Clasa A Xii A Fisa Schimbarea De Variabila [618137]

1 SCHIMBAREA DE VARIABILĂ
În cele ce urmează voi da câteva exemple de integrale rezolvate prin metoda schimbării de variabilă
folosind cele două metode mai des întâlnite ( fără funcții)
 Aplicații ale formulei 
Cnudxuun
n
1'1

1. .)1(5dx x
a) Notăm cu u = x +1. Atunci integrala dată este de forma „ dxun” și pentru a aplica formula de mai sus
mai este nevoie de u . Cum u=(x+1)=1 obținem
CxCxdx x x dx x dx x
u u
  6)1(
15)1()'1()1( 1)1( )1(6 15
'5 5 5
5
b) Dacă în loc de  dx x5)1( am avea dtt5atunci am putea aplica formula de integrare
Cntdttn
n
11
. Prin urmare notăm pe x +1 cu t , iar la sfârșitul calculului integralei îl vom înlocui pe
t cu x+1 . Dar dx ne arată că derivarea se face în funcție de x nu în funcție de t de aceea derivăm
expresia t = x +1 în funcție de t la stânga și în funcție de x la dreapta . Așadar t dt = (x+1) dx , adică
dt=dx și deci îl vom înlocui pe dx cu dt . Înlocuind acum în integrala dată obținem
 CxCtCtdtt dx x
dt t
6)1(
6 15)1(6 6 15
5 5
2. .)3 2(7dx x
a) Notăm cu u = 2x +3. Atunci integrala dată este de forma „ dxun” și pentru a aplica formula de mai sus
mai este nevoie de u . Cum u=(2x+3)=2 ne -ar mai trebui de un 2 . Atunci avem
CxCxdx x x dx x dx x
u u
  16)3 2(
17)3 2(
21)'3 2()3 2(212)3 2(21)3 2(8 17
'7 7 7
7
b) Dacă în loc de  dx x7)3 2( am avea dtt7atunci am putea aplica una din primele formule de integrare.
Prin urmare îl notăm pe 2x+3 cu t , iar la sfârșitul calculului integralei îl vom înlocui pe t cu 2x+3 .
Dar dx ne specifică cum că deriv area se face în funcție de x nu în funcție de t de aceea derivăm expresia
t = 2x + 3 în funcție de t la stânga și în funcție de x la dreapta . Așadar t  dt = (2x+3) dx , adică dt=2 dx 
dt dx21 și deci îl vom înlocui pe dx cu
21 dt . Înlocuind acum în integrala dată obținem
 CxCtCtdtt dt t dx x
dtt
  16)3 2(
821
1721
21
21)3 2(8 8 17
7 7
217

2 3. .)2 (6 2dx xx
a) Notăm cu u = x2 +2. Atunci integrala dată este de forma „ xdxun” și pentru a aplica formula de mai sus
mai este nevoie de u  și să îl eliminăm pe x. Cum u =(x2 +2)=2x și cum pe x îl avem, ne mai trebuie un 2 .
Înmulțind și împărțind integrala în același timp cu 2 obținem:
CxCxdx x x xdx x dx xx
u u
  14)2 (
16)2 (
21)'2 ()2 (212)2 (21)2 (7 2 16 2
'2 6 2 6 2 6 2
6
b) Dacă în loc de  dx xx6 2)2 ( am avea dtt6atunci a m putea aplica formula de integrare
Cntdttn
n
11
. Prin urmare îl notăm pe x2+2 cu t , iar la sfârșitul calculului integralei îl vom înlocui pe
t cu x2+2. Dar dx ne specifică cum că derivarea se face în funcție de x nu în funcție de t de aceea d erivăm
expresia t = x2 + 2 în funcție de t la stânga și în funcție de x la dreapta . Așadar t dt = (x2+2) dx , adică
dt=2xdx  xdx= dt21 , deci îl vom înlocui pe x dx cu21 dt . Revenind acum la integrala dată obț inem
 CxCtCtdtt dt t dxx x dx xx
dtt
   14)2 (
721
1621
21
21)2 ( )2 (7 2 7 16
6 6
216 2 6 2
Folosind pe scurt notațiile de mai sus avem :
4. . cos sin4xdx x
a) u = sinx  u=(sinx)=cos x, deci Cxdxx x xdx x
u u    5) (sin)' (sin) (sin cos sin5
'4 4
4
b) t = sin x tdt = (sinx) dx dt = cosxdx    CxCtdtt xdx x
dt t 5) (sin
5cos)sin(5 5
4 4
5. dxee dxex x x 2 3 ( vezi o variantă mai simplă mai jos, folosind altă formulă)
a) u=ex  u'=(ex)=ex CeCedxe e dxe e dxee dxex x
ux
ux x x x x x 3 3)()'()( )(3 3
'2 2 2 3
2
b) t = 3x  tdt = (3x)dxdt = 3dx  dt dx31
 CeCedt e dxex t
t
dtt
x
3 3 313
313
6. .)5 (6 6 5dx xx
u = x6 –5; u=( x6 –5)=6×5, deci ma i trebuie un 6. Atunci
CxCxdx x x dxx x dx xx
u u
  42)5 (
16)5 (
61)'5 ()5 (616)5 (61)5 (7 6 16 6
'6 6 6 5 6 6 6 6 5
6

3  Aplicații ale formulei  Cu dxu
u'
21
1.dx
xx
32
a) u = x2+ 3  u=(x2+3)= 2x, deci pt a aplica formula ne mai trebuie un 2 jos la radical și unul sus;
  



C x dx x
xdxx
xdx
xxdx
xx
u
u3 )'3 (
3 212
3 21
3 22
32
'2
212 2 2 2 

b) t = x2 +3 tdt = (x2+3)dx  dt = 2xdx  dt dxx21 
 C x Ct Ctdtt dt
txdx
xdx
xx
dt
t 

 3
2121
21
211
31
3221
21
212 2

2.dx
x xx
7 55 2
2
a) u = x2 + 5x + 7  u=( x2 + 5x + 7 )=2x+5, deci mai avem nevoie doar de un 2 la numitor, așadar
   



dx x x
x xdx x
x xdx
x xxdx
x xx
u
u
 '2
212 2 2 2)'7 5 (
7 5 212 )5 2(
7 5 212
7 5 25 22
7 55 2
C x x   7 5 22
b) t = x2 +5x+7 tdt = (x2+5x+7)dx  dt = (2x+5) dx  dt dx x)5 2( 
C x x Ct dtt dt
tdt
tdx x
x xdx
x xx
dt
t  

   7 5 2 2 )'(2
2121)5 2(
7 51
7 55 22
2 2 


 Aplicații ale formulei  Caadxuau
u
ln'
1.dx xx x)3 2( 232
a) u = x2 + 3x  u=(x2 + 3x)=2x+3, deci  C dxx x dx xx x
uax x x
u
  2ln2)'3 ( 2 )32( 23
'2 3 32
2 2

b) t = x2 +3x  tdt = (x2+3x)dx  dt = (2x+3) dx  dt dx x)3 2( 
 
C C dt dx xx x t
t
dtx xt
2ln2
2ln22 )3 2( 23
32
2

.

4 2.dxx xx x) 15 7( 32 6 53 7
a) u = x7+5×3  u=(x7+5×3)=7×6+15×2,deci C dxx x dxx xx x
u ax x x x
u  
  3ln3)' 15 7( 3 ) 15 7( 33 7
3 7 3 75
'2 6 5 2 6 5

b) t = x7 + 5×3 tdt = (x7 + 5×3)dx  dt = (7×6 + 15×2)dx  dt dx ) 15x (7×2 6 
C C dt dxx xx x t
t x x 
 3ln3
3ln33 ) 15 7( 33 7
3 75
2 6 5
 Aplicații ale formulei  C e dxueu u'
1.dxex14
a) u = 4x+1  u= (4x+1)= 4 , deci ne mai trebuie un 4 și atunci
 C e dx x e dx e dxex
u ex x x
u   14
'14 14 14
41)'14(41441

b) t = 4x+1  tdt = (4x+1) dx  dt = 4 dx  dt dx41 
CeCe dte dt e dxex
t t t x
4 41
41
4114
14
c) CeCeeCeeedxeedxee edxe dxex x x
ax x x x
x  
4 4 ln)()(14 4
44
4 4 4 14

2.dx xex62
a) u = x2 + 6  u= (x2 + 6)=2x, deci ne mai trebuie un 2 . Prin împărțire la 2 înmulțire cu 2 avem :
 C e dx x e xdx e dx xex
u ex x x
u      6
'2 6 6 62 2 2 2
21)'6 (21221

b) t = x2 +6  tdt = (x2+6)dx  dt = 2xdx  dt dxx21 

 C e Ce dt e xdx e dx xex t t
dtt
x x  6
216 62 2 2
21
21
21
3. 0 , ,, aRbadxebax
a) u=ax+b  u'=(ax+b)=a   C eadxb ax eaadx eadxebax
u ebax bax bax
u  
    1) (1 1

b) t =ax +b  tdt =(ax+b) dx  dt = adx  dtadx1 C eaCeadxeadtae dxebax t t t bax  1 1 1 1

5 4. dxexxcossin
a) u = cos x  u= (cos x)= −sin x ,deci  C e dxx e dxx e dxexx
u ex x x
u    cos
'cos cos cos)' (cos )sin( sin
b) t = cosx  tdt = (cosx) dx  dt = ( −sinx) dx |·( –1) dt dx sin x 

C e Ce dte dte dxx e dxexx t t t
dtx xt
    
cos cos cos)( ) (sin sin
 Aplicații ale formulei  Cu dxuudxuu||ln '1 '
1.dxx51
a) u = x+5  u=(x+5)= 1 , deci C x dxxxdxx
uu
|5|ln5)'5(
51'

b) t = x+5  tdt = (x+5)dx  dt = dx  dt dx C x Ct dttdxx|5|ln ||ln1
51
2.dxx3 81
a) u = 8x+3  u= (8x+3)=8 , mai este nevoie doar de un 8 și deci
C x dxxxdxxdxx
uu
 |38|ln81
38)'38(
81
388
81
381'


b) t = 8x + 3  tdt = (8x+3) dx  dt = 8dx |:8 dt dx81 
 C x Ct dttdttdxx|3 8|ln81||ln81 1
81
811
3 81
3.dxxx
13
2
a) u = x2+1  u=(x2+1)= 2x , ne mai trebuie un 2 și trebuie eliminat 3 ( pe care în scoatem în fața integr)
C x dx
xxdx
xxdx
xxdx
xx
uu
 



|1 |ln23
1)'1 (
23
12
23
13
132
2'
2
2 2 2

b) t = x2+1  tdt = (x2+1)dx  dt = 2xdx| :2  dt xdx21 
C x Ct dttdttxdxxdxxxdxxx   |1 |ln23||ln23 1
23
21131131313 2
2 2 2 .

6 4.dxxx
1 22
a) u = 2×2+1  u=(2×2+1)= 4x , ne mai trebuie un 4 și deci
C x dxxxdxxxdxxx
uu
    |1 2|ln41
1 2)'1 2(
41
1 24
41
1 22
2'
2
2 2

b) t = 2×2+1  tdt = (2×2+1)dx  dt = 4xdx |:4  dt xdx41 
C x Ct dttdttxdxxdxxx   |1 2|ln41||ln41 1
41
411
1 21
1 22
2 2
5. dxxxdxxtgcossin)(
a) u = cos x  u=(cos x)= −sinx , ne mai trebuie un minus și deci
Cx dxxxdxxxdxxxdxxtg
uu
      | cos|lncos)' (cos
cossin
cossin)('

b) t = cos x  tdt = (cos x) dx  dt = (− sinx)dx |·( –1) dt xdx sin 
Cx Ct dttdttxdxxdxxxdxxtg     | cos|ln ||ln1)(1sincos1
cossin)(
6. dxxxdxxctgsincos)(
a) u = sin x  u=(sinx)= cos x , nu mai trebuie nimic și deci
Cx dxxxdxxxdxxctg
uu
   | sin|lnsin)' (sin
sincos)('

b) t = sin x  tdt = (sin x) dx  dt = (cos x) dx  dt xdx cos 
Cx Ct dttxdxxdxxxdxxctg     | sin|ln ||ln1cossin1
sincos)(
 Aplicații ale formulei 

Cauau
adxu
a udx
a uuln21'1 '
2 2 2 2
1.
dx
xxdx
xx
2 22 41)( 1
a) u = x2  u=(x2)= 2x , deci 
Cxxdxxxdxxxdxxx
auu

  
11ln121
21
1)()'(
21
1)(2
21
122
2 22'
2
2 22 4
2 2.

7 c) t = x2  tdt = (x2)dx  dt = 2xdx |:2 x dt dx21 
CxxCttdttdttxdxxdxxx
   11ln41
11ln121
21
11
21
21
11
1)(1
122
2 2 2 2 2 22 4.
2.
dx
xxdx
xx
2 232
62
2)( 4
a) u = x3  u=(x3)= 3×2, deci 
Cxxdxxxdxxxdxxx
auu

  
11ln221
31
2)()'(
31
2)(3
31
433
2 23'
3
2 232
62
2 2.
b) t = x3  tdt = (x3)dx  dt = 3xdx |:3 x dt dx31 
C
xxCttdt
tdt
txdx
xdx
xx





   11ln121
11ln221
31
21
31
31
21
2)(1
433
2 2 2 2 2 23 62
.
 Aplicații ale formulei  Cu dxuu cos ' sin
1.dxx)9sin(
a) u = 9x  u= (9x)=9 , ne mai trebuie un 9 . Atunci:
Cx dxx x dxx dxx
u u      )9cos(91)'9()9sin(919)9sin(91)9sin(
' sin
b) t = 9x  tdt = (9x)dx  dt = 9 dx  dt dx91 
 Cx Ct dtt dtt dxx
dtt   )9cos(91)cos(91sin91
91sin )9(sin
91
2.dxe ex x) sin(
a) u = ex  u= (ex)=ex , nu mai trebuie nimic și deci
C e dxe e dxee dxe ex
ux
ux x x x x     ) cos( )'() sin( ) sin( ) sin(
' sin
b) t = ex  tdt = (ex)dx  dt = ex dx  dt dxex 
 C e Ct dtt dxee dxe ex
dtx
tx x x  ) cos( )cos( sin sin sin
3. dxx x ) sin(sin cos
a) u = sinx  u= (sin x)=cos x, nu ne mai trebuie nimic ( pentru că avem un cos x ) și deci

8 Cx dxx x xdx x dxx x
u u        ) cos(sin )' (sin) sin(sin cos) sin(sin ) sin(sin cos
' sin
b) t = sinx  tdt = (sinx ) dx  dt = cos x dx  dt dxx cos 
Cx Ct dtt xdx x dxx x
dtt      ) cos(sin )cos( sin cos) (sinsin ) sin(sin cos
 Aplicații ale formulei  Cu dxuu sin ' cos
Sunt la fel ca cele ale formulei  Cu dxuu cos ' sin însă cu mici modificări.
 Aplicații ale formulei    Cutg dxuudxuu)(cos''cos1
2 2
1.dxx3 cos1
2
a) u = 3x  u=(3x)= 3, deci ne mai trebuie un 3, prin urmare
Cxtg dxx
xdx
xdx
xu
u      )3(31)'3(
3cos1
313
3 cos1
31
3 cos1
'2 2 2
b) t = 3x  tdt = (3 x )dx  dt = 3 dx  dt dx31 
 Cxtg Cttg dt
tdt
tdx
x
dtt    )3(31)(31
cos1
31
31
cos1
3cos1
2 2
312
2. dxxx
)2 3(cos2 2
a) u = 3×2−2  u=( 3×2−2 )= 6x, ne mai trebuie un 6 , prin urmare
C xtg dx xxxdxxdxxx
u
u    )2 3(61)'2 3()2 3(cos1
616)2 3(cos1
61
)2 3(cos2
'2
2 2 2 2 2 2 
b) t = 3×2−2  tdt = (3×2−2 )dx  dt = 6xdx  dt dxx61 
 C xtg Cttg dttdttxdxxdxxx
dt
t      )2 3(31)(61
cos1
61
61
cos1
)2 3(cos1
)2 3(cos2
2 2
612 2 2 2

 Aplicații ale formulei    Cuctg dxuudxuu)(sin''sin1
2 2
Sunt la fel ca cele ale formulei . )(cos''cos1
2 2   Cutg dxuudxuu
Celelalte formule de schimbare sun t asemănătoare cu acestea și se tratează analog. Spor la lucru.

9 Integrale definite
1.1
05)1( dx x
a) Calculăm întâi primitiva separat
CxCxdx x x dx x dx x
u u
 6)1(
15)1()'1()1( 1)1( )1(6 15
'5 5 5
5
u = x +1 ; u =(x+1)=1.
Atunci 221
663
61
62
6)10(
6)11(
6)1()1(3( 6 6 6 61
06 1
05
xdx x .
b) Facem schimbarea de variab ilă t = x +1  t dt = (x+1)dx  dt = dx .
Când


110 0211 1
t xt x, obținem  2
16 62
16
51
05
221
61
62
6)1(tdtt dx x ( mult mai greu).
2.1
034dxexx
a) Calculăm întâi primitiva separat
C e dxx e dxex dxexx
u ex x x
u  4 4 4 4
41)'(41441
'4 3 3 . Atunci : 41) (41
41 4 4 4 40 11
01
03 ee e e dxexx x.
u = x4 ; u=(x4)=4×3.
b) Facem schimbarea de variabilă t = x4  t dt = (x4)dx  dt = 4×3 dx  x3 dx=dt41.
Când


0 0 011 1
44
t xt x, atunci
1
00 11
01
031
03
41
4 4 4 41 4 4 e ee edte dxxe dxext
t x x ( mai greu un pic).
3.e
dxxx
1ln
 Cxdxx x dxxx dxxx
u u 
2)(ln)'(ln ln1lnln2
1 
21
201
2)1(ln
2)(ln
2)(ln ln2 2
12
1 e xdxxxee
.
u = lnx ; u =(lnx)=
x1.
a) Facem schimbarea de variabilă t = ln x  t dt = (ln x)dx  dt= dxx1.
Când


01ln 11 ln
t xe t ex, atunci
21
20
21
21lnln2 21
02 1
0 1 1 ttdt dxxx dxxxe e
( q.e.d).
Părerea mea este că mult mai ușor se rezolvă astfel de integrale dacă le facem cu „u” decât cu t, ma i
ales că în clasa a XI -a s-au învățat formulele cu „ u” la derivatele funcțiilor compuse, așa că dragi copii
învățați la perfecție formulele derivatelor funcțiilor compuse cu u și veți reuși să faceți și astfe l de integrale,
dacă nu , nu. Spor la lucru la tema ce urmează.

10TEMĂ . 1) Folosind eventual formula 
Cnudxuun
n
1'1
să se calculeze integral a  . )1 56(56 5 4dx x x
2) Folosind eventual formula  Cu dxu
u'
21 să se calculeze integrala .
12dx
xx
3) Folosind eventual formula  Caadxuau
u
ln' să se calculeze integrala 1
03)3 2( 22dx xx x
4) Folosind eventua l formula  Ce dxueu u' să se calculeze integrala 1
082dx xex

5) Folosind eventual formula 
Cauau
adx
a uuln21 '
2 2 să se calculeze integrala 4
241dx
xx
6) Folosind eventual formula  
Cauarctgadx
a uu 1 '
2 2 să se cal culeze integrala dx
xx
4)2 5(3
2 2
7) Folosind eventual formula Cau dxuau| |ln1 să se calculeze integrala e
dxx xx
11 ln1 ln
Calculați : 1) 2
110)1( dx x ; 2)1
099 2)1 ( dx xx ; 3)2
1222 dx xx; 4)e x
dxx1ln2; 5) 2
1)1 ln(
15dxxx
; 6)2
1lndxxx;
7)1
03 233)1 ( dx xx x; 8)1
091010 dx xx; 9)4
13dx
xx
; 10)9
1dx
xex
; 11)2
ln1e
edxxx; 12)e
dxx x1)ln1(1; 13)e
dxxx
16ln;
14)e
dxxx
16ln; 15)29lne
edxxx; 16)1
021dxxx; 17)3
121 54dxxx; 18)e
dxxx
032
1 4; 19)1
0)1 ln()1(1dxx x; 20)
1
12
14e
edxx;
21)2
0cos2sin
dxxx;22)

dxxx
cos2cos;23)4
621 cossin
dxxx;24)3
262
1dxxx;25)2
141 42dxxx;26)1
041dxxx;27)2
132
31dxx xx.