Cinematica studiază mișcarea mecanică fără a se ține seama de mase și de forțe, urmărindu-se doar aspectul ei geometric. În cinematică intervin două… [304889]

Cinematica

1.1. Noțiuni introductive

Cinematica studiază mișcarea mecanică fără a [anonimizat]-se doar aspectul ei geometric. [anonimizat]: spațiu și timp.

Se poate vorbi aici despre doua sisteme de referință:

[anonimizat].

[anonimizat].

1.2. Cinematica punctului material

Mișcarea punctului material este cunoscută dacă putem să precizăm la orice timp poziția punctului și cum se mișcă acesta față de un sistem de referință.

(1.1)

Mișcarea punctului material este:

continuă;

uniformă;

de clasă C2 (finită în modul);

[anonimizat], accelerației.

Traiectoria

Locul geometric al pozițiilor succesive ale punctului material în mișcare (la vârful vectorului de poziție ) se numește traiectorie.

a) Sistem de coordonate cartezian

(1.2)

b) Sistem de coordonate cilindric

(1.3)

[anonimizat]:

(1.4)

Viteza

(1.5)

(1.6)

– viteza este un vector tangent la traiectorie:

Accelerația

(1.7)

Viteza unghiulară

(1.8)

Accelerația unghiulară

(1.9)

1.2.1. Mișcarea punctului material în diverse sisteme de coordonate

a) Sistemul de coordonate cartezian

(1.10)

(1.11)

(1.12)

(1.13)

(1.14)

(1.15)

b) [anonimizat].

– ecuația analitică a traiectoriei (1.16)

(1.17)

(1.18)

(1.19)

(1.20)

(1.21)

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

c) [anonimizat] o funcție vectorială de trei coordonate scalare independente între ele.

(1.26)

Cunoașterea mișcării punctului revine la cunoașterea funcțiilor:

d) Sistemul de coordonate intrinseci (triedrul Frenet)

Se folosește atunci când se cunoaște traiectoria punctului.

– ecuația orară a mișcării (1.27)

tangențiala,

[anonimizat].

– ecuația intrinsecă a traiectoriei (1.28)

Notații:

(1.29)

(1.30)

ρ- raza de curbură a traiectoriei.

(1.31)

Observații:

* [anonimizat].

* numai in mișcarea rectilinie.

1.2.2. Mișcări particulare ale punctului material

Mișcarea rectilinie

a) uniformă dacă se mișcă cu )

(1.32)

b) uniform variată

(1.33)

Mișcarea circulară

a) în coordonate carteziene

R,

b) în coordonate polare (fig. 1.10)

c). în coordonate intrinseci (fig. 1.11)

1.3. Probleme rezolvate

Problema 1.3.1.

Să se determine:

1. traiectoria, viteza și accelerația pentru un punct material ale cărui ecuații parametrice de mișcare în coordonate carteziene sunt:

.

2. reprezentarea grafică pentru ; ; ; ; .

Soluție

a) Traiectoria.

.

Traiectoria reprezintă o elipsă cu centrul în C(0,0), având semiaxe .

b) Viteza.

c) Accelerația.

2. Reprezentarea grafică:

Problema 1.3.2.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei: . Se cere:

1) traiectoria viteza și accelerație;

2) reprezentarea grafică pentru ; .

Soluție

1) Pentru aflarea traiectoriei din ecuațiile parametrice se elimină parametrul ce depinde de timp.

Viteza:

Accelerația:

2. Reprezentare grafică:

Problema 1.3.3.

Se consideră mecanismul de bare articulate din figura 1.16, unde O1A = O3B = l, AB = O1O3 = 2l, , . Se cer:

a) ecuațiile parametrice ale mișcării punctului M;

b) viteza și accelerația punctului.

Soluție:

a) Pentru a afla ecuațiile parametrice ale punctului M, trebuie să parcurgem următoarele etape:

ne alegem un sistem de coordonate cartezian;

scriem coordonatele punctului M (vectorul ).

Traiectoria punctului M este cerc cu centrul în punctul C(λ,0) și rază l.

b)

Se știe că

.

Accelerația:

Problema 1.3.4.

Pe semicercul din figură se ală 2 puncte materiale, P1 și P2. Punctele P1 și P2 pornesc simultan din A: unul pe diametrul AB ce are o mișcare uniformă cu viteza vo, iar punctul P2 pe semicerc. Punctul P2 pleacă din repaus și are o mișcare uniform accelerată. Cele două puncte ajung simultan în B. Se cer:

a) ecuația orară a punctului P1, s1(t) = ?;

b) ecuația orară a punctului P2, s1(t) = ?;

c) viteza punctului P2, în coordonate Frenet, v2 = ?, la t = tB;

d) accelerația punctului P2, în coordonate Frenet, a2 = ?, la t = tB.

Fig. 1.17.

Soluție:

a)

Constanta de integrare c1 se determină din condițiile inițiale.

La , . Ecuația orară este:

b)

Din condițiile inițiale de poziție și viteză rezultă constantele c2 și c3:

;. Ecuația orară este: .

c) la .

Punctul P2 parcurge arcul de cerc AB;

.

d)

Problema 1.3.5.

Se consideră o bară AB care alunecă de-a lungul a doi pereți (unul vertical și unul orizontal) ca în figura 1.18. La distanța d față de capătul din A se găsește un punct material M. Capătul din A se deplasează cu .

Se cere să se determine traiectoria, viteza și accelerația punctului M.

Soluție:

Pentru aflarea ecuațiilor parametrice ale traiectoriei în punctul M, scriem coordonatele acestui punct care elimină timpul (t).

.

Prin ridicare la pătrat și adunare, obținem:

Traiectoria punctului M este o elipsă cu centrul în O(0,0) și de semiaxe și .

Viteza:

Pentru aflarea vitezei punctului M trebuie să-l determinăm pe .

Pentru aflarea lui ne folosim de faptul că .

.

.

Accelerația:

1.4. Probleme propuse

Problema 1.4.1.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei .

Se cere:

1) traiectoria, viteza și accelerația;

2) reprezentare grafică pentru ; ; .

Problema 1.4.2.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei:

sunt constante pozitive.

Se cere:

1) traiectoria, viteza și accelerația;

2) reprezentare grafică pentru : .

Problema 1.4.3.

Se consideră un cerc de rază R pe care se află două puncte (P1, P2), care pornesc simultan din punctul M, ca în figura 1.20. Punctul P1 se mișcă uniform încetinit, iar punctul P2 își păstrează constant modulul vitezei. Punctele P1 și P2 se întâlnesc în B, unde P1 se oprește.

Se cere:

a) Legea de mișcare a punctului P1;

b) Poziția punctului B unde se oprește P1;

c) Timpul de la începutul mișcării până la întâlnire.

Problema 1.4.4.

Se consideră mecanismul bielă-manivelă din fig. 1.21, unde O1A = R, AM = r, BM = .

Pentru cunoașterea mișcării punctului M se cere să se determine ecuațiile parametrice ale traiectoriei, viteza și accelerația în funcție de parametrul .

Fig. 1. 21

Problema 1.4.5.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei: .

Se cere să se determine traiectoria, viteza și accelerația.

Cinematica rigidului.
Mișcarea generală a rigidului

2.1. Introducere

Modelului de corp rigid îi corespunde în tehnică o formă geometrică bine definită (fig. 2.1) care poate fi descrisă cu ajutorul unui sistem de referință (ortogonal în mod curent) legat de corp.

În general, un ansamblu rigid poate fi descompus în corpurile geometrice din care este alcătuit.

Dar, prin mișcarea mecanică se înțelege schimbarea în timp a poziției în spațiu a unui corp în raport cu altul ales ca reper.

Așadar, studiul mișcării unui corp presupune și alegerea unui reper, a unui sistem de referință, considerat fix.

Prin urmare pentru determinarea elementelor mișcării rigidului (traiectorii, viteze, accelerații) este necesară alegerea a două sisteme de referință:

un sistem de referință (presupus) fix O,x,y,z, și

un sistem de referință mobil O,x,y,z,O’,x’,y’,z’ solidar cu rigidul în mișcare.

2.2. Problema traiectoriilor (spațiul traiectoriilor)

Fie punctul curent M al rigidului care are coordonatele (x1,y1,z1) față de sistemul de referință fie și coordonatele (x,y,z) față de sistemul de referință mobil.

Ca urmare pentru vectorii din relația:

(2.1)

se poate scrie:

; și

(2.2)

Dacă (i,i,i) sunt cosinuși directori ai axelor sistemului de referință mobil față de cel fix, adică:

; ;

; ;

; ; (2.3)

Atunci:

(2.4)

Dacă se înlocuiesc relațiile (2.4) și (2.5) în (2.1) rezultă prin identificarea coeficienților lui și:

x1 = x0 + 1x + 2y + 3z

y1 = y0+1x+2y+3z (2.5)

z1 = z0 + 1 x +2y + 3z

Se folosesc următoarele notații matriciale:

; ; (2.6)

(2.7)

Cu [R] s-a notat matricea rotațiilor sistemului de referință mobil față de cel fix.

Cu aceste notații relația vectorială (2.1), respectiv ecuațiile (2.5), se scriu:

{r1}= {r0}+[R]{r} (2.8)

Relația (2.8) rezolvă problema traiectoriilor dacă se cunoaște legea de mișcare a originii sistemului de referință mobil față de cel fix, adică funcțiile x0(t), y0(t), z0(t) și legile de variații ale cosinușilor directori, adică funcțiile i(t), i(t), i(t); i =1,2,3.

Observație:

Relația (2.8) se mai poate pune și sub forma:

(2.9)

unde I – este matricea unitate

Sau într-o reprezentare în coordonate omogene sub forma:

Sau:

(2.10)

2.3. Distribuția vitezelor

Viteza unui punct curent M al rigidului față de triedrul fix T1 rezultă prin derivarea relației (2.10):

(2.14)

unde: – este viteza punctului față de sistemul de referință fix;

– – reprezintă viteza originii sistemului de referință mobil față de cel fix. Adică:

(2.15)

Pentru calculul lui se are în vedere că x,y,z, coordonatele punctului M, în raport cu sistemul de referință mobil sunt constante, deci . Așadar:

(2.16)

sunt derivatele unor versori, adică ai unor vectori de mărime unitate și de direcție variabilă care, așa cum s-a văzut în cazul coordonatelor polare, sunt noi vectori rotiți cu în sensul de variație al unghiului lor de poziție.

Dacă se are în vedere că proiecția unui vector pe o axă de versor este dată de produsul scalar , atunci pentru și se poate scrie:

(2.17)

Sau:

(2.18)

Din relațiile (2.3) și (2.4) prin derivare rezultă că:

; ; (2.19)

; ; (2.20)

Din relațiile (2.19) rezultă că proiecțiile care apar în matricea pătrată pe diagonala principală sunt nule. Din relațiile (2.20) rezultă celelalte proiecții pe care le vom nota cu:

; ; (2.21)

Cu aceste relații (2.18) se scrie:

(2.22)

Atunci:

; ; (2.23)

Dacă se interpretează scalarii x,y,z drept componentele unui vector :

Rezultă că:

; ; (2.24)

deoarece

În mod analog se verifică și celelalte relații (2.24). Relațiile (2.24) se numesc formulele lui Poisson.

Cu aceasta rezultă că (2.16) se scrie:

Adică:

(2.25)

Prin urmare relația (2.15) se scrie:

(2.26)

Această relație dă distribuția de viteze în mișcarea generală a rigidului și este cunoscută sub numele de formula lui Euler pentru distribuția de viteze.

Formula lui Euler poate fi scrisă matricial astfel:

(2.27)

Sau dezvoltat:

(2.28)

Unde este matricea antisimetrică atașată vectorului .

2.3.1. Distribuția accelerațiilor

Dacă se derivează relația (2.27) în raport cu timpul, se obține accelerația unui punct curent al acestuia, adică:

(2.29)

Unde: – este accelerația originii sistemului de referință mobil.

– este accelerația unghiulară

Deoarece rezultă că relația (29) se scrie:

(2.30)

Relația (2.30) se numește formula lui Rivals pentru distribuția de accelerații în mișcarea generală a rigidului.

Relația (2.30) mai poate fi scrisă matricial sub forma:

(2.31)

Unde și sunt matricele antisimetrice atașate vectorilor și .

Relația (2.32) dezvoltată capătă forma:

(2.32)

2.3.2. Mișcarea de translație

Un rigid are mișcare de translație dacă o dreaptă oarecare a lui rămâne paralelă cu ea însăși tot timpul mișcării.

Pot fi translații rectilinii, circulare și oarecare (alte mișcări)

Un rigid în mișcare de translație în spațiu are trei grade de libertate, poziția lui fiind determinată de trei funcții scalare independente: ,,. Cum sistemele fix și mobil au fost alese cu axele paralele, rezultă că versorii ,, au direcții fixe.

va rezulta că: .

a) Studiul vitezelor

Plecând de la formula generală:

și ținând seama de relațiile și , se obține formula distribuției de viteze în mișcarea de translație:

(2.33)

adică, la un moment dat, toate punctele au aceeași viteză ca vector liber.

În mișcarea de translație, vectorul viteză este un vector liber.

b) Studiul accelerațiilor

Pornind de la formula generală:

.

și ținând seama de relațiile și , se obține formula distribuției de accelerații în mișcarea de translație:

(2.34)

adică, la un moment dat, toate punctele rigidului au aceeași accelerație ca vector, care este prin urmare în această mișcare un vector liber (fig. 2.3).

2.3.3. Mișcarea de rotație

Un rigid are mișcare de rotație dacă două puncte ale lui rămân fixe tot timpul mișcării. Cele două puncte fixe definesc axa mișcării de rotație.

Problema traiectoriei

-ec. parametrice ale traiectoriei (2.35)

Distribuția de viteze și accelerații

(2.36)

(2.37)

(2.38)

Vectorii și se scriu:

(2.39)

(2.40)

În mișcarea de rotație vectorul are direcția axei de rotație, la fel și , ei sunt vectori alunecători.

a) Distribuția de viteze

(2.41)

(2.42)

(2.43)

Proprietăți:

singurele puncte de viteză nulă se găsesc pe axa de rotație.

vectorul viteză se găsește într-un plan perpendicular pe axa de rotație.

pe o dreaptă paralelă cu axa de rotație vitezele sunt egale între ele.

pe o dreaptă perpendiculară pe axa de mișcării de rotație, vitezele variază proporțional cu distanțele de la punct la axa de rotație.

b) Distribuția de accelerații

(2.44)

(2.45)

Proprietăți:

singurele puncte de accelerație nulă se găsesc pe axa de rotație.

vectorii accelerație se găsesc într-un plan perpendicular pe axa de rotație.

pe o dreaptă paralelă cu axa de rotație accelerațiile au aceeași valoare.

pe o dreaptă perpendiculară pe axa mișcării de rotație, accelerația variază proporțional cu distanța de la punct la axa de rotație.

Observații:

mișcarea de rotație este uniformă dacă .

mișcarea de rotație este uniform variată dacă .

mișcarea de rotație este variată dacă .

turația ; viteza unghiulara când se cunoaște turația se determina astfel:

(2.46)

2.3.4. Mișcarea elicoidală

Un rigid are mișcare elicoidală dacă două puncte ale sale se găsesc tot timpul mișcări pe o dreaptă fixă din spațiu numită axa mișcării elicoidale.

Problema traiectoriei

(2.47)

Distribuția de viteze și accelerații

a) Distribuția de viteze

(2.48)

Proprietăți:

în mișcarea elicoidală nu există puncte de viteză nulă.

punctele de viteză minimă se găsesc pe axa mișcării elicoidale.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, vitezele au aceeași valoare.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, vitezele variază liniar.

b) Distribuția de accelerații

(2.49)

(2.51)

Proprietăți:

în mișcarea elicoidală nu există puncte de accelerație nulă.

punctele de accelerație minimă se găsesc pe axa mișcării elicoidale.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, accelerațiile au aceeași valoare.

pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale, accelerațiile variază liniar.

Caz particular – mișcarea de șurub

Un rigid în mișcare elicoidală are mișcare de șurub dacă sunt îndeplinite condițiile:

(C→constantă) (2.50)

Rigidul are un grad de libertate și dacă la o rotație completă în jurul lui (∆) rigidul se deplasează pe (∆) cu un pas:

(2.51)

2.3.5. Mișcarea plan-paralelă

Un rigid are mișcare plan paralelă dacă trei puncte ale sale, necoliniare rămân tot timpul mișcării într-un plan fix.

Problema traiectoriei

(2.52)

Distribuția de viteze și accelerații

a) Distribuția de viteze

(2.53)

Proprietăți:

în mișcarea plan paralelă există puncte de viteză nulă; ele se găsesc pe o dreaptă perpendiculară pe planul mișcării. Punctul de viteză nulă din planul mișcării se numește C.I.R (centrul instantaneu de rotație) sau polul vitezelor și se notează cu I (ξ,η,ζ ).

(2.54)

distribuția de viteze în mișcarea plan paralelă este identică cu cea din mișcarea de rotație, ca și cum rigidul s-ar roti în jurul CIR-ului.

Se numește BAZĂ – locul geometric al centrului instantaneu de rotație față de sistemul de referință fix.

Se numește ROSTOGOLITOARE – locul geometric al centrului instantaneu de rotație față de sistemul de referință mobil.

Baza și rostogolitoarea sunt tangente în centrul instantaneu de rotație iar rostogolitoarea se rostogolește fără să alunece peste bază.

b) Distribuția de accelerații

(2.55)

(2.56)

Proprietăți:

în mișcarea plan paralelă există puncte de accelerație nulă. Punctul de accelerație nulă se numește polul accelerațiilor sau centrul instantaneu al accelerațiilor, notat cu J (u,v).

(2.57)

(2.58)

distribuția de accelerații în mișcarea plan paralelă este identică cu cea din mișcarea de rotație ca și cum rigidul s-ar roti în jurul polului accelerațiilor.

(2.59)

2.3.5.1. Metode pentru determinarea distribuției de viteze

a) Metoda CIR-ului

Metodă grafoanalitică ce se bazează pe proprietatea că distribuția de viteză arată ca o mișcare de rotație în jurul CIR-ului.

Necesități:

– să se cunoască mecanismul la scară (ke).

– să se cunoască viteza unui punct al rigidului ca vector.

– să se cunoască direcția vitezei unui alt punct al rigidului.

b) Metoda ecuațiilor vectoriale și a planului vitezelor

(2.60)

→ viteza lui B față de A ca și cum A ar fi fix.

Planul vitezelor

Planul vitezelor se construiește ducând vectori echipolenți cu vectorii viteză ai punctelor rigidului dintr-un pol numit polul vitezelor.

2.3.5.2. Metode pentru determinarea distribuției de accelerații

Metoda ecuațiilor vectoriale și a planului accelerațiilor

(2.61)

2.3.6. Mișcarea sferică

Un rigid are mișcare sferică dacă un punct al lui rămâne fix.

– unghi de nutație,

– unghi de rotație proprie,

– unghi de precesie

a) Distribuția de viteze

b) Distribuția de accelerații

2.4. Probleme rezolvate

Problema 2.4.1.

Se consideră placa dreptunghiulară OABC unde OA = BC = 3 m, AB = OC = 4 m, care se rotește în planul său, în jurul punctului O cu turația n 120 rot/min.

Se cere să se determine viteza și accelerația punctelor A, B, C, M.

Soluție:

Metoda I: .

m/s.

m/s.

m/s.

m/s.

( = const.)

Toate punctele considerate au numai accelerație normală, deoarece  = const.

Problema 2.4.2.

Se consideră rigidul din figura 2.19, la care se cunosc dimensiunile: OA = AB = 2l; O’B = O’C = care se rotește cu viteza unghiulară .

Se cere distribuția de viteze și accelerații.

Soluție:

.

Problema 2.4.3.

Paralelipipedul OABCDEFH din fig. 2.21, de laturi OA = 0,1 m, OC = 2 m, OD = 0,3 m, se rotește în jurul diagonalei OF după legea .

Se cere să se determine vitezele și accelerațiile punctelor A, B, C, D, E, G.

Soluție:

Pentru determinarea vitezelor se utilizează formula lui Euler: .

–

(deoarece punctul O se află pe axa de rotație)

Pentru determinarea accelerațiilor se folosește formula lui Rivals.

(deoarece punctul O se află pe axa de rotație)

.

.

Problema 2.4.4.

Pentru bara din figura 2.22, care rămâne tangentă la cercul de rază r, iar capătul O2 alunecă pe tangenta orizontală a cercului, se cer baza și rostogolirea mișcării.

Fig. 2.22.b

Proiectând punctul I pe axele fixe (O2x1y1) obținem ecuațiile parametrice ale bazei.

Eliminând parametrul rezultă ecuația bazei:

Proiectând punctul I pe axele mobile, obținem ecuațiile parametrice ale rostogolitoarei:

Eliminând parametrul se obține ecuația rostogolitoarei:

.

Problema 2.4.5.

Se consideră un mecanism format din 5 elemente articulate între ele ca în figura 2.23. Știm toate elementele geometrice (lungimi si unghiuri ) și, ca elementul conducător, OA se mișcă după legea ω = ω0 =cost.

Se cer: Distribuția de viteze și accelerații, folosind metoda planului de viteze și a planului de accelerații.

Fig. 2.23.

Soluție:

Elementul 1 are mișcare de rotație, elementul 2 are mișcare plan-paralelă, elementul 3 are mișcare de rotație, elementul 4 are mișcare plan-paralelă, elementul 5 are mișcare de translație. (fig.2.24.a,b)

;

;

;

;

;

Problema 2.4.6.

Date: ω = ct; toate elementele geometrice. (fig. 2.25a)

Se cer:

;;;; ω2; ω3; ω4 = ?

;;;ε2; ε3; ε4 = ?

Fig. 2.25.

Soluție:

Elementul 1 are mișcare de rotație, elementul 2 are mișcare plan-paralelă, elementul 3 are mișcare de rotație, elementul 4 are mișcare plan-paralelă, elementul 5 are mișcare de translație.

Fig.2.25a.

;

;

Fig.2.25b.

2.5. Probleme propuse

Problema 2.5.1.

Paralelipipedul OABCDEFG din figura 2.26 se rotește în jurul laturii OE după legea de variație . Se cunosc laturile paralelipipedului OA = 0,1 m; OC = 0,2 m, OE = 0,3 m.

Se cere să se determine:

a) = ? pentru t = 2s;

b) = ? pentru t = 2s;

c) distribuția de viteze pentru t = 2s.

d) distribuția de accelerație pentru
t = 2s.

Problema 2.5.2.

Se consideră mecanismul format din două bare articulate de lungimi O1A = l și AB = 2l (fig. 2.24), care se mișcă în plan, pozițiile lor la un moment dat fiind date de parametrii și . Se cere să se determine vitezele și accelerațiile punctelor A și B la momentul dat de parametrii
și .

Fig. 2.27.

Problema 2.5.3.

Se consideră un mecanism plan format din patru bare articulate (fig. 2.25). Se cunosc toate elementele geometrice (dimensiuni și unghiuri), precum și viteza elementului conducător .

Se cere să se determine distribuția de viteze și accelerații.

Fig. 2. 28

Problema 2.5.4.

Se dă mecanismul din figura 2.29 pentru care se cunosc dimensiunile mecanismului, poziția acestuia și mișcarea elementului conducător: ω1 = constant.

Fig. 2. 29

Se cer:

a) Distribuția de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotație (se vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului și vitezele unghiulare ale elementelor);

b) Distribuția de viteze cu metoda planului de viteze;

c) Distribuția de accelerații cu metoda planului de accelerații.

Problema 2.5.5.

Se dă mecanismul din figura 2.30 pentru care se cunosc dimensiunile mecanismului, poziția acestuia și mișcarea elementului conducător: ω1 = constant.

Fig. 2. 30

Se cer:

a) Distribuția de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotație (se vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului și vitezele unghiulare ale elementelor);

b) Distribuția de viteze cu metoda planului de viteze;

c) Distribuția de accelerații cu metoda planului de accelerații.

2.6. Mișcarea relativă a punctului material

(2.62)

Mișcarea Absolută – mișcarea punctului fată de sistemul de referință fix, traiectorie, viteză, accelerație.

Mișcarea Relativă – mișcarea punctului față de sistemul de referință mobil, traiectorie, viteză, accelerație.

Mișcarea de Transport – mișcarea punctului solidarizat cu sistemul de referință mobil, viteză, accelerație.

Derivata absolută sau locală a unui vector

(2.63)

(2.64)

– viteza unghiulară a sistemului de referință mobil.

Observații:

derivata absolută și relative a vectorului este identică.

Compunerea vitezelor și accelerațiilor în mișcarea relativă a punctului

(2.65)

(2.66)

(2.67)

(2.68)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

(2.72)

(2.73)

(2.74)

– accelerația Coriolis, complementară

(2.75)

2.7. Probleme rezolvate

Problema 2.7.1.

Se consideră o culisă M care se deplasează pe cadrul OAB după legea . În același timp cadrul se rotește în jurul punctului O după legea . Se cere să se determine viteza absolută și accelerația absolută pentru culisa M.

Soluție: .

Mișcarea relativă: este reprezentată de mișcarea culisei. Ea este o mișcare rectilinie după legea .

Mișcarea de transport: este reprezentată de mișcarea culisei împreună cu cadrul, dacă încetează mișcarea relativă, deci este o mișcare circulară după legea , pe cercul de rază

Calculul vitezei absolute:

;

Calculul accelerației absolute:

Pentru a determina mărimea accelerației, se proiectează relația vectorială a accelerației absolute pe cele două axe de coordonate, ca în fig. 2.33d.

Problema 2.7.2.

Se consideră axul vertical O1O2 pe care se găsește o bară sudată de el și înclinată cu unghiul (fig. 2.34). Pe bară se află o culisă M ce se deplasează după legea . Culisa se rotește în jurul axei O1O2 după legea .

Se cere să se determine viteza absolută și accelerația absolută pentru punctul M.

Soluție:

Mișcarea relativă este reprezentată de mișcarea culisei M. Culisa are o traiectorie rectilinie după legea , mișcarea de transport este reprezentată de mișcarea culisei în jurul axului vertical O1O2 după legea .

Calculul vitezei absolute:

; ;

Calculul accelerației absolute:

Pentru a determina modulul accelerației se proiectează relația vectorială a accelerației:

Problema 2.7.3.

Un cadru dreptunghiular ABCD (AB=DC=l) se rotește cu , în jurul axei lagărelor AD (fig. 2.35). În același timp, pe latura CD un punct M cade liber cu accelerația g. Se cere viteza și accelerația punctului M.

Soluție: (fig. 2.35a)

;

;

;

;

Problema 2.7.4.

Un cadru ABCD, care are porțiunea BC semicirculară de rază R, se rotește cu ω1=const. în jurul axei lagărelor AD, generând o sferă. În același timp, pe porțiunea semicirculară a cadrului se mișcă un punct M, care se rotește cu ω2=const. în jurul lui O (fig. .a). Se cer viteza și accelerația punctului M.

Mișcarea relativă este mișcarea circulară a lui M cu viteza unghiulară ω2 pe un cerc de rază OM=R (pe cadru). Mișcarea de transport este mișcarea lui M fixat pe cadru, adică pe un cerc de rază , centrul fiind O’, cu viteza unghiulară ω1. Mișcarea absolută este mișcarea M față de batiu.

Studiul vitezelor.

.

.

Viteza absolută ,

deoarece componentele sunt perpendiculare.

Studiul accelerațiilor.

Accelerația relativă are componentele:

Accelerația de transport are componentele:

Accelerația Coriolis este și are suportul perpendicular pe planul cadrului, sensul din figura 9.5.b și modulul

Accelerația absolută este și are modulul:

deoarece

2.8. Probleme propuse

Problema 2.8.1.

Pe cercul de rază R, care este sudat pe o bară în prelungirea diametrului (fig. 2.37), se rotește în planul său față de punctul O cu viteza unghiulară . Pe extremitatea cercului se mișcă un punct M după legea . Se cere să se determine viteza absolută și accelerația absolută pentru punctul M.

Problema 2.8.2.

Pe placa dreptunghiulară din fig. 2.38, se ală un punct material m ce se deplasează cu viteza . Placa se rotește după legea , . Se cunosc laturile dreptunghiului OA = BC = 0,4 m și OC = AB = 0,3 m.

Se cere: viteza și accelerația absolută a punctului M.

Problema 2.8.3.

Pe cadrul circular de rază R (fig. 2.39), se găsește un punct material ce se deplasează pe cadru după legea . Cadrul se rotește în jurul axei O1O2, după legea . Se cere: viteza și accelerația absolută pentru punctul M.

Problema 2.8.4.

Un punct material se deplasează pe generatoarea conului din fig. 2.40, după legea , . Conul, cu unghiul la vârf 2α, se rotește în jurul axei sale cu viteza unghiulară , . Se cer viteza și accelerația absolută pentru punctul material.

Fig. 2.40

Dinamica punctului material

3.1 Noțiuni fundamentale

3.1.1 Lucrul mecanic

Lucrul mecanic este definit ca fiind produsul dintre forța și deplasarea unui punct material din poziția M0, în poziția M1 , fiind dat de de integrala curbilinie:

(3.1)

în care este deplasarea efectuată de punctul de aplicație al forței în timpul elementar (fig. 3.1).

Fig. 3. 1

Dacă forța este constantă și deplasarea punctului material este rectilinie, atunci lucrul mecanic este:

(3.2)

Forța este se exprimă în general în funcție de tipul t, de poziția și de viteza a punctului în care este aplicată. Deplasarea care se efectuează pe arc, , este formată din deplasări elementare MM’, care se pot asimila cu deplasările pe corzile corespunzătoare (fig. 3.1). În acest caz de deplasare elementară, se consideră că forța este constantă, iar lucrul mecanic al forței pe deplasarea elementară poartă denumirea de lucrul mecanic elementar:

(3.3)

Dacă în relația (3.3) se înlocuiește cu , în care este viteza punctului material, atunci:

(3.4)

Lucrul mecanic al forței , în deplasarea finită din M0 în M1 este numit lucrul mecanic total sau finit, fiind determinat printr-o integrală curbilinie (3.1).

Dacă vectorii sunt exprimați prin proiecțiile lor pe axele unui sistem cartezian Oxyz, atunci lucrul mecanic total va fi:

(3.5)

3.1.2. Funcția de forță

Fie o funcție scalară U(x,y,z) de coordonatele punctului, cu ajutorul căreia se pot exprima componentele forței astfel:

(3.6)

În acest caz, funcția U se numește funcție de forță, iar forța poartă denumirea de forță conservativă și derivă din funcția de forță U.

Condițiile lui Cauchy de existență pentru funcția U sunt:

(3.7)

În consecință, forța conservativă este:

(3.8)

în care operatorul (nabla), numit și operatorul Hamilton, este un operator vectorial care transformă un scalar într-un vector.

În acest caz, lucrul mecanic elementar este:

(3.9)

iar lucrul mecanic total va fi:

(3.10)

în care:

Lucrul mecanic total al unei forțe conservative depinde numai de pozițiile inițiale și finale ale punctului, fiind independent de traiectoria parcursă.

Printre forțele care formează câmpuri potențiale (forțe conservative) sunt greutatea și forța elastică.

Greutatea are proiecții în sistemul cartezian Oxyz (fig. 3.2):

Fig. 3. 2

(3.11)

Așadar:

(3.12)

În acest caz condițiile lui Cauchy (3.7) sunt îndeplinite, forța de greutate fiind deci o forță potențială.

În cazul greutății, funcția de forță este următoarea:

; (3.13)

Și atunci lucrul mecanic total LMoM efectuat de greutate în deplasarea punctului din poziția M0, în poziția M are expresia:

(3.14)

Dacă se consideră că suportul forței elastice are o direcție oarecare în spațiu (fig. 3.3), atunci se poate nota că:

(3.15)

În acest caz condițiile lui Cauchy (3.7) sunt îndeplinite, rezultând că forța elastică este o forță potențială. Atunci, funcția de forță pentru forța elastică este:

(3.16)

Lucrul mecanic total LMoM efectuat de forța elastică în deplasarea punctului din poziția M0, în poziția M este:

(3.17)

3.1.3. Puterea

Puterea este definită ca fiind lucrul mecanic produs în unitatea de timp, așadar:

(3.18)

în cazul rigidului, atunci când forța și momentul sunt constante în timp, sau:

(3.19)

Atunci când forța și momentul sunt variabile.

Dacă se înlocuiește în relația lucrului mecanic elementar (3.18), atunci:

(3.20)

sau

(3.21)

3.1.4. Randamentul mecanic

Lucrul mecanic Lm este produs de forțele motoare ale unei mașini. Aceste forțe motoare produc deopotrivă forțe rezistente ale lucrului mecanic util Lu, care reprezintă de fapt motivul pentru mașina respectivă a fost construită, dar aceste forțe generează și un lucrul mecanic pasiv Lp, care este folosit pentru învingerea frecărilor.

(3.22)

Randamentul mecanic se notează cu și reprezintă raportul dintre Lucrul mecanic util și lucrul mecanic pasiv, adică:

(3.23)

Randamentul este o mărime adimensională care indică modul în care mașina folosește lucrul mecanic motor.

Dacă se exprimă lucrul mecanic util în funcție de cel motor și se înlocuiește în expresia (3.23), atunci:

(3.24)

În care: este coeficientul de pierderi.

Tot din relația (3.24) se observă că întotdeauna .

3.1.5. Impulsul

Definiția impulsului unui punct material M de masă m, care se mișcă cu viteza este un vector coliniar cu (fig. 3.4).

Expresia impulsului este:

(3.25)

Impulsul mai poartă denumirea și de cantitate de mișcare.

3.1.6. Momentul cinetic

Definiția momentului cinetic în raport cu un punct fix O al unui punct material M, care are masa m și care se deplasează c u viteza reprezintă momentul impulsului punctul M în funcție de același punct O, și anume:

(3.26)

Momentul cinetic mai poartă și numele de momentul cantității de mișcare, fiind un vector legat, analog vectorului moment al unei forțe în raport cu un punct, definit în statică (fig. 3.5).

3.1.7. Energia mecanică

Energia cinetică

Energia cinetică a unui punct material de masă m care are viteza , este:

(3.27)

Energia cinetică caracterizează mișcarea în orice moment și este o mărime de stare, scalară și strict pozitivă.

Energia potențială

Energia potențială caracterizează capacitatea mișcării nemecanice de a trece într-o anumită cantitate de mișcare mecanică.

Energia potențială derivă din funcții forță U, punându-se în evidență în momentul în care forțele care acționează asupra punctului material sunt forțe conservative.

În cazul în care forța conservativă admite o funcție de forță U(x,y,z), atunci energia potențială este reprezentată de funcția de forță, dar are sens contrar (semn minus).

(3.28)

Pentru lucrul mecanic elementar și total al forței , care se deplasează din M0 în M, se obțin expresiile:

(3.29)

Semnificația funcției potențiale V(x,y,z) rezultă dacă se admite că punctul M0(x0,y0,z0) este punct de potențial zero. În acest caz atât funcția de forță U(x0,y0,z0), cât și potențialul V(x0,y0,z0), sunt nule. În cazul în care se exprimă lucrul mecanic al forței conservative în funcție de punctul care se deplasează din M în M0, atunci acesta este:

(3.30)

Energia potențială a punctului material corespunzătoare poziției M(x,y,z) reprezintă lucrul mecanic efectuat de forța conservativă la deplasarea punctului material din poziția M în poziția M0, care prin convenție are potențialul nul.

Energia mecanică a unui punct material care este acționat de o forță conservativă este reprezentat de suma energiei cinetice și a energiei potențiale.

(3.31)

3.2. Teoreme generale în dinamica punctului material

3.2.1. Teorema impulsului

Derivata în funcție de timp a impulsului unui punct material este egală în fiecare moment cu rezultanta forțelor care acționează asupra punctului.

Dacă se derivează în funcție de timpul impulsul, atunci rezultă:

(3.32)

Luând în considerare legea fundamentală a dinamicii, adică, atunci rezultă:

(3.33)

iar dacă se proiectează relația (3.33) pe axe, se obține:

(3.34)

Conservarea impulsului

Dacă în timpul mișcării (punctul este izolat sau rezultanta este nulă), atunci rezultă:

(3.35)

Se deduce de aici că impulsul se conservă, în sensul că se păstrează în timp aceeași valoare. Constanta se determină din condițiile inițiale ale problemei.

Dar se poate să se conserve în timp doar o singură componentă a impulsului. În acest caz, , dacă , atunci:

(3.36)

în acest caz se conservă componenta impulsului după axa Ox.

3.2.2. Teorema momentului cinetic

Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O, este egală cu momentul în raport cu același punct al rezultantei forțelor care acționează asupra punctului material.

Derivând în raport cu timpul expresia momentului cinetic (3.26), rezultă:

(3.37)

Teorema momentului cinetic se deduce atunci când , adică momentul în funcție de punctul O al rezultantei forțelor care acționează asupra punctului material este zero:

(3.39)

Dacă se proiectează pe axe relația (3.39), atunci rezultă:

(3.39)

Conservarea momentului cinetic

În cazul în care în timpul mișcării , adică fie punctul este izolat, fie momentul rezultant este nul, atunci rezultă că:

(3.40)

Se observă că momentul cinetic se conservă, păstrând aceeași valoare în timp, iar constanta se determină din condițiile inițiale.

Dar este posibil să se conserve doar o singură componentă a momentului cinetic, de exemplu dacă . Atunci:

(3.41)

În această ipoteză momentul cinetic se conservă după axa Ox.

3.2.3. Teorema energiei cinetice

Variația energiei cinetice a punctului material în intervalul de timp dt, este egală cu lucrul mecanic elementar, efectuat de rezultanta forțelor aplicate punctului în același interval de timp. (forma diferențială)

Ținând seama de legea fundamentală a mecanicii și diferențiind relația energiei cinetice, rezultă:

Termenul din stânga reprezintă o diferențială totală exactă, în vreme ce termenul din dreapta dL = Fxdx + Fydy + Fzdz reprezintă o diferențială totală exactă de tip Pfaff, numai în cazul particular al forțelor conservative. Forma diferențială a teoremei energiei cinetice este:

(3.42)

Integrând rezultă forma integrală a teoremei energiei cinetice:

(3.43)

Variația energiei cinetice între poziția inițială și finală a mișcării punctului material este egală cu lucrul mecanic total efectuat în deplasarea finită între cele două poziții, de rezultanta forțelor aplicate punctului material.

Conservarea energiei mecanice

În cazul în care rezultanta forțelor aplicate asupra punctului material derivă dintr-o funcție de forță, energia mecanică a punctului se conservă.

Fie teorema energiei cinetice scrisă sub formă diferențială, și fie ca forțele să derive dintr-o funcție de forță, adică:

(3.44)

Dacă energia potențială este V = –U, atunci dV = –dU.

Din relațiile (3.42) și (3.44) rezultă că:

(3.45)

de unde:

(3.46)

3.3 Ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului material

3.3.1. Generalități

Există două tipuri de probleme în dinamica punctului material, și anume problema directă și cea inversă.

Problema directă

Forțele care acționează asupra punctului material ca natură, suport, sens, mărime se cunosc, și se cere să se stabilească mișcarea punctului material.

În acest caz, forța este dată de o expresie de forma:

(3.47)

Se spune că se cunoaște mișcarea atunci când se obține o relație vectorială de tipul:

(3.48)

Luând în considerare legea fundamentală a dinamicii:

(3.49)

Și știind că accelerația este , conform relației (3.47) se poate scrie că:

(3.50)

S-a obținut astfel o ecuație diferențială de ordinul doi care reprezintă ecuația diferențială a mișcării. Urmează proiectarea acestei ecuații vectoriale pe axe, după care se rezolvă sub formă scalară.

Problema inversă

Se cunoaște mișcarea, dată de o relația (3.48), și se cere forța care produce mișcarea. Pentru aceasta se derivează de două ori în raport cu timpul relația (3.48) și se introduce în relația fundamentală a dinamicii scrisă sub forma (3.50). Se obține astfel ecuația diferențială a mișcării.

În general problema nu este univoc determinată, deoarece nu se poate stabili și natura forței.

3.3.2. Ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului material

Dacă se proiectează pe un sistem de axe ales convenabil ecuația diferențială sub formă vectorială (3.50), se ajunge, în funcție de sistemul de coordonate, la următoarele ecuații scalare:

În sistemul de coordonate carteziene:

(3.51)

În care reprezintă proiecțiile pe axele Ox, Oy și Oz ale rezultantei forțelor care acționează asupra punctului material;

În sistemul de coordonate naturale (triedrul Frenét), ecuația devine:

(3.52)

În care reprezintă proiecțiile pe axele sistemului Frenét (tangenta, normala principală și binormala) ale rezultantei forțelor care acționează asupra punctului material.

Integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării este în general aceeași în toate sistemele de referință.

Integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării în sistemul cartezian conform (3.51) sunt:

(3.53)

Sistemul de ecuații diferențiale de ordinul doi are ca necunoscute ecuațiile parametrice ale traiectoriei:

(3.54)

Sistemul de ecuații diferențiale (3.53) admite un sistem unic de soluții, altfel spus, sub acțiunea unei forțe date, mișcarea efectuată de punct este unică. Integralele generale ale sistemului (3.53) conțin șase constante arbitrare de integrare .

Integralele generale au expresia:

(3.55)

Derivând în raport cu timpul relațiile (3.55) se obține:

(3.56)

Cu ajutorul relațiilor (3.55) și (3.56) se pot determina constantele de integrare punând condițiile inițiale, la t=to, referitoare la:

poziția inițială și viteza inițială .

Astfel, condițiile inițiale de poziție sunt:

(3.57)

iar condițiile inițiale de viteză sunt:

(3.58)

Relațiile (3.57) și (3.58) formează un sistem algebric de 6 ecuații cu 6 necunoscute . Dacă se rezolvă acest sistem se obțin valorile constantelor de integrare în funcție de condițiile inițiale date:

(3.59)

Introducând valorile constantelor de integrare din relația (3.59) în (3.55) se obțin ecuațiile parametrice ale traiectoriei. Dacă acestea sunt introduse în (3.56), se vor obține componentele vitezei la un moment dat. Soluția problemei este univocă.

Uneori obținerea soluției generale pentru sistemul (3.53) nu este posibilă, dar se pot totuși obține integrale prime. O integrală primă este o funcție de timpul t, vectorul și vectorul , care se reduce la o constantă dacă care reprezintă o soluție a ecuației diferențiale.

Integrala primă reprezintă deci, în general, o ecuație diferențială al cărei ordin este mai mic cu o unitate decât ecuația diferențială dată.

Dinamica sistemelor de puncte materiale și a rigidului

Sistemul de puncte materiale este definit ca fiind o mulțime de n puncte materiale în interacțiune mecanică. Deci un punct Ai de masă mi din sistem este acționat de forța , care reprezintă rezultanta forțelor exterioare, adică forțe exercitate de corpuri din afara sistemului studiat, precum și de forțe interioare, care reprezintă acțiunea celorlalte puncte din sistem asupra punctului Ai. Un exemplu este dat în figura 4.1.

În conformitate cu principiului acțiunii și al reacțiunii,

, (4.1)

De aici rezultă că:

(4.2)

Dacă se calculează momentele în raport cu punctul O, rezultă:

(4.3)

pentru că sunt coliniari. Astfel se deduce că:

(4.4)

Se face convenția:

(4.5)

Corpul solid rigid (rigidul) este definit în mecanica clasică drept un material continuu nedeformabil. Altfel spus, rigidul poate fi considerat ca limită a unui sistem închis și rigid de puncte materiale, care ocupă același domeniu.

În cele ce urmează, unele noțiuni fundamentale și teoreme generale stabilite pentru un sistem de puncte materiale sunt extinse la rigide pe baza unui proces de trecere la limită.

4.1. Noțiuni fundamentale

4.1.1. Momente de inerție mecanice

4.1.1.1. Definiții

a) Momentele de inerție sunt mărimi care sunt folosite pentru a caracterizare modul de răspândire a masei unui sistem de puncte materiale sau a unui rigid. Momentelor de inerție ajută la exprimarea inerției unui corp în mișcare de rotație.

Fie un sistem de n puncte materiale Ai , fiecare dintre ele având masa mi. Fie li distanța de la punctul Ai la o axă Δ. În acest caz, momentul de inerție al sistemului de puncte în raport cu axa Δ este:

(4.6)

În cazul corpului solid, suma de la (4.6) se transformă în integrală referitoare la domeniul ocupat de corp (D).

(4.7)

Pentru momentele de inerție sunt folosite ca dimensiuni și unități de măsură , respectiv kgm2.

b) Momente de inerție planare, axiale, polare (fig. 4.2).

În formula , lungimea li reprezintă distanța de un plan, de o axă sau de un punct. Astfel se poate defini și momentul de inerție, care poate fi planar, axial sau polar.

Fig. 4. 2

Se obțin astfel:

– Momentele de inerție planare

(4.8)

– Momente de inerție axiale

(4.9)

– Momente de inerție polare

(4.10)

Cele trei momentele de inerție (planare, axiale și polare) sunt mărimi scalare pozitive. În cazuri particulare momentul de inerție poate fi și nul, de exemplu în cazul unei plăci atunci când se calculează momentul de inerție în raport cu planul care conține placa.

c) Momentele de inerție centrifuge sunt, prin definiție:

(4.11)

Se observă că:

Momentele de inerție centrifuge sunt mărimi scalare pozitive, negative sau nule.

Momentul de inerție centrifug este nul atunci când este aleasă ca axă de simetrie una dintre axele de simetrie ale corpului – ceea ce se poate verifica cu ușurință.

4.1.1.2. Relații între momentele de inerție

Din relațiile (4.8)… (4.10) se obține:

– În spațiu

(4.12)

– În plan (z = 0)

(4.13)

4.1.1.3. Legătura dintre momentele de inerție mecanice și geometrice

Să se considere cazul unei plăci omogene, pentru care:

– momentul de inerție geometric este și

– momentul de inerție mecanic este .

Pentru plăcile omogene,

(4.14)

în care ρ este masa specifică.

Relația care se stabilește între momentele de inerție mecanice și cele geometrice, care se aplică și barelor și blocurilor omogene, este:

(4.15)

4.1.1.4. Raza de inerție (raza de girație)

Există aplicații tehnice în care este nevoie să se scrie momentul de inerție sub forma

(4.16)

unde mO este masa corpului și i raza de inerție.

Raza de inerție este distanța fictivă la care ar trebui plasată întreaga masă a corpului concentrată într-un singur punct, astfel încât în raport cu un plan, o axă sau un punct, să existe relația:

(4.17)

În acest caz, momentul de inerție polar se va fi:

(4.18)

Iar momentele de inerție axiale vor fi:

(4.19)

Din cele (4.18) și (4.19) se deduce că:

(4.20)

4.1.1.5. Variația momentelor de inerție

Să se presupună că se cunoaște momentul de inerție JΔ în raport cu axa Δ care trece prin centrul de greutate al rigidului și că este necesară aflarea valorii lui JΔ1, în raport cu axa Δ1.

Există două variante de rezolvare a acestei probleme:

a) Fie axele Δ și Δ1 sunt coplanare, caz în care ele pot fi:

– paralele sau

– concurente.

b) Fie axele Δ și Δ1 nu sunt coplanare, caz în care se calculează momentul de inerție în raport cu o axă Δ2 paralelă cu Δ1, dar concurentă cu Δ, după care urmează calcularea momentului în raport cu Δ1.

Dacă se stabilesc formule pentru variația momentelor de inerție față de axe paralele și concurente, se vor putea afla momentele de inerție pentru fiecare caz.

a) Variația momentelor de inerție față de axe paralele. Teorema lui Steiner.

Se dă un sistem de punct materiale Ai, care are centrul de greutate C. Fie Δ o axă care trece prin C și Δ1 o axă paralelă cu Δ (fig. 4.3). Se cunoaște momentul de inerție JΔ și se propune să se calculeze JΔ1, distanța dintre axe fiind d.

Se alege un triedru de referință Cxyz, la care axa . Față de acest triedru, punctul A1 are coordonatele x1, y1, z1. Se alege apoi un al doilea triedru de referință O1x1y1z1, care are axele paralele cu cele ale triedrului precedent, planurile de referință O1x1z1 și Cxy sunt confundate, iar axa .

Prin definiție,

(4.21)

și

(4.22)

Se notează masa sistemului:

(4.23)

Se observă că distanța dintre cele două axe, Δ și Δ1, este:

(4.24)

Dacă se ține seama că și dacă se aplică teorema momentului static, se obține:

(4.25)

Înlocuind în relația (4.22) rezultatele din (4.24) și (4.25) rezultă:

(4.26)

Relația (4.26) este Teorema lui Steiner, a cărei enunț este: momentul de inerție față de o axă Δ1 este egal cu momentul de inerție față de o axă Δ ce trece prin centrul de greutate al sistemului și este paralelă cu axa Δ1 plus masa înmulțită cu pătratul distanței dintre cele două axe.

Din teorema lui Steiner (4.26) se deduc proprietățile momentelor de inerție față de axe paralele, și anume:

1) momentul de inerție este minim față de o axă care trece prin centrul de greutate al sistemului;

2) locul geometric al axelor paralele față de care momentele din inerție sunt egale este un cilindru circular a cărui axă de simetrie trece prin centrul de greutate al sistemului și este paralelă cu direcția dată.

Analog, pe baza teoremei lui Steiner se pot demonstra momentele de inerție centrifuge. Astfel:

(4.27)

Ținând seama de relațiile (4.23) și (4.25), precum și de relația de definiție (4.11) conform căreia , din (4.27) rezultă teorema lui Steiner pentru momente de inerție centrifuge:

(4.28)

în care xO și yc reprezintă distanțele dintre axele Oy, O1y1 , respectiv Ox, O1x1.

b) Variația momentelor de inerție față de axe concurente.

Se dă un sistem de puncte materiale Ai , care față de sistemul de axe Oxyz are momentele de inerție axiale Jx, Jy, Jz și centrifuge Jzy, Jyz, Jxz cunoscute.

Fie o axă Δ ce trece prin O și care are versorul și cosinusurile directoare cos α, cos β, cos γ (fig. 4.4). Se propune să se calculeze momentul de inerție axial față de axa Δ, notat cu JΔ.

Se consideră un punct Ai de masă mi, definit de vectorul de poziție

(4.29)

Fie Bi proiecția lui Ai pe axa Δ și di distanța AiBi.

Prin definiție,

(4.30)

dar

(4.31)

și

(4.32)

Cum

(4.33)

înlocuind în (4.31) se obține:

(4.34)

Dezvoltând relația (4.34) și introducând rezultatele în relația (4.30) rezultă:

(4.35)

Ținând seama de relațiile de definiție (4.9) și (4.11) se obține relația căutată:

(4.36)

Caz particular: sistem plan.

În acest caz,

(4.37)

Relația (4.36) devine:

(4.38)

Dacă se notează și , atunci:

(4.39)

Relația (4.38) se scrie:

(4.40)

4.1.1.6. Momente de inerție principale

În relația (4.36) se observă că momentul de inerție JΔ, calculat față de axa Δ care trece prin origine, depinde de poziția axei față de triedrul de referință prin cosinusurile directoare. În funcție de unghiurile α, β, γ, momentul de inerție JΔ poate avea valori maxime și minime.

Axele care trec prin originea O și față de care momentele de inerție au valori extreme (maxime sau minime) se numesc axe principale de inerție. Momentele de inerție față de aceste axe se numesc momente principale de inerție și se notează J1, J2, J3.

Momentele de inerție principale J1, J2, J3 se determină analizând extremul funcției JΔ , care depinde de mai multe variabile (cos α, coa β, cos γ) legate între ele prin relația (4.33), de exemplu cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange*.

Unele dintre proprietățile importante ale axelor principale de inerție sunt:

1) formează un triedru triortogonal;

2) momentele de inerție centrifuge față de axele principale sunt nule.

Așadar, în cazul în care axa Δ are cosinusurile directoare cos α1, cos β1, cos γ1 față de axele principale de inerție, din expresia (4.36) rezultă:

(4.41)

Dacă centrul de greutate al sistemului coincide cu originea triedrului de referință , momentele de inerție corespunzătoare axelor ce trec prin acest punct se numesc momente centrale de inerție. Momentele față de axele principale de inerție în raport cu centrul de greutate se numesc momente de inerție centrale și principale, și sunt momente de inerție maxime sau minime, în raport cu o axă Δ ce trece prin centrul de greutate al sistemului (rigidului).

4.1.1.7. Elipsoidul de inerție

Elipsoidul de inerție (fig. 4.5) este folosit pentru obținerea unei imagini spațiale ale modului de variație a momentelor de inerție în funcție de axele care trec printr-un punct.

Pentru aceasta, se ia pe axa Δ un punct P, astfel ca, măsurând în unități convenționale,

(4.42)

și deci

(4.43)

Din (4.43) se află coordonatele punctului P, care sunt:

; (4.44)

Relația (4.36) poate fi scrisă și în funcție de relația (4.44), și anume:

(4.45)

Relația (4.45) reprezintă ecuația unui elipsoid numit elipsoidul de inerție (după Poinsot).

Axele de simetrie Ox1y1z1 ale elipsoidului de inerție sunt axele principale de inerție în raport cu punctul O, deoarece față de aceste axe momentele de inerție sunt extreme.

Ecuația elipsoidului de inerție față de axele sale de simetrie este:

(4.46)

de unde se demonstrează că momentele centrifuge sunt nule față de aceste axe.

Dacă se notează:

; ; (4.47)

atunci ecuația (4.46) poate fi scrisă sub forma canonică:

(4.48)

în care a, b, c sunt semiaxele elipsoidului de inerție.

Relațiile (4.47) se mai pot scrie și sub forma:

; ; (4.49)

De unde se observă că momentele principale de inerție sunt invers proporționale cu pătratul semiaxelor elipsoidului de inerție.

În general, momentul de inerție JΔ față de o axă Δ este invers proporțională cu distanța OP determinată de elipsoidul de inerție pe acea axă, conform relației (4.42).

De obicei, elipsoidul de inerție urmărește forma corpului pentru care este calculat.

În plan, elipsoidul de inerție se transformă în „elipsa de inerție”.

4.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de forțe care acționează asupra unui rigid

4.4.1. Cazul general

Fie un rigid în mișcare generală care este supus acțiunii unui sistem de forțe (fig. 4.6). Fie forța care acționează în Ai. În timpul dt, punctul Ai se deplasează cu distanța elementară

(4.50)

dar

(4.51)

Așadar, deplasarea elementară este:

(4.52)

În acest caz, lucrul mecanic elementar este:

(4.53)

Dacă se face o permutare circulară în produsul mixt

(4.54)

rezultă:

(4.55)

Dacă se notează:

– deplasarea elementară din mișcarea de translație a rigidului;

– unghiul elementar de rotație ca vector;

(4.56)

se obține:

(4.57)

care este lucrul mecanic elementar corespunzător forței .

Pentru tot sistemul de forțe, rezultă:

(4.58)

Dar:

– forța rezultantă și momentul rezultant sunt:

(4.59)

Deci

(4.60)

4.4.2. Cazuri particulare

a) Translația. În acest caz și , deci

(4.61)

de unde

(4.62)

b) Rotația. În acest caz, și . Rezultă

(4.63)

de unde

(4.64)

Cazul cel mai întâlnit în practică este atunci când axa de rotație coincide cu suportul lui . De aici rezultă că:

(4.65)

4.4.3. Impulsul

Fie un sistem de puncte materiale Ai, având masa mi și viteza .

Fiecare punct are impulsul:

(4.66)

Impulsul întregului sistem este:

(4.67)

Se știe că

(4.68)

așadar relația (4.67) devine:

(4.69)

În conformitate cu teoremei momentului static,

(4.70)

în care este masa sistemului, iar este vectorul de poziție al centrului de greutate al sistemului.

Ținând seama de relația (4.70), relația (4.69) devine:

deci

(4.71)

În cazul rigidului, impulsul este .

Efectuând calculele în mod analog, se va obține același rezultat și pentru relația (4.71).

Rezultă că impulsul unui sistem de puncte materiale sau al unui rigid nu depinde de felul mișcării, putându-se considera toată masa concentrată în centrul de greutate al rigidului și care se deplasează cu viteza acestuia.

4.4.4. Momentul cinetic

4.4.4.1. Cazul sistemelor de puncte

Fie un sistem de puncte materiale Ai de masă mi și viteză .

Impulsul punctului Ai este:

(4.72)

Momentul cinetic în raport cu punctul fix O al punctului material Ai este

(4.73)

Momentul cinetic al sistemului este

(4.74)

4.4.4.2. Cazul rigidului

Expresia momentului cinetic în cazul rigidului și în raport cu un punct fix O este:

(4.75)

Se observă că momentul cinetic depinde de felul mișcării, deoarece are expresii specifice fiecărui fel de mișcare a rigidului, așa după cum s-a arătat în cinematică. Prin urmare, este necesară studierea separată a mișcărilor particulare ale rigidului.

a) Mișcarea de translație.

Specific mișcării de translație este faptul că la un moment dat toate punctele au aceeași viteză (ca vector), adică .

Momentul cinetic este:

(4.76)

deoarece conform teoremei momentului static:

Înlocuind în relația (4.76), se poate scrie:

sau

(4.77)

În cazul tratat mai sus, momentul cinetic se calculează ca și cum toată masa rigidului ar fi concentrată în centrul de greutate și se deplasează cu viteza acestui punct.

b) Mișcarea de rotație.

Se ține cont că, în acest caz, viteza unui punct oarecare Ai (fig. 4.7) este:

(4.78)

Se consideră cazul general (sistemul de referință solidar cu corpul) în care:

(4.79)

(4.80)

Deci:

(4.81)

În funcție de proiecțiile sale pe axe, momentul cinetic se poate scrie astfel:

(4.82)

Dacă se calculează proiecția Kz a momentului cinetic pe axa Ox rezultă:

(4.83)

Prin permutări circulare se obțin componentele pe axe ale momentului cinetic:

(4.84)

Sub formă matriceală, aceste rezultate devin:

adică matricea momentului cinetic este egală cu produsul dintre matricea asociată tensorului de inerție și matricea coloană a vectorului viteză unghiulară.

Cazuri particulare

1) Axa Oz coincide cu axa de rotație (fig. 4.8).

În acest caz:

(4.85)

Ținând seama de relația (4.85) și aplicând relațiile generale (4.84) se obține:

(4.86)

adică

(4.87)

2) Cazul în care rigidul are forma unui corp de revoluție cu axa de simetrie chiar axa de rotație. În acest caz se alege această axă drept axa Oz (fig. 4.9).

Specific acestui caz sunt:

(4.88)

Acest al doilea caz fiind de fapt un caz particular al punctului a) de mai sus, se poate introduce în expresia (4.87) rezultatele din relațiile (4.88), rezultând:

(4.89)

Aplicație.

Un disc omogen se rotește cu viteza unghiulară în jurul axei sale de simetrie (fig. 4.10). Raza discului este R, iar masa este m.

Se cere să se calculeze momentul cinetic față de punctul O și de axa de simetrie (Oz):

c) Rigidul cu un punct fix.

În acest caz se aleg ca axe de coordonate axele principale de inerție în raport cu punctul fix (fig. 4.11) și se constată că momentele de inerție centrifuge sunt nule.

(4.90)

În aceste condiții se poate considera rigidul cu un punct fix ca un caz particular al rigidului în mișcare de rotație față de o axă oarecare, ale cărui rezultate sunt date în (4.84).

Din relațiile (4.84), ținând seama de (4.90), rezultă:

(4.91)

Aplicație.

Să se calculeze momentul cinetic pentru o sferă omogenă de greutate G, rază R, care este suspendată în centrul său O și se rotește cu viteza unghiulară în jurul diametrului său vertical.

Se alege sistemul de axe cu originea în centrul sferei O și cu axa Oz după diametrul vertical.

Momentul de inerție al sferei față de centrul său este (fig. 4.12).

În care ρ este masa unității de volum șieste masa sferei.

Momentele de inerție axiale sunt momente de inerție principale. Prin urmare, din motive de simetrie, rezultă că. Deci se poate scrie:

Rezultă că:

Față de sistemul de axe ales, proiecțiile vectorului viteză unghiulară sunt și .

Pentru calcularea momentului cinetic se folosește relația (4.91), și anume:

d) Mișcarea generală.

Din relația care dă distribuția de viteze în mișcarea generală a rigidului,

(4.92)

se poate considera că distribuția de viteze provine din suprapunerea a două câmpuri de viteze: unul de translație, cu viteza , și altul de rotație, cu viteza .

Momentul cinetic se calculează în funcție de aceste două câmpuri și soluția poate fi precizată numai după alegerea judicioasă a sistemului de axe mobil, și în special a originii lui. În acest fel, se poate preciza câmpul de viteze de translație și cel de rotație .

4.4.5. Energia cinetică

4.4.5.1. Cazul sistemelor de punct

Energia cinetică pentru un punct material este:

(4.93)

Energia cinetică pentru un sistem de puncte materiale este:

(4.94)

4.4.5.2. Cazul rigidului

Energia cinetică pentru rigid este:

(4.95)

Datorită faptului că se exprimă în funcție de viteză, rezultă că de mișcările particulare ale rigidului.

a) Mișcarea de translație.

Toate punctele au la un moment dat aceeași viteză, și anume egală cu cea a centrului de greutate (deci ). De aici rezultă că:

(4.96)

Așadar, energia cinetică se calculează ca și cum toată masa rigidului ar fi concentrată în centrul de greutate, și se mișcă cu viteza acestui punct.

b) Mișcarea de rotație.

Se știe că (fig. 4.13):

(4.97)

(4.98)

deoarece

(4.99)

c) Mișcarea elicoidală.

Se alege axa mișcării elicoidale drept axă Oz. În acest caz, distribuția de viteze este dată de (fig. 4.14).

(4.100)

Rezultă că componentele pe axe sunt:

(4.101)

deci

(4.102)

Expresia energiei cinetice este:

(4.103)

deoarece

(4.104)

d) Mișcarea plan-paralelă.

Se alege originea sistemului de referință mobil în centrul de greutate C al corpului, iar planul Oxy paralel cu planul fix față de care are loc mișcarea (fig. 4.15).

În acest caz, distribuția de viteze în această mișcare este:

(4.105)

iar componentele pe axe ale vitezei sunt:

(4.106)

deci

Prin urmare,

sau

(4.107)

pentru că:

(4.108)

Se aplicată teorema momentului static:

(4.109)

deoarece s-a ales originea sistemului de referință în centrul de greutate al corpului .

În multe aplicații, în mișcarea plan-paralelă se determină centrul instantaneu de rotație I. Dacă se aplică teorema lui Steiner, se poate stabili legătura dintre momentele de inerție față de centrul de greutate Jc și față de centrul instantaneu de rotație JI.:

(4.110)

de unde:

(4.111)

Din distribuția de viteze față de centrul instantaneu de rotație (analoagă cu cea dintr-o mișcare de rotație), se obține pentru centrul de greutate C:

(4.112)

Înlocuind în expresia (4.107) rezultatele din relațiile (4.111) și (4.112), rezultă:

(4.113)

Din formula (4.113) se observă că în mișcarea plan-paralelă se poate calcula energia cinetică ca la o rotație în jurul centrului instantaneu de rotație din acel moment.

e) Rigidul cu un punct fix.

Se aleg ca axe ale sistemului de referință solidar legat de corp chiar axele principale de inerție referitoare la punctul fix O. Momentele principale de inerție sunt J1, J2, J3. Cosinusurile directoare ale axei de rotație față de axele principale de inerție sunt cos x1, cos β1, cos γ1.

Energia cinetică se calculează cu ajutorul formulei generale stabilite pentru mișcarea de rotație, și anume:

(4.114)

În acest caz,

(4.115)

Deci relația (4.114) se deduce:

(4.116)

Pentru cazul studiat:

; ;

de unde rezultă expresia energiei cinetice pentru rigidul cu un punct fix:

(4.117)

f) Mișcarea generală a rigidului.

În acest caz, se poate considera că în fiecare moment distribuția de viteze se poate obține prin suprapunerea unui câmp de viteze de translație peste unul de rotație. Astfel, energia cinetică se calculează în funcție de cele două câmpuri de viteze, alegându-se judicios sistemul de referință mobil și mai ales originea acestuia. Se pot deci utiliza rezultatele de la cinematica rigidului în mișcare generală referitoare la distribuția de viteze în raport cu axa instantanee a mișcării elicoidale și se alege originea sistemului de referință mobil pe această axă. Ca urmare, vectorii și sunt coliniari și dirijați după axa instantanee a mișcării elicoidale.

Energia cinetică este:

în care este exprimat modulul produsului vectorial cu ajutorul unghiului și , care reprezintă distanța de la punctul curent la axa instantanee a mișcării elicoidale. Produsul mixt este nul.

De aici se deduce expresia energiei cinetice pentru rigidul în mișcare generală:

(4.118)

în care m0 este masa rigidului, iar JΔ momentul său de inerție față de axa instantanee a mișcării elicoidale.

4.5. Teoreme generale în dinamica sistemelor de puncte materiale și a rigidului

4.5.1. Teorema impulsului

4.5.1.1. Enunț și demonstrație

Pentru un sistem de puncte materiale (rigid), impulsul are expresia:

(4.119)

Derivând în raport cu timpul și ținând seama că masa este constantă, se obține:

(4.120)

Suma reprezintă suma tuturor forțelor care acționează asupra sistemului, adică forțe exterioare (date și de legătură) și forțe interioare (fig. 4.16).

Fig. 4. 16

(4.121)

Conform principiului acțiunii și al reacțiunii,

(4.122)

de unde

(4.123)

Rezultă deci că:

(4.124)

adică derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte materiale sau rigid este egală cu suma forțelor exterioare care acționează asupra sistemului (rigidului) studiat.

Proiectând pe axe relația vectorială (4.124) se obține:

(4.125)

4.5.1.2. Teorema mișcării centrului de masă (de greutate)
a unui sistem de puncte materiale sau rigid.

Impulsul unui sistem de puncte materiale sau rigid este

(4.126)

Derivând relația în raport cu timpul, rezultă:

(4.127)

Ținând seama de relația (4.124), din relația (4.127) se poate afla teorema mișcării centrului de masă (de greutate) a unui sistem de puncte materiale sau rigid:

(4.128)

Deci, centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale sau rigid se mișcă la fel ca un punct în care este concentrată toată masa sistemului și asupra căruia acționează toate forțele exterioare.

De reținut că teorema impulsului și teorema mișcării centrului de greutate nu sunt teoreme independente, cea de-a doua reprezentând de fapt o altă formă de prezentare a teoremei impulsului.

Un exemplu ar fi mișcarea unui obuz în aer. Traiectoria centrului de greutate a obuzului este identică cu cea a unui punct material care are masa obuzului și care se mișcă în aer întâmpinând rezistența acestuia. În plus, obuzul mai efectuează o mișcare de rotație în jurul acei sale de simetrie, datorită căreia vârful obuzului are o traiectorie diferită de cea a centrului de greutate. Vârful obuzului are o traiectorie care este o curbă strâmbă (în jurul traiectoriei centrului de greutate).

Teorema mișcării centrului de greutate este de o deosebită importanță în dinamica sistemelor și a rigidului deoarece cu ajutorul ei se stabilește legea de mișcare (accelerația și viteza) a unui punct intrinsec al rigidului, indiferent de particularitățile mișcării.

4.5.1.3. Conservarea impulsului

Dacă în timpul mișcării sistemul (rigidul) este izolat deci:

(4.129)

rezultă că se conservă impulsul (în timp)

(4.130)

adică în tot timpul mișcării impulsul este același.

În multe cazuri practice rezultanta forțelor exterioare are nulă doar componenta după o axă, ceea ce conduce la conservarea impulsului după o singură axă. Astfel se ajunge la:

(4.131)

Relațiile (4.130) și (4.131) pot fi interpretate că în timpul mișcării viteza centrului de greutate (sau componente ale acesteia) rămâne constantă și egală cu valoarea inițială. Deci constanta se determină cu ajutorul condițiilor inițiale.

4.5.2. Teorema momentului cinetic

4.5.2.1. Enunț și demonstrație

Pentru un sistem de puncte materiale sau rigid, momentul cinetic calculat în raport cu un punct fix 0 este:

(4.132)

Prin derivare în funcție de timp, se obține:

(4.133)

Dar pentru că

,

se observă că

(4.134)

Dar

(4.135)

în care este rezultanta forțelor exterioare, iar rezultanta forțelor interioare.

În consecință relația (4.133) se poate scrie:

(4.136)

pentru că momentul în raport cu punctul O al fiecărei perechi de forțe interioare este nul, rezultă că suma momentelor interioare este de asemenea nulă, adică:

(4.137)

Din (4.137) rezultă teorema momentului cinetic, și anume:

(4.138)

în care derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O, este egală cu suma momentelor forțelor exterioare calculate în raport cu același punct.

(4.139)

4.5.2.2. Conservarea momentului cinetic

Pentru un sistem izolat sau când rezultă:

(4.140)

În consecință, momentul cinetic în raport cu punctul O se conservă, adică în tot timpul mișcării păstrează aceeași valoare, egală cu cea din momentul inițial:

(4.141)

Proiectând pe axe se obține:

(4.142)

Relațiile (4.142) arată că în anumite cazuri momentul cinetic se poate conserva numai în raport cu o axă.

Un patinator care execută o piruetă în jurul axei proprii, reprezintă un exemplu de conservare a momentului cinetic în raport cu o axă, deoarece se poate neglija frecarea dintre vârful patinei și gheață. Momentul cinetic față de axa proprie este Când patinatorul își depărtează brațele de corp, adică își mărește momentul de inerție față de axa sa, viteza unghiulară scade. Când își strânge mâinile lângă corp, scade valoarea momentului de inerție și îi crește, în consecință, viteza unghiulară.

Observații.

1) Teoremele impulsului și momentului cinetic pot fi restrânse în teorema torsului:

(4.143)

în care torsorul în O al impulsurilor este:

(4.144)

iar torsorul în O al forțelor exterioare este:

(4.144*)

Derivata în raport cu timpul a torsului impulsurilor unui sistem de puncte materiale (rigid) este egală cu torsul forțelor exterioare aplicate sistemului. (Ambele torsoare sunt calculate în raport cu același punct).

2) Teoremele impulsului și momentului cinetic se aplică numai cu vitezele absolute.

3) Teoremele impulsului și momentului cinetic elimină forțele interioare.

4) Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei impulsului față de o axă pe care forțele sunt perpendiculare sau față de o axă după care sunt cunoscute vitezele.

5) Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei momentului cinetic în raport cu o axă față de care momentul forțelor este nul sau față de care este cunoscută mișcarea (vitezele).

4.5.3. Teorema energiei cinetice

4.5.3.1. Enunț și demonstrație.

Pentru un sistem de puncte materiale, energia cinetică este:

(4.145)

Diferențiind relația (4.145) se obține:

(4.146)

pentru că

Se analizează un sistem de puncte acționat de forțe exterioare și forțele interioare . Pentru punctul A1,, ținându-se cont de relația fundamentală a dinamicii, se poate scrie:

(4.147)

Relații analoge pot fi scrise și pentru celelalte puncte A2…An.

Înmulțind scalar cu relațiile de tipul (4.147) scrise pentru fiecare punct, rezultă:

(4.148)

Însumând termen cu termen relațiile (4.148) se deduce:

(4.149)

La interpretarea rezultatelor se obține:

Lucrul mecanic elementar al forțelor exterioare

(4.150)

Lucrul mecanic elementar al forțelor interioare.

(4.151)

Ținând seama de relațiile (4.149)…(4.151), din (4.146) se obține teorema energiei cinetice pentru un sistem de puncte materiale.

(4.152)

Adică: variația energiei cinetice în timpul dt este egală cu lucrul mecanic elementar al forțelor exterioare plus lucrul mecanic elementar al forțelor interioare efectuat în același interval de timp.

Se analizează cazurile posibile în care lucrul mecanic elementar al forțelor interioare este nul.

Pentru simplificare se urmărește cazul unei perechi de forțe interioare și , care acționează în Ai și Aj și pentru care se scrie

deci:

,

deoarece

; și

Această relație reprezintă viteza relativă a lui Ai față de Aj, ca și cum acesta ar fi fix. Prin urmare, viteza este perpendiculară pe .

Sunt posibile trei cazuri pentru ca dLint să fie nul, și anume:

1) – cazul a două bile legate printr-un fir netensionat;

2) și sunt perpendiculari – atunci când două corpuri sunt legate printr-un fir inextensibil, perfect întins, deci distanța dintre cele două copuri rămâne aceeași (în acest caz se situează și rigidul);

3) – atunci când viteza relativă dintre corpuri este nulă, ca de exemplu un disc care se rostogolește fără alunecare pe o bară și punctul comun este prin urmare centrul instantaneu de rotație al discului, punctul în care viteza discului față de bară este nulă.

4.5.3.2. Cazul rigidului

Se obține din cele precedente, cu observația că

(4.153)

Pentru aceasta se consideră două punct A și B aparținând rigidului, definite prin vectorii de poziție și . Aceste puncte se interacționează prin forțele și (fig. 4.17)

Lucrul mecanic elementar al acestor forțe este:

(4.154)

Punctele A și B aparținând unui rigid, este un vector de modul constant și direcție variabilă, de unde rezultă că este perpendicular pe . Cum forța este colinară cu se obține:

(4.155)

Procedând analog pentru toate perechile de puncte, se demonstrează relația (4.153).

Rezultă că teorema energiei cinetice în cazul rigidului este (sub formă diferențială);

(4.256)

Integrând, se obține teorema energiei cinetice sub forma finită:

(4.157)

4.5.4. Conservarea energiei mecanice

Un sistem de puncte materiale se numește conservativ dacă forțele sale interioare derivă dintr-o funcție de forță
U(x1, y1, z1, x2, y2, z2, …, x0, y0, z,), adică:

(4.158)

În acest caz există relația:

(4.159)

Din relația (4.152) rezultă:

(4.160)

Dacă se introduce noțiunea de energie potențială, definită la fel ca în cazul punctului material, și anume:

(4.161)

atunci rezultă că:

(4.162)

Dacă

(4.163)

atunci se obține că:

(4.164)

adică teorema conservării energiei mecanice se poate enunța astfel: dacă lucrul mecanic elementar al forțelor exterioare care lucrează asupra unui sistem conservativ este nul într-un interval de timp dat (t0, t1), atunci energia mecanică a sistemului este constantă în acel interval. O altă formulare este următoarea: un sistem conservativ închis are energia mecanică constantă.

De aici se deduce cum se poate determina energia potențială a unui sistem la timpul t. Din (4.159) și (4.161) rezultă:

(4.165)

deci

(4.166)

unde V0 este o constantă aditivă, care reprezintă tocmai energia potențială a sistemului în momentul inițial t0.

4.6. Probleme rezolvate

Problema 4.6.1

Să se determine momentul de inerție a unei bare omogene (fig. 4.18):

unde;

Problema 4.6.2

Să se determine momentul de inerție al unei plăci dreptunghiulare omogene (fig. 4.19):

unde

Analog,

Aplicând teorema lui Steiner:

de unde

și analog

Problema 4.6.3

Să se determine momentul de inerție al unui cilindru (disc) omogen (fig. 4.20):

unde;

Se reține că valoarea momentului de inerție nu depinde de lungimea l, deci

Pentru cazul discului (fig. 4.21), aplicând teorema lui Steiner, rezultă:

Din motive de simetrie,

deci,

Problema 4.6.4

Date: m, R, ω;

Se cer: J0, Jc

,

unde m = masa totală a sistemului.

Problema 4.6.5

Date: m, R, ω;

Se cer: J0, Jc

,

unde m este masa totală a sistemului.

Problema 4.6.6

Date: m1 = m

m2 – m2 = 3m

Se cer:

Problema 4.6.7

Date: m, R, ω;

Se cer: J0, Jc

, unde m este masa totală a sistemului

Problema 4.6.8

Date: m, R, ω;

Se cer: J0, Jc

,

unde m este masa totală a sistemului.

4.7. Probleme propuse

Problema 4.7.1

Date: m, R, ω;

Se cer:

J0; Jc;

Problema 4.7.2

Date: m, R, ω;

Se cer:

J0; Jc;

Problema 4.7.3

Date: m, R, ω;

Se cer:

J0; Jc;

Problema 4.7.4

Date: m, R, ω;

Se cer:

J0; Jc;

Problema 4.7.5

Date: m, R, ω;

Se cer: J0; Jc;

4.8. Probleme rezolvate

Problema 4.8.1

Se consideră sistemul format dintr-un troliu de raze r și R de greutate P pe circumferința troliului fiind înfășurate două fire inextensibile de care sunt prinse două corpuri, un corp atârnat de greutate G și momentul de inerție J, în raport cu axa articulației precum si un disc omogen de rază r0 și greutate Q ce se rostogolește fără alunecare pe planul orizontal, cu frecare de alunecare definită de coeficientul necunoscut μ și frecare de rostogolire definită de coeficientul cunoscut s, (fig. 4.32.a)

Se cere să se determine:

a) accelerația a a corpului atârnat;

b) tensiunile din fire S1 și S2, precum și reacțiunea din articulația O;

c) coeficientul de frecare de alunecare μ.

Rezolvare

a) Se numerotează corpurile, începând de la cel de greutate G, a cărui mișcare se cere.

Analiza cinematică, împreună cu calculul energiei cinetice, este prezentată în tabelul următor.

Momentul de inerție al discului omogen este:

Energia cinetică a întregului sistem este:

în care s-a notat masa redusă

Lucrul mecanic efectuat de forțele care acționează asupra sistemului este:

unde s-a notat forța redusă

Aplicând teorema energiei cinetice sau , se obține, prin derivare în raport cu timpul:

;

b) Se izolează corpul 1 (fig. 4.32.c). Se aplică teorema impulsului în raport cu axa Oy (verticală și orientată în jos). Rezultă succesiv:

;

;

Se izolează corpul 2 (fig. 4.32.d). Se aplică teorema impulsului în raport cu axele Ox și Oy ale sistemului de referință din figură, precum și teorema momentului cinetic în raport cu axa articulației. Rezultă succesiv:

; ;

;

;

;

;

;

Se izolează corpul 3 (fig.4.32.e). Se aplică teorema impulsului în raport cu axele Ox și Oy ale sistemului de referință din figură, precum și teorema momentului cinetic în raport cu centrul de masă C. Rezultă succesiv, considerând și condițiile de frecare:

; ; ;

;

Expresia obținută pentru S2 prin izolarea corpului 2 diferă numai în aparență de cea obținută prin izolarea corpului 3, deoarece nu s-a înlocuit expresia accelerației a.

c) Din inegalitatea obținută la punctul precedent, rezultă , unde

Problema 4.8.2

Se consideră sistemul format dintr-un disc omogen de rază r și greutate G, acționat de cuplul motor de moment constant M; pe circumferința discului fiind înfășurat un fir inextensibil de care este prinsă o roată de greutate Q și rază R precum și un corp de greutate P, atârnat de centrul roții, (fig. 4.33.a)

– Se cere să se determine:

a) accelerația ε a troliului;

b) tensiunile din fire S1, S2 și S3, precum și reacțiunea din articulația O;

c) valoarea momentului M pentru ca mișcarea sistemului să fie uniformă.

Rezolvare

a) Se numerotează corpurile ca în fig. 4.33.b.

Analiza cinematică, împreună cu calculul energiei cinetice, este prezentată în tabelul următor:

Momentele de inerție ale discurilor omogene 1 și 2 sunt, respectiv,

;

Energia cinetică a întregului sistem este:

,

în care s-a notat momentul de inerție redus

Lucrul mecanic efectuat de forțele care acționează asupra sistemului este

unde s-a notat momentul redus

Aplicând teorema energiei cinetice sau , se obține, prin derivare în raport cu timpul:

b) Se izolează corpul 1 (fig. 4.33.c). Se aplică teorema impulsului și teorema momentului cinetic. Rezultă succesiv:

; ;

;

;

Se izolează corpul 2 (fig. 4.33.d). Se aplică teorema impulsului și teorema momentului cinetic. Rezultă succesiv:

; ;

Tensiunea S3 se poate obține mai ușor izolând corul 3 (fig. 4.33.e). În acest caz se aplică teorema impulsului. Rezultă succesiv:

.

Înlocuind expresia accelerației unghiulare ε, se poate verifica identitatea celor două expresii obținute pentru tensiunea S3.

c) Mișcarea sistemului este uniformă atunci când .

Rezultă:

;

Problema 4.8.3

Se consideră sistemul din fig. 4.34.a format dintr-un disc dublu așezat pe o suprafață orizontală de raze r și R de greutate Q și momentul de inerție J. Pe circumferința discului dublu fiind înfășurat un fir inextensibil la capătul căruia se află o roata de rază r0 și greutate P prin intermediul căruia este prins un corp de greutate G ce se află pe o suprafață înclinată cu un anumit unghi față de orizontală.

Pentru sistemul din fig. 4.34.a, să se determine:

a) accelerația a;

b) tensiunile S1 și S2, precum și reacțiunea din articulația O;

c) coeficientul de frecare de alunecare μ3.

Rezolvare

a) Se numerotează corpurile, începând de la cel de greutate G, a cărui mișcare se cere.

Analiza cinematică, împreună cu calculul energiei cinetice, este prezentată în tabelul următor.

Energia cinetică a întregului sistem este:

,

în care s-a notat masa redusă

Lucrul mecanic efectuat de forțele care acționează asupra sistemului este:

,

unde s-a notat forța redusă

Aplicând teorema energiei cinetice sau , se obține, prin derivare în raport cu timpul:

;

b) izolând corpul 1 rezultă, aplicând teorema impulsului,

Izolând corpul 2 (fig.4.34.b) rezultă, aplicând teorema momentului cinetic,

iar apoi teorema impulsului,

,

c) Izolând corpul 3 rezultă, aplicând teorema impulsului,

Din condiția de frecare de alunecare, se obține , unde

4.9. Probleme propuse

Problema 4.9.1

Pentru sistemul din fig. 4.35, să se determine:

a) accelerația a;

b) tensiunile S1 și S2 din fire, precum și reacțiunea din articulația O;

c) coeficientul de frecare de alunecare μ1.

Problema 4.9.2

Se consideră sistemul de corpuri din figura fig. 4.36 a format dintr-un disc de greutate P și rază R0, disc ce este articulat in punctul O. Pe circumferința discului este trecut un fir inextensibil de care la unul din capete este atârnat un corp de greutate G iar la celălalt capăt se află un troliu având razele R și r, greutate Q ce se rostogolește fără alunecare pe un plan înclinat cu un anumit unghi față de orizontală având momentul de inerție Jc.

Se cere să se determine:

a) accelerația unghiulara ;

b) tensiunile S1 și S2 precum și reacțiunea din articulația O;

c) coeficientul de frecare de alunecare .

Problema 4.9.3.

Pentru sistemele cu un grad de libertate de mai jos, să se determine:

a) accelerația unghiulara ;

b) tensiunile S1 și S2 precum și reacțiunea din articulația O;

c) coeficientul de frecare de alunecare

BIBLIOGRAFIE

CUPRINS

I. Cinematica 1

1.1. Noțiuni introductive 1

1.2. Cinematica punctului material 1

Traiectoria 2

Viteza 2

Accelerația 3

Viteza unghiulară 3

Accelerația unghiulară 3

1.2.1. Mișcarea punctului material în diverse sisteme de coordonate 4

1.2.2. Mișcări particulare ale punctului material 7

1.3. Probleme rezolvate 9

1.4. Probleme propuse 17

II. Cinematica rigidului. Mișcarea generală a rigidului 20

2.1. Introducere 20

2.2. Problema traiectoriilor (spațiul traiectoriilor) 20

2.3. Distribuția vitezelor 23

2.3.1. Distribuția accelerațiilor 26

2.3.2. Mișcarea de translație 27

2.3.3. Mișcarea de rotație 29

2.3.4. Mișcarea elicoidală 33

2.3.5. Mișcarea plan-paralelă 35

2.3.5.1. Metode pentru determinarea distribuției de viteze 40

2.3.5.2. Metode pentru determinarea distribuției de accelerații 41

2.3.6. Mișcarea sferică 41

2.4. Probleme rezolvate 42

2.5. Probleme propuse 55

2.6. Mișcarea relativă a punctului material 58

2.7. Probleme rezolvate 60

2.8. Probleme propuse 66

III. Dinamica punctului material 68

3.1 Noțiuni fundamentale 68

3.1.1 Lucrul mecanic 68

3.1.2. Funcția de forță 69

3.1.3. Puterea 72

3.1.4. Randamentul mecanic 72

3.1.5. Impulsul 73

3.1.6. Momentul cinetic 74

3.1.7. Energia mecanică 74

3.2. Teoreme generale în dinamica punctului material 76

3.2.1. Teorema impulsului 76

3.2.2. Teorema momentului cinetic 77

3.2.3. Teorema energiei cinetice 78

3.3 Ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului material 79

3.3.1. Generalități 79

3.3.2. Ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului material 80

IV. Dinamica sistemelor de puncte materiale și a rigidului 83

4.1. Noțiuni fundamentale 84

4.1.1. Momente de inerție mecanice 84

4.1.1.1. Definiții 84

4.1.1.2. Relații între momentele de inerție 86

4.1.1.3. Legătura dintre momentele de inerție mecanice și geometrice 86

4.1.1.4. Raza de inerție (raza de girație) 87

4.1.1.5. Variația momentelor de inerție 87

4.1.1.6. Momente de inerție principale 91

4.1.1.7. Elipsoidul de inerție 92

4.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de forțe care acționează asupra unui rigid 94

4.4.1. Cazul general 94

4.4.2. Cazuri particulare 95

4.4.3. Impulsul 96

4.4.4. Momentul cinetic 97

4.4.4.1. Cazul sistemelor de puncte 97

4.4.4.2. Cazul rigidului 97

4.4.5. Energia cinetică 103

4.4.5.1. Cazul sistemelor de punct 103

4.4.5.2. Cazul rigidului 103

4.5. Teoreme generale în dinamica sistemelor de puncte materiale și a rigidului 109

4.5.1. Teorema impulsului 109

4.5.1.1. Enunț și demonstrație 109

4.5.1.2. Teorema mișcării centrului de masă (de greutate) a unui sistem de puncte materiale sau rigid. 110

4.5.1.3. Conservarea impulsului 111

4.5.2. Teorema momentului cinetic 112

4.5.2.1. Enunț și demonstrație 112

4.5.2.2. Conservarea momentului cinetic 113

4.5.3. Teorema energiei cinetice 114

4.5.3.1. Enunț și demonstrație. 114

4.5.3.2. Cazul rigidului 116

4.5.4. Conservarea energiei mecanice 117

4.6. Probleme rezolvate 118

4.7. Probleme propuse 126

4.8. Probleme rezolvate 127

4.9. Probleme propuse 138

BIBLIOGRAFIE 141