Conexiuni Invariante pe Un Grup Lie
Universitatea din Bucuresti
Facultatea de matematica si informatica
Lucrare de licenta
Coordonator: Student:
Conf. dr. Iulia Hirica Mihai Necula
Grupa 311
Bucuresti
2010
CONEXIUNI INVARIANTE PE UN GRUP LIE
Cuprins
Introducere………………………………………………………………………………3
Capitolul 1. Grupuri si algebre Lie
1. Grup Lie : Definitie, exemple, proprietati………………………………12
2. Actiuni ale grupului aditiv R intr-o varietate analitica…………………15
3. Algebre Lie.Definitie.Exemple.Constante de structura…………………16
4. Algebra Lie a unui grup Lie……………………………………………18
5. Homomorfisme si izomorfisme de grupuri Lie………………………..21
6. Subgrupurile cu un parametru ale unui grup Lie.
Aplicatia exponentiala…………………………………………………24
7. Grupuri Lie locale.Homomorfisme de grupuri Lie locale……………..31
Capitolul 2. Subgrupuri Lie
1. Subgrupuri inchise.Teorema lui Cartan.Aplicatii………………………….33
2. Grupuri liniare………………………………………………………….36
3. Teorema lui Chevalley…………………………………………………40
4. Actiuni ale unui grup Lie intr-o varietate analitica.Spatii omogene……42
Capitolul 3. Conexiuni invariante pe un grup Lie
1. Conexiuni liniare stang invariante pe un grup Lie.
Conexiunile Cartan – Schouten…………………………………………46
2. Algebre de deformare asociate unui grup Lie…………………………..58
3. Conexiuni liniare invariante pe spatii reductive………………………..62
4. Metrici invariante pe un Grup Lie 64
B I B L I O G R A F I E
Chevalley C. – Theory of Lie groups, vol. I. Princeton University Press (1948)
Gheorghiev Gh., Oproiu V. – Varietati diferentiabile finit si infinit dimensionale, vol. I, II. Ed. Academiei R.S.R. (1976, 1979).
Helgason S. – Differential Geometry, Lie Groups and Symmetric Spaces. Academic Press, New York (1978).
Kobayashi S. and Nomizu K. – Foundations of Differential Geometry, 2 vols. Interscience, New York, (1963, 1969).
Naimark M., Stern A. – Theorie des representation des groupes. Mir. Moscova (1979).
Nicolescu L. – Grupuri Lie. Editura Universitatii Bucuresti, 1994.
Pop I. – Varietati diferentiabile. Culegere de probleme. Centrul de multiplicare al Universitatii “Alexandru Ioan Cuza”, Iasi (1975).
Pripoae G. – Une propriete des groupes de Lie de la classe .J. Indian Math. Soc., Vol 58 (1992), nr.3 p. 187 – 190.
Teleman K., Teleman M. – Elemente de teoria grupurilor cu aplicatii in topologie si fizica. Ed. Stiintifica, Bucuresti (1973).
Tarina M. – Grupuri Lie. Tipografia Universitatii din Cluj-Napoca (1987).
=== Capitolul 2 ===
Capitolul 2.Subgrupuri Lie
1.Subgrupuri inchise.Teorema lui Cartan
Definitii. i)Se numeste subgrup Lie al grupului Lie G, orice pereche (H,i), unde:
1)H este grup Lie;
2)i:H->G este un homomorfism injectiv de grupuri Lie;
ii)Fie G un grup Lie si fie H un subgrup (in sens algebric) al grupului G. Daca H este multime inchisa in G, atunci H se numeste subgrup inchis.
Teorema lui Cartan. Fie H un subgrup inchis al grupului Lie G. Atunci spatiul topologic H(cu topologia indusa) admite o structura analitica unica in raport cu care H este un grup Lie. Cu aceasta structura, incluziunea i:H -> G este un homomorfism de grupuri Lie si perechea (H,i) este un subgrup Lie. Mai mult, H este subvarietate a varietatii G.
Aplicatii ale teoremei lui Cartan
Propozitie. Fie H un subgrup compact al grupului Lie G si fie i : H -> G aplicatia incluziune. Atunci perechea (H,i) este subgrup Lie al lui G.
Propozitie. Fie M o varietate analitica si fie :M -> M o actiune a grupului aditiv Lie in varietatea M. Fie pM si fie : Hp={ t| (t,p)=p } subgrupul de stabilitate al punctului p in raport cu actiunea . Atunci (Hp,i) este subgrup Lie al grupului Lie (cu i : Hp -> am notat aplicatia incluziune).
Propozitie. Fie G si G’ doua grupuri Lie si fie h : G ->G’ un homomorfism de grupuri Lie. Notam cu Ker h nucleul homomorfismului h. Atunci :
i)Ker h este grup Lie;
ii)L(Ker h) = Ker h*, unde h* : L(G) -> L(G’) este homomorfismul canoonic de algebre Lie asociat homomorfismului h.
Observatie. Fie i: Ker h -> G incluziunea . Atunci, conform teoremei lui Cartan, perechea (Ker h,i) este subgrup Lie al lui G.
Propozitie. Fie A o algebra reala ( in general neasociativa) de dimensiune n a carei multiplicare o notam cu (a,b) -> a b.
Notam de asemenea cu V spatiul vectorial reala corespunzator algebrei A, cu GL(V) grupul automorfismelor spatiului vectorial V, cu End V algebra endomorfismelor spatiului vectorial V si cu G(A) subrupul lui GL(V) constituit din automorfismele algebrei A.
Fie g(A)={ xEnd V : (xa) b + a (xb) = x(ab), a,bA }. Atunci :
i)g(A) admite o structura canonica de algebra Lie reala, de dimensiune finita;
ii)G(A) este un grup Lie a carui algebra Lie este g(A).
Propozitie. Fie H1 si H2 doua subgrupuri inchise ale unui grup Lie G. Atunci :
i)H1,H2 si H1H2 sunt grupuri Lie;
ii)L(H1H2)=L(H1) L(H2).
Fie G un grup Lie si fie Aut G grupul automorfismelor grupului Lie G. Notam cu L(G) algebra Lie a grupului Lie G. Prin automorfism al algebrei Lie L(G) intelegem un izomorfism al algebrei Lie L(G) pe ea insasi. Multimea automorfismelor algebrei Lie L(G) impreuna cu operatia de compunere a automorfismelor constituie un grup notat :
Aut L(G).
Propozitie.i)Aut L(G) este subgrup Lie al grupului Lie GL(L(G)).
ii)Algebra Lie a grupului Lie Aut L(G) este algebra Lie a derivarilor algebrei Lie L(G).
Demonstratie:
i) Aratam ca Aut L(G) este subgrup inchis al grupului Lie GL(L(G)).
Fie A, B Aut L(G), deci A, B sunt liniare, inversabile si
A([X,Y]) = [A(X),A(Y)], B([X,Y]) = [B(X),B(Y)].
Este evident ca
AB([X,Y]) = A(B([X,Y])) = A([B(X),B(Y)]) = [AB(X),AB(Y)]
Rezulta ca AB Aut L(G). Pentru orice X = A(X’), Y = A(Y’) avem
A([X,Y]) = A([A(X’),A(Y’)]) =
= A A([X’,Y’]) = [X’,Y’] =
= [A A(X’), A A(Y’)] =
= [A(X), A(Y)],
deci AAut L(G) si deci Aut L(G) este subgrup al grupului GL(L(G)).
Aratam ca Aut L(G) este multime inchisa in GL(L(G)).
Fie un sir (A de elemente din Aut L(G), convergent catre un element AGL(L(G)). Avem
A([X,Y]) = A([X,Y]) =
= [A(X), A(Y)] =
= [A(X),A(Y)],
deci AAut L(G), adica Aut L(G) este subgrup inchis in GL(L(G)). Prin urmare Aut L(G) este grup Lie.
ii) Aratam ca L(Aut L(G)) = Der L(G).
Stim ca daca H este subgrup inchis al grupului Lie G, atunci
hL(H) exp th H, tR.
Fie DL(Aut L(G)) exp tD Aut L(G), tR. Pentru orice X, Y L(G) si orice tR avem:
(exp tD) ([X,Y]) = [(exp tD)(X),(exp tD)(Y)]
D([X,Y]) = [D(X), D(Y)]
D([X,Y]) = [ D(X),D(Y)]
D([X,Y]) = [D(X),D(Y)].
De aici rezulta X, Y L(G)
D([X,Y]) = m! [D(X), D(Y)].
Pentru m = 1, obtinem
D([X,Y]) = [X,D(Y)] + [D(X),Y],
deci D este o derivare a algebrei Lie L(G). Am obtinut
L(Aut L(G)) Der L(G)
Fie acum DDer L(G). Avem
D([X,Y]) = [X,D(Y)] + [D(X),Y], X, Y L(G).
Stabilim prin inductie egalitatea
() D([X,Y]) = [D(X),D(Y)].
Pentru m = 1, egalitatea () este adevarata, deoarece D este derivare a algebrei Lie L(G). Presupunand egalitatea () adevarata pentru m, deducem:
D([X,Y]) = D(D([X,Y])) =
= D([D(X),D(Y)]) =
= D([D(X),D(Y)]) =
= {[D(X),D(Y)] + [D(X),D(Y)]}
= [D(X),D(Y)] +[D(X),D(Y)]
= [D(X),D(Y)] + [X, D(Y)] + [D,Y] +
+ [D(X),D(Y)] =
= [X, D(Y)] + [D(X),Y] + [D(X),D(Y)] +
+ [D(X),D(Y)] =
= [X, D(Y)] + [D(X),Y] + +
+ [ D(X), D(Y)] =
= [X, D(Y)] + [D(X),Y] + [D(X),D(Y)] =
= [D(X),D(Y)]
si deci egalitatea () este adevarata mN. Scriem () sub forma:
D([X,Y]) = [ D(X), D(Y)]
sau, pentru t R,
D([X,Y]) = [ D(X), D(Y)].
De aici rezulta
D([X,Y]) = [ D(X), D(Y)].
sau
(exp tD) ([X,Y]) = [D(X),D(Y)].
Avem deci egalitatea
(exp tD) ([X,Y]) = [(exp tD)(X),(exp tD)(Y)],
ceea ce ne arata ca exp tD Aut L(G), tR, adica D L(Aut L(G)). Am obtinut
Der L(G) L(Aut L(G))
Prin urmare avem
Der L(G) = L(Aut L(G)).
2.Grupuri liniare
Subgrupuri inchise ale grupului Lie GL(n, ).
Grupul liniar special.
Propozitie.
i)Multimea
SL(n, )={ A GL(n, ) | det A = 1 }
poate fi organizata ca grup Lie (numit grup liniar special).
ii)Algebra Lie L(SL(n, )) a grupului Lie SL(n, ) este algebra Lie sl(n, ) a matricelor de urma nula din gl(n, ).
Demonstratie:
i)Este evident ca SL(n, ) este o multime inchisa in varietatea GL(n, ). In plus, SL(n, ) este subgrup al grupului GL(n, ), deoarece daca A,BSL(n, ), atunci det(AB-1)=detA detB-1=1, deci AB-1SL(n, ). Conform teoremei lui Cartan, rezulta ca SL(n, ) este grup Lie.
ii)Stim ca algebra Lie gl(n, ) a grupului GL(n, ) este algebra matricelor patratice de ordinul n in care se introduce crosetul:
[A,B] = AB-BA.
Observam ca daca matricele A si B sunt de urma nula atunci matricea [A,B] este, de asemenea, de urma nula. Prin urmare putem considera subalgebra Lie
sl(n, ) a algebrei Lie gl(n, ) constituita din toate matricele de urma nula. Vom arata ca sl(n, )=L(SL(n, )).
Pentru a arata ca L(SL(n, )) sl(n, ) consideram o curba analitica
c: SL(n, ), cu c(0) = I = .
Deoarece c(t) SL(n, ) rezulta
det c(t) = det = 1, deci sau pe larg :
Facand t=0 si tinand seama de faptul ca rezulta :
sau
(*) .
Deci vectorul tangent in punctul I la grupul SL(n, ) verifica (*).
Rezulta ca L(SL(n, )) sl(n, ).
Consideram acum o matrice de urma nula Asl(n, ).
Este evident ca Agl(n, ). Am vazut ca aplicatia exponentiala a grupului Lie GL(n, ) exp : gl(n, )GL(n, ) se scrie
Consideram curba analitica c: GL(n, ) definita prin c(t)=eAt.
Avem c(0) = I. Notam w(t) = det c(t) = det eAt.
Este cunoscuta urmatoarea formula a lui Liouville :
Deoarece TrA = 0, din ultima formula rezulta w(t) = k(=const.), adica :
det eAt = k, t.
Pentru t = 0, din ultima egalitate obtinem:
k = det eA*0 = det I = det = 1,
deci det eAt = 1, adica eAtSL(n, ). Prin urmare curba analitica
c : tc(t) = eAtGL(n, )
are imaginea in SL(n, ) GL(n, ). Curba analitica c : GL(n, ) verifica condtiiile :
c(0) = I, Im c SL(n, )
Rezulta ca AL(SL(n, )), deci sl(n, )L(SL(n, )). Prin urmare L(SL(n, )) = sl(n, ).
Dimensiunea grupului Lie SL(n, ) este:
dim SL(n, ) = dim L(SL(n, )) = dim sl(n, ) = n2-1.
Grupul ortogonal
Propozitie.i)Multimea : O(n)={ AGL(n, )| A * TA = I } (TA este transpusa matricei A) poate fi organizata ca grup Lie(numit grupul ortogonal).
ii)Algebra Lie L(O(n)) este algebra Lie o(n) a matricelor antisimetrice din gl(n, ).
Grupul special ortogonal
Propozitie.i)Multimea SO(n)={A O(n) |det A = 1 } poate fi organizata ca grup Lie (numit grupul special ortogonal).
ii)Algebra Lie L(SO(n)) este algebra Lie o(n) a matricelor antisimetrice din gl(n, ).
Grupul ortogonal de tip (p,q)
Consideram forma biliniara simetrica < , > : p+qp+q -> <x,y>=-x1y1-…-xpyp+xp+1yp+1+…+xp+qyp+q.
Endomorfismele spatiului p+q care invariaza forma biliniara de mai sus se numesc transformari ortogonale de tip (p,q).
Daca privim pe x si y ca vectori coloana, atunci relatia de mai sus se scrie in notatie matriceala:
<x,y>=TxIp,qy, Ip,q =
Daca A este matricea unei transformari ortogonale generale de tip (p,q), atunci avem : <Ax,Ay> = <x,y> , x,yp+q
T(Ax)Ip,qAy = TxIp,qy, x,y p+q TxTAIp,qAy = TxIp,qy, x,yp+q
TAIp,qA = Ip,q.
De aici rezulta ca det A 0, deci A GL(p+q, ).
Propozitie. i)Mutimea O(p,q)={ AGL(p+q, )| TAIp,qA = Ip,q } poate fi structurata ca grup Lie (numit grupul ortogonal general de tip (p,q) ).
ii)Multimea o(p,q)={ Agl(p+q, )| TAIp,q + Ip,qA=0 } poate fi structurata ca algebra Lie.
iii)L(O(p,q)) = o(p,q);
Propozitie. i)GL(n,)0 este subgrup Lie al grupului Lie GL(2n, ).
ii)L este subalgebra Lie a algebrei Lie gl(2n, ).
iii)L(GL(n, )0) = L.
Propozitie. Fie GL(n, ) grupul multiplicativ al matricelor patratice nesingulare de ordinul n peste ( este corpul numerelor complexe).
Atunci :
i)GL(n, ) este subgrup Lie al grupului Lie GL(2n, );
ii)Algebra Lie a grupului Lie GL(n, ) este algebra Lie gl(n, ).
Subgrupuri inchise ale grupului Lie GL(n, )
In cadrul acestui subparagraf vom considera urmatoarele subgrupuri Lie :
grupul special liniar complex;
grupul unitar;
grupul special unitar;
grupul unitar de tip (p,q).
Grupul special liniar complex
Consideram multimea SL(n, )={ A GL(n, ) | det A = 1 }.
Daca A,B SL(n, ), atunci AB GL(n, ) si avem det(AB) = detA detB = 1. Rezulta ca AB SL(n, ).
Din det A= 1, rezulta ca det A-1 = 1, deci A-1 SL(n, ). Prin urmare, SL(n, ) este subgrup al grupului al grupului GL(n, ). Deoarece SL(n, ) este multime inchisa in varietatea GL(n, ) , rezulta ca SL(n, ) este subgrup inchis al grupului Lie GL(n, ) si conform teoremei lui Cartan, SL(n, ) este subgrup Lie (numit grupul special liniar complex).
Algebra Lie a grupului Lie SL(n, ) este
L(SL(n, ))=sl(n, )={A gl(n, ) | TrA = 0 }.
Grupul unitar
Fie multimea U(n)={ AGL(n, ) | A-1 = }, unde este conjugata matricei transpuse lui A. Daca A,B U(n), avem :
=====B-1A-1=(AB)-1,
Rezulta ca ABU(n) si A-1U(n). prin urmare , U(n) este subgrup al grupului GL(n, ). In plus, U(n) este multime inchisa in varietatea GL(n, ). Conform teoremei lui Cartan, U(n) este subgrup Lie al grupului Lie GL(n, ) (numit grupul unitar). Algebra Lie a grupului Lie U(n) este
L(U(n))= u(n) = { Agl(n, ) | A+ = 0 }.
Grupul special unitar
Fie multimea SU(n) = { AU(n) | det A = 1 }.
Se constata cu usurinta ca SU(n) este subgrup inchis al grupului Lie U(n). Folosind teorema lui Cartan rezulta ca SU(n) este subgrup Lie (numit grupul special unitar). Deoarece SU(n) = SL(n, ) U(n), rezulta L(SU(n)) = L(SL(n, )) L(U(n)) si deci algebra Lie a grupului Lie SU(n) este
L(SU(n)) = su(n) = { Agl(n, ) | Tr A= 0, A + = 0 }, unde este conjugata matricei transpuse lui A.
Grupul unitar de tip (p,q)
Definim forma biliniara < , > : nn -> prin
unde p+q = n;x,yn.
Daca privim pe x si y ca vectori coloana, atunci relatia de mai sus se scrie in notatie matriceala :
.
Endomorfismele spatiului n care invariaza forma biliniara de mai sus se numesc transformari unitare de tip (p,q).Notam cu A matricea asociata unei astfel de transformari.
Avem <A x, A y> = < x , y > ,x,y n sau ceea ce implica .
De aici rezulta Ultima egalitate iumplica det A 0, deci A GL(n, ).
Propozitie.i)Multimea poate fi organizata ca un grup Lie(numit grupul unitar de tip (p,q) ).
ii)Multimea poate fi structurata ca algebra Lie.
iii)L(U(p,q)) = u(p,q).
3.Teorema lui Chevalley
Fie G un grup Lie si H un subgrup inchis al sau. Definim o relatie de echivalenta in G : a ~ b exista yH astfel incat a = by. O clasa oarecare de echivalenta o notam cu =aH. Notam G/H={ aH | aG }.
Consideram aplicatia : G -> G/H definita prin (a)=aH=.
Este evident ca proiectia canonica este aplicatie surjectiva. Cu ajutorul aplicatiei introducem o topologie pe G/H. Spunem ca o multime QG/H este multime deschisa, daca -1(Q) este deschis in G.
Fie Q, G/H, astfel incat multimile -1(Q), -1() sunt deschise in G. Rezulta ca -1(Q)=-1(Q) -1() = multime deschisa in G.
Rezulta ca Q este multime deschisa in G/H. Fie QiG/H, iI, astfel incat
-1(Qi) este multime deschisa in G, pentru orice iI.
Deoarece avem = multime deschisa in G, rezulta ca este multime deschisa in G/H. Deoarece -1(G/H) = G si sunt multimi deschise in G, rezulta ca G/H si sunt multimi deschise in G/H si deci avem intr-adevar o topologie pe G/H.
Din felul in care am introdus topologia pe G/H rezulta ca aplicatia este continua.
Propozitie. Aplicatia este deschisa.
Propozitie. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)G/H este separat;
ii)H este inchis.
Teorema lui Chavalley. Fie G un grup Lie si H un subgrup inchis al sau. Exista o unica structura analitica pe G/H, astfel incat proiectia canonica
:aG ->(a) = aH G/H este analitica si G/H este varietate cat a lui G. Dimensiunea varietatii G/H este dim G/H = dim G – dim H.
Propozitie. Fie G un grup Lie si H un subgrup inchis al sau. Notam :
, .
Alegem un al doilea subspatiu LTeG, astfel incat TeG = L F.
Consideram aplicatia :LH -> G definita prin (k,y)= (exp k)y, kL, y H.
Atunci exista o vecinatate WL a lui 0 in L, astfel incat se restrictioneaza la un difeomorfism analitic :WLH -> Q, unde Q este o multime deschisa in G.
Propozitie. Mentinem notatiile din propozitiile anterioare. Consideram aplicatia :
definita prin : . Atunci :
i)Urmatoarea diagrama este comutativa :
.
ii)Aplicatia este homeomorfism intre WL si (WL) = (Q) = multime deschisa in G/H.
iii)Q = QH.
iv)-1((Q)) = Q.
Fie a G. Consideram aplicatia Ta: G/H -> G/H definita prin Ta(bH)=(ab)H.
Propozitie. Definita aplicatiei Ta este independenta de alegerea reprezentantului din clasa .
Propozitie.i)Urmatoarea diagrama este comutativa :
ii)Ta este homeomorfism.
Propozitie. Folosim notatiile din propozitiile anterioare. In plus, pentru aG, consideram multimea si aplicatia .
Atunci:
i) este multime deschisa in G/H.
ii) a este homeomorfism.
Propozitie. Familia este un atlas analitic pe G/H.
Definitie. Varietatea G/H se numeste spatiu omogen.
Propozitie.i)Urmatoarea diagrama este comutativa :
ii)Proiectia canonica : G -> G/H este analitica si de rang maxim in fiecare punct.
Propozitie. Fie G un grup Lie si H un subgrup inchis al sau. Presupunem ca H este subgrup normal, adica aH = Ha oricare ar fi aG. Atunci :
i)Exista o structura de grup Lie pe G/H astfel incat proiectia canonica : G ->G/H este homomorfism de grupuri Lie.
ii)L(G/H) = L(G) / L(H).
Propozitie. Fie G si G’ doua grupuri Lie si h: G -> G’ un homomorfism de grupuri Lie. Atunci h(G) este grup Lie.
Propozitie. Fie G un grup Lie si fie Ge componenta conexa a varietatii G care contine elementul neutru e. Atunci :
i)Ge este subgrup Lie al grupului G.
ii)Ge este subgrup normal.
iii)L(Ge) = L(G).
4.Actiuni ale unui grup Lie intr-o varietate analitica.Spatii omogene.
Definitie. Fie G un grup Lie si M o varietate analitica. Se numeste actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea analitica M orice aplicatie T : MG -> M care verifica urmatoarele conditii:
1)T este o aplicatie liniara;
2)T(T(p,a),b)=T(p,ab), a,bG, pM.
3)T(p,e)=p, pM.
Grupul Lie G se numeste grup Lie de transformari la dreapta pe varietatea M. Analog se definesc actiunile la stanga si grupurile Lie de transformari la stanga.
Observatie. Actiunile la dreapta si la stanga pot fi puse in corespondenta in modul urmator :
Fie T : MG -> M o actiune la dreapta. Atunci aplicatia T’ : GM -> M definita prin T’(a,p) = T(p,a-1), pM, aG este o actiune la stanga.
Intr-adevar, aplicatia T’ este analitica, fiind compunere de aplicatii analitice. In continuare avem :
T’(e,p) = T(p,e-1) = T(p,e) =p, pM.
In plus, pentru orice a,bG si orice pM, rezulta :
T’(ab,p) = T(p,(ab)-1) = T(p,b-1a-1) = T(T(p,b-1),a-1) = T(T’(b,p),a-1)=T’(a,T’(b,p)).
Prin urmare aplicatia T’ este actiune la stanga a grupului Lie G in varietatea M.
Analog se poate defini o actiune la dreapta plecand de la o actiune la stanga.
Exemple :
1)Fie g un grup Lie. Multiplicarea in grupul Lie G
este o actiune la stanga(sau la dreapta) a grupului Lie G in varietatea analitica G.
2)Fie grupul Lie G=GL(n, ) si varietatea analitica M=n. Definim aplicatia :
T : nGL(n, )n prin T(x,a) = xa.
Mai precis, daca xn este vectorul (xi) si aGL(n, ) este matricea atunci T(x,a) n este vectorul .
Actiunea T se scrie explicit :
(actiunea canonica a grupului GL(n, ) in varietatea n).
3)Fie G un grup Lie. Atunci aplicatia T : GGG definita prin :
T(a,b) = aba-1 este o actiune la stanga a grupului Lie G in varietatea G.
Intr-adevar, T este o aplicatie analitica. Pentru orice a,b,cG avem :
T(a,T(b,c)) = aT(b,c)a-1 = abcb-1a-1 = (ab)c(ab)-1 = T(ab,c).
In plus, pentru orice aG, avem :
T(e,a) = eae-1 = a.
4)Fie G un grup Lie. Atunci aplicatia T : (GG) GG definita prin :
t((a,b),c)) = acb-1, (a,b) GG,cG este o actiune la stanga a grupului Lie GG in varietatea G.
5)Fie G un grup Lie si M o varietatea analitica. Atunci aplicatia :
T : (MG) GMG definita prin :
T((x,a),b) = (x,ab), (x,a) MG, bG este o actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea MG.
6)Fie G un grup Lie, V un spatiu vectorial de dimensiune finita si fie h:GGL(V)
o reprezentare a grupului Lie G pe spatiul vectorial V, adica h este un homomorfism de grupuri Lie ( GL(V) este grupul Lie al endomorfismelor nesingulare de la V la V). V are o structura naturala de varietate analitica reala.
Definim aplicatia : T : GVV prin formula
T(a,v) = h(a)v, aG, vV.
Stim ca h este aplicatie analitica. Deoarece h(a) este aplicatie liniara, rezulta ca aplicatia T este analitica.
Pentru orice vV avem : T(e,v) = h(e)v = v.
Pentru orice a,bG si orice vV, rezulta :
T(a,T(b,v)) = h(a)T(b,v) = h(a)h(b)v = h(ab)v = T(ab,v).
Prin urmare aplicatia T este o actiune la stanga a grupului Lie G in varietatea analitica V.
Propozitie. Fie G un grup Lie, M o varietate analitica si fie T: MG -> M o actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea M. Atunci aplicatia este o actiune la dreapta a grupului Lie TG in varietatea analitica TM.
Propozitie. Fie T : MG -> M o actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea analitica M.
i)Pentru orice aG, aplicatia Ta: xM -> Ta(x)= T(x,a) M este difeomorfism analitic (Ta se numeste translatia la dreapta).
ii)Multimea translatiilor la draepta {Ta | aG} poate fi structurata ca un grup, operatia de inmultire fiind definita prin relatia Ta Tb = Tb Ta = Tab. Acest grup va fi notat prin T(G,M).
iii)Fie xM si aplicatia Tx: G -> M definita prin Tx(a) = T(x,a).
Aplicatia Tx este analitica.(Imaginea aplicatiei Tx se numeste orbita punctului x in raport cu actiunea T).
iv)Fie xM. Multimea Hx= { aG | Ta(x) = x } este un subgrup Lie al grupului Lie G.( Hx se numeste subgrupul de stabilitate al punctului x in raport cu actiunea T).
Propozitie. Fie T: MG -> M o actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea analitica M.
i)Fie x, x’ M. Daca x’ImTx atunci ImTx = ImTx’.
ii)Fie Hx subgrupul de stabilitate al unui punct xM in raport cu actiunea T. Daca Hx = G, atunci orbita ce contine punctul x se reduce la un punct.
Definitie. Fie T : MG -> M o actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea analitica M.
i)Se spune ca grupul G actioneaza efectiv asupra lui M, daca relatia Ta = Te implica a=e.
ii)Spunem ca grupul Lie G actioneaza tranzitiv in varietatea M, daca pentru orice x,yM, exista aG astfel incat Ta(x) = y.
iii)Spunem ca grupul Lie G actioneaza simplu tranzitiv in varietatea M, daca pentru orice x,yM, exista un unic element aG astfel incat Ta(x)=y.
iv)Spunem ca grupul Lie G actioneaza aproape liber in varietatea M, daca pentru fiecare xM grupul sau de stabilitate Hx este discret.
v)Spunem ca grupul Lie G actioneaza liber in varietatea M, daca relatia Ta(x) = x, pentru cel putin un punct xM, implica a=e.
Propozitie. Fie T: MG -> M o actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea M. Atunci He= { aG | Ta = IdG } este divizor normal al lui G.
Propozitie.Fie T : MG -> G o actiune la dreapta. Daca grupul Lie G actioneaza simplu tranzitiv atunci translatiile Ta (ae) nu au puncte fixe.
Propozitie. Fie T: MG -> M o actiune la dreapta si fie T(G,M) grupul translatiilor la dreapta.
i)Aplicatie h : G -> T(g,M) definita prin h(a) = Ta este un homomorfism de grupuri.
ii)Daca actiunea T este afectiva atunci h este izomorfism de grupuri.
iii)Exista un izomorfism intre grupul translatiilor T(G,M) si grupul factor G/He.
Propozitie. Fie T: MG -> M o actiune la dreapta. Daca grupul Lie G actioneaza tranzitiv, atunci orice doua subgrupuri de stabilitate sunt conjugate.
Definitie. O varietate analitica M pe care actioneaza un grup Lie G astfel incat actiunea este tranzitiva, se numeste spatiu omogen al lui G.
Exemple:
1)G este spatiu omogen al sau.
2)Daca H este subgrup inchis al grupului Lie G atunci G/H este varietate analitica reala. Aplicatia T :GG/HG/H, T(a,bH) = abH este actiune.
Aceasta actiune este tranzitiva deoarece oricare ar fi a,bG avem T(ba-1,AH)=bH.
Prin urmare G/H este spatiu omogen al lui G.
Propozitie. Fie T : GM -> M o actiune tranzitiva, pM si Hp subgrupul de stabilitate al punctului p. Atunci :
i)aplicatia f: G/Hp -> M, f(aHp) = T(a,p) este un difeomorfism analitic.
ii)aplicatia G -> M, a -> Tp(a) este submersie analitica.
=== Capitolul 3 ===
Capitolul 3.Conexiuni invariante pe un grup Lie
1.Conexiuni liniare stang invariante pe un grup Lie. Conexiunile Cartan-Schouten
Definitie. Se numeste conexiune liniara pe varietatea analitica M orice aplicatie :
cu proprietatile:
i);
ii);
iii);
iv)
oricare ar fi X,Y,Z , oricare ar fi f .
Observatie. Unei conexiuni liniare pe o varietate analitica M ii corespund doua campuri tensoriale T si R, numite torsiunea si curbura conexiunii .
Aplicatiile :
si
sunt definite prin formulele:
Definitie.Fie o conexiune liniara pe varietatea analitica M si o curba analitica regulata. Vom nota cu campul vectorial tangent curbei. Curba c se numeste -autoparalela daca exista o functie astfel incat:
.
Definitie. Fie G un grup Lie si fie o conexiune liniara pe G. Spunem ca este conexiune stang invarianta pe G daca :
X,Y (G), aG.
Observatie. Analog se definesc conexiunile liniare drept invariante. O conexiune liniara pe grupul Lie G care este simultan stang si drept invarianta se numeste
bi-invarianta.
Propozitie 1. Fie G un grup Lie si fie {E1,…,En} o baza in algebra Lie L(G).
Consideram o conexiune liniara pe varietatea G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i) este conexiune stang invarianta pe G;
ii) XYL(G), X,YL(G);
iii) L(G), i,j{1,…,n};
Demonstratie :
i)=>ii)
Deoarece este stang invarianta, avem (*) X,Y (G), aG. In particular, pentru X,YL(G), din relatia (*) obtinem
, ceea ce ne arata ca L(G).
ii)=>iii)
Deoarece L(G), oricare ar fi X,YL(G), rezulta L(G) oricare ar fi i,j{1,…,n}.
iii)=>ii)
Fie X,YL(G), deci X = aiEi, Y = biEi, unde a1,…,an , b1,…,bn sunt constante reale.
Din L(G) obtinem aibjL(G), adica L(G).
ii)=>i)
Vom folosi formulele :
si
, unde f,f’(G), X(G),aG.
Fie X,Y(G). Avem X = XiEi, Y = YjEj, unde X1,…,Xn , Y1,…,Yn(G). Rezulta :
Pe de alta parte avem :
Prin urmare avem :
adica este o conexiune stang invarianta pe grupul Lie G.
Propozitie 2. Fie o conexiune liniara pe un grup Lie G. Definim conexiunile liniare , : (G) (G) (G) prin :
XY = YX + [X,Y] , = ½ (+),X,Y(G).
( este transpusa conexiunii , iar este conexiunea simetrica asociata lui ).
Daca este stang invarianta atunci si conexiunile liniare si sunt stang invariante.
Demonstratie:
Este evident ca si sunt conexiuni liniare pe G. deoarece este stang invarianta, avem X,Y(G) :
adica este stang invarianta. Analog demonstram ca conexiunea liniara este stang invarianta.
Propozitie 3. Fie G un grup Lie, L(G) algebra sa Lie. Consideram o baza {E1,…,En} a spatiului vectorial L(G). Atunci :
i)exista si sunt unice conexiunile liniare :
, ,: (G) (G) (G), care pe L(G) sunt definite prin :
1)
2)
3)
ii)conexiunile liniare ,, sunt stang invariante.
iii)conexiunile liniare , si admit aceleasi curbe autoparalele.
iv)avem formulele :
, unde sunt respectiv campurile tensoriale de torsiune ale conexiunilor , si .
Demonstratie:
i)Presupunem ca este o conexiune liniara pe M. Fie X = XiEi , Y = YjEj doua campuri din (G), deci Xi, Yj (G), i,j = 1,…,n. Avem :
si folosind 1), obtinem formula :
(*)
Aplicatia : (G) (G) (G) definita prin formula (*) este o conexiune liniara pe G.
Unicitatea aplicatiei reiese din constructie.
Presupunem acum ca este o conexiune liniara pe G. Pentru orice campuri
X = XiEi , Y=YiEi (G) avem :
.
Tinand seama de 2) obtinem formula :
(**)
Aplicatia : (G) (G) (G) definita prin formula (**) este o conexiune liniara pe G. Unicitatea aplicatiei reiese din constructie.
Presupunem acum ca este o conexiune liniara pe G. Pentru orice campuri
X = XiEi , Y = YiEi(G) avem :
si tinand seama de 3) obtinem formula :
(***)
Aplicatia : (G) (G) (G) definita prin formula (***) este o conexiune liniara pe G. Unicitatea aplicatiei reiese din constructie.
ii)Deoarece EiL(G) rezulta [Ei , Ej] L(G) si deci :
Folosind propozitia 1 obtinem ca conexiunile liniare , si sunt stang invariante.
iii)Fie , , conexiunile simetrice asociate lui , si .
Pentru orice X = XiEi , Y = YiEi(G) avem:
.
Din observatia : “Doua conexiuni liniare simetrice si pe o varietate analitica M, admit aveleasi curbe autoparalele daca si numai daca exista o l – forma pe M astfel incat sa avem formula lui Weyl :
” rezulta ca conexiunile liniare , si admit aceleasi curbe paralele.
iv)Folosind formula :
obtinem rezultatul.
Observatie. i)Conexiunile , , au fost considerate de E.Cartan si J.Schouten, deaceea sunt numite conexiunile Cartan-Schouten.
ii)Fie campurile tensoriale de curbura ale conexiunilor ,,. Atunci obtinem:
.
Propozitie 4. Fie si doua conexiuni liniare simetrice pe un grup Lie G.
Presupunem ca si admit aceleasi curbe autoparalele, adica exista o l-forma astfel incat sa avem formula Weyl :
(*)
i)Daca si sunt stang invariante, atunci si este stang invarianta;
ii)Daca si sunt stang invariante, atunci si este stang invarianta.
Demonstratie:
i)Se stie ca l-forma este stang invarianta daca (X) = const., XL(G). Fie {E1,…,En} o baza in algebra Lie L(G). Deoarece si sunt stang invariante avem:
(**)
Folosind relatia (*) rezulta:
(***)
Din (**) si (***) obtinem , adica conexiunea este stang invarianta.
ii)Deoarece si sunt conexiuni stang invariante avem :
(****)
Din (*) si (****) obtinem :
(*****)
Din (*****) si (*) rezulta, pentru orice aG, relatia :
(******)
Relatia (******) ne arata ca :
(*******)
in particular, pentru Y = X, din (*******) obtinem , ceea ce ne arata ca (X) = const., XL(G), adica l-forma este stang invarianta.
Propozitie 5. Fiecarei conexiuni liniare stang invariante pe un grup Lie G ii corespunde o unica aplicatie -biliniara L(G) L(G) L(G) si reciproc, fiecarei aplicatii -biliniare L(G) L(G) L(G) ii corespunde o unica conexiune liniara stang invarianta pe grupul Lie G.
Demonstratie:
Fie o conexiune liniara stang invarianta pe G. Pentru orice X,YL(G) campul vectorial : b(X,Y) = XY este stang invariant si este evident ca aplicatia
b : (X,Y) L(G)L(G) b(X,Y) = XYL(G) este -biliniara.
Reciproc, fie b : L(G) L(G) L(G) o aplicatie -biliniara si sa aratam ca exista o unica conexiune liniara stang invarianta pe G, cu :
XY = b(X,Y), X,YL(G).
Alegem o baza {E1,…,En} in L(G). Notam
Presupunem ca conexiunea liniara exista. Vom scrie :
Sa cautam o formula pentru . Fie X = XiEi , Y = YiEi (G), unde Xi, Yj(G) i, j = 1,…,n . Avem :
Se constata cu usurinta ca aplicatia : (G) (G) (G) definita prin :
este o conexiune liniara pe varietatea G. Unicitatea lui este evidenta. Prin urmare aplicatiei -biliniare b ii corespunde o unica conexiune liniara stang invarianta pe grupul Lie G.
Propozitie 6. Fie {E1,…,En} o baza in algebra Lie L(G) a unui grup Lie G si fie
b : L(G) L(G) L(G)
o aplicatie -biliniara. Atunci :
i)exista si sunt unice conexiunile liniare , ,: (G) (G) (G) care pe L(G) sunt definite prin :
pentru orice indici i,j{1,…,n}.
ii)daca aplicatia -biliniara b este antisimetrica, atunci conexiunile liniare ,, admit aceleasi curbe autoparalele.
iii)conexiunile , si sunt stang invariante.
iv)sa se determine curburile conexiunilor si .
Demonstratie:
i)Pentru X = XiEi , Y = YiEi (G) se obtin formulele urmatoare :
,
,
.
ii)Fie , si conexiunile simetrice asociate respectiv lui , si . Pentru orice X = XiEi , Y = YiEi(G) avem :
(6.1)
(6.2)
(6.3)
Folosind formulele (6.1) , (6.2) si (6.3) obtinem ca daca aplicatia -biliniara b este antisimetrica atunci = = , ceea ce ne arata ca conexiunile , si admit aceleasi curbe autoparalele.
iii)Se foloseste propozitia 5.
iv)Avem :
,
Unde sunt constantele de structura ale algebrei Lie L(G) relative la baza considerata. Daca notam :
atunci avem :
(6.4)
(6.5)
Propozitie 7. Fie G un grup Lie. Exista o corespondenta bijectiva intre multimile:
{ : (G) (G) (G) | este conexiune stang invarianta pe G} ,
{b : TeGTeG TeG | b este -biliniara }
data de , X,YTeG.
Fie XTeG. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)b(X,X) = 0;
ii)curba autoparalela t este un homomorfism analitic al lui in G, unde este curba -autoparalela ce trece prin e si este tangenta vectorului X.
Demonstratie:
Dandu-se o aplicatie -biliniara b : TeGTeG TeG definim prin :
(7.1)
unde {E1,…,En} este o baza in TeG, iar L(G), (e) = Ei, i{1,…,n}.
Fie X,YTeG si fie = Xi , = Yi , unde Xi , Yj (G). Daca notam:
b(Ei,Ej) = , atunci obtinem formula :
(7.2)
Se constata usor ca definita prin formula (7.2) este o conexiune liniara stang invarianta pe G. Unicitatea lui este evidenta.
Reciproc, fiind data o conexiune liniara stang invarianta pe G, definim aplicatia :
b : TeGTeG TeG
prin formula
.
Este evident ca b este -biliniara.
Fie XTeG si fie L(G) cu (e) = X.
Local, stim ca exista traiectorii ale campului , adica exista >0 si : [0, ]G, cu
(7.3) (0) = e si (a) = , s[0, ].
Prin inductie, definim (t) = (n)(t-n), daca t[n,n+], n.
Pentru t [n,n+] avem :
(7.3’)
unde (resp. ) este translatia stanga a grupului Lie G (resp. R) definita de elementul ((n))-1G (resp. -nR).
Din (7.3’) obtinem :
(7.3’’)
Stim ca curba analitica verifica conditiile :
(7.4) (0) = e si , s[0, ].
Deoarece t[n,n+] rezulta t-n[0, ] si folosind (7.4) obtinem :
(7.5)
Folosind propozitia : “Fie X(M) si fie c : I M o traiectorie a campului X. Consideram translatia , Atunci :
i). “ avem :
(7.6)
Tinand seama de relatiile (7.3’’), (7.5) si (7.6), rezulta :
Deoarece L(G), avem:
Am obtinut egalitatea :
Prin urmare (7.3) este adevarat pentru orice s0.
i)=>ii)
Deoarece b(X,X) = 0, rezulta Deoarece L(G), egalitatea ()(e) = 0 implica = 0, adica campul este -autoparalel. Prin urmare arcul de curba (t) (t0) este un arc de curba -autoparalela.
Din unicitatea curbei -autoparalele ce trece prin punctul e = (0) si este tangenta vectorului XTeG, rezulta :
(t) = (t) , t0
( este curba -autoparalela ce trece prin punctul e = (0) = (0) si este tangenta vectorului XTeG ).
Se stie ca pentru fiecare conexiune liniara avem (-t) =(t).
Deoarece b(-X,-X) = 0 rezulta (t) este definita pentru orice t. Sa aratam ca aplicatia analitica : G este homomorfism de grupuri.
Fie s0 si fie curbele :
t (t+s) , t (s) (t)
Ambele curbe trec prin punctul (s). In acest punct curba t (t+s) este tangenta vectorului , iar curba t (s) (t) are ca vector tangent vectorul .
Folosind relatia (7.3) avem :
Deoarece conexiunea este stang invarianta curbele :
t (t+s) si t (s)(t) sunt curbe -autoparalele. Deoarece ambele curbe -autoparalele trec prin punctul (s) si sunt tangente vectorului
rezulta
Tinand seama de egalitatea :
(t) = (-t) obtinem
(s+t) = (s)(t), s,t.
Prin urmare curba autoparalela t (t) este subgrup cu un parametru.
ii)=>i)
Fie h : G un subgrup cu un parametru al grupului Lie G astfel incat .
Deoarece h(t+s) = h(t)h(s), obtinem :
h(0) = e , .
In particular, daca curba autoparalela t (t) este subgrup cu un parametru avem : = 0 pe curba (t).
Rezulta :
b(X,X) = ()(e) = 0.
Corolar. Fie XTeG. Atunci exista un unic subgrup cu un parametru h : G, astfel incat .
Demonstratie:
Fie o conexiune liniara pe G pentru care b(X,X) = 0 si fie t(t) curba – autoparalela ce trece prin e si este tangenta vectorului X. Atunci h = este un subgrup cu un parametru al lui G cu proprietatile cerute in corolar.
Intr-adevar, din propozitia anterioara avem :
Unde L(G) , (e) = X. Deoarece (0) = = e = X, avem
Din h(0) = e, si b(X,X) = 0 obtinem ca t h(t) este o curba -autoparalela. Deoarece exista o unica curba -autoparalela ce trece prin e si este tangenta vectorului X, obtinem h = .
Aplicatie:
Consideram multimea G=4 – { x3 = -1 } si aplicatia :GGG definita prin:
(i)Sa se arate ca G cu legea data este un grup Lie.
(ii)Sa se determine campurile vectoriale stang invariante E1, E2, E3, E4 care in elementul neutru e al grupului G iau valorile
(iii)Sa se afle constantele de structura relative la baza considerata.
(iv)Se considera pe G conexiunile liniare ,,.Sa se arate ca ,, admit aceleasi curbe paralele.
(v)Sa se scrie ecuatiile parametrice ale curbelor autoparalele ale conexiunii .
Rezolvare :
(i)Evident 4 – { x3 = -1 } este o multime deschisa in varietatea 4, deci
4 – { x3 = -1 } este o varietate analitica de dimensiune patru. este o lege de grup in multimea punctelor lui G.
Elementul neutru al grupului G este e=(0,0,0,0). Deoarece este aplicatie analitica rezulta ca G este un grup Lie de dimensiune patru.
(ii)Fie Ei (i{1,2,3,4}) campurile de vectori stang invariante care verifica conditia Ei(e) = .Avem :
De aici rezulta ,deci
(*’)
Pentru orice a’G avem xiLa(a’) = xi(aa’), i{1,2,3,4}. Folosind (*) rezulta:
De aici obtinem :
Folosint acum relatiile (*’) avem
Analog gasim
In continuare obtinem :
Prin urmare, campurile vectoriale stang invariante cautate sunt:
(iii) Exte evident ca E1, E2, E3, E4 formeaza o baza in algebra Lie a campurilor vectoriale stang invariante pe grupul Lie G.
Avem :
Deci constantele de structura relative la baza {E1,E2,E3,E4} sunt :
celelalte fiind 0.
(iv)Se foloseste propozitia 3.
(v)Avem :
Notam cu componentele conexiunii , deci :
Acem :
, celelalte componente fiind nule.
Ecuatiile diferentiale ale curbelor autoparalele ale conexiunii sunt:
Ecuatiile parametrice ale curbelor autoparalele situate in planul x3=a3(=ct-1) sunt:
Unde .
Ecuatia a treia a sistemului se poate scrie sub forma :
De aici rezulta :
Din a treia ecuatie a sistemului rezulta :
x3 = eat+b-1 , a,b.
Vom presupune a0. Inlocuind valoarea lui x3 in prima, a doua si a patra ecuatie a sistemului obtinem:
unde a1, a2, a4, b1, b2, b4.
Facand schimbarea de parametru s = at+b, ecuatiile parametrice ale curbelor autoparalele ale conexiunii se scriu:
Propozitie 8. Fie o conexiune liniara stang invarianta pe grupul Lie G si fie
b : L(G) L(G) L(G) aplicatia -biliniara data de b(X,Y) = XY, X,YL(G).
Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)conexiunea este bi-invarianta.
ii)aplicatia b este Ad G-invarianta, adica satisface relatia :
(Ad a)(b(X,Y)) = b((Ad a)(X),(Ad a)(Y)), aG, X,YL(G).
2.Algebre de deformare asociate unui grup Lie
In acest paragraf vom nota cu G un grup Lie de dimensiune n si cu L(G) algebra Lie a lui G. Fie {E1,…,En} o baza fixata in spatiul vectorial L(G).
Propozitie 1. Consideram campurile tensoriale :
= – , = – , A = – . Atunci :
i)toate elementele agebrei de deformare (G, ) sunt campuri 2-nilpotente.
ii)toate elementele agebrei de deformare (G, ) sunt campuri 2-nilpotente.
iii)toate elementele agebrei de deformare (G,A) sunt campuri 2-nilpotente.
iv)urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
a)Algebra (G, ) este asociativa;
b)Algebra (G, ) este asociativa;
c)Algebra (G, A) este asociativa;
d)Curbura conexiunii este nula.
Demonstratie:
Pentru orice X=XiEi, Y=YiEi(G) avem :
(2.1) A(X,Y) = XiYj[Ei,Ej] = 2(X,Y) = -2(X,Y).
De aici obtinem :
A(X,X) = (X,X) = (X,X) = 0, X(G), adica tocmai i), ii), iii).
iv)Fie campul tensorial de curbura al conexiunii . Avem :
Folosind relatiile patratice ale lui Lie :
obtinem formula:
(2.2)
a)b)c). Se folosesc egalitatile (2.1).
c)d). Algebra (G,A) este asociativa daca si numai daca oricare ar fi i,j,k{1,…,n} avem:
A(Ei,A(Ej,Ek)) = A(A(Ei,Ej),Ek)
sau
(2.3) [Ei,[Ej,Ek]] = [[Ei,Ej],Ek].
Tinand seama de identitatea lui Jacobi, din (2.3) rezulta ca [[Ei,Ek],Ej]=0 sau Aceste egalitati impreuna cu (2.2) ne arata ca avem (Ei,Ej)Ek = 0, oricare ar fi i,j,k{1,…,n}, adica = 0.
Corolar. Consideram campurile tensoriale :
= – , = – , A = – , unde ,, sunt conexiunile Cartan-Schouten considerate in propozitia anterioara. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)algebra (G,A) este asociativa;
ii)curbura mixta asociata perechii (,) este nula;
iii)curbura de deformare K asociata perechii (,) este nula;
iv)algebra (G, ) este asociativa;
v)curbura mixta asociata perechii (,) este nula;
vi)curbura de deformare asociata perechii (,) este nula;
vii)algebra (G, ) este asociativa;
viii)curbura mixta asociata perechii (,) este nula;
ix)curbura de deformare asociata perechii (,) este nula;
Demonstratie:
Folosind (2.1) rezulta A(Ei,Ej) = 2(Ei,Ej) = -2A(Ei,Ej) = [Ei,Ej]
De aici obtinem:
(2.1’)
i)iii)iv)vi)vii)ix) Se folosesc relatiile (2.1’) si propozitia anterioara i)ii)v)viii).
Prin calcul direct gasim:
si , unde este campul tensorial de curbura al conexiunii . Utilizand ultimele relatii si propozitia1 obtinem rezultatul cautat.
Propozitie 2. In conditiile de mai sus avem :
i)daca notam = – , = – , A = – , atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i1)algebra (G, ) este comutativa si asociativa;
i2)algebra (G, ) este comutativa si asociativa;
i3)algebra (G, A) este comutativa si asociativa;
i4)b este simetrica si , unde este campul tensorial de curbura al conexiunii (resp. ).
ii)daca notam atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
ii1) (G, ) este o algebra Lie;
ii2) (G, ) este o algebra Lie;
ii3) (G, A) este o algebra Lie;
ii4) si
iii)urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
iii1)toate elementele algebrei (G, ) sunt campuri speciale.
iii2)toate elementele algebrei (G, ) sunt campuri speciale.
iii3)toate elementele algebrei (G, A) sunt campuri speciale.
iii4)b=0;
iii5) =;
iii6) =;
iii7) =;
Demonstratie: i1)i2)i3). Se folosesc egalitatile A = -2 = 2.
i1)i4) Daca algebra (G,A) este simultan comutativa si asociativa, atunci trebuie sa avem :
(2.4)
Algebra (G,) este simultan comutativa si asociativa daca si numai daca b este simetrica si .
ii) Pentru orice X,YL(G) avem formulele :
ii1)ii2)ii3), ii4)ii1).Evident
ii1)ii4).Deoarece algebra (G, ) este anticomutativa, rezulta
Identitatea lui jacobi.
(X, (Y,Z))+ (Y, (Z,X))+ (Z, (X,Y)) = 0 ne conduce la :
iii) Se folosesc relatiile A = 2 = -2.
Propozitie 3. Fie X (G). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)X este camp principal in algebra (G, );
ii)X este camp principal in algebra (G, );
iii)X este camp principal in algebra (G, A);
Propozitie 4. Fie G un grup Lie conex. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)Grupul G este abelian;
ii)Reprezentarea adjuncta a lui G este triviala;
iii)Algebra (G, ) este abeliana;
iv)Algebra (G, ) este abeliana;
v)Algebra (G, A) este abeliana;
vi)Algebra L(G) este abeliana;
vii)Reprezentarea adjuncta a lui L(G) este triviala;
viii)Campurile stang si drept invariante coincid;
ix)Toate elementele (G)-modulului sunt derivari in algebra (G,A);
x)Toate elementele (G)-modulului sunt derivari in algebra (G, );
xi)Toate elementele (G)-modulului sunt derivari in algebra (G, );
3.Conexiuni liniare invariante pe spatii reductive
Fie G un grup Lie si H un subgrup inchis al sau. Notam cu L(G) si L(H) algebrele lor Lie.
Definitie. Spatiul omogen G/H se numeste reductiv daca exista un subspatiu ML(G) astfel incat sa avem :
i)L(G) = M L(H);
ii)(Ad h)(M) M, hH.
Observatie. i)In continuare presupunem ca H este normal, adica aH = Ha, aG. Atunci G/H admite o unica structura de grup Lie astfel incat proiectia canonica surjectiva este homomorfism de grupuri Lie. Putem identifica M cu .
ii)fie Ta : G/H G/H, Ta(bH) = abH. Avem egalitatea Ta = LaTa este analitica aG. Deoarece rezulta ca Ta este difeomorfism analitic.
Pentru orice aG, consideram aplicatia :
Da : G/H G/H, Da(bH) = bHa = baH.
Propozitie 1. Fie H un subgrup inchis si normal al grupului Lie G. Atunci :
i)urmatoarea diagrama este comutativa :
ii)Da este homeomorfism;
iii)Da este difeomorfism.
Demonstratie:
i)
Avem deci , .
ii)
Rezulta , deci aplicatiile si sunt inverse una alteia si avem . Rezulta ca este aplicatie bijectiva. Deoarece este continua si deschisa, iar Ra este difeomorfism analitic, rezulta ca este aplicatie continua si deschisa, deci este homeomorfism.
iii)Deoarece este analitica, iar este submersie analitica surjectiva, egalitatea ne arata ca este analitica, si deci este difeomorfism analitic.
Definitie. Fie : (G/H) (G/H) (G/H) o conexiune liniara pe G/H.
->Spunem ca este invarianta pe G/H (fata de difeomorfismul Th ) daca :
.
->Spunem ca este invarianta pe G/H (fata de difeomorfismul Dh) daca :
->Spunem ca este bi-invarianta pe G/H daca este invarianta atat fata de Dh cat si fata de Th, hH.
Propozitie 2. Fie G/H un spatiu reductiv. Exista o bijectie intre multimea conexiunilor bi-invariante pe G/H si multimea aplicatiilor -biliniare
ce satisfac conditia :
(ultima egalitate ne spune ca este AdH-invarianta).
Propozitie 3. Fie o conexiune liniara bi-invarianta pe spatiul omogen reductiv G/H si fie : MM M aplicatia -biliniara asociata lui . Atunci expresiile tensorului de torsiune si de curbura in punctul sunt date de :
T(X,Y) = (X,Y) – (Y,X) – [X,Y]M
R(X,Y)Z = (X, (Y,Z)) – (Y, (X,Z)) – ([X,Y]M,Z) – [[X,Y]L(H),Z],
unde indicele M marcheaza componenta in descompunere L(G) = ML(H), iar X,Y,ZM.
Propozitie 4. Pe un spatiu reductiv G/H exista o unica conexiune liniara simetrica pentru care imaginile prin : G G/H ale subgrupurilor cu un aprametru ale lui G sunt curbe -autoparalele. Aplicatia -biliniara asociata lui este data de :
(4.1)(X,Y)=[X,Y]M
Demonstratie:
Este evident ca din (X,X) = 0, rezulta (4.2) (X,Y) + (Y,X) = 0, deci este antisimetrica. Conditia T = 0 se scrie (4.3) (X,Y) – (Y,X) = [X,Y]M.
Din (4.2) si (4.3) se obtine (4.1).
4.Metrici invariante pe un Grup Lie
Definitie. Fie G un grup Lie de dimensiune n si g o metrica pseudo-riemanniana pe G.
Spunem ca g este metrica stang invarianta daca oricare ar fi X, Y L(G)
Functia: g(X, Y): G, ag(X,Y)(a) este constanta.
Obs. Analog se definesc metricile drept invariante.
Definitie. O metrica pseudo-riemanniana pe grupul Lie G se numeste bi-invarianta daca ea este simultan stang si drept invariant.
Propozitia 1. Fie g o metrica pseudo-riemanniana pe un grup Lie G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i) metrica g este stang invariant;
ii) toate translatiile la stanga sunt izomerii, adica
g((L)(X) , (L)(Y)) L= g(X,Y) , () X, Y(G), () a G.
Demonstratie.
i)ii). Fie {E,…,E} o baza in algebra Lie (G) a grupului Lie G si fie X, Y(G) doua campuri oarecare. Avem X=XE si Y= YE, unde X, Y(G), () i, j {1,…,n}. Pentru oricare a, b G, rezulta:
g((L)(X), (L)(Y)) L(b)=g((L) (X E),( L)( Y E))(ab)=
=g((X L)( L)( E), (Y L)( L)( E))(ab)=
=(( X L)( Y L))(ab)g(E, E)(ab)=
= X(b) Y(b)g(E, E)(b)=g(X, Y)(b),
Unde am folosit egalitatea g(E, E)(ab)=g(E, E)(b), () a,bG.
Prin urmare, am obtinut
g((L)(X), (L)(Y)) L=g(X,Y),
oricare ar fi X, Y (G) si () aG.
ii) i). Deoarece toate translatiile la stanga sunt izometrii, pentru
orice X, Y (G) si orice aG, avem:
g((L)(X), (L)(Y)) L=g(X,Y).
In particular, pentru X, Y L(G) din egalitatea anterioara rezulta:
g(X,Y)(ab)=g(X,Y)(b), () a,bG.
In particular, luand b=e, obtinem:
g(X,Y)=const., () X, Y L(G).
Propozitia 2. Fie { E,…, E} o baza in algebra Lie L(G) a grupurilor Lie G.
Exista si este unica metrica Riemann
g: (G) (G) (G),
care pe L(G) este definita prin:
(1.1) g(E, E)=;
ii)Metrica Riemann g definita prin formula (1.1) este stang invarianta;
iii)Fie conexiunea Levi-Civita asociata metricii Riemann g.
Consideram conexiunea liniara
:(G) (G) (G),
definita prin
E=0, () i,j{1,…,n}.
Notam A= -. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
iii)=;
iii) Algebra Lie L(G) este abeliana;
iii) Reprezentarea adjuncta a lui L(G) este triviala;
iii) Toate elementele algebrei de deformare U(G,A) sunt campuri speciale.
Corolar. Daca grupul Lie G este conex, atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i) =;
ii) Algebra Lie L(G) este abeliana;
iii) Reprezentarea adjuncta a lui L(G) este triviala;
iv) Campurile vectoriale stang invariante si cele drept invariante coincid;
v) Reprezentarea adjuncta a lui G este triviala;
vi) G este abelian;
vii) Toate elementele algebrei de deformare (G,A) sunt campuri speciale.
=== Capitolul1 ===
Capitolul 1.Grupuri si algebre Lie
Definitie: Fie o multime deschisa in R. Functia f : → R se numeste (real) analitica daca pentru orice a = (a, … , a) , exista o vecinatate U a lui a, astfel incat sa existe o serie de puteri
P(x) = (x – a) … (x – a)
Care sa convearga la f(x), aricare ar fi x = (x, … , x) U.
Daca functia f : → R admite derivate pana la ordinul r si are derivatele de ordinul r continue, spunem ca f este de clasa de diferentiabilitate C. O functie de clasa oricat de mare se numeste indefinit derivabila. Notam multimea functiilor de clasa C indefinit derivabile, respectiv (real) analitice pe cu C(), C(), respectiv C(). Se stie ca C( )C()C().
O functie f : → R se numeste diferentiabila de clasa C, indefinit derivabila sau real analitica daca are respectivele proprietati pe componente.
Definitie: O varietate topologica M, de dimensiune n se numeste diferentiabila de clasa C, C respectiv analitica daca pe M este fixat un atlas A = {(Ua,ha)} (cu Ua deschisi in M si ha aplicatiile de harta, ha : Ua → R astfel incat
ha h : hb(Ua∩Ub) → R
sa fie de clasa C, C respectiv analitice ori de cate ori Ua∩Ub .
Definitie: Fie M un spatiu topologic separat si baza numarabila si fie A = {a,b,…} o multime oarecare de indici. Se numeste structura analitica pe M o familie A={(Ua,ha) | a A}, unde Ua este o multime deschisa din M, iar ha este un homeomorfism de la Ua intr-un deschis ha(Ua) din R, astfel incat sunt indeplinite urmatoarele proprietati:
i) familia {Ua | aA}de deschisi din M formeaza o acoperire deschisa a lui M;
ii) pentru orice a,b A, pentru care Ua Ub ,aplicatia
hb ha : ha(Ua∩Ub) → hb (Ua∩Ub)
este analitica;
iii) pentru orice pereche (U,h) formata dintr-o multime deschisa U din M si un homeomorfism definit pe U cu imaginea intr-un deschis din R, cu proprietatea ca pentru orice (Ua,ha) A care verifica Ua∩U , aplicatia
h ha-1 : ha(UaU) → h (UaU)
este analitica, exista indicele b A astfel incat (U,h) = (Ub, hb).
Definitie: Se numeste varietate analitica un spatiu topologic separat si cu baza numarabila care este inzestrat cu o structura analitica.
Definitie: Fie M (respectiv M’) o varietate analitica reala de dimensiune n (respectiv n’) si fie f : M → M’ o aplicatie continua. Se spune ca f este aplicatie analitica daca pentru orice p M exista o harta (U,h) a varietatii M si o harta (U’,h’) a varietatii M’ cu p U, h(p) U’, astfel incat aplicatia
h’fh : h(Uf(U’)) → h’(U’f(U))
este analitica.
1.Grup Lie : Definitie,exemple,proprietati
Definitie: O multime G se numeste grup Lie de dimensiune n, daca ea satisface urmatoarele conditii :
Multimea G este inzestrata cu o structura de grup
De obicei operatia grupului va fi notata multiplicativ: (x,y)=xy;
Multimea G este inzestrata cu o structura de varietate analitica reala,de dimensiune finita n.
Operatia este o aplicatie analitica a varietatii analitice produs GxG pe varietatea analitica G.
Exemple :
1)Rn inzestrat cu structura canonica de varietate analitica reala si cu structura de grup aditiv este un grup Lie. Rn este un grup Lie conex, abelian, necompact, de dimensiune n.Elementul neutru al grupului este e=(0,0,…,0).
2) In multimea G=R2\{0} se poate introduce o structura de grup cu ajutorul numerelor complexe de modul nenul.Definim inmultirea a doua numere complexe : z=a1+ia2 , z’=a’1+ia’2 prin zz’= a1 a’1 – a2 a’2 +i(a1 a’2 + a2 a’1 ). Multimea G inzestrata cu legea de compozitie :GxG -> G definita prin
((a1,a2),(a’1,a’2))=( a1 a’1 – a2 a’2 , a1 a’2 + a2 a’1) este un grup. G este o varietate analitica reala de dimensiune doi. Deoarece aplicatia este analitica rezulta ca G este un grup Lie de dimensiune 2.Grupul Lie G este conex, abelian, necompact. Elementul neutru al grupului g este e=(1,0).
3)Fie multimea matricelor patratice de ordinul n cu elemente in .Consideram multimea GL(n, )={}.
Asociem fiecarei matrice punctul . In acest fel GL(n,) apare ca multime deschisa in .Rezulta ca GL(n,) este varietate analitica reala de dimensiune n2. Multimea GL(n,) impreuna cu operatia de inmultire a matricelor este un grup. Elementul neutru al grupului GL(n,) este matricea unitate de oridinul n. Deoarece aplicatia :
este analitica, rezulta ca GL(n,) este grup Lie. Grupul Lie GL(n,) este neconex, necompact, neabelian(daca n>1). Dimensiunea grupului Lie GL(n,) este n2. Grupul Lie GL(n,) este numit grupul liniar general real.
Propozitie.
i)Fie G un grup Lie. Pentru orice a G, aplicatiile si sunt difeomorfisme analitice. La (resp. Ra) se numeste translatia la stanga(resp. la dreapta) a grupului Lie G definita de elementul a G.
ii) Multimea translatiilor la stanga ale grupului Lie G inzestrata cu legea de compunere obisnuita a functiilor, formeaza un grup(numit primul grup al parametrilor al lui G).
iii) Primul grup al parametrilor al grupului Lie G este izomorf cu grupul G.
Demonstratie:
i)Notam cu e elementul neutru al grupului G. Pentru orice a G avem :
LaLa-1 = La-1 La = Le = IdG .
Rezulta ca aplicatia La este inversabila si (La)-1 = La-1. Aplicatia
xG (a,x) GG este analitica. Deoarece pentru orice aG, La este compunerea aplicatiilor analitice :
GGGG , x(a,x)(a,x) = ax = La(x) , rezulta ca aplicatia La este analitica. Am obtinut ca pentru orice aG , aplicatiile La si (La)-1 = La-1 sunt analitice.
Analog se arata ca Ra este difeomorfism analitic, oricare ar fii aG.
iii) Fie h aplicatia care asociaza fiecarui punct aG translatia la stanga La. Deoarece h(ab) = Lab = La Lb = h(a) h(b) rezulta ca h este homomorfism de grupuri. Homomorfismul h este injectiv deoarece h(a)=h(b) implica La=Lb, adica a=b. Deoarece h este surjectiv rezulta ca h este izomorfism de grupuri.
Propozitie. Fie G un grup Lie. Aplicatia de inversare este un difeomorfism analitic.
Demonstratie:
Deoarece jj= IdG, rezulta ca aplicatia j are inversa si j-1 = j.
Mai ramane sa aratam ca aplicatia j este analitica.
Consideram aplicatia : :GGGG definita prin (x,y)=(x, (x,y))=(x,Lx(y)).
este aplicatie bijectiva. Deoarece este aplicatie analitica rezulta ca si este analitica. Matricea iacobiana a aplicatiei este :
J()= unde I este matricea unitate de ordinul n = dim G, iar 1(resp. 2) este derivata Frechet partiala in raport cu x(resp. y).
Pentru x fixat, aplicatia :
Lx : yG Lx(y) = (x,y) G, este un difeomorfism analitic. Rezulta ca aplicatia
este un izomorfism liniar. Rezulta ca matricea aplicatiei liniare este nesingulara. Deoarece avem , rezulta ca si matricea J() este nesingulara. Aceasta ne arata ca inversa -1 a aplicatiei este analitica. Aplicatia -1 : GGGG este data prin : -1(x,y)=(x,x-1y).
Fixand al doilea argument y=e obtinem aplicatia analitica :
(x,e) -1(x,e) = (x,x-1) = (x,j(x)).
Deoarece -1 este aplicatie analitica, rezulta ca si componenta a doua este analitica, dei aplicatia j este analitica. Prin urmare aplicatia j=j-1 este un difeomorfism analitic.
Propozitie. Fie G o varietate analitica de dimensiuni finite inzestrata cu o structura de grup . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)G este grup Lie.
ii)Aplicatia este analitica.
Propozitie : Produsul direct a doua grupuri Lie este un grup Lie.
2.Actiuni ale grupului aditiv Lie intr-o varietate analitica
Definitie. Fie M o varietate analitica. Se numeste actiune a grupului aditiv Lie in varietatea M orice aplicatie :xM->M, care verifica urmatoarele conditii :
1) este o aplicatie analitica.
2) (t, (t’,p))= (t+t’,p), t,t’, pM
3) (0,p)=p, pM
Propozitie. Fie :xM->M o actiune a grupului aditiv Lie in varietatea analitica M.Atunci:
1)Pentru orice t aplicatia este difeomorfism analitic.
2)Multimea formeaza un grup in raport cu compunerea difeomorfismelor lui M.
3)fie pM si aplicatia: . Multimea este subgrup inchis al grupului Lie .(grupul de stabilitate al punctului p in raport cu actiunea . Imaginea aplicatiei p se numeste orbita punctului p in raport cu actiunea ).
Propozitie. Fie :xM->M o actiune a grupului (aditiv) Lie in varietatea analitica M.
1) Fie p,p’ M. Daca p’Imp, atunci ()=p’().
2) Fie Hp grupul de stabilitate al unui punct pM fata de actiunea .Daca Hp= atunci orbita ce contine punctul p se reduce la un punct.
Propozitie. Unei actiuni :xM->M I se poate asocia in mod canonic un camp de vectori tangenti la varietatea M.
Definitie. Fie :xM->M o actiune a grupului (aditiv) Lie in varietatea analitica M. Campul de vectori se numeste campul de vectori tangenti asociat actiunii .
Definitie. Fie M o varietate analitica si fie X(M). Se numeste traiectorie a campului X orice curba analitica astfel incat oricare ar fi tI.
Propozitie. Fie X un camp de vectori tangenti la varietatea analitica M si fie J1, J2 doua intervale deschise ale lui astfel incat 0. Fie doua traiectorii ale campului X, astfel incat 1(0)= 2(0). Atunci .
Propozitie. Fie X(M) si fie :xM->M, ’: x M->M doua actiuni. Daca X este un camp asociat atat actiunii cat si actiunii ’, atunci =’.
Definitie. Fie M o varietate analitica si fie X(M). Daca exista o actiune
:xM->M, astfel incat campul de vectori asociat actiunii este X, atunci X se numeste camp complet.
Definitie. Consideram o varietate analitica M. Fie U o multime deschisa in M, >0, =(-,) si aplicatia . Spunem ca formeaza un grup de transformari locale cu un parametru daca verifica urmatoarele conditii:
1) este aplicatie analitica;
2) pentru orice t,s cu t+s si s(p) U, pU, avem t+s=t * s.
3) 0(p)= (0,p)=p, pU.
Propozitie. Fie M o varietate analitica si fie Y (M). Pentru orice p0 M exista o vecinatate U a lui p0, un numar >0 si un grup de transformari locale cu un parametru astfel incat Y|U este campul de vectori asociat lui .
3.Algebre Lie.Definitie.Exemple.Constante de structura.
Definitie. Se numeste algebra Lie peste corpul comutativ K, o multime L, inzestrata cu o structura de K-spatiu vectorial si cu o aplicatie satisfacand urmatoarele conditii :
1.
2.
3.
Exemple : 1.Spatiul Euclidian impreuna cu operatia
[,]:(a,b) x->[a,b]=a b este o algebra Lie reala de dimensiune trei(cu a b este notat produsul vectorial obisnuit al vectorilor a,b ).
2.Fie A o algebra asociativa peste corpul comutativ K si fie ab produsul elementelor a,b A. Atunci spatial vectorial A, impreuna cu operatia
, este o algebra Lie peste corpul K.
3.Fie (M) multimea campurilor de vectori tangenti la o varietate analitica M. Multimea (M) impreuna cu operatiile de adunare a doua campuri de vectori si de inmultire a unui camp de vectori cu un scalar este un spatiu vectorial real. Ca operatie de inmultire in (M) vom considera paranteza Poisson a doua campuri de vectori definite prin . In acest fel (M) devine o algebra Lie reala, deoarece paranteza Poisson este antisimetrica, -liniara in fiecare argument si satisface identitatea lui Jacobi.
Definitie. i)Se numeste subalgebra Lie a algebrei Lie L, un subspatiu vectorial l’ al lui L,astfel incat a,bL’ implica [a,b] L’.
ii)Fie L’ o subalgebra Lie a algebrei Lie L.L’ se numeste ideal,daca aL’,bL implica [a,b] L’.
Propozitie. Fie L o algebra Lie peste un corp comutativ K si fie E1,…,ErL.Daca [Ei,Ej] sp(E1,…,Er) pentru orice i,j {1,2,…,r}, atunci sp(E1,…,Er) este o subalgebra Lie L’ a lui L(se mai spune ca E1,…,Er genereaza liniar subalgebra L’).
Demonstratie:
Fie X,Y sp(E1,…,Er). Avem :
, ci , kj K.
Rezulta : , deci sp(E1,…,Er) este o subalgebra Lie.
Definitie. Fie L o algebra Lie (peste corpul comutativ K) cu n dimensiuni si fie
{ E1,…,Er} o baza in spatial vectorial L.
Relatiile [Ei,Ej]= se numesc ecuatiile de structura ale algebrei Lie L, iar scalarii K se numesc constantele de structura ale algebrei Lie L relative la baza considerata.
Propozitie. i) Consideram o algebra Lie L de dimensiune finita n si fie {E1,…,Er} o baza in L. Constantele de structura (relative la baza considerata) sunt atisimetrice in indicii j si k si satisfac relatiile patratice ale lui Lie :
ii)Presupunem ca dimensiunea algebrei Lie L este doi. Atunci, intr-o baza convenabila a lui L, ecuatiile de structura ale lui L au una din formele canonice urmatoare :
a)
b)
4.Algebra Lie a unui grup Lie
Definitie. Fie G un grup Lie. Se numeste camp de vectori stang invariant pe grupul Lie G, un camp X de vectori tangenti la varietatea G satisfacand conditia
, unde La este translatia la stanga a grupului Lie G, definite de elemental aG.
Propozitie. Multimea L(G) a campurilor de vectori stang invariante pe grupul Lie G este o subalgebra Lie a lui (G)( (G)) se mai numeste algebra Lie a grupului Lie G).
Demonstratie :
Daca X,YL(G), avem pentru orice a,bG :
=,
deci X+YL(G). Analog se arata ca daca c, atunci cXL(G).
In plus, daca X,YL(G), avem
, adica [X,Y] L(G).
Propozitie. Fie G un grup Lie. Algebra Lie (G) a grupului Lie G este de dimensiune finita n=dimG.
Demonstratie:
Fie e elementul neutru al grupului G. Vom arata ca aplicatia:
f : X (G)f(X)=X(e)=XeTeG este un izomorfism de aplicatii vectoriale.
Pentru orice X,Y (G), orice k1, k2, avem :
f(k1X+k2Y) = (k1X+k2Y)(e)=k1f(X) + k2f(Y), deci f este o aplicatie liniara. Deoarece
avem pentru orice a,bG :
.
In particular, pentru b=e, obtinem :
aG.
Analog se obtine :
aG.
Daca f(X)=f(Y) Xe = Ye, rezulta X(a)=Y(a) pentru orice aG, deci X=Y. Prin urmare, aplicatia f este injectiva.
Fie veTeG. Pentru orice aG, construim vectorul XaTaG prin relatia :
X(a)=(ve) TaG.
Fie operatia grupala in G. Tinand seama de formula :
a,bG, XaTaG, YbTbG, obtinem :
aG.
Folosim acum urmatorul exercitiu :
“Fie M,M1,M2 trei varietati analitice si fie :
f1 : MM1 , f2 : MM2 doua aplicatii analitice. Definim aplicatia :
f : xM f(x)=(f1(x),f2(x)) M1M2. Atunci f este analitica “
Daca luam M = G, M1 = M2 = TG si f1(a)=0aTaG , f2(a)=veTeG, aG, obtinem aplicatia analitica aG (0a,ve) TGTG.
Folosim acum urmatorul exercitiu:
“Daca M si M’ sunt doua varietati analitice si : MM’ este o aplicatie analitica, atunci aplicatia este analitica.”
Aplicatia aX(a) este analitica deoarece ea este compunerea aplicatiilor analitice:
G TGTGTG ,
a(0a,ve)(0a,ve) = (ve) = X(a).
Prin urmare X(G). Sa aratam ca XL(G). Pentru orice a,bG, avem :
(X)(a) = ( = = (X(b-1a)) = =
= = X(a) ,
deci (X)=X, bG, adica X(G).
In plus, f(X)=Xe=ve. Prin urmare, pentru orice vector tangent XeTeG, exista un camp X(G)astfel incat : X(a)= (Xe), aG.
Rezulta ca aplicatia f este surjectiva. Prin urmare, spatiile vectoriale (G)si TeG sunt izomorfe. Avem dim (G)= dim TeG = dim G = n.
Propozitie. Orice grup Lie este o varietate paralelizabila.
Demonstratie :
Din propozitia anterioara rezulta ca varietatea G admite n campuri de vectori E1, E2,…,En liniar independente. Deci varietatea G este paralelizabila.
Propozitie. Fie G un grup Lie si fie {E1,…,En} o baza in algebra Lie (G) a grupului Lie G.Orice camp X(G) se scrie sub forma X=fiEi, unde
Demonstratie :
Deoarece campurile E1,…,En sunt independente, vectorii E1(a) , E2(a), …, En(a) sunt liniar independenti, oricare ar fi a G.
Deoarece dim TaG = n, rezulta ca vectorii E1(a) , E2(a), …, En(a) formeaza o baza in TaG. Fie X (G). Avem (*)X(a) =
Vom arata ca funtiile : sunt analitice.
Fie a G si fie (U,h) o harta a varietatii G cu a U. Notam cu x1,…,xn funtiile coordonate asociate hartii (U,h). Avem Pentru orice b U rezulta sau (**)
Deoarece vectorii E1(b) , E2(b), …, En(b) sunt liniar independenti b U,rezulta ca : D(b)= det((b)) 0, b U.
Folosind regula lui Cramer din (**), obtinem : , b U.
Deoarece functiile bDk(b) si bD(b) sunt analitice, iar D(b) 0, bU, obtinem ca functiile (b) : U sunt analitice in jurul oricarui punct din U, in particular in jurul punctului a. Cum punctul a a fost ales arbitrar in G, rezulta ca functiile : (b) : G, sunt analitice.
Definim functiile fj : G, j=1,…,n , prin si folosind (*) rezulta X(a)=fj(a)Ej(a), aG, adica X = fjEj, unde fj (G), j=1,…,n.
Propozitie. Fie G un grup Lie si X(G). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i)X este camp stang invariant;
ii)X(a)= ;
iii)X(b)=
Demonstratie:
i)ii)
Deoarece avem (X) = X, aG, rezulta (X)(La(e)) = X(La(e)), aG, adica ii).
ii)iii)
Tinand seama de ii), pentru orice a,bG avem :
iii)ii)
Se ia a = e in iii).
ii)i)
Pentru orice a,bG avem :
.
Propozitie. Fie X(G) si fie f(G). Atunci :
i)daca exista un punct aG astfel incat X(a)=0, atunci X(b)=0, oricare ar fi bG;
ii)X se anuleaza intr-un punct aG daca si numai daca X este camp nul;
iii)daca XG, campul fX este stang invariant daca si numai daca f=constanta.
Demonstratie:
i)Se foloseste formula :
ii) Se obtine din i).
iii)Presupunem ca fX(G), deci
Rezulta sau pentru orice a,bG. In particular, pentru b = e, obtinem f(a) = f(e), aG, adica f=constanta.
Reciproc, daca f=constanta, atunci fX(G).
Propozitie. i)Campurile de vectori stang sau drept invariante pe grupul aditiv n sunt campurile constante.
ii)Algebra Lie (n) a lui n se identifica cu algebra Lie comutativa n.
Definitie. Fie G un grup Lie, (G) algebra sa Lie. Se numeste derivare a algebrei Lie (G) orice endomorfism D: (G)-> (G) cu proprietatea
Obs. Multimea derivarilor algebrei Lie (G) poate fi structurata ca spatiu vectorial real. Introducand crosetul a doua derivari prin [D,D’]=DD’-D’D, unde DD’=DD’, se constata ca spatial vectorial al derivarilor algebrei Lie (G) devine o algebra Lie reala.Aceasta algebra Lie o vom nota cu Der(G).
Propozitie. [X,Y]=0, XL(G), YR(G).
5.Homomorfisme si izomorfisme de grupuri Lie.
Definitie. Consideram 2 grupuri Lie G si G’.Vom spune ca aplicatia h:G->G’ este homomorfism(respectiv izomorfism) de grupuri Lie, daca h este o aplicatie analitica(resp. difeomorfism analitic) pentru structurile analitice si un homomorfism (resp. izomorfism) pentru structurile grupale.
Exemple. 1)Consideram grupurile Lie aditive si 2. Aplicatia
este un homomorfism(surjectiv) de grupuri Lie.Aplicatia h nu este izomorfism de grupuri Lie deoarece h nu este injectiv. Deci h nu este izomorfism de grupuri Lie.
2)Fie grupul aditiv Lie al numerelor reale si grupul multiplicativ Lie al numerelor reale strict pozitive. Se constata fara dificultate ca daca a>0 si a 1, atunci aplicatia x -> ax este un izomorfism de grupuri Lie.
3)Fie G un grup Lie. Se numeste automorfism al grupului Lie G, orice izomorfism de grupuri Lie h:G->G. Multimea automorfismelor unui grup Lie impreuna cu operatia de compunere a automorfismelor constituie un grup, notat cu AutG.
Fie aG si fie aplicatia Ia:xG->Ia(x)=axa-1G.
Deoarece Ia=Ra-1La, rezulta ca Ia este izomorfism de grupuri Lie. Ia se numeste automorfismul interior al grupului Lie G definit de elementul aG.
Propozitie. i)Multimea automorfismelor interioare ale grupului Lie G constituie un subgrup al grupului AutG.
ii)Grupul automorfismelor interioare ale unui grup Lie G este izomorf cu grupul G daca si numai daca centrul lui G se reduce la elementul unitate e al lui G.
Propozitie. Fie h:G->G’ un homomorfism de grupuri Lie. Atunci :
i)h(e)=e’, unde e(resp. e’) este elementul neutru al grupului G(resp. G’).
ii)hj=j’h, unde j(resp. j’) este aplicatie de inversare in G(resp. G’).
iii)hLa=Lh(a) h, hRa=Rh(a) h, unde La(resp. Ra) este translatia la stanga(resp. la dreapta) a grupului Lie G definita de elementul aG.
iv) este un homomorfism de grupuri Lie.
v)daca h:G:->G’ este un izomorfism de grupuri Lie atunci apliactia este un izomorfism de grupuri Lie.
Demonstratie:
i)Din egalitatea h(e) = h(e)h(e), obtinem h(e)(h(e))-1 = h(e), adica h(e) = e’.
ii)Pentru orice xG avem hj(x) = h(x-1) si jh(x) = (h(x))-1 .
Deoarece h(x-1)h(x) = h(x-1x) = h(e) = e’ = h(x)h(x-1), rezulta h(x-1) = (h(x))-1, adica
h j = j’ h.
iii)Pentru orice xG avem : h La(x) = h(ax) = h(a)h(x) = Lh(a) h(x), deci
h La = Lh(a) h. Analog se obtine h Ra = Rh(a) h.
iv)Fie (resp. ’) operatia grupala in G(resp. G’). Pentru orice a,bG si orice XaTaG, YbTbG, avem:
Rezulta ca este un homomorfism de grupuri. Deoarece h este aplicatie analitica, rezulta ca este analitica si deci este homomorfism de grupuri Lie.
v)Presupunem ca h este un izomorfism de grupuri Lie. Deoarece h este difeomorfism analitic, din egalitatile hh-1 = IdG , si h-1h = IdG obtinem :
Prin urmare aplicatia analitica este inversabila si inversa ei
este de asemenea analitica. Deci este izomorfism de grupuri Lie.
Propozitie. Fie G un grup Lie si fie proiectia canonica
. Atunci :
i) este un homomorfism de grupuri;
ii) este aplicatie continua;
iii)Aplicatia este analitica;
iv) este homomorfism de grupuri Lie.
Demonstratie:
i)Fie operatia grupala in G. Avem (Xx,Yy) = (x,y), x,yG, XxTxG, YyTyG.
Prin urmare este homomorfism de grupuri.
ii)Fie U o multime deschisa in G. Sa aratam ca -1(U) este multime deschisa in TG.
Fie { (Ua,ha)|aA } un atlas pe G. Acestui atlas ii corespunde un altlas
{ (TUa,Ha)|aA } pe TG. Multimea TUa = -1(Ua) este deschisa in TG. Din egalitatea: rezulta
Deoarece diagrama este comutativa, rezulta
unde este proiectia pe primul factor. De aici rezulta ca este continua, deci -1(UUa) este multime deschisa in -1(Ua). Rezulta ca multimea este multime deschisa in TG si deci este aplicatie continua.
iii)Egalitatea stabilita mai sus ne arata ca aplicatia este analitica.
iv)Rezulta din punctele i) si iii).
Definitie. Fie L si L’ doua algebre Lie peste corpul comutativ K. Aplicatia h:L->L’ se numeste homomorfism(resp. izomorfism) de algebre Lie, daca h este homomorfism(resp. izomorfism) de spatii vectoriale si h([a,b])=[h(a),h(b)], pentru orice a,b.
Propozitie. Fie (G)(resp.(G)) algebra Lie a campurilor invariante la stanga(resp. la dreapta) pe grupul Lie G si fie j:G->G aplicatia de inversare. Atunci aplicatia : :(G)-> (G) defineste un izomorfism intre algebrele Lie (G) si (G).
Demonstratie:
Deoarece j este difeomorfism rezulta ca :(G)->(G) este un izomorfism de algebre Lie. Pentru XL(G) avem :
Rezulta (X) (G), deci ((G)) (G). Analog obtinem (G)) (G).
Cum j2 = IdG, rezulta ca stabileste un izomorfism intre algebrele (G) si (G).
Propozitie. Fie h:G->G’ un homomorfism de grupuri Lie si fie (G)(resp. (G’)) algebra Lie a lui G(resp.G’).Pentru orice camp X(G) exista un unic camp X’(G’), astfel incat (*)X’(f’) h=X(f’h), f’(G’).
Demonstratie:
Fie X(G). Definim aplicatia X’ : G’ TG’ prin formula
(**) unde e este elementul neutru al grupului Lie G. Este evident ca (Xe) este un vector tangent la varietatea G’ in elementul neutru e’ = h(e). Se constata usor ca aplicatia b X’(b) este analitica.
Prin urmare X’(G’). Se arata usor ca X’(G’). Sa aratam acum ca X’ construit la (**) verifica (*).
Pentru orice aG avem :
deci X’ verifica (*). Sa stabilim acum unicitatea lui X’. Presupunem ca ar mai exista un camp Y’L(G’) cu proprietatea ca : Y’(f’) h = X(f’h) , f’(G’).
Pentru orice f’(G’), rezulta : (Y’(f’) h)(e) = X(f’h)(e) = Xe(f’h) = (Xe)(f’).
De asemenea avem (Y’(f’) h)(e) = Y’(f’)(h(e)) = (f’).
Pentru orice f’(G’), rezulta (f’) = (Xe)(f’) = (f’), deci = .
Cum X’, Y’ L(G’), rezulta ca X’ = Y’.
Notatie. Campul X’(G’) contruit prin formula (**) va fi notat in continuare prin (X). Cu aceasta notatie formula (*) se scrie :
(X)(f’) h = X(f’h), f’(G’), iar formula (**) devine :
(X)(b) = ((Xe)), bG’.
Propozitie. Fie h:G->G’ un homomorfism de grupuri Lie. Atunci aplicatia
este un homomorfism de algebre Lie ( se numeste homomorfismul canonic asociat homomorfismului de grupuri Lie h:G->G’).
Propozitie. Fie h:G->G’ si h’:G’->G’’ doua homomorfisme de grupuri Lie. Atunci h’h:G->G’’ este un homomorfism de grupuri Lie si avem :.
Propozitie. Fie V un saptiu vectorial real de dimensiune finita n. Notam cu GL(V) grupul endomorfismelor nesingulare ale lui V. Atunci GL(V) este un grup. In plus, algebric Lie (GL(V)) si gl(V) sunt izomorfe.
Definitie. Fie G un grup Lie si fie hTeG.
i)Campul unic X(G) cu X(e)=h se numeste camp vectorial stang invariant generat de h.
ii)Campul unic YR(G) cu Y(e)=h se numeste camp vectorial drept invariant generat de h.
6.Subgrupurile cu un parametru ale unui grup Lie.Aplicatia exponentiala.
Definitie. Un subgrup cu un parametru al unui grup Lie G este un homomorfism al grupului aditiv Lie al numerelor reale in G, adica o aplicatie analitica
:->G astfel incat (t+s)= (t) (s), t,s.
Propozitie. Fie :->G un subgrup cu un parametru al grupului Lie G. Atunci lui i se asociaza un camp stang invariant XL(G). In plus, X este complet, fiind asociat actiunii definita prin .
Demonstratie:
Deoarece :G este homomorfism avem (t+t’)= (t) (t’), (0)=e.
Consideram vectorul .
Cu ajutorul vectorului Xe construim campul stang invariant XL(G) prin
.
Deci lui i-am asociat un camp stang invariant X prin formula .
In plus, com arata ca X este complet si ca este asociat actiunii definita prin .
In primul rand sa verificam ca aplicatia este o actiune. Evident este o aplicatie analitica. Avem :
(0,a) = a(0) = ae = a,
(t, (t’,a)) = (t’,a) (t) = a(t’) (t) = a(t+t’) = (t+t’,a), deci este o actiune.
Actiunii i se asociaza un camp de vectori tangenti varietatii G care in orice punct aG ne da vectorul unde a(t) = (t,a). Vom arata ca campul aG TG, asociat actiunii este tocmai campul XL(G) dat mai sus.
Deoarece a(t) = (t,a) = a(t) = La((t)) = (La)(t), rezulta
, deci campul X este complet, el fiind asociat actiunii .
Propozitie. Fie G un grup Lie si fie XL(G). Atunci X este complet. In plus, exista un singur homomorfism de grupuri Lie :->G cu proprietatea ca grupul de transformari cu un parametru asociat lui X este definit prin .
Demonstratie :
Fie X L(G). Alegem un grup de transformari locale cu un parametru al campului X
: IU → G,
unde U este o vecinatate deschisa a lui eG, iar
I = (-,),>0.
Pentru aU, curba
: I → G, (t) = (t,a)
este traiectorie a campului X (centrata in punctul a), deci
() X = ()()
cu conditia initiala
(’) (0) = (0,a) = a.
pentru a = e, din () rezulta :
()() = X
cu conditia initiala (0) = e. Daca aplicam (L obtinem
(L(()()) = (L( X)
si tinanad cont de faptul ca X este stang invarant, rezulta
() (L )() = X
cu conditia initiala
(’) L(0) = a
Relatiile () si () ne arata ca pentru aU, curbele
L : I → G si : I → G
sunt traiectorii ale campului X, iar relatiile (’) si (’) ne arata ca aceste traiectorii satisfac conditia initiala
(0) = L(0).
Conform propozitiei:
“ Fie X un camp de vectori tangenti la varietatea analitica M si fie J, J doua intervale deschise ale lui R, astfel incat o J J. Fie
: J → M, : J → M
doua traiectorii ale campului X, astfel incat (0) = (0). Atunci
= ”,
rezulta
L(t) = (t), tI, aU.
Am obtinut formula
() (t,a) = a(t,e), tI, aU.
Fie t, t I. Deoarece este grup de transformari locale cu un parametru,avem:
( t + t,e) = ( t, ( t,e)) = ( t, ( t,e))
Folosind () avem:
( t + t,e) = ( t,e) ( t,e) = ( t,e) ( t,e)
sau
( t + t,e) = (t)(t) = (t)(t)
Definim functia
: I → G
prin formula
(t) = (t).
Fie s,t I cu s + t I. Rezulta
(s + t) = (s) (t).
Am obtinut astfel un homomorfism local al unei vecinatati Ia lui 0R in grupul G. Vom prelungi acest homomorfism in R prin:
(t) = () … () = (()),
unde n este un numar natural suficient de mare pentru ca sa fie in intervalul I.
Deoarece este homomorfism local, definitia lui este independenta de alegerea lui n. Intr-adevar, fie m un alt numar natural suficient de mare astfel incat sa fie in intervalul I. Atunci
(t) = (()) = (()) = ((())) = ((()))
= (()) = (()).
Fie t, t’ R. Alegem un numar natural nN suficient de mare astfel incat , , sa fie in intervalul I. Atunci
(t + t’) = ((()) = (( + )) = (()(()) =
= (())(()) = (t) (t’).
deci este un homomorfism global al lui R in G.
Din consideratiile de mai sus, este evident ca este restrictia homomorfismului la I.
Folosind , prelungim pe prin
(t,a) = a(t).
Este evident ca este actiune a grupului aditiv R in varietatea G.
Verificam daca campul stang invarian X este asociat actiunii .Avem:
X = ()(|) = (|) = (|)((|) = (|) =
= ((|).
Am obtinut:
X = ((|) = Y ,
unde YL(G) este campul de vectori asociat actiunii . Avem X, Y (G) si X = Y. Rezulta ca X = Y. Prin urmare, orice camp X (G) determina o actiune unica
: RG → G
astfel incat
(() = X.
Observatie.Fie (G) algebra Lie a unui grup Lie G. Stim ca un subgrup cu un parametru al lui G este un homomorfism de grupuri Lie :->G. Notand cu multimea subgrupurilor cu un parametru ale lui G, din ultimele doua propozitii rezulta urmatoarea bijectie :->(G).
Pentru un subgrup cu un parametru oarecare , elementul ()L(G) este campul stang invariant asociat actiunii definita prin .
In notatiile din propozitia precedenta avem : -1(X)= X, XL(G).
Propozitie. Fie G un grup Lie si fie :->G o curba analitica in G cu (0)=e.Notam Xe=. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i) este subgrup cu un parametru;
ii) satisface ecuatia diferentiala :
.
Demonstratie:
i)=>ii)
Deoarece este subgrup cu un parametru avem . Folosind aceasta egalitate obtinem :
ii)=>i)
Fie XL(G) campul stang invariant generat de Xe, adica Campului X ii corespunde subgrupul cu un parametru :G, precum si actiunea :GG astfel incat
Rezulta Folosind aceasta, se obtine :
unde am folosit egalitatea si faptul ca Am obtinut :
(*)
Din (*) si ii) vedem ca curbele analitice si verifica aceeasi ecuatie diferentiala de ordinul unu, cu aceeasi conditie initiala (0)= (0)=e.
Prin urmare avem =, deci este subgrup cu un parametru al grupului Lie G.
Observatie. Tinand seama de identificarea L(G)->TeG , X->Xe, rezulta ca poate fi privita si ca o bijectie intre si TeG data de ->Xe, Xe=.
Propozitie. Fie XL(G) si fie actiunea determinata de campul X, adica verifica conditiile :
une e: ->g este un homomorfism de grupuri Lie.
Pentru t definim aplicatia :xG->G prin (s,a)= (st,a). Atunci aplicatia este actiune. In plus, e este homomorfism de grupuri Lie.Daca Y este campul stang invariant determinat de e, adica atunci Y=tX.
Definitie. Fie G un grup Lie. (G) algebra sa Lie. Se numeste aplicatie exponentiala, aplicatia exp:X(G)->expX=X(1) G, unde X: ->G este homomorfismul de grupuri Lie generat de campul X.
Propozitie. Fie X(G). Daca X: ->G este subgrupul cu un parametru generat de campul X, atunci :
i)exp tX=X(t);
ii)Au loc urmatoarele egalitati :
ii’)(exp tX)(exp sX)=exp (t+s)X;
ii”)exp 0=e;
iii)Daca este actiunea determinata de campul X, atunci
(t,a)=Rexp tX(a).
Propozitie. Fie h:G->G’ un homomorfism de grupuri Lie si fie h*:(G)-> (G’) homomorfismul canonic de algebre Lie asociat homomorfismului h. Atunci diagrama este comutativa.
Demonstratie:
Fie X(G). Daca notam hX = X’, atunci avem :
Din egalitatea
rezulta
sau
Cum X a fost ales arbitrar, rezulta
Observatie. Se stie ca spatiul vectorial real n-dimensional TeG are structura de varietate analitica reala.Multimea (G) fiind in corespondenta bijectiva cu TeG, rezulta ca (G) are structura de varietate analitica reala.
Propozitie. Fie (G) algebra Lie a unui grup Lie G si fie e elementul neutru al grupului G.
i)Aplicatia exponentiala exp : (G)->G este analitica.
ii)exp*,0 =idL(G);
iii)Aplicatia exponentiala realizeaza un difeomorfism analitic al unei vecinatati a lui 0(G) pe o vecinatate deschisa a lui eG.
Propozitie. i)Fie h1,h2:G->G’ doua homomorfisme de grupuri Lie si fie L(G)(resp. L(G’)) algebra Lie a lui G(resp. G’). Daca , atunci
h1(x)=h2(x), xGe,unde Ge este componenta conexa a unitatii eG.
ii)Fie h:G->G’ un homomorfism de grupuri Lie. Daca =0: (G)-> (G’), atunci h(x)=e’, xGe.
iii)Fie G si G’ doua grupuri Lie. Presupunem ca G este conex si simplu conex. Daca h’:L(G)-> (G’) este un homomorfism de algebre Lie, atunci exista un unic homomorfism de grupuri Lie h:G->G’ cu proprietatea h’=.
Demonstratie:
i) Vom folosi egalitatea
hexp = exph.
Fie W o vecinatate normala de coordonate. Pentru orice
x = expX W,
avem:
h(x) = h(x)expX = exp(h)(X) = exp(h)(X) = hexpX =
= h(x)
Deoarece W este multime deschisa in G si
h(x) = h(x), xW,
rezulta
h(x) = h(x), xWG G
si folosind urmatoarea teorema:
” Fie M si M’ doua varietati analitice si fie f, f : M → M’ doua functii analitice.
Presupunem ca M este conexa. Daca f(x) = f(x) pentru orice xU(= multime deschisa in M), atunci f = f ”,
obtinem
h(x) = h(x), x G
ii) Fie G un grup Lie si h : R → G un homomorfism de grupuri topologige, h analitic.
Alegem h = h, h(x) = e’, x G,
obtinem h(x) = e’, oricare ar fi x G.
Propozitie. Fie G un grup Lie. Notam cu h: ->G un homomorfism de grupuri topologice. Atunci h este analitic.
Propozitie. Fie G un grup Lie. (G) algebra sa Lie. Fie L(G)=L1L2 o descompunere a lui (G) in suma directa de subspatii vectoriale. Definim aplicatia :(G)->G prin relatia (X1X2)=exp X1 exp X2, XiLi, i{1,2}.
Atunci :
i) este analitica;
ii);
iii) realizeaza un difeomorfism analitic al unei vecinatati a lui 0(G) pe o vecinatate a lui eG.
Propozitie. i)Fie G un grup Lie si fie (G) algebra sa Lie. Atunci, oricare ar fi f si oricare ar fi X(G) avem :
unde .
ii)Pentru t suficient de mic are loc formula Taylor :
unde X(G), f, X0(f)=f.
7.Grupuri lie locale.Homomorfisme de grupuri lie locale.
Definitie. Se numeste grup Lie local o varietate analitica reala G, inzestrata cu un element distins e Ge, cu o vecinatate deschisa Ue a lui e si cu doua aplicatii analitice :Ue x Ue -> G, j:Ue -> Ue care satisfac urmatoarele conditii:
1)exista o vecinatate deschisa V1 a lui e cu V1 Ue si astfel incat (x,e)= (e,x)=x, xV1.
2)exista o vecinatate deschisa V2 a lui e cu V2 Ue si astfel incat daca (x,y)V2,
(y,z) V2 atunci (x, (y,z))= ((x,y),z), x,y,zV2.
3)exista o vecinatate deschisa V3 a lui e cu V3Ue si astfel incat (x,j(x))= (j(x),x), xV3.
Notatie : Un grup Lie local il vom nota prin (G,Ue,e).
Observatie.1)Orice grup Lie este in acelasi timp si un grup Lie local.
2)Reciproca afirmatiei 1 nu este adevarata.
3)Un grup Lie G defineste pe orice vecinatate deschisa a elementului sau neutru e, un grup Lie local.
4)In continuare,pentru simplicarea notatiilor vom pune (x,y)=xy, j(x)=x-1.
Propozitie. Fie (g,Ue,e) un grup Lie local.
i)exista o vecinatate We a elementului distins e, astfel incat pentru orice x,y,zWe sa avem :
xe=ex=x, x(yz)=(xy)z, xx-1=x-1x, xWe => x-1We.
ii)pentru x0,z0We fixati, ecuatia x0y=z0 are solutie unica y0We.
Definitie. Fie (G,Ue,e) si (G’,U’e’ ,e’) doua grupuri Lie locale. Se numeste homomorfism local al grupului Lie local (G,Ue,e) in grupul Lie local (G’,U’e,e’) orice aplicatie analitica f:We->G’, unde WeUe este o vecinatate deschisa a lui e in G, cu f(e)=e’ si astfel incat daca x,y,xyWe atunci f(x)f(y)=f(xy).
Exemplu: Fie (G,Ue,e) un grup Lie local. Atunci IdG:G->G,x->x este un homomorfism local.
Teorema. Fie G si G’ doua grupuri Lie. Presupunem ca G este conex si simplu conex. Atunci orice homomorfism local f:We->G’, unde We este o vecinatate deschisa a lui e in G, se poate prelungi in mod unic la un homomorfism de grupuri Lie h:G->G’.
=== Intro ===
I N T R O D U C E R E
Nascut la 17 decembrie 1842 la Nordfjordejet in Norvegia Marius Sophus Lie a studiat matematica la Christiania (actualmente orasul Oslo). In 1865 trece examenul de profesor pentru invatamantul secundar. In 1869 primeste o bursa de calatorie si pleaca la Berlin unde il intalneste pe Felix Klein (1849-1925). Pleaca la Paris impreuna unde descopera lucrarile lui Evariste Galois (1811-1832) si Camille Jordan (1838-1921), care ii influenteaza profund. Lucreaza impreuna in teoria invariantilor in Analiza si Geometrie diferentiala si se pare ca din aceasta perioada dateaza ideile lui Lie asupra grupurilor de transformari. Incepand cu 1872 lui Lie I se creaza o catedra la Universitatea din Christiania, pe care o va ocupa pana in 1886, data la care Lie este chemat la Leipzig ca profesor de matematica (la catedra lui Klein) si ca director la Institutului de Geometrie.
Teoria grupurilor Lie a fost construita incepand din 1873, pe cand Lie era la Christiania. Ajuns la Leipzig, Lie colaboreazacu Erns Engel la demonstrarea teoremelor fundamentale ale teoriei sale.
Numit profesor extraordinar la Christiania, Lie moare in 1899, la cateva luni dupa intoarcerea in tara. Numele sau ramane profund legat de teoria grupurilo Loe, teorie centrala in matematica moderna, la intersectia analizei, algebrei si geometriei si fundamentala pentru modelele actuale ale fizicii teoretice.
Sophus Lie (1842 – 1899)
“Fantezie, energie, incredere in sine si auto-critica sunt caracteristicile cu care este dotat un matematician “ (Sophus Lie)
Lucrarea de fata se numeste “Conexiuni invariante pe un grup Lie” si este formata din trei capitole : Capitolul 1 – Grupuri si algebre Lie, Capitolul 2 – Subgrupuri Lie si Capitolul 3 – Conexiuni invariante pe un grup Lie.
Capitoul I este alcatuit din 7 paragrafe si incepe cu o serie de definitii care ne prezinta notiuni pe care le vom folosi pe parcursul acestui capitol ( functie analitica, structura analitica, varietate analitica, aplicatie analitica).
Primul paragraf “Grup Lie : Definitie, exemple, proprietati” incepe cu definitia unui grup Lie (O multime G se numeste grup Lie de dimensiune n, daca ea satisface urmatoarele conditii :
Multimea G este inzestrata cu o structura de grup
De obicei operatia grupului va fi notata multiplicativ: (x,y)=xy;
Multimea G este inzestrata cu o structura de varietate analitica reala,de dimensiune finita n.
3) Operatia este o aplicatie analitica a varietatii analitice produs GxG pe varietatea analitica G. ). Mai departe am dat exemple de grupuri Lie si cateva
proprietati :
Propozitie.
i)Fie G un grup Lie. Pentru orice a G, aplicatiile si sunt difeomorfisme analitice. La (resp. Ra) se numeste translatia la stanga(resp. la dreapta) a grupului Lie G definita de elementul a G.
ii) Multimea translatiilor la stanga ale grupului Lie G inzestrata cu legea de compunere obisnuita a functiilor, formeaza un grup(numit primul grup al parametrilor al lui G).
iii) Primul grup al parametrilor al grupului Lie G este izomorf cu grupul G.
Propozitie. Fie G un grup Lie. Aplicatia de inversare este un difeomorfism analitic.
Propozitie. Fie G o varietate analitica de dimensiuni finite inzestrata cu o structura de grup . Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)G este grup Lie.
ii)Aplicatia este analitica.
Propozitie : Produsul direct a doua grupuri Lie este un grup Lie.
Paragraful doi (“Actiuni ale grupului aditiv Lie intr-o varietate analitica”) incepe cu definitia unei actiuni (Fie M o varietate analitica. Se numeste actiune a grupului aditiv Lie in varietatea M orice aplicatie :xM->M, care verifica urmatoarele conditii :
1) este o aplicatie analitica.
2) (t, (t’,p))= (t+t’,p), t,t’, pM
3) (0,p)=p, pM ), se continua cu proprietati ale actiunilor. Tot din acest subcapitol aflam ce este un camp de vectori tangenti asociati unei actiuni (Fie :xM->M o actiune a grupului (aditiv) Lie in varietatea analitica M. Campul de vectori se numeste campul de vectori tangenti asociat actiunii . ), o traiectorie a unui camp, un camp complet.
In paragraful trei (“ Algebre Lie. Definitie. Exemple. Constante de structura” ) mai reluam o data definitia unei algebre Lie, exemple, ecuatiile de structura, constantele de structura si unele proprietati.
In paragraful patru (“ Algebra Lie a unui grup Lie “) aflam ce este acela un camp de vectori stang invariant (Fie G un grup Lie. Se numeste camp de vectori stang invariant pe grupul Lie G, un camp X de vectori tangenti la varietatea G satisfacand conditia
, unde La este translatia la stanga a grupului Lie G, definite de elemental aG. ). In acest subcapitol ne intalnim si cu notiunea de derivare a unei algebre Lie (Fie G un grup Lie, L(G) algebra sa Lie. Se numeste derivare a algebrei Lie L(G) orice endomorfism D:L(G)->L(G) cu proprietatea
). Dintre proprietatile pe care le gasim aici merita sa mentionam :
Propozitie. Multimea L(G) a campurilor de vectori stang invariante pe grupul Lie G este o subalgebra Lie a lui (G)(L(G) se mai numeste algebra Lie a grupului Lie G).
Propozitie. Fie G un grup Lie. Algebra Lie L(G) a grupului Lie G este de dimensiune finita n=dimG.
Propozitie. Orice grup Lie este o varietate paralelizabila.
Paragraful cinci (“Homomorfisme si izomorfisme de grupuri Lie”) incepe cu definitia unui homomorfism si izomorfism (Consideram 2 grupuri Lie G si G’.Vom spune ca aplicatia h:G->G’ este homomorfism(respectiv izomorfism) de grupuri Lie, daca h este o aplicatie analitica(resp. difeomorfism analitic) pentru structurile analitice si un homomorfism (resp. izomorfism) pentru structurile grupale.), se continua cu exemple si proprietati. Tot aici am definit si homomorfismul (resp. izomorfismul) de algebre Lie
(Fie L si L’ doua algebre Lie peste corpul comutativ K. Aplicatia h:L->L’ se numeste homomorfism(resp. izomorfism) de algebre Lie, daca h este homomorfism(resp. izomorfism) de spatii vectoriale si h([a,b])=[h(a),h(b)], pentru orice a,b.) si am continuat cu proprietati.
In paragraful sase ( “Subgrupurile cu un parametru ale unui grup Lie. Aplicatia exponentiala” ) am definit subgrupul cu un parametru al unui grup Lie (Un subgrup cu un parametru al unui grup Lie G este un homomorfism al grupului aditiv Lie al numerelor reale in G, adica o aplicatie analitica
:->G astfel incat (t+s)= (t) (s), t,s.) si notiunea de aplicatie exponentiala (Fie G un grup Lie. L(G) algebra sa Lie. Se numeste aplicatie exponentiala, aplicatia exp:XL(G)->expX=X(1) G, unde X: ->G este homomorfismul de grupuri Lie generat de campul X.) . Pentru ambele notiuni definite am dat si o serie de proprietati.
Ultimul paragraf ( “Grupuri Lie locale. Homomorfisme de grupuri Lie locale” ) ne spune ce este acela un grup Lie local (Se numeste grup Lie local o varietate analitica reala G, inzestrata cu un element distins e Ge, cu o vecinatate deschisa Ue a lui e si cu doua aplicatii analitice :Ue x Ue -> G, j:Ue -> Ue care satisfac urmatoarele conditii:
1)exista o vecinatate deschisa V1 a lui e cu V1 Ue si astfel incat (x,e)= (e,x)=x, xV1.
2)exista o vecinatate deschisa V2 a lui e cu V2 Ue si astfel incat daca (x,y)V2,
(y,z) V2 atunci (x, (y,z))= ((x,y),z), x,y,zV2.
3)exista o vecinatate deschisa V3 a lui e cu V3Ue si astfel incat (x,j(x))= (j(x),x), xV3.) si un homorfism local al unui grup Lie local (Fie (G,Ue,e) si (G’,U’e’ ,e’) doua grupuri Lie locale. Se numeste homomorfism local al grupului Lie local (G,Ue,e) in grupul Lie local (G’,U’e,e’) orice aplicatie analitica f:We->G’, unde WeUe este o vecinatate deschisa a lui e in G, cu f(e)=e’ si astfel incat daca x,y,xyWe atunci f(x)f(y)=f(xy).)
Capitolul al II- lea este alcatuit din patru subcapitole.
Primul paragraf ( “Subgrupuri inchise.Teorema lui Cartan.Aplicatii” ) incepe cu definirea notiunilor de subgrup Lie al grupului Lie G si subgrup inchis (. i)Se numeste subgrup Lie al grupului Lie G, orice pereche (H,i), unde:
1)H este grup Lie;
2)i:H->G este un homomorfism injectiv de grupuri Lie;
ii)Fie G un grup Lie si fie H un subgrup (in sens algebric) al grupului G. Daca H este multime inchisa in G, atunci H se numeste subgrup inchis.).
Teorema lui Cartan. Fie H un subgrup inchis al grupului Lie G. Atunci spatiul topologic H(cu topologia indusa) admite o structura analitica unica in raport cu care H este un grup Lie. Cu aceasta structura, incluziunea i:H -> G este un homomorfism de grupuri Lie si perechea (H,i) este un subgrup Lie. Mai mult, H este subvarietate a varietatii G.
In continuare am prezentat aplicatii ale teoremei lui Cartan.
Al doilea paragraf ( “Grupuri liniare” ) studiana subgrupurile inchise ale grupului Lie GL(n, ) precum si subgrupurile inchise ale grupului Lie GL(n, ).
Paragraful trei ( “Teorema lui Chevalley” ) studiana teorema lui Chevalley.
Teorema lui Chavalley. Fie G un grup Lie si H un subgrup inchis al sau. Exista o unica structura analitica pe G/H, astfel incat proiectia canonica
:aG ->(a) = aH G/H este analitica si G/H este varietate cat a lui G. Dimensiunea varietatii G/H este dim G/H = dim G – dim H.
Ultimul paragraf (“Actiuni ale unui grup Lie intr-o varietate analitica.Spatii omogene” ) am definit notiunile de actiune la dreapta a unui grup Lie (. Fie G un grup Lie si M o varietate analitica. Se numeste actiune la dreapta a grupului Lie G in varietatea analitica M orice aplicatie T : MG -> M care verifica urmatoarele conditii:
1)T este o aplicatie liniara;
2)T(T(p,a),b)=T(p,ab), a,bG, pM.
3)T(p,e)=p, pM.
Grupul Lie G se numeste grup Lie de transformari la dreapta pe varietatea M. Analog se definesc actiunile la stanga si grupurile Lie de transformari la stanga. ) si de spatiu omogen (O varietate analitica M pe care actioneaza un grup Lie G astfel incat actiunea este tranzitiva, se numeste spatiu omogen al lui G ).
Capitolul al III – lea este alcatuit din patru subcapitole.
Primul paragraf ( “Conexiuni liniare stang invariante pe un grup Lie. Conexiunile Cartan – Schouten” ) incepe cu definirea notiunii de conxiune liniara pe o varietate analitica (Se numeste conexiune liniara pe varietatea analitica M orice aplicatie :
cu proprietatile:
i);
ii);
iii);
iv)
oricare ar fi X,Y,Z , oricare ar fi f .). Continuam sa definim notiuni pe care le vom folosi pe parcursul acestul capitol :
– curba -autoparalela (Fie o conexiune liniara pe varietatea analitica M si o curba analitica regulata. Vom nota cu campul vectorial tangent curbei. Curba c se numeste -autoparalela daca exista o functie astfel incat:
. )
– conexiunie stang invarianta (Fie G un grup Lie si fie o conexiune liniara pe G. Spunem ca este conexiune stang invarianta pe G daca :
X,Y (G), aG.)
In continuare am considerat o serie de proprietati :
Propozitie 1. Fie G un grup Lie si fie {E1,…,En} o baza in algebra Lie L(G).
Consideram o conexiune liniara pe varietatea G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i) este conexiune stang invarianta pe G;
ii) XYL(G), X,YL(G);
iii) L(G), i,j{1,…,n};
Propozitie 2. Fie o conexiune liniara pe un grup Lie G. Definim conexiunile liniare , : (G) (G) (G) prin :
XY = YX + [X,Y] , = ½ (+),X,Y(G).
( este transpusa conexiunii , iar este conexiunea simetrica asociata lui ).
Daca este stang invarianta atunci si conexiunile liniare si sunt stang invariante.
Propozitie 3. Fie G un grup Lie, L(G) algebra sa Lie. Consideram o baza {E1,…,En} a spatiului vectorial L(G). Atunci :
i)exista si sunt unice conexiunile liniare :
, ,: (G) (G) (G), care pe L(G) sunt definite prin :
1)
2)
3)
ii)conexiunile liniare ,, sunt stang invariante.
iii)conexiunile liniare , si admit aceleasi curbe autoparalele.
iv)avem formulele :
, unde sunt respectiv campurile tensoriale de torsiune ale conexiunilor , si .
Observatie. i)Conexiunile , , au fost considerate de E.Cartan si J.Schouten, deaceea sunt numite conexiunile Cartan-Schouten.
ii)Fie campurile tensoriale de curbura ale conexiunilor ,,. Atunci obtinem:
.
Propozitie 4. Fie si doua conexiuni liniare simetrice pe un grup Lie G.
Presupunem ca si admit aceleasi curbe autoparalele, adica exista o l-forma astfel incat sa avem formula Weyl :
(*)
i)Daca si sunt stang invariante, atunci si este stang invarianta;
ii)Daca si sunt stang invariante, atunci si este stang invarianta.
Propozitie 5. Fiecarei conexiuni liniare stang invariante pe un grup Lie G ii corespunde o unica aplicatie -biliniara L(G) L(G) L(G) si reciproc, fiecarei aplicatii -biliniare L(G) L(G) L(G) ii corespunde o unica conexiune liniara stang invarianta pe grupul Lie G.
Propozitie 6. Fie {E1,…,En} o baza in algebra Lie L(G) a unui grup Lie G si fie
b : L(G) L(G) L(G)
o aplicatie -biliniara. Atunci :
i)exista si sunt unice conexiunile liniare , ,: (G) (G) (G) care pe L(G) sunt definite prin :
pentru orice indici i,j{1,…,n}.
ii)daca aplicatia -biliniara b este antisimetrica, atunci conexiunile liniare ,, admit aceleasi curbe autoparalele.
iii)conexiunile , si sunt stang invariante.
iv)sa se determine curburile conexiunilor si .
Propozitie 7. Fie G un grup Lie. Exista o corespondenta bijectiva intre multimile:
{ : (G) (G) (G) | este conexiune stang invarianta pe G} ,
{b : TeGTeG TeG | b este -biliniara }
data de , X,YTeG.
Fie XTeG. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)b(X,X) = 0;
ii)curba autoparalela t este un homomorfism analitic al lui in G, unde este curba -autoparalela ce trece prin e si este tangenta vectorului X.
Propozitie 8. Fie o conexiune liniara stang invarianta pe grupul Lie G si fie
b : L(G) L(G) L(G) aplicatia -biliniara data de b(X,Y) = XY, X,YL(G).
Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)conexiunea este bi-invarianta.
ii)aplicatia b este Ad G-invarianta, adica satisface relatia :
(Ad a)(b(X,Y)) = b((Ad a)(X),(Ad a)(Y)), aG, X,YL(G).
Paragraful doi ( “Algebre de deformare asociate unui grup Lie” ) contine o serie de proprietati :
Propozitie 1. Consideram campurile tensoriale :
= – , = – , A = – . Atunci :
i)toate elementele agebrei de deformare (G, ) sunt campuri 2-nilpotente.
ii)toate elementele agebrei de deformare (G, ) sunt campuri 2-nilpotente.
iii)toate elementele agebrei de deformare (G,A) sunt campuri 2-nilpotente.
iv)urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
a)Algebra (G, ) este asociativa;
b)Algebra (G, ) este asociativa;
c)Algebra (G, A) este asociativa;
d)Curbura conexiunii este nula.
Propozitie 2. Sa se arate ca :
i)daca notam = – , = – , A = – , atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i1)algebra (G, ) este comutativa si asociativa;
i2)algebra (G, ) este comutativa si asociativa;
i3)algebra (G, A) este comutativa si asociativa;
i4)b este simetrica si , unde este campul tensorial de curbura al conexiunii (resp. ).
ii)daca notam atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
ii1) (G, ) este o algebra Lie;
ii2) (G, ) este o algebra Lie;
ii3) (G, A) este o algebra Lie;
ii4) si
iii)urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
iii1)toate elementele algebrei (G, ) sunt campuri speciale.
iii2)toate elementele algebrei (G, ) sunt campuri speciale.
iii3)toate elementele algebrei (G, A) sunt campuri speciale.
iii4)b=0;
iii5) =;
iii6) =;
iii7) =;
Propozitie 3. Fie X (G). Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)X este camp principal in algebra (G, );
ii)X este camp principal in algebra (G, );
iii)X este camp principal in algebra (G, A);
Propozitie 4. Fie G un grup Lie conex. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente :
i)Grupul G este abelian;
ii)Reprezentarea adjuncta a lui G este triviala;
iii)Algebra (G, ) este abeliana;
iv)Algebra (G, ) este abeliana;
v)Algebra (G, A) este abeliana;
vi)Algebra L(G) este abeliana;
vii)Reprezentarea adjuncta a lui L(G) este triviala;
viii)Campurile stang si drept invariante coincid;
ix)Toate elementele (G)-modulului sunt derivari in algebra (G,A);
x)Toate elementele (G)-modulului sunt derivari in algebra (G, );
xi)Toate elementele (G)-modulului sunt derivari in algebra (G, );
In paragraful trei ( “Conexiuni liniare invariante pe spatii reductive” ) am definit notiunea de spatiu reductiv (Spatiul omogen G/H se numeste reductiv daca exista un subspatiu ML(G) astfel incat sa avem :
i)L(G) = M L(H);
ii)(Ad h)(M) M, hH.) si am dat o serie de proprietati.
Paragraful patru(‘’ Metrici invariante pe un Grup Lie”) defineste metricile stang invariante, drept invariante, respectiv bi-invariante.
Propozitia 1. Fie g o metrica pseudo-riemanniana pe un grup Lie G. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
i) metrica g este stang invariant;
ii) toate translatiile la stanga sunt izomerii, adica
g((L)(X) , (L)(Y)) L= g(X,Y) , () X, Y(G), () a G.
Propozitia 2. Fie { E,…, E} o baza in algebra Lie L(G) a grupurilor Lie G.
i)Exista si este unica metrica Riemann
g: (G) (G) (G),
care pe L(G) este definita prin: g(E, E)=;
ii)Metrica Riemann g definita prin formula (E, E)=este stang invarianta;
iii)Fie conexiunea Levi-Civita asociata metricii Riemann g.
Consideram conexiunea liniara :(G) (G) (G),
definita prin E=0, () i,j{1,…,n}.
Notam A= -. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
iii)=;
iii) Algebra Lie L(G) este abeliana;
iii) Reprezentarea adjuncta a lui L(G) este triviala;
iii) Toate elementele algebrei de deformare U(G,A) sunt campuri speciale.
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Conexiuni Invariante pe Un Grup Lie (ID: 164212)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.