܇COALA DOCTORAL Ă DE MATEMATIC Ă TEZ Ă DE DOCTORAT GENERALIZ ĂRI ALE SISTEMELOR ITERATIVE DE FUNC ܉II Conduc ător ܈tiin܊ific Prof. Univ. Dr. Ion CHI… [620592]

Doctorat

܇COALA DOCTORAL Ă DE MATEMATIC Ă TEZ Ă DE DOCTORAT GENERALIZ ĂRI ALE SISTEMELOR ITERATIVE DE FUNC ܉II Conduc ător ܈tiin܊ific Prof. Univ. Dr. Ion CHI… [620592]

Byadmin ianuarie 1, 2024

UNIVERSITATEA DIN PITE ܇TI
FACULTATEA DE MATEMATIC Ă ܇I INFORMATIC Ă
܇COALA DOCTORAL Ă DE MATEMATIC Ă

TEZ Ă DE DOCTORAT
GENERALIZ ĂRI ALE SISTEMELOR ITERATIVE DE FUNC ܉II

Conduc ător ܈tiin܊ific
Prof. Univ. Dr. Ion CHI ܉ESCU

Doctorand: [anonimizat]

2016

CUPRINS0. Introducere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21. Preliminarii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82. Sisteme iterative generalizate de tip Cantor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1. Preliminarii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Mult ¸imea invariant˘ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3. M˘ asura invariant˘ a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.4. Dependent ¸a de parametru. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46A. Dependent ¸a de parametru a mult ¸imii invariante. . . . . . . . . . . . . . . 46B. Dependent ¸a de parametru a m˘ asurii invariante . . . . . . . . . . . . . . . 522.5. Considerat ¸ii generale asupra paragrafului 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553. Sisteme iterative inﬁnite. Subsisteme iterative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1. Introducere. Rezultate preg˘ atitoare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.2. Rezultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624. Spat ¸ii speciale de funct ¸ii ¸ si de m˘ asuri. M˘ asuri invariante.. . . . . . . . . . . . . . . . 764.1. Integrala seschiliniar˘ a uniform˘ a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.2. Norme ¸ si topologii pe anumite spat ¸ii de m˘ asuri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.1. Funct ¸ii lipschitziene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2.2. Scheme de contract ¸ie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.2.3. Norme ¸ si topologii pe anumite spat ¸ii de m˘ asuri . . . . . . . . . . . . 864.2.4. Considerat ¸ii suplimentare privind spat ¸iile de funct ¸iivectoriale continue ¸ si norma Monge-Kantorovich . . . . . . . . . . 954.3. Cadrul de lucru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.4. Operatori pe spat ¸ii de funct ¸ii continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.5. Cazuri particulare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144.6. M˘ asuri invariante fractale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122Bibliograﬁe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311

0 IntroducereTeoria fractalilor are o istorie lung˘ a ¸ si complicat˘ a, din dou˘ a motive: pe de-o parte,termenul de fractal nu este deﬁnit riguros, pe de-alt˘ a parte, fractalii (ˆ ın diferiteaccept ¸iuni) apar pretutindeni ¸ si mereu.ˆIn acest sens, putem vorbi despre Aristotel,care credea c˘ a un salt ˆ ıntre dou˘ a specii poate ﬁ ,,umplut“ cu specii intermediare.ˆInspiritul acestei idei, Leibniz (adept fervent al ideii ,,Natura non facit saltus“) a avutideea (neﬁnalizat˘ a) a calculului integro-diferent ¸ial fract ¸ionar. Mult ¸imile ,,ciudate“imaginate de Peano, Cantor, Von Koch ¸ si funct ¸ia ,,monstruoas˘ a“ a lui Weierstrasssunt exemple de fractali. La fel, imaginea unei mi¸ sc˘ ari browniene sau coasta bri-tanic˘ a (ˆ ın viziunea lui Mandelbrot). Deﬁnirea dimensiunii (,,fractalii au dimensiunefract ¸ionar˘ a“ poate ﬁ o deviz˘ a) ne duce la nume mari: Hausdorﬀ, Besicovitch, Can-tor, Minkowski, Bouligand. Ideea de atractor a fost, se pare, formalizat˘ a prima dat˘ ade Poincar´ e.Acestea sunt fapte oarecum disparate, ˆ ın spiritul ideii pe care am subliniat-ola ˆ ınceput: nu exist˘ a o deﬁnit ¸ie formal˘ a precis˘ a ¸ si unanim acceptat˘ a a not ¸iunii defractal. Dou˘ a variante de deﬁnit ¸ie par s˘ a se impun˘ a mai mult:1. Fractalii au dimensiune neˆ ıntreag˘ a (,,fract ¸ionar˘ a“).2. Fractalii sunt autosimilari.Istoria modern˘ a a fractalilor este legat˘ a de ideea de iterat ¸ie. Aceast˘ a istoriedebuteaz˘ a la ˆ ınceputul secolului 20 cu memoriile lui G. Julia [30] ¸ si P. Fatou [25],care discut˘ a despre iterarea funct ¸iilor rat ¸ionale (privite pe sfera lui Riemann).Remarc˘ am c˘ a, de fapt, aceste dou˘ a memorii au r˘ amas, practic, neˆ ınt ¸elese mult˘ avreme. De asemenea, remarc˘ am c˘ a, de¸ si cei doi autori francezi nu dispuneau la vre-mea scrierii operei lor de calculatoare electronice, ei au anticipat formele geometricemisterioase generate prin iterarea funct ¸iilor rat ¸ionale. Istoria s-a schimbat mult maitˆ arziu (anii 70 ai secolului 20) cˆ and reluarea lucid˘ a a lucr˘ arilor lui G. Julia ¸ si P. Fa-tou f˘ acut˘ a de B. Mandelbrot a dus la reconsiderarea acestor lucr˘ ari, propunˆ andu-se¸ si numele de ,,fractal“ .ˆIn plus, B. Mandelbrot, cu o viziune matematic˘ a ¸ si ﬁlosoﬁc˘ aintegratoare, a adus teoria fractalilorˆ ın prim planul multor teorii ¸ si activit˘ at ¸i umane.Cartea sa [35] este, ¸ si acum, o surs˘ a inepuizabil˘ a de inspirat ¸ie ˆ ın teoria fractalilor.Ulterior, aceast˘ a teorie a urmat dou˘ a c˘ ai majore de dezvoltare. Prima cale (nu neocup˘ am de ea ˆ ın aceast˘ a lucrare) este urmarea ﬁreasc˘ a a lucr˘ arilor lui G. Julia si P.Fatou, ˆ ın spiritul dinamicii funct ¸iilor analitice complexe de variabil˘ a complex˘ a. Ase vedea ˆ ın acest sens [42], [24], [3].A doua cale a fost init ¸iat˘ a de matematicianul australian J. Hutchinson ˆ ın arti-colul [29] (prezenta lucrare se ˆ ıncadreaz˘ a ˆ ın aceast˘ a cale).ˆIn [29], J. Hutchinsonintroduce not ¸iunea de sistem iterativ de contract ¸ii, care conduce, folosind metricaHausdorﬀ-Pompeiu, la contract ¸ia lui Hutchinson (pe mult ¸imi). Folosirea principiului2

contract ¸iei (Banach-Caccioppoli-Picard) conduce la g˘ asirea punctului ﬁx al acesteicontract ¸ii (atractorul sistemului iterativ de contract ¸ii). Acest punct ﬁx, care este omult ¸ime compact˘ a, este (de cele mai multe ori) o mult ¸ime cu propriet˘ at ¸i speciale(de exemplu autosimilar˘ a) ¸ si o putem considera un fractal. Urmˆ and acelea¸ si idei ¸ siconsiderˆ and o distribut ¸ie de probabilit˘ at ¸i asociat˘ a sistemului iterativ de funct ¸ii, J.Hutchinson introduce ¸ si operatorul Markov asociat, care este o contract ¸ie pe spat ¸iulprobabilit˘ at ¸ilor, cu metrica dat˘ a de norma Monge-Kantorovich. Se obt ¸ine ¸ si punctulﬁx al operatorului Markov, adic˘ a m˘ asura (probabilitatea) invariant˘ a.Teoria init ¸iat˘ a de J. Hutchinson a generat cercet˘ ari intense ¸ si o vast˘ a bibliograﬁe.Ment ¸ion˘ am c˘ a o contribut ¸ie esent ¸ial˘ a la dezvoltarea ¸ si popularizarea teoriei lui J.Hutchinson a avut-o alt australian – M. Barnsley, a c˘ arui monograﬁe [3] (mai multeedit ¸ii) a avut un mare succes ¸ si a f˘ acut cunoscut˘ a teoria fractalilor marelui public.Teoria standard a lui J. Hutchinson pune ˆ ın evident ¸˘ a, ca exemple de aplicare, fractaliclasici celebri, ca mult ¸imea lui Cantor, covorul lui Sierpinski, fulgul lui Von Kochetc. Ca ˆ ın orice teorie matematic˘ a, tendint ¸a de generalizare s-a manifestat ¸ si ˆ ınteoria fractalilor, varianta Hutchinson.Credem c˘ a ˆ ın aceast˘ a teorie, generaliz˘ arile pot ﬁ de dou˘ a feluri: generaliz˘ ari aleunor modele clasice ¸ si generaliz˘ ari obt ¸inute prin trecerea la structuri mai generale.Prezenta tez˘ a de doctorat este scris˘ a ˆ ın acest spirit, urmˆ and ideile de mai sus.Ment ¸ion˘ am c˘ a am folosit ˆ ın lucrare ˆ ın mod alternativ denumirea romˆ aneasc˘ asistem iterativ de funct ¸ii, cˆ at ¸ si denumirea anglo-saxon˘ aIFS(iterated function sys-tem).Capitolul 2 al prezentei lucr˘ ari, intitulat ,,Sisteme iterative generalizate de tipCantor“, se ˆ ıncadreaz˘ a ˆ ın primul tip de generaliz˘ ari.ˆIn mod concret, generaliz˘ am cuajutorul unui parametruθ∈/parenleftbigg0,12/bracketrightbiggsistemul iterativ care are ca atractor mult ¸imealui Cantor. Referitor la acest tip de generaliz˘ ari, rezultate interesante se g˘ asesc ˆ ın[46], [24], [33], [2], [1], [5], [23], [44] etc.ˆIn ceea ce prive¸ ste teoria sistemelor iterative a lui Hutchinson, generaliz˘ arileobt ¸inute prin trecerea la structuri mai generale pot ﬁ grupate, ˆ ın opinia noastr˘ a, ˆ ındou˘ a categorii: considerarea ˆ ın structura sistemului iterativ de mult ¸imi (familii) decontract ¸ii care nu sunt neap˘ arat ﬁnite (am numit ˆ ın lucrare sisteme iterative inﬁnitesistemele iterative aﬂate ˆ ın aceast˘ a situat ¸ie) sau considerarea de mult ¸imi ,,inﬁnitdimensionale“ ˆ ın care s˘ a ia valori contract ¸iile din sistem sau m˘ asurile ,,operatoruluiMarkov“ ata¸ sat.Capitolul 3 al acestei lucr˘ ari, intitulat ,,Sisteme iterative inﬁnite. Subsistemeiterative“ se ˆ ıncadreaz˘ a ˆ ın ideea de a considera familii de contract ¸ii care nu suntneap˘ arat ﬁnite.Capitolul 4 al acestei lucr˘ ari se ˆ ıncadreaz˘ a ˆ ın ideea de a lucra cu spat ¸ii Banach3

(de fapt Hilbert) eventual inﬁnit dimensionale, ˆ ın special ˆ ın ceea ce prive¸ ste m˘ asurileinvariante (care sunt vectoriale).Referitor la considerarea de sisteme iterative inﬁnite, exist˘ a o literatur˘ a foartebogat˘ a. De exemplu, se pot consulta [46], [41], [39], [37], [36] etc.Referitor la considerarea teoriei lui Hutchinson pe spat ¸ii Banach oarecare sau pestructuri mai complicate, vom cita ˆ ın primul rˆ and articolul [38] care considera pro-blema m˘ asurilor vectoriale invariante dintr-un punct de vedere dual celui prezentatde noi ˆ ın capitolul 4. Ment ¸ion˘ am c˘ a ˆ ın cazul unui num˘ ar ﬁnit de contract ¸ii reg˘ asim,ca un caz particular, rezultatele din prima parte a articolului [38]. De asemenea, sepot consulta [6], [4], [44], precum si [12], [13], [14] etc.ˆIn cele ce urmeaz˘ a vom prezenta, pe scurt, cont ¸inutul lucr˘ arii. Ment ¸ion˘ am c˘ a nuam f˘ acut referint ¸˘ a la articolul ,,Topological version of generalized (inﬁnite) iteratedfunction systems, scris ˆ ımpreun˘ a cu Dan Dumitru, R˘ azvan-Cornel Sfetcu ¸ si FilipStrobin, ap˘ arut ˆ ınChaos, Solitons&Fractals71(2015), 78-90.ˆIn acest articol seprezint˘ a generaliz˘ ari ˆ ın spat ¸ii topologice ale sistemelor iterative eventual inﬁnite.Am considerat c˘ a linia de prezentare din acest articol este mult diferit˘ a de linia deprezentare din prezenta tez˘ a ¸ si, din motive de spat ¸iu ¸ si de unitate de prezentare, amrenunt ¸at la includerea sa.Capitolul 1 este intitulat ,,Preliminarii“ . Se prezint˘ a cˆ ateva notat ¸ii ¸ si not ¸iunigenerale care sunt folosite pe tot parcursul lucr˘ arii.Ment ¸ion˘ am c˘ a, pentru a facilita citirea, am preferat ca, la ˆ ınceputul ﬁec˘ arui capi-tol s˘ a facem prezentarea notat ¸iilor, not ¸iunilor ¸ si rezultatelor speciﬁce respectivuluicapitol.Capitolul 2 este intitulat ,,Sisteme iterative generalizate de tip Cantor“ .ˆIn acestcapitol care, practic, esteˆ ınˆ ıntregime original, prezent˘ am o generalizare parametric˘ aa mult ¸imii lui Cantor ¸ si a sistemului iterativ care genereaz˘ a mult ¸imea lui Cantor.Parametrulθpe care se bazeaz˘ a modelul propus este ˆ ın intervalul/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg.P e n t r uθ=13se reg˘ ase¸ ste mult ¸imea clasic˘ a a lui Cantor.ˆIn primul paragraf, intitulat ,,Preliminarii“ prezent˘ am instrumentele folosite (sis-teme iterative ﬁnite de funct ¸ii, metrica Hausdorﬀ-Pompeiu, m˘ asura invariant˘ a).Ment ¸ionam ca fapt de originalitate distinct ¸ia pe care o facem ˆ ıntre surject ¸ia canonic˘ aobi¸ snuit˘ aπ(avˆ and ca imagine atractorul sistemului iterativ) ¸ si coextensia eiπ,c uconsecint ¸ele de calcul privind m˘ asura invariant˘ a.Al doilea paragraf, intitulat ,,Mult ¸imea invariant˘ a“ este ˆ ın ˆ ıntregime original.Prezent˘ am o generalizare parametric˘ a a sistemului iterativ care genereaz˘ a mult ¸imealui Cantor. Pe baza unor calcule precise, putem prezenta exact structura mult ¸imiigeneralizate de tip Cantor (Teorema 2.2.5).4

Al treilea paragraf, intitulat ,,M˘ asura invariant˘ a“ este ˆ ın ˆ ıntregime original. Seprezint˘ a calcule precise, ˆ ın toate cazurile, ale valorilor m˘ asurii invariante pentrusistemul iterativ propus de noi (Teorema 2.3.2, Lema 2.3.6, Lema 2.3.7, Lema 2.3.8,Teorema 2.3.9). Se arat˘ a c˘ a m˘ asura invariant˘ a este non-atomic˘ a ¸ si singular˘ a ˆ ın cazulcˆ and parametrulθeste ˆ ın intervalul/parenleftbigg0,12/parenrightbigg(Teorema 2.3.4).ˆIn cazul cˆ andθ=12,s earat˘ a c˘ a m˘ asura invariant˘ a coincide cu m˘ asura Lebesgue (Lema 2.3.5). Se prezint˘ a¸ si structura exact˘ a a surject ¸iei canonice (Teorema 2.3.10), precum ¸ si calcule specialeˆ ın cazul cˆ and parametrulθeste de forma1p,p∈N,p≥2.Al patrulea paragraf,ˆ ınˆ ıntregime original, este intitulat ,,Dependent ¸a de parametru“ .Se studiaz˘ a felul cum depind de parametrulθ∈/parenleftbigg0,12/bracketrightbiggmult ¸imea invariant˘ a ¸ sim˘ asura invariant˘ a. Rezultatele principale sunt Teorema 2.4.1(mult ¸imea invariant˘ adepinde lipschitzian, ˆ ın metrica Hausdorﬀ-Pompeiu, de parametrulθ) ¸ si Teorema2.4.3 (m˘ asura invariant˘ a depinde lipschitzian, ˆ ın metrica Hutchinson, de parametrulθ). Este studiat ¸ si cazul degeneratθ=0 .Al cincilea paragraf, intitulat ,,Considerat ¸ii generale asupra paragrafului 2.4“studiaz˘ a din punct de vedere calitativ felul cum evolueaz˘ a mult ¸imile invariante ¸ sim˘ asurile invariante atunci cˆ and parametrulθse schimb˘ a. Se constat˘ a c˘ a acumul˘ ari(schimb˘ ari) cantitative pot duce la salturi calitative (care pot ﬁ discontinue).Remarc˘ a.Ne propunem ca, ˆ ın viitor, s˘ a public˘ am materialul prezentat ˆ ın acestcapitol.Capitolul 3 este intitulat ,,Sisteme iterative inﬁnite. Subsisteme iterative“ . Acestcapitol este ˆ ın ˆ ıntregime original, ﬁind bazat pe articolele [15] ¸ si [40].Prezent˘ am rezultate privind sisteme iterative generale(nu neap˘ arat inﬁnite) nu-mite aici, ˆ ın baza unei cutume actuale, sisteme iterative inﬁnite.ˆIn primul paragraf, intitulat ,,Introducere. Rezultate preg˘ atitoare“ se prezint˘ anot ¸iunile ¸ si rezultatele preliminare necesare pentru expunerea din paragraful urm˘ ator.Teorema 3.1.6 este original˘ a.Paragraful al doilea este intitulat ,,Rezultate“ ¸ si prezint˘ a rezultatele noastreprivind subsistemele unor sisteme iterative inﬁnite. Ne referim la dou˘ a problemepentru care propunem anumite solut ¸ii. Prima problem˘ a este legat˘ a de subspat ¸iilede tipA(adic˘ a subspat ¸iile ˆ ın care exist˘ a o submult ¸ime dens˘ a de cardinal≤A)ale unui spat ¸iu metric, undeAeste un num˘ ar cardinal transﬁnit (inﬁnit). A douaproblem˘ a se refer˘ a la structura atractorilor unui subsistem, inclusiv la posibilitateaca un subsistem al unui sistem iterativ inﬁnit s˘ a aib˘ a acela¸ si atractor ca ˆ ıntregulsistem. Referitor la prima problem˘ a, avem Teoremele 3.2.1 ¸ si 3.2.2. Teorema 3.2.1arat˘ a c˘ a atractorul este de tip mai mic sau egal decˆ at cardinalul setului de funct ¸iidin sistem. Teorema 3.2.2 arat˘ a c˘ a, pentru o submult ¸ime ˆ ınchis˘ a ¸ si m˘ arginit˘ aAa5

unui spat ¸iu complet, care, ca subspat ¸iu, este de un tip datA, putem g˘ asi un sistemiterativ inﬁnit de cardinal≤A, care s˘ a aib˘ a peAca atractor. Referitor la a douaproblem˘ a, avem teoremele 3.2.3 ¸ si 3.2.7, precum ¸ si Corolarul 3.2.4.ˆIn Teorema 3.2.7se arat˘ a c˘ a, dac˘ a atractorul unui sistem iterativ inﬁnit este de tipA, putem g˘ asi unsubsistem de cardinal≤Acu acela¸ si atractor. Teorema 3.2.3 ¸ si Corolarul 3.2.4 serefer˘ a la structura atractorului legat˘ a de atractorii unor subsisteme care exhausteaz˘ asistemul init ¸ial. Exemplele 3.2.5 ¸ si 3.2.6 se refer˘ a la Teorema 3.2.3 ¸ si Corolarul 3.2.4.Teorema 3.2.8 prezint˘ a condit ¸ii ˆ ın care un subsistem genereaz˘ a acela¸ si atractor caˆ ıntregul sistem.ˆIn Exemplul 3.2.9 prezent˘ am variante nuant ¸ate de atractori ale unorsubsisteme coincidente sau nu cu atractorul ˆ ıntregului sistem.Capitolul 4 este intitulat ,,Spat ¸ii speciale de funct ¸ii ¸ si de m˘ asuri. M˘ asuri invari-ante“ . S ¸i acest capitol este ˆ ın ˆ ıntregime original.Se ˆ ıncepe cu un prim paragraf intitulat ,,Integrala seschiliniara uniform˘ a“ . Rezul-tatele din acest paragraf au fost publicate ˆ ın articolul [16]. Le prezent˘ am aici f˘ ar˘ ademonstrat ¸ii.ˆIn esent ¸˘ a, este vorba de o integral˘ a a unei funct ¸ii continuefˆ ın ra-port cu o m˘ asura vectorial˘ aµ,a t ˆ a tfcˆ at ¸ siµavˆ and valori ˆ ıntr-un spat ¸iu Hilbert.Rezultatul integr˘ arii (integrala) este scalar.Al doilea paragraf este intitulat ,,Norme ¸ si topologii pe anumite spat ¸ii de m˘ asuri“ .Rezultatele din acest paragraf, cu except ¸ia subparagrafului 4.2.4, au ap˘ arut ˆ ın arti-colul [17]. Le prezent˘ am aici f˘ ar˘ a demonstrat ¸ii. Se folosesc foarte mult structurilede tip funct ¸ii Lipschitz. Cu ajutorul lor ¸ si cu ajutorul integralei introduse ˆ ın para-graful precedent, se introduc norme ¸ si metrici de tip Monge-Kantorovich pe spat ¸iulm˘ asurilor vectoriale cu variat ¸ie m˘ arginit˘ a.ˆIn acest fel se generalizeaz˘ a rezultateclasice privind metricile pe spat ¸ii de probabilit˘ at ¸i.ˆIn legatur˘ a cu rezultatele dinacest paragraf, se pot consulta [27] ¸ si [34].ˆIn cadrul acestui paragraf, subliniemsubparagraful 4.2.4, intitulat ,,Considerat ¸ii suplimentare privind spat ¸iile de funct ¸iivectoriale continue ¸ si norma Monge-Kantorovich“ . Materialul din acest subparagraf,pentru care se prezint˘ a demonstrat ¸ii, nu apare ˆ ın articolul [17] ¸ si este ˆ ın ˆ ıntregimeoriginal.ˆIn esent ¸˘ a, ˆ ın acest subparagraf demonstr˘ am faptul c˘ a, dac˘ aTeste unspat ¸iu metric compact ¸ siXeste un spat ¸iu Hilbert, funct ¸iile lipschitziene peTcuvalori ˆ ınXsunt dense ˆ ın spat ¸iul funct ¸iilor continue peTcu valori ˆ ınX(Teorema4.2.15). Acest fapt are drept consecint ¸˘ a separabilitatea luiC(T,X) ˆ ın cazul cˆ andXeste separabil ¸ si un mod nou, original, de introducere a normei Monge-Kantorovich,urmˆ and o schem˘ a general˘ a.Al treilea paragraf,ˆ ınˆ ıntregime original, intitulat ,,Cadrul de lucru“, este preg˘ atitorpentru paragrafele urm˘ atoare. Se precizeaz˘ a not ¸iunile ¸ si notat ¸iile care urmeaz˘ a aﬁ folosite ¸ si se demonstreaz˘ a cˆ ateva rezultate cu caracter tehnic privitoare la acestcadru ˆ ın care apare o familie special˘ a de funct ¸ii lipschitziene ¸ si o familie special˘ a deoperatori pe spat ¸ii Hilbert.6

Al patrulea paragraf este intitulat ,,Operatori pe spat ¸ii de funct ¸ii continue“ ¸ sieste ˆ ın ˆ ıntregime original. Folosind rezultatele din paragrafele anterioare ¸ si integralaBochner introducem, ˆ ın cadrul precizat, anumit ¸i operatori de tip integral pe spat ¸iulfunct ¸iilor continue (sau lipschitziene) vectoriale pe un spat ¸iu metric compact. Se dauestim˘ ari pentru normele acestor operatori (Teoremele 4.4.3, 4.4.5, 4.4.6). Trecˆ andla adjunct ¸ii sus-numit ¸ilor operatori se obt ¸in operatori pe spat ¸ii de m˘ asuri vectoriale,cu normele introduse ˆ ın paragrafele anterioare.ˆIn acest sens, avem o teorem˘ a deschimbare de variabil˘ a (Teorema 4.4.7) ¸ si estim˘ ari ale normelor operatorilor pe spat ¸iide m˘ asuri (Teoremele 4.4.8, 4.4.9, 4.4.11).Al cincilea paragraf, intitulat ,,Cazuri particulare“ este, ¸ si el, ˆ ın ˆ ıntregime origi-nal. Prezent˘ am cazuri speciale ˆ ın care schema general˘ a prezentat˘ a anterior poate ﬁfolosit˘ a: semigrupuri de operatori, cazul cˆ and toate aplicat ¸iile lipschitziene conside-rate ˆ ın schem˘ a sunt constante, cazul discret (care se ˆ ımparte ˆ ın cazul ﬁnit – avemun num˘ ar ﬁnit de aplicat ¸ii ˆ ın schem˘ a ¸ si cazul num˘ arabil – avem un ¸ sir de aplicat ¸iiˆ ın schem˘ a). Referitor la cazul discret prezent˘ am calcule complete privind structuraoperatorilor pe spat ¸ii de m˘ asuri care apar.Ultimul paragraf al capitolului (al ¸ saselea) este intitulat ,,M˘ asuri invariante frac-tale“ ¸ si este ˆ ın ˆ ıntregime original. Folosind materialul anterior ¸ si estim˘ arile normeloroperatorilor introdu¸ si pe spat ¸iile de m˘ asuri, consider˘ am anumite contract ¸ii pe spat ¸iide m˘ asuri. Cu ajutorul a dou˘ a scheme de contract ¸ie, obt ¸inem puncte ﬁxe, folosindprincipiul contract ¸iei Banach-Caccioppoli-Picard.Incheiem cu prezentarea unor calcule concrete, numerice, exempliﬁcˆ and cele dou˘ ascheme generale.Remarc˘ a.Ne propunem ca, ˆ ın viitor, s˘ a public˘ am ¸ si materialul din acest capitol,mai precis materialul din paragrafele 4.3, 4.4, 4.5 ¸ si 4.6.Lucr˘ arile cu caracter general care au fost folosite: Pentru Topologie Generala :[32]; pentru Teoria M˘ asurii ¸ si Integralei: [28], [21], [11], [9], [43], [20], [26], [47], [8],[19], [10]; pentru Analiz˘ a Funct ¸ional˘ a: [18], [22], [31]; pentru Teoria Punctului Fix:[7], [45].ˆIn incheiere, exprim mult ¸umiri respectuoase conduc˘ atorului meu ¸ stiint ¸iﬁc, prof.univ.dr. Ion Chit ¸escu, pentru ˆ ındrumarea continu˘ a ¸ si sprijinul acordat pe tot par-cursul elabor˘ arii acestei lucr˘ ari.7

1 PreliminariiˆIn aceast˘ a lucrare notat ¸iile utilizate vor ﬁ cele general acceptate. Spre exemplu, prinRvom desemna mult ¸imea numerelor reale,Nva reprezenta mult ¸imea numerelornaturale,N={0,1, …, n, …},iarN∗=N\{0}={1,2, …}.Corpul scalarilor va ﬁ desemnat prinK(unde ﬁeK=RoriK=C).Vom notaR+={x∈R|x≥0}¸s iR+=R+∪ {∞}.ˆIn mod traditional, pentru oricen∈N,Knva ﬁ mult ¸imea tuturorn−tuplelorx=(x1,x2, …, xn)c uxi∈K.Pentruz∈K,cuzvom desemna conjugatul complexal luiz.Dac˘ aTeste o mult ¸ime nevid˘ a, iarA∈P(T)={B|B⊂T},prinϕA:T→Kvom desemna funct ¸ia caracteristic˘ a (indicatorul) luiA(ϕA(t)=0p e n t r ut/∈A¸s iϕA(t)=1,pentrut∈A).Vom nota un ¸ sir ˆ ın diverse moduri, cum ar ﬁ: (xn)n∈N,(xn)n≥1,(xn)n.V o mscrie (xn)n⊂A(s a u(xn)n≥1,…) pentru a reprezenta un ¸ sir (xn)nai c˘ arui termenixnse aﬂ˘ a ˆ ınA.Pentru un spat ¸iu vectorialXpesteK,o funct ¸ief:T→K¸ si un vectorx∈X,funct ¸iafx:T→Xact ¸ioneaz˘ a dup˘ a cum urmeaz˘ a:fx(t)=f(t)xpentru oricet∈T.Dac˘ aX¸s iYsunt spat ¸ii vectoriale pesteK, o aplicat ¸ieV:X→Yse nume¸ steliniar˘ a (respectiv antiliniar˘ a) dac˘ aV(αx+βy)=αV(x)+βV(y)(respectivV(αx+βy)=αV(x)+βV(y))pentru oriceα, βˆ ınK¸ si oricex, yˆ ınX.O aplicat ¸ieB:X×Y→Kse nume¸ ste seschiliniar˘ a dac˘ aB(αx+βx/prime,y)=αB(x, y)+βB(x/prime,y)B(x, αy+βy/prime)=αB(x, y)+βB(x, y/prime),pentru oriceα, βˆ ınK,oricex, x/primeˆ ınX¸ si oricey,y/primeˆ ınY.8

Se nume¸ ste produs scalar peXo aplicat ¸ie seschiliniar˘ aB:X×X→K(vomnotaB(x, x/prime)=(x|x/prime)pentrux, x/primeˆ ınX) cu propriet˘ at ¸ile(x/prime|x)=(x|x/prime)(x|x)≥0(x|x) = 0 dac˘ a ¸ si numai dac˘ ax=0pentru oricex, x/primeˆ ınX.ˆIn cazulX=Kn,produsul scalar standard este dat via(x|x/prime)=n/summationdisplayi=1xix/primei,undex=(x1,x2, …, xn)¸ s ix/prime=(x/prime1,x/prime2, …, x/primen).Fie (X,τ) un spat ¸iu topologic. Vom spune c˘ a spat ¸iulXesteseparabildac˘ aexist˘ a o submult ¸imeA⊂Xcare s˘ a ﬁe cel mult numarabil˘ a ¸ si dens˘ a ˆ ınX.Dac˘ a(xn)n∈N⊂X¸s ix∈X,vom scriexn→nxpentru a desemna faptul c˘ a ¸ sirul (xn)nconverge lax.Un ¸ sir generalizat (xδ)δ∈∆(sau (xδ)δ) ˆ ınXeste o aplicat ¸ief:∆→X(vomnotaf(δ)=xδpentru oriceδ∈∆) unde (∆,≤) este o mult ¸ime preordonat˘ a careeste dirijat˘ a: pentru oriceδ1,δ2ˆ ın ∆,exist˘ aδ∈∆ astfel ˆ ıncˆ atδ≥δ1,δ≥δ2.Dac˘ aA⊂X,scrierea (xδ)δA−¸ sir generalizat, ˆ ınseamna c˘ axδ∈A,pentru oriceδ∈∆. Pentru un spat ¸iu topologic (X,τ),(xδ)δ¸ sir generalizat ˆ ınX¸s ix∈X,vom spune c˘ a (xδ)δconverge, lax,(fapt notatxδ→δx) dac˘ a pentru orice vecin˘ atate(fundamental˘ a)Va luixexist˘ aδ(V)∈∆ astfel ˆ ıncˆ atxδ∈V,pentru oriceδ≥δ(V).Dac˘ aXeste separat ¸ si dac˘ axδ→δx,datorit˘ a unicit˘ at ¸ii luix,vom notax= limδxδ.Dac˘ a∅/negationslash=A⊂X,se ¸ stie c˘ a un elementx∈Ase aﬂ˘ a ˆ ın ˆ ınchidereaAa luiAdac˘ a ¸ si numai dac˘ a exist˘ a unA−¸ sir generalizat (xδ)δ, astfel ˆ ıncˆ atxδ→δx.ˆIn continuare, prin (T,d) (sau, mai simplu,T, dac˘ adeste subˆ ınt ¸eles) vom de-semna un spat ¸iu metric oarecare. Pentru oricet∈T¸ si orice num˘ arr>0,bilaˆ ınchis˘ a, respectivdeschis˘ a, de razar,¸ si centrat˘ a ˆ ıntva ﬁ mult ¸imeaB[t, r] :={t/prime∈T|d(t, t/prime)≤r},respectivB(t, r) :={t/prime∈T|d(t, t/prime)<r}.Pentru o mult ¸ime nevid˘ aA⊂T¸s it∈T,9

dist(t, A) := inf{d(t, a)|a∈A}va ﬁ distant ¸a dintret¸s iA.Avemdist(t, A) = 0 dac˘ a ¸ si numai dac˘ at∈A.ˆIn plus, are loc ¸ si inegalitatea|dist(t/prime,A)−dist(t/prime/prime,A)|≤d(t/prime,t/prime/prime),pentru oricet/prime,t/prime/prime∈T¸ si orice∅/negationslash=A⊂T.ˆIn acelasi context, pentru orice∅/negationslash=A⊂T,diametrul luiAesteδ(A) := sup{d(a, b)|a∈A, b∈A}.Dac˘ a (T,dT)¸ s i(S, dS) sunt spat ¸ii metrice, o funct ¸ief:T→Sse nume¸ steizometriedac˘ adS(f(t/prime),f(t/prime/prime)) =dT(t/prime,t/prime/prime),pentru oricet/prime,t/prime/primedinT.Fie (X,d) un spat ¸iu metric. O funct ¸ief:X→Xse nume¸ ste contract ¸iedac˘ aexist˘ a un num˘ arα∈[0,1) (numit factorul de contract ¸ie al luif) cu proprietatea c˘ ad(f(x),f(y))≤αd(x, y), pentru oricex¸s iydinX,Principiul contract ¸iei (Banach-Caccioppoli-Picard)Fie (X,d) un spat ¸iu metric complet (ˆ ın particular,Xpoate ﬁ o submult ¸imeˆ ınchis˘ a a unui spat ¸iu metric complet) ¸ sif:X→Xo contract ¸ie. Atunci,fareun unic punct ﬁxx∗. Punctulx∗poate ﬁ obt ¸inut astfel: pentru un punct arbitrarxo∈X,se formeaz˘ a ¸ sirul (xn)n≥0, dat prinxn+1=f(xn). Atunci limnxn=x∗.Viteza de convergent ¸˘ a a ¸ sirului (xn)neste dat˘ a de inegalitatea, valabil˘ a pentruoricen=0,1,…d(xn,x∗)≤αn1−αd(x1,x0).Aiciαeste factorul de contract ¸ie al luif.Pentru dou˘ a spat ¸ii normate (X,/bardbl·/bardblX),(Y,/bardbl·/bardblY),vom notaL(X,Y) :={V:X→Y|Veste liniar˘ a ¸ si continu˘ a}(ˆ ın cazulX=Y,vom scrie, mai simplu,L(X) ˆ ın loc deL(X,X)).AtunciL(X,Y)devine un spat ¸iu normat cu norma uzual˘ a deﬁnit˘ a, pentru oriceV∈L(X,Y),prin/bardblV/bardbl0:= sup{/bardblV(x)/bardblY|x∈X,/bardblx/bardblX≤1}(in cazul ˆ ın careYeste un spat ¸iu Banach ¸ si spat ¸iulL(X,Y) va ﬁ, de asemenea,pentru norma ment ¸ionat˘ a, tot un spat ¸iu Banach).10

PentruY=K,vom notaL(X,K)=X/prime= dualul luiX.Este clar c˘ a pentruo aplicat ¸ie liniar˘ aV:(X,/bardbl·/bardblX)→(Y,/bardbl·/bardblY) are loc echivalent ¸a:Veste izometrie⇐⇒ /bardblV(x)/bardblY=/bardblx/bardblXpentru oricex∈X.O aplicat ¸ieV:(X,/bardbl·/bardblX)→(Y,/bardbl·/bardblY)este un izomorﬁsm liniar si izometric dac˘ aVeste bijectiv˘ a, liniar˘ a ¸ si izometric˘ a.Dac˘ aX,Ysunt dou˘ a spat ¸ii Banach pesteK, iarR:X→Yeste un operatorliniar ¸ si continuu, vom nota cuR/prime:Y/prime→X/primeadjunctuls˘ au deﬁnit prinR/prime(y/prime)=y/prime◦R.Se arat˘ a c˘ a ¸ siR/primeeste tot un operator liniar ¸ si continuu.ˆIn plus,/bardblR/prime/bardblo=/bardblR/bardblo.Dac˘ af:T→(X,/bardbl·/bardblX) vom considera ¸ si funct ¸ia|f|:T→R+deﬁnit˘ a prin|f|(t) :=/bardblf(t)/bardblX,pentru oricet∈T.Dac˘ aXeste un spat ¸iu normat, topologiaslab˘ apeX,notat˘ a cuσ(X,X/prime),estetopologia local convex˘ a (separat˘ a) peX,generat˘ a de familia de seminorme (px/prime)x/prime∈X/prime,dat˘ a astfel: pentru oricex/prime∈X/prime¸s ix∈X,px/prime(x) :=|x/prime(x)|.Topologiaslab˘ a∗peX/prime,notat˘ a cuσ(X/prime,X),este topologia local convex˘ a (sep-arat˘ a) peX/prime,generat˘ a de familia de seminorme (px)x∈X,dat˘ a dup˘ a cum urmeaz˘ a:pentru oricex/prime∈X/prime¸s ix∈X,px(x/prime) :=|x/prime(x)|.Vom formula ˆ ın continuare dou˘ a rezultate importante relativ la topologia∗−slaba,σ(X/prime,X),undeXeste un spat ¸iu Banach:Teorema 1.0.1.(Alaoglu) Pentru oricea>0,bila ˆ ınchis˘ aBa[X/prime] :={x/prime∈X/prime|/bardblx/prime/bardbl0≤a}esteslab∗compact˘ a (i.e. compact˘ a ˆ ın topologiaσ(X/prime,X)).Teorema 1.0.2.(de metrizabilitate). Pentru oricea>0,bila inchis˘ aBa[X/prime]este metrizabil˘ a, pentru topologia indus˘ a deσ(X/prime,X),dac˘ a ¸ si numai dac˘ a spat ¸iul(X,/bardbl·/bardblX)este separabil.ˆIn acest caz, o metric˘ a peBa[X/prime],compatibil˘ a cu topologiaσ(X/prime,X)peBa[X/prime],poate ﬁ deﬁnit˘ a astfel:ρ(x/prime,y/prime)=∞/summationdisplayn=112n|(x/prime−y/prime)(xn)|1+|(x/prime−y/prime)(xn)|,unde(xn)neste un ¸ sir dens ˆ ınX.11

Dac˘ a (fn)n∈N,fsunt astfel ˆ ıncˆ atfn:T→Xpentru oricen¸s if:T→X,unde(X,/bardbl·/bardblX) este normat, vom scriefn→nfdac˘ afn(t)→f(t) pentru oricet∈T¸s ifnu→nfdac˘ a (fn)nconverge uniform laf.ˆIn continuare reamintim ca un spat ¸iu Banach (X,/bardbl·/bardblX) este un spat ¸iu Hilbertdac˘ a exist˘ a un produs scalar (·| ·)p eXastfel ˆ ıncˆ at/bardblx/bardblX=/radicalBig(x|x),oricare ar ﬁx∈X.Un spat ¸iu Hilbert este reﬂexiv.Teorema de reprezentare Riesz – Fr´ echetaﬁrm˘ a c˘ a exist˘ a o biject ¸ie an-tiliniar˘ a ¸ si izometric˘ a Ω :X→X/prime.Aplicat ¸ia Ω act ¸ioneaz˘ a astfel: oricare ar ﬁx∈X,Ω(x):X→K,este dat˘ a prinΩ(x)(u)=(u|x),oricare ar ﬁu∈X.Prin urmare se poate identiﬁcaX≡X/prime,via identiﬁcareax≡Ω(x).Desigur, ˆ ın cazulK=R(spat ¸iul Hilbert este real), Ω este un izomorﬁsmliniar ¸ si izometric.Dac˘ aX,Ysunt spat ¸ii Hilbert (pesteK), cu produsele scalare respective (·| ·)X¸s i (·| ·)Y,atunci pentru oriceV∈L(X,Y),adjunctul(hermitian al) luiVesteoperatorulV∗∈L(Y,X) care are proprietatea c˘ a(V(x)|y)Y=(x|V∗(y))X,pentru oricex∈X, y∈Y.Se veriﬁc˘ a imediat c˘ a (V∗)∗=V¸s i/bardblV∗/bardbl0=/bardblV/bardbl0.Reamintim ¸ si faptul c˘ a pentru un spat ¸iu Hilbert exist˘ a o baz˘ a ortonormal˘ a (ei)i∈I(i.e./bardblei/bardblX= 1 pentru oricei∈I,(ei|ej) = 0 dac˘ ai/negationslash=j), iar oricex∈Xpoate ﬁscris sub formax=Si∈Ixiei,undexi=(x|ei|) pentru oricei∈I¸s i/bardblx/bardbl2X=Si∈I|xi|2.De asemeneaXeste separabil dac˘ a ¸ si numai dac˘ a orice baz˘ a ortonormal˘ a a luiXeste cel mult num˘ arabil˘ a, i.e. este ﬁnit˘ a sau num˘ arabil˘ a.ˆIn acest caz oricex∈Xpoate ﬁ scris sub formax=/summationdisplayi∈Ixiei,seria ﬁind comutativ convergent˘ a ¸ si/bardblx/bardbl2X=/summationdisplayi∈I|xi|2.12

2 Sisteme iterative generalizate de tip Cantor2.1 PreliminariiVom nota prinRmult ¸imea numerelor reale ¸ si prinN={0,1,2,…},N∗={1,2,…}.Vom considera un num˘ ar natural 2≤w∈N¸ si vom notaX={0,1,…,w−1}(ˆ ın cazul ˆ ın carew=2 ,a v e mX={0,1}).Pentrun∈N∗ﬁxat, mult ¸imeaXneste total ordonat˘ a prin relat ¸ia de ordinelexicograﬁc˘ a≤dat˘ a prin:dac˘ ax=(x1,x2,…,xn),y=(y1,y2,…,yn) sunt dinXn, atuncix≤y,x/negationslash=yˆ ınseamn˘ a:x1<y1sau (ˆ ın cazuln>1)x1=y1¸s ixj<yj, undej= min{i|xi/negationslash=yi}.Observ˘ am c˘ a, pentru oricex=(x1,x2,…,xn)∈Xnastfelˆ ıncˆ atx/negationslash=(w−1,w−1,…,w−1), succesorulx/prime=(x/prime1,x/prime2,…,x/primen) al luix(adic˘ a cel mai micy∈Xnastfelˆ ıncˆ atx≤y,y/negationslash=x) este format utilizˆ and regula ,,adun˘ arii modulow“.Astfel, dac˘ a vom considera num˘ arulN(x)=x1wn−1+x2wn−2+…+xn−1w+xn(reprezentat ˆ ın bazaw) ¸ si reprezent˘ am ˆ ın bazaw¸ si num˘ arulN(x)+1=x/prime1wn−1+x/prime2wn−2+…+x/primen−1w+x/primen,vom avea, ˆ ın mod simbolic:(x/prime1,x/prime2,…,x/primen)=(x1,x2,…,xn)+( 0,0,…,0,1).Ca exemplu, luˆ andw=2 ,n= 3, ordon˘ amX3={0,1}3dup˘ a cum urmeaz˘ a:(0,0,0)≤(0,0,1)≤(0,1,0)≤(0,1,1)≤(1,0,0)≤(1,0,1)≤(1,1,0)≤(1,1,1).De obicei, vom nota (pentrun∈N∗) elementele luiXndup˘ a cum urmeaz˘ a:α=(α0,α1, . . . .αn−1).Consider˘ am, de asemenea, mult ¸imeaX∗=/parenleftBigg∞/uniondisplayn=1Xn/parenrightBigg∪{v}.Elementele luiX∗se numesccuvinte, iarvestecuvˆ antul vid(deﬁnit simbolicprin{v}=X0).13

Lungimea unui cuvˆ antx=(x1,x2,…,xn)s a uα=(α0,α1,. . . ,αn−1)e s t el(x)=n(saul(α)=n). Vom deﬁnil(v)=0 .Pentru oricex, y∈X∗, deﬁnimxy∈X∗prin:xy=x(dac˘ ay=v),xy=y(dac˘ ax=v)¸ s ixy=(x1x2…xmy1y2…yn), dac˘ av/negationslash=x=(x1x2…xm),v/negationslash=y=(y1y2…yn).ˆIn toate cazurile,l(xy)=l(x)+l(y).Pentru oricev/negationslash=x=(x1x2…xn)∈Xn={0,1}n, deﬁnim|x|=n/summationdisplayi=1xi(num˘ arultermenilorxi=1 ) .DeﬁnimX∞dup˘ a cum urmeaz˘ a:X∞=/braceleftBigg(x1x2…xn…)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglexi∈X/bracerightBigg.Mai precis,X∞este mult ¸imea ¸ sirurilorx=(x1x2…xn…) cu elementexi∈X.Elementele luiX∞se vor numicoduri¸s iX∞este denumitspat ¸iul codurilor.Pentru oricex=(x1x2…xn…)∈X∞¸ si oricen∈N∗, deﬁnim|x|n=(x1x2…xn).Pentru oriceu∈X∗¸s ix=(x1x2…xn…)∈X∞, deﬁnimux∈X∞dup˘ a cumurmeaz˘ a: dac˘ au/negationslash=v,u=(u1u2…um), avemux=(u1u2…umx1x2…xn…)¸ s idac˘ au=v,a v e mux=x.Pentru oricek∈X, vom considera funct ¸iaFk:X∞→X∞, deﬁnit˘ a prin:Fk(x1x2…xn…)=(kx1x2…xn…).Mai general, vom deﬁniFu:X∞→X∞, pentru oriceu∈X∗, prinFu=Fu1◦Fu2◦…Fum,adic˘ aFu(x1x2…xn…)=u1u2…umx1x2…xn…dac˘ au=(u1u2…um)/negationslash=v¸s iFv=1X∞. Aici 1X∞:X∞→X∞este funct ¸ia identitate, anume 1X∞(x)=x,pentru oricex∈X∞.Dac˘ a (Y,δ) este un spat ¸iu metric ¸ sif:Y→Y, vom spune c˘ afeste lipschitzian˘ adac˘ a exist˘ a un num˘ arM>0 astfel ˆ ıncˆ atδ(f(x),f(y))≤M·δ(x, y) pentru oricex, y∈Y.Aceast˘ a condit ¸ie este echivalent˘ a cu condit ¸ia||f||L= sup/braceleftBiggδ(f(x),f(y))δ(x, y)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglex, y∈Y, x/negationslash=y/bracerightBigg<∞.14

ˆIn cazul ˆ ın care||f||L<1, spunem c˘ afesteo contract ¸ie¸s i||f||Lestefactorulde contract ¸ieal luif.Pentru∅/negationslash=A⊂Y,diametrul luiAestediam(A) = sup{δ(x, y)|x, y∈A}.Principiul contract ¸iei (principiul Banach-Caccioppoli-Picard) aﬁrm˘ a c˘ a, ˆ ın cazulˆ ın care (Y,δ) este complet (condit ¸ie implicat˘ a deYcompact) ¸ sif:Y→Yeste ocontract ¸ie, atuncifare un unicpunct ﬁxx∗∈Y(adic˘ af(x∗)=x∗).Vom considera spat ¸iul metric compact (X∞,d), ˆ ınzestrat cu metricaddat˘ a prind(x=(x1x2…xn…),y=(y1y2…yn…)) =∞/summationdisplayn=112n|xn−yn|.Topologia lui (X∞,d) este chiar topologia produs peX∞=XN∗(ﬁecare factorXeste ˆ ınzestrat cu topologia discret˘ a), prin urmare convergent ¸a ˆ ınX∞este pecomponente:dac˘ axn=(xn1,xn2,…,xnk,…)¸ s iy=(y1,y2,…,yk,…) sunt ¸ siruri dinX∞,atuncixn−→ny⇔xnk−→nyk,pentru oricek,ceea ce este echivalent cu faptul c˘ a, pentru oricep∈N∗, exist˘ an(p)∈N∗astfelˆ ıncˆ at, dac˘ an≥n(p), atuncixn1=y1,xn2=y2,. . . ,xnp=yp.Observ˘ am, de asemenea, c˘ aX∞cu topologia produs estetotal disconectat˘ a, adic˘ asingurele componente conexe sunt singletone-urile (mult ¸imile punctuale).Pentru oricek∈X,Fk:X∞→X∞este o contract ¸ie, anumed(Fk(x),Fk(y)) ==12d(x, y), pentru oricex, y∈X∞.ˆIn expunerea noastr˘ a ulterioar˘ a, vom considera (T,δ)un spat ¸iu metric compact.FieK(T)={H⊂T|H/negationslash=φ¸s iHcompact˘ a}.PeK(T) vom deﬁni metrica Hausdorﬀ-Pompeiuh, a c˘ arei deﬁnit ¸ie o reamintim.Pentru oricex∈T¸s i∅/negationslash=H⊂T, deﬁnimdist(x, H) = inf{δ(x, h)|h∈H}.Atunci, pentru orice∅/negationslash=H⊂T,∅/negationslash=G⊂T, deﬁnim(H,G)δ= sup{dist(h, G)|h∈H}.15

ˆIn ﬁne, metricaHausdorﬀ-Pompeiuh:K(T)×K(T)→[0,∞) este deﬁnit˘ a prinh(U, V) = max ((U, V)δ,(V,U)δ).S ¸tim c˘ a (K(T),h) este un spat ¸iu metric compact.Mult ¸imile boreliene ale luiTvor ﬁ notate prinB(T). M˘ asura Lebesgue pe [0,1]esteL:B([0,1])→[0,∞).M˘ asurile de probabilitate peTle vom nota prin P(T). Anume,P(T) :={λ:B(T)→[0;∞)|λesteσ−aditiv˘ a ¸ siλ(T)=1}.Bineˆ ınt ¸eles,L∈P([0; 1]).Simbolul P (X∞) este clar. Ca de obicei, vom spunec˘ a o m˘ asur˘ a (σ−aditiv˘ a)λ:B([0,1])→[0,∞)este singular˘ a dac˘ aL(suppλ) = 0, unde supp(λ) este suportul luiλ.Pe P(T) vom deﬁni metrica Hutchinson (sau metrica Kantorovich – Rubinstein)dH:P ( T )×P(T)→R+, prin:dH(λ, ν) := sup/braceleftBigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayϕdλ−/integraldisplayϕdν/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleϕ:T→R,||ϕ||L≤1/bracerightBigg.Este cunoscut faptul c˘ a spat ¸iul metric (P(T),dH) este compact (deci complet).Presupunem c˘ a (S, ρ) este un alt spat ¸iu metric compact ¸ siϕ:S→Teste ofunct ¸ie continu˘ a.Apoi, pentru oriceν∈P(S), putem deﬁniϕ(ν)∈P(T), anumeϕ(ν):B(T)→[0,1] act ¸ioneaz˘ a prinϕ(ν)(B)=ν(ϕ−1(B)) (numimϕ(ν) transportata luiν).Este valabil˘ a o formul˘ a de schimbare de variabil˘ a: pentru orice funct ¸ie continu˘ af:T→Ravem/integraldisplayfd(ϕ(ν)) =/integraldisplay(f◦ϕ)dν.Din nou, ﬁe (T,δ) un spat ¸iu metric compact. Dac˘ af0:T→T,f1:T→T,…,fw−1:T→Tsunt contract ¸ii, vom spune c˘ a (f0,f1, …, fw−1) este un sis-tem iterativ de funct ¸ii (pe scurt, un IFS), peT. Un asemenea IFS genereaz˘ acontract ¸ia lui Hutchinson,F:K(T)→K(T), deﬁnit˘ a prin:F(H)=w−1/uniondisplayi=0fi(H).(F este o contract ¸ie, cu factorul de contract ¸ie mai mic sau egal cuw−1maxi=0/bardblfi/bardblL,undeK(T) este ˆ ınzestrat cu metrica Hausdorﬀ – Pompeiu.)16

ˆIn consecint ¸˘ a, exist˘ a un unic punct ﬁxH∗al lui F,adic˘ aH∗=w−1/uniondisplayi=0fi(H∗).NumimH∗mult ¸imea invariant˘ asau atractorul lui F.Vom spune c˘ aIFS−ul satisfacecondit ¸ia mult ¸imii deschisedac˘ a exist˘ a o mult ¸imedeschis˘ a ¸ si nevid˘ aD⊂Tastfel ˆ ıncˆ at:fi(D)∩fj(D)=∅,p e n t r ui/negationslash=j¸s iw−1/uniondisplayi=0fi(D)⊂D.ˆIn cazul ˆ ın careT⊂Rn(pentru unn∈N∗), toatefisuntsimilarit˘ at ¸i(adic˘ aﬁecarefieste de formafi(x)=ai+riVi(x),undeai∈Rn,Vi:Rn→Rnesteliniar˘ a ¸ si izometric˘ a pentru norma euclidian˘ a ¸ si 0<ri<1) ¸ si IFS-ul satisfacecondit ¸ia mult ¸imii deschise, dimensiunea Hausdorﬀ ,,s“ a atractoruluiH∗este dat˘ aprin relat ¸iaw−1/summationdisplayi=0rsi=1.Avem IFS-ul canonic pe spat ¸iul codurilor, (F0,F1,…,Fw−1), cu atractorulX∞.Se consider˘ a unIFSgeneral pe spat ¸iulT,anume (f0,f1,…,fw−1), cu atractorulA.ˆIn restul paragrafului,Ava avea acest sens. Ment ¸ion˘ am c˘ a ˆ ın paragraful urm˘ atorAva avea un sens precizat acolo.Pentru orice cuvˆ antα=(α0,α1,…,αn−1)c ul(α)=n∈N∗, consider˘ am funct ¸iafα=fα0◦fα1◦…◦fαn−1¸ si scriemI(α) :=fα(T)(de exemplu, dac˘ aα=( 0 ) ,a v e mf(0)=f0).Dac˘ an∈N∗,α∈Xn¸s ik∈X,v o ma v e aI(αk)⊂I(α).Considerˆ andC1= F(T)=w−1/uniondisplayi=0fi(T),C2=F2(T) = F (F(T)) =/uniondisplayu∈X2fu(T),………………………………Cn=Fn(T)=/uniondisplayu∈Xnfu(T),17

observ˘ am c˘ aCn+1⊂Cn¸ si de aceea (deoarece teoria general˘ a aﬁrm˘ a c˘ aA= limnCn,ˆ ın metrica Hausdorﬀ-Pompeiu), vom aveaA=∞/intersectiondisplayn=1Cn.Surject ¸ia canonic˘ aπ:X∞→Aeste deﬁnit˘ a prinπ(x)=t, unde{t}=∞/intersectiondisplayn=1f|x|n(T).Putem folosi aceast˘ a deﬁnit ¸ie deoareceTeste compact:∞/intersectiondisplayn=1f|x|n(T)=∞/intersectiondisplayn=1f|x|n(A).ˆIn general,πnu este o biject ¸ie.Presupunˆ and c˘ a are loc condit ¸ia (C),πdevine o biject ¸ie, deciπeste un homeo-morﬁsm (ˆ ın consecint ¸˘ a,Aeste total disconectat˘ a).Aici, Condit ¸ia (C) presupune urm˘ atoarele dou˘ a condit ¸ii:(i) Toate aplicat ¸iilefisunt injective.(ii) Pentru oricei/negationslash=j,a v e mfi(T)∩fj(T)=∅.Observ˘ am c˘ a, dac˘ a avem ˆ ındeplinit˘ a condit ¸ia (C), atunci(v/negationslash=α/negationslash=β/negationslash=vˆ ınX∗¸s il(α)=l(β))⇒fα(T)∩fβ(T)=∅.Deﬁnim, de asemenea,π:X∞→T, prinπ(x)=π(x).Pentru oricek∈X, ﬁefk:A→Adeﬁnit˘ a prinfk(t)=fk(t) (bine deﬁnit˘ a,deoarecew−1/uniondisplayk=0fk(A)=A) ¸ si, de asemenea, ﬁefα:A→Adeﬁnit˘ a prinfα(t)=fα(t),pentru oriceα∈X∗\{v}.Obt ¸inem urm˘ atoarele diagrame comutative (pentru oricek∈X):X∞Fk→X∞π↓↓πA→fkAX∞Fk→X∞π↓↓πT→fkT,18

Mai general, pentru oriceα∈X∗\{v},avem urm˘ atoarele diagrame comutative:X∞Fα→X∞π↓↓πA→fαAX∞Fα→X∞π↓↓πT→fαT.Partea ﬁnal˘ a a acestor preliminarii se ocup˘ a de sisteme iterative de funct ¸ii cuprobabilit˘ at ¸i ¸ si de m˘ asuri invariante.Fie (f0,f1,…,fw−1) un sistem iterativ de funct ¸ii peT. Fie, de asemenea,p0,p1, …, pw−1>0 astfel ˆ ıncˆ atw−1/summationdisplayi=0pi=1.Atunci (f0,f1, …, fw−1;p0,p1, …, pw−1) se nume¸ stesistem iterativ de funct ¸ii cuprobabilit˘ at ¸i(IFS cu probabilit˘ at ¸i sau IFSp).Aceasta ne va permite s˘ a deﬁnim operatorul MarkovEp:P ( T )→P(T) prinEp(ν)=w−1/summationdisplayi=0pifi(ν).Aicifi(ν) este m˘ asura transportat˘ a, deﬁnit˘ a astfel:fi(ν)∈P(T),fi(ν)=ν/parenleftBigf−1i(B)/parenrightBig,pentruoriceB∈B(T).Atunci, privind P(T) ˆ ınzestrat cu metricadH,¸ stim din teoria general˘ a c˘ aEpesteo contract ¸ie cu factorul de contract ¸ie mai mic sau egal cuw−1/summationdisplayi=0pi/bardblfi/bardblL.Astfel,Epare unic punct ﬁxν0(numim peν0m˘ asura invariant˘ a):Ep(ν0)=ν0.Aceasta ˆ ınseamn˘ a c˘ a, pentru oriceB∈B(T) avem:ν0(B)=w−1/summationdisplayi=0piν0/parenleftBigf−1i(B)/parenrightBig.S ¸tim, de asemenea, c˘ a supp (ν0)=A.Ca un caz particular, consider˘ am IFSp-ul(F0,F1,…,Fw−1;p0,p1,…,pw−1)p eX∞.19

M˘ asura invariant˘ a ˆ ın acest caz (numit˘ a m˘ asura Bernoulli) este unica m˘ asur˘ aµ:B(X∞)→[0;∞) cu proprietatea c˘ a, pentru oriceα∈Xn(n∈N∗)a v e mµ(Fα(X∞)) =µ(αX∞)=pα0pα1·…·pαn−1,dac˘ aα=(α0,α1,…,αn−1) (¸ si, bineˆ ınt ¸eles,µ(X∞)=1 ) .ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom nota prinµaceast˘ a m˘ asur˘ a.Putem deﬁniπ(µ):B(A)→[0;∞)¸ s iπ(µ):B(T)→[0;∞).Teoria general˘ a aﬁrm˘ a c˘ a, scriindλ0:=π(µ),avem c˘ aλ0este m˘ asur˘ a invariant˘ a,adic˘ a pentru oriceB∈B(A)a v e mλ0(B)=w−1/summationdisplayi=0pifi(λ0)(B)=w−1/summationdisplayi=0piλ0/parenleftbigg/parenleftBigfi/parenrightBig−1(B)/parenrightbigg.(∗)¸ si supp (λ0)=A.S˘ a not˘ am cuπ(µ)=λ. Vom vedea c˘ a au loc aﬁrmat ¸iile:A1)λ(B)=λ0(B),∀B∈B(A) (evident);A2)λ=ν0(m˘ asura invariant˘ a).Datorit˘ a unicit˘ at ¸ii,pentru a dovedi A2) trebuie s˘ a dovedim c˘ aλeste invari-ant˘ a,adic˘ a∀B∈B(T)a v e mλ(B)=w−1/summationdisplayi=0pifi(λ)(B)=w−1/summationdisplayi=0piλ/parenleftBigf−1i(B)/parenrightBig.(∗∗)ˆIntr-adev˘ ar, observ˘ am c˘ a pentru oriceB∈B(T) (cu prima aﬁrmat ¸ie)λ(B)=λ(B∩A)=λ0(B∩A)(Rem)Pentru a vedea aceasta:λ(B)=π(µ)(B)=µ/parenleftBig(π)−1(B)/parenrightBig=µ/parenleftBig(π)−1(B∩A)/parenrightBig=(datorit˘ a faptului c˘ aπ(T)=π(T)=A)=µ/parenleftBigπ−1(B∩A)/parenrightBig=π(µ)(B∩A)=λ0(B∩A).20

Folosind acest ultim rezultat, revenim la rezultatul (∗∗), utilizˆ and ¸ si rezultatul (∗):λ(B)=λ0(B∩A)=w−1/summationdisplayi=0pifi(λ0)(B∩A)=w−1/summationdisplayi=0piλ0/parenleftbigg/parenleftBigfi/parenrightBig−1(B∩A)/parenrightbigg==w−1/summationdisplayi=0piλ0/parenleftBigf−1i(B)∩A/parenrightBig.Ultima egalitate este adev˘ arat˘ a, deoarece/parenleftBigfi/parenrightBig−1(B∩A)=f−1i(B)∩A.Demonstr˘ am aceast˘ a egalitate de mult ¸imi astfel:ˆIn primul rˆ and, dac˘ ax∈/parenleftBigfi/parenrightBig−1(B∩A), atuncix∈A= domeniul de deﬁnit ¸ieal luifi¸s ifi(x)∈B∩A, decix∈A¸s ifi(x)∈B. Reciproc, dac˘ ax∈f−1i(B)∩A,atuncix∈A¸s ifi(x)=fi(x)∈B, decifi(x)∈B∩A, deoarecefi(A)⊂A.Astfel, din A1) ¸ si (Rem), obt ¸inemλ(B)=w−1/summationdisplayi=0piλ/parenleftBigf−1i(B)∩A/parenrightBig=w−1/summationdisplayi=0piλ/parenleftBigf−1i(B)/parenrightBig,care este (∗∗).ˆIn cele ce urmeaz˘ a,λva ﬁ ˆ ıntotdeauna simbolul pentruν0(m˘ asura invariant˘ a)¸ si vom t ¸ine cont de faptul c˘ aλ=π(µ).Teorema 2.1.1.Presupunem c˘ a are loc Condit ¸ia (C). Atunci,∀v/negationslash=α∈X∗avem:λ(I(α)) =µ(Fα(X∞)) =µ(αX∞)=pα0·pα1·…·pαn−1,dac˘ aα=(α0,α1,…,αn−1).ˆIn particular, dac˘ aw=2, avemλ(I(α)) =pn−|α|0p|α|1.Demonstrat ¸ie.Mai ˆ ıntˆ ai vom dovedi faptul c˘ aπ−1(fα(T)∩A)=Fα(X∞).(Eq)Din moment ceπeste injectiv˘ a, este suﬁcient s˘ a dovedim c˘ aπ/parenleftBigπ−1(fα(T)∩A)/parenrightBig=π(Fα(X∞)).21

Darπeste ¸ si surjectiv˘ a, prin urmareπ/parenleftBigπ−1(fα(T)∩A)/parenrightBig=fα(T)∩A.R˘ amˆ ane s˘ a demonstr˘ am c˘ afα(T)∩A=π(Fα(X∞)).Darπ◦Fα=fα◦π, deci r˘ amˆ ane s˘ a dovedim c˘ afα(T)∩A=/parenleftBigfα◦π/parenrightBig(X∞)=fα(π(X∞)) =fα(A).Avem (Aeste mult ¸imea invariant˘ a):A=/uniondisplayβ;l(β)=l(α)fβ(A),ceea ce implic˘ afα(T)∩A=fα(T)∩/uniondisplayβ;l(β)=l(α)fβ(A)=/uniondisplayβ;l(β)=l(α)(fα(T)∩fβ(A)).Am v˘ azut c˘ a, pentru oriceβ∈X∗astfel ˆ ıncˆ atl(β)=l(α)¸ s iβ/negationslash=α,a v e mfβ(T)∩fα(T)=∅, de aceeafα(T)∩fβ(A)=∅.Vom avea (¸ si aceasta dovede¸ ste (Eq)):fα(T)∩A=fα(T)∩fα(A)=fα(A).Reˆ ıntorcˆ andu-ne la ceea ce dorim s˘ a demonstr˘ am, folosind (Eq) vom scrie suc-cesiv:λ(I(α)) =µ/parenleftBig(π)−1(I(α))/parenrightBig=µ/parenleftBig(π)−1(fα(T))/parenrightBig==µ/parenleftBig(π)−1(fα(T)∩A)/parenrightBig=µ/parenleftBigπ−1(fα(T)∩A)/parenrightBig=µ(Fα(X∞)).Cu idei asem˘ an˘ atoare Teoremei 2.1.1, avem, de asemenea, urm˘ atorul rezultat:Presupunem c˘ a toate contract ¸iilefisunt injective.Pentru oricew∈X∞, deﬁnimπ−1(π(w)) =π−1({π(w)})¸s iU(∞)=/braceleftBigw∈X∞|π−1(π(w)) este inﬁnit˘ a/bracerightBig.AtunciU(∞)∈B(X∞) ¸ si avem urm˘ atoarea echivalent ¸˘ a:(Pentru oriceα=(α0α1…αn−1)∈X∗avemλ/parenleftBigfα(A)/parenrightBig=pα0…pαn−1⇔(µ(U(∞)) = 0).Aceasta este adev˘ arat dac˘ aπ−1(π(w)) este ﬁnit˘ a∀w∈X∞, ˆ ın particular, dac˘ aπeste injectiv˘ a.22

2.2 Mult ¸imea invariant˘ aCadrul general al acestui paragraf ¸ si al urm˘ atoarelor paragrafeva ﬁ urm˘ atorul:w= 2, deciX={0,1};T=[ 0,1].S˘ a ﬁx˘ am 0<θ≤12. Vom lucra cu contract ¸iile strict cresca˘toare (cu factorul decontract ¸ieθ):f0:[ 0 ;1 ]→[0; 1],f0(t)=θtf1:[ 0 ;1 ]→[0; 1],f1(t)=1−θ+θt.Astfel, ne va preocupa IFS-ulF=(f0,f1), cu mult ¸imea invariant˘ a (atractorul)A.ˆInainte de a merge mai departe, s˘ a remarc˘ am diferent ¸a dramatic˘ a ˆ ıntre cazurile0<θ<12¸ si cazulθ=12. Astfel, ˆ ın primul caz avemθ<1−θ, de aceeaI(0) =f0([0,1]) = [0,θ],I(1) =f1([0,1]) = [1−θ,1]¸s iI(0)∩I(1) =∅.Astfel, ˆ ın acest cazπeste un homeomorﬁsm ¸ siAeste total disconectat˘ a.ˆIn cazul al doilea, avemθ=1−θ=12, de aceeaI(0) =/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg,I(1) =/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg.Este u¸ sor de remarcat c˘ a, ˆ ın acest caz,A=[ 0,1].ˆIn general, ˆ ın acest cazπnu este o inject ¸ie (va urma ¸ si un exemplu concret).Mult ¸imea Cantor clasic˘ aCse obt ¸ine ˆ ın cazulθ=13(anumeC=Apentruθ=13).Am vrea s˘ a descriem structura concret˘ a a luiAˆ ın cazul 0<θ<12. Urmeaz˘ acˆ at ¸iva pa¸ si necesari preliminari. Lema 2.2.1 este valabil˘ a pentruθ=12, de asemenea.Lema 2.2.1.Pentru oricen∈N∗¸ si oriceα=(α0,α1,…,αn−1)∈{0,1}navem:I(α)=/bracketleftBigg(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi,/parenleftBigg(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi/parenrightBigg+θn/bracketrightBigg.Demonstrat ¸ie.Vom proceda prin induct ¸ie dup˘ an.Pentrun= 1 este evident:I(0) = [0,θ],I(1) = [1−θ,1]. Presupunem c˘ arezultatul este adev˘ arat pentrun, adic˘ a pentru oriceα=(α0,α1,…,αn−1)∈{0,1}navemI(α) ca ˆ ın enunt ¸ ¸ si s˘ a demonstr˘ am c˘ a rezultatul este adev˘ arat pentrun+1 .23

Astfel, trebuie s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a pentruu=0 ,u=1¸ s iα=(α0,α1,…,αn−1) avem:fuα0α1…αn−1([0,1]) =/bracketleftBigg(1−θ)/parenleftBiggu+n−1/summationdisplayi=0αiθi+1/parenrightBigg,(1−θ)/parenleftBiggu+n−1/summationdisplayi=0αiθi+1/parenrightBigg+θn+1/bracketrightBigg.Din moment cefuα0α1…αn−1=fu◦fα0α1…αn−1, trebuie s˘ a demonstr˘ am c˘ a:Pentruu= 0, avem:θ/bracketleftBigg(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi,/parenleftBigg(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi/parenrightBigg+θn/bracketrightBigg==/bracketleftBigg(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi+1,(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi+1+θn+1/bracketrightBigg,evident.Pentruu=1 ,a v e m(1−θ)+θ/bracketleftBigg(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi,/parenleftBigg(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi/parenrightBigg+θn/bracketrightBigg==/bracketleftBigg(1−θ)/parenleftBigg1+n−1/summationdisplayi=0αiθi+1/parenrightBigg,(1−θ)/parenleftBigg1+n−1/summationdisplayi=0αiθi+1/parenrightBigg+θn+1/bracketrightBigg.Lema 2.2.2.Fien∈N∗,(1,1,1,…,1)/negationslash=α=(α0,α1,…,αn−1)∈{0,1}n¸ siα/prime=/parenleftBigα/prime0,α/prime1,…,α/primen−1/parenrightBigsuccesorul luiα.Atunci:1. Pentru orice0<θ<12, avem:(1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi/parenrightBigg+θn<(1−θ)n−1/summationdisplayi=0α/primeiθi.2. Pentruθ=12, avem:(1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi/parenrightBigg+θn=( 1−θ)n−1/summationdisplayi=0α/primeiθi.24

Demonstrat ¸ie.1.ˆIn cazuln= 1, trebuie s˘ a avemα=( 0 ) ,α/prime= (1) ¸ si enunt ¸ulaﬁrm˘ a c˘ aθ<1−θ, evident.S˘ a lucr˘ am cun≥2. Pot ap˘ area dou˘ a cazuri:αn−1=0 s a uαn−1=1.ˆIn cazulαn−1=0 ,a v e mα=(α0,α1,…,αn−2,0) ¸ siα/prime=(α0,α1,…,αn−2,1).Trebuie s˘ a dovedim c˘ a(1−θ)·n−2/summationdisplayi=0αiθi+θn<(1−θ)/parenleftBiggn−2/summationdisplayi=0αiθi+θn−1/parenrightBigg,adic˘ aθn<(1−θ)·θn−1⇔θ<1−θ,evident.ˆIn cazulαn−1= 1, mult ¸imile{i|αi=1}¸s i{i|αi=0}sunt nevide ¸ si putemdeﬁnij= max{i|αi=0}⇒0≤j≤n−2.S˘ a studiem ˆ ın primul rˆ and cazulj=0 . D e c iα=( 0,1,1,…,1) ¸ siα/prime=(1,0,0,…,0). Trebuie s˘ a demonstr˘ am c˘ a(1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=1θi/parenrightBigg+θn<1−θ⇔n−1/summationdisplayi=1θi−n/summationdisplayi=2θi+θn<1−θ⇔θ<1−θ,evident.ˆIn ﬁnal, r˘ amˆ ane de studiat situat ¸ia 1≤j≤n−2.Avem:α=(α0,α1,…,αj−1,0,1,…,1),α/prime=(α0,α1,…,αj−1,1,0,…,0).Trebuie s˘ a demonstr˘ am c˘ a(1−θ)j−1/summationdisplayi=0αiθi+n−1/summationdisplayi=j+1θi+θn<(1−θ)j−1/summationdisplayi=0αiθi+θj⇔⇔(1−θ)n−1/summationdisplayi=j+1θi+θn<(1−θ)·θj⇔⇔(1−θ)/parenleftBigθ+θ2+…+θn−1−j/parenrightBig+θn−j<1−θ,25

echivalent cuθ+θ2+…+θn−1−j−θ2−θ3−…−θn−1−j−θn−j+θn−j<1−θ,echivalent cuθ<1−θ, evident.2. Calculele sunt identice cu cele de la punctul 1, punˆ and egalitate ˆ ın loc desemnul mai mic. Totul se reduce ˆ ın ﬁnal laθ=1−θ, care este adev˘ arat pentruθ=12.Remarc˘ am c˘ a partea din stˆ anga a inegalit˘ at ¸ii din Lema 2.2.2 este exact cap˘ atuldin dreapta al intervaluluiI(α), ˆ ın vreme ce partea dreapt˘ a a aceleia¸ si inegalit˘ at ¸ieste exact cap˘ atul din stˆ anga al intervaluluiI(α/prime).Prin urmare, pentru 0<θ<12, dac˘ aI(α)=[a, b]¸ s iI(α/prime)=[A, B], avemb<A(o asemenea situat ¸ie va ﬁ notat˘ a prin [a, b]<[A, B]). De aceea, cele 2nintervaleI(α), cˆ andαparcurge{0,1}n, vor ﬁ disjuncte, ﬁind pozit ¸ionate ˆ ın ,,ordineascendent˘ a“ dup˘ a cum urmeaz˘ a:[a1,b1]<[a2,b2]<…<[a2n,b2n],unde [a1,b1]=I(0,0,…,0), [a2,b2]=I(0,0,…,0,1), [a3,b3]=I(0,0,…,0,1,0),…, [a2n,b2n]=I(1,1,…,1).Mai precis, dac˘ a [ai,bi]=I(α), atunci [ai+1,bi+1]=I(α/prime).De aceea, luˆ and acest rezultat ˆ ın considerare, vom vedea c˘ a, pentru oricen∈N∗,avemCn=/uniondisplayl(α)=nI(α),ceea ce conduce laL(Cn)=2n·θn=/parenleftBiggθ1/2/parenrightBiggn−→n0.CumA=∞/intersectiondisplayn=1Cn,v o ma v e aL(A) = 0. Am obt ¸inut astfel:Lema 2.2.3.Presupunem c˘ a0<θ<12. Mult ¸imeaAeste nevid˘ a, compact˘ a,homeomorf˘ a cuX∞={0,1}∞(deci total disconectat˘ a) ¸ siL(A)=0.Atunci[0,1]\Aeste dens˘ a ˆ ın[0,1].ˆIn cazulθ=12avemCn=[ 0,1] pentru oricen∈N∗. Aceasta implic˘ a, desigur, c˘ aA=[ 0,1] ˆ ın acest caz (a¸ sa cum am v˘ azut deja) ¸ si face cazulθ=12trivial.ˆIn cazul26

θ=12, surject ¸ia canonic˘ a nu este inject ¸ie, deci nu este homeomorﬁsm, deoarece, ˆ ınacest caz,A=[ 0,1], mult ¸ime care nu este total disconectat˘ a.ˆIntr-adev˘ ar, aceasta este o consecint ¸˘ a direct˘ a a Lemei 2.2.2, punctul 2 (cap˘ atuldrept al luiI(α), adic˘ a partea stˆ ang˘ a a egalit˘ at ¸ii din Lema 2.2.2, coincide cu cap˘ atulstˆ ang al noului intervalI(α/prime), adic˘ a partea dreapt˘ a a egalit˘ at ¸ii din Lema 2.2.2).S˘ a continu˘ am, pentru 0<θ<12, analiza pozit ¸ion˘ arii intervalelor care alc˘ atuiescunCnﬁxat,n∈N∗.Avem[0,1]−Cn=/uniondisplayl(α)=n,|α|≤n−1E(α),unde, pentru oriceα=(α0,α1,…,αn−1)c u|α|≤n−1, am deﬁnit mult ¸imeadeschis˘ a nevid˘ aE(α)=/parenleftBigg/parenleftBigg(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi/parenrightBigg+θn,(1−θ)n−1/summationdisplayi=0α/primeiθi/parenrightBigg.AstfelE(α) ,,este pozit ¸ionat ˆ ıntreI(α)¸ s iI(α/prime)“:[[[[((I( )/c97I( )/c97’E( )/c97¸s i [ 0,1]\Cnapare ca ﬁind mult ¸imea deschis˘ a care este reuniunea disjunct˘ a a celor2n−1 mult ¸imi deschiseE(α)(l(α)=n,α/negationslash=( 1,1,…,1)).Dou˘ a reprezent˘ ari concrete:n=1I(0)I(1)E(0)0/c113 /c49/c45/c1130n=21I(1,0)/c50/c113/c50I,(00)I,(01)I(1,1)E(0,0)E(0,1)0/c113 /c49/c45/c113/c113/c50/c49/c45/c113+/c113/c49/c45/c113-/c113/c50E,(10)Acum suntem preg˘ atit ¸i s˘ a trecem la reprezentarea concret˘ a a mult ¸imii invarianteA.Pentru aceasta, vom introduce mult ¸imeaM=/braceleftBigg(1−θ)∞/summationdisplayi=0αiθi|αi∈{0,1}/bracerightBigg⊆[0,1].Se observ˘ a c˘ a, pentruθ=12,a v e mM=[ 0,1] (reprezentarea diadic˘ a).27

Pentruθ=13,M=Ceste mult ¸imea Cantor clasic˘ a (care este format˘ a din toatenumerele din [0,1] a c˘ aror reprezentare ˆ ın baza 3 cont ¸ine numai cifrele 0 ¸ si 2).Lema 2.2.4.Mult ¸imeaMeste compact˘ a(rezultat valabil ¸ si pentruθ=12).Demonstrat ¸ie.Este suﬁcient s˘ a demonstr˘ am c˘ aM1este compact˘ a, undeM1=/braceleftBigg∞/summationdisplayi=0αiθi|αi∈{0,1}/bracerightBigg.Pentru aceasta, vom introduce mult ¸imeaY={0,1}N={(α0,α1,…,αn,…)|αi∈{0,1}}(practic, mult ¸imileX∞¸s iYcoincid).Deﬁnim Ω :Y→[0,∞) prinΩ(α0,α1,…,αn,…)=∞/summationdisplayi=0αiθi¸ si observ˘ am c˘ aM1=Ω (Y).Cu metrica canonic˘ a,d((α0,α1,…,αn,…),(β0,β1,…,βn,…)) =∞/summationdisplayi=0|αi−βi|2i,Ydevine un spat ¸iu metric compact. Convergent ¸a ˆ ın acest spat ¸iu este convergent ¸ape componente.Vom demonstra c˘ a Ω este continu˘ a ¸ si aceasta va ˆ ıncheia demonstrat ¸ia faptuluic˘ aM1este compact˘ a.Fiex=(α0,α1,…,αq,…)∈Y¸ si ﬁexn=/parenleftBigαn0,αn1,…,αnq,…/parenrightBig∈Yastfel ˆ ıncˆ atxn−→nxadic˘ aαni−→nαi, pentru oricei.Aceasta implic˘ a: pentru oricep∈N, exist˘ a un num˘ ar naturaln(p) astfel ˆ ıncˆ atαn0=α0,αn1=α1,. . . ,αnp=αp, pentru oricen≥n(p) num˘ ar natural.Astfel, pentru orice astfel den:|Ω(xn)−Ω(x)|≤/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞/summationdisplayi=p+1(αni−αi)θi/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤∞/summationdisplayi=p+1θi.ˆIn ﬁnal, pentru oriceε>0, putem alegep∈N, astfel ˆ ıncˆ at∞/summationdisplayi=p+1θi<ε, deci|Ω(xn)−Ω(x)|≤ε,∀n≥n(p).Aceasta demonstreaz˘ a c˘ a Ω este continu˘ a ˆ ınx.28

ˆIn continuare, vom introduce elementele ,,de tip ﬁnit“ dinM, anume elementelemult ¸imii:F=/braceleftBigg(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi|αi∈{0,1},n∈N∗/bracerightBigg.ˆIn mod evident,F⊂M.Teorema 2.2.5.(Structura luiA).AvemA=M=F.Demonstrat ¸ie.1. Cazulθ=12Am v˘ azut c˘ aA=M=[ 0,1]. Pe de alt˘ a parte,M⊂F.(2.1)(rezultatul este valabil pentru 0<θ≤12).ˆIntr-adev˘ ar, orice elementx=( 1−θ)·∞/summationdisplayi=0αiθi∈Mare proprietatea c˘ ax= limnxn,undexn=( 1−θ)·n/summationdisplayi=0αiθi∈F.Deoarece (ˆ ın mod evident)F⊂[0,1], vom avea c˘ aM=F=[ 0,1].2. Cazul 0<θ<12.2 a) Demonstr˘ am c˘ aM⊂A.Vom dovedi incluziunea echivalent˘ a[0,1]\A⊂[0,1]\M.Fieu∈[0,1]\A=∞/uniondisplayn=1([0,1]\Cn).Datorit˘ a structurii lui [0,1]\Cn, g˘ asimαn=/parenleftBigαn0,αn1,…,αnn−1/parenrightBig∈{0,1}nastfelˆ ıncˆ atu∈E(αn)¸ s il(αn)≤n−1.Prin urmare,x<u<y, undex=/parenleftBigg(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αniθi/parenrightBigg+θn,y=( 1−θ)·n−1/summationdisplayi=0(αni)/prime·θi,unde/parenleftbigg(αn0)/prime,(αn1)/prime,…,/parenleftBigαnn−1/parenrightBig/prime/parenrightbiggeste succesorul lui/parenleftBigαn0,αn1,…,αnn−1/parenrightBig(am folosit Lema 2.2.2 ¸ si consecint ¸ele sale).29

S˘ a scriem, pentru a ﬁ mai simplu,αiˆ ın loc deαni¸s iα/primeiˆ ın loc de (αni)/prime.S˘ a accept˘ am c˘ au∈M, deciueste de formau=( 1−θ)·∞/summationdisplayi=0uiθi.Vom ajunge la o contradict ¸ie.Datorit˘ a faptului c˘ aθn=( 1−θ)·∞/summationdisplayi=nθi,inegalitateax<u<ydevine(1−θ)·/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi+∞/summationdisplayi=nθi/parenrightBigg<(1−θ)·∞/summationdisplayi=0uiθi<(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0α/primeiθi.(2.2)Vom ar˘ ata c˘ a relat ¸ia (2.2) este imposibil˘ a, sfˆ ar¸ sind astfel demonstrat ¸ia.Deoarece{0,1}neste total ordonat˘ a (ˆ ın raport cu ordinea lexicograﬁc˘ a/lessmuch), avemurm˘ atoarele 3 posibilit˘ at ¸i:A. (u0u1…un−1)/lessmuch(α0α1…αn−1)¸ s i(u0u1…un−1)/negationslash=(α0α1…αn−1).B. (u0u1…un−1)=(α0α1…αn−1).C. (u0u1…un−1)/greatermuch(α0α1…αn−1)¸ s i(u0u1…un−1)/negationslash=(α0α1…αn−1).ˆIn cazul A., avem(u0u1…un−1)/lessmuch/parenleftBigu/prime0u/prime1…u/primen−1/parenrightBig/lessmuch(α0α1…αn−1).Atunci (folosind din nou Lema 2.2.2)n−1/summationdisplayi=0uiθi+θn<n−1/summationdisplayi=0u/primeiθi≤n−1/summationdisplayi=0αiθi⇒n−1/summationdisplayi=0uiθi<n−1/summationdisplayi=0αiθi⇒⇒u=( 1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0uiθi+∞/summationdisplayi=nuiθi/parenrightBigg≤(1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0uiθi+∞/summationdisplayi=nθi/parenrightBigg<<(1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi+∞/summationdisplayi=nθi/parenrightBigg=x,deciu<x, ceea ce este fals.ˆIn cazul B., avem c˘ au=( 1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi+∞/summationdisplayi=nuiθi/parenrightBigg≤(1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi+∞/summationdisplayi=nθi/parenrightBigg=x,30

deciu≤x, fals.ˆIn cazul C., avem (u0u1…un−1)/greatermuch/parenleftBigα/prime0α/prime1…α/primen−1/parenrightBig, decin−1/summationdisplayi=0uiθi≥n−1/summationdisplayi=0α/primeiθi.Prin urmare,u=( 1−θ)·∞/summationdisplayi=0uiθi≥(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0uiθi≥(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0α/primeiθi=y,deciu≥y, fals.2 b) Ar˘ at˘ am c˘ aA⊂M¸s iA=M=F.AvemF⊂M, prin urmareF⊂M=M(cu lema 2.2.4)Folosind (2.1), obt ¸inemM=F.(2.3)Folosind rezultatele de la 2a), obt ¸inem c˘ aF⊂M⊂A, prin urmareF⊂A=A.Folosind (2.3), demonstrat ¸ia se va ˆ ıncheia dup˘ a ce vom demonstraA⊂F.(2.4)Pentru a demonstra (2.4), s˘ a alegemx∈A=/intersectiondisplaynCn. Prin urmare, pentru oricen∈N∗,a v e mx∈Cn.Astfel, putem g˘ asiαn=/parenleftBigαn0,αn1,…,αnn−1/parenrightBig∈{0,1}n, astfel ˆ ıncˆ atx∈I(αn).Folosind cap˘ atul stˆ ang al luiI(αn), obt ¸inem/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglex−(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αniθi/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=x−(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αniθi≤θn−→n0.Prin urmare,x= limnxn, undexn=( 1−θ)n−1/summationdisplayi=0αniθi∈F, ˆ ın consecint ¸˘ ax∈F.Pentru orice 0<θ≤12, are loc condit ¸ia mult ¸imii deschise, luˆ and drept mult ¸imedeschis˘ a peG=( 0,1).Anume,f0(G)=( 0,θ)f1(G)=( 1−θ,1)¸s if0(G)∩f1(G)=∅,f0(G)∪f1(G)⊂G.31

ˆIn consecint ¸˘ a, putem calcula dimensiunea Hausdorﬀ,s, a atractoruluiA, folosindformulaθs+θs=1,adic˘ as=−ln 2lnθ.ˆIn cazulθ=13, obt ¸inems=ln 2ln 3(dimensiunea mult ¸imii lui Cantor).ˆIn cazulθ=12, obt ¸inems= 1 (dimensiunea luiA=[ 0,1], ceea ce constituie oconﬁrmare).Remarc˘ a.S˘ a ﬁx˘ amn∈N∗¸s iα∈{0,1}n,α=(α0,α1,…,αn−1). Atunci, cap˘ atulstˆ ang al luiI(α)e s t e( 1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi∈F⊂M⊂A. Pe de alt˘ a parte, cap˘ atuldrept al luiI(α)e s t e(1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi+θn=( 1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi+( 1−θ)·∞/summationdisplayi=nθi==( 1−θ)/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi+∞/summationdisplayi=nθi/parenrightBigg∈M⊂A.A¸ sadar,A⊃E= mult ¸imea tuturor capetelor de intervaleI(α)¸ s ia v e mA=E.2.3 M˘ asura invariant˘ aPresupunem, pe lˆ ang˘ a cadrul general, c˘ a avem numerele 0<p0<1, 0<p1<1astfel ˆ ıncˆ atp0+p1=1,obt ¸inˆ and IFSp-ul Fp=(f0,f1;p0,p1).M˘ asura invariant˘ a va ﬁ notat˘ a cuλ, adic˘ aλ=ν0, v. Preliminarii. Astfel, vomavea c˘ aλ:B([0; 1])→[0; 1]este unica m˘ asur˘ a de probabilitate avˆ and proprietateaλ=p0f0(λ)+p1f1(λ), adic˘ a,pentru oriceB∈B(T)=B([0,1]):λ(B)=p0λ/parenleftBigf−10(B)/parenrightBig+p1λ/parenleftBigf−11(B)/parenrightBig.(2.5)32

Pentru a scrie ˆ ıntr-un mod ¸ si mai clar aceast˘ a ultim˘ a egalitate,s˘ a consider˘ am omult ¸ime nevid˘ aB¸ si un num˘ ara>0 ¸ si s˘ a deﬁnim urm˘ atoarele mult ¸imi:aB={at|t∈B}B+a={t+a|t∈B}=a+BB−a={t−a|t∈B}=−a+B.Formula de invariant ¸˘ a (2.5) devineλ(B)=p0λ/parenleftbigg/parenleftbigg1θB/parenrightbigg∩[0; 1]/parenrightbigg+p1λ/parenleftBigg/parenleftBigg1θB−1−θθ/parenrightBigg∩[0; 1]/parenrightBigg,(2.6)valida pentru oriceB∈B([0; 1]).ˆIn cazulB=∅, toate mult ¸imile care apar ˆ ın (2.6) sunt considerate a ﬁ vide.Ne reamintim, de asemenea,c˘ a suppλ=A.Cazulθ=12merit˘ a o atent ¸ie deosebit˘ a.Vom demonstra:Lema 2.3.1.ˆIn cazulθ=12, avemπ=πdat prinπ:X∞→[0,1]π(α1α2…αn…)=∞/summationdisplayi=1αi2i.Demonstrat ¸ie.1. Vom demonstra c˘ a, pentru oricen∈N∗¸ si oriceα=(α1α2…αn)∈X∗,a v e mfα([0,1]) =I(α)=/bracketleftBiggn/summationdisplayi=1αi2i,n/summationdisplayi=1αi2i+12n/bracketrightBigg,(2.7)prin induct ¸ie dup˘ an.Pentrun=1 ,a v e mf0([0,1]) =/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg¸s if1([0,1]) =/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg,care veriﬁc˘ a (2.7).Accept˘ am (2.7) pentrun¸ si s˘ a dovedim aceast˘ a relat ¸ie ¸ si pentrun+1 .Toateβ∈X∗cul(β)=n+ 1 sunt generate de unα∈X∗cul(α)=nprinβ=0αsauβ=1α, undeαeste ca ˆ ın relat ¸ia (2.7).Pentruβ=0α=( 0α1α2…αn)=(β1β2…βn+1)a v e mfβ([0,1]) =f0(fα1α2…αn([0,1])) =12fα1α2…αn([0,1]) =33

=12/bracketleftBiggn/summationdisplayi=1αi2i,n/summationdisplayi=1αi2i+12n/bracketrightBigg=/bracketleftBiggn+1/summationdisplayi=1βi2i,n+1/summationdisplayi=1βi2i+12n+1/bracketrightBigg.Pentruβ=1α=( 1α1α2…αn)=(β1β2…βn+1), avem:fβ([0,1]) =f1(fα1α2…αn([0,1])) =12+12fα1α2…αn([0,1]) ==/bracketleftBigg12+n/summationdisplayi=1αi2i+1,12+n/summationdisplayi=1αi2i+1+12n+1/bracketrightBigg=/bracketleftBiggn+1/summationdisplayi=1βi2i,n+1/summationdisplayi=1βi2i+12n+1/bracketrightBigg.2. Pentru oricew=(α1α2…αn…)∈X∞,a v e mπ(w)=x, unde (vezi partea 1a demonstrat ¸iei){x}=∞/intersectiondisplayn=1f|w|n([0,1]) =∞/intersectiondisplayn=1/bracketleftBiggn/summationdisplayi=1αi2i,n/summationdisplayi=1αi2i+12n/bracketrightBigg=/braceleftBigg∞/summationdisplayi=1αi2i/bracerightBigg.Acum, putem demonstraTeorema 2.3.2.Pentru orice0<θ≤12¸ si oriceα=(α1α2…αn)∈{0,1}n,n∈N∗, avem:λ(I(α)) =pn−|α|0·p|α|1.Demonstrat ¸ie.Pentru 0<θ<12, condit ¸ia (C) este ˆ ındeplinit˘ a.Aplic˘ am teorema 2.1.1.Acum, ﬁeθ=12. AtunciA=[ 0,1] ¸ sifα(A)=fα([0,1]) =I(α).Consider˘ amw=(α1α2…αn…)∈X∞.Atunciπ−1(π(w)) =/braceleftBiggu=(u1u2…un…)∈X∞/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle∞/summationdisplayi=1ui2i=∞/summationdisplayi=1αi2i/bracerightBigg.Prin urmare,π−1(π(w)) are cel mult dou˘ a elemente.Prin urmare, ˆ ın acest caz, avemU(∞)=∅, deciµ(U(∞)) = 0 ¸ si teoria general˘ ane d˘ a rezultatul din enunt ¸.34

Vom reaminti pe scurt cˆ ateva date privind atomii unei m˘ asuri.Dac˘ aAeste un inel, iarm:A→[0,∞) este o m˘ asur˘ a aditiv˘ a, un elementH∈Ase nume¸ ste atom al luimdac˘ am(H)>0 ¸ si pentru oriceA/ownerB⊂H,a v e mﬁem(B)=m(H), ﬁem(B)=0 .ˆIn cazul particularA=B([0,1]) ¸ sim:B([0,1])→[0,∞)e s t eσ−aditiv˘ a, avem:Lema 2.3.3.Fiem:B([0,1])→[0,∞)o m˘ asur˘ aσ−aditiv˘ a. Dac˘ a∃Hun atom alluim, atunci∃x∈[0,1]cu proprietatea c˘ am({x})>0(¸ si, prin urmare,{x}esteatom al luim).Schit ¸˘ a de demonstrat ¸ieNot˘ amm(H)=a. Atuncim/parenleftbiggH∩/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg/parenrightbigg=asaum/parenleftbiggH∩/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg/parenrightbigg=a.Not˘ am cuA1=H∩/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg, dac˘ am/parenleftbiggH∩/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg/parenrightbigg=a,s a uc uA2=H∩/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg,dac˘ am/parenleftbiggH∩/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg/parenrightbigg=a.Atuncim(A1)=a¸s idiam(A1)=12.ˆImp˘ art ¸indA1, obt ¸inemA2⊂A1cum(A2)=a,A2un interval compact,diam(A2)=122. Continuˆ and, obt ¸inem un ¸ sirdescendent (An)nde intervale compacte cudiam(An)=12n¸s im(An)=a,∀n∈N∗.Prin urmare, exist˘ a un unicx∈[0,1] cu∞/intersectiondisplayn=1An={x}¸s im({x}) = limn→∞m(An)=a.Folosind rezultatele anterioare, obt ¸inem:Teorema 2.3.4.M˘ asura invariant˘ aλare urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i:a) Pentru oricex∈[0,1], avemλ({x})=0, prin urmare,λeste non-atomic˘ a(nu are atomi).b) Dac˘ a0<θ<12,λeste singular˘ a.Demonstrat ¸ie.a) Fiex∈[0,1]. Dac˘ ax∈A,a v e mx∈Cnpentru oricen∈N∗.Deci, pentru orice astfel den,∃αn∈{0,1}ncu proprietatea c˘ ax∈I(αn).Atunciλ({x})≤λ(I(αn)) =pn−|α|0·p|α|1≤pn,undep= max (p0,p1).Cumpn−→n0, obt ¸inem c˘ aλ({x})=0 .ˆIn cazulθ=12,A=[ 0,1] ¸ si punctul a) este demonstrat.ˆIn cazul 0<θ<12, putem considera, de asemenea, cazulx∈[0,1]\A.35

Atunci exist˘ an∈N∗cu proprietatea c˘ ax∈[0,1]\Cn. Putem g˘ asiαn∈{0,1}nastfel ˆ ıncˆ atx∈E(αn).Din moment ceE(αn)∩A=∅, iarA= supp(λ), avem pentru mult ¸imea deschis˘ aE(αn):λ(E(αn)) = 0.Atunciλ({x})≤λ(E(αn)) = 0,deciλ({x})=0 .b) Am v˘ azut c˘ aL(A)=L(supp(λ)) = 0.M˘ asura LebesgueLpoate ﬁ obt ¸inut˘ a ca m˘ asur˘ a invariant˘ a:Lema 2.3.5.Dac˘ aθ=12=p0=p1, avemλ=L.Demonstrat ¸ie.Datorit˘ a unicit˘ at ¸ii, este suﬁcient s˘ a demonstr˘ am (2.6) ˆ ın acest caz,adic˘ aL(B)=12L((2B)∩[0; 1]) +12L(((2B)−1)∩[0,1]),(2.6/prime)pentru oriceB∈B([0,1]).Distingem 3 posibilit˘ at ¸i.a) Primul caz:B⊂/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg.Atunci 2B⊂[0,1] ¸ si ((2B)−1)⊂[−1,0].AvemL(((2B)−1)∩[0,1]) = 0;L(2B)=2L(B).q.e.db) Al doilea caz:B⊂/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg.Deci 2B⊂[1,2] ¸ si ((2B)−1)⊂[0,1].Avem:L((2B)∩[0,1]) = 0,L((2B)−1) = 2L(B).q.e.d.c) Al treilea caz:B∩/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg/negationslash=∅¸s iB∩/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg/negationslash=∅.AtunciL(B)=L(B1)+L(B2), undeB1=B∩/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg¸s iB2=B∩/bracketleftbigg12,1/bracketrightbigg.Din a) ¸ si b) deducem c˘ aL(B)=12L((2B1)∩[0,1]) +12L(((2B1)−1)∩[0,1]) ++12L((2B2)∩[0,1]) +12L(((2B2)−1)∩[0,1]).36

Dar ((2B1)∩[0,1])∪((2B2)∩[0,1]) = (2B)∩[0,1] ¸ si((2B1)∩[0,1])∩((2B2)∩[0,1])⊂{1},prin urmareL((2B)∩[0,1]) =L((2B1)∩[0,1]) +L((2B2)∩[0,1]).ˆIn acela¸ si mod, avem(((2B1)−1)∩[0,1])∩(((2B2)−1)∩[0,1])⊂{0},de aceeaL((2B−1)∩[0,1]) =L(((2B1)−1)∩[0,1]) +L(((2B2)−1)∩[0,1])¸s i ( 2.6/prime) este valid˘ a ˆ ın toate cazurile.Partea r˘ amas˘ a din acest paragraf este dedicat˘ a calculului luiλ([0,a]), pentru0<a<1.Aceasta ne va permite s˘ a calcul˘ amλ(B) pentru oriceB∈B([0,1]).ˆIntr-adev˘ ar,pentru orice 0≤a<b≤1, avemλ((a, b]) =λ([0,b])−λ([0,a]) =λ([a, b)) =λ([a, b]) =λ((a, b)).Intervalele de acest tip genereaz˘ aB([0,1]) ¸ si aceasta permite calculul (cel put ¸indin punct de vedere teoretic) al luiλ(B), pentru oriceB∈B([0,1]).Lema 2.3.6.Pentru oriceθ≤a≤1−θ¸ sin∈N, avemλ([0,a·θn]) =pn+10.(2.8)Demonstrat ¸ie.Vom utiliza ˆ ın mod repetat relat ¸ia (2.6).Cazuln=0 . P e n t r uB=[ 0,a], avem/parenleftbigg1θB/parenrightbigg∩[0,1] = [0,1],deoareceaθ≥1.Avem, de asemenea,/parenleftbigg1θB/parenrightbigg−1−θθ=/bracketleftBigg−1−θθ,a−(1−θ)θ/bracketrightBigg⇒/parenleftBigg/parenleftbigg1θB/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1]⊂{0}.37

Prin urmare,λ([0,a]) =p0λ([0,1]) =p0.Pentrun≥1, vom lucra prin induct ¸ie dup˘ an, dup˘ a cum urmeaz˘ a:Accept˘ am c˘ aλ([0, aθn]) =pn+10. Atunciλ([0,a·θn+1]) =p0λ/parenleftbigg/parenleftbigg1θ[0,a·θn+1]/parenrightbigg∩[0,1]/parenrightbigg++p1λ/parenleftBigg/parenleftBigg1θ[0,a·θn+1]−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1]/parenrightBigg.Avem/parenleftbigg1θ/bracketleftBig0,a·θn+1/bracketrightBig/parenrightbigg∩[0,1] = [0,a·θn]∩[0,1] = [0,a·θn],deoarecea·θn<a≤1−θ<1.ˆIn acela¸ si timp, avem:/parenleftBigg/parenleftbigg1θ/bracketleftBig0,a·θn+1/bracketrightBig/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1] =/parenleftBigg[0,a·θn]−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1] ==/bracketleftBigg−1−θθ,a·θn+1−(1−θ)θ/bracketrightBigg∩[0,1] =∅,deoarecea·θn+1<a≤1−θ.Vom avea (drept consecint ¸˘ a):λ/parenleftBig/bracketleftBig0,a·θn+1/bracketrightBig/parenrightBig=p0λ([0,a·θn]) =p0·pn+10=pn+20.Remarc˘ a.Pentruθ=12, trebuie s˘ a avema=12¸ si (2.8) devine:λ/parenleftBig/bracketleftBig0,θn+1/bracketrightBig/parenrightBig=pn+10,∀n∈N.Lema 2.3.7.Fie1−θ≤a<b≤1. Atunci1θ[a, b]−1−θθ⊂[0,1]¸ si, pentru oricen∈N, avemλ(θn[a, b]) =pn0p1λ/parenleftBigg/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg.(2.9)38

Demonstrat ¸ie.Avem1θ[a, b]−1−θθ=1θ[a−(1−θ),b−(1−θ)].Prima parte rezult˘ a din faptul c˘ a 0<b−(1−θ)≤θ.Pentrun= 0, utilizˆ and (2.6) ¸ si prima parte avem:λ([a, b]) =p0λ/parenleftbigg/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg∩[0,1]/parenrightbigg+p1λ/parenleftBigg/parenleftBigg1θ[a, b]−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1]/parenrightBigg==p0λ/parenleftbigg/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg∩[0,1]/parenrightbigg+p1λ/parenleftBigg/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg.Avem/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg∩[0,1]⊂{1}, deoareceaθ≥1−θθ≥1. Prin urmare,λ([a, b]) =p1λ/parenleftBigg/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg.Pentrun≥1 vom lucra prin induct ¸ie dup˘ an, dup˘ a cum urmeaz˘ a:Accept˘ am c˘ aλ(θn[a, b]) =pn0p1λ/parenleftBigg/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg.Atunci (2.6) implic˘ aλ/parenleftBigθn+1[a, b]/parenrightBig=p0λ((θn[a, b])∩[0,1]) +p1λ/parenleftBigg/parenleftBiggθn[a, b]−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1]/parenrightBigg==p0·pn0·p1λ/parenleftBigg/parenleftbigg1θ[a, b]/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg+p1λ/parenleftBigg/parenleftBiggθn[a, b]−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1]/parenrightBigg,deoareceθn[a, b]⊂[0,1].Totul va rezulta din faptul c˘ aλ/parenleftBigg/parenleftBiggθn[a, b]−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1]/parenrightBigg=0.ˆIntr-adev˘ ar/parenleftBiggθn[a, b]−1−θθ/parenrightBigg∩[0,1] =/bracketleftBiggθn+1a−(1−θ)θ,θn+1b−(1−θ)θ/bracketrightBigg∩[0,1] =∅,deoareceθn+1b−(1−θ)≤θn+1−(1−θ)<θ−(1−θ)<0.39

ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom folosi o form˘ a alternativ˘ a a elementelor dinM. Anume,un elementx∈Mpoate ﬁ dat de una din formulelex=( 1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi(dac˘ ax∈F)saux=( 1−θ)∞/summationdisplayi=0αiθi(inﬁnit de mult ¸iαi=1 ).Alternativ (pentruxnenul):– dac˘ ax∈F, atuncix=( 1−θ)·θn1saux=( 1−θ)(θn1+θn1+n2+θn1+n2+n3+…+θn1+…+nk)==θn1(1−θ)( 1+θn2+θn2+n3+…+θn2+n3+…+nk),unden1∈N;n2,n3,…,nk∈N∗,k∈N∗;– dac˘ ax∈M\F, atuncix=( 1−θ)(θn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nk+…)==θn1(1−θ)( 1+θn2+θn2+n3+…+θn2+n3+…+nk+…),unden1∈N;n2,n3,…,nk…∈N∗.ˆIn toate cazurile:x=θn1a, unden1∈N¸s i 1−θ≤a≤1, ¸ si va ﬁ posibil s˘ aaplic˘ am Lema 2.3.6 ¸ si Lema 2.3.7 (adic˘ a relat ¸iile (2.8) ¸ si (2.9)).Lema 2.3.8.FieN/ownerm≥2,n1∈N¸ sin2,n3,…,nm∈N∗. Atunciλ([a, b]) =pn1+n2+n3+…+nm−(m−2)0·pm−11,undea=( 1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nm−1/parenrightBig,b=( 1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nm/parenrightBig.Demonstrat ¸ie.Vom face demonstrat ¸ia prin induct ¸ie dup˘ am.Pentrum= 2, trebuie s˘ a demonstr˘ am c˘ aλ(θn1[(1−θ),(1−θ)( 1+θn2)]) =pn1+n20p1.ˆIntr-adev˘ ar, folosind Lema 2.3.7, membrul stˆ ang al egalit˘ at ¸ii devinepn10p1λ/parenleftBigg/parenleftbigg1θ[(1−θ),(1−θ)( 1+θn2)]/parenrightbigg−1−θθ/parenrightBigg==pn10p1λ/parenleftBigg/bracketleftBigg0,1−θθ·θn2/bracketrightBigg/parenrightBigg=pn10p1λ/parenleftBig/bracketleftBig0,(1−θ)·θn2−1/bracketrightBig/parenrightBig=pn1+n20p1,40

folosind Lema 2.3.6.S˘ a presupunem rezultatul adev˘ arat pentrum¸ si s˘ a ˆ ıl demonstr˘ am pentrum+1 .Trebuie s˘ a ar˘ at˘ am c˘ aλ([A, B]) =pn1+n2+…+nm+1−(m−1)0·pm1,undeA=θn1/parenleftBig1+θn2+θn2+n3+…+θn2+n3+…+nm/parenrightBig(1−θ),B=θn1/parenleftBig1+θn2+θn2+n3+…+θn2+n3+…+nm+1/parenrightBig(1−θ).Folosind Lema 2.3.7, obt ¸inemλ([A, B]) ==pn10p1λ/parenleftBigg/bracketleftBigg1−θθ/parenleftBig1+θn2+…+θn2+…+nm/parenrightBig,1−θθ/parenleftBig1+θn2+…+θn2+…+nm+1/parenrightBig/bracketrightBigg−1−θθ/parenrightBigg==pn10p1λ/parenleftBig/bracketleftBig(1−θ)/parenleftBigθn2−1+…+θn2+…+nm−1/parenrightBig,(1−θ)/parenleftBigθn2−1+…+θn2+…+nm+1−1/parenrightBig/bracketrightBig/parenrightBig.Ultima valoare este, folosind ipoteza de induct ¸ie,pn10p1pn2−1+n3+…+…+nm+1−(m−2)0pm−11=pn1+n2+…+…+nm+1−(m−1)0pm1Acum putem calculaλ([0,a]) pentrua∈M=A.Teorema 2.3.9.Avem:a)λ([0,(1−θ)·θn1]) =pn1+10, dac˘ an1∈N.b)λ([0,(1−θ)·(θn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nm)]) ==pn1+10+m−2/summationdisplayh=0pn1+n2+…+nh+2−h0·ph+11, dac˘ am∈N,m≥2,n1∈N¸ sin2,n3,…,nm∈N∗.c)λ([0,(1−θ)·(θn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nm+…)]) ==pn1+10+∞/summationdisplayh=0pn1+n2+…+nh+2−h0·ph+11, dac˘ an1∈N¸ sin2,n3,…,nm,…∈N∗.Demonstrat ¸ie.a) Demonstrat ¸ia este ca ˆ ın Lema 2.3.6.b) ScriindBm=/bracketleftBig0,(1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nm/parenrightBig/bracketrightBig,41

avem:λ(Bm)=λ([0,(1−θ)·θn1]) +λ/parenleftBig/bracketleftBig(1−θ)θn1,(1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2/parenrightBig/bracketrightBig/parenrightBig+…++λ([(1−θ)(θn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nm−1),(1−θ)(θn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nm)]) ==pn1+10+pn1+n20p1+pn1+n2+n3−10p21+…+pn1+n2+…+nm−(m−2)0·pm−11==pn1+10+m−2/summationdisplayh=0pn1+n2+…+nh+2−h0·ph+11.c) Rezult˘ a din punctul b) ¸ siλ(B) = limmλ(Bm).R˘ amˆ ane s˘ a calcul˘ amλ([0,a]) pentrua∈[0,1]\A, ˆ ın cazul ˆ ın care 0<θ<12(pentruθ=12,a v e mA=[ 0,1]).Fiea∈[0,1]\A.Prin urmare,∃n∈N∗astfel ˆ ıncˆ ata∈[0,1]\Cn. Cum ¸ sirul ([0,1]\Cn)nestecresc˘ ator, putem alegenminimal astfel ˆ ıncˆ ata∈[0,1]\Cn. Nu vom face ˆ ıns˘ aacest lucru. Calculele care urmeaz˘ a vor ﬁ valide pentru oricencu proprietatea c˘ aa∈[0,1]\Cn.Exist˘ aα=(α0,α1,…,αn−1)∈{0,1}nastfel ˆ ıncˆ ata∈E(α0,α1,…,αn−1).Prin urmare,(1−θ)/parenleftBigα0+α1θ+…+αn−1θn−1/parenrightBig+θn<a<(1−θ)/parenleftBigα/prime0+α/prime1θ+…+α/primen−1θn−1/parenrightBig.Vom studia prima dat˘ a cazulα=( 0,0,…,0). Deciθn<a<(1−θ)·θn−1⇔θ·θn−1<a<(1−θ)·θn−1¸s iaare formaa=b·θn−1,cuθ<b<1−θ.Prin urmare (Lema 2.3.6)λ([0,a]) =pn0.Acum s˘ a consider˘ am situat ¸ia 1≤|α|≤n−1.Ca mai ˆ ınainte, putem scrie:x=( 1−θ)/parenleftBigα0+α1θ+…+αn−1θn−1/parenrightBig=( 1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nk/parenrightBig,42

unden1∈N¸s in2,n3,…,nk∈N∗.(ˆIn cazulk= 1 avem:x=( 1−θ)/parenleftBigα0+α1θ+…+αn−1θn−1/parenrightBig=( 1−θ)·θn1).ˆIn toate cazurile,nk<n.Putem scrie:(1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nk/parenrightBig+θn==( 1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nk+θn+θn+1+θn+2+…/parenrightBig==( 1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nk+θn1+n2+…+nk+1+…++θn1+n2+…+nk+nk+1+nk+2+…/parenrightBig,unden1+n2+…+nk+nk+1=n⇔nk+1=n−(n1+n2+…+nk),n1+n2+…+nk+nk+1+nk+2=n+1⇔nk+2=1¸ s ink+3=nk+4=…=1 .Vom calculaλ([0,a]) folosind Teorema 2.3.9.ˆIn cazulk=1 :n1+n2=n;n3=n4=…=1 ,λ([0,a]) =pn1+10+∞/summationdisplayh=0pn1+n2+…+nh+2−h0·ph+11==pn1+10+∞/summationdisplayh=0pn0ph+11=pn1+10+pn0p11−p1=pn1+10+pn−10·p1.Presupunem acumk≥2. Din nouλ([0,a]) =pn1+10+∞/summationdisplayh=0pn1+n2+…+nh+2−h0ph+11.Pentruh=k−1, avem termenulpn1+n2+…+nk+1−(k−1)0pk1=pn−(k−1)0pk1.Pentruh=k, avem termenulpn1+n2+…+nk+1+nk+2−k0pk+11=pn−(k−1)0pk+1143

¸ s.a.m.d., prin urmareλ([0,a]) =pn1+10+pn1+n20p1+pn1+n2+n3−10p21+…+pn1+n2+…+nk−(k−2)0pk−11+…+pn−(k−1)0∞/summationdisplayh=kph1.Deoarece∞/summationdisplayh=kph1=pk11−p1=pk1p0,obt ¸inemλ([0,a]) =pn1+10+pn−k0pk1+pn1+n20p1+pn1+n2+n3−10p21+…+pn1+n2+…+nk−(k−2)0pk−11(a se compara cu formula pentruk=1 ) ./BoxDin formulele precedente, putem deduce c˘ a, pentru 0<θ≤12avem:λ([1−θ,1]) =λ([0,1])−λ([0,1−θ)) =p1λ([0,θ]) =p20+∞/summationdisplayh=0ph+2−20=p201−p1=p0.Deciλ([θ,1−θ]) = 0.ˆIn continuare, vom prezenta anumite calcule ˆ ın cazul particularθ=1p,p∈N,p≥2.Din 1−θ=p−1p, obt ¸inemM=p−1p·∞/summationdisplayi=0αi/parenleftBigg1p/parenrightBiggi/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleαi∈{0,1}=/braceleftBigg∞/summationdisplayi=1βipi/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleβi∈{0,p−1}/bracerightBigg== toate numerelex∈[0,1] a c˘ aror reprezentarep−adic˘ a folose¸ ste numai cifrele 0 ¸ sip−1.Bineˆ ınt ¸eles, ˆ ın cazulp=2 ,a v e mM=[ 0,1] ¸ siˆ ın cazulp=3 ,a v e mM=mult ¸imeaclasic˘ a a lui Cantor.S˘ a ﬁx˘ amn∈N∗.Vom deﬁni num˘ arulx∈Mdup˘ a cum urmeaz˘ a:x=p−1p1p+/parenleftBigg1p/parenrightBiggn+1+/parenleftBigg1p/parenrightBigg2n+1+/parenleftBigg1p/parenrightBigg3n+1+…=44

=p−1p2·∞/summationdisplayk=0/parenleftBigg1pn/parenrightBiggk=p−1p2·pnpn−1=pn−21+p+p2+…+pn−1,Aici am avutx=( 1−θ)/parenleftBigθn1+θn1+n2+…+θn1+n2+…+nk+…/parenrightBig,unden1=1¸ s in2=n3=…=nk=…=n.Teorema 2.3.9 aﬁrm˘ a:λ([0,x]) =p20+∞/summationdisplayh=0p1+(h+1)n−h0ph+11=p20+p1+n0·p1·∞/summationdisplayh=0/parenleftBigpn−10p1/parenrightBigh==p20+p1+n0·p1·11−pn−10p1=p20/parenleftBigg1+pn−10·p1·11−pn−10p1/parenrightBigg=p201−pn−10p1.ˆIn cazul particularp=3 ,n= 2, avem:x=23/parenleftBigg13+/parenleftbigg13/parenrightbiggn+1+/parenleftbigg13/parenrightbigg2n+1+…/parenrightBigg=23·13·11−19=14.Prin urmare,14∈M¸s iλ/parenleftbigg/bracketleftbigg0,14/bracketrightbigg/parenrightbigg=p201−p0p1.ˆIn cazulp=2¸ s ip0=p1=12, ¸ stim c˘ aλ=L= m˘ asura Lebesgue.Lu˘ amn= 2, decix=13. Ca o veriﬁcare,λ/parenleftbigg/bracketleftbigg0,13/bracketrightbigg/parenrightbigg=L/parenleftbigg/bracketleftbigg0,13/bracketrightbigg/parenrightbigg=141−14=13.ˆIn ˆ ıncheierea acestui paragraf vom prezenta formula general˘ a de calcul pentrusurject ¸ia canonic˘ a (cazulθ=12a fost prezentat la lema 2.3.1).45

Teorema 2.3.10.(Forma general˘ a a surject ¸iei canonice). Pentru orice0<θ≤12¸ si oriceα=(α0,α1,…,αn,…)∈X∞, avemπ(α)=( 1−θ)∞/summationdisplayi=0αiθi.Demonstrat ¸ie.Pentru oricen∈N∗, avem:(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi≤(1−θ)∞/summationdisplayi=0αiθi≤(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi+θn.Luˆ andβ=(α0,α1,…,αn−1)=[α]n,v o ma v e a :I(β)=/bracketleftBigg(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi,(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi+θn/bracketrightBigg.Avemaα=π(α)∈∞/intersectiondisplayn=1I([α]n), deci(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi≤aα≤(1−θ)n−1/summationdisplayi=0αiθi+θn,∀n∈N∗.Rezult˘ a c˘ aaα=( 1−θ)∞/summationdisplayi=0αiθi.2.4 Dependent ¸a de parametruˆIn acest paragraf vom studia dependent ¸a mult ¸imii invariante ¸ si a m˘ asurii invariantede parametrulθ∈/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg.Observ˘ am c˘ a teoria general˘ a furnizeaz˘ a condit ¸ii pentru dependent ¸a continu˘ a deparametru. Vom dovedi mai mult, anume vom vedea c˘ a aceast˘ a dependent ¸˘ a estelipschitzian˘ a.A. Dependent ¸a de parametru a mult ¸imii invarianteConsider˘ am mult ¸imeaK([0,1]) ={H⊂[0,1]|H/negationslash=∅,Heste compact˘ a},46

ˆ ınzestrat˘ a cu metrica Hausdorﬀ-Pompeiuh.Pentru orice 0<θ≤12, consider˘ am (din nou) contract ¸iilefθ0:[ 0,1]→[0,1],fθ0(t)=θtfθ1:[ 0,1]→[0,1],fθ1(t)=( 1−θ)+θt,¸ si IFS-ul (fθ0,fθ1) are mult ¸imea invariant˘ aAθ(punctul ﬁx al luiFθ).ˆIn acest moment putem consideraH/parenleftbigg/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg,δ/parenrightbigg→(K([0,1]),h),dat˘ a prinH(θ)=Aθ. (Aiciδreprezint˘ a metrica uzual˘ a peR).Vom vedea c˘ aHeste lipschitzian˘ a. Pentru a demonstra aceasta, avem nevoie s˘ ademonstr˘ am cˆ ateva rezultate preliminare.Aﬁrmat ¸ia 1S˘ a consider˘ am intervaleleI=[a, b]¸ s iJ=[A, B] ˆ ınK([0,1]).Atunci se observ˘ a, luˆ and toate cazurile, c˘ ah(I,J)=max(|a−A|,|b−B|).Aﬁrmat ¸ia a 2-aFie 0<θ1<θ2≤12¸s in∈N∗. Atunciθn2−θn1>θn+12−θn+11.Vom demonstra aceast˘ a aﬁrmat ¸ie prin induct ¸ie dup˘ an.P e n t r un=1 ,a v e mθ2−θ1>θ22−θ21=(θ2−θ1)(θ2+θ1),deoareceθ1+θ2<1.Presupunem rezultatul adev˘ arat pentrun¸ si vrem s˘ a ˆ ıl demonstr˘ am pentrun+1.Astfel, ¸ stim c˘ aθn2−θn1>θn+12−θn+11¸ si vrem s˘ a deducem c˘ aθn+12−θn+11>θn+22−θn+21.Va ﬁ suﬁcient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ aθn+12−θn+11θn2−θn1>θn+22−θn+21θn+12−θn+11.47

Aceast˘ a inegalitate ˆ ınseamn˘ a/parenleftBigθn+12−θn+11/parenrightBig2>/parenleftBigθn+22−θn+21/parenrightBig(θn2−θn1)⇔⇔2(θ1θ2)n+1<(θ1θ2)n/parenleftBigθ21+θ22/parenrightBig⇔2θ1θ2<θ21+θ22,evidentAﬁrmat ¸ia a 3-a(Consecint ¸˘ a).Dac˘ a 0<θ1<θ2≤12¸s in∈N,n≥2,avemθ2−θ1>θn2−θn1.ˆIntr-adev˘ ar,θn2−θn1<θn−12−θn−11<θn−22−θn−21<···<θ2−θ1.Aﬁrmat ¸ia a 4-a. Fien∈N∗¸ si deﬁnimϕ:/parenleftbigg0,12/parenrightbigg→Rprinϕ(x)=xn(1−x).Atunci, pentru orice 0<θ1<θ2<12, avem:0<ϕ(θ2)−ϕ(θ1)<(θ2−θ1)/parenleftbigg12/parenrightbiggn−1·nˆIntr-adev˘ ar, pentru oricex∈/parenleftbigg0,12/parenrightbigg,a v e mϕ/prime(x)=nxn−1(1−x)−xn=xn−1(n(1−x)−x),ϕ/prime(x)=xn−1(n−(n+1 )x)>0.Teorema lui Lagrange aﬁrm˘ a c˘ a, pentruθ1<t<θ2,ϕ(θ2)−ϕ(θ1)=(θ2−θ1)tn−1(n−(n+1 )t).ˆIn cazuln=1 ,a v e m0<tn−1(n−(n+1 )t)=1−2t<1.ˆIn cazuln>1, avemtn−1</parenleftbigg12/parenrightbiggn−1¸s i 0<n−(n+1 )t<n .Aﬁrmat ¸ia este astfel demonstrat˘ a.Acum suntem ˆ ın m˘ asur˘ a s˘ a demonstr˘ am:48

Teorema 2.4.1.[Dependent ¸a Lipschitzian˘ a a Mult ¸imii Invariante]Aplicat ¸iaHeste lipschitzian˘ a. Anume, pentru oriceθ1,θ2∈/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg, avemh(H(θ1),H(θ2))≤6|θ1−θ2|.Demonstrat ¸ie.Pentru oriceθ∈/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg, putem considera IFS-ulFθ=(fθ0,fθ1). Pen-tru oricen∈N∗, not˘ am cuCθn=(Fθ)n([0,1]) (compunere repetat˘ a).DeciCθn=/uniondisplayα∈{0,1}nIθ(α),unde, dac˘ aα=(α0,α1,…,αn−1)Iθ(α)=[ ( 1−θ)·n−1/summationdisplayi=0αiθi,(1−θ)(n−1/summationdisplayi=0αiθi)+θn].Pentruθ1¸s iθ2diferite din/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg(de exemplu, 0<θ1<θ2≤12), vom vedea c˘ ah(Cθ1n,Cθ2n)≤6|θ1−θ2|.(2.10)Folosind proprietatea clasic˘ ah/parenleftBiggm/uniondisplayi=1Ai,m/uniondisplayi=1Bi/parenrightBigg≤maxih(Ai,Bi),obt ¸inemh/parenleftBigCθ1n,Cθ2n/parenrightBig≤maxα∈{0,1}nh/parenleftBigIθ1(α),Iθ2(α)/parenrightBig.Folosind Aﬁrmat ¸ia 1, pentruαﬁxat, vom avea:h/parenleftBigIθ1(α),Iθ2(α)/parenrightBig=max(x, y),undex=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle(1−θ1)·/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi1/parenrightBigg−(1−θ2)·/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi2/parenrightBigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingley=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/parenleftBigg(1−θ1)·/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi1/parenrightBigg+θn1/parenrightBigg−/parenleftBigg(1−θ2)·/parenleftBiggn−1/summationdisplayi=0αiθi2/parenrightBigg+θn2/parenrightBigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle.49

ˆIn consecint ¸˘ a,h/parenleftBigIθ1(α),Iθ2(α)/parenrightBig≤n−1/summationdisplayi=0αi/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle(1−θ1)·θi1−(1−θ2)·θi2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+|θn1−θn2|≤n−1/summationdisplayi=0/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle(1−θ1)·θi1−(1−θ2)·θi2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+|θn1−θn2|≤|(1−θ1)−(1−θ2)|+∞/summationdisplayi=1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle(1−θ1)θi1−(1−θ2)θi2/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+|θn1−θn2|≤|θ1−θ2|+|θ1−θ2|·/parenleftBigg∞/summationdisplayi=1/parenleftbigg12/parenrightbiggi−1·i/parenrightBigg+|θ1−θ2|,folosind Aﬁrmat ¸ia a 3-a ¸ si Aﬁrmat ¸ia a 4-a.Fief:(−1,1)→Rdat˘ a prinf(t)=1+t+t2+…tn+···=11−tAtuncif/prime(t)=1+2t+3t2+···+ntn−1+···=/parenleftbigg11−t/parenrightbigg2,deci∞/summationdisplayi=1/parenleftbigg12/parenrightbiggi−1·i=4.Obt ¸inemh/parenleftBigIθ1(α),Iθ2(α)/parenrightBig≤6·|θ1−θ2|,¸ si, prin urmare, (2.10) este demonstrat˘ a. Observ˘ am c˘ a membrul drept din (2.10) nudepinde den.S ¸tim c˘ aCθ1n−→nAθ1=H(θ1)¸ s iCθ2n−→nAθ2=H(θ2), convergent ¸a ﬁind ˆ ınmetrica Hausdorﬀ-Pompeiuh.ˆIn consecint ¸˘ a, (2.10) implic˘ ah(H(θ1),H(θ2))≤6|θ1−θ2|.Remarc˘ a.Teorema (2.4.1) arat˘ a c˘ a ˆ ın metrica Hausdorﬀ-Pompeiu convergent ¸a nueste destul de ,,tare“ s˘ a conserve propriet˘ at ¸i importante. Astfel:50

a)Dac˘ a 0<θ<12,t o a t eAθau proprietatea de a ﬁ total disconectate (anume, elesunt toate homeomorfe cuX∞).Acesta nu este cazul pentruA12=[ 0,1] =limθ→12Aθ.b)Pentru orice 0<θ<12,a v e mL(Aθ) = 0, ˆ ın vreme ceL(A12)=L([0,1]) = 1.Remarc˘ a.Inegalitatea din Teorema (2.4.1) poate ﬁ ˆ ımbun˘ at˘ at ¸it˘ a, ˆ ın cazulθ=θ1∈/parenleftbigg0,12/parenrightbigg¸s iθ2=12.Vom folosi primul fapt preliminar c˘ a, dac˘ am≥2,I1,I2,…,Imsunt intervaledisjuncte dinK([0,1]), astfel ˆ ıncˆ at 0∈I1,1∈Im,a v e m0<h/parenleftBiggm/uniondisplayi=1Ii,[0,1]/parenrightBigg=12maxjdiamDj,undeφ/negationslash=[ 0,1]−/parenleftBiggm/uniondisplayi=1Ii/parenrightBigg=/uniondisplayjDj(un num˘ ar ﬁnit de intervale nevide disjuncte (relativ) deschise).Al doilea fapt preliminar pe care ˆ ıl vom folosi este acela c˘ a, pentru 0<θ<12¸s in∈N∗, avem (cu notat ¸ia evident˘ a)diam/parenleftBigEθ(α)/parenrightBig≤1−2θ,pentru oriceα∈{0,1}n,|α|≤n−1.Aceast˘ a inegalitate este clar˘ a pentrun=1 .D a c ˘ an≥2¸ s iα=(α0,α1,···,αn−1),avem:–dac˘ aαn−1= 0, atuncidiam/parenleftBigEθ(α)/parenrightBig=θn−1(1−2θ).–dac˘ aαn−1= 1, atunci ﬁe 1≤k≤n−1 astfel ˆ ıncˆ atαn−1=αn−2=···=αn−k=1¸s iαn−k−1=0 ;obt ¸inemdiam/parenleftBigEθ(α)/parenrightBig=θn−k−1(1−2θ).Acceptˆ and cele dou˘ a fapte preliminare ment ¸ionate mai ˆ ınainte, obt ¸inem c˘ a, pen-tru orice 0<θ<12¸ si oricen∈N∗,a v e mh/parenleftBigCθn,[0,1]/parenrightBig≤12·(1−2θ)=12−θ.Prin urmare,h/parenleftBigAθ,[0,1]/parenrightBig=h/parenleftbiggH(θ),H/parenleftbigg12/parenrightbigg/parenrightbigg≤/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleθ−12/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle.51

B. Dependent ¸a de parametru a m˘ asurii invarianteConsider˘ am mult ¸imea P([0,1]) a tuturor m˘ asurilor de probabilitateλ:B([0,1])→[0,1],ˆ ınzestrat˘ a cu metrica Hutchinson (sau Kantorovich – Rubinstein)dH. Ne reamintimc˘ a, pentruµ, ν∈P([0,1]), avemdH(µ, ν)=sup/braceleftbigg|/integraldisplayfdµ−/integraldisplayfdν|/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglef:[ 0,1]→Reste lipschitzian˘ a cu||f||L≤1/bracerightbigg.Atunci (P([0,1]),dH) este un spat ¸iu metric compact. Pentru 0<θ≤12, s˘ a con-sider˘ am din nou contract ¸iilefθ0:[ 0,1]→[0,1],fθ0(t)=θt¸s ifθ1:[ 0,1]→[0,1],fθ1(t)=( 1−θ)+θt.S˘ a ﬁx˘ am 0<p0<1,0<p1<1 astfel ˆ ıncˆ atp0+p1=1 .ˆIn acest moment, s˘ adeﬁnim IFS-ul cu probabilit˘ at ¸i (fθ0,fθ1;p0,p1), care are m˘ asura invariant˘ aλθ.Anume, avem operatorul MarkovMθ:P( [ 0,1])→P( [ 0,1]),dat prinMθ(λ)=p0fθ0(λ)+p1fθ1(λ)¸s iλθeste punctul ﬁx al luiMθ, care este o contract ¸ie cu factorul de contract ¸ie≤12(teoria general˘ a).Vom considera aplicat ¸iaV:/parenleftbigg/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg,δ/parenrightbigg→(P([0,1]),dH),dat˘ a prinV(θ)=λθ¸ si vom demonstra c˘ aVeste lipschitzian˘ a. Demonstrat ¸ia acestui fapt depinde deurm˘ atorul rezultat.Lema 2.4.2.Pentru oriceθ1,θ2∈/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg¸ si oriceµ∈P([0,1]), avem:dH/parenleftBigMθ1(µ),Mθ2(µ)/parenrightBig≤|θ1−θ2|.52

Demonstrat ¸ie.Pentru orice aplicat ¸ie lipschitzian˘ aϕ:[ 0,1]→Rcu||ϕ||L≤1, avem:/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayϕdMθ1(µ)−/integraldisplayϕdMθ2(µ)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsinglep0·/integraldisplay/parenleftBigϕ◦fθ10/parenrightBigdµ+p1·/integraldisplay/parenleftBigϕ◦fθ11/parenrightBigdµ−−p0·/integraldisplay/parenleftBigϕ◦fθ20/parenrightBigdµ−p1·/integraldisplay/parenleftBigϕ◦fθ21/parenrightBigdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤≤p0·/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplay/parenleftBigϕ◦fθ10−ϕ◦fθ20/parenrightBigdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+p1·/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplay/parenleftBigϕ◦fθ11−ϕ◦fθ21/parenrightBigdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle.Pentru oricet∈[0,1], avem:|/parenleftBigϕ◦fθ10/parenrightBig(t)−/parenleftBigϕ◦fθ20/parenrightBig(t)|=|ϕ(θ1t)−ϕ(θ2t))|≤≤|θ1t−θ2t|=|(θ2−θ1)t|≤|θ2−θ1|¸ si, ˆ ın mod similar,|/parenleftBigϕ◦fθ11/parenrightBig(t)−/parenleftBigϕ◦fθ21/parenrightBig(t)|≤|θ2−θ1|,prin urmare/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayϕdMθ1(µ)−/integraldisplayϕdMθ2(µ)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤p0·|θ2−θ1|·µ([0,1]) +p1·|θ2−θ1|·µ([0,1])=(p0+p1)·|θ2−θ1|=|θ2−θ1|.ˆIn ﬁnal vom demonstraTeorema 2.4.3.(Dependent ¸a lipschitzian˘ a a m˘ asurii invariante)Aplicat ¸iaVeste lipschitzian˘ a. Mai precis, pentru oriceθ1,θ2∈/parenleftbigg0,12/bracketrightbigg, avem:dH(V(θ1),V(θ2))≤2·|θ1−θ2|.Demonstrat ¸ie.Avem succesiv (folosind Lema 2.4.2):dH(V(θ1,V(θ2)) =dH(λθ1,λθ2)=dH/parenleftBigMθ1(λθ1),Mθ2(λθ2)/parenrightBig≤≤dH/parenleftBigMθ1(λθ1),Mθ1(λθ2)/parenrightBig+dH/parenleftBigMθ1(λθ2),Mθ2(λθ2)/parenrightBig≤≤dH/parenleftBigMθ1(λθ1),Mθ1(λθ2)/parenrightBig+|θ1−θ2|≤≤12dH(λθ1,λθ2)+|θ1−θ2|.53

Deci, are loc:dH(λθ1,λθ2)≤12dH(λθ1,λθ2)+|θ1−θ2|care implic˘ a12dH(λθ1,λθ2)≤|θ1−θ2|Cazul degeneratθ=0Pentruθ= 0, putem considera contract ¸iile (constante)f00=f0,f01=f1, date prinf0:[ 0,1]→[0,1],f0(t)=0f1:[ 0,1]→[0,1],f1(t)=1¸ si IFS-ul este (f0,f1).Dac˘ a 0<p0<1,0<p1<1¸ s ip0+p1= 1, putem considera IFS-ul cuprobabilit˘ at ¸i (f0,f1;p0,p1).ˆIn acest caz:a)Mult ¸imea invariant˘ a esteA0={0,1}.b)M˘ asura invariant˘ a esteλ0=p0δ0+p1δ1(δa:B([0,1])→[0,1] este m˘ asura Dirac concentrat˘ a ˆ ına∈[0,1])Ultima aﬁrmat ¸ie este adev˘ arat˘ a deoarecef0(µ)(B)=µ/parenleftBigf−10(B)/parenrightBig=/braceleftBiggµ(T)= 1,dac˘ a 0∈B0,dac˘ a 0/∈B,pentru oriceB∈B([0,1]) ¸ siµ∈P([0,1]).Decif0(µ)=δ0¸ s.a.m.d.Se pot demonstra aﬁrmat ¸iile:Aﬁrmat ¸ia 1.Pentru orice 0<θ<12avemh(Aθ,{0,1})≤θ.(deci limθ→0Aθ={0,1}).ˆIntr-adev˘ ar, avem:Aθ⊂[0,θ]∪[1−θ,1] =C1(θ). Pentruoricex∈Aθ,dist(x,{0,1})≤θ(dac˘ ax∈[0,θ], dist(x,{0,1})=|x−0|=x≤θ)54

Decisup/braceleftBigdist(x,{0,1})|x∈Aθ/bracerightBig≤θ.Dindist(x, Aθ)=0,∀x∈{0,1}rezult˘ a totul.Aﬁrmat ¸ia a 2-a.Pentru orice 0<θ<12,a v e mdH(λθ,λ0)≤2θ(deci limθ→0λθ=λ0). Aceast˘ a aﬁrmat ¸ie are loc deoarece calculele din Lema 2.4.2 ¸ sidin Teorema 2.4.1 r˘ amˆ an valide pentruθ1=θ¸s iθ2=0 .2.5 Considerat ¸ii generale asupra paragrafului 2.4Am demonstrat urm˘ atoarele aﬁrmat ¸ii:1.Dac˘ aθ1,θ2∈/bracketleftbigg0,12/bracketrightbigg, atuncih(Aθ1,Aθ2)≤6|θ1−θ2|.(dependent ¸a este lipschtzian˘ a,deci continu˘ a).2.ˆIn consecint ¸˘ a,limθ→12Aθ=A12=[ 0,1]limθ→0Aθ=A0={0,1}.3.Dac˘ aθ1,θ2∈[0,12], atuncidH(λθ1,λθ2)≤2|θ1−θ2|(dependent ¸a este lipschtzian˘ a, deci continu˘ a).4.ˆIn consecint ¸˘ a,limθ→12λθ=λ12limθ→0λθ=λ0=p0δ0+p1δ1.1 ¸ si 2 aﬁrm˘ a c˘ a propriet˘ at ¸ile topologice (i.e. calitatea de a ﬁ homeomorf˘ a cu omult ¸ime ﬁxat˘ a, calitatea de a ﬁ total disconectat˘ a) nu se conserv˘ a prin convergent ¸a55

ˆ ın metricah. Limita ˆ ın 0 aﬁrm˘ a c˘ a nici propriet˘ at ¸ile de cardinalitate nu se conserv˘ a.De aici „sl˘ abiciunea” sa.3 ¸ si 4 aﬁrm˘ a c˘ a propriet˘ at ¸ile teoretice legate de m˘ asur˘ a (i.e. calitatea de a ﬁsingular˘ a, faptul c˘ a suportul s˘ au este neglijabil) nu se conserv˘ a prin convergent ¸a ˆ ınmetricadH.D e c idHeste „slab˘ a” .ˆIn acela¸ si timp, se observ˘ a c˘ a transform˘ arileθ/mapsto→Aθ,θ/mapsto→λθsunt continue.Limiteleˆ ın12¸ siˆ ın 0 sunt „singulare” . Deci, acumul˘ ari cantitative (chiar continue)pot duce la schimb˘ ari calitative dramatice (salturi).
56

3 Sisteme iterative inﬁnite. Subsisteme iterative3.1 Introducere. Rezultate preg˘ atitoareAcest capitol este dedicat sistemelor iterative generale, pe care le vom numi (ˆ ınvirtutea unei cutume actuale) sisteme iterative inﬁnite.Vom studia subsistemele acestor sisteme. Baza teoretic˘ a este expus˘ a ˆ ın articolul[41], iar rezultatele din acest capitol sunt luate din articolele [15] ¸ si [40].Dac˘ aIeste o mult ¸ime nevid˘ a, numit˘ a alfabet, not˘ am cuΛ=Λ (I)=IN∗(alternativ, cuI∞)mult ¸imea avˆ and ca elementeω=ω1ω2…ωn…,c uω1,ω2,…,ωn,…∈I.Mai not˘ am cu Λn=IN∗n=I{1,2,…,n}mult ¸imea cuvintelor de lungimen(ω=ω1ω2…ωn∈Λn).ˆIn vreme ceω∈Λ(I) se nume¸ ste cuvˆ ant inﬁnit cu litereledin alfabetulI,ω∈Λn(I) este cuvˆ antde lungimen, cu litere din alfabetulI;vom scrien=l(ω).Mai not˘ am cu Λ∗=Λ∗(I) mult ¸imea cuvintelor cu litere din alfabetulIde lungimeﬁnit˘ aΛ∗(I)=/uniondisplaym≥1Λm(I)∪{v},unde Λ0(I)={v}este cuvˆ antul vid, avˆ and lungimea zero,l(v)=0 .Dac˘ aω∈Λ(I)s a uω∈Λn(I)¸ s im∈N,m≤n,not˘ am cu [ω]m=ω1ω2…ωm.Pentruα, β∈Λ(I) deﬁnimdΛ(α, β)=∞/summationdisplayk=11−δβkαk3k,undeδyx=/braceleftBigg1,dac˘ ax=y0,dac˘ ax/negationslash=yeste simbolul lui Kronecker.Observ˘ am c˘ a (Λ,dΛ) reprezint˘ a un spat ¸iu metric complet. Dac˘ aIeste ﬁnit˘ a,atunci (Λ,dΛ) este spat ¸iu metric compact.Consider˘ amFi:Λ (I)→Λ(I),Fi(ω)=iω,∀ω∈Λ(I).Se observ˘ a c˘ a, ˆ ın condit ¸iile date,Fieste o contract ¸ie, cu factorul de contract ¸ie13.57

dΛ(Fi(α),Fi(β)) =13dΛ(α, β),∀α, β∈Λ(I).Pentruω=ω1ω2…ωm∈Λm(I) not˘ am cuFω=Fω1◦Fω2◦…◦Fωm¸s i c u Λω=Fω(Λ).Prin convent ¸ie, punemFv=F∅=idX.Λv=Λ∅=Fv(Λ) = Λ.Observat ¸ii1) Λ(I)=/uniontexti∈IFi(Λ(I)), deciA=Λ (I) reprezint˘ a atractorul IIFS-ului/parenleftBigΛ(I),(Fi)i∈I/parenrightBig(v. deﬁnit ¸ia 3.1.2).2) Λ =/uniontextα∈ΛmΛα, pentru oricem∈N∗.Deﬁnit ¸ia 3.1.1.Fie (X,dX)¸ s i(Y,dY) dou˘ a spat ¸ii metrice. O familie de funct ¸ii(fi)i∈I,fi:X→Y, se nume¸ ste m˘ arginit˘ adac˘ a mult ¸imea/uniondisplayi∈Ifi(A) este m˘ arginit˘ a,pentru orice submult ¸ime m˘ arginit˘ aA⊆X.Deﬁnit ¸ia 3.1.2.Un sistem iterativ inﬁnit de funct ¸ii(un IIFS, pe scurt) const˘ adintr-o familie m˘ arginit˘ a de contract ¸ii (fi)i∈IpeXcu proprietatea c˘ asupi∈ILip(fi)<1.Se noteaz˘ aS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBig.Fie (X,d) un spat ¸iu metric complet.DeﬁnimBC(X)={B⊂X|Bˆ ınchis˘ a, m˘ arginit˘ a, nevid˘ a}. S ¸tim c˘ a (BC(X),h)reprezint˘ a un spat ¸iu metric complet, undeheste metrica Hausdorﬀ-Pompeiu.Consider˘ am o familie m˘ arginit˘ a de funct ¸ii (fi)i∈Ica mai sus ¸ si, corespunz˘ ator,un sistem iterativ inﬁnitS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBig. DeﬁnimFs:BC(X)→B C(X), prinFs(B)=/uniondisplayi∈Ifi(B). Se veriﬁc˘ a faptul c˘ a deﬁnit ¸ia este corect˘ a.Apoi,h(Fs(B/prime),Fs(B/prime/prime)) =h/parenleftBigg/uniondisplayi∈Ifi(B/prime),/uniondisplayi∈Ifi(B/prime/prime)/parenrightBigg≤supi∈Ih(fi(B/prime),fi(B/prime/prime))≤58

≤/parenleftBiggsupi∈ILip fi/parenrightBigg·h(B/prime,B/prime/prime)≤r·h(B/prime,B/prime/prime),∀B/prime,B/prime/prime∈B C(X).Prin urmare,Fseste o contract ¸ie pe spat ¸iul metric complet (BC(X),h) ¸ si aplicˆ andprincipiul contract ¸iei, deducem c˘ a∃!A∈B C(X) astfel ˆ ıncˆ atFs(A)=A(uniculpunct ﬁx al luiFs). Vom numi peAatractorul luiS. Notat ¸ie alternativ˘ a:A=A(S)(ˆ ın cazul cˆ andIeste mult ¸ime ﬁnit˘ a, reg˘ asim teoria clasic˘ a a sistemelor iterativeﬁnite).A¸ sadar, unui IIFS ˆ ıi putem asocia funct ¸iaFS:BC(X)→B C(X),deﬁnit˘ a prinFs(B)=/uniondisplayi∈Ifi(B),B∈B C(X),iarFSeste o contract ¸ie, cuLip(FS)≤supi∈ILip(fi).Notat ¸ie.Fie (X,d) un spat ¸iu metric,S=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigun IIFS peX¸s iA=A(S) atractorul s˘ au.Pentruω=ω1ω2…ωm∈Λm(I), consider˘ amfω=fω1◦fω2◦…◦fωm¸ si, pentruo submult ¸imeH⊆X, not˘ am cuHω=fω(H).ˆIn particular,Aω=fω(A).Consider˘ am, de asemenea,fv=idX¸s iAv=A.Notat ¸ie.Pentru o contract ¸ief:X→X, not˘ am cuefpunctul ﬁx al luif.Dac˘ af=fω, not˘ am cuefω(sau cueω) punctul ﬁx al contract ¸ieif=fω.Vom folosi, urm˘ atorul rezultat fundamental:Teorema 3.1.3.FieS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigun IIFS, unde(X,d)este un spat ¸iu metriccomplet,Anot==A(S)atractorul luiS, iarrnot= = supi∈ILip(fi)<1.Atunci au loc urm˘ atoarele aﬁrmat ¸ii:1) Pentrum∈NavemA[ω]m+1⊆A[ω]mpentru oriceω∈Λ=Λ (I)¸ silimm→∞diam/parenleftBigA[ω]m/parenrightBig=0.Mai precis,diam/parenleftBigA[ω]m/parenrightBig=diam/parenleftBigA[ω]m/parenrightBig≤rm·diam(A).59

2) Dac˘ aaωeste deﬁnit prin{aω}=/intersectiondisplaym∈N∗A[ω]m,atuncilimm→∞d/parenleftBige[ω]m,aω/parenrightBig=0.3) Pentru oricea∈A¸ si oriceω∈Λavemlimm→∞f[ω]m(a)=aω.4) Pentru oriceα∈Λ∗avemA=A(S)=/uniondisplayω∈Λ{aω}¸ siAα=/uniondisplayω∈Λ{aαω}.Dac˘ aA=/uniondisplayi∈Ifi(A), atunciA=A(S)=/uniondisplayω∈Λ{aω}.5) Avem/braceleftBige[ω]m|ω∈Λ¸ sim∈N∗/bracerightBig=A.6) Funct ¸iaπ:Λ→A, deﬁnit˘ a prinπ(ω)=aω, pentru oriceω∈Λ, areurm˘ atoarele propriet˘ at ¸i:(i)πeste continu˘ a;(ii)π(Λ) =A;(iii) dac˘ aA=/uniondisplayi∈Ifi(A), atunciπeste surjectiv˘ a;7)π(Fi(α)) =fi(π(α)),∀i∈I,∀α∈Λ.Bazˆ andu-ne pe aceste rezultate, preluate din lucrarea [41], unde spat ¸iul codurilorunui sistem iterativ inﬁnit de funct ¸ii (pe scurt un IIFS) este deﬁnit ¸ si este descris˘ a ¸ sirelat ¸ia dintre acest spat ¸iu de coduri ¸ si atractorul IIFS, vom da o condit ¸ie suﬁcient˘ aca o familie (Ij)j∈Lde submult ¸imi nevide ale luiI, undeS=(X,(fi)i∈I) este un60

IIFS, s˘ a veriﬁce egalitatea/uniontextj∈LAIj=A, undeAeste atractorul luiS, iarAIjesteatractorul subsistemului iterativSIj=/parenleftBigX,(fi)i∈Ij/parenrightBigal luiS.ˆIn plus, vom demonstra c˘ a ﬁind dat un num˘ ar cadinal inﬁnitA, dac˘ a atractorulIIFS-uluiS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigeste de tipA(aceasta ˆ ınsemnˆ and c˘ a exist˘ a o submult ¸imedens˘ a ˆ ınAavˆ and cardinalul mai mic sau egal decˆ atA), unde (X,d) este un spat ¸iumetric complet, atunci exist˘ aSJ=/parenleftBigX,(fi)i∈J/parenrightBigun subsistem iterativ al luiS, avˆ andproprietatea c˘ a avem card(J)≤A, astfel ˆ ıncˆ at atractorii luiS¸s iSJcoincid.Deﬁnit ¸ia 3.1.4.Un spat ¸iu metric (X,d) este de tipA, undeAeste un num˘ arcardinal, dac˘ a exist˘ a o submult ¸ime dens˘ aA⊂X, avˆ and proprietatea: cardA≤A.Deﬁnit ¸ia 3.1.5.Fiind dat un IIFSS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBig¸ si o submult ¸imeJ⊂I, IIFS-ulSJ=/parenleftBigX,(fi)i∈J/parenrightBigse nume¸ ste un subsistem iterativ al luiS(un sub-IFS al luiS,prescurtat).Teorema 3.1.6.FieXun spat ¸iu metric complet,f:X→Xo contract ¸ie ¸ siefpunctul ﬁx al luif. Atunci, pentru orice mult ¸ime ˆ ınchis˘ a nevid˘ aH⊂Xcuproprietatea c˘ af(H)⊂H, avemef∈H.ˆIn consecint ¸˘ a, dac˘ aS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigeste un IIFS peX¸ siT∈B C(X)areproprietatea c˘ aFS(T)⊂T, rezult˘ a c˘ aA(S)⊂T.Demonstrat ¸ie.1. Dac˘ aHeste ca ˆ ın enunt ¸, putem considera contract ¸iafH:H→H, deﬁnit˘ a prinfH(x)=f(x) (anume,H, cu metrica indus˘ a, este spat ¸iu metriccomplet). Dac˘ aeHeste unicul punct ﬁx al luifH, rezult˘ a c˘ aeH=ef, deoarecef(eH)=fH(eH)=eH.D e c ief∈H.2. FieA={P|P∈B C(X),P⊂T}. AtunciAeste nevid˘ a (T∈A) ¸ si ˆ ınchis˘ a.Explicat ¸ie: dac˘ a (An)n⊂Aeste un ¸ sir care converge c˘ atreAˆ ın metrica Hausdorﬀ-Pompeiu, atunci, pentru oricex∈Aexist˘ a un ¸ sir (xn)ncuxn∈Anpentru oricen¸s ixn−→nx.D e c ix∈T=T, adic˘ aA⊂T.Avem ¸ siFS(A)⊂A.ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ aP∈A, rezult˘ a c˘ aFS(P)∈B C(X).ˆInplus, deoareceP⊂T,a v e mFS(P)⊂FS(T)⊂T.D e c iFS(P)∈A.Aplic˘ am punctul precedent ¸ si deducem c˘ a unicul punct ﬁx al contract ¸ieiFS,adic˘ aA(S), are calitatea c˘ aA(S)∈A. Prin urmare,A(S)⊂T.Vom utiliza ˆ ın continuare urm˘ atoarea propozit ¸ie:Propozit ¸ia 3.1.7.FieS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigun IIFS, unde(X,d)este un spat ¸iu metriccomplet, ﬁeα:Λ∗→Λo funct ¸ie arbitrar˘ a ¸ si s˘ a consider˘ amM={ωα(ω)|ω∈Λ∗}.61

Atunciπ(M)este dens˘ a ˆ ınA(S).Demonstrat ¸ie.S˘ a consider˘ amr:= supi∈ILip(fi)<1¸s iω0∈Λ.S˘ a remarc˘ am c˘ a, din moment ceaω0=π(ω0)∈A[ω0]m¸s iπ([ω0]mα([ω0]m)) =a[ω0]mα([ω0]m)∈A[[ω0]mα([ω0]m)]m=A[ω0]m,obt ¸inem c˘ a:d(π(ω0),π([ω0]mα([ω0]m)))≤diam/parenleftBigA[ω0]m/parenrightBig≤rmdiam(A),pentru oricem∈N.Avˆ and ˆ ın vedere c˘ ar∈[0,1), rezult˘ a c˘ aπ(Λ)⊆π(M)¸ si, prin urmare, folosind punctul 6) din teorema 3.1.3, amintit˘ a anterior,A=π(Λ)⊆π(M)⊆A,i.e.,π(M)=A.3.2 RezultateTeorema 3.2.1.FieS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigun IIFS, unde(X,d)este un spat ¸iu metriccomplet ¸ si ﬁeA:=A(S)atractorul luiS. Dac˘ aℵ0≤card(I)≤A, undeAesteun num˘ ar cardinal, atunci spat ¸iul metric(A, d|A)este de tipA,unded|Areprezint˘ arestrict ¸ia distant ¸eidla mult ¸imeaA×A.Demonstrat ¸ie.Folosind teorema 3.1.3 punctul 5), avem/braceleftBige[ω]m|ω∈Λ¸ s im∈N∗/bracerightBig={eω|ω∈Λ∗}=A.(3.1)62

DeoareceΛ∗=Λ∗(I)=/uniondisplayn∈N∗Λn(I)∪{v}¸s icard (Λn(I)) = card (In) = card(I),∀n∈N∗,deducem c˘ a avemcard(Λ∗) = card(I)≤A,decicard{eω|ω∈Λ∗}≤A.(3.2)Din relat ¸iile (3.1) ¸ si (3.2) deducem c˘ a metrica (A, d|A) este de tipA.Remarc˘ a.Rezultatul teoremei 3.2.1 nu este valabil ˆ ın cazul ˆ ın careIeste ﬁnit˘ a (ˆ ınacest caz atractorulApoate ﬁ de tip strict num˘ arabil, ˆ ın cazul ˆ ın care nu este ﬁnit).Teorema 3.2.2.Fie(X,d)un spat ¸iu metric complet,Aun num˘ ar cardinal inﬁnit¸ siAo mult ¸ime ˆ ınchis˘ a ¸ si m˘ arginit˘ a a luiXde tipA(i.e. spat ¸iul metric(A, d|A)este de tipA). Atunci exist˘ a un IIFSS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBig, avˆ and proprietatea c˘ a avemcard(I)≤A,astfel ˆ ıncˆ atA=A(S).Demonstrat ¸ie.Pentru oricea∈X, s˘ a consider˘ am funct ¸iafa:X→Xdeﬁnit˘ a prinfa(x)=a,∀x∈X.Este evident c˘ aLip(fa)=0 .CumAeste de tipA, exist˘ a o submult ¸ime dens˘ aIa luiAastfel ˆ ıncˆ atcard(I)≤A.Remarc˘ am c˘ a familia de funct ¸ii (fi)i∈Ieste m˘ arginit˘ a.ˆIntr-adev˘ ar, pentru∀Y/negationslash=∅,Y⊂X,a v e m/uniondisplayi∈Ifi(Y)=I=A.Din faptul c˘ aAeste m˘ arginit˘ a deducem c˘ a/uniondisplayi∈Ifi(Y) este m˘ arginit˘ a.63

ˆIn consecint ¸˘ a, putem considera IIFS-ulS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBig, pentru care avem:FS(A)=/uniondisplayi∈Ifi(A)=I=A¸ si, prin urmare,A=A(S).Teorema 3.2.3.FieS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigun IIFS, unde(X,d)este un spat ¸iu metriccomplet,A:=A(S)atractorul s˘ au ¸ si ﬁe(Ij)j∈Lo familie de submult ¸imi nevide aleluiIastfel ˆ ıncˆ at/uniondisplayj∈LIj=I.Dac˘ a pentru oricei1∈Ij1,i2∈Ij2,…,in∈Ijn, unde{j1,j2,…,jn}⊆L, exist˘ al∈Lastfel ˆ ıncˆ ati1,i2,…,in∈Il, atunci/uniondisplayj∈LAIj=A,undeAIjeste atractorul subsistemului iterativSIj=/parenleftBigX,(fi)i∈Ij/parenrightBigal luiS.Demonstrat ¸ie.S˘ a remarc˘ am c˘ a, pe de o parte, avem/uniondisplayj∈LAIj⊆A.(∗)ˆIntr-adev˘ ar, deoareceFSIj(A)=/uniondisplayi∈Ijfi(A)⊆/uniondisplayi∈Ifi(A)=FSI(A)=A,utilizˆ and o remarc˘ a anterioar˘ a, avemAIj⊆A,∀j∈L¸ si, prin urmare,/uniondisplayj∈LAIj⊆A.Avˆ and ˆ ın vedere faptul c˘ aAeste o mult ¸ime ˆ ınchis˘ a, obt ¸inem:/uniondisplayj∈LAIj⊆A.64

Pe de alt˘ a parte, avemA⊆/uniondisplayj∈LAIj.(∗∗)ˆIntr-adev˘ ar, pentruω=i1i2…in∈Λ∗, arbitrar, cum/uniondisplayj∈LIj=I, exist˘ aj1,j2, …, jn∈Lastfel ˆ ıncˆ ati1∈Ij1,i2∈Ij2, …, in∈Ijn¸ si, utilizˆ and ipoteza,∃l∈Lastfel ˆ ıncˆ ati1,i2, …, in∈Il.Se obt ¸ine, folosind punctul 5) al teoremei 3.1.3:eω∈AIl⊆/uniondisplayj∈LAIj.Prin urmare, folosind acela¸ si punct 5) al teoremei 3.1.3A={eω|ω∈Λ∗}⊆/uniondisplayj∈LAIj.Din (∗)¸ s i(∗∗), am obt ¸inut c˘ a/uniondisplayj∈LAIj=A.Corolar 3.2.4.FieS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigun IIFS, unde(X,d)este un spat ¸iu metriccomplet ¸ siA:=A(S)atractorul s˘ au.Atunci/uniondisplay∅/negationslash=J⊆IJﬁnit˘ aAJ=A,undeAJeste atractorul subsistemului iterativ de funct ¸iiSJ=/parenleftBigX,(fi)i∈J/parenrightBigal luiS.Urm˘ atorul exemplu ne arat˘ a referitor la condit ¸ia ,,∀i1∈Ij1,i2∈Ij2,…,in∈Ijn,cu{j1,j2, …, jn}⊆L,∃l∈Lastfel ˆ ıncˆ ati1,i2, …, in∈Il“c ˘ aa c e a s t an ue s t eocondit ¸ie necesar˘ a pentru egalitatea/uniondisplayj∈LAIj=A.Exemplu 3.2.5.Consider˘ am spat ¸iul metric complet (X,d), undeX=[ 0,1] ¸ sideste metrica euclidian˘ a.Se consider˘ a IIFS-ulS=/parenleftBig([0,1],d),(fc)c∈[0,1]/parenrightBig,65

undedeste metrica uzual˘ a pe [0,1] ¸ si funct ¸iafc:[ 0,1]→[0,1] este dat˘ a prinfc(x)=c,∀x∈[0,1].Deoarece[0,1] =/uniondisplayc∈[0,1]fc([0,1]) =FS([0,1]),deducem c˘ aA:=A(S)=[ 0,1]¸ si egalitatea{c}=fc({c})=FS{c}({c})atrage{c}=A{c}, undeA{c}este atractorul subsistemului iterativS{c}=( ( [ 0,1],d),{fc})al luiS.Prin urmare, pe de o parte, avem egalitateaA=/uniondisplayc∈[0,1]A{c},care este echivalent˘ a cu [0,1] =/uniondisplayc∈[0,1]{c}(valid˘ a).Pe de alt˘ a parte, familia ({c})c∈[0,1]de submult ¸imi nevide ale lui [0,1] are pro-prietatea c˘ a/uniondisplayc∈[0,1]{c}=[ 0,1],dar nu are proprietatea c˘ a∀c1,c2, …, cn∈[0,1],∃c∈[0,1] astfel ˆ ıncˆ atc1,c2, …, cn∈{c}.Vom prezenta acum un exemplu pentru care condit ¸ia ,,pentu oricei1∈Ij1,i2∈Ij2, …, in∈Ijn, unde{j1,j2, …, jn}⊆L, exist˘ al∈L, astfel ˆ ıncˆ ati1,i2, …, in∈Il“este o condit ¸ie necesar˘ a ¸ si suﬁcient˘ a pentru a avea egalitatea/uniondisplayj∈LAIj=A.66

Exemplu 3.2.6.Se consider˘ a IIFS-ulS=( Λ (I),(Fi)i∈I),cuFi:Λ (I)→Λ(I),Fi(ω)=iω,∀ω∈Λ(I)al c˘ arui atractor esteΛ(I) :=A¸ si ﬁe (Ij)j∈Lo familie de submult ¸imi nevide ale luiIastfel ˆ ıncˆ at/uniondisplayj∈LIj=I.Atunci atractorul unui subsistem iterativ de funct ¸iiSJ=/parenleftBigΛ(I),(Fi)i∈J/parenrightBigal luiS, undeJ⊆I,e s t eΛ(J) :=AJ.Vom ar˘ ata c˘ a/uniondisplayj∈LAIj=A⇔∀i1∈Ij1,i2∈Ij2, …, in∈Ijn,unde{j1,j2, …, jn}⊆L, exist˘ al∈Lastfel ˆ ıncˆ ati1,i2, …, in∈Il.ˆIntr-adev˘ ar, teorema anterioar˘ a ne asigur˘ a c˘ a implicat ¸ia ,,⇐“ este valid˘ a.Pentru implicat ¸ia ,,⇒“ se consider˘ ai1∈Ij1,i2∈Ij2,…,in∈Ijn, unde{j1,j2,…,jn}⊆L. Atunciωdef==i1i2…ini1i2…in…i1i2…in…∈Λ(I)=A=/uniondisplayj∈LAIj.AtunciB/parenleftbiggω,13n+1/parenrightbigg∩/uniondisplayj∈LAIj/negationslash=φ.Deci/uniondisplayj∈LB/parenleftbiggω,13n+1/parenrightbigg∩AIj/negationslash=φ, rezult˘ a c˘ a∃j=l∈Lastfel ˆ ıncˆ atB/parenleftbiggω,13n+1/parenrightbigg∩AIl/negationslash=∅⇒∃α=α1α2…αn…∈AIl=Λ(Il)=IN∗lastfel ˆ ıncˆ atdΛ(ω,α)<13n+1.Atunciα1=ii,. . . ,αn=in, adic˘ a{i1,i2,…,in}={α1,α2,…,αn}⊂Il.67

Teorema 3.2.7.Considerˆ and un num˘ ar cardinal inﬁnitA, ﬁeS=(X,(fi)i∈I)unIIFS astfel ˆ ıncˆ at atractorulA(S)este de tipA, unde(X,d)este un spat ¸iu metriccomplet.Atunci exist˘ aSJ=/parenleftBigX,(fi)i∈J/parenrightBigun subsistem iterativ al luiSastfel ˆ ıncˆ atcard(J)≤A¸ siA(S)=A(SJ).Demonstrat ¸ie.S˘ a consider˘ amPA(I)={J⊆I|card(J)≤A }.PentruJ∈P∗A(I) :=PA(I)− {∅}, cu notat ¸iileA:=A(S)¸ s iAJ:=A(SJ), undeSJ=/parenleftBigX,(fi)i∈J/parenrightBig,avem:FSJ(A)=/uniondisplayi∈Jfi(A)⊆/uniondisplayi∈Ifi(A)=FS(A)=A,astfel, utilizˆ and Remarca 2.4, obt ¸inemAJ⊆A¸ si prin urmared(AJ,A)=0ceea ce implic˘ ah(AJ,A)=d(A, AJ).Prin urmare,AJ=A⇔d(A, AJ)=0.(∗)S˘ a consider˘ amβ= inf{d(A, AJ)|J∈P∗A(I)}.Vom demonstra c˘ a exist˘ aJ∈P∗A(I) astfel ˆ ıncˆ atd(A, AJ)=β.(∗∗)ˆIntr-adev˘ ar, pentru oricen∈N,∃Jn∈P∗A(I) astfel ˆ ıncˆ atd(A, AJn)≤β+1n.68

AtunciJ:=/uniondisplayn∈NJn∈P∗A(I)(Ainﬁnit)¸s iFSJn(AJ)=/uniondisplayi∈Jnfi(AJ)⊆/uniondisplayi∈Jfi(AJ)=FSJ(AJ)=AJ.Din nou,utilizˆ and Remarca 2.3, obt ¸inem c˘ aAJn⊆AJ¸ si, prin urmare,β≤d(A, AJ)≤d(A, AJn)≤β+1n,∀n∈N.Ultima inegalitate implic˘ a, pentruntinzˆ and la inﬁnit, egalitatead(A, AJ)=β.Vom ar˘ ata ˆ ın cele ce urmeaz˘ a c˘ aβ=0.(∗∗∗)ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ a presupunem c˘ aβ>0, avˆ and ˆ ın vedere ce am demonstratanterior, putem consideraJ∈P∗A(I) astfel ˆ ıncˆ atd(A, AJ)=β.Cu lema lui Zorn, putem considera o submult ¸ime maximal˘ aCa luiAavˆ andproprietatea c˘ ad(x, y)>β4,∀x, y∈C, x/negationslash=y.CumAeste de tipA, exist˘ a o submult ¸imeM⊆Aastfel ˆ ıncˆ atM=A¸s icard(M)≤A.Prin urmare,M∩B/parenleftBiggc,β8/parenrightBigg/negationslash=∅,∀c∈C.Funct ¸iaf:C→M, dat˘ a prinf(c)=yc, undeyceste un element ﬁxat al luiM∩B/parenleftBiggc,β8/parenrightBigg, este injectiv˘ a (deoarece,∀c1,c2∈C,c1/negationslash=c2,a v e mf(c1)=f(c2),atunciyc1=yc2care implic˘ a urm˘ atoarea contradict ¸ie:β4<d(c1,c2)≤d(c1,yc1)+d(yc1,yc2)+d(c2,yc2)≤β8+β8=β4,69

deoareced(yc1,yc2) = 0 ¸ si, prin urmare card(C)≤card(M)≤A).Pentru∀x∈Aexist˘ acx∈Castfel ˆ ıncˆ atd(x, cx)≤β4(3.3)(deoarece, ˆ ın caz contrar,d(x, c)>β4,∀c∈C, ar implicaC∪{x}ar avea pro-priet˘ at ¸ile luiC;C∪{x}⊂A¸s id(a, b)>β4,∀a, b∈C,a/negationslash=b; aceasta contrazicefaptul c˘ aCeste o submult ¸ime maximal˘ a a luiAavˆ and proprietatea c˘ ad(x, y)>β4,∀x, y∈C,x/negationslash=y).S˘ a consider˘ am un element ﬁxatj0∈I. Luˆ and ˆ ın considerare Propozit ¸ia 3.1.7(pentru funct ¸iaα:Λ∗→Λ dat˘ a deα(ω/prime)=j0j0…j0…, pentru oriceω/prime∈Λ∗),rezult˘ a, c˘ a pentru oricex∈M, exist˘ aωcx=i1(cx)…in(cx)(cx)∈Λ∗astfel ˆ ıncˆ atd(π(ωcxj0j0…j0…),cx)≤β4.(3.4)Prin urmare, utilizˆ and (3.3) ¸ si (3.3), obt ¸inemd(x, π(ωcxj0j0…j0…))≤β2.Cum mult ¸imeaJ0:=/uniondisplayx∈Mc2∈C/braceleftBigi1(cx), …, in(cx)(cx)/bracerightBig∪{j0}∈P∗A(I)¸s iπ(ωcxj0j0…j0…)∈AJ0,obt ¸inemd(x, AJ0)≤β2,∀x∈M¸ si, prin urmare,d(A, AJ0)≤β2.Aceasta contrazice deﬁnit ¸ia luiβ.Din (∗∗)¸ s i(∗∗∗), concluzion˘ am c˘ a exist˘ aJ∈P∗A(I) astfel ˆ ıncˆ atd(A, AJ)=0,¸ si, prin urmare, luˆ and ˆ ın considerare (∗), obt ¸inemA=AJ.70

Vom indica o modalitate de obt ¸inere a unei submult ¸imiJ⊂Ipentru care avemegalitateaA(S)=A(SJ).Vom considera c˘ a ¸ si pe mult ¸imea de indiciIeste dat˘ a o metric˘ adI.P e n t r un∈N∗vom ˆ ınzestra Λn(I)=Incu metrica ,,produs“δn(ω,ω/prime) :=n/summationdisplayk=1dI(ωk,ω/primek),undeω=ω1…ωn∈Λn(I),ω/prime=ω/prime1…ω/primen∈Λn(I).Not˘ am cur:= supi∈ILip(fi)<1.Teorema 3.2.8.Fie(X,d)un spat ¸iu metric complet pe care este dat IFS-ulS=/parenleftBigX,(fi)i∈I/parenrightBigcu atractorulA(S).Presupunem c˘ a funct ¸ia ,,generatoare“f:X×I→Xdat˘ a prinf(x, i) :=fi(x),x∈X, i∈I,are proprietatea c˘ a∃C>0astfel ˆ ıncˆ atdX(f(x, i),f(x, i/prime))≤C·dI(i, i/prime),∀x∈X,∀i, i/prime∈I.Atunci pentru orice submult ¸imeJ⊂Ipentru careJ=Iare loc egalitatea demult ¸imiA(S)=A(SJ).Demonstrat ¸ie.S˘ a observ˘ am mai ˆ ıntˆ ai c˘ a∀n≥1,∃Cn>0 a.ˆ ı.dX(fω(x),fω/prime(x))≤Cn·δn(ω,ω/prime),∀ω,ω/prime∈Λn(I),∀x∈X.Demonstrat ¸ia acestei aﬁrmat ¸ii se face prin induct ¸ie dup˘ an.Cazuln= 1 rezult˘ a ˆ ın mod banal din ipotez˘ a.Demonstr˘ amPm⇒Pm+1.Fie deciω,ω/prime∈Λm+1(I),ω=ω1…ωmωm+1,ω/prime=ω/prime1…ω/primemω/primem+1.AtuncidX(fω(x),fω/prime(x)) =dX/parenleftBigfω1◦…◦fωm+1(x),fω/prime1◦…◦fω/primem+1(x)/parenrightBig≤≤dX/parenleftBigfω1/parenleftBigfω2◦…◦fωm+1(x)/parenrightBig,fω1/parenleftBigfω/prime2◦…◦fω/primem+1(x)/parenrightBig/parenrightBig+71

+dX/parenleftBigfω1/parenleftBigfω/prime2◦…◦fω/primem+1(x)/parenrightBig,fω/prime1/parenleftBigfω/prime2◦…◦fω/primem+1(x)/parenrightBig/parenrightBig≤≤rdX/parenleftBigfω2◦…◦fωm+1(x),fω/prime2◦…◦fω/primem+1(x)/parenrightBig++C·dI(ω1,ω/prime1)≤r·Cm·δm/parenleftBigω2…ωm+1,ω/prime2…ω/primem+1/parenrightBig++C·dI(ω1,ω/prime1)≤(rCm+C)·δm+1/parenleftBigω1ω2…ωm+1,ω/prime1ω/prime2…ω/primem+1/parenrightBig==Cm+1δm+1(ω,ω/prime).Fie acumJ⊂Io submult ¸ime de indici pentru careJ=I.Ne reamintim c˘ aA(S)={eω|ω∈Λ∗(I)}¸s iA(SJ)={e/tildewideω|/tildewideω∈Λ∗(J)}.Cum, ˆ ın cazulJ⊂I, avem ˆ ıntotdeaunaA(SJ)⊂A(S), r˘ amˆ ane s˘ a dovedim c˘ aˆ ın ipotezele din enunt ¸ are loc ¸ si incluziuneaA(S)⊂A(SJ).ˆIntrucˆ at Λ∗(I)=∞/uniondisplayn=1Λn(I), ar˘ at˘ am c˘ a∀n≥1¸ s i∀ω∈Λn(I)a v e meω∈{e/tildewideω|/tildewideω∈Λ∗(J)}.Fie deciω∈Λn(I) un cuvˆ ant de lungimen, arbitrar ales, dar ﬁxat.ˆIntrucˆ atJ=I, rezult˘ a c˘ a Λn(J)=Jneste dens ˆ ın Λn(I)=In.Prin urmare, va exista un ¸ sir/parenleftBig/tildewideω(m)/parenrightBigm≥1⊂Λn(J) astfel ˆ ıncˆ atδn/parenleftBig/tildewideω(m),ω/parenrightBig=n/summationdisplayk=1dI/parenleftBig/tildewideω(m)k,ωk/parenrightBig−−−→m→∞0,convergent ¸a ﬁind convergent ¸a pe componente.Dac˘ aeωeste punctul ﬁx al contract ¸ieifω=fω1◦…◦fωn, iare/tildewideω(m)este punctulﬁx al contract ¸ieif/tildewideω(m),v o ma v e adX(e/tildewideω(m),eω)=dX(f/tildewideω(m)(e/tildewideω(m)),fω(eω))≤≤dX(f/tildewideω(m)(e/tildewideω(m)),f/tildewideω(m)(eω)) +dX(f/tildewideω(m)(eω),fω(eω))≤≤rm·dX(e/tildewideω(m),eω)+dX(f/tildewideω(m)(eω),fω(eω))≤≤r·dX(e/tildewideω(m),eω)+dX(f/tildewideω(m)(eω),fω(eω)).Prin urmare, va rezulta c˘ adX(e/tildewideω(m),eω)≤11−rdX(f/tildewideω(m)(eω),fω(eω))≤11−r·Cn·δn/parenleftBig/tildewideω(m),ω/parenrightBig.72

Dar11−r·Cn·δn/parenleftBig/tildewideω(m),ω/parenrightBig−−−→m→∞0ceea ce implic˘ aeω∈{e/tildewideω(m)|m∈N∗}⊂{e/tildewideω|/tildewideω∈Λn(J)}⊂{e/tildewideω|ω∈Λ∗(J)}=A(SJ).De aici deducem c˘ aA(S)={eω|ω∈Λ∗(I)}⊂A(SJ)./square.Urm˘ atorul exemplu este mai nuant ¸at. Vom putea pune ˆ ın evident ¸˘ a subsistemeiterative al c˘ aror atractor coincide cu atractorul sistemului, precum ¸ si subsistemeiterative al c˘ aror atractor este strict inclus ˆ ın atractorul sistemului.Exemplu 3.2.9.Consider˘ am spat ¸iul metric complet (X,d),undeX=[ 0,1] ¸ sideste metrica euclidian˘ a.S˘ a consider˘ am IIFS-ulS=(X,(fi)i∈I), undeI=[ 1,∞)¸ s ifi:[ 0,1]→[0,1] estedat˘ a prinfi(x)=13ix+1−13i−1∀i∈[1,∞),∀x∈[0,1].Aﬁrmat ¸ia 1.A(S)=[ 0,1].ˆIntr-adev˘ ar, pe de o parte, s˘ a remarc˘ am c˘ afi([0,1]) =/bracketleftbigg1−33i,1−23i/bracketrightbigg⊆[0,1),∀i∈[1,∞).Prin urmare,/uniondisplayi∈[1,∞)fi([0,1])⊆[0,1).(3.5)Pe de alt˘ a parte,/uniondisplayi∈[1,∞)fi([0,1])⊇/uniondisplayi∈[1,∞)fi({0})=/uniondisplayi∈[1,∞)/braceleftbigg1−33i|i∈[1,∞)/bracerightbigg=[ 0,1),deci/uniondisplayi∈[1,∞)fi([0,1]) = [0,1]¸ si, prin urmare,Fs([0,1]) = [0,1],i.e.A(S)=[ 0,1]./BoxRemarc˘ a.Aﬁrmat ¸ia anterioar˘ a arat˘ a c˘ a IIFS-uri ,,bogate“ nu au ˆ ın mod necesarmult ¸imi interesante drept atractori.73

Aﬁrmat ¸ia a 2-aA(SJ)=A(S), undeJ=I∩Q.S˘ a remarc˘ am c˘ a|fi(x)−fj(x)|=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/parenleftbigg13i−13j/parenrightbiggx−3/parenleftbigg13i−13j/parenrightbigg/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/parenleftbigg13i−13j/parenrightbiggx/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle+3/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle13i−13j/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤4/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle13i−13j/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle,∀i, j∈[1,∞)¸ s i∀x∈[0,1].Cum derivata funct ¸ieig:[ 1,∞)→Rdat˘ a pring(i)=13i,∀i∈[1,∞)e s t em˘ arginit˘ a/parenleftbigg|g/prime(i)|=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle−13iln 3/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤13ln 3,∀i∈[1,∞)/parenrightbigg,cu teorema lui Lagrange, avem c˘ a/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle13i−13j/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/parenleftbigg13ln 3/parenrightbigg·|i−j|,∀i, j∈[1,∞).Prin urmare,|fi(x)−fj(x)|≤/parenleftbigg43ln 3/parenrightbigg·|i−j|,∀x∈[0,1],∀i, j∈[1,∞) (3.6)Cu o teorem˘ a anterioar˘ a, avˆ andˆ ın vedere c˘ aJ=I(relativ la metrica euclidian˘ a),deducem c˘ aA(SJ)=A(S)./BoxRemarc˘ a.CumA(S)=[ 0,1] este de tipℵ0, exemplul nostru furnizeaz˘ a un exempluconcret de subsistem iterativSJal luiS(a c˘ arui existent ¸˘ a era asigurat˘ a de teorema3.2.7), adic˘ a astfel ˆ ıncˆ atcardJ≤ℵ0¸s iA(SJ)=A(S).Mai mult, dˆ andu-se tipulℵ0¸ si mult ¸imea ˆ ınchis˘ a ¸ si m˘ arginit˘ aA=[ 0,1] a spat ¸iuluimetric complet ([0,1),d), exemplul nostru furnizeaz˘ a un exemplu concret de IIFS,anumeSJ(a c˘ arui existent ¸˘ a era asigurat˘ a de teorema 3.2.7), adic˘ a astfel ˆ ıncˆ atcardJ≤ℵ0¸s iA(SJ)=[ 0,1].Aﬁrmat ¸ia a 3-aA(SN∗)/negationslash=[ 0,1] =A(S).ˆIntr-adev˘ ar, s˘ a consider˘ am ¸ sirul (An)n≥0dat deAn=FS(An−1),∀n∈N∗,74

undeA0=[ 0,1].AtunciA(SN∗) = limn→∞An.(3.7)Cumfn(A0)=/bracketleftbigg1−13n−1,1−13n−1+13n/bracketrightbigg⊆A0,∀n∈N∗,avem c˘ aA1=FS(A0)=/uniondisplayn∈N∗fn(A0)⊆A0¸ si folosind metoda induct ¸iei matematice, se poate demonstra c˘ aAn+1⊆An,∀n∈N.Prin urmare, ¸ sirul de mult ¸imi compacte (An)n≥0este descresc˘ ator ¸ si decilimn→∞An=/intersectiondisplayn∈N∗An.(3.8)Din (3.7) ¸ si (3.8), obt ¸inem urm˘ atoarea caracterizare a atractorului luiSN∗:A(SN∗)=/intersectiondisplayn∈N∗An.Cumf1(A0)=/bracketleftbigg0,13/bracketrightbigg,f2(A0)=/bracketleftbigg23,79/bracketrightbigg,…,fn(A0)=/bracketleftbigg1−13n−1,1−13n−1+13n/bracketrightbigg,fn+1(A0)=/bracketleftbigg1−13n,1−13n+13n+1/bracketrightbigg¸s i 1−13n−1+13n<1−13n,∀n∈N∗,deducemc˘ a/parenleftbigg13,23/parenrightbigg⊆[0,1]\A1⊆[0,1]\/intersectiondisplayn∈N∗An=[ 0,1]\A(SN∗).Prin urmare,A(SN∗)/negationslash=[ 0,1]./BoxRemarc˘ a.Aﬁrmat ¸ia anterioar˘ a arat˘ a c˘ a nu este adev˘ arat c˘ aA(SJ)=A(S)p e n t r uorice submult ¸imeJa luiIavˆ and proprietatea c˘ a are card(J)=ℵ0.
75

4 Spat ¸ii speciale de funct ¸ii ¸ si de m˘ asuri.M˘ asuri invariante4.1 Integrala seschiliniar˘ a uniform˘ aRezultatele din acest paragraf au ap˘ arut ˆ ın articolul [16]. Le prezent˘ am, pentrucompletitudine, f˘ ar˘ a demonstrat ¸ii.Deﬁnit ¸ia 4.1.1.FieTo mult ¸ime nevid˘ a ¸ si Σ⊂P(T)oσ−algebr˘ a peT.Oaplicat ¸ieµ:Σ→Xse nume¸ ste m˘ asur˘ a vectorial˘ aσ-aditiv˘ a sau, mai concis, m˘ asur˘ avectorial˘ a, dac˘ a pentru orice ¸ sir (An)n⊂Σ de mult ¸imi mutual disjuncte, are locegalitateaµ/parenleftBigg∞/uniondisplayn=1An/parenrightBigg=∞/summationdisplayn=1µ(An).Vom nota cuca(Σ,X) :={µ:Σ→X|µm˘ asur˘ a vectorial˘ a}.Un rol fundamentalˆ ın expunerea noastr˘ aˆ ıl joac˘ aˆ ıns˘ a un subspat ¸iu al luica(Σ,X).Pentru a-l putea deﬁni avem nevoie de un concept ,,nou“ ¸ si anume acela de variat ¸iea unei m˘ asuri vectoriale.Deﬁnit ¸ia 4.1.2.Pentru o m˘ asur˘ a vectorial˘ aµ:Σ→Xvariat ¸ia luiµeste m˘ asurapozitiv˘ a|µ|:Σ→R+deﬁnit˘ a dup˘ a cum urmeaz˘ a:dac˘ aA∈Σ se va deﬁni|µ|(A) = sup/braceleftBiggp/summationdisplayi=1/bardblµ(Ai)/bardbl/bracerightBigg,supremumul ﬁind calculat ˆ ın raport cu toate partit ¸iileπ=(A1,A2,…,Ap) ale luiA(i.e.A1,A2,…,Apsunt ˆ ın Σ,p/uniondisplayi=1Ai=A¸s iAi∩Aj=∅pentrui/negationslash=j).Dac˘ a|µ|(T)<∞, spunem c˘ a m˘ asura vectorial˘ aµeste cu variat ¸ie m˘ arginit˘ a.Spat ¸iul de m˘ asuricabv(Σ,X) :={µ∈ca(Σ,X)|µm˘ asur˘ a cu variat ¸ie m˘ arginit˘ a}76

va juca un rol fundamental. Vom ˆ ınzestra spat ¸iul vectorialcabv(Σ,X) cu normanatural˘ a/bardblµ/bardbl=|µ|(T),dac˘ aµ∈cabv(Σ,X).Se demonstreaz˘ a c˘ a (cabv(Σ,X),/bardbl·/bardblvar) este un spat ¸iu Banach (conform ,,Spat ¸iide funct ¸ii“, autor Ion Chit ¸escu, pag. 157, Teorema 16, [10]).Vom mai notacabv(Σ,X)=cabv(T,X).Pentru a putea stabili o leg˘ atura, cel put ¸in ˆ ın cazul ˆ ın careTeste un spat ¸iumetric compact, iarXun spat ¸iu Hilbert, ˆ ıntre spat ¸iul de funct ¸iiC(T,X) ¸ si spat ¸iulde m˘ asuricabv(T,X),vom avea nevoie de un concept nou ¸ si anume acela de integralaa unei funct ¸ii continuef:T→Xˆ ın raport cu o m˘ asuraµ∈cabv(T,X).S˘ a consider˘ am, pentru ˆ ınceput, o mult ¸ime nevid˘ aT,oσ−algebra Σ⊂P(T)=familia tuturor submult ¸imilor luiT¸ si un spat ¸iu Banach (X,/bardbl·/bardbl). Pentru a evitasituat ¸iile triviale vom admite, de aici ˆ ıncolo, c˘ aX/negationslash={0X}.ˆIn cazulˆ ın careTeste un spat ¸iu topologic, ˆ ın particular dac˘ a (T,d) va ﬁ un spat ¸iumetric compact, vom considera c˘ aσ−algebra Σ este format˘ a din submult ¸imileboreliene ale luiT¸ si vom utiliza, pentru a reprezenta acest lucru ˆ ın scris, notat ¸iaΣ=BT.Spat ¸iul vectorialB(T,X) :={f:T→X|feste marginit˘ a},ˆ ınzestrat cu norma natural˘ a,/bardblf/bardbl∞:= sup{/bardblf(t)/bardbl|t∈T},devine un spat ¸iu BanachˆIn continuare vor ﬁ puse ˆ ın evident ¸˘ a diferite subspat ¸ii vectoriale ale spat ¸iuluiB(T,X).Reamintim c˘ a opartit ¸iea luiA∈Σ este unp−tuplu(A1,A2, …, Ap),unde∅/negationslash=Ai∈Σ sunt mutual disjuncte (Ai∩Aj=∅,p e n t r ui/negationslash=j)¸ s ip/uniondisplayi=1Ai=A.Cˆ andnu apare pericolul unor confuzii vom nota, mai simplu, (Ai)ipentru a desemna opartit ¸ie.Pentru orice asemenea partit ¸ie se poate considera ofunct ¸ie simpl˘ af=p/summationdisplayi=1ϕAixi,undexi∈X; reprezentarea nu este unic˘ a! S˘ a ret ¸inem c˘ axi=f(t)77

pentru oricei∈{1,2, …, p}¸ si oricet∈Ai,dac˘ aAi/negationslash=∅.Spat ¸iul vectorial al tuturor funct ¸iilor simple va ﬁ notat prinS(Σ,X) :={f:T→X|feste simpl˘ a}.Este clar c˘ aS(Σ,X)⊂B(T,X).ˆInchidereaTM(Σ,X)(:=S(Σ,X) ) a luiS(Σ,X) ˆ ınB(T,X) este spat ¸iulfunct ¸iilortotal m˘ asurabile:TM(Σ,X) :={f:T→X/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleexist˘ a un ¸ sir (fn)n⊂S(Σ,X)astfel ˆ ıncˆ atfnu→nf}.Dac˘ aTeste un spat ¸iu metric compact, un alt subspat ¸iu ˆ ınchis important al luiB(T,X)e s t eC(T,X) :={f:T→X|feste continu˘ a}.Se ¸ stie c˘ a acesta este un spat ¸iu Banach, dac˘ a este ˆ ınzestrat cu norma natural˘ a/bardblf/bardbl∞,pentrufdinC(T,X).ˆIn acest caz, ˆ ın loc deS(BT,X)(TM(BT,X)) vom scrieS(T,X)(TM(T,X)).ˆIn fapt avemC(T,X)⊂TM(T,X).ˆIn acest moment suntemˆ ın m˘ asur˘ a s˘ a deﬁnimintegrala unei funct ¸ii total m˘ asurabile(ˆ ın particular a unei funct ¸ii continue),ˆ ın raport cu o m˘ asur˘ a cu variat ¸ie m˘ arginit˘ a.FieXun spat ¸iu Hilbert ˆ ınzestrat cu produsul scalar (·| ·).Pentru oricef∈S(Σ,X),de formaf=m/summationdisplayi=1ϕAixi,¸ si oriceµ∈cabv(Σ,X),vom consideraintegrala luifˆ ın raport cuµ,care, prindeﬁnit ¸ie, va ﬁ num˘ arul (dinK)/integraldisplayfdµ:=m/summationdisplayi=1(xi|µ(Ai))(4.1)(s˘ a ret ¸inem c˘ a acest num˘ ar nu depinde de reprezentarea luif).ˆIn cazulX=Ceste clar c˘ a/integraldisplayfdµ:=m/summationdisplayi=1xiµ(Ai).(4.2)78

Datorit˘ a inegalit˘ at ¸ii evidente/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/bardblµ/bardblvar·/bardblf/bardbl∞,(4.3)operat ¸ia liniar˘ af/mapsto−→/integraldisplayfdµeste uniform continu˘ a ¸ si poate ﬁ prelungit˘ a (utilizˆ and extensia prin continuitateuniform˘ a) la totS(Σ,X)=TM(Σ,X).Mai precis, pentru oricef∈TM(Σ,X),valoarea extensiei esteintegrala luifˆ ın raport cuµ:/integraldisplayfdµ:= limm/integraldisplayfmdµ,oricare ar ﬁ ¸ sirul (fm)m⊂S(Σ,X) astfel ˆ ıncˆ atfmu→mf. Mai mult, inegalitatea(4.3) se va ment ¸ine ¸ si ˆ ın acest caz.Vom ret ¸ine faptul c˘ a, ˆ ın cazulX=K¸s iµ≥0,integrala/integraldisplayfdµ,calculat˘ a aici,coincide cu integrala clasic˘ a (standard).Un rezultat deosebit de important ˆ ın aplicat ¸ii ˆ ıl constituie urm˘ atoareaTeorema 4.1.3.(Teorema de transport). Fieω:T→To funct ¸ie(Σ,Σ)−m˘ asurabil˘ a,f∈TM(Σ,X)¸ siµ∈cabv(Σ,X).Atunci/integraldisplayf◦ωdµ=/integraldisplayfd(ω(µ))./squareCorolar 4.1.4.Fie (T,d)un spat ¸iu metric compact ¸ siXun spat ¸iu Hilbert pesteK.Dac˘ aω:T→Teste o aplicat ¸ie continu˘ a atunci/integraldisplayf◦ωdµ=/integraldisplayfd(ω(µ)),pentru orice funct ¸ief∈C(T,X)¸ si orice m˘ asur˘ aµ∈cabv(T,X).Am notat prinω(µ)transportata luiµprinω, deﬁnit˘ a astfel:ω(µ):Σ→X, ω(µ)(A)=µ/parenleftBigω−1(A)/parenrightBig,∀A∈Σ./squareUn alt rezultat util, care rezult˘ a ¸ si din considerente generale de analiz˘ a funct ¸ional˘ a,este dat de urm˘ atoarea79

Lema 4.1.5.Dac˘ af,g∈C(T,X)¸ si/integraldisplayfdν=/integraldisplaygdν,pentru oriceν∈cabv(T,X),atuncif=g./squarePentruf∈C(T,X),vom utiliza, ˆ ın mod frecvent, formula/integraldisplayfdµ= limm/integraldisplayfmdµ,unde (fm)meste un ¸ sir canonic asociat luif.Oricare ar ﬁf∈C(T,X) ¸ si pentru oricea∈T¸s ix∈X,avem/integraldisplayfd(δax)=(f(a)|x).(∗)ˆIn particular, dac˘ aX=K,avem, pentru oricef∈C(T,K) ¸ si oricea∈T,/integraldisplayfdδa=f(a).De fapt, formula (∗) este valid˘ a ˆ ın general, pentru spat ¸ii abstracteT¸ si oricef∈TM(Σ,X).Relat ¸ia (4.3) poate ﬁ ˆ ımbun˘ at˘ at ¸it˘ a, ¸ si anume/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/integraldisplay|f|d|µ|≤/bardblµ/bardblvar·/bardblf/bardbl∞(4.4)ˆ ıntrucˆ at|f|∈TM(Σ,R).Aplicat ¸iaH:TM(Σ,X)×cabv(Σ,X)→K,dat˘ a prinH(f,µ) :=/integraldisplayfdµeste seschiliniar˘ a:/integraldisplay(αf+βg)dµ=α/integraldisplayfdµ+β/integraldisplaygdµ/integraldisplayfd(αµ+βν)=α/integraldisplayfdµ+β/integraldisplayfdν(4.5)oricare ar ﬁf,gˆ ınTM(Σ,X),oriceµ, νˆ ıncabv(Σ,X) ¸ si oriceα, βˆ ınK.Aplicat ¸iaHeste ¸ si continu˘ a ˆ ıntrucˆ at, utilizˆ and (4), vom avea|H(f,µ)|≤/bardblµ/bardblvar·/bardblf/bardbl∞.80

A¸ sadar(fmu→mfinTM(Σ,X)=⇒/integraldisplayfmdµ→m/integraldisplayfdµ)¸s i(µm→mµincabv(Σ,X)=⇒/integraldisplayfdµm→m/integraldisplayfdµ).T ¸ inˆ and seama de (4.1), (4.2), (4.5), rezult˘ a c˘ a, ˆ ın cazulX=K,avem, pentruoricef∈TM(Σ,K) ¸ si oriceµ∈cabv(Σ,K):/integraldisplayfdµ/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft/bracehtipuprightdeﬁnit ¸ia actual˘ a=/integraldisplayfdµ/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft/bracehtipuprightdeﬁnit ¸ia standardundeµ:Σ→Keste m˘ asura dat˘ a prinµ(A) :=µ(A),oricare ar ﬁA∈Σ.Teorema de dualitate Riesz – Kakutani aﬁrm˘ a c˘ a dualulC(T,K)/primeal luiC(T,K)este liniar ¸ si izometric izomorf cucabv(T,K),prin izomorfsmulcabv(T,K)/ownerµ↔x/primeµ∈C(T,K)/primeundex/primeµ(f) :=/integraldisplayfdµ(4.6)iar integrala din (4.6) este calculat˘ a ˆ ın maniera standard.ˆIn plus, funct ¸ionalelepozitive (i.e.x/primeµ(f)≥0, dac˘ af≥0) sunt date de m˘ asurile pozitiveµ≥0.ˆIn termenii prezentei integrale se poate reprezenta (4.6) prinx/primeµ(f)=/integraldisplayfdµ,(4.6/prime)aplicat ¸iaµ/mapsto−→/integraltextfdµﬁind un izomorﬁsm liniar ¸ si izometric (vezi (4.5)).Dac˘ a utiliz˘ am ¸ si izomorﬁsmul antiliniar ¸ si izometric Riesz – Fr´ echet care permiteidentiﬁcareaX=X/prime,precum ¸ si extensia teoremei Riesz – Kakutani ([21]), vom puteaextinde considerat ¸iile anterioare ¸ si vom obt ¸ine un izomorﬁsm antiliniar ¸ si izometriccabv(T,X)/ownerµ↔x/primeµ∈C(T,X)/prime,undex/primeµ:C(T,X)→Kact ¸ioneaz˘ a astfelx/primeµ(f)=/integraldisplayfdµ81

(integrala ﬁind considerat˘ a ˆ ın sensul actual).Fief∈TM(T,K),µ∈cabv(T,K)¸ s ix, yˆ ınX.Atuncifx∈TM(T,X),µy∈cabv(T,X) ¸ si are loc egalitatea/integraldisplay(fx)d(µy)=(/integraldisplayfdµ)·(x|y).(4.7)ˆIn particular,/integraldisplay(fx)d(µx)=/parenleftbigg/integraldisplayfdµ/parenrightbigg·/bardblx/bardbl2.(4.7/prime)Relat ¸ia (4.7) se demonstreaz˘ a u¸ sor, mai ˆ ıntˆ ai, pentru funct ¸ii simplef.Utilizand (4.7/prime),ˆ ın cazulX=Kn,se poate reduce calculul integralelor vecto-riale la calculul unor integrale scalare. Mai precis, pentruf=(f1,f2, …, fn)∈TM(T,Kn)¸ s iµ=(µ1,µ2, …, µn)∈cabv(T,Kn),undefi∈TM(T,K),µi∈cabv(T,K),vom obtine/integraldisplayfdµ=n/summationdisplayi=1/integraldisplayfidµi(4.8)(avemf=n/summationdisplayi=1fiei,µ=n/summationdisplayi=1µiei,undeei=( 0,0, …,0,1,0, …,0),1 pe locul ali−leasi, cu (4.5) ¸ si (4.7):/integraldisplayfdµ=n/summationdisplayi=1/integraldisplayfieidµ=n/summationdisplayj=1n/summationdisplayi=1/integraldisplayfieid(µjej)==n/summationdisplayj=1n/summationdisplayi=1/integraldisplayfid(µj)·(ei|ej)=n/summationdisplayi=1/integraldisplayfidµi)./squareVom ilustra formula (4.8), aplicˆ and formula (4.6/prime),prezentˆ and urm˘ atorulExemplu.FieT=[ 0,1],X=C2¸s iλ:BT→R+m˘ asura Lebesgue pe mult ¸imile borelieneBTale lui [0,1].M˘ asuraµ:BT→C2este dat˘ a prinµ=(µ1,µ2), undeµ1=λ+iδ1,µ2=δ0+iλ.Funct ¸iaf:[ 0,1]→C2este dat˘ a prinf=(f1,f2),undef(t)=(t,1+it)=⇒f1(t)=t, f2(t)=1+it.Atunci/integraldisplayfdµ=/integraldisplayf1dµ1+/integraldisplayf2dµ2.82

Dar/integraldisplayf1dµ1=/integraldisplay[0,1]td(λ+iδ1)=/integraldisplay[0,1]td(λ−iδ1)=/integraldisplay10tdt−it|t=1=12−i¸s i/integraldisplayf2dµ2=/integraldisplay[0,1](1 +it)d(δ0+iλ)=/integraldisplay[0,1](1 +it)d(δ0−iλ)==( 1+it)|t=0−i/integraldisplay10(1 +it)dt=1−i(1 +i2)=32−i.ˆIn ﬁnefdµ=2−2i./squarePentru a extinde (4.8) la cazul spat ¸iilor Hilbert inﬁnit dimensionale, vom aveanevoie de cˆ ateva fapte preliminare.Pentru ˆ ınceput vom considera unsubspat ¸iu inchisY⊂X. Vom nota cuπY:X→Xproiect ¸ia ortogonal˘ a corespunz˘ atoare. Pentru oricef∈C(T,X)¸ s iµ∈cabv(T,X), avemπY◦f∈C(T,X),/bardblπY◦f/bardbl∞≤/bardblf/bardbl∞πY◦µ∈cabv(T,X),/bardblπY◦µ/bardbl≤/bardblµ/bardbl,ˆ ıntrucˆ at/bardblπY(x)/bardbl≤/bardblx/bardbl,oricare ar ﬁx∈X.Atunci, ˆ ın una din ipotezelef(T)⊂Ysauµ(BT)⊂Y,vom avea/integraldisplayfdµ=/integraldisplay(πY◦f)d(πY◦µ).(4.9)ˆIn consecint ¸˘ a, dac˘ aY⊂Xeste un subspat ¸iu inchis al c˘ arui complement ortog-onal esteZ⊂X,iarf∈C(T,X),µ∈cabv(T,X) sunt astfel ˆ ıncˆ atf(T)⊂Y¸s iµ(BT)⊂Z,vom avea/integraldisplayfdµ=0.(4.10)/squareExtindem formula (4.8).Dac˘ aXeste un spat ¸iu Hilbert, considerˆ and o baz˘ a ortonormal˘ a (ei)i∈Ia luiX,putem identiﬁca oricef∈C(T.X) prinf≡(fi)i∈I⊂C(K) ¸ si oriceµ∈cabv(T,X)prinµ≡(µ)i∈I⊂cabv(K), cu explicat ¸iile urm˘ atoare:a) Pentru oricef∈C(X)=C(T,X) ¸ si oricet∈T,f(t)=Sifi(t)ei;b) Pentru oriceµ∈cabv(X) ¸ si oriceA∈BT,µ(A)=Siµi(A)ei(familii sumabile).Se poate demonstra atunci c˘ a/integraldisplayfdµ=Si/integraldisplayfidµi(integrala ﬁind calculat˘ a ˆ ındeﬁnit ¸ia actual˘ a).83

4.2 Norme ¸ si topologii pe anumite spat ¸ii de m˘ asuriRezultatele din acest paragraf au ap˘ arut ˆ ın articolul [17]. Le prezent˘ am, pentrucompletitudine, f˘ ar˘ a demonstrat ¸ii.4.2.1 Funct ¸ii lipschitzieneA.De acum ˆ ınainte, prinT,vom desemna un spat ¸iu metric compact. Am v˘ azut c˘ apecabv(T,X) se poate considera norma/bardblµ/bardblvar=|µ|(T)¸ si, echipat cu aceast˘ a norm˘ a, care genereaz˘ a topologiaτ(var, T, X) spat ¸iulcabv(T,X)devine un spat ¸iu Banach.ˆIn continuare vom ˆ ınzestra spat ¸iul de m˘ asuricabv(T,X) cu o nou˘ a norm˘ a.ˆInacest scop vom reaminti cˆ ateva fapte cunoscute ¸ si vom introduce o serie de notat ¸ii.Dac˘ a (E,dE)¸ s i(F,dF) sunt dou˘ a spat ¸ii metrice, o funct ¸ief:E→Fse nume¸ stefunct ¸ie Lipschitz(vom spune c˘ afeste oLfunct ¸ie) dac˘ a exist˘ a un num˘ arM>0astfel ˆ ıncˆ atdF(f(x),f(y))≤MdE(x, y),pentru oricex, y∈E.Cel mai mic astfel de num˘ arMse nume¸ ste constanta Lipschitz a luif¸ si este desemnat˘ a prin/bardblf/bardblL,ceea ce ˆ ınseamn˘ a c˘ a/bardblf/bardblL:= supx/negationslash=ydF(f(x),f(y))dE(x, y)(supremumul este calculat ˆ ın raport cu totix, y∈E, x/negationslash=y).ˆIn cazulE=F, dE=dF¸s i/bardblf/bardblL<1,vom spune cafeste o contractie, iar/bardblf/bardblLpoarta numele de factorul de contractieal luif.Reamintim si faptul ca ˆ ın cazulˆ ın care (E,dE) este un spat ¸iu metric complet (e.g.Eeste o submult ¸ime inchisaE⊂Y,unde (Y,dY) este un spat ¸iu metric complet ¸ sidE(x, y)=dY(x, y),pentruoricex, y∈E)¸ s if:E→Eeste o contractie, atunci exista un punct ﬁx unicx∗pentruf(i.e.x∗∈E¸s if(x∗)=x∗) care poate ﬁ obtinut dupa cum urmeaza:x∗= limnfn(x0),undex0∈Epoate ﬁ ales ˆ ın mod arbitrar, iarfn=f◦f◦…◦f/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft/bracehtipuprightnt i m e s(Principiulcontract ¸iei al lui Banach – Caccioppoli – Picard).AvemL(T,X)=BL(T,X)⊂C(T,X)84

undeL(T,X)={f:T→X|feste oLfunct ¸ie},BL(T,X)={f:T→X|feste oLfunct ¸ie m˘ arginit˘ a},iar spat ¸iul vectorialBL(T,X) este seminormat dac˘ a este ˆ ınzestrat cu seminorma/bardbl·/bardblL(/bardblf/bardblL=0⇐⇒feste constant˘ a).PeBL(T,X) se poate considera norma/bardblf/bardblBLdef.=/bardblf/bardbl∞+/bardblf/bardblL,iar bila unitate ˆ ınchis˘ a ˆ ın raport cu aceast˘ a norm˘ a va ﬁ desemnat˘ a prinBL1(T,X) :={f∈BL(T,X)|/bardblf/bardblBL≤1}.FieE,Fdou˘ a spat ¸ii normate. AtunciL(E,F)={V:E→F|Veste liniar ¸ si Lipschitz},iar pentru oriceV∈L(E,F)v o ma v e a/bardblV/bardbl0=/bardblV/bardblL./square4.2.2 Scheme de contract ¸ieS˘ a consider˘ am un spat ¸iu vectorial (pesteK)E. FieE1⊂Eun subspat ¸iu vectorialal s˘ au care s˘ a ﬁe ¸ si normat, i.e. avem un spat ¸iu normat (E1,/bardbl·/bardbl).Vom considera ¸ si o mult ¸ime nevid˘ aA⊂Eastfel ˆ ıncˆ atA−A={x−y|x∈A, y∈A}⊂E1.ˆIn acest fel se obt ¸ine un spat ¸iu metric (A, δ), undeδ(x, y)=/bardblx−y/bardbl,pentru oricex, yˆ ınA.S˘ a consider˘ am ¸ si un operator liniarH:E→Eastfel ˆ ıncˆ atH(E1)⊂E1.Vomnota cuH1operatorulH1:E1→E1, deﬁnit prinH1(x)=H(x). Vom presupune ¸ sic˘ aH1∈L(E1), i.e.H1este continuu.ˆIn ﬁne, ﬁey∈E¸ si s˘ a deﬁnimP:A→E,viaP(x)=H(x)+y. Vom presupune c˘ aP(A)⊂A¸ si vom scrieπpentru a desemnaaplicat ¸iaπ:A→Acare este dat˘ a prinπ(x)=P(x).Atunciπeste o aplicat ¸ie lipschitzian˘ a, cu constanta Lipschitz constant/bardblπ/bardblL≤/bardblH1/bardbl0.ˆIntr-adev˘ ar, pentru oricex/prime,x/prime/primeˆ ınA,a v e mπ(x/prime),π(x/prime/prime)∈A¸s i85

δ(π(x/prime),π(x/prime/prime)) =/bardblπ(x/prime)−π(x/prime/prime)/bardbl=/bardblP(x/prime)−P(x/prime/prime)/bardbl==/bardblH(x/prime)−H(x/prime/prime)/bardbl=/bardblH(x/prime−x/prime/prime)/bardbl=/bardblH1(x/prime−x/prime/prime)/bardbl≤≤/bardblH1/bardbl0/bardblx/prime−x/prime/prime/bardbl=/bardblH1/bardbl0δ(x/prime,x/prime/prime).Vom remarca ¸ si faptul c˘ a, ˆ ın cazul/bardblH1/bardbl0<1, aplicat ¸iaπeste o contract ¸ie, cufactorul de contract ¸ie≤/bardblH1/bardbl0. CazulE1=Eeste mult mai simplu.Aceasta ,,Schem˘ a de Contract ¸ie“ va ﬁ utilizat˘ a, ulterior, ˆ ın mai multe rˆ anduri./square4.2.3 Norme ¸ si topologii pe anumite spat ¸ii de m˘ asuriTeorema 4.2.1.Oricare ar ﬁµ∈cabv(T,X), avem/bardblµ/bardblMK≤/bardblµ/bardblvarunde/bardblµ/bardblMKdef.= sup{/integraldisplayfdµ|f∈BL1(T,X)}.ˆIn plus, aplicat ¸iaN:cabv(T,X)→R+,dat˘ a prinN(µ) :=/bardblµ/bardblMK,este o norm˘ a pecabv(T,X)./squareDeﬁnit ¸ia 4.2.2.Norma/bardbl·/bardblMKpoart˘ a numele denorma Monge-Kantorovici.Topologia generat˘ a de norma/bardbl·/bardblMKpecabv(T,X) va ﬁ notat˘ a prinT(MK,X)(topologia Monge-Kantorovici). Restrict ¸ia acesteia laBa(X) :={µ∈cabv(T,X)|/bardblµ/bardblvar≤a}va ﬁ notat˘ a cuT(MK,X,a).Conform cu deﬁnit ¸ia, pentru oriceµ∈cabv(T,X) ¸ si oricef∈BL(T,X)a v e m/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/bardblµ/bardblMK/bardblf/bardblBL(4.11)Pentru un ¸ sir (µn)n⊂cabv(T,X)¸ s iµ∈cabv(T,X), vom utiliza notat ¸iaµnMK→nµ,pentru a desemna faptul c˘ aµnconverge laµˆ ın topologia Monge-KantoroviciT(MK,X)./square86

Remarc˘ a.Inegalitatea (adev˘ arat˘ a pentru oriceµ∈cabv(T,X))/bardblµ/bardblMK≤/bardblµ/bardblvararat˘ a c˘ aT(MK,X)⊂T(var, X) (topologia variat ¸ional˘ a este mai ﬁn˘ a decˆ at topolo-gia Monge-Kantorovici).ˆIn general vorbind, incluziunea mai sus speciﬁcat˘ a, este strict˘ a, i.e. normele/bardbl·/bardblMK¸s i/bardbl·/bardblvarnu sunt echivalente.Vom vedea acest lucru ˆ ın cele ce urmeaz˘ a. Pentru ˆ ınceput vom sublinia faptulc˘ a pentru un spat ¸iu metric compact (T,d), are loc echivalent ¸a:Teste inﬁnit⇐⇒Tare un punct de acumulare.Se demonstreaz˘ a urm˘ atorul rezultat:Teorema 4.2.3.S˘ a presupunem c˘ aTeste inﬁnit˘ a. Atunci incluziuneaT(MK,X)⊂T(var, X)este strict˘ a./squareObservat ¸ii.1.Este clar c˘ a dac˘ aTeste ﬁnit˘ a are loc egalitateaT(var, K)=T(MK,K) ˆ ıntrucˆ atˆ ın acest caz spat ¸iulcabv(T,K) este ﬁnit dimensional.2.Dac˘ aTeste inﬁnit˘ a spat ¸iul normat (cabv(T,X),/bardbl·/bardblMK) nu poate ﬁ un spat ¸iuBanach.ˆIn caz contrar, din inegalitatea/bardbl·/bardblMK≤ /bardbl·/bardblvar, ar rezulta egalitateaT(var, X)=T(MK,X), ceea ce este fals, dup˘ a cum am v˘ azut mai ˆ ınainte.3.ˆIn cazul cˆ andTeste inﬁnit˘ a, neechivalent ¸a normelor/bardbl·/bardblvar¸s i/bardbl·/bardblMKimplic˘ aexistent ¸a unui ¸ sir (µn)n⊂cabv(T,X) astfel ˆ ıncˆ at/bardblµn/bardblMK=1¸ s i/bardblµn/bardblvar>n ,pentru oricen.4.ˆIntrucˆ atT(MK,X)⊂T(var, X), are loc implicat ¸ia:µn→nµ(inT(var, X)) =⇒µnMK→nµ.S˘ a remarc˘ am c˘ a implicat ¸ia invers˘ a este, ˆ ın general, fals˘ a (ˆ ın caz contrar ar rezultafaptul c˘ aT(var, X)=T(MK,X)).87

De exemplu, dac˘ aT=[ 0,1],X=R,s˘ a admitem c˘ aδ1/nMK→nδ0.ˆIn acela¸ si timpavemδ1/n((0,1]) = 1,pentru oricen, pe cˆ andδ0((0,1]) = 0.A¸ sadar aﬁrmat ¸iaδ1/n→nδ0ˆ ınT(var,R), i.e./vextenddouble/vextenddouble/vextenddoubleδ1/n−δ0/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble→n0 este fals˘ a, ˆ ıntrucˆ atδ1/n→nδ0ˆ ınT(var,R) implic˘ a convergent ¸a punctual˘ a (δ1/n(A)→nδ0(A),pentruoriceA∈BT), ceea ce nu este cazul.ˆIn consecint ¸˘ a,convergent ¸a ˆ ın topologia Monge-Kantorovici nu implic˘ a conver-gent ¸a punctuala.Ulterior vom pune ˆ ın evident ¸˘ a urm˘ atorul fapt care explic˘ a totul:convergent ¸aˆ ın topologia Monge-Kantorovici nu ˆ ınseamn˘ a altceva decˆ at convergent ¸aslab˘ a∗pentru ¸ siruri m˘ arginite.B.ˆIn continuare vom introduce topologiaslab*pecabv(T,X). Dac˘ a avemˆ ın vedere izomorﬁsmul ˆ ıntrecabv(T,X)¸ s iC(T,X)/prime, putem prezenta topologia ˆ ındiscut ¸ie dup˘ a cum urmeaz˘ a.Deﬁnit ¸ia 4.2.4.Topologia slab*pecabv(T,X), desemnat˘ a prinT(w∗,X), estetopologia local convex˘ a (separat˘ a ) pecabv(T,X) deﬁnit˘ a de familia de seminorme(pf)f∈C(T,X), unde, oricare ar ﬁf∈C(T,X),pf:cabv(T,X)→R+este dat˘ a prinpf(µ)=/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle.Pentrua>0, topologia peBa(X), indus˘ a de topologiaT(w∗,X),va ﬁ desem-nat˘ a prinT(w∗,X,a).ˆIn consecint ¸˘ a, pentru oriceµ∈cabv(T,X), o baz˘ a de vecin˘ at˘ at ¸i pentruµesteformat˘ a din toate mult ¸imile de formaV(µ;g1,g2,…,gm;ε)=={ν∈cabv(T,X)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplaygid(µ−ν)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle<ε ,pentrui=1,2, …, m}(se iau ˆ ın considerare tot ¸i posibiliiε>0, tot ¸im∈N¸s i t o t¸ igi∈C(T,X)).Aplicˆ and teorema lui Alaoglu deducem c˘ a pentru oricea>0, mult ¸imeaBa(X)esteslab∗compact˘ a (i.e. compact˘ a ˆ ın topologiaT(w∗,X).Pentru un ¸ sir (µm)m⊂cabv(T,X)¸ s ip e n t r uµ∈cabv(T,X), vom notaµmw∗→mµpentru a desemna faptul c˘ a (µm)mconverge laµ,ˆ ınT(w∗,X). (Vom spune c˘ a (µm)mconvergeslab∗laµsau ca (µm)mesteslab∗convergent). Aceasta ˆ ınseamn˘ a c˘ alimm/integraldisplayfdµm=/integraldisplayfdµ,88

pentru oricef∈C(T,X).Putem demonstra c˘ a pentru oricen∈N, spat ¸iulC(T,Kn) este separabil. Maiprecis, exist˘ a un ¸ sir (fm)m⊂BL(T,Kn) astfel ˆ ıncˆ at{fm|m∈N}este dens ˆ ınC(T,Kn)(vom spune c˘ a (fm)meste un¸ sir densC(T,Kn)).Acest fapt are dou˘ a consecint ¸e importante.Prima Consecint ¸˘ a.Fie (fm)m⊂BL(T,Kn) un ¸ sir dens ˆ ınC(T,Kn).Atunci pentru oricea>0, dac˘ a (µp)p⊂Ba(Kn)¸ s iµ∈Ba(Kn), vom aveaechivalent ¸a:µpw∗→pµ⇔/integraldisplayfmdµp→p/integraldisplayfmdµoricare ar ﬁm∈N.A doua Consecint ¸˘ a(Metrizabilitatea topologieiT(w∗,Kn,a) a luiBa(Kn)).Pentru oricea>0 ¸ si oricen∈N, topologiaT(w∗,Kn,a) este metrizabil˘ a.Mult ¸imeaBa(Kn) este compact˘ a, ca submult ¸ime a spat ¸iului topologiccabv(T,Kn),ˆ ınzestrat cu topologiaT(w∗,Kn).ˆIn consecint ¸˘ a,Ba(Kn) considerat ca spat ¸iu metric (ˆ ın raport cu oricare dintremetricele care genereaz˘ a topologiaT(w∗,Kn,a)), este un spat ¸iu metric complet.Acest rezultat este crucial pentru restul lucr˘ arii.Faptul c˘ a topologiaT(w∗,Kn,a) este metrizabil˘ a se deduce din separabilitatealuiC(T,Kn) ¸ si din teoria general˘ a (cf.[22], vol. I, V 5.1., p 426).Vom avea nevoie de urm˘ atoareaTeorema 4.2.5.(Teorema Arzela-Ascoli). Fien∈N. Submult ¸imeaBL1(T,Kn)este relativ compact˘ a ˆ ınC(T,Kn).Vomˆ ıncepe investigarea conexiunii dintre topologiileT(w∗,T,X)¸ s iT(MK,T,X).Teorema 4.2.6.FieTun spat ¸iu metric compact,Xun spat ¸iu Hilbert pesteK¸ sia>0.Se consider˘ a un ¸ sir(µm)m≥1⊂Ba(X)¸ si unµ∈Ba(X).Atunci dac˘ aµmMK→mµvom aveaµmw∗→mµ./squareˆIn continuare vom r˘ aspunde la ˆ ıntrebarea: ˆ ın ce condit ¸ii este adev˘ arat˘ a ¸ si recip-roca acestui rezultat ?Vom demonstra:Teorema 4.2.7.FieTun spat ¸iu metric compact,Xun spat ¸iu Hilbert (pesteK)ﬁnit dimensional¸ sia>0.Se consider˘ a un ¸ sir(µm)m≥1⊂Ba(X)¸ si unµ∈Ba(X).ˆIn aceste condit ¸ii dac˘ aµmw∗→mµatunciµmMK→mµ.89

Remarc˘ a.Se construiesc, destul de simplu, contraexemple care s˘ a arate c˘ a, ˆ ın cazulˆ ın care dimKX=∞,aﬁrmat ¸ia din enunt ¸ nu mai este adev˘ arat˘ a./squareCorolar 4.2.8.(Coincident ¸aconvergent ¸ei slabe*cuconvergent ¸a Monge-Kantorovich).FieTun spat ¸iu metric compact,a>0¸ siXun spat ¸iu Hilbertﬁnitdimensional.Atunci, pentru un ¸ sir(µm)m⊂Ba(X)¸ siµ∈Ba(X), urm˘ atoarele aﬁrmat ¸ii suntechivalente:1.µmMK→mµ2.µmw∗→mµS˘ a interpret˘ am ultimele rezultate.Vom alege ˆ ın mod arbitrara>0¸ s in∈N. Pe bila ˆ ınchis˘ aBa(Kn)a v e murm˘ atoarele dou˘ a topologii metrizabile:T(MK,Kn,a)¸ s iT(w∗,Kn,a) (a se vedeaa doua consecint ¸˘ a).Corolarul 4.2.8 aﬁrm˘ a c˘ a ˆ ın cele dou˘ a topologii ment ¸ionate avem acelea¸ si siruriconvergente.ˆIntrucˆ at topologiile ˆ ın chestiune sunt ¸ si metrizabile deducem c˘ a acestetopologii vor coincide:T(MK,Kn,a)=T(w∗,Kn,a)Utilizˆ and ˆ ınc˘ a o dat˘ a a doua consecint ¸˘ a, va rezulta ¸ si faptul c˘ a bilaBa(Kn)este compact˘ a ˆ ın topologiaT(w∗,Kn,a), deci ¸ si ˆ ın topologiaT(MK,Kn,a). Prinurmare bilaBa(Kn) va ﬁ un spat ¸iu metric complet ˆ ın raport cu metrica indus˘ a denorma/bardbl·/bardblMK.A¸ sadar am obt ¸inutTeorema 4.2.9.Pentru oricea>0¸ si oricen∈N, bilaBa(Kn), ˆ ınzestrata cumetrica indus˘ a de c˘ atre norma Monge-Kantorovici/bardbl·/bardblMK, este un spat ¸iu metriccompact, deci ¸ si un spat ¸iu metric complet.Este natural˘ a ˆ ıntrebarea dac˘ a ultimul rezultat r˘ amˆ ane valabil ¸ si ˆ ın cazul ˆ ın careKnse ˆ ınlocuie¸ ste cu un spat ¸iu Hilbert oarecare (pesteK). Din p˘ acate r˘ aspunsuleste ,,NU“, chiar ¸ si pentru spat ¸ii Hilbert inﬁnit dimensionale, separabile.C.ˆIn aceast˘ a ultim˘ a sect ¸iune a paragrafului dedicat prezent˘ arii spat ¸iilor pe carele vom utiliza ˆ ın lucrarea noastra, introducem, pe un subspat ¸iu al luicabv(T,X),onou˘ a norm˘ a, strˆ ans legat˘ a de norma Monge-Kantorovici, deja prezentat˘ a.90

Subspat ¸iul ˆ ın chestiune va ﬁcabv(T,X; 0) :={µ∈cabv(T,X)|µ(T)=0}.Este evident faptul c˘ acabv(T,X; 0) este un subspat ¸iu ˆ ınchis ˆ ıncabv(T,X).De fapt, avem de-a face cu o proprietate mai tare, ¸ si anume se poate demonstraurm˘ atorul:Rezultat 1.Subspat ¸iulcabv(T,X; 0) al luicabv(T,X)e s t eslab∗inchis (i.e. esteinchis ˆ ın topologiaT(w∗,X)).ˆIn continuare vom deﬁniL1(T,X) :={f∈L(T,X)|/bardblf/bardblL≤1}.ˆIntrucˆ at/bardbl·/bardblL≤ /bardbl·/bardblBL,a v e mBL1(T,X)⊂L1(T,X).(∗∗)Pentru unµ∈cabv(T,X; 0), arbitrar, vom deﬁni/bardblµ/bardbl∗MK:= sup{/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle|f∈L1(T,X)}.A¸ sadar/bardblµ/bardbl∗MK= sup{/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle|/bardblf/bardblL≤1}.Propozit ¸ia 4.2.10.Oricare ar ﬁµ∈cabv(T,X;0 ), avem/bardblµ/bardbl∗MK≤/bardblµ/bardblvardiam(T)(4.12)Remarc˘ a.Nu este posibil˘ a extinderea deﬁnit ¸iei lui/bardbl·/bardbl∗MK,,dincolo“ de spat ¸iulcabv(T,X;0 ).A¸ sadarcabv(T,X; 0) este domeniul natural de deﬁnit ¸ie pentru/bardbl·/bardbl∗MK.Pentru a ﬁ mai preci¸ si, ﬁep:cabv(T,X)→R+o asemenea extensie:p(µ) = sup{/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle|/bardblf/bardblL≤1}.Rezultatul 2.1)peste o seminorm˘ a extins˘ a, i.e. pentru oriceµ, νˆ ıncabv(T,X) ¸ si oriceα∈Kavemp(µ+ν)≤p(µ)+p(ν)p(αµ)=|α|p(µ)(cu convent ¸ia 0·∞=0 ).2)p(µ)<∞⇐ ⇒µ(T) = 0 (i.e.µ∈cabv(T,X;0 ) ) .91

Deﬁnit ¸ia 4.2.11.Norma/bardbl·/bardbl∗MKpecabv(T,X; 0) poart˘ a numele denorma Monge-Kantorovici modiﬁcat˘ a.Observat ¸ii.1.Unii autori utilizeaz˘ a termenul de ,,norma Monge-Rubinstein“ ˆ ın locul terme-nilor ,,norma Monge-Kantorovich“ ¸ si ,,norma Monge-Kantorovici modiﬁcat˘ a“,preferat ¸i de noi.ˆIn acela¸ si spirit, anumit ¸i autori folosesc termenul ,,distant ¸a Monge-Rubinstein“ˆ ınlocul termenilor ,,distant ¸a Monge-Kantorovici“ ¸ si ,,distant ¸a Monge-Kantorovicimodiﬁcat˘ a“ preferat ¸i de noi (a se vedea ulterior).2.,,Extinderea“ deﬁnit ¸iei lui/bardbl·/bardbl∗MKla ˆ ıntregcabv(T,X) este periculoas˘ a ˆ ıntrucˆ atse poate obt ¸ine rezultatul∞, dup˘ a cum am v˘ azut.Pentru a ﬁ mai explicit ¸i, notˆ and/bardblµ/bardbl∗MK= sup{/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle|f∈L1(T,X)},vom obt ¸ine/bardblµ/bardbl∗MK=∞,pentru un anumeµ∈cabv(T,X).De exemplu, alegˆ andT=[ 0,1],X=K,µ:BT→R+m˘ asura Lebesgue, pentruorice funct ¸ie constant˘ af≡a>0 (i.e.f:[ 0,1]→K,f(t)=a) vom obt ¸ine:/integraldisplayfdµ=a¸ si deci/bardblµ/bardbl∗MK=∞.A¸ sadar necesitatea utiliz˘ arii spat ¸iului mai miccabv(T,X; 0) apare ˆ ın mod clar(fapt deja evident ¸iat prinRezultatul 2).3.A¸ sadar, pentru oriceµ∈cabv(T,X; 0) ¸ si oricef∈L(T,X)=BL(T,X), vomavea/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdµ/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/bardblf/bardblL/bardblµ/bardbl∗MKAﬁrmat ¸ia este ˆ ın mod evident adev˘ arat˘ a dac˘ a/bardblf/bardblL= 0, i.e.feste o funct ¸ieconstant˘ a, ˆ ıntrucˆ atµ(T)=0 .ˆIn cazul/bardblf/bardblL>0, funct ¸iag:=1/bardblf/bardblLfeste dinL1(T,X)¸ s i|/integraltextgdµ|≤/bardblµ/bardbl∗MK.Continuarea este direct˘ a !92

Urm˘ atorul rezultat este foarte important.Teorema 4.2.12.Normele/bardbl·/bardblMK¸ si/bardbl·/bardbl∗MKsunt echivalente pecabv(T,X;0 ). Maiprecis, pentru oriceµ∈cabv(T,X;0 ), avem/bardblµ/bardblMK≤/bardblµ/bardbl∗MK≤/bardblµ/bardblMK(diam(T)+1 ).(4.13)Remarc˘ a.1. Pentru un ¸ sir (µn)n⊂cabv(T,X;0 ) ¸ s i p e n t r uµ∈cabv(T,X;0 ) ,vom scrieµnMK∗→nµpentru a desemna faptul c˘ a (µn)nconverge laµˆ ın distant ¸a indus˘ a de norma/bardbl·/bardbl∗MK. Este de ret ¸inut c˘ a aceast˘ a notat ¸ie nu este necesar˘ a (conform teoremei4.2.12)µnMK∗→nµ⇔µnMK→nµ1.Relat ¸iile (4.12) ¸ si (4.13) descriu ˆ ın mod satisf˘ ac˘ ator raporturile dintre normele/bardbl·/bardblvar,/bardbl·/bardblMK¸s i/bardbl·/bardbl∗MK.Deﬁnit ¸ia 4.2.13.S˘ a consider˘ am o mult ¸ime nevid˘ aA⊂cabv(T,X).1.Distant ¸a variat ¸ional˘ apeAeste dat˘ a prind/bardbl·/bardbl(µ, ν)def=/bardblµ−ν/bardbl,pentruµ, ν∈A.2.Distant ¸a Monge-KantorovicipeAeste dat˘ a prindMK(µ, ν)def=/bardblµ−ν/bardblMK,pentruµ, ν∈A.3.S˘ a presupunem, ˆ ın mod suplimentar, c˘ aA⊂cabv(T,X) are proprietatea c˘ aµ−ν∈cabv(X,0),pentru oriceµ, ν∈A.Distant ¸a Monge-Kantorovici modiﬁcat˘ apeAeste dat˘ a prind∗MK(µ, ν)def=/bardblµ−ν/bardbl∗MK.Vom utiliza aceast˘ a din urm˘ a distant ¸a ˆ ın urm˘ atorul context:Pentru un vector oarecarev∈Xdeﬁnimcabv(T,X;v)={µ∈cabv(T,X)|µ(T)=v}ˆIn cazulv= 0, obt ¸inemcabv(T,X; 0), ¸ si prin urmare ,,noua“ notat ¸ie va ﬁ com-patibil˘ a cu cea ,,veche“ .93

ˆIn mod evidentδtv∈cabv(T,X;v) pentru oricet∈T.ˆIn continuare s˘ a consider˘ am∅/negationslash=A⊂cabv(T,X;v). Atunciµ−ν∈cabv(T,X;0 ),oricare ar ﬁµ, ν∈A.Prin urmare orice mult ¸ime nevid˘ aA⊂cabv(T,X;v) poate ﬁ metrizat˘ a cu me-tricad∗MK.Fiea>0¸ s iv∈X. Vom spune c˘ aa¸s ivsuntcompatibiledac˘ aa≥/bardblv/bardbl.ˆIn acestcazBa(X,v)/negationslash=∅, ˆ ıntrucˆ atδtv∈Ba(X,v),pentru oricet∈T(/bardblδtv/bardblvar=/bardblv/bardbl),undeBa(X,v) :=Ba(X)∩cabv(T,X;v).ˆIn general noi vom lucra cu mult ¸imiA⊂Ba(X,v).Considerat ¸iile precedente arat˘ a c˘ a peBa(X,v) se poate considera distant ¸a Monge-Kantorovici modiﬁcat˘ a dat˘ a prind∗MK(µ, ν)=/bardblµ−ν/bardbl∗MK¸ si distant ¸a Monge-Kantorovici dat˘ a prindMK(µ, ν)=/bardblµ−ν/bardblMK.Aceste dou˘ a distant ¸e sunt echivalente. Mai precis, pentru oriceµ, ν∈Ba(X,v)avem:dMK(µ, ν)≤d∗MK(µ, ν)≤dMK(µ, ν)(diam(T)+1 )Teorema 4.2.14.Fiea>0¸ siv∈Xcompatibile (/bardblv/bardbl≤a). Atunci1.Mult ¸imeaBa(X,v)esteslab∗ˆ ınchisa ˆ ınBa(X); prin urmareBa(X,v)esteslab* compact˘ a.PeBa(X,v)avem metricele echivalentedMK¸ sid∗MK.2.Pentrun∈N¸ siX=Knavem urm˘ atorul rezultat ˆ suplimentar: bila inchis˘ aBa(Kn),echipat˘ a cu una dintre metricele echivalentedMKsaud∗MK,este com-pact˘ a, prin urmare va ﬁ un spat ¸iu metric complet (topologia sa ﬁind egal˘ a cutopologiaslab˘ a*).3.ˆIn cazul particular ˆ ın careK=R,n=1¸ siv≥0, se poate considera mult ¸imeaB+a(R,v)=Ba(R,v)∩cabv+(T,R)undecabv+(T,R)={µ∈cabv(T,R)|µ≥0}.94

AtunciB+a(R,v), echipat˘ a cu una dintre metricele echivalentedMKsaud∗MKestecompact˘ a, prin urmare va ﬁ un spat ¸iu metric complet (topologia sa ﬁind egal˘ a cutopologiaslab˘ a*).Pentrua=v=1,B+1(R,1) =P(T)este exact mult ¸imea probabilit˘ at ¸ilor peBT.4.2.4 Considerat ¸ii suplimentare privind spat ¸iile de funct ¸ii vectoriale con-tinue ¸ si norma Monge-KantorovichA.ˆIn acest subparagraf prezent˘ am rezultate (probabil originale) privind densitatealuiBL(T,X) ˆ ınC(T,X) ¸ si separabilitatea luiC(T,X). Vom vedea c˘ a putem lucracu spat ¸iiXinﬁnit dimensionale.Ca de obicei, vom considera un spat ¸iu metric compact (T,d) ¸ si un spat ¸iu HilbertXpesteK, echipat cu produsul scalar (x, y) ¸ si norma/bardbl·/bardbl. Not˘ am cuC(T,X)spat ¸iul Banach al tuturor funct ¸iilor continuef:T→X, echipat cu norma uzual˘ aa convergent ¸ei uniforme:/bardblf/bardbl∞=sup{/bardblf(t)/bardbl|t∈T}Teorema 4.2.15.FieTun spat ¸iu metric compact ¸ siXun spat ¸iu Hilbert pesteK.AtunciBL(T,X) :=BL(X)este dens ˆ ınC(T,X) :=C(X),dac˘ a ultimul spat ¸iu seˆ ınzestreaz˘ a cu norma natural˘ a/bardbl·/bardbl∞;a¸ sadar pentru oricef∈C(T,X)¸ si oriceε>0exist˘ agε∈BL(T,X)astfel ˆ ıncˆ at/bardblf−gε/bardbl∞<ε .ˆIn particular, dac˘ aXeste separabil, rezult˘ a c˘ a ¸ siC(T,X)este separabil.Demonstrat ¸ie.Pasul 1.CazulX=K.ˆIn acest caz demonstat ¸ia se obt ¸ine din teorema Stone-Weierstrass,ca o aplicat ¸ie direct˘ a a faptului c˘ a spat ¸iulBL(T,K) este o algebr˘ a de funct ¸ii cupropriet˘ at ¸i adecvate. Mai mult, exist˘ a un ¸ sir (fm)m≥1⊂BL(T,K) astfel ˆ ıncˆ atmult ¸imeaA={fm|m∈N∗}este dens˘ a ˆ ınC(T,K).Pentru detalii a se vedea [47].Pasul 2.CazulX=Kn.Conform pasului anterior exist˘ a o mult ¸ime numarabil˘ aA={gm|m∈N∗}⊂BL(T,K)care s˘ a ﬁe dens˘ a ˆ ınC(T,K).Atunci mult ¸imeaAn=A×A×…×A/bracehtipupleft/bracehtipdownright/bracehtipdownleft/bracehtipuprightnfactori⊂BL(T,Kn)este numarabil˘ a ¸ si dens˘ a ˆ ınC(T,Kn).ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ af∈Anﬁef1,…,fn∈A95

astfel ˆ ıncˆ atf=(f,…,fn). Rezulta c˘ a/bardblf(t/prime)−f(t/prime/prime)/bardblKn≤n/summationdisplayj=1|fj(t/prime)−fj(t/prime/prime)|≤(n/summationdisplayj=1/bardblfj/bardblBL)dT(t/prime,t/prime/prime),∀t/prime,t/prime/prime∈T.Decif∈BL(T,Kn),adic˘ a are loc incluziuneaAn⊂BL(T,Kn).Num˘ arabilitatealuiAneste evident˘ a.ˆIn ﬁne, ﬁef∈C(T,Kn).ˆIntrucˆ at pentru orice 1≤j≤n,exist˘ a un ¸ sir (gmj)m≥1⊂BL(T,K) astfel ˆ ıncˆ at/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoublegmj−fj/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoubleBL(T,K)→m→∞0.Atunci, pentrugm:= (gm1,…,gmn)∈Anvom avea:/bardblgm−f/bardblBL(T,Kn)≤n/summationdisplayj=1/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoublegmj−fj/vextenddouble/vextenddouble/vextenddoubleBL(T,K)→m→∞0.Pasul 3.CazulXspat ¸iu Hilbert ﬁnit dimensional. Fie dimKX=n∈N∗. Se ¸ stie c˘ a ˆ ınacest cazXeste izomorf izometric cuKn.Fieϕ:Kn→Xun asemenea izomorﬁsmizometric. Not˘ am cu Φ :C(T,Kn)→C(T,X) izomorﬁsmul izometric de spat ¸iiBanach indus de Φ.Atunci Φ(BL(T,Kn)) =BL(T,X) ¸ si cumBL(T,Kn) este densˆ ınC(T,Kn) deducem c˘ aBL(T,X) este dens ˆ ınC(T,X).Pasul 4.CazulXspat ¸iu Hilbert separabil.ˆIn acest caz exist˘ a (ei)i∈N∗o baza ortonormat˘ apentruX.ˆInseamna c˘ a exist˘ aϕ:l2→Xun izomorﬁsm canonic. S˘ a not˘ am cuΦ:C(T,l2)→C(T,X)izomorﬁsmul izometric de spat ¸ii Banach indus deϕ.Cum Φ(BL(T,l2)) =BL(T,X) va ﬁ suﬁcient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ aBL(T,l2) este densˆ ınC(T,l2).Pentrun≥1 not˘ am, ad-hoc,C(n)(T,l2) :={f∈C(T,l2)|/angbracketleftf(t),ek/angbracketright=0,∀t∈T,∀k≥n+1}¸s iBL(n)(T,l2)=BL(T,l2)∩C(n)(T,l2).De asemenea, vom utiliza ¸ si notat ¸iile:C0(T,l2)=/uniondisplayn≥1C(n)(T,l2),96

BL0(T,l2)=/uniondisplayn≥1BL(n)(T,l2).ˆIntrucˆ atC(n)(T,l2) este izomorf izometric cuC(T,Kn),iarBL(T,Kn) este densˆ ınC(T,Kn) deducem c˘ aBL(n)(T,l2)/bardbl·/bardbl∞⊃C(n)(T,l2),∀n≥1.Fief∈C(T,l2)s iε>0.Avem:f(t)=/summationdisplayk≥1fk(t)ek,∀t∈T,undefk(t) :=/angbracketleftf(t),ek/angbracketright.Se ¸ stie c˘ a/bardblf(t)/bardbl2=/summationdisplayk≥1|fk(t)|2,t∈T,convergent ¸a ﬁind, conform teoremei lui Dini, uniform˘ a peT.Prin urmare exist˘ anε≥1 astfel ˆ ıncˆ at:/bardblf(t)−fε(t)/bardbl2=∞/summationdisplayk=nε+1|fk(t)|2<ε24,∀t∈T,undefε(t)=nε/summationdisplayk=1fk(t)ek,t∈T.ˆIntrucˆ at se poate considera c˘ afε∈C(T,Knε) rezult˘ a c˘ a exist˘ agε∈BL(T,Knε)(care poate ﬁ identiﬁcat cuBL(nε)(T,l2)) astfel ˆ ıncˆ at/bardblfε−gε/bardbl∞<ε2⇐⇒ /bardblfε(t)−gε(t)/bardbll2<ε2,∀t∈T.Atunci/bardblf(t)−gε(t)/bardbl2l2=/bardblf(t)−fε(t)/bardbl2l2+/bardblfε(t)−gε(t)/bardbl2l2<ε24+ε24=ε22,t∈T.Prin urmare/bardblf(t)−gε(t)/bardbll2<ε /√2,∀t∈T=⇒/bardblf−gε/bardbl∞<ε .A¸ sadarBL0(T,l2) este dens ˆ ınC(T,l2).CumBL(T,l2)⊃BL0(T,l2),cu atˆ atmai mult va rezulta c˘ a ¸ siBL(T,l2) este dens ˆ ınC(T,l2).Spat ¸iulBL0(T,l2) este separabil, deoarece avem (ˆ ın orice spat ¸iu topologic) impli-cat ¸ia:/parenleftBigAn⊂Bn¸s iAn⊃Bn,∀n∈N/parenrightBigimplic˘ a/parenleftBigg/uniondisplaynAn⊃/uniondisplaynBn/parenrightBigg.97

Rezult˘ a c˘ aC(T,l2) este separabil.Pasul 5.CazulXspat ¸iu Hilbert neseparabil.ˆInseamn˘ a c˘ a exist˘ a o baza ortonor-mat˘ a (ei)i∈I,p e n t r uX,cucard I >ℵ0.Fie (tk)k≥1un ¸ sir dinTcare s˘ a ﬁe dens ˆ ınacest spat ¸iu metric. Fief:T→Xo funct ¸ie continu˘ a. Se ¸ stie c˘ a pentru oricek≥1exist˘ aJk⊂Icel mult numarabil˘ a astfel ˆ ıncˆ at/angbracketleftf(tk),ei/angbracketright= 0 pentru oricei∈I\Jk¸s if(tk)=/summationdisplayi∈Jk/angbracketleftf(tk),ei/angbracketrightei.Dac˘ a not˘ amJ=/uniondisplayk≥1Jkrezult˘ a c˘ aJeste o parte num˘ arabil˘ a a luiI¸s i/angbracketleftf(tk),ei/angbracketright=0pentru oricek≥1 ¸ si oricei∈I\J.Vom concluziona c˘ a/angbracketleftf(t),ei/angbracketright= 0 pentru oricei∈I\J.A¸ sadarf(t)=/summationdisplayi∈J/angbracketleftf(t),ei/angbracketrightei,∀t∈T.Prin urmare, dac˘ a not˘ am cuXJsubspat ¸iul inchis al luiXgenerat de familianum˘ arabil˘ a (ei)i∈J,vom aveaf(T)⊂XJ.Fie ΠJ:X→XJproiect ¸ia ortogonal˘ a aluiXpeXJ.Rezult˘ a c˘ afJ:= ΠJ◦f∈C(T,XJ).ˆIntrucˆ atXJeste un spat ¸iu Hilbertseparabil, conform Pasului 4, exist˘ a/tildewidergε∈BL(T,XJ) astfel ˆ ıncˆ at/bardblfJ−/tildewidergε/bardbl∞<ε⇐⇒ /bardblfJ(t)−/tildewidergε(t)/bardblXJ<ε ,∀t∈T.Dac˘ a not˘ am cuiJ:XJ→Xscufundarea canonic˘ a a luiXJˆ ınX,care este ˆ ınmod evident o izometrie, ¸ si observ˘ am c˘ af=iJ◦fJ,deducem c˘ a/bardblf−gε/bardbl∞<ε ,undegε=iJ◦/tildewidergε.Este clar c˘ agε∈BL(T,X).B.Am introdus deja norma Monge-Kantorovich. Consider˘ am c˘ a nu este lipsitde interes s˘ a prezent˘ am un punct de vedere original ˆ ın ceea ce prive¸ ste introducereanormei Monge-Kantorovich, pe care ˆ ıl vom prezenta ˆ ın acest subparagraf.Vom prezenta o schem˘ a general˘ a care permite generarea, pe dualul unui spat ¸iunormat, a unor norme mai slabe decˆ at norma operatorial˘ a, init ¸ial˘ a.Fie (T,dT) un spat ¸iu metric compact ¸ siXun spat ¸iu Hilbert pesteK. Amv˘ azut c˘ a spat ¸iul de m˘ asuricabv(T,X) se poate ˆ ınzestra, ˆ ın mod natural, cu norma,,variat ¸ional˘ a“/bardbl·/bardblvar,ˆ ın raport cu care acest spat ¸iu de m˘ asuri este chiar un spat ¸iuBanach. Din p˘ acate, ˆ ın general, aceast˘ a norm˘ a se dovede¸ ste a ﬁ prea tare ¸ si prinurmare topologia indusa de aceast˘ a norm˘ a nu va ﬁ totdeauna cea mai convenabil˘ a.ˆIn unele situat ¸ii se dovedesc a ﬁ utile anumite topologii mai slabe, deﬁnite, deexemplu, de norme mai slabe decˆ at norma ,,variat ¸ional˘ a“ .98

Pentru a avea o idee mai clar˘ a privind anumite modalit˘ at ¸i de obt ¸inere a unorasemenea norme vom prezenta o schem˘ a general˘ a care permite generarea, pe dualulunui spat ¸iu normat, a unor norme mai slabe decˆ at norma operatorial˘ a, init ¸ial˘ a.Fie (E,/bardbl·/bardblE) un spat ¸iu normat pesteK¸s iE1⊂Eun subspat ¸iu vectorial. Pre-supunem c˘ a/bardbl·/bardbl1este o norm˘ a peE1astfel ˆ ıncˆ at/bardblx/bardblE≤/bardblx/bardbl1,∀x∈E1.Avˆ and ˆ ın vedere aceast˘ a inegalitate are loc incluziunea:BE1[0E,1] :={x∈E1|/bardblx/bardbl1≤1}⊂{x∈E|/bardblx/bardblE≤1}:=BE[0E,1].Prin urmare, oricare ar ﬁ funct ¸ionala liniar˘ aϕ∈E/primevom aveasupx∈BE1[0E,1]|/angbracketleftx, ϕ/angbracketright| ≤supx∈BE[0E,1]|/angbracketleftx, ϕ/angbracketright|Pentruϕ∈E/primedeﬁnim|||ϕ|||0:= supx∈E,/bardblx/bardblE≤1|/angbracketleftx, ϕ/angbracketright|¸s i|||ϕ|||1:= supx∈E1,/bardblx/bardbl1≤1|/angbracketleftx, ϕ/angbracketright|.Se demonstreaz˘ a simplu c˘ a|||·|||0este o norm˘ a peE/prime(norma natural˘ a de dual)ˆ ın raport cu care acesta devine un spat ¸iu Banach.Remarc˘ a.1)|||·|||1este o seminorm˘ a peE/prime.2) Condit ¸ia necesar˘ a ¸ si suﬁcient˘ a pentru ca aceast˘ a seminorm˘ a s˘ a ﬁe o norm˘ a peE/primeeste ca aceasta s˘ a aib˘ a urm˘ atoarea proprietate de ,,pozitiv˘ a deﬁnire“:<< ϕ∈E/primesi|||ϕ|||1=0=⇒ϕ=0.> >ˆIn mod evident condit ¸iaϕ∈E/primesi|||ϕ|||1=0este echivalent˘ a cu faptul c˘ aϕ∈E/primesiϕ(x)=0,oricare ar ﬁx∈E1cu/bardblx/bardbl1≤1.T ¸ inˆ and cont de liniaritatea luiϕultima condit ¸ie este echivalent˘ a cuϕ∈E/primesiϕ(x)=0,oricare ar ﬁx∈E1.99

Prin urmare aﬁrmat ¸ia<< ϕ∈E/primesi|||ϕ|||1=0=⇒ϕ=0>>(A)este echivalent˘ a cu aﬁrmat ¸ia<< ϕ∈E/primesiϕ(x)=0,oricare ar ﬁx∈E1=⇒ϕ=0>> .(B)Conform unui corolar al teoremei Hahn – Banach ultima aﬁrmat ¸ie este echivalent˘ acu faptul c˘ a subspat ¸iulE1este dens ˆ ınE(ˆ ın topologia indus˘ a de norma/bardbl·/bardblE).ˆIn concluzie putem considera c˘ a am demonstrat urm˘ atoareaTeorema 4.2.16.Fie(E,/bardbl·/bardblE)un spat ¸iu normat pesteK¸ siE1⊂Eun subspat ¸iuvectorial. Presupunem c˘ a/bardbl·/bardbl1este o norm˘ a peE1astfel ˆ ıncˆ at/bardblx/bardblE≤/bardblx/bardbl1,∀x∈E1. Atunci seminorma, peE/prime,deﬁnit˘ a prin|||ϕ|||1:= supx∈E1,/bardblx/bardbl1≤1|/angbracketleftx, ϕ/angbracketright|,ϕ∈E/prime,este o norm˘ a pe spat ¸iul dualE/primedac˘ a ¸ si numai dac˘ aE1/bardbl·/bardblE=E.Drept aplicat ¸ie a acestor considerat ¸ii teoretice cu caracter general vom prezentaurm˘ atorul:Caz particular important.Fie (T,dT) un spat ¸iu metric compact ¸ siXun spat ¸iu Hilbert pesteK. Alegem,drept spat ¸iu normat init ¸ial,E:=C(T,X)cu norma natural˘ a/bardbl·/bardblE:=/bardbl·/bardbl∞,iar drept subspat ¸iu vectorialE1:=BL(T,X),cu norma/bardbl·/bardbl1:=/bardbl·/bardblBL.ˆIntrucˆ at/bardblf/bardblBL=/bardblf/bardbl∞+/bardblf/bardblL≥/bardblf/bardbl∞,∀f∈BL(T,X),deducem inegalitatea/bardbl·/bardblBL/followsequal /bardbl·/bardbl∞.100

Atunci, ﬁind ˆ ındeplinite toate condit ¸iile din teorema anterioar˘ a, ˆ ınseamn˘ a c˘ aseminorma|||ϕ|||1:=supf∈BL(T,X),/bardblf/bardblBL≤1|/angbracketleftf,ϕ/angbracketright|,ϕ∈C(T,X)/prime,va ﬁ o norm˘ a peC(T,X)/primedac˘ a ¸ si numai dac˘ a subspat ¸iulBL(T,X) va ﬁ dens ˆ ınC(T,X).Sumarizˆ and cele expuse mai ˆ ınainte, putem conchide c˘ a seminorma/bardbl·/bardblMKeste onorm˘ a pecabv(T,X) dac˘ a ¸ si numai dac˘ a subspat ¸iulBL(T,X) este dens ˆ ınC(T,X).Avˆ andˆ ın vedere teorema 4.2.15, care demonstreaz˘ a faptul c˘ a subspat ¸iulBL(T,X)este dens ˆ ınC(T,X) se poate conchide ¸ si c˘ a/bardbl·/bardblMKeste o norm˘ a pecabv(T,X). Amobt ¸inut norma Monge-Kantorovich/bardbl./bardblMKˆ ın acest nou mod.Direct ¸ia invers˘ a de rat ¸ionament a fost deja folosit˘ a; am demonstrat c˘ a seminorma||.||MKeste o norm˘ a pecabv(T,X) ˆ ın mod independent./square4.3 Cadrul de lucruVom considera un spat ¸iu metric compact (T,d) ¸ si un spat ¸iu HilbertXpesteKechipat cu produsul scalar (x, y) ¸ si norma/bardbl·/bardbl. Not˘ am cuC(T,X) spat ¸iul Banachal tuturor funct ¸iilor continuef:T→Xechipat cu norma/bardblf/bardbl∞=sup{/bardblf(t)/bardbl|t∈T}.ˆIn general, pentru orice spat ¸iu topologic (Y,τ), mult ¸imile boreliene ale acestuispat ¸iu vor ﬁ notate prinBY. A¸ sadar, mult ¸imile boreliene ale luiTvor ﬁ notate cuBT, mult ¸imile boreliene ale luiXvor ﬁ notate prinBX. Mult ¸imile boreliene produsvor ﬁ notate prinBT⊗BT¸ si ¸ stim c˘ aBT⊗BT=BT×T.Avem ¸ si notat ¸ii de formaBT⊗Σs a uBX⊗Σ (unde Σ este o anumit˘ aσ-algebr˘ a).Dac˘ a (E,/bardbl·/bardbl)¸ s i(F,|/bardbl · /bardbl|) sunt spat ¸ii normate, not˘ amL(E,F)={V:E→F|Veste aplicat ¸ie liniar˘ a ¸ si continu˘ a}care devine spat ¸iu normat (chiar Banach dac˘ aYeste Banach) cu norma operatorial˘ a/bardblV/bardblo=sup{|/bardblV(x)/bardbl| |x∈X,/bardblx/bardbl≤1}.ˆIn particular, not˘ amL(E,K)=E/prime=dualul (algebrico-topologic al luiE)¸ s iL(X)=L(X,X).101

Pentru orice spat ¸iu normat (E,/bardbl·/bardbl) putem considera spat ¸iul vectorialcabv(T,E)={m:BT→E|mesteσ−aditiv˘ a ¸ siare variat ¸ia total˘ a|m|(T)<∞}.Atunci,cabv(T,E) devine spat ¸iu Banach cu norma variat ¸ional˘ a/bardblm/bardbl=|m|(T).Pentru a putea discuta despre dualulC(T,X)/prime, reamintim existent ¸a izomorﬁsmu-lui antiliniar Riesz-Fr´ echetP:X→X/prime, deﬁnit prinP(y)=Vy, undeVy(x)=(x, y),pentru oricex∈X. Avem dou˘ a moduri de a prezenta dualulC(T,X)/prime.Modul clasicExist˘ a un izomorﬁsm liniar izometricΓ:cabv(T,X/prime)→C(T,X)/prime(pecabv(T,X/prime) avem norma variat ¸ional˘ a), act ¸ionˆ and astfel:a)Pentru oricem/prime∈cabv(T,X/prime), putem deﬁni integrala funct ¸iilor simpleϕ=m/summationdisplayi=1ϕAixi(Ai∈BTdisjuncte,xi∈X) prin/integraldisplay∗ϕd m/prime=m/summationdisplayi=1m/prime(Ai)(xi)∈K.b)Aceast˘ a integral˘ a se extinde la mult ¸imeaTM(T,X) a funct ¸iilor total m˘ asurabile(i.e. care sunt limite uniforme de funct ¸ii simple) astfel:/integraldisplay∗ϕd m/prime=limn/integraldisplay∗ϕndm/prime,dac˘ aϕnu−→nϕ(convergent ¸˘ a uniform˘ a)102

c)DeoareceC(T,X)⊂TM(T,X), putem deﬁni/integraldisplay∗fd m/primepentru oricef∈C(T,X).Atunci, pentru oricem/prime∈cabv(T,X), deﬁnimΓ(m/prime):C(T,X)→KprinΓ(m/prime)(f)=/integraldisplay∗fd m ,a se vedea [21].Modul antiliniar(folosit ˆ ın prezentul capitol)Exist˘ a un izomorﬁsm antiliniar izometricφ:cabv(T,X)→C(T,X)/prime,act ¸ionˆ and astfel:a)Avem izomorﬁsmul antiliniar izometricΩ:cabv(T,X)→cabv(T,X/prime),deﬁnit prinΩ(m)=P◦m=m/primeb)Deﬁnimφ=Γ◦Ω (care este izomorﬁsm antiliniar ¸ si izometric).A¸ sadar, avem schemacabv(T,X)Ω−→cabv(T,X/prime)Γ−→ C(T,X)/prime.Se vede c˘ a, dac˘ am∈cabv(T,X)¸ s iϕ=n/summationtexti=1ϕAixieste funct ¸ie simpl˘ a, ca maiˆ ınainte, avem Ω(m)=m/prime¸s i/integraldisplay∗ϕd m/prime=n/summationdisplayi=1m/prime(Ai)(xi)=n/summationdisplayi=1P(m(Ai))(xi)=n/summationdisplayi=1(xi,m(Ai)) =/integraldisplayϕd m ,ˆ ın sensul integralei seschiliniare folosite ˆ ın aceast˘ a tez˘ a.Prin urmare, dac˘ am∈cabv(T,X)¸ s if∈C(T,X), vom aveay/prime(f)=/integraldisplayfd m ,undey/prime=φ(m).103

Pentru a putea completa cadrul de lucru, vom reaminti c˘ a, dac˘ a (M,d)¸ s i(N,δ)sunt dou˘ a spat ¸ii metrice, o funct ¸ief:M→Nse nume¸ ste lipschtzian˘ a dac˘ a/bardblf/bardblL= sups,t∈Ms/negationslash=tδ(f(s),f(t))d(s, t)<∞.Evident,δ(f(s),f(t))≤/bardblf/bardblL·d(s, t) pentru orices, t∈M.Vom notaL(M,N)={f:M→N|feste lipschitzian˘ a}(ˆIn cazul cˆ andM=N, scriemL(M) ˆ ın loc deL(M,M).)Dac˘ aNeste spat ¸iu normat, rezult˘ a c˘ aL(M,N) este spat ¸iu vectorial seminormatcu seminormaf/mapsto→ /bardblf/bardblL.ˆIn acest caz, avemL(M,N)⊃BL(M,N)={f∈L(M,N)|feste m˘ arginit˘ a}¸s iBL(M,N) devine spat ¸iu normat cu normaf/mapsto→ /bardblf/bardblBL=/bardblf/bardbl∞+/bardblf/bardblL.ˆIn cadrul prezent, avem (evident)L(T,X)=BL(T,X).Completarea cadruluiVom considera un spat ¸iu cu m˘ asur˘ a (Θ,Σ,W) (spat ¸iul de indici), precum ¸ si dou˘ afunct ¸iiω:T×Θ→T,R:X×Θ→Xcare sunt presupuse m˘ asurabile, anume:ωeste (BT⊗Σ,BT)-m˘ asurabil˘ a ¸ siReste (BX⊗Σ,BX)-m˘ asurabil˘ a.ˆIn acest context, vom folosi ¸ si notat ¸ia indicial˘ a, dup˘ a cum urmeaz˘ a: pentru oriceθ∈Θ, avem funct ¸iileωθ:T→T(respectivRθ:X→X) deﬁnite prinωθ(t)=ω(t, θ) (respectivRθ(x)=R(x, θ)),adic˘ aωθ=ω(·,θ)¸ s iRθ=R(·,θ).Vom presupune c˘ a, pentru oriceθ∈Θ:ωθ∈L(T)c u/bardblωθ/bardblL=rθ¸s iRθ∈L(X,X).Dac˘ a toaterθ<1, funct ¸iileωθsunt contract ¸ii.ˆInainte de a trece mai departe ˆ ın expunerea cadrului, facem104

Remarc˘ a.Cazul particular cˆ and spat ¸iul cu m˘ asur˘ a (Θ,Σ,W) este discretestefoarte important. Avem ˆ ın vedere urm˘ atoarele situat ¸ii:Cazul ﬁnitΘ={1,2,···,n},Σ=P(Θ),Weste m˘ asura cardinal(W(A)=card(A) pentru oriceA⊂Θ)Cazul num˘ arabilΘ=N∗,Σ=P(Θ),Weste m˘ asura discret˘ a(W(A)=card(A),dac˘ aAeste ﬁnit˘ a ¸ siW(A)=∞,dac˘ aAeste inﬁnit˘ a)ˆIn acest caz, a spune c˘ aω:T×Θ→Teste (BT⊗Σ,BT) – m˘ asurabil˘ a esteechivalent cu a spune c˘ aωθ:T→Teste (BT,BT) – m˘ asurabil˘ a pentru oriceθ∈Θ.ˆIntr-adev˘ ar, o implicat ¸ie este banal˘ a (anume, c˘ a oriceωθtrebuie s˘ a ﬁe m˘ asurabil˘ a).Reciproc, dac˘ a accept˘ am c˘ a oriceωθeste funct ¸ie m˘ asurabil˘ a, rezult˘ a pentru oriceB∈BT:ω−1(B)={(t, θ)|ω(t, θ)=ωθ(t)∈B}=/uniondisplayθ∈Θ/parenleftBigω−1θ(B)×{θ}/parenrightBig∈BT×P(Θ).Prin urmare, ˆ ın cazul discret, m˘ asurabilitatea funct ¸ieiωeste automat veriﬁcat˘ a,deoarece toateωθsunt continue.Continu˘ am prezentarea cadrului de lucru.Vom mai presupune c˘ a funct ¸iaInd:Θ→R+, deﬁnit˘ a prinInd(θ)=/bardblRθ/bardblo,este (Σ,BR+)-m˘ asurabil˘ a.Condit ¸ia de mai sus trebuie impus˘ a ˆ ın ipoteze. Totu¸ si, dac˘ a spat ¸iulXeste sepa-rabil, m˘ asurabilitatea funct ¸ieiIndeste automat˘ a, dup˘ a cum rezult˘ a din urm˘ atoarea:Remarc˘ a.ˆIn cazul cˆ andXeste separabil, funct ¸iaIndeste automat m˘ asurabil˘ a.ˆIntr-adev˘ ar, ﬁeA⊂Xo mult ¸ime num˘ arabil˘ a dens˘ a ˆ ın X. Avem, pentru oriceθ∈Θ,/bardblRθ/bardblo= sup/bardblx/bardbl≤1/bardblRθ(x)/bardbl= sup/bardblx/bardbl≤1x∈A/bardblRθ(x)/bardbl(4.14)105

De asemenea, pentru oricex∈X, funct ¸iaθ/mapsto→Rθ(x)e s t e( Σ,BX) m˘ asurabil˘ a, decifunct ¸iaθ/mapsto→ /bardblRθ(x)/bardbleste (Σ,BR+) m˘ asurabil˘ a.Deoarece supremumul din (4.14) este construit pentru o mult ¸ime num˘ arabil˘ a,rezult˘ a c˘ a funct ¸iaθ/mapsto→ /bardblRθ/bardbloeste (Σ,BR+) m˘ asurabil˘ a.Avem nevoie deLema 4.3.1.ˆIn toate cazurile, funct ¸iaLip:Θ→[0,∞), deﬁnit˘ a prinLip(θ)=rθeste(Σ,BR+)m˘ asurabil˘ a.Demonstrat ¸ie.ˆIntr-adev˘ ar, ﬁeT0⊂To mult ¸ime cel mult num˘ arabil˘ a dens˘ a ˆ ınT.S˘ a scriemT={ti|i∈M}undeM⊂Neste cel mult num˘ arabil˘ a ¸ siti/negationslash=tjdac˘ ai/negationslash=j.Pentrui/negationslash=j,a v e mfij:Θ/mapsto→R+,fij(θ)=d(ωθ(ti),ωθ(tj))d(ti,tj)=d(ω(ti,θ),ω(tj,θ))d(ti,tj)Se vede c˘ afijsunt funct ¸ii (Σ,BR+) m˘ asurabile, deoarece funct ¸iileθ/mapsto→(ω(ti,θ),ω(tj,θ)sunt (Σ,BT⊗BT) m˘ asurabile.S ¸tim c˘ aBT⊗BT=BT×T, deci funct ¸iaθ/mapsto→d(ω(ti,θ),ω(tj,θ))este (Σ,BR+) m˘ asurabil˘ a. (deoareced:T×T→R+este continu˘ a).Rezult˘ a c˘ a toate funct ¸iilefijsunt m˘ asurabile.Cum funct ¸iaLipse obt ¸ine prinLip(θ)=rθ= sup(i,j)∈Afij(θ),undeA=(N×N)−{(i, i)|i∈N}, rezult˘ a c˘ aLipeste m˘ surabil˘ a.Avˆ andˆ ın vedere acest rezultat, impunem ¸ si ultima condit ¸ie, careˆ ıncheie prezentareacadrului de lucru.S˘ a presupunem c˘ a/integraldisplayΘInd(θ)(1 +Lip(θ))dW(θ)<∞,adic˘ a/integraldisplayΘ/bardblRθ/bardblo·(1 +rθ)dW(θ)<∞.106

ˆIn cazul cˆ andLipeste m˘ arginit˘ a (de exemplu, ˆ ın cazul cˆ and toate funct ¸iileωθsunt contract ¸ii), ultima condit ¸ie este echivalent˘ a cu/integraldisplayΘ/bardblRθ/bardblodW(θ)<∞.4.4 Operatori pe spat ¸ii de funct ¸ii continueLema 4.4.1.Pentru oricef∈C(T,X)¸ si oricet∈T, funct ¸iaU:Θ→X, deﬁnit˘ aprinU(θ)=(Rθ◦f◦ωθ)(t),este integrabil˘ a Bochner ˆ ın raport cuW.Demonstrat ¸ie.a)Funct ¸ia (t, θ)/mapsto→(Rθ◦f◦ωθ)(t) deﬁnit˘ a peT×Θ cu valori ˆ ınXeste (BT⊗Σ,BX) – m˘ asurabil˘ a.ˆIntr-adev˘ ar: deoarece funct ¸ia (t, θ)/mapsto→ω(t, θ)e s t e(BT⊗Σ,BT) – m˘ asurabil˘ a,rezult˘ a c˘ a funct ¸ia (t, θ)/mapsto→f(ω(t, θ)) este (BT⊗Σ,BX) – m˘ asurabil˘ a, adic˘ a funct ¸ia(t, θ)/mapsto→(f◦ωθ)(t)e s t e(BT⊗Σ,BX) – m˘ asurabil˘ a.Rezult˘ a c˘ a funct ¸ia (t, θ)/mapsto→((f◦ωθ)(t),θ)e s t e(BT⊗Σ,BX⊗Σ) – m˘ asurabil˘ a,prin urmare funct ¸ia(t, θ)/mapsto→R(f◦ωθ(t),θ)este (BT⊗Σ,BX) – m˘ asurabil˘ a, adic˘ a funct ¸ia(t, θ)/mapsto→(Rθ◦f◦ωθ)(t)este (BT⊗Σ,BX) – m˘ asurabil˘ a.b)Rezult˘ a c˘ a, pentrut∈Tﬁxat, funct ¸iaθ/mapsto→(Rθ◦f◦ωθ)(t)este (Σ,BX) – m˘ asurabil˘ a, adic˘ aUeste (Σ,BX) – m˘ asurabil˘ a.Pentru oriceθ∈Θ, avem/bardblU(θ)/bardbl=/bardbl(Rθ◦f◦ωθ)(t)/bardbl≤/bardblRθ/bardblo·/bardblf/bardbl∞Deoarece/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo(1 +rθ)dW(θ)<∞,107

rezult˘ a c˘ a/integraldisplay/bardblU(θ)/bardbldW(θ)<∞.ˆIn baza precedentului rezultat, rezult˘ a c˘ a, pentru oricef∈C(T,X), putem deﬁnifunct ¸iaH(f):T→Xprin relat ¸ia (integral˘ a Bochner)H(f)(t)=/integraldisplay(Rθ◦f◦ωθ)(t)dW(θ)Teorema 4.4.2.Pentru oricef∈C(T,X), avemH(f)∈C(T,X).Demonstrat ¸ie.Fix˘ amt∈T¸ si consider˘ am un ¸ sir (tn)n⊂Tcu proprietatea c˘ atn−→nt.Avem de ar˘ atat c˘ aH(f)(tn)−→nH(f)(t).Pentru oriceθ∈Θ ﬁxat, avem(Rθ◦f◦ωθ)(tn)−→n(Rθ◦f◦ωθ)(t).Consider˘ am funct ¸iaU:Θ→X,U(θ)=(Rθ◦f◦ωθ)(t) ¸ si ¸ sirul de funct ¸ii(un)n,un:Θ→X,un(θ)=(Rθ◦f◦ωθ)(tn).Atunciun−→nUpunctual.Funct ¸iileun¸s iUsunt integrabile Bochner (Lema 4.4.1). Cu major˘ ari ca ˆ ındemonstrat ¸ia Lemei 4.4.1, avem/bardblun(θ)/bardbl≤/bardblRθ/bardblo·/bardblf/bardbl∞,/bardblU(θ)/bardbl≤/bardblRθ/bardblo·/bardblf/bardbl∞,pentru orice n ¸ si oriceθ.Cum funct ¸iaθ/mapsto→ /bardblRθ/bardblo·/bardblf/bardbl∞esteW-integrabil˘ a, aplic˘ am teorema de convergent ¸˘ adominat˘ a a lui Lebesgue ¸ si deducem c˘ a/integraldisplayun(θ)dW(θ)−→n/integraldisplayU(θ)dW(θ),adic˘ aH(f)(tn)−→nH(f)(t).108

Teorema 4.4.2 ne spune c˘ a putem considera operatorulHC:C(T,X)→C(T,X),deﬁnit prinHC(f)=H(f),care este evident liniar.Teorema 4.4.3.OperatorulHC:C(T,X)→C(T,X)este liniar ¸ si continuu.Anume, pentru oricef∈C(T,X), avem/bardblHC(f)/bardbl∞≤/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)/parenrightbigg·/bardblf/bardbl∞,adic˘ a/bardblHC/bardblo≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ).Demonstrat ¸ie.Pentru oricet∈T,a v e m/bardblHC(f)(t)/bardbl=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/integraldisplay(Rθ◦f◦ωθ)(t)dW(θ)/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble≤/integraldisplay/bardbl(Rθ◦f◦ωθ)(t)/bardbldW(θ)≤/integraldisplay/bardbl(Rθ/bardblo·/bardblf/bardbl∞dW(θ)e t c .ˆIn continuare, „restrˆ angem” domeniul de deﬁnit ¸ie al luiHC, considerˆ and funct ¸iilipschitziene.Lema 4.4.4.Fief∈L(T,X)=BL(T,X). Atunci, pentru orices, tˆ ınT, avem/bardblH(f)(s)−H(f)(t)/bardbl≤/parenleftbigg/integraldisplay/bardbl(Rθ/bardblo·rθdW(θ)/parenrightbigg·/bardblf/bardblL·d(s, t).Demonstrat ¸ie./bardblH(f)(s)−H(f)(t)/bardbl=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/integraldisplay[(Rθ◦f◦ωθ)(s)−(Rθ◦f◦ωθ)(t)]dW(θ)/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble=/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/integraldisplayRθ(f(ωθ(s))−f(ωθ(t)))dW(θ)/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble/vextenddouble≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo/bardblf(ωθ(s))−f(ωθ(t))/bardbldW(θ)≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo/bardblf/bardblLd(ωθ(s),ωθ(t))dW(θ)≤/bardblf/bardblL/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθ·d(s, t)dW(θ)=/bardblf/bardblL·d(s, t)·/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ)109

Rezult˘ aTeorema 4.4.5.Pentru oricef∈L(T,X), avemH(f)∈L(T,X)¸ si/bardblH(f)/bardblL≤/bardblf/bardblL·/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ).Putem deci considera operatorul (evident liniar)HL:L(T,X)→L(T,X),deﬁnit prinHL(f)=H(f).Consider˘ am peL(T,X) norma/bardbl·/bardblBL¸ si obt ¸inemTeorema 4.4.6.OperatorulHL:(L(T,X),/bardbl·/bardblBL)→(L(T,X),/bardbl·/bardblBL)este liniar¸ si continuu ¸ si avem/bardblHL/bardblo≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·(1 +rθ)dW(θ).Demonstrat ¸ie.Fief∈L(T,X). Folosim Teorema 4.4.3 ¸ si 4.4.5 ¸ si obt ¸inem:/bardblH(f)/bardblBL=/bardblH(f)/bardbl∞+/bardblH(f)/bardblL≤/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)/parenrightbigg·/bardblf/bardbl∞+/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ)/parenrightbigg·/bardblf/bardblL≤/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)/parenrightbigg(/bardblf/bardbl∞+/bardblf/bardblL)+/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ)/parenrightbigg(/bardblf/bardbl∞+/bardblf/bardblL)=/bracketleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·(1 +rθ)dW(θ)/bracketrightbigg·/bardblf/bardblBLˆIn continuare, vom consideraHC:C(T,X)→C(T,X) ¸ si adjunctul s˘ auH/primeC:C(T,X)/prime→C(T,X)/prime, deﬁnit ca de obicei prinH/primeC(y/prime)=y/prime◦HC=x/prime.Ne reamintim ¸ si de izomorﬁsmul antiliniar ¸ si izometricφ:cabv(T,X)→C(T,X)/prime¸s iconsider˘ am diagramacabv(T,X)H−→cabv(T,X)φ↓φ−1↑↓φC(T,X)/prime−−→H/primeCC(T,X)/primeAnume, cu ajutorul luiH/primeC¸s iφputem deﬁniH:cabv(T,X)→cabv(T,X)110

prinH=φ−1◦H/primeC◦φDeoareceφ¸s iφ−1sunt antiliniare, rezult˘ a c˘ aHeste aplicat ¸ie liniar˘ a ¸ si continu˘ a.Diagrama de mai ˆ ınainte este comutativ˘ a, adic˘ a avemφ◦H=H/primeC◦φ(4.15)Teorema 4.4.7(Teorema de schimbare de variabil˘ a).Pentru oricef∈C(T,X)¸ sioriceν∈cabv(T,X), avem/integraldisplayfdH(ν)=/integraldisplayHC(f)dν.Demonstrat ¸ie.Conform cu deﬁnit ¸iile, pentru oricef∈C(T,X) ¸ si oriceµ∈cabv(T,X),avem/integraldisplayfd µ=y/prime(f),undey/prime=φ(µ).Luˆ andµ=H(ν), vom avea:/integraldisplayfdH(ν)=y/prime(f),undey/prime=φ(H(ν)) = (φ◦H)(ν)=H/primeC◦φ(ν),uzˆ and de ( 4.15).A¸ sadar/integraldisplayfdH(ν)=(H/primeC◦φ)(ν)(f)=H/primeC(φ(ν))(f)=(φ(ν)◦HC)(f)=φ(ν)(HC(f)) =/integraldisplayHC(f)dν.ˆIn continuare, vom efectua evalu˘ ari privind normele operatoruluiHprivit caat ¸ionˆ and pecabv(T,X) (sau subspat ¸ii ale luicabv(T,X)) cu diverse norme.Pornim, bineˆ ınt ¸eles, cucabv(T,X) normat cu norma obi¸ snuit˘ a variat ¸ional˘ a:/bardblµ/bardbldef=|µ|(T).Teorema 4.4.8.H:(cabv(T,X),/bardbl·/bardbl)→(cabv(T,X),/bardbl·/bardbl)este liniar ¸ si continuu¸ si avem/bardblH/bardblo,var≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ).111

Demonstrat ¸ie.Fix˘ amν∈cabv(T,X). Deoareceφeste izometrie, avem/bardblH(ν)/bardbl=/bardblφ(H(ν))/bardbl.ˆIn continuare, folosim ( 4.15) ¸ si Teorema 4.4.3./bardblφ(H(ν))/bardbl=/bardbl(H/primeC◦φ)(ν)/bardbl=/bardblH/primeC(φ(ν))/bardbl=sup/bardblf/bardbl∞≤1|H/primeC(φ(ν))(f))|=sup/bardblf/bardbl∞≤1|φ(ν)(HC(f))|=sup/bardblf/bardbl∞≤1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayHC(f)dν/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤sup/bardblf/bardbl∞≤1/bardblHC(f)/bardbl∞·/bardblν/bardbl≤sup/bardblf/bardbl∞≤1/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)/parenrightbigg/bardblf/bardbl∞·/bardblν/bardbl⇒ /bardblH/bardblo,var=sup/bardblν/bardbl=1/bardblH(ν)/bardbl≤sup/bardblf/bardbl∞≤1/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)/parenrightbigg·/bardblf/bardbl∞≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ).Lucr˘ am cu norma Monge-Kantorovich, deci consider˘ amH:(cabv(T,X),/bardbl·/bardblMK)→(cabv(T,X),/bardbl·/bardblMK)¸ si obt ¸inem:Teorema 4.4.9.H:(cabv(T,X),/bardbl·/bardblMK)→(cabv(T,X),/bardbl·/bardblMK)este liniar ¸ si continuu ¸ si avem/bardblH/bardblo,MK≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo(1 +rθ)dW(θ).Demonstrat ¸ie.Fieν∈cabv(T,X). Conform cu deﬁnit ¸iile, avem:/bardblH(ν)/bardblMK=sup/bardblf/bardblBL≤1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdH(ν)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=sup/bardblf/bardblBL≤1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayHC(f)dν/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleDeoarece/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayHC(f)dν/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/bardblHC(f)/bardblBL·/bardblν/bardblMK,112

rezult˘ a c˘ a/bardblH(ν)/bardblMK≤/bardblν/bardblMK·sup/bardblf/bardblBL≤1/bardblH(f)/bardblBL≤/bardblν/bardblMK·/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·(1 +rθ)dW(θ),cu Teorema 4.4.6 ¸ si demonstrat ¸ia s-a ˆ ıncheiat.Pentru a putea discuta despreHˆ ın contextul normei Monge-Kantorovich modi-ﬁcate, avem nevoie de urm˘ atorul rezultat intermediar.Lema 4.4.10.Pentru oriceν∈cabv(T,X,0) ={µ∈cabv(T,X)|µ(T)=0},avemH(ν)∈cabv(T,X,0).Demonstrat ¸ie.Avem de ar˘ atat c˘ aH(ν)(T) = 0, ceea ce este echivalent cu faptul c˘ a(x,H(ν)(T)) = 0 pentru oricex∈X.Fie decix∈Xarbitrar ﬁxat.Deﬁnim funct ¸ia constant˘ afx∈C(T,X),fx(t)=x,pentru oricet∈T.A¸ sadar,fx=ϕTx(este funct ¸ie simpl˘ a).Pentru oricet∈T,a v e mHC(fx)(t)=/integraldisplay(Rθ◦fx◦ωθ)(t)dW(θ)=/integraldisplayRθ(x)dW(θ)def=yx∈X.Adic˘ aHC(fx)=ϕTyx. Avem:/integraldisplayfxdH(ν)=/integraldisplayHC(fx)dν,adic˘ a/integraldisplay(ϕTx)dH(ν)=/integraldisplay(ϕTyx)dν,cu alte cuvinte(x,H(ν)(T)) = (yx,ν(T))).Darν(T) = 0, deci(x,H(ν)(T)) = 0.Rezultatul precedent arat˘ a c˘ a putem „restrˆ ange ¸ si constrˆ ange” operatorulHlaspat ¸iulcabv(T,X,0). Cu alte cuvinte, putem considera operatorul (evident liniar)H1:cabv(T,X,0)→cabv(T,X,0),deﬁnit prinH1(µ)=H(µ).113

Teorema 4.4.11.H1:(cabv(T,X,0),/bardbl·/bardbl∗MK)→(cabv(T,X,0),/bardbl·/bardbl∗MK)este liniar ¸ si continuu ¸ si avem/bardblH1/bardblo≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ).Demonstrat ¸ie.Conform cu deﬁnit ¸iile ¸ si cu ( 4.15) avem, pentru oriceν∈cabv(T,X,0)(deciH(ν)∈cabv(T,X,0)):/bardblH(ν)/bardbl∗MK=sup/bardblf/bardblL≤1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayfdH(ν)/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle=sup/bardblf/bardblL≤1/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraldisplayH(f)dν/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingleDeoarece/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/integraltextH(f)dν/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle/vextendsingle≤/bardblH(f)/bardblL·/bardblν/bardbl∗MK, rezult˘ a c˘ a (vezi Teorema 4.4.5):/bardblH(ν)/bardbl∗MK≤sup/bardblf/bardblL≤1/bardblf/bardblL·/parenleftbigg/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ)/parenrightbigg·/bardblν/bardbl∗MK⇒ /bardblH(ν)/bardbl∗MK≤/integraltext/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ)·/bardblν/bardbl∗MK, ceea ce ˆ ıncheie demonstrat ¸ia.4.5 Cazuri particulareA. Semigrupuri de operatoriReamintim c˘ a un semigrup uniform continuu de operatori esteP:[ 0,∞)→L(X) cu urm˘ atoarele propriet˘ at ¸i:a)Peste continu˘ a (peL(X) se consider˘ a topologia dat˘ a de norma operatorial˘ a/bardbl·/bardblo);b)P(0) =I(I:X→X,I(x)=xpentru oricex∈X);c)P(s+t)=P(s)◦P(t) pentru orices, tˆ ın [0,∞).Se arat˘ a c˘ a exist˘ a (ˆ ın norma/bardbl·/bardblo)limt→01t(P(t)−P(0)) =A∈L(X)(Ase nume¸ ste generatorul semigrupului).114

Atunci, avem analoaga celebrei teoreme de aditivitate a lui Cauchy: pentru oricet∈[0,∞),P(t)=etA=I+∞/summationdisplayn=11n!(tA)n(ˆ ın norma/bardbl·/bardblo)De exemplu, dac˘ a vom lua, pentru oricet∈[0,∞),P(t)=e−tI, vom constata c˘ aA=−I, deciP(t)=e−tI¸s i/bardblP(t)/bardblo=e−t,∀t∈[0,∞).Ne ˆ ıncadr˘ am ˆ ın schema noastr˘ a init ¸ial˘ a dup˘ a cum urmeaz˘ a.Lu˘ am (Θ,Σ,W) astfel:Θ=[ 0,∞),Σ = borelienele lui [0,∞)¸ s iW= m˘ asura Lebesgue pe [0,∞).Lu˘ am un spat ¸iu HilbertXoarecare ¸ si un semigrup uniform continuu de operatori(Rθ)θ∈[0,∞)(aici scriemRθˆ ın loc deR(θ)), care genereaz˘ a funct ¸iaR:X×[0,∞)→X,deﬁnit˘ a prinR(x, θ)=Rθ(x)Funct ¸iaReste (BX⊗B[0,∞),BX)-m˘ asurabil˘ a, deoarece este continu˘ a ¸ siBX⊗B[0,∞)=BX×[0,∞).Continuitatea luiRrezult˘ a astfel: dac˘ axn→nxˆ ınX¸s itn→ntˆ ın [0,∞), atunci/bardblR(xn,θn)−R(x, θ)/bardbl=/bardblRθn(xn)−Rθ(x)/bardbl≤/bardblRθn(xn)−Rθn(x)/bardbl+/bardblRθn(x)−Rθ(x)/bardbl≤/bardblRθn/bardblo·/bardblxn−x/bardbl+/bardblRθn−Rθ/bardblo/bardblx/bardbl≤(/bardblRθ/bardblo+δ)·/bardblxn−x/bardbl+/bardblRn−R/bardblo·/bardblx/bardbl,undeδ>0 poate ﬁ luat arbitrar (pentrun≥n(δ) suﬁcient de mare, deoarece/bardblRθn/bardblo→n/bardblRθ/bardbl)¸ s iR(xn,θn)→nR(x, θ).Complet˘ am schema luˆ andT=[ 0,1], iar funct ¸iileωθ:[ 0,1]→[0,1] se obt ¸indup˘ a cum urmeaz˘ a.Fiea:[ 0,∞)→[0,1] o funct ¸ie continu˘ a cua(0) = 1 ¸ sia(θ)>0 pentru oriceθ∈[0,∞). (de exemplu, putem luaa(θ)=11+θ.)Fie ¸ siω:[ 0,1]→[0,1] o funct ¸ie lipschitzian˘ a ﬁxat˘ a.Vom deﬁni, pentru oriceθ∈[0,∞), peωθ:[ 0,1]→[0,1],prinωθ(t)=a(θ)·ω0(t)115

(Se vede c˘ aω0(t)=a(0)·ω0(t)=ω0(t) este coerent deﬁnit˘ a)Faptul c˘ a funct ¸iaω:[0,1]×[0,∞)→[0,1] dat˘ a prinω(t, θ)=ωθ(t)este (B[0,1]⊗B[0,∞),B[0,1])-m˘ asurabil˘ a, rezult˘ a din faptul c˘ aωeste continu˘ a (avemB[0,1]⊗B[0,∞)=B[0,1]×[0,∞))ˆIn plus, pentru oriceθ∈[0,∞), avem:rθ=sups,t∈[0,1]s/negationslash=t|ωθ(s)−ωθ(t)||s−t|=a(θ)·/bardblω0/bardblLImpunem ¸ si condit ¸ia/integraldisplay∞0/bardblRθ/bardblo·(1 +rθ)dW(θ)<∞,echivalent˘ a cu/integraldisplay∞0/bardblRθ/bardblodθ <∞.ˆIn cazul particular cˆ andRθ=e−θIpentru oriceθ∈[0,∞), avem/bardblRθ/bardblo=e−θ¸s icondit ¸ia se ˆ ındepline¸ ste.ˆIn acest caz, pentru oricef∈C(T,X), vom avea, dac˘ at∈[0,1]:H(f)(t)=/integraldisplay∞0(Rθ◦f◦ωθ)(t)dW(θ)=/integraldisplay∞0Rθ(f(a(θ)·ω0(t)))dθ=/integraldisplay∞0e−θf(a(θ)·ω0(t))dθ.ˆIn particular, dac˘ a lu˘ amx∈X¸s if(t)=t·xpentru oricet∈[0,1]:H(f)(t)=/integraldisplay∞0(e−θ·a(θ)·ω0(t))·xd θ=ω0(t)·/parenleftbigg/integraldisplay∞0e−θa(θ)dθ/parenrightbigg·xB. Cazul cˆ and toate aplicat ¸iileωθsunt constanteConsider˘ am ˆ ın schema general˘ a prezentat˘ a la ˆ ınceput situat ¸ia cˆ and, pentru oriceθ∈Θ, funct ¸iaωθ:T→Teste constant˘ a:ωθ(t)=tθ∈Tpentru oricet∈T.116

Putem deﬁniϕ:Θ→Tprinϕ(θ)=tθ. Rezult˘ a c˘ aω(t, θ)=ϕ(θ) pentru oricet∈T¸s iθ∈Θ, deciω−1(B)=T×ϕ−1(B) pentru oriceB∈BT.A¸ sadar, m˘ asurabilitatea luiωrevine la faptul c˘ aϕeste (Σ,BT)-m˘ asurabil˘ a. Evident,rθ= 0 pentru oriceθ∈Θ, deci trebuie s˘ a mai avem ¸ si/integraldisplay∞0/bardblRθ/bardblodθ <∞.Pentru oricef∈C(T,X),oriceθ∈Θ ¸ si oricet∈T,a v e mH(f)(t)=/integraldisplay(Rθ◦f◦ωθ)(t)dW(θ)=/integraldisplayRθ(f(ϕ(θ)))dW(θ)∈X,deci funct ¸iaH(f) este constant˘ a.ˆIncerc˘ am s˘ a urm˘ arim act ¸iunea operatoruluiHˆ ın acest caz. Pentru aceasta facemurm˘ atoareaRemarc˘ a.Dac˘ aV:Θ→Xeste integrabil˘ a Bochner ˆ ın raport cuW¸s ix∈X,atunci/parenleftbigg/integraldisplayV(θ)dW(θ),x/parenrightbigg=/integraldisplay(V(θ),x)dW(θ)(integrala din stˆ anga este Bochner, iar integrala din dreapta este integral˘ a Lebesgueabstract˘ a standard).Demonstrat ¸ia este similar˘ a cu demonstrat ¸ia faptului c˘ a, dac˘ aYeste un spat ¸iuBanach ¸ siS:X→Yeste un operator liniar ¸ si continuu, atunciS/parenleftbigg/integraldisplayV(θ)dW(θ)/parenrightbigg=/integraldisplay(S◦V)(θ)dW(θ).Revenind la problemele noastre, vom avea, pentru oriceν∈cabv(T,X)::/integraldisplayfdH(ν)=/integraldisplayH(f)dν.DeoareceH(f)=ϕT·/integraldisplayRθ(f(ϕ(θ)))dW(θ),rezult˘ a c˘ a/integraldisplayH(f)dν=/parenleftbiggRθ(f(ϕ(θ))),ν(T)/parenrightbigg=/parenleftbiggf/parenleftBigϕ(θ)/parenrightBig,R∗θ(ν(T))/parenrightbigg,117

adic˘ a/integraldisplayfdH(ν)=/parenleftbiggf(ϕ(θ)),R∗θ(ν(T))/parenrightbigg,undeR∗θeste adjunctul hilbertian al luiRθ.C. Cazul discretC1. Cazul ﬁnitˆIn schema init ¸ial˘ a, vom lua Θ ={1,2,···,M},Σ=P(Θ) ¸ siWm˘ asura cardinal.Urm˘ arim s˘ a calcul˘ am ˆ ın acest caz peH(ν), pentru oriceν∈cabv(T,X). Pentruaceasta, facem trei observat ¸ii preliminare:Remarc˘ a.[Schimbare de variabil˘ a] Pentru oricef∈C(T,X), oriceω:T→Tcontinu˘ a ¸ si oriceµ∈cabv(T,X), avem/integraldisplayfd(ω(µ)) =/integraldisplay(f◦ω)dµundeω(µ):BT→Xeste m˘ asura transportat˘ a, deﬁnit˘ a prinω(µ)(A)=µ(ω−1(A)).Veriﬁcare algebric˘ a u¸ soar˘ a pentrufsimpl˘ a,f=/summationtextni=1ϕAixi(deoarecef◦ω=/summationtextni=1ϕω−1(Ai)xi) ¸ si trecere la limit˘ a uniform˘ a pentruf∈C(T,X).Remarc˘ a.Pentru oricef∈C(T,X), oriceR∈L(X) ¸ si oriceµ∈cabv(T,X)a v e m/integraldisplay(R◦f)dµ=/integraldisplayfd(R∗◦µ)Veriﬁcare algebric˘ a u¸ soar˘ a pentrufsimpl˘ a ¸ si trecere la limit˘ a uniform˘ a pentruf∈C(T,X).Remarc˘ a.ˆIn contextul de mai sus, pentru oricef∈C(T,X), avemH(f)=M/summationdisplayi=1Ri◦f◦ωi.ˆIntr-adev˘ ar, dac˘ at∈T,a v e mH(f)(t)=/integraldisplay(Rθ◦f◦ωθ)(t)dW(θ)=M/summationdisplayi=1(Ri◦f◦ωi)(t).118

Teorema 4.5.1.ˆIn contextul de mai sus, pentru oriceν∈cabv(T,X), avemH(ν)=M/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν).Demonstrat ¸ie.Deoareceφeste biject ¸ie (izomorﬁsm antiliniar izometric), va ﬁ suﬁ-cient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ aφ(H(ν)) =φ/parenleftbiggM/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)/parenrightbigg,ceea ce este echivalent cu a ar˘ ata c˘ a, pentru oricef∈C(T,X), avemφ(H(ν))(f)=φ/parenleftbiggM/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)/parenrightbigg(f)(4.16)A¸ sadar, ﬁef∈C(T,X). Avem succesiv:φ(H(ν))(f)=(φ◦H)(ν)(f)=(H/primeC◦φ)(ν)(f)=H/primeC(φ(ν))(f)=(φ(ν)◦Hc)(f)=φ(ν)(HC(f))=/integraldisplayHC(f)dν= (Observat ¸ia 4.5)/integraldisplayM/summationdisplayi=1(Ri◦f◦ωi)dν=M/summationdisplayi=1/integraldisplay(Ri◦f)◦ωidν= (Observat ¸ia 4.5)M/summationdisplayi=1/integraldisplay(Ri◦f)d(ωi(ν))= (Observat ¸ia 4.5)M/summationdisplayi=1/integraldisplayfd(R∗i◦ωi(ν))=/integraldisplayfd/parenleftbiggM/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)/parenrightbigg=φ/parenleftbiggM/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)/parenrightbigg(f),adic˘ a ( 4.16).Remarc˘ a.Vom reveni cu considerat ¸ii suplimentare asupra acestui rezultat.C2. Cazul num˘ arabilˆIn schema int ¸ial˘ a, vom lua Θ =N∗={1,2,…,n ,…},Σ=P(Θ) ¸ siWm˘ asuradiscret˘ a.Prin urmare, se ˆ ındepline¸ ste condit ¸ia∞/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo·(1 +ri)<∞.119

Teorema 4.5.2.ˆIn contextul anterior, avem:1.Pentru oricef∈C(T,X):HC(f)=∞/summationdisplayi=1Ri◦f◦ωi(convergent ¸˘ a absolut˘ a ˆ ınC(T,X)).2.Pentru oriceν∈cabv(T,X):H(ν)=∞/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)(convergent ¸˘ a ˆ ıncabv(T,X)cu norma variat ¸ional˘ a).Demonstrat ¸ie.1.Deoarece/bardblRi◦f◦ωi/bardbl∞≤/bardblRi/bardblo·/bardblf/bardbl∞, rezult˘ a c˘ a seria∞/summationdisplayi=1Ri◦f◦ωiconverge absolut (deci ¸ si uniform, adic˘ a normal) ˆ ınC(T,X).Pentru oricet∈T,a v e mHC(f)(t)=/integraldisplay(Rθ◦f◦ωθ)(t)dW(θ)=∞/summationdisplayi=1(Ri◦f◦ωi)(t),convergent ¸a ﬁind absolut˘ a (adic˘ a integrarea Bochner este permis˘ a):/bardbl(Ri◦f◦ωi)(t)/bardbl=/bardblRi(f(ωi(t)))/bardbl≤/bardblRi/bardblo·/bardblf/bardbl∞.Suma uniform˘ a a seriei∞/summationdisplayi=1Ri◦f◦ωicoincide cu suma punctual˘ a a seriei∞/summationdisplayi=1Ri◦f◦ωi.2.Observ˘ am ˆ ıntˆ ai c˘ a, pentru oriceω:T→Tcontinu˘ a ¸ si oriceν∈cabv(T,X),avem/bardblω(ν)/bardbl≤/bardblν/bardbl(norm˘ a variat ¸ional˘ a).ˆIntr-adev˘ ar, ﬁeA1,A2,···,Ano partit ¸ie a luiTformat˘ a cu mult ¸imile (disjuncte)Ai∈BT. Atunci, pentrui/negationslash=javemω−1(Ai)∩ω−1(Aj)=φ¸s in∪i=1ω−1(Ai)=ω−1(T)=T, deciω−1(Ai),i=1,2,···,neste o partit ¸ie a luiTformat˘ a cumult ¸imi dinBT.120

A¸ sadar,n/summationdisplayi=1/bardblω(ν)(Ai)/bardbl=n/summationdisplayi=1/bardblν(ω−1(Ai))/bardbl≤|ν|(T)=/bardblν/bardbl,ceea ce implic˘ a/bardblω(ν)/bardbl≤/bardblν/bardbl.Rezult˘ a c˘ a seria∞/summationtexti=1R∗i◦ωi(ν) converge absolut ˆ ın spat ¸iul Banachcabv(T,X),pentru oriceν∈cabv(T,X).ˆIntr-adev˘ ar: se vede ˆ ıntˆ ai c˘ a, pentru oriceiavem/bardblR∗i◦ωi(ν)/bardbl≤/bardblR∗i/bardblo·/bardblωi(ν)/bardbl=/bardblRi/bardblo·/bardblωi(ν)/bardbl(veriﬁcare pe partit ¸ii). Apoi avem∞/summationdisplayi=1/bardblR∗i◦ωi(ν)/bardbl≤∞/summationdisplayi=1/bardblR∗i/bardblo·/bardblωi(ν)/bardbl≤∞/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo·/bardblν/bardbl<∞.Trecem acum la demonstrat ¸ia propriu-zis˘ a.Ca la Teorema 4.5.1, este suﬁcient s˘ a ar˘ at˘ am c˘ a, pentru oriceν∈cabv(T,X) ¸ si oricef∈C(T,X), avemφ/parenleftBigH(ν)/parenrightBig(f)=φ/parenleftbigg∞/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)/parenrightbigg(f)(4.17)ˆIntr-adev˘ ar, pentru astfel deν¸s if:φ(H(ν))(f)=(φ◦H)(ν)(f)=(H/primeC◦φ)(ν)(f)=(φ(ν)◦HC)(f)=φ(ν)(HC(f))=φ(ν)/parenleftbigg∞/summationdisplayi=1Ri◦f◦ωi/parenrightbigg=∞/summationdisplayi=1φ(ν)(Ri◦f◦ωi)(utilizˆ and convergent ¸a seriei∞/summationdisplayi=1Ri◦f◦ωiˆ ınC(T,X))=∞/summationdisplayi=1/integraldisplay(Ri◦f◦ωi)dν=∞/summationdisplayi=1/integraldisplay(Ri◦f)◦ωidν= (schimbare de variabile)∞/summationdisplayi=1/integraldisplay(Ri◦f)d(ωi(ν))=∞/summationdisplayi=1/integraldisplayfd(R∗i◦ωi(ν)) =/integraldisplayfd/parenleftbigg∞/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)/parenrightbigg121

Aici am folosit convergent ¸a absolut˘ aˆ ıncabv(T,X) a seriei/summationtext∞i=1R∗i◦ωi(ν) ¸ si faptulc˘ a integrala noastr˘ a seschiliniar˘ a si uniform˘ a deﬁne¸ ste o aplicat ¸ie seschiliniar˘ acontinu˘ a.Ultima valoare este exactφ/parenleftbigg∞/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)/parenrightbigg(f),adic˘ a am demonstrat ( 4.17)./square4.6 M˘ asuri invariante fractaleCu ajutorul operatoruluiH(cu variante), vom construi anumite contract ¸ii pe anu-mite spat ¸ii de m˘ asuri vectoriale. Aplicˆ and acestor contract ¸ii principiul contract ¸iilor(Banach-Caccioppoli-Picard) vom g˘ asi m˘ asuri puncte ﬁxe pe care le vom numim˘ asuri invariante sau fractale, ˆ ın spiritul modelului standard dat de operatorulMarkov.ˆIn mod concret, vom considera operatorulH:cabv(T,X)→cabv(T,X)¸ si normele deja introduse pecabv(T,X) sau pe subspat ¸iulcabv(T,X,0). Core-spunz˘ ator, avem normele operatoriale evaluate deja:/bardblH/bardblo,var≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)(vezi Teorema 4.4.8)/bardblH/bardblo,MK≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·(1 +rθ)dW(θ)(vezi Teorema 4.4.9)/bardblH1/bardblo≤/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ)(vezi Teorema 4.4.11)Vom impune condit ¸ii care s˘ a asigure aparit ¸ia de contract ¸ii, anume/integraldisplay/bardblRθ/bardblodW(θ)<1/integraldisplay/bardblRθ/bardblo(1 +rθ)dW(θ)<1/integraldisplay/bardblRθ/bardblo·rθdW(θ)<1(4.18)122

Contract ¸iile promise vor ﬁ construite cu ajutorul a dou˘ a scheme.Vom considera c˘ a una din condit ¸iile ( 4.18) se ˆ ındepline¸ ste.Prima schem˘ aConsider˘ am o mult ¸ime nevid˘ aA⊂cabv(T,X) cu proprietatea c˘ aH(A)⊂A.DeﬁnimH1:A→Aprin relat ¸iaH1(ν)=H(ν).Va rezulta c˘ a norma operatorial˘ a corespunz˘ atoare, notat˘ a generic prin/bardblH/bardblo,a r ecalitatea c˘ a/bardblH/bardblo<1 ¸ si,H1este contract ¸ie, de aceea/bardblH1(µ)−H1(ν)/bardbl ≤ /bardblH/bardblo·/bardblµ−ν/bardblA doua schem˘ aConsider˘ am o mult ¸ime nevid˘ aA⊂cabv(T,X) ¸ si o m˘ asur˘ aµo∈cabv(T,X)c uproprietatea c˘ aH(A)+µodef={H(µ)+µo|µ∈A}⊂A.DeﬁnimH2:A→AprinH2(µ)=H(µ)+µo.Va rezulta c˘ a norma operatorial˘ a corespunz˘ atoare, notat˘ a generic/bardblH/bardblo, are calitateac˘ a/bardblH/bardblo<1¸ s iH2este o contract ¸ie, deoarece/bardblH2(µ)−H2(ν)/bardbl ≤ /bardblH/bardblo·/bardblµ−ν/bardbl.Vom aplica ˆ ın mod concret aceste dou˘ a scheme ˆ ın cazul particular ﬁnit.Dup˘ a cum am v˘ azut (Teorema 4.5.1), ˆ ın acest caz avem formula (valid˘ a pentruoriceν∈cabv(T,X)):H(ν)=M/summationdisplayi=1R∗i◦ωi(ν)Vom lucra pentruR∗iˆ ın loc deRi, prin urmare, ˆ ın acest caz vom aveaH(ν)=M/summationdisplayi=1Ri◦ωi(ν)123

Deoarece/bardblR∗/bardblo=/bardblR/bardblo, putem folosi condit ¸iile ( 4.18) „traduse” ˆ ın acest caz ˆ ınformaM/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo<1M/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo(1 +ri)<1M/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo·ri<1(4.19)ˆIn cele ce urmeaz˘ a, vom simpliﬁca notat ¸iile, dup˘ a cum urmeaz˘ a:–scriemHˆ ın loc deH(nu este pericol de confuzie, ˆ ın baza acestei explicat ¸ii);–scriemcabv(X) ˆ ın loc decabv(T,X);Pentru oriceν∈cabv(X), introducem notat ¸ia special˘ acabv(X,ν)={µ∈cabv(X)|µ(T)=ν}Se vede c˘ a, dac˘ aν1¸s iν2sunt ˆ ıncabv(X,ν), rezult˘ a c˘ aν1−ν2∈cabv(X,0).(ne amintim c˘ acabv(X,0) =cabv(T,X,0))De asemenea, vom folosi, pentru oricea>0¸ s iν∈X, notat ¸iileBa(X)={µ∈cabv(X)|/bardblµ/bardbl≤a}(norma variat ¸ional˘ a)Ba(X,ν)=Ba(X)∩cabv(X,ν)Referitor la cazul ﬁnit, vom prezenta ˆ ın cele ce urmeaz˘ a cˆ ateva exemple concrete.Prezentarea urmeaz˘ a modul de expunere din comunicarea Ion Chit ¸escu, RaduMiculescu, Loredana Ioana, Lucian Nit ¸˘ a,Invariant (Fractal) Measures, prezentat˘ ala Madrid ˆ ın 7 iulie 2014 de Prof. Dr. Ion Chit ¸escu, ˆ ın cadrul conferint ¸ei 10thAIMS International Conference on Dynamical Systems, Diﬀerential Equations andApplications. (Abstracts of the 10thAIMS International Conference on DynamicalSystems, Diﬀerential Equations and Applications, 7-11 July, 2014, Madrid, pag 475)Dou˘ a construct ¸ii (cu ajutorul luiH)Ilustr˘ ari ale celor dou˘ a scheme124

Toate exemplele concrete vor ﬁ date pentruT=[ 0,1],M= 2 ¸ si contract ¸iileCantorω1:[ 0,1]→[0,1],ω1(t)=t3/parenleftbiggr1=13/parenrightbiggω2:[ 0,1]→[0,1],ω2(t)=23+t3/parenleftbiggr2=13/parenrightbiggA. Ilustr˘ ari ale modeluluiH1Consider˘ amX=Kn, unde 1≤n∈N. Presupunem c˘ a:a)Toateωisunt contract ¸ii;b)M/summationdisplayi=1Ri=1Kn;c)M/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo= 1, prin urmarec=M/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo·ri<1;d)v∈Kn,/bardblv/bardbl≤a(unde 0<a<∞).AtunciBa(Kn,v) este un spat ¸iu metric compact (deci complet) pentru metricadat˘ a prind∗MK(µ, ν)=/bardblµ−ν/bardbl∗MK.Fieφ/negationslash=A⊂Ba(Kn,v),Aˆ ınchis˘ a ˆ ın topologia generat˘ a de metrica de mai ˆ ınainte¸ si astfel ˆ ıncˆ atH(A)⊂A.DeﬁnimH1:A→AprinH1(µ)=H(µ).AtunciH1este o contract ¸ie (cu factorul de contract ¸ie≤c).Prin urmare exist˘ a o unic˘ a m˘ asur˘ a invariant˘ aµ∗∈A(adic˘ a punct ﬁx al luiH1:H1(µ∗)=H(µ∗)=µ∗.Remarc˘ a.M/summationdisplayi=1Ri=1Kn⇒1=/bardbl1Kn/bardblo≤M/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo¸s icondit ¸iaM/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo= 1 este extremal˘ a (poate ﬁ ˆ ındeplinit˘ a, conform urm˘ atorului rezultat)125

Astfel, consider˘ am urm˘ atorul model (ce reprezint˘ a generaliz˘ ari ale modelului clasic):ωi:T→Tsunt contract ¸ii,pi>0,i∈{1,…,M},c uM/summationdisplayi=1pi= 1. M˘ asura fractal˘ aµ∗reprezint˘ a unica m˘ asur˘ a de probabilitateµ∗:B→[0,1] cu proprietatea c˘ aµ∗=M/summationdisplayi=1piωi(µ∗).Modelul nostru va cont ¸ine modelul clasic, anume dac˘ aX=K,Ri:K→K,Ri(t)=pit,i∈{1,…,M},v= 1 (deci 1≤a<∞).Lu˘ amA={µ∈Ba(K,1)|µ≥0}format˘ a din probabilit˘ at ¸iµ:B→[0,1]Avem (ˆ ıntr-adev˘ ar):M/summationdisplayi=1Ri=1K,M/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo=M/summationdisplayi=1pi=1,ceea ce va implica existent ¸a ¸ si unicitatea m˘ asurii invariante.S˘ a lu˘ am un alt exemplu concret.Lucr˘ am cun=2 .Fie 0<α<1. DeﬁnimR1,R2∈L(K2) prin:R1≡/parenleftBiggα00α/parenrightBigg,deci/bardblR1/bardblo=αR2≡/parenleftBigg1−α001−α/parenrightBigg,deci/bardblR2/bardblo=1−α.AtunciR1+R2=1K2¸s i/bardblR1/bardblo+/bardblR2/bardblo=1 .Dac˘ a lu˘ ama=√2¸ s iv=( 1,1), adic˘ a/bardblv/bardbl=a, rezult˘ a c˘ a exist˘ a m˘ asurainvariant˘ aµ∗=(µ∗1,µ∗2)∈B√2(K2,(1,1)).Ecuat ¸ia de invariant ¸˘ aH1(µ∗)=µ∗se va traduce prin:Pentru oriceB∈B, avem:R1(µ∗((3B)∩[0,1]))) +R2(µ∗((3B−2)∩[0,1])) =µ∗(B))⇔/parenleftBiggα00α/parenrightBigg/parenleftBiggµ∗1((3B)∩[0,1])µ∗2((3B)∩[0,1])/parenrightBigg++/parenleftBigg1−α001−α/parenrightBigg/parenleftBiggµ∗1((3B−2)∩[0,1])µ∗2((3B−2)∩[0,1])/parenrightBigg=/parenleftBiggµ∗1(B)µ∗2(B)/parenrightBigg⇔αµ∗i((3B)∩[0,1]) + (1−α)µ∗i((3B−2)∩[0,1]) =µ∗i(B),126

pentru oricei∈{1,2}.Deciµ∗1=µ∗2∈cabv(K), cuµ∗i([0,1]) = 1∀i∈{1,2}(egale cu unica m˘ asur˘ a deprobabilitate invariant˘ a pentru schema cup1=α¸s ip2=1−α).Exemplu de calculµ∗i({0})=µ∗i/parenleftbigg/braceleftbigg13/bracerightbigg/parenrightbigg=µ∗i/parenleftbigg/braceleftbigg23/bracerightbigg/parenrightbigg=µ∗i({1})=µ∗i/parenleftbigg/bracketleftbigg13,23/bracketrightbigg/parenrightbigg=0 ;µ∗i/parenleftbigg/bracketleftbigg0,13/bracketrightbigg/parenrightbigg=α;µ∗i/parenleftbigg/bracketleftbigg23,1/bracketrightbigg/parenrightbigg=1−α.B. Prima ilustrare a modeluluiH2Se presupune c˘ a:a)d=M/summationtexti=1/bardblRi/bardblo<1b)µ0∈cabv(X),/bardblµ0/bardbl+a·/parenleftBiggM/summationtexti=1/bardblRi/bardblo/parenrightBigg≤a, unde 0<a<∞.AtunciA=Ba(X) este spat ¸iu metric complet pentru metrica dat˘ a prind(µ, ν)=/bardblµ−ν/bardbl.DeﬁnimH2:A→AprinH2(µ)=H(µ)+µ0.AtunciH2este o contract ¸ie (cu factorul de contract ¸ie≤d). Prin urmare, exist˘ a ounic˘ a m˘ asur˘ a invariant˘ aµ∗∈A(adic˘ a punct ﬁx al luiH2):H2(µ∗)=H(µ∗)+µ0=µ∗.Exemplu concreti)Orice funct ¸ie continu˘ aF:[ 0,1]2→Kcu/bardblF/bardbl= sup{/bardblF(x, y)/bardbl|(x, y)∈[0,1]2}=Mgenereaz˘ a operatorul liniar ¸ si continuuR:L2(λ)→L2(λ)(undeλeste m˘ asura Lebesgue pe [0,1]) dat prinR(˜f)=˜gdup˘ a cum urmeaz˘ a:127

g:[ 0,1]→Keste funct ¸ia continu˘ a deﬁnit˘ a pring(x)=/integraldisplay10F(x, y)f(y)dλ(y).Avem/bardblR/bardbl0≤M. S˘ a aplic˘ am acest exemplu pentru 0<a<∞,X=L2(λ).Presupunem c˘ aFi:[ 0,1]2→Ksunt funct ¸ii continue cuMi=sup{|Fi(x, y)||(x, y)∈[0,1]2}≤14generˆ and ca mai ˆ ınainteRi:X→X,i∈{1,2}.Fieµ0∈cabv(X),/bardblµ0/bardbl≤a2. Atunci rezult˘ a c˘ a/bardblµ0/bardbl+a(/bardblR1/bardblo+/bardblR2/bardblo)≤a¸s i/bardblR1/bardblo+/bardblR2/bardblo≤12<1.Teorema funct ¸ioneaz˘ a ˆ ın acest caz.ii)Exemplu numeric Lu˘ ama=1¸ s iF1(x, y)=14xy(cuM1=14),F2(x, y)=14x2y2(cuM2=14)Deﬁnim m˘ asuram∈cabv(X) astfel:Pentru oriceB∈B, ﬁehB:[ 0,1]→K] funct ¸ia continu˘ a deﬁnit˘ a prinhB(t)=λ(B∩[0,t]).Obt ¸inemm∈cabv(X)=cabv(L2(λ)) dat˘ a prinm(B)=˜hB,∀B∈BAvem:/bardblm/bardbl=23.Consider˘ amµ0=12m∈cabv(X). Atunci/bardblµ0/bardbl=13.Pentrua=1 :/bardblµ0/bardbl+a(/bardblR1/bardblo+/bardblR2/bardblo)=/bardblµo/bardbl+/bardblR1/bardblo+/bardblR2/bardblo≤13+14+14<1128

M˘ asura invariant˘ aµ∗∈B1(X)=B1(L2(λ))ˆ ındepline¸ ste ecuat ¸ia de invariant ¸˘ a (pentru oriceB∈B):R1(µ∗((3B)∩[0,1])) +R2(µ∗((3B−2)∩[0,1])) +µ0(B)=µ∗(B).S˘ a scriem, pentru oriceB∈B,µ∗(B)=˜gB,c ugB:[ 0,1]→K, gB∈L2(λ).ˆIn particular,g[0,1]def=ϕ.Pentru oricex∈[0,1]:ϕ(x)=12x+14/parenleftbiggx/integraldisplay10yϕ(y)dλ(y)+x2/integraldisplay10y2ϕ(y)dλ(y)/parenrightbiggecuat ¸ia integral˘ aC. A doua ilustrare a modeluluiH2S˘ a consider˘ amX=Kn,1≤n∈N. Presupunem c˘ a:a)Toateωisunt contract ¸ii;b)e=M/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo(1 +ri)<1; (ˆ ın particular, aceast˘ a condit ¸ie se ˆ ındepline¸ ste dac˘ aM/summationtexti=1/bardblRi/bardblo<12).c)µ0∈cabv(Kn),/bardblµ0/bardbl+a/parenleftBiggM/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo/parenrightBigg≤a, unde 0<a<∞.AtunciA=Ba(Kn) spat ¸iu metric compact (deci ¸ si complet) cu metrica dat˘ aprindMK(µ, ν)=/bardblµ−ν/bardblMK.DeﬁnimH2:A→AprinH2(µ)=H(µ)+µ0.AtunciH2va ﬁ o contract ¸ie (avˆ and factorul de contract ¸ie≤e). Atunci exist˘ a ounic˘ a m˘ asur˘ a invariant˘ aµ∗∈A(adic˘ a punct ﬁx al luiH2):H2(µ∗)=H(µ∗)+µ∗=µ∗.129

S˘ a lu˘ am un exemplu concret.Consider˘ amn=2¸ s iµ0=14(λ, δ0),/bardblµ0/bardbl=12, undeλeste m˘ asura Lebesgue pe[0,1], iarδ0este m˘ asura Dirac (pe [0,1]) concentrat˘ a ˆ ın 0.S˘ a lu˘ amR1=110P1,R2=110P2, undeR1,R2∈L(K2):P1≡/parenleftBigg1021/parenrightBigg,P2≡/parenleftBigg102−1/parenrightBigg.Cum/bardblP1/bardblo=/bardblP2/bardblo=1+√2, rezult˘ a c˘ a/bardblR1/bardblo+/bardblR2/bardblo=1+√25<12.S˘ a lu˘ ama= 1. Atunci/bardblµ0/bardbl+a/parenleftBiggM/summationdisplayi=1/bardblRi/bardblo/parenrightBigg=/bardblµ0/bardbl+/bardblR1/bardblo+/bardblR2/bardblo=12+1+√25<1=a.Teorema funct ¸ioneaz˘ a ˆ ın acest caz, iar m˘ asura invariant˘ a obt ¸inut˘ aµ∗=(µ∗1,µ∗2)∈B1(K2)ˆ ındepline¸ ste ecuat ¸ia de invariant ¸˘ a (pentru oriceB∈B):1100210110/parenleftBiggµ∗1((3B)∩[0,1])µ∗2((3B)∩[0,1])/parenrightBigg+1100210−110/parenleftBiggµ∗1((3B−2)∩[0,1])µ∗2((3B−2)∩[0,1])/parenrightBigg+14λ(B)14δ0(B)=/parenleftBiggµ∗1(B)µ∗2(B)/parenrightBigg.Exemple de calcule:µ∗1({0})=0,µ∗2({0})=518µ∗1({1})=0,µ∗2({1})=0µ∗1/parenleftbigg/braceleftbigg13/bracerightbigg/parenrightbigg=0,µ∗2/parenleftbigg/braceleftbigg13/bracerightbigg/parenrightbigg=0µ∗1/parenleftbigg/braceleftbigg23/bracerightbigg/parenrightbigg=0,µ∗2/parenleftbigg/braceleftbigg23/bracerightbigg/parenrightbigg=−136µ∗1([0,1]) =516,µ∗2([0,1]) =38./square130

Bibliograﬁe[1]P. Arnoux, S. Starosta,The Rauzy Gasket, In Further Developments in Fractals andRelated Fields, J.Barral, S.Seuret (Editors), Birkh¨ auser, 2013,1-23.[2]C. Bandt,Simple Inﬁnitely Ramiﬁed Self-Similar Sets. In Recent Developments inFractals and Related Fields, J.Barral, S.Seuret (Editors), Birkh¨ auser, 2010, 235-249.[3]M. F. Barnsley,Fractals everywhere, Academic Press Professional, Boston,1993[4]M. F. Barnsley,Superfractals, Cambridge University Press, Cambridge, 2006.[5]M. F. Barnsley, J. E. Hutchinson,¨O. Stenﬂo,V-variable fractals: Fractals with partialself similarity, Advances in Mathematics 218 (2008), 2051-2088.[6]K. Baron, A. Lasota,Markov operators on the space of vector measures, colouredfractals, Ann. Pol. Math., 69 (1998), 217-234.[7]V. Berinde,Iterative approximation of ﬁxed points(Lecture Notes in Mathematics),2nd Rev. and Enlarged Ed., 2007.[8]P. Billingsley,Convergence of Probability measures, John Wiley&Sons, 1968.[9]R. M. Dudley,Real Analysis and Probability, Wadswords&Brooks,1989.[10]I. Chit ¸escu,Spat ¸ii de funct ¸ii, Ed. S ¸tiint ¸iﬁc˘ a ¸ si Enciclopedic˘ a, Bucure¸ sti, 1983.[11]I. Chit ¸escu, N. Secelean,Elemente de teoria m˘ asurii ¸ si integralei, Editura Fundat ¸iei,,Romˆ ania de Mˆ aine“ Bucure¸ sti, 1999.[12]I. Chit ¸escu, R. Miculescu,Approximation of Fractals Generated by Fredholm IntegralEquations, J. Comput. Analysis Appl.,11, no 2 (2009), 286-293[13]I. Chit ¸escu, H. Georgescu, R. Miculescu,Approximation of Inﬁnite Dimensional Frac-tals Generated by Integral Equations, J. Comp. Appl. Math.,234, no 5 (2010),1417-1425.[14]I. Chit ¸escu, H. Georgescu, R. Miculescu,Approximation of Fractals Generated byHammerstein-Type Operators, In Handbook on the Classiﬁcation and Application ofFractals, K.J.Brennan (Editor), Nova Science Publishers, Inc,New York, 2012, 355-371[15]I. Chit ¸escu, L. Ioana, R. Miculescu,TypeASets and the Attractors of Inﬁnite IteratedFunction Systems, Results Math. 66 (2014), 511-524.[16]I. Chit ¸escu, R. Miculescu, L. Ioana, L. Nit ¸˘ a,Sesquilinear Uniform Vector Integral,Proc. Indian Acad. Sci (Math.Sci.), vol 125, no 2 (2015),187-198.131

[17]I. Chit ¸escu, R. Miculescu, L. Nit ¸˘ a, L. Ioana,Monge-Kantorovich Norms on Spaces ofVector Measures, Results in Mathematics, 2016, Springer International Publishing,DOI 10.1007/s00025-016-0531-1.23 (in print).[18]R. Cristescu,Not ¸iuni de analiz˘ a funct ¸ional˘ a liniar˘ a, Ed. Acad. Romˆ ane, Bu-cure¸ sti,1998.[19]J. Diestel, J. J. Uhl Jr.,Vector Measures, American Mathematical Society, Provi-dence, Rhode Island, 1977[20]N. Dinculeanu,Teoria m˘ asurii ¸ si funct ¸ii reale, Editura Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a, Bu-cure¸ sti, 1964.[21]N. Dinculeanu,Vector Measures,VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften,Berlin,1966.[22]N. Dunford, J. T. Schwartz,Linear OperatorsPart I:General Theory, 1957; Part III:Spectral Operators, 1971. Interscience Publishers, Inc, NewYork, London, Sydney,Toronto.[23]K. Falconer,Random fractals, Math.Proc.Cambridge Philos.Soc., 100 (1986), 559-582.[24]K. Falconer,Fractal Geometry(third edition), Wiley, 2014.[25]P. Fatou,Sur les ´ equations fonctionnelles, Bull. Soc. Math. France, 47 (1919),161-271.[26]H. Federer,Geometric measure theory, Grundlehren Math.Wiss, Band 153, Springer-Verlag, New York Inc, 1969.[27]O. Van Gaans,Probability measures on metric spaces(articol online)[28]P. R. Halmos,Measure Theory, D.Van Nostrand Company, Inc (eleventh print-ing),1966.[29]J. E. Hutchinson,Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J. 30 (1981), 713-741.[30]G. Julia,M´ emoire sur l’iteration des fonctions rationnelles, J. Math. Pures Appl., 4(1918), 47-245.[31]L.V. Kantorovici, G. P. Akilov,Analiz˘ a funct ¸ional˘ a, Ed. S ¸tiint ¸iﬁc˘ a ¸ si Enciclopedic˘ a,Bucure¸ sti, 1986.[32]J. L. Kelley,General Topology, American Book-Van Nostrand-Reinhold, 1969.[33]J. Kigami,Analysis on Fractals, Cambridge University Press, 2001.132

[34]A. S. Kravchenko,Completeness of the space of separable measure in Kantorovici-Rubinshtein metric, Sibirsk. Mat. Zh., 47(1) (2006), 85-96.[35]B. B. Mandelbrot,The Fractal Geometry of Nature, W. H. Freeman and Com-pany,New York, 1983.[36]R. D. Mauldin, M. Urbanski,Dimensions and measures in inﬁnite iterated functionsystems, Proc. London Math. Soc. 73 (1996), 105-154.[37]F. Mendivil,A generalization of IFS with probabilities to inﬁnitely many maps,R o c k yMountain J.Math.28, no.3 (1998).[38]F. Mendivil, E. R.Vrscay,Self-aﬃne vector measures and vector calculus on fractals.In Fractals in Multimedia M.F.Barnsley, D.Saupe, E.R.Vrscay (Editors), Springer2002, p 137-157.[39]R. Miculescu, A. Mihail,Lipscomb’s spaceωAis the attractor of an inﬁnite IFScontaining aﬃne transformations ofl2(A), Proc. Amer. Math. Soc. 136 (2008), 587-592.[40]R.Miculescu, L.Ioana,Some connections between the attractors of on IIFSSand theattractors of the sub-IFSs ofS, Fixed Point Theory Appl. 141 (2012).[41]A. Mihail, R. Miculescu,The shift space for an inﬁnite iterated function system,Math. Reports 11 (61), 1 (2009), 21-32.[42]J. Milnor,Dynamics in One Complex Variable. Introductory Lectures (3rd ed),Princeton University Press, Princeton, 2006.[43]M. Nicolescu,Funct ¸ii reale ¸ si elemente de topologie, Editura Didactic˘ a ¸ si Pedagogic˘ a,Bucure¸ sti,1968.[44]S. C. Rachev,Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models, John Wi-ley&Sons,1991.[45]I. A. Rus, A. Petru¸ sel, G. Petru¸ sel,Fixed point theory, Cluj University Press, Cluj-Napoca, 2008, xx+509 pp. ISBN:978-973-610-810-5.[46]N. Secelean,M˘ asur˘ a ¸ si fractali, Editura Univ. ,,Lucian Blaga“, Sibiu, 2002.[47]C. Tudor,Teoria probabilit˘ at ¸ilor, Editura Universit˘ at ¸ii din Bucure¸ sti, 2004.133

Copyright Notice

© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.

Acest articol: ܇COALA DOCTORAL Ă DE MATEMATIC Ă TEZ Ă DE DOCTORAT GENERALIZ ĂRI ALE SISTEMELOR ITERATIVE DE FUNC ܉II Conduc ător ܈tiin܊ific Prof. Univ. Dr. Ion CHI… [620592] (ID: 620592)

Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.

܇COALA DOCTORAL Ă DE MATEMATIC Ă TEZ Ă DE DOCTORAT GENERALIZ ĂRI ALE SISTEMELOR ITERATIVE DE FUNC ܉II Conduc ător ܈tiin܊ific Prof. Univ. Dr. Ion CHI… [620592]

Copyright Notice

ProiectEXCELDOC – POSDRU1591.5S132397 [623868]

L’identit é féminine qu ébécoise dans l’œuvre de Marie -Claire Blais CONDUCĂTOR ȘTIINȚIFIC , Prof. u niv. dr. Elena -Brândușa Steiciuc DOCTORAND ,… [623447]

FACULTY OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE PhD Thesis Stochastic models in actuarial science. Theoretical contributions and applications Scienti c… [614331]

Configurarea repetitivă și automat ăde la [616117]

1 Universitatea „Babeș -Bolyai” Cluj -Napoca Facultatea de Istorie și Filosofie Catedra de Istoria Filosofiei Antice și Medievale MODERNIZAREA ȚĂRII… [608694]

I. Hermeneutica, o perspectivă literară și teologică [609968]

Copyright Notice

Similar Posts