Conf. univ. dr. habil. Cristian Cazacu Autor: Nedeloiu Nicolae Școala Gimnazială Nr. 13, București, Sector 1 2 CUPRINS CUPRINS… [624388]
1
UNIVERSITATEA din BUCURE ȘTI
FACULTATEA de MATEMATICĂ și INFORMATICĂ
ANALIZA FUNCȚIILOR ȘI
REPREZENTĂRI GRAFICE
Coordonator științific :
Conf. univ. dr. habil. Cristian Cazacu
Autor:
Nedeloiu Nicolae
Școala Gimnazială Nr. 13, București, Sector 1
2
CUPRINS
CUPRINS ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. … 2
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 4
CAPITOL 1 . ANALIZA FUNC ȚIILOR ELEMENTARE ………………………….. …………………….. 5
1.1. Definirea funcțiilor ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 5
1.1.1. Func ții definite sintetic ………………………….. ………………………….. ………………………… 5
1.1.2. Func ții definite analitic ………………………….. ………………………….. ………………………… 7
1.1.3. Testul liniei verticale ………………………….. ………………………….. ………………………….. . 8
1.2. Func ția de gradul I ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………. 14
1.3. Func ția de gradul al II -lea ………………………….. ………………………….. …………………………. 19
1.4. Funcția putere ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 25
1.5. Funcția radical ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 30
1.6. Funcția exponențială ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……. 33
1.7. Func ția logaritmică ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……… 36
1.8. Func ții trigonome trice directe și inverse ………………………….. ………………………….. ……… 38
1.9. Transformări ale graficelor funcțiilor ………………………….. ………………………….. ………….. 45
1.9.1. Tra nslația ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 45
1.9.2. S imetria ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 47
1.9.3. Alungir ea și comprimarea ………………………….. ………………………….. ………………….. 48
1.9.4. Combinarea transformărilor ………………………….. ………………………….. ………………… 51
1.10. Modelarea cu func ții ………………………….. ………………………….. ………………………….. …. 54
CAPITOL UL 2. Func ții continue și funcții derivabile ………………………….. ……………………….. 66
2.1. Limite de func ții ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………. 66
2.2. Funcții continue ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 70
2.3. Funcții derivabile ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 78
2.4. Probleme de optimizare ………………………….. ………………………….. ………………………….. .. 92
CAPITOLUL 3. Reprezentarea grafică a funcțiilor ………………………….. ………………………….. .. 102
3.1. Rolul derivatei întâi în s tudiul funcțiilor ………………………….. ………………………….. ……. 102
3.2. Rolul derivatei a doua în studiul funcțiilor ………………………….. ………………………….. …. 104
3.3. Asimptote la graficul unei func ții ………………………….. ………………………….. …………….. 107
3.4. Etapele reprezentării geometrice a graficului unei funcții ………………………….. ………….. 108
3.5. Legături între reprezentările grafice ale funcției și ale derivatei ………………………….. … 119
3.5.1. Trasarea graficului derivatei fiind dat graficul funcției ………………………….. ………. 119
3.5.2 Trasarea graficului funcției fiind dat graficul deriva tei ………………………….. ……….. 123
3
CAPITOLUL 4. OBSERVAȚII METODOLOGICE ………………………….. ………………………… 126
4. 1. Mijloace de organizare a lecțiilor online ………………………….. ………………………….. …… 126
4.2. Proiect de lecție ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………… 137
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………………….. 144
4
Introducere
Cuvântul funcție a fost aparent introdus de René Descartes (1596 -1650) în 1637, odată
cu descoperi rea sistemului de coordonate ca rteziene. Pentru el, o funcție însemna orice putere
întreagă pozitivă a unei variabile. Mai târziu, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 -1716), care a
subliniat latura geomet rică a matematicii, a folosi t cuvântul funcție în anul 1673 pentru a indica
coordonatele unui punct pe o curbă. Jacob Bernoulli (1654 -1705) este cel care a introdus
noțiunea de funcție în 1694. De asemenea, a notat cu x variabila independentă, notație car e este
și astăzi consacrată. Leonhard Euler (1707 -1783) a folosit cuvântul funcție pentru a descrie orice
ecuație sau formulă care implică variabile și constante, fiind primul care a notat pentru
aplicarea funcției elementului . Mai târziu uti lizarea funcțiilor în investigarea ecuațiilor
fluxului de căldură au dus la o definiție mai abstractă , Lejeune Dirichlet (1805 -1859) fiind cel
care descrie o funcție ca o corespondență între două mulțimi. (Sullivan, 2012)
Noțiu nea de funcție este fundamentală în aproape toate ramurile matematicii și în toate
științele exacte. Funcțiile se afl ă în centrul matematicii moderne și sunt foare utilizate în
modelarea lumii reale.
Lucrarea metodico -științifică , Analiza funcțiilor și r eprezentări grafice , este stucturată
pe 4 capitole și face o analiză a funcțiilor, studiindu -le proprietățile, în strânsă legătură cu
reprezentările grafice ale acestora.
În primul capitol, sunt studiate funcțiile elementare, o serie de transformări apli cate
acestora și sunt modelate exemple din viața reală cu ajutorul funcțiilor .
Al doilea capitol prezintă teoria funcțiilor continue și funcțiilor derivabile, urmată de
exemplificări ale aplicațiilor funcțiilor derivabile , și anume, problme de optimizare .
Capitolul al treilea este dedicat reprezentărilor grafice a funcțiilor și legăturii dintre
graficul funcției și cel al derivatei.
În ultimul capitol sunt exemplificate mijloace le de organizare a lecțiilor online și este
proiectată o lecție .
5
CAPIT OL 1 . ANALIZA FUNC ȚIILOR ELEMENTARE
1.1. Definirea funcțiilor
Pentru definițiile din această secțiune s -a folosit referința [6] (M. Burtea, 2004) . Exemplele
concrete aparțin autorului.
Definiție 1.1.1 . Fiind date două mulțimi nevi de, și , și o lege de corespondență , care face
ca fiecărui element din să-i corespundă un singur element din , spunem că am definit o
funcție pe cu valori în și scriem sau .
Observații:
1. Mul țimea se numeșt e domeniul de definiție al funcției, iar mulțimea se numește
codomeniul funcției (sau domeniul valorilor funcției).
2. Elementele mulțimii se numesc argumente ale funcției, iar corespondentele lor din
mulțimea se numesc valori sau imagini .
3. Dac ă este acel unic element asociat lui prin legea , scriem și
citim “ de este ”, se numește valoarea funcției în sau imaginea lui prin , iar se
numește preimaginea lui prin .
4. Mulțimea valorilor (imaginilo r) funcției se notează cu sau Im (imaginea
funcției ) și este { }.
5. Legea de corespondență a unei funcții se notează cu literele , , ,… sau alte
simboluri.
Legea de coresponden ță a funcției poate fi prezentată în m ai multe moduri :
1.1.1. Func ții definite sintetic
Prin această modalitate se indică într -un tabel de valori sau într -o diagramă cu săgeți
imaginile nominale ale tuturor elementelor din domeniu de definiție. Procedeul se aplică atunci
când domeniul de defi niție are un număr restrâns de elemente.
Exemplu : O funcție poate fi reprezentat ă în mai multe moduri :
a) Prin tabel de valori:
1 2 3
2 3 4
6
b) Prin diagram ă cu săgeți :
Fig. 1
Exemple de tabele de valori sau di agrame cu s ăgeți care nu definesc o funcție :
1. Tabelul urm ător nu definește o funcție, deoarece nu s -a definit .
1 2 3
2 4
2. Tabelul urm ător nu definește o funcție, deoarece elementului 2 îi corespund două
valori, și .
1 2 2
2 3 4
3. Diagrama ur mătoare nu definește o funcție, deorece elementului 2 din domeniu îi sunt
asociate două elemente din codomeniu.
Fig. 2
7
4. Diagrama următoare nu definește o funcție, deo arece elementului 3 din domeniu nu îi
este asociat niciun element din codomeniu.
Fig. 3
1.1.2. Func ții definite analitic
Când domeniul de definiție este o mulțime cu număr mare de elemente sau este
infinită, legea de corespondență este dată indicând o regulă de asociere, o formulă sau m ai multe
formule prin care pentru orice se precizează .
Exemplu:
. Această funcție reprezintă descrierea analitică a
exemplului de la secțiune 1.1.1 . , domeniul și c odomeniul fiind însă mulțimea .
Defini ție 1.1.2. Două funcții și se nume sc funcții egale dacă sunt verificate
simultan condițiile:
a) (au același domeniu);
b) ( au același codomeniu);
c) , .
Defini ție 1.1.3. Ansamblul format din două axe de coordonate și , perpendiculare , se
numește sistem ortogonal de coordonate carteziene în plan sau reper cartezian în plan și se
notează
Observație : Axa se nume ște axa absciselor , iar axa se numește axa ordonatelor . Punctul
se numește originea reperului cartezian.
8
Fig. 4
Defini ție 1.1.4. Se numește produs cartezian al mulțimilor și , mulțimea notată
a perechilor ordonate având primul element din și al doilea element din .
{ }.
Defini ție 1.1.5. Fie o funcție. Mulțimea { } se numește graficul
funcției . (Graficul funcției este o mulțime de puncte ale căror abscise sunt valori posibile ale
argumentului și ale căror ordonate sunt valorile corespunzătoare ale funcției .)
Observație : .
Definiție 1.1.6 . Se numește funcție numerică sau funcție reală de variabilă reală , o funcție
, pentru care domeniul de definite și codomeniul sunt submulțimi ale mulțimii
numerelor reale .
Defini ție 1.1.7. Se numește reprezentarea geometrică a funcției numerice sau
reprezentarea grafică a funcției , reprezentarea geometrică a graficului ei.
1.1.3. Testul liniei verticale
O mulțime de pu ncte în planul reprezintă graficul unei funcții dacă și numai dacă
fiecare linie verticală intersectează graficul în cel mult un punct.
Fig. 5
9
Următoarele grafice nu sunt reprezentări ale unei funcții, deoarece există o linie verticală
care inte rsectează graficul în mai mult de un punct. (Test)
Fig. 6 Fig. 7
Defini ție 1.1.8. O funcție numer ică , , se numește:
a) mărginită dacă există , astfel încât .
b) mărginită inferior dacă există , astfel încât .
c) mărginită superior dacă există , astfel încât .
Defini ție1.1.9. Mulțimea se numește mulțime simetrică dacă .
Defini ție 1.1.10. Fie o mulțime simetrică și o funcție numerică. Funcția se
numește funcție pară dacă .
Observație : Graficul unei func ției pare este simetric față de axa .
Fig. 8 (Test)
Defini ție 1.1.11. Fie o mulțime simetrică și o funcție numerică. Funcția se
numește funcție impară dacă .
Observație : Graficul unei func ției impare este simetric față de originea reperului.
10
Fig. 9 (Test)
Defini ție 1.1.12. Fie o funcție numerică. Funcția se numește funcție periodică dacă
există , astfel încât . Numărul se numește perioadă a
funcției .
Observație : Dacă printre perioadele strict pozitive ale lui există un cel mai mic , atunci
se numește perioadă principal ă a funcției .
Definiție 1.1.13. Fie funcția numerică .
Funcția este crescătoare pe dacă, pentru orice cu , rezultă
că ;
Funcția este strict crescătoare pe dacă, pentru orice cu
rezultă că ;
Funcția este descrescătoare pe dacă, pentru orice cu
, rezultă că ;
Funcția este strict descrescătoare pe dacă, pentru orice
cu rezultă că ;
Func ția e monotonă pe dacă f e crescătoare sau descrescătoare pe A;
Funcția e strict monotonă pe dacă e strict crescătoare sau strict
descrescătoare pe . (M. Burtea, 2004)
Fig. 10 Fig. 11
11
În Fig. 10 funcția este crescătoare, iar în Fig. 11 funcția este descrescătoare. (J. Stewart,
2016)
Observație : Intervalele din domeniul de definiție pentru care o funcție este monotonă
se numesc intervale de monotonie ale funcției.
Defini ție 1.1.14. Fie funcțiile și , B ⸦ C. Se numește compusa funcției cu
funcția , funcția cu proprietatea că , .
Se notează .
Fig. 12 (J. Stewart, 2016)
Defini ție 1.1.15. Funcția se numește injectivă dacă, pentru orice ,
rezultă că . (Oricăror argumente distincte le corespund imagini distincte.)
Observații :
1. Funcția este injectivă dacă, pentru oricare ar fi cu proprietatea că
rezultă că ( la imagini egale corespund argumente egale).
2. Testul liniei orizontale
O funcție numerică este injectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa dusă prin
punctele codomeniului intersectează graficul funcției în c el mult un punct.
Funcția este injectivă. (J. Stewart, 2016)
Fig.13
12
Funcția nu este injectivă. (J. Stewart, 2016)
Fig. 14
Teorema 1.1.1. Dacă este o funcție numerică strict monotonă, atunci este funcție
injectivă.
Defini ție 1.1.16. Funcția se numește surjectiv ă dacă pentru orice element , există
cel puțin un element astfel încât .
Observații :
1. Func ția e surjectiv ă dacă .
2. O funcție numerică este surjectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa dusă prin
punctele codomeniului intersectează graficul funcției în cel puțin un punct.
Defini ție 1.1.17. Funcția se numește bijectivă dacă este și injectivă și surjectivă.
Observație : O funcție numerică este bijectivă dacă și numai dacă orice paralelă la axa dusă
prin punctele codomeniului intersectează graficul funcției în exact un punct.
Defini ție 1.1.18. Fie A o mulțime nevidă. Funcț ia , , pentru orice , se
nume ște funcția identică a multimii .
Defini ție 1.1.19. O funcție se numește inversabilă dacă există o funcție astfel
încât și . Funcția se numește inver sa funcției și se notează .
Fig. 15 (J. Stewart, 2016)
13
Teorema 1.1.2. O funcție este inversabilă dacă și numai dacă este bijectivă.
Definiție 1.1.20. Fie un interval din și o functie reală.
Dacă
1 1 , , , 0,1f t a tb t f a f b a b I t , atunci funcția se numește
convexă.
Dacă
1 1 , , , 0,1f t a tb t f a f b a b I t , atunci funcția se numește
strict convexă.
Definiție 1.1.21. Funcția f se numește concavă ( strict concavă ) , dacă funcția
f este convexă
(strict convexă) .
Interpretarea geometrică :
Definițiile 1.1.20 și 1.1.21 admit o interpretare geometrică simplă care permite să ne
dăm seama numai după grafic dacă o functie este convexă (concavă) sau nu. Funcția este
convexă (concavă) dacă și numai dacă oricare ar fi două puncte de pe graficul funcției ,
graficul cuprins între aceste puncte este situat sub (deasupra) sau pe segmentul determinat de
punctele respective.
Fig. 16 Fig. 17
14
1.2. Func ția de gradul I
Definiția 1.2.1 Fie și două numere reale.
Funcția , f(x)=ax+b, , se nume ște funcți e afină.
Funcția afină , f(x)=ax+b, a≠0, se numește funcție de gradul I.
Funcția de gradul I, , f(x)=ax, a≠0 se numește funcție liniară.
Funcția afină , f(x)=b, se numește funcție constantă. (Burt ea, 2010)
Intersecția graficului funcției de gradul I cu axele de coordonate
Observații:
1. Graficul func ției de gradul I este o dreaptă.
2. Graficul func ției de gradul I intersectează axa ox într-un singur punct (
) și
scriem { (
)}.
3. Graficul func ției de gradul I intersectează axa într-un singur punct și
scriem { }.
Fig. 18
Propozi ția 1.2.1. Funcția de gradul I, , f(x)=ax+b, a≠0, este strict monotonă pe .
a) Dacă a>0, funcția este strict crescătoare pe .
15
b) Dacă a<0, func ția este strict descrescătoare pe .
Demonstrație: Fie și R raportul de variație asociat funcției f și argu mentelor
.
.
Dacă , atunci și funcția f este strict crescătoare pe .
Dacă , atunci și funcția f este strict descrescătoare pe .
Observație: Monotononia funcției de gradul I se poate prezenta într -un tabel de variație, astfel :
sau
Fig. 19
Din lectura grafi cului func ției din Fig. 19 se observă că o dată cu creșterea
argumentului , cresc și valorile ei, dacă .
16
Fig. 20
Din lectura graficului func ției din Fig. 20 se observă că o dată cu creșterea
argumentului , valorile funcției descresc, dac ă .
Semnul funcției de gradul I
Semnul funcției de gradul I este dat de următorul tabel de semn :
-∞
+∞
semn contrar lui a 0 semnul lui a
Observa ții:
1. O proprietate caracteristic ă a funcției de gradul I este aceea că transformă o progresie
aritmetică în altă progresie aritmetică.
De exemplu, funcția , transformă progresia aritmetică 1, 3, 5, 7, …. în
progresia aritmetică 3, 7, 11, 15, ……
2. Pentru a reprezenta grafic o funcției de gradul I este suficient să se determine două puncte de
pe grafic . Dreapta suport a celor două pun cte va reprezenta graficul funcției.
Exemple :
1. Să se reprezinte grafi c funcția .
Rezolvare:
A(-1,-1) Gf
B Gf .
17
Fig. 21
2. Să se reprezinte grafic funcția , .
Rezolvare:
x { }
{ }
Fig. 22
Defini ția 1.2.2. Funcția , {
, se numește funcția
modul sau funcția valoare absolută .
18
Observații:
1. Funcția intersectează axele de coordonate în punctul .
2. Funcția este par ă: .
3. Func ția este strict descrescătoare pe și strict crescătoare pe
4. Graficul funcției este simetric față de axa .
5. Funcția este mărginită inferior :
6. Func ția este convexă pe .
Reprezenta rea grafică a funcției , se face prin “puncte”,
pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de variație :
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
4 3 2 1 0 1 2 3 4 +∞
Fig. 23
19
1.3. Func ția de gradul al II -lea
Definiția 1.3.1. O funcție , unde și se
numește funcție de gradul al II -lea.
Forma canonică a funcției de gradul al II -lea
(
) [(
)
]
[(
)
] (
)
unde este discriminantul ecuației asociată funcției
(
)
este forma canonică a funcției de gradul al II -lea. (Burtea, 2010)
Propoziția 1.3.1. Fie funcția , , , .
Dacă , func ția are o valoare minimă ( un minim)
, care se obține
pentru
(punctul de minim al funcției).
Dacă , func ția are o valoare maximă ( un maxim)
, care se obține
pentru
(punctul de maxim al funcției).
Observații :
1. Valoarea minim ă (maximă) a funcției se numește valoare extremă sau extremul
funcției, iar punctul
pentru care se realizează extremul se numește punct de extrem al
funcției.
2. Punctul (
) se numește punct de extrem al graficului funcției ( punct de
maxim sau punct de minim al graficului funcției), numit vârf.
3. Dreap ta
este axă de simetrie pentru grafi cul funcției de gradul al II -lea.
4. {[
]
Propoziția 1.3.2. Fie funcția , .
a) Dacă a >0,
(
) .
b) Dacă a <0,
(
)
20
Observație : Fie ( ) și două puncte de pe , iar punctul (
)
este mijlocul segmentului AB. Se consid eră punctul (
(
)) avand aceeași
abscisă ca și M. În această situație se disting două cazuri:
1. Dacă , punctul al graficului se afl ă sub coarda , deci aspectul geometric al
curbei Gf are o formă convexă.
2. Dacă , punctul al graficului se afl ă deasupra coardei , deci aspectul geometric
al curbei Gf are o formă concavă.
Teorema 1.3.1. Fie funcția , .
1. Dacă , funcția f este strict descrescătoare pe intervalul
] și strict
crescătoare pe intervalul [
2. Dacă , funcția f este strict crescătoare pe intervalul
] și strict
descrescătoare pe intervalul [–
(Burtea, 2010)
Observații :
1. Monotonia func ției de gradul al II -lea este dată de următorul tabel de variație :
-∞
+∞
+∞
+∞
minim
sau
-∞
+∞
-∞
-∞
maxim
21
2. Intervalele
], [
se numesc intervale de monotonie ale funcției de
gradul al doilea.
Teorema 1.3.2. Fie funcția , , și
.
1. Dacă , atunci ecuația f(x)= 0 are două soluții reale și
⇔ ;
⇔ .
2. Dacă , atunci , pentru orice {
}.
3. Dacă , atunci , pentru orice .
Observație:
Semnul funcției de gradul al II – lea este dat de următorele tabele de semn :
-∞ +∞
semnul lui a
sau
-∞
+∞
semnul lui a 0 semnul lui a
sau
-∞ +∞
semnul lui a 0 semn contrar semnului lui a 0 semnul lui a
22
Reprezentarea grafică a funcției de gradul al II -lea
Reprezentarea geometrică a graficului Gf este o curbă numită parabolă . Pentru a tras a
această curbă se parcurg următorii pași :
1. Determinarea punctelor de intersecție ale graficului funcției de gradul al doilea cu
axele de coordonate :
a) Intersecția graficului G f cu axa
Abscisele punctelor de intersecție cu axa ox se obțin rezol vând ecuația :
Cazul I Dacă , ecuația are două soluții reale și diferite, √
și √
.
Deci intersectează axa ox în două puncte : { }.
Cazul II Dacă , ecuația are soluție dublă
.
Deci intersectează axa într-un singur punct : { (
)}. Se spune că
graficul funcției este tangent axei în punctul , acesta fiind și punct de extrem al
graficului.
Cazul III Dacă , ecuația nu are soluții reale.
Deci nu intersectează axa : .
b) Intersecția graficului cu axa
Graficul funcției de gradul al doilea intersectează axa oy într-un singur punct :
{ } .
2. Determinarea punctului (
), vârful parabolei :
Dacă , punctual este punct de minim.
Dacă , punctul este punct de maxim.
3. Determinarea axei de simetrie
, pentru graficul funcției.
5. Stabilirea formei geometric e a graficului func ției:
Dacă , are form ă convexă.
Dacă , are formă concavă.
23
6. Înscrierea într -un tabel de variație a coordonatelor unui număr finit de puncte printre
care să se afle cele determinate mai sus.
7. Se reprezintă aceste puncte într -un reper cartezian și se unesc printr -o curbă continuă,
ținănd cont de intervalele de monotonie și de axa de simetrie. (Burtea, 2010)
Exemple :
1. Să se reprezinte grafic funcția , .
Rezolvare:
Rezolvam ecuația și obținem √
√
și
√
√
. Rezultă că { }.
Calculăm , rezultă că { }.
Vârful parabolei este (
); unde
,
Deci și cum , este punct de minim și este funcție convexă.
este axă de simetrie pentru graficul funcției
-∞ 0 1 2 3 +∞
3 0 -1 0
Vmin
Fig. 24
24
2. Să se reprezinte grafic funcția , .
Rezolvare:
Rezolvam ecuația : √
√
√
√
, rezul tă că { }.
Calculăm , rezul tă că { }.
Vârful parabolei este (
),
,
.
Deci (
) și cum , este punct de minim și este funcție concavă.
este axă de simetrie pentru graficul funcției
-∞ -2 0
3 +∞
0 6
0
Vmax
Fig. 25
25
1.4. Funcția putere
Definiția 1.4.1. Fie n un număr natural nenul. Funcția , se numește funcția
putere de gradul n.
Observație: Pentru n=1 se ob ține funcția de gradul I, , iar pentru n=2 se obține funcția
de gradul al doilea, .
Teorema 1.4.1.
1. Dacă n este un număr par nenul, atunci funcția este strict descres cătoare pe
intervalul ] și strict crescătoare pe intervalul .
2. Dacă n este un număr impar, atunci funcția este strict crescătoare pe
intervalul . (C. Năstăsescu, 2007)
Teorema 1.4.2.
1. Dacă n este un număr par, funcția putere este o funcție pară.
2. Dacă n este un număr impar, funcția putere este o funcț ie impară.
Demonstrație:
1. Dacă n=2k , atunci , deci funcția este pară.
2. Dacă n=2k +1, atunci , deci funcția
este impară.
Exemp le:
1. Reprezenta rea grafică a funcției , se face prin puncte , pentru
aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
-∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
-64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64
Reprezent ăm într -un sistem de axe , punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel,
după care le unim print -o linie cont inuă. Cu cât avem mai multe puncte, dar și mai apropiate se
obține o aproximare mai bună a graficului funcției.
26
Fig. 26
Graficul acestei funcții se numește parabolă cubică. Parabola cubică are următoarele proprietăți:
1) Trece prin originea axelor, ca re este centru de simetrie.
2) Ramura din dreapta a graficului se g ăsește deasupra axei , iar ramura din stânga se găsește
sub axa .
Observație : Graficul func ției (k>0) are o reprezentare asem ănătoare cu graficul
funcției .
2. Reprezenta rea grafică a funcției , se face prin puncte , pentru
aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
-∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
256 81 16 1 0 1 16 81 256
Reprezent ăm într -un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile din tabel,
după care le unim print -o linie continu ă. Cu cât avem mai multe puncte, dar și mai apropiate se
obține o aproximare mai bună a graficului funcției.
27
Fig. 27
Graficul acestei funcții are următoarele proprietăți:
1) Se găsește deasupra axei și trece prin originea sistemului de axe .
2) Axa este axă de simetrie pentru graficul funcției.
Observație : Graficul func ției (k>0) are o reprezentare asem ănătoare cu graficul
funcției .
Definiția 1.4 .2. Fie n un număr natural nenul. Funcția
{ }
, se numește
funcția putere cu exponent negativ. (C. Năstăsescu, 2007)
Vom avea două cazuri :
1) Dacă n este număr par, n=2k , atunci
{ }
,
.
Dacă , atunci , rezultă că
, de unde deci
este strict descrescătoare pe intervalul .
Dacă , atunci , rezultă că
, de unde deci
este strict crescătoare pe intervalul .
Cum
, rezult ă că este o funcție pară.
2) Dacă n este număr impar , n=2k+1 , atunci
{ }
,
.
Dacă , atunci , rezultă că
, de unde
, deci este stric t descrescătoare pe intervalul .
Dacă , atunci , rezultă că
, de unde
, deci este strict descrescătoare pe intervalul .
28
Cum
, rezult ă că este o funcție impară.
Observație :
Deși funcția { },
este strict descrescătoare pe intervalele și
ea nu este strict descrescătoare pe { }. Într-adevăr, dacă atunci
x1<x2. Dar,
și
, deci (x1)< (x2).
Exemple:
1. Reprezenta rea grafică a funcției { } ,
se face prin
puncte , pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
-∞ -100 -10 -2 -1
1 2 10 100 +∞
-1 -2 -10 -100 100 10 2 1
În acest tabel se vede că, pentru valori din ce în ce mai mari ale lui , se apropie
de 0, iar pentru valori din ce în ce mai mici ale lui , ia valori din ce în ce mai mari (în
modul).
Graficul este construit din două ramuri simetrice față de originea axelor de coordonate și
se numește hiperbolă.
Fig. 28
Observație : Graficul func ției (k>0) are o reprezentare asem ănătoare cu
graficul funcției .
29
2. Reprezenta rea grafică a funcției
{ }
,
se face prin
puncte , pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
-∞ -10 -2 -1
1 2 10 +∞
1 4 100 10000 10000 100 4 1
Din acest tabel, se vede că, pentru valori a le lui din ce în ce mai apropiate de 0
(pozitive sau negative), funcția ia valori din ce în ce mai mari, iar pentru valori ale lui din
ce în ce mai mari, funcția ia valori din ce în ce mai mici.
Graficul funcției este construit din două ra muri simetrice față de axa ,situate deasupra axei
.
Fig. 29
Observație : Graficul func ției (k>0) are o reprezentare asem ănătoare cu graficul
funcției .
30
1.5. Funcția radical
Ținând cont de paritatea ordinului radicalul ui se disting dou ă cazuri :
Definiția 1.5 .1. Fie . Funcția , √ , se nume ște funcția
radical de ordin par.
Propoziția 1.5.1. Funcția funcția radical de ordin par ,
√ este strict crescătoar e.
Demonstrație: Fie , astfel încât . Deoarece √ și
√ , avem √ √ , și cum funcția putere e strict crescătoare pe
rezultă că √ √ , adică .
Propoziția 1.5.2. Funcția radical de ordin par , √ este
bijectivă.
Demonstrație: Funcția radical este strict crescătoare, rezultă că ea este injectivă.
Fie , exist ă , x=y2n, astfel încât √ , rezultă
că este surjectivă.
Funcția este injectivă și surjectivă, deci est e bijectivă.
Propoziția 1.5.3. Funcția radical de ordin par , √ este
inversabilă. (C. Năstăsescu, 2007)
Observa ții:
1. Func ția radical de ordin par este funcție concavă.
2. Punctul originea sistemului , este punctul de intersecție al graficului
funcției cu axele de coordonate.
Exemplu : Reprezenta rea grafică a funcției , √ se face prin
puncte , pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
0 1 4 9 16 25 +∞
√ 0 1 2 3 4 5 +∞
31
Reprezent ăm într -un sistem de axe , punctele ale căror coordonate sunt valorile din
tabel, după care le unim print -o linie continuă.
Fig. 30
Graficul func ției √ , are o reprezentare asem ănătoare cu graficul funcției
√ .
Definiția 1.5.2 . Fie . Funcția , √ , se nume ște funcția radical de
ordin impar.
Propoziția 1.5.4. Funcția radical de ordin impar , √ este strict
crescătoare.
Propoziția 1.5.5. Funcția radical de or din impar , √ este bijectivă.
Propoziția 1.5.6. Funcția radical de ordin impar , √ este inversabilă.
Propoziția 1.5.7. Funcția radical de ordin impar , √ este funcție impară .
Observați i:
1. Punctul originea sistemului , este punctul de intersecție al graficului
funcției cu axele de coordonate.
2. Graficul funcției este simetric față de punctul
32
3. Func ția radical de ordin impar este funcție convexă pe ] și funcție con cavă pe
(C. Năstăsescu, 2007)
Exemplu : Reprezenta rea grafică a funcției , √ se face prin puncte , pentru
aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
-64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 +∞
=√ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
Reprezent ăm într -un sistem de axe , punctele ale c ăror coordonate sunt valorile din
tabel, după care le unim print -o linie continuă.
Fig. 31
Graficul func ției √ , are o reprezentare asem ănătoare cu graficul funcției
√ .
33
1.6. Funcția exponențială
Definiția 1.6.1. O funcție , , unde a>0 și , se numește
funcție exponențială. (M. Burtea, 2000)
Propoziția 1.6.1. Fie funcția , , unde a>0 și .
1. Dacă , atunci, pentru , avem ,
iar, pentru avem .
2. Dacă , atunci, pentru ,avem ,
iar , pentru , avem .
Propozi ția 1.6.2. Fie funcția , , unde a>0 și .
1. Dacă funcția exponențială este strict crescătoare pe .
2. Dacă , funcția exponențială este strict descrescătoare pe .
Demonstrație:
1. Fie și , rezult ă că există k>0, astfel înc ât .
Atunci .
Deoarece și , atunci , rezultă că și cum , se obține
Rezultă că , adică , deci Func ția exponențială este strict
crescătoare pe .
2. și , rezult ă că există k>0 ,astfel încât .
Atunci .
Deoarece și , atunci rezultă că și cum , se obține
Rezultă că adică , deci (x1)>f(x 2). Func ția exponențială este strict
descrescătoare pe .
Propozi ția 1.6.3. Funcția
, , unde și este bijectivă.
Propozi ția 1.6.4. Funcți a
, , unde și este inversabilă.
(M. Burtea, 2004)
Observații:
1. Dacă , atunci axa este asimptotă orizontală spre pentru graficul funcției
34
2. Dacă atunci axa este asimptotă orizontală spre pentru graficul
funcției
3. Funcția exponențială este convexă.
4. Graficul func ției intersectează oxa în punctul de coordonate (0,1).
Exemple:
1. Reprezenta rea grafică a funcției
, , se face prin puncte ,
pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
-3 -2 -1 0 1 2 3 +∞
0
1 2 4 8 +∞
Reprezent ăm într -un sistem de axe , punctele ale căror coordonate sunt valorile
din tabel, după care le unim print -o linie continuă.
Fig. 32
Graficul func ției , a>1 are o reprezentare asem ănătoare cu graficul funcției
.
2. Reprezenta rea grafică a funcției
, (
)
, se face prin puncte ,
pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
35
-3 -2 -1 0 1 2 3 +∞
(
)
+∞ 8 4 2 1
0
Reprezent ăm într -un sistem de axe punctele ale căror coordonate sunt valorile din
tabel, după care le unim print -o linie continuă.
Fig. 33
Graficul func ției , 0<a<1 are o reprezentare asem ănătoare cu graficul funcției
(
)
.
Reprezentarea geometrică a graficului funcției exponențiale se numește curbă
exponențială.
36
1.7. Func ția logaritmică
Definiția 1.7 .1. O funcție
, , a>0, se numește funcție
logaritmică. (M. Burtea, 2000)
Propozi ția 1.7.1. Fie funcția
, unde a>0 și .
1. Dacă , funcția logaritmică este strict crescătoare pe .
2. Dacă , funcția logaritmică este strict descrescătoare pe
Propozi ția 1.7.2. Funcția
, , unde și este bijectivă.
Propo ziția 1.7.3. Funcția
, , unde și este
inversabilă.
Observații:
1. Graficul func ției logaritmice intersectează axa ox în punctul de coordonate (1,0).
2. Dacă , atunci pentru , avem , pentru x=1,avem
, iar pentru x>1, avem .
3. Dacă , atunci pentru avem , pentru x=1, avem
, iar pentru , avem .
4. Axa este asimptot ă verticală a funcției logaritmice.
5. Dacă atunci funcția logaritmică este concavă.
6. Dacă atunci funcția logaritmică este convexă.
Exemple:
1. Reprezenta rea grafică a funcției
, , se face prin puncte ,
pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
0
1 2 4 8 16 +∞
-∞ -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 +∞
Reprezent ăm într -un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile
din tabel, după care le unim print -o linie continuă.
37
Fig. 34
Graficul func ției , a>1 are o reprezentare asem ănătoare cu graficul funcției
.
2. Reprezenta rea grafică a funcției
,
, se face prin puncte ,
pentru aceasta folosim urm ătorul tabel de valori :
0
1 2 4 8 16 +∞
+∞ 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -∞
Reprezent ăm într -un sistem de axe xoy, punctele ale căror coordonate sunt valorile
din tabel, după care le unim print -o linie continuă.
Fig. 35
Graficul func ției , 0<a<1 are o reprezentare asem ănătoare cu graficul funcției
.
Reprezentarea geometrică a graficului funcției logaritmice se numește curbă logaritmic ă.
38
1.8. Func ții trigonometrice directe și inverse
Definiția 1.8 .1. Funcția
], se nume ște funcția sinus .
Observații :
1. Func ția sinus este mărginită :
2. Func ția sinus este periodică de perioadă
și perioada principa lă :
și .
3. Funcția sinus este impară : .
4. Funcția sinus este surjectivă pe
.
5. Restricția funcției sinus, [
] ] este bije ctivă, deci
inversabilă. (M. Burtea, 2000)
Reprezentarea grafică a funcției sinus se face prin puncte folosind următorul tabel de valori :
-2π
-π
0
π
2π
0 1 0 -1 0 1 0 -1 0
Fig. 36
Reprezentarea geometrică a graficului funcției sinus se numește sinusoidă.
Definiția 1.8. 2. Funcția ] [
],
se nume ște funcția arcsin us și este inversa funcției [
] ] .
39
Observații:
1. [
].
2. ]
3. Funcția arcsinus este m ărginită :
, ].
4. Funcția arcsinus este strict crescătoare pe intervalul [-1,1].
5. Funcția arcsinus este impară adică arcsin( -x)=-arcsin x, ]
6. Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor sin și arcsin sunt simetrice față de
bisectoarea întâi a axelor de coordonate.
Reprezentarea grafică a funcției arcsinus se face prin puncte folosind urm ătorul tabel de valori :
x -1 √
√
0
√
√
1
0
Fig. 37
Definiți a 1.8.3. Funcția
], se nume ște funcția cosinus .
Observații :
1. Func ția cosinus este mărginită :
40
2. Func ția cosinus este periodică de perioadă
și perioada principală :
și .
3. Funcția cosinus este pară :
4. Funcția cosinus este surjectivă pe
.
5. Restricția funcției cosinus, ] ] este bijectiv ă, deci
inversabilă. (M. Burtea, 2000)
Reprezentarea grafică a funcției cosinus se face prin puncte folosind următorul tabel de
valori :
-2π
-π
0
π
2π
1 0 -1 0 1 0 -1 0 1
Fig. 38
Reprezentarea geometrică a graficului funcției cosinus se numește sinusoidă.
Definiția 1.8.4. Funcția ] ],
se nume ște funcția arccosinus și este inversa funcției ] ] x .
41
Observații:
1. ].
2. ]
3. Funcția arccosinus este m ărginită : , ].
4. Funcția arccosinus este strict descrescătoare pe intervalul [-1,1].
5. Funcția arccosinus nu este nici pară, nici impară : arccos( -x)=π -arccos x, ]
6. Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor cos și arcos sunt simetrice față de
bisectoarea întâi a axelor de coordonate.
Reprezentarea grafică a funcției arccosinu s se face prin puncte folosind urm ătorul tabel de
valori :
-1 √
√
0
√
√
1
π
0
Fig. 39
Definiția 1.8.5. Func ția
{
}
,
se nume ște
funcția tangentă.
42
Observații :
1. Func ția tangentă este periodică de perioadă
și perioada principală :
și .
2. Funcția tangentă este impară :
{
}.
3. Restricția funcției tangentă, (
)
, , este bijectiv ă, deci
inversabilă. (M. Burtea, 2000)
Fig. 40
Definiția 1.8.6. Funcția
(
),
se nume ște funcția arctangentă și este inversa funcției (
)
, .
Observații :
1. , (
).
2. ,
.
3. Funcția arctangentă este impară:
.
4. Funcția arctangentă este m ărginită :
,
.
5. Funcția arctangentă este strict cr escătoare pe
.
43
6. Reprezentările geometrice ale graficelor funcțiilor tg și arctg sunt simetrice față de
bisectoarea întâi a axelor de coordonate.
Fig. 41
Definiția 1.8.7. Func ția
{
}
,
se nume ște funcția
cotangentă.
Observații :
1. Func ția cotangentă este periodică de perioadă
și perioada principală :
și .
2. Funcția cotangentă este impară :
{
}.
3. Restricția funcției cotangentă,
, , este bijectiv ă, deci
inversabilă. (M. Burtea, 2000)
44
Fig. 42
Definiția 1.8.8. Funcția
, se nume ște funcția
arccotangentă și este inversa funcției
, .
Observații :
1. , .
2. ,
.
3. Funcția arccotangentă nu este nici pară, nici impară:
.
4. Funcția arccotangentă este m ărginită : ,
.
5. Funcția arccotangentă este strict descrescătoare pe
.
6. Reprezentările geometrice ale graficelor funcț iilor c tg și arcctg sunt simetrice față de
bisectoarea întâi a axelor de coordonate.
Fig. 43
45
1.9. Transform ări ale graficelor funcțiilo r
Această secțiune se bazează pe referința [24] (J. Stewart, 2016) . Exemplele concrete
aparți n autorului. Graficul unei func ții poate fi transformat în graficul altei funcții pe baza
formulei ei . Știind că un grafic este o transformare a unui grafic familiar, acest lucru face mai
ușoară trasarea lui. O transformarea a unei funcții modifică formu la și orice combinație între
locația, forma și orientarea graficului. Tipurile de transformări ale funcțiilor sunt:
1.9.1. Translația este o transformare care mută toate punctele din graficul unei funcții, fără a
schimba f orma sau orientarea graficului. Un grafic translatat este congruent cu graficul original.
Translația verticală
Fie o funcție și un număr real pozitiv.
Graficul funcției este graficul funcției deplasat vertical
în sus cu c unități.
Graficul funcției este graficul funcției deplasat vertical
în jos cu c unități. (J. Stewart, 2016)
Fig. 44 Fig. 45
Exemple :
1. Translatând vertical graficul funcției , în sus, cu 3 unități, se obține graficul
funcției
Fig. 46
46
2. Translatând vertical graficul funcției , în jos, cu 3 unități, se obține graficul
funcției
Fig. 47
Translația orizontală
Fie o funcție și c un număr real pozitiv.
Graficul funcției este graficul funcției deplasat
orizontal la stânga cu c unități.
Graficul funcției este graficul funcției deplasat
orizontal la dreapta cu c unități. (J. Stewart, 2016)
Fig. 48 Fig. 49
Exemple :
1. Translatând orizontal graficul funcției , la stânga, cu 3 unități, se obține
graficul funcției
Fig. 50
47
2. Translatând orizontal graficul funcției la dreapta, cu 3 unități, se obține
graficul funcției
Fig. 51
1.9.2. Simetria creează o imagine în oglindă într -o linie, numită linie de simetrie. Acesta, la fel
ca translația, nu schimbă forma graficului, însă poate schimba orientarea graficului.
Graficul funcției este graficul funcției reflectat în axa ox.
Graficul funcției este graficul funcției reflectat în axa oy.
Fig. 52 Fig. 53 (J. Stewart, 2016)
Punctul invariant este un punct al unui grafic care rămâne neschimbat după ce i se aplică
o transformare. Orice punct al unui grafic care se află pe linia de simetrie este un punct invariant.
Exemple :
1. Reflectând graficul funcției în axa ox se obține graficul funcției
Punctul este punct invariant.
48
Fig. 54
2. Reflectând graficul funcției √ în axa oy, se obține graficul
funcției √ .
Punctul este punct invariant.
Fig. 55
1.9.3. Al ungirea și comprimarea spre deosebire de translație și simetria schimbă forma
graficului, însă, la fel ca translația, nu modifică orientarea graficului.
Alungirea și comprimarea verticală
Fie o funcție și c un număr real pozitiv.
Dacă , graficu l funcției este graficul funcției alungit
vertical prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu c.
Dacă , graficul funcției este graficul funcției
comprimat vertical prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu c. (J. Stewart, 2016)
49
Fig. 56 Fig. 57 (J. Stewart, 2016)
Exemple :
1. Alungind vertical graficu l funcției , prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu
3, a tuturor punctelor de pe grafic , se obține graficul funcției
Fig. 58
2. Comprimând vertical graficul funcției prin înmulțirea fiecărei coordonate
y cu
, a tuturor punctelor de pe grafic , se obține graficul funcției
.
Fig. 59
50
Alungirea și comprimarea orizontală
Fie o funcție și c un număr real pozitiv.
Dacă , graficul funcției este graficul funcției
comprimat orizontal prin împărțirea fiecărei coordonate x cu c.
Dacă , graficul funcției este graficul funcției
alungit orizontal prin împărțirea fiecărei coordonate x cu c. (J. Stewart, 20 16)
Fig. 60 Fig. 61
Exemple :
1. Comprimând orizontal graficul funcției , prin împărțirea fiecărei coordonate
x cu 3, a tuturor punctelor de pe gra fic , se obține graficul funcției .
Fig. 62
51
2. Alungind orizontal graficul funcției , prin împărțirea fiecărei coordonate x
cu
, a tuturor punctelor de pe grafic , se obține graficul funcției
.
Fig. 63
1.9.4. Combinarea transformărilor
Pentru a obține funcții complexe se poate aplica o combinație de transformări la funcțiile
de bază. Transformările multiple pot fi aplicate unei funcții folosind următorul model general de
transformare :
.
Deși ordinea în care se efectuează transformările poate fi modificată, se poate lua în
considerare, pentru consecvență, utilizarea următoarei ordini :
1. Alungire sau comprimare orizontal ă, prin împărțirea fiecărei coordonate x cu |b|;
2. Simetrie în axa oy , dacă b<0;
3. Alungire sau comprimare vertical ă, prin înmulțirea fiecărei coordonate y cu |a|;
4. Simetrie în axa ox , dacă a<0;
5. Translație orizontală la st ânga sau la drepta cu h unități;
6. Translație verticală în sus sau în jos cu k unități;
Exemplu:
Pentru a reprezenta grafic func ția se pornește de la reprezentarea
grafică a funcției .
52
Fig. 64
Se aplică succesiv următoarele transformări :
1. Comprimare orizontală , prin împărțirea fiecărei coordon ate x cu 3;
Fig. 65
2. Alungire verticală , prin înmulțirea fiecărei coordonate cu 2;
Fig. 66
53
3. Simetrie față de axa ox;
Fig. 67
4. Translație orizontală spre dreapta cu 2 unități ;
Fig. 68
5. Translație verticală în sus cu 4 unități ;
Fig. 69
54
1.10. Modelarea cu func ții
Această secțiune se bazează pe referința [24] (J. Stewart, 2016) .
Multe modele din lumea reală implică construirea de modele matematice care sunt
funcții. De asemenea, multe din procesele care sunt studiate în științele fizice și sociale implică
înțelegerea modului în care variază o cantitate față de alta. Găsirea unei funcții care descrie
dependența unei cantități în raport cu alta se numește modelare . De exemplu, un biolog observă
că numărul bacteriilor dintr-o anumită cultură crește cu timpul. El încearcă să modeleze acest
fenomen găsind funcția precisă (sau regula) care asociază populația de bacterii la timpul scurs.
Etapele tipice modului în care modelăm cu funcții sunt :
1. Exprimarea modelului în cuvinte : identificarea cantității care se dorește a fi
modelată și exprimată în cuvinte, ca funcție a celorlalte cantități din problemă.
2. Alegerea variabilei: identificarea tuturor variabilelor care sunt utilizate în
exprimarea funcției din etapa 1 și alegerea unui simbol, cum ar fi x, pentru una din variabile,
exprimând celelalte variabile în funcție de acest simbol.
3. Configurarea modelului : exprimarea funcției în limbajul algebric, scriind -o ca
funcție de variabilă , aleasă la etapa 2.
4. Utilizarea modelului : utilizarea funcției pentru a răspunde la întrebările formulate
în problemă. (J. Stewart, 2016)
Exemple:
1. Modelarea volumului unei cutii .
O companie de cereale produce cutii pentru micul dejun, în vederea ambalării
produsului. Din motive estetice, cutia trebuie să aibă următoarele proporții : lungimea este de 3
ori mai mare decât lățimea și înălțimea este de 5 ori mai mare decât lățimea.
a) Să se găsească o funcție care modelează volumul cutiei în rap ort cu lățimea ei.
b) Să se găsească volumul cutiei cu lățimea de 1.5 cm.
c) Pentru ce lățime volumul este de 90 cm3?
d) Pentru ce lățime volumul este mai mare de 60 cm3? (J. Stewart, 2016)
Soluție :
a) Pentru a g ăsi funcția care modele ază volumul cutiei se parcurg următoarele etape :
1. Exprimarea modelului în cuvinte.
Se știe că volumul unei cutii dreptughiulare este :
.
2. Alegerea variabilei.
55
Exist ă 3 cantități diferite : lățime, lungime și înălțime. Pentru că funcția dorită depinde de
lățime, fie x=lățimea cutiei. Apoi se exprimă celelalte dimensiuni ale cutiei în funcție de x.
Astfel, 3x= lungimea cutiei și 5x= înălțimea cutiei.
Fig. 70
3. Configurarea modelului.
Modelul e ste funcția V exprimată cu ajutorul lățimii x, prin .
Volumul cutiei este modelat de funcția care este reprezentată grafic în Fig. 71 .
Fig. 71
4. Utilizarea modelului.
Se foloseste modelul pentru subpunctele b), c) și d).
b) Dacă lățimea este de 1,5 cm, atunci volumul este .
c) Trebuie rezolvată ecuația sau √ .
De asemenea, se poate rezolva grafic ecuația așa cum apare în Fig. 72 .
Fig. 72
56
d) Trebuie rezolvată inecuația sau √ .
Volumul va fi mai mare de 60 cm3 dacă lățimea este mai mare de 1.59 cm.
De asemenea, se poate rezolva grafic inecuația așa cum apare în Fig. 73.
Fig. 7 3
2. Gardul unei grădini
Un grădinar are 140 m de gard pentru a împrejmui o grădină dreptunghiulară.
a) Să se găsească o funcție care modelează suprafața grădinii pe care o poate împrejmui.
b) Pentru ce interval de lățimi are aria mai mare de 825 m2?
c) Poate să î mprejmuiască o grădină cu suprafața de 1250 m2?
d) Să se găsească dimensiunile celei mai mari suprafețe pe care o poate împrejmui.
(J. Stewart, 2016)
Soluție : Modelul dorit este o funcție care dă aria pe care o poate imprejmui.
1. Exprimarea modelului în cuvinte.
Se știe că aria unei grădini dreptunghiulare este : .
2. Alegerea variabilei.
Există două cantități diferite : lățimea și lungimea. Pentru că funcția dorită depinde de o
singură variab ilă, se consideră aceasta x= lățimea grădinii.
Atunci trebuie exprimată lungimea în funcție de x. Perimetrul este fixat la 140 m , deci lungimea
este determinată odată ce se alege lățimea. Dacă lungimea este l , ca în Fig. 74 , atunci
, deci .
Fig. 74
57
3. Configurarea modelului.
Modelul este funcția A care oferă suprafața gradinii pentru orice lățime x, dată prin formula,
.
Aria pe care o poate împrejmui este modelată de funcția, .
4. Utiliz area modelului.
Se foloseste modelul pentru subpunctele b), c) și d).
b) Trebuie rezolvată inegalitatea . Pentru a rezolva, se reprezint ă grafic
și (Fig. 75 ) și se observă că .
Fig. 75
c) Din Fig. 7 6 se observ ă că graficul se află tot timpul sub dreapta , deci o suprafață
de 1250 m2 nu poate niciodată împrejmuită.
Fig. 7 6.
d) Trebuie găsită valoarea maximă a funcției. Funcția este reprezentată grafic în Fig. 77 și își
atinge maximul în punctul . Așa că suprafața maximă pe care o poate împrejmui este
atunci când lățimea este de și lungimea este . Aria maximă este atunci
.
58
Fig. 77
3. Minimizarea metalului di ntr-o cutie
Un producător realizează o cutie metalică c are conține 1 litru de ulei. Ce rază
minimizează cantitatea de metal din cutie? (J. Stewart, 2016)
Soluție : Modelul dorit este o func ție care dă suprafața cutiei.
1. Exprimarea modelului în cuvinte.
Pentru a utiliza o cantitat e cât mai mică de metal, trebuie să reducem la minim suprafața
cutiei. Aceasta este aria inferioară, superioară și laterală. Aria inferioară și superioară este
, iar aria laterală este . (Fig. 78).
Se știe că pentru o cutie cilindrică
.
Raza și înălțimea cutiei trebuie alese astfel încât volumul cutiei să fie de exact 1 litru sau 1000
cm3.
Fig. 78
2. Alegerea variabilei.
Există două cantități diferite : raza și înălțimea . Pentru că funcția dorită depinde de o
singură variabilă, se consideră x= raza cutiei. De asemenea, trebuie exprimată înălțimea în
funcție de rază. Deoarece volumul unei cutii cilindrice este , iar volumul trebuie să fie
1000 cm3, rezultă că
.
Acum se pot exprima toate ariile din partea inferioară, superioară și laterală în funcție de r.
Aria inferioară sau superioară este , iar aria laterală este (
).
59
3. Configurarea modelului
Modelul este funcția S care dă suprafața cutiei în funcție de raza r.
Aceasta este (
) , deci
.
4. Utilizarea modelului.
Se utilizează mode lul pentru a găsi suprafața minimă a cutiei. În Fig. 79 este
reprezentată funcția S, iar valoarea minimă a acesteia este de aproximativ 554 cm2 și apare
atunci când raza este de aproximativ 5,4 cm.
Fig. 79
4. Modelarea costurilor pentru planurile tari fare de mesaje text. Această problemă a fost culeasă
din referința [3] (Blitzer, 2014)
La o companie telefonică există două planuri tarifare de mesaje text. Planul A are o taxă
lunară de 20 lei, cu taxă de 0,05 lei pe mesaj. P lanul B are o taxă lunară de 5 lei, cu taxă de
0,10 lei pe mesaj.
a) Să se exprime costul lunar pentru planul A în funcție de numărul de mesaje text dintr -o lună.
b) Să se exprime costul lunar pentru planul B în funcție de numărul de mesaje text dintr -o lună.
c) Pentru câte mesaje text vor fi aceleași costuri pentru cele două planuri? (Blitzer, 2014)
Soluție : a) Costul lunar pentru planul A este taxa lunar ă, 20 lei, plus taxa 0,05 pentru un mesaj
înmulțit cu numărul de mesa je text notate cu x. Modelul costului lunar în ceea ce privește
numărul de mesaje text x este funcția . Panta indică faptul că rata de
modificare a costului planului este de 0,05 pe text, iar ordonata la origine (ordonata punctului de
intersecție cu oy) stabilește prețul mesaj elor text pornind de la 20 lei.
b) Costul lunar pentru planul B este taxa lunar ă, 5 lei, plus taxa 0,1 pentru un mesaj
înmulțit cu numărul de mesaje text notate cu x. Modelul costului lunar în ceea ce privește
numărul de mesaje text x este funcția . Panta indică faptul că rata de modificare
a costului planului este de 0,1 pe text, iar ordonata la origine (ordonata punctului de intersecție
cu oy) stabilește prețul mesaj elor text pornind de la 5 lei.
60
c) Pentru aflarea numărului de mesaje text care determină aceleași costuri pentru cele
două planuri tarifare trebuie ca ecuațiile pentru și să fie egale. Astfel, avem
.
Costurile pentru cele dou ă planuri vor fi aceleași pentru 300 de mesaje text. Din
rezultă că costul pentru fiecare plan va fi de 35 lei, cum rezultă și din
Fig. 80.
Fig. 80
5. Creșterea exponențială ( dublarea timpului )
Se presupune că se începe cu o singură bacterie, care se divide în fiecare oră. După o oră
avem bacterii, după două ore avem bacterii, după trei ore avem bacterii și
așa mai departe, după cum se vede în Fig. 8 1.
Fig. 8 1: Popula ția de bacterii
Se poate modela populația de bacterii după t ore prin funcția . Dacă se începe
cu 10 bacterii, atunci populația este modelată prin funcția . O tulpină de bacterii cu
creștere mai lentă se dublează la fiecare 3 ore, în acest caz populația este modelată prin funcția
.
În general, dacă dimensiunea inițială a unei populații este și timpul de dublare este ,
atunci numărul populației la momentul este ,
61
unde și sunt măsurate în aceeași unitate de timp ( secunde, minute, ore, zile, ani și așa mai
departe).
Folosind aceste rezultate să se rezolve următoarea situație :
În condiții ideale, o anumită populație de bacterii se dublează la fiecare 3 ore. Inițial
există 100 0 de bacterii într -o colonie.
a) Să se găsească un model pentru populația de bacterii după ore?
b) Câte bacterii sunt în colonie după 15 ore?
c) După câte ore numărul de bacterii va ajunge la 100000? (J. Stewart, 2016)
Soluț ie :
a) Popula ția la momentul este modelată prin funcția , unde se măsoară în
ore.
b) După 15 ore numărul de bacterii este
.
c) Fie , rezultă că
.
Astfel, numărul de bacterii ajunge la 100000 în aproximativ 20 de ore.
6. Vibrațiile unei note muzicale.
Un saxofonist cântă o notă E și susține sunetul pentru ceva timp. Pentru o notă E pură,
variația regulată a presiunii aerului față de presiunea normală este dată de funcția
, unde V este măsurată în pascali și t este măsurată în secunde.
a) Să se găsească amplitudinea, perioada și frecvența lui V.
b) Să se tr aseze graficul funcției V.
c) Dacă saxofonistul crește intensitatea sunetul notei, cum se schimbă formula funcției V ?
d) Dacă saxofonistul cântă nota în mod incorect și este puțin neclară, cum se schimbă
formula funcției V ? (J. Stew art, 2016)
Soluție : În realizarea sunetului se produce o mișcare armonică simplă. Un obiect este în mișcare
armonică simplă dacă funcția care descrie deplasarea acestuia în timpul t este
sau . În acest caz, reprezintă deplasarea maxim ă a
obiectului,
reprezintă timpul necesar pentru a finaliza un ciclu, iar
reprezintă numărul de cicluri pe unitatea de timp.
a) Din formulele pentru ampl itudine, perioadă și frecventă se obține :
;
;
.
62
Tonul sunetului depinde de frecvență, iar intensitatea sunetului depinde de aplitudine.
b) Graficul lui V este prezentat în Fig. 82
Fig. 82
c) Dacă saxofonistul crește intensitatea sunetul amplitudinea crește, deci numărul 0,2 este
înlocuit cu număr mai mare.
d) Dacă nota este neclară, atunci frecvența este redusă. Astfel, coeficientul lui t este mai mic
de .
7. Aproximativ 5000 de oameni locuiesc în orașul Novaci. În luna martie a venit din Italia o
persoană cu virusul COVID -19. O săptămână mai târziu, 70 de persoane s -au mai infectat, iar
medicii din oraș estimează că aproximativ 8% dintre locuitorii acestui o raș vor contacta virusul.
Să se selecteze o funcție adecvată pentru a modela răspândi rea virusului în orașul Novaci.
Această problemă este o adaptare a unei probleme din referiț a 29. (Nelson) .
Soluția 1 : Selectarea unui model li near.
Se utilizeaz ă datele din următorul tabel pentru a schița un grafic.
Timpul în zile (t) Numărul de persoane infectate (P)
0 1
7 71
Fig. 8 3
63
Ecuația generală pentru modelul liniar este , unde este panta dreptei , iar
este ordonata l a origine (ordonata punctului de intersecție cu oy).
Timpul în zile, t, este variabila, iar numărul de persoane, P, este funcția asociată modelului.
În acest caz, ordonata la origine este 1, iar panta este
.
Modelul liniar este , și prevede că numărul de persoane infectate de virus va
crește într -un ritm constant de 10 persoane pe zi. Cum, , rezultă că
.
Deci, la un ritm de infectare a 10 persoane pe zi, va dura a proximativ 40 de zile pentru ca virusul
să se răspândească la numărul așteptat de 400 de persoane.
Soluția 2 : Selectarea unui model exponențial.
Se utilizeaz ă datele din tabelul anterior pentru a schița un grafic pentru acest model.
Fig. 8 4
Ecuația gen erală pentru modelul exponențial este , unde a este valoarea inițială
sau intersecția cu oy, iar b este: .
Timpul în zile, , este variabila, iar numărul de persoane, , este funcția asociată modelului.
Două puncte sunt suficiente pentru a determina modelul exponențial.
Funcția va fi .
Valoarea inițială a funcției exponențiale este și se știe că .
Prin înlocuire rezultă că √ .
Mod elul exponențial este .
El prezice o creștere inițială lentă, urmată de o creștere mult mai rapidă.
.
Acest model prezice că îi va lua aproximati v 10 zile virusului pentru a infecta cele 400 de
persoane.
64
Soluția 3 : Selectarea unui model logistic.
Se utilizeaz ă datele din tabelul anterior pentru a schița un grafic pentru acest model.
Fig. 85
Ecuația generală pentru modelul logistic este
, unde c este capacitatea de
trafic sau valoarea maximă pe care o atinge funcția.
Timpul în zile, , este variabila, iar numărul de persoane, , este funcția asociată modelului .
Capacitatea de trafic, c, sau numărul de persoane infe ctate este .
Substituind , se obține
.
Substituind , se obține
.
Parametrii a și b pot fi determinați dacă două puncte aflate pe graficul funcției sunt cunoscute.
Modelul logistic este
.
El prezice o creștere lentă, urmată de o creștere rapidă și apoi o încetinire a numărului de
persoane infectate, atunci când se apropie ca valoare de 400.
Graficul se apropie de o asimptotă orizontală , când t se apropie de 12.
Acest model prezice că îi va lua aproximativ 12 zile virusului pentru a infecta cele 400 de
persoane.
Observație :
Niciun model matematic nu este perfect, însă utilitatea acestuia ține de descrierea acestei
situați i. Dintre cele 3 modele, cel mai nerealist este cel liniar, întrucât la un moment dat creșterea
numărului de cazuri este bruscă ( cu cât numărul de oameni infectați este mai mare, aceștia îi
65
infectează la rândul lor pe alții, iar graficul unei funcții care modelează o astfel de situație nu are
cum să rămână o dreaptă). Deoarece, la modelul de creștere exponențială valoarea funcției crește
fără limită, poate interveni situaț ia ca majoritatea populației să fie confirmată pozitiv, ceea ce
este mai puțin probabil. Deci acest model este mai puțin realist.
Funcțiile logistice sunt utilizate pentru modelarea populațiilor unde creșterea este
restricționată de resursele disponibile. În această situație restricția este dată de faptul că la un
moment dat marea majoritate a celor infectați se află în spital. Rezultă că, ar trebui să intervină
o scădere a numărului de cazuri. Așadar modelul logistic este cel mai realist în tratarea a cestei
situații.
66
CAPITOL UL 2. Func ții continue și funcții derivabile
2.1. Limite de func ții
Definiție 2 .1.1. Mulțimea V ⸦
se numește vecinătate a punctului
, dacă există ε>0,
astfel încât ⸦V. ( Intervalul se numește interval deschis de rază
ε>0 centrat în a.)
Definiție 2 .1.2. Mulțimea V ⸦
se numește vecinătate a lui +∞ , dacă există ε>0 , astfel încât
(ε,+∞) ⸦ V.
Definiție 2 .1.3. Mulțimea V ⸦
se numește vecinătate a lui -∞ , dacă există ε>0, astfel încât
(-∞,ε) ⸦ V.
Observație : Mulțimea
̅̅̅̅
{ } se numește dreapta completă s au dreapta
încheiată.
Definiție 2 .1.4. Fie o submulțime nevidă a lui
. Spunem că un punct
̅̅̅̅ este punct de
acumulare al mulțimii , dacă în orice vecinătate a lui a, se află puncte ale distincte de a,
adică { }
Observații:
1. Mulțimea punctelor de acumulare ale mulț imii A se notează cu
'A , și se numește
mulțime derivată.
2. Dacă un punct
, nu este punct de acumulare al mulțim ii A, el se numește punct
izolat al mulțimii A.
Definiție 2 .1.5. Fie o funcție
( A este o submul țime a lui
) și
̅̅̅̅, un punct de
acumulare pentru A. Spunem că
̅̅̅̅ este limita funcției f în punctul a (și notăm
lim ( )
xal f x
),
dacă pentru orice vecinătate V a lui l, există o vecinătate U a lui a, astfel încât oricare ar fi
cu avem
Observație: Dacă limita un ei funcții într -un punct există, atunci ea este unică .
Teorema 2.1.1. ( Criteriul lui Heine de existență a limitelor) Fie o funcție
și fie
, un punct de acumulare pentru A. Avem
lim ( )
xal f x
dacă și num ai dacă pentru orice sir
(an)n de puncte din A-{a}, cu , rezult ă . (Niculescu, 2002)
67
Limitele laterale:
Definiție 2 .1.5. Fie o funcție
( A este o submul țime a lui
) și
̅̅̅̅, un punct de
acumulare pentru . Spunem că
̅̅̅̅ este limita la stanga a funcției în puctul a
( și notăm
,lim ( )sx a x al f x
sau ls= (a-0) ), dacă pentru orice vecinătate V a lui ls există o
vecinătate U a lui a, astfel încât oricare ar fi cu avem
Definiție 2 .1.6. Fie o funcție
( A este o submul țime a lui
) și
̅̅̅̅, un punct de
acumulare pentru . Spunem că
̅̅̅̅ este limita la dreapta a funcției f în puctul a
( și notăm
,lim ( )dx a x al f x
sau ls= ), dacă pentru orice vecinătate a lui ld există o
vecinătate a lui , astfel încât oricare ar fi cu avem
Propoziția 2.1.1. Funcția
are limit ă în punctul
dacă și numai dacă are
limite la terale egale în punctul a. ( În acest caz l=l s=ld .)
Putem defini limitele laterale folosind limbajul cu șiruri.
Definiție 2 .1.7. Fie o funcție
și fie , un punct de acumulare pentru A. Avem
,lim ( )sx a x al f x
dacă și numai dacă pentru orice sir (an)n de puncte din , cu ,
rezult ă .
Definiție 2 .1.8. Fie o funcție
și fie , un punct de acumulare pentru A. Avem
,lim ( )dx a x al f x
dacă și numai dacă pentru orice sir (an)n de puncte din , cu
, rezult ă . (M. Burtea, 2001)
Limite fundamentale de funcții
1. Func ții polinomiale :
011
0 1 0 0 1 0 0 lim , ;n n n n
nnxxa x a x a a x a x a x
1
0 1 0 lim ( ) ;n n n
nxa x a x a a
2. Func ții raționale :
011
0 1 0 0 1 0
11
0 1 0 0 1 0… …lim ,… …n n n n
nn
m m m mxxmma x a x a a x a x a
b x b x b b x b x b
1
0 0 0 1 0 , … 0;mm
m x b x b x b
68
1
01 0
1
0 1 0
0
00,
…lim ,…
( ) , .nnn
mmxm
nmdacă n m
a x a x a adacă n mb x b x b b
adacăn mb
3. Func ția radical :
000 lim , , , 2;n n
xxx x x n n
0*
0
011lim , ;n xx nx
xx
lim ;n
xx
0, 0lim 0;n
xxx
0, 01lim ;n xx x
1lim 0;n x x
21lim ;n
xx
21 0, 01lim ;n xx x
211lim 0;n x x
4. Func ția exponențială :
0
00 lim , , 0, 1, ;x x
xxa a x a a a
lim , lim 0 1, ;xx
xxa a dac ă a a
lim 0, lim , 0 1, ;xx
xxa a dac ă a a
lim 0; lim ;xx
xxee
5. Func ția logaritmică :
000 lim log log , 0, , 0, 1, ;aaxxx x x finit a a a
0, 0lim log , lim log , 1, ;aax x xx x dac ăa a
0, 0lim log , lim log , 0 1, ;aax x xx x dac ă a a
0, 0lim ln , lim ln ;
x x xxx
6. Funcții trigon ometrice :
000 0 0 lim sin sin , lim cos cos , ;
x x x xx x x x x
000 lim , ;2xxtg x tg x x k k
000 lim , ;
xxctg x ctg x x k k
,,2 2 2 2lim ; lim ;
x x x xtg x tg x
69
0, 0 0, 0lim ; lim ;
x x x xctg x ctg x
000 lim arcsin arcsin , 1 1;
xxx x x
000 lim arccos arccos , 1 1;
xxx x x
000 lim arc arc , ;
xxtg x tg x x
000 lim arc arc , ;
xxctg x ctg x x
lim arc ; lim ;22xxtg x arctg x
lim arc ; lim 0;
xxctg x arcctg x
7. Limite remarcabile :
0sinlim 1;
xx
x
0lim 1;
xtg x
x
0arcsinlim 1;
xx
x
0arclim 1;
xtg x
x
1lim 1 ;x
xex
1
0lim 1 ; x
xxe
01lim ln , , 0;x
xaa a ax
01lim 1;x
xe
x
0log (1 )lim log , 0, 1;a
axxe a ax
0ln(1 )lim 1;
xx
x
011lim , ;r
xxrrx
* 0, 0 1,lim ;, 1,x
nxdacă a a andacă a a x
*lim 0, , (0,1), ;xn
xa x a a n
0, 0lim ln 0, 1;n
xxx x n
* lnlim 0, ;nxxnx
lim 0, 1, , ;n
xxxa a na
lim 0, ;n
xxxne
0, 0lim 1.x
xxx
(Rogai, 1983)
70
2.2. Func ții continue
Definiția 2.2.1. Fie o funcție
:fA
, unde
A
. Spunem că este continuă în punctul a
(sau că a este un punct de continuitate pentru ) dacă, oricare ar fi exist ă cu
proprietatea c ă, pe ntru orice cu avem .
Observa ție: Specific punctelor de continuitate este faptul c ă la mici perturbări ale argumentului
corespund mici perturbări ale valorii funcției.
Definiția 2.2.2. O funcție
:fA
se numește continuă dacă este continuă în toate punctele
sale.
Propoziția 2.2.1. Funcția
:fA
este continuă în punctul a dacă și numai dacă, oricare ar fi
V o vecinătate a lui există o vecinătate U a lui a, astfel încât .
Demonstrație:
“
” Presupunem că este continuă în punctul a.
Fie V o vecinătate a lui deci cu
( ) , ( )f a f a V .
Pentru acest , cum este continu ă în a
astfel încât cu
avem .
Consider ăm .
Fie , arbitrar, atunci , deci
( ) ( ) , ( )f x f a f a V .
“
” Fie , arbitrar. Consider ăm o vecinătate a lui
Conform ipotezei o vecinătate a lui a astfel încât f(U)⸦V.
Fie astfel încât
, a a U .
Fie cu
, x a a U
. Deci
este continuă în a.
Observații:
1. Dacă funcția nu este continuă în punctul a, atunci ea se numește discontinuă în
punctul a, sau că a este un punct de discontinuitate al funcției .
2. Problema continuității sau discontinuității se pune numai în punctele domeniului de
definiție ale funcției ( nu se pune în pu ncte în care funcția nu este definită și nici pentru +∞ sau
-∞).
Definiția 2.2.3 . O funcție
:fA
este discontinuă dacă există un punct în care nu
este continuă. (Niculescu, 2002)
71
Teorema 2.2.1. ( Criteriul lui Heine de continuitate) O funcție
:fA
este continuă în
punctul a dacă și numai dacă ,oricare ar fi (an)n un șir de elemente din A, convergent la a, șirul
( (an))n este convergent la (Niculescu, 2002)
Demonstrație:
“
” Presupunem că este continuă în punctul a.
Fie V o vecinătate, arbitrară, a lui
o vecinătate a lui a, astfel încât
Fie (an)n ⸦ A , și cum este o vecinătate a lui a
( ) ( )n N astfel încât n N a U
.
Din și
( ) ( )nf a f U V
.
“
” Presupunem că nu este continuă în punctul a
V o vecinătate a lui
astfel încât o vecinătate a lui a
()f U V .
Fie
1
nU x A x an o vecinătate a lui a.
Atunci
1( ) , ( ) ,n n n n a U a an
, astfel că
()nf a V .
Deci și cum
()nf a V , rezultă că ( (an))n nu este convergent la ceea ce este o
contradicție.
Teorema 2.2.2. Fie o funcție
și fie , un punct de acumulare pentru A. Atunci
este continuă în punctul a dacă și numai dacă admite limită în punctul a și valoarea ei este
egală cu valoarea funcției în punctul a.
Demonstrație:
“
” Presupunem că este continuă în punctul a.
Atunci, pentru orice șir (an)n de elemente din A cu
limnnaa
, avem
lim ( ) ( )nnf a f a
.
În particular, pentru orice șir (xn)n cu { }, și
limnnxa
avem de asemenea
lim ( ) ( )nnf x f a
. Rezultă că limita funcției în punctul a este
“
” Presupunem că
lim ( ) ( )
xaf x f a
.
Atunci, pentru orice , astfel încât -{a} cu să avem
.
Însă, dacă x=a, rezultă , și, deci restricția se poate elimina. Prin
urmare este continu ă în a.
72
Definiția 2.2.4 . Func ția
este continuă la stănga în , un punct de acumulare
pentru A, dacă (a-0) există și este egală cu
Definiția 2.2.5 . Func ția
este continuă la dreapta în , un punct de acumulare
pentru A, dacă (a+0) există și este egală cu
O aplicație imediată a Teoremei 2.2.2. este așa numita prelungire prin contiuitate a unei
funcții. Ea poate fi descrisă astfel : fie
o funcție și fie a un punct de acumulare al lui
A, nesituat pe A. Presupunând că există limita
lim ( )
xaf x l
, atunci func ția prelungită
( ),: , ( ),f x dac ăx Af A a f xl dac ăx a
este continuă. Mai mult, această prelungire
este singura care face pe
f continuă în punctul a.
Teorema 2.2.3. Fie
o funcție definită pe o submulțime a lui
. Atunc i este
continuă în orice punct izolat a, din domeniul său de definiție.
Dacă și a este un punct de acumulare pentru A, atunci este continuă în punctul a
dacă și numai dacă există limitele laterale ale lui în punctul a (care au sens) și ele sunt egale
cu valoarea funcției în punctul a.(
,,lim ( ) lim ( ) ( )
x a x a x a x af x f x f a
).
Observație: Func țiile polinomiale, funcțiile raționale, funcț ia radical, funcția putere, funcția
exponențială, funcțiile trigonometrice directe și cele inverse sunt continue pe domeniul lor de
definiție.
Teorema 2.2.3. conduce la următoarea clasificare a discontinuităților unei funcții :
Definiția 2.2.6 . Numim puncte de discontinuitate de speța întâi acele puncte din domeniul de
definiție în care există și sunt finite limitele laterale (care au sens), dar cel puțin una este diferită
de valoarea funcției în punctul respectiv. Celelalte puncte de discontinuitate se nu mesc puncte de
discontinuitate de speța a doua. ( Adică sunt acele puncte în care cel puțin una dintre limitele nu
există sau este infinită.) (M. Burtea, 2001)
Exemple :
1. Fie
111, 0: , ( ) .0 , 0xf f xx
Cum
10lim ( ) 1
xfx
, iar
1(0) 0 1,f rezultă că 0 este
punct de discontinuitate de speța întâi.
2. Fie
221,0: , ( ) .
0, 0xf f x x
x
Cum
20, 0lim ( ) ,
xxfx
rezultă că 0 este punct de
discontinuitate de speța a doua.
73
3. Fie
331sin , 0: , ( ) .
0, 0xf f x x
x
Cum
30, 0lim ( )
xxfx
nu exist ă ( deoarece
0, 01lim ,
xx x
iar funcția sinus nu are limită la
), rezultă că 0 este punct de
discontinuitate de speța a doua.
4. Fie funcția lui Dirichlet,
441,: , ( )0,xf f xx
și fie
0 . x
Există a tunci
două șiruri
00,,nnnnab
cu
00,nna x b x pentru
0 0,lim lim .nnnnn a b x
Atunci
44 lim ( ) 1, lim ( ) 0,nnnnf a f b
deci nu exist ă
004,lim ( )
x x x xfx
, iar
0x este un punct de discontinuite de spe ța a doua. (Georgescu, 2012)
Teorema 2.2. 4. Fie
o funcție monotonă , unde A este un interval, și un punct de
discontinuitate pentru f uncția . Atunci a este un punct de discontinuitate de speța întâi.
Demonstrație: Presupunem că funcția este monoton crescătoare și demonstrăm că
limitele laterale (a-0) și (a+0) sunt finite.
Fie , astfel încât x1<a<x 2. Din monoton ia func ției rezultă că
] și ].
Prin trecerea la limită în cele două inegalități anterioare se obține :
și .
Așadar, și, astfel, rezultă că limitele laterale ale
funcției în punctul există și sunt finite.
Una din proprietățile remarcabile ale funcțiilor continue este aceea de a transforma
intervalele în alte intervale, proprietate cunoscută și sub numele de proprietatea lui Darboux.
Definiția 2.2.7. Fie
:fI
o funcție definită pe un interval I. Spunem că are proprietatea
lui Darboux pe I dacă pentru orice două pun cte x1 și x2 din I astfel ca , și
orice număr λ situat între și există un punct c între și , astfel încât
Fig. 86 (Georgescu, 2012)
74
Motivarea ei este dată de teorema valorii intermediare.
Lema 2.2.1. Fie
:[ , ]f a b
o funcție continuă, astfel încât și . Atunci
exist ă cel puțin un punct astfel încât (Niculescu, 2002 )
Demonstrație : Fie mulțimea { ] }.
Cum , rezult ă că , adică , iar din A ⸦ [a,b], rezult ă că mulțimea A este
majorată. Din axioma marginii superioare ( Orice submulțime nevidă a lui
, mă rginită
superior, admite margine superioară.) rezultă că multimea A admite un supremum, fie acesta
c=sup A ( ).
Folosind faptul că c este un punct aderent lui A (în orice vecinătate a lui a se găsește cel puțin un
element din A), deducem că c este l imita unui șir de elemente din A. Adică astfel
încăt și cum funcția este continuă potrivit criteriul lui Heine de continuitate, rezultă că
.
Din și
. (1)
Cum
c<b.
Dacă c<y<b , rezult ă că . (Altfel , dacă
iar cum c=sup A
,
ceea ce este o contradicție.)
Fie un șir de elemente din A, astfel încât și cum este continuă,
rezultă din criteriul lui Heine de continuitate că .
Din și ,
. (2)
Din relațiile (1) și (2) rezultă că
Fig. 87 Fig. 88
(Georgescu, 2012)
Exemplu : (Existența radicalului d e ordinul
2n ). Fie a>0 . Atunci exist ă și este unică o
radăcină pozitivă a ecuației
.nxa Această rădăcină se numește radicalul de ordinul n a lui a
și se notează cu simbolul
.na
75
Pentru demostrație , se aplică Lema 2.2.1. funcției continue și strict crescătoare
: 0, , ( ) .nf f x x a
Evident, Dacă
1,a atunci
( ) 0.fa Dacă
0,1 ,a
atunci
Teorema 2.2.5. ( Teorem a valorii intermediare) Fie I un interval nedegenerat și
:fI
o
funcție continuă. Atunci are propietatea lui Darboux pe I. (Niculescu, 2002)
Demonstrație: Fie
:[ , ]g a b
, și .
Cum iar , aplic ând Lema 2.2.1. rezultă că există
astfel încât , adică
Teorem a 2.2.6. Fie
:,f A A
o func ție cu proprietatea lui Darboux pe un interval
IA
. Atunci este un interval.
Exemple :
1. Fie
: , ( ) .f f x x
Cum f(0)=0, f(1)=1, dar nu ia și valoarea intermediară
1
2
pe intervalui (0,1), rezultă că nu are p roprietatea lui Darboux pe
.( Altfel,
f
, deci nu transformă intervalul deschis
,
tot într -un interval.)
2. Fie
1,: , ( ) .0,xf f xx
Atunci
( ) 0,1f
, deci nu transform ă
tot
într-un interval, neavând astfel proprietatea lui Darboux .
Propoziția 2.2.2 . Fie I un interval nedegenerat și
:fI
o funcție injectivă cu proprietatea
lui Darbo ux. Atunci este strict monotonă.
Observație : O func ție continuă și injectivă pe un interval este strict monotonă pe acel interval.
Propoziția 2.2.3 . Fie
:fI
o funcție monotonă, astfel încât este interval. Atunci
funcția este continuă.
Observație : Reciproca acestei propoziții nu este adevărată. Există funcții continue cu
, fară ca să fie monotone. De exemplu, funcția
: , ( ) sin .f f x x
Teorema 2.2.7. Fie
:fI
, unde I este un interval pe care are proprietatea lui Darboux.
Fie
0xI astfel încât există o limită laterală a lui în
0x , atunci această limită este egală cu
0( ).fx
Corolar 2.2.1. Fie
:f
o func ție cu proprietatea lui Darboux pe intervalul I. Atunci nu
poate avea decât puncte de discontinuitate de speța a doua pe I.
76
Exemplu: Funcția
1sin , 0: , ( )
0, 0xf f x x
x
are proprietatea lui Darboux, iar 0 e ste
punct de discontinuitate de speța a doua.
Propoziția 2.2.4 . Fie I, J intervale în
și o func ție monotonă și surjectivă. Atunci
este continuă.
Propoziția 2.2.5 . Fie f o funcție continuă pe un interval I și Atunci funcția
este bijectivă dacă și numai dacă este strict monotonă. În acest caz, funcția inversă, ,
este continu ă și strict monotonă pe J (în același sens cu ).
Teoremă 2.2.7 . ( Teorema lui Weierstrass ) O funcție contin uă pe un compact este mărginită și
iși atinge marginile (are un minim și un maxim). (M. Burtea, 2001)
Demonstrație:
Fie
:,f a b
continuă. Arătăm că este majorată, adică există un M , astfel înc ât
f(x) M, x . ab
. Presupunem contrariul
, , a.i. ( ) nn n N x a b x n f . Deoarece
sirul
nx este mărginit ,conform lemei Cesaro , el conține un subșir convergent
pnx care are un
punct limită
0 , x a b . Din continuitatea funcției rezultă că
0 0, ( ) V V x astfel incât
00 ( ) ( ) ( ) ( ) , ,
p p pn n nf x f x f x f x x V a b (1) .
Fie
0 1 1 ( )
p pnn f x f x , care pentru
pn suficient de mare este o contradicție. Deci
este maj orată.
Arătăm că este minorată, adică există un , astfel încât
f(x) , x . m a b .
Presupunem contrariul
, , a.i. ( . )nn n N x a b x n f Din (1) pentru
1
0 1 ( )
p pnn f x f x
, care pentru
pn suficient de mare este o contradicție. Deci este
minorată.
In concluzie, orice funcție continuă pe un compact este mărginită.
Fie M =
,sup ( )
x a bfx
. Arătăm că există un
. c a b , astfel încât este maximul
global al lui f pe [a,b]. Presupunem că această situație nu are loc. Din definiția marginii
77
superioare rezultă
( ) , ,f x M x a b . Considerăm funcția auxiliară
1( ) ,()xM f x
, x a b
. Evident
este continuă pe
,ab și, deci, mărginită. Din proprietățile marginii
superioare, există valori ale lui x, astfel încât
1( ), 0 ( ) , 0 M f x x , adică
nu es te mărginită, ceea ce este o contradicție. Rezultă că există un
. c a b , astfel încât
.
Fie m =
,inf ( )
x a bfx
. Arătăm că există un
. d a b , astfel încât este minimul
global al lui f pe [a,b]. Presupunem că această situație nu are loc. Din definiția marginii
inferioare rezultă
( ) , ,f x m x a b .Considerăm funcția auxiliară
1( ) , ,()x x a bf x m
.Evident
este continuă pe
,ab și, deci, mărginită. Din proprietățile marginii inferioare,există
valori ale lui x, astfel încât
1( ), 0 ( ) , 0 m f x x ,adică
nu este mărginită,
ceea ce este o contradicție. Rezultă că există un
, d a b astfel încât
78
2.3. Funcții derivabile
Problemele care au condus la noțiunea de derivată au fost : definirea tangentei într -un
punct la graficul unei funcții și definirea noțiunea de viteză instantanee. Aces te probleme au fost
culese din referința [11] (Georgescu, 2012)
Problema tangentei
Fie
:fI
o func ție continuă pe intervalul I,
fG graficul funcției f și
( , ( ))A a f a un
punct pe
fG . Tangenta la
fG în punctul A îl poate intersecta și într -un alt punct decât A, iar
dreptele care intersectează
fG doar în A nu sunt neapărat tangente la
fG . Nu se poate defini
aceast ă tangentă ca dreapta care are în comun cu
fG doar pe A, așa cum se întămplă pentru
tangenta într -un punct la un cerc.
Fie
( , ( ))M x f x un alt punct pe
fG . Dreapta AM care intersectează
fG cel puțin în A și
M, se va numi dreptă secantă. Se definește tangenta în A la
fG ca poziția limită a secantei AM
atunci când M tinde la A. Cum panta dreptei AM este
( ) ( )MA
AM
MAyy f x f amx x x a (dreapta AM
nu este verticală, deci
xa ), urmează că panta tangentei în A la
fG este
( ) ( )lim .
xaf x f amxa
În aceste condiții, ecuația tangentei în A la
fG este :
( ) ( ). y f a m x a
Fig. 89
Problema vitezei (Georgescu, 2012)
Fie un punct mobil M în mișcare de -a lungul axei ox, a cărui lege de mișcare este
unde t este timpul scurs de la momentul inițial, iar x este ab scisa punctului M.
Fie
0,tt un interval de timp,
0tt . În acest interval, M parcurge distanța
0 ( ) ( )x t x t ,
deci viteza sa medie ( viteza pe care ar trebui s -o aibă M pentru a parcurge distanța
0 ( ) ( )x t x t în
79
timpul
0tt , dacă s -ar mișca uniform ) este
00
,
0( ) ( ).ttx t x tvtt Totuși, cu cât intervalul de timp
0,tt
este mai mare, cu atât această viteză oferă mai puține informații despre vi teza lui M la
momentul
0t . Intuitiv, intervalul
0,tt trebuie să fie cât mai mic, iar viteza instantanee a lui M
la momentul
0t este atunci
00
0
0( ) ( )( ) lim .
ttx t x tvttt
Fig. 90 (Georgescu, 2012)
Definiția 2.3.1. Funcția
se numește derivabilă în punctul , un punct de
acumulare pentru A, dacă
( ) ( )lim
xaf x f a
xa
există și este finită.
Valoarea acestei limite se numește derivata funcției în punctul a și se notează cu sau
. Dacă limita există, dar este infinită, atunci spunem că funcția nu este derivabilă în
punctul a, dar are derivată (infinită) în punctul a. Dacă limita nu exist ă, atunci nu este
derivabilă și nu are derivată. (C. Năstăsescu, 2001)
Observa ții:
1. Formula pentru derivata funcție în punctul a (dacă există) este :
' ( ) ( )( ) lim
xaf x f afaxa
.
2. Dacă notăm x-a=h, atunci
'
0( ) ( )( ) lim
hf a h f afah .
Definiția 2.3.2. Funcția
se numește derivabilă dacă ea este derivabilă în fiecare din
punctele domeniului său de definiție.
Definiția 2.3.3. Fie funcția
, și B este mulțimea for mată din toate punctele în care
este derivabilă. Funcția care asociază fiecărui punct x din B numărul se nume ște derivata
funcției și se noteză ,
.
80
Teorema 2.3.1. O funcție
:fI
, unde I este un interval nedegenerat, este derivabil ă în
punctul a, dacă există un număr
și o funcție
:I
, astfel încât
lim ( ) ( ) 0
xaxa
,
având următoare formulă de reprezentare :
( ) ( ) ( ) ( ) , .f x f a x a x x a pentru orice x I
În fapt,
'. fa
Demonstra ție:
Presupunem mai întâi că funcția este derivabilă în punctul a. Reprezentarea din enunț are
evident loc pentru
'()fa și
( ) ( ) y f a df a x
în plus,
' ( ) ( )lim ( ) lim ( ) 0.
x a x axa f x f ax f ax a x a
Pentru implicația inversă, observăm că reprezentarea din enunț conduce la faptul că :
( ) ( )( ) , .xa f x f ax pentru orice x I x ax a x a
Deoarece membrul drept are limita λ pentru
xa , rezult ă că este derivabilă în punctul a și
'( ) .fa
Observa ție: Oricărei funcții
:fI
derivabile în punctul a i se asociază, prin teorema 2.3.1,
o aplicație liniară
'( ): , ( ) ( )df a df a x f a x
, numită diferențiala funcției în punctul a.
Teorema 2.3.1. se poate rescrie sub forma
( ) ( ) ( ) ( ) .f x f a df a x O x a pentru x a
Să notăm că partea liniară
( ) ( ) y f a df a x din această reprezentare este tocmai ecuația
tangentei la graficul funcției în punctul a. (Ecuația tangentei la graficul funcție în punctul a
este : dacă este finit ă, și este x=a, dacă este infinit ă.)
(Niculescu, 2002 )
Operațiile cu funcții derivabile sunt astfel sintetizate :
81
(
)
.
Corolar 2.3.1. Orice funcție derivabilă într -un punct este continuă în acel punct.
(M. Burtea, 2001)
Demonstrație :
Fie funcția
și , un pun ct în care funcția este derivabilă. Pentru a demonstra că
funcția este continuă în punctul a este suficient să arătăm că
lim ( ) ( ) 0.
xaf x f a
În acest sens avem succesiv :
' ( ) ( ) ( ) ( )lim ( ) ( ) lim lim lim( ) ( ) 0 0.
x a x a x a x af x f a f x f af x f a x a x a f ax a x a
Rezultă că
lim ( ) ( )
xaf x f a
, ceea c e justifică faptul că funcția este continuă în punctul a.
Definiția 2.3.4. Fie funcția
și , un punct de acumulare pentru
. Spunem c ă funcția are derivată la stânga în punctul a, dacă există,
,( ) ( )lim
x a x af x f a
xa
(finită sau infinită ) și aceasta se notează
'
,( ) ( )( ) lim .sx a x af x f afaxa Dacă
această limită este finită, se spune că este derivabilă la stânga în punctul a.
Definiția 2.3.5. Fie funcția
și , un punct de acumulare pentru
. Spunem c ă funcția are derivată la dreapta în punctul a, dacă există,
,( ) ( )lim
x a x af x f a
xa
(finită sau infinită) și aceasta se notează
'
,( ) ( )( ) lim .dx a x af x f afaxa Dacă
această limită este finită, se spun e că este derivabilă la dreapta în punctul a.
Observa ție: Despre
''( ), ( )sdf a f a se spune c ă sunt derivatele laterale ale funcției în punctul a.
Propoziția 2.3.1 . Funcția este derivabilă (are derivată ) într -un punct a interior domen iului de
definiție dacă și numai dacă este derivabilă (are derivată ) la stânga și la dreapta în a și
'''( ) ( ) ( ).sd f a f a f a
Derivatele laterale conduc la tangentele laterale, și la noțiunile de punct unghiular și de punct de
întoarcere.
Definiția 2.3. 6. Un punct se numește punct unghiular dacă ambele derivate laterale există, sunt
diferite, și cel puțin una este finită. (Georgescu, 2012)
82
Fig. 91 :
( , ( ))A a f a punct unghiular , Fig. 92 :
( , ( ))A a f apunct unghiular ,
''
00( ), ( )sdf x f x
sunt finite și diferite
''
00( ) , ( )sdf x f x finită
Definiția 2.3.7. Un punct se numește punct de întoarcere dacă una din derivatele laterale este
-∞, iar cealaltă este +∞.
Fig 93 :
( , ( ))A a f apunct de întoarcere, Fig. 94 :
( , ( ))A a f a punct de întoarcere,
''
00( ) , ( )sdf x f x
''
00( ) , ( )sdf x f x
(Georgescu, 2012)
Teorema 2.3.2. Fie I și J două intervale, și
:f I J o funcție continuă și bijectivă. Dacă
funcția f este derivabilă în punctul și , atunci funcția inversă
1:f J I este
derivabilă în punctul și
'1
0 '
01.()fyfx
(M. Burtea, 2001)
Derivatele fu ncțiilor elementare
1. (derivata funcției constante este 0 ) ;
2.
'1,( ) , ;nnx n x x n
3.
'1,( ) 0, ;rrx r x x r
4.
' 1, 0;
2xx
x
5.
'
11, 0, 0, ;n
n nx pentru x n par sau x nimpar
nx
6.
'1ln , 0;xxx
7.
' 1log , 0;lnaxxxa
83
8.
',;xxe e x
9.
'ln , ;xxa a a x
10.
'sin cos , ;x x x
11.
'cos sin , ;x x x
12.
'
21, | ;cos 2tg x x k kx
13.
'
21, | ;sinctg x x k kx
14.
'
21arcsin , ( 1,1);
1xx
x
15.
'
21arccos , ( 1,1);
1xx
x
16.
'
21arc , ;1tg x xx
17.
'
21arc , ;1ctg x xx
(Rogai, 1983)
Definiția 2.3.8. Fie I un interval și
:fI
o funcție derivabilă pe I. Spunem că f este
de două ori derivabilă în punctul , dacă funcția
':fI
este derivabilă în a. Derivata
lui în a se numește deriv ata de ordinul al doilea a lui în a și se notează , sau
.
Deci
''
'' ( ) ( )( ) lim .
xaf x f afaxa
Dacă este derivabilă în orice punct din I, se spune că funcția f este de două ori derivabilă pe I
și se not ează .
Definiția 2.3.9. Spunem că funcția
:fI
este de n ori derivabilă în
punctul , dacă funcția este de n -1 ori derivabilă pe I și derivata de ordinul n-1, notată
, este derivabilă în a.
Notăm ( ) , derivata de ordinul n a funcției în punctul a.
Dacă este derivabilă pe I, se spune că este de n ori derivabilă pe I și se notează
( ) .
Dacă pentru orice funcția f este de n ori derivabilă într -un punct (pe o mulțime), se
spune că este indefinit derivabilă în acel punct ( pe acea mulțime). (Niculescu, 2002)
Definiția 2.3.10 . Fie
:fA
. Un punct
0xA se numește punct de minim local , dacă
0 V V x
, astfel încăt
0 ( ) ( ),f x f x x V A . Valoarea
0()fx se numește minim local.
84
Definiția 2.3.11 . Fie
:fA
. Un punct
0xA se numește punct de maxim local , dacă
0 V V x
, astfel încăt
0 ( ) ( ),f x f x x V A . Valoarea
0()fx se numește maxim local.
Definiția 2.3.12. Fie
:fA
. Un punct
0xA se numește punct de minim global (sau
absolut) al lui f dacă
0 ( ) ( ), f x f x x A .
Definiția 2.3.13. Fie
:fA
. Un punct
0xA se numește punct de max im global (sau
absolut) al lui f dacă
0 ( ) ( ), f x f x x A .
Observație: Punctele de minim sau maxim se mai numesc puncte de extrem , iar minimul sau
maximul se mai numesc extreme sau valori optime . Când este cazul se mai adaugă atributul local
sau global. (C. Năstăsescu, 2001)
Teorema 2.3.3. Fie
0x un punct interior al mulțimii A în care funcția este continuă. Dacă există
o vecinătate V a lui
0x astfel încât este descresc ătoare (crescătoare) la stânga lui
0x și
crescătoare (descrescătoare) la dre apta lui
0x , atunci
0x este punct de minim (maxim) local al lui
.
Demonstrație: Fie
00, V x x intervalul cu proprietatea că
00, xxf este descrescătoare
și
00,xxf este crescătoare. Ținând seama și de continuitatea lui în punctual , rezultă
000 0 0 0 0 0( ) lim ( ) ( ), , si ( ) lim ( ) ( ), ,
x x x xf x f x f x x x x f x f x f x x x x
0 ( ) ( ),f x f x x V punct de minim local .
Fie
00, V x x intervalul cu proprietatea că
00, xxf este crescătoare și
00,xxf
este descrescătoare . Ținând seama și de continuitatea lui în punctual , rezultă
000 0 0 0 0 0( ) lim ( ) ( ), , si ( ) lim ( ) ( ), ,
x x x xf x f x f x x x x f x f x f x x x x
0 ( ) ( ),f x f x x V
punct de maxim local .
Observații :
1. Punctul este punct de minim pentru dacă și numai dacă el este un punct de maxim pentru
– .
2. Extremele globale sunt și locale, reciproca nefiind adevărată.
Definiția 2.3.14 . Fie
:fA
. Un punct
0xA se numește punct de minim local strict dacă
, astfel încăt
00 ( ) ( ), ,f x f x x V A x x . Valoar ea se numește minim
0x
0x
0x
0x
0x
0 V V x
0()fx
85
local strict. Un punct
0xA se numește punct de maxim local strict dacă , astfel
încăt
00 ( ) ( ), ,f x f x x V A x x . Valoarea se numește maxim local strict. Dacă
V A A
, atunci atributul loc al poate fi înlocuit cu global .
Fie
:,f A A
Definiția 2.3.15 . Punctul se num e¸ste punct de extrem local sau relativ al func¸tiei
dac˘a exist˘a o vecin˘atate V a lui
0x , astfel încât diferen¸ta să păstreze semn
constant pentru orice .
Dac˘a: ,
,
0x este punct de maxim local,
,
,
0x este punct de minim local.
Dacă diferen¸ta păstrează semn constant pentru orice , atunci
0x
se nume¸ste punct de extrem global sau absolu t.
Observație : Orice punct de extrem absolut este punct de extrem relativ. Recipr oca nu
este adev˘arată.
Teorem a 2.3 .4. Fie
0x un punct interior al mulțimii A în care este continuă.
1) Dacă există o vecinătate V a lui
0x astfel incât derivata să aibă semnul –(+) la
stânga lui
0x și semnul +( -) la dreapta lui
0x , atunci
0x este un punct de minim
(maxim) local al funcției
2) Dacă are același semn într -o vecinătate a lui
0x , atunci nu are extrem in
0x .
Definiția 2.3.16 . Fie
:fI
, definit ˘a pe intervalul I ⸦ ℝ ¸ u n punct x0 din I se
num e¸ste punct sta¸tionar sau punct critic al func¸tiei dacă este derivabilă în x0 și
Teorem a 2.3.5 . ( Teorema lui Fermat ) Fie
:fI
, definit ă pe intervalul
I ⸦ ℝ ¸si
0x un punct de extrem local interior lui I . Dacă f este derivabilă în x0 , atunci
(C. Năstăsescu, 2001)
Demonstrație: Fie
0x punct de minim local al lui
0 V V x , astfel înc ât
0 ( ) ( ),f x f x x V A
. Cum f este derivabilă in
0x
există și este finită
00
0
0( ) ( )'( ) lim
xxf x f xfxxx
.
Luând
0 xx , găsim
0' 0
00
0( ) ( )'( ) ( ) lim 0sxxf x f xf x f xxx
, iar pentru
0 xx avem
0 V V x
0()fx
86
0' 0
00
0( ) ( )'( ) ( ) lim 0dxxf x f xf x f xxx
0'( ) 0fx.
Analog, fie
0x punct de maxim local al lui
0 V V x , astfel înc ât
0 ( ) ( ),f x f x x V A
. Cum este derivabilă in
0x
există și este finită
00
0
0( ) ( )'( ) lim
xxf x f xfxxx
.
Luând
0 xx ,găsim
0' 0
00
0( ) ( )'( ) ( ) lim 0sxxf x f xf x f xxx
, iar pentru
0 xx avem
0' 0
00
0( ) ( )'( ) ( ) lim 0dxxf x f xf x f xxx
0'( ) 0fx
.
Observați i :
1. Teorema lui Fermat este o cond i¸tie necesar˘a de extrem , dar nu suficientă.
Exemplu: Funcția
3: , ( )f f x x
. Avem
23)(' x xf și
0)0(' f , dar 0 nu este
punct de extrem al acestei funcții.
2. Dacă punctu l de extrem
0x nu se află în interiorul intervalului I , ci la o
extremitate a sa , este posibil ca funcția să aibă derivată în
0x , dar derivata sa să nu se
anuleze în acest punct.
Exemplu: Funcția
: 0,1 , ( )f f x x
are un minim în punctul 0 și un maxim în
punctu l 1, da r derivata sa să nu se anuleze î n acest punct . ]
3. Funcția poate avea un extrem î ntr-un punct
0x fără a avea derivată în acest
punct.
Exemplu: Funcția
: , ( )f f x x
are un minim în punctu l 0, dar nu are derivată în
acest punct.
4. În teorema lui Fermat, condiția ca domeniul de definiție al funcției să fie interval
nu este esențială. Funcția poate fi definită pe o reuniune de interval e disjuncte.
5. Teorema lui Fermat afirm˘a c˘a punctele de extrem ale unei funcții derivabile se
găsesc printre punctele staționare ale lui
Geome tric, teorema lui Fermat arată că dacă graficul funcției admite tangent ă
într-un punct de extrem local (interior), atunci tangenta în acest punct la grafic este paralelă
cu axa Ox.
87
Fig. 95
Analitic, punctele de extrem local din
'fA se află în mod necesar printre rădăcinile
ecuației
'( ) 0fx ,
'f xA , adică sunt puncte critice.
Teorema 2.3.6. ( Teorema lui Rolle) Fie
:,f a b
. Dac ă:
1. f este continu ă pe [a,b],
2. f este d erivabil ă pe (a,b),
3. f(a)=f(b),
atunci exist ă un punct astfel încât (M. Burtea, 2001)
Demonstrație :
Caz 1. Funcția este constantă pe intervalul închis . În acest caz f’(x)=0 , oricare ar f i
x
,ab , deci orice punct din (a,b) răspunde concluziei teoremei.
Caz 2. Funcția nu este constantă .
Din continuă pe [a, b] este mărginită și își atinge marginile . Fie
)( inf
],[xf m
bax și
)( sup
],[xf M
bax
. Există două puncte
mx și
Mx
,ab , astfel î ncât să avem
,,mMf x f x f x x a b
În plus, deoarece nu este constantă, avem
mMf x f x
mx
și
Mx sunt puncte de extrem ale funcției , pe intervalul [a, b] .
Dacă
mx este punct interior al intervalului [a, b] , adică a<
mx <b atunci, co nform teoremei lui
Fermat, avem
'0mfx și luând c=
mx teorema este demonstrată.
Dacă
mx =a sau
mx =b, atunci
( ) ( ) ( ) ( )mM f a f b f x f x , deci
Mx este interior intervalului
[a,b]. Conform teoremei lui Fermat, avem
'0Mfx , luând c=
Mx , teorema este demonstrată.
Consecința 1. Între două rădăcini ale unei funcții derivab ile pe un interval se află cel puțin o
rădăcină a derivatei.
88
Demonstrație : Fie
:fI
o funcție derivabilă pe un inteval I și
baIba, , două rădăcini
ale lui
)( 0)( bf af .
Aplicând teorema lui Rolle funcți ei pe intervalul [a,b] există cel puțin un punct
bac , ,
astfel încât
0cf
f are cel puțin un zerou în intervalul
ba,
Consecința 2. Între două rădăcini con secutive ale derivatei se află cel mult o rădăcină a funcției .
Demonstrație :Fie
12xx două rădăcini consecutive ale lui
12'( ) '( ) 0f x f x și între
12,xx
nu mai există nici o rădăcină a lui .
Presup unem prin absurd, că funcția ar avea două rădăcini diferite a și b, între
1x și
2x :
1 2 1 2 , ( ) ( ) 0 x a b x f x f x .
În baza consecinței 1 , ar rezulta că între rădăcinile a și b ale lui s-ar afla cel puțin o rădăcină c
a lui
12 , '( ) 0 x a c b x f c ,
contradicție cu
1x și
2x , rădăcini consecutive ale lui .
Observați i :
1. Interpretarea geometrică a teoremei lui Rolle .
Teorema lui Rolle admite următoarea interpretare geometrică: Dacă dreapta determinată de
punctele
)(,,)(, bfbafa este paralelă cu axa , atunci există cel puțin un punct între a și b
în care tangenta la graficul lui este paralelă cu axa Ox.
Fig. 96
2. Teorema lui Rolle este o teoremă de existență .
89
3. Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie
adevărată. D acă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teorem ei nu mai are loc.
Prin exemplele de mai jos se ilustrează acest lucru.
Exempl e:
1. Fie funcția definită prin
: 0,1
1, 0(), 0,1f
xfxxx
Aceasta funcție verifică cerințele 2) și 3) di n teoremă, dar nu verifică 1), adică nu este continuă
la dreapta în x=0 . Deci nu este continuă pe [0,1] . Atunci derivata func ției este pe
(0,1) și nu se anulează pe acest interval.
2. Funcția
: 1,1 , ( )f f x x
, este continuă , , derivabilă pe
1,1 0
.
Derivata nu se anulează în nici un punct :
1, 1,0'( )1, 0.1xfxx .
3. Funcția
: 0,1 , ( )f f x x
este co ntinuă pe [0,1], derivabilă pe (0,1) , dar
nu ia valori egale la capete. Derivata nu se anulează în nici un punct.
Definiția 2.3.15. O funcție
:,f a b
se numește funcție Rolle dacă este continuă pe
intervalul compact
ba, și este derivabilă pe intervalul deschis
ba, .
Teorema 2.3.7 . ( Teorema lui Lagrange sau Teorema cre șterilor finite )
Fie
:,f a b
. Dac ă:
1. este continu ă pe [a,b],
2. f este derivabil ă pe (a,b),
atunci exist ă un punct , astfel încât
(M. Burtea, 2001)
Demonstrație :
Considerăm funcția auxiliară
:[ , ] , ( ) ( )F a b F x f x k x
, unde k este o constantă
reală pe care o determinăm , astfel încât F(a) = F(b).
abaf bfk kbbf kaaf bF aF)( )()( )( )( )(
.
90
Pentru
abaf bfk)( )( funcția
:[ , ] , ( ) ( )F a b F x f x k x
verifică condițiile teoremei
lui Rolle
),(bac , astfel încât
0)(cF .
kcf kcf )( 0 )(
Dar
),( ,)( )( baxkxf xF
abaf bfcf)( )()(
.
Observați i:
1. Interpretarea geo metrică a Teoremei lui Lagrange .
Fie o funcție Rolle pe un interval compact
ba, , atunci există cel puțin un punct
bac ,
, astfel încât tangenta la graficul funcției în
)(,cfc este paralelă cu coarda
determinată de punctele
)(,afa și
)(,bfb .
Fig. 97
2. Se poate aplica teorema lui Lagrang e restricției funcției la orice subinterval
[a, x] [a, b], unde a < x ≤ b. În acest caz ,
xa cx , care depinde de x , astfel încât
)() ()( )(xcfax afxf
. Dacă
ax , atunci
a cx .
3. Dacă în formula creșterilor finite notăm
abac
, obținem
1 0 și
ab ac
. În acest caz concluzia teoremei lui Lagrange se mai scrie:
) ( ) ()()( ab afab afbf
, cu
1 0 .
Consecința 1. Dacă f are d erivata nulă pe un interval I, atunci funcția este constantă pe acest
interval.
Observație: Dacă are derivata nulă pe o mulțime care nu este interval, ci, de exemplu, o
reuniune de interval disjuncte , nu rezultă că este constantă pe această mul țime.
Exemplu. Funcția
1, 0: * , ( )1, 0xf f xx
, nu este constantă pe , dar are derivata
nulă pe .
91
Consecința 2. Dacă și sunt două funcții derivabile pe un interval I, și dacă derivatele lor
sunt egale pe intervalul I, atunci diferenț a lor es te constantă pe acest interval.
Observație: Dacă și au derivate egale pe o mulțime care nu este interval, ci, de exemplu, o
reuniune de interval disjuncte , nu rezultă că diferența lor este constantă pe această mulțime.
Exemplu. Fie funcțiile
1, 0,2, : 0, , , ( ) , ( )221, ,2tgx x
f g f x tgx g x
tgx x
.
Avem
21'( ) '( ) , 0, ,cos 2 2f x g x x Dx , dar funcția nu este constantă pe
D.
Consecința 3. Fie o funcție definită pe o vecinătate V a punctului
0x , derivabilă pe
0\xV
și conti nuă în
0x . Dacă există limita
)( lim
0xf
xx
, atunci
)(0xf există și
)(0xf . Dacă
este finită, atunci este derivabilă în
0x .
Teorema 2.3.8 ( Teorema lui Cauchy) Fie două funcții Rolle pe intervalul compact
ba, ,
astfel încât
bax xg , ,0)( , atunci există un punct
bac , , astfel încât
)( )()( )(
)()(
agbgaf bf
cgcf
. (C. Năstăsescu, 200 1)
Demonstrație : Din condiția
bax xg , ,0)( , deducem că
)( )( bg ag , deoarece ,
dacă presupunem prin absurd că
)( )( bg ag , aplicând teorema lui Rolle funcției g
),(bac
, astfel încât
0)(cg ,ceea ce este o contradicție cu ipoteza.
Considerăm funcția auxiliară
:[ , ] , ( ) ( ) ( ),F a b F x f x k g x k
și determinăm
constanta k astfel ca F(a) = F(b).
Din F(a) = F(b)
)( )( )( )( bgkbf agkaf
)( )()( )(
agbgaf bfk .
Pentru
)( )()( )(
agbgaf bfk funcția F satisface condițiile teoremei lui Rolle
),(bac , astfel
încât
0)(cF . Dar
)( )( )( xgkxf xF
),(bac , astfel încât
kcgcf
)()(
),(bac
, astfel încât
)( )()( )(
)()(
agbgaf bf
cgcf
.
Teorema 2.3 .9. (Teorema lui Darboux). Dacă f’ este derivata unei funcții derivabile f pe un
interval I, atunci derivata f’ are proprietatea lui Darboux pe acest i nterval.
92
2.4. Probleme de optimizare
Unele dintre cel e mai importante aplicații ale calculului diferențial sunt probleme le de
optimizare, în care ni se cere să găsim modul optim de a face ceva. Aceste probleme pot fi
reduse la găsirea valorilor maxime sau minime ale unei funcții. Astfel procesul de a găsi
maxime sau minime se numește optimizare. Multe probleme practice impun să se afle cel mai
mare profit, cel mai mic cost, cel mai puțin timp, cea mai mare tensiune, dimensiunea optimă,
cea mai mică forță, cea mai mare suprafață, cea mai mare distanță sau să se găsească cumva cel
mai bun rezultat posibil al unei situații. În rezolvarea unor astfel de probleme practice, cea mai
mare provocare este adesea convertirea problemei într -o problemă de optimizare matematică prin
configurarea funcției care urmează să fie maximizată sau minimizată.
Etapele orientative pentru rezolvarea unei probleme de optimizare sunt:
1. Înțelegerea problemei. Citirea problemei și înțelegerea a ceea ce este dat și ce cantitate
necunoscută trebuie optimizată.
2. Desenarea unei diagrame. În cele mai multe probleme , este utilă desenarea unei
diagrame și identificarea cantităților date și cerute pe diagramă.
3. Introducerea notațiilor. Alocarea unui simbol cantită ții care trebuie maximizată sau
minimizată ( numit deocamdată Q ). De asemenea, se se lectează simboluri (a, b, x, y, ….)
pentru alte cantități necunoscute și se etichetează diagrama cu aceste simboluri. Poate
ajuta folosirea inițialelor ca simboluri sugestive, de exemplu, A pentru arie, h pentru
înălțime, t pentru timp.
4. Exprimarea lui Q în termenii unora dintre celelalte simboluri de la pasul 3.
5. Dacă Q a fost exprimată ca o funcție de mai mult de o variabilă în pasul 4, se utilizează
informațiile date pentru a găsi relații ( sub formă de ecuații ) printre aceste variabile.
Apoi se foloses c aceste ecuații pentru a elimina toate variabilele, cu excepția uneia dintre
acestea în expresia pentru Q. Astfel Q va fi exprimat ca o funcție de o variabilă x, se
spune . Se scrie domeniul acestei funcții.
6. Se calculează derivata funcției și se află punctele critice, urmând a fi evalueată funcția în
punctele critice și în capetele intervalui pentru a găsi valoarea maximă sau minimă
absolută a lui ( pentru a găsi soluția optimă ).
Exemple:
1. Maximizarea ariei. Care sunt dimensiunile unui dr eptunghi cu perimetrul egal cu 20 cm
pentru a avea suprafață maximă?
Aceast ă problemă este culeasă din referința [23] (Stewart, 2012) .
93
Soluție: Fie x, y dimensiunile dreptunghiului așa cum se arată în Fig. 98 .
Fig. 98
Acum condiția este ca perimetrul să fie 20 cm.
Cum , avem , unde și ,
deoarece ambele valori sunt nenegative.
Aria dreptunghiului este , iar aceasta trebuie scrisă aria într -o singură variabilă.
Prin urm are folosind condi ția se găsește .
Apoi se rescrie aria, .
Funcția care trebuie maximizată este , iar domeniul lui A va fi .
Derivata lui A este . Egalând deriva ta cu 0 se obține
este un punct critic. Se observă că se află în domeniu.
Acum se evaluează funcția în punctul critic și în capetele domeniului, și se obține :
.
Aria maxim ă este 25 cm2 când . Înlocuin d în se obține .
2. Maximizarea volumului. Dintr -o bucată subțire de carton 8 cm pe 8 cm sunt tăiate colțurile
pătrate astfel încât laturile să poată fi pliate pentru a face o cutie. Ce dimensiuni va avea o cutie
de volum maxim? Care este volumul maxim?
Aceast ă problemă este culeasă din referința [2] (M. L. Bittinger, 2012) .
Soluție: Se notează cu x cm lungimea laturii fiecărui pătrat ce trebuie tăiat. După
eliminarea pătratelor mai mici lungimile laturilor cu tiei vor fi cm pe cm, după
cum se vede în Fig. 99
Fig. 99
94
După ce cele patru pătrate mici sunt eliminate și laturile sunt pliate, volumul V al cutiei
rezultate este sau
.
Deoarece și cum este nevoie de a maximiza funcția
pe intervalul .
Pentru a face acest lucru, se găsește mai întâi :
.
Deoarece există pentru ori ce x din intervalul se poate egala cu 0 pentru a găsi
punctele critice :
sau
sau
sau .
Singurul punct critic în intervalul este
.
Acum se poate folosi derivata a doua pentru a determina dac ă există
un maxim. Deoarece (
)
, rezultă că (
) este maxim.
Astfel pentru a maximiza volumul cutiei, pătratele mici cu margini car e măsoară
cm sau
cm, trebuie să fie tăiate din fiecare colț al piesei originale de carton cu lungimea laturii de
8 cm. Când laturile sunt pliate în sus, cutia rezultată va avea laturi de lungime
cm și înălțime de
cm.
Volumul maxim este (
) (
)
(
)
cm3.
3. Minimizarea timpului. Un bărbat își lansează barca dintr -un punct A de pe malul drept al
unui râu, lat de 3 km, și vrea să ajungă la un punct B, la 8 km în aval pe malul opus cât mai
repede posibil. ( a se vedea Fig. 100 ) El poate vâsli direct peste râu la punctul C și apoi merge la
B, sau poate vâsli direct la B, sau poate vâsli până la un anumit punct D între C și B și apoi
merge la B. Dacă el poate vâsli cu 6 km/h și merge cu 8 km/h. Unde ar trebui să debarce pentru a
ajunge cât mai repede posibil în punctul B ? ( Se presupune că viteza apei este neglijabilă în
comparație cu viteza de vâslire a omului.)
Aceast ă problemă este culeas ă din referința [23] (Stewart, 2012) .
95
Fig. 10 0
Soluție: Fie x distanța dintre C și D, atunci distanța de mers pe jos este , iar
Teorema lui Pitagora dă distanța de vâslire, √ . Se folosește ecua ția :
.
Atunci timpul de vâslire este √ și timpul de mers este , deci timpul total T ca
funcție de x este :
√
.
Domeniul acestei funcții T este ]. Se observă că dac ă , el vâslește spre C, iar dacă
, el vâslește direct spre B. Derivata lui T este :
√
.
Astfel, folosind faptul că , rezultă
⇔
√
⇔ √ ⇔ ⇔ ⇔
√ .
Singurul punct critic este √ . Pentru a vedea dacă minimul apare în acest punct critic sau
în capetele domeniului ], se calculează valoarea lui T în toate aceste trei puncte :
(
√ ) √
√
.
Deoarece cea mai mic ă dintre aceste valori ale lui T este pentru √ , valoarea minimă
absolută a lui T trebuie să apară acolo. În Fig. 101 este ilustrat graficul funcției T.
96
Fig. 101
Astfel bărbatul ar trebui să acosteze într -un punct situat la √ km ( aproximativ 3,4 km ) în
aval față de punctul de plecare.
Următoarele probleme au fost culese din referința [32] (Max -Min) .
4. Într-o piramidă hexagonală regulată lungimea muchiei laterale este de 1 cm. Care trebuie să
fie lungimea laturii bazei pentru ca volumul piramidei să fie maxim?
Aflați volumul maxim al piramide i. (Max -Min)
Soluție:
Fig. 102
Metodă I
Fie H= VO=x
1;0 înălțimea piramidei, atunci
R=
21x . Deoarece într -un hexagon regulat lungimea laturii este egală cu R
AB
= a6= R=
21x
Volumul piramidei este egal cu
VVABCDEF =
31 Abazei ∙ H =
) (23) 1(23
23 3
31643
313 22 2
xx x x xaxa
Deci se obține funcția =
) (233xx , unde x
(0, 1)
Se cercetează această funcție cu ajutorul derivatei, calculând :
) 31(23)(2x xV
97
Rezolvând ecuația
)(xV =0
0) 31(232x
312x
1,23
3x .
Convine doar soluția
303x .
Tabel de variație
x
0
31 l
)('xV
+ + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – – – – –
)(xV
31
Deoarece
)(xV trecând prin
33 își schimbă semnul de la + la – rezultă, că
x=
33 este unicul punct de maxim pe intervalul (0, 1) . Deci piramida va avea v olumul maxim
pentru x=
33 , iar volumul maxim va fi
Însă , deci înălțimea piramidei este de
33 și se poate afla lungimea laturii bazei
a6 =R =
32)33(1 12 2x
Deci l ungimea laturei bazei pentru ca volumul piramidei să fie maxim este de
32 , iar volumul
maxim este de
31
Metoda II
Fie x lungimea laturii bazei (mărimea necunoscută din problemă)
R=a6 =x
H =
21x
Vpiramidei =
31 Abazei ∙ H =
2 2 22
1231643
31x x xx
Se obține funcția
2 2123x x
Derivata funcției este ;
31
93
932
23))33(33(23)33(3 V
23
23 2
13 2
23
1) 1(2
23)(
xx x
xx x xxV
)
1) 1(2(23)
12212(23)(
23 2
22 2
xx x x
xxx x x xV
98
Se rezolvă ecuația:
0)(xV
0 10 3 2
23
xx x
x(2-3×2)=0
1
20
2
3x
x
1
2,30
2
3x
x
Convine doar soluția x=
2
3 .
Tabel de variație
x
0
32 l
)('xV
+ + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – – – – –
)(xV
31
Deoarece
)(xV trecând prin
32 își schimbă semnul de la + la – rezultă, că
x=
32 este unicul punct de maxim pe intervalul (0, 1) . Deci piramida va avea volumul
maxim pentru x=
32 , iar volumul maxim va fi de
V(
32 )=
31
31
33
31
33
32132
23)32(1 )32(232 2
Comparand aceste 2 metode observăm că, notând înalțimea prin x, s-a obținut o funcție mai ușor
de derivat și de aflat punctul de maxim, pe cînd în al doilea caz s -a obținut o funcție mai greu
de derivat și de aflat punctul de maxim.
Concluzie: Nu întotdeauna variabila funcției pe care o studiem reprezintă mărimea necunoscută
din problemă. Se consideră variabila acea mărime, pentru car e se obține o funcție mai ușor de
studiat cu ajutorul derivatei.
5. Într-un triunghi dreptunghic cu lungimea ipotenuzei de 24 cm și măsura unui unghi ascuțit de
60o este înscris un dreptunghi, baza caruia se află pe ipotenuză. Care sunt lungimile laturil or
dreptunghiului, pentru ca aria dreptunghiului să fie maximă. (Max -Min)
99
Soluție:
Fig. 103
Fie
x PQ MN
x PC 2 , iar QC=PC∙ cos300 = 2x ∙
23 = x√ .
BMN – dreptunghic
MN = x
otgBMMN60
3BMx
3xBM
Deci
cm BC 24
3xBM
3
324 24 xxCQ BM MQ
3x CQ
Atunci AMNPQ = MN ∙ MQ = x( 24 –
x x x x x 24
34)
3424( )3
31(2
Se obțin e: =
x x 24
342 , unde a- functie de gradul II
Deoarece x > 0 , x <
AK ,
362431212AK
x
(0; 6√ )
Se află
a'(x) =
24
38 x
Rezolvând ecuația
'( )Sx = 0
24
38 x =0
24
38x
x = 3√
Tabel de variație
x
0
33
36
'( )ax
+ + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – – – – –
()ax
336
Deoarece
'a trecând prin 3
3 își schimbă semnul de la + la – rezultă, că x= 3
3 este unicul
punct de maxim pe intervalul (0; 6 √ ). Deci a își atinge valoarea maximă în punctul x= 3
3 ,
iar aria maximă a dreptunghiului va fi :
100
maxa = a(3√ ) = 36
3
Deci √ cm
333
33324 MQ = 24 – 3 – 9 = 12 cm
Așadar, l aturile dr eptunghiului sunt de 3 √ cm si 12cm, iar aria maximă a dreptunghiului este
36
3 cm2.
6. Într-o sferă e înscris un con cu volumul maxim. Să se determine raportul dintre raza sferei și
înălțimea conului. (Max -Min)
Soluție:
Fig. 104
Fie raza sferei este R, iar
x AO1
1OO =
2 2x R
Hconului =
1VO =
2 2x R +R
Atunci volumul conului va fi:
Vcon=
31 Abazei∙ H =
31
x2 ∙ (
2 2x R +R) ==
31
∙x2∙(
2 2x R +R)
Se obține funcția:
V(x) =
31
∙x2∙(
2 2x R +R), unde x
(0,R)
Se cercetează funcția V(x) cu ajutorul derivatei, calculând
=
31
(x2
2 2x R +x2R)' =
31
( 2x
2 2x R +x2∙
2 222
x Rx
+2xR) =
=
31
(
xR
x Rx x Rx2) (2
2 23 2 2
) =
31
∙
2 22 2 3 3 22 2 2
x Rx RxR x x xR
=
31
2 22 2 3 2
RR 2 3 2
xx xR x xR
=
31
x
2 22 2 2 2
RR2 3 2
xx R x R
Se rezolvă ecuația
2 2 2 22 3 2 0R x R R x
2R
2 2x R = 3×2-2R2
Cu condiția de compatibilitate 3 x2-2R2
0 4R2(R2-x2) =(3 x2-2R2)2
4R4 – 4R2x2 = 9×4 – 12×2 R2 + 4R4
9×4 – 8×2 R2 = 0
101
x2 (9×2 -6R2) =0
980
2
2 Rxx
3220
Rxx
Convine doar soluția
22
3Rx
Tabel de va riație
x
0
32 2R R
)('xV
+ + + + + + + + + 0 – – – – – – – – – – – – – –
)(xV
22
3RV
Deci x=
32 2R – punct de maxim, H=
R RRRRRRR34
3 9 982 2
2
Se ia raportul :
Așadar ,
.
102
CAPITOLUL 3. Reprezentarea grafică a funcțiilor
3.1. Rolul derivatei întâi în studiul funcțiilor
Teorema 3.1.1. Fie
:fI
o funcție derivabilă pe intervalul I.
Dacă
'( ) 0,f x x I este strict crescătoare pe I.
Dacă
'( ) 0,f x x I este strict descrescătoare pe I. (M. Burtea, 2001)
Demonstraț ie : Fie
12xx două puncte din I. Aplicând teorema lui Lagrange pe
12,xx , se
deduce că există un punct
12,xx , astfel încât să avem :
2 1 2 1 ' f x f x x x f .
Dacă este strict pozitivă pe I, avem
2 1 2 1 ' 0 0 x x f f x f x sau
21f x f x
, adică este strict crescătoare pe I.
Dacă este strict negativă pe I, avem
2 1 2 1 ' 0 0 x x f f x f x sau
21f x f x
, adică este strict descresc ătoare pe I.
Observații:
1. Dacă
'( ) 0,f x x I este crescătoare pe I, iar, dacă
'( ) 0,f x x I este
descrescătoare pe I.
2. Dacă derivata nu se anulează pe I, atunci este strict monotonă pe I.
Demonstrație :
Fie
12xx două puncte din I (putem presupune că
12xx ). Aplicând teorema lui
Lagrange pe
12,xx se deduce că există un punct
12,xx , astfel încât să avem
2 1 2 1 ' f x f x x x f .
Din
21 0 xx și
'0f este injectivă pe I , și, cum este continuă pe I,
este
strict monotonă pe I.
Teorema 3.1.2. Fie
:fI
o funcție derivabilă pe intervalul I.
Dacă este crescătoare pe I, atunci
'( ) 0, .f x x I
Dacă este descrescătoare pe I , atunci
'( ) 0, .f x x I
Demonstra ție:
Presupunem că este crescătoare pe I. Atunci pentru oricare x și x0 din I, , avem
Rezultă că
00
0( ) ( )lim 0
xxf x f x
xx , deci
Observație: Dacă este strict crescă toare pe intervalul I, nu rezultă în mod necesar că
103
Exemplu: Func ția
5: , ( )f f x x
este strict cresc ătoare pe
, dar
'45 f x x se
anuleaz ă în x=0.
Pentru stabilirea intervale lor de monotonie se procedează astfel :
1. Se stabilesc punctele în care funcția nu este derivabilă și se calculează derivata ;
2. Se determină punctele în care se anulează derivata (punctele critice ) ;
3. Se determin ă semnul derivatei pe intervalele pe care nu se an ulează ;
4. Rezultatele precedente se așeaz ă într -un tablou, în care pe prima linie se precizează
domeniul de definiție, punctele în care derivata se anulează și punctele în care funcția nu
este derivabilă. A doua linie conține precizarea semnului derivatei, i ar prezența unei bare
verticale indică faptul că în acel punct funcția nu este derivabilă. În ultima linie se pun
valorile (limitele) funcției în punctele remarcabile din prima linie. Săgeata în sus (în jos)
indică faptul că funcția este crescătoare ( desc rescătoare). O bară verticală sau o zonă
hașurată indică faptul că în acel punct (în acea zonă ) funcția nu este definită.
(C. Năstăsescu, 2001)
Folosind semnul derivatei întâi putem determina punctele de extrem ale funcțiilo r.
Propoziția 3.1.1. Fie funcția
:fD
, x0 punct de continuitate din interiorul lui D și
'':ffD
derivata func ției
a) Dacă pe o vecinătate a punctului x0, în stânga lui x0 derivata este negativă, iar în
dreapta lui x0 derivata este pozitivă, punctul x0 este punct de minim al funcției
b) Dacă pe o vecinătate a punctului x0, în stânga lui x0 derivata este pozitivă, iar în
dreapta lui x0 derivata este negativă, punctul x0 este punct de maxim al funcției
Propoziția 3.1.2. Fie funcția
:fD
, x0 un punct de continuitate al funcției din interiorul
lui D, x0 este extremitatea stângă a unui interval I ⸦ D pe care nu se anuleaz ă și x0 nu e
extremitatea dreaptă a niciu nui interval inclus în D.
Dacă pe I, atunci x0 este punct de minim.
Dacă pe I, atunci x0 este punct de maxim.
Propoziția 3.1.3. Fie funcția
:fD
, x0 un punct de continuitate al funcției din interiorul
lui D, x0 este extremitatea dreapt ă a unui interval I ⸦ D pe care nu se anuleaz ă și x0 nu e
extremitatea stângă a niciunui interval inclus în D.
Dacă pe I, atunci x0 este punct de maxim.
Dacă pe I, atunci x0 este punct de minim.
104
3.2. Rolul d erivatei a doua în studiul funcțiilor
Teorem a 3.2.1 . Dacă este o functie convexă pe I și c este un număr real, atunci
/ , ( )x x I f x c
este un interval (mulțimea vidă și mulțimea cu un singur element sunt priv ite
ca intervale particulare).
Dem onstrație :Fie
,,a b I a b care satisfac
()f a c ,
()f b c și
1x t a tb ,
0.1t .
Deoarec e f este convexă, găsim
1 1 1 .f t a tb t f a f b t c c c Astfel
orice punct x dintre a și b satisface
, xc când a și b satisfac această inegalitate.
Teorem a 3.2.2 . Orice funcție convexă
:fI
(I interval) este continuă în orice punct
interior lui I.
Demonstrație : Fie
0x din interiorul lui I . Alegem c astfel încât mulțimea
/ , ( )x x I f x c
să conțină intervalul
00, xx . Fie
0
00, , 0 1xxx x x t t și
0 0 0 0 0 011,, a x x x b x x x x xtt
.
Avem
0 0 0 ( ) ((1 ) ) (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ,f x f t x ta t f x tf a t f x tc
011( ) ( ( ) )1 1 1tf x f x b f x tct t t .
Acestea implică
0
00()( ) ( )c f xf x f x x x
00 lim ( ) ( )
xxf x f x
.
Observație: Dacă
0x nu este interior lui I, concluzia teoremei poate să nu fie adevărată.
Exemplu:
Funcția
: 0,1f
0, 0,1()1, 0,1xfxx .
este convexă, dar nu este continuă în 0 și 1.
Teorem a 3.2.3 . (Criteriu de convexitate). Fie I un inte rval deschis și
:fI
o funcție de
două ori derivabilă pe I. Funcția este convexă pe I dacă și numai dacă
( ) ( ) '( ), ,f b f a b a f a a b I .
Cu alte cuvinte , este convexă dacă și numai dacă dreapta tangentă la graficul funcției se află
sub grafic.
105
Demonstrație :“
” Din
1 1 , , , 0,1f t a tb t f a f b a b I t
( ( )) ( )( ) ( )f a t b a f af a f bt
.
Trecând la limită, găsim
0( ( )) ( )lim ( ( ) ( ) '( ) ( ) ( ).totf a t b a f a df a t b a b a f a f b f at dt
“
”
Presupunem că
( ) ( ) '( ) ( ), ,f a b a f a f b a b I . (1)
Schimbând pe a cu b ,deducem
( ) ( ) '( ) ( ), ,f b a b f a f a a b I
. (2)
Fie
( ), 0,1 c a t b a t . Înlocuind în (1) pe a cu c și înmulțind cu t, iar în (2 ) pe b cu c și
înmulțind cu 1- t,
1 1 , , , 0,1 .f t a tb t f a tf b a b I t
Teorem a 3.2.4 . (Criteriu de con cavitate ). Fie I un interval deschis și
:f I R o funcție de
două ori derivabilă pe I. Funcția este concavă pe I dacă și numai dacă
( ) ( ) '( ), ,f b f a b a f a a b I
.
Cu alte cuvinte , este concavă dacă și numai dacă dreapta tangentă la graficul funcției se află
deasupra grafic ului.
Demonstrație : Se înlocuiește în teorema anterioară cu – .
Teorem a 3.2.5 . (Criteriu de convexitate). Fie I un interval și o funcție
:fI
derivabilă
de două ori pe I. Funcția este convexă pe I dacă și numai dacă
"( ) 0, .f x x I
(M. Burtea, 2001)
Demonstrație : “
” Presupunem că este convexă , adică f(a) +(b -a)f’(a)
f(b),
,.a b I
Conform teoremei lui Lagrange
, c a b ,astfel încât f(b)-f(a)=f’(c)(b -a)
f’(a)
f’(c) , deci este crescătoare
" 0, .f x I
“
” Reciproc, să presupunem f”(x)
0 ,
xI .
Considerăm funcția
: , ( ) f f’ ( ).g I g x a x a a f x
Din teorema lui Lagrange
'( ) f' '( ) "( )( ),g x a f x f c a x a c x
'( ) 0, ,g x x a
adică g este descrescătoare la dreapta lui a și
'( ) 0, ,g x x a adică este
crescătoare la stânga lui a . În plus g(a)=0 , rezultă
f f’ ( )a x a a f x .
Observație : Dacă
0
xI atunci este strict convexă. Reciproca nu este adevărată.
106
Teorem a 3.2.6 . (Criteriu de con cavitate). Fie I un interval și o funcție
:fI
derivabi lă
de două ori pe I. Funcția este concavă pe I dacă și numai dacă
"( ) 0, .f x x I
Demonstrație: Se înlocuiește în teorema anterioară cu
Teorem a 3.2.7 . Dacă funcția
:fI
este convexă, atunci orice punct de minim local este și
punct de minim global pe intervalul I pentru funcția f.
Teorem a 3.2.8. Dacă o funcție convexă
:fI
are un punct de maxim global în interiorul
lui I, atunci este o constantă.
Observație : Dacă funcția convexă nu este o constantă, punctele de maxim global sunt eventual
extremitățile lui I. Evident într -un astfel de punct derivat a întâi a lui nu se anulează.
Definiție 3.2.1. Fie o funcție
:fI
și x0 un punct interior intervalului I. Spunem că x0 este
punct de inflexiune pentru funcția , dacă f este continuă în punctul x0 , are derivată în punctul
x0 (finită sau infinită) , iar imaginea geometrică a graficului funcției este convexă (concavă) de o
parte a lui x0 , și concavă (co nvexă) de cealaltă parte a lui x0.
Se spune că ( x0, (x0)) este un punct de inflexiune pentru graficului funcției
Propoziția 3.2.1. Fie funcția
:fI
și x0 un punct interior intervalului I , astfel încât :
1. este de dou ă ori deri vabilă într -o vecinătate V a lui x0;
2. există punctele , astfel încât ;
3. ;
4. și
sau invers și .
Atunci x0 este punct de inflexiune al funcției
Propoziția 3.2.2. Fie f o funcție derivabilă de două ori in punctul
0, xI astfel încât
00'( ) 0 si "( ) 0 f x f x
.
1. Dacă
0"( ) 0fx
0x punct de maxim.
2. Dacă
0"( ) 0fx
0x punct de minim.
107
3.3. Asimptote la graficul unei func ții
Definiția 3.3.1. Fie o funcție
:fI
pentru care +∞, respextiv -∞ sunt puncte de acumular e
ale mulțimii I.
Dreapta y=a se numește asimptotă orizontală spre +∞ a funcției , dacă
lim ( ) .
xf x a
Dreapta y=a se numește asimptotă orizontală spre -∞ a funcției , dacă
lim ( ) .
xf x a
Observație : Problema asimptotelor oriz ontale pentru o func ție
:fI
se pune numai la -∞ și
la +∞ și numai dacă +∞ și -∞ sunt puncte de acumulare ale mulțimii I.
Definiția 3.3.2 . Fie o funcție
:fI
pentru care +∞, respectiv -∞ sunt puncte de acumular e
ale mulțimii I.
Se spune că graficul funcției admite asimptotă oblică spre +∞ , dacă există
,mn
,
astfel încât
lim ( ) 0.
xf x mx n
Dreapta de ecuație y=mx+n se numește asimptotă oblică
spre +∞ la graficul funcției
Se spune că graficul funcției admite asimptotă oblică spre -∞, dacă există
,mn
,
astfel încât
lim ( ) 0.
xf x mx n
Dreapta de ecuație y=mx+n se numește asimptotă oblică
spre -∞ la graficul funcției
Teorema 3.3.1. Fie o funcție
:fI
pentru care +∞, respectiv -∞ sunt puncte de
acumulare ale mulțimii I. Graficul funcției admite asimptotă oblică spre +∞ ( -∞) dacă și
numai dacă există
,mn
, astfel încât
()()lim
xfxmx și
()lim ( ( ) )
xf x mx n
.
Dreapta de ecuație y=mx+n este atunci asimptotă oblică la graficul funcției .
Observație : O func ție nu poate avea simultan asimptotă orizontală și asimptotă oblică spre +∞,
respectiv -∞.
Definiția 3.3.2 . Fie o funcție
:fI
și
0x
un punct de acumulare finit pentru mulțimea
I. Dreapta x=x 0 este asimptotă verticală la stânga la graficul funcției dacă
0 0 0 0,,lim ( ) lim ( )
x x x x x x x xf x sau f x
.
Dreapta x=x 0 este asimptotă ve rticală la dreapta la graficul funcției dacă
0 0 0 0,,lim ( ) lim ( )
x x x x x x x xf x sau f x
.
Dacă ambele limite laterale ale funcției în x0 sunt infinite, dreapta x=x 0 se numește
asimptotă verticală bilaterală. (M. Burtea, 2001)
108
3.4. Etapele reprezentării geometrice a graficului unei funcții
Pentru reprezentarea geometric ă a graficului funcțiilor elementare s -a folosit metoda
coordonatelor (prin puncte) și unele proprietăți specifice ale acestor funcții. În cazul funcțiilor
compuse es te necesar un studiu mai profund în vederea reprezentării grafice a acestora. De aceea
se parcurg următoarele etape :
1. Domeniul de definiție al funcției
Domeniul de definiție trebuie determinat ca fiind mulțimea de puncte pentru care au sens
toate operați ile din prezentarea funcției. Această mulțime reprezintă domeniul maxim de
definiție.
Dacă funcția este periodică, atunci este suficient să fie studiată pe un interval de lungime
egală cu perioada principală (dacă aceasta există).
Dacă funcția este pară s au impară, atunci este suficient studiul pe partea pozitivă a
domeniului de definiție. Pentru funcțiile pare , graficul admite axă de simetrie axa oy, iar pentru
funcțiile impare , graficul admite originea O centru de simetrie.
2. Intersecția graficului cu ax ele de coordonate
Punctele de intersecție cu axa ox sunt punctele de coordonate (a,0) , unde a este un punct
din domeniu de definiție, soluție a ecuației
Dacă 0 se află în domeniul de definiție al funcției, atunci punctul de intersecție cu axa oy are
coordonatele
3. Asimptotele graficului funcției
Asimptotele verticale vor apărea în punctele de acumulare ale domeniului de definiție și
în care cel puțin o limită lateral ă este infinită.
Atunci când este cazul, se studiază existența limitelo r funcției la +∞ și -∞. Se stabilesc
cu această ocazie eventualele asimptote orizontale la grafic. Atunci când nu s -a găsit asimptotă
orizontală , se studiază existența asimptotei oblice.
4. Studiul funcției folosind prima derivată
Se stabilește dacă, pe anu mite intervale, continuitatea funcției rezultă din operațiile cu
funcții elementare continue. În punctele de acumulare ale domeniului de definiție (aparținând
domeniului) și în care nu se poate proba continuitatea cu argumentarea precedentă, se
procedează la studierea limitei, a limitelor laterale și se trag concluziile ce se impun privind
continuitatea funcției. Se studiază ex istența limitei ( a limitelor laterale ) în punctele de
acumulare ale domeniului de definiție și care nu aparțin domeniului.
Se dete rmină domeniul de derivabilitate al funcției. Se pun în evidență punctele în care
funcția nu este derivabilă și dacă aceste puncte sunt puncte unghiulare sau de întoarcere. Se
109
calculează derivata, se află rădăcinile derivatei și se determină semnul acestei a. Se stabilesc
intervalele de monotonie și punctele de extrem ale funcției.
5. Studiul funcției folosind a doua derivată
Se calculează derivata a doua, rădăcinile și domeniului de existență al acesteia. Se
stabilesc intervalele de convexitate și de concavi tate și punctele de inflexiune.
6. Tabelul de variație al funcției
Rezultatele obținute în etapele anterioare sunt sistematizate într -un tabel numit tabelul de
variație al funcției. Pe prima linie se trece domeniul de definiție ( sau de studiu ) și valorile
remarcabile ale lui x (zerourile funcție, derivatei întâi și derivatei a doua etc. )
Pe a doua linie se trece semnul derivatei întâi , iar pe a treia linie semnul derivatei a doua. Pe
linia a patra se trec limitele funcției la capetele domeniului de defin iție ( sau de studiu ),
monotonia funcției, convexitatea și concavitatea, valorile funcției în punctele remarcabile ale
domeniului etc. În punctele corespunzătoare asimptotelor verticale, se traversează o linie
vertical ă, iar lângă ea, pe linia corespunzăt oare funcției, se trec limitele laterale. Punctele de
nederivabilitate se marchează , de asemenea, cu o bară verticală pe linia corespunzătoare
derivatei, cu precizarea derivatei laterale. Se procedează la o anumită marcare, spre exemplu prin
hașurare, a intervalelor în care funcția nu este definită.
7. Trasarea graficului funcției
Pe sistemul ortogonal de axe de coordonate xoy se reprezintă asimptotele funcției,
punctele de intersecție ale graficului cu axele, punctele de extrem, punctele unghiulare, de
întoarcere sau de inflexiune. Punctele remarcabile ale graficului funcției se unesc cu o linie
curbă, respectând toate rezultatele sintetizate în tabelul de variație. (M. Burtea, 2001)
Exemple: Să se reprezinte grafic următoarele funcții, pe domeniul maxim de definiție.
1.
2( ) 1f x x x
1. Domeniul de definiție:
Cum,
22
2
221 1 01
1 1 0x dac ăxx
x dacăx
avem
2
21 ( , 1) (1, )()
1 1,1x x dac ăxfx
x x dac ăx
Așadar,
:f
, rezultă că
fD
.
2. Intersecția graficului cu axele de coordonate :
( ) 0fG ox f x
210xx
110
221 | (1, )x x dac ăx
221xx
rezultă că 0=1 , deci ecuația nu are soluție ;
2 2 2 2 2 2 2 121 0 1 | , (0,1] 1 2 122x x x x dac ăx x x x x x
Cum
2(0,1]2xx , deci
2,02fG ox A
.
(0, (0)) (0,1).fG oy B f B
3. Asimptotele graficului funcției :
22
2
221 1 1lim 1 lim lim 0
11x x xxxxx
x x x x
, rezult ă că y=0 este asimptotă
orizontală la +∞
2lim 1
xxx
, deci funcția nu are asimptot ă orizontală la -∞.
Fie y=mx+n,
22 2
2111 1 1 1
( ) 1 1lim lim lim lim lim 1 1 1 2
x x x x xxxxx f x x xmx x x x x
22
22
221 1 1lim ( ) lim 1 2 lim 1 lim lim 0
11x x x x xxxn f x mx x x x x x
x x x x
Deci y=-2x este asimptotă oblică la -∞.
Cum
2
1, 1 1, 1lim ( ) lim 1 1,
x x x xf x x x
2
1, 1 1, 1lim ( ) lim 1 1,
x x x xf x x x
2
1, 1 1, 1lim ( ) lim 1 1,
x x x xf x x x
2
1, 1 1, 1lim ( ) lim 1 1,
x x x xf x x x
rezultă că f uncția nu are asimptote verticale.
4.Studiul funcției folosind prima derivată :
Cum
1, 1 1, 1lim ( ) lim ( ) ( 1) 1
x x x xf x f x f
, rezult ă că funcția este continuă în punctul x= -1;
cum
1, 1 1, 1lim ( ) lim ( ) (1) 1
x x x xf x f x f
, rezult ă că funcția este continu ă în punctul x=1.
111
Funcția f este continuă pe
întrucât în restul domeniului de definiție este continuă, ea fiind
reprezentată prin operații cu funcții elementare.
2
212 1 ( , 1) (1, )
21'( )1( 2 ) 1 ( 1,1)
21x dacăx
xfx
x dac ăx
x
2
21 ( , 1) (1, )
1'( )
1 ( 1,1)
1xdacăx
xfxxdacăx
x
Cum
'
2 1, 1( 1) lim 1
1sxxxf
x
,
'
2 1, 1( 1) lim 1
1dxxxf
x
, rezult ă că f nu este derivabilă în x=-1.
Cum
'
2 1, 1(1) lim 1
1sxxxf
x
,
'
2 1, 1(1) lim 1
1dxxxf
x
, rezult ă că f nu este derivabilă în x=1.
Așadar,
' 1,1fD
, iar -1 și 1 sunt puncte de întoarcere.
2
' 2 2 2
221( ) 0 1 0 0 1 0 1 | , (1, )
11x x xf x x x x x dac ăx
xx
221 0 1( ) x x fals
sau
2
2 2 2
2211 0 0 1 0 1 | , ( 1,0)
11x x xx x x x dac ăx
xx
2 2 2 2 1 2 21 2 1 ( 1,0)2 2 2x x x x x x
√
este punct de extrem (punct de maxim local)
112
5. Studiul funcției folosind a doua derivată :
2
'22 2
''
22 2 2 2 2112
11 21( ) 1 01 1 1 1 1 1x x x
x x x xfxx x x x x x
( , 1) (1, ) f esteconcav ă pe
2
'22 2
''
22 2 2 2 211 1 ( 2 )
11 21( ) 1 01 1 1 1 1 1x x x
x x x xfxx x x x x x
( 1,1) f esteconcav ă pe
22
''
221( , 1) (1, )
11
1( 1,1)
11dacăx
xx
fx
dacăx
xx
.
6. Tabelul de variație :
x
-∞ -1 √
0 √
1 +∞
'( )fx
––– -∞ |∞ +++++ 0 ––––––––––- -∞|∞ +++++ ++
"()fx
–––– | – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – | – – – – – – –
f (x) ∞
√
1 1
M
0 0
-1
113
7. Trasarea graficului funcției :
Fig. 105
2.
1( ) (1 )xf x x e
1. Domeniul de definiție:
Cum
1 1 011 1 0x dac ăxxx dac ăx ,
avem
1
1(1 ) ( ,1)()
(1 ) [1, )x
xx e dac ăxfx
x e dac ăx
.
Așadar,
:f
, rezultă că
fD
.
Funcția nu este impară, pară sau periodică.
2. Intersecția graficului cu axele de coordonate :
( ) 0fG ox f x
1(1 ) 0 1 0 1xx e x x
.
Deci,
1(0, (0)) (0, ).fG oy B f Be
114
3. Asimptotele graficului funcției :
1
111 1 1lim ( ) lim (1 ) lim lim 0x
xxx x x xxf x x eee
1
111 1 1lim ( ) lim(1 ) lim lim 0x
xxx x x xxf x x eee
Deci, y=0 este asimptot ă orizontală la -∞ și +∞.
10
1, 1 1, 1lim ( ) lim (1 ) 2 2x
x x x xf x x e e
10
1, 1 1, 1lim ( ) lim (1 ) 2 2x
x x x xf x x e e
Deci, func ția nu are asimptote verticale.
4.Studiul funcției folos ind prima derivată :
1, 1 1, 1lim ( ) lim ( ) (1) 2
x x x xf x f x f
, rezult ă că funcția este continuă în punctul x=1, și cum
este continuă pe restul domeniului de definiție , ea fiind reprezentată prin operații cu funcții
elementare, obținem că continuă pe
.
0
1 1 10'
1, 1 1, 1 1, 1( ) (1) (1 ) 2 (1 ) 1 2(1) lim lim lim 31 1 1 1x x x
sx x x x x xf x f x e e x efxx
are derivată la stânga în punctul ;
0
1 1 10'
1, 1 1, 1 1, 1( ) (1) (1 ) 2 (1 ) 1 2(1) lim lim lim 11 1 1 1x x x
dx x x x x xf x f x e e x efxx
are derivată la dreapta în punctul ;
este punct unghiular;
''(1) (1)sdff
nu este derivabil ă în x=1, e derivabilă pe
1
, deci, { } .
11
'
11(1 ) 1()
(1 ) 1xx
xxe x e dac ăxfx
e x e dac ăx
1
'
1(1 1 ) 1()
(1 1 ) 1x
xe x dac ăxfx
e x dac ăx
1
'
1( 2) 1()
1x
xx e dac ăxfx
xe dac ăx
115
'1( ) 0 ( 2) 0 2 0 2xf x x e x x
sau
10 0 0 (1, )xxe x x ;
5. Studiul funcției folosind a doua derivată :
11
''
11( 2) 1()
( ) ( 1) 1xx
xxe x e dac ăxfx
e x e dac ăx
1
''
1(1 2) 1()
( 1 ) 1x
xe x dac ăxfx
e x dac ăx
1
''
1( 3) 1()
( 1) 1x
xx e dac ăxfx
x e dac ăx
'' 1( ) 0 ( 3) 0 3 0 3xf x x e x x
'' 1( ) 0 ( 1) 0 1 0 1 (1, )xf x x e x x
6. Tabelul de variație :
x
-∞ -3 -2 -1 0 1 +∞
'( )fx
––– –––––– 0 ++++++++++++++++++++++ 3| -1 ––––
"()fx
–––– 0 ++++++++++++++++++++++++++++++++ | ++++++++
f (x) 2
0 0 0
m
Punctul (
) este punct de inflexiune;
Punctul (
) este punct de minim local.
Punctul D(1,2) este punct unghiular.
116
8. Trasar ea graficului funcției:
Fig. 106
3.
ln()1 lnxfxx
1. Domeniul de definiție:
ln 1 10, ,1 ln()
ln ( ) 1 1, , 01 ln( )xdacăxx e efx
xdacăxx e e
1111 ln 0 ln 1 x x x e xee
;
10,fDe
Cum
( ) ( )f x f x este funcție pară, deci oy este axă de sim etrie a graficului funcției și
putem studia graficul doar pe (0,+∞).
2. Intersecția graficului cu axele de coordonate :
( ) 0fG ox f x
ln0 ln 0 11 lnxxxx ,
Din simetria față de oy , avem x= -1, deci { }.
.
0, 0 0, 01
lnlim ( ) lim 11 1 lnx x x xx xfxx
x
3. Asimptotele graficului funcției :
117
1
lnlim ( ) lim 11 1 lnxxx xfxx
x
y=1 asimptotă orizontală la +∞ și -∞.
0, 0lim ( ) 1
xxfx
x=0 nu este asimptot ă verticală.
1 1 1 1,,ln 1lim ( ) lim1 ln 0 x x x xe e e exfxx
1 1 1 1,,ln 1lim ( ) lim1 ln 0 x x x xe e e exfxx
Așadar,
și
sunt asimptote ver ticale la stânga și la dreapta.
4.Studiul funcției folosind prima derivată :
Funcția este continuă pe
10,e
, ea fiind reprezentată prin opera ții cu funcții elementare.
'
2 221 1 1(1 ln ) ln (1 ln ln )1( ) 0 (0, )(1 ln ) (1 ln ) 1 lnx x x xx x xf x xx x x x
''
20, 0 0, 011(0) lim ( ) lim(1 ln ) 0dx x x xf f xxx
''
2 1 1 1 1,,1
1lim ( ) lim(1 ln ) 0s
x x x xe e e ee xf f xex
''
2 1 1 1 1,,1
1lim ( ) lim(1 ln ) 0d
x x x xe e e ee xf f xex
Așadar,
'10, .
fDe
5. Studiul funcției folosind a doua derivată :
'
2
2''
241 1 1 11 ln 2 (1 ln )
()
1 ln 1 lnxxx x x xfx
xx
2
4 2 31(1 ln )(1 ln 2)3 ln
(1 ln ) (1 ln )xxx x
x x x
118
'' 3
233 ln0 3 ln 0 ln 3(1 ln )xf x x x x exx
, iar prin simetrie , rezult ă că
3xe
este soluție a ecuației
''( ) 0fx .
Func ția nu este de două ori derivabilă în
10, xe .
6. Tabelul de variație :
x
0
1 +∞
'( )fx
|∞ +++++++++++++++++++ ∞|∞ ++++++++++++++++++++++
"()fx
| –––– 0 +++++++++ | –––––––––––––––
f (x) ∞|
|1 1
0
|-∞
și sunt puncte de inflexiune pentru graficul funcției.
7. Trasarea graficului funcției :
Fig. 10 7
119
3.5. Legături între reprezentările grafice ale funcției și ale derivatei
3.5.1. Trasarea graficului derivatei fiind dat graficul funcției
Această secțiune se bazează pe referința [25] (Auburn ).
Dacă o funcție este dată printr -un desen al graficului său, și nu printr -o formulă exactă,
nu se pot găsi valori exacte ale derivatei sale. Cu toate acestea, se p ot găsi valori aproximative
ale derivatei prin trasarea unor linii tangente la grafic, și prin determinarea pantelor aproximative
ale acestora, prin estimarea coordonatelor, perechilor de puncte de pe linii.
Exemplu: Funcția , , are der ivata . Dac ă P este un punct al
graficului atunci panta tangentei la graficul func ției în puctul P reprezintă valoarea derivatei
funcției în abscisa punctului P. Astfel derivata dă panta oricărei tangente la graficul funcției. De
exemplu, dac ă se dorește panta tangentei în punctul , se evaluează derivata pentru abscisa
acestui punct și se obține . În Fig. 108 sunt reprezentate câteva tangente la graficul
funcției , fiecare fiind etichetată cu panta sa.
Derivata are o a doua interpretare. Se poate uita de funcția originală și se
vizualizează funcția ca func ție în sine. Graficul funcției este ilustrat în Fig. 109. Înălțimea
graficului situată deasupra unui număr este dată de valoarea f uncției în acel număr. De
exemplu, înălțimea graficului funcției aflată deasupra lui este ( deci
graficul se află, de fapt, sub număr datorită semnului negativ). Luând ca exemplu, s -au
văzut două moduri de a interpreta (ambele fiind egale cu ). Pe de o parte, este panta
tangentei la graficul funcției originale f în , iar pe de altă parte este înălțimea graficului
derivatei aflată deasupra lui . (Auburn)
Fig. 108 Fig. 109
Observații:
1. Pentru orice număr real , panta graficului funcției în punctul este egală cu
înălțimea graficului funcției în , ambele fiind egale cu . Panta graficului lui în punctul
este panta dreptei tangentă la graficul lui în punctul .
120
2. Dacă funcția este crescătoare pe un interval, atunci funcția este pozitiv ă pe acel
interval. Dacă funcția este descrescătoare pe un interval, atunci funcția este negativ ă pe
acel interval. Teorema lui Fermat ajută în determinarea puntelor de intersecție cu axa , adică
dacă un punct este de maxim sau de minim, atunci .
În exemplul de mai sus, cum funcția , este descrescătoare pe rezultă
că funcția este negativă pe , iar, cum funcția , este crescătoare pe
rezultă că funcția este pozitiv ă pe . Punctul este punct de
minim al graficului funcției, deci . (Auburn)
Exemple :
1. În Fig. 110 este reprezentat graficul funcției , iar în Fig. 111 este reprezentat
graficul derivatei . Pentru fiecare graficul lui are panta , deci la fiecare înălțimea
graficului lui este, de asemenea, .
Fig. 110 Fig. 111
2. În Fig. 112 este reprezentat graficul funcției , iar în Fig. 113 este reprezentat
graficul derivatei . După cum este in dicat, graficul funcției are panta 1 la , panta 0 la
și panta la . Aceste pante sunt înălțimile graficului la , , și
respectiv .
Fig. 112 Fig. 113
3. În Fig. 114 , graficul funcției f este reprezentat cu negru. Pe intervalele
și funcția este descrescătoare, rezultă că graficul funcției va fi situat sub axa ox,
121
iar pe interva lul funcția este crescătoare, deci graficul funcției va fi situate
deasupra axei ox . Punctul este de minim local, iar p unctul de maxim local,
deci graficul funcției va intersecta axa ox în aceste puncte. Cu roșu este trasată aproximarea
graficul derivatei . (Auburn)
Fig. 114
Observație: Derivata este nedefinit ă , pentru orice număr pentru care nu este definită
și, de asemenea, în orice , pentru care graficul lui satisface una din următoarele :
Fig. 115 : punct unghiular Fig. 116 : tangent ă verticală în Fig. 11 7: discontinuă în
Următoarele 3 exemple ilustrează modurile în care o derivată poate fi nedefinită într -un
punct.
Exemple:
1.
Fig. 118 Fig. 119
La st ânga lui 2 graficul lui are panta 1, deci la stânga lui 2 graficul lui are înălțimea 1. În
mod similar, la dreapta lui 2 graficul lui are panta , deci la dreapta lui 2 graficul lui are
122
înălțimea . Punctul este punct unghiular pentru graficul lui , deci nu este definit ă
în .
2.
Fig. 120 Fig. 121
Panta graficului lui este
în și devine din ce în ce mai mare pe măsură ce x se
aproprie de 2 din stânga, deci înălțimea graficului lui este
în și devine din ce în ce
mai mare pe măsură ce x se aproprie de 2 din stânga. Comportamentul celor dou ă grafice la
dreapta lui 2 este similar, dar inversat. În acest caz cele două limite în 2 sunt . În particular
limita nu există, astfel încât nu este definit.
3.
Fig. 122 Fig. 123
Graficul lui are panta la stânga lui 2 și panta 2 la dreapta lui 2, deci graficul lui
are înălțimea la stânga lui 2 și înălțimea 2 la dreapta lui 2.
Pentru , fie astfel,
( )
.
Prin urmare limita nu exist ă și nu este definit. (Auburn)
Exist ă aplicații în care este dat graficul unei funcții, iar sarcina este de a aproxima
graficul derivatei funcției. Una dintre aceste aplicații este referința 28. (Webspace1) .
123
În Fig. 124 graficul funcției este trasat cu negru. Punctele albastre pot fi mutate în sus
sau în jos, astfel încât împreună să urmeze forma aproximativă a graficului derivatei. Pentru
control adevăratul grafic al derivatei este trasat cu roșu. (Webspace1)
Fig. 124
3.5.2 Trasarea graficului funcției fiind dat graficul derivatei
Această referință se bazează pe referința [31] (Tutorial) .
Procesul invers de trasare a unui posibil grafic al func ției , atunci când există graficul
derivatei , se bazează pe următoarele considerații teoretice :
1. Testul primei derivate pentru monotonia funcției
a) Dacă (deri vata este pozitiv ă) pe un interval, atunci este este crescătoare
pe acel interval . Adică, dacă graficul derivatei se află deasupra axei ox, atunci funcția originală
este crescătoare.
b) Dacă (derivata este negativ ă) pe un interval, atunci este descrescătoare pe
acel interval . Adică, dacă graficul derivatei se află sub axa ox, atunci funcția originală este
descrescătoare.
2. Dacă se dă o valoare x lui , astfel încât , va reprezenta valoarea pantei
graficului lui , în punctul x.
3. Testul primei derivate pentru punctele de extrem local
Fie o func ție continuă și un punct astfel încât .
a) Dacă trece de la pozitiv la negativ în punctul c ( pentru și
pentru ), atunci are un maxim local în c ( este maxim local).
b) Dacă trece de la negativ la pozitiv în punctul c ( pentru și
pentru ), atunci are un minim local în c ( este minim local).
124
c) Dacă nu își schimbă semnul în punctul c, atunci nu are nici minim, nici maxim
local în c. În acest caz punctul c va fi punct de inflexiune pentru graficul funcției .
În concluzie, punctul unde graficul derivatei întersectează axa ox, va fi un punct de maxim, un
punct de minim sau un punct de inflexiune pentru funcția originală. (Tutorial)
Exemple:
1. În Fig. 125 este reprezentat graficul derivatei unei funcții . Pentru , avem
, rezult ă că va fi desc rescătoare, iar pentru , avem , rezult ă că va
fi crescătoare. Deorece , avem punct de minim pentru graficul funcției .
În Fig. 126 este reprezentat graficul funcției .
Fig. 125 Fig. 126
2. În Fig.127 este reprezentat graficul derivatei unei funcții . Pentru orice ,
avem , rezult ă că va fi crescătoare pe . Deoarece , și cu nu își
schimbă semnul pe , avem punct de inflexiune pentru graficul funcției .
În Fig. 128 este reprezentată aproximarea graficul funcției .
Fig. 127 Fig. 12 8
3. În Fig. 129 este reprezentat cu roșu graficul al unei funcții . Pe intervalul
graficul lui se află sub axa ox, deci funcția va fi descrescătoare, iar pe intervalul
125
graficul lui se află deasupra axei ox, deci funcția va fi descrescătoare . Cum în
graficul lui intersectează axa ox și trece de la negativ la pozitiv, aceasta înseamnă că
va fi punct de minim pentru graf icul funcției . Pe intervalul graficul lui se
află sub axa ox, deci funcția va fi descrescătoare . Cum în graficul lui intersectează
axa ox și trece de la pozitiv la negativ, aceasta înseamnă că va fi punct de maxim pentru
graficul funcției . Folosind rezultatele anterioare se poate aproxima graficul funcției , acesta
fiind reprezentat cu negru.
Fig. 129
Exist ă aplicații în care este dat graficul derivatei unei funcții, iar sarcina este de a
aproxima graficul funcției. Una dintre aceste aplicații este referința 28. (Webspace1) .
În Fig. 130 graficul lui este trasat cu roșu. Punctele albastre pot fi mutate în sus sau în
jos astfel încât împreună să urmeze forma aproximativă a graficului funcției . Pentru ajutor
sunt puse 3 puncte verzi aflate pe graficul funcției . Pentru control, adevăratul grafic al funcției
este trasat cu negru. (Webspace1)
Fig.130
126
CAPITOLUL 4. OBSERVAȚII METODOLOGI CE
4. 1. Mijloace de organizare a lecțiilor online
Predarea în mod clasic, adică cea tradițională nu are drept rezultat învățarea, decât în
mică măsură. În cadrul acestui tip de predare, profesorul este cel care ține o prelegere, face o
demonstrație, iar elevii au rolul de a urmării, nu de a învăța.
Cu alte cuvinte, este insuficient, pentru învățare, ca elevii doar să asculte explicațiile
profesorului sau să vadă o demonstrație făcută de acesta.
Succesul învățării depinde foarte mult de comportamentul pr ofesorului, deoarece
metodele predării la clasă duc la creșterea calității educației. Competențele dezvoltate de cadrul
didactic în relația cu elevii sunt foarte importante și în mediul online.
Există atât avantaje, cât și dezavantaje ale acestor modalităț i de a organiza lecțiile online.
Se pare că, deși rezultatele predării online păreau asemănătoare cu cele tradiționale, totuși elevii
care participă la lecțiile online se comportă mai bine decât cei care sunt instruiți față în față.
Pe de altă parte, se o bservă că un avantaj mult mai mare îl au lecțiile care combină
elementele online cu cele tradiționale. Modul de predare – învățare tradițional a devenit destul de
greu de controlat în comparație cu învățământul online.
Prin intermediul lecțiilor online, în treg procesul de predare -învățare este mult mai
eficient și mai ușor, deoarece astfel, elevii dispun de un pachet mult mai diversificat de
informații științifice și practice.
Resursele online au devenit indispensabile în procesul de predare – învățare – evaluare.
Lecțiile online oferă, atât elevilor, cât și profesorilor posibilitatea de a-și transmite reciproc idei
prin intermediul emailului, whatsappu -lui, chat -ului, platformelor google classroom, meet,
zoom, site -urilor de socializare.
Tehnologia modern ă pune la dispoziție o mare diversitate de mijloace de predare, de
aplicații, fiind mult mai accesibile, complexe, viabile pentru cei care învață și le pot accesa de
acasă.
Modul clasic de a învăța a fost nuanțat de această dezvoltare a tehnologiei inform ațiilor și
a comunicării.
Modul online are avantajul de a asigura permanenta relaționare și comunicare între
profesor și elev. Profesorul are rolul de a fi un intermediar al cunoașterii. Această calitate nu mai
are în contextul actual o așa mare pregnanță , deoarece învățarea este mai mult orientată spre
individ, elevii au posibilitatea de a -și alege metodele, instrumentele și informațiile de care au
nevoie, în funcție de interesele fiecăruia.
127
Nici timpul, nici spațiul nu mai condiționează activitatea elevi lor în contextul clasei din
mediul virtual, deoarece lecțiile de predare – învățare – evaluare se pot desfășura în orice loc și în
orice moment.
Învățământul online prezintă avantaje mari în comparație cu cel tradițional, elevii pot
găsii domenii de cunoa ștere, informații, interese. Modul de organizare a lecțiilor online asigură
un program mult mai flexibil, învățarea se desfășoară în ritmul fiecărui elev.
În cadrul lecțiilor online, elevii scapă de orice fel de inhibiții. Ei nu mai sunt implicați
emoționa l atunci când pot prezenta informațiile procesate.
De asemenea, profesorul are posibilitatea de a -și personaliza cursurile, de a introduce
slide-urile Power Point sau documentele audio – video în clasa online.
Calitatea procesului de învățământ este spori tă de posibilitate accesului, atât a elevilor,
cât și a profesorului, la resursele online. Mediul online face ca procesul de predare – învățare –
evaluare să devină mult mai bun și eficient. Astfel, profesorii transmit informațiile, iar elevii le
asimileaz ă.
Datorită acestor instrumente oferite de mediul online, cadrele didactice au posibilitatea de
a face prezentări, de a coordona și de controla documentele unei clase, de a realiza proiecte
împreună cu elevii, de a relaționa cu ei prin crearea unui spațiu de discuții etc.
Profesorii pot oferii informații și recomandări online, iar părinții ( în cazul elevilor mai
mici) pot dezvolta temele împreună cu copii lor, în offline. Astfel se consolidează relația părinte
– elev, dar și cea părinte -profesor. Se stabil esc relații între școală și părinți, care pot intra în
“ tainele” diferitelor platforme alături de proprii copii.
Din alt punct de vedere, grație comunicării online în învățământ apare posibilitatea ca
profesorii să colaboreze între ei pentru a fa ce schimbul de experiență. Astfel, cei mai puțin
instuiți în utilizarea mijloacelor online, pot culege informații, și chiar ar putea lua lecții, de la
cei specializați deja.
Datorită cursurilor online, elevii își folosesc mult mai mult creativitatea și c âștigă
încredere de sine. Ei devin autodidacți.
Pe de altă parte, învățarea de acasă, conferă mai mult confort, atât pentru elev, cât și
pentru profesor (dispare gălăgia, părinții îi pot supraveghea ușor, elevii au și timp pentru odihnă,
nu se mai deplasea ză cu mijloacele de transport în comun până la școală, se reduce gradul de
oboseală etc. )
Cu ajutorul resurselor online, cadrele didactice au mai multe avantaje : pot desfășura mai
multe activități, pot crea o bibliotecă online, pot accesa informații de pe diverse site -uri ( teste,
chestionare, auto – evaluări ), pot să se informeze, să se documenteze, să culeagă informații
128
necesare pentru dezvoltarea lor profesională, pot vizita sit -ul MEN, inspectoratului pentru a fi
permanent la curent cu noile programe școlare.
Lecțiile online prezintă mai multe avantaje decât dezavantaje : se pot alege acele secvențe
optime pentru predarea lecțiilor, se poate modifica organizarea lecțiilor în funcție de evoluția
elevilor și a metodelor pedagogice aplicate, se poate antic ipa și înțelege cauza erorilor elevului,
pot fi acceptate răspunsurile corecte.
Se pot examina în paralel cu aceste avantaje și riscurile oferite de mediul de învățare
online :
– independen ța elevului de spațiu ( elevul se simte relaxat acasă, economisește timp), dar
există riscul întreruperii comunicării cu serverul ;
– independența elevului de timp ( există libertate în fixarea orarului, conținuturile
educaționale sunt parcurse în ritm propriu) dar poate apărea riscul lucrului în comun, a partajării
informa ției.
În ciuda oricăror riscuri, totuși, sistemul online face ca elevul să fie orientat spre o
instuire eficientă, să fie stimulată gândirea independentă, să ofere situații didactice de
autoevaluare. Cu alte cuvinte, predarea lecțiilor online oferă : acces ibilitate, flexibilitate,
confortabilitate etc.
Pentru a crea un mediu de învățare cât mai aproape de o clasă reală, este nevoie de trei
tipuri de resurse :
I. Platforme (aplicații, website -uri) de interacțiune în timp real , cu video și text,
folosite d e profesori în lucrul cu elevi :
1. Zoom este o aplicație care permite efectuarea apelurilor video de grup, folosirea chat –
ului, împărtășirea ecranului profesorului și utilizarea unei tablete virtuale interactive. Cel mai
important atu al ei este funcționa litatea, apelurile video desfășurându -se în general fără
întreruperi și la un nivel de claritate apreciat drept superior soluțiilor competitoare. Profesorii pot
organiza lecții video cu până la 100 de elevi. De asemenea, aceștia au la dispoziție și funcția de
mesagerie prin intermediul căreia pot distribui orice tip de document, direct în chat, astfel elevii
participanți vor putea descărca și vizualiza imediat materialul primit. Lecțiile video unu la unu
sunt gratuite indiferent de durata acestora, pe c ând cele organizate cu întreaga clasă sunt gratis
doar pentru 40 de minute, acesta fiind principalul dezavantaj al utilizării platformei în versiunea
Basic, pentru profesorii ce nu au o adresă de e -mail cu domeniul școlii. Aplicația permite
înregistrarea lecțiilor și salvarea convorbirii cu elevii în Chat -ul Zoom. Pentru accesarea
aplicației Zoom, profesorii au nevoie de o adresă de e -mail, în schimb elevii nu au nevoie de
adresă de e -mail pentru conectare, acesta făcându -se cu ajutorul unui ID și o parol ă sau printr -un
link. (Scoala_online)
129
2. Skype este un software gratuit oferit de Microsoft, ce permite profesorilor să
organizeze lec ții online , calitatea acustică și video fiind de obicei foarte bună. Acesta permite
trimite rea de mesaje si fișiere, totul în limita a 50 de participanți. Este disponibil pe orice
platformă și are capacitatea de a face traduceri online în altă limbă. În organizarea lecțiilor
online, Skype permite partajarea ecranului oricărui participant, dă po sibilitatea înregistrarilor
apelurilor video și permite crearea de camera de chat individuală sau de grup. Spre deosebire de
Skype, Zoom este o platfomă mult mai completă și puternică. Deși solicită un cont de utilizator,
Skype este mult mai rapid și mai u șor de utilizat cu toate că nu are la fel de multe opțiuni de
coordonare și organizare a întâlnirilor precum Zoom. (skype)
3. Google Meet este o aplica ție din suita Google for Education similară cu Skype, fiind o
platformă de co municare instant prin video și chat, unde se poate crea un link de întâlnire iar
participanții trebuie doar să îl acceseze, fără să aibă vreun cont, pentru a putea intra în sesiunea
online. Meet acceptă până la 100 de participanți gratuit pentru persoane f izice și până la 250 de
participanți gratuit pentru scoli. Această platformă oferă aceleași opțiuni ca și întâlnirea de pe
Zoom : comunicare între participanți cu video, microfon și chat, partajarea ecranului, activarea
modului silențios pentru anumiți pa rticipanți, împărtășirea de pe alte link -uri prin chat. Pentru a
participa la întâlnire, elevii trebuie să acceseze link -ul fie de pe laptop (din browserul Google
Chrome), fie de pe telefonul mobil (aplicația Hangouts Meet de la Google) și să aibă active
microfonul și/sau camera web. (Scoala_online)
4. Google Hangouts este versiunea mai veche a aplicației Google Meet folosită de
oricine are un cont Google personal. Se poate folosi versiunea clasică de Hangouts pentru a
conversa s imultan cu maxim 150 de personane. Apelurile video pot include maxim 10 persoane
pentru cei cu cont Google personal sau maxim 25 de persoane pentru cei cu un cont Google pe
domeniul scolii. (hangouts)
5. Facebook este un site w eb de tip re țea de socializare, creat pentru a contacta persoane
apropiate, dar și persoane încă necunoscute. În acest moment facebook este cea mai răspândită
rețea socială din lume, în care foarte mulți profesori și elevi au acces, iar comunicare în scop
educațional între aceștia poate fi făcută în două moduri. Primul mod, recomandat pentru predarea
de conținui nou, este prin crearea unui grup al clasei în care pot fi susținute transmisiuni live și
pot fi încărcate documente. Al doilea mod, recomandat pe ntru comunicarea pe proiecte în
grupuri de lucru și echipe, este prin utilizare chat -ului Facebook Messenger care permite
comunicarea prin mesaje text pentru toți membrii și apeluri audio -video pentru maxim 8
participanți. (scoala )
6. Whatsapp este o aplicație gratuită de mesagerie și apelare vocală și video care
folosește conexiunea la internet a smartphone -ului pentru a permite utilizatorului să trimită
130
mesaje, fișiere media, documente, și să -și apeleze persoanele cunoscute. W hatsapp poate fi
accesat și folosit pe calculator, atâta timp cât telefonul utilizatorului rămâne conectat la internet,
în timp ce este folosită aplicația pe PC. Un grup pe Whatsapp poate avea până la 256 de
membrii, iar pentru apeluri video în timp real aplicația permite grupuri de maxim 4 persoane.
Legătura cu elevii clasei poate fi păstrată într -un grup special creat pe Whatsapp. Profesorul le
poate trimite acestora documente de până la 100 MB. (scoala)
7. Webex este o apl icație gratuită produsă de Cisco care are aceleași funcționalități ca
Zoom -ul, și poate fi folosită fără limită de durată pentru întâlniri cu până la 100 de participanți.
Aceasta permite : trimiterea mesajelor private unei persoane sau lansarea unei discuți i în grup,
derularea unui număr nelimitat de întâlniri virtuale, calitate video HD, 1 GB de stocare în cloud,
partajarea de ecran și conținut (inclusiv multimedia), înregistrarea discuțiilor, facilități de
căutare, indicator de prezență, poate fi accesat d e pe orice dispozitiv. Utilizatorii se pot înregistra
cu ajutorul unei adrese de email. (webex)
8. Microsoft Teams este platforma educațională gratuită care reunește toate elementele
de care are nevoie un profesor pentru a organ iza lecții online : chat nelimitat , întâlniri online și
apeluri video, crearea de material didactic cu ajutorul aplicațiilor Microsoft 365, este permisă
partajarea fișierelor și a ecranului, 2 GB de spațiu de stocare a fișierelor pentru fiecare utilizator ,
precum și posibilitatea și de a integra cele peste 250 de aplicații și servicii integrate. Cu o adresă
de e-mail validă de la școală se poate obține gratuit Office 365 pentru educație, inclusiv o
versiune completă de Teams. (team s)
II. Aplicații sau platforme de colaborare online care facilitează schimbul de
documente, teste sau teme pentru acasă, între profesori și elevi și înregistrează o evidență a
acestora, permițând și feedback din partea profesorului. (Scoala_online) Dintre acestea cele mai
utilizate sunt :
1. Google Classroom este o platformă gratuită pentru școli, organizații non -profit și
orice persoană care are un Cont Google personal. Face parte din suita de aplicații G Suite for
Educ ation creată de Google împreună cu profesorii pentru a le permite acestora să faciliteze în
online predarea, interacțiunea și colaborarea cu elevii atât în timpul orelor, cât și în afara lor.
Practic, Google Classrom ajut ă la crearea claselor virtuale pen tru elevi cu elementele ei nelipsite :
elevi, profesori, sarcini de lucru, proiecte, feedback din partea profesorilor și a elevilor, evaluare.
Este accesibilă atât de pe desktop, cât și de pe telefon, putând fi folosită pentru toate nivelurile de
învățământ . Această aplicație are o serie de avantaje : economie de hârtie, de timp, creare și
distribuire de teme, comunicare rapidă . Pentru organizarea unei clase virtuale Google Classroom
este nevoie de o adresă de gmail. (scoala)
131
2. E dmodo este o platformă educațională care permite comunicarea conținuturilor,
distribuirea de chestionare, sarcini de lucru, gestionarea comunicării cu elevii, colegii profesori și
părinții. Aceasta este o alternativă la Google Classroom prin care se poate colabora online cu
elevii, aceștia neavând nevoie de un cont de email pentru a putea accepta invitația profesorului.
Facilitățile oferite de platforma Edmodo sunt: este gratuit ă; are interfață prietenoasă
(asemănătoare cu Facebook); este accesibilă onlin e sau folosind orice dispozitiv mobil, pentru
utilizarea ei nu este necesară decât o conexiune la internet, nefiind nevoie ca utilizatorii să
instaleze vreun program; are caracteristici specifice pentru instituții, școli și alte departamente
putând fiind a ccesată gratuit de către administratori; oferă gratuit oportunități de comunicare
pentru profesori, elevi, părinți și administratori prin intermediul unei rețele sociale sigure; este un
mediu controlat în care profesorul poate vedea fiecare mesaj, fișier s au conținut distribuit de
către membrii clasei lui, toate aceste date fiind vizibile și pentru părinți ; se pot păstra materiale și
cursuri destinate clasei, link -uri și clipuri video ; se pot aloca teme cu termen de finalizare
personalizat, acestea pot fi a locate unui grup/ clase sau mai multor clase ; se pot realiza sondaje
de opinie pentru grupurile administrate. Dezavantajele oferite de platforma Edmodo sunt : este în
limba engleză; materialele de predare/evaluare sunt încărcate în Library sub forma unor foldere,
iar localizarea lor facilă de către elevi este condiționată de abilitatea profesorului, de organizare,
respectiv structurare a resurselor ; snapshot genereaz ă teste standard doar în engleză. (edmodo)
3. Easyclass pune l a dispoziția profesorilor o modalitate privată și sigură de a intra în
contact cu elevii, să organizeze și să împărtășească resurse cu elevii, să managerieze proiecte, să
reamintească elevilor date importante, chiar și să distribuie teme și teste. Faptul că este un sistem
privat este ceea ce îl face mai atrăgător pentru profesori și sisteme școlare. Avantajele platformei
Easyclass sunt : este gratuit ă; are interfață prietenoasă; oferă posibilitatea ca profesorul să fie
conectat cu elevii; încurajează încre derea elevilor; este o platformă sigură și privată; este
interactivă; elimină fotocopierea; oferă suport tehnic, răspunzând oricărei solicitări în 24 de ore.
Dezavantajul este divizarea digitală, adică nu toți elevii dispun de un dispozitiv conectat la
internet. (easyclass)
4. ClassDo jo este o aplicație gratuită care permite crearea claselor virtuale, partajarea
fișierelor, notarea elevilor și comunicarea online cu ei. Aplicația generează zilnic, un raport de
activitate pentr u diverse acțiuni sau task -uri, care poate fi vizualizat de părinți. Există inclusiv un
sistem interactiv de raportare pentru săptămâna curentă, cea trecută și ultimele două săptămâni,
în care se poate vedea un status per activități. (classdojo)
5. Discord este o aplicație gratuită creată pentru comunitățile de jocuri video care poate fi
folosită pentru crearea claselor virtuale. Software -ul permite crearea propriului server sau
conectarea la cele existente cu canalele și chat -urile adiacente. Discord acceptă canalele de text și
132
voce unde se poate comunica, se pot schimba fișiere și pot vizualiza profilurile altor membrii ai
canalului. (discord)
III. Resurse și aplicații de învățare pe care le po ate crea profesorul sau resurse deja
existente sub formă de prezentări, lecții, fișe, imagini și clipuri care se pot folosi atât în timpul
lecțiilor live, cât și ca teme de lucru pentru acasă. Dintre aceste cele mai utilizate sunt :
1. ASQ ( Another Smar t Question) este o platformă educațională gratuită pentru elevi,
profesori și părinți. Este o soluție educațională în continuă dezvoltare, adecvată pentru toate
disciplinele de învățământ și toți an ii de studiu. O revoluție în modul de a învăța, dar și o metodă
didactică interactivă , adaptată la sistemul de învățământ existent. Elevii o pot folosi independent
pentru a aprofunda și a lucra individual teste și exerciț ii create în prealabil de profe sor. Aceasta
poate adăuga clipuri video cu explicații, exer ciții și teste pentr u orice materie și poate urmări
rezultatele fiecărui elev direct din aplicație. Partea bună este că o data înscrisă o clasă de la o
anumită școală, orice profesor poate a sigura exerciții și teste acelee ași clase, fără a reintroduce
elevii . (Scoala_online)
2. Kahoot este o platformă gratuită de învățare bazată pe joc și tehnologie educațională,
care a fost construită pentru a fi accesibilă la clasă și în alte medii de învățământ. Cu ajutorul ei
profesorii po t crea teste interactive, în care elevii răspund într -un timp limită. O dată creat un
test, profesorii pot trimite un cod de acces elevilor pe care îl pot accesa din aplicația Kahoot
instalată pe mobil sau pe site -ul Kahoot. Rezultatele răspunsurilor apar la finalul testului, pe un
ecran vizibil tuturor. Este recomandată folosirea lui doar ca instrument de verificare a
cunoștințelor sau feedback pentru a vedea ce au înțeles, cât de implicați au fost și cum se simt
elevii. (aplicați i)
3. Quizizz este o aplicație gratuită pentru quiz -uri online, asem ănătoare cu Kahoot, însă
pentru accesarea acesteia elevii au nevoie de adresă de e -mail, lansarea sa putându -se face de pe
orice fel de dispozitiv. Întrebările apar pe ecranul fiecăr ui elev, astfel încât acesta să poată
răspunde întrebărilor în ritm propriu și să le revizuiască la sfârșit. (quizizz)
4. Kidibot este o platformă educațională gratuită care motivează elevii să citească și să
învețe folosind cele mai bune metode psihologice. Copiii răspund în joacă la chestionare,
dovedind astfel că au citit diverse cărți sau rezolvă teste le matematică și alte materii. Kadibot
stimulează lucrul în echipă și creează o presiune socială pozitivă, elevii îndemn ându -se unul pe
altul să învețe și să crească în clasament. Elevii își pot creea propriile quiz -uri, iar profesorii pot
da teme online, cu deadline și puncte bonus elevilor. (kidibot)
5. Mentimeter este o aplicație care îi permi te profesorului să interacționeze cu un grup în
timp real. Este un instrument pentru sondaje de opinie unde profesorul pune întrebarea, iar
grupul țintă dă răspunsul folosind un telefon mobil sau orice alt dispozitiv conectat la internet.
133
Aceasta este o so luție utilă care poate fi folosită în cadrul unei prezentări pe Zoom sau Google
Meet, când se partajează ecranul. Cu un cont gratuit pe Mentimeter, profesorul poate crea
prezentări interactive, la care adaugă întrebări cu răspuns închis. De exemplu, când s e introduce
o temă nouă sau se dorește măsurarea pe parcursul lecției a nivelului de înțelegere al elevilor,
profesorul poate include o întrebare cu mai multe variante de răspuns dintre care doar una este
corectă, iar rezultatele apar imediat pe ecran. În funcție de acest feedback, acesta poate corecta
informațiile care au rămas neclare și îndreaptă procesul de învățare. Odată ce se creează un
sondaj, un Wordcloud ( norișor de cuvinte creat automat pe baza cuvintelor introduce de elevi),
sau un test cu var iante de răspuns, se va crea automat un cod pe care participanții îl pot
introduce accesând www.menti.com pentru a putea oferi răspunsul. Contul gratuit permite
maxim două întrebări pe prezentare, însă se pot crea pre zentări nelimitate pentru audiențe
nelimitate. Feedback -ul după o anumită oră poate fi obținut cu ajutorul aplicației Mentimeter ca
în Fig. 1 31. (aplicații)
Fig. 1 31
5. Slido este o aplica ție Q&A (întrebare -răspuns), utiliza tă și ca instrument pentru
sondaje de opinie. Profesorul poate crea gratuit un test și 3 sondaje de opinie, elevii putându -le
accesa cu ajutorul unui cod sau scanând un cod QR. Numărul maxim de participanți este 5000
pe eveniment, iar link -ul aferent unui sondaj rămâne activ timp de 2 zile. Cu ajutorul acestei
aplicații se pot realiza hărți conceptuale prin metoda brainstormingului. De exemplu, la webinar –
ul: Experien țe online la disciplina matematică, realizată de CCD București în colaborare cu
ISMB una dintre formatoarele de la cursul Cred, a arătat modul de utilizare a acestei aplicații
punând toți participanții să scrie ceva legat de cuvântul funcție . A rezultat ceea ce se vede în
134
Fig. 132 , cuvintele mai mărite fiind datorate scrierii aceluiași cuvâ nt de mai multe ori de către
participanți diferiți.
Fig. 132
6. AhaSlides este o aplicație pentru sondaje de opinie care oferă o serie de caracteristici
gratuite comparativ cu Slido. Testele, sondajele de opinie, sondajele de imagine sunt nelimitat e
pentru utilizatori. Această aplicație permite importuri din PowerPoint , PDF sau videoclipuri
YouTube și crearea de jocuri Quiz. Numărul maxim de participanți este 10000 pe eveniment.
(Ahaslides)
7. OpenBoard este o aplica ție gratuită, care poate fi utilizată în întâlnirile online, când
se partajează ecranul, dacă se dorește crearea unei table interactive pe care să se poată nota în
timp ce se prezintă. Se descarcă gratuit și se înregistrează cu un cont de unde se pot încăr ca
documente precum pdf -uri sau imagini putându -se expune pe ecran și pe care se pot face
adnotări în timp real. Aplicația se poate folosi împreună cu o tabletă grafică cu un pix digital cu
ajutorul căruia se fac notițe. (Scoala_o nline)
8. Jambord este aplicația gratuită care face parte din suita de aplicații G Suite for
Education și are aceeași funcționalitate ca și OpenBoard. Utilitatea acesteia consta în adăugarea
de text, în desenarea, ștergerea și adăugarea formelor, precu m și în adăugarea fișierelor Drive,
imaginilor și notelor.
9. Whiteboard este aplicația gratuită produsă de Microsoft ce face parte din Office 365
Education și care ajută elevii în învățarea la distanță. Aceasta este o pânză digitală, infinită,
proiect ată pentru creion, atingere și tastatură, ce permite colaborarea în timp real cu elevii. Este
similara aplicației Jamboard.
10. Padlet este o platformă gratuită, de colaborare online, unde se pot crea împreună cu
elevii table cu post -it-uri virtuale, im agini, link -uri și documente, înregistrarea făcându -se cu o
135
adresă de e -mail. Aplicația se poate folosi pentru sesiuni de brainstorming, pentru a aduna
lucrările elevilor și a le oferi feedback individual, pentru a le urmări progresul sau pentru a
colabor a, ca într -un jurnal al clasei, ce au învățat lucrând acasă, ce îi inspiră sau ce vor să învețe.
(aplicații)
11. Wordwall este o aplicație în care profesorii pot crea, cu un cont gratuit, joculețe
simple de potrivire a cuvintel or, puzzle -uri, quiz -uri și mai multe tipuri de aplicații care susțin
învățare. Profesorul poate crea propriile resurse de predare foarte simplu : alege un șablon,
introduce conținutul și imprimă activitățile sau le redă pe un ecran. În varianta free se pot crea
doar 5 jocuri pe lună. (Scoala_online)
12. GeoGebra este un software matematic dinamic pentru toate nivelurile de educație
care combină geometria, algebra, foile de calcul, graficele, statistica și analiza într -un singur
pachet ușor de utilizat. Acesta are o interfață prietenoasă, cu multe caracteristici puternice și a
devenit un instrument pentru crearea materialelor didactice. Este cea mai importantă aplicație
matematică gratuită fiind prevăzută și în programa școlar ă pentru gimnaziu. Utilizarea softului
în procesul de instruire reduce intervalul de timp necesar elevilor pentru înțelegerea conceptelor,
în avantajul perioadei dedicate aprofundării prin rezolvarea de probleme, exerciții și aplicații
practice. Folosirea programului în orele de matematică stimulează, deschide căile către dialog,
face conținuturile mai accesibile, declanșează acele mecanisme care îi fac pe elevi să nu fie doar
spectatori, ci participanți activi la procesul de instruire. Utilizarea programul ui se poate îmbina
cu o varietate de metode didactice atât tradiționale cât și moderne. În mediul online există foarte
multe resurse gratuite realizate în GeoGebra, pe care profesorii le pot utiliza în predarea
matematicii. (Geogeb ra)
13. LearningApps.org este o aplicație Web 2.0 concepută pentru a sprijini procesele de
învățare și predare prin module interactive. Aceste module de învățare pot fi integrate direct în
conținuturi de învățare, dar pot fi concepute online de utilizat orii însuși sau pot fi modificate.
Scopul este de a aduna module care pot fi reutilizate și de a le pune la dispoziția publicului.
Aceste module ( denumite Apps) nu conțin din acest motiv un cadru special sau un scenariu
concret de învățare, ci se limiteaz ă exclusiv la partea interactivă, fiind astfel pe placul elevilor și
reprezintă o alternativă la fișele de lucru. Modulele nu reprezintă o unitate de învățare închisă, ci
trebuie să fie încorporate într -un scenariu de predare corespunzător. Aplicația este gratuită și
dispune de o variantă a site -ului în limba română. Prin intermediul LearningApps elevul va
învăța mult mai ușor prin descoperire și mai ales prin interactivitate. Aplicația LearningApps
este simplă pentru folosire, se integrează ușor în proces ul de învățământ și se adaptează foarte
ușor pentru orice programă a ori cărei instituții de învățământ. (learningapps)
136
14. Livresq este un editor de conținut educațional cu ajutorul căruia se pot crea cursuri
elearning și lecții interactive. Acesta are șabloane deja create care pot fi folosite pentru crearea
proiectelor, în care pot fi încărcate resurse multiple : poze, texte, filme, anima ții, întrebări,
aplicații. Totul se realizează online, nu trebuie nimic descărcat sau instala t. Interfața de tip drag
and drop este ușor de folosit de profesori și creatori de cursuri elearning. Profesorii pot să obțină
un abonament de 1 an gratuit. (livresq)
15. Coggle este un software online, gratuit, ce ajută la cr earea hărților conceptuale.
Acesta permite profesorilor să capteze ideile elevilor și să le conecteze într -un format tip
diagramă, fiind foarte util în sesiunile de brainstorming. Versiunea gratuită include trei diagrame
private și diagrame publice nelimit ate.
Important este ca profesorul s ă combine aplicațiile ce i se potrivesc lui și elevilor săi.
Condiția minimă este însă ca toate persoanele implicate în actul didactic să dispună de un
calculator, laptop sau o tabletă, pentru a facilita organizarea le cțiilor online.
137
4.2. Proiect de lecție
Clasa: a VIII – a
Profesor: Nedeloiu Nicolae
Școala: Școala Gimnazială Nr. 13, Sector1, București
Disciplina: Matematică
Unitatea de învățare: Funcții
Titlul lecției: Modelarea problemelor din viața reală cu ajutorul funcțiilor
Tipul lecției: Consolidare și sistematizare a cunoștințelor
Durata lecției: 50 minute
Locul de desfașurare : Online
Competențe generale:
1. Identificarea unor date , mărimi și relații matematice, în contextul în care aces tea apar ;
2. Prelucrarea unor date matematice de tip cantitativ, calitativ, structural, cuprinse în diverse
surse informaționale ;
3. Utilizarea conceptelor și a algoritmilor specifici în diverse contexte matematice ;
4. Exprimarea în limbajul specific matem aticii a informațiilor, concluziilor și demersurilor de
rezolvare pentru o situație dată ;
5. Analiza caracteristicilor matematice ale unei situații date ;
6. Modelarea ma tematică a unei situații date, prin integrarea achizițiilor din diferite domenii ;
Comp etențe specifice :
1.3. Identificarea unor dependen țe funcționale în diferite situații date ;
2.3. Descrierea unei dependențe funcționale într -o situație dată, folosind diagrame, tabele sau
formule ;
3.3. Reprezentarea în diverse moduri a unor funcții cu sco pul caracterizării acestora ;
4.3. Utilizarea unui limbaj specific pentru formularea unor opinii referitoare la diferite
dependențe funcționale;
5.3. Analizarea unor func ții în context intra și interdisciplinar ;
6.3. Modelarea cu ajutorul func țiilor a unor fenomene din viața reală ; (Programa)
138
Strategia didactică:
a) Metode : conversația, explicația, exercițiul, problematizarea ;
b) Mijloace de învățământ : fișă de lucru, laptop, tableta grafică, Google Classroom, Google
Meet, WhatsApp , Jambord ;
Structura
lecției Compe –
tențe
specifice Conținut și sarcini de instruire Strategia
didactică Evaluarea
Activitatea
profesorului Activitatea elevilor
I Moment
organiza –
toric Accesează Google
Meet, crează o
întâlnire nouă,
copiază lin kul
întâlnirii și îl trimite
elevilor prin
WhatsApp.
Salutul, prezența . Accesează linkul
întâlnirii trimis de
profesor.
Pregătesc
caietele
și rechizite. Conver –
sația
II Verifi –
carea
cunoștin –
țelor,
temei
Verifică tema pentru
acasă, lămurește
eventualele
neclarități.
Arată rezolvarea
temei. Pun întrebări
legate de exercițiile
neînțelese în temă. Conver –
sația
139
III
Anunțarea
conținu –
tului
lecției Propune ca pe
parcursul acestei ore
să se modeleze
probleme din viața
reală cu ajutorul
funcțiilor
Conver –
sația
IV
Dirijarea
învățării 1.3.
2.3.
3.3.
4.3.
5.3.
6.3. Le posteză elevilor pe
Google Classroom o
fișă de lucru ce
conține problemele ce
urmează a fi rezolvate
în cadrul acestei
întâlniri online.
Scrie în aplicația
Jambord rezolvările
problemelor, propuse
de elevi, cu ajutorul
tabletei grafice. Deschid fișa de lucru
din Google Classroom
și rezolvă, ajutați de
profesor problemele
propuse.
Scriu rezolvările
problemelor în caiete.
conver –
sația
exercițiul
explica –
ția
proble-
matiza –
rea aprecieri
verbale
V Tema
pentru
acasă Le propune elevilor să
rezolve ultima
problemă din fișa de
lucru ca temă pentu
acasă. Noteză tema pentru
acasă.
Fișă de lucru
1. Să se găsească funcția astfel încât să fie egală cu tem peratura pe scara Fahrenheit,
corespunzătoare temperaturi x pe scara Celsius. (Sheldon, 2009)
2. Irina a economisit 3500 de lei pentru a vizita Sighișoara în vacanța de vară. Ea anticipează
cheltuiarea a 400 de lei pe zi cu ch iria, mâncarea și distracția. Să se determine o funcție care
140
modelează această situație. Să se afle intersecția cu axa ox, domeniul și imaginea acestei funcții.
(D. Lippman, 2018)
3. Populația unui oraș a crescut liniar. În 20 14 populația era de 6200 locuitori, iar în 2019 a
crescut la 8100 locuitori. Dacă această tendință continuă, determinați :
a. Care va fi popula ția în anul 2023?
b. În ce an va ajunge populația la 15000 de locuitori? (D. Lippman, 2 018)
4. Apa este pompată într -o piscină cu un debit de 5 m3/min. Inițial piscina conține 200 m3 de
apă.
a. Să se găsescă o funcție V care modelează volumul de apă din bazin.
b. Dacă piscina are o capacitate de 600 m3, cât durează pentru a umple compl et piscina?
5. (Relația dintre temperatură și altitudine) Pe măsură ce aerul uscat se mișcă în sus, se extinde și
se răcește. Dacă temperatura solului este de și temperatura la o înălțime de 1 km este de
, să se exprime temperatura T (în oC) în funcție de înălțimea h ( în km). Să se traseze grafiul
acestei funcții. Care este temp eratura la înălțimea de 2,5 Km? (J. Stewart, 2016)
6. Alina are în prezent 200 de melodii în colecția sa de muzică. În fiecare lună adaugă 15 piese
noi. Să se găsească o formula pentru numărul de melodii, N, din colecția sa ca funcție de timp, t,
numărul de luni. Câte melodii va avea într -un an? (Precalculus)
Rezolvarea fișei de lucru
1. Trecerea de la un sistem d e unități la alt sistem de unități este modelată printr -o funcție de
forma , pentru contantele m și b.
Pentru a găsi m și b se folosește faptul că temperatura de înghețare a apei este egală cu 0 grade
Celsius și 32 de grade Fahrenheit. De a semenea, punctul de fierbere al apei este egal cu 100 de
grade Celsius și 212 de grade Fahrenheit.
Prin urmare, și . Dar , și astfel b=32.
Acum se știe că .
Prin urmare, , de unde rezultă că , deci
.
Obținem astfel
.
Graficul acestei funcții este schițat în Fig. 1 33
141
Fig. 1 33
2. În problemă există două cantități variabile : timpul și bani. Suma de bani rămasă depinde de
timpul pe care îl stă în vacanță. Se p ot defini variabilele astfel : t, timpul, în zile, ca variabilă de
intrare și , bani rămași, în lei, ca variabilă de ieșire.
Citind problema se identifică două valori importante. Prima, 3500 de lei, este valoarea inițială
pentru . Cealaltă valoare este o rată de schimbare : unit ățile de lei pe zi se potrivesc unităților
variabilei de ieșire împărțită la variabila de intrare. Ea reprezintă bani cheltuiți în fiecare zi, astfel
restul sumei de bani scade în fiecare zi, iar panta este negativă.
Se poate scrie formula funcției care modelează această problemă astfel : .
Pentru a găsi intersecția cu axa ox, se rezolvă ecuația , adică și se
obține
.
Intersecția cu axa orizontală este de zile, interpre tând acest lucru s -ar putea spune că Irina
va rămâne fără bani după zile. În acest caz nu se poate vorbi de valori de intrare sub zero și
este posibil ca acest model să nu fie valabil după intersecția cu axa orizontală ( cu excepția
cazului în care I rina se va împrumuta ). Domeniul pentru această funcție este : . Cu
toate aceste într-un șcenariu real cazarea este pe noapte și astfel nu poate rămâne o zi parțială,
deci trebuie luate în calcul toate opțiunile. Astfel domeniu ar fi , dacă ar sta 8 zile sau
dacă ar mai face datorii și ar sta zile.
Irina începe vacanța cu 3500 lei și o încheie cu 0 lei după zile, astfel încât intervalul
corespunzător imaginii este .
Dacă ea plecă din vacan ță după 8 zile întregi a r mai avea lei,
rezultând următorul interval al imaginii: .
Dacă ar rămâne zile, ea ar face o datorie de 100 lei, rezultând astfel un interval al imaginii de:
.
142
3. Cele două cantități în schimbare sunt populația și timpul.
Vom avea astfel : date de intrare : t, ani din 2014 ;
date de ieșire: p(t), populația orașului;
Problema ne oferă două perechi de intrare -ieșire. Anul 2014 ar corespunde t=0, oferind punctul
(0, 6200) . Anul 2019 ar corespunde t=5, oferind punctul (5, 8100).
Pentru a prezice populația din anul 2023 ( t=9) și pentru a afla când populația va ajunge la 15000,
este nevoie de o funcție care modelează această problemă. Pentru aceasta se calculează mai întâi
ritmul de creștere (panta) :
oameni pe an. Cum intersec ția
cu axa ox este 6200, se poate scrie formula funcției astfel : .
Pentru a prezice popula ția în 2023, se evaluează funcția pentru t=9:
.
Dacă trendul continuă, acest model prezice o populație de 9620 locuitori în anul 2023.
Pentru a afla când va ajunge populația la 15000 locuitori se rezolvă ecuația .
Astfel , rezultă că , deci .
Acest model prezice că populația va ajunge la 15000 locuitori în puțin mai mult de 23 de ani
după anul 2014, sau undeva în jurul anului 2037.
4. a.Trebuie să se găsescă o funcție care modelează volumul de apă din
bazin după t minute. Rata de modificare a volumului este 5 m3/min, deci a =5. Deoarece piscina
conține la început 200 m3 de apă, avem , deci b=200.
Se obține astfel modelul : .
b. Pentru a g ăsi timpul în care se umple p iscina trebuie rezolvată ecuația , rezultă că
, obținându -se t = 80. Deci este nevoie de 80 de minute pentru a umple piscine.
5. Funcția trebuie să fie de forma , unde m și b sunt constante.
Când h=0, este dat T=20, deci , de unde rezultă că b=20.
Astfel, avem .
Când h=1, avem T=10, deci , rezultă că m = -10.
Funcția va fi .
Graficul acestei funcții este schițat în Fig. 134.
143
Fig. 134
Panta este m= /km, iar aceasta r eprezintă viteza de schimbare a temperaturii în raport cu
distanța deasupra solului. Deci temperatura scade cu pe km de înălțime.
La o înălțime de 2,5 km .
6. Valoarea initială pentru această funcție este 200, de oarece deține în prezent 200 de melodii,
deci N(0)=200, ceea ce însemnă că b=200. Numărul de melodii crește cu 15 pe lună, astfel încât
rata modificării este de 15 melodii pe lună, prin urmare avem m=15. Formula funcției va fi:
.
Cu aceast ă formulă se poate prezice câte melodii câte melodii va avea Alina într -un an (12 luni).
Se poate evalua funcția pentru t=12 și se obține .
Alina va avea 380 de melodii în 12 luni.
144
Bibliografie
[1] I. Alolyan, N. B. Turki, T. Ghazal, O. Al -Gahtani, K. Khashan, Differential
Calculus , Second Edition, King Saud University.
[2] M. L. Bittinger, D. J. Ellenbogen, S. A. Surgent, Calculus and its applicationts ,
Tenth Edition, Addison -Wesly, Pearson Educatio n, Inc., Boston, USA, 2012 .
[3] R. Blitzer, Precalculus , Fifth Edition, Miami Dante College, Pearson Education,
Inc., Boston, USA, 2014 .
[4] D. Br ânzei, D. Mihalca, G. Caba, I. Cheșcă, E. Radu , Matematic ă- Manual pentru
clasa a I X-a, Еdіtura Teora, Buϲureștі , 1999 .
[5] D. Brânzeu, R. Brânzeu, Metodica predării matematicii, Editura Paralela 45,
Pitești, 2002 .
[6] M. Burtea, G. Burtea , Matematic ă- Manual pentru clasa a IX -a, Еdіtura Carminis,
Piteștі, 200 4.
[7] M. Burtea, G. Burtea , Matematic ă- Manual pentru clasa a X -a, Еdіtura Carminis,
Piteștі, 200 0.
[8] M. Burtea, G. Burtea , Matematic ă- Manual pentru clasa a XI -a, Еdіtura Carminis,
Piteștі, 200 1.
[9] F. D. Demana, B. K. Wait s, G. D. Foley, D. Kennedy, Precalculus, Gr aphical,
Numerical, Algebraic , Eighth Edition, Addison -Wesly, Pearson Education, Inc., Boston,
USA, 2011 .
[10] I.M. Gelfand, E. G. Glagoleva, E.E. Shnol, Functions and Graphs , MIT Press,
Cambridge, Massachusetts, USA, 1990.
[11] P. Georgescu, Elemente de calcul dif erențial pe dreapta reală , Editura
MatrixRom, București, 2012 .
[12] D. Lippman, M. Rasmussen, Precalculus, An Investigation of Functions , Edition
2.1, Creative Commons, San Francisco, California, USA, 2018 .
[13] B. McAskill, W. Watt, E. Balzarini, B. Johnson, R. Ken nedy, T. Melnyk, C.
Zarski, Pre-Calculus 12 , McGraw -Hill Ryerson, Canada, 2012 .
145
[14] C. Năstăsescu, C. Niță , I. Chițescu, D. Mihalca, M. Dumitrescu, Matematic ă-
Manual pentru clasa a X -a, Еdіtura Didactică și Pedagogică, București , 200 7.
[15] C. Năstăsescu, C. N iță, G. Grigore, D. Bulacu, Matematic ă- Manual pentru clasa
a XI-a, Еdіtura Didactică și Pedagogică, București , 200 1.
[16] J. Nicholas, J. Hunter, J. Hargreaves, Funtions and Their Graphs , Mathematics
Learning Centre, University of Sydney, NSW 2006 .
[17] C. P. Nic ulescu, Analiza pe dreapta reală, Editura Universitaria, Craiova, 2002 .
[18] D. Radu, E. Radu, Matematic ă- Manual pentru clasa a VIII -a, Еdіtura Teora,
Buϲureștі , 2013.
[19] E. Rogai, Tabele și formule matematice , Editura Tehnică, București, 1983.
[20] C. Savu, G. Caba, E. Teodorescu, D. Popoiu , Matematic ă- Manual pentru clasa a
VIII-a, Еdіtura Teora, Buϲureștі , 200 9.
[21] A. Sheldon, Precalculus – A Prelude to calculus, John Wiley & Sons, Inc. ,
Hoboken, USA, 2009.
[22] Gh. Siretchi, Analiza matematică, Tipografia Universității București, 1978 .
[23] J. Stewart, Calculus : Early Transcendentals , Seventh Edition, Books/Cole,
Cengage Learning, Belmont, SUA, 2012 .
[24] J. Stewart, L. Redlin, S. Watson, Precalculus Mathematics for Calculus , Seventh
Edition, Cengage Learning, Boston, USA, 2016 .
[25] M. Sullivan, Precalculus , Ninth Edition, Chicago State University, 2012 .
[26] Vladimirescu Cristian_Analiza mathematica_Suport Curs. Pdf
[27] https://web.auburn.edu/holmerr/1617/Te xtbook/graphofderiv -screen.pdf
[28] http://samples.jbpub.com/9780763754617/54617_CH03_155 -224.pdf
[29] http://www.raineclass.com /textbook/tb17.pdf
[30] http://webspace.ship.edu/msrenault/GeoGebraCalculus/derivative_app_1_graph_
AD.html
[31] https://www.youtube.com/watch?v=Lw66N7caZOw
146
[32] https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/Aplicatii%20ale%20derivatei_Rez
olvarea%20problemelor%20de%20maxim%20 si%20minim.pdf
[33] https://docs.google.com/viewer?a=v&pid=sites&srcid=b2Nkc2IuY2F8bXItbGV2
ZXJzLXdvb2Ryb2ZmZS1oc3xneDo1NWNkMGZhODA2MTVmNDFk
[34] https://www.aspireteachers.ro/nou tati/2020/3/15/cum -mutam -scoala -online
[35] https://ahaslides.com/ro/blog/best -free-alternative -to-slido/
[36] https://aplicatiiutileinscoala.weebly.com/mentimeter.html
[37] https://atelieruldematematica.wordpress.com/2016/11/02/geogebra -un-
instru ment -util-pentru -predarea -matematicii/
[38] https://www.geogebra.org/about?lang=ro
[39] https://learningapps.org/about.php
[40] https://ro.wikipedia.org/
[41] https://scoalapenet.ro/
[42] https://livresq.com/ro/faq/
[43] https://sites.google.com/site/sitesp4balti/materiale -didactice/informati/learning –
apps
[44] http://mrdad.ro/class -dojo-aplicatie -utila-pentru -parinti -si-staff-ul-de-la-cresa -sau-
gradinita/
[45] https://datanets.ro/versiunea -gratuita -webex -acum -in-romania/
[46] https://www.microsoft.com/ro -ro/microsoft -365/microsoft -teams/group -chat-
software
[47] http://taccle2.eu/wp/ro/what s-happening -ro/cu -easyclass -clasa -este-doar-la-un-
click -distanta
[48] https://quizizz.com/admin/quiz/5e3e70519ecc1e001baf160a/functii
[49] https://ibn.idsi.md/sites/default/files/imag_file/vol.1 -66-69.pdf
[50] https://meet.google.com/obq -ojhg-cxm?pli=1&authuser=0
[51] https://d3bxy9euw4e147.cloudfront.net/oscms -qa/media/documents/Precalculus –
LR.pdf
[52] https://www.skype.com/ro/
[53] https://support.google.com/hangouts/?hl=ro#topic=6386410
[54] https://discord.com/new
[55] https://www.kidibot.ro/
[56] http://programe.ise.ro/Portals/1/Curriculum/2017 -progr/24 -Matematica.pdf
147
DECLARA ȚIE DE AUTENTICITATE
PE PROPRIE RĂSPUNDERE
Subsemnatul, Nedeloiu Nicolae, înscris la examenul pentru ob ținerea Gradului didactic
I, seria 2019 -2021, specializarea MATEMATICĂ, prin prezenta, certific că lucrarea metodico –
științific ă cu titlul Analiza funcțiilor și reprezentări grafice , conducător științific conf.univ.dr.
CRISTIAN CAZACU , a fost elaborată pe rsonal și aparține în întregime candidatului .
În realizarea lucrării nu au fost folosit e alte surse decât cele menționate în bibliografie , nu
au fost preluat e texte, date sau elemente de grafică din alte lucrări sau din alte surse fără a fi
citate și fă ră a fi prec izată sursa preluă rii, inclusiv în cazul în care sursa o reprezintă alte lucrări
personale.
Prezen ta lucrare nu a mai fost folosi tă în alte contexte de examen sau de concurs .
Data
Semnătura
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Conf. univ. dr. habil. Cristian Cazacu Autor: Nedeloiu Nicolae Școala Gimnazială Nr. 13, București, Sector 1 2 CUPRINS CUPRINS… [624388] (ID: 624388)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.