Competenta Digitala Si Educatia

CAPITOLUI II
COMPETENȚA DIGITALĂ ȘI EDUCAȚIA

Motto:

„Trebuie să îi pregătim pe elevi pentru viitorul lor,

nu pentru trecutul nostru.” (Ian Jukes)

Motto-ul esențializează misiunea profesorului modern și anume, de a educa elevii pentru viitorul lor, pentru societatea de mâine. În consecință, el trebuie să proiecteze și să gestioneze instruirea vizând permanent esența ei „cultivarea potențialului creativ al tinerilor”, pregătindu-i astfel pentru o societate în care cunoașterea și „integrarea tehnologiei contribuie la asigurarea succesului lor”.

Școala, educația au reprezentat dintotdeauna motorul progresului societății. La finele secolului al XII-lea – începutul secolului al XIII-lea, apariția universităților în spațiul cultural occidental a însemnat nu doar o evoluție la nivel intelectual, ci și una din punct de vedere economic, întrucât cei care au beneficiat de pe urma lor priveau lucrurile obișnuite, de zi cu zi, dintr-o perspectivă nouă, care le permitea să imagineze și să dezvolte instrumente noi pentru nevoile lor. Mai târziu, în secolul al XX-lea, datorită faptului că învățământul a devenit de masă, școlile au contribuit enorm la creșterea calității vieții, la apariția unor noi meserii, la inovații în domenii din ce în ce mai diverse. Acum, în secolul XXI, dezvoltarea TIC constituie un element definitoriu al societății, iar educația are o importanță deosebită în valorificarea noilor tehnologii, importanță recunoscută atât la nivel economic, dar și la nivel politic.

Educația actuală, prin cerințele realității cotidiene și atitudinea elevilor față de școală, impune profesorului să completeze și/ sau să alterneze învățarea tradițională, colaborativă din sala de clasă, centrată pe valorizarea elevilor, cu secvențe de învățare sprijinite de metode moderne și instrumente ale TIC.

Există în literatura de specialitate dezbateri susținute de argumente științifice cu privire la câteva cauze mai puțin cunoscute, asupra cărora trebuie să reflectăm și să le analizăm pentru ca să înțelegem că atitudinea elevilor față de procesul învățarii nu poate fi schimbată. Noi profesorii trebuie să găsim resursele interioare pentru schimbarea și adaptarea noastră la cerințele realității cotidiente trăite în sala de clasă.

Tinerii născuți după 1990 constituie primele generații care au crescut înconjurați de produsele tehnologiei digitale (computerul, Internetul, telefoanul mobil, MP3 player-ul, camerea foto digitală, tableta, gadget-ul iPhone, jocurile pe calculator) sunt pentru aceste generații obiecte firești și indispensabile ale vieții cotidiene. Evoluția exponențială a informaticii și avalanșa rezultatelor ei tehnologice a „inundat” toate domeniile societății și a generat schimbări importante atât în sfera atitudinilor, deprinderilor, obișnuițelor tinerilor cât și în cea cognitivă și metacognitivă. Terenul cel mai fertil de manifestare a consecințelor revoluției informatice a fost procesul de formare al tinerilor.

2.1. Competența – concept și definiții

Înțelegerea din punct de vedere conceptual a „competenței” și a „educației pe bază de competențe” diferă semnificativ la nivelul factorilor interesați și implicați – cercetători, factori de decizie în domeniul politicilor educaționale, cadre didactice din domeniu etc. Atât în literatura de specialitate, cât și în mass-media, se pot găsi numeroase definiții, interpretări și descrieri ale celor mai bune practici care încearcă să explice ce înseamnă „abordarea pe bază de competențe a serviciilor educaționale” și cum poate fi aceasta monitorizată. Răspunsurile la aceste întrebări diferă în funcție de cine le formulează și care este scopul urmărit.

Conceptul de competență a fost definit în diverse moduri. Într-o accepțiune largă, conceptul de competență poate fi definit ca fiind capacitatea unei persoane de a mobiliza un ansamblu integrat de resurse cognitive, afective, gestuale etc. pentru a realiza o serie de sarcini sau de situații problemă. În termeni pedagogici, competența este capacitatea elevului de a mobiliza un ansamblu integrat de cunoștințe, deprinderi, atitudini și valori pentru a realiza familii de sarcini de învățare.

Competența este un potențial care trebuie probat/demonstrat de elev în situații concrete și diverse. Se poate desprinde concluzia că o competență este un potențial; se poate afirma că un elev deține o competență anume numai dacă acel potențial este probat/demonstrat/verificat în situații concrete ce aparțin unei familii de situații; pentru a proba o competență, un elev trebuie să mobilizeze resursele necesare. „A mobiliza” resursele înseamnă a le identifica, a le combina și a le activa în situații concrete. Resursele necesare unei competențe se compun din: cunoștințe (a ști), deprinderi (a face), atitudini, valori (a deveni).

Astfel, reiese că un sistem educațional axat pe competențe trebuie să se concentreze asupra formării capacităților de rezolvare a problemelor în situații inedite. După cum menționa J. Bowden și F. Marton: „Dacă nu vă puteți imagina situațiile cu care elevii dvs. se pot întîlni pe viitor, învățații ceea ce le va fi util în orice situație.”

Termenul are origini în psihologie și psiholingvistică (N. Chomsky), fiind aplicat apoi calificărilor profesionale (îndeosebi în Regatul Unit). Construirea diferitelor competențe (și capacități) este abordată în pedagogie de J. Piaget și L. D’Hainaut. J. Piaget (1998) pune în legătură formarea unei competențe în raport cu o schemă de acțiune. Utilizarea predilectă a termenului de „competență” în sistemul educațional este datorată pedagogilor francezi B. Rey și Ph. Perrenoud. Ph. Perrenoud (1998) consideră competența ca o potențialitate genetică a spiritului uman (“capacitatea de a acționa eficace într-o anumită situație”), acoperind domeniul “cunoștințelor procedurale” (în sens de “savoire – faire”), prin opoziție (și complementaritate) cu domeniul cunoștințelor “propriu-zise” (“faptice”); autorul dezvoltă o apreciere care subliniază paradigma implementării competențelor: utilizarea competențelor (ca ținte ale instruirii) este foarte generoasă, dar implică transformări radicale în programe, didactică, evaluare și chiar în profesia de educator, provocând rezistența tuturor celor interesați în păstrarea unei practice tradiționale, minimaliste.

Cadrul de referință din anul 2006 acordă conceptului de competență semnificația unui „organizator” în raport de care sunt selectate și organizate conținuturile învățării, metodele de instruire și procedurile de evaluare. Competența este numitorul comun al tuturor documentelor școlare și tuturor ciclurilor de instruire, de la învățământul preșcolar la cel liceal. Prin includerea competențelor în Legea Educației Naționale a fost întărit rolul lor normativ.

Competențele – cheie au o prezență explicită și implicită bine precizate în Legea Educației Naționale, ceea ce arată că includerea acestora reprezintă referențialul maxim al procesului educațional.

Art. 4 din Legea Educației Naționale precizează că: „Finalitatea principală a educării o reprezintă formarea competențelor (definite ca „un ansamblu multifuncțional și trasferabil de cunoștințe, deprinderi / abilități și aptitudini necesare în situații diferite)”.

În art. 13 se subliniază că învățarea pe tot parcursul vieții este un drept garantat; această competență – cheie devine în acest fel o țintă educațională majoră.

Art. 31 (6) arată rolul componentei nonformale și informale în formarea competențelor în învățământul liceal.

Art. 68 – (1) Curriculum național pentru învățământul primar și gimnazial se axează pe opt domenii de competențe – cheie care determină profilul de formare a elevului:

a) competențe de comunicare în limba română și în limba maternă, în cazul minorităților

naționale;

b) competențe de comunicare în limbi străine;

c) competențe de bază de matematică, științe și tehnologie;

d) competențe digitale de utilizare a tehnologiei informației ca instrument de învățare și

cunoaștere;

e) competențe sociale și civice;

f) competențe antreprenoriale;

g) competențe de sensibilizare și de expresie culturală;

h) competența de a învăța să înveți.

Comisia Europeană, prin directoratul general pentru educație și cultură, a realizat un demers concretizat într-un raport final. În accepțiunea Comisiei Europene, definiția competențelor – cheie este următoarea:

„Competențele – cheie reprezintă un pachet transferabil și multifuncțional de cunoștințe, deprinderi (abilități) și atitudini de care au nevoie toți indivizii pentru împlinirea și dezvoltarea personală, pentru incluziune socială și inserție profesională. Acestea trebuie dezvoltate până la finalizarea educației obligatorii și trebuie să acționeze ca un fundament pentru învățarea în continuare, ca parte a învățării pe parcursul întregii vieți”.

Din această definiție și din analiza specificului competențelor-cheie rezultă următoarele:

competențele se definesc printr-un sistem de cunoștințe – deprinderi (abilități) – atitudini;

au un caracter transdisciplinar implicit;

competențele-cheie reprezintă într-un fel finalitățile educaționale ale învățământului obligatoriu;

acestea trebuie să reprezinte baza educației permanente.

Competențele – cheie, grupate pe cele opt domenii (dintre care două au subdomenii distincte) au un caracter profund teoretic și cu un înalt grad de generalitate. Domeniile de competențe – cheie cuprind: cunoștințe, abilități (aptitudini, deprinderi), atitudini.

Cele opt domenii sugerate de Comisia Europeană sunt:

(1) Comunicarea în limba maternă

(2) Comunicarea în limbi străine

(3) Competențe matematice și competențe de bază în științe și tehnologii

(4) Competența digitală (TSI – Tehnologia Societății informației)

(5) Competența socială și competențe civice

(6) A învăța să înveți

(7) Inițiativă și antreprenoriat

(8) Sensibilizare și exprimare culturală.

Există în prezent și alte abordări ale competențelor în documente ale UNESCO, OECD, PISA, PIRLS, TIMSS, în documente din diferite țări (Spania, Franța, România) și la diferiți autori.

Prezentăm mai jos domeniile de competențe-cheie recomandate de Comisia Europeană, într-o formă sintetică.

Tabelul . Domeniile de competențe – cheie recomandate de Comisia Europeană

Competența cheie matematică este abilitatea de a dezvolta și aplica gândirea matematică cu scopul de a rezolva probleme în situații cotidiene. Această competență se bazează pe importanța matematicii pentru societate și pentru individ, ca parte componentă a societății.

Competența matematică implică, în diferite grade, abilitatea și dorința de a utiliza concepte, reprezentări, modele matematice de a formula idei sau teorii, păreri personale. Reprezentările matematice la care se face referire în documente, sunt de diverse tipuri: formule, modele, construcții, grafice, hărți ș.a.m.d.

Imaginea grafică de mai jos redă, într-un mod simplu și intuitiv, elementele componente ale competenței matematice și legăturile dintre ele.

Figura . Competența matematică – reprezentare grafică

Deși linia de demarcație între categoriile: cunoștințe, deprinderi și atitudini, nu este bine delimitată în cazul domeniului de competență cheie matematică, structura oferită de specialiști poate fi folosită în evaluarea elevilor.

2.2. Importanța dezvoltării competențelor digitale în societatea cunoașterii

Realitatea din școală a început să dovedească faptul că, pentru motivarea efortului susținut solicitat de procesul cunoașterii, tinerii acestor generații au nevoie permanent să găsească răspuns la întrebările: De ce trebuie să învăț despre…?, Îmi sunt necesare pentru…?, Când și unde voi folosi…?. Mai mult, tinerii preferă să obțină informațiile cu ajutorul Internetului nu din cărți, preferă să învețe apelând la softuri, platforme online și nu să studieze în biblioteci. A devenit evident, că multe dintre metodele tradiționale abordate în procesul de predare – învățare nu motivează îndeajuns elevii pentru a dobândi cunoștințe și competențe prin propriile lor eforturi și căutări.

Profesorul și pedagogul american Marc Prensky căutând răspunsuri la aceste schimbări, a publicat în anul 2001 concluziile într-un studiu cu titlul Digital Natives, Digital Immigrants36. Articolul argumentează manipularea gândirii și modificările profunde la nivel cognitiv induse tinerilor de „invazia” dominantă a instrumentelor tehnologiei digitale, în toate sferele vieții socio-economice-culturale și cu care, ei sunt în contact permanent.

Marc Prensky definește două concepte: generația “digital natives” și generația “digital immigrants” și caracterizează argumentat diferența dintre procesele gândirii lor. Prensky subliniază ideea că generațiile erei digitale gândesc și prelucrează informațiile într-un mod diferit de cel al generațiilor precedente.

“Generația digital natives gândește diferit, nu mai prost, ci doar altfel: interactiv, ludic, depășind granițele cunoscute, adică într-o manieră interdisciplinară, mai puțin sistematică în sensul tradițional al cuvântului, nerespectând în mod necesar ierarhiile consacrate dar procedând mai mereu cu creativitate.”

Elevii nu mai doresc să învețe “pur și simplu”, ei doresc să știe de ce învață, în ce scop?. Mai mult, pentru ei abilitatea de a acumula și capacitatea de a-și însuși cunoștințe noi foarte repede,  sunt cu mult mai importante decât competența de a opera cu conținuturi deja dobândite.

Academicianul francez Michel Serres, în conferința organizată la Paris în decembrie 2007, a demonstrat faptul că „globalizarea  și revoluția informatică au condus prin transformările aduse de dezvoltarea exponențială a noilor TIC în viața cotidiană, la consecințe inevitabile care au generat o revoluție culturală și implicit o revoluție cognitivă”.

La Congresul Internațional „Pregătim viitorul promovând excelența”, organizat la Iași în martie 2014 de Universitatea „Al. I Cuza”, întrebarea majorității prezente adresată personalităților care au avut intervenții, a fost: Cum să-i facem pe elevi să învețe? Răspunsul profesorului Gh. Rudic, cu o vastă experiență internațională, a fost formulat sub forma unui sfat:

„Educația în sine se bazează pe motiv. Nu putem motiva motivul. Studentul sau elevul trebuie să învețe să lucreze singur, iar profesorul doar să-l îndrume.”

Concluzia se referă la faptul că schimbarea depinde de noi înșine! Da, aceasta este realitatea! Elevii nu pot fi schimbați, ei s-au născut și trăiesc în societatea digitală. Noi profesorii trebuie să depășim mentalitățile și inerția în a valorifica multitudinea de alternative oferite de TIC demersului didactic și a ne adapta metodele de instruire și educare la interesul manifestat fără rezerve de tineri pentru IT. Noi profesorii trebuie să ne asumăm rolul de coodonatori și colaboratori ai elevilor în procesul de învățare, să-i ajutăm cum să își indentifice singuri propriile strategii și metode de a învăța potrivite personalității lor.

Competența digitală se bazează pe abilitățile fundamentale: de a folosi computerele pentru obținerea, copierea, evaluarea, stocarea, producerea, prezentarea și transmiterea de informații; de a participa și comunica în cadrul unor echipe de lucru prin intermediul Internetului sau cu alte tehnologii disponibile (a se vedea Figura de mai jos).

Figura . Competența digitală

Imaginea de mai jos reprezintă un model în care competența digitală este considerată ca parte centrală a dezvoltării curriculum-ului școlar. După cum se poate observa, ea reprezintă punctul central de unde se pot dezvolta diferite dimensiuni ale competenței propriu-zise, precum și anumite extinderi în alte competențe – cheie și competențe generale.

Prin natura sa, competența digitală este interdisciplinară și totodată transdisciplinară, oferind posibilități de concretizare a tuturor disciplinelor școlare. Ea reprezintă un model metodologic pentru ansamblul disciplinelor școlare, precum și pentru domenii foarte largi ale practicii sociale.

Figura. Competența digitală, ca nucleu al curriculum-ului școlar

Competența digitală constituie totodată o parte a competenței de învățare permanentă și o dimensiune metodologică evidentă a curriculumului școlar în ansamblul său.

2.3. Rolul educației și al dezvoltării competenței digitale în școală

Domeniul educațional este proiectat din ce în ce mai evident dinspre obiective pedagogice spre competențe în educație și formare. Programele din învățământul nostru românesc sunt proiectate și realizate în concordanță cu această concepție.

Obiectivele abordării educației pe bază de competențe sunt, în esență, următoarele:

de a pune accentul pe competențele pe care elevul trebuie să le stăpânească la sfârșitul fiecărui an școlar și la sfârșitul școlarității obligatorii, astfel încât accentul nu trebuie pus pe ceea ce profesorul trebuie să predea. Rolul acestuia trebuie să fie acela de a organiza învățarea într-o manieră cât mai posibilă pentru a duce elevii la nivelul așteptat;

de a da sens învățării, de a arăta elevului la ce-i servește ceea ce învață el la școală. Pentru aceasta trebuie să se depășească listele de conținuturi – materii ce trebuie reținute/învățate pe dinafară. Prin urmare, abordarea prin competențe îl învață să situeze permanent învățarea prin raportare la situații care au sens pentru el și să utilizeze achizițiile sale în aceste situații;

de a certifica achizițiile elevului în termeni de rezolvare de situații concrete și nu în termenii unei sume de cunoștințe și de deprinderi pe care elevul le va uita, pe care nu știe cum să le utilizeze în viața activă. Abordare prin competențe de bază este un răspuns la problematica analfabetismului funcțional.

„În acest sens, ceea ce spunea George Bernard Shaw este relevant pentru contextul educației:

“Dacă tu ai un măr și eu am un măr și le schimbăm între noi, atunci eu voi avea în continuare tot un măr. Dar dacă tu ai o idee și eu am o idee și schimbăm aceste idei între noi, atunci fiecare vom avea câte două idei”.

Comisarul European pentru Economia și Societatea Digitală, Günther H. Oettinger, a afirmat într-un discurs susținut în cadrul târgului pentru tehnologie industrială Hannover Messe (2015) că viitorul Europei este digital, subliniind: „Provocarea noastră este să ne asigurăm că toate sectoarele industriale utilizează în cel mai bun mod noile tehnologii și își gestionează tranziția către produse și procese digitalizate cu o valoare mai mare, cunoscute sub numele de Industry 4.0”.

„Cadrul european de referință privind competențele cheie pentru învățarea pe tot parcursul vieții” afirmă că „standardele în educație” sunt reprezentate de cele opt categorii de „competențe cheie”. Acestea reprezintă un referențial standardizat atât în predare cât și în evaluare.

Aceleași competențe trebuie să fie formulate și evaluate progresiv, sistematic pe fiecare palier de învățământ. La finalul clasei a IV-a fiecare elev absolvent trebuie să dețină un profil de competență dezirabil, explicitat prin programele disciplinelor de studiu din ciclul primar, dar și prin documente de politică și strategie educațională.

ECDL Foundation consideră că fiecare copil ar trebui să aibă oportunitatea de a fi expus la elementele de bază ale informaticii în aceeași măsură în care aceștia învață biologie sau fizică. Scopul nu este acela de a transforma toți copiii în biologi, fizicieni sau profesioniști IT, ci de a le asigura conceptele esențiale ale acestor discipline. Într-o fază avansată a educației lor, copiii ar trebui să fie capabili să se specializeze pe discipline mai complexe, conform propriilor alegeri. Pentru a-i înzestra pe copii cu un set complet de competențe și cunoștințe, toate aceste arii ar trebui acoperite la nivelul educației formale. Informatica ar trebui predată împreună cu aptitudinile de alfabetizare digitală. Două concepții greșite există în privința alfabetizării digitale: prima, concepția greșită conform căreia tinerii dețin deja competențe de utilizare a aplicațiilor “tradiționale” precum lucrul cu documente și foi de calcul; și a doua, concepția greșită conform căreia informatica este mai importantă pentru capacitatea de a fi angajat decât competențele de alfabetizare digitală.

Prima concepție greșită este bazată pe conceptul de “nativ digital”, care presupune că tinerii care au crescut înconjurați de tehnologii digitale au dobândit intuitiv competențele de alfabetizare digitală și, de aceea ei nu mai necesită educație sau training digital. De fapt, cercetarea extinsă arată că nu aceasta este situația. Spre exemplu, International Computer and Information Literacy Study (ICILS), care evaluează competențele de alfabetizare digitală a mai mult de 60000 de elevi de clasa a VIII-a din 21 de sisteme de educație din toată lumea, a descoperit că, în medie, 17% dintre elevi nu ating nici cel mai scăzut nivel al scalei lor (ex. rezolvarea unor sarcini elementare de comunicare și adăugarea de conținut simplu unor produse de informare) și numai 2% au atins nivelul maxim, care cere aplicarea gândirii critice în timpul căutării online de informație. Mai mult, rezultatele ICILS arată că în 7 din 9 țări participante din UE, 25% dintre elevi au dovedit niveluri scăzute de alfabetizare digitală (mai multe cercetări pe această temă pot fi găsite în documentul de poziție al ECDL Foundation pe marginea erorii “Nativ digital”). De aceea, este crucial să ne asigurăm că dezvoltarea competențelor de alfabetizare digitală nu va fi înlocuită de informatică.

Cel de al doilea argument se bazează pe previziunea Comisiei Europene conform, căreia până în 2020, Europa s-ar putea confrunta cu un deficit de până la 825000 de profesioniști IT&C. Totuși, statisticile arată că profesioniștii IT&C constituie doar 5% din forța de muncă din Europa. În contrast, 90% dintre slujbe vor necesita cel puțin competențe digitale de bază până în 2020, dar 40% din populația europeană are competențe digitale insuficiente și 22% nu are deloc. Aceste numere confirmă că dezvoltarea competențelor de alfabetizare digitală este la fel de relevantă precum a celor informatice.

Figura de mai jos oferă un exemplu despre cum să echilibrăm competențele digitale de alfabetizare digitală cu cele informatice din primii până în ultimii ani de școală. Aceasta include toată gama de competențe, de la competențe esențiale necesare pentru utilizarea unui computer și pentru a naviga online, până la informatică și editare web.

Figura …. Conceptul dezvoltării progresive a competențelor digitale în educație, ECDL Foundation

În Figura de mai jos ilustrăm componentele ce alcătuiesc competențele digitale:

Figura …. Competențe digitale – componente

Rolul din ce în ce mai central pe care tehnologia îl joacă în viața de zi cu zi și la nivelul fiecărui individ îl obligă pe acesta să țină pasul cu o societate din ce în ce mai informatizată. Calculatorul a început treptat să facă parte din viată noastră, indiferent că îl folosim pentru a socializa, a căuta un loc de muncă ori pentru a realiza diverse activități, acesta ne obligă să îi cunoaștem secretele.

Importanța competențelor IT este subliniată și de Președintele Comisiei Europene, Jose Manuel Barroso:

„Competențele digitale reprezintă o componentă de bază între celelalte competențe precum cititul și scrisul și vor ajuta cetățenii europeni în situația economică actuală dificilă să găsească noi oportunități pentru o viață mai bună.”

În contextul în care digitalizarea devine provocarea secolului XXI, competențele digitale capătă o valoare considerabilă în portofoliul oricărui angajat, care va contribui la viitorul economiei digitale europene. Este motivul pentru care, în cadrul proiectului eSkills for Jobs România, Asociația Distribuitorilor de Echipamente de Tehnologia Informației și Comunicațiilor (APDETIC) împreună cu agenția specializată în comunicarea proiectelor sociale, Media Image Factory, au organizat webinarul „Importanța competențelor digitale în formarea unei cariere”.

CAPITOLUL III

ASPECTE TEORETICE ALE EVALUĂRII RANDAMENTULUI ȘCOLAR LA MATEMATICĂ

3.1. Rolul matematicii în formarea personalității elevului

Pe parcursul secolelor matematica a fost și rămâne un element indispensabil al învățământului general în toate țările lumii. Aceasta se explică prin rolul unic al matematicii în formarea și dezvoltarea personalității copilului.

Dezvoltarea gândirii este de neconceput fără prezența unui culturi logice. Anume studierea matematicii îl învață pe copil sa realizeze o analiză logică a unei situații, să tragă concluzii din anumite fapte, folosind raționamentele logice, să analizeze definițiile existente și să formuleze definiții noi, să distingă cunoscutul de necunoscut, să clasifice elemente de natură diferită, să formuleze ipoteze, să le verifice și să le accepte/respingă, să se folosească de analogii etc.

Experiența pe care elevul o capătă în procesul de rezolvare a problemelor matematice contribuie nu numai la formarea capacității de gândire rațională și modului de exprimare a gândului (laconism, precizie, claritate etc.), dar și la dezvoltarea intuiției, adică a capacității de a prevedea rezultatul și calea de rezolvare.

În articolul [13] matematicianul francez H. Poincare arăta că înțelegerea noțiunilor matematice reprezintă un fapt subiectiv: în timp ce unii vor căuta corectitudinea înlănțuirii raționamentelor și logica argumentării, alții vor încerca să înțeleagă modul de combinare, de înlănțuire a raționamentelor folosite, iar o altă parte va căuta să găsească utilitățile practice ale noțiunilor matematice întâlnite. În consecință, la învățarea noțiunilor matematice pot să apară dificultăți legate de incapacitatea definițiilor de a răspunde, simultan, ambelor cerințe: acelea de a fi atât logice, cât și intuitive. O definiție saturată din punct de vedere logic va fi puțin sau deloc înțeleasă de un elev, gândirea căruia este mai mult intuitivă, iar încărcarea aspectului intuitiv în definiție va nemulțumi pe un elev a cărui gândire este de tip logic/analitic. În procesul învățării matematicii gândirea de tip logic este exersată prin utilizarea noțiunilor și rezolvarea problemelor aritmetice și algebrice, iar la utilizarea noțiunilor și rezolvarea problemelor geometrice se face apel, în primul rând, la gândirea intuitivă.

Învățarea matematicii contribuie nu numai la dezvoltarea generală a personalității elevului, dar și la formarea caracterului, a trăsăturilor morale. Rezolvarea completă a unei probleme matematice impune parcurgerea unui drum lung și ramificat. Greșeala în rezolvare nu poate fi ascunsă, deoarece există criterii obiective de corectitudine a rezultatului și a fundamentării soluției. Matematica își aduce aportul la formarea integrității intelectuale, obiectivității, perseverenței, capacității de muncă a elevului. Persoana care cunoaște matematica, care operează cu metode matematice, nu poate fi manipulată.

Învățarea matematicii contribuie la dezvoltarea percepției estetice a lumii. O idee neașteptată, un rezultat sau un raționament elegant poate influența sfera emotivă a elevului, completând formele clasice ale valorificării estetice a realități.

Matematica conține o componentă practică importantă. Pentru a se orienta și a trăi în lumea contemporană fiecare individ trebuie să dispună de un set de cunoștințe și capacități matematice: deprinderi de calcul, elemente de geometrie practică – măsurarea dimensiunilor, identificarea și reprezentarea figurilor geometrice, operarea cu funcții și grafice, alcătuirea și rezolvarea proporțiilor, estimarea probabilității producerii unui eveniment etc.

În majoritatea țărilor învățământul matematic îndeplinește două funcții generale, determinate de interesele societății și interesele personalității față de cunoștințele matematice și cultura matematică, de coincidența globală și diferențele locale între aceste interese. Aceste funcții sunt:

formarea cu ajutorul matematicii (funcția de formare generală);

formarea matematică propriu-zisă (funcția de specializare).

Importanța socială a formării cu ajutorul matematicii constă în aceea că matematica contribuie la ridicarea nivelului intelectual al fiecărei persoane și, în consecință, la ridicarea nivelului intelectual al societății în ansamblu. În acest context, matematica apare în planul de învățământ al școlii în calitate de disciplină de formare generală.

Formarea matematică propriu-zisă urmărește pregătirea potențialului științific, tehnic, tehnologic și umanitar al țării. În acest context, matematica apare în planul de învățământ al școlii în calitate de disciplină de studiu cu caracter de specializare. Aceasta înseamnă că învățarea matematicii constituie un element al pregătirii profesionale a elevilor pentru activitatea ulterioară în diverse domenii, inclusiv, pentru prelungirea studiilor.

Învățământul matematic trebuie în măsură egală să exercite funcția de formare generală și cea de specializare.

Realizarea celor două funcții implică realizarea anumitor obiective:(a) dezvoltarea elevului; (b) achiziția cunoștințelor matematice și stăpânirea metodelor matematice.

În lume s-au conturat, cinci obiective principale ale învățământului matematic modern [14]:

orientarea în lumea înconjurătoare;

pregătirea pentru profesie;

formarea concepției despre lume;

dezvoltarea intelectuală a elevului;

însușirea principiilor etice ale conviețuirii umane.

Autorii curriculum-ului la matematică din Romania formulează scopul studierii matematicii în perioada școlarității obligatorii în felul următor:

dezvoltarea gândirii logice;

formarea la elevi a competențelor de bază prin rezolvarea de probleme, implicând calculul algebric și raționamentul geometric.

Se poate observa că scopurile formulate armonizează cu scopurile învățământului matematic din alte țări. Concomitent, intenționat sau nu, în formularea scopului nu se vorbește despre calculul aritmetic.

În această ordine de idei, menționăm că învățământul matematic romanesc mult timp a fost caracterizat de următorii factori:

conținutul matematicii școlare se sprijinea pe trei piloni: aritmetica (calculul aritmetic), probleme textuale (aritmetice și algebrice), geometria;

tradițională pentru învățământul matematic autohton era ideea de demonstrație. Altfel spus, la învățarea matematicii întrebarea principală era „de ce?" (de ce triunghiurile sunt asemenea? de ce graficul funcției este simetric față de axa absciselor? de ce ecuația are o singură rădăcină? etc.);

lucrul extrașcolar la matematică și instruirea copiilor dotați.

Există un consens (cel puțin în Europa) privind aspectele pe care le poate dezvolta studierea matematicii:

dezvoltarea stilului operațional/algoritmic al gândirii;

dezvoltarea capacității de a face raționamente și a demonstra;

dezvoltarea capacității de abstractizare;

dezvoltarea gândirii vizuale;

dezvoltarea capacității de transfer în situații noi;

dezvoltarea interesului față de matematică, certitudine în utilizarea ei.

Cuvântul „matematica" este de origine greacă. Una din explicațiile provenienței acestui cuvânt ține de cuvântul grecesc „mathein" – a învăța, a cunoaște. În antichitate matematica era privită drept un domeniu universal al cunoașterii. Acest universalism al matematicii a fost descris de către filozoful și matematicianul R. Descartes în lucrarea „Discurs asupra metodei" în felul următor[15]: „La domeniul matematicii se raportă științele în care se cercetează fie ordinea, fie măsura și nu se ia în considerație, sunt acestea numere, figuri, stele, sunete sau altceva <…> , în consecință, trebuie să existe o știință generală, care explică totul ce se referă la ordine și la măsură, fără a intra în cercetarea detaliilor".

A doua explicație a provenienței cuvântului „matematică" ține de cuvântul grecesc „mathema" – roadă, recoltare. Delimitarea loturilor de pământ (geometria), determinarea termenilor lucrărilor agricole (în baza observațiilor astronomice și a calculelor), pregătirea cantității necesare de semințe și calculul mărimii recoltei necesita cunoștințe matematice serioase.

Cele două etimologii conduc, de asemenea, la reliefarea celor două funcții principale ale matematicii: una – generatoare de intelect și alta – instrumentală.

Globalizarea, ritmul rapid de schimbare a tehnologiilor a schimbat cerințele față de formarea tinerelor generații. Epoca contemporană privilegiază rapiditatea și un randament obținut într-un timp scurt. Predarea și învățarea matematicii presupune, dimpotrivă, continuitate, răbdare și timp. Profesorul de matematică trebuie să concilieze aceste două cerințe contradictorii.

Fără a renunța la caracterul sistemic, deductiv al instruirii la matematică, se impune o apropiere a ei de viață și de celelalte discipline școlare. Concomitent, se impune o creștere a rezultativității învățării matematicii prin schimbarea modului de lucru al elevului, care rămâne un obiect al intervențiilor profesorului. Din lector, antrenor, profesorul trebuie să se transforme într-un partener, care îl ajută pe elev să-și dezvăluie capacitățile sale.

Introducerea informaticii în calitate de disciplină școlară a contribuit de asemenea la modificarea procesului de învățământ la matematică. Între cele două discipline există similitudini. Matematica și informatica au multe obiective comune, printre care un rol important îl au formarea gândirii algoritmice a elevilor, formarea competențelor de rezolvare a problemelor. Mari matematicieni (J. von Neumann, A. Turing și a.) au contribuit esențial la nașterea informaticii. În practica școlară, cu excepția cazurilor când profesorul de matematică predă și informatica, cele două discipline rămân disparate. Mulți profesori de matematică ignoră faptul că informatica oferă mijloace noi pentru învățarea matematicii, cât și viziuni noi asupra conținutului matematicii școlare.

3.2. Conceptul de randament școlar

Definiția noțiunii de randament școlar impune clarificarea unor noțiuni generale ce țin de organizarea procesului de învățământ.

Privit ca sistem, învățământul comportă în prima aproximare: un flux de intrare, reprezentat de resursele umane și materiale (spații școlare, dotări tehnice, personal didactic, contingente de elevi etc.), apoi un proces – procesul de învățământ – care angajează resursele în vederea atingerii obiectivelor și un flux de ieșire reprezentat de rezultatele sistemului[16].

Rezultatele procesului de învățământ sunt anticipate în obiectivele curriculare (finalități). În structura finalităților poate fi evidențiată partea rezultativă (de exemplu, elevul va fi capabil să recunoască două numere raționale egale scrise în moduri diferite) și partea procesuală (cele două numere raționale pot fi scrise: unul sub forma unei fracții ordinare și altul sub forma unui număr zecimal. Atunci fracția ordinară poate fi transformată în număr zecimal, apoi cele două numere zecimale se compară după regula cunoscută sau numărul zecimal se transformă în fracție ordinară și cele două fracții se compară după altă regulă cunoscută. Diferiți elevi pot proceda în mod diferit).

Vom numi standarde educaționale partea rezultativă a finalităților educaționale.

Standardul educațional, fiind un obiectiv, este o intenție, un proiect, o idee. Rezultatul învățării, dimpotrivă, poate fi obiectivat (observat, descris, măsurat) prin performanța elevului, care este cota atinsă în procesul realizării unui obiectiv.

Performanța include cunoștințele, capacitățile, strategiile dobândite de elev în procesul de învățământ (predare-învățare-evaluare) în concordanță cu obiectivele cadru, de referință, operaționale.

Pentru a demonstra performanța, elevul trebuie să poată produce un comportament în raport cu o activitate sau o sarcină, adică să dispună de capacități.

Capacitatea include aptitudinile și atitudinile virtuale, care devin realizabile în actul de învățare (receptare, asimilare, aplicare) a cunoștințelor și care pot fi constatate direct într-un context școlar. Menționăm că nici o capacitate nu există în stare pură și orice capacitate se manifestă doar prin utilizarea unui conținut.

Cunoștințele, capacitățile formate la elevi rămân izolate, deoarece ele au fost învățate (însușite) izolat. La rezolvarea unor sarcini complexe, elevul este pus în situația de a integra, a mobiliza aceste cunoștințe și capacități, adică este pus în situația de a-și manifesta competența. Noțiunea de competență este una din cele mai discutate în didactica postmodernă.

Competența (din pv [17]) este punerea în acțiune de către o persoană, plasată într-o situație, într-un context determinat, a unui ansamblu diversificat dar coordonat de resurse; această punere în acțiune se sprijină pe alegerea, mobilizarea și organizarea acestor resurse și pe acțiunile pertinente care permit tratarea reușită a acestei situații.

În definiția de mai sus sunt utilizate trei noțiuni importante: situație, resurse și acțiune. O situație este ansamblul de circumstanțe în care se află persoana. Situația este sursa și criteriul competenței. Persoana își demonstrează competența sa fiind plasată într-o situație. Prin urmare, situația este sursa competenței. Dacă situația a fost tratată reușit, atunci persoana poate fi recunoscută drept competentă. Aceasta înseamnă că tratarea reușită a situației este criteriul principal al competenței. Conceptul de situație devine elementul principal al învățării: fiind plasat în situație, elevul își construiește sau își modifică cunoștințele, își dezvoltă competențele. Conținutul disciplinar nu mai este un scop în sine, el devine, de rând cu alte resurse, un mijloc pentru tratarea situațiilor.

Noțiunea de resursă poate fi explicitată analizând o persoană în situație, care caută să-și amelioreze situația. Din această perspectivă, o resursă este un mijloc pe care persoana îl folosește pentru a-și ameliora situația. Expresia „a-și ameliora situația" semnifică, în același timp, soluționarea problematicii ce ține de situație, învingerea obstacolelor care apar sau, pur și simplu, acționarea într-o manieră adaptivă. Resursele folosite de o persoană în situație pot fi interne si externe. Resursele interne pot fi cognitive (un ansamblu de cunoștințe), conative (motivația persoanei), corporale (un ansamblu coordonat de mișcări). Resursele externe sunt foarte variate de la o situație la alta. Aceste resurse pot fi sociale (ajutorul unui expert), materiale (utilizarea calculatorului, utilizarea unui manual), temporale (organizarea temporală a situației), spațiale (exploatarea spațiului fizic) [18].

A fi competent nu înseamnă numai a pune în aplicare un ansamblu de resurse într-o situație; a fi competent mai înseamnă a-și organiza activitatea pentru a se adapta la caracteristicile situației.

Competențele nu sunt nici transmise, nici achiziționate, ci construite în și prin activități în anumite situații.

Folosind noțiunea de competență, drumul de la standarde la rezultat poate fi prezentat sub forma unui lanț firesc:

standarde —*■ competențe —► performanțe —► rezultate

Competențele, susținute psihologic prin capacități (aptitudinale-atitudinale), concentrează un ansamblu de performanțe, structurând conținuturi (cunoștințe, strategii și deprinderi) adaptabile (reproductiv-creativ) în diferite contexte pedagogice și sociale.

Sorin Cristea identifică primele două verigi ale lanțului de mai sus, considerând că competențele au semnificația de standarde naționale.

Într-o manieră mai abstractă, sistemul de învățământ poate fi reprezentat în felul următor:

Majoritatea deciziilor strategice în educație vizează evoluția resurselor și mijloacelor, metodelor și practicii educaționale. Resursele și mijloacele sunt considerate tradițional drept intrări sau variabile de intrare. Metodele și practica educațională reprezintă procesele educației sau variabilele intermediare. Intrările și procesele sunt mijloace utilizate pentru atingerea rezultatelor.

Obiectivul strategic final al politicii educaționale constă în utilizarea eficientă a intrărilor pentru a genera procese ce conduc la rezultate mai bune. La cercetarea rezultatelor este important de a determina cum intrările și procesele influențează rezultatele pentru a avea posibilitatea de a lua cele mai bune decizii.

Deoarece societatea, în persoana statului, alocă mijloace (resurse) sistemului de învățământ, ea este interesată în obținerea unor rezultate cât mai bune. Apare întrebarea: cât de performant este sistemul de învățământ? Dintr-o perspectivă economică, aceeași întrebare poate fi formulată astfel: care este productivitatea sistemului de învățământ?

În principiu, modelul productivității poate fi interpretat ca un model cauzal, în care intrările influențează procesele, care, la rândul său, influențează rezultatele. Interpretarea cauzală nu este însă corectă, deoarece, în cazul învățământului, rezultatele pot influența intrările. Este unanim recunoscut faptul că sistemul educațional funcționează într-un context general și este determinat de caracteristicile demografice, conjunctura socială și economică, valorile sociale și factorii exteriori educației.

Modelul productivității în învățământ este realizat prin utilizarea noțiunii de randament școlar.

Randamentul școlar poate fi definit ca performanța unui elev sau a unui grup de elevi demonstrată la realizarea obiectivelor de învățare a diverselor programe de studiu.

Vom adopta o definiție mai largă a noțiunii de randament școlar. Vom numi randament școlar totalitatea rezultatelor dezirabile în plan educațional obținute de o anumită populație școlară într-un timp și spațiu pedagogic determinat și condițiile ce pot influența aceste rezultate.

Randamentul școlar reprezintă un concept integrator care subordonează mai multe noțiuni operaționale implicate în acțiunea de evaluare:

evaluarea nivelului de cunoștințe = evaluarea rezultatelor școlare;

evaluarea comportamentului elevului;

evaluarea succesului școlar;

evaluarea calității procesului de învățământ.

Modelul primar de evaluare a randamentului școlar poate fi reprezentat:

Figura 3. Model primar de evaluare a randamentului școlar

Procesul instructiv, în linii mari, poate fi privit drept un proces de comunicare pedagogică în care informația circulă de la profesor la elev (canalul direct) și de la elev la profesor (canalul indirect – retroacțiune)

P. Bourdieu și J. C. Passeron [19, p. 333] au propus ca randamentul comunicării pedagogice să fie evaluat prin raportul

Cantitatea de informație emisă de la A către B Cantitatea de informație primită de A de la B

În termini pedagogici cantitatea de la numitor si este randamentul școlar. El include totalitatea performanțelor obținute de către elevi, obiectivate în comportamentul lor. Din punct de vedere al conținutului său, randamentul școlar este rezultatul sintezei dintre cantitatea de informație stocată și implicațiile sale de ordin formativ.

Pe plan comportamental randamentul școlar îmbracă forma performanțelor. Întrucât acestea sunt în corelație cu obiectivele propuse vom putea delimita performanțe cognitive, afective și psi- homotorii. Măsurarea lor presupune stabilirea unor indicatori specifici pentru fiecare clasă și subdiviziuni ale ei.

Având la îndemână asemenea indicatori profesorul școlar de matematică poate urmări performanțele elevilor și elabora instrumente adecvate de măsurare. Dacă, în principiu, fiecărei performanțe îi putem stabili anumiți indicatori, măsurarea lor nu este posibilă întotdeauna. În consecință, unele performanțe vor fi apreciate prin observare directă.

În literatura de specialitate [20] sunt evidențiate două aspecte ale randamentului școlar: randamentul intern și randamentul extern.

Randamentul intern măsoară raportul dintre rezultate și mijloace, dintre produsele școlare obținute și resursele angajate, dintre intrări și ieșiri.

Randamentul extern măsoară până la ce nivel sistemul de învățământ își realizează obiectivele sale. În acest caz, este apreciată nu numai cantitatea și calitatea absolvenților sistemului, dar și productivitatea lor efectivă în societate. Eficacitatea externă, care nu este obiectul cercetării noastre, este evaluată prin raportarea rezultatelor la obiectivele pe care societatea le atribuie sistemului educațional.

3.3. Calitatea învățământului matematic și standardele educaționale. Monitorizarea calității învățământului

3.3.1. Calitate și standarde în învățământ

Calitatea educației este indicatorul de bază al dezvoltării sociale și, ca urmare, a calității vieții. Cuvântul „calitate" este de origine latină – qualitas, și semnifică „fel de a fi", „proprietate".

În domeniul educației, cercetările privind problema calității au demarat la începutul sec. XX. Prima lucrare în domeniu se referea la calitatea formării profesorilor [21].

Ralph Tyler este fondator al domeniului de cercetare „Măsurarea calității programelor și instituțiilor", care a formulat în 1950 principiile de evaluare a eficacității unui program de instruire.

Noțiune de calitate a fost „importată" în învățământ din sectorul productiv, unde această noțiune a fost „exploatată" cu succes pe parcursul mai multor ani. În lumea academică conceptul respectiv este utilizat frecvent pe parcursul ultimilor douăzeci de ani. În pofida utilizării unei terminologii aparent consensuale în literatura pedagogică, calitatea de fiecare dată trebuie definită, deoarece autorii se pot referi fie la calitatea funcționării instituției de învățământ, fie la calitatea învățământului în general, fie la calitatea procesului de învățare.

Literatura de specialitate conține numeroase definiții a noțiunii „calitatea învățământului", fapt ce denotă multiaspectualitatea acestui termin. Totodată, majoritatea cercetătorilor consideră că cel mai bine noțiunea de „calitate" poate fi redată cu ajutorul termenului „conformitate" sau „adaptare la obiective". Acest termen presupune existența cel puțin a două elemente: modelul de referință sau standardul și compararea obiectului/procesului, calitatea căruia se determină, pentru a aprecia gradul de corespondență cu standardul.

Dicționarele atestă două semnificații ale noțiunii „standard": (1) normă sau ansamblu de norme care reglementează calitatea, caracteristicile, forma etc. unui produs; documentul în care sunt consemnate aceste norme; (2) (fig.) lipsit de originalitate, făcut după un șablon.

Cuvântul „standard" se folosește în vorbirea curentă pentru a desemna gradul de dezvoltare a condițiilor de viață caracteristice unor țări (standard de viață) sau pentru a indica obiective și finalități a învățământului ce corespund cerințelor moderne, nivelului de dezvoltare a științei și tehnicii (standarde de învățământ europene, mondiale)

Standardul nu este o noțiune nouă în învățământ. În literatura pedagogică, se folosesc mai multe noțiuni cu sensul de standard: (a) competență minimală; (b) trebuințe educaționale de bază; (c) minimul obligatoriu de cunoștințe; (d) curriculum de bază; (e) curriculum național. Standardele educaționale îndeplinesc următoarele funcții:

Standardul este un instrument și un obiect al politicii educaționale a statului (planificare, finanțare etc.)

La nivel macrostructural standardele educaționale servesc drept reglatoare ale relațiilor sistemului de învățământ cu sfera socială.

La nivel microstructural standardele educaționale reglează multiplele relații dintre actorii implicați în procesul de învățământ (elevi, profesori, părinți, manageri școlari etc.).

Standardele asigură continuitatea între diferite trepte și niveluri ale sistemului național de învățământ.

Standardele educaționale constituie baza formării profesionale a profesorilor școlari.

Standardele asigură nostrificarea actelor naționale de studii.

Standardele îndeplinesc rolul de referent la evaluarea rezultatelor școlare. Evaluările la nivel național sunt posibile numai în prezența standardelor educaționale. Standardele sunt necesare pentru a elabora instrumente de evaluare calitative.

Standardele sunt necesare pentru evaluarea academică și acreditarea instituțiilor de învățământ.

Într-o viziune foarte largă, standardul educațional este un mijloc de normare socială a calității și cantității învățării.

Discuțiile despre aceea ce poate fi obiectul standardizării în învățământ și ce nu poate fi standardizat nici într-un fel se duc mai mult de 15 ani, deși o definiție clară a standardului lipsește .

De cele mai multe ori standardele se referă la conținutul învățământului. De exemplu, Departamentul de Educație al S.U.A. explică noțiunea de standard educațional în felul următor: „Standardele definesc ceea ce elevul trebuie să cunoască și să poată face"[22].

Simptomatic este faptul, că de problema standardelor educaționale sunt preocupate atât țările cu sisteme decentralizate de învățământ (Marea Britanie, S.U.A), cât și țările, în care activează o școală de stat unică (fostele republici sovietice, China). Decentralizarea și regionalizarea învățământului în multe țări a adus la ordinea zilei problema determinării conținutului social semnificativ al învățământului sub formă de standarde garantate de stat și care sunt obligatorii pentru unitățile de învățământ.

Activitățile de stabilire a standardelor sunt influențate puternic de conținutul tradițional al învățământului din țara respectivă. Este recunoscut faptul că într-un șir de țări anglosaxone (Marea Britanie, Australia, S.U.A., Canada) învățământul preuniversitar are un caracter predominant utilitar, pragmatic. În țările fostei U.R.S.S., Japonia, Germania, Franța învățământul are un caracter academic, apropiat de învățământul enciclopedic. Această orientare a conținutului a determinat activitățile prioritare la stabilirea standardelor educaționale.

În primul grup de țări, mai ales sub presiunea cercurilor din industrie, se fac încercări de elaborare a standardelor prin majorarea cerințelor față de nivelul performanțelor elevilor, lărgirea conținutului învățământului.

În grupul al doilea se întreprind tentative orientate fie spre micșorarea volumului conținutului învățământului, fie spre selectarea din el a conținutului învățământului de bază, necesar pentru toți elevii.

Se poate afirma cu certitudine: începând cu mijlocul anilor' 80 a sec. XX, majoritatea statelor lumii depune eforturi de standardizare a conținutului învățământului. Documentele oficiale elaborate în acest sens poartă denumiri diferite: Curriculum Național, Curriculum de bază, Core Curriculum. În pofida acestui fapt esența eforturilor este una – definirea cerințelor de stat față de conținutul învățământului de bază, obligatoriu pentru toți elevii.

În perioada sovietică un element de standardizare al conținutului învățământului era manualul unic. Asupra conținutului unui asemenea manual lucrau instituții întregi de cercetare. Cu lichidarea monopolului manualului unic, din învățământ a dispărut un element esențial de standardizare. Un alt element de standardizare în perioada sovietică era structura rigidă a sistemului de învățământ. Dispariția acestor elemente implicite de standardizare, care erau acompaniate de o reglementare detaliată a activității școlii, a metodelor de conducere și de control, a impus introducerea standardelor explicite în învățământ.

3.3.2. Standarde educaționale de stat

Sistemul de învățământ are la bază standarde educaționale de stat ce asigură posibilitatea de nos- trificare a actelor naționale de studii. Standardele stabilesc cerințele minime obligatorii față de diversele niveluri și trepte de învățământ. Modul de elaborare, aprobare și introducere a standardelor educaționale este stabilit de Guvern.

Standardele educaționale constituie baza evaluării obiective a nivelului de pregătire generală și profesională a absolvenților, indiferent de tipul și forma de învățământ.

Realizarea standardelor se asigură și prin organizarea serviciilor de asistență psihologică de orientare școlară și profesională a elevilor la toate nivelurile și treptele de învățământ. Funcțiile serviciului de asistență psihologică se determină prin statut, aprobat de Ministerul Învățământului.

Menționăm că pentru publicul larg învățământul este calitativ, dacă el satisface necesităților acestui public. Una din aceste necesități este prelungirea studiilor. Acest drept îl conferă diploma de bacalaureat, care este eliberată absolvenților liceelor care au susținut cu succes examenele de bacalaureat. Prin urmare, standardul „de facto" al învățământului preuniversitar, standardul real îl constituie conținutul examenelor de bacalaureat. În cazul matematicii, acest standard este exprimat prin testele concrete, care se propun la examenul de bacalaureat.

Standardele de conținut la matematică, definesc un nivel ridicat al cunoștințelor, capacităților și competențelor elevilor. Multiple cauze obiective și subiective (salariul mic al profesorilor, lipsa profesorilor de matematică în unele unități școlare, scăderea nivelului de pregătire a tinerilor profesori, încălcarea frecventă a principiilor de integritate în învățământ, lipsa unui cadru conceptual de pregătire a profesorilor de matematică) fac ca standardele amintite să fie atinse numai de o parte din elevi. Se impune, în această situație, instituirea unui sistem de monitorizare a standardelor.

3.3.3. Sisteme de monitorizare în învătământ

În diferite domenii ale activității umane de mult timp este utilizată observarea, ca metodă de cunoaștere, bazată pe percepția îndelungată, orientată spre un anumit scop a obiectelor și fenomenelor lumii înconjurătoare. Primele tratate care conțineau cunoștințe din domeniul astronomiei, fizicii, geografiei, zoologiei, medicinii au fost elaborate aproape exclusiv în baza observărilor.

În a doua jumătate a sec. XX în agrologie a apărut termenul monitorizare (lat. monitor – cel, care amintește, preîntâmpină; engl. monitoring – realizarea controlului, supravegherii), care desemna procesul de observare continuă a stratului fertil al solului. Deoarece în mai multe domenii de activitate umană este necesară realizarea observărilor repetate a unui sau a mai multor elemente ale mediului în spațiu și timp, termenul a fost preluat de mai mulți cercetători. Vom folosi în continuare termenul monitorizare, atestat în dicționare.

În învățământ monitorizarea este o formă de cercetare și un mijloc de asigurare a managerilor și profesorilor cu informații veridice și oportune în vederea asigurării calității procesului și produselor învățământului. În mod tradițional, calitatea învățământului este concepută drept corespunderea unui standard. Definiția noțiunii de calitate depinde de situația care se formează la momentul formulării ei. În perioadele de reformare a învățământului definiția calității depinde de scopurile reformei și de elementul sistemogenerator de bază al ei. În perioadele de stabilitate relativă calitatea învățământului este înțeleasă drept un sistem standardizat de cerințe față de nivelul de formare/educație a absolvenților școlii [20].

Reforma Învățământului General, începută în anul 1997, a avut drept element sistemogenerator noțiunea de curriculum. De aceea, evaluarea curriculum-ului și monitorizarea procesului de învățământ bazat pe curriculum poate oferi informații pertinente referitoare atât la calitatea curriculum-ului, cât și la unele rezultate ale reformei.

Definiția monitorizării și funcțiile ei

Monitorizarea poate fi definit drept „un sistem de acumulare, prelucrare, păstrare și difuzare a informației despre întreg sistemul de învățământ sau despre elementele acestui sistem, orientat spre asigurarea informațională a managementului, care poate oferi informații despre starea sistemului în orice moment de timp, cât și prognoze referitoare la dezvoltarea lui ulterioară".

Monitorizarea trebuie să satisfacă unor cerințe fundamentale (cf. [23][22]): (a) coerența; (b) obiectivitatea; (c) comparabilitatea; (d) oportunitatea; (e) prognozabilitatea; (f) echitatea.

Coerența se referă la măsura în care starea reală a sistemului corespunde obiectivelor urmărite. Obiectivitatea se referă la măsura în care informația acumulată reflectă starea reală a obiectului monitorizat. Comparabilitatea asigură analiză schimbărilor care se produc în sistem. Oportunitatea presupune că sistemul este analizat cu luarea în considerație a condițiilor/factorilor externi. O asemenea analiză vizează influența factorilor externi asupra obiectului monitorizat. Prognozabilitatea presupune căpătarea unor date care permit realizarea unor prognoze referitoare la evoluția ulterioară a sistemului / elementelor sistemului. Echitatea se referă la modul în care sunt tratați actorii și elementele sistemului: elevi și eleve, școli rurale și școli urbane etc.

Pentru a respecta cerințele enumerate la realizarea unui monitorizări pot fi utilizate două abordări: una națională și una internațională.

Pe plan internațional precursorul monitorizării a fost IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement – Asociația Internațională de Evaluare a Randamentului școlar).

În viziunea IEA, sistemele educaționale sunt variabile independente (cauze), iar rezultatele observărilor sunt variabile dependente (efecte). Prima cercetare internațională a fost realizată de IEA în anii 1959-1961, având drept scop determinarea randamentului elevilor la citire, matematică și științe. S-a dovedit că rezultatul mediu la fiecare disciplină era aproximativ același în majoritatea țărilor participante. Numai într-o singură țară – Japonia, rezultatele medii depășeau cu mult rezultatele altor țări. O comisie specială a vizitat Japonia pentru a se încredința că evaluarea s-a realizat obiectiv. Rezultatele s-au dovedit a fi veridice. În Japonia anilor '60 era practicat un învățământ autoritar și sever. Elevii se aflau sub dubla presiune a școlii și a familiei. Contextul cultural general întregea tabloul.

După funcțiile îndeplinite deosebim:

monitorizarea administrativă;

monitorizarea sumativă;

monitorizarea randamentului.

Monitorizarea administrativă este axată pe verificarea aplicării corecte a documentelor reglatoare la nivel de sistem educațional sau la nivel de unitate școlară.

Monitorizarea formativă este orientată spre localizarea disfuncționalităților posibile. Un analog al monitorizării formative îl constituie monitorizarea medicală, care constă în supravegherea bolnavilor prin intermediul unor mijloace tehnice. Dacă, de exemplu, ritmul cardiac al bolnavului devine periculos, medicul este preîntâmpinat printr-un semnal. În procesul de instruire este, de asemenea, important de a cunoaște dacă în derularea procesului a apărut o problemă gravă pentru a lua măsurile necesare în timpul oportun.

Monitorizarea randamentului școlar este axată pe produsele învățării.

Monitorizarea în învățământ poate fi realizată de pe poziții tehnologice și de pe poziții umaniste [22]. Abordarea tehnologică vine din sfera productivă și ia în considerație intrările, tratamentul și produsele. Dacă produsul nu este conform unor criterii prestabilite, atunci se caută să fie îmbunătățite intrările sau să fie corijat tratamentul. Abordarea umanistă tine cont de circumstanțele particulare în care individul trăiește, sensul pe care el îl atribuie conținutului învățat, modului în care se produce învățarea etc. Considerăm drept optimală o abordare mixtă, în care abordarea tehnologică este complementată cu o abordare umanistă. Etapele monitorizării în învățământ

În viziunea profesorului Gilbert de Landsheere de la Universitatea din Liege, monitorizarea este un proces, care presupune parcurgerea a trei etape: colectarea informației, evaluarea acestei informații și traducerea rezultatelor evaluării în acțiuni instituționale sau în sancțiuni.

Menționăm aici o problemă de ordin lingvistic. În țările francofone termenul „monitorizare" este înlocuit cu termenul „pilotaj" (DEX-ul atestă semnificația figurativă a verbului „a pilota" – a conduce, a îndruma). Cercetătorii din țările francofone subliniază în mod deosebit prezența obligatorie a etapei a treia a monitorizării: acțiunile de schimbare a sistemului monitorizat. În accepția an- glo-saxonă monitorizarea se poate reduce numai la realizarea primei etape: colectarea informației. Vom folosi în continuare termenul „monitorizare" (utilizat în literatura de specialitate română), dar cu mențiunea obligatorie că etapa finală a lui presupune realizarea unor acțiuni orientate spre schimbarea stării sistemului.

M. Demeuse și A. Baye [23] propun evidențierea a patru etape în realizarea monitorizării unui sistem educațional.

Sintetizând mai multe puncte de vedere asupra etapelor de monitorizare, propunem următoarea structurare temporală la realizarea unei monitorizări:

Definirea unei stări „ideale" (dezirabile) sau de echilibru a sistemului educațional, care este privită ca un cop ce urmează a fi atins (definirea standardelor). Această stare „ideală" trebuie să fie descrisă în limbajul criteriilor pentru a putea determina atingerea ei.

Elaborarea unui sistem de indicatori, adică a unor indicii observabili, care ne permit să determinăm îndeplinirea criteriilor.

Elaborarea și aprobarea instrumentelor de măsurare.

Determinarea ecarturilor (diferențelor dintre starea „ideală" și starea reală a sistemului educațional).

Stabilirea unui diagnostic (determinarea cauzelor posibile a apariției ecarturilor).

Proiectarea și elaborarea unui sistem de acțiuni, privind ameliorarea sistemului din perspectiva stării dezirabile.

Trebuie sa construiesc o schemă in care sa se poate observa că monitorizarea nu are început și nu are sfârșit. Ea reprezintă o suită de etape înlănțuite, realizarea cărora conduce la stabilirea stării „ideale" dorite. Când sistemul se apropie de starea dorită, este posibilă revederea obiectivelor sistemului, ceea ce conduce la majorarea ecarturilor și necesitatea unor acțiuni corective. De regulă, obiectivele sistemului se revăd în urma unor comparări (preponderent internaționale).

Noțiunile de monitorizare și de gestiune curentă a sistemului educațional nu coincid. Vom vorbi despre monitorizare numai în cazul când etapele descrise mai sus sunt prezente și articulate una cu alta. Deciziile luate fără o informare completă și fără un diagnostic al situației nu pot fi calificate drept măsuri ce fac parte din monitorizare. Subliniem încă o dată că activitățile de colectare a informației nu se referă la monitorizare, dacă ele nu sunt urmate de acțiuni orientate spre ameliorarea stării sistemului.

Aflarea sub monitorizare/control a unui sistem educațional nu înseamnă neapărat că acest sistem este (hiper)centralizat. Ținerea sub control a sistemului semnifică numai existența unor obiective clare și existența unor mecanisme reglatoare eficiente, care permit ajustarea sistemului la aceste obiective.

Monitorizarea efectuată la nivelul sistemului național de învățământ este numit, de obicei, macromonitorizare, iar cea realizată la nivelul unei unități școlare sau clase – micromonitorizare. În multe țări, micromonitorizarea este realizată de inspecția școlară.

3.3.4. Experiențe internaționale de realizare a monitorizării în învățământ

Este din ce în ce mai acceptată ideea că perfecționarea sistemelor educaționale constituie fundamentul dezvoltării economice a țării. În majoritatea țărilor calitatea învățământului a devenit o prioritate națională. Menținerea unui nivel înalt al calității este posibilă numai printr-o monitorizare continuă a sistemului de învățământ. În scopul monitorizării sunt create structuri noi, fie în cadrul ministerelor de învățământ, fie ca elemente autonome. În România, în anul 2006 a fost creată Agenția Română de Asigurare a Calității în Învățământul Preuniversitar (ARACIP). În cadrul Ministerului francez al Educației a fost creată recent o Direcție de Evaluare și de Prospectivă. In Romania……[24].

Etapele monitorizării, descrise mai sus, pot fi realizate de organisme diferite. Obiectivele sistemului, de regulă, sunt formulate de echipe de specialiști, cu participarea experților naționali. Colectarea informației despre starea sistemului se face prin intermediul examenelor și a unui sistem de indicatori în domeniul învățământului. Examenele, de obicei, sunt naționale: examenul de bacalaureat în România și Franța, examenul unic în Federația Rusă. În multe cazuri, informația despre starea sistemului este colectată de instituții/grupe de cercetare. Federația Rusă, România și Franța participă atât în cercetările internaționale, organizate de IEA (proiectul TIMSS), cât și cele dirijate de Organizația de Cooperare și Dezvoltare Economică (proiectul PISA), fapt ce permite compararea rezultatelor naționale cu rezultatele altor țări. Etapa de diagnosticare este realizată fie de direcțiile specializate ale ministerelor de resort, fie de instituții de cercetare în domeniul educației, fie de organizații nonguvernamentale. Deciziile de remediere sunt luate la nivelul conducerii de vârf a ministerelor, iar în unele cazuri la nivel de guvern și parlament. Ministerele organizează realizarea deciziilor luate.

3.3.5. Studiu de caz — Legea 1/2011

Proiectul Reformei Învățământului General, început în anul 1997, a contribuit decisiv la instituirea unui sistem național de evaluare, integrat cu un sistem de monitorizare ().

Funcțiile de evaluare și monitorizare la nivel național au fost atribuite Direcției …….. Pentru determinarea efectelor unor inovații, detectarea unor posibile disfuncționalități în organizarea procesului de învățământ, Agenția organizează evaluări pe eșantiona reprezentative. Informații, referitoare la sistemul național de învățământ sau la unele elemente ale acestui sistem sunt culese în cadrul temelor de cercetare de către Institutul de Științe ale Educației, universități.

…..

„Evaluarea și examinarea" [25] obiectivele majore ale sistemului național de evaluare sunt formulate în felul următor:

În plan intern:

stabilirea diagnozei situației din sistemul educațional – cunoașterea nivelului de realizare a obiectivelor ce se conțin în curriculum-ul școlar, evidențierea factorilor și cauzelor care au generat situația constatată;

optimizarea procesului de predare-învățare în urma feedback-ului obținut. <.. .>

În plan extern

compararea rezultatelor evaluărilor naționale cu rezultatele evaluărilor internaționale.

3.4. Evaluarea randamentului școlar la matematică

3.4.1. Evaluarea – parte componentă a procesului de învățământ la matematică

Necesitatea evaluării

Evaluarea este un demers care poate fi întâlnit în orice domeniu de activitate umană, fiind unul din pilonii eficientizării oricărui tip de activitate. Există mai multe domenii de o maximă importanță socială (medicina, dreptul) în care activitatea de evaluare se manifestă cu precădere. Unul din aceste domenii este învățământul. Evaluarea în învățământ are drept scop major aprecierea obiectivă, prin mijloace științifice, a efectelor activității instructiv-educative. O învățare eficientă este de neconceput fără o evaluare pertinentă.

Prezența evaluării în procesul de învățământ este justificată de nevoia de a măsura eficacitatea și eficiența acestui proces, de a obține informații relevante privind rezultatele școlare, de a asigura calitatea predării și învățării, de a oferi retroacțiunea (engl. feed-back) necesară persoanelor interesate (factori de decizie, manageri școlari, profesori, elevi, părinți, publicul larg).

Fiind tradițional o etapă separată, situată în finalul învățării, evaluarea a evoluat spectaculos spre un proces integrat organic în procesul de învățământ. Concomitent, s-a lărgit considerabil aria de aplicabilitate a evaluării: de la verificarea achizițiilor elevului la estimarea impactului social al învățării, al calității curriculum-ului și pregătirii personalului didactic. Evaluarea nu se reduce la prezentarea unei simple constatări; relevând disfuncționalitățile procesului de învățământ, ea facilitează analize comparate, permite înțelegerea diversității situațiilor și modificarea demersurilor pentru îmbunătățirea procesului.

O evaluare care eficientizează cu adevărat procesul de învățământ trebuie concepută, proiectată, pregătită și realizată într-o manieră riguroasă, științifică. În caz contrar, evaluarea pierde în credibilitate. Aceasta reduce șansele de a obține o largă adeziune concluziilor și recomandărilor formulate, atât din partea actorilor educației, cât și a factorilor de decizie.

De ce evaluăm?

Răspunsul la această întrebare se schimbă cu timpul, în funcție de miza pe care o pune societatea pe sistemul de învățământ.

Pe parcursul mai multe secole, evaluarea rezultatelor școlare se reducea la controlul/supravegherea elevilor ca persoane angajate într-un program de studii. Acțiunile de evaluare aveau trei scopuri principale: (a) aprecierea achizițiilor sau realizărilor fiecărui elev; (b) autorizarea promovării dintr-o clasă în alta sau dintr-un ciclu de învățământ în altul; (c) marcarea oficială a finalizării programului de studii printr-un document.

În condițiile unui învățământ de elită, în care fiecare an școlar era privit drept un „filtru" pentru anul școlar următor, un asemenea control era necesar și suficient. Metodele rigide de predare și evaluare permiteau parcurgerea integrală a ciclurilor de învățământ numai acelor elevi care reușeau să se adapteze la aceste metode.

Odată cu trecerea la învățământul obligatoriu (pentru început – în ciclul primar), unitățile școlare, profesorii s-au ciocnit foarte repede de problema neadaptării unui număr esențial de elevi mijloacelor de formare propuse. Caracterul magistrocentrist al învățământului de la începutul sec. XX a impus adoptarea unei soluții dure – excluderea din sistemul învățământului general al copiilor care nu dispuneau de capacitățile de adaptare la rigorile sistemului. Un grup de psihologi francezi, în frunte cu A. Binet, a elaborat un test (numit ulterior test de inteligență), care permitea detectarea copiilor ce nu erau în stare să urmeze cursul de instruire în școala obișnuită din cauza deficiențelor în dezvoltare.

Tocmai la finele sec. XX s-a ajuns la înțelegerea esenței unei soluții mai umane, dar mai dificile în realizare: adaptarea mijloacelor de formare caracteristicilor elevului.

Tipologia modernă a strategiilor de evaluare furnizează elemente de răspuns la întrebarea „de ce evaluăm?" (cf. [26]):

pentru a determina resursele necesare pentru obținerea noilor performanțe în perioada următoare (evaluarea predictivă);

pentru a facilita progresul fiecărui elev sau pentru a adapta demersurile pedagogice la diversitatea elevilor (evaluarea formativă);

pentru a atesta atingerea obiectivelor terminale ale unui program (evaluarea sumativă);

pentru a determina obstacolele de învățare, cauzele rămânerii în urmă a elevului (evaluarea diagnostică).

Conceptualizarea evaluării școlare

Conceptualizarea evaluării școlare s-a dezvoltat și s-a consolidat însoțind procesul de trecere de la „docimologie” la actuala „teorie a evaluării”. Acest proces a reprezentat tranziția de la examinarea și notarea tradițională la înțelegerea evaluării ca activitate complexa de formulare de judecăți de valoare despre procesul și produsul învățării elevilor, integrată organic în procesul didactic.

O caracteristică esențială a docimologiei clasice constă în faptul că acordă mare importanță problemelor de fidelitate, validitate și sensibilitate a acestei activități. Cercetările din domeniul evaluării școlare se ambiționau să facă din evaluare o activitate cât mai exactă din punct de vedere științific și mai echitabilă din punct de vedere moral.

În timp, cercetările asupra domeniului evaluării s-au amplificat. Astăzi, teoria evaluării acoperă o arie extinsă de acțiuni și domenii, integrate într-un sistem, vizând deopotrivă elevii, cadrele didactice, instituțiile de învățământ, procesul de învățământ, produsele procesului și sistemului etc. Diferențele dintre „docimologie” și „teoria evaluării”

Evaluarea poate fi definită drept o interpretare de către evaluator a unei realități complexe și schimbătoare, o interpretare punctuală, provizorie, care caută să clarifice o devenire posibilă. Evaluarea semnifică confruntarea unui ansamblu de informații cu un ansamblu de criterii în vederea luării unei decizii.

Pentru a înțelege mai bine ce se petrece în procesul de evaluare, vom relua un exemplu propus de F.-M. Gerard [27]. Un individ se deplasează cu autoturismul pe un drum controlat de un radar. Dacă individul depășește viteza autorizată, atunci această depășire este fixată de radar. În acest caz vorbim despre un control: criteriul, adică viteza autorizată, nu este stabilită de polițistul ce deservește radarul, ci de regulile de circulație (normă externă). Admitem acum situația când individul este conștient de depășirea vitezei, însă estimează că o poate justifica (merge la o rudă căzută într- un accident, se grăbește să prindă un avion etc.). În cazul când excesul de viteză este fixat de radar și polițistul insistă asupra unei amenzi, individul se poate adresa la judecător. Ascultând explicațiile individului și luând în considerație toată informația disponibilă, judecătorul va lua o decizie. El va face o „judecată de valoare" care, în cazul fericit pentru individ, poate justifica excesul de viteză în circumstanțele create. Judecătorul face o evaluare. El nu se mărginește cu constatarea ecartului între normă și realitate, ci atribuie un sens elementelor prezente.

Numărul de definiții ale evaluării în literatura de specialitate este impunător. Aducem în continuare o listă de definiții care, în opinia noastră, clarifică aproape toate aspectele referitoare la acest concept important.

A evalua înseamnă a compara cel puțin două informații referitoare la unul și același obiect, cu o anumită intenție. Această intenție se află la originea oricărui act de evaluare și condiționează modalitățile lui de realizare. Ea permite enunțarea obiectivului (scopului), determinarea obiectului și alegerea informațiilor care trebuie comparate. Demersul general al unei proceduri riguroase de evaluare are trei faze succesive: pregătirea (proiectarea), execuția și exploatarea rezultatelor.

Orice evaluare are trei termeni [28]:

spune ceea ce este (constatare);

spune ceea ce este în raport cu ceea ce ar fi trebuit sau ar fi putut să fie, cu ceea ce constituie norma explicită sau implicită (comparație);

prin această comparație se conferă o valoare aspectelor constatate, adică se stabilește dacă acestea sunt satisfăcătoare sau dezamăgitoare în raport cu așteptările (judecată).

A evalua înseamnă

a culege un ansamblu de informații suficient de pertinente, valide și fiabile

a examina gradul de adecvare (potrivire) între acest ansamblu de informații și un ansamblu de criterii adecvate scopurilor fixate la început sau ajustate pe parcurs

în vederea luării unei decizii [29]

Evaluarea este o activitate prin care sunt colectate, asamblate și interpretate informații despre starea, funcționarea și/sau evoluția viitoare probabilă a unui sistem (rezultate, procese, acțiuni, instituții), activitate a cărei specificitate este conferită de următoarele caracteristici esențiale: (a) orientare spre scop (fundamentarea deciziilor, priza de conștiință / conștientizarea problemei, influențarea evoluției sistemului evaluat); (b) competență metodologică; (c) existența unor criterii; (d) secvența de interpretare; (e) înregistrare și comunicare; (e) efectul retroactiv și anticipativ [30].

A evalua înseamnă a compara rezultatul măsurării cu un standard sau a-l raporta la un criteriu și a formula o judecată de valoare [31].

Evaluarea rezultatelor școlare prezintă o activitate educativă complexă de colectare sistematică a informațiilor despre calitatea și dinamica rezultatelor școlare, de prelucrare și interpretare contextuală a acestora în vederea adoptării unor decizii semnificative finalităților educației și scopului acțiunilor de evaluare [32].

Evaluare: culegerea, valorificarea, aprecierea și interpretarea informațiilor rezultate din procesul de învățare; măsurile pedagogice, proiectele curriculare care rezultă din aceste activități [33].

Evaluarea este procesul prin care se stabilește dacă sistemul (educațional) își înde-plinește funcțiile pe care le are, adică dacă obiectivele sistemului sunt realizate [34].

Termenul evaluare desemnează ansamblul metodelor și procedeelor didactice prin care se verifică, se apreciază și se notează nivelul de pregătire al elevilor, în raport cu obiectivele educaționale, cu criteriile și standardele de calitate ale procesului de învățământ [35].

Evaluarea presupune o concepție sistematică și operatorie, pornind de la mai multe întrebări cheie:

pentru ce se face? (ceea ce pune în evidență funcțiile evaluării);

în raport cu ce? („referințele" – criterii ale evaluării);

pentru cine? (destinatarii evaluării);

ce? (obiectul evaluării);

cum? (instrumentele și procedurile de evaluare) [36].

Evaluarea presupune o judecată de valoare în funcție de criterii precise; ea poate da loc unui rezultat numeric (nota) sau calificativ (clasificarea subiectului în cadrul clasei, stabilirea elementelor de conținut cunoscute ș. a. m. d.) [37].

Evaluarea este o activitate prin care sunt colectate, prelucrate și interpretate informațiile privind starea și funcționarea unui sistem, a rezultatelor pe care le obține, activitate ce conduce la aprecierea acestora pe baza unor criterii și prin care este influențată evoluția sistemului [38].

Evaluarea este un proces care începe cu fixarea scopului evaluării și se termină cu luarea unei decizii vis-à-vis de acest scop. Evaluatorul este situat pe poziția unui intermediar între un pre- scriptor, care spune cum trebuie să fie obiectul evaluat și un observator, care spune cum este obiectul în realitatea sa concretă [39].

Multitudinea de abordări ale evaluării se înscrie în trei clase mari sau trei episteme: măsurare, gestiune, problematică a sensului (fig. 7) ([40, 41]).

Figura 6. Episteme de evaluare

În cercetarea noastră ne vom sprijini pe modelul explicației cauzale, pe modelul metric și pe modelul structuralist. Vom insista asupra evaluării ca suport pentru luarea deciziilor, aceasta fiind abordarea de bază în evaluările internaționale.

Din definițiile aduse mau sus rezultă un șir de constatări.

Orice proces de evaluare are un caracter decizional și recurge la criterii precise pentru a compara așteptările și realitatea. Evaluarea pregătește decizia. Prin aceasta evaluarea se deosebește de judecata de valoare și de apreciere. Formularea unei judecăți de valoare, aprecierea unei persoane sau a unei acțiuni relevă un proces empiric, deseori spontan (instinctiv) și este bazată pe impresii sau pe criterii implicite. Evaluarea, dimpotrivă, este un proces intenționat, sistematic, bazat pe criterii explicite, și orientat spre luarea unei decizii.

Definițiile de mai sus nu sunt operaționale, nu spun nimic despre faptul cum se desfășoară acțiunea de evaluare.

3.4.2. Desfășurarea procesului de evaluare

În lucrarea [42] evaluarea este prezentată drept un demers, constituit din patru etape distincte dar complementare:

intenția: etapa la care sunt determinate scopul, modalitățile de evaluare (alegerea scalei de măsurare, a sarcinilor ce vor fi realizate de elevi, momentele în care se va efectua evaluarea);

măsurarea: etapa culegerii datelor, a organizării și analizei lor;

judecata: etapa de apreciere a datelor în funcție de scopul evaluării. Această etapă solicită un grad ridicat de prudență deoarece judecata trebuie fondată cât mai obiectiv, depășind intuiția și arbitrarul;

• decizia: etapa de luare a deciziei în baza judecății.

Specialiștii din Ministerul Educației al provinciei Saskatchewan (Canada) [43] consideră evaluarea drept un proces ciclic, care comportă patru etape: (a) prepararea; (b) măsurarea; (c) evaluarea (judecata de valoare); (d) reflexia.

Sintetizând mai multe puncte de vedere, considerăm că, desfășurată în timp, evaluarea rezultatelor școlare apare ca un proces, orientat spre un anumit scop, inițiat de un evaluator. Evaluarea comportă câteva faze legate între ele: fiecare fază o determină pe următoarea, dar sunt posibile reveniri la fazele precedente.

În opinia noastră, fazele procesului de evaluare sunt realizate în următoarea ordine: (1) faza de concepere; (2) faza de proiectare; (3) faza de pregătire; (4) faza de realizare; (5) faza de exploatare a datelor; (6) faza de reflecție.

În faza de concepere evaluatorul ia decizia privind necesitatea evaluării și caută răspunsul la două întrebări fundamentale pentru procesul de evaluare: de ce evaluăm, adică care va fi scopul evaluării, și ce va fi evaluat, altfel spus, care va fi obiectul evaluării. Perfecțiunea oricărei evaluări provine din adecvarea ei la scopul pentru care este făcută. Din această cauză, prima întrebare care se impune la conceperea unei evaluări este de ce evaluăm. Răspunsul la întrebarea de ce evaluăm, adică formularea scopului evaluării determină conținutul celorlalte faze ale evaluării. Acest răspuns, la rândul său, este determinat de nevoile evaluatorului / profesorului școlar.

Iată câteva situații specifice (lista nu este exhaustivă) în care evaluatorul ia decizia de a declanșa o acțiune de evaluare:

Conform planului calendaristic peste o săptămână în clasa a VIII-a începe predarea unei teme noi. Dispun oare elevii de prerechizitele respective, adică de cunoștințele, capacitățile, atitudinile strict necesare pentru începerea unei secvențe noi de instruire?

În clasa a V-a s-a finisat predarea unei teme. Au atins oare toți elevii obiectivele preconizate?

Elevul A la ultimele două examinări curente a demonstrat un nivel jos al cunoștințelor și deprinderilor învățate. Care sunt cauzele rămânerii în urmă al acestui elev?

Este pe sfârșite anul de studii. Au dobândit oare toți elevii competențele prevăzute în curriculum? Care este calitatea achizițiilor elevilor?

Scopul evaluării se formulează fie la nivel social (vizează calitatea procesului de învățământ), fie la nivel pedagogic (vizează finalitățile microstructurale ale procesului de învățământ). Prin formularea scopului evaluatorul determină, de fapt, pentru ce fel de decizii vor folosi rezultatele evaluării. Tipul deciziei care va fi luată determină felul în care va fi realizată evaluarea și este reflectat în scopul evaluării.

La determinarea obiectului evaluării se poate opta pentru procesul de achiziționare a cunoștințelor, formare a capacităților și atitudinilor, dobândire a competențelor sau pentru produsul învățării [44].

Evaluarea trebuie proiectată riguros, pentru ca informația căpătată să fie utilă. Întrebarea „Utilă pentru cine?" ne orientează la beneficiarii rezultatelor evaluării. O altă întrebare „Utilă pentru ce?" ne orientează la funcțiile evaluării.

În proiectarea evaluării pot fi identificate două componente de bază:

identificarea criteriilor pentru a specifica precis ce fel de informație este necesară pentru a răspunde la întrebările ce țin de eficiența și calitatea predării-învățării;

determinarea unei strategii optimale sau al unui plan care va permite obținerea unei informații exploratorii, explicative sau descriptive care, la rândul său, va permite formulare unor inferențe vizând relația dintre obiectivele curriculare și rezultatelor observate.

În faza de proiectare evaluatorul precizează scopul și obiectul evaluării, determină contextul ei. Câteva probleme majore se impun a fi rezolvate la această etapă. Prima problemă ține de scopul evaluării. S-a menționat că evaluarea este un proces complex, în derularea căruia pot fi evidențiate mai multe faze. Fiecare fază presupune activități separate, însă legate logic și conceptual cu activitățile din alte faze. Aceste activități au scopurile lor. Prin urmare, scopul evaluării poate fi atins prin atingerea consecutivă a scopurilor intermediare specifice fiecărei faze. În asemenea situații, scopul nu poate juca rolul de imbold pentru întregul proces de evaluare, deoarece el este prea îndepărtat și atingerea lui este amânată. Funcția de stimulare și planificare a comportamentului și activității evaluatorului este îndeplinită în asemenea cazuri de o decizie conștientă numită intenție [45].

Pot fi identificate patru intenții ale evaluării: (a) estimarea șanselor de reușită ale elevului într-un ciclu de învățământ, an de studii, la o disciplină școlară, la un capitol, secvență de instruire; (b) înțelegerea modalităților de învățare ale elevului; (c) aprecierea achizițiilor elevului într-un ciclu de învățământ, an de studii, la o disciplină școlară, la un capitol / temă; (d) identificarea/explicarea cauzelor de rămânere în urmă a elevului. Scopul evaluării, formulat la nivelul social, implică formarea unei intenții de estimare sau apreciere. Scopul evaluării, formulat la nivel pedagogic, implică formarea unei sau mai multor intenții (de estimare, de înțelegere, de apreciere sau de identificare).

Pentru profesorul de matematică cele patru intenții ale evaluării se înscriu perfect în proiectarea și realizarea unor secvențe calitative de instruire. La începutul secvenței profesorul trebuie să se asigure că elevii dețin prerechizitele necesare pentru însușirea materiei noi, adică trebuie să estimeze șansele de reușită ale elevilor în secvența proiectată. Pe parcursul instruirii, profesorul, prin observări diferențiate, va urmări comportamentul elevilor și va acorda ajutor operativ elevilor care se ciocnesc de diferite obstacole. Acest lucru este posibil, dacă profesorul înțelege cum învață elevul, care sunt reprezentările lui. La sfârșitul secvenței de instruire profesorul verifică atingerea obiectivelor preconizate de către toți elevii. Dacă verificarea a stabilit situații de eșec la unii elevi, atunci profesorul va identifica cauzele eșecului.

După precizarea scopului / intenției și obiectului evaluării evaluatorul determină momentul declanșării procesului de evaluare (până la începerea secvenței de instruire; pe parcursul ei; la finele secvenței de instruire).

A doua problemă majoră care trebuie rezolvată în faza de proiectare constă în definirea informațiilor ce trebuie culese în procesul de evaluare. Natura acestor informații depinde de scopul / intenția evaluării. Pentru a evalua, evaluatorul are nevoie de două tipuri de informații referitoare la obiectul evaluării: informație obiectuală sau de constatare și informație de referință (așteptările). Informația de referință este o informație prescriptivă (cum trebuie să fie obiectul evaluării). Informația de constatare este o informație descriptivă (cum este obiectul evaluării). Informația de constatare este comparată cu informația de referință și prin această comparare se conferă o valoare aspectelor constatate.

Informația de referință în unele cazuri deja există; evaluatorul trebuie numai să o selecteze. De exemplu, în calitate de informație de referință pot fi utilizate:

standardele educaționale, formulate în termeni de competențe (referențiale de evaluare);

ansambluri de obiective curriculare;

norme statistice (de ex., media clasei);

norma individuală (rezultatele evaluării precedente ale elevului).

În alte cazuri informațiile de referință nu există ca atare și trebuie elaborate de către evaluator. În acest scop, evaluatorul își formează o reprezentare, un model ideal al obiectului evaluării. Această reprezentare se numește referent și conține un șir de criterii (criteriul este o caracteristică calitativă sau o proprietate a unui obiect care permite a formula asupra lui o judecată de valoare). Conținutul referentului depinde de intenția și obiectul evaluării. Dacă intenția evaluării este înțelegerea, atunci accentul se pune pe procesul învățării și referentul conține descrierea criteriilor de realizare, adică a operațiilor invariante implicate în realizarea produsului. Dacă intenția evaluării este estimarea și/sau aprecierea, atunci accentul se pune pe produsul învățării și referentul conține descrierea competenței vizate și a calităților sau criteriilor de reușită a produsului așteptat. Dacă intenția evaluării este identificarea, atunci accentul se pune pe procesul și produsul învățării, iar referentul conține informații despre obstacolele de învățare frecvent întâlnite.

La definirea informației de referință profesorul școlar este, într-un anumit sens, autonom. Există pericolul ca, în dorința de a demonstra o eficacitate înaltă a procesului de învățământ, profesorul să definească criterii de evaluare, care ușor pot fi atinse (și chiar depășite) de majoritatea elevilor. Pentru excluderea unor astfel de situații sunt necesare evaluări externe cu criterii standardizate la scară națională. Aceste criterii vor fi luate în considerație de profesorul școlar la definirea propriilor criterii. Concomitent, standardele la scară națională trebuie supuse periodic unor aprecieri în vederea corespunderii lor tendințelor mondiale în organizarea procesului de învățământ la o disciplină școlară sau alta. Această apreciere poate fi realizată în baza rezultatelor evaluărilor internaționale.

Informația de constatare, spre deosebire de cea de referință, nu există; ea trebuie căpătată în procesul evaluării. În acest scop, evaluatorul trebuie să proiecteze, să construiască și să valideze dispozitive speciale pentru extragerea informației, numite instrumente de evaluare. Concomitent, evaluatorul decide cum, în ce condiții va fi colectată informația de constatare.

În unele cazuri, informația de constatare poate fi colectată în condițiile situațiilor obișnuite de învățare sau în situații de învățare orientate spre structurarea cunoștințelor. Aceste sunt cazurile convenabile unei evaluări cu scopul înțelegerii în care obiectul evaluării îl constituie fie demersurile elevului, fie produsele „semifabricate".

În alte cazuri, pentru colectarea informației de colectare trebuie create situații speciale, numite situații de evaluare (situația de evaluare este un ansamblu constituit din enunțul unei sarcini, enunțul unui consemn și obiectul evaluării; sarcina este o activitate prescrisă elevului în vederea atingerii unui obiectiv într-un cadru dat cu ajutorul unor acțiuni sau operații; consemnul reprezintă totalitatea indicațiilor care explicitează cerințele evaluatorului / profesorului și condițiile de realizare a sarcinii).

Toate situațiile de colectare a informațiilor de constatare pot fi divizate în trei categorii: (1) informația devine accesibilă prin observare; (2) informația poate deveni accesibilă în mod direct prin plasarea elevului într-o situație de evaluare; (3) informația nu este accesibilă în mod direct, însă la ea se poate ajunge prin intermediul altei informații (revelatoare) care joacă rolul de indicator, utilizând inferențe.

În cazurile când informația este accesibilă prin observare, instrumentele posibile de evaluare pot fi: (1) fișa de evaluare (calitativă); (2) grila de evaluare / autoevaluare; (3) scara de apreciere; (4) lista de control / verificare.

În cazul când informația poate deveni accesibilă în mod direct, pot fi utilizate următoarele instrumente de evaluare:

întrebări orale formulate de profesor sau de colegii din clasă, întrebările dintr-un interviu;

întrebări în scris dintr-un bilet de examinare, dintr-un chestionar etc.;

sarcini (itemi) dintr-un test.

Menționăm, că deși informația devine accesibilă în mod direct, ea nu ne vorbește direct despre calitățile evaluate. Evaluatorul recurge la anumite inferențe pentru a face concluziile respective. Pentru exemplificare, considerăm următoarea sarcină din testarea TIMSS-1999 [46]:

Incercuiește litera ce corespunde răspunsului corect

Fie n un număr. Dacă n este înmulțit cu 7 și la produsul obținut este adunat 6, atunci rezultatul este 41. Care din ecuațiile de mai jos reprezintă această relație?

7n + 6 = 41

7n – 6 = 41

7n x 6 = 41

7 (n + 6) = 41.

Dacă elevul a rezolvat sarcina corect, atunci evaluatorul poate face concluzia: elevul este capabil să identifice ecuația liniară corespunzătoare unei afirmații verbale, ce conține o variabilă.

Pentru accesarea informației de constatare în mod indirect, pot fi folosite următoarele instrumente de evaluare:

situații-problemă;

sarcini complexe.

Generalizând informațiile din diferite surse, ajungem la concluzia că există patru moduri principale de recoltare a informației de constatare:

reexaminarea datelor existente (rezultatele evaluărilor precedente);

observarea comportamentului elevului sau calității produselor realizate;

audierea/înregistrarea vorbirii orale;

citirea răspunsurilor în scris.

În consecință, în faza de proiectare evaluatorul caută răspunsuri la următoarele întrebări: de ce evaluăm?, ce evaluăm?, când evaluăm?, cum evaluăm?, cine evaluează?, cui servește evaluarea? (fig. 8).

În faza de pregătire evaluatorul pregătește terenul pentru faza de realizare a evaluării. Activitățile de bază în această fază sunt următoarele:

elaborarea / selectarea instrumentelor de evaluare;

pregătirea psihologică a persoanelor care participă la evaluare sau care fac obiectul lor.

Elaborarea unui instrument de evaluare cu calitățile preconizate este, în general, o procedură ciclică care necesită timp. După conceperea și elaborarea primei variante a instrumentului de evaluare, el este administrat unui eșantion de elevi, ce fac parte din populația pentru care este destinat instrumentul de evaluare (probarea instrumentului). Informația căpătată este prelucrată (de obicei, prin metode statistice) și, în caz de necesitate, instrumentul de evaluare este modificat. După aceasta urmează cea de a doua administrare ș. a. m. d., până la obținerea unor calități acceptabile.

O altă activitate importantă în faza de pregătire a evaluării constă în pregătirea psihologică a persoanelor implicate în evaluare, în primul rând, al elevilor. Această pregătire constă în cunoașterea elevilor cu scopul/intenția, obiectul evaluării și criteriile de evaluare.

În faza de realizare evaluatorul are grijă să fie respectate cerințele față de realizarea evaluării (crearea condițiilor optime pentru evaluare: amplasarea elevilor, liniștea, iluminarea etc.). În această fază are loc colectarea informației de constatare. Operația respectivă se numește măsurare. Elevul este fie observat într-o situație de învățare, fie plasat într-o situație de evaluare. Măsurarea unei caracteristici se bazează întotdeauna pe anumiți indicatori ai acesteia. Datele colectate în faza de realizare sunt fixate în diferite moduri.

În faza de exploatare a datelor pot fi identificate mai multe activități:

organizarea datelor;

interpretarea datelor;

formularea unei judecăți de valoare;

luarea unei decizii.

Organizarea datelor constă în prezentarea lor sub o anumită formă (de ex., tabelară, grafică) și analiza pentru a facilita interpretarea lor.

Interpretarea datelor constă în compararea datelor culese cu un criteriu de referință ales. Sunt posibile trei modalități de interpretare: (a) normativă; (b) criterială; (c) în raport cu o performanță anterioară a elevului. Interpretarea normativă

Când performanța unui elev este comparată cu performanța „medie" a grupului său, putem spune că ea a fost interpretată într-o manieră normativă. Această modalitate de interpretare ordonează rezultatele elevilor în raport cu grupul. Un elev poate fi considerat „puternic", dacă el este situat în topul unui grup slab. Același elev poate fi considerat „slab" într-un grup puternic.

La o abordare normativă evaluatorul clasează elevul nu în funcție de ceea ce ultimul cunoaște, ci în funcție de raportul dintre cunoștințele acestui elev și cunoștințele altor elevi. Rezultatele unei evaluări interpretate normativ au o distribuție apropiată de cea normală (gaussiană).

Pe parcursul unei secvențe de predare-învățare compararea normativă este realizată, în general, o singură dată – la finele învățării, – și se aplică pentru a verifica o sumă de cunoștințe.

La interpretarea normativă, sarcinile utilizate în procedura de cuantificare a unei performanțe sunt construite (selectate) pentru a pune în evidență diferențele individuale.

Interpretarea normativă rămâne utilizabilă în cazurile în care este necesar de a clasifica (ordona) subiecții (admiterea în instituțiile de învățământ, concursurile școlare). Interpretarea criterială

Vom spune că o performanță a elevului este interpretată criterial dacă ea este comparată cu gradul așteptat de stăpânire a ei, fără a lua în considerație performanțele altor elevi. Acest tip de interpretare permite nu numai de a determina care elev are nevoie de un ajutor diferențiat, dar și de a identifica conținutul acestui ajutor.

Interpretarea criterială are la bază o concepție a educației numită „pedagogia învățării depline" (J. B. Carrol, B. S. Bloom), care a avut un impact esențial asupra transformării practicii evaluării. Acest impact poate fi rezumat în felul următor: educația, orientată de-a lungul secolelor la selectarea indivizilor, începe a căuta mijloace pentru a favoriza dezvoltarea lor optimală. Concepția amintită favorizează un învățământ diferențiat, care ia în considerație caracteristicile și ritmul de lucru al elevului. Nu mai are sorți de izbândă o evaluare care sancționează performanța elevului măsurată prin capacitatea sa de reținere și amintire.

Pentru o evaluare interpretată criterial, sarcinile sunt construite (selectate) în funcție de competența care se măsoară, fără a se preocupa de diferențele individuale între elevi. Interpretarea nu se face în raport cu o „normă" (medie), ci în raport cu un obiectiv (distanța ce rămâne de parcurs).

Interpretarea criterială impune o definire clară a abilităților vizate și a pragului de reușită, care se folosește pentru a compara „ceea ce este" cu „ceea ce trebuie să fie". Interpretarea datelor în raport cu o performanță anterioară a elevului

Pentru a urmări progresul elevului datele evaluării se compară cu datele evaluării anterioare. O asemenea interpretare permite a evita compararea elevilor din clasă și a menține motivația pentru învățare prin fixarea fiecărui pas reușit în direcția obiectivului ce urmează a fi atins.

Judecata de valoare constă în examinarea meticuloasă a datelor culese cu ajutorul instrumentelor de evaluare, ținând cont de situația particulară a elevului, momentul evaluării, varietatea de resurse disponibile etc. și formularea unei opinii relative la progresul sau la nivelul realizării învățării de către elev.

Decizia este o parte a demersului evaluativ care constă, mai întâi, în examinarea acțiunilor posibile, apoi în alegerea acțiunii care corespunde cel mai bine judecății pronunțate.

În faza de reflecție evaluatorul analizează eficacitatea fazelor precedente. Această analiză se realizează prin căutarea răspunsurilor la următoarele întrebări:

a fost atins scopul evaluării?

care au fost factorii perturbanți a procesului de evaluare?

decizia luată în baza rezultatelor evaluării a fost bine fundamentată?

instrumentele de evaluare construite/selectate au permis de a colecta informația de constatare preconizată?

au fost evaluate bine calitățile instrumentelor de evaluare?

metodele de evaluare aplicate au permis de a afla, în primul rând, ce cunosc elevii decât ceea ce ei nu cunosc? etc.

Realizarea acestei faze urmărește influențarea evaluărilor ulterioare din perspectiva îmbunătățirii calității lor.

Reflecția nu se va mărgini la procedura de evaluare realizată, dar va cuprinde și procesul de predare-învățare. Dacă majoritatea elevilor nu au reușit la proba de evaluare, atunci care sunt cauzele acestui eșec?

3.4.3. Funcțiile evaluării

Conceptul de funcție definește legătura obiectivă existentă între o anumită realitate (activitate, acțiune, proces, obiect etc.) și cerințele sau condițiile necesare pentru realizarea acesteia în cadrul unui sistem determinat.

Pentru a evidenția funcțiile evaluării trebuie localizate „punctele" de conexiune între sistemul social și subsistemul de învățământ, între actorii implicați în activitățile de predare-învățare, între componentele curriculum-ului: obiective – conținuturi (experiențe de învățare) – metodologie (strategii de organizare a învățării) – evaluare.

Funcțiile care-i revin evaluării din această perspectivă, numite funcții sociale, sunt:

de orientare școlară și profesională (realizată de profesori, părinți, reprezentanți ai comunității locale);

de selecție școlară și profesională;

de legitimare socială a produselor sistemului de învățământ.

Celelalte funcții ale evaluării țin de funcționarea „internă" a procesului de învățământ și pot fi numite funcții pedagogice.

Din această perspectivă o primă funcție a evaluării o constituie cunoașterea stării fenomenului, activității și a rezultatelor acesteia, adică funcția de verificare (informare, constatare).

A doua funcție a evaluării este de diagnoză. Este firesc ca după constatarea stării să fie relevate condițiile, factorii care au generat situația constatată. Diagnoza explică situația existentă. Simpla cunoaștere a stării fenomenului în momentul când este evaluat fără să pună în evidență factorii care au generat-o nu permite o ameliorare a acestuia.

Pentru a face instruirea mai eficace evaluarea trebuie să mai îndeplinească o funcție – cea de prognoză.

Diagnoza și prognoza fac posibilă reglarea procesului de predare-învățare. În sfârșit, informația căpătată despre starea fenomenului, despre condițiile, factorii ce au generat această stare permite de a lua decizii privind ameliorarea procesului (fig. 10).

Abordarea aspectelor pe care le comportă locul și funcțiile acțiunilor evaluative în procesul didactic, în general, relațiile lor funcționale cu predarea și învățarea, precum și cu ceilalți factori procesuali, de conținut, materiali ai procesului, în particular, pornește de la recunoașterea faptului că evaluarea randamentului școlar constituie o acțiune componentă a acestui proces, integrată structural și funcțional în această activitate ([38] p. 62-63).

Măsurarea

Fiecare act de evaluare presupune prezența unui agent al evaluării (evaluatorul), al obiectului evaluării și referentului. Evaluatorul compară obiectul evaluării cu referentul și reflectă rezultatul acestei comparații într-o formă oarecare. În cercetările pedagogice și psihologice obiectul evaluării îl constituie caracteristicile (însușirile, proprietățile, trăsăturile) elevului. Pentru a compara obiectul evaluării (caracteristica elevului) cu referentul evaluatorul trebuie să cunoască gradul de manifestare a acestei caracteristici la elev. Această informație este furnizată de o procedură specială – măsurarea.

Într-un sens foarte general, măsurarea este procesul de atribuire de numere obiectelor sau evenimentelor, în conformitate cu niște reguli bine precizate. Definiția de mai sus a fost propusă de S. Stevens în anul 1950 [47]. Precizăm că nu sunt măsurate obiectele sau evenimentele, ci caracteristicile (însușirile, proprietățile, trăsăturile) lor. Aceste caracteristici, de la caz la caz, pot fi constante sau variabile.

Vom preciza noțiunea de măsurare, utilizând în continuare următoare definiție [48]: "Măsurarea prezintă determinarea gradului de manifestare a unei proprietăți oarecare a obiectului. Măsurarea se efectuează prin stabilirea unei legături între numere și obiectele care sunt suporturi ale proprietăților ce urmează a fi măsurate. Procesul de măsurare se bazează pe transformarea omeomorfă (care păstrează structura) a unui sistem empiric cu relații într-un sistem numeric cu relații <…> Prezența acestei transformări omeomorfe servește drept criteriu a faptului, poate fi considerată "măsurare" stabilirea legăturii dintre numere și obiecte sau nu <…>".

Sistemul de numere, puse în corespondență caracteristicii studiate conform regulilor stabilite, se numește scală. Altfel spus, scala este mijlocul de măsurare a proprietăților obiectelor. Măsurarea (chiar a unei și aceleași caracteristici) poate fi efectuată în corespundere cu reguli diferite, reguli ce conduc la crearea scalelor cu proprietăți diferite.

Fiecare scală de măsurare poate fi caracterizată prin:

transformările permise;

operațiile statistice permise;

mărimile statistice care pot fi determinate;

operațiile statistice care pot fi efectuate.

Procesul de formulare a regulilor de măsurare se numește scalare.

În cercetările pedagogice și psihologice se utilizează mai multe tipuri de scale. Scalele de bază sunt: scala de clasificare (nominală sau scala denumirilor); scala de ordine (ordinală, de rang sau scala topologică); scala de interval (scala de intervale egale); scala de proporții (de raport).

Scala nominală constă în clasificarea obiectelor în funcție de existența sau inexistența unei caracteristici (proprietăți).

Această scală se utilizează la o așa formă simplă a măsurării la care obiectele reale se substituie prin simboluri sau nume. La baza acestei forme de măsurare se află operația logică de determinare a apartenenței obiectului dat unei clase în raport cu o caracteristică.

Împărțirea populației de elevi în funcție de gen (băieți și fete), în funcție de profilul clasei, de grupa sangvină constituie exemple de măsurări nominale.

În cazul scalei de clasificare transformările permise sunt: redenumirea, adică atribuirea unor nume noi, și permutarea. Operația de bază admisă este numărarea. Rezultatele numărării permit a măsura anumite caracteristici. Pe baza operației de măsurare pot fi determinate: (a) frecvența (absolută și relativă); (b) valoarea modală (moda).

În literatura de specialitate nivelul scalei de clasificare este numit nivel elementar al măsurării, nivel al pre-măsurării, iar alți autori refuză să atribuie acestui nivel statutul de scală de măsurare.

Scala ordinală constă în ierarhizarea elementelor unei populații în funcție de mărimea unei caracteristici, fără însă a putea preciza cu cât un nivel ierarhic este superior (inferior) altuia.

Exemple de scale de rang: rezultatul oricărui concurs sportiv; notele date de profesori.

Fie că mulțimea obiectelor cercetate este ordonată după creșterea sau micșorarea caracteristicii ce ne interesează. Vom pune în corespondență fiecărui obiect din șirul ordonat un număr ordinal, care arată locul obiectului în șir. Acest număr se numește rangul obiectului.

Nivelul ordinal este cel mai răspândit nivel al măsurării în pedagogie.

În scala de ordine sunt permise transformări de tipul y=f(x), unde f(x) este o funcție monotonă. De exemplu, nu afectează ordinea (ierarhia) inițială astfel de transformări cum ar fi ridicarea la putere sau extragerea rădăcinii. În afară de mărimile statistice ce pot fi determinate în scala de clasificare (frecvența, valoarea modală), în scala ordinală pot fi determinate: frecvența sumelor, mediana ca mărimea tendinței principale. Aceasta este mărimea de ambele părți ale căreia se află un număr egal de date.

Scala notelor aplicate în sistemul de învățământ este o scală ordinală. De aici rezultă, că profesorii, cadrele de decizie în învățământ nu au dreptul – dacă vor să acționeze corect – să calculeze în baza notelor media lor aritmetică. Din punctul de vedere al măsurării fiecare profesor, punând note, lucrează în scala sa de rang. De aceea rezultatele măsurării în aceste scale diferite sunt incomparabile. Prelucrarea comună a notelor puse de profesori diferiți este echivalentă prelucrării comune a rezultatelor măsurării după scale diferite.

Scala de intervale egale este acel tip de măsurare în care distanțele egale între numerele care sunt "treptele" scării reprezintă diferențe egale în ceea ce privește cantitatea, amplitudinea caracteristicii de măsurat. Ea este o ierarhizare, la care se adaugă proprietatea că intervalele dintre un nivel și altul sunt toate egale.

Exemple de scale de interval: scara de temperatură exprimată în grade Celsius; calculul anilor.

Teoria matematică a măsurării permite măsurarea rezultatelor școlare într-o scală de intervale numită scala logit-urilor.

Intervalele din scală pot fi adunate și scăzute, fapt ce permite să măsurăm distanța absolută (exprimată în intervale de scală) dintre doi elevi care sunt plasați în diferite puncte ale scalei.

În scalele de interval sunt permise transformările liniare, de tipul y=ax+b, pentru a>0, unde: y – valoarea transformată a caracteristicii, x – valoarea inițială a caracteristicii, a – constanta de extindere, b – constanta de deplasare.

În afară de mărimile statistice ce pot fi calculate în scalele enumerate mai sus, în scala de interval capătă sens calcularea mediei aritmetice, dispersiei, abaterii standard.

Scala de proporții reprezintă cel mai înalt nivel de măsurare. Ea are toate caracteristicile scalei de intervale egale la care se adaugă existența unui nivel zero absolut. În scala de proporții apare posibilitatea comparării proporțiilor între valorile de scală.

Exemple de scale de proporții: măsurarea înălțimii; măsurarea masei.

În scala de proporții sunt admise transformări de asemănare, de tipul y=ax, a>0. Deplasarea nu este permisă, deoarece există un punct zero natural. Pe lângă mărimile statistice enumerate mai sus în scala de proporții poate fi calculat coeficientul de variație.

Cunoașterea scalelor și a nivelului de măsurare permite cercetătorului de a aplica corect metodele statistice de preluare a rezultatelor măsurărilor.

3.4.4. Schimbarea paradigmei în evaluarea școlară

Evaluarea și instruirea mult timp erau concepute și realizate cu totul separat. Ele rămân separate și în practica curentă de evaluare

Evaluarea și instruirea sunt separate în timp.

Evaluarea și instruirea au la bază filozofii diferite.

Evaluarea „îngustează" instruirea.

În evaluare se utilizează criterii tradiționale de măsurare

Fig. 11. Separarea instruirii și evaluării

Pentru a înțelege apariția acestui „separatism", vom face un mic excurs istoric. Deși noțiunile de curriculum, învățare, evaluare sunt cunoscute de mult timp, integrarea lor sistemică în procesul de învățământ ține de începutul sec. XX. Paradigma dominantă pe parcursul acestui secol poate fi reprezentată sub forma a trei cercuri care se suprapun parțial: curriculum-ul social eficient, teoriile învățării, măsurarea științifică (fig. 12).

Fig. 12. Paradigma evaluării pe parcursul sec. XX

Sec. XX a demarat cu mișcarea socială pentru eficacitate, bazată pe încrederea că știința poate rezolva multiplele probleme ale industrializării și urbanizării. Se considera că principiile managementului științific, elaborate pentru a maximiza eficiența unităților economice, pot fi aplicate cu același succes pentru a eficientiza activitatea unităților de învățământ. Exemplul lui F. Taylor, care a analizat detaliat mișcările unor zidari experimentați pentru a elabora programe de formare a zidarilor, a fost preluat pentru a efectua analize similare pentru programele de formare la toate specialitățile. Standardele de măsurare trebuiau să garanteze că fiecare mișcare a fost însușită la niveluldorit.

S-a constatat că nu oricine poate fi pregătit pentru orice profesie. A apărut necesitatea în elaborarea unor metode științifice de determinare a aptitudinilor pentru o profesie sau alta.

Concomitent cu aceste teorii ale curriculum-ului au fost dezvoltate: teoria asociaționistă a învățării (E. L. Thorndike, 1922), behaviorismul (J. B. Watson, 1913; E. C. Tolman, 1932; C. L. Hull, 1943; B. F. Skinner, 1954; R. M. Gagne, 1965) care concepeau învățarea ca o acumulare progresivă de asociații „stimul-răspuns". Menționăm câteva momente-cheie ale modelului behaviorist care au avut un anumit impact asupra relației instruire-evaluare:

Învățarea se produce prin acumulare unor „atomi" de cunoștințe.

Învățarea este un proces secvențial și ierarhic.

Transferul este limitat, de aceea fiecare obiectiv trebuie predat explicit.

Evaluarea trebuie să fie efectuată frecvent pentru a garanta stăpânirea obiectivelor precedente până la trecerea la obiectivul următor.

Probele de evaluare trebuie să fie izomorfe probelor utilizate în procesul de predare-învățare.

Motivația este extrinsecă și bazată pe întărirea pozitivă a pașilor mici.

Nu este o simplă coincidență faptul că Edward Thorndike este creatorul teoriei asociaționiste a învățării și, concomitent, „părintele" „măsurării științifice". E. L. Thorndike și colaboratorii săi au contribuit la dezvoltarea testelor „obiective" care au dominat învățământul din S.U.A., dar și din alte țări, pe parcursul sec. XX. Recunoașterea „paternității" comune a teoriei behavioriste a învățării și a testării obiective permite să explicăm „rudenia" intelectuală existentă între practica evaluării numai a unei capacități cu o singură sarcină și practica de instruire orientată la stăpânirea elementelor constitutive. Din evaluare era exclusă competența (care presupune angajarea unui set de cunoștințe și capacități) și interdisciplinaritatea.

În consecință, interrelațiile dintre teoria curriculum-ului, teoriile psihologice și teoria măsurării, caracteristice pentru paradigma dominantă în sec. XX, pot fi reprezentate sub forma unei diagrame (fig. 13).

La o abordare behavioristă a cunoașterii (învățării) este evidențiat numai comportamentul extern: de stimulare S și de răspuns R, cu întăririle adecvate, prin retroacțiune. Rămâne "în umbră" drumul de la S la R. Tentativele de a explicita mecanismele ce intervin între S și R au condus la apariția în anii '60 – '70 al secolului trecut a psihologiei cognitive și la conturarea unui curent nou în cunoaștere – cognitivismul [49].

Două metafore au un ecou educațional mai evident în psihologia cognitivă:

metafora învățării prin procesarea informațiilor, insistența pe „cum se învață", pe procesele cognitive și metacognitive, pe strategiile specifice lor, pe condițiile situaționale de facilitare, pe rolurile noi ale profesorului, dar și ale elevului activ;

metafora învățării prin construirea cunoașterii, care atrage atenția tot asupra transformărilor mentale ale informațiilor, în trecerea lor de la sesizare-percepere la formarea de structuri, scheme, recombinări, inducții, deducții, analogii, generalizări, reorganizări de cunoștințe și experiențe. Aceste activități sunt declanșate dacă profesorul oferă situații de acțiune, sarcini și contexte care să provoace operarea cu informații, experiențe, strategii, instrumente cognitive.

Măsurare științifică

testul IQ pentru sortarea elevilor conform aptitudinilor;

probe obiective pentru măsurarea progresului școlar

managementul științific al școlii (ca și al fabricii);

formularea clară a obiectivelor educaționale în baza analizei activității;

standarde precise, măsurare științifică;

curriculum diferențiat bazat pe prezicerea rolurilor sociale de către teoria ereditară a inteligenței

Teoria ereditară a inteligenței

indicele de inteligență (IQ) înnăscut, unitar și fixat

Teoriile învățării

conceptul de gândire înlocuit cu asociații „stimul-răspuns";

acumulare „biților" de informație; învățare secvențială; transfer limitat;

evaluarea garantează învățarea; evaluare izomorfă învățării; motivație bazată pe întăriri

Revoluția cognitivă a reintrodus în învățământ noțiunea de gândire. Teoriile mecaniciste de achiziție a cunoștințelor au fost înlocuite cu înțelegerea învățării ca un proces activ de construcție mentală și de creare a sensului. Psihologia cognitivă a „redescoperit" ideile lui H. C. Bbiro referitoare la determinarea socială și culturală a gândirii (funcțiile psihice superioare) și a reintrodus în circuitul pedagogic noțiunea de zonă a proximei dezvoltări (propusă de ________) [50].

Schimbările produse în teoria învățării au condus la formularea unor principii noi de elaborare a curriculum-ului. Lozinca „Toți elevii pot învăța" a fost lansată pentru a dezminți credința conform căreia numai elevii selectați (de elită) pot stăpâni materia de studii.

Obligația școlii de a crea oportunități egale pentru elevi diferiți înseamnă, de fapt, asigurarea unor posibilități veritabile pentru o instruire de calitate superioară, care ar deschide calea spre curricula academică (învățământul superior tinde să devină obligatoriu în mai multe țări). Învățarea în școală trebuie să fie autentică și conectată cu lumea reală nu numai pentru a face învățarea mai interesantă și mai motivată, ci și pentru a dezvolta capacitățile de aplicare a cunoștințelor în situați reale de viață. Concomitent cu dezvoltarea capacităților cognitive, așteptările clasei și normele sociale trebuie să favorizeze dezvoltarea unor dispoziții importante ale elevilor, cum ar fi pregătirea lor de a persista la tentativele de a rezolva o problemă dificilă.

Pentru a fi compatibilă și pentru a susține modelul social-constructivist al instruirii și învățării, evaluarea trebuie modificată cel puțin în două aspecte importante.

În primul rând, trebuie schimbată forma și conținutul evaluării pentru a cuprinde cele mai importante capacități de gândire și rezolvare a problemelor în fiecare disciplină școlară. Aceasta ar însemna că nu pot constitui obiecte ale evaluării capacitatea de reținere (memorare) a faptelor, datelor, numelor etc. În al doilea rând, trebuie schimbată practica evaluării curente în clasă și funcțiile ei. Evaluare învățării trebuie făcută prin observații sistematice, rezolvarea unor probleme și realizarea unor proiecte practice, analiza colecțiilor de lucrări ale elevilor (portofolii), evaluărilor mutuale și autoevaluărilor elevilor. Evaluarea nu trebuie să rămână (numai) o evaluare a învățării, ci, în primul rând, o evaluare pentru învățare, integrată în procesul de predare-învățare. Ponderea cea mai mare (în timp și în importanță) revine evaluării formative în clasă.

În multe țări teoriile constructiviste ale învățării și-au „croit drumul" în practica educațională cu mult înainte de schimbările de fond în evaluare. În rezultat, s-a creat o situație în care noua paradigmă a învățării a devenit incompatibilă cu paradigma tradițională a evaluării:

Anii 1980 – 2000

Începând cu anii 1990 s-au produs schimbări radicale (mai întâi, în plan teoretic, apoi și practic) în conceptul de evaluare. Schimbările în practica evaluării se fac în concordanță și sub influența practicilor de învățare de origine constructivistă [51]

Viziunea nouă a curriculum-ului:

toți elevii pot învăța;

materia de studii este orientată spre dezvoltarea gândirii și rezolvare de probleme;

oportunități egale pentru elevi diferiți;

autenticitatea problemelor rezolvate în școală și în afara ei;

crearea unor dispoziții importante pentru învățare;

stabilirea unor practici democratice în școală

Teoriile cognitiviste și constructiviste ale învățării:

capacitățile intelectuale dezvoltabile social și cultural;

elevii construiesc cunoștințele și înțelegerea în contexte sociale;

învățarea este bazată pe cunoștințele precedente și perspectivele culturale;

gândirea inteligentă implică „meta- cogniția" și automonitorizarea învățării și gândirii;

înțelegerea profundă este principială și facilitează transferul;

performanța cognitivă depinde de dispoziția elevului

Evaluarea în clasă:

proces continuu integrat în predare- învățare;

probe incitante pentru evaluarea proceselor mentale superioare;

utilizată pentru a aprecia predarea și învățarea;

elevi activi în evaluarea activităților proprii;

așteptări vizibile elevilor;

utilizată formativ pentru a favoriza învățarea;

proces de învățare și obiective de învățare adresate concret

Diferențele principale între viziunea tradițională și cea (post)modernă a evaluării sunt arătate în tabelul 2.

3.4.5. Strategii, tipuri, forme și metode noi de evaluare a randamentului școlar la matematică

În accepțiunea (post)modernă strategia este forma de proiectare și realizare a interacțiunilor sociale între diferiți subiecți. Evaluarea după definiție este o interacțiune dintre subsistemul de învățământ și sistemul social, dintre profesor și elev, dintre elevi, elevi și părinți etc. Strategia de evaluare poate fi definită ca un ansamblu de tipuri, forme, metode și tehnici de evaluare, structurate și ierarhizate potrivit scopurilor și obiectivelor.

Explicarea și interpretarea strategiilor de evaluare poate fi realizată în sens larg, analitic și în sens restrâns, sintetic.

În sens larg, analitic, strategiile sunt explicitate prin elementele componente, integrabile în structura lor: tipurile de evaluare, care vizează modalitățile de organizare a acțiunii de evaluare în raport cu activitatea didactică/educativă (evaluare inițială, continuă, finală; evaluare internă și externă etc.); formele de evaluare, care vizează modalitățile de exprimare a acțiunii de evaluare într-un cadru formal (examene, colocvii, notări curente) și neformal (aprecieri, observații), realizabile prin probe orale, scrise, practice, asistate de calculator; metodele și tehnicile de evaluare, care vizează modalitățile de realizare a acțiunii de evaluare specifice unor procedee operaționale (fig. 15).

Fig. 15. Componentele strategiei de evaluare

În sens restrâns, sintetic, interpretarea strategiilor didactice se face prin clasificarea lor în raport cu anumite criterii relevante.

În raport cu timpul pedagogic – respectiv de momentul în care acțiunea de evaluare este integrată în activitatea de instruire/educație pot fi identificate trei strategii de evaluare:

inițială, angajată la început de: nivel, treaptă, an de învățământ; capitol, modul de studiu, lecție;

dinamică, angajată pe tot parcursul unui nivel, treaptă, an de învățământ; capitol modul, lecție;

finală, angajată la sfârșit de: nivel, treaptă, an de învățământ; capitol, modul, lecție.

În raport de funcția pedagogică specifică, realizabilă predominant, pot fi identificate trei strategii de evaluare:

predictivă (funcția diagnostică și prognostică, de realizare a legăturii între o situație anterioară și o situație viitoare);

formativă (funcție de observație, intervenție și reglare/ autoreglare: retroactivă / la sfârșitul unei secvențe sau activități; interactivă / în timpul unei secvențe sau activității; proactivă / când elevul este implicat într-o nouă secvență sau o nouă activitate);

c) sumativă sau cumulativă (funcție de verificare parțială / prin sondaje sau prin examinări globale, semestriale și anuale și de bilanț / prin examene finale: de absolvire-admitere; de certificare- selecție).

În raport de scopul pedagogic, angajat prioritar, pot fi identificate următoarele strategii de evaluare [52]:

normativă (prin raportarea rezultatelor elevilor la competențele definite în programele școlare);

criterială (prin raportarea rezultatelor elevului la performanțele obținute anterior);

detaliată (prin raportarea la rezultatele elevilor realizate la nivelul unor sarcini divizate);

exploratorie (prin raportare la rezultatele unor elevi aflați în dificultate, pentru identificarea cauzelor care țin de lipsa unor cunoștințe și capacități de bază);

diagnostică (prin raportare la rezultatele elevilor pentru identificarea cauzelor care generează eficiența sau ineficiența activității).

Aplicarea strategiilor de evaluare impune cunoașterea de către profesor a particularităților fiecărei strategii și o doză solidă de creativitate.

Raportată la activitatea cotidiană a profesorului școlar de matematică, noțiunea de strategie de evaluare angajează următoarea logică a desfășurării „scenariului" unei lecții:

evaluarea inițială (în sens tradițional, verificarea cunoștințelor predate la lecția anterioară);

predarea-învățarea-evaluarea continuă (realizate de profesor împreună cu elevii);

evaluarea finală (vizând rezultatele elevilor obținute pe parcursul întregii lecții și chiar al altor lecții), care implică decizii finale (note, calificative) comunicate global și individualizate.

Metoda de evaluare este o cale prin care evaluatorul/profesorul oferă elevului posibilitatea de a demonstra nivelul de stăpânire a cunoștințelor, de formare și dezvoltare a diferitelor capacități, de integrare a lor în competențe prin utilizarea unei diversități de instrumente adecvate scopului/intenției urmărite. O parte integrantă a metodei de evaluare este instrumentul de evaluare – un dispozitiv care permite a realiza corespondența dintre obiectele care sunt suporturi ale calităților evaluate și numere. Orice instrument de evaluare proiectat, administrat și cotat de către profesor va fi numit în continuare probă [53]

Pot fi identificate două categorii principale de metode de evaluare: tradiționale și complementare.

Din categoria metodelor tradiționale, care pot fi utilizate la lecțiile de matematică, fac parte:

metodele care permit elevului de a demonstra cunoștințele, capacitățile, competențele sub formă orală;

metodele care permit elevului de a demonstra cunoștințele, capacitățile, competențele în

scris;

metodele care permit elevului de a demonstra cunoștințele, capacitățile, competențele prin

activități practice;

evaluarea individuală / evaluarea în grup;

autoevaluare/coevaluarea.

Fiind dominante în cadrul acțiunilor evaluative din clasă, metodele tradiționale nu permit evaluarea unor obiective educaționale importante, în special, a celor ce aparțin ariei reflexive, ariei afective, ariei tranzacționale și ariei etice.

Metodele complementare de evaluare posedă cel puțin două caracteristici importante: (a) permit realizarea evaluării rezultatelor în strânsă legătură cu predarea/învățarea, de multe ori concomitent cu acestea; (b) se referă la rezultatele școlare obținute pe o perioadă mai îndelungată (competențe, atitudini, interese etc.).

Din categoria metodelor complementare de evaluare, care pot fi aplicate în procesul de predare/învățare a matematicii, fac parte: (a) observarea sistematică a activității și comportamentului elevului; (b) studiul de caz; (c) evaluarea asistată de calculator; (d) investigația; (e) proiectul; (f) dosarul de învățare (portofoliul); (g) hărțile conceptuale și a.

Vorbind despre metodele tradiționale de evaluare la matematică, menționăm faptul că în ultimii 15 ani evaluarea la matematică se realizează preponderent în scris. Explicațiile unei asemenea situații sunt următoarele: (a) evaluarea în scris permite de a organiza verificarea elevilor în paralel, altfel spus, elevii în același timp, independent unul de altul, rezolvă, de regulă, unele și aceleași sarcini; în consecință, într-un interval de timp relativ scurt poate fi evaluată întreaga clasă; (b) evaluarea în scris este mai obiectivă (în cazul când timpul de evaluare nu este limitat); (c) în rezultatul evaluării în scris apare un document, care poate fi reverificat, consultat împreună cu un alt profesor, poate fi demonstrat elevului și părinților după verificare. În același timp, micșorarea ponderii evaluării orale are efecte nefaste asupra învățării matematicii. Evaluarea orală contribuie la dezvoltarea vorbirii elevilor. Elevul poate fi învățat să răspundă anume în condițiile evaluării orale. Demonstrația unei teoreme, fundamentarea unei căi de rezolvare a problemei, argumentarea corectitudinii rezolvării – iată câteva situații în care evaluarea orală este preferabilă evaluării în scris.

3.4.6. Evaluarea prin teste la matematică. Avantajele și limitele evaluării prin teste Definiția testului.

Testul este un sistem de sarcini paralele, care au o formă specifică și un anumit conținut, aranjate în ordinea creșterii dificultății, și care permit măsurarea calitativă a nivelului și aprecierea structurii achizițiilor elevului.

Vom face un scurt comentariu al definiției de mai sus.

In literatura în limba engleză pentru termenul „sarcină a testului" există mai multe denumiri: task, item, question. Vom folosi în continuare următoarea definiție: sarcina testului este componenta minimală a unui test, care presupune o anumită reacție a celui testat. Această reacție este fixată într-un anumit fel.

Sarcina conține trei elemente obligatorii:

consemnul, care indică acțiunile cerute de la cel testat;

textul unei afirmații;

răspunsul corect sau cel așteptat. Exemplu de la testarea TIMSS, 1999 [46]:

……

Faptul că sarcinile din test formează un sistem înseamnă:

(a) sarcinile se referă la una și aceeași disciplină;

(b) între conținuturile sarcinilor există o anumită legătură, care poate fi sesizată prin metode statistice;

(c) în test sarcinile sunt ordonate de la cele mai facile la cele mai dificile.

Altfel spus, principalul criteriu sistemogenerator al testului constă în diferențierea sarcinilor după gradul lor de dificultate. Acest criteriu este formal în sensul că testul nu poate fi perceput numai drept un sistem de sarcini aranjate în ordinea creșterii dificultății lor, fără a ține cont de conținutul acestor sarcini.

Forma specifică a sarcinilor din test ne trimite la ideea unor afirmații adevărate sau false, care nu sunt nici întrebări, nici probleme.

Un anumit conținut însemnă că în test se introduc sarcini, conținutul cărora corespunde conținutului disciplinei testate.

Aranjarea sarcinilor în ordinea creșterii dificultății este o cerință cu încărcătură psihologică. Dificultatea sarcinii poate fi determinată în două moduri:

(a) teoretic, estimând numărul presupus și caracterul operațiilor mentale necesare pentru rezolvarea corectă a sarcinii;

(b) în rezultatul probării empirice a sarcinii, calculând ponderea răspunsurilor incorecte.

In teoria clasică a testelor se calculează numai indicatorii empirici ai dificultății. In teoria măsurării matematice, care ține de variantele noi ale teoriei testelor, se acordă atenție și caracterului activității mentale a elevilor în procesul rezolvării sarcinilor [54]. Indicele de dificultate este considerat drept un factor sistemogenerator al testului, dar și un factor al structurii testului.

Un alt criteriu important al sarcinii testului îl constituie determinarea ei logică. Sarcina se consideră determinată dacă la ea se poate răspunde afirmativ sau negativ și dacă există un proces efectiv de obținere a unui asemenea răspuns.

Răspunsul la sarcină reprezintă un scurt raționament, care se referă la conținutul sarcinii și îi corespunde după formă. Fiecărei sarcini i se pun în corespondență răspunsuri corecte și incorecte. Criteriile de corectitudine sunt definite de autorii testului. Probabilitatea generării răspunsului corect depinde de raportul dintre gradul de pregătire al elevului și nivelul de dificultate a sarcinii. Dacă aceste nivele pot fi reprezentate pe scale comparabile, atunci probabilitatea amintită se exprimă printr-un număr, cuprins între 0 și 1.

Cu ajutorul testelor sunt măsurate rezultatele școlare: cunoștințe, capacități, reprezentări, competențe. Din punctul de vedere al măsurărilor pedagogice, doi indici ai calității rezultatelor școlare sunt importante – nivelul și structura lor. Acești indici pot fi estimați prin înregistrarea răspunsurilor (corecte și incorecte) la toate componentele materiei testate. De regulă, răspunsul corect se notează cu 1, iar răspunsul incorect – cu 0.

Nivelul rezultatelor școlare este apreciat în urma analizei răspunsurilor fiecărui elev la toate sarcinile testului. Cu cât mai multe răspunsuri corecte a furnizat elevul, cu atât mai mare este scorul elevului (suma numărului de puncte pentru răspunsurile corecte). Acest scor se asociază cu noțiunea „nivelul rezultatelor școlare". Scorul la test este obținut pe contul răspunsurilor corecte la diferite sarcini. Dacă la un test din 30 de sarcini elevul a acumulat un scor egal cu 10 puncte, atunci este probabil că acest scor a fost obținut pe contul răspunsurilor corecte la primele 10 sarcini, relativ mai facile. Consecutivitatea de unități, urmată de zerouri, care reflectă răspunsurile elevului în acest caz, poartă denumirea de profil al elevului.

Structura rezultatelor școlare este estimată în baza secvenței de răspunsuri corecte și incorecte la sarcinile cu dificultatea în creștere. Această structură este reflectată în profilul elevului. Dacă elevul răspunde corect la primele sarcini ale testului, relativ facile, atunci profilul lui se numește corect. Într-un profil corect toate zerourile sunt precedate de unități. Dacă testul a fost construit corect, conform rigorilor teoretice și practice, atunci fiecare profil denotă o structură a rezultatelor școlare. În cazurile când unele zerouri preced în profilul elevului unitățile, se poate vorbi despre o structură „găurită" a rezultatelor școlare.

Forma profilului este folosită la prima etapă a analizei rezultatelor testării. Dacă un elev cu nivelul înalt de pregătire nu a rezolvat corect o sarcină obiectiv facilă, atunci un asemenea caz este considerat ieșit din comun. Cazuri ieșite din comun sunt, de asemenea, situațiile când elevii cu un nivel jos de pregătire răspund corect la sarcinile obiectiv dificile. Cu cât la o sarcină oarecare sunt depistate mai multe cazuri ieșite din comun, cu atât mai mică este probabilitatea că o asemenea sarcină va fi inclusă în test.

La elaborarea fiecărei sarcini evaluatorul trebuie să se concentreze asupra conținutului și formei sarcinii. Conținutul sarcinii trebuie să reflecte conținutul unui fragment al disciplinei de studii, iar forma trebuie să reprezinte modul de legătură, de ordonare a elementelor sarcinii.

Conținutul testului există, se păstrează și se transmite în una din cele patru forme de bază ale sarcinilor: sarcini cu alegerea răspunsului, sarcini de completare, sarcini de tip pereche, sarcini de reordonare.

Sarcinile cu alegerea răspunsului solicită din partea celui testat alegerea fie a unui răspuns corect din două, trei, patru, cinci alternative, fie alegerea celui mai bun răspuns din câteva alternative, fie alegerea singurului răspuns incorect din câteva alternative, fie alegerea a două și mai multe răspunsuri corecte din câteva alternative. Sarcinile de acest tip au cea mai lungă istorie de utilizare. Primele teste pentru evaluarea cunoștințelor conțineau numai sarcini cu alegerea răspunsului. Majoritatea testelor internaționale, inclusiv cunoscutele teste matematice Kangourou, sunt alcătuite, de asemenea, din sarcini de acest tip.

Sarcinile cu alegerea răspunsului sunt extrem de flexibile și pot fi aplicate în diverse situații. Exemple:

Incercuiește litera ce corespunde răspunsului corect

În sarcinile de completare, numite și sarcini deschise, cel testat generează un răspuns scurt la o întrebare sau completează un enunț neterminat.

Exemplu: Completează

Cinci elevi au acumulat la un test următoarele scoruri: A – 48, B – 52, C – 38, D – 45, E – 42. Scorul mediu a fost acumulat de elevul

În sarcinile de tip pereche se cere de stabilit corespondența între elementele a două mulțimi (termeni – definiții, autori – opere etc.)

Exemplu:

In sarcinile de reordonare se cere de indicat succesiunea corectă a calculelor, acțiunilor, pașilor, operațiilor, termenilor în anumite noțiuni.

Exemplu: Rezolvarea ecuațiilor liniare

…..

. Sarcinile cu alegerea răspunsului, de tip pereche și de reordonare fac parte din categoria sarcinilor obiective, deoarece determinarea faptului, este corect răspunsul indicat de elev sau nu, nu depinde de evaluator. Sarcinile de completare se raportă la categoria sarcinilor semiobiective, deoarece în acest caz răspunsul este generat de elev și la aprecierea corectitudini lui poziția evaluatorului se poate face simțită.

Într-o sarcină de o formă anumită, se poate varia conținutul. Această variație poate fi rezultatul înlocuirii unor elemente ale sarcinii cu alte elemente în așa mod, încât ambele sarcini să măsoare aceleași capacități ale elevilor, iar răspunsurile să fie diferite.

Exemplu: Completează

Rădăcina mai mică a ecuației x2-5x+6=0 este egală cu

Rădăcina mai mare a ecuației x2-5x+4=0 este egală cu

Ambele sarcini verifică capacitatea elevului de a rezolva o ecuație pătrată. Sarcinile au aceeași formă (sarcini de completare), dar conținut diferit. Utilizarea unui asemenea procedeu (variația conținutului) permite de a micșora probabilitatea de copiere la administrarea testelor.

Sarcinile construite pe principiul varietății conținutului, care au același nivel de dificultate și care corelează aproximativ în aceeași măsură cu scorul acumulat de elev, poartă denumirea de sar- ciniparalele. Amintim că testul este un sistem de sarcini paralele.

Testul, ca instrument de măsurare/colectare a datelor trebuie să posede patru caracteristici importante: validitate, fidelitate, obiectivitate, aplicabilitate [53].

Validitatea testului se referă la faptul dacă testul măsoară ceea ce este destinat să măsoare. Printre factorii care influențează validitatea unui test pot fi menționați: indicațiile (consemnele) neclare, nivelul de dificultate necorespunzător al sarcinilor, sarcinile de calitate joasă, numărul mic de sarcini în test, administrarea și codarea (punctarea) testului, caracteristica grupului căruia i se administrează testul.

Fidelitatea reprezintă calitatea unui test de a produce rezultate (cvasi)constante în cazul aplicării lui repetate. Pot influența fidelitatea unui test următorii factori: lungimea testului (cu cât testul este mai lung, cu atât fidelitatea lui este mai ridicată), dispersia (varianța) scorurilor (cu cât împrăștierea scorurilor este mai mare, cu atât testul este mai fidel), obiectivitatea testului (testul format din sarcini obiective are o fidelitate mai mare), schema de notare (o schemă de notare ambiguă scade fidelitatea testului). Relația dintre noțiunile de validitate și fidelitate poate fi exprimată prin următoarele aserțiuni:

Un test poate fi fidel fără a fi valid, deoarece testul poate măsura altceva decât a fost destinat să măsoare;

Dacă un test nu este fidel, acesta nu este valid;

Fidelitatea este o condiție necesară, dar nu și suficientă pentru validitate;

Validitatea testului are o importanță mai mare decât fidelitatea lui.

Obiectivitatea testului reprezintă gradul de concordanță între aprecieri făcute de către evaluatori independenți în ceea ce privește un răspuns bun pentru fiecare din sarcinile testului. Testele cu un nivel înalt de obiectivitate sunt testele standardizate. Testele standardizate sunt proiectate pentru a putea fi administrate, codate și interpretate în condiții identice (standarde). De aici rezultă principala calitate a acestor teste – posibilitatea de a efectua comparații între elevi sau grupuri de elevi chiar în condițiile când testul este administrat în alt loc și în alt timp. În cadrul cercetărilor internaționale sunt utilizate teste standardizate.

Aplicabilitatea reprezintă calitatea testului de a fi administrat și interpretat cu ușurință. Criteriile de selectare a unui test cu o aplicabilitate bună sunt următoarele: (a) importanța conținutului pe care testul îl măsoară; (b) concordanța dintre forma și conținutul testului și nivelul de vârstă al elevului; (c) costul și timpul necesar pentru administrarea testului; (e) obiectivitatea în notare și interpretarea rezultatelor.

Elemente de teorie clasică a testelor

Bazele teoriei testelor pot fi expuse succint în felul următor: persoanele testate răspund la n întrebări dihotomice, adică la întrebări, răspunsul la care poate fi apreciat corect sau incorect. Scorul s se atribuie fiecărui respondent care a răspuns la s întrebări. Teoria clasică a testelor se sprijină pe următorul postulat: există un test veridic care atribuie fiecărui individ „scorul adecvat" t, dacă el a răspuns corect la t întrebări. Diferența dintre scorul observat s și „scorul adevărat" t este o consecință a erorilor de măsurare [55]. Altfel spus, scorul observat (s) = scorul adevărat (t) + eroarea de măsurare (e), adică

s = t + e

În procesul de măsurare vom distinge performanța (rezultatul observat) și competența (ceea ce produce performanța și se dorește a fi evaluat). Evaluatorul observă o performanță și deduce din acest fapt prezența competenței la elev. Scopul evaluatorului constă în a face această deducție cât mai sigură. Există numeroase surse de erori care influențează performanța. Ele trebuie luate în considerație și minimizate. Un mijloc eficient de minimizare a erorilor îl constituie standardizarea testelor, a administrării lor și metodelor de prelucrare a rezultatelor testării.

La nivelul sarcinilor două caracteristici prezintă interes: indicele de dificultate și indicele de discriminare.

În cazul sarcinilor dihotomice dificultatea este estimată prin proporția elevilor din eșantion care au furnizat un răspuns corect la sarcina dată. În cazul sarcinilor politomice (răspunsuri multiple ordonate) dificultatea sarcinilor este determinată de către scorul mediu la sarcină.

La determinarea dificultății sarcinilor se ia în considerație lipsa răspunsului la sarcină. Această lipsă este interpretată în mod diferit, în dependență de poziția sarcinii în test. Pentru sarcinile intermediare lipsa răspunsului vorbește, mai degrabă, de lipsa competenței respective. Pentru sarcinile terminale lipsa răspunsului, în majoritatea cazurilor, este neîncadrarea în timp. Altfel spus, omisiunea sarcinilor terminale nu aduce informații asupra cunoștințelor elevului. Din aceste considerente, proporția reușitei la sarcină este estimată pornind de la numărul elevilor din eșantion care au răspuns la sarcina dată.

Vom spune că o sarcină discriminează elevii din eșantion dacă cei cu valori mari la variabila criteriu au șanse mai mari să rezolve corect sarcina decât cei cu valori scăzute [31]. Altfel spus, o sarcină are putere de discriminare dacă ea „deosebește" elevii care cunosc răspunsul de cei care nu cunosc răspunsul.

Puterea de discriminare a sarcinii se exprimă prin intermediul unui indice, numit indice de discriminare. Pentru estimarea acestei mărimi poate fi utilizată metoda grupelor contrastante. Esența acestei metode este următoarea: din mulțimea elevilor testați se creează două grupuri: (a) format din elevi care au cele mai bune rezultate la test; (b) format din elevi care au obținut cele mai slabe rezultate la test.

Se recomandă ca fiecare grup să conțină aproximativ 27% din volumul eșantionului. Pentru fiecare sarcină se calculează indicele de discriminare D,

––

O sarcină calitativă trebuie să ofere căpătarea unei informații calitative asupra competențelor elevului și să satisfacă criteriul de economie la capitolul timp. Calitatea sarcinii poate fi apreciată după indicele ei de dificultate. O sarcină foarte facilă, administrată unei clase, permite separarea elevilor cu pregătire foarte slabă. O sarcină foarte dificilă permite separarea elevilor cu pregătirea cea mai bună. Dacă sarcina este de dificultate medie, atunci ea permite separarea elevilor cu un grad mediu de pregătire, însă această sarcină se poate dovedi prea dificilă pentru elevii care au o pregătire slabă și prea facilă pentru elevii cu o pregătire excelentă.

Puterea de discriminare a sarcinii trebuie apreciată în relație cu dificultatea ei. Dificultatea sarcinii indică zona de competență asupra căreia ea aduce informații.

Dacă un test este administrat unui grup de elevi, atunci se poate ușor constata că scorul la test depinde de doi factori importanți:

nivelurile de competență a elevilor;

nivelurile de dificultate a sarcinilor.

În cazul sarcinilor facile scorul la test este mai mare, iar în cazul sarcinilor dificile scorul la test este mai mic. În mod analogic, într-o clasă bine pregătită nivelurile de dificultate ale sarcinilorse dovedesc a fi scăzute, iar într-o clasă cu pregătire slabă nivelurile de dificultate ale acelorași sarcini se dovedesc a fi mai ridicate.

În consecință, în teoria clasică a testelor [31]: (a) scorul obținut de către elev depinde de dificultatea sarcinilor; (b) în rezultatul administrării testului și prelucrării rezultatelor poate fi indicată numai poziția relativă a fiecărui elev în eșantion (clasă), însă nu se poate spune cu cât mai bine cunoaște materia elevul considerat în comparație cu colegii săi; (c) dificultatea sarcinilor testului depinde de distribuția nivelului de competență în eșantion (clasă).

Caracteristicile enumerate nu permit utilizarea testelor, concepute în teoria clasică, pentru cercetările internaționale, deoarece ele nu permit compararea rezultatelor elevilor din diferite țări.

Elemente de teorie matematică a măsurării

În literatura de specialitate teoria matematică a măsurării este cunoscută sub denumirea IRT (Item Response Theory – Teoria Răspunsului la Item). Unii autori o denumesc „teoria contemporană a măsurărilor pedagogice". După cum remarcă unii teorii în denumirea de mai sus sunt comise cel puțin trei greșeli:

denumind IRT teorie contemporană, toate celelalte teorii sunt trecute în categoria celor depășite;

IRT nu este o teorie pedagogică, ci una matematică bazată pe teorii statistice;

la categoria teoriilor contemporane ale măsurării se referă, de rând cu IRT, teoria statistică (clasică) și teoria generalizabilității (Generalizability Theory).

Postulatul de bază al Teoriei Matematice a Măsurării (TMM)

……. ????

În TMM estimarea dificultății sarcinii și a competenței subiectului poate fi realizată independent, fapt ce imprimă o anumită doză de obiectivitate măsurării printr-un asemenea test. La oricare set de sarcini dintr-o mulțime dată de sarcini nu ar răspunde subiectul, aplicarea TMM permite să obținem aceeași estimare a competenței sale. Oricare nu ar fi grupul de subiecți, cărora le-a fost administrată sarcina, TMM permite de a obține aceeași estimare a dificultății ei.

În modelul TMM competența subiectului poate fi determinată ca probabilitatea de a rezolva o sarcină de o anumită dificultate [57]. Prin urmare, competența se definește în raport cu sarcinile șinu în raport cu alți subiecți. Acest fapt permite de a compara prin intermediul unui test competențele diferitor subiecți.

Avantajele și limitele utilizării testelor la învățarea matematicii

Testarea este o metodă științifică de evaluare a rezultatelor școlare. Drept consecință ea posedă toate caracteristicile unei metode științifice [58]:

posibilitatea de reproducere (această caracteristică ține de fidelitatea testelor);

deductibilitatea (scorurile brute și cele prelucrate ale testării reprezintă un produs al unei serii de inferențe deductive și inductive);

verificabilitatea (pentru determinarea validității testului sunt elaborate proceduri speciale);

capacitatea de prognozare și generalizare;

posibilitatea modelării matematice a procedurii de testare;

utilitatea practică;

spiritul critic.

Utilizarea testelor în învățământul matematic oferă următoarele avantaje: (a) posibilitatea de a „acoperi" cu un test întregul conținut al unei teme de studiu; (b) posibilitatea de a obține într-un interval relativ scurt de timp informații pertinente referitoare la cunoștințele, capacitățile și competențele elevilor la matematică; (c) posibilitatea de a administra testul în mod tradițional (creion- hârtie) și la calculator; (d) gradul înalt de obiectivitate al evaluării; (e) posibilitatea utilizării multiple a testelor.

De rând cu avantajele evaluării prin teste, mulți autori formulează anumite critici la adresa testelor:

riscul de a încuraja printre elevi stilul de lucru superficial;

primejdia uniformizării cunoștințelor;

orientarea preponderentă la rezultatele învățării și ignorarea procesului de învățare;

dificultatea de elaborare a unui test cu calități acceptabile.

Pot fi formulate trei riscuri majore în utilizarea testelor. Primul risc ține de profanarea noțiunii de test. Deoarece cuvântul englez „test" se traduce ca „probă", atunci orice sarcină, orice problemă, orice set de exerciții este numit cu ușurință „test". Sunt obișnuite situațiile când managerii școlari cer de la profesorul de matematică elaborarea a 2-3 teste într-o zi, lucru absolut imposibil de realizat. Culegerile tradiționale de exerciții și probleme matematice sunt reeditate sub denumiri de tipul „Teste la matematică". Al doilea risc ține de supraaprecierea testelor. O parte din profesorii școlari consideră că testarea, realizată conform tuturor rigorilor, poate înlocui toate celelalte metode de evaluare. Adevărul este că testele nu permit detectarea copiilor dotați la matematică, nu permit evaluarea creativității.

Al treilea risc ține de formarea la elevi a unor capacități de deducere a răspunsurilor, fără a recurge la rezolvarea sarcinii. Cauza acestui risc este următoarea. De regulă, evaluarea se termină cu punerea unei note. Notarea este rezultatul unei proceduri pe parcursul căreia evaluatorul / profesorul compară răspunsul furnizat de elev cu un model-etalon al răspunsului (referent). La evaluarea tradițională, acest model-etalon nu este explicit, nu este exprimat sub forma unor criterii clare. În rezultatul comparării răspunsului elevului cu acest etalon, profesorul aranjează elevii de-a lungul unei scale ordinale imaginare: elevul A a răspuns mai bine decât . . . , mai slab decât . . . , la fel ca și . . . În consecință, elevului A i se acordă una din notele (de regulă, pozitivă) a scalei de notare utilizate în sistemul de învățământ. În acest caz, profesorul apare în rolul unui expert care apreciază, măsoară nivelul de pregătire al elevului. Metoda descrisă este subiectivă, însă din exemplul de mai sus se poate concluziona că obiectivitatea unei note nu poate fi mai mare decât obiectivitatea etalonului și a procedurii de utilizare a lui [59]. Utilizarea testelor conduce la o evaluare mai obiectivă. Acest fapt se datorează, în primul rând standardizării testelor și a procedurilor de administrare-verificare. Standardizarea vine să asigure egalizarea condițiilor pentru toți cei testați. În rândul al doilea, majorarea obiectivității evaluării este posibilă prin excluderea din procedura de evaluare a omului-expert. Aceasta, la rândul său, este posibilă dacă testul conține numai sarcini obiective.

Voi aduce exemple de la testarea unică din tara si din unele state.

3.4.7. Evaluările internaționale la matematică

Cercetările comparate în pedagogie

Pedagogia comparată reprezintă o disciplină științifică care permite cercetarea fenomenului de globalizare în învățământ. Contradicția dintre global și local impune cercetarea modelelor educaționale în cadrul globalizării la nivel internațional și național.

Cercetările comparate au drept scop determinarea tendințelor în dezvoltarea sistemelor educaționale ale țărilor străine pentru a înțelege mai bine ce se întâmplă în aceste sisteme, dar și pentru a determina locul sistemului educațional național în lume, de a prognoza posibilele schimbări. În linii mari, pedagogia comparată se ocupă cu [60]:

evidențierea aspectelor pozitive și negative în dezvoltarea învățământului în diverse țări;

precizarea condițiilor social-politice și economice care determină apariția fenomenelor pozitive și ale celor negative în domeniul învățământului;

estimarea impactului acestor fenomene asupra dezvoltării sociale a țării, regiunii, lumii în ansamblu;

prognozarea efectelor posibile ale transferului experienței altor sisteme de învățământ în sistemul de învățământ autohton.

Una dintre problemele metodologice importante ale cercetărilor comparate constituie precizarea logicii (structurii) cercetării. Pot fi identificate trei metode de cercetare: inductivă, ipotetico- inductivă și orientată pe problemă. Fiecare dintre aceste metode determină structura proprie de cercetare.

Metoda inductivă generează o structură cu patru etape ale cercetării comparate [61]:

cercetarea, clasificarea și descrierea faptelor pedagogice;

interpretarea, analiza faptelor;

analiza comparativă prealabilă a datelor faptice, identificarea similitudinilor și diferențelor în baza criteriilor elaborate, formularea ipotezei;

compararea analitico-sintetică sincronă a datelor în baza criteriilor elaborate cu scopul verificării ipotezei formulate.

Cercetătorul polonez B. Suhodolski propune trei etape ale unei cercetări comparate (a se vedea [62]):

descrierea realității existente în domeniul educației și învățământului după hotare;

aprecierea din mai multe puncte de vedere a faptelor și fenomenelor studiate;

căutarea căilor de constituire a noului sistem școlar.

Specialistul englez B. Holms consideră că cercetarea comparată nu trebuie să fie realizată inductiv (colectarea datelor și explicarea lor ulterioară), ci deductiv – evidențierea și analiza problemei, formularea ipotezei și colectarea datelor pentru acceptarea sau respingerea ei (a se vedea [63]). Orice cercetare comparată este realizată pentru a rezolva o anumită problemă, de aceea cercetarea trebuie efectuată prin prisma problemei și parcurgerea următoarelor etape: (a) analiza problemei; (b) formularea ipotezei; (c) precizarea condițiilor istorice și a contextului social contemporan;

prognozarea rezultatelor posibile.

Sintetizând punctele de vedere expuse mai sus, în investigația noastră au fost planificate și realizate următoarele etape ale cercetării: (a) identificarea problemei cercetării; (b) formularea ipotezei; (c) precizarea bazelor metodologice și ale noțiunilor cheie; (d) acumularea, analiza și interpretarea datelor provenite din evaluările internaționale TIMSS și din experimentele pedagogice locale;

formularea soluțiilor posibile ale problemei cercetate.

Premisele social-economice ale evaluărilor internaționale

…. ????

Tabelul nr.____. Activitățile cele mai frecvente la lecțiile de matematică

Aceiași informație în opinia profesorilor de matematică este arată în tabelul nr. ___.

Tabelul nr. ____. Activitățile cele mai frecvente la lecțiile de matematică conform

Compararea și analiza ultimelor două tabele demonstrează, că perceperea conținutului unei lecții este diferită la profesori și la elevi. Cauza posibilă a acestor divergențe este neformularea de către profesor a obiectivelor lecției.

Adepții utilizării calculatorului afirmă că utilizarea ultimului la lecție de matematică economisește timpul pentru efectuarea calculelor de rutină și, drept consecință, permite de a rezolva la lecție un număr mai mare de probleme. În multe țări utilizarea calculatorului la lecții este limitată de numărul insuficient de calculatore în școală.

Tabelul nr_____. Intensitatea utilizării calculatorului la lecția de matematică

Datele din tabel conțin informații controversate. Dintre primele șapte țări clasate după cel mai bun randament la matematică, în două (Taiwan și Korea de Sud) există interdicții în folosirea calculatorului la lecțiile de matematică, iar în restul țărilor calculatorul este folosit pe larg.

Consider că utilizarea calculatorului la lecțiile de matematică poate aduce un real folos, dacă el este folosit acolo unde fără calculator rezultatul nu poate fi obținut sau unde utilizarea lui permite o mai bună înțelegere a unor concepte (de exemplu, conceptul de limită).

* * *

În sinteză, menționăm că:

În învățământul preuniversitar, matematica îndeplinește două funcții: formarea cu ajutorul matematicii (funcția de formare generală) și formarea matematică propriu-zisă (funcția de specializare).

Randamentul școlar include totalitatea rezultatelor dezirabile în plan educațional, obținute de o anumită populație școlară într-un timp și spațiu pedagogic determinat și condițiile ce pot influența aceste rezultate, si reprezintă un concept integrator, care subordonează mai multe noțiuni operaționale implicate în acțiunea de evaluare (evaluarea rezultatelor școlare, evaluarea comportamentului elevului, evaluarea succesului școlar, evaluarea calității procesului de învățământ).

Conceptul de calitate în învățământ în condițiile globalizării devine nu numai central, dar și unul fundamental.

Sistemele naționale de învățământ sunt nevoite să țină sub control calitatea proceselor și produselor învățării, instituind sisteme de monitorizare în învățământ, care conțin subsisteme de colectare a informațiilor, de diagnosticare, de proiectare și realizare a acțiunilor corective orientate spre schimbarea stării sistemului în direcția dorită.

CAPITOLUL IV. ȘTIINȚELE EDUCAȚIEI ȘI PREDAREA-ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

Motto:

“Predarea și învățarea nu sunt sinonime: putem preda –

și preda bine, fără ca elevii să învețe”

Manfred Bodner

Repere specifice privind științele educației

Pedagogia recomandă cu insistență ca întregul proces instructiv-educativ să îndeplinească criterii de calitate didactică: fundamentare științifică, concizie, atractivitate și structurare coerentă.

După cum remarcă un analist al fundamentării teoretice a științelor educației (Avanzini, 1992, p. 95), acestea au în comun faptul că se apleacă asupra unui ,,obiect’’ care este de fapt un ,,subiect’’ în curs de a se forma și asupra căruia se exercită o acțiune reglementată de principii. Acest științe sugerează sau interzic anumite practici educative, în conformitate cu norme axiologice, deontologice, praxiologice, care au ceva subiectiv în însăși natura lor. Științele educației sunt mai maleabile, mai deschise variabilelor subiective tocmai pentru că ele vizează o stare prezentă sau deziderativă a ființei umane.

Invocând nevoia unei clasificări a științelor educației, Guy Avanzini (1992, p. 60), sugerează raportarea acestora la trei componente ale actului educativ:

finalitățile filosofice, religioase, culturale, sociale pe care le va urmări educația în cadrul societății;

structura internă a ceea ce se predă, adică modalitatea de pregătire și vehiculare a conținutului educației;

problematica subiectului ce are ca sarcină încorporarea cunoștințelor și deprinderilor (studierea educatului din perspectivă biologică, psihologică, sociologică, etnologică).

În secolul XX, s-a produs „o explozie epistemică în studiul educației” care a dat naștere la „o puzderie de științe ale educației”, actualmente greu de clasificat și chiar de inventariat. A avut loc un adevărat „démentèlement du prodige pédagogigue”. Procesele de „dezmembrare epistemologică a pedagogiei” care s-au produs sunt următoarele:

Ramificări. Din „trunchiul de bază” al pedagogiei generale s-au desprins mari ramuri pedagogice (,științe ale educației”) cu tendință de autonomizare, precum didactica, teoria generală a educației, docimologia și pedagogiile vârstelor.

Diversificări. Pedagogiile pe vârste au început să se autonomizeze. Astfel au apărut, cu un anume grad de independență, pedagogia educației timpurii („early education”), pedagogia preșcolară, pedagogia școlară, pedagogia adolescenței, hebelogia (sau juventologia sau pedagogia tinereții), andragogia (sau pedagogia adulților) și pedagogia senectuții; se află în stare incipientă pedagogia perinatală (sau prenatală) și thanatopedagogia (sau pedagogia morții). În paralel au apărut, ca însoțitoare ale pedagogiilor dedicate vârstelor, pedagogia familiei, teoria educației permanente („lifelong learning/education”). Activitățile fundamentale și metodologiile formării au generat pedagogii specifice: pedagogia ludică, pedagogia activă, pedagogia problematizării, pedagogia descoperirii, pedagogia modelării, pedagogia comunicării. Metodele de cercetare au generat pedagogii cu tendință de autonomizare: pedagogia experimentală, pedagogia comparată, pedagogia normativ-descriptivă etc. Teoria generală a educației s-a „scindat” în teorii ale diverselor domenii de formare: teoria educației intelectuale, teoria educației morale, teoria educației estetice, teoria educației fizice ș.a. La rândul lor, alte ramuri ale trunchiului tradițional – precum teoria educației – au realizat ramificații noi: estetica vieții de familie, pedagogia irenologică, pedagogia ecologică ș.a.

Simbioze cu științele psihosociale. La întâlnirea pedagogiei cu disciplinele învecinate din corpusul de științe umane apărute în secolul al XIX-lea au apărut câteva științe de graniță care au adus temeiuri noi pentru consolidarea statutului epistemic al pedagogiei generale. Întâlnirea cu psihologia a dat naștere psihologiei pedagogice; asimilarea progreselor sociologiei a dat naștere sociologiei educației și pedagogiei sociale; întâlnirea cu știința conducerii și științele economice a dat naștere managementului educațional și economiei educației. Psihopedagogia specială și-a dezvoltat propriile ramificații și aplicații: pedagogia curativă, surdologia, tiflopedagogia, logopedia etc.

Simbioze cu științele naturii. La întâlnirea pedagogiei cu disciplinele învecinate din corpusul Naturwissenschaften au apărut câteva simbioze și discipline de graniță. Este cazul științelor biologice, din rândul cărora pedagogia s-a interesat mai ales de teoria evoluției și de genetică. Așa s-au născut antropologia pedagogică, pedagogia biologică, pedagogia genetică („sfatul genetic”), eufenia pedagogică, pedagogia ecologică, teoria educabilității ș.a.

Simbioze cu științele spiritului și culturii. Simbioze directe a realizat însăși pedagogia generală cu noile științe ale spiritului și culturii: istoria pedagogiei, pedagogia istorică, fenomenologia pedagogică, hermeneutica pedagogică, pedagogia estetică, axiologia pedagogică, teleologia pedagogică.

Simbioze cu mișcări de idei și curente doctrinare. Dimensiunea filosofică a pedagogiei a permis asimilarea unor orientări și doctrine care au dat naștere unor discipline precum: pedagogia pragmatistă, pedagogia culturii, pedagogia personalistă, pedagogia perenialistă, pedagogia reconstrucționistă, pedagogia reconcepualistă, pedagogia marxistă, pedagogia neotomistă, pedagogia existențialistă, pedagogia pozitivistă, pedagogia psihanalitică, pedagogia fenomenologică, pedagogia hermeneutică, pedagogia liberală, pedagogie creștină, pedagogia social-democrată, pedagogia postmodernistă, pedagogia umanistă, pedagogia structuralistă, pedagogia post-structuralistă ș.a.

Aplicații. Mai întâi, este vorba de aplicații ale principiilor și metodelor pedagogiei generale la materiile predate în instituțiile școlare: metodicile/didacticele de specialitate (didactica matematicii, didactica limbii materne, didactica limbii străine, didactica fizicii, didactica chimiei, didactica biologiei, didactica geografiei, didactica istoriei ș.a.m.d.). Aplicațiile la diversele profesii au dat naștere unor pedagogii specifice: pedagogie medicală, pedagogie inginerească, psihopedagogie juridică, pedagogie catehetică, pedagogia delicvenței (kriminalpädagogik), pedagogie militară ș.a.

Discipline (care au apărut sau s-au impus) ca științe pedagogice noi: teoria curriculumului educațional (curriculum development), taxonomia obiectivelor pedagogice, mathetica, currere, gender-pedagogy, „noile educații” (pedagogia ecologică, pedagogia interculturalității, pedagogia loisir-ului, pedagogia irenologică, teoria educației sexuale ș.a.), teoria și metodologia comunicării educaționale, designul instrucțional, sinergetica pedagogică, „pedagogiile globalizării” (pedagogia internațională, pedagogiile naționale, global curriculum ș.a.).

Conform autorului Dobridor-Negreț metamorfozele educaționale se produc peste tot și aproape zilnic, iar tendința de schimbare educațională s-a transformat în imperativ categoric mondial. Teoriile pedagogice noi apar în cascadă, se proiectează și se pun în practică pe toate meridianele, continuu, noi modele instrucționale, se clamează și se iscă mereu reforme curriculare.

O taxonomie asemănătoare cu cea expusă mai sus (v. Guy Avanzini, 1992) întâlnim la pedagogul spaniol Jose Luis Garcia Garrido (1995, pp. 176-180). Acesta pornește de la cele trei elemente fundamentale ale procesului educativ care predispun la interogații oarecum speciale: scopurile spre care tinde procesul educativ, subiecții sau actorii procesului și mijloacele sau căile pe care aceștia le folosesc pentru a atinge scopurile. În aceste condiții deosebim următoarele:

științe teleologice ale educației care vizează scopurile (Filosofia și Teologia educației);

științe antropologice ale educației care se ocupă cu actorii sau contextul în care aceștia ființează (Biologia, Psihologia, Sociologia și Antropologia educaței);

științe metodologice care se apleacă asupra căilor folosite pentru a ajunge la împlinirea scopurilor (Didactica, Politica, Economia și Planificarea educației, Orientarea școlară și profesională).

Aceste trei grupe de științe au în comun faptul că nu abordează întreg procesul educativ, ci doar segmente concrete ale acestuia, într-o perspectivă teoretică bazată pe descompunerea gnoseologică progresivă a elementelor constitutive. Pedagogia are relații cu diverse științe. Aceste relații se accentuează în condițiile contemporane, când rezolvarea problemelor dintr-un anumit domeniu necesită în mod obiectiv relații inter și multidisciplinare. 

Printre relațiile interdisciplinare ale pedagogiei menționăm:

relația pedagogiei cu filosofia, ce oferă pedagogiei baza teoretică și metodologică în studiul educației. La rândul ei filosofia folosește datele pedagogiei în studierea celor mai generale legi ale naturii și societății. Din relația pedagogiei cu filosofia s-a dezvoltat pedagogia filosofică sau filosofia educației;

relația pedagogiei cu sociologia ajută la studierea fenomenului educațional în strânsă legătură cu relațiile sociale, relațiile interumane, instituțiile și structurile dinamice ale societății. Din interacțiunea lor s-a dezvoltat sociologia educației (sau a învățământului);

relația pedagogiei cu logica ajută pedagogia la folosirea legilor gândirii logice, ale gândirii științifice, a operațiilor logice (analiza, sinteza, compararea, abstractizarea și generalizarea) și a formelor cunoașterii în actul educațional;

relația pedagogiei cu psihologia reprezintă unul din cele mai importante ramuri interdisciplinare ale pedagogiei. Aceasta ajută pedagogia să studieze educația în strânsă legătură cu dezvoltarea proceselor psihice, a conștiinței și personalității în general și la diferite etape de vârstă în special (psihologia generală, psihologia copilului, psihologia vârstelor etc.) ca și în procesul muncii (psihologia muncii, psihologia organizațională). Din această relație s-a dezvoltat psihologia școlară (sau a educației);

relația pedagogiei cu biologia, anatomia și fiziologia, oferă pedagogiei datele necesare realizării educației în stânsă legătură cu legile biologice ale omului, ajutând-o să stabilească un regim și strategii raționale de învățare și dezvoltare, să asigure condițiile de sănătate și de refacere a forțelor consumate în actul învățării și dezvoltării personalității.

relația pedagogiei cu cibernetica ajută pedagogia, ca pornind de la datele teoriei informației, a teoriei comenzii și controlului, a conexiunii inverse (feed-back-ului), să găsească și să dezvolte strategii noi, în concordanță cu cerințele civilizației tehnologice, introducând procedee de instruire programată și instruire asistată de calculator.

relația pedagogiei cu statistica matematică care-i oferă pedagogiei posibilitatea de cuantificare a fenomenului pedagogic, de exprimare a lui în date exacte, cum ar fi: tabele, diagrame, procente, anumite relații matematice;

relația pedagogiei cu disciplinele socio-umaniste, cu etica, dreptul, arta, literatura, muzica etc., ce oferă pedagogiei (și fenomenului educațional în ansamblu) un material educativ valoros și eficient de sensibilizare și trăire afectivă, etică, estetică, de formare și dezvoltarea conștiinței morale, juridice, a copiilor și adolescenților aflați în formare;

relația pedagogiei cu tehnica modernă, ajută pedagogia să folosească și să adapteze realizările acesteia la perfecționarea strategiilor și mijloacelor de instrucție și educație. Din aceasta s-a dezvoltat tehnologia educațională (didactica), menită să contribuie la ridicarea eficienței și calității învățământului.

În abordarea caracterului interdisciplinar al pedagogiei trebuie avut în vedere că adevărurile pedagogice nu pot fi deduse din adevărurile altor științe, că aceste date nu pot fi folosite nemijlocit ca legi, adevăruri și soluții pedagogice. Ele sunt valoroase și eficiente în măsura în care sunt adaptate și corelate specificului educației, numai în măsura în care se folosesc cu discernământ, realizându-se o interpretare și o analiză calitativă a lor în concordanță cu specificul, suplețea și finețea fenomenului educativ, cu datele obținute din experiența și cercetarea pedagogică.

Pedagogia contemporană – situația metodologică actuală

După cum menționează Dobridor-Negreț Ion, pedagogia comportă similitudini și izomorfisme metodologice cu medicina, însă cu deosebirea esențială că explorările pedagogiei nu se realizează în teritorii somatice vizibile, ci în zonele mai obscure și mai complexe ale psihicului omenesc, precum și în domeniile mai delicate, deseori imponderabile, ale formării omului și ale relațiilor interumane specifice. Medicina descoperă și aplică remedii pentru a vindeca maladii trupești. Pedagogia concepe modele și metode instructiv-educative pentru a lecui „maladia maladiilor”, apaideusia, adică lipsa totală de educație cu care vine pe lume fiecare membu al speciei Homo sapiens.

În pedagogie se distinge o dimensiune teoretică și o dimensiune practică. Așa cum precizează autorul Dobridor-Negreț, ambele pot „umbri” prin complexitate orice alt domeniu particular al cunoașterii științifice sau al acțiunii practice, atât prin exhaustivitatea preocupărilor cât și prin efortul cumulativ extins în timp.

„Ca disciplină exploratorie, pedagogia nu se poate supune imperativului cartezian al limitării metodice, neputând ocoli nimic din ceea ce este uman și/sau omenesc. Este așadar, fatalmente, o știință rațională, dar interpretativă și nerestrictivă. Dacă pedagogia, ca reflecție teoretică, are „numai” o vârstă multiseculară, în schimb tehnologia educației, ca preocupare practică, are chiar o vârstă multimilenară. Dar, în secolul XX, asimilând rezultate ale cercetărilor științifice din mai multe domenii, realizând ea însăși succese în cercetarea educațională proprie, pedagogia și-a dezvoltat o tehnologie educațională modernă care depășește prin eficacitate înțelepciunea practică a tuturor celorlalte veacuri”.

În mod evident, același autor menționat anterior ne spune că pedagogia nu s-a constituit prin demersuri strict logico-matematice pornind de la un set predefinit de axiome, asemenea unei geometrii euclidiene sau unei teorii formale. Și, probabil, nu va căpăta niciodată profilul unei științe perfect apodictice. Pentru simplul motiv că demersurile sale vor fi mereu interpretative, se vor derula continuu ca un efort de înțelegere și de desăvârșire a personalității umane. Acest drum, sinuos și spinos, al cunoașterii nu poate ocoli disputele, dezbaterile și contradicțiile: prin dialectica lor se produce creșterea cunoașterii pedagogice și creșterea culturală, în general.

În Tratatul de pedagogie universală-volumul Fundamenta paidagogiae, Ion Negreț-Dobridor și colaboratorii săi au încercat să clarifice problemele de statut epistemologic ale pedagogiei dintr-o perspectivă istorică, invocând argumente și readucând în actualitate fundamente diverse: mitologice, religioase, filosofice, biologice, psihologice, sociologice etc.

În introducerea volumului, autorul Ion Negreț-Dobridor precizează că :

„Pedagogia românească și universală se află într-un moment de răscruce. Progresele ei noetice și practice erau deja semnificative încă de la începutul secolului XX, ca urmare a acumulărilor multiseculare (multimilenare, chiar!); astfel s-a constituit, la nivel mondial, un tezaur de valori paideutice inestimabile (care par chiar inextricabile, și deci „nemuritoare”). În afară de cercetările științifice moderne și contemporane care alcătuiesc paidagogia temporalis, omenirea dispune deja de o paidagogia perennis care probabil, în timp, va fi considerată o paidagogia aeterna”.

Autorul ne explică că nu există o singură pedagogie, constituită cumulativ ca o mathesis universalis, ci există cel puțin două pedagogii: una „a timpurilor noastre” și una „a tuturor timpurilor”. Cea dintâi, paidagogia temporalis, rezultă din căutările febrile ale cercetătorilor și practicienilor educației de a afla noi căi de optimizare a proceselor de formare umană și de creștere a culturii. Rezultatele acestor căutări sunt evaluate, selecționate și tezaurizate în cealaltă pedagogie, paidagogia aeterna, cea în care s-au cristalizat toate „marile valori pedagogice ale omenirii”.

„Paidagogia temporalis alimentează continuu paidagogia aeterna sporind mereu tezaurul axiologic al gândirii și practicii educaționale omenești; dar ea nu este singurul „furnizor” de valori pedagogice. Paidagogia aeterna este una eminamente sapiențială: ea a asimilat înțelepciune de pe urma tuturor marilor experiențe educative ale omenirii; și nu numai de pe urma experiențelor cu scop educativ; ci și de pe urma tuturor experiențelor, fericite sau nefericite, ale omenirii”.

Secolul XXI a găsit această multimilenară disciplină a pedagogiei într-o stare de resurecție spectaculoasă care antrenează căutări febrile, înnoiri uimitoare și opțiuni entuziaste; dar și polemici aprinse, contestații vehemente, uneori chiar critici devastatoare. Toate acestea sunt firești însoțind creșterea cunoașterii ca în orice alt domeniu științific (Dobridor-Negreț, 2014, p. 18).

4.3. Pedagogia ca știință, artă și tehnologie?

Dacă ar fi să răspundem la întrebarea din subtitlul acestui capitol ne-ar fi dificil fără să consultăm literatura de specialitate. Actualmente, întâlnim în literatura de specialitate ample referințe privind problematica pedagogiei ca știință, artă și tehnologie. Dacă ne vom opri asupra revizuirii istorice privind conceptualizarea pedagogiei, ne dăm seama că reprezintă un subiect de discuție deosebit de important pentru diferitele poziții pedagogice, psihologice, filosofice, epistemologice și metodologice etc.

Pornind de la aceste considerații, intenția noastră nu este să realizăm în cadrul acestui subcapitol un amplu studiu asupra distinctelor concepții ale specialiștilor privind pedagogia ca știință, artă și tehnologie, ci dorim să prezentăm într-un mod sintetic evoluția pe care a presupus-o termenul și cum această evoluție a marcat ulterior un progres în cadrul practicii formative.

Pentru elaborarea aspectelor teoretice am pornit de la revizuirea surselor clasice din literatura de specialitate. Așa cum precizează profesorul Negreț în Tratatul de Pedagogie Universală:

1. nu se știe clar dacă pedagogia este știință sau artă. Există specialiști care consideră că este atât știință cât și artă. Alții consideră că presupusa „artă a educației” este, de fapt, un meșteșug mai mult sau mai puțin artizanal, care a evoluat mereu devenind, în zilele noastre, o tehnologie care aplică în practica școlară rezultate ale cercetării științifice din domenii diverse precum psihologia și sociologia; ar fi, așadar, una dintre multele tehnologii de tip „ingineresc” care servesc acțiunii eficiente. Dar acestora li se replică faptul că, într-o anume situație, avem de a face nu cu una, nu cu două, ci cu mai multe discipline; înrudite dar distincte din punctul de vedere al finalităților urmărite și al metodelor folosite.

2. statutul de știință este contestat vehement, întrucât modelul teoretic al pedagogiei nu respectă criteriile modelului-standard al științelor pozitive obiective și nici așa-numitele „noi modele ale științei” propuse în secolul XX de către epistemologi. Pedagogia nu poate fi alăturată epistemic științelor naturii sau științelor vieții. Se pare că pedagogia și științele educației sunt, în esență, discipline prescriptive care studiază și normează fenomene subiective și acțiuni intersubiective omenești; așadar ele diferă în chip fatal de disciplinele descriptive care studiază fenomenele obiective ale naturii și ale vieții. Acestor contestări, exprimate tacit sau explicit, de către cele mai importante școli contemporane de epistemologie li se opun apologeții pedagogiei. Aceștia susțin că pedagogia este o știință pe deplin matură și chiar superioară celorlalte fiind un fel de „supraștiință” care studiază fenomene extrem de complexe cu metode nu doar de cunoaștere rațională, ci și cu tehnici și procedee intuitiv-artistice și hermeneutice. Dar statutul de artă al pedagogiei este supus unor dezbateri în contradictoriu similare, iar cel de tehnologie rămâne încă dubitabil.

3. în al treilea rând, persistă în confruntările teoretice amintite confuzii privind natura și dimensiunile fenomenelor și proceselor pe care pedagogia este chemată nu numai să le studieze, ci și să le influențeze. De aici decurg neînțelegeri privind natura metodelor adecvate de cercetare și de acțiune pedagogică.

4. în al patrulea rând, suscită neînțelegeri faptul că pedagogia asimilează rezultatele cercetărilor din alte domenii ale culturii. Comportându-se inter-, pluri- și trans-disciplinar, este pedagogia o „supraștiință”?; și dacă are această pretenție are ea și suficiente temeiuri epistemologice pentru a se comporta atât ca o sinteză teoretică de mare amploare descriptivă cât și ca o riguroasă disciplină practică prescriptivă?

5. în al cincilea rând, creează neînțelegeri faptul că avem de a face nu cu o singură știință, ci cu o familie numeroasă de discipline pedagogice, mai mult sau mai puțin științifice; acestea nu pot fi decât cu dificultate, forțând criteriile, ordonate într-un sistem epistemologic coerent și universal acceptabil. După o perioadă de aproape două secole în care s-au dezvoltat exploziv numeroase „științe ale educației”, în secolul XXI asistăm la tendințe de reintegrare a acestora într-un corpus comun care amintește de mathesis universalis năzuită de Descartes și Leibniz în secolul XVII.

6. în al șaselea rând, se face precizarea că, dată fiind complexitatea fenomenelor și proceselor educaționale, este necesară abordarea lor din mai multe unghiuri și perspective (Negreț-Dobridor), fenomenul educațional și problematica pedagogiei sunt abordate din unghi antropologic și hermeneutic.

Dincolo de aceste incertitudini ale criticilor și epistemologilor, profesorul Negreț este de părere că oricine va putea concluziona că pedagogia își are propriul ei statut științific și practic – complicat, dar suficient de temeinic și de folositor, pentru a putea ignora, cu moderată superbie, atât contestările cât și discursurile apologetice care i se adresează.

4.3.1. Pedagogia ca știință a educației

Pedagogia este știința educației. Aceasta este cea mai simplă definiție – după cum argumenteză Dobridor-Negreț în Tratatul de Pedagogie Universală – ce poate fi dată disciplinei care studiază problematica formării umane prin cultură. Astfel, o găsim consemnată în majoritatea dicționarelor și enciclopediilor importante din întreaga lume. Cei mai mulți cercetători care investighează fenomenele și procesele educaționale o consideră corectă. La fel și educatorii practicieni și chiar cei mai mulți dintre nespecialiștii beneficiari ai educației. Totuși definiția nu este universal acceptată. Există cel puțin trei categorii de contestări ale afirmației cuprinsă în definiție:

1. Contestarea epistemologică. Aceasta este formulată de câțiva dintre cei mai proeminenți epistemologi ai secolului al XX-lea, dar și de persoane instruite care au, mai mult sau mai puțin, legături cu școala sau cu educația în genere. În maniere diferite, toți aceștia pun la îndoială statutul de „știință” al pedagogiei. Se pot identifica cel puțin trei tipuri de contestare epistemologică a posibilității pedagogice de a se întemeia ca știință riguroasă și obiectivă: explicită, tacită și implicită.

Contestarea epistemologică explicită. Mulți „epistemologi de profesie” manifestă o ciudată nausée față de înțelepciunea teoretică și practică a celor care se îndeletnicesc cu optimizarea educației și a școlii. Cel mai semnificativ dintre contestatarii din această categorie este Jean Piaget – apreciat, pe drept cuvânt, ca „cel mai mare psiholog al secolului al XX-lea”. Piaget s-a considerat pe sine însă epistemolog și întreaga sa operă a închinat-o constituirii epistemologiei genetice. Este o ironie a sorții faptul că explorările psihologice ale lui Piaget au fost asimilate aproape integral de către științele educației – care, în acest fel, au progresat spectaculos – dar autorul a pus la îndoială statutul lor epistemologic. În lucrarea din 1970 Tendances principales de la recherche dans les sciences sociales et humaine, publicată sub egida UNESCO, Piaget a propus o clasificare a științelor socio-umane în care nu a inclus pedagogia generală sau vreo altă știință a educației. El a discriminat „patru mari ansambluri” de științe socio-umane: științe nomotetice, științe istorice, științe juridice și discipline filosofice. Criteriul de clasificare nu este prea clar; dar, având în vedere diferitele discipline discriminate, Piaget pare a fi luat ca reper domeniul central de studiu. Excepția o constituie prima categorie pe care, epistemologul o consideră, tacit, ca superioară celorlalte pe motivul că respectivele discipline pot formula legi. (Sunt incluse aici psihologia, lingvistica, știința economică, demografia). Desigur, în acest ansamblu pedagogia și științele educației nu puteau fi incluse din motive pe care le vom preciza în paginile următoare. Dar marele epistemolog ar fi putut include în rândul științelor istorice cel puțin trei discipline pedagogice: istoria pedagogiei, istoria educației și istoria învățământului. O asemenea incluziune ar fi fost perfect justificată întrucât Piaget consideră că științele istorice au ca obiect viața indivizilor și viața socială.

„Denumim științe istorice ale omului disciplinele având ca obiect reconstituirea și înțelegerea desfășurării tuturor manifestărilor vieții sociale în decursul timpului: fie că este vorba de viața indivizilor a căror acțiune a marcat această viață socială, de operele lor, de ideile care au avut o influență durabilă, de tehnici și științe, de literaturi și de arte, de filosofii și religii, de instituții, de schimburi economice sau de alt gen, de civilizație în ansamblul ei, istoria îmbrățișează tot ceea ce viața socială în sectoarele sale izolabile, precum și în toate interdependențele sale.”

Contestarea epistemologică tacită. Un ilustru reprezentant al acestei categorii de contestări ale pedagogiei poate fi menționat marele gânditor al secolului XX, epistemologul și filosoful Karl R. Popper. Este vorba de un cercetător cu formație psihopedagogică (chiar dacă s-a ilustrat mai ales ca epistemolog și filosof politic). Lucrarea acestuia din anul 1934 Logic der Forschung (Logica cercetării) avea în vedere cu precădere științele naturii. Totuși, era elaborată din perspectiva unui psihopedagog obișnuit cu metodica și nomothetica. Cât despre „științe ale educației” și o pedagogie „științifică”, nici nu poate fi vorba. Popper respinge cu violență testarea intersubiectivă, trăirea subiectivă și subiectivitatea în genere – care sunt de ne-eludat în științele educației:

„Trăirile subiective, convingerile nu pot întemeia niciodată adevărul enunțurilor științifice, ele nu pot juca în știință decât rolul unui obiect al cercetării științifice, anume al cercetărilor psihologiei empirice. Nu contează aici câtuși de puțin intensitatea convingerilor subiective”.

Este curios faptul că Karl R. Popper s-a dedicat, după publicarea Logicii cercetării, unor lucrări care au plasat în centru omul cu problemele lui umane, sociale și spirituale; ele pot fi considerate, în ansamblu, o operă de pedagogie social-politică.

Contestarea epistemologică implicită. O altă modalitate de contestare a statutului de știință al pedagogiei poate fi întâlnită la Thomas S. Kuhn. Lucrarea sa din 1970 The Structure of Scientific Revolutions analiza modul de constituire, de consolidare, degradare și de înlocuire al așa-numitelor „paradigme epistemologice”. O „paradigmă epistemologică” este, de fapt, un fenomen (poate chiar o lege) specific creșterii cunoașterii. De-a lungul întregii cărți, Kuhn insistă asupra faptului că fenomenele care însoțesc nașterea, consolidarea și criza, ca și impunerea oricărei noi paradigme epistemologice, se realizează pe calea educației și a instrucției.

Pare subînțeles că științele educației sunt primele afectate de paradigme dar ele și contribuie la formarea acestora. De fapt, pedagogia și celelalte științe ale educației sunt mijloacele fundamentale prin care se consolidează paradigmele, printr-o „fantomatică” dar insistentă diseminare a lor în rândul populației banale; dar nu numai; tot ele influențează semnificativ, uneori chiar decisiv, înseși credințele și comportamentele oamenilor de știință.

Numeroasele exemple pedagogice formulate de Kuhn privesc doar aspecte negative ale practicilor educaționale. În mod tacit, el pare a vedea în demersurile teoretice ale pedagogiei și în practicile instructiv-educative doar contestabile convingeri scolastice, maniere pedante și abilități artizanat.

2. Contestarea didascogenă. Epitetul „didascogen” a fost introdus în pedagogie pentru a caracteriza anumite erori educative involuntare care pot fi asemănate cu efectele maligne sau maladiile descrise de științele medicale. Didascogene sunt însă și aprecierile unor profesori de o anumită disciplină față de alte discipline și față de colegii lor titulari. Supraaprecierea este la fel de malignă ca și subaprecierea dacă sunt exagerate. Este frecvent întâlnit în școală disprețul profesorului de matematică față de ceea ce el percepe ca fiind discipline „secundare” și „neserioase” precum literatura, muzica sau chiar biologia sau chimia.

Dar există și mulți profesori de literatură sau muzică dispuși să vadă în biologie o disciplină lipsită de noblețe, iar în matematică o disciplină lipsită de sensibilitate care înăbușă imaginația. „Narcisismul de specialitate” este generat de un anumit „ciclopism”, inerent dezvoltării științelor dar cu efecte perverse față de idealul paideutic tradițional al formării integrale a omului prin cultură. Profesorii – de diverse specialități – sunt primele victime ale specializării cultural-științifice. Profesorul de matematică are complexe de inferioritate față de cultura umanistă a profesorului de literatură care „a citit toate romanele și recită sute de poeme”; în schimb, profesorul de literatură este extrem de stânjenit că nu poate distinge între „o derivată și o integrală” și „nu poate rezolva o ecuație de gradul II cu o necunoscută”. Aceste complexe de inferioritate sunt echilibrate prin afișarea unor „complexe de superioritate” opuse. Profesorul de matematică se apără dezvoltând diverse teorii pe seama inutilității și inconsistenței teoriilor estetice sau pe seama „mizeriilor” care îi preocupă pe biologi și chimiști opunându-le superioritatea abstracțiilor matematice. Majoritatea profesorilor se confundă pe ei înșiși și activitatea pe care o desfășoară în școală cu disciplinele pe care le predau. Oricât ar părea de surprinzător, în școli găsim „matematicieni”, „fizicieni”, „chimiști”, etc. aproape întotdeauna și numai rareori „profesori”. „Matematicienii” din școli nu au creat nimic în domeniul matematicii, „fizicienii” din școli nu au făcut nici un fel de descoperiri în fizică, „literații” din școli nu au scris decât poeme mediocre ș.a.m.d. Totuși ei se cred „Euclizi” și „Fermați”, „Newtoni” și „Einsteini”, „Eminești” și Călinești” etc.

Narcisismul și competența de specialitate se transformă astfel în tristă grandomanie și elefantiazis pedant care se repercutează negativ asupra elevilor pentru simplul motiv că ei nu știu ceea ce știu profesorii lor. Planchard observa cu îndreptățire:

„Multă vreme, cel care se îngrijea de copii, care le asigura prima instrucție nu primise nici o formație demnă de acest nume. În fața privilegiaților care beneficiaseră de o educație și de o instrucție superioară, pedagogul era considerat ca vrednic de dispreț. Tocmai contrastul dintre valoarea pedagogului și pretențiile sale stă la originea multor satire și a multor atacuri. Pedagogul cunoaște puține lucruri, dar mai ales nu își cunoaște ignoranța. În timpul Renașterii, pedagogul este adesea asimilat cu grămăticul. Sarcasmele lui Erasm, bătăile de joc ale lui Rabelais și criticile lui Montaigne adresate pedanților (…) arată foarte bine puțina stimă de care se bucurau atunci educatorii profesioniști.”

Toate aceste se datorează precarei competențe pedagogice a profesorilor de toate specialitățile. Cauzele au fost menționate mai sus. Într-adevăr, în practica școlară, competența de specialitate prevalează și chiar estompează importanța competenței pedagogice.

Putem identifica două manifestări ale acestei contestări (mult mai periculoase decât cele descrise anterior).

Prima este exprimată mai ales de către profesorii care predau științele exacte (matematici, științe ale naturii, științe ale vieții). Aceștia resping pedagogia pe motivul că nu este o știință suficient de riguroasă, nu dispune de un limbaj universal, este alcătuită din teorii divergente, este confuză, nu dispune de legi generale și nu este o știință unitară și cumulativă. Operând cu modelul pozitivismului logic, profesorii de științe exacte sunt gata oricând ca „de la înălțimea” disciplinelor lor să zeflemisească statutul epistemologic al pedagogiei. Este interesant însă că în acest fel ei formulează convingeri antipedagogice bazându-se exclusiv pe bunul simț, abandonând complet chiar metodele de cercetare a adevărului folosite de disciplinele riguroase în care s-au specializat.

A doua manifestare a contestării didascogene a pedagogiei poate fi întâlnită la profesorii care predau discipline umaniste (literatură, arte etc.). Aceștia resping pedagogia pe motive opuse. Ei se plâng că pedagogia impune norme prea riguroase, inhibă inspirația și imaginația profesorului, „încorsetează” comportamentul didactic, algoritmizează ceea ce ar trebui să fie euristică educativă etc.

Contestarea pedagogică. Pedagogia se contestă epistemologic pe ea însăși! Această situație nu este chiar atât de paradoxală cum pare la prima vedere. Este vorba, mai degrabă, de atitudinea realistă a unor teoreticieni ai educației menită să echilibreze excesele unor confrați care, fascinați de modelul empirist-logic („standard”) impus de științele naturii, s-au grăbit în a afirma tranșant că numai pedagogia experimentală, exprimată în termeni logico-matematici poate fi considerată științifică. Un anumit entuziasm pozitivist-empirist a determinat nu numai progrese semnificative ale pedagogiei experimentale, ci și un anumit exclusivism epistemologic care a stârnit reacțiile critice ale unor filosofi ai educației și pedagogi de orientare metafizică, prea puțin dispuși să considere că gândirea pedagogică tradițională și tezaurul de valori pedagogice decantat în așa-numita pedagogie perennis ar fi lipsite de orice valoare epistemică. Valorile pedagogiei perennis se află în continuitate cu achizițiile pedagogiei temporalis și nu sunt ireconciliabile, întrucât ambele conțin adevăruri, iar adevărurile sunt non-contradictorii. Abia această conciliere a pedagogiei „tradiționale”, cu pedagogia „modernă” i-ar conferi pedagogiei unitate și statut epistemologic incontestabil.

Apologetica pedagogiei ca știință

Exagerările referitoare la caracterul științific al pedagogiei sunt simetrice. Contestatarilor li se opun apologeții.

Unitatea pedagogiei ca știință. Ideea că științele educației se constituie într-o disciplină unică, unitară și cumulativă își are originea în idealul cartezian al unificării tuturor științelor într-o mathesis universalis. Prima tentativă de constituire a unei „științe unitare a educației” a avut însă loc cu un secol mai înainte de revoluția carteziană, în Renaștere. Juan Luis Vives (1492-1540) a avut viziunea unei „pedagogii în conformitate cu natura umană” care își regăsea coerența tocmai prin centrarea pe cel care învață. Ideile „pedagogiei unice” se găsesc risipite în lucrări ocazionale (De ratione puerilis, 1523; Institutio feminae christiane, 1524; De tradendis disciplinae, 1531), dar tratatul din 1538 De anima et vita constituie realmente o fundamentare științifică a pedagogiei. La jumătatea secolului XX, Maurice Debesse și Gaston Mialaret își exprimau uimirea și admirația față de acest „tratat de psihologie empirică avant-la lettre”. Într-adevăr, cu mult înainte de a fi apărut asociaționismul și a se fi născut, astfel, psihologia ca știință, Vives o considera temei unic al educației. După el, „sufletul trebuie cunoscut pentru a putea fi condus”. Se poate considera că o astfel de aspirație a nutrit Comenius atunci când a elaborat Pansophia, Pampaedia sau chiar Didactica Magna.

Ediția unificată a întregii sale opere, realizată în ultimii ani ai vieții sale, Opera Didactica Omnia (1658), trădează acest ideal al constituirii unei științe pedagogice cumulative și universale. (v. Figura Nr. 1). În esență, era vorba de o viziune frumoasă care implica adaptarea Omului la Lume și armonizarea Lumii cu Omul într-o pansophia catholica, o „înțelepciune universală”.

Ca admiratori ai acestei viziuni – dar și ca reprezentanți ai tradiției empirice inițiată de Francis Bacon (1561-1626) – John Locke (1632-1704), Jean Jacques Rousseau (1712-1778), Claude Adrien Helvétius (1715-1771), Denis Diderot (1713-1784), Johannes Bernhard Basedow (1724-1790) au pledat pentru principii universale ale „educației în conformitate cu natura”: conformitatea cu „natura în genere” (Locke), conformitatea cu „natura copilului” (Rousseau), conformitatea cu „natura umană” (Helvetius, Diderot, Basedow).

Figura …. Viziunea paideutică și pansophică a lui Comenius

E. Durkheim a încercat să întemeieze o știință a educației pe care, însă, o concepea ca pe o riguroasă știință socială care are ca fundament absolut cercetarea sociologică.

R. Lochner a realizat, în același fel, o Pedagogie descriptivă (1927) și o Știință a educației (1934) pe care, ulterior, le-a sintetizat intr-un Compendiu de știință a educației (1947). Ideile acestora i-au influențat și pe câțiva pedagogi români care au alcătuit lucrări de „știința educației” în perioada interbelică. Cei mai proeminenți au fost Stanciu Stoian (1900-1987), Iosif Gabrea (1893-1976), I. C. Petrescu (1892-1967) și Ștefan Bârsănescu (1895-1987). Adevăratul teoretician român al unității pedagogiei ca știință este Ștefan Bârsănescu. El i-a consacrat în anul 1936 lucrarea intitulată chiar Unitatea pedagogiei contemporane ca știință. A republicat-o în 1976 adăugându-i noutățile survenite în răstimpul de patru decenii. În această perioada evoluția pedagogiei a fost spectaculoasă (s-a vorbit chiar de o „revoluție în științele educației”). S-au constituit noi domenii de cercetare, s-au adâncit cele vechi și s-au născut alte științe ale educației. Evoluția a fost, în continuare, divergentă, posibilitățile de a constitui un sistem unitar infailibil al științelor educației fiind din ce în ce mai dificile. Ștefan Bârsănescu a consemnat cu migală și erudiție toate aceste progrese divergente.

Un reproș esențial adus demersurilor și teoriilor pedagogice este lipsa preciziei pe care o găsim exprimată în limbaj matematic în științele naturii. Apologeții invocă în această direcție argumentul „complexității proceselor socio-umane și al fenomenelor cultural-spirituale”. Educația este, într-adevăr, o realitate de maximă complexitate. În pedagogie, însă, nu pot fi formulate în limbaj matematic teorii semnificative, deși s-a încercat. De exemplu, s-a soldat cu eșec încercarea de a elabora o teorie matematică a învățării. Deși s-a bazat pe rezultate ale unor cercetării experimentale bine controlate „sistemul matematico-deductiv al învățării”, realizat de Clark Hull între anii 1940-1952, s-a dovedit fără corespondent cu realitatea psihopedagogică. Încercări ulterioare de același fel și-au găsit aplicativitatea în construirea automatelor și a roboților, dar nu și în școală.

Aceste eșecuri se datorează, însă, numai în parte complexității fenomenelor și proceselor educative. Adevărata cauză o constituie natura intrinsecă a acestora. Procesele și fenomenele psihopedagogice nu au aceeași natură cu cele fizice, chimice și biologice. Diferența este dată de subiectivitatea fenomenelor educaționale și psihice.

„Supra-știință”. Pedagogia studiază modul în care pot fi asimilate toate celelalte domenii ale culturii: toate științele și toate artele. Ea trebuie să răspundă la întrebarea generală: „Cum se poate optimiza învățătura?”. Expresia „învățătură” provine din verbul grecesc mathein (i) care înseamnă „a învăța”. El se află la originea denumirii matematicii și a fost utilizat în expresia filosofică mathesis universalis despre care am menționat anterior. Aceasta era o prelungire a idealului educațional al erudiției nutrit de cei mai însemnați reprezentanți ai Renașterii. Asupra sa s-a aplecat în preajma „secolului luminilor” Comenius. În Didactica Magna (1624) el a încercat să contureze o „artă de a-i învăța pe toți totul”, iar în Consultatio Catholica a propus o doctrină uimitoare pe care a numit-o „pansophia”, adică, „înțelepciunea universală”. În secolele XX și XXI cercetarea științifică a evoluat exploziv și, adesea, haotic. La granițele și în interiorul științelor clasice ale naturii, ale spiritului și ale culturii au apărut o puzderie de discipline de graniță, interdisciplinare, pluridisciplinare. Fenomenul a îngrijorat și a stârnit reacții de respingere din partea „tradiționaliștilor” și „clasicizanțior” acestor domenii. Pedagogia generală nu a fost ocolită de această frământare.

4.3.2. Pedagogia ca artă a educației

Pedagogia nu este numai o disciplină teoretică, ci și una practică. Din acest punct de vedere, așa cum susținea Piaget (1972) ea poate fi asemănată cu medicina. Ca practică, ea trebuie să fie întotdeauna, în orice condiții, optimă. Principiul optimismului este pentru practica pedagogică ceea ce este principiul non-dăunării („Primum non-nocere”) pentru practica medicală. Este vorba de un imperativ categoric care interzice greșelile conștiente în educație. Educatorul nu are voie să întreprindă asupra educatului, cu bună știință, nici un fel de influențe care pot avea consecințe negative asupra formării personalității acestuia. Temeiul principiului optimismului este eminamente etic. Corolarul său constă în limitarea strictă a acțiunilor educative despre care nu avem certitudinea că vor avea efecte benigne. În educație nu este permisă orice acțiune/influență a educatorului asupra educatului, ci numai acelea despre care cel dintâi are siguranța că sunt cele mai bune cu putință omenește.

Angajarea responsabilității este o formă sui-generis de libertate. Ea stă la baza asemuirii educației cu artă. Totuși, există mari deosebiri între „artele frumoase”, studiate de estetică, și „arta educației”. Conform autorului Dobridor-Negreț (2014, p. 78) trebuie să avem în vedere două sensuri atribuite conceptului de educație.

În sens restrâns, educația este mai degrabă un „meșteșug”, o „măiestrie” similară cu aceea a artizanului talentat. Vechii greci numeau această activitate realizată „măiestrit”: techné (); și nu o confundau cu artele propriu-zise, ci o asimilau profesiilor practice. În cazul acestora din urmă nu „toate libertățile sunt permise” și nu „toate regulile sunt excluse”, ca în situația creațiilor estetice. Dimpotrivă, meseriile, profesiile, meșteșugurile solicită mânuirea cu abilitate a numeroase reguli practice, folosirea destoinică a metodelor, mânuirea cu pricepere a uneltelor, cunoașterea și folosirea corectă a instrumentelor. Desigur, în practica educației, mulți educatori se supraestimează narcisic considerându-se „artiști ai educației”. Dar sunt ei „artiști”? Sunt ei genii educaționale? Dispun ei de „har pedagogic” de sorginte divină? Desigur, nu. Acest dar mirific a fost distribuit de Creator cu zgârcenie în această Lume. Cei mai mulți educatori autentici pot fi, cel mult, talentați. Iar alții sunt doar simpli profesioniști. Aceste numeroase categorii trebuie să se supună cu modestie îndemnului de a compensa, cu metode și cunoștințe pedagogice, harul și talentele de care duc lipsă; și cu dăruire, modestie și pioșenie, desigur.

În sens larg și profund, educația este, într-adevăr operă de creație; dar nu simplă creație artistică, ci creație demiurgică. Aici, într-adevăr nu pot fi formulate reguli și rețete practice, așa cum nu sunt ele necesare pentru poet sau pictor. Dar „demiurgi ai educației” au fost puțini pe Pământ. Îi putem numi pe Pythagoras, pe Socrate, pe Iisus, pe Buddha, pe Confucius și încă vreo câțiva, cum a propus Karl Jaspers în Die maßgebenden Menschen (1957). Am mai putea adăuga, cu inima strânsă, câțiva sfinți creștini, câțiva mari pedagogi, câțiva mari filosofi, câțiva mari savanți și câțiva mari artiști, dar lista nu poate fi sporită prea mult. Și trebuie făcută o distincție. Principiul libertății este absolut în creația artistică, dar limitat sever în „marea artă a educației”. Abia „încălcarea regulilor” ar putea fi o regulă pentru poet sau pentru compozitorul muzical. În schimb, încălcarea regulilor pedagogice în mod conștient sau din ignoranță, este interzisă. Erorile provocate de insuficiența cunoașterii științifice pedagogice pot fi scuzate. Însă, erorile provocate de educator din ignoranță pedagogică proprie sunt absolut inacceptabile. Față de cele dintâi educatorul are obligația de a se strădui să le evite sau să le minimizeze în conformitate cu principiul optimismului.

4.3.3. Pedagogia ca tehnologie educațională

Pentru început, dorim să precizăm câteva delimitări conceptuale. Sensul exact al lui techné (τεχνή) propus de vechii greci și de la care s-a derivat, în vremurile moderne, expresia tehnologie era „artă practică”, „meșteșug iscusit”. De aceea este mai îndreptățit – după cum menționează Dobridor-Negreț – să vorbim de „tehnologia educației”, decât de „arta educației”. Din păcate, în practica școlară, pot fi întâlniți adesea pseudo-educatori care fac apel la „principiul libertății” pentru a-și masca ignoranța și incompetența pedagogică; nu numai în România, ci pretutindeni în lume; și nu de ieri-alaltăieri, ci dintotdeauna. Este una dintre cele mai triste dovezi ale faptului că „profesionalizarea educatorului”, de care vorbea Piaget (1972) nu este deplină. În orice caz, nu educatorul improvizator, ci educatorul profesionist este adevăratul „artist contemporan al educației”.

Expresia tehnologia educației s-a impus în pedagogia modernă în condiții specifice. Creșterea cunoașterii pedagogice moderne a atins un moment de apogeu în jurul anilor '70-'80 ai secolului trecut. Câteva descoperiri ale psihologiei și numeroase reușite în cercetarea educațională au contribuit decisiv la constituirea a ceea ce a căpătat denumirea de „pedagogie modernă” (pentru a fi distinsă de „pedagogia tradițională” sau „clasică”). Cele mai semnificative și mai importante au fost:

identificarea mecanismelor/tipurilor de învățare existente la specia Homo Sapiens (Itelson, 1973 ;Gagné, 1962; Gagné și Briggs, 1964; Gagné, 1977);

descrierea primelor taxonomii de finalități și obiective pedagogice (Bloom, Krathwohl, Harrow);

conceperea primelor modele de tip mastery learning (John B. Carroll, 1963; Block, 1971; Guskey, 1986);

conceperea unor proceduri de operaționalizare a obiectivelor pedagogice (Mager, 1975);

depășirea dificultăților docimologiei clasice prin apariția tehnicilor de măsurare a performanțelor școlare și constituire teoriei moderne a evaluării educaționale (Scriven, 1956; Bloom, 1968, 1971, 1981);

asimilarea rezultatelor cercetării psihologice dedicate motivației învățării și construirea primelor tehnici de condiționare și motivare a instruirii (Atkinson, 1958; Susan Harter, 1978; Maslow, 1943; Festinger, 1957; Herzberg, 1959; Altderfer, G.A. Miller, McClleland, 1953; Vroom, 1964).

Câteva date referitoare la modul de constituire a tehnologiei educaționale moderne sunt demne de a fi luate în considerare.

Divergența teoriilor psihologice ale învățării. Nevoia de fundamentare științifică a educației și instruirii era foarte veche. Domeniu cel mai căutat pentru a pune temeiuri științifice a fost „știința sufletului”, psihologia. Cel puțin câteva mari doctrine pedagogice pretindeau a avea o asemenea fundamentare. John Locke și-a fundamentat doctrina pe teoria psihologică asociaționistă. Herbart, constatând că psihologia vremii sale nu era suficient de dezvoltată pentru întemeierea teoriei instruirii, a inventat el însuși o psihologie a „realelor” susținând că „psihologia realistă” rezolva toate problemele educației intelectuale.

Identificarea tipurilor de învățare umană. Cercetătorul rus L. B. Itelson (1973) a formulat ipoteza că eșecul constituirii unei teorii a învățării comprehensivă și autoconsistentă nu putea datora fenomenelor naturale de învățare, care erau investigate în condiții experimentale bine controlate; ci doar interpretărilor subiective pe care diferiții cercetători le dădeau acestor fenomene.

Ipoteza lui Itelson susținea că este posibilă o știință a învățării pornind strict de la faptele și fenomenele mathetice descoperite ignorând ideologiile care însoțeau curente psihologice precum asociaționismul, behaviorismul, reflexologia, gestaltismul, semiotica etc. Cu câțiva ani mai înainte Robert Mills Gagné de la Princeton University adoptase tacit o ipoteză similară celei publicate de Itelson. Dar Gagné a mers mult mai departe. El a analizat cu minuție majoritatea teoriilor învățării studiind fenomenele și faptele experimentale descrise de cercetători ignorând interpretările date de aceștia respectivelor fenomene și fapte. Gagné a constatat cu surprindere că nu era vorba de o multitudine de mecanisme de învățare, ci de un număr limitat. La om există doar opt tipuri de învățare pe care le-a descris în lucrarea Conditions of Learning (1962): 1.SIGNAL LEARNING : A general response to a signal. Like a dog responding to a command 2.STIMULUS-RESPONSE LEARNING: A precise response to a distinct stimulus 3. MOTOR CHAINING: A chain of two or more stimulus-response connections is acquired 4. VERBAL ASSOCIATION: The learning of chains that are verbal 5. DISCRIMINATION LEARNING: The ability to make different responses to similar-appearing stimuli 6. CONCEPT LEARNING: A common response to a class of stimuli 7. RULE LEARNING: Learning a chain of two or more concepts 8. PROBLEM SOLVING: A kind of learning that requires „thinking."În lucrarea Principles of Instructional Design (1974), elaborată împreună cu L. J. Briggs, Gagné a admis că există încă un tip de învățare umană, al nouălea, learning-by-discovery.

Aparatul mathetic uman. Gagné a sugerat că, departe de a fi contradictorii, cele nouă tipuri de învățare se înlănțuie structural și funcțional într-un aparat mathetic unic care există la toate ființele umane care s-au născut normal. Aceasta înseamnă că toți oamenii pot să învețe folosind acest aparat mathetic care este realmente un „har dumnezeesc” dat membrilor speciei Homo Sapiens.

Managementul tipurilor/mecanismelor de învățare în instruire. În Principles of Instructional Design (1974), Gagné a propus o tehnologie educațională bazată pe filosofia pragmatică, pe exigențele psihologiei behavioriste, principiile managementului clasic (Taylor) și pe logica acțiunii eficiente (Kotarbinski). Cele două componente ale tehnologiei educaționale sunt: designul instrucțional și managementul proceselor de instruire în classroom learning.

Designul instrucțional – este activitatea de proiectare rațională a activităților instructiv-educative. Proiectarea științifică este un demers care parcurge obligatoriu patru faze: I. definirea scopurilor/obiectivelor activității; II. analiza resurselor și restricțiilor; III. conceperea strategiilor de realizare a obiectivelor instruirii (sarcini și situații de învățare; modul de declanșare și control al experiențelor de învățare); IV. evaluarea performanțelor învățării.

Figura … Etapele proiectării didactice

Managementul proceselor de învățare se referă la implementarea eficientă a proiectelor de activități instrucționale. Gagné a sugerat că un bun management al activităților instrucționale se poate baza pe „scenarii” cu structură universală care cumulează și valorifică resurse motivaționale.

Sub impactul tehnologiei educaționale statutul și rolurile „educatorului modern” s-au modificat radical; „artistul contemporan al educației”, evocat mai sus, nu mai poate fi caracterizat prin aptitudini și abilități de „artizan” sau de creator în domeniul artei. În a doua jumătate a secolului al XX-lea literatura pedagogică anglo-saxonă a impus sintagme precum educational technology și instructional technology pentru a desemna activitățile de concepere și realizare a activităților didactice și educaționale. Conotațiile impuse de aceste expresii nu se mai înscriu în domeniul creativității artistice, ci al științelor practice și aplicative. „Educatorul- artist” este înlocuit cu „educatorul- arhitect” și „educatorul-inginer”.

Activitatea educatorului îl obligă să desfășoare activități specifice în diverse ipostaze:

ca designer/proiectant al activității instructiv-educative, educatorul acționează asemenea unui „arhitect” care concepe proiectul unui „edificiu” formativ-informativ;

ca manager care conduce procese de învățare de tip classroom learning în direcția unor obiective operaționale definite ca rezultate preconizate ale învățării, asemenea unui „inginer-constructor”;

ca realizator efectiv al activităților instructiv-educative;

ca mentor al fiecărui learner;

ca evaluator al performanțelor celor care învață

Sensurile expresiei educational technology au evoluat de la înțelesuri tehnice la înțelesuri conceptuale de-a lungul secolului XX. R.C. Richey (2008) a inventariat definițiile date conceptului în această perioadă. Inițial, expresia a fost folosită pentru a desemna „arsenalul” tehnic folosit de educator: metode de instruire, materiale didactice, mijloace de educație și învățământ, tehnici audio-vizuale etc. Istoria tehnologiei educaționale pare a fi început cu introducerea în școli a filmelor didactice (în anul 1900) și a „mașinilor mecanice de predat” (mechanical teaching machines) concepute de către Sidney Presey (în anul 1920); s-a continuat cu instruirea programată, manualele programate și cu „mașinile de învățat” (learning machines) concepute de Burrhus F. Skinner (în anii '50 ai secolului trecut).

Skinner a crezut că learning machines vor determina o „revoluție științifică a învățământului mondial”. Dar aceasta nu s-a produs. Tehnologia educațională este concepută realmente ca o tehnologie inginerească ce cuprinde faze, etape și operații de edificare a unei construcții paideutice. Cei care învață nu sunt decât materia primă pentru edificarea personalității umane.

Ulterior, tehnologia educației a depășit stadiul tehnic și a evoluat spectaculos trecând la cel conceptual-rațional: designul științific a activităților instructiv-educative și managementul proceselor de învățare în classroom learning.

Tehnologia educațională a evoluat alert asimilând continuu noi rezultate ale cercetării psihopedagogice.

Erin Gillespie de la Ontario College of Teachers (Canada) a postat pe Internet în ianuarie 2010 o reprezentare grafică sugestivă a acestor achiziții asimilate de tehnologia educațională până la sfârșitul secolului XX:

Figura Nr. 3. Fundamentele și aplicațiile tehnologiei educaționale

La sfârșitul anilor '60 ai secolului s-a declanșat preconizata revoluție științifică în educație. Promotorul ei a fost psiholingvistul John B. Carroll. Publicarea de către John B. Carroll a primului model instrucțional mastery learning în anul 1963 a evidențiat necesitatea proiectării științifice a activităților de instruire dirijată de tip classroom learning.

Figura Nr.4. O reprezentare „clasică”a paradigmei mastery learning

O contribuție majoră în constituirea tehnologiei educaționale ca tehnologie științifică a fost furnizată de Benjamin Bloom. El a înțeles că paradigma mastery learning este susceptibilă de conceperea unui model instrucțional coerent care poate fi conceput și aplicat pentru determinarea eficacității generale a instruirii care este echivalent cu „împlinirea „visului lui Comenius” exprimat în subtitlul Didacticii Magna: „arta de a-i învăța pe toți totul”.

Determinarea mastery learning (adică „reușita la învățătură a tuturor elevilor”) cu ajutorul tehnologiei educaționale ar deveni o „luptă împotriva curbei în formă de clopot a lui Gauss” pentru „realizarea curbei în J”(Gilbert de Landsheere):

Figura Nr.6. Curba în formă de J în învățarea matematicii

de către o clasă de 30 de elevi

Lucrarea crucială a lui Bloom din 1956 Taxonomy of educational objectives: the classification of educational goals a constituit o altă revoluție în pedagogie; taxonomia constituia prima descriere completă a obiectivelor de formare cognitiv-intelectuală a oamenilor; ea avea aproximativ valoarea pe care o avusese tabela mendeleeviană a elementelor în constituirea chimiei ca știință veritabilă.

Taxonomia completă a lui Bloom (Bloom, Krathwohl & Harrow) a conferit pedagogiei un fundament solid de orientare teleologică a oricărui demers educațional; ea a putut fi asimilată într-un model coerent de learning for mastery pe care Bloom l-a descris în lucrările Learning for mastery (1968) și Mastery for learning (1971). Bloom a preluat concepția generală a „modelului temporal” al lui Carroll dar l-a armonizat (și, implicit, i-a asigurat un fundament teleologic precis și sigur) atașându-i taxonomia de obiective pedagogice. Modelul lui Bloom a fost rafinat în 1971 de către Block și perfecționat apoi, în colaborare cu D. Arrendo, în 1990.

*

* *

Majoritatea acestor modele au fost experimentate dovedind că „visul lui Comenius” nu este o himeră, ci un fapt pe deplin realizabil. Autorul acestui capitol a demonstrat și el pe elevii români acest lucru. Faptul în sine este realmente entuziasmant. Nu este puțin lucru să știm că „toți pot învăța” chiar dacă creșterea cunoașterii și enorma multiplicare a cunoștințelor ne determină să adăugăm: nu „totul”, ci doar „aproape totul”.

4.4. Integrarea curriculară a Științelor Educației – Progresul pedagogiei

Încă din 1969, pedagogul belgian Émile Planchard, profesor la Universitatea din Coïmbra, a încercat să depășească impasul epistemologic al pedagogiei printr-o abordare sui generis a felului în care se dezvoltă pedagogia generală și disciplinele care s-au desprins din ea. Este vorba de o tabelă susceptibilă de multiple analize matriceale care conduc, monoton, spre tendințe de proliferare explozivă a unor noi științe pedagogice. În chip evident, se manifestă și o puternică evoluție spre reintegrare a acestora într-o sinteză paideutică, unificatoare, coerentă și comprehensivă.

„Radiografia” genetică și funcțională a lui Planchard a fost realizată la sfârșitul anilor '60 ai secolului trecut. De atunci, tendința de reintegrare într-un corpus paideutic unic s-a accentuat.

Există actualmente o altă categorie tendințe de reorganizare care nu impuse pe cale externă de către teoreticieni; ci de factori interni ce se autostructurează pe măsură ce creșterea cunoașterii pedagogice devine tot mai bogată și mai subtilă.

Lor li se alătură epistemologii problematicii educației, care nutresc ambiții de reconstrucție unitară a coerenței logice interne pentru a întreaga teorie și practică educațională. Modelul care ar putea fi urmat este cel furnizat de medicină, cu mențiunea că fundamentul teoretic ar fi unul eminamente prescriptiv și teleologic.

Disciplina educațională care poate fi „suspectată” că ar putea asimila și integra toate științele actuale ale educației pare a fi teoria generală a curriculumului.

Aceasta a încetat să mai fie simplă știință a organizării conținuturilor în planuri și programe de educație și învățământ. Ea tinde să devină o știință a organizării procesului de proiectare și organizare a proceselor de asimilare a culturii pentru formarea integrală a personalității umane și progresul societății.

Figura nr. O „radiografie” epistemologică a pedagogiei în secolul XX

Desigur, se pune problema dacă integrarea tuturor achizițiilor cercetării educaționale este posibilă pe temeiuri apodictice și dacă nu cumva dimensiunea hermeneutică a științelor educației va împiedeca perpetuu constituirea unei mathesis paedagogica universalis.

PARTEA A III-A

EXPLORĂRI TEORETICO-APLICATIVE (II):

MODELAREA, TEORIA MATEMATICĂ A JOCURILOR ȘI ÎNVĂȚAREA PRIN ÎNTĂRIRE

CAPITOLUL V

ROLUL MODELĂRII ÎN ÎNVĂȚAREA MATEMATICII

Motto:

“Schimbările în domeniul educației depind de ceea ce fac

și de cum gândesc profesorii. E așa de simplu

și totodată atât de complex.”

(Michael Fullan)

Preocupările numeroase pentru studiul modelării în învățare în general, pentru găsirea și utilizarea unor metode de antrenare și dezvoltare a creației, la nivel individual și de grup, sunt justificate de cerințele sociale prezente și de viitor. Epoca contemporană, frământată de adânci prefaceri rapide în direcția unui progres iminent, aduce ceva nou: conștientizarea necesității modelării în învățare și dezvoltării creativității dar și întreprinderea unor acțiuni concrete în acest sens.

Înțelegând că viața nu este statică, ci un produs creativ continuu, individul reușește să înțeleagă viața ca un tot unitar dinamic, la modelarea căruia putem contribui și noi printr-o participare activă și creativă. Copilul de azi trebuie modelat pentru a deveni omul creator de mâine, pentru a participa creativ la modelarea acestui „tot dinamic” care este viața. Totodată creativitatea îl ajută să se dezvolte, să se realizeze și să transforme activ mediul înconjurător, determinând astfel schimbările viitoare.

Gândirea logico-matematică este imperios necesară individului din societatea contemporană, acesta trebuie să fie capabil să combine și recombine elementele cunoscute pentru a ajunge la produse noi, originale. Nu este ușor să te adaptezi într-o societate în care reconversia profesională este o realitate. Astfel, avem nevoie de o gândire logică ageră, de motivație, creativitate, imaginație și nu în ultimul rând – voință pentru a reuși.

Cu ajutorul matematicii putem dezvolta la elevii noștri aceste procese psihice deoarece și matematica presupune găsirea de soluții noi de rezolvare a problemelor, la fel ca și viața de zi cu zi. Modernizarea învățământului matematic, înseamnă potențarea acestor valențe formative, studiul acestei discipline contribuind cu precădere la dezvoltarea gândirii creatoare.

Matematica este considerată de multe ori de către elevi o disciplină dificilă, rigidă, neplăcută. Acest lucru se datorează în mare măsură strategiilor tradiționale. De aceea, rolul nostru, al dascălilor este de a face din matematică un obiect plăcut, interesant și atractiv.

Matematica dezvoltă gândirea combinatorie, gândirea analogică, dezvoltă capacitatea de a descoperi o structură comună în fenomene aparent diferite. În clasele I-IV se însușesc noțiunile de bază, “instrumentele” cu care elevul va “opera” pe tot parcursul vieții și pe care se clădește întregul sistem al învățământului matematic. Dacă sunt predate în mod sistematic, ținându-se seama de particularitățile de vârstă ale elevilor, dacă sunt însușite în mod conștient și temeinic, cunoștințele de matematică aduc o contribuție deosebită la dezvoltarea gândirii logice și creatoare, la dezvoltarea spiritului de receptivitate a elevilor încă din ciclul primar.

Prin învățarea matematicii se cultivă o serie de atitudini: de a gândi personal și activ, de a folosi analogii, de a analiza o problemă și a o descompune în probleme simple etc. De asemenea, se formează și o serie de aptitudini pentru matematică: capacitatea de a percepe selectiv, capacitatea de a trece de la aspectul diferențial la cel integral sau invers, plurivalența gândirii, capacitatea de a depune un efort concentrat. Cu „echipamentul” pe care-l dau aceste patru clase, elevul realizează întreaga “călătorie” în domeniul acestei științe. Mulți copii întâmpină dificultăți în învățarea matematicii pentru că nu-și însușesc la timp aceste noțiuni.

Important este ca învățătorul să respecte valoarea “formativă” a matematicii și să prezinte elevilor aceste noțiuni la nivelul particularităților psihice de înțelegere. Utilizarea și apoi transferul noțiunilor matematice nu se realizează prin simpla transmitere a acestora de la învățător la elev, ci prin îndelungate și dirijate procese de căutare și descoperire a lor de către elevi, prin modelarea în învățarea matematicii. De aici, caracterul dinamic, activ și relativ dificil al învățării matematicii, mai ales prin efort propriu al elevului.

Astfel, activitățile matematice necesită o bună mobilizare a tuturor comportamentelor psihicului uman, cu precădere a inteligenței și a gândirii. Odată cu însușirea noțiunilor matematice prin efort intelectual, elevul învață și anumite tehnici de investigare și rezolvare cu caracter tot mai general.

Modalitățile didactice prin care elevul este pus în situația de a căuta și descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior, sunt denumite metode euristice. În cadrul lor întâlnim de multe ori încadrate orientările didactice moderne: modelarea, problematizarea, învățarea prin descoperire. În categoria acestor strategii se înscriu metodele de predare –învățare – evaluare care privesc atât activitatea elevului cât și a învățătorului și care își sporesc eficiența formativă cu cât îl implică mai mult pe elev, adică sunt mai activizante, mai participative.

Se poate afirma că matematica modernă, prin caracterul său riguros, științific și generativ al sistemului ei noțional și operativ pe care îl cuprinde, este investită în bogate valențe educativ-formative, nu numai în direcția formării intelectuale, ci și în ceea ce privește contribuția ei la dezvoltarea personalității umane pe plan rațional, afectiv, volitiv, având o importantă contribuție la formarea omului ca personalitate.

În același timp, matematica se adresează și laturii afective: câte bucurii, câte nemulțumiri – acompaniate uneori de lacrimi – nu trăiesc copiii în procesul activităților matematice. În primele clase se naște la copil atractivitatea, dragostea sau repulsia pentru matematică. Dacă elevul simte că pătrunde în miezul noțiunilor matematice, dacă gândirea lui este stimulată sistematic, făcând un efort gradat, dacă el trăiește bucuria fiecărui succes mare sau mic, atunci se cultivă interesul și dragostea pentru studiul matematicii.

În ciuda faptului că matematica este știința conceptelor celor mai abstracte, de o extremă generalitate, majoritatea copiilor îndrăgesc matematica și așteaptă cu plăcere aceste lecții. Nu este mai puțin adevărat că dascălul are rolul, locul și menirea sa de a-i motiva pe elevi să o studieze cu plăcere și de a o face accesibilă și puternic ancorată în realitate, de a le explica utilitatea și aplicabilitatea ei în viața de zi cu zi.

În viața de toate zilele, matematica are importanța sa deosebită, recunoscută în întreaga lume. Conexiunile matematicii cu viața de zi cu zi și, mai târziu , în clasele mai mari, chiar și cu alte domenii ale cunoașterii și vieții, le formează elevilor o gândire logică și flexibilă, le sporește motivația pentru studiul matematicii și îi conduc la înțelegerea unitară a lumii înconjurătoare, putând fi, de altfel, și un instrument eficace în vederea petrecerii timpului liber în mod plăcut și constructiv.

5.1. Clarificări conceptuale

Cuvântul „matematică” vine din grecescul μάθημα (máthema) care înseamnă „știință, cunoaștere sau învățare”; μαθηματικός (mathematikós) înseamnă „cel care îndrăgește învățarea”. Așadar, întreaga cunoaștere și învățare umană se construiește pe temelia „matematică”, întrucât ea dezvoltă gândirea, inteligența, spiritul de observație prin exersarea operațiilor de analiză, sinteză, comparație, abstractizare și generalizare, structurează și organizează mintea, stimulează spiritul de competiție și dorința de a reuși, plăcerea de a rezolva și de a găsi soluții, crește puterea de deducție și intuiția.

Matematica, alături de limba română, este una din disciplinele de bază studiate în învățământ. Studiul sistematic și temeinic al acestei științe servește nu numai celorlalte discipline, ci și întregii deveniri a școlarului.

Academicianul prof. dr. Grigore Moisil afirma:

„Tot ce e gândire corectă, e Matematică sau modelare matematică”.

„Sunt unii oameni care cred că matematica trebuie făcută între cutare și cutare oră. Nu e adevărat. Matematica nu se face la ore fixe. Matematica se face când îți vine o idee. Noaptea sau dimineața, când te scoli, când te speli, te gândești. Dacă nu te speli, te gândești când nu te speli.”

Poincaré era de părere că:

”Scopul principal al învățământului matematic este de a dezvolta anumite facultăți psihice și, printre ele, intuiția nu e cea mai puțin prețioasă. Prin ea, lumea matematică rămâne în contact cu lumea reală și chiar dacă matematica pură ar putea să se lipsească de ea, tot la ea ar trebui să recurgem pentru a umple prăpastia care separă simbolul de realitate. Practicianul va avea totdeauna nevoie de ea și la fiecare matematician pur trebuie să existe 100 de practicieni”.

Dinamica socială a ultimelor decenii aduce în fața lumii contemporane o serie de provocări față de care domeniul educației nu poate rămâne indiferent. Principala caracteristică a acestor provocări este aceea a complexității, întrucât se pare că niciodată până acum omenirea nu s-a confruntat cu probleme atât de complexe. Copilul, viitor adult se află în fața unui complex necunoscut pentru care trebuie pregătit să-i facă față, să-și sporească viteza de reacție la provocările mediului și să-și dezvolte abilități, competențe conform standardelor.

Integrarea conținuturilor școlare presupune stabilirea unor relații strânse, convergente între următoarele elemente: concepte, abilități, valori aparținând disciplinelor școlare distincte (De Landsheere, 1992). Principalele niveluri ale integrării cunoștințelor sunt: integrarea intra-, multi-, pluri-, inter-, și transdisciplinară.

Recunoașterea caracterului distinct al abordărilor menționate nu implică ignorarea caracterului lor profund complementar. Pentru a folosi o metaforă a unui autor cunoscut în domeniu, vom spune că „disciplinaritatea, pluridisciplinaritatea, interdisciplinaritatea și transdisciplinaritatea sunt cele patru săgeți ale unuia și aceluiași arc: al cunoașterii”.(B. Nicolescu, 1997).

Conceptul de aplicație și modelare pentru învățarea matematicii are ca punct de pornire următoarele aspecte:

trebuie să dovedim elevilor că oamenii folosesc într-adevăr matematica din mai multe motive și în mai multe scopuri – astfel, elevii vor avea o imagine mai bogată despre natura și rolul matematicii;

e necesar să arătăm că învățarea matematicii înseamnă formarea unor atitudini și a unor idei mult mai generale decât conținutul matematic studiat.

Conform celui de-al doilea concept (modelare pentru învățarea matematicii):

unul dintre scopurile predarii si învățării matematicii este înzestrarea elevilor cu capacitatea de a folosi matematica dincolo de cadrul formal și abstract al matematicii;

aplicarea matematicii în afara cadrului abstract se face întotdeauna prin modele matematice și prin modelare.

În diversele sisteme școlare, apare din când în când (la noi încă mai persista) concepția potrivit căreia dacă cineva a învățat matematica pură într-un mod corect și eficient, atunci va fi capabil să aplice matematica în alte domenii și contexte, fără a mai fi pregătit în acest sens. Cercetările recente au arătat, însă, că nu există transfer automat între cunoștințele matematice pure și capacitatea individuală de a folosi aceste cunoștințe în situații care încă nu au fost matematizate. Astfel, dacă dorim ca elevii noștri să dispună de competențe de aplicare și modelare, ca o consecințăa a culturii matematice însușite, atunci aplicația și modelarea trebuie să fie prezente în mod explicit în programa de predare a matematicii.

Ce este un model?

Modelul reprezintă un obiect material sau ideal, care substituie în procesul de cercetare obiectul original, păstrând anumite caracteristici esențiale, importante pentru procesul de cercetare.

Figura…. Exemple de model

Procesul de construire al modelului se numește modelare. Există câteva tipuri de modelare, ce pot fi unite în două mari grupe: modelare materială și ideală.

La modelarea materială se atribuie metodele, la care cercetarea originalului se realizează prin reproducerea în model a caracteristicilor geometrice, fizice, dinamice, funcționale de bază. Exemple: machetele clădirilor, a diferitelor aparate (avioane, automobile, vechicule etc.).

Modelarea ideală poartă un caracter teoretic. Uneori se poate baza pe o concepție intuitivă despre obiectul cercetărilor. În cazul în care modelarea nu este intuitivă, se folosesc anumite simboluri, modelarea fiind simbolică. În calitate de simboluri se folosesc diverse scheme, grafice, formule. În categoria modelelor simbolice un loc aparte îl ocupă modelarea matematică, la care cercetraea obiectului se realizează prin intermediul unui model formulat în termeni și noțiuni matematice, cu folosirea unor metode matematice.

Descrierea unui proces sau fenomen prin intermediul noțiunilor matematice se numește model matematic.

Exemplul 1: Să se determine coordonatele punctelor de intersecție a dreptei x=1/2 și a unei circumferințe unitare cu centrul în originea coordonatelor.

Modelul matematic al acestei probleme este determinat de sistemul de ecuații.

Figura…. Model matematic – sistem de ecuații

Exemplul 2. Pe o masă netedă se află o bilă metalică, fixată de un arc. Arcul se comprimă, fără a i se deteriora elasticitatea, apoi se eliberează. Se cere să se determine, unde se va afla bila peste t secunde.

Figura…. Model matematic – legea oscilațiilor armonice

Conform Dicționarului Explicativ al Limbii Romane (DEX, 2009), termenul modelare înseamnă: MODELÁRE, modelări, s. f.  1. Acțiunea de a modela și rezultatul ei; modelaj. 

2. (Mat.) Reprezentare a unei relații prin simbolism matematic. –V. modela. 

În Marele Dicționar de Neologisme (MDN, 2000) regăsim următoarele semnificații:

MODELÁRE s. f. 1. acțiunea de a modela. 2. metodă în știință și tehnică constând în reproducerea schematică a unui obiect sau sistem sub forma unui sistem similar sau analog. ◊ (mat.) reprezentare a unei relații prin simbolism matematic. ◊ construire de modele. 3. reproducere în relief a formelor în sculptură; modelaj. (< modela).

În Enciplopedia liberă se menționează că „modelarea matematică este descrierea unui sistem utilizând concepte și termeni matematici. Este folosită atât în domeniul științelor naturale cât și în ingineria industrială și economică. Din procesul unei modelări matematice trebuie să rezulte un model matematic al cazului (situației) studiat, model folosibil în luarea de decizii tehnice sau economice”.

În ceea ce privește statutul modelǎrii, literatura de specialitate abordează două variante: una care încadrează modelarea în metoda demonstrației și una care considerǎ modelarea o metodă de sine stătătoare.

Mușata Bocoș și Miron Ionescu sunt adepții celei de-a doua variante, deoarece, spre deosebire de demonstrația bazată pe modele, spun ei, prin modelare se exprimǎ legități, greu accesibile observației directe. Pentru ca modelarea să se realizeze optim trebuie respectate câteva cerințe:

modelul să fie o verigă intermediară între realitatea obiectivă și cunoașterea teoretică cu direcție în ambele sensuri – de la realitatea percepută ca o teorie și invers – de la teorie către realitatea supusă observației;

modelul să cuprindă elemente de interes științific;

modelul să fie adecvat temei de studiu;

modelul să reproducă caracteristicile esențiale ale originalului, pentru asigurarea unui studiu eficient;

modelul să fie utilizat ca instrument pentru descoperirea unor noi trăsături ale originalului;

modelul să fie un sistem închis, deoarece are un anumit număr de caracteristici, iar originalul – un sistem deschis, deoarece poate să releve oricând o nouă caracteristică;

modelele iconice și ideale trebuie să se îmbine cu demonstrația modelelor obiectuale.

Importante în studiul modelarii sunt ipostazele în care aceasta poate fi întâlnită.

1. Modelarea – metoda de predare:

Folosirea modelarii în activitatea de predare presupune participarea activă a elevilor în cadrul activităților prin analiza modelelor proprii, prin construirea unora noi sub îndrumarea competentă a cadrului didactic.

2. Modelarea – metoda de învățare:

Învățarea prin modelare se caracterizează prin următoarele:

la baza învățării prin modelare stă acțiunea cu modelul „acest sistem material sau ideal, care reproduce mai mult sau mai puțin fidel originalul cu scopul de a ușura descoperirea unor noi proprietăți ale acestuia”. (Ionescu M., Radu I., 2001, pag. 146).

învățarea cu ajutorul modelului are valoare formativă și informativă, deoarece elevul înțelege mai bine componentele, relația dintre diferite obiecte, fenomene și legăturile care se stabilesc între ele.

3. Modelarea – procedeu didactic:

Utilitatea metodelor și procedeelor didactice depinde de situația de instruire și de modalitățile concrete de integrare a lor în strategia de instruire, de locul și rolul lor în realizarea obiectivelor urmărite într-o activitate de învățare dată.

De exemplu, modelarea poate fi un procedeu în cadrul metodei demonstrației: demonstrația cu ajutorul unor obiecte concrete (modelele). Dar atunci când modelul este văzut ca un mijloc de cercetare, de experimentare, modelarea depășește valențele sale demonstrative, având rolul de descoperire/redescoperire a unor adevăruri științifice și astfel, modelarea depășește tatutul de procedeu, devenind o metodă didactică de sine stătătoare cu valențe instructiv- educative, formative.

4. Modelarea – strategie didactică:

Pentru dobândirea calității de strategie didactică, o metodă de învățământ trebuie să îndeplinească următoarele criterii (Cristea S., 1998, pag. 423):

comunicarea activă, care asigură perfecționarea repertoriului comun la nivelul corelației dintre profesor și elev;

cunoașterea euristică a fenomenelor studiate, care stimulează capacitatea elevului de sesizare, rezolvare și creare a problemelor și a situațiilor problemă;

creativitatea reactivă și proactivă a profesorului (și prin el a elevului), care promovează individualizarea deplină a actului didactic.

Ioan Cerghit afirmă că:

„modelarea stimulează spiritul de experimentare în plan mintal, modelele devin suport al gândirii intuitive, productive și al dezvoltării acestuia, cultivǎ raționamentul de analogie, capacitatea inventivă, emiterea de ipoteze, formularea de alternative, alegerea soluțiilor”.

Ioan Cerghit îl amintește pe Leibniz care se referă la modelare ca fiind un puternic factor de progres științific, deoarece ea stă la baza metodelor de “simulație” utilizate în tehnologie, în previziunea economică, în pregătirea deciziilor.

Termenul „model didactic” ca atare, se pare că a fost folosit pentru prima dată de matematicianul Beltrami în 1868 (modelul Euclidian pentru geometria neeuclidiană), provenind de la rădăcina latină, “modus”, care, printre altele, înseamnă și “mijloc”. Belth consideră că modelul a fost primul instrument de cunoaștere științifică, iar Muller consideră că modelul ne trimite la “preistoria științei”.

Cezar Bârzea distinge trei sensuri în utilizarea termenului de model:

1) Sensul normativ: conduita de imitat sau reprodus, datorită valorii și semnificației sale; persoană, fapt sau obiect cu calități reprezentative pentru o întreagă categorie; obiect original după care pot fi reproduse obiecte asemănătoare, într-un număr infinit de copii;

2) Sensul artistic: persoană sau obiect cărora artistul le va reproduce imaginea; obiect de aceeași formă cu un alt obiect, mai mare sau mai mic; formă miniaturizată sau mărită.

3) Sensul științific: reprezentare grafică simplificată sau tridimensională a unei idei, a unui proces sau sistem; ansamblu de elemente sau variabile care alcătuiesc un sistem simbolic sau social; reprezentare logică sau matematică a unei teorii. Exista o mare varietate de modele, clasificarea lor fiind diversă.

Modelarea matematică ocupă un loc important în ansamblul metodelor de modelare, datorită posibilităților de lucru oferite de calculatoarele cu capacitate mare de memorare și viteză mare de lucru. Modelele matematice au apărut din necesitatea de a descrie și studia formal o categorie de sisteme reale, pentru a le putea controla și dirija activitatea. Modelarea în matematică a fost promovată de Cantor și Zermelo care erau de părere că conceptele matematice pot fi explicate prin intermediul modelelor matematice. Cunoașterea matematică se realizează cu ajutorul modelelor matematice. Modelarea matematică presupune de fapt observarea lumii înconjurătoare prin intermediul problemelor matematice și rezolvarea acestor probleme utilizând modelele matematice.

Modelarea matematică a operațiilor și în general a proceselor realității înconjurătoare, este însoțită aproape întotdeauna de existența a doua tendințe contrare: pe de o parte se caută ca modelul să reflecte cât mai exact procesul real, iar pe de altă parte, se dorește obținerea unui model cât mai simplu, care să permită rezolvarea completă a problemei. Rezolvarea acestei contradicții este echivalentă cu găsirea echilibrului dintre „suprasimplificare” și „supraaglomerare”.

5.2. Despre noile modalități de abordare a formării competenței digitale și a gândirii matematice

Formarea de competențe în predarea matematicii asigura calitate, acces și deschidere către problematica vieții contemporane.

Competența în domeniul matematicii a fost identificată la nivel european ca fiind una dintre competențele cheie pentru împlinirea personală, pentru o cetățenie activă, pentru incluziunea socială și pe piața muncii în sociatatea cunoașterii a secolului XXI. Studiile internaționale au ridicat motive de îngrijorare privind performanța scăzută a elevilor, iar acest lucru a dus la adoptarea în 2009 a unui benchmark la nivel european privind competențele de bază conform căruia 'până în 2020 procentul elevilor cu vârsta de 15 ani care au dificultăți la citit și la disciplinele matematică și științe să nu depășească 15% . Pentru a atinge această țintă până în 2020, trebuie să identificăm pe de o parte obstacolele și aspectele problematice, iar pe de alta parte, abordările eficiente. Acest raport este o analiză comparativă a metodelor didactice de predare din Europa ce contribuie la o mai bună înțelegere a acestor factori.

Există lucrări semnificative la nivel național privind problematica presupusă de competențe. Unele lucrări abordează un referențial general, non-disciplinar (Badea, D., 2010, 2011; Manolescu, M., 2010; Dulamă, Eliza, 2011; Mândruț, O., 2010, Mândruț, O., Catană, Luminița, Mândruț, Marilena, 2011) etc. De asemenea, există dezvoltări disciplinare semnificative pentru diferite domenii: istorie (Căpiță, Laura, Căpiță, C., Stamatescu, M.), limba și literatura română (Cerkez, M., Mihăilescu, Angela, Costea, Octavia), chimie (Noveanu, Gabriela etc.), limbi străine (Nasta, D. I.), matematică (Catană, Luminița), geografie (Mândruț, O., Dulamă, Eliza, Dan, Steluța), precum și pentru diferite competențe – cheie. Menționăm câteva abordări teoretice (Singer, Mihaela, Sarivan, Ligia, în „Quo vadis Academia”, 2006), precum și paradigma inițială a competențelor (concretizată în ghidurile de implementare a Curriculumului Național, 2001, coord. proiect Mihaela Singer).

Documentul elaborat de Consiliu în 2008, Concluziile Consiliului privind pregătirea tinerilor pentru secolul 21: o agendă de cooperare europeană a școlilor consideră alfabetizarea și dobândirea deprinderilor numerice ca fiind principalele priorități pentru cooperarea la nivel european în educație. prin competența matematică se înțelege nu doar numerația la nivel elementar, ci o combinație de cunoștințe, competențe și atutudini. Competența matematică se va referi la capacitățile de a raționa matematic, de a ridica întrebări și de a oferi răspunsuri în mod matematic și de a aplica rașionamentul matematic pentru rezolvarea problemelor din viața reală. Termenul va fi corelat cu alte competențe privind gândirea logică și spațială, utilizarea modelelor, a graficelor și a tabelelor, precum și cu înțelegerea rolului matematicii în societate. Aceasta abordare corespunde definițiilor utilizate de Consiliul Uniunii Europene și de OECD.

Gândirea matematică integrată în procesul de învățare. În conformitate cu strategia din documentul Ministerului Educației gândirea matematică (The mathematical processes) integrată în procesul de învățare trebuie să se realizeze prin următoarele obiective (Problem Solving, Reasoning and Proving, Reflecting, Selecting Tools and Computational Strategies, Connecting, Representing, Communicating):

rezolvarea problemelor – dezvoltare, selectare, aplicare, comparare, adaptare la o varietate de strategii și investigații în rezolvarea problemelor; aceste acțiuni contribuie la aprofundarea înțelegerii matematicii;

raționamentul și demonstratia – dezvoltarea și aplicarea de abilități în a efectua raționamente (de exemplu, raționament inductiv, raționament deductiv, contra-exemple, construirea de probe, etc.), efectuarea de afirmații matematice, evaluarea afirmațiilor, justificarea concluziilor, realizarea de deducții logice, argumente matematice organizate;

reflecții – clarificarea înțelegerii aspectelor matematice pe măsură ce se realizează rezolvarea unei probleme (evaluarea strategiilor și a proceselor utilizate, propuneri de abordări alternative, analiza rezultatelor prin verificarea soluțiilor obținute);

selectarea de instrumente și strategii computațională – folosirea diverselor instrumente didactice, instrumente electronice de învățare (calculatorul și software educațional), strategii de calcul adecvate pentru a investiga ideile matematice și pentru a rezolva probleme;

conexiuni și asocieri – conexiuni între concepte, termeni, proceduri matematice ce se referă la idei matematice ce explică și modelează situații sau fenomene care provin din alte contexte (domenii curriculare, viața de zi cu zi, evenimente curente, artă și cultură, sport, etc.);

reprezentarea – varietate de reprezentări ale ideilor matematice (reprezentări numerice, vizuale, forme geometrice, forme grafice, sheme și diagrame, reprezentări dinamice pe ecran prin utilizarea calculatorului, etc.), prin conexiune și comparare, prin aplicarea reprezentărilor adecvate în rezolvarea problemelor;

comunicarea – comunicarea gândirii matematică oral, vizual, și în scris folosind limbajul (vocabularul) matematic și o varietate de reprezentări adecvate, cu respectarea convențiilor matematice

In opinia lui P. I. Galperin, o buna organizare a instruirii, o dirijare a acesteia in conformitate cu etapele formarii actiunilor mintale ar grabi procesul formarii unor structuri operationale si cognitive, asadar, coborarea cu mult a varstei la care ele devin posibile. Prin schimbarea de esenta a continutului instruirii, trecerea la nivelul operatiilor formale despre care vorbea Jean Piaget se poate produce cu mult inaintea varstei de 11-12 ani. In cursul experimentelor, unor copii de 5 ani li s-au format notiuni care, in mod obisnuit, se formeaza la varsta de 10-12 ani. P. I. Galperin nu este de acord cu ideea ca nivelul operatiilor logico-formale constituie nivelul superior al dezvoltarii gandirii si nici cu ideea ca logica este singurul sau macar principalul criteriu al gandirii. Ceea ce studiaza logica – notiunile, relatiile, operatiile – este reflectarea unor insusiri generale ale realitatii, care include si gandirea insasi. Ea serveste drept instrument teoretic de stapanire a miscarii mintale in aceasta realitate, insa realitatea obiectiva nu se reduce la relatiile si operatiile logice. Pe langa insusirile logice, lucrurile mai au si insusiri mecanice, chimice, fizice, matematice, fiziologice etc., fiecare dintre acestea constituind obiectul unei stiinte separate, care nu se reduce la logica. Dobandirea formelor logice de gandire este un element important al pregatirii in orice sfera de activitate teoretica, insa este o conditie nespecifica. De aceea, scopul gandirii este nu numai stapanirea unor cunostinte bine organizate si a unui sistem de metode eficiente de lucru, incluzand operatiile logico-formale, ci si orientarea dupa relatiile sale esentiale. O asemenea orientare este necesara, pentru ca aceste relatii esentiale trebuie nu numai desprinse din masa celor neesentiale, dar si considerate in forma lor concreta, tinand seama de ceea ce le da aceasta forma particulara.

Pe scurt, scopul gandirii este nu numai miscarea libera in plan teoretic, ci si intelegerea relatiilor dintre ea si realitatea obiectiva. Gandirea adolescentului si a tanarului este departe de acest nivel. Si Jean Piaget remarca la acestia in primul rand preferinta pentru constructii teoretice si, in al doilea rand, raportarea la realitate ca la o instanta inferioara, obligata sa se supuna schemelor teoretice, ceea ce conduce la ignorarea complexitatii relatiilor reale si la abstractia, unilateralitatea si insuficienta constructiilor teoretice ca atare. „Iata de ce, scrie P. I. Galperin, consideram incorect ca etapele dezvoltarii intelectuale sa fie caracterizate numai dupa masura apropierii lor de operatiile logico-formale. Asemenea criterii sunt particulare si unilaterale si nu sunt deloc dominante pentru ceea ce inseamna dezvoltarea gandirii omului contemporan. Si daca aceasta este incorect chiar pentru nivelul operatiilor formale, atunci cu atat mai incorect apare pentru etapele mai timpurii ale gandirii copilului”.

In conceptia lui P. I. Galperin, notiunile si actiunile mintale se formeaza in alte termene, in alteetape si intr-o alta ordine decat la Jean Piaget. Astfel, in intelegerea conservarii cantitatii, P. I. Galperin apreciaza ca este vorba doar de lipsa anumitor parametri cu ajutorul carora copiii ar putea efectua comparatia (inaltimea, forma, volumul). In consecinta, profesorul trebuie sa-l invete pe copil sa-si organizeze activitatea corespunzator functiei sociale a lucrurilor. Interactiunea copilului cu lucrurile trebuie sa fie dirijata, nu intamplatoare, prin urmare, dezvoltarea este conditionata de metodele de invatare.

Completand afirmatia lui L. S. Vigotski, potrivit careia instruirea aduce dupa sine dezvoltarea, P. I. Galperin considera instructia drept conditie sine qua non a dezvoltarii, dar nu cauza ei. Cauza o constituie procesul de invatare, adica activitatea elevului, organizata sau spontana. In aceasta activitate se dobandeste experienta si prin intermediul cunostintelor si deprinderilor se schimba structura personalitatii, relatia ei cu lumea si cu sine. Potrivit teoriei actiunilor mintale, nivelurile de dezvoltare intelectuala, precum si periodizarea acestora in functie de varsta, sunt considerabil determinate de continutul notiunilor si actiunilor mintale, pe care copilul si le formeaza spontan sau prin intermediul instruirii.

Dezvoltarea gandirii presupune formarea sistematica a noilor notiuni si a unor noi actiuni mintale cu ele.

Dar instruirea nu coincide cu invatarea:

„…instruirea este procesul care se produce intre cel care instruieste si cel care invata, iar dezvoltarea se refera numai la fiecare dintre ei, luati in parte; invatarea este activitatea indreptata spre dobandirea cunostintelor si priceperilor, iar dezvoltarea inseamna o schimbare esentiala tocmai a celui care invata; aceasta schimbare se produce in procesul de invatare pe care ea insasi il si influenteaza, insa aceasta interactiune este posibila tocmai pentru ca invatarea nu este dezvoltare si nu coincide cu ea”.

Asadar, instruirea si invatarea, pe de o parte, dezvoltarea psihica, pe de alta parte, sunt chestiuni diferite. Dar instruirea, in masura in care asigura invatarea, duce la dezvoltare, care, deci, este posibila numai in cazul in care exista instruire si invatare. Numai in masura in care omul invata ceva se dezvolta. In afara invatarii nu exista dezvoltare, invatarea si, prin urmare, instruirea, fiind o forma a dezvoltarii.

P. I. Galperin si colaboratorii sai sustin ca independenta in gandire si creativitatea se pot manifesta numai dupa ce elevul dispune de un sistem de cunostinte si principii, pe care sa le poata folosi in mod adecvat in activitatea sa. Teoria formarii pe etape a actiunilor mintale ofera un model de activitate instructiva care, in anumite situatii, isi poate dovedi utilitatea, mai ales pentru perioada de inceput a instruirii, cand se impune indrumarea indeaproape a activitatii elevului.

Matematica este o excelentă școală de formare a gândirii în etape, care ordonează lucrurile conform complexității lor, care dezvoltă spiritul metodic de abstragere a faptelor date din experiență și intuiție, de cele ce decurg logic din ele. Se poate afirma că matematica modernă, prin caracterul său riguros, științific și generativ al sistemului ei noțional și operativ pe care îl cuprinde, este investită în bogate valențe educativ – formative, nu numai în direcția formării intelectuale, ci și în ceea ce privește contribuția ei la dezvoltarea personalității umane pe plan rațional, afectiv, volitiv, având o importantă contribuție la formarea omului ca personalitate.

Dezvoltarea competențelor de rezolvare a problemelor de matematică, obiectiv al programelor școlare, în majoritatea cazurilor, se păstrează la nivel declarativ, sugestiile acționale nefiind suficient de numeroase. În puține situații, pot fi identificate corelări între obiective – conținuturi – activități de învățare/sugestii metodologice, care să determine realizarea efectivă a unor activități care să susțină dezvoltarea acestor competențe. Programul de formare MATEDIDACTICA din cadrul Proiectului strategic: „Oportunități pentru o carieră didactică de calitate printr-un program național de formare continuă a profesorilor de matematică din învățământul preuniversitar”, POSDRU/87/1.3/S/62882, oferă o serie de oportunități de formare în direcția dezvoltării curriculum-ului centrat pe competențe, utilizării unor noi strategii și metode didactice care promovează un învățământ centrat pe elev, prin parcurgerea celor sapte module existente pe Platforma colaborativă a proiectului.

5.3. Importanța modelării în formarea gândirii matematice a elevilor

Societatea evoluează într-un ritm alert, iar tânăra generație este necesar să se formeze cât mai rapid și cât mai bine. Din aceste considerente, considerăm că procesul instructiv – educativ să sufere la rândul lui modificări pentru a se adapta cerințelor societății, schimbărilor economice și sociale rapide.

În procesul educațional este necesar a se utiliza metode și tehnici care să ofere elevului informațiile necesare, complete și într-o formă pe care acesta să le poată asimila cât mai ușor, să faciliteze accesul direct al elevului la sursele de informare, să formeze abilitați holistice, care să permită elevilor să se conecteze rapid și eficient informațiilor noi, să stimuleze creativitatea și activitatea în echipă.

Modelarea este o metodă activă care folosită în lecțiile de matematica, fizică, chimie, biologie îl ajută pe profesor să solicite și să antreneze gândirea elevilor, deoarece modelele reprezintă obiectele și fenomenele biologice simplificate, reduse la aspecte esențiale, ușor de înțeles de către elevi. Modelarea se bazează pe relația de analogie dintre modelul construit și sistemul original pe care el îl reprezintă. Modelarea didactică presupune „acțiunea cu modelul” (Barna A., Pop I., 2002, p. 230).

Vom ilustra câteva din rezultatele obținute de către Păcurar și Tirlă (2010) prin integrarea modelării (care este intuitivă – reprezentativă) în strategiile de învățare activă care s-au dovedit a fi superioare față de cele obținute utilizând metodele tradiționale. În studiul întreprins de autoare s-a pornit de la ipoteza că integrarea modelării în strategiile de învățare activă bazate pe gândirea critică duce la creșterea randamentului școlar, la o creștere a motivației pentru studiu, la formarea unor persoane care să gândească critic, care să poată asimila cunoștințe, să lucreze în cooperare și care să aplice cunoștințele.

Statisticile arată că reușita procesului de învățare pentru 90% din elevi este condiționată de aplicarea metodelor pedagogice.

Pentru selectarea metodei adecvate situației de învățare :

„trebuie mers în profunzime către identificarea mecanismelor mentale care se activează. Cunoștințele devin, astfel, instrumente intelectuale care funcționează în situații concrete și care transformă progresiv ideile și reprezentările preexistente” (Pintilie M., 2002, p. 26).

Un model-prototip al lecției având la bază gândirea critică în care s-a integrat metoda modelării a fost conceput ținând cont de următoarele aspecte: demersul didactic, desfășurarea lecției, și modelul experimental care s-a desfășurat în patru etape.

1. Etapa constatativă – administrarea testului inițial, același pentru toți elevii.

2. Introducerea schimbării în strategia didactică sub forma modelului-prototip de lecție, respectiv modificările vizate la clasa experimentală (IX B).

3. Evaluarea finală (administrarea, prelucrarea și interpretarea testului).

4. Interpretarea rezultatelor experimentului pedagogic

„Gândirea critică este rezultatul unor lecții bine concepute al căror scop este încurajarea gândirii critice” (Steele, J. L., Meredith, K. S., Temple, Ch., 1998). Ea contribuie la „formarea unor persoane care să gândească matur, care să poată asimila cunoștințe, care să lucreze în colaborare și care să aplice cunoștințele acumulate, ceea ce înseamnă educarea capacității de înțelegere, și nu aceea de memorare” (Adams D., Hamm M., 1996).

Rezultatele obținute au evidențiat că la clasa experimentală s-a constatat o creștere a interesului pentru studiul biologiei, o mai bună relaționare între elevi, creșterea gradului de implicare și adaptare pentru a face față situațiilor inedite. Astfel, metoda modelării are menirea să înlăture supraîncărcarea lecțiilor, memoriei elevilor cu date nesemnificative, inoperante și să formeze reprezentări conforme cu realitatea, completează strategia bazată pe gândirea critică printr-o viziune sistemică în care conținuturile sunt redate unitar și sintetic. Elevii clasei la care s-a aplicat modelul-prototip al lecțiilor înregistrează progrese reale față de cei care nu au avut acest privilegiu.

Rezultatele cercetării obținute de Păcurar și Tirlă (2010) în urma aplicării testului final au confirmat eficiența integrării modelării în strategiile de învățare activă la biologie, obținându-se diferențe semnificative statistic între rezultatele celor două grupuri de elevi (grupul de control și grupul experimental) în favoarea grupului experimental.

Metoda modelării reprezintă o orientare didactică în care gândirea elevului este dirijată spre descoperirea adevărului pe baza raționamentului prin analogie, utilizând un model didactic.

Învățarea prin modelare presupune două etape. Într-o primă etapă, învățarea se va face pe baza modelelor construite de profesori, etapă în care se vor analiza trăsăturile modelului și compararea lui cu originalul. În a doua etapă, elevii vor fi deprinși să-și construiască propriile modele printr-o succesiune logică de raționamente. Această metodă constă în utilizarea modelelor ca sursă pentru dobândirea de noi cunoștințe.

Prin modelare se dezvoltă la elevi spiritul de observație, capacitatea de analiză, sinteză și creativitate, gândirea matematică. Astfel, elevul se obișnuiește să creeze noi probleme ce trebuiesc rezolvate, să adapteze algoritmi cunoscuți la situații noi, etc.

Prin modelare, joc didactic, problematizare, învățarea prin descoperire elevul este pus în situația de a căuta, a descoperi, de a rezolva situații noi, neînvățate anterior. Acestea privesc atât activitatea elevului cât și pe cea a profesorului. Matematica este știința cea mai operativă, care are cele mai multe și mai complexe legături cu viața. Ea se învață pentru a fi utilă. Nu există vreun domeniu al vieții în care matematica să nu-și găsească aplicabilitatea. Tocmai de aceea, modernizarea învățământului matematic apare ca o necesitate. Analog se procedează în rezolvarea problemelor care necesită structurilor dinamice de date (stive sau cozi), folosind operațiile elementare specifice acestora.

Modelele materiale sunt foarte intuitive, dar trebuie construite, aduse în sala de clasă pentru a putea fi prezentate. Profesorul aduce, de obicei, un singur material model pe care-l prezintă unei clase formate din aproximativ 30 de elevi. O parte din acești elevi nu reușesc să surpindă detaliile. Pentru a se asigura că fiecare elev poate să urmărească și să observe modelul, profesorul ar trebui să apeleze la modelele figurative: desene, fotografii, reprezentări grafice sau scheme ale originalului care au capacitatea de a reproduce forma exterioară, structura internă și relațiile funcționale ale originalului.

În acest sens se poate utiliza și software-ul educațional, materiale interactive, materiale video, tutoriale interactive etc.

Folosirea noilor tehnologii în crearea modelelor în învățare deschide pentru disciplinelor informatice o impresionantă arie de aplicabilitate în predarea altor discipline, de la artele plastice (muzică, pictură, sculptură) la cele mai diverse domenii ale tehnicii.

Mulți elevi învață matematică din necesități conjuncturale, în general, și mai ales în special pentru a face față exigenței diferitelor examene. Puțini sunt aceia care o fac din plăcere, din pasiune. Elevii își formează deprinderi de calcul oral sau scris, îsi însușesc anumite tehnici de calcul, dar „poezia matematicii” – plăcerea de a descifra și de a „reciti” ca pe o poezie cu multiple și uneori ascunse sensuri despre viață și univers, numai rezolvarea de probleme o realizează deplin. Grigore C. Moisil spunea: „Matematica va fi limba latină a viitorului, obligatorie pentru toți oamenii de știință. Tocmai pentru că matematica permite accelerarea maximă a circulației ideilor științifice. Învățând matematica, înveți să gândești”.

De aceea trebuie să facem tot ce ne stă în putința pentru ca tinerii pe care îi formăm în școlile noastre să îndrăgească minunata carte a matematicii, găsindu-i noi valențe și dimensiuni. Să-i convingem că, învățând matematica, lucrează la desăvârșirea viitorului lor și al nostru.

În acest sens, modelarea este importantă în formarea gândirii matematice a elevilor, deoarece matematica urmărește și dezvoltarea capacităților elevilor de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva pe baza relaționării cunoștințelor din diferite domenii, precum și înzestrarea cu un set de competențe, valori și atitudini menite să asigure o înțelegere profesională optimă.

Într-un început de secol al marilor tehnici și tehnologii nu se poate pune în discuție importanța sau valoarea formativă a matematicii. Este ca și cum am încerca să demonstrăm importanța logicii unui individ. Căci ce altceva face matematica, dacă nu creează logici pe termen lung, ordonează gândirea, dezvoltă raționamentul, imaginația, capacitatea de analiză și sinteză, perspicacitatea și puterea de a lua decizii. Munca cu problemele constituie terenul cel mai favorabil pentru dezvoltarea capacităților creatoare ale gândirii elevului, dacă ei dispun de o anumită independență în rezolvări și după propria lor experiență, personală. Profesorul, dascălul, învățătorul trebuie să creeze situații care fac să se nască probleme, care pun în joc facultățile creatoare ale gândirii  elevului, legate de lumea sa afectivă, de sistemul său propriu de interese și reprezentări. Un mijloc stimulativ pentru gândire și pentru o atitudine activă a elevului în rezolvarea de probleme, îl constituie discuția asupra informațiilor inițiale ale problemei, comparațiile și analogiile care asigură elevilor angajarea proprie și afectivă în procesul de rezolvare.

5.4. Modelul factorilor ce influențează randamentul elevilor la matematică

Orice cercetare științifică, care are drept scop cunoașterea unui proces, fenomen sau obiect din realitatea înconjurătoare, presupune crearea unei imagini a obiectului cercetat în așa fel încât proprietățile obiectului să poată fi verificate experimental. Această imagine este întotdeauna un model al fenomenului, procesului, obiectului studiat, independent de faptul, folosește cercetătorul cuvântul „model" sau nu.

Randamentul elevului la o anumită disciplină școlară depinde de un șir de cauze. Numărul și varietatea acestor cauze este foarte mare și nu toate dintre ele sunt cunoscute.

În literatura de specialitate, cauzele care influențează randamentul elevului la o disciplină sunt denumite factori.

Termenul factor (din lat. factor – producător, făcător) este utilizat ca alternativă, cu încărcătură de înțeles proprie, la denumirea de variabilă independentă într-un experiment pedagogic. Realizarea unui experiment presupune alegerea unei probleme de studiu și elaborarea unor ipoteze al căror adevăr sau falsitate vor fi confirmate sau infirmate în cursul cercetării. Cel mai frecvent se pune problema de a determina legăturile ce unesc două variabile: variabila independentă (cauza) și variabila dependentă (efectul).

În cadrul cercetărilor internaționale TIMSS concepute și organizate de IEA (International Association for the Evaluation of Educational Achievement – Asociația Internațională de Evaluare a randamentului școlar) sunt studiate două aspecte ale calității învățământului matematic:

elucidarea tendințelor de dezvoltare a învățământului matematic în diferite țări în baza analizei situației în fiecare țară participantă, analizei programei (curriculumului și manualelor de matematică, a literaturii metodico-științifice);

aprecierea comparativă a nivelului de cunoștințe a elevilor la matematică în țările participante și evidențierea randamentului elevilor la matematică.

Cel de-al doilea aspect presupune elucidarea factorilor care influențează randamentul elevilor la matematică.

În cele ce urmează vom studia posibilitățile de construire a unui model al factorilor care influențează învățarea elevilor, în general, și învățarea matematicii, în particular. Importanța cunoașterii factorilor este determinată de faptul că informația respectivă ar permite luarea unor decizii clare în politica și practica învățământului.

Chinapah ajunge la concluzia că factorii determinanți ai randamentului școlar sunt: conținutul învățării/curriculumul, mediul de învățare (școlar), mediul social.

A.G.Tuleghenova evidențiază patru clase de factori ai învățării:

(1) cei determinați de calitățile personale ale elevilor;

(2) cei determinați de calitățile personale ale profesorilor;

(3) cei ce țin de interacțiunile profesor–elev;

(4) cei ce se referă la mediul în care are loc învățarea.

Model și modelare

Dicționarele explicative propun mai multe definiții ale noțiunii „model". Pentru necesitățile cercetării noastre vom reține următoarele două definiții, care se completează una pe alta:

Modelul este ceea ce poate servi ca orientare pentru traduceri sau imitații;

Modelul este o reprezentare simplificată a unui proces sau al unui sistem, numit original, care permite de a înțelege mai bine structura sau/și funcționarea acestuia.

În didactica matematicii, noțiunea de model se întâlnește, de asemenea, frecvent. Elevii primesc adesea de la profesor sarcina de a rezolva exerciții conform modelului rezolvat. În lucrările cu caracter metodic profesorul de matematică poate găsi modele de lecții. Testarea preventivă reprezintă un model al testării de bază. În statistică eșantionul (reprezentativ) este privit drept un model al întregii populații.

Modelul poate fi privit drept o interfață între cercetător și obiectul/fenomenul/ procesul cercetat (original)

Modelul IPR (Intrări, Procese, Rezultate)

Majoritatea modelelor factorilor ce influențează învățarea se sprijină pe un model de bază în care rezultatele (de exemplu, randamentul elevilor) sunt determinate de intrări (de exemplu, resursele și infrastructura) și de procese (activitatea profesorului și a elevilor). În forma cea mai simplă, modelul IPR (Intrări, Procese, Rezultate) se prezintă în felul următor:

Din punct de vedere teoretic, modelul IPR este unidirecțional și cauzal în sensul că intrările influențează procesele care, la rândul lor, influențează rezultatele. Modelul IPR poate fi privit ca un sistem dinamic și interactiv: informația căpătată la ieșire poate fi utilizată pentru a modifica intrările și procesele:

Într-o variantă mai generalizată, modelul IPR poate fi considerat deschis în sensul că procesele și rezultatele sunt influențate de variabilele externe:

Principalul inconvenient al modelului IPR constă în faptul că el reprezintă un schelet care nu conține nici un fel de indicații referitoare la relațiile ce trebuie examinate sau la variabilele ce trebuie măsurate. Din această cauză, a apărut necesitatea de a elabora alte modele, mai utile decât modelul IPR.

Primul model al IEA (Asociația Internațională pentru Evaluarea Randamentului școlar)

Prima cercetare internațională, organizată de Asociația Internațională pentru Evaluarea Randamentului școlar (IEA) în anii 1959-1961, s-a sprijinit pe un model care concretiza modelul IPR. Experții IEA au pornit de la ideea că elevii învață ceea ce este predat de profesor și, prin urmare, cea mai mare influență asupra învățării o au programele școlare (curriculumul). În consecință, programele proiectate pot fi privite drept intrări, activitățile de predare conform programelor pot fi interpretate drept procese, iar programele realizate (ceea ce au însușit real elevii) pot fi considerate drept rezultate:

În cadrul cercetării amintite, informația despre programul proiectat era culeasă prin analiza documentelor reglatoare și informaționale: planul de învățământ, manualele, literatura metodică. Informațiile care confirmau predarea programului se refereau la notele puse de profesori, conținutul lucrărilor de control și a testelor utilizate. În sfârșit, rezultatele elevilor la testul propus de IEA constituiau informația despre programul realizat. De acum la etapa de analiză a rezultatelor primei cercetări au fost sesizate limitările modelului de mai sus: lipsa informațiilor despre unitatea școlară și despre conducerea ei, lipsa informațiilor despre profesori, lipsa informațiilor despre elev.

Sinteza Wang–Haertel–Walberg

Pe parcursul anilor ’80 ai secolului trecut un grup de cercetători din SUA, condus de Margaret Wang, a întreprins o cercetare amplă pentru a sintetiza informațiile referitoare la factorii care influențează randamentul elevilor la matematică. Au fost evidențiate 228 de variabile care au efect asupra învățării. Aceste variabile au fost împărțite în șase categorii mari, iar în interiorul fiecărei categorii variabilele au fost aranjate în ordinea descreșterii gradului de influență asupra învățării.

În ordinea descreșterii ponderii lor, cele șase categorii sunt următoarele: 1) concepția programei; 2) variabilele contextuale din afara școlii (de exemplu, cadrul familial, utilizarea timpului liber); 3) conținuturile și climatul în sala de clasă (de exemplu, gestiunea clasei); 4) variabilele referitoare la elevi (de exemplu, motivația, atitudinea față de disciplina școlară respectivă); 5) variabilele referitoare la școală (de exemplu, politica de participare a părinților în gestiunea școlii); 6) variabilele referitoare la mediul în care se află școala (de exemplu, politica comunității locale vis-à-vis de educație).

Cercetările ulterioare au permis a evidenția factorii care au cel mai mare impact asupra învățării și anume: (a) gestiunea clasei; (b) procesele metacognitive; (c) procesele cognitive; (d) cadrul familiar și sprijinul părinților; (e) interacțiunile sociale dintre elevi și personalul didactic. Managementul clasei este una dintre competențele profesorului; procesele cognitive și metacognitive denotă anumite calități ale elevului; cadrul familiar și sprijinul părinților se referă la mediul extrașcolar; ultimul factor se referă la interacțiunea profesor–elev.

Se poate afirma cu certitudine că, la moment, nu există o teorie științifică coerentă care ar permite o analiză obiectivă a influenței tuturor factorilor învățării. Elaborarea unei asemenea teorii necesită crearea unei bănci de date (fapte) științifice, căpătate în urma evidențierii și studierii fiecărui factor care poate influența învățarea.

O variantă de clasificare constă în evidențierea factorilor care reprezintă anumite calități ale elevului (factori interni) și a factorilor care formează mediul (factori externi). Prin sintetizarea punctelor de vedere a mai multor specialiști, a fost elaborată clasificarea din Figura de mai jos.

Figura …. Clasificarea factorilor care influențează randamentul elevilor

Procesul de construire a modelului se numește modelare. Sunt mai mulți specialiști în teoria modelării, ce consideră că modelarea constă în reproducerea unor aspecte ale originalului.

Modelarea matematică operează cu mărimi numerice fără a condiționa modul de interpretare subiectivă, într-un anumit context a rezultatelor obținute. Ea presupune cunoașterea tuturor elementelor care concură la descrierea fenomenului, posibilitatea exprimării cantitative și pe cât posibil fără nici un adaos subiectiv, cunoșterea cât mai amănunțită a condițiilor în care are loc fenomenul, precizarea restricțiilor impuse unor mărimi sau funcții.

Cercetările realizate de Galperin și Piaget, au evidențiat faptul că formarea concepțiilor se bazează pe interiorizarea unor acțiuni, adică pe baza trecerii de la acțiuni externe cu obiectele, la acțiuni interne ce se desfășoară pe plan mintal cu ajutorul limbajului. Astfel, gândirea ne apare ca un joc de operații și nu o simplă asimilare de imagini și noțiuni. A forma gândirea înseamnă a forma operații, iar a forma operatii înseamnă a elabora sau constitui în acțiuni și prin acțiune.

Rezolvarea problemelor pune la încercare în cel mai înalt grad capacitățile intelectuale ale elevilor, le solicită acestora toate disponibilitățile psihice, în special inteligența, motiv pentru care în ciclul primar se acordă o mare importanță rezolvării problemelor de matematică. Valoarea formativă a rezolvării de probleme sporește, pentru că participarea și mobilizarea intelectuală a elevilor la o astfel de activitate este superioară altor demersuri matematice, elevii fiind puși în situația de a descoperi ei înșiși modalitățile de rezolvare, de a formula ipoteze și de a le verifica, de a face asociații de idei, corelații inedite.

La elevi se formează priceperea de a analiza situația dată de problemă (valorile numerice, relațiile cunoscute) și „a descoperi” calea prin care să obțină ceea ce se cere în problemă. Aceasta duce la dezvoltarea gândirii, la formarea limbajului matematic, la educarea perspicacității și a spiritului de inițiativă.

*

* *

În sinteză, evidențiem că:

Modelarea în științele sociale, în special, în pedagogie, se ciocnește de un șir de dificultăți, unele din ele fiind de ordin principial; la construirea modelului întotdeauna există o nedeterminare. Micșorarea gradului de nedeterminare este posibilă printr-o pătrundere mai adâncă în esența originalului și o formulare mai precisă a scopului modelării.

La construirea modelului factorilor care influențează randamentul elevilor la matematică s-a dovedit a fi eficientă metoda deductivă: pornind de la cele mai generale modele ale factorilor învățării, propuse de diferiți cercetători, inclusiv în cadrul cercetărilor internaționale

La clasificarea factorilor care influențează randamentul elevilor la matematică, s-a dovedit a fi util factorul „aria de influențare" a factorului. In conformitate cu acest criteriu, factorii pot fi divizați în factori individuali (afectează o singură persoană) și factori colectivi (influențează mai multe persoane).

Elaborarea modelului de identificare a obstacolelor cognitive și metacognitive a fost posibilă în baza analizei atente a etapelor de rezolvare de către elev a unei sarcini la matematică și descrierea activităților mentale realizate la fiecare etapă.

1. !!!!LĂMUREȘTE TOATE CHESTIUNILE PRIVIND VIRTUȚILE MODELĂRII MATEMATICE ȘI COMPLETEAZĂ ACEST CAPITOL CU EXEMPLE SUGESTIVE !!!!

2. INTRODU AICI SAU MAI SUS UN CAPITOL MASIV DESPRE CALCULUL EVOLUȚIONIST-GENETIC, CA MODALITATE DE FACILITARE A ÎNVĂȚĂRII MATEMATICII. Leagă cumva de titlu demersul întreprins aici și fă specificații (subtitlu) în Introducere

Concluzii la capitolul 4 (sunt adaugate mai sus, e necesara stergerea)

Modelarea în științele sociale, în special, în pedagogie, se ciocnește de un șir de dificultăți, unele din ele fiind de ordin principial; la construirea modelului întotdeauna există o nedeterminare. Micșorarea gradului de nedeterminare este posibilă printr-o pătrundere mai adâncă în esența originalului și o formulare mai precisă a scopului modelării.

La construirea modelului factorilor care influențează randamentul elevilor la matematică s-a dovedit a fi eficientă metoda deductivă: pornind de la cele mai generale modele ale factorilor învățării, propuse de diferiți cercetători, inclusiv în cadrul cercetărilor internaționale

La clasificarea factorilor care influențează randamentul elevilor la matematică, s-a dovedit a fi util factorul „aria de influențare" a factorului. In conformitate cu acest criteriu, factorii pot fi divizați în factori individuali (afectează o singură persoană) și factori colectivi (influențează mai multe persoane).

Elaborarea modelului de identificare a obstacolelor cognitive și metacognitive a fost posibilă în baza analizei atente a etapelor de rezolvare de către elev a unei sarcini la matematică și descrierea activităților mentale realizate la fiecare etapă.

Completează aceste concluzii legând totul de calculul evoluționist- genetic, de teoria jocurilor și învățarea prin întărire

CAPITOLUL VI

CALCULUL EVOLUȚIONIST-GENETIC

6.1. Fundamente ale teoriei evoluționiste

Cele mai multe științe biologice, de la biologia moleculară la studiul comportamentului animal, neurofiziologie sau genetică populațională, încearcă să răspundă la întrebări de tipul „cum?”, referitoare la mecanismele funcționării organismelor. Științele evoluționiste aduc însă perspectiva întrebărilor „de ce?” (întrebări legate de funcționalitate), evidențiind faptul că multe dintre aceste mecanisme sunt adaptări, trăsături ce optimizează fitnessul individual (Hamilton, 1964).

După definițiile lui Hamilton (1964), fitnessul individual, adică potențialul biologic adaptativ, reprezintă capacitatea unui individ de a face față cu succes genele generațiilor urmatoare. Unele trăsături adaptive sunt specifice diferitelor specii sau grupuri de indivizi, iar altele sunt comune aproape tuturor ființelor vii, reflectând ideea de unitate a vieții (Holland, 1992; Futuyuma, 1995). Unitatea, diversitatea și trăsăturile adaptive ale organismelor (trăsături fizice, psihologice, comportamentale) sunt consecințe ale istoriei evolutive. Evoluționismul și toate științele ce utilizează abordarea evoluționistă (genetica populațională, psihologia evoluționistă, ecologia comportamentală etc.) investighează istoria vieții și procesele ce duc la diversitatea și unitatea acesteia.

 Calculul evolutiv se ocupa cu problemele optimizarii si clasificarii cu masini instruibile, care se bazeaza pe principii extrase din:

genetica biologica,

selectia naturala

sisteme adaptive complexe.

Genetica este o ramură a biologiei care studiază fenomenele și legile eredității și variabilității organismelor.

Enumerăm cateva caracteristici ale procesului de evolutie genetica:

Cromozomii sunt purtatorii informatiei genetice Cromozom:o structura ordonata (liniara) de elemente numite gene ale caror valori determina caracteristicile unui individ si care transmite informatia genetica. In genetica
pozitiile pe care se afla genele in cadrul cromozomului se numesc loci, iar valorile pe care le pot lua se numesc alele.

Fiecare individ al unei specii poseda un numar determinat de cromozomi. Totalitatea cromozomilor unui individ reprezinta genotipul sau.

Evolutia este un proces ce se realizeaza la nivelul cromozomilor.

Selectia naturala reprezinta legatura dintre cromozomi si performantele indivizilor.

Evolutia se realizeaza in procesul reproducerii.In evolutie actioneaza procese de selectie si mutatie. Foarte importante sunt procesele de recombinare a materialului genetic al parintilor.

Paradigmele calculului evolutiv furnizeaza instrumente pentru a construi sisteme inteligente care modeleaza comportamentul inteligent.

Specificul calculului evolutionist

Mecanisme de cautare in spatiul solutiilor bazate pe principiile evolutiei naturale, principiul supravietuirii celui mai bun (teoria evolutionista- Darwin).

Pentru gasirea solutiei se utilizeaza o populatie de solutii potentiale care evolueaza.

Evolutia indivizilor din populatie: acestia devin mai adaptati mediului decat indivizii din care au fost creati – similar cu adaptarea naturala.

Furmizeaza aproximari din ce in ce mai bune ale solutiei.

Pentru a ghida cautarea catre solutia problemei asupra populatiei se utilizeaza
transformari specifice evolutiei naturale: selectie, incrucisare (recombinare), mutatie, reinsertie, etc.

In functie de modul in care este construita populatia si de modul in care este implementata evolutia, sistemele de calcul evolutiv pot fi incadrate in una dintre urmatoarele categorii:

-Algoritmi genetici (genetic algorithms)
-Programare evolutionista (evolutionary programming)
-Strategii evolutive (evolution strategies)
-Programare genetica (genetic programming)
-Optimizarea roiurilor de particule (particle swarm optimization)
-Algoritmi genetici(genetic algorithms)

Reprezinta tehnici de cautare si optimizare avand ca punct de pornire mostenirea genetica si evolutia naturala.

Se folosesc in special pentru rezolvarea unor probleme complexe de optimizare (discreta). Populatia este reprezentata de stari din spatiul problemei codificate binar (un element al populatiei este un sir de biti) sau cu variabile reale. Principalii operatori sunt cei de selectie si incrucisare, cel de mutatie avand probabilitate mica de aplicare.

6.2. Ce este evoluția?

6.3. Mecanisme ale evoluției

Mutațiile

Selecția naturală

Originea evolutivă

*

!!!Precizează aici, în subcapitol separat, pregătitor că vor urma aplicații practice desprinse din teoria matematică a jocurilor !!!

Capitolul V

Utilizarea teoriei matematice a jocurilor în formarea competenței digitale și a gândirii matematice

Adaugă aici

5.0. Importanța teoriei matematice a jocurilor

-Funcția ludică

-jocurile ca antrenament mintal

5.1. Jocul copilului, computerul și jocurile matematice

5.2. O trecere recentă în revistă a problematicii teoriei jocurilor

La începutul anilor ‟90, Gerald Tesauro [24] demonstrează că învățarea cu întărire este suficient de puternică, pentru a face ca un program care învață singur să învingă jucători profesioniști. Programul său, este un joc de table sugestiv denumit TD-Gammon, bazat pe teoria diferențelor temporale pentru calcularea recompenselor la diferite momente de timp.

În 1997, Deep Blue, un super-computer creat de firma IBM[25], îl învinge pe Garry Kasparov, campionul mondial de șah la acea vreme. Tot în același an, are loc primul campionat de fotbal cu roboți. Tehnici de Inteligență Artificială sunt folosite de programe de căutare pe Internet pentru extragerea de cunoștințe dar și în domeniul militar, în operațiuni precum „Furtună în deșert”.

În 2000, se construiesc deja „animale de casă” robotizate interactive, cu mare succes comercial, lideri în acest domeniu fiind firmele japoneze. Cynthia Breazeal coordonează proiectul Kismet, care încearcă construirea unui robot cu o față care exprimă sentimente. Se înregistrează un progres și în sectorul mașinilor inteligente autonome. Robotul Nomad explorează regiuni îndepărtate din Antarctica în căutare de fragmente de meteoriți. Alți roboți transmit imagini de pe suprafața planetei Marte și se cercetează posibilitățile de creștere a autonomiei vehiculelor spațiale[26].

Jocurile versus Inteligența Artificială

Dezvoltarea jocurilor și a domeniului multimedia, în general, este în plină expansiune, o afacere de sute de milioane de dolari. La ora actuală nu se mai poate concepe un joc fără a avea în structură elemente de Inteligența Artificială. Implementată corect, aceasta garantează un produs bine vândut, deci profit și satisfacție oferită jucătorilor[27].

Teoria jocurilor de strategie, poate fi, pe scurt, caracterizată ca aplicarea analizei matematice asupra modelelor abstracte de situații conflictuale. Primele astfel de modele în care a fost aplicată această teorie, au fost jocurile de societate ca șah, poker sau bridge. Apoi s-au aplicat aceleași modele în domenii ca economia, sociologia sau științele politice. Teoria jocurilor este folosită, sau se află în strânsă legătură cu arii ca programare liniară, decizii statistice, managementul științei, cercetare sau strategi militare, deși, uneori corespondenta matematică a teoriei nu este valabilă.

Jocuri în forma extinsă și jocuri în forma normalizată

Participanții la un joc sunt numiți jucători și în general sunt 2, dar există și jocuri cu mai mulți. Există de asemenea jocuri care implica elemente aleatoare numite și șansă, care intervin atunci când se aruncă zarurile sau se extrage o carte. Toate aceste mutări sunt atribuite unui jucător „Șansă” – un jucător fictiv folosit doar pentru o bună abstractizare a jocului.

Spunem ca un joc este în forma extinsă, atunci când acesta este specificat de o listă de reguli. Pentru rezolvarea matematică a unui joc, avem însă nevoie de jocuri in forma normalizată. Pentru aceasta este nevoie sa cunoaștem o listă completă cu toate combinațiile de mutări legale posibile, pe care un jucător poate să le facă pentru fiecare situație care apare pe parcursul unui joc. Numărul acestor mutări poate fi astronomic, chiar și pentru un joc simplu cum este Tic-Tac-Toe, deoarece aceasta listă de mutări este mult mai mare decât ceea ce noi numim strategie. Tocmai din acest motiv, aplicațiile teoriei jocurilor, chiar si pentru jocurile de societate, sunt mult limitate de dificultăți computaționale.

Să presupunem acum că avem un joc, cu n jucători, fără jucătorul Șansă, prezentat mai sus. Notăm cu s1, s2, …, sn combinațiile de mutări posibile pentru toată durata jocului, specifice jucătorilor 1, 2, …, n. Fiind date acestea, jocul trebuie jucat intr-un mod unic si va rezulta un câștig unic. Fie Pi (s1, s2, …, sn ) valoarea câștigului jucătorului i pentru acest joc. Presupunem că O1, O2, …, Ok sunt venituri în urma unui eveniment aleator (de șansă), și presupunem în continuare că probabilitățile de apariție a acestora sunt p1, p2, …, pk cu pi > 0 și p1 + p2 + … + pk = 1. Probabilitatea matematică a evenimentului de șansă este suma E = p1O1+ p2O2 + .. + pkOk.

Dacă există aceste mutări aleatoare (de șansă) este ușor de intuit că un set de combinații de mutări posibile pentru fiecare jucător, nu va determina un venit unic al jocului, ci un set de posibile venituri. Aceste venituri se vor exclude reciproc, și probabilitatea lor de apariție va depinde de mutările aleatoare asociate cu șansa lor de apariție. Prin urmare putem spune că Pi (s1, s2, …, sn ) este câștigul așteptat pentru fiecare jucător i = 1, 2, …, n.

Acum putem defini forma normalizată a jocului, ca lista tuturor câștigurilor așteptate pentru fiecare jucător, pentru fiecare combinație posibilă de mutări legale, de-a lungul jocului. Pentru jocurile de 2 jucători, cea mai simplă metodă de stocare a acestora este folosind matrice bidimensionale[28].

5.3. Clasificarea jocurilor

După ce am vorbit mai sus despre jocuri în forma extinsă și jocuri în forma normalizată, vom prezenta în continuare o clasificare a jocurilor propusă de Weiss (1998)[29]în raport cu diverse criterii:

a. După modul în care jucătorii comunică intre ei:Jocuri cooperative, jocuri necooperative.

b. În raport cu desfășurarea în timp a jocurilor: Jocuri statice; Jocuri dinamice; evoluează în timp.

c. După natura informației: Jocul în informație completă, Jocul în informație incompletă, (cel puțin un jucător nu cunoaște una sau mai multe funcții de câștig ale celorlalți jucători)

d. În raport cu tipul informației, în cazul jocurilor dinamice: În informație perfectă în care fiecare dintre jucători cunoaște istoria jocului (regulile, strategiile, evoluția în timp a jocului). În informație imperfectă, alfel.

e. În raport cu structura câștigurilor: Jocul de sumă nula, Jocul de sumă nenulă, jocul în care suma câștigurilor este diferită de zero.

f. După numărul de jucători: – Jocuri cu doi jucători mai multi jucători sau contra naturii

5.4. Strategie și funcție de câștig

Numim strategie a unui jucător, o acțiune realizabila pe care jucătorul o poate alege în cadrul jocului. Mulțimea strategiilor tuturor jucătorilor formează mulțimea strategiilor jocului pe care o notăm: S = S1 x S2 x … x Sn , unde Si este strategia fiecăruia din cei n jucători.

Funcție de câștig a jocului este funcția u = ( u1, u2, …, un ) formată din funcțiile de câștig ale fiecărui jucător. Dacă notăm funcția de câștig a fiecărui jucător cu ui și funcțiile de câștig ale celorlalți jucători cu u-i, funcția de câștig a jocului va fi: u : S → R, u = ( ui, u-i ) [28].

John Nash propune o strategie ce ii poarte numele de Echilibru Nash), adică dacă strategiile ambilor jucători, îi vor duce pe aceștia la același câștig, ținând cont de strategia adversarului.

Echilibrul Nash mai poate fi definit și ca o mulțime de strategii ( s1*, s2*, …, sn* ) care respectă condiția:

ui ( s1*, s2*, …, si*, …, sn*) ≥ ui ( s1*, s2*, …, si*, …, sn*) pentru i = 1, n

sau

ui ( si*, s-i*) ≥ ui ( si*, s-i*) pentru i = 1, n (12).

5.5. Evoluția jocurilor

Teoria jocurilor este unul dintre primele domenii ale Inteligenței Artificiale, astfel prin 1769 apărea deja, prima fraudă odată cu apariția lui „Turk”, un presupus joc de șah automat, despre care autorul spunea că ascunde un mic expert. Primele discuții serioase despre jocuri inteligente au avut loc prin 1846, când Charles Babbage propunea proiectarea unui motor analitic complet, care ar fi capabil să joace dame și șah. Babbage a proiectat și prima mașină care să joace Tic-Tac-Toe, însă nu a reușit să o construiască. Prima mașină pentru jocuri a fost proiectată si realizată în 1890 de către Leonard Torres, și era capabilă să joace sfârșitul unei partide de șah. Tot în aceeași perioadă, Ernest Zermelo venea cu ideea generării întregului arbore pentru jocul de șah, in vederea găsirii unei strategii perfecte. Totuși, aceste cazuri au fost relativ izolate, adevăratul început al jocurilor inteligente având loc la mijlocul secolului XX, odată cu apariția primelor calculatoare electronice programabile. Este perioada în care a fost prezentată teoria Minimax, de către von Neumann și Morgenstern (1944). Pornind de la această idee s-au făcut mai multe încercări de realizare a unui program capabil să joace o partidă întreagă de șah, la un nivel satisfăcător. În 1951, matematicianul englez Alan Turing, a scris primul program capabil să joace o partidă întreagă de șah. Publicat doar în 1953, programul nu a rulat pe un calculator, ci a fost testat printr-o simulare manuală împotriva unui oponent uman slab, care l-a învins. A urmat dezvoltarea căutării alfa-beta și odată cu ea dezvoltarea de alte programe dintre care „MacHack6”, primul care concura cu succes împotriva oamenilor. În 1982 Pearl a realizat o analiză efectivă a factorului de ramificare și complexității lui alfa-beta, arătând că este algoritmul de căutare optimal pentru jocuri. De-a lungul anilor, programele pentru jocuri s-au îmbunătățit gradual, ajungând ca în zilele noastre să concureze cu succes campionii mondiali. Cel mai elocvent exemplu este cel din 1997, în care campionul Garry Kasparov a fost întrecut de un super-computer, Deep Blue, creat de firma IBM. Obținută în șase partide, această victorie a însemnat trecerea liniei Inteligenței Artificiale dincolo de ce s-a realizat până în acel moment. Din studiile efectuate, a reieșit că în creierul uman se află aproximativ 100 miliarde de neuroni, fiecare capabil de 1000 de operații pe secundă. În jur de 30 de miliarde de neuroni formează "materia cenușie", cea care gândește, restul de 70 de miliarde constituind "materia albă", cea care face legătura între neuronii din "materia cenușie". În contrast, Deep Blue conținea 480 de procesoare create special pentru jocul de șah, fiecare dintre ele fiind capabil să gândească aproximativ 2 milioane de poziții pe secundă. Un computer actual poate realiza 10 la puterea 17 operații pe secundă (o operație în timpul în care lumina ar străbate un atom de hidrogen). Este clar că viteza aparține mașinii. Și atunci ne punem întrebarea: “Ce atu mai are omul ?” Cel mai important pare a fi elementul surpriză, omul este imprevizibil, gândirea sa nu respectă întotdeauna un algoritm, așa cum îl știe mașina[27].

5.6.Exemple tipice de jocuri

5.6.1. Jocul ca problemă de căutare

Pentru a putea fi implementat, un joc, trebuie codificat așa încât să fie pe înțelesul calculatorului. De aceea un joc poate fi gândit ca un arbore a tuturor stărilor viitoare ale jocului. Spre exemplu, în cazul jocului de șah, starea jocului poate fi definită ca aranjamentul pieselor pe tablă, precum și cine este la rând să facă următoarea mutare

Starea inițială a jocului este rădăcina arborelui. În general, acest nod, are numeroși fii, aceștia fiind toate mutările posibile, legale, pe care le poate face jucătorul al cărui rând este, și așa mai departe. Fiecare dintre aceste noduri reprezintă starea jocului după fiecare mutare a oponentului, și are la rândul lui fii corespunzători celei de-a doua mutări a jucătorului curent și așa mai departe. Frunzele arborelui sunt stările finale ale jocului, din care nici o mutare nu mai poate fi făcută pentru că unul dintre jucători a câștigat, sau jocul s-a încheiat cu o remiză.

De fapt, arborele este un graf, deoarece pot fi mai multe mutări posibile dintr-o anumită stare a jocului, într-o altă stare particulară.

Componentele unei probleme de căutare

Un joc poate fi definit formal, ca o problemă de căutare cu următoarele componente:

Starea inițială, include pozițiile pe tabla de joc și cine este la mutare.

Mulțime de acțiuni, care definesc mutările admise pe care le poate efectua un jucător.

Stare terminală, care determină când se sfârșește jocul.

Funcție de utilitate, care întoarce o valoare numerică pentru rezultatul jocului..

5.6.2 Algoritmul Minimax

Algoritmul Minimax propus de John von Neuman în 1944, este un algoritm de căutare într-un arbore. Acest algoritm urmărește selectarea celei mai bune mutări pentru calculator, într-un joc cu doi jucători. Mai întâi se construiește arborele de joc cu toate mutările posibile pentru ambii jucători, după metoda descrisă mai sus.

Acest algoritm este denumit Minimax, deoarece calculatorul face mutarea care-i oferă câștigul maxim, în același timp asigurându-se că oponentul face mutarea cea mai defavorabilă calculatorului. Deoarece mutările alternează, și algoritmul alternează maximizând și minimizând nivelele arborelui în mod recursiv.

Întrucât, chiar și în cazul unui joc simplu, numărul mutărilor posibile crește exponențial, și deoarece memoria unui calculator este limitată, de regulă, algoritmul Minimax face căutarea numai pe o adâncime fixă.

În continuare vom considera cazul unui joc simplu cu două persoane, pe care le vom numi sugestiv MAX și MIN astfel:

Jucator – MAX

Adversar – MIN

Principiu Minimax

Etichetez fiecare nivel din AJ cu MAX (jucator) si MIN (adversar)

Etichetez frunzele cu scorul jucatorului

Parcurg AJ

dacă nodul parinte este MAX atunci i se atribuie valoarea maxima a succesorilor sai;

dacă nodul parinte este MIN atunci i se atribuie valoarea minima a succesorilor sai.

Primul care mută primul este MAX, apoi mută pe rând, până la sfârșitul jocului, când unul este “premiat” iar celălalt penalizat.

Figura 9. Spatiu de cautare Minimax

MAX trebuie să găsească o strategie care să îl aducă la o stare terminală în care el este câștigătorul, indiferent de mutările pe care le face MIN. Strategia presupune că MAX face mutările corecte, indiferent de mutările lui MIN. Ideea este de a arăta cum se găsește o strategie optimă, chiar dacă nu este timp suficient să o găsim [30].

Algoritm: Minimax cu investigare exhaustiva

algoritmMinimax( S )

1. pentru fiecare succesor Sj al lui S (obtinut printr-o mutare opj) executa

val( Sj ) Minimax( Sj )

2. aplica opj pentru care val( Sj ) este maxima

sfarsit

Minimax( S )

1. daca S este nod final atunci intoarce scor( S )

2. altfel

2.1 daca MAX muta in S atunci

2.1.1 pentru fiecare succesor Sj al lui S executa

val( Sj ) Minimax( Sj )

2.1.2 intoarcemax( val( Sj ), j )

2.2 altfel { MIN muta in S }

2.2.1 pentru fiecare succesor Sj al lui S executa

val( Sj ) Minimax( Sj )

2.2.2 intoarcemin( val( Sj ), j )

sfarsit

Implementare Prolog

play:-

initialize(Position,Player),

display_game(Position,Player),

play(Position,Player,Result).

% play(+Position,+Player,-Result)

play(Position, Player, Result) :-

game_over(Position,Player,Result), !, write(Result),nl.

play(Position, Player, Result) :-

choose_move(Position,Player,Move),

move(Move,Position,Position1),

next_player(Player,Player1),

display_game(Position1,Player1),

!, play(Position1,Player1,Result).

% apel ?-play.

move(a1,a,b).

move(a2,a,c).

move(a3,a,d).

move(b1,b,e).

move(b2,b,f).

move(b3,b,g).

move(c1,c,h).

move(c2,c,i).

move(c3,c,j).

move(d1,d,k).

move(d2,d,l).

move(d3,d,m).

next_player(max,min).

next_player(min,max).

initialize(a,max).

display_game(Position,Player):- write(Position),nl,write(Player),nl.

% choose_move(+Position, +Player, -BestMove)

choose_move(Position, Player, BestMove):-

get_moves(Position,Player,Moves),

evaluate_and_choose(Moves,Position,10,Player,Record,[BestMove,_]).

% get_moves(+Position, +Player, -Moves)

get_moves(Position, Player, Moves):-

findall(M,move(M,Position,_),Moves).

% evaluate_and_choose(+Moves, +Position,+D,+MaxMin,

+Record,-BestRecord).

evaluate_and_choose([Move|Moves],Position,D,MaxMin,Record,BestRecord) :-

move(Move,Position,Position1),

next_player(MaxMin, MinMax),

minimax(D,Position1,MinMax,Value),

update(MaxMin,Move,Value,Record,Record1),

evaluate_and_choose(Moves,Position,D,MaxMin,Record1,BestRecord).

evaluate_and_choose([], Position, D, MaxMin, BestRecord, BestRecord).

% minimax(+Depth,+Position,+MaxMin,-Value)

minimax(_, Position, MaxMin, Value) :-

game_over(Position,MaxMin,Value),!.

minimax(0, Position, MaxMin, Value) :-

eval(Position,Value),!.

minimax(D, Position, MaxMin, Value) :-

D > 0, D1 is D-1,

get_moves(Position,MaxMin,Moves),

evaluate_and_choose(Moves, Position, D1, MaxMin, Record, [BestMove,Value]).

% update(+MaxMin, +Move, +Value, +Record, -Record1)

update(_, Move, Value, Record, [Move,Value]) :-

var(Record),!.

update(max, Move, Value, [Move1,Value1], [Move1,Value1]) :-

Value =< Value1.

update(max, Move, Value, [Move1,Value1], [Move,Value]) :-

Value > Value1.

update(min, Move, Value, [Move1,Value1], [Move1,Value1]) :-

Value > Value1.

update(min, Move, Value, [Move1,Value1], [Move,Value]) :-

Value =< Value1.

5.6.3.Jocul de Tic-Tac-Toe (X si O)

Functie de estimare euristica eval( S ) – conflictul existent in starea S.

eval( S ) = numarul total posibil de linii castigatoare ale lui MAX in starea S – numarul total posibil de linii castigatoare ale lui MIN in starea S.

Daca S este o stare din care MAX poate face o miscare cu care castiga, atunci eval( S ) =  (o valoare foarte mare)

Daca S este o stare din care MIN poate castiga cu o singura mutare, atunci eval( S ) = – (o valoare foarte mica).

Figura 10 Funcția de evaluare eval(S)

Figura 11. Arborele de căutare pentru Tic-Tac-Toe

În Figura de mai sus este reprezentat jocul Tic-Tac-Toe(X și 0), sub formă de arbore. De la starea inițială, MAX are posibilitatea de a alege din 9 mutări posibile. Jucătorii alternează punând X și 0 până se ajunge la o stare terminală – stare în care un jucător are 3 elemente pe o linie, coloană sau diagonală, sau toate căsuțele au fost completate(egalitate). Numărul atașat fiecărei frunze reprezintă utilitatea stării terminale din punctul de vedere a lui MAX. Valorile mari sunt considerate bune pentru MAX și proste pentru MIN, reciproca fiind valabilă, de aici și numele celor doi.

Sarcina lui MAX este să folosească acest arbore de căutare, și ținând cont de utilitatea stărilor finale să determine cele mai bune mutări.

5. 6.4 Funcția de evaluare

Este bine de știut că pentru un joc cum este șahul, factorul de ramificare este b ≈ 35, iar adâncimea arborelui m ≈ 100. Prin urmare algoritmul ar avea o complexitatea temporara uriașa O(35100), iar noi am plecat de la presupunerea că programul are timp să caute până la stările terminale, ceea ce este impractic.

Shannon propunea ca în loc să se meargă până la stările terminale și să se folosească funcția de utilitate, căutarea să fie oprită mai devreme și să se aplice o funcție de evaluare euristică noilor frunze ale arborelui.

Funcția de evaluare, întoarce o estimare a utilității așteptate pentru joc dintr-o stare dată. Spre exemplu, în jocul de șah, această funcție se poate referi la valoarea materială a fiecărei piese: pion 1, nebun 3, tura 5, regina 9. Pe lângă acestea ar fi bine să ținem cont și de alte aspecte cum ar fi aranjarea pionilor sau modul în care este protejat regele. Performanța unui program pentru jocuri depinde în mare măsură de funcția de evaluare aleasă. Dacă aceasta nu este bine definită, poate ghida programul spre stări care aparent sunt bune dar de fapt sunt dezastruoase.

Funcția de evaluare trebuie să corespundă cu funcția de utilitatea aplicată stărilor terminale și în același timp nu trebuie să necesite foarte mult timp.

În concluzie, în elaborarea funcției de evaluare, trebuie făcut un compromis între acuratețea funcției și costul de timp. De asemenea, această funcție trebuie să reflecte in mod foarte corect șansele reale de a câștiga.

Funcția de evaluare, bazată pe valoarea materială, în jocul de șah este liniară și ponderată, și poate fi dată ca:

Eval(s) = w1f1(s) + w2f2(s) + … + wnfn(s)

Unde wi este pondere, iar fi(s) este numărul de piese i, care sunt în plus față de adversar. Exemplu:

w2 = 5 (pentru ture)

f2(s) = (numărul de ture ale lui MAX) – (numărul de ture ale lui MIN)

Cea mai simplă metodă de a controla cât de adânc să meargă căutarea este folosirea unei limite de căutare în adâncime. Reducerea se va face în acest caz la toate nodurile până la adâncimea d, ales în așa fel încât să nu se depășească timpul alocat pentru o mutare. O altă posibilitate, chiar mai bună, ar fi să considerăm căutarea iterativă în adâncime. Astfel programul pornește o căutare completă în arbore, iar când nu mai este timp, întoarce mutarea cea mai bună până la adâncimea la care a ajuns.

5.6.5. Minimax cu tăietură alfa-beta

Marele handicap al algoritmului Minimax este complexitatea, care-l face să nu fie optim. Spre exemplu, pentru jocul de șah, un program bine scris poate căuta aproximativ 100 de poziții pe secundă. In turneele de șah, timpul pentru mutare este de 150 de secunde, deci programul ar putea căuta 150 000 de poziții. Cum factorul de ramificare este de 35, programul va fi capabil să meargă în avans cu doar 3-4 mutări, ceea ce l-ar face să joace la un nivel de începător. Chiar și un jucător mediu poate vedea 6-7 mutări înainte, ceea ce îl face pe program să fie ușor de bătut.

Descrierea algoritmului

Această problemă a complexității, prezentă mai sus, poate fi, din fericire, ajustată. Este posibil a se calcula decizia Minimax fără a vizita fiecare nod din arborele de căutare. Procesul constă în retezarea unor ramuri ale arborelui și presupune neluarea în considerarea a acelor ramuri. Această tehnică de reducere a arborelui se numește tăietură α – β.

Figura 12. Tăierea alfa -beta

α este valoarea celei mai bune alegeri găsite până la momentul curent, la orice punct de-a lungul unui drum, pentru MAX. Daca v este mai prost decât α, MAX îl va evita, prin eliminarea acelei ramuri.

β este definit în mod similar pentru MIN, adică cea mai mică valoare găsită de-a lungul unui drum, pentru MIN.

Algoritm: Alfa-beta

MAX(S, a, b) { intoarce valoarea maxima a unei stari. }

0. daca S este nod final atunci intoarce scor( S )

1. daca nivel( S ) = n atunci intoarce eval( S )

2. altfel

2.1 pentru fiecare succesor Sj al lui S executa

2.1.1 a max(a, MIN(Sj, a, b))

2.1.2 daca a b atunci intoarce b

2.2 intoarce a

sfarsit

MIN(S, a, b) { intoarce valoarea minima a unei stari. }

0. daca S este nod final atunci intoarce scor( S )

1. daca nivel( S ) = n atunciintoarce eval( S )

2. altfel

2.1 pentru fiecare succesor Sj al lui S executa

2.1.1 b min(b, MAX(Sj, a, b))

2.1.2 daca b a atunciintoarce a

2.2 intoarce b

Sfarsit

5. 7.Concluzii la capitolul V.

CAPITOLUL 6
ÎNVĂȚAREA PRIN ÎNTĂRIRE

6.1. Introducere

Precizează aici : Ce semnificație are pentru învățarea școlară? Facilitează învățarea prin întărire învățarea în școală???

Încă de la proiectul lui Shannon privind un algoritm pentru jocul de șah și programul lui Samuel care învăța să joace dame, domeniul jocurilor pe table complexe de joc ca: GO, șah, dame, Othello sau table a fost pe scară largă privit ca un mediu ideal pentru testarea și explorarea unei largi varietăți de concepte și idei în Inteligența Artificială in general, și în domeniul mașinilor auto-instruibile, în special. Aceste jocuri pe table ne oferă provocarea unei complexități uriașe și a unui rafinament desăvârșit necesar pentru a juca la un nivel de expert. În același timp, datele de intrare și factorii de performanță sunt clar și bine definite, iar mediul jocului este automatizat, astfel încât este ușor de simulat tabla de joc, regulile de joc și determinarea câștigului, în momentul în care jocul se termină.

Putem spune că părintele Învățării prin întărire (reinforcement learning) este Gerald Tesauro care a inițiat această idee în programul numit TD-Gammon. Acest program are la bază o rețea neuronală care se autoinstruiește să joace table, jucând împotriva ei înșiși și învățând din rezultate. Deși TD-Gammon și-a surclasat toți adversarii în materie de table, nu acesta a fost motivul pentru care a fost dezvoltat. Tesauro a dorit, mai degrabă, să exploreze câteva noi idei și abordări ale problemelor tradiționale, folosind învățarea prin întărire [31].

6.2. Concepte generale

!!!Adaugă aici trimiteri la conceptul de întărire așa cum a fost el teoretizat/experimentat de Thorndike, Guthrie,Skinner și alți psihologi behavioriști!!!

Idee de bază a învățării prin întărire este următoarea: agentul care învață observă niște date sau un model de intrare, și produce un semnal de ieșire (numit și acțiune sau semnal de control). Imediat, agentul primește de la mediu o recompensă sau un feed-back de întărire, care îi arată cât de bun sau cât de rău a fost semnalul de ieșire. Scopul învățării este de a genera cele mai bune acțiuni care duc la un câștig maxim. De multe ori această recompensă este întârziată, ea vine la sfârșitul unei lungi secvențe de intrări și ieșiri. Astfel cel care învață, trebuie să figureze modul în care distribuie câștigul și penalizările pentru diferitele intrări, ieșirile conducând spre semnalul final de recompensă.

Figura 13. Interacțiunea unui agent și mediu

Învățarea prin întărire poate fi văzută ca un microcosmos pentru toate problemele de Inteligență Artificială. Un agent primește niște percepții de la mediul în care se află, le marchează ca fiind utilități pozitive sau negative și apoi se decide ce acțiune să execute.

La fiecare pas de timp t, agentul primește informații despre starea în care se află, st ∈ S, unde S este mulțimea stărilor posibile, și pe baza acestei informații selectează acțiunea at ∈ A(st) unde A(st) este mulțimea de acțiuni disponibile din starea st. La următorul pas, în parte ca o consecință a acțiunii efectuate, agentul primește o recompensă numerică rt+1 ∈ R, și se află într-o nouă stare st+1 [32].

Învățarea prin întărire a atras de-a lungul timpului un foarte mare interes datorită acestei paradigme a agentului inteligent care învață singur din propria experiență, fără ajutorul unui „profesor” inteligent. În contrast, pentru învățarea supervizată, este nevoie de un „profesor”, care pentru fiecare set de date de intrare, sa-i explice agentului care este output-ul corect.

Din păcate, cu toată atenția care a fost acordată acestui tip de învățare de-a lungul anilor, până acum s-au realizat destul de puține succese practice în rezolvarea la scară largă a problemelor complexe din lumea reală. Una dintre deficiențe a fost aceea că în cazul învățării prin întărire cu întârziere, problema distribuirii câștigului temporal a rămas extrem de dificilă. O altă problemă ar fi aceea că cele mai multe abordării ale învățării prin întărire au fost limitate să învețe folosind tabele de căutare sau funcții liniare de evaluare, nici una dintre acestea ne fiind adecvate pentru cele mai multe clase de probleme din lumea reală.

6.3. Învățarea bazată pe Diferențe Temporare

În ultimii ani s-au inițiat mai multe concepte menite să întâmpine deficiențele descrise mai sus. Unul dintre acestea a fost prezentat de Sutton și denumit „Temporal Difference learning – bazată pe Diferențe Temporare” (sau simplu TD). Ideea principală a metodei TD este învățarea pe baza diferenței între predicțiile temporale succesive. Cu alte cuvinte, scopul învățării este de a aduce predicția curentă a agentului, pentru datele de intrare curente, cât mai aproape de următoarea predicție, de la următorul pas.

Cea mai recentă astfel de metodă, este un algoritm conceput pentru a antrena rețele neuronale cu mai multe straturi, și este denumit TD(lambda). Acesta are la bază un semnal euristic de eroare pentru fiecare pas, calculat ca diferența dintre două predicții succesive, care deviază învățarea. Apoi, după ce o eroare de predicție a fost găsită la un anumit pas (de timp), se ia în calcul deprecierea exponențială pe care eroarea o produce în timp, și estimările precedente, pentru stările precedente sunt corectate. Durata de timp a deprecierii exponențiale este ajustată de parametrul lambda[33].

6.4. TD-Gammon

Dacă în materie de șah, Deep Blue este considerat “nașul” maeștrilor, fiind primul program care a învins un campion mondial, în materie de table meritul îi revine programului TDGammon. Prima versiune a acestui program a fost realizată în anul 1991 de către Gerald Tesauro, care câțiva ani mai târziu, a participat și la proiectarea lui Deep Blue. TD-Gammon a fost conceput ca o cale de a explora capabilitatea unei rețele neuronale multistrat antrenată cu TD(lambda), de a învăța funcții complexe neliniare. A fost de asemenea conceput pentru a realiza o comparație detaliată între conceptul de învățare bazată pe diferențe temporare și alternativa acestei idei: învățarea supervizată pe un set de exemple provenite de la maeștri .

6.4.1. Prezentarea jocului de table

Table este un joc antic, pentru doi jucători, care fascinează datorită faptului că implică șansa. Între două mutări fiecare jucător trebuie să arunce zarurile. Nu vom insista în cele ce urmează asupra detaliilor de joc, ci ne vom referi mai degrabă la problemele pe care le implică implementarea unui astfel de joc.

De-a lungul anilor s-a dovedit extrem de dificilă realizarea unui program care să joace table la nivel de expert. Dacă privim o reprezentare simplă doar a finalului de joc, este posibil să concepem un program care pe baza unei căutări să joace perfect. Oricum, această abordare nu poate fi adaptată la întregul joc, datorită numărului imens de stări posibile (aproximativ 1020). Mai mult, forța brută a căutării în adâncime, care a dat rezultate foarte bune pentru jocuri ca șah, dame sau Othello, nu este mai este posibilă datorită factorului uriaș de ramificare, provocat de implicarea zarurilor. Pentru fiecare mutare, sunt 21 de combinații posibile de zaruri, fiecare dintre acestea putând fi jucată în aproximativ 20 de moduri, rezultând astfel o rată de ramificare de ordinul sutelor. Aceasta este mult mai mare decât la dame sau șah ( în general pentru aceste jocuri factorul este 8-10 pentru dame și 30-40 pentru șah), și mult prea mare pentru a atinge o adâncime semnificativă chiar și cu cele mai rapide super-computere existente.

În absența unei căutări în adâncime, programele de table trebuie să se bazeze pe o analiză a poziționării pieselor. Abordarea tipică a acestei probleme a constat în a lucra îndeaproape cu experți umani o lungă perioadă de timp, și a încerca conceperea unei funcții de evaluare euristice care să imite cât se poate de bine poziționarea, cunoștințele și judecata experților. Folosind această tehnică s-au obținut rezultate bune (programul Neurogammon al lui Tesauro)[24], dar a rămas și un decalaj serios între modul de joc al celor mai buni oameni, și abilitatea programatorilor de a încapsula judecata umană într-o funcție de evaluare.

O altă problemă este faptul că expertiza umană care este emulată, nu este infailibilă. În jocuri ca Othello sau table, în ultimii 20 de ani, s-a produs o schimbare substanțială asupra modului în care experții evaluează pozițiile. Referitor la multe convingeri ale trecutului, despre care experții aveau o părere unanimă, se crede astăzi că sunt cu siguranță greșite, și ținând cont de aceasta, programatorii nu sunt ferm convinși să accepte nici actualele păreri.

6.4.2 Modul de învățare

TD-Gammon reprezintă o abordare radical diferită asupra implementării unui program capabil de o sofisticată analiză a poziționării pieselor. Contrar încercării de a imita oamenii, TD-Gammon folosește propriu mod de joc, învățând din experiențele jocului împotriva lui înșiși. Deși pare un evident handicap, lipsa tutelajului unui maestru uman, îi oferă libertate, în sensul că nu este influențat de anumite prejudecați umane, care pot fi greșite sau nesigure.

La baza lui TD-Gammon este o rețea neuronală,

Figura 14. Structura rețelei neuronale cu trei straturi

organizată ca o arhitectură standard de perceptron multistrat (MLP)[34]. Această arhitectură, folosită de asemenea în algoritmul de propagare înapoi (backpropagation) pentru învățarea supervizată, poate fi privită ca un aproximator generic de funcții neliniare. Fiecare neuron din stratul de neuronal de intrare are o valoare de activare care reprezintă un stimul extern. Acesta trimite valoarea de activare fiecărui neuron din stratul ascuns cu care este conectat. Fiecare neuron al stratului ascuns calculează propria sa valoare de activare, depinzând de valorile de activare pe care le primește de la neuronii de intrare. Acest semnal este apoi trimis neuronilor din stratul de ieșire sau următorului strat ascuns, de neuroni, în cazul în care există mai multe straturi ascunse. Acești neuroni din stratul ascuns calculează valorile de activare în același fel și le trimit mai departe vecinilor. În cele din urmă semnalul provenit de la neuronii de intrare se propagă prin rețea pentru a determina valorile de activare pentru toți neuronii de ieșire[32].

Procedura de învățare pentru TD-Gammon este următoarea: rețeaua observă o secvență de poziții ale tablei de joc, începând cu poziția de start și terminând cu poziția finală, în care unul dintre jucători și-a “scos” toate piesele. Pozițiile sunt reprezentate ca vectori x[1], x[2], …, x[f], date de intrare pentru rețeaua neuronală. La fiecare pas de timp din secvență corespunde unei mutări făcute de unul dintre jucători. Pentru fiecare vector de intrare x[t] există un vector de ieșire Y[t] care reprezintă o estimare a calității acestuia. Pentru acest joc, Y[t] este un vector cu 4 componente corespunzător celor 4 posibile rezultate: câștigă Albul, câștigă Negrul, victorie normală sau marț.

La fiecare pas de timp este aplicat algoritmul TD(lambda) pentru a schimba ponderile rețelei, după următoarea formulă:

α(Alfa) este o constantă cu valoare mică numită de obicei “coeficient de învățare”, w este vectorul ponderilor care parametrizează rețeaua și ∇𝑤𝑌𝑘 este gradientul ieșirii rețelei.

λ(Lambda) este un parametru euristic menit să controleze cât de departe să meargă recalcularea estimărilor precedente, în urma găsirii unei erori la un anumit pas de timp. La sfârșitul fiecărui joc, se dă o recompensă finală z (în forma descrisă mai sus). Ecuația precedentă este folosită pentru schimbarea ponderilor, excepție făcând diferența (z – Y[f]) în locul diferenței (Y[t+1] – Y[t]) [24].

6.5. Concluzii la capitolul VI

Învățarea prin întărire este o nouă exprimare a problemelor de Inteligență Artificială. Un agent într-un mediu primește semnale, le atașează unor utilități pozitive sau negative și apoi se decide ce acțiune să aleagă. Sarcina de învățare poate varia în funcție de anumite situații:

 Mediul care poate fi accesibil și inaccesibil.

 Agentul poate începe cu o anumită cunoaștere despre mediu sau va trebui să învețe singur.

 Recompensele pot fi recepționate doar în stări finale sau și în stări intermediare.

 Recompensele pot fi valori numerice ale funcției de utilitatea sau pot fi doar sugestii („mutare bună”, „mutare rea”).

 Agentul poate să fie pasiv(doar observă mediul și învață utilitatea stărilor) sau activ(acționează conform cu informației ce a învățat-o și poate sugera explorarea unor părți necunoscute din mediu ).

Sunt multe aplicații care aplică învățarea prin întărire, din afara domeniului jocurilor, cum ar fi controlul roboților sau strategii financiare. Totuși pentru acest tip de aplicații pierdem un mare avantaj pe care îl avem în jocuri și anume posibilitatea de a genera și simula întregul mediu [32].

Ce foloase sunt pentru școală?????

În loc de încheiere

CONCLUZII ȘI PROPUNERI GENERALE ȘI SPECIALE

ANEXE (oare există așa ceva?)

……………………………………………………………………………………………………………

Termeni cheie (PE PAGIMĂ SEPARATĂ)

BIBLIOGRAFIE

În ordine alfabetică !!!!

Introdu aici, în ordine alfabetică cel puțin 250 lucrări care au legătură cu ideile din text sau sunt citate! SE RESPECTĂ PRIMELE DOUĂ-TREI LITERE ALE ALFABETULUI ROMÂNESC !!!!

Exemplificare:

ACELAND, R. (1967), A move to the integrated curriculum, Exeter, England: University of Exeter.

ADLER, M. (1982), The paideia proposal, New York, Macmillan.

AEBLI H. (1963), Didactique psychologiques. Application à la didactique de la psychologie de Jean Piaget, Neuchatel, (Didactica psihologică, trad. în. rom. de Bianca Bratu, EDP, 1973).

AGUIRRE, E. & CARBONELL, E. (2001) Early human expansions into Eurasia: The Atapuerca evidence, în Quaternary International 75(1):11-18

AGGLETON, P. (1987), Rebels without a cause, London, Palmer.

ALBERTY, H. (1947 1953), Reorganizing the high school curriculum, New York: Macmillan.

ALBERTY, H, & ALBERTY, E. (1962). Reorganizing the high school curriculum. New York, Macmillan.

………………………………………………….

BACHELARD, G. (1934), La Formation de l’esprit scientifique, J. Vrin, Paris.

BAGLEY, W. (1905), The educative process, New York, Macmillan.

BANKS, J. (1981), Multiethnic education: Theory and practice, Boston, MA, Allyn & Bacon.

BARNA, A. (1995), Autoeducația. Probleme teoretice și metodologice, București, Editura Didactică și Pedagogică R.A.

BARONE, T. (1992), On the demise of subjectivity in educational inquiry, în Curriculum Inquiry, 22 (1), 25-38.

BARROW, J. D. and TIPLER, F. J., (1986), The Anthropic Cosmological Principle, Oxford, Clarendon Press, 1986.

BARROW, R. (with R.WOODS), (1975), Introduction to philosophy of education, London, England, Methuen.

BARROW, R. (1976), Plato and education, London, England, Routledge & Kegan Paul.

BARROW, R. (1978), Radical education, Oxford, England, Martin Robertson.

BARROW, R. (1978), The Canadian curriculum, London, Ontario, Canada, University of Western Ontario.

BARROW, R. (1981), Educational and curriculum theory, Vancouver, British Columbia, Canada, University of British Columbia.

BARROW, R. (1984), Giving teaching back to teachers: A critical introduction to curriculum theory, Totowa, NJ, Barnes & Noble.

BARTOLOMEIS, F.de (1953), Introduzione alla didattica della scuola attiva (Introducere în didactica școlii active, trad. în rom. de C. Urmă,, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981).

BIBLIOGRAFIE

ACELAND, R. (1967), A move to the integrated curriculum, Exeter, England: University of Exeter.

ADAMS, D., HAMM, M. (1996), Cooperative learning-critical thinking and collaboration across the curriculum. (p. 27). Springfield, Ilynoise: Charles C. Thomas.

ADLER, M. (1982), The paideia proposal, New York, Macmillan.

AEBLI H. (1963), Didactique psychologiques. Application à la didactique de la psychologie de Jean Piaget, Neuchatel, (Didactica psihologică, trad. în. rom. de Bianca Bratu, EDP, 1973).

AGUIRRE, E. & CARBONELL, E. (2001) Early human expansions into Eurasia: The Atapuerca evidence, în Quaternary International 75(1):11-18

AGGLETON, P. (1987), Rebels without a cause, London, Palmer.

ALBERTY, H. (1947 1953), Reorganizing the high school curriculum, New York: Macmillan.

ALBERTY, H, & ALBERTY, E. (1962). Reorganizing the high school curriculum. New York, Macmillan.

Amănălăchioae Rozaura (2013), Modelarea și utilizarea sa în predarea și învățarea disciplinelor pedagogice, Teză de doctorat Universitatea “Babeș – Bolyai”, Cluj Napoca Facultatea de Psihologie și Științe ale Educației, Conducător științific: Prof. Univ. Dr. Miron Ionescu.

ANDERSON, J. R.,REDER, L.M., & SIMON, H.A. (2000), Applications and Misapplications of Cognitive Psychology to Mathematics Education, Texas Educational Review.

ARDELEAN, A & MÂNDRUȚ, O. (coord.)(2012), Didactica formării competențelor, Arad: Centrul de Didactică și Educație Permanentă, p. 93. Lucrarea „Didactica formării competențelor” reprezintă prima lucrare metodologică generală cu acest titlul destinată introducerii competențelor în procesul de instruire din învățământul preuniversitar.

AUSUBEL, R. F. (1969), Învățarea școală: O Introducere în psihologie educațională, New York: Holt, Rinehart și Winston.

AUSUBEL, D., & ROBINSON, F., (1981), Învățarea în școală, București: Editura Didactică și Pedagogică.

BACHELARD, G. (1934), La Formation de l’esprit scientifique, J. Vrin, Paris.

BAGLEY, W. (1905), The educative process, New York, Macmillan.

BAKER, E.; LINN, R. (1994), Toward an Understanding of Performance Standards, în Newsletter of National Center for Research on Evaluation, Standards&Student, vol. CRESS.

BANKS, J. (1981), Multiethnic education: Theory and practice, Boston, MA, Allyn & Bacon.

BARNA, A. (1995), Autoeducația. Probleme teoretice și metodologice, București, Editura Didactică și Pedagogică R.A.

BARNA A., POP I., (2002), Biologie, suporturi pentru pregătirea examenului de definitivare în învățământ. Cluj-Napoca: Editura Albastră.

BARONE, T. (1992), On the demise of subjectivity in educational inquiry, în Curriculum Inquiry, 22 (1), 25-38.

BARROW, J. D. and TIPLER, F. J., (1986), The Anthropic Cosmological Principle, Oxford, Clarendon Press, 1986.

BARROW, R. (with R.WOODS), (1975), Introduction to philosophy of education, London, England, Methuen.

BARROW, R. (1976), Plato and education, London, England, Routledge & Kegan Paul.

BARROW, R. (1978), Radical education, Oxford, England, Martin Robertson.

BARROW, R. (1978), The Canadian curriculum, London, Ontario, Canada, University of Western Ontario.

BARROW, R. (1981), Educational and curriculum theory, Vancouver, British Columbia, Canada, University of British Columbia.

BARROW, R. (1984), Giving teaching back to teachers: A critical introduction to curriculum theory, Totowa, NJ, Barnes & Noble.

BARTOLOMEIS, F.de (1953), Introduzione alla didattica della scuola attiva (Introducere în didactica școlii active, trad. în rom. de C. Urmă, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981).

BÎRZEA, C. (1995), Arta și știința educației, București: Editura Didactică și Pedagogică.

BOCOȘ, M. (2013), Instruirea interactivă, Iași: Editura Polirom.

BOCOȘ, M. (2002), Instruire interactivă. Repere pentru reflecție și acțiune, Ediția a II-a revăzută, Cluj-Napoca: Editura Presa Universitară Clujeană.

BONTAȘ I. (1995), Pedagogie, București, Editura All.

BOUCHARD, Ch. (2002), La qualité d'un organisme: construction et experimentation d'un dispositiv d'indicateurs de la qualité, în Thèse présèntée à la Faculté des études supérieures de l'Université Laval pour l'obtention du grade de Ph. D., Québec.

CABAC, E. (2007), Modelul de cercetare a factorilor ce influențează randamentul elevilor la matematică, în Revista Studia Universitatis, Seria Științe ale Educației, nr. 9, 311-315. Disponibil: http://studiamsu.eu/wp-content/uploads/63-p-311-315.pdf

CERGHIT, I. (1997), Metode de învățământ, Ediția a III-a, București: Editura Didactică și Pedagogică.

CERGHIT, I. (2006), Metode de învățământ, Iași: Editura Polirom.

CERGHIT, I. (2002), Sisteme de instruire alternative și complementare. Structuri, stiluri și strategii, București: Editura Aramis.

CHATEAU, J. (1976), Copilul și jocul, București: Editura Didactică și Pedagogică.

CHINAPAH, V. (2003), Monitoring Learning Achievement (MLA). Project in Africa. Sursă electronică. Disponibil: http://www.adeanet.org/biennial2003/papers/2Ac_MLA_ENG_final.pdf

CLAPARÉDE, É. (1975), Psihologia copilului și pedagogia experimentală, București: Editura Didactică și Pedagogică.

COHEN, L. & DEHAENE, S.; CHOCHON, F.; LEHERICY, S.; NACCACHE, L., (2000), Language and calculation within the parietal lobe: a combined cognitive, anatomical and FMRI study” în Neuropsychologia, 38, pp. 1426–1440.

Comisia Europeană/EACEA/Eurydice, (2012), Dezvoltarea competențelor cheie în școlile din Europa:Provocări și Oportunități pentru Politică, Education, Audiovisual and Culture Executive Agency Eurydice and Policy Support, Luxemburg.

CREȚU, T. (2007), Psihologia vârstelor, București: Editura Credis.

CRISTEA, S. (1979), Dicționar de pedagogie, București: Editura Didactică și Pedagogică.

CRISTEA, S. (1998), Dicționar de termeni pedagogici, București: Editura Didactică și Pedagogică.

D'AMBROSIO, U. (2003), Stakes in Mathematics Education for the Sosieties of Today and Tomorrow, In L'Enseignement Mathématique,, Vol. 39.

DEMEUSE, M., BAYE, A. (2001), Une action integré en vue d'améliorer l'efficacité des systèmes d'enseignement: le pilotage des systèmes d'enseignement, în Cahiers du Service de Pédagogie experimentale, Université de Liege, Vol. 1, r. 5-6.

DESCARTES R. (1637), Discours de la methode, pour bien conduire la raison et chercher la verité dans les sciences, In Leide: L'Imprimerie de Ian Maire.

DeVITO, JOSEPH A. (2008), Human Communication. The Basic Course, Pearson: Allyn & Bacon, p. 496.

DOBRIDOR NEGREȚ, I. & PÂNIȘOARĂ O-I. (2005). Știința învățării, Iași: Polirom.

DORIN, B. (2007), Algoritmi Evolutivi, Brașov: Universitatea Transilvania, Facultatea de Matematică-Informatică.

DUMITRIU, Gh. D.C. (2004), Psihopedagogie – curriculum suport pentru examenele de definitivare și gradul II în învățământ, ediția a II-a., București: Editura Didactică și Pedagogică.

DUMITRESCU, D. (1996), Rețele neuronale. Teorii și aplicații, București: Editura Teora.

ELKONIN, D. B. (1980), Psihologia jocului, București: Editura Didactică și Pedagogică.

FODOR, J. A. (1991), Special Science, în Philosophy of Science, Richard Boyd, F. Gaspar, D. Trout ( Eds.). The M.I.T Press.S.U.A,

GÂLEA, D. & LEON, F. Curs de Inteligență Artificială, Universitatea Tehnică “Gh. Asachi” Iași.

GHIONEA, I. About us: Inteligență Artificială [Interactiv]. Available: http://www.catia.ro /articole/ai/ai.htm

GOLEMAN, D. (2004), Inteligența emoțională, cheia succesului în viață, București: Editura Alfa.

GOLU P. (1985), Învățare și dezvoltare, București: Editura Științifică și Economică.

HAYKIN, S. (1994), Neural Networks. A Comprehensive Foundation, MacMillian, NY: IEEE Press.

HOWARD, G. (1993). Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligences, New York: Basic Books.

HUIZINGA, J.(1977), Homo Ludens, București: Ed. Univers.

HSU, F.H. (2002), Behind Deep Blue: Building the Computer that Defeated the World Chess Champion, Princeton University Press.

IONESCU, M. & RADU, I. (1995), Didactica modernă, Cluj: Editura Dacia, p. 287.

IONESCU, M. & BOCOȘ, M. (coord.)(2009), Tratat de didactică modernă, Pitești: Editura Paralela 45.

IONESCU, M., RADU, I. (coord.)(2001), Didactica modernă, Ediția a II-a revăzută, Cluj-Napoca: Editura Dacia.

JONNAERT, Ph.; BARETTE, J.; BOUFRANI, S.; MASCIOTRA, D. (2005), Contribution critique au développement des programmes d'études: compétences, constructivisme et interdisciplinarité, în Revue des sciences de l'éducation, Vol. 30, nr. 3.

JONNAERT, Ph.; BARETTE, J.; MASCIOTRA, D.; YAYA, M. (2006), La compétence comme organisateur des programmes de formation revisitée, ou la nécessité de passer de ce concept à celui de „l'agir compétent”, în IBE Working Papers on Curriculum Issues, Vol. 4.

MIH, V. (2010), Psihologia educațională, vol. I, p. 144.

NICOLA, I. (2002), Tratat de Pedagogie școlară, București: Ed.Aramis.

NICOLA, I. (1996), Tratat de pedagogie școlară, București: Editura Didactică și Pedagogică, p. 485.

NEVEANU POPESCU P. (1971), Evoluția conceptului de creativitate. București: Seria Psihologie, Analele Universității București.

NEWELL, A.; SHAW, J.C.; SIMON, H. (1959), Report on a general problem-solving program, Proceedings of the International Conference on Information Processing.

NEWELL, A. & SIMON, H., (1976), Computer Science as Empirical Inquiry: Symbols and Search, în Reprinted in Haugeland J.(1981) Mind Design, Cambridge: Mit Press, 1981, pp. 35-66.

OPRESCU, N. (1974), Modernizarea învățământului matematic în ciclul primar, București: Editura Didactică și Pedagogică.

PĂCURAR, I.P, TIRLA, F.-D. (2010), Integrating modeling in active strategies of learning Biology. Applicative study for 9th grade, Romanian Journal of Education, Vol. 1, no 1, pp. 11 – 20.

PEPIN, B. & HAGGARTY, L.; KEYNES, M. (2001), Mathematics textbooks and their use in English, French and German classrooms: a way to understand teaching and learning cultures, în Information ZDM, Vol. 33 (5) 158.

PIAGET, J. (1970), Psychologie et épistémologie, Paris: Ed. Gallimard.

PIAGET, J. (1972), Psihologie și pedagogie, București: Editura Didactică și Pedagogică.

PIAGET, J. (1970), Psihologia copilului, București: Editura Didactică și Pedagogică.

PIAGETJ. (1963), Psihologia inteligenței, trad. din limba franceză, București: Ed. Științifică.

PINTILIE, M. (2002), Metode moderne de învățare-evaluare pentru învățământul preuniversitar. Grade didactice și activități curente. Colecția 2 Magister. (p. 26). Cluj-Napoca: Editura Eurodidact.

POINCARÉ, H. (1904), Les définitions générales en mathématiques, în L'Enseignement Mathématique, vol. 6.

PSACHAROPOULOS, G. & WOODHALL, M. (1988), L'éducation pour le developpement. Une analyse de choix d'investissement, Paris: Economica, p. 337.

RADU, T. I. (1978), Învățământ diferențiat. Concepții și strategii, Bucuresti: Editura Didactică și Pedagogică.

RAFAILĂ, E. (1997), Pedagogie preșcolară – Didactica, București: Editura Didactică și Pedagogică.

ROBERT MARTIN, Alfred Binet, Paris, Presses universitaires de France,‎ 1924.

RUSSEL, S., NORVIG, P. (2009), Artificial Intelligence: A Modern Approach, 3rd Ed., Prentice Hall, p. 1152.

SKINNER, B. (1964), The Science of Learning and the Art of Teaching, în Educational Review, vol. 24.

SULTĂNESCU, M. (2007), Metodica predării aritmeticii, Buzău: Alfa.

SUTTON, Richard & BARTO, Andrew (1998), Reinforcement Learning: An Introduction, Cambridge: MIT Press.

STANLEY CAVELL, (2002), Knowing and Acknowledging, în Must We Mean What We Say?, 2nd ed., Cambridge University Press, p. 238–266.

STEELE, J. L., MEREDITH, K. S., TEMPLE, Ch. (1998), Un cadru pentru dezvoltarea gândirii critice la diverse materii de studiu. În Proiectul Lectura și Scrierea pentru Dezvoltarea Gândirii Critice, Ghidul I. Cluj-Napoca, p. 7.

ȘERBAN, Gabriela (2006), Sisteme multiagent în Inteligența Artificială distribuită, Cluj-Napoca: Editura Risoprint.

TEODORESCU, N. (1976), Pentru un învățământ matematic unitar și integral, în Matematica în Școala generală.

TESAURO, Gerald (1995), Temporal Difference Learning and TD-Gammon, în Communications of the ACM 38 (3). Retrieved Nov 1, 2013.

THELEN, E; SMITH, L. B. (1994), A Dynamic Systems Approach to the Development of Cognition and Action, Cambridge: MA: MIT Press.

TITONE, Renzo; DANESI, M. (1985), Applied Psycholinguistics: An Introduction to the Psychology of Language Learning and Teaching, Ontario: University of Toronto, Canada.

TORRANCE E. PAUL (1978). Healing Qualities of Creative Behavior, în Creative child and Adult Quaterlz, pp. 146-158.

ȚÂRCOVNICU, V. (1981), Învățământ frontal, învățământ individual, învățământ pe grupe, București: Editura Didactică și Pedagogică.

VLADA, M. (2013), Matematica pentru elevi, abstractă sau utilă ? Conferința Națională de Învățământ Virtual, ediția a XI-a, București, pp.107-114.

WANG, M.C., HAERTEL G.D., WALBERG H.J. (1990), What influences learning? A content analysis of review literature, în Journal of Educational Research, nr. 84 (1).

WEISS, A. J. (1990), Educational board game. Pittsburgh, PA Brevet 4890844.

WIENS, ELMER G. Operations Research – Game Theory, [Interactiv]. Available: http://www.egwald.ca/operationsresearch/gameintroduction.php

WOOLDRIDGE M. & JENNINGS, N. R. (1995), Intelligent agents: Theory and practice, în The Knowledge Engineering Review, Vol. 10, nr. 2, pp. 115-152.

YANG, Jian-Bo (2000), Minimax reference point approach and its application for multiobjective optimisation, în European Journal of Operational Research Manchester School of Management, vol. 126, nr. 3.

ZLATE M., NEVEANU Popescu, P., CREȚU, T. (1990), Psihologie–Manual cls. a IX-a– Școli normale și Licee, București: Editura Didactică și Pedagogică.