Cinematica Punctului Material

CINEMATICA PUNCTULUI MATERIAL

Mărime scalară – mărimea complet caracterizată prin valoarea numerică; se calculează algebric; ex: masa, temperatura, densitatea etc.

Mărime vectorială – mărimea caracterizată prin modul, direcție, sens și punct de aplicație; se calculează vectorial; ex: forța, viteza, accelerația etc.

Corpurile pot fi considerate:

Solid rigid – corpurile pentru care se pot neglija deformările

Punct material – caracterizat numai prin masă, cu dimensiuni neglijabile

Mobil – corpul reprezentat printr-un punct, căruia i se pot neglija deformările, dimensiunile și masa

Traiectorie – linia (dreaptă sau curbă) descrisă de un corp în cursul mișcării sale

Vector de poziție – vectorul care unește reperul cu poziția corpului studiat la un moment dat

Vector deplasare – vectorul care unește poziția inițială cu proziția finală ale corpului studiat.

OBS: În mișcarea rectilinie vectorul deplasare coincide cu distanța parcursă iar în mișcarea curbilinie vectorul deplasare este diferit de distanța parcursă!!!

Deformare – modificarea formei unui corp sub acțiunea unei forțe

Deformările pot fi:

– elastice – când corpul revine la forma inițială după încetarea acțiunii forței deformatoare;

– plastice – când corpul nu mai revine la forma inițială după încetarea acțiunii forței deformatoare;

Abrevieri:

SR – sistem de referință

SRI – sistem de referință inerțial

MRU – mișcare rectilinie uniformă

MRUV – mișcare rectilinie uniform variată

MRUA – mișcare rectilinie uniform accelerată

MRUÎ – mișcare rectilinie uniform încetinită

MCU – mișcare circulară uniformă

Legea de mișcare:Este o relație ce exprimă dependența de timp a vectorului de poziție

Cu ajutorul proiecțiilor vectorului de poziție, pe componente, legea de mișcare se scrie:

OBS: Graficul legii de mișcare este total diferit de traiectorie!!!

VITEZA, VECTORUL VITEZĂ:

Viteza medie a unui punct material este egală cu raportul dintre vectorul deplasare și durata mișcării Δt:

Viteza momentană sau instantanee este egală cu derivata în funcție de timp a legii de mișcare:

OBS:

1.. În modul: ; unde este distanța parcursă

Direcția și sensul:

În mișcarea rectilinie viteza medie și momentană au direcția și sensul deplasării

În mișcarea curbilinie viteza medie are direcția și sensul vectorului deplasare (secant la traiectorie)

În mișcarea curbilinie viteza monetană are direcția tangentă la traiectorie și sensul deplasării

Unitate de măsură:

ACCELERAȚIA, VECTORUL ACCELERAȚIE:

Accelerația medie: este egală cu raportul dintre variația vectorului viteză și durata mișcării:

Accelerația instantanee sau momentană: este egală cu derivata vitezei în funcție de timp:

OBS:

1. Accelerația medie are direcția și sensul variației vitezei: aceeași direcție cu deplasarea în mișcarea rectilinie; secantă la traiectorie, orientată către interiorul acesteia în mișcarea curbilinie.

2. Accelerația momentană are direcția și sensul variației vitezei: aceeași direcție cu deplasarea în mișcarea rectilinie; normală pe traiectorie, orientată către interiorul acesteia (de-a lungul razei de curbură) în mișcarea curbilinie.

3. Unitate de măsură:

4. mișcarea circulară cu accelerație constantă în modul este mișcarea circulară

5. după sensul accelerației, a=constant, mișcarea rectilinie poate fi:

mișcare rectilnie uniformă dacă a=0

mișcare rectilnie uniform accelerată dacă a>0

mișcare rectilnie uniform încetinită dacă a<0

!!! În mișcarea curbilinie întotdeauna deoarece viteza își modifică direcția și sensul !!!

MIȘCAREA RECTILINIE UNIFORMĂ (MRU):

– este mișcarea pe o traiectorie rectilinie cu viteză constantă : a=0; vm=v

– legea MRU:

vectorial:

scalar:

dacă notăm:

MIȘCAREA RECTILINIE UNIFORM VARIATĂ (MRUV):

este mișcarea pe o traiectorie rectilinie cu accelerație constantă:

– Dacă:

a>0 – mișcare rectilinie uniform accelerată (MRUA) – viteza crește

a<0 – mișcare rectilinie uniform încetinită (MRUÎ) – viteza scade

– Notăm: v – viteza la momentul t

v0 – viteza la momentul inițial t0

– vectorul d poziție la momentul t

– vectorul d poziție la momentul inițial t0

x, x0 – coordonatele obiectului la momentele t și t0

a – accelerația

d=x-x0 – distanța parcursă

Δt=t-t0 – durata mișcării

legea vitezei:

scalar: , unde

legea de mișcare:

scalar: ; notând:

ecuația lui Galilei:

OBS:

1. în cazul MRUÎ (a<0; v0≠0) corpul se poate opri:

timpul până la oprire:

distanța până la oprire:

2. !!! Aria mărginită de graficul vitezei în coordonate (v,t) și axa timpului între punctele inițial și final ale mișcării este numeric egală cu distanța parcursă !!!

!!! Aria mărginită de graficul accelerației în coordonate (a,t) și axa timpului între punctele inițial și final ale mișcării este numeric egală cu variația vitezei !!!

3. în cazul mișcării sub acțiunea greutății , pe verticală, accelerația este egală cu accelerația gravitațională:

aruncarea pe verticală în jos: a= g >0

legea vitezei:

legea de mișcare:

ecuația lui Galilei:

căderea liberă (v0=0, a=g>0):

legea vitezei:

legea de mișcare:

ecuația lui Galilei:

aruncarea pe verticală în sus: a= – g<0

legea vitezei:

legea de mișcare:

ecuația lui Galilei:

înălțimea maximă atinsă:

timpul de urcare este egal cu cel de coborâre:

PRINCIPIILE MECANICII NEWTONIENE ȘI TIPURI DE FORȚE:

1. principiul inerției (principiul I): Un corp își menține starea de repaus sau mișcare rectilinie uniformă atâta timp cât asupra sa nu acționează alte corpuri care să-i schimbe această stare mecanică.

OBS:

1. Inerția = proprietatea corpurilor de a-și menține starea de repaus sau MRU atâta timp cât asupra lor nu acționează alte corpuri care să le schimbe această stare de mișcare

2. Masa = măsura inerției corpurilor;

3. sisteme de referință inerțiale:

– Sistemul de referință (referențialul) este format din reper, riglă și ceas.

– Este sistemul de referință în care este valabil principiul inerției

– SRI sunt în repaus sau MRU unele față de altele

2. principiul fundamental (principiul II):

Interacțiunea = acțiunea reciprocă dintre două sau mai multe corpuri

Interacțiunea poate fi:

La contact

La distanță (prin câmp)

Forța = mărimea fizică vectorială care măsoară interacțiunea

Forțele pot fi:

Active – care “produc” mișcare – pozitve

Rezistente – care se opun mișcării – negative

Efectele forțelor:

Dinamice – schimbarea stării de mișcare a unui corp

Statice – schimbarea formei corpului (deformarea)

Deseori efectele dinamice și statice ale forțelor apar simultan !!!

Enunț principiul fundamental al dinamicii:Vectorul forță este egal cu produsul dintre masă și vectorul accelerație.

OBS:

1. Vectorii forță și accelerație au aceeași direcție și același sens

2. Impulsul puctului material = mărimea fizică vectorială egală cu produsul dintre masă și vectorul viteză.

;

3. Impulsul și viteza au aceeași direcție și același sens

4. Forța medie care acționează asupra unui corp este egală cu variația impulsului în timp.(formularea lui Newton pentru principiul fundamental al dinamicii)

Valoarea momentană a forței:

Unde notăm impulsul forței

5. Aria suprafeței mărginită de graficul forței în coordonate (F,t) și axa timpului între momentele inițial și final ale mișcării este numeric egală cu variația impulsului !!!

6. unitatea de măsură a forței: (newton)

Newtonul este forța care, atunci când acționează asupra unui corp cu masa de 1kg îi imprimă o accelerație de 1m/s2.

3. principiul acțiunii și reacțiunii: Dacă un corp acționează asupra unui alt corp cu o forță numită acțiune, atunci și cel de-al doilea corp acționează asupra primului cu o forță egală în mdul și de sens contrar numită reacțiune.

OBS:

Denumirile de acțiune și reacțiune sunt arbitrare

Cele două forțe acționează asupra a două corpuri diferite !!!

4. principiul suprapunerii forțelor: Dacă mai multe forțe acționează asupra unui punct material în același timp, fiecare forță produce propria sa accelerație în mod independent de acțiunea celorlalte, accelerația rezultantă fiind egală cu suma vectorială a accelerațiilor independente.

Tipuri de forțe

1. GREUTATEA:

-Este forța de atracție a Pământului.

– Are sensul spre centrul Pământului.

, unde m-masa corpului (kg),

g- accelerația gravitațională (variază cu latitudinea și altitudinea) ,

g≈ 9,8 m/s2 ≈ 10 m/s2

2. NORMALA

– Este forța de reacțiune a suprafeței de sprijin.

– Are sensul întotdeuna perpendicular pe suprafața de sprijin.

3. FORȚA DE FRECARE

– Este forța care apare la contactul a două corpuri (apare datorită întrepătrunderii asperităților microscopice ale suprafețelor celor două corpuri care alunecă unul peste celălalt

– Are sensul opus mișcării corpului sau TENDINȚEI de mișcare și punctul de aplicație la suprafața de contact dintre corpuri

– Poate fi:

statică – dacă cele două corpuri sunt în repaus unul față de celălalt;

cinetică (la alunecare) – când cele două corpuri alunecă unul peste celălalt;

la rostogolire – când un corp se rostogolește peste celălalt

– legile frecării la alunecare

Forța de frecare la alunecare dintre două corpuri nu depinde de aria suprafețelor aflate în contact.

Forța de frecare la alunecare dintre două corpuri este direct proporțională cu apăsarea normală pe suprafața de contact.

Ff~N

Forța de frecare la alunecare dintre două corpuri depinde de natura și de gradul de șlefuire al suprafețelor aflate în contact prin coeficientul de frecare la alunecare μ.

OBS:

Coeficientul de frecare la alunecare:

este o constantă specifică perechii de suprafețe aflate în contact – depinde de natura și de gradul de șlefuire al celor două suprafețe

Nu depinde de viteza corpurilor aflate în contact

este o mărime adimensională:

unghiul de frecare φ – unghiul planului înclinat care corpul alunecă rectiliniu uniform: μ=tgφ

– unghiul dintre normala la suprafața de contact și rezultanta forțelor de contact Fc

4. TENSIUNEA

– este forța de întindere care acționează în fire, cabluri, bare, tije etc., supuse acțiunii unei forțe exterioare.

– acționează în toate punctele firului

– dacă firul este ideal (masa neglijabilă și neelastic) are aceeași valoare în orice punct de-a lungul firului

– oriunde am secționa firul, acționează două forțe egale în ambele direcții, conform principiului acțiunii și reacțiunii.

5. FORȚA ELASTICĂ

– este forța care apare în fire elastice și resorturi

– este proporțională cu valoarea deformației și de sens contrar deformației

– este egală în modul și de sens opus forței deformatoare

Unde k- constanta elastică (N/m)

x = l = l – l0= alungirea / deformarea (m)

l0 = lungimea inițială (m)

l = lungimea finală (m)

OBS:

– în cazul deformării elastice a unui fir, cablu, resort etc. Se aplică legea lui Hooke:

Unde: E – modulul lui Young (modul de elasticitate) – specifică materialului (N/m2)

F – forța deformatoare

S0 – aria secțiunii firului (m2)

– sarcină sau efort unitar;

– alungire relativă;

– constanta de elasticitate;

TEOREME DE VARIAȚIE ȘI LEGI DE CONSERVARE ÎN MECANICĂ

LUCRUL MECANIC

– O forță care acționează asupra unui corp efectuează un lucru mecanic atunci când punctul ei de aplicație se deplasează pe o distanță d ()

– Este o mărime fizică scalară

– Este o mărime de proces.

– Lucrul mecanic al unei forțe constante care își deplasează punctul de aplicație pe o distanță este egal cu produsul scalar dintre vectorii forță și deplasare:

; unde α = unghiul dintre vectorii și

OBS:

Lucrul mecanic poate fi:

Dacă

Dacă (forța motore efectuează un lucru mecanic motor, pozitiv)

Dacă

Dacă (forța rezistentă efectuează un lucru mecanic rezistent, negativ)

Dacă (forța normală pe direcția de deplasare nu efectuează lucru mecanic; poate influența forța de frecare)

unitatea de măsură a lucrului mecanic:

(joule)

Un joule este lucrul mecanic efectuat de o forță de 1N pentru a-și deplasa punctul de aplicație cu 1m pe direcția și în sensul forței.

interpretarea geometrică a lucrului mecanic:

– Lucrul mecanic al unei forțe al cărei punct de aplicație se deplasează pe distanța este numeric egal cu aria suprfeței mărginită de graficul forței în coordonate (F,x) și axa Ox între punctele inițial și final ale mișcării.

; vectorial:

Lucrul mecanic efectuat de greutate în câmp gravitațional uniform:

– lucrul mecanic al greutății este egal cu produsul dintre modulul greutății G și diferența de înălțime h dintre punctele inițial și final ale mișcării

, unde h = hinițial – hfinal !!!

– Este independent de drumul parcurs

– Câmpul gravitațional este un câmp conservativ de forțe: câmpul forțelor al căror lucru mecanic depinde numai de pozițiile inițială și finală, fiind independent de drumul parcurs.

Lucrul mecanic efectuat de forța elastică:

– Se calculează prin metoda grafică (aria trapezului ABCD), forța elastică fiind o forță variabilă;

dacă alungirea variază de la x1 la x2,

dacă resortul este inițial nedeformat (x1=0), iar deformarea finală este x2=x,

– Semnul (-) arată faptul că forța elastică are sens opus deplasării, este o forță rezistentă, deci efectuează un lucru mecanic rezistent (negativ)

– Forța deformatoare (forță activă) efectuează un lucru mecanic egal și de semn contrar (activ) cu al forței elastice.

Lucrul mecanic efectuat de forța de frecare la alunecare:

– forțele de frecare sunt forțe rezistente, deci vor avea un lucru mecanic rezistent

; unde d – distanața parcursă

OBS: Pentru deplasarea pe o suprafață orizontală sub acțiunea unei forțe paralele cu deplasarea .

Puterea dezvoltată de o forță constantă:

puterea mecanică medie este mărimea fizică scalară egală cu raportul dintre lucrul mecanic efectuat și timpul necesar producerii acestuia:

puterea momentană: sau

OBS:

1. (watt)

Un watt este puterea unui sistem care efectuează un lucru mecanic de 1J într-o secundă

2. Unitate de măsură tolerată: 1 cal putere (notat și 1CP) = 736W

ENERGIA MECANICĂ

– este o mărime fizică scalară ce caracterizează starea unui sistem mecanic.

– caracterizează capacitatea unui sistem mecanic de a efectua lucru mecanic.

– energia este o mărime de stare

–

– Este de două tipuri: energie cinetică și energie potențială.

– Energia mecanică a unui corp este egală cu suma dintre energiile cinetică și potențială ale corpului la un moment dat: E= Ec+ Ep

Energia cinetică a unui punct material:

– Este energia pe care o posedă un corp aflat în mișcare

– Energia cinetică a unui corp cu masa m care se deplasează cu viteza față de un sistem de referință, este egală cu semiprodusul dintre masa și pătratul vitezei sale:

– Același corp poate avea energii cinetice diferite dacă îi raportăm mișcarea la sisteme de referință diferite !!!

– Energia cinetică a unui sistem este egală cu suma energiilor cinetice ale tuturor componentelor sistemului

Teorema de variație a energiei cinetice a punctului material:

Variația energiei cinetice a unui punct material care se deplasează în raport cu un SRI este egală cu lucrul mecanic efectuat de forța rezultantă care acționează asupra punctului material în timpul acestei variații:

Forța conservativă: Este forța al cărei lucru mecanic nu depinde de drumul parcurs, depinde numai de pozițiile inițială și finală (Exemplu: greutatea, forța elastică, forța electrostatică )

Energia potențială:

– Este energia pe care o are un corp datorită poziției sale într-un câmp conservativ de forțe

– Relația de definiție a energiei potențiale:

Variația energiei potențiale a unui sistem mecanic este egală și de semn opus cu lucrul mecanic efectuat de forțele conservative care acționează în interiorul sistemului

– Pentru a determina energia potențială a unei stări a sistemului mecanic trebuie stabilită arbitrar o stare de referință, căreia să îi corespundă energia potențială egală cu zero.

– Variația energiei potențiale gravitaționale a sistemului format din corpul de masă m și Pământ:

Se consideră uniform câmpul gravitațional.Când distanța de la corp până la Pământ se modifică de la h la h’:

Dacă se atribuie valoarea zero energiei potențiale a corpului aflat pe Pământ, când acesta se află la înălțimea h va avea energia potențială:

– Variația energiei potențiale de tip elastic a sistemului corp – resort elastic:

Atunci când deformarea unui resort se modifică de la x1 la x2, variația energiei potențiale este:

Dacă se atribuie convențional energie potențială zero stării nedeformate a resortului, energia sa potențială când deformarea este x:

Legea conservării energiei mecanice: Într-un câmp conservativ de forțe, energia mecanică a unui corp se conservă (este constantă)

OBS:

– În timpul mișcării energia cinetică se poate transforma în energie potențială și invers astfel încât suma lor să rămână constantă

– Dacă în sistem acționează forțe neconservative (ex: forța de frecare) energia mecanică nu se mai conservă

Teorema variației energiei mecanice: Variația energiei mecanice a unui sistem este egală cu lucrul mecanic al forțelor neconservative

IMPULSUL MECANIC

– teorema de variație a impulsului unui punct material:

Variația împulsului punctului material este egală cu impulsul forței aplicate acestuia:

Se consideră masa copului constantă

;

unde este impulsul forței

– legea conservării impulsului punctului material:

Impulsul unui punct material izolat se conservă în SRI:

– teoremei de variație a impulsului total al unui sistem format din două puncte materiale:

Impulsul total al unui sistem de două puncte materiale este egal cu suma impulsurilor punctelor materiale din sistem:

Într-un sistem mecanic pot acționa două tipuri de forțe:

Forțe interne (F12, F21) care au rezultantă nulă; ele pot redistribui impulsul între punctele materiale din sistem, fără a modifica valoarea impulsului total

Forțe externe (F1, F2) care acționează din exterior asupra sistemului și pot modifica impulsul total; rezultanta lor este:

Variația impulsului total al unui sistem de 2 puncte materiale într-un interval de timp Δt, este egală cu impulsul rezultantei forțelor externe ce acționează asupra sistemului în acest interval de timp:

unde este impulsul rezultantei forțelor externe

– legea conservării impulsului total:

Impulsul total al unui sistem izolat se conservă (rămâne constant)

– ciocniri:

Ciocnirea este interacțiunea dintre două sau mai multe corpuri cu durată fiită, foarte mică

Înainte și după ciocnire corpurile nu interacționează

– ciocniri plastice:

În cazul în care, în urma ciocnirii corpurile rămân unite, ciocnirea se numește plastică

Viteza a corpului rezultat în urma ciocnirii:

Unde m1, m2 – masele corpurilor implicate în ciocnire

– vitezele celor două corpuri imediat înainte de ciocnie

în timpul ciocnirii plastice, o parte din energia cinetică inițială a corpurilor se transformă în alte forme de energie, de obicei căldură Q:

Unde se numește masă redusă a sistemului

se numește viteză relativă a unui corp față de celălalt

– ciocniri perfect elastice:

este ciocnirea în urma căreia corpurile se separă, fără să fi suferit deformări în timpul ciocnirii, urmându-i mișcarea independent

Se aplică legile conservării impulsului și energiei:

Se consideră ciocnirea în plan orizontal, deci energia potențială este constantă, variind numai energia cinetică

Vitezele u1 și u2 ale celor două corpuri în urma ciocnirii vor fi:

Viteza relativă a unui corp față de celălalt înainte de ciocnire își schimbă semnul, dar are același modul după ciocnire:

Cazuri particulare:

Ciocnirea unidirecțională dintre două corpuri cu mase egale:

; corpurile schimbă vitezele între ele ca și cum ar trece unul pe lângă altul fără să se atingă

Ciocnirea frontală cu un corp cu masă foarte mare (cu un perete) m2>>m1 astfel încât viteza acestuia nu se schimbă:

;

Ciocnirea frontală cu un perete aflat în repaus:

;

viteza după ciocnire a primului corp este egală și de semn contrar cu viteza înainte de ciocnire

MIȘCAREA CIRCULARĂ UNIFORMĂ

– mărimi fizice caracteristice mișcării uniform circulare (perioadă, frecvență, viteză unghiulară, accelerație centripetă):

Mișcarea circulară uniformă (MCU) – este mișcarea pe o traiectorie în formă de cerc, cu viteză constantă în modul.

Este o mișcare periodică – se repetă la intervale de timp egale

Mărimi caracteristice:

Perioada T = durata unei rotații complete

;

Unde Δt = durata mișcării

N = total numărul de rotații

Frecvența ν = numărul de rotații efectuate în unitatea de timp

;

Frecvența și perioada sunt mărimi inverse

Turația n = numărul de rotații efectuate într-un minut

Raza vectoare = vectorul care unește centrul traiectoriei cu poziția corpului la un moment dat pe cerc

Viteza unghiulară ω = unghiul la centru traversat de raza vectoare în unitatea de timp

Unde θ – unghiul făcut cu axa Ox de raza vectoare la momentul t; θ0 – unghiul făcut cu axa Ox de raza vectoare la momentul inițial t0;

;

Radianul (rad) este unghiul la centru care subscrie un arc de cerc cu lungimea egală cu raza cercului:

;

corespondență:

Viteză liniară = distanța parcursă de corp pe cerc (lungimea arcului de cerc Δs) în unitatea de timp:

;

Este tangentă la traiectorie și are sensul deplasării

Accelerația centripetă = variația vectorului viteză în unitatea de timp:

Are direcția razei traiectoriei și sensul către centrul cercului

Relații de legătură între mărimile specifice:

– forța centripetă:

Este forța care menține corpul în mișcare rectilinie uniformă

Imprimă corpului accelerația centripetă

Are direcția razei traiectoriei și sensul către centrul cercului

Rol de forță centripetă pot juca tensiunea dintr-un fir legat de un corp care se rotește, atracția gravitațională, interacțiunea electrică etc.

– forța centrifugă

Este o forță inerțială specifică mișcării curbilinii

Are direcția razei de curbură și sensul către exteriorul cercului

– legea de mișcare pentru mișcarea uniform circulară: