Clasic sau Modern In Predarea Divizibilitatii In Gimnaziu
CLASIC SAU MODERN IN PREDAREA DIVIZIBILITĂȚII ÎN GIMNAZIU?
LUCRARE METODICO–ȘTIINȚIFICĂ PENTRU
OBȚINEREA GRADULUI DIDACTIC I
– MATEMATICĂ –
STRUCTURA LUCRĂRII
CUVÂNT INTRODUCTIV
Capitolul I. DIVIZIBILITATEA NUMERELOR. NOȚIUNI TEORETICE
I.1. Divizibilitatea numerelor naturale
I.2. Divizibilitatea numerelor întregi
Capitolul II. DIVIZIBILITATEA ÎN GIMNAZIU. CONSIDERAȚII METODICE
II.1. Locul și rolul divizibilității în gimnaziu
II.2. Demersul metodic al proiectării unui opțional
II.3. Divizibilitatea în rezolvarea de exerciții și probleme
Capitolul III. METODE TRADIȚIONALE VERSUS METODE MODERNE UTILIZATE ÎN PROIECTAREA CURRICULARĂ A DIVIZIBILITĂȚII
III.1.Metode utilizate în procesul de predare–învățare–evaluare
III.2.Cercetare pedagogică privind eficiența metodelor activ-participative în dezvoltarea creativității și a gândirii critice
ANEXE
BIBLIOGRAFIE
CUPRINS
CUVÂNT INTRODUCTIV
Capitolul I. DIVIZIBILITATEA NUMERELOR. NOȚIUNI TEORETICE
I.1. Divizibilitatea numerelor naturale
I.1.1. Relația de divizibilitate
I.1.2. Proprietățile relației de divizibilitate
I.1.3. Criterii de divizibilitate
I.1.4. Mulțimea divizorilor și mulțimea multiplilor unui număr natural
I.1.5. Numere prime
I.1.6. Scrierea unui număr natural ca produs de numere prime
I.1.7. Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun al mai multor numere naturale
I.1.8. Multipli comuni. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale
I.1.9. Numere pare. Numere impare
I.2. Divizibilitatea numerelor întregi
I.2.1. Divizibilitatea numerelor întregi
I.2.2. Congruențe
Capitolul II. DIVIZIBILITATEA ÎN GIMNAZIU. CONSIDERAȚII METODICE
II.1. Locul și rolul divizibilității în gimnaziu
II.1.1. Poziția matematicii în gimnaziu
II.1.2. Aspecte metodice privind predarea divizibilității în gimnaziu
II.2. Demersul metodic al proiectării unui opțional
II.2.1. Principii ale proiectării ale unui CDȘ
II.2.2. Demersul metodic privind proiectarea opționalului „Secretele matematicii”
II.2.3.Teme pentru activități opționale care pot apropia elevii de matematică
II.3. Divizibilitatea în rezolvarea de exerciții și probleme
II.3.1. Exerciții tipice
II.3.2. Exerciții pentru olimpiade și concursuri
II.3.3. Aplicații practice ale divizibilității
Capitolul III. METODE TRADIȚIONALE VERSUS METODE MODERNE UTILIZATE ÎN PROIECTAREA CURRICULARĂ A DIVIZIBILITĂȚII
III.1.Metode utilizate în procesul de predare–învățare–evaluare
III.2.Cercetare pedagogică privind eficiența metodelor activ-participative în dezvoltarea creativității și a gândirii critice
III.2.1. Metodologia cercetării
III.2.2. Concluzii și propuneri.
BIBLIOGRAFIE
ANEXE
CUVÂNT INTRODUCTIV
Pornind de la titlu, „Clasic sau sau modern în predarea divizibilității în gimnaziu?”, am încercat prin această lucrare să dau și un răspuns la întrebare.
Profesorul de matematică, dar și ceilalți profesori, funcționează într-un sistem educațional care de mai mulți ani este într-o continuă schimbare. Modelele pe care le-am avut noi în formarea noastră inițială au dezvoltat un sistem de învățământ tradițional, ce își are calitățile lui de necontestat, dar care la acest moment, nu mai răspunde nevoilor societății.
Matematica este considerată de mulți elevi o materie „grea” pentru că este greu să înveți dacă nu înțelegi, pentru că este greu să înțelegi dacă nu înveți fiecare lecție, pentru că profesorului întotdeauna i se pare matematica logică și frumoasă, iar elevii nu au întotdeauna aceeași părere. Din această cauză, rolul profesorului de matematică nu poate fi unul singur, cel tradițional, și anume de a comunica informațiile. El trebuie să fie:
model – profesorul oferă elevului reperele necesare pentru a atinge țintele propuse. Elevul acceptă provocarea și pornește în călătorie alături de profesor.
prieten – profesorul este un prieten la care elevul poate apela atunci când are nevoie. Profesorul sprijină, ascultă și ajută elevul.
călăuză – în călătoria cunoașterii, profesorul cunoaște reperele și prezintă elevului alternativele și soluțiile optime pentru atingerea unei ținte. Relația se bazează pe respect reciproc. Profesorul nu dictează răspunsuri, ci oferă direcții pentru ajungerea la destinație.
magician – pregătirea temeinică a profesorului îi oferă această postură prin care îi îndrumă pe elevi să folosească obiectele și instrumentele pentru învățare.
consilier – profesorul este cel de la care elevii așteaptă sfatul cel mai bun.
maestru – profesorul oferă imaginea standardelor de cunoaștere și acțiune, îl așteaptă pe elev să obțină cunoștințe, abilități, competențe.
susținător – profesorul este alături de elevii săi, este sprijin pentru depășirea dificultăților întâmpinate în învățare.
facilitator – profesorul nu oferă cunoaștere, ci face posibil accesul copilului la cunoaștere.
Lecțiile de matematică nu pot fi doar concepute modern sau clasic, nu poate să predomine una dintre cele două posibilități. Elevul nu numai ascultă, ci caută, găsește răspunsuri adecvate, nu numai înregistrează informația, ci creează, își imaginează, descoperă și argumentează cu exemple personale.
Modern nu are semnificația de ceva mai bun decât clasic, ci mai degrabă de ceva nou, diferit de ceea ce este considerat a fi clasic și e o alternativă la metodele clasice.
Metodele moderne nu sunt, prin ele însele, nici mai bune, nici mai rele decât cele clasice, ci mai degrabă reprezintă o altă modalitate de a evalua rezultatele învățării elevilor, diferită de cea consacrată, dar aflată în raport de interdependență și complementaritate cu modalitatea clasică, arhicunoscută și practicată, cu predilecție, în școală.
Am pornit de la ideea determinării locului și rolului metodelor moderne în predarea învățarea și evaluarea divizibilității în gimnaziu, în cadrul ansamblului metodelor și tehnicilor practicate în școală.
Încercarea de a realiza această lucrare se concretizează în special prin punerea în evidență a cât mai multe și rodnice cunoștințe despre divizibilitatea numerelor, despre cum pot fi folosite aceste cunoștințe de către elevi pentru dezvoltarea gândirii critice a lor, asigurând posibilitatea de a-și construi propria înțelegere.
Lucarea conține trei capitole:
Capitolul I – Divizibilitatea numerelor. Noțiuni teoretice
Capitolul II – Divizibilitatea în gimnaziu. Considerații metodice
Capitolul III – Metode tradiționale versus metode moderne utilizate în proiectarea curriculară a divizibilității
Primul capitol se ocupă de prezentarea noțiunilor teoretice, în tratarea temei abordate și anume: relația de divizibilitate, proprietățile relației de divizibilitate, criterii de divizibilitate, mulțimea divizorilor și mulțimea multiplilor unui număr natural, numere prime, scrierea unui număr natural ca produs de numere prime, divizori comuni – cel mai mare divizor comun al mai multor numere naturale, multipli comuni – cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale, numere pare, numere impare, divizibilitatea numerelor întregi și congruențe.
Capitolul al doilea tratează metodic divizibilitatea în gimnaziu. Am stabilit locul și rolul divizibilității în programa școlară. Am acordat o importanță deosebită proiectării unui opțional, intitulat „Secretele matematicii”, deoarece procesul didactic necesită o nouă abordare a activității, mai flexibilă și mai apropiată de experiențele reale ale elevilor. Opționalul este o soluție medodologică adecvată în încercarea de a moderniza aspecte ale procesului de învățământ. Am propus câteva teme legate de divizibilitate care ar putea stârni interesul, de a stimula elevul să antreneze inițiativă, imaginație, creativitate și dorința de a învăța: magia numerelor prime, metode de determinare a c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. diferite de cele clasice, divizibilitatea și numere spectaculoase, trucuri de magie matematică. La finalul capitolului, am prezentat diferite tipuri de exerciții clasice, practice și pentru performanță.
În capitolul al treilea, m-am ocupat de cercetarea pedagogică privind eficiența metodelor activ-participative în dezvoltarea creativității și a gândirii critice. Am realizat un experiment la două clase de a VI-a, în care să evidențiez rolul abordării strategiilor moderne în activitatea de predare–învățare–evaluare. Experimentul s-a desfășurat pe parcursul a două luni, timpul alocat predării unității de învățare Divizibilitatea numerelor naturale. La una dintre clase au predominat metodele clasice, iar la cealaltă am abordat o strategie modernă care a inclus metode activ-participative de învățare. S-au aplicat teste inițiale și finale, identice la ambele clasice, am interpretat rezultatele cercetării comparând evoluțiile celor două clase, confirmând ipoteza de la care am plecat: dacă voi utiliza metode și tehnici de stimulare a gândirii critice și creativității individuale și de grup în cadrul lecțiilor de matematică, acestea vor determina revigorarea și menținerea interesului pentru matematică a elevului.
În concluzie, prin aplicarea sistematică a metodelor și tehnicilor interactive, în combinație cu cele tradiționale, în cadrul lecțiilor de matematică, se pot matematic declanșa, în dezvoltarea elevului, procese intelectuale superioare și anume: creativitatea, inventivitatea, capacitatea de analiză și cea integrativă, aplicabilitatea, atât de necesare omului de astăzi, pentru a face față unei lumi aflată într-o perpetuă schimbare.
CAPITOLUL I
DIVIZIBILITATEA NUMERELOR. NOȚIUNI TEORETICE
I.1. RELAȚIA DE DIVIZIBILITATE. PROPRIETĂȚI
I.1.1. Relația de divizibilitate
In cadrul acestui capitol vom studia proprietățile relației de divizibilitate între numere naturale însoțite de o serie de rezultate de bază din teoria divizibilității, utile în aplicații.
Pentru definirea relației de divizibilitate este necesară teorema împărțirii cu rest, rezultat important în teoria numerelor.
TEOREMĂ(a împărțirii cu rest). Fie a, b și b0. Atunci există și sunt unice q, r astfel încât: =, .
Numerele r și q se numesc restul, respectiv câtul împărțirii lui a la b.
Demonstrație:
Dacă astfel încât: . Presupunem că , ( și fie . Fie r cel mai mic element din. Deci astfel încât . Este evident că .
Să arătăm că . Presupunem, prin reducere la absurd, că . Deci . Rezultă că:
Dar , ceea ce contrazice alegerea lui r. Prin urmare, cum și =, unde , , iar r și q sunt tocmai restul și câtul împărțirii.
Unicitatea câtului și a restului
Fie Presupunem , deci și Cum , rezultă , fals. Urmează și q.e.d.
Facem observația că, dacă restul împărțirii a două numere naturale este 0, atunci împărțirea se face exact. Acestă situație ne determină să studiem astfel de numere.
Considerăm numerele naturale a și b.
Definiție: Un număr natural b spunem că divide numărul natural a dacă există astfel încât .
Notăm faptul că b divide pe a cu și spunem că b este divizor al lui a sau a este multiplu al lui b. In aplicații mai folosim și următoarea notație: .
Exemple:
6 se divide cu 2, pentru că există numărul natural 3, astfel încât . Spunem: “6 este divizibil cu 2”, “2 divide pe 6”, “2 este divizor al lui 6”, “6 este multiplu al lui 2”.
7 nu este divizibil cu 2, pentru că nu există niciun număr natural astfel încât înmulțindu-l cu 2 să obținem pe 7. Scriem 2; se citește „2 nu divide pe 7”.
Am văzut că 2 este divizor al lui 6, iar 6 este multiplu al lui 2.
14 este multiplu al lui 7, iar 10 nu este multiplu al lui 4.
Observație. Pentru orice număr natural , mulțimea multiplilor săi este infinită.
I.1.2. Proprietățile relației de divizibilitate
I. Numărul 3 este divizibil cu 1, pentru că există un număr natural și anume 3, astfel încât .
0 este divizibil cu 1, pentru că există un număr natural, și anume 0, astfel încât .
Analog, 5 este divizibil cu 1, 14 este divizibil cu 1 ș.a.m.d.
Ne punem întrebarea: Orice număr natural are proprietatea de a fi divizibil cu 1?
Să considerăm propoziția :
(1) Orice număr natural este divizibil cu 1.
Vom dovedi că această propoziție este adevăr
Să arătăm că . Presupunem, prin reducere la absurd, că . Deci . Rezultă că:
Dar , ceea ce contrazice alegerea lui r. Prin urmare, cum și =, unde , , iar r și q sunt tocmai restul și câtul împărțirii.
Unicitatea câtului și a restului
Fie Presupunem , deci și Cum , rezultă , fals. Urmează și q.e.d.
Facem observația că, dacă restul împărțirii a două numere naturale este 0, atunci împărțirea se face exact. Acestă situație ne determină să studiem astfel de numere.
Considerăm numerele naturale a și b.
Definiție: Un număr natural b spunem că divide numărul natural a dacă există astfel încât .
Notăm faptul că b divide pe a cu și spunem că b este divizor al lui a sau a este multiplu al lui b. In aplicații mai folosim și următoarea notație: .
Exemple:
6 se divide cu 2, pentru că există numărul natural 3, astfel încât . Spunem: “6 este divizibil cu 2”, “2 divide pe 6”, “2 este divizor al lui 6”, “6 este multiplu al lui 2”.
7 nu este divizibil cu 2, pentru că nu există niciun număr natural astfel încât înmulțindu-l cu 2 să obținem pe 7. Scriem 2; se citește „2 nu divide pe 7”.
Am văzut că 2 este divizor al lui 6, iar 6 este multiplu al lui 2.
14 este multiplu al lui 7, iar 10 nu este multiplu al lui 4.
Observație. Pentru orice număr natural , mulțimea multiplilor săi este infinită.
I.1.2. Proprietățile relației de divizibilitate
I. Numărul 3 este divizibil cu 1, pentru că există un număr natural și anume 3, astfel încât .
0 este divizibil cu 1, pentru că există un număr natural, și anume 0, astfel încât .
Analog, 5 este divizibil cu 1, 14 este divizibil cu 1 ș.a.m.d.
Ne punem întrebarea: Orice număr natural are proprietatea de a fi divizibil cu 1?
Să considerăm propoziția :
(1) Orice număr natural este divizibil cu 1.
Vom dovedi că această propoziție este adevărată.
Fie un număr natural a. Evident, există astfel încât . Deci a este divizibil cu 1. Această proprietate mai poate fi enunțată și astfel:
(1’) oricare ar fi .
II. Numărul 0 este divizibil cu 3, pentru că există un număr natural, și anume 0, astfel încât .
Numărul 0 este divizibil cu 5, pentru că există un număr natural, și anume 0, astfel încât ș.a.m.d.
Să considerăm propoziția:
(2) 0 este divizibil cu orice număr natural.
Vom dovedi că acestă propoziție este adevărată.
Fie un număr natural a.
Există un număr natural, și anume 0, astfel încât . Deci 0 este divizibil cu a.
Această proprietate mai poate fi enunțată și astfel:
(2’) oricare ar fi .
III. Numărul 7 este divizibil cu 7, pentru că există un număr natural, și anume 1, astfel încât . De asemenea, 11 este divizibil cu 11, pentru că există un număr natural, și anume 1, astfel încât .
Să considerăm propoziția:
(3) Orice număr natural se divide cu el însuși.
Să arătăm, altfel spus, să demonstrăm, că această propoziție este adevărată.
Intr-adevăr, fie a un număr natural. Există un număr natural, și anume 1, astfel încât . Deci a este divizibil cu a.
Această proprietate se mai poate enunța și astfel:
(3’) oricare ar fi .
IV. Să considerăm propoziția:
(4) Fie a și b două numere naturale. Dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu a, atunci .
Să deomnstrăm că această propoziție este adevărată. Putem scrie
și .
Considerăm cazul și . Înmulțind membru cu membru egalitățile de mai sus, avem
Împărțim în ambii membri cu ab și avem .
Dacă produsul a două numere naturale este egal cu 1, atunci fiecare factor este egal cu 1. Deci și .
În concluzie: adică .
Dacă sau , propoziția este adevărată.
Această proprietate mai poate fi enunțată și astfel:
(4’) Dacă și atunci oricare ar fi .
V. Numărul 9 este divizibil cu 3, iar 18 este divizibil cu 9. Atunci și 18 este divizibil cu 3.
8 este divizibil cu 4, iar 4 este divizibil cu 2. Atunci și 8 este divizibil cu 2.
Să considerăm propoziția:
(5) Fie a, b, c trei numere naturale. Dacă b este divizibil cu a, iar c este divizibil cu b, atunci c este divizibil cu a.
Să arătăm că această propoziție este adevărată.
Dacă b este divizibil cu a înseamnă, potrivit definiției, că există un număr natural m astfel încât . Dacă c este divizibil cu b înseamnă, tot pe baza definiției, că există un număr natural n astfel încât . Atunci putem scrie , adică c este divizibil cu a. Am aplicat asociativitatea înmulțirii. Deci propoziția este adevărată.
Propoziția (5) mai poate fi enunțată și astfel:
(5’) Dacă și atunci oricare ar fi .
Exemplu:
și 24. Atunci .
Observăm că 24 se divide cu toți divizorii lui 12, adică cu 1, 2, 3, 4, 6 și 12.
Dacă un număr natural se divide cu un număr natural, atunci primul se divide cu toți divizorii celui de-al doilea.
VI. Se consideră numerele 8 și 10. Fiecare din ele este divizibil cu 2. După cum se vede și suma lor, adică este divizibilă cu 2.
Alt exemplu:
12 se divide cu 2; 14 se divide cu 2. Observăm că și suma se divide cu 2.
Fie propoziția:
(6) Dacă fiecare termen al unei sume de două numere naturale se divide cu un număr natural, atunci și suma lor se divide cu acel număr natural.
Această propoziție se mai poate enunța și astfel:
Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m și dacă un număr natural b se divide cu același număr natural m, atunci și suma se divide cu m.
În cele ce urmează, vom demonstra că această propoziție este adevărată.
Dacă a se divide cu m, atunci există un număr natural n, astfel încât .
Dacă b se divide cu m, atunci există un număr natural p, astfel încât . Rezultă că putem scrie . (Aici am folosit distributivitatea înmulțirii față de adunare).
Dacă n și p sunt numere naturale, atunci și este număr natural; se divide deci cu m.
Cu aceasta, am dovedit că propoziția de mai sus este o propoziție adevărată.
Din faptul că fiecare termen al unei sume de numere naturale se divide cu un număr natural, am arătat că rezultă că și suma se divide cu acel număr natural.
Propoziția (6) mai poate fi enunțată și astfel:
(6’) Dacă și atunci oricare ar fi .
VII. Să considerăm suma . După cum se vede, 4 se divide cu 2, dar 3 nu se divide cu 2. Nici , adică 7, nu se divide cu 2.
Analog, dacă vom considera . După cum se vede, 6 se divide cu 3, dar 4 nu se divide cu 3. Nici , adică 10, nu se divide cu 3.
Să considerăm propoziția:
(7) Dacă unul din termenii unei sume de două numere naturale se divide cu un număr natural, iar celălalt termen nu se divide cu acel număr natural, atunci suma nu se divide cu acel număr natural.
Să enunțăm această propoziție și astfel:
Fie numerele naturale a și b . Dacă numărul a se divide numărul natural m și dacă numărul b nu se divide cu m atunci suma lor, nu se divide cu m.
Să arătăm că această propoziție este adevărată.
Dacă a se divide cu m, atunci există un număr natural a astfel încât .
Trebuie să demonstrăm că suma nu se divide cu m. Să presupunem, din contra, că se divide cu m. In acest caz, există un număr natural p astfel încât . Putem deci scrie , de unde , adică b se divide cu m. Dar noi știm că b nu se divide cu m.
Deci presupunerea noastră că se divide cu m ne-a condus la o concluzie absurdă. Rămâne să fie adevărat că nu se divide cu m. Ceea ce trebuia să demonstrăm (prescurtat c.c.t.d.). Și această propoziție este o teroremă.
Această propoziție mai poate fi enunțată și astfel:
(7’) Dacă și atunci oricare ar fi .
VIII. Să considerăm diferența . Se vede că . 10 se divide cu 2 și 4 se divide cu 2. Și diferența , adică 6, se divide cu 2.
Să considerăm propoziția:
(8) Fie a, b și m numere naturale, . Dacă a se divide cu m și b se divide cu m atunci și se divide cu m.
Să demonstrăm că această propoziție este adevărată:
Conform definiției, avem: și . Putem scrie în continuare . Dar este un număr natural mai mare sau egal cu 0. Deci se divide cu m.
Această propoziție mai poate fi enunțată și astfel:
(8’) Dacă și atunci oricare ar fi , .
IX. Numărul natural 6 se divide cu 2. Produsul lui 6 cu orice număr natural se divide cu 2. De exemplu se divide cu 2.
Oare proprietatea este adevărată în general?
Fie propoziția:
(9) Dacă un număr natural a se divide cu un număr natural m, atunci produsul lui a cu orice număr natural se divide cu m.
Să arătăm că această propoziție este adevărată.
Știm că numărul natural a se divide cu numărul natural m. Fie produsul lui a cu numărul natural oarecare b. Trebuie să demonstrăm că se divide cu m. În baza definiției, dacă a se divide cu m, atunci există un număr natural n astfel încât . Putem scrie (am folosit aici asociativitatea înmulțirii). Numerele n și b fiind numere naturale și produsul lor este număr natural.
Deci se divide cu m. Propoziția este deci, adevărată.
Propoziția (9) se mai poate enunța și astfel:
(9’) Dacă atunci oricare ar fi
I.1.3. Criterii de divizibilitate
Pentru a ști dacă numărul 2013201 se divide cu 3, facem împărțirea lui 2013201 la 3.
Ne punem întrebarea: nu putem oare să gasim o propoziție pe baza căreia să putem stabili dacă numărul 2013201 se divide cu 3 fără a împărți 2013201 la 3? Dacă o asemenea propoziție există, o vom numi criteriu de divizibilitate (în cazul nostru criteriu de divizibilitate cu 3).
CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 10
Să cercetăm dacă numărul 470 se divide cu 10. Putem scrie: . Deci numărul natural 47 se divide cu 10. Din egalitatea deducem că și numărul natural 3450 se divide cu 10.
Observăm că numerele naturale 470 și 3450 au ca ultimă cifră pe 0. Să arătăm că dacă ultima cifră a unui număr natural este 0, atunci acel număr este divizibil cu 10.
Fie un număr natural oarecare, de trei cifre: .
Putem scrie
Dacă atunci . Întrucât este un număr natural divizibil cu 10, atunci și este un număr natural divizibil cu 10.
Dacă adică dacă c este o cifră diferită de 0, nu este divizibil cu 10.
Criteriul de divizibilitate cu 10:
Un număr natural se divide cu 10 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0.
Știm că dacă un număr natural se divide cu un număr natural, atunci primul se divide cu toți divizorii celui de-al doilea.
Conform acestei propoziții, dacă un număr se divide cu 10, acesta se divide și cu 2 și cu 5.
Deci:
Un număr natural care are ca ultimă cifră pe 0 se divide și cu 2 și cu 5.
De exemplu, numărul natural 270 se divide și cu 2 și cu 5.
CRITERIILE DE DIVIZIBILITATE CU 10, 100, etc.
Un număr natural la care ultima cifră este zero se divide cu 10, adică cu. În contrar, numărul natural nu se divide cu 10. De exemplu, 570 se divide cu , dar 571 nu se divide cu 10.
Un număr natural care are ultimele două cifre zerouri se divide cu 100, adică cu . În caz contrar, numărul natural nu se divide cu 100. De exemplu, 6 500 se divide , dar 6 502 nu se divide cu 100.
Observație: Un număr natural la care ultimele trei cifre sunt zerouri se divide cu 1000, adică cu . În caz contrar, numărul natural nu se divide cu 1000. De exemplu, 29000 se divide 1000, adică , dar 290003 nu se divide cu 1000 ș.a.m.d.
CRITERII DE DIVIZIBILITATE CU 2
Știm că ultima cifră a unui număr natural este 0, atunci numărul natural considerat este divizibil cu 2.
Efectuând împărțirile, constatăm că și numerele naturale 242, 71414, 1246, 758 se divid cu 2. Avem , , , .
Toate numerele date au ca ultimă cifră o cifră pară.
Toate numerele naturale care au ca ultimă cifră o cifră pară sunt oare divizibile cu 2?
Să considerăm numărul 958.
Putem scrie .
se divide cu 2.
8 se divide cu 2.
Deci și numărul 958 se divide cu 2.
Să considerăm numărul 675. Putem scrie:
.
se divide cu 2.
5 nu se divide cu 2.
Deci numărul 675 nu se divide cu 2.
Să luăm un număr natural oarecare de trei cifre .
Avem . Dar se divide cu 2. Dacă c este 0 sau 2 sau 4 sau 6 sau 8, atunci numărul natural este divizibil cu 2. Dacă c nu este nici 0, nici 2, nici 4, nici 6, nici 8, atunci numărul natural considerat nu este divizibil cu 2.
Criteriul de divizibilitate cu 2.
Un număr natural se divide cu 2 dacă și numai dacă ultima sa cifră este pară.
Exemple:
Numărul 378 este divizibil cu 2, deoarece ultima sa cifră este 8, adică o cifră pară.
Numărul 980 este divizibil cu 2, deoarece ultima sa cifră este 0.
Numărul 475 nu este divizibil cu 2, ultima cifră fiind 5, care este cifră impară.
CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 5
Am văzut că un număr natural a cărui ultimă cifră este 0 se divide cu 5.
Efectuând împărțirea numărului 23765 la 5 constatăm că 23765 se divide cu 5.
La fel constatăm că 9585 se divide cu 5. Aceste numere au ca ultimă cifră pe 5.
Să considerăm numărul 9585
se divide cu 5.
5 se divide cu 5
Deci și numărul 9585 se divide cu 5.
Să considerăm numărul 4712.
Putem scrie
se divide cu 5
2 nu se divide cu 5
Deci 4712 nu se divide cu 5.
Să luăm un număr oarecare de patru cifre .
Putem scrie .
se divide cu 5, deoarece 10 se divide cu 5, iar dacă sau , atunci și numărul este divizibil cu 5.
Dacă sau , atunci numărul natural nu este divizibil cu 5.
Criteriul de divizibilitate cu 5.
Un număr natural se divide cu 5 dacă și numai dacă ultima sa cifră este 0 sau 5.
Exemple:
Numărul 735 este divizibil cu 5, ultima sa cifră fiind 5.
Numărul 1730 este divizibil cu 5, ultima sa cifră fiind 0.
Numărul 732 nu este divizibil cu 5, pentru că ultima sa cifră nu este nici 0, nici 5.
CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 4
Se consideră numerele naturale 127, 1500, 246, 14324, 7536.
127 nu se divide cu 2 și deci nu se divide cu 4.
1500 se divide cu 100, deci se divide și cu 4.
Efectuând, pe rând, împărțirea numerelor 246, 14324, 7536 la 4 constatăm că:
246 nu se divide cu 4,
14324 se divide cu 4,
7536 se divide cu 4.
Numerele naturale 14324 și 7536 au următoarea proprietate comună: dacă considerăm numerele naturale formate din ultimele două cifre ale lor, adică 24 ( 24) și 36 (7536) acestea sunt numere naturale divizibile cu 4.
Să considerăm numărul 14234.
Putem scrie:
se divide cu 4.
24 se divide cu 4.
Deci și 14324 se divide cu 4.
Analog, putem arăta că:
15780 se divide cu 4;
75608 se divide cu 4.
Să considerăm numărul 75246.
Putem scrie:
se divide cu 4.
46 nu se divide cu 4.
Deci 75246 nu se divide cu 4.
Să considerăm acum un număr natural oarecare de 5 cifre: .
Avem:
.
Dacă atunci se înlocuiește cu e. Dar este divizibil cu 4. Dacă este divizibil cu 4, atunci și numărul natural este divizibil cu 4. Dacă numărul natural nu este divizibil cu 4, atunci numărul natural nu este divizibil cu 4.
Așadar, putem enunța:
Criteriul de divizibilitate cu 4:
Un număr natural se divide cu 4 dacă și numai dacă numărul natural format din ultimele două cifre ale acestuia este divizibil cu 4.
Exemple:
Numărul natural 5736 este divizibil cu 4, pentru că 36 (5736) este divizibil cu 4.
Numărul natural 14872 este divizibil cu 4, pentru că 72 (14872) este divizibil cu 4.
Numărul natural 24 735 nu este divizibil cu 4, pentru că 35 (24735) nu este divizibil cu 4.
Dacă ultimele două cifre ale unui număr sunt zerouri, atunci numărul este divizibil cu 100, deci și cu 4.
De exemplu, 7200 este divizibil cu 4.
CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 25
Se consideră numerele naturale 3200, 23425, 225, 41750, 7575.
Numărul 3200 se divide cu 25 pentru că se divide cu 100.
Numărul 23425 se divide cu 25?
Putem scrie:
23400 se divide cu 25
25 se divide cu 25
Rezultă că și suma se divide cu 25, adică 23425 se divide cu 25.
Analog, constatăm că și numerele 41750 și 7575 sunt divizibile cu 25.
Fie numărul 24751.
Putem scrie:
se divide cu 25.
51 nu se divide cu 25.
Deci 24751 nu se divide cu 25.
Să considerăm acum un număr natural oarecare de cinci cifre: .
Avem:
.
Dacă atunci se înlocuiește cu e. Dar este divizibil cu 25. Dacă este divizibil cu 25, atunci și numărul natural este divizibil cu 25. Dacă numărul natural nu este divizibil cu 25, atunci numărul natural nu este divizibil cu 25.
Fiecare din numerele 1705, 19855, 217770 nu se divide cu 25.
Criteriul de divizibilitate cu 25:
Un număr natural se divide cu 25 dacă și numai dacă numărul natural format din ultimele două cifre ale acestuia este divizibil cu 25.
CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 3
Să considerăm numărul natural 357.
Putem scrie
Suma este divizibilă cu 3, deoarece fiecare termen al ei este divizibil cu 3. Dar și suma este divizibilă cu 3. Deci numărul 357 este divizibil cu 3.
Fie numărul 374. Putem scrie
se divide cu 3
nu se divide cu 3
Deci 374 nu se divide cu 3.
Să luăm un număr natural oarecare, de trei cifre, . Scriem
Suma este divizibilă cu 3. Dacă și suma este divizibilă cu 3, atunci numărul , este divizibil cu 3.
Dacă suma nu este divizibilă cu 3, atunci numărul nu este divizibil cu 3.
Criteriul de divizibilitate cu 3:
Un număr natural se divide cu 3 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 3.
Exemple:
Numărul natural 47142 este divizibil cu 3, întrucât suma , adică 18, este un număr natural divizibil cu 3.
Numărul 247 nu este divizibil cu 3, întrucât suma , adică 13, nu este un număr divizibil cu 3.
Numerele naturale 24, 12342, 3990636 sunt divizibile cu 3.
Numerele naturale 4714, 4331 nu sunt divizibile cu 3.
CRITERIUL DE DIVIZIBILITATE CU 9
Pentru a constata dacă un număr natural este divizibil cu 9, urmăm aceeași cale ca la divizibilitatea cu 3.
Să considerăm numărul 846.
Putem scrie
se divide cu 9.
se divide cu 9.
Deci și numărul 846 se divide cu 9.
Să considerăm numărul 745:
Putem scrie:
se divide cu 9, dar nu se divide cu 9. Deci nici numărul 745 nu se divide cu 9.
Să considerăm numărul . Avem
Suma este divizibilă cu 9. Dacă și suma este divizibilă cu 9, atunci numărul , este divizibil cu 9.
Dacă suma nu este divizibilă cu 9, atunci nici numărul nu este divizibil cu 9.
Criteriul de divizibilitate cu 9:
Un număr natural se divide cu 9 dacă și numai dacă suma cifrelor numărului este divizibilă cu 9.
Exemple:
Numărul 23472 se divide cu 9, întrucât suma , adică 18, este un număr divizibil cu 9.
Numărul 475 nu este divizibil cu 9, pentru că suma , adică 16, nu este un număr divizibil cu 9.
Un număr natural care este divizibil cu 9 este divizibil și cu 3. Orice număr natural care este divizibil cu 3 este oare divizibil și cu 9? Nu! Să dăm un exemplu: 12 este divizibil cu 3, dar nu este divizibil cu 9.
I.1.4. Mulțimea divizorilor și mulțimea mutiplilor unui număr natural
Numărul 6 se divide cu numerele 1; 2; 3 și 6 și numai cu acestea.
Deci mulțimea divizorilor lui 6 este mulțimea: .
Notăm mulțimea divizorilor lui 2 cu , mulțimea divizorilor lui 3 cu ș.a.m.d.
,
,,,
Orice număr natural se divide cu 1 și cu el însuși. De exemplu, 6 se divide cu 1 și cu 6.
Mulțimea divizorilor lui 6 este . 1 și 6 se numesc divizori improprii ai lui 6, iar 2 și 3 se numesc divizori proprii ai lui 6.
1 și 18 sunt divizorii improprii ai lui 18, iar 2, 3, 6, 9 sunt divizorii proprii ai lui 18.
Orice număr natural m are divizorii improprii 1 și m. Orice alt divizor se numește divizor propriu.
Să aflăm multiplii lui 2.
; ; ; ș.a.m.d.
Mulțimea multiplilor lui 2 este deci mulțimea
Notăm această mulțime cu . Avem
Această mulțime este o mulțime infinită.
Mulțimea multiplilor lui 3 este următoarea mulțime:
Numerele de forma se numesc multiplii lui b, adică
Dacă , atunci .
I.1.5. Numere prime
Definiție: Se numește număr prim un număr natural care are ca divizori numai numerele 1 și p (divizori improprii).
Numărul natural 2 este singurul număr prim și par.
Definiție: Se numește număr compus un număr natural care are cel puțin trei divizori.
Cum recunoaștem dacă un număr natural este prim?
Să considerăm:
, ,
Să facem observațiile:
1) Dacă împărțim pe 12, pe rând, la numerele naturale, cu care 12 se divide, în ordine crescătoare, câturile respective sunt numere naturale în ordine descrescătoare.
2) Deoarece 12 se divide cu 2, rezultă că 12 se divide și cu câtul împărțirii lui 12 la 2, adică 6.
Deoarece 12 se divide cu 4, rezultă că 12 se divide și cu câtul împărțirii lui 12 la 4, adică 3.
Pentru a stabili dacă un număr natural este prim sau este compus, procedăm în felul următor:
Împărțim numărul, pe rând, la toate numerele prime în ordine crescătoare, începând cu 2, până când obținem un cât mai mic sau egal cu împărțitorul. Dacă numărul considerat nu se divide cu niciunul din aceste numere prime, atunci el este număr prim.
Să vedem de ce este corect să procedăm așa.
Să luăm numărul 137.
137 nu se divide cu 2, cu 3, cu 5. Pentru a se vedea dacă 137 se divide cu 7 facem împărțirea lui 137 la 7 și obținem câtul 19 și restul 4. Deci 137 nu se divide cu 7. Pentru a vedea dacă 137 se divide cu 11, facem împărțirea lui 137 la 11. Obținem câtul 12 și restul 5. Deoarece câtul 12 este mai mare decât împărțitorul, 11, continuăm să facem împărțiri. Pentru a vedea dacă 137 se divide cu 13 facem împărțirea și obținem câtul 10 și restul 7. Numărul 137 nu se divide cu 13. Ne orpim deoarece câtul 10 este mai mic decât împărțitorul 13.
Am arătat că 137 nu se divide cu niciun număr prim mai mic sau egal cu 13.
Afirmăm că el nu se divide nici cu numerele compuse mai mici decât 13. Într-adevăr, dacă 137 nu se divide cu 2, el nu se divide nici cu următorii multipli ai lui 2: 4, 6, 8, 10, 12, iar dacă 137 nu se divide cu 3, el nu se divide nici cu 6, 9, 12.
Până aici am arătat că numărul 137 nu se divide cu niciun număr natural diferit de 1, mai mic sau egal cu 13.
Este oare posibil ca 137 să se dividă cu un număr natural c mai mare decât 13?
Acest lucru nu este posibil, căci dacă 137 se divide cu un număr c mai mare decât 13, atunci el se divide și cu câtul împărțirii lui 137 la numărul natural c; acest cât este un număr mai mic decât 13. Ori, am arătat că 137 nu se divide cu niciun număr natural, diferit de 1, mai mic sau egal decât 13.
În concluzie, numărul 137 nu se divide cu niciun număr natural, diferit de 1, mai mic sau egal cu 13, nici cu un număr natural mai mare decât 13. El este deci număr prim.
Am luat mai sus un exemplu (numărul 137) pentru a înțelege modul în care judecăm. Se poate arăta că procedeul folosit în cazul numărului 137 se poate aplica oricărui număr natural.
S-au alcătuit tabele de numere prime mai mici decât un număr natural dat. Cel mai cunoscut dintre acestea este Ciurul lui Eratostene.
CIURUL LUI ERATOSTENE
Eratostene a indicat următoarea metodă pentru a alcătui o tabelă care să conțină toate numerele prime mai mici decât un număr natural dat. Această tabelă este cunoscută sub denumirea Ciurul lui Eratostene. Să aflăm, de exemplu, toate numerele mai mici decât 100.
Să scriem toate numerele naturale până la 100 (inclusiv) începând cu numărul natural 2:
Pornim de la numărul 2. Îl lăsăm pe 2 în tabelă și, pornind de la el, tăiem numerele din doi în doi. Următorul număr netăiat este 3. Îl lăsăm pe 3 netăiat și, parcurgând din trei în trei numerele din șirul numerelor naturale, începând de la 3, tăiem numerele naturale care nu au fost deja tăiate. Observăm că primul număr natural care va fi tăiat este . Următorul număr netăiat este 5. Îl lăsăm pe 5 netăiat și parcurgând din cinci în cinci numerele din șirul numerelor naturale, începând de la cinci tăiem numerele naturale care nu au fost deja tăiate. Primul număr care va fi tăiat este , căci până la el, celelalte au fost tăiate (adică au fost tăiate: ). În fond, noi tăiem multiplii lui 2, multiplii lui 3, multiplii lui 5. Multiplii lui 4, de pildă, i-am tăiat atunci când am tăiat multiplii lui 2.
La fel procedăm cu următorul număr netăiat, adică 7. Primul număr pe care îl tăiem este și tăiem apoi toți multiplii lui 7 care urmează după , adică după 49, care nu au fost încă tăiați.
Următorul număr netăiat este 11. Primul număr pe care trebuie să îl tăiem este , dar acesta este mai mare decât 100 și deci nu apare în tabel. Și aici ne oprim. Toate numerele rămase în tabel sunt prime.
În acest mod am tăiat numai numere compuse. Nu a rămas niciun număr compus tăiat. Într-adevăr, orice număr compus are cel puțin un divizor prim; pornind de la acest divizor prim și tăind numerele naturale după metoda de mai sus, am tăiat și numărul compus considerat.
I.1.6. Scrierea unui număr natural ca produs de numere prime
Introducerea noțiunii de număr prim permite o reprezentare a numerelor naturale (cu extindere la numere întregi) sub formă de produs de factori primi. Prezint în continuare una dintre cele mai importante teoreme din aritmetică și anume teorema fundamentală a aritmeticii. Deși se cunoștea din antichitate acest enunț (forme echivalente apar în cartea a VII-a a lui Euclid), formularea completă și demonstrația apar pentru prima dată în 1801, în cartea celebrului matematicianului K.F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae.
TEOREMĂ. Oricare ar fi numărul natural n, , acesta admite o descompunere unică în produs de factori primi (excepție făcând ordinea factorilor).
Demonstrație:
Arătăm că oricare ar fi , admite cel puțin un divizor număr prim.
Fie mulțimea finită , și p cel mai mic număr natural al mulțimii A. Dacă p nu este prim, și . Deoarece și . Aceasta contrazice alegerea lui p și, prin urmare, p este număr prim.
Existența. Deoarece , – număr prim astfel ca . Deci . Dacă . Dacă atunci și prin urmare – număr prim astfel ca și . Dacă . În caz contrar continuăm procedeul, obținând șirul descrescător: . Acest șir este finit și, prin urmare, procedeul descris se va opri după un număr de m pași. Deci astfel încât , adică . Prin urmare, avem reprezentarea: .
Unicitatea. Fie și presupunem fără a restrânge generalitatea și . Dar
Dar și ⇒. Arătăm că . Din și
și deci . Din și . Simplificăm și obținem
În mod analog se obține în final și deci , , q.e.d.
Observație. În descompunere s-ar putea să avem numai e factori primi diferiți, cu . Deci putem scrie: , .
Aceasta este descompunerea în produs de puteri de factori primi a numărului natural n.
Să considerăm numărul 5544. Putem scrie:.
Practic, descompunerea se așază astfel:
În dreapta liniei verticale se trec divizorii primi, iar la stânga acesteia câturile obținute la împărțirile respective.
Știm că ; ; ; ș.a.m.d.
Să descompunem în factori primi numărul 32000. Scriem:
Alt exemplu:
Să se descompună în factori primi numărul 578000.
Descompunerea unui număr natural în factori primi este unică, abstracție făcând de ordinea factorilor. De exemplu, numărul 578000 poate fi scris astfel:
sau .
I.1.7. Divizori comuni. Cel mai mare divizor comun al mai multor numere naturale
Definiție. Se numește divizor comun al numerelor naturale a și b un număr cu proprietatea că și .
Astfel, numerele 12 și 18 au ca divizori comuni pe 1, 2, 3, 6, numerele 100, 150, 200 au ca divizori comuni 1, 2, 5, 10, 25, 50 sau pentru numerele 3 și 7 mulțimea divizorilor comuni este formată numai din numărul 1.
Definiție. Numărul natural d se numește cel mai mare divizor comun al numerelor a și b (notat c.m.m.d.c..) dacă satisface condițiile:
1. și ;
2. dacă și .
Notăm c.m.m.d.c. al numerelor a și b cu
În general, c.m.m.d.c. al numerelor naturale se notează cu (.
TEOREMĂ. Fie și . Atunci există c.m.m.d.c. al numerelor naturale a și b.
Demonstrație:
Presupunem că. Conform teoremei împărțirii cu rest , . Dacă Dacă avem: , .
În mod analog pentru . În caz contrar avem: , .
După m pași obținem , . Deoarece , putem presupune că și . Deci .
Arătăm că . Dar deoarece și . Să arătăm că este maximal.
Fie și . Prin urmare ; cum . Deci , q.e.d.
Observație. Cel mai mare divizor comun al numerelor naturale a și b este unic determinat.
Demonstrație. Fie . Dacă satisfice condițiile definiției c.m.m.d.c. arătăm că .
Într-adevăr, dacă și , cum rezultă că . Analog și prin urmare există astfel încât: și .
Deci . Dacă ; dacă .
Următoarea teoremă stabilește o serie de proprietăți importante pentru c.m.m.d.c. a două numere naturale. Aceste proprietăți pot fi extinse și în mulțimea numerelor întregi.
TEOREMĂ. Au loc următoarele afirmații:
1) ;
2) , pentru ;
3) ;
4) și ;
5) , și .
Demonstrație:
1) , , , ˄ ˄⇒ ˄.
Dar și din faptul că ˄⇒. Din ⇒.
Analog, se arată că . Deci .
2) Dacă rezultă că . Deci . Dacă b nu divide numărul a, aplicând teorema împărțirii cu rest obținem șirul resturilor cu . Deoarece și rezultă că . În concluzie, .
3)
4)
5)
, q.e.d.
Teorema precedentă ne sugerează o metodă de determinare a c.m.m.d.c. a două numere naturale, numită algoritmul lui Euclid.
Exemplu: Să se determine c.m.m.d.c. al numerelor 540 și 168.
Avem ; ; ; . Deci .
O altă metodă de aflare a c.m.m.d.c. al unor numere naturale este prin descompunerea în factori primi.
Exemplu. Vrem să aflăm c.m.m.d.c. al numerelor 1890 și 2268. Descompunem, mai întâi, numerele date în factori primi:
;
.
Pentru a afla c.m.m.d.c. al numerelor 1890 și 2268 procedăm astfel: luăm, o singură dată, factorii primi comuni, cu exponenții cei mai mici, cu care aceștia figurează în descompuneri și îi înmulțim între ei.
Deci c.m.m.d.c. al numerelor 1890 și 2268 este . Se mai scrie: .
C.m.m.d.c. se află tot ca și mai înainte și când avem mai multe numere naturale oarecare.
Definiție. Numerele naturale a și b spunem că sunt prime între ele dacă .
Exemplu: Să se arate că 257 și 18 sunt prime între ele.
Deci
I.1.8. Multipli comuni, Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere naturale
Definiție: Fie a și b două numere naturale. Vom numi cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.) al lui a și b numărul natural m care satisfice condițiile:
1. ;
2. .
Vom nota c.m.m.m.c. . În cazul mai multor numere naturale , notăm c.m.m.m.c. cu [].
TEOREMĂ. Fie . Dacă d este c.m.m.d.c. al numerelor naturale a și b, atunci numărul natural este c.m.m.m.c. al lui a și b.
Demonstrație:
Ne propunem să arătăm că este c.m.m.m.c. al lui a și b. Notăm cu cel mai mare divizor comun al numerelor a și b și avem: , , . Deci și prin urmare, , satisfăcând prima condiție din definiția c.m.m.m.c. (m este multiplu comun al lui a și b).
Fie astfel încât . Rezultă că există și numere naturale, astfel încât . Atunci ceea ce implică . Deoarece , rezultă că și . Deci și există cu proprietatea că . Prin urmare, și rezultă că (condiția 2 din definiția c.m.m.m.c.). Deci este c.m.m.m.c. al numerelor a și b. Unicitatea c.m.m.d.c. d al numerelor a și b implică unicitatea lui m, q.e.d.
Observații.
1) Utilizând această teoremă, putem determina cel mai mic multiplu comun a două
numere naturale. Astfel, pentru a și b numere naturale, cu avem
2) Fie numere naturale cu . Atunci: cu [],
=[].
Exemplu: Să se afle c.m.m.m.c. al numerelor 4 110, 210 și 90. În conformitate cu observația 2) avem [4110, 210, 90].
Determinăm c.m.m.d.c. al numerelor 4110 și 210 aplicând algoritmul lui Euclid, după cum urmează:
, ; . Aflăm Deci .
O altă metodă de aflare a c.m.m.m.c. al unor numere naturale este prin descompunerea în factori primi.
Exemplu. Vrem să aflăm c.m.m.d.c. al numerelor 1890 și 2268. Descompunem, mai întâi, numerele date în factori primi:
;
.
Pentru a afla c.m.m.m.c. al numerelor 1890 și 2268 procedăm astfel: luăm, o singură dată, factorii primi comuni și necomuni, cu exponenții cei mai mari cu care aceștia figurează în descompuneri și îi înmulțim între ei.
Deci c.m.m.m.c al numerelor 1890 și 2268 este .
Observație: C.m.m.m.c. al mai multor numere naturale divide orice multiplu comun al lor.
I.1.9. Numere pare. Numere impare
Umătorul șir de numere naturale: 0, 2, 4, 6, 8, … se numește șirul numerelor naturale pare, iar șirul de numere naturale: 1, 3, 5, 7, 9, … se numește șirul numerelor naturale impare.
Numerele naturale pare sunt numerele de forma , unde .
Pentru a vedea mai bine cum se obțin numerele naturale pare, facem un tabel:
sau:
Numerele naturale impare sunt numerele de forma , unde .
Pentru a vedea mai bine cum se obțin numerele naturale impare, facem un tabel:
sau:
TEOREMĂ.
1) Suma a două numere naturale pare este un număr par.
2) Suma a două numere naturale impare este un număr par.
3) Suma dintre un număr natural par și un număr natural impar este un număr impar.
Demonstrație:
1) Primul număr este de forma , unde p este un număr natural. Al doilea număr este de forma unde m este un număr natural. Suma acestor două numere este: . Dar este număr natural, întrucât este sumă de numere naturale. Îl notăm cu q și avem adică un număr par.
2) Primul număr este de forma , unde p este număr natural. Al doilea număr este de forma unde m este un număr natural. Suma acestor două numere este: . Am notat numărul natural cu q. Dar este un număr par.
3) Primul număr este de forma , unde p este număr natural. Al doilea număr este de forma unde m este un număr natural. Suma acestor două numere este: . Am notat numărul natural cu q. Dar este un număr impar.
I.2. DIVIZIBILITATEA NUMERELOR ÎNTREGI
I.2.1. Divizibilitatea numerelor întregi
Definiție. Fie a și b două numere întregi. Spunem că b divide pe a (sau a este divizibil cu b) dacă există un număr întreg c astfel încât .
Dacă divide pe , atunci se numește divizor al lui , iar se numește multiplu al lui . Notăm divide prin: . Notația echivalentă pentru este: ( divizibil cu ).
Exemple:
1) deoarece ;
2) deoarece ;
3) deoarece .
Dacă , notăm cu mulțimea divizorilor întregi ai lui și cu mulțimea multiplilor întregi ai lui .
Exemple:
;
;
;
Observații. Dacă , , atunci dacă și numai dacă p este număr prim. Pentru a găsi divizorii sau multiplii unui număr întreg este suficient să precizăm divizorii săi naturali, ceilalți obținându-se din aceștia prin adăugarea semnului minus în față.
Proprietățile relației de divizibilitate a numerelor naturale sunt adevărate și pentru numerele întregi.
TEOREMĂ.
1) Dacă a și b sunt două numere întregi și , atunci dacă și numai dacă restul împărțirii lui a la b este 0;
2) oricare ar fi ;
3) Dacă și , atunci (tranzitivitatea relației);
4) Dacă și , atunci și ;
5) Dacă , atunci dacă și numai dacă .
Demonstrație.
Demonstrăm proprietatea 5), celelalte demonstrându-se asemănător.
Din rezultă că există astfel încât . Atunci: .
Definiție. Cel mai mare divizor comun al numerelor întregi nenule a și b este cel mai mare divizor comun al numerelor naturale și . Se notează: .
Cel mai mic multiplu comun al numerelor întregi nenule a și b este cel mai mic multiplu comun al numerelor naturale și . Se notează .
Exemple:
; ;
; ;
, deci și 33 sunt prime între ele.
Prin convenție, ,
I.2.2. Congruențe
Fie ℤ mulțimea numerelor întregi și un număr fixat. Pe mulțimea ℤ definim următoarea relație: pentru spunem că x este congruent cu z modulo n dacă și numai dacă se divide prin n.
Această relație se notează prin: .
Faptul că este echivalent cu x, y dau același rest la împărțirea prin n.
Relația de congruență pe ℤ are următoarele proprietăți:
1) este reflexivă, adică , , deoarece .
2) este simetrică, adică , ceea ce este imediat deoarece dacă , atunci și
3) este tranzitivă, adică dacă , atunci , ceea ce se verifică ușor deoarece din și rezultă .
4) Dacă și , atunci .
Într-adevăr, din și rezultă că
5) Dacă și , și , atunci
6) Dacă și , atunci ;
7) Dacă , atunci , ;
Demonstrația se face folosind proprietatea 6) și inducția după m.
8) Dacă și , , atunci
Demostrația se face astfel: presupunem că . Din , rezultă că deci. Din rezultă . Cum , obținem . Deci . Avem . Rezultă că și .
TEOREMĂ (Fermat) Dacă p este un număr prim și a un număr natural prim cu p, atunci:
.
Demonstrație:
Considerăm mulțimea astfel încât: , . Elementele mulțimiii M dau prin împărțirea la p resturile , evident așezate într-o altă ordine (spunem că elementele mulțimii M formează un sistem complet de resturi modulo p). Deoarece , 1, rezultă că produsul dă același rest la împărțirea cu p ca și produsul . Deci (mod p) sau q.e.d.
Exemplu:
Restul împărțirii lui la 17 este 1. În acest caz sunt îndeplinite condițiile teoremei lui Fermat. (mod 17), adică (mod 17). Deci restul împărțirii este 1.
Teorema prezentată este un instrument util în rezolvarea unor clase de probleme din teoria numerelor.
TEOREMĂ (Euler). Fie a, b și k numere naturale, unde k este numărul tuturor numerelor mai mici decât a și prime cu a și . Atunci
.
Demonstrație.
Într-adevăr, considerând , numere prime cu a. Dintre multiplii lui b alegem care la împărțirea cu a dau aceleași resturi (eventual în altă ordine). Deci (mod a) adică .
Stabilirea criteriilor de divizibilitate cu ajutorul congruențelor. Fie m un număr natural pozitiv. Dacă , atunci există astfel încât , . Mai putem scrie . Se observă că cel puțin unul dintre numerele r și are valoarea absolută mai mică sau egală cu .
Un asememea număr poartă numele de cel mai mic rest în valoare absolută al lui a modulo m.
Fie m un număr natural scris în baza 10
Fie cel mai mic rest în valoare absolută a lui modulo m,
și
Cum (mod m), rezultă că
(mod m), deci (mod m). Deducem:
TEOREMĂ. Cu notațiile de mai sus avem:
1) Numerele a și dau același rest prin împărțirea cu m;
2) Numărul a se divide prin m dacă și numai dacă se divide prin m.
Presupunem că . Avem și deci (mod 3), . Așadar , , deci . Deducem că a se divide prin 3 dacă și numai dacă suma cifrelor lui a din scrierea zecimală se divide prin 3.
Presupunem că . Cum (mod 9), deducem . Așadar a se divide prin 9 dacă și numai dacă suma cifrelor lui a din scrierea zecimală se divide prin 9.
Presupunem că . Cum rezultă că (mod 11), . Deci .
Dacă atunci . Cum 22 se divide prin 11, deducem că 8194956 se divide prin 11.
Dacă atunci . Cum restul împărțirii lui 16 prin 11 este 5 deducem că 130619 împărțit la 11 dă restul 5.
Presupunem că . Cum (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), (mod 7), …, rezultă că
.
Dacă , atunci . Deci a se divide prin 7.
Observație. Fie m un număr întreg pozitiv. Dacă 2 nu divide m, 5 nu divide m, atunci . Conform teoremei lui Euler . Așadar există numere astfel încât .
Dacă t este cel mai mic număr întreg cu proprietatea că , mod m, ,
și
atunci a și dau același rest prin împărțirea cu m.
CAPITOLUL II
DIVIZIBILITATEA ÎN GIMNAZIU. CONSIDERAȚII METODICE
II.1. LOCUL ȘI ROLUL DIVIZIBILITĂȚII ÎN GIMNAZIU
II.1.1. Poziția matematicii în programa școlară
Programa școlară este parte componentă a curricumului național. Aceasta reprezintă documentul școlar de tip reglator – instrument de lucru al profesorului – care stabilește, pentru fiecare disciplină, oferta educațională care urmează să fie realizată în perioada de timp alocată pentru un parcurs școlar determinat.
Studiul matematicii în învățământul gimnazial își propune să asigure pentru toți elevii formarea unor competențe legate de folosirea calculelor, algoritmilor sau a raționamentelor matematice.
Totodată, se urmărește conștientizarea faptului că matematica este o activitate de descriere și de rezolvare a problemelor, folosind un limbaj unitar, aceasta făcând ca ea să fie o disciplină dinamică, strâns legată de societate prin relevanța sa în cotidian și prin rolul său în științele naturii, în științele economice, în tehnologii, în științele sociale etc.
Noul curriculum de matematică propune organizarea activității didactice pe baza corelării domeniilor de studiu, precum și utilizarea în practică în contexte variate a competențelor dobândite prin învățare.
În mod concret, s-a urmărit: esențializarea conținuturilor în scopul accentuării laturii formative; compatibilizarea cunoștințelor cu vârsta elevului și cu experiența anterioară a acestuia; continuitatea și coerența intradisciplinară; realizarea legăturilor interdisciplinare prin crearea de modele matematice ale unor fenomene abordate în cadrul altor discipline; prezentarea conținuturilor într-o formă accesibilă, în scopul stimulării motivației pentru studiul matematicii și, nu în ultimul rând, asigurarea unei continuități la nivelul experienței didactice acumulate în predarea matematicii în sistemul nostru de învățământ.
Programa de matematică este structurată pe formarea de competențe. Competențele sunt ansambluri structurate de cunoștințe și deprinderi dobândite prin învățare; ele permit identificarea și rezolvarea unor probleme specifice domeniilor de studiu, în contexte variate. Acest tip de proiectare curriculară își propune: focalizarea pe achizițiile finale ale învățării, accentuarea dimensiunii acționale în formarea personalității elevului, corelarea cu așteptările societății.
Programele școlare pentru învățământul gimnazial au următoarele componente:
• notă de prezentare
• competențe generale
• valori și atitudini
• competențe specifice și conținuturi
• sugestii metodologice.
Nota de prezentare a programei școlare argumentează structura didactică adoptată și sintetizează o serie de recomandări considerate semnificative din punct de vedere al finalităților studierii disciplinei respective.
Competențele generale reprezintă un ansamblu structurat de cunoștințe și deprinderi pe care și-l propune să-l creeze și să-l dezvolte fiecare disciplină de studiu, pe întreaga perioadă de școlarizare.
COMPETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice .
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii .
Valorile și atitudinile orientează dimensiunile axiologică și afectiv-atitudinală aferente formării personalității elevului din perspectiva fiecărei discipline. Realizarea lor concretă derivă din activitatea didactică permanentă a profesorului, constituind un element implicit al acesteia.
VALORI ȘI ATITUDINI
Dezvoltarea unei gândiri deschise și creative; dezvoltarea inițiativei, independenței în gândire și în acțiune pentru a avea disponibilitate de a aborda sarcini variate
Manifestarea tenacității, perseverenței, capacității de concentrare și a atenției distributive
Dezvoltarea spiritului de observație
Dezvoltarea simțului estetic și critic, a capacității de a aprecia rigoarea, ordinea și eleganța în arhitectura rezolvării unei probleme sau a construirii unei teorii
Formarea obișnuinței de a recurge la concepte și metode matematice în abordarea unor situații cotidiene sau pentru rezolvarea unor probleme practice
Formarea motivației pentru studierea matematicii ca domeniu relevant pentru viața socială și profesională
Competențele specifice se formează pe parcursul unui an de studiu, sunt deduse din competențele generale și sunt etape în formarea acestora. Conținuturile învățării sunt mijloace prin care se urmărește formarea competențelor specifice și, implicit, a competențelor generale propuse. Ele sunt organizate tematic, în unități de conținut.
Sugestiile metodologice propun modalități de organizare a procesului de predare-învățare-evaluare. Exemplele de activități de învățare sugerează demersuri pe care le poate întreprinde profesorul pentru formarea competențelor specifice.
Astfel, este util ca în procesul didactic să avem în vedere:
construirea unei varietăți de contexte problematice, în măsură să genereze deschideri către diferite domenii ale matematicii;
folosirea unor strategii diferite în rezolvarea aceleiași probleme, atunci când este cazul;
organizarea unor activități variate de învățare pentru elevi, în echipă și/ sau individual, în funcție de nivelul și de ritmul propriu de dezvoltare al fiecăruia;
construirea unor secvențe de învățare care să permită activități de
explorare/investigare la nivelul noțiunilor de bază studiate.
În perspectiva unui demers educațional centrat pe competențe, se recomandă utilizarea cu preponderență a evaluării continue, formative. Procesul de evaluare va îmbina formele tradiționale cu cele alternative (proiectul, portofoliul, autoevaluarea, evaluarea în perechi, observarea sistematică a activității și a comportamentului elevului) și va pune accent pe:
corelarea directă a rezultatelor evaluate cu competențele specifice vizate
de programa școlară;
valorizarea rezultatelor învățării prin raportarea la progresul școlar al fiecărui elev,
utilizarea unor metode variate de comunicare a rezultatelor școlare;
recunoașterea, la nivelul evaluării, a experiențelor de învățare și a competențelor
dobândite în contexte non-formale sau informale
Criteriul de asigurare a calității actului de predare-învățare-evaluare este reprezentat de formarea competențelor specifice la sfârșitul fiecărui an de studiu, precum și de formarea competențelor generale la sfârșitul învățământului obligatoriu și/ sau liceal.
Ca răspuns al imperativelor sociale, învățământul românesc se află într-o permanentă optimizare, iar perfecționările aduse programelor și manualelor scolare necesită schimbări în tehnologia didactică.
Matematica, așa cum se predă ea în școală, este din păcate prea puțin atractivă. Manualele au sărăcit în ultimii ani din cauza restructurării programelor școlare. Si așa, din manualele vechi și noi se pot învăța în primul rând șabloane de rezolvare a unor exerciții mai mult sau mai putin răspândite. Și, de altfel, prea mulți învață matematica (dacă o fac), doar de frica examenelor. Oare să nu aibă aceasta materie nimic care să merite timpul pierdut cu studiul ?
Se poate spune că actualul conținut al programelor și manualelor este destul de bogat în informații, noțiuni, dar trebuie să se pună accent pe formarea raționamentului logico-deductiv, pe gândirea algoritmică, în esență pe valoarea formativă a matematicii.
Pentru a transmite acest conținut prin prisma obiectivelor învățământului modern, profesorii au o misiune importantă de care nu se pot achita decât numai prin folosirea unei metodologii adecvate prin aplicarea consecventă a metodelor și procedeelor activ-participative prin stimularea curiozității și interesului elevilor.
Activitatea matematică propriu-zisă are următoarele componente:
învățarea activă (studiul teoriilor clasice și moderne realizând comentarii, divagații, reformulări);
euristică (a pune și a rezolva probleme; a imagina teoreme și a le demonstra);
expozitivă (a participa la circulația informației matematice redactând manuale, realizând monografii, prezentând comunicări la seminariile și conferințele stiințifice, desfășurând activități didactice);
aplicativă (adaptând și aplicând metodele abstracte în rezolvarea problemelor concrete );
In ceea ce privește activitatea didactică remarcăm, alături de prezentarea în desfășurare constructivă de noțiuni și rezultate, și necesitatea propunerii de enunțuri care să deschidă investigații, de probleme deschise pentru care să se lucreze și asupra enunțurilor precum și necesitatea dezvoltării aptitudinilor de a pune (și rezolva) noi probleme.
In același context se înscriu:
discutarea definițiilor cu ajutorul auditoriului (discutând incorectitudinile ce pot apărea);
schimbarea viziunii asupra obiectelor matematice;
In orice prezentare profesorul trebuie să fie capabil să schimbe itinerarul pe care și-l propusese în funcție de ideile apărute în cadrul dialogului cu auditoriul, să promoveze “emoția pozitivă“ dată de “iluminarea subită” ce ar trebui să încheie măcar unele din procesele de căutare (cercetare) desfășurate de cei ce învață matematica.
Euristica generală trebuie completată cu metodologii specifice consacrate unor tipuri speciale de probleme sau domenii ce trebuie să aibă nu doar rol ilustrativ. Mai mult, accentul nu trebuie pus pe exerciții construite în mod special pentru a ilustra o regulă sau o teoremă, ci pe exerciții ce au un interes propriu și se rezolvă prin adoptarea de metode generale.
Varianta optimală ar fi aceea care presupune interferențe între aspectul executiv și cel de reflecție în abordarea și rezolvarea unei probleme. Trebuie avute în vedere atât imperativul (enunțat de Dirichlet) de a nu substitui ideile, cu calculul, dar si cel al dezvoltării “artei calculului”.
Activitatea metodologică a profesorului trebuie să se desfășoare pe multiple planuri:
antrenament pentru organizarea și valorizarea unor automatisme de calcul;
relevarea tehnicilor și importantei verificărilor (particularizări, verificarea omogenității, a ordinului de mărime, etc.);
stimularea reflecției asupra metodelor, drumului parcurs, rezultatelor;
Inainte de toate rolul profesorului este și acela de a-i învăța pe elevi să învete, iar în matematică a învăța înseamnă, în primul rând a înțelege.
In cadrul studiului individual (receptarea unui text matematic) se indică metoda apropierilor succesive, anume pentru relevarea unui text matematic:
se conștientizează întâi problemele și rezultatele fundamentale;
se fac legături ale acestei noi informații cu cunoștintele anterioare;
se disting ideile de demonstrare;
se fac verificările de rutină.
Nu este lipsită de interes lectura comparată a mai multor materiale ce tratează o aceeași temă.
Prin învățământ se înțelege un proces de asimilare, de acomodare – formare continuă, de creare a unui sistem de cunoștințe (succesiune ordonată de concepte care implică și interconexiuni între concepte în care roluri importante au și acțiunea, concretul, intuiția), etc.
“A învăța matematica” – nu înseamnă doar a învăța să rezolvi ecuații, să calculezi arii, volume, etc., dar și: să “citești” (interpretezi) realul în mod rațional, să te apropii de modelele ce reprezintă exemple de rigoare; să dezvolți capacitățile de analiză, sinteză și critică (constructivă).
II.1.2. Aspecte metodice privind predarea divizibilității în gimnaziu
Una dintre întrebările pe care și le pune un elev de gimnaziu este cea legată de utilitatea capitolului „Divizibilitatea numerelor”. Dincolo de calculul c.m.m.d.c. și al c.m.m.m.c. ai unor numere naturale, calcule utile în operații cu fracții, puțini elevi „mai văd” alte domenii în care cei din jurul lor folosesc proprietățile de divizibilitate a numerelor.
Programa de matematică prevede studiul divizibilității în clasele a V-a și a VI-a.
Clasa a V-a:
COMPETENȚE SPECIFICE:
Selectarea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și pentru divizibilitatea cu 10, 2 și 5
CONȚINUTURI:
Noțiunea de divizor; noțiunea de multiplu. Divizibilitatea cu 10, 2, 5
Clasa a VI-a:
COMPETENȚE SPECIFICE:
Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a noțiunilor: divizor, multiplu, numere prime, numere compuse, c.m.m.d.c, c.m.m.m.c
Aplicarea criteriilor de divizibilitate (cu 10, 2, 5, 3, 9) pentru descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime.
Utilizarea algoritmilor pentru determinarea c.m.m.d.c, c.m.m.m.c a două sau a mai multor numere naturale
Exprimarea unor caracteristici ale relației de divizibilitate în mulțimea numerelor naturale, în exerciții și probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea
Deducerea unor reguli de calcul cu puteri și a unor proprietăți ale divizibilității în mulțimea numerelor naturale, în exerciții și probleme
Transpunerea unei situații-problemă în limbajul divizibilității în mulțimea numerelor naturale, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
CONȚINUTURI:
1. Mulțimea numerelor naturale:
Operații cu numere naturale; reguli de calcul cu puteri
Divizor, multiplu. Criteriile de divizibilitate cu 10, 2, 5, 3, 9
Numere prime și numere compuse
Descompunerea numerelor naturale în produs de puteri de numere prime
Proprietăți ale relației de divizibilitate în :
;
; ;
Divizori comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.d.c.; numere prime între ele
Multipli comuni a două sau mai multor numere naturale; c.m.m.m.c.; relația dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Probleme simple care se rezolvă folosind divizibilitatea
2. Numere întregi:
Înmulțirea numerelor întregi; proprietăți; mulțimea multiplilor unui număr întreg
Împărțirea numerelor întregi când deîmpărțitul este multiplu al împărțitorului; mulțimea divizorilor unui număr întreg
SUGESTII METODOLOGICE
Pentru formarea competențelor specifice programa școlară recomandă utilizarea unor activități de învățare (asociate competențelor generale – CG – ale disciplinei Matematică).
Toate aceste sugestii de activități de învățare indică explicit apropierea conținuturilor învățării de practica învățării eficiente. În demersul didactic, centrul acțiunii devine elevul și nu predarea noțiunilor matematice ca atare, adică accentul trece de la “ce” să se învețe, la “în ce scop” și “cu ce rezultate”.
Exemple de activități de învățare asociate competențelor specifice, respectiv competențelor generale (CG):
CG3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
Clasa a V-a
CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
Clasa a VI-a
CG 1. Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite
CG 2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice
CG 3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete
CG 4. Exprimarea caracteristicilor matematice cantitative sau calitative ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora
CG 5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații problemă
CG 6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii
În contextul noului curriculum, conceptul central al proiectării didactice este demersul didactic personalizat, iar instrumentul acestuia este unitatea de învățare.
Demersul didactic personalizat exprimă dreptul profesorului (ca și al autorului de manual) de a lua decizii asupra modalităților pe care le consideră optime în creșterea calității procesului de învățământ, respectiv răspunderea personală pentru a asigura elevilor un parcurs școlar individualizat, în funcție de condiții și cerințe concrete.
Noul Curriculum național accentuează faptul că documentele de proiectare didactică sunt documente administrative care asociază într-un mod personalizat elementele programei – obiective de referință, conținuturi, activități de învățare – cu alocarea de resurse (metodologice, temporale și materiale) considerată optimă de către profesor pe parcursul unui an școlar.
În acest sens, programa școlară – element central în realizarea proiectării didactice – nu este privită ca “tabla de materii” a manualului sau ca un element de îngrădire pentru profesor.
Ea reprezintă un document reglator în sensul că stabilește obiective, adică țintele ce urmează a fi atinse prin intermediul activității didactice.
Proiectul unei unități de învățare poate fi întocmit pornind de la următoarea rubricație:
Unitatea de învățare…………………
Număr ore alocate…………………..
Proiectul unității de învățare
Pentru acest tabel:
• În rubrica referitoare la Conținuturi apar inclusiv detalieri de conținut necesare;
• În rubrica Obiective de referință/Competențe specifice se trec numerele obiectivelor de referință/competențelor specifice din programa școlară;
• Activitățile de învățare pot fi cele din programa școlară, completate, modificate sau chiar înlocuite de altele, pe care învățătorul/profesorul le consideră adecvate pentru atingerea obiectivelor propuse;
• Rubrica Resurse cuprinde specificări de timp, de loc, forme de organizare a clasei etc.
• În rubrica Evaluare se menționează instrumentele aplicate în clasă.
Totodată, finalul fiecărei unități de învățare presupune evaluare sumativă.
Deși denumirea și alocarea de timp pentru unitățile de învățare se stabilesc la începutul anului școlar prin planificare, este recomandabil ca proiectele unităților de învățare să se completeze ritmic pe parcursul anului, având în avans un interval de timp optim pentru ca acestea să reflecte cât mai bine realitatea.
Proiectarea unității de învățare – ca și a lecției – începe prin parcurgerea schemei următoare, care precizează elementele procesului didactic într-o succesiune logică, în vederea atingerii obiectivelor de referință. Elementele procesului sunt aceleași, oricare ar fi unitatea de învățare vizată.
• Stabilirea obiectivelor instructiv educative ale unității de învățare în concordanță cu obiectivele de referință propuse de programa școlară.
• Descrierea obiectivelor în termeni de comportament observabil;
• Precizarea condițiilor în care elevii urmează să demonstreze că au dobândit performanțele preconizate, condiții cunoscute și acceptate de elevi;
• Formularea diferențiată a criteriilor de evaluare, de acceptare a rezultatelor învățării, criterii cunoscute și înțelese de elevi;
• Organizarea, structurarea și adecvarea conținutului informațional la stadiul dezvoltării intelectuale și la particularitățile elevilor;
• Alegerea și definirea strategiilor adecvate de lucru;
• Evidențierea metodelor de învățare în acord cu strategiile alese;
• Evaluarea randamentului și a performanței prin referire la standardele de performanță specifice disciplinei și la criteriile de evaluare deja menționate;
• Denumirea acțiunilor de autocontrol și autoevaluare.
Etapele corespund întrebărilor pe care ni le punem:
Ce voi face? (precizarea obiectivelor educaționale ale activității didactice)
Cu ce foi face? (Analiza resurselor educaționale disponibile)
Cum voi face? (Elaborarea strategiei educaționale)
Cum voi ști că s-a realizat ce trebuia? (Stabilirea metodologiei de evaluare).
Pentru exemplificare, am conceput proiectul unității de învățare „Dvizibilitatea numerelor naturale”, clasa a VI-a (Anexa 1).
II.2. DEMERSUL METODIC AL PROIECTĂRII UNUI OPȚIONAL
II.2.1. Principii privind proiectarea unui CDȘ
„Nu îndrăznim, nu pentru că problemele
sunt dificile, ci, fiindcă nu îndrăznim
ele sunt dificile”
Seneca
Curriculumul la decizia școlii (CDȘ) devine, prin dreptul de a lua decizii conferit școlii emblema puterii reale a acestuia.
Derivată din libertatea – oferită de planurile cadru de învățământ – de a decide asupra unui segment al Curriculumului Național, această putere dă posibilitatea definirii unor trasee particulare de învățare ale elevilor.
Libertatea de decizie la nivelul școlii este consonantă cu democratizarea societății și reprezintă o șansă de adecvare la un sistem deschis, cu opțiuni multiple.
Din punctul de vedere al implementării însă, CDȘ este un segment de mare noutate care a introdus o serie de disfuncții.
Dincolo de aceste disfuncții, CDȘ rămâne o realitate a școlii de azi, realitate care și-a câștigat o serie de adepți (și majoritatea elevilor) și care presupune starea de normalitate prin acceptarea diferenței.
În alegerea curriculumului la decizia școlii trebuie propuse cursuri opționale care să răspundă realmente nevoilor educaționale ale elevilor, să ia în calcul preferințele părinților și ale comunității pe care școala o deservește.
Soluții posibile
Chestionarea elevilor
Consultarea părinților
Consultarea comunității
Discutarea cursurilor opționale în consiliile profesorale
Consultarea reprezentanților grupurilor formale și informale (consiliul local, ONG, asociații).
Tipurile de opțional pot fi:
Opționalul de aprofundare – este acel tip de CDȘ derivat dintr-o disciplină studiată în trunchiul comun, care urmărește aprofundarea obiectivelor, competențelor din curriculumul – nucleu prin noi unități de conținut.
Opționalul de extindere – este acel tip de CDȘ derivat dintr-o disciplină studiată în trunchiul comun, care urmărește extinderea obiectivelor cadru/competențelor generale din curriculum – nucleu prin noi obiective/competențe specifice și noi conținuturi.
Opționalul ca disciplină nouă – introduce noi obiective de studiu la un anumit profil, specializare, sau teme noi, care nu se regăsesc în programele naționale.
Opționalul integrat – introduce ca obiective de studiu noi discipline structurate în jurul unei teme integratoare pentru o anumită arie curriculară sau pentru mai multe arii curriculare.
II.2.2. Demersul metodic privind proiectarea opționalului „SECRETELE MATEMATICII”
Disciplina: MATEMATICĂ
Aria curriculară: MATEMATICĂ ȘI ȘTIINȚE ALE NATURII
Tipul: Opțional la nivelul disciplinei
Durata: 1 an
Clasele: a V-a, a VI-a
Nr. de ore pe săptămână: 1 oră
Profesor propunător: GĂLĂȚANU NUȘ
ARGUMENT
Apariția acestui opțional rezidă din nevoia elevilor de a-și apropia disciplina numită matematică pe căi mult mai plăcute și mai accesibile lor. Studiind diferite adevăruri matematice, dar prezentate sub forma unor aplicații directe din viața cotidiană, putem să atingem mult mai ușor obiectivele cadru ale acestei discipline.
Spre deosebire de alte discipline predate în gimnaziu, pentru care este posibil să se aducă la cunostința elevilor în mod elementar realizările importante ale științei și culturii contemporane, între matematica predată în școala gimnazială și matematica modernă există o distanță mare care, pentru mulți elevi, pare de neparcurs, datorită caracterului deductiv al cercetării matematice și mulțimii de noțiuni și relații noi pe care ea o implică.
Acesta este și motivul pentru care matematica reprezintă un șoc pentru mulți dintre elevii din gimnaziu. Încercarea de a-l preîntâmpina și de a-l atenua este idealul oricărui dascăl dedicat profesiei alese. Din păcate rigiditatea „canoanelor” pe care le implică respectarea programei și pregătirea elevilor pentru examene, nu prea oferă timpul necesar aplicării strategiei de recuperare și atragere a elevilor către această mirifică disciplină.
Condiția esențială pentru parcurerea integrală a conținutului va trebui să fie pasiunea pentru „frumosul științific”, pentru exersarea gândirii și, nu în ultimul rând, pentru creativitate.
Matematica, „regina științelor”, considerată pentru unii abstractă și accesibilă unui număr restrâns de persoane, poate fi înțeleasă de oricine se va apropia cu interes de ea.
Elementul de joc, care face ca matematica să fie recreativă, poate lua diverse forme: o enigmă, un truc, un paradox, o eroare logică sau pur și simplu matematică, cu unele trăsături curioase între joc și matematică.
Matematica distractivă are scopul de a delecta și, în același timp, de a învăța lucruri noi introducând informații și probleme care să-i atragă pe tineri în mod plăcut la lucru.
Matematica distractivă deschide porți spre matematica „serioasă”, majoritatea marilor matematicieni au elogiat rolul jocurilor în antrenarea gândirii, în formarea plăcerii și priceperii de a raționa riguros, de a gândi matematic.
Am ales să elaborez acest opțional pentru copiii care îndrăgesc matematica, cât și pentru cei care văd în matematică un domeniu arid, de nepătruns și care nu au știut până acum că se pot amuza prin intermediul matematicii. Consider că încercând să arăt cum se poate „juca” cu ajutorul matematicii nu fac altceva decât să pun în valoare potențialul ascuns al multor copii. Opționalul îi pregătește pe elevi pentru rezolvarea unor situații problematice din viața de zi cu zi cultivându-le perseverența, încrederea în sine, voința de a duce la bun sfârșit un lucru început.
Haideți, dar, să ne jucăm cu ajutorul matematicii!
NOTĂ DE PREZENTARE A CURSULUI
Prezentul opțional de matematică răspunde necesităților elevilor de extindere și aprofundare a unor teme de matematică, fiind în conformitate cu solicitările parinților, având la bază necesitatea aplicării matematicii în cele mai variate domenii. Prin acest curs opțional se urmărește adaptarea unor cunoștințe dobândite prin studiul curriculumului nucleu pentru rezolvarea de situații problemă nonstandard, ca și dezvoltarea unor activități și dobândirea pe cale intuitivă a unor noțiuni complementare curriculumului nucleu. S-a urmărit îndeaproape programa actuală și de perspectivă, inclusiv noile achiziții și deschideri.
Prin tematica acestui curs s-au pus la dispoziția elevilor scurte istorioare ale drumului marilor înaintași, ale contribuției popoarelor la tezaurul cunoașterii matematicii. S-au selecționat probleme care vizează interes și inventivitate, care să stimuleze imaginația, creativitatea, dorința de cunoaștere. Acest curs vizează și importanța ca elevul să gândască nu numai strict matematic, ci și asupra procesului de gândire; să se întrebe dacă o problemă dată este de simplă aplicare sau de gândire creatoare, dacă ea este frumoasă sau urâtă și de ce; dacă felul cum a gândit era natural, dacă ideea rezolvării era într-adevăr ascunsă, din ce cauză a eșuat găsirea soluției și invers, prin ce complex de împrejurări a avut succes.
Conținutul cursului opțional va fi util pentru formarea elevului deoarece unele probleme propuse la diferite teme sunt simple jocuri utile ca antrenament, însă altele sunt importante și prin conținut, prin faptul că îi determină pe elevi să pună întrebări, să caute, să observe, să deducă, să calculeze.
Tematica cursului opțional propus vizează atingerea unor scopuri generale:
diferențierea parcursurilor individuale de învățare a elevilor, ținând cont de – interesele și motivațiile lor și permițând o mai bună orientare școlară și profesioală.
formarea și dezvoltarea capacității elevului de a reflecta asupra lumii, de a formula și rezolva probleme pe baza cunoștințelor acumulate din diferite domenii.
Prin conținutul acestui curs opțional mi-am propus:
revigorarea și menținerea interesului pentru matematică a elevului;
reconsiderarea locului și rolului jocului în învățarea matematicii de gimnaziu;
prezentarea matematicii într-o continuitate și întrepătrundere cu celelalte discipline;
abordarea matematicii de gimnaziu ca o componentă a culturii generale.
COMPETENȚE GENERALE
1. Identificarea unor date și relați matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
4.Exprimarea caracteristicilor matematice ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
COMPETENȚE SPECIFICE
1.Identificarea unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite.
2. Prelucrarea datelor de tip cantitativ, calitativ, structural, contextual cuprinse în enunțuri matematice.
3. Utilizarea algoritmilor și a conceptelor matematice pentru caracterizarea locală sau globală a unei situații concrete.
4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale unei situații concrete și a algoritmilor de prelucrare a acestora.
5. Analiza și interpretarea caracteristicilor matematice ale unei situații-problemă.
6. Modelarea matematică a unor contexte problematice variate, prin integrarea cunoștințelor din diferite domenii.
MODALITĂȚI DE EVALUARE
Integrată în procesul didactic ca o necesitate obiectivă a acesteia, evaluarea poate fi concludentă, riguroasă și în același timp personalizată. Ea se impune ca o etapă a proiectării didactice căreia îi este necesar să i se acorde o atenție deosebită.
Ca modalități de evaluare mi-am propus:
evaluarea prin joc colectiv, pe grupe sau individual
portofoliul cu:
probleme rezolvate;
probleme culese pe o temă dată
probleme propuse
referate din istoria matematicii
teste tip grilă;
evaluarea lucrărilor practice;
observarea sistematică de catre profesor și intocmirea fișelor personale pentru fiecare elev;
teste sistem clasic
CONȚINUTURI
Clasa a V-a
Istoria cifrelor
Figuri geometrice
Calcul matematic
Magia divizibilității
Probleme de logică
Secretele matematicii
Jocuri matematice
Clasa a VI-a
Mică istorie a cifrelor
Geometria fără masurători și calcule
Logică recreativă
Magia divizibilității
Secretele matematicii
Jocuri matematice
BIBLIOGRAFIE
E. Dăncilă, I.Dăncilă, Matematica servește –
I.Dăncilă, Matematica gimnaziului între profesor și elev, Editura Corint
Jonny Ball, Misterele matematicii, Editura Litera Internațional
Armand Martinov, Matematica…o plăcere, Editura Sigma
Corneliu Anica, Romeo Ilie, Activitatea opțională la matematică , Editura Sigma
Sam Griffts-Jones, Sudoku – jocul care a înnebunit întreaga lume, Editura Sigma
II.2.3. Teme pentru activități opționale care pot apropia elevii de … matematică
MAGIA NUMERELOR PRIME
Motto: „Număr prim este acela
pe care-l măsoară numai unitatea”
Euclid
A găsi cel mai mare număr prim, iată o distracție favorită dintotdeauna a multor matematicieni.
Deși, înainte de apariția calculatorului această ocupație era o mare consumatoare de timp, totuși găsirea unor numere prime cât mai mari sau a unei formule cu ajutorul cărora să se poată afla numerele prime, i-a pasionat pe marii matematicieni ai tuturor timpurilor.
Într-o bună zi, foarte încântat, Euler a anunțat că numărul 1.000 009 este un număr prim, dar tot el s-a contrazis mai târziu, arătând că acest număr este produsul dintre numerele 293 și 3413. Iar când a făcut această constatare, Euler avea 70 de ani și era … orb!
Pierre Fermat, alt mare matematician, a fost multă vreme convins că numerele de forma sunt numere prime. Dar Euler avea să-l dezamăgească, arătând că . Cu mai bine de două sute de ani în urmă se credea că numărul lui Mersenne: este un număr prim. De abia în 1903, Frank Nelson Cole a calculat, folosind doar hârtia și creionul cât fac , din care a scăzut 1 și apoi a înmulțit 193 707 721 cu 761 838 257 287 și a ajuns la același rezultat. Întrebat cât timp i-a luat pentru aceste calcule a răspuns scurt: Duminicile a trei ani.
Folosind acum calculatorul, matematicienii contemporani se întrec în aflarea unor numere prime cât mai mari.
În 1961, s-a verificat că numărul este număr prim! În anii ’80, doi studenți de la o universitate din California au pulverizat toate recordurile: este număr prim! Cele 6533 cifre ale sale ar umple 32 de pagini de carte!
Dar febra căutărilor a continuat și a venit ziua de 9 august 1989 când s-a descoperit că numărul este prim și nu are decât … 65 087 cifre
Curiozități ale numerelor prime
1. Deși a rezistat oricărei verificări, teorema lui Goldbach:
Orice număr par se poate scrie ca sumă de două numere prime.
nu s-a demonstrat din 1742, de când autorul i-a propus-o lui Euler, nici până astăzi.
George Cantor a fost acela care a prezentat la un congres științific un tablou în care se găseau pentru toate numerele pare până la 1000, toate descompunerile în sume de câte două numere prime.
2. Există oare, oricât de multe perechi de numere de numere prime consecutive, ca de exemplu: (5,7); (11,13); (59,61); (641, 643); (1451, 1453)?
3. Orice număr par poate fi scris ca o diferență de numere prime, ca de exemplu:
?
4. Câte perechi de numere sunt prime atât ele cât și răsturnatele lor, ca în exemplele: (13, 31); (17,71); (37, 73); (79, 97) …?
5. Cât de lungă este lista numerelor prime astfel calculate:
ș.a.m.d.?
6. Unii matematicieni consideră numerele prime drept cărămizile matematicii, pentru că poți crea toate celelalte numere întregi, prin înmulțirea primelor între ele. Iată câteva exemple:
O altă curiozitate:
31 este prim
331 este prim
3331 este prim
33331 este prim
333331 este prim
3333331 este prim
33333331 este prim
Dar ce este 333333331? Se dovedește că el nu este prim, întrucât:
Ceea ce ne arată că nu poți încrede niciodată în modele, doar pentru că, în aparență, sunt mereu valabile.
7. Un mister nerezolvat
Un aspect misterios al numerelor prime este felul în care ele apar, la întâmplare, printre celelalte numere, fără nicio regulă. Matematicienii s-au trudit ani la rând să găsească o regulă, dar fără succes. Lipsa unei reguli înseamnă că numerele prime trebuie vânate, unul câte unul.
8. 73939133 este un număr prim uluitor. Oricâte cifre ai reteza din coada lui, ceea ce rămâne este tot un număr prim. Acesta este cel mai mare număr prim cunoscut, care are această calitate.
Este 523.367.890.103 un număr prim? Singurul mod de a afla este să verificăm dacă nu are vreun divizor, și asta durează. Cu toate acestea, matematicienii au găsit câteva numere prime surprinzător de mari. Cel mai mare, găsit până în prezent, are mai mult de 7,8 milioane de cifre. Dacă ai încerca să-l scrii de mână, ți-ar trebui 7 săptămâni și el ar ajunge la o lungime de 46 km.
9. Cine folosește numere prime pentru a se apăra?
Coduri secrete. Înmulțirea între numere prime este ușoară. Dar operația inversă, descompunerea unui număr în „factori primi”? Pentru numere cu adevărat mari, este imposibilă. Ea este așa de dificilă, încât face din numerele prime elemente perfecte pentru codurile secrete imposibil de spart. Detaliile unei plăți prin internet sunt mascate de un astfel de cod. „Lacătul” lui este un număr foarte mare, iar „cheia” e dată de factorii primi ai acelui număr.
Numere premiate. Codurile secrete bazate pe numere prime sunt atât de sigure, încât o firmă din S.U.A. a oferit un premiu pentru cel care va reuși să le spargă codul.
Timp în prime. Unele insecte folosesc numerele prime pentru a se proteja. Cicadele periodice petrec exact 13 sau 17 ani sub pământ, ca larve. La maturitate, roiesc cu miile afară și se împerechează. Numerele 13 și 17 sunt prime și nu se împart în numere mai mici. De aceea ciclul de viață al dușmanilor lor naturali (de 2-3 ani) nu coincide cu al lor.
METODE DE DETERMINARE A C.M.M.D.C. ȘI A C.M.M.M.C. PENTRU DOUĂ SAU MAI MULTE NUMERE
METODA CUTIEI: folosește descompunerea în factori primi, dar nu folosește puterile.
2940 2 3150 2
1470 2 1575 3
735 3 525 3
245 5 175 5
49 7 35 5
7 7 7 7
1 1
Acum voi scrie fiecare din numerele 2940 si 3150 ca produs de numere prime, dar voi scrie aceast lucru într-un tabel, astfel încât factorii 2 să fie scriși unul sub altul, factorii 3 unul sub altul, și așa mai departe; dacă într-un număr există mai puțini factori 2 de exemplu, vor fi căsuțe libere.
Pentru a afla c.m.m.d.c. este suficient să înmulțesc factorii care se repetă în coloana lor.
Deci
Pentru c.m.m.m.c., la tabelul inițial mai adaug o linie în care scriu în fiecare căsuță numărul găsit în cel puțin una din căsuțele de mai sus.
Un alt exemplu de aplicare pentru numerele 27; 90; 84
Dacă în tabel nu apare nici o coloană în care se repetă un număr în toate căsuțele, atunci c.m.m.d.c. este 1.
METODA TABELULUI – este o variantă a metodei cutiei: folosește numerele prime, dar nu folosește descompunerea în factori primi.
Exemplu: Aflați c.m.m.m.c. a numerelor 4; 7; 12; 21; 42.
În coloana 2 se scrie primul număr prim 2; apoi sub acest număr se trec câturile împărțirii numerelor din prima coloană la 2 – în cazul în care împărțirea se face exact; dacă împărțirea nu se face exact, se copiază numărul din prima coloană.
Se scrie din nou numărul 2 în a treia coloană și se procedează ca mai sus.
Dacă am repeta procedeul cu a patra coloană, nu am face decât să repetam coloana precedentă, de aceea în a patra coloană vom scrie numărul prim 3 și continuăm în același mod.
Din motive similare celor de mai sus nu are sens să continuăm cu numărul prim 3 și nici cu numărul prim 5; putem continua cu numărul prim 7.
Când am obținut o coloană cu 1 în dreptul numerelor inițiale, am terminat, iar c.m.m.m.c. se obține înmulțind numerele din prima linie;
Folosind această metodă c.m.m.d.c. se obține înmulțind acele numere din prima linie care produc modificări asupra numerelor inițiale; în cazul nostru nici un număr nu îndeplinește această condiție, deci
METODA L folosește numerele prime, dar nu folosește descompunerea în factori primi
Exemplu: Aflați c.m.m.d.c.și c.m.m.m.c. pentru 24 și 36.
Dacă numerele alese se împart exact la numărul prim 2, scriem în stânga numărul 2 și sub numerele date, scriem câturile împărțirii acestor numere la 2.
2 24 36
12 18
Continuăm acest procedeu cât timp este posibil.
2 24 36
2 12 18
6 9
Când nu se mai poate, continuăm cu numărul prim 3 în stânga și aplicăm același procedeu
2 24 36
2 12 18
3 6 9
2 3
Cum numerele din ultimul rând nu mai au alți divizori comuni diferiți de 1, algoritmul s-a terminat. Se desenează litera L, ca în model. Pentru a afla c.m.m.d.c. înmulțim numerele din partea verticală a literei L. ; iar pentru a afla c.m.m.m.c. înmulțim toate numerele din litera L.
M-SUDOKU
M- Sudoku este o versiune de sudoku, care în forma inițială are în loc de o serie de numere o serie de litere; iată un exemplu mai jos. Cele nouă litere reprezintă cifrele de la 1 la 9, numerele scrise în dreapta în afara tabelului reprezintă c.m.m.m.c. a numerelor din linia respectivă; numerele de sub tabel reprezintă c.m.m.m.c. a numerelor din fiecare coloană. Mai întâi pe baza valorilor c.m.m.m.c. trebuie aflate valorile celor nouă litere, apoi sudoku continuă respectând regulile obișnuite. Poate fi un foarte bun exercițiu de evaluare potrivit pentru lucrul în echipă.
DIVIZIBILITATEA ȘI NUMERELE SPECTACULOASE
Un număr poate fi spectaculos într-o mulțime de moduri.
Pentru un matematician, numărul 60 este spectaculos deoarece se împarte exact la
primele 6 numere naturale; pentru un ceasornicar, pentru că o oră este alcătuită din 60 de minute și un minut din 60 de secunde; pentru un obosit, 60 de ani reprezintă vârsta mult visată a pensionării, iar pentru un călător, poate reprezenta numărul de traseu corespunzător deplasării cu un mijloc de transport în comun.
Tentativele din ce în ce mai numeroase, din ce în ce mai puternice, de a asocia numere activităților noastre, cautarea adevărului prin căutarea unui număr care reprezintă un raport, un indice, o diferență, un efectiv, o medie, o cotă, un curs, o notă, un coeficient, un calibru, o frecvență, ne fac să credem tot mai mult că numerele au responsabilitatea de a ne spune realitatea. Și tocmai de aceea, multe numere devin spectaculoase.
De-a lungul timpului, matematicienii au creat diferite tipuri de mulțimi de numere spectaculoase, bazându-se pe proprietățile acestora legate de divizibilitate.
În continuare, am să prezint câteva dintre aceste numere.
Numere prime gemene. Numere prime trigemene
Două numere prime impare consecutive se numesc numere prime gemene. Două numere prime a și b sunt gemene dacă . De exemplu: 3 și 5, 5 și 7, 11 și 13, 17 și 19, 41 și 43, 71 și 73, 101 și 103, 107 și 109, 1000000061 și 1000000063. Până la numărul 30000000 s-au descoperit peste 152892 perechi de numere prime gemene. Perechea cu cele mai mari astfel de numere cunoscute este 1000000009649 și 1000000009651. Nu s-a răspuns încă la următoarea întrebare: „Există o infinitate de numere prime gemene?”
Trei numere prime a, b, c se numesc trigemene dacă . Avem o singură pereche de numere trigemene și anume: (3; 5; 7), pentru că din tripetul (, unde cel puțin unul din numere este compus, deoarece este divizibil cu 3.
Numere perfecte.
Din antichitate, grecii au observat că unele numere naturale au caracteristica de a fi egale cu suma divizorilor săi, exceptând numărul, ei atribuindu-le o însemnătate deosebită. În concluzie, numerele naturale egale cu suma divizorilor lor, exceptând numărul, se numesc numere perfecte. De exemplu, .
Euclid a demonstrat că fiecare număr natural ce poate fi scris sub forma , unde este un număr prim, este un număr perfect. Cel mai mare număr decoperit de acestă formă este al 18-lea și anume: , care are 2000 cifre.
Până în zilele noastre se cunosc 30 de numere perfecte, cel mai mare având aproximativ 5000 de cifre, confirmându-se aprecierea lui René Descartes (1596 – 1650): „Numerele perfecte sunt foarte rare, ca și oamenii perfecți”.
Matematicianul grec Nicomah din Gherasa se ocupa de distribuția acestora. El a observat că printre unități este numai un singur număr perfect: 6. Tot așa, printre zeci, numai 28 este perfect, printre sute, tot un singur perfect și la fel nu se află decât un singur număr perfect printre multele numere formate din patru cifre. De aici a dedus că numerele perfecte se depărteză mult unele de altele și că ele se tremină fie în 6, fie în 8.
Al cincilea număr de acest gen a fost calculat în secolul al XV-lea de către pasionatul Regiomontanus și anume 33550336. În secolul următor germanul J. Scheybel a mai găsit două numere perfecte, cel din urmă având 12 cifre. Peste încă un secol, un alt îndrăgostit de numere „ a adus la lumină” al optulea număr, de 22 de cifre. Acest pasionat de „regina științelor” a fost călugărul franciscan, din secolul al XVII-lea, Marin Mersene. Al noulea număr a fost calculat acum două secole. Dar ultimele trei grupe au apărut în 1917.
Până acum nu s-a demonstrat existența unui număr perfect impar.
Saint Augustine a considerat numărul 6 ca fiind număr perfect devotat: Dumnezeu a făcut Pământul în 6 zile pentru a sugera perfecțiunea muncii Sale.
Philo Judeus, în primul secol după Hristos, a numit numărul 6 cel mai productiv dintre toate numerele, fiind și cel mai mic număr perfect.
Pitagora a numit număr abundent, numărul a cărui sumă a divizorilor săi (cu excepția lui însuși) este mai mare decât numărul. În caz contrar, se numește deficient.
Observăm că numărul 12 este abundent: iar 8 este deficient: .
Numere prietene.
Două numere naturale cu proprietatea că fiecare este egal cu suma divizorilor celuilalt, dintre divizori excluzându-se numerele însele, se numesc numere amiabile sau numere prietene.
Primul exemplu de numere prietene l-a dat Pitagora: 220 și 284. Până în secolul al XVII-lea nu a fost cunoscută nicio altă pereche de numere prietene. În anul 1636, Pierre de Fermat a găsit o nouă pereche: 17296 și 18416, iar doi ani mai târziu, Descartes a calculat a treia pereche de numere de acest gen: 9363584 și 9437056.
În secolul al IX-lea, celebrul matematician și astronom Tabit ibn Korra (Tabit fiul lui Korra), a găsit o metodă care arată cum se pot calcula perechile de numere prietene. Pentru determinarea acestor perechi nu există o formulă generală de calculare, ci doar formule particulare. Formula lui Korra este:
„Dacă numerele de forma ; sunt prime, atunci perechile și sunt numere prietene”.
În scrierile matematice arabe, numerele prietene apar de mai multe ori. Ele au jucat un rol magic și astronomic în stabilirea horoscoapelor, în vrăjitorie și în fabricarea talismanelor. În cartea „Historical Prolegomenon” a arabului Ibn Khaldun (secolul XIV): „practica artei talismanelor ne-a făcut să recunoaștem minunatele virtuți ale numerelor prietene. Ele sunt 220 și 284 … . Autorul Ghaia-ei, alți mari maeștri declară că ei au văzut acestea confirmate de experiență.”
În 1747, când Euler a publicat articolul „Despre numere prietene”, a amintit cele trei perechi cunoscute și a adăugat încă 30 de perechi de numere prietene! Dintre care enumerăm: () și ).
Iată câteva istorioare referitoare la numerele prietene:
„Ca să-și asigure protecția unui senior ce-l dușmănea, un cavaler a trimis acestuia un dar foarte curios fiindcă l-a potrivit în așa fel încât să cuprindă exact 220 de bucăți: saci de grâu, saci de poame uscate, vase de vin și ulei, oi, porci și la acestea a adăugat o pungă de bani, atâția la număr cât mai era nevoie ca împreună cu numărul celorlalte bunuri să ajungă la 220. Trucul i-a reușit iar autorul textului comentează această preferință a cavalerului arătând că numărul 220 face parte din perechea (220; 284), de numere prietene.”
„Se spune că odată cineva a venit la Pitagora și l-a rugat să-i arate cum ar trebui să fie doi oameni, care se pot numi prieteni.
– Să se comporte ca numerele 220 și 284! a răspuns filosoful.
Nedumerit de răspuns, i s-a indicat să stabilească divizorii acestor numere.
– Pentru numărul 220 am găsit divizorii: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110 a căror sumă este 284, iar pentru 284 am găsit divizorii: 1, 2, 4, 71, 142 și suma lor este 220.
Atunci a înțeles că fiecare dintre cei doi prieteni trebuie să poarte în suflet ce-l preocupă pe celălalt, adică este ca și eul celuilalt.”
„In Evul Mediu un prinț indian al cărui număr în gemantrie (magia cifrelor) este 284, căuta o logodnică cu numărul 220, crezând astfel că fericirea matrimonială va fi dobândită în ceruri garantat”.
În secolul al XX-lea a apărut noțiunea de numere sociabile, trei sau mai multe numere pe care le putem așeza pe un cerc. De exemplu, cercul numerelor 12496, 14288, 15472, 14536 și 14264. Suma divizorilor primului număr este egală cu al doilea număr, suma divizorilor celui de-al doilea ne dă al treilea, …, suma divizorilor celui de-al cincilea număr este egală cu primul număr. Un lanț de numere prietene.
Proprietățile numărului 153.
Este cel mai mic număr care poate fi exprimat ca suma cuburilor cifrelor sale: .
Este egal cu suma factorialelor numerelor de la 1 la 5: .
Suma cifrelor numărului 153 este un pătrat perfect: .
Suma divizorilor naturali ai lui 153 (cu excepția lui 153) este un pătrat perfect: .
Adunând numărul 153 cu răsturnatul său (351) se obține 504, a cărui pătrat se poate exprima ca produsul a două numere răsturnate: iar .
Poate fi exprimat ca suma tuturor numerelor naturale de la 1 la 17.
Numărul 153 este un număr Harshad (este divizibil prin suma cifrelor sale): .
Poate fi exprimat ca produsul a două numere, formate numai din cifrele sale: .
Suma divizorilor lui 153 este 234: . Produsul divizorilor lui 153 este 23409: .
Dacă considerăm cele 6 numere de trei cifre formate numai din cifrele 1, 5, 3 (o singură dată) observăm că: ; .
În concluzie, următoarea teoremă:
TEOREMĂ. Numere nespectaculoase nu există.
Demonstrație.
Dacă ar exista numere plictisitoare, atunci toate numerele le-am putea diviza în două clase: numere spectaculoase și numere nespectaculoase. Dar cel mai mic dintre numerele nespectaculoase este deja un număr spectaculos. Așa că el trebuie extras și transferat în mulțimea numerelor spectaculoase. Dar în mulțimea numerelor nespectaculoase rămase vom găsi din nou cel mai mic număr. Repetând acest proces, putem face spectaculos orice număr nespectaculos. Ceea ce trebuia demonstrat.
TRUCURI DE MAGIE MATEMATICĂ
Când urmașii lui Piatgora au constatat că suma, diferența sau produsul a două numere divizibile cu 9, sunt multipli de 9, au numit numărul format din cea mai mare cifră, numărul fidelității.
Mai târziu, proprietățile divizibilității cu 9 a numerelor întregi au permis realizarea și utilizarea unor tehnici inedite de calcul și verificare a rezultatelor, multe dintre ele pe nedrept uitate astăzi. Toate aceste tehnici se bazează pe următoarele proprietăți:
pentru orice număr natural, restul împărțirii lui la 9 este același cu restul împărțirii sumei cifrelor sale la 9.
într-o adunare (sau scădere), suma (diferența) resturilor împărțirii la 9 a termenilor este aceeași cu restul împărțirii la 9 au rezultatului.
într-o înmulțire, restul împărțirii la 9 a produsului resturilor factorilor, este egal cu restul împărțirii la 9 a produsului.
Exemple:
Fie adunarea
Restul împărțirii la 9 a numărului 457 este 7 (rest 7), restul împărțirii la 9 a numărului 1395 este 0 (, restul împărțirii la 9 a numărului 1852 este 7 (.
Într-adevăr, .
Fie înmulțirea
Restul împărțirii la 9 a numărului 137 este 2 (rest 2), restul împărțirii la 9 a numărului 4283 este 8, iar a numărului 586771 este 7, (rest 7.
Într-adevăr, restul împărțirii la 9 a produsului resturilor 2 și 8, adică a lui 16, este 7.
Iată și câteva consecințe utile.
Este întotdeauna divizibilă cu 9:
diferența dintre un număr și suma cifrelor sale;
diferența dintre două numere naturale alcătuite din aceleași cifre, dar scrise în altă ordine;
diferența a două numere naturale având aceeași sumă a cifrelor.
Cunoașterea acestor proprietăți oferă drumuri surprinzător de scurte în rezolvarea unor probleme, ce par uneori neobișnuit de dificile.
Proprietățile divizibilității cu 9 a numerelor naturale sunt „la baza” unui mare număr de trucuri cu cărți de joc.
Aceste proprietăți sunt „ascunse” și în această „magie” cu numere.
În continuare, am să prezint câteva trucuri care se pot folosi cu succes la lecțiile de matematică pentru a trezi interesul copiilor privind proprietățile divizibilității și cum ar putea să-și impresioneze colegii, frații, părinții cu aceste cunoștințe.
TRUCUL I.
Scrie două numere diferite, dar compuse din aceleași cifre;
Scade din numărul mai mare pe cel mic;
Taie o cifră nenulă din diferența obținută;
Află suma cifrelor rămase;
Comunică suma obținută.
Matemagicianul: Scade din cel mai mic multiplu de 9 mai mare decât această sumă, suma obținută. Rezultatul găsit este cifra tăiată.
Explicația trucului: Scăzând două numere formate din aceleași cifre, dar scrise în altă ordine, obținem un număr divizibil cu 9, deci suma cifrelor rezultatului este un număr divizibil cu 9.
Prezentând suma cifrelor numărului care reprezintă diferența, dar cu o cifră tăiată, elevul oferă de fapt diferența dintre cel mai mic multiplu de 9 mai mare decât suma cifrelor numărului ce reprezintă diferența și cifra tăiată.
TRUCUL II.
Scrie un număr natural oarecare de ordinul sutelor și apoi răsturnatul său.
Efectuează diferența dintre cel mai mare și cel mai mic
Comunică doar ultima cifră a diferenței (x).
Matemagicianul: Precizați rezultatul la care s-a ajuns (, unde x este cifra comunicată.
Explicația trucului: Întotdeauna scăderea în cauză va arăta așa, unde y va fi întotdeauna egal . De ce?
Pentru că o astfel de diferență este întotdeauna divizibilă cu 9.
TRUCUL III. Magicul număr 1 089!
1. Notează, fără să arăți, un număr format din trei cifre, cu cifra sutelor mai mare decât cifra zecilor și cifra zecilor mai mare decât cifra unităților (cum ar fi, de exemplu, 851 șau 973).
2. Scade din numărul trecut pe foaie numărul obținut prin notarea cifrelor în ordine inversă (în cazul numărului 851, de plidă, numărul scăzut va fi 158)
3. Adună diferența cu numărul obținut prin răstunarea acesteia.
Matemagicianul: Rezultatul este 1 089.
Explicația trucului: Indiferent de numărul ales inițial, rezultatul final va fi, de fiecare dată, 1 089. Cum este posibil așa ceva? Fie numărul necunoscut format din trei cifre. Din punct de vedere algebric, acesta este egal cu:
Notând cifrele în ordine inversă, obține , care este egal cu:
Scăzând din , obținem:
În concluzie, în urma scăderii de la pasul 2, se obține unul dintre următorii multipli de 99: 198, 297, 396, 594, 693, 792, 891. Suma dintre oricare din aceste numere și numărul obținut prin inversarea cifrelor acestuia va fi egală cu 1089.
TRUCUL IV. Ce cifră lipsește?
Ia un calculator și înmulțiți numărul 1089 cu orice număr de trei cifre ().
Câte cifre au rezultatele? (de exemplu, „șase”)
Spune cu voce tare cinci din cele șase cifre, în ordibea dorită (de exemplu: 2, 4, 7, 8, 8).
Matemagicianul: Cifra care lipsește este 7.
Explicația trucului: Secretul trucului constă în faptul că un număr este multiplu de 9 dacă și numai dacă la fel este și suma cifrelor acestuia. Întrucât cel mai apropiat multiplu de 9, mai mare decât 29 este 36, cifra omisă nu poate fi decât 7 ()
TRUCUL V.
Scrie un număr format din trei cifre, .
Alătură în fața sau în spatele lui încă o dată acest număr ().
Împarte rezultatul la 13.
Câtul obținut îl împarți la 7
Comunică ultimul cât.
Matemagicianul: Împarte acest rezultat, discret, la 11 și ghicește numărul .
Explicația trucului:
Numărul 1001, cunoscut și sub denumirea de numărul Șeherezadei, se divide cu numerele 7, 11 și 13 ().
II.3. DIVIZIBILITATEA ÎN REZOLVAREA EXERCIȚIILOR ȘI PROBLEMELOR
II.3.1.Exerciții tipice
1. Care sunt numerele de forma divizibile cu 2?
Rezolvare:
, dar , fiind cifră de început și atunci
.
2. Care sunt numerele de forma divizibile cu 3?
Rezolvare:
.
Deci
3. Câte numere de forma sunt divizibile cu 5?
Rezolvare:
și x poate să fie orice cifră adică poate lua 10 valori, înseamnă că vor fi 20 de numere cu proprietatea din enunț.
4. Se dau mulțimile . Enumerați elementele celor două mulțimi și aflați , respectiv .
Rezolvare:
⇔ ;
⇔ , iar .
5. Care sunt numerele de forma divizibile cu 4, ce sunt mai mici decât 3138.
Rezolvare:
, iar , deci și . Atunci .
Deci, .
6. Care dintre numerele și este divizibil cu 9.
Rezolvare:
Mai întâi scriem numerele într-o formă convenabilă:
, iar suma cifrelor este .
, iar suma cifrelor este .
, iar suma cifrelor este nu este divizibil cu 9.
7. Care sunt numerele prime de forma , al căror produs al cifrelor este 10?
Rezolvare:
Căutăm numerele prime, cu și , deci
Pentru , deci nu este prim.
Pentru , deci nu este prim.
Pentru , număr prim, sau
, număr prim.
8. Care este cel mai mic număr de forma , cu , care are cel mai mic număr de divizori?
Rezolvare:
, înseamnă că și deci .
9. Aflați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor 672 și 1008.
Rezolvare:
Descompunem numerele în factori primi
10. Care sunt numerele naturale a și b, al căror produs este 8064, iar c.m.m.d.c. al lor este 12.
Rezolvare:
Căutăm numerele naturale a și b pentru care și .
Dacă , atunci și , unde și . Prin urmare, . Soluțiile ecuației se vor găsi printre divizorii lui 56. Astfel,
pentru , pentru ,
iar , respectiv nu convin pentru că în aceste situații .
Prin urmare, .
11. Împărțind numerele 1243, 6532, 1817 la un același număr, obținem resturile 13; 7 și, respectiv 2. Aflați împărțitorul.
Rezolvare:
Fie împărțitorul comun. Atunci, conform teoremei împărțirii cu rest, avem: , , unde a, b, c sunt câturile efectuate. Scădem, în fiecare egalitate, restul corespunzător și vom obține , , .
x fiind același, înseamnă că el este c.m.m.d.c. al numerelor 1230, 6525 și 1815 și .
12. Să se determine numerele prime care satisfac relația
.
Rezolvare:
Mai întâi observăm că , , și deci, , dar cum 2 și 5 sunt prime între ele, va trebui ca și cum este prim, rezultă că . Atunci , de unde , care are soluțiile , , respectiv , .
13. Să se arate că numărul se divide cu 11.
Rezolvare:
și cum , rezultă că numărul .
14. Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația
.
Rezolvare:
Dacă și cum și sunt divizori ai lui 15 și . Avem
Deducem că problema admite trei soluții:
.
15. Arătați că orice număr natural care prin împărțire la 18 dă restul 12 se divide cu 6.
Rezolvare:
Fie , numărul care împărțit la 18 dă restul 12. Din teorema împărțirii cu rest avem .
16. Să se determine numerele naturale de forma , știind că .
Rezolvare:
.
17. Care este cel mai mic număr natural care are exact 15 divizori?
Rezolvare:
Pentru ca numărul să aibă 15 divizori, trebuie să admită o descompunere în factori primi de forma sau , iar pentru ca numărul să fie cât mai mic, trebuie ca a și b să fie cele mai mici numere prime. Dintre și , mai mic este .
18. Să se determine un număr natural care are patru divizori, știind că produsul divizorilor săi este egal cu 1521.
Rezolvare:
Fie , numărul căutat. Din enunț, n are doar patru divizori, atunci rezultă că există numerele prime a și b, distincte, astfel încât sau .
Cazul I. Dacă , ceea ce este imposibil.
Cazul II. Dacă .
19. Numerele 641, 278, 550, împărțite la același număr natural, dau restul egal cu 11, 8 și, respectiv 10. La ce număr au fost împărțite?
Rezolvare:
Fie numărul la care au fost împărțite. Din teorema împărțirii cu rest, avem:
Din , dar .
20. Arătați că numerele și sunt prime între ele oricare ar fi .
Rezolvare:
Fie
de unde rezultă că numerele și sunt prime între ele.
21. Dacă , unde , atunci se divide cu 65.
Rezolvare:
.
Deoarece dar , de unde rezultă că (1)
Din (2)
Din relațiile (1) și (2) ⇒.
22. Aflați cel mai mic număr natural nenul care înmulțit cu fiecare din fracțiile au ca rezultat un număr natural.
Rezolvare:
Fie , numărul căutat. Pentru ca și , trebuie ca x să fie multiplu comun al numerelor 22, 14 și 33 și problema ne cere cel mai mic număr natural nenul, rezultă că .
23. Aflați cea mai mică fracție cu numărător nenul care înmulțită pe rând cu și dă rezultat număr natural.
Rezolvare:
Fie fracția căutată. Pentru ca și trebuie ca x să fie un multiplu comun al numerelor 49 și 25, iar y să fie un divizor comun al numerelor 48 și 72. Problema ne cere cea mai mică fracție cu aceste proprietăți, deci va trebui ca acesta să aibă cel mai mic numărător posibil și cel mai mare numitor posibil.
Avem , .
Deci fracția căutată este .
24. Determinați astfel încât .
Rezolvare:
.
Dacă:
Deci singura soluție este .
25. Determinați astfel încât .
Rezolvare:
.
Dacă:
.
Deci .
26. Simplificați fracțiile pentru a obține fracții ireductibile:
a) b) c) .
Rezolvare:
a) , deci simplificând fracția prin 6 obținem fracție ireductibilă:
;
b) , și simplificând, .
c) Descompunând numărătorul și numitorul în factori primi obținem
27. Determinați numărul fracțiilor de forma care se simplifică prin 18.
Rezolvare:
Cum , iar , trebuie ca iar și , adică și . Atunci,
, iar
.
Sunt de fracții.
28. Enumerați elementele mulțimilor
și ,
apoi calculați , și .
Rezolvare:
și .
, .
29. Arătați că
se divide cu 7.
Rezolvare:
Suma conține 2016 termeni, deci pot fi grupați câte trei:
, de unde .
30. Se consideră numerele întregi și , unde n este un număr întreg.
a) Arătați că , pentru orice n număr întreg.
b) Demonstrați că pentru orice număr întreg n, 14 divide x sau 14 divide y.
c) Determinați numerele întregi n, pentru care x divide y.
Rezolvare:
a)
.
b) Dacă n – par ⇒
n – impar ⇒
c) Dacă n – par ⇒ și , care sunt numere consecutive, deci sunt prime între ele ⇒..
Dacă n – impar ⇒ și
dar
.
Deci .
II.3.2. Exerciții pentru olimpiade și concursuri
1. Un număr natural de forma se numește superb dacă .
a) Câte numere superbe există?
b) Arătați că orice număr superb se divide cu 13.
Rezolvare:
a), ⇒⇒ sunt 15 numere.
b)=.
2. Se consideră mulțimea A. Arătați că:
a) mulțimea A conține cel puțin trei numere prime, cel puțin două pătrate perfecte și cel puțin un cub perfect.
b) nu se pot alege patru numere diferite din mulțimea A, astfel încât suma lor să fie egală cu 2012.
Rezolvare:
a) 13. 13, 19 și 31 sunt numere prime.
4 și 25 sunt pătrate perfecte; 64 este cub perfect.
b) Fie fals.
3. Dacă , arătați că 11 este divizibil cu 2013.
Rezolvare: Avem 2013.
Notăm B.
deci (11.
4. Arătați că numărul se divide cu 819, pentru orice număr natural nenul.
Rezolvare:
. Deoarece oricare ar fi , .
5. Arătați că nu există numere naturale care împărțite la 6 dau restul 5 și împărțite la 9 dau restul 3.
Rezolvare:
Să presupunem că, dimpotrivă, există astfel de numere. Folosind teorema împărțirii cu rest, putem scrie și , deci ; , ceea ce constituie o contradicție. În concluzie, nu există numere naturale cu proprietatea din enunț.
6. Se dau numerele . Arătați că x și y au cel puțin trei divizori comuni diferiți de 1.
Rezolvare:
;
⇒ ⇒ x și y au cel puțin trei divizori comuni diferiți de 1.
7. Numerele naturale x, y, z împărțite la 11 dau resturile 3, 2, respectiv 1. Determinați cel mai mic număr natural n pentru care .
Rezolvare:
Din terorema împărțirii cu rest, ; ; ; ⇒ ⇒ ⇒ .
8. Un număr natural de patru cifre diferite două câte două, având forma , se numește interesant dacă . Arătați că suma tuturor numerelor interesante de patru cifre este multiplu de 11.
Rezolvare:
Deoarece adunarea și înmulțirea sunt operații comutative, relația poate fi scrisă și altfel: ; ; . Dacă este un număr interesant, atunci și numerele , , ,, , , sunt numere interesante. Din acestă observație putem deduce că numerele interesante se pot grupa câte opt. Avem + + + + + = , care este mutiplu de 11. În concluzie, suma tuturor numerelor interesante de patru cifre este multiplu de 11.
9. Determinați numerele divizibile cu 12, știind că se divide cu 51.
Rezolvare:
. Cum , , dar .
. Dar
, dar ⇒ .
10. Aflați numerele prime x, y, z astfel încât
Rezolvare:
număr par ⇒ este număr par ⇒ este număr par, este număr prim ⇒⇒ , dar z este număr prim ⇒
11. Fie numărul , unde a, b, c sunt cifre nenule în baza 10. Aflați numărul minim și numărul maxim de divizori ai lui N.
Rezolvare:
Cum a, b, c sunt cifre nenule, rezultă că
are un număr minim de divizori pentru numărul de divizori ai lui N este .
N are un număr maxim de divizori pentru numărul de divizori ai lui N este .
12. Se dau numerele naturale a, b, c astfel încât Arătați că numărul este divizibil cu 570.
Rezolvare:
19a și 15c au aceeași paritate, deci a și c au aceeași paritate ⇒ este număr par.
. Cum . Dar este număr par ⇒ ⇒ .
13. Arătați că dacă atunci .
Rezolvare:
⇒
14. Determinați numerele naturale a și b, știind că b este prim și că
Rezolvare:
este produs de numere consecutive, deci par, deducem că este număr par, dar este și prim ⇒ ), deci .
15. Numerele naturale 1, 2, 3, …, 2014 sunt scrise pe cartonașe, cu fața scrisă în jos. Spunem că un cartonaș este cu noroc dacă numărul scris pe el este divizibil cu 20 sau 13. Care este cel mai mic număr de cartonașe pe care trebuie să le întoarcem, fără a privi pentru a fi siguri că cel puțin unul din ele este cu noroc?
Rezolvare:
Multiplii lui 20 mai mici decât 2014 sunt . Multiplii lui 13 mai mici decât 2014 sunt . , iar multiplii lui 260 mai mici decât 2014 sunt . Folosind principiul includerii excluderii, cartonașele „cu noroc” sunt . Celelalte sunt 1766. Deci trebuie întoarse cel puțin 1767 cartonașe.
16. Determinați cel mai mic număr natural n, de patru cifre, știind că este divizibil cu 284 și este divizibil cu 36.
Rezolvare:
Avem ; ⇒ . Pentru ca n să fie cel mai mic, trebuie și k să fie cel mai mic. Cum , deducem . Pentru avem – multiplu de 9 (nu convine). Pentru avem și găsim .
17. Arătați că dacă , atunci fracția , unde .
Rezolvare:
Deoarece și , prin scădere rezultă ; însă ,
adică fracția se simplifică cu 7, deci este reductibilă.
18. Determinați numerele naturale prime știind că .
Rezolvare:
(1)
, însă . Din – număr par ⇒ a par, însă a prim ⇒ .
Înlocuind în relația (1) obținem ⇒ , dar b este prim ⇒ . Apoi .
19. Arătați că fracția este ireductibilă .
Rezolvare:
Vom arăta că Fie d un divizor comun al celor două numere, adică și . Din și cum , prin diferență se ajunge la . Folosind fracția este ireductibilă.
20. Arătați că numărul este divizibil cu 5, unde p este un număr natural prim, impar.
Rezolvare:
Dacă p este un număr prim mai mare decât 2, atunci sau Pentru , avem , iar pentru , avem . Așadar, pentru orice număr p prim, dacă grupăm termenii câte 10, obținem ultima cifră 5. În suma noastră putem forma 210 grupe de câte 10 termeni și mai rămân 3 termeni, apoi scădem 6. Vom avea . Prin urmare, numărul A se divide cu 5.
21. Numărul are suma cifrelor egală cu 27. Arătați că numărul se divide cu 297.
Rezolvare:
.
Pe de altă parte, .
Cum 11 și 27 sunt prime între ele, deducem că se divide cu .
22. Demonstrați că, oricare ar fi n un număr natural, numărul este divizibil cu 17.
Rezolvare:
.
23. Dacă x și y sunt numere naturale prime, iar z este un număr natural impar, arătați că fracția se simplifică printr-un număr mai mare decât 20.
Rezolvare:
La numărător avem un produs de patru numere naturale consecutive. Produsul a patru numere naturale consecutive este divizibil cu 24. Într-adevăr, dacă – număr natural, atunci care se divide cu 8. Dacă atunci care se divide cu 8. Cum produsul a trei numere naturale consecutive se divide cu 3, deducem că se divide cu 24.
La numitor avem. Cum z este un număr natural impar, avem . Prin urmare, fracția se simplifică prin 24, care este mai mare decât 20.
24. Determinați numerele naturale , pentru care are loc relația: =123.
Rezolvare:
Folosim proprietatea și obținem . Notăm , de unde rezultă că:
Înlocuind, avem .
Cum 123 se divide cu 3, se divide cu 3, atunci se divide cu 3, dar , atunci d se divide cu 3 ⇒
Cum 41 se divide cu k și , vom avea deci . Dar și putem presupune că . Se obține
și
25. Să se determine trei numere naturale x, y, z astfel încât
Rezolvare:
, unde și . Cum se obține că 21 divide x, și, analog, 15 divide y, 35 divide z. O soluție particulară este , iar mulțimea soluțiilor este de forma unde și sunt prime între ele două câte două.
26. Determinați toate dreptunghiurile, cu lungimile laturilor exprimate prin numere naturale, pentru care aria și perimetrul se exprimă prin același număr.
Rezolvare:
Notăm lungimile laturilor dreptunghiului și avem . Cum sunt numere naturale, trebuie ca să fie număr natural, adică . Obținem și atunci avem un dreptunghi cu lungimea de 6 unități și lățimea de 3 unități și un pătrat cu latura de 4 unități.
27. Arătați că numărul este multiplu al lui 7.
Rezolvare:
28. Numerele naturale verifică relația . Arătați că se divide cu 5.
Rezolvare:
Relația dată se scrie sau (1).
Relația ințială se mai scrie (2).
Din (1) și (2) rezultă că (.
29. Determinați numerele naturale x și numerele întregi y, prime între ele, știind că este număr întreg.
Rezolvare:
Putem scrie Cum sau .
Dacă , obținem perechile
În cazul se obține și revenim la perechile anterioare.
30. a) Aflați cel mai mare divizor comun al numerelor
și ,
unde n este un număr natural.
b) Determinați numărul natural n, pentru care cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b este 91.
Rezolvare:
a) Putem scrie . Dacă și , adică , de unde deducem că . Cum a și b sunt impare, deducem că și . Deoarece ultima cifră a lui a este 7, deducem că . În concluzie, .
b) Din punctul a) deducem că (. Dacă , atunci (, iar dacă atunci (. În concluzie, .
II.3.3. Aplicații practice ale divizibilității
1. La un concurs participă 128 băieți și 126 fete. Toți participanții sunt grupați în echipe care au același număr de copii, respectiv, același număr de băieți.
a) Arătați că se pot forma nouă echipe.
b) Arătați că nu se pot forma șapte echipe.
c) Care este numărul maxim de echipe care se pot forma?
Rezolvare:
a) deoarece
deoarece .
b) nu se divide cu 7.
c) ; 18 este numărul maxim de echipe care se pot forma.
2. Un elev are la dispoziție un număr de plăci dreptunghiulare, fiecare având lungimea de 20 de cm și lățimea de 15 cm.
a) Arătați că elevul poate construi un pătrat cu latura de 120 cm.
b) Arătați că elevul nu poate construi un pătrat cu latura de 30 cm.
c) Calculați lungimea laturii unui pătrat astfel construit cu 48 astfel de plăci.
d) Aflați numărul minim de astfel de plăci cu care elevul poate construi un pătrat.
Rezolvare:
a) și .
b) 30 nu este divizibil cu 20.
c) 20 cm cm.
d) ; 12 plăci (.
3. La un antrenament doi călăreți iau startul simultan, din același loc, pe un hipodrom. Primul face o rotație completă în 72 de secunde, iar al doilea în 80 de secunde.
a) Câte tururi a făcut primul călăreț în 6 minute?
b) După cât timp se întâlnesc cei doi călăreți la locul de unde s-a dat startul?
Rezolvare:
a) 6 minute ; .
b) (secunde). Cei doi călăreți de întâlnesc în locul de unde s-a dat statrtul după 12 minute.
4. Se distribuie, în mod egal, 462 de piersici și 644 de mere în pungi și astfel rămân neasamblate 12 piersici și 14 mere.
a) Câte fructe au fost asamblate?
b) Cât costă piersicile dacă 6 piersici cântăresc un kilogram, iar 5 kg de piersici costă 30 de lei.
c) Câte pungi s-au folosit? (Scrieți toate variantele posibile).
Rezolvare:
a) ;
b) (kg piersici);
(lei) costă un kg de piersici;
(lei) costă piersicile.
c) Fie numărul pungilor. Din și rezultă .
5. Într-o pungă sunt bomboane. Dacă bomboanele se împart în mod egal unui grup de 4 copii, atunci rămân în pungă 3 bomboane. Dacă bomboanele se împart în mod egal unui grup de 7 copii, atunci rămân în pungă 6 bomboane.
a) Verificați dacă în pungă pot fi 55 de bomboane.
b) Care poate fi cel mai mic număr de bomboane din pungă, înainte ca acestea să fie împărțite copiilor?
Rezolvare:
a) rest 3; rest 6. Rezultă că pot fi 55 de bomboane.
b) Fie x numărul minim de bomboane.
⇒.
6. Din orașul Constanța pleacă în fiecare dimineață la ora 6:00, spre stațiunile de pe litoral, patru autobuze, ale căror curse dus-întors, cu tot cu opriri, durează: pentru primul 1h, pentru al doilea 1h15min și pentru al patrulea 45 min.
a) La ce oră se întâlnesc din nou toate autobuzele în Constanța.
b) Câte curse a făcut fiecare autobuz până la acea oră?
Rezolvare:
a) Primul autobuz are cursa de 60 min, al doilea de 90 min, al treilea 75 min și al patrulea 45 min.
C.m.m.m.c comun al numerelor 60; 90; 75 și 45 este 900. . Autobuzele se întâlnesc din nou la ora 21.
b) Primul autobuz face curse.
Al doilea autobuz face curse.
Al treilea autobuz face curse.
Al patrulea autobuz face curse.
7. O ladă în formă de cub are latura .
a) Calculați volumul cubului în funcție de x.
b) Stabiliți câte cutii în formă de cub de latură x intră în lada .
c) Aflați cel mai mic număr natural nenul x astfel încât în lada să putem așeza un număr întreg de cutii paralelipipedice cu dimensiunile de 36 cm, 24 cm și 18 cm.
Rezolvare:
a) .
b) Cubul de latură x are volumul . Atunci în lada intră 8 cuburi de latură x.
c) este c.m.m.m.c. cm.
8. Avem la dispoziție 240 de smochine, 192 de portocale și 108 mere. Determinați cel mai mare număr de pachete identice care pot fi făcute folosind toate aceste fructe.
Rezolvare:
Fie x numărul maxim de pachete. Deoarece și x este maxim, rezultă că x este c.m.m.d.c. al numerelor 240, 192, 108. Rezultă că .
9. Numărul elevilor unei școli este cuprins între 1000 și 1500. Dacă îi grupăm câte 9, câte 16 sau câte 20, rămân de fiecare dată 4 elevi. Aflați numărul elevilor școlii.
Rezolvare:
Fie x numărul elevilor, cu (1). Din teorema împărțirii cu rest avem, . Atunci se divide Conform relației (1), avem , deci .
10. Ana are mere. Dacă le grupează câte două, câte trei sau câte patru, de fiecare dată îi rămâne câte un măr. Dacă taie fiecare măr în patru, nu obține mai mult de 100 de felii, nici mai puțin de 20.
a) Arătați că Ana nu poate avea 7 mere.
b) Câte mere poate avea Ana?
Rezolvare:
a) Restul împărțirii lui 7 la 4 este 3, prin urmare, la gruparea merelor câte 4 nu i-ar ramâne un singur măr.
b) Fie n numărul merelor; atunci , deci se divide cu . Pe de altă parte, , deci . Obținem .
11. În câte moduri se pot împărți 96 de copii în grupuri egale, dacă fiecare grup are mai mult de 5 copii și mai puțin de 20.
Rezolvare:
Fie n numărul de copii dintr-un grup. și , deci se pot grupa în 4 moduri.
12. Mihai are o cutie cu 2000 de acadele colorate astfel: 387 albe, 396 galbene, 402 roșii, 407 verzi și 408 maro. El alege, la întâmplare, trei acadele. Dacă sunt de aceeași culoare, le mănâncă, iar dacă au culori diferite le pune înapoi și alege alte trei. Ce culoare are ultima acadea rămasă în cutie?
Rezolvare:
deoarece
deoarece
deoarece
deoarece
În cutie rămân două acadele verzi pentru că 407 nu este divizibil cu 3. Avem rest 2.
13. Produsul vârstelor copiilor mei este 1664. Cel mai mic are jumătate din vârsta celui mai mare. Câți copii am?
Rezolvare:
; vârstele copiilor sunt 8, 13, 16. Deci, am 3 copii.
14. Într-un joc de copii se numără de la 1 la 100 și se aplaudă de câte ori se rostește un multiplu de 5 sau un număr ce se termină în 3. De câte ori se aplaudă?
Rezolvare:
De la 1 la 100 sunt 33 multipli de 3 () și 10 numere care se termină în trei (3; 13; 23; …; 93). Cum numerele 3; 33; 63; 93 apar în ambele cazuri, în total se aplaudă de ori.
15. Făina obținută astăzi a fost împachetată în 24 de pungi, unele pungi de 5 kg și altele de 3 kg. Cantitatea de făină pusă în pungile de 5 kg este egală cu cantitatea de făină pusă în pungile de 3 kg. Ce cantitate de făină s-a obținut astăzi?
Rezolvare:
Fie a numărul pungilor de 5 kg și b numărul pungilor de 3 kg. Avem următoarele relații: deci și . Rezultă și Cantitatea de făină obținută este kg.
16. Vârsta mamei este un număr de 5 ori mai mare decât suma cifrelor sale. Ce vârstă are mama, dacă nu a împlinit 60 de ani?
Rezolvare:
Fie vârsta mamei. Avem . Deci . Rezultă și , adică și (a și b sunt cifre). Vârsta mamei este 45.
17. Dan și Mihai aveau fiecare câte 30 de alune. După ce a mâncat o parte din ele, Dan constată că, dacă din alunele ce i-au rămas face grămezi de câte 4 alune îi mai rămân trei, dacă face grămezi de câte 3 alune îi mai rămân două și dacă face grămezi de câte două îi mai rămâne o alună. Mihai observă că, deși a mâncat mai puține alune decât Dan, poate aplica și el același procedeu. Câte alune au împreună cei doi?
Rezolvare:
Dan rămâne cu x alune, iar Mihai cu y alune. Avem și . Rezultă că este multiplu de 4, 3 și 2, adică . Analog, . Cum rezultă că și . Deci . Le-au rămas 34 de alune.
18. Pe fiecare dintre cele 18 carduri este scris exact un număr: fie 4, fie 5. Suma tuturor numerelor scrise este divizibilă cu 17. Pe câte carduri este scris numărul 4?
Rezolvare:
Dacă pe cele 18 carduri ar fi scris 4, suma lor ar fi egală cu Suma maximă se obține atunci când pe toate cardurile este scris numărul 5. În acest caz, suma lor este egală cu. Între 72 și 90, numărul divizibil cu 17 este 85.
carduri sunt cu cifra 5 și
carduri sunt cu cifra 4.
19. Să se afle numărul cuboidelor care au toate muchiile numere întregi și volumul 2010.
Rezolvare:
(descompunerea în factori primi a numărului 2010). Apar următoarele posibilități:
În total sunt 14 cuboide.
20. La un concurs au participat cel mult 50 de copii. dintre ei au luat note între 9 și 10; dintre ei au luat note între 7 și 9 și au avut note între 5 și 7. Câți copii au avut note sub 5?
Rezolvare:
Fie x numărul de copii de la concurs. Numărul x trebuie să se dividă cu 7, cu 3 și cu 2 adică se divide cu . Cum , înseamnă că . Au luat note sub 5
elev.
21. Bogdan are carduri verzi, pe care scrie toate numerele prime de câte o cifră (câte un număr pe fiecare card) și carduri roșii pe care scrie pătratele perfecte nenule de câte o cifră. Câte numere prime obține Bogdan, alăturând câte un card verde și un card roșu?
Rezolvare:
Cardurile verzi: 2, 3, 5, 7; cardurile roșii: 1, 4, 9. Numerele prime obținute sunt: 29, 31, 59, 71, 79, 13, 17, 43, 47, 97. Bogdan obține 10 numere prime.
22. John are 6 bidoane având următoarele mase: 15, 16, 18, 19, 20, 31. Un bidon conține unt, iar celelalte conțin fie lapte, fie smântână. John are de două ori mai mult lapte decât smântână. Ce masă are bidonul în care se află unt?
Rezolvare:
Notăm cu l – cantitatea de lapte și cu s – cantitatea de smântână.
Deci cantitatea de lactate care se află în cinci bidoane trebuie să se dividă cu 3 ( 1 parte lapte și 2 părți smântână). Deoarece 3 nu îl divide pe 119, înseamnă că nu se află unt în niciun bidon care are o masă divizibilă cu 3.
; 103 nu se divide cu 3;
; 100 nu se divide cu 3
;
nu se divide cu 3.
Rezultă că unt este în bidonul de 20 kg, fiind în celelalte 33 de smântână și 66 de lapte.
23. Înainte de sfârșitul școlii, profesorul de matematică a spus: „Cine vrea să dea încă o dată testul de sfârșit de an, o poate face mâine.” Două treimi dintre băieți și trei cincimi din numărul fetelor au dorit să repete testul. În clasă sunt 27 elevi. Câți dintre ei au decis să nu repete testul?
Rezolvare:
Fie b – numărul băieților și f – numărul de fete.
Din enunț rezultă că și nu doresc să repete testul, deci și . Se cunoaște că , deci și .
Rezultă că nu vor repeta testul elevi.
24. Un bătrân stătea pe o bancă într-un parc. Un tânăr, așezându-se alături de el, îl întreabă deodată câți ani are. Fiind plictisit să răspundă mereu la această întrebare, bătrânul îi răspunse tânărului cu intenția de a-i da de lucru.
– Dacă înmulțești vârsta pe care o am cu numărul apartamentului în care locuiesc și cu numărul pe care îl poartă la pantofi fiul meu, vei obține 85813.
Tânărul, care nu avea nici cea mai vagă idee despre piciorul fiului bătrânului și, cu atât mai puțin, despre numărul apartamentului, a reușit să găsească vârsta bătrânului. Câți ani avea acesta?
Rezolvare:
Se pornește de la descompunerea numărului 85813 în factori primi: . Fiul bătrânului, care nu mai era copil, purta la pantofi 41.
Deoarece și , acestea sunt numere prea mari pentru a fi vârsta unui om. Rezultă că vârsta bătrânului este . Se deduce că numărul apartamentului este 23.
25. În niște coșulețe sunt ouă de găină, iar în altele, ouă de rață. Numărul lor este 5, 6, 12, 14, 23 și, respectiv, 29. Renunțând la un coșuleț rămân de două ori mai multe ouă de găină decât de rață. La care coșuleț trebuie să se renunțe?
Rezolvare:
Numărul total de ouă este . Pentru a realiza cerința problemei trebuie să rămână un număr de ouă multiplu de 3. Așadar nu se poate renunța la coșulețele cu 6 și 12 ouă.
Dacă se renunță la coșulețele cu 5 ouă, rămân 84, dar ouă care nu se pot obține din nicio combinație a coșulețelor.
Analog, dacă s-ar scoate coșulețele cu 14 și 23 de ouă ar rămâne 75 și, respectiv, 66 de ouă. Treimile lor, 25 și, respectiv 22 nu se pot obține din nicio combinație a coșulețelor.
Trebuie renunțat la coșulețul cu 29 de ouă.
26. Un album de artă are paginile numerotate de la 1 la 100. Pe fiecare pagină care este multiplu de 2, dar nu și de 5 sunt câte două desene. Pe paginile care sunt multipli de 5, dar nu și de 2 sunt câte trei desene. În rest, paginile sunt ocupate cu texte explicative.
a) Câte pagini sunt ocupate cu text?
b) Câte desene apar în album?
Rezolvare:
De la 1 până la 100 sunt 50 de multipli ai lui 2 (). Dintre aceștia, 10 sunt multiplii lui 5 (.
Deci două desene sunt pe pagini, adică desene.
De la 1 la 100 sunt 20 de multipli ai lui 5 (). Dintre aceștia, 10 (sunt multiplii lui 2.
Deci trei desene sunt pe pagini, adică desene.
În total sunt 110 desene, iar paginile ocupate cu text sunt 50.
27. Participanții la întrecerea sportivă de cros se pot să se așeze în coloane de câte 10, 15, 20 sau 30.
a) Câți participanți sunt la cros dacă numărul lor este cuprins între 50 și 65?
b) Dar dacă numărul participanților este cuprins între 110 și 130?
Rezolvare:
Fie x numărul de participanți.
⇒.
a) participanți.
b) participanți.
28. Aflați numărul de copii cărora le putem împărți, în mod egal, 36 de mere și 54 de pere, știind că fiecare copil primește și mere și pere. Dar dacă numărul de copii este cel mai mare posibil?
Rezolvare:
Fie x numărul de copii. .
.
Numărul copiilor este un element al mulțimii .
Numărul maxim de copii este 18.
29. Pe o masă sunt 7 cartonașe pe care sunt scrise numerele 1, 2, 4, 7, 8, 11 și 25. Iulia și Adrian au luat, fiecare, câte trei cartonașe și au observat că suma numerelor de pe cartonașele Iuliei este de patru ori mai mare decât suma numerelor de pe cartonașele lui Adrian. Care este numărul scris pe cartonașul rămas pe masă?
Rezolvare:
Fie ; suma numerelor de pe cartonașele lui Adrian, suma numerelor de pe cartonașele Iuliei, respectiv numărul rămas pe masă.
. Din enunț, + Dar 59 și n dau același rest la împărțirea cu 5. Cum trebuie să dea restul 4 la împărțirea cu 5 ⇒ .
30. La o fabrică de cărămizi acestea se asamblează sub forma unui cub cu latura cea mai mică cu care se pot așeza astfel încât să umple tot spațiul indiferent pe ce față sunt așezate. Dimensiunile unei cărămizi sunt 10 cm, 24 cm și 4 cm.
a) Care este lungimea laturii cubului?
b) Câte cărămizi încap într-un cub?
Rezolvare:
(cm) este latura cubului.
de cărămizi.
CAPITOLUL III.
METODE TRADIȚIONALE VERSUS METODE MODERNE UTILIZATE ÎN PROIECTAREA CURRICULARĂ A DIVIZIBILITĂȚII
III.1.METODE UTILIZATE ÎN PROCESUL DE PREDARE–ÎNVĂȚARE–EVALUARE
Spre deosebire de programele școlare bazate pe conținuturi, programele organizate pe competențe prezintă avantajul scopului formativ al învățării. Acestui tip de învățare trebuie să i se asocieze o evaluare a cărei funcție este să îl ajute pe elev să învețe: Ce învață?, Cum învață?, Cum poate reuși? Dacă acceptăm că a evalua înseamnă a da un sens, atunci învățarea capătă sens dacă evaluarea se raportează la o competență a cărei dobândire de către elev este verificată prin control.
Educatorii trebuie să se preocupe de găsirea unor metode și procedee variate adaptate diferitelor situații de instruire în care elevii vor fi puși. Pe baza metodelor pe care le stăpânește, educatorul va încerca noi metode de predare. Este loc în acest domeniu pentru manifestarea imaginației și creativității didactice, cu efecte pozitive nu numai asupra elevilor, ci și asupra dascălului.
O metodă de învățământ reprezintă o cale de organizare și dirijare a învățării în vederea atingerii competențelor specifice disciplinei; un ansamblu organizat de procedee.
Metoda constituie modalitatea prin care se obține transmiterea și însușirea conținutului activităților matematice.
Specificitatea conținutului, aspectul logic al cunoștințelor matematice, impune un caracter obiectiv metodelor de învățământ.
Metoda influențează și determină modul de receptare a conținutului, gradul de accesibilitate al cunoștințelor și valoarea informativă și formativ-educativă a actului didactic. Astfel, între scop și conținut, metoda apare ca un instrument în vederea atingerii finalităților urmărite.
Similar suitei de operații ce constituie acțiunea didactică, metoda adecvată acțiunii propuse încorporează o suită de procedee ordonate logic. Fiecare procedeu reprezintă o tehnică de acțiune și rămâne o componentă particulară a metodei, un instrument de aplicare efectivă a metodei.
Deci, metoda se constituie dintr-o varietate de procedee ce concură la atingerea scopului propus, iar eficiența metodei este asigurată de calitatea și varietatea procedeelor alese de către profesor.
Eficiența unei metode depinde de modul în care declanșează la copil actele de învățare și de gândire prin acțiune, de măsura în care determină și favorizează reprezentările specifice unei anumite etape de formare a noțiunii.
Metoda este un fapt (fenomen) obiectiv care condiționează progresul la învățătură; prin intermediul ei profesorul stăpânește acțiunea instructivă, o dirijează, o corectează și o reglează continuu în direcția impusă de finalitățile actului instrucțional.
Fiind direct implicată în actul instruirii, prin intervenția ei activă, metoda poate să modifice mersul proceselor de predare și învățare; ea poate să imprime un curs sau altul derulării acestora. Si, făcând acest lucru, metoda devine o variabilă care , în mod potențial, influențează efectele învățării, devenind o variabilă cauzală, răspunzătoare, în bună parte, de rezultatele obținute, de nivelul acestora și eficiența învățământului. Nu numai rezultatele imediate și directe sunt influențate de metodă, ci și cele îndepărtate.
A. METODE TRADIȚIONALE UTILIZATE ÎN PREDAREA MATEMATICII
Explicația – metodă verbală de asimilare a cunoștințelor prin care se progresează în cunoaștere, oferind un model descriptiv la nivelul relațiilor.
Pentru a fi eficientă, explicația, ca metodă de învățământ specifică în cadrul activităților matematice, trebuie să aibă următoarele caracteristici:
• să favorizeze înțelegerea unui aspect din realitate;
• să justifice o idee pe bază de argumente, adresându-se direct rațiunii, antrenând operațiile gândirii (analiza, clasificarea, discriminarea);
• să înlesnească dobândirea de cunoștințe, a unor tehnici de acțiune;
• să respecte rigurozitatea logică a cunoștințelor adaptate pe nivel de vârstă;
• să aibă un rol concluziv, dar și anticipativ;
• să influențeze pozitiv resursele afectiv-emoționale ale copiilor.
În utilizarea eficientă a acestei metode se cer respectate următoarele cerințe:
• să fie precisă, concentrând atenția copiilor asupra unui anume aspect;
• să fie corectă din punct de vedere matematic;
• să fie accesibilă, adică adaptată nivelului experienței lingvistice și cognitive a copiilor;
• să fie concisă.
Dacă explicația, ca metodă, este corect aplicată, ea își pune în valoare caracteristicile, iar copiii găsesc în explicație un model de raționament matematic, de vorbire, un model de abordare a unei situații-problemă, și astfel ei înțeleg mai bine ideile ce li se comunică.
La nivelul activităților matematice, explicația este folosită atât de profesor, cât și de copii. Profesorul: explică procedeul de lucru; explică termenii matematici prin care se verbalizează acțiunea; explică modul de utilizare a mijloacelor didactice; explică reguli de joc și sarcini de lucru. Elevul: explică modul în care a acționat (motivează); explică soluțiile găsite în rezolvarea sarcinii didactice, folosind limbajul matematic.
Explicația însoțește întotdeauna demonstrația și o susține. În cursul explicației se pot face întreruperi, cu scopul de a formula și adresa întrebări copiilor, prin care să se testeze gradul de receptare și înțelegere a celor explicate, dar întreruperile trebuie să fie de scurtă durată, pentru a nu rupe firul logic al demersului susținut.
Metoda explicației se regăsește în secvențele didactice ale diverselor tipuri de activități.
Demonstrația – este metoda învățării pe baza contactului cu materialul intuitiv, contact prin care se obține reflectarea obiectului învățării la nivelul percepției și reprezentării.
Demonstrația este una din metodele de bază în activitățile matematice și valorifică noutatea cunoștințelor și a situațiilor de învățare. Ca metodă intuitivă, ea este dominantă în activitățile de dobândire de cunoștințe și valorifică caracterul activ, concret senzorial al percepției copilului. O situație matematică nouă, un procedeu nou de lucru vor fi demonstrate și explicate de profesor. Nivelul de cunoștințe al copiilor și vârsta acestora determină raportul optim dintre demonstrație și explicație. Eficiența demonstrației, ca metodă, este sporită dacă sunt respectate anumite cerințe de ordin psihopedagogic: demonstrația trebuie să se sprijine pe diferite materiale didactice demonstrative ca substitute ale realității, în măsură să reprezinte o susținere figurativă, indispensabilă gândirii concrete a copilului, noțiunile fiind prezentate în mod intuitiv prin experiențe concret-senzoriale; demonstrația trebuie să respecte succesiunea logică a etapelor de învățare a unei noțiuni sau acțiuni; demonstrația trebuie să păstreze proporția corectă în raport cu explicația, funcție de scopul urmărit; demonstrația trebuie să favorizeze învățarea prin crearea motivației specifice (trezirea interesului).
Conversația – metodă de instruire cu ajutorul întrebărilor și răspunsurilor în scopul realizării unor sarcini și situații de învățare.
În raport cu obiectivele urmărite și cu tipul de activitate în care este integrată, conversația, ca metodă, are următoarele funcții:
euristică, de valorificare a cunoștințelor anterioare ale copiilor pe o nouă treaptă de cunoaștere (conversație de tip euristic);
de clarificare, de aprofundare a cunoștințelor (conversația de aprofundare);
de consolidare și sistematizare (conversația de consolidare);
de verificare sau control (conversația de verificare).
Ținând cont de funcția didactică pe care o poate îndeplini conversația, aceasta poate avea mai multe variante:
• conversația introductivă;
• conversația de comunicare;
• conversația de repetare și sistematizare;
• conversația de fixare și consolidare;
• conversația de verificare și apreciere;
• conversația finală.
Conversația introductivă se folosește pentru pregătirea psihologică a elevilor, în vederea predării de noi cunoștințe. În acest scop, pregătirea face referire la mobilizarea atenției, la stimularea interesului și a curiozității, la reactualizarea cunoștințelor.
Conversația de comunicare se utilizează în scopul transmiterii de noi cunoștințe. Acest tip de conversație poate fi folosit și în situații diverse cum ar fi: pregătirea materialului didactic, efectuarea de experimente, comentarea diverselor exemple sau situații etc.
Conversația de repetare și sistematizare se utilizează în cazul reluării și repetării noțiunilor, în cazul desprinderii unor concluzii parțiale sau finale, precum și în cazul integrării noțiunilor anterioare în structurile logice noi și concretizarea acestora în diverse situații.
Conversația de fixare și consolidare se aplică în mod curent la lecție, în vederea fixării ideilor importante ce rezultă din noțiunile predate.
Conversația de verificare și apreciere vizează gradul de înțelegere a noțiunilor predate, precum și capacitatea de reproducere, de explicare și aplicare a cunoștințelor dobândite la lecție.
Profesorul trebuie să creeze cât mai multe situații generatoare de întrebări și căutări, să dea posibilitatea copilului de a face o selecție a posibilităților de lucru, să recurgă la întrebări-problemă, să-i încurajeze pentru a formula ei înșiși întrebări, să pună probleme. Întrebările de tipul: „Ce ai aici?, „Ce ai făcut?”, „De ce?” pun copiii în situația de a motiva acțiunea și astfel limbajul relevă conținutul matematic al acțiunii obiectuale și se realizează schimbul de idei.
Metoda observării (observația) – constă din urmărirea sistematică de către elev a obiectelor și fenomenelor ce constituie conținutul învățării, în scopul surprinderii însușirilor semnificative ale acestora.
Ion Cerghit apreciază observarea ca una dintre metodele de învățare prin cercetare și descoperire. Este practicată de elevi în forme mai simple sau complexe, în raport cu vârsta.
Funcția metodei nu este în primul rând una informativă, ci mai accentuată apare cea formativă, adică de introducere a elevului în cercetarea științifică pe o cale simplă.
Dacă întâi elevul doar recunoaște, descrie, analizează, progresiv, el trebuie învățat să explice cauzele, să interpreteze datele observate, să reprezinte grafic rezultatele, să arate dacă corespund sau nu cu unele idei, să le aplice și în alte situații, create prin analogie. Elevul trebuie să-și noteze, să-și formuleze întrebări, deci să aibă un caiet de observație, putând face ușor transferul la caietul de studiu.
Observația științifică însoțită de experiment atinge cote maxime în învățarea matematicii.
Observația este o activitate perceptivă, intenționată, orientată spre un scop, reglată prin cunoștințe, organizată și condusă sistematic, conștient și voluntar.
Formularea unui scop în observație impune sarcina de a dirija atenția copilului spre sesizarea unor elemente esențiale, astfel încât, treptat, reprezentările să se structureze, să se clarifice și să se fixeze. Prin scop este concentrată atenția copilului spre observarea unor anumite elemente și sunt activizate mecanisme discriminative.
Observația, ca metodă, asigură baza intuitivă a cunoașterii, asigură formarea de reprezentări clare despre obiecte și însușirile caracteristice ale acestora. Îmbogățirea bazei senzoriale a copilului se realizează în mare măsură prin observație dirijată, copilul învață prin explorare perceptivă, ce depinde în mare măsură de calitatea observației.
Calitatea observației poate fi sporită prin respectarea următoarelor condiții: organizarea unor condiții materiale propice observației; acordarea timpului necesar pentru observație; dirijarea prin cuvânt (explicație, conversație); acordarea libertății de a pune întrebări în timpul observației; valorificarea cunoștințelor obținute prin observație; reluarea observării însoțite de explicații, de câte ori se impune.
Observația, ca metodă, apare însoțită de explicație, ultima fiind elementul de dirijare a observației spre scopul propus.
Explicația, ca procedeu, are un rol deosebit în cadrul observației, datorită faptului că prin intermediul cuvântului: se stabilește scopul observației; sunt actualizate cunoștințe și integrate în cadrul observativ; se explorează câmpul perceptiv, scoțându-se în evidență elementele semnificative; se fixează și se valorifică rezultatele observației în activitatea (acțiunea) ce asigură integrarea percepției; se introduc simbolurile verbale specifice limbajului matematic, cu asigurarea unui raport corect între rigoare științifică și accesibilitate.
Funcție de nivelul de vârstă și de tipul de activitate, observația dirijată se regăsește în diferite secvențe ale demersului didactic.
Exercițiul – este o metodă ce are la bază acțiuni motrice și intelectuale, efectuate în mod conștient și repetat, în scopul formării de priceperi și deprinderi, al automatizării și interiorizării unor modalități de lucru de natură motrice sau mentală.
Prin acțiune exersată repetat, conștient și sistematic, copilul dobândește o îndemânare, o deprindere, iar folosirea ei în condiții variate transformă deprinderea în pricepere. Ansamblul deprinderilor și priceperilor, dobândite și exersate prin exerciții în cadrul activităților matematice, conduce la automatizarea și interiorizarea lor, transformându-le treptat în abilități.
La nivelul activităților matematice din grădiniță, abilitățile se dobândesc prin acțiunea directă cu obiecte și exersează potențialul senzorial și perceptiv al copilului.
O acțiune poate fi considerată exercițiu numai în condițiile în care păstrează un caracter algoritmic. Ea se finalizează cu formarea unor componente automatizate, a unor abilități deci, ce vor putea fi aplicate în rezolvarea unor noi sarcini cu alt grad de complexitate.
Pentru ca un ansamblu de exerciții să conducă la formarea unor abilități, acesta trebuie să asigure copilului parcurgerea următoarelor etape: familiarizarea cu acțiunea în ansamblul ei, prin demonstrație și aplicații inițiale; familiarizarea cu elementele componente ale deprinderii (prin descompunerea și efectuarea pe părți a acțiunii); unificarea acestor elemente într-un tot, asigurând organizarea sistemului; reglarea și autocontrolul efectuării operațiilor; automatizarea și perfectarea acțiunii, dobândirea abilității.
Cunoașterea și respectarea acestor etape de către profesor favorizează: consolidarea cunoștințelor și deprinderilor anterioare; amplificarea capacităților operatorii ale achizițiilor prin aplicarea în situații noi; realizarea obiectivelor formative asociate (psihomotrice, afective).
Pentru a asigura formarea de abilități matematice, ca finalități ale disciplinei, exercițiul trebuie să fie integrat într-un sistem, atât la nivelul unei abilități, dar și la nivel de unitate didactică.
Conceperea, organizarea și proiectarea unui sistem de exerciții în scopul dobândirii unei abilități trebuie să asigure valorificarea funcțiilor exercițiului6: formarea deprinderilor prin acțiuni corect elaborate și consolidate; adâncirea înțelegerii noțiunilor prin exersare în situații noi; dezvoltarea operațiilor mentale și constituirea lor în structuri operaționale; sporirea capacității operatorii a cunoștințelor, priceperilor și deprinderilor și transformarea lor în abilități (operaționalizarea achizițiilor).
În cadrul activităților matematice, sistemul de exerciții vizează, pentru început, capacitatea de reproducere a achizițiilor. Odată dobândite, abilitățile asigură prin exersare caracterele reversibil și asociativ ale operației, iar exercițiul devine astfel operațional.
În conceperea unui sistem eficient de exerciții, profesorul trebuie să țină cont de următoarele condiții psiho-pedagogice, subordonate etapelor de formare a abilităților: asigurarea succesiunii sistemice a exercițiilor, respectând etapele de formare a unei noțiuni; succesiunea progresivă prin eșalonarea lor după gradul de dificultate; aplicarea diferențiată a exercițiilor, funcție de particularitățile capacităților de învățare; varietatea exercițiilor prin schimbarea formei, a modului de execuție sau a materialului didactic; creșterea treptată a gradului de independență a copiilor în executarea exercițiilor (de la exercițiul de imitație dirijat, la exercițiul de exemplificare semidirijat și independent); repartizarea în timp a exercițiilor, în scopul sporirii eficienței învățării; asigurarea unei alternanțe raționale între exercițiile motrice și cele mentale, funcție de nivelul de vârstă și scopul urmărit.
Sistemul de exerciții nu-și poate atinge scopul formativ fără a acorda atenția cuvenită desfășurării exercițiilor ce formează ansamblul. Din acest motiv, este util pentru cadrul didactic să rețină câteva aspecte pentru organizarea situațiilor și sarcinilor de învățare.
El trebuie: să cunoască bine structura, valoarea și limitele exercițiului de executat; să motiveze corect efectuarea repetată a unor exerciții, precum și performanțele de atins; să explice și să demonstreze modelul acțiunii; să creeze situații cât mai variate de exersare; să aibă în vedere o ordonare a exercițiilor, după complexitate și grad de dificultate; să îmbine procedeul execuției globale cu cel al fragmentării; să impună (precizeze) un ritm optim de acțiune, cu unele verificări imediate, ca și crearea unor posibilități de autocontrol.
Lucrul cu manualul – este o metodă didactică în cadrul căreia învățarea are ca sursă esențială și ca instrument de formare a elevului cartea școlară sau alte surse similare. Finalitatea ei este dublă: dobândirea de către elevi a fondului perceptiv necesar înțelegerii; capacitatea deprinderii de a utiliza cartea;
Apariția manualelor alternative a dus la diminuarea lucrului cu manualul și utilizarea mai frecventă a surselor similare.
Lucrul cu cartea capătă valențe active mai ales în etapa dobândirii cunoștințelor, în inițierea în studiu independent, în documentație, ca punct de plecare în viitoarea cercetare. La matematică lucrul cu cartea dă rezultate bune în aprofundarea, repetarea și sistematizarea cunoștințelor.
Modelarea se bazează pe valorificarea caracterului euristic al analogiei, care permite ca pe baza asemănării unor elemente a două sisteme să se presupună asemănarea probabilă a acestor sisteme.
Utilizarea acestei metode în învățământul gimnazial, pe lângă faptul că-i obișnuiește pe elevi cu un procedeu de investigație științifică, are și o mare valoare formativă.
Totodată, exersarea elevilor în trecerea de la un model la altul, pentru a exprima același conținut informativ, dezvoltă mobilitatea și flexibilitatea gândirii.
Caracterul reflectiv al modelelor, valoarea lor cognitivă, atribuie acestora însemnate virtuți operaționale, în sensul că ele oferă examinării elevilor un material mai maleabil, elemente incluse în structura unui model se pot manevra cu ușurință și sunt supuse controlului.
Algoritmizarea este metoda care utilizează algoritmi în învățare. Algoritmul este un sistem de raționamente și operații care se desfășoară într-o anumită succesiune finită care, fiind respectată riguros, conduce în mod sigur la recunoașterea și rezolvarea problemelor de același tip.
Algoritmii oferă elevilor cheia sistemului de operații mintale pe care trebuie să le efectueze pentru a recunoaște într-un context nou, noțiunea sau teorema învățată anterior și a putea opera cu ea. În plan didactic aceste operații mintale se exteriorizează prin rezolvarea unor exerciții și probleme de același tip. Pentru ca algoritmii să devină instrumente ale gândirii elevilor, este necesar să nu fie dați ci să-i punem pe elevi în situația de a parcurge toate etapele elaborării lor, pentru a putea conștientiza fiecare element. Folosirea metodei algoritmizării ne ajută să înzestrăm elevii cu modalități economice de gândire și acțiune.
În cazul rezolvării unui anumit tip de probleme, elevul își însușește o suită de operații pe care le aplică în rezolvarea problemelor ce se încadrează în acest tip.
Un algoritm este o suită, un șir finit sau un sistem de operații structurate și efectuate, într-o anumită succesiune univocă, de secvențe care conduc întotdeauna spre același rezultat.
Algoritmii se prezintă sub diferite forme: algoritmi pentru descrierea obiectivelor; algoritmi de conținut; algoritmi de identificare; algoritmi de rezolvare; algoritmi de execuție; algoritmi de instruire sau didactici; algoritmi de predare; algoritmi de învățare;
algoritmi de control sau evaluare etc.
Metoda algoritmizării constă în elaborarea și aplicarea unor scheme constituite dintr-o succesiune univocă de secvențe sau operații, în vederea rezolvării unor probleme tipice și a asimilării pe această bază a cunoștințelor, concomitent cu formarea capacităților operaționale corespunzătoare. În acest sens, această metodă prevede două nivele complementare:
1. elaborarea algoritmilor;
2. aplicarea algoritmilor în vederea rezolvării de situații tipice.
Dacă se ia în considerare predarea și învățarea, algoritmii pot fi de două categorii: -algoritmi didactici; algoritmi ai învățării.
Algoritmii didactici caracterizează activitatea profesorului la ore putând fi realizați dintr-o succesiune de etape, parcurgerea acestora având loc ori de câte ori urmează să se desfășoare diverse sarcini de lucru.
Algoritmii învățării sunt secvențe ale înlănțuirii și ordonării cunoștințelor după criterii logice.
Prelegerea este o formă de expunere verbală, prin care cadrul didactic transmite un volum mare de cunoștințe, selectate, sistematizate și organizate în jurul unei teme sau a unui plan de idei.
Prelegerea poate fi introductivă, atunci când profesorul comunică cu anticipație conținutul ce va fi predat la clasă, sau poate fi prelegere de sinteză, când profesorul face o sintetiză asupra unui material ce a fost deja transmis.
Prelegerea poate fi însoțită de prezentarea de ilustrații (planșe, albume, fotografii), aplicații practice (machete, mostre) și poate fi facilitată de utilizarea unor manipulatori educaționali sau materiale ajutătoare (aparatură audio-video, video-conferințe, satelit), care transmit mesajul verbal, demonstrația intuitivă și experiențele didactice, folosind și mijloace de învățământ.
Prelegerea poate fi combinată cu dezbaterea, obținându-se varianta de “prelegere-dezbatere”. Un anumit volum de cunoștințe expus în prealabil de profesor constituie punctul de plecare al unor dezbateri, acestea axându-se pe comentarea și interpretarea celor transmise.
Utilizarea prelegerii oferă cadrului didactic posibilitatea de a prezenta o anumită temă din conținutul unei discipline într-un mod sistematic, rațional și fără abateri de la proiectul didactic stabilit, influențând atitudinile, convingerile, sentimentele și opiniile elevilor. Cu toate acestea, la un moment dat, prelegerea poate deveni monotonă, ineficientă, îndepărtându-se de un contact direct cu realitatea. Pentru a evita aceste aspecte este indicat ca profesorul să introducă în timpul prelegerii următoarele elemente caracteristice: pregătirea de materiale ajutătoare; explicarea; dinamismul / entuziasmul; folosirea mijloacelor audiovizuale; diversificarea activităților; compararea, folosirea studiilor de caz, exemplificarea;concluzionarea.
Centrarea activității didactice doar pe activitatea profesorului poate duce la o pasivitate din partea elevilor, precum și o inhibiție intelectuală a acestora. Din acest motiv, prelegerea este folosită în transmiterea unui conținut științific important cu precădere în ultimele clase de liceu, în învățământul superior și în formarea continuă.
B. METODE PENTRU O ÎNVĂȚARE ACTIVĂ
Învățarea activă presupune utilizarea unor strategii care maximizează conținuturile și se bazează pe strategii de învățare prin colaborare.
Caracteristicile lecției de matematică bazate prin învățare prin cooperare:
Interdependența pozitivă a membrilor grupului;
Răspunderea individuală pentru obținerea unui produs de grup care să răspundă cerințelor sarcinii;
Caracterul eterogen al grupului;
Conducerea în comun a activității de lucru în grup;
Formarea deprinderilor sociale rezultate din munca în grup și prin asumarea răspunderii individuale pentru realizarea unui produs colectiv;
Rolul de observator al profesorului care poate interveni la nevoie;
Eficiența sporită datorită posibilității de a anliza rezultate diferite pentru aceeași sarcină și evaluarea modului de realizare a sarcinilor;
Multiplicarea efectelor învățării
Din aceasta perspectivă, metodele pentru o învățare activă se pot clasifica în:
I. Metode care favorizează înțelegerea conceptelor și ideilor, valorifică experiența proprie a elevilor, dezvoltă competențe de comunicare și relaționare, de deliberare pe plan mental și vizează formarea unei atitudini active: discuția, dezbaterea, jocul de rol etc.
II. Metode care stimulează gândirea și creativitatea, îi determină pe elevi să caute și să dezvolte soluții pentru diferite probleme, să facă reflecții critice și judecăți de valoare, să compare și să analizeze situații date: studiul de caz, rezolvarea de probleme, jocul didactic, exercițiul etc.
III. Metode prin care elevii sunt învățați să lucreze productiv cu alții și să-și dezvolte abilități de colaborare și ajutor reciproc: mozaicul, proiectul în grupuri mici etc.
Exemple de Metode cu Valențe Activizatoare
1. BRAINSTORMINGUL
Este o metodă care ajută la crearea unor idei și concepte creative și inovatoare. Pentru un brainstorming eficient, inhibițiile și criticile suspendate vor fi puse de-o parte. Astfel exprimarea va deveni liberă și participanții la un proces de brainstorming își vor spune ideile și părerile fără teama de a fi respinși sau criticați. Un brainstorming durează în jur de o jumătate de oră și participă în medie 10 elevi sau grupuri de minim 10 elevi. Se expune un concept, o idee sau o problemă și fiecare își spune părerea despre cele expuse și absolut tot ceea ce le trece prin minte, inclusiv idei comice sau inaplicabile. O variantă a brainstormingului este brainwritingul.
O sesiune de brainstorming bine dirijată dă fiecăruia ocazia de a participa la dezbateri și se poate dovedi o acțiune foarte constructivă.
Etapele unui brainstorming eficient sunt următoarele: deschiderea sesiunii de brainstorming, o perioadă de acomodare de 5-10 minute, partea creativă a brainstormingului, prelucrarea ideilor și stabilirea unui acord.
În deschiderea sesiunii de brainstorming se prezintă scopul acesteia și se discută tehnicile și regulile de bază care vor fi utilizate.
Perioada de acomodare durează 5-10 minute și are ca obiectiv introducerea grupului în atmosfera brainstormingului. Este o mini-sesiune de brainstorming unde participanții sunt stimulați să discute idei generale pentru a putea trece la un nivel superior.
Partea creativă a brainstormingului are o durată de 25-30 de minute. Este recomandabil ca în timpul derulării acestei etape, coordonatorul (profesorul) să amintească timpul care a trecut și cât timp a mai rămas. Să “preseze” participanții și în finalul părții creative să mai acorde câte 3-4 minute în plus. În acest interval de timp grupul participant trebuie să fie stimulați să-și spună părerile fără ocolișuri.
La sfârșitul părții creative coordonatorul brainstormingului clarifică ideile care au fost notate și puse în discuție și verifică dacă toată lumea a înțeles punctele dezbătute. Este momentul în care se vor elimina sugestiile prea îndrăznețe și care nu sunt îndeajuns de pertinente. Se face și o evaluare a sesiunii de brainstorming și a contribuției fiecărui participant la derularea sesiunii. Pot fi luate în considerare pentru evaluare: talentele și aptitudinile grupului, repartiția timpului și punctele care au reușit să fie atinse.
Pentru a stabili un acord obiectiv cei care au participat la brainstorming își vor spune părerea și vor vota cele mai bune idei. Grupul supus la acțiunea de brainstorming trebuie să stabilească singuri care au fost ideile care s-au pliat cel mai bine pe conceptul dezbătut.
Pe timpul desfășurării brainstormingului participanților nu li se vor cere explicații pentru ideile lor. Aceasta este o greșeală care poate aduce o evaluare prematură a ideilor și o îngreunare a procesului în sine.
Metoda creativă denumită brainstorming are o lungă istorie, dar ea a fost reactivată de profesorul Alex Osborne, prorector la Universitatea Buffalo și fondator al Institutului de Creație Tehnică, USA.
Fiecare dintre noi este o persoană creativă sau are anumite laturi creative. De multe ori ideea este “omorâtă” chiar de către creatorul ei de frica înfruntării criticilor colegilor săi, de teama de a nu se face de râs. Autocritica distruge momentul în care o idee creativă este irosită înainte de a prinde viață. Brainstormingul funcționează după principiul: asigurarea calității prin cantitate și își propune să elimine exact acest neajuns generat de autocritică.
Vă recomand 7 reguli pe care elevii le vor respecta în scopul unei ședințe reușite de brainstorming:
1. Nu judecați ideile celorlalți – cea mai importantă regulă.
2. Încurajați ideile nebunești sau exagerate.
3. Căutați cantitate, nu calitate în acest punct.
4. Notați tot.
5. Fiecare elev este la fel de important.
6. Nașteți idei din idei.
7. Nu vă fie frică de exprimare.
Este important de reținut că obiectivul fundamental al metodei brainstorming constă în exprimarea liberă a opiniilor prin eliberarea de orice prejudecăți. De aceea, acceptați toate ideile, chiar trăznite, neobișnuite, absurde, fanteziste, așa cum vin ele în mintea elevilor, indiferent dacă acestea conduc sau nu la rezolvarea problemei. Pentru a determina progresul în învățare al elevilor este necesar să îi antrenați în schimbul de idei; faceți asta astfel încât toți elevii să își exprime opiniile!
2. CUBUL
Metoda este folosită în cazul în care se dorește explorarea unui subiect, a unei situații etc. din mai multe perspective. Se oferă astfel elevilor posibilitatea de a-și dezvolta competențele necesare unor abordări complexe și integratoare.
Etapele metodei:
1. Realizați un cub pe ale cărui fețe notați: descrie, compară, analizează,asociază, aplică, argumentează.
2. Anunțați tema/subiectul pus în dicuție.
3. Impărțiți grupul în șase subgrupuri, fiecare subgrup urmând să examineze topica aleasă din perspectiva unei “fețe“a cubului, astfel:
a) Descrie: culorile, formele, marimile etc.
b) Compară: ce este asemănător și ce este diferit?
c) Asociază: la ce te iîndeamnă să te gândești?
d) Analizează: spune din ce este făcut, din ce se compune etc?
e) Aplică: ce poți face cu el? Cum poate fi folosit?
f) Argumentează pro sau contra. Ia atitudine și listează o serie de motive care vin în sprijinul afirmației tale.
Prin brainstorming, participanții identifică idei novatoare pe care le includ într-un paragraf sau două referitoare la tema respectivă.
4. Forma finală a scrierii este împărtășită întregului grup
5. Lucrarea în forma finală poate fi afișată pe tablă sau pe pereții clasei.
3. Metoda TURUL GALERIEI
“Turul Galeriei” este o metodă de învățare prin cooperare ce îi încurajează pe elevi să-și exprime opiniile proprii. Produsele realizate de elevi sunt expuse ca într-o galerie, prezentate și susținute de secretarul grupului, urmând să fie evaluate și discutate de către toți elevii, indiferent de grupul din care fac parte. Turul galeriei presupune evaluarea interactivă și profund formativă a produselor realizate de grupuri de elevi.
Pașii metodei:
• elevii sunt împărțiți pe grupuri de câte 4-5 membri, în funcție de numărul elevilor din clasă;
• cadrul didactic prezintă elevilor tema și sarcina de lucru;
• fiecare grup va realiza un produs pe tema stabilită în prealabil
• produsele sunt expuse pe pereții clasei;
• secretarul grupului prezintă în fața tuturor elevilor produsul realizat;
• analizarea tuturor lucrărilor.
După turul galeriei, grupurile își reexaminează propriile produse prin comparație cu celelalte. ,,Turul Galeriei” urmărește exprimarea unor puncte de vedere personale referitoare la tema pusă în discuție. Elevii trebuie învățați să asculte, să înțeleagă și să accepte sau să respingă ideile celorlalți prin demonstrarea valabilității celor susținute. Prin utilizarea ei se stimulează creativitatea participanților, gândirea colectivă și individuală, se dezvoltă capacitățile sociale ale participanților, de intercomunicare și toleranță reciprocă, de respect pentru opinia celuilalt.
Avantaje:
atrage și stârnește interesul elevilor, realizându-se interacțiuni între elevi;
promovează interacțiunea dintre mințile participanților, dintre personalitățile lor, ducând la o învățare mai activă și cu rezultate evidente;
stimulează efortul și productivitatea individului și este importantă pentru autodescoperirea propriilor capacități și limite, pentru autoevaluare;
există o dinamică intergrupală cu influențe favorabile în planul personalității, iar subiecții care lucrează în echipă sunt capabili să aplice și să sintetizeze cunoștințele în moduri variate și complexe;
dezvoltă și diversifică priceperile, capacitățile și deprinderile sociale ale elevilor; se reduce la minim fenomenul blocajului emoțional al creativității.
4. METODA MOZAIC (JIGAW)
Jigsaw (în engleză jigsaw puzzle înseamnă mozaic) sau „metoda grupurilor
interdependente” este o strategie bazată pe învățarea în echipă (team-learning). Fiecare elev are o sarcină de studiu în care trebuie să devină expert. El are în același timp și responsabilitatea transmiterii informațiilor asimilate, celorlalți colegi.
În cadrul acestei metode rolul profesorului este mult diminuat, el intervine semnificativ la începutul lecției când împarte elevii în grupurile de lucru și trasează sarcinile și la sfârșitul activității când va prezenta concluziile activității.
Există mai multe variante ale metodei mozaic. Varianta standard a acestei metode care se realizează în cinci etape.
1. Pregătirea materialului de studiu
– Profesorul stabilește tema de studiu și o împarte în 4 sau 5 sub-teme. Opțional,
poate stabili pentru fiecare sub-temă, elementele principale pe care trebuie să pună accentul elevul, atunci când studiază materialul în mod independent. Acestea pot fi formulate fie sub formă de întrebări, fie afirmativ, fie un text eliptic care va putea fi completat numai atunci când elevul studiază materialul.
– Realizează o fișă-expert în care trece cele 4 sau 5 sub-teme propuse și care va
fi oferită fiecărui grup.
2. Organizarea colectivului în echipe de învățare de câte 4-5 elevi (în funcție de numărul lor în clasă)
Fiecare elev din echipă, primește un număr de la 1 la 4-5 și are ca sarcină să studieze în mod independent, sub-tema corespunzătoare numărului său.
El trebuie să devină expert în problema dată. De exemplu, elevii cu numărul 1
din toate echipele de învățare formate vor aprofunda sub-tema cu numărul 1. Cei cu numărul 2 vor studia sub-tema cu numărul 2, și așa mai departe.
Faza independentă: fiecare elev studiază sub-tema lui, citește textul corespunzător. Acest studiu independent poate fi făcut în clasă sau poate constitui o temă de casă, realizată înaintea organizării mozaicului.
3. Constituirea grupului de experți
După ce au parcurs faza de lucru independent, experții cu acelați număr se
reunesc, constituind grupe de experți pentru a dezbate problema împreună. Astfel, elevii cu numărul 1, părăsesc echipele de învățare inițiale și se adună la o masă pentru a aprofunda sub-tema cu numărul 1. La fel procedează și ceilalți elevi cu numerele 2, 3, 4 sau 5. Dacă grupul de experți are mai mult de 6 membri, acesta se divizează în două grupe mai mici.
Faza discuțiilor în grupul de experți: elevii prezintă un raport individual
asupra a ceea ce au studiat independent. Au loc discuții pe baza datelor și a materialelor avute la dispoziție, se adaugă elemente noi și se stabilește modalitatea în care noile cunoștințe vor fi transmise și celorlați membrii din echipa inițială.
Fiecare elev este membru într-un grup de experți și face parte dintr-o echipă
de învățare. Din punct de vedere al aranjamentului fizic, mesele de lucru ale grupurilor de experți trebuie plasate în diferite locuri ale sălii de clasă, pentru a nu se deranja reciproc.
Scopul comun al fiecărui grup de experți este să se instruiască cât mai bine,
având responsabilitatea propriei învățări și a predării și învățării colegilor din echipa inițială.
4. Reîntoarcerea în echipa inițială de învățare
Faza raportului de echipă: experții transmit cunoștințele asimilate, reținând la
rândul lor cunoștințele pe care le transmit colegii lor, experți în alte sub-teme. Modalitatea de transmitere trebuie să fie scurtă, concisă, atractivă, putând fi însoțită de suporturi audio-vizuale, diverse materiale.
Specialiștii într-o sub-temă pot demonstra o idee, citi un raport, folosi
computerul, pot ilustra ideile cu ajutorul diagramelor, desenelor, fotografiilor. Membrii sunt stimulați să discute, să pună întrebări și să-și noteze, fiecare realizându-și propriul plan de idei.
5. Evaluarea
Faza demonstrației: grupele prezintă rezultatele întregii clase. În acest moment
elevii sunt gata să demonstreze ce au învățat. Profesorul poate pune întrebări, poate cere un raport sau un eseu ori poate da spre rezolvare fiecărui elev o fișă de evaluare. Dacă se recurge la evaluarea orală, atunci fiecărui elev i se va adresa o întrebare la care trebuie să răspundă fără ajutorul echipei.
Ca toate celelalte metode de învățare prin cooperare și aceasta presupune următoarele avantaje:
– stimularea încrederii în sine a elevilor;
– dezvoltarea abilităților de comunicare argumentativă și de relaționare în cadrul grupului;
– dezvoltarea gândirii logice, critice și independente;
– dezvoltarea răspunderii individuale și de grup;
– optimizarea învățării prin predarea achizițiilor altcuiva.
„Trebuie să remarcăm calitatea metodei grupurilor interdependente de a anihila manifestarea efectului Ringelmann. Lenea socială, cum se mai numește acest efect, apare cu deosebire atunci când individul își imaginează că propria contribuție la sarcina de grup nu poate fi stabilită cu precizie. Interdependența dintre membri și individualizarea aportului fac din metoda Jigsaw un remediu sigur împotriva acestui efect”.
5. Știu /Vreau să Știu /Am Învățat
Cercetarile în domeniu au arătat că învățarea este optimizată atunci când se bazează pe cunoaștere și experiențe anterioare ale elevilor, care le permit acestora să lege ceea ce știu deja de noile informații care trebuie învățate. (Roth 1990)
Prin metoda “Știu/vreau să știu/am învățat” se trece în revistă ceea ce elevii știu deja despre o anume temă și apoi se formulează întrebări la care se așteaptă găsirea răspunsurilor în lecție.
Etapele metodei:
1. Colectivul clasei se organizează în perechi și fiecare pereche primește ca sarcină să facă o listă cu tot ce știu despre tema abordată.
2. În timp ce elevii realizează lista, profesorul construiește pe tablă un tabel cu următoarele coloane: Știu/Vreau să știu/Am învățat – S/VS/I, ca cel de mai jos.
3. Perechile vor spune ce au scris și se notează în coloana din stânga informațiile cu care tot grupul este de acord.
4. Folosind aceeasi metodă, elevii vor elabora o listă de întrebări.
Elevii vor identifica intrebările pe care ei le au despre subiectul abordat, iar profesorul le va lista în a doua coloana a tabelului. Aceste intrebări vor evidenția nevoile de învățare ale elevilor în legatură cu tema abordată.
5. Elevii citesc textul individual, sau cu un coleg, sau profesorul îl citește elevilor.
6. După lectura textului, se revine asupra întrebărilor formulate în prima coloană, constatați la care s-au gasit raspunsurile în text și se trec în coloana “Am învățat”
7. Elevii vor face comparație între ceea ce ei deja cunoșteau despre tema abordată, tipul și conținutul întrebărilor pe care le-au formulat și ceea ce ei au învățat prin lecturarea
textelor.
Elevii compară ceea ce cunoșteau înainte de lecturare (informațiile din prima coloană a tabelului) cu ceea ce ei au învățat (informațiile din a treia coloană a tabelului). De asemenea ei vor discuta care din întrebările lor au găsit răspuns prin informațiile furnizate de text, și care dintre ele încă necesită un răspuns. Se discută cu elevii unde ar putea căuta respectivele informații. Unele dintre întrebările lor s-ar putea să rămână fără răspuns și s-ar putea să apară întrebări noi. În acest caz, întrebările pot fi folosite ca punct de plecare pentru investigații ulterioare.
Informația cuprinsă în coloana a treia “Am învățat” poate fi organizată în diferite categorii.
6. CIORCHINELE
Deși este o variantă mai simplă a brainstorming-ului, ciorchinele este o metodă care presupune identificarea unor conexiuni logice între idei, poate fi folosită cu succes atât la începutul unei lecții pentru reactualizarea cunoștințelor predate anterior, cât și în cazul lecțiilor de sinteză, de recapitulare, de sistematizare a cunoștințelor.
Ciorchinele este o tehnică de căutare a căilor de acces spre propriile cunoștințe evidențiind modul de a înțelege o anumită temă, un anumit conținut.
Ciorchinele reprezintă o tehnică eficientă de predare și învățare care încurajează elevii să gândească liber și deschis.
Metoda ciorchinelui funcționează după următoarele etape:
1. Se scrie un cuvânt / temă (care urmează a fi cercetat) în mijlocul tablei sau a
unei foi de hârtie.
2. Elevii vor fi solicitați să-și noteze toate ideile, sintagmele sau cunoștințele pe care le au în minte în legătură cu tema respectivă, în jurul cuvântului din centru, trăgându-se linii între acestea și cuvântul inițial.
3. În timp ce le vin în minte idei noi și le notează prin cuvintele respective, elevii vor trage linii între toate ideile care par a fi conectate.
4. Activitatea se oprește când se epuizează toate ideile sau când s-a atins limita
de timp acordată.
Există câteva reguli ce trebuie respectate în utilizarea tehnicii ciorchinelui:
Scrieți tot ce vă trece prin minte referitor la tema / problema pusă în discuție.
Nu judecați / evaluați ideile produse, ci doar notațiile.
Nu vă opriți până nu epuizați toate ideile care vă vin în minte sau până nu expiră timpul alocat; dacă ideile refuză să vină insistați și zăboviți asupra temei până ce vor apărea unele idei.
Lăsați să apară cât mai multe și mai variate conexiuni între idei; nu limitați nici numărul ideilor, nici fluxul legăturilor dintre acestea.
7. Întrebările socratice
Richard Paul (1993) afirmă că întrebările socratice se adresează pentru clarificarea ideilor, examinarea demonstrațiilor sau rezolvărilor, formularea presupunerilor. Întrebările socratice contribuie la înțelegerea conceptelor și a demonstrațiilor matematice. Ele pot fi adresate de profesor întregii clase sau pot fi adresate de un elev celorlalți elevi din clasă.
Exemple de întrebări socratice:
a) Întrebări de clarificare:
Ce înțelegi prin …?
Unde vrei să ajungi când spui …?
Ce exemple poți oferi?
De ce spui că …?
Care este relația dintre ce ai spus și …?
b) Întrebări pentru formularea presupunerilor:
Care este presupunerea pe care o faci?
De ce faci această presupunere?
Presupui că…?
c)Întrebări pentru explicarea raționamentelor:
De ce are loc implicația …?
Pe ce te bazezi când afirmi că …?
De ce putem aplica aici …?
Ce ai puta afirma dacă am presupune că …?
Ce s-ar întâmpla dacă am presupune că …? (reducere la absurd)
Ce rezultă din …? De ce?
8. METODA JOCURILOR (metoda ludică sau învățarea prin joc)
Încorporate în activitatea didactică, elementele de joc imprimă acesteia un caracter mai viu și mai atrăgător, aduc o varietate și o stare de bună dispoziție, de veselie și de bucurie, de divertisment și de destindere, ceea ce previne apariția monotoniei și a plictiselii, a oboselii.
S-au dezvoltat diferite tipuri de jocuri didactice sau jocuri educative care asigură îmbinarea și toate tranzițiile spontane posibile între elementele distractive și cele de muncă de învățare, în ideea că, treptat, vor avea câștig de cauză cele din urmă, efortul de studiu realizat cu seriozitate și dus la bun sfârșit.
Uneori, jocul se poate desfășura în condiții de competiție, în sensul cooperării cu alții și nu numai de conflict, așa cum este înțeleasă de cele mai multe ori competiția. În felul acesta, termenul de joc se apropie de semnificația englezescului game, în înțelesul de a lua parte la o partidă (acțiune) care se leagă de o miză, care se sancționează prin reușită, prin câștiguri și pierderi, deci, care este mai mult decât un joc propriu-zis. A câștiga are aici semnificația de a te bucura de recunoașterea superiorității, de considerație, de cinstire, de prețuire, ceea ce se răsfrânge asupra întregului grup căruia-i aparțin câștigătorii.
Principala condiție a „jocului” este aceea de a face ca participanții să-și dea seama că ei se află într-o situație de învățare, că primează aspectul cognitiv și, ca atare, este necesar să se desfășoare cu toată seriozitatea; altfel, prea puțini obișnuiți cu o asemenea modalitate de lucru, ei sunt înclinați să vadă în acesta un moment de divertisment, de amuzament, ceea ce pejudiciază atingerea sarcinilor prestabilite.
La început, după ce se face prezentarea situației, a obiectivelor și a regulilor, se trece la distribuția rolurilor și gruparea elevilor (după nevoile jocului, afinitățile elevilor etc.) și la stabilirea conducătorului fiecărei echipe; se hotărăște cine ce roluri va avea de interpretat; se definesc răspunderile (sarcinile); se indică materialele de care vor avea nevoie, se precizează perioadele de joc.
Profesorului i se cere să dea dovadă de multă abilitate în dirijarea activității. El joacă aici rolul de coordonator: alege subiectul care devine pretextul jocului, delimitează aria de probleme în cadrul cărora se va desfășura jocul, problemele specifice de rezolvat, fixează obiectivele didactice și educative. În timpul derulării jocului, el va veghea ca acțiunea dramatică să nu se îndepărteze de tema dată; va da indicații, atunci când se simte nevoia; va stimula și ajuta la rezolvarea problemelor, atrăgând atenția înspre „punctele de concentrare” ale acțiunii, îndrumând din când în când conduita subiecților etc.
C. DISTINCȚII ALE TRECERII DE LA METODELE CLASICE LA METODELE MODERNE
În rezumat, folosind procedeul contrapunerii, vom încerca să reținem:
a) principalele neajunsuri și critici aduse metodelor practicate până acum, în contrast cu b) caractersticile și principalele direcții de înnoire a metodologiilor pe care le încearcă învățământul de astăzi:
În cele din urmă, caracteristicile și diferențele esențiale dintre o metodologie și alta rezultă din faptul că metodele tradiționale, mult mai rigide, se raportează la un model învechit de învățământ, în timp ce metodele moderne, mult mai flexibile, mai suple, exprimă cerințele unui nou model de educație, extrem de dinamic, reflectare a unor noi realități și nevoi socioculturale specifice epocii moderne.
Ca parte integrantă a ansamblului educațional-școlar, metodologia didactică nu poate evolua într-un dezacord cu obiectivele și conținutul învățământului, cu exigențele de ansamblu ale sistemului de educație contemporan.
III.2. CERCETARE PEDAGOGICĂ PRIVIND EFICIENȚA METODELOR ACTIV-PARTICIPATIVE ÎN DEZVOLTAREA CREATIVITĂȚII ȘI A GÂNDIRII CRITICE
III.2.1. Metodologia cercetării
Mulți profesori încearcă să își schimbe modalitatea de predare pentru a sprijini mai eficient dezvoltarea abilităților specifice matematicii, precum și a celor de gândire critică. Aceste cadre didactice se așteaptă ca elevii lor nu doar să memoreze, ci să își pună întrebări, să analizeze, să interpreteze, să dezbată și să câștige o înțelegere profundă a conținuturilor învățării. Această modalitate de predare este larg recunoscută ca „bună practică”.
Mi-am propus această cercetare deoarece este important să dezvoltăm gândirea critică a elevilor prin intermediul matematcii deoarece principalul nostru obiectiv este ca elevii să gândească pentru a aborda și rezolva probleme și nu doar să reproducă etapele unor algoritmi de cele mai multe ori neînțeleși.
ETAPELE CERCETĂRII:
1. Scopul cercetării
2. Obiectivele cercetării
3. Ipoteza cercetării
4. Variabilele cercetării
5. Eșantionul de participanți
6. Desfășurarea cercetării
7. Rezultatele obținute și interpretarea lor
SCOPUL CERCETĂRII
Pornind de la premiza că explorarea universului matematic reprezintă o modalitate esențială pentru dezvoltarea creativității și a gândirii critice, ne-am pus problema dacă lecțiile care implică activ elevii, care urmăresc obiective clare și sunt bine organizate sunt cele care asigură învățarea cea mai profundă și de durată.
Obiectivul general al cercetării este identificarea modului în care aplicarea învățării prin stimularea creativității și a gândirii critice este benefică pentru faptul că asigură formarea unei gândiri flexibile, divergente și fluente, iar metodele utilizate stimulează participarea activă și deplină, psihică și fizică, individuală și colectivă a elevilor în procesul instructiv-educativ.
Obiectivele cercetării
Pornind de la acest obiectiv general, au fost identificate următoarele obiective specifice:
1. Influența modului în care implementarea unor metode și tehnici interactive contribuie la dezvoltarea gândirii critice și a creativității elevilor;
2. Determinarea nivelului general de pregătire la disciplina Matematică a elevilor implicați în cercetare;
3. Utilizarea unor tehnici și metode de determinare obiectivă a nivelului de pregătire a elevilor;
4. Determinarea rolului metodelor alternative și a impactului acestora asupra performanțelor școlare ale elevilor din învățământul gimnazial;
IPOTEZA CERCETĂRII
Ipoteza generală a acestei cercetări a fost enunțată astfel: dacă voi utiliza metode și tehnici moderne/alternative în cadrul lecțiilor de matematică, atunci acestea vor determina creșterea motivației elevilor pentru învățare, sporirea calității și eficienței procesului instructiv-educativ, revigorarea și menținerea interesului pentru matematică a elevului.
Acest lucru va fi benefic și pentru celelalte discipline de studiu, pentru dezvoltarea unor trăsături pozitive de caracter și formarea personalității copilului.
Ipoteze specifice
Prima ipoteză științifică ce derivă din ipoteza generală este:
Învățarea care se dovedește utilă și care este de durată este o investiție mult mai bună a timpului profesorului și a fondurilor comunității decât învățarea care nu necesită implicarea activă a elevilor, care obosește profesorul prin instaurarea rutinei și care se uită repede pentru că cele învățate nu se aplică sau nu se exploatează în niciun fel.
Ipoteza operațională (de lucru): Această ipoteză va fi verificată dacă voi obține o corelație între valorile variabilelor aplicate.
Cea de-a doua ipoteză este enunțată astfel:
Centrarea activității didactice doar pe activitatea rigidă a profesorului, încrederea acordată prioritar cunoștințelor livrești, teoretice, abstracte poate duce la o pasivitate din partea elevilor, precum și o inhibiție intelectuală a acestora. În schimb, schimbarea climatului din timpul învățării poate elimina blocajele culturale și emotive, puternice în școala din trecut. Se cer relații distinse, democratice, între elevi și profesori, ceea ce nu înseamnă a coborî statutul social al celor din urmă.
Ipoteza operațională (de lucru): Această ipoteză va fi verificată dacă atmosfera din sala de clasă poate influența pozitiv sau negativ performanțele elevilor.
VARIABILELE CERCETĂRII
Variabila independentă: Folosirea sistematică a metodelor interactive pentru stimularea creativității: brainstormingul, ciorchinele, cubul, jocul, eseul matematic, știu-vreau să știu-am învățat, mozaicul.
Variabile dependente: dobândirea unor deprinderi pentru dezvoltarea creativității; performanțe școlare și comportamentale; deprinderi sociale; gradul de implicare a elevilor în timpul lecțiilor; deprinderi de utilizare a metodelor interactive ca instrumente pentru o predare-învățare-evaluare /autoevaluare eficiente;
DESCRIEREA EȘANTIONULUI DE PARTICIPANȚI CERCETAT
În desfășurarea cercetării au fost implicate două clase ale Școlii Gimnaziale „M.C.Epureanu” Bârlad.
Esantionul experimental: clasa a VI-a A, formată din 26 de elevi, 9 băieți și 17 fete.
Eșantionul de control: clasa a VI-a B, formată din 24 de elevi, 15 băieți și 9 fete.
Elevii claselor implicate provin în majoritate din diferite tipuri de clase sociale. Multe familii ale elevilor sunt în șomaj, ajutor de șomaj, au servicii temporare. Clădirea în care învață este o clădire frumoasă, modernă, dispunând de 16 săli de clasă, laboratoare de chimie, biologie, fizică, o sală de sport, o sală pentru desfășurarea orelor de informatică, bibliotecă.
Eșantionul de conținut: capitolul „Divizibilitatea numerelor naturale”, din programa de studiu a clasei a VI-a.
DESFĂȘURAREA CERCETĂRII
Studiul de cercetare a fost desfășurat în perioada 23.09.2013 – 15.11.2013 în cadrul
Școlii Gimnaziale „M.C.Epureanu” Bârlad.
Metodologia cercetării
Metodele didactice pe care le-am aplicat au fost selectate astfel încât să răspundă principalelor cerințe ale unei investigații și să preîntâmpine eventualele erori de investigare și prelucrare a materialului faptic. Astfel pentru confirmarea sau infirmarea ipotezei de la care am plecat am folosit un sistem metodologic compus din:
metoda anchetei;
metoda autoobservației;
metoda observației sistematice;
metoda analizei produselor activității;
metoda experimentului psihopedagogic / didactic, colectiv, de durată medie, desfășurat în trei etape: preexperimentală, experimentală, postexperimentală.
Instrumente de cercetare:
Pentru a obține informații în legătură cu personalitatea elevilor, cu nivelul de cunoștințe și competențe ale acestora, cu comportamentele și gradul de implicare al lor în
procesul educativ, am folosit ca instrumente de cercetare:
testele pedagogice de cunoștințe;
fișele de lucru;
chestionarul
proiecte
portofolii
Aceste instrumente, în marea lor majoritate, au fost preluate și adaptate conținuturilor vehiculate, particularităților elevilor și obiectivelor vizate.
Etapele investigației
Etapa experimentală – constatativă
Are rolul de a stabili nivelul existent în momentul inițierii experimentului psihopedagogic, atât la eșantionul experimental, cât și la cel de control.
Am aplicat un test inițial care a avut în vedere atât nivelul de cunoștițe, cât calitatea gândirii elevilor.
TEST DE EVALUARE INIȚIALĂ
Clasa a VI-a
Obiectivele de evaluare sunt următoarele:
. să se determine divizorii unui număr natural;
. să se determine multiplii unui număr natural;
. să se selecteze și utilizeze criteriile de divizibilitate cu 10, 2 și 5;
. să utilizeze definiția divizibilității pentru a stabili proprietățile unui număr;
. să identifice numere pare și numere impare;
. să determine elementele unor mulțimi;
. să efectueze operații cu mulțimi.
În funcție de ponderea fiecărui obiectiv de evaluare în cadrul testului și de caracteristicile cognitive ale fiecăruia dintre itemi, matricea de specificație cere următoarea structură.
Matricea de specificație
Matricea de specificație este construită pe un test criterial, care vizează Competențele generale 1 și 2 din programa școlară de Matematică la clasa a V-a.
Am încercat o pondere proporțională de itemi obiectivi (5), semiobiectivi (3) și subiectivi (3).
MATRICEA DE CORESPONDENȚĂ DINTRE ITEMI ȘI OBIECTIVELE DE EVALUARE
RELAȚIA ÎNTRE ITEMI – OBIECTIVE DE EVALUARE – BAREM DE NOTARE
Structura testului de evaluare
Toate subiectele sunt obligatorii.
Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de test, scrieți rezultatul corect lângă numărul din fața exercițiului
Dintre numerele 576, 497, 2041 cel divizibil cu 2 este egal cu …
Cel mai mic număr natural, scris în baza zece, de forma , divizibil cu 5 este egal cu …
Un multiplu al numărului 7 este egal cu …
Un divizor al numărului 35 este egal cu …
Cel mai mare număr natural care divide pe 9 și 6 este egal cu …
SUBIECTUL II (21 puncte). Pe foaia de test, scrieți litera corespunzătoare rezultatului corect lângă numărul din fața exercițiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerință, doar una este corectă.
Un divizor al numărului 124, cuprins între 20 și 50, este numărul:
A. 31 B. 24 C. 48 D. 46
Numărul din mulțimea care are numai doi divizori este egal cu:
A. 21 B. 23 C. 25 D. 27
, și reprezintă mulțimea multiplilor numerelor 3, 2, respectiv 5. Cel mai mic număr diferit de zero din mulțimea este egal cu:
A. 15 B. 10 C. 30 D. 6
SUBIECTUL III (39 puncte). Pe foaia de test, scrieți rezolvările complete
Aflați numerele de forma divizibile cu 10.
Arătați că numărul este multiplu de 100.
Se consideră mulțimile:
și
,
a) Calculați produsul elementelor mulțimii B.
b) Determinați numărul elementelor mulțimii .
Analiza performării prin realizarea corespondenței dintre itemii probei, criteriile de evaluare și baremul de corectare și notare pentru instrumentul de evaluare aplicat
Barem de corectare și notare
SUBIECTUL I.
se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 6 puncte, fie 0 puncte.
SUBIECTUL II.
se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 7 puncte, fie 0 puncte.
SUBIECTUL III.
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător;
Se acordă punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem
Total:100 puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se obține prin împărțirea punctajului obținut la 10.
Din interpretarea rezultatelor și a informațiilor obținute în urma aplicării testului pedagogic de cunoștințe, din analiza produselor elevilor, a portofoliilor, din observarea sistematică a elevilor, a rezultatelor la învățătură, am putut constata că nu există diferențe majore între cele două eșantioane, după cum se poate observa în diagramele reprezentate la analiza și interpretarea rezultatelor.
Etapa experimentală – a experimentului formativ
La eșantionul experimental, pe tot parcursul acestei etape, am avut în vedere utilizarea metodelor și tehnicilor de stimulare a creativității și promovarea învățării interactive.
La eșantionul de control maniera de lucru a fost una obișnuită, neinfluențată de variabila independentă, manipulată la eșantionul experimental.
Am încercat ca fiecare metodă implementată să fie făcută transparentă, să i se prezinte esența, valențele, variantele și denumirea, pentru ca elevul să îi poată descoperi utilitatea și în alte situații, atunci când experiența de învățare o cere, crearea unui mediu școlar propice dezvoltării creativității, eliminarea factorilor care ar putea duce la blocarea creativității și, nu în ultimul rând, am căutat să apreciez efortul fiecărui copil sau grupă, realizând evaluarea muncii acestora într-un mod deschis, dialogat.
Voi prezenta modul de organizare a predării care au respectat principiile învățării active și a dezvoltării creativității și a gândirii critice.
Fiecare lecție a fost construită pe un cadru trifazic, corespunzător fazelor învățării identificate de Piaget și de psihologii cognitiviști.
FAZA DE ANTICIPARE
Lecția începe cu o fază de anticipare în care elevii sunt îndrumați să se gândească și să își formuleze întrebări despre tema pe care urmează să o studieze.
În faza de anticipare se urmărește:
Să se faciliteze reactualizarea cunoștințelor elevilor legate de tema studiată;
Să se evalueze – informal – ceea ce elevii știu deja, inclusiv înțelegerile eronate pe care le au;
Să se faciliteze formularea unor obiective de învățare;
Să se direcționeze atenția elevilor spre temă;
Să se ofere un context de înțelegere a noilor idei
FAZA DE CONSTRUIRE A CUNOȘTINȚELOR
După ce începe lecția, profesorul ghidează elevii în parcurgerea procesului de explorare și de construire de sensuri pornind de la materialul studiat, să răspundă la întrebările formulate în faza de anticipare, să identifice eventualele întrebări noi și să răspundă și la acelea.
În faza de construire a cunoștințelor se urmărește:
Să se compare așteptările elevilor cu ceea ce învață;
Să se răspundă la așteptările stabilite în faza de antcipare și să se formuleze noi așteptări;
Să se identifice conceptele, noțiunile, ideile noi;
Să se monitorizeze gândirea elevilor;
Să se formuleze inferențe despre conținutul materialului de parcurs;
Să se formuleze întrebări critice legate de lecție.
FAZA DE CONSOLIDARE
Spre încheierea lecției, când elevii au înțeles ideile noi, mai rămâne un lucru de făcut. Profesorii doresc ca elevii să reflecteze asupra celor învățate, asupra felului în care noile cunoștințe le schimbă gândirea, să se întrebe ce relevanță au cele învățate pentru ei.
În faza de consolidare se urmărește:
Să se rezume conceptele, ideile noi;
Să se interpreteze conceptele, ideile noi
Să se împărtășească opinii;
Să se ofere reacții personale;
Să se testeze ideile noi;
Să se evalueze învățarea;
Să se formuleze noi întrebări.
Aceste faze pot fi asociate cu dieritele faze ale ciclului de viață a florii soarelui:
În faza de anticipare, sămânța este plantată în sol. Succesul lecției însă nu depinde doar de această „sămânță”; trebuie să se exploateze cunoștințele existente ale elevilor, la fel cum sămânța „exploatează” substanțele nutritive din sol.
După ce s-a realizat munca de fundamentare, profesorul continuă cu faza de construire a cunoștințelor; sămânța floarelui încolțește, cresc rădăcini și planta începe să crească.
Lecția se termină cu faza de consolidare. Floarea soarelui este matură și conține multe semințe din care vor crește mlte plante noi; similar, lecția poate conduce la multe acticități noi de învățare.
Ciclul de viață al florii soarelui, de la sămânță la plantă și mai apoi la semințe, sugerează ciclul educațional constant de construire pe cunoștințe existente pentru a progresa în învățare.
Pentru a avea o imagine asupra relației dintre etapele lecțiilor din cadrul capitolului „Divizibilitatea numerelor naturale” și metodele utilizate la clasa experimentală, le voi structura în următorul tabel:
Voi exemplifica cum am aplicat metodele active la lecția „Număr prim. Număr compus”
Anticiparea
Lecția poate începe cu o discuție structurată despre noțiunile de divizor, mulțimea divizorilor unui număr natural, care are rolul de a le stârni curiozitatea elevilor, de a introduce conceptele cheie, de a-i pregăti pentru lecție. Trebuie ca întrebările adresate să fie de ordin superior, adică să încurajeze elevii să identifice informațiile importante și să le utilizeze pentru a trage concluzii și pentru a realiza comparații.
În urma discuției structurate, se ajunge la concluzia că divizorii oferă multe informații despre numărul pe care îl divid, după cum multiplii nu dau informații despre numerele ai căror multipli sunt. Fiecare număr are o infinitate de multipli, în timp ce admite un număr finit de divizori. Oare ce numere diferite de 1 au un număr de divizori?
După anunțarea titlului, se utilizează metoda Știu – vreau să știu – am învățat, desenându-se un tabel de forma:
În primă fază se completează prima coloană a tabelului, utilizând Brainstorming-ul
Construirea de cunoștințe
Profesoara pregătește elevii pentru citirea unui text despre numerele prime. Elevii vor utiliza metoda SINELG (Sistem Interactiv de Notare pentru Eficientizarea Lecturii și Gândirii)
„A găsi cel mai mare număr prim, iată o distracție favorită dintotdeauna a multor matematicieni.
Deși, înainte de apariția calculatorului această ocupație era o mare consumatoare de timp, totuși găsirea unor numere prime cât mai mari sau a unei formule cu ajutorul cărora să se poată afla numerele prime, i-a pasionat pe marii matematicieni ai tuturor timpurilor.
Într-o bună zi, foarte încântat, Euler a anunțat că numărul 1 000 009 este un număr prim, dar tot el s-a contrazis mai târziu, arătând că acest număr este produsul dintre numerele 293 și 3413. Iar când a făcut această constatare, Euler avea 70 de ani și era … orb!” (Matematica gimnaziului între profesor și elev, de Ioan Dăncilă)
Li se explică elevilor metoda: Pe măsură ce vor citi, ca trebui să scrie niste semne pe marginea textului. Semnele vor fi precum urmează:
„” dacă ceva din ce au citit confirmă ceea ce știu;
„ – ” dacă a numită informație contrazice sau diferă de ceea ce știu;
„+” dacă o anumite informație pe care ai întâl nit-o este nouă pentru ei;
„?” dacă anumite informații li se par confuze sau vor să știe mai mult în legatură cu acel lucru.
Pe baza discuțiilor se completează a doua coloană a tabelului.
Se predau cunoștințele noi, despre numere prime, ciurul lui Eratostene de determinare a numerelor prime. Elevii sunt încurajați să pună întrebări. În predare se poate utiliza folosirea tabelului următor:
Consolidarea
Este acea etapă al lecției în care elevii se gândesc la ceea ce au învățat, aplică ideile noi, reconsideră ceea ce știau în lumina celor învățate. Pentru unele exerciții se poate folosi metoda Gândiți – lucrați în perechi – comunicați, metodă care permite implicarea fiecărui elev din clasă în a gândi rezolvări de exerciții. Metoda se derulează astfel: profesorul formulează exercițiul, elevii incearcă să rezolve individual, apoi discută în perechi, prezentându-și unul altuia răspunsurile, abordarea rezolvării exercițiului. Fiecare pereche formulează fiecare răspuns, care poate fi unul dintre răspunsurile unuia sau o combinație a răspunsurilor formulate de ambii elevi. În final, fiecare pereche prezintă răspunsul pe care l-a formulat.
Se completează ultima coloană a tabelului S-V-I.
Lecția se poate încheia cu un eseu de 5 minute, în care elevii să comenteze unrmătorul citat: „Număr prim este acela pe care-l măsoară numai unitatea” (Euclid).
Evaluarea în contextul învățării active:
Pe parcursul lecției, evaluarea în contextul învățării active a urmărit obiectivele dezvoltării gândirii critice, dezvoltate în următorul tabel:
Prezint în contiunare, un alt exemplu de aplicare a metodelor active: Unitatea de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale – clasa a VI-a, pentru o lecție de recapitulare și sistematizare a cunoștințelor
Metodele folosite au fost Metoda cubului și Turul galeriei.
Am realizat un cub din carton și am colorat fiecare față diferit, iar fiecărei fețe i-am asociat un verb, astfel:
În desfășurarea activității, am avut grijă să dau indicații unde a fost necesar, să soluționez situațiile în care nu toți elevii s-au implicat în cadrul activității în grup sau atunci când un elev a monopolizat toate activitățile.
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul DESCRIE au avut următoarele sarcini:
– de enunțat definițiile pentru divizor, multiplu;
– de enumerat criteriile de divizibilitate învățate;
– de identificat numerele prime, numere prime între ele;
– de stabilit relația între c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a două numere.
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul COMPARĂ au stabilit asemănări și deosebiri între criteriile de divizibilitate (cu 3 și 9; cu 4 și 25); între procedeele de calcul pentru c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c.
Elevii care au primit fișa de lucru cu verbul ASOCIAZĂ au identificat dintr-o mulțime numerele divizibile cu 2, cu 3, cu 5, cu 10 și au completat spațiile punctate cu răspunsuri corecte.
Pentru grupa care a avut verbul ANALIZEAZĂ, sarcina de lucru a cerut ca elevii să analizeze în ce mod se poate forma un dreptunghi cu ajutorul unor betișoare de lungimi diferite și cine este câstigătorul unui joc.
Elevii care au primit o fișă de lucru cu verbul ARGUMENTEAZĂ au avut de analizat și justificat în scris valoarea de adevăr a unor propoziții, ce au conținut și chestiuni capcane. Le-am cerut să realizeze și scurte demonstrații sau să descopere greșeala dintr-o redactare a unei rezolvări.
Elevii din grupa verbului APLICĂ au avut un set de întrebări grilă în care au aplicat criteriile de divizibilitate, metodele de calcul a c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c., teorema împărțirii cu rest, etc.
Pentru evaluarea activității, după expirarea timpului de lucru (20-25 minute), am aplicat metoda „turul galeriei”.
Materialele realizate au fost expuse în 6 locuri vizibile. Elevii din fiecare grup și-au prezentat sarcina de lucru și modul de realizare a ei, după care au acordat note materialelor realizate de celelalte grupe, urmând ca eu să discut împreună cu ei obiectivitatea notelor acordate și să corectez eventualele erori.
Fișa nr.1: Verbul „DESCRIE”
1. Enunțați definiția divizibilității numerelor naturale.
2. Enumerați criteriile de divizibilitate studiate.
3. Scrieți multimea divizorilor lui 24.
4. Identificați în mulțimea divizorilor numărului 24, divizorii proprii și divizorii improprii.
5. Stabiliți relația dintre c.m.m.d.c., c.m.m.m.c. și produsul a 2 numere naturale.
Fișa nr.2: Verbul „COMPARĂ”
1. Realizați un scurt eseu matematic în care să puneți în evidență asemănări și deosebiri sau analogii între criteriile de divizibilitate cu 3 și 9; cu 4 și 25; cu 8 și 125.
2. Calculează c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. și compară rezultatele, pentru numerele:
a) 324 și 432; b) 120; 201; 504; c) 35 și 54.
Fișa nr.3: Verbul „ASOCIAZĂ”
1. În mulțimea A = {12; 35; 254; 4600; 180; 54; 37; 803} identifică numerele divizibile cu 2; cu 3; cu 5; cu 10.
2. Completați spațiile punctate cu răspunsurile corecte:
a) pentru x {…….}.
b) pentru x {…….}.
c) pentru a + b {…….}.
Fișa nr.4: Verbul „ANALIZEAZĂ”
Având 4 betișoare cu lungimea de 1 dm fiecare, 5 betisoare cu lungimea de 2 dm
fiecare, 7 betișoare cu lungimea de 3 dm fiecare și 8 betișoare cu lungimea de 4 dm fiecare, analizați dacă se poate forma un dreptunghi având așezate toate aceste betișoare cap la cap pe conturul său?
2. Doi jucători joacă următorul joc: ei aleg, pe rând, un divizor natural pozitiv al numărului 1000, cu condiția ca, de fiecare dată, numărul ales să nu dividă nici unul din divizorii deja aleși până atunci. Primul care alege 1000 ca divizor pierde. Analizați ce se întâmplă dacă jocul se schimbă, în sensul că fiecare număr nou ales să nu aibă mai puțini divizori decât oricare din numerele anterioare alese. Analizați cine câștigă jocul.
Fișa nr.5: Verbul „ARGUMENTEAZĂ”
1. Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor următoare, justificând răspunsurile:
a) Suma a două numere naturale pare este un număr par.
b) Suma a două numere naturale impare este un număr impar.
c) Dacă m N este divizibil cu 6 și cu 4, atunci m este divizibil cu 24.
d) Dacă m N este divizibil cu 17, atunci (15 m) este divizibil cu 51.
2. a) Găsiți un multiplu comun al numerelor 30 și 37. Arătați că orice multiplu comun al lor este divizibil cu produsul lor.
b) Este adevărată afirmația și în cazul numerelor 36 și 40? Justificați.
Fișa nr.6: Verbul „APLICĂ”
1. Aflați două numere naturale al căror produs este 26460, iar c.m.m.d.c. al lor este 14.
2. Există un număr care împărțit la 3 să dea restul 1, împărțit la 4 să dea restul 2, împărțit la 5 să dea restul 3, iar împărțit la 6 să dea restul 4?
3. Să se determine toate numerele naturale de 4 cifre, care împărțite la să dea câtul 10 și restul 12, știind că se divide cu 6.
4. Fie A mulțimea numerelor de forma divizibile cu 12 și B mulțimea numerelor de forma divizibile cu 15.
a) Să se determine mulțimile A si B.
b) Să se afle A B, A B, A – B, B – A.
Evaluarea în contextul dezvoltării gândirii critice și a învățării active
Lecțiile care s-au desfășurat prin metode care proovează învățarea activă și gândirea critică au fost foarte plăcute și antrenante, atât pentru mine ca profesor, cât și pentru elevi. Dar pe parcursul lecțiilor a trebuit să realizez și evaluarea.
În cadrul lecțiilor care s-au desfășurat în manieră tradițională, la eșantionul de control, evaluarea am realizat-o invitând 2-3 elevi pe rând la tablă, le-am dat exerciții spre rezolvare (oare ce au făcut ceilalți în acest răstimp?… mulți nu au copiat oare mecanic de la tablă?), le-am adresat întrebări de teorie sau le-am dat teste de verificare a cunoștințelor și în felul acesta am asigurat și notarea.
Dar mi-am pus problema cum ar trebui să procedez atunci doresc să evaluez atât conținutul învățat de elevi, cât și ablilitatea elevilor de a lucra în cooperare sau abilitatea de a formula răspunsuri logice și originale la probleme.
A trebuit să răspund la următoarele întrebări:
Cum poate profesorul să noteze elevii dacă pe parcurul lecțiilor este atât de multă activitate?
În primul rând, trebuie făcută o distincție între evaluare și notare. Notarea se realizează pe baza evaluărilor. Pentru aceasta, am realizat o grilă de observare individuală pentru a urmări o anumită abilitate pe care am dorit să o evaluez. În aceasta, am urmărit: dacă elevii citesc cu atenție textul problemei și îl redau în propriile cuvinte, dacă formulează corect strategia de rezolvare a exercițiului, dacă identifică și formulează corect strategii alternative de rezolvare a problemei, dacă transpune corect în limbaj matematic textul exercițiului/problemei, dacă scriu corect relațiile matematice în rezolvarea exercițiului/problemei, dacă efectuează corect operațiile de bază, dacă verifică rezultatele obținute, dacă aplică în mod corect etapele de rezolvare a exercițiului/problemei, dacă explică modul corect și clar modul de rezolvare.
Cum poate fi realizată o evaluare individualizată atunci când aceștia lucrează împreună?
Am împărțit clasa în grupe de evaluat, am monitorizat fiecare elev al grupei alese pe parcursul unei lecții, astfel încât la sfârșitul experimentului să acopăr toata clasa de elevi. Am realizat câte un dosar pentru fiecare elev al clasei experimentale, în care am notat data la care am făcut obervații pentru elevul urmărit, având dovezi a progresului elevului pe parcursul experimentului. Criteriile de evaluare au fost clar formulate: s-au referit la abilitatea de calcul, stilul de abordare a problemei, explicații, înțelegerea problemei, organizarea gândirii.
Cum pot monitoriza activitatea fiecărui elev dacă pe parcursul lecției există atât de multe ocazii în care elevii lucrează în perechi sau în grupuri mici?
O soluție a fost să elaborez un plan al clasei în care să notez în ce pereche a lucrat fiecare elev. Dacă un elev are o contribuție personală în perechea sau grupul în care lucrează, notez acest lucru.
Cum pot evalua cunoștințele însușite de elevi dacă învățarea activă ne ajută în a orienta elevii spre interacțiune, creativitate și gândire critică?
Am elaborat liste, diagrame ale principalelor concepte, noțiuni, algoritmi utilizați în lecție, în care am notat dacă elevul le-a însușit sau nu și le-am adăugat la portofoliu. Dar acest mod de a evalua a fost mai degrabă o evaluare a învățării decât o verificare a cunoștințelor. Așa că rămâne foarte utilă tot evaluarea scrisă care permite evaluarea conținutului, cât și a creativității și a gândirii critice. Pe lângă teste aplicate, ei au mai elaborat portofolii, eseuri matematice.
C. Etapa experimentală – finală
Această etapa experimentală a cercetării a constat atât în analiza portofoliilor individuale ale elevilor, pentru a monitoriza progresul elevilor, cât și în administrarea unei probe de evaluare finală, identică pentru cele două clase: experimentală și de control.
Testul final aplicat a cuprins diferite tipuri de itemi:
Obiectivi:
de completare: care au permis verificarea însușirii unor definiții, criterii, prin completarea în spațiul liber a părții omise;
cu alegere multiplă: elevul a trebuit să aleagă varianta corectă din cele enumerate;
Subiectivi și semiobiectivi
Evaluarea finală a vizat mai mult decât reproducerea cunoștințelor învățate, punând
elevul în situația de a aplica noul conținut învățat. Evident, acest mod de a evalua are ca scop nu doar evaluarea cunoștințelor, ci și a abilității de a opera corect cu ele.
TEST DE EVALUARE FINALĂ
Clasa a VI-a
Obiectivele de evaluare sunt următoarele:
. să se determine divizorii unui număr natural și să calculeze c.m.m.d.c. a două sau mai multe numere naturale;
. să determine multiplii unui număr natural și să calculeze c.m.m.m.c. a două sau mai multe numere naturale;
. să se selecteze și utilizeze criteriile de divizibilitate cu 10, 2,5 sau 3;
. să utilizeze legătura dintre c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c;
. să utilizeze proprietăți ale divizibilității în contexte variate;
. să aplice noțiunea de număr prim și să identifice numere prime;
. să scrie numere naturale sub formă de produs de numere prime.
În funcție de ponderea fiecărui obiectiv de evaluare în cadrul testului și de caracteristicile cognitive ale fiecăruia dintre itemi, matricea de specificație cere următoarea structură.
Matricea de specificație
Matricea de specificație este construită pe un test criterial, care vizează Competențele generale 1 și 2 din programa școlară de Matematică la clasa a V-a.
Am încercat o pondere proporțională de itemi obiectivi (5), semiobiectivi (3) și subiectivi (3).
MATRICEA DE CORESPONDENȚĂ DINTRE ITEMI ȘI OBIECTIVELE DE EVALUARE
RELAȚIA ÎNTRE ITEMI – OBIECTIVE DE EVALUARE – BAREM DE NOTARE
Structura testului de evaluare
Toate subiectele sunt obligatorii.
Timpul efectiv de lucru este de 50 minute.
Se acordă 10 puncte din oficiu.
SUBIECTUL I (30 puncte). Pe foaia de test, scrieți rezultatul corect lângă numărul din fața exercițiului
Dintre numerele 301; 405; 502 cel divizibil cu 3 este egal cu …
Dacă numărul natural , scris în baza zece, este divizibil cu 10 atunci x este egal cu …
Descompunerea în factori primi a numărului 36 este egală cu …
Cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 12 este egal cu …
Suma divizorilor naturali ai numărului 12 este egală cu …
SUBIECTUL II (21 puncte). Pe foaia de test, scrieți litera corespunzătoare rezultatului corect lângă numărul din fața exercițiului. Dintre cele patru variante de răspuns, scrise la fiecare cerință, doar una este corectă.
Numărul de zerouri al produsului :
A. 7 B. 6 C. 9 D. 8
Mulțimea este egală cu:
A. {1;7} B. {0;7; 14; 21; 28} C. {1;7; 14; 21; 28} D. {7; 14; 21; 28}
Dacă c.m.m.d.c. al numerelor a și b este 3 și c.m.m.m.c. al acelorași numere este 120, atunci produsul numerelor a și b este egal cu:
A. 240 B.120 C.360 D.1
SUBIECTUL III (39 puncte). Pe foaia de test, scrieți rezolvările complete
Determinați toate numerele prime de forma cu produsul cifrelor egal cu 30..
Împărțind numărul natural n la 9, la 18 și la 27 se obțin câturi diferite de zero și de fiecare dată restul egal cu 3.
a) Arătați că cel mai mic număr n cu această proprietate este egal cu 57.
b) Aflați toate numerele n cu această proprietate, astfel încât
Arătați că numerele și sunt prime între ele, pentru orice număr natural n.
Analiza performării prin realizarea corespondenței dintre itemii probei, criteriile de evaluare și baremul de corectare și notare pentru instrumentul de evaluare aplicat
Barem de corectare și notare
SUBIECTUL I.
se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 6 puncte, fie 0 puncte.
SUBIECTUL II.
se punctează doar rezultatul, astfel: pentru fiecare răspuns se acordă fie 7 puncte, fie 0 puncte.
SUBIECTUL III.
Pentru orice soluție corectă, chiar dacă este diferită de cea din barem, se acordă punctajul maxim corespunzător;
Se acordă punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem
Total:100 puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Nota finală se obține prin împărțirea punctajului obținut la 10.
REZULTATELE OBȚINUTE ȘI INTERPRETAREA LOR
Interpretarea rezultatelor reprezintă o parte a procesului de evaluare și permite luarea unei decizii, în cazul nostru introducerea sau nu a metodelor specifice învățării active.
Pentru o cât mai corectă interpretare, am prezentat datele obținute în două moduri:
Numeric, ca distribuției a frecvenței unor valori cantitative:
a) Notele obținute de elevii lotului experimental la testul inițial, respectiv final
b) Notele obținute de elevii lotului de control la testul inițial, respectiv final
2. Grafic:
Fig.1 Graficul notelor obținute de elevii lotului experimental la testul inițial, respectiv final
Fig.2.Histograma notelor obținute de elevii lotului experimental la testul inițial, respectiv final
Fig 3 Graficul notelor obținute de elevii lotului de control la testul inițial, respectiv final
Fig.4. Histograma notelor obținute de elevii lotului de control la testul inițial, respectiv final
Lectura tabelului și a graficelor oferă imaginea modului cum performează întreaga clasă de elevi, ca și grup:
Tendința centrală, direcția în care este plasată curba, furnizează informații despre „mijlocul” distribuției notelor:
în cazul notelor pentru clasa experimentală media aritmetică a testului ințial este 7,34, iar modulul (nota obținută de cei mai mulți elevi) este 7, peste media clasei au obținut 12 elevi; la testul final, media aritmetică este 8,19, iar modulul este 8, peste media clasei au obținut 11 elevi, în timp ce 15 au note sub media clasei.
la clasa de control, media aritmetică a testului ințial este 6,95, iar modulul (nota obținută de cei mai mulți elevi) este 7, peste media clasei au obținut 9 elevi; la testul final, media aritmetică este 7,16, iar modulul este tot 7, peste media clasei au obținut tot 9 elevi, în timp ce 15 au note sub media clasei
În prima situație media aritmetică a crescut cu 0,85, în schimb la lotul de control creșterea este cu mult mai mică (0,21) Și în ceea ce privește maximul curbei de distribuție a notelor dată de curba Gauss, creșterea este de un punct (de la 7 la 8) la clasa experimentală, spre deosebire de clasa la care am făcut predarea în mod obișnuit, maximul curbei a rămas același.
Făcând un procentaj al notelor obținute de elevii lotului experimental, se observă că dacă la testul ințial au avut o notă sub 5, acest lucru nu s-a mai întâmplat și la testul final, procentul de promovabilitate fiind de 100%.
Fig.5 Distribuția notelor la testul inițial, pentru lotul experimental
Fig.6. Distribuția notelor la testul final pentru lotul experimental
In cazul elevilor din lotul de control, creșterea notelor nu a fost spectaculoasă, procentajul de promovabilitate crescând de la 93% la testul inițial la 96% la testul final
Fig.7 Distribuția notelor la testul inițial, pentru lotul de control
Fig.8 Distribuția notelor la testul final, pentru lotul de control
Aceste rezultate confirmă prima ipoteză, faptul că aplicarea metodelor active îmbunățățește cu mult performanțele elevilor.
Dispersia scorurilor are un rol important în interpretarea rezultatelor și este un indicativ important al tendinței centrale. Dispersia scorurilor verifică variabilitatea rezultatelor (cât de apropiate sau distanțate sunt față de tendința centrală).
Deviația standard indică gradul de dispersie a scorurilor de la media lor. Cu cât acest indice este mai mic, cu atât media caracterizează mai bine performanțele elevilor, în sensul că rezultatele sunt în majoritate grupate în jurul mediei aritmentice. Cu ajutorul acestui indicativ se pot calcula diferențele dintre rezultatele fiecărui elev și media lor aritmetică. La clasa de control la testul inițial 16 din 24 sunt foarte apropiați de media clasei, iar la testul final 14 din 24 au note foarte apropiate de media clasei, ceea ce arată ca este o clasa omogenă. Același lucru se constată și la clasa la care am aplicat experimentul, la testul ințial 16, respectiv 17 au note apropiate de mediile rezultate la testele aplicate.
Folosind metodele și tehnicile de stimulare a creativității și a gândirii critice, atât individual, frontal cât și pe grupe, am constat următoarele:
elevii își însușesc mai ușor noile cunoștințe;
crește încrederea că pot să decodifice și să înțeleagă conținuturile, atât pe cont propriu cât și în grup;
doresc să se implice în învățare și nu dau semne de oboseală pentru că se implică conștient, voit, învățând activ și logic;
elevii și-au îmbogățit și nuanțat vocabularul, datorită unor metode aplicate
a fost valorificată inteligența lingvistică, exprimarea matematică;
elevii au realizat un real progres în rezolvarea de exerciții și probleme dând dovadă de gândire critică, originalitate, fluență, flexibilitate în exprimare.
Analiza și interpretarea datelor obținute indică o tendință pozitivă de ameliorare a rezultatelor școlare ale elevilor în favoarea clasei experimentale, o evoluție în exprimarea orală și scrisă, în activizarea și nuanțarea vocabularului matematic, transformarea relației profesor-elev într-una modernă și democratică, elevii bucurându-se de o comunicare eficientă bazată pe colaborare, ajutor reciproc, libertate, inițiativă, datorită unor metode, precum: jocul didactic, ciorchinele, cvintetul, cubul, etc.
Toate aceste concluzii susțin prima ipoteză științifică: Învățarea care se dovedește utilă și care este de durată este o investiție mult mai bună a timpului profesorului și a fondurilor comunității decât învățarea care nu necesită implicarea activă a elevilor, care obosește profesorul prin instaurarea rutinei și care se uită repede pentru că cele învățate nu se aplică sau nu se exploatează în niciun fel.
În ceea ce privește a doua ipoteză, din discuțiile și feed-back-ul oferit de elevi, am observat că schimbarea climatului din timpul învățării poate elimina blocajele culturale și emotive, puternice în școala din trecut. Am observat că se cer relații distinse, democratice, între elevi și profesori, ceea ce nu înseamnă a coborî statutul social al celor din urmă. Trebuie totuși avut în vedere că nu trebuie să confundăm un stil democratic cu unul permisiv. De aceea trebuie avut în vedere că atmosfera din clasă trebuie să favorizeze învățarea, nu indisciplina.
În concluzie, dacă voi utiliza metode și tehnici moderne/alternative în cadrul lecțiilor de matematică, atunci acestea vor determina creșterea motivației elevilor pentru învățare, sporirea calității și eficienței procesului instructiv-educativ, revigorarea și menținerea interesului pentru matematică a elevului.
A fost încurajată inițiativa elevilor la lecție, adresarea de întrebări, fiind înlăturată teama de a nu greși, iar pe parcurs elevii s-au familiarizat cu metodele și denumirile lor, au înțeles eficiența lor și pașii care trebuie urmați pentru realizarea acestora.
După finalizarea cercetării în cadrul comisiilor metodice de la nivelul catedrei, am evidențiat dificultățile, obstacolele cu care s-au confruntat participanții, principalele rezultate obținute în urma procesului ameliorativ, recomandările date elevilor și profesorilor, modalitățile de diseminare a rezultatelor.
III.2.2. Concluzii și propuneri
În urma cercetării am demonstrat faptul că, aplicându-se metode diferite, care fac jocul anumitor operații mintale, se obțin diferențe în planul rezultatelor. De asemenea, am mai arătat și că aceste diferențe confirmă, de obicei, superioritatea unor metode față de altele, a celor activ-participative față de cele mai puțin activizante. Am scos în evidență faptul că metodele participative, aplicate la clasele experimentale, aduc un spor semnificativ în rezultatele, față de cele utilizate în clasele de control. Faptul că rezultatele nu sunt indiferente la metodele utilizate, face ca, adeseori, atunci când acestea sunt sub așteptări, o parte din vină să fie aruncată asupra metodelor.
Psihologul elvețian Jean Piaget a demonstrat că învățăm deslușind sensul lumii în termenii unor concepte pe care le avem deja.
Deoarece elevii învață descoperind sensuri – cu alte cuvinte, explorând și investigând – profesorii ar trebui să-i încurajeze pe elevi să exploreze. Cum explorarea este o activitate pe care putem să o îmbunătățim continuu, profesorii ar trebui să le demonstreze elevilor cum să o realizeze, cum să formuleze întrebări, să caute și să cântărească informații.
Metoda este cea care îl face pe copil să trateze problemele de conținut într-un mod critic, de natură să-l ajute să-și dezvolte și să-și exprime talentele și valorile.
Metodele active ca formulă de educație centrată pe persoană au la bază câteva principii:
Profesorii și elevii, iar în alte cazuri și părinții sau membri ai comunității își împart responsabilitatea învățării.
Climatul activității trebuie să fie unul care să facilitaze formarea ființei.
Elementul cel mai important este să învățăm cum să învățăm ceea ce ne interesează o disciplină necesară activității trebuie să devină autodisciplină
Evaluarea semnificației învățării trebuie să devină autoevaluare
Profesorul trebuie receptat ca un furnizor de resurse ale învățării
Lecțiile cele mai de succes sunt cele care încurajează elevii să gândească independent și să se angajeze în gândire critică. Gândirea critică ne permite să gândim la propriile noastre idei și la argumente pe care le avem. Ea denotă faptul că reflectăm la propriile noastre idei și la argumentele pe care le avem pentru a ne justifica punctele noastre de vedere. Când gândim critic, suntem conștienți de ceea ce gândim și cum anume gândim. Când detectăm o eroare sau o modalitate diferită de judecare a unei probleme, explorăm avid modalitatea respectivă. Elevii care gândesc critic parcurg procese de învățare cu entuziasm. Ei văd provocări și oprtunități de învățare chiar și în cele mai dificile sarcini intelectuale.
Dezvoltarea gândirii critice și a inteligenței creatoare la matematică permite elevului nu numai însușirea temeinică a cunoștințelor, ci și formarea unor deprinderi de creativitate intelectuală:
Elevul devine receptiv față de nou;
Înțelege, selectează ideile fundamentale și stabilește noi conexiuni între ele;
Își adresează singur întrebări pentru a ajunge la soluția unei probleme.
Este important să dezvoltăm gândirea critică și inteligența creatoare a elevilor prin intermediul matematicii deoarece principalul nostru obiectiv este ca elevi să gândească pentru a aborda și rezolva probleme și nu doar să reproducă etapele unor algoritmi de cele mai multe ori neînțeleși.
Gândirea critică și dezvoltarea inteligenței creatoare asigură nu numai performanțe școlare optime, ci și democratizarea actului didactic. Rolul profesorului se schimbă; el nu mai transmite doar informații, ci sprijină elevul în învățare.
Conținutul întrebărilor este un aspect important în promovarea gândirii critice și dezvoltarea inteligenței creatoare, dar la fel de important este și felul cum se formulează întrebările. Există numeroase strategii pe care profesorii le pot utiliza pentru a eficientiza adresarea întrebărilor (Gibbs 2001):
Adresați întrebări care pot primi mai multe răspunsuri plauzibile.
Așteptați după ce ați adresat întrebarea astfel încât și elevii mai timizi să aibă timp să își formuleze răspunsul.
Adresați întrebări de continuare, ca de exemplu: „Ce ai mai putea adăuga la asta?”, „Care este opinia ta, Alexandru?”
Oferiți feedback care să nici nu confirme și nici să infirme răspunsul elevului. Astfel, discuția poate continua. De exemplu: „Interesant.”, „Nu m-am gândit la asta.”
Adresați întrebări de tipul: „Cine este de acord cu Victor?”, „Cine este de altă părere?”, „De ce?”
Încurajați elevii să adreseze întrebări altor elevi: „Intreabă-l pe Mihai dacă poate să completeze răspunsul tău.”
Jucați rolul avocatului diavolului: „Cum te-ai simți dacă …?”, „Cum s-ar modifica răspunsul tău dacă …?”
Folosți metoda gândirii cu voce tare: „Cum ai ajuns la acest răspuns?”
Solicitați toți elevii, nu doar pe cei care ridică mâna. Dar nu zăboviți dacă elevul nu dorește să răspundă.
Semnalați elevilor răspunsurile posibile: „Există multe răspunsuri posibile la această întrebare.”
Schimbați perspectiva: „Cum te-ai simți auzind răspunsul tău dacă ai fi …?”
Imaginați-vă situații: „Ce s-ar întâmpla dacă …?”
Legați răspunsul de ceva diferit: „Cum se aseamănă (răspunsul elevului) cu …?”, „Cum diferă?”
Schimbați răspunsul în vreun fel: „Ce-ar fi dacă ai schimba (ideea elevului) în …?”, „Dacă am combina ideea lui Silviu cu cea a Emei?”
Atmosfera din sala de clasă trebuie să invite elevii să gândească critic și să își dezvolte inteligența creatoare.
Profesorii și elevii împart responsabilitatea pentru climatul din sala de clasă.
Elevii pot participa la elaborarea regulilor de conduită din sala de clasă. Acestea sunt importante pentru organizarea învățării prin cooperare, pentru a nu se transforma lecția într-un fiasco.
Profesorii modelează gândirea și sprijină elevii atunci când aceștia își prezintă
strategiile de gândire. Profesorii demonstrază elevilor cum se gândește critic, nu pronunțând ideile ca și cum tot ce spun ar fi o certitudine, ci abordând ideile cu un anumit septicism, manifestând respect față de diferitele puncte de vedere care se formulează în clasă.
3. Exită o atmosferă marcată de căutări și deschidere. Profesorii și elevii folosesc întrebări de ordin superior (cu alte cuvinte, nu doar întrebări care încep cu „Ce?”, „Unde?”, „Când?”, ci și „De ce?”, „Ce s-ar întâmpla dacă?”, „De ce nu?” pe măsură ce analizează problema și iau decizii.
4. Elevii sunt sprijiniți pe măsură adecvată. Aceștia sunt învățați cum să-și analizeze propria învățare și cum să-și îmbunătățească propriile performanțe. Profesorii oferă îndrumare și pe măsură ce elevii demonstrează că sunt pregătiți pentru a progresa independent.
5. Aranjarea spațiului facilizează în mod natural munca de cooperare a elevilor și discuțiile care au loc între ei.
Clasic sau modern în predarea divizibilității în gimnaziu? Răspunsul pe care îl pot da eu este: clasic și modern. Nu putem separa cele două tipuri de metode punând o barieră între ele.
Această încercare de a opune metodele noi celor vechi nu poate fi sortită decât unei simplificări a lucrurilor. Este știut doar că nu tot cee ce este vechi este și demodat, tot așa după cum nu tot ceea ce este nou este și modern. Așa cum s-a mai arătat, în măsura în care așa-zisele metode „clasice” sau „tradiționale” se pot apropia de exigențele învățământului contemporan, ar fi nejust să fie negate, părăsite sau privite în opoziție cu diversele metode mai noi sau cu unele orientări metodologice mai recente. În realitate, valențele multora dintre metodele mai „vechi” nu au fost îndeajuns exploatate până în prezent. Metode ca: expunerea, conversația, lectura, exercițiul, demonstrația, lucrările practice etc. ascund în sine încă multe rezerve care își așteaptă o valorificare deplină de abia de aici încolo. Asemenea metode pot și trebuie să fie „modernizate”, adică revitalizate și optimizate prin raportare la o nouă strategie a muncii didactice, ceea ce va justifica menținerea și frecventa lor utilizare, în continuare, în practica școlară.
Nici o metodă nu reprezintă singurul și unicul mod universal și eficient în care s-ar putea să se procedeze. Nici unei metode nu i se poate acorda valoare absolută, nu poate fi recomandată ca „rețetă” atotcuprinzătoare, tot așa cum nici o metodă nu poate fi la fel de eficace pentru toți elevii, ori pentru toți profesorii. Copiii diferă atât de mult între ei, încât o metodă considerată bună pentru unii nu este în mod necesar bună pentru alții. Nu există metodă care să fie cea mai bună; dacă ar fi, ar duce la o predare mecanică. Dușmanul profesorului nu este metoda nepotrivită, ci automatizarea metodei bune. Căutarea metodei cele mai bune trebuie înlocuită cu căutarea unor căi de interacțiune având ca obiectiv o predare și o învățare cât mai reală.
Am putea spune că nu există metode bune sau rele, ci metode adecvate, bine sau prost utilizate. De aici, necesitatea ca profesorul să stăpânească un repertoriu cât mai larg de metode, să cunoască principiile care reglementează folosirea acestora, spiritul modern în care trebuie aplicate, funcțiile și sfera lor privilegiată de aplicabilitate și să găsească o alternativă metodologică optimală.
Sarcina perfecționării metodelor nu poate fi lăsată doar pe seama cercetătorilor științifici propriu-ziși; fiecare profesor poată să facă din clasa de elevi cu care lucrează un adevărat laborator de încercare și validare a eficienței diferitelor metode și procedee de predare/învățare. Chiar și cele mai noi procedee și tehnici de predare, sugerate de diferitele foruri de cercetare științifică, se cuvin a fi analizate în spirit critic, constructiv și nu acceptate în mod pasiv, fără a fi trecute prin filtrul reflecției personale, adaptate situațiilor concrete de instruire școlară.
In final, cum procesul de învățare presupune schimbarea unor idei și opinii vechi cu altele mai noi și extinderea capacității de a învăța lucruri noi, profesorii ar trebui să încurajeze elevii să reflecteze asupra celor învățate, să examineze implicațiile noilor cunoștințe și să le aplice în diferite contexte.
Un profesor cu vocație abordează predarea matematicii ca pe o cale de cunoaștere și nu ca pe transmiterea unui set de cunoștințe statice sau idei inerte. Căile de cunoaștere – gândirea matematică – înseamnă stăpânirea de către elevi a unor concepte și a unor strategii de a (-și) adresa întrebări și de a construi cunoașterea. A gândi transdisciplinar înseamnă a identifica probleme, de a formula întrebările potrivite și de a aplica măsurile potrivite pentru rezolvarea problemelor cu succes.
Școala trebuie să devină laborator de cercetare în care elevul vine pentru a face descoperiri, cu deosebirea că acestea nu sunt pentru omenire, ci pentru om, pentru micul om în cauză. A învăța pe copil…nu înseamnă să-i dăm adevărul nostru, ci să-i dezvoltăm propria-i gândire, aducând-o până la gândirea noastră, cu alte cuvinte, nu să-i impunem lumea noastră, creată pe gândirea noastră, ci să-l ajutăm să înțeleagă cu gândirea sa lumea sensibilă, nemijlocit evidentă. (G.N. Volkov)
BIBILIOGRAFIE
*** Strategii didactice inovative.Suport de curs, Editura Sigma, București,2003
*** Curs pentru formarea continuă a profesorilor de matematică și științe economice în societatea cunoașterii, Editura Fundației „Andrei Șaguna”, Constanța, 2012
[Societatea de Științe Matematice din România], Gazeta matematică, Ed. S.S.M.R., (2010 – 2013)
Abeli, Hans, Didactica psihologică (trad.), Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973
Ardelean L., Secelean N., Didactica matematicii – noțiuni generale, comunicare didactică specifică matematicii, Ed. Universității Lucian Blaga, Sibiu, 2007
Ardelean L., Secelean N. – Didactica matematicii – managementul, proiectarea și evaluarea activităților didactice, Ed. Universității Lucian Blaga, Sibiu, 2007
Ausubel, D.P., Robinson, F.G., Învățarea în școală. O introducere în psihologia pedagogică (trad.), Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981
Asaftei, P., Chirilă, C., Asaftei, D. , Elemente de aritmetică și teoria numerelor, Editura Polirom, Iași, 1998
Babanski, I.K., Optimizarea procesului de învățământ (trad.), Editura Didactică și Pedagogică, București, 1979
Bacoș, M., Instruire interactivă, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2002
Badea E., Flexibilitatea mintală.O viziune sincronică, EDP, București, 1998
Bălăucă, R., Negrescu, A., Gându, Gh., Matematică. Teme pentru activități opționale, clasele V-VIII, Editura Taida, Iași, 2008
Becheanu, M., Niță, C., Ștefănescu, M., Purdea, I., Ion, D.I. Radu, N., Dincă, A., Algebra pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
Bobancu, V., Caleidoscop matematic, Editura Petrion, București, 1972
Cerghit I., Metode de învățământ, Editura Polirom, Iași 2006
Crețu C., Psihopedagogia succesului, Editura Polirom, Iași, 1997
Crețu C., Curriculum diferențiat și personalizat, Ed. Polirom, Iași, 1998
Cohal, T., Vă place matematica? – Probleme pentru ciclul gimnazial, Ediția a II-a, Editura Moldova, Iași, 1996
Constantinescu, P., Jocuri și probleme disctractive, Ed. Albatros, București, 1971
Cucurezeanu, I., Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Editura Tehnică, București, 1976
Dăncilă, I., Matematică distractivă pentru clasele 5-6. Editura Teora, București, 1999
Dăncilă, I., Matematică aplicată, Editura Sigma, 2000
Dăncilă, I., Matematica gimnaziului, Editura Corint, București, 1996
Domoread, A.P., Jocuri și probleme distractive de matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965
Dumitru I.A., Dezvoltarea gândirii critice și învățarea eficientă, Ed. de Vest, Timișoara, 2000
Gardner, Martin, Alte amuzamente matematice, Editura Științifică, București, 1970
Gologan R., ș.a., Matematică 2013, clasele IV-VI. Olimpiade și concursuri școlare, Editura Paralela 45, București, 2013
Hancea, J., Gimnastica minții, Editura Axa, Botoșani, 2001
Ionescu M., Radu I., coord., Didactica modernă, Ed. Dacia , Cluj, 1995
Ionescu, M., Chis, V., Strategii de predare-învățare, Editura Științifică, București, Joița E., Eficiența instruirii, EDP, București, 1998
Lăzărescu, D., Paleoaritmetică și alte probleme de logică, Editura Albatros, București, 1981
Linksman R., Învățare rapidă, Ed. Teora, București, 1999
Matei N.C., Învățarea eficientă în școală, EDP, București, 1995
Monteil J. -M., Educație și formare, Ed. Polirom, Iași, 1998
Neacșu I., Instruire și învățare, Ed. Științifică, București, 1990
Neacșu I., Metode și tehnici de învățare eficientă, Ed. Militară, 1990
Oprea, C.-L., Strategii didactice interactive, EDP, București, 2006
Păun, Gh., Între matematică și jocuri, Editura Albatros, București, 1986
Polya, G., Cum rezolvăm o problemă? Un nou aspect al metodei matematice, Editura Științifică, București, 1965
Popescu, R., Roman, I. Lecții în spiritul metodelor active, E.D.P., București, 1980
Sarivan L. coord., Predarea interactivă centrată pe elev, Educația 2000+, București, 2005
Sierpinski,W., Ce știm și ce nu știm despre numerele prime, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1966
Singer M., Voica C. , Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, Educația 2000+, 2005, București, 2005
Stanciu M., Reforma conținuturilor în învățământul preuniversitar. Cadru metodologic, Ed. Polirom, Iași, 1999
Steele, J., Meredith, K. & Temple, C., Un cadru pentru dezvoltarea gândirii critice la diverse materii de studiu, Ghidul I, Proiectul pentru Lectura și Scrierea pentru Dezvoltarea Gândirii Critice România, NY: Institutul pentru o Societate Deschisă, 1998
Steele, J., Meredith, K. & Temple, C., Lectura, redactarea și conversația la toate materiile de studiu, Ghidul III, Proiectul pentru Lectura și Scrierea pentru Dezvoltarea Gândirii Critice România, NY: Institutul pentru o Societate Deschisă, 1998
Stewart, I., Numerele naturii. Ireala realitate a imaginației matematice, Editura Humanitas, București, 1999
Stoica A., Creativitatea elevilor, EDP, București, 1982
www.didactic.ro
www.mateinfo.ro
www.curriculum2010.ro
ANEXA 1
STRUCTURA UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE
Divizibilitatea numerelor naturale
Clasa a VI-a
Matematică – algebra : 2 ore / săptămână
Număr de ore alocate: 9h
ANEXA 2
PROIECTE DIDACTICE
Proiect didactic 1
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială ”M.Ch.Epureanu”, nr.9, Bârlad
Profesor: Gălățanu Nuș
Data: 28.X.2013
Clasa: a V-a
Aria curiculară: Matematica și științe ale naturii
Obiectul: Matematica
Tema: Criterile de divizibilitate cu 2,5,10
Tipul de lecție: Lecție de dobandire de cunostinte
Competențe generale:
1. Să efectueze calcule cu numere reale, utilizând proprietățile operațiilor;
2. Să scrie, să citească și să compare numerele reale;
3. Să aproximeze numerele reale;
4. Să utilizeze formule de calcul algebric si formule de calcul prescurtat.
Competențe specifice:
1. Selectarea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și pentru divizibilitatea cu 10, 2, 5
2. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
Obiective operaționale :
O1- să folosească corect notațiile relației de divizibilitate;
O2- să identifice numerele divizibile cu 2, 5 sau 10 dintr-un șir de numere naturale;
O3- să utilizeze criteriile de divizibilitate pentru numerele scrise în baza 10 care au în componența lor litere în loc de cifre;
Strategia didactica:
Metode didactice: munca independentă, conversația, explicația, exercițiul,
Mijloace didactice: caietul de studiu al elevului, manual, culegerea, tabla, catalogul
Forma de organizare a clasei: frontal, individual
Evaluare: aprecierea activităților, evaluare orală prin sondaj,observare sistematică
Bibliografie:
-manual: Matematica-manual pentru clasa a V-a ,George Turcitu,Editura Radical,2007
-culegere: Mate 2000 Consolidare. Matematica. Aritmetica.Algebra. Geometrie. Clasa A V-A. Partea I (Anul Scolar 2013-2014)
PROIECT DIDACTIC 2
Unitatea școlară: Școala Gimnazială ”M.Ch.Epureanu”, nr.9, Bârlad
Data: 23. 10. 2012
Clasa: a VI-a
Profesor: Gălățanu Nuș
Aria curriculară : Matematica și Stiințe
Disciplina: Matematică-Algebră
Unitatea de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale
Tema lecției: C.m.m.d.c și numere prime între ele
Tipul lectiei: Lecție de fixare și consolidare a cunostințelor
Durata: 50 minute
Competente generale:
1.Să efectueze calcule cu numere reale, utilizând proprietățile operațiilor;
2.Sa scrie, sa citească și să compare numerele reale;
3.Să aproximeze numerele reale
4.Să utilizeze formule de calcul algebric și formule de calcul prescurtat
Competențe specifice :
1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a noțiunilor: divizor, multiplu, numere prime, numere compuse, c.m.m.d.c., numere prime între ele.
2. Aplicarea criteriilor de divizibilitate pentru descompunerea numerelor naturale în produs de numere prime ;
3. Utilizarea algoritmului pentru determinarea c.m.m.d.c. a două sau mai multe numere naturale
3. Experimentarea unor caracteristici ale relației de divizibilitate în ℕ, în exerciții și probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea.
Scopul lecției : Elevii să aibă capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite în exerciții și probleme.
Obiective operaționale :
A. Cognitive
OC1 – să enunțe definiția c.m.m.d.c. și definiția numerelor prime între ele;
OC2 – să efectueze algoritmul de calculare a c.m.m.d.c.
OC3 – să utilizeze c.m.m.d.c. în rezolvarea unor probleme practice.
B. Psiho-motorii
OP1 – să redacteze în mod logic rezolvarea unor exerciții;
OP2 – să dovedească abilitate în rezolvarea exercițiilor.
B. Afective
OA1- să dovedească interes pentru informațiile prezentate, prin participare activă ;
Strategii didactice :
a)Metode și procedee : conversația, învățarea prin descoperire, exercițiul, problematizarea, explicatia, munca independentă
b)Mijloace de invatare : tabla școlară, cretă, Manual clasa a VI-a, Culegere Mate 2000+12/13, Culegere de matematică, cls a VI-a, fise de lucru
c)Forme de organizare : frontal, individual.
Desfășurarea lecției
Moment organizatoric
Efectuarea prezenței elevilor, notarea în catalog a absențelor, verificarea existenței resurselor materiale necesare.
Asigurarea condițiilor optime pentru desfășurarea lecției
Captarea atenției
Are loc verificarea temei și rezolvarea eventualelor neclarități/nelămuriri întâlnite; verificarea temei elevilor prin sondaj, folosind dialogul profesor-elev, elev-elev, prin confruntarea rezultatelor.
Reactualizarea cunoștințelor anterioare
Titlul lecției anterioare
Definiția c.m.m.d.c.
Algoritmul de aflare a c.m.m.d.c.
Definiția numerelor prime între ele.
Consolidarea cunoștințelor anterioare
Anunțarea temei și a obiectivelor operaționale:
Astăzi la algebră vom rezolva exerciții diverse folosind noțiunile însușite privind divizorii comuni, c.m.m.d.c a două sau mai multor numere naturale și numere prime între ele.
Propun spre rezolvare exercițiile din fișa de lucru
Numesc elevii pentru rezolvarea la tablă a exercițiilor, dau indicații dacă e nevoie.
Apecierea activității elevilor
Invit elevii să-și autoevalueze participarea la lecție
Notez elevii care au participat la lecție
Tema pentru acasă
Exercițiile rămase din fișa de lucru
Fișă de lucru
C.m.m.d.c. Numere prime între ele. Exerciții
1. Să se calculeze (10;25); (3;6;18); (3;14); (30;40); (14; 28, 35).
2. Să se calculeze, folosind descompunerea în factori, c.m.m.d.c. al numerelor
a) 540 și 504; b) 44; 110; 220.
3. Determinați cifra x astfel încât (84; )=1.
4. Aflați a și b numere naturale astfel încât :
și ;
;
.
5. Determinați numerele de forma .
6. La un concurs participă 108 băieți și 126 de fete. Toți participanții sunt grupați în echipe care au același număr de copii, respectiv același număr de băieți.
a)Arătați că se pot forma 9 echipe.
b)Arătați că nu pot fi 7 echipe.
c)Care este numărul maxim de echipe care se pot forma?
7. Numerele 247; 297; 347 împărțite la același număr natural dau resturile 7, 9, respectiv 11.
a)Aflați cel mai mare număr cu această proprietate.
b)Aflați cel mai mic număr cu această proprietate.
PROIECT DIDACTIC 3
ȘCOALA : Gimnazială « M.C. Epureanu », Bârlad
PROFESOR : Gălățanu Nuș
DATA : 5.05.2013
CLASA : a VI-a A
OBIECTUL : Secretele matematicii – opțional
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Logică recreativă
TITLUL LECȚIEI : Magia matematcii
SCOPUL LECȚIEI : asimilarea cunoștințelor referitoare la proprietățile unor numere și figuri geometrice
COMPETENȚE SPECIFICE:
Să utilizeze limbajul matematicii elementare și să aplice în contexte variate tipuri de raționamente logice
Să manifeste disponibilitate pentru căutarea de soluții la probleme diverse
Să se implice prin joc în studiul matematicii
Să discute corectitudinea unui demers matematic argumentându-și opiniile
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Moment organizatoric:
Profesorul asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției. Verifică prezența elevilor.
Captarea atenției
Joc de spargere a gheții: Hârtia.
Fiecare elev va primi o coală de hârtie și va executa următoarele instrucțiuni:
“Îndoiți coala de hârtie în două”
“Rupeți colțul din dreapta sus”
“Îndoiți din nou coala”
“Acum rupeți colțul din stânga”
“Indoiți încă o dată foaia”
“Rupeți colțul din dreapta jos”.
După terminarea instrucțiunilor, fiecare își va desface coala si o va arăta întregului grup. Se va observa că foile sunt rupte în moduri diferite, existând mai multe modele printre participanți.
Ideea de bază cu care elevii este bine să rămână se referă la acceptarea diversității în percepție și gândire și valoarea egală a punctelor de percepție și gândire și valoarea egală a punctelor diferite de vedere. Matematica este aceea care realizează o punte între aceste diversități de gândire, de percepție prin frumusețea, magia și prin limbajul său universal.
Anunțarea lecției noi
Magia matematicii
Astăzi ne propunem să facem “magie” cu hârtie, să descoperim numere interesante, să construim pătrate.
1.Banda lui Möbius
Taie o bandă lungă de hârtie, de cel puțin 20 cm lungime și 2,5 cm lățime. Răsucește pe jumătate unul din capete și lipește-le. Hârtia are acum doar o față și o muchie. Plimbă degetul pe ea și vei vedea.
Ce se va întâmpla dacă tai banda la mijloc, pe toată lungimea?
Fă încă o bandă Möbius. De data aceasta, taie de-a lungul ei, la o treime din lățime și vei avea o altă surpriză.
Fă acum două panglici circulare de hârtie și lipește-le într-un punct. Ce formă crezi ca vei obține dacă le vei tăia la mijoc pe toată lungimea?
Răsucește în zigzag o bandă mai lungă de hârtie și fixeaz-o cu două agrafe metalice. Ce se va întâmpla dacă tragi de capetele benzii? Agrafele vor zbura, prinse între ele. Este matemagie!
2. Forme cu patru laturi
Ce au în comun ferestrele, pereții, paginile unei cărți și milioane de alte obiecte făcute de om? Toate sunt dreptunghiuri. Dreptunghiurile și alte forme cu patru laturi se regăsesc peste tot deoarece sunt ușor de realizat și de îmbinat.
Desenează un patrulater. Decupează-l și rupe cele patru colțuri. Rotește colțurile și vei vedea că ele se îmbină perfect. Cele patru colțuri ale unui patrulater se completează întotdeauna perfect pentru că suma unghiurilor unui patrulater convex este de 360۫˚.
Aranjează 16 magneți la fel ca în figura de mai jos. Cum muți doar doi magneți ca să rămână patru pătrate, în loc de cinci? Nu poți lua 2 magneți și nici nu ai voie să lași laturi libere.
Scoate 3 magneti astfel încât să obținem trei pătrate egale
Mută trei magneți astfel încât să rămână trei pătrate egale.
3. Ce număr se potrivește?
„Numerele sunt lucruri sigure.”
(după Weaver)
d)
e) f)
BIBILIOGRAFIE
*** Strategii didactice inovative.Suport de curs, Editura Sigma, București,2003
*** Curs pentru formarea continuă a profesorilor de matematică și științe economice în societatea cunoașterii, Editura Fundației „Andrei Șaguna”, Constanța, 2012
[Societatea de Științe Matematice din România], Gazeta matematică, Ed. S.S.M.R., (2010 – 2013)
Abeli, Hans, Didactica psihologică (trad.), Editura Didactică și Pedagogică, București, 1973
Ardelean L., Secelean N., Didactica matematicii – noțiuni generale, comunicare didactică specifică matematicii, Ed. Universității Lucian Blaga, Sibiu, 2007
Ardelean L., Secelean N. – Didactica matematicii – managementul, proiectarea și evaluarea activităților didactice, Ed. Universității Lucian Blaga, Sibiu, 2007
Ausubel, D.P., Robinson, F.G., Învățarea în școală. O introducere în psihologia pedagogică (trad.), Editura Didactică și Pedagogică, București, 1981
Asaftei, P., Chirilă, C., Asaftei, D. , Elemente de aritmetică și teoria numerelor, Editura Polirom, Iași, 1998
Babanski, I.K., Optimizarea procesului de învățământ (trad.), Editura Didactică și Pedagogică, București, 1979
Bacoș, M., Instruire interactivă, Editura Presa Universitară Clujeană, Cluj-Napoca, 2002
Badea E., Flexibilitatea mintală.O viziune sincronică, EDP, București, 1998
Bălăucă, R., Negrescu, A., Gându, Gh., Matematică. Teme pentru activități opționale, clasele V-VIII, Editura Taida, Iași, 2008
Becheanu, M., Niță, C., Ștefănescu, M., Purdea, I., Ion, D.I. Radu, N., Dincă, A., Algebra pentru perfecționarea profesorilor, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1983
Bobancu, V., Caleidoscop matematic, Editura Petrion, București, 1972
Cerghit I., Metode de învățământ, Editura Polirom, Iași 2006
Crețu C., Psihopedagogia succesului, Editura Polirom, Iași, 1997
Crețu C., Curriculum diferențiat și personalizat, Ed. Polirom, Iași, 1998
Cohal, T., Vă place matematica? – Probleme pentru ciclul gimnazial, Ediția a II-a, Editura Moldova, Iași, 1996
Constantinescu, P., Jocuri și probleme disctractive, Ed. Albatros, București, 1971
Cucurezeanu, I., Probleme de aritmetică și teoria numerelor, Editura Tehnică, București, 1976
Dăncilă, I., Matematică distractivă pentru clasele 5-6. Editura Teora, București, 1999
Dăncilă, I., Matematică aplicată, Editura Sigma, 2000
Dăncilă, I., Matematica gimnaziului, Editura Corint, București, 1996
Domoread, A.P., Jocuri și probleme distractive de matematică, Editura Didactică și Pedagogică, București, 1965
Dumitru I.A., Dezvoltarea gândirii critice și învățarea eficientă, Ed. de Vest, Timișoara, 2000
Gardner, Martin, Alte amuzamente matematice, Editura Științifică, București, 1970
Gologan R., ș.a., Matematică 2013, clasele IV-VI. Olimpiade și concursuri școlare, Editura Paralela 45, București, 2013
Hancea, J., Gimnastica minții, Editura Axa, Botoșani, 2001
Ionescu M., Radu I., coord., Didactica modernă, Ed. Dacia , Cluj, 1995
Ionescu, M., Chis, V., Strategii de predare-învățare, Editura Științifică, București, Joița E., Eficiența instruirii, EDP, București, 1998
Lăzărescu, D., Paleoaritmetică și alte probleme de logică, Editura Albatros, București, 1981
Linksman R., Învățare rapidă, Ed. Teora, București, 1999
Matei N.C., Învățarea eficientă în școală, EDP, București, 1995
Monteil J. -M., Educație și formare, Ed. Polirom, Iași, 1998
Neacșu I., Instruire și învățare, Ed. Științifică, București, 1990
Neacșu I., Metode și tehnici de învățare eficientă, Ed. Militară, 1990
Oprea, C.-L., Strategii didactice interactive, EDP, București, 2006
Păun, Gh., Între matematică și jocuri, Editura Albatros, București, 1986
Polya, G., Cum rezolvăm o problemă? Un nou aspect al metodei matematice, Editura Științifică, București, 1965
Popescu, R., Roman, I. Lecții în spiritul metodelor active, E.D.P., București, 1980
Sarivan L. coord., Predarea interactivă centrată pe elev, Educația 2000+, București, 2005
Sierpinski,W., Ce știm și ce nu știm despre numerele prime, Editura Științifică și Enciclopedică, București, 1966
Singer M., Voica C. , Recuperarea rămânerii în urmă la matematică, Educația 2000+, 2005, București, 2005
Stanciu M., Reforma conținuturilor în învățământul preuniversitar. Cadru metodologic, Ed. Polirom, Iași, 1999
Steele, J., Meredith, K. & Temple, C., Un cadru pentru dezvoltarea gândirii critice la diverse materii de studiu, Ghidul I, Proiectul pentru Lectura și Scrierea pentru Dezvoltarea Gândirii Critice România, NY: Institutul pentru o Societate Deschisă, 1998
Steele, J., Meredith, K. & Temple, C., Lectura, redactarea și conversația la toate materiile de studiu, Ghidul III, Proiectul pentru Lectura și Scrierea pentru Dezvoltarea Gândirii Critice România, NY: Institutul pentru o Societate Deschisă, 1998
Stewart, I., Numerele naturii. Ireala realitate a imaginației matematice, Editura Humanitas, București, 1999
Stoica A., Creativitatea elevilor, EDP, București, 1982
www.didactic.ro
www.mateinfo.ro
www.curriculum2010.ro
ANEXA 1
STRUCTURA UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE
Divizibilitatea numerelor naturale
Clasa a VI-a
Matematică – algebra : 2 ore / săptămână
Număr de ore alocate: 9h
ANEXA 2
PROIECTE DIDACTICE
Proiect didactic 1
Unitatea de învățământ: Școala Gimnazială ”M.Ch.Epureanu”, nr.9, Bârlad
Profesor: Gălățanu Nuș
Data: 28.X.2013
Clasa: a V-a
Aria curiculară: Matematica și științe ale naturii
Obiectul: Matematica
Tema: Criterile de divizibilitate cu 2,5,10
Tipul de lecție: Lecție de dobandire de cunostinte
Competențe generale:
1. Să efectueze calcule cu numere reale, utilizând proprietățile operațiilor;
2. Să scrie, să citească și să compare numerele reale;
3. Să aproximeze numerele reale;
4. Să utilizeze formule de calcul algebric si formule de calcul prescurtat.
Competențe specifice:
1. Selectarea și utilizarea de algoritmi pentru efectuarea operațiilor cu numere naturale și pentru divizibilitatea cu 10, 2, 5
2. Transpunerea unei situații-problemă în limbaj matematic, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului
Obiective operaționale :
O1- să folosească corect notațiile relației de divizibilitate;
O2- să identifice numerele divizibile cu 2, 5 sau 10 dintr-un șir de numere naturale;
O3- să utilizeze criteriile de divizibilitate pentru numerele scrise în baza 10 care au în componența lor litere în loc de cifre;
Strategia didactica:
Metode didactice: munca independentă, conversația, explicația, exercițiul,
Mijloace didactice: caietul de studiu al elevului, manual, culegerea, tabla, catalogul
Forma de organizare a clasei: frontal, individual
Evaluare: aprecierea activităților, evaluare orală prin sondaj,observare sistematică
Bibliografie:
-manual: Matematica-manual pentru clasa a V-a ,George Turcitu,Editura Radical,2007
-culegere: Mate 2000 Consolidare. Matematica. Aritmetica.Algebra. Geometrie. Clasa A V-A. Partea I (Anul Scolar 2013-2014)
PROIECT DIDACTIC 2
Unitatea școlară: Școala Gimnazială ”M.Ch.Epureanu”, nr.9, Bârlad
Data: 23. 10. 2012
Clasa: a VI-a
Profesor: Gălățanu Nuș
Aria curriculară : Matematica și Stiințe
Disciplina: Matematică-Algebră
Unitatea de învățare: Divizibilitatea numerelor naturale
Tema lecției: C.m.m.d.c și numere prime între ele
Tipul lectiei: Lecție de fixare și consolidare a cunostințelor
Durata: 50 minute
Competente generale:
1.Să efectueze calcule cu numere reale, utilizând proprietățile operațiilor;
2.Sa scrie, sa citească și să compare numerele reale;
3.Să aproximeze numerele reale
4.Să utilizeze formule de calcul algebric și formule de calcul prescurtat
Competențe specifice :
1. Identificarea în exemple, în exerciții sau în probleme a noțiunilor: divizor, multiplu, numere prime, numere compuse, c.m.m.d.c., numere prime între ele.
2. Aplicarea criteriilor de divizibilitate pentru descompunerea numerelor naturale în produs de numere prime ;
3. Utilizarea algoritmului pentru determinarea c.m.m.d.c. a două sau mai multe numere naturale
3. Experimentarea unor caracteristici ale relației de divizibilitate în ℕ, în exerciții și probleme care se rezolvă folosind divizibilitatea.
Scopul lecției : Elevii să aibă capacitatea de a aplica cunoștințele dobândite în exerciții și probleme.
Obiective operaționale :
A. Cognitive
OC1 – să enunțe definiția c.m.m.d.c. și definiția numerelor prime între ele;
OC2 – să efectueze algoritmul de calculare a c.m.m.d.c.
OC3 – să utilizeze c.m.m.d.c. în rezolvarea unor probleme practice.
B. Psiho-motorii
OP1 – să redacteze în mod logic rezolvarea unor exerciții;
OP2 – să dovedească abilitate în rezolvarea exercițiilor.
B. Afective
OA1- să dovedească interes pentru informațiile prezentate, prin participare activă ;
Strategii didactice :
a)Metode și procedee : conversația, învățarea prin descoperire, exercițiul, problematizarea, explicatia, munca independentă
b)Mijloace de invatare : tabla școlară, cretă, Manual clasa a VI-a, Culegere Mate 2000+12/13, Culegere de matematică, cls a VI-a, fise de lucru
c)Forme de organizare : frontal, individual.
Desfășurarea lecției
Moment organizatoric
Efectuarea prezenței elevilor, notarea în catalog a absențelor, verificarea existenței resurselor materiale necesare.
Asigurarea condițiilor optime pentru desfășurarea lecției
Captarea atenției
Are loc verificarea temei și rezolvarea eventualelor neclarități/nelămuriri întâlnite; verificarea temei elevilor prin sondaj, folosind dialogul profesor-elev, elev-elev, prin confruntarea rezultatelor.
Reactualizarea cunoștințelor anterioare
Titlul lecției anterioare
Definiția c.m.m.d.c.
Algoritmul de aflare a c.m.m.d.c.
Definiția numerelor prime între ele.
Consolidarea cunoștințelor anterioare
Anunțarea temei și a obiectivelor operaționale:
Astăzi la algebră vom rezolva exerciții diverse folosind noțiunile însușite privind divizorii comuni, c.m.m.d.c a două sau mai multor numere naturale și numere prime între ele.
Propun spre rezolvare exercițiile din fișa de lucru
Numesc elevii pentru rezolvarea la tablă a exercițiilor, dau indicații dacă e nevoie.
Apecierea activității elevilor
Invit elevii să-și autoevalueze participarea la lecție
Notez elevii care au participat la lecție
Tema pentru acasă
Exercițiile rămase din fișa de lucru
Fișă de lucru
C.m.m.d.c. Numere prime între ele. Exerciții
1. Să se calculeze (10;25); (3;6;18); (3;14); (30;40); (14; 28, 35).
2. Să se calculeze, folosind descompunerea în factori, c.m.m.d.c. al numerelor
a) 540 și 504; b) 44; 110; 220.
3. Determinați cifra x astfel încât (84; )=1.
4. Aflați a și b numere naturale astfel încât :
și ;
;
.
5. Determinați numerele de forma .
6. La un concurs participă 108 băieți și 126 de fete. Toți participanții sunt grupați în echipe care au același număr de copii, respectiv același număr de băieți.
a)Arătați că se pot forma 9 echipe.
b)Arătați că nu pot fi 7 echipe.
c)Care este numărul maxim de echipe care se pot forma?
7. Numerele 247; 297; 347 împărțite la același număr natural dau resturile 7, 9, respectiv 11.
a)Aflați cel mai mare număr cu această proprietate.
b)Aflați cel mai mic număr cu această proprietate.
PROIECT DIDACTIC 3
ȘCOALA : Gimnazială « M.C. Epureanu », Bârlad
PROFESOR : Gălățanu Nuș
DATA : 5.05.2013
CLASA : a VI-a A
OBIECTUL : Secretele matematicii – opțional
UNITATEA DE ÎNVĂȚARE: Logică recreativă
TITLUL LECȚIEI : Magia matematcii
SCOPUL LECȚIEI : asimilarea cunoștințelor referitoare la proprietățile unor numere și figuri geometrice
COMPETENȚE SPECIFICE:
Să utilizeze limbajul matematicii elementare și să aplice în contexte variate tipuri de raționamente logice
Să manifeste disponibilitate pentru căutarea de soluții la probleme diverse
Să se implice prin joc în studiul matematicii
Să discute corectitudinea unui demers matematic argumentându-și opiniile
DESFĂȘURAREA LECȚIEI
Moment organizatoric:
Profesorul asigură condițiile optime pentru desfășurarea lecției. Verifică prezența elevilor.
Captarea atenției
Joc de spargere a gheții: Hârtia.
Fiecare elev va primi o coală de hârtie și va executa următoarele instrucțiuni:
“Îndoiți coala de hârtie în două”
“Rupeți colțul din dreapta sus”
“Îndoiți din nou coala”
“Acum rupeți colțul din stânga”
“Indoiți încă o dată foaia”
“Rupeți colțul din dreapta jos”.
După terminarea instrucțiunilor, fiecare își va desface coala si o va arăta întregului grup. Se va observa că foile sunt rupte în moduri diferite, existând mai multe modele printre participanți.
Ideea de bază cu care elevii este bine să rămână se referă la acceptarea diversității în percepție și gândire și valoarea egală a punctelor de percepție și gândire și valoarea egală a punctelor diferite de vedere. Matematica este aceea care realizează o punte între aceste diversități de gândire, de percepție prin frumusețea, magia și prin limbajul său universal.
Anunțarea lecției noi
Magia matematicii
Astăzi ne propunem să facem “magie” cu hârtie, să descoperim numere interesante, să construim pătrate.
1.Banda lui Möbius
Taie o bandă lungă de hârtie, de cel puțin 20 cm lungime și 2,5 cm lățime. Răsucește pe jumătate unul din capete și lipește-le. Hârtia are acum doar o față și o muchie. Plimbă degetul pe ea și vei vedea.
Ce se va întâmpla dacă tai banda la mijloc, pe toată lungimea?
Fă încă o bandă Möbius. De data aceasta, taie de-a lungul ei, la o treime din lățime și vei avea o altă surpriză.
Fă acum două panglici circulare de hârtie și lipește-le într-un punct. Ce formă crezi ca vei obține dacă le vei tăia la mijoc pe toată lungimea?
Răsucește în zigzag o bandă mai lungă de hârtie și fixeaz-o cu două agrafe metalice. Ce se va întâmpla dacă tragi de capetele benzii? Agrafele vor zbura, prinse între ele. Este matemagie!
2. Forme cu patru laturi
Ce au în comun ferestrele, pereții, paginile unei cărți și milioane de alte obiecte făcute de om? Toate sunt dreptunghiuri. Dreptunghiurile și alte forme cu patru laturi se regăsesc peste tot deoarece sunt ușor de realizat și de îmbinat.
Desenează un patrulater. Decupează-l și rupe cele patru colțuri. Rotește colțurile și vei vedea că ele se îmbină perfect. Cele patru colțuri ale unui patrulater se completează întotdeauna perfect pentru că suma unghiurilor unui patrulater convex este de 360۫˚.
Aranjează 16 magneți la fel ca în figura de mai jos. Cum muți doar doi magneți ca să rămână patru pătrate, în loc de cinci? Nu poți lua 2 magneți și nici nu ai voie să lași laturi libere.
Scoate 3 magneti astfel încât să obținem trei pătrate egale
Mută trei magneți astfel încât să rămână trei pătrate egale.
3. Ce număr se potrivește?
„Numerele sunt lucruri sigure.”
(după Weaver)
d)
e) f)
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Clasic sau Modern In Predarea Divizibilitatii In Gimnaziu (ID: 158890)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.