Cercetări Privind Detectarea Defectelor în Grinzi Încărcate cu O Masă în Mișcare

CUPRINS

Lista tabele ……………………………………………………………………….. 2

Listă figuri ……………………………………………………………………….. 3

Listă notații………………………………………………………………………………. 4

Obiectivele și conținutul referatului ………………………………………………. 7

Cap. 1 Stadiul cercetărilor actuale, defectele prin vibrații ………………… 9

1.1.Abordarea lucrării ………………………………………………………………. 9

1.2.Anomalia si cauza riscului structural ……………………………………………. 11

1.3. Monitorizarea structurilor cu predispoziție la defect ………………………. 11

1.3.1. Inspecția vizuală ……………………………………………………………….. 11

1.3.2. Metode locale de evaluare…………………………………………………….. 11

1.3.3. Metode globale de evaluare……………………………………………… 12

1.3.4. Metode liniare / neliniare de analiză și sinteză………………………. 14

1.4. Clasificarea metodelor de identificare a defectelor………………………. 15

1.5. Metode globale de evaluare a defectelor………………………………….. 16

1.5.1. Metode bazate pe modificări ale parametrilor modali……………….. 16

1.5.2. Metode bazate pe modificari ale derivatei parametrilor structurali… 20

1.5.3. Metode bazate pe actualizarea parametrilor structurali……………. 23

Cap. 2 Analiza comportării grinzilor cu defecte………………………….. 25

2.1. Ipoteze in studiul vibrațiilor sistemelor continue …………………….. 25

2.2. Vibrațiile transversale ale barelor. Modelul Euler-Bernoulli……………. 26

2.3. Moduri proprii de vibrație ……………………………………………….. 27

2.4. Condiții inițiale la limită…………………………………………………… 28

2.4.1. Bara articulată la ambele capete………………………………………. 30

2.4.2. Bara în consolă ……………………………………………………………. 32

2.4.3. Bara încastrată la ambele capete……………………………….. 34

Listă tabele

Tabel Pag.

2.1. Cazuri posibile de analiză a vibrațiilor 29

2.2. Relații între soluția și cazurile de rezemare 30

Listă figuri

Figura Pag.

1.1. Comportarea non-liniară a barei cu fisură centrală de încovoiere 15

2.1 Bara articulată la ambele capete 31

2.2 Bara în consolă 29

2.3 Bara încastrată la ambele capete 33

Listă notații

A Aria secțiunii transversale [m²]

b Lățimea barei [m]

COMAC Criteriul de Asigurare Modală Co-ordonată

Dj Poziția defectului pe bară [m]

DOF Grade de libertate

E Modulul de elasticitate longitudinal [N/m2]

f Frecvența proprie [1/s]

F Matricea de flexibilitate

fD(Dj, δk) Frecvența proprie calculată a barei cu defect [1/s]

fDM Frecvența proprie măsurată a barei cu defect [1/s]

FEM Metoda elementului finit

fU Frecvența proprie calculată a barei fără defect [1/s]

fUM Frecvența proprie măsurată a barei fără defect [1/s]

h Înălțimea barei [m]

I Momentul de inerție axial [m⁴]

i Raza de girație adimensională

k Curbura

L Lungimea barei [m]

L Operator Laplace

MAC Criteriul de Asigurare Modală

MGDDBV Metodă globală de detectare a defectelor bazată pe vibrații

n Numărul modului de vibrație

NDE Control nedistructiv

q(x,t) Forța distribuită normală pe fibra medie [N/m]

R Raza de curbură [m]

s Coeficientul de zveltețe

SHM Monitorizarea stării de sănătate a structurii

T Variabila timp [s]

v Deplasarea pe verticală a axei neutre [m]

VBDI Identificarea defectelor pe bază de vibrații

x Variabila pe direcție axială [m]

y Distanța până la axa neutră [m]

Soluția ecuației caracteristice

δk Adâncimea defectului [m]

ΔfD(Dj, δk) Variația relativă a frecvențelor proprii calculate [1/s]

ΔfDM Variația relativă a frecvențelor proprii măsurate [1/s]

ε Deformatia specifică

φ Mod de vibrație

Λ Matricea de rigiditate modală

ρ Densitatea materialului barei [kg/m3]

ω Pulsația [rad/s]

Obiectivele și conținutul referatului

Tema de cercetare: „Cercetari privind detectarea defectelor in grinzi incarcat cu o masa in miscare” abordează un domeniu de interes major privind comportarea structurilor mecanice la vibrații și utilizarea datelor culese din semnalele de vibrații pentru detectarea timpurie și localizarea defectelor în vederea evitării avariilor ce pot cauza pagube materiale și pierderea de vieți omenești. Prin urmare, în cadrul temei au fost studiate modificările de frecvențe proprii ale structurii de tip bară, pentru un număr mare de moduri de vibrație, înainte și după apariția de defecte, precum și posibilitatea de localizare a defectelor utilizând aceste informații.

Oportunitatea cercetărilor efectuate a avut ca punct de plecare necesitatea detectării și localizării defectului în timp real, reducerea costurilor de exploatare cu

mentenanța și înlocuirea structurilor deteriorate dacă este cazul, folosind o metodă dinamică.

Avantajul major al metodei dinamice este legat de faptul că nu necesită acces la zona afectată.

În esență, conceptul de defect presupune o imperfecțiune, sau o deviație nepermisă a unei proprietăți caracteristice a sistemului de la condițiile acceptate. Identificarea defectelor poate fi abordată pe patru nivelele: detectarea defectului, localizarea defectului, evaluarea severității defectului și predicția duratei de viață.

Prin monitorizarea structurilor, din punctul de vedere al apariției defectelor, se poate stabili starea în care se găsește structura, astfel încât la apariția defectelor să poată fi luate decizii cu privire la necesitatea remedierii acestora. Deoarece monitorizarea vibrațiilor structurilor prezintă un interes crescând în ultimii ani, cercetările actuale sunt orientate pe evidențierea mărimilor măsurate celor mai potrivite pentru a semnala apariția defectului sau deteriorarea structurilor.

In acest sens, rezultatele cercetărilor efectuate pe structuri elastice privind detectarea și localizarea defectelor utilizând vibrații proprii a avut ca obiectiv principal stabilirea unei metodologii originale constând în elaborarea unui procedeu experimental sigur și precis care utilizează un sistem instrumental de dotare tehnica minimal, aplicabil latoate cazurile de structuri elastice cu rezemări distincte.

Obiectivele urmărite în acest refrat sunt:

– analiza documentelor de referință, a cercetărilor, articolelor publicate privind metodele existente referitoare la detectarea și localizarea defectelor pe baza vibrațiilor proprii. De asemenea, analiza gradului de credibilitate a rezultatelor experimentale raportate la nivelul de apreciere a riscului pentru grinzi de secțiune rectangulara, in diverseconfigurații de rezemare;

– stabilirea metodei analitice adecvate destinate determinării frecvențelor propriiale grinzilor cu secțiune constantă în diferite cazuri de rezemare;

– fundamentarea metodei de analiză modală pentru grinzi fără defecte, cu tipologii semnificative de rezemare folosind metoda elementelor finite;

– fundamentarea metodologiilor de analiză modală utilizând metoda elementelor finite pentru grinzi cu defecte identificabile și cu influențe semnificative, simularea parametrică astfel încât să poată fi evidențiabil efectul prin adâncime de pătrundere și varietate pozițională;

– stabilirea modului în care poziția și adâncimea defectului influențează modificarea frecvențelor proprii ale structurii precum și stabilirea unei corelații frecvențe proprii și ponderea defectelor structurale ale grinzii;

– elaborarea unei metode originale de analiză, sinteză și decizie privind localizarea defectelor în elemente structurale de bare drepte cu secțiune rectangulară;

– stabilirea unei metode instrumentale și informatice pentru evidențierea, măsurarea și prelucrarea rezultatelor privind frecvențele proprii în grinzi fără defecte și cu defecte;

– stabilirea metodei de corelare a rezultatelor analitice și numerice cu rezultatele experimentale;

– diseminarea rezultatelor științifice și practice pe categorii de specialiști astfel încât să fie asigurată valorificarea rezultatelor pe niveluri de competență și grad de aplicare practică.

Capitolul 1 "Cercetari privind detectarea defectelor in grinzi incarcarcate cu o masa in miscare" prezintă rezultatele si metodele obținute în acest domeniu al detectării defectelor prin vibrații pe bare până la ora actuală. În literatura de specialitate există foarte multe lucrări care încearcă să rezolve problema detectării defectelor prin vibrații. Toate metodele publicate și prezentate în această lucrare sunt aplicabile în general pentru anumite cazuri particulare de structuri pentru care au fost dezvoltate, în special în ceea ce privește grinzile incarcate cu o masa in miscare; ele pot fi aplicate cu succes pe multe tipuri de structuri, fără a fi însă posibilă generalizarea.

Abordările teoretice privind comportarea grinzilor cu defecte si cu o masa in miscare vor fi prezentate in decursul tezei de doctorat. Astfel, sunt prezentate ipotezele care stau la baza studiului vibrațiilor în sistemele continue, o introducere în modelarea vibrațiilor transversale ale barelor pe baza modelului Euler-Bernoulli, cum se determină analitic modurile proprii de vibrații și ce condiții la limită trebuie puse pentru determinarea vibrațiilor transpuse de masa in miscare. Sunt prezentate tabelar toate cazurile posibile de analiză a vibrațiilor pentru bare, precum și relațiile între diferitele tipuri de rezemare. În final, pe baza acestor relații, în cazul modelului Euler-Bernoulli sunt necesare de analizat trei cazuri, restul de șapte cazuri rămase pot fi deduse din primele trei cazuri analizate în teză: bară articulată la ambele capete, bară în consolă și bară încastrată la ambele capete. Pentru cazurile descrise mai sus se vor analizae frecvențele naturale și forma modurilor de vibrație pentru o bară din oțel.

Cap. 1 Stadiul cercetărilor actuale, defectele prin vibrații

1.1. Abordarea lucrării

Inspecția periodică și controlul structurilor/grinzilor este necesară din punct de vedere al identificari defectelor în timp real și de a stabili siguranța și fiabilitatea structurii. Identificarea din timp a defectelor în timpul vieții structurilor permite o mentenanță programată, cu impact asupra reducerii costurilor de exploatare, sau repunerii în funcțiune și înlocuirea structurii pentru a evita accidente.

În literatura de specialitate autorii trateaza un număr mare de metode nedistructive, locale și chiar globale. Metodele dinamice ca si metode nedistructive, globale sunt în măsură să arate si sa indice apariția defectelor la structurile mari, dar oferă informații puține lagat de caracteristicile defectului gasit. Un avantaj major al metodelor dinamice este legat de faptul că acestea nu necesită acces la zona afectată. Atât metodele nedistructive locale cât și metodele globale (dinamice) nu se exclud, acestea pot fi utilizate complementar [38].

Defectele influențează comportamentul dinamic al structurilor, modificarea caracteristicilor mecanice și dinamice, cum ar fi: frecvențele naturale, forma modală, gradul de amortizare, rigiditatea sau flexibilitatea. Pe acest principiu se bazează metodele globale de detectare a defectelor; cele mai utilizate și prezentate în literatura de specialitate sunt cele bazate pe modificarea frecventelor [18], [39] și [96]. Acestea se pot clasifica la rândul lor în două categorii: metode de detectare a defectelor și metode destinate în special localizării și cuantificării defectelor.

1.2. Anomalia si cauza riscului structural

Prin anomalie înțelegem o imperfecțiune, o deviație care nu este permisa a cel puțin unei proprietăți caracteristice a sistemului de la condițiile acceptate sau standard, sau o anomalie fizica de comportament a unui sistem.

Imperfecțiunea este orice abatere de la formă, dimensiuni, masă, aspect, compactitate, structură, compoziție chimică și/sau proprietăți mecanice sau fizice, prescrise în standarde, norme sau documentații de produs.

Defectul este imperfecțiunea care depășește ca dimensiuni mărimea admisă de clasa de calitate prescrisă ca dimensiune absolută. Defectele pot fi de tip longitudinal, transversal sau ramificate, pot fi interioare sau cu ieșire la suprafață.

Un defect nu conduce neapărat la o defectare a sistemului, sistemul poate continua să funcționeze cu un nivel mai redus al parametrilor. Instrument Society of America (ISA) au realizat cu ajutorul firmelor dezvoltatoare de instrumente și utilizatorilor sistemelor de control automat o clasificare a principalelor tipuri de defecte și cele mai des întâlnite cauze de apariție a defectelor.

O prima clasificare a defectelor o putem face din punctul de vedere al operabilității (capacității de a fi operațional) considerând două categorii distincte și anume: defecte functionale și fizice.

Un defect fizic apare în momentul în care o entitate (componentă sau element al sistemului) se defectează propriu-zis și nu mai este aptă de funcționare, nu mai este operațională. Defectele fizice sunt studiate intensiv, iar datele sunt păstrate de producătorii echipamentelor în baze de date folosite pentru determinarea valorilor intensităților de defectare ale componentelor noi.

Un defect funcțional apare în momentul în care sistemul este operațional dar nu își realizează funcția specificată. Majoritatea defectelor funcționale apar datorită erorilor din faza de proiectare și pot fi la rândul lor permanente sau tranzitorii. O modalitate de obținere a datelor despre defectele funcționale ar fi consultarea fișierelor de diagnosticare automată care conțin momentul apariției defectului și tipul defectului.

În cadrul fiecărei cercetări desfășurate, indiferent de domeniul la care ne referim, rezultatele obținute pe cale teoretică sunt fără valoare dacă nu sunt confirmate de rezultate experimentale corespunzătoare.

De obicei, pentru validarea imediată a rezultatelor teoretice obținute se face apel la prezentări comparative ale acestora cu rezultatele teoretice și experimentale obținute de alți cercetători, în același domeniu și pe o temă, pe cât posibil, cât mai apropiată de cea în cauză. În scopul confirmării și punerii în practică a soluțiilor obținute în urma cercetărilor teoretice trebuie desfășurate noi experimente.

1.3. Monitorizarea structurilor cu predispoziție la defect

Scopul principal de monitorizare a structurilor din punctul de vedere al apariției defectelor este de a stabili starea în care se găsește structura, astfel încât la apariția defectelor să poată fi luate decizii cu privire la nevoia de remediere a lor sau nu. Numărul de cercetări cu privire la monitorizarea stării structurilor a crescut semnificativ în ultimele decenii, deoarece, peste tot în lume un număr mare de structuri au nevoie urgentă de evaluare a stării lor.

Datele obținute din monitorizarea structurilor trebuie să fie deduse din datele empirice derivate din structură [96]. Fără a aduce atingere relației neclare dintre datele empirice și starea reală (de exemplu, capacitatea de încărcare și de fiabilitate), tipurile de date care pot fi utilizate în acest scop și metodele disponibile pentru a obține aceste date sunt numeroase.

1.3.1. Inspecția vizuală

Metoda cea mai frecvent utilizată este inspecția vizuală. Considerată indispensabilă, fiabilitatea metodei vizuale a fost dovedită a fi remarcabil de scăzută. Aceasta a condus la nevoia de metode suplimentare în monitorizarea și investigarea stării structurilor, prin evidențierea și identificarea predictivă a riscului cauzat de defect.

1.3.2. Metode locale de evaluare

Alte tehnici includ metode locale de evaluare nedistructivă (NDE) și metode de detectare a defectelor la nivelul global al structurii. Multe dintre aceste tehnici sunt capabile să detecteze defecte într-un stadiu incipient, înainte ca defectul să fie vizibil, dar măsurile de remediere sunt mai ample și nu mai puțin costisitoare.

Metodele locale de evaluare nedistructivă au fost studiate de un număr mare de cercetători [18], [26], [80], [92]. Metodele nedistructive pot fi: radiografice (inclusiv razeX și raze gama), cu ultrasunete, lichide penetrante, particule magnetice, curenți turbionari și emisii acustice.

În timp ce fiecare metodă are propriile sale puncte forte, principalul avantaj al metodelor locale nedistructive luate ca un grup constă în faptul că ele pot fi folosite pentru a detecta, localiza, și/sau caracteriza defectul destul de exact.

Cu toate acestea, metodele nedistructive sunt, în general, capabile de a examina structurile numai pe spații mici și la un moment dat, astfel încât inspecția unei structuri mari poate fi costisitoare și consumatoare de timp. În plus, regiunea care urmează să fie inspectată trebuie să fie accesibilă.

1.3.3. Metode globale de evaluare

Metodele globale de evaluare a stării structurilor, pe de altă parte, utilizează ca indicatori ai defectului modificările în răspunsul global dat de o structură. Metodelele includ teste statice [4], [47] pe teren, teste semi-statice [85] pe teren și metode bazate pe vibrații [28]. Aceste metode sunt capabile de a evalua starea întregii structuri și nu sunt limitate la zonele accesibile ale structurii.

În consecință, ele pot fi efectuate relativ repede o dată ce un sistem de senzori a fost instalat pe întreaga structură. În multe cazuri, aceste metode pot fi utilizate pentru monitorizarea la distanță a stării structurii. Până în prezent, la nivel mondial, capacitatea de a localiza și identifica defectul pe structuri este în mare măsură nedovedit, cu excepția cazului aplicat la structuri foarte simple.

În ultimii ani o atenție sporită este acordată metodelor globale de detectare a defectelor bazată pe vibrații (MGDDBV). Principiul de bază pentru aceste metode este relativ simplu: din moment ce caracteristicile dinamice ale unei structuri (în special frecvențele naturale, forma modului de vibrație, proprietățile și amortizarea) sunt funcții de proprietățile sale fizice (de exemplu, proprietățile materialului, configurație geometrică, distribuția de masă și condițiile de sprijin), orice modificări ale acestor proprietăți fizice provocate de defecte se vor reflecta în modificări ale caracteristicilor dinamice.

Metodele globale de detectare a defectelor bazate pe vibrații, prin urmare, se caracterizează prin măsurători precise ale parametrilor modali, de obicei, atât la stadiul de bază (de preferință fără defect), precum și periodic în timpul vieții de funcționare a structurii.

Schimbările măsurate în acești parametri sunt apoi folosite pentru a detecta, localiza și cuantifica defectul.

O serie de cercetători au studiat utilizarea tehnicilor de detectare a defectelor pe bază de vibrații. Aceste tehnici, denumite uneori identificarea defectelor pe bază de vibrații (VBDI), pot fi folosite pentru a evalua starea structurilor [27], [28].

Tehnica metodelor globale de detectare a defectelor bazată pe vibrații (MGDDVB) a fost aplicată cu succes și la mașini rotative [32], [85]), dar a fost aplicată cu succes și în tehnica aerospațială sau la sistemele mecanice [22], [47] și structuri simple, cum ar fi grinzi sau cadre [75]). Aplicarea metodelor MGDDVB pentru structurile din ingineria civilă, cum ar fi poduri, a fost complicată și dată de o combinație de factori: incertitudinile în mod inerent ale proprietățile materialului, dimensiunea relativ mare a acestor structuri, condițiile de sprijin și conectivitatea de componente, variabilitatea în încărcare și condițiile de mediu. Cu toate acestea, în ultimul deceniu au fost făcute o serie de eforturi ca metodele MGDDVB să se aplice și la structurile de tip pod real [19], [33], [46], [48], [77], [91], [97]. Aceste studii au arătat că tehnicile pot fi folosite pentru a detecta prezența, locația, și ocazional, severitatea defectului asupra structurilor de pod. Cu toate acestea,

studiile lor s-au adresat de obicei unui număr mic de scenarii de defecte cu severitate relativ mare, iar constatările lor servesc adesea pentru a sublinia și mai mult complexitatea metodelor MGDDVB aplicată la poduri.

În ciuda provocărilor, dezvoltarea unor metode fiabile de detectare a defectelor bazată pe vibrații (MGDDVB) pentru structurile existente are potențial mare și cu mari economii în costuri pentru proprietarii de infrastructură. Prin urmare, este important ca la aceste metode, capacitățile și limitele lor să fie explorate pe deplin, cu atenție deosebită, deoarece necesită utilizarea unui singur senzor pentru monitorizarea, detectarea și localizarea defectului.

După o revizuire aprofundată a literaturii, dezvoltarea și aplicarea tehnicilor de detectare a defectelor bazată pe vibrații, lucrarea [28] subliniază problemele critice pentru cercetările viitoare în identificarea defectelor și monitorizarea stării structurilor: "O problemă de importanță primară este dependența de modelele anterioare de analiză și/sau date înainte de test pentru detectarea și localizarea defectelor. Varietatea și numărul mare de algoritmi presupun accesul la o evaluare detaliată a modelului cu elemente finite

(FEM) a structurii, în timp ce altele presupun că un set de date din structura fără defect este disponibilă".

1.3.4. Metode liniare / neliniare de analiză și sinteză

În general, metodele de identificare a defectelor pot fi clasificate în metode globale si metode locale. În cadrul metodelor globale se face o distincție între comportamentul liniar și neliniar al structurii. Situația cea mai des luată în considerare este că structura în stadiul cu defect rămâne în domeniul liniar-elastic. Cea mai mare parte a literaturii presupune un comportament liniar al proprietăților materialului structurii și nu se raportează la amplitudinea de oscilație. Modificări ale caracteristicilor modale sunt rezultatul schimbărilor de geometrie, de condițiile de rezemare sau proprietățile materiale ale structurii, dar răspunsul structurii poate fi modelat folosind o ecuație liniară de mișcare.

Defectul non-linear este definit după caz, când structura inițial liniar-elastic se comportă într-un mod non-linear după ce defectul a fost introdus în structură. Un exemplu de defect non-linear este formarea unei fisuri la oboseală, care datorită mediului vibrator se deschide și se închide (figura 1.1). Atunci când fisura se închide trebuie luată în considerare o rigiditate suplimentară. Alte exemple includ conexiuni slăbite, care modifică și comportamentul non-linear al materialului.

Metodele liniare mai pot fi clasificate drept model primar și non-model primar. Metoda pe modelul primar presupune că structura răspunde într-o manieră prestabilită astfel încât să poată fi modelată prin analiza cu elemente finite.

Fig. 1.1. Comportarea non-liniară a barei cu fisură centrală de încovoiere

Metodele de localizare a defectului fără a utiliza un model detaliat al structurii sunt în mod tradițional bazate pe schimbarea de frecvențe proprii, pe modificări ale formei modului de vibrație proprie, pe modificări ale derivatelor sale, sau pe modificări în matricea de flexibilitate formată din valorile măsurate și frecvențele proprii.

1.4. Clasificarea metodelor de identificare a defectelor

O bine cunoscută clasificare pentru metodele de identificare a defectelor, prezentată de Rytter (1993), definește patru niveluri [84], astfel:

Nivel 1: Detectarea defectului: stabilește că defectul este prezent în structură;

Nivel 2: Localizarea defectului: stabilește locația defectului în structură;

Nivel 3: Cuantificarea severității defectului (adâncimea defectului);

Nivel 4: Predicția duratei de viață a structurii.

Deși monitorizarea vibrațiilor structurilor (de exemplu, poduri, clădiri, baraje) a câștigat un mare interes în ultimii ani, există încă unele dezbateri dacă abaterile măsurate sunt suficient de importante pentru a fi un bun indicator al defectului sau deteriorării structurii. Este cunoscut din studiile de sensibilitate folosind modele simulate cu metoda element finit (FEM) și testele pe structuri reale cu defect artificial creat că scăderea frecvențelor proprii este adesea relativ scăzută. Deși local rigiditatea la o fisură poate fi mult scăzută, rigiditatea globală duce la schimbări relativ mici de frecvență, care pot fi detectate numai cu măsurători foarte precise și folosind proceduri de identificare a defectului.

Este adesea sugerată ideea (dar insuficient dovedită) că modurile mari de frecvență proprie ar putea fi mai sensibile la anumite tipuri de defecte. Compararea proprietăților dinamice în starea inițială fără defect și cu defect a unei structuri poate fi, de asemenea, împiedicată de schimbările naturale cauzate de influențele de mediu (de exemplu, schimbările de temperatură). O altă problemă încă nerezolvată este localizarea defectului atunci când se observă a schimbare a proprietăților dinamice a structurii.

Pentru a convinge comunitatea inginerilor că monitorizarea vibrațiilor este o metodă valoroasă, este esențial un studiu de fezabilitate pentru evaluarea stării structurii. Testele pe structuri deja existente (nu numai pe grinzi în laborator) ar trebui să dovedească faptul că deși schimbările proprietăților dinamice nu sunt suficient de mari, pot fi legate de existența defectelor într-o anumită parte a structurii.

1.5. Metode globale de evaluare a defectelor

1.5.1. Metode bazate pe modificări ale parametrilor modali

1.5.1.1. Frecvențe proprii

Metodele de evaluare a defectelor prin schimbări de frecvențe proprii sunt mult tratate în literatura de specialitate. Sensibilitatea oarecum redusă a modificărilor de frecvență [20] pentru structurile cu defecte presupune fie măsurători foarte precise, fie adâncimi mari ale defectelor. Cu toate acestea, statistic, variația frecvențelor proprii este mai mică decât alți parametri modali [27]. Deoarece frecvențele proprii sunt o proprietate

la nivel global a unei structuri, identificarea defectului la nivelul 2 și nivelul 3 este mai greu de realizat.

Adesea, un număr mic de frecvențe proprii determinate experimental este insuficient pentru a localiza în mod unic poziția defectului în structură. În literatura de specialitate, [28] face o distincție între problema directă, care de obicei se încadrează în categoria de detectare a defectului (nivel 1) și problema inversă, care este de obicei este de nivel 2 sau nivel 3 de localizare și cuantificare a defectului.

Ca un exemplu de problema directă, o lucrare de pionierat [20] descrie utilizarea monitorizării frecvențelor proprii prin modificarea acestora pe un material compozit.

Acești autori dau o formulare pentru detectarea defectului în domeniul materialelor

compozite din abaterea de frecvență, pornind de la raportul dintre abaterea de frecvență pentru o pereche de frecvențe proprii. Este considerată o rețea de puncte posibile ale defectului, se definește un coeficient de eroare bazat pe scăderea rigidității locale astfel încât variația frecvenței determinată experimental să corespundă cu cea prezisă pe model. Perechea care are mai mică eroare indică locul defectului. Este recomandat să se utilizeze un număr de perechi de moduri pentru fiecare locație a defectului. Formula nu ține cont de posibilele locații multiple ale defectului.

Problema inversă constă în calcularea parametrilor defectului (de exemplu, lungimea defectului și/sau locația) de la abaterea de frecvență. Folosind frecvențele proprii determinate experimental și o matrice de sensibilitate generată numeric, metoda de identificare a defectului folosind sensibilitatea modificărilor frecvențelor proprii [88], [89] prezice localizarea și amplitudinea defectului în structură. Dovada experimentală a funcționalității metodei a fost obținută prin teste de laborator pe grinda încastrată.

Armon et al. [3] utilizează un sistem cu grad de ordonare a variației de frecvențe proprii pe o structură și apoi prin folosirea unui model cu elemente finite raportează acest defect la gradul de ordonare. Gradul de ordonare este insensibil la amploarea defectului. Metoda nu este sensibilă la inexactitățile minore din condițiile la limită și nu necesită mare precizie în măsurătorile frecvențelor proprii.

Choy et al. [25] prezintă o metodă de evaluare a defectului pe grinzi unde intersecția diferitelor rigidități la încovoiere comparativ cu locația elementului cu defect de pe bară ne indică locul defectului. Intersecțiile reprezintă posibile soluții de locații ale defectului și ale mărimii defectului (modulul lui Young), care rezultă din modificările corespunzătoare ale frecvențelor proprii. Cu toate acestea, metoda nu este capabilă să distingă în mod unic defectul într-o structură simetrică.

Messina et al. [65] a investigat posibilitatea de a detecta defectul folosind o comparație între vectorul de variație a frecvenței proprii măsurate datorată defectului și vectorul de predicție a schimbării frecvențelor proprii datorate defectului cu o locație cunoscută.

Morassi [71] utilizează ecuațiile de mișcare de la bară pentru a calcula poziția și mărimea unui defect într-o tijă folosind o pereche de frecvențe proprii. Avantajul major folosind frecvențele proprii în evaluarea gradului de deteriorare a barelor este că acestea sunt ușor de achiziționat și metoda de evaluare este simplu de abordat. Cu toate acestea, o deosebită atenție trebuie acordată filtrării influenței condițiilor de mediu, cum ar fi: influența temperaturii la rigiditatea structurii și condițiile la limită [77]. Dezavantajul metodei folosind numai frecvențele proprii, este că modelele pentru barele cu defect găsite sunt uneori sunt nerealiste. Ele nu pot distinge defectul în locuri simetrice pe o structură simetrică, și numărul de frecvențe proprii măsurat este în general mai mic decât numărul de parametrii necunoscuți ai modelului, rezultând o soluție non-unică. Prin urmare, în procesul de evaluare a defectelor de multe ori sunt luate în considerare forma modurilor de vibrație.

1.5.1.2. Metoda de evaluare a modificării modurilor proprii de vibrație

Aceste metode investighează experimental modificarea frecvențelor proprii, împreună cu schimbarea experimentală a formei modului de vibrație pentru a evalua defectul.

Rizos et al. [80] propune o metodă de măsurare a amplitudinii vibrațiilor în două puncte la o bara de oțel prin inducerea forțată a unei frecvențe proprii, folosind apoi un model de bară pentru a prezice poziția și lungimea defectului prin introducerea amplitudinii la ecuațiile de mișcare a frecvențelor proprii. Se presupune că defectul este transversal și se extinde uniform de-a lungul lățimii structurii.

Este posibil să se utilizeze un singur număr de măsurători la schimbarea formei modului de vibrație. Un singur set de măsurători reprezintă Criteriul de Asigurare Modală (MAC), dar s-a dovedit că respectivul criteriu este destul de insensibil la o structură cu defecte mici. Valoarea MAC pentru două moduri φA și φB (de exemplu, pentru bara fără defect și cu defect) este definită ca:

(1.1)

cu n grade de libertate modale. Valoarea MAC indică gradul de corelare între două moduri și variază de la 0 la 1, cu 0 dacă nu există corelare și 1 pentru corelare deplină.

Abaterea de la valoarea 1 poate fi interpretată ca un indicator al defectului în structuri.

Criteriul de Asigurare Modală Co-ordonată (COMAC) diferă de definiția MAC

deoarece această metodă oferă informații locale și combină informații de la moduri diferite. Valoarea COMAC pentru coordonata modului i și pentru modurile m este definită în (1.2).

(1.2)

În cazul în care deplasarea modală a coordonatei i de la două seturi de măsurători este identică, valoarea COMAC pentru această coordonată este egală cu 1.

1.5.1.3. Amortizarea

Utilizarea factorilor de amortizare pentru evaluarea gradului de deteriorare este încă în fază experimentală, nu doar din cauza lipsei de acuratețe în determinarea metodei de identificare a ratelor de amortizare a sistemului.

Ndambi (2002) a studiat mecanismul de amortizare și utilizarea amortizării ca indicator în monitorizarea stării de sănătate a structurii (SHM) la evaluarea defectului în grinzi din beton armat parțial fisurat. Metoda Ndambi se bazează pe aplicarea unei energii de evaluare a amortizării defectului la grinzi din beton armat. Două fenomene sunt investigate: redistribuirea energiei de deformare din cauza tensiunilor la transferul dintre oțel și beton la apariția fisurii și disiparea energiei dată de forțele de frecare la interfața de la marginile fisurii. Se pare că ambele efecte acționează în sens invers factorul de pierderi din betonul armat (legat de energia disipată). În testele menționate, factorul de pierdere din betonul armat este guvernat de energia de frecare disipată ducând la o creștere a amortizării măsurate pe măsură ce defectul crește.

În literatura de specialitate, se fac încercări de a folosi rații de amortizare pentru măsurarea defectului, dar de multe ori acestea nu au avut succes.

Modena et al. [69] prezintă două tehnici de localizare a defectului bazate pe măsurători de amortizare. Primul se bazează pe variația unui raport modal energetic echivalent de amortizare, al doilea pe contribuția unei componente de amortizare a frecării vâscoase și identificarea defectului prin detectarea și caracterizarea frecării.

Testele efectuate pe grinzi din beton parțial fisurat nu indică o legătură clară între creșterea fisurii și creșterea amortizării (Casas și Aparicio, 1994).

1.5.2. Metode bazate pe modificări ale derivatei parametrilor modali

In literatura de specialitate au fost prezentate un număr mare de metode de interpretare a formei modulului de vibrație. Multe alte metode nu folosesc în mod direct modurile experimentale, ci mai degrabă entități derivate.

1.5.2.1. Energia modală de deformație

Modificarea energiei modale de deformație la detectarea structurilor cu defect este frecvent folosită. Stubbs et al. (1992) prezintă o metodă bazată pe scăderea energiei de deformare modală între structuri cu două grade de libertate, așa cum sunt definite de curbura formei modulului de vibrație măsurat. Metoda este menționată în literatura de specialitate ca metoda indicelui de defect. Această metodă este aplicată la un pod din oțel cu defect.

O altă metodă de detectare a defectului bazată pe modificarea energiei de deformare a structurii modale este prezentat de Shi et al. (2000). Metoda poate localiza unic defectul, poate defini amplitudinea defectului precum și defectele multiple, dar cuantificarea defectului poate fi făcută cu succes numai pentru niveluri scăzute de zgomot. De asemenea, Carrasco et al. (1995) și Cornwell et al. (1997) folosesc modificarea energiei de deformare pentru a localiza defectul în structuri de ferme spațiale și structuri de bare.

1.5.2.2. Curbura formei modului de vibrație

În timp ce pentru defecte reale modificările formei modale de multe ori sunt greu de pus în evidență, curbura formei modale este mai sensibilă cu defectul.

Este de remarcat faptul că, pentru grinzi, curbura și deformația la încovoiere sunt legate direct și se exprimă prin relația:

(1.3)

unde ε este deformația, R este raza de curbură, k este curbura și y distanța până la axa neutră. Pentru obținerea curburii sunt posibile două opțiuni: calcul de deplasări modale sau măsurarea directă a curburii/deformație. Dacă apare o fisură rezultată din încovoiere, există o scădere a rigidității la încovoiere (EI), și acest lucru ar trebui să cauzeze o creștere locală a curburii, care este egală cu momentul încovoietor împărțit la rigiditatea la încovoiere. Valorile curburii sunt calculate funcție de deplasarea formei modului.

Pandey et al. a descoperit că curbura modală este un indicator al defectului mult mai sensibil decât MAC sau valorile COMAC.

Această metodă de detectare a defectului a fost extinsă de Ratcliffe (1997), care propune o metodă de a studia curbura barei cu defect fără să fie nevoie de o cunoaștere a priori a structurii fără defect. Metoda folosește operatorul Laplace Li pentru o formă a modului discretă, definită ca:

(1.4)

și este proporțională cu coeficientul diferenței. Prezența severității defectului este detectabilă ca formă de un salt vizibil în Laplacian. Pentru defecte mai puțin severe, efectul asupra Laplacianului este mai puțin evident.

Metoda a fost aplicată cu succes în estimarea locației defectului într-o bară de oțel. Cea mai mare provocare este determinarea în mod corect a curburii modale din măsurători experimentale.

1.5.2.3. Flexibilitatea

O altă clasă de metode de identificare a defectului folosește matricea de flexibilitate a măsurii dinamice pentru a estima schimbările în comportamentul static al structurii.

Deoarece matricea de flexibilitate este definită ca inversul matricii de rigiditate statică, matricea de flexibilitate se referă forța statică ce rezultă din deplasarea structurii.

Astfel, fiecare coloană a matricii de flexibilitate reprezintă un set de deplasărilor nodale ale structurii din cauza unei forțe unitate aplicată pe unul din gradele de libertate (DOF).

Matricea de flexibilitate măsurată F este dedusă din formele modale masice normalizate măsurate și frecvențele proprii ca:

(1.5)

cu Λ=diag(ω²l) matricea de rigiditate modală.

Expresia matricii de flexibilitate este aproximativă, datorită faptului că doar primele moduri de vibrație a structurii sunt măsurate. Exprimarea completă a matricii de flexibilitate statice ar necesita măsurarea tuturor formelor modale și a frecvențelor proprii. De obicei, defectul este detectat cu ajutorul matricii de flexibilitate prin compararea matricii de flexibilitate sintetizate utilizând modurile de vibrație a structurii cu defect cu matricea de flexibilitate sintetizată utilizând modurile de vibrație a structurii fără defect sau cu matricea de flexibilitate de la un model FEM. Din cauza relației inverse la pătrat a frecvențelor modale, matricea de flexibilitate măsurată este cel mai sensibilă la schimbări ale modurilor în gama de frecvențe mai mici. Matricea de flexibilitatea converge rapid pentru valori mari ale frecvenței, flexibilitatea constituind un avantaj în locul rigidității.

Pandey și Biswas (1994) prezintă o metodă de detectare și localizare a defectului bazată pe modificările flexibilității măsurată pe structuri. Această metodă a fost testată cu exemple numerice și apoi cu date experimentale efectuate de pe o scară largă de flanșe din oțel.

1.5.3. Metode bazate pe actualizarea parametrilor structurali

Altă clasă de metode de identificare a defectului se bazează pe modificarea parametrilor structurali modali, cum ar fi rigiditatea, masa, amortizarea și de a reproduce cât mai fidel posibil măsurătorile statice și/sau răspunsul dinamic. Metodele alternative de actualizare pot fi formulate în funcție de alegerea funcției obiectiv și pot să fie reduse la minimum, privitor la condițiile de constrângere a problemei și a sistemului numeric utilizat pentru a rezolva problema minimizării.

Metoda de bază pentru evaluarea adâncimii defectului din structură implică dezvoltarea unui model numeric (în majoritatea cazurilor un model cu elemente finite). În actualizarea MEF, o problemă de optimizare este stabilirea diferențelor între datele experimentale și analiza modală prin ajustarea parametrilor incerți pe model (Friswell și Mottershead, 1995; Maia et al, 1997.) Modelul numeric trebuie să corespundă cât mai bine cu structura reală, în scopul de a detecta, localiza și cuantifica defectul.

Elementul central al soluției este reducerea la minimum a reziduului dintre modelul modal experimental și modelul modal analitic care descriu dinamica structurii. Mai mult, pentru actualizare este necesar să se aleagă parametrii adecvați. Exemple de parametrii de actualizare sunt: rigiditatea pe suporturi, rigiditatea la încovoiere și torsiune a elementelor individuale ale barei, parametrii expresiilor matematice care descriu defectul asupra mai multor elemente (funcții de defect), etc.

Un alt aspect în procesul de minimizare o constă compoziția reziduului. În afara frecvențele de rezonanță, reziduul poate conține deplasări modale, curburi modale și aproape orice altă caracteristică dinamică a sistemului: funcțiile de răspuns în frecvență, elemente ale matricii MAC, elemente ale matricelor ortogonale, etc. Termenii diferiți din reziduuri sunt adesea ponderați pentru a exprima fiabilitatea dinamică a parametrilor măsurați ai sistemului, și de multe ori sunt impuse constrângeri de actualizare a parametrilor.

Cap. 2 Analiza comportării grinzilor cu defecte

2.1. Ipoteze in studiul vibrațiilor sistemelor continue

Sistemele mecanice cu număr finit de grade de libertate sunt modele discrete pentru studiul sistemelor formate dintr-un număr de corpuri legate între ele prin elemente elastice sau de amortizare, de mase neglijabile ce pot fi asimilate cu puncte materiale [12], [13], [39], [55]. În multe cazuri însă mișcarea vibratorie a sistemelor continue nu se poate studia folosind astfel de modele discrete.

Unele sisteme continue pot fi studiate folosind modele teoretice cu parametrii distribuiți (masa, elasticitatea, amortizarea) în tot volumul ocupat de corp. Deplasarea unui astfel de sistem este exprimată printr-o funcție continuă pe domeniul ocupat de corp și variabilă în timp. Sistemul are un număr infinit de grade de libertate. Astfel de sisteme care permit o modelare matematică sunt: firele, barele și plăcile. Aceste sisteme cu un număr infinit de grade de libertate au deci, un număr infinit de frecvențe proprii și forme modale proprii.

Materialele studiate sunt materiale elastice, omogene și izotrope.

Sunt adoptate ipotezele uzuale din teoria încovoierii simple [79], denumită curent teoria Euler-Bernoulli a barelor:

a) bara este inițial dreaptă;

b) grosimea barei este mică în comparație cu raza sa de curbură în secțiunea cu deplasare maximă;

c) secțiunile transversale plane rămân plane în toate fazele unei vibrații;

d) una dintre axele principale de inerție ale secțiunii este perpendiculară pe direcția mișcării;

e) nu există forțe axiale;

f) deformațiile transversale datorite forfecării sunt neglijabile;

g) masa barei este concentrată în axa neutră.

Ultimele două ipoteze arată că se neglijează efectele forfecării și inerției la rotație.

În concluzie, la aceste modele forțele de inerție sunt distribuite în tot volumul, iar deplasarea în mișcarea vibratorie este o funcție continuă de punct (poziție) și de timp [5]. Sistemul are un număr infinit de grade de libertate, corespunzător valorilor cu care funcția deplasare descrie poziția punctelor corpului.

2.2. Vibrațiile transversale ale barelor. Modelul Euler-Bernoulli

Barele supuse solicitării de încovoiere se numesc grinzi.

Pornind de la ecuația generală Euler-Bernoulli (2.1):

(2.1)

care, în cazul barelor de secțiune constantă devine:

(2.2)

unde:

E [N/m²] este modulul de elasticitate longitudinal, sau modulul Young;

I [m⁴] – momentul de inerție al secțiunii transversale a grinzii;

A [m²] – aria secțiunii transversale;

ρ [kg/m3] – densitatea materialului barei.

v [m] – deplasarea pe verticală a axei neutre;

x [m] – variabila pe direcție axială;

t [s] – variabila timp;

q(x,t) [N/m] – forța distribuită normală pe fibra medie.

În cazul particular q(x,t)=0 se obține ecuația vibrațiilor transversale (2.3) ale grinzii:

(2.3)

Modelul de bară Euler-Bernoulli presupune că este îndeplinită condiția ca raza de girație adimensională k (2.4), sau inversul coeficientului de zveltețe s, să fie mai mic decât valoarea raportului 1/100:

(2.4)

unde:

i – raza de girație adimensională;

L [m] – lungimea barei;

s – coeficientul de zveltețe.

2.3. Moduri proprii de vibrație

În cazul vibrațiilor libere q(x,t)=0. Interesează condițiile în care v(x,t) definește o mișcare armonică sincronă (2.5):

v(x,t)=X(x)sin(ωt+ф) (2.5)

Înlocuind soluția (2.5) în ecuația (2.3), rezultă:

(2.6)

Ecuația (2.6) este de ordinul patru, deci soluția generală (exceptând mișcările corpului rigid) are forma:

(2.7)

unde,

(2.8)

Cele patru constante de integrare A, B, C și D se determină din condițiile inițiale la limită. Se scriu cele trei derivate ale funcției (2.7) și funcție de condițiile de rezemare aplicate la capetele barei, se obțin soluțiile respectiv formele proprii ale modurilor de vibrație.

(2.9)

2.4. Condiții inițiale la limită

Determinarea vibrațiilor transversale ale grinzii presupune cunoașterea condițiilor inițiale, adică trebuie cunoscute poziția și viteza fiecărui punct în momentul inițial.

Aceasta înseamnă să fie cunoscute funcțiile:

(2.10)

De asemenea, trebuie cunoscute condițiile la limită date de legăturile pe care le are bara. Condițiile la limită întâlnite la capătul barei, sunt:

a) Capăt încastrat (I): săgeata și unghiul de înclinare sunt nule:

(2.11)

b) Capăt articulat (A): săgeata și momentul încovoietor sunt nule:

(2.12)

c) Capăt rezemat (R): unghiul de înclinare și momentul încovoietor sunt nule:

(2.13)

d) Capăt liber (L): momentul încovoietor și forța tăietoare sunt nule:

(2.14)

Funcție de tipul de rezemare, se pot defini 10 cazuri de analiză a vibrațiilor proprii. Cazurile posibile de analiză a vibrațiilor proprii sunt prezentate în tabelul 2.1.

Tabel 2.1 Cazuri posibile de analiză a vibrațiilor

Prin obținerea soluțiilor pentru primele 4 cazuri de rezemare, L – L, A – A, I – I și I – L, se pot determina frecvențele proprii conform metodologiei propuse în [41] iar pentru celelalte cazuri de rezemare conform relațiilor prezentate în tabel 2.2.

Mai trebuie menționat faptul, că pentru modelul Euler-Bernoulli, cazurile liber-liber (L-L) și încastrat-încastrat (I-I) ne dau aceleași valori ale frecvențelor proprii.

Tabel 2.2. Relații între soluția și cazurile de rezemare

2.4.1. Bara articulată la ambele capete

Pentru analiză, voi considera o bară din oțel având lungimea L = , secțiune transversală dreptunghiulară având laturile: lățimea b = și înălțimea de h = . Caracteristicile geometrice ale barei sunt: momentul de inerție al secțiunii transversale , secțiunii transversale a barei , iar caracteristicile de material, densitatea materialului ρ = 7850 kg/m³, modulul de elasticitate longitudinal E = 2,06 x N/m².

Fig. 2.1. Bara articulată la ambele capete

La o bară articulată la ambele capete (fig. 2.1.), condițiile la limită sunt:

(2.15)

și

(2.16)

Înlocuind condițiile (2.15) în sistemul (2.9) rezultă:

Aplicând condițiile la x=L, rezultă:

Singura soluție nebanală este C = 0 și sin(L) = 0, deci

(2.17)

Primele zece zece frecvențe naturale pentru bara din oțel din figura 2.2. se determină cu relația:

(2.18)

Formele proprii de vibrație pentru bara articulată la ambele capete sunt date de relația:

(2.19)

unde X este o constantă arbitrară.

2.4.2. Bara în consolă

Fig. 2.2. Bara în consolă

Alegând originea axei x în încastrare și aplicând condițiile la limită (2.11) și (2.13) pe sistemul de ecuații (1.4.5), rezultă pentru x=0:

(2.20)

deci,

și condițiile pentru x=L:

(2.21)

din (2.9) obținem:

Cele patru ecuații liniare omogene de mai sus au o soluție nebanală dacă se anulează determinantul coeficienților:

de unde rezultă ecuația frecvențelor proprii:

(2.22)

Primele zece frecvențe naturale se determină cu relația:

(2.23)

Formele proprii de vibrație pentru bara în consolă sunt date de relația:

(2.24)

unde X este o constantă arbitrară și

2.4.3. Bara încastrată la ambele capete

Fig. 2.3. Bara încastrată la ambele capete

Alegând originea axei x în încastrarea din stânga și aplicând condițiile la limită

(2.11) pe sistemul de ecuații (2.9), rezultă:

(2.25)

deci,

Cele patru ecuații liniare omogene de mai sus au o soluție nebanală dacă se anulează determinantul coeficienților:

de unde rezultă ecuația frecvențelor proprii:

(2.26)

Frecvențe naturale se determină cu relația:

(2.27)

Formele proprii de vibrație pentru bara incastrată la ambele capete sunt date de relația:

(2.28)

unde X este o constantă arbitrară și .

Bibliografie

38. Gillich, G-R. Dinamica Mașinilor – Modelarea sistemelor tehnice, Ed. AGIR,2003;

18. Cartz, L. Non-destructive testing. ASM International, Materials Park, SUA, 1995;

39. Gillich, G-R. Dinamica Mașinilor – Vibrații, Ed. AGIR, 2006;

96. Zhou, Z. Vibration-based damage detection of simple bridge superstructures, Teza doctorat, 2006;

26. Chong, K.P., Carino, N.J., Washer, G. Health monitoring of civil infrastructures. Health and Management of Civil Infrastructure Systems, Proceedings of SPIE's International Symposium on NDE and Health Monitoring Diagnostics, 2001;

80. Raj, B., Jayakumar, T., Thavasimuthu, M. Practical non-destructive testing, 2nd Ed. Narosa Publishing House, New Delhi, India, 2002;

92. Uomoto, T. Non-destructive testing in civil engineering, Elsevier Science Ltd., Amsterdam, 2000;

4. Bakht, B., Csagoly, P.F. Diagnostic testing of a bridge. Journal of Structure Division, ASCE, 1980;

47. Jenkins, C.H., Kjenrengtroen, L., Oestensen, H. Sensitivity of parameter changes in structural detection. Shock and Vibration, 1997;

85. Schultz, J.L., Command, B., Goble, G.G., Frangopol, D.M. Efficient field testing and load rating of short-and medium-span bridges, Structural Engineering Review, 1995;

28. Doebling, S.W., Farrar, C.R., Prime, M.B., Shevitz, D.W. Damage identification and health monitoring of structural and mechanical system from changes in their vibration characteristics: a literature review, Report No. LA 13070-MS, Los Alamos, 1996;

27. Doebling, S.W., S.W., Farrar, C.R., Prime, M.B., A summary review of vibration based damage identification methods, Shock Vibration Digest, 1998;

32. Farrar, C.R., Duffey, T.A., Vibration-based damage detection in rotating

machinery, Key Engineering Materials, 1999;

22. Chang, F.K., Structural Health Monitoring 2000, Proceedings of the 2nd International Workshop on Structural Health Monitoring, Stanford, 1999;

75. Padey, A.K., Biswas, M., Damage detection in structures using changes in flexibility, Journal of Sound Vibration, 1994;

19. Catbas, F.N., Aktan, A.E., Condition and damage assessment issues and some promising indices, Journal of Structural Engineering, ASCE, 2002;

33. Farrar, C.R., Baker, W.E., Bell, T.M., Cone, K.M., Darling, T.W., Duffey, T.A., Eklund, A., Migliori, A., Dynamic Characterization and Damage Detection in the I-40 Bridge Over the Rio Grande, Report No. LA 12767-MS, Los Alamos, 1994;

46. Jauregui, D.V., Farrar, C.R, Comparison of damage identification algorithms on experimental modal data from a bridge, Proceedings of the 14th International Modal Analysis Conference, Dearborn, 1996;

48. Kim, J.T., Stubbs, N., Non-destructive crack detection algorithm for full-scale bridges, Journal of Structural Engineering, ASCE, 2003;

77. Peeters, B., System identification and damage detection in civil engineering, Ph.D. thesis, Leuven, Belgium, 2000;

91. Toksoy, T., Aktan, A.E., Bridge-condition assessment by modal flexibility, Experimental Mechaniscs, 1994;

97. Zhang, Z., Aktan, A.E., Application of modal flexibility and its derivatives in structural identification, Research of Non-destructive Evaluation, 1998;

84. Rytter, A., Vibration-based inspection of civil engineering structures, Doctoral Dissertation, Aalborg, Denmark, 1993;

20. Cawley, P., Adams, R.D., The locations of defects in structures from measurements of natural frequencies, Journal of Strain Analysis, 1979;

88. Stubbs, N., Osegueda, R., Global non-destructive damage evaluation in solids, The International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis, 1990a;

89. Stubbs, N., Osegueda, R., Global damage detection in solids – experimental verification, The International Journal of Analytical and Experimental Modal Analysis, 1990b;

3. Armon, D., Ben-Haim, Y., Braun, S., Crack detection in beams by rank-ordering of eigenfrequency shifts, Mechanical Systems and Signal Processing, 1994;

25. Choi, F.K., Liang, R., Xu, P., Fault identification of beams on elastic foundation, Computers and Geotechnics, 1995;

65. Messina, A., Williams, E.J., Contursi, T., Structural damage detection by a sensitivity and statistical based method, Journal of Sound and Vibration, 1998;

71. Morassi,. A., Identification of a crack in a rod based on changes in a pair of natural frequencies, Journal of Sound and Vibration, 2001;

69. Modena, C., Sonda, D., Zonta, D., Damage localization in reinforced concrete structure by using damping measurements, Proceedings of DAMAS 99 International Conference pf Damage Assessment of Structures, Dublin, 1999;