Conditii DE Finitudine Pentru Inele Si Endomorfisme

CAP. 1 NOȚIUNI GENERALE DESPRE MODULE

1.1. Definiții. Interpretări

1.2. Combinații liniare și submodule

1.3. Submodul generat de o mulțime. Module factor

1.4 Morfisme de module

1.5. Teoreme de factorizare

1.6. Exactitate

1.7. Produse și sume directe în module

CAP. 2 TEORIA MODULELOR ARTINIENE SI NOETHERTENE
CONDIȚII DE FINITUDINE

Generalități

Submodule esențiale și submodule superflue

2.3. Generări și cogenerări

Clase generate și clase cogenerate

2.3.2 Generatori și cogeneratori

2.4. Traseul (urma) și rejentul (reziduul) unui modul

2.5. Module semisimple. Soclul și radicalul
2.5.1. Module semisimple

2.5.2. Soclul unui modul

2.5.3. RADICALUL UNUI MODUL

2.6. Module finit generate și finit cogenerate
2.6.1. Module finit generate

2.6.2. Module finit cogenerate

2.6.3. Rolul soclului și al radicalului

2.7. Condiții de finitudine în cadrul modulelor
( condiții de lanț)

2.8. Module cu serii de compoziție

2.8.1. Serii de compoziție

2.8.2. Lungimea compoziției

2.8.3. Lema fitting

CAP.3 ELEMENTE DE TEORIA CATEGORIILOR

3.1. Definiția categoriei. Exemple

3.2. Clase speciale de morfisme
3.2.1. Monomorfisme și epimorfisme

3.2.2. Bimorfisme și epimorfisme

3.2.3. Secțiunea și retracta

3.3. Categoria duală. Principiul dualității

3.4. Sume și produse directe

CAP. 4 CONDIȚII DE FINITUDINE PENTRU INELE SI ENDOMORFISME

4.1. Anulatori și conexiune GALOIS

4.1.1. Anulatori

4.1.2. Conexiune Galois

4.1.3. Criteriul lui Faith

4.2. Aplicații la condiții de lanț pe Hom R(M ,N)

4.3. Module cu inele de endomorfisme regulate, perfecte, noetheriene și artiniene

4.4. Inele de endomorfisme

4.4.1. Inele de endomorfisme regulate

4.4.2. Inele de endomorfisme

perfecte, semiprimare, noetheriene și artiniane

pagini 60

=== cap1,2,3 ===

CAP. 1 NOȚIUNI GENERALE DESPRE MODULE

1.1. Definiții. Interpretări

Modulul reprezintă o generalizare a unui spațiu vectorial, astfel că, dacă operația externă (înmulțirea cu scalari), în cazul spațiului vectorial, se definește cu ajutorul unui corp, atunci se va utiliza un inel.

Fie R un inel unitar (nu neapărat comutativ ) și M un grup abelian în raport cu o
operație internă presupusă aditivă : ( M , + ).

Definiția 1.1.1. M se numește R modul stâng daca există o operație externă , care verifică următoarele axiome

și :

1) a(x + y) = ax + ay;

2) (a + b)x = ax + bx;

3) ( ab ) x = a ( bx);

4) 1 x = x ( 1 reprezintă elementul unitar pentru inelul R )

Definiția 1.1.2. M se numește R modul drept dacă exista o operație externă , care verifica următoarele axiome :
și avem:

5) ( x + y ) a = xa + ya ;

6) x ( a + b ) = xa + xb ;

7) x ( ab) = ( xa ) b;

8) x 1 = x ( 1 reprezintă elementul unitar pentru inelul R )

Definiția 1.1.3. Fie M și N doua R module stângi.

Se numește morfism de R module ( sau R moriism ) o aplicație , cu
următoarele proprietăți:

a) are loc f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ), adică f păstrează

operația internă;

b) are loc f ( ax ) = a f ( x ), adică f păstrează

operația externa
=> f ( ax + by ) = a f ( x) + b f ( y ), ( ) a, b R, ( ) x, y M.

Observație In situația în care M = N aplicația f se numește endomorfism și
mulțimea endomorfismelor stângi se notează cu .

Endomorfismul f poate fi organizat cu structură de ine] în raport cu operația de
adunare obișnuită a funcțiilor și cu operația de compunere a morfismelor.

Definiția 1.1.4. Fie un morfism de inele de la inelul R la inelul de endomorfisme cu acțiune la stânga a Iui M , unde M reprezintă un grup abelian, situație în care perechea de forma ( M , λ ) poartă denumirea de R modul stang.

Observație Conform definițiilor anterioare, acțiunea morfismului λ se prezintă în modul următor:

avem cu proprietățile :
a) λ(a)(x + y) = λ (a)(x) + λ (a)(y);

b) λ (a + b)(x) = λ (a)(x) + λ (b)(x);

c) λ( ab ) ( x) = λ ( a) (λ ( a ) ( x ));

d) λ( 1 ) ( x ) = x;

Observație Dacă notăm λ ( a ) ( x ) = ax se obțin condițiile din def. 1.1.1.
Analog se definește structura la dreapta.

Definiția 1.1.5. Fie R și S două inele.

Atunci numim bimodul R stâng si S drept un grup abelian M astfel încât acesta să reprezinte un R modul stâng și un S modul drept, pentru care cele doua înmulțiri cu scalari satisfac relația :

și se notează cu .

1.2. Combinații liniare și submodule

Fie R un inel și M un R modul stâng.

Definiția 1.2.1. Un subgrup abelian N, al lui M se numește R submodul stâng al lui M, dacă și numai daca N este stabil la endomorflsmele lui M, induse de inelul R ( adică este închis la înmulțirea cu scalari din R ).

Definiția 1.2.2. Fie și . Orice element din M de forma cu și , se numește combinație liniara a lui X cu scalari din A .
Se notează .

Propoziția 1.2.1. Fie M un R modul stâng și . Atunci RX reprezintă un submodul al lui M.

Propoziția 1.2.2. Fie M un R modul stâng și . Atunci sunt
echivalente următoarele afirmații :

a) N este submodul al lui M;

b) RN-N;

c) și , atunci ax = by N.

Definiția 1.2.3. Fie un bimodul și cu . Submulțimea nevidă N se numește (R – S ) bisubmodul al lui dacă și numai dacă, simultan, N este R submodul stâng și S submodul drept.

Definiția 1.2.4. Se numește ( R – S ) combinație liniară a lui cu elemente din R și S, orice element de forma :
Mulțimea ( R – S ) combinațiilor liniare se noateaza cu R X S .

Definiția 1.2.5. Fie submulțimi ale lui M.

Numim suma a acestor submulțimi o mulțime de forma :

.

Propoziția 1.2.3. Dacă M este un R modul stâng și sunt R
submodule stângi ale lui M, atunci reprezintă un R submodul stâng al lui M, adică R submodulul combinațiilor liniare ale mulțimii .

1.3. Submodul generat de o mulțime. Module factor

Fie M un R modul stâng și .

Definiția 1.3.1. Se numește submodul al lui M generat de X. intersecția tuturor submodulelor lui M, care conțin pe X, reprezentând unicul submodul (cel mai mic in sensul incluziunii) ce conține pe X.

Propoziția 1.3.1. Fie M un modul stâng și , atunci submodulul lui M generat de X este chiar RX.

Definiția 1.3.2. Fie o familie de de submodule ale lui M. Atunci se numește submodul generat de o familie dată.

Propoziția 1.3.2. Daca , atunci spunem că submodulele generează pe M și, daca este o submulțime nevidã a lui M cu RX = M, spunem ca X generează pe M.

Definiția 1.3.3. Un modul cu o mulțime finita de generatori se numește modul finit generat.

Definiția 1.3.4. Un modul cu un singur generator se numește modul ciclic.

Propoziția 1.3.3. Fie X o mulțime de generatori pentru R modulul stâng M. Atunci M este dat prin .

Propoziția 1.3.4. Fie M un R modul stâng, nenul, finit generat. Atunci orice R submodul propriu al sau este conținut într-un submodul maximal. în particular, M are un submodul maximal.

Definiția 1.3.5. Fie un R modul stâng și K un submodul al său. Definim mulțimea care devide R modul stâng relativ la următoarele operații de adunare și înmulțire cu scalar:

1) (x + k) + (y + k) = x + y+k;
2) și .
modului M / K astfel construit numindu-se R modul factor al lui M, relativ la K.

Propoziția 1.3.5. Un modul factor M / K este simplu daca și numai dacă K este submodul maximal în M.

1.4 Morfisme de module

Fie M și N două R module stângi.

Definiția 1.4.1. Se numește morfism de module o aplicație cu
proprietatea că , adică f este o aplicație liniara.

Definiția 1.4.2. Fie și două ( R-S ) bimodule. O aplicație se numește ( R – S ) morfism dacă este liniara peste R și S . adică , atunci are loc următoarea egalitate :

Definiția 1.4.3. Fie un morfism . Atunci :

1) daca feste injectiv, se numește monomorfism;

2) daca feste surjectiv, se numește epimorfism;

3) daca feste bijectiv, se numește izomorfism.

Propoziția 1.4.1. Fie un morfism de R module stângi. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente :

a) feste monomorfism;

b)lmf=N;

c ) Pentru orice R modul stâng Rk și orice două R morfisme , din g f = h f se obține g = h ;

d) Pentru orice R modul stâng Rk și orice R morfism din g f = 0 se obține g = 0 ;

Propoziția 1.4.2. Fie un morfism de R module stângi. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente :

a) f este epimorfism;

b) Kerf=0;

c) Pentru orice R modul stâng și orice două R morfisme , din f g = f h se obține g = h ;

d) Pentru orice R modul stâng Rk și orice R morfism din g f = 0 se obține g = 0 ;

1.5. Teoreme de factorizare

Definiția 1.5.1 Un morfism de R module se numește factorizat prin g și h, daca și numai daca el este compunerea lui g cu h : f = gh.

Teorema factorizării Fie M, M’ N, N' R module stângi și un R morfism.

1) fie un morfism cu Ker g Ker f. Atunci exista un unic morfism h : astfel încât f = hg;

Ker h = g ( Ker f) și Im h = Im f h – monomorfism Ker g = Ker f

h – epimorfism f epimorfism

2) fie un R morfism cu Im f Im g. Atunci există un unic morfism astfel încât f = g h; adică H monomorfism f monomorfism și H epimorfism Im g = Im f.

Teoreme de izomorfism Fie M , N două R module stângi.

1) daca este un epimorfism cu Ker f = K, atunci există un unic izomorfism dat prin η(x+k)=f(x);

2) dacă , atunci ;

3) daca și atunci ;

1.6. Exactitate

Definiția 1.6.1. O pereche de morfisme se numește exactă în M daca și numai daca Im f = Ker g;

Definiția 1.6.2. Un șir finit sau infinit de morfîsme ……se numește exact, daca este exact în fiecare , adică Im .

Propoziția 1.6.1. Fie M ,N două R module și un R morfism . Atunci avem următoarele variante:

1) șirul este exact daca și numai daca f este monomorfism;

2) șirul este exact dacă și numai dacă f este epimorfism;

3) șirul este exact daca și numai dacă feste epimorfism;

Definiția 1.6.3. Se numește conucleul morfismului un R morfism. Atunci șirul este exact, unde este aplicația de incluziune și este o surjecție canonica.

Definiția 1.6.4. Un șir exact de forma O se numește șir exact scurt, sau extensia lui K la N.

Lema 1.6.1. Fie următoarea diagrama comutativă, de R module și R morfisme cu linii exacte:

atunci

a) dacă α,γ și f’ sunt monomorfisme, atunci β este monomorfism;

b) dacă α,γ și g sunt epimorfisme, atunci β este epimorfism;

c) daca β este monomorfism și α, g sunt epimorfisme atunci γ este

monomorfism;

d) daca β este epimorfism și f’,γ sunt monomorfisme atunci α este epimorfism;

Lema 1.6.2. ( Lema celor cinci morfime )

Fie diagrama comutativa de module și morfime cu liniile exacte:

atunci:

a) daca α este epimorfism și β , σ sunt monomorfisme, atunci γ este un

monomorfism;

b) dacă ε este monomorfism și β, δ sunt epimorfisme, atunci γ este un

monomorfism;

c) daca α , β , δ și ε sunt izomorfisme, atunci γ este un izomorfism;

Lemă 1.6.3. ( condiția de modularitate )

Fie M un R modul stâng. Atunci mulțimea S ( M ) a submodulelor lui M este o latice completă, modulară în raport cu relația „ < " , adică :

a) daca A este o mulțime nevidă de submodule, atunci și ;

b) dacă ( sunt submodule ) și , cu , atunci condiția de modularitate;

1.7. Produse și sume directe în module

Fie ,o familie de R module și , produsul cartezian al mulțimilor .

Dacă reprezintă o aplicație proiecție pe coordonata α, atunci pentru fiecare și , se definește suma și produsul cu un element din inelul R prin :

1);

2) ;

.

Definiție 1.7.1. Se numește produsul direct al familiei ( un R modul : împreună cu operațiile de adunare și înmulțire cu scalar.
Se notează

Observație Dacă , notam , iar daca , notăm .

Propoziția 1.7.1. ( Proprietatea de universalitate a produsului direct)
Fie , o familie de R module, N un R modul și O familie de
morfisme astfel încât, pentru fiecare să avem . Acest morfism se numește produsul direct al familiei și se notează .

Definiție 1.7.2. O pereche ((jα)αA,M) unde M este un modul și morfismele se numește sumă directa a familiei , daca pentru fiecare modul N și fiecare familie de morfisme , există un unic morfism astfel încât

CAP. 2 TEORIA MODULELOR ARTINIENE SI NOETHERTENE
CONDIȚII DE FINITUDINE

2.1. Generalități

Definiția 2.1.1. Fie un modul M peste un inel unitar R.

Un modul, respectiv inel, se numește artinian dacă și numai dacă acesta satisface condiția lanțurilor descendente pe laticea submodulelor, respectiv idealelor sale, sau pe anumite cfase de submodule, respectiv ideale.

Definiția 2.1.2. Un modul, respectiv inel se numește noetherian daca și numai daca acesta satisface condiția lanțurilor ascendente pe laticea submodulelor, respectiv idealelor sale, sau pe anumite clase de submodule, respectiv ideale.

Propoziție În cadrul teoriei modulelor, condițiile de finitudine reprezintă întocmai aceasta proprietate a unui modul, respectiv inel, de a fi artinian sau noetherian.

2.2. Submodule esențiale și submodule superflue

Fie un inel R cu acțiune la stânga șu cu toate modulele și morfîsmele de module, privite peste acesta.

Definiția 2.2.1. Un submodul K al unui modul M se numește sumant direct în M dacă si numai daca exista un submodul K’ al lui M astfel încât și , adică K are complement în laticea submodulelor lui M.

Observație Pentru orice submodul K al lui M întotdeauna există un submodul care împreună cu el sa satisfacă una din aceste condiții.

Definiția 2.2.2. Un submodul K al lui M se numește esențial sau larg în M dacă pentru orice submodul Lai lui M cu se obține L = 0 .
Se notează .

Definiția 2.2.3. Un submodul K al lui M se numește superfluu sau mic în M dacă și numai dacă, pentru orice submodul L al lui M cu L + K = M, se obține L = M.
Se notează K << M.

Observație Un submodul esențial al lui M domină laticea submodulelor, adică nu este dependent, de nici un submodul nenul, iar submodulele superflue sunt neesențiale întrucât ele nu contribuie cu nimic la generarea lui M.

Definiția 2.2.4. Un monomorfism se numește esențial dacă imaginea lui f este submodul esențial în M ( Im f M ), iar un epimorfism este s dacă nucleul sau este submodul superfluu în M ( Ker g<<M)

Propoziția 2.2.1. Pentru un submodul K al lui M ( K < M), următoarele afirmații sunt echivalente :

a) KM;

b) Aplicația incluziune este un monomorfism esențial;

c) Pentru orice modul N și orice monomorfism cu
, se obține Ker h = O.

Demonstrație :

( a) ( b ) evident conform definițiilor;
(b)(c):i:KM și h:MN
– monomorfism esențial ;

Ker h < M conform definițiilor Im .
( c ) ( a ) presupunem că LM astfel încât Lk=O.

Fie epimorfismul natural surjecție canonica, atunci .

Corolar 2.2.1. Un monomorfism f: L M este esențial dacă si numai dacă pentru toate morfismele h pentru care h o f este monomorfism, rezultă că h este monomorfism.

Demonstrație

Folosim faptul că dacă g:MN și f:NP unde feste un monomorfism, iar g este un morfism astfel încât g o feste monomorfism, atunci g este monomorfism.

Propoziția 2.2.2. Pentru un submodul K al lui M următoarele afirmații sunt echivalente:

a) K<<M;

b) Aplicația naturală este un epimorfism superfluu;

c) Pentru orice submodul N și orice morfism cu
Im h + k = M Im h = M.

Corolar 2.2.2. Un epimorfism g : M N este superfluu daca și numai dacă pentru toate morfismele h cu g o h epimorflsm rezulta h este epimorfism.

Observație Corolarul 2.2.2. reprezintă dualul corolarului 2.2.1. precum și propoziția 2.2.2. reprezintă dualul propoziției 2.2.1.

Propoziția 2.2.3. Fie M un modul cu submodulele și , atunci:
1)și ;
2)și ;

Demonstrație

l)„ „fie și ;

Pp. L < N K N

KN și ;

„ " fie L < M a.î L K = O. Dar K = K N L ( K N) = O

(LK) N = O (cu K N din ipoteză ) L N = O( cu NM)

L = OKM

2) „ „ consecință a primului punct în care avem
HKHMșiHKKM

„ „ fie LM cu LKH = O ( KM din ipoteză )LH = O(HM
din ipoteză )L=OHKM.

Propoziția 2.2.4. ( duala propoziției 2.2.3. ) Fie M un modul cu submodulele : K <N < M . Atunci avem :

1) N << M K << M și N / K << M / K;

2) H + K << M H << M și K << M;

Lema 2.2.1. Dacă K<<M și f: M N un morfism, atunci f( K )<<N. In particular, dacă K << M N K << N.

Demonstrație Fie L N cu proprietatea câ L + f(K) = Nf (L) + K = f (N ) = M. Deoarece K << M f' (L) = MKM = f' (L)=>f(K)LL =Nf(K)<<N.

Lema 2.2.2. Un submodul K al lui M este esențial în M, dacă si numai dacă pentru orice element nenul al lui M, există r în inelul R, astfel încât rx o și rx K.

Demonstrație „ ,, dacă presupunem , atunci .

„„ Fie atunci ( din ipoteză) există rR astfel încât

Propoziția 2.2.5. Dacă și iar , atunci:

1) și ;
2) și

Proproziția 2.2.6. Fiecare submodul N al lui M are un M complement. Daca N1 este un M complement al lui N, atunci :

a) ;

b) ;

2.3. Generări și cogenerări

Fie un inel R cu acțiune la stânga peste care sunt privite toate modulele și
morfismele de module.

2.3.1 Clase generate și clase cogenerate

Definiția 2.3.1. Fie U o clasa de module. Un modul M se numește finit generat de U,( putem afirma că V generează finit pe M ), dacă exista o mulțime fini ta, indexată și un epimorfism de la ; unde A este mulțimea de indici.

Obsevație Daca familia U = { U } spunem că U generează finit M, adică exista un epimorfism delaU(A)MO;

Teorema 2.3.1. Daca un modul r M are o mulțime de generatori XM atunci există un epimorfism ceea ce ne arata că R generează pe M. Mai mult, R generează finit pe M dacă și numai dacă M are o mulțime finită de generatori.

Demonstrație Fie XM o mulțime generatori. Pentru fiecare xM consideram aplicația , care reprezintă un R morfism stâng.

Fie suma directa a acestor morfisme, cu ;pentru ca X este o familie de generatori. p epimorfism R generează pe M.

Definiția 2.3.2. Fie U o clasă de module. Un modul M se numește ( finit)
cogenerat de U, dacă și numai dacă există o mulțime ( finită ), indexată, în U și un monomorfism de la ;

Observație Daca U = { U } spunem că U cogenerează pe M, adică există un monomorfism de la .

Fie U o clasă de module. Atunci vom folosi următoarele notații :

– Gen ( U) pentru clasa tuturor modulelor generate de U;

– Cog (U ) pentru clasa tuturor modulelor cogenerate de U;

– FGen ( U ) pentru clasa de module finit generate de U;

– FCog ( U ) pentru clasa de module finit cogenerate de U;

Propoziția 2.3.1. Fie U o clasa de module:

a) daca M Gen (U ) atunci orice imagine epimorfică a lui M este tot în Gen (U);

b) dacă este o mulțime indexata din Gen (U ) atunci și suma directă

Demonstrație

a) și epimorfism;
fie epimorfism epimorfism ;

b) și aplicațiile
f: apimorfisme;

Pp. R morfismul care este un epimorfism

Observație Aceste ipoteze sunt valabile și în cazul generării finite.

Propoziția 2.3.2. ( varianta dualâ) Fie U o clasă de module. Atunci :

a) și monomorfism, atunci ;

b) atunci .

Corolar 2.3.1. (tranzitivitatea generării și cogenerârii ) Fie U și V două clase de module. Atunci :

a) dacă V Gen ( U ) întreaga clasă Gen ( V ) Gen ( U )

b) dacă V FGen (U ) întreaga clasă FGen (V ) FGen ( U)

c) dacă V Cog (U) întreaga clasă Cog ( V ) Cog ( U )

d) dacă V FCog (U ) întreaga clasă FCog (V ) FCog ( U)

Propoziția 2.3.3. Conceptele de generare și cogenerare mai pot fi enunțate astfel:
1) clasa U generează M daca și numai dacă există o suma de submodule, fiecare din ele fiind imaginea epimorfică a unui anumit submodul din U.
2) clasa U cogenereaza M dacă si numai dacă există o mulțime K de submodule ale lui M astfel încât M / K se scufundă intr-un anumit modul din U pentru oricare kKși K=O;

2.3.2 Generatori și cogeneratori

Fie U și V clase de module care se generează una pe alta. Atunci Gen (U) = Gen(V).

Definiția 2.3.3. O mulțime U’U se numește clasă de reprezentanți de tipuri izomorfe a lui U, dacă fiecare UU' este izomorf cu un element din U'.

Dacă nu există două elemente din U' izomorfe atunci clasa de reprezentanți este ireductibilă ( minimală).

Propoziția 2.3.4. Fie U' o clasă de reprezentanți pentru U. Atunci Gen (U') = Gen (U) și Cog(U) = Cog(U').

Definiția 2.3.4. Fie o clasă U.

1) un modul G se numește generator pentru Gen (U) Gen (U) = Gen (G);

2) un modul C se numește cogenerator pentru Cog ( U ) Cog ( U ) = Cog ( C );

3) un generator ( cogenerator ) pentru clasa R mod ( clasa tuturor R modulelor stângi ) se numește generator ( cogenerator ) fără referire la clasă.

Propoziția 2.3.5. Daca U are mulțimea de reprezentanți atunci:

a) este generator pentru Gen ( U );

b) și sunt cogeneratori pentru Cog ( U );

Propoziția 2.3.6. Fie U și M două R module stângi, atunci:

a) U generează ( finit) pe M există o submuițime ( finită) H .

b) U cogenereaza ( finit) pe M exista o submuițime ( finită )

Demonstrație

b ) „ „ Pp. că U cogenereaza pe M exista monomorfism , considerăm morfismul f: MU, unde reprezintă proiecția canonică a produsului direct : . Atunci și ;f monomorfism ;

„„ Dacă este o familie de morfisme cu Ker h = 0 atunci morfismul are nucleul Ker h = 0 monomorfism U cogenereazã pe M.

Corolar 2.3.2. Fie U, N și M trei R module. Atunci :

a) U cogenereazâ pe M pentru orice morfism nenul f: M N, există un morfism h:UM a. î. fh0.

b) U cogenerează pe Mpentru orice morfism nenul f: N M există un morfism h:MU a. î. fh0.

2.4. Traseul (urma) și rejentul (reziduul) unui modul

Fie U o clasă de module.

Definiția 2.4.1. Se numește trasul ( urma ) lui U în M :

Definiția 2.4.2. Se numește rejectul ( reziduul ) lui U în M :

Propoziția 2.4.1. Fie Atunci :

Propoziția 2.4.2. Fie clasa de module și M un modul. Atunci:

a) este unicul submodul L, cel mai mare al lui M, generat de U

b) este unicul submodul K, cel mai mic astfel încât M / K este cogenerat de U

Demonstrație

a) Fie. Fie

Im fiecare submodul al lui M din Gen ( U)
este conținut în clasa Tr( U ) . mulțime indexata ;.

b) Fie familie de module și morfism
Fie K=Ker h, atunci cogenerat de U.

mulțime indexată în U și morfismele:

are nucleul Rej(U).

Corolar 2.4.1. Fie M modul și U clasă de module. Atunci:

a) U generează pe ;

b) U cogenereazâ pe ;

Corolar 2.4.2. Fie M modul și V clasa de module, cu K M. Atunci :

a) ;

b) K = Rej M ( U ) «• K < Rej M ( U ) și Rej M/K ( U ) = O;
în particular, și ;

Propoziția 2.4.3. Fie U o clasă de module și M < N daca R module, fie f: M N un R morfism, atunci :

în particular și sunt bimodule R stângi și drepte
ale lui M.

Corolar 2.4.3.

1) dacă f: M N este un monomorfism și ,

atunci : ;

2) daca f: MN este un epimorfism cu ,
atunci : f ( Rej M ( U ) ) = Rej N ( U )

Propoziția 2.4.4. Dacă este o familie de module, atunci pentru flecare clasă de module U avem:

Propoziția 2.4.5. Dacă U și V sunt clase de module, atunci :

a) dacă V Gen ( U ), atunci

b) dacă V Cog ( U ), atunci ;

Propoziția 2.4.6. FIE G un generator pentru Gen ( U ) și C un cogenerator pentru Cog ( U ). Atunci pentru fiecare modul M, avem :

și

Īn particular, dacă este o mulțime indexată de module :
.

Definiția 2.4.3. Senumește anulatorul stâng al R modulului R , idealul :

Propoziția 2.4.7. Pentru fiecare clasă U de module, este un ideal bilateral,și un modul este un generator daca și numai dacă .

Propoziția 2.4.8. Pentru fiecare R modul stâng, M avem : , iar pentru fiecare clasa de module stângi, și este un ideal bilateral.

2.5. Module semisimple. Soclul și radicalul
2.5.1. Module semisimple

Definiția 2.5.1. Fie o mulțime indexată de submodule simple ale lui M.Daca M este suma directă a acestei mulțimi, atunci se numește descompunere semisimplă a lui M.

Definiția 2.5.2. Un modul M se numește semisimplu dacă el are o descompunere semisimplã.

Lema 2.5.1. Dacă este o mulțime indexată de submodule simple ale R modulului stâng M, și daca , arunci pentru fiecare submodul K al lui M, există o submulțime B A astfel încât independentă și .

Demonstrație : Fie KM un submodul al lui M. Din principiul de maxim există o submulțime B A maximală în raport cu condițiile cacare să fie independentă și . Atunci sumă directă ; M = N.

Propoziția 2.5.1. Dacă un modul M este generat de mulțimea indexată de submodule simple, atunci pentru ,adică M este semisimplu.

Propoziția 2.5.2. Fie M un R modul stâng semisimplu cu descompunerea
semisimplâ, . Daca este un șir exact de R module, atunci K și N sunt semisimple. și izomorfismele și

Demostrație : Avem f:K M și g : M N.

Deoarece Im f este submodul în

.

Corolar 2.5.1. Fie o mulțime indexata de submodule semisimple ale lui M. Dacă T este un submodul semisimplu al lui M, astfel încât , atunci există un .

Demonstrație :

Dacă T este simplu și atunci .

Presupunem și conform propoziției 2.5.1. rezultă că M semisimplu și , pentru un anumit B A.

Teorema 2.5.1. Pentru un R modul stâng următoarele afirmații sunt echivalente :

1) M este semisimplu;

2) M este generat de module simple;

3) M este suma unei anumite mulțimi de submodule simple;

4) M este suma submodulelor sale simple;

5) Orice submodul al lui M este sumant direct;

6) Orice șir exact scurt O K MNO de R module stângi este scindat.

2.5.2. Soclul unui modul

Fie clasa R modulelor semisimple stângi = clasa Gen ( S ) a modulelor generate de module semisimple din S.

Definiția 2.5.3. Se numește soclul modulelor M un submodul semisimplu unic „ cel mai mare „ trarul lui S în M.

Notam Soc M = Tr( S ).

Propoziția 2.5.3. Fie M un R modul stâng. Atunci : Soc M = S { K M K minimal în M}={LML este esențial în M }.

Demonstrație :

Fie T M , T semisimplu, dacă LM, atunci T L 0 , așa câ Soc M este conținut în orice submodul esențial al lui M.

Fie arătăm câ H este semisimplu.

Fie complement al lui
și din modularitate : sumant
direct în H, deci H semisimplu Soc M .

Propoziția 2.5.4. Fie M și N două R module stângi și f: M N un R morfism.Atunci f ( Soc M ) Soc N.

Īn particular, Soc M este un submodul R stâng,drept al lui M.

Corolar2.5.2. Fie Mmodul și KM. Atunci Soc M = KSoc M. în particular,Soc ( Soc M ) = Soc M.

Demonstrație :

Conform propoziției 2.5.4., Soc K Soc M. Dar K Soc M este semisimplu, deci este conținut în Soc M.

Propoziția 2.5.5. Soclul lui M reprezintă cel mai mare submodul al lui M, care este conținut în fiecare submodul esențial al lui M. în general, Soc M nu este necesar să fie esențial în M.

Corolar 2.5.3. Fie M un R modul stâng . Atunci Soc M M, dacã și numai dacă orice submodul nenul al lui M conține un submodul minimal.

Propoziția 2.5.6. Fie F o mulțime de reprezentanți ai R modulelor stângi simple.Atunci pentru fiecareM avem:SocM=Tr( F ) =

Propoziția 2.5.7. Clasa R modulelor semisimple stângi are un generator semisimplu,anume .

Dacă T este simplu, atunci trasul al lui T în M se numește componentă T omogena a lui Soc M.

este generat de un modul simplu, deci semisimplu în Soc M și, fiecare submodul semisimplu al luieste izomorf cu T.

Definiția 2.5.4. Un modul semisimplu H se numește T omogen dacă si numai dacă H = .

Propoziția 2.5.8. Pentru orice modul M componenta T omogenă al Iui Soc M este unicul submodul semisimplu T omogen, cel mai mare al lui M. Daca M nu are submodule simple izomorfe cu T, atunci componenta T omogenă a soclului său este O.

2.5.3. RADICALUL UNUI MODUL

Definiția 2.5.5. Fie S clasa R modulelor stângi simple. Pentru fiecare R modul M,radicalul ( Jacobson ) a lui M, este rejectul lui S in M.
Se notează Rad M = Rej( S ).

Propoziția 2.5.9. Fie M un R modul stâng. Atunci:

Rad M = { KM | K maximal în M ) = ∑{ L ≤ M |L << M }

Demonstrație :

K ≤ M maximal în M M / K simplu – aplicăm definiția rejectului în M a unei clase. Fie L << M.

Fie K submodul maximal al lui M și dacă L≤KK+L= M;L<<MK = L(contradicție )orice submodul superfluu al lui M este conținut în Rad M.

Fie xM și NM cu Rx + N= MN = M sau ( ) K submodul maximal al lui M cu NK și x K.

Pentru x Rad M contradicție Rx << M.

Propoziția 2.5.10. Fie M și N două R module stângi și funcția f: M N un R morfism. Atunci f ( Rad M) < Rad N. In particular Rad M = submodul R stâng și EndM, respectiv submodul R drept al lui M.

Propoziția 2.5.11. Dacă f: M N este un epimorfism și dacâ Ker f ≤ Rad M atunci Rad N = f ( Rad M ). In particular Rad ( M / Rad M) = 0.

Propoziția 2.5.12. Fie M un R modul, Atunci Rad M = 0 dacă și numai dacă M este cogenerat de clasa modulelor simple. In particular, dacă M este semisimplu. atunci Rad M = 0. Soc M = M M este semisimplu.

Propoziția 2.5.13. Fie F o mulțime de reprezentanți ai R modulelor simple, atunci pentru fiecare M avem : Rad M = Rej (π { T | T F }) = Rej( T) =Rej( T ) Duala componentei T omogene a soclului lui M este rejectul Rej( T ). Radicalul lui M este cel mai mic submodul al lui M, care conține toate submodulele superflue.

Propoziția 2.5.14. Dacă fiecare submodul propriu al lui M este conținut într-un submodul maximal al lui M, atunci Rad M este unicul submodul superfuu, cel mai mare al lui M.

Demonstrație:

Fie L submodul propriu al lui M a.î. L + Rad M = M și K submodul maximal al lui M . Atunci L + Rad M≤KM ; contradicție L=MRad M << M.

Propoziția 2.5.15 Fie o mulțime indexata de submodule ale lui M cu . Atunci Soc M = Soc M și Rad M = Rad M

2.6. Module finit generate și finit cogenerate
2.6.1. Module finit generate

Definiția 2.6.1. Un modul M se numește finit generat dacă si numai daca pentru fiecare mulțime A care generează M, există o anumita mulțime finita FA care generează M, adică ∑A = M, rezultă ca ∑F = M pentru o anumită mulțime finită F A.

Propoziția 2.6.1. Următoarele afirmații despre un R modul stâng M sunt echivalente

1)M este finit generat;

2) Pentru fiecare mulțime ,exista o

mulțime finită FM cu ;

3) Pentru orice mulțime indexatăși epimorfismul

, există o mulțime FM și un epimorfism, ;

4) Orice modul care generează M, generează finit pe M;
5)Menține o mulțime finită de generatori;

Demonstrație :

2)3)este un epimorfismși

;

5)1) presupunem ca { } este o mulțime finită de generatori pentru M și presupunem că A este o mulțime de submodule ale lui M cu M=∑A finita, astfel încât . Fie finită,∑F submodul al lui M conține o mulțime de generatori al lui finit generat

2.6.2. Module finit cogenerate

Definiția 2.6.2. Un modul se numește finit cogenerat dacă pentru fiecare mulțime A de submodule ale lui M avem pentru o submulțime finita FA( proprietatea intersecției finite ).

Propoziția 2.6.2. Următoarele afirmații referitoare la un R modul stâng M sunt echivalente:

1)M este finit cogenerat;

2) Pentru fiecare mulțime cu

mulțime finita , ;

3)Pentru fiecare mulțime indexatași monomorfismul OMΠ U,, exista o mulțime F M și un monomorfism OMΠ U,;

Demonstrație :

2)1) Fie { M| } submodule ale lui M cu . Aplicam2)
pentru aplicațiile naturale și obținem 1);

2) 3) presupunem monomorfism
;Din2) finită cu

monomorfism.

Corolar 2.6.1. Dacă modulul M este finit cogenerat, atunci fiecare modul care cogenerează pe M îl cogenerează finit pe M.

2.6.3. Rolul soclului și al radicalului

Propoziția 2.6.3. Rolul soclului și rolul radicalului este acela de a determina generarea finită, respectiv cogenerarea finită.

Teorema 2.6.1. Fie M un R modul stâng. Atunci :

a) M este finit generat M/ Rad M este finit generat și epimorfîsmul natural MM /Rad M este superfluu (Rad <<M);

b) M este finit cogenerat Soc M este finit cogenerat și aplicația incluziune OSoc MM este esențială Soc MM

Demonstrație :

„ „ un submodul al unui modul finit cogenerat este finit cogenerat.
Atunci, dacă M finit cogenerat rezultă Soc M M. Fie K ≤ M a.î. ( Soc M) K =O. Soc M este egală cu intersecția tuturor submodulelor esențiale

a.î. LSoc MM .

„„ fie Soc M finit cogenerat și esențial în M. Fie A familie de submodule ale lui N cu ∩A = 0.

Atunci :∩{A∩ Soc M/A A}=0A a.î. ∩Soc M = ( A ∩ SocM) ∩…∩ (A∩ SocM ) = O pentru anumiți
A .

Soc MM M finit cogenerat.

Corolar 2.6.2. Fie M un modul nenul.

1) Dacă M este finit generat, atunci M este un modul maximal;

2) Dacă M este finit cogenerat, atunci M este un modul minimal;

Propoziția 2.6.4. Următoarele afirmații despre un modul semisimplu sunt
echivalente:

a) M este finit cogenerat;

b),cu simple, i = l,n ;

c) M este finit cogenerat;

Demonstrație :

a) b) presupunem că are loc a) atunci, daca M poate fi scufundat intr- un produs de module simple, rezultă că M poate fi scufundat într-un produs cu un nr. finit de module simple;

b)c) din forma lui M în b) M finit generat

c) a) M semisimplu M generat de submodule simple
Folosin metoda inducției matematice, după n, rezultă M finit cogenerat

Propoziția 2.6.5. Un modul este finit cogenerat dacă și numai dacă soclul său esteesențial și finit generat.

Propoziția 2.6.6. Fie. Atunci M este finit generat (cogenerat ) dacă și numai dacă fiecare M, i – 1 , n este finit generat.

Demonstrație:

Reuniunea mulțimilor de generatori ai lui M, i=n este o mulțime de generatori ai lui M.

Arătam că M=1,n este finit cogenerat implică faptul că M este finit cogenerat.

Soc M=Soc M…SocMDeoarece fiecare M este finit cogenerat rezulta ca fiecare Soc M j finit generat rezultă ca Soc M finit generat.
Soc Soc finit cogenerat.

2.7. Condiții de finitudine în cadrul modulelor
( condiții de lanț)

Modulele pentru care fiecare submodul ( modul factor ) este finit generat ( finit cogenerat) pot fi caracterizate de „ condiții de lanț „.

în general nici una din aceste condiții de finitudine nu implica altele decât în câteva situații ( condiții) speciale în care ar putea fi echivalente.

Exemplu : Submodulele lui Z sunt finit generate și modulele factor ale lui Z. Sunt finit cogenerate.

Definiția 2.7.1. Fie o mulțime S de submodule ale lui M. Spunem că S satisface condiția lanțurilor ascedente ( A.C.C. ), dacă pentru fiecare lanț din S, exista nN cu , pentru i = 1 , n.

In cazul condițiilor lanțurilor descendente ( D.C.C. ) presupunem incluziunile inverse.

Definiția 2.7.2. Un modul M se numește noetherian daca laticea S ( M ) a tuturor submodulelor lui M satisface condiția lanțurilor ascendente ( A.C.C.)

Definiția 2.7.3. Un modul M se numește artinian dacă laticea S ( M ) a tuturor submodulelor lui M satisface condiția lanțurilor descendente (D.C.C.)

Propoziția 2.7.1. Pentru un modul M, următoarele afirmații sunt echivalente:

1) M este artinian;

2) Orice modul factor al lui M este finit generat;

3) Orice mulțime nevidâ de submodule ale lui M are un element maximal

Propoziția 2.7.2. Pentru un modul M, de asemenea sunt echivalente următoarele afirmații:

1) M este noetherian;

2) Orice modul factor al lui M este finit cogenerat;

3) Orice mulțime nevidã de submodule ale lui M are un element minimal;

Demonstrație :

1) 3) Fie a sumbulțime nevidă de submodule ale lui M. Presupunem ca A nu ar avea un element minimal rezultă că pentru fiecare L e A mulțimea { L' A | L’ < L } este nevidâ ; exista o funcție L L' cu L> L' pentru orice L A.

Fie LAL>L'>… lanț infinit descrescător de submodule ale lui M-
contrazice faptul că M este artinianexistã element minimal în A.

3)2) presupunem că are loc afirmația 3) Daca K ≤ M și A colecție de submodule ale lui M cu K = ∩ F, pentru FA,F finită.

Fie P={∩F,FA,F finita } Atunci din 3) rezultă că P are un element minimal ∩FK = ∩F.

2)1) Presupunem că are loc afirmația 2) și modulul M are un lanț descrescător de submodule :

Fie K = nL,nN. Atunci, deoarece M / K finit cogenerat, există nN a.î.

Corolar 2.7.1. Fie M un modul nenul.

a) dacă M este artinian, atunci M are un submodul simplu, de fapt Soc M este submodul esențial;

b) Dacă M este noetherian, atunci M are un submodul maximal, de fapt Rad M este un submodul superfluu.

Propoziția 2.7.3. Fie OK MNO un șir exact de R module stângi.Atunci M este artinian ( noeterian ) dacă și numai dacă atât N cât și K sunt artiniene(noetheriene ).

Demonstrație :

„„ Fie M artinian,atunci K este izomorf cu un submodul al lui M (KImf)=> K este artinian. De asemena N este izomorf cu un modul factor al lui M ( NM / K ),așa că N este artinian.

„„ presupunem cã N și K artiniene; arătăm că M artinian; Presupunem că K < M și M/K = N și M/K = N.

Fie lanț descrescător de submodule ale lui M. Cum

N/KN este artinian există un întreg m a.i. ;

M artinian
Demonstrația cazului noetherian este dualâ.

Corolar 2.7.2.Fie.Atunci M este artinian (noethrian)
dacă și numai dacă fiecare M, este artinian ( noetherian).

Una din cele mai semnificative proprietăți ale modulelor artiniene și noetheriene este aceea ca fiecare astfel de modul admite descompunere directă finitã idecompozabilã.

Modulele care sunt finit generate nu este necesar să aibă o astfel de descompunere (nu se poate descompune ).

Propoziția 2.7.4. Fie M un modul nenul care verifică condiția lanțurilor ascendente sau descendente pe sumanți direcți ( adică M este artinian su noetherian ). Atunci M este suma directa,a unei mulțimi finite de submodule idecompozabile.

Demonstrație :

Pentru fiecare modul nenul M care nu are o descompunere idecompozabilâ finita alegem o descompunere proprie , este un și de module idecompozabile. Atunci existã lanțurile infinite N’<N’+M’’<… și M>M’>M’’>… de sumanți direcți în M. Cele patru condiții de finitudine sunt echivalente pentru modulele semisimple.

Propoziția 2.7.5. Pentru fiecare modul M următoarele afirmații sunt echivalente :

a) Rad M = O și M artinian;

b) Rad M = O și M finit cogenerat;

c) M semisimplu și finit cogenerat;

d) M semisimplu și noetherian;

e) M este suma directă a unei mulțimi finite de submodule simple;

Demonstrație :

b) c) presupunem ca are loc afirmația b ) Rad M=O daca și numai daca M este cogenerat de clasa modulelor simple și M izomorf cu un submodul aal unui produs finit p de module simple. Acest produs este suma directa rezultă p este semisimplu.

e) a) și e)d) presupunem că are loc e) Atunci M este semisimplu și RadM = 0

Corolar 2.7.3. Pentru un modul semi simplu M, următoarele afirmații sunt echivalente :

a) M este artinian;

b) M este noetherian;

c) M este finit generat;

d) M este finit cogenerat;

2.8. Module cu serii de compoziție

Fie M un modul nenul cu proprietatea ca fiecare submodul nenul al lui M are un submodul maximal.

Exemplu Orice modul nenul noetherian are aceasta proprietate.

Un astfel de modul M are un submodul maximal M și M= 0 sau la rândul sau de un submodul maximal M. Atunci fiecare astfel de proces duce la un lanț descrescător infinit M> M > M > … de submodule, fiecare maximal în predecesorul sau.

Propoziția 2.8.1. Dacă modulul M este atenian atunci există lanțul infinit M> M > M > … > M =0 cu fiecare termen maximal în predecesorul său.

Dacă M este un modul nenul cu proprietatea câ fiecare modul factor nenul are un submodul simplu, dacă și numai dacă M este artinian, atunci exista un lanț ascendent 0< L< L< L… de submodule ale lui M, fiecare maximal în succesorul său.

Propoziția 2.8.2. Dacă modulul M este noetherian, lanțul submodulelor se termină la M, după un număr finit de termeni, pentru un anume n.

2.8.1. Serii de compoziție

Fie M un modul nenul.

Definiția 2.8.1. Un lanț finit den + 1 submodule ale lui M : M = M > M >M> …>M=0 se numește serie de compoziție de lungime n pentru M cu condiția că să fie simplu i = 1, n dacă și numai dacă fiecare termen să fie maximal în predecesorul său.

Observație Daca un modul este atât artinian cât și noetherian, atunci el are o serie de compoziție. Acestea sunt singurele module cu serii de compoziție.

Propoziția 2.8.3. Fie M un modul nenul și presupunem că exista un șir exact OKMN0 de morfisme. Atunci M are o serie de compoziție dacă și numai dacă N și K au amândouă serii de compoziție.

Definiția 2.8.2. Fie M un modul arbitrar și L≤M, indiferent dacă L este termen intr-o serie de compoziție a lui M sau nu.

Dacă L are un submodul maximal K, atunci modulul simplu L / K se numește factor de compoziție pentru M.

Definiția 2.8.3. Dacă M are o serie de compoziție M = M> M > M > … M = 0 atunci modulele simple M/ M,M/M,M/M,… , M/M se numesc factorii de compoziție ai seriei.

Definiția 2.8.4. Daca modulul M are o serie de compoziție : M = N>N >N> …N=0, atunci cele doua serii de compoziție sunt echivalente, daca n = p și există o permutare δ a lui { 0, 1, … , n-1 } a. î. M/MN/N

Teorema 2.8. l. (Jordan – Holder) Daca un modul M are o serie de compoziție,atunci fiecare pereche de serii de compoziție ale lui M sunt echivalente.

Demonstrație

Daca un modul M are o serie de compoziție, atunci notăm cu C ( M ) lungimea minimă a unei astfel de serii pentru M. Folosind inducția matematică după C ( M) .Presupunem că C(M) = n-lorice modul cu o serie de compoziție de lungime mai mica are toate seriile de compoziție echivalente.

Fie M = M > M > M > … > M = 0 o serie de compoziție de lungime minimala pentru M și fie M=N> N > N > … N = 0 a doua serie de compoziție a lui M.

Dacă M = N atunci prin ipoteza de inducție, deoarece C ( M ) ≤ n – 1 cele doua serii sunt echivalente. Presupunem că M, * N, . Atunci, deoarece M, este submodul maximal în M avem : M + N = M

1) M/M = (M+N)/MN/(M ∩ N ) și

2) M/N = (M+N) /NM/(M∩N)
Astfel M ∩ Neste maximal atât în M cât și în N .

Conform propoziției 2.8.3. M ∩ N are o serie de compoziție : (OM∩NMM/(M∩N)0)

M∩N= L>L>L> …L=0

Atunci M> L>L>L>… L=0 și N>L>L>L>…L=0 sunt două
serii de compoziție pentru M și N. Deoarece C ( M) < n oricare două serii de
compoziție pentru M și N sunt echivalente, motiv pentru care cele doua serii M=M>M>M>…>M=0 și M=M>M>L>…>L=0 sunt echivalente.

In particular, K < n-1, așa că C (N) < n. Dar din ipoteza de inducție, fiecare două serii de compoziție sunt echivalente. Astfel seriile M=M>M>M >…>M=0 și M>M>L>…>L=0 sunt echivalente.

Dar M / MN/L și M/NM/L.

2.8.2. Lungimea compoziției

Lungimea compoziției este o consecință imediată a teoremei lui Jordan Holder și abordează problema pentru orice modul care are o serie de compoziție, toate seriile de compoziție pentru aceasta au aceeași lungime.

Definiția 2.8.4. Un modul M care este atât artinian cât și noetherian se numește de lungime finită. Pentru un astfel de modul M, definim lungimea compoziției prin:
C(M)=

Dacă un modul M nu este de lungime finita spunem ca el este de lungime infinită.Notam C ( M ) = ∞.

Exemplu Un spațiu vectorial finit dimensional are o lungime a compoziției și această lungime este chiar dimensiunea spațiului.

Intr-adevãr funcția C acționează pe module de lungime finită, asemănător, cum funcția dimensiune acționează pe spațiile vectoriale finit dimensionale.

Fie K, M, N trei R module și OKMNO un șir exact. Presupunem că :K = K>K>…>K=0 și N = N>N>…>N=0 sunt serii de compoziție pentru K,respectriv pentru N.

Pentru fiecare i = 0, 1,2, … , n fie K'= f ( K') și pentru fiecare j =0, 1,2,…, p fie K'=g (N). Avem că seria M = N'>N'> … >N’=K'>K’|> … >K'=0 este o serie de compoziție pentru M. Egalitatea N'= K' reprezintă din exactitatea compoziției pentru M. Astfel în baza unicității unei astfel de serii, avem :

Corolar 2.8.1. Fie K, M, N trei R module și presupunem că exista un șir exact OKMNO morfisme. Atunci C(M) = C(N) + C(K).

Demonstrație :

(K + N)/NK/(K∩N). Aplicăm corolarul 2.8.2. pentru șirurile exacte O NN+K(K + N)NO și OK∩NK/(K∩N )0 pentru a găsi relația
căutată.

2.8.3. Lema fitting

Un endomorfism f al unui spațiu vectorial finit dimensional induce o descompunere directă a spațiului în două subspații. Acest fapt are o generalizare de importanța fundamentala în studiul modulelor de lungime finită.

Lema 2.8.1. Fie M un modul și fie f un endomorfism al lui M

a) daca M este artinian, atunci Imf+ Ker f = M pentru un anumit n, de unde f este automorfism daca și numai dacă feste monomorfism;
b)dacâ M este noetherian, atunci Imf ∩ Ker f= 0 pentru un anumit n, de unde f este automorfism daca și numai daca f este epimorfism;

Demonstrație :

Pentru a) obsevâm că Im f ≥ Im f ≥ …

Presupunem ca M este artinian. Atunci, acest lanț ascendent este finit ( ) n, a.î. I m Im f = Im f. Fie x M f ( x) Imf(y) pentru un anumit y M. Avem x = f(y ) + (x-f(y )) Imf + Kerf.Dacã f monomorfismKer f =0Imf =M => Im f = M f automorfism.

Propoziția 2.8.5. (lema Fitting ) Dacă M este un submodul de lungime finita n și f este un endomorfism al lui M, atunci M = Im f Ker f .

Deoarece M are lungimea n Im f = Im f și Ker f = Ker f.

Demonstrație :

Conform propoziției 2.8.3. M este atât artinian cât și noetherian, așa cã exista m є N astfel încât M = Im f Ker f.

Deoarece M are lungimea n Im f = Im f și Ker f = Ker f .

Corolar 2.8.3. Fie M un modul idecompozabil de lungime finită. Atunci
următoarele afirmații sunt echivalente:

1) f este monomorfism;

2) f este epimorfism;

3) f este automorfism;

CAP.3 ELEMENTE DE TEORIA CATEGORIILOR

3.1. Definiția categoriei. Exemple

Definiția 3.1.1. O categorie constă din următoarele date D,D,D și următoarele axiome C,C,C definite astfel :

( D) Se dă o clasa de obiecte, notată cu ob ( C ). De obicei, obiectele se notează cu litere mari.

(D) Pentru orice pereche ordonată de obiecte , A, B ob ( C ) se dă o mulțime notată cu Hom c ( A , B ) care poate fi vidă, numitã mulțimea homomorfismelor ( morfismelor) de la A la B.

Notație : f: A B ( A B ), uneori Horn ( A , B ). A se numește domeniu sau adresă iar B se numește codomeniu sau sursă.

( D3) Pentru orice A, B, C ob ( C ) se da o aplicație de la Hom ( A , C) x Hom( B , C ) la Hom( A , C ) numită lege de compunere a morfismelor.

Astfel, pentru orice ( u , v ) u Hom( A , B ) și v Hom( B , C ) se atașează un unic element w Hom(A,C):(u,v)—>w,w unic.

Notație w =vu=vu-se citește„ compusul morfismului v cu morfismul u ".

( C) Pentru orice ( A, B) și ( A, B) perechi de obiecte avem : Hom (A, B)∩Hom( A, B) = , cu execpția cazului A=Ași B=B când cele două morfisme coincid.

( C) Asociativitatea compunerii morfismelor : pentru orice morfisme u, v, w ale categoriei avem :w(vu) = (wv)u,ori de câte ori compunerea are sens, adică u : AB, v : BC, w : CD.

( C3) Existența morfismului identitate: pentru orice obiect A ob ( C ), exista un morfism notat I Hom( A , A), astfel încât să avem :

1) pentru orice X ob ( C ) și orice u Hom ( X , A ) are loc l u = u; XAA;

2) pentru orice Y ob ( C) și orice v Hom(A , Y) are loc v l= v;

AAY;

Definiție 3.1.2. Rezultatul l se numește morfismul identic al obiectului A și joacă rol de unitate la stânga pentru orice morfism de adresă A și de unitate la dreapta pentru orice morfism de sursă A.

Exemple de categorii:

1) Categoria Ens = E = categoria mulțimilor

Obiectele categoriei sunt toate mulțimile posibile, Hom ( A , B ) = { f / f: A B }iar compunerea morfismelor reprezintă compunerea uzuală a funcțiilor.

Verificăm axiomele ( C ) , ( C), ( C ) :

( C) Presupunem ( HomA, B) ∩ Hom ( A, B) () f: AB și f: AB A=A și B = B.

( C2) întotdeauna, în cazul funcțiilor, compunerea este asociativă;
( C3) funcția identică

2) Categoria Gr a grupurilor : obiectele categoriei sunt grupurile, morfismle sunt morfismele de grupuri, iar compunerea morfismelor este cea uzuală;

3) Categoria modulelor stângi sau drepte peste un inel unitar R; R Mod, respectiv ModR

Obiectele categoriei R mod, de exemplu, sunt modulele la stânga peste inelul R, morfismele sunt morfismele de module, iar compunerea este compunerea obișnuită a funcțiilor.

Observație După cum am observat, pentru a da o categorie trebuie sâ precizam clasa de obiecte, morfismele sale și legea de compunere a morfismelor, după care se verifică axiomele ( C), ( C), ( C).

3.2. Clase speciale de morfisme
3.2.1. Monomorfisme și epimorfisme

Fie C o categorie, A și B două obiecte ale categoriei, iar u Hom (A , B ) un morfism.

Definiția 3.2.1. Morfismul u : A B se numește monomorfism dacă și numai dacă pentru orice obiect X ob ( C ) și orice două morfîsme ξ și η Hom (X, A) din relația u ξ = η se obține ξ = η ( monomorfismul se poate simplifica la stânga).

Exemplu 1 : 1 este monomorfism , ( ) A ob ( C ), deoarece :
a.i.

Propoziția 3.2.1. Fie u Hom ( A , B ), v Hom ( B , C ), A, B , C ob ( C ). Atunci avem două condiții și anume :

a) daca u și v sunt monomorfisme, atunci v u este monomorfism;

b) dacă v u este monomorfism, atunci u este monomorfism;

Dcfiniria 3.2.2. Fie A , B ob ( C ) și u Hom ( A , B ). Morfismul m se numește epimorfism daca și numai dacă pentru orice obiect Y ob ( C ) și orice două morfisme ξ și η Hom ( B , Y) din relația ξ u = η u se obține ξ = η) ( monomorfismul se poate simplifica la dreapta).

Exemplu 2 : 1 este epimorfism , ( ) A ob ( C ), deoarece :

ob (C) și ξ,η a.i.

Propoziția 3.2.2. Fie m Hom(A,B),v Hom(B,C),A, B,Cob ( C ). Atunci avem doua condiții și anume :

a) daca u și v sunt epimorfisme, atunci v u este epimorfism;

b) dacă v u este epimorfism, atunci v este epimorfism;

Propoziția 3.2.3. Aplicația u : A B este monomorfism ( epimorfism ) dacă și numai dacă pentru orice X ( respectiv orice Y) și pentru orice două morfisme ξ și η Hom ( X , A ) ( respectiv Hom ( B , Y )), din relația ( respectiv ).

3.2.2. Bimorfisme și epimorfisme

Definiția 3.2.3. Se numește bimorfism un morfism u : AB, care este simultan monomorfism și epimorfism.

Exemplu Pentru orice A ob ( C ), morfismul identic este un bimorfism.

Definiția 3.2.4. Se numește izomorfism un morfism u : A B cu proprietatea că există un morfism u : B A astfel încât să avem: uv=1 și vu=1.

Exemplu : Pentru orice Aob(C), morfismul identic este un izomorfism.

Observație Dacă u este izomorfism, atunci morfîsmul v este și el izomorfism și este unic. Acesta se numește morfismul invers al lui u.
Se notează cu m . ( m)=m.

Propoziția 4.2.4. Orice izomorfism este un bimorfism.
Observație : Reciproca propoziției 3.2.4. nu este valabila.

3.2.3. Secțiunea și retracta

Definiția 3.2.5. Un izomorfism u, dintr-o categorie C, se numește secțiune
( retracta ) daca el este inversabil la stânga ( la dreapta ).

Propoziția 3.2.5. Aplicația u : A B reprezintă o secțiune retracta dacă și numai dacă exista v : A B astfel încât să avem : vu=l și uv=l.

Propoziția 3.2.6. Un morfism care este secțiune și retracta este izomorfism.

3.3. Categoria duală. Principiul dualității

Fie C o categorie căreia îi asociem o altă categorie C*, definita în următorul mod:

(D*)ob(C*)=ob(C);

(D*)()A,B ob(C) definim pe Hom ( A , B ) = Hom ( B , A );
(D*)(V)A,B,C ob(C) definim Hom ( A , B ) x Hom ( B , C )
Hom ( A , C ) compunerea astfel :

dacă m Hom( A , B ) și v Hom ( B , C ), definim compunerea v*u = vu adică se schimbă ordinea de compunere a morfismelor :ABC și ABC. De asemenea, se verifica cele trei axiome din definiția categoriei.

Definiția 3.3.1. Fie N o noțiune referitoare la o anumita categorie . Fie C o categorie și C* duala sa. Atunci, noțiunea N din categoria C*, dar interpretata în categoria C se numește duala noțiunii N.

Definiția 3.3.2. Fie P o propoziție matematică, iar P* propoziția care se obține din P,înlocuind fiecare noțiune cu noțiunea sa duală. Atunci, propoziția P* se numește duala propoziției P.

Exemplu P : Fie u și v două morfisme, u:AB și v:BC;

a) dacă u și v sunt monomorfisme, atunci vu este monomorfism;

b) dacă vu este monomorfism, atunci u este monomorfism

Exemplu P* : Fie u și v două morfisme, u:AB și v:BC;

a) dacă u și v sunt epimorfisme, atunci vu este epimorfism;

b) dacă vu este epimorfism, atunci v este monomorfism

Teorema 3.3.1. ( Principiul dualității) Fie P o proprietate referitoare la o categorie,iar P* duala sa. Atunci P* este adevărată dacă și numai dacă P este adevărata.

3.4. Sume și produse directe

Definiția 3.4.1. Fie C o categorie , ( A) o familie oarecare de obiecte și S un obiect din categoria S ob ( C ) .

Obiectul S se numește sumă directă a familiei ( A) daca și numai dacã există o familie de morfisme (),σ:AS astfel încât să fie îndeplinitã următoarea condiție : oricare ar fi S un obiect și familia de morfisme (U),U:AS', există un mic morfism u : S S' care face comutativă diagrama următoare , adică uσ = u i,

Definiția 3.4.2. Fie o categorie în care orice familie finita de obiecte admite sumă directă. Atunci această categorie se numește cu sumă directă. Dacă orice familie finită sau nu, admite sumă directă, atunci ea este unică până la un izomorfism.

Notație suma directã se notează cu(()], S ) iar S se notează cu

Propoziția 3.4.1. Dacă există o sumă directã pentru o familie de obiecte dată, atunci ea este unicã până la un izomorfism.

Propoziția 3.4.2. Dacă ( A) este o familie de obiecte având două sume directe ((), S ) și ((), S'), atunci exista un izomorfism de la S la S' care face comutativă diagrama următoare, adică ασi=σ’I:

Obsevație Noțiunea de produs direct într-o categorie este noțiunea duală a sumei directe, adică se obține prin dualizare ( prin inversarea săgeților și a compunerii morfismelor):

Definiția 3.4.3. Fie (M) o familie de obiecte a unei categorii C și fie P un obiect al categoriei și , morfisme ale categoriei ()i I.

Se spune ca obiectsul P împreună cu morfismele , adică perechea (P , ()) se numește produs direct al familiei considerate daca pentru orice obiect X ob ( C ) și orice familie de morfisme , există și este unic un morfism v : X P astfel încât .

Observație Ca și suma directă, produsul direct este unic până la un izomorfism.

Propoziția 3.4.3. Fie ( M) o familie de obiecte și(P,(),(P',() doua produse directe ale acestei familii. Atunci există un izomorfism α:P'P, astfel încât să avem , adică următoarea diagramă este comutativă:

=== cap4 ===

CAP. 4 CONDIȚII DE FINITUDINE PENTRU INELE SI ENDOMORFISME

4.1. Anulatori și conexiune GALOIS

4.1.1. Anulatori

Scopul acestei secțiuni este să indice două conexiuni Galois duale, natural asociate fiecărei perechi de R module drepte și să devină obiecte Galois corespunzătoare.

Fie M , N Mod R. Notăm S = HomR(M,N)(S, + )de structură de grup. Atunci pentru fiecare submulțime X a lui M ( X M ) și fiecare submulțime Z a lui S ( Z S ) , definim :

Definiția 5.1.1. Se numește anulatorul lui X cu elemente din S :

Definiția 5.1.2. Se numește anulatorul la dreapta în M al lui Z :

Observație Anulatorul lui X cu elemente din S, precum și anulatorul la dreapta în M al lui Z se mai poate scrie în modul următor :

, respectiv

Deoarece ls(X)=ls(<X>),<X> reprezintă un submodul generat de X, definițiile de mai sus pot fi extinse la orice categorie abeliană completă. Anulatorii prin factorizare impun o ordine în structura respectivă.

Propoziția 5.1.1. Fie M,N Mod R și S = HomR( M , N ). Atunci :

1) dacă

2) dacă

Demonstrație :

Pentru a demonstra folosim faptul ca

Fie f Z , atunci

Fie Y o submulțime a lui N și Z o submulțime a lui S. Atunci prezentăm următoarele definiții duale:

Definiția 5.1.3. Dualul anulatorului lui X cu elemente din S este 1'S( Y ) astfel încât l’S = {fS/Im(f) <Y>};

Propoziția 5.1.2. Fie M , NMod R și S = HomR( M , N ) .Atunci:

a) dacă

b) dacă

c)

d) și r, și Z S ;

Demonstrație :

c) avem r'N ( φ’S ( Y)) = ∑ Im ( f) = < Y > , f ( Y ), deoarece Im

Fie f Z, atunci Im

Observație

1) HomR( M , N) are o structură de End (NR)- End (MR) bimodul și are loc relația de de asociativitate: M→M→N→N, (αf)β = α(fβ);

2) pentru fiecare submulțime X a lui M și fiecare submulțime Y a lui N , φ’S ( X ) este un submodul pentru End (NR) modul stâng, HomR(M , N) și φ’S (Y) este un submodul pentru End (MR) modul drept, HomR( M, N ).

4.1.2. Conexiune Galois

Definiția 5.1.4. Se numește conexiune Galois între două mulțimi parțial ordonaate A și B, o pereche de aplicații descrescătoare :α:A→B și β:B→A,ce satisfac condițiile:

a) și

b) .

Dacă a A, respectiv bB, notăm cu a', respectiv cu b', elementele α ( a), respectiv β ( b ).

In acest caz spunem câ un element x A reprezintă un obiect închis ( Galois ) a lui A sau B, dacă x = x'.

Notație : A = β(B); B = α(A).

Observație Din definiția unei conexiuni Galois rezulta direct câ x' = x" pentru fiecare element X a lui A sau B, deci A și B constă exact din toate elementele închise ale lui B.

Reamintim că o mulțime parțial ordonată L este noetheriană ( sau satisface A.C.C.) dacă nu există nici un lanț strict ascendent infinit X1 < X2 < … în L și artiniană ( sau satisface D.C.C.) daca nu există nici un lanț descrescător infinit X1 > X2 > … în L

Aceste condiții de lanț pot fi de asemenea formulate ca condiții de maxim ( respectiv minim).

L este noetheriană (respectiv artiniană) dacă și numai daca fiecare mulțime nevidâ a lui L are un element maximal ( respectiv minimal ).

Despre L spunem câ este de lungime finită dacă este atât noetheriană cât și artiniană.

Propoziția 5.1.3. Fie α : A → B și β : B → A o conexiune Galois între A și B. Fie α : A → B și β : B → A restricțiile lui a și p la mulțimile de obiecte Galois.

Atunci α și β sunt bijecții inverse una celeilalte. Mai mult, A satisface A.C.C. ( respectiv D.C.C. ), dacă și numai dacă B satisface D.C.C. ( respectiv A.C.C. ).

Demonstrație

Fie b B , atunci b = α ( a ) pentru un anumit a A, deci (α o β) (b) = α(β( α ( a ))) = a'" = a' = α ( a ) = b.

Similar (β o α)(a) = a, () a A;

Notație L ( ER ) = laticea tuturor submodulelor unui R modul drept E .

L OP = laticea opusă lui L ( L latice ), adică mulțimea L ordonată de ordinea opusa.

Propoziția 5.1.4. Fie M și N Mod R și S = Hom R ( M , N ). Atunci următoarele aplicații definesc o conexiune Galois:

1) lS: L ( MR) → L ( End (NR) S ) definită prin X → lS (X);

2) vM : L ( End (NR) S ) → L ( MR ) definită prin Z → vM ( Z )

Dual, aplicațiile l'S: L (NR )OP → L ( S End(MR) ) definită prin : Y → l'S ( Y ) și v'N : L ( SEnd(MR) ) → L(NR) definită prin Z → v'n ( Z ) definesc o conexiune Galois.

Notație L ( MR ), L (End(N) S ), L ( NR )OP, L ( SEnd(M)) desemnează obiectele închise ale laticilor corespunzătoare.

X L (MR) X = rM(lS(X))).

Observație Reamintim câ daca U Mod R, despre un R modul stâng E se spune câ este generat ( finit generat) de U ( sau U finit generat), dacă exista un epimorfism U → E pentru o anumita mulțime (respectiv mulțime finită ) I.

Notație

Gen ( U ) ( respectiv Fgen ( U ) = clasa tuturor R modulelor generate ( respectiv finit generate) de U.

Mod R = Gen ( U), daca și numai dacă U este un generator al categoriei Mod R.

Dual, se spune că un R modul stâng E este cogenerat ( respectiv finit cogenerat) de U ( sau U finit cogenerat) dacă există un monomorfism E → U ' pentru o anumita mulțime ( respectiv mulțime finită) I.

Notație

Cog ( U ) (respectiv Fcog (U ) = clasa tuturor R modulelor cogenerate (respectiv finit cogenerate ) de U.

Cog ( U ) – Mod R U este cogenerat al categoriei Mod R

Propoziția 5.1.5. Fie M , N Mod X RS = Hom R ( M ,N ) X, X L (MR) și Y L (NR ). Atunci:

a) X L ( MR ) X = rM ( lS ( X)) M / X Cog ( N );

b) Y L ( NR )OP Y = rN’ ( lS’ (Y )) Y Gen ( M);

Demonstrație :

a)X L (MR) X = rM( IS(X)). Presupunem că X = rM ( lS( X)). Notăm Z = lS ( X ). Fie un morfism de R module 1: M → NZ astfel încât 1 ( X) = 1 ( f ( X))Ker ( l )={xM/f(X)=0, }=rM(Z)=rM(lS(X))=X.induce un monomorfism M / X = Nl => există o familie (fi) iI cu fi S a.î. X = ∩ Ker ( fi), iI X rM ( lS ( X)) = ∩ Ker (f) Ker (fi) = X X = rM(lS(X))

b) presupunem că morfîsmul de R module Ψ : M(Z) → Y a.î. Ψ (( Xf)fZ) = ∑ f ( Xf), f Z. Y = r'N ( Z ) = ∑ Im ( f), f Z Ψ epimorfism Gen (M).

Reciproc, presupunem Y Gen ( M ) există o mulțime I și un epimorfism M(I) → Y familie, fi HomR( M, Y ) HomR( M , N ) a.î.

Corolar 5.1.1. Fie M , N Mod R și S = Horn R ( M , N ). Dacă N este un cogenerat al lui Mod R, atunci fiecare X L ( MR ), satisface condiția dublului anulator (X = rM(lS(X)) și dacă M este un generator al lui Mod R, atunci fiecare Y L ( NR ) satisface condiția dublului anulator ( Y = r'N (l's ( Y ))).

Fie M = N S = End ( MR ) inel. Atunci, pentru orice Z S , Z .

Notație

Annr(Z) = {g S/f g = 0, () fZ}

An n1(Z)={gS/g f =0, ()fS}

Propoziția 5.1.6. Pentru fiecare submulțime nevida ZS' End ( MR ) avem AnnR ( Z ) = l'R ( rM ( Z ) ) și Ann1 ( Z ) = lS ( r'M ( Z ) ).

Demonstrație:

l)=

2)

4.1.3. Criteriul lui Faith

Acest criteriu se referă la condiția A.C.C., pe obiectele Galois ale unei conexiuni Galois.

Propoziția 5.1.7. Fie R1 si R2 două inele, M1 Mod R1 , M2 Mod R2 (sau M2 R2 Mod ) și A ( respectiv B ), laticea tuturor submodulelor lui M1, respectiv M2).

Fie α:A→B și β: B→A o conexiune Galois astfel încât α(∑Xi)=∩α(Xi), pentru orice familie nevidă a lui A.

Atunci laticea A a tuturor obiectelor închise ale lui A este noetheriană dacă și numai dacă orice X A conține un submodul finit generat X astfel încât α ( X') = α ( X).

Demonstrație:

Presupunem A laticea noetheriana. Conform propoziției 5.1.3. B este o latice artiniană. Fie X A, atunci L = { α(U)/U submodul finit generat al lui X } mulțime nevidă a lui B L are un element minimal notat α(X')α(X') = α(X'+xR1), x Xα(X)=α(∑X’+xR1)=∩α(X’+xR1)=α(X’),()xX.

Reciproc, presupunem X1 X2 X3 … lanț ascendent de elemente din A. Fie X = Xn, n = 1 , ; ( ) X' submodul finit generat al lui X a.î. α(X') = α( X).

X' finit generat ( ) K ≥ 1 a.î. X' X, ()n≥k X β(α(X)) = β (α( X' )) =β(α( Xn)), () n ≥ k , pentru ca Xn închis X = Xn, ( ) n ≥ k.

Corolar 5.1.2. Fie M , N Mod R și S = HomR( M , N ). Atunci:

a) L (MR) este o latice noetheriana ( sau echivalent, L (End(N)S) este o latice artiniana ) ( ) X ≤ MR, ( ) X'≤ X submodul finit generat a.î. ls ( X') = ls ( X).

b) L ( END(N)S ) este o latice noetheriana ( sau echivalent L (MR) este o latice artiniana )() ZX,()Z'Z submulțime finită a.î. rM( Z') = rM ( Z ).

c) L ( S END(N) )este o latice noetheriana ( sau echivalent L ( NR )OP este o latice artiniana )()ZS,()Z'Z submulțime finită a.î. r'N( Z') = r'N (Z ).

4.2. Aplicații la condiții de lanț pe Hom R(M ,N)

Fie M și N doua R module drepte fixate , S = HomR( M , N ) și A = EndR( MR), respectiv B = EndR( NR).

Atunci S reprezintă un B – A bimodul: BSA

Fie L ( MR) ( respectiv L ( MR)OP) = mulțimea tuturor submodulelor închise ale modulului MR( respectiv NR), în raport cu conexiunea Galois definită.

Definiția 5.2.1. Un submodul X al lui M ( respectiv un submodul Y al lui N ) se numește finit închis dacă și numai dacă M / X F Cog ( N ) (respectiv Y F Gen (N ))

Notație L ( NR)OP)f (respectiv L ( MR) f) = mulțimea tuturor submodulelor finit închise ale lui M ( respectiv ale lui N ).

L(MR)f =L(MR) și L(NR)OP)f L(NR)OP

Propoziția 5.2.1. Fie M , N Mod R , S = HomR( M , N ) și B = End (NR). Presupunem ca N este QI.

a) acă Z este un submodul închis al lui BS ( z = S(rM( Z ))), atunci Z + Z0 este de asemenea un submodul închis al lui BS , pentru fiecare submodul finit generat Z0 al lui BS . în particular, fiecare submodul finit generat al lui BS este închis;

b)lS(X1 + X2) = lS(X1)lS(X2),()X1,X2L(MR);

c)lS(X1X2) = lS(X1) + lS(X2),()X1,X2MR submodule finit închise;

Demonstrație :

a) fie cazul Z0 = B f, f S

Conform propoziției 5.1.1. Z + Bf 1S( rM( Z + Bf )). Fie g 1S( rM( Z + Bf ) definim : Ө : f (rM( Z )) → g (rM( Z )) a.î. Ө ( f ( x )) = g ( x ), ( ) xrM{f}; f (x) = f(x')x-x' rM{f}x-x' rN{f}rM(Z) = rM(Z + Bf)=> g(x-x') = 0.

()Ө monomorfism a.î. următoarea diagramă să fie comutativă:

f(rM(Z)) N

Ө Ө

g(rM(Z)) N

Notăm h = Ө o f-g. Fie x rM( Z ) h ( x ) = ( Ө o f – g ) ( x ) = Ө ( f ( x ))-(x) = g(x)-g(x) = 0. h 1M( rM( Z ) ) = Z Ө o f- g Z g Z + Bf Astfel 1S( rM( Z + Bf )) Z + Bf Z + Bf = 1S( rM( Z + Bf ) ).

c) lS( X1) + lS( X2) lS( X1 X2).

Fie f 1S ( X1 X2),f( X1 X2) . Fie următoarea diagramă:

Unde p1, p2, i1 , i2 reprezintă aplicațiile naturale și g este indus de f.

Fie M / X1 și M / X2 F Cog ( N ) ( ) K1S ≥ 1 întreg și M / X1 → NK , M / X2 → NS două monomorfisme.

N este QI N este NK injectiv ( ) h monomorfism a.î. h : ( M / X1) (M/X2)→N pentru care diagrama anterioară este comutativă.

Fie h1=h o i1 o p1 și h2=h o i2 o p2 unde i 1, i2, p1, p2 reprezintă aplicațiile canonice: f=h1+h2 și h1 1S( X1)și h2 1S( X2 ) 1S( X1 X2) lS( X1) + 1S(X2).

Corolar 5.2.1. ( Sandomievoki 1927, Miller și Turmidge 1973 ) Fie N un R modul drept QI și M un R modul arbitrar.

Notăm cu S = HornR(M , N ) și B = End ( NR). Atunci 1S și rM stabilesc corespondențe bîjective inverse una alteia între mulțimea L ( MR) fa tuturor submodulelor finit închise ale lui MR și mulțimea L ( BS ) fa tuturor submodulelorfinit generate ale lui BS.

Demonstrație :

Fie X L (MR)f, atunci există un întreg k≥1 și un morfism M / X → Nk. Deoarece N este QI, N este Nk injectiv, dar avem șirul exact HomR(Nk,N)→Hom R(M/X,N)→O de B module stângi. Astfel, HomR(M/X, N) = 1S(X) este un B modul stâng finit generat, deoarece HomR(Nk,N)BBK.

Reciproc, daca Z≤BS este un submodul finit generat al lui S, atunci Z = B f1 + B fS cu fi S rM ( Z ) = Ker (fi), i = 1 , s monomorfismul M / rM(Z) → NS cu X + rM( Z ) → ( f1 ( X1 ),…, f2( X2)). Atunci rM ( Z ) L (MM)f.

Deci, 1S și rM induc aplicațiile între L (MR)f și L(BS)f X = rM (1S)), () t L(MR)f și Z=lS(rM)), ()ZL(BS).

Corolar 5.2.2. Fie N un R modul QI, M un R modul , S = HomR(M,N) și B = End (NR). Atunci :

a) BS = este noetherian daca și numai dacă MR are D.C.C. și submodulele ( finit) închise ;

în particular, dacă MR este artinian, atunci BS este noetherian.

b) BS este un modul coperfect dacă și numai daca are D.C.C. pe submodulele finit generate sau ciclice , dacă și numai dacâ MR are A.CC. pe submodulele finit închise.;

în particular, daca MR este noetherian, atunci BS este coperfect.

Propoziția 5.2.2. Dacă M R este QI și artinian, atunci End (MR) este un inel noetherian stâng.

Corolar 5.2.3. ( Fisher 1973, Harada și Tshii 1972 ) Daca MR este un R modul QI și noetherian, atunci End (MR) reprezintă un inel semiprimar.

Demonstrație :

Fie A = End (MR) inel și A / J inel artinian semisimplu și J – T nilpotent la dreapta, unde J reprezintă radicalul Jacobsan. Fie lanțul descrescător de ideale bilaterale ale lui A : JJI…Jm… Acesta duce la un lanț ascendent de submodule ale lui MR : rM ( J )rM(J2)…

MR noetherian ( ) n întreg a.î. rM ( Jn ) = rM( Jn+1 ) = X.

MR satisface A.C.C. pe submodule închise.

MR are o structură de A modul la stânga și X reprezintă un submodul al lui AM. Presupunem .

Cazuri particulare

Fie cazul MR = RR .

Astfel S = HomR(R,N)N()XR și ZS, atunci 1S( X) poate fi identificat cu lN(X)={nN/nX=0} și rM(Z) poate fi identificat cu rR(Y)= {rR/Yr-0 } unde Y reprezintă o submultime a lui N care coresopunde lui Z prin iizomorfismul canonic S N .

Astfel, conexiunea Gaiois dată prin :

L (MR)L ( End (N) S ) devine în cazul MR= RR:

L ( RR)L(BN), unde B = End (NR)

Obiectel închise ale acestei noi conexiuni Gaiois sunt date prin :

Definiția 5.2.2. După Faith un R modul drept N se numește supra Levitski (sau A.C.C. Levitski), dacă laticea L(RR) = Ar(N,R) este noetheriana și sub Levitski ( sau D.C.C. Levitski ) dacă laticea L (RR) este artiniană.

Definiția 5.2.3. Un R modul drept N se numește Levitski dacă și numai dacă atât A.C.C. Levitski cât și D.C.C. Levitski.

Observație Când RR reprezintă un modul supra ( sub ) Levitski, atunci R este un inel drept supra ( sub ) Levitski.

Dacă NR = RRB=End (NR)=R și conexiunea Galois anterioara in

L(RR)L(BN) devine:

L(RR)L(RR), unde IR(b)={xR/xb=0}

rR(A)={xR/ax=0},()aL(RR) și bL(RR).

Observație Conform lui Stenstrom ( 1975 ) contra modulul Iui N peste R reprezintă modulul N considerat ca un modul la stânga peste inelul său de endomorfisme, B.

Definiția 5.2.4. Fie contra modulul BN . Daca acesta are o proprietate P, atunci spunem că N este contra P.

Exemple : contra noeterian, contra ciclic, contra artinian.

Corolar 5.2.4. ( Jacobson, Johnson și Wlong )

Fie N un R modul QI și B=End ( NR ). Dacă Y0 reprezintă un submodul finit generat al contramodulului N, atunci satisface condiția dublului anulator, Y0 = φN (rR( Y0)), adică Y0 L(RB).

Mai mult daca un contra submodul Y al lui N aparține lui L (RB ), atunci și Y + Y0 aparține lui L (RB).

Corolar 5.2.5. ( Faith 1978 ) Un R modul drept N este D.C.C. Levitzki, dacă și numai daca N este contra noetherian.

Corolar 5.2.6. ( Harada și Ishii) Fie M = N , N este un R modul stâng QI

Atunci fiecare ideal stâng finit generat b al lui B End (NR) satisface condiția dublului anulator , b = lB(rN(b)), adică b L (BB).

Observație Fie conexiunea Galois :

L(MR)L(BS)

L(NR)OPL(SA)

Propoziția 5.2.3. Fie M , N Mod R , S = HomR( M , N ) și A = End (MR). Presupunem ca M este QP , atunci avem 4 cazuri :

a) dacă Z este un submodul închis al lui SA(Z = 1'S( r'N( Z ))) atunci așa este și Z0, pentru fiecare submodul finit generat Z0 al lui ZA; în particular, fiecare submodul finit generat al lui ZA este închis; daca, în plus M este finit generat, atunci fiecare submodul al lui SA este închis.

b) l'S(Y1 Y2) = l'S(Y1)l' S(Y2) ,()Y1,Y2,L(NR);

c) 1'S( Y1 + Y2) = 1'S( Y1) + 1'S(Y2) pentru fiecare submodule finit închise ale lui NR.

d) fie M proiectiv atunci afirmația c) are loc pentru orice Y1, Y2 L ( NR).

Demonstrație :

a) fie cazul Z0 = fA,f S.

Fie g 1'S( r'N( Z + f A )), atunci Im ( g ) r'N( Z + f A )= r'N( Z ) + r'A( f A )

Notăm P = r'N( Z ).

Fie p : N→N / P ; Im ( g ) P + Im ( f) și M este QP există h monomorfism a.î. următoarea diagramă este comutativa :

unde f’= p o f;g'= p o g.

Astfel, 1'S( r'N( Z + f A )) Z + f A.

Presupunem MR finit generat. Fie Z submodul arbitrar al lui SA și f I’S (r’N(Z)). Atunci Im ( f ) r'N( Z )) = ∑Im ( g ) , g Z.

MR finit generat ( ) g1, g2, …, gn Z ;

Z0=l'S(r'N(Z))fZ0 Z.

c) l’S(Y1+Y2)l’S(Y1)+l’S(Y2)

Fie fl'S(Y1+Y2)Im(f) Y1+Y2.

Fie următoarea diagramă :

Y1,Y2 Fgen (M)(),K,S1 întreg și epimorfismele : MK→Y1, respectiv MS→Y2.Fie M=QPM este M proiectiv M este Y1 proiectiv ( M este Y2 proiectiv) ()g:M →Y1Y2 monomorfism, a.î. diagrama anterioară este comutativă.

Fie g1=i1 o p1 o g;g2 = i2 o p2 o g ; atunci f=g1 + g2 cu g1 l'S ( Y1 ); g 2 I'S ( Y2) l'S(g1 l’S ( Y1 + Y2 ) l'S( Y1 ) + I'S ( Y2 ).

Corolar 5.2.7. Fie M un R modul drept QP și N un R modul drept arbitrar. Notăm cu S = HomR( M , N ) și A – End ( M R ). Atunci l's și r'N determina corespondențe bijective inverse inverse una alteia între mulțimea L ( NR )fOP a tuturor submodulelor finit inchise ale lui NR și mulțimea L(SA)f a tuturor submodulelor finit generate ale lui SA Dacă în plus, Mr este finit generat, atunci exista o corespondența bijectivă între laticile : L(NR)fOP și L(SA)f.

Demonstrație :

Fie Y L(NR)fOP() K≥ 1 întreg și MK→Y epimorfism . M este Q.P. M este MK proiectiv șirul exact HornR(M , MK) → HomR( M , Y )→O ( șir de A module la dreapta) HomR(M,Y) = l's(Y) este un A modul drept, finit generat pentru câ HornR( M , MK) AAK.

Reciproc, fie Z≤SA submodul finit generat al lui SZ = f1A+f2 A+…+frA fi S, i = 1 , r epimorfismul M' → r'N( Z ) = ∑ Im ( f ) , f Z a.î. (x1,x2,…,xr)

→f1(x1) + f2(x2)+…+fr(xr)r'N(Z)L(NR)fOP.

Deci l's și r'N induc aplicațiile între L ( NR )fOP și L ( SA )f

Y = r'N(l'S(Y)),() Y L (NR)fOP.

Z = l'S(r'N(Z)),()ZL(SA)f

M este finit generat și QP L ( SA ) = L ( SA ) l's și r'N induc o corespondența bijectiva inversabila între cele doua latici.

Corolar 5.2.8. Fie M un R modul QP și N un R modul arbitrar, S = HomR ( M , N ) și A = End (MR), Atunci :

a) SA este noetherian daca și numai dacă NR are A.C.C. pe submodulele finit închise. In particular, dacă NR este noetherian, atunci SA este noetherian;

b) Sa este modul coperfect dacă și numai daca NR are D.C.C. pe submodulele finit închise. In particular, dacă NR este artinian, atunci SA este coperfect;

c)daca în plus, M este finit generat, atunci SA este artinian, atâta timp cât NA este artinian.

Corolar 5.2.9. Dacă MR este QP și noetherian, atunci End ( MR) este un'inel drept artinian.

Corolar 5.2.10. Fie MR un modul artinian QP este finit generat, atunci End ( MR) reprezintă un inel drept artinian.

Corolar 5.2.11. (Fisher 1973,Harada 1970 ) Daca MR este Q.P. și artinian, atunci End (MR) este un inel semiprimar.

Demonstrație

Conform Corolar 5.2.8. avem câ A = End ( MR) = inel stâng perfect, A/ J = inel artinian simplu și fiecare A modul stâng nenul conține un submodul maximal, J = radicalul Jacobson al lui A. Lanțul descendent de ideale bilaterale ale lui A : J J2 …Jm…, conduce la lanțul descrescător de submodule ale lui MR : r'M ( J ) r'M( J2) … r'M (Jn) … MR artinian()n Z întreg a.î. r'M ( Jn ) = r'M( Jn+1) = XX = contramodul al lui

M ( X ≤A M ), Presupunem câ X O AX are un submodul maximal Y J(X/Y)=0XYJXX.

r'M(Jn) = r'M(Jn+1) = X X = J X contradicție X – 0 =>Jn l's (r’M (Jn)) = l's(0).

Propoziția 5.2.4. Harada a demonstrat că M artinîan proiectiv, implică faptul ca M este finit generat și End (MR) este drept artinian.

4.3. Module cu inele de endomorfisme regulate, perfecte, noetheriene și artiniene

Fie RM un R modul stâng, B = End (RM) inelul de endomorfisme al lui M. Fie două conexiuni Galois duale, care există între laticea submodulelor lui M, notată cu L și latîcile Lr ( sau Ll) ale idealelor la dreapta ( respectiv la stânga ) ale lui B .

O astfel de conexiune este perechea de aplicații :

1) rB:L→Lr

2) 1M : Lr→L, unde rB(U)={bB/ub=0}={bB/UKerb} lM (H) = {mM/mH=O}=Kerh,hH

Restricțiile rB și 1M la familiile de obiecte închise din laticile anterioare sunt bijecții inverse una celeilalte.

Pentru a se studia o proprietate data a lui B , se determină clasa de ideale a lui B, care este asociată cu această proprietate și se stabilește daca aceste ideale sunt obiecte Galois ale conexiunii considerate. Apoi, se identifică acele submodule ale lui M, ce corespund prin aplicația 1M idealelor respective.

Exemplu : Proprietatea ca B să fie noetherîan la dreapta este relevată de idealele lui B finit generate, deoarece b este noetherian, daca și numai dacă el satisface A.CC. pe idealele la dreapta finit generate.

Dacă JV1 este QI, atunci fiecare ideal drept finit generat ai lui B este un obiect Galois al conexiunii considerate.

Atunci rB și 1M induc bijecții cu păstrarea ordinii între idealele la dreapta finit generate ale lui B și submodulele finit închise ale lui M. Astfel, putem deduce ca B este noetherian, dacă și numai daca M satisface D.C.C. pe submodulele finit închise.

Definiția 5.3.1. Un inel B se numește regulat în sens von Neuman, dacă și numai dacă fiecare ideal principal la dreapta sau la stânga al lui B este sumant direct în B.

Definiția 5.3.2. Un inel B este perfect la stânga (la dreapta ) dacă B satisface condiția lanțurilor descendente ( D.C.C. ) pe ideale la dreapta ( la stânga ) principale.

Clasele de submodule ale lui M prin a câror condiționare se obține una din proprietățile de mai sus, ale lui B sunt:

1) K={UM/U = Ker b , b B } familia nucleelor de endomorfisme ale lui M;

2) I={UM/U = Imb,bB} familia imaginilor endomorfismelor lui M

3) T=(UM/U este sumant direct în M }

Observație : Pentru un modul oarecare M, B este un inel regulat dacă și numai dacă K cT și I T.

De exemplu, pentru M modul liber, B este regulat dacă și numai daca IT orice imagine este sumant direct.

Pentru a decide în ce condiții K sau I determina regularitatea lui B, trebuie sâ determinăm modulele pentru care există o bijecție bi între idealele la dreapta principale ale lui B și submodulele din K, și există o bijecție b2 între idealele la stânga principale ale lui B și submodulele din I.

Notații :

P'(B) = {KB/K = bB, bB} familia de ideale principale la dreapta ale lui B

P'(B) = (HB/H = Bb,bB| familia de ideale principale la stânga ale lui B

Bijecțiile ce dau cele două conexiuni Galois sunt induse de aplicațiile date de :

rB(U) = {bB/Ub=O} și lM(H)={mM/mH = O}, respectiv

IB(U)={bB/MbU}={bB/ImbU} și

SM(H)MH =∑Mh=∑Im h.

Propoziția 5.3.1. Fie un submodul U al lui M și o submulțime H a lui B. Atunci, avem următoarele trei situații:

1) rB( U ) reprezintă un ideal la dreapta al lui B

2) IB(U ) reprezintă un ideal la stânga al lui b

3) SM( U ) sunt submodule ale lui M

Definiția 5.3.3. O bijecție cu păstrarea ordinii ( schimbarea ordinii) între două mulțimi parțial ordonate, se numește proiectivitate ( dualitate ).

Fie:

l)Ma={U ≤ M/U = lM(rB(U))} = {U ≤ M/U = lM (K),K ≤ M}

2)Ba = { K ≤ B / K ideal ,K= rB(lM(K))} = {K≤B/K = rB(U), U≤M)

3)M’={U ≤ M/U=SM(IB(U))}={U ≤ M/U=SM(H),H ≤ B}

4)B’ = {H ≤ B/H=IB(sM(H))}=H ≤ B/H=IB(U),U ≤ M}

Observație

Pentru bB avem 1M( b ) = Ker b K Ma și din SM( b ) Im b I M. Deoarece lM(bB) = lM(b) și SM(Bb) = SM(b), rezultă 1M aplică P(B) în K și SM aplică Pl( B ) în I.

Propoziția 5.3.2. ( condiția necesară și suficienta pentru ca aplicațiile de mai sus să fie bijective):

a) aplicațiile rB și lM determină o dualitate între K și Pr( B ), dacă și numai dacă pentru orice bB, b B = rB(1M( b B )), adică Pr(B)Ba;

b) aplicațiile IB și SM determină o proiectivitate între I și Pl ( B ), dacă și numai dacă pentru orice bB, B b = IB( SM( B b )), adică Pl(B)B'.

Observație Din propoziția anterioară se observă că are loc D.C.C. pe Pr (B) dacă și numai dacă are loc A.C.C. pe K.

Mai mult, fiecare element din Pr (B) este sumant direct în B dacă și numai dacă fiecare element din K este sumant direct în M, lucru ce rezultă din următoarea teoremă.

Teorema 5.3.1.

a) Dacă rB și 1M determină o dualitate între UMa și VBa, atunci fiecare

K V este sumant direct în B dacă și numai dacă fiecare UV este sumant direct în M.

b) Dacă IB și lM determină o proiectivitate între VM' și VB', atunci fiecare K V este sumant direct în B dacă și numai dacă U V este sumant direct în M.

Demonstrația

(i) Cum rB și lM determină o dualitate între V Ma și v Ba, presupunem că fiecare U V este un sumând direct în M și fie K v. Atunci U = lM(K) V deci există un indempotent e = e2 B, astfel încât U = Me. Deoarece K v Ba, avem K = rBlM(K) ; atunci, utilizând Lema 2.5 avem K = rBlM(K) = rB(Me) = R(e) = (1 – e)B adică K este un sumând direct în B.

Reciproc, presupunem că fiecare K v este un sumând direct în B și fie U V. Atunci K = rB(U) v, deci există un idempotent e = e2 B astfel încât K = eB. Atunci, deoarece U V Ma, avem U = lMrB(U) = lM(eB) = lM(e) = M(1 – e) adică U este sumând direct în M.

(ii) Dat fiind că IB și SM determină o proiectivitate între VM și v β’, presupunem că fiecare U V este un sumând direct în M, și fie H v. Atunci U = SM(H) V, deci U = Me, pentru e = e2 B.

Atunci H = IBSM (H) = lB(Me). Vom demonstra că lB(Me) = Be unde e este un idempotent, din care va rezulta că H este un sumând direct în B.

Evident e lB(Me), deci Be lB(Me). Pe de altă parte, fie b lB(Me); atunci pentru orice m M, mb = m1e pentru un anumit m1 M, deci mbe = m1e2 = m1e = mb, adică b = be Be.

Reciproc, presupunem că H v este un sumând direct în B și fie U V. atunci H = IB(U) v, deci H = Be, pentru e = e2 B . Atunci U = SMIB(U) = SM(Be) = Me adică U este sumând direct în M.

O definiție echivalentă a regularității lui B este aceea că fiecare ideal stâng (și drept) finit generat (f. g) al lui B poate fi un sumând direct în B. Mai mult, reamintim că B este noetherian drept (stâng) dacă și numai dacă B satisface ACC pe idealele drepte (stângi) f.g. Astfel este de interes pentru noi să stabilim teoreme de corespondență pentru ideale stângi sau drepte f.g.

Fie F(B) = {K B | K= } și

F(B) ={HB|H= }

Fie de asemenea M = {U M | } și

M = {U M |}

Observăm că Ma adică MMa și M adică M’f M

Observație O definiție echivalenta a regularității lui B este aceea ca fiecare ideal stâng sau drept finit generat al lui B este sumant direct în B.

Pentru a obține o teorema de corespondență pentru idealele stângi sau drepte finit generate, vom defini :

l)Fr(B)={K ≤ B/K = ∑bi B,biB,i=1 , n } familia idealelor la dreapta finit generate

2)F1(B)={H ≤ B/H = ∑ Bbi,biB,i = l,n} familia idealelor la stânga finit generate

3)Maf = {U ≤ B/U = lM(bi),bi B,i = l,n} familia submodulelor ce se reprezintă ca uintersecții finite de nuclee.

4) M'f= { U ≤ M / U = ∑ Mbi, bi B,i=l,n} familia submodulelor lui M ce se reprezintă ca sume finite de imagini.

Observație Deoarece ∩lM(bi) = lM(∑biB)iMa,i = l,nMaf Ma ∑Mbi=M ( ∑B bi) = SM(∑B bi) M' ; i = l,n M'f,M'.

Propoziția 5.3.3.

a) Aplicațiile rB și 1M determină o dualitate între Maf și Fr( B ) ()K Fr(B),K = rB(IM(K)), adică Fr( B ) Ba.

b) Aplicațiile IB și SM determina o proiectivitate între M'f și F1 ( B ) () H F1( B ), H = IB ( SM ( H )), adicâ F1( B ) B'.

4.4. Inele de endomorfisme

4.4.1. Inele de endomorfisme regulate

Teorema 5.4.1.

a) Dacă Pr(B)Ba atunci B este regulat KT;

b) Dacă Pr (B ) B ' atunci B este regulatlT;

Demonstrație :

a) dacă Pr(B)Ba atunci, conform propoziției 5.3.3., rB și 1M determină o dualitate între K și Pr( B ). Deoarece K Ma și Pr ( B ) Ba rezultă fiecare K Pr( B ) este sumant direct în B daca și numai dacă orice UK este sumant direct în M.

Corolar 5.4.1.

a) Dacă M este Q.I., atunci B este regulat K T

b) Daca M este Q.P., atunci B este regulat I T

Teorema 5.4.2.

a) dacă IT, atunci Pr(B)Ba;

b) dacă KT, atunci Pl( B ) Bl;

Demonstrație :

a) Presupunem că I T . Fie K = bB Pr( B ), bB. Se știe că bB rB(1M ( b B )) ( valabil pentru orice conexiune Galois ). Fie c rB(1M( b B )) = rB(lN(b))[lM(b)]c = 0lM(b)lM(c).

Fie hl: MB → MC , prin ( mb ) hl = mc, unde c reprezintă elementul fixat anterior.

Dacă m1 b=m2 b(m1-m2)b = 0m1-m2 Ker b = lM (b)lM(c)(m1-m2)c=0m1c-m2c((m1-m2)b=0(m1b)h=(m2b)h2

Deoarece Mb T, putem descompune pe M, astfel : Mb U = M , U ≤ M , U ∩ Mb = 0. Putem extinde h1 la un endomorfism h B, definind uh = 0, () uU; ( ) m M ( mb ) h = ( mb ) h1 c = bh bB rB (1M( bB )) bB.

Corolar 5.4.2. Pentru orice modul BM,B= End (RM ) este regulat daca și numai dacă K T și 1 T.

Teorema 5.4.3.

a) Dacă KT, atunci IT()UT și pentru orice monomorfism

σ : U → M are loc U σ T , adica Im σ T;

b) Daca IT, atunci KT, dacă și numai daca pentru orice U T și pentru orice epimorfism σ : N → U are loc Ker σ T.

Demonstrație :

a) Presupunem câ are loc K T și I T. Fie σ : U → M , un monomorfism cu UT M = U V pentru un anumit submodul V al lui M.

Definim u B astefl încât ub = uσ, () uUși ub = 0,() uVMb = Uσ; MbTUσT.

Reciproc, presupunem σ:U→M epimorfism U σT; M=lM(b)V, V ≤ M. Fie σ restricția lui b la V, σ: V→M care este monomorfism și VlMb=Vσ T I T.

Definiția 5.4.1. Un modul M este un CS modul, dacă fiecare submodul complement al lui M este sumant direct în M.

Definiția 5.4.2. Un modul M se numește continuu dacă M este un CS modul și imaginea izomorfă a unui sumant direct în M este sumant direct în M.

Propoziția 5.4.1.

a) Dacă M este continuu, atunci B este regulat, dacă și numai dacă KT;

b) Dacă M este nesingular și CS modul, atunci B este regulat, dacă și numai dacă IT;

c) Dacă M este nesingular și continuu, atunci B repezintă un inel regulat;

Demonstrație :

a) Presupunem M continuu și K T. Atunci ()UT și () σ:U→M monomorfism, avem U : σ → T , pentru că M este continuu IT B regulat.

b) Presupunem M nesingular și CS modul() UK este un complement ( deoarece M este și CS modul) ( ) U K reprezintă un sumat direct în M B regulat 1 T.

Corolar 5.4.3. Fie M nesingular și continuu. Atunci ( ) b → B b B = r B (1M( bB)) și Bb = IB(SM( Bb)).

4.4.2. Inele de endomorfisme

perfecte, semiprimare, noetheriene și artiniane

Teorema 5.4.1. Un inel B este perfect la stânga dacă B satisface D.C.C. , pe idealele la dreapta principale (dacă și numai dacă B satisface D.C.C. pe idealele la dreapta finit generate).

Propoziția 5.4.2.

a) Dacă Pr (B)Ba , atunci B este un inel perfect la stânga , dacă și numai dacă M satisface A.C.C. pe K ( pe nuclee )

b) Dacă Pr (B)B', atunci B este un inel perfect la dreapta , dacă și numai dacă M satisface D.C.C. pe I ( pe imagini)

Propoziția 5.4.3.

a) Dacă Fr (B)Ba , atunci B este regulat, dacă și numai dacă Maf T șî B este perfect la stânga dacă și numai dacă M satisface A.C.C. pe Maf

b) Dacă F1 (B)B1 , atunci B este regulat, dacă și numai dacă Maf T și B este perfect la dreapta dacă și numai dacă M satisface D.C.C. pe M'f

Teorema 5.4.4.

a) Dacă Fr (B)Ba , atunci B este noetherian la dreapta, dacă și numai dacă M satisface D.C.C. pe Maf

b) Dacă F1 (B)B1 , atunci B este noetherian la stânga , dacă și numai dacă M satisface A.C.C. pe M'f

Demonstrație.

Pentru a vedea că a doua echivalență are loc, presupunem că B este Noetherian drept și fie U1 U2 … un lanț descendent de submodule din Ma. atunci rB(U1) rB(U2) … este un lanț ascendent de ideale drepte în B, deci există un întreg n > 0, așa încât rB(Un+j) = rB(Un) pentru j ≥ 1 și aceasta implică că Un+j = lMrB(UN) = lMrB(Un) = Un pentru j ≥ 1 adică M satisface DCC pe Ma. Reciproc, dacă M satisface DCC pe Ma, atunci este satisfăcută DCC pe Maf și B este Noetherian drept.

(ii) Aici din nou prima echivalență este evidentă din Prop. 2.6. (ii). Presupunem că B este Noetherian stâng și că U1 U2 … este un lanț ascendent de submoduie în M. Atunci IB(U1) IB(U2) … este un lanț ascendent de ideale stângi In B, așa că există un întreg n > 0 așa încât lB(Un+j) = IB(Un) pentru j ≥ 1, deci avem Un+j = SMIB(Un+j) = SMIB(Un) = Un, pentru j ≥ 1 adică M satisface ACC pe M. Reciproc, dacă M satisface ACC pe M, atunci el satisface ACC pe Mf și B este Noetherian stâng.

Definiția 5.4.3. Un inel este semiprimar daca și numai dacă radicalul său J este nilpotent și R / J este semîsimplu.

Observație : J este nilpotent dacă și numai dacă există n N astfel încât Jn = 0

Propoziția 5.4.4. Fie R un inel care satisface A.C.C. pe idealele anulator la stânga. Dacă R este perfect la stânga, atunci R este semiprimar.

Teorema 5.4.5.

(i) Presupunem că F'(B) Ba și M satisface ACC pe Ma.

Atunci B este semiprimar.

(ii) Presupunem că F'(B) B și că M satisface DCC pe M’

Atunci B este semiprimar.

Demonstrație, (i) Dacă F'(B) Ba și M satisface ACC pe Ma atunci, din Prop. 4.2. B este perfect la stânga. Deci, din Prop. 4.4. pentru a arăta că B este semiprimar, este suficient sa arătăm că B satisface ACC pe idealele anulatori la stânga.

Fie L(K1)L(K2) … un lanț ascendent de ideale anulatori la stânga din B. Atunci SML(K1) SML(K2) … și avem un lanț ascendent, lMrBSML(K1) lMrBSML(K2) … de submodule în Ma. Deci, există un n > 0 așa încât lMrBSML(Kn+j) = lMrBSML(Kn) pentru j ≥ 1 și astfel rBSML(Kn+j) = rBSML(Kn) pentru j ≥ 1. Deoarece rBSM(H) =R(H), pentru HB, din Lema 2.5 avem RL(Kn+j) = RL(Kn) și deci L(Kn+j) = L(Kn) pentru j ≥ 1. Aceasta demonstrează că B satisface ACC pe idealele anulatori la stânga și în consecință B este semiprimar.

(ii) Dacă F’(B) B’ și M satisface DCC pe M’ atunci, din Prop. 4.2., B este perfect la dreapta. Deci, din Prop. 4.4. pentru a arăta că B este semiprimar, este suficient să arătăm că B satisface ACC pe ideale anulatori la dreapta.

Fie R(H1) R(H2) … un lanț ascendent de ideale anulatori la dreapta din B. Atunci LR(H1) LR(H2) … și astfel SMLR(H1) SMLR(H2) … este un lanț descrescător de submodule în M'. Deci , există un n > 0 așa încât SMLR(Hn+j)=SMLR(Hn), pentru j ≥ 1. Din Lema 2.5. L(H) = lBlM(H), pentru orice HB adică avem SMIBlMR(Hn+j) =SMIBlMR(Hn) , pentru j ≥ 1 și din Prop. 2.2. IBSMIB(U) = IB(U) pentru orice U M, așa că avem IBlMR(Hn+j) = IBlMR(Hn), pentru j ≥ 1, sau LR(Hn+j) = LR(Hn) și astfel R(Hn+j) = R(Hn) , pentru j ≥ 1. Aceasta demonstrează că B satisface ACC pe idealele anulatori la dreapta și în consecință B este semiprimar.

Acum o combinație a Teoremelor 4.3. și 4.5. cu următorul bine cunoscut rezultat ne va conduce la determinarea condițiilor în care B este artinian:

Teorema 3.4.6. ( Teorema Hopkins ) Un inel R este artinian la dreapta dacă R este noetherian la dreapta și este semiprimar

Teorema 3.4.7.

a) Dacă Fr (B)Ba, atunci B este artinian la dreapta dacă și numai dacă M satisface A.C.C. și D.C.C. pe Ma;

b) Dacă Fl (B)B' , atunci B este artinian la stânga dacă și numai dacă M satisface A.C.C. și D.C.C. pe M' .

Demonstrație, (i) Presupunem că Fr(B) Ba și presupunem că M satisface ACC și DCC pe Ma. Atunci din Teorema 4.3 (i). B este Noetherian drept și din Teorema 4.5 (i) B este semiprimar. Deci, din Teorema Hopkins, B este artinian drept.

Reciproc, presupunem câ B este artinian drept. Atunci din Teorema Hopkins, B este Noetherian drept și din Teorema 4.3. (i), M satisface DCC pe Ma. Fie U1 U2 … un lanț ascendent de submodule din Ma. Atunci rB(U1) rB(U2) … este un lanț descendent de ideale drepte ale lui B, deci, din ipoteză, există un n > 0 așa încât rB(Un+j) = rB(Un) pentru j ≥ 1. Atunci, Un+j =lMrB(Un+j) = lMrB(Un) = Un, pentru j ≥1, adică M satisface ACC pe Ma.

(ii) Presupunem că FI(B) B' și presupunem că M satisface ACC și DCC pe M'. Atunci ca și în (i), din Teorema 4.3 (ii) B este

Noetherian stâng și din Teorema 4.5. (ii). B este semiprimar. Deci, din Teorema Hopkins, B este artinian stâng.

Reciproc, presupunem că B este artinian stâng. Atunci din Teorema Hopkins B este Noetherian stâng și din Teorema 4.3. (ii), M satisface ACC pe M'. Fie U1 U2 … un lanț descendent de submodule din M'. Atunci lB(U1) IB(U2) … este un lanț descendent de ideale stângi ale lui B, deci, din ipoteză există un n > 0 așa încât IB(Un+j) = lB(Un), pentru j > 1. Atunci Un+j = SMIB(Un+j) = SMlB(Un) = Un pentru j ≥ 1 adică M satisface DCC pe M'.

Corolar 5.4.4.

a) Dacă RM este Q.I., atunci B este artinian la dreapta dacă și numai dacă M satisface A.C.C. și D.C.C. pe Ma;

b) Dacă RM este Q.P. , atunci B este artinian dacă și numai dacă M satisface A.C.C. și D.C.C. pe M’.

Propoziția 5.4.5.

a) Dacă B este noetherian la dreapta, atunci M satisface D.C.C. pe Ma și dacă B este artinian la dreapta, atunci M satisface D.C.C. pe Ma.

b) Dacă B este noetherian la stânga, atunci M satisface A.C.C. pe M’ și dacă B este artinian la stânga, atunci M satisface A.C.C. pe M'.