Constantin NEGUȚU [626329]

Constantin NEGUȚU
32 08.03.2018
Cursul nr. 3

ELEMENTE DE MECANICĂ ANALITICĂ

1. Starea mecanică a unui sistem

În mecanica clasică, forma cea mai generală a ecuațiilor de mișcare
sau a altor legi care descriu evoluția temporală a sistemelor mecanice este
dată de formalismele Lagrange, Hamilton sau Hamilton – Jacobi. Mecanica
analitică își propune să stabilească metode directe de obținere a ecuațiilor de
mișcare în care să nu mai apară forțele de legătură (reacțiunile de legătură)
datorate limitărilor geometrice sa u cinematice ale mișcărilor posibile ale
sistemelor mecanice, reușind ca sistemul de ecuații diferențiale obținut să fie
scris sub o formă generală, aceeași pentru orice problemă de mecanică
analitică.
Plecând de la principiile variaționale introduse de m ecanica analitică,
se pot exprima ecuațiile de mișcare ale lui Newton, ecuațiile lui Maxwell ale
câmpului electromagnetic sau chiar ecuația lui Schrödinger din mecanica
cuantică.
Mecanica analitică este în principal opera analiștilor secolului al
XVIII -lea (Bernoulli, Maupertuis, Euler, d’Alembert, Lagrange în 1788 a
prezentat la Paris lucrarea Mécanique analitique ), contribuții ulterioare
având Hamilton, Gauss, Jacobi, Hertz, Poincaré, Hilbert, Emmy Noether,
etc.
Stările unui sistem fizic format din N pu ncte materiale se definesc cu
ajutorul vectorilor de poziție
)(trrk k și a vitezelor punctelor materiale
)(trrk k
, unde
N k ,…2,1 . Curba descrisă de vârful vectorului
)(trrk k
reprezintă traiectoria punctului material k. Când mișcarea unui sistem fizic
este îngrădită de condiții suplimentare de natură geometrică sau cinematică
se spune că sistemul este supus la legături . Legăturile introduc, în general,
reacțiuni de legătură care, contrar forțelor aplicate, nu sunt cunoscute
apriori. Aceste forțe apar ca necunoscute suplimentare în ecuațiile de
mișcare.
Din punctul de vedere al comportării analitice , H. Hertz a împărțit
legăturile în două categorii: legături olonome (exprimate p rin relații
matematice integrabile ) și legături neolonome (exprimate prin funcții
matematice neintegrabile ). Ținând seama de dependența de timp , L.
Boltzmann le -a divizat în două grupe: legături reonome , când expresiile

Elemente de mecanică analitică
33 analitice care exprimă legăturile conțin explicit timpul și legături
scleronome , când în expresiile analitice care definesc legăturile nu apare
explicit timpul .
În cazul unui sistem de N puncte materiale libere , configurația
sistemului este definită de un ansamblu de 3N paramet ri (coordonate le
carteziene )
., , ;…,,11 1 N N N zyxzyx Un astfel de sistem are
N f 30 grade de
libertate . Dacă între cele N puncte materiale există l legături, numărul
gradelor de libertate se reduce la
lN f3 . În acest caz, configuraț ia
sistemului se poate defini dacă se cunosc doar f parametri independenți .
Acești parametri independenți sunt numiți coordonate generalizate sau
coordonate lagrangeene . Aceste coordonate generalizate pot fi orice mărimi
fizice care ex primă un grad de libertate. Coordonatele carteziene pot fi
exprimate cu ajutorul coordonatelor generalizate:
)(ij j qx x
,
)(ij j qy y ,
)(ij j qzz , (1)
unde
N j ,…2,1 ,
f i ,…2,1 .
Se definesc vitezele generalizate
iq ca derivatele totale în raport cu
timpul ale coordonatel or generalizate. Componentele vitezelor carteziene
pot fi exprimate prin intermediul vitezelor generalizate:


f
ii
ij
j qqxx
1  ,

f
ii
ij
j qqyy
1  ,

f
ii
ij
j qqzz
1  ,
N j ,…1,1 (2)
Starea mecanică a sistemului fizic de N puncte materiale cu f grade
de libertate, este, deci, complet determinată de 2f parametri, și anume, de f
coordonate generalizate și f viteze generalizate. Spațiul cu f dimensiuni al
coordonatelor generalizate se numește spațiu l de configurație . În acest
spațiu, un punct (o configurație) reprezintă o stare a sistemului. Un proces
mecanic va fi descris de o curbă în spațiul configurațiilor, numită traiectorie ,
aceasta unind starea inițială a sistemului
 1 21 111 ,…, ,fq qq cu cea finală
 2 22 122 ,…, ,fq qq
.
O altă modalitate de a descrie starea unui sistem mecanic se poate
face alegând următoarele variabile: coordonatele generalizate
fq qq ,…,,2 1
și impulsurile generalizate
fp pp ,…,,2 1 definite prin
iiqpL , unde
L
este funcția Lagrange a sistemului, funcție ce va fi definită ulterior.
Perechile de variabile
iipq, se numesc variabile canonic – conjugate .
Aceste 2 f variabile generează un spațiu cu 2 f dimensiuni numit spațiul
fazelor în care o faz ă a stării dinamice a sistemului analizat este reprezentată

Constantin NEGUȚU
34 printr -un punct, iar evoluția dinamică a sistemului este descrisă de o
traiectorie.

2. Principiul Hamilton

Se consideră un sistem mecanic de N puncte materiale cu l legături,
deci care are
lN f3 grade de libertate, care evoluează între starea
inițială
1 (la momentul
1t ) și starea finală
2 (la momentul
2t ). Evoluția
sistemului este descrisă de o traiectorie reală în spațiul configurațiilor.
Orice altă traiectorie între aceleași stări va descrie un proces fictiv (virtual),
iar traiectoria respectivă se numește traiectorie virtuală compatibilă cu
legăturile.
În cazul unui sistem dinamic olonom – reonom și conservativ cu f
grade de libertate, descris de funcția Lagrange
),,( tqqii L L , acțiunea
lagrangeană

2
1d),,(t
tii ttqq S  L (3)
calculată între starea inițială
)(11t și finală
)(22t , (fig. 1) are o valoare
staționară pe traiectoria reală față de celelalte traiectorii virtuale
compatibile cu legăturile, adică pe traiectoria reală

0 d),,(2
1 t
tii ttqq S  L . (4)
Definiția de mai sus reprezintă principul Hamilton (Principiul
minimei acțiuni) , considerat cea mai generală lege din fizică. Acest
principiu permite alegerea soluției fizice din mulțimea de soluții matematice
ale probleme i. Din acest principiu rezultă mai multe formalisme de scriere a
ecuațiilor de mișcare pentru un sistem de N puncte materiale.

3. Formalismul Lagrange

3.1. Ecuațiile Lagrange

În fig. 1 sunt reprezentate mai multe traiectorii virtuale în cazul unui
sistem de puncte materiale care trec prin aceleași puncte (stări) în spațiul de
configurație la momentele de timp
1t și
2t .

Elemente de mecanică analitică
35

Fig. 1. Traiectorii în spațiul de configurație

Se definește deplasarea reală ,
diq , distanța dintre două puncte, la
momente de timp diferite, de -a lungul unei traiectorii și deplasarea virtuală
iq
distanța dintre două puncte la acel ași moment de timp de pe două
traiectorii . Considerând că
()iqt este traiectoria reală ,
( ) ( )iiq t q t este o
traiectorie virtuală foarte apropiată de prima. Variația acțiunii lagrangeene
între cele două traiectorii este:

   2
12
1d),,( d),,(t
tiit
tii ttqq ttqq S   L L . (5)
În relația ( 5) s-au permutat operațiile de integrare de -a lungul unei
traiectorii și de variație de la o traiectorie la alta, acestea fiind independente.
Variația funcției Lagrange este:

   ),,( ), , ( ),,( tqq tq qq q tqqii i ii i ii    L L L

),,( ),,(
1 1tqq qqqqtqqiif
ii
if
ii
iii   LL LL   
  , (6)
unde s -a dezvolta t în serie funcția
), , ( tq qq qi ii i  L în jurul punctelor
),,( tqqii
și s-au luat în considerare numai primii doi termeni. Astfel


  f
ii
if
ii
iii qqqqtqq
1 1),,( L LL (7)
și înlocuind în (1.4) se obține

0 d2
11 1


 
 t
tf
ii
if
ii
itqqqqS L L . (8)
Ținând seama că

ii
i qt tqq dd
dd (9)
și înlocuind (1.9) în (1.8), rezultă

Constantin NEGUȚU
36
i
ii
ii
iqqtqqtqtq







  L L L
dd
dd
dd . (10)
În urma înlocuirii relației (10) în ( 8), se obține

0 dddddd2
12
11 1











 
 t
tf
ii
it
tf
ii
i itqqttqqt q  L L L , (11)
iar

0 ddd
12
1 12
1


 
  ttqqtqqtf
ii
it
tf
ii
i  L L , (12)
deoarece toate traiectoriile coincid la momentele
1t și
2t , deci
0)( )(2 1  tq tqi i
, iar ecuația (11 ) devine

0 ddd2
11









t
tf
ii
i itqqt q L L , (13)
care este adevărată pentru orice variații
iq , dacă toți termenii sumei sunt
nuli, adică

0dd




i i qt q L L ,
. ,…2,1 f i (14)
Acestea reprezintă ecuațiile Lagrange , care sunt ecuații diferențiale
de ordinul al doilea. Soluțiile lor (legile de mișcare) vor conține 2 f constante
de integrare arbitrare care se pot obține din condițiile inițiale pentru
coordonatele generalizate și vitezele generalizate
0 )0(i i q q și
0 )0(i i q q ,
pentru
f i ,…,2,1 .

3.2. Funcția Lagrange

Funcția Lagrange are câteva proprietăți importante care vor fi
folosite în demonstrarea teoremelor din mecanica analitică.
Aditivitatea . Funcția Lagrange a unui sistem format din două
subsisteme A și B, între care nu se exercită interacțiuni și care sunt
caracterizate prin funcțiile Lagrange
AL și
BL este egală cu suma funcțiilor
Lagrange ale celor două subsisteme:
B AL L L
. (15)
Multiplicarea funcției Lagrange a unui sistem mecanic printr -o
constantă conduce la o funcție care descrie același sistem. Două funcții
Lagrange care diferă printr -un factor constant verifică aceleași ecuații.

Elemente de mecanică analitică
37 Funcția Lagrange este definită până la derivata totală în raport
cu timpul a unei funcții care depinde de coordonate și timp. Se consideră
două funcții Lagrange
L și
L între care există relația

),(ddtqftiL L . (16)
Calculând acțiunile lagrangeene ale celor două funcții Lagrange se obține

)),(( )),(( dddd d1 1 2 22
12
12
1ttqf ttqfSttft t Si it
tt
tt
t   L L , (17)
adică cele două acțiuni diferă printr -o constantă aditivă. Astfel variațiile
celor două acțiuni sunt egale

S S (18)
iar ecuațiile de mișcare vor fi identice.
Expresia funcției Lagrange. Pentru a găsi expresia funcției
Lagrange se pornește de la legea lui Newton scrisă pentru un sistem de
puncte materiale :

jj j xmtF 
dd , unde
N j 3,…,2,1 (19)
și de la expresia energiei cinetice a sistemului


N
jjj c xm E3
12
21 . (20)
Din compararea relațiilor (19) și ( 20), rezultă






jc
jxE
tF dd . (21)
Într-un sistem conservativ

jjxUF , (22)
unde U este energia potențială a sistemului. Din relațiile (21) și ( 22), se
obține

j jc
xU
xE
t 




 dd . (23)
Trecând la coordonatele generalizate
txqqji i , , rezultă



N
j ij
jc
ic
qx
xE
qE3
1
 , (24)
unde

Constantin NEGUȚU
38

f
ii
ij
j qqxx
1d d , (25)
adică


f
ii
ij j
tq
qx
tx
1 dd
dd , (26)
sau

ij
ij
qx
qx

 . (27)
În final se obține



N
j ij
jc
ic
qx
xE
qE3
1 . (28)
Derivând rel ația ( 28) în raport cu timpul, rezultă















 
 N
j ij
jcN
j ij
jc
ic
qx
txE
qx
xE
t qE
t3
13
1 dd
dd
dd
  

ic
iN
j ij
jcN
j ij
j qE
qU
qx
xE
qx
xU


 
 3
13
1
 , (29)
unde s -a ținut cont că

ij j
i ij
qx
tx
q qx
t 







 
dd
dd . (30)
Din relațiile (23) și ( 29) se obține

 0dd


UEqtUEqc
ic
i , (31)
unde s -a folosit, pentru simetrizarea ecuației, faptul că
0dd




iqU
t .
Comparând relația (31) cu ecuațiile Lagrange ( 14), rezultă expresia funcției
Lagrange a sistemului

UEcL . (32)
În cazul unui sistem de N punc te materiale între care nu se exercită
interacțiuni, expresia funcției Lagrange se scrie

NN
kkk r rrUrm,…,,21
21
12 
L . (33)

Elemente de mecanică analitică
39 3.3. Impulsurile generalizate și forțele generalizate

Prin definiție, impulsul generalizat
ip conjugat coordonatei
generalizate
iq este

iiqpL , (34)
sau în coordonate carteziene

k kkv rp 

L L . (35)
Din co mpararea ecuațiilor Lagrange ( 14) cu ecuațiile Newton și ținând cont
de d efiniția ( 34), rezultă că forța generalizată
iQ, conjugată coordonatei
generalizate
iq , este definită de:

iiqQL , (36)
sau în coordonate carteziene

kkrF
L . (37)
Din relațiile (34) și ( 36), î nlocuind în ecuația Lagrange ( 14), rezultă:

i iQp , sau
k kF p . (38)
Aceste expresii ale ecuațiilor Lagrange sau a ecuației Newton sunt
valabile atât în caz relativist cât ș i în caz nerelativist
Dacă
0
iqL , se spune că
iq este variabilă ciclică , iar din ecuația
Lagrange se obține că impulsul generalizat conjugat acesteia este constant în
timp
. 0 constp pi i 
Lucrul mecanic în formalismul Lagrange este dat de relația:


2
11df
iiiqQ L . (39)

3.4. Principiul inerției

Folosind formalismul Lagrange, se poate obține principiul inerției :
într-un sistem de referință inerțial, un corp își păstrează starea de repaus
relativ sau de mișcare rectilinie uniformă atâta timp cât asupra lui nu
acționează alte corpuri. Un sistem de referință inerțial este acel sistem în
care spațiul este omogen și izotrop . În coordonate carteziene, din

Constantin NEGUȚU
40 omogenitatea spațiului rezult ă că funcția Lagrange nu depinde de
coordonate, ci doar de viteze
vL , iar din izotropia spațiului se obține că
2vL
.
Ecuația Lagrange

0dd




i i qt q L L
în coordonate carteziene, se scrie

0dd



vt rL L , sau
L Lv rt dd .
Deoarece funcția Lagrange nu depinde de coordonate, rezultă că
0Lr ,
deci se obține

const.)( 0)(dd 2 2 v vtv v L L  




y x z y xvvv
vvjvv
vvivvkvvjvvi v2
22 2
22 2 2 2
2 )( )( )( )( )()(L L L L LL    


const.)(2)(2)(2)(2)(
22
22
22
22 2
22






vvv
vvvk
vvvj
vvvivv
vvkz y x
zL L L L L     

de unde rezultă
const.v

4. Formalismul Hamilton

Descrierea stării unui sistem cu ajutorul coordonatelor și
impulsurilor generalizate p rezintă unele avantaje mai ales, pentru studiul
problemelor generale de mecanică. Cele f impulsuri g eneralizate și f
coordonate generalizate formează un ansamblu de 2 f parametri, care poartă
numele de variabile canonice , fiecare pereche de variabile
iiqp, fiind
canonic – conjugate . Ansamblul coordonatelor generalizate
fq qq ,…,,2 1 și
a impulsurilor generalizate
fp pp ,…,,2 1 determină faza stării dinamice a
sistemului . Cei 2 f parametri
iiqp, sunt coordonatele unui spațiu cu 2 f
dimensiuni, numit spațiul fazelor .

4.1. Ecuațiile canonice (Hamilton)

Definind funcția Hamilton sub forma:

Elemente de mecanică analitică
41
 tqq qp tqpiif
iii ii ,, ,,
1 L H 
 , (40)
din principiul Hamilton se obțin ecuațiile canonice .
Înlocuind relația ( 40) în principiul Hamilton, rezultă:

  0 d,, d d,,2
12
12
11




    
t
tiit
tf
iiit
tii ttqp tqp ttqq S H L   , (41)
adică

0 d2
11 1 1 1
  
   tppqqpq qpt
tf
if
ii
ii
if
iiif
iiiH H , (42)
unde

tpq qptqtp qpi
i ii i i iidd
dd
dd . (43)
Înlocuind relația (43) în ( 42), rezultă:
 0 dddd2
12
11 1 1 











    
  t
tf
iiit
tf
ii
iif
ii
ii tqpttqqp ppqH H 
. (44)
Ultima integrală este nulă deoarece
0)( )(2 1  tq tqi i , în aceste stări toate
traiectoriile posibil e trecând prin aceleași puncte, iar egalitatea

0 d2
11 1











  
 tqqp ppqt
tf
ii
iif
ii
iiH H  (45)
este adevărată dacă toate parantezele sunt nule, adică:

iipqH ,
iiqpH ,
f i ,…,2,1 . (46)
care reprezintă ecuațiile canonice . S-a obținut un sistem de 2 f ecuații
diferențiale de ordinul întâi, ale căror soluții conțin 2 f constante arbitrare de
integrare care se determină din condițiile inițiale pentru coordonatele și
impulsurile generalizate
0 )0(i i q q și
0 )0(i i p p , pentru
f i ,…,2,1 .
În coordonate carteziene, ecuațiile canonice devin
H
kp kr  și
H
kr kp 
.

4.2. Semnificația fizică a funcției Hamilton

Constantin NEGUȚU
42 În cazul unui sistem conservativ,
0
iqU
 , deci impulsul generalizat
devine
ic
iiqE
qpL și pornind de la relația de definiție a funcției
Hamilton, se obține:
WUE UE E qqEqqqp
c c cf
ii
icf
ii
if
iii
 
 
 
) ( 2
11 1
– LLLL H

(47)
unde W este energia totală a sistemului . Pentru deducerea relației ( 47) s -a
folosit teorema Euler pentru funcții omogene de un grad oarecare în raport
cu variabilele, energia cinetică fiind funcție păt ratică de vitezele generalizate .
Astfel, într -un sistem conservativ

 NN
k kk
kk r rrUmptrp,…,,2,,21
12

H . (48)
Pentru un sistem neconservativ funcția lui Hamilton nu poate fi
identificată cu energia totală a sistemului.

4.3. Parantezele Poisson

Parantezele Poisson joacă un rol important în studiul evoluției
temporale a sisteme lor mecanice și dau o metodă simplă și elegantă de
obținere a integralelor prime ale mișcării (funcții care rămân constante în
decursul unui proces mecanic), în formalismul lui Hamilton.
Considerând o funcție
tqpFii,, și calculând derivat a totală a
acesteia în raport cu timpul, rezultă:








f
ii
ii
i tp
pF
tq
qF
tF
tF
1 dd . (49)
Cu ajutorul ecuațiilor canonice (1.46) , relația (1.49) se poate scrie sub forma:








f
i i i i i qpF
qF
p tF
tF
1 dd H H . (50)
Expresia








f
i i i i i qpF
qF
pF
1,H HH (51)
poartă numele de paranteza Poisson pentru funcțiile
H și F. Astfel, relația
(1.50) se poate scrie sub forma:

Elemente de mecanică analitică
43
,FtF
tFHdd . (52)
Condiția ca
tqpFii,, să fie o integrală primă a mișcării se scrie :

0,FtFH , (53)
iar dacă F nu depinde explicit de timp , condiția de integrală primă se scrie

0,FH . (54)
Pentru a scrie ecuațiile canonice cu ajutorul parantezelor Poisson ,
trebuie să se țină seama de proprietățile acestora.
Considerând două funcții oarecare
tqpFii,,1 și
tqpFii,,2 ,
paranteza lor Poisson se definește astfel








f
i i i i i qF
pF
qF
pFFF
11 2 2 1
2 1, . (55)
Dacă
constant1CF sau
constant2C F , atunci:

0 , ,1 2  CF FC . (56)
Pentru două funcții oarecare
1F și
2F sunt adevărate proprietățile:

1 2 2 1 , , FF FF , (57)








2 1 2 1 2 1 , , , FtF FFtFFt . (58)
Pentru trei funcții
tqpFii,,1 ,
tqpFii,,2 și
tqpFii,,3 există relațiile

3 2 3 1 3 2 1 , , , FF FF FFF  , (59)

2 3 1 3 2 1 3 21 , , , FFF FFF FFF   , (60)

0 , , ,, , ,1 3 2 2 1 3 3 2 1    FFF FFF FFF . (61)
Identitatea ( 61) poartă numele de identitatea Jacobi .
Teorema lui Poisson: „Dacă
1F și
2F sunt două integrale prime
ale unui sistem, paranteza Poisson a acestora este, de asemenea, integrală
primă, adică
constant ,2 1FF
” (62)
Pentru demonstrarea teoremei lui Poisson, se scrie identitatea Jacobi
pentru
1F ,
2F și
H3F .
Dacă în paranteza Poisson se înlocuiește
H1F și
iq F2 sau
H1F
și
ip F2 , din (55) rezultă că:

i i q q ,H ;
i i p p ,H . (63)
Relațiile ( 63) reprezintă ecuațiile canonice scrise cu ajutorul
parantezelor Poisson .

Constantin NEGUȚU
44 Parantezele Poisson ale coordonatelor și impulsurilor generalizate au
expresiile

0 ,j iqq ,
0 ,j ipp ,
ij j ipq , și
ij j iqp , ,
unde

jiji
ij,0,1 este simbolul lui Kronecker.
Variabilele canonic – conjugate au paranteza Poisson egală cu 1.