Clasa de Inele

Politehnica

Clasa de Inele

Byadmin ianuarie 1, 2024

Clase de inele

CUPRINS

Introducere

PARTEA I

Capitolul I – Generalități despre inele

I.1. Definiție, exemple, divizor al lui zero, domeniu de integritate,caracteristica unui inel

I.2. Subinele, ideale, ideale principale

I.3. Morfisme de inele, teoreme de izomorfism

Capitolul II – Clase remarcabile de inele

II.1. Inele euclidiene

II.2. Inele factoriale

II.3. Inele principale

Capitolul III – Inele de polinoame

Polinoame simetrice

PARTEA II

Capitolul IV – ABORDĂRI DIDACTICE – Aspecte metodice ale predării unor teme cu noțiuni cuprinse în prezenta lucrare

IV.1. Învățarea în context concentraționar

IV. 1.1. Mediul de detenție. Considerații generale

IV.1.2. Profilul psihosociologic al elevului din penitenciar

IV.2. Demersul didactic adresat persoanelor private de libertate

IV.2.1. Considerații generale. Repere curriculare

IV.2.2. Metode didactice pentru învățarea adulților

ANEXE

ANEXA 1 – Repere curriculare

ANEXA 2 – Modele de proiectare didactică

Bibliografie

INTRODUCERE

Importanța inelelor este evidentă în rezolvarea problemelor legate de mulțimi înzestrate cu două operații binare.

În predarea matematicii, elevii sunt familiarizați cu suma și produsul a două numere naturale încă din primii ani de studiu. La acest nivel ei operează cu suma și produsul a două numere naturale. Înțelegerea definițiilor științifice ale operațiilor de adunare și înmulțire devin abordabile în liceu. La acest nivel elevii au suficiente achiziții pentru a parcurge un demers mai complex – definirea corectă a relațiilor de adunare și înmulțire în mulțimea numerelor întregi, raționale, reale, complexe, în mulțimea polinoamelor cu o nedeterminantă, în mulțimea matricelor pătratice.

Introducerea noțiunii de inel deschide în această etapă o perspectivă mai largă pentru integrarea problemelor legate de mulțimi înzestrate cu două operații binare.

În prima parte a lucrării, în capitolul I – Generalități despre inele, vom prezenta noțiunea de inel, subinel, divizor al lui zero, domeniu de integritate, ideal, ideal principal, exemple de inele, morfisme de inele și teoreme de izomorfism.

În capitolulul II – Clase remarcabile de inele vom discuta despre inele euclidiene, factoriale și principale.

În capitolul III – Inele de polinoame vom face referire la polinoame simetrice. Un mare număr de probleme elementare de algebră fac apel la noțiunile pe care le vom dezvolta în acest capitol și care pot astfel juca un rol important în educația matematică a elevilor.

În partea a doua a lucrării, în capitolul IV – ABORDĂRI DIDACTICE – Aspecte metodice ale predării unor teme cu noțiuni cuprinse în prezenta lucrare, vom urmări un aspect particular al statutului disciplinei Matematică, evidențiat în practica didactică desfășurată în contextul special al școlii din penitenciar.

Problematica identificată în acest context este foarte complexă. Pentru delimitarea unui cadru teoretic al discuției, am sintetizat, într-un prim capitol date privind învățarea în context concentraționar. Programele educative destinate deținuților oferă unor oameni aflați într-o situație socială marginală, defavorizată, posibilitatea de a-și completa instruirea pentru a avea o șansă reală la reinserție socială după eliberarea din penitenciar.

Dezvoltarea unor mecanisme de intervenție eficiente pentru atingerea scopurilor enunțate mai sus presupune cunoașterea datelor contextului tratat în care trebuie să se desfășoare procesul educativ (particularitățile mediului de detenție, profilul psihosociologic al elevului din penitenciar). Potențialul patogen al mediului privativ cumulează constrângerile formale și presiunea unei culturi informale care se dezvoltă ca mijloc de rezistență la normele oficiale. Echilibrul personalității acestor oameni este tulburat de reducerea spațiului de viață, suspendarea viitorului, relativitatea trecutului, izolare și abandon.

Scopul declarat al programelor de intervenție psihosocială în sistemul penitenciar este acela de ameliorare a condiției umane a deținuților. Identificarea unor modalități eficiente de intervenție și mai ales punerea lor în practică rămân provocări cotidiene pentru educatorii din penitenciare.

Activitatea didactică desfășurată în penitenciar furnizeză o serie de date care conturează un context socio-educativ problematic. Istoricul educațional al elevilor din penitenciar susține ideea unei relații între eșecul școlar și delincvență Performanța școlară în penitenciar este slabă așa încât interogația asupra cauzelor eșecului școlar persistă.

Tristul bilanț pe care îl arată evaluarea elevilor care își completează școlaritatea obligatorie în regim de detenție semnalează unele fenomene, marginale poate, ce au determinat blocajul accesului lor la educație și au anulat pentru acești oameni șansa unei dezvoltări personale dezirabile

Capitolul următor reunește câteva repere pentru demersul didactic adresat persoanelor private de libertate pornind de la o lectură selectivă a curriculei cu accent pe valorile și atitudinile promovate prin studiul matematicii, astfel încât să se articuleze eficient în demersul educativ adresat unor adulți tineri care continuă în detenție învățământul obligatoriu abandonat în copilărie sau în adolescență. În acest sens am considerat utilă o sinteză a metodelor didactice destinate adulților, selectate în funcție de caracteristicile învățării la această vârstă: autonomie, auto-direcționare, o bază de cunoștințe și experiențe de viață, orientarea către scopuri și către relevanță, nevoia de a fi tratați cu respect, stil și ritm de învățare stabilizat. Alegerea sau dezvoltarea unor metode eficiente presupune flexibilitate, creativitate și o abordare individualizată a fiecărei lecții. Aceste repere ale conduitei didactice vor fi exemplificate prin modele de instrumente de proiectare a activității curriculare și instrumente de evaluare.

PARTEA I

CAPITOLUL I

GENERALITĂȚI DESPRE INELE

I.1. Definiție, exemple, divizor al lui zero, domeniu de integritate, caracteristica uneui inel.

Mulțimea Z a numerelor întregi, înzestrată cu operațiile de adunare și de

înmulțire a servit ca bază aritmeticii, dar și algebrei, în care, prin preluarea diferitelor proprietăți ale acestei mulțimi, s-au construit structuri noi.

Definiție: Se numește inel, o mulțime nevidă R, înzestrată cu două legi de

compoziție, notate de obicei aditiv și multiplicativ, astfel încât:

R are structură de grup abelian în raport cu legea aditivă;

R are structură de smigrup în raport cu legea multiplicativă;

Legea multiplicativă este distributivă în raport cu legea aditivă.

Observații: 1) Pentru a nu complica scrierea, atunci când este posibil, vom

folosii notațiile și pentru cele două legi de compoziție, prin analogie cu cele două operații din mulțimea numerelor întregi. Convenim de asemenea să scriem în loc de . Elementul neutru al operației aditive îl vom nota cu 0. Simetricul elementului x îl notăm cu și îl numim opusul lui x, iar în loc de notăm pe scurt . Condiția c) din definiție se scrie:

și

2) În teoria generală a inelelor se consideră și alte sistemede axiome pentru structura de inel, diferite de cele de mai sus. De exemplu, condiția de asociativitate a operației multiplicative este eliminată, iar un inel care satisface și această condiție este numit inel asociativ. Această variantă adaugă sistemului de axiome din definiția 1.1 condiția ca operatția multiplicativă să aibă element unitate. Păstrând sistemul de axiome din definiția 1.1, un inel în care operația multiplicativă are element unitate se va numi inel cu unitate sau inel unitar, iar elementul său unitate, atunci când nu există pericolul unei confuzii se va nota cu 1.

3) Dacă legea de compoziție multiplicativă a inelului R este comutativă, atunci inelul R se numește inel comutativ.

4) Pe mulțimea R formată dintr-un singur element x, se poate defini o singură structură de inel, punând . În aceste caz x=1=0 și R se numește inel nul. Un inel care conține cel puțin două elemente se numește inel nenul.

5) Dcă R este un inel unitar, atunci elementele lui R simetrizabile în raport cu operația multiplicativă, se numesc elemenete inversabile sau unități ale inelelui R. Inversul sau simetricul lui x îl vom nota cu . Mulțimea unităților inelului R se notează cu U(R) și, așa cu este cunoscut din cazul monoizilor, U(R) are o structură de grup în raport cu operația multiplicativă. Acest grup se numește grupul multiplicativ al elementelor inversabile ale inelului R . Elementul unitate 1 al inelului R este una din unitățile inelului R și are rol de element neutru al grupului U(R).

1.3. Exemple cunoscute de inele:

1) Mulțimea numerelor întregi Z cu adunarea și înmulțirea obișnuită formează un inel numit inelul numerelor întregi, notat . Acesta este un inel comutativ. Elementul nul este 0, iar elementul unitate este 1. Pentru inelul , .

2) este un inel comutativ, numit inelul numerelor raționale. Pentru , .

3) este un inel comutativ numit inelul numerelor reale. Pentru , .

4) este un inel comutativ, numit inelul numerelor complexe. Pentru , .

5) Dacă M este o mulțime, atunci tripletul este un inel comutativ, unde se numește diferența simetrică definită astfel:

Elementul nul este, elementul unitate este M. În acest inel

6) Inelul întregilor lui Gauss. Pe mulțimea se definesc operațiile obișnuite de adunare și înmulțire ale numerelor complexe. Tripletul este un inel comutativ numit inelul întregilor lui Gauss. Elementul nul este , iar elementul unitate este . Atunci .

7) Dacă sunt inele, atunci produsul cartezian este inel în raport cu operațiile de adunare și înmulțire definite astfel:

8) Fie G un grup abelian, mulțimea endomorfismelor lui G. Definim pe următoarele operații:

Atunci este un inel unitar necomutativ. Elementul unitate este funcția identică.

9) Fie un inel și mulțimea matricelor pătratice de ordin n cu elemente din R. Atunci este un inel, unde și, reprezintă adunarea, respectiv înmulțirea matricelor.

Din axiomele inelului se pot deduce o serie de consecințe care sunt numite reguli de calcul într-un inel.

Propoziție: Dacă R este un inel, atunci:

și

unde . În particular,

, unde

Dacă R este un inel comutativ, x și y sunt elemente din R și atunci are loc formula binomului lui Newton:

Demonstrație:

Pentru orice avem datorită

distributivității înmulțirii față de adunare. Adunând la ambii membrii ai egalității obținem Analog, se arată că,

avem:

și , deci Analog, se arată că

În plus,

Relația se obține prin calcul:

Analog, .

Relația se demonstrează prin inducție după . Pentru relația devine Presupunând egalitatea adevărată pentru un număr natural n,

Relația se demonstrează prin inducție după m.

Relația se demonstrează prin inducție după n.

Dacă în inelul unitar R, 1=0 atunci R este inel nul. Întradevăr pentru orice

element , avem: .

Prin urmare, condiția, 1=0, este necesară și suficientă ca un inel să fie nul.

Observație: Din propoziția 1.4. rezultă că dacă în produsul xy unul din factori este 0, atunci produsul este 0. Este posibil și cazul în care produsul este 0 fără ca vreunul din factorii săi să fie 0. Acești factori se numesc divizori ai lui zero.

Definiție: Elementul , se numește divizor la stânga (la dreapta) al lui zero dacă există , astfel încât

Observații: 1) Dacă inelul R este comutativ, atunci noțiunile de divizor la stânga și divizor la dreapta al lui zero coincid.

2) Dacă nu este divizor la stânga (la dreapta) al lui zero și , atunci din rezultă Într-adevăr, din se obține, de unde sau Analog se demonstrează și pentru cazul al doilea.

Definiție: Un element x al inelului R se numește element regulat dacă nu este divizor al lui zero nici la stânga, nici la dreapta.

Definiție: Un inel R nenul comutativ, unitar și fără divizori ai lui zero diferiți de zero se numește domeniu de integritate sau inel integru.

Exemple Întradevăr pentru orice

element , avem: .

Prin urmare, condiția, 1=0, este necesară și suficientă ca un inel să fie nul.

Observație: Din propoziția 1.4. rezultă că dacă în produsul xy unul din factori este 0, atunci produsul este 0. Este posibil și cazul în care produsul este 0 fără ca vreunul din factorii săi să fie 0. Acești factori se numesc divizori ai lui zero.

Definiție: Elementul , se numește divizor la stânga (la dreapta) al lui zero dacă există , astfel încât

Observații: 1) Dacă inelul R este comutativ, atunci noțiunile de divizor la stânga și divizor la dreapta al lui zero coincid.

2) Dacă nu este divizor la stânga (la dreapta) al lui zero și , atunci din rezultă Într-adevăr, din se obține, de unde sau Analog se demonstrează și pentru cazul al doilea.

Definiție: Un element x al inelului R se numește element regulat dacă nu este divizor al lui zero nici la stânga, nici la dreapta.

Definiție: Un inel R nenul comutativ, unitar și fără divizori ai lui zero diferiți de zero se numește domeniu de integritate sau inel integru.

Exemple: 1) Inelele sunt inele integre.

2) În inelul matricelor pătratice de ordinul doi, cu elemente din R,

matricele:

; (matricea nulă – elementul nul al inelului .

; sunt divizori ai lui zero deoarece .

În general în inelul există divizori ai lui zero.

3) Fie R un inel și M o mulțime oarecare nevidă. Mulțimea a funcțiilor definite pe M și cu valori în inelul R se poate înzestra în mo natural cu o structură de inel, definind următoarele operații pentru f și g :

Elementul neutru al acestui inel este funcția definită prin . Funcția definită prin este opusa lui f în raport cu structura aditivă definită pe . Dacă R este un inel unitar atunci și este inel unitar, având ca element unitate funcția , definită prin . Dacă M conține cel puțin două elemente, atunci în există divizori ai lui zero. Într-adevăr, fie fixat și funcțiile definite prin:

,

Funcțiile f și g sunt divizori ai lui zero deoarece și

4) Deaoarece în produsul direct al inelelor A și B există totteauna divizori ai lui zero pentru A și B inele nenule, rezultă că produsul direct a două inele integre nu este un inel integru.

1.11. Propoziție: Dacă A și B sunt inele unitare atunci:

Demonstrație: Dacă și iar și sunt inversele acestor elemente în A, respectiv în B, atunci Analog, Deci, și Dacă , atunci există pentru care . De aici rezultă că și adică și iar și

1.12. Definiție: Se numește corp un inel K cu astfel încât orice este inversabil.

1.13. Observație: dacă în plus în corpul K are loc relația: atunci corpul K se numește corp comutativ.

1.14. Propoziție: Într-un corp nu există divizori ai lui zero.

Demonstrație: Fie K un corp și , astfel încât Vom arăta că sau .

Dacă atunci există și deci de unde

1.15. Consecință: Orice corp comutativ este domeni de integritate.

1.16. Teoremă: Fie inelul , unde Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) este domeniu de integritate;

2) n este număr prim;

3) este corp.

Demonstrație: .

Presupunem prin reducere la absurd că n nu este prim. Deci , astfel încât

Din și din Avem însă că Adică ar avea divizori ai lui zero, ceea ce ar contrazice ipoteza.

Să arătăm că orice element nenul este inversabil. Din rezultă că n nu este divizibil cu x și cum n este prim, rezultă deci există astfel încât de unde Deci există astfel încât adică este inversabil. Prin urmare este corp.

Rezultă din consecința 1.15.

Fie un inel. Pentru și , definim:

1.17. Proprietăți: Pentru orice și orice avem:

1)

2)

3)

4)

1.18. Teoremă: Fie un inel. Următoarele afirmații sunt echivalente:

1) sau

2) și și și

Demonstrație:

Presupunem că există și astfel încât Atunci

sau Cum ceea ce contrazice presupunerea făcută. Analog se verifică cea de-a doua implicație.

Fie . Vom arăta că sau . Dacă atunci din

Caracteristica unui inel.

Fie un inel și Vom spune că dacă:

.

Vom spune că , dacă

1.19. Definiție: Fie un inel.

Dacă x are ordin finit, atunci caracteristica lui R (notată carR) este .

Dacă astfel încât , atunci caracteristica lui R este 0.

1.20. Teoremă: Fie un inel cu . Atunci toate elementele regulate ale lui R au același ordin și carR coincide cu ordinul comun al elementelor regulate.

Demonstrație: Fie un element regulat și y un element oarecare al lui R. Cum sunt finite. Notăm și . Vom arăta că .

Avem: și, pe de altă parte, . Deoarece x este element regulat, rezultă că deci de unde deoarece

Dacă este un alt element regulat al lui R și atunci, conform celor de mai sus, rezultă că

Reluând raționamentul pentru element regulat și x element al lui R obținem

Deci, , adică toate elementele regulate au același ordin.

Mai mult, obținem unde neste ordinul comun al elementelor regulate.

1.21. Teoremă: Fie un inel unitar. Avem dacă și numai dacă n este cel mai mic întreg pozitiv astfel încât

Demonstrație: Avem este ordinul comun al elementelor regulate, deci Dar, de unde . Deci, .

Vom arăta că n este cel mai mic număr întreg cu această proprietate.

Presupunem că astfel încât În particular, contradicție cu

Conform teoremei 1.20.

Vom arăta că

Notăm deci de unde avem

Ținând cont de ipoteză, rezultă și tot din ipoteză, avem de unde deci

Așadar,

1.22. Teoremă: Fie un domeniu de integritate. Atunci sau carR este un număr prim.

Demonstrație: Presupunem că avem și n nu este un număr prim. Deci astfel încât Fie Cum R este domeniu de integritate, rezultă că x este element regulat. Conform teoremei 1.21. avem deci, de unde Deaorece R nu are divizori ai lui zero avem că, sau contradicție cu și

Așadar, este un număr prim sau

1.23. Consecință: Orice corp are caracteristica zero sau un număr prim.

1.24. Teoremă: Pentru orice există un inel de caracteristică n.

Demonstrație: Pentru considerăm inelul a cărui caracteristică este zero, deoarece

Pentru considerăm inelul nul, iar pentru considerăm inelul Avem

I.2. Subinele, ideale, ideale principale.

2.1 Definiție: Fie un inel. O submulțime nevidă a inelului R se

numește subinel al inelului R, dacă legile de compoziție din R induc legi de compoziție pe împreună cu care formează un inel.

2.2. Observație: Definiția poate fi reformulată astfel:

Dacă este inel, iar atunci este subinel al inelului R dacă:

este subgrup al grupului

este submonoid al monoidului

Condițiile 1) și 2) se rescriu echivalent:

1’)

2’)

Un subinel se numește subinel unitar dacă, în plus,

2.3. Observație: Există subinele ale unui inel unitar care nu sunt unitare. De

exemplu este subinel al lui care nu conține 1.

2.4. Definiție: Fie un inel și I o submulțime a sa nevidă, I se numește ideal stâng (sau ideal la stângă) al lui R dacă I satisface condițiile:

1)

2)

I se numește ideal drept (sau ideal la dreapta) al inelului R dacă pe lângă condiția 1) mai verifică și condiția:

.

I se numește ideal bilateral dacă satisface condițiile 1), 2) și 3).

2.5. Observație: Dacă R este inel comutativ, atunci condițiile 2) și 3) coincid,

deci, într-un astfel de inel, idealele stângi, idealele drepte și idealele bilaterale concid și le vom numi simplu ideale.

Din condiția 2) sau din condiția 3) rezulta condiția 2’) din observația 2.2, prin urmare orice ideal stâng (drept, bilateral) al inelului R este și un subinel al inelului R.

2.6. Exemple: 1) R și sunt ideale bilaterale ale oricărui inel R. Aceste ideale se numesc improprii.

2) Mulțimea a multiplilor numărului întreg n este un ideal (bilateral) al inelului Z.

3) Mulțimea matricelor de forma cu (R un inel comutativ) este un ideal stâng al inelului dar nu este un ideal drept. Analog, mulțimea matricelor de forma este un ideal drept al lui , fără a fi un ideal stâng. Mulțimea matricelor de forma este un subinel al lui fără a fi ideal stâng sau ideal drept, deoarece nu este îndeplinită niciuna din condițiile 2) sau 3). Dacă I este un ideal bilateral al inelului R, atunci mulțimea matricelor de forma cu este un ideal bilateral al lui .

4) Dacă a este un element al inelului R, atunci este ideal stâng, iar este ideal drept.

5) Fie a un element al inelului R. Atunci este un ideal sțâng și se numește ideal principal stâng generat de a,iar este un ideal drept și se numește ideal principal drept generat de a.

Observăm că și

2.7. Propoziție: Dacă R este un inel cu unitate, atunci și

Demonstrație: Fie Avem pe de altă parte, deci,

Analog, se arată că

2.8. Definiție: Un inel în care orice ideal este principal, se numește inel cu ideale principale sau inel principal.

2.9. Exemplu: Z este inel cu ideale principale.

Fie R un inel și

2.10. Definiție: Se numește ideal stâng generat de idealul

Analog, idealul drept generat de este idealul

.

Fie

2.11. Se numește ideal stâng generat de I idealul:

Analog, idealul drept generat de I este idealul:

Observăm că și

Analog, și

2.12. Propoziții: Fie R un inel cu unitate și I un ideal stâng (drept, bilateral) al lui R. Au loc următoarele afirmații:

1) dacă atunci

2) dacă inversabil,atunci

Demonstrație: 1) Fie Avem cu și deci adică

2) Din a inversabil rezultă că astfel încât și atunci conform cu 1)

2.13. Propoziție: Fie un inel cu unitate. Atunci R este corp dacă și numai dacă R nu admite ideale proprii.

Demonstrație: Fie I un ideal stâng (drept, bilateral). I poate fi idealul nul, care este ideal impropriu al lui R, sau I poate fi nenul. În acest ultim caz, Deoarece R este un corp, reultă că a este invcersabil, și, atunci, conform propoziției 2.12. obținem Deci și în acest caz I este ideal impropriu.

Vom arăta că orice element nenul este inversabil. Avem că Ra este ideal stâng al lui R și, în plus, este nenul, deoarece Dar R nu are ideale proprii, deci astfel încât adică a admite invers la stânga.

Similar, este ideal nenul al lui R , deci adică astfel încât În final, deci a este inversabil.

2.14. Observație: Există inele fără ideale proprii și care să nu fie corpuri. Putem considera, de exemplu, grupul cyclic de ordin prim p generat de a, și presupunem pe G operația notată aditiv. nu are subgrupuri proprii.

Definim pe G operația Atunci este un inel fără unitate, deci nu poate fi corp, și nu are ideale proprii deoarece nu are subgrupuri proprii.

2.15. Operații cu ideale.

Fie R un inel și I și I’ ideale stângi (drepte, bilaterale) ale lui R.

2.15.1. Interecția idealelor I și I’ este un ideal stâng (drept, bilateral) al lui R. Mai mult, dacă este o familie de ideale stângi (drepte, bilaterale) ale lui R, atunci este un ideal stâng (drept, bilateral).

2.15.2. Suma idealelor I și I’ este un ideal stâng (drept, bilateral):

.

Mai mult, dacă este o familie de ideale stângi (drepte, bilaterale) ale lui R, atunci:

este un ideal stâng (drept, bilatereal).

Pentru o familie oarecare de ideale stângi (drepte, bilaterale), idealul sumă este:

, pentru orice i cu excepția unui număr finit de indici.

2.15.3. Produsul idealelor I și I’ este un ideal stâng (drept, bilateral):

Să verificăm dacă este ideal stâng (drept, bilateral).

Fie elemente ale lui Atunci , unde și și și .

Pentru orice și orice avem:

Fie un inel comutativ și I un ideal al lui R. Atunci este ideal al lui R.

Vom verifica cele două condiții din definiția unui ideal.

Fie Atunci

Vom arăta că pentru orice avem sau . Întradevăr, dacă am presupune că am avea și atunci cee ace este fals!

Deci, sau .

Dacă atunci deci .

Dacă avem atunci deci de unde

Prin urmare, toți termenii din dezvoltarea adică

Pentru orice și orice avem: și cum inelul R este comutativ, rezultă că adică

Caz particular: Pentru I=0, idealul

se numește ideal prim al inelului comutativ R.

Definiție: Un element x al inelului R se numește nilpotent dacă există astfel încât

Teoremă: Fie R un inel și o relație de echivalență pe R

compatibilă cu structura de inel (adică, și . Atunci clasa de echivalență a lui 0,este ideal bilateral în R, iar relația poate fi caracterizată prin

Reciproc, dacă I este un ideal bilateral al lui R, relația binară definită prin este o relație de echivalență pe R, compatibilă cu structura de inel, iar

Observație: Din teorema 2.17. rezultă că există o corespondență

bijectivă între relațiile de echivalență compatibile cu structura de inel și mulțimea idealelor bilaterale ale lui R

Demonstrație: este grup abelian și este relație de echivalență compatibilă cu „+”. Conform rezultatului similar de la grupuri, rezultă că este subgrup și .

Să mai arătăm că este ideal bilateral.

este subgrup în raport cu „+”,

avem și atunci datorită compatibilității relației , rezultă și adică

Dacă I este ideal bilateral, atunci I este, în particular, subgrup și

atunci este o relație de echivalență, compatibilă cu „+” și .

Să mai arătăm că este compatibilă și cu

Fie și . Atunci de unde și

adică, și

Dacă este inel și I este un ideal bilateral al lui R, iar este relația de echivalență indusă de I, atunci este divizor normal în grupul comutativ , deci putem vorbi de grupul cât ale cărui elemente sunt clase de echivalență relaive la și au forma

este un grup comutativ. Putem defini o operație de înmulțire pe astfel:

Se verifică ușor că înmulțirea este bine definită pe , că este subgrup și că are loc distributivitatea înmulțirii față de adunare în .

Așadar, este un inel, numit inel cât (factor) al lui R relativ la idealul bilateral I.

2.19. Observație: Dacă inelul R are unitate, atunci inelul are unitatea .

2.20. Exemplu: Pentru este ideal în Z.

Inelul factor al lui Z relativ la nZ este:

și se notează cu

I.3. Morfisme de inele. Teoreme de izomorfism.

3.1. Definiție: Fie și două inele. O aplicație se numește morfism (sau omomorfism) de inele dacă satisface următoarele două condiții:

1)

2)

3.2. Observație: 1) Din definiția 3.1. rezultă că orice morfism de inele este morfism de grupuri, de la grupul aditiv al lui R, la grupul aditiv al lui R’. Atunci dacă este morfism de inele, din proprietatea morfismelor de grupuri, avem că:

a) (unde zero este elemental nul al lui R, iar 0’ este elemental nul al lui R’ (vom spune simplu că un morfism de inele „duce” elementul nul în elementul nul).

b) (imaginea opusului din morfism este opusul imaginii).

Condiția 2) spune că este morfism de semigrupuri.

2) Pentru inelele R și R’ din condiția 2) nu se poate deduce că (1 este elementul unitate pentru R iar 1’ este elementul unitate al lui R’. Dacă în plus, R’ este domeniu de integritate atunci

3.3. Definiție: Fie și două inele uinitare. Un morfism de inele cu proprietatea că se numește morfism unitar de inele. (1, respectiv 1’ sunt elemente unitate din R, respective R’).

Un morfism de inele de la un inel la el însuși se numește endomorfism al inelului respectiv.

3.4. Exemple: 1) Fie R și R’ două inele. Aplicația definită definită prin este un morfism de inele numit morfismul nul.

Se verifică ușor cele două condiții din definiție:

1)

2)

2) Fie R un inel. Aplicația identică este un morfism unitar de inele aparținând endomorfismelor lui R.

3) Fie inelul . Atunci aplicația definită prin este un morfism de inele pentru că avem:

1)

2)

4) Aplicația este un morfism de inele, numit morfismul canonic.

3.5. Definiție: 1) Un morfism de inele se numește morfism injectiv, dacă f este injectivă.

2) Un morfism de inele se numește morfism surjectiv, dacă f este surjectivă.

3) Un morfism de inele se numește izomorfism dacă f este bijectivă.

Dacă între două inele R și R’ există cel puțin un izomorfism de inele spunem că inelele sunt izomorfe și scriem (citim: inelul R este izomorf cu inelul R’).

3.6. Observație: 1) Aplicația este izomorfism de inele dacă:

a) f este morfism de inele;

b) f este bijectivă.

2) Dacă două inele sunt izomorfe, atunci grupurile aditive sunt izomorfe, iar monoizii sunt de asemenea izomorfi.

3) Morfismul de inele este injectiv dacă ( se numește nucleul morfismului f).

4) Un izomorfism de la inelul R la el însuși se numește automorfism.

3.7. Exemple: 1) Fie R un inel. Aplicația identică este un automorfism al inelului R. Am arătat la exemplul 3.4. 2) că este endomorfism al inelului R. Cum este o aplicație bijectivă, deducem că este automorfism al inelului R.

2) Morfismul este bijectiv, deoarece f este injectiv, adică dacă:

și , ceea ce dă

Aplicația f este surjectivă deoarece pentru , atunci există pentru care .

Comportarea subinelelor la morfisme de inele este dată de următoarea teoremă.

3.8. Teoremă: Fie un morfism de inele. Atunci:

1) Pentru orice subinel B al lui R, mulțimea B’=f(B) este subinel al lui R’; în particular este subinel al lui R’.

2) Dacă f este morfism injectiv, atunci R este izomorf cu un subinel al lui B.

Demonstrație: 1) Se traduce morfismul de inele în limbaj de morfism de grupuri aditive și morfism de monoizi , iar subinelul B al lui R ca subgrup al lui și respective monoid al lui și se ține seama că imaginea unui subgrup al lui prin f este subgrup al lui și imaginea unui monoid al lui este tot monoid al lui demonstrația lui 1) este imediată.

2) Dacă R este morfism injectiv de inele, atunci ( este subinel al lui R’.

3.9. Observație: Prima afirmație din teorema 3.8. se poate formula astfel: imaginea unui subinel printr-un morfism de inele este de asemenea un subinel. Partea a doua a teoremei afirmă că: inelul R se poate scufunda izomorf într-un subinel al lui B printr-un morfism injectiv.

3.10. Propoziție: Dacă R și R’ sunt inele și un morfism de inele, atunci este un ideal bilateral al lui R.

Demonstrație: este subgrup în

Să arătăm acum că și avem și .

Întradevăr, Analog, dacă

Deci Ker f este ideal bilateral al lui R.

În stabilirea unor proprietăți ale inelelor, un rol important revine următoarelor rezultate care poartă numele de teoreme de izomorfism pentru inele.

3.11. Teorema I de izomorfism: Fie R și R’ inele și un morfism de inele. Atunci există un izomorfism canonic

Demonstrație: Conform primei teoreme de izomorfism de la grupuri, rezultă că există izomorfismul de grupuri

Se mai verifică faptul că

Avem

Deci, este izomorfism de inele.

3.12. Teorema II de izomorfism: Fie R un inel, R’ un subinel al lui R și I ideal bilateral în R. Atunci există un izomorfim de inele

Demonstrație: este grup comutativ, deci și sunt divizori normali în

Conform celei de-a doua teoreme de morfism de la grupuri, rezultă că există un izomorfism de grupuri

Pe de altă parte, din faptul că I este ideal bilateral rezultă că este ideal bilateral în R’ și este subinel în R, deoarece R’ este subinel în R. Mai mult, I este ideal bilateral în deci și sunt inele factor.

Mai rămâne să verificăm că

Întradevăr, Deci, este izomorfism de inele.

3.13. Teorema a III a de izomorfism: Fie R un inel, I și J ideale bilaterale în R., . Atunci există un izomorfism canonic de inele

Demonstrație: Conform celei de-a treia teoreme de izomorfism a grupurilor, pentru grupul și divizorii normali, I și J cu , obținem că există izomorfismul de grupuri

este ideal bilateral în inelul deci putem considera inelul factor

Să mai verificăm că,

Întradevăr,

3.14. Definiție: Fie și două inele. Spunem că se scufundă în dacă există un morfism injectiv de inele

3.15. Propoziție: Orice inel fără unitate se scufundă într-un inel cu unitate.

Demonstrație: Fie R un inel fără unitate.

Definim pe operațiile:

Se verifică ușor faptul că este subgrup abelian și este monoid cu element neutru (1,0), cât și distributivitatea înmulțirii față de adunare.

Așadar, este inel unitar.

Dacă R este comutativ, atunci și inelul este comutativ.

Definim Pentru au loc egalitățile:

Deci este morfism de inele.

Ma mult, este injectivă, deci inelele R și sunt izomorfe.

Din acest motiv putem identifica R cu și spunem că am scufundat inelul R în inelul Constatăm că este ideal bilateral în

CAPITOLUL II

CLASE REMARCABILE DE INELE

II.1. Inele euclidiene.

Definiție: Un domeniu de integritate R se numește inel euclidian dacă există o funcție astfel încât sunt satisfăcute următoarele condiții:

astfel încât

astfel încât și sau

Exemple: 1) Inelul Z este un inel euclidian, unde considerăm valoarea absolută a lui n.

Inelul polinoamelor , unde K este corp este inel euclidian, unde

f

Orice corp este inel euclidian. Într-adevăr, dacă K este corp, considerăm

funcția . Această funcție are proprietățile 1) și 2) din definiția 1.1.

Teoremă: Fie E un inel euclidian și

1) dacă și , atunci

2) dacă și atunci

3) dacă x este inversabil în E, atunci .

Demonstrație: 1) Rezultă din condiția 1) a definiției 1.1.

Din condiția 2) a definiției 1.1. avem că: astfel încât unde sau

Presupunem Din astfel încât Deci adică de unde (conform cu condiția 1) definiția 1.1.), ceea ce contrazice . Așadar, și deci adică

avem deci și conform cu 1)definiția 1.1. rezultă că

Pe de altă parte, din faptul că x este inversabil în E, rezultă că astfel încât de unde și deci

Așadar,

Definiție: Fie R un domeniu de integritate și fie x, y și d elemente din R. Elementul d se numește cel mai mare divizor comun pentru x și y, dacă și astfel încât și să rezulte

Teoremă: Fie E un inel euclidian. Atunci orice două elemente x și y din au un cel mai mare divizor comun d și, în plus, d este combinație liniară din x și y, adică există așa încât .

Demonstrație: Fie , mulțimea combinațiilor liniare din x și y. Fie astfel încât Din astfel încât Conform condiție 2) definiția 1.1. rezultă că , pentru care unde sau Obținem:

Dacă atunci, din modul de alegere a lui d, rezultă că , ceea ce contrazice Deci, adică Analog se arată că

În plus, dacă astfel încât și atunci pentru care și și deci avem de unde .

Așadar d este cel mai mare divizor comun pentru x și y.

Algoritmul lui Euclid.

Teoremă: Dacă R este un domeniu de integritate și sunt așa încât atunci există dacă și numai dacă există și, în acest caz, .

Demonstrație: Observăm că, mulțimea divizorilor comuni elementelor x și y coincide cu mulțimea divizorilor comuni elementelor y și r.

Într-adevăr, dacă și atunci adică Reciproc, dacă și atunci adică

Presupunem acum că există și notăm . Obținem că și Fie și De aici rezultă că și deci Deci, există și are loc egalitatea

Analog se arată că dacă există, atunci există și și are loc egalitatea

Vom prezenta un procedeu numit Algoritmul lui Euclid de determinare a celui mai mare divizor comun a două elemente într-un inel euclidian.

Algortimul lui Euclid: Dacă este un inel euclidian și atunci distingem situațiile:

caz în care

și (x nu divide y și y nu divide x).

În acest unltim caz măcar unul dintre elementele x și y este nenul.

Presupunem atunci există astfel încât cu și încât unde sau

Dacă atunci există încât unde sau

…………………………………………………….

Dacă atunci există încât unde sau

Dacă sunt nenule, atunci șirul este strict descrescător de numere naturale, deci, după un număr finit de pași vom obține restul nul.

Fie ultimul rest nenul.

Avem că încât . Conform teoremei 1.6., au loc egalitățile:

Deci, ultimul rest nenul obținut, anume , este cel mai mare divizor comun al numerelor x și y.

Teoremă: Dacă este un inel euclidian, atunci există cel mai mare divizor comun al numerelor x și y.

Observație: Extinzând definiția celui mai mare divizor comun pentru un număr finit de elemente, obținem că dacă este un inel euclidian și , atunci există cel mai mare divizor comun al lor și are loc egalitatea:

Definiție: Fie R un domeniu de integritate și . Elementul se numește cel mai mic multiplu comun al elementelor x și y și se notează dacă:

1. și

2. dacă și atunci

Observație: Dacă este un inel euclidian, atunci există cel mai mic multiplu comun al elementelor x și y și acesta se obține din egalitatea .

Exemplu: Pentru a determina cel mai mare divizor comun al elementelor și în inelul întregilor lui Gauss procedăm astfel:

este inel euclidian în raport cu . Vom obține succesiv egalitățile:

Deci, cel mai mare divizor comun al elementelor și este

Definiție: Fie

p nu are divizori diferiți de și

sau

Observație: Proprietățile 1) și 2) din definiția 1.13. nu sunt ecgivalente în orice inel integru. Deci într-un inel integru oarecare R aceste proprietăți ne vor conduce la două noțiui diferite. Pentru , elementele inversabile și elementele asociate cu x sunt divizori ai lui x. Un divizor al lui x diferiț de aceștia se numește divizor propriu.

Definiție: Un element neinversabil se numește ireductibil dacă p nu are divizori proprii. În caz contrar p se numește reductibil. Dacă p este ireductibil atunci orice element din R asociat cu p este ireductibil.

Definiție: Un element neinversabil se numește prim dacă sau

Observație: 1) Dacă p este prim atunci orice element asociat cu p este prim.

2)Dacă p este prim și p divide produsul atunci p divide cel puțin unul din factorii .

Corolar: Într-un inel euclidian orice element ireductibil este prim.

II.2. Inele factoriale.

2.1. Definiție: Fie și

1)

2)

două descompuneri ale lui a în factori. Descompunerile 1) și 2) se numesc asociate dacă și dacă după o renumerotare a factorilor din 2) avem ~ pentru .

De exemplu, dacă , atunci descompunerea 1) este asociată cu

descompunerea

2.2. Definiție: Un inel integru R se numește inel factorial (domeniu factorial) sau cu descompunere unică în factori primi (ireductibili), dacă neinversabil se descompune într-un produs finit de elemente ireductibile din R și orice două descompuneri ale lui a în produse finite de elemente ireductibile sunt asociate, adică a are o descompunere unică (abstracție făcând o asociere) în produs de elemente ireductibile.

2.3. Teoremă: Dacă R este un inel factorial atunci:

1) În inelul R nu există șiruri de elemente astfel încât și

nu divide pe pentru orice

2) Orice pereche de elemente din R are un cel mai mare divizor comun.

Demonstrație: 1) Vom numi lungimea unui element și o vom nota numărul factorilor dintr-o descompunere a lui a în produs de factori ireductibili dacă a este neinversabil și 0 dacă a este inversabil. Dacă atunci . Dacă ar exista un șir cu proprietățile din 1) atunci ar rezulta șirul de numere naturale cee ace nu este posibil.

2) Fie Dacă atunci Presupunem că

Fie elemente ireductibile din R astfel încât fiecare divizor ireductibil al lui sau să fie asociat cu unul și numai unul dintre aceste elemente. Prin urmare, și unde u și u’ sunt elemente inversabile din R și

Orice divizor x al lui se poate scrie sub forma unde u” este inversabil și și o afirmație similară are loc pentru divizorii lui

Deci, unde este un cel mai mare divizor comun al lui și

2.4. Teoremă: Dacă pentru orice pereche de elemente din R exsită cel mai mare divizor comun, atunci în R orice element ireductibil este prim.

Demonstrație: Fie un element ireductibil și Dacă și p nu divide pe atunci și Deci, de unde rezultă că .

Deci, p este prim.

2.5. Teoremă: Un inel integru R este factorial dacă și numai dacă verifică condițiile:

1) În R nu există șiruri de elemente astfel încât și nu

divide pe

2’) Orice element ireductibil din R este prim.

Demonstrație: Dacă R este un inel factorial atunci din teorema 2.3. și teorema 2.4. rezultă că R verifică pe 1) și 2’).

Invers, presupunem că R verifică pe 1) și 2’) și vom aăta că orice

neinversabil are o descompunere unică, abstracție făcând de o asociere, în produs finit de elemente ireductibile. Întâi observăm că dacă un element a are această proprietate, atunci și orice element asociat cu a are această proprietate. Afirmația are loc pentru elemente ireductibile. Să presupunem că ar exista un element nenul și neinversabil care nu ar avea o descompunere finite în produs de elemente ireductibile. Întrucât a nu este ireductibil există un divisor propriu a lui a care nu are o descompunere în produs finit de elemente ireductibile, cu procedăm ca și cu a, deci el posedă un divizor propriu care nu are o descompunere în produs finit de elemente ireductibile și considerând raționamentul construim inductive un șir cu proprietatea și ai nu divide pe , cee ace contrazice pe 1).

Fie două descompuneri ale lui a în produs de elemente

ireductibile. Din 2’) rezultă că este prim și deci divide pe cel puțin unul dintre elementele . De exemplu, pe Dar este ireductibil, urmează că și sunt asociate. Deci, este inversabil. Prin urmare, de unde prin simplificare se obține . Efectuând o inducție după se obține pentru că sunt inversabile, deci , iar pentru din ipoteza inductivă se obține , deci și ~,

2.6. Corolar: Un inel integru R este factorial dacă și numai dacă R satisface condiția 1) din teorema 2.5. și orice pereche de elemente din R are un cel mai mare divizor comun.

2.7. Observații: 1) Un inel integru R este factorial dacă și numai dacă orice , neinversabil este produs de factori primi.

Într-adevăr, din demonstrația teoremei 2.5. rezultă că existența unei descompuneri în

produs de factori primi implică unicitatea descompunerii până la o asociere.

2) Proprietatea 1) din teorema 2.3 și 2.5 poate fi formulată și astfel:

Orice șir din astfel încât are proprietatea că există încât ~pentru

Dacă este un inel euclidian atunci R este inel factorial.

II.3. Inele principale.

Reamintim că în inelul R un ideal I se numește principal dacă există un element care îl generează. Notăm cu idealul principal generat de avem Inelul R este generat ca ideal în R de orice element inversabil.

3.1. Definiție: Un inel integru R se numește inel principal (inel cu ideale principale) dacă orice ideal al lui R este principal.

3.2. Teoremă: Dacă R este un inel principal, atunci pentru orice există cel mai mare divizor comun d și cel mai mic multiplu comun m. În plus,

1)

2)

Demonstrație: Întâi reamintim că dacă U și V sunt ideale atunci suma lor, adică este un ideal. Deci, este un ideal. Întrucât, R este inel principal, rezultă că există care verifică pe 1). Din 1) rezultă că Deci, astfel ca și adică și Dacă și , atunci astfel ca și de unde urmează Rezultă decicee ace ne arată că adică ceea ce înseamnă că Astfel că

Întrucât intersecția a două ideale este un ideal, rezultă că este un ideal.

Acum, din ipoteza că este principal, rezultă că care verifică pe 2). Din și din 2) rezultă că și , cee ace ne arată că m este un multiplu comun al lui a și b. Dacă este un multiplu comun al lui a și b, atunci și adică Deci, conform lui 2), avem adică m’ este un mutiplu de m. Astfel am arătat că .

3.3. Corolar: a) Dacă R este un inel principal și este un cel mai mare divizor comun al lui , atunci astfel ca

b) Într-un inel principal un element este ireductibil dacă și numai dacă

este prim.

3.4. Teoremă: Dacă R este un inel principal, atunci pentru orice șir crescător de ideale,

(3)

Este un indice m astfel încât

Demonstrație: Arătăm mai întâi că

(4) este un ideal.

Într-adevăr dacă atunci există , astfel ca și iar

dacă atunci din (3) rezultă că adică ceea ce implică Dacă , atunci există k astfel ca de unde rezultă Deci U este ideal. Întrucât R este principal, urmează că există astfel ca

Din (4) rezultă că există astfel ca ceea ce implică

iar incluziunea inversă fiind evidentă, urmează că Deci,

3.5. Teoremă: Orice inel principal R este factorial.

Demonstrație: Din Corolarul 3.3. b) rezultă că într-un inel principal este îndeplinită condiția 2’) din teorema 2.5. Rămâne să mai verificăm condiția 1) din aceeași teoremă, sau condiția echivalentă din observația 2.7. 2).

Fie un șir de elemente din cu Atunci rezultă șirul de

ideale principale și din teorema 3.4. deducem că există astfel încât deci ~ pentru orice

CAPITOLUL III

INELE DE POLINOAME

Polinoame simetrice.

Noțiunea de polinom este una dintre noțiunile fundamentale ale algebrei. Originea acestei noțiuni se găsește într-o problemă foarte veche de matematică și anume aceea de a elabora un formalism general al calculelor algebrice care se efectuează de obicei cu sume și produse în care intervin un număr finit de numere. Această problemă constituie de altfel începutul studiului algebrei în gimnaziu, când se consideră expresii de tipul: în care se spune despre x și y că sunt numere neprecizate. Dezvoltând regulile de calcul cu asemenea expresii, algebra elementară are la bază anumite convenții care nu pot fi explicate decât definind în mod riguros cadrul în care se efectuează calculele și punând în evidență legătura sa cu corpurile de numere sau cu alte corpuri sau inele abstracte. Acest cadru îl constituie teoria inelelor de polinoame. Ca și alte noțiuni matematice, noțiunea de polinom nu poate fi definită în mod intrinsec. Vom defini noțiunea de polinom simetric și vom studia câteva proprietăți elementare ale inelului polinoamelor simetrice.

Polinoamele simetrice au ajucat un rol important în dezvoltarea istorică a algebrei, pornind mai ales de la problema rezolvării ecuațiilor algebrice. De altfel, una din demonstrațiile elementare pe care Gauss a dat-o teoremei fundamentale a algebrei se bazează pe teoria polinoamelor simetrice. Aceasta explică de altfel și numeroasele aplicații ale acestei teorii în matematica școlară.

Un mare număr de probleme elementare de algebră fac apel la noțiunile pe care le vom dezvolta în acest capitol și care pot astfel juca un rol important în educația matematică a elevilor.

Cercetările efectuate au pus în evidență aplicații profunde ale teoriei polinoamelor simetrice în alte capitole ale matematicii cum ar fi Combinatorica, Teoria reprezentărilor liniare, Geometria algebrică,etc.

Presupunem că A este un inel, inelul polinoamelor în n nedeterminate, unde și notăm cu grupul simetric al polinoamelor de grad n. Pentru orice permutare definim morfismul , unde și Pentru un polinom arbitrar avem

III.1. Propoziție: Pentru orice este un automorfism al A-algebrei polinoamelor iar aplicația definită prin ~este un morfism de grupuri.

Demonstrație: Vom arăta mai întâi că pentru orice cuplu de permutări avem: . Aceasta se vede observând că pentru orice nedeterminată avem iar

Observăm apoi că dacă este permutarea identică atunci este aplicația identică a A-algebrei . Din cele demonstrate mai sus se obține că În consecință este un automorfism al A-algebrei și inversul său este

III.2. Definiție: Se spune că polinomul este un polinom simetric dacă pentru orice permutare avem

III.3. Propoziție: Mulțimea polinoamelor simetrice formează o A-subalgebră în algebra

Demonstrație: Dacă F și G sunt polinoame simetrice, atunci pentru orice avem

și

iar în mod trivial

Aceste relații demonstrează afirmația din enunț.

Putem așadar vorbi de A-algebra polinoamelor simetrice în nedeterminatele , pe care o vom nota uneori cu

Vom prezenta unele exemple de polinoame simetrice. Polinoamele:

……………………………………….

………………………………………..

definite pentru sunt evident polinoame simetrice, din cauza comutativității adunării. În plus, pentru n fixat, șirul de polinoame este infinit.

Un rol important în studiul polinoamelor simetrice îl joacă polinoamele:

………………………………………………………………………………….

…………………………………………………………………………………….

Observăm că pentru este o formă de grad k și este suma a monoame. Prin extensiune putem pune

III.4. Propoziție: Polinoamele sunt polinoame simetrice. În plus, pentru orice sunt îndeplinite relațiile recurente:

(4.1)

Demonstrație: Considerăm polinomul . Observăm că pentru orice avem . Vom arăta prin recurență că:

(*)

Pentru avem evident

Presupunând formula (*) adevărată pentru nedeterminate, se observă că demonstrarea ei pentru n nedeterminate se reduce la a arăta că sunt adevărate formulele (4.1). Aceste formule sunt o consecință imediată a definiției polinoamelor și a faptului că orice șir cu este un șir de forma sau de forma Pentru avem:

ceea ce arată că .

III.5. Definiție: Polinoamele se numesc polinoame simetrice fundamentale în nedeterminatele

III.6. Teoremă: Dacă se descompune ca produs de factori liniari

Atunci sunt adevărate relațiile (cunoscute sub denumirea de formulele lui Viète)

………………………………………………….

Demonstrație: Considerăm morfismul de A-algebre

definit prin

Dacă avem:

Prin identificarea coeficienților se obțin relațiile lui Viète.

Relațiile lui Viète mai sunt cunoscute ca relațiile fundamentale între rădăcinile și coeficienții unei ecuații algebrice de grad n, cu o necunoscută. Ca aplicație a acestor relații vom prezenta o demonstrație a unei celebre teoreme de aritmetică, cunoscută ca teorema lui Wilson.

III.7. Teoremă: Dacă este un întreg pozitiv, atunci p este număr prim dacă și numai dacă .

Demonstrație:

Presupunem că . Dacă p nu ar fi prim, un factor prim q al lui p cu este divizor al lui deci , cee ace este contradictoriu cu q prim.

Pentru implicația directă considerăm corpul al claselor de resturi modulo p și polinomul Grupul multiplicativ are ordinul , deci conform Teoremei lui Lagrange, pentru orice avem . Aceasta arată că polinomul are rădăcini în și cum numărul de rădăcini nu poate depăși gradul avem

Aplicând formulele lui Viète avem în particular:

în sau în .

Se observă că din demonstrația dată mai sus, în plus, că:

, unde .

În cele ce urmează vom demonstra teorema fundamentală asupra polinoamelor simetrice, care pune în evidență rolul polinoamelor simetrice fundamentale în studiul structurii inelului polinoamelor simetrice. Vom nota pe scurt, pentru dat, cu polinoamele simetrice fundamentale în și notăm cu morfismul de A-algebre

dat prin Cum . Pentru că este un inel de polinoame simetrice avem Teorema fundamentală a polinoamelor simetrice afirmă în esență că morfismul este injectiv și că:

adică avem:

III.8. Teoremă: Fie A un inel. Pentru orice polinom simetric există un polinom unic astfel încât

Demonstrație: Vom demonstra mai întâi existența polinomului g. Pentru aceasta vom proceda prin inducție dublă după n și gradul lui f. Presupunem așadar că orice polinom simetric în nedeterminatele este un polinom în polinoamele simetrice fundamentale și orice polinom simetric în nedeterminantele și de grad inferior gradului lui f este polinom în polinoamele simetrice .

Fie și fie monomul de grad maxim al lui f. Polinomul este un polinom simetric, deci, . Considerăm polinomul este polinom simetric și . Ținând seama de relația de recurență (4.1) avem:

Așadar, Ținând seama de faptul că este simetric, rezultă că pentru orice transpoziție de forma avem Deci polinomul este divizibil cu Rezultă că el este divizibil cu produsul adică

Polinomul are gradul strict mai mic decât gradul lui și este simetric. Într-adevăr pentru orice avem egalitatea:

din care deducem:

Ținând seama ca nu este divizor al lui zero în rezultă că Conform ipotezei de inducție aplicată polinomului avem:

Obținem pentru f următoarea expresie:

Notând rezultă că g este polinomul căutat.

Să demonstrăm acum unicitatea lui g. Aceasta revine la a demonstra că morfismul este injectiv, adică dacă este astfel încât Vom proceda din nou prin inducție după n și gradul lui h.

Alegem pe de grad total minim și fie . Scriem pe h ca polinom în și fie r = gradul lui h în raport cu

.

Arătăm mai întâi că Într-adevăr, dacă atunci , unde este un polinom de grad inferior gradului lui h. Cum nu este divizor al lui zero în ceea ce contrazice alegerea lui h de grad minim.

Din expresia de mai sus a lui h și ipoteză, obținem:

și facem în această egalitate Atunci și se obține: , cee ace contrazice ipoteza de inducție și faptul că În consecință h însuși este polinomul nul.

Ca aplicație la teorema fundamentală a polinoamelor simetrice vom arăta cum se exprimă în funcție de polinoamele simetrice fundamentale polinoamele:

Vom începe prin a demonstra o teoremă cunoscută sub numele de „formulele lui Newton”.

III.9. Teoremă: Dacă A este un inel integru atunci pentru orice au loc formulele:

, unde notațiile sunt cele cunoscute, iar

Demonstrație: Vom demonstra mai întâi că formulele lui Newton sunt adevărate pentru Cu alte cuvinte vom arăta că:

(9.1.)

sau

(9.2.) ,

pentru

Pentru aceasta considerăm polinomul

Înlocuind pe cu se obțin relațiile:

Înmulțind aceste relații cu se obțin relațiile:

Prin adunarea lor se obține relația (9.2.).

Vom demonstra acum relațiile lui Newton în cazul Pentru aceasta vom arăta prin inducție după că polinomul:

este nul.

În cazul adică , aceasta se obține din (9.1.) în care

Observăm că este polinom simetric. Atunci este de asemenea simetric. Dacă notăm polinoamele simetrice fundamentale în nedeterminate cu avem:

În plus,

Atunci,

.

Conform ipotezei de inducție, este divizibil cu Cum este polinom simetric rezultă că este divizibil cu , deci cu produsul . Atunci .

Această relație nu poate avea loc decât dacă căci, este un polinom omogen de grad k, iar este omogen de grad n.

PARTEA a II-a –

Capitolul IV – ABORDĂRI DIDACTICE – Aspecte metodice ale predării unor teme cu noțiuni cuprinse în prezenta lucrare

IV.1. Învățarea în context concentraționar

IV. 1.1. Mediul de detenție. Considerații generale

Privarea de libertate este o pedeapsă prin care societatea sancționează abaterea comportamentelor cetățenilor de la normele și valorile sociale de bază. În urma unui proces penal prin care se constată în timp și în mod complet faptele săvârșite, persoanele care au un comportament antisocial și care aduc prejudicii atât altor persoane cât și statului sunt condamnate la pedeapsa cu închisoarea, conform legii. Procesul penal trebuie să contribuie la apărarea ordinii de drept, apărarea persoanei, a dreptului și libertății acesteia, la prevenirea infracțiunilor.

Legile aflate în vigoare, în acord cu legislația internațională, promovează tratamentul uman al tuturor oamenilor inclusiv al acelora care sunt închiși.

Viața în penitenciar are efecte coercitive asupra persoanei private de libertate care are un statut de subordonat față de lege. Privarea de libertate în mediul penitenciar constituie pentru orice om o situație de amplă rezonanță în modul său de viață, atât pe durata detenției cât și după aceea, în libertate. Persoanele private de libertate resimt lezări ale integrității lor ca ființe umane. Impactul acestora asupra componentelor personalității este în multe cazuri dramatic, generând și permanentizând conduite diferite față de cele avute anterior, în mediul liber.

Termenul de „mediu închis” a fost propus de E. Goffman în 1961. Mediul închis poate fi definit ca orice ambianță unde există o barieră greu de trecut între exterior și interior, barieră ce funcționează în dublu sens, în cadrul căreia apar fenomene de grup obișnuite dar și unele fenomene specifice. Închisoarea este „o instituție totală, un loc de rezistență în care un număr de indivizi care au o situație identică, fiind despărțiți de societatea exterioară pentru o perioadă de timp apreciabilă, duc împreună un ciclu de viață îngrădită prin interdicții formale de a desfășura anumite activități, de a avea contact cu familia, de a personaliza spațiul de locuit, de a avea inițiative.”

Potențialul patogen al mediului de detenție este determinat de restrângerea acută a libertății individuale prin reducerea spațiului de viață și a timpului personal (suspendarea viitorului, relativitatea trecutului). Stresul de pe parcursul întregului proces penal (ancheta, judecata, condamnarea) este prelungit prin regimul autoritar, controlul riguros al conduitei, dependența de personalul închisorii și lipsa informării. Prin intrarea într-o colectivitate de anonimi, relațiile interumane sunt impersonale; individul resimte o golire, o risipire de sine. Comportamentul social este perturbat din cauza izolării, abandonului, inactivității. Fenomenele conflictogene sunt densitatea maximă (supraaglomerarea), ambianța monotonă, epuizarea subiectelor de discuție, anularea intimității (inexistența unui spațiu personal, absența unui refugiu).

Probleme majore ale persoanelor care execută o pedepsă privativă de libertate sunt:

adaptarea la normele și valorile specifice acestui cadru de viață și evoluția ulterioară a personalității. Responsabilitatea cadrelor didactice care își desfășoară activitatea în școala din penitenciar cuprinde cu precădere a doua categorie prin transmiterea cunoștințelor și dezvoltarea competențelor prevăzute de Curriculumul național. Școala oferă persoanelor private de libertate posibilitatea să-și dezvolte resursele personale pentru reinserție socio-profesională astfel încât, după liberare, acestea să nu mai fie un pericol pentru societate.

Activitatea instructiv-educativă din școală poate să contribuie și la ameliorarea problemelor specifice mediului de detenție prin dezvoltarea competențelor comunicative și sociale ale deținuților, promovarea unori valori morale, managementul conflictelor, ameliorarea stimei de sine a persoanelor private de libertate implicate în activități educative.

IV. 1.2. Profilul psihosociologic al elevului din penitenciar

Evaluarea psihosociologică inițială și de parcurs a elevilor din penitenciar evidențiază o serie de fenomene de adaptare patologică la mediul închis. În timpul detenției se instalează o sensibilizare progresivă la mediu și o intoleranță emoțională chiar la personalitățile robuste. Atitudinea cea mai puțin pasibilă de a interfera negativ cu activitatea instructiv-educativă este adaptarea pasivă prin adoptarea unei atitudini filosofice și evitarea concentrării pe problemele incomode. Profilul acestei categorii speciale de populație școlară este dominat de frecvența personalităților accentuate și prezența cvasigenerală a simptomelor „nevrozei penitenciare” (apatie, pierderea interesului pentru lucruri, oameni și evenimente, anestezia afectivă, degradarea imaginii de sine).

În general, la persoanele private de libertate, sentimentul de autoapreciere pare a fi subminat, de aceea nu au nimic de pierdut dacă sunt criticate sau încarcerate; neavând un statut social de apărat, nu există teama de a-l pierde, sentiment care să le motiveze eforturile de a se conforma nevoilor sociale.

Profilul psihosociologic al persoanelor care săvârșesc infracțiuni include înclinația către agresivitate, bazată pe un fond de ostilitate și negare a valorilor socialmente acceptate, instabilitate emoțională (fragilitatea eului, duplicitatea conduitei), carențe educaționale, inadaptare socială – exacerbarea sentimentului de insecuritate, evitarea formelor organizate de viață, vagabondaj. În momentul în care aleg să-și continue studiile în penitenciar, persoanele private de libertate vin în școală cu un istoric marcat de un surplus de experiențe negative și de un grav dezechilibru existențial (patimi, vicii, perversiuni).

Activitatea didactică eficientă într-un astfel de mediu presupune cunoașterea „tipologiei infractorului”. Infractorul înveterat are un comportament repetitiv obișnuit care reprezintă o amenințare gravă asupra securității semenilor săi prin: agresivitate persistentă, indiferență absolută în privința consecințelor. Infractorul primejdios este considerat astfel pe baza unor criterii din care decurge necesitatea de a se lua măsuri severe față de acesta: gravitatea infracțiuniii, numărul de infracțiuni săvârșite, starea mintală, posibilitatea ca infractorul să continue să fie o amenințare pentru securitatea publică dacă este pus în libertate. Infractorul dificil este considerat astfel din cauza dificultăților de a se adapta rigorilor și privațiunilor detenției, mai cu seamă din cauza personalității sale într-un mediu fizic strict delimitat, pe o perioadă de timp considerabilă. Ei sunt produsul condițiilor și privațiunilor specifice vieții din închisoare, care tinde să cauzeze claustrofobia și care de fapt ocazionează la deținuți toate aceste simptome. Deținuții dificili sunt pur și simplu aceia care pun probleme administrative mai curând decât probleme de securitate. Deținutul pe termen lung: cu cât pedeapsa este mai lungă, cu atât condițiile în care ea este ispășită sunt mai stricte și cu atât mai mult izolarea și alienarea deținutului vor fi mai durabile.

Interacțiunea didactică cu diferite tipuri de deținuți, evidențiază uneori comportamente surprinzătoare în contextul specific al școlii care oferă un ambient diferit de cel carceral. Astfel, unele persoane, considerate dificile pe baza criteriilor formale, nu au confirmat „eticheta” pe parcursul școlarizării – au avut rezultate școlare bune, ceea ce le-a permis să-și consolideze stima de sine și să fie motivați pentru manifestarea unui comportament dezirabil care să le permită rămânerea în mediul școlar. Dintre deținuții pe termen lung, se selectează elevii cei mai silitori, cei mai serioși, dispuși să-și asume rolul de peer-educatori.

IV.2. Demersul didactic adresat persoanelor private de libertate

IV.2.1. Repere curriculare

Pentru ca studierea matematicii să reprezinte un demers eficient în recuperarea persoanelor private de libertate, compensând unele din consecințele negative ale detenției, este necesară adaptarea prevederilor curriculare la nevoile educative speciale ale elevilor. Dat fiind faptul că școala din penitenciar oferă, în principal, posibilitatea de completare a educației obligatorii, reperele sintetizate aici au fost selectate prin raportare la programa de gimnaziu.

Modelul de proiectare curriculară centrat pe competențe urmărește să elimine riscul ca disciplina de studiu să fie un instrument de gravat conținuturi abstracte în mintea școlarilor. La școlarii adulți, acest lucru este oricum imposibil. Proiectarea oricărui demers educativ trebuie să aibă în vedere scopul studierii disciplinei și nevoile educaționale concrete ale beneficiarului. Urmărim formarea unei persoane capabile să înțeleagă lumea, să comunice și să interacționeze cu semenii, să-și utilizeze în mod eficient capacitățile proprii pentru rezolvarea problemelor concrete din viața cotidiană, să poată continua procesul de învățare pe tot parcursul vieții.

În programă, competențele sunt definite ca ansambluri de cunoștințe, deprinderi și atitudini care urmează să fie formate până la finele școlarității obligatorii, de care are nevoie fiecare individ pentru împlinirea și dezvoltarea personală, pentru cetățenia activă, pentru incluziune socială și pentru angajare pe piața muncii. Studierea matematicii în clasele V-VIII are ca scop formarea competențelor de identificare a unor date și relații matematice și corelarea lor în funcție de contextul în care au fost definite. Profesorul de matematică și-a îndeplinit misiunea dacă elevul știe să se exprime corect, clar și coerent, să utilizeze algoritmi și concepte matematice pentru caracterizarea unei situații concrete.

Sistemul național de învățământ include școlile din penitenciare în rețeaua învățământului special iar curriculumul este cel din școala de masă. Cerințele educative speciale ale personelor private de libertate derivă din particularitățile profilului psihosociologic care influențează contextul intern, individual al învățării și cele ale mediului de detenție care influențează condițiile externe ale învățării. De regulă, elevii nu prezintă deficiențe senzoriale, motorii sau cognitive ci mai degrabă lacune severe în cunoștințe, absența deprinderilor de activitate intelectuală și o atitudine reticentă (motivație slabă pentru învățare). În aceste condiții, demersul instructiv-educativ trebuie să fie orientat către accesibilizarea conținuturilor și formarea unor deprinderi elementare. Stimularea motivației este posibilă dacă activitățile de învățare reprezintă o experiență pozitivă pentru elev și dacă el poate să perceapă utilitatea conținuturilor vehiculate.

Programa precizează rezultatele așteptate în urma studiului disciplinei prin formularea competențelor generale și specifice și conturează o hartă a acestui parcurs prin organizarea elementelor de conținut, corelarea acestora cu competențele specifice și elaborarea unor sugestii metodologice. Ca reper pentru proiectarea demersului didactic, prezentăm în Anexa 1 o sinteză a acestor elemente, organizate pentru a evidenția progresia rezultatelor așteptate de la un ciclu școlar la altul și de la un an școlar la altul.

IV.2.2. Metode didactice pentru învățarea adulților

Desfășurarea eficientă a procesului instructiv care implică persoane private de libertate presupune cunoașterea caracteristicilor învățării adulților și coroborarea acestora cu coordonatele psihosociologice specifice mediului de detenție. Modelul pedagogic, proiectat pentru învățarea la copil conferă elevului rolul de persoană docilă, ascultătoare, supusă. În SUA, Knowles, Holton și Swanson au descris în 1998, un model andragogic, centrat pe specificul învățării la vârsta adultă. Modelul identifică șase principii ale învățării adulților: nevoia cursantului de a ști, conceptul de sine al cursantului, rolul experienței anterioare a cursantului, pregătirea pentru învățare, orientarea spre învățare și motivația de a învăța. Educația autentică, în cazul adultului, nu poate fi decât un parteneriat în activitatea de dezvoltare personală, în care rolul profesorului este de facilitator al procesului de învățare iar elevul este beneficiar al actului didactic.

Din perspectiva dezvoltării cognitive sau intelectuale, nivelul de dezvoltare a gândirii adultului determină interpretarea noilor informații care constituie conținutul învățării în funcție de experiența anterioară și de contextul existențial actual, influențează disponibilitatea pentru diferite experiențe de învățare, creează diferite grade de semnificație pentru diferite persoane. Cercetările asupra capacităților intelectuale au demonstrat că deși abilitatea de a învăța este maximal funcțională între 20-25 de ani, adulții pot învăța iar inteligența nu înregistrează un declin semnificativ până în jurul vârstei de 50 de ani. Raportându-ne la modelul lui Levinson (1978) privind evoluția vieții adultului, vârsta elevilor din peniteciar (20-35 ani) se încadrează în perioada adultă timpurie, ilustrând trei etape de dezvoltare: tranziția spre perioada adultă cu explorarea posibilităților personale și de mediu, încercare de angajare și implicare (17-22 ani); intrarea în viața adultă și crearea primei structuri majore de viață (22-29 ani) și tranziția spre pragul de 30 de ani cu reevaluarea structurii de viață. Într-un context favorabil, stimulativ, fiecare tranziție spre un nou stadiu stimulează motivația pentru învățare.

Malcolm Knowles (1970) identifică o serie de caracteristici ale învățării la adulți:

Sunt autonomi și direcționați către sine, învață în funcție de perspectivele proprii asupra subiectelor abordate.

Au o bază de experiențe de viață și cunoștințe și au nevoie ca noile cunoștințe să poată fi corelate la aceasta. Focalizarea trebuie să se facă asupra punctelor lor tari, nu doar asupra lipsurilor lor în ceea ce privește cunoștințele. Experiența lor trebuie utilizată drept resursă în activitățile de învățare.

Sunt orientați către scopuri – trebuie să știe cum își pot atinge scopurile prin învățare. În cazul deținuților – faciltarea eliberării condiționate, obținerea unui act de studii care să permită parcurgerea unor cursuri de profesionalizare, ocuparea unui loc de muncă.

Sunt orientați către relevanță.

Sunt preponderent practici, ar putea să nu fie interesați de cunoașterea de dragul cunoașterii.

Au valori, credințe și opinii bine stabilite.

Sunt foarte diferiți ca stil, tempou și ritm al învățării, aceste coordonate sunt stabilizate și trebuie respectate. Timpul de reacție și viteza învățării lor pot fi încetinite fără ca abilitatea de a învăța să fie diminuată.

Leagă noile cunoștințe și informații de informațiile și experiențele învățate anterior așa încât conținuturile care nu se încadrează în contextul acestora devin lipsite de sens.

Mediul școlar trebuie să fie perceput ca securizant și să nu presupună riscuri pentru stima de sine și ego-ul adulților.

Cunoașterea acestor caracteristici a orientat cercetarea didactică spre dezvoltarea unor metode și forme de învățare specifice învățării adulților: învățarea activă, învățarea experiențială, învățarea prin acțiune, învățarea prin colaborare, învățarea autodirijată.

Modelul învățării active definește două modalități principale de dialog – dialogul cu sine și dialogul cu ceilalți și două tipuri principale de experiență – a observa și a face. Dialogul cu sine implică gândirea reflexivă, autocunoașterea și se poate realiza prin rezolvarea unor probleme care să reflecte experiența personală de învățare sau experiența de viață – metodă aplicată pentru rezolvarea problemelor cu caracter practic. Dialogul cu ceilalți implică abilitatea de a selecta informații și de a formula raționamente care să ducă la rezolvarea unei probleme.

Prestația profesorului, expusă observației spontane a elevilor poate fi o resursă pentru învățarea activă a unor comportamente și atitudini dezirabile și pentru asumarea implicită a unor valori morale. În contextul orei de matematică învățarea prin „a face” înseamnă lectura activă și redactarea unei probleme.

Modelul învățării experiențiale, descris de Kolb (Experiential Learning, 1984) descrie patru etape ale învățării eficiente: perceperea informației; reflecția despre influența acesteia asupra unor aspecte ale vieții reale; analiza gradului în care se potrivește cu experiența anterioară; experimentarea activă în situații noi și mai complexe. Aplicarea acestui model orientează managementul activităților de învățare pe principiul că a învăța înseamnă mai mult decât a vedea, a auzi sau a manipula lucrurile ci a integra toate acestea în schemele existente și a le folosi pentru a face ceva. Este un proces de durată, care poate fi urmărit, de exemplu, în parcurgerea unei unități de învățare în cadrul căreia profesorul tebuie să creeze situații de învățare care să conducă elevul către experiența concretă, să pună întrebări care să încurajeze reflecția și conceptualizarea, oferind căi de testare a ideilor.

Învățarea prin acțiune este foarte eficientă când este vorba de a învăța cum să înveți și mai puțin în predarea unei discipline școlare, pe baza unei programe tradiționale. Principiile acestui model sunt aplicabile în cadrul orelor de Consiliere și orientare pentru a favoriza dezvoltarea individuală în cadrul grupului și a spori coeziunea acestuia. Rolul celor care învață ar fi rezolvarea individuală sau în grup a problemelor, delimitarea problemelor reale ale procesului învățării, acțiunea pentru rezolvarea acestor probleme.

Învățarea prin colaborare este un model util în acest context deoarece se adaptează la specificul grupului-clasă etorogen din punct de vedere al nivelului de achiziții și, în plus, servește și scopului educativ prin crearea unor contexte de învățare în care elevii să exerseze comportamente sociale pozitive. A învăța în echipă înseamnă a primi și a oferi feedback asupra performanței și a comportamentului, a experimenta potențialul colaborării cu indivizi care au diferite stiluri și abilități favorizând o percepție pozitivă a alterității; a oferi și a accepta ajutor, a căpăta deprinderi de a stabili relații productive și de a munci în echipă.

Conceptul de învățare autodirijată a fost definit de M.Knowles în 1975 ca „proces în care inițiativa o dețin indivizii, cu sau fără ajutorul altora, referitor la diagnosticarea propriilor nevoi de învățare, formularea scopurilor învățării, identificarea resurselor umane și materiale ale învățării, alegerea și implementarea unor strategii de învățare adecvate, evaluarea rezultatelor învățării.” Autodirijarea este un concept definitoriu pentru învățarea adulților. Dispoziția spre autodirectivitate poate fi determinată de trăsăturile de personalitate dar poate fi și învățată în contextul școlar. În cazul persoanelor private de libertate, pentru a forma această deprindere, profesorul trebuie să înlăture cu tact o serie de blocaje care provin din experiența școlară anterioară săracă și preponderent negativă, valorizarea slabă a învățării în subcultura carcerală sau dificultatea sarcinilor de învățare.

Aplicarea acestor modele în contextul precizat aici presupune o adaptare realistă prin efortul de a crea situații de învățare activă autentică și prin preocuparea permanentă pentru infuzia unor valori etice. Nivelul motivației elevilor este de regulă scăzut ceea ce impune o bună structurare a activității. Fișa de lucru este un instrument indispensabil în acest sens asigurând o bună orientare a elevului în sarcină prin indicarea pașilor algoritmului de lucru. Grupul – clasă se constituie pe baza nivelului de școlaritate indicat de foaia matricolă dar este eterogen (vârstă, nivel de cunoștințe, personalitate). Se impune adesea proiectarea diferențiată și chiar individualizată a fișelor de lucru și a instrumentelor de evaluare. Pentru evitarea blocajelor datorate unor lacune în cunoștințe, fișele trebuie să conțină informații necesare realizării sarcinii. Includem în Anexa 2 o exemplificare a proiectării unității de învățare, a lecției și a evaluării care orientează parcursul didactic spre studiul matematicii.

ANEXE

ANEXA 1 – Repere curriculare

PROGRESIA REZULTATELOR AȘTEPTATE DE LA UN AN ȘCOLAR LA ALTUL – Clasele V-VIII

HARTA CONȚINUTURILOR DIN PROGRAMA PENTRU GIMNAZIU

ANEXA 2: Proiectarea unității de învățare, a lecției și a evaluării

PROIECTAREA UNITĂȚII DE ÎNVĂȚARE – OPERAȚII CU NUMERE ÎNTREGI

Proiectarea evaluării

Clasa a VI-a

Disciplina: Matematică – Algebră

Unitatea de învățare: OPERAȚII CU NUMERE ÎNTREGI.

Tema lecției: Evaluare – OPERAȚII CU NUMERE ÎNTREGI.

Tipul lecției: Consolidare și evaluare.

Competențe specifice

Identificarea caracteristicilor numerelor întregi în contexte variate.

Aplicarea regulilor de calcul și folosirea parantezelor în efectuarea operațiilor cu numere întregi.

Interpretarea unor date din probleme care se rezolvă utilizând numerele întregi.

Transpunerea unei situații-problemă în limbaj algebric, rezolvarea problemei obținute și interpretarea rezultatului.

Competențe derivate

Cognitive

Determinarea regulilor eficiente de calcul în efectuarea operațiilor cu numere întregi.

Aplicarea regulilor de efectuarea a exercițiilor în care apar acolade, paranteze pătrate și paranteze rotunde.

Identificarea divizorilor și multiplilor unui număr întreg și aplicarea acestora în exerciții.

Rezolvarea unor probleme și determinarea mulțimii soluțiilor.

Psihomotorii

Așezarea corectă în pagină

Scrierea lizibilă la tablă și pe foaia de test

Afective

Participarea activă la lecție

Stimularea motivației pentru studiul matematicii

Implicarea cu plăcere și interes în toate etapele lecției

Strategii didactice

Metode și procedee: conversația, explicația, exercițiul,

problematizarea,observația.

Mijloace de utilizare: cretă albă, fișe de evaluare.

Forme de organizare: individuală.

Forme de evaluare: observarea sistematică, analiza răspunsurilor.

Resurse umane: persoane private de libertate de vârstă adultă, cu eșec școlar

repetat.

Timp: 45 min.

Forme de organizare

Frontală, muncă independentă

Locul de desfășurare

Sala de clasă

Bibliografie

Turcitu, G., Rizea, I., Chiriac, I., Basarab, C., Duncea, Maria, Ciungu, P., – Manual pentru clasa a VI-a, Editura Radical, 1998

Programa școlară – matematică, aprobată prin ordin al ministrului nr. 5097/09.09.2009

Peligrad, S., Șendreanu, I., Țurcanu, A., – Mate 2000+ Standard – Editura Paralela 45

DESFĂȘURAREA LECȚIEI

FIȘĂ DE LUCRU

TEST DE EVALUARE

Produsul a două numere întregi negative este un număr întreg…………………..

Stabiliți valoarea de adevăr a propoziției: „ -2 se găsește în mulțimea divizorilor întregi ai lui 2”.

Calculați:

c.

d.

Efectuați:

c.

d.

Determinați astfel încât

Notă: 1. Se acordă 10 puncte din oficiu.

2.Toate subiectele sunt obligatorii.

3. Timp de lucru 20 minute

BAREM DE CORECTARE ȘI NOTARE

BIBLIOGRAFIE

BIBLIOGRAFIE SPECIALITATE

Leoreanu, Violeta, Fundamente de algebră – Teorie și exerciții, Ed. Matrix Rom, București, 2001

Becheanu, M., Niță C., Ștefănescu, Mirela, Dincă, A., Purdea, I., Ion, D. I., Radu, N., Vraciu, C., – Algebra pentru perfecționarea profesorilor – Ed.Didactică și Pedagogică, București, 1983

Ion,I.,D., Radu,N., – Algebra , Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981

Ion, I., D., Năstăsescu, C., Niță, C., – Complemente de algebră, Ed. Științifică și Enciclopedică, București, 1981

Ganga, M., – Manual pentru clasa a XII – Profil M1, Ed. Mathpress, Ploiești, 2005

Luchian, T., -Algebra abstractă, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 1981

Năstăsescu, C., – Inele. Module. Categorii, Ed. Academiei Republicii Socialiste România, București, 1976

Năstăsescu, C., Niță, C., – Bazele algebrei , Ed. Academiei, București, 1986

Purdea, I., Pic, G., – Tratat de algebră modernă – Vol. I – Ed. Academiei Republicii Socialiste România, 1977

Tărnăuceanu, M., – Probleme de algebră – Vol. I – Ed. Universității „Alexandru Ioan Cuza” Iași, 2003

Tărnăuceanu, M., – Probleme de algebră – Vol. II – Ed. Universității „Alexandru Ioan Cuza” Iași, 2004

BIBLIOGRAFIE DIDACTICĂ

OMECI nr. 5097 / 9.09.2009 privind aprobarea programelor școlare pentru disciplinele de studiu din învățământul preuniversitar secundar inferior, ciclul gimnazial

Albu, G., În căutarea educației autentice, Iași, Ed. Polirom, 2002

Bruno, Ș., Mediul penitenciar românesc: cultură și civilizație carcerală, Iași, Institutul European, 2006

Butoi, Ioana-Teodora; Butoi, T., Psihologie judiciară, Ed. Fundației „România de mâine”, București, 2004

Cucoș, C., Pedagogie, ediția a II-a, revăzută și adăugită, Iași, Ed. Polirom, 2002

Cucoș,C., Teoria și metodologia evaluării, Iași, Ed. Polirom, 2008

Cucoș C., Pedagogie și axiologie, București, Ed. Didactică și Pedagogică, 1995

Florian, G., Fenomenologie penitenciară, Ed. Oscar Print, București, 2003

Gherguț, A., Psihopedagogia persoanelor cu cerințe speciale. Strategii diferențiate și incluzive în educație, Iași, Polirom, 2006

Negovan, Valeria, Psihologia învățării. Forme, strategii și stil, București, Ed. Universitară, 2007

Neculau, A., Educația adulților. Experiențe românești, Iași, Ed. Polirom, 2004

Paloș, Ramona, – Învățarea la vârsta adultă, Ed. Didactică și Pedagogică, București, 2007

Peligrad, S., Șendreanu, I., Țurcanu, A., – Mate 2000+ Standard – Editura Paralela 45, 2012