Circuite de telecomunicații [613917]
Circuite de telecomunicații
– curs –
Lucian Morgoș , Romulus Reiz, Adrian Burca
Capitolul 1. PARAMETRII SPECIFICI DIPOR ȚILOR
Func țiile de circuit ale diporț ilor pasivi sunt determinate de modul în
care se transfer ă puterile semnalelor de la o poart ă la cealaltă . În general, în
cadrul acestui tip de analiz ă puterea se exprim ă ca un produs de dou ă
mărimi exprimate în planul variabilei complexe s, adic ă s I s U .
În cadrul liniilor de comunica ții, diporț ii apar conecta ți în cascad ă. În
acest context, la analiza unui astfel de circuit, diportul se consider ă ca o
entitate separat ă, care este îns ă conectat ă între o surs ă d e s e m n a l E ( d e
impedanță internă gZ), echivalent ă (din punct de vede re al teoremei
Thevenin) lanț ului de circuite din stânga diportului, și o impedan ță de
sarcină sZ, echivalent ă lanțului din dreapta diportului (dac ă se consider ă
sensul de transmisie a semnalului de la poarta 1-1 spre poarta 2-2).
Figura 1.1
1.1. PARAMETRII DIPOR ȚILOR PASIVI CONECTA ȚI ÎNTRE
TERMINA ȚII IDEALE
1.1.1. Adaptare. Coeficient de tr ansmisie. Coeficient de reflexie
Pentru determinarea condi țiilor de adaptare se va considera transferul
5
de semnal de la o poart ă oarecare:
Figura 1.2
Ca urmare, în cazul por ții 1-1 din figura 1.2 adaptarea este asigurat ă dacă
s gZ Z. În condi ții de adaptare, puterea la poarta considerat ă (figura 1.3) se
definește astfel:
Figura 1.3
g gZE
ZE EI U4 2 22
0 0 (1.1)
Mărimile 0U, 0I, E din expresia (1.1) sunt exprimate în planul variabilei
complexe s, dar produsul 00I U va căpăta sens fizic real doar dac ă js .
În aceste condiț ii, impedan țele vor avea caracter rezistiv gRgZ , iar
6
produsul 00I U devine puterea aparent ă cedată de sursă la poarta
respectivă în condiții de adaptare.
j s oa I U P 0 0 (1.2)
Dacă g s gR Z Z , adaptarea este asigurat ă, iar puterea activ ă cedată de
sursă oaP este maxim ă, respectiv
goREP42
(1.3)
Aceasta este situa ția spre care se tinde într-o linie de transmisiuni.
Pentru o poart ă la care adaptarea nu este asigurat ă, puterea transferat ă
devine:
222
s gs
s
s gssZ ZZ EZZ ZEI U
(1.4)
Mărimile sU, sI, E din expresia (1.3) sunt ex primate în planul variabilei
complexe s, iar produsul ssI U nu are sens fizic real. Dac ă se face
înlocuirea js , produsul ssI U va reprezenta puterea aparent ă de
neadaptare la poarta considerat ă, adică:
j s ss sa I U P (1.5)
Dacă impedan țele legate la poart ă vor avea caracter rezistiv, respectiv
g gR Z și s sR Z , atunci puterea transferat ă la neadaptare
22
s gs
sR RR EP
(1.6)
7
va fi maxim ă.
Coeficientul de transmisie la o poart ă se notează cu t și se calculeaz ă
cu expresia:
002
I UI Utss
(1.7)
respectiv
oasa
j s PPt
2 (1.8)
După înlocuirea puterilor oaP și saP cu expresiile (1.1) și (1.4) se ob ține:
2 2 2224
41
s gs g
gs gs
Z ZZ Z
ZE Z ZZ Et
(1.9)
adică
s gs
Z ZZ g Zt2 (1.10)
La adaptare, adic ă pentru s gZ Z , se obține transmisia total ă, respectiv
1t.
La neadaptare se calculeaz ă:
ss rr I U I U I U0 0 (1.11)
unde produsul rrI U reprezint ă puterea reflectat ă datorită neadaptă rii,
respectiv puterea care nu ajunge la sarcin ă din cauza neadapt ării.
Pentru js produsul rrI U va avea sens fizic real și va
reprezenta puterea aparent ă reflectată:
j s rr ra I U P (1.12)
Coeficientul de reflexie la o poart ă, definit în condi ții de neadaptare,
8
se notează cu și se calculeaz ă astfel:
0 02
I UI Urr
(1.13)
respectiv
oara
j s pP
2 (1.14)
Dacă în expresia (1.11) se înlocuiesc rela țiile (1.1) și (1.4) se ob ține:
22 2
22 2
4 4s g gs g
s gs
grrZ Z ZZ Z E
Z ZZ E
ZEI U
(1.15)
Rezultă:
2
2
s gs g
Z ZZ Z
(1.16)
respectiv:
s gs g
Z ZZ Z
(1.17)
În cazul îndeplinirii condi ției de adaptare, adic ă pentru s gZ Z , se
obține reflexie nul ă, respectiv 0 .
1.1.2. Parametrii imagine
Pentru evitarea apari ției reflexiilor într-o lin ie de transmitere a
semnalelor este necesar să se asigure realizarea adapt ării la toate por țile,
ceea ce în majoritatea cazurilor reprezint ă condiția suficient ă pentru
obținerea transferului maxim de putere.
Impedanț ele imagine ale unui diport pasiv sunt acele impedan țe
proprii diportului care asigură adaptarea la ambele por ți ale acestuia.
9
Ca urmare, impedan țele imagine de intrare 1IZ și de ieș ire2IZ sunt
acele valori particulare ale impedan țelor unei surse de semnal de la intrarea
unui diport, respectiv ale sa rcinii, pentru care impedan țele văzute de o parte
și de alta a por ților de intrare și de ieșire sunt egale dou ă câte două .
Figura 1.4
Relațiile de defini ție ale impedan țelor imagine de intrare 1IZ și de
ieșire2IZ sunt urm ătoarele:
2
22 111
IZIUIIUZ
(1.18)
1
11 222
IZIUIIUZ
(1.19)
În cazul unui diport simetric I I I Z Z Z2 1 , valoarea lor comun ă
c Z ZI numindu-se impedan ță caracteristică .
În cazul unui diport dintr-o linie de transmisie, în condi ții de adaptare,
se mai pot defini înc ă doi parametri, respectiv co nstantele de transfer pe
imagine în sensurile intrare-ie șire 1Ig și ieșire-intrare 2Ig. Relațiile de
definiție sunt:
10
2211
1ln21
I UI UgI (1.20)
1122
2ln21
I UI UgI (1.21)
Pentru dipor ții reciproci cele dou ă constante de transfer pe imagine
sunt egale I I Ig g g 2 1. În concluzie, diporț ii simetrici și reciproci se
vor caracteriza doar prin parametriiIZ și Ig.
Pornind de la figura 1.4 se pot scrie relaț iile:
1 1 1 IZ I U (1.22)
2 2 2 IZ I U (1.23)
Înlocuind expresiile de mai sus în rela țiile (1.20) și (1.21) se ob ține:
12
21
22
212
1
ln ln21
II
II
I ZZ
UU
ZUZU
g (1.24)
21
21
22
212
1ln ln21
II
II
I ZZ
II
Z IZ Ig
(1.25)
Pentru un diport simetric c I IZ Z Z2 1 și
21
21ln lnII
UUgI (1.26)
Constanta de transfer pe imagine Ig va avea sens fizic real dac ă
js , caz în care se poate scrie:
I I Ijb a g (1.27)
11
unde I I g aRe este constanta de atenuare pe imagine (atenuare pe
imagine), iar I I gIm b este constanta de defa zare pe imagine (defazare
pe imagine).
DacăI I Ig g g 2 1, din expresiile (1.20), (1.24), (1.25) rezult ă:
21
21
12
21
2211ln ln ln21
II
II
I ZZ
II
ZZ
UU
I UI Ug (1.28)
În acest context rezult ă:
21
21
12
21
2211ln ln ln21
II
IIIZZ
II
ZZ
UU
I UI Ua (1.29)
și
21
21
12
21
2211arg arg arg21
II
IIIZZ
II
ZZ
UU
I UI Ub (1.30)
Dac ă cele două impedanț e imagine au caracter pur rezistiv, atunci
atenuarea pe imagine devine o m ăsură a puterii ce se pierde în diport în
condiții ideale de transfer.
La definirea Ia și Ib s-a folosit logaritmul natural datorit ă
simplificării calculelor, caz în care atenuarea se va exprima în Neperi (Np).
Dacă aplicațiile abordate necesit ă determinarea atenu ării în dB se va folosi
relația de legătură între cele dou ă unități de măsură, adică
dB Np 686 , 8 1 (1.31)
În continuare se va stabili rela ția de legătură dintre parametrii imagine
și cei matriciali fundamentaliijA ai diportului.
12
Orice diport poate fi caracter izat cu parametrii matriciali
fundamentaliijA cu ajutorul urm ătorului sistem:
2 12 2 11 1 I A U A U (1.32)
2 22 2 21 1 I A U A I (1.33)
Se exprim ă raportul
22
222112
2211
2 22 2 212 12 2 11
11
AIUAAIUA
I A U AI A U A
IU
(1.34)
Rezultă
22 2 2112 2 111A Z AA Z AZ
II
I (1.35)
În același mod se poate exprima și impedan ța imagine 2IZ în funcție de
parametriiijA, astfel:
11 1 2112 1 222A Z AA Z AZ
II
I (1.36)
Din rela țiile (1.35) ș i (1.36) se ob țin:
21122 1AAZ ZI I (1.37)
și
2211
21
AA
ZZ
II (1.38)
Pornind de la ultimele două expresii se determin ă impedan țele imagine
astfel:
22 2112 111A AA AZI (1.39)
13
11 2112 222A AA AZI (1.40)
Același tip de calcule se vor efectua și pentru exprimarea constantei
de transfer pe imagine Ig în funcție de parametrii matriciali fundamentali
ijA. Se determin ă raportul:
12 2211 21
12 11
212
11
2212
11
21
A AA AA AZAA
IUAAUU
I
(1.41)
12 21 22 11
1222
12 2211 2112 11 ln ln A A A AAA
A AA AA A gI
(1.42)
Relația (1.42) se poate rescrie astfel:
21 12 22 11A A A A eIg (1.43)
În continuare se vor prezenta rela țiile de transformare invers ă, care
exprimă dependența parametrilor matriciali fundamentali ijA în funcție de
impedanțele imagine 1IZ și 2IZ și de constanta de transfer pe imagine Ig.
Se vor ob ține expresiile:
IIIg chZZA
2111 I I I g sh Z Z A 2 1 12
II Ig sh
Z ZA
2 1211 IIIg chZZA
1222 (1.44)
În aceste condi ții, sistemul format din rela țiile (1.32) și (1.33) se pot
rescrie astfel:
14
I I I IIIg sh Z Z I g chZZU U 2 1 2
21
2 1 (1.45)
III
II Ig chZZI g sh
Z ZU I
122
2 12 11 (1.46)
Expresiile (1.45) și (1.46) sunt cunoscute și sub numele de ecuaț iile de
propagare ale semnalului prin diport.
Pornind de la aceste ecua ții se pot determina niș te relații simple de
dimensionare a parametrilor imagine 1IZ, 2IZ, Ig prin câteva m ăsurători
simple la porțile diportului.
I I
Usc g th ZIUZ
1
0 111
2 (1.47)
I I
Ig g cth ZIUZ
1
0 111
2 (1.48)
I I
Usc g th ZIUZ
2
0 222
1 (1.49)
I I
Ig g cth ZIUZ
2
0 222
1 (1.50)
Înmulțind relațiile de mai sus dou ă câte două, rezultă:
g sc I Z Z Z1 1 1 (1.51)
g sc I Z Z Z2 2 2 (1.52)
Pentru constanta de transfer pe imagine se ob ține:
gsc
gsc
I ZZ
ZZg th
22
11 (1.53)
15
În concluzie, prin m ăsurători simple la por țile diportului (independent
de structura intern ă a acestuia) se pot dete rmina parametrii imagine 1IZ,
2IZ, Ig.
Dac ă se ia în considerare un lan ț de transmisie format din n diporți
legați în cascad ă, impedan ța imagine de intrare 1IZ va fi egal ă cu cea de
intrare a primului diport, impedan ța imagine de ie șire 2IZ va fi egal ă cu cea
de ieșire a ultimului diport, iar constanta de transfer pe imagine Ig va fi
egală cu suma constantelor de transfer pe imagine ale tuturor celor n dipor ți
componenți.
1.1.3. Parametrii iterativi
În cazul transmiterii unor semnale oscilante, când reflexiile la por ți în
sensul invers celui de transfer nu deranjeaz ă, este de dorit ca impedan ța de
sarcină să se repete la intrarea fiecă rui diport. Ca urmare, privind lan țul în
sensul de transmisie, impedan ța de intrare a fiec ărui diport este chiar cea de
sarcină . În acest context se definesc patru parametrii iterativi, dou ă
impedanțe și două constante de transfer.
Se numeș te impedanță iterativă intrare-ie șire 1kZacea valoare
particular ă a impedan ței de sarcin ă care se repetă la intrarea în diport (sau
acea valoare a impedan ței de sarcin ăsZpentru care impedanța de intrare a
diportului este chiar sZ).
Impedan ța iterativ ă ieșire-intrare 2kZeste acea valoare particular ă a
impedanței sursei de semnal care se repet ă la ieșirea diportului (sau acea
valoare a impedan ței sursei de semnal pentru care impedan ța de ieșire a
diportului este egal ă cu cea a sursei de semnal).
16
Figura 1.5
Figura 1.6
Cele dou ă impedanțe iterative se de finesc astfel:
1
22 111
kZIUkIUZ
(1.54)
și
2
11 222
kZIUkIUZ
(1.52)
În cazul unui diport simetric c k kZ Z Z2 1 , unde cZ este
impedanța lui caracteristic ă.
Constanta de transfer iterativ ă intrare-ie șire se define ște cu relația:
2 211
1ln21
I UI Ugk (1.53)
17
Figura 1.7
În mod similar, constanta de transfer iterativ ă ieșire-intrare se
definește astfel:
112 2
2ln21
I UI Ugk (1.54)
La dipor ții pasivi reciproci k k kg g g2 1, iar
1 1 1 kZ I U (1.55)
2 2 2 kZ I U (1.56)
și (1.54) se pot rescrie astfel:
În aceste condi ții relațiile (1.53)
21
12
212
1U
ln ln21
UU
ZUZg
kk
k (1.57)
21
22
212
1ln ln21
II
Z IZ I
g
kk
k
(1.58)
Constanta de transfer iterativă kg va avea sens fizic real pentru
js , situație în care se ob ține:
k k kg jb a (1.59)
18
unde ka este constanta de aten atenuare iterativ ă), iar kbeste uare iterativ ă (
constanta de defazare iterativ ă (defazare iterativ ă). Pornind de la rela țiile
z introduse mai sus, pentru con stantele iterative de atenuare și defa are se
obțin expresiile:
21
21
2 211ln ln ln21
II
UU
I UI U
ak (1.60)
și
1 I
21
21
2 211arg arg arg2 I UU
I UI Ubk (1.61)
az atenuarea se exprim ă în neperi (Np), dar pe
care se lucreaz ă în dB se poate rea iza conversia cu rela ția de leg ătură Și în acest c ntru aplica țiile în
l
cunoscută dintre cele dou ă unități de măsură.
Relațiile de leg ătură dintre parametrii iterativi și parametrii matriceali
fundamentali sunt urm ătoarele:
2 12 2 11 1 I A U A U (1.62)
2 22 2 21 1 I A U A I (1.63)
) se exprim ă raportul:
Pe baza rela țiilor (1.62) și (1.63
22
222112
211
1AIAU2
1 AIUAU
I (1.64)
Rezultă:
22 1 2112 1 11
1A Z AA Z AZ
kk
k (1.65)
sau
012 1 22 112 A Z A (1.66) 1 21 Z A Ak k
19
Rezolvând ecua ția de gradul II de mai sus (1.65) în raport cu 1kZse obține:
2121 12 22 11 22 11
124
AA A A A A AZk (1.67)
a radicalului se va lua în considerare doar semn2
În
faț ul , caz în care
expresia se poate rescrie astfel:
2121 12 22 112
22
124
AA A A A A
k
11 22 11 A A AZ
212
22 11 22 11
24
AA A A A (1.68)
Se subliniaz ă faptul c ă în cazul unui diport reciproc determinantul
parametrilor matriceali fundamenta li este egal cu unitatea.
Pentru calculul constantei de transfer iterativ ă kg se determ ină:
14 224
2
22 11 22 1112
212
22 11 22 11
2122 1 21 22
22
211 A Z A AUAI
k
2
A A A AAAA A A AAI I
(1.69)
În final se obține:
14 2ln2
22 11 22 11 A A A Ag k (1.70)
ț de dipor
cascadă, care au aceleaș i impedan țe iterative, dar constante de transfer În continuare se va lua în considerare un lan ți legați în
20
iterative diferite.
Figura 1.8
În acest context, diportul echivalent lan țului va avea impedan ța
iterativă de aceea și valoare cu or componen ți și constanta de a diporțil
transfer iterativ ă de forma:
2 1 ' '
2' '
1'
1' '
1
'
2'
1
21ln lnkU U U
UU
UUg '
2' '
2ln lnk kg g
U U U (1.71)
În concluzie, pentru n dipor ți legați în cascad ă consta
iterativă a întregii linii de transmisie va fi egal ă cu suma constantelor
parțialnta de transfer
e:
n
g g (1.72) k k1
astfel:
și În mod similar, constant ele iterative de atenuare și defazar e se vor calcula
n
(1.73)
k ka a
1
(1.74)
n
k kb b
1
21
1.1.4. Parametrii de lucru ai dipor ților
Se ia în considerare un diport pasiv oarecare ș i se va analiza transferul
de semnal de la poa rta de intrare 1-1 spre poarta de ieș ire 2-2.
Figura 1.9
Între impedan țele gZși sZ nu exist ă nicio rela ție prestabilit ă.
Intereseaz ă impedan țele de intrare la fiecare dintre cele dou ă porț i, precum
și funcțiile de transfer de la surs ă la sarcină. Impedan ța de intrare la o poart ă
depinde de diport, prin intermediul parametrilor lui, și de impedan ța de
terminație de la cealalt ă poartă.
Figura 1.10
Ca urmare, la poarta de intrare 1-1 se va determina 1inZ, conform
figurii 1.10, cu rela ția:
22
2
22 111
sZIUinIUZ
(1.75)
Apoi, se va determina e xpresia de calcul a lui 1inZ în funcție de
parametrii impedan ță ai diportului și de impedanț a de sarcin ă 2sZ.
Parametrii impedan ță ai unui diport pasiv oarecare se definesc cu expresiile:
2 12 1 11 1 I z I z U (1.76)
2 22 1 21 2 I z I z U (1.77)
Unde
0 1111
2
IIUz ,
0 2222
1
IIUz ,
0 2112
1
IIUz ,
0 1221
2
IIUz
(1.78)
sunt definite în condi ții de gol.
Din rela ția (1.76) se exprim ă raportul
1212 11
11
IIz zIU (1.79)
Ținând cont de rela ția (1.75), relaț ia (1.77) se rescrie astfel:
2 22 1 21 2 2I z I z I Zs (1.80)
respectiv
1 21 2 22 2I z I z Zs (1.81)
Se exprim ă raportul
22 221
12
z Zz
II
s (1.82)
care se va înlocui în expresia (1.79). Rezult ă:
23
2 2221 1211 1
sinZ zz zz Z (1.83)
Dacă se face nota ția 21 12 22 11z z z z z relația (1.83) se devine:
2 222 11
1
ss
inZ zZ z zZ (1.84)
În mod similar de exprim ă o formul ă de calcul și pentru 2inZ , sub
forma:
1 1121 1222 2
sinZ zz zz Z (1.85)
și
2 221 22
2
ss
inZ zZ z zZ (1.86)
Dacă 2sZ , atunci se ob ține 11 1 1z Z Zgol in .
Dacă 1sZ , atunci se ob ține 22 2 2z Z Zg in .
În continuare se vor defini func țiile de transfer ale semnalelor, în
ipoteza că transferul se realizeaz ă între poarta de intrare 1-1 spre poarta de
ieșire 2-2, respectiv:
Figura 1.11
24
– funcția de transfer a tensiunii
12
UUTU
– funcția de transfer a curentului
12
IITI (1.87)
– impedanț a de transfer
12
IUZU
– admitan ța de transfer
12
UIYU
Pentru js cele patru m ărimi de transfer vor avea sens fizic (vor fi
numere complexe) și vor putea fi analizate atât din punct de vedere al
modulului, cât și al fazei lor, deoarece vor avea o form ă generală de tipul:
je A T (1.88)
Modulul A reprezentat grafic în func ție de frecven ță va reprezenta
caracteristica de modul a diportului, iar faza reprezentată grafic în
funcție de frecven ță va reprezenta caracteristica de faz ă a diportului.
Pentru exprimarea func ției de transfer a tensiunii se porne ște de la
parametrii admitan ță ijy ai diportului, defini ți astfel:
2 12 1 11 1 U y U y I (1.89)
2 22 1 21 2 U y U y I (1.90)
unde
0 11
11
2
UUIy ,
0 22
22
1
UUIy ,
0 21
12
1
UUIy ,
0 12
21
2
UUIy
(1.91)
sunt definite în condi ții de scurtcircuit.
Din rela țiile (1.89) și (1.90) se exprim ă raportul:
25
2221
2122yUUyUI (1.92)
unde
2
22sYUI (1.93)
și
22 21 21yTy Y
Us (1.94)
Rezultă:
2 2221
sUY yy
T (1.95)
Pentru exprimarea func ției de transfer a curentului se folosesc
parametrii impedan ță ijz ai diportului:
2 12 1 11 1 I z I z U (1.96)
2 22 1 21 2 I z I z U (1.97)
Din relațiile (1.96) și (1.97) se exprim ă raportul:
22
2121
22zIIzIU (1.98)
unde
2
22sZIU (1.99)
și
22 21 21zTz Z
Is (1.100)
Rezultă :
2 2221
sIZ zzT (1.101)
Pentru a deduce impedan ța de transfer se porne ște tot de la sistemul
26
de ecuații cu parametrii matriceali impedan ță, introdus cu expresiile (1.96)
și (1.97). Ținând cont de rela ția (1.99), ecua ția (1.97) se poate rescrie astfel:
22
221 21 2 zZUI z U
s (1.102)
În final se ob ține:
2 222 21
ssTZ zZ zZ (1.103)
Pentru obț inerea admitan ței de transfer se porne ște tot de la sistemul
de ecuații cu parametrii matriceali admitan ță, introdus cu expresiile (1.89) ș i
(1.90). Ț inând cont de rela ția (1.93), formula (1.90) se poate rescrie astfel:
22221 21 2 yYIU y I
s (1.104)
În urma înlocuirii lui 2sY se obține:
2 222 21
ss
TY yY y
Y
(1.105)
În practic ă se utilizeaz ă funcția de transfer a tensiunii în gol și funcția
de transfer a curentului în scurtcircuit, astfel:
– funcția de transfer a tensiunii în gol rezult ă din formula (1.95) în condi ții
de gol, adic ă:
1121
2221
0 12
2zz
yy
UUT
IUg
(1.106)
Ultima parte a dublei egalit ăți de mai sus s-a ob ținut pornind de la sistemul
cu parametri matriceali de impedan ță, unde s-a impus condi ția de gol la
ieșire 02I .
27
– funcția de transfer a curentului în scurtcircuit se deduce din expresia
(1.101) în condiț ii de scurtcircuit
1121
2221
0 12
2yy
zz
IIT
UIsc
(1.107)
Ultima parte a dublei egalit ăți s-a obținut pornind de la sistemul cu
parametri matriceali admitan ță, unde s-a impus condi ția de scurtcircuit la
ieșire 02U .
O alt ă funcție de transfer a tensiunii de la o surs ă reală E la o
impedanță de sarcin ă oarecare sZ este următoarea:
EUTUE2 (1.108)
La poarta de intrare 1-1 se poate scrie teorema a II-a a lui Kirchoff:
1 1I Z E Ug (1.109)
iar la poarta de ie șire 2-2 se obține:
sZ I U2 2 (1.110)
În aceste condi ții se scrie sistemul de ecua ții cu parametri matriceali
impedanță astfel:
1221 11 1 zZUI z I Z E
sg (1.111)
sZUz I z U222 1 21 2 (1.112)
Se rearanjeaz ă ultima expresie sub alt ă formă
1 21 2 2211 I z UZz
s
(1.113)
28
de unde se ob ține
ss
Z zZ zI
2122
1 (1.114)
Se înlocuieș te formula (1.114) în rela ția (1.111) și se obț ine funcția de
transfer căutată:
21 12 22 1121
z z Z z Z zZ zT
s gs
UE (1.115)
1.1.5. Transferul de putere în dipor ții pasivi
În aplicațiile practice exist ă situații când dipor ții pasivi sunt conecta ți
între termina ții rezistive, ceea ce duce la apari ția unor pierderi de putere.
Aceste pierderi pot fi calculate cu ajutorul a dou ă seturi de parametri de
transfer:
a). parametri de transfer de lucru; b). parametri de transfer de inser ție.
Figura 1.12
a). La definirea parametrilor de transfer de lucru se întâlnesc dou ă tipuri de
puteri, respectiv 0P și 2P.
Pentru definirea lui 0P se pornește de la un circ uit de referin ță, având
29
În vedere c ă se consider ă că aceasta este puterea maxim ă pe care o poate
debita sursa conectat ă la intrarea diportului (la adaptare).
Figura 1.13
Puterea 2P este cea pe care o primeș te sarcina prin diport de la
sursa de la intrare. În regim ar
monic, adic ă pentru sR
js , cele dou ă mărimi
se pot defini astfel:
g g gRE
RE
RE EI U P4 4 2 22 2
0 0 0 (1.116)
sRUI U P2
2
22 2 (1.117)
La definirea func ției de transfer de lucru se utilizeaz ă raportul
puterilor introduse mai sus. Astfel, dacă diportul este pasiv atunci:
0 2P P (1.118)
Deoarece raportul
20
PP conține pătratele tensiunilor la ca re fac referire (sau
ale curen ților), în continuare se va lucra cu
20
PP. În acest context, se
definește modulul func ției de transfer de lucru cu rela ția:
30
gs s
gcRR
UE
UR
RE
PP
22
22
20
21
4 (1.119)
Ca urmare, func ția de transfer de lucru pent ru un diport pasiv, definit ă
în planul variabilei complexe s, este de forma:
gs
cRR
UE
2 21 (1.120)
În practic ă se folose ște constanta de transfer de lucru sau compus ă,
care se poate defini în dou ă moduri în func ție de dimensiunea ce se dore ște
să se obțină pentru partea ei real ă.
c cgln (1.121)
sau
c cg lg 20 (1.122)
În regim armonic, adic ă pentru js , constanta de transfer de lucru
cgdevine o m ărime complex ă, de forma:
c c cjb a g (1.123)
unde este constanta de atenuare de lucru (sau atenuarea de lucru sau
com
pusă), iar constanta de defazare de lucr u (sau defazarea de lucru sau
compusă). ca
cb
În contextul men ționat mai sus, și pentru constanta de atenuare de
lucru exist ă două moduri de definire:
20ln21lnPPac c [Np] (1.124)
31
20lg 10 lg 20PPac c [dB] (1.125)
Constanta de defazar e de lucru se define ște astfel:
c cbarg (1.126)
Cei doi parametri de transfer de lucru defini ți (funcția și constanta de
transfer) pot fi generaliza ți și pentru cazul când la por ți sunt conectate
impedanț e de termina ție. Ca urmare, se ob ține:
gs
cZZ
UE
2 21 (1.127)
iar cgse definește la fel ca și mai sus.
Pentru constanta de atenuare de lucru rezultă: ca
gscZZ
UEa 2
22
4ln21 [Np] (1.128)
respectiv:
gscZZ
UEa 2
22
4lg10 [dB] (1.129)
Însă în acest caz nu corespunde unei pierderi reale de putere, pentru c ă în ca
c intervine un raport de două puteri aparente. În cont inuare se va stabili o
expresie pentru c în care s ă apară parametrii matriceali de impedan ță și
cele două impedanțe terminale, gZ și sZ.
Știind că
21 12 22 1121
z z Z z Z zZ zT
s gs
UE (1.130)
32
rezultă
gs
ss g
gs
UEcZZ
Z zz z Z z Z z
ZZ
T
2121 12 22 11
21
21 (1.131)
și în final
g ss g
cZ Z zz z Z z Z z
2121 12 22 11
21 (1.132)
b). Parametrii de transfer de inser ție
Pentru definirea lor se face referire la alte dou ă tipuri de puteri,
respectiv '
0P și 2P. Puterea '0P se determin ă cu ajutorul unui circuit de
referință și se consider ă a fi puterea pe care sursa o debiteaz ă direct pe
rezistența de sarcin ă, iar 2P se introduce la fel ca și în cazul anterior.
Figura 1.14
În regim armonic, adic ă pentru js , pornind de la schema din
figura 1.14 se calculeaz ă:
22
'
0'
0'
0
s gs
R RR E
I U P
(1.133)
și
33
sRUI U P2
2
22 2 (1.134)
Se define ște funcția de transfer de inserț ie pe baza raportului
2'
0
PP,
care este supraunitar, astfel:
s gs s
s gs
iR RR
UE
UR
R RR E
PP
22
222
2'
0 (1.135)
Extinzând rela ția în tot planul vari abilei complexe s se ob ține funcția
de transfer de inser ție:
s gs
iR RR
UE
2 (1.136)
În cazul când la poarta considerat ă se leagă impedan țe de termina ție
se obține:
s gs
iZ ZZ
UE
2 (1.137)
În continuare se va stabili o rela ție de leg ătură între cele dou ă funcții
de transfer definite, cele de lucru și de inserție, astfel:
c
s gs g
s gs
sg
c iZ ZZ Z
Z ZZ
ZZ
2 2 (1.138)
Dacă s gZ Z , rezultă c i .
Constanta de transfer de inser ție se poate defini în dou ă moduri:
i igln (1.139)
i ig log 20 (1.140)
34
În regim armonic, adic ă pentru js , constanta de transfer de
inserție igdevine o m ărime complex ă, de forma:
i i ijb a g (1.141)
unde este constanta de atenuare de inser ție (sau atenuarea de inser ție), iar
constanta de defazare de inser ție (sau defazarea de inser ție). ia
ib
Și pentru param
etrul există două form ule de dimensionare,
respectiv: ia
2'
0ln21lnPPai i [Np] (1.142)
2'
0lg 10 lg 20PPai i [dB] (1.143)
Constanta de defazare de inser ție se define ște astfel:
i ibarg (1.144)
Relația de leg ătură dintre atenuă rile de lucru și de inserție, pornind de
la expresia (138) dintre c și i, va fi de forma:
s gs g
c
s gs g
c iZ ZZ Z
aZ ZZ Z
a a
2ln2
ln [Np] (1.145)
și
s gs g
c
s gs g
c iZ ZZ Z
aZ ZZ Z
a a
2lg 202
lg20 [dB] (1.146)
Dacă s gZ Z se obține c ia a.
35
1.2. RELA ȚII ÎNTRE PARAMETRII DE LUCRU ȘI
PARAMETRII IMAGINE
Se reaminte ște faptul c ă ecuațiile de propagare ale semnalului prin
diport, definite cu expresiile (1.45) și (1.46) sunt de forma:
I I I IIIg sh Z Z I g chZZU U 2 1 2
21
2 1 (1.147)
III
II Ig chZZI g sh
Z ZU I
122
2 12 11 (1.148)
iar impedan ța de intrare la poarta 1-1, adică 1inZ, se define ște cu rela ția
(1.75) astfel:
sZIUinIUZ
22 111 (1.149)
În acest context, se exprim ă 1inZ cu ajutorul ecuațiilor de propagare,
obținându-se:
I I I sI I I s
IIII
II IsI I I III
s
in
g ch Z g sh Zg sh Z g ch Z
Zg chZZg sh
Z ZZg sh Z Z g chZZZ
Z
22
112
2 12 1
21
11
(1.150)
Expresia (1.150) se poate rescrie, sco țând factori comuni func țiile
Ig chși Ig sh, astfel:
g ssc s
g
I I sI I s
I I inZ ZZ ZZg cth Z Zg th Z Z
g cth Z Z
22
1
22
1 1
(1.151)
36
Se poate reveni as upra expresiei (1.150) și se împart num ărătorul și
numitorul cu 2IZ, obținându-se:
I IIsI IIs
I in
g ch g shZZg sh g chZZ
Z Z
221 1 (1.152)
Se presupune că 1
2
Is
ZZ și se face notația 2
2I
Isn thZZ . Rezultă:
2 1
22
1 1 I I I
I I II I I
I in n g th Zg ch g sh n thg sh g ch n th
Z Z
(1.153)
Dacă 1
2
Is
ZZ se face notația 2
2I
Isn cthZZ . Se obține:
2 1 1 I I I in n g cth Z Z (1.154)
Se introduce coeficientul de reflexie la poarta 2-2 cu formula:
22
2I sI s
I Z ZZ Z
(1.155)
Dacă la poarta 2-2 sunt îndeplinite condițiile de adaptare, adic ă 2I sZ Z ,
se obține 02I .
Se urm ărește exprimarea impedan ței de intrare 1inZ în funcție de
coeficientul de reflexie 2I, caz în care se rescrie expresia (1.150) astfel
încât să se pună în eviden ță 2I sZ Z și 2I sZ Z :
37
II
I II II II I
g
Ig
IIg
Igg
Ig
Ig
I sg
I sg
I sg
I s
I in
ee
Z
e ee e
Ze Z Z e Z Ze Z Z e Z ZZ Z
2
22
21
2212 22 2
1 1
11
(156)
Se pune problema determin ării condi țiilor în care 1 1I inZ Z
(adaptare la poarta 1-1):
a). Dacă 02I , rezultă 1 1I inZ Z .
Deci, adaptarea la poarta 1-1 este asigurată , dacă aceeași condiție este
îndeplinit ă și la poarta 2-2. În cazul liniilor de transmisie de lungime finit ă,
la care impedan ța de sarcin ă este egal ă cu impedan ța caracteristic ă,
impedanța de intrare este tot egal ă cu cZ.
b). Dacă Ia (atenuare infinit ă), atunci 1 1I inZ Z .
La liniile de lungime foarte mare ( l ), impedan ța de intrare este
egală tot cu cZ.
În continuare se va introduce coeficientul de reflexie la poarta 1-1,
astfel:
11
1111
1 11 1
1 int
IinIin
I inI in
ZZZZ
Z ZZ Z (1.157)
Relaț ia se poate rescrie ț inând cont de expresia (1.156), de unde
II
g
Ig
I
Iin
ee
ZZ
2
22
2
11
11
(1.158)
38
sub forma:
I
I II Ig
I g
Ig
Ig
Ig
Ie
e ee e 2
2 2
22
22
22
2
1 int1 11 1
(1.159)
Dacă 02I , rezultă și 01 int .
În cazul când Ia se obține 01 int .
În concluzie, dacă la cele două porți sunt îndeplinite condi țiile de adaptare,
reflexiile le por țile respective se anulează .
În general, constanta de tr ansfer de lucru sau compus ă se poate scrie
sub forma:
gs
cZZ
UE
221 (1.160)
caz în care constanta de tr ansfer de lucru, devine:
gs
c ZZ
UEg
221ln (1.161)
Se știe că:
gZ I U E1 1 (1.162)
și
sZ I U2 2 (1.163)
Se exprim ă 1U și 1I în funcț ie de parametrii imagine și de 2I.
I I I IIIs g sh Z Z g chZZZ I U2 1
21
2 1 (1.164)
III
II Is g chZZg sh
Z ZZ I I
12
2 12 11 (1.165)
Expresiile (1.164) și (1.165) se înlocuiesc în rela ția (1.162) și apoi se
determină raportul
2UE, care se va introduce în formula (1.161) a lui cg. Se
39
obține:
I Ig
I sI s
I gI g g
I sI s
I gI g
ceZ ZZ Z
Z ZZ Z
e
Z ZZ Z
Z ZZ Z
g2
22
11
22
11 _1
2 2ln
(1.166)
Dac ă se introduce nota ția
11
1I gI g
I Z ZZ Z
(1.167)
constanta de transfer de lucru cgdevine:
I Ig
I Ig
ce et tg2
2 12 111ln (1.168)
unde 1t și 2t sunt coeficien ții de transmisie la por țile 1-1 și 2-2, definiț i cu
formula (1.10), astfel:
11
12
I gI g
Z ZZ Z
t
(1.169)
și
22
22
I sI s
Z ZZ Zt (1.170)
Pornind de la cele prezentate mai su s, atenuarea de lucru devine egal ă
cu: Ig
I I I c et ta a2
2 12 11 ln1ln1ln (1.171)
Se introduce atenuarea de reflexie la poarta 1-1 cu relația:
111lntar (1.172)
iar cea de la poarta 2-2, astfel:
40
221lntar (1.173)
Fiecare dintre cele dou ă atenuări de reflexie se anuleaz ă dacă la poarta
considerat ă sunt îndeplinite condi țiile de adaptare.
Atenuarea de interac țiune se noteaz ă în următorul mod:
Ige a21 ln
I I2 1 12 (1.174)
Atenuarea de interac țiune se anuleaz ă dacă: 12a
– 01I adică, în condiții adaptare la poarta de 1-1;
adică, în condiții de adaptare la poarta 2-2; 02I-
Ia în cazul când atenuarea pe imagine tinde la infinit.
În efini astfel: –
concluzie, atenuarea de lucru sau compus ă se poate d
a a a a a12 2 1 r r I c (1.175)
1.3. Definirea dipor ților cu ajutorul parametrilor imagine
În ă între
continuare se vor determin a câteva rela ții de leg ătur
parametrii imagine și parametrii proprii ai schemelo r, utile în proiectare. Se
ia în considerare un diport în și se determin ă impedan țele de gol și
scurtcircuit la cele dou ă porți:
Figura 1.14
41
1 1Z Zsc (1.176)
2 1 1Z Z Zg (1.177)
2 12 12Z ZZ ZZsc (1.178)
2 2Z Zg (1.179)
două porți sunt egali cu: Parametrii imagine la cele
22 1 Z Z Z 2 12 1 1 1 1 1ZZ ZZ Z Z Z Zg sc I (1.180)
2 12ZZZZ Z Z (1.181) 2 1 2
2 12 12 2 2Z ZZ ZZ ZZ
g sc I
2 1 1Z Z ZgI 1 1 Z Zg thsc (1.182)
Se constată că, în ciuda faptului c ă diportul în analizat co
doi unipor ți, pentru diportul respectiv se pot defini trei parametri im
agine. În
situație se mai poate determina o rela ție, astfel:
nține doar
această
2 11
2 12
121 1Z Z ZZ
Z ZZ Z
II
(1.183)
11
II Zg th (1.184)
2IZ
21
221
11
II
II ZZ
Zg thg cth
11 1
IIZ (1.185)
Pornind de la concluziile ob ținute se constat ă că la proiectarea unui
42
43
înconsiderare cazul când se im
pun diport în se pot impune doar doi parametri imagine. Se va lua
1IZși 2IZ și se vor determina în
1Zși 2Z. consecință
Se împart impedan țele imagine:
2 2 Z Z1 11Z Z
II (1.186)
de unde rezult ă:
1
21 1
2
IIZ Z (1.187) Z Z
gine se ob ține:
Prin înmul țirea impedan țelor ima
2Z Z1 2 1Z ZI I (1.188)
ele (1.187) și (1.188) se vor exprim a impedan țele 1Zși 2Z Din formul
în funcție de impedanțele imagine ale diportului considerat:
2 1 1
22 1 1 I I
II I Z ZZZ Z Z 2 1IIZZ Z (1.189)
I
2 1 11I I I Z Z
Z
1IZ
2
22 1 21
I
II I ZZZ Z Z (1.190)
ă că în cazul diport ului în analizat este oblig atoriu ca valoarea
impeda de intrareSe constat
1IZ să fie mai mare decât cea a celei de ie șire
nței imagine
2IZ.
Capitolul 2. CIRCUITE DE ATENUARE ȘI DE ADAPTARE
2.1. CIRCUITE DE ATENUARE
Circuitele de atenuare (atenuatoarele) sunt diporț i care se introduc în
liniile de transmisie în scopul fix ării sau regl ării nivelului de atenuare a
tensiunii, curentului sau puterii la valori dorite. Acestor circuite li se pot
impune și condiții suplimentare, ca de exemplu realizarea adaptă rii între
două porți, pentru evitarea reflexiilor cu pre țul introducerii unor pierderi
suplimentare.
Sursele de semnal au în general impedan țe interne de valori finite.
Dacă se dorește ca mărimea tensiunii de intrare 1U să nu depind ă de
valorile elementelor atenuatorului, adic ă de atenuare, este necesar ca
atenuatorul s ă prezinte o impedan ță de intrare constantă în raport cu
atenuarea tensiunii. Acest lucru se poate realiza dac ă atenuatorul lucreaz ă pe
impedanțe imagine, iterative sau pe impedan ța caracteristic ă.
Impedanț ele imagine, iterative sau caracteristic ă ale unui atenuator
compus din elemente reactive de un a numit tip sunt în general reactan țe de
același tip. Dar, având în vedere c ă impedan țele interne ale surselor de
semnal sunt în general rezistive este de dorit ca impedanț ele imagine,
iterative sau caracteristic ă ale atenuatorului s ă fie tot rezistive. Aceste
impedanțe pot avea caracter rezistiv dac ă atenuatorul con ține elemente
reactive de ambele tipuri. În aceast ă situație pot apărea însă fenomene de
rezonanță și frecvențe critice, ceea ce conduce la varia ții ale atenu ării cu
frecvența. Datorit ă acestor inconveniente se prefer ă utilizarea atenuatoarelor
formate numai din rezistori.
44
Diporț ii care se utilizeaz ă pentru ob ținerea atenuatoarelor pot fi
simetrici sau nesimetrici, cu structuri în , T, , X, T podit etc.
În continuare se vor prezenta câteva structuri simple de atenuare.
a). Atenuator în T nesimetric lucrând pe rezisten țe imagine.
Schema acestui circuit este prezentat ă în figura 2.1.
Figura 2.1
Atenuatorul considerat con ține trei rezistori, respectiv , și . În
acest caz se pot im
pune valorile rezisten țelor imagine 1R 2R
13R
IR și 2IR și
constanta de transfer pe imagine Ia și apoi se determin ă valorile rezistorilor
din schem ă.
Rezisten țele de intrare în scurtcircuit și în gol ș i rezistența de ieșire în
gol sunt urm ătoarele:
I I sc tha RR RR RR R 1
3 23 21 1 (2.1)
I I g ctha R R R R 1 3 1 1 (2.2)
I I g ctha R R R R 2 3 2 2 (2.3)
Rezultă
3 1 1 R ctha R RI I (2.4)
45
3 2 2 R ctha R RI I (2.5)
și
I
I II I
I I tha Rctha RR ctha R R
R ctha RI
122
3 2 3
3 1 (2.6)
de unde se ob ține
(2.7) 2 12
32
2 1 I I I I I R R R a cth R R
și în final
II I
I I IshaR Ra cth R R R2 1 2
2 1 3 1 (2.8)
Valoarea rezisten ței fiind astfel cunoscut ă, cu expresiile (2.4) ș i
(2.5) se pot calcula și valorile
lui și . Pentru ca rezisten ța să nu
rezulte negativ ă este necesar s ă fie îndeplinit ă condiția: 3R
1R 2R 1R
II I
I IshaR Rctha R2 1
1 (2.9)
sau
I
IIchaRR
12 (2.10)
Pentru ca nici rezisten ța să nu rezulte negativ ă, trebuie ca: 2R
II I
I IshaR Rctha R2 1
2 (2.11)
Sau I
IIchaRR
21 (2.12)
Rezisten țele atenuatorului rezult ă pozitive dac ă rădăcina pătrată din
cel mai mare raport al rezisten țelor imagine este mai mic ă decât Icha .
46
b). Atenuator în lucrând pe rezisten ța iterativă.
Schema unui atenuator în este prezentat ă în figura 2.2.
Figura 2.2
Calcularea unui asemenea circuit urm ărește determinarea rezisten țelor
și , atunci când se im pun valorile rezisten ței iterativ ă intrare-ie șire 1R 2R
1kR și a constantei de atenuare iterativ ă ka. Se ț ine cont de faptul c ă
21lnUUak (2.13)
adică
kaeUU
21 (2.14)
În continuare se poate scrie:
2 1 1
2 12 11 1 R R RR RR RR R k
kkk (2.15)
și
21
2 12 111RR
R RR RRek
kkk ak
(2.16)
Se obține:
112
kak
eRR (2.17)
47
k kk
k
kk
ak kaa
akk
akkak
k
kkkeR R
ee
eRR
eRReR
RR RR RR R111
111 1111112
1
2 12 11 1
(2.18)
c). Atenuator în T podit lucrând pe rezisten ță caracteristic ă.
Schema unui atenuator în T podit este cea din figura 2.3.
Figura 2.3
Mărimile care se impun în acest caz sunt rezisten ța caracteristic ă
și constanta de aten
uare . În continuare se vor prezenta rela țiile finale de
dimensionare ale rezisten țelor și . cR
a
1R 2R
1 1 a
ce R R (2.19)
12ac
eRR (2.10)
Modificarea atenu ării pe care o poate introdu ce un atenuator se poate
realiza prin varia ția valorilor rezistențelor din schem ă. Conservarea
mărimilor celorlal ți parametri impu și se face prin monoreglajul rezisten țelor.
În unele situa ții se prefer ă legarea în cascad ă a unor atenuatori cu
48
atenuări diverse. Prin scurtcircuitarea unui atenuator sau a mai multora se
poate obține atenuarea dorit ă.
2.1.1. Circuite cu atenuare infinit ă la o anumit ă frecvență
În unele aplica ții este necesar ă utilizarea unor dipor ți la care func ția
de transfer a tensiunii prezintă o selectivitate ascu țită în jurul unei frecven țe,
iar la frecven ța respectiv ă funcția de transfer a tensiunii trebuie s ă fie nulă,
adică atenuarea tensiunii infinit ă.
Se va lua în considerare diportu l din figura 2.4, pentru care func ția de
transfer a tensiunii în raport cu parametrii admitan ță ai diportului devine:
Figura 2.4
s Y s ys y
s Us Us F
s
2221
12 (2.11)
În acest caz, condi ția de atenuare infinit ă devine:
021y (2.12)
În continuare se va lua în c onsiderare un diport simetric a c ărui
configura ție general ă este prezentat ă în figura 2.5.
49
Figura 2.5
În general
0 12
21
2
UUIy (2.13)
Pentru diportul din figura 2.5 se pot scrie rela țiile:
1 21
1
2 12
1
2 12
12 12
12 1
2 12 1
1
2 12 112 12 1
1
2 1211
221
Y YYU
Y YYUZ ZZUZ Z ZZ Z
Z ZZ ZU
Z ZZ ZZZ ZZ ZU UAB
(2.14)
Și
2 12
1
1 1 22 Y YYU Y U IAB (2.15)
Rezultă:
s Y s Y U2 12
1 2 (2.16)s Y I1 2
a). Diportul în T podit
metric având struct ura din figura 2.6, form at din doi
iporț Este un diport si
d i conectați în paralel.
50
Figura 2.6
Pentru primul dintre ei , constituit din elementele R, C, C, se poate
scrie (când js ):
C j Y '
1 (2.17)
RY1 '
2 (2.18)
Rezultă: RC jRC
RC jCy
2 1 122 2 2 2'
21
(2.19)
Pentru al doilea diport format din elementele r și L, admitan țele sunt:
L j r
L j rL j rY
2
2 22 2
' '
1 (2.20)
0' '
2Y (2.21)
Rezultă : L j ry 1 ' '
21 (2.22)
Pentru diportul în T podit se ob ține:
L j r RC jRCy y y 1
2 12 2' '
21'
21 21 (2.23)
51
Condiția de atenuare infinit ă devine:
(2.24) 0 2 1 02 3
02 2 RC j RLC j rRC
de unde
012 2 rRC (2.25)
și (2.26) 0 22
0 LC
Din expresia (2.26) se ob ține frecven ța de atenuare infinită , respectiv:
LC LCf
21 2
21
0 (2.27)
La frecven ța de atenuare infinit ă trebuie satisf ăcută și condiția:
CLrR2 (2.28)
În figura 2.7 este re prezentat modulul func ției de transfer a tensiunii în
raport cu frecven ța.
Figura 2.7
Diportul în T podit se utilizeaz ă ca circuit selectiv sau pentru
măsurarea frecven țelor înalte. În acest ultim caz se regleaz ă valorile
elementelor R și C până când tensiunea la ie șire se anuleaz ă și apoi se
calculează frecvența f 0 ce trebuie mă surată .
52
b). Diportul în dublu T.
Este tot un diport simetric de spre care se poate considera c ă este
format din doi dipor ți conectați în paralel (figura 2.8).
Figura 2.8
Pentru primul dintre ei, format din R 1, R 1 și C 2, admitanțele sunt:
1'
11
RY (2.29)
2'
2 C j Y (2.30)
Rezultă: 2 1 12
12
1 '
21 21
21
C R j RC jRR
y
(2.31)
Pentru al doilea diport format din elementele R 2, C 1 și C 1,
admitanțe l e s u n t :
1' '
1 C j Y
(2.32)
2' '
21
RY (2.33)
Rezultă:
1 22
122
212
12
' '
21 2 1 12C R jC R
RC jCy
(2.34)
53
Pentru diportul în T podit se ob ține:
1 22
122
2 1 1' '
21'
21 21 2 1 21
C R jC R
C R j Ry y y
(2.35)
Condiția de atenuare infinit ă devine:
(2.36) 0 2 2 1 22
122
13
02
12 12
0 1 2 0 C C R R j C R R C R j
de unde
(2.37) 0 1 22
12 12
0 C R R
și (2.38) 0 2 2 12
12
0 C C R
Din expresia (2.37) se deduce frecven ța de atenuare infinit ă, astfel:
2 1 102 21
R R Cf
(2.39)
Din relația (2.38) se ob ține:
0 2
21
2 12
1 2
12 1 C C R
C R R (2.40)
sau 4
1 22 1
C RC R (2.41)
În cazul particular când se consider ă valabilă condiția de proiectare
, din egalitatea (2.41) de mai sus rezult ă: 1 22C C
412RR (2.42)
și
2 2 1 1 11 1021
21
22 21
C R C R RR Cf (2.43)
În figura 2.9 este reprezentat ă curba de varia ție a modulului func ției
de transfer a tensiunii cu frecven ța, pentru cazul particular considerat. În
54
jurul frecven ței de atenuare infinit ă faza func ției de transfer a tensiunii
variază brusc cu 180o.
Figura 2.9
Diportul în dublu T este utilizat ca și circuit selectiv la frecven țe
joase, unde este dificil s ă se realizeze circuite LC cu selectivitate bun ă.
2.2. CIRCUITE DE ADAPTARE
Circuitele de adaptare sunt dipor ți care transform ă o impedanță sZ
într-o altă impedanță iZ. Transformarea este cerută în general de realizarea
condiției de adaptare sau de transfer maxim de putere. Astfel, dac ă o sursă
de semnal armonic cu impedan ță internă GZ debitează pe o impedan ță
de sarcină sZ , puterea cedat ă de sursă sarcinii va fi maxim ă dacă este
îndeplinit ă condiția complex ă de adaptare rezultat ă din teorema transferului
maxim de putere. Aceast ă condiț ie se scrie sub urm ătoarea form ă:
*
G sZ Z (2.44)
unde *
GZ este mărimea complex ă conjugată cu GZ . Dacă
s s s jX R Z (2.45)
55
G G G jX R Z (2.46)
din condi ția de mai sus rezult ă două condiții reale:
G sR R (2.47)
G sX X (2.48)
Condi ția complexă de adaptare nu este întotdeauna îndeplinit ă;
sursele de semnal se construiesc de obicei cu impedan țe interne
standardizate, în timp ce impedan țele de sarcin ă sunt determinate de
condițiile concrete de lucru. Rezult ă de aici necesitatea intercal ării între
sursă și sarcină a unui circuit de ad aptare, care trebuie s ă transforme
impedanț a de sarcin ă sZ într-o impedan ță iZ impusă, care satisface
condiția de adaptare complex ă:
*
G iZ Z (2.49)
Pentru ca în diportul de adaptare s ă nu aibă loc pierderi mari de putere
este necesar ca în structura lor s ă existe doar elemente reactive.
Deoarece impedan ța de sarcin ă sZ este în general o m ărime
complexă, circuitul de adaptare va trebui s ă conțină cel puțin două elemente
reactive pentru a reali za transformarea impedan ței sZ în impedanț a
iZ . Cele mai simple circuite de adaptare sunt cele în sau L. Dacă
circuitul de adaptare trebuie să realizeze și alte condi ții suplimentare, cum ar
fi de exemplu suprimarea unei armo nici sau asigurarea unei anumite
caracteristici de se lectivitate, atunci num ărul de elemente din structur ă va fi
mai mare decât doi.
56
2.2.1. Circuite de adaptare simple
a). Circuit de adaptare în ( L).
Schemele posibile pentru un circuit de adaptare în sunt prezentate în
figura 2.10.
a . b .
Figura 2.10
Dimensionarea circuitu lui de adaptare const ă în determinarea
reactanțelor și , atunci când se cunosc impedanț ele 1X 2X sZ și iZ
care intervin în opera ția de transformare. În acest scop se exprim ă
impedanț a iZ în funcție de elementele circ uitului de adaptare și de
impedanț a sZ . Relația care se ob ține este complex ă. Prin identificarea
separată a părților reale ș i imaginare se obț ine un sistem de dou ă ecuații
reale ale că rei soluț ii sunt reactan țele și . De obicei impedan țele 1X 2X
sZ și iZ sunt de forma:
s s s jX R Z (2.50)
i i i jX R Z (2.51)
Reactanțele și pot fi pozitive (inductive), negative (capacitive) sau sX iX
57
nule (când sZ și iZ sunt rezisten țe). Reactan țele și se pot
obține de acelaș i sem
n sau nu. 1X 2X
Pentru forma din figura 2.10.a a circuitului de adaptare în relațiile
de dimensionare se st abilesc în modul urm ător. Se scrie egalitatea
s ss si iX X j RjX R jXjX jX R
221 (2.52)
de unde se ob ține:
2 1 2 2 12 2
X X jR X X X X XX X R X R j X X X R R
s s ss i i s s i s i
(2.53)
Egalând p ărțile reale și imaginare între ele rezult ă:
s s s i s i X X X X X X X X R R2 2 1 2 (2.54)
2 1 2 X X R X X R X R s s i i s (2.55)
Prin rezolvarea sistemului se ob țin soluțiile căutate de forma:
i i s sX R X R X X, , , 1 1 (2.56)
i i s sX R X R X X, , , 2 2 (2.57)
Solu ții de acela și tip se ob țin și dacă se ia în considerare circuitul de
adaptare din figura 2.10.b.
Analizând toate solu țiile posibile se ajunge la concluzia că se pot
obține 8 scheme concrete, câ te 4 pentru fiecare form ă a circuitului de
adaptare în . Este posibil ca pentru o transformare i sZ Z impusă
unele dintre cele 8 scheme s ă nu fie realizabile fizic (de exemplu în cazul
58
când solu țiile și rezultă imag inare). Exist ă însă cel puțin o schem ă
concretă din cele 8, care este fizic realizabil ă. Circuitele selective deriva ție
cu priză capacitiv ă sau inductiv ă pot fi privite ca circuite de adaptare în , în
care reactan țele și sunt de acela și tip. Priza poate s ă fie orientat ă fie
spre im
pedanța 1X
X2X
X 1 2
iZ , fie spre impedan ța sZ .
b). Circuit de adaptare în T.
Schema circuitului analizat este cea din figura 2.11.
Figura 2.11
Calculul acestui circuit de adaptare se realizeaz ă pentru un caz
particular, când se presupune c ă impedanț ele GZ a sursei și sZ de sarcină
se reduc la rezisten țele GR și . Adaptarea la cele două porți este
asigurată dacă im
pedanțele imagine de intrare și de ieșire ale circuitului de
adaptare satisfac rela țiile sR
G I R Z1 (2.58)
s I R Z2 (2.59)
Impedanț ele imagine se pot defini în func ție de impedanț ele de intrare
și de ieșire în scurtcircuit și gol, exprimate cu ajutorul reactan țelor ,
și din figura 2.11, sub forma: 1X 2X
3X
59
2
3 3 2 3 1
3 23 13 23 21 3 1 1 1 1
X X X X XX XX XX XX XX j X X j Z Z Zsc g I
(2.60)
2
3 3 2 3 1
3 13 23 13 12 3 2 2 2 2
X X X X XX XX XX XX XX j X X j Z Z Zsc g I
(2.61)
Prin înmulț irea și împă rțirea relațiilor (2.60) și (2.61) de mai sus, în
care 1IZ se înlocuie ște cu și GR2IZ cu , se obține sistem ul: sR
2
3 3 2 3 1X X X X X R R s G (2.62)
3 23 1
X XX X
RR
sG
(2.63)
Rezolvând sistemul în raport cu necunoscutele 3 1X X și se
deduc form
ulele 3 2X X
s GR
sGR XRRX X 2
3 3 1 (2.64)
s G
GsR R XRRX X 2
3 3 2 (2.65)
Adaptarea se poate realiza dac ă se alege reactan ța:
(2.66) s GR R X2
3
În cazul în care rela ția de mai sus este de inegalitate se ob țin două soluții: în
practică se alege acea solu ție care pretinde valo ri mai convenabile ale
60
elementelor din schem ă.
O situa ție particular ă este reprezentat ă de circuitul de adaptare în ,
care se ob ține din cel în T prin anularea uneia din reactan țele sau .
Dacă sunt valabile expresiile: 1X 2X
02X
3 1X X R R s G (2.67)
1
31 XX
RR
sG (2.68)
de unde rezult ă
G S GR R R X 1 (2.69)
G sGsR RRR X2 (2.70)
Adaptarea este posibil ă doar dacă . Dacă G sR R 01X
GR în cadrul circuitului
de adaptare în T adaptarea devine posibil ă doar dacă . sR
În mod similar se poate analiz a circuitul de adaptare în .
II.2.2. Circuite de adaptare complexe
Există cazuri practice când pe lâng ă condiția de adaptare se impun și
condiții suplimentare: în aceste cazuri este necesară utilizarea unor circuite
de adaptare cu mai mult de două elemente reactive.
De exemplu, se consider ă că circuitului de adaptare în din figura
2.10.a, în care reactan țele și sunt realizate cu bobine de inductanță , i
se mai impune și suprimarea la ie șire a armonicii a n-a pe care o produce în
mod parazit sursa conectat ă la intrarea circuitulu i de adaptare. În aceast ă 1X 2X
61
situație, bobina de inductan ță care realizeaz ă reactanța se înlocuie ște cu
un circuit selectiv serie acordat pe frecven ța arm
onicii ce trebuie suprimat ă.
Circuitul are forma din figura 2.12. 2X
Figura 2.12
După ce s-au dedus solu țiile generale și se pot determina valorile
elementel
or , și din relațiile: 1X 2X
1L 2L 2C
1 1L X (2.71)
22 21
CL X (2.72)
01
22 C nL n (2.73)
Ultima rela ție reprezint ă condiția de rezonanță a circuitului selectiv
serie pe frecven ța armonicii a n-a.
Adaptări cu o condi ție suplimentar ă pot fi realizate și cu ajutorul
circuitelor de adaptare în T sau în . Cele trei reactan țe din schema unui
astfel de circuit se deduc prin impunerea condi ției de adaptare și a celei
suplimentare.
62
Capitolul 3. FILTRE CU CAPACIT ĂȚI COMUTATE
3.1. GENERALIT ĂȚI
Datorită varietății tehnicilor de realizare și a metodelor matematice
sofisticate de calcul, teoria și proiectarea filtrelor el ectrice a fost privit ă
mulți ani ca un subiect de specialitate aparte.
Progresele tehnologice rapide au implica ții directe în realizarea
funcției de filtrare. Din acest motiv s-a impus necesitatea dezvolt ării unor
soluții avantajoase din punct de vedere tehnico–economic. Astfel, succesul
spectaculos al tehnologiilor de integrare pe scar ă foarte largă (VLSI) a
influenț at profund proiectarea filtrelor electrice.
Aplicarea în practic ă a acestor circuite a avut în aten ție realizarea într-
un singur cip integrat a cât mai multor func ții de prelucrare a semnalelor,
inclusiv de filtrare a acesto ra. Extinderea domeniului frecven țelor filtrate era
limitată de imposibilitatea realiz ării în tehnologiile existente a rezisten țelor
necesare în circuitele active cu amplificatoare.. Aceast ă limitare a
determinat dezvoltarea cercet ărilor în direc ția utiliză rii unor condensatoare
comutate secven țial pentru ob ținerea rezisten țelor dorite . Ca urmare au
apărut filtrele cu capacit ăți comutate (FCC).
Filtrele cu capacit ăți comutate au ap ărut ca rezultat al efortului de a
găsi o solu ție pentru integrarea filtrelor RC active și se pot realiza în
tehnologiile integrate MOS. Ca urmare , tehnologia de integrare pe scar ă
largă reduce costul ș i îmbunătățește performan țele sistemelor electronice.
3.2. PRINCIPIUL CAPACIT ĂȚILOR COMUTATE
Un condensator de valoare mic ă, comutat rapid, poate simula o
63
rezistență de valoare mare. Principiul de simulare a unei rezisten țe cu
ajutorul unui condensator comutat este prezentat în figura 3.1.
Comutatoarele sunt realizate cu tranzistoare MOS (figura 3.1.b) comandate
prin secven țele 1 și 1 2 (figura 3.1.c). Pe pozi ția din stânga a
comutatorului din figura 3.1.a, la mo mentul t = 0, capacitatea C se încarc ă
cu sarcină electrică 1 1 10 U C Q t Q .
La momentul t = T, comutatorul se află pe poziț ia din dreapta, iar
capacitatea C se descarc ă până la o valoare U 2 a tensiunii, rezultând sarcina
electrică 2 2 2 U C T Q t Q .
a. b. c.
Figura 3.1. Prin cipiul capacit ății comutate, cazul I 1 I2.
Sarcina electric ă transferat ă între cele dou ă porți este:
) ( ) ( ) 0 (1 2 2 1 U U C T Q Q Q (3.1)
La o comutare periodic ă cu frecven ța T f c1 , curentul mediu prin circuitul
dintre cele două porți devine:
) (1) () ( ) 0 (
2 1 2 12 1U URf U U CTT Q QI c med (3.2)
Din relația (3.2) rezult ă că rezistența echivalent ă prin care circul ă
același curent ca și prin circuitul descris R, este dat ă de relația:
64
cCfR1 (3.3)
În concluzie, o capacitate C comutat ă cu frecven ța f c, poate fi
echivalată cu o rezisten ță. În acest caz, frecvenț a s-a considerat a fi mai
mare decât frecven ța maxim ă a semnalului. În acela și timp, sursa de
tensiune U 1 a fost considerat ă ideală , nefiind astfel afectat ă de închiderile
comutatorului.
În circuitul din figura 3.1, I 1 I2, motiv pentru care circuitul
echivalent nu poate fi asimilat cu un uniport. O schem ă pentru care
întotdeauna I 1=I2 este cea prezentat ă în figura 3.2, caz în care comutatoarele
asigură încărcarea și descărcarea lui C în alt mod. Sarcina electric ă
transferat ă între porți este:
2 1 1 2 2 1 2 U U C U U U U C Q (3.4)
a. b.
Figura 3.2. Prin cipiul capacit ății comutate, cazul I 1 I2.
Pe durata perioadei de comutare T curentul mediu rezult ă egal cu:
) (1) ( 2
2 12 1U UR TU U C
TQImed (3.5)
iar rezisten ța echivalent ă R, prin care circul ă același curent, are valoarea:
65
C f CTR
c41
2 (3.6)
Această variantă permite simularea unei rezistențe folosind capacit ăți sau
frecvențe de comuta ție mai mici decât în cazul din figura 3.1.
Rezistențele de valori mari ob ținute cu capacit ăți comutate vor utiliza
o arie de siliciu foarte mică . De fapt, aria necesar ă descrește odată cu
mărirea valorii rezisten ței. În cazul filtrelor de audiofrecven ță, o rezisten ță
de 10 M este obținut ă cu ușurință prin comutarea unui condensator de 1pF
cu frecven ța de 100kHz, ceea ce necesit ă o arie de siliciu egal ă aproximativ
cu 0,01mm2, adică de 100 de ori mai pu țin decât ar fi necesar pentru
obținerea acelea și rezistențe de 10M într-o tehnologie integrat ă standard .
Combinarea unor rezisten țe realizate din capacit ăți comutate cu
capacități necomutate și amplificatoare opera ționale poate conduce la
numeroase configura ții de filtre active de tip FCC, f ără rezistori.
Se consider ă schema de filtru trece – jos RC ș i echivalentul ei cu
capacități comutate din figura 3.3.
a. b.
Figura 3.3. a). Filtru trece- jos RC; b). Schema echivalent ă cu capacit ăți comutate.
Acest exemplu simplu demonstreaz ă avantajele filtrelor cu capacit ăți
66
comutate. Banda de trecere a filtrelor RC, de tipul celor figura 3.3, definită
pentru o atenuare maxim admisibil ă de 3dB, este limitat ă superior de
frecvența:
2 131
C RdB (3.7)
Ținând cont de expresia (3.3), pulsa ția critic ă corespunz ătoare
schemei echivalente cu capacit ăți comutate din figura 3.3.b, ob ținută prin
echivalarea rezisten ței R 1 cu capacitatea C 1 și comutatorul K devine:
213CCfc dB (3.8)
cu condiția ca frecven ța de comutare f c să fie mult mai mare decât frecven ța
critică f3dB a filtrului trece – jos RC.
Deoarece frecven ța critică a filtrului cu capacit ăți comutate
233dBdBf , definită de relația (3.8), este proporțional ă cu raportul dintre
valorile unor capacit ăți, rezultă că, din punct de vedere tehnologic, acest
parametru poate fi realizat cu o precizie foarte bun ă și cu un înalt grad de
stabilitate. Se ș tie că, în cazul unor tehnologii standard de realizare a
capacităților integrate rezult ă o precizie de realizare a frecven ței critice ω3dB
mai bună de 0,1%.
Dar, nu în orice schem ă de filtru activ RC o rezisten ță poate fi
inlocuită simplu cu o capacitate comutat ă. Cel mai important impediment
este determinat de efectul capacit ăților parazite, de ordinul 10 20% din
valoarea capacit ăților proiectate, dintre arm ăturile capacit ăților integrate și
substrat. Din acest m
otiv, schemele u tilizate pentru filtrele cu capacit ăți
comutate sunt concepute pentru a elimina efectul acestor capacit ăți parazite
sau, cel puțin, pentru minimizar ea efectului lor.
67
Structura cea mai des folosit ă, care îndepline ște aceste condi ții, este
integratorul diferen țial din figura 3.4.
În majoritatea aplica țiilor se pot ob ține valori suficient de mici ale
capacităților parazite, astfel încât efectul lor s ă fie neglijabil sau controlabil
prin metodele de proiectare.
a. b.
Figura 3.4. Intregrator diferen țial: a). Schema RC; b). Schema cu capacit ăți comutate;
3.3. METODE DE PROIEC TARE A FILTRELOR CU
CAPACIT ĂȚI COMUTATE
Primele metode de proiectar e a FCC au folosit echivalarea
aproximativ ă a unei rezisten țe cu o capacitate comutată , deschizând în felul
acesta capitolul metodelor de proiectar e a FCC plecând de la filtrele active
RC. Principial, prin înlocuirea circuite lor integratoare în filtrele active RC
cu integratoare cu capacit ăți comutate, rezult ă un FCC.
O analiz ă mai atent ă arată că circuitele cu capacit ăți comutate
proceseaz ă semnale eș antionate și sunt, în consecin ță, descrise și pot fi
proiectate mai precis cu ajutor ul transformatei z. O solu ție utilă constă în
determinarea func ției de transfer H(z) a FCC astfel încât s ă se obțină
invariant r ăspunsul în frecven ță H(ejT) față de răspunsul filtrului ideal
68
continuu, caracterizat prin func ția de transfer H s().
Transformata z-biliniară poate fi aplicat ă unei func ții de transfer H(s),
corespunz ătoare unui filtru analog LC, rezultând func ția de transfer H(z),
care reprezint ă punctul de plecare în proiectarea unui FCC.
O alt ă metodă de proiectare a FCC se bazeaz ă pe simularea fiec ărui
uniport rezistiv sau reactiv printr-un f iltru LC (terminat rezistiv) cu circuite
cu capacit ăți, comutatoare și amplificatoare opera ționale.
Pentru realizarea unui FCC se poate pleca și de la proiectarea unor
structuri simple de ordinul 1, 2 sa u maxim 3, care, conectate în cascad ă, să
ducă la realizarea unor filtre de ordin superior.
Elementul de baz ă utilizat în proiectarea FCC este integratorul cu
capacități comutate, care este obținut din integratorul simplu sau diferen țial
RC (figura 3.5.a). Pentru integratorul din figura 3.5.b, poate fi scris ă
următoarea rela ție între tensiunile de intrare și de ieșire:
a ) . b ) .
Figura 3.5.Circuit integrator: a). Schema de baz ă; b). Integrator cu capacit ăți comutate.
T n U C T n U C nT U C ies ies 1 1 int 1 2 2 (3.9)
Aplicând expresiei (3.9) transformata z, se ob ține următoarea func ție de
transfer:
69
z CC
zz
CC
z UU
z Hz ies
11
1 21
11
21
int (3.10)
Caracteristica de amplitudine (de modul) a integratorului cu capacit ăți
comutate se ob ține din rela ția (3.10), unde se face înlocuirea T je z :
2sin 22cos2sinsin cos 11
11
2121
21
TTjT
CCT j T CC
e CCz HT j e zT j
(3.11)
Funcția modul rezult ă de forma:
2sin1
2
2sin 22cos2sin
21
21
T CC
TTjT
CCT j H e HT j
(3.12)
Pentru frecven țe care satisfac condi ția T1 , pe cercul de raz ă
unitară din planul variabile i complexe z, rezult ă relația aproximativă
T j e zT j 1 . Ca urmare, din expresia (3.11) se ob ține:
T j CCz H T je z 1
21 (3.13)
Relaț ia (3.13) dovedeș te faptul c ă integratorul cu capacit ăți comutate
aproximeaz ă o caracteristic ă de modul ideal ă pentru un circuit integrator,
numai în cazul frecvenț elor joase. Pentru frecven țe înalte (ale semnalului de
intrare) aproximarea realizat ă de circuitul cu capacit ăți comutate din figura
3.5.b, devine nesatisf ăcătoare.
70
Adic ă, față de o func ție de integrare ideal ă, expresia (3.10) poate fi
interpretat ă ca și rezultat al modific ării variabilei de frecvență 1 zs , care
transform ă axa j din planul s într-o linie verticală ce trece prin punctul z1
din planul z.
Aceast ă tangentă la cercul de raz ă unitară , definit de expresia
T je z , va reprezenta o aproximare bun ă a caracteristicii de integrare
numai pentru frecven țe foarte joase, pentru care 1 z .
În cazul integratorului din figura 3.6 este posibil ă evitarea dificult ății
menționată mai sus. Pentru acest circu it de integrare poate fi scris ă relația:
T n U C nT U C T n U C nT U C ies ies 1 1 int 1 int 1 2 2
(3.14)
Figura 3.6. Circuit de integrare ob ținut prin aplicarea transform ării z biliniar ă
Expresia (3.14) conduce la urm ătoarea func ție de transfer:
11
21
int 11
zz
CC
z UU
z Hz ies (3.15)
Relaț ia (3.15) de mai sus, poate fi interpretat ă ca fiind ob ținută dintr-o
funcție de integrare din planul s, c ăreia i s-a aplicat transformata de variabil ă
z biliniară:
71
11
11 2
zz
Ts (3.16)
Schimbarea de variabil ă (3.16) are ca efect transformarea axei j din planul
complex s, în cercul de raz ă unitară din planul z. Între frecven țele
unghiulare din cele dou ă plane exist ă egalitatea:
2 2TtgT (3.17)
În multe cazuri, metodele de proiectare utilizeaz ă integratorul diferen țial cu
capacități comutate rezultat pr in simularea rezisten țelor dintr-un integrator
diferențial RC (figura 3.7).
a. b.
c.
Figura 3.7. Circuit integrator diferen țial.
72
Pentru schema din figura 3.7.a se poate scrie rela ția:
2 12 1 1U UjC RUies (3.18)
care, în mod corespunz ător circuitului din figura 3.7.b, devine:
2 12 1U UjC C fUcies
(3.19)
Răspunsul în frecven ță al integratorului diferen țial cu capacit ăți
comutate din figu ra 3.7.b, diferă față de cea a integratorului din figura 3.7.a,
prin faptul c ă în urma procesului de e șantionare rezult ă un defazaj
suplimentar, mai ales pentru frecven țe apropiate de frecven ța de eș antionare
(frecvența de comutare a întrerup ătoarelor). Analiza unui integrator cu
capacități comutate conduce la rela ția:
2 2 1
2sin2eT j
ee
ceTT
jC C fj H
Expresia dintre paranteze reprezint răspunsul ideal al unui integrator
lația:
(3.20)
ă
continuu, iar restul e xpresiei corespunde devia ției de la r ăspunsul ideal
datorită procesului de e șa
ntionare. Cel mai import ant aspect al acestei
deviații îl constituie excesul de faz ă introdus, care determin ă distorsionarea
răspunsului în frecven ță în mod similar cu fenomenul de distorsionare ce
apare la amplificatoarele din filtrele active RC.
Un integrator diferenț ial este descris de re
2 1 1 21
C sR s U s Us Uies (3.21)
73
iar, un integrator diferen țial c ște cu expresia: u eșantionare se define
U nT U T nT U nT UCT nT U nT U ies ies 1 1 2 2
2T nTC1
(3.22)
care conduce la:
1 2 1 21 1 sC s Uies (3.23)
lui din figura 3.7.c, poate fi
interpretat ă ca rezultând din formula (3.21) în care s-a aplicat transformata z s C s U s U
Rela ția (3.23), care corespunde circuitu
biliniară (3.16) și echivalen ța 1 12R T C .
În afar ă de funcția de integrare a unui semnal, de multe ori apare și
necesitatea însum ării unui semnal cu valoarea integrat ă de la celelalte
intrări. Circuitul din figura 3.8 realizeaz ă aceste func țiuni, folosind un singur
amplificator opera țional. Tensiunea de ie șire se determin ă cu expresia:
x
Is
Iu cies UCC
jU
CC fU int (3.24)
us că viteza de comutare este sufi cient d
afecta semnalele de intrare sau ieș ire. unde s-a presup e mare pentru a nu
Figura 3.8. Circuit integr ator-sumator cu capacit ăți comutate.
3.3.1. Proiectarea unui FC C dintr-un filtru activ RC
Pentru îmbun ătățirea performan țelor filtrelor cu capacităț i com utate
74
rezultate prin simularea rezisten țelor, au fost elaborate diverse soluții,
printre care cele mai bune au fost cele ob ținute prin aplicarea transformatei z
biliniare func ției de transfer a circuitului activ RC. Cu toate acestea, se
apreciază că aceste circuite au fost determinate într-o manier ă euristică,
rezultând solu ții cu mai multe componente decât ar fi fost necesar.
O teorie des întâlnit ă în practic ă se bazeaz ă pe înlocuirea fiecă rei
rezistențe R k din schema unui filtru activ RC cu impedanța de intrare a unui
diport conținând o singur ă capacitate și un num ăr minim de comutatoare
(figurile 3.9.a și b).
a . b .
Figura 3.9. Circuit echivalent de înlocuire a unei
rezistențe dintr-un filtru RC activ.
Fie q k(nT) o rezisten ță Rk
pentru tnT. Sarcina e erată între momentele
i” de integrare aproximativ ă
devine:
sarcina electric ă tota lă care trece printr-
lectrică increment ală, consid
t(n-1)T și tnT, va fi:
nT
knT
k k k k dt t u G dt t i T nT q nT q (3.25)
T n T n 1 1
Utilizând metoda „trapezulu , relația (305)
nT u T nT uT GT nT q nT qkk k 2 (3.26)
75
Aplicând transformata z expresiei (3.26) se ob ține:
z UzzT Gz Q kkk 11
2
ă parte, în domeniul tim p, pentru o rezisten ță Rk se poate scrie: (3.27)
Pe de alt
tt
k k k k t u G dt t i tdt q (3.28)
ceea ce conduce în domeniul frecven ță la:
s UsGs Q kkk (3.29)
ă că înlocuirea unei
com
utată , ca și
echivalent ă cu aplicarea transform ării de variabil ă z biliniară :
Comparând rela țiile (3.27) și (3.29) rezult
rezistențe cu o capacitate în figurile 3.9.a ș i b, este
j s 11 2
zz
Tj x F z F (3.30)
Comparând ecua țiile ce definesc cele dou ă situații din figurile 3.9.a și
ă tensiunile arcinile electrice transforma
Qk(z) ale filtrului cu capacit ăți comutate pot fi ob ținute direct din m ărimile
– Axele corespunz ătoare frecven țelor imaginare j (din planul variabilei s) b, se observ ă c și s
te E m(z), U k(z) și
corespondente E m(s), U k(s) și Q k(s) ale filtrului RC prin simpla înlocuire a
variabilei s cu F(z) definit ă cu expresia (3.30). Ca urmare, toate funcțiile de
circuit (câș tig de tensiune, impedan ță de intrare, etc.) ale unui FCC se ob țin
direct din func țiile corespondente ale filtrul ui activ RC utilizând aceia și
transformare de variabil ă. Această observație reprezint ă baza tehnicii de
proiectare a unui FCC di ntr-un filtru activ RC.
Avantajele utiliz ării transformatei z biliniar ă sunt urmă toarele:
76
și j (din planul variabilei z) s unt transformate una în cealalt ă;
– Întreaga ax ă j (din planul variabile i s) este transformat ă în cercul de raz ă
rovin a fost
ieze faptul c ă cele trei avantaje de mai sus nu
de o
iectarea unui FCC dintr-un filtru activ RC se
nui filtru activ RC „prototip”, folosind transformata egală cu unitatea din planul z.
– Filtrele cu capacit ăți comutate ob ținute prin aplicarea transformă rii z
biliniară sunt realizabile fizic și stabile dac ă filtrul RC din care p
fizic realizabil și stabil.
Este necesar s ă se sublin
sunt îndeplinite simultan de nici o alt ă transformare z cunoscut ă și
simplitate comparabil ă.
În concluzie, pro
realizează parcurgând urm ătoarele etape:
1. Frecvențele critice k ale FCC sunt transformate în valorile
corespunz ătoare k ale u
(297), adic ă:
2. 22 TtgT (3.31)
ază filtrul activ RC corespunz ător frecven țelor critice ob ținute;
4. Fiecare rezisten ță Rk din circuitul activ RC este înlocuit ă cu o capacitate
comutată de valoare: ce r
ezultă direct din transformata z biliniar ă.
3. Se proiecte
1
kC
kcR f4 (3.32)
uie s
frecvenței f c.
5. Se adaug ă la intrare un circuit de e șantionare și memorare și, în general,
la ieșirea FCC se conecteaz ă un filtru de netezire. De notat că circuitul de
eșantionare și memorare treb ă lucreze la o frecven ță de tact dubl ă
77
3.3.2. Proiectarea unui FC C dintr-un filtru pasiv prin simularea
elementelor RLC cu capacit ăți comutate
În acest context se pune problema simul ării inductanțelor cu ajutorul
apacităților com c utate. Pentru capacitat ea C din figura 3.10.a, sarcina
acumulată q(t) la un moment oarecare t se poate exprima cu rela ția:
a. b.
c.
d.
Figura 3.10. Echivalarea unui inductor cu capacit ăți comutate.
78
( 3.33)
Presupunând c ă C nu se încarc ă în mod continuu, ci doar la momente
discrete de timp n , cu cantitatea t
u t u C dt t i t q
00
0 n t n i , unde 0 este o
constantă de timp, iar n t este func ția Kronecker, rezultă :
t u t u t i
0 C (3.34)
cazul unei inductan țe, rezul În mod similar, în tă o ecuație duală:
t i t i t u
0 (3.35)
În consecin ță, se observ ă că o ind mulată cu ajutorL
uctanță poate fi si ul unui
ia: circuit descris de rela ț t i t i t0 (3.36) Cu
unde inductan ța echivalent ă este:
CLe (3.37) 2
0
Pentru
t n, ecuația (3 itului din figura 3.10.b. .36) corespunde circu
Acest circuit poate fi realizat sub forma din figura 3.10.c, unde capacitatea
C1 se încarc ă cu sarcina n U Cint 1 și determin ă un curent care este
„întârziat” și „inversat” de C egrează diferența dintre 2. Capacitatea C 3 int
curentul „direct” și cel „întârziat” corespunz ător ecuației (3.36).
mentele (discrete) pare
Se calculeaz ă impedan ța de intrare pentru mo
de timp și se obține:
223 1
23 13 10
int
11
z CC C
CC CC CZp (3.38)
79
Expresia (3.38) poate fi modelată sub forma circuitului din figura
3.10.d., format dintr-o inductan ță echivalent ă Le, în paralel cu o rezisten ță
echivalent ă R, de valori: e 2
3 12
0
C Ce
C L (3.39)
2 3 1 3 1C C C C Ce 0R (3.40)
Factorul de calitate al circuitului echivalent devine:
11 111
. .. .
3 122
impedimpQ (
3.41)
C CC zinductrezist ed
Se constată că mărimile Q și R au valori tinzând spre infinit pentru
3 1 3 1 2 / C C C C C , caz în care:
e
zspsLzZ 1 (3.42) C CC
021 3 12
02
02
int
unde 021 z s este o transformare de variabil ă asociată circuitelor cu
capacități comutate descrise în planul z.
licație a simul ării unei inductanț e cu un circu
comutate se consider ă circuitul rezonant RLC din figura 2.23.a, a c ărui
Ca ap it cu capacit ăți
funcție de transfer a tensiunii este:
LC CR s sCR s
s Us Uies
2
p10
int (3.43)
unde 1 0 1 0R R R R p R .
Folosind echivalen ța din figura 3.11.a se obține circuitul din figura 3.11.b.
80
a.
b.
Figura 3.11. Simularea unui circ uit rezonant RLC cu o schem ă
activă cu capacit ăți comutate.
Func ția de transfer a tensiunii (3.43) scris ă în planul variabilei z are
forma:
23 1
23 13 1 02220 2
int 11 11
CCC C
CC CC C CCz zCCz
z Uz Uies
(3.44)
Pornind de la considerentele prezentate mai sus, și în special de la
entelor unui filtru pasiv RLC cu
ajutorul capacit ăților com
variabilă din planul continuu s în planul va riabilei discrete z. În continuare,
se prezint ă o metodă de proiectare a FCC bazat ă pe simularea impedan țelor expresia (3.42), rezult ă că simularea elem
utate poate fi ob ținută folosind o transformare
81
unui filtru RLC de referin ță, folosind transformarea de frecven ță „LDI”
(Lossless Discrete Integrator) definit ă de relațiile:
2 1 2 1 1 z zTs (3.45)
și 22 TtgT (3.46)
De exemplu, pentru o inductan ță, aplicarea transformă rii de variabil ă
de mai sus, conduce la rela țiile:
2 1 2 1 1z zTss I sL s U (3.47)
z I z zTLz U 2 1 2 1 (3.48)
iar, deoarece s sQ s I , rezultă:
z Q z zTz I1 (3.49) 2 1 2 1
nită de sarci
ouă Notând cu q diferența fi nă electrică corespunz ătoare l a
d momente de e șantionarea succesive, rezult ă următoarea rela ție în
planul variabilei z: z Q z z Q11 (3.50)
și (3.50) se poate scrie:
Ținând cont de expresiile(3.49)
z Q zTz I 2 1 1 (3.51)
ă:
iar substituind pe (3.51) în (3.48) rezult
z U
zz
LTz Q
11 2
1 (3.52)
Conform rela ției (3.52), simularea unei inductan țe cu ambele
82
terminale „flotante” fa ță de masă poate fi realizat ă cu un circuit cu capacit ăți
comutate ca și cel din figura 3.12, pentru care se demonstreaz ă echivalen ța:
3 12
2
C CT CL (3.53)
Figura 3.12. Simularea unui induc tor prin aplicarea transform ării LDI.
a păstrat t
lui Kirchhoff se pot aplica în m
od identic și în cazul unui filtru. Rezult ă că
U(z) și Q(z) pot fi obținute din valorile corespunz ătoare, adic ă din Deoarece în cazul FCC s- opologia filtrului analogic, legile
s U și
s Q, prin simpla înlocuire a lui s cu F(z).
Pentru obț inerea lui F(z) este avantajos s ă se aleag ă transformarea
biliniară : 11 2
zz
Tz F s (3.54)
Ca urmare, se înlocu iesc toate impedan țele filtrului analogic cu impedan țe
corespunz ător relației:
z Q Xzzk1 2
Tz U m m m
1 (3.55)
De exemplu, pentru o latur ă formată dintr-o capacitate se poate scrie:
83
s QCm
mm
1
care, corespunz ător relației (3.55), devine:
s U (3.56)
z QCm
adică, o la
tură capacitiv ă r ă în cazul FCC (figura 3.13.a). z U 1
m m (3.57)
ămâne neschimbat
Pentru o latur ă rezistivă se poate scrie formula:
s Q sR s Um m m (3.58)
care, pe baza relaț iei (3
.55), se rescrie astfel:
112
11 2
z TRz Qzz
TR mmm
ă care conț ine numai o
z Qz Um (3.59)
Expresia (3.59) conduce la echivalen ța din figura 2.25.b.
Pentru o latur inductanță, rezultă:
s Q L s s Um m m2 (3.60)
care, pornind de la rela ția (3.55), devine:
z Qz Lz Q Lzs Umm m m
21 4 1 2 (3.61)
din figura 3.13.c,
capacități com
utate
zT z T 21211 1
Formula (3.61) conduce la circuitu l echivalent
unde pentru dipolul activ cu se poate scrie:
12 1
113
11
211
z z U
zz z
z z Umamb (3.62)
Una dintre solu țiile de realizare a func ției de transfer (3.62) este cea din
intr-o capacitate figura 3.13.d. Echivalentul unui circuit derivație, format d
84
Cm și o inductan ță Lm, este cel din figura 3.13.e, unde m m L T C C2
04 .
a.
b.
c.
d.
e.
Figura 3.13. Echivalarea unor laturi R, L, C, LC dintr-un filtru analog
cu laturi cu capacităț i comutate într-un FCC.
85
3.3.3. Proiectarea unui FCC în scar ă utilizând transform ări de frecven ță
Filtrele cu capacităț i comutate cu structura în scar ă sunt circuite de
prelucrare a semnalelor discrete, care se ob țin prin transpunerea unui filtru
activ ce simuleaz ă un filtru LC terminat rezistiv la ambele por ți și cu
structura în scar ă.Ca o consecin ță, răspunsul în frecven ță al unui FCC va
avea o sensibilitate redus ă la variația rapoartelor de capacit ăți ce definesc
câștigul circuitelor de integrare.
Gradul de aproximare realizat de c ătre FCC fa ță de filtrul LC de
referință este determinat de tipul transform ării din domeniul variabilei s în
cel al variabilei z. La proiectarea unui FCC în scar ă se folose ște o structur ă
de integrator numit ă „LDI” (Lossless Discrete Integrator), bazat pe o
structură ări de
ă: de filtru digital care corespunde urm ătoarei transform
variabil 2 1 2 1 1 z zTs (3.63)
Avantajul principal al acestei metode const ă în faptul c ă FCC va
erealizabile fizic. Dac ă se folosesc totu și
rminconserva valorile reduse ale sensibilit ății filtrului LC de referin ță și că
structura FCC permite o realizare tehnologic ă complet neinfluenț ată de
capacitățile parazite, a c ăror prezen ță este practic inevitabil ă în tehnologia
circuitelor integrate.Exist ă însă un dezavantaj major al FCC ob ținut în acest
mod, determinat de faptul c ă aplicând transformarea (3.63) rezult ă
impedanțe terminale complexe, nte ații rezistive, FCC va prezenta abat eri ale caracteristicii de frecven ță
față de caracteristica filtrului de referin ță LC.
Transformata biliniară
111 2
1
z
Ts (3.64)
z
elimină dezavantajul privind realizarea impedan țelor. În schimb, FCC
86
obținute cu aceast ă transformare sunt sensibile fa ță de influen țele
determinate de capacit ățile parazite.
Având în vedere considerentele de mai sus, în continuare se vor
prezenta în detaliu cele două transform ări menționate mai sus.
III.3.3.1 Transform ările LDI ș i z biliniar ă
O transformare din planul s în planul z trebuie s ă se caracterizeze prin
două proprietăți de bază, și anume:
– axa imaginar ă a planului s s ă se transforme în cercul de raz ă unitară din
planul z;
– filtrul FCC ob ținut cu o astfel de transformat ă trebuie s ă conserve
proprietățile de stabilitate ale filtrului de referin ță.
Transformata LDI, definit ă cu formula (3.63), ca și transformata
ă aceste propriet
LDI Transformata biliniar ă biliniară , dată de relația (3.64), posed ăți. În tabelul 3.1 sunt
incluse comparativ câteva dintre caracteristicile acestor transform ări.
Tabelul 3.1
Caracteristici Transformata
Metoda de integrare Metoda trape
din care deriv ă zului Metoda mediei
Formula de defini ție 2 1 2 1 1 z zTs
11
112 s
zz
T
Distorsiunea de scar ă
22 TtgT 2sin2 T
T
Coresponden ța dintre
cercul unitar din
planul z și planul s
T T2 2
Transformata z biliniar ă determină corespondența dintre întreaga ax ă
imaginară a planului s, în conturul cercului de raz ă unitară din planul s, pe
87
când, în cazul transformatei LDI, doar o parte a axei j , adică
T T2 2 , corespunde cercului unitate. În acest sens, efectul de
ră este
oarece determin ă o bandă de transmisie mai îngust ă. distorsiune al sc ării frecven țelor, reprezentat în figura 3.14, corespunde unei
compresii de scar ă în cazul transform ării z biliniar ă și unei extensii în cazul
transform ării LDI. Din acest punct de ve dere, transformarea bilinia
preferată, de
în cazu
l transformatelor LDI și biliniar ă.
acestea, se observ ă că distorsiunea de scar ă introdusă de
În concluzie, o inductan ță transformat ă prin LDI conduce la uFigura 3.14. Abaterea rezultat ă pentru axa frecven țelor analogice
Cu toate
transformarea z biliniar ă este mult mai mare decât în cazul celei de tip LDI.
Ca urmare, filtrul ob ținut cu transformarea LDI realizeaz ă o aproximare mai
bună a filtrului de referin ță.
n circuit
echivalent cu cel rezultat prin aplicarea transformatei z biliniar ă unei
inductanțe aflat ă în paralel cu o capacita te. Pornind de la aceste
considerente, FCC în scar ă pot avea avantajele te oretice ale transform ării z
biliniară și cele practice ale filtrelor ob ținute cu transf ormarea LDI.
88
Capitolul 4. METODE DE PROIECTARE A FILTRELOR
NUMERICE
4.1. STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE
Un sistem discret liniar și invariant în timp, având intrarea x[n] și
ieșirea y[n], poate fi caracterizat printr-o ecua ție cu diferen țe finite de
forma:
( 4.1)
N
kM
kk k k n x b k n y a
00
unde N este ordinul ecua ției. Dacă în relația (4.1) de mai sus se separ ă din
membrul drept valoarea curent ă a ieșirii y[n] se ob ține:
k n yaak n xabn yM
kN
kk k
01 0 0 (4.2)
Un filtru numeric este un sistem discret, liniar și invariant în timp. El
se caracterizează prin func ția de transfer H[z]. Pentru z=1 se obț ine
caracteristica de frecven ță a filtrului, H( ). În domeniul variabilei discrete
n, legătura dintre intrare și ieșire este o sum ă de convoluț ie, motiv pentru
care filtrele numerice pot fi descrise de ecua ții cu diferenț e finite. Dacă
ecuația este de tipul (4.2 ), y[n] se determin ă recursiv.
În aceste condi ții, funcția de transfer a sistemului este de forma:
N
kk
kM
kk
k
z az b
z H
00 (4.3)
89
Prezența polilor în cadrul func ției de transfer determin ă un ră spuns
infinit la impulsul unitar, motiv pent ru care filtrele respective se numesc
recursive sau cu r ăspuns infinit IIR. R ăspunsul lor în frecven ță este de tipul
unei func ții rațională și mai poart ă denumirea de filtre cu memorie infinită .
Pentru cazul a k = 0, k 1, semnalul de ie șire y[n] nu se mai determin ă
recursiv și filtrul se numeș te nerecursiv. Considerând a 0 = 1, func ția de
transfer a filtrului devine:
(4.4)
M
kk
kz b z H
0
și are numai zerouri. Ca urmare, r ăspunsul acestui filtru nerecursiv este finit
în durată, motiv pentru care se mai nume ște și filtru cu r ăspuns finit (FIR),
iar ră spunsul să u în frecven ță se aproximeaz ă polinomial. Se mai nume ște
filtru cu memorie finit ă, iar datorită structurii lui mai este cunoscut și sub
numele de filtru transversal.
Pentru proiectarea filtrelor numerice se parcurg trei etape:
– specificarea propriet ăților dorite ale sistemului;
– aproximarea acestor caracteristici cu ajutorul unui sistem cauzal discret în
timp
– conceperea algoritmului mate matic ce descrie sistemul.
4.2. STRUCTURI DE FILTRE RECURSIVE
Un filtru recursiv IIR poate fi implementat în forma direct ă I. Forma
directă I din figura 4.1, corespunde cazului gene ral descris prin ecua ția (4.2).
În general, în cazul filtrel or întârzier ea se marcheaz ă prin z, factor care
apare în transformata z la întârzierea cu o unitate.
90
Figura 4.1
Structura unui IIR, dacă se presupune N M, N fiind ordinul filtrului,
sub forma direct ă I este cea din figura 4.2. S-a considerat a 0=1. Aceast ă
structură corespunde celei din figura 4.1. În literatura de specialitate,
structura formei dire cte I este prezentată și sub forma din figura 4.3. Între
cele trei reprezent ări nu exist ă diferențe principiale.
Figura 4.2.
91
Figura 4.3
A doua posibilitate de structurare a unui IIR este forma direct ă II, din
figura 4.4.
Figura 4.4.
92
O modalitate de reprezentare a formei directe II, identic ă din punct de
vedere principial cu cea di n figura 4.4, este ilustrat ă în figura 4.5.
Figura 4.5
Datorită faptului c ă numărul de elemente de întâ rziere (de memorare),
numărul multiplicatoarelor și al sumatoarelor neces are este minim pentru
forma direct ă II, ea este cunoscut ă și sub denumirea de form ă canonică.
O a treia structur ă se obț ine dacă se descompune func ția H[z] în
produse de factori de ordinul 2 sau de ordinul 1. Forma factorului de ordinul
2 este: 2
21
12
21
1
11
z a z az b z bz H
i ii ii (4.5)
iar a celui de ordinul I:
1
11
1
11
z az bz H
iii (4.6)
Func ția de transfer (4.3) se pune sub forma
z H B z Hi
i0 (4.7)
Considerând dou ă sisteme conectate în serie este u șor de arătat că
funcția de transfer echivalentă este produsul celor dou ă funcții de transfer.
Fie cele dou ă sisteme h 1[n] și h2[n] cu transformatele H 1[z], respectiv
93
H2[z]. Sistemul echivalent are func ția de pondere egal ă cu produsul de
convoluț ie următor: n h n h n h2 1 (4.8)
și respectiv func ția de transfer H[z]
z H z H n h n h z H2 1 2 1 (4.9)
În aceste condiț ii, relația (4.7) corespunde unor sisteme înseriate
(conectate în cascad ă), după cum se arat ă în figura 4.6.
Figura 4.6
Un filtru de ordin par poate fi rea lizat numai din structuri de ordinul
2, iar un filtru de ordin impar con ține cel pu țin o structur ă de ordinul 1.
Avantajul descompunerii în f actori de ordinul 2 îl constituie
posibilitatea de a grup a perechile de poli și zerouri complex conjugate, astfel
încât să se obț ină doar coeficien ți reali, ceea ce constituie o simplificare
majoră a procesului de calcul necesa r pentru implementarea filtrului.
A patra structur ă utilizabil ă este cea a c ărei schem ă are forma din
figura 4.7. Ea corespunde unei func ții de transfer ce poate fi scris ă sub
forma unei sume de termeni de ordinele 2 sau 1, termeni care au formele:
94
Figura 4.7.
2
21
11
1 0
1
z a z az b bz H
i iii (4.10)
Respectiv 1
10
1
z abz H
iii (4.11)
Funcția de transfer se descompune în suma:
iiz H C z H (4.12)
Dacă se iau în considerare două sisteme conectate în paralel, având
aceeași intrare și însumând ie șirile, func ția de pondere a sistemului
echivalent este suma func țiilor pondere. Pornind de la liniaritatea
transform ării z se constat ă că funcția de transfer a sist emului echivalent este
suma celor dou ă funcții de transfer.
Relaț iei (4.12) îi corespunde structura paralel ă din figura 4.7., fiecare
bloc fiind un sistem de ordinul 1 sau 2, realiz at fir în forma direct ă I, fie în
forma direct ă II. Evident, se pot conecta în serie structuri paralele sau pune
în paralel structuri serie.
95
4.3. STRUCTURI DE FILTRE NERECURSIVE
Implementarea filtrelor nerecursive (cu r ăspuns finit la impuls) FIR
este relativ simpl ă. Forma direct ă de implementare rezult ă din relația:
1
0N
nnz n h z H (4.13)
unde H[z] este func ția de transfer, iar h[n] este func ția pondere a filtrului
FIR considerat. Structura acestuia este cea din figura 4.8. Un sistem cu o
astfel de structur ă se mai nume ște și filtru transversal.
Dacă H [ z ] s e e x p r i m ă sub forma unor produse de polinoame de
gradele 1 ș i 2 în z-1 se poate ob ține și pentru FIR o structur ă în cascad ă.
Pentru cazul în care este specificat ă forma funcț iei de transfer se poate
realiza aproximarea ei prin polinoame de interpolare.
Figura 4.8
O modalitate de interpolare se poate ob ține dacă se cunoa ște H[z] în
N puncte echidistante de pe cercul unitate, adică dacă se cunoa ște
caracteristica de frecven ță a sistemului în cele N puncte.
Pentru a demonstra cele afirmate în paragraful de mai sus, se porne ște
de la ideea c ă transformata z a unei secven țe aperiodice x[n] cu durat ă finită
poate fi reconstituit ă în tot planul z dac ă se cunosc doar e șantioanele de pe
96
cercul unitar. În rela ția de defini ție a transformatei z se înlocuie ște secvența
x[n] conform rela ției de defini ție a transformatei Fourier discret ă inversă ,
astfel:
n knN
nN
kN
nnz W k XNz n x z X1
01
01
01][
1
01
011
01
11 1 1N
kN
kkN kN N
nnk
z Wz Wk XNz W k XN (4.14)
unde
nNjkkne W2
și 12
NNjkkNe W
(4.15)
În aceste condi ții se obține o form ulă de interpolare de tipul
1
0111 N
kkN
z Wk X
Nzz X (4.16)
care permite reconstruc ția transformatei X[z], cunoscându-se transformata
Fourier discret ă X[k] a secven ței x[n]. Implementarea unui filtru FIR
conform rela ției de interpolare (4.16) este cea din figura 4.9.
Figura 4.9
97
4.4. PRINCIPII DE REALIZARE A FILTRELOR NUMERICE
NERECURSIVE PRIN METODA TRUNCHIERII
Dup ă cum s-a ar ătat, o modalitate de reali zare a unui filtru nerecursiv
FIR este oferit ă de relația de interpolare (4.16). O alt ă modalitate const ă în
aproximarea unui filtru analog ic printr-un filtru numeric și apoi trunchierea
secvenței acestuia astfel încât s ă se obț ină o funcție de pondere cu un num ăr
finit de termeni (filtru cu r ăspuns finit la impuls).
4.4.1. Filtre cu caracteristic ă de fază liniară
Se consider ă secvența reală, cauzală și de durat ă finită , unde
.. Transformata Fourier în timp discret sau r ăspunsul în
frecvență, dacă se consider ă că h[n] este func ția pondere, este func ția
periodică cu de forma: nh
1 N n 0
jN
nn j
e zz H e n h H1
0 (4.17)
Știind că spectrul unei secven țe reale este simetric, adic ă
X X , atunci pentru secven ța reală nh func ția satisface
proprietatea amintit ă. Rezultă: H
H H (4.18)
(4.19)
unde Harg (4.20)
Impunând o caracteristic ă de fază liniară în , secven ța nh
va satisface anumite condi ții. Fie o rela ție de forma
98
; ; 0 (4.21)
și deci
1
01
0sin cos sin cosN
nN
nn jj j
n j n n h e n h j He H e H H
(4.22)
sau
cos cos1
0H n n hN
n (4.23)
și
1
0sin sinN
nn n h H (4.24)
Se face produsul celor dou ă relații de mai sus, membru cu membru, și
se simplific ă H. D u p ă regrupare, rezult ă:
(4.25) 0 sin1
0
n n hN
n
Se consider ă cazul unei func ții pondere simetric ă, as tfel că:
n N h n h 1 (4.26)
Dacă N este par se grupeaz ă termenii egal depă rtați de 0 și (N-1) din ecua ția
(4.25) și se ține cont de (4.26). Efectuând însumarea func țiilor
trigonometrice rezultă :
021sin 221
0
N
nNn h (4.27)
Ecuația (4.27) de mai sus conduce la solu ția
21N (4.28)
99
Pentru cazul când N este impar exist ă un termen central, f ără pereche,
corespunz ător lui 21Nn . Procedând ca și pentru N par, rezult ă
următoarea expresie:
121
0 21sin 2N
nNn h
021sin 2 / 1
NN h (4.29)
Ecuația (4.29) de mai sus are aceea și soluție ca ș i mai sus, având forma din
relația (4.28).Dac ă N este par, variabila nu are valori întregi, iar dac ă N
este impar, atunci are valori întregi.
Se introduce expresia (4.26) în rela ția (4.17) ș i se obține răspunsul în
frecvență al unui filtru FIR care asigur ă o caracteristic ă de fază liniară (se
grupează termenii egal dep ărtați de capete):
2 / 121cos 221cos 2
121
02 / 121
02 / 1
N hNn h eNn h e
H N
nN jN
nN j
(4.30)
Un astfel de filtru intr oduce o întârziere de faz ă (de pozi ție),
corespunz ătoare la eșantioane. Dac ă N este impar, întârzierea
corespunde unui decalaj întreg, pe când dacă N este par decal
ajul conține o
jumătate de pas de eș antionare, ceea ce poate fi un inconvenient (figura4.10) 2 / 1N
100
Figura 4.10.
Se consider ă un filtru numeric nerecursiv cu func ția de pondere
, ce se ob ține prin echivalarea unei func ții sim ilare analogic ă n hd t ha.
Pentru filtrul numeric respectiv, a func ția de circuit este de forma:
n j
ndj
d j d e n h e He zz H
(4.31)
d e e H n hn j j
d d
221 (4.32)
Pentru ca din să se obțină o funcție de pondere cu un num ăr
finit de termeni, adic ă un filtru cu r ăspuns finit la im
puls, se realizeaz ă
trunchierea acestei secven țe. Trunchierea filtrului numeric nerecursiv se
realizează prin înmul țirea func ției sale de pondere cu o func ție poartă
(fereastră ) w[n], care se noteaz ă cu h[n], astfel: n hd
n w n h n hd (4.33)
Se știe că îndepărtarea unor termeni ai seriei Fourier, opera ție
echivalent ă cu utilizarea unei ferestr e rectangulare, determin ă apariția
fenomenului Gibbs, constând din oscila ții ale sumei trunchiate în jurul
salturilor. Aceste oscilații sunt de 9% din m ărimea saltului.
101
Transformata Fourier a func ției pondere discret ă, conform teoremei
produsului de convolu ție în frecven ță discretă a două semnale periodice,
definită cu expresia (4.33), este de forma:
du u W u H H d
221 (4.34)
unde este transformata Fourier a fe restrei w[n ]. Analizând formula
(4.34) de mai sus se constat ă că W
H d i f e r ă de funcția impusă dH.
Fereastra rectangular ă poate fi definită astfel:
rest inN n
n wR , 01 0 , 1
(4.35)
Transformata Fourier în timp discret RW , corespunz ătoare
ferestrei rectangulare are expresia:
2 / sin2 / sin 2 / 1
Ne WN j
R (4.36)
În figura 4.11 este reprezentat ă caracteristica de frecven ță a ferestrei
rectangulare. Lobul central, situat între N/2 și N/2 , duce la
deformarea salturilor din dH . Cu cât lobul central este mai larg, ceea ce
corespunde unui num ăr mai redus de valori re ținute, cu atât mai lent ă va fi
tranziția în și invers. Lobii la terali produc ondula ții în caracteristica
de frecven ță. Pentru a ob ține car
acteristici de frecven ță care să
reproducă cât mai bine tranziț iile caracteristicii H
H
dH este necesar un
număr N de valori mari. Ondulaț iile create de lobii laterali cresc doar ca
frecvență, dar nu scad ca ș i amplitudine atunci când N cre ște.
Condi țiile pe care trebuie s ă le îndeplineasc ă o fereastr ă eficientă sunt
102
– să aibă un lob central cât mai îngust, con ținând cât mai mult din energia
totală a ferestrei;
– să aibă lobi laterali ce scad rapid când .
În literatura de specialitate sunt pr ezentate mai multe ti puri de ferestre.
Figura 4.11.
Fereastra Hamming generalizat ă, având func ția pondere
rest inN nNn
n wH
, 01 0 ,12cos 1
(4.37)
cu două variante și anume 54. 0 corespunzând ferestrei Hamming și
corespunzând ferestrei Hanning. 5 . 0
Fereastra Blackman are urm ătoarea func ție pondere:
rest inN nNn
Nn
n wB
, 01 0 ,14cos 08 , 012cos 5 , 0 42 , 0
(4.38)
Toate cele patru ferestre satisfac condi ția (4.26), având astfel o
caracteristic ă de fază liniară. Pentru a putea compara calit ățile ferestrelor
enumerate se introduce un coeficient de pulsa ție , definit ca raportul
dintre am
plitudinea primului lob lateral ș i amplitudinea lobului central. pK
103
104În tabelul 4.1 sunt prezentate valorile l ățimii lobului principal ș i
coeficientului de pulsa ție pentru cele patru tipur i de ferestre amintite.
Tabelul 4.1
Coeficient de pulsa ție x 100 Tipul
ferestrei Lățimea lobului
principal N=11 N=21 N=31
Rectangular ă 4 N 22.34 21.89 21.80
Hann 8 N 2.62 2.67 2.67
Hamming 8 N 1.47 0.93 0.82
Blackman 12 N 0.08 0.12 0.12
Capitolul 5. MODULATOARE. DEMODULATOARE
5.1. SEMNALE CU MODULA ȚIE DE AMPLITUDINE
5.1.1. Semnale modulate în amplitudine cu purt ătoare
Într-un sistem de radiocomunica ții, transmiterea informa ției se
realizează cu ajutorul unei oscila ții sinusoidale de radiofrecven ță numită
purtătoare, având forma descris ă de expresia :
) ( cos ) ( p p p t A t p (5.1)
În cazul modula ției de amplitudine (MA), parametrul asupra că ruia
acționează semnalul util este amplitudinea Ap , aceasta devenind o func ție
de timp
) (0t f A A p p (5.2)
unde: – cazul (a) m m m t a t f cos ) ( (5.3)
sau: – cazul (b) (5.4)
n
km m m k k kt a t f
1) ( cos ) (
Expresia purtă toarei m
odulate în amplitudine va fi:
(5.5) ) ( cos )] ( cos [ ) (0 p p m m m pMAt t a A t p
Dând A p0 factor comun for țat se obț ine:
(5.6)
) ( cos )] ( cos 1 [ ) (0 p p m m pMAt t m A t p
unde
0pm
Aam este gradul de modula ție.
Dând câteva valori particulare lui ) ( cos m m t , din relația 5.6 se
105
obțin următoarele valori particulare ale amplitudinii semnalului modulat
MA:
(5.7)
1 ) ( cos pentru , ) 1 (0 ) ( cos pentru , 1 ) ( cos pentru , ) 1 (
)] ( cos 1 [
000
0
m m m pm m pm m M p
m m p
t A m At At A m A
t m A
Din aceste rela ții se poate deduce gradul de m
odulație:
00
00
pm p
pp M
AA A
AA A
m
(5.8)
Reprezentarea lui pMA(t), definită cu relația 5.6, este dată în figura 5.1
pentru și pentru . 1m 1m
În relația 5.6 se desfac parantezel
e și se transform ă produsul de
cosinusuri în sum ă, obținându-se:
] ) [( cos2] ) [( cos2) ( cos ) (
00
0
m p m ppm p m pp
p p pMA
tmAtmA
t A t p
(5.9)
sau, în cazul în care modulatoarea este de forma din expresia 5.4, rezult ă:
]. ) [( cos2] ) [( cos2) ( cos ) (
11
00
0
k kk k
m p m pn
kp km p m pn
kp k
p pMA
tA mtA m
t A t p
(5.10)
Relaț iile 5.9 și 5.10, reprezentate în do meniul amplitudine-frecven ță,
sunt prezentate în figurile 5.2 și 5.3.
106
Figura 5.1
În figura 5.2, s-au notat cu FLI, FLS ș i P – frecvenț a laterală
inferioară , frecvența laterală superioar ă și purtă toarea.
107
Figura 5.2
Figura 5.3
În figura 5.3, s-au notat cu BLI, BLS și P – banda laterală inferioară ,
banda lateral ă superioar ă și purtă toarea.
S-a presupus că frecvențele din spectrul modulatoarei au fost ordonate
astfel încât nm m m f f f …2 1, iar amplitudinile ale semn alului din
spectrul modulator sunt egale între ele kma
…2) (1 m m m m a a a an . Ca
108
urmare, gradele de modula ție sunt și ele egal e între ele, astfel :
. Se observ ă că banda ocupată de semnalel e
modulate în amplitudine ( MA) devine egal ă cu: . km
m m m m n …2 1
m mf fn nmMAf B2
Fiecare din cele dou ă benzi laterale con ține exact aceea și cantitate de
informație: . Din acest m otiv se poate renun ța la una dintre
ele, iar prin eliminarea ei iau na ștere sistemele MA-BLU (cu bandă laterală
unică). Astfel, în banda de frecven ță alocată în mod normal unui singur post,
care ar emite cu MA-clasic ă, pot emite dou ă posturi cu MA-BLU. 1mf
Purtătoarea est
e inutilă din punct de vedere al con ținutului de
informație și solicită mult emi țătorul (66,6 % din puterea de emisie), îns ă
este utilă în procesul de demodulare MA. Eliminarea purt ătoarei a dus la
apariția sistemelor MA-PS (cu purt ătoare suprimat ă).
Puterea semnalului MA se determin ă cu expresia:
RUef2
P
P (5.11)
Pentru R=1 se obține : (5.12) 2
efU
În cazul sem
nalului modulator de tip (a), rela ția 5.2, semnalul
modulat MA are expresia 5.9, în care semnifica ția lui este aceea a )(t pMA
unei tensiuni.
22222 2 2
2
2
) (221
24 400 0
0mAA A m
A
U Ppp p
p
efMA
a
2m
109
2121
2 2122 2222
0 0 mPm A mAp p p(5.13)
În cazul semnalului modulator de tip (b), rela ția 5.4,semnalul modulat
MA are expresia 5.10. Rezult ă :
,2121
2 21
222
22 2
12
12 22
122
12 2
22
112 2
2
2
) (
0 00
00 0
0
n
kk pn
kk p n
kk pn
kpk
pn
kn
kp k p k
p
efMA
b
m
Pm A m AA m
AA m A m
A
U P
( 5 . 1 4 )
unde 22
0p pA
P reprezint ă puterea purt ătoarei nemodulate.
a. Obținerea semnalelor MA cu purt ătoare
Amplitudinea unei oscila ții sinusoidale poate fi modificat ă printr-o
simplă amplificare, figura 5.4 a. Pentru a ob ține un semnal MA cu
purtătoare este suficient să se comande un amplificator cu ajutorul
semnalului modulator amplificarea , figura 5.4. Se ob țin în acest
m
od relația 5.6 ș i derivatele ei, din expresiile 5.9 și 5.10. ) (t Ap
a.
110
b.
Figura 5.4
O schemă concretă pentru producerea unui semnal MA cu purt ătoare
este prezentat ă în figura 5.5.
Figura 5.5
b. Demodularea semnalelor MA cu purt ătoare
În figura 5.6 a s-a reprezentat semn alul modulat în amplitudine pMA(t)
care se aplic ă la intrarea demodulatorului MA din figura 5.6 b. Rolul diodei
D este de a suprima partea negativ ă a semnalului, ob ținându-se forma de
undă din figura 5.6 c. C ondensatorul C se încarc ă la valoarea vârfurilor
111
a.
b.
c.
Figura 5.6
semiperioadelor pozitive ale purt ătoarei și la bornele sale se reface semnalul
util f(t) cu condi ția ca, constanta de timp de desc ărcare τ = CR s ă
îndeplineasc ă condiția :
T p << τ < T m
(5.15)
112
Condiția τ >> T p împiedic ă condensatorul să se descarce la varia țiile rapide
ale pu
prezentat ex trage “anvelopa” (“înf ășurătoarea”)
ă”. rtătoarei, i
ar condiția τ < T m asigură “urmărirea” varia ției
modulatoarei (semnalului util) de c ătre tensiunea de la bornele lui C d.
Demodulatorul MA
semnalului modulat, motiv pentru care este cunoscut și sub denumirea de
“detector de anvelop
5.1.2. Semnale modulate în amplitudine cu purt ătoare suprimat ă
(MA-PS)
Expresia analitic ă ține pornind de la a acestui tip de semnale se ob
, de tipul
formula purt ătoarei dată de relația 5.1
)p ( cos ) ( p p t A t p (5.1)
în care devine o func ție de tim p,
pA
) ( ) (0t f A t A p p (5.16)
ș cu 00pA i ) cos( ) ( m m m t a t f .
5.17)
fără restricții asupra gradului de m
odulație.
Forma de und ă în domeniul timp este cea ilustrată în figura 5.7. Se
obține:
) cos( ) cos( ) ( p p m m mPS MAt t a t p (
Figura 5.7
113
Transformând produsul de cosinusuri în sum ă, se obțin cele dou ă
țe (be frecven nzi) laterale:
-pentru cazul a:
] ) [( cos2] ) [( cos2) ( m p m pmm p m pm PS MA
a tatat p
(5.18)
-pentru cazul b:
]. ) [( cos2] ) [( cos2) (
11
k kkk kk
m p m pn
kmm p m pn
km PS MA
b
tata
t p
(5.19)
.
Figura 5.8
Banda de frecven ță este, ca și în cazul MA-clasic ă (cu purtătoare) :
a . b
mPS MAf B 2 (5.20)
Puterea pentru semnalele MA-PS rezult fo : ă de rma
22mP Pp PS MA ( 5 . 2 1 ) a
nk p PS MA
bmP P
12
2 (5.22)
k
114
a. Obținerea semnalelor MA-PS
Ob ținerea unui semnal MA-PS se face simplu utilizând schema bloc
din figura 5.4 b, în care se presupune , figura 5.9. 0
0pA
Figura 5.9
O alt ă variantă de obținere a semnalelor MA-PS este aceea de a utiliza
circuite analogice de înmul țire, specifice modulatoarelor echilibrate (ME)
sau de produs, figura 5.10.
Figura 5.10
În continuare se vor prezenta câtev a scheme concrete de modulatore
chilibrat în contratimp
re-deschide diodele D 1 și D 2 pe alternanța
pozitiv (vezi sensurile curenților din figura 5.11 a), permi țând semnalului MA-PS.
I). Modulatorul e
În figurile 5.11 a ș i b sunt prezentate dou ă scheme posibile ale
modulatorului echilibrat în cont ratimp, iar figura 5.11 con ține o schem ă
echivalent ă a acestuia.
Frecven ța purtătoare p
ă
115
modulator s ă ajungă la ieșire și blocheaz ă diodele pe alternan ța negativ ă,
blocând semnalul modulator.
a.
b.
c.
Figura 5.11
Pentru echilibrarea bra țelor modulatorului se utilizeaz ă diode cu
caracteristici electrice identice, iar prizele mediane a și b ale
116
transformatoarelor Tr 1 și Tr 2 se plaseaz ă exact la jum ătatea înfășurărilor
respective. În cazul în care apar nesimet rii, acestea pot fi eliminate ( în
scopul
1 și
I2 car
alternanțele negative le
bloche
zitive ale frecven ței f p sunt de form ă
t), definită astfel:
alternanțele pozitive;
0, pentru alternan țele negative, figura 5.12.
elim
inării totale a purt ătoarei) printr-un montaj de tipul celui din
figura 5.11 b.
Schema echivalent ă a circuitului din fig ura 5.11a este prezentat ă în
figura 5.11. c, unde înf ășurările au fost înlocuite prin impedanțele
echivalente Z 1, … , Z 4, iar diodele, în zona de conduc ție, cu Z d1 și Z d2.
Pentru a echivala func ționarea diodelor, s-au introdus întrerup ătoarele I
e, atunci când sunt deschise (diode blocate), împiedic ă cir culația
semnalului modulator, iar când sunt închise diode în conduc ție, restabilesc
circuitul.
Studiind circuitul din fig ura 5.11 a, se observ ă că alternanțele pozitive
ale purtătoarei pre-deschid diodele, în timp ce
ază.
Se presupune c ă alternanțele po
dreptunghiular ă, de am
plitudine U p și frecvență fp.
În locul lui U p putem introduce func ția N(
N(t) = 1, pentru
Dezvoltând N(t) în serie Fourier, rezult ă:
…) 3 sin31(sin2
21) ( t t t N p p (5.23)
Func ția N(t) este ponderată , prin modulare, cu o valoare proporțională
tm cu cos .
t U t N t N m mcos ) ( ) ( ' (5.24)
117
t U t t t N m m p p cos …) 3 sin31(sin2
21) ( '
(5.25)
… cos 3 sin32cos sin2cos2) ( ' t tUt tUtUt N m pmm pmmm
(5.26)
Figura 5.12
tiind că t b a t b a b a sin sin Ș2cos sin (5.27) 1
rezultă:
Um … 3 sin 3 sin2
t tt
m p m pm p m p m
sin sin cos ) ( ' tUtUt Nm m
3
(5.28)
Curentul prin circuit, în figura 5.11 c, este dat de rela ția:
Zt Ni2) ( ' (5.29)
118
de unde rezult ă:
3 sin6sin sin2cos4
t… 3 sin tZUt tZUtZUi
m pmm p m pmmm
m p
(5.30)
II). Modulatorul cu diode în inel
Modulatorul cu diode în inel este un montaj cu o eficacitate mult mai
mare decât cel prezentat anterior. Denumirea provine de la faptul c ă diodele
sunt conectate ca într-un cerc.
Figura 5.13
Pentru a u șura explicarea func ționării circuitului se va redesena
schema sub urm ătoarea form ă (figura 5.14).
lizat, diagramele de semnal vor fi
în opoziție la secundarul lui Tr 1 pe durata
alternanței negative a purt ătoarei. Se observ ă că m
ontajul asigur ă circulația ambelor alternan țe ale
generatorului de purt ătoare.
Prin analogie cu primul montaj ana
cele din figura 5.15.
Observație: Tensiunea U 0- este defazat ă cu 180° fa ță de U 0+ deoarece
primarul lui Tr 2 este conectat
119
b. Demodularea semnalelor MA-PS
Pentru semnalul modulat având fo rma din figura 5.7 nu poate fi
folosit detectorul de anvelop ă.
a.
b.
c.
Figura 5.14
ă produsul
dintre semnalele aplicat
e la cele dou ă intrări (figura 5.16).
Semnalul: De aceea pentru de modulare se folose ște un detector mai complex,
cunoscut sub denumirea de demodulator sincron , care realizeaz
) cos ) (( t U t s p h h (5.31)
120
aplicat la cea de-a doua intrare, reprezint ă o oscilație sinusoidal ă de aceea și
frecvență cu purtă toarea, dar având un defazaj φ față de aceasta.
121
Figura 5.15
122
Figura 5.16
Presupunând c ă semnalul MA-PS este de forma:
(5.32)
după efectuarea produsului se ob
ul: t t m K A t pp pPS MAcos ) ( ) ( 0
ține sem
nal
) 2 cos( ) (21cos ) (21) ( 0 0 3 t t m K U A t m K U A t s p h p h p
(5.33)
Se observ ă că relația 5.33 con ține în primul termen mesajul m(t) (semnalul
util) multiplicat cu o constant ă. Defazajul dintre oscila ția generat ă la
recepție și purtătoare trebuie s ă fie constant și cât mai apropiat de zero,
adică cele două oscilații trebuie s ă fie sincrone. De aici provine și denumirea
de detector sincron. Cel de-al doilea termen al rela ției 5.33 reprezint ă un
semnal MA-PS, având frecven ța purtătoarei . Eliminarea acestui termen
perturbator se realizeaz ă cu filtrul trece-jos FTJ di n figura 5.16. Pentru a s
e
putea separa prin filtrare semnalul util (demodulat) de semnalul cu band ă
laterală dublă având frecven ța purtătoare trebuie satisf ăcută condiția
de nesuprapunere a spectrelor:
pf2
pf,2
M p Mf f f2 ( 5 . 3 4 )
Pentru ca filtrul respectiv s ă poată fi realizat uș or este necesar ca diferen ța
dintre cele două frecvențe, ilustrată în figura 5.17, s ă fie cât mai mare.
123
124
Figura 5.17
Semnalele MA-PS au avantajul c ă folosesc mai eficient puterea
emițătorului, dar și dezavantajul unei detec ții mai pretenț ioase, cu
demodulatoare sincrone care necesit ă circuite de sincroni zare. În figura 5.18
se prezint ă o schemă concretă de detector sincron ca re include un oscilator
local sincronizat prin “salve” de sinusoide recep ționate sub forma unui
semnal de sincronizare (burst).
Figura 5.18
Figura 5.19
mnale modulate în amplitudine cu band ă laterală un
MA-BLU
Semnalele MA-BLU se pot ob ține din cele MA-PS prin eliminarea 5.1.3. Se ică
125
uneia din cele dou ă benzi laterale. E xpresiile analitice ale semnalelor MA-
BLU se pot deduce, prin urmare, din rela țiile 5.18 și 5.19.b Astfel, dac ă se
reține frecven ța/banda lateral ă superioar ă, rezultă:
m p m pp FLUS MA
a tmA
t p cos2) (0 (5.35)
și k k m p m pn
kp k BLUS MA
btA m
t p
cos2) (
10 (5.36)
iar dacă se reț ine frecven ța/banda laterală inferioară, se obține:
m p m pp FLUI MA
a tmA
t p cos2) (0 (5.37)
și k k m p m pn
kp k BLUI MA
btA m
t p
cos2) (
10 (5.38)
Reprezentarea spectrelor de frecven ță ale claselor a ș i b de semnale
MA-BLU, din rela țiile 5.35… 5.38, completat ă cu cea corespunz ătoare clasei
c, este prezentat ă în figura 5.20. Pr elucrând expresiile 5.35 și 5.36,
corespunz ătoare frecven ței benzii laterale superioare, se deduce:
m m p ppm m p ppm m p pp FLUS MA
a
t tmAtmAt tmA
t p
sin sin2co coscos2) (
00
(5.39a)
20t s
2cos2cos2cos cos2
00
m m p ppm m p pp
t tmAt tmA
(5.39b)
126
Figura 5.20
respectiv:
. cos2coscos coscos ) (
000
k kkk k
m m p pn
22
11
k
2 2 1 kp km m pp km m p pnp k
b
t tA mt tt tA m
t p
(5.40) BLUS MA
pn
kk
A m
127
Adoptând nota țiile:
) cos( ) (
1k km mn
kk b t m t m
(5.41)
)2 1
k km m
kk b
în care observ ăm că ) (t mbcos( ) ( n
m t m t (5.42)
se obț ine din , ) (t m prin defazare cu b2
(perechea Hilbert a lui ), și trecând la lim ă pentru , c u
condiția
)
, se poate scrie: (t mb
s it n
m i f f fk
2cos ) (2cos ) (2) (0 0 p p cp
p p cp BLUS MA
c t t mA
t t mA
t p
(5.43)
Conform expresiei 5.43 de mai sus se poate afirma faptul c ă un
semnal MA-BLU reprezint ă de fapt suma algebric ă a două semnale MA-PS,
unul modulat cu mesajul , iar cel de-al doilea modulat cu perechea
Hilbert a acestui mesaj ș ă toarea defazat ă cu ) (t mc
i având purt2.
Banda ocupat ă de semnalele MA-BLU rezultă din figura 5.20 ca
fiind:
PS MA
i sf f 21 BLU MAB B (5.44)
Puterea odulatoare de tipul a
asociată semnalelor MA-BLU pentru m
42mP Pp BLU MA
a și b este: ( 5 . 4 5 )
respectiv
kb14nk p BLU MAm
P P2
(5.46)
128
a. Generarea semnalelor MA-BLU
Generarea semnalelor MA-BLU se poate face prin mai multe metode,
în acest subcapitol urmând s ă fie prezentate doar dou ă dintre ele
I. Metoda mix ării și filtră rii
Metoda mix ării și filtră rii utilizeaz ă schema bloc din figura 5.21, unde
prin mixare se genereaz ă un semnal MA-PS din care este eliminat ă
benzile laterale cu aj utorul unui f una din
iltru.
Figura 5.21
Figura 5.22
i
m
odulator MA –BLU: II. Metoda defaz ări
Pornind de la rela ția 5.43 se poate realiza schema bloc a unui
pA
2 2
(5.47) cos ) (2cos ) ( ) (0 0 p p cp
p p cBLUS MA
c t t mA
t t m t p^
129
Figura 5.23
alocat,
cât și puterea instala ției de emisie. În schimb, sunt necesare blocuri
unor semnale
prea mi
că. Rezultă că aceste sisteme MA-BLU sunt utilizate acolo unde
Demodularea semnalelor MA-BLU se realizează , ca și în cazul MA-
5.2. SEMNALE CU MODULA ȚIE DE FRECVEN ȚĂ (M
Semnalele MA-BLU utilizeaz ă eficient atât spectrul de frecven ță
de generare și demodulare complexe. De asemen ea, nu pot fi utilizate pentru
transmiterea modulatoare care au frecven ța limită inferioară fi
economia de band ă este strict necesar ă și unde semnalul transmis nu are
componente la frecven țe foarte joase, de exemplu, în transmisiunile
radiotelefonice.
PS, cu ajutorul demodulatorului sincron.
F)
Purt ătoarea are expresia :
p p p t A t p )( cos (5.48)
frecvență luându-se în cons era faz
de
pentru modula ția de
id re a exprimat ă
astfel: t
p dt t f
0) ( (5.49)
m m t t f cos ) ( un (5.50)
130
Purtă toarea modulat ă în frecven ță va avea expresia :
0sin cos ) ( p m m
mp pMF
a t t A t p (5.51)
în care :
2mmf este frecven ța semnalului modulator;
2 f este valoarea maxim ă a variației de frecven ță în
timpul modula ției sau devia ția de frecven ță.
În cazul MF devia ția de frecven ță f este propor țională cu
amplitudinea semnalului de modula ție. Se define te indicele de modula ț
relația: ș ie cu
m m ff
= deviația de frecven /frecvența de modula ție
(5.52) ță
În cazul modula ției cu un semnal complex, expresia semnalului modulator
este: km km kt cos n
kt f
) (
1 (5.53)
iar cea a p
urtătoarei modulate în frecven ță :
n
kp m m
mkp pMF
b k k
kt t A t p
10sin cos ) ( (5.54)
Frecven ța instantanee în cazul (a), se ob ține derivând paranteza
pătrată din relația 5.51 :
m m p i t cos (5.55)
Banda ocupat ă de un semnal MF depinde, a șa cum ă din figura rezult
5.25, de indicele și de frecven ța oscilației modulatoare.
131
Figura 5.24
a. Generarea semnalelor MF
În cazul în care oscila ția purtătoare este generat ă de un oscilator LC
având schema bloc din figura 5.26, frecven ța oscilației este determinat ă de
circuitul acordat LC prin rela ția:
Figura 5.25
LCfp1 (5.56)
2
132
nal MF, trebuie ca mesajul s ă
oman i uzuală
dă varicap, figura 5.27.
Figura 5.26
Rezult ă că pentru a se ob ține un sem
c de fie valoarea inductan ței, fie pe cea a capacit ății. Cea ma
este ultima amintită și utilizeaz ă o dio
a.
b.
Figura 5.27
b. Demodularea semnalelor MF
rii M est ilust t în i c onstă în
realizarea unei conversii MF-MA, urmat ă de o detec ție MA de anvelop ă și,
uneori, de un limPrincipiul demodul ă F e ra figura 5.28 ș
itator de amplitudine pentru eliminarea unei eventuale
modulații parazite de amplitudine.
Figura 5.28
i Circuitele
de deri vare care permit ob ținerea frecvenț ei instantanee
sunt prezentate în figura 5.29.
133
Figura 5.29
cu discrim inare de faz ă este foarte des
utilizac. Scheme concrete de demodulatoare MF
I. Discriminatorul de frecven ță cu discriminare de faz ă, în
c
o n t r a t i m p
Discriminatorul de frecven ță
t în receptoarele MF datorită avantajelor pe care le prezintă : montaj și
reglaj simplu și caracteristici de frecven ță convenabile.
Figura 5.30 Fig ura 5.31
lu
de frecven ță intermediar ă al radioreceptorului MF.
es c rd
ă.
in C 3 la colectorul
tranzistorului T. Extrem nei L 2 sunt
D1 și D 2, care lucreaz ă în regim de detectoare MA. Circuitul primar L 1C1 se află în circuitul de colector al ultimu i etaj
Circuitul secundar L 2C2 te cuplat inductiv u primul și aco at pe
aceeași frecvență intermediar if
Punctul median al bobinei L 2 este cuplat pr
itățile bobi conectate la anozii diodelor
134
Bobina L 3 prezintă o ductivă foarte mare la frecven ța reactanță in
intermediar ă, dar constituie o cale u șor de străbătut pentru semnalul util. L 3
, prin cele dou ă diode,
succesiv.
Rezistențele R 1R2 și capacitățile C 4C5 formează grupurile de detec ție
MA. Capacit ățile C 4 și C 5 reprezint ă un scurtcircuit pentru înalta frecven ță.
Discriminatorul efectueaz ă mai întâi o transformare a MF în MA și
apoi o detec ție a semnalului MA astfel ob ținut.
Transformarea MF în MA asigură calea de t
recere a curentului continuu
Tensiunea V 2 de la bornele circuitului acordat L 2C2 are o valoare bine
determinat ă V 20 și scade sensibil, conform curbei de rezonan ță, pentru
deviații de frecven ță .
Din figura 5.31 devi
ne evident faptul c ă variația modulului lui V 2 este if
aceeași pentru devia ții pozitive
sau negative ale lui f, adică, indiferent de
am
plitudine a lui Vsensul varia ției de frecven ță (f >
fr sau f < f r ) , s e v a o b ține aceea și
Cu
m este îns ă și firesc, pentru circuite le reactive, faza lui V față de
V1 variază cu 2.
2
pentru variaț ii f ale frecven ței.
Vectorial, se poate considera c ăeste defazat fa ță de cu '
1V1V2 și, la
nță, că ă cu . Ca urmare, frecvența de rezonarf2V este în faz1V2Vva fi
perpen dicular pe '
1V.
Tensiunile în punctele A ș i B se pot scrie astfel:
221 A'VV V (5.57)
135
221 B 'VV V (5.58)
iar reprezentarea graf
ică va fi cea din figura 5.32.
Figura 5.32
Când frecven ța variază în jurul valorii de rezonan ță, vectorul care
reprezintă tensiunile 22V , descrie cercuri având ca diametre segmentele
2V
0AB și 0AC ; la o frecvență oarecare, tensiunile 2nt reprezentate
prin vectorii su
1AB și 1 A AC, iar tensiunile și V V prin vectorii B 1OBși 1
variabili ca m
odul (MA).
OC ,
Detecția MA
Tensiunile redresate, dup ă trecerea prin cele dou ă diode, sunt
aproximativ egale cu modulul vectorilor iOB și iOC , iar tensiunea total ă la
ieșirea din discriminator este egală cu diferen ța dintre modulele celor doi
vectori.
136
Reprezentând grafic modulele lui AV și BV, în funcție de devia ția de
frecvență f, se obțin caracteristicile în form ă de « S », specifice
discriminatorului de frecven ță cu discriminare de faz ă, după cu se observ ă
în figura 5.33. m
Figura 5.33
Cu ajutorul caracteristicii în form ă de « S » se poate determina forma
semnalului demodulat dacă se variația frecven ței oscila ției
ea demodulat ă va fi puternic
distorsionat ă. Același fenomen apare și dacă deviația de frecven ță este mai
mare d rfuri ale caracteristicii în « S ». cunoaște
purtătoare față de frecven ța de rezonan ță (vezi figura 5.34).
Se observ ă că dacă frecvența central ă a oscila ției modulate în
frecvență cu un semnal sinusoidal coincide cu punctul de anulare a tensiunii
de pe caracteristica în form ă de « S » ș i deviația de frecven ță este redus ă, la
ieșirea discriminatorului se ob ține semnalul de audiofrecven ță (modulator)
nedistorsionat. Dacă frecvența purtătoare este deplasat ă față de punctul
central al zonei liniare a carac teristicii, tensiun
ecât distan ța dintre cele dou ă vâ
137
Dezavantajul discriminatorului prezentat const ă în sensibilitatea
acestuia fa ță de modula țiile parazite de amplitudine. Din diagrama
vectorială prezentată în figura 5.32 se observ ă că tensiunile AV și BV sunt
proporționale cu 1Vși 2V, acestea din urmă fiind dependente de
amplitudinea purtă toarei.
Figura 5.34
Deci, dac ă purtătoarea este modulat ă parazit în amplitudine, semnalul
util de la ie șirea discriminatorului va fi perturbat. Pentru o func ționare
corectă, discriminatorul de faz ă trebuie precedat de un etaj limitator de bun ă
c
nivel ridicat. Prin urmare, ar fi extrem de util ă realizarea unui circuit care s ă
asi iminarea de frecven ță. Un
raport.
rt
Schema electric ă a acestui tip de discriminator este prezentat ă în calitate, care îns ă prezintă inconvenientul ă necesită un sem
nal de atac de
gure singur atât func ția de limitare cât și discr
astfel de circuit este di scriminatorul de
II. Discriminatorul de rapo
138
figura 5.35.
Proprietatea de limitare a acestui discriminator se ob ține prin
d trei
C2 sunt acordate pe frecven ța purtătoare, iar
s c fășuconectar
ea diodelor astfel încât, pe lângă funcția de detec ție MA s ă
efectueze și o limitare în amplitudine a semnalelor. Transformatorul de
frecvență intermediară al discriminatorului de raport dispune e
înfăș urări. Circuitele L 1C1 și L 2
înfăș urarea L 3 se află într-un cuplaj foarte strân u în rarea primar ă.
a.
b.
Figura 5.35
La rezonan ță, 2V va fi în faz ă cu , iar va fi defazat cu 1V 3V2 față de
1V, fără ca acest defazaj s ă depindă de frecven ță.
Se pot scrie urm ătoarele rela ții :
22V 3VV A (5.59)
139
232VV V B (5.60)
Prezentarea și relațiile de mai sus sunt identice cu ra ționamentul de la
discriminatorul de fază , cu observa ția că în locul lui '
1V a apărut 3V. Se
ajunge la o diagram ă asemănătoare celei din figura 5.33, unde AV și BV
variază în funcție de frecven ță.
Prin detec ție se obțin două tensiuni CV și DV, proporționale cu
modulele lui AV și BV, care se însumeaz ă la bornele condensatorului C 5.
Condensatorul C , numit condensator de limitare , 5 are o capacitate
are În cazul în care,
atorit
ordate. Amortizar
ea crescut ă înseamn ă impedan ță de sarcin ă
mai mică pentru tranzistorul amplif icator, astfel încât tendinț a de creștere a
amplitudinii este compensat ă prin scă derea amplific ării etajului.
Important este faptul c ă efectul de limitare începe s ă se manifeste înc ă
de la perturba ții de amplitudine foarte mic ă ale semnalului de frecven ță
înaltă .
Pragul de limitare nu este ă de polarizare,
tensiu
ă CDV . mși îm
piedică variațiile rapide ale tensiunii
dă modulației parazite d
e amplitudine, 1V are tendin ța de creștere,
diodele D 1 și D 2 se vor deschide mai mult și vor amortiza astfel suplimentar
circuitele ac
legat de vreo tensiune fix
nea la bornele condensatorului C 5 stabilindu-se în func ție de valoarea
medie a semnalului.
Datorit capacității C 5, suma tensiunilor redresate de cele două diode
rămâne aproape constant ă. În acela și timp, suma B AV V rămâne și
aproape constant ă, iar raportul ea
BAV va fi determinat într-o prim ă aproxima ție V
140
numai de frecven ța semnalului, fiind practic independent de amplitudinea
lui. De aici denumirea de detector de raport .
Pentru semn udiofrecven ță (modulator) detectat, L alul de a 2 și L 3
constituie impedan țe foarte mici, astfel încât în punctul F se ob ține un
semnal audio propor țional cu diferen ța B AV V (vezi caracteristica în form ă
de « S » din figurile 5.33 și 5.34).
Grupul R 5C9.2 formeaz ă un filtru trece-jos pentru eliminarea
oscilațiilor semnalului de frecven ță intermediar ă, care are și rolul de a
dezaccentua frecven țele înalte ale semnalului audio (util).
II. Bucla cu calare de faz ă (circuitul PLL)
ucla cu calare de faz ă prezintă schema bloc din figura 5.36 în care:
CP – comparator de faz ă, FTJ – filtru trece-jos și OCT – oscilator controlat
în tensiune. I
B
Figura 5.36
absența m odulației MF a semnalului de frecven ță intermediar ă
aplicat la intrarea buclei, comparatorul de faz ă CP compar ă frecvența
intermediar cu frecven ța liberă de oscila ți e a OCT-ului , stabilită
cu ajutorul unui circ
uit RC extern. La ie șirea FTJ se obț
care-i per
m e OCT-ului s ă oscileze în continuare pe frecv
În condițiile în care s
emnalul de frecven ță intermediar ă aplicat la În
ăif
itif f0
ine o tensiune
ența 0f.
0V
141
f
ț intrarea buclei este m odulat M acestuia va varia cu F, frecven ța în
rul frecven ței intermediare , la ieșirea CP și în final a FTJ. Se ob ine o
nsiune variabil ă care va ac ționa asupra OCT-ului în sensul
t
ea de comand ă a OCT-ului este chiar semnalul
emodulat MF.
if ju
0 0V V te
m
odificării frecvenț ei acestuia, astfel încât s ă urmărească practic varia țiile
de frecven ță ale semnalului de intrare. Rezult ă că variația tensiunii care
comandă OCT-ul va fi propor țională cu varia țiile frecven ței de ieșire a
OCT-ului, deci cu varia țiile de frecven ță ale semnalului de intrare modula
MF. Prin urmare, tensiun
d
142
Bibliografie
]Tong, Tian, “Integrated Technol ogy and Circuit Design Course
412&i
[1
RISC9(1”, MSc Study program, RF Inte grated Syst
ems and Circuits Group,
Aalborg University, Denmark, 2007,
http://cpk.auc.dk/risc/course.php?typ e=specific&id_course_specific=
d_semester_specific=52;\
[2] Nielsen, Michael, “N onlinear Analysis Techniques Course RISC9(3”,
MSc Study program, RF Integrated Sy stems and Circuits Group, Aalborg
niversity, Denmark, 2007, U
http://cpk.auc.dk/risc/course.php?typ e=specific&id_course_specific=414&i
d_semester_specific=52 ;
[3] Niknejad, Ali, M., “Integrated Circuits for Communications Course
EECS 142”, University of California, Berkeley, USA, 2005,
http://rfic.eecs.berkeley.edu/~niknejad/ee142/index.html ,
[4] Sánchez-Sinencio, Edgar, “ELE N 665 – RF Communication Circuits
Course ELEN 665 “, Depa rtment of Electrical Engineering, Texas A&M
University, College Station, TX, USA, 2006,
http://amesp02.tamu.edu/~sanchez/elen665.html
,
[5]. Analog Devices Inc., “ADI Wireless Seminar 2006”,
http://www.analog.com/UploadedFile s/Associated_Docs/5536254879904Ch
apterI_WirelessSystemsOverview.pdf
143
144
[6] Analog Devices Inc., “Hi gh Speed Design Techniques”,
HTUhttp://www.analog.com/UploadedFile s/Associated_Doc s/366894824431152
27494495604213preface.pdf UTH,
[7] Perrot, Michael, “High Speed Co mmunication Circuits Course,6-776”,
MIT OpenCourseWare, Electrical E ngineering and Computer Science
Department, Massachusetts Institute of Technology, USA, Spring 2005,
HTUhttp://www.ocw.cn/OcwWeb/Electri cal-Engineering-and-Computer-
Science/6-776Spring-2005/ CourseHome/index.htm UTH,
[8] Vidkjaer, Jens, “RF-Communication Circuits Course, 31415”, Oersted
Technical University of Denmark, Lyngby, Denmark, Autumn 2005,
HTUhttp://www.oersted.dtu.dk/Englis h/education/courses/emi/31415.aspx UTH,
[9] Dąbrowski, Jerzy, “Radio Frequency Integrated Circuits Course,TSEK
03”, Department of Electrical E ngineering, LinköpingUniversity,
Linköping, Sweden, 2006,
HTUhttp://www.ek.isy.liu.se/courses/tsek26/ UTH,
[10] Hella, Mona, M., “Rad io Frequency Integrated Circuits Design Course
ECSE-6967, Department of Electrical, Computer, & Systems Engineering,
Rensselaer Polytecnic Institute, Fall 2005, Troy, NY, USA,
HTUhttp://www.ecse.rpi.e du/courses/F05/ECSE6967/ UT
[11] Niknejad, Ali, M., “Integrated Circuits for Communications Webcast
Course EE 142”, University of California, Berkeley, USA, 2005,
HTUhttp://webcast.berkeley.edu/cour se_details.php?seri esid=1906978242 UTH,
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Circuite de telecomunicații [613917] (ID: 613917)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.