Compensarea Datelor Geodezice Prin Metoda Celor Mai Mici Patrate Utilizând Modelului Gauss Markov

Cuprins:

1.Scurt istoric…………………………………………………………………………………..2

2.Notiuni generale si definiții…………………………………………………………….3

3.Principalii termeni utilizatii in statistica……………………………………………4

4.Tipuri de erorile statistice……………………………………………………………….4

5.Metoda celor mai mici patrate ………………………………………………………..5

6.Compensarea datelor geodezice prin metoda celor mai mici patrate utilizând modelului Gauss-Markov……………………………………………………..7

7.Aplicarea modelului in cazul transformari de coordonate ………………9

8.Exemplu numeric ………………………………………………………11

9.Concluzii ……………………………………………………………………………………16

BIBLIOGRAFIE………………………………………………………..17

Statistical approach is the best way in dealing with compensating geodetic networks. The most used method is the least squares method which is a standard approach to the approximate solution of overdetermined systems.

In order to transform points from a local coordinates system into a national one, you must go first through a compensating procedure.

Points in the national system have been compensated with the help of the Gauss Markov model. It states that in a linear regression model in which the errors have expectation 0 and are uncorrelated and have equal variances, the best linear unbiased estimator of the coefficients is given by the ordinary least squares estimator.

After the data are ran through the model, the parameters receive new coordinates with the help of transformation parameters.

In the paper I have exposed the main theoretical aspects used in compensating geodetic data through the least squares method and a numerical example.

1.Scurt istoric

Prima analiza statistica a unor date culese prealabil este realizata de către John Graunt in anul 1663, care, prin extragerea datelor din evidentele săptămânale cu privire la numarul de decese inregistrate la Londra, a reusit să tragă concluzi cu privire la unele fenomene sociale cum ar fi : natalitatea si mortalitatea si echilibrul numeric intre ele.

Inceputurile teoriei probabilitatilor pe care se bazeaza statistica se leaga de numele matematicienilor Blaise Pascal și Pierre Fermat.

Un aport deosebit in dezvoltarea statisticii moderne a fost adus de marele savant de origine germana Carl Friedrich Gauss. El descrie pentru prima data metoda celor mai mici patrate in anul 1794.

Adevaratul inceput al statistici moderne este la inceputul secolui XX odata cu elaborarea testelor statistice privitoare la relatiile intre valorile empirice si cele calculate.

2.Notiuni generale si definiții

Statistica este știnta care urmăreste explicarea fenomenelor de masă printr-un numar relative redus de observatii,fenomenele fiind variabile in timp si spațiu.

Pentru a surprinde cât mai exact tendintele de evoluție a fenomenelor ,pentru a estima variantele in care ele vor evolua în viitor ,activitatea statistica se desfasoara dupa un program riguros ,cu actiuni concrete începănd cu declansarea cercetatilor statistice si pâna la finalizarea lor .

In principiu metodele statistice urmaresc sa raspunda la urmatoarele probleme:

-planificarea culegerii datelor (masuratorii)astfel incat informatile aduse pe baza lor să fie corecte;

-analiza și prelucarea datelor culese in scopul obținerii informatilor dorite

-stabilirea limitelor de incredere ale informatiilor obtinute in urma prelucrarilor.

Obiectivul cercetărilor statistice îl constituie o multime de elemente având caracteristici commune proprii, mulțime numita ,,populatie’’.

Metodele statistice se bazeaza pe măsurarea acestor caracteristici si urmaresc determinarea lor cantitativa.

Prelucrea statistica a observatilor(măsuratorilor) presupune folosirea unor valori tipice de selectie precum:media,moda,mediana,etc.

In urma unor măsuratori repetate asupra unui element se obțin valori diferite ale acesteia datorita caracterului întamplator(aleatoriu) pe care îl are respectivul element în cadrul populatiei, pentru a studia aceste femone introducem noțiunea de ,,variabila aleatoare’.

Datele măsurate într-o selecție permit să stabilească o ,,estimare’’ a elementului studiat, adica o valoare nici absolut exacta ,nici absolut sigura, ci doar ,,foarte probabilă’’.

3.Principalii termeni utilizatii in statistica

Populația statistică reprezintă totalitatea unitaților simple sau complexe ,de aceeași natura care formează obiectivul investigăției statistice.

Unitătile statistice reprezinta elementele componente ale populatiei statistice, ele pot fi simple sau complexe.

Caracteristi statistice denumite și variabile aleatoare reprezinta trăsaturile ce definesc si delimitează unitatile populatiei, înregistrate in etapa observarii.

Variante sau valori reprezinta formele concrete de manifestare ale caracteristicilor la nivelul fiecarei unități statistice.

Frecvență sau pondere reprezinta numarul unitatilor la care se înregistreaza aceeași variantă sau valoare.

Date statistice sunt caracteristici numerice ale unitatilor ,obținute din observare și prelucrare.

Indicatorii statistici reprezinta expresia numerica a unor determinari calitative obiective ce rezulta dintr-o cercetare statistică.

4.Tipuri de erori statistice

Erorile întalnite in etapa investigației statistice pot fi: erori de observare, erori de prelucrare și erori de analiza si interpretare.

In functie de marime erorile pot fi: evitabile(greseli) și inevitabile acestea sunt erori care nu pot fi eliminate chiar daca lucram cu mare atenție.

Erorile de observare apar in procesul de culegere a datelor acestea pot fi la randul lor:

-Erori întamplatoare astfel semnul si valoarea variaza la repetarea masuratorilor în mod neregulat;

-Erori sistematice aceste erori nu sunt conditionate de întâmplare ele fiind dependente ca semn și valoare de un anumit parametru.

Pentru că erorile sa fie depistate este necesar ca datele oricarei observați sa fie supuse unui control.

5.Metoda celor mai mici patrate

In toate calcule de compensare utilizate in geodezie, topografie, fotogrammetrie, astronomie etc se foloseste metoda celor mai mici patrate, pentru a arăta cea mai buna valoarea pentru o mărime care s-a obținut din măsurarea unui sir de valori, aceasta fiind condiționata de minumul sumei pătratelor erorilor, luate față de marimea de referință.

O justificare teoretică a acestui criteriu se deduce prin aplicarea teoriei probabilitatilor la calculul erorilor de masurare.

Metoda celor mai mici pătrate de ocupa cu compensarea erorilor de masurat determinand valorile cele mai probabile ale mărimilor masurate și erorile medii la care ne putem aștepta.

Ca metodă de prelucrare a datelor experimentale metoda celor mai mici patrate a fost descoperita de Gauss,fiind utilizata la prelucrarea observațtiilor astromonice și a fost dezvoltata după aplicarea ei in practica geodezica de către Bessel.

Fie n mărimi independente

M1,M2,….Mn

Pentru care prin măsuratori directe s-au obtinut valorile:

M1’,M2’,….Mn’

Dacă mărimile măsurate ar fi exacte atunci valorile pe care le cautăm ar fi:

Mi= Mi’ (i=1,2,3….n)

ceea ce evident nu se realizeaza in practică deoarece valorile măsurate Mi’ sunt afectate în mod inevitabil de erori.

Presupunând eliminarea erorilor sistematice și greselilor,considerand doar erorile întamplatoare problema care se pune este să determinăm valorile cele mai probabile ale acestor mărimi,valorile pentru care erorile medii pătratice să fie cât mai mici (metoda verosimilității maxime).

In practica este imposibil să determinam direct valorile unor mărimi X1,X,2,…Xh astfel se determina direct mărimile M1’,M2’,….Mn’ stabilindu-se niste functii intre mărimile determinate direct și cele care urmeaza sa le determinam

Mi=fi(X1,X,2,…Xh) i=1,2,3….n (1)

deci avem niște determinari indirecte a mărimilor Xi

In relatia de mai sus trebuie sa deducem valorile cele mai probabile pentru mărimilor Xi.

Pentru control și pentru marirea precizie avem întotdeauna:

n>h

Dacă valorile M1,M2,….Mn ar fi perfec riguroase,sistemul (1) va fi compatibil și se poate rezolva in raport cu X1,X,2,…Xh

Efectuând măsuratori iar acestea fiind afectate de erori sistemul (1) devine

Vi=fi(X1,X,2,…Xh)- Mi’

unde Vi sunt corecțiile ce trebuie aplicate mărimilor măsurate pentru a transforma sistemul incompatibil în sistem compatibil

Probabilitatea de realizare in ansamblu a acestor corecții va fi produsul probabilitatilor simple,adică aplicand teorema probabilității unei intersecți de evenimente independente și anume:

unde oricare ar fi

dacă unde i≠j

atunci avem:

f(V1,V2,…Vn)=f(V1),f(2),…f(Vn)

Aceasta probabilitate este maxima cand exponentul este minim,adica

[h2v2]=min

Dar h2=p deci:

[PVV]=min

In cazul măsuratorilor de aceeași precizie avem

P1=P2…=Pn=1

Adica

[vv]=min

6.Compensarea datelor geodezice prin metoda celor mai mici patrate utilizând modelului Gauss-Markov

Scrierea ecuațiilor de corecție

Formarea matricii coeficienților necunoscutelor și a matricii termenilor liberi

Calculul matricii sistemului normal și inversarea sale

Calculul vectorului necunoscutelor

Calculul vectorului corecțiilor

Estimarea preciziei

unde: n – numărul de ecuații

h – numărul de necunoscute

Detrminarea erorii unei funcții

unde:

Afișarea rezultatelor compensării

h. Calculul Matricii Qll în cazul Gauss-Markov

7.Aplicarea modelului in cazul transformarilor de coordonate

Frecvent in fotogrametrie, geodezie, cartografie etc. apare necesitatea transformarii coordonatelor unor puncte dintr-un sistem de coordonate „ actual ” ( numit si sistem local) intr-un sistem de coordonate „ istoric ” (numit si sistem national de coordonate). Pentru a calcula parametri necesari transformarii de coordonate este necesar sa avem puncte comune in cele doua sisteme de coordonate.

Numarul punctelor comune este dat de sistemul de proiectie in care au fost determinate punctele.

Modelul Stochastic este continut in informatiile furnizate de matricile cofactorilor coordonatelor obtinute in urma unei compensari anterioare sau iterative. In general parametri transformarii de coordonate se determina prin metoda celor mai mici patrate utilizand modelul Gauss-Markov; in acest caz numai unul din seturile de masuratori este afectat de erori (punctele din sistemul „ istoric ”).

Notam : XOY – Sistemul National de Coordonate sau Sistemul „ Istoric ” de Coordonate

xoy – Sistemul Local de Coordonate sau Sistemul „ Actual ” de Coordonate

Sistemul local de coordonate poate primi modificari de scara, rotatii si translatii.

Coordonatele punctelor din Sistemul National sunt considerate observatii.

Multe modele matematice au fost elaborate pentru a face aceste conversii dar toate implică transformari de coordonate .Una dintre cele mai utilizate metode este transformarea conforma liniara.

Definitie: Transformarea care conține atât modificare de scara cât și rotatia și translatia sistemului local se numeste transformare conforma liniara in plan.

Transformarea conforma liniara are patru parametri:

-scara m;

-rotatia plana κ;

-transformarea pe cele două axe X0,Y0;

Transformarea conforma nu deformeaza unghiurile .

In cazul transformarii conforme se utilizeaza urmatoarele formule:

Notam:

In urma notatiilor facute, obtinem urmatoarea relatie:

8.Exemplu numeric

Să se studieze transformarea de coordonate conforme utilizând modelul Gauss-Markov. Se cunosc coordonatele punctelor comune (A, B, C, D) în cele două sisteme de coordonate (sistemul „ istoric ” și sistemul local ) și preciziile punctelor din sistemul local. De asemenea se mai dau cooronatele în sistemul local al punctelor 1, 2, 3, 4, 5.

Date inițiale

Aplicarea modelului Gauss-Markov

a.Formarea matricii A și a matricii l

b. Calculul matricii sistemului normal și inversarea sale

c.Calculul vectorului necunoscutelor

d.Calculul vectorului corecțiilor

e.Estimarea preciziei

f. Preciziile parametrilor aproximativi

Detrminarea erorii unei funcții

Preciziile punctelor din sistemul local

g.Afișarea rezultatelor compensării

Valorile parametrilor aproximativi

h. Calculul Matricii Qll în cazul Gauss-Markov

Preciziile punctelor din sistemul „ istoric ”

m=1,000

Coordonate compensate

Transformarea coordonatelor din sistem local in sistem national

Tabel centralizator

9.Concluzii

Metoda celor mai mici pătrate din punct de vedere statistic reprezintă o metodă de estimare a parametrilor prin metoda verosimilității maxime,funcțiile de estimare pentru parametrii sunt functii liniare(in caz contrar se aduc la forma liniara printr-o dezvoltare in serie Taylor)

Deci valorile cele mai probabile ale corecților și in consecința ale mărimilor măsurate se determină atunci cand suma pătratelor corecților este minimă.

BIBLIOGRAFIE:

Facultatea de Geodezie,Masuratori terestre-fundamente- vol.1,2,3,-

Ed. Matrix ROM 2001

Fotescu N (1975) – Teoria erorilor de măsurare și metoda celor mai mici pătrate – Institutul de Construcții, București

Ghițău D (1983) – Geodezie și Gravimetrie geodezică – Editura Didactică și Pedagogică, București

Moldoveanu C (2002) – Geodezie, Noțiuni de Geodezie fizică și elipsoidală, poziționare – Editura MATRIX ROM, București

Turdeanu L., Fotogrammetrie analitica – Ed.Academiei Romane 1997

Zavoianu Fl., Fotogrammetrie digitala -Ed.Tehnica 2000