Clase de Functii Univalente

Cap.1 Clase speciale de funcții univalente.

În acest capitol voi prezenta studiul unor clase de funcții univalente caracterizate prin proprietăți geometrice remarcabile, proprietăți care se exprimă analitic prin anumite inegalități diferențiale. Aceste condiții analitice care caracterizează acste clase reprezintă condiții suficiente de univalență.

1.1 Funcții stelate

Definiția1:

Fie funcția cu f(0)=0. Spunem că funcția f este stelată în U în raport cu originea (stelată) dacă funcția f este univalentă în U și f(U) este un domeniu stelat în raport cu originea. Domeniul f(U) se numește domeniu stelat în raport cu originea dacă pentru orice ZU segmentul care unește originea cu f(Z) este inclus în f(U).

Teorema 2 (teorema de univalentă pe frontieră)

Fie DC un domeniu și fie fH(D) o funcție continuă pe . Dacă funcția f este injectivă pe D atunci funcția f este injectivă pe D.

Teorema 3 (teorema de caracterizare analitică a stelarității)

Fie funcția H(U) cu f(0)=0. Atunci funcția f este stelată dacă și numai dacă f’(0)0 și

Demonstrație:

Dacă funcția f este stelată atunci f este univalentă, deci f’(0)0. Fixăm zU un punct oarecare, cum f(U) este un domeniu stelat, rezultă că pentur orice t[0,1], avem tf(z)f(U), adică t f < f; t[0,1]. Conform principiului subordonării avem

(t f)(Ur)f(Ur), 0<r<1, t[0,1].

Rezultă că Cr=f(Ur) este o curbă Jordan stelată adică argumentul razei este o funcție cresătoare în raport cu =arg(z).

(w)

f(z)

0 (u)

Cr

Fig.1. Funcții stelate

Fie deci =(θ)=arg f(z); z=r·eiθ deoarece φ este crescătoare avem

Notând R=|f(z)| avem log f(z) = ln R + i și deoarece deducem sau adică

Din relațiile de mai sus se obține ; |z|=r, deci ; z. Dar deoarece este o funcție armonică, vem că ; z, pentru r(0,1) și luând r1- obținem ; zU.

În continuare vom demonstra implicația (1) folosind teorema de univalență pe frontieră.

Deoarece , zU rezultă . Funcția se anulează numai în origine, căci contrar, funcției log f(z) ar avea un pol și prin urmare nu ar mai putea fi pozitivă în U. Din faptul că f’(0)≠0 rezultă că z=0 este un zerou simplu pentru funcția f deci conform principiuui variației argumentului avem că funcția f este univalentă pe Cr și aplicând teorema de univaelnță pe frontieră deducem că f este univalentă în Ur pentru orice r(0,1) și luând r1- rezultă că f este univalentă în U.

Dar ; zU deci Cr este o curbă stelată în raport cu originea petnru orice r(0,1); adică f(U) este un domeniu stelat.

Definiția 4:

Fie funcția fH(Ur) cu f(0)=0; f’’(0)≠0 prin rata de stelaritate a funcției f înțelegem numărul : r*(f) > sup{r; , |z|<r}

Fie funcția fH(Ur) cu f(0)=0, f’’(0)≠0. Spunem că funcția f este stelată în discul unitate U, dacă r*(f)≥1

Fie familia FH(Ur) astfel încât f(0)=0, f’’(0)≠0 pentru orice fF. Prin raza de stelaritatea familiei F înțelegem numărul:

r*(F)=inf{r*(f);fF}

Definiția 5:

Vom nota cu S* clasa funcțiilor fA care sunt stelate și normate, închisul unitate, adică

S* ={fA; , zU }

Teorema 6 (teorema de delimitare a coeficienților funcțiilor din S*)

Dacă funcția f (z)=z+a2z2+…+anzn+… aparține clasei S* atunci |an|≤n cu n=2,3,…

Egalitatea are loc dacă și numai dacă f este funcția lui Koebe.

Demonstrație:

Notând: =p(z)=1+p1z+p2z2+…+pnzn+… și egalând coeficienții în zf’= p(z)f(z) obținem formula de recurență (n-1)an=an-1p1+an-2p2+…+a2pn-2+pn-1a1 .

Deoarece pP, conform teoremei lui Carathéodory avem |pk|≤2, k≥1. Se știe că |a2|≤2 conform teoremei lui Bieberbach relativ la coeficientul a2 pentru funcțiile din clasa S.

Se presupune că |ak|≤k pentru k=2,3,…,n-1 din formula de recurență de mai sus se deduce că (n-1) |an|≤2=(1+|a2|+…+|an-1|)≤2(1+2+…+(n-1))=n deci |an|≤n, n=2,3,…..

Egalitatea nu poate avea loc decât dacă |a2|=2 ceea ce are loc dac și numai dacă f=kr

Teorema 7 (Formula de structură pentru clasa S*)

Funcția fS* dacă și numai dacă există o funcție μM[0,2] astfel încât :

F(z)=y exp{-2 }; zU

Unde pentru logaritm s-a ales determinarea definită de log1=0.

Demonstrație:

Se folosește formula lui Herglotz pentru clasa P, obținem că fS*dacă și numai dacă μM[0,2] astfel încât =dμ(t)

Deci -=

Integrând această egalitate de la 0 la z obținem log

1.2. Funcții convexe

Definiția 8.

Funcția fH(U) se numește funcție convexă în U (sau convexă) dacă funcția f este univalentă în U și fU) este un domeniu convex.

Teorema 9 (teorema de caracterizare analitică a convexității)

Fie funcția fH(U). Atunci funcția f este conveză dacă și numai dacă f’’(0)≠0 și +1>0; zU

Demonstrație:

Vom demonstra că inegalitatea +1>0; zU ceea implică , zU, deci orice funcție convexă este stelată.

Pentru început voi arăta că: f’(z)≠0; zU

Notând g(z)=z f’(z) avem f(0)=0, g’(0)= f’(0) ≠0 ,deorece și rezultă că Re0; zU adică g este stelată.

De asemenea f(z)= unde γ ete un drum oarecare din U ce unește 0 cu y. Menționăm că integrala precedentă nu depinde de drumul γ deorece funcția g nu este univalentă , deci g(z)≠0, zU va fi inclus în g(U), adică τ=[0,g(z)]g(U).

Notând γ=g-1(τ) și g(z)=Rei un punct ω=g(ξ)τ va fi de forma ω=pe i, 0≤p≤R deci dω= e idp. Dacă notăm h=g-1 atunci ωh’(ω )=g(ξ) și deoarece funcția g este stelată avem:

Re, ωf(U)

Deoarece

f(z)= din inegalitatea precedentă deducem

|f(z)|=| |≥; zU deci f(z) ≠0; zU

Acum vom arăta că funcția f este stelată, deci este univalentă. Deoarece f(z)≠0; zU avem p(z)= H(U) și p(0)=1. deoarece funcția f este convexă și avem Re[p(z)+ ]>0; zU de unde conform lemei lui Sakaguchi Re p(z)>0; zU adică funcția f este stelată deci univalentă.

Voi arăta acum că funcția f este convexă. Deoarece funcția g este stelată avem:

; zU

Notând cu , tangenta în punctul f(z), z=re iθ la curba Cr=f(Ur) avem și folosind relația de mai sus deducem că |z|=r<1.

Întrucât este o funcție crescătoare rezultă că Cr, r<1 este o curbă convexă, deci f(Ur) este un domeniu convex ptr.r(0,1). De aici luând r1- obținem că f(U) este un domeniu convex.

Să presupunem acum că funcția f este convexă. Vom arăta pentru început că funcția f verifică

; zU

Fără a restrânge generalitatea, fie f(z)=z+a2z2+…, zU

Definesc următoarea funcție

g(z)=f-1 zU deci gH(U). În plus, funcția g verifică condițiiile g(0)=0 și |g(z)|<1, zU deci conform lemei lui Schwartz vom avea |g’(0)| ≤1 adică

Deci dacă f este convexă atunci are loc . .

Fie funcția U unde zU este un punct fixat. Evident funcția h este univalentă și h(U)=f(U). Deoarece un calcul simplu ne arată că și deoarece h este convexă în baza realției aplicată funcției h că

Re+1≥; |z|=r; r(0,1)

Definiția 10:

Vom nota cu K clasa funcțiilor fA care sunt convexe (și normate) în discul unitate U adică

K={fA: , zU}

Teorema 11 (teorema de determinare a coeficienților funcțiilor din K)

Dacă funcția f(z)=z+ z+a2z2+…+anzn+…, aparține clasei K atunci |an| ≤1; n=2,3,…

Egalitatea are loc dacă și numai dacă f este de forma ; rR

Demonstrație:

Conform teoremei de dualitate, f K, dacă și numai dacă funcția zf’(z)=z+. Din teorema 11 avem n|an| ≤n; n=2,3,…., deci |an|≤1, n=2,3,…., iar egalitatea are loc dacă și numai dacă zf’(z)=kT(z), TR

Teorema 12 (teorema de deformare petnru clasa K)

Dacă funcția fK atunci au loc următoarele delimitări exacte

|z|=r<1

Demonstrație

Din teorema de dualitatea a lui Alexander deoarece fK avem zf’(z)S* deduc că

, |z|=r

În continuare rezultă:

Fie f(z)=Re ei și fie segmentul care unește originea f(z) și care, deoarece f este convexă, și va fi conținut în f(U). Notând γ= f -1() rezultă următoarea relație

|f(z)|=R=

Teorema 12: (teorema de acoperire pentru clasa K)

Dacă funcția fK și cu f(U), atunci

Demontrație:

Deoarece funcția este convexă și , zU se deduce că funcția este univalentă și g(0)= 2; g’(0)= -2.

Rezultă că h(z)=. Cum g(z)0, zU rezultă că h(z), zU, deci conform teoremei de acoperire pentru clasa S obținem ||≥.

Definiția 13:

1.dacă funcția fH(UR) atunci prin raza de convexitate a funcției f înțelegem numărul: r0(f)=sup{r:Re+1>0, |z|<r}

2. dacă FH(UR) atunci vom defini raza de convexitate a familiei F ca fiind numărul

r0(F)=inf{rc(f): fF}

Teorema 14( torema asupra razei de convexitate S):

Dacă fS atunci, conform teoremei de deformare petnru clasa S, avem:

Re ≥; |z|=r<1 deci Re +1=; |z|=r<1 din membrul drept al inegalității precedente este pozitiv dacă r<2-.

Dacă f este funcția lui Koebe f(z)=K(z)=, atunci +1=ceea ce ne arată că această funcție nu poate fi convexă în nici un disc Ur cu r>2-. De aici rezultă rc(s)=2-

Teorema 14 (formula de structură pentru clasa K)

Funcția fK dacă și numai dacă există o funcție μM[0,2] astfel încât

F(z)=; zU

Demonstrație:

Conform teoremei de dualitatea a lui Alexander fK zf’(z)S*, deci în baza

De structură a clasei S* funcția zf’(z) se va scrie sub forma:

zf’(z)=z exp{-; μM[0,2π]

Integrând egalitatea de mai sus obținem formula de structură a clasei K

1.3. Funcții alfa-convexe

Noțiunea de funcție alfa-convexă a fost introdusă de P.T. Mocanu în 1969 cu scopul de a stabili o legătură între noțiunile de convexitate și de stelaritate.

Astfel fie fH(U) care verifică condițiile f(0)=0 zU și fie un număr real vom nota cu Cr=f(Ur), r(0,1) și fie =argf(z)=arg respectiv =arg adică argumentul razei vectoare a punctului f(z), respectiv al tangentei în punctul f(z) la curba Cr

Notând cu = (r,θ)=(1-)+ argumentul vectorului care divide în raportul unghiul dintre vectorii și curba Cr se numește -convexă dacă unghiul =(r,θ) este o funcție crescătoare de θ, θ[0,2π) adică , θ[0,2)

() v

f(z)

0 u

Cr

Dacă notez J(a),f, (x))=(1-)+(+1) rezultă

În baza celor mai de sus și a rezutatelor din cele două paragrafe anterioare, deduccă Cr este o curbă -convexă ReJ(,f,z)>0, θ[0,2) , y=reiθ

Definiția 15:

Fie funcția fA astfel încât zUși fie numărul R. Funcția se numește -convexă în discul unitate U (sau pe scurt -convexă) dacă ReJ(,f,z)>0, zU

Definiția 16:

Vom nota cu M clasa funcțiilor -convexe în discul unitate U, adică

M={ fA: ; ReJ(,f,z)>0, zU }

Teorema 17 (teorema de stelaritate a funcțiilor -convexe)

Fie R și fie funcția fM. Atunci funcția fS* adică MS*

Dacă R astfel încât 0 atunci

Avem M={id} unde id{z}=z, zU

Demonstrație:

Fie funcția fM, deci avem ReJ(,f,z)>0, zU

Notând p(z)= din definiția funcțiilor -convexe avem pH(U)iar un calcul simplu ne arată că J(,f,z)= p(z)+

Deci f M implică Re{ p(z)+}>0 zU și deoarece Re p(0)=1>0 din lema lui Serkaguchi rezultă Re p(z)>0, zU adică fS*

2. Se consideră cazul >0, ≥0 deci <. Cu notațiile de la punctul precedent, dacă fM atunci

Re{ p(z)+}>0 zU

Și conform celor arătate mai sus avem Re p(z)>0 zU. Să notăm A= Re p(z) și B= Re deci A>0, A+B>0. Considerând segmentul de ecuație y()=A+B() [0, ] avem y(0)=A>0 și y()=A+B >0 de unde rezultă că A+BA+B>0 pentru orice [0, ].

Aceasta înseamnă că Re{ p(z)+}>0 zU adică f

3. Fie funcția fM, adică ReJ(,f,z)>0, zU pentru orice >0. Notând p(z)= , condiția anterioară devine Re{ p(z)+}>0 zU și luând în această inegalitate obținem Re ≥0, zU. Deoarece =0 deducem =0, zU. De aici obținem p’(z)=0, zU adică p(z)=c, zU și din nou p(0)=1 rezultă p(z)=1, zU. Deci =1, zU de unde avem f(z)=Z, zU, adică f=id

Teorema 18 (teorema de dualitate ptr. funcții -convexe)

Dacă ≥0 atunci f.FS* unde F(z)=f(z) iar prin înțelegem determinarea alomorfă pentru care=1

Demonstrație:

Pentru =0 teorema este evidentă, de aceea vom presupune >0

Fie o funcție oarecare fM. Din (4.3.4) deducem F(0)=0, F’(0)=1 și = J(,f,z), zU de aici rezultă imediat FS*

ReciprocB >0 de unde rezultă că A+BA+B>0 pentru orice [0, ].

Aceasta înseamnă că Re{ p(z)+}>0 zU adică f

3. Fie funcția fM, adică ReJ(,f,z)>0, zU pentru orice >0. Notând p(z)= , condiția anterioară devine Re{ p(z)+}>0 zU și luând în această inegalitate obținem Re ≥0, zU. Deoarece =0 deducem =0, zU. De aici obținem p’(z)=0, zU adică p(z)=c, zU și din nou p(0)=1 rezultă p(z)=1, zU. Deci =1, zU de unde avem f(z)=Z, zU, adică f=id

Teorema 18 (teorema de dualitate ptr. funcții -convexe)

Dacă ≥0 atunci f.FS* unde F(z)=f(z) iar prin înțelegem determinarea alomorfă pentru care=1

Demonstrație:

Pentru =0 teorema este evidentă, de aceea vom presupune >0

Fie o funcție oarecare fM. Din (4.3.4) deducem F(0)=0, F’(0)=1 și = J(,f,z), zU de aici rezultă imediat FS*

Reciproc:

Să presupunem ca acum că FS* și să arăt că ecuația diferențială =F(z) admite soluția =f(z) cu condiția inițială f(0)=0 care este o funcție -convexă adică fM

Integrând formal această ecuație diferențială se obține f(-z)=

Voi demonstra că funcția fH(U) și verifică condițiile și ReJ(,f,z)>0; zU

Fie zU zâun punct fixat și fie γ un drum de la origine la z de-a lungul căruia efectuăm integrarea. Presupunem că există o semitangentă la curba γ în origine deci există limita arg

Deoarece F’(0)=1, adică arg F(0)=0 vom putea alege arg F(

Pe curba γ putem defini prin continuitate, funcția astfel încât

arg = arg =

Fie F()=(1+A2+…)

Deoarece 1+ A2+… 0, U putem alege o determinare alomorfă pentru (1+A2+…) astfel ca (1+A2+…) =0 =1

Evident că această funcție domorfă este independentă de alegerea drumului γ

Pentru γ putem defini [F()]= (1+A2+…)= (1+b1+…) și integrând de-a lungul drumului γ obțin

Observ că seria:

definește o funcție olomorfă în discul unitate U, independentă de γ.

Notând cu g(z)= funcția va fi olomorfă în U (independentă de drumul de integrare γ).

Trebuie să arăt că g(z)0. zU. Fie t=F(z) și T=F(). Luând F-1 avem z= (t) și =(T), deoarece funcția F este stelată, segmentul =[0,t]F(U)

Fie atunci γ =F-1()=()

Dacă t=Rei atunci γ este un drum de la origine la z ca cel considerat mai sus. Punând =ei rezulta:

Deci |g(z)|=|z| si

Deoarece Re iar γ este un compact din U, rezultă că există un număr M>0 astfel încât Re ≥M , γ

De asemenea există un număr N>0 astfe, încât N, γ si deoarece

Din inegalitățile de mai sus obțin ca adică deduc că exită un număr K>0 astfel încât |g(z)|>K, zU.

În concluzie, am arătat că g(z)0, zU.

Atunci pot defini ca funcție olomorfă în U, pentru care z=0 =1 care nu se anulează în U.

Din relațiile de mai sus deduc ca f(z)=z. Rezulta că fH(U) și verifică condițiile , zU și f’(0)=1. Din (4.3.4) deducem f’(z)0, zU și deoarece F este stelată si obțin inegalitatea ReJ(,f,z)>0; zU deci fM.

Teorema 19. (teorema de deformare pentru clasa M)

Funcția fM, >0 și zU este un punct fixat cu |z|=r atunci

M·(-r,)|f(z)|M(r,)

Unde M(r,)=

Egalitatea este atinsă în ambele părți, dacă f(z)= pentru o alegere convenabilă a lui ,

Demonstrație:

Se verifică ușor că Meste o clasă invariată în raport cu notațiile, adică dacă fM, atunci și . De aici rezultă că fără a restrânge generalitatea, putem presupune că z=r.

Presupun ca: F(r)=unde integrarea se face pe segmentul [0,r] al axei reale.

Deoarece funcția FS* rezulta:

de unde se obține imediat delimitarea superioară . Pentru a obține delimitarea inferioară voi scrie f(z)=Re eiF și voi considera segmentul care unește originea cu f(z).

Deaorece funcția f este stelată acest segment este conținut în f(U). Notând γ=f -1() pentru γ punând f()= avem:

Din reprezentarea integrală de mai sus deduc ca

γ

Dacă =|z| folosind relatia de mai sus obțin

De unde deducem imediat delimitarea inferioară din teorema 18.

Proprietatea 20.

1.Constanta lui Koebe pentur clasa Meste:

2. Domeniul lui Koebe pentru clasa M este

U(0, K())=; ≥0

Definiția 21:

1.Dacă funcția fA cu ; zU și R prin raza de -convexitate a funcției f înțelegem numărul

(f)=sup{r: Re J(,f,z)>0; |z|<r}

dacă FA astfel încât ; zU pentru orice funcție fF și dacă R, prin raza de -convexitate a clasei F înțelegem numărul: (F)=inf{ra(f): fF}

Teorema 22 (teorema asupra razei de -convexitate a clasei S*)

Dacă >0 atunci raza de -convexitate a clasei S* este dată de ((S*))=1+-

Demonstrație:

Fie funcție fS* și fie zU un punct fixat cu |z|=r. Notând p(z)= avem

J(,f,z)=p(z)+ unde pP

Folosind determinările date de propoziția (3.4.1) și (3.4.3) deducem:

Re J(,f,z)=Re{ p(z)+ }≥pentru r1+

Definiția 23:

Fie funcția f S*. Spunem că funcția f este stelată de tipul și notăm fS*[] dacă:

= (f)=sup{, f }

Exemplu:

Funcția f2(z)=are proprietatea f2 S*[]. Deoarece J(,f,z)= avem Re J(,f2,z)>0; zU deci f2M0=S*.

Dacă >0 atunci Re J(,f2,z)= – de unde rezultă că ReJ(,f2,z)<0 într-o vecinătate a punctului z=-1.

Deci f2M pentru nici o valoare >0 adică f2S*[0], ceea ce înseamnă că funcția Koebe este „pur” stelată.

Definiția 24: Fie R și pN, p≥1

Atunci prin clasa funcțiilor -convex, p-simetrice înțelegem clasa

Ma,p= {fM: f(z)=z+ap+1zp+1+a2p+1z2p+1+… zU}

Prin clasa funcțiilor stelate de tip -simetrice înțelegem clasa

S*[]={fS*[]: f(z)=z+ap+1zp+1+a2p+1z2p+1+… zU}

Teorema 25 (teorema de deformare pentru clasa

Dacă funcția f Ma,p, unde >0 și zU; |z|=r este un punct fixat atunci:

[-M(-rp,ap]

Unde M(r,) este dat egalitatea este atinsă în ambele părți dacă funcția este de forma

f(z)=

Teorema 26 (teorema de delimitare a derivatelor funcțiilor -convexe)

Dacă funcției fMa, unde ≥0, iar zU, |z|=r este un punct fixat atunci

Unde este dat de relatia din teorema 24. Egalitatea este atinsă în ambele părți pentru funcția -convexă a lui Koebe.

Demonstrație:

Din formula de maisus (teorema de dualitate) obținem

unde FS*

Din relațiile din teorema 23 și 24 deduc

Lema 27:

(Funcția lui Koebe) este -convexă dacă și numai dacă -20

Demonstrație:

Fără a restrânge generalitatea vom considera funcția lui Koebe:

Fie p(z)=J(= zU, deci avem p(eiθ)=i(cos; θ[0,2π]

adică p(eiθ) este un număr pur imaginar ptr.θ[0,2π]. Deoarece p(0)=1, pentru ca Re p(z)>0, zU, va fi necesar și suficient ca p(eiθ) să descrie întreaga axă imaginară când θ descrie intervalul [0,2π]. Dar aceasta înseamnă că pentru orice aR, ecuația cot.

Are cel puțin o rădăcină în intervalul [0,π]

Notând cot =t, această ecuație se scrie sub forma (2+α)t2-2at+α=0. Deoarece discriminantul acestei ecuații este Δ= a2- α(2+α) deducem că ecuația are rădăcini reale dacă și numai dacă α(2+ α)≤0 aiar în acestă situație curbadică -2≤α≤0

1.4 Funcții spiralate. Funcții stelate și funcții convexe de un anumit ordin .

Clasa funcțiilor spiralate, definită de L .Ŝpaĉek în 1932, reprezintă o generalizare naturală a clasei funcțiilor stelate.

O spirală logaritmică este o curbă în planul complex de forma.

ω(t)= ω0e-λt, t R

unde ω0C* = C\{0} și λC cu Re λ≠0

Fără a restrânge din generalitate, putem presupune că λ este de forma λ=eiγ cu γ(-,), iar în această situație curba Ω(t) = ω0e-(cosγ+isinλ)t, t se va numi o γ – spirală

Definiția 28.

Domeniul Δ C care coține originea, se numește un domeniu spiralat γ, cu ׀γ׀<, dacă pentru orice punct ω0Δ\{0} arcul de γ – spirală ce unește punctual ω0 cu originea este inclus în Δ.

Definiția 29

Spunem că funcția f H(U) , cu f(0) = 0 este o funcție spiralată de tip γ în discul unitate U dacă f este univalentă în U și domeniul f(U) este un domeniu spiralat de tip γ.

2. Spunem că funcția f H(U) cu f(0) = 0 este o funcție spiralată dacă există un număr γ cu │γ│< astfel încât funcția f să fie spiralată de tip γ

Teorema 30 (teorema de caracterizare analitică a spiralității)

Fie funcția f H(U) cu f(0) =0 , f ’(0) ≠0 și f(z) ≠0; zU și fie γ(-,)

Atunci funcția f este spiralată de tip γ dacă și numai dacă Re{ e-iγ } >0, z U

Demonstrație

Să presupunem că funcția f verifică relația. Fie funcția φ definită prin.

φ (z) = ; λ=eiγ

Din teorema 29 rezultă că Re φ(z) >0 ,zU

Pentru fiecare ζ fie z=z (t,ζ) soluția ecuației diferențiale (4.4.1) și fie ω= ω(t,ζ) =f (z,(t,ζ))

Din (4.1.1) obținem ω(0,ζ) =f (ζ) și

= f’(z)-zφ’(z) f’ (z) =-λω

ceea ce implică

ω(t,ζ) = f(ζ) e-xt ; t≥0

Această relație ne arată că pentru orice ζ, funcția f transformă curba z=z(t,ζ) într-un arc de γ- spirală ce unește ζ cu originea.

Pentru a arăta că f este univalentă să presupunem că există două puncte ζ1,ζ2 astfel încât f (ζ1) =f(ζ2).

Atunci ω(0,ζ1) =ω(0,ζ2) deci ω(t,ζ1)= ω(t,ζ2) ;t≥0

Ipoteza f’(0)≠0 implic[ existen’a unui disc │z│<E in care f este univalenta din lema 4.1.1 avem ca │z(t,ζ1)│<E ;│z(t,ζ2)│< E pentru t>t0

Rezulta ca z(t,ζ1) =z(t,ζ2) pentru t>t0

Si din unicitate z(t,ζ1) = z(t,ζ2) = z(t,ζ2) t≥0

De aici în particular avem z(0,ξ1)=z(0,ξ2) de unde obținem ξ1=ξ2 ceea ce demonstrează univalentă funcției f. Reciproc, fie f o funcție spiralată de tip γ, deci și univalentă cu -<γ<. Atunci oricare ar fi ξU, imaginea f(U) va conține întregul arc al γ-spiralei ω=f(ξ)e-λt, t0, unde λ=eiγ. Atunci este posibil să redefinim curba

z=z(t,ξ)=f -1(f(ξ)e-λt)t0

Evident z(0,ξ)=ξ. Pentru fiecare t0 fixat, funcția z(t,ξ) este olomorfă în raport cu ξ iar |z(t,ξ)|<1, ξU și z(t,0)=0. de aici în baza lemei lui Schvartz avem:

|z(t,ξ)||ξ|, ξU

Pe de altă parte din teorema 29 obțin: deci demonstrarea relației (4.4.4) se reduce la arăta că: Re

Deoarece |z(t,ξ)||ξ|, ξU rezultă

Definiția 31:

1. Pentru γ(-,) vom nota cu clasa funcțiilor spiralate de tip γ și normate uzual în discul unitate, adică:

=

2. Vom nota cu S clasa funcțiilor spiralate și normate uzual în discul unitate adică:

S=

Teorema 32 (teorema de dualitatea pentru clasele și S* )

Fie γR astfel încât -<γ<. Atunci funcția f dacă și numai dacă funcția gS* unde:

g(z)=z

iar prin înțelegem determinarea olomorfă pentru care z=0=1

Demonstrație:

Dacă fatunci funcția g definită este olomorfă în U șiu g(0)=0; g’(0)=1 deoarece relatia din terorema 23 este echivalentă cu relația:

rezultă Re = de unde deducem că gS*.

reciproc dacă gS*, să considerăm funcția f definită prin relația

f(z)=z

deci fA

Teorema 33 (formula de structură pentru clasa )

Funcția f, γ(-,) dacă și numai dacă există o funcție μM[0,2π] astfel încât:

, zU

Unde pentru logaritm s-a ales determinarea definită de log1=0.

Demonstrație:

Conform teoremei precedente, funcția fdacă și numai dacă funcția g(z)=ySα

În baza teoremei 4.1.5. de reprezentare pentru funcțiile din S*, funcția gfS* dacă și numai dacă există o funcție μM[0,2π] astfel încât:

g(z)=z exp, zU de unde se deduce (4.4.9)

Definiția 34:

Fie <1 și γ(-,). Vom defini subclasele de funcții olomorfe după cum urmează:

1. Clasa funcțiilor stelate de ordinul ca fiind clasa:

S*()=

2. Clasa funcțiilor convexe de ordinul ca fiind clasa:

K()=

3. Casa funcțiilor spiralate de tip γ și de ordin ca fiind clasa

Sγ()=

Teorema 35 (teorema de dualitate între clasele S*() și S*)

Fie un număr real 01

1. Avem incluziunile S*()S*, K()K, ()(0)=Sγ

2. Funcția fS*() dacă și numai dacă funcția gS* unde:

g(z)=z iar prin înțelegem determinarea olomorfă pentru care z=0=1

Demonstrație:

Prima parte a teoremei este evidentă:

Dacă funcția fS*() atunci g definită prin relația (4.4.10) este olomorfă în U, g(0)=0, g’(0)=1 iar un calcul simplu de arată că: -=(1-); zU

Deoarece fS*() și [0,1) din relația (4.4.10) rezultă gS*.

Reciproc, dacă gS*, să considerăm funcția f definită prin relația f(z)=z zU

Rezultă fA ți în plus între funcțiile f și g are loc relația (4.4.10). De aici deducem că are loc (4.4.11) în consecință gS* și [0,1) implică fS*().

Teoremă 36 (teorema de deformare pentru clasa K().

Dacă funcția fK() 0<1, și |z|=r<1 atunci au loc următoarele delimitări exacte:

|f’(z)|

=; log(1+r)

Funcția extremală este f(z)=

Teorema 37 (teorema de deformare pentru clasa S*())

Dacă funcția fS*(); 0<1 atunci are loc delimitarea exactă

|z|=r<1

Funcția extremală este fα(z)=

1.5Funcții a căror derivata are partea reală pozitivă

Unul dintre cele mai simple criterii de univalență este dat de următoarea teoremă obținută de K.Noshiro, S.Warschawski și J. Wolff.

Teorema 38 (criteriul de univalență Noshiro, Warschawscki, Wolff)

Dacă funcția f este olomorfă în domeniul convex DC și dacă există un număr γR, astfel încât Re[eiγf’(z)]>0, zD atunci funcția f este univalentă în D.

Demonstrație:

Fie z1,z2Δ cu z1z2. deoarece domeniul Δ este convex segmentul [z1,z2]D adică z=(1-t)z1+tz2Δ , t[0,1]. Integrând de-a lungul segmentului [z1,z2] avem:

|f(z1)-f(z2)|=

deci f(z1)f(z2) este univalentă.

Teorema 39 (teorema fundamentală pentru clasa R)

Dacă funcția f(z)=z+, zU aparține clasei R atunci au loc următoarele delimitări exacte:

Funcția extremală

Demonstrație:

Rezulta : f’(z)=1+și din f’P deducem imediat ca |nan|2, n2

De asemenea, relația (4.5.2) este o consecință a faptului că f’P. Se știe că în P funcția externală este dată de:

f’(z)=; |λ|=1

Delimitarea superioară se obține ușor dacă scriu:

de unde:

Corolarul 40 Constanta lui Koebe petnru clasa R este :

K(R)=2 log2-1

Teorema 41 (formula de structură pentru clasa R)

Funcția fR dacă și numai dacă există o funcție μM[0,2π] astfel încât:

F(z)=-z-2

Unde pentru logaritm s-a ales determinarea definitivă de log1=0

Demonstrație:

Deoarece f’P folosind formula lui Herglotz obținem:

μ[0,2π] de unde

f(z)=

Funcția f(z)=-z-2 log(1-z) este o funcție extremală în clasa R. Vom arăta că această funcție aparține clasei S*.

Deoarece

Deduc ca deci Re

Calculând această integrală se ajunge la următorul rezultat:

Re [(1+tz)(1-t)(1-z)(1+)]=(1-t2|z| 2)(1-|z| 2)+4t(Imz)2>0, t[0,1]

Teorema 42 (teorema asupra razei de convexitate a clasei R

Raza de convexitate a clasei R este re(R)=-1

Demonstrație:

Deoarece fRp=f’ P folosind delimitările relative la funcțiile din clasa P deducem zU fixat.

Re |z|=r

Dar membrul drept al inegalității de mai sus este pozitiv pentru r<-1

1.6 Functii aproape convexe

Definitia 43.

Functia f H(U) se numeste aproape convexa daca exisa o functie φconvexa in U; astfel incat:

Re

In aceasta situatie se obisnuieste sa se mai spuna ca functia f este aproape convexa in raport cu functia φ

Teorema 44 (criteriul de univalenta a lui Ozaki si Kaplan).

Fie Δ un domeniu simplu conex si fie functia fΔ). Sa presupunem ca exista o functie φHu(Δ)

Astfel incat φ(Δ)=Δ ete un domeniu convex. Atunci Re z (adica f este aproape convexa in raport cu φ).

Demonstratie

Deoarece functia φu (Δ) rezulta ca functia definite prin relatia F= foφ-1 H(Δ). In plus daca ω=φ(z) , zΔ atunci F’(ω)= deci avem ReF’(ω)> ωΔ.De aici, aplicand criteriul de univalenta a lui Noshiro, Warschowski si Wolf teorema 4.5.1. rezulta ca functia F este univalenta in Δ, deci si functia f= Foφ este univalenta in Δ

Definitia 45.

Voi nota cu C clasa functiilor aproape convexe si normate in discul unitate U adica

C= { fA : φ, Re }

Teorema 46 (teorema de delimitare a coeicientilor functiilor din C).

Daca f(z) = z +anzn apartione clasei C, atunci │an│≤n, n=2,3,…..

Demonstratie Deoarece fC exista o functie g astfel incat functia pP unde p este data de relatia Re>0, z

Punând în această egalitate p(z)=1+p1z+p2z2+…+pnzn+… si g(z)=z+b2z2+…+bnzn+…

obțin z+2a2z2+…+nanzn+…=(1+p1z+p2z2+…+pnzn+…)(z+b2z2+…+bnzn+…) de unde obținem

nan= bn+ bn-1p1+ bn-2p2+…+ b2pn-2 +pn-1 n2

Deoarece pP și gS* avem: |pk|2, k1 respectiv |bk|k, k2 deci

n|an||bn|+2(|bn-1|+|bn-2|+…+1)n+=n2

Adică |an|n, n2

Lema 47

Dacă funcția u:RR satisface condițiile:

u(+2)-u()) = 2 qR, si u(1)-u(2)< ; 1<

atunci există o funcție crescătoare v:RR astfel încât v(

| u()-v()| ; R

Demonstrație:

v()=sup{u(’):’}-

Funcția v este evident crescătoare și v(+2p)= v()+ 2p. Pentru ’< avem u(’)<u()+ de unde deducem v()<u())+.

De asemenea rezulta u() sup{u(’):’}=v()+. Din ultimele două inegalități deducem |u()-v()|

1.6. Funcții tipic reale:

Definiția 48:

O funcție fH(U) se numește tipic reală dacă și numai dacă ia valori reale atunci și numai atunci când z este real, adică

f(z)R zR

sau

Im f(z)=0Im z=0

Proprietatea 49:

Dacă funcția f(z)= a0+a1z+a2z2+…+anzn zU este tipic reală, atunci coeficienții anR, nN.

Proprietatea 50.

Dacă funcția fH(U) iar f(0)=0; f’(0)>0 atunci următoarele afirmații sunt echivalente:

funcția f este tipic reală

sign Im f(z)= sign Im z; zU

Im z Im f(z)>0 pentru zR

Definiția 51:

Vom nota cu TR clasa funcțiilor tipic reale și normate în discul unitate adică:

TR={fA: f este tipic reală }

Teorema 52 (teorema de caraterizare a clasei TR)

Fie funcția fH(U) cu coeficienți reali, normată cu condițiile f(0)=0 f’(0)=1. Atunci următoarele afirmații sunt echivalente

f TR

Re zU

μM[0,π], adică cresătoare pe [0,π] cu μ(π)-μ(0)=1 astfel încât

; zU

Demonstrație:

1.). Demonstrez implicația (i)(ii). Deoarece f’(z)=1>0 din proprietatea 20 rezultă sign Im f(z)= sign Im z

Fie r<1 punând z=reiq, 0q02 Re

Din principiul maximului rezultă are loc pentru |z|<r.

Luând r1 se obține (ii) unde inegalitatea va fi strictă deoarece funcția f nu este identic nulă.

2). Demonstrăm implicația (ii)(iii). Deoarece P rezultă că ; μM[-π,π].

Deoarece anR, nN*, rezultă . Deci din i deduc

Adunând membru cu membru și simplificând cu 1-z2 din obțin formula

care se poate să se mai scrie sub formula

Unde este o funcție crescătoare pe intervalul [0,] iar schimbând notația în relația obținută, rezulta iii)

3). Demonstrăm (iii) (i). Din punctul i rezultă

Im

Deci sign Im f(z)=sign Imz adică fTR

Definiția 53

Vom nota cu SR clasa funcțiilor din S care au coeficienții reali adică

SR

Teorema 54:

Avem relația SR=STR

Demonstrație:

Este evident, conform proprietății 21 că orice funcție care este tipic reală are coeficienții reali, deci STRSR.

Să demonstrăm că SRTR. Dacă prin absurd f SR nu ar fi tipic reală, atunci ar exista un z0R astfel încât f(z0) R. Deaorece anR, n2, avem de unde deducem ). Cum f este univalentă rezultă ceea ce ar contrazice z0R.

Corolarul 55 (teorema de delimitare a coeficienților funcțiilor din SR)

Dacă funcția

Cap2. Subordonări diferențiale

2.1 Definiții și rezultate preliminarii

Metoda subordonărilor diferențiale (sau metoda funcțiilor admisibile) este una dintre cele mai noi metode folosite în teoria geometrică a funcțiilor analitice,a vând un mare merit atât în demonstrarea mult mai simplă a unor rezultate cunoscute deja și sistematizarea acestora cât și în obținerea unor rezultate noi. Ea mai are calitatea că este relativ ușor de folosit.

În cele ce urmează metoda subordonărilor diferențiale este prezentă în forma generală.

Fie , fie funcția pH(U) cu p(0)=a, aC și fie

Se pune problema studierii unor implicații de forma:

Problema 1:

Fiind date m,ulțimile se caută condiții ca funcția astfel încât să aibă loc relatia de mai sus O astfel de funcție se numește funcție admisibilă.

Problema 2:

Fiind date funcția și mulțimea se caută mulțimea astfel încât să aibă loc relatia . În plus se caută “cea mai mică” mulțime cu această proprietate.

Problema 3:

Fiind data funcția și mulțimea se caută mulțimea astfel încât să aibă loc (9.1.1). În plus se caută “cea mai mare” mulțime cu această proprietate.

Dacăși sunt domenii conexe din C atunci implicația (9.1.1) poate fi

Fiind date funcția și mulțimea se caută mulțimea astfel încât să aibă loc (9.1.1). În plus se caută “cea mai mare” mulțime cu această proprietate.

Dacă și sunt domenii conexe din C atunci implicația (9.1.1) poate fi rescrisă în termeni de subordonări. Reamintim că dacă f,FH(U) și F univalentă în U atunci f(z)<F(z) (f este subordonată lui F) dacă f(0)=F(0) și f(U) F(U).

Definiția 56:

Fie și fie funcția h univalentă în U.Dacă funcția pe H[a,n] verifică subordonarea diferențială:

atunci funcția p se numește (a,n) soluție a subordonării diferențiale (9.1.3) sau pe scurt; soluție a subordonării diferențiale (9.1.3).

Subordonarea (9.1.3.) se numește subordonarea diferențială de ordinul doi, iar funcția q univalentă în U, se numește (a,) dominată a soluției subordonării diferențiale (9.1.3) sau mai simplu, dominare a subordonării diferențiale (9.1.3) dacă p(z)<q(z) oricare ar fi funcția p care satisface (9.1.3).

O dominantă q astfel încât q(z)2, q(z) oricare ar fi dominanta q pentru (9.1.3) se numește cea mai bună (a,n) dominantă sau pe scurt cea mai bună dominantă a subordonării diferențiale (9.1.3).

Lema 57 (lema lui I.S.Jack, S.S.Miller, P.T. Mocanu)

Fie z0= cu 0<r0<1 și fie f(z)= anzn+an+1zn+1+… o funcție continuă în U(0,r0) și analitică în U(0,r0){z0}cu f(z) 0 și n1. dacă

|f(z0)|=max {|f(z)|:zU(0,r0) }

atunci există un număr real n, mn, astfel încât

i)

ii) Re

Demonstrație:

Dacă z0=r0; [0,2p] și notez pentru ,[0,2p] atunci derivând în raport cu obțin:

Deoarece f nu este identic nulă, iareste un punct de maxim pentrurezulta R’()=0 și R’’()0 deci unde mR. Pentru a arăta că m n să considerăm funcția g:UC definită prin relația

Care este olomorfă pe . Din teorema maximului modulului se deduce:

|g(z)|

Pentru că z. Aplicând lema lui Schwartz, deduc ca |g(z)|zn; z.

În particular punând z=0, 0r1 avem

Re

Pe de altă parte putem scrie

m=

deoarece mR deducem m=

Pentru a demonstra inegalitatea (ii) derivăm în raport cu și rezultă:

Deoarece este un punct de maxim avem R’’()0. Punând = în formula de mai sus și folosind (i) deduc ca:

Egalând părțile imaginare obținem:

De unde deducem (ii)

Definiția 58:

Vom nota cu Q mulțimea funcțiilor q care sunt olomorfe și injective pe\E(q), unde:

E(q)=

Și în plus q’()0 pentru \E(q). Mulțimea E(q) se numește mulțime de excepție.

Lema 59 (S.S.Miller,P.P.Mocanu)

Fie funcțiile qQ, q(0)=0 și pH[a,n]; p(z) a și fie numărul n1. Dacă există punctele z0U și U\E(q) astfel încât p(z0)=q() și p(U(0,r0))q(U) unde r0=|z0| atunci există un număr real m, m n astfel încât:

i). z0p’(z0)=mq’()

ii).

Demonstrație:

Din ipoteză și din afirmația mulțimii Q avem pU(0,r0) și p(U(0,ro))Cq(U(/E((q)). Fie funcția f(z)=q-1(p(z)), z(0,ro)atunci fH((0,ro)) și = q-1(p(zo))=f(zo). Deoarece |f(zo)|=||=1 pe baza teoremei maximului rezultă |f(z)|01, z(0;ro).

Din felul cum a fost definită funcția f obținem ușor f(0)=0 și în f(k)(0)=p(k)(0)=0 k=0,n-a, de unde deduc ca

f(z)= anzn+an+1zn+1+… H(U(0,ro))

Aplic lema 57 pentru f si există un număr real astfel încât:

și

Din p(z)=q(f(z)) și dacă notez, =f(z) atunci rezulta:

zp’(z)=q’()zf’(z)=

de unde obțin z0p’(zo)=m q’().

Prin derivarea logaritmică a relației zp’(z)=q’()zf’(z) deduc :

1+

Iar pentru q’()0 pentru că oU\E(q) rezulta în plus urmatoarea relatie:

Re

Lema 60 (C.S.S. Miller, P.T. Mocanu)

Fie qQ și fie funcția pH[a,n]; si p(z) diferit de a și n mai mare sau egal decat 1. Dar atunci există punctele z0=r0eiq și U\E(q), si mn1 astfel încât

np(U(0,ro)) Cq(U(/E((q)).

p(z0)= q(o)

z0p’(z0)=m q’()

Demonstrație:

Avem p(0)=q(0)=a și deoarece p(z) q(z) avem și p(U)q(U). Deoarece în plus funcțiile p și q sunt nalitice în U pot defini R0=sup{r:p(U(0,r)q(U)}

Tot din faptul că p(U)q(U) pentru 0<ro<1 avem p(U(0,ro)q(U) și p((0,r))q(U). Rezultă că există un punct z0U/E(q), astfel încât p(zo)q(U). Acesta implică faptul că există U/E(q), astfel încât p(zo)=q(o).

Din Lema 57 se vor deduce două cazuri particulare importante primul corespunzând situației când q(U) este un disc și al doilea când q(U) este un semiplan.

Cazul 1. Discul U(0,M) Dacă iau

cu M>0 și |a|<M atunci q(U)=D=U(0,M); q(0)=a; E(q)= Ø și qQ dacă există punctele zoU și U. Astfel încât p(z0)=q() și |p(z)|<M pentru |z|<|z0| atunci |p(z0)|=|q()|=M

și

inpunând z= avem:

De aici folosind relația obținem

Derivăm logaritmic egalitatea și rezulta

de unde rezultă

Lema 61:

Fie pH[a,n]; p(z)a; n1 și fie z0U astfel încât:

Atunci există numărul mn astfel încât:

(i)

(ii) Re

Cazul 2:

Semiplanul . Dacă luăm

Unde aC și Re a>, atunci punctele z0și / astfel încât p(z0)=q() și Re p(z)> pentru zU(0;) atunci Re p(z0)=

=q-1(p(z0))=

De asemenea și 1+

Punând z=ζ obțin ζ0 q’(ζ0) = – si Re + 1=0

Lema 62

Fie pe H[a,n]; p(z) ≥1 si fie z0 U astfel incat Re p(z0) = min{Re p(z) :│z│ < │z0│}

Atunci (i) z0 p’ (z0)≤-

ii) Re +1 ≥0

2.2 Clasa functiilor admisibile. Teoreme fundamentale

Definitia 63

Fie rC, fie functia q si n , n≥1.

Voi nota cu ψn[r,q] clasa functiilor ψ :C3xU C care satisfac conditia :Aψ(r,s,t,z) r

Atunci cand r=q(ζ), s= mζq’(ζ) Re[] ≥ mRe

Unde z, ξ \ E(q) si m≥n

Multimea [r,q] se numeste clasa functiilor admisibile iar conditia (A) se numeste conditie de admisibilitate.

Teorema 64

Fie ψ[r,n] unde q(0) = a. Daca functia pH [a,n] verifica conditia 2 p”(z);z) atunci p(z) <q (z)

Demonstratie

Presupunprin absurd ca p(z) < q(z). Din lema 57 stiu ca exista punctele

z0 U si ξ0 \ E(q) si un numar m≥n astfel incat sunt satisfacute conditiile

(i)– (iii) din aceasta lema. Utilizand aceste conditii cu r= p(z0) ;s= z0p’(z0) ; t= z02p’’(z0) si z= z0. in definitia obin.

(p(z0) ; z0p’(z0) ; z2p’’(z0);z0)

Teorema 65

Fie r fie q o functie univalenta in U cu q(0) =a si fie [r,qp] pentru un anumit p (0,1) unde qp(z)=q(pz). Daca p [a,n] atunci {p’’(z), z)} z} => => p(z) < q(z)

Demonstratie

Functia qp este univalenta in , deci E(qp) = Φ si qp. Clasa [r,qp] este o clasa de functii admisibile si din teorema obtin p(z) p(z) < qp(z)

Deoarece qp(z)<q(z) deducem p(z)<q(z)

In cazul special cand r, r≠ C este un domeniu simplu conex iar h adica functia h este o reprezentare conforma a lui U pe r notand n[h,q] [h(U),q] din teorema 65. se obtine ca o consecinta imediata urmatorul rezultat.

Teorema 66

Fie n[h,q] unde q(0) =a. Daca functia pe iar functia [p(z), zp’(z);z2p’’(z);z) atunci

(p(z); z p’(z); z2p’’(z);z) <h(z) => p(z)<q(z)

Teorema 67

Fie functia univalenta h si fie –> C .Presupunem ca ecuatia diferentiala

(q(z) , nzq’(z); n(n-1) zq’(z) +n2Z2q’’(z))=h(z) are o solutie q, cu q(0)=a si ca una din urmatoarele conditii este verificata

q si [h,q]

q este univalenta in U si n[h,qp] pentru un anumit

iii). q este univalentă în U și există un astfel încât pentru orice .

Dacă funcția p iar funcția atunci și funcția q este cea mai bună (a,n) dominant a subordonării.

Demonstrație:

Din teorema 64. și teorema 65 obțin că p(z)<q(z). Dacă iau p(z)=q(zn), atunci și

Astfel din relația de mai sus obținem

Deoarece p(U)=q(U) rezultă că funcția q ete cea mai bună (a,n) dominantă a subordonării din ipoteză.

În continuare vom aplica rezultatele de mai sus la două cazuri particulare importante care corespund situațiilor în care q(U) este un disc, respectiv când q(U) este un semiplan:

Cazul 1: Discul U(0,M). Dacă iau

cu M>0 și |a|<m atunci q(U)==U(0,M) q(0)=a; E(q)=Ø și q.

În această situație clasa funcțiilor admisibile va finatată cu iar în cazul particular când vom nota această clasă cu Deoarece q(ξ)=Mei, θ R când |ξ|=1 folosind relațiile și condiția de admisibilitate pentru clasa conform definiției va fi:

(A1’): atunci când

r = Mei; s=

Re

Unde z; și mn

În cazul particular a=0 condiția de admisibilitate de mai sus se reduce la:

(A0’): atunci când k, Re unde z și

Cazul 2. Semiplanul . Dacă luăm unde a și Re a>0, atunci q(U)=a, E(q)= și qQ.

În această situație, clasa funcțiilor adisibile va fi notată cu iar în cazul particular vom nota această clasă cu =. Deoarece Req(ξ)=0 când folosind relațiile si condiția de admisibilitate pentru clasa = conform definiției va fi:

(A1’’): atunci când

Unde zși n1

Teorema 68:

Fie funcția zC(z)H(U) cu |zC(z)|<1, z

Dacă este soluția unică a ecuației diferențiale

cu (0)=0 și ’(0)=1 atunci

Demonstrație:

Dacă notez atunci cu p(0)=0 iar ecuația diferențială dată devine

Deoarece ; z pentru n=1 rezultă că soluția ecuației diferențiale de mai sus verifică |p(z)|<1, z de unde rezultă concluzia teoremei.

Exemplu

Fie funcțiile A,B,C,D:U care verifică relațiile ReA(z)>0; z.

; z

Dacă funcția pH [1,n] atunci

; z

Demonstrație:

Fie funcția și a=1. Pentru început vom arăta că verificând dacă are loc condiția de admisibilitate (A0’’). Astfel –

unde . Din a doua din condițiile rezultă că ultima din expresiile de mai sus este mai mică sau egal cu zero, deci condiția de admisibilitate (A0’’) este verificată.

2.3Aplicații imediate ale metodei funcțiilor admisibile

În acest paragraf se vor prezenta utilitatea metodei funcțiilor admisibile în demonstrarea unor rezultate clasice din teoria funcțiilor univalente; obținând în unele cazuri extinderi interesante ale acestora.

Teorema 69: (Teorema lui A.Max și E. Strohhäcker)

Dacă funcția f atunci au loc următoarele implicații ; z

a) ; z, b)

; z; c) ; z; d) ; z

Funcția arată că toate aceste implicații sunt exacte.

Demonstrație:

a).Deoarece fși f este convexă rezultă că funcția și p(0)=1. Un calcul simplu ne arată că unde

Din ipoteza avem Re φ(p(z),zp’(z))>0, z. Pentru a demonstra ca Rep(z)>0, z, voi utiliza partea a doua a teoremei 67 iar pentru aceasta este necesar sa arat ca {1} Astfel Re(ip,) = +≤ daca si ≤ -. Deci {1} si aplicand teorema 67 obtin Rep(z)>0; z adica Re z

b) Daca notez p(z) = 2 atunci p si p(0)=1. Un calcul simplu ne arata ca.

unde

Din ipoteză avem Re z. Pentru a demonstra Re p(z)>0, zvom utiliza partea a doua a teoremei iar pentru aceasta este necesar să arătăm că Astfel,

Dacă și .Deci și aplicând teorema 64 obțin adică

c) Deoarece și f este convexă rezultă că funcția și p(0)=1. Un calcul simplu ne arata ca unde

Din ipoteză avem . Pentru a demonstra că vom analiza partea a doua a teoremei iar pentru aceasta este necesar să arătăm că .Astfel: dacă și .Deci și aplicând teorema obțin adică

d) dacă notăm atunci și . Un calcul simplu ne arată că unde

Din ipoteză avem . Pentru a demonstra că vom utiliza partea a doua a teoremei 64 iar pentru aceasta este necesar să arătăm că adică are loc condiția de admisibilitate dacă și . Dacă luăm din condițiile asupra lui și obținem: ceea ce implică faptul că este un punct din intervalul sau de pe frontiera paralelei de ecuație deci În concluzie, condiția de adminluhitate dată de relația este verificată deci și aplicând teorema 64 obțin adică .

Teorema 70(teorema lui G. M. Goluzin).

Dacă funcția atunci . Inegalitatea este exactă, funcția extremală fiind

Demonstrație

Dacă notez cu atunci și unde . Pentru a aplica teorema 66 este necesar să verific condiția de admisibilitatedeoarece . Unde și deci avem . Deoarece din relația de mai sus rezultă că și aplicând teorema 67 obținem adică concluzia teoremei

Teorema 71 (teorema lui D. J. Hallenbeck, S. Rus che Weyh).

Fie funcția convexă h cu h(0)=a și fie cu . Dacă funcția și atunci unde . Funcția q este convexă și este cea mai bună (a, n)dominantă a subordonării.

Demonstrație

Dacă notez atunci ipoteza teoremei devine . . Conform teoremei rezultă deci funcția h este o dominantă a subordonării. Exceptând normarea q(0)=a, integrală din relația de mai sus are aceeași formă deci . Deoarece funcția h este convexă și din partea a doua a teoremei deduc că funcția q este convexă în . Un calcul simplu ne arată că funcția q verifică ecuația diferențială. .

Fără a restrânge din generalitate, putem presupune că funcțiile și .

Ținând seama de această presupunere vom folosi punctul ( i ) al teoremei iar pentru aceasta este suficient să arătăm că . Condiția de admisibilitate pe care trebuie să o arătăm este: dacă și . Din 67 obțin și deoarece este un domeniu convex și rezultă că .

Deci q este cea mai bună (a.n) dominantă a subordonării.

Teorema 72 (teorema lui T.J.S Suffrige)

Fie functia stelata h cu h(0)=0 .Daca functia verifica subordonarea diferentiala

atunci

Functia q este cea mai buna (a,n) dominanta a subordonarii.

Demonstrație

Dacă notez atunci ipoteza teoremei devine . Un calcul simplu ne arată că funcția q verifică ecuația diferențială . Deoarece q este soluția univalentă a ecuației diferențiale de mai sus asociate subordonării diferențiale voi putea demonstra că funcția q este cea mai bună dominantă aplicând teorema 65. Fără a restrânge din generalitate, putem presupune că funcțiile și . Aceasta deoarece în caz contrar vom putea înlocui funcția h cu și funcția q cu iar aceste noi funcții au proprietatea cerută și apoi voi aplica punctul ( iii ) al teoremei 65

Ținând seama de această presupunere vom folosi punctul ( i ) al teoremei 63. iar pentru aceasta este suficient să arătăm că . Condiția de admisibilitate pe care trebuie să o arătăm este . Dacă și ceea ce este evident , fiind un domeniu stelat în raport cu originea.

Teorema 73 (teorema lui K. Sakaguchi, R.J. Libera, T.H. Mac Gregor)

Fie funcțiile cu și fie numărul . Dacă funcția N transformă discul unitate într-un domeniu stelat în raport cu originalul atunci Re

Demonstrație

Dacă notez atunci și . Din ipoteză și din definiția funcției rezultă . Deoarece funcția N este stelată, dacă luăm atunci , deci avem , iar din relația (9.3.13) deducem .Deoarece și obținem că , adică .

2.4 Teorema „Open Door” și aplicații

În acest paragraf voi demonstra teorema de existență și analiticitate a operatorului integral de formă. care a fost definit și studiat pentru prima dată de S. S. Miller, P. T. Mocanu și M.O. Reade în 1978. Pentru demonstrarea rezultatelor voi utiliza o anumită subordonare diferențială numită tema „Open Door”(adică tema “Porților Deschise”)

Definiția72

Fie numărul cu fie și definim . Dacă funcția univalentă R este definită prin relația , atunci vom nota cu funcția “Open Door” definită prin relația unde

Lema 74 (lema “Open Door”)

Fie numărul cu Rec>0 fie Rc,n funcția “Open Door” definită prin relația (2.5.3) și fie funcția care verifică subordonarea diferențială

Dacă funcția verifică ecuația diferențială atunci

Demonstrație

Fie funcția analitică g definită prin relația

este analitică în și .

În continuare voi folosi teorema 9.3.8 pentru a arăta că .

Dacă notăm și atunci aceasta poate fi scrisă sub forma .

Pentru a putea aplica teorema este necesar să arătăm că ceea ce este echivalent cu a arăta că verifică condiția de admisibilitate cu . Astfel, va trebui să demonstrez că dacă și .Voi demonstra prin reducere la absurd. Dacă presupun că una este adevărată atunci vor exista numerele și care verifică condițiile dar .Dacă scriu funcția sub forma atunci egalitatea de mai sus este echivalentă cu și .

.

Membrul drept al inegalității de mai sus este o funcție în iar un calcul simplu ne arată că valoarea sa maximă este deci . Analog, dacă se arată că . În concluzie în ambele cazuri avem

Teorema 75 “Open Door” sau teorema de existență a integralei

Fie funcțiile cu .Fie numerele astfel încât și Fie funcția și presupun că unde funcția Rc,n este definită de (2.5.3). Dacă este definită prin relația atunci și

Demonstrație

Rezulta , . Deoarece Re arăt că funcția p definită prin relația

p(z)=este analitică în și H.

Derivând relația de mai sus rezultă că funcția ap verifică ecuația diferențială cu și . Rezultă că avem . Astfel funcția verifică tema “Open Door” cu de unde rezultă deci p(z)rezultă că funcția F se poate scrie sub forma

Deoarece termenii din cele două paranteze din expresia de mai sus sunt funcții analitice nenule; rezultă și . Calculând dovada logaritmică a acestei egalități obțin:

de unde rezultă că aplicând (9.5.17) obțin: .

De aici și cele arătate mai sus se obține:

Deoarece condiția poate fi înlocuită cu condiția mai puternică și care la rândul său poate fi înlocuită cu condițiile mai puternice.

Dacă

Definiția76

Dacă definesc clasa atunci voi nota

Dacă definesc clasa atunci vom nota

Evident .

Teoremă77 (teorema lui R.J. Lilera)

Dacă este operatorul integral definit prin relația atunci

(i) L

(ii) L

(iii) L

Demonstrație:

Pentru să notez F=L(f). Din faptul că obțin că funcția și atunci și

i ). Dacă notez , din cele de mai sus rezultă și Derivând relația se obține: și .

Deoarece , avem:

Trebuie verificată condiția de admisibilitate (Ao). Și aceasta are loc deoarece:

Dacă și se obține adică

ii). dacă funcția aplicând punctul (i) demonstrat mai înainte se obține , deci .

Dacă notez atunci și și derivând apoi relația se obține și și deoarece rezultă unde

Deoarece aceeași funcție este aceeași cu cea de la punctul i ) condiția de administrare are loc, și în final se obține adică .

Din punctul ( ii ) demonstrat mai sus se obțin ca și din se obține și .

Și dacă notez și atunci și .

Cap.3. Subordonări diferențiale de tip Briot – Bouquet

3.1. Definiții și noutăți

Fiecu . Pentru functia , voi defini

Problema 1 Fiind data funcția cu în ce condiții există o funcție cu și să se gașească această funcție, astfel încât dacă atunci (*)

În plus să se găsească cea mai bună dominantă a subordonării de mai sus

Problema 2 Fiind dată funcția cu să se găsească o funcție

Cu astfel încât dacă atunci să aibă loc implicația (*)

Problemele de mai sus por fi reformulate după cum urmează: Să notez cu: și să presupun că deci implicația (*) devine

Definiția 78

1. Printr-un operator diferențial de tip Briot – Bouquet se înțelege un operator de forma unde fie

2. Funcția și fie funcția cu proprietatea . Printr-o subordonare diferențială de tip Briot Bouquet înțelegem o subordonare diferențială de forma .

3.2 Dominante ale subordonării diferențiale Briot – Bouquet

Un rezultat parțial referitor la prima problemă a fost dat de S. RuscheWezh și V. Singh în 1979.

În ei au arătat că pentru dacă funcția verifică subordonarea diferențială și dacă este soluția momorfă a ecuației diferențiale atunci mum..

Primul rezultat pe care îl voi prezenta, datorat lui P. J. Einigenleurg, S. S. Miller, P. T. Mocanu și M.O. Reade ne dă un răspuns la prima problemă formulată în cazul în care h este o funcție convexă și totodată generalizează rezultatul de mai sus.

Teorema 79.

Fie și fie funcția convexă h la care verifică . Dacă funcția atunci

Demonstrație:

Dacă notez atunci concluzia teoremei se csrie sub forma .

Pentru a demonstra implicația de mai sus voi aplica teorema 76 pentru aceasta va trebui să arăt că pentru , adică voi arăta că pentru și .

Notând din ipoteză rezultă că: adică ceea ce înseamnă .

Deoarece este normală exterioară la frontiera domeniului convex. în punctul , folosind inegalitatea de mai sus rezultă deci pentru . si se deduce că

Teorema80

Fie și fie ho funcție convexă. Presupunem că ecuația diferențială Briot – Bouquet: are o soluție care verifică . Dacă atunci iar funcția q este cea mai bună (a, n) dominantă a subordonării de mai sus, funcția extremală fiind .

Demonstrație

Notând , ipoteza teoremei pentru a demonstra implicația , este suficient să arăt că pentru adică arăt că pentru și întrucât funcția q verifică ecuația diferențială deduc că unde . Deoarece conform ipotezei funcția h este convexă și ; din egalitatea de mai sus deduc că , deci pentru . de aici, rezultă .

Deduc imediat că funcția q este cea mai bună (a,n) dominantă dacă înlocuim în subordonarea din ipoteză cu și comparăm aceasta cu relația

În acest caz obținemși . Deci funcția extremală este

Teorema 81

Fie și fie funcția univalentă cu q(0)=a , astfel încât ;i .

Voi nota și presupun că :

a) și

b) h este convexă sau este convexă (sau Q este stelată)

Dacă verifică subordonarea diferențială de tip Briot – Bouquet atunci și q este cea mai bună (a, n) dominantă a subordonării.Funcția extremală este iar funcția q este soluția ecuației diferențiale Briot – Bouquet.

Demonstrație:

Deoarece funcția verifică subordonarea rezulta și unde. Folosind definiția funcției , subordonarea poate fi scrisă sub forma .

Notând avem și din valența de mai sus rezultă . Deoarece sunt verificate toate condițiile din ipoteza teoremei obțin că iar această subordonare este exactă. De aici, folosind definiția funcției rezultă subordonările exacte adică .

Soluții univalente ale ecuației diferențiale Briot – Bouquet

În acest paragraf voi prezenta condiții suficiente care să asigure analiticitatea și univalența soluțiilor ecuațiilor diferențiale de tip Briot – Bouquet. Primul rezultat pe care îl voi prezenta arată existența unor relații de subordonare între soluțiile anumitor ecuații diferențiale de tip Briot – Bouquet.

Teorema 82

Fie și fie funcția convexă h care verifică

Fie și soluțiile univalente ale ecuației diferențiale Briot – Bouquet pentru n=m respectiv n=K

Dacă atunci . În particular

Demonstrație

Luând în ecuație n=m obtin că si

Dacă pun în ecuația de mai sus și înlocuim z cu , obțin

Notând , ultima relație se reduce la .

Ținând seama de această ultimă relație aplicând teorema 78 pentru și ,obținem . De aici avem de unde

Teorema 83

Fie și fie funcția cu astfel încât , unde . Dacă ; atunci soluția q a ecuației diferențiale Briot – Bouquet cu , este analitică înU si se verifică relația .

Dacă , atunci soluția este:

unde

Dacă este: unde

Demonstrație

Deoarece voi defini funcția g prin relația dacă a=0 dacă

unde puterile sunt considerate în determinarea principală adică .

În ambele cazuri și . În continuare, folosind teorema „Open Door” voi arăta ca .

Derivând relatia de mai sus și calculând derivata logaritmică a relațiilor în ambele cazuri obțin: .

Înlocuind cu și notând și rezultă unde , și conform ipotezei . de aici aplicând teorema „Open Door” obțin

Voi defini funcția q prin relația . Deoarece rezulta și funcția q verifică inegalitatea .

adică funcția q este soluția ecuației diferențiale.

Corolarul 84

Fie și fie funcția cu astfel încât Rec>0 unde . Notând dacă presupun că :

( i )

( ii ) și log. H sunt convexe, atunci soluția q a ecuației diferențiale Briot – Bouquet este univalența în U.

Demonstrație

Dacă notez , atunci . Deoarece funcția G este convexă rezultă .

Fie funcția

Din ( i ) și din inegalitatea de mai sus obțin deci sunt verificate condițiile ipotezei din teorema anterioară de unde rezultă univalența funcției q.

Bibliografie selectivă

1.Petru T. Mocanu, Teodor Bulboacă; Grigore Șt. Sălăgean – Teoria geometrică a funcțiilor univalente Ed.Casa Cărții de știință Cluj, 1999

2. Hamleurg P., Mocanu P. și Negoescu N., – Analiză matematică (Funcții complexe) – Ed. Didactică și Pedagogică București 1982

3. C Andreian Cazacu,- Teoria funcțiilor de mai multe variabile complexe; București, 1971, Editura și pedagogică

4. T. Bulboacă,- On some classes of differential subordinations, Studia Univ. Babeș – Bolyai, Math., 31, 1(1986), 45-50

5. P.T. Mocanu – Asupra razei de stelaritate a funcțiilor univalente, Studii și cerc. mat.; Cluj 11,2 (1960), 337-341

6. P.T. Mocanu, -Appha- convex monanalytic functions.Mathematica (Cluj); 29 (52), 1(1987), 49-55