Cinematica studiază mișcarea mecanică fără a se ține seama de mase [613545]

1

Cinematica

Cinematica studiază mișcarea mecanică fără a se ține seama de mase
și de forțe, urmărindu -se doar aspectul ei geometric. În cinematică intervin
două dintre noțiunile fundamentale ale mecanicii , și anume : spațiu și timp.
Se poate vorbi aici despre doua sisteme de referință:
 un sistem de referință fix – unde mișcarea unui corp în raport
cu acest sistem fix poartă denumirea de Mișcare Absolută .
 un sistem de referință mobil – unde mișcarea unui corp în
raport cu acest sistem mobil poartă denumirea de Mișcare
Relativă .

Mișcarea punctului material este
cunoscută dacă putem să precizăm la
orice timp poziția punctului și cum se
mișcă acesta față de un sistem de
referință.
;trr
(1.1)
Mișcarea punctului material este:
 continuă;
 uniformă;
 de clasă C 2 (finită în modul);
 presupune stabilirea traiectoriei, vitezei, a ccelerației.

2

Locul geometric al pozițiilor succesive ale punctului material în
mișcare (la vârful vectorului de poziție
r ) se numește traiectorie.
Sistem de coordonate cartezian
);t(xx
);t(yy
);t(zz
(1.2)
Sistem de coordonate cilindric
);t(rr
);t(
);t(zz
(1.3)
Dacă se cunosc coordonatele
,q,q,q3 2 1 care determina biunivoc
poziția punctului, poziția vectorului
trr echivalează cu cunoașterea
funcțiilor scalare:
;tqq,tqq,tqq3 3 2 2 1 1 
(1.4)
;tr Mt1

;ttr M dTt2

 ;r trttr 

;trvm

;ttrttrlimtrlimv
0t 0t 
 

;rdtrdv
(1.5)
;tMMlimv21
0t


;tM arcMlimM arcMMM
lim
MMMMlimv
v21
0t
12121
0t2121
0t  
  


;vv (1.6)
– viteza este un vector tangent la traiectorie :
;smv
SI


3

;ttv)tt(vam

;rvdtvd
ttv)tt(vlima
0t

(1.7)
;
sma
SI2


;t Mt1

;tt M)tt(2 

;tt )tt(
m

;dtd
tt )tt(lim
0t 

(1.8)
;srad
SI


;dtd 

;
srad
SI2
 (1.9)

4

a) Sistemul de coordonate cartezian
);t(xx
);t(yy
);t(zz

;kzjyixr
(1.10)
;kzjyixv 
(1.11)
;kzjyixa 
(1.12)
.0kji
(1.13)


;z v;y v;x v
v
zyx




;z a;y a;x a
a
zyx

;vvv v2
z2
y2
x
(1.14)
;aaa a2
z2
y2
x
(1.15)

b) Sistemul de coordonate polar
;OM)t(rr

);t(
– unghiul polar.
;0 ,rt
– ecuația analitică a traiectoriei (1.16)
;rr
(1.17)
j sini cos  
(1.18)
j cosi sin n  
(1.19)
;n)j cosi sin(j cosi sin      
(1.20)
; )j cosi (sin j sini cos n      
(1.21)
O y
x (
Γ)
r
j

i z
k

5

;nrnrv rrrv     (1.22)


;r v;r vv
n


;v v v2
n2
(1.23)
;nr rnr nrrnrnr rrra2  

;r r2n rr a2  
(1.24)


;r r2 a;rr aa
n2



;a a a2
n2
(1.25)

c) Sistemul de coordonate cilindric
);t(rr
);t(
);t(zz

În coordonate curbilinii , vectorul de poziție
r este definit ca o funcție
vectorială de trei coordonate scalare
3 2 1,,qqq independente între ele.

.,,3 21qqqrr (1.26)
Cunoașterea mișcării punctului revine la cunoașterea funcțiilor:
. , ,3 3 2 2 1 1 tqqtqqtqq 
O Y Z
1

1e
2
r

2e
3

3e
P

6

d) Sistemul de coordonate intrinseci (triedrul Frenet)
Se folosește atunci când se cunoaște traiectoria punctului.

);t(ssMMO
– ecuația
orară a mișcării (1.27)

tangențiala,

normala principală,

binormala.
;srr
– ecuația intrinsecă a
traiectoriei (1.28)
Notații:
,dsrd
,1
dsd
,1sdtds
dsd
dtd   

;sdtds
dsrd
dtrdrv   
(1.29)


;0 v;0 v;s v
v


;ss ssdtrdra2 2
 
(1.30)




;0 a;sa;s a
a2



ρ- raza de curbură a traiectoriei. O


(Γ
) M
0 s M


plan
osculator

7

;
avv3

;kzjyixv 
;kzjyixa 
;zyx v2 2 2
(1.31)

Observații :
*
sa este pozitivă dac ă viteza este crescătoare, negativă dacă
viteza este descrescătoare și zero dacă viteza este constantă.
*
 , 010v0 a2
  numai in mișcarea rectilinie.

 Mișcarea rectilinie
a) uniformă dacă se mișcă cu
ctv )
; constx vx


;vx;xx0t
00


;vdtdxvx0 0
;dtv dx0

;Ctvx0
(1.32)
b) uniform variată
;Ctax ax1 0 0 

;CtC2tax2 12
0

;vx;xx0t
00

;ata2tax0 02
0
(1.33) O x
x0 MO M x

8

 Mișcarea circulară

a) în coordonate carteziene
R,
);t(


;sinRy;cosRx

;jyixr

  
;x cosR cosRy v;y sinR sinR x vv
yx


,jy ix v 

;R yx y x v2 2 2 2  

;0rvrv 


  
;y x sin R cosRy a;x y cos R sinR x aa2 2
y2 2
x



;y x x y aa a2222 2
y2
x  

; Ra4 2

b) în coordonate polare (fig. 1.10)
;ttancons OMRr 

);t(



;r v;r vv
n



;r r2 a;rr aa
n2



;0rr
;
;

;Rv,nRv  
y
O θ M0 M
x

9

; Ra,nR R a4 2 2  

c). în coordonate intrinseci (fig. 1 .11)
,R)t(s arcMMO 

;R R sv 

; R Rssa22
 

Problema 1 .3.1.
Să se determine :
1. traiectoria, viteza și accelerația pentru un punct material ale cărui
ecuații parametrice de mișcare în coordonate carteziene sunt:
5cos2
3sin2xt
yt
  
.
2. reprezentarea grafică pentru
00t ;
11
2ts ;
22ts ;
32ts ;
44ts
.
y
O θ M0 M
x ρ n
v

a

y
O θ M0 M
x
υ τ
β s

10
Soluție
a) Traiectoria .
5cos cos2 5 2
3sin sin2 3 2xx t t
yy t t
                     

22
22153xy .
Traiectoria reprezintă o elipsă cu
centrul în C(0,0), având semiaxe
5
3x
y .
b) Viteza .
0
05sin22
3cos22x
yv x t
v y t
          

c) Accelerația .
2
25cos42
3sin42oo o
xx
oo o
yya x v t
a y v t
             

2. Reprezentarea grafică:
Timp/s
00t
11
2ts
21ts
32ts
44ts
Poziția x 5
52
2 0 –5 5
y 0
32
2 3 0 0
Viteza
vex 0
52
4
5
2 0 0
vey
3
2
32
4 0
3
2
3
2

11
Timp/s
00t
11
2ts
21ts
32ts
44ts
Accelerația
aix
25
4
252
8 0
25
4
25
4
aiy 0
232
8
23
4 0 0

Problema 1 .3.2.
Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei:
cos,01 cos2xttyt 
. Se cere:
1) traiectoria viteza și accelerație;
2) reprezentarea grafică pentru
14ts ;
22ts .
Soluție
1) Pentru aflarea traiectoriei din ecuațiile parametrice se elimină
parametrul ce depinde de timp.
2 2 21 cos 1 2cos 2y t t x    

22 , 1 ,1 ; 0,2y x x y   

 Viteza :
2 2 2sinsin 1 16cos
2sino
x
xy o
yv x tv v v v t t
v y t       
 

12
 Accelerația :
cos
4cos2oo
x
oo
ya x t
a y t 
 
2 2 4 2cos 16cos 2 32cos cos 16 a t t t t    

2. Reprezentare grafică:
Punctul:
it
ix
iy
iv
0
ix
0
iy
ia
00
ix
00
ix
A
4
2
2 1
32
2
2
2 –2
2
2
2
2 0
B
2 0 0 0 –1 0 4 0 4

13

Problema 1 .3.3.

Se consideră mecanismul de bare articulate din figura 1.16, unde
O1A = O3B = l, AB = O 1O3 = 2l,
()t ,
AM . Se cer:
a) ecuațiile parametrice ale mișcării punctului M;
b) viteza și accelerația punctului.

Soluție:
a) Pentru a afla ecuațiile parametrice ale punctului M, trebuie să
parcurgem următoarele etape:
– ne alegem un sistem de coordonate cartezian;
– scriem coordonatele punctului M (vectorul
r ).
1
2 2 2cos cos
sin
cos
cos
()M
Mx O A AM l
yl
xl
xl
x y l  



   

  

Traiectoria punctului M este cerc cu centrul în punctul C( λ,0) și rază l.

b)
sin sinoo
xv x l l     

cos cosoo
yv y l l     
Se știe că
o


vl .

14
Accelerația :
22
22sin cos sin cos
cos sin cos sino oo oo
x
o oo oo
ya x l l l l
a y l l l l       
           
    

Problema 1.3.4.

Pe semicercul din figură se ală 2 puncte materiale, P 1 și P 2. Punctele
P1 și P 2 pornesc simultan din A: unul pe diametrul AB ce are o mișcare
uniformă cu viteza v o, iar punctul P 2 pe semicerc. Punctul P 2 pleacă din
repaus și are o mișcare uniform accelerată. Cele două puncte ajung
simultan în B. Se cer:
a) ecuația orară a punctului P 1, s1(t) = ?;
b) ecuația orară a punctului P 2, s1(t) = ?;
c) viteza punctului P 2, în coordonate Frenet, v 2 = ?, la t = t B;
d) accelerația punctului P 2, în coordonate Frenet, a 2 = ?, la t = t B.

Soluție:
a)
110 1 1 0o
oodss v ct v ds v dt ds v dtt        
1 0 1s v t c

Constanta de integrare c 1 se determină din condițiile inițiale .
La
0t ,
1
0 1 1
1000o vvv c cs     . Ecuația orară este:
1 o s v t

15
b)
22oo
o s a a ct  
2
2 2 20 0 0 0 2o
o o o dsa d s a dt d s a dt s a t cdt        

2
0 2 2 0 2 2 0 2dsa t c ds a tdt c dt ds a tdt c dtdt           

2
0
2 2 32ats c t c   

Din condițiile inițiale de poziție și viteză rezultă constantele c 2 și c3:
20c
;
30c . Ecuația orară este:
2
22oats .
c) la
Btt
1
0
10 02 22;BB
Bs AB R RR v t ts v t v   .
Punctul P 2 parcurge arcul de cerc AB;
2 2 2
0 20 2 0
0 1422
2BsRat RR R a atv s
    

22
00
22
42oRv vaRR  

2
2 0
24vstR

22
0022 242o vvv s t tRR   

2
0
20
02în B2v RvvRv   
.
d)
2
0
222
2 022222 22
0 22
22
142oo vasR vaaR v svaRR



   
  

16
Problema 1.3.5.

Se consideră o bară AB care alunecă de –
a lungul a doi pereți (unul vertical și unul
orizontal) ca în figura 1.18. La distanța d față
de capătul din A se găsește un punct material
M. Capătul din A se deplasează cu
0 Av v const
.
Se cere să se determine traiectoria,
viteza și accelerația punctului M.

Soluție :
Pentru aflarea ecuațiilor parametrice ale traiectoriei în punctul M,
scriem coordonatele acestui punct care elimină timpul (t).
sin sin ( )sin
cosx l d l d
yd  
   

sin
cosx
ld
y
d


.
Prin ridicare la pătrat și adunare, obținem:
22
221()xy
l d d

Traiectoria punctului M este o elipsă cu centrul în O(0,0) și de
semiaxe
x l d și
yd .
Viteza:
( ) cosoo
xv x l d    

sinoo
yv y d  

Pentru aflarea vitezei punctului M trebuie să -l determinăm pe
o
 .
Pentru aflarea lui
o
 ne folosim de faptul că
0 Avv .
2 2
A Ax Ay Axv v v v  

17

0coscoso o o
Ax Avv x ll      .
00
00()( )coscos
)sin tgcosx
yv v l dv l dll
vvv d dll
    
  

cyv v i v j

2 2 2
32 0
22tgov l d vv v dll  
.
Accelerația:
0 0
20
1
coso oo
xx
o oo
yya v x
dva v yl   
   

2
0 0 0
2 2 31
cos cos cosv v dvdl l l   

xya a i a j

22 2
23coso
x y ydva a a al   

Problema 1.4.1.
Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei
sin
2cos2xt
yt .
Se cere:
1) traiectoria, viteza și accelerația;
2) reprezentare grafică pentru
04t ;
12t ;
2t .

18
Problema 1.4.2.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei:
cos; , ,sinx l R tlRy R t
sunt constante pozitive.
Se cere:
1) traiectoria, viteza și accelerația;
2) reprezentare grafică pentru
02t
 :
1t
 .

Problema 1.4.3.

Se consideră un cerc de rază R pe care se află două puncte
(P1, P2), care pornesc simultan din punctul M, ca în figura 1.20.
Punctul P 1 se mișcă uniform încetinit, iar punctul P 2 își păstrează
constant modulul vitezei. Punctele P 1 și P 2 se întâlnesc în B, unde P 1
se oprește.
Se cere:
a) Legea de mișcare a punctului P 1;
b) Poziția punctului B unde se oprește P 1;
c) Timpul de la începutul m ișcării până la întâlnire.

19

Problema 1.4.4.

Se consideră mecanismul bielă -manivelă din fig. 1.21, unde
O1A = R, AM = r, BM = .
Pentru cunoașterea mișcării punctului M se cere să se
determine ecuațiile parametrice ale traiectoriei, viteza și accelerația
în funcție de parametrul .

Problema 1.4.5.

Se consideră ecuațiile parametrice ale traiectoriei:
2
210 2
15 5xt
yt .
Se cere să se determine traiectoria, viteza și accelerația.

20

Cinematica rigidului .
Mișcarea generală a rigidului
Modelului de corp rigid îi corespunde în tehnică o formă geometrică
bine definită (fig. 2.1) care poate fi descrisă cu ajutorul unui sistem de
referință (ortogonal în mod curent) legat de corp.
În general , un ansamblu rigid poate fi descompus în corpurile
geometrice din care este al cătuit.
Dar, prin mișcarea mecanică se înțelege schimbarea în timp a poziției
în spațiu a unui corp în raport cu altul ales ca reper.
Așadar, studiul mișcării unui corp presupune și alegere a unui reper, a
unui sistem de referință, considerat fix.
Prin urma re pentru determinarea elementelor mișcării rigidului
(traiectorii, viteze, accelerații) este necesară alegerea a două sisteme de
referință:
 un sistem de referință (presupus) fix O,x,y,z, și
 un sistem de referință mobil O,x,y,z,O’,x’,y’,z’ solidar cu rigid ul
în mișcare.

Fie punctul curent M al rigidului care are coordonatele (x 1,y1,z1) față
de sistemul de referință fie și coordonatele (x,y,z) față de sistemul de
referință mobil.
Ca urmare pentru vectorii din relația:
rrr 0 1
(2.1)
se poate scrie:
11 11111 kzjyixr 
;
10 10100 kzjyixr  și
kzjyixr
(2.2)

21
Dacă (i,i,i) sunt cosinuși directori ai axelor sistemului de referință
mobil față de cel fix , adică:
),cos( 11 ii
;
),cos(1 1 ji ;
),cos( 11 ki
), cos( 12 ij
;
), cos(1 2 jj ;
), cos( 12 kj
), cos( 13 ik
;
), cos(1 3 jk ;
), cos( 13 kk (2.3)
Atunci:
11 1111 k j i i  

12 1212 k j i j  
(2.4)
13 1313 k j i k  

Dacă se înlocuiesc relațiile
(2.4) și (2 .5) în ( 2.1) rezultă prin
identificarea coeficienților lui
11,ji și
1k
:
x1 = x0 + 1x + 2y + 3z
y1 = y0+1x+2y+3z (2.5)
z1 = z0 + 1 x +2y + 3z

Se folosesc următoarele
notații matriciale:







111
1
zyx
r
;






000
0
zyx
r ;






zyx
r (2.6)






3 2 13 2 12 1 3

R
(2.7)
x y z
),,(),,(
111zyxzyxM
x1 y1 z1
O
O1
r
1r
0r

i

j
k

22
Cu [R] s -a notat matricea rotațiilor sistemului de referință mobil față
de cel fix.
Cu aceste notații relația vectorială ( 2.1), respectiv ecuațiile ( 2.5), se
scriu:
{r1}= {r 0}+[R]{r} (2.8)
Relația ( 2.8) rezolvă problema traiectoriilor dacă se cunoaște legea
de mișcare a originii sistemului de referință mobil față d e cel fix, adică
funcțiile x 0(t), y 0(t), z 0(t) și legile de variații ale cosinușilor directori, adică
funcțiile i(t), i(t), i(t); i =1,2,3.

Observație:
Relația ( 2.8) se mai poate pune și sub forma:
 


rr
RIr0
100
(2.9)
unde I – este matricea unitate

Sau într-o reprezentare în coordonate omogene sub forma:

















11 000 10 3 2 10 3 2 10 3 2 1
321
zyx
zyx
zyx


Sau:
















11 0 11 rT R r
(2.10)

23

Viteza unui punct curent M al rigidului față de triedrul fix T 1 rezultă
prin derivarea relației ( 2.10):

 rrrv0 1
(2.14)
unde: –

1r este viteza punctului față de sistemul de referință fix;
–
00vr – reprezintă viteza originii sistemului de referință
mobil față de cel fix. Adică:
00 0000 00 kzjyixrv 

(2.15)
Pentru calculul lui

r se are în vedere că x,y,z, coordonatele punctului
M, în raport cu sistemul de referință mobil sunt constante, deci
0
zyx
. Așadar:

 kzjyixr
(2.16)

kji,,
sunt derivatele unor versori, adică ai unor vectori de mărime
unitate și de direcție variabilă care , așa cum s -a văzut în cazul coordonatelor
polare , sunt noi vectori rotiți cu
2 în sensul de variație al unghiului lor de
poziție.
Dacă se are în vedere că proiecția unui vector
v pe o axă  de
versor
u este dată de produsul scalar
uv , atunci pentru

ji, și

k se
poate scrie:
kkijjiiiii )()()(   

kkjjjjiijj )()()(   
(2.17)
kkkjjkiikk )()()(   

24
Sau:















      

kji
kkjkikkj jj ijki ji ii
kji
)()()()()()()()()(
(2.18)

Din relațiile ( 2.3) și ( 2.4) prin derivare rezultă că:
0 2
ii
;
0 2
jj ;
0 2
kk (2.19)
0
jiji
;
0 
kjkj ;
0
ikik (2.20)
Din relațiile ( 2.19) rezultă că proiecțiile care apar în matricea pătrată
pe diagonala principală sunt nule. Din relațiile ( 2.20) rezultă celelalte
proiecții pe care le vom nota cu:
x kj kj  
;
y ikik  ;
z jiji   (2.21)
Cu aceste relații ( 2.18) se scrie:
















kji
kji
x yx zy z
000
 
(2.22)
Atunci:
k j iy z
;
k i jx z ;
j i kx y (2.23)

Dacă se interpretează scalarii x,y,z drept componentele unui
vector
 :
k j iz y x 

Rezultă că:

25

i i
;
j j
 ;
k k
 (2.24)
deoarece
k jkj i
iy z z y x  





0 0 1

În mod analog se verifică și celelalte relații ( 2.24). Relațiile ( 2.24) se
numesc formulele lui Poisson .

Cu aceasta rezultă că ( 2.16) se scrie:
( ) ( ) ( )
()r x i y j z k xi y j zk
xi y j zk     

            
   

Adică:
r vr
 0
(2.25)
Prin urmare relația ( 2.15) se scrie:
r vv 0
(2.26)

Această relație dă distribuția de viteze în mișcarea generală a
rigidului și este cunoscută sub numele de formula lui Euler pentru
distribuția de viteze.
Formula lui Euler poate fi scrisă matricial astfel:
r v v
^
0
(2.27)
Sau dezvoltat :




















zyx
vvv
vvv
x yx zy z
ozoyox
zyx
000
 
(2.28)
Unde
ˆ este matricea antisimetrică atașată vectorului
 .

26

Dacă se derivează relația ( 2.27) în raport cu timpul , se obține
accelerația unui punct curent al acestuia, adică:
 
 r r v a 0

) ( 0 r r vva 

(2.29)
Unde: –
0 0a v este accelerația originii sistemului de referință mobil.
–
 este accelerația unghiulară
Deoarece
r r
 rezultă că relația (29) se scrie:
) ( 0 r r aa  
(2.30)
Relația ( 2.30) se numește formula lui Rivals pentru distribuția de
accelerații în mișcarea generală a rigidului.
Relația ( 2.30) mai poate fi scrisă matricial sub forma:
r r a a2^ ^
0 

 

 r a a





2^ ^
0 
(2.31)
Unde

^
 și

^
 sunt matricele antisimetrice atașate vectorilor
 și
.
Relația ( 2.32) dezvoltată capătă forma:
22
22
220 ( )
0 ( )
0 ( )x ox z y y z x y x z
y oy z x y x x z y z
z oz y x z x z y x ya a x
a a y
a a z     
     
                                                         
(2.32)

27

Un rigid are mișcare de translație dacă o dreaptă oarecare a lui
rămâne paralelă cu ea însăși tot timpul mișcării.
Pot fi translații rectilinii, circulare și oarecare (alte mișcări)
;kzjyixr10 10 10 0 

Un rigid în mișcare de translație în spațiu are trei grade de libertate,
poziția lui fiind determinată de trei funcții scalare independente:
tx0 ,
ty0
,
tz0 . Cum sistemele fix și mobil au fost alese cu axele paralele ,
rezultă că versorii
i ,
j,
k au direcții fixe.

,vr0 0
,ar0 0





.0k k,0j j,0i i



va rezulta că:
0, 0 . y1
O1 y z
x z
1
1i

1j
1k
0r
O
i

k
j

x1 M
1r

r

28
a) Studiul vitezelor
Plecând de la formula generală:
,r vv0

și ținând seama de relațiile
0 și
0 , se obține formula
distribuției de viteze în mișcarea de translație:
.vv0
(2.33)
adică, la un moment dat , toate punctele au aceeași viteză ca vector
liber.
În mișcarea de translație , vectorul viteză este un vector liber.

b) Studiul accelerațiilor
Pornind de la formula generală:
r r aa0  
.
și ținând seama de relațiile
0 și
0 , se obține formula
distribuți ei de accelerații în mișcarea de translație:

.aa0 (2.34)
adică, la un moment dat , toate punctele rigidului au aceeași
accelerație ca vector, care este prin urmare în această mișcare un vector
liber (fig . 2.3).

A
B A1
B1
Av
A Bv v

1Av
1A 1Bv v

29

Un rigid are mișcare de
rotație dacă două puncte ale
lui rămân fixe tot timpul
mișcării. Cele două puncte fixe
definesc axa mișcării de
rotație.
);t(

Problema traiectoriei
,0r0

;rR r1

 ,
1 0 00 cos sin0 sin cos
R




 

,
zyx
1 0 00 cos sin0 sin cos
zyx
111


















, constzz,cosy sinxy,siny cosxx
111

-ec. parametrice ale traiectoriei (2.35)

Distribuția de viteze și accelerații
,0 a vO O





, ji, ik, kj
zyx


x x1 y
y1
z1
  O
1 O
2 d PI P
j

1j

1i
i

1kk
r z=z1

30



,kk,j cosi sinj,j sini cosi
11 11 1
 (2.36)
 
 




0kk,i j sini cos j sin i cos j,j j cosi sin j cos i sin i
11 1 1 11 1 1 1
      

(2.37)




,jj ji,0ik,0ki kj
zyx
 

(2.38)
Vectorii
 și
 se scriu:
,k k
(2.39)
,k k
(2.40)
În mișcarea de rotație vectorul
 are direcția axei de rotație , la fel și

, ei sunt vectori alunecători.

a) Distribuția de viteze
,r r vv
00  
(2.41)
 ,d MM sinr r, sinr v    
(2.42)
),r,(v

,jx iy
zyx00kji
r vz    
(2.43)


;0v;y v;x v
v
zyx


31

:

 singurele puncte de viteză nulă se găsesc pe axa de rotație.
 vectorul viteză se găsește într -un plan perpendicu lar pe axa de
rotație.
 pe o dreaptă paralelă cu axa de rotație vitezele sunt egale între ele.
 pe o dreaptă perpendiculară pe axa de mișcării de rota ție, vitezele
variază proporțional cu distanțele de la punct la axa de rotație.

b) Distribuția de accelerații

,r r r r aa
00  
(2.44)
,jy x ix y
00 0kj i
zyx00kji
a2 2
x y
    
(2.45)


;0a;y x a;x y a
a
z2
y2
x


z
Z

O
y
x A
1 A
2 A
3
/
2A
//
2A
3Av

2Av
1Av
/
2Av
//
2Av
Fig. 3.21

32

 singurele puncte de accelerație nulă se găsesc pe axa de rotație.
,02 4
22
 

 vectorii accelerație se găsesc într -un plan perpendicular pe axa de
rotație.
 pe o dreaptă paralelă cu axa de rotație accelerațiile au aceeași
valoare.
 pe o dreaptă perpendiculară pe axa mișcării de rotație, accelerația
variază proporțional cu distanța de la punct la axa de rotație.

Observații :
 mișcarea de rotație este uniformă dacă
const .
 mișcarea de rotație este uniform variată dacă
const .
 mișcarea de rotație este variată dacă
const .
 turația
minrotn ; viteza unghiulara când se cunoaște turați a se
determina astfel:
.30n
60n2
(2.46) O z
y

x A
1 A
2 A
3
/
2A
//
2A


3Aa

2Aa
1Aa
/
2Aa
//
2Aa
Fig. 3.22

xa

ya 

33

Un rigid are mișcare elicoidală dacă două puncte ale sale se găsesc
tot timpul mișcări pe o dreaptă fixă din spațiu numită axa mișcării
elicoidale.

;z OO0 1
);t(

);t(zz0 0

Problema traiectoriei
,kzr0 0

 ,
1 0 00 cos sin0 sin cos
R




 

,
zyx
1 0 00 cos sin0 sin cos
z00
zyx
0 111























,zzz,cosy sinxy,siny cosxx
0 111

(2.47)
Distribuția de viteze și accelerații

,kakz a,kvkz v
0 0 O0 0 O


,k k

,k k

x
x
1 y
y
1
z1
 
O
1 O
2 P
j

1j

1i

i
1k

k z=z
1

34

Distribuția de viteze
,kvjx iy
zyx00kji
kvr vvOz z0 0    
(2.48)


,v v,y v,x v
v
Oz zyx


Proprietăți
 în mișcarea elicoidală nu există puncte de viteză nulă.
 punctele de viteză minimă se găsesc pe axa mișcării elicoidale.
 pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale , vitezele au aceeași
valoare.
 pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale , vitezele variază
liniar.

b) Distribuția de accelerații
 ,
00 0kj i
zyx00kji
kar r aa
x yz0 0
  
 
(2.49)
,jy x ix y kza2 2
0  
(2.51)


;za;y x a;x y a
a
0 z2
y2
x


Proprietăți:
 în mișcarea elicoidală nu există puncte de accelerație nulă.
 punctele de accelerație minimă se găsesc pe axa mișcării elicoidale.
 pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale , accelerațiile au
aceeași valoare.
 pe o dreaptă paralelă cu axa mișcării elicoidale , accelerațiile variază
liniar.

35

Caz particular – mișcarea de șurub
Un rigid în mișcare elicoidală are mișcare de șurub dacă sunt
îndeplinite condițiile:
,C z0
(C→constantă) (2.50)
Rigidul are un grad de libertate și dacă la o rotație completă în jurul
lui (∆) rigidul se deplasează pe (∆) cu un pas:
.2Cp
(2.51)

Un rigid are mișcare plan paralelă dacă trei puncte ale sale,
necoliniare rămân tot timpul mișcării într -un plan fix.

);t(x x0 0

);t(y y0 0

);t(
y1
O1 y z
x z1
1i

1j
1k
O
i
k
j
x1 M
1r

r

0r

θ θ

36

Problema traiectoriei
;rR r r0 1

 ,
1 0 00 cos sin0 sin cos
R




 
,
zyx
1 0 00 cos sin0 sin cos
0yx
zyx
00
111























, constzz,cosy sinxyy,siny cosxxx
10 10 1

(2.52)

Distribuția de viteze și accelerații

,jaia a,jviv v
y0 x0 Oy0 x0 O

,k k

,k k

a)

0 0 0
0000
,xy
xyi j k
v v r v i v j
x y z
v y i v x j
      
     
(2.53)


,0v,y v v,x v v
v
zy0 yx0 x


37
y1
O1 y
x
O
x1 M
1r

r I
Proprietăți:
 în mișcarea plan parale lă există puncte de viteză nulă; ele se găsesc
pe o dreaptă perpendiculară pe planul mișcării. Punctul de viteză
nulă din planul mișcării se numește C.I.R (centrul instantaneu de
rotație) sau polul vitezelor și se notează cu I (ξ,η,ζ ).







,atminerdetne,v,v
,0y v,0x vx0y0
y0x0


(2.54)
 distribuția de vite ze în mișcarea plan paralelă este identică cu cea
din mișcarea de rotație , ca și cum rigidul s -ar roti în jurul CIR -ului.

,OM v v0 M

,IMOI OM

),IMOI( v v0 M 
,IM OI v v
IV0 M  

,IM v v
0I M

,IM vM

Se numește BAZĂ – locul geometric al centrului instantaneu de
rotație față de sistemul de referință fix.
Se numește ROSTOGOLITOARE – locul geometric al centrului
instantaneu de rotație față de sistemul de referință mobil.

38

,vy0

,vx0


Baza și rostogolitoarea
sunt tangente în centrul
instantaneu de rotație iar
rostogolitoarea se rostogolește
fără să alunece peste bază.

b) Distribuția de accelerații
 ,
00 0kj i
zyx00kji
jaiar r aa
x yy0 x0 0
  
 
(2.55)
  ,jy x aix y aa2
Oy2
Ox   
(2.56)


;0a;y x a a;x y a a
a
z2
Oy y2
Ox x


Proprietăți:

 în mișcarea plan paralelă există puncte de accelerație nulă. Punctul
de accelerație nulă se numește polul ac celerațiilor sau centrul
instantaneu al accelera țiilor, notat cu J (u,v).
y1
O1 y
O
x1 I(ξ,η)
1r

r
0r
θ x

39

,0x y a2
Ox 

,0y x a2
Oy 

,02 4
22
 

, a aaa
Oy2
Ox 2
OyOx
u 

,0 a aaa
Ox2
Oy
OyOx2
v  

,a au2 4Oy2
Ox


(2.57)
,a av2 4Ox2
Oy


(2.58)
 distribuția de accelerații în mișcarea plan paralelă este identică cu
cea din mișcarea de rotație ca și cum rigidul s -ar roti în jurul polului
accelerațiilor.

,OM OM a a0 M  

,JM OJ OM

,JMOJ JMOJ a a0 M   

 ,JM JM OJ OJ a a
Ja0 M    

,JM JM a a
0J M  
(2.59)
y
1
O1 y
x
O
x
1 M
r
J

40

a) Metoda CIR -ului
Metodă grafoanalitică ce se bazează
pe proprietatea că distribuția de viteză
arată ca o mișcare de rotație în jurul CIR –
ului.
Necesit ăți:
– să se cunoască mecanismul la
scară (k e).
– să se cunoască viteza unui punct
al rigidului ca vector.
– să se cunoască direcția vitezei
unui alt punct al rigidului.
,IAvA

,IBIAvIB vA
B 
,IMIAvIM vA
M 

b) Metoda ecuațiilor vectoriale și a planului vitezelor
,AB v vA B
(2.60)
BAv AB
→ viteza lui B față de A ca
și cum A ar fi fix.
,AB vBA

)AB, sin(AB vBA  

Planul vitezelor
Planul vitezelor se construiește ducând vectori echipolenți cu vectorii
viteză ai punctelor rigidului dintr -un pol numit polul vitezelor.
I direcția lui
Bv
A M
Mv

ω B
Av

A
Av

B

41

Metoda ecuațiilor vectoriale și a planului accelerațiilor
,AB AB aaA B  

,a ABBA

,AB aBA
 ,a AB AB AB ABAB2  

,a aa aAB BA A B
(2.61)

Un rigid are mișcare sferică dacă un punct al lui rămâne fix.

);t(
– unghi de nutație,
);t(
– unghi de rotație proprie,
);t(
– unghi de precesie
,0r0

;rR r1
y1 y z
x z
1
x1 O=O 1 y1 O=O
1 y z
x z
1
ψ




x1
M
φ θ

42
a) Distribuția de viteze
,r v

b) Distribuția de accelerații
,r r a  

Problema 2.4.1.

Se consideră placa dreptunghiulară
OABC unde OA = BC = 3 m , AB = OC =
4 m, care se rotește în planul său, în
jurul punctului O cu turația n 120
rot/min.
Se cere să se determine viteza și
accelerația punctelor A, B, C, M.

Soluție :
Metoda I:
120430 30n   .

3 4 12Av OA      
m/s.
5 4 20Bv OB      
m/s.
4 4 14Cv OC      
m/s.
4 2,5 4 102MOBv OM         
m/s.
2 2 2
2 16 3 48
0A
A A Ao
Am a OAsa a a
a OA OA

  
   

   

0o

( = const.)

Toate punctele considerate au numai accelerație normală, deoarece
 = const.

43

2 2 2
2 16 5 8BBm a a OBs      

2 2 2
2 16 4 64CCm a a OCs      

2
2 42B
MMam aas   

Problema 2.4. 2.

Se consideră rigidul din figura 2.19, la
care se cunosc dimensiunile: OA = AB = 2l; O’B
= O’C =
2l care se rotește cu viteza unghiulară
0;0tt
.
Se cere distribuția de viteze și accelerații.

Soluție :
02Av OA l t  

0 22Bv OB l t  

05ACv OC l t  

2 2 2
02
2A
o A A A
Aoa OA t l
a a a
a OA OA l


    

    

222 4 4 2 2 2 4
0 0 0 04 4 2 1A A Aa a a l t l l t         
.

2 2 2
0
022
22B
B B B
Ba OB t la a a
a OB l


  
   

2 2 2
0
05
5C
C C C
Ca OC t la a a
a OC l


  
   

44

distribuția de viteze
distribuția de accelerații

Problema 2.4.3.

Paralelipipedul OABCDEFH din fig.
2.21, de laturi OA = 0,1 m, OC = 2 m,
OD = 0,3 m, se rotește în jurul diagonalei
OF după legea
214
2t .
Se cere să se determine vitezele și
accelerațiile punctelor A, B, C, D, E, G.
Soluție :
Pentru determinarea vitezelor se
utilizează formula lui Euler:
0 Av v OA   .
114o
ts

12 2 20,1 0,2 0,31 14
0,1 0,2 0,3OFOF l j kutOF     


0,1 0,2 0,314 2 3
0,14l j kt t l j k   
–
00v
(deoarece punctul O se află pe axa de rotație)

45

2 3 0,3 0,2
0,1 0 0Al j k
m v OA t t t tl tks      
2 3 0,6 0,3
0,1 0,2 0Bl j k
m v OB t t t tl t js      

2 3 0,6 0,2
0 0,2 0Cl j k
m v OC t t t tl tks      

2 3 0,6 0,3
0 0 0,3Dl j k
m v OD t t t tl t js      

2 3 0,3 0,2
0 0,2 0,3El j k
m v OE t t t t j tks      

2 3 0,6 0,2
0,1 0 0,3Gl j k
m v OG t t t tl tks      

Pentru determinarea accelerațiilor se folosește formula lui Rivals.
 0 Aa a OA OA       

00a
(deoarece punctul O se află pe axa de rotație)
A OA OA v   
.
214o
s 

0,1 0,2 0,314 2 3
0,14OFOF i j ku i j kOF        
.

46

2 2 21 2 3 2 3 1,3 0,2 0,3 0,3 0,2
0,1 0 0 0 0,3 0,2Ai j k i j k
a t t t t j t k t
tt      

 0 Ba a OB OB       

2 2 21 2 3 2 3 0,9 0,6 0,3 1,8 1,5
0,1 0,2 0 0,6 0,3 0Bi j k i j k
a t t t i t j t t k
tt      

 0 Ca a OC OC       

2 2 21 2 3 2 3 0,4 0,6 2 1,2 0,2
0 0,2 0 0,6 0 0,2Ci j k i j k
a t t t i t t j k t
tt      


 0 Da a OD OD       

2 2 21 2 3 2 3 0,9 0,6 1,8 0,3 1,5
0 0 0,3 0,6 0,3 0Di j k i j k
a t t t i t j t t k
tt      


 0 Ea a OE OE       

2 2 21 2 3 2 3 1,3 0,2 0,3 0,2 0,3
0 0,2 0,3 0 0,3 0,2Ei j k i j k
a t t t t i j t k t
tt      


 0 GEa a OG OG       

2 2 21 2 3 2 3 0,6 0,4 2 1,2 0,2
0,1 0 0,3 0,6 0 0,2Gi j k i j k
a t t t i t t j k t
tt      


47

Problema 2.4.4.

Pentru bara din figura
2.22, care rămâne tangentă
la cercul de rază r, iar
capătul O 2 alunecă pe
tangenta orizontală a
cercului, se cer baza și
rostogolirea mișcării.

Proiectând punctul I pe axele fixe (O 2x1y1) obținem ecuațiile
parametrice ale bazei.
12
12ctg
ctg
cos 22x O O r
ry O I


     

1
1 2cos
sin
2sinrx
ry




Eliminând parametrul  rezultă ecuația bazei:
22
1120x ry r  

48
Proiectând punctul I pe axele mobile, obținem ecuațiile parametrice
ale rostogolitoarei:
2
21 2
1cossin2sin
coscossinrx O C x
ry IC x
  
  

Eliminând parametrul  se obține ecuația rostogolitoarei:
222y rx r
.

Problema 2.4.5.

Se consideră un mecanism format din 5 elemente articulate între ele
ca în figura 2.23. Știm toate elementele geometrice (lungimi si unghiuri ) și,
ca elementul conduc ător, OA se mi șcă după legea ω = ω 0 =cost.
Se cer: Distribu ția de viteze și accelera ții, folosind metoda planului de
viteze și a planului de accelera ții.

Soluție :
Elementul 1 are mișcare de rotație, elementul 2 are mișcare plan –
paralelă, elementul 3 are mișc are de rotație, elementul 4 are mișcare plan –
paralelă, elementul 5 are mișcare de translație. (fig.2.24.a,b)

 apkap OAvv v vA  ;
a av
A kap OA a '2

BABA A
BOB vv v
 
3
;

49

 bpkbp vv v v B ;
 abkab vv BA

vbcp BCO3

B C
BCvBOCOvBOCO
vv
33
33
;

DCDC C
xxD vv v

'||

  dpkdp vcpkcp vv v v D v v v C 
;

BAab
BAkab
BAvv BA2


3 3 33BObp
BOkbp
BOvv v v B

05

04

50

3||
03 03 03
0 || 3 03BA
BOv
B A BA BA
BA BA
v
B B B
BO Ba a a a
a a a a


  
 
  



 

 
'2
2 1 1
'
1 ' 1
1 1 2
2 ' '
3 3 3 2 0 2 3 2 2
''23 2
35
3 3 3' '; ' ' ;
''; ;
;
;0v
B a a a BA a
aBA
BA a
v
BO a a BO a
aBOa p b k p b a BA a n k a n
n b k a n ba n b k n bBA BA BA
a BO p n k p n a n b k n b
n b k a nb
BO BO BO





    

        

   
|| ' ||
DCv
D C DC DC
xx DC DCa a a a
   

  
33
3 2 3
4 3 3 4' '; ' ; ' ';
' '' ' ;C D DCa a a a a a a
va DCDCaa p c k p c a p d k p d a n d k n d
n d k a n da DC c n k c nDC DC DC

     
     

Problema 2.4. 6.

Date: ω = ct; toate elementele geometrice. (fig. 2.25a )
Se cer:
Av
;
Bv;
Cv;
Dv; ω2; ω3; ω4 = ?
Aa
;
Ba;
Ca;
Daε2; ε3; ε4 = ?

51

Soluți e:
Elementul 1 are mișcare de rotație, elementul 2 are mișcare plan –
paralelă, elementul 3 are mișcare de rotație, elementul 4 are mișcare plan –
paralelă, elementul 5 are mișcare de translație.

 apkap OAvv v v A 

 bpkbp vv v v B 

 cpkcp vv v v C 

 dpkdp vv v v D 

52


BAab
BAkabVv
BA 


CAac
CAkacVv
CA 


CBbc
CBkbcVv
CB 


DCcd
DCkcdVv
DC 


BABA A
BOB vv v
 
3


 


CBCB B CCACA A C
vv vvv v


DCDC C
xxD vv v

'||

CBv
CAv
BAab
BAvCB CA BA2 ;


3 3 33BObp
BOkbp
BOvv v v B


DCcd
DCkcd
DCvv DC4

 ' '2apkap OAaaa a av
A A 

53

3||
03 03
|| 3 03BA
BOv
B A BA BA
BA BA
v
B B B
BO Ba a a a
a a a


  
 




 

 
2
2 1 1
1 ' 1
1 1 2
2 ' '
3 3 3 2 0 2 3 2 2
''23 2
3
3 3 3' '; ' ' ;
' ''; ;
;
;v
B a a a BA a
r
a BA
BA a
v
BO a a BO a
aBOa p b k p b a BA a n k a n
a n k a a na n b k n bBA BA BA
a BO p n k p n a n b k n b
n b k a nb
BO BO BO




    
        

  

||
||CA
CBv
C A CA CA
CA CA
vr
C B CB CB
CB CBa a a a
a a a a


  
 
  



 

 
2
2 3 3
3 ' 3
2 3 2
2 ' '
2 4 2 4 4
''
44
2' '; ' ' ;
' ''; ;
' ' ;v
C a a a CB a
a r CA
CA a
v
CB a CB a
aCB CA BAa p c k p c a CA a n k a n
n c k a n ca n c k n cCA CA CA
a CB b n k b n a n c k n c
n c k aa n c a
CB CB CB BA CA

 


    
        

    

54



DCDC
DCv
DC C
xxD a a a a
CD

|| '||

 ' ' dpkdp aa a a D 

S a Sv
DC ncknc DC a ' '2
4 
;

 ' ' dnkdn aS a S DC 


DCdn
DCkdn
DCaS a S DC ' '
4  


55

Problema 2.5.1.

Paralelipipedul OABCDEFG din figura
2.26 se rotește în jurul laturii OE după
legea de variație
2radts . Se cunosc
laturile paralelipipedului OA = 0,1 m;
OC = 0,2 m, OE = 0,3 m.
Se cere să se determine:
a)  = ? pentru t = 2s;
b)  = ? pentru t = 2s;
c) distribuția de viteze pentru t = 2s.
d) distribuția de accelerație pentru
t = 2s.

Problema 2.5. 2.

Se consideră mecanismul format din două bare articulate de lungimi
O1A = l și AB = 2 l (fig. 2.24), care se mișcă în plan, pozițiile lor la un
moment dat fiind date de parametrii  și . Se cere să se determine
vitezele și accelerațiile punctelor A și B la momentul dat de parametrii
 și .

56

Problema 2.5.3.

Se consideră un mecanism plan format din patru bare articulate
(fig. 2.25). Se cunosc toate elementele geometrice (dimensiuni și unghiuri),
precum și viteza elementului conducător
1 0 0 , 0t   .
Se cere să se determine distribuția de viteze și accelerații.

Problema 2.5. 4.

Se dă mecanismul din figura 2.29 pentru care se cunosc dimensiunile
mecanismului, poziția acestuia și mișcarea elementului conducător: ω 1 =
constant.

5 4
3 2 1
B O1
O3 C A
D x’ x ω

57
Se cer:
a) Distribuția de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotație (se
vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului și vitez ele unghiulare
ale elementelor);
b) Distribuția de viteze cu metoda planului de viteze ;
c) Distribuția de accelera ții cu metoda planului de accelera ții.

Problema 2.5. 5.

Se dă mecanismul din figura 2.30 pentru care se cunosc dimensiunile
mecanismului, poziția acestuia și mișcarea elementul ui conducător: ω 1 =
constant.

Se cer:
a) Distribuția de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotație (se
vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului și vitez ele unghiulare
ale elementelor);
b) Distribuția de viteze cu metoda planului de viteze ;
c) Distribuția de accelerații cu metoda planului de accelerații .

2
3 1 4
5 O1 O3 C B A
x’ x ω1 D

58

;rrr0 1
(2.62)
Mișcarea Absolută –
mișcarea punctului fată de
sistemul de referință fix,
traiectorie, viteză, accelerație.
Mișcarea Relativă –
mișcarea punctului față de
sistemul de referință mobil,
traiectorie, viteză, accelerație.
Mișcarea de Transport –
mișcarea punctului solidarizat cu
sistemul de referință mobil,
viteză, accelerație.

Derivata absolută sau
locală a unui vector

,kujuiuuz y x
(2.63)
,kujuiukujuiudtud
z y x z y x 

,utu
dtud
(2.64)

– viteza unghiulară a sistemului
de referință mobil.
y1 O1 (S.R.M) y z
x z
1
O (S.R.F)
x1
1r
r
0r

1i

1j
1k
i
k
j
y1 z1
x1 O1 z

y
x O
u

59

,kujuiudtud
z y x
absolutaderivata

( ) ( ) ( )
( ) ,x y z x y z
x y zu i u j u k u i u j u k
u i u j u k u  
        
     

Observații :



) translatie..de.. miscare..(0u//0u

,t dtd
0
derivata absolută și relative a vectorului
 este
identică.

Compunerea vitezelor și accelerațiilor în mișcarea relativă a
punctului
,rrr0 1

,rrr0 1

,vra 1
,vr0 0
,rtrr
(2.65)
,trr v v0 a
(2.66)
,vr vt 0
(2.67)
,vtr
r
(2.68)
,vv vt r a
(2.69)
,tr
dtdr r vr0 1 



   
(2.70)

60

,ara 1
,av0 0
,
,tr
trrtrr aa22
0 a


  

 ,tr2trr r aa22
0 a  
(2.71)
 ,ar r at 0  
(2.72)
,atr
r 22

(2.73)
,a v 2tr2c r
(2.74)
ca
– accelerația Coriolis, complementară
,aaaac t r a
(2.75)

Problema 2.7.1.

Se consideră o culisă M care se deplasează
pe cadrul OAB după legea
22 AB s t . În
același timp cadrul se rotește în jurul punctului O
după legea
21t . Se cere să se determine
viteza absolută și accelerația absolută pentru
culisa M.
Soluție :
a r rv v v .
Mișcarea relativă : este reprezentată de mișcarea culisei. Ea este o
mișcare rectilinie după legea
22st .
Mișcarea de transport : este reprezentată de mișcarea culisei
împreună cu cadrul, dacă încetează mișcarea relativă, deci
este o mișcare circ ulară după legea
21t , pe cercul de
rază
2 2 2 2OM OA AM a s   

61
Calculul vitezei absolute:
4o
rv s t

2424o
tv OM OM t a t    
;
222 cosa r t r t r tv v v v v v v  

2 2 2 4 2 216 4 4 16av t t a t t a   

2 2 42 4 5 4av t t a t  

Calculul accelerației absolute:
a r t ca a a a  

24o
rm ass

2 2 2 4
2444
24o
t
t t t
ta OM t a ta a a
a OM a t


   
   

2c t rav
 2 sin ,c t r t ra v v

22 2 4 sin 162ca t t t   

Pentru a determina
mărimea accelerației, se
proiectează relația vectorială a
accelerației absolute pe cele două
axe de coordonate, ca în
fig. 2.33d.
22
a x ya a a

cos sinx t r ca a a a   

cos siny t c ra a a a   

62

Problema 2.7. 2.

Se con sideră axul vertical O 1O2 pe care se
găsește o bară sudată de el și înclinată cu
unghiul  (fig. 2.34). Pe bară se află o culisă M
ce se deplasează după legea
23st . Culisa se
rotește în jurul axei O 1O2 după legea
3rads
.
Se cere să se determine viteza absolută și
accelerația absolută pentru punctul M.

Soluție :
Mișcarea relativă este reprezentată de
mișcarea culisei M. Culisa are o traiectorie
rectilinie după legea
23st , mișcarea de
transport este reprezentată de mișcarea culisei
în jurul axului vertical O 1O2 după legea
3rads
.
Calculul vitezei absolute:
a r tv v v
;
6o
rv s t ;
223 3 sin 9 sintv MN t t      
2 2 2 4 22 cos , 36 81 sina r t r t r tv v v v v v v t t      
Calculul accelerației absolute:
a r t ca a a a  

26oo
rm ass

22
027 sin
00t
t t t
ta R t
a a aa



   

2c t rav

 2 sin , rc t r ta v v

2 3 6 sin 36 sin tt    

63

2 2 2
a ax ay aza a a a  

Pentru a determina modulul accelerației se proiectează relația
vectorială a accelerației:
sin
cosax t r
ay r
az t ca a a
aa
a a a




Problema 2.7. 3.

Un cadru dreptunghiular ABCD
(AB=DC=l) se rotește cu
ct0 , în jurul
axei lagărelor AD (fig. 2.35 ). În același timp,
pe latura CD un punct M cade liber cu
accelerația g. Se cere viteza și accelerația
punctului M.

Soluție : (fig. 2.35a)
t r a vvv
;
Cgtdtg gdt vr 
;
gtv C v tr r  0 0 0
;

64

0 l MPvt
22 2
02 2 2tg l vv vr t a 

C t r a aaaa 
;
gvar r



02
02
1MP MPal MPaar
tv
t

0 sin 2 20 gt a v aCr C

4
02 2 2 2 lg aa at r a

v
t taa

Problema 2.7. 4.

Un cadru ABCD , care are porțiunea BC semicirculară de rază R, se
rotește cu ω1=const. în jurul axei lagărelor AD, generând o sferă. În același
timp, pe porțiunea semicirculară a cadrului se mișcă un punct M, care se
rotește cu ω2=const . în jurul lui O (fig. .a ). Se cer viteza și accelerația
punctului M.

65
Mișcarea relativă este mișcarea circulară a lui M cu viteza unghiulară
ω2 pe un cerc de rază OM=R (pe cadru). Mișcarea de transport este
mișcarea lui M fixat pe cadru, adică pe un cerc de rază
t R RMO2sin sin ' 
, centrul fiind O’, cu viteza unghiulară ω1.
Mișcarea absolută este mișcarea M față de batiu.
Studiul vitezelor .
R OMvr 2 2
.
 sin '1 1 R MOvt
.
Viteza absolută
t r a vvv ,
2 2
12
22 2sin Rvv vt r a

deoarece componentele sunt perpendiculare.

Studiul accelerațiilor .
Accelerația relativă are componentele:



022
22
2


OM aR OM aa
rr
r
Accelerația de transport are componentele:


0 'sin '
12
12
1


MO aR MO aa
tt
t

Accelerația Coriolis este
r r t v v12 2  și are suportul
perpendicular pe planul cadrului, sensul din figura 9.5.b și modulul
   cos 22sin 2 , sin 221 21 R R v v art r t c   

Accelerația absolută este
c i r a aaaa  și are modulul:

t r c t r a aa aaa a 22 2 2

2 2
22
12 2
22
12 4
14
2 sin 2 cos 4 sin R
deoarece

0c t c r aaaa

66

Problema 2.8.1.
Pe cercul de rază R, care este
sudat pe o bară în prelungirea
diametrului (fig . 2.37), se rotește în
planul său față de punctul O cu viteza
unghiulară
1 0 03 , 0t   . Pe
extremitatea cercului se mișcă un
punct M după legea
002 , 0a t a .
Se cere să se determine viteza
absolută și accelerația absolută pentru
punctul M.

Problema 2.8. 2.
Pe placa dreptunghiulară din fig.
2.38, se ală un punct material m ce se
deplasează cu viteza
Mv u const .
Placa se rotește după legea
01
2t ,
00
. Se cunosc laturile dreptunghiului
OA = BC = 0,4 m și OC = AB = 0,3 m.
Se cere: viteza și accelerația absolută a punctului M.

Problema 2.8. 3.
Pe cadrul circular de rază R (fig.
2.39), se găsește un punct material ce se
deplasează pe cadru după legea
13t .
Cadrul se rotește în jurul axei O 1O2, după
legea
22rads . Se cere: viteza și
accelerația absolută pentru punctul M.

67

Problema 2. 8.4.

Un punct material se deplasează pe generatoarea conului din
fig. 2.40, du pă legea
2
01
2st ,
0const . Conul, cu unghiul la vârf 2 α, se
rotește în jurul axei sale cu viteza unghiulară
2
0 vu a t ,
00a . Se cer
viteza și accelerația absolută pentru punctul material.

68

Dinamica punctului material

Lucrul mecanic este definit ca fiind produsul dintre forța
F și
deplasarea unui punct material din poziția M0, în poziția M1 , fiind dat de de
integrala curbilinie:

101o
MMMM rdF L
(3.1)
în care
rd este deplasarea efectuată de punctul de aplicație al forței
F
în timpul elementar
dt (fig. 3.1).

Dacă forța este constantă și deplasare a punctului material este
rectilinie , atunci lucrul mecanic este:
rF L10MM
(3.2)
Forța
F este se exprimă în general în funcție de tipul t, de poziția
r
și de viteza
v a punctului în care este aplicată . Deplasarea care se

69
efectuează pe arc,
10MM , este formată din deplasări elementare MM’,
care se pot asimila cu deplasările pe corzile corespunzătoare
rd (fig. 3.1).
În acest caz de deplasare elementară, se consideră că forța
F este
constantă , iar l ucrul mecanic al forței
F pe deplasare a elementară
rd
poartă denumirea de lucrul mecanic elementar:
rdFdL
(3.3)
Dacă în relația (3.3) se înlocuiește
dr cu
vdt , în care
v este viteza
punctului material, atunci :
dt)v,Fcos(vFdtvF dL
(3.4)
Lucrul mecanic al forței
F , în deplasarea finită din M0 în M1 este
numit lucrul mecanic total sau finit , fiind determinat prin tr-o integral ă
curbilinie (3.1).
Dacă vectorii
r,v,F sunt exprimați prin proiecțiile lor pe axele unui
sistem cartezian Oxyz, atunci lucrul mecanic total va fi:
01
01()
MMM M x y zL F dx F dy F dz   

01()
MMx x y y z zF v F v F v dt  
(3.5)

Fie o funcție scalară U(x,y,z) de coordonatele punctului, cu ajutorul
căreia se pot exprima componentele forței astfel:
zUF;yUF;xUFz y x


(3.6)
În acest caz, f uncția U se nume ște funcție de forță, iar forța
F
poartă denumirea de forță conservativă și derivă din funcția de forță U.
Condițiile lui Cauchy de existență pentru funcția U sunt:
zF
xF;yF
zF;xF
yFx z z y y x





  
(3.7)

70
În consecință, forța conservativă este:

U gradUkzUjyUixUF 


(3.8)
în care operatorul
 (nabla), numit și operatorul Hamilton , este un
operator vectorial care transformă un scalar într-un vector.
În acest caz, l ucrul mecanic elementar este:
dUdzzUdyyUdxxUrdF dL 


(3.9)
iar lucrul mecanic total va fi:
B
AA B
ABAB U U dU rdF L
(3.10)
în care :
)z,y,x(U U);z,y,x(U UBB B B AA A A  
Lucrul mecanic total al unei forțe conservative depinde numai de
pozițiile inițiale și finale ale punctului, fiind independent de traiectoria
parcursă.
Printre forțele care formează câmpuri potențiale (forțe conservative)
sunt greutatea și forța elastică.
Greutatea are proiecții în sistemul cartezian Oxyz (fig. 3.2):

71

mg G;0 G;0 Gz y x 
(3.11)
Așadar :
mgzU;0yU;0xU


(3.12)
În acest caz c ondițiile lui Cauchy
(3.7) sunt îndeplinite , forța de greutate
fiind deci o forță potențială.
În cazul greutății, funcția de forță
este următoarea:
; dU mg dz
U mgz C 
 
; (3.13)
Și atunci l ucrul mecanic total LMoM efectuat
de greutate în deplasarea punctului din
poziția M0, în poziția M are expresia:
)zz(mg)C mgz(C mgz L
00 MM0

(3.14)
Dacă se consideră că suportul forței elastice are o direcție oarecare în
spațiu (fig. 3.3), atunci se poate nota că :
kz FzU;ky FyU;kx FxU
ez ey ex 
(3.15)
În acest caz c ondițiile lui Cauchy (3.7) sunt îndeplinite , rezultând că
forța elastică este o forță potențială. Atunci, f uncția de forță pentru forța
elastică este:
2 2 2 2;
22dU kx dx ky dy kz dz U
kkx y z C r C      
     
(3.16)
Lucrul mecanic total LMoM efectuat de forța elastică în deplasarea
punctului din poziția M0, în poziția M este:
2
o2 2
02
MM r r2k)Cr2k()Cr2k( L0
(3.17)

72

Puterea este definită ca fiind lucrul mecanic produs în unitatea de
timp, așadar:
tLP
(3.18)
în cazul rigidului, atunci când forța și momentul sunt constante în
timp, sau:
dtdLP
(3.19)
Atunci când forța și momentul sunt variabile.
Dacă se înlocuiește în relația lucrului mecanic elementar (3.18),
atunci:
vFdtrdFP 
(3.20)
sau
 MdtdMP
(3.21)

Lucrul mecanic Lm este produs de forțele motoare ale unei mașini.
Aceste forțe motoare produc deopotrivă forțe rezistente ale lucrului
mecanic util Lu, care reprezintă de fapt motivul pentru mașina respectivă a
fost construită, dar aceste forțe generează și un lucrul mecan ic pasiv Lp,
care este folosit pentru învingerea frecărilor.
p u m L L L
(3.22)
Randamentul mecanic se notează cu  și reprezintă raportul dintre
Lucrul mecanic util și lucrul mecanic pasiv, adică :
mu
LL
(3.23)

73
Randamentul este o mărime adimensională care indică modul în care
mașina folose ște lucrul mecanic motor.
Dacă se exprimă lucrul mecanic util în funcție de cel motor
p m u L L L
și se înlocuiește în expresia (3.23), atunci :
   1LL1
mp
(3.24)
În care :
mp
LL este coeficient ul de pierderi.
Tot din relația (3.24) se observă că întotdeauna
1 .

Definiția impulsului unui punct material M de masă m, care se mi șcă
cu viteza
,v este un vector coliniar cu
v (fig. 3.4).
Expresia impulsului este:
vmH
(3.25)
Impulsul
H mai poartă denumirea și de cantitate de mi șcare.

74

Definiția momentului cinetic în raport cu un punct fix O al unui punct
material M, care are masa m și care se deplasează c u viteza
v, reprezintă
momentul impulsului punctul M în funcție de același punct O, și anume:

vmrHr Ko 
(3.26)

Momentul cinetic
0K mai
poartă și numele de momentul
cantității de mi șcare, fiind un
vector legat, analog vectorului
moment al unei forțe în raport cu
un punct, definit în statică
(fig. 3.5).

Energia cinetică
Energia cinetică a unui punct material de masă m care are viteza
v ,
este:
2mv21E
(3.27)
Energia cinetică caracterizează mișcarea în orice moment și este o
mărime de stare, scalară și strict pozitivă.

Energia potențială
Energia potențială caracterizează capacitatea mi șcării nemecanice de
a trece într-o anumită cantitate de mi șcare mecanică.
Energia potențială derivă din funcții forță U, punându -se în evidență
în momentul în care forțele care acționează asupra punctului material sunt
forțe conservative.
În cazul în care forța conservativă
F admite o funcție de forță
U(x,y,z) , atunci energia potențială este reprezentată de funcția de forță ,
dar are sens contrar (semn minus ).
)z,y,x(U)z,y,x(V 
(3.28)

75
Pentru lucrul mecanic elementar și total al forței
F , care se
deplasează din M0 în M, se obțin expresiile:

0
00 0 0 0;
, , , ,MM
MMdL dU dV L
dV V x y z V x y z  
  
(3.29)
Semnificația funcției potențial e V(x,y,z) rezultă dacă se admite că
punctul M0(x0,y0,z0) este punct de potențial zero . În acest caz atât funcția
de forță U(x 0,y0,z0), cât și potențialul V(x0,y0,z0), sunt nule. În cazul în care
se exprimă lucrul mecanic al forței conservative
F în funcție de punctul
care se deplasează din M în M0, atunci acesta este :
z,y,xV z,y,xVz,y,xV L00 00 MM 0  
(3.30)
Energia potențială a punctului material corespunzătoare poziției
M(x,y,z) reprezintă lucrul mecanic efectuat de forța conservativă
F la
deplasarea punctului material din poziția M în poziția M0, care prin
convenție are potențialul nul.
Energia mecanică a unui punct material care este acționat de o forță
conservativă este reprezentat de suma energiei cinetice și a energiei
potențiale.

VE Ec m
(3.31)

76

Derivata în funcție de timp a impulsului unui punct material este
egală în fiecare moment cu rezultanta forțelor care acționează asupra
punctului.
Dacă se derivează în funcție de timpul impulsul , atunci rezultă:
amvmH
(3.32)
Luând în considerare legea fundamentală a dinamicii, adică
F ma ,
atunci rezultă:
FH
(3.33)
iar dacă se proiectează relația (3.33) pe axe, se obține:
z z y y x x F H;F H;F H    
(3.34)

Conservarea impulsului
Dacă în timpul mi șcării
0F (punctul este izolat sau rezultanta
este nulă) , atunci rezultă:
CH;0H
(3.35)
Se deduce de aici că impulsul se conservă, în sensul că se păstrează
în timp aceea și valoare. Constanta
C se determină din condițiile inițiale ale
problemei.
Dar se poate să se conserve în timp doar o singură componentă a
impulsului. În acest caz, , dacă
0Fx , atunci:
.C H;0 Hx x
(3.36)
în acest caz se conservă componenta impulsului după axa Ox.

77

Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în raport cu
un punct fix O, este egală cu momentul în raport cu acela și punct al
rezultantei forțelor care acționează asupra punctului material.
Derivând în raport cu timpul expresia momentului cinetic (3.26),
rezultă:

Framrvmrvmr K0   
(3.37)

Teorema momentului cinetic se deduce atunci când
Fr M0 ,
adică momentul în funcție de punctul O al rezultantei forțelor care
acționează asupra punctului material este zero:
0 0M K
(3.39)
Dacă se proiectează pe axe relația (3.39) , atunci rezultă :
z z y y x x M K;M K;M K      
(3.39)

Conservarea momentului cinetic
În cazul în care în timpul mi șcării
0 M0 , adică fie punctul este
izolat, fie momentul rezultant este nul , atunci rezultă că:
C K;0 K0 0
(3.40)
Se observă că momentul cinetic se conservă, păstrând aceea și
valoare în timp , iar c onstanta
C se determină din condițiile inițiale.
Dar este posibil să se conserve doar o singură componentă a
momentului cinetic, de exemplu dacă
0 Mx . Atunci :
C K;0 Kx x
(3.41)
În această ipoteză momentul cinetic se conservă după axa Ox.

78

Variația energiei cinetice a punctului material în intervalul de timp dt,
este egală cu lucrul mecanic elementar, efectuat de rezultanta forțelor
aplicate punctulu i în acela și interval de timp. (forma diferențială)
Ținând seama de legea fundamentală a mecanicii
amF și
diferențiind relația energiei cinetice, rezultă:
2211()22dE d mv md v mvdv
dvmvdt madr F dr dLdt   
    

Termenul din stânga reprezintă o diferențială totală exactă, în vreme
ce termenul din dreapta dL = Fxdx + Fydy + Fzdz reprezintă o diferențială
totală exactă de tip Pfaff, numai în cazul particular al forțelor conservative.
Forma diferențială a teoremei en ergiei cinetice este:
dL dE
(3.42)
Integrând rezultă forma integrală a teoremei energiei cinetice :
10MM o 1 L E E
(3.43)
Variația energiei cinetice între poziția inițială și finală a mi șcării
punctului material este egală cu lucrul mecanic total efectuat în deplasarea
finită între cele două poziții, de rezultanta forțelor aplicate punctului
material.

Conservarea energiei me canice
În cazul în care rezultanta forțelor aplicate asupra punctului material
derivă dintr -o funcție de forță, energia mecanică a punctului se conservă.
Fie teorema energiei cinetice scrisă sub formă diferențială , și fie ca
forțele să derive dintr-o funcție de forță, adică:
dUdL
(3.44)
Dacă energia potențială este V = –U, atunci dV = –dU.
Din relațiile (3.42) și (3.44) rezultă că:
0VEd;0UEd;dU dE  
(3.45)
de unde:
. constVE Em
(3.46)

79

Există două tipuri de probleme î n dinamica punctului material , și
anume problema directă și cea inversă.
Problema directă
Forțele care acționează asupra punctului material ca natură, suport,
sens, mărime se cunosc, și se cere să se stabilească mi șcarea punctului
material.
În acest caz, f orța este dată de o expresie de forma:
)r,r,t(FF 
(3.47)
Se spune că se cunoaște mișcarea atunci când se obține o relație
vectorială de tipul:
)t(rr
(3.48)
Luând în considerare l egea fundamentală a dinamicii:
Fam
(3.49)
Și știind că accelerația este
ra , conform relației (3.47) se poate
scrie că:
)r,r,t(Frm  
(3.50)
S-a obținut astfel o ecuație diferențială de ordinul doi care reprezintă
ecuația diferențială a mi șcării. Urmează proiectarea acestei ecuații
vectoriale pe axe, după care se rezolvă sub formă scalară.
Problema inversă
Se cunoa ște mi șcarea, dată de o relația (3.48) , și se cere forța
F
care produce mi șcarea. Pentru aceasta se derivează de două ori în raport
cu timpul relația (3.48) și se introduce în relația fundamentală a dinamicii
scrisă sub forma (3.50). Se obține astfel ecuația diferențială a mi șcării.
În general problema nu este univoc determinată, deoarece nu se
poate stabili și natura forței.

80

Dacă se proiectează pe un sistem de axe ales convenabil e cuația
diferențială sub formă vectorială (3.50), se ajunge, în funcție de sistemul
de coordonate, la următoarele ecuații scalare:
În sistemul de coordonate carteziene :




zyx
z zy yx x
FzmFymFxm
sau
F maF maF ma

(3.51)
În care
z y x F,F,F reprezintă proiecțiile pe axele Ox, Oy și Oz ale
rezultantei forțelor care acționează asupra punctului material;
În sistemul de coordonate naturale (triedrul Fren ét), ecuația devine :









F0FsmFsm
sau
F maF maF ma2
n
(3.52)
În care
 F,F,F reprezintă proiecțiile pe axele sistemului Fren ét
(tangenta, normala principală și binormala) ale rezultantei forțelor care
acționează asupra punctului material.
Integrarea ecuațiilor di ferențiale ale mi șcării este în general aceea și
în toate sistemele de referință.
Integrarea ecuațiilor diferențiale ale mișcării în sistemul cartezian
conform (3.51) sunt:


)z,y,x,z,y,x,t(Fzm)z,y,x,z,y,x,t(Fym)z,y,x,z,y,x,t(Fxm
zyx
   
(3.53)
Sistemul de ecuații diferențiale de ordinul doi are ca necunoscute
ecuațiile parametrice ale traiectoriei:

81



)t(zz)t(yy)t(xx (3.54)
Sistemul de ecuații diferențiale (3.53) admite un sistem unic de
soluții, altfel spus, sub acțiunea unei forțe
F date, mi șcarea efectuată de
punct este unică. Integralele generale ale sistemului (3.53) conțin șase
constante arbitrare de integrare
6 5 4 3 2 1 C,C,C,C,C,C .
Integralele generale au expresia:


)C,C,C,C,C,C,t(zz)C,C,C,C,C,C,t(yy)C,C,C,C,C,C,t(xx
6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1
(3.55)
Derivând în raport cu timpul relațiile (3.55) se obține:


)C,C,C,C,C,C,t(zz)C,C,C,C,C,C,t(yy)C,C,C,C,C,C,t(xx
6 5 4 3 2 16 5 4 3 2 16 5 4 3 2 1

(3.56)
Cu ajutorul rela țiilor (3.55) și (3.56) se pot determina constantele de
integra re
6 5 4 3 2 1 C,C,C,C,C,C punând condițiile inițiale, la t=to,
referitoare la:
– poziția inițială
000 z,y,x și viteza inițială
000 z,y,x .
Astfel , condițiile inițiale de poziție sunt:


)C,C,C,C,C,C,t(z z)C,C,C,C,C,C,t(y y)C,C,C,C,C,C,t(x x
6 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 0
(3.57)
iar condițiile inițiale de viteză sunt:


)C,C,C,C,C,C,t(z z)C,C,C,C,C,C,t(y y)C,C,C,C,C,C,t(x x
6 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 06 5 4 3 2 1 0 0

(3.58)

82
Relațiile (3.57) și (3.58) formează un sistem algebric de 6 ecuații cu
6 necunoscute
6 5 4 3 2 1 C,C,C,C,C,C . Dacă se rezolvă acest sistem se
obțin valorile constantelor de integrare în funcție de condițiile inițiale date:




)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C)z,y,x,z,y,x,t(C C
00 000 006 600 000 005 500 000 004 400 000 003 300 000 002 200 000 001 1

(3.59)
Introducând valorile constantelor de integrare din relația (3.59) în
(3.55) se obțin ecuațiile parametrice ale traiectorie i. Dacă acestea sunt
introduse în (3.56) , se vor obține componentele vitezei la un moment dat.
Soluția problemei este univocă.
Uneori obținerea soluției generale pentru sistemul (3.53) nu este
posibilă, dar se pot totuși obține integrale prime. O integrală primă este o
funcție de timpul t, vectorul
r și vectorul
r , care se reduce la o constantă
dacă care
r reprezintă o soluție a ecuației diferențiale.
Integrala primă reprezintă deci , în general, o ecuație diferențială al
cărei ordin este mai mic cu o unitate decât ecuația diferențială dată.

83

Dinamica sistemelor de puncte
materiale și a rigidului
Sistemul de puncte materiale este definit ca fiind o mulțime de n
puncte materiale în interacțiune mecanică. Deci un punct Ai de masă mi din
sistem este acționat de forța
iF , care reprezintă rezultanta forțelor
exterioare, adică forțe exercitate de corpuri din afara sistemului studiat,
precum și de forțe interioare
ijF , care reprezintă acțiunea celorlalte puncte
din sistem asupra punctului Ai. Un exemplu este dat în figura 4.1.
În conformitate cu principiului acțiunii și al reacț iunii,
jiij F F
, (4.1)
De aici rezultă că:
0 jiijFF
(4.2)
Dacă se calculează momentele în raport cu punctul O, rezultă:
 ij j i ij j ij i ji j ij i Frr Fr Fr Fr Fr

0ij ijFAA
(4.3)
pentru că sunt coliniari. Astfel se deduce că:
ji j ij i Fr Fr 
(4.4)
Se face convenția:
0ijF
(4.5)
Corpul solid rigid (rigidul) este definit în
mecanica clasică drept un material continuu
nedeformabil . Altfel spus, rigidul poate fi
considerat ca limit ă a unui sistem închis și rigid de
puncte materiale, ca re ocupă acela și domeniu.
În cele ce urmează, unele noțiuni
fundamentale și teoreme generale stabilite pentru
un sistem de puncte materiale sunt extinse la
rigide pe baza unui proces de trecere la limită.

84

a) Momentele de inerție sunt mărimi care sunt folosite pentru a
caracterizare modul de răspândire a masei unui sistem de puncte materiale
sau a unui rigid. Momentelor de inerție ajută la exprimarea inerției unui
corp în mișcare de rotație.
Fie un sistem de n puncte materiale Ai
n i ,…,2,1 , fiecare dintre ele
având masa mi. Fie li distanța de la punctul Ai la o axă Δ. În acest caz,
momentul de inerție al sistemului de puncte în raport cu axa Δ este:

n
iiilm J
12
(4.6)
În cazul corpului solid, suma de la (4.6) se transformă în integrală
referitoare la domeniul ocupat de corp (D).
 dml JD2
)(
(4.7)
Pentru momentele de inerție sunt folosite ca dimensiuni și unități de
măsură
2MLJ , respectiv kgm2.

b) Momente de inerție planare, axiale, polare (fig. 4.2).
În formula
2
iilm J , lungimea li reprezintă distanța de un plan, de
o axă sau de un punct . Astfel se poate defini și momentul de inerție , care
poate fi planar, axial sau polar.

85
Se obțin astfel:
– Momente le de inerție planare



    
    
; J ; J ; Jrespectiv ; ; ;
2
)(2
)(2
)(2 2 2
dmy dmx dmzym J xm J zm J
D Oxz D Oyz D Oxyii Oxz ii Oyz ii Oxy
(4.8)

– Momente de inerție axiale




 


  
 
;;;respectiv ; ; ;
2 2
)(2 2
)(2 2
)(2 22 2 2 2
dmyx Jdmzx Jdmzy Jyxm Jzxm J zym J
D zD yD xi ii zi ii y i ii x
(4.9)

– Momente de inerție polare




 

dmzyx dmr Jzyxm rm J
D D Oi i ii ii O
2 2 2
)(2
)(3 2 2 2
respectiv
(4.10)
Cele trei m omentele de inerție (planare, axiale și polare ) sunt mărimi
scalare pozitive. În cazuri particular e momentul de inerție poate fi și nul, de
exemplu în cazul unei plăci atunci când se calculează momentul de inerție
în raport cu planul care conține placa.

c) Momentele de inerție centrifuge sunt, prin definiție:



    
    
; ; ;respectiv ; ; ;
)( )( )( xzdm J yzdm J xydm Jzxm Jzym Jyxm J
D zx D yz D xyiii zx iii yz iii xy
(4.11)

86
Se observă că:
etc. yz xyJ J

Momentele de inerție centrifuge sunt mărimi scalare pozitive,
negative sau nule.
Momentul de inerție centrifug este nul atunci când este aleasă ca axă
de simetrie una dintre axele de simetrie a le corpului – ceea ce se poate
verifica cu u șurință.

Din relațiile ( 4.8)… ( 4.10) se obține:
– În spațiu




  
Oyz Oxz z Oyz Ozy y Oxz Oxy xz y x OOxz Oyz Oxy O
J J J J J J J J JJJJ JJ J J J
; ;21
(4.12)
– În plan ( z = 0)
y x O JJ J
(4.13)
Să se consider e cazul unei plăci omogene, pentru care:
– momentul de inerție geometric este
 dAl ID2
)( și
– momentul de inerție mecanic este
 dml JD2
)( .
Pentru plăcile omogene,
dA dm
(4.14)
în care ρ este masa specifică.
Relația care se stabilește între momentele de inerție mecanice și cele
geometrice , care se aplică și barelor și blocurilor omogene, este:
l J
(4.15)

87

Există aplicații tehnice în care este nevoie să se scrie momentul de
inerție sub forma
2imJO
(4.16)
unde mO este masa corpului și i raza de inerție.
Raza de inerție este distanța fictivă la care ar trebui plasată întreaga
masă a corpului concentrată într-un singur punct, astfel încât în raport cu
un plan, o axă sau un punct, să existe relația:
2 2imlmO ii
(4.17)
În acest caz, momentul de inerție polar se va fi:
2
00 0 imJ
(4.18)
Iar momentele de inerție axiale vor fi:
; ; ;2 2 2
zO z yO y xO x imJimJimJ   
(4.19)
Din cele (4.18) și (4.19) se deduce că :
;AI
mJix
Ox
x

;AI
mJiy
Oy
y
;AI
mJiz
Oz
z (4.20)

Să se presupună că s e cunoa ște momentul de inerție JΔ în raport cu
axa Δ care trece prin centrul de greutate al rigidului și că este n ecesară
aflarea valorii lui JΔ1, în raport cu axa Δ 1.
Există două variante de rezolvare a acestei probleme :
a) Fie axele Δ și Δ1 sunt coplanare , caz în care ele pot fi:
– paralele sau
– concurente.
b) Fie axele Δ și Δ1 nu sunt coplanare , caz în care se calculează
momentul de inerție în raport cu o axă Δ2 paralelă cu Δ1, dar concurentă cu
Δ, după care urmează calcularea momentului în raport cu Δ1.
Dacă se stabilesc formule pentru variația momentelor de inerție față
de axe paralele și concurente, se vor putea afla momentele de inerț ie
pentru fiecare caz.

88
a) Variația momentelor de inerție
față de axe paralele. Teorema lui
Steiner .
Se dă un sistem de punct
materiale Ai, care are centrul de
greutate C. Fie Δ o axă care trece prin
C și Δ1 o axă paralelă cu Δ (fig. 4.3). Se
cunoa ște momentul de inerție JΔ și se
propune să se calculeze JΔ1, distanța
dintre axe fiind d.
Se alege un triedru de referință
Cxyz, la care axa
Cz . Față de acest
triedru, punctul A1 are coordonatele x1,
y1, z1. Se alege apoi un al doilea triedru
de referință O1x1y1z1, care are axele paralele cu cele ale triedrului
precedent, planurile de referință O1x1z1 și Cxy sunt confundate, iar axa
11 1 zO
.
Prin definiție,
2
12
1yxm J Ji z  
(4.21)
și
     2 2
12
12
1 1 1 i c i c i i i z yy xxm yxm J J

      2 2 2 22 2i ii ii c ii c i C C yxm ymy xmx m yx
(4.22)
Se notează masa sistemului :
O imm
(4.23)
Se observă că distanța dintre cele două axe, Δ și Δ1, este:
2 2 2d y xC C
(4.24)
Dacă se ține seama că
0OzC și dacă se aplică teorema
momentului static, se obține:



00
O iiO ii
mymmxm
(4.25)
Înlocuind în relația ( 4.22) rezultatele din ( 4.24) și (4.25) rezultă:
2
1 dmJ JO
(4.26)

89
Relația (4.26) este Teorema lui Steiner , a cărei enunț este: momentul
de inerție față de o axă Δ 1 este egal cu momentul de inerție față de o axă Δ
ce trece prin centrul de greutate al sistemului și este paralelă cu axa Δ 1
plus masa înmulțită cu pătratul distanței dintre cele două axe.
Din teorema lui Steiner ( 4.26) se deduc proprietăți le momentelor de
inerție față de axe paralele , și anume :
1) momentul de inerție este minim față de o axă care trece prin
centrul de greutate al sistemului;
2) locul geometric al axelor paralele față de care momentele din
inerție sunt egale este un cilindru circular a cărui axă de simetrie trece prin
centrul de greutate al sistemului și este paralelă cu direcția dată.
Analog, pe baza teoremei lui Steiner se po t demonstra momentele de
inerție centrifuge. Astfel:


    
iii ii c ii c i cci c i c i iii yx
yxm xm yym xm yxyyxxm yxm J11 11
(4.27)
Ținând seama de relațiile ( 4.23) și (4.25), precum și de relația de
definiție ( 4.11) conform căreia
xy iii Jyxm , din (4.27) rezultă teorema
lui Steiner pentru momente de inerție centrifuge:
ccO xy yx yxm J J11
(4.28)
în care xO și yc reprezintă distanțele dintre axele Oy, O 1y1 , respectiv
Ox, O1x1.

b) Variația momentelor de inerție
față de axe concurente .
Se dă un sistem de puncte
materiale Ai
n i ,…,2,1 , care față de
sistemul de axe Oxyz are momentele de
inerție axiale Jx, Jy, Jz și centrifuge Jzy, Jyz,
Jxz cunoscute.
Fie o axă Δ ce trece prin O și care
are versorul
u și cosinusurile directoare
cos α, cos β, cos γ (fig. 4.4). Se propune
să se calculeze momentul de inerție axial
față de axa Δ, notat cu JΔ.

90
Se consideră un punct Ai de masă mi, definit de vectorul de poziție
kzjyixri i ii 
(4.29)
Fie Bi proiecția lui Ai pe axa Δ și di distanța AiBi.
Prin definiție,
2
iidm J
(4.30)
dar


2 2 2 22 2 2
i i i ii i i
zyxrOBr d
(4.31)
și
 cos cos cosi i iii z y xur OB
(4.32)
Cum
1 cos cos cos2 2 2
(4.33)
înlocuind în (4.31) se obține:
 
 2 2 2 2 2 2 2
2cos cos cos
cos cos cosi i i i
i i id x y z
xyz  
       
  
(4.34)
Dezvoltând relația ( 4.34) și introducând rezultatele în relația ( 4.30)
rezultă:




     
iiiiiiiiii iii iii ii
xzmαcosγcoszymγcosβcosyxmβcosαcosy xmγ cosxzmβ cosz ymα cos J
2222 2 22 2 22 2 2
Δ
(4.35)

Ținând seama de relațiile de definiție ( 4.9) și (4.11) se obține relația
căutată:

91


coscos2 cos cos2cos cos2 cos cos cos2 2 2
xz yzxy z y x
J JJ J J J J (4.36)
Caz particular : sistem plan .
În acest caz,
2 ,0 z
(4.37)
Relația ( 4.36) devine:
 cos cos2 cos cos2 2
xy y x J J J J
(4.38)
Dacă se notează
 și
2 , atunci:
cos cos

 sin2cos cos
(4.39)
Relația ( 4.38) se scrie:
 2sin sin cos2 2 2
xy y z J J J J
(4.40)
În relația ( 4.36) se observă că momentul de inerție JΔ, calculat față
de axa Δ care trece prin origine, depinde de poziția axei față de triedrul de
referință prin cosinusurile directoare. În funcție de unghiurile α, β, γ ,
momentul de inerție JΔ poate avea valori maxime și minime.
Axele care trec prin originea O și față de care momentele de inerție
au valori extreme (maxime sau minime) se numesc axe principale de
inerție . Momentele de inerție față de aceste axe se numesc momente
principale de inerție și se notează J1, J2, J3.
Momentele de inerție principale J1, J2, J3 se determin ă analizând
extremul funcției JΔ , care depinde de mai multe variabile (cos α, coa β, cos
γ) legate între ele prin relația ( 4.33), de exemplu cu ajutorul
multiplicatorilor lui Lagrange*.

* V. Valcovici, S. B ălan, R. Coinea, Mecanica teoretic ă; vezi și O. Dragnea,
Geometria maselor .

92
Unele dintre p roprietățile importante ale axelor principale de inerție
sunt:
1) formează un triedru triortogonal;
2) momentele de inerție centrifuge față de axele principale sunt nule.
Așadar , în cazul în care axa Δ are cosinusurile directoare cos α 1, cos
β1, cos γ 1 față de axele principale de inerție, din expresia ( 4.36) rezultă:
12
3 12
2 12
1 cos cos cos  J J JJ
(4.41)
Dacă centrul de greutate al sistemului coincide cu originea triedrului
de referință
CO , momentele de iner ție corespunz ătoare axelor ce trec
prin acest punct se numesc momente centrale de iner ție. Momentele față
de axele principale de inerție în raport cu centrul de greutate se numesc
momente de iner ție centrale și principale, și sunt momente de iner ție
maxime sau minime, în raport cu o axă Δ ce trece prin centrul de greutate
al sistemului (rigidului).

Elipsoidul de inerție (fig. 4.5) este folosit pentru obținerea unei
imagini spațiale ale modului de variație a momentelor de inerție în funcție
de axele care trec printr -un punct.
Pentru aceasta, s e ia pe axa Δ un punct P, astfel ca, măsurând în
unități conv enționale,

JOP1
(4.42)
și deci
uJ rp 21

(4.43)
Din (4.43) se află coordonatele punctului P, care sunt:

Jxcos
;
Jycos
Jzcos (4.44)
Relația (4.36) poate fi scrisă și în funcție de relația (4.44), și anume:
1 2 2 22 2 2 zxJ yzJ xyJ zJyJxJzx yz xy z y x
(4.45)
Relația ( 4.45) reprezintă ecuația unui elipsoid numit elipsoidul de
inerție (după Poinsot).

93
Axele de simetrie Ox1y1z1 ale elipsoidului de inerție sunt axele
principale de inerție în raport cu punctul O, deoarece față de aceste axe
momentele de inerție sunt extreme.
Ecuația elipsoidului de inerție față de axele sale de simetrie este:
12
132
122
11  zJyJxJ
(4.46)
de unde se demonstrează că momentele centrifuge sunt nule față de
aceste axe .
Dacă se notează:
2
11aJ
;
2
21bJ ;
2
31cJ (4.47)
atunci ecuația ( 4.46) poate fi scrisă sub forma canonică:
122
1
22
1
22
1cz
by
ax
(4.48)
în care a, b, c sunt semiaxele
elipsoidului de inerție.
Relațiile ( 4.47) se mai pot scrie
și sub forma:
2 11
aJ
;
2 21
bJ ;
2 31
cJ (4.49)

De unde se observă că
momentele principale de inerție sunt invers proporționale cu pătratul
semiaxelor elipsoidului de inerție.
În general , momentul de inerție JΔ față de o axă Δ este invers
proporțională cu distanța OP determinată de elipsoidul de inerție pe acea
axă, conform relației ( 4.42).
De obicei , elipsoidul de inerție urmăre ște forma corpului pentru care
este calculat.
În plan, elipsoidul de inerție se transformă în „elipsa de inerție”.

94

Fie un rigid în mișcare generală care este supus acțiunii unui sistem
de forțe (fig. 4.6). Fie forța
iF care acționează în Ai. În timpul dt, punctul
Ai se deplasează cu distanța elementară
dtvrd i i
(4.50)
dar
i i r vv0
(4.51)
Așadar, deplasarea elementară este :
dtr dtvrdi i 0
(4.52)
În acest caz, l ucrul mecanic elementar
este:
dtr FdtvFrdF dLi i i ii i  0

(4.53)
Dacă se face o permutare circulară în
produsul mixt
i i i Fr r F 1
(4.54)
rezultă:
dtFr dtvF dLi i i i 0
(4.55)
Dacă se notează :
– deplasarea elementară din mi șcarea de translație a rigidului ;
– unghiul elementar de rotație ca vector ;


dt ddtvrd0 0
(4.56)
se obține:
 dMrdF dLi i i 0 0
(4.57)

95
care este lucrul mecanic elementar corespunzător forței
iF .
Pentru tot sistemul de forțe, rezultă:
   dM rdF dLi i 0 0
(4.58)
Dar:
– forța rezultantă și momentul rezultant sunt:



0 0M MRF
ii
(4.59)
Deci
 dMrdR dL00
(4.60)

a) Translația . În acest caz
0 și
0d , deci
dzRdyRdxRrdR dLz y x0
(4.61)
de unde
0rdR L
ABAB
(4.62)

b) Rotația . În acest caz,
00v și
00rd . Rezultă
1 dM dLo
(4.63)
de unde
dM L
210
(4.64)
Cazul cel mai întâlnit în practică este atunci c ând axa de rotație
coincide cu suportul lui
0M . De aici rezultă că:

02
10 M dM L
(4.65)

96

Fie un sistem de puncte materiale Ai, având masa mi și viteza
n ivi ,…,2,1
.
Fiecare punct are impulsul :
ii i vm H
(4.66)
Impulsul întregului sistem este:

 n
iiin
ii vm H H
1 1
(4.67)
Se știe că
dtrdvi1
(4.68)
așadar relația ( 4.67) devine:
 
  n
in
iii i i rmdtdrdtdm H
1 1
(4.69)
În conformitate cu teoremei momentului static,
cn
iii rmrm0
1

(4.70)
în care
0
1m mn
ii
 este masa sistemului, iar
cr este vectorul de
poziție al centrului de greutate al sistemului.
Ținând seama de r elația ( 4.70), relația (4.69) devine:
c c rdtdmrmdtdH0 0

deci
CvmH0
(4.71)
În cazul rigidului, impulsul este

)(Ddmv H .
Efectuând calculele în mod analog, se va obține acela și rezultat și
pentru relația (4.71).

97
Rezultă că impulsul unui sistem de puncte materiale sau al unui rigid
nu depinde de felul mi șcării, putându -se considera toată masa concentrată
în centrul de greutate al rigidului și care se deplasează cu viteza acestuia.

Fie un sistem de puncte materiale Ai de masă mi și viteză
n ivi ,…,2,1
.
Impulsul punctului Ai este:
ii i vm H
(4.72)
Momentul cinetic în raport cu punctul fix O al punctului material Ai
este
ii i i i i vmr Hr K 0
(4.73)
Momentul cinetic al sistemului este
iin
iin
ii vmr K K 
  1 10 0
(4.74)
Expresia momentului cinetic în cazul rigidului și în raport cu un punct
fix O este:
 dmvr KD D )(
(4.75)
Se observă că momentul cinetic depinde de felul mi șcării, deoarece
v
are expresii specifice fiecărui fel de mi șcare a rigidului, a șa după cum s -a
arătat în cinematică. Prin urmare, este necesară studierea separată a
mișcărilor particulare ale rigidului.
a) Mișcarea de translație .
Specific mi șcării de translație este faptu l că la un moment dat toate
punctele au aceea și viteză (ca vector), adică
cvv .

98
Momentul cinetic este:
c c c D D vrmv dmr vdmr K 



  0 )( )( 0
(4.76)
deoarece conform teoremei momentului static:
c D rm dmr0 )(

Înlocuind în relația ( 4.76), se poate scrie:
c c c c vmrvrm K0 0 0 

sau
Hr Kc0
(4.77)
În caz ul tratat mai sus, momentul
cinetic se calculează ca și cum toată
masa rigidului ar fi concentrată în centrul
de greutate și se deplasează cu viteza
acestui punct.
b) Mișcarea de rotație .
Se ține cont că, în acest caz, viteza
unui punct oarecare Ai (fig. 4.7) este:
r v
(4.78)
Se consideră cazul general
(sistemul de referință solidar cu corpul)
în care :
k j iz y x
(4.79)
kziyixr
(4.80)
Deci:
 
      
  
dmkzjyix z y xk j i zyxdmrr r dmr r dmvr K
z y x z y x DD D D
 
2 2 2
)(2
)( )( )( 0
(4.81)

99
În funcție de proiecțiile sale pe axe, m omentul cinetic se poate scrie
astfel:
kKjKiK Kz y x0
(4.82)
Dacă se calculează proiecția Kz a momentului cinetic pe axa Ox
rezultă:

z xz y xy xxD z D y D x x
J J Jdmxz dmxy dmzy K
  
      )( )(2 2
)(
(4.83)
Prin permutări circulare se obțin componentele pe axe ale
momentului cinetic:




zz y zy x xz zz yz yy x yx yz xz y xy xx x
J J J KJ J J KJ J JK
(4.84)
Sub formă matriceală, aceste rezultate devin :
zz y zy x zxz yz yy x yzz xz y xy xx
zyx
z zy zxyz y yxxz xy x
J J JJ J JJ J J
J J JJJ JJ JJ






adică matricea momentului cinetic este egală cu produsul dintre matricea
asociată tensorului de inerție și matricea coloană a vectorului viteză
unghiulară.

Cazuri particulare
1) Axa Oz coincide cu axa de rotație
(fig. 4.8).
În acest caz:


zy x 0
(4.85)
Ținând seama de relația (4.85) și
aplicând relațiile generale ( 4.84) se obține :

100





z zyz yxz x
J KJ KJ K (4.86)
adică
kJ JiJ Kz z yz xz 0
(4.87)
2) Cazul în care rigidul are forma
unui corp de revoluț ie cu axa de simetrie
chiar ax a de rotație. În acest caz se alege
această axă drept ax a Oz (fig. 4.9).
Specific acestui caz sunt:


00
yz xzzy x
J J
(4.88)
Acest al doilea caz fiind de fapt un
caz particular al punctului a) de mai sus, se
poate introduce în expresia ( 4.87)
rezultatele din relațiile ( 4.88), rezultând :
 zz JkJ K0
(4.89)
Aplicație .
Un disc omogen se rote ște cu viteza
unghiulară
 în jurul axei sale de simetrie
(fig. 4.10). Raza discului este R, iar masa
este m.
Se cere să se calculeze momentul
cinetic față de punctul O și de axa de
simetrie ( Oz):

22
0 0mRJ K

22mRKz

101
c) Rigidul cu un punct fix .
În acest caz s e aleg ca axe de coordonate axele principale de inerție
în raport cu punctul fix (fig. 4.11) și se constată că momentele de inerție
centrifuge sunt nule.

0zx yz xy J J J
(4.90)

În aceste condiții se poate
considera rigidul cu un punct fix ca
un caz particular al rigidului în
mișcare de rotație față de o axă
oarecare, ale cărui rezultate sunt
date în (4.84).
Din relațiile ( 4.84), ținând
seama de ( 4.90), rezultă:

kJj JiJ Kz y x 3 2 1 0
(4.91)
Aplicație.
Să se calculeze momentul
cinetic pentru o sferă omogenă de
greutate G, rază R, care este
suspendată în centrul său O și se
rotește cu viteza unghiulară
 în jurul
diametrului său vertical.
Se alege sistemul de axe cu
originea în centrul sferei O și cu axa
Oz după diametrul vertical.
Momentul de inerție al sferei
față de centrul său este ( fig. 4.12).

 R
D RgGR drr dmr J
02 5 4 2
)( 053
544

În care ρ este masa unității de volum și
3
34R m este masa sferei.

102
Momentele de inerție axiale sunt momente de inerție principale . Prin
urmare, din motive de simetrie , rezultă că
3 2 1 JJJ . Deci se poate scrie:
3 2 1 3 2 1 023
23
23
21J J J JJJ J 

Rezultă că:
2
0 3 2 152
32RgGJ JJJ 

Față de sistemul de axe ales, proiecțiile vectorului viteză unghiulară

sunt
0y x și
z .
Pentru calcularea m omentul ui cinetic se folosește relația (4.91), și
anume :
kRgGK 2
052

d) Mișcarea generală.
Din relația care dă distribuția de viteze în mișcarea generală a
rigidului,
i i r vv0
(4.92)
se poate considera că distribuția de viteze provine din suprapunerea a două
câmpuri de viteze: unul de translație, cu viteza
0v , și altul de rotație, cu
viteza
ir .
Momentul cinetic se calculează în funcție de aceste două câmpuri și
soluția poate fi precizată numai după alegerea judicioasă a sistemului de
axe mobil, și în special a originii lui. În acest fel, se poate preciza câmpul
de viteze de translație
0v și cel de rotație
ir .

103

Energia cinetică pentru un punct material este:
2
21
ii i vm E
(4.93)
Energia cinetică pentru un sistem de puncte materiale este :

n
iiivm E
12
21
(4.94)
Energia cinetică pentru rigid este:
 dmv ED2
)(21
(4.95)
Datorită faptului că se exprimă în funcție de viteză, rezultă că de
mișcările particulare ale rigidului.
a) Mișcarea de translație .
Toate punctele au la un moment dat aceea și viteză, și anume egală
cu cea a centrului de greutate (deci
Cvv ). De aici rezultă că:
   2
0 )(2 2
)(21
21
21
C D C D vm dm v dmv E
(4.96)
Așadar, energia cinetică se calculează ca
și cum toată masa rigidului ar fi concentrată în
centrul de greutate, și se mi șcă cu viteza acestui
punct.
b) Mișcarea de rotație .
Se știe că (fig. 4.13):
lv
(4.97)

104

2 2
)(222
)(2
)(
21
2121
21
  

J dmldml dmv E
DD D (4.98)
deoarece
dml JD2
)(
(4.99)
c) Mișcarea elicoidală .
Se alege axa mi șcării elicoidale drept
axă Oz. În acest caz, distribuția de viteze
este dată de ( fig. 4.14).
r vv0
(4.100)
Rezultă că componentele pe axe sunt:


0vvx vy v
iyx
(4.101)
deci
2
02 2 2 2 2 2 2v yx vvvvz y x 
(4.102)
Expresia energiei cinetice este:
 dm v dmyx dmv ED D D    )(2
02 2
)(2 2
)(21
21
21

2
002
21
21vm J E 
(4.103)
deoarece
J dmyxD2 2
)(
(4.104)

105
d) Mișcarea plan -paralelă .
Se alege originea sistemului de
referință mobil în centrul de greutate C al
corpului, iar planul Oxy paralel cu planul
fix față de care are loc mi șcarea ( fig.
4.15).
În acest caz, d istribuția de viteze
în această mi șcare este :
r vvc
(4.105)
iar componentele pe axe ale
vitezei sunt:



0zcy ycx x
vz vvy vv

(4.106)
deci
2 2 2
y xvvv

Prin urmare,
  
 
 dmyx dm vvdm x xv v y yv vdm x v y v dmv E
D D cy cxcy cy cx cx Dcy cx D D
2 2
)(2
)(2 222 2 22 2
)(2 2
)(2
)(
21
212 22121
21
      
  
  

sau
2 2
21
21cz co J vm E 
(4.107)
pentru că:
2 2 2
c cy cz v vv

106

cz D J dmyx 2 2
)( (4.108)
Se aplicat ă teorema momentului static :





00
0 )(0 )(
m dmym dmx
DD
(4.109)
deoarece s -a ales originea sistemului de referință în centrul de
greutate al corpului
0 .
În multe aplicații, în mișcarea plan -paralelă se determină centrul
instantaneu de rotație I. Dacă se aplică teorema lui Steiner, se poate stabili
legătura dintre momentele de inerție față de centru l de greutate Jc și față
de centrul instantaneu de rotație JI.:
2
0ICmJJc I
(4.110)
de unde:
2
0ICmJJI c
(4.111)
Din distribuția de viteze față de centrul instantaneu de rotație
(analoagă cu cea dintr -o mișcare de rotație), se obține pentru centrul de
greutate C:
IC vc
(4.112)
Înlocuind în expresia ( 4.107) rezultatele din relațiile ( 4.111) și
(4.112), rezultă:


2 2
02 22
02 2
02 2 2
21
21
21
2121
21
2121
21
  
I c I coI co I co
J vm J vmICm J vmICmJ vm E
  
(4.113)

107
Din formula ( 4.113) se observă că în mișcarea plan -paralelă se poate
calcula energia cinetică ca la o rotație în jurul centrului instantaneu de
rotație din acel moment.

e) Rigidul cu un punct fix .
Se aleg ca axe ale sistemului de referință solidar legat de corp chiar
axele principale de inerți e referitoare la punctul fix O. Momentele principale
de inerție sunt J1, J2, J3. Cosinusurile directoare ale axei de rotație față de
axele principale de inerție sunt cos x 1, cos β 1, cos γ 1.
Energia cinetică se calculează cu ajutorul formulei general e stabilit e
pentru mi șcarea de rotaț ie, și anume:
2
21J E
(4.114)
În acest caz,
12
3 12
2 12
1 cos cos cos  J J JJ
(4.115)
Deci relația ( 4.114) se deduce :
 12 2
3 12 2
2 12 2
1 cos cos cos21 J J J E
(4.116)
Pentru cazul studiat :
1 cosx
;
1cosy ;
1cosz
de unde rezultă expresia energiei cinetice pentru rigidul cu un punct fix :
 2
32
22
121
z y x J J J E 
(4.117)
f) Mișcarea generală a rigidului .
În acest caz, se poate considera că în fiecare moment distribuția de
viteze se poate obț ine prin suprapunerea unui câmp de viteze de translație
peste unul de rotație. Astfel , energia cinetică se calculează în funcție de
cele două câmpuri de viteze, alegându -se judicios sistemul de referință
mobil și mai ales originea acestuia . Se pot deci utiliza rezultatele de la
cinematica rigidului în mișcare generală referitoare la distribuția de viteze în
raport cu axa instantanee a mi șcării elicoidale și se alege originea
sistemului de referință mobil pe această axă. Ca urmare, vectorii
 și
ov
sunt coliniari și dirijați după axa instantanee a mi șcării elicoidale.

108
Energia cinetică este :

  
 
dm lvdm r vdmr v r vdmr v dmv E
i Di o DDo D D
22 2
0)(2 22 2
)(022
0)(2
)(2
)(
21sin2122121
21
21
 
      
 

în care este exprimat modulul produsului vectorial
r cu ajutorul
unghiului
ri , și
sinrli , care reprezintă distanța de la punctul
curent la axa instantanee a mi șcării elicoidale. Produsul mixt este nul.

De aici se deduce expresia energiei cinetice pentru rigidul în mișcare
generală:
2 2
0021
21J vm E
(4.118)
în care m0 este masa rigidului, iar JΔ momentul său de inerție față de
axa instantanee a mi șcării elicoidale.

109

Pentru un sistem de puncte materiale (rigid), impulsul are expresia:
iivm H
(4.119)
Derivând în raport cu timpul și ținând seama că masa este constantă,
se obține:
11 11 am vm H
(4.120)
Suma
 11am reprezintă suma tuturor forțelor care acționează
asupra sistemului, adică forțe exterioare
iF (date și de legătură) și forțe
interioare
ijF (fig. 4.16 ).

   intF F F F F am ext ij i ii
(4.121)
Conform principiului acțiunii și al reacțiunii,
jiij F F
(4.122)
de unde

110

0ijF (4.123)
Rezultă deci că:
extF H
(4.124)
adică derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte
materiale sau rigid este egală cu suma forțelor exterioare care acționează
asupra sistemului (rigidului) studiat.
Proiectând pe axe relația vectorială ( 4.124) se obține:





extz zexty yextx x
F HF HF H

(4.125)

Impulsul unui sistem de puncte materiale sau rigid este
cOvmH
(4.126)
Derivând relația în raport cu timpul, rezultă:
cOamH
(4.127)
Ținând seama de relația (4.124), din relația ( 4.127) se poate afla
teorema mi șcării centrului de masă (de greutate) a unui sistem de puncte
materiale sau rigid:
extcO F am
(4.128)
Deci, centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale sau rigid
se mi șcă la fel ca un punct în care este concentrată toată masa sistemului
și asupra căruia acționează toate forțele exterioare.
De reținut că teorema impulsului și teorema mi șcării centrului de
greutate nu sunt teoreme independente , cea de -a doua reprezentând de
fapt o altă formă de prezentare a teoremei impulsului.
Un exemplu ar fi mișcarea unui obuz în aer. Traiectoria centrului de
greutate a obuzului este identică cu cea a unui punct material care are
masa obuzului și care se mi șcă în aer întâmpinând rezistența acestuia. În

111
plus, obuzul mai efectuează o mi șcare de rotație în jurul acei sale de
simetrie , datorită căreia vârful obuzului are o traiectorie diferită de cea a
centrului de greutate. Vârful obuzului are o traiectorie care este o curbă
strâmbă ( în jurul traiectoriei centrului de greutate).
Teorema mi șcării centrului de greutate este de o deosebită
importanță în dinamica sistemelor și a rigidului deoarece cu ajutorul ei se
stabile ște legea de mi șcare (accelerația și viteza) a unui punct intrinsec al
rigidului, indiferent de particularitățile mi șcării.

Dacă în timpul mi șcării sistemul (rigidul) este izolat
0extF deci:
0H
(4.129)
rezultă că se conservă impulsul ( în timp)
CvmHOO
(4.130)
adică în tot timpul mi șcării impulsul este acela și.
În multe cazuri practice rezultanta forțelor exterioare are nulă doar
componenta după o axă, ceea ce conduce la conservarea impulsului după o
singură axă. Astfel se ajunge la:





3 z z ext 2 y y ext 1 x x ext
H ;0 H ;0H ;0 H ;0H ;0 H ;0
C vm FC vm FC vm F
czO zcyO ycxO x

(4.131)
Relațiile ( 4.130) și (4.131) pot fi interpretate că în timpul mi șcării
viteza centrului de greutate (sau componente ale acesteia) rămâne
constantă și egală cu valoarea inițială. Deci constanta se determi nă cu
ajutorul condițiilor inițiale.

112

Pentru un sistem de puncte materiale sau rigid, momentul cinetic
calculat în raport cu un punct fix 0 este:
ii iO vmr K
(4.132)
Prin derivare în funcție de timp, se obține:
ii i ii i O vmr vmr K  
(4.133)
Dar pentru că
iivr
,
se observă că
0 iivmr
(4.134)
Dar
intF Famvm ext ii ii 
(4.135)
în care
extF este rezultanta forțelor exterioare, iar
intF rezultanta
forțelor interioare.
În consecință relația ( 4.133) se poate scrie:
int ext intO Oexti O M M F Fr K    
(4.136)
pentru că momentul în raport cu punctul O al fiecărei perechi de
forțe interioare este nul , rezultă că suma momentelor interi oare este de
asemenea nulă, adică:
0int OM
(4.137)
Din (4.137) r ezultă teorema momentului cinetic , și anume :
ext O O M K
(4.138)
în care derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în
raport cu un punct fix O, este egală cu suma momentelor forțelor
exterioare calculate în raport cu acela și punct.

113






ext ext ext
Oz zOy yOx x
M KM KM K
 (4.139)

Pentru un sistem izolat sau când
0OM rezultă:
0OK
(4.140)
În consecință, momentul cinetic în raport cu punctul O se conservă,
adică în tot timpul mi șcării păstrează aceea și valoare, egală cu cea din
momentul inițial:
C KO
(4.141)
Proiectând pe axe se obține:





3 z z2 y y1 x x
K ;0 K ;0K ;0 K ;0K ;0 K ;0
C MC MC M
iziyix

(4.142)
Relațiile ( 4.142) arată că în anumite cazuri momentul cinetic se poate
conserva numai în raport cu o axă.
Un patinator care execută o piruetă în jurul axei proprii, reprezintă un
exemplu de conservare a momentului cinetic în raport cu o axă, deoarece
se po ate neglija frecarea dintre vârful patinei și gheață. Momentul cinetic
față de axa proprie este
.const J Kz z Când patinatorul își depărtează
brațele de corp, adică își măre ște momentul de inerție față de axa sa,
viteza unghiulară scade. Când își strânge mâinile lângă corp, scade
valoarea momentului de inerție și îi crește, în consecință, viteza unghiulară.
Observații.
1) Teoremele impulsului și momentului cinetic pot fi restrânse în
teorema torsului:
iO i O F H
(4.143)
în care torsorul în O al impulsurilor este :

114




OiOKHH (4.144)
iar torsorul în O al forțelor exterioare este :



OiOMFF
(4.144*)
Derivata în raport cu timpul a torsului impulsurilor unui sistem de
puncte materiale (rigid) este egală cu torsul forțelor exterioare aplicate
sistemului. (Ambele torsoare sunt calculate în raport cu acela și punct).
2) Teoremele impulsului și momentului cinetic se a plică numai cu
vitezele absolute.
3) Teoremele impulsului și momentului cinetic elimină forțele
interioare.
4) Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei impulsului față de
o axă pe care forțele sunt perpendiculare sau față de o axă după care sunt
cunos cute vitezele.
5) Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei momentului
cinetic în raport cu o axă față de care momentul forțelor este nul sau față
de care este cunoscută mi șcarea (vitezele).

Pentru un sistem de puncte materiale , energia cinetică este :

n
niiivm E2
21
(4.145)
Diferențiind relația ( 4.145) se obține:
  
    
    


n
in
ii iit
iin
ii iin
in
ii i i in
iii
rdamdtvddtvm vdvmvdm dvm vm d dE
1 1 11 12 2
12
21
21
21
(4.146)

115
pentru că
i i rddtv

Se analizează un sistem de puncte acționat de forțe exterioare
iF și
forțele interioare
ijF . Pentru punctul A1,, ținându -se cont de relația
fundamentală a dinamicii, se poate scrie:
n i F F F F Fam 1 1 13 12 1 11 … … 
(4.147)
Relații analoge pot fi scrise și pentru celelalte puncte A2…A n.
Înmulțind scalar cu
n ird ,…,2,1 1 relațiile de tipul ( 4.147) scrise
pentru fiecare punct, rezultă:




 n nn n n n n n n n nnnn
rd F rdFrdFrdFrdamrdF rdFrdFrdFrdamrdF rdFrdFrdFrdam
1, 2 12 2 2 23 2 21 2 2 2 221 1 1 13 1 12 1 11
………. …………….1 1
(4.148)
Însumând termen cu termen relațiile ( 4.148) se deduce:

  n
in
ji ijn
ii in
iii rdF rdF rdam
1 1 1 1
(4.149)
La interpretarea rezultatelor se obține :
 Lucrul mecanic elementar al forțelor exterioare

n
ii iext rdF dL
1
(4.150)
 Lucrul mecanic elementar al forțelor interioare.

n
ii ijn
jrdF dL
1 1int
(4.151)
Ținând seama de relațiile ( 4.149)…( 4.151), din ( 4.146) se obține
teorema energiei cinetice pentru un sistem de puncte materiale.
intdL dL dEext
(4.152)
Adică: variația energiei cinetice în timpul dt este egală cu lucrul
mecanic elementar al forțelor exterioare plus lucrul mecanic elementar al
forțelor interioare efectuat în acela și interval de timp.

116
Se analizează cazurile posibile în care lucrul mecanic elementar al
forțelor interioare

n
ii ijn
jrdF dL
1 1int este nul.
Pentru simplificare se urmărește cazul unei perechi de forțe interioare
ijF
și
jiF, care acționează în Ai și Aj și pentru care se scrie
dtvvF rdrdFrdFrdF dL j i ij j i ij j ji i ij int

deci:
dtvF dL ijijint
,
deoarece
ij ijF F
;
dtvrd i i și
ij j i vvv
Această relație reprezintă viteza relativă a lui Ai față de Aj, ca și cum
acesta ar fi fix. Prin urmare , viteza
ijv este perpendiculară pe
jiAA .
Sunt posibile trei cazuri pentru ca dLint să fie nul, și anume :
1)
0ijF – cazul a două bile legate printr -un fir netensionat;
2)
ijF și
ijvsunt perpendiculari – atunci când două corpuri sunt
legate printr -un fir inextensibil, perfect întins, deci distanța dintre cele două
copuri rămâne aceea și (în acest caz se situează și rigidul);
3)
0ijv – atunci când viteza relativă dintre corpuri este nulă , ca de
exemplu un disc care se rostogole ște fără alunecare pe o bară și punctul
comun este prin urmare centrul instantaneu de rotație al discului, punctul
în care viteza discului față de bară este nulă.
Se obține din cele precedente, cu
observația că
0int dL
(4.153)
Pentru aceasta se consideră două
punct A și B aparținând rigidului, definite
prin vectorii de poziție
Ar și
Br. Aceste
puncte se interacționează prin forțele
F
și
F (fig. 4.17)

117
Lucrul mecanic elementar al acestor forțe este:
BAdF rrdF rdrdFrdFrdF dL B A B A B A 
(4.154)
Punctele A și B aparținând unui rigid,
BA este un vector de modul
constant și direcție variabilă, de unde rezultă că
BAd este perpendicular
pe
BA . Cum forța
F este colinară cu
BA se obține:
0BAdF
(4.155)
Procedând analog pentru toate perechile de puncte, se demonstrează
relația ( 4.153).
Rezultă că teorema energiei cinetice în cazul rigidului este (sub formă
diferențială);
extdL dE
(4.256)
Integrând, se obține teorema energiei cinetice su b forma finită:
1 1 O OL EE
(4.157)

Un sistem de puncte materiale
n iAi ,…,2,1 se nume ște
conservativ dacă forțele sale interioare derivă dintr -o funcție de forță
U(x 1, y1, z1, x2, y2, z2, …, x0, y0, z,), adică:
dU dLint
(4.158)
În acest caz există relația:
0 1 1,0int UU Ltt
(4.159)
Din relația ( 4.152) rezultă:
extdL UEd
(4.160)
Dacă se introduce noțiunea de energie potențială, definită la fel ca în
cazul punctului material , și anume :
1U V
(4.161)
atunci rezultă că:
extdL VEd
(4.162)

118
Dacă
0extdL
(4.163)
atunci se obține că:
. constVE
(4.164)
adică teorema conservării energiei mecanice se poate enunța astfel:
dacă lucrul mecanic elementar al forțelor exterioare care lucrează asupra
unui sistem conservativ este nul într-un interval de timp dat (t 0, t1), atunci
energia mecanică a sistemului este constantă în acel interval. O altă
formulare este următoarea: un sistem conservativ închis are energia
mecanică constantă.
De aici se deduce cum se poate determina energia potențială a unui
sistem la timpul t. Din ( 4.159) și (4.161) rezultă:
 VV UU LO ttO0 , int
(4.165)
deci
ttL VV, int 00
(4.166)
unde V0 este o constantă aditivă, care reprezintă tocmai energia
potențială a sistemului în momentul inițial t0.

Problema 4 .6.1

Să se determine momentul de inerție a
unei bare omogene (fig. 4.18):
3 32 3
2 2 lmldxx dmx Il l
A  

unde;
dx dm

119

Problema 4.6.2

Să se determine momentul de
inerție al unei plăci dreptunghiulare
omogene (fig. 4.19):

3 32 3
02
02 hmhb bdyy dmy Ih h
z   

unde
bdy dA dm 

Analog,
32bmJy

2 2
3hbmJJ Jy x O 

Aplicând teorema lui Steiner:
2
12hm JJx x

de unde
12 41
31
42
22
1mhmhhmJ Jx x 

și analog
122
1mbJy

120

Problema 4.6.3

Să se determine momentul de inerție al unui cilindru (disc) omogen
(fig. 4.20):
2 222 4
03
02 mR Rl dxxl dmx JR R 

unde;
dxxl dV dm  2

Se reține că valoarea momentului de inerție nu depinde de lungimea
l, deci
JJ0

Pentru cazul discului (fig. 4.21), aplicând teorema lui Steiner, rezultă:
2 2
23mR mRJ JO A 

Din motive de simetrie,
y xJJ

deci,
x y x J JJJ 20

4 22
0mR JJJy x 

121

Problema 4.6.4

Date: m, R, ω;

Se cer: J 0, Jc

 
 
m mR mRmRmR mR mRRmR m RmR mR mRmOOm J OCm J OOm J JB CB
64 48 64 4384322 3
2 1232 222
2 22
2 2 222 2 2
222
2 2 022
32
1 1 01 0
    


R Rm mmRmRmR m
mxmX
iii
C 41.11217
3 24322 2

 

2
0mdJ JC
,
unde m = masa totală a sistemului.
2 2 22
2958,51241247
12176 64 mR mR R m mR JC  

122

Problema 4.6.5

Date: m, R, ω ;

Se cer: J0, Jc

   
2
2 22
1 12
2 022
1 1 01 0
OCm J OCm JOOm J OOm J J
C C


 
22
2222
22
812271224 4224222
RmR mR mR mR mRmRmRm

22
222
22
2 2 2 2
66,1883218864349364 8 2
mRmRmRmRmRmRmRmR mR mR mR


Rmmm mRmRmRm Rm
mxmX
iii
C833
4 28 7 44 2

2
02
0 mdJ J mdJJC C 
,
unde m este masa totală a sistemului.
2 2 222
2 2 2
8,518415
810891888338 188 8 188
mR mR mRR m mR Xm mR JC C
 

123

Problema 4.6.6

Date: m1 = m
m2 – m2 = 3m

Se cer:
EKH ,,0

3 2 13 2 1 3 3
m mma ma mam
mymy
iii
C

 23
233
3 3 10
34m a a m m
m m m
m a a m ma
m m m  
  

25ayC

CvmH

25
25 amHayvC c

3 2 1 0 JJJJ 

 


2
32
3 2
22
2 2
12
1
0 3632 122amama mamama mJ

655
219
32
32
2 22am ammama

124

Problema 4.6.7

Date: m, R, ω ;

Se cer : J0, Jc




2222222
0
22 28 2123 26 2124 22 322 3
R mR mR mR mR mR mR mJ

2 2 22 2 2 2 2 2 2
16,23862523416 12823723812 6
mR mR mRmR mR mR mR mR mR mR


R RmRm Rm Rm Rm
mxmX
iii
C 22,4938
982 62 22 23

2
0mdJ JC
, unde m este masa totală a sistemului
22
22
255,779382389389 238 mR mR R m mR JC 


 

125

Problema 4.6.8

Date: m, R, ω ;
Se cer : J0, Jc


 
22
0 01 1 02 2
2
03 3
2222
22
2434 4 222
228012 12J J m OO J m O O
J m C O
mR mRm R m R
m R m Rm R m      
   
       
      

22 2
22
2222
2 2
17,1512 3215036434264 18
mRmR mRmRmRmRmRmRmRmR mR


RmRm mRm Rm
mxmX
iii
C722
72 0 44 8

2
0mdJ JC
,
unde m este masa totală a sistemului.
2 2
22
2222 221541 7 15177
57381,8577CJ mR m R mR
mR mR         


126

Problema 4.7.1

Date: m, R, ω ;
Se cer :
J0; Jc;
EKH ;; 0

Problema 4.7.2

Date: m, R, ω ;
Se cer :
J0; Jc;
EKH ;; 0

Problema 4.7.3

Date: m, R, ω ;
Se cer :
J0; Jc;
EKH ;; 0

127

Problema 4.7.4

Date: m, R, ω ;
Se cer:
J0; Jc;
EKH ;; 0

Problema 4.7.5

Date: m, R, ω ;
Se cer: J0; Jc;
EKH ;; 0

Problema 4.8.1

Se consideră sistemul format dintr -un troliu de raze r și R de greutate
P pe circumferința troliului fiind înfășurate două fire inextensibile de care
sunt prinse două corpuri, un corp atârnat de greutate G și momentul de
inerție J, în raport cu axa articu lației precum si un disc omogen de rază r0
și greutate Q ce se rostogolește fără alunecare pe planul orizontal, cu
frecare de alunecare definită de coeficientul necunoscut μ și frecare de
rostogolire definită de coeficientul cunoscut s, (fig. 4.32.a)

Se cere să se determine:
a) accelerația a a corpului atârnat;
b) tensiunile din fire S1 și S2, precum și reacțiunea din articulația O;
c) coeficientul de frecare de alunecare μ.

128

Corpul Mișcarea Deplasarea Viteza Accelerația Energia
cinetică
1 Translație
xx1
xv1
xa1
2
121xgGE
2 Rotație
Rx2
Rx2
Rx2
22
221
RxJ E
3 Plan-
paralelă
xRrx3
xRrv3
xRra3
2
22
'
321xgRQrE 
03rx
Rr

03rx
Rr
03rx
Rr
2
02
22
"
321
rx
RrJ EC

Rezolvare
a) Se numerotează corpurile, începând de la cel de greutate G, a
cărui mișcare se cere.
Analiza cinematică, împreună cu calculul energiei cinetice, este
prezentată în tabelul următor.
Momentul de inerție al discului omogen este:
22
0r
gQJC

Energia cinetică a întregului sistem este:

a) b)

129

2 "
3'
3 2 121xA EEEEE 
în care s -a notat masa redusă
22
223
gRQr
RJ
gGA 

Lucrul mecanic efectuat de forțele care acționează asupra sistemului
este:
Bxrx
RrsQ GxM GxLr

03 1

unde s -a notat forța redusă
QRrsrGB
0

Aplicând teorema energiei cinetice
L EE0 sau
Bx ExA02
21 ,
se obține, prin derivare în raport cu timpul:
Bx xxA 0 221
;
22
20
23
gRQr
RJ
gGQRrsrG
ABxa



b) Se izolează corpul 1 (fig. 4.32.c). Se aplică
teorema impulsului în raport cu axa Oy (verticală și
orientată în jos). Rezultă succesiv:
iyyFdtdH
;
1 1 SGagG
;

130




gaGS 11
Se izolează corpul 2 (fig. 4.32.d). Se aplică teorema impulsului în
raport cu axele Ox și Oy ale sistemului de referință din figură, precum și
teorema momentului cinetic în raport cu axa articulației. Rezultă succesiv:

ixxFdtdH
;
iyyFdtdH ;
00
iMdtdK
;
2 0 0 S H
;
1 0 0 SPV
;
rSRS J2 1 2
;
0 2 1R J aH S Sr r R
R RG JGar rg rR   
  
;



gaGPSP V 11 0

Se izolează corpul 3
(fig.4.32.e). Se aplică teorema
impulsului în raport cu axele Ox și
Oy ale sistemului de referință din
figură, precum și teorema
momentului cinetic în raport cu
centrul de masă C. Rezultă
succesiv, considerând și condițiile
de frecare:

131


    
Ns N FMdtdKFdtdHFdtdH
fiCC
iyy
ixx
rM ;; ; ;
1 2 3 FSagQ
;
QN0 ;
r fo C MFr J 3 ;
N Ff
;
sN Mr








Rgra
rs
NFgaQRrQrsagRQrFSgaQRrQrs
RrgraQrMrFsQ sN MQN
ffr fr
2232 21
0020 02
0
0


Expresia obținută pentru S2 prin izolarea corpului 2 diferă numai în
aparență de cea obținută prin izolarea corpului 3, deoarece nu s -a înlocuit
expresia accelerației a.
c) Din inegalitatea obținută la punctul precedent, rezultă
min ,
unde
Rgra
rs
NFf
20min 

132

Problema 4.8.2

Se consideră sistemul format dintr -un disc omogen de rază r și
greutate G, acționat de cuplul motor de moment constant M; pe
circumferința discului fiind înfășurat un fir inextensibil de care este prinsă o
roată de greutate Q și rază R precum și un corp de greutate P, atârnat de
centrul roții, (fig. 4.33.a)
– Se cere să se determine:
a) accelerația ε a troliului;
b) tensiunile din fire S1, S2 și S3, precum și reacțiunea din articulația O;
c) valoarea momentului M pentru ca mișcarea sistemului să fie
uniformă.

Rezolvare
a) Se numerotează corpurile ca în fig. 4.33.b.
Analiza cinematică, împreună cu calculul energiei cinetice, este
prezentată în tabelul următor:

Corpul Mișcarea Deplasarea Viteza Accelerația Energia
cinetică
1 Rotație
1

1

1
2
0 121J E
2 Plan-
paralelă
Rr
22

Rr
22

Rr
22
2
22
'
24 21  
RrJ EC
22rx


22rv

22ra
22
"
2421
gQrE
3 Translație
23rx

23rv

23ra
22
342Pr1
gE

133

a) b)
Momentele de inerție ale discurilor omogene 1 și 2 sunt, respectiv,
gGrJ22
0
;
gQRJC22

Energia cinetică a întregului sistem este:
2
3"
2'
2 121 A EEEEE
,
în care s -a notat momentul de inerție redus
g gQr
gGrA4Pr
83
22 2 2


Lucrul mecanic efectuat de forțele care acționează asupra sistemului
este
1 2 32rL M Qx Px M Q P B         

unde s -a notat momentul redus
PQrMB 2

134
Aplicând teorema energiei cinetice
L EE0 sau
  BE A02
21
, se obține, prin derivare în raport cu timpul:
  B A 0 221


g gQr
gGrPQrM
AB
4Pr
83
22
2 2 2



b) Se izolează corpul 1 (fig. 4.33.c). Se
aplică teorema impulsului și teorema momentului
cinetic. Rezultă succesiv:
 ;ixxFdtdH

 ;iyyFdtdH
 ;0
iOMdtdK

0 0H
;
1 00 SGV ;
1 10 rSM J

00H ;
gGrGrMSGV21 0
;
gGr
rMS21

Se izolează corpul 2 (fig. 4.33.d). Se aplică
teorema impulsului și teorema momentului cinetic.
Rezultă succesiv:
 ;iyyFdtdH

 ;iCcMdtdK
QSSSagQ3 2 1 2
;
RSRS JC 2 1 2 ;

.d

135





grQG
rM
Rr
gQRS SgrQ G QrM
gQrSSS
42 2243 2
2
1 22 1 3
Tensiunea S3 se poate obține mai ușor izolând corul 3
(fig. 4.33.e). În acest caz se aplică teorema impulsului.
Rezultă succesiv:
 ;iyyFdtdH

PSagP3 3

gPS2Pr
3
.
Înlocuind expresia accelerației unghiulare ε, se poate verifica
identitatea celor două expresii obținute pentru tensiunea S3.
c) Mișcarea sistemului este uniformă atunci când
0 .
Rezultă:
2rPQ M
;

Problema 4.8.3

Se consideră sistemul din fig. 4.34.a format dintr -un disc dublu
așezat pe o suprafață orizontală de raze r și R de greutate Q și momentul
de inerție J. Pe circumferința discului dublu fiind înfășurat un fir inextensibil
la capătul căruia se află o roata de rază r 0 și greutate P prin intermediul
căruia este prins un corp de greutate G ce se află pe o suprafață înclinată
cu un anumit unghi  față de orizontală.
Pentru sistemul din fig. 4.34.a, să se determine:
a) accelerația a;
b) tensiunile S1 și S2, precum și reacțiunea din articulația O;
c) coeficientul de frecare de alunecare μ3.
.e

136

Rezolvare

a) Se numerotează corpurile, începând de la cel de greutate G, a
cărui mișcare se cere.
Analiza cinematică, împreună cu calculul energiei cinetice, este
prezentată în tabelul următor.

Corpul Mișcarea Deplasarea Viteza Accelerația Energia cinetică
1 Translație
xx1
xv1
xa1
2
121xgGE
2 Rotație
02rx
02rx
02rx
2
241xgPE
3 Plan-
paralelă
rRrxx3
rRrxv
3
xrRra 3
2
22
'
3) (21xrRgQrE 
rRx
3

rRx

3
rRx

3
2
"
321
rRxJ EC

Energia cinetică a întregului sistem este:
2 "
3'
3 2 121xA EEEEE 
,
în care s -a notat masa redusă
.a

137

2 22
2 rRJ
rRr
gQ
gP
gGAC


Lucrul mecanic efectuat de forțele care acționează asupra sistemului
este:
Bx MxF GxLr f3 1 1 
,
unde s -a notat forța redusă
  QrRsGB  cos sin1

Aplicând teorema energiei cine tice
L EE0 sau
Bx ExA02
21 ,
se obține, prin derivare în raport cu timpul:

Bx xxA 0 221
;
 
2 221
2cos sin
rRJ
rRr
gQ
gP
gGQrRsG
ABxa
C





b) izolând corpul 1 rezultă, aplicând
teorema impulsului,
. ) cos (sin1 1gaG G S   

Izolând corpul 2 (fig.4.34.b) rezultă,
aplicând teorema momentului cinetic,
 2
0
2 0 1
00
1Pr 1
2
sin cos2aS r Sr g r
PaGGg    
    

138
iar apoi teorema impulsului,
 gaPG G SS H
2cos1 cos1 cos sin cos1 1 2 0
,
   sin sin cos sin sin1 1 0gaG GP SPV

c) Izolând corpul 3 rezultă, aplicând teorema impulsului,
 ga
rRQr PG GarRr
gQS Ff 
2cos sin1 2 

Din condiția de frecare de alunecare, se obține
min 3 , unde
 
Qga
rRQr PG G 

2cos sin1
min

Problema 4.9.1

Pentru sistemul din fig. 4.35, să se determine:
a) accelerația a;
b) tensiunile S1 și S2 din fire, precum și reacțiunea din articulația O;
c) coeficientul de frecare de alunecare μ1.

139

Problema 4.9.2

Se consideră sistemul
de corpuri din figura fig.
4.36 a format dintr -un disc
de greutate P și rază R 0,
disc ce este articulat in
punctul O. Pe circumferința
discului este trecut un fir
inextensibil de care la unul
din capete este atârnat un
corp de greutate G iar la
celălalt capăt se află un troliu având razele R și r, greutate Q ce se
rostogolește fără a lunecare pe un plan înclinat cu un anumit unghi  față
de orizontală având momentul de inerție J c.
Se cere să se determine:
a) accelerația unghiulara
 ;
b) tensiunile S 1 și S 2 precum și reacțiunea din articulația O;
c) coeficientul de frecare de alunecare
 .

140

Problema 4.9.3.

Pentru sistemele cu un grad de libertate de mai jos, să se
determine:
a) accelerația unghiulara
 ;
b) tensiunile S 1 și S 2 precum și reacțiunea din articulația O;
c) coeficientul de frecare de alunecare

P
P5

P2
P6

141
BIBLIOGRAFIE

142
CUPRINS

CINEMATICA ………………………….. ………………………….. ………… 1
1.1. Noțiuni introductive ………………………….. ………………………….. ……….. 1
1.2. Cinematica punctului material ………………………….. ……………………. 1
Traiectoria ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 2
Viteza ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………………. 2
Accelerația ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………… 3
Viteza unghiulară ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 3
Accelerația unghiulară ………………………….. ………………………….. ……………………… 3
1.2.1. Mișcarea punctului material în diverse sisteme de
coordonate ………………………….. ………………………….. ………………………….. ….. 4
1.2.2. Mișcări particulare ale punctului material ………………………….. ….. 7
1.3. Probleme rezolvate ………………………….. ………………………….. …………. 9
1.4. Probleme propuse ………………………….. ………………………….. ……….. 17
CINEMATICA RIGIDULUI . MIȘCAREA GENERALĂ A
RIGIDULUI ………………………….. ………………………….. ………………. 20
2.1. Introducere ………………………….. ………………………….. …………………… 20
2.2. Problema traiectoriilor (spațiul traiectoriilor) ……………………… 20
2.3. Distribuția vitezelor ………………………….. ………………………….. ……… 23
2.3.1. Distribuția accelerațiilor ………………………….. ………………………….. … 26
2.3.2. Mișcarea de translație ………………………….. ………………………….. …… 27
2.3.3. Mișcarea de rota ție ………………………….. ………………………….. ………. 29
2.3.4. Mișcarea elicoidală ………………………….. ………………………….. ……….. 33
2.3.5. Mișcarea plan -paralelă ………………………….. ………………………….. …. 35

143
2.3.5.1. Metode pentru determinarea distribuției de viteze ……………… 40
2.3.5.2. Metode pentru determinarea distribuției de accelerații ………. 41
2.3.6. Mișcarea sferică ………………………….. ………………………….. ……………. 41
2.4. Probleme rezolvate ………………………….. ………………………….. ………. 42
2.5. Probleme propuse ………………………….. ………………………….. ……….. 55
2.6. Mișcarea relativă a punctu lui material ………………………….. ……. 58
2.7. Probleme rezolvate ………………………….. ………………………….. ………. 60
2.8. Probleme propuse ………………………….. ………………………….. ……….. 66
DINAMICA PUNCTULUI M ATERIAL ………………………….. …….. 68
3.1 Noțiuni fundamen tale ………………………….. ………………………….. …… 68
3.1.1 Lucrul mecanic ………………………….. ………………………….. ………………. 68
3.1.2. Funcția de forță ………………………….. ………………………….. …………….. 69
3.1.3. Puterea ………………………….. ………………………….. …………………………. 72
3.1.4. Randamentul mecanic ………………………….. ………………………….. ….. 72
3.1.5. Impulsul ………………………….. ………………………….. ………………………… 73
3.1.6. Momentul cinetic ………………………….. ………………………….. ………….. 74
3.1.7. Energia mecanică ………………………….. ………………………….. …………. 74
3.2. Teoreme generale în dina mica punctului material …………….. 76
3.2.1. Teorema impulsului ………………………….. ………………………….. ……… 76
3.2.2. Teorema momentului cinetic ………………………….. ……………………. 77
3.2.3. Teorema energiei cinetice ………………………….. ………………………… 78
3.3 Ecuațiile diferen țiale ale mișcării punctului material …………… 79
3.3.1. Generalități ………………………….. ………………………….. ……………………. 79
3.3.2. Ecuațiile diferențiale ale mișcării punctului material …………. 80

144

DINAMICA SISTEMELOR DE PUNCTE MATERIALE ȘI A
RIGIDULUI ………………………….. ………………………….. ………………. 83
4.1. Noțiuni fundamentale ………………………….. ………………………….. ….. 84
4.1.1. Momente de inerție mecanice ………………………….. ………………….. 84
4.1.1.1. Definiții ………………………….. ………………………….. ………………………….. …….84
4.1.1.2. Relații între momentele de inerție ………………………….. ……………….. 86
4.1.1.3. Legătura dintre momentele de inerție mecanice și
geometrice ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 86
4.1.1.4. Raza de inerție (raza de girație) ………………………….. ………………….. 87
4.1.1.5. Variația momentelor de inerție ………………………….. ……………………. 87
4.1.1.6. Momente de inerție principale ………………………….. …………………….. 91
4.1.1.7. Elipsoidul de inerție ………………………….. ………………………….. …………… 92
4.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de forțe care
acționează asupra unui rigid ………………………….. ………………………….. . 94
4.4.1. Cazul general ………………………….. ………………………….. ……………….. 94
4.4.2. Cazuri particulare ………………………….. ………………………….. …………. 95
4.4.3. Impulsul ………………………….. ………………………….. ………………………… 96
4.4.4. Mo mentul cinetic ………………………….. ………………………….. ………….. 97
4.4.4.1. Cazul sistemelor de puncte ………………………….. ………………………….. .97
4.4.4.2. Cazul rigidului ………………………….. ………………………….. …………………….. 97
4.4.5. Energia cinetică ………………………….. ………………………….. …………… 103
4.4.5.1. Cazul sistemelor de punct ………………………….. ………………………….. 103
4.4.5.2. Cazul rigidului ………………………….. ………………………….. ………………….. 103
4.5. Teoreme generale în dinamica sistemelor de puncte
materiale și a rigidului ………………………….. ………………………….. ………. 109
4.5.1. Teorema impulsului ………………………….. ………………………….. ……. 109
4.5.1.1. Enunț și demonstra ție ………………………….. ………………………….. …….. 109

145
4.5.1.2. Teorema mișcării centrului de masă (de greutate) a
unui sistem de puncte materiale sau rigid. ………………………….. …………… 110
4.5.1.3. Conservarea impulsului ………………………….. ………………………….. ….. 111
4.5.2. Teorema momentului cinetic ………………………….. ………………….. 112
4.5.2.1. Enunț și demonstrație ………………………….. ………………………….. …….. 112
4.5.2.2. Conservarea momentului cinetic ………………………….. ………………. 113
4.5.3. Teorema energiei cinetice ………………………….. ………………………. 114
4.5.3.1. Enunț și demonstrație. ………………………….. ………………………….. ……. 114
4.5.3.2. Cazul rigidului ………………………….. ………………………….. ………………….. 116
4.5.4. Conservarea energiei mecanice ………………………….. ……………… 117
4.6. Probleme rez olvate ………………………….. ………………………….. …….. 118
4.7. Probleme propuse ………………………….. ………………………….. ……… 126
4.8. Probleme rezolvate ………………………….. ………………………….. …….. 127
4.9. Probleme propuse ………………………….. ………………………….. ……… 138
BIBLIOGRAFIE ………………………….. ………………………….. ……….. 141