Concursul de admitere iulie 2018 [618528]

Universitatea din Bucure sti 13.07.2018
Facultatea de Matematic a  si Informatic a
Concursul de admitere iulie 2018
Domeniul de licent  a { Informatic a
I. Algebr a. Fie polinomul P(X) =X3+mX23X+ 1 cu m2R, care are r ad acinile x1; x2; x32C.
(a) Pentru m=3 calculat i r ad acinile polinomului P.
(b) Calculat i ^ n funct ie de parametrul mexpresia x3
1+x3
2+x3
3.
(c) Determinat i m2Rastfel ^ nc^ at r ad acinile polinomului Ps a e ^ n progresie geometric a.
(d) Pentru m= 0 ar atat i c a 2 cos(2
9) este o r ad acin a a lui P.
(e) Demonstrat i c a cos(2
9) + cos(4
9) + cos(8
9) = 0.
II. Analiz a. Fie funct ia f:Rnf5g!Rdat a prin f(x) = (x1)e1
x+5pentru orice x2Rnf5g.
(a) Determinat i asimptotele la gracul funct iei f.
(b) A
at i punctele de extrem local ale lui f.
(c) Pentru m2Rprecizat i num arul de solut ii reale ale ecuat iei f(x) =m.
(d) Calculat i lim
n!1n21R
0xnf(x)dx.
III. Geometrie. ^In sistemul de coordonate xOy se consider a punctele A(2;1),B(4;1)  siC(2;3).
(a) G asit i ecuat ia mediatoarei segmentului AB si coordonatele centrului cercului circumscris tri-
unghiului ABC .
(b) Ar atat i c a sin(2 ^A)
!
O0A+ sin(2 ^B)
!
O0B+ sin(2 ^C)
!
O0C=~0, unde O0este centrul cercului
circumscris triunghiului ABC iar^A;^B si^Csunt unghiurile triunghiului ABC .
(c) Fie Dmijlocul segmentului AB siMun punct variabil pe ^ n alt imea din Ba triunghiului ABC .
G asit i coordonatele lui Mpentru care suma AM+MD este minim a.

IV. Informatic a.
(a) Se cite ste un num ar natural L(20L1000)  si un  sir de cel mult 10000 de caractere ce
cont ine cuvinte desp art ite ^ ntre ele prin c^ ate un spat iu. Fiecare cuv^ ant din  sirul de caractere
citit este format din cel mult Llitere mari ale alfabetului englez. S a se scrie un program care
a seaz a aceste cuvinte, ^ n ordinea ^ n care se citesc, pe linii de cel mult Lcaractere, astfel ^ nc^ at
orice linie ^ ncepe  si se termin a cu un cuv^ ant  si oricare dou a cuvinte de pe aceea si linie sunt
separate printr-un singur spat iu. Oricare linie este folosit a la maxim, adic a dac a un cuv^ ant
are loc pe acea linie va  pus acolo  si nu va  trecut pe linia urm atoare sau spart pe 2 linii.
Exemplu : se cite ste L= 22  si  sirul de caractere PROBLEMA DE LA EXAMEN NU MI SE PARE
FOARTE GREU DE REZOLVAT IN TIMPUL ACORDAT . Programul va a sa:
PROBLEMA DE LA EXAMEN
NU MI SE PARE FOARTE
GREU DE REZOLVAT IN
TIMPUL ACORDAT
(b)^Intr-un text formatat pe linii ca la punctul (a), dou a spat ii sunt conectate dac a se ^ nvecineaz a
pe vertical a sau pe diagonal a. Pentru textul formatat mai sus avem mai multe exemple de
spat ii conectate : spat iul de pe pozit ia 9, linia 1, ce separ a literele A  si D este conectat cu cel
de pe pozit ia 9, linia 2; spat iul de pe pozit ia 15, linia 1, este conectat cu cel de pe pozit ia 14,
linia 2. Spat iul de pe pozit ia 3, linia 2, nu este conectat cu niciun alt spat iu. S a se scrie un
program care cite ste numerele naturale L; N  si apoi un text formatat pe Nlinii de cel mult L
caractere ca la punctul (a)  si a seaz a mesajul DA dac a ^ n tot textul exist a cel put in o pereche
de spat ii conectate , altfel a seaz a mesajul NU.
(c)^In arta tipograc a un r^ aueste o ^ n siruire de spat ii care se ^ ntinde pe vertical a, pe liniile
consecutive ale unui text. Mai precis, un r^ aueste denit ca o secvent  a de cel put in 2 spat ii
^ n care oricare 2 spat ii de pe linii consecutive sunt conectate. Spre exemplu, pentru textul
de la punctul (a), avem un r^ aude lungime 4 format din: spat iul de pe pozit ia 9, linia 1;
spat iul de pe pozit ia 9, linia 2; spat iul de pe pozit ia 8, linia 3  si spat iul de pe pozit ia 7, linia
4. De remarcat, faptul c a de pe pozit ia 17, linia 3, nu porne ste nici un r^ au^ ntruc^ at linia 4 se
termin a pe pozit ia 14. S a se scrie un program, cu o complexitate de timp c^ at mai bun a, care
cite ste numerele naturale L; N  si apoi un text formatat pe Nlinii de cel mult Lcaractere ca
la punctul (a)  si a seaz a lungimea celui mai lung r^ auposibil, dac a acesta exist a sau mesajul
NU, dac a nu exist a niciun r^ au.
Note:
1. Programele vor  scrise ^ ntr-unul dintre limbajele de programare studiate ^ n liceu (Pascal, C,
C++). Pentru ecare solut ie se vor descrie informal detaliile algoritmului folosit  si ale imple-
ment arii sub form a de program: semnicat ia variabilelor, a structurilor de date, a structurilor
repetitive  si a instruct iunilor condit ionale.
2. Programele vor folosi instruct iunile de baz a ale limbajului de programare ales, funct ii din bib-
lioteci de baz a (inclusiv cele de intrare/ie sire), dar nu  si alte funct ii din biblioteci specializate.
3. Citirea datelor se poate face de la tastatur a sau dintr-un  sier text. A sarea se va face numai
la monitor. Cele 3 subpuncte se pot rezolva independent, dar funct iile descrise la un subpunct
pot  folosite  si la subpunctele urm atoare.
Timp de lucru: 3 ore