Cinematica 1.1. Noţiuni introductive Cinematica studiază mişcarea mecanică fără a se ţine seama de mase şi de forţe, urmărindu-se doar aspectul ei… [304895]

Licență

Cinematica 1.1. Noţiuni introductive Cinematica studiază mişcarea mecanică fără a se ţine seama de mase şi de forţe, urmărindu-se doar aspectul ei… [304895]

Byadmin ianuarie 1, 2024

Cinematica

1.1. Noţiuni introductive
Cinematica studiază mişcarea mecanică fără a se ţine seama de mase şi de forţe, urmărindu-se doar aspectul ei geometric. În cinematică intervin două dintre noţiunile fundamentale ale mecanicii, şi anume: spaţiu şi timp.
Se poate vorbi aici despre doua sisteme de referinţă:
un sistem de referinţă fix – unde mişcarea unui corp în raport cu acest sistem fix poartă denumirea de Mişcare Absolută.
un sistem de referinţă mobil – unde mişcarea unui corp în raport cu acest sistem mobil poartă denumirea de Mişcare Relativă.

1.2. Cinematica punctului material
/
Fig. 1.1.

Mişcarea punctului material este cunoscută dacă putem să precizăm la orice timp poziţia punctului şi cum se mişcă acesta faţă de un sistem de referinţă.
(1.1)
Mişcarea punctului material este:
continuă;
uniformă;
de clasă C2 (finită în modul);
[anonimizat], acceleraţiei.

Traiectoria
Locul geometric al poziţiilor succesive ale punctului material în mişcare (la vârful vectorului de poziţie ) se numeşte traiectorie.
a) Sistem de coordonate cartezian
(1.2)
b) Sistem de coordonate cilindric
(1.3)
Dacă se cunosc coordonatelecare determina biunivoc poziţ[anonimizat]ţia vectorului echivalează cu cunoaşterea funcţiilor scalare:
(1.4)
/
Fig. 1.2.

Viteza

(1.5)

(1.6)
– viteza este un vector tangent la traiectorie:
Acceleraţia
/
Fig. 1.3

(1.7)

Viteza unghiulară
/
Fig. 1.4.

(1.8)

Acceleraţia unghiulară
(1.9)

1.2.1. Mişcarea punctului material în diverse sisteme de coordonate

Fig. 1.5.

a) Sistemul de coordonate cartezian

(1.10)
(1.11)
(1.12)
(1.13)

(1.14)
(1.15)

b) Sistemul de coordonate polar

– unghiul polar.
– ecuaţia analitică a traiectoriei (1.16)
(1.17)
(1.18)
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

c) Sistemul de coordonate cilindric

Fig. 1.6.

[anonimizat]ţie este definit ca o funcţie vectorială de trei coordonate scalare independente între ele.
(1.26)
Cunoaşterea mişcării punctului revine la cunoaşterea funcţiilor:

d) Sistemul de coordonate intrinseci (triedrul Frenet)
Se foloseşte atunci când se cunoaşte traiectoria punctului.

– ecuaţia orară a mişcării (1.27)
tangenţiala,
normala principală,
binormala.
– ecuaţia intrinsecă a traiectoriei (1.28)
Notaţii:

(1.29)

(1.30)

ρ- raza de curbură a traiectoriei.

(1.31)

Observaţii:
* [anonimizat] şi zero dacă viteza este constantă.
* numai in mişcarea rectilinie.

1.2.2. Mişcări particulare ale punctului material

Mişcarea rectilinie
a) uniformă dacă se mişcă cu )

(1.32)
b) uniform variată

(1.33)

Mişcarea circulară

a) în coordonate carteziene
R,

b) în coordonate polare (fig. 1.10)

c). în coordonate intrinseci (fig. 1.11)

1.3. Probleme rezolvate
Problema 1.3.1.
Să se determine:
1. traiectoria, viteza şi acceleraţia pentru un punct material ale cărui ecuaţii parametrice de mişcare în coordonate carteziene sunt:
.
2. reprezentarea grafică pentru ; ; ; ; .
Soluţie
a) Traiectoria.
.
/
Fig. 1. 12

Traiectoria reprezintă o elipsă cu centrul în C(0,0), având semiaxe .
b) Viteza.

c) Acceleraţia.

2. Reprezentarea grafică:
Timp/s

Poziţia
x
5

0
–5
5

y
0

3
0
0

Viteza
vex
0

0
0

vey

0

Acceleraţia
aix

0

aiy
0

0
0

/
Fig. 1. 13
/
Fig. 1. 14

Problema 1.3.2.
Se consideră ecuaţiile parametrice ale traiectoriei: . Se cere:
1) traiectoria viteza şi acceleraţie;
2) reprezentarea grafică pentru ; .
Soluţie
1) Pentru aflarea traiectoriei din ecuaţiile parametrice se elimină parametrul ce depinde de timp.

Viteza:

Acceleraţia:

/
Fig. 1.15.

2. Reprezentare grafică:
Punctul:

A

1

–2

0

B

0
0
0
–1
0
4
0
4

Problema 1.3.3.

Se consideră mecanismul de bare articulate din figura 1.16, unde O1A = O3B = l, AB = O1O3 = 2l, , . Se cer:
a) ecuaţiile parametrice ale mişcării punctului M;
b) viteza şi acceleraţia punctului.
/
/

Fig. 1. 16

Soluţie:
a) Pentru a afla ecuaţiile parametrice ale punctului M, trebuie să parcurgem următoarele etape:
ne alegem un sistem de coordonate cartezian;
scriem coordonatele punctului M (vectorul ).

Traiectoria punctului M este cerc cu centrul în punctul C(λ,0) şi rază l.

b)

Se ştie că
.
Acceleraţia:

Problema 1.3.4.

Pe semicercul din figură se ală 2 puncte materiale, P1 şi P2. Punctele P1 şi P2 pornesc simultan din A: unul pe diametrul AB ce are o mişcare uniformă cu viteza vo, iar punctul P2 pe semicerc. Punctul P2 pleacă din repaus şi are o mişcare uniform accelerată. Cele două puncte ajung simultan în B. Se cer:
a) ecuaţia orară a punctului P1, s1(t) = ?;
b) ecuaţia orară a punctului P2, s1(t) = ?;
c) viteza punctului P2, în coordonate Frenet, v2 = ?, la t = tB;
d) acceleraţia punctului P2, în coordonate Frenet, a2 = ?, la t = tB.
/
Fig. 1.17.
Soluţie:
a)

Constanta de integrare c1 se determină din condiţiile iniţiale.
La , . Ecuaţia orară este:

b)

Din condiţiile iniţiale de poziţie şi viteză rezultă constantele c2 şi c3:
;. Ecuaţia orară este: .
c) la .
Punctul P2 parcurge arcul de cerc AB;

.
d)

Problema 1.3.5.

/
Fig. 1. 18

Se consideră o bară AB care alunecă de-a lungul a doi pereţi (unul vertical şi unul orizontal) ca în figura 1.18. La distanţa d faţă de capătul din A se găseşte un punct material M. Capătul din A se deplasează cu .
Se cere să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia punctului M.

Soluţie:
Pentru aflarea ecuaţiilor parametrice ale traiectoriei în punctul M, scriem coordonatele acestui punct care elimină timpul (t).
/
Fig. 1.19.

.
Prin ridicare la pătrat şi adunare, obţinem:

Traiectoria punctului M este o elipsă cu centrul în O(0,0) şi de semiaxe şi .
Viteza:

Pentru aflarea vitezei punctului M trebuie să-l determinăm pe .
Pentru aflarea lui ne folosim de faptul că .

.

.
Acceleraţia:

1.4. Probleme propuse

Problema 1.4.1.
Se consideră ecuaţiile parametrice ale traiectoriei .
Se cere:
1) traiectoria, viteza şi acceleraţia;
2) reprezentare grafică pentru ; ; .

Problema 1.4.2.

Se consideră ecuaţiile parametrice ale traiectoriei:
sunt constante pozitive.
Se cere:
1) traiectoria, viteza şi acceleraţia;
2) reprezentare grafică pentru : .

Problema 1.4.3.

Se consideră un cerc de rază R pe care se află două puncte (P1, P2), care pornesc simultan din punctul M, ca în figura 1.20. Punctul P1 se mişcă uniform încetinit, iar punctul P2 îşi păstrează constant modulul vitezei. Punctele P1 şi P2 se întâlnesc în B, unde P1 se opreşte.
Se cere:
a) Legea de mişcare a punctului P1;
b) Poziţia punctului B unde se opreşte P1;
c) Timpul de la începutul mişcării până la întâlnire.

/
Fig. 1. 20

Problema 1.4.4.

Se consideră mecanismul bielă-manivelă din fig. 1.21, unde O1A = R, AM = r, BM = (.
Pentru cunoaşterea mişcării punctului M se cere să se determine ecuaţiile parametrice ale traiectoriei, viteza şi accelerația în funcţie de parametrul (.
/
Fig. 1. 21

Problema 1.4.5.

Se consideră ecuaţiile parametrice ale traiectoriei: .
Se cere să se determine traiectoria, viteza şi acceleraţia.

Cinematica rigidului. Mişcarea generală a rigidului
2.1. Introducere
Modelului de corp rigid îi corespunde în tehnică o formă geometrică bine definită (fig. 2.1) care poate fi descrisă cu ajutorul unui sistem de referinţă (ortogonal în mod curent) legat de corp.
În general, un ansamblu rigid poate fi descompus în corpurile geometrice din care este alcătuit.
Dar, prin mişcarea mecanică se înţelege schimbarea în timp a poziţiei în spaţiu a unui corp în raport cu altul ales ca reper.
Aşadar, studiul mişcării unui corp presupune şi alegerea unui reper, a unui sistem de referinţă, considerat fix.
Prin urmare pentru determinarea elementelor mişcării rigidului (traiectorii, viteze, acceleraţii) este necesară alegerea a două sisteme de referinţă:
un sistem de referinţă (presupus) fix O,x,y,z, şi
un sistem de referință mobil O,x,y,z,O’,x’,y’,z’ solidar cu rigidul în mişcare.

2.2. Problema traiectoriilor (spaţiul traiectoriilor)
Fie punctul curent M al rigidului care are coordonatele (x1,y1,z1) faţă de sistemul de referinţă fie şi coordonatele (x,y,z) faţă de sistemul de referinţă mobil.
Ca urmare pentru vectorii din relaţia:
(2.1)
se poate scrie:
; şi
(2.2)
Dacă ((i,(i,(i) sunt cosinuşi directori ai axelor sistemului de referinţă mobil faţă de cel fix, adică:
; ;
; ;
; ; (2.3)
Atunci:

(2.4)

Fig. 2.1.

Dacă se înlocuiesc relațiile (2.4) şi (2.5) în (2.1) rezultă prin identificarea coeficienţilor lui şi:
x1 = x0 + (1x + (2y + (3z
y1 = y0+(1x+(2y+(3z (2.5)
z1 = z0 + (1 x +(2y + (3z

Se folosesc următoarele notaţii matriciale:

; ; (2.6)
(2.7)
Cu [R] s-a notat matricea rotaţiilor sistemului de referinţă mobil faţă de cel fix.
Cu aceste notaţii relaţia vectorială (2.1), respectiv ecuaţiile (2.5), se scriu:
{r1}= {r0}+[R]{r} (2.8)
Relaţia (2.8) rezolvă problema traiectoriilor dacă se cunoaşte legea de mişcare a originii sistemului de referinţă mobil faţă de cel fix, adică funcţiile x0(t), y0(t), z0(t) şi legile de variaţii ale cosinuşilor directori, adică funcţiile (i(t), (i(t), (i(t); i =1,2,3.

Observaţie:
Relaţia (2.8) se mai poate pune şi sub forma:
(2.9)
unde I – este matricea unitate

Sau într-o reprezentare în coordonate omogene sub forma:

Sau:
(2.10)

2.3. Distribuţia vitezelor

Viteza unui punct curent M al rigidului faţă de triedrul fix T1 rezultă prin derivarea relaţiei (2.10):
(2.14)
unde: – este viteza punctului faţă de sistemul de referinţă fix;
– – reprezintă viteza originii sistemului de referinţă mobil faţă de cel fix. Adică:
(2.15)
Pentru calculul lui se are în vedere că x,y,z, coordonatele punctului M, în raport cu sistemul de referinţă mobil sunt constante, deci . Aşadar:
(2.16)
sunt derivatele unor versori, adică ai unor vectori de mărime unitate şi de direcţie variabilă care, aşa cum s-a văzut în cazul coordonatelor polare, sunt noi vectori rotiţi cu în sensul de variaţie al unghiului lor de poziţie.
Dacă se are în vedere că proiecţia unui vector pe o axă ( de versor este dată de produsul scalar , atunci pentru şi se poate scrie:

(2.17)

Sau:
(2.18)

Din relaţiile (2.3) şi (2.4) prin derivare rezultă că:
; ; (2.19)
; ; (2.20)
Din relaţiile (2.19) rezultă că proiecţiile care apar în matricea pătrată pe diagonala principală sunt nule. Din relaţiile (2.20) rezultă celelalte proiecţii pe care le vom nota cu:
; ; (2.21)
Cu aceste relaţii (2.18) se scrie:
(2.22)
Atunci:
; ; (2.23)

Dacă se interpretează scalarii (x,(y,(z drept componentele unui vector :

Rezultă că:
; ; (2.24)
deoarece

În mod analog se verifică şi celelalte relaţii (2.24). Relaţiile (2.24) se numesc formulele lui Poisson.

Cu aceasta rezultă că (2.16) se scrie:

Adică:
(2.25)
Prin urmare relaţia (2.15) se scrie:
(2.26)

Această relaţie dă distribuţia de viteze în mişcarea generală a rigidului şi este cunoscută sub numele de formula lui Euler pentru distribuţia de viteze.
Formula lui Euler poate fi scrisă matricial astfel:
(2.27)
Sau dezvoltat:
(2.28)
Unde este matricea antisimetrică ataşată vectorului .

2.3.1. Distribuţia acceleraţiilor

Dacă se derivează relaţia (2.27) în raport cu timpul, se obţine acceleraţia unui punct curent al acestuia, adică:

(2.29)
Unde: – este acceleraţia originii sistemului de referinţă mobil.
– este acceleraţia unghiulară
Deoarece rezultă că relaţia (29) se scrie:
(2.30)
Relaţia (2.30) se numeşte formula lui Rivals pentru distribuţia de acceleraţii în mişcarea generală a rigidului.
Relaţia (2.30) mai poate fi scrisă matricial sub forma:

(2.31)
Unde şi sunt matricele antisimetrice ataşate vectorilor şi .
Relaţia (2.32) dezvoltată capătă forma:
(2.32)

2.3.2. Mişcarea de translaţie
Un rigid are mişcare de translaţie dacă o dreaptă oarecare a lui rămâne paralelă cu ea însăşi tot timpul mişcării.
Pot fi translaţii rectilinii, circulare şi oarecare (alte mişcări)

Un rigid în mişcare de translaţie în spaţiu are trei grade de libertate, poziţia lui fiind determinată de trei funcţii scalare independente: ,,. Cum sistemele fix şi mobil au fost alese cu axele paralele, rezultă că versorii ,, au direcţii fixe.

va rezulta că: .
a) Studiul vitezelor
Plecând de la formula generală:

şi ţinând seama de relaţiile şi , se obţine formula distribuţiei de viteze în mişcarea de translaţie:
(2.33)
adică, la un moment dat, toate punctele au aceeaşi viteză ca vector liber.
În mişcarea de translaţie, vectorul viteză este un vector liber.

b) Studiul acceleraţiilor
Pornind de la formula generală:
.
şi ţinând seama de relaţiile şi , se obţine formula distribuţiei de acceleraţii în mişcarea de translaţie:
(2.34)
adică, la un moment dat, toate punctele rigidului au aceeași acceleraţie ca vector, care este prin urmare în această mişcare un vector liber (fig. 2.3).

2.3.3. Mişcarea de rotaţie
Un rigid are mişcare de rotaţie dacă două puncte ale lui rămân fixe tot timpul mişcării. Cele două puncte fixe definesc axa mişcării de rotaţie.

Problema traiectoriei

-ec. parametrice ale traiectoriei (2.35)

Distribuţia de viteze şi acceleraţii

(2.36)
(2.37)
(2.38)
Vectorii şi se scriu:
(2.39)
(2.40)
În mişcarea de rotaţie vectorul are direcţia axei de rotaţie, la fel şi , ei sunt vectori alunecători.

a) Distribuţia de viteze
(2.41)
(2.42)

(2.43)

Proprietăţi:

Fig. 2.5.

singurele puncte de viteză nulă se găsesc pe axa de rotaţie.
vectorul viteză se găseşte într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie.
pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie vitezele sunt egale între ele.
pe o dreaptă perpendiculară pe axa de mişcării de rotaţie, vitezele variază proporţional cu distanţele de la punct la axa de rotaţie.

b) Distribuţia de acceleraţii

(2.44)
(2.45)

Proprietăţi:

Fig. 2.6

singurele puncte de acceleraţie nulă se găsesc pe axa de rotaţie.

vectorii acceleraţie se găsesc într-un plan perpendicular pe axa de rotaţie.
pe o dreaptă paralelă cu axa de rotaţie acceleraţiile au aceeaşi valoare.
pe o dreaptă perpendiculară pe axa mişcării de rotaţie, acceleraţia variază proporţional cu distanţa de la punct la axa de rotaţie.

Observaţii:
mişcarea de rotaţie este uniformă dacă .
mişcarea de rotaţie este uniform variată dacă .
mişcarea de rotaţie este variată dacă .
turația ; viteza unghiulara când se cunoaşte turaţia se determina astfel:
(2.46)

2.3.4. Mişcarea elicoidală
Un rigid are mişcare elicoidală dacă două puncte ale sale se găsesc tot timpul mişcări pe o dreaptă fixă din spaţiu numită axa mişcării elicoidale.

Problema traiectoriei

(2.47)
Distribuţia de viteze şi acceleraţii

a) Distribuţia de viteze
(2.48)

Proprietăţi:
în mişcarea elicoidală nu există puncte de viteză nulă.
punctele de viteză minimă se găsesc pe axa mişcării elicoidale.
pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale, vitezele au aceeaşi valoare.
pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale, vitezele variază liniar.

b) Distribuţia de acceleraţii
(2.49)
(2.51)

Proprietăţi:
în mişcarea elicoidală nu există puncte de acceleraţie nulă.
punctele de acceleraţie minimă se găsesc pe axa mişcării elicoidale.
pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale, acceleraţiile au aceeaşi valoare.
pe o dreaptă paralelă cu axa mişcării elicoidale, acceleraţiile variază liniar.

Caz particular – mişcarea de şurub
Un rigid în mişcare elicoidală are mişcare de şurub dacă sunt îndeplinite condiţiile:
(C→constantă) (2.50)
Rigidul are un grad de libertate şi dacă la o rotaţie completă în jurul lui (∆) rigidul se deplasează pe (∆) cu un pas:
(2.51)

2.3.5. Mişcarea plan-paralelă
Un rigid are mişcare plan paralelă dacă trei puncte ale sale, necoliniare rămân tot timpul mişcării într-un plan fix.

Problema traiectoriei

(2.52)

Distribuţia de viteze şi acceleraţii

a) Distribuţia de viteze
(2.53)

Proprietăţi:
în mişcarea plan paralelă există puncte de viteză nulă; ele se găsesc pe o dreaptă perpendiculară pe planul mişcării. Punctul de viteză nulă din planul mişcării se numeşte C.I.R (centrul instantaneu de rotaţie) sau polul vitezelor şi se notează cu I (ξ,η,ζ ).
(2.54)
distribuţia de viteze în mişcarea plan paralelă este identică cu cea din mişcarea de rotaţie, ca şi cum rigidul s-ar roti în jurul CIR-ului.

Se numeşte BAZĂ – locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie faţă de sistemul de referinţă fix.
Se numeşte ROSTOGOLITOARE – locul geometric al centrului instantaneu de rotaţie faţă de sistemul de referinţă mobil.

Baza şi rostogolitoarea sunt tangente în centrul instantaneu de rotaţie iar rostogolitoarea se rostogoleşte fără să alunece peste bază.

b) Distribuţia de acceleraţii
(2.55)
(2.56)

Proprietăţi:

în mişcarea plan paralelă există puncte de acceleraţie nulă. Punctul de acceleraţie nulă se numeşte polul acceleraţiilor sau centrul instantaneu al acceleraţiilor, notat cu J (u,v).

(2.57)
(2.58)
distribuţia de acceleraţii în mişcarea plan paralelă este identică cu cea din mişcarea de rotaţie ca şi cum rigidul s-ar roti în jurul polului acceleraţiilor.

(2.59)

2.3.5.1. Metode pentru determinarea distribuţiei de viteze

a) Metoda CIR-ului
Metodă grafoanalitică ce se bazează pe proprietatea că distribuţia de viteză arată ca o mişcare de rotaţie în jurul CIR-ului.
Necesităţi:
– să se cunoască mecanismul la scară (ke).
– să se cunoască viteza unui punct al rigidului ca vector.
– să se cunoască direcţia vitezei unui alt punct al rigidului.

b) Metoda ecuaţiilor vectoriale şi a planului vitezelor
(2.60)
→ viteza lui B faţă de A ca şi cum A ar fi fix.

Planul vitezelor
Planul vitezelor se construiește ducând vectori echipolenţi cu vectorii viteză ai punctelor rigidului dintr-un pol numit polul vitezelor.

2.3.5.2. Metode pentru determinarea distribuţiei de acceleraţii

Metoda ecuaţiilor vectoriale şi a planului acceleraţiilor

(2.61)

2.3.6. Mişcarea sferică

Un rigid are mişcare sferică dacă un punct al lui rămâne fix.

– unghi de nutaţie,
– unghi de rotaţie proprie,
– unghi de precesie

a) Distribuţia de viteze

b) Distribuţia de acceleraţii

2.4. Probleme rezolvate
Problema 2.4.1.

/
Fig. 2. 16

/
Fig. 2. 17

Se consideră placa dreptunghiulară OABC unde OA = BC = 3 m, AB = OC = 4 m, care se roteşte în planul său, în jurul punctului O cu turaţia n 120 rot/min.
Se cere să se determine viteza şi acceleraţia punctelor A, B, C, M.

Soluţie:
Metoda I: .

m/s.
m/s.
m/s.
m/s.

(( = const.)

Toate punctele considerate au numai acceleraţie normală, deoarece ( = const.
/
Fig. 2. 18

Problema 2.4.2.

/
Fig. 2. 19

Se consideră rigidul din figura 2.19, la care se cunosc dimensiunile: OA = AB = 2l; O’B = O’C = care se roteşte cu viteza unghiulară .
Se cere distribuţia de viteze şi acceleraţii.

Soluţie:

.

/
distribuţia de viteze
/
distribuţia de acceleraţii

Fig. 2. 20

Problema 2.4.3.
/
Fig. 2. 21

Paralelipipedul OABCDEFH din fig. 2.21, de laturi OA = 0,1 m, OC = 2 m, OD = 0,3 m, se roteşte în jurul diagonalei OF după legea .
Se cere să se determine vitezele şi acceleraţiile punctelor A, B, C, D, E, G.
Soluţie:
Pentru determinarea vitezelor se utilizează formula lui Euler: .

-
(deoarece punctul O se află pe axa de rotaţie)

Pentru determinarea acceleraţiilor se foloseşte formula lui Rivals.

(deoarece punctul O se află pe axa de rotaţie)
.

.

/
Fig. 2. 22a

Problema 2.4.4.

Pentru bara din figura 2.22, care rămâne tangentă la cercul de rază r, iar capătul O2 alunecă pe tangenta orizontală a cercului, se cer baza şi rostogolirea mişcării.

/
Fig. 2.22.b

Proiectând punctul I pe axele fixe (O2x1y1) obţinem ecuaţiile parametrice ale bazei.

Eliminând parametrul ( rezultă ecuaţia bazei:
Proiectând punctul I pe axele mobile, obţinem ecuaţiile parametrice ale rostogolitoarei:

Eliminând parametrul ( se obţine ecuaţia rostogolitoarei:
.

Problema 2.4.5.

Se consideră un mecanism format din 5 elemente articulate între ele ca în figura 2.23. Ştim toate elementele geometrice (lungimi si unghiuri ) şi, ca elementul conducător, OA se mişcă după legea ω = ω0 =cost.
Se cer: Distribuţia de viteze şi acceleraţii, folosind metoda planului de viteze şi a planului de acceleraţii.

/
Fig. 2.23.
Soluţie:
Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan-paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan-paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie. (fig.2.24.a,b)
;
;
;

;

;

/
a)
/
b)

Fig. 2. 24

Problema 2.4.6.

Date: ω = ct; toate elementele geometrice. (fig. 2.25a)
Se cer:
;;;; ω2; ω3; ω4 = ?
;;;ε2; ε3; ε4 = ?
/
Fig. 2.25.

Soluţie:
Elementul 1 are mişcare de rotaţie, elementul 2 are mişcare plan-paralelă, elementul 3 are mişcare de rotaţie, elementul 4 are mişcare plan-paralelă, elementul 5 are mişcare de translaţie.
/
Fig.2.25a.

;

/
Fig.2.25b.

2.5. Probleme propuse
Problema 2.5.1.
/
Fig. 2. 26

Paralelipipedul OABCDEFG din figura 2.26 se roteşte în jurul laturii OE după legea de variaţie . Se cunosc laturile paralelipipedului OA = 0,1 m; OC = 0,2 m, OE = 0,3 m.
Se cere să se determine:
a) ( = ? pentru t = 2s;
b) ( = ? pentru t = 2s;
c) distribuţia de viteze pentru t = 2s.
d) distribuţia de acceleraţie pentru t = 2s.

Problema 2.5.2.

Se consideră mecanismul format din două bare articulate de lungimi O1A = l şi AB = 2l (fig. 2.24), care se mişcă în plan, poziţiile lor la un moment dat fiind date de parametrii ( şi (. Se cere să se determine vitezele şi acceleraţiile punctelor A şi B la momentul dat de parametrii ( şi (.

/
Fig. 2.27.

Problema 2.5.3.

Se consideră un mecanism plan format din patru bare articulate (fig. 2.25). Se cunosc toate elementele geometrice (dimensiuni şi unghiuri), precum şi viteza elementului conducător .
Se cere să se determine distribuţia de viteze şi acceleraţii.

/
Fig. 2. 28

Problema 2.5.4.

Se dă mecanismul din figura 2.29 pentru care se cunosc dimensiunile mecanismului, poziţia acestuia şi mişcarea elementului conducător: ω1 = constant.

Fig. 2. 29

Se cer:
a) Distribuţia de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotaţie (se vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului şi vitezele unghiulare ale elementelor);
b) Distribuţia de viteze cu metoda planului de viteze;
c) Distribuţia de acceleraţii cu metoda planului de acceleraţii.

Problema 2.5.5.

Se dă mecanismul din figura 2.30 pentru care se cunosc dimensiunile mecanismului, poziţia acestuia şi mişcarea elementului conducător: ω1 = constant.

Fig. 2. 30
Se cer:
a) Distribuţia de viteze cu metoda centrului instantaneu de rotaţie (se vor indica pe desen vitezele punctelor mecanismului şi vitezele unghiulare ale elementelor);
b) Distribuţia de viteze cu metoda planului de viteze;
c) Distribuţia de accelerații cu metoda planului de accelerații.

2.6. Mişcarea relativă a punctului material

(2.62)
Mişcarea Absolută – mişcarea punctului fată de sistemul de referinţă fix, traiectorie, viteză, acceleraţie.
Mişcarea Relativă – mişcarea punctului faţă de sistemul de referinţă mobil, traiectorie, viteză, acceleraţie.
Mişcarea de Transport – mişcarea punctului solidarizat cu sistemul de referinţă mobil, viteză, acceleraţie.

Derivata absolută sau locală a unui vector

(2.63)

(2.64)
- viteza unghiulară a sistemului de referinţă mobil.

Observaţii:

derivata absolută şi relative a vectorului este identică.

Compunerea vitezelor şi acceleraţiilor în mişcarea relativă a punctului

(2.65)
(2.66)
(2.67)
(2.68)
(2.69)
(2.70)

(2.71)
(2.72)
(2.73)
(2.74)
- acceleraţia Coriolis, complementară
(2.75)

2.7. Probleme rezolvate
Problema 2.7.1.

/
Fig. 2. 33a

Se consideră o culisă M care se deplasează pe cadrul OAB după legea . În acelaşi timp cadrul se roteşte în jurul punctului O după legea . Se cere să se determine viteza absolută şi acceleraţia absolută pentru culisa M.
Soluţie: .
Mişcarea relativă: este reprezentată de mişcarea culisei. Ea este o mişcare rectilinie după legea .
Mişcarea de transport: este reprezentată de mişcarea culisei împreună cu cadrul, dacă încetează mişcarea relativă, deci este o mişcare circulară după legea , pe cercul de rază
/
Fig. 2.33.b

Calculul vitezei absolute:

;

/
Fig.2.33c

Calculul acceleraţiei absolute:

/
Fig.2.33d

Pentru a determina mărimea acceleraţiei, se proiectează relaţia vectorială a acceleraţiei absolute pe cele două axe de coordonate, ca în fig. 2.33d.

Problema 2.7.2.

/
Fig. 2. 34a

Se consideră axul vertical O1O2 pe care se găseşte o bară sudată de el şi înclinată cu unghiul ( (fig. 2.34). Pe bară se află o culisă M ce se deplasează după legea . Culisa se roteşte în jurul axei O1O2 după legea .
Se cere să se determine viteza absolută şi acceleraţia absolută pentru punctul M.

Soluţie:
Mişcarea relativă este reprezentată de mişcarea culisei M. Culisa are o traiectorie rectilinie după legea , mişcarea de transport este reprezentată de mişcarea culisei în jurul axului vertical O1O2 după legea .
Calculul vitezei absolute:
; ;
/
Fig.2.34.b

Calculul acceleraţiei absolute:

/
Fig. 2.34.c

/
Fig. 2.34d

Pentru a determina modulul acceleraţiei se proiectează relaţia vectorială a acceleraţiei:

Problema 2.7.3.
/
Fig. 2. 35

Un cadru dreptunghiular ABCD (AB=DC=l) se roteşte cu , în jurul axei lagărelor AD (fig. 2.35). În acelaşi timp, pe latura CD un punct M cade liber cu acceleraţia g. Se cere viteza şi acceleraţia punctului M.

Soluţie: (fig. 2.35a)
;
;
;

/
Fig. 2.35a

;

Problema 2.7.4.

Un cadru ABCD, care are porţiunea BC semicirculară de rază R, se roteşte cu ω1=const. în jurul axei lagărelor AD, generând o sferă. În acelaşi timp, pe porţiunea semicirculară a cadrului se mişcă un punct M, care se roteşte cu ω2=const. în jurul lui O (fig. .a). Se cer viteza şi acceleraţia punctului M.
/
/

Fig. 2. 36.a, b

Mişcarea relativă este mişcarea circulară a lui M cu viteza unghiulară ω2 pe un cerc de rază OM=R (pe cadru). Mişcarea de transport este mişcarea lui M fixat pe cadru, adică pe un cerc de rază , centrul fiind O’, cu viteza unghiulară ω1. Mişcarea absolută este mişcarea M faţă de batiu.
Studiul vitezelor.
.
.
Viteza absolută ,

deoarece componentele sunt perpendiculare.

Studiul acceleraţiilor.
Acceleraţia relativă are componentele:

Acceleraţia de transport are componentele:

Acceleraţia Coriolis este şi are suportul perpendicular pe planul cadrului, sensul din figura 9.5.b şi modulul

Acceleraţia absolută este şi are modulul:

deoarece

2.8. Probleme propuse
Problema 2.8.1.
/
Fig. 2. 37

Pe cercul de rază R, care este sudat pe o bară în prelungirea diametrului (fig. 2.37), se roteşte în planul său faţă de punctul O cu viteza unghiulară . Pe extremitatea cercului se mişcă un punct M după legea . Se cere să se determine viteza absolută şi acceleraţia absolută pentru punctul M.

Problema 2.8.2.
/
Fig. 2. 38

Pe placa dreptunghiulară din fig. 2.38, se ală un punct material m ce se deplasează cu viteza . Placa se roteşte după legea , . Se cunosc laturile dreptunghiului OA = BC = 0,4 m şi OC = AB = 0,3 m.
Se cere: viteza şi acceleraţia absolută a punctului M.

Problema 2.8.3.
/
Fig. 2. 39

Pe cadrul circular de rază R (fig. 2.39), se găseşte un punct material ce se deplasează pe cadru după legea . Cadrul se roteşte în jurul axei O1O2, după legea . Se cere: viteza şi acceleraţia absolută pentru punctul M.

Problema 2.8.4.

Un punct material se deplasează pe generatoarea conului din fig. 2.40, după legea , . Conul, cu unghiul la vârf 2α, se roteşte în jurul axei sale cu viteza unghiulară , . Se cer viteza şi acceleraţia absolută pentru punctul material.

/
Fig. 2.40

Dinamica punctului material

3.1 Noţiuni fundamentale
3.1.1 Lucrul mecanic
Lucrul mecanic este definit ca fiind produsul dintre forţa şi deplasarea unui punct material din poziţia M0, în poziţia M1 , fiind dat de de integrala curbilinie:
(3.1)
în care este deplasarea efectuată de punctul de aplicaţie al forţei în timpul elementar (fig. 3.1).

/
Fig. 3. 1
Dacă forţa este constantă şi deplasarea punctului material este rectilinie, atunci lucrul mecanic este:
(3.2)
Forţa este se exprimă în general în funcţie de tipul t, de poziţia şi de viteza a punctului în care este aplicată. Deplasarea care se efectuează pe arc, , este formată din deplasări elementare MM’, care se pot asimila cu deplasările pe corzile corespunzătoare (fig. 3.1). În acest caz de deplasare elementară, se consideră că forţa este constantă, iar lucrul mecanic al forţei pe deplasarea elementară poartă denumirea de lucrul mecanic elementar:
(3.3)
Dacă în relaţia (3.3) se înlocuieşte cu , în care este viteza punctului material, atunci:
(3.4)
Lucrul mecanic al forţei , în deplasarea finită din M0 în M1 este numit lucrul mecanic total sau finit, fiind determinat printr-o integrală curbilinie (3.1).
Dacă vectorii sunt exprimaţi prin proiecţiile lor pe axele unui sistem cartezian Oxyz, atunci lucrul mecanic total va fi:

(3.5)

3.1.2. Funcţia de forţă

Fie o funcţie scalară U(x,y,z) de coordonatele punctului, cu ajutorul căreia se pot exprima componentele forţei astfel:
(3.6)
În acest caz, funcţia U se numeşte funcţie de forţă, iar forţa poartă denumirea de forţă conservativă şi derivă din funcţia de forţă U.
Condiţiile lui Cauchy de existenţă pentru funcţia U sunt:
(3.7)
În consecinţă, forţa conservativă este:

(3.8)
în care operatorul (nabla), numit şi operatorul Hamilton, este un operator vectorial care transformă un scalar într-un vector.
În acest caz, lucrul mecanic elementar este:
(3.9)
iar lucrul mecanic total va fi:
(3.10)
în care:
Lucrul mecanic total al unei forţe conservative depinde numai de poziţiile iniţiale şi finale ale punctului, fiind independent de traiectoria parcursă.
Printre forţele care formează câmpuri potenţiale (forţe conservative) sunt greutatea şi forţa elastică.
Greutatea are proiecţii în sistemul cartezian Oxyz (fig. 3.2):
/
Fig. 3. 2

(3.11)
Aşadar:
(3.12)
/
Fig. 3.3

În acest caz condiţiile lui Cauchy (3.7) sunt îndeplinite, forţa de greutate fiind deci o forţă potenţială.
În cazul greutăţii, funcţia de forţă este următoarea:
; (3.13)
Şi atunci lucrul mecanic total LMoM efectuat de greutate în deplasarea punctului din poziţia M0, în poziţia M are expresia:
(3.14)
Dacă se consideră că suportul forţei elastice are o direcţie oarecare în spaţiu (fig. 3.3), atunci se poate nota că:
(3.15)
În acest caz condiţiile lui Cauchy (3.7) sunt îndeplinite, rezultând că forţa elastică este o forţă potenţială. Atunci, funcţia de forţă pentru forţa elastică este:
(3.16)
Lucrul mecanic total LMoM efectuat de forţa elastică în deplasarea punctului din poziţia M0, în poziţia M este:
(3.17)

3.1.3. Puterea
Puterea este definită ca fiind lucrul mecanic produs în unitatea de timp, aşadar:
(3.18)
în cazul rigidului, atunci când forţa şi momentul sunt constante în timp, sau:
(3.19)
Atunci când forţa şi momentul sunt variabile.
Dacă se înlocuieşte în relaţia lucrului mecanic elementar (3.18), atunci:
(3.20)
sau
(3.21)

3.1.4. Randamentul mecanic
Lucrul mecanic Lm este produs de forţele motoare ale unei maşini. Aceste forţe motoare produc deopotrivă forţe rezistente ale lucrului mecanic util Lu, care reprezintă de fapt motivul pentru maşina respectivă a fost construită, dar aceste forţe generează şi un lucrul mecanic pasiv Lp, care este folosit pentru învingerea frecărilor.
(3.22)
Randamentul mecanic se notează cu ( şi reprezintă raportul dintre Lucrul mecanic util şi lucrul mecanic pasiv, adică:
(3.23)
Randamentul este o mărime adimensională care indică modul în care maşina foloseşte lucrul mecanic motor.
Dacă se exprimă lucrul mecanic util în funcţie de cel motor şi se înlocuieşte în expresia (3.23), atunci:
(3.24)
În care: este coeficientul de pierderi.
Tot din relaţia (3.24) se observă că întotdeauna .

3.1.5. Impulsul
Definiţia impulsului unui punct material M de masă m, care se mişcă cu viteza este un vector coliniar cu (fig. 3.4).
Expresia impulsului este:
(3.25)
Impulsul mai poartă denumirea şi de cantitate de mişcare.

3.1.6. Momentul cinetic
Definiţia momentului cinetic în raport cu un punct fix O al unui punct material M, care are masa m şi care se deplasează c u viteza reprezintă momentul impulsului punctul M în funcţie de acelaşi punct O, şi anume:

(3.26)
/
Fig. 3. 5

Momentul cinetic mai poartă şi numele de momentul cantităţii de mişcare, fiind un vector legat, analog vectorului moment al unei forţe în raport cu un punct, definit în statică (fig. 3.5).

3.1.7. Energia mecanică
Energia cinetică
Energia cinetică a unui punct material de masă m care are viteza , este:
(3.27)
Energia cinetică caracterizează mişcarea în orice moment şi este o mărime de stare, scalară şi strict pozitivă.

Energia potenţială
Energia potenţială caracterizează capacitatea mişcării nemecanice de a trece într-o anumită cantitate de mişcare mecanică.
Energia potenţială derivă din funcţii forţă U, punându-se în evidenţă în momentul în care forţele care acţionează asupra punctului material sunt forţe conservative.
În cazul în care forţa conservativă admite o funcţie de forţă U(x,y,z), atunci energia potenţială este reprezentată de funcţia de forţă, dar are sens contrar (semn minus).
(3.28)
Pentru lucrul mecanic elementar şi total al forţei , care se deplasează din M0 în M, se obţin expresiile:

(3.29)
Semnificaţia funcţiei potenţiale V(x,y,z) rezultă dacă se admite că punctul M0(x0,y0,z0) este punct de potenţial zero. În acest caz atât funcţia de forţă U(x0,y0,z0), cât şi potenţialul V(x0,y0,z0), sunt nule. În cazul în care se exprimă lucrul mecanic al forţei conservative în funcţie de punctul care se deplasează din M în M0, atunci acesta este:
(3.30)
Energia potenţială a punctului material corespunzătoare poziţiei M(x,y,z) reprezintă lucrul mecanic efectuat de forţa conservativă la deplasarea punctului material din poziţia M în poziţia M0, care prin convenţie are potenţialul nul.
Energia mecanică a unui punct material care este acţionat de o forţă conservativă este reprezentat de suma energiei cinetice şi a energiei potenţiale.

(3.31)

3.2. Teoreme generale în dinamica punctului material

3.2.1. Teorema impulsului
Derivata în funcţie de timp a impulsului unui punct material este egală în fiecare moment cu rezultanta forţelor care acţionează asupra punctului.
Dacă se derivează în funcţie de timpul impulsul, atunci rezultă:
(3.32)
Luând în considerare legea fundamentală a dinamicii, adică, atunci rezultă:
(3.33)
iar dacă se proiectează relaţia (3.33) pe axe, se obţine:
(3.34)

Conservarea impulsului
Dacă în timpul mişcării (punctul este izolat sau rezultanta este nulă), atunci rezultă:
(3.35)
Se deduce de aici că impulsul se conservă, în sensul că se păstrează în timp aceeaşi valoare. Constanta se determină din condiţiile iniţiale ale problemei.
Dar se poate să se conserve în timp doar o singură componentă a impulsului. În acest caz, , dacă , atunci:
(3.36)
în acest caz se conservă componenta impulsului după axa Ox.

3.2.2. Teorema momentului cinetic
Derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O, este egală cu momentul în raport cu acelaşi punct al rezultantei forţelor care acţionează asupra punctului material.
Derivând în raport cu timpul expresia momentului cinetic (3.26), rezultă:

(3.37)

Teorema momentului cinetic se deduce atunci când , adică momentul în funcţie de punctul O al rezultantei forţelor care acţionează asupra punctului material este zero:
(3.39)
Dacă se proiectează pe axe relaţia (3.39), atunci rezultă:
(3.39)

Conservarea momentului cinetic
În cazul în care în timpul mişcării , adică fie punctul este izolat, fie momentul rezultant este nul, atunci rezultă că:
(3.40)
Se observă că momentul cinetic se conservă, păstrând aceeaşi valoare în timp, iar constanta se determină din condiţiile iniţiale.
Dar este posibil să se conserve doar o singură componentă a momentului cinetic, de exemplu dacă . Atunci:
(3.41)
În această ipoteză momentul cinetic se conservă după axa Ox.

3.2.3. Teorema energiei cinetice
Variaţia energiei cinetice a punctului material în intervalul de timp dt, este egală cu lucrul mecanic elementar, efectuat de rezultanta forţelor aplicate punctului în acelaşi interval de timp. (forma diferenţială)
Ţinând seama de legea fundamentală a mecanicii şi diferenţiind relaţia energiei cinetice, rezultă:

Termenul din stânga reprezintă o diferenţială totală exactă, în vreme ce termenul din dreapta dL = Fxdx + Fydy + Fzdz reprezintă o diferenţială totală exactă de tip Pfaff, numai în cazul particular al forţelor conservative. Forma diferenţială a teoremei energiei cinetice este:
(3.42)
Integrând rezultă forma integrală a teoremei energiei cinetice:
(3.43)
Variaţia energiei cinetice între poziţia iniţială şi finală a mişcării punctului material este egală cu lucrul mecanic total efectuat în deplasarea finită între cele două poziţii, de rezultanta forţelor aplicate punctului material.

Conservarea energiei mecanice
În cazul în care rezultanta forţelor aplicate asupra punctului material derivă dintr-o funcţie de forţă, energia mecanică a punctului se conservă.
Fie teorema energiei cinetice scrisă sub formă diferenţială, şi fie ca forţele să derive dintr-o funcţie de forţă, adică:
(3.44)
Dacă energia potenţială este V = –U, atunci dV = –dU.
Din relaţiile (3.42) şi (3.44) rezultă că:
(3.45)
de unde:
(3.46)

3.3 Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului material
3.3.1. Generalităţi
Există două tipuri de probleme în dinamica punctului material, şi anume problema directă şi cea inversă.
Problema directă
Forţele care acţionează asupra punctului material ca natură, suport, sens, mărime se cunosc, şi se cere să se stabilească mişcarea punctului material.
În acest caz, forţa este dată de o expresie de forma:
(3.47)
Se spune că se cunoaşte mişcarea atunci când se obţine o relaţie vectorială de tipul:
(3.48)
Luând în considerare legea fundamentală a dinamicii:
(3.49)
Şi ştiind că acceleraţia este , conform relaţiei (3.47) se poate scrie că:
(3.50)
S-a obţinut astfel o ecuaţie diferenţială de ordinul doi care reprezintă ecuaţia diferenţială a mişcării. Urmează proiectarea acestei ecuaţii vectoriale pe axe, după care se rezolvă sub formă scalară.
Problema inversă
Se cunoaşte mişcarea, dată de o relaţia (3.48), şi se cere forţa care produce mişcarea. Pentru aceasta se derivează de două ori în raport cu timpul relaţia (3.48) şi se introduce în relaţia fundamentală a dinamicii scrisă sub forma (3.50). Se obţine astfel ecuaţia diferenţială a mişcării.
În general problema nu este univoc determinată, deoarece nu se poate stabili şi natura forţei.

3.3.2. Ecuaţiile diferenţiale ale mişcării punctului material
Dacă se proiectează pe un sistem de axe ales convenabil ecuaţia diferenţială sub formă vectorială (3.50), se ajunge, în funcţie de sistemul de coordonate, la următoarele ecuaţii scalare:
În sistemul de coordonate carteziene:
(3.51)
În care reprezintă proiecţiile pe axele Ox, Oy şi Oz ale rezultantei forţelor care acţionează asupra punctului material;
În sistemul de coordonate naturale (triedrul Frenét), ecuaţia devine:
(3.52)
În care reprezintă proiecţiile pe axele sistemului Frenét (tangenta, normala principală şi binormala) ale rezultantei forţelor care acţionează asupra punctului material.
Integrarea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării este în general aceeaşi în toate sistemele de referinţă.
Integrarea ecuaţiilor diferenţiale ale mişcării în sistemul cartezian conform (3.51) sunt:
(3.53)
Sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul doi are ca necunoscute ecuaţiile parametrice ale traiectoriei:
(3.54)
Sistemul de ecuaţii diferenţiale (3.53) admite un sistem unic de soluţii, altfel spus, sub acţiunea unei forţe date, mişcarea efectuată de punct este unică. Integralele generale ale sistemului (3.53) conţin şase constante arbitrare de integrare .
Integralele generale au expresia:
(3.55)
Derivând în raport cu timpul relaţiile (3.55) se obţine:
(3.56)
Cu ajutorul relaţiilor (3.55) şi (3.56) se pot determina constantele de integrare punând condiţiile iniţiale, la t=to, referitoare la:
poziţia iniţială şi viteza iniţială .
Astfel, condiţiile iniţiale de poziţie sunt:
(3.57)
iar condiţiile iniţiale de viteză sunt:
(3.58)
Relaţiile (3.57) şi (3.58) formează un sistem algebric de 6 ecuaţii cu 6 necunoscute . Dacă se rezolvă acest sistem se obţin valorile constantelor de integrare în funcţie de condiţiile iniţiale date:
(3.59)
Introducând valorile constantelor de integrare din relaţia (3.59) în (3.55) se obţin ecuaţiile parametrice ale traiectoriei. Dacă acestea sunt introduse în (3.56), se vor obţine componentele vitezei la un moment dat. Soluţia problemei este univocă.
Uneori obţinerea soluţiei generale pentru sistemul (3.53) nu este posibilă, dar se pot totuşi obţine integrale prime. O integrală primă este o funcţie de timpul t, vectorul şi vectorul , care se reduce la o constantă dacă care reprezintă o soluţie a ecuaţiei diferenţiale.
Integrala primă reprezintă deci, în general, o ecuaţie diferenţială al cărei ordin este mai mic cu o unitate decât ecuaţia diferenţială dată.

Dinamica sistemelor de puncte materiale şi a rigidului
Sistemul de puncte materiale este definit ca fiind o mulţime de n puncte materiale în interacţiune mecanică. Deci un punct Ai de masă mi din sistem este acţionat de forţa , care reprezintă rezultanta forţelor exterioare, adică forţe exercitate de corpuri din afara sistemului studiat, precum şi de forţe interioare, care reprezintă acţiunea celorlalte puncte din sistem asupra punctului Ai. Un exemplu este dat în figura 4.1.
În conformitate cu principiului acţiunii şi al reacţiunii,
, (4.1)
De aici rezultă că:
(4.2)
Dacă se calculează momentele în raport cu punctul O, rezultă:

(4.3)
pentru că sunt coliniari. Astfel se deduce că:
(4.4)
/
Fig. 4. 1

Se face convenţia:
(4.5)
Corpul solid rigid (rigidul) este definit în mecanica clasică drept un material continuu nedeformabil. Altfel spus, rigidul poate fi considerat ca limită a unui sistem închis şi rigid de puncte materiale, care ocupă acelaşi domeniu.
În cele ce urmează, unele noţiuni fundamentale şi teoreme generale stabilite pentru un sistem de puncte materiale sunt extinse la rigide pe baza unui proces de trecere la limită.
4.1. Noţiuni fundamentale
4.1.1. Momente de inerţie mecanice
4.1.1.1. Definiţii
a) Momentele de inerţie sunt mărimi care sunt folosite pentru a caracterizare modul de răspândire a masei unui sistem de puncte materiale sau a unui rigid. Momentelor de inerţie ajută la exprimarea inerţiei unui corp în mişcare de rotaţie.
Fie un sistem de n puncte materiale Ai , fiecare dintre ele având masa mi. Fie li distanţa de la punctul Ai la o axă Δ. În acest caz, momentul de inerţie al sistemului de puncte în raport cu axa Δ este:
(4.6)
În cazul corpului solid, suma de la (4.6) se transformă în integrală referitoare la domeniul ocupat de corp (D).
(4.7)
Pentru momentele de inerţie sunt folosite ca dimensiuni şi unităţi de măsură , respectiv kgm2.

b) Momente de inerţie planare, axiale, polare (fig. 4.2).
În formula , lungimea li reprezintă distanţa de un plan, de o axă sau de un punct. Astfel se poate defini şi momentul de inerţie, care poate fi planar, axial sau polar.
/
Fig. 4. 2
Se obţin astfel:
– Momentele de inerţie planare
(4.8)

– Momente de inerţie axiale
(4.9)

– Momente de inerţie polare
(4.10)
Cele trei momentele de inerţie (planare, axiale şi polare) sunt mărimi scalare pozitive. În cazuri particulare momentul de inerţie poate fi şi nul, de exemplu în cazul unei plăci atunci când se calculează momentul de inerţie în raport cu planul care conţine placa.

c) Momentele de inerţie centrifuge sunt, prin definiţie:
(4.11)
Se observă că:

Momentele de inerţie centrifuge sunt mărimi scalare pozitive, negative sau nule.
Momentul de inerţie centrifug este nul atunci când este aleasă ca axă de simetrie una dintre axele de simetrie ale corpului – ceea ce se poate verifica cu uşurinţă.

4.1.1.2. Relaţii între momentele de inerţie

Din relaţiile (4.8)… (4.10) se obţine:
– În spaţiu
(4.12)
– În plan (z = 0)
(4.13)
4.1.1.3. Legătura dintre momentele de inerţie mecanice şi geometrice
Să se considere cazul unei plăci omogene, pentru care:
– momentul de inerţie geometric este şi
– momentul de inerţie mecanic este .
Pentru plăcile omogene,
(4.14)
în care ρ este masa specifică.
Relaţia care se stabileşte între momentele de inerţie mecanice şi cele geometrice, care se aplică şi barelor şi blocurilor omogene, este:
(4.15)

4.1.1.4. Raza de inerţie (raza de giraţie)
Există aplicaţii tehnice în care este nevoie să se scrie momentul de inerţie sub forma
(4.16)
unde mO este masa corpului şi i raza de inerţie.
Raza de inerţie este distanţa fictivă la care ar trebui plasată întreaga masă a corpului concentrată într-un singur punct, astfel încât în raport cu un plan, o axă sau un punct, să existe relaţia:
(4.17)
În acest caz, momentul de inerţie polar se va fi:
(4.18)
Iar momentele de inerţie axiale vor fi:
(4.19)
Din cele (4.18) şi (4.19) se deduce că:
(4.20)

4.1.1.5. Variaţia momentelor de inerţie
Să se presupună că se cunoaşte momentul de inerţie JΔ în raport cu axa Δ care trece prin centrul de greutate al rigidului şi că este necesară aflarea valorii lui JΔ1, în raport cu axa Δ1.
Există două variante de rezolvare a acestei probleme:
a) Fie axele Δ şi Δ1 sunt coplanare, caz în care ele pot fi:
– paralele sau
– concurente.
b) Fie axele Δ şi Δ1 nu sunt coplanare, caz în care se calculează momentul de inerţie în raport cu o axă Δ2 paralelă cu Δ1, dar concurentă cu Δ, după care urmează calcularea momentului în raport cu Δ1.
Dacă se stabilesc formule pentru variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele şi concurente, se vor putea afla momentele de inerţie pentru fiecare caz.
/
Fig. 4. 3

a) Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe paralele. Teorema lui Steiner.
Se dă un sistem de punct materiale Ai, care are centrul de greutate C. Fie Δ o axă care trece prin C şi Δ1 o axă paralelă cu Δ (fig. 4.3). Se cunoaşte momentul de inerţie JΔ şi se propune să se calculeze JΔ1, distanţa dintre axe fiind d.
Se alege un triedru de referinţă Cxyz, la care axa . Faţă de acest triedru, punctul A1 are coordonatele x1, y1, z1. Se alege apoi un al doilea triedru de referinţă O1x1y1z1, care are axele paralele cu cele ale triedrului precedent, planurile de referinţă O1x1z1 şi Cxy sunt confundate, iar axa .
Prin definiţie,
(4.21)
şi

(4.22)
Se notează masa sistemului:
(4.23)
Se observă că distanţa dintre cele două axe, Δ şi Δ1, este:
(4.24)
Dacă se ţine seama că şi dacă se aplică teorema momentului static, se obţine:
(4.25)
Înlocuind în relaţia (4.22) rezultatele din (4.24) şi (4.25) rezultă:
(4.26)
Relaţia (4.26) este Teorema lui Steiner, a cărei enunţ este: momentul de inerţie faţă de o axă Δ1 este egal cu momentul de inerţie faţă de o axă Δ ce trece prin centrul de greutate al sistemului şi este paralelă cu axa Δ1 plus masa înmulţită cu pătratul distanţei dintre cele două axe.
Din teorema lui Steiner (4.26) se deduc proprietăţile momentelor de inerţie faţă de axe paralele, şi anume:
1) momentul de inerţie este minim faţă de o axă care trece prin centrul de greutate al sistemului;
2) locul geometric al axelor paralele faţă de care momentele din inerţie sunt egale este un cilindru circular a cărui axă de simetrie trece prin centrul de greutate al sistemului şi este paralelă cu direcţia dată.
Analog, pe baza teoremei lui Steiner se pot demonstra momentele de inerţie centrifuge. Astfel:
(4.27)
Ţinând seama de relaţiile (4.23) şi (4.25), precum şi de relaţia de definiţie (4.11) conform căreia , din (4.27) rezultă teorema lui Steiner pentru momente de inerţie centrifuge:
(4.28)
în care xO şi yc reprezintă distanţele dintre axele Oy, O1y1 , respectiv Ox, O1x1.

/
Fig. 4. 4

b) Variaţia momentelor de inerţie faţă de axe concurente.
Se dă un sistem de puncte materiale Ai , care faţă de sistemul de axe Oxyz are momentele de inerţie axiale Jx, Jy, Jz şi centrifuge Jzy, Jyz, Jxz cunoscute.
Fie o axă Δ ce trece prin O şi care are versorul şi cosinusurile directoare cos α, cos β, cos γ (fig. 4.4). Se propune să se calculeze momentul de inerţie axial faţă de axa Δ, notat cu JΔ.

Se consideră un punct Ai de masă mi, definit de vectorul de poziţie
(4.29)
Fie Bi proiecţia lui Ai pe axa Δ şi di distanţa AiBi.
Prin definiţie,
(4.30)
dar
(4.31)
şi
(4.32)
Cum
(4.33)
înlocuind în (4.31) se obţine:
(4.34)
Dezvoltând relaţia (4.34) şi introducând rezultatele în relaţia (4.30) rezultă:
(4.35)

Ţinând seama de relaţiile de definiţie (4.9) şi (4.11) se obţine relaţia căutată:
(4.36)
Caz particular: sistem plan.
În acest caz,
(4.37)
Relaţia (4.36) devine:
(4.38)
Dacă se notează şi , atunci:

(4.39)
Relaţia (4.38) se scrie:
(4.40)
4.1.1.6. Momente de inerţie principale
În relaţia (4.36) se observă că momentul de inerţie JΔ, calculat faţă de axa Δ care trece prin origine, depinde de poziţia axei faţă de triedrul de referinţă prin cosinusurile directoare. În funcţie de unghiurile α, β, γ, momentul de inerţie JΔ poate avea valori maxime şi minime.
Axele care trec prin originea O şi faţă de care momentele de inerţie au valori extreme (maxime sau minime) se numesc axe principale de inerţie. Momentele de inerţie faţă de aceste axe se numesc momente principale de inerţie şi se notează J1, J2, J3.
Momentele de inerţie principale J1, J2, J3 se determină analizând extremul funcţiei JΔ , care depinde de mai multe variabile (cos α, coa β, cos γ) legate între ele prin relaţia (4.33), de exemplu cu ajutorul multiplicatorilor lui Lagrange*.
Unele dintre proprietăţile importante ale axelor principale de inerţie sunt:
1) formează un triedru triortogonal;
2) momentele de inerţie centrifuge faţă de axele principale sunt nule.
Aşadar, în cazul în care axa Δ are cosinusurile directoare cos α1, cos β1, cos γ1 faţă de axele principale de inerţie, din expresia (4.36) rezultă:
(4.41)
Dacă centrul de greutate al sistemului coincide cu originea triedrului de referință , momentele de inerţie corespunzătoare axelor ce trec prin acest punct se numesc momente centrale de inerţie. Momentele faţă de axele principale de inerţie în raport cu centrul de greutate se numesc momente de inerţie centrale şi principale, şi sunt momente de inerţie maxime sau minime, în raport cu o axă Δ ce trece prin centrul de greutate al sistemului (rigidului).

4.1.1.7. Elipsoidul de inerţie
Elipsoidul de inerţie (fig. 4.5) este folosit pentru obţinerea unei imagini spaţiale ale modului de variaţie a momentelor de inerţie în funcţie de axele care trec printr-un punct.
Pentru aceasta, se ia pe axa Δ un punct P, astfel ca, măsurând în unităţi convenţionale,
(4.42)
şi deci
(4.43)
Din (4.43) se află coordonatele punctului P, care sunt:
; (4.44)
Relaţia (4.36) poate fi scrisă şi în funcţie de relaţia (4.44), şi anume:
(4.45)
Relaţia (4.45) reprezintă ecuaţia unui elipsoid numit elipsoidul de inerţie (după Poinsot).
Axele de simetrie Ox1y1z1 ale elipsoidului de inerţie sunt axele principale de inerţie în raport cu punctul O, deoarece faţă de aceste axe momentele de inerţie sunt extreme.
Ecuaţia elipsoidului de inerţie faţă de axele sale de simetrie este:
(4.46)
de unde se demonstrează că momentele centrifuge sunt nule faţă de aceste axe.
Dacă se notează:
; ; (4.47)
atunci ecuaţia (4.46) poate fi scrisă sub forma canonică:
/
Fig. 4. 5

(4.48)
în care a, b, c sunt semiaxele elipsoidului de inerţie.
Relaţiile (4.47) se mai pot scrie şi sub forma:
; ; (4.49)

De unde se observă că momentele principale de inerţie sunt invers proporţionale cu pătratul semiaxelor elipsoidului de inerţie.
În general, momentul de inerţie JΔ faţă de o axă Δ este invers proporţională cu distanţa OP determinată de elipsoidul de inerţie pe acea axă, conform relaţiei (4.42).
De obicei, elipsoidul de inerţie urmăreşte forma corpului pentru care este calculat.
În plan, elipsoidul de inerţie se transformă în „elipsa de inerţie”.

4.4. Lucrul mecanic elementar al unui sistem de forţe care acţionează asupra unui rigid
4.4.1. Cazul general
Fie un rigid în mişcare generală care este supus acţiunii unui sistem de forţe (fig. 4.6). Fie forţa care acţionează în Ai. În timpul dt, punctul Ai se deplasează cu distanţa elementară
/
Fig. 4. 6

(4.50)
dar
(4.51)
Aşadar, deplasarea elementară este:
(4.52)
În acest caz, lucrul mecanic elementar este:

(4.53)
Dacă se face o permutare circulară în produsul mixt
(4.54)
rezultă:
(4.55)
Dacă se notează:
– deplasarea elementară din mişcarea de translaţie a rigidului;
– unghiul elementar de rotaţie ca vector;
(4.56)
se obţine:
(4.57)
care este lucrul mecanic elementar corespunzător forţei .
Pentru tot sistemul de forţe, rezultă:
(4.58)
Dar:
– forţa rezultantă şi momentul rezultant sunt:
(4.59)
Deci
(4.60)

4.4.2. Cazuri particulare
a) Translaţia. În acest caz şi , deci
(4.61)
de unde
(4.62)

b) Rotaţia. În acest caz, şi . Rezultă
(4.63)
de unde
(4.64)
Cazul cel mai întâlnit în practică este atunci când axa de rotaţie coincide cu suportul lui . De aici rezultă că:
(4.65)

4.4.3. Impulsul
Fie un sistem de puncte materiale Ai, având masa mi şi viteza .
Fiecare punct are impulsul:
(4.66)
Impulsul întregului sistem este:
(4.67)
Se ştie că
(4.68)
aşadar relaţia (4.67) devine:
(4.69)
În conformitate cu teoremei momentului static,
(4.70)
în care este masa sistemului, iar este vectorul de poziţie al centrului de greutate al sistemului.
Ţinând seama de relaţia (4.70), relaţia (4.69) devine:

deci
(4.71)
În cazul rigidului, impulsul este .
Efectuând calculele în mod analog, se va obţine acelaşi rezultat şi pentru relaţia (4.71).
Rezultă că impulsul unui sistem de puncte materiale sau al unui rigid nu depinde de felul mişcării, putându-se considera toată masa concentrată în centrul de greutate al rigidului şi care se deplasează cu viteza acestuia.

4.4.4. Momentul cinetic
4.4.4.1. Cazul sistemelor de puncte
Fie un sistem de puncte materiale Ai de masă mi şi viteză .
Impulsul punctului Ai este:
(4.72)
Momentul cinetic în raport cu punctul fix O al punctului material Ai este
(4.73)
Momentul cinetic al sistemului este
(4.74)
4.4.4.2. Cazul rigidului
Expresia momentului cinetic în cazul rigidului şi în raport cu un punct fix O este:
(4.75)
Se observă că momentul cinetic depinde de felul mişcării, deoarece are expresii specifice fiecărui fel de mişcare a rigidului, aşa după cum s-a arătat în cinematică. Prin urmare, este necesară studierea separată a mişcărilor particulare ale rigidului.
a) Mişcarea de translaţie.
Specific mişcării de translaţie este faptul că la un moment dat toate punctele au aceeaşi viteză (ca vector), adică .
Momentul cinetic este:
(4.76)
deoarece conform teoremei momentului static:

Înlocuind în relaţia (4.76), se poate scrie:

sau
(4.77)
/
Fig. 4. 7

În cazul tratat mai sus, momentul cinetic se calculează ca şi cum toată masa rigidului ar fi concentrată în centrul de greutate şi se deplasează cu viteza acestui punct.
b) Mişcarea de rotaţie.
Se ţine cont că, în acest caz, viteza unui punct oarecare Ai (fig. 4.7) este:
(4.78)
Se consideră cazul general (sistemul de referinţă solidar cu corpul) în care:
(4.79)
(4.80)
Deci:
(4.81)

În funcţie de proiecţiile sale pe axe, momentul cinetic se poate scrie astfel:
(4.82)
Dacă se calculează proiecţia Kz a momentului cinetic pe axa Ox rezultă:
(4.83)
Prin permutări circulare se obţin componentele pe axe ale momentului cinetic:
(4.84)
Sub formă matriceală, aceste rezultate devin:

adică matricea momentului cinetic este egală cu produsul dintre matricea asociată tensorului de inerţie şi matricea coloană a vectorului viteză unghiulară.
/
Fig. 4. 8

Cazuri particulare
1) Axa Oz coincide cu axa de rotaţie (fig. 4.8).
În acest caz:
(4.85)
Ţinând seama de relaţia (4.85) şi aplicând relaţiile generale (4.84) se obţine:
(4.86)
adică
(4.87)
/
Fig. 4. 9

/
Fig. 4. 10

2) Cazul în care rigidul are forma unui corp de revoluţie cu axa de simetrie chiar axa de rotaţie. În acest caz se alege această axă drept axa Oz (fig. 4.9).
Specific acestui caz sunt:
(4.88)
Acest al doilea caz fiind de fapt un caz particular al punctului a) de mai sus, se poate introduce în expresia (4.87) rezultatele din relaţiile (4.88), rezultând:
(4.89)
Aplicaţie.
Un disc omogen se roteşte cu viteza unghiulară în jurul axei sale de simetrie (fig. 4.10). Raza discului este R, iar masa este m.
Se cere să se calculeze momentul cinetic faţă de punctul O şi de axa de simetrie (Oz):

c) Rigidul cu un punct fix.
În acest caz se aleg ca axe de coordonate axele principale de inerţie în raport cu punctul fix (fig. 4.11) şi se constată că momentele de inerţie centrifuge sunt nule.
/
Fig. 4. 11

(4.90)

În aceste condiţii se poate considera rigidul cu un punct fix ca un caz particular al rigidului în mişcare de rotaţie faţă de o axă oarecare, ale cărui rezultate sunt date în (4.84).
Din relaţiile (4.84), ţinând seama de (4.90), rezultă:

(4.91)
/
Fig. 4. 12

Aplicaţie.
Să se calculeze momentul cinetic pentru o sferă omogenă de greutate G, rază R, care este suspendată în centrul său O şi se roteşte cu viteza unghiulară în jurul diametrului său vertical.
Se alege sistemul de axe cu originea în centrul sferei O şi cu axa Oz după diametrul vertical.
Momentul de inerţie al sferei faţă de centrul său este (fig. 4.12).

În care ρ este masa unităţii de volum şieste masa sferei.
Momentele de inerţie axiale sunt momente de inerţie principale. Prin urmare, din motive de simetrie, rezultă că. Deci se poate scrie:

Rezultă că:

Faţă de sistemul de axe ales, proiecţiile vectorului viteză unghiulară sunt şi .
Pentru calcularea momentului cinetic se foloseşte relaţia (4.91), şi anume:

d) Mişcarea generală.
Din relaţia care dă distribuţia de viteze în mişcarea generală a rigidului,
(4.92)
se poate considera că distribuţia de viteze provine din suprapunerea a două câmpuri de viteze: unul de translaţie, cu viteza , şi altul de rotaţie, cu viteza .
Momentul cinetic se calculează în funcţie de aceste două câmpuri şi soluţia poate fi precizată numai după alegerea judicioasă a sistemului de axe mobil, şi în special a originii lui. În acest fel, se poate preciza câmpul de viteze de translaţie şi cel de rotaţie .

4.4.5. Energia cinetică
4.4.5.1. Cazul sistemelor de punct
Energia cinetică pentru un punct material este:
(4.93)
Energia cinetică pentru un sistem de puncte materiale este:
(4.94)
4.4.5.2. Cazul rigidului
Energia cinetică pentru rigid este:
(4.95)
Datorită faptului că se exprimă în funcţie de viteză, rezultă că de mişcările particulare ale rigidului.
a) Mişcarea de translaţie.
Toate punctele au la un moment dat aceeaşi viteză, şi anume egală cu cea a centrului de greutate (deci ). De aici rezultă că:
(4.96)
/
Fig. 4. 13

Aşadar, energia cinetică se calculează ca şi cum toată masa rigidului ar fi concentrată în centrul de greutate, şi se mişcă cu viteza acestui punct.
b) Mişcarea de rotaţie.
Se ştie că (fig. 4.13):
(4.97)
(4.98)
deoarece
(4.99)
/
Fig. 4. 14

c) Mişcarea elicoidală.
Se alege axa mişcării elicoidale drept axă Oz. În acest caz, distribuţia de viteze este dată de (fig. 4.14).
(4.100)
Rezultă că componentele pe axe sunt:
(4.101)
deci
(4.102)
Expresia energiei cinetice este:

(4.103)
deoarece
(4.104)
/
Fig. 4. 15

d) Mişcarea plan-paralelă.
Se alege originea sistemului de referinţă mobil în centrul de greutate C al corpului, iar planul Oxy paralel cu planul fix faţă de care are loc mişcarea (fig. 4.15).
În acest caz, distribuţia de viteze în această mişcare este:
(4.105)
iar componentele pe axe ale vitezei sunt:

(4.106)
deci

Prin urmare,

sau
(4.107)
pentru că:

(4.108)
Se aplicată teorema momentului static:
(4.109)
deoarece s-a ales originea sistemului de referinţă în centrul de greutate al corpului .
În multe aplicaţii, în mişcarea plan-paralelă se determină centrul instantaneu de rotaţie I. Dacă se aplică teorema lui Steiner, se poate stabili legătura dintre momentele de inerţie faţă de centrul de greutate Jc şi faţă de centrul instantaneu de rotaţie JI.:
(4.110)
de unde:
(4.111)
Din distribuţia de viteze faţă de centrul instantaneu de rotaţie (analoagă cu cea dintr-o mişcare de rotaţie), se obţine pentru centrul de greutate C:
(4.112)
Înlocuind în expresia (4.107) rezultatele din relaţiile (4.111) şi (4.112), rezultă:
(4.113)
Din formula (4.113) se observă că în mişcarea plan-paralelă se poate calcula energia cinetică ca la o rotaţie în jurul centrului instantaneu de rotaţie din acel moment.

e) Rigidul cu un punct fix.
Se aleg ca axe ale sistemului de referinţă solidar legat de corp chiar axele principale de inerţie referitoare la punctul fix O. Momentele principale de inerţie sunt J1, J2, J3. Cosinusurile directoare ale axei de rotaţie faţă de axele principale de inerţie sunt cos x1, cos β1, cos γ1.
Energia cinetică se calculează cu ajutorul formulei generale stabilite pentru mişcarea de rotaţie, şi anume:
(4.114)
În acest caz,
(4.115)
Deci relaţia (4.114) se deduce:
(4.116)
Pentru cazul studiat:
; ;
de unde rezultă expresia energiei cinetice pentru rigidul cu un punct fix:
(4.117)
f) Mişcarea generală a rigidului.
În acest caz, se poate considera că în fiecare moment distribuţia de viteze se poate obţine prin suprapunerea unui câmp de viteze de translaţie peste unul de rotaţie. Astfel, energia cinetică se calculează în funcţie de cele două câmpuri de viteze, alegându-se judicios sistemul de referinţă mobil şi mai ales originea acestuia. Se pot deci utiliza rezultatele de la cinematica rigidului în mişcare generală referitoare la distribuţia de viteze în raport cu axa instantanee a mişcării elicoidale şi se alege originea sistemului de referinţă mobil pe această axă. Ca urmare, vectorii şi sunt coliniari şi dirijaţi după axa instantanee a mişcării elicoidale.

Energia cinetică este:

în care este exprimat modulul produsului vectorial cu ajutorul unghiului şi , care reprezintă distanţa de la punctul curent la axa instantanee a mişcării elicoidale. Produsul mixt este nul.

De aici se deduce expresia energiei cinetice pentru rigidul în mişcare generală:
(4.118)
în care m0 este masa rigidului, iar JΔ momentul său de inerţie faţă de axa instantanee a mişcării elicoidale.

4.5. Teoreme generale în dinamica sistemelor de puncte materiale şi a rigidului
4.5.1. Teorema impulsului
4.5.1.1. Enunţ şi demonstraţie
Pentru un sistem de puncte materiale (rigid), impulsul are expresia:
(4.119)
Derivând în raport cu timpul şi ţinând seama că masa este constantă, se obţine:
(4.120)
Suma reprezintă suma tuturor forţelor care acţionează asupra sistemului, adică forţe exterioare (date şi de legătură) şi forţe interioare (fig. 4.16).
/
Fig. 4. 16

(4.121)
Conform principiului acţiunii şi al reacţiunii,
(4.122)
de unde
(4.123)
Rezultă deci că:
(4.124)
adică derivata în raport cu timpul a impulsului unui sistem de puncte materiale sau rigid este egală cu suma forţelor exterioare care acţionează asupra sistemului (rigidului) studiat.
Proiectând pe axe relaţia vectorială (4.124) se obţine:
(4.125)

4.5.1.2. Teorema mişcării centrului de masă (de greutate) a unui sistem de puncte materiale sau rigid.

Impulsul unui sistem de puncte materiale sau rigid este
(4.126)
Derivând relaţia în raport cu timpul, rezultă:
(4.127)
Ţinând seama de relaţia (4.124), din relaţia (4.127) se poate afla teorema mişcării centrului de masă (de greutate) a unui sistem de puncte materiale sau rigid:
(4.128)
Deci, centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale sau rigid se mişcă la fel ca un punct în care este concentrată toată masa sistemului şi asupra căruia acţionează toate forţele exterioare.
De reţinut că teorema impulsului şi teorema mişcării centrului de greutate nu sunt teoreme independente, cea de-a doua reprezentând de fapt o altă formă de prezentare a teoremei impulsului.
Un exemplu ar fi mişcarea unui obuz în aer. Traiectoria centrului de greutate a obuzului este identică cu cea a unui punct material care are masa obuzului şi care se mişcă în aer întâmpinând rezistenţa acestuia. În plus, obuzul mai efectuează o mişcare de rotaţie în jurul acei sale de simetrie, datorită căreia vârful obuzului are o traiectorie diferită de cea a centrului de greutate. Vârful obuzului are o traiectorie care este o curbă strâmbă (în jurul traiectoriei centrului de greutate).
Teorema mişcării centrului de greutate este de o deosebită importanţă în dinamica sistemelor şi a rigidului deoarece cu ajutorul ei se stabileşte legea de mişcare (acceleraţia şi viteza) a unui punct intrinsec al rigidului, indiferent de particularităţile mişcării.

4.5.1.3. Conservarea impulsului
Dacă în timpul mişcării sistemul (rigidul) este izolat deci:
(4.129)
rezultă că se conservă impulsul (în timp)
(4.130)
adică în tot timpul mişcării impulsul este acelaşi.
În multe cazuri practice rezultanta forţelor exterioare are nulă doar componenta după o axă, ceea ce conduce la conservarea impulsului după o singură axă. Astfel se ajunge la:
(4.131)
Relaţiile (4.130) şi (4.131) pot fi interpretate că în timpul mişcării viteza centrului de greutate (sau componente ale acesteia) rămâne constantă şi egală cu valoarea iniţială. Deci constanta se determină cu ajutorul condiţiilor iniţiale.

4.5.2. Teorema momentului cinetic
4.5.2.1. Enunţ şi demonstraţie
Pentru un sistem de puncte materiale sau rigid, momentul cinetic calculat în raport cu un punct fix 0 este:
(4.132)
Prin derivare în funcţie de timp, se obţine:
(4.133)
Dar pentru că
,
se observă că
(4.134)
Dar
(4.135)
în care este rezultanta forţelor exterioare, iar rezultanta forţelor interioare.
În consecinţă relaţia (4.133) se poate scrie:
(4.136)
pentru că momentul în raport cu punctul O al fiecărei perechi de forţe interioare este nul, rezultă că suma momentelor interioare este de asemenea nulă, adică:
(4.137)
Din (4.137) rezultă teorema momentului cinetic, şi anume:
(4.138)
în care derivata în raport cu timpul a momentului cinetic calculat în raport cu un punct fix O, este egală cu suma momentelor forţelor exterioare calculate în raport cu acelaşi punct.

(4.139)

4.5.2.2. Conservarea momentului cinetic
Pentru un sistem izolat sau când rezultă:
(4.140)
În consecinţă, momentul cinetic în raport cu punctul O se conservă, adică în tot timpul mişcării păstrează aceeaşi valoare, egală cu cea din momentul iniţial:
(4.141)
Proiectând pe axe se obţine:
(4.142)
Relaţiile (4.142) arată că în anumite cazuri momentul cinetic se poate conserva numai în raport cu o axă.
Un patinator care execută o piruetă în jurul axei proprii, reprezintă un exemplu de conservare a momentului cinetic în raport cu o axă, deoarece se poate neglija frecarea dintre vârful patinei şi gheaţă. Momentul cinetic faţă de axa proprie este Când patinatorul îşi depărtează braţele de corp, adică îşi măreşte momentul de inerţie faţă de axa sa, viteza unghiulară scade. Când îşi strânge mâinile lângă corp, scade valoarea momentului de inerţie şi îi creşte, în consecinţă, viteza unghiulară.
Observaţii.
1) Teoremele impulsului şi momentului cinetic pot fi restrânse în teorema torsului:
(4.143)
în care torsorul în O al impulsurilor este:
(4.144)
iar torsorul în O al forţelor exterioare este:
(4.144*)
Derivata în raport cu timpul a torsului impulsurilor unui sistem de puncte materiale (rigid) este egală cu torsul forţelor exterioare aplicate sistemului. (Ambele torsoare sunt calculate în raport cu acelaşi punct).
2) Teoremele impulsului şi momentului cinetic se aplică numai cu vitezele absolute.
3) Teoremele impulsului şi momentului cinetic elimină forţele interioare.
4) Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei impulsului faţă de o axă pe care forţele sunt perpendiculare sau faţă de o axă după care sunt cunoscute vitezele.
5) Se recomandă aplicarea în probleme a teoremei momentului cinetic în raport cu o axă faţă de care momentul forţelor este nul sau faţă de care este cunoscută mişcarea (vitezele).

4.5.3. Teorema energiei cinetice
4.5.3.1. Enunţ şi demonstraţie.
Pentru un sistem de puncte materiale, energia cinetică este:
(4.145)
Diferenţiind relaţia (4.145) se obţine:
(4.146)

pentru că

Se analizează un sistem de puncte acţionat de forţe exterioare şi forţele interioare . Pentru punctul A1,, ţinându-se cont de relaţia fundamentală a dinamicii, se poate scrie:
(4.147)
Relaţii analoge pot fi scrise şi pentru celelalte puncte A2…An.
Înmulţind scalar cu relaţiile de tipul (4.147) scrise pentru fiecare punct, rezultă:
(4.148)
Însumând termen cu termen relaţiile (4.148) se deduce:
(4.149)
La interpretarea rezultatelor se obţine:
Lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare
(4.150)
Lucrul mecanic elementar al forţelor interioare.
(4.151)
Ţinând seama de relaţiile (4.149)…(4.151), din (4.146) se obţine teorema energiei cinetice pentru un sistem de puncte materiale.
(4.152)
Adică: variaţia energiei cinetice în timpul dt este egală cu lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare plus lucrul mecanic elementar al forţelor interioare efectuat în acelaşi interval de timp.
Se analizează cazurile posibile în care lucrul mecanic elementar al forţelor interioare este nul.
Pentru simplificare se urmăreşte cazul unei perechi de forţe interioare şi , care acţionează în Ai şi Aj şi pentru care se scrie

deci:
,
deoarece
; şi
Această relaţie reprezintă viteza relativă a lui Ai faţă de Aj, ca şi cum acesta ar fi fix. Prin urmare, viteza este perpendiculară pe .
Sunt posibile trei cazuri pentru ca dLint să fie nul, şi anume:
1) – cazul a două bile legate printr-un fir netensionat;
2) şi sunt perpendiculari – atunci când două corpuri sunt legate printr-un fir inextensibil, perfect întins, deci distanţa dintre cele două copuri rămâne aceeaşi (în acest caz se situează şi rigidul);
/
Fig. 4. 17

3) – atunci când viteza relativă dintre corpuri este nulă, ca de exemplu un disc care se rostogoleşte fără alunecare pe o bară şi punctul comun este prin urmare centrul instantaneu de rotaţie al discului, punctul în care viteza discului faţă de bară este nulă.
4.5.3.2. Cazul rigidului
Se obţine din cele precedente, cu observaţia că
(4.153)
Pentru aceasta se consideră două punct A şi B aparţinând rigidului, definite prin vectorii de poziţie şi . Aceste puncte se interacţionează prin forţele şi (fig. 4.17)

Lucrul mecanic elementar al acestor forţe este:
(4.154)
Punctele A şi B aparţinând unui rigid, este un vector de modul constant şi direcţie variabilă, de unde rezultă că este perpendicular pe . Cum forţa este colinară cu se obţine:
(4.155)
Procedând analog pentru toate perechile de puncte, se demonstrează relaţia (4.153).
Rezultă că teorema energiei cinetice în cazul rigidului este (sub formă diferenţială);
(4.256)
Integrând, se obţine teorema energiei cinetice sub forma finită:
(4.157)

4.5.4. Conservarea energiei mecanice

Un sistem de puncte materiale se numeşte conservativ dacă forţele sale interioare derivă dintr-o funcţie de forţă U(x1, y1, z1, x2, y2, z2, …, x0, y0, z,), adică:
(4.158)
În acest caz există relaţia:
(4.159)
Din relaţia (4.152) rezultă:
(4.160)
Dacă se introduce noţiunea de energie potenţială, definită la fel ca în cazul punctului material, şi anume:
(4.161)
atunci rezultă că:
(4.162)
Dacă
(4.163)
atunci se obţine că:
(4.164)
adică teorema conservării energiei mecanice se poate enunţa astfel: dacă lucrul mecanic elementar al forţelor exterioare care lucrează asupra unui sistem conservativ este nul într-un interval de timp dat (t0, t1), atunci energia mecanică a sistemului este constantă în acel interval. O altă formulare este următoarea: un sistem conservativ închis are energia mecanică constantă.
De aici se deduce cum se poate determina energia potenţială a unui sistem la timpul t. Din (4.159) şi (4.161) rezultă:
(4.165)
deci
(4.166)
unde V0 este o constantă aditivă, care reprezintă tocmai energia potenţială a sistemului în momentul iniţial t0.

11.2. Probleme rezolvate

Problema 11.2.1

Să se determine momentul de inerţie a unei bare omogene (fig. 11.6):

unde;

Problema 11.2.2

Să se determine momentul de inerţie al unei plăci dreptunghiulare omogene (fig. 11.7):

unde

Analog,

Aplicând teorema lui Steiner:

de unde

şi analog

Problema 11.2.3

Să se determine momentul de inerţie al unui cilindru (disc) omogen (fig. 11.8):

unde;

Se reţine că valoarea momentului de inerţie nu depinde de lungimea l, deci

Pentru cazul discului (fig. 11.9), aplicând teorema lui Steiner, rezultă:

Din motive de simetrie,

deci,

Problema 11.2.4

Date: m, R, ω;

Se cer: J0, Jc

, unde m = masa totală a sistemului.

Problema 11.2.5
Date: m, R, ω;
Se cer: J0, Jc

, unde m este masa totală a sistemului.

Problema 11.2.6
Date: m1 = m
m2 – m2 = 3m
Se cer:

Problema 11.2.7
Date: m, R, ω;
Se cer: J0, Jc

, unde m este masa totală a sistemului

Problema 11.2.8
Date: m, R, ω;
Se cer: J0, Jc

, unde m este masa totală a sistemului.

11.3. Probleme propuse

Problema 11.3.1