Conjectura Lui Poincare

Deși problemele nerezolvate ale matematicii sunt practic o infinitate, domeniul matematicii fiind inepuizabil, sunt câteva care merită un plus de atenție, atât datorită impactului pe care îl au asupra altor domenii ale cunoașterii, cât și datorită eforturilor depuse de-a lungul timpului pentru rezolvarea lor.

Problemele antichității

Cele trei probleme celebre ale antichității, rămase încă nerezolvate, sunt probleme de construcție geometrică ce trebuiau să fie rezolvate doar cu rigla și compasul. Acestea sunt:

Cuadratura cercului

Dublarea cubului

Trisecțiunea unghiului

Problemele mileniului

Cele nouă probleme ale mileniului II, stabilite de Clay Institute din Cambrige, Massachussetts, sunt următoarele:

Conjectura lui Poincaré

Conjectura lui Goldbach

Teorema lui Fermat

Ipoteza Riemann

Problema de existență Navier-Stokes

Existența "golului de masă" Yang-Mills

Conjectura lui Birch-Sinnerton-Dyer

Conjectura lui Hodge

P versus NP (Teoria cuantică a lui Yang-Mills) 

Totuși, în ultimii 10 ani s-au oferit soluții matematice pentru:

Conjectura lui Poincaré

P versus NP

Conjectura lui Hodge

Ipoteza Riemann

Existența “golului de masă” Yang-Mills

I. Conjectura lui Poincare

Dacă într-un spațiu închis și nemărginit tridimensional (cufundat într-un spațiu 4-dimensional) toate cercurile bidimensionale pot fi micșorate topografic până ce devin un punct, atunci acest spațiu tridimensional este echivalent din punct de vedere topologic (homeomorf) cu o sferă 3-dimensională.

II. Conjectura lui Goldbach

Orice întreg mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă de 3 numere prime. La vremea aceea, 1 era considerat număr prim, așa că o versiune modernă a conjecturii inițiale a lui Goldbach este (varianta ternară = varianta slabă): Orice întreg mai mare decât 5 poate fi scris ca sumă de 3 numere prime. Euler, devenind interesat de problemă, îi răspunde că această conjenctură este de fapt o consecință a versiunii mai tari (varianta binară = varianta tare): Orice număr întreg par mai mare decât 2 poate fi scris ca sumă de două numere prime. El a observat că în toate cazurile pe care le-a încercat, orice număr par (cu excepția lui 2, care este el însuși un număr prim) poate fi reprezentat ca suma a două numere prime. De exemplu, 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5=3+7, 12=5+7, 14=7+7=3+11, 16=13+3=11+5, … , 100=97+3 etc. Euler nu a reușit să demonstreze Conjectura și de fapt nimeni nu a reușit până în prezent.

III. Teorema lui Fermat

Ecuația nu are soluții dacă n>2 este număr natural, iar x,y,z sunt numere întregi nenule.

IV. Ipoteza Riemann

Partea reală a oricărei rădăcini netriviale a funcției zeta Riemann este .

V. Conjectura numerelor prime gemene

Numerele prime gemene sunt perechi de numere prime de forma (p, p+2). De exemplu: (3,5), (5,7), (11,13),…Se conjecturează că sunt o infinitate de perechi de numere prime gemene.

VI. Conjectura Jacobianului

Presupunem că f : C la puterea n implică C la puterea n” este o aplicație polinomială cu proprietatea că derivata ei în orice punct este nesingulară. Atunci este f injectivă ?

VII. Conjectura Birchși Swinnerton-Dyer

Mărimea grupului punctelor raționale este legată de comportarea funcției zeta a lui Riemann lângă punctul s=1. În particular, conjectura afirmă că dacă atunci există un număr infinit de soluții raționale, și invers dacă atunci există numai un număr finit de astfel de soluții.

VIII. Conjectura lui Hodge

Pe o varietate algebrică proiectivă nesingulară definită pe C, orice clasă Hodge este o combinație liniară rațională de clase de cicluri algebrice.

IX. Teoria cuantică a lui Yang-Mills

Yang și Mills au introdus un cadru remarcabil pentru a descrie particulele elementare utilizând structuri care apar în geometrie. Teoria lor constituie fundamentul multor dezvoltări teoretice din fizica particulelor elementare și predicțiile acestei teorii au fost testate cu succes. Problema este de a fundamenta matematic această teorie. X. P versus NP : Una dinte cele mai provocatoare probleme din știința calculatoarelor este de a determina dacă P=NP. P este clasa problemelor de decizie rezolvabile de un algoritm într-un număr de iterații care este mărginit superior de un polinom în lungimea intrării asociate problemei. NP este clasa problemelor de decizie care admit un algoritm polinomial nedeterminist, adică un algoritm care verifică corectitudinea unei soluții a problemei în timp polinomial. Problema este foarte importantă, fiind una dintre problemele secolului al XXI-lea, deoarece se plasează la fundamentul informaticii. Esența informaticii este coborârea în computațional a conceptelor matematice, coborâre care constă în algoritmizarea acestor concepte, punerea lor în operă. Ca atare, construcția algoritmilor polinomiali este esențială pentru rezolvarea problemelor formalizate.

Noi ne vom opri doar la una dintre ele și anume – Conjectura lui Poincaré.

Termenul conjectură înseamnă în matematică presupunere, ipoteză, în sensul unei afirmații nedemonstrate, care poate fi adevarată cu o probabilitate destul de mare (spre exemplu, este adevarată în mai multe cazuri particulare, ca în cazul inducției incomplete).

Conjectura lui Poincaré se referă la caracterizarea sferei 3-dimensionale cu ajutorul unor proprietăți topologice ușor de intuit și a fost propusă de Poincaré în 1904.

Jules Henri Poincaré (29 aprilie 1854 – 17 iulie 1912) a fost unul dintre cei mai mari matematicieni francezi, fiind în acelasi timp un mare fizician teoretic și un filosof al științei. Poincaré este descris adesea ca “ultimul matematician universal”, deoarece a excelat în toate domeniile matematice cu adevărat importante, ce existau în perioada vieții sale (relativ scurtă). La moartea sa, a fost elogiat ca matematician, geometru, filosof și om de litere, a fost un poet al infinitului, un bard al științei.

Până în momentul formulării conjecturii, existau suficiente informații și rezultate legate de caracterizarea suprafețelor (varietăți 2-dimenionale) orientabile, mărginite și închise din spațiul euclidian 3-dimensioanal. Aceste suprafețe pot fi caracterizate de genul lor. Acesta este un numar întreg nenegativ (g≥0) care poate fi descris intuitiv ca numărul de găuri ale suprafeței. Spre exemplu, sfera uzuală, definită ca locul geometric binecunoscut în geometria euclidină clasică (sau ca frontiera bilei) are genul zero pentru că nu are nicio gaură. Torul, asimilat cu suprafața unui covrig are genul 1 pentru că are o gaură. Mai departe, se pot imagina covrigi cu mai multe găuri, iar suprafețele lor ne furnizează suprafețe de genuri mai mari. A rezultat destul de ușor că două suprafețe orientabile, închise și mărginite (compacte) având acelașii gen pot fi puse în corespondență biunivocă și bicontinuă (sunt homeomorfe).

În particular, sfera apare ca singura suprafața orientabilă, compactă de gen zero.

Problema ce apare în mod natural, este dacă există caracterizări de acelașii fel pentru sfera 3-dimenională, gândită ca frontiera unei bile 4-dimensionale. Poincaré a imaginat o operație intuitivă deosebit de fructuoasă pentru dezvoltarea ulterioră a topologiei algebrice, o disciplină matematică nouă, extrem de importantă în momentul actual. Este vorba despre deformarea continuă în interiorul unei anumite mulțimi,a unei curbe continue sau diferențiabile din acea mulțime. O astfel de deformare poartă numele de homotopie.

În particular, este important cazul când curba este simplă închisă și deformarea se face către un punct al ei. Intuitiv, putem să ne imaginăm procesul realizat cu un lasou lansat de un paznic de vite. Când acest lasou nu prinde gâtul niciunei vite, el se strânge înapoi în mâna paznicului. Când lasoul prinde o vită (sau un ciot de copac), a întâlnit o singularitate (o gaură)

și paznicul este nevoit să deschidă lasoul (adică să renunțe la continuitate) ca să-l poată desprinde.

Acum putem formula mai precis conținutul conjecturii lui Poincaré:

Daca o varietate M3, netedă, compactă, de dimensiune 3, are proprietatea că orice curbă simplă închisă situtată în aceasta varietate poate fi deformată continuu la un punct, rezultă că M3 este homeomorfă cu o sferă?

Chiar Poincaré a notat oarecum prevăzător: Mais cette question nous entraînerait trop loin. Conjectura lui Poincaré a inspirat mulți matematicieni și tentativele de a o demonstra au condus la multe progrese în înțelegerea topologiei varietăților de dimensiune trei și nu numai. O extindere naturală a acestei conjecturi a fost formulată chiar de Poincaré, care a afirmat, în mod eronat, că:orice varietate poliedrală compactă,având omologia unei sfere n-dimensionale este homeomorfă cu sfera n-dimensională.

Noțiunea de omologie a fost abordată, la început, în contextul topologiei combinatorii disciplină ce studiază complexele simpliciale sau, mai general, celulare, apoi, această noțiune a fost studiată în condiții mai generale, obținându-se invarianți topologici interesanți.

Pe la sfârșitul anilor ’50 și începutul anilor ’60 s-au obținut rezultate consistente în studiul conjecturii lui Poincaré, realizându-se că studiul varietăților de dimensiuni mai mari era mai ușor de făcut decât al celor de dimensiune 3. Conjectura lui Poincaré a fost demonstrată în cazul unei dimensiuni mai mari decât 4, în 1960, de către S. Smale. Alte contribuții au fost aduse de către J. Stallings,E. Zeeman și A. Wallace. 20 de ani mai târziu,M. Freedman a folosit cup-produsul și invariantul Kirby Siebenmann, pentru a demonstra conjectura lui Poincaré în dimensiunea 4. Pentru dimensiunea 3, toate tehnicile dezvoltate anterior nu au dat rezultate. În mod curios, la fel ca în problema găsirii structurilor diferențiabile pe spațiile euclidiene(unde s-au folosit așa numitele teorii de etalonare (gauge),specifice fizicii) soluția a venit din partea geometriei diferențiale. În geometria diferențială problematica este centrată pe studierea proprietăților diverselor structuri geometrice pe varietăți și mai puțin pe probleme de tipul conjecturii lui Poincaré. A fost R. Hamilton care a propus pentru studiu fluxul Ricci, pentru care a oferit și unele interpretări fizice. El a reușit să construiască, în 2003, o metrică de curbură constantă pe orice 3-varietate având curbura Ricci pozitivă.

Ceva mai târziu, G. Perelman de la Sankt Petersburg a oferit o soluție a conjecturii lui Poincaré, în câteva articole postate pe Internet. Această soluție a trezit intersul mai multor grupuri de cercetători care au început să aprofundeze detaliile tehnice ale demonstrațiilor propuse de Perelman. Într-o ierarhie a celor mai importante descoperiri științifice din anul 2006, realizată de prestigioasa revistă Science, soluția dată de G. Perelman s-a situat pe primul loc, devansând o altă descoperire științifică extrem de importantă din domeniul geneticii.

Oricum, comunitatea matematică internatională s-a arătat convinsă de argumentele lui G. Perelman și, la Congresul International al Matematicienilor din august 2006 de la Madrid, lui G. Perelman i s-a oferit medalia Fields (un premiu asemănător cu premiul Nobel, care nu există pentru domeniul matematicilor). Trebuie spus că G. Perelman a refuzat, pentru prima dată în lumea matematicienilor, medalia Fields din diverse motive. În momentul actual, G. Perelman trece printr-o perioadă extrem de rea din viața sa, adoptând o atitudine de respingere a oricărei tentative de apropiere din partea confraților săi (o atitudine asemănătoare a adoptat șahistul american R. Fisher în anii ’70, dupa obținerea titlului de campion mondial). G. Perelman a refuzat un premiu al Societății Europene de Matematică(EMS) și a refuzat și

“Premiul Mileniului”de un milion de dolari pe care Clay Mathematics Institute din orașul american Cambridge, Massachusetts a oferit-o pentru rezolvarea Conjecturii lui Poincaré. El a afirmat: Știu cum să guvernez Universul. De ce să alerg după un million de dolari.

Bibliografie:

1. Bobancu, V. – Dicționar de matematici generale, Editura Enciclopedică Română, București, 1974

2. Lucye Guilbeau – The History of the Solution of the Cubic Ecuation, Mathematics News Letter 5, 1930.

https://ro.wikipedia.org/wiki/Conjectura_lui_Poincar%C3%A9

http://www.recreatiimatematice.ro/arhiva/istoria/RM22007POINCARE.pdf

Rezumatul lucrării

Problemele nerezolvate ale matematicii sunt practic o infinitate, domeniul matematicii fiind inepuizabil. Cea de care ne vom ocupa în această lucrare este conjectura lui Poincaré.

Termenul conjectură înseamnă în matematică presupunere, ipoteză, în sensul unei afirmații nedemonstrate, care poate fi adevarată cu o probabilitate destul de mare (spre exemplu, este adevarată în mai multe cazuri particulare, ca în cazul inducției incomplete).

Conjectura lui Poincaré (sau și "ipoteza lui Poincaré"), prima dată enunțată de matematicianul francez Henri Poincaré în 1904, afirmă că dacă într-un spațiu închis și nemărginit tridimensional (cufundat într-un spațiu 4-dimensional) toate "cercurile" bidimensionale pot fi micșorate topografic până ce devin un punct, atunci acest spațiu tridimensional este echivalent din punct de vedere topologic (homeomorf) cu o "sferă" 3-dimensională.Demonstrația matematicianului rus Grigori Perelman din anul 2002 s-a situat pe primul loc în topul celor mai importante descoperiri matematice, alcătuit de prestigioasa revistă Science la 22 decembrie 2006. Enigmaticul savant, Perelman a refuzat în anul 2010 și recompensa de un milion de dolari pe care Clay Mathematics Institute din orașul american Cambridge, a oferit-o pentru rezolvarea Conjecturii lui Poincaré.

Cuvinte cheie: conjectura, Poincaré, homeomorf, G. Perelman.