Considerând o heterojoncțiune a doi semiconductori neutri în care aceștia sunt în contact de-a lungul unei suprafețe ‘curate’ la nivel atomic (de… [302463]

1. Gropi cuantice

Considerând o heterojoncțiune a doi semiconductori neutri în care aceștia sunt în contact de-a lungul unei suprafețe ‘curate’ la nivel atomic (de exemplu unul este crescut deasupra celuilalt și se neglijeazǎ nepotrivirea dintre rețele) nivelele de vid ale ambelor semiconductori se vor alinia. [anonimizat]ǎ care vor determina discontinuitați de banda abrupte. Dacǎ un strat subțire al semiconductorului B este intercalat între doua straturi ale semiconductorului A, printr-o selecție adecvatǎ a materialelor A și B, noile profile ale benzii de conducției și de valențǎ vor reprezenta groapa cuanticǎ [anonimizat]. [anonimizat]ǎ doua tipuri de gropi cuantice ilustrate in fig 1. In gropile cuantice de tip I, [anonimizat]ǎ in stratele adiacente.

Dacǎ groapa este suficient de ingustǎ, mișcarea electronilor și a golurilor va fi confinatǎ intr-un plan bidimensional pe direcția de creștere. [anonimizat].

Excitonii in gropi cuantice prezintǎ unele caracteristici care nu se observǎ in materialul inițial. [anonimizat]ǎ de cea din material original. În materialul original (bulk) energia excitonului este energia de bandǎ interzisǎ, Eg, minus energia de legare a excitonului, Ryex (ecuatia 1.2)εϵ

(1.2)

cu – energia Rydberg, – [anonimizat] – masa redusǎ a excitonului,

în vreme ce în gropile cuantice existǎ factori adiționali datorați confinǎrii electronilor și golurilor. O estimare simplǎ a energiei de confinare intr-o groapa patratǎ cu pereți de înalțime infinitǎ este: , unde L este lațimea gropii și n=1,2,3… reprezintǎ nivelul de energie al particulei confinate . [anonimizat]ǎ confinǎrii, se observǎ o creștere a energiei de legare odatǎ cu descreșterea lațimii gropii. Calculele indicǎ faptul ca energia de legare poate crește de cateva ori fațǎ de valoarea inițialǎ. [13, 14, 15, 16, 17]. [anonimizat]ǎ spectrul de absorbție al structurilor gropii cuantice (Fig 1.2) și chiar la temperatura camerei in structurile gropilor cuantice se observǎ unele efecte optice nonliniare excitonice mari. [18]. Figura 1.2 bazatǎ pe unul din primele studii ale gropilor cuantice de Dingle și alții [19] indicǎ spectrul de absorbție al gropilor cuantice de GaAs la 2K pentru diferite lǎțimi ale gropii. Pe masurǎ ce gropa se îngusteazǎ, se produce confinarea cuanticǎ, [anonimizat] n in expresia energiei de confinare de mai sus. O altǎ caracteristicǎ ce se observǎ in fig. 1.2 este creșterea energiei de confinare odatǎ [anonimizat]ǎ [anonimizat]- ceea ce era de așteptat din proporționalitatea inversǎ între E și L.

Ideea de proiectare și construire a gropilor cuantice și a [anonimizat]ctori a fost propusǎ in anii 1970 de Esaki și Tsu[20,21], insǎ doar folosirea unor tehnici avansate de creștere cum ar fi epitaxia fasciculului molecular a permis creșterea de straturi cu o grosime strict controlatǎ și suprafețe și interfețe curate atomic, astfel îmbunatațindu-se semnificativ calitatea structurilor. Pentru a obține confinarea cuanticǎ, lațimea gropii cuantice trebuie sa fie de același ordin de marime cu lungimea de undǎ de Broglie a electronului, sau cateva sute de Å. Aceastǎ metodǎ a fost folositǎ cu succes, dar de asemenea prezintǎ o dezordine intrinsecǎ datoritǎ variației lațimii. De exemplu, folosind energia de confinare a unui electron in starea fundamentalǎ a unei gropi cuantice de adâncime infinitǎ, , putem deduce cǎ modificarea energiei este proportionalǎ cu modificarea lațimii gropii . Dacǎ presupunem ca lǎțimea gropii este de 100 Å, atunci o modificare a grosimii gropii de cǎtre un singur monostrat, de aprox. 6Å, va introduce o modificare de 6% a energiei de confinare. Dacǎ asemenea variații ale lațimii gropii se produc pe o scala macroscopicǎ, de exemplu dimensiunea punctului de excitare laser, laserul de excitare va ilumina proba pe locații cu diferite lațimi ale gropii, fiecare având propria energie de confinare, iar ca rezultat linia de luminiscențǎ va deveni dispersatǎ. Cu cât structura este mai neuniformǎ, cu atat linia de luminiscentǎ va fi mai dispersatǎ. Acestǎ dispersie este cunoscutǎ sub numele dispersie neomogenǎ.

Dacǎ doua gropi cuantice sunt crescute una in apropierea celeilalte, separate de o barierǎ subțire, structura rezultatǎ se numește gropi cuantice cuplate. Cuplate, deoarece electronii și golurile, deși provin din doua gropi distincte, nu sunt complet separate și, in funcție de grosimea barierei, funcțiile lor de undǎ se pot suprapune considerabil. Utilizarea unor asemenea structuri de gropi cuantice cuplate pentru studiul excitonilor are unele avantaje care ar putea fi exploatate cu scopul de a obține experimental BEC. Se poate spune ca cel mai important sau util este abilitatea de a separa spațial electronii și golurile. Separarea se produce pe direcția de creștere in care electronii sunt localizati într-una din gropile cuantice, iar golurile in cealaltǎ. In planul gropilor, aceștia ar putea fi localizați in aceeași regiune, dar separați de bariera dintre gropi. O asemenea separare se poate obține prin aplicarea unui câmp electric paralel cu direcția de creștere (perpendicular pe planul gropilor). In acest caz structura benzii va suferi o inclinare proporționala cu câmpul electric, dupa cum se vede in figura 1.3. atunci cand apar electroni și goluri, va fi o stare cu energie mai joasa in care un electron dintr-una din gropi va lega un gol din cealaltǎ groapǎ, formând astfel un așa numit exciton ‘indirect’ (numit de asemenea dipol sau exciton intergropi), spre deosebire de excitonul ‘direct’ in care electronul și golul sunt in aceeași groapǎ. Excitonii indirecți prezintǎ cateva avantaje fața de cei direcți. Deoarece electronul și golul sunt separați spațial, suprapunerea funcțiilor de undǎ ale acestora va fi redusǎ, iar astfel rata de recombinare va scǎdea, ducând la un timp de viațǎ crescut al excitonilor deoarece timpul de viațǎ radiativ este proporțional cu suprapunerea dintre funcțiile de und ale electronului și golului. [22] O asemenea creștere a timpului de viața al excitonului prezintǎ avantaje intr-un experiment BEC in care sunt necesari timpi de viața mai lungi decat decat timpul de termalizare.

În gropile cuantice de tip II, chiar și in structuri mono-groapǎ excitonii sunt intotdeauna indirecți deoarece electronii și golurile sunt confinate in regiuni spațiale diferite.

Cu toate acestea , crearea de excitoni indirecți prezintǎ și dezavantaje. Deși structura semiconductorului prezintǎ o rezistentǎ electricǎ ridicatǎ de-a lungul direcției de creștere, aceasta nu este infinitǎ. Aceasta inseamnǎ cǎ, la aplicarea unei tensiuni pentru a crea excitoni indirecți, va apare un curent, scǎzut, prin gropile cuantice care va produce o concentrație de purtatori liberi care se vor comporta ca centre de impraștiere pentru excitoni și astfel se va reduce mobilitatea acestora.

(3 ANA Cap. 2 Structura cristalina

Energy gaps and effective masses )

2.i Structura cristalinǎ

Combinația de GaAs a fost produsǎ inițial in 1920 si se știe ca are o rețea de blendǎ (cubic-sferica). Aceastǎ simetrie cubicǎ centratǎ pe o fațǎ (fcc) si la bazǎ o moleculǎ de GaAs, cu o specie atomicǎ la origine (000) si cealalta la () al unitații cubice nonprimitive fcc.

Atomii de Ga si de As formeaza separat subrețele de tip fcc care se suprapun. Unitatea cubicǎ convenționalǎ (fig.2.1) are o lungime laterala de 5.653Å la 300 K. Volumul celulei unitate este 1.807×10-22cm-3 si este de patru ori volumul unei celule primitive. Constanta de rețea a AlxGa1-xAs se obține prin interpolarea liniarǎ intre contantele de rețea a GaAs(x=0) si AlAs(x=1). Aceasta ne dǎ:

a(AlxGa1-xAs) = (5.653 + 0.007x) Å. (2.1)

Clivarea cristalului are loc cel mai usor in planele familiei (110), urmatǎ de (111) si apoi intre (111) si (011) in cazul particular al planelor (111), planul final conține doar o specie de atomi. Acesta este fie un plan cu Galiu (111A), fie un plan Arsenic(111B) si ambele au proprietați chimice diferite.

Dispersia stǎrilor electronice si ale vibrațiilor rețelei este descrisǎ in sistemul de coordonate al spațiului reciproc. Prima zona Brillouin (cubul centrat pe corp) pentru GaAs este prezentata in figura 2.2. Aceasta reprezinta un actaedru truncat si este plasata in interiorul unui cub avand lungimea laturii (4/a) = 2.2x1010m-1.

In fig. 2.2 sunt indicate cele mai importante puncte speciale (de ex. puncte de simetrie maxim) si linii speciale. Localizarea acestor puncte in interiorul zonei Brillouin precum si distantele dintre acestea sunt indicate in tabelul 2.1.

Dependenta parametrilor fizici in compusi III-V de tip de valoarea compozitionala x este de obicei data de urmatoarea formula, pentru un parametru alfa

(2.2)

Cu , . Parametrul de curbare c indica deviația de la dependența liniarǎ. Pentru AlxGa1-xAs cu x<0.4 o relație liniarǎ de forma:

este suficient pentru a descrie multe din proprietațile fizice ( de ex. parametrii de rețea si bandǎ).

2.ii. Legarea cristalelor

Atat in semiconductorii cu un singur element (Ge, Si) cât si între semiconductori aliaje, legaturile sunt in principal covalente si fiecare atom are patru atomi in prima vecinǎtate. Structura aliajului Zn-blende prezintǎ orbitali de tip sp3 cu legaturi hibride care formeazǎ legaturi tetraedrice cu cei patru atomi din prima vecinatate. Acest fenomen este ilustrat in fig. 2.1. pentru a intelege hibridizarea legaturii, considerǎm un atom de Beriliu avand configurația electronicǎ 1s22s2. Starea fundamentalǎ nu conține niciun electron liber(neîmperecheat) astfel ca nu ne asteptǎm sa avem o legaturǎ covalentǎ. Cu toate acestea , starea excitata joasa are doi electroni neîmperecheați. Orbitalii s si p neîmperecheați pot forma doi orbitali hibrizi.

(2.4)

Acestea se pot suprapune si pot forma o legatura covalenta cu doi atomi.energia “promoționala” necesara pentru a forma acesti orbitali din starea fundamentala este compensat de energia de suprapunere obținuta prin formarea legǎturii. Acest tip de hibridizare se numește hibrid sp. Orbitalii sp3 din legatura hibridǎ a semiconductorilor legați tetraedric au la bazǎ același mecanism dar sunt mai complecși. În acest caz, cele patru funcții hibride care se pot forma din funcția de unda-s normalizatǎ si funcțiile de undǎ p normalizate px,py,pz sunt:

În structura Zn-blenda se aflǎ doi atomi in fiecare celulǎ primitivǎ si opt electroni de valențǎ. Principiul de excluziune al lui Pauli permite doi electroni per atomi pe fiecare bandǎ electronicǎ si astfel sunt necesare patru benzi de valențǎ pentru a cuprinde toți electronii de valentǎ. La T=0K, un semiconductor ideal are benzi de valența complet ocupate. Toate celelalte starile in care se poate afla un electron apartin benzilor de conducție.

I.2.iii. Energia interzisǎ si masele efective

Vom considera cǎ, principalele benzi electronice de interes sunt cele trei benzi de valențǎ superioare si cele mai joase benzi de conducție. Acestea sunt numite in funcție de reprezentarile ireductibile ale grupului punctual cristalin (Td sau 3m pentru retele Zn-blende). Cele trei reprezentǎri ale grupului dublu (compatibile cu spinul electronic) sunt cunoscute ca și (folosind notația Bethe) in centrul zonei

Considerând mai întai punctul , cea mai joasǎ bendǎ de conducție este , cele mai inalte benzi de valențǎ (benzile goluri grele si ușoare) sunt si banda spin-orbitǎ split-off este . Aceasta din urmǎ prezintǎ energie redusǎ datoritǎ interacției spin-orbitǎ. Urmatoarele benzi de conducție cu energie mai înaltǎ sunt benzile de conducție de p-antilegaturǎ : si .

Valorile experimentale ale energiei de gap directe si indirecte sunt date in tabel 2.2. Valorile pentru AlxGa1-xAs sunt valabile pentru x<0.45. Pentru valori mai mari ale lui x , cea mai mica energie de gap este energia de gap indirectǎ Eg(x). Dependența de temperaturǎ a gapului direct E0 in GaAs este datǎ in forma numericǎ de

(2.6)

Unde T este temperatura in Kelvin.

Masa efectivǎ este puternic corelatǎ cu mobilitatea purtatorului si reprezintǎ unul dintre cei mai importanți parametri ai dispozitivului. Cu toate acestea existǎ mai multe definiții alei mase efective si trebuie sa clarificǎm definiția folositǎ aici. Una dintre definiții, masa efectivǎ opticǎ sau panta este importantǎ atunci când se considera fenomene cunm ar fi susceptibilitatea magneticǎ sau rotația Faraday. Aceasta se definește ca:

(2.7)

Cealalta definitie, folosita in lucrarea de fata, este masa efectivǎ a curbǎrii de bandǎ definita ca:

(2.8)

Aceasta definiție include masa electronului liber kg. Eliminand acest factor se obține definiția masei efective folositǎ în continuare

(2.9)

pentru un electron în banda n.

Aceasta difiniție se obține considerând viteza de grup unui pachet de undǎ electronicǎ, centratǎ pe vectorul de undǎ k. Stiind ca si , atunci

, și (2.10)

Un câmp extern aplicat pe o perioadǎ , va produce un lucru mecanic asupra unui electron de sarcinǎ –e dat de:

(2.11)

Deoarece . Se obtine

(2.12)

Din ecuatia (2.10)

(2.13)

Comparând acestea cu legea lui Newton (a=F/m) se obține:

.

Deoarece suprafețele energetice nu sunt constrânse a fi sferice masa efectivǎ este înlocuitǎ cu un tensor de masa efectivǎ, dat de:

(2.14)

Valorile experimentale din tabelul 2.3 sunt valori mediate sferic, acestea fiind cel mai des utilizate in calcule. Valorile prezentate sunt pt k=0.

Masa densitǎții de stǎri se obține pentru fiecare minim de bandǎ de conducție (, X sau L) ca:

(2.15)

Unde reprezinta numarul de minime echivalente la , mt si ml reprezinta componentele transversale si longitudinale ale masei efective. NL=4 și NX=3. Masa efectivǎ de conductivitate la fiecare minim se obține din

(2.16)

Aceste valori sunt date in tabelul 2.4

I.2.iv. Densitatea de stǎri

Funcția densitații de stǎri (DOS) – g(E) este un parametru extrem de important si de util. Acesta reprezintǎ numarul de stǎri electronice permise per spin, per unitate de energie, per unitate de volum intr-o anumitǎ bandǎ datǎ cu energia E in intervalul (E,E+dE). Pentru un numar arbitrar de dimensiuni aceasta este datǎ de

(2.17)

Unde α reprezintǎ minimele benzii degenerate si i este numarul de dimensiuni. Cantitatea dk reprezintǎ lungimea (1D), aria (2D) sau volumul (3D) diferențiale pentru o suprafața de energie constanta. Funcția DOS se obține astfel prin derivarea ecuației (2.17) in funcție de energia E. Deoarece in general nu existǎ forme analitice pentru E(k), expresia utilǎ pentru DOS este

(2.18)

Unde dS este derivata ariei suprafeței de energie constantǎ in 3D, sau derivata lungimii in sisteme 2D. În vecinatatea minimului de bandǎ si dacǎ aproximația parabolicǎ la E(k) este suficient de corectǎ, atunci densitatea de stǎri per spin ia forma simplǎ

1D

2D

3D (2.19)

Unde energia E se masoarǎ fațǎ de minimul marginii de bandǎ.

Densitatea de stǎri comunǎ, in esentǎ fiind numarul de perechi de stǎri electronice separate de un interval energetic dat E este extrem de importantǎ atunci cand se iau in considerare tranzitiile optice si funcția dielectricǎ. Aceasta se poate defini simplu ca

(2.20)

Unde suma se extinde pe intreaga zona Brillouin.

În general ecuațiile (2.20) si (2.18) trebuie rezolvate numeric. În aceastǎ lucrare, aceasta se obține din structura de bandǎ calculatǎ a fiecarui sistem in studiu. Densitatea de stǎri comunǎ poate fi exprimatǎ intr-o formǎ analoagǎ ecuației (2.18) ca:

(2.21)

(Slachmuylders -Cap. 1.4)

3. 1.1. Structura de banda a semiconductorilor bulk

Electronii unui singur atom liber ocupǎ orbitali atomici, care formeazǎ un set de nivele energetice discrete. Dacǎ mai mulți atomi formeazǎ o moleculǎ, orbitalii atomici ai acestora se separǎ. Acest fenomen produce un numar de orbitali moleculari proporțional cu numarul de atomi. Atunci când un numar mare de atomi (de ordinul 1020 sau mai mult ) interacționeazǎ pentru a forma un solid, numarul de orbitali devine extrem de mare, iar diferența intre energiile acestora devine foarte micǎ, astfel incat nivele se lǎrgesc pentru a forma benzi de energie si nu nivele discrete de energie ca in cazul atomilor izolați. Cu toate acestea in unele intervale energetice nu existǎ niciun orbital indiferent cât de mulți atomi interacționeazǎ formând benzi gap. Astfel, in fizica stǎrilor solide structura benzilor electronice (sau mai simplu structura de bandǎ) a unui solid descrie intervalele de energie “interzise” sau “ permise” ale unui electron. La temperatura T=0, electronii dintr-un semiconductor ocupǎ benzile electronice pornind de la banda cu energie cea mai joasǎ pânǎ la banda cu energie cea mai inaltǎ sub goluri de bandǎ acestea formând benzile de valențǎ. Nivelele energetice având o energie mai mare sau deasupra gap-ului de bandǎ sunt goale sau neocupate si se numesc benzi de conducție. [61]

Structura de bandǎ a unui material determinǎ mai multe proprietǎți, in special cele electronice si optice. Astfel din punct de vedere teoretic este foarte important sǎ cunoastem structura de bandǎ. Aceasta se poate obține prin rezolvarea ecuatiei lui Schrӧdinger adecvatǎ solidului respectiv, ceea ce reprezintǎ desigur o problemǎ extrem de complicatǎ. De aceea in rezolvarea ecuației sunt necesare unele aproximǎri. In general existǎ douǎ categorii de calcule de structurǎ de bandǎ pentru semiconductori. In primul rând sunt metodele care descriu toate benzile de valentǎ si de conducție, cum ar fi de exemplu metoda legǎrii strânse (the tight binding method), metodele undelor plane ortogonalizate si metodele de pseudopotențial si in al doilea rând, metode care descriu structuri de bandǎ in apropierea marginii de bandǎ cum ar fi metoda k*p . O trecere in revistǎ a acestor metode poate fi gasitǎ in multe tratate ( ref.[62] si [63]). Problema structurii de bandǎ se simplificǎ substanțial in cazul materialelor cristaline, de exemplu NWs (nanofire). Un cristal este un aranjament periodic de atomi, care poate fi descris printr-o rețea Bravais avand o bazǎ. Pozitia periodicǎ a atomilor se datoreazǎ tipului de legaturǎ, de exemplu intr-un compus binar III-V cum ar fi InP, sunt 8 electroni exteriori per celula care contribuie la legaturile chimice. ceilalți electroni ai fiecarui tip de atomi sunt “legați” in configurații ale stratului închis si funcțiile de undǎ ale acestora sunt puternic legate in jurul nucleilor de In sau P. Dacǎ se neglijeazǎ impuritǎțile din cristal( cristal ideal) si se considerǎ miezurile atomilor fixate in pozițiile din retea, acești electroni comuni sunt supuși unui potențial periodic generat de miezurile ionice din rețeaua de bazǎ. Funcția de undǎ a unui singur electron de pe stratul exterior satisface ecuatia lui Schrӧdinger

(1.1)

Unde m0 este masa electronului liber. Deoarece Hamiltonianul este invariant la tranzacția vectorului de rețea soluția generalǎ a ecuației (1.1) se poate scrie astfel

(1.2)

Unde are aceeasi periodicitate a retelei. Valoarea proprie a energiei E se poate scrie ca E= En(k), unde n este indicele de banda, iar k reprezinta vectorul de unda al electronului. Functia de unda este cunoscuta sub numele de functia Bloch. Aceasta este teorema Bloch care in principal descrie metodele mentionate anterior de calcul a structurii de banda a solidelor bulk. In figura 1.15 prezinta un exemplu de structura de banda a InP care a fost calculata folosind metoda pseudopotentialului. In fig. 1.16 se observa regiunea structurii de banda care este importanta pentru majoritatea fenomenelor fizice din aplicatii legate de nanofire. In functie de problema in studiu numarul de benzi considerate poate varia de la 2 (in aproximatia masei efective) pana la 4, 6 (Luttinger-Kohn, see Ref. [66]), opt (Kane, see Ref. [67]) sau chiar 15 (Ge/Si [68]) fiecare avand o complexitate si o acuratete sporita. De asemenea Pikus and Bir au adaugat constrangeri hamiltonianului multibanda 8×8.

In aceasta lucrare, presupunem ca energia de rupere nu e suficient de larga, permitand neglijarea aceste benzi. Mai mult, presupunem ca golurile grele si cele usoare nu interfera si ca in fir exista in principal un singur tip de goluri ( goluri grele). In consecinta, folosind aproximatia benzii unice atat pentru goluri cat si pentru electroni. Deoarece ne intereseaza nanofirele libere, in principal crescute prin metoda VLS, exista doua consecinte principale ale acestui model folosit pentru a descrie sistemul, si anume a) nu este nevoie sa luam in consideratie nicio conctrangere si b) incompatibilitatea dielectrica are un efect non-neglijabil asupra proprietatilor electronice ale nanofirului. Aceasta incompatibilitate dielectrica este produsa de diferenta dintre constantele dielectriceale materialului nanofirului ( de regula de ordin 10) si mediu de regula vid (constanta dielectrica =1).

I. 3. 1.2. Aproximatia masei efective

Un electron miscandu-se intr-un cristal este supus unui potential de fundal perfect periodic, astfel ca electronul se propaga fara imprastiere. Intr-adevar conform teoremei Bloch functia de unda a electronului . Efectul cristalului poate fi luat in considerare inlocuind in ecuatia lui Schrӧdinger masa electronului liber cu o masa efectiva. Masa efectiva se poate defini plecand de la dezvoltarea in serie Taylor a energiei unui electron cu impulsul K in vecinatatea minimului benzii de conductie la k=k0.

(1.3)

In care derivata a doua a energiei este un tensor pozitiv care nu depinde de k. acest tensor poate fi folosit pentru a defini “noua” masa me a electronului, denumita masa efectiva astfel:

(1.4)

Evident masa efectiva este invers proportionala cu curbura de banda in punctul respectiv. Remarcam faptul ca odata stabilita relatia dintre E si K , putem din motive practice sa neglijam potentialul de fundal sa tratam electronii ca si cum ar fi liberi si se supun ecuatiei de miscare a lui Schrӧdinger.

I. 3. 1.3. Validitatea aproximatiilor

Aproximatiile din aceasta teza sunt valide doar daca sistemul satisface anumite conditii. In primul rand, aproximatia unei singure benzi nu se aplica in cazuri de confinare puternica. In acest caz se produce amestecul benzilor intre diferite goluri si astfel neglijarea acestui efect nu se mai poate face. In consecinta, este important sa subliniem faptul ca toate calculele din aceasta lucrare sunt valabile atunci cand raza firului este de cel putin cativa nm. In al doilea rand, potentialul interactiei Coulombiene nu mai poate fi tratat perturbativ, daca raza firului este prea mare. Trebuie sa tinem seama de faptul ca energia cinetica este proportionala cu 1/R2 unde R este raza firului, in vreme ce energia potentialului Coulombian este proportionala cu 1/R. Aceasta inseamna ca pentru sisteme confinate (R mic) energia Coulombiana este doar o perturbare a energiei cinetice a particulei singulare. Atunci cand R creste prea mult, energiile Coulombiane si cinetica vor avea ponderi egale . Un semiconductor obisnuit cum ar fi InP are energie cinetica minima de aproximativ 49 meV pentru R = 5 nm, in timp ce energia Coulombiana este de aprox. 6 meV. Astfel , pe de-o parte raza firului nu trebuie sa fie prea mica, dar pe de alta parte nici prea mare. Pe scurt, intervalul de valabilitatea este intre cativa nm pana la cateva zeci de nm in functie de natura materialului. Firele de asemenea dimensiuni se cresc usor astfel ca acest interval corespunde unui domeniu larg de fire realizabile experimental. Mai mult trebuie sa subliniem ca abordarea noastra este optima pentru materiale bandgap direct. Materialelor avand un bandgap indirect , cum ar fi Si, trebuie acordata o atentie sporita. Cu toate acestea bandgapul indirect poate fi tratat folosind o masa efectiva care depinde de directia de crestere a firului, care tine cont in mod specific de aceste diferenta in structura de banda.

I. 3. 1.4. De la sisteme bulk la sisteme de dimensiune redusa

Atunci cand particulele sunt confinate intr-o regiune a carei dimensiune caracteristica are ordinul de marime a lungimii de unda dublu, se aplica legile mecanicii cuantice. Acestea produc modificari asupra majoritatii proprietatii electronice si de asemenea au loc asa numitele efecte secundare. Caracteristica fundamentala a unui sistem electronic – spectrum sau energetic- se modifica datorita confinarii suplimentare: spectrul devine discret de-a lungul directiei coordonatei de confinare. In consecinta, purtatorii de sarcina au o energie cinetica minima care nu dispare (non-vanishing) , energia de confinare cuantica. Aceasta proprietate este extrem de importanta pentru aplicatii in domeniul laserilor si al detectorilor. Obtinerea largirii de nbanda dorite permite in esenta determinarea energiei fascicolului de lumina emisa si absorbita. De asemenea, numarul de stari disponibile sau densitatea de stari (DOS) se modifica odata cu confinarea purtatorilor in una, doua sau trei dimensiuni. Densitatea de stari DOS (fig. 1.17) pentru structuri mici indica faptul ca distributia de electroni se modifica odata cu reducerea dimensiunii.

Pentru gropi cuantice (sistem 2D), se observa un comportament in trepte, in vreme ce pentru fire suficient de subtiri ( sistem 1D), , DOS pentru anumite energii devine mai mare decat cea din semiconductorii ‘ bloc’. Pentru puncte cunatice (0D) electronii au doar anumite energii. De aceea punctele cuantice sunt denumite ‘atomi artificiali’. Pentru nanofire, concentratia de electroni si goluri care populeaza banda de conductie si cea de valenta este mai mare in vecinatatea marginilor benzii ceea ce face ca aceste structuri cuantice sa fie mai adecvate pentru dispozitive laser. . Discretizarea nivelelor energetice presupune de asemenea si ca tranzitiile optice vor fi mai abrupte (adica, se vor produce linii mai abrupte in secventa de iesire). Drept rezultat aceste efecte ale dimensiunii cuaantice reduc semnificativ densitatea curentului de prag si dependenta de temperatura a acestuia si reduc lungimea de unda de emisie.

I. 3. 1.5. Complexe excitonice. Excitoni si trioni

In 1.4.1 s-a discutat structura de banda a semiconductorilor. Pana in prezent am presupus ca benzile de valenta sunt ocupate si benzile de conductie sunt goale. Insa, folosind un laser cu lungimea de unda adecvata este posibil excitarea electronilor din banda de valenta in banda de conductie. Datorita interactiei Coulombiene, acesti electroni de conductie este acum atras de golul creat in banda de valenta. Aceasta stare nou creata a unei perechi electron-gol se numeste exciton. Structura benzii electronice este acum modificata intr-o structura usor diferita in care nu exista doar banda de valenta si banda de conductie , ci si nivele energetice de excitoni in zona golului de banda.

Fig 1.18. Existenta excitonilor a fost de asemenea confirmata experimental ( fig.1.19) varfuri de absorbtie sub gap-ul de banda, corespunzand nivelelor energetice ale excitonului, apar in spectrul de absorbtie pe masura ce temperatura devine sufiecient de joasa.

Excitonii sunt neutri din punct de vedere electric, nu au sarcina si se pot misca liber prin cristal ca si cvasi-particule de masa M = me+mh, unde me si mh masa electronului respectiv a golului. Spectrul de energie caracteristic al excitonului se obtine usor prin comparatia cu atomul de hidrogen: in bloc, energia de legare a excitonului (X) devine

(1.5)

Unde e sarcina electronului liber, este constanta dielectrica si , masa miscarii relative a excitonului. Pentru un semiconductor tipic cum ar fi GaAs se obtine o energie de legare a excitonului de 4.2meV. Spre deosebire de structurile bloc,expresia energiei nanostructurilor contine componente aditionale care depind de dimensiune datorita confinarii electronului si golului,

Etot = Eg + EX (bulk)

Etot = Eg + Ee + Eh +EX (nanostructura).

Energia de legare a excitonului depinde de asemenea de dimensiunile acestor structuri deoarece atat electronul cat si golul legate din interactia Coulombiana sunt in plus confinate in zona benzii interzise. Mai mult, trebuie subliniat faptul ca odata cu scaderea dimensionalitatii structurii creste energia de legare a excitonului. Astfel excitonii sunt mai stabili in structurile semiconductoare decat in structurile bloc. De aceea, recombinarea excitonilor reprezinta o caracteristica importanta a structurilor cuantice la temperatura joasa PL(fotoluminiscenta). Cunoscand energia de legare a excitonului si energiile de confinare ale particulelor, se poate calcula energia totala a excitonului, care este egala cu energia de PL.

Inca din 1958Lampert [72] a aratat ca un electron (gol) legat de un exciton este stabil si formeaza asa numitul exciton incarcat sau trion. Atunci cand un electron este legat de un exciton, se obtine un exciton incarcat negativ X¡, iar atunci cand un gol se leaga de un exciton rezulta un exciton incarcat pozitiv sau X+.

Energia de legare din bloc a fost calculata de Stebe et al. [73] si este de aprox 0.1meV. Aceasta valoare mica a energiei de legare calculata teoretic era in concordanta cu incapacitatea de a detecta experimental excitonii incarcati in semiconductori bloc. Odata cu aparitia nanotehnologiei, valoarea mica a energiei de legare a trionului a fost crescuta si este posibil sa se fabrice dispozitive semiconductoare la nivel de nanoscale, putandu-se detecta trionii in gropi cuantice [74], fire[75] si puncte cuantice[76]. Trionii nu sunt interesanti numai din perspectiva teoretica. Cunoasterea eneregiilor de fotoluminiscenta asociate este necesara pentru o intelegere mai profunda a spectrului unei nanostructuri determinand utilizarea cu succes a structurilor cuantice in tehnologii informatice cuantice.

In concluzie acestei sectiuni este util sa subliniem faptul ca atunci cand studiem excitonii si trionii in nanofire libere, vom introduce modelul unui cilindru infinit de lung (fig1.20):de-a lungul exei z, particulele incarcate din fir nu sunt confinate, in vreme ce se aplica o confinare puternica de-a lungul celorlalte doua axe. Partculele incarcate din fir vor interactiona una cu cealalta prin forte Coulombiene, dar datorita diferentei dintre constantele dielectrice din interiorul () si exteriorul firului () din fir, aceasta interactie Coulombiana va fi distorsionata.

(Teza abs intraband

Cap. 2 pana la Non-parabolicity apoi 2.1.3 + 2.1.4.

2.2 +2.3 pana la 2.3.1.)

I. 4. 1 Teorie

In acest capitol vom prezenta o introducere generala asupra proprietatilor electronice si optice ale semiconductorilor. Initial voi considera un volum tridimensional, apoi structuri de dmensiune mai redusa si proprietatile lor cuantice. Mai intai prezint cazul unnie gropi cuantice bidimensionale 2D deoarece aceasta poate explica, in principiu, proprietatilor heterostructurii. In continuare in mod similar vor fi deduse proprietatile firelor cuantice 1D si punctelor cuantice 0D.

2.1 Functia de unda in structuri cuantice

2.1.1. Bulk material (3D)

Intr-un cristal tridimensional, miscarea purtatorilor de sarcina(electroni, goluri grele sau goluri usoare) in vecinatatea marginii de banda poate fi descrisa ca o miscare a unei particule cvasilibere, a carei masa efectiva m∗ tine cont de interactia cu potentialul periodic regulat. Intr-o prima aproximare m∗ nu depinde de directie si astfel se obtine un spectru energetic continuu de valori proprii, distribuite izotropic in spatiu K-vector

(2.1)

Unde kx, ky, kz

sunt vectorii de unda de-a lungul axeor x, y si z

Daca purtatorii sunt confinati in sisteme de dimensiune redusa cum ar fi gropi bidimensionale sau fire unidimensionale sau puncte cuantice 0D, avand dimensiunea lungimii de unda de Broglie a purtatorilor, apare o structura cuantica in proprietatile electronice, de exemplu sensitatea de stari.

2.1.2 Gropi cuantice 2D

Bariera finita

Fugura 2.1 ilustreaza structura de banda a unei gropi cuantice InAs / In0.52Al0.48As. Electronii si golurile sunt blocati intr-o groapa unidimensionala, dar se pot misca liber in stratul din InAs. Daca grosimea stratului activ este de ordinul lungimii de unda de Broglie a purtatorilor (p fiind impulsul purtatorului si h constanta Planck) vor apare efecte cuantice, de exemplu cuantificarea energiei cinetice in directia de crestere determina nivele energetice discrete in directia Kz atat in banda de conductie cat si in banda de valenta.

Schema structurii de banda pentru InAs / In0.52Al0.48As

Vom ilustra in continuare calculul energiilor proprii in structura confinata folosind aproximatia masei efective. Presupunand o groapa de potential simetrica, finita si de forma patrata ideala cu grosimea Lz si energia potentiala

Ecuatia lui Schrӧdinger este:

Unde Vlattice este potentialul periodic , rapid oscilant al retelei, care descrie interactia purtatorilor cu reteaua cristalina. Deoarece acesta actioneaza pe o scala mult mai mica decat potentialul gropii Vwell acestea pot fi separate. Astfel se obtine urmatoarea functie de unda:

Functia Bloch rapid oscilanta reprezinta miscarea purtatorului in potentialul retelei, care poate fi descrisa prin introducerea unei mase efective in m*. este functia anvelopa a functiei Blochsi este determinata de potentialul putin variabil Vgroapa. Deoarece Vgroapa nu contine termeni ce depind de x sau y poate realiza a doua separare.

Unde descrie miscarea bidimensionala a gropii cunatice si determina valorile proprii ale energiei:

Cu masa efectiva pentru miscarea in plan.

In directia z trebuie rezolvata o ecuatie Schrӧdinger pentru miscarea unui purtator liber de masa mz* intr-o groapa cuatica simetrica Vwell (z) :

Formula 2.7

Trebuie indeplinite urmatoarele conditii la limita

este continua;

Prin integrarea ecuatie 2.7 dupa oricare z0 si pentru potentialul specific al gropii cuantice patrate , este continua

Cea de-a doua conditie tine cont de discontinuitatea lui mz* la limita intre straturi.

Solutia ecuatiei Schrӧdinger este in acest caz:

Unde mz* si mz*bariera reprezinta masele efective in interiorul gropii cuantice si in interiorul barierei.

In bariera functia de unda este atenuata exponential odata cu oscilatia in groapa cuantica. Starea fundamentala (nz=1) este o functie para iar starile inalte au paritati alternante pare si impare.

Conditiile la limita determina o ecuatie transcendenta pentru nivelele energetice discrete Ez,nz i in directia Kz care poate fi rezolvata numeric:

In general, nu este posibil sa calculam analitic nivelele energetice discrete Ez,nz. Pentru a putea continua aceste calcule analitice in continuare vom considera o bariera infinita.

Bariera infinita

Pentru inaltimea infinita a barierei (Vgroapa -infinit) se poate obtine expresia analitica a energiilor proprii. Termenul drept al ecuatiei 2.9 dispare si valorile proprii ale energiei sunt:

Energia totala a sistemului bidimensional este data de:

Aceasta functie energetica este suma valorilor proprii ale energiei discrete si contnue. Banda de energie continua E∝~k2 din cazul 3D se separa in mai multe subbenzi care sunt determinate de numarul cuantic nz. Nivelul energetic minim din groapa cuantica s-a deplasat spre o valoare mai mare decat 0, deoarece nz>=1. Intotdeauna exista cel putin un nivel energetic legat in directia kz a gropii cuantice cu bariere infinte, chiar si atunci cand grosimea acesteia Lz este foarte mica.

2.1.3 Fir cuantic

Daca miscarea purtatorilor este confinata in mai multe directii in spatiu, cuantificarea aditionala poata fi calculata in mod analog cu cea din cazul gropii cuantice. Pentru un sistem unidimensional (fir cuantic) cu bariere infinite valorile proprii ale energiei sunt:

Functia energiei este din nou suma valorilor proprii discrete si continue, care determina o structura de subbanda unidimensionala.

2.1.4 Punctul cuantic

Pentru un punct cuantic paralelipipedic se obtine

Unde (nx, ny, nz) ∈(lN3)* reprezinta numerele cuantice. Acestea iau valori intregi diferite de zero. Lx y,z reprezinta dimensiunile structurii si mx,y,z* reprezinta masele efective in directiile respective.

In cazul real al gropilor de potential finite, pentru a gasi o solutie exacta la ec lui Schrӧdinger trebuie folosite motede de calcul numeric.

In situatii reale cum ar fi puncte cuantice autoorganizate este foarte dificil de realizat calculul exact ale nivelelor energetice discrete si acestea au fost facute numai in cazul punctului cuantic InAs/GaAs []. In primul rand forma exacta a punctului este de obicei necunoscuta. (fete ale piramidei, raza formelor lenticulare…) In al doilea rand, constrangerea anizotropica influenteaaza puternic proprietatile electronice ale structurilor cuantice 1D si 0D.

2.2 Densitatea de stari

Dupa cum am vazut in sesiunile anterioare, dependenta energetica in spatiu K se modifica odata cu scaderea dimensiunii miscarii particulei libere. Din acest motiv ne asteptam ca densitatea de stari ρ(E) sa se modifice de asemenea. In cazul barierelor infinite ρ(E) poate fi evaluata pentru sisteme avand diferite dimensiuni cu ajutorul definitiei

Care tine cont de degenerarea de spin si in care δ reprezinta functia Dirac si En(k) reprezinta valorile energiei pentru diferite sisteme (ec.2.1,2.11,2.20,2.21). Se obtin urmatoarele dependente dintre densitatea de stari si energie

Unde H reprezinta functia Heavyside.

Figura 2.5 ilustreaza o reprezentarea schematica a densitatii de stari pentru sisteme 3D,2D,1D si 0D. In cazul tridimensional se obtine o distributie cvasicontinua a nivelelor energetice proprii. Densitatea de stari creste odata cu patratul energiei.

Pentru o groapa cuantica, nivelul energetic cel mai jos este, in comparatie cu cazul 3D, deplasat spre energii mai inalte prin cuantificarea energiei primei subbenzi 2D. Acesta inseamna ca densitatea de stari este 0 pentru energii mai mici decat cele aflate la inceputul primei subbenzi. Atunci cand se atinge prima subbanda, densitatea de stari sare la o valoare constanta, care se mentine pana la atingerea urmatoarei subbande. Astfel rezulta o dependenta a energiei de forma creasta ρ2D(E).

Pentru un fir cuantic densitatea de stari de asemenea creste la atingerea unei noi subbenzi de energie mai inalta, dar descreste odata cu cresterea energiilor respectand o dependenta de tip epsilon la -1/2, pana cand se atinge urmatoarea subbanda.

Intr-un punct cuantic exista doar nivele energetice discrete si astfel densitatea de stari este o suma de functii delta

Fiecare nivel pot popula doi electroni avand spin in sus si respectiv in jos.

2.3 Tranzitii optice

In acesta sectiune sunt discutate principalele proprietati optice ale structurilor de joasa dimensiune. Initial vom considera cazul unei singure gropi cuantice si apoi vom trata similar cazul structurilor de dimensiune mai joasa.

Se considera doua tipuri de tranzitii optice (fig.2.6). Tranzitiile interbanda au loc intre banda de conductie si banda de valenta si impica doua tipuri de purtatori(acestia sunt bipolari) , electroni si goluri. Energia tranzitiei este energia largimii de banda plus energiile de confinare ale electronilor si golurilor minus energia de legare a excitonului. Tranzitiile intrabanda au loc in interiorul benzii de conductie sau a celei de valenta si implica un singur tip de purtator (tranzitia este unipolara). Intr-un punct cuantic, tranzitiile intrabanda au loc intre nivele energetice discrete. In gropi cuantice si in fire cuantice exista subbenzi in interiorul benzi de conductie sau a celei de valenta. Tranzitiile intrabanda in aceste structuri intre doua subbenzi se numesc tranzitii intersubbanda.Este important de remarcat ca poate avea loc un alt tip de tranzitii intrabanda care implica tranzitiile unui purtator de la o subbanda la aceeasi subbanda cu absorbtia unui foton si emisia unui foton (conservarea impulsului). Aceasta din urma este analog a unei absorbtii a unui purtator liber.

Pentru a descrie proprietatile optice ale mai multor sisteme materiale, initial vom discuta coeficientul de absorbtie intr-o groapa cuantica sau intr-un fir cuantic in aproximatia dipolului electric[].

Campul electric al unei unde luminoase de frecventa omega si vector de unda k (–k (|k|=nω ) se poate scrie

Unde epsilon reprezinta o presupusa polarizare liniara. In aproximatia Coulombiana (divA=0), campul electric depinde de potentialul vectorial A astfel:

Aceasta duce la

Hamiltonianul unui singur electron al unei heterostructuri in prezenta unui camp electromagnetic este in prima aproximatie:

Unde p este impulsul electronului si e sarcina electronului.

Probabilitatea unei tranzitii optice stuimulate este data de regula de aur a lui Fermi:

Unde V reprezinta termenul de perturbare al hamiltonianului H=H0+V. In aproximatia dipolului electric (exp(-ik*r)-1) care este valida la lungimi de unda in domeniul vizibil si infrarosu, V este:

Daca starile cuantice I si f sunt partial ocupate , probabilitatea de tranzitie trebuie ponderata de factorul de coupare dat de distributia Fermi f():

Unde distributia Fermi reprezinta ocuparea medie a starii v:

Luand in considerare tranzitiile i-f si f-I, coeficientul de absorbtie liniara este dat de :

Cu pif=,I,j…..> care contine informatii despre regulile de selectie si A…. reprezinta volumul iradiat al probei.