Consideratii Matematice Asupra Injectării Materialelor Usor Fuzibile

Cap.3 Considerații matematice asupra injectării materialelor ușor fuzibile

3.1. Procesul de curgere a materialelor vâscoase fluide

3.1.1.Experiența lui Reynolds

Mișcările fluidelor vâscoase se împart în două clase, care pot fi puse în evidență prin experiența următoare imaginată de Osborne Reynolds (1883) – figura 3.1

Fig.3.1 – Experiența lui Reynolds [1]

Lichidul din rezervorul R1 se scurge printr-un tub cilindric de sticlă T, prevăzut la extremitatea sa cu un robinet de reglare r. Nivelul apei în rezervorul R1 este menținut constant cu ajutorul conductei de alimentare C si a preaplinului P, astfel încât în tubul T mișcarea să fie permanentă, adică viteza V a lichidului să fie constantă. Printr-un tub T1, de secțiune mică, se injectează în axa tubului T, un jet din același lichid, dar colorat, conținut în rezervorul R2. Dacă lichidul colorat este injectat paralel cu axa tubului T și dacă viteza V din tubul T nu este prea mare, jetul colorat se menține rectiliniu și de aceeași grosime pe întreaga lungime a tubului T. Aceasta înseamnă că în tubul T traiectoriile particulelor fluide sunt paralele între ele și paralele cu axa tubului. O asemenea mișcare se numește laminară (fig.3.1,a). Dacă viteza lichidului din tubul T este mărită în mod continuu prin deschiderea suplimentară a robinetului r, se observă că la un moment dat firul colorat devine sinuos (fig.3.1,b), apoi se îngroașă și dispare, iar întregul lichid se colorează uniform (fig.3.1,c). Înseamnă că, în acest caz, au loc și mișcări secundare transversale, pe lângă mișcarea principala în lungul axei tubului. O asemenea mișcare se numește turbulentă.

Experimental și din considerente de analiză dimensională, Reynolds a arătat că natura mișscării unui fluid vâscos în interiorul unei conducte circulare depinde de mărimea adimensională.

, (3.1)

în care V este viteza medie a fluidului, D – diametrul conductei, iar v – coeficientul cinematic de vâscozitate al fluidului. Mărimea R se numește numărul Reynolds al mișcării.

Se constată experimental că dacă R < 2000 în conductă nu poate avea loc o mișcare turbulentă, chiar dacă se produc perturbații (de exemplu, vibrații). După încetarea perturbațiilor mișcarea redevine laminară. Valoarea Rcr,inf = 2000 se numește numărul Reynolds critic inferior pentru o conductă circulară. La valori ale numărului Reynolds mai mari decât Rcr,inf mișcarea este în general turbulentă.

În condiții speciale de experimentare (formă hidrodinamică a extremității amonte a tubului T, eliminarea neregularităților din T, eliminarea zgomotelor și vibrațiilor, liniștirea apei etc.) regimul laminar se poate păstra până la valori mult mai mari ale numărului Reynolds. Valoarea limită superioară până la care se poate obține o mișcare laminară se numește numărul Reynolds critic superior. Peste această valoare nu se pot obține mișcări laminare. Pentru valori ale numărului Reynolds situate între cele două valori critice, orice perturbație transformă în mod ireversibil mișcarea laminară într-o mișcare turbulentă (Rcr,sup = 100.000).

Dacă mișcarea fluidului nu are loc într-o conductă circulară, ci în alte condiții (canal, conductă patrată, în jurul unui corp solid etc.), se definește numărul Reynolds

, (3.2)

folosindu-se o viteză caracteristică V și o lungime caracteristică l, iar valorile celor două numere Reynolds critice depind de modul în care s-au ales mărimile caracteristice V și l.

3.1.2. Caracterizarea mișcării fluidelor vâscoase

S-a arătat anterior că toate fluidele reale sunt vâscoase în diverse grade. Această proprietate conduce la apariția unor tensiuni tangențiale în interiorul fluidelor în mișcare. Pentru cazul simplu al mișcării unidimensionale, în toate particulele fluide se deplasează paralel cu axa Ox, de exemplu, având deci viteza vx , tensiunea tangențială are expresia

τxy , (3.3)

axa Oy fiind normala direcției de mișcare. Coeficientul de proporționalitate din relația lui Newton (3.3) este coeficientul dinamic de vâscozitate al fluidului.

La gaze, vâscozitatea se poate explica utilizând rezultatele teoriei cinetice. Vâscozitatea unui gaz este datorată schimbului de cantitate de mișcare între straturile de gaz vecine, care se deplasează cu viteze diferite. Schimbul de cantitate de mișcare se efectueazădatorită mișcării proprii a moleculelor (agitație termică). Schimbul de cantitate de mișcare conduce la tendința de egalare a vitezelor straturilor, fapt ce se percepe din afară ca tensiuni în interfața straturilor, decivâscozitate. Energia termică a gazului fiind proporțională cu temperatura, rezultă că vâscozitatea unui gaz trebuie să crească la creșterea temperaturii, fapt confirmat de experiență, deși nu în proporțiile de teoria cinetică.

La lichide, proveniența vâscozității se explică în alt mod. Moleculele lichidului sunt dispuse atât de apropiat una de alta încât, in general, nu pot efectua decât oscilații în limite foarte reduse și numai foarte rar își schimbă locul între ele. Sub acțiunea tensiunilor tangențiale, care pot fi privite ca tensiuni elastice rezultând din forțe moleculare, schimbarea locurilor moleculelor se face de preferință pe direcția pe care acționează tensiunile tangețiale, efectul total fiind acela de lunecare. Deoarece mobilitatea moleculelor crește odată cu temperatura, vâscozitatea lichidelor scade la creșterea temperaturii, aș cum rezultă și din experiență.

Se menționează că legea lui Newton (3.3) se aplică numai dacă mișcarea este laminară. La apariția turbulenței se produc tensiuni tangențiale suplimentare care se vor analiza ulterior.

3.1.3. Ecuația constitutivă a fluidelor

S-a arătat că solicitările externe la care sunt supuse fluidele se traduc prin apariția în interiorul acestora a unor tensiuni normale și tangențiale, care sunt descrise de tensorul tensiunilor

= τ i , j

Acesta este un tensor simetric (τ i , j = τ j ,i ), iar suma termenilor de pe diagonala principală constrituie un invariant la schimbarea sistemului de coodonate considerat, media acestei sume definind presiunea.

S-a arătat, de asemenea, că mișcarea unui mediu continuu este descrisă de ecuația lui Cauchy (1.88) din [1].

, (3.4.)

dar această ecuație nu permite rezolvarea problemelor de mișcare a fluidelor. Pentru aceasta este necesar să se precizeze modul în care răaspunde fluidul (adică viteza de deformație a fluidului) la solicitările exterioare (adică tensiuni). Aceasta reprezintă o legătură între tensorul tensiunilor și tensorul vitezelor de deformație și se numește ecuația constitutivă fluidului. Astfel, relația (6.3) din [1] reprezintă cea mai simplă formă a ecuației constitutive, în cazul mișcării laminare și paralele a unui lichid. Prin analogie cu aceasta se va considera că și în cazul general legătura între tensorul tensiunilor și cel al vitezelor de deformație este tot liniară. De asemenea, se ține seama că vâscozitatea se poate manifesta în două moduri (ca la lichide și ca la gaze) și deci ecuația constitutivă trebuie să conțină ambii coeficienți de vâscozitate (η valabil în general, η’ specific gazelor). Se presupune următoarea formă a ecuației constitutive

, sau τi , j Si,jδi,j, (3.5)

în care este viteza de deformare a elementului de volum, care la fluide incompresibile este nulă – tensorul unitate , iar δi , j – simbolul lui Kronecker.

Între cei doi coeficienți η și η’ se admite, în general, relația lui Stokes.

2η+3η’=0 (3.6)

3.1.4. Justificarea ecuației constitutive a fluidelor

S-a arătat că în cazul repausului, sau în cazul fluidelor ideale și în mișcare, se poate scrie

τxx = τyy = τzz = -p, τxy = τyz = τzx = 0 , (3.7)

p fiind o tensiune de compresiune (presiunea hidrostatică), care nu depinde de orientarea suprafeței pe care acționează. În cazul fluidelor vâscoase, se remarcă în general că

τxx ≠ τyy ≠ τzz . (3.8)

Fig.3.2 – Tensiuni tangențiale [1]

Dacă se ține seama de invariantul formulei (3.9), este firesc să se introducă, și în cazul fluidelor vâscoase, noțiunea de presiune, independentă de orientarea triedului.

τxx + τyy + τzz = const. (3.9)

τxx + τyy + τzz). (3.10)

În acest caz, tensiunile normale pot fi scrise

τxx = – p + τ’xx , τyy = – p + τ’yy , τzz = – p + τ’zz . (3.11)

În cazul mișcării plane, cu vitezaparalelă cu axa Ox, vx = vx (y), vy = vz = 0, tensiunea tangențială este exprimată prin relația lui Newton

τyx = , (3.12)

respectiv , (3.13)

care reprezintă viteza de deformație a unghiului drept.

În cazul general al mișcării fluidelor vâscoase, deformația unghiulară poate exista pe toate cele trei direcții și se presupune următoarea legătură între tensiunile tangențiale și vitezele de deformație

τxy , τyz , τzx , (3.14)

ceea ce constituie o generalizare a relației lui Newton din mișcarea unidimensională.

Deoarece τ’xx, τ’yy și τ’zz, sunt componentele tensiunilor normale care depind de vâscozitatea fluidului, se urmărește scrierea unor relații între aceste componente și vitezele de deformație.

Este de așteptat ca tensiunile τ’xx, τ’yy și τ’zz fiind tensiuni normale, să fie proporționale cu vitezele de deformație liniară corespunzătoare.

În cazul fluidelor incompresibile, aceste tensiuni sunt proporționale numai cu vitezele de deformație liniară corespunzătoare. Acestea sunt analoage relațiilor (3.14) și se obțin identificând indicii

τ’xx , τ’yy și τ’zz , (3.15)

iar suma lor

τ’xx + τ’yy + τ’zz =0 (3.16)

este nulă în cazul unui fluid incompresibil, datorită ecuației continuității.

În cazul fluidelor compresibile tensiunile normale pot fi influențate și de viteza de deformare a elementului de volum

(3.17)

În acest caz, tensiunile normale datorate vâscozității fluidului, devin

τ’xx

τ’yy (3.18)

τ’zz

în care η’x η’y η’z reprezintă constante specifice fluidului.

Dacă fluidul este izotrop, η’x = η’y = η’z = η’ reprezintă un alt mod de manifestare a vâscozității, specific gazelor. În acest caz presiunea medie în fluid este

se poate scrie

(3.19)

Această presiune este egală cu cea hidrostatică dacă:

fluidul este incompresibil

este satisfăcută ipoteza lui Strokes 2η+3η’=0, caz în care ecuația constritutiva (3.5) conduce la ecuațiile Navier-Stokes.

Dacă nu se acceptă ipoteza lui Stokes, aceasta se poate înlocui cu relația

(3.20)

în care , în afara coeficientului de vâscozitate de forfecare η, se introduce al doilea coeficient de vâscozitate – de dilatare η’’, iar ecuația constitutive devine

τi , j i,jδi,j. (3.21)

Coeficientul η’’ are importanță la studiul preceselor rapide în gaze, precum explozii, trecerea gazului prin suprafețe cu salturi de densitate etc. În alte aplicații η’’<<2/3η și se consideră η’’=0.

3.2 Modelarea matematică a procesului de injectare în matrițe

3.2.1. Ecuațiile mișcării laminare a fluidelor vâscoase – ecuațiile Navier-Stokes

Dacă se admite ecuația constitutivă (3.5) și relația lui Stokes (5.6) [1], ecuațiile lui Cauchy (1.90) [1]

(3.22)

pot fi scrise dacă tensiunile τij sunt exprimate prin ecuația constitutivă (3.5) astfel

τxx

τyy , τzz

τxy = τyx , τxz = τzx , τyz = τzy . (3.23)

De unde se poate scrie

adică

.

Scriind similar și pentru celelalte axe de coordonate, se obține

(3.24)

sau în transcriere vectorială rezultă

. (3.25)

Ecuațiile (3.24) sau ecuația (3.25) reprezintă ecuațiile mișcării laminare a unui fluid vâscos sau ecuațiile Navier – Stokes. Mărimile necunoscute care apar în aceste ecuații sunt (vx, vy, vz) = ,t), p = p(,t) și ,t). Între aceste mărimi mai putem scrie ecuația continuității și ecuația de stare. Aceste relații formează împreună sistemul

0 (3.26)

Sistemul (3.26) este un sistem neliniar și neomogen de ecuații cu derivate parțiale, în care funcțiile necunoscute sunt vx = vx (,t) , vy = vy (,t), vz = vz (,t), p = p (,t) și ρ = ρ (,t). Rezolvarea acestuia se face utilizând condițiile de unicitate.

Condiții inițiale – prin care se precizează repartiția vitezei, presiunii și densității, la momentul inițial al mișcării t = 0, în tot domeniul ocupat de fluidul în mișcare

t=0 = t=0 = t=0 . (3.27)

Condiții la limite – prin care se precizează parametrii fluidului pe frontierele domeniului. Astfel, se precizează viteza, presiunea și densitatea în punctul de la infinit, dacă acesta aparține domeniului. La contacul cu o suprafață solidă (fixă sau în mișcare) se ține seama că aceasta este impermeabilă, iar datorită aderenței, particulele fluide sunt lipite pe suprafață, deci corp|S pe suprafața corpului solid. Se menționează că suprafețele de separație dintre două fluide nemiscibile în mișcare, sunt suprafețe de discontinuitate pentru densitate, nu și pentru presiuni (tensiuni) și viteze.

În cazul în care se strudiază curgerea unui lichid (fluid incompresibil), ecuația Navier – Stokes se simplifică și devine

(3.28)

Ecuația (3.28) permite rezolvarea a trei grupe de probleme:

probleme la care a fost posibilă rezolvarea exactă a ecuației;

probleme rezolvate după neglijarea unor termeni din ecuația de mișcare, care au un rol secundar în desfășurarea fenomenului fizic al mișcării;

probleme la care s-au utilizat metode aproximative de calcul.

În cadrul problemelor la care s-a putut da o rezolvare exactă a ecuațiilor de mișcare, amintim mișcarea intre doi pereți plani paraleli, mișcarea într-o conductă eliptică (sau circulară) și între doi cilindri coaxiali etc.

În rezolvarea ecuațiilor apriximative, la care s-a renunțat la unii termeni, se remarcă metoda propusă de Tokes prin care, în cazul mișcărilor foarte lente (în special la curgerea în jurul unui corp solid), componenta convectivă a forței de inerție este neglijabilă , în raport cu celelalte forțe. Deci la numere Reynolds mici se obține ecuația lui Reynolds.

(3.29)

Dacă relația (3.29) i se aplică divergența la ambii membrii se ține seama de ecuația continuității , rezultă

, (3.30)

iar dacă forțele masice sunt neglijabile în raport cu cele de presiune, soluția verifică ecuația

(3.31)

Ca exemplu, aici se poate remarca mișcarea laminară, în jurul unei sfere, respectiv mișcarea între doi pereți plani – mișcarea Hele – Shaw.

Metodele aproximative de calcul constau, în general, în soluții numerice, bazate pe metoda rețelelor, metoda elementului finit etc.

Printre aplicațiile teoriei mișcării laminare a fluidelor vâscoase se remarcă teoria lubrificației, vâscozimetria și transportul fluidelor prin conducte.

Tabelul 6.1 [1]– Ecuațiile mișcării laminare în sisteme cu coordonate curbilinii

3.3 Concluzii

Bibliografie

[1] Eugen Constantic Gh. Isbășoiu, ș.a. – Tratat de mecanica fluidelor. Editura Agir București, 2011