a ˆınmult¸irii interne ˆın corpul L. Dimensiunea lui L, privit ca s¸i corp peste K, joaca˘ un rol foarte important ˆın teoria extinderilor de corpuri, de aceea merita˘ o pozit¸ie s¸i o notat¸ie speciala˘.

Definit¸ia 1.4. Fie K L o extindere de corpuri. Dimensiunea lui L, ca spat¸iu vectorial peste K, se numes¸te gradul extinderii s¸i se noteaza˘ cu ŒL W K•.

Q. 2; 3/ W Q. 2/ D 2:

Observat¸ia 5. Se poate demonstra us¸or ca˘ daca˘ K; L; M sunt trei corpuri astfel ˆıncatˆ K L M , atunci ˆıntre grade exista˘ relat¸ia

ŒM W K• D ŒM W L• ŒL W K•:

Astfel, de exemplu,

h p p i h p p p i h p i

Q. 2; 3/ W Q D Q. 2; 3/ W Q. 2/ Q. 2/ W Q D 2 2 D 4:

Definit¸ia 1.5. Fie K L o extindere de corpuri. Daca˘ a 2 L, atunci a se numes¸te algebric peste K daca˘ exista˘ un polinom nenul P 2 KŒX• astfel ˆıncatˆ sa˘ avem P .a/ D 0. Un element care nu este algebric peste K se numes¸te transcendent peste K.

Este clar ca˘ toate elementele corpului K sunt algebrice peste K.

Elemente algebrice peste Q (adica˘ numere algebrice) se pot construi cu us¸urinta˘. Ele p

sunt rad˘acini˘ ale polinoamelor cu coeficient¸i ˆıntregi. De exemplu, 2 este o rad˘acin˘a˘ a polinomului X2 2, ˆın timp ce i este o rad˘acin˘a˘ a polinomului X2 C 1.

Construirea unor numere transcendente (elemente transcendente peste Q) este mai dificila˘. De fapt primele exemple au fost date abia la sfarsˆ¸itul secolului al XIX-lea. Astfel, ˆın anul 1873 matematicianul francez Ch. Hermite a demonstrat ca˘ numarul˘ e (baza logaritmilor naturali) este transcendent, iar ˆın 1882, F. Lindemann a demonstrat ca˘ numarul˘ este transcendent.

Observat¸ia 6. Fie K L o extindere de corpuri s¸i a 2 L un element algebric peste K. Atunci exista˘ un polinom unic P 2 KŒX• astfel ˆıncat:ˆ

P .a/ D 0;

P este ireductibil ˆın KŒX•;

P este unitar (coeficientul termenului de grad maxim este egal cu 1).

Acest polinom se numes¸te polinomul minimal al lui a peste K.

Daca˘ a este un element algebric peste K, iar n este gradul polinomului sau˘ minimal,

p

De exemplu, 2 este algebric de gradul 2 peste Q, polinomul sau˘ minimal peste Q este X2 2, iar o baza˘ a lui Q p2 este 1; p2 .

Daca˘ K L este o extindere de corpuri, mult¸imea elementelor algebrice peste K ale lui L formeaza,˘ dupa˘ cum se poate constata cu us¸urinta,˘ un subcorp al lui L care cont¸ine K. Vom nota cu A corpul numerelor reale algebrice peste Q. Se s¸tie despre acest corp ca˘ este numarabil˘.

Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel

ˆ

In anul 1837, matematicianul francez P.L. Wantzel a dat o caracterizare a numerelor reale constructibile. Mai precis, el a indicat o condit¸ie necesara˘, dar, dupa˘ cum vom vedea, nu s¸i suficienta˘ pentru ca un numar˘ real sa˘ fie constructibil cu rigla s¸i compasul.

18 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

Pentru a putea expune rezultatul lui Wantzel, plecam,˘ din nou, de la punctele de baza˘ O s¸i I , pe baza carora˘ vom construi reperul ortonormat .O; I; J /. Daca˘ M este un punct din planul euclidian raportat la acest reper, punct care are coordonatele x s¸i y, atunci acest punct va fi notat cu M.x; y/.

ˆ

Incepem prin a demonstra urmatoarea˘ lema:˘

Lema 1.1. 1. Daca˘ D este o dreapta˘ din planul euclidian … care trece prin punctele distincte A.a1; a2/ s¸i B.b1; b2/, atunci D are o ecuat¸ie de forma

x C y C D 0;

unde ; ; 2 Q.a1; a2; b1; b2/.

Fie A.a1; a2/, B.b1; b2/ s¸i C.c1; c2/ trei puncte necoliniare din planul euclidian …. Atunci cercul de centru A s¸i de raza˘ BC are o ecuat¸ie de forma

x2 C y2 2 x 2 y C D 0;

cu ; ; 2 Q.a1; a2; b1; b2; c1; c2/.

Demonstrat¸ie. 1) Daca˘ a1 D b1, atunci ecuat¸ia dreptei D este

x a1 D 0;

care, ˆın mod evident, este de forma ceruta˘. Daca˘ a1 ¤ b1, atunci ecuat¸ia dreptei se poate scrie sub forma

y a2 D b2 a2 .x a1/; b1 a1

ecuat¸ie care este, de asemenea, de forma ceruta˘.

2) Cercul de centru A s¸i de raza˘ BC are ecuat¸ia

.x a1/2 C .y a2/2 D .c1 b1/2 C .c2 b2/2;

care se poate rescrie sub forma

x2 C y2 2 x 2 y C D 0;

cu ; ; 2 Q.a1; a2; b1; b2; c1; c2/.

Teorema 1.2. Fie t 2 R. t este un numar˘ constructibil daca˘ s¸i numai daca˘ exista˘ un ˆıntreg p 1 s¸i un s¸ir de subcorpuri ale lui R, L1; L2; : : : ; Lp astfel ˆıncat:ˆ

L1 D Q;

pentru 1 j p 1, Lj Lj C1 s¸i Lj C1 W Lj D 2;

t 2 Lp.

Demonstrat¸ie. Daca˘ t este constructibil, atunci t este abscisa unui punct M al axei Ox. Fie M1; M2; : : : ; Mn D M s¸irul de puncte succesive construite pentru obt¸inerea lui M . Se poate presupune ca˘ M1 s¸i M2 sunt punctele de baza˘ O s¸i I .

Pentru i D 1; 2; : : : ; n vom nota cu xi s¸i yi coordonatele punctului Mi ˆın reperul

.O; I; J /. Avem, ˆın particular: x1 D y1 D 0, x2 D 1; y2 D 0, xn D t; yn D 0. Punem:

K1 D Q.x1; y1/;

K2 D Q.x1; y1; x2; y2/;

Ki D Q.x1; y1; : : : ; xi ; yi /;

Kn D Q.x1; y1; : : : ; xn; yn/:

Avem:

K1 K2 Ki KiC1 Kn; t D xn 2 Kn:

Vom demonstra ca˘ pentru i D 1; 2; : : : ; n 1, avem KiC1 D Ki sau ŒKiC1 W Ki • D 2. Rezultatul este evident pentru i D 1, deoarece K1 D K2 D Q. Sa˘ presupunem, deci, ca˘ i 2. Avem de examinat trei cazuri, dupa˘ cum punctul MiC1 este intersect¸ia dintre doua˘ drepte, dintre o dreapta˘ s¸i un cerc sau dintre doua˘ cercuri definite prin punc-tele precedente, M1; M2; : : : ; Mi . Dar, potrivit lemei 1.1, aceste drepte s¸i cercuri au

coeficient¸i ˆın Ki D Q.x1; y1; : : : ; xi ; yi /. Prin urmare,

1) Daca˘ MiC1 este la intersect¸ia a doua˘ drepte, atunci coordonatele sale, xiC1 s¸i yiC1 sunt solut¸ii ale unui sistem de forma

(

x C y C D 0; 0x C 0y C 0 D 0;

cu ; ; ; 0; 0; 0 2 Ki . Rezolvandˆ acest sistem de gradul ˆıntaiˆ se constata˘ ca˘ xiC1 s¸i yiC1 sunt, de asemenea, ˆın Ki , de unde rezulta˘ ca˘ avem

KiC1 D Ki .xiC1; yiC1/ Ki :

2) Daca˘ MiC1 se afla˘ la intersect¸ia dintre o dreapta˘ s¸i un cerc, atunci atunci coordonatele sale, xiC1 s¸i yiC1 sunt solut¸ii ale unui sistem de forma

(

x C y C D 0;

x2 C y2 2 0x 2 0y C 0 D 0;

cu ; ; ; 0; 0; 0 2 Ki . Avem mai multe situat¸ii posibile:

20 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

Daca˘ ¤ 0, atunci avem

y D 1 . x C /:

ˆ

Inlocuim ˆın cea de-a doua ecuat¸ie pentru a obt¸ine ecuat¸ia pentru abscise. Aceasta˘ ecuat¸ie este de gradul al doilea cu coeficient¸i ˆın Ki , iar xiC1 este o rad˘acin˘a˘ a acestei ecuat¸ii.

– Daca˘ xiC1 2 Ki , atunci

1

y D . xiC1 C / 2 Ki ;

iar KiC1 D Ki .

– Daca˘ xiC1 … Ki , atunci xiC1 este algebric de gradul 2 peste Ki s¸i avem:

KiC1 D Ki .xiC1; yiC1/ D Ki .xiC1/

s¸i KiC1 W Ki D 2.

Daca˘ D 0, atunci ¤ 0 s¸i se poate proceda la fel ca mai sus, formand˘ ecuat¸ia de gradul al doilea pentru ordonate.

Daca˘ MiC1 este la intersect¸ia dintre doua˘ cercuri, atunci coordonatele sale, xiC1 s¸i yiC1, sunt solut¸ii ale unui sistem de forma

(

x2 C y2 2 x 2 y C D 0; x2 C y2 2 0x 2 0y C 0 D 0;

cu ; ; ; 0; 0; 0 2 Ki . Acest sistem este echivalent cu sistemul

(

x2 C y2 2 x 2 y C D 0;

2. 0/x C 2. 0/y C . 0/ D 0;

deci problema se reduce la cazul precedent. Am construit, astfel, un s¸ir de subcorpuri ale lui R:

K1 K2 Kn

astfel ˆıncatˆ K1 D Q, t 2 Kn s¸i pentru 1 i n 1, sa˘ avem fie KiC1 D Ki , fie

KiC1 W Ki D 2. Putem face ˆın as¸a fel ˆıncatˆ acest s¸ir sa˘ fie strict crescator,˘ eliminandˆ corpurile superflue. Se obt¸ine atunci un s¸ir

L1 L2 Lp

L1 L2 Lp

este un s¸ir de subcorpuri ale lui R care ˆındeplines¸te condit¸iile din enunt¸ul teoremei. Vom demonstra, prin recurent¸a˘ dupa˘ j , cu 1 j p, ca˘ Lj C. Va rezulta atunci ca˘ t este un numar˘ constructibil.

L1 C, deoarece L1 D Q s¸i se s¸tie ca˘ Q C.

Presupunem ca˘ Lj C s¸i vom demonstra ca˘ Lj C1 C. Fie a 2 Lj C1. Sa˘ de-

monstram˘ ca˘ a 2 C. Familia 1; a; a2 este liniar dependenta˘ peste Lj , deoarece

Lj C1 W Lj D 2. Prin urmare, exista˘ ; ; 2 Lj , nu toate nule, astfel ˆıncatˆ

a2 C a C D 0:

Sunt posibile doua˘ situat¸ii:

– daca˘ D 0, atunci a D 2 Lj C;

– daca˘ ¤ 0, atunci

s¸i a 2 C, deoarece corpul C, dupa˘ cum am vazut,˘ este stabil fat¸a˘ de rad˘acina˘ patrat˘a˘.

Teorema de mai sus are o consecint¸a˘ remarcabila,˘ care este tocmai rezultatul demon-strat de catre˘ Wantzel.

Consecint¸a 1 (Rezultatul lui Wantzel). Orice numar˘ real constructibil este algebric peste Q, iar gradul sau˘ este o putere a lui 2.

Demonstrat¸ie. Daca˘ t 2 R este constructibil, atunci din teorema 1.2 rezulta˘ ca˘ exista˘ un ˆıntreg p 1 s¸i un s¸ir de subcorpuri ale lui R, L1; L2; : : : ; Lp astfel ˆıncat:ˆ

L1 D Q;

pentru 1 j p 1, Lj Lj C1 s¸i Lj C1 W Lj D 2;

t 2 Lp.

22 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

Pe de alta˘ parte, utilizandˆ o proprietate a extinderilor de corpuri pe care am mai ment¸io-nat-o mai sus, avem:

Lp W Q D Lp W Lp 1 Lp 1 W Lp 2 L2 W Q D 2p 1:

Pe de alta˘ parte, avem Q Q.t/ Lp, de unde rezulta˘ ca˘

2p 1 D Lp W Q D Lp W Q.t/ Q.t/ W Q :

As¸adar, Q.t/ W Q este un divizor al lui 2p 1, adica˘ este tot o putere a lui 2, pe care o vom nota cu 2q. Consideram˘ familia 1; t; t2; : : : ; t2q . Aceasta˘ familie are 2q C 1 elemente, deci este liniar dependenta˘ ˆın Q-spat¸iul vectorial Q.t/. Prin urmare, exista˘ numerele rat¸ionale 0; 1; : : : 2q , nu toate nule, astfel ˆıncatˆ

0 C 1t C C 2q t2q D 0:

Ptin urmare, t este algebric peste Q, iar gradul lui t peste Q este Q.t/ W Q D 2q.

Exemple. Rezultatul lui Wantzel este deosebit de util pentru a demonstra ca˘ un numar˘ real nu este constructibil. Iata˘ doua˘ exemple utile ˆın cele ce urmeaza:˘

1) Unul dintre numerele ce joaca˘ un rol esent¸ial ˆın matematica˘ este . Noi vom demon-stra ˆın Anexa A ca˘ nu este algebric peste Q, deci el nu are cum sa˘ fie constructibil.

2) Sa˘ consideram˘ polinomul X3 2, care este ireductibil peste Q (ˆın caz contrar, poli-nomul ar trebui sa˘ aiba˘ un factor de gradul ˆıntaiˆ pe peste Q, ceea ce ˆınseamna˘ ca˘ el

ar trebui sa˘ aiba˘ o rad˘acin˘a˘ rat¸ionala,˘ ceea ce, ˆın mod evident, nu este cazul). Prin p

urmare, polinomul Xp3 2 este polinomul minimal peste Q al numarului˘ real 3 2.

Aceasta ˆınseamna˘ ca˘ 3 2 este algebric de gradul 3 peste Q. Din rezultatul lui Wantzel p

rezulta,˘ atunci, ca˘ 3 2 nu este un numar˘ constructibil.

Observat¸ia 7. Am notat cu A corpul numerelor reale algebrice peste Q. Atunci avem

Q C A R:

p p

Mai mult, folosind numerele 2; 3 2 s¸i , constatam˘ ca˘ toate incluziunile sunt stricte.

ˆ

In fine, ˆıntrucatˆ corpul numerelor algebrice este numarabil,˘ acelas¸i lucru este valabil s¸i pentru corpul numerelor constructibile.

Aplicat¸ii ale rezultatului lui Wantzel

1.6.1 Cuadratura cercului

Reamintim ca˘ aceasta˘ problema˘ consta˘ ˆın construirea, cu rigla s¸i compasul, a unui patrat˘ de aceeas¸i arie cu cea a unui cerc dat. A da un cerc este echivalent cu a indica centrul

sau,˘ fie el O s¸i un punct al cercului, fie el I . Prin urmare, construct¸ia ceruta˘ este o construct¸ie cu rigla s¸i compasul plecandˆ de la punctele de baza˘ O s¸i I . Daca˘ raportam˘ planul la reperul .O; I; J / introdus mai devreme, atunci segmentul OI este de lungime 1, iar aria cercului dat este egala˘ cu .

este transcendent (daca˘ ar fi algebric, atunci s¸i patratul˘ sau,˘ adica˘ , ar fi algebric, ori noi demonstram˘ ˆın anexa A ca˘ este transcendent).

Prin urmare, problema cuadraturii cercului este imposibil de rezolvat cu rigla s¸i com-pasul.

1.6.2 Dublarea cubului

Reamintim ca˘ aceasta˘ problema˘ consta˘ ˆın construirea cu rigla s¸i compasul a laturii unui cub al carui˘ volum sa˘ fie egal cu volumul unui cub dat.

Faptul ca˘ un cub este dat este echivalent, din punctul nostru de vedere, ca˘ este data˘ una dintre laturile sale, fie ea OI . Ca s¸i ˆın cazul cuadraturii cercului, raportam˘ planul la reperul ortonormat .O; I; J /. Asta ˆınseamna˘ ca˘ latura cubului dat este de lungime 1. De aici rezulta˘ ca˘ volumul cubului dat este egal cu 1, ˆın timp ce volumul cubului cautat˘ trebuie sa˘ fie egal cu 2. Daca˘ dublarea cubului ar fi posibila,˘ am putea construi cu rigla s¸i

compasul latura cubului cerut, adica˘ am putea construi cu rigla s¸i compasul numarul˘ real p

3 2. Dar, rezultatul lui Wantzel implica,˘ dupa˘ cum am remarcat deja la sfarsˆ¸itul sect¸iunii p

precedente, rezulta˘ ca˘ 3 2 nu este un numar˘ constructibil, deci dublarea cubului nu se poate efectua cu rigla s¸i compasul.

1.6.3 Trisect¸iunea unghiului

Aceasta˘ problema˘ consta˘ ˆın construirea, cu rigla s¸i compasul, a semidreptelor care ˆımpart un unghi oarecare ˆın trei unghiuri egale. Evident, este suficient sa˘ construim una din-tre semidrepte, deoarece construirea celei de-a doua se reduce, atunci, la construirea bisectoarei unui unghi.

ˆ

Inainte de a ademonstra ca˘ problema este imposibila,˘ o traducem ˆıntr-un limbaj mai comod, folosind not¸iunea de unghi trisectabil.

Unghiurile la care se refera˘ problema sunt unghiuri neorientate, care se pot identifica cu masura˘ lor ˆın radiani s¸i putem presupune ca˘ sunt cuprinse ˆın intervalul Œ0; •. Mai

precis, 1D ˆınseamna˘ ca˘ este singurul numar˘ real din intervalul pentru

•

Œ0;

ABC

care

! !

BA BC cos D ! ! :

BA BC

Punctele de baza˘ O s¸i I fiind date, putem ˆıntotdeauna sa˘ consideram˘ ca˘ unghiurile sunt toate reprezentate prin semidrepte cu originea ˆın O, iar una dintre ele este semi-

24 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

dreapta OI . Notam˘ cu € cercul cu centrul ˆın O s¸i care trece prin I s¸i cu €1 semicercul ˆınchis al acestui cerc care este situat deasupra dreptei OI .

Daca˘ 2 Œ0; •, vom spune ca˘ unghiul este constructibil daca˘ punctul M al semicercului €1 pentru care ]IOM D este constructibil. Aceasta condit¸ie este, ˆın mod evident, echivalenta˘ cu condit¸ia ca numarul˘ cos sa˘ fie constructibil, deoarece cos este abscisa lui M relativ la reperul ortonormat .O; I; J /. De exemplu, unghiurile

Find dat un unghi D ]IOM , unde M este un punct de pe semicercul €1, vom spune ca˘ este trisectabil daca˘ punctul N de pe semicercul €1 pentru care

]ION D 3

este un punct constructibil plecandˆ de la punctele de baza˘ O; I; M .

Problema trisect¸iunii unghiului se refera,˘ prin urmare, la construct¸ii care pleaca˘ de la trei puncte de baza,˘ nu doar de la doua,˘ ca ˆın czul cuadraturii cercului sau al dublarii˘ cubului. Pe de alta˘ parte, daca˘ unghiul ]IOM D este constructibil, atunci punctul M este constructibil plecandˆ de la punctele de baza˘ O s¸i I , prin urmare construct¸iile ce se obt¸in plecandˆ de la punctele O; I; M sunt exact acelea care se obt¸in plecandˆ de la punctele O; I . Astfel, a spune ca˘ unghiul este trisectabil este totuna cu a spune ca˘ unghiul 3 este constructibil sau, ceea ce este acelas¸i lucru, ca˘ numarul˘ real cos 3

Ceea ce dorim sa˘ demonstram˘ este imposibilitatea trisect¸iunii pentru un unghi oare-care. Va fi, deci, suficient sa˘ demonstram,˘ de exemplu, ca˘ unghiul 3 nu este trisectabil. Cum unghiul 3 este constructibil, aceasta revine la a demonstra ca˘ cos 9 nu este un numar˘ real constructibil.

Avem

cos 3 D 4 cos3 3 cos ;

prin urmare, cos 9 este o rad˘acin˘a˘ a polinomului

P .X/ D 4X3 3X 12:

Vom demonstra ca˘ acest polinom este ireductibil ˆın QŒX•. Daca˘ s-ar descompune ˆın QŒX•, unul dintre factori ar fi de gradul ˆıntai,ˆ iar polinomul ar avea o rad˘acin˘a˘ rat¸ionala,˘ dar ne putem convinge cu us¸urinta˘ ca˘ P nu are rad˘acini˘ rat¸ionale.

Astfel, P .X/ este ireductibil ˆın QŒX•, prin urmare, polinomul minimal al lui cos 9

este

14P .X/

s¸i este de gradul 3. Prin urmare, cos 9 nu este constructibil, conform rezultatului lui Wantzel, ceea ce ˆınseamna˘ ca˘ unghiul 3 nu este trisectabil, ceea ce confirma˘ as¸teptarile˘ noastre, adica˘ faptul ca˘ nu orice unghi este trisectabil.

Caracterizarea corpurilor C s¸i C.i/

Teorema 1.3. C este cel mai mic subcorp al lui R care este stabil fat¸a˘ de rad˘acina˘ patrat˘a˘.

Demonstrat¸ie. Am vazut,˘ deja, ca˘ C este un subcorp al lui R stabil fat¸a˘ de rad˘acina˘ patrat˘a˘. Fie K un alt subcorp al lui R stabil fat¸a˘ de rad˘acina˘ patrat˘a˘. Scopul nostru este sa˘ demonstram˘ ca˘ C K.

Observat¸ia 8. Rezultatul precedent are o interpretare intuitiva˘ foarte simpla˘. El spune, pur s¸i simplu ca˘ toate numerele constructibile se pot obt¸ine plecandˆ de la numerele

C; ; ; W; p ˆ

rat¸ionale , folosind operat¸iile . In fapt, nici macare˘ nu trebuie sa˘ utilizam˘

Q

toate numerele rat¸ionale, numerele 0 s¸i 1 sunt suficiente.

Ne amintim ca˘ am spus ca˘ un punct este constructibil daca˘ ambele sale coordonate relativ la reperul fO; I; J g sunt numere constructibile. Daca˘ identificam˘ planul cu corpul numerelor complexe, atunci este clar ca˘ mult¸imea punctelor constructibile coincide cu subcorpul lui C, C.i/, unde i este, desigur, unitatea imaginara˘.

Corpul C.i/ admite o caracterizare analoga˘ caracterizarii˘ corpului C. Mai precis, avem teorema care urmeaza˘.

Teorema 1.4. C.i/ este cel mai mic subcorp al lui C stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a˘.

Demonstrat¸ie. Un subcorp K al lui C se numes¸te stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a˘ daca˘ pentru orice 2 K rad˘acinile˘ polinomului X2 sunt ˆın K. Aceasta˘ afirmat¸ie este, ˆın mod evident, echivalenta˘ cu afirmat¸ia ca˘ orice polinom de gradul doi din KŒX• se descompune, ˆın KŒX•, ˆın factori de gradul ˆıntaiˆ.

Sa˘ demonstram,˘ acum, ca˘ C.i/ este stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a˘. Cum C.i/ este cel mai mic subcorp al lui C care cont¸ine C s¸i i, este us¸or de constatat ca˘

C.i/ D a C ib j a; b 2 C :

26 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

Fie 2 C.i/. Atunci D a C ib, cu a; b 2 C. Trebuie sa˘ verificam˘ ca,˘ daca˘

D .u C iv/2;

atunci u; v 2 C. Dar D .u C iv/2 daca˘ s¸i numai daca˘

(

a D u2 v2; b D 2uv:

u2 s¸i v2 sunt rad˘acinile˘ polinomului

Prin urmare,

p

de unde

sp

v D a2 C b2 a : 2

Semnele se aleg ¸intandˆ cont de faptul ca˘ b D 2uv. Oricum am alege semnele, u; v 2 C, deoarece a; b 2 C, iar C este stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a˘.

Sa˘ demonstram,˘ acum, ca˘ C.i/ este cel mai mic subcorp al lui C stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a˘.

Fie K un subcorp al lui C stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a˘. Atunci K \ R va fi un subcorp al lui R, stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a˘. Deducem, din teorema 1.3, ca˘

C K \ R K:

ˆ 1 2 K K i 2 K

In plus, cum , iar e stabil relativ la rad˘acina˘ patrat˘a,˘ rezulta˘ ca˘ , deci

C.i/ 2 K.

Reciproca rezultatului lui Wantzel

Dupa˘ cum am vazut,˘ rezultatul lui Wantzel ne da˘ doar o condit¸ie necesara˘ pentru ca un numar˘ sa˘ fie constructibil. Este natural sa˘ ne ˆıntrebam˘ daca˘ reciproca sa este adevarat˘a˘. Cu alte cuvinte, daca˘ t este un numar˘ real, algebraic peste Q, iar gradul sau˘ este o putere

a lui 2, este acest numar˘ constructibil? Vom da mai jos un contraexemplu, care va dovedi ca˘ raspunsul˘ la aceasta˘ ˆıntrebare este negativ.

Consideram˘ polinomul P 2 QŒX•,

P .X/ D X4 X 1:

Vom demonstra, mai ˆıntai,ˆ ca˘ polinomul este ireductibil ˆın QŒX•. Asta va ˆınsemna ca˘ orice rad˘acin˘a˘ a lui P este un numar˘ algebric peste Q, de gradul 4 D 22. Pe de alta˘ parte, vom arata˘ ca˘ acest polinom are o rad˘acin˘a˘ reala,˘ care nu este constructibila˘. Polinomul P se poate descompune, ˆın RŒX•, ˆıntr-un produs de doua˘ polinoame de gradul doi, adica:˘

rad˘acinile˘ ecuat¸iei

T 2 a2T 1 D 0:

Cum a s¸i a0 sunt opuse, putem presupyne, de exemplu, ca˘ a > 0, ceea ce ˆınseamna˘ ca˘ b0 < b, de unde rezulta˘ ca˘ avem

a a4 C 4 D 1:

Polinomul X2 C aX C b are discriminantul

p

•1 D a2 4b D a2 2 a2 C a4 C 4 D a2 2 a4 C 4 < 0;

ceea ce ˆınseamna˘ ca˘ acest polinom are doua˘ rad˘acini˘ complexe conjugate. Polinomul X2 C a0X C b0 are discriminantul

•2 D a02 4b0 D a2 2 a2 pa4 C 4 D 2pa4 C 4 a2 > 0;

28 Capitolul 1. Fundamentele teoriei constructibilitat˘¸ii

adica˘ acest polinom are doua˘ rad˘acini˘ reale distincte, fie ele s¸i . p

Plecandˆ de la egalitatea a a4 C 4 D 1, deducem ca˘ a2.a4C/ D 1, ceea ce ˆınseamna˘

ca˘ a2 este rad˘acin˘a˘ a ecuat¸iei

T 3 C 4T 1 D 0:

Este us¸or de verificat ca˘ aceasta˘ ecuat¸ie nu are rad˘acini˘ rat¸ionale, deci polinomul T 3 C 4T 1 este ireductibil ˆın QŒX•. Dar asta ˆınseamna˘ ca˘ a2 este algebric peste Q, iar gradul sau˘ este egal cu 3. Rezultatul lui Wantzel ne asigura,˘ atunci, ca˘ a2 nu este constructibil, prin urmare nici a nu este un numar˘ constructibil.

Din prima formula˘ a lui Viete,` avem

C D a0 D a:

Cum a nu este constructibil, ˆınseamna˘ ca˘ cel put¸in una dintre rad˘acinile˘ lui P este ne-constructibila˘.

Ne-a mai ramas˘ de demonstrat doar ca˘ P este ireductibil ˆın QŒX•. Cum a este neconstructibil, el nu este rat¸ional, deci descompunerea (1.1) nu este o descompunere ˆın QŒX•. Cum, ˆın plus, polinomul X2 C aX C b nu are rad˘acini˘ reale, nici o alta˘ descompunere a lui P nu se poate face ˆın QŒX•. As¸adar, P este ireductibil ˆın QŒX•.

CAPITOLUL 2

Poligoane regulate

Poligoane regulate constructibile

ˆ

In acest capitol, vom lucra cu unghiuri orientate, cu alte cuvinte, vom face distinct¸ie, de exemplu, ˆıntre un unghi ABC s¸i unghiul CBA, masura˘ celui de-al doilea fiind conside-rata˘ egala˘ cu opusa masurii˘ celei dintaiˆ.

4

este un punct constructibil. A spune ca˘ b este constructibil este echivalent cu a spune

pendiculara pe dreapta OI care trece prin H intersecteaza˘ cercul € ˆın doua˘ puncte, M s¸i M 0. Alegem punctul care corespunde lui b, ¸intandˆ cont de determinarea principala˘ a unghiului.

Daca˘ n 3, vom spune ca˘ un poligon regulat cu n laturi este constructibil daca˘

2

unghiul de masur˘a˘ 2 =n este constructibil, adica˘ daca˘ numarul˘ real cos n este con-structibil.

29

30 Capitolul 2. Poligoane regulate

J

M

O H I

M 0

Figura 2.1

Teorema lui Gauss

Scopul acestei sect¸iuni este sa˘ prezentam˘ o caracterizare a poligoanelor regulate care

ˆ

sunt constructibile cu rigla s¸i compasul. Incepem cu o lema:˘

iar

2c D n 2c m mn

s¸i noi s¸tim cum sa˘ construim un multiplu ˆıntreg al unui unghi, purtandˆ cu compasul de un anumit numar˘ de ori coarda determinata˘ de acest unghi ˆın cercul de centru O s¸i care trece prin I 1.

n C m D 1;

1Este de remarcat ca˘ ˆın demonstrarea acestei implicat¸ii nu se foloses¸te faptul ca˘ numerele m s¸i n sunt prime ˆıntre ele.

Prin urmare, este suficient sa˘ s¸tim sa˘ construim suma a doua˘ unghiuri constructibile. Dar asta este foarte simplu, este suficient sa˘ as¸ezam˘ cele doua˘ unghiuri cu varfulˆ ˆın acelas¸i punct, astfel ˆıncatˆ ele sa˘ aiba˘ o latura˘ comuna˘.

Lema 2.2. Daca˘ n 3 are descompunerea ˆın factori primi

n D p11 pkk

atunci poligonul regulat cu n laturi este constructibil daca˘ s¸i numai daca˘ sunt construc-tibile unghiurile

Demonstrat¸ie. Lema rezulta˘ imediat din lema 2.1, prin induct¸ie dupa˘ k.

2c

Lema 2.2 ne permite caracterizarea unghiurilor constructibile de forma p , unde p este un numar˘ prim, iar este un numar˘ natural nenul.

2c

Teorema 2.1. 1) Unghiurile de forma 2 sunt constructibile.

2c

Daca˘ p este un numar˘ prim mai mare sau egal cu 3, atunci p este constructibil daca˘ s¸i numai daca˘ D 1, iar p este un numar˘ Fermat, adica˘ este de forma 1 C22 , unde este un numar˘ natural.

32 Capitolul 2. Poligoane regulate

! este o rad˘acin˘a˘ de ordinul q a unitat˘¸ii, rad˘acin˘a˘ a polinomului Xq 1, deci ! este algebric peste Q. Admitem ca˘ polinomul minimal al lui ! peste Q este

P .X/ D .X !1/.X !2/ .X !h/;

unde !1; : : : ; !h sunt rad˘acinile˘ primitive de ordinul q ale unitat˘¸ii, adica˘ aceste rad˘acini˘

sunt de forma

cos 2kq C i sin 2kq ;

unde k este un numar˘ ˆıntreg prim cu q, 1 k q. Vom spune ca˘ P .X/ este polinomul ciclotomic de ordinul q.

Pentru a determina gradul h al lui P .X/ este suficient sa˘ cunoas¸tem numarul˘ ˆıntregilor k, 1 k q, astfel ˆıncatˆ k sa˘ fie prim cu q D p . Se obt¸ine h D p 1.p 1/, prin urmare

se obt¸ine

p 1.p 1/ D 2mC1:

Cum p este un numar˘ prim diferit de 2, rezulta˘ ca˘ D 1 s¸i ca˘ p D 1 C 2mC1.

Vom demonstra acum ca˘ m C 1 este o putere a lui. Plecandˆ de la descompunerea lui m C 1 ˆın factori primi, se obt¸ine ca˘

m C 1 D 2 ;

cu 2 N s¸i 2 N – un numar˘ impar. Prin urmare,

D 1 C 2mC1 D 1 C 2 2 D 1 C 22 :

fiind un numar˘ impar, polinomul 1 C X este divizibil cu 1 C X. Rezulta˘ ca˘ p este

divizibil cu 1 C 22 . Cum p este un numar˘ prim, rezulta˘ ca˘ p D 1 C 22 .

Teorema 2.2 (Gauss). Poligoanele regulate constructibile cu rigla s¸i compasul sunt cele pentru care numarul˘ n de laturi este fie de forma 2 , cu 2, fie de forma 2 p1p2 pr , cu 2 N, unde pi sunt numere prime distincte care sunt, ˆın acelas¸i timp, numere Fermat.

Demonstrat¸ie. Demonstrat¸ia rezulta˘ imediat din lema 2.2 s¸i teorema 2.1.

Construct¸ii de poligoane regulate

2.3.1 Triunghiul echilateral, patratul,˘ pentagonul regulat

Construct¸ia triunghiului echilateral este foarte simpla,˘ din moment ce s¸tim ca˘ avem

cos 23 D 12

(vezi figura 2.2).

Figura 2.2

Construct¸ia patratului˘ este triviala,˘ folosind punctele I s¸i J (vezi figura 2.3).

34 Capitolul 2. Poligoane regulate

J

I

O

Figura 2.3

Construct¸ia pentagonului regulat este ceva mai complicata,˘ des¸i ea este cunoscuta˘ ˆınca˘ din antichitate, fiind prezenta˘ ˆın Elementele lui Euclid. O vom prezenta ˆın cele ce

2

ˆ

urmeaza˘ (vezi figura 2.4). In fapt, este suficient sa˘ exprimam˘ cos 5 ˆıntr-o forma˘ care

M2

Fie A mijlocul segmentului OI 0. Avem, prin urmare,

r

AJ D 54:

Folosind cercul de centru A s¸i de raza˘ AJ , construim punctul B pe Ox astfel ˆıncatˆ

AB D AJ . Avem, atunci,

36 Capitolul 2. Poligoane regulate

Daca˘ C este mijlocul lui OB, atunci avem

OC D cos 25 :

Perpendiculara ˆın C pe Ox permite obt¸inerea varfuluiˆ M1. Cu ajutorul compasului, cu o deschidere egala˘ cu coarda IM1, construim celelalte patru varfuri,ˆ M2; M3; M4.

Observat¸ia 9. Grat¸ie posibilitat˘¸ii construirii bisectoarei unui unghi, putem dubla, tot timpul, numarul˘ de laturi al unui poligon regulat constructibil. Astfel, plecandˆ de la un triunghi echilateral, obt¸inem poligoane regulate cu 6, 12, 24, . . . de laturi, iar plecandˆ de la patrat,˘ se pot construi poligoane regulate cu 8, 16, 32, . . . de laturi. De asemenea, plecandˆ de la un pentagon regulat, se pot construi poligoane regulate cu 10, 20, 40, . . . de laturi.

2.3.2 Poligonul cu 15 laturi

Deoarece 3 s¸i 5 sunt numere prime Fermat, rezulta˘ caˆ poligonul regulat cu 15 laturi se poate construi cu rigla s¸i compasul.

Ideea construct¸iei este sa˘ plecam˘ de la o relat¸ie Bezout ˆıntre numerele 3 s¸i 5 s¸i, apoi,

Utilizandˆ construct¸iile pentru triunghiul echilateral s¸i pentagonul regulat, se pot construi pe cercul € punctele M s¸i N astfel ˆıncˆıt

Avem atunci

5! ! 2c

.ON ; OM/ D 15

s¸i, folosind compasul cu o deschidere egala˘ cu coarda MN , se construies¸te punctul P astfel ˆıncatˆ

4 !! 2c

.OI; OP / D 15 :

ANEXA A

Transcendent¸a numarului˘

Teorema A.1 (Lindemann, 1882). Numarul˘ real este transcendent peste Q.

Demonstrat¸ie. Presupunem ca˘ ar fi algebric s¸i gasim˘ o contradict¸ie. Deoarece s¸i i este algebric, iar numerele algebrice complexe formeaza˘ un corp, rezulta˘ ca˘ s¸i numarul˘ i este, de asemenea, algebric. Prin urmare, exista˘ o ecuat¸ie algebrica˘ cu coeficient¸i ˆıntregi

Vom construi acum o ecuat¸ie algebrica˘ cu coeficient¸i ˆıntregi ale carei˘ rad˘acini˘ sunt exponent¸ii din dezvoltarea membrului stangˆ al ecuat¸iei (A.2). Consideram,˘ mai ˆıntai,ˆ exponent¸ii

Din ecuat¸ia (A.1) rezulta˘ ca˘ funct¸iile simetrice elementare de r1; r2; : : : ; rn sunt numere rat¸ionale (tot ce se utilizeaza˘ sunt formulele lui Viete)`. Prin urmare, funct¸iile simetrice elementare de cantitat˘¸ile (A.3) sunt, de asemenea, numere rat¸ionale, as¸adar aceste can-titat˘¸i sunt rad˘acinile˘ unei ecuat¸ii algebrice cu coeficient¸i ˆıntregi

37

ecuat¸ii algebrice cu coeficient¸i ˆıntregi, ale caror˘ rad˘acini˘ sunt sumele de cateˆ 4, 5, . . . , n rad˘acini˘ ri ale ecuat¸iei (A.1). Ecuat¸ia produs

are ca rad˘acini˘ exact exponent¸ii dezvoltarii˘ membrului stangˆ al ecuat¸iei (A.2). Eliminarea rad˘acinilor˘ nule (daca˘ exista)˘ din ecuat¸ia (A.7) ne conduce la o ecuat¸ie

de forma

ale carei˘ rad˘acini˘ 1; 2; : : : ; m sunt sunt exponent¸ii nenuli din dezvoltarea membrului stangˆ al ecuat¸iei (A.2), iar coeficient¸ii sunt numere ˆıntregi. Prin urmare, relat¸ia (A.2) se poate scrie sub forma

unde k este un ˆıntreg (strict) pozitiv. Introducem acum un polinom auxiliar,

unde s D mp 1, iar p este un numar˘ prim a carui˘ valoare va fi precizata˘ ulterior. Gradul lui f este

p 1 C pm D pm 1 C p D s C p:

Este de remarcat ca˘ polinomul f .x/ este un polinom cu coeficient¸i complecs¸i, deci de-rivarile˘ pe care le vom face mai jos se refera˘ la funct¸ii cu o variabila˘ complexa˘. Formal, ˆınsa,˘ regulile sunt aceleas¸i ca s¸i ˆın cazul funct¸iilor de o variabila˘ reala˘.

Definim, mai departe,

39

ˆ x

In cele ce urmeaza,˘ va fi privit ca fiind un numar˘ complex arbitrar, dar fixat s¸i consi-deram˘ funct¸ia data˘ de

.u/ D e xuF .xu/;

unde u este o variabila˘ reala˘. Prin urmare, este o funct¸ie cu valori complexe, de o variabila˘ reala˘. Derivarea s¸i integrarea acestor funct¸ii sunt definite aplicandˆ aceste operat¸ii separat part˘¸ii reale s¸i part˘¸ii imaginare, ambele fiind funct¸ii reale de o variabila˘ reala˘. Este foarte us¸or de verificat ca˘ teorema Leibniz-Newton se extinde la acest gen de funct¸ii, sub forma:

Z b

.b/ .a/ D 0.u/du:

a

Œ0; 1• ˆ

Scopul nostru este sa˘ aplicam˘ aceasta˘ teorema˘ intervalului . In acest scop, trebuie sa˘ calculam˘ 0.u/. Folosind schimbarea de variabila˘

z D ux;

putem scrie

.u/ D e zF .z/:

Rezulta˘ ca˘

0.u/ D dzd Œe zF .z/• dudz D e zf .z/ x D xe zf .ux/:

Aplicam˘ acum teorema Leibniz-Newton pe intervalul Œ0; 1• s¸i obt¸inem

Las˘anduˆ-l pe x sa˘ ia, pe rand,ˆ valorile 1; 2; : : : ; m s¸i ˆınsumandˆ rezultatele, obt¸inem

Planul nostru de a obt¸ine o contradict¸ie cu ipoteza ca˘ este un numar˘ algebric este sa˘ alegem numarul˘ prim p astfel ˆıncatˆ membrul stangˆ al ecuat¸iei (A.12) sa˘ fie un numar˘ ˆıntreg nenul, iar membrul drept sa˘ fie un numar˘ arbitrar de mic (ˆın particular, subunitar).

Pentru 0 r < p,

m

X f .r/. j / D 0;

j D1

deoarece, prin definit¸ie lui f , f .r/. j / are cel put¸in un factor P . j /, care este egal cu zero. Astfel,

polinomiala˘ cu coeficient¸i ˆıntregi, coeficientul fiecarui˘ termen nenul al derivatei sale de ordinul r cont¸ine un produs de r (deci, cel put¸in p) ˆıntregi consecutivi. Prin urmare, coeficientul respectiv este divizivil cu pŠ. Astfel, fiecare coeficient al lui f .r/.x este divizibil cu asp), as¸adar expresia

m

X 1 f .r/.u /

j D1 pas j

este un polinom simetric cu coeficient¸i ˆıntregi de variabilele u1; u2; : : : ; um, de aceea el poate fi exprimat ca un polinom cu coeficient¸i ˆıntregi ˆın funct¸iile simetrice elementare.

ˆ ; ; : : : ;

Inlocuim acum variabilele cu valorile 1 2 m s¸i ne reamintim pentru fiecare ca˘

funct¸ie simetrica˘ elementara˘ avem:

i . 1; 2; : : : ; m/ D . 1/i ama i :

ˆıntreg ˆımpart˘¸it la o putere a lui a, nu mai mare de s. Astfel,

unde termenul dintre parantezele drepte este un numar˘ ˆıntreg. Deoarece aceasta˘ afirmat¸ie este adevarat˘a˘ pentru orice r astfel ˆıncatˆ p r s C r, suma facut˘a˘ dupa˘ aceste valori ale lui r este un ˆıntreg divizibil cu p. Cum aceasta˘ suma˘ este egala˘ cu expresia originala,˘ demonstrat¸ia afirmat¸iei noastre este completa˘.

41

ˆ p kF .0/

In continuare, vom demonstra pentru suficient de mare, este, de aseme-ca˘

nea, un numar˘ ˆıntreg, dar nedivizibil cu p.

ˆ F .0/

Intr-adevar,˘ termenii lui sunt de trei tipuri:

Termenii f .r/.x/, pentru 0 r p 2 cont¸in, cu tot¸ii, un factor x, deci se anuleaza˘ pentru x D 0.

Termenii f .r/.x/, pentru p r s C p sunt polinoame cu coeficient¸i ˆıntregi, fiecare coeficient fiind divizibil cu p, dupa˘ cum s-a vazut˘ mai sus. Astfel, f .r/.0/, termenii constant¸i, sunt ˆıntregi divizibili cu p.

Pentru a ne asigura ca˘ numarul˘ kF .0/ nu este divizibil cu p este, prin urmare, sufi-cient sa˘ ne asiguram˘ ca˘ singurul termen ramas,˘ adica˘ kf .p 1/.0/, nu este divizibil cu p.

Din definit¸ia lui f , rezulta˘ ca˘ singurul termen care contribuie la f .p 1/.0/ este

asap

0 xp 1:

.p 1/Š

Prin urmare,

kf .p 1/.0/ D kasa0p:

Revenim acum la ecuat¸ia (A.12). Am reus¸it sa˘ demonstram˘ ca,˘ pentru p suficient de mare, membrul stangˆ este un ˆıntreg nenul (pentru ca˘ este suma dintre un ˆıntreg divizibil cu p s¸i unul nedivizibil cu p). Mai ram˘aneˆ sa˘ demonstram˘ ca,˘ din nou, pentru p suficient de mare, membrul drept al acestei egalitat˘¸i poate fi facut˘ subunitar, de unde va rezulta contradict¸ia cautat˘a˘.

Avem

Cum aceasta˘ margine superioara˘ este termenul de ordinul p ˆın seria MacLaurin a funct¸iei (de variabila˘ B) CeB , iar aceasta˘ serie se s¸tie ca˘ este convergenta,˘ rezulta˘ ca˘ expre-sia (A.13) trebuie sa˘ tinda˘ la zero, atunci candˆ p ! 1. Dar asta ˆınseamna˘ tocmai ca˘ membrul drept al relat¸iei (A.12) poate fi facut˘ arbitrar de mic (s¸i, ˆın particular, subunitar) daca˘ numarul˘ prim p este suficient de mare.

Bibliografie

Argunov, V.I., Balk, M.B. – Construct¸ii geometrice ˆın plan (ˆın limba rusa),˘ edit¸ia a II-a, Moscova, 1957

Alexandrov, I. – Probleme de construct¸ii geometrice, Ed. Tehnica,˘ 1951

Buicliu, Gh. – Probleme de construct¸ii geometrice cu rigla s¸i compasul, Ed. Teh-nica,˘ 1957

Enriques, F. – Questioni riguardanti le matematiche elementari, edit¸ia a III-a, vol. II, Nicola Zanichelli, Bologna, 1900

Fourrey, E. – Curiosites´ geom´etriques´, 2e edition, Vuibert et Nony, Paris, 1910

Gerwien, P. – Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen geradlinigen Figuren in dieselben Stucke¨, Journal fur¨ die reine und angewandte Mathematik, 1833

Guitel, E. – Propriet´es´ relatives aux polygones equivalents´, Assoc. fr. p. l’av. des Sciences, 1895

Hadlock, C.R., Field Theory and its Classical Problems, Mathematical Association of America, 1978

Hurwitz, A. – Beweis der Transzendenz der Zahl e, Math. Ann., vol. 43 (1893), pp. 220-221

Jones, A., Morris, S.A., Pearson, K.R., Abstract Algebra and Famous Impossibili-ties, Springer, 1991

[11] Lindemann, F., ¨ , Math. Ann., 20 (1882), pp. 213–225

Uber die Zahl

43

44 Bibliografie

Niven, I. – The transcendence of , Amer. Math. Monthly, vol. 46 (1939), pp. 469–471

Toth,´ A. – Not¸iuni de teoria construct¸iilor geometrice, Ed. Didactica˘ s¸i Pedagogica,˘ 1963