Considerăm mulțimea {1, 2, 3, …, n}. O măsură potrivită pentru aceasta este numărul de elemente – n. Numărul de elemente poate fi însă considerat… [628527]

5
CAPITOLUL 1
NOȚIUNI PRELIMINARE

1. MĂSURA UNEI MULȚIMI.
Considerăm mulțimea {1, 2, 3, …, n}. O măsură potrivită pentru aceasta este numărul de
elemente – n. Numărul de elemente poate fi însă considerat doar pentru mulțimile finite. Mulțimilor
infinite le putem atribui măsura ∞ sau, pentru rafinare, trebuie să căutăm un alt mod de măsurare a
lor. Pentru intervale de numere reale, de exemplu vom folosi ca mă sură lungimea intervalului: λ((a,
b]) = b−a . Dacă dorim să măsurăm mulțimi mai complicate, vom extinde această funcție mai întâi
la reuniuni finite de intervale disjuncte.
Evident, o măsură trebuie să fie o funcție care asociază unei mulțimi un număr : 𝜇: ∁→
[0;∞), iar proprietatea fundamentală a unor astfel de funcții este aditivitatea 𝜇 𝐴∪𝐵 =𝜇 𝐴 +
𝜇 𝐵 ,𝐴∩𝐵=∅. Se impune ca domeniul de definiție al funcției µ să fie o familie de mulțimi
închisă la reuniuni finite. Vom defini și studia o serie de clase d e mulțimi care vor juca rolul de
domeniu de definiție pentru funcțiile ”măsură”.
Observație : “măsura” se poate nota m sau 𝜇, ambele notații apar în lucrările de specialitate
.

1.1. MĂSURA UNEI MULȚIMI DESCHISE
Pentru intervalele de numere reale avem ca masură exact dimensiunea (lungimea)
intervalului.
Fie I= 𝑎,𝑏 cu a<b , un interval oarecare din ℝ.
Definiția 1.1.1: Se numește măsura intevalului 𝐼 , numărul pozitiv 𝑏−𝑎 și se notează :
𝑚 𝐼 =𝑏−𝑎.
Observații importante:
 Dacă 𝑎=𝑏,𝐼=∅. Prin definiție 𝑚 ∅ =0 – mulțimea vidă este o mulțime de măsură
nulă.
 Dacă {𝐼ℎ} este o mulțime finită de intervale deschise, disjuncte două câte două, din
definiție avem: 𝑚 𝐼ℎ𝑝
ℎ=1 = 𝑚 𝐼ℎ 𝑝
ℎ=1 .
 Dacă {𝐼ℎ} este o mulțime finită sau numărabilă de intervale deschise ,disjuncte
două câte două, conținute în 𝐼, atunci: 𝑚 𝐼ℎ 𝑘≤𝑚 𝐼 .

6
Definiți a 1.1.2: Fie 𝐸 o mulțime liniară. Se numește interval component al mulțimii 𝐸 orice
interval de forma 𝛼,𝛽 ⊂𝐸, cu 𝛼∉𝐸 și 𝛽∉𝐸.
Teorema 1 .1.1: Orice mulțime 𝐴, mărginită, deschisă și nevidă se poate scrie ca o reuniune finită
sau numărabilă de intervale componente.
Definiția 1.1.3: Se numește măsura lui 𝑨 și se notează 𝑚 𝐴 numărul pozitiv
𝑚(𝐴)= 𝑚𝐼𝑘 . 𝑘 Dacă 𝐴=∅, atunci evident 𝑚 𝐴 =0.
Teorema 1.1.2: Dacă𝐴1și 𝐴2 sunt două mulțimi mărginite și deschise și 𝐴1⊂𝐴2, atunci
𝑚 𝐴1 ≤𝑚 𝐴2 .
Teorema 1.1.3: Dacă A este o mulțime deschisă, mărginită, iar { 𝐴𝑘} este o familie finită sau
numărabilă de mulțimi deschise, disjuncte două câte două astfel încât
𝐴= 𝐴𝑘𝑎𝑡𝑢𝑛𝑐𝑖 𝑚 𝐴 = 𝑚(𝐴𝑘)
𝑘 𝑘.
Teorema 1.1.4: Fie 𝐴 o mulțime mărginită și deschisă și { 𝐴𝑘} o familie de mulțimi mărginite și
deschise astfel încât 𝐴= 𝐴𝑘𝑘 , avem inegalitatea 𝑚 𝐴 ≤ 𝑚 𝐴𝑘 𝑘 .

1.2 MĂSURA UNEI MULȚIMI ÎNCHISE
Fie 𝐵 o mulțime mărginită închisă și nevidă. Se notează : 𝑎=inf𝐵,𝑏=sup𝐵 și 𝐽= 𝑎,𝑏 .
Definiti a 1.2.1 : Se numește măsura mulțimii 𝐵 și se notează 𝑚 𝐵 , numărul pozitiv
𝑚 𝐵 =𝑏−𝑎−𝑚 𝐶𝐽𝐵 ,
unde 𝐶𝐽𝐵 este complementarea mulțimii închise 𝐵 față de segmentul 𝐽.
Observaț ie:
 Deoarece 𝑎,𝑏∈𝐵, 𝐶𝐽𝐵este o mulțime deschisă și 𝑚(𝐶𝐽𝐵) este definită conform noțiunilor
de la m ăsura unei mulțimi închise.
Teorema 1.2.1 : Fie 𝐼= 𝛼,𝛽 un interval deschis oarecare și 𝐵⊂𝐼, atunci măsura mulțimii 𝐵
este dată de :
𝑚 𝐵 =𝛽−𝛼−𝑚(𝐶𝐼𝐵).

Demonstrație:

7
Se observă că avem 𝐶𝐼𝐵=𝐶𝐼𝐽 𝐶𝐽𝐵și deoarece 𝐶𝐼𝐽 și 𝐶𝐽𝐵 sunt disjuncte rezultă că
𝑚 𝐶𝐼𝐵 =𝑚 𝐶𝐼𝐽 +𝑚(𝐶𝐽𝐵); de asemenea, 𝑚 𝐶𝐼𝐽 =𝑎−𝛼+𝛽−𝑏 și obținem, înlocui nd în
formula măsurii
𝑚 𝐵 =𝛽−𝛼−𝑚(𝐶𝐼𝐵),
și revenind apoi la formula definiției , 𝑚 𝐵 =𝑏−𝑎+ 𝑎−𝛼+𝛽−𝑏 −𝑚 𝐶𝐼𝐵 adică
𝑚 𝐵 =𝛽−𝛼−𝑚 𝐶𝐼𝐵 .
Teorema 1.2.2 : Fie 𝐵1 si 𝐵2 două mulțimi mărginite, închise cu 𝐵1⊂𝐵2, atunci are loc
egalitatea :
𝑚(𝐵1)≤𝑚(𝐵2).
Observaț ie:.Pentru un număr finit de mulțimi închise și mărginite, 𝐵1, 𝐵2,…,𝐵𝑝, disjuncte două
câte două avem egalitatea: m Bk p
1 =𝑚 𝐵𝑘𝑝
1 .

1.3 MULȚIMI MĂSURABILE LEBESGUE
Vom nota cu 𝒜 mulțimea tuturor mulțimilor 𝐴 mărginite și deschise din ℝ și cu 𝔅 mulțimea
tuturor mulțimilor 𝐵 mărginite și închise din ℝ.
Fie 𝐸 o mulțime mărginită oarecare de pe dreapta reală.
Definiț ia 1.3.1: a) Numărul 𝑚 definit de 𝑚 𝐸 =inf 𝑚 𝐴 :𝐸⊂𝐴,𝐴∈𝒜 ,
se numește măsură exterioară a mulțimii 𝐸.
b) Numărul 𝑚(𝐸) dat de 𝑚 𝐸 =sup 𝑚 𝐵 :𝐵⊂𝐸,𝐵∈𝔅 ,
se numește măsură interioară a mulțimii E.
Astfel, rezultă:
I) 𝑚(𝐸)≥0,𝑚(𝐸)≤0;
II) 𝑚(𝐸)≥𝑚(𝐸).
Dacă𝐸⊃𝐹 ,atunci:
III) 𝑚(𝐸)≥𝑚(𝐹);
IV) 𝑚(𝐸)≥𝑚(𝐹).

Definiția 1. 3.2: O mulțime 𝑬, pentru care 𝒎 𝑬 =𝒎 𝑬 =𝒎 𝑬 , se spun e că este măsurabilă
Lebesgue ( sau măsurabilă( 𝑳)). Numărul 𝑚(𝐸) se numește măsura( 𝐿) a mulțimii măsurabile 𝐸.
Teorema 1. 3.1 Mulțimile deschise și mărginite sunt măsurabile (𝐿).
Teorema 1.3.2 Mulțimile închise și mărginite sunt măsurabile( 𝐿).

8
Demonstrațiile sunt imediate, folosind definițiile celor două tipuri de mulțimi și
observațiile, respectiv teoremele anterioare.
Teorema 1.3.3 Fie 𝐸 o mulțime mărginită și 𝐼= 𝑎,𝑏 cu 𝐸⊂𝐼. Mulțimea 𝐸 este
măsurabilă( 𝐿) dacă și numai dacă 𝐶𝐼𝐸 este măsurabilă( 𝐿).
Teorema 1.3.4 Fie {𝐸𝑘}o familie finită sau numărabilă de mulțimi măsurabile disjuncte două câte
două. Fie 𝐸= 𝐸𝑘𝑘dacă 𝐸 este mărginită, atunci 𝐸 este măsurabilă și 𝑚 𝐸 = 𝑚 𝐸𝑘 . 𝑘
Exemplul 1.3.1 :
Fie mulțimea 𝐴= 1;1
2;1
3;…;1
𝑛;… ;𝐴⊂ 0,1 ;𝑚 0,1 =1.
𝐵=𝐶𝐴;𝐵= 1
2,1 ∪ 1
3,1
2 ∪…∪ 1
𝑛+1,1
𝑛 ∪…;
unde 𝑚 𝐵 = 1−1
2 + 1
2−1
3 +⋯+ 1
𝑛−1
𝑛+1 +⋯=1, de unde rezultă 𝑚 𝐴 =0.
Un rezultat mai general este conținut în teorema următoare:
Teorema 1. 3.5: Fie {𝐸𝑘} o familie finită sau numărabilă de mulțimi măsurabile.
(a) Dacă mulțimea 𝐸= 𝐸𝑘 𝑘 este mărginită atunci 𝐸este măsurabilă.
(b) Mulțimea 𝐸∗= 𝐸𝑘𝑘 este măsurabilă.
Definiție 1.3.3 : O mulțime E ⊂ R, se numește mulțime neglijabilă (sau de măsură Lebesgue nulă)
dacă ∀ε > 0, există o familie cel mult numărabilă de intervale deschise 𝑎𝑖,𝑏𝑖 𝑖 astfel încât:
𝐸⊂ 𝑎𝑖,𝑏𝑖 𝑖 și 𝑏𝑖−𝑎𝑖 <𝜀. 𝑖
Indicele 𝑖 variază de la 1 la 𝑝 dacă familia de intervale este finită. Dacă familia de
intervale este numărabilă, 𝑖∈ℕ și prin 𝑏𝑖−𝑎𝑖 𝑖 înțelegem suma seriei 𝑏𝑖−𝑎𝑖 .∞
𝑖=1
Exemplul 1 .3.2: Orice mulțime finită este neglijabilă. Mulțimile ℕ,ℤ,ℚ fiind numărabile,
sunt neglijabile, dacă ținem seama de exemplul anterior .

Există mulțimi neglijabile care nu sunt numărabile. Un exemplu în acest sens
îl reprezintă mulțimea lui Cantor .

Observați i:
 Considerând pe mulțimea ℝ intervalul închis [0,1], apoi excluzând din acest interval
treimea din mijloc – 1
3,2
3 , apoi excludem treimea centrală ș.a.m.d, se obține șirul de
mulțimi

9
𝐴0=[0,1]
𝐴1= 0,1
3 ∪ 2
3,1
𝐴2= 0,1
9 ∪ 2
9,1
3 2
3,7
9 ∪ 8
9,1
Atunci 𝐾=lim𝑛→∞𝐴𝑛= 𝐴𝑛 este mulțimea lui Cantor.
 Proprietăți: mulțimea lui Cantor nu are niciun punct de acumulare (nu este densă în niciun
punct și are măsura Lebesgue nulă) .

1.4 CLASE ADITIVE DE MULȚIMI
Fie 𝑋 o mulțime oarecare , fără nici o structură în general, iar 𝑃 𝑋 familia tuturor părților
sale. Pe 𝑃(𝑋) vom considera ordinea dată prin intermediul incluziunii.
Definiția 1.4 .1
I) O familie nevidă 𝐶 de părți ale lui 𝑋 se numește inel de mulțimi (clan) dacă:
i) Oricare ar fi mulțimile 𝐴,𝐵∈𝐶 rezultă 𝐴\𝐵∈𝐶,
ii) Oricare ar fi mulțimile 𝐴,𝐵∈𝐶 rezultă 𝐴∪𝐵∈𝐶.
II) Dacă o familie 𝐶 de părți ale lui 𝑋 indeplinește în plus condiția
𝑋∈𝐶,
atunci spunem că 𝑪 este o algebră de mulțimi.
Exemplul 1.4 .1:
Dacă 𝑋 este o mulțime oarecare, 𝑃(𝑋) este o algebră de părți ale lui 𝑋, iar familia 𝐶
formată din ∅ este un inel de părți ale lui 𝑋.
Exemplul 1. 4.2:
Dacă 𝑋 este o mulțime infinită oarecare, familia formată din părțile finite ale lui 𝑋 și
părțile ale căror complementare sunt finite constituie o algebră.

Exemplul 1. 4.3:
Dacă 𝑋=ℝ, atunci familia 𝐶 a tuturor reuniunilor finite de intervale mutual disjuncte de
forma (𝑎,𝑏], cu 𝑎,𝑏∈ℝ și 𝑎<𝑏, constituie un inel. 𝐶 nu este însă o algebră de mulțimi, întrucât
ℝ∉𝐶. Mai general, dacă 𝑋=ℝ𝑛 𝑛≥1 , să notăm prin 𝑥= 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 , cu 𝑥𝑖∈ℝ,𝑖=1,𝑛 ,

10
un punct generic din ℝ𝑛, iar U familia intervalelor 𝑛−dimensionale semiînchise la dreapta și
mărginite, adica familia mulțimilor de forma
𝑎,𝑏 = 𝑎1,𝑏1 ⤫ 𝑎2,𝑏2 …⤫ 𝑎𝑛,𝑏𝑛 =𝑛
⤬
𝑖−1 𝑎𝑖,𝑏𝑖 ,
în care 𝑎𝑖,𝑏𝑖∈ℝ și 𝑎𝑖<𝑏𝑖. Clasa 𝐶 a tuturor reuniunilor disjuncte de elemente din U
formează un inel care nu este o algebră, întrucât spațiul întreg nu poate fi reprezentat ca o
reuniune finită de elemente din U .

Propoziția 1.2.1
Fie 𝐶 un inel pe 𝑋.
i) Daca 𝐴,𝐵∈𝐶, atunci 𝐴∆𝐵∈𝐶;
ii) ∅∈𝐶;
iii) Dacă 𝐴,𝐵∈𝐶, atunci 𝐴∩𝐵∈𝐶.
Demonstrație:
i) Întrucât𝐴∆𝐵=(𝐴\𝐵)∪(𝐵\𝐴), ținând seama de proprietățile i) și ii) ale lui 𝐶,
rezultă că 𝐴∆𝐵∈𝐶.
ii) Cum 𝐶≠∅, rezultă că există 𝐴∈𝐶. Atunci ∅=𝐴\𝐴∈𝐶.
iii) Observăm că 𝐴∩𝐵=(𝐴∪𝐵)(𝐴∆𝐵) și atunci 𝐴∩𝐵∈𝐶.

Observații :
1) Din definiția inelului rezultă că pentru orice 𝐴𝑘 𝑘=1𝑛⊂𝐶 avem 𝐴𝑘𝑛
𝑘=1∈𝐶,
iar din propoziția precedentă, punctul iii), 𝐴𝑘𝑛
𝑘=1∈𝐶.
2) Orice inel 𝐶 pe 𝑋 poate fi organizat ca un inel algebric în raport cu operațiile 𝐴⊕
𝐵=𝐴∆𝐵 și 𝐴⊙𝐵=𝐴∩𝐵, pentru orice 𝐴,𝐵∈𝐶.
3) Dacă 𝐶 este algebră pe 𝑋, atunci pentru orice 𝐴∈𝐶, atunci 𝐶𝐴=𝑋\𝐴∈𝐶.
4) O familie nevidă 𝐶 de părți ale lui 𝑋 este algeb ră dacă și numai dacă sunt îndeplinite
condițiile:
a) ∅∈𝐶;
b) Pentru orice 𝐴∈𝐶, rezultă că 𝑋\𝐴∈𝐶;
c) Pentru orice două mulțimi 𝐴,𝐵∈𝐶, rezultă că 𝐴∪𝐵∈𝐶.

Propoziția 1.2.2

11
Fie 𝐶𝛾 𝛾∈𝛤 o familie nevidă de inele (algebre) pe 𝑋. Atunci 𝐶= 𝐶𝛾𝛾∈𝛤 este inel
(algebră) pe 𝑋.
Demonstrație:
Fie 𝐶𝛾 𝛾∈𝛤 o familie nevidă de inele pe 𝑋. Observăm că dacă 𝐴,𝐵∈𝐶𝛾,∀𝛾∈𝜞, atunci
cum 𝐶𝛾 este inel, rezultă 𝐴∪𝐵∈𝐶𝛾 și 𝐴\𝐵∈𝐶𝛾,∀𝛾∈𝜞. În consecință, 𝐴∪𝐵∈𝐶 și 𝐴\𝐵∈𝐶,
ceea ce asigură că 𝐶 este inel pe 𝑋.
Dacă, în plus, 𝑋∈𝐶𝛾, oricare ar fi 𝛾∈𝜞, adică 𝐶𝛾 este algebră pentru orice 𝛾∈𝜞, atunci
𝑋∈𝐶 și deci 𝐶 este , de asemenea, algebră pe 𝑋.
Această propoziție permite introducerea noțiunilor de inel, respectiv algebră,
generat/generată de o familie de părți ale lui 𝑋.

Definiția 1.4 .2
Fie ∅≠𝑭⊂𝑷(𝑿). Numim inel(algebră) generat(ă) de familia 𝑭, notat 𝑪(𝑭), inelul(algebra)
obținut(ă) ca intersecție a tuturor inelelor(algebrelor) pe 𝑿 ce conțin familia 𝑭.
Observații:
5) Există întotdeauna inele(algebre) ce conțin 𝐹.
Într-adevăr, 𝑃(𝑋) este un inel(algebră) ce conține 𝐹. Această observaț ie împreună cu propoziția
1.2.2 asigură că noțiunile de inel și de algebră generate de 𝐹 sunt bine definite.
6) 𝐶(𝐹) este cel mai mic inel(algebră) (în sensul incluziunii) care conține familia 𝐹.
7) Dacă, în particular, 𝐹 este un inel(algebră) atunci inelul (algebra), generat(ă) de 𝐹 coincide
cu 𝐹.
8) Dacă ∅≠𝐹1⊂𝐹2⊂𝑃(𝑋), atunci între inelele (algebrele) generate de cele două familiiare
loc incluziunea 𝐶 𝐹1 ⊆𝐶 𝐹2 .
9) Dacă 𝑋=ℝ, iar 𝑈= 𝑎,𝑏 ,𝑎<𝑏,𝑎,𝑏∈ℝ , atunci inelul generat de 𝑈 coincide cu i nelul
considerat în exemplul 1. 4.3.
10) Dacă 𝐶(𝐹) este inel generat de 𝐹, atunci orice mulțime 𝐴∈𝐶(𝐹) este conținută într -o
reuniune finită de mulțimi din 𝐹.
Definiția 1.4 .3
I. Spunem că familia nevidă 𝓐⊂𝑃(𝑋) este un 𝜎−inel sau un clan borelian dacă:
i) Oricare ar fi 𝐴,𝐵∈𝓐rezultă 𝐴\𝐵∈𝓐;
ii) Oricare ar fi 𝐴𝑛 𝑛∈ℕ⊂𝓐atunci

12
𝐴𝑛∞
𝑛=1∈𝓐.
II. Dacă un 𝜎−inel 𝓐 satisface în plus condiția ca 𝑋∈𝓐atunci spunem că 𝓐 este o 𝜎−
algebră pe??????
Se observă că orice 𝜎−inel (𝜎−algebră) este în același timp un inel (algebră). Rezultă că
orice 𝜎−inel posedă proprietățile i ),ii) și iii) din propoziția 1.4 .1.
Exemplul 1.4 .4:
Pentru orice mulțime 𝑋,𝑃(𝑋) este o 𝜎−algebră pe 𝑋, iar familia 𝐶= ∅ este un 𝜎−inel de părți
ale lui 𝑋.
Exemplul 1.4 .5:
Dacă 𝑋 este o mulțime infinită, familia formată din părțile cel mult numărabile ale lui 𝑋 și din
părțile ale căror complementare sunt cel mult numărabile formează o 𝜎−algebră.
Exemplul 1.4 .6:
Fie 𝑋= 0,1 ⊂ℝ. Familia 𝓐 a tuturor părților cel mult numărabile ale lui 𝑋 formează un
𝜎−inel care nu este o 𝜎−algebră.

1.5 ȘIRURI MONOTONE DE MULȚIMI
Fie {𝐸𝑘}𝑘∈ℕ un șir de mulțimi.
Definiț ie 1.5 .1
(a) Șirul se spune că este monoton crescător dacă
𝐸1⊂𝐸2⊂⋯⊂𝐸𝑛⊂⋯;

se notează:
𝐸= 𝐸𝑛=lim
𝑛𝐸𝑛.∞
𝑛=1
(b) Șirul se spune că este monoton descrescător dacă 𝐸1⊃𝐸2⊃⋯⊃𝐸𝑛⊃⋯;
se notează : 𝐸= 𝐸𝑛=lim𝑛𝐸𝑛.∞
𝑛=1
Mulțimea 𝐸 (în ambele cazuri) se numește limita șirului monoton de mulțimi (𝐸𝑛)𝑛∈ℕ.
Teorema 1.5.1: Fie (𝐸𝑛)𝑛∈ℕ un șir monoton de mulțimi măsurabile cu
𝐸=𝑙𝑖𝑚
𝑛𝐸𝑛.
Dacă 𝐸 este mărginită atunci

13
𝑚 𝐸 =𝑙𝑖𝑚
𝑛𝑚(𝐸𝑛).
Demonstrație:
Presupunem că( 𝐸𝑛) este un șir monoton crescător și 𝐼 un interval cu 𝐸⊂𝐼.
𝐸1`=𝐸1,𝐸2,…,𝐸𝑛=𝐸𝑛∩𝐶𝐼𝐸𝑛−1,𝑛=2,3,… .
Mulțimile 𝐸𝑛` sunt măsurabile și di sjuncte două câte două . 𝐸𝑛este măsurabilă prin ipoteza și
𝐶𝐼𝐸𝑛−1este măsurabilăconform teoremei 1.3.1.Faptul că sunt disjuncte, rezultă din monotonie.
Atunci avem : 𝐸= 𝐸𝑛∞
𝑛=1 ;
într-adevăr 𝐸1`∪𝐸2`=𝐸1∪𝐸2etc.
Putem scrie:
𝑚(𝐸)= 𝑚 𝐸𝑛` =𝑚 𝐸1 + 𝑚 𝐸𝑛+1 −𝑚 𝐸𝑛 =lim
𝑛𝑚 𝐸𝑛 .∞
𝑛=1∞
𝑛=1
Dacă(𝐸𝑛) este un șir monoton descrescător și 𝐼 un interval care conține pe 𝐸1, atunci șirul ( 𝐶𝐼𝐸𝑛)
este monoton crescător și avem : 𝐶𝐼𝐸= 𝐶𝐼𝐸𝑛.∞
𝑛=1
Folosind cele obținute mai sus putem afirma că : 𝑚(𝐶𝐼𝐸)=lim
𝑛𝑚(𝐶𝐼𝐸𝑛) sau 𝑚(𝐼)−𝑚(𝐸)=
lim 𝑛[𝑚 𝐼 −𝑚(𝐸𝑛)], de unde rezultă : 𝑚 𝐸 =lim𝑛𝑚 𝐸𝑛 .

Exemplul 1.4.7 :
Orice mulțime cel mult numărabilă este neglijabilă.
Într-adevăr, dacă 𝐸= 𝑦𝑛 𝑛∈ℕ⊂ℝ, atunci pentru 𝜀>0 să considerăm șirurile
𝑎𝑛=𝑦𝑛−𝜀
2𝑛+1 ,𝑏𝑛=𝑦𝑛+𝜀
2𝑛+1 ,𝑛∈ℕ.
Avem
𝐸⊂ 𝑎𝑛,𝑏𝑛 ∞
𝑛=1
și
𝑏𝑛−𝑎𝑛 ≤𝜀∞
𝑛=1.
Prin urmare mulțimea E este neglijabilă. Mai mult, se poate demonstra că o submulțime a
unei mulțimi neglijabile este de asemenea neglijabilă, iar o reuniune cel
mult numărabilă de mulțimi neglijabile este neglijabilă.
Pentru orice mulțime 𝑋, 𝑃 𝑋 reprezintă mulțimea părților lui 𝑋.

14
Definiția 1.5.2:
Dacă pentru un șir 𝑨𝒏 𝒏⊂𝑷 𝑿 ,
𝑨=𝐥𝐢𝐦
𝒏𝒔𝒖𝒑𝑨𝒏=𝐥𝐢𝐦
𝒏𝒊𝒏𝒇𝑨𝒏
vom spune că șirul 𝑨𝒏 este convergent la 𝑨.
Dacă un șir 𝐴𝑛 este ascendent , adică 𝐴𝑛⊂𝐴𝑛+1 pentru orice 𝑛∈ℕ∗, atunci
lim
𝑛𝐴𝑛= 𝐴𝑛∞
𝑛=1.
Dacă un șir 𝐴𝑛 este descendent, adică 𝐴𝑛⊃𝐴𝑛+1 pentru orice 𝑛∈ℕ∗, atunci
lim
𝑛𝐴𝑛= 𝐴𝑛∞
𝑛=1.