Construct ii geometrice [619998]
Construct ¸ii geometrice
Paul A. Blaga
Cuprins
I Construct ¸ii geometrice: Axiomatic ˘a s ¸i metode de rezolvare a proble-
melor 7
1 Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice 9
1.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Teoria general ˘a a construct ¸iilor geometrice ˆın planul euclidian . . . . . 10
1.2.1 Axiomele generale ale geometriei constructive . . . . . . . . . 10
1.3 Instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.1 Rigla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Compasul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.3 Rigla cu dou ˘a muchii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 Echerul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.5 Construct ¸ii fundamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.6 Problema de construct ¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Probleme elementare de construct ¸ii geometrice . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 Metodica rezolv ˘arii problemelor de construct ¸ii geometrice . . . . . . . 26
1.5.1 Analiza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.5.2 Construct ¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.3 Demonstrat ¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.5.4 Discut ¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.6 Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate . . . . . . . . . . . . . . 30
2 Locuri geometrice 39
2.1 Not ¸iunea de loc geometric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 O provizie de locuri geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 O select ¸ie a unor locuri geometrice foarte simple . . . . . . . . . . . . 47
3
4 Cuprins
2.4 Metodica rezolv ˘arii problemelor de loc geometric . . . . . . . . . . . . 48
2.5 Metode analitice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6 Intersect ¸ii de locuri geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Transform ˘ari geometrice 61
3.1 Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2 Translat ¸ia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.2.1 Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate cu ajutorul translat ¸iei 62
3.3 Simetria axial ˘a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.1 Not ¸iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.3.2 Probleme de construct ¸ii rezolvate folosind simetria axial ˘a . . . 66
3.4 Rotat ¸ia fat ¸ ˘a de un punct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.1 Not ¸iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4.2 Probleme de construct ¸ii rezolvate folosind rotat ¸ia fat ¸ ˘a de un punct 71
3.5 Omotetia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.1 Not ¸iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.5.2 Aplicat ¸ii ale omotetiei la rezolvarea problemelor de construct ¸ii
geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.6 Inversiunea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.1 Not ¸iuni teoretice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.6.2 Aplicat ¸ii ale inversiunii la rezolvarea problemelor de construct ¸ii
geometrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
II Constructibilitate cu rigla s ¸i compasul 83
4 Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii 85
4.1 Puncte constructibile s ¸i numere constructibile . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Modalit ˘at ¸i elementare de construire a unor obiecte constructibile . . . . 87
4.3 Corpul numerelor constructibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.4 Caracterizarea numerelor constructibile . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.1 Extinderi de corpuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.5 Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.6 Aplicat ¸ii ale rezultatului lui Wantzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6.1 Cuadratura cercului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6.2 Dublarea cubului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.6.3 Trisect ¸iunea unghiului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5 Poligoane regulate 101
5.1 Poligoane regulate constructibile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.2 Teorema lui Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3 Construct ¸ii de poligoane regulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Cuprins 5
5.3.1 Triunghiul echilateral, p ˘atratul, pentagonul regulat . . . . . . . 105
5.3.2 Poligonul cu 15 laturi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
A Transcendent ¸a num ˘arului 109
6 Cuprins
Partea I
Construct ¸ii geometrice: Axiomatic ˘a
s ¸i metode de rezolvare a
problemelor
7
CAPITOLUL 1
Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
1.1 Introducere
Problemele de construct ¸ii geometrice (de regul ˘a executate cu rigla s ¸i compasul – vom
vedea mai t ˆarziu care este semnificat ¸ia acestor instrumente) se afl ˘a, de peste dou ˘a mii de
ani, printre problemele esent ¸iale ale geometriei elementare (sau, dac ˘a preferat ¸i, “sinte-
tice”).
Se consider ˘a c˘a cel care a fixat cele dou ˘a instrumente canonice a fost Platon, des ¸i
dovezile cam lipsesc (des ¸i mare parte din opera filozofului s-a p ˘astrat, nu exist ˘a ment ¸iuni
explicite ˆın ea la problemele de construct ¸ii geometrice). Cartea care a “popularizat” pro-
blemele de construct ¸ii geometrice este, f ˘ar˘aˆındoial ˘a, cartea care st ˘a la baza geometriei
elementare s ¸i ˆın zilele noastre, Elementele lui Euclid.
Nu intent ¸ion ˘am s ˘a d˘am o “definit ¸ie” foarte precis ˘a a unei probleme de construct ¸ii
geometrice. Conform lui Euclid ˆınsus ¸i, o problem ˘a de construct ¸ii geometrice este una ˆın
care se dau o serie de elemente geometrice (pe care le vom numi figuri) s ¸i se cere s ˘a se
construiasc ˘a o serie de alte figuri geometrice, de regul ˘a impun ˆandu-se restrict ¸ii asupra
instrumentelor care sunt admise pentru realizarea construct ¸iei.
C˘art ¸ile vechi, ˆın special, dar s ¸i multe dintre c ˘art ¸ile moderne, omit anumite preciz ˘ari,
care sunt absolut esent ¸iale.
(i) A “rezolva” o problem ˘a de construct ¸ii geometrice nu ˆınseamn ˘a, neap ˘arat, s ˘a de-
senezi figurile cerute pe foaia de desen, ci s ˘a furnizezi un algoritm prin care orice
punct al figurii sau figurilor de desenat s ˘a poat ˘a fi desenat.
(ii) Problemele de construct ¸ii geometrice sunt probleme “finite”: at ˆat figurile date, c ˆat
9
10 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
s ¸i cele ce trebuie construite trebuie s ˘a fie ˆın num ˘ar finit. De asemenea, algoritmul
furnizat pentru construct ¸ie trebuie s ˘a aib ˘a un num ˘ar finit de pas ¸i.
ˆInc˘a din antichitate a devenit clar c ˘a fixarea setului de instrumente de construct ¸ie
reprezint ˘a o restrict ¸ie foarte important ˘a. Des ¸i nu au fost capabili s ˘a demonstreze acest
fapt, mult ¸i dintre marii matematicienii greci au ˆınt ¸eles c ˘a anumite construct ¸ii geometrice
(altminteri foarte “simple”: cuadratura cercului, trisect ¸iunea unghiului, dublarea cubu-
lui) nu se pot realiza utiliz ˆand doar rigla negradat ˘a s ¸i compasul (des ¸i ele pot fi realizate
utiliz ˆand s ¸i alte instrumente).
Abia Gauss a fost capabil s ˘a stabileasc ˘aˆın ce condit ¸ii o problem ˘a de construct ¸ii
geometrice cu rigla s ¸i compasul se poate, efectiv, rezolva.
De regul ˘a, rezolvarea unei probleme de construct ¸ii geometrice presupune, pe l ˆang˘a
elaborarea algoritmului de construct ¸ie, demonstrarea corectitudinii acestui algoritm s ¸i
o discut ¸ie a diferitelor situat ¸ii speciale care pot ap ˘area (de exemplu, solut ¸iile multiple,
ˆıntruc ˆat rezolvarea unei probleme de construct ¸ii geometrice ˆınseamn ˘a determinarea tu-
turor solut ¸iilor posibile).
1.2 Teoria general ˘a a construct ¸iilor geometrice ˆın planul eu-
clidian
1.2.1 Axiomele generale ale geometriei constructive
ˆIn acest curs, prin geometrie constructiv ˘aˆınt ¸elegem, f ˘ar˘a aˆıncerca s ˘a d˘am o definit ¸ie
extrem de precis ˘a, acea partea a geometriei elementare care se ocup ˘a cu construct ¸iile
geometrice. V om prezenta un sistem axiomatic minimal, preluat din [1] care, ˆın sti-
lul caracteristic al acestei abord ˘ari, ment ¸ioneaz ˘a care sunt elementele primare s ¸i care
sunt axiomele care leag ˘aˆıntre ele elementele nedefinite. Axiomele descrise ˆın aceast ˘a
sect ¸iune nu au de-a face cu nici un instrument particular. Axiomele principalelor instru-
mente (care precizeaz ˘a ce construct ¸ii sunt posibile cu un anumit tip de instrument) vor fi
tratate ˆıntr-o sect ¸iune separat ˘a.
Obiectul fundamental cu care vom lucra ˆın acest curs este acela de figur ˘a geometric ˘a.
O figur ˘a geometric ˘a este orice mult ¸ime nevid ˘a de puncte. Astfel, figurile geometrice cu
care vom lucra cel mai frecvent vor fi: puncte, segmente de dreapt ˘a, semidrepte, drepte,
arce de cerc s ¸i cercuri. Figurile geometrice vor fi notate, de regul ˘a, cu majuscule greces ¸ti:
1;2;:::.
V om spune c ˘a o figur ˘a geometric ˘a1este o parte a unei figuri geometrice 2dac˘a,
privite ca mult ¸imi de puncte, avem 12.
Presupunem c ˘a toate figurile geometrice pe care le vom ˆıntˆalni sunt cont ¸inute ˆıntr-
un acelas ¸i plan (care este, evident, s ¸i el o figur ˘a geometric ˘a), pe care ˆıl vom numi plan
fundamental .
1.2. Teoria general ˘a a construct ¸iilor geometrice ˆın planul euclidian 11
Toate operat ¸iile care se execut ˘a cu mult ¸imi (reuniune, intersect ¸ie, diferent ¸ ˘a) se pot
executa, ˆın egal ˘a m˘asur˘a, s ¸i cu figuri geometrice, ˆıntruc ˆat, la urma urmei, figurile geo-
metrice sunt cazuri particulare de mult ¸imi, ale c ˘aror elemente sunt, dup ˘a cum am v ˘azut,
puncte.
ˆIn particular, operat ¸iile cu mult ¸imi pot fi utilizate pentru a defini noi figuri geome-
trice. Fie, de exemplu, punctele distincte din planul fundamental A1;A2;:::;An, unde
n3este un num ˘ar natural. V om numi poligon cunlaturi figura geometric ˘a
A1A2[A2A3[[An 1An[AnA1:
Aici, fires ¸te, cu AiAiC1not˘am segmentul de dreapt ˘a determinat de cele dou ˘a puncte1.
Axioma I. Planul fundamental este construit.
Axioma II. Dac˘a dou ˘a figuri sunt construite, atunci se poate stabili dac ˘a diferent ¸ ˘a lor
este mult ¸imea vid ˘a sau nu.
Axioma III. Dac˘a diferent ¸a a dou ˘a figuri construite este nevid ˘a, atunci aceast ˘a diferent ¸ ˘a
este, de asemenea, construit ˘a.
Axioma IV. Dac˘a sunt construite dou ˘a figuri cu intersect ¸ia nevid ˘a, atunci se poate
construi cel put ¸in un punct din aceast ˘a intersect ¸ie.
V om demonstra acum o serie de rezultate care rezult ˘a direct din aceste axiome.
Propozit ¸ia 1.1. Dac˘a dou ˘a figuri sunt construite, se poate stabili dac ˘a diferent ¸a lor este
mult ¸imea vid ˘a sau nu.
Demonstrat ¸ie. S˘a presupunem c ˘a figurile1s ¸i2sunt construite. Fie S1D1n2
– diferent ¸a celor dou ˘a figuri. Este clar c ˘aS1se poate reprezenta s ¸i sub forma
S1D1n.1\2/;
de unde rezult ˘a c˘a
1DS1[.1\2/:
Dac˘a figurile1s ¸i2sunt construite, atunci, ˆın virtutea axiomei II, putem spune dac ˘a
diferent ¸a lor, S1, este vid ˘a sau nu. Dac ˘aS1D;, atunci, ˆın mod evident, 1\2D1,
deci aceast ˘a intersect ¸ie este nevid ˘a,ˆıntruc ˆat orice figur ˘a geometric ˘a trebuie s ˘a cont ¸in ˘a cel
put ¸in un punct.
Dac˘a,ˆın schimb,S1¤;, atunci, ˆın virtutea axiomei III, aceast ˘a figur ˘a se consider ˘a
construit ˘a iar, ˆın virtutea axiomei II, putem spune dac ˘a diferent ¸a1nS1este vid ˘a sau
nu. Dar1nS11\2, ceea ce ˆıncheie demonstrat ¸ia.
1Nu se presupune c ˘a poligonul este simplu, prin urmare, el poate avea auto-intersect ¸ii
12 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
Propozit ¸ia 1.2. Dac˘a dou ˘a figuri sunt construite, iar intersect ¸ia lor este nevid ˘a, atunci
aceast ˘a intersect ¸ie se poate presupune construit ˘a.
Demonstrat ¸ie. Fie1s ¸i2cele dou ˘a figuri construite. Atunci
1\2D1n.1n2/;
iar figura din membrul drept este construit ˘a, conform axiomei III.
Propozit ¸ia 1.3. Dac˘a sunt construite dou ˘a figuri, atunci s ¸i reuniunea lor este construit ˘a.
Demonstrat ¸ie. Fie1s ¸i2cele dou ˘a figuri construite. Not ˘am cu
planul fundamen-
tal. Dac ˘a una dintre figuri coincide cu planul fundamental, atunci reuniunea lor este
egal˘a cu acesta, care este deja construit (axiom I).
S˘a presupunem acum c ˘a nici una dintre cele dou ˘a figuri construite nu coincide cu
planul fundamental. Atunci, ˆın virtutea axiomei III, sunt construite s ¸i figurile F1D
n1s ¸iF2D
n2.
Utiliz ˘am acum identitatea 1[2D
n.F1\F2/. Dac ˘a intersect ¸ia este vid ˘a,
atunci1[2D
, deci reuniunea este construit ˘aˆın virtutea axiomei I. Dac ˘a, dim-
potriv ˘a,F1\F2¤ ; , atunci aceast ˘a intersect ¸ie, dup ˘a cum am v ˘azut mai sus, este
construit ˘a, iar1[2este construit ˘aˆın virtutea axiomei III.
Propozit ¸ia 1.4. Dac˘a sunt construite dou ˘a figuri, iarneste un num ˘ar natural (nenul)
oarecare, atunci ˆıntotdeauna se poate stabili dac ˘a intersect ¸ia celor dou ˘a figuri cont ¸ine
cel put ¸innpuncte sau cont ¸ine mai put ¸ine.
Demonstrat ¸ie. Remarc ˘am,ˆınainte de toate c ˘a,ˆın conformitate cu consecint ¸a 1.1, date
fiind dou ˘a figuri construite 1s ¸i2, se poate stabili ˆıntotdeauna dac ˘a intersect ¸ia lor,
1\2, este vid ˘a sau nu.
ˆIn primul caz, consecint ¸a este, ˆın mod evident, demonstrat ˘a.ˆIn cel de-al doilea caz,
ˆın virtutea axiomei IV, se poate construi un punct P0al intersect ¸iei 1\2. Apoi, ˆın
virtutea axiomei II, se poate stabili dac ˘a mult ¸imile0
1D1nfP0gs ¸i0
2D2nfP0g
sunt sau nu nevide s ¸i, prin urmare, s ¸i dac ˘a0
1\0
2este vid ˘a sau nu. Dac ˘a aceast ˘a
intersect ¸ie este vid ˘a,ˆınseamn ˘a c˘a1s ¸i2au un singur punct comun, anume P0. Dac ˘a,
ˆın schimb,0
1\0
2¤;, atunci, ˆın virtutea axiomei IV, se poate construi cel put ¸in
un punct, fie el P00, care apart ¸ine at ˆat lui0
1, cˆat s ¸i lui0
2. Este clar atunci, din modul
de construct ¸ie, c ˘a puncteleP0s ¸iP00apart ¸ine at ˆat lui1, cˆat s ¸i lui2, prin urmare am
reus ¸it s ˘a construim dou ˘a puncte comune celor dou ˘a figuri. Consider ˘am acum figurile
00
1D1nfP0;P00g;s ¸i00
2D2nfP0;P00g:
Din nou, fie intersect ¸ia lor este mult ¸imea vid ˘a, s ¸i atunci1s ¸i2auˆın comun numai
dou˘a puncte, adic ˘aP0s ¸iP00, fie este nevid ˘a, iar atunci se poate construi un al treilea
punct comun al figurilor 1s ¸i2.
1.3. Instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice 13
Repet ˆand acest rat ¸ionament, dup ˘a un num ˘ar finit de pas ¸i, putem r ˘aspunde la ˆıntrebarea
dac˘a intersect ¸ia1\2cont ¸inea sau nu cel put ¸in npuncte distincte. Astfel, consecint ¸a
este demonstrat ˘a.
Propozit ¸ia 1.5. Se poate construi orice num ˘ar finit de puncte comune a dou ˘a figuri
construite, dac ˘a astfel de puncte exist ˘a.
Demonstrat ¸ie. Afirmat ¸ia rezult ˘a,ˆın mod direct, din demonstrat ¸ia consecint ¸ei prece-
dente.
Propozit ¸ia 1.6. Se poate construi un punct care s ˘a apart ¸in ˘a unei figuri construite.
Demonstrat ¸ie. Fieo figur ˘a construit ˘a. Reprezent ˘am figuraca intersect ¸ie a dou ˘a
figuri:1Ds ¸i2D. Atunci, ˆın mod evident, D1\2. Cum, con-
form axiomei IV, se poate construi un punct comun a dou ˘a figuri date, afirmat ¸ia este
demonstrat ˘a.
Propozit ¸ia 1.7. Dac˘a este construit ˘a o figur ˘a care nu coincide cu ˆıntregul plan fun-
damental, atunci se poate construi un punct din planul fundamental care, ˆın mod evident,
nu apart ¸ine figurii construite.
Demonstrat ¸ie. S˘a presupunem c ˘aˆın planul fundamental s-a construit o figur ˘a, care
nu coincide cu ˆıntregul plan. Atunci, ˆın virtutea axiomelor I s ¸i III, se poate considera
construit ˘a s ¸i figura
n.ˆIn virtutea consecint ¸ei 1.6, se poate construi un punct care s ˘a
apart ¸in ˘a figurii
n, adic ˘a s˘a nu apart ¸in ˘a figurii.
1.3 Instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice
Cele mai importante instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice sunt urm ˘atoarele
patru:
(i) rigla (cu o singur ˘a muchie);
(ii) compasul;
(iii) rigla cu dou ˘a muchii (cu laturile paralele);
(iv) echerul.
Aceste instrumente se utilizeaz ˘a fie ˆın mod individual, fie ˆın diferite combinat ¸ii. De
regul ˘a, dac ˘aˆın formularea unei probleme de construct ¸ii geometrice nu se precizeaz ˘a
instrumentele ce trebuie utilizate, se presupune c ˘a aceste instrumente sunt rigla cu o
singur ˘a muchie s ¸i compasul.
14 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
1.3.1 Rigla
Rigla ,ˆın sensul utilizat ˆın teoria construct ¸iilor geometrice, este un instrument abstract.
Ea este, ˆın esent ¸ ˘a, un instrument de forma unei rigle, de tipul celor utilizate la desen, cu
urm˘atoarele preciz ˘ari:
1. doar una dintre cele dou ˘a muchii ale sale se consider ˘a dreapt ˘a, cealalt ˘a put ˆand
avea orice form ˘a;
2. rigla nu este gradat ˘a;
3. l˘at ¸imea riglei nu este important ˘a;
4. lungimea riglei poate fi oric ˆat de mare ( ˆıntruc ˆat, dup ˘a cum vom vedea mai jos,
folosind o singur ˘a dat ˘a rigla, se pot uni oricare dou ˘a puncte ale planului, indiferent
cˆat de ˆındep ˘artate ar fi unele de altele).
Iat˘a de ce trebuie s ˘a facem o distinct ¸ie net ˘aˆıntre construct ¸iile geometrice ,ˆın care trebuie
doar s ˘a descriem modul de construire a unei figuri s ¸i desenul geometric ,ˆın care aceste
figuri trebuie desenate ˆın mod practic s ¸i ˆın care caracteristicile concrete ale instrumen-
telor geometrice sunt esent ¸iale. Urm ˘atoarea axiom ˘a precizeaz ˘a construct ¸iile elementare
ce se pot realiza cu ajutorul unei rigle:
Axioma A (Axioma riglei) .Cu rigla se pot efectua urm ˘atoarele construct ¸ii geometrice:
a) construirea unui segment care unes ¸te dou ˘a puncte construite;
b) construirea unei drepte care trece prin dou ˘a puncte construite;
c) construirea unei semidrepte care pleac ˘a dintr-un punct construit s ¸i trece printr-un
alt punct construit.
1.3.2 Compasul
Compasul utilizat ˆın construct ¸iile geometrice poate fi de dou ˘a tipuri:
1. compasul colapsant;
2. transportatorul de segmente.
Cu primul tip de compas se poate construi doar un cerc sau un arc de cerc. Imediat ce
se ridic ˘a de pe h ˆartie, cele dou ˘a brat ¸e ale sale cad unul peste cel ˘alalt (“colapseaz ˘a”). De
aceea, cu acest instrument, nu este posibil s ˘a construim dou ˘a cercuri de aceeas ¸i raz ˘a sau
s˘a determin ˘am, pe o dreapt ˘a dat ˘a, un segment de dreapt ˘a de lungime egal ˘a cu cea a unui
segment dat (adic ˘a s˘a “transport ˘am segmentul”).
1.3. Instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice 15
Cel de-al doilea compas este cel pe care ˆıl s ¸tim din s ¸coal ˘a. Cu el se pot executa
operat ¸iile imposibile pentru cel ˘alalt tip de compas. Este interesant c ˘a, dup ˘a cum vom
vedea imediat, cele dou ˘a tipuri de compase sunt, de fapt, echivalente (cu alte cuvinte, cu
un compas colapsant se pot realiza toate construct ¸iile realizabile cu un transportator de
segmente).
Trebuie s ˘a ment ¸ion ˘am s ¸i aici, ca s ¸i ˆın cazul riglei, c ˘a un compas utilizat ˆın teoria
construct ¸iilor geometrice este, de asemenea, un instrument idealizat. V om vedea, de
exemplu, c ˘a cu compasul se pot construi cercuri de diametre oric ˆat de mari, ceea ce,
desigur, cu un instrument concret este imposibil.
Compasul la care se refer ˘a axioma urm ˘atoare este transportatorul de segmente.
Axioma B (Axioma compasului) .Cu compasul se pot realiza urm ˘atoarele construct ¸ii
geometrice:
a) construirea unui cerc, dac ˘a este construit centrul s ˘au s ¸i un segment de lungime egal ˘a
cu raza cercului (sau, cel put ¸in, capetele acestui segment);
b) construirea oric ˘aruia dintre cele dou ˘a arce de cerc complementare, dac ˘a este con-
struit centrul cercului, precum s ¸i capetele comune ale arcelor.
Propozit ¸ia 1.8. Compasul colapsant s ¸i transportatorul de segmente sunt echivalente, ˆın
sensul c ˘a cu ajutorul unui compas colapsant se pot realiza toate construct ¸iile care se pot
executa cu ajutorul transportatorului de segmente.
Demonstrat ¸ie. Una dintre implicat ¸ii este evident ˘a: este clar c ˘a orice construct ¸ie realiza-
bil˘a cu transportatorul de segmente se poate realiza s ¸i cu ajutorul compasului colapsant,
as ¸a c ˘a ne vom concentra asupra celeilalte implicat ¸ii.
Construct ¸ia b) din axioma compasului, se poate executa, desigur, s ¸i cu compasul
colapsant, prin urmare trebuie doar s ˘a demonstr ˘am c ˘a, cu acest tip de compas, se poate
realiza s ¸i construct ¸ia a).
FieAun punct dat din plan s ¸i BC un segment dat. Ceea ce trebuie s ˘a facem este
s˘a construim cercul de raz ˘aBC s ¸i de centruA, folosind compasul colapsant. V om face
asta folosind urm ˘atoarea serie de construct ¸ii:
1) Construim cercul cu centrul ˆınAs ¸i care trece prin B.
2) Construim cercul cu centrul ˆınBs ¸i care trece prin A. Aceste dou ˘a cercuri se inter-
secteaz ˘aˆın puncteleDs ¸iE.
3) Construim cercul cu centrul ˆınEs ¸i care trece prin C.
4) Construim cercul cu centrul ˆınDs ¸i care trece prin C.
5) Cercurile de la pas ¸ii 3) s ¸i 4) se intersecteaz ˘a din nou ˆın punctulF. Cercul de centru
As ¸i de raz ˘aAFeste cercul care trebuia construit.
16 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
AB
C
DE
F
Figura 1.1
L˘as˘am pe seama cititorului s ˘a demonstreze c ˘a triunghiurile (dreptunghice!) AFD s ¸i
BCD sunt congruente, ceea ce demonstreaz ˘a c˘aAFDBC, adic ˘a cercul de dentru A
s ¸i de raz ˘aBCeste, ˆıntr-adev ˘ar, cercul care trebuia construit.
1.3.3 Rigla cu dou ˘a muchii
Rigla cu dou ˘a muchii este, ˆın fapt, o rigl ˘a pentru care s ¸i cea de-a doua muchie este
dreapt ˘a, paralel ˘a cu prima muchie. Ca s ¸i ˆın cazul riglei cu o singur ˘a muchie, s ¸i aici se
consider ˘a c˘a muchiile (ambele, de data aceasta) sunt infinite s ¸i vom nota distant ¸a dintre
ele cuh.
Axioma C (Axioma riglei cu dou ˘a muchii) .Cu ajutorul riglei cu dou ˘a muchii se pot
realiza urm ˘atoarele construct ¸ii:
a) orice construct ¸ie care se poate realiza cu rigla simpl ˘a;
b)ˆın fiecare din cele dou ˘a semiplane determinate de o dreapt ˘a construit ˘aˆın planul
fundamental, se poate construi c ˆate o dreapt ˘a situat ˘a la distant ¸ahde aceasta;
c) dac ˘a sunt construite dou ˘a puncteAs ¸iB, atunci se poate stabili dac ˘a distant ¸aAB
este sau nu mai mare dec ˆat l˘at ¸imeaha riglei, iar dac ˘aAB > h , atunci se pot
construi dou ˘a perechi de drepte paralele care trec, respectiv, prin punctele As ¸iBs ¸i
sunt situate, una fat ¸ ˘a de cealalt ˘a, la distant ¸a h.
1.3.4 Echerul
Echerul este, ˆın esent ¸a lui, echerul pe care ˆıl cunoas ¸tem din geometria elementar ˘a, cu
comentariile de rigoare privitoare la trasarea liniilor drepte pe care le-am f ˘acut ˆın cazul
riglei. De asemenea, spre deosebire de echerele pe care le folosim ˆın geometrie, ˆın teoria
1.3. Instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice 17
abstract ˘a a construct ¸iilor geometrice nu are important ¸ ˘a ce unghiuri sunt ˆın celelalte dou ˘a
vˆarfuri. De fapt, singurul lucru important este prezent ¸a unghiului drept.
Axioma D (Axioma echerului) .Echerul permite:
a) realizarea tuturor construct ¸iilor ment ¸ionate ˆın axioma dreptei;
b) construirea unei drepte care trece printr-un punct dat s ¸i este perpendicular ˘a pe o
dreapt ˘a construit ˘a;
c) dac ˘a sunt construite un segment ABs ¸i o figur ˘a, atunci se poate stabili dac ˘a figura
cont ¸ine sau nu puncte din care segmentul ABse vede sub un unghi drept, iar dac ˘a
astfel de puncte exist ˘a, se poate construi unul dintre ele.
1.3.5 Construct ¸ii fundamentale
Not ¸iunea de construct ¸ie fundamental ˘aeste o not ¸iune care depinde de sistemul de instru-
mente selectat. Astfel, pentru o select ¸ie de instrumente sunt acele construct ¸ii ment ¸ionate
ˆın axiomele instrumentelor s ¸i ˆın axiomele VII–IX. Orice construct ¸ie geometric ˘a se poate
realiza cu instrumentele selectate dac ˘a s ¸i numai dac ˘a ea se poate reduce la o secvent ¸ ˘a
finit˘a de construct ¸ii fundamentale. V om enumera aici doar construct ¸iile fundamentale
corespunz ˘atoare celei mai comune select ¸ii de instrumente: rigla s ¸i compasul.
As ¸adar, cu ajutorul riglei s ¸i compasului se pot realiza urm ˘atoarele construct ¸ii fun-
damentale:
1) construirea unui segment care unes ¸te dou ˘a puncte date (axioma A, a));
2) construirea unei drepte care trece prin dou ˘a puncte construite (axioma A, b));
3) construirea unei semidrepte care pleac ˘a dintr-un punct construit s ¸i trece printr-un alt
punct construit (axioma A, c));
4) construirea unui cerc dac ˘a sunt construite centrul cercului s ¸i un segment de dreapt ˘a
a c˘arei lungime este egal ˘a cu raza cercului sau, cel put ¸in, capetele acestui segment
(axioma B, a));
5) construirea oric ˘aruia dintre cele dou ˘a arce complementare de cerc dac ˘a sunt constru-
ite capetele lor comune s ¸i centrul cercului (axioma B, b));
6) construirea oric ˘arui num ˘ar finit de puncte comune a dou ˘a figuri construite, dac ˘a astfel
de puncte exist ˘a (Propozit ¸ia 1.5);
7) construirea unui punct care apart ¸ine unei figuri construite (Propozit ¸ia 1.6);
8) construirea unui punct care nu apart ¸ine unei figuri construite dac ˘a aceast ˘a figur ˘a nu
coincide cu ˆıntreg planul fundamental (Propozit ¸ia 1.7).
18 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
1.3.6 Problema de construct ¸ie
ˆIntr-o problem ˘a de construct ¸ii geometrice se cere construirea unei figuri geometrice ˆın
condit ¸iile ˆın care:
se prescrie un set de instrumente (dac ˘a nu se face acest lucru, se presupune, ˆın
mod implicit, c ˘a aceste instrumente sunt rigla s ¸i compasul);
ˆın planul fundamental este construit ˘a o figur ˘a (figura dat ˘a);
sunt indicate o serie de propriet ˘at ¸i pe care trebuie s ˘a le aib ˘a figura care trebuie
construit ˘a (propriet ˘at ¸i care, de regul ˘a, leag ˘a figura de construit cu figura dat ˘a).
O figur ˘a care ˆındeplines ¸te condit ¸iile problemei se numes ¸te solut ¸ie a problemei de construct ¸ie
corespunz ˘atoare.
Arezolva o problem ˘a de construct ¸ii geometrice ˆınseamn ˘a a g ˘asitoate solut ¸iile pro-
blemei. A g ˘asi o solut ¸ie, ˆınseamn ˘a s˘a realiz ˘am respectiva construct ¸ie printr-o secvent ¸ ˘a
finit˘ade construct ¸ii fundamentale.
V om da acum un exemplu de problem ˘a de construct ¸ii geometrice care va fi rezol-
vat˘a cu diferite seturi de instrumente. ˆIn aceast ˘a problem ˘a se cere, pur s ¸i simplu, s ˘a
se construiasc ˘a mijlocul unui segment, dat prin capetele sale, As ¸iB. Pentru fiecare
set de instrumente vom enumera construct ¸iile fundamentale care conduc la rezolvarea
problemei.
1.Realizarea construct ¸iei cu ajutorul riglei s ¸i al compasului Se construiesc, succesiv
!2 !1M
NA
OB
Figura 1.2
(vezi figura 1.2):
1) dreaptaAB(construct ¸ia fundamental ˘a 2);
2) cercul!1.A;AB/ (construct ¸ia fundamental ˘a 4);
3) cercul!2.B;AB/ (construct ¸ia fundamental ˘a 4);
4) punctele comune Ms ¸iNale cercurilor !1s ¸i!2(construct ¸ia fundamental ˘a 6);
1.3. Instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice 19
5) dreaptaMN (construct ¸ia fundamental ˘a 2);
6) punctul comun Oal dreptelorABs ¸iMN (construct ¸ia fundamental ˘a 6).
Este us ¸or s ˘a ne convingem c ˘aAODBO, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘aOeste punctul c ˘autat.
2.Realizarea construct ¸iei cu ajutorul compasului Se construiesc succesiv (vezi fi-
!!5
!1M
CD
NAX
BE!2!3
!6
!4
Figura 1.3
gura 1.3):
1) cercul!.B;BA/ (axioma A, a));
2) cercul!1.A;AB/ (axioma A, a));
3) punctul comun Cal cercurilor!s ¸i!1(axioma VII);
4) cercul!2.C;CA/ (axioma A, a));
5) punctul comun Dal cercurilor!s ¸i!2, diferit de punctul A(axioma VII);
6) cercul!3.D;DB/ (axioma A, a));
7) punctul comun Eal cercurilor!s ¸i!3, diferit de punctul C(axioma- VII).
Remarc ˘am c ˘a puncteleA;B;E sunt situate pe o dreapt ˘a, iarAED2AB . Construim,
mai departe:
20 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
8) cercul!4.E;EA/ (axioma A, a));
9) punctele comune Ms ¸iNale cercurilor !1s ¸i!4(axioma VII);
10) cercul!5.M;MA/ (axioma A, a));
11) cercul!6.N;NA/ (axioma A, a));
12) punctul comun Xal cercurilor!5s ¸i!6, diferit deA(axioma VII).
Nu este greu de constatat c ˘a punctulXse afl ˘a pe dreaptaB.ˆIn plus, triunghiul AMX
este asemenea cu triunghiul AEM ,ˆıntruc ˆat ambele sunt isoscele s ¸i au unghiul MAE
de la baze comun. Prin urmare, avem:
AX
AMDAM
AEsauAX
ABDAB
2AB;
astfel c ˘a
AXD1
2AB
s ¸i, prin urmare, punctul Xeste cel c ˘autat.
3.Realizarea construct ¸iei cu ajutorul riglei cu dou ˘a muchii
b
ah
hC
D E
P
A X B
Figura 1.4
Construim, succesiv (vezi figura 1.4):
1) dreaptaAB(axioma C, a);
2) o dreapt ˘aa, paralel ˘a cuABs ¸i care trece la distant ¸a h(l˘at ¸imea riglei) de ea (axi-
oma C, b);
3) dreaptab, paralel ˘a cua, situat ˘a fat ¸˘a de ea la distant ¸a h, care nu coincide cu dreapta
AB(axioma C, b);
4) un punctCpe dreaptab(axioma VIII);
1.3. Instrumente utilizate ˆın construct ¸iile geometrice 21
5) drepteleACs ¸iBC(axioma C, a);
6) puncteleDDa\ACs ¸iEDa\BC(axioma VII);
7) drepteleAEs ¸iBD(axioma C, a);
8) punctulPDAE\BD(axioma VII);
9) dreaptaCP(axioma C, a);
10) punctulXDCP\AB(axioma VII).
CumDEeste linia mijlocie a triunghiului ACB , rezult ˘a c˘aAEs ¸iBDsunt medianele
sale s ¸i, prin urmare, s ¸i CPtrebuie s ˘a fie median ˘a, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a punctulXeste
punctul c ˘autat.
4.Realizarea construct ¸iei cu ajutorul echerului
AX BPCC0
DA0 P0 B0
Figura 1.5
Construct ¸ia const ˘aˆın urm ˘atorii pas ¸i (vezi figura 1.5):
1) construim dreapta AB(axioma D, a));
2) construim dreptele AA0s ¸iBB0, perpendiculare pe dreapta AB(axioma D, b));
3) alegem pe AA0un punct oarecare C, diferit deA(axiomele IV s ¸i VIII);
4) prin punctul CducemCC0?AC(axioma D, b));
Construim apoi, ˆın mod succesiv:
5) punctulDDCC0\BB0(axioma VII);
6) drepteleADs ¸iBC(axioma D, a);
7) punctulPAD\BC(axioma VII);
22 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
8) dreaptaPP0?AB(axioma D, b));
9) punctulXDPPi\AB(axioma VII).
Se poate verifica foarte us ¸or c ˘a punctulXeste cel c ˘autat.
1.4 Probleme elementare de construct ¸ii geometrice
Am v ˘azut ˆın exemplul de problem ˘a de construct ¸ii geometrice pe care l-am rezolvat la
sfˆars ¸itul paragrafului precedent c ˘a chiar pentru o problem ˘a foarte simpl ˘a, cum este cea
examinat ˘a, descompunerea problemei ˆın probleme fundamentale este foarte laborioas ˘a
s ¸i implic ˘a un num ˘ar mare de pas ¸i. De aceea, ˆın practic ˘a, lucrurile se desf ˘a˘as ¸oar ˘a un pic
altfel, ˆın sensul c ˘a o problem ˘a dat ˘a se reduce nu la o secvent ¸ ˘a de probleme fundamentale
(adic ˘a, pˆan˘a la urm ˘a, la axiome), ci la o serie de probleme elementare, care se presupun
cunoscute de toat ˘a lumea.
Nu exist ˘a un consens general ˆın privint ¸a select ¸iei problemelor elementare de construct ¸ii
geometrice, dar ideea este c ˘a ele trebuie s ˘a fie cele ˆıntˆalnite ˆın manualele de geometrie
din s ¸coala elementar ˘a. Reproducem aici lista lui Dadaian, cea mai recent ˘a s ¸i, ˆın acelas ¸i
timp, una dintre cele mai cuprinz ˘atoare.
Construct ¸ia 1.1. S˘a se construiasc ˘a un segment egal cu un segment dat, a.
Demonstrat ¸ie. Construim o dreapt ˘a oarecare, fie ea MN , pe care construim un punct A.
Din punctulA, ca centru, s ¸i cu o raz ˘a egal ˘a cu segmentul dat a, construim un cerc ce
intersecteaz ˘a dreapmtaMN ˆın puncteleBs ¸iC. Segmentele ABs ¸iACsunt, ambele,
solut ¸ii ale problemei, deoarece este clar c ˘a fiecare dintre ele are lungimea a.
Construct ¸ia 1.2. Se d˘a un cerc.C/s ¸i se cere s ˘a se construiasc ˘aˆın el ocoard ˘a a c ˘arei
lungime s ˘a fie egal ˘a cu cea a unui segment dat, a.
Demonstrat ¸ie. Este clar c ˘a,ˆıntr-un cerc, nu pot exista coarde care s ˘a aib ˘a lungimea mai
mare dec ˆat diametruldal cercului. Prin urmare, pentru ca problema s ˘a aib ˘a solut ¸ii, tre-
buie s ˘a avemad. S˘a presupunem, prin urmare, c ˘a aceast ˘a condit ¸ie este ˆındeplinit ˘a.
Construim, pe .C/, un punct oarecare, A. DinA, ca centru, s ¸i cu raza egal ˘a cua, con-
struim un car care intersecteaz ˘a.C/ˆın puncteleBs ¸iC. Segmentele ABs ¸iAC sunt
coardele c ˘autate. Ele coincid dac ˘aaDd.
Construct ¸ia 1.3. S˘a se construiasc ˘a un segment egal cu suma a dou ˘a segmente date a
s ¸ib.
Demonstrat ¸ie. Construim o dreapt ˘aMN s ¸i pe ea construim un punct oarecare, A. Din
A, ca centru, s ¸i cu raz ˘a egal ˘a cua, construim un cerc ce intersecteaz ˘a semidreapta AN
ˆınB. DinB, ca centru, s ¸i cu raza b, construim un cerc ce intersecteaz ˘a semidreapta BN
ˆınC. SegmentulACeste cel c ˘autat.
1.4. Probleme elementare de construct ¸ii geometrice 23
Construct ¸ia 1.4. S˘a se construiasc ˘a un segment egal cu diferent ¸a a dou ˘a segmente,as ¸i
b.
Demonstrat ¸ie. Presupunem, pentru fixarea ideilor, c ˘aab. Construim o dreapt ˘a oa-
recare,MN , s ¸i pe ea construim un punct A. DinA, ca centru, s ¸i cu raza A, construim
un cerc care intersecteaz ˘a semidreapta ANˆın punctulB. DinB, ca centru, s ¸i cu raza b,
construim un cerc ce intersecteaz ˘a semidreapta BN ˆın punctulC. SegmentulACeste
cel c ˘autat. Dac ˘aaDb, atunciCDA, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a segmentul diferent ¸ ˘a se
reduce la un punct.
Construct ¸ia 1.5. S˘a se construiasc ˘a un triunghi cu laturile egale cu 3 segmente date,
a;b;c . Presupunem, pentru fixarea ideilor, c ˘abCc>a .
Demonstrat ¸ie. Construim o dreapt ˘a oarecare,MN , s ¸i pe ea lu ˘am un punct B. DinB,
ca centru, s ¸i cu raza a, ducem un cerc ce intersecteaz ˘a semidreapta BN ˆın punctulC.
DinB, ca centru, s ¸i cu raza c, se duce un cerc .C1/. DinC, ca centru, s ¸i cu raza b, se
duce un cerc .C2/. Cercurile.C1/s ¸i.C2/se intersecteaz ˘aˆın puncteleAs ¸iA0. Fiecare
dintre triunghiurile ABC s ¸iA0BC reprezint ˘a cˆate o solut ¸ie a problemei. ˆIntr-adev ˘ar,
avemBCDa,CADCA0Dbs ¸iABDA0BDc.
A
A0B C M N ac
cb
b
Figura 1.6
Construct ¸ia 1.6. S˘a se construiasc ˘a un unghi egal cu un unghi dat, .
Demonstrat ¸ie. Construim, mai ˆıntˆai, o dreapt ˘a oarecare s ¸i, pe ea, un punct O. Din
vˆarful unghiului , ca centru, s ¸i cu o raz ˘a arbitrar ˘a, ducem un cerc ce intersecteaz ˘a
laturile unghiului ˆın puncteleAs ¸iB. Cu aceeas ¸i raz ˘a, dar, de data aceasta, cu centrul ˆın
punctulO,ˆıncep ˆand de la semidreapta ON,ˆın sens pozitiv, construim arcul>O1O2, unde
O12MN . DinO1, ca centru, s ¸i cu raza AB, construim un cerc de intersecteaz ˘a arcul>O1O2ˆın punctulC. Construim semidreapta ON. Unghiul c ˘autat este unghiulCON .
24 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
O M NAB
Figura 1.7
Construct ¸ia 1.7. Construit ¸i bisectoarea unui unghi dat.
Demonstrat ¸ie. FieABC unghiul dat. Din v ˆarfulBal unghiului, ca centru, s ¸i cu o
raz˘a arbitrar ˘a, ducem un cerc care intersecteaz ˘a semidreptele BA, respectivBC,ˆınD,
respectivE. DinDs ¸iE, ca centre, cu o raz ˘a arbitrar ˘a, ducem c ˆate un cerc (raza e
aceeas ¸i pentru ambele). Fie Hpunctul din interiorul unghiului ˆın care se intersecteaz ˘a
cele dou ˘a cercuri. Atunci BH este bisectoarea unghiului ABC .
A BC
DEH
Figura 1.8
Construct ¸ia 1.8. S˘a se construiasc ˘a mediatoarea unui segment dat.
Demonstrat ¸ie. FieABsegmentul dat. Din As ¸iB, ca centre, cu o aceeas ¸i raz ˘a, mai
mare dec ˆat jum ˘atate din lungimea segmentului AB, se construiesc dou ˘a cercuri, care
se intersecteaz ˘aˆın puncteleCs ¸iD. Construim dreapta CD. Aceasta este mediatoarea
segmentuluiAB, iar punctul de intersect ¸ie, fMgDAB\CDeste mijlocul segmentului
AB.
1.4. Probleme elementare de construct ¸ii geometrice 25
A BC
DM
Figura 1.9
Construct ¸ia 1.9. Dintr-un punct dat, P, exterior unei drepte date MN , s˘a se constru-
iasc˘a o perpendicular ˘a pe aceast ˘a dreapt ˘a.
Demonstrat ¸ie. DinP, ca centru, s ¸i cu raz ˘a mai mare dec ˆat distant ¸a de la PlaMN ,
construim un cerc ce intersecteaz ˘aMN ˆın puncteleAs ¸iB. Atunci perpendiculara
c˘autat ˘a este mediatoarea segmentului AB(construct ¸ia precedent ˘a).
Construct ¸ia 1.10. Printr-un punct P, exterior unei drepte date, MN , s˘a se construiasc ˘a
o paralel ˘a laMN .
Demonstrat ¸ie. DinP, ca centru, s ¸i cu o raz ˘a mai mare dec ˆat distant ¸a de la PlaMN ,
construim un cerc .C1/, care intersecteaz ˘aMN ˆın puncteleAs ¸iB. DinB, ca centru,
s ¸i cu aceeas ¸i raz ˘a, construim un cerc .C2/. DinP, ca centru, cu raza AB, construim un
cerc.C3/. FieCunul dintre punctele de intersect ¸ie ale cercurilor .C2/s ¸i.C3/(cel situat
de aceeas ¸i parte a dreptei MN ca s ¸iP). Construim dreapta BC. Este us ¸or de constatat
c˘aPCkMN .
Construct ¸ia 1.11. S˘a se construiasc ˘a un triunghi dac ˘a se dau o latur ˘a s ¸i dou ˘a unghiuri.
Demonstrat ¸ie. Rematc ˘am,ˆınainte de toate, c ˘a dac ˘a se conosc dou ˘a unghiuri, atunci,
ˆın mod automat, se cunoas ¸te s ¸i cel de-al treilea unghi. Prin urmare, putem presupune
c˘a cele dou ˘a unghiuri date au ca latur ˘a comun ˘a latura dat ˘a. Construim, prin urmare,
cele dou ˘a unghiuri la capetele segmentului dat s ¸i prelungim laturile necomune p ˆan˘a se
intersecteaz ˘a s ¸i,ˆın acest mod, obt ¸inem cel de-al treilea v ˆarf al triunghiului.
Construct ¸ia 1.12. S˘a se construiasc ˘a un triunghi dac ˘a se dau dou ˘a laturi s ¸i unghiul
cuprins ˆıntre ele.
Construct ¸ia 1.13. S˘a se construiasc ˘a un triunghi dac ˘a se dau dou ˘a laturi s ¸i unghiul
opus uneia dintre ele.
Construct ¸ia 1.14. S˘a se construiasc ˘a mijlocul unui arc de cerc.
26 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
Construct ¸ia 1.15. S˘a se construiasc ˘a un cerc care trece prin trei puncte necoliniare
date,A;B;C .
Construct ¸ia 1.16. S˘a se construiasc ˘a un cerc dac ˘a se dau dou ˘a puncteAs ¸iBale sale
s ¸i tangentaATˆın punctulA.
Construct ¸ia 1.17. S˘a se construiasc ˘a un cerc dac ˘a se dau o coard ˘a a sa s ¸i un unghi
ˆınscris care se sprijin ˘a pe aceast ˘a coard ˘a.
Construct ¸ia 1.18. S˘a se construiasc ˘a tangenta ˆıntr-un punct dat al unui cerc dat.
Construct ¸ia 1.19. S˘a se construiasc ˘a o tangent ˘a la un cerc dat, paralel ˘a cu o dreapt ˘a
dat˘a.
Construct ¸ia 1.20. S˘a se construiasc ˘a o tangent ˘a la un cerc dat care trece printr-un
punct dat, exterior cercului.
Construct ¸ia 1.21. S˘a se construiasc ˘a tangentele comune la dou ˘a cercuri date.
1.5 Metodica rezolv ˘arii problemelor de construct ¸ii geometrice
Pentru rezolvarea unui anumit tip de probleme este necesar, mai ˆıntˆai, s˘a se elaboreze
o schem ˘a de rezolvare a problemelor respective. O posibil ˘a modalitate de abordare a
problemelor de construct ¸ii geometrice ar putea fi urm ˘atoarea:
1. Stabilim mai ˆıntˆai un num ˘ar (finit) de cazuri care s ˘a epuizeze toate posibilit ˘at ¸ile
de alegere a datelor problemei.
2. Pentru fiecare dintre cazuri stabilim dac ˘a problema are solut ¸ii s ¸i, ˆın caz afirmativ,
stabilim num ˘arul lor.
3. Pentru fiecare caz c ˆand problema are solut ¸ii, indic ˘am o modalitate de determinare
(cu ajutorul instrumentelor selectate) a fiec ˘arei dintre solut ¸iile posibile sau stabilim
c˘a solut ¸ia nu poate fi obt ¸inut ˘a cu ajutorul instrumentelor selectate.
Experient ¸a a demonstrat c ˘a acest “algoritm” nu este cel mai eficient s ¸i s-a optat pentru un
altul, care se bazeaz ˘a,ˆın fapt, pe metodele generale de rezolvare a problemelor de ma-
tematic ˘a. Conform acestei abord ˘ari, rezolvarea unei probleme de construct ¸ii geometrice
se face, ˆın general, ˆın urm ˘atorii pas ¸i:
1. analiza;
2. construct ¸ia;
3. demonstrat ¸ia;
4. discut ¸ia.
V om explica acum, r ˆand pe r ˆand, semnificat ¸ia acestor patru pas ¸i.
1.5. Metodica rezolv ˘arii problemelor de construct ¸ii geometrice 27
1.5.1 Analiza
Acest pas este unul preg ˘atitor s ¸i el ne permite stabilirea unor dependent ¸e ˆıntre figura dat ˘a
s ¸i cea c ˘autat ˘a care s ˘a ne conduc ˘a la stabilirea unui mod de construire a figurii c ˘autate.
Se construies ¸te, mai ˆıntˆai, cu aproximat ¸ie, figura c ˘autat ˘a. (Sintagma ce se utilizeaz ˘a,ˆın
astfel de situat ¸ii, este: “Presupunem figura deja construit ˘a”). Eventual, la nevoie, se pot
face s ¸i construct ¸ii ajut ˘atoare.
S˘a presupunem, de exemplu, c ˘a trebuie s ˘a construim un triunghi la care se cunoas ¸te o
latur ˘a s ¸i mediana s ¸i ˆın˘alt ¸imea care ˆıi corespund (vezi figura 1.10). Consider ˆand figura au-
xiliar ˘a, remarc ˘am imediat c ˘a triunghiulABC este us ¸or de construit dac ˘a putem construi
triunghiulBDE . Dar triunghiul BDE este un triunghi dreptunghic la care se cunoas ¸te
ipotenuzams ¸i catetah, problem ˘a care se presupune rezolvat ˘a (problema elementar ˘a
12.).
A D E CB
mh
Figura 1.10
Este util s ˘a avem ˆın vedere urm ˘atoarele observat ¸ii, utile pentru analiza problemei.
1) Dac ˘a pe desenul auxiliar pe care l-am f ˘acut nu vedem leg ˘aturi evidente ˆıntre elemen-
tele date s ¸i cele ce trebuie construite, care s ˘a ne ajute efectiv la rezolvarea problemei,
putem s ˘a facem construct ¸ii auxiliare: dac ˘a printre elementele date sunt puncte, putem
s˘a le unim prin drepte s ¸i s ˘a c˘aut˘am punctele de intersect ¸ie ale acestor drepte, dac ˘a se
dau segmente putem, iar ˘as ¸i, s ˘a le prelungim s ¸i s ˘a c˘aut˘am punctele de intersect ¸ie ale
dreptelor corespunz ˘atoare, etc. Uneori este util s ˘a ducem paralele la dreptele date sau
perpendiculare pe ele.
S˘a presupunem, de exemplu, c ˘a trebuie s ˘a construim o dreapt ˘a care trece printr-un
punct datAs ¸i este egal dep ˘artat˘a de dou ˘a puncte date, Bs ¸iC(vezi figura 1.11).
Este comod s ˘aˆıncepem prin desenarea figurii cerute: construim, mai ˆıntˆai, o dreapt ˘a
a, pe ea alegem un punct As ¸i, la distant ¸e egale de dreapta a, de-o parte s ¸i de alta
28 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
a sa, alegem punctele Bs ¸iC. Nu apare, ˆınc˘a, pe desen, nici o conexiune care s ˘a
ne permit ˘a s˘a rezolv ˘am problema. Cobor ˆam perpendicularele BB1s ¸iCC1dinBs ¸i
Cpea(B1;C12a), construim segmentul BC s ¸i punctulMˆın care acest segment
intersecteaz ˘a dreaptaa. Este us ¸or de verificat c ˘a punctulMeste mijlocul segmentului
BC, s ¸i de aici rezult ˘a modul de realizare a construct ¸iei.
a A
B1MC1
CB
Figura 1.11
2) Dac ˘aˆın enunt ¸ul problemei se d ˘a suma sau diferent ¸a a dou ˘a segmente de dreapt ˘a sau
dou˘a unghiuri, acestea trebuie reprezentate pe desenul auxiliar, dac ˘a nu cumva deja
sunt prezente.
S˘a presupunem, de exemplu, c ˘a ni se cere s ˘a construim un triunghi dreptunghic, ˆın
care se cere un unghi ascut ¸it s ¸i suma catetelor (vezi figura 1.12). Desen ˘am un triunghi
dreptunghic oarecare, ABC . Prin ipotez ˘a, se dau: s ¸i un segment de lungime m.
D45
CAcB
Figura 1.12
TriunghiulABC c˘autat trebuie s ˘a verifice condit ¸iile: AD ,ACCCBDm,
CD90. Pentru a introduce ˆın desen segmentul de lungime mplas˘am, pe pre-
lungirea laturii AC, segmentulCDDBC; atunciADDm. TriunghiulADB este
us ¸or de construit, deoarece ˆın el sunt cunoscute: latura ADDms ¸i dou ˘a unghiuri:
1.5. Metodica rezolv ˘arii problemelor de construct ¸ii geometrice 29
AD s ¸iDD45(problema elementar ˘a 8). Dup ˘a construirea triunghiului
ADB , construirea triunghiului cerut ˆın problem ˘a se reduce la problema elementar ˘a
4.
3) Un alt lucru pe care este bine s ˘aˆıl facem ˆın timpul analizei este s ˘a ne reamintim teo-
reme s ¸i probleme de construct ¸ii rezolvate de noi mai ˆınainte s ¸i care sunt asem ˘an˘atoare
cu problema curent ˘a.
1.5.2 Construct ¸ia
Aceast ˘a etap ˘a a rezolv ˘arii este momentul culminant, deoarece acum se realizeaz ˘a, efec-
tiv, construct ¸ia, folosindu-se construct ¸iile fundamentale s ¸i cele elementare, ment ¸ionate
mai devreme. V om ilustra aceast ˘a etap ˘a printr-o problem ˘a cunoscut ˘a din s ¸coal ˘a, aceea a
construirii cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi dat.
Dup˘a cum se s ¸tie, centrul cercului ˆınscris se afl ˘aˆın punctul de intersect ¸ie a bisectoa-
relor triunghiului. Prin urmare, construct ¸ia va consta din urm ˘atorii pas ¸i:
1) Se construiesc bisectoarele a dou ˘a unghiuri ale triunghiului ABC (problema elemen-
tar˘a 5).
2) Se construies ¸te punctul de intersect ¸ie, Ia celor dou ˘a bisectoare (construct ¸ia fun-
damental ˘a 6).
3) Se construies ¸te perpendiculara cobor ˆat˘a dinIpe laturaAB(construct ¸ia elementar ˘a
4).
4) Se construies ¸te piciorul Mal perpendicularei de la punctul precedent (construct ¸ia
fundamental ˘a 6).
5) Se construies ¸te cercul de centru Is ¸i de raz ˘aIM (cercul ˆınscris ˆın triunghiulABC ,
construct ¸ia fundamental ˘a 4).
1.5.3 Demonstrat ¸ia
Rolul demonstrat ¸iei ˆın rezolvarea unei probleme de construct ¸ii geometrice este acela de
a stabili faptul c ˘a figura pe care am construit-o ˆındeplines ¸te, ˆıntr-adev ˘ar, toate condit ¸iile
din enunt ¸ul problemei.
ˆIn cazul construct ¸iei cercului ˆınscris ˆıntr-un triunghi, realizat ˘a mai sus, trebuie s ˘a
demonstr ˘am c ˘a cercul pe care l-am construit este, ˆıntr-adev ˘ar, cercul ˆınscris ˆın triunghiul
dat. Pentru aceasta, remarc ˘am,ˆınainte de toate, c ˘a cercul de centru Is ¸i de raz ˘aIM
este tangent dreptei AB, deoarece dreapta este perpendicular ˘a pe razaIMa cercului. ˆIn
plus, este clar c ˘a raza cercului este egal ˘a cu distant ¸a de la Ila laturaABa triunghiului
ABC .
30 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
Remarc ˘am,ˆın continuare, c ˘a centrulIal cercului este egal dep ˘artat de cele trei laturi
ale triunghiului ABC , deoarece se afl ˘a la intersect ¸ia celor trei bisectoare interioare ale
triunghiului. Prin urmare, distant ¸a de la centrul cercului p ˆan˘a la laturileACs ¸iBC este
egal˘a, de asemenea, cu raza cercului construit. Deci, dac ˘a ducem prin Iperpendicularele
pe aceste laturi, picioarele acestor perpendiculare se afl ˘a pe cerc. Asta ˆınseamn ˘a c˘a
drepteleACs ¸iBCsunt tangente la cerc, deci demonstrat ¸ia este ˆıncheiat ˘a.
1.5.4 Discut ¸ia
Atunci c ˆand facem construct ¸ia, de regul ˘a de restr ˆangem la o singur ˘asolut ¸ie s ¸i presupu-
nem c ˘a tot ¸i pas ¸ii construct ¸iei se pot realiza. De multe ori, ˆıns˘a,ˆın practic ˘a lucrurile nu
stau chiar as ¸a. De aceea, pentru ca solut ¸ia s ˘a fie complet ˘a, trebuie s ˘a facem o discut ¸ie
cae s ˘a acopere aspectele de mai jos.
1)ˆInainte de toate, trebuie s ˘a stabilim dac ˘a pentru orice date init ¸iale construct ¸ia este
posibil ˘a, cu instrumentele alse s ¸i prin metoda aleas ˘a.
2)ˆIn cazul ˆın care, pentru anumite date init ¸iale, problema nu se poate rezolva prin me-
toda aleas ˘a, se poate rezolva prin alt ˘a metod ˘a, cu acelas ¸i set de instrumente?
3) C ˆate solut ¸ii exist ˘a pentru o anumit ˘a alegere a datelor init ¸iale?
V om vedea, ˆın solut ¸iile problemelor de mai jos cum se procedeaz ˘aˆın cazuri concrete.
1.6 Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate
Problema 1. S˘a se construiasc ˘a un triunghi dac ˘a se dau: o latur ˘a s ¸i medianele cores-
punz ˘atoare celorlalte dou ˘a laturi.
Solut ¸ie. Analiza. Presupunem c ˘a triunghiulABC este cel c ˘autat (vezi figura 1.13).
ABeste latura dat ˘a, iarAM1s ¸iBM2sunt medianele date, iar Geste punctul de intersect ¸ie
a medianelor (i.e. centrul de greutate). Prin ipotez ˘a, ni se dau trei segmente de lungime
c;m1;m2astfel ˆıncˆatABDc;AM1Dm1s ¸iBM2Dm2. Construct ¸ia triunghiului
ABC se reduce la construct ¸ia a trei puncte – v ˆarfurile triunghiului. Cum latura ABeste
dat˘a, dou ˘a dintre v ˆarfurile triunghiului sunt deja construite, deci mai r ˘amˆane de construit
doar v ˆarfulC. Pe de alt ˘a parte,fCgDAM2\BM1, deci problema este rezolvat ˘a dac ˘a
sunt construite punctele M1s ¸iM2.
PuncteleM1s ¸iM2se afl ˘a pe semidreptele AG, respectivBG, iar punctul M1se
afl˘a la distant ¸am1deA,ˆın timp ce punctul M2se afl ˘a la distant ¸am2deB. As ¸a st ˆand
lucrurile, rezolvarea problemei se reduce la construirea punctului G. PunctulGeste al
treile v ˆarf al triunghiului ABG s ¸i se poate construi ( As ¸iBfiind date), ˆıntruc ˆatAGD
2
3m1, iarBGD2
3m2, adic ˘a toate laturile triunghiului ABG sunt cunoscute.
Construct ¸ia. Construim succesiv:
1.6. Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate 31
A BcM1
GM2C
Figura 1.13
1) segmentul AB, de lungime dat ˘ac(problema elementar ˘a 1);
2) segmentul r1de lungime2
3m1;
3) segmentul r2de lungime2
3m2;
4) triunghiul ABG , de laturi de lungimi egale, respectiv, cu c;r1;r2(problema elemen-
tar˘a 7);
5) semidreptele AGs ¸iBG(construct ¸ia fundamental ˘a 3);
6) punctulM1pe semidreapta APastfel ˆıncˆatAM1Dm1(problema elementar ˘a 1);
7) punctulM2pe semidreapta BPastfel ˆıncˆatBM2Dm2(problema elementar ˘a 1);
8) punctulCDAM2\BM1.
Demonstrat ¸ia. Din construct ¸ie nu rezult ˘a,ˆın mod explicit, un singur lucru:
faptul c ˘aAM1s ¸iBM2sunt, ˆıntr-adev ˘ar,medianele triunghiuluiABC construit de noi.
Pentru asta este suficient s ˘a demonstr ˘am c ˘a punctulM1este mijlocul segmentului BC,
ˆın timp ce punctul M2este mijlocul segmentului AC.
Not˘am cuN1mijlocul segmentului APs ¸i cuN2– mijlocul segmentului BP. Atunci
patrulaterulM1M2N1N2este un paralelogram, deoarece diagonalele sale se ˆınjum ˘at˘at ¸esc
(vezi figura 1.14). As ¸adar, segmentele de dreapt ˘aM1M2s ¸iN1N2sunt egale s ¸i paralele.
Pe de alt ˘a parte, segmentul N1N2este linie mijlocie ˆın triunghiul ABP , ceea ce
ˆınseamn ˘a c˘aN1N2kABs ¸iN1N2D1
2AB. Din cele spuse de mai sus rezult ˘a, atunci,
c˘a avem s ¸iM1M2kABs ¸iM1M2D1
2AB. Dar asta ˆınseamn ˘a c˘aM1M2este linie
mijlocie ˆın triunghiulABC , adic ˘aAM1s ¸iBM2sunt mediane ˆın triunghiulABC .
32 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
AcCN2 N1PM2 M1C
Figura 1.14
Discut ¸ia. De regul ˘a, cˆand facem discut ¸ia unei solut ¸ii a unei probleme de construct ¸ii
geometrice, ne ˆıntoarcem la realizarea construct ¸iei, examin ˘am pas ¸ii pe care i-am f ˘acut s ¸i
ˆıncerc ˘am s ˘a identific ˘am locurile unde ar putea exista probleme. Acestea sunt legate de
construct ¸iile care nu se pot realiza ˆıntotdeauna.
ˆIn cazul nostru concret, construct ¸iile 1), 2) s ¸i 3) se pot realiza, ˆın mod evident, tot-
deauna. ˆIn ceea ce prives ¸te construct ¸ia 4), trebuie s ˘a impunem nis ¸te restrict ¸ii. Astfel, ˆın
acest caz, trebuie s ˘a construim triunghiul ABP , ale c ˘arui laturi au lungimile ABDc,
APD2
3m1,BPD2
3m2. Pentru ca acest triunghi s ˘a poat ˘a fi construit, este necesar s ¸i
suficient ca aceste lungimi s ˘a verifice inegalit ˘at ¸ile triunghiului, care, ˆın cazul nostru, se
pot sintetiza prin
2
3jm1 m2j<c<2
3.m1Cm2/: (1.1)
Prin urmare triunghiul ABP exist ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a este verificat ˘a dubla inegalitate
de mai sus.
Mai departe, construct ¸iile de la punctele 5), 6) s ¸i 7) sunt, de asemenea, ˆın mod
evident, posibile pentru orice date init ¸iale.
Mai avem de verificat cazul construct ¸iei 8). Aceasta ˆınseamn ˘a s˘a vedem dac ˘a drep-
teleAM2s ¸iBM1se intersecteaz ˘a pentru orice date init ¸iale, iar intersect ¸ia se afl ˘a de
aceeas ¸i parte a dreptei ABca s ¸i punctul P(admit ¸ ˆand c ˘a acesta exist ˘a).
S˘a presupunem c ˘a drepteleAM2s ¸iBM1ar fi paralele. Atunci segmentele paralele
ABs ¸iM2M1cuprinse ˆıntre cele dou ˘a drepte paralele ar fi egale. Dar noi am demonstrat
c˘aM2M1D1
2AB, deci ajungem la o contradict ¸ie.
Dac˘a,ˆın schimb, dreptele AM2s ¸iBM1s-ar intersecta, dar de cealalt ˘a parte a dreptei
AB, relativ la punctul P, atunci segmentul ABar fi mai mic dec ˆat segmentul M2M1,
ceea ce ne-ar conduce, din nou, la o contradict ¸ie.
1.6. Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate 33
Prin urmare, singura restrict ¸ie pentru realizarea construct ¸iei este cea de la construct ¸ia
4). Deci, triunghiul ABC exist ˘a s ¸i se poate construi cu rigla s ¸i compasul dac ˘a s ¸i numai
dac˘a este ˆındeplinit ˘a condit ¸ia (1.1).
Observat ¸ia 1.Discut ¸ia, as ¸a cum am f ˘acut-o, nu este, propriu-zis, complet ˘a. Ar mai
r˘amˆane de demonstrat c ˘a solut ¸ia este unic ˘a, mai precis, p ˆan˘a la urm ˘a, c˘a o latur ˘a s ¸i
medianele ce pleac ˘a din cele dou ˘a capete ale sale determin ˘aˆın mod unic triunghiul.
L˘as˘am pe seama cititorului s ˘a verifice acest fapt.
Problema 2. Dou˘a drepte,as ¸ib, intersecteaz ˘a o a treia dreapt ˘a, fie eac. S˘a se con-
struiasc ˘a un segment de lungime egal ˘a cu o lungime dat ˘al, astfel ˆıncˆat segmentul s ˘a fie
paralel cu dreapta cs ¸i s˘a aib ˘a un cap ˘at pe dreapta a, iar cel ˘alalt pe dreapta b.
Solut ¸ie. Analiza. FieAB segmentul c ˘autat (vezi figura 1.15). Asta ˆınseamn ˘a c˘a
ABDl,ABkc,A2a;B2b.
cA
Q
MPBNba
l
Figura 1.15
Pentru evident ¸ierea leg ˘aturilor dintre elementele date s ¸i cele c ˘autate, vom face, mai
ˆıntˆai, nis ¸te construct ¸ii suplimentare.
Astfel, fiePDc\b. DucemAMkbs ¸i fieQDAM\c. AtunciPQD
ABDl, deoarece patrulaterul ABPQ este un paralelogram. As ¸adar, pentru construirea
segmentuluiABeste suficient s ˘a determin ˘am pozit ¸ia punctului A, care ne conduce apoi
la construirea punctului Q, care dup ˘a cum vom vedea, nu este dificil ˘a.
Construct ¸ia. Construct ¸ia decurge ˆın modul urm ˘ator:
1) Construim punctul PDb\c(construct ¸ia fundamental ˘a 6.).
2) Pe dreapta cconstruim un punct Qastfel ˆıncˆat s˘a avemPQDl(problema elemen-
tar˘a 1.).
3) Construim dreapta QMkb(problema elementar ˘a 1.).
4) Construim punctul ADQM\a(construct ¸ia fundamental ˘a 6.).
34 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
5) Construim dreapta ANkc(problema elementar ˘a 11.).
6) Construim punctul BDAN\b.
SegmentulABeste segmentul c ˘autat.
Demonstrat ¸ia. Din construct ¸ie se observ ˘a c˘aA2a,B2bs ¸iABkc.ˆIn plus,
ABDPQDl, ca laturi opuse ale unui paralelogram.
Discut ¸ia. PunctulPexist ˘a, deoarece, din ipotez ˘a, dreaptacse intersecteaz ˘a cu
dreaptab. De aceea, construct ¸ia 1) este, ˆıntotdeauna, posibil ˘a (vezi figura 1.16).
acA
Q
Mb
B0A0
B
P Q0
M0
Figura 1.16
Construct ¸ia 2) este, de asemenea, totdeauna posibil ˘a s ¸i ne d ˘a dou ˘a puncte,Qs ¸i
Q0, situate de o parte s ¸i de alta a punctului P, pe dreaptac. Construct ¸ia 3) este, de
asemenea, ˆıntotdeauna realizabil ˘a s ¸i are o singur ˘a solut ¸ie, at ˆat pentru punctul Q, cˆat s ¸i
pentru punctul Q0.
Mai departe, avem trei situat ¸ii posibile:
a)QM (deci s ¸iQ0M0) intersecteaz ˘a dreaptaa(vezi figura 1.16);
b)QM (deci s ¸iQ0M0) este paralel ˘a dreaptaa(vezi figura 1.17);
c) una dintre dreptele QM sauQ0M0coincide cu dreapta a.
Cazul a) are loc, ˆın mod evident, dac ˘a drepteleas ¸ibse intersecteaz ˘a. Atunci
construct ¸iile 4)–6) se pot realiza ˆın mod unic at ˆat pentru punctul Q, cˆat s ¸i pentru punctul
Q0. Problema are, deci, ˆın acest caz, dou ˘a solut ¸ii.
Cazul b) are loc atunci c ˆandakb. Aici avem dou ˘a variante: fie PQDl(adic ˘a
Q2b) s ¸i atunci avem o infinitate de solut ¸ii (orice dreapt ˘a paralel ˘a cucva intersecta
as ¸ibˆın dou ˘a puncte care ne furnizeaz ˘a o solut ¸ie a problemei), fie Q
b, s ¸i atunci nu
avem nici o solut ¸ie.
1.6. Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate 35
cbMaM0
Qll
PQ0
Figura 1.17
DE CONTINUAT AICI
Problema 3. S˘a se construiasc ˘a un triunghi dac ˘a se cunosc2bisectoarea, mediana s ¸i
ˆın˘alt ¸imea care pleac ˘a dintr-un acelas ¸i v ˆarf.
Solut ¸ie. Analiza. FieABC triunghiul c ˘autat (vezi figura 1.18), AHDhA–ˆın˘alt ¸imea
cobor ˆat˘a dinA,AMDmA– mediana din As ¸iADDbA– bisectoarea unghiului1BAC .
Consider ˘am, de asemenea, cercul !, circumscris triunghiului ABC . FieOcentrul s ˘au.
Atunci dreapta OM este perpendicular ˘a pe coardaBCs ¸i, de aceea, ˆımparte ˆın dou ˘a
p˘art ¸i egale fiecare dintre cele dou ˘a arce de cerc determinate de aceast ˘a dreapt ˘a. Dar
bisectoareaADde asemenea ˆımparte ˆın dou ˘a p˘art ¸i egale arcul de pe cercul !pe care se
sprijin ˘a unghiul1BAC . De aceea, dreapta OM s ¸i bisectoarea ADse intersecteaz ˘aˆıntr-un
punctPde pe cercul circumscris triunghiului ABC . Mai remarc ˘am c ˘a perpendiculara
dinOpeAPtrece prin mijlocul Sal segmentului AP.
Construct ¸ia. ˆIncepem prin a construi triunghiul dreptungic AHD ,ˆın care
cunoas ¸tem ipotenuza ADDbAs ¸i catetaAHDhA. Pe semidreapta HD construim
punctulM, intersec ˆand cercul!.A;mA/cu dreaptaDH. Not ˘am cuPpunctul de
intersect ¸ie dintre dreapta ADs ¸i perpendiculara ˆınMpe dreaptaDH. Construim centrul
Oal centrului circumscris !ca intersect ¸ie dintre dreapta MP s ¸i mediatoarea segmentu-
luiAP.
PuncteleBs ¸iCse determin ˘a intersect ˆand dreaptaDH cu cercul!!.O;OA/ .
Demonstrat ¸ie. SegmentulAH esteˆın˘alt ¸ime a triunghiului ABC , din construct ¸ia
triunghiului dreptunghic AHD , cu unghiul drept ˆınH. Prin urmare, dreptele AH s ¸i
DHBC sunt perpendiculare. Punctul Meste mijlocul segmentului BC, deoarece
este punctul de intersect ¸ie dintre coarda BC s ¸i un diametru al cercului circumscris per-
pendicular pe ea. ˆIntruc ˆat punctulPeste mijlocul arcului BPC , unghiurile ˆınscrise1BAP s ¸i1CAP sunt egale ˆıntre ele, astfel c ˘aADeste bisectoarea unghiului A.
2ca lungimi de segmente!
36 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
!A
AMD
HC
O
S
P
Figura 1.18
Discut ¸ie. O condit ¸ie necesar ˘a pentru rezolvabilitatea problemei este dubla ine-
galitate:
mAbAhA;
ˆıntruc ˆat,ˆıntr-un triunghi, fie bisectoarea este situat ˘aˆıntre median ˘a s ¸iˆın˘alt ¸ime, fie cele trei
linii coincid3. Dac ˘amADbADhA, atunci problema const ˘aˆın construirea unui triunghi
isoscel cunosc ˆandˆın˘alt ¸imea care pleac ˘a din v ˘arful ˆın care se intersecteaz ˘a laturile egale.
ˆIn mod evident, aceast ˘a problem ˘a este nedeterminat ˘a (are o infinitate de solut ¸ii!), iar
construirea unei solut ¸ii particulare este absolut trivial ˘a. De aceea, de acum ˆıncolo vom
considera c ˘a suntem ˆın situat ¸ia ˆın care e valabil ˘a dubla inegalitate:
mA>bA>hA
s ¸i discut ˘am construct ¸ia de mai sus.
TriunghiulADH se poate construi s ¸i este unic determinat de datele problemei. Cer-
cul!.A;mA/se intersecteaz ˘a cu dreaptaHD ˆın punctulM, deoarecemA>hA.
PunctulPexist ˘a s ¸i este unic determinat, ca intersect ¸ie dintre o perpendicular ˘a s ¸i
o oblic ˘a pe aceeas ¸i dreapt ˘a. DreaptaAPnu este perpendicular ˘a peMP, deoarece ea
nu este paralel ˘a cuDH; de aceea, perpendiculara pe segmentul AP se intersecteaz ˘a
ˆıntotdeauna cu MP, adic ˘a centrul cercului circumscris exist ˘a s ¸i este determinat ˆın mod
unic prin construct ¸ie. Dreapta DH se intersecteaz ˘a cu cercul!ˆın dou ˘a puncte, fie ele
3Demonstrat ¸i acest fapt!
1.6. Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate 37
Bs ¸iC,ˆıntruc ˆat trece prin punctul D, care este interior acestui cerc. Astfel, modalitatea
de construct ¸ie descris ˘a conduce ˆıntotdeauna la o solut ¸ie.
O alt ˘a modalitate de construct ¸ie nu poate furniza o nou ˘a solut ¸ie. ˆIntr-adev ˘ar, dac ˘a se
obt ¸ine un alt triunghi ABC , este us ¸or de demonstrat c ˘a el este egal cu cel construit mai
sus4.
Problema 4. S˘a se construiasc ˘a un triunghiABC dac˘a se dau ˆın˘alt ¸imile corespunz ˘atoare
a dou ˘a vˆarfuri,hBs ¸ihC, precum s ¸i mediana coresounz ˘atoare celui de-al treilea v ˆarf,mA.
Solut ¸ie. Analiza. FieABC triunghiul c ˘autat (vezi figura 1.19), ADDmA– me-
diana sa care pleac ˘a din v ˆarfulA,BLDhBs ¸iCHDhC–ˆın˘alt ¸imile care pleac ˘a din
vˆarfurileB, respectivC. Construirea triunghiului ABC ar deveni mult mai simpl ˘a dac ˘a
am reus ¸i s ˘a determin ˘am unghiul1BAC . Dar
]BACD]CADC]BAD:
AL FCDHB
Figura 1.19
DucemDF?AC. Atunci devine evident c ˘a unghiulCAD este us ¸or de determinat
prin construirea triunghiului dreptunghic AFD ,ˆın care se cunosc ipotenuza ADDmA
s ¸i catetaDFD1
2hB.ˆIn mod analog se determin ˘a s ¸i unghiul1BAD .
Construct ¸ia. (vezi figura 1.20)
1) Construim triunghiul dreptunghic ADF , cu ipotenuza ADDmAs ¸i o catet ˘a egal ˘a
cuDFD1
2hB.
2) Construim triunghiul dreptunghic ADE , astfel ˆıncˆat puncteleEs ¸iFs˘a fie de p ˘art ¸i
diferite ale dreptei ADs ¸iDED1
2hC.
4Facet ¸i aceast ˘a demonstrat ¸ie! Trebuie ar ˘atat c ˘a dac ˘a pentru dou ˘a triunghiuri bisectoarea, mediana s ¸i
ˆın˘alt ¸imea care pleac ˘a din acelas ¸i v ˆarf au aceeas ¸i lungime (iar cele trei lungimi ale elementelor triunghiurilor
nu sunt egale ˆıntre ele), atunci triunghiurile sunt egale.
38 Capitolul 1. Generalit ˘at ¸i despre teoria construct ¸iilor geometrice
3) Pe semidreapta FDlu˘am un segment FKDhB.
4) Prin punctul Kducem o dreapt ˘a paralel ˘a cu dreaptaAFs ¸i not ˘am cuBpunctul de
intersect ¸ie dintre aceast ˘a dreapt ˘a s ¸i semidreapta AE.
5) Construim dreapta BD.
6) Not ˘am cuCpunctul de intersect ¸ie dintre dreptele BDs ¸iAF. TriunghiulABC este
triunghiul c ˘autat.
A
L FCDHEB K
Figura 1.20
Demonstrat ¸ia. Din egalitatea triunghiurilor DBK s ¸iCDF rezult ˘a c˘aBDD
DC, adic ˘aAD este median ˘a.ADDmA, din construct ¸ie. Cobor ˆam dinBperpendi-
cularaBLpeAF. AtunciBLDKFDhB. FieCH?AB.ˆIn triunghiul CHB ,
segmentulDEeste linie mijlocie. De aceea, CHD2DEDhC,ˆıntruc ˆatDED1
2hC,
prin construct ¸ie. Discut ¸ia. Primul pas al construct ¸iei de mai sus este ˆıntotdeauna
posibil ˘a s ¸i furnizeaz ˘a o solut ¸ie unic ˘a dac ˘amA>1
2hB, al doilea – dac ˘amA>1
2hC.
Pas ¸ii 3, 4, 5, 6 sunt t ¸ntotdeauna posibili. Astfel, algoritmul de ma sus ne furnizeaz ˘a
o solut ¸ie unic ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a sunt ˆındeplinite simultan inegalit ˘at ¸ilehB< 2mA
s ¸ihC< 2mA. Dac ˘a m˘acar una dintre aceste inegalit ˘at ¸i nu este verificat ˘a, nu exist ˘a
solut ¸ie.
CAPITOLUL 2
Rezolvarea problemelor de construct ¸ii folosind intersect ¸ii de
locuri geometrice
2.1 Not ¸iunea de loc geometric
O figur ˘a geometric ˘a se poate da ˆın mai multe moduri diferite: ca intersect ¸ie, reuniune,
diferent ¸ ˘a a altor figuri, prin indicarea anumitor propriet ˘at ¸i pe care trebuie s ˘a le verifice
punctele sale, etc. Astfel, de exemplu, acelas ¸i segment ABse poate da:
1) ca intersect ¸ie a dou ˘a semidrepte de sensuri opuse, AM s ¸iBN, de pe dreapta AB;
2) ca diametru al unui cerc !dat, perpendicular pe o coard ˘al;
3) ca mult ¸imea mijloacelor coardelor cercului !paralele cu o dreapt ˘a dat ˘a
sauˆın alte moduri.
Dac˘a o figur ˘a este dat ˘a prin indicarea unei propriet ˘at ¸i pe care trebuie s ˘a le aib ˘a punc-
tele unei figuri s ¸i numai ele, se numes ¸te locul geometric al punctelor care verific ˘a aceast ˘a
proprietate.
ˆIn cazul nostru concret, segmentul ABeste locul geometric al mijloacelor cercului
!, paralele cu dreapta l.
Proprietatea prin care se caracterizeaz ˘a un loc geometric se numes ¸te proprietatea
caracteristic ˘aa locului geometric cu pricina.
Foarte des se ˆıntˆampl ˘a ca unele figuri noi s ˘a se introduc ˘a tocmai ca locuri geometrice.
Este cazul cercului, de exemplu, ˆın cursul de geometrie elementar ˘a sau al conicelor ˆın
geometria analitic ˘a.
39
40 Capitolul 2. Locuri geometrice
Pentru a demonstra c ˘a o figur ˘aFeste locul geometric al punctelor care verific ˘a o
anumit ˘a proprietate, trebuie s ˘a demonstr ˘am dou ˘a afirmat ¸ii, una fiind reciproca celeilalte,
anume c ˘a:
1) fiecare punct al figurii Fverific ˘a proprietatea cerut ˘a;
2) orice punct care ˆındeplines ¸te proprietatea cu pricina apart ¸ine figurii F.
Consider ˘am,ˆın cele ce urmeaz ˘a, cˆateva exemple de locuri geometrice.
Exemplul 2.1.1. Se dau dou ˘a drepte paralele as ¸ibs ¸i o dreapt ˘ac, perpendicular ˘a pe ele.
Se cere s ˘a se determine locul geometric al punctelor egal dep ˘artate de cele trei drepte
(vezi figura 2.1).
a Ac
lN
P QM
b
B
Figura 2.1
Solut ¸ie. FiefAgDa\cs ¸ifBgDb\c. Duc ˆand prin mijlocul segmentului ABo
dreapt ˘al, paralel ˘a cuas ¸ib, s ¸i lu ˆand pe ea punctele Ps ¸iQ, situate de o parte s ¸i de
alta a dreptei c, l o distant ¸ ˘a egal ˘a cu1
2ABde ea, este us ¸or de observat c ˘a fiecare dintre
punctelePs ¸iQeste egal dep ˘artat de dreptele a,bs ¸ic.
Nu exist ˘a alte puncte ale planului care s ˘a verifice aceast ˘a proprietate. ˆIntr-adev ˘ar,
dac˘aMeste un punct care nu apart ¸ine dreptei l, atunci el nu este egal dep ˘artat de dreptele
as ¸ib; dac ˘aneste un punct de pe dreapta l, diferit de punctele Ps ¸iQ, atunci nu e greu
de constatat c ˘a el nu este egal dep ˘artat, de exemplu, de dreptele as ¸ic. Astfel,Ps ¸iQ
formeaz ˘a locul geometric al punctelor din plan care sunt egal dep ˘artate de dreptele a;b
s ¸ic.
2.1. Not ¸iunea de loc geometric 41
Exemplul 2.1.2. S˘a se determine locul geometric al punctelor din plan pentru care suma
distant ¸elor la dou ˘a drepte paralele date este egal ˘a cu lungimea unui segment dat.
Solut ¸ie. Fieas ¸ibdreptele paralele date, h– distant ¸a dintre ele s ¸i s– lungimea segmen-
tului dat. Remarc ˘am,ˆınainte de toate, c ˘a pentru orice punct M, situat pe oricare dintre
cele dou ˘a drepte, dar s ¸i pentru orice punct N, situat ˆın interiorul benzii dintre cele dou ˘a
drepte, suma distant ¸elor p ˆan˘a la cele dou ˘a drepte este egal ˘a cuh(vezi figura 2.2). Pentru
restul punctelor planului (de exemplu, pentru un punct Psituat mai jos de dreapta a)
aceast ˘a sum ˘a este mai mare dec ˘ath. De aici rezult ˘a c˘a:
1) dac ˘as<h , atunci locul geometric c ˘autat este lungimea vid ˘a;
2) dac ˘asDh, atunci locul geometri c ˘autat este format din cele dou ˘a drepte date s ¸i
banda dintre ele;
3) mai r ˘amˆane de examinat cazul s>h .
b
ah
PM
N
Figura 2.2
Fieas ¸ia0o pereche de drepte paralele cu cele date, ambele drepte fiind situate ˆın
afara benzii determinate de dreptele as ¸ib(vezi figura 2.3). Pentru fixarea ideilor, vom
considera c ˘a dreaptaa0se afl ˘a dincolo de dreapta a, iar dreaptab0– dincolo de dreapta
b, iar distant ¸a dintre a0s ¸iaeste egal ˘a cu distant ¸a dintre b0s ¸ib, este egal ˘a cus h
2.
V om demonstra c ˘a locul geometric c ˘autat este aceast ˘a pereche de drepte.
Astfel, fiePun punct de pe una dintre dreptele a0saub0(de exemplu, pe a0). Atunci
suma distant ¸elor de la punctul Ppˆan˘a la drepteleas ¸ibeste
PP1CPP2Ds h
2Cs h
2Ch
Ds:
Fie acumQun punct al planului, care nu apart ¸ine dreptei a0, nici dreptei b0. V om
demonstra c ˘a suma distant ¸elor de la acest punct la dreptele as ¸ibnu este egal ˘a cus. Dac ˘a
42 Capitolul 2. Locuri geometrice
a0
a
b
b0hmP
P1
P2s h
2Q
s h
2
Figura 2.3
Qse afl ˘aˆın banda dintre dreptele date sau pe una dintre ele, atunci suma distant ¸elor sale
pˆan˘a laas ¸ibeste egal ˘a cuhs ¸i, prin urmare, este strict mai mic dec ˘ats. S˘a presupunem
acum c ˘aQse afl ˘aˆın exteriorul benzii determinate de dreptele as ¸ib. Pentru fixarea
ideilor, presupunem c ˘a punctulQeste de aceeas ¸i parte a benzii ca s ¸i dreapta a0. Dac ˘a
not˘am cumdistant ¸a de la punctul Qla dreaptaa, atunci
m¤s h
2:
Prin urmare, suma distant ¸elor de la punctul Qla drepteleas ¸ibeste egal ˘a cu
mC.mCh/D2mCh¤2s h
2Ch;
adic˘a aceast ˘a sum ˘a nu este egal ˘a cus. Astfel, am demonstrat c ˘a reuniunea dreptelor a0
s ¸ib0este locul geometric c ˘autat.
Urmeaz ˘a acum o problem ˘a de loc geometric pe care o vom rezolva cu ajutorul geo-
metriei analitice.
Exemplul 2.1.3. Presupunem c ˘a planul este raportat la un sistem de coordonate rectan-
gularxOy . S˘a se determine locul geometric al punctelor din plan ale c ˘aror coordonate
verific ˘a ecuat ¸ia
sin2.x/Ccos2.y/D1: (2.1)
Solut ¸ie. ˆInlocuind sin2.x/ cu1 cos2.x/ , obt ¸inem ecuat ¸ia mai simpl ˘a
cos2.x/Dcos2.y/
sau
1Ccos.2x/
2D1Ccos.2y/
2
2.2. O provizie de locuri geometrice 43
sau,ˆınc˘a,
cos.2x/Dcos.2y/:
Ultima ecuat ¸ie are solut ¸ia
yDxCn;
undeneste un num ˘arˆıntreg oarecare. Astfel, locul geometric al punctelor din plan ale
123
1 2 3 1 2 3
1
2
3xy
Figura 2.4
c˘aror coordonate verific ˘a ecuat ¸ia (2.1) este mult ¸imea tuturor dreptelor din plan care au
panta 1 sau 1s ¸i se intersecteaz ˘a cu axele de coordonate ˆın puncte de coordonate ˆıntregi
(vezi figura 2.4).
2.2 O provizie de locuri geometrice
Ca s ¸i ˆın cazul problemelor de construct ¸ii geometrice, rezolvarea unei probleme de construct ¸ii
geometrice este mult us ¸urat ˘a dac ˘a dispunem de o galerie de locuri geometrice “elemen-
tare”, care vor juca un rol important ˆın determinarea unor locuri geometrice mai compli-
cate. Nici aici, fires ¸te, nu exist ˘a nici un fel de consens ˆın ceea ce prives ¸te lista locurilor
geometrice elementare. Am ales, s ¸i de data aceasta, o list ˘a destul de cuprinz ˘atoare.
Locul geometric 2.1. Locul geometric al punctelor din plan situate la o distant ¸ ˘a dat ˘a,
r, fat ¸˘a de un punct dat, O, este cercul de centru Os ¸i de raz ˘ar.
44 Capitolul 2. Locuri geometrice
Locul geometric 2.2. Locul geometric al punctelor din plan egal dep ˘artate de dou ˘a
puncte date,As ¸iB, este mediatoarea segmentului AB, adic ˘a o dreapt ˘a perpendicular ˘a
pe dreaptaAB, care trece prin mijlocuul segmentului.
Locul geometric 2.3. FieAOB un unghi dat. Locul geometric al punctelor din in-
teriorul unghiului egal dep ˘artate de laturile unghiului este bisectoarea unghiului (ca
semidreapt ˘a).
Locul geometric 2.4. Fieas ¸ibdou˘a drepte concurente. Locul geometric al punctelor
din plan egal dep ˘artate de aceste dou ˘a drepte este format din bisectoarele unghiurilor
formate de cele dou ˘a drepte.
Locul geometric 2.5. Locul geometric al punctelor egal dep ˘artate de dou ˘a drepte pa-
raleleas ¸ibeste o dreapt ˘a paralel ˘a cu ele, situat ˘a la mijlocul distant ¸ei dintre as ¸ib.
Locul geometric 2.6. Locul geometric al punctelor situate la o distant ¸ ˘a dat ˘a,h, de o
dreapt ˘a dat ˘a,a, este format dintr-o pereche de drepte paralele cu a, situate la distant ¸a
hfat ¸˘a dea, de o parte s ¸i de alta a sa.
Locul geometric 2.7. Fieas ¸ibdou˘a drepte paralele date, iar ms ¸in– dou ˘a segmente
date. Locul geometric al punctelor pentru care raportul distant ¸elor la dreptele as ¸ib
estem=n este o pereche de drepte paralele cu as ¸ibcare ˆımpart distant ¸a de la alabˆın
raportulm=n (ˆın mod interior, respectiv exterior).
Demonstrat ¸ie. Fielocul geometric c ˘autat. Atunci
D
M d.M;a/
d.M;b/Dm
n
:
Ducem o dreapt ˘ac, perpendicular ˘a pe dreptele as ¸ib. FiefAgDa\cs ¸ifBgD
b\c. Construim punctele Ps ¸iQcare ˆımpart segmentul ABˆın raportulm=n , interior
s ¸i exterior:
AP
PBDm
n;AQ
QBDm
n:
Prin aceste puncte ducem paralelele ps ¸iqlaas ¸ib(P2p,Q2q). V om demonstra c ˘a
Dp[q:
1) FieMun punct al planului pentru care
d.M;a/
d.M;b/Dm
n:
DinMducem o perpendicular ˘aepe drepteleas ¸ibs ¸i fiefKgDe\as ¸ifLgDe\b.
AtunciAKDBL, ca segmente de pe drepte paralele cuprinse ˆıntre drepte paralele.
CumMK
MLDm
n;
2.2. O provizie de locuri geometrice 45
din propriet ˘at ¸ile proport ¸iilor deducem c ˘a
MK
MKCMLDm
mCn;MK
MK MLDm
m n
(am presupus c ˘am>n ).
Dac˘aMse afl ˘aˆın interiorul benzii determinate de dreptele paralele as ¸ib, atunci
MKCMLDKLDAB;
de undeMK
ABDm
mCn:
Analog, pentru punctul Pavem
PA
ABDm
mCn:
Din aceste dou ˘a egalit ˘at ¸i rezult ˘a c˘aMKDPA. Prin urmare, patrulaterul APMK este
un paralelogram, deoarece laturile sale opuse MK s ¸iPAsunt paralele s ¸i egale. De aceea,
PMkAK. Cum prin punctul Pse poate duce o singur ˘a paralel ˘a la dreaptaa, rezult ˘a
c˘a drepteleps ¸iPM coincid.
Dac˘a punctulMse afl ˘aˆın exteriorul benzii determinate de dreptele as ¸ib, atunci
MK MLDKLDAB;
de undeMK
ABDm
m n:
Pe de alt ˘a parte, avem
QA
ABDm
m n
s ¸i, de aceea,MKDQA, iar drepte
Locul geometric 2.8. FieAOB un unghi dat s ¸i m;n – dou ˘a segmente date. Locul
geometric al punctelor din interiorul unghiului pentru care raportul distant ¸elor p ˆan˘a
la laturile triunghiului este m=n este semidreapta OC, care trece print punctul Cdin
interiorul unghiului, pentru care distant ¸ele p ˆan˘a la semidreptele OAs ¸iOBsunt egale
cum, respectivn.
Locul geometric 2.9. Fieas ¸ibdou˘a drepte concurente date, iar ms ¸in– dou ˘a segmente
date. Locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distant ¸elor p ˆan˘a la
drepteleas ¸ibeste egal cum=n este format din dou ˘a drepte, care trec prin punctul
de intersect ¸ie a dreptelor as ¸ibs ¸i prin punctele din plan situate la distant ¸a mfat ¸˘a de
dreaptaas ¸i la distant ¸a nfat ¸˘a de dreaptab.
46 Capitolul 2. Locuri geometrice
Locul geometric 2.10. Fie!.O;r/ un cerc dat. Locul geometric al mijloacelor coar-
delor de lungime egal ˘a cu o lungime dat ˘a,a, este un cerc de centru Os ¸i de raz ˘a
r1Ds
r2 a2
4:
Locul geometric 2.11. Fie!.O;r/ un cerc dat s ¸i Aun punct dat de pe cerc. Locul
geometric al mijloacelor coardelor cercului care trec prin Aeste un cerc cu centrul ˆın
mijloculO1al segmentului OAs ¸i cu raza egal ˘a cu lungimea segmentului OO1.
Locul geometric 2.12. Fie!.O;r/ a cerc dat. Locul geometric al punctelor din plan
pentru care lungimile tangentelor duse din acele puncte la cercul dat sunt egale cu o
lungime dat ˘aa, este un cerc cu centrul ˆınOs ¸i de raz ˘a
r0Dp
a2Cr2:
Locul geometric 2.13. Fie!.O;r/ un cerc dat s ¸i 'un unghi dat. Locul geometric al
punctelor din plan pentru care unghiul format de cele dou ˘a tangente la cerc din fiecare
punct este egal cu '(sau, cum se mai spune, locul geometric al punctelor din plan din
care cercul dat se vede sub unghiul ') este un cerc cu centrul ˆınOs ¸i cu razar0egal˘a
cu ipotenuza triunghiului dreptunghic pentru care o catet ˘a este egal ˘a cur, iar unghiul
opus acelei catete este '=2.
Locul geometric 2.14. Locul geometric din care un segment ABdat se vede sub un
unghi'dat este o reuniune de dou ˘a arce de cerc. Acest loc geometric se numes ¸te arcul
capabil de unghiul '.
Locul geometric 2.15. Locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul
distant ¸elor p ˆan˘a la dou ˘a puncte date, As ¸iB, este egal cu raportul lungimilor a dou ˘a
segmente date, ms ¸in, este un cerc care se numes ¸te cercul lui Apollonius .
Locul geometric 2.16. Locul geometric al punctelor pentru care diferent ¸a p ˘atratelor
distant ¸elor p ˆan˘a la dou ˘a puncte date, As ¸iB, este egal ˘a cu p ˘atratul lungimii unui seg-
ment dat,p, este o dreapt ˘a perpendicular ˘a pe dreaptaABs ¸i trece printr-un punct Kal
segmentuluiABpentru care
AKDp2Ca2
2a;
undeaeste lungimea segmentului AB.
Locul geometric 2.17. Locul geometric al punctelor pentru care suma p ˘atratelor distant ¸elor
pˆan˘a la dou ˘a puncte date, As ¸iB, este egal ˘a cu p ˘atratul lungimii unui segment dat, q,
este un cerc cu centrul ˆın mijloculSal segmentului ABs ¸i de raz ˘a egal ˘a cu jum ˘atate
dintr-o catet ˘a a unui triunghi dreptunghic care are ipotenuza egal ˘a cuqp
2,ˆın timp ce
cealalt ˘a catet ˘a este egal ˘a cua, undeaeste lungimea segmentului AB.
2.3. O select ¸ie a unor locuri geometrice foarte simple 47
2.3 O select ¸ie a unor locuri geometrice foarte simple
Nu exist ˘a un consens legat de care locuri geometrice (mai precis, probleme de loc geo-
metric ) sunt cele mai simple. Toat ˘a lumea (sau aproape!) este de acord c ˘a aceste locuri
geometrice sunt, cu toatele, prezente ˆın manualele de geometrie elementar ˘a. V om enu-
mera, s ¸i noi, c ˆateva dintre ele (repet ˘am,ˆınc˘a o dat ˘a, toate locurile geometrice considerate
sunt plane).
1.Locul geometric al punctelor situate la o distant ¸ ˘a dat ˘a,r, fat ¸˘a de un punct dat, O,
este, prin definit ¸ie, centrul de centru Os ¸i de raz ˘ar.
2.Locul geometric al punctelor egal dep ˘artate de dou ˘a puncte date As ¸iBeste o
dreapt ˘a, care trece prin mijlocul segmentului ABs ¸i este perpendicular ˘a pe acest seg-
ment. Aceast ˘a dreapt ˘a se numes ¸te mediatoarea segmentului AB (sau a perechii de
puncteAs ¸iB).
3.Locul geometric al punctelor situate la distant ¸a hde o dreapt ˘a dat ˘a, fie eaa, este o
pereche de drepte paralele cu dreapta dat ˘a.
Pentru a construi acest loc geometric trebuie s ˘a ducem, printr-un punct Aal drepteia,
perpendiculara pe ea, fie ea p, s˘a lu˘am pe perpendicular ˘a dou ˘a puncte situate la distant ¸a
hfat ¸˘a dea, de o parte s ¸i de alta a dreptei as ¸i apoi, prin cele dou ˘a puncte construite, s ˘a
ducem c ˆate o paralel ˘a la dreaptaa.
4.Locul geometric al punctelor egal dep ˘artate de dou ˘a drepte paralele date este o
dreapt ˘a, paralel ˘a cu dreptele date.
Pentru construirea acestui loc geometric, ducem o dreapt ˘a oarecarec, care intersec-
teaz˘a dreptele paralele date, as ¸ib, determin ˘am segmentul de pe aceast ˘a secant ˘a cuprins
t ¸ntre dreptele as ¸ib, determin ˘am mijlocul acestui segment s ¸i prin el ducem o paralel ˘a
la drepteleas ¸ib. Dreapta obt ¸inut ˘a (adic ˘a locul geometric) se numes ¸te, uneori, linia
mijlocie a perechii de drepte paralele date.
5.Locul geometric al punctelor egal dep ˘artate de dou ˘a drepte concurente este format
dintr-o pereche de drepte perpendiculare, care sunt bisectoarele unghiurilor formate de
dreptele date.
Determinarea acestui loc geometric se reduce la problema elementar ˘a de construct ¸ie
a jum ˘at˘at ¸ii unui unghi.
48 Capitolul 2. Locuri geometrice
2.4 Metodica rezolv ˘arii problemelor de loc geometric
Rezolvarea unuei probleme de loc geometric are multe similarit ˘at ¸i cu rezolvarea unei
probleme de construct ¸ii geometrice. Astfel, ˆın mod tipic, rezolvarea unei probleme de
loc geometric const ˘aˆın trei etape:
analiza
demonstrat ¸ia s ¸i
discut ¸ia.
Se observ ˘a imediat c ˘a sunt aceeas ¸i pas ¸i la la o problem ˘a de construct ¸ii geometrice, at ˆata
doar c ˘a lipses ¸te pasul al doilea, construct ¸ia . Nu este, c ˆatus ¸i de put ¸in, o ˆıntˆamplare: ˆın
general, determinarea unui loc geometric ˆınseamn ˘a doar descrierea sa, ca mult ¸ime de
puncte. De regul ˘a, locul geometric nu poate fi construit, cu instrumentele disponibile.
Un exemplu foarte simplu este cazul elipsei, foarte us ¸or de descris ca loc geometric, dar
imposibil de construit utiliz ˆand, de pild ˘a, rigla s ¸i compasul.
Primul pas al rezolv ˘arii unei probleme de loc geometric este analiza . Rolul acesteia
este, ˆın esent ¸ ˘a, este s ˘a ne sugereze o idee despre natura locului geometric. De regul ˘a,
analiza ˆıncepe cu desenarea figurilor date ˆın enunt ¸ul problemei. Urm ˘atorul pas este s ˘a
identific ˘am puncte care apart ¸in locului geometric, ˆın sensul c ˘a ele verific ˘a proprietatea
caracteristic ˘a a acestuia. Se stabilesc apoi nis ¸te conexiuni ˆıntre aceste puncte s ¸i elemen-
tele date, conexiuni care ne permit s ˘a determin ˘am forma s ¸i pozit ¸ia locului geometric.
Uneori, analiza presupune s ¸i examinarea unor cazuri particulare sau construct ¸ia direct ˘a
a unor puncte care apart ¸in locului geometric dat. Ment ¸ion ˘am, totus ¸i, c ˘a,ˆın urma anali-
zei, obt ¸inem doar o solut ¸ie ipotetic ˘aa problemei, s ¸i urmeaz ˘a s˘a demonstr ˘am c ˘a intuit ¸ia
noastr ˘a este corect ˘a.
Urm ˘atorul pas este demonstrat ¸ia . Aici trebuie, practic, s ˘a demonstr ˘am dou ˘a implicat ¸ii,
una fiind inversa celeilalte:
1) Orice punct al figurii, g ˘asitˆın timpul analizei, verific ˘a proprietatea caracteristic ˘a a
locului geometric.
2) Orice punct care verific ˘a proprietatea caracteristic ˘a apartt ¸ine figurii g ˘asite ˆın timpul
analizei.
Este util de avut ˆın vedere c ˘a implicat ¸ia 2) se poate ˆınlocui cu
20) Dac ˘a un punct nu apart ¸ine figurii g ˘asite, atunci el nu verific ˘a proprietatea carac-
teristic ˘a.
Este, de asemenea, de remarcat c ˘a, adesea, una dintre implicat ¸ii este demonstrat ˘a, de
fapt, ˆın timpul analizei.
ˆIn sf ˆars ¸it, ultimul pas al unei solut ¸ii a unei probleme de construct ¸ii geometrice este
discut ¸ia . Acum trebuie s ˘a examin ˘am diferitele cazuri care pot s ˘a apar ˘a s ¸i dependent ¸a lor
de alegerea datelor problemei.
2.4. Metodica rezolv ˘arii problemelor de loc geometric 49
Consider ˘am,ˆın cele ce urmeaz ˘a, cˆateva exemple.
Exemplul 2.4.1. S˘a se determine locul geometric al punctelor din care un segment se
vede sub un unghi dat.
Solut ¸ie. Analiza. FieABsegmentul dat s ¸i – unghiul dat (vezi figura 2.5).
Dac˘aMeste un punct al locului geometric , atunci ]AMBD , prin ipotez ˘a. Este
util,ˆın acest moment, s ˘a reamintim teorema referitoare la egalitatea unghiurilor ˆınscrise
ˆıntr-un cerc, care cuprind acelas ¸i arc ˆıntre laturi.
M
AM0
B
P
Q
N
Figura 2.5
Presupunem, pe moment, c ˘a0< <180. Aceasta ˆınseamn ˘a, desigur, c ˘a punctele
A;M;B nu sunt coliniare, deci ele determin ˘a un cerc, cercul circumscris triunghiului
AMB . Atunci, pentru orice punct M0al arculuiAMB al acestui cerc ( ˆın afar ˘a de punc-
teleAs ¸iB),]AM0Beste, de asemenea, egal cu , ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a fiecare punct al
acestui arc apart ¸ine locului geometric c ˘autat.
ˆIn plus, este clar c ˘a toate punctele arcului ANB , simetricul arcului AMB fat ¸˘a de
dreaptaAB(mai put ¸in punctele As ¸iB) apart ¸in, de asemenea, locului geometric c ˘autat.
Demonstrat ¸ia. Pentru a demonstra c ˘a figuraF, alc˘atuit˘a din cele dou ˘a arce de cerc
care trec prin punctele As ¸iBeste, ˆıntr-adev ˘ar, locul geometric pe care vrem s ˘a-l deter-
min˘am, a mai r ˘amas s ˘a examin ˘am punctele care nu apart ¸in acestei figuri. Dac ˘a un punct
Papart ¸ine domeniului din plan m ˘arginit de figura F(mai precis, interiorului acestui
domeniu), atunci, duc ˆand semidreapta AP(sauBP) pˆan˘a se ˆıntˆalnes ¸te cu figura Fˆın
punctulQ, remarc ˘am c ˘a
]APM > ]AQBD ;
50 Capitolul 2. Locuri geometrice
prin urmare punctul Pnu apart ¸ine locului geometric. Dac ˘a alegem punctul Qˆın afara
domeniului m ˘arginit deF, obt ¸inem c ˘a, dimpotriv ˘a,]APB < .
Astfel, locul geometric al punctelor din care care un segment se vede sub un unghi
dat, cuprins (strict) ˆıntre0s ¸i180este format din reuniunea a dou ˘a arce de cerc, care
trec prin capetele segmentului dat s ¸i sunt simetrice fat ¸ ˘a de dreapta suport a segmentului.
PuncteleAs ¸iBnu trebuie considerate ca f ˘acˆand parte din locul geometric, deoa-
rece dac ˘aMcoincide cu unul dintre capetele segmentului AB, unghiul1AMB devine
nedeterminat.
Discut ¸ia. Dac˘a unghiul este drept, atunci figura Fse transform ˘aˆıntr-un cerc de
diametruAB, mai put ¸in capetele acestui diametru. Dac ˘a unghiul este egal cu zero,
atunci locul geometric c ˘autat este diferent ¸a dintre dreapta ABs ¸i segmentul AB. Dac ˘a
unghiul este egal cu180, atunci locul geometric c ˘autat este segmentul ABˆınsus ¸i.
Exemplul 2.4.2. S˘a se determine locul geometric al mijloacelor corzilor determinate pe
un cerc dat de dreptele care unesc punctele acestui cerc cu un punct dat.
Solut ¸ie. Fie!cercul dat,O– centrul s ˘au, iarA– punctul dat (vezi figura 2.6). Fie P
mijlocul uneia dintre corzile ment ¸ionate, de exemplu coarda MN .
N
P
M
A
TO
Q
!0
S!
Figura 2.6
Unim punctele Ps ¸iO. AtunciPO?MN . Astfel, segmentul OAeste v ˘azut din
punctulPsub un unghi drept. Prin urmare, Papart ¸ine cercului construit pe segmentul
OA, ca diametru. ˆIn plus, punctul Ptrebuie s ˘a fie situat ˆın interiorul cercului !.
Suntem condus ¸i, astfel, la urm ˘atoarea ipotez ˘a:locul geometric c ˘autat este partea
din cercul!0, construit pe OAca diametru, care este situat ˘aˆın interiorul cercului !.
Pentru demonstrarea veridicit ˘at ¸ii ipotezei noastre, este necesar s ˘a demonstr ˘am,ˆın
primul r ˆand, c ˘a mijlocul fiec ˘areia dintre corzile considerate apart ¸ine figurii indicate, ˆın
2.4. Metodica rezolv ˘arii problemelor de loc geometric 51
al doilea r ˆand c ˘a fiecare punct Q, care apart ¸ine p ˘art ¸ii indicate a cercului !0, este mijlocul
uneia dintre corzile considerate.
Prima dintre aceste afirmat ¸ii a fost demonstrat ˘a, deja, ˆın timpul analizei. Pentru de-
monstrarea celei de-a doua afirmat ¸ii, ducem o dreapt ˘a prin punctele Qs ¸iA. Ea intersec-
teaz˘a cercul!ˆın dou ˘a puncte, ˆıntruc ˆat punctulQeste situat ˆın interiorul cercului. V om
nota aceste puncte cu Ss ¸iT.]OQAD90, ca unghi ˆınscris ˆıntr-un semicerc, adic ˘a
OQ?AQ, astfel c ˘aQeste mijlocul coardei ST, adic ˘a ceea ce trebuia s ˘a demonstr ˘am.
Trecem acum la discut ¸ia solut ¸iei. Dac ˘a punctulAeste ˆın exteriorul cercului !,
atunci locul geometric considerat este arcul de cerc (de pe cercul !0) ce are capetele pe
cercul dat s ¸i este situat ˆın interiorul cercului dat. Dac ˘aAesteˆın interiorul cercului dat
sau pe cerc, dar nu coincide cu centrul cercului, atunci locul geometric este ˆıntregul cerc
de diametruOA. Dac ˘aAcoincide cu centrul cercului dat, atunci locul geometric c ˘autat
se reduce la punctul A.
Exemplul 2.4.3. S˘a se determine locul geometric al punctelor pentru care diferent ¸a
p˘atratelor distant ¸elor p ˆan˘a la dou ˘a puncte date este constant ˘a.
Demonstrat ¸ie. FieABDa. C˘aut˘am locul geometric al punctelor din plan pentru care
AM2 BM2Dc2;
undeceste un segment dat.
C˘aut˘am, mai ˆıntˆai, punctele dreptei Acare verific ˘a relat ¸ia cerut ˘a. Alegem pe dreapta
AB, ca direct ¸ie pozitiv ˘a, cea de laAlaB. Apoi vom atas ¸a lungimii fiec ˘arui segment
(orientat) al acestei drepte c ˆate un semn. Atunci, pentru fiecare pozit ¸ie a punctului Mpe
dreaptaAB, are loc relat ¸ia
AMCMBDAB
(teorema lui Chasles).
Din ipotez ˘a,
AM2 BM2Dc2;
adic˘a
AM2 .a AM/2Dc2;
de unde
AMDa2Cc2
2a: (2.2)
Prin urmare, pe dreapta AB exist ˘a un punctMs ¸i numai unul care apart ¸ine locului
geometric, adic ˘aAM2 MB2Dc2. Pozit ¸ia acestui punct este determinat ˘a de for-
mula (2.2).
ˆIncerc ˘am s˘a g˘asim alte puncte ale locului geometric c ˘autat. Remarc ˘am c ˘a orice punct
P(vezi figura 2.7) de pe perpendiculara ppeAB, care trece prin punctul M, are, de
asemenea, proprietatea cerut ˘a.ˆIntr-adev ˘ar,
52 Capitolul 2. Locuri geometrice
AQ
N M
pBP
Figura 2.7
AP2 BP2D.AM2CMP2/ .BM2CMP2/DAM2 BM2Dc2:
ˆIntruc ˆat nu vom g ˘asi alte puncte care s ˘a verifice proprietatea cerut ˘a, suntem condus ¸i la
afirmat ¸ia: locul geometric c ˘autat este dreapta p, perpendicular ˘a pe dreaptaABs ¸i care
trece prin punctul M, g˘asit mai devreme.
Pentru demonstrarea acestei afirmat ¸ii trebuie s ˘a demonstr ˘am urm ˘atoarele:
1) c˘a orice punct Pal drepteipverific ˘a proprietatea AP2 MP2Dc2. Asta s-a f ˘acut
deja, ˆın cursul analizei noastre;
2) c˘a un punctQcare nu apart ¸ine dreptei pesteˆıntotdeauna astfel ˆıncˆat
AQ2 MQ2¤c2:
Fie, prin urmare, Qun punct care nu apart ¸ine dreptei p(vezi figura 2.7). Ducem
prinQdreaptaQN, perpendicular ˘a peAB. Atunci,
AQ2 BQ2D.AN2CNQ2/ .BN2CNQ2/DAN2 BN2:
Cum punctul Qnu apart ¸ine dreptei p, rezult ˘a c˘a punctulNeste diferit de punctul M.
Dar noi am remarcat deja c ˘a punctulMesteunicul punct al dreptei ABcare apart ¸ine
locului geometric c ˘autat. Prin urmare, punctul N, situat s ¸i el pe dreapta AB, nu apart ¸ine
locului geometric. De aceea,
AN2 BN2¤c2
s ¸i, prin urmare,
AQ2 BQ2¤c2:
2.5. Metode analitice 53
2.5 Exemple de determinare a locurilor geometrice folosind
geometria analitic ˘a
ˆIn geometria analitic ˘a, o curb ˘a se defines ¸te ca fiind locul geometric al punctelor (din
plan!) ale c ˘aror coordonate verific ˘a o ecuat ¸ie de forma f.x;y/D0. Prin urmare, ˆın
geometria analitic ˘a, determinarea unui loc geometric ˆınseamn ˘a g˘asirea ecuat ¸iei pe care o
verific ˘a coordonatele punctelor locului geometric. Sigur, un al doilea pas, uneori destul
de dificil, este identificarea locului geometric. De regul ˘a, problema de loc geometric
nu se formuleaz ˘a relativ la un sistem de coordonate dat, de aceea, un pas important ˆın
utilizarea metodelor analitice este tocmai alegerea judicioas ˘a a sistemului de coordonate,
care s ˘a fie c ˆat mai bine adaptat problemei ˆın cauz ˘a.
Exemplul 2.5.1. S˘a se determine locul geometric al punctelor pentru care suma p ˘atratelor
distant ¸elor p ˆan˘a la dou ˘a puncte date este egal ˘a cu p ˘atratul unei lungimi date.
Demonstrat ¸ie. FieAs ¸iBcele dou ˘a puncte date. Se caut ˘a locul geometric al punctelor
Ppentru care
AP2CBP2Da2;
undeaeste lungimea unui segment dat.
Alegem dreapta ABca ax ˘aOX, orientat ˘a de laAˆınspreB. Originea sistemului de
coordonate va fi mijlocul Oal segmentului AB, iar axaOY va fi mediatoarea segmen-
tului, orientat ˘a astfel ˆıncˆa sistemulXOY s˘a fie orientat direct.
A B Oxy
XY
P
Figura 2.8
54 Capitolul 2. Locuri geometrice
FieP(vezi figura 2.8) un punct al locului geometric c ˘autat, iarx;y – coordona-
tele sale. Dac ˘a not ˘am lungimea segmentului AB cul, atunci, ˆın sistemul nostru de
coordonate, avem A. l
2;0/s ¸iB.l
2;0/. Atunci, conform formulelor binecunoscute din
geometria analitic ˘a, avem
AP2D
xCl
22
Cy2;BP2D
x l
22
Cy2
s ¸i, de aceea, locul geometric c ˘autat este format din acele puncte ale planului ale c ˘aror
coordonate verific ˘a ecuat ¸ia
xCl
22
Cy2C
x l
22
Cy2Da2
sau
x2Cy2D2a2 l2
4:
Din ecuat ¸ia obt ¸inut ˘a se observ ˘a c˘a locul geometric este nevid dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
2a2 l20
sau
ap
2l:
Dac˘a
ap
2>l;
atunci locul geometric este un cerc cu centrul ˆın punctulO(adic ˘aˆın mijlocul segmentu-
luiAB) s ¸i de raz ˘a
rD1
2p
2a2 l2:
Pentru construirea acestui cerc, este suficient s ˘a construim un punct al s ˘au. Acest punct
se poate obt ¸ine intersect ˆand cercurile
!1
A;ap
2
2!
s ¸i!2
B;ap
2
2!
(care se intersecteaz ˘a, deoarece suma razelor lor este egal ˘a cuap
2, care este mai mare
decˆat distant ¸a dintre centrele lor, egal ˘a cul). Dac ˘aaDl, atunci locul geometric trece
prin punctele As ¸iB.
Pentruap
2Dl, exist ˘a doar un punct care apart ¸ine locului geometric, acesta fiind
punctulO, mijlocul segmentului AB.
Exemplul 2.5.2. Se d˘a un cerc!s ¸i un punctA(vezi figura 2.9). S ˘a se determine locul
geometric al mijloacelor segmentelor care unesc punctul Acu punctele cercului !.
2.6. Intersect ¸ii de locuri geometrice 55
AMPY
X
C
!
Figura 2.9
Demonstrat ¸ie. FieC– centrul cercului dat, iar ACDa. Alegem sistemul de coordo-
nate cu originea ˆın punctulA, axaX– egal ˘a cu dreaptaAC(orientat ˘a de laAˆınspreC,
iar axaYperpendiculara prin ApeAC. Atunci, coordonatele punctului Csunt.a;0/ ,
iar cercul dat are ecuat ¸ia
.x a/2Cy2Dr2;
undereste raza cercului dat.
FieP.x;y/ un punct oarecare al cercului !,M– punctul corespunz ˘ator al locului
geometric, iar ;– coordonatele punctului M. AtunciDx
2,Dy
2, astfel c ˘axD
2;yD2, iar locul geometric care ne intereseaz ˘a pe noi are ecuat ¸ia:
.2 a/2C42Dr2
sau
a
22
C2Dr
22
:
Aceasta este ecuat ¸ia unui cerc de raz ˘ar
2, cu centrul ˆın punctul a
2;0
.
2.6 Rezolvarea problemelor de construct ¸ii prin metoda inter-
sect ¸iilor de locuri geometrice
Esent ¸a metodei locurilor geometrice ˆın rezolvarea problemelor de construct ¸ii geometrice
const ˘aˆın urm ˘atoarele. S ˘a presupunem c ˘a rezolvarea unei probleme de construct ¸ii geo-
metrice conduce la construirea unui punct care ˆındeplines ¸te simultan dou ˘a condit ¸ii inde-
pendente. L ˘as˘am deoparte una dintre condit ¸ii s ¸i determin ˘am locul geometric al punctelor
care ˆındeplinesc cea de-a doua condit ¸ie. Not ˘am aceast ˘a figur ˘a cu2. Renun ˘am acum la
prima condit ¸ie s ¸i c ˘aut˘am locul geometric al punctelor care ˆındeplinesc prima condit ¸ie.
56 Capitolul 2. Locuri geometrice
Not˘am aceast ˘a figur ˘a cu1. Atunci punctul pe care vrem s ˘a-l construim, ce verific ˘a
ambele condis ¸ii, se va afla ˆın intersect ¸ia celor dou ˘a locuri geometrice.
Exemplul 2.6.1. S˘a se construiasc ˘a un cerc tangent la dou ˘a drepte paralele date as ¸ib,
s ¸i care trece printr-un punct dat, P.
Demonstrat ¸ie. Analiza. Not˘am distant ¸a dintre cele dou ˘a drepte paralele cu d. Atunci
raza cercului c ˘autat trebuie s ˘a fie egal ˘a cud=2. Problema se reduce la construirea cen-
trului cercului, care trebuie s ˘aˆındeplineasc ˘a urm ˘atoarele dou ˘a condit ¸ii:
1) el trebuie s ˘a fie egal dep ˘artat de dreptele as ¸ib;
2) el trebuie s ˘a fie situat la distant ¸a d=2 fat ¸˘a de punctulP.
De aici rezult ˘a procedeul de construct ¸ie.
Construct ¸ia. Dintr-un punct oarecare, A, al drepteia, cobor ˆam o perpendi-
cular ˘aABpe dreaptab(vezi figura 2.10). Construim mijlocul Cal segmentului AB.
Construim locul geometric al punctelor egal dep ˘artate de dreptele as ¸ib; aceasta este o
dreapt ˘ac, care trece prin punctul Cs ¸i este paralel ˘a cu dreptele as ¸ib. Construim apoi
locul geometric al punctelor care ˆındeplinesc condit ¸ia 2). Acesta este cercul !
P;d
2
.
Construim punctul O1, de intersect ¸ie dintre cercul !s ¸i dreaptac. Construim apoi cercul
!1.O1;O1P/. Acesta este cercul ce trebuia construit.
A
C
B!1O1P
!O2a
c
b!2
Figura 2.10
Demonstrat ¸ia. Cercul!1este tangent dreptelor as ¸ib, deoarece distant ¸ele de
la centrul s ˘auO1la aceste drepte sunt egale ˆıntre ele s ¸i sunt egale cu d=2. Acest cerc
trece prin punctul P, prin construct ¸ie.
Discut ¸ia. Sunt posibile trei cazuri.
1. PunctulPeste situat ˆıntre drepteleas ¸ib. Modul de construire ne d ˘a dou ˘a solut ¸ii:
!1.O1;O1P/s ¸i!2.O2;O2P/. Nu exist ˘a alte solut ¸ii, pentru c ˘a dac ˘a ar exista trei
cercuri care s ˘aˆındeplineasc ˘a cerint ¸ele, atunci centrele lor, O1;O2;O3ar trebui
s˘a fie coliniare, afl ˆandu-se toate pe dreapta c. Pe de alt ˘a parte, ar trebui s ˘a avem
2.6. Intersect ¸ii de locuri geometrice 57
O1PDO2PDO3PDAC, adic ˘a cele trei centre ar trebui s ˘a se afle, toate, pe
un cerc de raz ˘aAC, cu centrul ˆınP, ceea ce ne conduce la o contradict ¸ie.
2. PunctulPse afl ˆa pe una dintre cele dou ˘a drepte (asaub).ˆIn acest caz avem o
singur ˘a solut ¸ie.
3. PunctulPse afl ˘aˆın afara benzii determinate de dreptele as ¸ib.ˆIn acest caz nu
exist ˘a solut ¸ii.
Exemplul 2.6.2. S˘a se construiasc ˘a un triunghi cunosc ˆand baza, unghiul de la v ˆarf s ¸i
raza cercului ˆınscris.
Demonstrat ¸ie. Analiza. FieABC triunghiul c ˘autat,A– unghiul s ˘au de la v ˆarf,r–
raza cercului ˆınscris s ¸iBCDa– lungimea bazei date.
Consider ˘am centrulIal cercului ˆınscris. Punctul Ise afl ˘a la distant ¸arde bazaBC
(prima proprietate a centrului).
ˆIn plus (vezi figura 2.11),
]BOCD90 B
2C90 C
2D90C180 B C
2;
astfel ˆıncˆat
]BOCD90CA
2
(a doua proprietate a centrului). Locul geometric al punctelor care verific ˘a prima propri-
A
B CO
r
Figura 2.11
etate reprezint ˘a o pereche de drepte, paralele cu BC. Locul geometric al punctelor care
ˆındeplinesc cea de-a doua proprietate (anume, p ˆan˘a la urm ˘a, c˘a segmentulBCeste v ˘azut
din punctulIsub un unghi de 90CA=2), reprezint ˘a o pereche de arce de cerc, capabile
58 Capitolul 2. Locuri geometrice
de unghiul90CA=2. Fiecare punct al intersect ¸iei acestor dou ˘a locuri geometrice poate
servi ca centru al cercului ˆınscris.
Construct ¸ia.
1. Pe o dreapt ˘a oarecare construim un segment BCDa(vezi figura 2.12). Mai
departe construim, succesiv:
2. o pereche de dreapte p1s ¸ip2, paralele cu BC s ¸i situate fas ¸ ˘a de dreapta BC la
distant ¸ar;
3. o pereche de segmente, capabile de unghiul 90CA=2;
4. punctulI, ca unul dintre punctele de intersect ¸ie ale locurilor geometrice ment ¸ionate
mai sus;
5. cercul!.I;r/ ;
6. din punctele Bs ¸iCducem semidreptele bs ¸ic, tangente la cercul !;
7. construim punctul A, ca intersect ¸ie a celor dou ˘a semidrepte.
TriunghiulABC este triunghiul c ˘autat. Demonstrat ¸ia este evident ˘a.
rc
b
A
!
OP1
C
P2B45CA
2
a
2
Figura 2.12
2.6. Intersect ¸ii de locuri geometrice 59
Discut ¸ia. Pentru ca punctele de intersect ¸ie dintre cele dou ˘a locuri geometrice s ˘a
existe este necesar s ¸i suficient ca distant ¸a maxim ˘a dintreBCs ¸i punctele arcului capabil
de unghiul90CA=2 s˘a fie cel put ¸in egal ˘a cur, adic ˘a s˘a avem relat ¸ia
a
2ctg
45CA
4
r: (2.3)
Pas ¸ii 5, 6 s ¸i 7 sunt posibili ˆıntotdeauna. De aici rezult ˘a c˘a
].BC;b/C].CB;c/D2.]CBOC]BCO/D2.180 ]BOC/D
D2
180
90CA
2
D180 A<180;
astfel c ˘a semidreptele bs ¸icse intersecteaz ˘a,ˆıntotdeauna.
De fiecare dat ˘a cˆand este ˆındeplinit ˘a condit ¸ia (2.3), problema are solut ¸ie unic ˘a (abstract ¸ie
f˘acˆand de libertatea de alegere a punctului I, deoarece se verific ˘a us ¸or c ˘a pentru toate
alegerile posibile se obt ¸in triunghiuri congruente). Dac ˘a aceast ˘a condit ¸ie nu este verifi-
cat˘a, problema nu are nici o solut ¸ie.
Exemplul 2.6.3. S˘a se construiasc ˘a un triunghiABC , cunosc ˆand unghiul ascut ¸it A, raza
cercului circumscris, precum s ¸i suma p ˘atratelor lungimilor laturilor ABs ¸iAC.
Demonstrat ¸ie. Analiza. FieABC triunghiul c ˘autat,!.O;R/ – cercul s ˘au circum-
scris,]AD – unghiul dat, AB2CAC2Dd2, undedeste un segment dat (vezi
figura 2.13).
A
B C
MO
2 D
!
Figura 2.13
60 Capitolul 2. Locuri geometrice
Lungimea coardei BC se determin ˘a din condit ¸ia ca ea s ˘a fie v ˘azut˘a dintr-un punct
oarecare al cercului sub unghiul s ¸i, prin urmare, din centrul Oal cercului – dintr-un
unghi2 .ˆIn ceea ce prives ¸te punctul A, el este definit prin dou ˘a condit ¸ii:
1. el trebuie s ˘a fie situat pe cercul A;
2. el apart ¸ine locului geometric al punctelor pentru caresuma p ˘atratelor distant ¸elor
pˆan˘a la punctele Bs ¸iCeste egal ˘a cud2(am v ˘azut c ˘a acest loc geometric este un
cerc).
Construct ¸ia. Construim, pe r ˆand:
1. cercul!.O;R/ , cu centrul ˆıntr-un punct Oarbitrar;
2. dou ˘a razeOBs ¸iOC ale acestui cerc, cu un unghi 2 ˆıntre ele;
3. segmentul BCs ¸i mijlocul s ˘au,M;
4. cercul, locul geometric al punctelor Pdin plan pentru care BP2CCP2Dd2;
5. punctulA, ca intersect ¸ie a cercurilor !s ¸i;
6. segmentele ABs ¸iAC.
TriunghiulABC este cel c ˘autat. Demonstrat ¸ia rezult ˘a imediat din analiz ˘a.
Discut ¸ia. Dac˘a cerculexist ˘a s ¸i are un punct comun cu arcul BDC al cercului
!(vezi figura 2.13), problema are solut ¸ie unic ˘a.ˆIn caz contrar, nu are solut ¸ie.
Observat ¸ia 2.ˆIntruc ˆat razara cerculuieste egal ˘a cu
1
2p
2d2 BC2;
MBDRsin ,BCD2Rsin ,MDDR.1Ccos /, condit ¸ia analitic ˘a de rezolvabi-
litate se poate scrie sub forma:
MB <rMD
sau
2Rsin <d2p
2Rcos
2:
CAPITOLUL 3
Rezolvarea problemelor de construct ¸ii geometrice cu
ajutorul transform ˘arilor geometrice
3.1 Introducere
Transform ˘arile geometrice joac ˘a un rol fundamental ˆın geometrie. Nu ne vom ocupa ˆın
acest capitol de teoria lor, pentru c ˘a aceast ˘a teorie nu este obiectul cursului nostru. V om
reaminti, doar, o serie de propriet ˘at ¸i care ne vor fi utile ˆın rezolvarea problemelor de
construct ¸ii geometrice. Acest capitol va aborda dou ˘a tipuri de transform ˘ari geometrice.
Din prima clas ˘a fac parte izometriile (transform ˘ari bijective ale planului care p ˘astreaz ˘a
distant ¸ele: translat ¸ii, rotat ¸ii, simetrii axiale s ¸i combinat ¸iile lor), din a doua – omotetiile
s ¸i inversiunile.
3.2 Translat ¸ia
Definit ¸ia 3.1. Otranslat ¸ieTvde vector veste o transformare a planului care asociaz ˘a
fiec˘arui punctMdin plan un punct M0astfel ˆıncˆat !MM0Dv.
Propriet ˘at ¸i.
1) Orice translat ¸ie este o izometrie.
2) Translat ¸ia de vector nul este transformarea identic ˘a.
3) Translat ¸ia este o transformare de genul unu (adic ˘a nu schimb ˘a orientarea planului).
61
62 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
4) Imaginea unei drepte printr-o translat ¸ie este o dreapt ˘a paralel ˘a cu ea (sau dreapta
ˆıns˘as ¸i,ˆın cazul translat ¸iei de vector nul).
5) Imaginea unei drepte paralele cu vectorul de translat ¸ie este dreapta ˆıns˘as ¸i1.
6) Imaginea unei semidrepte printr-o translat ¸ie este o semindreapt ˘a paralel ˘a cu ea sau
semidreapta ˆıns˘as ¸i.
7) Dac ˘a imaginea oric ˘arei semidrepte printr-o transformare geometric ˘a este semidreapta
ˆıns˘as ¸i sau o semidreapt ˘a paralel ˘a cu ea, atunci acea transformare geometric ˘a este o
translat ¸ie.
8) Nici o translat ¸ie de vector nenul nu are puncte fixe.
9) Compunerea a dou ˘a translat ¸ii de vectori v1s ¸iv2este translat ¸ia de vector v1Cv2.
10) Inversa unei translat ¸ii de vector veste translat ¸ia de vector v.
3.2.1 Exemple de probleme de construct ¸ii rezolvate cu ajutorul translat ¸iei
Exemplul 3.2.1. Se dau dou ˘a cercuri,!1.O1;r1/s ¸i!2.O2;r2/, o dreapt ˘ags ¸i un seg-
mentm. S˘a se construiasc ˘a o secant ˘a paralel ˘a cu dreaptag, astfel ˆıncˆat suma lungimilor
coardelor determinate de secant ˘a pe cercurile date s ˘a fie egal ˘a cu lungimea segmentului
dat,m.
Solut ¸ie. Analiza. Pe figura ??avem urm ˘atoarele date: cercurile !1s ¸i!2, dreaptags ¸i, pe
ea, segmentul m. Presupunem c ˘a secantaADeste solut ¸ia problemei. As ¸adar, ADkgs ¸i
ABCCDDm. Aplic ˘am cercului!2o translat ¸ie de vector !CB. Not ˘am cuD0imaginea
luiDs ¸i cuO0
2– imaginea centrului O2. Atunci coarda CDse transform ˘aˆın coardaBD0
a cercului!0
2, prin urmare
ABCBD0DAD0Dm:
Dac˘a din punctele O1s ¸iO0
2cobor ˆam perpendicularele O1Fs ¸iO0
2Gpe secantaAD,
atunci, dup ˘a cum se vede din desen, obt ¸inem:
FGDFBCBGDAD0
2Dm
2DEO0
2:
Astfel,O2O0
2kgs ¸i, prin urmare, dreapta O2O0
2poate fi construit ˘a. PunctulE– piciorul
perpendicularei O1E– poate, de asemenea, fi construit. Lu ˘am acum, pe dreapta O2O0
2,
plecˆand dinE, un segment de lungime EO0
2Dm
2s ¸i obt ¸inem punctul O0
2. Astfel,
1Atent ¸ie! Asta nu ˆınseamn ˘a c˘a punctele dreptei sunt fixe. Altminteri, punctele se deplaseaz ˘a de-a lungul
dreptei, deci r ˘amˆan pe ea.
3.2. Translat ¸ia 63
vectorul de translat ¸ie este complet determinat. Punctele Bs ¸iBˆın care se intersecteaz ˘a
cercurile!1s ¸i!0
2determin ˘a solut ¸ia problemei.
Construct ¸ia. Modalitatea de efectuare a construct ¸iei rezult ˘a direct din analiza efec-
tuat˘a. Astfel, ducem mai ˆıntˆai prin punctul O2o dreapt ˘aO2O0
2, paralel ˘a cu dreapta
dat˘a,g. Cobor ˆam pe aceast ˘a dreapt ˘a perpendiculara O1E?O2O0
2(E2O2O0
2) s ¸i
construim pe O2O0
2segmentulEO0
2Dm
2. Obt ¸inem punctul O0
2– centrul cercului
translatat. Tras ˆand cercul cu centru ˆınO0
2s ¸i de raz ˘ar2(raza cercului !2), g˘asim punc-
tele de intersect ¸ie ale cercului trasat cu cercul !1, fie eleBs ¸iB. Secantele care trec
prin punctele Bs ¸iB, paralele cu dreapta gdau solut ¸ia problemei (vezi s ¸i discut ¸ia de
mai jos).
Demonstrat ¸ia. V om presupune, ca ˆın figura al ˘aturat ˘a, c˘aABCBD0DAD0. Atunci
este us ¸or de demonstrat c ˘a sect ¸iunile construite verific ˘a toate cerint ¸ele problemei. ˆIntr-
adev ˘ar, dup ˘a cum se vede din desen, avem:
FGDABCBD0
2DEO0
2Dm
2:
Prin urmare,
ABCBD0DmDABCCD;
adic˘a tocmai ceea ce trebuia demonstrat.
Discut ¸ia. Cum am v ˘azut mai sus, punctele de intersect ¸ie ale cercurilor !1s ¸i!0
2,ˆın
m˘asura ˆın care ele exist ˘a, ne dau solut ¸iile problemei. Prin urmare, ceea ce trebuie s ˘a
discut ˘am este ˆın ce condit ¸ii cercurile !1s ¸i!0
2se intersecteaz ˘a. Dup ˘a cum se s ¸tie, aceste
condit ¸ii se pot scrie sub forma:
r1Cr2O1O20s ¸ir1 r2O1O0
2;
under1s ¸ir2sunt razele celor dou ˘a cercuri.
Notˆand cuplungimea perpendicularei O1E, putem exprima distant ¸a O1O0
2dintre
centre din triunghiul O1O0
2Esub forma:
O1O0
2Dr
p2Cm
22
:
Atunci condit ¸iile de intersect ¸ie a celor dou ˘a cercuri cap ˘at˘a forma
r1Cr2r
p2Cm
22
s ¸ir1 r2r
p2Cm
22
:
Semnul egal corespunde cazului ˆın care cele dou ˘a cercuri sunt tangente. ˆIn acest caz
avem o singur ˘a solut ¸ie.
ˆIn afar ˘a de condit ¸ia de intersect ¸ie a cercurilor, mai trebuie, dup ˘a cum am v ˘azut,
ca punctele de pe dreapta AD s˘a fie as ¸ezate ˆın ordineaABD0, adic ˘aAD0DABC
BD0.ˆIn aceste condit ¸ii, punctele de intersect ¸ie ale cercurilor !1s ¸i!0
2determin ˘a solut ¸ia
problemei.
64 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
Exemplul 3.2.2. S˘a se construiasc ˘a un triunghi ABC , dac ˘a se dau cele trei mediane
ma;mb;mc.
Solut ¸ie. Analiza.
ˆIncepem, ca de obicei, presupun ˆand c ˘a triunghiulABC a fost deja construit (vezi
figura ??). FieGpunctul de intersect ¸ie a medianelor:
AAmDma;BBmDmb;CCmDmc:
Aplic ˘am o translat ¸ie de vector !GB. Prin aceast ˘a translat ¸ie segmentul GC de pe mediana
CCmse transform ˘aˆın segmentul BC0, iar punctulCse transform ˘aˆın punctulC0. Latu-
rile triunghiului GBC0se exprim ˘aˆın funct ¸ie de medianele triunghiului ABC ˆın modul
urm˘ator:
GBD2
3mb;GC0D2
3ma;BC0D2
3mc:
Dup˘a cum vom vedea, aceste informat ¸ii sunt suficiente pentru rezolvarea problemei.
Construct ¸ia.
Construim mai ˆıntˆai triunghiulGBC0, ale c ˘arui laturi le cunoas ¸tem, ˆıntruc ˆat media-
nelema;mb;mcsunt date. Plec ˆand de la punctul C0, construim punctul C, construind
segmentulC0C, paralel s ¸i egal cu segmentul BG. Construim apoi pe dreptele BG s ¸i
CG medianele corespunz ˘atoare. Obt ¸inem punctele Bms ¸iCm. DrepteleBCms ¸iCBm
se intersecteaz ˘aˆın al treilea v ˆarf al triunghiului.
Demonstrat ¸ia.
ˆIn triunghiul ABC , pe care l-am construit, plec ˆand de la triunghiul GBC0, linia
AAMeste median ˘a,ˆıntruc ˆatBAmDAmC. LiniileBBms ¸iCCmsunt, de asemenea,
mediane, deoarece ele se intersecteaz ˘aˆın punctulG, care le ˆımparte ˆın raportul2W1
(prin construct ¸ie). Lungimile medianelor BBms ¸iCCmsunt egale, respectiv, cu mbs ¸i
mc.ˆIn ceea ce prives ¸te mediana AAm, avem1
3AAmDGAmD1
3ma. Prin urmare,
AAmDma.
Discut ¸ia.
Problema este posibil ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a cu segmentele2
3ma;2
3mb;2
3mcse poate
construi un triunghi, adic ˘a dac ˘a s ¸i numai dac ˘a cu medianele ma;mb;mcse poate forma
un triunghi. Dup ˘a cum am demonstrat, ˆın acest caz exist ˘a o solut ¸ie. V om demonstra
c˘a este singura. Pentru aceasta este suficient s ˘a ne convingem c ˘a translat ¸ia aplicat ˘a
fiec˘arui v ˆarf al triunghiului GBC0ne d˘a aceeas ¸i solut ¸ie ca s ¸i translat ¸ia aplicat ˘a vˆarfului
C0(s ¸i care ˆıl duce ˆınC). Astfel, dac ˘a am translata v ˆarfulBˆın punctulB0(astfel ˆıncˆat
segmenteleBB0s ¸iC0Ms˘a fie paralele s ¸i egale), segmentul B0C0ar determina una dintre
laturile triunghiului c ˘autat, anume B0C0DAC. Astfel, triunghiul de plecare GBC0este
triunghiul ce ne conduce la un triunghi ABC unic determinat.
Exemplul 3.2.3. Se dau trei laturi ale unui patrulater s ¸i unghiurile adiacente celei de-a
patra laturi. S ˘a se construiasc ˘a patrulaterul.
3.3. Simetria axial ˘a 65
Demonstrat ¸ie. Analiza. Presupunem c ˘a patrulaterul ABCD c˘autat, ˆın care se dau
laturileAB,BC s ¸iCD sunt date, iar unghiurile As ¸iDeste construit (vezi figura ??).
Aplic ˘am o translat ¸ie de vector !CBlaturiiCD, care se transform ˘aˆınBD0DreaptaBD0
esteˆınclinat ˘a fat ¸˘a de dreaptaAD sub unghiulD. Linia poligonal ˘aABD0se poate con-
strui, iar din ea se poate obt ¸ine patrulaterul c ˘autat,ABCD .
Construct ¸ia. ˆIncepem construct ¸ia cu unghiul A, pe una dintre laturile c ˘aruia
lu˘am segmentul AB. Prin punctul Bducem dreapta BD0, care formeaz ˆa un unghiD
cu dreaptaAD. Pe dreaptaBD0construim punctul D0astel ˆıncˆat s˘a avemBD0DCD.
CumD0DDBC, rezult ˘a c˘a punctulDse poate obt ¸ine din punctul D0ˆın modul urm ˘ator.
Construim cercul cu centrul ˆınD0s ¸i de raz ˘aBC.Dva fi punctul de intersect ¸ie dintre
acest cerc s ¸i dreapta AD(cea de-a doua latur ˘a a unghiului A). Pentru construirea v ˆarfului
r˘amas,C, construimBCkDD0s ¸iDCkD0B. PunctulCeste intersect ¸ia celor dou ˘a
drepte2.
Demonstrat ¸ia. Dup˘a cum se constat ˘a din construct ¸ie, ˆın patrulaterul ABCD
construit laturile AB,BC s ¸iCD au lungimile cerute, iar unghiurile As ¸iDsunt egale
cu cele date.
Discut ¸ia. Solut ¸ia este posibil ˘a, dac ˘a distant ¸a de la punctul D0la dreaptaADeste
mai mic ˘a dec ˆat laturaBC, deoarece numa ˆın acest caz cercul cu centrul ˆınO0, de raz ˘a
BC, intersecteaz ˘a dreaptaAD. Obt ¸inem, ˆın general, dou ˘a puncte,Ds ¸iD1. Ele ne dau
solut ¸ii dac ˘aˆın patrulaterele corespunz ˘atoare unghiurile As ¸iDsunt egale cu unghiurile
date. Ele pot fi egale, totus ¸i, s ¸i cu suplementele lor, s ¸i ˆın acest caz nu obt ¸unem o solut ¸ie.
Vezi, de exemplu, figura ??,ˆın care patrulaterul ABCD este o solut ¸ie a problemei, dar
patrulaterulABC1D1nu este solut ¸ie, deoarece unghiurile As ¸iD1sunt suplementele
unghiurilor date.
3.3 Simetria axial ˘a
3.3.1 Not ¸iuni teoretice
Dou˘a puncteMs ¸iM0se numesc simetrice relativ la o dreapt ˘addac˘a dreaptadeste
mediatoarea segmentului MM0.
Transformarea prin care fiecare punct al unei figuri date se transform ˘aˆın simetricul
s˘au fat ¸ ˘a de dreaptasse numes ¸te simetrie axial ˘a relativ la dreapta dsaureflexie fat ¸ ˘a de
dreaptad. Dreaptadˆıns˘as ¸i se numes ¸te ax˘a de simetrie . V om nota cu Sdsimetria relativ
la dreaptad. Aceast ˘a simetrie defines ¸te o transformare a planului SdWR2!R2, care
asociaz ˘a unui punct simetricul s ˘au fat ¸ ˘a de dreaptad. Ment ¸ion ˘am o serie de propriet ˘at ¸i
remarcabile ale simetrie fat ¸ ˘a de o dreapt ˘a.
1)Sdeste o izometrie (p ˘astreaz ˘a distant ¸ele).
2Altfel spus, translat ˘am segmentul DB0ˆınapoi ˆın pozit ¸iaCD.
66 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
2)Sdp˘astreaz ˘a punctele dreptei ds ¸i numai pe ele.
3)Sdeste o transformare involutiv ˘a:
SdSdD1R2:
4) Imaginea prin Sda unui segment de dreapt ˘a este un segment de dreapt ˘a.
5) Imaginea prin Sda unei semidrepte este o semidreapt ˘a.
6) Imaginea prin Sda unei drepte este o dreapt ˘a.
7) Imaginea unei drepte prin Sdeste dreapta ˆıns˘as ¸i dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
fie dreapta coincide cu dreapta d, caz ˆın care toate punctele sunt l ˘asate pe loc,
fie dreapta este perpendicular ˘a ped, caz ˆın care punctele sunt mis ¸cate de-a lun-
gul dreptei, cu except ¸ia punctului de intersect ¸ie al dreptei cu axa, care r ˘amˆane
pe loc.
8)Sdtransform ˘a un cerc!.O;r/ ˆın cercul!0.O0;r0/, undeO0DSd.O/, iarr0Dr.
!0D!dac˘a s ¸i numai dac ˘aO2d. Din nou, invariant ¸a nu este punctual ˘a (fiecare
punct se transform ˘aˆıntr-un alt punct al aceluias ¸i cerc).
9) Simetria axial ˘a are o infinitate de puncte fixe: punctele axei de simetrie.
3.3.2 Probleme de construct ¸ii rezolvate folosind simetria axial ˘a
Exemplul 3.3.1. DreaptaMN intersecteaz ˘a un segment AB. G˘asit ¸i, pe dreapta MN ,
un punctXastfel ˆıncˆatMN s˘a fie bisectoarea unghiului AXB .
Solut ¸ie. Dac˘aA0este simetricul lui Afat ¸˘a de dreaptaMN (vezi figura 3.1), atunci, din
definit ¸ie,APDA0Ps ¸i]MPAD]MPA0D90. De aceea,4XPAD4XPA0s ¸i,
prin urmare, ]PXAD]PXA0. Astfel, punctul Btrebuie s ˘a se afle pe dreapta A0X,
cu alte cuvinte, punctul Xtrebuie s ˘a fie situat pe dreapta A0B. De aceea, punctul Xse
poate construi ca intersect ¸ie a dreptelor MN s ¸iA0B.
Problema are solut ¸ie unic ˘a dac ˘a distant ¸ele de la punctele As ¸iBla dreaptaMN nu
coincid (cu alte cuvinte, dac ˘a mijlocul segmentului ABnu se afl ˘a pe dreaptaMN ). Dac ˘a
cele dou ˘a distant ¸e coincid, dar punctele As ¸iBnu sunt simetrice fat ¸ ˘a de dreaptaMN
(adic ˘a dac ˘a aceast ˘a dreapt ˘a nu este mediatoarea segmentului MN ), atunci problema nu
are solut ¸ie ( ˆıntruc ˆat dreaptaA0Beste paralel ˘a cu dreaptaMN ).ˆIn fine, dac ˘a puncteleA
s ¸iBsunt simetrice fas ¸ ˘a de dreaptaMN , atunci problema devine nedeterminat ˘a: orice
punct al dreptei MN ˆındeplines ¸te condit ¸iile problemei.
Exemplul 3.3.2. S˘a se construiasc ˘a un triunghi ABC , cunosc ˆand laturaACDb, un-
ghiul adiacent ]AD s ¸i diferent ¸a celorlalte dou ˘a laturiAB BCDr.
3.3. Simetria axial ˘a 67
MXA
PN
B
A0
Figura 3.1
Solut ¸ie. FieABC triunghiul c ˘autat (vezi figura 3.2). M ˘arimilebs ¸i sunt elemente
ale triunghiului ABC . Pentru a introduce ˆın desen m ˘arimea dat ˘ar, este suficient ˘a s˘a
consider ˘am metrica laturii BC fas ¸˘a de bisectoarea unghiului B. Prin aceast ˘a simetrie,
punctulCse transform ˘aˆın punctulC02BA, iarAC0DAB BC0DAB BCDr.
B
C
bAC0
r
Figura 3.2
ˆIn triunghiul ACC0cunoas ¸tem, acum, dou ˘a laturi (ACDb;AC0Dr) s ¸i unghiul
cuprins ˆıntre ele, care este tocmai unghiul A. As ¸adar, acest triunghi se poate construi. ˆIn
plus, remarc ˘am c ˘a bisectoarea unghiului Beste tocmai mediatoarea laturii CA0a acestui
triunghi, deci s ¸i ea se poate construi, odat ˘a ce am construit triunghiul ACC0.
Astfel, pentru a construi triunghiul ABC , construim mai ˆıntˆai triunghiul ACC0,
68 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
cunosc ˆand dou ˘a laturi s ¸i unghiul cuprins ˆıntre ele. Construim apoi mediatoarea segmen-
tuluiCC0. PunctulB, singurul v ˆarf r˘amas neconstruit, se afl ˘a la intersect ¸ia dreptei AC0
cu mediatoarea segmentului CC0.
Demonstrat ¸ia nu pune probleme deosebite, deci mai avem de f ˘acutdiscut ¸ia .
Remarc ˘am,ˆınainte de toate, c ˘aAB >BC (deoarece diferent ¸a lor este r >0 ). De
aceea,]A<]Cs ¸i, prin urmare , <90.ˆIn aceste condit ¸ii, mediatoarea segmentului
CC0intersecteaz ˘a semidreapta AC0dac˘a s ¸i numai dac ˘a unghiul ]CC0Beste ascut ¸it,
adic˘a]AC0Ceste obtuz, astfel c ˘a segmentulAC0este mai mic dec ˆat proiect ¸ia segmen-
tuluiAC pe dreaptaAB:r < b cos . Evident c ˘a aceast ˘a inegalitate nu poate avea
loc dac ˘a 90, dar noi am dedus deja c ˘a este ascut ¸it. Astfel, relat ¸ia r < b cos
reprezint ˘a singura condit ¸ie pentru ca problema s ˘a aib ˘a solut ¸ie (unic ˘a).
Exemplul 3.3.3. Se d ˘a un unghi ascut ¸it AOB s ¸i un punctMsituat ˆın interiorul un-
ghiului. S ˘a se determine dou ˘a puncteXs ¸iYsituate pe laturile unghiului astfel ˆıncˆat
perimetrul triunghiului MXY s˘a fie minim.
Solut ¸ie. FieXs ¸iYpunctele c ˘autate (vezi figura 3.3). Construim simetricele punctului
Mfat ¸˘a de laturile unghiului, fie ele punctele M0s ¸iM00. Atunci perimetrul triunghiului
MXY este egal cu
MXCXYCMYDM0XCXYCM00Y;
adic˘a reprezint ˘a lungimea liniei poligonale M0XYM00. Este clar c ˘a aceast ˘a lungime este
minim ˘a atunci c ˆand cele patru puncte sunt coliniare, adic ˘a atunci c ˆandXs ¸iYse afl ˘a pe
dreaptaM0M00.
O
X
M0M
ABM00
Y
Figura 3.3
3.3. Simetria axial ˘a 69
Aceast ˘a analiz ˘a ne spune deja cum putem construi cele dou ˘a puncte c ˘autate. ˆIncepem
prin a construi punctele M0s ¸iM00(simetricele lui Mfat ¸˘a deOA, respectivOB), apoi
construim dreapta M0M00. PunctulXva fi punctul de intersect ¸ie dintre aceast ˘a dreapt ˘a
s ¸iOA,ˆın tim ce punctul Yva fi punctul de intersect ¸ie dintre aceast ˘a dreapt ˘a s ¸iOB(vezi
figura 3.4). Triunghiul MXY este triunghiul c ˘autat.
O
X
M0AB
MYM00
Figura 3.4
Demonstrat ¸ia este imediat ˘a s ¸i, de asemenea, rezult ˘a imediat c ˘a solut ¸ia problemei este
unic˘a.
Exemplul 3.3.4. S˘a se construiasc ˘a un romb astfel ˆıncˆat una dintre diagonalele sale s ˘a
fie egal ˘a cu un segment dat rs ¸i s˘a fie situat ˘a pe o dreapt ˘a dat ˘a,a, iar celelalte dou ˘a
vˆarfuri s ˘a fie situate pe alte dou ˘a drepte date, bs ¸ic.
Solut ¸ie. Analiza. FieABDC rombul c ˘autat (vezi figura 3.5) s ¸i ADDrdiagonala dat ˘a,
situat ˘a pe o dreapt ˘aa. Remarc ˘am imediat c ˘a problema de construct ¸ie este rezolvat ˘a,ˆın
acest caz concret, dac ˘a sunte ˆın stare s ˘a construim unul dintre celelalte dou ˘a vˆarfuri al
rombului, de exemplu v ˆarfulC. Din propriet ˘at ¸ile de simetrie ale rombului, rezult ˘a atunci
imediat c ˘a vˆarfulBeste simetricul v ˆarfuluiCfat ¸˘a de dreaptaa. De aceea, aplic ˆand o
simetrie fat ¸ ˘a de dreaptaa, punctulBse transform ˘aˆın punctulC, iar dreaptab–ˆıntr-o
dreapt ˘ab0, care trece prin punctul C. Astfel, punctul Cpoate fi construit ca punct de
intersect ¸ie dintre dreptele cs ¸ib0, dintre care una este dat ˘a, iar cealalt ˘a se poate construi.
Construct ¸ia.
Construim mai ˆıntˆai dreaptab0– simetrica dreptei brelativ la dreapta a.
Construim punctul C, ca intersect ¸ie dintre dreapta cs ¸i dreaptab0.
Construim dreapta BC, perpendiculara din Cpe dreaptaa.
70 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
b
a
c
b0CD AOB
Figura 3.5
PunctulfOgDBC\aeste centrul rombului.
PuncteleAs ¸iDse afl ˘a pe dreaptaa, de o parte s ¸i de alta a punctului O, la distant ¸ar
2.
PunctulBeste simetricul lui Cfat ¸˘a de dreaptaa.
Demonstrat ¸ia. Este banal ˘a, as ¸a c ˘a o omitem.
Discut ¸ia. Sunt posibile urm ˘atoarele cazuri:
(i)ckb0–ˆın acest caz nu avem solut ¸ie;
(ii)cb0– avem o infinitate de solut ¸ii;
(iii) dreptele cs ¸ib0se intersecteaz ˘aˆın exteriorul dreptei a– avem o singur ˘a solut ¸ie;
(iv) dreptele cs ¸ib0se intersecteaz ˘a pe dreaptaa– nu avem solut ¸ie.
3.4 Rotat ¸ia fat ¸ ˘a de un punct
3.4.1 Not ¸iuni teoretice
Numim rotat ¸ie de unghiˆın jurul unui punct fix Oal planului o transformare RO;W
R2!R2care asociaz ˘a fiec ˘arui punctAal planului un punct Bastfel ˆıncˆat (ca lungime
de segmente) OBDOA, iar]AOBD. Rotat ¸ia se face ˆın sens trigonometric (invers
mersului acelor de ceasornic) dac ˘a0s ¸iˆın sensul mersului acelor de ceasornic dac ˘a
0.Ose numes ¸te centru de rotat ¸ie. Enumer ˘am c ˆateva propriet ˘at ¸i fundamentale.
3.4. Rotat ¸ia fat ¸ ˘a de un punct 71
1)RO;0este aplicat ¸ia identic ˘a a planului.
2)RO;este o izometrie.
3) Dac ˘a¤0, atunciRO;admite un singur punct fix, centrul de rotat ¸ie O.
4) Imaginea prin RO;a unui segment ABeste segmentul A0B0, undeA0DRO;.A/
s ¸iB0DRO;.B/.
5) Imaginea prin RO;a unei semidrepte este o semidreapt ˘a.
6) Imaginea prin RO;a unei drepte este o dreapt ˘a.
7) Imaginea prin RO;a unui unghi este un unghi egal.
8)RO;transform ˘a un cerc!.M;r/ ˆın cercul!0.M0;r0/, undeM0DRO;.M/, iar
r0Dr.
9) Compunerea rotat ¸iei RO;cu rotat ¸iaRO;0, de acelas ¸i centru, este rotat ¸ia RO;C0.
De remarcat c ˘a ordinea ˆın care se compun cele dou ˘a rotat ¸ii este irelevant ˘a.
10) Inversa rotat ¸iei RO;este rotat ¸iaRO; .
3.4.2 Probleme de construct ¸ii rezolvate folosind rotat ¸ia fat ¸ ˘a de un punct
Exemplul 3.4.1. S˘a se construiasc ˘a un triunghi dac ˘a se dau dou ˘a laturi s ¸i mediana co-
respunz ˘atoare cele de-a treia laturi.
Solut ¸ie. FieABC (vezi figura 3.6) triunghiul c ˘autat,as ¸ib– laturile date s ¸i CDDma
– mediana dat ˘a. Rotind ˆıntreaga figur ˘aˆın jurul punctului Dcu180, obt ¸inem paralelo-
gramulACBC0, la care se cunosc laturile s ¸i una dintre diagonale, CC0D2mc. Aceasta
dugereaz ˘a urm ˘atorul mers al construct ¸iei:
construim triunghiul ACC0, la care cunoas ¸tem cele trei laturi, s ¸i ˆıl complet ˘am la
paralelogramul ACBC0;
construind punctele As ¸iB, obt ¸inem triunghiul ABC c˘autat.
Construirea triunghiului ACC0, deci s ¸i a triunghiului c ˘autat, este posibil ˘a dac ˘a s ¸i
numai dac ˘a
ja bj<2mc<aCc:
Dac˘a aceste condit ¸ii sunt ˆındeplinite, problema are solut ¸ie unic ˘a.
Exemplul 3.4.2. Se dau punctul Os ¸i drepteleas ¸ib, care nu trec prin el. Din centrul
O, ca centru, s ˘a se duc ˘a un cerc, astfel ˆıncˆat arcul s ˘au, cuprins ˆıntre dreptele date, s ˘a fie
v˘azut din punctul Osub un unghi ascut ¸it dat, .
72 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
A
C0BDmc b aC
Figura 3.6
Solut ¸ie. Analiza. Presupunem c ˘a problema este rezolvat ˘a. Fie!cercul c ˘autat,As ¸iB
– capetele arcului cuprins ˆıntre cele dou ˘a drepte, ]AOBD (vezi figura 3.7). Dac ˘a
aplic ˘am o rotat ¸ie de unghi ˆın jurul punctului Odrepteia, atunci punctul Ase trans-
form ˘aˆın punctulB. Prin urmare, punctul Bpoate fi g ˘asit ca intersect ¸ie dintre imaginea
drepteias ¸i dreaptab. Apoi, este us ¸or s ˘a construim cercul c ˘autat. Construct ¸ia. Rotim
a
Ob A B!
Figura 3.7
dreapta cu un unghi ˆın jurul punctului Os ¸i not ˘am cua0imaginea ei (vezi figura 3.8).
3.4. Rotat ¸ia fat ¸ ˘a de un punct 73
Construim punctul comun Bal dreptelora0s ¸ib. Cercul!.O;OB/ este cel c ˘autat.
aa0
AB
b!
Figura 3.8
Demonstrat ¸ia. Admitem, pentru fixarea ideilor, c ˘a pentru construct ¸ie rotirea dreptei a
se produce ˆın sensul mersului acelor de ceasornic. F ˘acˆand aceast ˘a rotat ¸ie, construim
punctulB, ca intersect ¸ie dintre a0(imaginea lui a) s ¸i dreaptab. Rotim acum punctul B
ˆın jurul punctului O, de aceasta dat ˘aˆın sens opus mersului acelor de ceasornic, tot cu
un unghi . Atunci dreapta a0se transform ˘aˆın dreaptaa, iar punctulBse suprapune
peste un punct Ade pe dreapta a. Este clar c ˘a]AOBD s ¸i, de aceea, cercul !este,
ˆıntr-adev ˘ar, cel c ˘autat.
Discut ¸ia. ˆIntruc ˆatˆın cerint ¸ele problemei nu este precizat, dreapta ase poate roti ˆın
jurul punctului Ocu unghiul atˆatˆın sensul mersului acelor de ceasornic, c ˆat s ¸iˆın sens
opus. De aceea, dup ˘a rotire, dreapta poate ocupa dou ˘a pozit ¸ii, fie ele a0s ¸ia00,ˆın funct ¸ie
de sensul rotat ¸iei. Cum unghiul , prin ipotez ˘a, este ascut ¸it, dreptele a0s ¸ia00nu sunt
paralele ˆıntre ele (ele fac un unghi de 2 ). Sun posibile urm ˘atoarele cazuri:
1.a0s ¸ia00se intersecteaz ˘a cub.ˆIn acest caz problema are dou ˘a solut ¸ii.
2.a0(saua00) este paralel ˘a cub(este clar c ˘a nu pot fi ambele paralele cu b).ˆIn acest
caz, avem o solut ¸ie unic ˘a.
3.a0(saua00) coincide cu b. De data aceasta avem o infinitate de solut ¸ii.
Exemplul 3.4.3. S˘a se construiasc ˘a un p ˘atrat astfel ˆıncˆat trei dintre v ˆarfurile sale s ˘a fie
situate pe trei drepte paralele a;bs ¸ic.
74 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
Demonstrat ¸ie. FiePQRS p˘atratul c ˘autat (vezi figura 3.9), iar P2a,Q2b,R2c.
Printr-o rotat ¸ie cu 90ˆın jurul punctului Q, punctulRva coincide cu P, iar dreaptacse
va transforma ˆın dreaptac0, care trece prin P, astfel ˆıncˆatfPga\c0. Construind seg-
mentulPQ (latura p ˘atratului), este us ¸or s ˘a construim ˆıntregul p ˘atrat. Aleg ˆand punctul
a
b
c
c0QP
S
R
Figura 3.9
Qpe drepte diferite, obt ¸inem trei p ˘atrate, ˆın general inegale. Except ¸ie face cazul ˆın care
una dintre dreptele date este egal dep ˘artat˘a de celelalte dou ˘a.ˆIn acest caz, dou ˘a dintre
cele trei p ˘atrate, fie ele P1Q1R1S1s ¸iP2Q2R2S2sunt egale ˆıntre ele.
Aceast ˘a problem ˘a are o infinitate de solut ¸ii, care se se pot obt ¸ine schimb ˆand pozit ¸ia
punctuluiQpe dreptelea;b;c . Fiecare dintre p ˘atratele care se pot obt ¸ine va fi egal cu
unul dintre p ˘atrateleP1Q1R1S1,P2Q2R2S2sauP3Q3R3S3.
3.5 Omotetia
3.5.1 Not ¸iuni teoretice
Fiekun num ˘ar real nenul s ¸i Oun punct din plan. Se numet ¸te omotetie de centruOs ¸i de
raportktransformarea HO;kWR2!R2astfel ˆıncˆat, dac ˘aZeste un punct oarecare al
planului, iarZ0este imaginea sa prin omotetie, atunci punctele O;Z;Z0sunt coliniare,
iarOZ0DkOZ.
Se observ ˘a c˘a omotetiile de raport kD 1s ¸ikD1sunt izometrii (s ¸i numai ele!).
CazulkD1corespunde, ˆın mod evident, aplict ¸iei identice a planului. Ment ¸ion ˘am o
serie de propriet ˘at ¸i ale omotetiei.
3.5. Omotetia 75
1) Distant ¸a ˆıntre imaginile a dou ˘a puncte este propot ¸ional ˘a cu distant ¸a dintre ele:
jHO;k.A/HO;kjDjkjjABj:
2) Imaginea unei drepte prin HO;keste o dreapt ˘a paralel ˘a cu ea. Dac ˘a dreapta este
orientat ˘a, atunci imaginea sa va fi orientat ˘a la fel dac ˘a avemk >0 sau invers, dac ˘a
avemk<0 . Singurele drepte invariante sunt cele care trec prin centrul de omotetie.
3) Imaginea unei semidrepte prin HO;keste o semidreapt ˘a paralel ˘a cu ea, cu aceleas ¸i
observat ¸ii relativ la orientare.
4) Imaginea unui segment prin HO;keste un segment paralel cu el, cu aceleas ¸i observat ¸ii
relativ la orientare.
5) Omotetia de raport k¤1are un singur punct invariant (centrul).
6) Nu exist ˘a cercuri invariante relativ la omotetii pentru care jkj¤1.
7) Imaginea unui cerc !.M;r/ prinHO;keste un cerc!0.M0;r0/, undeM0DHO;k.M/,
iarr0Djkjr.
3.5.2 Aplicat ¸ii ale omotetiei la rezolvarea problemelor de construct ¸ii geo-
metrice
Exemplul 3.5.1. ˆIntr-un triunghi dat, s ˘a seˆınscrie un alt triunghi, cu laturile paralele cu
trei drepte date.
Demonstrat ¸ie. Not˘am cuABC triunghiul dat s ¸i cu D1;D2;D3cele trei drepte date.
Este clar c ˘a, dac ˘a not ˘am cuDEF triunghiul ce trebuie construit, construct ¸ia sa e de-
terminat ˘a s ¸n momentul ˆın care reus ¸im s ˘a construim un v ˆarf al s ˘au. Ducem o dreapt ˘a
paralel ˘a cu dreapta D1(vezi figura 3.10), astfel ˆıncˆat ea s ˘a intersecteze laturile ABs ¸i
ACale triunghiului dat, ˆın puncteleHs ¸iG. Prin punctul Hducem o paralel ˘a la dreapta
D2s ¸i prinG– o paralel ˘a la dreaptaD3. Ele se intersecteaz ˘aˆın punctulL. Triunghiul
HGL construit ˆın acest mod are laturile paralele cu cele ale triunghiului c ˘autatDEG ,
deci este omotetic cu acest triunghi. Este us ¸or de constatat c ˘a centrul de omotetie este
chiar v ˆarfulAal triunghiului ABC . S ¸tim c ˘a puncteleGs ¸iHse afl ˘a pe dou ˘a dintre
laturile triunghiului ABC , deci s ¸i omoteticele lor se vor afla, de asemenea, pe aceleas ¸i
laturi. Nu s ¸tim, deocamdat ˘a, care trebuie s ˘a fie raportul de omotetie. Ceea ce s ¸tim ˆıns˘a,
este c ˘a acest raport trebuie ales astfel ˆıncˆat imaginea punctului Lprin aceast ˘a omotetie
s˘a se afle pe cea de-a treia latur ˘a a triunghiului, adic ˘aBC.
Proced ˘amˆın modul care urmeaz ˘a. FieDimaginea punctului Lprin omotetie. Omo-
tetia fiind de centru A, punctulDtrebuie s ˘a se afle pe dreapta AL, dar, ˆın acelas ¸i timp,
el trebuie s ˘a apart ¸in ˘a drepteiBC. Prin urmare,fDgDAL\BC. As ¸adar, am reus ¸it
s˘a construim v ˘arfulDal triunghiului DEF . Prin acest punct ducem acum dreptele
76 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
A
FE
G
H
B
DC
LD1
D3D2
Figura 3.10
DEkGL(E2AC) s ¸iDFkLH (F2AB). Dac ˘a unim peEcuF, dreaptaEFeste
paralel ˘a cu dreaptaHG, deci triunghiul c ˘autat esteDEF .
Discut ¸ie. Solut ¸ia exist ˘a doar dac ˘a dreptele date nu sunt paralele ˆıntre ele (dou ˘a
cˆate dou ˘a).
Exemplul 3.5.2. Se dau un punct s ¸i dou ˘a drepte concurente. Prin punctul dat s ˘a se duc ˘a
o o dreapt ˘aˆın as ¸a fel ˆıncˆat segmentele determinate pe ea de punctul dat s ¸i de punctele de
intersect ¸ie cu cele dou ˘a drepte date s ˘a fie ˆıntr-un raport dat, mWn.
Demonstrat ¸ie. FieSpunctul dat s ¸i f;g – dreptele date (vezi figura 3.11). S ˘a presu-
punem c ˘a secantaSFG (F2f,G2g) este o solut ¸ie a problemei. Asta ˆınseamn ˘a
c˘a
SF
SGDm
nsauSG
SFDn
mDk:
Aplic ˘am o omotetie de centru Ss ¸i de raportk. Prin aceast ˘a omotetie, punctul Fse va
transforma ˆın punctulG, iar dreaptaf–ˆıntr-o dreapt ˘af0, paralel ˘a cu ea, care trece prin
punctulG. Prin urmare, punctul Geste punctul de intersect ¸ie dintre dreptele f0s ¸ig. De
aici, obt ¸inem construct ¸ia care urmeaz ˘a.
Din centrulSducem un cerc de raz ˘aSMDm. G˘asim un punct de intersect ¸ie dintre
acest cerc s ¸i dreapta f. Not ˘am acest punct cu M. Pe dreaptaSM alegem un punct N
astfel ˆıncˆatSNDn. Dac ˘a aplic ˘am acum o omotetie de centru Ss ¸i de raportkDn=m ,
atunci punctul Mse transform ˘aˆın punctulN, iar dreaptafse transform ˘aˆın dreaptaf0.
Aceasta din urm ˘a trebuie s ˘a fie paralel ˘a cu dreaptafs ¸i trebuie s ˘a treac ˘a prin punctul N.
3.5. Omotetia 77
Sff0g
FG
M N
Figura 3.11
Construim dreapta f0s ¸i determin ˘am punctulGˆın care ea se intersecteaz ˘a cu dreaptag.
Atunci dreapta SGeste solut ¸ia problemei, deoarece
SG
SFDn
mDk:
Din construct ¸ie se observ ˘a c˘a problema are solut ¸ie unic ˘a.
Exemplul 3.5.3. ˆIntr-un triunghi ABC dat, s ˘a seˆınscrie un dreptunghi, ale c ˘arui laturi
s˘a se afle ˆıntr-un raport dat, astfel ˆıncˆat dou ˘a dintre v ˆarfurile dreptunghiului s ˘a se afle pe
laturaABa triunghiului dat, iar celelalte dou ˘a vˆarfuri – unul pe latura AC, iar cel ˘alalt –
pe laturaBC.
Demonstrat ¸ie. Presupunem c ˘a dreptunghiul cerut PQSR este construit (vezi figura 3.12).
Atunci raportul laturilor sale va fi
QS
RSDm
n;
unde literelems ¸innoteaz ˘a dou ˘a segmente date. Aplic ˘am dreptunghiului PQSR omo-
tetia de centru As ¸i de raport
kDm
QS:
Obt ¸inem un nou dreptunghi, P0Q0S0R0, iar
Q0S0
QSDkDm
QS:
78 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
APCP0Q0
S0 BR0S RQ
Figura 3.12
De aici,
Q0S0DmDP0R0:
Cum printr-o omotetie raportul a dou ˘a segmente nu se schimb ˘a, avem
Q0S0
R0S0DQS
RSDm
n
s ¸i, prin urmare,
R0S0Dn:
Construct ¸ia. Ducem o dreapt ˘a paralel ˘a cu laturaABa triunghiului dat s ¸i situat ˘a
de distant ¸amfat ¸˘a de aceasta. Not ˘am punctul de intersect ¸ie a acestei paralele cu latura
AC a triunghiului cu P0. Dup ˘a aceea, construim dreptunghiul P0Q0S0R0cu laturile
P0R0Dms ¸iR0S0Dn. VˆarfulQa dreptunghiului c ˘autat trebuie s ˘a se afle pe dreapta
AQ0,ˆıntruc ˆat el corespunde punctului Q0prin omotetia de centru A. Prin urmare, v ˆarful
Qeste la intersect ¸ia dreptei AQ0cu laturaBCa triunghiului. Odat ˘a construit v ˆarfulQ,
construct ¸ia celorlalte v ˆarfuri nu pune nici un fel de dificult ˘at ¸i.
Din construct ¸ie se constat ˘a c˘a problema are solut ¸ie unic ˘a.
3.6 Inversiunea
3.6.1 Not ¸iuni teoretice
FieOun punct din plan s ¸i Run num ˘ar pozitiv. Se numes ¸te inversiune de centru (sau
pol)Os ¸i putereR2aplicat ¸ia
IO;R2WR2nfOg!R2
definit ˘a prin
IO;R2.P/DP0;astfel ˆıncˆatOPOP0DR2:
3.6. Inversiunea 79
Se mai spune c ˘aIO;R2este o inversiune fat ¸ ˘a de cercul!.O;R/ . PunctulP0se numes ¸te
inversul luiP, iar cercul!se numes ¸te cerc de inversiune .
Ment ¸ion ˘am, mai jos, cele mai importante propriet ˘at ¸i ale inversiunii. Demonstrat ¸ia
lor se poate g ˘asiˆın orice carte serioas ˘a de transform ˘ari geometrice sau, mai general, de
geometrie euclidian ˘a plan ˘a. Cum cursul acesta are cu totul alt subiect, nu vom reproduce
aici aceste demonstrat ¸ii.
1) Inversiunea este propria sa invers ˘a:
IO;R2IO;R2D1R2nf0g:
2) Orice punct al cercului de inversiune se transform ˘aˆın el ˆınsus ¸i, altfel sus, toate punc-
tele cercului de inversiune sunt puncte fixe ale transform ˘arii.
3) Orice punct din exteriorul cercului de inversiune se transform ˘aˆıntr-un punct din in-
teriorul s ˘au s ¸i reciproc.
4) Orice semidreapt ˘a cu originea ˆın polul inversiunii se transform ˘aˆın ea ˆıns˘as ¸i. Totus ¸i,
aceasta ˆınseamn ˘a doar c ˘a punctele semidreptei se transform ˘aˆın alte puncte ale se-
midreptei, de obicei inversele lor nu sunt ele ˆınsele, cu alte cuvinte, semidreptele cu
originea ˆın polul de inversiune sunt figuri invariante relativ la inversiune.
5) O dreapt ˘a care trece prin polul de inversiune (se ˆınt ¸elege, mai put ¸in polul ˆınsus ¸i) se
transform ˘aˆın ea ˆıns˘as ¸i (din nou, mai put ¸in polul), adic ˘a este invariant ˘a.
6) Dreapta care unes ¸te dou ˘a puncte ale planului s ¸i dreapta care unes ¸te inversele lor sunt
o pereche de drepte antiparalele relativ la unghiul cu v ˆarful ˆın polul de inversiune s ¸i
avˆand ca laturi dreptele determinate de pol s ¸i de primele dou ˘a puncte3.
7) Prin inversiune, un cerc care trece prin polul inversiunii se transform ˘aˆıntr-o dreapt ˘a
perpendicular ˘a pe linia centrelor cercului dat s ¸i cercului de inversiune.
8) Inversul unui cerc care nu trece prin polul de inversiune este tot un cerc care nu trece
prin polul de inversiune.
9) Inversa unei drepte care nu trece prin polul de inversiune este un cerc care trece prin
polul de inversiune.
10) Dac ˘a un cerc trece prin dou ˘a puncte care sunt unul inversul celuilalt printr-o inver-
siune dat ˘a, atunci acest cerc este invariant relativ la inversiunea dat ˘a (adic ˘a fiecare
punct al s ˘au se transform ˘aˆıntr-un alt punct al s ˘au).
3Reamintim c ˘a dou ˘a drepte care taie laturile unui unghi sunt antiparalele relativ la acel unghi, dac ˘a
unghiul pe care ˆıl formeaz ˘a prima dreapt ˘a cu o latur ˘a a unghiului este egal cu unghiul pe care ˆıl formeaz ˘a
cealalt ˘a dreapt ˘a cu cea de-a doua latur ˘a a unghiului
80 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
11) Pentru ca un cerc diferit de cercul de inversiune s ˘a se transforme prin inversiune ˆın
elˆınsus ¸i (adic ˘a s˘a fie invariant) este necesar s ¸i suficient ca cercul s ˘a fie ortogonal
cercului de inversiune.
12) Dac ˘a dou ˘a linii
1s ¸i
2(pot fi s ¸i curbe, nu neap ˘arat drepte) s ¸i un punct de intersect ¸ie
Mal lor se transform ˘a printr-o inversiune ˆın liniile
0
1s ¸i
0
2s ¸i punctulM0, atunci
unghiul dintre
1s ¸i
2ˆınMeste egal cu unghiul dintre
0
1s ¸i
0
2ˆın punctulM0. Se
spune c ˘a transformarea prin inversiune este o transformare conform ˘a, adic ˘a p˘astreaz ˘a
unghiurile.
3.6.2 Aplicat ¸ii ale inversiunii la rezolvarea problemelor de construct ¸ii ge-
ometrice
Exemplul 3.6.1. Prin dou ˘a puncteAs ¸iBdate, s ˘a se construiasc ˘a un cerc ortogonal la
un cerc dat,!.O;r/ .
Demonstrat ¸ie. Dac˘a aplic ˘am o inversiune de cerc !, atunci cercul c ˘autat, fie el
, fiind
ortogonal pe cercul de inversiune, este un cerc invariant, deci se transform ˘aˆın el ˆınsus ¸i.
Prin urmare, punctele As ¸iBse transform ˘aˆın puncteleA0s ¸iB0de pe cercul
. Dar
cercul
este complet determinat de trei puncte ale sale, de exemplu A;B s ¸iA0. De aici
rezult ˘a construct ¸ia (vezi figura 3.13).
OAO1B A0
!
Figura 3.13
1) Construim punctul A0, inversul punctului Afat ¸˘a de cercul!.
2) Construim cercul
care trece prin punctele A;B s ¸iA0.
3.6. Inversiunea 81
este cercul c ˘autat.
Dac˘a punctulAse afl ˘a pe centrul !, atunci punctul A0coincide cu punctul As ¸i
modalitatea de construire descris ˘a mai sus este neaplicabil ˘a.ˆIn acest caz, se poate aplica
o modalitate echivalent ˘a, folosind punctul Bˆın locul punctului A. Dac ˘a ambele puncte
As ¸iBse afl ˘a pe cercul!, atunci construct ¸ia se poate realiza astfel: prin As ¸iBducem
tangentele la cercul !s ¸i not ˘am punctul lor de intersect ¸ie cu O1.O1este centrul cercului
c˘autat.
Aceste construct ¸ii nu sunt aplicabile dac ˘a puncteleA;B s ¸iOsunt coliniare. Dac ˘a
puncteleAs ¸iBnu sunt unul inversul celuilalt, atunci problema nu are solut ¸ii. Dac ˘a
puncteleAs ¸iBsunt inverse fat ¸ ˘a de cercul!, atunci problema are o infinitate de solut ¸ii:
oricare cerc are trece prin punctele As ¸iBeste ortogonal cercului !.
Exemplul 3.6.2. Sunt date punctele A;B s ¸iC. S˘a se duc ˘a prinBo dreapt ˘a astfel ˆıncˆat
distant ¸eleAXs ¸iCYde la punctele As ¸iCpˆan˘a la aceast ˘a dreapt ˘a s˘a verifice egalitatea
AX2 CY2Dk2;
undekeste o lungime constant ˘a (vezi figura 3.14).
C C1
J
XB Y
Y1D
A L
Figura 3.14
Demonstrat ¸ie. Din egalitatea
.AXCCY/.AX CY/Dk2
rezult ˘a necesitatea de a introduce ˆın desen suma s ¸i diferent ¸a segmentelor AX s ¸iBY.
De aceea, pe semidreapta AX construim segmentul XC1de lungime egal ˘a cu cea a
segmentuluiCY, iar segmentul CBˆıl prelungim, dincolo de B, cu un segment BD, de
aceeas ¸i lungime cu CB. Apoi ducem DY1kBX, undeY12AC1. Din construct ¸ie
rezult ˘a atunci c ˘aXY1DC1X, iarAC1AY1Dk2. Dac ˘a se consider ˘aApolul
inversiunii de putere k2, atunciC1s ¸iY1vor fi puncte inverse relativ la aceast ˘a inversiune.
82 Capitolul 3. Transform ˘ari geometrice
CumY1se afl ˘a pe dreaptaDY1,ˆınseamn ˘a c˘aC1se afl ˘a pe inversa acestei drepte. Cum
dreapta nu trece prin polul de inversiune, inversa ei este un cerc care trece prin polul
de inversiune, adic ˘a prinA. Mai mult, punctele As ¸iC1sunt puncte diametral opuse ˆın
cercul invers dreptei DY1. FieJinversul luiDrelativ la inversiunea aleas ˘a. Atunci el
verific ˘a relat ¸iaADAJDk2, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘aJpoate fi construit. Triunghiul
AJC1este dreptunghic, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a s ¸iC1se poate construi. Acum, dreapta pe
care vrem s ˘a o construim este dreapta care trece prin Bs ¸i este perpendicular ˘a pe dreapta
AC1, ceea ce ˆıncheie rat ¸ionamentul.
Partea II
Constructibilitate cu rigla s ¸i
compasul
83
CAPITOLUL 4
Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
4.1 Puncte constructibile s ¸i numere constructibile
Am l ˘amurit, sper ˘am, care este semnificat ¸ia construct ¸iilor cu rigla s ¸i compasul ˆın pla-
nul euclidian. Abordarea de p ˆan˘a acum, pur geometric ˘a, nu ne permite, din p ˘acate, s ˘a
preciz ˘am care figuri geometrice se pot construi folosind, ˆın exclusivitate, aceste dou ˘a in-
strumente clasice. Pentru a obt ¸ine r ˘aspunsul la aceast ˘aˆıntrebare, trebuie s ˘a reformul ˘am
o problem ˘a de construct ¸ii ˆıntr-un alt limbaj. Cel mai potrivit s-a dovedit a fi cel algebric.
V om ˆıncepe, prin urmare, acest capitol tocmai cu formularea problemei de construct ¸ii
(mai precis, formularea not ¸iunii de constructibilitate )ˆıntr-un limbaj algebric. Primul pas
este s ˘a d˘am o definit ¸ie (deocamdat ˘a geometric ˘a) riguroas ˘a a not ¸iunii de punct construc-
tibil.
Definit ¸ia 4.1. Fie
planul euclidian s ¸i B
o submult ¸ime finit ˘a a planului, care
cont ¸ine cel put ¸in dou ˘a elemente. Elementele lui Bse numesc puncte de baz ˘a. Atunci:
(a) Un punct M2
se numes ¸te constructibil cu rigla s ¸i compasul dac ˘a exist ˘a un s ¸ir
finit de muncte care se termin ˘a cuM:M1;M2;:::;MnDMastfel ˆıncˆat pentru
fiecarei,1ineste un punct de intersect ¸ie
fie a dou ˘a drepte,
fie a unei drepte s ¸i a unui cerc,
fie a dou ˘a cercuri,
aceste drepte s ¸i cercuri obt ¸in ˆandu-se, pentru fiecare i, cu ajutorul mult ¸imii EiD
B[fM1;:::;Mi 1gˆın modul urm ˘ator:
85
86 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
orice dreapt ˘a trece prin dou ˘a puncte distincte din Ei,
fiecare cerc are centrul ˆıntr-un punct din Ei, iar raza sa este egal ˘a cu distant ¸a
dintre dou ˘a puncte dinEi.
(b) O dreapt ˘a care trece prin dou ˘a puncte constructibile se numes ¸te constructibil ˘a.
(c) Un cerc ce are centrul ˆıntr-un punct constructibil s ¸i are raza egal ˘a cu distant ¸a dintre
dou˘a puncte constructibile se numes ¸te constructibil .
Observat ¸ia 3.Toate punctele de baz ˘adinBsunt constructibile cu rigla s ¸i compasul.
Fie, de exemplu, P2Bun punct de baz ˘a.ˆIntruc ˆat am admis c ˘a exist ˘a cel put ¸in dou ˘a
puncte de baz ˘a, rezult ˘a c˘a exist ˘a un punctP02B,P0¤P. AtunciPse poate obt ¸ine
ca intersect ¸ie a dreptei PP0cu cercul de centru P0s ¸i de raz ˘aPP0, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a
Peste constructibil. Cum Peste un punct de baz ˘a ales la ˆıntˆamplare, rezult ˘a c˘aorice
punct de baz ˘a este constructibil.
Observat ¸ia 4.De acum ˆıncolo, dac ˘a nu se ment ¸ioneaz ˘a explicit altfel, pentru noi construct ¸ie
geometric ˘avaˆınsemna construct ¸ie geometric ˘a realizat ˘a cu rigla s ¸i compasul s ¸i nu vom
mai ment ¸iona explicit instrumentele utilizate.
ˆIn cele ce urmeaz ˘a, scopul nostru este s ˘a introducem not ¸iunea de num˘ar constructi-
bil, al˘aturi de cea de punct constructibil .ˆIn acest scop, vom introduce un reper cartezian
ˆın plan, plec ˆand de la dou ˘a puncte de baz ˘a.
Mai precis, pe moment presupunem c ˘a exist ˘a doar dou ˘a puncte de baz ˘a, fie eleOs ¸i
I, adic ˘aBDfO;Ig. V om evident ¸ia nis ¸te puncte constructibile, plec ˆand de la cele dou ˘a
puncte de baz ˘a.
PuncteleOs ¸iIdetermin ˘a dreaptaOI. Consider ˘am cercul (constructibil) , cu
centrul ˆın punctulOs ¸i de raz ˘aOI. Cerculintersecteaz ˘a dreaptaOIˆın punctulI
s ¸iˆıntr-un al doilea punct, I0, simetricul lui Ifat ¸˘a de punctul O. Prin urmare, punctul
I0este constructibil. V om construi acum mediatoarea segmentului II0. Pentru aceasta,
consider ˘am, mai ˆıntˆai, cerculCde centruIs ¸i de raz ˘aII0, precum s ¸i cercul C0, de
centruI0s ¸i de aceeas ¸i raz ˘a,II0. Not ˘am cuKunul dintre punctele de intersect ¸ie dintre
cele dou ˘a cercuri. Evident, punctul Keste constructibil, ˆıntruc ˆat este intersect ¸ia a dou ˘a
cercuri constructibile. Este us ¸or de demonstrat c ˘a dreaptaOK este perpendicular ˘a pe
dreaptaOI, deci ea este mediatoarea segmentului II0. DreaptaOKintersecteaz ˘a cercul
ˆın dou ˘a puncte, pe care le vom nota cu Js ¸iJ0, ele fiind, de asemenea, constructibile.
Am pus, astfel, ˆın evident ¸ ˘a o serie de puncte constructibile: O;I;I0;K;J;J0. V om
folosi unele dintre ele pentru a construi un reper ortonormat. Astfel, alegem ca unitate
de lungime distant ¸a OI. Atunci, ˆın mod evident, avem s ¸i OJD1. reperul nostru va fi
.O; !OI; !OJ/. Pentru a simplifica notat ¸iile, vom nota acest reper cu .O;I;J/ .
Avem acum tot ce ne trebuie pentru a da urm ˘atoarea definit ¸ie:
Definit ¸ia 4.2. Un num ˘ar real se numes ¸te constructibil dac˘a el este una dintre coordona-
tele unui punct constructibil fat ¸ ˘a de reperul ortonormat .O;I;J ).
4.2. Modalit ˘at ¸i elementare de construire a unor obiecte constructibile 87
Observat ¸ia 5.ˆIn mod normal, exprimarea corect ˘a este c ˘a num ˘arul real este constructibil
relativ la punctele de baz ˘aOs ¸iI0. V om utiliza exprimarea prescurtat ˘a, de acum ˆıncolo.
Exemplul 4.1.1. Numerele reale 0;1; 1sunt constructibile, deoarece ele sunt abscisele
punctelorO;I;I0.
4.2 Modalit ˘at ¸i elementare de construire a unor obiecte con-
structibile
Propozit ¸ia 4.1. Dac˘adeste o dreapt ˘a constructibil ˘a, iarAeste un punct constructibil,
atunci perpendiculara pe Dcare trece prin Aeste, de asemenea, o dreapt ˘a constructi-
bil˘a.
Demonstrat ¸ie. Din moment ce dreapta deste constructibil ˘a, ea cont ¸ine cel put ¸in dou ˘a
puncte constructibile, fie ele Bs ¸iC. Consider ˘am cercul (evident constructibil) de centru
As ¸i de raz ˘aAB. Acest cerc intersecteaz ˘a dreaptadˆınBs ¸i s ¸ntr-un alt punct, fie el
D. Construim acum dou ˘a cercuri cu centrele ˆınBs ¸iDs ¸i de raz ˘aBD. Aceste dou ˘a
cercuri se intersecteaz ˘aˆın dou ˘a puncte, fie ele Es ¸iF. Atunci dreapta AEeste dreapta
c˘autat ˘a.
Observat ¸ia 6.De remarcat c ˘a demonstrat ¸ia dat ˘a funct ¸ioneaz ˘a doar dac ˘aA¤B. Dar
dac˘aADB, atunci, cu sigurant ¸ ˘a,A¤C, deci putem reface demonstrat ¸ia, folosind
punctulCˆın locul punctului B.
Propozit ¸ia 4.2. Dac˘adeste o dreapt ˘a constructibil ˘a, iarAeste un punct constructibil,
care nu apart ¸ine dreptei d, atunci paralela d0ladcare trece prin Aeste, de asemenea,
o dreapt ˘a constructibil ˘a.
Demonstrat ¸ie. Conform propozit ¸iei 4.1, putem construi perpendiculara d00care trece
prinA. Atunci dreapta d0este perpendiculara care trece prin Ape dreaptad00, prin
urmare, conform aceleias ¸i propozit ¸ii 4.1, este constructibil ˘a.
Propozit ¸ia 4.3. Dac˘aAs ¸iBsunt dou ˘a puncte constructibile, atunci mijlocul segmen-
tuluiABs ¸i mediatoarea sa sunt, de asemenea, constructibile.
Demonstrat ¸ie. Cercurile de centre As ¸iBs ¸i de raze egale cu ABsunt ambele construc-
tibile. Cele dou ˘a cercuri se intersecteaz ˘aˆın dou ˘a puncte, care determin ˘a mediatoarea
segmentului. Punctul de intersect ¸ie dintre dreapta ABs ¸i mediatoare determin ˘a mijlocul
segmentului, care este, prin urmare, constructibil.
Propozit ¸ia 4.4. Dac˘ads ¸id0sunt dou ˘a drepte constructibile concurente, atunci bisec-
toarele unghiurilor formate de cele dou ˘a drepte sunt, de asemenea, constructibile.
88 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
Demonstrat ¸ie. FieApunctul de intersect ¸ie al dreptelor ds ¸id0. Consider ˘am cercul de
centruAs ¸i raz ˘aOI, care taie dreapta dˆın punctulBs ¸i dreaptad0ˆın punctulB0. Consi-
der˘am, mai departe, cercurile de centru B, respectivB0s ¸i raz ˘aOI, care se intersecteaz ˘a
ˆın puncteleCs ¸iD. DrepteleACs ¸iADsunt cele dou ˘a bisectoare c ˘autate.
Propozit ¸ia 4.5. Un num ˘ar realteste constructibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a punctul de pe
axaOxde abscis ˘ateste constructibil. Analog, teste constructibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a
punctul de pe axa Oyde ordonat ˘ateste constructibil.
Demonstrat ¸ie. V om face demonstrat ¸ia doar pentru afirmat ¸ia referitoare la axa Ox, cea-
lalt˘a se demonstreaz ˘aˆın mod absolut analog.
.H)/Dac˘a punctul de pe axa Oxde abscis ˘ateste constructibil, atunci teste construc-
tibil, din ˆıns˘as ¸i definit ¸ia unui num ˘ar constructibil.
.(H/Dac˘ateste un num ˘ar constructibil, atunci el este una dintre coordonatele unui
punct constructibil M. Atunci proiect ¸iile M1s ¸iM2ale luiMpe axaOx, respectiv pe
axaOy, sunt constructibile, conform propozit ¸iei 4.1. Avem dou ˘a cazuri:
Dac˘ateste abscisa lui M, atunci el este s ¸i abscisa lui M1, iar rezultatul este
stabilit.
Dac˘ateste ordonata lui M, atunci el este s ¸i ordonata lui M2, prin urmare este
s ¸i abscisa punctului M0
2, obt ¸inut intersect ˆand cercul (constructibil) de centru Os ¸i
raz˘aOM2cu axaOx.
Propozit ¸ia 4.6. Dac˘aAeste un punct constructibil, iar teste un num ˘ar constructibil,
atunci cercul de centru As ¸i de raz ˘ajtjeste constructibil.
Demonstrat ¸ie. PunctulMde abscis ˘atde pe axaOxeste constructibil, conform propozit ¸iei 4.5.
Cercul de centru As ¸i de raz ˘ajtjeste, atunci, cercul de centru a As ¸i de raz ˘aOM, deci
este constructibil.
4.3 Corpul numerelor constructibile
Teorema 4.1. Mult ¸imea Ca numerelor reale constructibile este un subcorp al lui R,
stabil fat ¸ ˘a de r ˘ad˘acina p ˘atrat ˘a1.
Demonstrat ¸ie. S ¸tim deja c ˘a numerele reale 0s ¸i1sunt constructibile, deoarece sunt abs-
cisele punctelor de baz ˘aOs ¸iI. Mai departe,
1Asta ˆınseamn ˘a c˘a dac ˘a un num ˘ar real pozitiv este constructibil, atunci s ¸i r ˘ad˘acina sa p ˘atrat˘a este con-
structibil ˘a.
4.3. Corpul numerelor constructibile 89
1) Dac ˘au2C, vom demonstra c ˘a s ¸i u2C.ˆIntr-adev ˘ar, fieApunctul de pe axa Oxde
abscis ˘au. Consider ˘am cercul cu centrul ˆınOs ¸i de raz ˘ajuj(presupunem fires ¸te, c ˘a
u¤0, altfel nu avem ce demonstra). Acest cerc intersecteaz ˘a din nou axa Oxˆıntr-un
punctB, a c˘arui abscis ˘a este u. Cum punctul Beste, ˆın mod evident, constructibil,
rezult ˘a c˘a s ¸i abscisa lui, uesteˆınC.
2) Fieu;v2Cs ¸i fieAs ¸iBpunctele de pe axa Ox pentru care OADus ¸iABDv.
PunctulAeste constructibil, conform propozit ¸iei 4.5, iar punctul Beste constructibil
conform propozit ¸iei 4.6, dac ˘a utiliz ˘am cercul de centru As ¸i de raz ˘ajvj. Prin urmare,
avemOBDuCv, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘auCvDC.
3) Fieu;v2C. Dac ˘auvD0, atunci nu avem ce demonstra, deci presupunem c ˘a atˆat
u, cˆat s ¸ivsunt nenule. Fie ApeOxastfel ˆıncˆatOADus ¸iBpeOyastfel ˆıncˆat
OBDv. Paralela laIBcare trece prin Ataie axaOyˆıntr-un punct C. Din teorema
lui Thales rezult ˘a c˘a
OC
OBDOA
OI;
de unde rezult ˘a c˘aOCDuv, adic ˘auv2C.
4) Fieu2C,u¤0. Fie, mai departe, Ape axaOxastfel ˆıncˆatOADu. Paralela la
AJdus˘a prinItaie axaOyˆıntr-un punct B. Din Teorema lui Thales, avem c ˘a
OB
OJDOI
OA;
de unde rezult ˘a c˘aOBD1=u, deci1=u2C.
5) Dac ˘au2C,u0. Dac ˘auD0, atuncipueste tot0, deci este constructibil.
Presupunem, ˆın cele ce urmeaz ˘a, c˘au>0 . FieApunctul de pe axa Oxastfel ˆıncˆat
IADus ¸iM– mijlocul segmentului OA. Perpendiculara ˆınIpeOxtaie cercul cu
centrul ˆınMs ¸i de raz ˘aOM ˆıntr-un punct Bde ordonat ˘a pozitiv ˘a. Triunghiul OBA
este dreptunghic ˆınB, deci avemIA2DOIIA. Astfel,IBDpu, iarpueste
ordonata punctului constructibil B, adic ˘apu2C.
Observat ¸ii. 1) Ment ¸ion ˘am, mai ˆıntˆai, c ˘aQeste cel mai mic subcorp al lui R.ˆIntr-
adev ˘ar, fieKun subcorp oarecare al lui R. Atunci, ˆınainte de toate, 12K. Din
stabilitatea lui Kfat ¸ˆa de adunare, rezult ˘a imediat c ˘aNK,ˆın timp ce stabilitatea
fat ¸˘a de trecerea la opus implic ˘aZK.ˆIn sf ˆars ¸it, din stabilitatea fat ¸ ˘a de produs s ¸i
trecerea la invers rezult ˘a c˘aQK. Rezult ˘a de aici c ˘aQCR.
90 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
As ¸adar, din moment ce corpul Ceste stabil fat ¸ ˘a de r ˘ad˘acina p ˘atrat˘a s ¸i cont ¸ine nume-
rele rat ¸ionale, se pot da multe exemple de numere constructibile, ca de exemplu:
2
3;p
2;4p
3;2C3p
2Cp
5p
3:
Mai mult, folosind construct ¸iile din teorema 4.1, putem construi efectiv punctele de
pe axaOxcare au ca abscise aceste numere.
2) V om construi acum, ca exemplu, punctul de pe axa Oxcare are ca abscis ˘a num ˘arul
4p
3.
DE TERMINAT
4.4 Caracterizarea numerelor constructibile
4.4.1 Extinderi de corpuri
Ceea ce vom prezenta ˆın acest paragraf este doar o trecere ˆın revist ˘a a not ¸iunilor s ¸i rezul-
tatelor de teoria extinderilor de corpuri care vor fi necesare ˆın analiza ce urmeaz ˘a a con-
structibilit ˘at ¸ii cu rigla s ¸i compasul. Cititorul interesat poate g ˘asi detalii s ¸i demonstrat ¸ii
detaliate ˆın orice carte de teoria corpurilor. Reamintim c ˘a toate corpurile considerate de
noi se presupune a fi comutative.
Definit ¸ia 4.3. FieKs ¸iLdou˘a corpuri astfel ˆıncˆatKs˘a fie un subcorp al lui L. V om
spune atunci despre corpul Kc˘a este o extindere a corpuluiKs ¸i vom nota acest fapt cu
KL.
Evident, orice corp este o extindere a lui ˆınsus ¸i.
Dac˘aa2L, vom nota cu K.a/ cel mai mic subcorp al lui Lcare cont ¸ine pe Ks ¸i
pea. Este us ¸or de constatat c ˘a acest corp exist ˘a s ¸i poate fi construit fie ca intersect ¸ia
tuturor subcorpurilor lui Lcare cont ¸inas ¸iKfie (ceea ce este acelas ¸i lucru) ca fiind
subcorpul lui Lgenerate deas ¸i deK(mai precis, de as ¸i de elementele luiK). Mai
general, dac ˘aa1;a2;:::;an2L, vom nota cu K.a1;:::;an/cel mai mic subcorp al lui
Lcare cont ¸ine elementele lui Ks ¸i,ˆın plus, elementele a1;:::;ans ¸i vom spune c ˘a acest
corp a fost obt ¸inut din corpul Kprinadjunct ¸ionarea elementelora1;:::;an. Iat˘a cˆateva
exemple:
Q.1/DQ
2
3
DQ;
Q.p
2/D
C p
2j ; 2Q
;
Q.p
2;p
3/D
C p
2C
p
3Cp
6j ; ;
;2Q
;
Q.i/D
C ij ; 2Q
;
4.4. Caracterizarea numerelor constructibile 91
R.i/D
C ij ; 2R
DC.
ˆIn cazul ˆın careKLeste o extindere de corpuri, atunci corpul mai mare, Lˆın cazul
nostru, poate fi privit ca fiind un spat ¸iu vectorial peste corpul mai mic ( K,ˆın cazul
nostru). Aici adunarea ˆın spat ¸iul vectorial Leste adunarea ˆınL(ca s ¸i corp, de data
aceasta), ˆın timp ce ˆınmult ¸irea cu scalari este restrict ¸ia la KLaˆınmult ¸irii interne ˆın
corpulL. Dimensiunea lui L, privit ca s ¸i corp peste K, joac ˘a un rol foarte important ˆın
teoria extinderilor de corpuri, de aceea merit ˘a o pozit ¸ie s ¸i o notat ¸ie special ˘a.
Definit ¸ia 4.4. FieKLo extindere de corpuri. Dimensiunea lui L, ca spat ¸iu vectorial
pesteK, se numes ¸te gradul extinderii s ¸i se noteaz ˘a cuLWK.
Exemple. 1. Este clar c ˘a orice extindere trivial ˘a are gradul 1. ˆIntr-adev ˘ar, dac ˘aˆıl
privim peLca s ¸i corp peste L,ˆın spiritul definit ¸ie precedente, atunci mult ¸imea
f1geste, ˆın mod evident, o baz ˘a a acestui spat ¸iu vectorial, deci LWLD1.
Astfel, de exemplu, dac ˘a punemKDQs ¸iLDQ.2/.DQ/, atunciLWK
Q.2/WQD1.
2.
1;p
2
formeaz ˘a o baz ˘a a luiQ.p
2/pesteQ, deci
Q.p
2/WQ
D2.
3.
1;p
3
formeaz ˘a o baz ˘a a luiQ.p
2;p
3/pesteQ.p
2/, deci
Q.p
2;p
3/WQ.p
2/
D2:
Observat ¸ia 7.Se poate demonstra us ¸or c ˘a dac ˘aK;L;M sunt trei corpuri astfel ˆıncˆat
KLM, atunci ˆıntre grade exist ˘a relat ¸ia
MWKDMWLLWK:
Astfel, de exemplu,
h
Q.p
2;p
3/WQi
Dh
Q.p
2;p
3/WQ.p
2/i
h
Q.p
2/WQi
D22D4:
Definit ¸ia 4.5. FieKLo extindere de corpuri. Dac ˘aa2L, atunciase numes ¸te
algebric pesteKdac˘a exist ˘a un polinom nenul P2KX astfel ˆıncˆat s˘a avemP.a/D0.
Un element care nu este algebric peste Kse numes ¸te transcendent pesteK.
Este clar c ˘a toate elementele corpului Ksunt algebrice peste K.
Elemente algebrice peste Q(adic ˘anumere algebrice ) se pot construi cu us ¸urint ¸ ˘a. Ele
sunt r ˘ad˘acini ale polinoamelor cu coeficient ¸i ˆıntregi. De exemplu,p
2este o r ˘ad˘acin˘a a
polinomuluiX2 2,ˆın timp ceieste o r ˘ad˘acin˘a a polinomului X2C1.
Construirea unor numere transcendente (elemente transcendente peste Q) este mai
dificil ˘a. De fapt primele exemple au fost date abia la sf ˆars ¸itul secolului al XIX-lea.
Astfel, ˆın anul 1873 matematicianul francez Ch. Hermite a demonstrat c ˘a num ˘arule
(baza logaritmilor naturali) este transcendente, iar ˆın 1882, F. Lindemann a demonstrat
c˘a num ˘aruleste transcendent.
92 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
Observat ¸ia 8.FieKLo extindere de corpuri s ¸i a2Lun element algebric peste K.
Atunci exist ˘a un polinom unic P2KX astfel ˆıncˆat:
P.a/D0;
Peste ireductibil ˆınKX ;
Peste unitar (coeficientul termenului de grad maxim este egal cu 1).
Acest polinom se numes ¸te polinomul minimal al lui apesteK.
Dac˘aaeste un element algebric peste K, iarneste gradul polinomului s ˘au minimal,
atunci vom spune c ˘aaestealgebric de grad npesteK. Atunci avem
K.a/WK
Dn,
iar o baz ˘a aK-spat ¸iului vectorial K.a/ este format ˘a din
n
1;a;a2;:::;an 1o
:
De exemplu,p
2este algebric de gradul 2 peste Q, polinomul s ˘au minimal peste Qeste
X2 2, iar o baz ˘a a luiQ p
2
este
1;p
2
.
Dac˘aKLeste o extindere de corpuri, mult ¸imea elementelor algebrice peste K
ale luiLformeaz ˘a, dup ˘a cum se poate constata cu us ¸urint ¸ ˘a, un subcorp al lui Lcare
cont ¸ineK. V om nota cu Acorpul numerelor reale algebrice peste Q. Se s ¸tie despre
acest corp c ˘a este num ˘arabil.
4.5 Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel
ˆIn anul 1837, matematicianul francez P.L. Wantzel a dat o caracterizare a numerelor reale
constructibile. Mai precis, el a indicat o condit ¸ie necesar ˘a, dar, dup ˘a cum vom vedea,
nu s ¸i suficient ˘a pentru ca un num ˘ar real s ˘a fie constructibil cu rigla s ¸i compasul.
Pentru a putea expune rezultatul lui Wantzel, plec ˘am, din nou, de la punctele de
baz˘aOs ¸iI, pe baza c ˘arora vom construi reperul ortonormat .O;I;J/ . Dac ˘aMeste
un punct din planul euclidian raportat la acest reper, punct care are coordonatele xs ¸iy,
atunci acest punct va fi notat cu M.x;y/ .
ˆIncepem prin a demonstra urm ˘atoarea lem ˘a:
Lema 4.1. 1. Dac ˘aDeste o dreapt ˘a din planul euclidian
care trece prin punctele
distincteA.a1;a2/s ¸iB.b1;b2/, atunciDare o ecuat ¸ie de forma
xC yC
D0;
unde ; ;
2Q.a1;a2;b1;b2/.
4.5. Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel 93
2. FieA.a1;a2/,B.b1;b2/s ¸iC.c1;c2/trei puncte necoliniare din planul euclidian
. Atunci cercul de centru As ¸i de raz ˘aBCare o ecuat ¸ie de forma
x2Cy2 2 x 2 yC
D0;
cu ; ;
2Q.a1;a2;b1;b2;c1;c2/.
Demonstrat ¸ie. 1) Dac ˘aa1Db1, atunci ecuat ¸ia dreptei Deste
x a1D0;
care, ˆın mod evident, este de forma cerut ˘a. Dac ˘aa1¤b1, atunci ecuat ¸ia dreptei se poate
scrie sub forma
y a2Db2 a2
b1 a1.x a1/;
ecuat ¸ie care este, de asemenea, de forma cerut ˘a.
2) Cercul de centru As ¸i de raz ˘aBCare ecuat ¸ia
.x a1/2C.y a2/2D.c1 b1/2C.c2 b2/2;
care se poate rescrie sub forma
x2Cy2 2 x 2 yC
D0;
cu ; ;
2Q.a1;a2;b1;b2;c1;c2/.
Teorema 4.2. Fiet2R.teste un num ˘ar constructibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a exist ˘a un
ˆıntregp1s ¸i un s ¸ir de subcorpuri ale lui R,L1;L2;:::;Lpastfel ˆıncˆat:
L1DQ;
pentru1jp 1,LjLjC1s ¸i
LjC1WLj
D2;
t2Lp.
Demonstrat ¸ie. Dac˘ateste constructibil, atunci teste abscisa unui punct Mal axeiOx.
FieM1;M2;:::;MnDMs ¸irul de puncte succesive construite pentru obt ¸inerea lui M.
Se poate presupune c ˘aM1s ¸iM2sunt punctele de baz ˘aOs ¸iI.
PentruiD1;2;:::;n vom nota cu xis ¸iyicoordonatele punctului Miˆın reperul
.O;I;J/ . Avem, ˆın particular: x1Dy1D0,x2D1;y2D0,xnDt;ynD0. Punem:
K1DQ.x1;y1/;
K2DQ.x1;y1;x2;y2/;
KiDQ.x1;y1;:::;xi;yi/;
KnDQ.x1;y1;:::;xn;yn/:
94 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
Avem:
K1K2KiKiC1Kn;tDxn2Kn:
V om demonstra c ˘a pentruiD1;2;:::;n 1, avemKiC1DKisauKiC1WKiD2.
Rezultatul este evident pentru iD1, deoareceK1DK2DQ. S˘a presupunem,
deci, c ˘ai2. Avem de examinat trei cazuri, dup ˘a cum punctul MiC1este intersect ¸ia
dintre dou ˘a drepte, dintre o dreapt ˘a s ¸i un cerc sau dintre dou ˘a cercuri definite prin punc-
tele precedente, M1;M2;:::;Mi. Dar, potrivit lemei 4.1, aceste drepte s ¸i cercuri au
coeficient ¸i ˆınKiDQ.x1;y1;:::;xi;yi/. Prin urmare,
1) Dac ˘aMiC1este la intersect ¸ia a dou ˘a drepte, atunci coordonatele sale, xiC1s ¸iyiC1
sunt solut ¸ii ale unui sistem de forma
(
xC yC
D0;
0xC 0yC
0D0;
cu ; ;
; 0; 0;
02Ki. Rezolv ˆand acest sistem de gradul ˆıntˆai se constat ˘a c˘axiC1
s ¸iyiC1sunt, de asemenea, ˆınKi, de unde rezult ˘a c˘a avem
KiC1DKi.xiC1;yiC1/Ki:
2) Dac ˘aMiC1se afl ˘a la intersect ¸ia dintre o dreapt ˘a s ¸i un cerc, atunci atunci coordonatele
sale,xiC1s ¸iyiC1sunt solut ¸ii ale unui sistem de forma
(
xC yC
D0;
x2Cy2 2 0x 2 0yC
0D0;
cu ; ;
; 0; 0;
02Ki. Avem mai multe situat ¸ii posibile:
Dac˘a ¤0, atunci avem
yD 1
. xC
/:
ˆInlocuim ˆın cea de-a doua ecuat ¸ie pentru a obt ¸ine ecuat ¸ia pentru abscise. Aceast ˘a
ecuat ¸ie este de gradul al doilea cu coeficient ¸i ˆınKi, iarxiC1este o r ˘ad˘acin˘a a
acestei ecuat ¸ii.
–Dac˘axiC12Ki, atunci
yD 1
. xiC1C
/2Ki;
iarKiC1DKi.
4.5. Teorema (sau rezultatul) lui Wantzel 95
–Dac˘axiC1
Ki, atuncixiC1este algebric de gradul 2 peste Kis ¸i avem:
KiC1DKi.xiC1;yiC1/DKi.xiC1/
s ¸i
KiC1WKi
D2.
Dac˘a D0, atunci ¤0s ¸i se poate proceda la fel ca mai sus, form ˘and ecuat ¸ia
de gradul al doilea pentru ordonate.
3) Dac ˘aMiC1este la intersect ¸ia dintre dou ˘a cercuri, atunci coordonatele sale, xiC1s ¸i
yiC1, sunt solut ¸ii ale unui sistem de forma
(
x2Cy2 2 x 2 yC
D0;
x2Cy2 2 0x 2 0yC
0D0;
cu ; ;
; 0; 0;
02Ki. Acest sistem este echivalent cu sistemul
(
x2Cy2 2 x 2 yC
D0;
2. 0/xC2. 0/yC.
0/D0;
deci problema se reduce la cazul precedent.
Am construit, astfel, un s ¸ir de subcorpuri ale lui R:
K1K2Kn
astfel ˆıncˆatK1DQ,t2Kns ¸i pentru1in 1, s˘a avem fieKiC1DKi, fie
KiC1WKi
D2. Putem face ˆın as ¸a fel ˆıncˆat acest s ¸ir s ˘a fie strict cresc ˘ator, elimin ˆand
corpurile superflue. Se obt ¸ine atunci un s ¸ir
L1L2Lp
astfel ˆıncˆatL1DQ,t2Lps ¸i pentru1ip 1, s˘a avem
LiC1WLi
D2.
Invers, s ˘a presupunem acum c ˘a
L1L2Lp
este un s ¸ir de subcorpuri ale lui Rcareˆındeplines ¸te condit ¸iile din enunt ¸ul teoremei. V om
demonstra, prin recurent ¸ ˘a dup ˘aj, cu1jp, c˘aLjC. Va rezulta atunci c ˘ateste
un num ˘ar constructibil.
L1C, deoareceL1DQs ¸i se s ¸tie c ˘aQC.
Presupunem c ˘aLjCs ¸i vom demonstra c ˘aLjC1C. Fiea2LjC1. S˘a de-
monstr ˘am c ˘aa2C. Familia
1;a;a2
este liniar dependent ˘a pesteLj, deoarece
LjC1WLj
D2. Prin urmare, exist ˘a ; ;
2Lj, nu toate nule, astfel ˆıncˆat
a2C aC
D0:
Sunt posibile dou ˘a situat ¸ii:
96 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
–dac˘a D0, atunciaD
2LjC;
–dac˘a ¤0, atunci
aD Cp
2 4
2
s ¸ia2C, deoarece corpul C, dup ˘a cum am v ˘azut, este stabil fat ¸ ˘a de r ˘ad˘acina
p˘atrat˘a.
Teorema de mai sus are o consecint ¸ ˘a remarcabil ˘a, care este tocmai rezultatul demon-
strat de c ˘atre Wantzel.
Consecint ¸a 1 (Rezultatul lui Wantzel) .Orice num ˘ar real constructibil este algebric
pesteQ, iar gradul s ˘au este o putere a lui 2.
Demonstrat ¸ie. Dac˘at2Reste constructibil, atunci din teorema 4.2 rezult ˘a c˘a exist ˘a un
ˆıntregp1s ¸i un s ¸ir de subcorpuri ale lui R,L1;L2;:::;Lpastfel ˆıncˆat:
L1DQ;
pentru1jp 1,LjLjC1s ¸i
LjC1WLj
D2;
t2Lp.
Pe de alt ˘a parte, utiliz ˆand o proprietate a extinderilor de corpuri pe care am mai ment ¸io-
nat-o mai sus, avem:
LpWQ
D
LpWLp 1
Lp 1WLp 2
L2WQ
D2p 1:
Pe de alt ˘a parte, avem QQ.t/Lp, de unde rezult ˘a c˘a
2p 1D
LpWQ
D
LpWQ.t/
Q.t/WQ
:
As ¸adar,
Q.t/WQ
este un divizor al lui 2p 1, adic ˘a este tot o putere a lui 2, pe care
o vom nota cu 2q. Consider ˘am familia
1;t;t2;:::;t2q
. Aceast ˘a familie are 2qC1
elemente, deci este liniar dependent ˘aˆınQ-spat ¸iul vectorial Q.t/. Prin urmare, exist ˘a
numerele rat ¸ionale 0; 1;::: 2q, nu toate nule, astfel ˆıncˆat
0C 1tCC 2qt2qD0:
Ptin urmare,teste algebric peste Q, iar gradul lui tpesteQeste
Q.t/WQ
D2q.
Exemple. Rezultatul lui Wantzel este deosebit de util pentru a demonstra c ˘a un num ˘ar
realnueste constructibil. Iat ˘a dou ˘a exemple utile ˆın cele ce urmeaz ˘a:
4.6. Aplicat ¸ii ale rezultatului lui Wantzel 97
1) Unul dintre numerele ce joac ˘a un rol esent ¸ial ˆın matematic ˘a este. Noi vom demon-
straˆın Anexa A c ˘anu este algebric peste Q, deci el nu are cum s ˘a fie constructibil.
2) S ˘a consider ˘am polinomul X3 2, care este ireductibil peste Q(ˆın caz contrar, poli-
nomul ar trebui s ˘a aib ˘a un factor de gradul ˆıntˆai pe peste Q, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a el
ar trebui s ˘a aib ˘a o r ˘ad˘acin˘a rat ¸ional ˘a, ceea ce, ˆın mod evident, nu este cazul). Prin
urmare, polinomul X3 2este polinomul minimal peste Qal num ˘arului real3p
2.
Aceasta ˆınseamn ˘a c˘a3p
2este algebric de gradul 3 peste Q. Din rezultatul lui Wantzel
rezult ˘a, atunci, c ˘a3p
2nu este un num ˘ar constructibil.
Observat ¸ia 9.Am notat cu Acorpul numerelor reale algebrice peste Q. Atunci avem
QCAR:
Mai mult, folosind numerelep
2;3p
2s ¸i, constat ˘am c ˘a toate incluziunile sunt stricte.
ˆIn fine, ˆıntruc ˆat corpul numerelor algebrice este num ˘arabil, acelas ¸i lucru este valabil s ¸i
pentru corpul numerelor constructibile.
4.6 Aplicat ¸ii ale rezultatului lui Wantzel
4.6.1 Cuadratura cercului
Reamintim c ˘a aceast ˘a problem ˘a const ˘aˆın construirea, cu rigla s ¸i compasul, a unui p ˘atrat
de aceeas ¸i arie cu cea a unui cerc dat. A da un cerc este echivalent cu a indica centrul
s˘au, fie elOs ¸i un punct al cercului, fie el I. Prin urmare, construct ¸ia cerut ˘a este o
construct ¸ie cu rigla s ¸i compasul plec ˆand de la punctele de baz ˘aOs ¸iI. Dac ˘a raport ˘am
planul la reperul .O;I;J/ introdus mai devreme, atunci segmentul OIeste de lungime
1, iar aria cercului dat este egal ˘a cu.
ˆIn cazul ˆın care cuadratura cercului ar fi posibil ˘a, am putea construi cu rigla s ¸i com-
pasul un segment de lungimep(latura p ˘atratului c ˘autat). Or, noi s ¸tim c ˘a num ˘arulp
este transcendent (dac ˘a ar fi algebric, atunci s ¸i p ˘atratul s ˘au, adic ˘a, ar fi algebric, ori
noi demonstr ˘amˆın anexa A c ˘a este transcendent).
Prin urmare, problema cuadraturii cercului este imposibil de rezolvat cu rigla s ¸i com-
pasul.
4.6.2 Dublarea cubului
Reamintim c ˘a aceast ˘a problem ˘a const ˘aˆın construirea cu rigla s ¸i compasul a laturii unui
cub al c ˘arui volum s ˘a fie egal cu volumul unui cub dat.
Faptul c ˘a un cub este dat este echivalent, din punctul nostru de vedere, c ˘a este dat ˘a
una dintre laturile sale, fie ea OI. Ca s ¸i ˆın cazul cuadraturii cercului, raport ˘am planul
la reperul ortonormat .O;I;J/ . Asta ˆınseamn ˘a c˘a latura cubului dat este de lungime 1.
98 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
De aici rezult ˘a c˘a volumul cubului dat este egal cu 1, ˆın timp ce volumul cubului c ˘autat
trebuie s ˘a fie egal cu 2. Dac ˘a dublarea cubului ar fi posibil ˘a, am putea construi cu rigla s ¸i
compasul latura cubului cerut, adic ˘a am putea construi cu rigla s ¸i compasul num ˘arul real
3p
2. Dar, rezultatul lui Wantzel implic ˘a, dup ˘a cum am remarcat deja la sf ˆars ¸itul sect ¸iunii
precedente, rezult ˘a c˘a3p
2nu este un num ˘ar constructibil, deci dublarea cubului nu se
poate efectua cu rigla s ¸i compasul.
4.6.3 Trisect ¸iunea unghiului
Aceast ˘a problem ˘a const ˘aˆın construirea, cu rigla s ¸i compasul, a semidreptelor care ˆımpart
un unghi oarecare ˆın trei unghiuri egale. Evident, este suficient s ˘a construim una din-
tre semidrepte, deoarece construirea celei de-a doua se reduce, atunci, la construirea
bisectoarei unui unghi.
ˆInainte de a ademonstra c ˘a problema este imposibil ˘a, o traducem ˆıntr-un limbaj mai
comod, folosind not ¸iunea de unghi trisectabil .
Unghiurile la care se refer ˘a problema sunt unghiuri neorientate, care se pot identifica
cu m ˘asura lor ˆın radiani s ¸i putem presupune c ˘a sunt cuprinse ˆın intervalul0; . Mai
precis,1ABCDˆınseamn ˘a c˘aeste singurul num ˘ar real din intervalul 0; pentru
care
cosD !BA !BC
k !BAkk !BCk
Punctele de baz ˘aOs ¸iIfiind date, putem ˆıntotdeauna s ˘a consider ˘am c ˘a unghiurile
sunt toate reprezentate prin semidrepte cu originea ˆınO, iar una dintre ele este semi-
dreaptaOI. Not ˘am cucercul cu centrul ˆınOs ¸i care trece prin Is ¸i cu1semicercul
ˆınchis al acestui cerc care este situat deasupra dreptei OI.
Dac˘a20; , vom spune c ˘aunghiuleste constructibil dac˘a punctulMal
semicercului 1pentru care ]IOMDeste constructibil. Aceasta condit ¸ie este,
ˆın mod evident, echivalent ˘a cu condit ¸ia ca num ˘arul coss˘a fie constructibil, deoarece
coseste abscisa lui Mrelativ la reperul ortonormat .O;I;J/ . De exemplu, unghiurile
2;
3;
6sunt constructibile, deoarece cosinusurile acestor unghiuri, egale, respectiv, cu
0;1
2;p
3
2sunt numere reale constructibile. Dimpotriv ˘a, unghiulal c˘arui cosinues este
egal cu3p
2
2nu este constructibil, din moment ce cosinusul ˆınsus ¸i nu este constructibil.
Find dat un unghi D]IOM , undeMeste un punct de pe semicercul 1, vom
spune c ˘aestetrisectabil dac˘a punctulNde pe semicercul 1pentru care
]IOND
3
este un punct constructibil plec ˆand de la punctele de baz ˘aO;I;M .
Problema trisect ¸iunii unghiului se refer ˘a, prin urmare, la construct ¸ii care pleac ˘a de
la trei puncte de baz ˘a, nu doar de la dou ˘a, ca ˆın czul cuadraturii cercului sau al dubl ˘arii
4.6. Aplicat ¸ii ale rezultatului lui Wantzel 99
cubului. Pe de alt ˘a parte, dac ˘a unghiul ]IOMDeste constructibil, atunci punctul
Meste constructibil plec ˆand de la punctele de baz ˘aOs ¸iI, prin urmare construct ¸iile
ce se obt ¸in plec ˆand de la punctele O;I;M sunt exact acelea care se obt ¸in plec ˆand de
la puncteleO;I. Astfel, a spune c ˘a unghiuleste trisectabil este totuna cu a spune
c˘a unghiul
3este constructibil sau, ceea ce este acelas ¸i lucru, c ˘a num ˘arul real cos
3
este constructibil. Astfel, unghiurile s ¸i
3sunt constructibile, deoarece cos
3D1
2s ¸i
cos
6Dp
3
2sunt numere reale constructibile.
Ceea ce dorim s ˘a demonstr ˘am este imposibilitatea trisect ¸iunii pentru un unghi oare-
care. Va fi, deci, suficient s ˘a demonstr ˘am, de exemplu, c ˘a unghiul
3nu este trisectabil.
Cum unghiul
3este constructibil, aceasta revine la a demonstra c ˘a cos
9nu este un
num˘ar real constructibil.
Avem
cos3D4cos3 3cos;
prin urmare, cos
9este o r ˘ad˘acin˘a a polinomului
P.X/D4X3 3X 1
2:
V om demonstra c ˘a acest polinom este ireductibil ˆınQX. Dac ˘a s-ar descompune ˆın
QX, unul dintre factori ar fi de gradul ˆıntˆai, iar polinomul ar avea o r ˘ad˘acin˘a rat ¸ional ˘a,
dar ne putem convinge cu us ¸urint ¸ ˘a c˘aPnu are r ˘ad˘acini rat ¸ionale.
Astfel,P.X/ este ireductibil ˆınQX, prin urmare, polinomul minimal al lui cos
9
este1
4P.X/
s ¸i este de gradul 3. Prin urmare, cos
9nu este constructibil, conform rezultatului lui
Wantzel, ceea ce ˆınseamn ˘a c˘a unghiul
3nu este trisectabil, ceea ce confirm ˘a as ¸tept ˘arile
noastre, adic ˘a faptul c ˘a nu orice unghi este trisectabil.
100 Capitolul 4. Fundamentele teoriei constructibilit ˘at ¸ii
CAPITOLUL 5
Poligoane regulate
5.1 Poligoane regulate constructibile
ˆIn acest capitol, vom lucra cu unghiuri orientate , cu alte cuvine, vom face distinct ¸ie, de
exemplu, ˆıntre un unghi1ABC s ¸i unghiul1CBA , m˘asura celui de-al doilea fiind conside-
rat˘a egal ˘a cu opusa m ˘asurii primeia.
Dac˘a2R, vom nota cu bunghiul orientat a c ˘arui m ˘asur˘aˆın radiani este egal ˘a cu
. Celelalte m ˘asuri ale unghiului sunt C2k, undek2Z.bposed ˘a o unic ˘a m˘asur˘a
ˆın radiani 2. ; , care se numes ¸te determinare principal ˘aa unghiului dat.
Unghiulbse numes ¸te constructibil dac˘a punctulMde pe cercul(cu centrul ˆınO
s ¸i care trece prin I) pentru care
4. !OI; !OM/Db
este un punct constructibil. A spune c ˘abeste constructibil este echivalent cu a spune
c˘a num ˘arul coseste constructibil. ˆIntr-adev ˘ar, dac ˘a avemOHDcos, atunci per-
pendiculara pe dreapta OIcare trece prin Hintersecteaz ˘a cerculˆın dou ˘a puncte,M
s ¸iM0. Alegem punctul care corespunde lui b, t ¸inˆand cont de determinarea principal ˘a a
unghiului.
Dac˘an3, vom spune c ˘a un poligon regulat cu nlaturi este constructibil dac˘a
unghiul de m ˘asur˘a2=n este constructibil, adic ˘a dac ˘a num ˘arul real cos2
neste con-
structibil.
101
102 Capitolul 5. Poligoane regulate
5.2 Teorema lui Gauss
Scopul acestei sect ¸iuni este s ˘a prezent ˘am o caracterizare a poligoanelor regulate care
sunt constructibile cu rigla s ¸i compasul. ˆIncepem cu o lem ˘a:
Lema 5.1. Dac˘ams ¸insunt numere naturale prime ˆıntre ele, atunci unghiulc2
mneste
constructibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a sunt constructibile unghiurilec2
ns ¸ic2
m.
Demonstrat ¸ie. (H))Dac ˘ac2
mneste constructibil, atunci s ¸ic2
ns ¸ic2
msunt constructibile,
deoarece
c2
nDmc2
mn;
iar
c2
mDnc2
mn
s ¸i noi s ¸tim cum s ˘a construim un multiplu ˆıntreg al unui unghi, purt ˆand cu compasul de
un anumit num ˘ar de ori coarda determinat ˘a de acest unghi ˆın cercul de centru Os ¸i care
trece prinI1.
((H) Dac ˘a unghiurilec2
ns ¸ic2
msunt constructibile, atunci s ¸i unghiulc2
mneste
constructibil, c ˘aci, conform relat ¸iei lui Bezout, exist ˘a;2Z, cu
nCmD1;
de unde
c2
mnDc2
nCc2
m:
Prin urmare, este suficient s ˘a s ¸tim s ˘a construim suma a dou ˘a unghiuri constructibile. Dar
asta este foarte simplu, este suficient s ˘a as ¸ez ˘am cele dou ˘a unghiuri cu v ˆarful ˆın acelas ¸i
punct, astfel ˆıncˆat ele s ˘a aib ˘a o latur ˘a comun ˘a.
Lema 5.2. Dac˘an3are descompunerea ˆın factori primi
nDp 1
1p k
k
atunci poligonul regulat cu nlaturi este constructibil dac ˘a s ¸i numai dac ˘a sunt construc-
tibile unghiurile
c2
p 1
1;:::c2
p k
k:
1Este de remarcat c ˘aˆın demonstrarea acestei implicat ¸ii nu se foloses ¸te faptul c ˘a numerelems ¸insunt
prime ˆıntre ele.
5.2. Teorema lui Gauss 103
Demonstrat ¸ie. Lema rezult ˘a imediat din lema 5.1, prin induct ¸ie dup ˘ak.
Lema 5.2 ne permite caracterizarea unghiurilor constructibile de formac2
p , undep
este un num ˘ar prim, iar este un num ˘ar natural nenul.
Teorema 5.1. 1) Unghiurile de formac2
2 sunt constructibile.
2) Dac ˘apeste un num ˘ar prim mai mare sau egal cu 3, atuncic2
p este constructibil
dac˘a s ¸i numai dac ˘a D1, iarpeste un num ˘ar Fermat, adic ˘a este de forma 1C22 ,
unde este un num ˘ar natural.
Demonstrat ¸ie. 1) Este imediat c ˘a unghiurile de formac2
2 sunt constructibile. Este sufi-
cient s ˘a s ¸tim s ˘a construim bisectoarea unui unghi, apoi folosim induct ¸ia dup ˘a .
2) Fiep3un num ˘ar prim.
(H)) S˘a presupunem c ˘a unghiulc2
p este constructibil, cu 2N. Atunci cos2
p
este un num ˘ar constructibil s ¸i atunci, din rezultatul lui Wantzel, obt ¸inem c ˘a:
Q
cos2
p
WQ
D2m; (5.1)
pentru un anumit num ˘ar naturalm.
Pentru a simplifica scrierea, vom pune qDp s ¸i fie
!Dcos2
qCisin2
q:
!este o r ˘ad˘acin˘a de ordinulqa unit ˘at ¸ii, r ˘ad˘acin˘a a polinomului Xq 1, deci!este
algebric peste Q. Admitem c ˘a polinomul minimal al lui !pesteQeste
P.X/D.X !1/.X !2/.X !h/;
unde!1;:::;!hsunt r ˘ad˘acinile primitive de ordinul qale unit ˘at ¸ii, adic ˘a aceste r ˘ad˘acini
sunt de forma
cos2k
qCisin2k
q;
undekeste un num ˘arˆıntreg prim cu q,1kq. V om spune c ˘aP.X/ estepolinomul
ciclotomic de ordinulq.
Pentru a determina gradul hal luiP.X/ este suficient s ˘a cunoas ¸tem num ˘arulˆıntregilor
k,1kq, astfel ˆıncˆatks˘a fie prim cu qDp . Se obt ¸inehDp 1.p 1/, prin
urmare
Q.!/WQ
Dp 1.p 1/: (5.2)
104 Capitolul 5. Poligoane regulate
Pe de alt ˘a parte, avem
!C! 1D2cos2
p ;
de unde rezult ˘a c˘a
cos2
p 2Q.!/ s ¸i c˘a!2 2!cos2
p C1D0:
Astfel,!este algebric de gradul 2 peste Q
cos2
p
, de unde rezult ˘a c˘a:
Q.!/WQ
2cos2
p
D2: (5.3)
Plecˆand de la relat ¸iile (5.1), (5.2) s ¸i (5.3) s ¸i s ¸tiind c ˘a
Q.!/WQ
D
Q.!/WQ
2cos2
p
Q
2cos2
p
WQ
;
se obt ¸ine
p 1.p 1/D2mC1:
Cumpeste un num ˘ar prim diferit de 2, rezult ˘a c˘a D1s ¸i c˘apD1C2mC1.
V om demonstra acum c ˘amC1este o putere a lui. Plec ˆand de la descompunerea lui
mC1ˆın factori primi, se obt ¸ine c ˘a
mC1D2 ;
cu 2Ns ¸i2N– un num ˘ar impar. Prin urmare,
pD1C2mC1D1C22 D1C
22
:
fiind un num ˘ar impar, polinomul 1CXeste divizibil cu 1CX. Rezult ˘a c˘apeste
divizibil cu1C22 . Cumpeste un num ˘ar prim, rezult ˘a c˘apD1C22 .
Teorema 5.2 (Gauss) .Poligoanele regulate constructibile cu rigla s ¸i compasul sunt
cele pentru care num ˘arulnde laturi este fie de forma 2 , cu 2, fie de forma
2 p1p2pr, cu 2N, undepisunt numere prime distincte care sunt, ˆın acelas ¸i
timp, numere Fermat.
Demonstrat ¸ie. Demonstrat ¸ia rezult ˘a imediat din lema 5.2 s ¸i teorema 5.3.
5.3. Construct ¸ii de poligoane regulate 105
5.3 Construct ¸ii de poligoane regulate
5.3.1 Triunghiul echilateral, p ˘atratul, pentagonul regulat
Construct ¸ia triunghiului echilateral este foarte simpl ˘a, din moment ce s ¸tim c ˘a avem
cos2
3D 1
2:
Construct ¸ia p˘atratului este trivial ˘a, folosind punctele Is ¸iJ.
Construct ¸ia pentagonului regulat este ceva mai complicat ˘a, des ¸i ea este cunoscut ˘a
ˆınc˘a din antichitate, fiind prezent ˘aˆınElementele lui Euclid. O vom prezenta ˆın cele
ce urmeaz ˘a.ˆIn fapt, este suficient s ˘a exprim ˘am cos2
5ˆıntr-o form ˘a care s ˘a permit ˘a
construirea, efectiv ˘a, a punctului de pe axa Oxde abscis ˘a cos2
5.
cos2
5Cisin2
5
este o r ˘ad˘acin˘a a polinomului
X5 1D.X 1/.X4CX3CX2CXC1/:
Avem, prin urmare,
!4C!3C!2C!C1D0: (5.4)
!4este conjugatul lui !, iar!3este conjugatul lui !2, deci avem
!C!4D2cos2
5s ¸i!2C!3Dcos4
5:
Din (5.4) rezult ˘a atunci:
2cos2
5C2cos4
5C1D0: (5.5)
Consider ˘am produsul
cos2
5cos4
5;
egal cu
1
2
cos6
5Ccos2
5
D1
2
cos4
5Ccos2
5
:
Dac˘a not ˘am cup, respectivs, produsul s ¸i suma numerelor cos2
5s ¸i cos4
5, obt ¸inem,
t ¸inˆand cont de (5.5),
sD 1
2s ¸ipD 1
4:
106 Capitolul 5. Poligoane regulate
Astfel, cos2
5s ¸i cos4
5sunt r ˘ad˘acinile ecuat ¸iei
X2C1
2X 1
4D0:
Remarc ˆand faptul c ˘a
cos4
5<0< cos2
5;
avem
cos2
5D 1Cp
5
4D 1
2Cr
5
4
2:
FieAmijlocul segmentului OI0. Avem, prin urmare,
AJDr
5
4:
Folosind cercul de centru As ¸i de raz ˘aAJ, construim punctul BpeOxastfel ˆıncˆat
ABDAJ. Avem, atunci,
OBD 1
2Cr
5
4:
Dac˘aCeste mijlocul lui OB, atunci avem
OCDcos2
5:
Perpendiculara ˆınCpeOxpermite obt ¸inerea v ˆarfuluiM1. Cu ajutorul compasului, cu
o deschidere egal ˘a cu coardaIM1, construim celelalte patru v ˆarfuri,M2;M3;M4.
Observat ¸ia 10.Grat ¸ie posibilit ˘at ¸ii construirii bisectoarei unui ungh, putem dubla, tot
timpul, num ˘arul de laturi al unui poligon regulat constructibil. Astfel, plec ˆand de la un
triunghi echilateral, obt ¸inem poligoane regulate cu 6, 12, 24, . . . de laturi, iar plec ˆand
de la p ˘atrat, se pot construi poligoane regulate cu 8, 16, 32, . . . de laturi. De asemenea,
plecˆand de la un pentagon regulat, se pot construi poligoane regulate cu 10, 20, 40, . . . de
laturi.
5.3.2 Poligonul cu 15 laturi
Deoarece 3 s ¸i 5 sunt numere prime Fermat, rezult ˘a cˆa poligonul regulat cu 15 laturi se
poate construi cu rigla s ¸i compasul.
Ideea construct ¸iei este s ˘a plec ˘am de la o relat ¸ie Bezout ˆıntre numerele 3 s ¸i 5 s ¸i, apoi,
s˘a exprim ˘am, folosind aceast ˘a relat ¸ie, unghiulc2
15ˆın funct ¸ie de unghiurilec2
3s ¸ic2
5.
5.3. Construct ¸ii de poligoane regulate 107
Avem23C. 1/5D1(relat ¸ia Bezout pomenit ˘a mai sus), de unde
2c2
5 c2
3Dc2
15:
Utiliz ˆand construct ¸iile pentru triunghiul echilateral s ¸i pentagonul regulat, se pot construi
pe cerculpuncteleMs ¸iNastfel ˆıncˆıt
4. !OI; !OM/D2c2
5s ¸i4. !OI; !ON/Dc2
3:
Avem atunci5. !ON; !OM/Dc2
15
s ¸i, folosind compasul cu o deschidere egal ˘a cu coardaMN , se construies ¸te punctul P
astfel ˆıncˆat4. !OI; !OP/Dc2
15:
108 Capitolul 5. Poligoane regulate
ANEXA A
Transcendent ¸a num ˘arului
Teorema A.1 (Lindemann, 1882) .Num ˘arul realeste transcendent peste Q.
Demonstrat ¸ie. Presupunem c ˘aar fi algebric s ¸i g ˘asim o contradict ¸ie. Deoarece s ¸i ieste
algebric, iar numerele algebrice complexe formeaz ˘a un corp, rezult ˘a c˘a s ¸i num ˘aruli
este, de asemenea, algebric. Prin urmare, exist ˘a o ecuat ¸ie algebric ˘a cu coeficient ¸i ˆıntregi
P1.x/D0; (A.1)
ale c ˘arei r ˘ad˘acini suntiDr1;r2;:::;rn. Cum
er1eiD 1;
(relat ¸ia lui Euler), obt ¸inem
.er1C1/.er2C1/.ernC1/D0: (A.2)
V om construi acum o ecuat ¸ie algebric ˘a cu coeficient ¸i ˆıntregi ale c ˘arei r ˘ad˘acini sunt
exponent ¸ii din dezvoltarea membrului st ˆang al ecuat ¸iei (A.2). Consider ˘am, mai ˆıntˆai,
exponent ¸ii
r1Cr2;r1Cr3;:::;rn 1Crn: (A.3)
Din ecuat ¸ia (A.1) rezult ˘a c˘a funct ¸iile simetrice elementare de r1;r2;:::;rnsunt numere
rat ¸ionale (tot ce se utilizeaz ˘a sunt formulele lui Vi `ete). Prin urmare, funct ¸iile simetrice
elementare de cantit ˘at ¸ile (A.3) sunt, de asemenea, numere rat ¸ionale, as ¸adar aceste can-
tit˘at ¸i sunt r ˘ad˘acinile unei ecuat ¸ii algebrice cu coeficient ¸i ˆıntregi
P2.x/D0: (A.4)
109
110 Anexa A. Transcendent ¸a num ˘arului
ˆIn mod similar, sumele de c ˆate treirisunt celeC3
nr˘ad˘acini ale unei ecuat ¸ii algebrice cu
coeficient ¸i ˆıntregi
P3.x/D0: (A.5)
Continu ˆand procedeul, obt ¸inem
P4.x/D0;P5.x/D0;:::;Pn.x/D0; (A.6)
ecuat ¸ii algebrice cu coeficient ¸i ˆıntregi, ale c ˘aror r ˘ad˘acini sunt sumele de c ˆate 4, 5, . . . ,n
r˘ad˘aciniriale ecuat ¸iei (A.1). Ecuat ¸ia produs
P1.x/P2.x/Pn.x/D0 (A.7)
are ca r ˘ad˘acini exact exponent ¸ii dezvolt ˘arii membrului st ˆang al ecuat ¸iei (A.2).
Eliminarea r ˘ad˘acinilor nule (dac ˘a exist ˘a) din ecuat ¸ia (A.7) ne conduce la o ecuat ¸ie
de forma
P.x/DaxmCam 1xm 1CCa1xCa0D0 (A.8)
ale c ˘arei r ˘ad˘acini 1; 2;:::; msunt sunt exponent ¸ii nenuli din dezvoltarea membrului
stˆang al ecuat ¸iei (A.2), iar coeficient ¸ii sunt numere ˆıntregi. Prin urmare, relat ¸ia (A.2) se
poate scrie sub forma
e 1Ce 2CCe mCkD0; (A.9)
undekeste un ˆıntreg (strict) pozitiv.
Introducem acum un polinom auxiliar,
f.x/Dasxp 1P.x/p
.p 1/; (A.10)
undesDmp 1, iarpeste un num ˘ar prim a c ˘arui valoare va fi precizat ˘a ulterior. Gradul
luifeste
p 1CpmDpm 1CpDsCp:
Este de remarcat c ˘a polinomulf.x/ este un polinom cu coeficient ¸i complecs ¸i, deci de-
riv˘arile pe care le vom face mai jos se refer ˘a la funct ¸ii cu o variabil ˘a complex ˘a. Formal,
ˆıns˘a, regulile sunt aceleas ¸i ca s ¸i ˆın cazul funct ¸iilor de o variabil ˘a real ˘a.
Definim, mai departe,
F.x/Df.x/Cf0.x/Cf.2/.x/CCf.sCp/.x/: (A.11)
Deoarecef.sCpC1/.x/D0, remarc ˘am c ˘a derivata funct ¸iei e xF.x/ estee xf.x/ ,
fapt de care vom avea nevoie ˆın cele ce urmeaz ˘a.ˆIntr-adev ˘ar, avem
d
dx
e xF.x/
De xh
f0.x/Cf.2/.x/CCf.sCp/.x/i
e xh
f.x/Cf0.x/Cf.2/.x/CCf.sCp/.x/i
De xf.x/:
111
ˆIn cele ce urmeaz ˘a,xva fi privit ca fiind un num ˘ar complex arbitrar, dar fixat s ¸i consi-
der˘am funct ¸ia dat ˘a de
.u/De xuF.xu/;
undeueste o variabil ˘areal˘a. Prin urmare, este o funct ¸ie cu valori complexe, de
o variabil ˘a real ˘a. Derivarea s ¸i integrarea acestor funct ¸ii sunt definite aplic ˆand aceste
operat ¸ii separat p ˘art ¸ii reale s ¸i p ˘art ¸ii imaginare, ambele fiind funct ¸ii reale de o variabil ˘a
real˘a. Este foarte us ¸or de verificat c ˘a teorema Leibniz-Newton se extinde la acest gen de
funct ¸ii, sub forma:
.b/ .a/DZb
a 0.u/du:
Scopul nostru este s ˘a aplic ˘am aceast ˘a teorem ˘a intervalului 0;1 .ˆIn acest scop, trebuie
s˘a calcul ˘am 0.u/. Folosind schimbarea de variabil ˘a
zDux;
putem scrie
.u/De zF.z/:
Rezult ˘a c˘a
0.u/Dd
dze zF.z/dz
duD e zf.z/xD xe zf.ux/:
Aplic ˘am acum teorema Leibniz-Newton pe intervalul 0;1 s ¸i obt ¸inem
.1/ .0/DZ1
0 0.u/du;
e xF.x/ e 0F.0/DZ1
0 xe uxf.ux/du;
F.x/ exF.0/DZ1
0 xe.1 u/xf.ux/du
L˘asˆandu-l pexs˘a ia, pe r ˆand, valorile 1; 2;:::; ms ¸iˆınsum ˆand rezultatele, obt ¸inem
mX
jD1F. j/CkF.0/D mX
jD1Z1
0e.1 u/ jf.u j/du: (A.12)
Planul nostru de a obt ¸ine o contradict ¸ie cu ipoteza c ˘aeste un num ˘ar algebric este s ˘a
alegem num ˘arul primpastfel ˆıncˆat membrul st ˆang al ecuat ¸iei (A.12) s ˘a fie un num ˘ar
ˆıntreg nenul, iar membrul drept s ˘a fie un num ˘ar arbitrar de mic ( ˆın particular, subunitar).
112 Anexa A. Transcendent ¸a num ˘arului
ˆIncepem prin a demonstra c ˘aPm
jD1F. j/este un ˆıntreg, divizibil cu p.ˆIntr-adev ˘ar,
utiliz ˆand definit ¸ia lui F, obt ¸inem
mX
jD1F. j/DmX
jD1sCpX
rD0f.r/. j/DsCpX
rD0mX
jD1f.r/. j/:
Pentru0r <p ,
mX
jD1f.r/. j/D0;
deoarece, prin definit ¸ie lui f,f.r/. j/are cel put ¸in un factor P. j/, care este egal cu
zero. Astfel,
mX
jD1F. j/DsCpX
rDpmX
jD1f.r/. j/:
Fie acumrarbitrar, dar fixat, cu prsCp.ˆIntruc ˆata s.p 1/f.x/ este o funct ¸ie
polinomial ˘a cu coeficient ¸i ˆıntregi, coeficientul fiec ˘arui termen nenul al derivatei sale de
ordinulrcont ¸ine un produs de r(deci, cel put ¸in p)ˆıntregi consecutivi. Prin urmare,
coeficientul respectiv este divizivil cu p. Astfel, fiecare coeficient al lui f.r/.xeste
divizibil cuasp), as ¸adar expresia
mX
jD11
pasf.r/.uj/
este un polinom simetric cu coeficient ¸i ˆıntregi de variabilele u1;u2;:::;um, de aceea el
poate fi exprimat ca un polinom cu coeficient ¸i ˆıntregi ˆın funct ¸iile simetrice elementare.
ˆInlocuim acum variabilele cu valorile 1; 2;:::; ms ¸i ne reamintim c ˘a pentru fiecare
funct ¸ie simetric ˘a elementar ˘a avem:
i. 1; 2;:::; m/D. 1/iam i
a:
ˆIntruc ˆat gradul polinomului ˆınieste cel mult egal cu s, fiecare termen are forma unui
ˆıntreg ˆımp˘art ¸it la o putere a lui a, nu mai mare de s. Astfel,
mX
jD1f.r/. j/Dp2
4asmX
jD11
pasf.r/. j/3
5;
unde termenul dintre parantezele drepte este un num ˘arˆıntreg. Deoarece aceast ˘a afirmat ¸ie
este adev ˘arat˘a pentru orice rastfel ˆıncˆatprsCr, suma f ˘acut˘a dup ˘a aceste valori
ale luireste un ˆıntreg divizibil cu p. Cum aceast ˘a sum ˘a este egal ˘a cu expresia original ˘a,
demonstrat ¸ia afirmat ¸iei noastre este complet ˘a.
113
ˆIn continuare, vom demonstra c ˘apentrupsuficient de mare, kF.0/ este, de aseme-
nea, un num ˘arˆıntreg, dar nedivizibil cup.
ˆIntr-adev ˘ar, termenii lui F.0/ sunt de trei tipuri:
Termeniif.r/.x/, pentru0rp 2cont ¸in, cu tot ¸ii, un factor x, deci se
anuleaz ˘a pentruxD0.
Termeniif.r/.x/, pentruprsCpsunt polinoame cu coeficient ¸i ˆıntregi,
fiecare coeficient fiind divizibil cu p, dup ˘a cum s-a v ˘azut mai sus. Astfel, f.r/.0/,
termenii constant ¸i, sunt ˆıntregi divizibili cu p.
Pentru a ne asigura c ˘a num ˘arulkF.0/ nu este divizibil cu peste, prin urmare, sufi-
cient s ˘a ne asigur ˘am c ˘a singurul termen r ˘amas, adic ˘akf.p 1/.0/, nu este divizibil
cup.
Din definit ¸ia lui f, rezult ˘a c˘a singurul termen care contribuie la f.p 1/.0/este
asap
0
.p 1/xp 1:
Prin urmare,
kf.p 1/.0/Dkasap
0:
ˆIn consecint ¸ ˘a, dac ˘apeste orice num ˘ar prim strict mai mare dec ˆatk;as ¸ia0, atunci
pnu poate s ˘a divid ˘a produsulkasap
0.
Revenim acum la ecuat ¸ia (A.12). Am reus ¸it s ˘a demonstr ˘am c ˘a, pentrupsuficient de
mare, membrul st ˆang este un ˆıntreg nenul (pentru c ˘a este suma dintre un ˆıntreg divizibil
cups ¸i unul nedivizibil cu p). Mai r ˘amˆane s ˘a demonstr ˘am c ˘a, din nou, pentru psuficient
de mare, membrul drept al acestei egalit ˘at ¸i poate fi f ˘acut subunitar, de unde va rezulta
contradict ¸ia c ˘autat ˘a.
Avem
mX
jD1Z1
0e.1 u/ jf.u j/du D
D mX
jD1Z1
0e.1 u/ jas.u j/p 1P.u j/p
.p 1/
du
Z1
0mX
jD1
am.u j/P.u j/p 1
.p 1/ je.1 u j/am 1P.u j/ du;
deoarece
asDamp 1D.am/p 1am 1:
114 Anexa A. Transcendent ¸a num ˘arului
FieBo margine superioar ˘a uniform ˘a pentru1jma funct ¸iilor continue
am.u j/P.u j/
pe intervalul ˆınchis0u1s ¸i fieCo margine superioar ˘a a funct ¸iei continue
mX
jD1 je.1 u j/am 1P.u j/
pe acelaS ¸i interval. Atunci expresia original ˘a este m ˘arginit ˘a superior de
CBp 1
.p 1/: (A.13)
Cum aceast ˘a margine superioar ˘a este termenul de ordinul pˆın seria MacLaurin a funct ¸iei
(de variabil ˘aB)CeB, iar aceast ˘a serie se s ¸tie c ˘a este convergent ˘a, rezult ˘a c˘a expre-
sia (A.13) trebuie s ˘a tind ˘a la zero, atunci c ˆandp!1 . Dar asta ˆınseamn ˘a tocmai c ˘a
membrul drept al relat ¸iei (A.12) poate fi f ˘acut arbitrar de mic (s ¸i, ˆın particular, subunitar)
dac˘a num ˘arul primpeste suficient de mare.
Bibliografie
[1] Argunov, V .I., Balk, M.B. – Construct ¸ii geometrice ˆın plan (ˆın limba rus ˘a), edit ¸ia
a II-a, Moscova, 1957
[2] Alexandrov, I. – Probleme de construct ¸ii geometrice , Ed. Tehnic ˘a, 1951
[3] Buicliu, Gh. – Probleme de construct ¸ii geometrice cu rigla s ¸i compasul , Ed. Teh-
nic˘a, 1957
[4] Enriques, F. – Questioni riguardanti le matematiche elementari , edit ¸ia a III-a, vol.
II, Nicola Zanichelli, Bologna, 1900
[5] Fourrey, E. – Curiosit ´es g´eom´etriques , 2e edition, Vuibert et Nony, Paris, 1910
[6] Gerwien, P. – Zerschneidung jeder beliebigen Anzahl von gleichen geradlinigen
Figuren in dieselben St ¨ucke, Journal f ¨ur die reine und angewandte Mathematik,
1833
[7] Guitel, E. – Propri ´et´es relatives aux polygones ´equivalents , Assoc. fr. p. l’av. des
Sciences, 1895
[8] Hadlock, C.R., Field Theory and its Classical Problems , Mathematical Association
of America, 1978
[9] Hurwitz, A. – Beweis der Transzendenz der Zahl e, Math. Ann., vol. 43(1893), pp.
220-221
[10] Jones, A., Morris, S.A., Pearson, K.R., Abstract Algebra and Famous Impossibili-
ties, Springer, 1991
[11] Lindemann, F., ¨Uber die Zahl , Math. Ann., 20(1882), pp. 213–225
115
116 Bibliografie
[12] Niven, I. – The transcendence of , Amer. Math. Monthly, vol. 46(1939), pp.
469–471
[13] T ´oth, A. – Not ¸iuni de teoria construct ¸iilor geometrice , Ed. Didactic ˘a s ¸i Pedagogic ˘a,
1963
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Construct ii geometrice [619998] (ID: 619998)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.