Cinematica este capitolul mecanicii clasice care studiaza misca rea corpurilor [606866]

1 Cursul nr.2

CINEMATICA

Cinematica este capitolul mecanicii clasice care studiaza misca rea corpurilor
fara a tine cont de cauzele care stau la baza miscari i. Termenului cinematica
vine de la cuvantul grecesc kinemat=miscare.

1. Notiuni fundamentale ale cinematicii

1.1 Punctul material
Pentru a descrie miscarea in spatiu a unui corp este necesa r sa se utilizeze
notiuni din geometrie, cum ar fi: punctul, pozitia unui punct in spatiu, curba,
distanta dintre doua puncte, etc. Deoarece geometria opereaz a cu concepte
abstracte, fara corespondent in lumea fizica reala, este necesar sa se recurga
la unele simplificari care sa permita tratarea realita tii fizice cu ajutorul
matematicii. De exemplu, datorita faptului ca un corp rea l are dimensiuni
spatiale finite nu este posibil sa se precizeze pozitia lui i n spatiu utilizand
coordonatele carteziene x,y,z, care determina pozitia unui punct geometric in
spatiu in timp ce spatiul ocupat de corp contine o infinitate de pun cte. Din
acest motiv corpul material este asimilat cu un punct ge ometric in care este
concentrata toata masa, m, a corpului. Astfel studiul miscarii corpului se
reduce la descrierea miscarii unui punct geometric in spat iu. Aceasta
simplificare poarta denumirea de aproximatia punctului material , iar punctul
geometric cu care este asimilat corpul se numeste punct material . In general,
aceasta simplificare are sens in cazul in care dimens iunile obiectului sunt
mult mai mici decat distantele parcurse de el.

Figura 2.1 . Aproximatia punctului material

2 1.2 Pozitia punctului material in spatiu. Raza vectoare

In matematica pozitia unui punct in spatiu este descrisa de c oordonatele
Carteziene x,y,z, asa cum este ilustrat in figura 1.2a. Deoarece in majoritatea
cazurilor studiate in fizica avem de-a face cu marimi vectoriale spatiale, este
mai comod sa se defineasca pozitia unui punct in spatiu cu aju torul unei
marimi vectoriale decat prin setul de marimi scalare ( x,y,z ) din descrierea
carteziana. Determinarea pozitiei cu ajutorul unui vector es te prezentata in
figura 2.2b. Vectorul rr poarta denumirea de raza vectoare . Vectorul
rrdefineste in mod unic pozitia punctului in spatiu deoarece el are modulul,
directia si sensul determinate de pozitia punctului.

Figura 2.2. Determinarea pozitiei unui punct in spatiu cu ajutorul
coordonatelor carteziene (a) si cu ajutorul razei vectoa re (b).

Intre coordonatele carteziene ( x,y,z ) si raza vectoare rrexista urmatoarea
relatie,

k zj y i x rrrrr++ = , (1)

unde jirr,si kr
sunt vectorii versori ai directiilor x,y si z. Modulul ve ctorilor
versori este egal cu unitatea.

3
Aceasta relatie demonstreaza echivalenta dintre cele modal itati de a defini
pozitia unui punct in spatiu.

1.3. Traiectoria miscarii, distanta si vectorul deplasare. Ecuatiile de
miscare

Traiectoria miscarii este curba descrisa de punctul materi al in timpul
miscarii sale (Fig. 2.3). Sa presupunem ca la momentul initial ti punctul
material se gasea in punctul A, caracterizat de vectorul de pozitie irr, iar la
momentul final tf al miscarii el ajunge in punctul B, caracterizat de vectoru l
de pozitie frr. In intervalul de timp i ft tt − =∆ vectorul de pozitie al
punctului material variaza de la irr la frr. Vectorul deplasare rr∆ se defineste
ca fiind diferenta dintre vectorul frr si irr:

i frrrrrr−=∆ . (2)

Figura 2.3. Totalitatea punctelor din planul x-y prin care trece punct ul
material in miscare definesc traiectoria miscarii. Dis tanta parcursa de
punctul material este egala cu lungimea segmentului de curba AB.

Modulul vectorului deplasare rr∆ poarta denumirea de deplasare .
Lungimea, s∆, a segmentului de traiactorie intre punctele A si B este
distanta parcursa de punctul material. Este de remarcat ca, in g eneral,

4 deplasarea nu este egala cu distanta. De exemplu, in ca zul unei traiectorii
inchise punctul material pleaca din punctul A si dupa parc urgerea traiectoriei
revine in punctul A. Este evident ca in acest caz deplasrea este egal cu zero,
0=∆rr. In schimb, distanta parcursa s∆ este egala cu lungimea traiectoriei
inchise.

Deoarece pozitia punctului material se modifica in timp rezulta ca
coordonatele acestuia zyx,, sunt functii continue si uniforme de timp:

)( ); ( ); ( tzztyytxx = = = . (3)

Setul de ecuatii (3) poarta denumirea de ecuatiile de miscare . Prin
eliminarea timpului din ecuatiile de miscare se obt ine ecuatiile traiectoriei
sub forma:

0),,(1 =zyxF si 0),,(1 =zyxF . (4)

De fapt, cele doua ecuatii definesc doua plane a ca ror intersectie este chiar
traiectoria.

1.4. Curbura si raza de curbura a traiectoriei

Sa consideram doua puncte A si B pe o traiectorie c urbilinie oarecare, asa
cum este indicat in Fig.2.4. Versorii tangentelor l a traiectorie in aceste
puncte ii notam cu Aτrsi, respectiv, Bτr. Normalele la tangetele din punctel A
si B se intersecteaza in punctul C. Este usor de ob serava ca atunci cand
punctul B tinde spre punctul A, arcul de curba ∆s se suprapune peste arcul
de cerc de raza R cu centrul in C. Tinand cont de a ceasta observatie se
defineste raza de curbura a traiectoriei in punctul A ca fiind:

dθds
∆θ∆sR
∆θ= =
→0lim . (5)

Inversul razei de curbura poarta denumirea de curbura :

ds dθ
RC ==1. (6)

5

Figura 2.4 . Raza de curbura a unei traiectorii oarecare

Normala la curba in punctul A este perpendiculara l a tangenta. Din punct de
vedere matematic exista o infinitate de normale la curba in punctul A. Totusi
din punct de vedere fizic prezinta interes numai do ua directii ale normalei.
Prima directie este de-a lungul razei R, iar versor ul nr al normalei este
indreptat inspre centrul de curbura, C. Aceasta nor mala poarta denumirea de
normala principala. A doua normala, case numeste binormala si are versorul
definit de produsul vectorial:

n brrr
×=τ . (7)

Din figura 2.4 rezulta ca

2sin 2∆θ∆θ∆ ≈ =τ τrr(in radiani), (8)

unde am tinut cont ca atunci cand A tinde spre B si τ τ τrrr= →B A , iar
1=τr. In acest caz τr∆devine perpendicular pe τr. Astfel,

ndθd
∆θ∆
∆θrrr
= =
→τ τ
0lim sau Rn
ds drr
=τ. (9)

6 Aceste relatii poarta denumirea de formulele lui Frénet .

1.5. Viteza

Pentru a studia miscarea unui mobil pe traiectorie este necesara cunoasterea
directiei si sensului miscarii precum si modul in c are pozitia pe traiectorie a
mobilului se modifica in timp. Din aceasta cauza pe langa traiectorie,
vectorul deplasare si distanta, este necesara intr oducerea unor marimi fizice
care sa contina informatii cu privire la modificare a in timp a pozitiei
mobilului pe traiectorie. Aceste marimi sunt viteza si acceleratia.

Viteza scalara este viteza medie pe o portiune de traiectorie AB de lungime
s∆ si se defineste prin raportul

ts
∆∆=v , (10)

unde t∆este intervalul de timp in care a fost parcurs inte rvalul AB.

Viteza instantanee sau momentana scalara in punctul A la momentul t se
defineste ca fiind raportul dintre distanta ds parcursa de mobil si intervalul
de timp infinit mic dt in care a fost parcursa:

dt ds
ts
∆t=∆∆
→=lim
0v . (11)

Vectorul viteza medie se defineste ca fiind variatia vectorului deplasare in
unitate de timp:

∆tr∆rr=v . (12)

Asa cum se poate observa din figura 2.5, vectorul v iteza medie are aceiasi
directie si sens cu vectorul deplasare rr∆.

Vectorul viteza instantanee sau momentana se obtine la limita 0→∆t ,
atunci cand punctul B A→ , si se de fineste ca fiind:

7 dt r d
∆tr∆lim v
0rrr= =
→∆t. (13)

Figura 2.5. Vectorul viteza si vectorul viteza medie pentru o miscare
curbilinie oarecare.

Deoarece, la limita B A→ , vectorul rdreste tangent la traiectorie si tinand
cont ca in acest caz arcul este egal cu coarda, ds r d=r, relatia (13) poate fi
scrisa sub forma,

τ τ τrrrrrrv v = = = =dt ds r ddt r d, (14)

unde vectorul τr este versorul tangentei la traiectorie in sensul c resterii
arcului ds. Este de notat ca, spre deosebire de caz ul vectorului viteza,
modulul vectorului viteza instantanee este egal cu viteza instantanee
scalara. Din aceasta cauza in mod curent nu se face distinct ia explicita intre
vectorul viteza instantanee si viteza instantanee s calara, utilizandu-se
notiunea generala de viteza instantanee . Astfel, viteza instantanee este o
marime vectoriala tangenta la traiectorie a carui m odul este egal cu distanta
parcursa de mobil raportata la intervalul de timp i nfinitezimal, dt, in care a
fost parcursa.

8 Observatie. Deoarece in mod curent ne intereseaza distanta parc ursa de un
mobil s∆, nu deplasarea lui r∆, in practica se utilizeaza termenul de viteza
scalara si instantanee definite de relatiile (10),( 11) si (14).

1.6 Acceleratia

Intr-o miscare curbilinie oarecare viteza vr variaza si ca marime (modul) si
ca directie. O marime a aceste variatii este vector ul acceleratie. Analog
vectorului viteza, acceleratia medie si acceleratia momentana se definesc cu
ajutorul urmatoarelor relatii:

Acceleratia medie: ∆tv∆rr=a (15)

Acceleratia momentana: 22
0∆tv
∆v∆lim dt rd
dt d
tarrrr= = =
→. (16)

Asa cum rezulta din relatia (16) acceleratia ar este derivata de urdinul unu a
vitezei sau derivata de ordinul doi a vectorului de pozitie rr in raport cu
timpul. Pentru a determina directia vectorului acce leratie instantanee, sa
derivam in raport cu timpul relatia (16) tinand con t ca viteza instantanee este
data de relatia (14):

()
dt ds
ds d
dt dv
dt d
dt d
dt d
dt daτττττrrrrrrrv vv v v+ = + = = = . (17)

Tinand cont de formulele lui Frénet (9), aceasta re latie devine:

na anR dt dan trrrrr+ = + = τ τ2v v, (18)

unde

22v
dt sd
dt dan = = , (19)

9 iar

Ran2v= . (20)

Figura 2.6. Acceleratia normala si tangentiala intr-o miscare curbilinie
oarecare. Acceleratia tangentiala τ τ τrrrr
22v
dt sd
dt daat t = = = este tangenta la
traiectorie si are aceiasi directie si sens cu vite za vr fiind datorata variatiei in
timp a modulului vitezei. Acceleratia normala nRna an nrrr2v= = este
normala la traiectorie find indreptata spre interio rul acesteia si este datorata
variatiei directiei vitezei in timp.

Asa cum se poate observa din relatia (18), vectorul acceleratie are doua
componente. O componenta tangenta la curba, a carui modul este egal cu a t,
si una normala la curba de modul a n. Ele poarta poarta denumirea de
acceleratie tangentiala (a t) si, respectiv, acceleratie normala (a n).
Componenta tangentiala este datorata variatiei modu lului vitezei, iar cea
normala este datorata variatiei directiei vectorulu i viteza, asa cum este
ilustrat in Fig.2.6. In concluzie, este important de remarcat ca variati ei
oricarui dintre parametrii care definesc vectorul v iteza (modul si directie) ii
corespunde o acceleratie specifica.

10 EXEMPLE

1. Miscarea uniforma variata .

Daca acceleratia tangentiala taa mobilului pe traiectorie este constanta in
timp , miscarea se numeste uniform variata . In cazul in care traiectoria este o
linie dreapta, miscarea se numeste rectilinie uniform variata . In cazul unei
miscari rectilinii uniforme acceleratia tangentiala este egala cu acceleratia
totala, taa=, deoarece in acest caz acceleratia normla este ega la cu zero,
0=na . Acest lucru este usor de demonstrat daca se tine cont ca raza de
curbura a unei drepte tinde la infinit, ∞→R .
Din relatia (16), care leaga viteza momentana de ac celeratie, rezulta

adt d=v . (21)

Prin integrarea acestei relatii obtinem pentru vite za instantanee expresia

∫∫=adt dv sau Cat +=v , (22)

unde C este o constanta de integrare. Constanta de integrare trebuie astfel
determinata, incat legea vitezei (22) sa satisfaca conditiile intiale ale
miscarii. Daca presupunem ca la inceputul miscarii 0=t viteza mobilului
era 0v, atunci

C a+ =0 . v0 , sau 0v=C . (23)

Tinand cont de aceasta valoare a constantei de inte grare, obtinem pentru
dependenta de timp a vitezei instantanee urmatoarea expresie:

at + =0vv . (24)

Termenul at reprezinta cu cat s-a modificat viteza in timpul t. Astfel viteza
v la momentul t este egala cu viteza la momentul initial al miscar ii 0v ,
plus modificare vitezei at .

11 In mod similar, integrand ecuatia dt ds v= si tinand cont ca at + =0vv ,
obtinem

2
0 021v at t ss + += , (25)

unde 0s reprezinta spatiul la momentul initial, 0=t . Eliminand timpul intre
ecuatile vitezei (24) si a spatiului (25) se obtine ecuatia lui Galileu:

) (2v v02
02ssa− + = . (26)

Ecuatiile (24), (25) si (26) poarta denumirea de ec uatiile miscarii uniforme
variate.

Observatie!!! In aplicarea ecuatiilor miscarii uniform variate t rebuie sa se
tina cont daca miscarea este accelerata sau deceler ata (incetinita). In cazul
miscarii accelerate acceleratia este pozitiva ( 0>a ) iar in cazul miscarii
incetinite acceleratia este negativa ( 0<a ).Acest lucru poate fi facut in
doua moduri : (1) fie la scrierea ecuatiilor (24-26 ) se pune in fata termenului
care contine acceleratia semnul ″ ±″, tinand in continuare cont ca pentru
miscarea accelerata semnul este plus iar pentru cea incetinita minus. In acest
caz valoarea numerica a acceleratiei este intotdeau na pozitiva, (2) fie se
scriu ecuatiile cu semnul plus, iar atunci cand se inlocuieste acceleratia cu
valoarea sa numerica se tine cont ca aceasta este p ozitiva pentru miscarea
accelerata si negativa pentru miscarea incetinita.

In cazul miscarii uniform variate ecuatia de miscare (25) este o parabola in
planul ts− (Fig. 2.7). Tangenta la parabola este chiar viteza instantanee.
Grafic ecuatia vitezei este ecuatia unei drepte. Pa nta dreptei este acceleratia,
iar aria marginita de dreapta este spatiul s∆ parcurs de mobil in intervalul
de timp t∆.

Atentie!!! Sa nu se confunde curba atasata ecuatiei de miscare in planul
ts− cu traiectoria. Mentionam ca planul ts−nu este un plan in spatiul
real, in timp ce traiectoria este o curba in spatiu l fizic xyz .

12

Figura 2.7. Reprezentare in planul ts−a ecuatia de miscare )(tssi ecuatia
vitezei )(vt pentru o miscare uniform variata.

2.Miscarea circulara

In miscarea circulara traiectoria este un cerc de r aza R (Fig.2.8). In acest caz
in orice punct de pe traiectorie raza de curbura es te egala cu raza cercului.
Viteza instantanee este tangenta la cerc si este da ta de relatia:

()ωα αRdt dRdt Rd
dt ds = = = =v , (27)

unde

dt dαω= (28)

este viteza unghiulara instantanee si reprezinta unghiul descris de raza in
unitate de timp, [] s rad SI / =ω .

Perioada, T, a miscarii circulare este egala cu timpul in care mobilul executa
o rotatie completa. Tinand cont de definitia viteze i unghiulare (28) si de

13

Figura 2.8. Acceleratia centripeta si tangentiala i n miscarea circulara.

faptul ca unghiul descris de raza cercului pentru o rotatie completa este de
rad π2 , obtinem pentru perioada urmatoarea relatie:

ωπ2=T . (29)

Frecventa, ν, miscarii circulare reprezina numarul de rotati com plete
efectuate de mobil intr-o perioada :

πων21==T. (30)

In SI perioada se masoara in secunde iar frecventa in Hertzi, [] s TSI =iar
[] Hz sSI = =−1ν .
Acceleratia tangentiala, tar, este datorata variatiei in timp a modulului
vitezei vr si este data de relatia

εωRdt dRdt dat = = =v, (31)

unde

14
22
dt d
dt d α ωε = = . (32)

este acceleratia unghiulara in miscarea circulara, []2s rad SI =ω .
Conform relatiei (20), acceleratia normala sau cent ripeta este

R an22
vRvωω= = = . (33)

Este de notat ca acceleratia normala este datorata modificarii in timp a
directiei vectorului viteza, vr. Unitatea de masura in SI atat pentru ta , cat si
pentru na este 2sm .

In cazul miscarii circulare uniforme modulul vitezei este constant in timp
constant v= , prin urmare si viteza unghilara este constanta ω=constant. In
acest caz ε=0, at=0, dar 0an≠.

In miscarea circulara uniform variata acceleratia unghilara este constanta
.ct =ε La fel ca si in cazul miscarii rectilinii uniform variate prin integrarea
ecuatiei (32), se obtine ecuatia vitezei unghiulare si ecuatia de miscare sub
urmatoarea forma:

tε ωω + =0 (34)

si
2
0 021t t ε ω αα + + = . (35)

Ecuatiile (34) si (35) sunt similare cu ecuatiile ( 24-25) din cazul miscarii
rectilinii uniform variate.

Pentru a determina vectorul viteza unghiulara, ωr, vom tine cont ca

Rdt Rd ds ωθ= = . (36)

15 Pentru unghiuri mici, unde dl ds ≈ , relatia (36) devine

Rdt dl ω= . (37)

Figura 2.9. Vectorul viteza unghiulara, ωr.

Asa cum se poate observa din figura 2.9 coarda si r aza cercului sunt marimi
vectoriale ( ldr
si Rr
), iar relatia dintre modulele acestor marimi si mo dulul
vitezei unghiulare ω este data de expresia (37). In mod normal se pune
urmatoarea intrebare: cum se defineste vectorul ωr a carui modul sa fie dat
de relatia (37). Din figura 2.9 rezulta ca daca vec torul ωr este definit ca fiind
un vector a carui directie este perpendiculara pe planul cercului cu sensul
dat de regula burghiului, atunci relatia (37) nu es te altceva decat modulul
produsului vectorial

dt R ldrrr
×=ω . (38)

Tinand cont de aceasta relatie, se obtine pentru ve ctorul viteza, vr, si
acceleratie, ar, expresiile:

Rrrr
r×= = ωdt l dv (39)
si

16 ( ) ( )R R Rdt d darrrrrrrrr××+×=× = = ωω ε ωdt v, (40)

unde am tinut cont ca dt Rd
dt l drr
= . In cazul unei miscarii circulare uniforme
0=εr, iar relatia (40) devine

( )R arrrr××= ωω . (41)