Clase Speciale de Inele

INTRODUCERE:

Lucrarea de față cuprinde o scurtă introducere în teoria inelelor.

Prima parte prezintă înlănțuirea noțiunilor fundamentale legate de structura matematică de ,,inel”. Partea a doua prezintă proprietățile legate

de divizibilitatea în inele , unele clase speciale de inele precum inelele prime,factoriale,principale etc.,pentru ca ultima parte să fie o scurtă introducere în teoria inelelor artiriene și noetheriene.

Cuprins:

CAP I. INELE:DEFINIȚIE.EXEMPLE.CATEGORII

1.1. Definiție. Exemple………………………………………………pag.4

1.2. Morfisme de inele……………………………………………….pag.12

1.3. Produsul direct de inele………………………………………..pag.17

1.4. Inel factor.Teoeme de izomorfism pentru inele……….pag.19

1.5. Ideale ale unui inel.Ideale prime și maximale………….pag.23

1.6. Inele de fracții……………………………………………………..pag.29

1.7. Inele de polinoame……………………………………………….pag.34

CAP II. DIVIZIBILITATEA ÎN INELE

2.1. Noțiuni introductive……………………………………………..pag.39

2.2. C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două elemente………………pag.41

2.3. Elemente prime și elemente ireductibile într-un inel…pag.43

2.4. Inele factoriale……………………………………………………..pag.45

2.5. Factorialitatea inelelor de fracții……………………………..pag.49

2.6. Inele principale și inele euclidiene…………………………..pag.51

2.7. Factorialitatea inelelor de polinoame……………………….pag.56

CAP III. INELE ARTINIENE ȘI INELE NOETHERIENE

3. Noțiuni introductive………………………………………………….pag.61

Cap.I:

Inele: Definiție. Exemple. Categorii

1.1 Definiție. Exemple.

În cele ce urmează vom considera o muțime nevidă, ø

Definiția 1.1.1: Se numește inel mulțimea înzestrată cu doua operații algebrice: una internă notată aditiv și numită adunare și una externă notată multiplicativ și numită înmulțire, care satisfac urmatoarele condiții:

1) grup abelian adică:

1.1 Legea ”+”este asociativă:

1.2 Legea ”+” admite element neutru numit zero-ul inelului :

1.3 Legea ”+” admite elemente simetrizabile:

.

Elementul simetrizabil al lui opusul

elementului.

2) operația ,,∙” este asociativă:

3) operația ,,∙” este distributivă față de ,,+”

;

În cele ce urmează vom nota

Observația 1.1.2.: Dacă operația de înmultire admite element neutru (unitate), spunem că inelul este cu element unitate (inel unitar). Elementul neutru la înmulțire se notează cu și se numește elementul unitate sau unitatea inelului .

Observația 1.1.3.: Dacă înmulțirea este comutativă, inelul se numește comutativ.

Exemple:

Mulțimile Z,Q,R înzestrate cu operațiile uzuale de adunare și inmulțire formează inele comutative și unitare.

Dacă este un numar întreg, atunci muțimea este un inel comutativ față de adunarea și înmultirea obișnuită a numerelor întregi.

Inelul funcțiilor definite pe o mulțime cu valori într-un inel :

Fie o mulțime , un inel si . Definim suma și produsul a doua funcții prin:

.

Din definirea operațiilor pe și din comutativitatea și asociativitatea operației “+” din se deduce că este semigrup comutativ cu elementul nul funcția

.

Opusa funcției este funcția definită prin

.

Deci este grup abelian.din definirea operațiilor pe și din distributivitatea înmultirii față de adunare în rezultă că:

Analog se arată că :.

Prin urmare, înmulțirea este distributivă față de adunare în , deci este un inel. Dacă inelul este, respectiv asociativ, comutativ, cu unitate, atunci inelul este respectiv, asociativ, comutativ, cu unitate.

Inelul endomorfismelor unui grup abelian:

Fie un grup abelian și endomorfisme:.

Din exemplul anterior avem că: este grup abelian. Aratăm căeste subgrup al acestui grup .

Evident

ø .

Aratăm că :

Într-adevăr:

Fie ,atunci

.

Deci este subgrup al lui deci este monoid. Pentruavem

ceea ce arată că :

Analog se arată că :

.

Deci este un inel asociativ ,cu unitate.

5)Inelul matricelor:

Fie o mulțime și N*.O funcție

se numește matrice de tipul cu elemente din .Daca matricea se numește matrice pătratică de ordinul .Pentru vom scrie matricea sub forma:

=

Mulțimea matricelor de tipul cu elemente din o vom nota cu M,iar pentru matricele pătratice cu M. Dacă este un inel, dintr-un exemplu anterior, operațiile din induc două operații în M în raport cu care M este un inel.

Cele două operații se definesc astfel:

M cuatunci:

Denumirea de înmulțire a matricelor este întrebuințată pentru operația definită în mulțimea

MN* N*,

astfel dacă Mși M ,atunci M, cu

.

Înmulțirea matricelor are următoarele proprietăți:

a) Dacă atunci

(proprietatea de asociativitate)

b) Dacă , atunci

(proprietatea de distributivitate a înmulțirii față de adunarea matricelor).

Din cele demonstrate mai sus rezultă că (M,+,∙) formează inelul matricelor de tipul , operația de adunare având elemetul nul matricea nulă

cu =0 . Elementul unitate față de înmulțirea matricelor îl constituie matricea unitate

M,cu (simbolul lui Kronecker).

Matricea unitate are forma :

Propoziția 1.1.4.:Daca este un inel, atunci:

i)

ii) si;

iii)

iv) Dacă,în plus, este comutativ,atunci:

n=n+ (formula binomului lui Newton).

Demonstrație:

i) Avem:

Adunând în ambii membri ai egalității de mai sus , obținem .Analog,

ii) Avem:

,rezultă .

Analog

iii) Se demonstează prin inducție matematică după n:

Considerăm propoziția:

Propoziția este evident adevărată din condiția 3) din definiția inelului .

Presupunem adevărată, adică: .

Atunci

și deci adevărată. Din principiul inducției matematice rezultă:

adevărată . Analog se demonstrează cealaltă relație.

iv) Se demonstează prin inducție matematică după n:

Considerăm propozitia:

: n=n+

adevărată.

Presupunemadevărată, adică:

:=+

Avem: Având in vedere că

si , avem:

și deci

adevarată. Din principiul inducției matematice rezultă

adevărată .

Definiția 1.1.5: Fie un inel și .Spunem că elementul este divizor al lui zero la stânga sau dreapta dacă există , astfel incât sau .

Observația 1.1.6. : Un element care este in același timp divizor al lui zero la dreapta și la stânga se numește divizor al lui zero.

Observația 1.1.7. : Dacă este inel comutativ, noțiunile de divizor al lui zero la stânga și la dreapta coincid cu cea de divizor al lui zero.

Definiția 1.1.8. Un inel unitar nenul fără divizori ai lui zero la stânga și la dreapta nenuli se numește inel integru. Dacă inelul este și comutativ, va fi numit domeniu de integritate.

Definiția 1.1.9. : Dacă este inel unitar, un element se numeste inversabil dacă există astfel încât .

Vom nota inversabil .

Observația 1.1.10: Dacă , atunci: și deci .

Observația 1.1.11.: are o structura de grup față de operația de înmulțire din , grup numit grupul elementelor inversabile ale inelului .

.De exemplu:

Definiția 1.1.12.:Fie .un inel. O submulțime nevidă se numește subinel al lui dacă împreună cu operațiile induse de cele două operații algebrice de pe formează la rândul său un inel adică:

i) ;

ii) .

Exemple:

Dacă este un inel, atunci și sunt, evident, subinele ale sale.

ZQR sunt subinele unul în altul, cu adunarea și inmulțirea numerelor.

Fie inelul,RRcontinuă.Atunci submulțimea , R R derivabilă a inelului

,R formează un subinel al acestuia.

Dacă N, atunci este clar că mulțimea Z Zeste un subinel al lui Z. Deci orice subgrup al grupului aditiv Z, este subinel al inelui Z. Reciproca fiind mereu adevarată, rezultă că subinele lui Z sunt tocmai subgrupurile lui Z,. Deci subinelele inelului Z sunt date de mulțimea Z.

Fie inelul Z al claselor de resturi modulo . Subgrupurile grupului aditiv subadiacent lui Z sunt ciclice și sunt deci de forma Zunde Z.Dar este clar că orice subgrup este în același timp subinel..Prin urmare, subinelele lnelului Z coincid cu subgrupurile grupului aditiv Z.

Propoziția 1.1.13: Fie un inel și o familie de subinele ale lui .

Atunci este un subinel al lui .

Demonstrație: Din teoria grupurilor evam că este un subgrup al grupului aditiv adiacent lui .

Fie

subinel al lui .

Definiția 1.1.14.: Fie un inel și o submulțime nevidă a sa . Spunem că este un ideal la stânga(respectiv,la dreapta) al inelului dacă :

i)

ii) (respectiv ).

Un ideal care este în același timp ideal la stânga și ideal la dreapta se numește ideal bilateral.

Dacă este inel comutativ atunci evident că cele două noțiuni coincid,în acest caz vom spune simplu ideal al inelului .

Din definiție rezultă că orice ideal la stânga(la dreapta sau bilateral) este un subinel al inelului , pe când ,reciproc nu este adevărat. Astfel Z este un subinel al lui Q , însă nu este ideal deoarece, de exemplu, Z și Q ,iar Z.

Exemple:

Dacă este un inel , atunci și sunt evident ideale bilaterale ale sale.

Din exemplele de mai sus avem că subinelele inelului Z sunt submlțimile sale de tipul Z cu N. Este clar că orice astfel de submulțime este un ideal al lui Z și deci idealele lui Z coincid cu subinele sale adică sunt date de Z.

Am arătat le exemplul 5) de la subinele că subinelele inelului Z al claselor de resturi modulo coincide cu subgrupurile grupului aditiv subadicent lui Z,fiind de forma Z}

Morfisme de inele

Definiția 1.2.1.:Fie si două inele.Se numește morfism de inele de la

la o funcție

,

astfel încât să fie satisfacute următoarele condiții:

i) ;

ii)

Observație: Dacă , în plus aplicația verifică și condiția

iii) unde , respectiv sunt elementele neutre față de, respectiv,legile multiplicative ale celor două inele

atunci se numește morfism unitar de inele.

Exemple :

1) Pentru orice două inele , ,există morfismul nul .De-asemenea, pentru orice inel avem morfismul identic

. 2) Funcția NQ este morfism injectiv de inele.

3) Dacă este un număr natural, funcția ZZ definită prin este un morfism surjectiv de inele. Intr-adevar, dacă Z, atunci

și =.Mai mult după definiție este morfism surjectiv.

4) Fie un inel comsus avem că subinelele inelului Z sunt submlțimile sale de tipul Z cu N. Este clar că orice astfel de submulțime este un ideal al lui Z și deci idealele lui Z coincid cu subinele sale adică sunt date de Z.

Am arătat le exemplul 5) de la subinele că subinelele inelului Z al claselor de resturi modulo coincide cu subgrupurile grupului aditiv subadicent lui Z,fiind de forma Z}

Morfisme de inele

Definiția 1.2.1.:Fie si două inele.Se numește morfism de inele de la

la o funcție

,

astfel încât să fie satisfacute următoarele condiții:

i) ;

ii)

Observație: Dacă , în plus aplicația verifică și condiția

iii) unde , respectiv sunt elementele neutre față de, respectiv,legile multiplicative ale celor două inele

atunci se numește morfism unitar de inele.

Exemple :

1) Pentru orice două inele , ,există morfismul nul .De-asemenea, pentru orice inel avem morfismul identic

. 2) Funcția NQ este morfism injectiv de inele.

3) Dacă este un număr natural, funcția ZZ definită prin este un morfism surjectiv de inele. Intr-adevar, dacă Z, atunci

și =.Mai mult după definiție este morfism surjectiv.

4) Fie un inel comutativ și unitar și M inelul matricelor de ordinul peste , care este de-asemenea unitar.

Dacă funcția M care elementului din matricea cu o singura linie si coloana , adica este evident un morfism de inele.

Pentru să considerăm matricea unitate M ,

unde este simbolul lui Kroneker .

Definim funcția M , prin

Evident că este matricea a căror componente sunt nule,în afară de cele de pe diagonala principală care sunt egale cu .

Demonstrăm că este un morfism unitar de inele.

Dacă,atunci

De asemenea, , iar dacă atunci .Deci

Evident ,

deci este morfism injectiv de inele.

Definiția 1.2.2.: Fie un morfism de inele.Notăm cu și

cuși le numim respectiv imaginea și nucleul morfismului .

Fie un inel . Notăm cu mulțimea subinelelor lui .

Teorema 1.2.3: “Teorema de corespondență”: Fie și două inele și

morfism de inele .

i) Dacă subinel în , atunci subinel în și .

ii) Dacă este ideal al lui , atunci este ideal în .

iii) Dacă

iv) Dacă , atunci

v) Dacă morfismul :

Demonstrație: Din teoria grupurilor, având în vedere teorema de corespondență, avem că:

i) . Din subinel avem că:

deci subinel în .

ii) Din i) rezultă că .

Din ideal se deduce că :

Rezultă astfel că este ideal în .

iii) Avem că: este subgrup în . Folosind definiția lui și ipoteza că este subinel se deduce :

Deci .

iv) Din iii) rezultă că este subgrup în . Avem:

Deci

v) Fie funcția

Din ii) și iii) avem : bijectivă și

Demonstrăm că

“” Presupunem . Cum funcția este crescătoare avem că

.

“” Rezultă analog ținand cont că funcția este crescătoare.

1.3 Produsul direct a două inele

Considerăm două inele Vom considera produsul cartezian:

.

Pe definim în mod canonic operațiile de adunare și înmulțire , astfel:

Atunci impreună cu operațiile definite mai sus are o structură de inel având:

Dacă sunt inele unitare(comutatie),atunci este inel unitar(comutativ).

Dacă sunt inle integre, nu este întodeauna integru căci :

Definim aplicațiile:

(proiecția primului factor)

.

(proiecția celui de-al factor)

Aplicațiile sunt morfisme surjective de inele.

Definim alicațiile :

Aplicațiile sunt morfisme injective de inele numite injecții .

Exemple:

ZZ este un inel unitar și comutativ.

ZZeste un inel unitar și comutativ.

Propoziția 1.3.1: Fie sunt inele unitare. Atunci:

i)

ii)

Demonstrație:

i)

ii)

Exemplu:

1.4. Inel factor. Teoreme de izomorfism pentru inele.

Fie un inel un ideal bilateral al său. Dacă vom considera grupul aditiv subiacent lui , atunci este un grup al acestui subgrup abelian.De la grupuri avem următoarea relație de congruență definită pe în raport cu subgrupul .

Dacă , atunci (mod ) dacă și numai dacă .

Aceasta este o relație de echivalență a lui modulo este

.Este cunoscut că mulțimea factor pe care este definită operația algebrică de adunare, , (*),este un grup abelian.

Pe grupul abelian definim o nouă operație algebrică, înmulțirea, dată prin:

.(**)

Demonstrăm că această operație este bine definită, adică nu depinde de alegerea reprezentanților.

Într-adevăr, dacă , atunci și deci cu .Prin urmare, și avem

Cum este ideal bilateral, rezultă că și deci , adică:

Propoziția 1.4.1. Mulțimea factor impreună cu operațiile de adunare și înmulțire, definite mai înainte, formează un inel. Mai mult, funcția surjectivă

este un morfism de inele.

Demonstrație: După cum am menționat, față de adunare este un grup abelian.

În plus, înmulțirea are proprietățile:

i) (asociativitatea)

ii)

(distributivitatea față de adunare) .

Verificarea proprietăților este evidentă din:

i)

ii)

Funcția este un morfism de grupuri și, în plus,

, adică este morfism de inele.

Inelul se numește inelul factor al inelului în raport cu

idealul bilateral .

Observația 1.4.2.: Dacă este inel unitar, atunci inelul factor este de-asemenea unitar.Elementul unitar este ,deoarece avem:

si .

În acest caz și deci este un morfism unitar de inele.

Observația 1.4.3.: Dacă este comutativ, atunci și inelul factor este comutativ, deoarece avem:

Exemplu:

Dacă (Z,+,·) este inelul numerelor întregi și este un ideal al său, atunci există astfel încât Z.Este clar că relația de congruență modulo ideal Z este tocmai congruența

modulo n . Mai mult, inelul factor Z/Z pentru Z este inelul claselor de resturi modulo n, iar pentru Z, adică , inelul factor Z/Z se identifică cu inelul Z. Pentru ,inelul Z/Z este inelul nul.

Dacă este un inel, un ideal bilateral și morfismul canonic, atunci . Reciproc, am văzut că nucleul oricărui morfism de inele este ideal bilateral.

Prin urmare, o submulțime nevidă a unui inel este ideal este ideal bilateral al lui dacă și numai dacă este nucleul unui anumit morfism de inele definit pe .

Teorema 1.4.4: “Teorema fundamentală de izomorfism pentru inele”

Fie un morfism de inele. Atunci este un ideal bilateral al lui și există un unic izomorfism de inele:

astfel incât unde morfismul canonic.

Demonstrație:

Definim funcția

Arătăm că este corect definită(nu depinde de alegerea reprezentantului) :

Fie

Demonstrăm că :

Din

Arătăm că este morfism de inele :

;

Din relațiile și rezultă că este morfism de inele.

Arătăm că este injectivă:

Fie

Din

Din relațiile și rezultă că este injectivă.

este surjectivă prin consrucție .

În concluzie este izomorfism și deci .

Mai mult , unde morfismul canonic.

1.5 Ideale ale unui inel. Ideale prime si maximale

Definiția 1.5.1.: Fie un inel și o submulțime nevidă a sa . Spunem că este un ideal la stânga(respectiv,la dreapta) al inelului dacă :

i)

ii) (respectiv ).

Un ideal care este în același timp ideal la stânga și ideal la dreapta se numește ideal bilateral.

Dacă este inel comutativ atunci evident că cele două noțiuni coincid,în acest caz vom spune simplu ideal al inelului .

Din definiție rezultă că orice ideal la stânga(la dreapta sau bilateral) este un subinel al inelului , pe când ,reciproc nu este adevărat. Astfel Z este un subinel al lui Q , însă nu este ideal deoarece, de exemplu, Z și Q ,iar Z.

Exemple:

Dacă este un inel , atunci și sunt evident ideale bilaterale ale sale.

Din exemplele de mai sus avem că subinelele inelului Z sunt submlțimile sale de tipul Z cu N. Este clar că orice astfel de submulțime este un ideal al lui Z și deci idealele lui Z coincid cu subinele sale adică sunt date de Z.

Am arătat le exemplul 5) de la subinele că subinelele inelului Z al claselor de resturi modulo coincide cu subgrupurile grupului aditiv subadicent lui Z,fiind de forma Z}. Dar orice subgrup este ideal al inelului Z , deci idealele și subidealele lui Z coincide fiind aceleași cu subgrupurile grupului aditiv Z .

De exemplu să considerăm inelul Z.

Cum și sunt inversabile rezultă că

Z. Luând pe rând celelalte elemente ale lui Z , obținem

Prin urmare inelul Z are următoarele 4 ideale care sunt în același timp și subinelele sale:

Z.

4) Dacăeste inel unitar și ,atunci considerăm următoarele submulțimi ale lui :

și

.

Se poate verifica foarte ușor că acestea sunt ideale, respectiv, la stânga, la dreapta și bilateral. Dacă este un inel și un element oarecare , atunci , , se numesc ideale principale, respectiv la dreapta, la stânga și bilaterale. Dacă este inel comutativ atunci aceste ideale coincide, în acest caz se va numi ,simplu, ideal principal și-l vom nota cu .

Observația 1.5.2.: Fie un inel unitar și ø.Idealul la stânga (respectiv la dreapta, bilateral) al lui este generat de dacă și numai dacă: N,respectiv N,N.

Observația 1.5.3.: Dacă este un inel și un element oarecare, atunci ,, se numesc ideale principale, respectiv, la stanga, la dreapta și bilateral.

Definiția 1.5.4.: Fie un inel comutativ și unitary. Un ideal a lui se numește

ideal prim dacă și dacă asfel încât , rezultă că sau .

Exemple:

Dacă este un inel, atunci idealul este prim dacă și numai dacă este domeniu de integritate.

Demonstrație:

Dacă este ideal prim și astfel încât atunci de unde sau , adică sau

:

Dacă este un domeniu de integritate rezultă evident din definiție că este

ideal prim.

Pentru inelul Z al numerelor întregi, idealele prime sunt: și Z cu număr prim.

Demonstrație:

:

Cum Z este domeniu de integritate, este ideal prim, atunci idealul Z este prim. Intr-adevăr Z Z și dacă Z încât Z ,atunci și cum este prim avem sau și deci Z sau Z.

:

Dacă Z este ideal prim, atunci neaparat este numar prim.

Într-adevăr, avem și dacă , unde Z atunci Z de unde Z sau Z, adică sau .

Observația 1.5.3.: Dacă este un inel, atunci un ideal al său este prim dacă și numai dacă este un domeniu de integritate.

Demonstrație:

Dacă este un ideal prim, atunci și deci este inel nenul. Cumeste

comutativ și unitar, inelul este de asemenea comutativ și unitar.

Fie astfel încât Atunci adică și cum este prim, rezultă

sau ,adică sau .

Dacă este domeniu de integritate ,atunci este nenul și deci .

Dacă astfel încât atunci sau și cum este domeniu de integritate , rezultă sau .

Observația 1.5.4.:Fie un morfism unitar de inele.

Atunci:

1) Dacă este un ideal prim in , atunci este ideal prim in .

2) Dacă, în plus, este surjectiv și este ideal prim în astfel încât , atunci este ideal prim in .

Definiția 1.5.5.:Fie . un inel comutativ și unitar.Un ideal al lui se numește

ideal maximal dacă și dacă oricare ar fi idealul al lui astfel încât , rezultă că sau .

Exemplu:

Pentru inelul Z idealele maximale sunt Z număr prim.

Într-adevăr, dacă este număr prim,atunci Z Z și dacă Z este un ideal oarecare al lui Z astfel încât ZZZ, rezultă de unde sau .Prin urmare Z sau Z.Reciproc, dacă Z este ideal maximal, atunci Z Z și deci . Dacă Z astfel încât , atunci ZZZ și cum Z este maximal rezultă Z= Z.De aici obținem ca sau inversabil și deci sau .

Observația 1.5.6.: Dacă este un inel comutativ și unitar, atunci orice ideal maximal in este ideal prim in . Reciproca nu este în general valabila. De exemplu este ideal prim in Z, dar nu este maximal, deoarece este cuprins în orice alt ideal al lui Z.

Observația 1.5.7.: Fie un morfism unitar surjectiv de inele.

1)Dacăeste un ideal maximal în , atunci este ideal maximal in .

2)Dacă este ideal maximal în .astfel încât , atunci este ideal maximal in .

Teorema 1.5.8.: “Lema lui Krull”: Fie un inel comutativ și unitar. Orice ideal al său este conținut într-un ideal maximal.

Demonstrație:

Considerăm mulțimea:

P ideal al lui

Arătăm că această mulțime este parțial ordonată prin incluziune.În plus, ea este inductiv ordonată.

P P . Fie P total ordonată

P majorant pentru .

Arătăm că este ideal:

•fie astfel încât .

Cum familia este total ordonată,presupunem, de exemplu,că

.

•fie astfel încât . Avem că

Arătăm că.

R.A. Presupunem căastfel încât contradicție.

Am demonstrat că P majorant al lui P . Rezultă P este inductiv ordonată.

Din Lema lui Zorn P are cel puțin un element maximal .

Rezultă că ideal maximal al lui cu .

Observația 1.5.9.: Orice element neinversabil al unui inel comutativ și unitar aparține unui ideal maximal al lui .

Demonstrație: Dacă este neiversabil, atunci și conform Lemei lui Krull există un maximal astfel încât .

Observația 1.5.10.: Orice inel comutativ și unitar are cel puțin un ideal maximal .

Definiția 1.5.11.: Un inel comutativ și unitar care un singur ideal maximal se numește

inel local.

Exemplu: Orice corp comutativ este inel local.

Propoziția 1.5.12.: Dacă este un inel, următoarele afirmații sunt echivalente:

1) este inel local;

2) Dacă și atunci sau este inversabil.

3) Mulțimea elementelor neinversabile ale lui formează un ideal.

1.6. Inele de fractii

În acest paragraf inelele vor fi considerate comutative și unitare .

Fie un inel comutativ și unitar. O submulțime nevidă a lui care satisface condițiile:

i)

ii) si

se numește sistem multiplicativ(închis) al lui .

Exemple:

1) Dacă este un inel, atunci este sistem multiplicativ al lui .

2) Dacă este inel și un element oarecare, atunci mulțimea Neste un sistem multiplicativ al lui .

3) Dacă este inel, atunci mulțimea a elementelor inversabile din este sistem multiplicativ al lui .

4) Dacă este inel, atunci mulțimea a nondivizorilorilor lui zero din este sistem multiplicativ al lui .

5) Dacă este inel, iar este un ideal prim al lui , atunci este un sistem multiplicativ al lui .

Având în vedere un inel și un sistem multiplicativ al său,

vom construi un inel care să satisfaca anumite condiții.

Propoziția 1.6.1.: Fie un inel comutativ și unitar iar un sistem multiplicativ al lui .Atunci există un inel comutativ și unitar și un morfism de inele

astfel încât , elementul este inversabil in, și, în plus, orice element din este de forma cu și .

Demonstrație :

Să considerăm produsul cartezian

.

Pe această mulțime definim o relație binară, notată “~”, in modul următor:

~ astfel încât .

Arătăm că relația “~”este o relație de echivalență:

i) Dacă , atunci ~, deoarece .Deci relația este reflexivă.

ii) Fie astfel încât ~.Atunci există astfel încât . Atunci adică ~. Deci relația este tranzitivă..

iii) Fie astfel încât ~ și ~. Atunci există astfel încât și . Deci și adunând aceste egalități obținem . Deoarece rezultă ~ și deci relația este tranzitivă.

Să notăm cu mulțimea factor ~ , iar clasa de echivalență a perechii o vom nota cu . Deci

.

Pe mulțimea definim două operații algebrice, adunarea și înmulțirea, în modul următor:

.

Observăm că, deoarece , atunci și deci membrii drepți ai relațiilor precedente au sens.

Arătăm că operațiile algebrice sunt bine definite.

Într-adevăr, dacă , atunci ~,~ și deci există astfel încât .Prin urmare și adunând aseste egalități obținem .Deoarece , rezultă

~

și deci .

Ceea ce arată că adunarea este bine definită.

Analog, se arată că produsul este bine definit.

Mulțimea împreună cu operațiile algebrice definite mai înainte formeaza un inel comutativ și unitar.

Să arătăm, de exemplu, asociativitatea adunării.

Dacă , atunci

Pe de altă parte ,

.

Deci

.

Remarcăm că elementul 0 al lui este . Elementul opus al lui este , iar elemental unitate 1 al lui este .

Definim prin . Funcția este un morfism unitar de inele.

Într-adevăr ,

.

În plus .

Dacă , atunci este inversabil, inversul său fiind , deoarece .

Dacă este un element oarecare din ,atunci .

Definiția 1.6.2.:Fiind dat inelul comutativ și unitar , iar un sistem multiplicativ al său, atunci inelul se numește inelul de fracții al lui în raport cu , sau cu numitorii în și se mai notează .

Morfismul de inele se numește morfismul canonic.

Exemple:

i) Fie un inel un sistem multiplicativ, care nu conține divizori ai lui zero. Dacă , atunci ~ dacă și numai dacă există astfel încât . Cum nu este divizor al lui zero, avem că dacă și numai dacă , adică .Prin urmare, în acest caz, ~ dacă și numai dacă .

Mai mult, morfismul canonic este injectiv. Într-adevăr, dacă , atunci adică .

În caz particular în care este mulțimea tuturor nondivizorilor lui zero din , atunci inelul se numește inelul total de fracții al inelului .

ii) Dacă este un domeniu de integritate, atunci este mulțimea tutror nondivizorilor lui zero din . În acest caz, inelul (total) de fracții este un corp, pe care-l vom nota sau, mai simplu, , dacă nu este pericol de confuzie.

Într-adevăr, dacă , atunci , adică . Deci are sens

și . Prin urmare, elementul este inversabil , inversul său fiind .

Acest corp se numește corpul de fracții al domeniului de integritate .

În particular, dacă Z, atunci corpul de fracții al domeniului de integritate Z este corpul Q al numerelor raționale.

1.7 Inele de polinoame

Fie un inel comutativ și unitar. Vom da mai întâi o construcție a inelului seriilor formale peste . Fie N mulțimea funcțiilor de la N la . Dacă scriem o astfel de funcție prin mulțimea ordonată a valorilor sale, atunci N este mulțimea șirurilor

N.

Șirurile si sunt egale dacă și numai dacă .

Pe mulțimea N definim două operatii algebrice, adunarea și înmulțirea,în raport cu care N devine inel comutativ.

Dacă N,

si

adunarea se definește astfel

.

Se verifică ușor că N împreună cu adunarea formează un grup abelian, adică adunarea este asociativă, comutativă, are element nul și orice element are un opus.

Elementul nul (zero) este

iar dacă N, atunci opusul său este

Înmulțirea pe N se definește astfel:

Dacă și N, atunci

unde

Înmulțirea pe N este asociativă, comutativă și are element unitate

.

În concluzie,N împreună cu adunarea și înmulțirea formează un inel comutativ și unitar. Elementele inelului N construit mai înainte se numesc serii formale cu coeficienți în .

Fie funcția N definită prin .

Avem că este un morfism injective de inele.

Într-adevăr, dacă , atunci:

și

Mai mult, dacă atunci și deci .

Morfismul dă un izomorfism al lui pe subinelul al lui N , ceea ce permite să se identifice elementul din cu imaginea sa prin , adică cu polinomul din N. Astfel se poate considera ca un subinel al lui N .

Pe de altă parte, notăm prin seria formala care se numește nedeterminata .

Înmulțirea seriilor formale ne dă și ,mai general,

N avem:

Fie o serie formală din N.

Folosind adunarea și înmulțirea definite pe N se obtine:

Mai mult, după cele precedente putem scrie

obtinând astfel scrierea obișnuită a unei serii formale.

Inelul N se numește inelul seriilor formale în nedeterminatacu coeficienți în inelul și se notează prin . Inelul se mai numește și inelul seriilor formale într-o nedeterminată.

O serie formală în nedeterminata o vom scrie, condensat,

aceasta fiind pur și simplu o notație, fără sens de adunare.

O serie formala din care are doar un număr finit de coeficienți

nenuli se numește polinom cu coeficienți în .Notăm cu mulțimea polinoamelor peste.

Dacă este un polinom cu coeficienți în , ,atunci

N astfel încât , .

Dacă este un polinom nenul din , atunci se numește gradul polinomului , și se notează cu .Coeficientul , unde ,

se numește coeficientul dominant al polinomului .

Pentru polinomul nul, convenim să considerăm gradul său ca fiind , adoptând

convențiile uzuale și anume: N, .Dacă

,nenul, atunci se numesc coeficienți polinomului , care se va

scrie

Propoziția 1.7.1: Mulțimea a polinoamelor împreună cu adunarea și înmulțirea seriilor formale, formează un inel.

Demonstrație:

Fiesi .Analog,, prin urmare este un subinel al seriilor formale și deci la rândul său un inel.

Acest inel se numește inelul polinoamelor în nedeterminata , cu coeficienți în inelul .

Propoziția 1.7.2: Fie un inel și.Atunci:

i),

ii)

Mai mult, dacă și sunt nenule și coeficienții dominanți ai lui și nu sunt divizori ai lui zero,atunci avem egalitate.

Propoziția 1.7.3: Fie un inel comutativ și unitar și inelul polinoamelor .Atunci au loc afirmațiile:

i)Un element este inversabil în dacă și numai dacă este inversabil in

ii) Dacă domeniu de integritate ,atunci este domeniu de integritate si .

Teorema 1.7.3:Proprietatea de universalitate a inelului :

Pentru orice inel asociativ, comutativ, cu unitate și orice omomorfism uitar

si orice există un omomorfism unitar unic

astfel încât

si cu

.

Demonstrație:

*Existența lui :

Definimastfel:și pentru

Din unicitatea screrii lui rezultă că funcția este corect definită

Dacă este un inel ,atunci inelul polinoamelor în nedeterminatele

cu coeficienți în inelul , notat prin se defineste inductiv astfel:

este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul ,

este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul

și, în general, este inelul polinoamelor în nedeterminata cu coeficienți în inelul .

Deci l-am construit și atunci :

.

Dacă este un polinom din inelul ,atunci el este un polinom în nedeterminata cu coeficienți în inelul și deci :

,unde .Rezultă de aici

că se scrie ca o sumă finită de forma în care elementele

se numesc coeficienții polinomului .

Propoziția 1.7.4: Orice polinom din inelul are o scriere unică sub forma:

CAP.2

Divizibilitatea în inele

2.1 Noțiuni introductive

Vom considera un inel comutativ cu unitate și care este domeniu de integritate.Vom nota cu mulțimea elementelor inversabile din . împreună cu operația de înmulțire din inel formează o strucură de grup comutativ numit grupul unităților lui .

Definiția 2.1.1: Spunem că un element divide elementul (sau că este un divizor al lui ,sau că este un multiplu al lui ) și scriem dacă există astfel încât .

Notăm cu sau cu idealul principal generat de adica .

Proprietăți ale relației de divizibitate:

Propoziția 2.1.2:

1)

2)

3) Dacă și atunci .

4) Dacă atunci .

5) și

Demonstație:

Presupunem că (1)

Dacă

Reciproc:presupunem că .

Cum

Din .

Dacă și și

Dacă

Presupunem și și

Dacă .Luăm .Dacă și în mod similar putem lua .

Dacă (2).

Cum .

Reciproc dacă Cum

Propritățile 2) și 3) arată că relația de divizibilitate pe este o relație binară reflexivă ți tranzitivă . Relația de divizibilitate nu este simetrică așs cum se vede din relașiile 2|4, dar 4╪2 în inelul Z. Relația de divizibilitate nu este nici antisimetrică așs cum se vede din exemplul: 2|-2 , -2|2,dar .

Definiția 2.1.3 Dacă spunem că și sunt asociate în divizibilitate

și notăm și .

Propoziția 2.1.4: Relația are următoarele proprietăți:

1)

2) este o relație de echivalență pe .

3) .

Demonstrație:

1) .

2) Rezultă din 1) deoarece relația de egalitate pe mulțimea idealelor principale este o relație de echivalență.

3) Dacă Reciproc , dacă

Cum,evident , atunci .Echivalența

este evidentă.

2.2 C.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. a două elemente

Definiția 2.2.1: Fie . Un element se numește un cel mai mare divizor comun(c.m.m.d.c.) al elementelor și dacă are următoarele proprietăți:

i) adică este un divizor comun al elementelor și .

ii) dacă atunci .

C.m.m.d.c. al elementelor și se notează prin .

Propoziția 2.2.2: Fie un domeniu de integritate cu proprietatea că pentru orice două elemente există un c.m.m.d.c. Atunci următoarele afirmatii sunt adevărate:

1)

2) .

3) Dacă și scriem și , atunci .

4)

5)

Demonstrație:

1)și 2) sunt evidente.

3)Fie .

Cum .

4)Fie . Putem presupune că .

Dinși, analog,

Cum sau

Cum

Deoarece .

5) Rezultă imediat din definiție.

Definiția 2.2.3: Fie . Un element se numește cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c.)al elementelor și dacă are următoarele proprietăți:

i) adică este un multiplu comun al elementelor și .

ii) dacă atunci .

2.3 Elemente prime și elemente ireductibile într-un inel

Definiția 2.3.1: Fie un domeniu de integritate. Un element se numește

prim dacă :

i)

ii) sau

Definiția 2.3.2: Fie un domeniu de integritate.Un element se numește

ireductibil dacă:

i)

ii) dacă sau .

Teorema 2.3.3: Fie domeniu de integritate .

1) este element prim idealul principal este prim.

2) este element ireductibil idealul este maximal în mulțimea tuturor

idealelor principale și proprii ale lui .

3) Orice element prim este ireductibil.

4) Dacă inelul are proprietatea că pentru orice două elemente există un

c.m.m.d.c. atunci orice element ireductibil este prim.

Demonstrație:

Presupunem că este element prim și fie astfel încât

sau sau

este prim.Reciproc, presupunem că este ideal prim și presupunem

că . Atunci sau sau

este element prim în . Invers,analog raționamentului de mai sus.

2) Presupunem că ireductibil și fie astfel

încât Cum (deoarece ) ). Invers,analog raționamentului de mai sus în sens invers.

3) Fie element prim cu Avem că sau

Dacă .Analog se arată că din .Deci este ireductibil.

4) Fie ireductibil cu Fie sau

Dacă Pe de altă parte,dacă

Deci element prim.

Exemple:

Considerăm mulțimea Z Z} care este un subinel al corpului C. Considerăm funcția :

ZN definită prin :

Dacă Z( Z).

Cum Z Z, avem descompunerea

Avem că elementele sunt ireductibile dar nu sunt prime în Z.Arătăm că 3 este ireductibil.

Fie . Rezultă că

Dacă ( Z).

Dacă ø.

Dacă ( Z). Deci 3 este ireductibil în Z.

Dacă 3 ar fi prim, atunci cum sau

sau Z contradicție cu Z . Deci 3 este prim.

2.4 Inele factoriale

Propoziția 2.4.1: Fie un domeniu de integritate. Dacă sunt

elemente prime iar sunt elemente ireductibile astfel încât

,

atunci și există o permutare astfel încât și sunt asociate .

Demonstrație: Vom demonstra prin inducție după .

Dacă , din și ireductibil .

Presupunem >1 . Cum Cum ireductibil rezultă că și sunt asociate.Deci .

Înlocuind pe în egalitate din enunț obținem

Cum este ireductibil

din ipoteza de inducție avem că:

>2.

Cum .

Remarca 2.4.2: Fie domeniu de integritate și . Dacă elementul este un produs de elemente prime, atunci atât cât și este un produs de elemente prime (sau inversabile).

Definiția 2.4.3: Un domeniu de integritate se numește factorial dacă

orice element nenul și neinversabil al lui este produs de elemente prime

ale lui .

Teorema 2.4.4: Fie un domeniu de itegritate . Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) este factorial;

2) Orice element nenul și neinversabil al lui se scrie în mod unic ca un produs de

elemente ireductibile .

3) Orice element nenul și neinversabil al lui este un produs de elemente ireductibile și orice element ireductibil este prim.

4) Orice element nenul și neinversabil al lui este un produs de elemente ireductibile și pentru orice două elemente există c.m.m.d.c.(sau c.m.m.m.c.)

5) Orice ideal prim nenul al lui conține un element prim.

6) a) Orice lanț ascendent de ideale principale este staționar, adică

dacă este un lanț ascendent de ideale principale,

există N astfel încât

b) Intersecția a două ideale principale este un ideal princial.

Demonstrație:

1)2) Rezultă din P.2.2.1.

2) 3) Arătăm că dacă este ireducibil , atunci este prim.

Presupunem Dar

unde sunt elemente ireductibile. Din egalitatea și din faptul că scrierea unui element ca produs de elemente ireductibile este unică rezultă că:

sau sau sau deci este prim.

3) 1) este evidentă.

1) 4) evidentă.

1) 5) este un ideal prim nenul al lui

Cum unde sunt elemente prime.

Cum

5) 1) Fie {și este un

produs de elemente prime}.Este clar că este un sistem multiplicativ închis . Este suficient să arătăm că dacă și

R.A.: Presupunem că ø.Din lema lui Zorn rezultă că

ideal maximal astfel încât : ø și .

Arătăm că este ideal prim .

Fie Dacă deoarece dacă ø

Analog din ø.

Avem că :,contradicție.

Cum rezultă că sunt produse de elemente prime și deci este un produs de elemente prime adică ø , contradicție.

1)6) Considerăm șirul ascedent de ideale

Atunci rezultă că : N.

Cum inelul este factorial atunci este un produs finit de elemente. Deci are un număr finit de divizori și prin urmare avem că:

.

6) 1) Vom arăta că orice element din nenul și inversabil este un produs de elemente ireductibile.

R.A.: presupunem că afirmația nu este adevărată și fie un element din nenul și inversabil care nu se scrie ca un produs de elemente ireductibile. Notăm cu mulțimea acestor elemente, deci :

nu este produs finit de elemente ireductibile}ø. Dacă nu este ireductibil sau .

Presupunem că nu este ireductibil dacă sau .Presupunem că .

Continuând procedeul găsim șirurile de elemente Cum , atunci șirul de ideale este strict crescător, contradicție,rezultă că presupunerea făcută a fost falsă, deci orice element din nenul și neinversabil este un produs finit de elemente ireductibile.

2.5. Factorialitatea inelelor de fracții

Fie un domeniu de integritate și un sistem multiplicativ închis al lui : vom nota cu inelul de fracții asociat. Evident că este conținut în corpul de fracții al lui .

Propoziția 2.5.1: Dacă este un inel factorial(a se vedea secțiunea 2.2) , atunci este un inel factorial.

Demonstrație: Fie un element prim astfel încât nu divide nici un element al mlțimii atunci este un element prim și în inelul .

Într-adevăr, este nenul și inversabil în deoarece nu divide nici un element al lui .

Presunem că │ unde unde

sau sau Cum situația este imposibilă sau sau în inelul .

Fie un element oarecare. Din factorial unde

sunt elemente prime. Fie dintre acestea elemente prime care divid cel puțin un element din . Rezultă că în inelul avem:

unde am notat cu care este un element inversabil în .

Deci este în egal cu produsul a elemente prime.

Fie un domeniu de integritate oarecare și ø o mulțime nevidă de elemente prime ale lui .Vom nota cu sistemul multiplicativ generat de această mulțime adică un element din este un produs finit din elementele și un element inversabil al lui .

Teorema 2.5.2.: Fie un domeniu de integritate cu proprietatea că orice lanț ascendent de ideale principale este staționar. Fie o mulțime de elemente prime și sistemul multiplicativ închis generat de această mulțime . Dacă inelul este factorial, atunci este factorial.

Demonstrație: Conform teoremei 2. 2.4.este suficient să demonstrăm că orice idel prim nenul al lui conține un element prim.

Dacă ø atunci este evident că conține un element prim din mulțimea .

Presupunem deci că ø. Vom nota cu care este un ideal prim al inelului . Cum este inel factorial , atunci conține un element prim. Fie acesta . Cum . Putem alege ┼.

Într-adevăr dacă în inelul deoarece . Deci putem înlocui pe cu . Continând procedeul de dividere cu elemente , deoarece inelul satisface condiția lanțurilor ascendente pentru idealele principale , după un număr finit de pași găsim nu element și ┼.

Arătăm că este un element prim.

Fie în │ în și cum este element prim în │ sau │. Presupunem că │.

Deci Fie Cum ┼ este un element prim în .

2.6.Inele principale și inele euclidiene

Reamintim că un inel se numește principal dacă este un domeniu de integritate și orce ideal al său este principal.

Teorema 2.6.1: Dacă este un inel principal, atunci este factorial.

Demonstrație: Din teorema 2.4.4 este suficient să demonstrăm că orice lanț ascendent de ideale este staționar.

Fie lanțul ascendent de ideale:

.

Vom nota Este evident că este un ideal. Cum inelul este principal

Dacă , în particular ,

Teorema 2.6.2: Fie un inel principal și . Dacă este un c.m.m.d.c. al elementelor și atunci există astfel încât

În particular elementele și dacă și numai dacă există astfel încât :

.

Demonstrație: Considerăm idealul care fiind principal , există astfel încât .

Din

Cum Analog se obține că

Fie Deci este un c.m.m.d.c. Știind că opice alt c.m.m.d.c al elementelor și este asociat cu rezultă imediat prima afirmație din teoremă. A doua afirmație rezultă imediat din prima folosind diferența elementelor prime între ele.

În continuare vom introduce noțiunea de inele euclidiene.

Definiția 2.6.3.: Se numește inel euclidian un domeniu de integritate pentru care există o funcție

N

având propritățile următoare:

i)

ii) sau <.

Egalitatea ii) de mai sus se numește formula împărțirii cu rest în inelul euclidian . Elementele și se numesc câtul , respectiv restul împărțirii.

Legătura între inele euclidiene și inele principale este dată de următoarea teoremă:

Teorema 2.6.4.: Dacă este un inel euclidian , atunci este un inel principal, în particular orice inel euclidian este factorial.

Demonstrație: Fie un ideal al lui . Dacă , atunci este un ideal principal.

Presupunem deci că Notăm cu

ø și cum N un cel mai mic element al lui . Fie acest element

Demonstrăm că

Cum

Reciproc fie Cum sau <

Dacă . Din < contradicție.Deci este necesar ca

Din relațiile și rezultă egalitatea

Observația 2.6.5.: Reciproca teoremei de mai sus nu este adevărată. Într-adevăr există inele principale care nu sunt euclidiene.

De exemplu inelul ZZ este un inel principal dar nu este euclidian.

În cazul când este euclidian se poate determina c.m.m.d.c. a două elemente prin aplicarea de un număr finit de ori a formulei împărțirii cu rest sub forma algoritmului lui Euclid.

Exemple de inele euclidiene:

Inelul (Z,+, .) este un inel euclidian.În acest inel are loc formula împărțirii cu rest: dacă Z cu există Z unic determnate cu proprietatea că unde <.

Considerăm funcția

ZN

Observăm că această funcție verifică definiția de mai sus .

Dacă Z , fie o rădăcină a ecuației:

Vom nota: ZZ. Arătăm că

Z este subinel al lui C și Z Z.

Într-adevăr dacă Z atunci putem scrie: Z .

Deci Z Z.

Dacă Z atunci există următoarele numere întregi Z astfel încât și există numerele întregi Z astfel încât .

Cum rezultă Z.

Pe de altă parte

Cum este rădăcină a ecuației avem că de unde

rezultă că . Înlocuind în relația obținem

ceea ce arată că

Z. Am arătat astfel că Z este un subinel al lui C.

Cazuri particulare:

i) Dacă atunci ecuația devine și este rădacină a acestei ecuații. În acest caz avem inelul

ZZ} numit inelul întregilor lui Gauss. Demonstrăm că inelul întrgilor lui Gauss este euclidian. Definim funcția astfel:

CR,

.

Funcția N se numește normă, iar se numește norma numărului complex .

Verificăm condițiile din definiție:

Dacă Z, avem relația:

Într-adevăr fie Z

(1)

Pe de altă parte

(2)

Din relațiile (1) și (2) rezultă egalitatea cerută și astfel este

Îndeplinită condiția i) din definiția inelului euclidian.

Verificăm îndeplinirea celei de-a doua condiție:

Fie Z. Considerăm

elementul din Q :

care se scrie sub forma:

Q .

Fie unde și sunt cele mai apropiate numere

înregi de , respectiv și Avem relația

Cum , Z avem că Z. Pe de altă parte, ,

căci . De aici rezultă că este satisfăcută condiția ii).

ii) Dacă atunci ecuația devine și

este o rădăcină a acestei ecuații. În acest caz obținem inelul

ZZ}.

2.7 Factorialitatea inelelor de polinoame

În acest subcapitol vom demonstra următoarea teormă importanta ,prezentând mai înainte mai multe rezultate ajutătoare.

Teorema 2.7.1.: Fie un inel factorial. Atunci inelul de polinoame este factorial

Lema 2.7.2.: Fie și Dacă atunci

.

Demonstrație:

Cum

Evident dacă .

Presupunem că .

Lema 2.7.3.: Fie un domeniu de integritate . Dacă este un element prim în atunci este element prim și în .

Demonstrație: Fie

Presupunem că și și că ┼ și ┼. Conform lemei 2.7.2 din┼ ┼. Alegem cel mai mic număr cu această proprietate . Deci ┼ . Analog din ┼

┼ . Coieficientul lui din produsul este elementul:

.

Deoarece cu , și ┼ rezultă că ┼ și deci ┼

ee unde rezultă o contradicție. Deci trebuie ca sau .

Presupunem acum că inelul este factorial și fie

Vom nota cu numit conținutul polinomului .

Dacă atunci polinomul se numește primitiv.

Putem scrie unde este un polinom primitiv.

Lema 2.7.4(Gauss): Dacă este un inel factorial și , atunci

Demonstrație: Cum sunt polinoame primitive , obținem :

Arătăm că

R.A.: Presupunem că element prim , și

Conform lemei 2.5.3. rezultă că sau . Din lema 2.5.2. avem că

sau contadicție cu faptul că polinoamele sunt primitive,rezultă că presupunerea făcută a fost falsă deci lema este demonstrată.

Lema 2.7.5.: Fie inel factorial și , unde este un polinom primitiv.

Dacă și , atunci

Demonstrație:Din Din lema 2.7.4. obținem

Cum .

Vom nota cu corpul de fracții al domeniului de integritate .

Lema 2.7.6.; Fie un inel factorial cu corpul de fracții și două polinoame primitive. Atunci în dacă și numai dacă în inelul .

Demonstrație:

“” Evident că dacă în atunci în inelul .

“” Presupunem că în inelul Cum

atunci putem scrie :

Deci Din lema anterioară obținem că in .

Lema 2.7.7.: Fie un inel factorial cu corpul de fracții . Fie un polinom primitiv cu . Atunci este ireductibil în dacă și numai dacă este ireductibil în inelul .

Demonstrație:

“” Presupunem că este ireductibil în .

R.A.: Presupunem că este reductibil în inelul . Avem că :

.

Evident că putem scrie .

Analog , . În plus,

. Cum sunt polinoame primitive , obținem că : , unde . Deci în inelul . Din lema anterioară rezultă că în

Cum nu este ireductibil în , am ajuns la o contradicție, deci presupunerea făcută a fost falsă,prin urmare este ireductibil în inelul .

“” Presupunem că este ireductibil în inelul .

și presupunem că Cum este ireductibil în inelul rezultă că este inversabil în sau este inversabil în .

Presupunem că este inversabil în adică :

. Deci este ireductibil în .

În continuare vom demonstra teorema 2.7.1.:

Fie polinom primitiv.Cum și este un inel euclidian, prin urmare factorial unde sunt polinoame ireductibile . Putem scrie astfel :

este un polinom primitiv.

Conform lemei 2.5.7 rezultă că este ireductibil în

Cum este primitiv și produsul este un polinom primitive, din lema 2.7.6. rezultă că Avem că

este un produs finit de elemente prime în care sunt prime și în conform lemei 2.7.3.. Rezultă că este un produs finit de elemente ireductibile în .

Vom demonstra acum unicitatea scrierii lui ca produs de elemente ireductibile în .

Presupunem că avem egalitatea :

, sunt elemente ireductibile în . Dacă

unde ,

iar . Aplicând lema lui Gauss

obținem că în . Cum este factorial rezultă că și abstracție făcând de o renumerotare avem . Din egalitatea de mai sus rezultă că =.

Din lema 2.7.7. această egalitate gândită în inelul implică și în . Aplicând din nou lema 2.7.6.obținem că în . Cu aceasta am demonstrate unicitatea lui ca produs de elemente ireductibile în .

Corolar 2.7.8.: Dacă este un inel factorial , atunci inelul de polinoame în varibile este factorial.

Demonstrație: Se procedeză prin inducție matematică după .

Dacă avem teorema 2.7.1. demonstrată mai sus.

Presupunem propoziția adevărată pentru deci inelul este factorial. Cum = aplicând din nou teorema 2.5.1. obținem afirmația dorită.

CAP 3

Inele artiniene și inele noetheriene

În acest capitol vom studia două generalizări ale inelelor în care mulțimea idealelor stângi(drepte) este finită.

Definiția 3.1: Un inel se numește artirian drept (stâng) dacă mulțimea idealelor drepte(stângi) ale lui verifică condiția minimalității,adică orice mulțime nevidă de ideale drepte(stângi) ale lui ordonată de relația de incluziune conține un element minimal.

Un inel artirian stâng și drept se numește simplu inel artirian.

Definiția 3.2: Un inel se numește netherian drept (stâng) dacă mulțimea idealelor drepte (stângi) ale lui verifică condiția de maximalitate, adică orice mulțime nevidă de ideale drepte(stângi) ale lui ordonată de relația de incluziune conține un element maximal.

Un inel noetherian stâng și drept se numește simplu inel noetherian.

Observația 3.3:

i) Un inel este artirian drept (stâng) dacă și numai dacă pentru orice șir de ideale drepte (stângi) ale lui descrescător :

există N astfel încât

Demonstrație:

Justificarea observației de mai sus rezultă din :

Teorema 3.4: Dacă este o mulțime ordonată de relația “”atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

Fiecare submulțime nevidă are cel puțin un element minimal în (condiția minimalității)

Orice submulțime care are propietățile :

i) conține toate elementele minimale ale lui

ii)

coincide cu (condiția inductivității).

3) Fiecare șir de elemente din strict descrescător

……

este finit(condiția lanțurilor descrescătoare).

Demonstrație teoremă:

1)2) Fie o submulțime care verifică ipotezele condiției 2).

R.A Presupunem că are cel puțin un element minimal. Fie un astfel de element nu este minimal în conține toare elementele minimale ale lui . 0Din contradicție căci

, rezultă că presupunerea făcută a fost falsă,în concluzie are loc . 2)3)

Fie .

Toate elementele minimale în verifică această proprietate , deci aparțin lui .Dacă și orice lanț strict descrescător care începe cu orice este finit , atunci și orice lanț strict descrescător care începe cu este finit , adică . Din condiția 2) rezultă că .

3)1)

R.A Presupunem că ø o submulțime care nu are niciun element minimal . Folosind axioma alegerii extragem din un element . Cum elementul nu este minimal ø. Alegem în această mulțime un element . Continuăm procedeul. Dacă a fost obținut , atunci în mulțimea ø algem un element . Lanțul strict descrescător

……

este infinit, de unde rezultă că nu verifică condiția limitării lanțurilor descrescătoare , ceea ce este o contradicție.

Observația 3.3.:

ii) Un inel este noetherian drept (stâng) dacă și numai dacă, pentru orice șir de ideale

drepte(stângi) ale lui , crescător

există .

Justificarea observației este evidentă prin aplicarea teoremei demonstrate mai sus mulțimii idealelor drepte (stângi) ordonată de relația “”.

Exemple:

Un corp este un inel arthirian și noetherian .

Inelul Z al numerelor întregi este noetherian, dar nu este artirian.

Faptul că inelul Z nu este artirian rezultă din existența șirului strict descrescător de ideale

Faptul că inelul Z este noetherian rezultă dintr-o teoremă demonstrată mai târziu.

Teorema 3.4.: Fie un mofism surjectiv de inele.

i) Dacă ineluleste artirian drept (stâng) atunci inelul este artirian drept (stâng).

ii) Dacă ineluleste notherian drept (stâng) atunci inelul este notherian drept (stâng).

Demonstrație:

Fie un ideal drept (stâng) al lui . Corespondența

este un izomorfism de ordine între mulțimea idealelor drepte (stângi) ale lui și mulțimea

idealelor drepte (stângi) ale lui care include pe (ordonate de “”). Prin urmare ,

din faptul că mulțimea idealelor drepte (stângi) ale lui verifică condiția minimalității

(maximalității) rezultă că mulțimea idealelor drepte (stângi) ale lui verifică aceeași

condiție.

Consecința 3.5: Dacă este un ideal al inelului artinian drept (noetherian drept) , atunci inelul cât este artinian drept (noetherian drept).

Teorema 3.6: Fie un morfism surjectiv de inele și

Dacă inelele și sunt artiniene drepte (stângi) atunci inelul este artinian drept (stâng) .

Dacă inelele și sunt noetherian drepte (stângi) atunci inelul este noetherian drept (stâng) .

Demonstrație:

i) Fie (1)

un șir descrescător de ideale drepte (stângi ) ale lui . Din , avem

Deoarece inelul este artirian drept (stâng) rezultă că

Aplicând pe termenilor șirului (1) obținem șirul de ideale drepte (stângi) ale lui

Cum este artinian drept (stâng) rezultă că

Fie Arătăm că

Din Cum , din (1) rezultă că .

Din și rezultă că

ceea ce implică

ii) Analog i).

Corolarul 3.7:

i) Dacă este un ideal al inelului și idealele , sunt artiniene drepte (noetheriene drepte) atunci este inel artinian drept (noetherian drept).

ii) Dacă sunt inele artiniene drepte (nnoetheriene drepte) atunci inelul este artinian drept (noetherian drept).

Într-adevăr, dacă este un inel artinian drept (noetherian drept) atunci aplcând teorema de mai sus proiecției canonice

rezultă că este un inel artinian drept (noetherian drept).

Teorema 3.8: Fie un inel cu element unitate.Dacă nu are divizori ai lui 0 și inel artinian drept atunci este un corp.

Demonstrație: Fie Considerăm șirul descrescător de ideale drepte

Cum inelul este artinian drept rezultă că

Corolar 3.9: Dacă inelul comutativ și artian drept are element unitate atunci orice ideal prim este maximal.

Într-adevăr din corolarul3.7 inelul este artinian drept.Rezultă că inelul nu are divizori

ai lui zero.Din teorema 3.8 este un corp. Rezultă astfel că idealul este maximal.

Din corolarul de mai sus avem că într-un inel comutativ și artinian drept cu element unitate

idealele maximale coincid cu idealele prime diferite de .

Teorema 3.10: Un inel artinian drept cu element unitate are un număr finit de ideale

maximale.

Demonstrație: Fie J mulțimea tuturor idealelor care sunt intersecții ale unui număr finit de

ideale maximale ale lui . Întrucât este un inel artinian drept urmează că J are un

element minimal sunt ideale maximale diferite.

Dacă este un ideal maximal atunci J de unde rezultă că

.

De aici avem că idealul este prim.Există astfel

are ideale maximale.

Definiția 3.10: Un ideal drept (stâng) al unui inel se numește nilideal drept (stâng) ,

respectiv ideal drept (stâng) nilpotent dacă orice element din este nilpotent, respectiv există

N astfel încât (adică pentru orice avem ).

Evident că orice ideal drept nilpotent este un nilideal drept.

Exemplul 3.11: Fie un număr prim și >. Mulțimea a elementelor nilpotente din inelul

Z este formată din clasele care conțin multipli de și este un ideal.

Fie unde inele și produsul restrâns al acestor inele .Deoarece un

element are numai un număr fi9nit de componente diferite de zero, rezultă că este

nilpotent, deci este un nilideal, dar N. Obținem astfel că nu este nilpotent.

Teorema 3.12: Intr-un inel artinian drept(stâng) orice nilideal drept(stâng) este nilpotent.

Demonstrație: Fie un nilideal drept al lui . Considerăm șirul descrescător

unde este puterea a i-a a lui în semigrupul idealelor drepte ale lui (produsul a două ideale drepte se definește la fel ca și produsul a două ideale) . Cum inelul este artinian drept

avem că:N Arătăm că

R.A presupunem că Fie . Fie Ј mulțimea tuturor idelelor drepte ale lui

pentru care avem Ј . Cum este inel artirian drept avem că există element minimal în Ј

iar Ј

N .

Acum vom demonstra o teoremă impoirtantă a lui Hilbert cunoscută sub numele de

teorema bazei:

Teorema 3.13: Dacă inelul cu element unitate este noetherian drept, atunci inelul polinoamelor este noetherian drept.

Demonstrație:

Dacă este un ideal drept al lui , considerăm submulțimea a lui definită astfel:

.

Avem că este un ideal drept al lui .

Oricare ar fi un ideal drept al lui avem:

Într-adevăr , dacă

N .

Fie două ideale drepte ale lui . Dacă N, afirma-

ție ce rezultă din definiția lui .

Pe de altă parte să demonstrăm că dacă N atunci.

Presupunem că N .

Din

Repetând raționamentul pentru polinomul

obținem un polinom Continuând, obținem un șir de polinoame

de unde rezultă că : .

Fie

un șir descrescător de ideale drepte ale lui . Aplicând pe acestui șir obținem în

șirurile de ideale drepte:

…………………………………………….

Întrucât inelul este noetherian rezultă că în mulțimea de ideale

există un ideal maximal Din incluziunile rezultă că:

dacă .

Pentru fiecare linie, dintre primele m linii din inegalitățile , există un indice de la care

începând linia este staționară. Fie k este cel mai mare dintre acești indici, atunci

.

De aici, ținând cont de relația , rezultă că, dacă , atunci

N .

Din punctul 3) al demonstrației avem că :Rezultă astfel că

inelul este noetherian drept .

Corolarul 3.14: Dacă inelul cu element unitate este noetherian drept atunci inelul polinoamelor este noetherian drept.

Demonstrația este evidentă ținând cont de modul în care se definește inductiv inelul

pornind de la inelul polinoamelor într-o singură nedeterminată .

Șiind că intersecția unei familii de ideale drepte ale unui inel este un ideal drept,putem să definim idealul drept generat de o submulțime Idealul drept generat de este intersecția

Tuturor idealelor drepte ale lui care include pe . Astfel că se observă că acest ideal drept este format din toate sumele finite de forma:

.

Teorema 3.15: Un inel este noetherian drept dacă și numai dacă orice ideal drept este finit generat adică este generat de o mulțime finită.

Demonstrație:

“”

Presupunem că este un inel noetherian drept și ideal drept al lui . Fie Ј mulțimea

idealelor drepte finit generate incluse în . Conform ipotezei , în Ј există un element maximal

Ј . Din Ј rezultă că este generat de o mulțime finită de forma:.

Dacă avem atunci ar exista iar pentru idealul drept generat de

am avea Ј , ceea ce ar contrazice maximalitatea lui Deci adică

este finit generat.

“”

Presupunem că orice ideal drept al lui este generat de o mulțime finită.

Fie

un șir crescător de ideale drepte ale lui . Conform ipotezei, idealul drept este

generat de o mulțime finită Din

Dacă atunci

Pe de altă parte avem . Deci de unde urmează

Prin urmare este un inel noetherian.

Bibliografie:

PURDEA , IOAN

PIC , GHEORGHE-„Tratat de algebră modernă” vol.1

Editura Academiei Române.1977.