Cercetari Experimentale Privind Determinarea Caracteristicilor Mecanice Prin Metode Nedistructive la Materialele Ortotrope
TEZĂ DE DOCTORAT
CUPRINS
CONSIDERAȚII GENERALE
CAPITOLUL 1-SINTEZĂ PRIVIND ECUAȚIILE GENERALE
ALE ELASTICITĂȚII CORPURILOR ORTOTROPE
1.1.1. Ecuațiile aspectului geometric (ecuațiile geometrice)
1.1.2. Ecuațiile aspectului static (ecuațiile de echilibru)
1.1.3. Ecuațiile aspectului fizic (ecuațiile constitutive sau de material)
1.2. Starea plană de tensiune
1.3. Starea plană de deformare
1.4. Rotirea axelor în starea plană
1.4.1. Transformarea tensiunilor
1.4.2. Transformarea deformațiilor specifice
1.4.3. Transformarea matricei de elasticitate
1.5. Concluzii
CAPITOLUL 2-ANALIZA CRITICĂ A STADIULUI ACTUAL PRIVIND DETERMINAREA PRIN METODE NEDISTRUCTIVE A CARACTERISTICILOR MECANICE LA MATERIALELE ORTOTROPE
2.1. Generalități privind elasticitatea materialelor ortotrope, cu privire la lemnul masiv
2.1.1. Caracteristici generale ale lemnului
2.1.2. Elasticitatea lemnului ca material anizotrop-ortotrop
2.1.3. Relații dintre tensiuni și deformații
2.4. Factorii care influențează elasticitatea lemnului
2.2. Cercetări teoretice privind caracteristicile mecanice ale materialelor lemnoase
2.3. Metode experimentale utilizate în determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor lemnoase
2.3.1. Metoda tensometriei electrice rezistive
2.3.2. Fotoelasticitatea
2.3.3. Interferometria Holografică
2.3.4. Metode optice
2.3.5. Tehnici pentru măsurarea modulului de elasticitate
2.4. Concluzii
CAPITOLUL 3-OBIECTIVELE PRINCIPALE ALE TEZEI DE DOCTORAT
CAPITOLUL 4-CERCETĂRI EXPERIMENTALE PRIVIND DETERMINAREA CARACTERISTICELOR MECANICE PRIN METODE NEDISTRUCTIVE
4.1. Alegerea principiului și a metodelor de măsurare
4.2.Noțiuni sumare privind Tensometria Electrică Rezistivă
4.2.1. Rozete tensometrice
4.2.2. Cercul lui Mohr pentru starea plană de deformație
4.3. Dispozitivul conceput și tipul de epruvetă
4.4. Descrierea standului original
4.5. Aspectele teoretice de bază ale metodei Corelării Digitale a Imaginilor
4.5.1. Modele de deformare
4.5.1.1. Transformările geometrice inspirate de modele fizice
4.5.1.2. Transformările geometrice inspirate de teoria interpolării
4.5.1.3. Transformări geometrice bazate pe informații
4.5.1.4. Probleme specifice de constrângeri
4.5.2. Funcții obiective
4.5.2.1. Metodele imagistice
4.5.2.2. Metodele geometrice
4.5.2.3. Metodele hibride
4.5.3. Strategii de optimizare
4.5.3.1. Optimizarea continuă
4.5.3.2. Optimizarea discretă
4.6. Concluzii
CAPITOLUL 5-REZULTATELE EXPERMENTALE PROPRII
5.1. Strategia de măsurare la Tensometria Electrică Rezistivă
5.2. Rezultate obținute prin Tensometrie Electrică Rezistivă
5.3. Strategia de măsurare la Corelarea Digitală a Imaginilor
5.4. Rezultate obținute prin Corelarea Digitală a Imaginilor
5.5. Efectul rotirii direcției de aplicare a forței față de direcția fibrelor asupra mărimii caracteristicelor mecanice.
5.6. Concluzie
CAPITOL 6-MODELAREA MATERIALELOR ORTOTROPE
PRIN METODA DIFERENȚELOR FINITE
6.1. Aproximația cu diferențe finite pentru prima derivată
6.2. Aproximarea cu diferențe finite a derivatelor funcției cu două variabile
6.3. Rezolvarea problemelor de stare plană prin metoda diferențelor finite
6.3.1. Compatibilitatea deformațiilor specifice
6.3.2. Compatibilitatea tensiunilor
6.3.3. Funcția potențial a deplasărilor când direcțiile ortotropiei coincid cu direcțiile principale
6.3.4. Funcția potențial a deplasărilor când direcțiile ortotropiei nu coincid cu direcțiile principale
6.4. Metoda diferențelor finite în problema plană
6.5. Condiții de contur sub forma deplasărilor prescrise
6.6. Condițiile de contur sub forma încărcării
6.7. Stabilirea și rezolvarea sistemului de ecuații
6.8. Postprocesarea
6.9. Criterii energetice
6.10. Concluzii
CAPITOL 7-REZULTATELE MODELĂRII NUMERICE PROPRII
7.1 Modelul numeric propus
7.2. Rezultate preliminare obținute prin modelul numeric propus
7.3. Concluzii
CAPITOL 8-CONCLUZII FINALE
CAPITOL 9-CONTRIBUȚII LA PROBLEMATICA ABORDATĂ
CAPITOL 10-PERSPECTIVELE DE UTILIZARE
ALE REZULTATELOR OBȚINUTE
BIBLIOGRAFIE
CONSIDERAȚII GENERALE
Considerând domeniile științelor inginerești se poate afirma că oricare dintre ele necesită cunoștințe aprofundate în comportamentul diferitelor materiale expuse la solicitări mecanice. Acest lucru este valabil atât în timpul proiectării, cât și în procesul de producție, unde trebuie ținut cont de rigiditatea, ductilitatea, rezistența, stabilitatea, oboseala, îmbătrânirea etc. materialului.
Comportamentul unui material descris prin modelarea matematică se bazează pe utilizarea unor ecuații din teoria elasticității. Astfel, se pot specifica ecuațiile de echilibru care sunt valabile pentru toate materialele și ecuațiile constitutive (de material) care servesc pentru caracterizarea materialului.
Din categoria materialelor elastice un caz particular îl prezintă materialele ortotrope, pentru care, desigur, nu putem stabili o lege constitutivă care să caracterizeze materialul în totalitate la un moment dat. Într-o astfel de lege numărul caracteristicelor de materiale ar fi foarte mari și ecuațiile ar deveni atât de complicate, încât rezolvarea lor ar fi practic imposibilă. Concentrându-ne pe acele proprietăți care sunt esențiale, se prezintă de fapt comportamentul unui material idealizat.
În acest sens, determinarea caracteristicelor mecanice, care descriu comportarea unui material ortotrop, prin modelarea matematică, respectiv verificarea rezultatelor teoretice cu cele experimentale prezintă și acum un deziderat pentru calculele inginerești.
De-a lungul timpului cercetătorii au acordat o atenție deosebită pentru elaborarea diferitelor metode adecvate la determinarea acestor caracteristici de materiale (modulele de elasticitate, coeficientul contracției transversale), însă modul cum depind constantele elastice de caracteristicile materialului ortotrop, respectiv cum se pot determina aceste constante prin metode nedistructive constituie și la ora actuală un domeniu de investigare și cercetare în științele inginerești.
Pornind de la aceste considerații, teza de doctorat intitulată „Contribuții la determinarea, prin metode nedistructive, a caracteristicelor mecanice la materialele ortotrope” își propune să realizeze cercetări teoretice și experimentale în domeniul vast al măsurărilor prin metode nedistructive.
Capitolul 1 este o sinteză privind ecuațiile generale ale elasticității corpurilor ortotrope și oferă o scurtă trecere în revistă a ecuațiilor de bază din Teoria Elasticității. Acest capitol prezintă cadrul teoretic general privind determinarea stării de tensiuni, deformații și deplasări dintr-un corp elastic, în funcție de caracteristicile materialului corpului, supus la diferite încărcări. Se evidențiază acele formule care descriu proprietățile mecanice a materialului sub diferite unghiuri de orientare față de cele principale.
Capitolul 2 al tezei prezintă stadiul actual al cercetărilor teoretice și experimentale privind stabilirea caracteristicelor mecanice la materialele utilizate în inginerie. După prezentarea noțiunilor fundamentale privind materialele ortotrope, cu referire la lemnul masiv, sunt atent analizate rezultatele analitice și numerice obținute pe plan mondial. Se trage concluzia, că în literatura de specialitate, când planul de ortotropie închide diferite unghiuri cu direcția fundamentală, nu prea sunt referințe pentru variația modulului de elasticitate și coeficientului de contracție transversală , iar referiri la modul schimbării direcțiilor principale ale tensiunilor și deformațiilor specifice nu s-au găsit.
În baza celor expuse în partea de stadiul actual, în Capitolul 3 se formulează obiectivele tezei, care sunt aduse la îndeplinire în capitolele următoare, după cum urmează:
Capitolele 4 și 5 sunt dedicate modurilor de investigare experimentale. Astfel, în Capitolul 4 sunt prezentate aspectele de bază a celor două metode nedistructive în determinarea caracteristicilor mecanice ale lemnului masiv, și anume Metoda Tensometriei Electrice Rezistive (TER), respectiv Metoda Corelării Digitale a Imaginilor (DIC). Un subcapitol este dedicat prezentării standului de încercare conceput și realizat, și a epruvetelor folosite. La prelevarea probelor s-a ținut cont, ca secțiunea transversală a epruvetei să corespundă planului .
În Capitolul 5 sunt prezentate strategiile de măsurare cu cele două metode de investigare, precum și rezultatele obținute. În evaluarea epruvetelor de lemn pe o parte au fost lipite rozete dreptunghiulare cu traductoare, iar pe partea cealaltă au fost vopsite în prealabil cu un strat de vopsea albă, peste care au fost dispuse aleatoriu puncte de vopsea neagră.
Cu metoda TER au fost evaluate deplasările suferite de epruvetă pe direcția sarcinii aplicate; au fost calculate deformațiile principale, respectiv orientarea axelor principale în funcție de forța aplicată față de direcția fibrelor, au fost trasate curbele forță-deformații principale.
Pentru metodologia de investigare DIC a fost elaborat un program de concepție proprie. Programul se bazează pe prelucrarea înregistrării imaginii prin corelare digitală. Cu ajutorul programului au devenit posibile efectuarea unor teste pentru verificarea și validarea măsurătorilor prin TER.
Din cercetările experimentale a rezultat, că nu numai mărimile modulului de elasticitate și coeficientului de contracție transversală se schimbă în cazul rotirii epruvetei de lemn, ci și în direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor specifice au loc schimbări când direcția de aplicare a forței de compresiune face diferite unghiuri cu direcția fibrelor.
Din această modificare a direcției rezultă că relația liniară între tensiuni și deformații specifice își pierde valabilitatea, descriind astfel o comportare neliniară. Pentru a păstra forma liniară, adică valabilitatea legii lui Hooke, s-a introdus un factor de corecție. Acest factor are rolul de a corecta direcțiile principale a tensiunilor cu acele valori care s-au determinat pe cale experimentală.
În Capitolul 6, intitulat “Modelarea materialelor ortotrope prin Metoda Diferențelor Finite”, se prezintă o metodă de calcul cu diferențe finite pentru integrarea ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope. Problema plană este formulată în tensiuni, ajungându-se la funcția Airy, a cărei derivate parțiale de ordinul doi descriu câmpul de tensiuni. Cu ajutorul tensiunilor și cu ecuațiile de material se determină deformațiile specifice. Prin analogie cu funcția Airy, s-a utilizat o „funcție potențial” a deplasărilor, care face posibilă scrierea condițiilor de contur mixte. Derivatele parțiale ale acestei funcții dau deplasările în direcția axelor de coordonate. Derivatele deplasărilor dau deformațiile specifice, iar prin utilizarea ecuațiilor de material, aceste derivate de ordin superior conduc la câmpul de tensiuni. Astfel devine posibilă scrierea condițiilor de contur sub forma tensiunilor prescrise, existând o relație directă între deplasări și tensiuni, care se aproximează cu diferențe finite. Ultimul subcapitol prezintă o alternativă de rezolvare numerică bazată pe criteriile energetice.
Capitolul 7 prezintă modelul numeric propus. Metoda de calcul cu diferențe finite de la capitolul anterior a fost dezvoltată în sensul aplicării unei proceduri de calcul neliniar iterativ pentru modelarea comportării materialelor ortotrope, la care parametrii elastici variază în funcție de direcția solicitării. Modelul numeric de calcul a fost validat prin compararea rezultatelor obținute pe cale experimentală.
În Capitol 8 intitulat „Concluzii finale”, în Capitol 9 intitulat „Contribuțiile la problematica abordată” și în Capitol 10 intitulat „Perspectivele de utilizare ale rezultatelor obținute” sunt evidențiate elementele de originalitate, respectiv contribuțiile aduse de către autoare. Se preexperimentale. Astfel, în Capitolul 4 sunt prezentate aspectele de bază a celor două metode nedistructive în determinarea caracteristicilor mecanice ale lemnului masiv, și anume Metoda Tensometriei Electrice Rezistive (TER), respectiv Metoda Corelării Digitale a Imaginilor (DIC). Un subcapitol este dedicat prezentării standului de încercare conceput și realizat, și a epruvetelor folosite. La prelevarea probelor s-a ținut cont, ca secțiunea transversală a epruvetei să corespundă planului .
În Capitolul 5 sunt prezentate strategiile de măsurare cu cele două metode de investigare, precum și rezultatele obținute. În evaluarea epruvetelor de lemn pe o parte au fost lipite rozete dreptunghiulare cu traductoare, iar pe partea cealaltă au fost vopsite în prealabil cu un strat de vopsea albă, peste care au fost dispuse aleatoriu puncte de vopsea neagră.
Cu metoda TER au fost evaluate deplasările suferite de epruvetă pe direcția sarcinii aplicate; au fost calculate deformațiile principale, respectiv orientarea axelor principale în funcție de forța aplicată față de direcția fibrelor, au fost trasate curbele forță-deformații principale.
Pentru metodologia de investigare DIC a fost elaborat un program de concepție proprie. Programul se bazează pe prelucrarea înregistrării imaginii prin corelare digitală. Cu ajutorul programului au devenit posibile efectuarea unor teste pentru verificarea și validarea măsurătorilor prin TER.
Din cercetările experimentale a rezultat, că nu numai mărimile modulului de elasticitate și coeficientului de contracție transversală se schimbă în cazul rotirii epruvetei de lemn, ci și în direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor specifice au loc schimbări când direcția de aplicare a forței de compresiune face diferite unghiuri cu direcția fibrelor.
Din această modificare a direcției rezultă că relația liniară între tensiuni și deformații specifice își pierde valabilitatea, descriind astfel o comportare neliniară. Pentru a păstra forma liniară, adică valabilitatea legii lui Hooke, s-a introdus un factor de corecție. Acest factor are rolul de a corecta direcțiile principale a tensiunilor cu acele valori care s-au determinat pe cale experimentală.
În Capitolul 6, intitulat “Modelarea materialelor ortotrope prin Metoda Diferențelor Finite”, se prezintă o metodă de calcul cu diferențe finite pentru integrarea ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope. Problema plană este formulată în tensiuni, ajungându-se la funcția Airy, a cărei derivate parțiale de ordinul doi descriu câmpul de tensiuni. Cu ajutorul tensiunilor și cu ecuațiile de material se determină deformațiile specifice. Prin analogie cu funcția Airy, s-a utilizat o „funcție potențial” a deplasărilor, care face posibilă scrierea condițiilor de contur mixte. Derivatele parțiale ale acestei funcții dau deplasările în direcția axelor de coordonate. Derivatele deplasărilor dau deformațiile specifice, iar prin utilizarea ecuațiilor de material, aceste derivate de ordin superior conduc la câmpul de tensiuni. Astfel devine posibilă scrierea condițiilor de contur sub forma tensiunilor prescrise, existând o relație directă între deplasări și tensiuni, care se aproximează cu diferențe finite. Ultimul subcapitol prezintă o alternativă de rezolvare numerică bazată pe criteriile energetice.
Capitolul 7 prezintă modelul numeric propus. Metoda de calcul cu diferențe finite de la capitolul anterior a fost dezvoltată în sensul aplicării unei proceduri de calcul neliniar iterativ pentru modelarea comportării materialelor ortotrope, la care parametrii elastici variază în funcție de direcția solicitării. Modelul numeric de calcul a fost validat prin compararea rezultatelor obținute pe cale experimentală.
În Capitol 8 intitulat „Concluzii finale”, în Capitol 9 intitulat „Contribuțiile la problematica abordată” și în Capitol 10 intitulat „Perspectivele de utilizare ale rezultatelor obținute” sunt evidențiate elementele de originalitate, respectiv contribuțiile aduse de către autoare. Se prezintă concluziile generale ale rezultatelor obținute în urma studiului și desfășurării experimentelor ținând cont de toate cunoștințele noi introduse în această teză. Valorificarea rezultatelor și direcțiile viitoare de cercetare încheie acest capitol.
Bibliografia de la sfârșitul tezei de doctorat conține un număr important de lucrări utilizate în elaborarea prezentei teze. Documentarea în cazul bibliografiei studiate a necesitat cunoștințe dintr-un spectru larg, și anume: XXXXXXXXXXXX
Mulțumiri
Teza de doctorat reprezintă rezultatul cercetărilor întreprinse pe parcursul studiilor doctorale, cu sprijinul științific și logistic al unui număr important de persoane și instituții, cărora le datorez toată recunoștința mea și cărora doresc să le mulțumesc.
Doresc să adresez cele mai sincere mulțumiri d-lui profesor dr. ing. Ioan SZÁVA, în calitate de conducător științific pentru îndrumările competente și recomandările făcute cu înalt profesionalism, pentru contribuția la formarea mea pe plan științific, fără de care n-aș fi ajuns aici.
CAPITOLUL 1
SINTEZĂ PRIVIND ECUAȚIILE GENERALE
ALE ELASTICITĂȚII CORPURILOR ORTOTROPE
1.1. Ecuațiile fundamentale
În interiorul unui corp deformabil, asupra căruia acționează un sistem de sarcini, se produce un câmp de tensiuni. Distribuția câmpului de tensiuni depinde de forma și dimensiunea corpului, de proprietățile fizico-mecanice ale materialului (modulul de elasticitate și coeficientul lui Poisson), de tipul de sarcini exterioare și de condițiile de frontieră.
Soluțiile problemelor în cazul elasticității trebuie să satisfacă:
ecuațiile geometrice;
ecuațiile de echilibru;
ecuațiile constitutive.
În ecuațiile geometrice și de echilibru nu intervin caracteristici de material, astfel ele pot fi considerate valabile pentru orice material. În ecuațiile constitutive intervin caracteristicile de material, deci ele depind de natura materialului.
1.1.1. Ecuațiile aspectului geometric (ecuațiile geometrice)
Ecuațiile geometrice definesc legătura între deformațiile specifice și deplasări din interiorul unui corp, când este supusă sub acțiunea sarcinilor exterioare. Dacă deformațiile sunt considerate infinitezimale, pătratele și produsele derivatelor se pot neglija în comparația cu termenii liniari, astfel se obțin:
, , (1.1,a)
, , . (1.1,b)
Ecuațiile (1.1) sunt ecuațiile aspectului geometric, care dau deformațiile specifice în funcție de deplasări. Aceste mărimi de obicei se aranjează într-o matrice simetrică
, (1.2)
care se numește matricea (tensorul) deformațiilor specifice. La lunecările specifice indicii și arată că mărimea descrie modificare unghiului în planul ca o rotire relativă a laturii paralele cu axa față de . Privind această modificare a unghiului drept ca o rotire relativă a laturii paralele cu axa față de , se obține .
Această matrice are numai șase elemente independente, prin urmare, este convenabil să se reprezinte deformațiile specifice printr-un vector (matrice coloană):
. (1.3)
Astfel ecuațiile geometrice se pot exprima printr-o singură formulă:
, (1.4)
unde este matricea operatorilor de derivare, iar este vectorul deplasării.
1.1.2. Ecuațiile aspectului static (ecuațiile de echilibru)
În interiorul unui corp deformat, se consideră un element de volum paralelipipedic drept , al cărui fețe sunt paralele cu planele de coordonate.
În starea de echilibru, rezultanta forțelor care acționează pe elementul de volum, respectiv momentul rezultant al forțelor este egală cu zero. Astfel, pentru proiecțiile forțelor după cele trei axe ortogonale, obținem ecuațiile diferențiale de echilibru pentru starea generală de tensiuni:
, (1.5,a)
, (1.5,b)
, (1.5,c)
iar pentru suma momentelor care se rotesc în jurul unei axe ce trece prin centrul elementului de volum obținem ecuațiile de echilibru:
, . (1.5)
(aceste relații exprimă dualitatea tensiunilor tangențiale Cauchy). Ecuațiile (1.5) sunt ecuațiile aspectului static.
Starea de tensiuni într-un punct considerat se definește prin tensorul tensiunilor
. (1.6)
Deoarece și această matrice are numai șase elemente independente, de multe ori este mai convenabil să descriem starea de tensiuni prin vectorul tensiunilor
, (1.7)
cu care ecuațiile de echilibru se scriu mai compact sub forma
(1.8)
unde este matricea operatorilor de derivare din formula (1.4).
1.1.3. Ecuațiile aspectului fizic (ecuațiile constitutive sau de material)
În teoria elasticității liniare se presupune că relațiile între tensiuni și deformații sunt liniare. Această relație se poate descrie cu formula
, (1.9)
unde este matricea de elasticitate (matricea de rigiditate a materialului), o matrice de tipul , care conține 36 constante de material. În cazul general, atunci când vorbim despre materiale anizotrope, matricea conține 21 componenți independenți, aceasta fiind simetrică. Această relație reprezintă ecuațiile aspectului fizic în cazul materialelor liniar elastice (legea lui Hooke generalizată).
Experimental s-a constatat, că în multe cazuri (dar nu în general) dacă materialul este supus solicitării de întindere, atunci lungirea specifică va fi proporțională cu tensiunea normală:
, (1.10)
unde este modulul de elasticitate (modulul lui Young) al materialului. În același timp apare și o deformație transversală, proporțională cu cea longitudinală:
, (1.11)
unde este coeficientul contracției transversale (coeficientul lui Poisson). În cazul materialelor anizotrope, constantele de material și depind de direcția în care le măsurăm, și prezintă niște valori extreme după direcțiile principale elastice. Dacă aceste direcții sunt ortogonale, materialul respectiv se numește ortotrop.
Dacă direcțiile de ortotropie coincid cu direcțiile axelor de coordonate, atunci prin suprapunerea efectelor (1.10) și (1.11) obținem:
(1.12,a)
În această ecuație, în cazul coeficientului lui Poisson , prima indice arată direcția tensiunii, iar al doilea direcția deformației.
Dacă pe fețele elementului acționează și tensiuni tangențiale, atunci legătura acestora cu lunecările specifice produse este dată de:
(1.12,b)
Datorită dualității deformațiilor specifice și a tensiunilor de forfecare, avem: .
După unii autori modulele de elasticitate transversale sunt independente de modulele lui Young și de coeficienții lui Poisson (din ecuația 1.12,a.), dar între ele se poate deduce o relație de aproximare. Pentru aceasta se consideră în planul de coordonate o suprafață de formă pătrată de mărime , a căror margini sunt încărcate cu tensiunile (Fig. 1.1).
Deformarea dreptunghiului marcat din figura 1.1 va fi:
(1.13)
unde rezultă modulul de elasticitate transversală:
(1.14,a)
În mod similar
, (1.14,b)
. (1.14,c)
Fig. 1.1. Determinarea modului de elasticitate transversală
Pe baza ecuațiilor (1.12,a) și (1.12,b) se poate scrie inversa relației (1.9):
, (1.15)
unde este matricea de flexibilitate a materialului ortotrop (matricea complianță). Această matrice este simetrică față de diagonala principală, și astfel avem doar 6 constante de material independente (trei modele lui Young și trei coeficienți Poisson).
Matricea de elasticitate din relația (1.9) se poate determina ca inversa matricei de complianță din ecuația (1.15)
,
(1.16,a)
unde
. (1.16,b)
1.2. Starea plană de tensiune
În cazul în care tensiunile apar doar într-un plan de coordonate, vorbim de stare plană de tensiune. Să presupunem că acest plan de coordonate este planul , atunci tensiunile în direcția sunt nule: , și . Dacă din relația (1.15) eliminăm liniile și coloanele în care tensiunile sunt nule, atunci ajungem la
. (1.17,a)
Chiar dacă tensiunile apar numai în planul considerat, conform relației avem
(1.17,b)
care apare în direcția perpendiculară pe planul tensiunii. În concluzie, dacă , starea plană de tensiune conduce la stare spațială de deformație descrisă de relația (1.17,a) completată cu relația (1.17,b).
Matricea de flexibilitate din relația (1.17,a) rămâne simetrică, iar modulul de elasticitate transversală este dată de relația (1.14,a).
Matricea de elasticitate, care de asemenea rămâne simetrică față de diagonala principală, se poate determina ca inversa matricei din ecuația (1.17,a)
. (1.18)
1.3. Starea plană de deformare
În cazul în care deformațiile apar doar într-un plan, vorbim de stare plană de deformare. Considerând ca acest plan este planul de coordonate , în direcție perpendiculară, adică în direcția avem: , și . Dacă din matricea (1.16,a) eliminăm liniile și coloanele care corespund deformației specifice nule, obținem:
(1.19,a)
la care trebuie să adăugăm ecuația tensiunii, care apare în direcția perpendiculară pe planul deformației
(1.19,b)
În această ecuație modulul de elasticitate transversală este dată tot de relația (14.a), iar numitorul este dat de relația (1.16,b).
Matricea de flexibilitate se poate obține prin inversarea matricei de elasticitate, ambele fiind simetrice:
. (1.20)
1.4. Rotirea axelor în starea plană
Dacă direcțiile axelor de coordonate și nu coincid cu direcțiile ortotropiei, atunci relațiile (1.17), (1.18), (1.19) și (1.20) nu se pot folosi în mod direct.
1.4.1. Transformarea tensiunilor
În figura 1.2 sunt reprezentate două sisteme de coordonate ( și ), în care este rotit față cu unghiul , măsurat în direcția trigonometrică. Considerând elementele marcate în stare de echilibru, se pot determina tensiunile din planul în raport de cele definite în sistemul .
Ecuațiile de echilibru după coordonatele și , pentru elementul marcat în figura 1.2,a sunt:
, (1.21,a)
, (1.21,b)
iar pentru elementul în figura 1.2,b sunt:
, (1.21,c)
. (1.21,d)
Fig. 1.2. Modificarea tensiunilor în cazul rotirii sistemului de coordonate
În figura 1.2,a avem și care se înlocuiesc în ecuațiile (1.21,a) și (1.21,b). Tot așa, în figura 1.2,b și care se înlocuiesc în ecuațiile (1.21,c) și (1.21,d). După simplificare din formula (1.21,a) se obține:
, (1.22,a)
din formula (1.21,d):
, (1.22,b)
iar din formulele (1.21,b) și (1.21,c):
. (1.22,c)
Aceste formule se pot scrie și sub forma matriceală:
, (1.23,a)
sau
. (1.23,b)
Transformarea în direcția inversă se obține prin inversarea matricei, însă obținem același rezultat și dacă în formulele de mai sus înlocuim cu (rotire în sens invers):
, (1.24,b)
. (1.24,a)
1.4.2. Transformarea deformațiilor specifice
În figura 1.3 sunt prezentate două sisteme de coordonate, a căror origine coincide cu poziția unui punct dinaintea deformării. Coordonatele punctului după deformare sunt proiecțiile și a vectorului de deplasare în cele două sisteme de coordonate. Astfel se poate scrie
, (1.25,a)
, (1.25,b)
la fel
, (1.26,a)
. (1.26,b)
Din ultimele două relații (dacă înlocuim ), ecuațiile transformării inverse:
, (1.27,a)
. (1.27,b)
Fig. 1.3. Modificarea proiecțiilor deplasării în cazul rotirii sistemului de coordonate
Cu ecuațiile transformării inverse sunt date de derivatele parțiale, din care este formată matricea Jacobiană
(1.28)
În sistemul de coordonate rotit, deformațiile specifice se obțin cu formulele (1.1). Aplicând regula lanțului de derivare deplasărilor transformate (1.25), cu derivatele coordonatelor (1.28), se obține:
(1.29,a)
(1.29,b)
(1.29,c)
În formă matricială putem scrie:
; (1.30,a)
sau:
. (1.30,b)
Transformarea inversă este:
, (1.31,b)
. (1.31,a)
Se poate observa că matricea transformată a tensiunilor se aseamănă cu matricea transformată a deformațiilor specifice , între ele existând relația
(1.32)
unde este matricea Reuter. Inversa matricei se obține pornind de la proprietatea . În aceasta, înlocuind cu relația (1.32) și înmulțind pe rând din stânga cu matricele , și , obținem:
. (1.33)
1.4.3. Transformarea matricei de elasticitate
Să fie ecuația de material , definită de-a lungul axelor și . Dacă în sistemul de coordonate transcriem tensiunile cu ajutorul relației (1.24,b) și deformațiile specifice cu relația (1.31,b), atunci ajungem la ecuația . Înmulțind din stânga cu matricea , rezultă:
. (1.34)
În această ecuație produsul
(1.35)
este matricea de elasticitate în sistemul de coordonate , iar relația (1.35) este relația de transformare a matricei de elasticitate.
De obicei avem nevoie de inversa ecuației de mai sus, când axele și reprezintă direcțiile ortotropiei, iar și sunt axele de coordonate a unui sistem arbitrar. Ajungem la această ecuație înmulțind relația (1.35) din stânga cu , iar din dreapta cu :
. (1.36)
Notăm cu
(1.37)
termenii matricei de elasticitate după direcțiile ortotropiei (în cazul stării plane de tensiuni, respectiv de deformație, acesta fiind matricea din ecuațiile (1.18), respectiv (1.19,a). Într-un sistem de coordonate ales arbitrar, cu ajutorul ecuațiilor (1.36), (1.24,a) și (1.32), ajungem la următoarele expresii:
(1.38)
Aceste mărimi se pot aranja într-o matricea simetrică
. (1.39)
Se poate observa că, dacă unghiul nu este un multiplu întreg al unui unghi drept, această matricea de elasticitate nu are elemente nule (deci este o matrice plină). La fel și matricea inversă va fi o matrice simetrică fără componente nule:
, (1.40)
unde
(1.41)
este inversa matricei din relația (1.37). După efectuarea calculelor elementele matricei ecuației (1.40) se obțin ca:
(1.42)
1.5. Concluzii
Acest capitol prezintă cadrul teoretic general privind determinarea stării de tensiuni, deformații și deplasări dintr-un corp elastic, în funcție de caracteristicile materialului corpului, supus la diferite încărcări.
La baza acestei cercetări a stat o bogată literatură de specialitate din domeniu, care a fost investigată și sintetizată pentru a se înscrie în tema tezei.
Sunt puse în evidență noțiunile de bază și ecuațiile fundamentale ale teoriei Elasticității Liniare: 1) ecuațiile care descriu geometria deformațiilor sau compatibilitatea între deformații specifice și deplasări; 2) ecuațiile de echilibru; 3) ecuațiile constitutive între tensiuni și deformații specifice, ecuații în care intervin caracteristicele ale materialului.
În cazul în care sunt evaluate tensiunile în funcție de deformații, este determinată matricea de elasticitate a materialului ortotrop, și termenii introduși sunt modulele de elasticitate, iar când dependența deformațiilor este exprimată de tensiuni, se prezintă matricea de flexibilitate, și termenii introduși sunt complianțele.
Se prezintă legea lui Hooke generalizată când direcțiile de ortotropie coincid cu direcțiile axelor de coordonate. Când direcțiile axelor de coordonate nu coincid cu direcțiile ortotropiei, se face trecerea de la un sistem de referință la altul, și sunt calculate componentele tensiunii și ale deformațiilor specifice din planul nou în raport cu cele definite în vechiul sistem.
În mod analog, cele două matrice de elasticitate pentru materialele ortotrope în stare plană de tensiune și de deformații sunt valabile doar dacă direcțiile ortotropiei coincid cu direcțiile axelor de coordonate. În caz contrar, cele două matrice se rotesc cu unghiul corespunzător direcției ortotropiei, astfel transformarea conducând la o matrice de elasticitate dată de direcțiile ortotropie.
CAPITOLUL 2
ANALIZA CRITICĂ A STADIULUI ACTUAL PRIVIND DETERMINAREA PRIN METODE NEDISTRUCTIVE A CARACTERISTICILOR MECANICE LA MATERIALELE ORTOTROPE
2.1. Generalități privind elasticitatea materialelor ortotrope, cu privire la lemnul masiv
Corpurile liniar elastice și omogene pot fi izotrope sau anizotrope. Materialul se comportă elastic dacă legătura dintre tensorul de tensiune și de deformație este dată de legea lui Hooke generalizată.
La corpurile omogene și izotrope proprietățile fizico-mecanice sunt același în toate punctele și pentru toate direcțiile, iar în legea lui Hooke generalizată intervin doar două constante elastice independente ( și ).
La corpurile omogene și anizotrope proprietățile fizico-mecanice sunt același în toate punctele situate pe o direcție. Dacă prin fiecare punct al corpului trec trei plane ortogonale de simetrie elastică, corpul este considerat ortogonal anizotrop, iar planele respective sunt plane de ortotropie.
Comportarea elastică a unui material ortotrop, care prezintă două, respectiv trei plane de simetrie este descrisă în lucrarea [1].
Relația între tensiuni și deformații, în cazul unui material care prezintă două plane de simetrie ortogonale între ele, și este descrisă de 12 constante elastice independente, se poate scrie sub forma:
(2.1)
În cazul în care materialul prezintă trei plane de simetrie, ortogonale între ele, matricea de elasticitate are forma:
(2.2)
Cele nouă constante elastice independente care caracterizează comportarea elastică a unui asemenea material sunt:
(2.3)
unde:
(2.4)
unde și sunt moduli de elasticitate longitudinali ai materialului pe direcțiile 1, 2 și 3; și sunt moduli de forfecare; și sunt coeficienți de contracție transversală în planele definite de direcțiile (1-2), (1-3) și (2-3).
Un astfel de material, care prezintă trei suprafețe de simetrie elastică, perpendiculare între ele, este considerat lemnul masiv.
2.1.1. Caracteristici generale ale lemnului
Cunoașterea proprietăților fizico-mecanice ale lemnului este necesară în vederea utilizării sale raționale în domeniile în care prezența materialului lemnos a devenit indispensabilă.
Lemnul este un material de natură organică cu o compoziție chimică complexă, eterogen și anizotrop. Este constituit din celule variate ca formă, mărime și poziție, după funcțiile pe care le îndeplinesc în arbore.
În formarea lemnului se produc într-o proporție mai mare celule alungite în direcția paralelă cu axa arborelui și cu dimensiuni mult mai reduse în direcția radială și tangențială. În proporție mai mică se produc celule cu axa lor longitudinală pe direcția radială spre a forma razele. Astfel, se creează stări diferite pe cele trei direcții de creștere (- longitudinală, – radială și – tangențială), care sunt considerate și direcții principale ale tensiunilor.
Caracteristicile structurii și ale pereților celulari se disting macroscopic, microscopic și submicroscopic.
În secțiunea transversală, prin trunchi, pot fi observate inelele anuale, care sunt cercuri de lemn aproximativ concentrice. Fiecare inel anual este format din două zone:
– zona de lemn timpuriu, care este formată dintr-un țesut mai poros de culoare mai deschisă, și se află înspre interiorul inelului anual și corespunde primei perioade de vegetație (primăvara, vara);
– zona de lemn târziu, formată dintr-un țesut mai dens, de culoare mai închisă, situându-se la exteriorul inelului anual și format în a doua perioadă de vegetație (toamna, iarna).
Lemnul, ca material, are o construcție foarte complexă din pereți ai celulelor, iar proprietățile sale sunt determinate de structura acestora și de substanțele din care sunt constituiți. Fiind format în general din celule alungite, dispuse paralel cu axa arborelui, proprietățile sale fizice și mecanice diferă pe direcția longitudinală, față de direcția transversală. În starea uscată a lemnului, legătura dintre celule este puternică, pe când în stare umedă aceasta este mult mai redusă, astfel conducând și la reducerea rezistenței sale mecanice.
2.1.2. Elasticitatea lemnului ca material anizotrop-ortotrop
Fig. 2.1. Direcțiile de anizotropie ale lemnului [98]
După cum s-a menționat, lemnul datorită construcției și structurii sale, este un material ortotrop cu trei plane de simetrie elastică, aproximativ ortogonale între ele. Cele trei axe de simetrie elastică sunt: axa longitudinală , axa radială și axa tangențială , iar cele trei plane de anizotropie elastice corespunzătoare sunt: (care trece prin axa trunchiului), (perpendicular pe axa longitudinală) și (perpendicular pe rază și tangentă la inelul anual) (Fig. 2.1).
Cercetările experimentale au evidențiat faptul că, deformațiile elastice și plastice sunt dependente de specia lemnoasă, densitatea, umiditatea și temperatura lemnului, de poziția inelelor anuale și de direcția fibrelor față de direcția forței, precum și de timp.
În raport de natura solicitărilor, de orientarea fibrelor lemnului față de direcția forțelor solicitante, de caracterul, intensitatea (valoarea) și sensul acestor forțe, de specia materialului lemnos variază și proprietățile mecanice ale lemnului.
O bună înțelegere a fenomenelor, care apar în materialul lemnos în timpul solicitării acestuia, presupune cunoașterea relațiilor dintre tensiuni și deformații, precum și condițiile în care apar eforturi maxime.
2.1.3. Relații dintre tensiuni și deformații
Structura lemnului și deosebirea dintre proprietățile elastice pe cele trei direcții permit atribuirea fiecărui volum elementar de lemn ideal câte trei suprafețe de simetrie elastică, perpendiculare între ele.
Considerând, că volumele elementare de lemn ideal posedă proprietățile corespunzătoare unei anizotropii ortogonale, lemnului trebuie să i se atribuie o anizotropie cilindrică, în sensul că, în fiecare volum elementar există trei direcții de anizotropie: longitudinală, radială și tangențială (Fig. 2.2).
Fig. 2.2. Planurile de anizotropie elastică ale lemnului [98]
În cazul general de solicitare, relația între starea de tensiune și starea de deformație din interiorul lemnului masiv sunt date de legea generalizată a lui Hooke:
(2.5)
în care:
– și sunt tensiunile normale după direcțiile L, R și T;
– și sunt tensiunile tangențiale în planele LR, RT și LT;
– și sunt deformațiile specifice;
– și sunt lunecările specifice;
-… sunt coeficienții contracției transversale, primul indice reprezentând direcția forței, iar al doilea direcția deformației produse;
– sunt module de elasticitate transversală pentru lemn.
Între coeficienții contracției transversale și modulele de elasticitate există relațiile:
(2.6)
În privința raportului mărimii modulelor de elasticitate pe cele trei direcții de anizotropie L, R și T, experimental se constată că , adică cea mai mare deformabilitate o prezintă lemnul în direcția axei T, apoi R și cea mai mică în direcția L. Din comparația modulelor de elasticitate (longitudinal și transversal) ale diferitelor specii de lemn, rezultă că lemnul mai ușor este în general mai elastic [39].
În cazul general, când direcțiile tensiunilor nu coincid cu direcțiile de simetrie elastică L, R și T relația (2.5) are forma [23]:
(2.7,a)
(2.7,b)
unde:
– și sunt deformațiile specifice liniare obținute în direcția tensiunilor și ;
– și lunecările specifice din planele unde acționează tensiunile tangențiale și ;
– sunt modulele de elasticitate longitudinale și transversale, coeficienții contracției transversale, și coeficienții influenței reciproce ale deformațiilor (Fig. 2.3); Pentru și indicii până la virgulă indică direcția tensiunilor, iar cele de după virgulă sunt ale deformațiilor specifice (ex. se referă la apariția deformațiilor liniare specifice după direcția , datorită tensiunilor tangențiale , iar coeficientul se referă la deformațiile specifice unghiulare ce se dezvoltă sub acțiunea tensiunilor tangențiale).
Fig. 2.3. Deformațiile specifice în direcția tensiunilor și lunecările specifice tensiunilor [35]
2.4. Factorii care influențează elasticitatea lemnului
Cele 9 constante sau indici de elasticitate independente ai lemnului masiv, din relația (2.5), se pot determina pe cale experimentală. Cercetările experimentale au demonstrat faptul că, acești indici de elasticitate depind de: tipul speciei lemnoase, modul de solicitare, unghiul de înclinare al fibrelor și inelelor anuale față de direcția sarcinilor aplicate, densitatea, umiditatea, temperatura și nu în ultimul rând, de defectele lemnului.
Astfel spre exemplu, în lungul trunchiului unui arbore variația modului de elasticitate E este mai pronunțată spre vârful acesteia [35].
Influența naturii speciei lemnoase asupra valorilor indicelor de elasticitate sunt prezentate în lucrarea [24].
Dată fiind structura anizotropă a lemnului, în fiecare direcție indicii proprietăților elastice se schimbă. Se poate observa, că datorită înclinării fibrelor odată cu creșterea înălțimii secțiunii, scade modulul de elasticitate. De asemenea, între modulele de elasticitate longitudinală la încovoiere statică Ei, la compresiune și tracțiune paralelă cu fibrele și respectiv , există următoarele rapoarte [89]:
pentru toate speciile de lemn: ; ;
pentru lemnul de rășinoase: ;
pentru lemnul de foioase: .
Creșterea densității lemnului duce la creșterea valorii modulelor de elasticitate; cu o influență mai pronunțată asupra modulelor de elasticitate longitudinală și mai mică asupra celor transversale și de torsiune. Mărimea deformațiilor și valorile modulelor de elasticitate sunt puternic influențate de mărimea inelelor anuale și de creșterea cantității de lemn târziu din cuprinsul unui inel anual, care are drept efect creșterea rigidității lemnului, deci și creșterea modulelor de elasticitate.
Influența umidității exercită o influență puternică asupra variației modulelor de elasticitate și coeficienților de contracție transversale. Se observă, că la o umiditate peste punctul de saturație al fibrei, variația indicilor proprietăților elastice ai lemnului este neînsemnată. În practica încercărilor, elasticității lemnului se exprimă la .
Cercetările efectuate de P.H. Sulzberg și F. Kollman au stabilit faptul că, creșterea temperaturii conduce la scăderea modulelor de elasticitate. Acest lucru se explică prin faptul că, o temperatură ridicată duce la scăderea viscozității apei din lemn, ceea ce determină creșterea elasticității lemnului. La temperaturi superioare de , în lemn se produc modificări ireversibile, materialul căpătând proprietăți elastice diferite de cele de la temperaturi mai mici.
Defectele lemnului influențează iarăși atât valoarea modulului de elasticitate, cât și rezistența lemnului.
Neomogenitatea constantelor elastice și interdependența. Se consideră două cuburi, unul din material izotrop, iar al doilea din material anizotrop, supuse fie unei solicitări de compresiune în mod egal pe fețele lor, fie la o forță de forfecare pe câte din două din fețele lor.
Fig. 2.4. Schema deformării materialului:
a – materiale izotrope; b – materiale anizotrope [39]
În cubul din material izotrop efectul va fi o comprimare egală, iar piesa va rămâne tot un cub și deformarea provocată de forțele tăietoare nu va modifica mărimea ariei, ci numai forma ei (Fig. 2.4,a).
În cubul din material anizotrop deformarea cauzată de forfecare, va modifica atât forma piesei, cât și mărimea ariei sale (Fig. 2.4,b). Cauza unor asemenea modificări este neomogenitatea constantelor elastice și efectul diferit al interdependenței acestor constante în direcții diferite.
2.2. Cercetări teoretice privind caracteristicile mecanice ale materialelor lemnoase
Utilizarea pe scară din ce în ce mai largă a unor materiale cunoscând diferite tipuri de anizotropie, naturală sau artificială, a făcut ca problemele legate de mecanica materialelor anizotrope să se găsească în atenția cercetătorilor, reprezentând un domeniu de investigare.
Primele calcule privitor la barele anizotrope și omogene au fost efectuate de către Claude Barré de Saint Venant, care a studiat torsiunea și întinderea barelor ortotrope și a barelor cu un plan de simetrie elastică. Alte rezultate importante au fost obținute de Woldemar Voigt (1850-1919). Studiul barelor omogene a căpătat o largă dezvoltare prin lucrările lui Lehnițki [73].
Metode variaționale pentru rezolvarea problemei încovoierii barelor de lemn solicitate de către o forță verticală, paralelă cu axa radială, respectiv de către o forță orizontală, paralelă cu axa tangențială sunt puse la dispoziția celor interesați în lucrarea [98].
În lucrările [24], [108] sunt elaborate pe cele mai recente cunoștințe teoretice și experimentale din ultimele decenii. Autorii prezintă proprietățile mecanice ale lemnului și a materialelor pe bază de lemn, respectiv proprietățile elastice, plastice și de rezistentă care depind de un număr mare de factori datorită atât caracteristicelor sale structural și fizice, cât și mărimii direcției, naturii și vitezei de variație a forțelor care îl solicită.
Autorul lucrării [98] prezintă o analiză detaliată privind anizotropia lemnului în cazul când există o simetrie față de o dreaptă. Pe baza unor cercetări experimentale, este stabilită relația pentru calculul modului de elasticitate , după direcția rotită cu un unghi față de axa :
, (2.8)
respectiv
. (2.9)
Pornind de la constatarea că modulul de elasticitate al lemnului nu este constant în lungul trunchiului unui arbore, el prezentând o variație cu înălțimea trunchiului, variație care este mai pronunțată spre vârful arborelui, se consideră lemnul ca fiind un corp cu anizotropie generală. Pentru studiul anizotropiei generale a lemnului sunt aplicate metodele elasticității corpurilor anizotrope, utilizând cu precădere calculul matricial și ecuații cu diferențe parțiale.
În lucrarea [35], după prezentarea noțiunilor fundamentale ale calculului de rezistență, rigiditate și stabilitate sunt tratate aspecte legate de anizotropia proprietăților elastice și de rezistență ale lemnului și materialelor pe bază de lemn, precum și a calculului pieselor din lemn și îmbinărilor acestora. O atenție deosebită se acordă studiului rezistențelor și rigidității pieselor realizate din materiale anizotrope având structura stratificată. Totodată, pentru a facilita efectuarea calculelor numerice, sunt prezentate numeroase tabele și grafice ce redau caracteristicele elastice și de rezistență ale pieselor din lemn și materialelor pe bază de lemn supuse la solicitări simple și compuse.
După abordarea calculelor se prezintă câteva elemente introductive cu privire la metoda elementelor finite. Concretizarea aspectelor teoretice este făcută printr-un număr mare de exemple numerice. Unele din aplicațiile concrete ale calculelor numerice de rezistență și rigiditate sunt transpuse în scheme logice și programe de calculator.
Se argumentează faptul, că anizotropia lemnului este determinată de formația sa celulară, de structura macro-, micro- și submicroscopică, de compoziția chimică a pereților celulari. Relațiile între tensiuni și deformații sunt date atât în cazul solicitărilor după direcțiile principale elastice, cât și cazul în care sunt rotite față de aceste direcții. În lucrarea [108], aceste relații sunt scrise sub formă tensorială. Studiul variației constantelor elastice cu rotirea sistemului de coordonate oferă de asemenea un bogat material celor interesați.
Tot în aceste lucrări [98], [35], [108] sunt explicate transformarea constantelor elastice când se rotesc axele sistemului de referință. Astfel, matricea constantelor elastice în legea generalizată a lui Hooke va fi o matricea simetrică față de diagonală. Deci, pentru caracterizarea proprietăților elastice unui corp anizotrop sunt necesare 81 de constante elastice. Numărul acestor constante elastice, conform legii dualității tensiunilor tangențiale , se reduce la 36, iar dacă considerăm valabilă și reciprocitatea deformațiilor, ele se reduc la 21. În cazul lemnului masiv, dacă direcțiile solicitării nu coincid cu direcțiile principale, aceste constante se reduc la 15. În cazul în care direcțiile de solicitare coincid cu cele principale elastice, se poate scrie legea lui Hooke în forma (2.5), în care apar 12 constante elastice ale materialului, între care există corelațiile:
(2.11.)
rămânând, prin urmare, numai 9 constante elastice independente. Indiciile elastici ai corpurilor anizotrope-ortotrope utilizate în practica inginerească și cea teoretică le găsim în lucrările de specialitate din domeniu [35], [108].
În tabelele 2.1. și 2.2. sunt prezentate valorile constantelor elastice pentru cele mai uzuale specii de lemn.
Tabel 2.1. Indicii de elasticitate ai unor specii de lemn [23]
Tabel 2.2. Rapoarte medii între indicii de elasticitate ai lemnului [23]
Cunoscând aceste valori, determinate pe cale experimentală, se pot calcula valorile constantelor de elasticitate pentru direcții care sunt rotite cu un anumit unghi. Astfel de formule foarte utile se găsesc în lucrările [35] și [108].
În lucrările [39], [24], [35] sunt ilustrate grafic curbele sarcină-deformare la întindere și compresiune paralelă cu fibrele (Fig. 2.5). În urma solicitării de tracțiune sau de compresiune, concomitent cu deformările produse în direcția longitudinală, în secțiunea transversală se produc fenomene de contracție sau umflare transversală.
Datorită raportului dintre lungirea specifică longitudinală și cea transversală – constantei lui Poisson -, în majoritatea cazurilor curbele caracteristice care se obțin (Fig. 2.6) sunt curbe convenționale Cc, care inițial coincid cu curbele reale Cr, dar se depărtează între ele, spre limita de rupere [39].
Tot în aceste lucrări, analizând curbele ale lemnului, sunt evidențiate cele trei faze ale deformației: faza I., când în domeniul linear elastic este valabil legea lui Hooke, iar ; faza a II-a curgerii plastice, cu tensiuni având valori relativ mici, și ; faza a III-a, când deformația lemnului se poate realiza prin aplicarea unor tensiuni mari.
Histereza elastică, respectiv pierderea de energie la un ciclu de aplicare-îndepărtare a sarcinii, caracteristic pentru corpurile elastoplastice este detaliată în lucrarea [100]. S-a constatat faptul că, după evoluția consumului de energie, la aplicarea unei sarcini de compresiune axială, corpurile solide se împart în două grupe. În prima grupă aparțin corpurile la care pierderea de energie, după un ciclu repetat de solicitare, este mai mare (Fig. 2.8,a), ceea ce înseamnă că materialul devine plastic. În a doua grupă sunt corpuri la care pierderea de energie devine mai mică (Fig. 2.8,b) și care potrivit acestui fenomen devin mai elastice.
Fig. 2.8. Curbe caracteristice deformației – sarcină
la cicluri repetate de aplicare [100]
Date importante despre rezistența la diferite tipuri de solicitări sunt prezentate în lucrările [23], [35], [39], [108], [100]. După direcția sarcinilor față de direcția fibrelor și inelelor anuale ale lemnului se evidențiază solicitări paralele cu fibre, când direcția forțelor este paralelă cu acestea, și solicitări perpendiculare pe fibre, când direcția forțelor este perpendiculară pe fibre.
În cazul compresiunii paralele, materialul se opune prin stabilitatea elementelor sale anatomice, și apare fenomenul de flambaj individual al fibrelor. Ruperea este precedată de o dislocare a elementelor anatomice. Ruperea materialului de regulă se produce în plane înclinate (400 – 600) pe fețele tangențiale și aproximativ perpendiculare pe fețele radiale conform lucrării [39].
În cazul compresiunii perpendiculare, prima oară apar deformări plastice, numai după aceea putem vorbi de strivire parțială sau totală a celulelor, când intervin și ruperi în pereții celulelor.
Un rol deosebit revine structurii lemnului târziu și timpuriu și proporției, cu modulele de elasticitate la încovoiere diferite. După unele experiențe [71], cu cât raportul între modulul de elasticitate al lemnului târziu și timpuriu este mai mare, cu atât va fi mai mare tensiunea din lemnul târziu decât în lemnul timpuriu. În caz contrar, când acest raport este mic, în lemnul târziu intervin tensiuni critice [39].
Cu privire la comparația între rezistența la compresiune paralelă și perpendiculară pe fibre, datele statistice indică următoarele raport:
pentru rășinoase, ;
pentru foioase,
Astfel, rezistența la compresiune este influențat și de mărimea inelelor anuale, care la rândul lor influențează mărimea densității lemnului. Creșterea proporției de lemn târziu, rezultă o creștere a rezistenței la compresiune paralelă cu fibrele.
În figura 2.9 este prezentată variația rezistenței la compresiune a lemnului de pin în funcție de poziția de prelevare din buștean [24].
Fig. 2.9. Variația rezistenței la compresiune a lemnului
în funcție de poziția din buștean [24]
Un mod analitic original de abordare a stabilirii caracteristicilor mecanice aferente celor două calități de lemn (târziu și timpuriu) le găsim în lucrările [45], [48], [43], [44]. Autorul lucrărilor a considerat cele două calități de lemn a fi conectate în serie, respectiv în paralel, în funcție de modul de prelevare al probei din lemnul masiv. Tot în aceste lucrări este elaborată modul analitic de stabilire a unor valori globale (module de elasticitate, coeficienți de contracție transversală), ce pot descrie comportamentul respectivului element, prin cunoașterea prealabilă a raportului ariilor celor două calități de lemn.
2.3. Metode experimentale utilizate în determinarea caracteristicilor mecanice ale materialelor lemnoase
Pentru prelevarea probelor de obicei se utilizează două mari categorii de metode:
prelevarea unor probe mici, fără defecte (small, clear defect-free specimens testing method), din analiza cărora se pot stabili caracteristicile ideale ale materialului, urmând corelarea datelor cu rata frecvenței de apariție a defectelor;
prelevarea unor probe având dimensiuni relativ mari, incluzând și defecte (full-scale testing method), din analiza cărora vor rezulta date privind comportamentul materialului în condiții reale de funcționare.
Aceasta din urmă a căpătat o largă utilizare, mai ales după introducerea unor metode nedestructive de mare acuratețe. Printre altele, standardele elaborate cu ajutorul și sub directa coordonare a ASTM (American Society for Testing and Materials) din S.U.A., specialiștii posedă la ora actuală indicații precise privind atât prelevarea probelor, modul lor de testare, precum și metodica prelucrării statistice a datelor obținute, detalii în lucrarea [10].
Modul de prelevare al probelor, pentru determinarea modului de elasticitate și coeficientul lui Poisson la o bară prismatică, de secțiune dreptunghiulară, este ilustrată în lucrarea [108]. În figurile 2.10 sunt prezentate modurile posibile pentru prelevare a probelor dorite, având direcții de orientare diferite. De menționat, că respectarea exactă a unghiurilor corespunzătoare orientării propuse este foarte esențial din punctul de vedere a fiabilității rezultatelor obținute.
Metodele experimentale utilizate în practica inginerească se pot grupa în metode experimentale nedestructive, semi-destructive și destructive. După cum spune și denumirea acestora, unele metode nu conduc la deteriorarea epruvetelor, altele produc doar o distrugere parțială, pe când cele distructive deteriorează epruvetele utilizate. Soluția clasică de utilizare a metodelor distructive oferă o serie de date, care de obicei reprezintă valori medii pe materialul epruvetei încercate.
În utilizarea diferitelor metode experimentale, mai ales ale celor nedestructive, pentru determinarea caracteristicelor mecanice la lemn și la materialele pe bază de lemn, există o bogată literatură de specialitate.
Printre acestea putem aminti metode clasice, cum ar fi Tensometria Electrică Rezistivă și Fotoelasticimetria Plană și metode moderne, cum ar fi Interferometria Holografică, Franjele Moiré, Emisia Acustică, Emisia Ultrasonică, Termografia, Metoda Radiografiei, etc. O clasificare a metodelor nedestructive este prezentată în lucrarea [24].
2.3.1. Metoda tensometriei electrice rezistive
La măsurarea mărimilor mecanice principalele tipuri de captoare utilizate în industria lemnului sunt prezentate în lucrarea [89]. Modul de dispunere a traductoarelor electrice rezistive (TER) pe bare cu secțiunea transversală dreptunghiulară sau circulară solicitate:
– la tracțiune sau compresiune este prezentat în figura 2.11,a și b; Când se lipesc patru TER pe direcție longitudinală și transversală (Fig. 2.11,a), montajul traductoarelor în punte completă asigură anularea efectului excentricității forței și a variației temperaturii. Pentru anularea excentricității forței de compresiune, care ar produce și încovoierea barei, este nevoie să se lipească opt TER (Fig. 2.11,b).
– la forfecare și la torsiune este prezentat în figura 2.12,a; La o bară dreaptă, care este solicitată la forfecare sau la torsiune cu eforturi dispuse după axele și ale secțiunii transversale, direcțiile principale de solicitare fac unghiuri de cu axa longitudinală, iar cele patru TER se lipesc pe aceste direcții, pe fețele opuse.
– la încovoiere este prezentat în figura 2.12,b; La o bară dreaptă, încastrată la un capăt și solicitată de o forță la celălalt capăt, momentul încovoietor variază linear, și lungirile specifice cele mai mari apar aproape de încastrare, pe suprafețele superioară și inferioară. Un montaj în semipunte, cu două TER lipite la mijlocul lățimii și pe direcția anulează efectul variației de temperatură și nu este influențat de eventuala încovoiere laterală sau de forță axială.
În cazul lemnului masiv, autorii lucrărilor [14], [118] au determinat mărimea modulelor de elasticitate la solicitările de tracțiune, compresiune și încovoiere prin măsurarea deformațiilor specifice produse de acestea, cu ajutorul TER lipite pe piesele de lemn. Relațiile pentru calculul modului de elasticitate au fost:
– la tracțiune-compresiune
; (1.15)
– la încovoiere
. (1.16)
Încercările experimentale [37], [88] au reușit să pună în evidență mărimea și distribuția tensiunilor de creștere din bușteni în corelație cu specia lemnoasă, dimensiunile (diametru, lungime), poziția lemnului în buștean cu direcția longitudinală sau transversală și cu locul de proveniență a buștenilor. În toate cazurile, pentru măsurarea deformațiilor specifice, s-au utilizat captoare tensometrice (cazuri în care se cunoaște exact valorile modulului de elasticitate .
Colectivele de autori ai lucrărilor [30], [31], [32] au verificat pe cale experimentală, cu mărci tensometrice, valabilitatea relației lui Navier la grinzi de lemn, confecționate din diferite specii. În figura 2.18 sunt trasate diagramele de variație ale tensiunilor normale (valori teoretice și cele obținute experimental) pentru lemnul de fag. Rezultă faptul că diferențele maxime, între mărimile calculate și măsurate nu depășesc 10%.
Fig. 2.18. Verificarea relației lui Navier la specia de fag [88]
Cercetările experimentale au dovedit că TER cu baza de măsurare mare () și înguste, în cazul lemnului, dau cele mai mici abateri între valorile deformațiilor specifice măsurate și calculate.
În cazul utilizării TER pentru studiul stării de deformație și tensiune din piesele de lemn erori minime (1-3%) se obțin în cazul lemnului de rășinoase și materialele pe bază de lemn, iar erori maxime (1-18%) în cazul lemnului de foioase. Acest fenomen se explică prin structura mai uniformă și regulată a lemnului de rășinoase față de cel foioase.
2.3.2. Fotoelasticitatea
În monografia [89] sunt prezentate o serie de teste de mare finețe realizate pe produse din lemn prin utilizarea Fotoelasticimetriei. La epruvetele destinate solicitării de întindere s-a avut grijă ca jumătatea din modele să aibă la margine echivalentul lemnului târziu și jumătate echivalentul lemnului timpuriu. Cercetările prin metoda fotoelasticității efectuate au pus în evidență că în materialele cu module de elasticitate mai mici tensiunile normale sunt mai mici și invers; la modelele cu lemn timpuriu pe conturul exterior concentrarea tensiunilor este mai mare.
Colectivii de autori [29], [75], [23], [127], [128], s-au preocupat și de analiza, pe cale fotoelastică, a stărilor de tensiune din îmbinările de lemn. În figura 2.21 este prezentată schema unei asemenea îmbinări, iar izoclinele obținute sunt redate în figura 2.22.
Analiza fotoelastică a tensiunilor este o tehnică de o importanță remarcabilă pentru ingineri, însă ca și alte metode clasice este influențată de către dezvoltarea metodelor numerice.
2.3.3. Interferometria Holografică
Cercetări experimentale pentru determinarea caracteristicelor mecanice la materiale pe bază de lemn prin Interferometria Holografică au fost efectuate la catedra de Rezistența Materialelor din cadrul Universității „Transilvania” din Brașov. În cadrul lucrării [104] este prezentată utilizarea Interferometriei Holografice drept metodă optimă de investigare.
Într-o serie de lucrări ale autorilor [28], [33], [34], [112], [113], [104], [105], [106], au fost studiate o serie de aspecte legate de analiza numerică și experimentală a îmbinărilor de lemn, realizate cu ajutorul unor cepuri.
În acest sens trebuie reținute câteva din realizările acestui grup de autori, cum ar fi:
Validarea modelelor de Element Finit din domeniul materialelor lemnoase prin măsurători de mare finețe, realizate cu ajutorul Interferometriei Holografice;
Conceperea și realizarea unor standuri originale destinate măsurătorilor prin Interferometrie Holografică, mai cu seamă pentru testarea îmbinărilor de lemn;
Studiul comparativ (calitativ și cantitativ) al diferitelor tipuri de îmbinări de lemn;
Conceperea și realizarea unor standuri destinate analizei rigidității a unor subansambluri de lemn.
Câteva dintre aceste realizări sunt prezentate în lucrările [110], [118], [103], [102], [107].
În figura 2.29,a și b sunt oferite hologramele aferente încărcării inițiale (cu o sarcină de 50 N), respectiv finale (cu o sarcină de 150 N); încercări efectuate pe un stand destinat evaluării îmbinărilor din lemn (atât la deschiderea, cât și la închiderea acestora).
În figura 2.30 este oferită imaginea câmpului de deplasări prin Metoda Elementelor Finite. Se observă o diferență importantă a hologramelor față de rezultatele MEF: pe hologramă se evidențiază zona concentratorilor din vecinătatea îmbinării celor două părți, ceea ce în mod evident lipsește de pe imaginea MEF.
În figura 2.31,a și b sunt redate fotografiile hologramelor aferente unor sarcini (încovoiere cu sarcina aplicată în planul tijelor sale) de maximum , în cazul standului destinat solicitării multiple a unui raft cu tije de lemn.
Figura 2.32,a și b oferă rezultatele calculului numeric prin MEF, atât în deplasări, cât și în tensiuni.
În figura 2.33 sunt oferite deplasările rezultate din prelucrarea hologramelor. Se poate observa o diferență esențială între rezultatele calculului numeric, unde avem un comportament identic al tuturor tijelor, pe când din holograme rezultă un comportament evident diferit, chiar dacă, sarcinile aplicate au fost deosebit de reduse ca mărime.
Fig. 2.33. Deplasări obținute din prelucrarea hologramelor [105], [102].
O altă deosebire esențială între rezultatele celor două metode este acela că, câmpul de deplasări la MEF este una cu treceri progresive de la o secțiune la alta, pe când, din prelucrarea hologramelor s-a putut constata o trecere în salturi discrete, ceea ce denotă comportamentul real al materialului lemnos, de a avea neomogenități la nivelul secțiunilor succesive.
În concluzie, se pot remarca: atât finețea (acuratețea) deosebită a Interferometriei Holografice, cât și neajunsurile metodelor numerice, care de fiecare dată utilizează drept date de intrare niște mărimi, stabilite global, respectiv printr-o prelucrare statistică a datelor experimentale, însă care niciodată nu vor corespunde exact cu materialul piesei reale, analizate [110], [117], [103], [102], [107], [28], [33], [34].
Alte investigații interesante ale colectivului de autori [110] se referă la studiul comparativ al diferitelor tipuri de îmbinări în lemn, realizate cu cepuri cilindrice, de secțiune pătratică, și hexagonală.
Autorii lucrării [110] au efectuat un studiu privind comportamentul în timp al adezivilor, care se utilizează în industria lemnului.
Interferometria Holografică permite urmărirea integrală a câmpului de deplasare de pe suprafața exterioare a structurii, evidențiind zonele prevăzute cu concentrările de tensiune, respectiv de deplasări. Neajunsul de bază al Interferometriei Holografice clasice este că, fiind o metodă de laborator, necesită măsuri speciale privind izolarea vibratorie a întregii instalații. Însă variantele sale moderne, adică Interferometria Granulară (Speckle Interferometry), respectiv varianta ei opto-electronică (ESPI-Electronic Specle Pattern Interferometry) elimină acest neajuns.
2.3.4. Metode optice
Printre metodele de analiză experimentală, metoda franjelor Moiré este folosită atât pentru analiza deformaților apărute în planul obiectului cât și deformațiilor perpendiculare apărute pe planul obiectului studiat. Aceste metode sunt prezentate în mod detaliat în lucrările Profesorilor C. Atanasiu [3], R.D. Mocanu [78], și P.S. Theocaris [122].
Procedeele Moiré bazate pe optică geometrică pot fi procedee prin reflexie cu axă optică normală sau procedee prin reflexie cu axă optică în incidență oblică față de planul rețelei. Aceste metode au o aplicabilitate mai restrânsă. O astfel de instalație Moiré a fost realizată în cadrul Catedrei de Rezistența Materialelor, Universitatea „Politechnică” București [3], [4].
O altă metodă optică, care s-a dezvoltat recent, este metoda Corelării Digitală a Imaginilor (DIC). Această tehnică permite evaluare deformațiilor de pe suprafața obiectului analizat, determinarea deplasărilor fiind cu precizie de un micron.
În lucrarea [85] se găsește o analiză detaliată despre tehnica corelării digitală a imaginilor și metodologiile sale. Accentul s-a pus pe algoritmul de estimare a câmpului de deplasare și de deformație. De asemenea, sunt discutate posibile surse de erori care pot apărea în diferitele stadii de măsurare, și sunt descrise modalitățile de măsurare de precizie. Referințele bibliografice din lucrare reprezintă o sinteză bogată în ceea ce s-a publicat în acest domeniu.
În lucrarea [69] autorii au propus, prin aplicarea metodei DIC, descrierea comportamentului elastic tridimensional a lemnului de tisa, evaluarea principalelor diferențe dintre elasticitatea a două tipuri de lemn (tisa și molid) cu densitate diferite, respectiv verificarea dacă experimentul ales este adecvat în determinarea modulului lui Young și coeficientului lui Poisson. În experiment specimenul de lemn a fost supus la tracțiune uniaxială.
S-a observat că valoarea media a modului de elasticitate a fost mai mică la lemnul cu densitate mai mare decât la lemnul cu densitate mai mică. Spre deosebire, modulele și au fost cu aproximativ 50% mai mare pentru lemnul cu densitate mai mare comparativ cu lemnul cu densitate mai mică.
După opinia autorilor metoda DIC a fost practic bine adaptată în determinarea caracteristicelor mecanice ale celor două materiale de lemn la deformații mici, obținând rezultatele într-un timp de calcul rezonabil scurt. De asemenea, aplicând metoda DIC, a fost posibilă interpretarea ulterioară a comportamentului elastic tridimensional chiar și atunci când axa de solicitare nu coincidea cu una dintre cele trei axe ortotropice L, R și T.
Proprietățile mecanice a unor specimene de lemn solicitate la compresiune uniaxială a fost studiată în lucrarea [76]. Cu ajutorul sistemului optic DIC, au fost examinate specimene pe diferite orientări ale inelelor anuale în raport cu direcția sarcinii. Proprietățile mecanice a lemnului în diferite cazuri de încărcări pe direcția tangențială sau radială au fost cuantificate. Rezultatele au confirmat efectul puternic a direcției inelelor anuale a lemnului la solicitarea de compresiune în direcția perpendiculară pe fibre.
Dezavantajul metodei constă în faptul că nu este accesibil din punct de vedere financiar decât pentru marile centre de cercetare.
2.3.5. Tehnici pentru măsurarea modulului de elasticitate
Teste referitoare la studiul măsurării modulului de elasticitate au făcut grupul de cercetători din University of Wisconsin [92], [93], [129], [130], [86]. Tehnici folosite frecvent în determinarea modului de elasticitate a lemnului sunt încovoierea statică, vibrații transversale și unda de tensiune.
La metoda încovoierii statice măsurarea este simplă și se bazează pe principiul măsurării deformației produsă de diferite forțe. Determinarea lui se face direct cu relațiile cunoscute din Rezistența Materialelor. În cazul figurii 2.39,a (încovoiere simplă) relația este:
,
unde: modul de elasticitate [MPa]; P forța [N]; L lungimea grinzii [m]; M masa grinzii [kg]; deformația la mijlocul grinzii [mm]; I moment de inerție axial al grinzii [];
În cazul figurii 2.39,b relația de calcul devine:
.
Metoda vibrațiilor transversale a căpătat o atenție deosebită în ultimul timp (Fig. 2.40). Pentru ilustrarea acestei metode putem folosi analogia cu un sistem oscilator masă-arc-amortizor.
Ecuația se poate scrie ca:
.
Pentru grinda rezemată la capete, rezultă în final expresia:
unde:
EV este modul dinamic de elasticitate [MPa]; – frecvența de rezonanță [Hz]; L – lungimea grinzii [m]; I – momentul de inerție al grinzii [m4]; g = 9,8 m/s2 – accelerația gravitațională.
Fig. 2.40. Analogie cu un sistem oscilator masă-arc-amortizor [92].
Metoda Undei de Tensiune este o alta metodă nedestructivă. Se urmărește propagarea și atenuarea vitezei sunetului în material. Pentru ilustrarea acestei tehnici (Fig. 2.41) se consideră o bară omogenă și vâsco-elastică. După lovirea capătului barei cu ciocanul, se generează o undă de compresiune, care va traversa bara de la un capăt la altul cu viteza C. După ce unda atinge capătul liber al barei, ea se reflectă ca o undă de tensiune și începe propagarea în sens contrar.
Fig. 2.41. Tehnica măsurării undei de tensiune [129]
Pe măsura înaintării, energia undei se disipează, dar viteză de înaintare rămâne constantă. Prin monitorizarea unei secțiuni din apropierea capătului liber al barei, forma undei va conține o serie de impulsuri egal distanțate, ale căror magnitudine descrește exponențial în timp.
Viteza de propagare C a undei se poate calcula prin măsurarea timpului () dintre impulsuri: , iar modulul de elasticitate va deveni:
unde, densitatea barei.
Testele efectuate pe două tipuri de materiale lemnoase cu diametre mici arată că, există o corelație între cele trei metode (a încovoierii statice, a vibrației transversale, respectiv a undelor transversale).
Măsurătorile efectuate demonstrează faptul că, metoda undelor longitudinale este sensibilă la imperfecțiunile geometrice ale specimenelor. Specimenele drepte și cu secțiune circulară prezintă o corelație mai bună între modulele de elasticitate statice și cele dinamice decât cele cu imperfecțiuni. Raportul dintre are efect mai ales la modulul de elasticitate dinamică . Găsirea unui model multivariabil dintre și este mult mai eficientă și exactă pentru prognozarea mai corectă a mărimii lui .
Rezultatele obținute în cazul vibraților transversale demonstrează o îmbunătățire semnificativă în prognozarea lui , în comparație cu metoda undelor longitudinale. S-a observat că (transversală) este mai sensibilă la imperfecțiunile geometrice ale specimenelor, decât în cazul metodei undelor longitudinale.
2.4. Concluzii
Determinarea prin metode nedestructive a caracteristicelor mecanice a materialelor ortotrope a făcut obiectul multor cercetări atât pe plan național cât și pe plan internațional.
În practica experimentală, ținând cont de problema studiată și de scopul urmărit, se folosesc o serie de tehnici de investigație și combinații ale acestora.
În ceea ce privește soluțiile experimentale, se poate spune că cele mai multe metode se preocupă de analiza stării de deformație și de tensiuni ale lemnului masiv, ținându-se seama de particularitățile acestuia legate de ortotropie, neomogenitate, rigiditate etc. Toate acestea impun prelucrări adecvate, atât în ceea ce privește utilizarea metodei experimentale, cât și în interpretarea rezultatelor măsurărilor.
Studiul bibliografic realizat în această privință scoate în evidență metodologiile folosite pentru măsurările nedestructive alături de avantajele și dezavantajele acestora.
Astfel, se poate afirma că dintre metodele experimentale clasice, tensometria electrică rezistivă conduce la rezultate foarte bune. Este de remarcat faptul, că toți cercetătorii sunt de acord, că utilizarea tensometriei electrice rezistive duce la obținerea unor valori cu o precizie foarte ridicată ale indicelor elastici ai lemnului.
O altă metodă care se remarcă, răspândit recent și tot mai mult utilizat în determinarea datelor experimentale, este tehnica prelucrării imaginilor bazată pe corelarea digitală a imaginilor.
Un alt aspect, care se evidențiază după parcurgerea literaturii de specialitate, prezintă tipul epruvetelor (forma, mărimea, orientarea fibrelor, etc.), modul lor de prelevare și confecționare după una dintre direcțiile ortotropiei, respectiv direcția corespunzătoare solicitării lor în vederea obținerii unor date cât mai precise.
În numeroase studii experimentale, ținând seama de direcția de aplicare a sarcinii și de direcția fibrelor, deși vorbim de un material ortotrop, cele mai multe experimente sunt efectuate la solicitări care au loc perpendicular și/sau paralel pe fibre. Acest lucru se datorează faptului, că acestea sunt direcțiile preferențiale în proiectarea structurală, știind că proprietățile de rezistență și de rigiditate sunt mai mare la fibre longitudinale decât la cele transversale.
Pentru materialele ortotrope este dificilă cunoașterea distribuției tensiunilor și deformațiilor ce apar sub acțiunea forțelor exterioare. Considerațiile teoretice și verificările experimentale se bazează în special pe metode optice care pot pune în evidență repartiția tensiunilor și deformațiilor în epruvetele de încercare, legate în special de forma acestora.
La materialele ortotrope însă, cum este și lemnul, proprietățile mecanice în alte direcții de orientare decât cele principale sunt cu totul diferite. Cercetările în prezent se orientează spre determinarea într-un mod cât mai exact a acestor caracteristici la diferite specii de lemn, și în literatură de specialitate sunt disponibile puține referințe pentru variația modulului de elasticitate , respectiv a coeficientului contracției transversale , când planul de ortotropie închide diferite unghiuri cu direcția fundamentală. Cu variația acestor mărimi se transformă și direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor specifice, despre care însă nu s-au găsit referiri în lucrările de specialitate.
Cunoștințele desprinse în urma analizei critice a stadiului actual în domeniul încercărilor nedistructive pentru determinarea caracteristicelor de material, au condus la formularea scopului și obiectivelor prezentei teze de doctorat, descrise în capitolul 3.
CAPITOLUL 3
OBIECTIVELE PRINCIPALE ALE TEZEI DE DOCTORAT
Ținând cont de analiza critică a stadiului actual privind determinarea prin metode nedestructive a caracteristicelor mecanice la materialele ortotrope, s-au conturat obiectivele principale ale tezei de doctorat, după cum urmează:
1. Realizarea unui studiu complex asupra ecuațiilor în care intervin caracteristicele ale materialului ortorop:
sinteza ecuațiilor fundamentale ale elasticității liniare;
analiza problemei plane a teoriei elasticității;
analiza transformării tensiunilor, deformațiilor specifice, respectiv matricei de elasticitate în cazul rotirii axelor de coordonate.
2. Efectuarea unui studiu complex asupra metodelor de măsurare nedistructive a materialelor ortotrope:
analiza elasticității lemnului, ca material anizotrop-ortotrop;
analiza factorilor care influențează indicii de elasticitate ai lemnului;
cercetări teoretice și prin metode experimentale privind determinarea caracteristicelor mecanice la materialele ortotrope.
3. Realizarea cercetărilor și a măsurărilor experimentale pe standul de încercare prin două metode nedistructive: metoda Tensometriei Electrice Rezistive (TER) și metoda Corelării Digitale a Imaginilor (DIC):
crearea unui dispozitiv propriu de încercare;
sinteza metodei TER și determinarea strategiei de măsurare;
studiul aspectelor de bază ale metodei DIC;
crearea unui program de prelucrare a imaginilor pentru analiza câmpului de deformare;
analiza efectului rotirii direcției de aplicare a forței față de direcția fibrelor asupra mărimii caracteristicelor mecanice.
4. Modelarea materialelor ortorope prin metoda diferențelor finite:
analiza metodei diferențelor finite aplicate la probleme de elasticitate plană;
stabilirea condițiilor de contur sub forma încărcării și sub forma deplasărilor prescrise;
stabilirea sistemului de ecuații liniare, cu satisfacerea condițiilor de contur.
5. Crearea unui program de calcul care să permite efectuarea unor analize numerice cu metoda diferențelor finite.
6. Validarea modelului numeric propus prin compararea rezultatelor obținute pe cale experimentală .
7. Simularea efectului rotirii direcției de aplicare a forței față de direcția fibrelor asupra mărimii caracteristicelor mecanice prin intermediul modelului numeric propus.
8. Enunțarea concluziilor finale, valorificarea rezultatelor teoretice și experimentale, precizarea direcțiilor de cercetare viitoare.
CAPITOLUL 4
CERCETĂRI EXPERIMENTALE PRIVIND DETERMINAREA CARACTERISTICELOR MECANICE PRIN METODE NEDISTRUCTIVE
4.1. Alegerea principiului și a metodelor de măsurare
Cercetările teoretice s-au axat pe determinarea stării de tensiuni, deformații și deplasări dintr-un corp elastic, în funcție de caracteristicile materialului analizat.
Lemnul, ca urmare a structurii lui anatomice, sub acțiunea sarcinilor prezintă deformații diferite în cele trei direcție de ortotropie: longitudinală, radială și tangențială.
În acest context s-a menționat că mărimea deformațiilor liniare și unghiulare este direct dependentă de mărimea tensiunilor, precum și de indicii constantelor elastice, respectiv modulele de elasticitate longitudinală și depind de elasticitate transversală și și coeficienții contracției transversale și .
Cunoașterea acestor indici ai constantelor elastice, precum și a modului în care sunt influențați de diferiți factori ca specia lemnoasă, umiditate, direcția fibrelor față de direcția solicitării, densitate, existența unor defecte ș.a. are o importanță deosebită în utilizarea acestor materiale și în efectuarea calculelor de rezistență, rigiditate și stabilitate a diferitelor structuri mecanice, unde sunt utilizate materialele lemnoase.
În acest scop, a fost conceput și realizat un stand de încercare care a permis solicitarea materialelor la o forță de compresiune până la . Epruvetele folosite în măsurare au fost confecționate din lemn de brad, având dimensiunea de .
Cercetările experimentale privind determinarea caracteristicelor mecanice a materialelor pe bază de lemn s-au axat pe măsurătorile nedestructive. După ce au fost studiate diferite metode pentru prelevarea probelor și modul lor de testare în vederea obținerii unor date cât mai precise, au fost trase și concluzii.
O metodă, care s-a remarcat prin obținerea unor valori foarte exacte, este una dintre metodele optice și se bazează pe tehnica corelării imaginii digitale. Această metodă se numără printre tehnologiile moderne sub dezvoltare continuă și caracterizează comportamentul unui material la o sarcină aplicată. Programul specializat determină câmpul de deplasare, respectiv deformațiile de pe suprafața corpului analizat cu o precizie de un micron.
Dat fiind faptul că programele existente pe piață, bazate pe metoda corelării digitale a imaginii sunt inaccesibile din punct de vedere financiar, a condus la ideea de a elabora un program similar de concepție proprie.
Rezultatele investigațiilor au fost comparate cu cele obținute prin metoda Tensometriei Electrice Rezistive.
4.2.Noțiuni sumare privind Tensometria Electrică Rezistivă
Tensometria electrică este o metodă de măsurare a deformațiilor mici și a lungirilor specifice în diverse puncte ale corpului supuse unor solicitări. Datorită avantajelor sale – este o metodă nedistructivă, realizează măsurări pe piese și în condiții reale, are sensibilitate și precizie mare, este posibilă înregistrarea și prelucrarea ulterioară a datelor, etc. – tensometria electrică a cunoscut o dezvoltarea vertiginoasă, fiind aplicată atât în producție cât și în cercetare.
Tensometria electrică s-a dezvoltat mai mult pe direcția tensometriei rezistive, care măsoară deformațiile liniare prin intermediul unor traductoare electrice rezistive (TER), ce transformă variația deformațiilor mecanice în variație a rezistenței electrice a elementului.
Traductorul electrotensometric rezistiv sau marca (electro)tensometrică (Fig. 4.1) este format dintr-un rezistor fixat pe un suport sub forma unei serpentine. La capetele rezistorului, format dintr-un fir foarte subțire (cu diametrul de ordinul a 0,015…0,020 mm) se află punctele de lipire sau terminale, necesare conectării TER la aparatul de măsurare.
Fig. 4.1. Traductor electrotensometric rezistiv
Dacă se consideră un fir metalic în lungime , secțiunea și rezistivitatea , rezistența lui electrică este
, (4.1)
unde este volumul firului.
Prin solicitarea de tracțiune a firului variază lungimea, volumul și rezistivitatea acestuia, adică apare o variație specifică de rezistență electrică, proporțională cu lungirea specifică
, (4.2)
unde este constanta lui Poisson, este coeficientul de piezorezistivitate iar este modulul de elasticitate al materialului firului [120].
Raportul dintre variația specifică a rezistenței și deformația specifică se numește coeficient de tensosensibilitate al materialului și are valoarea
. (4.3)
O serie de cercetări efectuate în cadrul Universității din Brașov au scos în evidență câteva aspecte particulare ale utilizării tensometriei electrice rezistive la lemn și la materialele pe bază de lemn [89], cum ar fi:
– Lemnul curge lent în timp sub acțiunea umidității și temperaturii, care corelată cu cea a adezivului și TER determină apariția unor abateri ale valorii deformațiilor specifice de la valoarea reală. Acest fenomen determină efectuarea repetată a echilibrării instalației de măsurare și asigurarea unei perioade de 5-10 minute între momentul aplicării sarcinilor și efectuarea propriu-zisă a măsurătorilor.
– Lemnul sub acțiunea variației de umiditate și temperatură își modifică forma și dimensiunile. Numeroase cercetări au arătat că TER redau fidel deformațiile lemnului și ale materialelor pe bază de lemn până la un conținut de umiditate al acestuia egal cu 12-15%.
– Variația proprietăților elastice ( și ) impune efectuarea unor măsurători cu privire la mărimea modului de elasticitate , în condiții identice cu cele ale piesei pe care s-a aplicat TER.
Deoarece măsurarea deformațiilor specifice se face prin măsurarea variației rezistenței electrice a traductorului electric rezistiv, cea mai răspândită metodă este utilizarea unui montaj electric în punte Wheatstone (Fig. 4.2).
Fig. 4.2. Schema electrică a punții Wheatstone [111]
Puntea Wheatstone este un circuit format din patru rezistențe, R1, R2, R3 și R4, alimentat de curent continuu. Pe diagonala de alimentare AC este plasată sursa de tensiune continuă, iar pe diagonala de măsurare BD se află conectat aparatul de măsurat (galvanometrul), care indica tensiunea UBD, între nodurile B si D (respectiv curentul Ig generat de aceasta).
Condiția de echilibru cunoscută pentru punte este
(4.4)
cunoscută și sub numele de relație de echilibru. Această condiție impune o regulă de bază, și anume:
efectele din două brațe opuse se adună;
efectele din două brațe adiacente se scad.
Dacă se introduce marca electrotensometrică TER1 pe lângă rezistența , atunci în brațul punții intervine o variație , care corespunde cu deformația specifică suferită de TER împreună cu piesa analizată. Această variație trebuie compensată prin intermediul rezistenței cu o cantitate în vederea satisfacerii relației (4.4), adică:
(4.5)
care, împreună cu relația (4.3), oferă în cele din urmă relația de bază a metodei de măsurare cu puntea echilibrată:
. (4.6)
Dacă se utilizează o punte neechilibrată (datorită variației a rezistenței , care aici va reprezenta modificarea corespunzătoare deformației TER solidarizată de piesa solicitată), expresia intensității curentului care trece prin galvanometrul G , ceea ce va reprezenta totodată și relația de bază a metodei punții neechilibrate (a metodei deviației sau a metodei prin citire directă) [111]:
(4.7)
Traductoarele tensometrice se pot conecta în punte în mai mult moduri:
Montajul în sfert de punte (Fig. 4.3,a), în care traductorul exterior este legat în punte cu trei rezistențe montate în punte;
Montajul în semipunte (Fig. 4.3,b), alcătuit din două traductoare exterioare șin două rezistențe aflate în punte;
Montajul în punte completă (Fig. 4.3,c), în care toate patru brațe ale punții se află conectate mărci tensometrice.
Fig. 4.3. Tipuri de montaje: a) sfert de punte; b) semipunte; c) punte completă
4.2.1. Rozete tensometrice
Adesea este necesară măsurarea stării complete a deformației specifice de pe suprafața corpului analizat, ceea ce înseamnă măsurarea nu numai celor două deformații specifice și , dar și a lunecărilor specifice pe direcția sistemului de axe de coordonate dat. Din cele prezentate anterior, rezultă că traductoarele tensometrice rezistive sunt capabile de a măsura deformația în direcția în care sunt orientate. Presupunând că axele de coordonate și sunt stabilite, este posibilă montarea a două traductoare în aceste direcții pentru a măsura deformațiile specifice, însă nu este posibilă măsurarea lunecărilor specifice . Totodată, nu este posibilă nici măsurarea directă a deformațiilor principale dacă nu se cunosc direcțiile principale.
Soluția la această problemă constă în recunoașterea faptului că starea a deformației într-un punct (pe o suprafață) este definită de trei valori independente, care pot fi alese fie ca: (a) și , sau (b) , și , unde cazul (a) se referă la componentele deformațiilor în raport cu un sistem de axe arbitrar ales, și cazul (b) se referă la deformațiile principale și la direcțiile lor. Ambele cazuri definesc starea de deformare pe o suprafață și pot fi utilizate pentru a calcula deformațiile în raport cu orice alt sistem de coordonate. Această situație implică faptul că, dacă este posibilă să se facă trei măsurători independente ale deformațiilor într-un punct de pe suprafața, atunci ar trebui să fie posibilă și determinarea acestor trei valori independente. Abordarea cea mai evidentă este de a plasa împreună trei mărci tensometrice într-o "rozetă" cu orientarea fiecăreia în direcții diferite și cât mai apropiate pentru măsurării într-un punct. După cum se va arăta în următoarele, dacă sunt cunoscute cele trei deformații, respectiv direcțiile traductoarelor, pentru determinarea deformațiile principale și direcțiile lor este posibilă rezolvarea stării de deformare în raport cu un sistem de coordonate ales arbitrar. Relațiile necesare sunt ecuațiile deformațiilor transformate, și reprezentarea cu cercul lui Mohr oferă o vizualizare bună a acestei stări.
4.2.2. Cercul lui Mohr pentru starea plană de deformație
Cele două ecuații ale deformațiilor transformate au fost studiate în primele cursuri de Teoria Elasticității și sunt similare cu ecuațiile tensiunilor transformate [52]. Aceste ecuații sunt:
(4.8)
Ecuațiile includ pătrate și produse a funcțiilor de sinus și cosinus, acestea putând fi înlocuite cu următoarele ecuații de transformare:
(4.9)
Având în vedere disponibilitatea calculatoarelor performante și programelor aferente, evaluarea acestor ecuații de transformare este o problemă relativ simplă și durează doar câteva secunde rezolvarea lor. La baza acestor calcule stă prezentarea grafică prin cercul lui Mohr, care oferă o vizualizare bună a acestor ecuații.
Ecuațiile de mai sus cu termeni de sinus și cosinus pot să se refere la ecuațiile unui cerc al cărui centru este deplasat la dreapta față de originea sistemului de coordonate. Figura 4.4 de mai jos prezintă cercul lui Mohr pentru stare plană de deformare. Să presupunem că coordonatele capetelor opuse () a diametrului definesc starea de deformație și în sistemul de axe .
Fig. 4.4. Cercul lui Mohr
De menționat, că deformațiile și sunt reprezentate pe abscisă (axa ) în timp ce lungirea specifică /2 este reprezentată grafic pe ordonată (axa ). Direcția pozitivă pentru , se consideră îndreptat în jos (direcția negativă a axei ) [52]. Cercul cu diametru este cercul lui Mohr și are întotdeauna centrul pe abscisă, în punctul . Diametrul cercului este calculat ca . Pentru a calcula o nouă stare de deformație, și într-un sistem de axe rotit în sens trigonometric față de primul cu un unghi , trebuie trasat un nou diametru rotit cu un unghi (Fig. 4.5). Coordonatele punctelor ale noului diametru de pe cerc reprezintă noua stare de deformație calculate cu ecuațiile (9).
Fig. 4.5. Cercul lui Mohr pentru deformații transformate a lui
De menționat, că această formă particulară a cercului Mohr folosește un ordonator inversat (axa ), astfel sensul pozitiv al unghiului fiind considerat sensul trigonometric.
Se poate observa din cercul lui Mohr (Fig. 4.4), că starea de deformare (fără deformații unghiulare) corespunde cu diametrul cercului situată pe abscisă și este definită de cele două puncte și . Acestea sunt deformațiile principale și sunt asociate cu un sistem de axe , rotit față de sistemul cu un unghi , în sens trigonometric.
Rozetele tensometrice sunt formate din două sau mai multe traductoare orientate la un unghi fixat între ele. Montarea strictă a traductoarelor impune montarea lor unul peste celălalt într-o așa numită rozetă stivă, însă acest lucru duce la complicații și inexactități de măsurare. Cea mai folosită abordare este de a plasa traductoarele cât mai aproape posibil de centrul rozetei.
Rozetele implică de obicei 2, 3 sau 4 mărci tensometrice cu orientări relative de sau . Figura 6 prezintă patru exemple. În cazul în care sunt aplicate trei traductoare, rozeta dreptunghiulară și rozeta delta sunt cele mai frecvent utilizate datorită geometriei lor simplă.
Fig. 4.6. Configurări ale cercului Mohr
4.3. Dispozitivul conceput și tipul de epruvetă
Pentru efectuarea cercetărilor experimentale s-a conceput instalația experimentală din figura 4.7, care se compune din următoarele echipamente:
– standul de încercare 1, care permite măsurarea forțelor aplicate pe epruvetă;
– sursă de lumină 2;
– aparat Foto Digital Fuji FinePix 3, având 14 megapixeli și 6,7x zoom optic, care captează imaginea epruvetei solicitată la fiecare forță de compresiune aplicată.
– un calculator 4, care prin intermediul unei punți tensometrice tip ESAM Traveller 5 asigură achiziția datelor măsurătorilor transmise de mărcile tensometrice rezistive;
Fig. 4.7. Instalația experimentală
Avantajul acestei instalație experimentală constă în efectuarea unor analize simultane pe același specimen.
Pentru determinarea cât mai precisă a caracteristicilor mecanice la solicitare de compresiune, principiul alegerii formei și dimensiunii epruvetelor a fost ca pe același eșantion să se poate efectua multiple măsurători. Astfel, la analiza epruvetelor, în care direcția fibrelor închid pe rând cu direcția axei de coordonate unghiuri între , prin rotirea cu câte rezultatele măsurătorilor nu sunt influențate de diferitele poziții de prelevare a epruvetei din buștean și prin urmare de diferite grade de umiditate, densitate, proporții de lemn târziu/lemn timpuriu, etc.
4.4. Descrierea standului original
Pentru determinarea cât mai exactă pe cale experimentală a caracteristicilor mecanice ale materialelor ortotrope pe bază de lemn a fost conceput și realizat standul de încercare din figura 4.9, destinat în mod exclusiv monitorizării deformațiilor epruvetelor solicitate la compresiune.
Instalația experimentală se compune din placa de bază 1, pe care sunt montate coloanele dispozitivului de încercare. Pe coloanele de oțel 2 printr-un montaj vertical sunt prinse două șine de ghidare cu bile, pe care rulează două cărucioare de ghidare 5. Pe aceste cărucioare este montată o placă, care se deplasează paralel cu coloanele aparatului.
Pentru determinarea cu precizie a forțelor de compresiune, pe această placă este fixat un dinamometru 3 de . Prin intermediul arborelui filetat 4 sunt exercitate forțele de compresiune F asupra piesei analizate.
Epruveta de lemn 6 este așezată între două bacuri 7, care urmăresc forma sferică a epruvetei. Aceste bacuri la rândul lor sunt fixate între două șine 8, care împiedică mișcarea lor pe orizontală (Fig. 4.10).
Dinamometrul este în contact cu bacul de prindere superior printr-un senzor de mare acuratețe 5, prin care sunt măsurate forțele de compresiune, care la rândul lor sunt vizualizate pe ecranul dinamometrului.
4.5. Aspectele teoretice de bază ale metodei Corelării Digitale a Imaginilor
În general, metoda de corelarea digitală a imaginilor implică două variante: una, de obicei, se referă la imaginea sursă și se notează cu , iar cealaltă se referă la imaginea țintă și se notează cu . În timpul transformării imaginea țintă trece printr-o transformare .
Scopul înregistrării este de a estima transformarea optimă. Acest lucru este adesea realizat prin intermediul unei probleme de minimizare a energiei:
. (4.10)
Ecuația (1) cuprinde doi termeni. Primul termen cuantifică nivelul de reglare între imaginea țintă și imaginea sursă sub influența transformării parametrizat de . Notația va fi utilizat alternativ cu pentru a indica faptul că mișcând imaginea aceasta se deformează. Al doilea termen regularizează transformarea și evaluarea greșită a problemei. În general, în fiecare poziție ( reprezintă domeniul imaginii) transformarea este dată ca unde este câmpul de deformare. Câmpul de viteză este notat cu .
Prelucrarea imaginii este o metodă care a fost studiată și dezvoltată în detaliu în ultimele decenii. Această metodă include trei componente principale:
1. un model de deformare,
2. o funcție obiectivă, și
3. o strategie de optimizare.
Referitor la aceste trei aspecte principale au fost propuse multe idei inovatoare.
4.5.1. Modele de deformare
Alegerea unui model de deformare pentru procesul de înregistrare este foarte important, deoarece implică un compromis între prezentarea imaginilor și eficiența de calcul. Modelul de deformare, de asemenea, reflectă natura transformării care sunt acceptabile, și prin urmare limitează soluția în mare măsură. Parametrii care înregistrează estimarea prin strategia de optimizare, corespund gradului de libertate a modelului de deformare. Numărul acestora variază foarte mult, de la 10 în cazul transformărilor globale liniare, la milioane atunci când transformările sunt considerate neparametrice.
Transformările geometrice sunt clasificate în patru categorii principale (Fig. 4.11)[99]:
1. cele inspirate de modele fizice,
2. cele inspirate de teoria aproximației și interpolării,
3. cele bazate pe cunoașterea modelelor de deformare, care optează să introducă informații priori privind deformarea căutată, și
4. cele bazate pe constrângerile specifice.
4.5.1.1. Transformările geometrice inspirate de modele fizice
Conform lucrării [79] modelele fizice se pot împărții în cinci categorii (Fig. 4.11): a) modele elastice, b) modele vâscoase, c) modele de difuzie, d) înregistrarea deformării, și d) difeomorfism.
La modelele elastice imaginea sub deformare este modelată de un corp elastic. Deformarea este descrisă de ecuația Navier-Cauchy
, (4.11)
unde este forța care conduce la înregistrarea imaginii pe baza unui criteriu de potrivire, se referă la rigiditatea materialului, și este primul coeficient Lamé.
Fig. 4.11. Clasificarea modelelor de deformare [99]
Modelarea unei imagine grilă ca o membrană elastică, care se deformează sub acțiunea a două forțe care caută să se echilibreze, a fost propus pentru prima oară în lucrarea lui Broit [12]. În acest model o forță externă încearcă să deformeze imaginea în așa fel încât să se realizeze potrivirea, în timp ce o forță internă impune proprietățile elastice ale materialului. Ecuația rezultată este rezolvată prin implementarea unei scheme cu diferențe finite.
Bajcsy și Kovacic [5] au extins această abordare folosind o rețea mai fină pentru calcul cu diferențe finite, astfel înregistrarea lineară a fost utilizată la o rezoluție foarte mică.
Gee și Bajscy [51] au formulat problema de elastostatică într-un mod interesant. Pentru rezolvarea problemei au folosit modelarea Bayesiană, care permite calculul soluțiilor incerte, precum și determinarea intervalelor de încredere. Pentru calculul deplasărilor nodale au aplicat metoda elementului finit, iar pentru estimarea deplasărilor – în afara celor nodale – au folosit o strategie de interpolare.
În cazul modelelor vâscoase deformarea unei imagini este modelată de un fluid vâscos. Transformația este determinată de ecuația Navier-Stokes
. (4.12)
Aceste modele, funcționând pe baza teoria vitezei, permit reconstituirea deformațiilor mari. Primul termen al ecuației Navier-Stokes (3) constrânge punctele vecine dintr-o rețea ca ele să se deformeze similar cu liniarizarea spațială a câmpului de viteză. Al doilea termen permite structurii vâscoase să se schimbe în masă, când și sunt coeficienții de viscozitate.
Modelul de fluid vâscos pentru deformații mari cu comportare neliniară este prezentat în lucrarea [19], unde pentru intervale mici de timp au fost soluționate ecuațiile cu derivate parțiale. Pentru fiecare interval de timp a fost utilizată metoda de supra-relaxare, iar rezolvarea completă a fost dată prin integrarea în timp real a datelor. Pentru garantarea menținerii topologiei a fost monitorizată Jacobianul, valoarea acestuia scăzând de fiecare dată sub 0.5. Astfel, de fiecare dată pasul rețelei modelului a fost schimbat și pentru a estima transformarea a fost generată una nouă. Soluția finală a fost concatenarea acelor transformări succesive care apar la fiecare schimbare a pasului rețelei.
O altă variantă pentru modele de curgere vâscoase, folosind tensorul de difuzie a imaginii, a fost propus în lucrarea [17]. Drept criteriu de potrivire a fost utilizată divergența Kullback-Leibler (KL). Consistența inversă a fost realizată prin evaluarea criteriilor de potrivire și de regularizare spre ambele direcții.
În cazul modelelor de difuzie deformarea este modelată de ecuația de difuzie
. (4.13)
Algoritmul, bazat pe acest model de transformare, utilizează faptul că nucleul Gaussian este funcția lui Green a ecuației de difuzie (4) pentru a asigura o etapă de regularizare eficientă.
Thirion [123], inspirat de “Demonul lui Maxwell”, a fost primul care a introdus modelele de difuzie în înregistrarea imaginii. În această lucrare, marginile obiectelor sunt modelate ca membrane, iar imaginea este difuzată prin ea sub influența Demonilor plasate în interiorul membranelor. Algoritmul funcționează în două etape: (i) estimarea deplasărilor pentru fiecare punct, și (ii) regularizarea unei etape. Forța Demonilor este calculată luând în considerare constrângerea fluxului optic, care este valabil pentru deplasări mici, în timp ce regularizarea este realizată prin liniarizarea Gaussiană. Deși utilizarea Demonilor, ca analogie, este un algoritm eficient, nu are o justificare teoretică. Datorită succesul algoritmului, o serie de autori au încercat în lucrările lor să dea o explicație teoretică.
În registrarea deformării curburii, deformarea este modelată de ecuația de echilibru
. (4.14)
Avantajul unui astfel de model de regularizare este că acesta nu penalizează transformări liniare afine, astfel eliminând o etapă liniară afină de pre-înregistrare suplimentară.
Fischer și Modersitzki [40], [41] au fost primii care au introdus această constrângere. Pentru a rezolva ecuația (5), au calculat derivatele Gateaux cu privire la datele și termenii de regularizare, și au folosit o schemă cu diferențe finite pentru a rezolva ecuația cu derivate parțiale. Au utilizat condițiile la limită de tip Neumann care permit rezolvarea foarte eficientă a unui sistem de ecuații de ordin mare.
Henn în lucrarea [63] a propus ca în condițiile la limită să se includă termeni în energie de ordinul al doilea și pentru a rezolva problema de înregistrare a curburii complete a aplicat o schemă semiimplicită de discretizare în timp.
Beuthien și colab. [8] au propus un alt mod de rezolvare a problemei de înregistrare a curburii. În loc de a elabora o schemă numerică pentru rezolvarea ecuației cu derivate parțiale, care rezultă din ecuația de echilibru (5), au folosit convoluția unei funcții recursive corespunzătoare cu funcția Green. În lucrarea [54], a fost aproximată o penalizare a curburii în cazul modelelor de deformare bazate pe rețele parametrice. Aproximarea a fost obținută prin analizarea simultană a deplasării între două noduri vecine dintr-o rețea de noduri, în timp ce al treilea se presupune a fi fixată.
În cazul difeomorfism-ului deformarea este modelată prin viteza proprie conform ecuației de transport [19], [38], [124]. Termenul de regularizare constrânge câmpul de viteză pentru a realiza o suprafață netedă, fără discontinuități:
. (4.15)
este o normă pe spațiul al câmpului vectorial de viteză definit ca unde este un operator diferențial și este norma a funcției pătrată integrabilă. Alegerea unui nucleu corespunzător asociat cu permite modelarea unor niveluri diferite de regularizare spațiale. De cele mai multe ori este folosit un singur nucleu Gaussian, însă este posibilă utilizarea mai multor nuclee și netezirea deformațiilor adaptive la diferite nivele [91]. Faptul că câmpul de viteză variază în timp, modelul permite estimarea deformațiilor mari.
Avantajul acestei aplicații – numită și „Large Deformation Diffeomorphic Metric Mapping” (LDDMM) – este că permite definirea distanței metrice pe spațiul imaginii [65]. Aplicația LDDMM s-a dovedit a fi extrem de adaptabilă și a fost extinsă pentru analiza unor probleme, ca de exemplu înregistrarea volumului scalar, date pentru valori vectoriale și tensoriale [7], [16], potrivire de puncte pe domenii [53], potrivire de forme [91], etc.
La calcularea eficientă a difeomorfism-ului, în loc de a elabora scheme de optimizare mai sofisticate, problema s-ar putea simplifica prin reducerea gradului de libertate a acestuia. În acest sens au fost utilizate câmpurile de viteză staționare. Deși difeomorfism-ul pe care îl poate captura este limitat, câmpurile vitezelor staționare sunt o opțiune pentru mai mulți cercetători. Faptul că trebuie integrat câmpul de viteză, aplicația LDDMM implică costuri ridicate fiindcă necesită memorii și calculatoare speciale pentru calcule.
4.5.1.2. Transformările geometrice inspirate de teoria interpolării
Modelele din această categorie sunt inspirate fie din teoria interpolării fie din teoria aproximării. În teoria interpolării deplasările, considerate cunoscute într-o locație delimitată în imagine, se determină prin interpolare pentru întregul imagine. În teoria aproximării se presupune că în estimarea deplasării există o eroare. Astfel, transformarea aproximează deplasările cunoscute mai ușor decât dacă s-ar lua în calcul valorile exacte ale acestora. Succesul acestor modele constă în faptul că acestea sunt suficient de elaborate pentru a descrie transformările care sunt prezente în problemele de înregistrare a imaginii cu grade de libertate scăzute, facilitând astfel deducerea parametrilor. Printre cele mai importante strategii de interpolare se pot menționa următoarele (Fig. 4.11): a) funcții de bază radiale, b) curbe spline la corpuri elastice, c) deformații free-form, d) funcții de bază ale prelucrării semnalului, și e) modele afine pe porțiuni.
Una dintre cele mai importante strategii de interpolare este cea a funcțiilor de bază radiale (RBF), unde valoarea într-un punct de interpolare este dată ca funcția distanței din proba cunoscută ,
(4.16)
Un studiu de evaluare, pentru a compara RBF utilizați ca funcții de transformare în înregistrarea imaginilor nerigide, a fost pentru prima oară prezentată în lucrarea [134]. O prezentare mai detaliată, respectiv o analiză privind capacitatea lor de a păstra topologia a fost oferită în lucrarea [133]. Avantajul metodei RBF este capabilitatea de a interpola un câmp de deformare la valori cunoscute, plasate aleatoriu. Principalul lor dezavantaj constă în faptul că acestea au de multe ori un suport global. De menționat, că cunoscând deplasarea la un moment dat, aceasta influențează valorile punctelor în întregul domeniu al imaginii. Acest lucru nu reprezintă un avantaj atunci când sunt căutate transformări locale.
Primele și cele mai importante modele RBF au fost utilizate în domeniul spline placă subțire [11], care minimizează energia de deformare presupunând infinite condiții la limită. Soluția este dată într-o formă închisă și în cele mai multe cazuri este garantată unicitatea sa. Cu toate acestea, această metodă prezintă anumite deficiențe. Transformarea de la un domeniu la altul nu este reciproc compatibilă. Mai mult decât atât, suportul lor este global, care nu permite recuperarea locală a unei imagini deformate. În plus, în punctele de referință nu ia în considerare erori posibile în estimarea deplasărilor, iar cu creșterea numărul punctelor, interpolarea devine mai complicată din punctul de vedere al calculelor.
Un alt domeniu în care a fost utilizată RBF cu suport global sunt funcțiile multiquadrice [95]. Ele sunt definite ca , unde este un parametru care controlează netezimea deformării și poate varia pentru diferite puncte, permițând o netezime adaptivă bazată pe distribuția lor spațială, și este un scalar ne-negativ.
Funcții Gaussiene sunt un alt tip de funcții radiale care pot fi utilizate pentru a parametriza deformarea [120]. Avantajul lor este, că influența lor spațială poate fi controlată prin alegerea unui nucleu Gaussian adecvat, în concordanță cu deviația standard a zgomotului Gausian, care afectează imaginea. În cazul în care dimensiunea nucleului Gaussian este mic, influența lui poate fi foarte limitată, și astfel pot fi stabilite deplasările locale.
Transformările inspirate în principal de teoria interpolării și de teoria aproximării, pot fi inspirate și de modelele fizice, cum ar fi curba spline corpului elastic introdus de către Davis și colab. [36]. După cum sugerează și denumirea lor, ele sunt soluții ale ecuației de echilibru Navier-Cauchy a unui corp elastic, omogen și izotrop care sunt supuse acțiunii unei forțe. Când forțele aplicate sunt funcții polinomiale sau funcții raționale, ecuațiile de echilibru se pot rezolva analitic.
Modelul de transformare în deformări locale poate fi mai bine adaptată dacă luăm în considerare forțele Gaussiene. Pentru a parametriza compactitatea modelului suport poate fi folosită dimensiunea nucleului Gaussian. Wörz și Rohr au extins această abordare în lucrarea [131]. În loc de a opta pentru o interpolare exactă, ei au utilizat o strategie de aproximare pentru a lua în considerare erorile deplasărilor în punctele de reper. Au fost extinse ecuațiile cu derivate parțiale pentru a include forțele Gaussiene, care au fost ponderate luând în calcul incertitudinea localizării (Principiul incertitudinii al lui Heisenberg). Incertitudinile, în funcție de proprietățile materialelor alese în analiză – izotrope sau anizotrope -, au fost reprezentate ca matrice scalare, și a fost obținută o soluție analitică pentru ecuația extinsă.
Deformațiile free-form (FFD) constituie o importantă metodă de transformare a formelor geometrice care a fost investigată pe scară largă pentru animație și modelarea geometrică realizată pe computer. Abordarea inițială [119], respectiv și cele ulterioare implică integrarea unui model obiect într-un volum a cărei formă poate fi schimbată prin mișcarea punctelor de control.
Putem spune, că deformațiile free-form sunt una dintre cele mai utilizate tipuri de modele de transformare în prelucrarea imaginii. O grilă dreptunghiulară este suprapusă pe o imagine (având dimensiunea), care se deformează sub influența punctelor de control. Deformarea este rezultatul însumării produsului tensorial a curbelor univariabile spline.
Deformația în 2D este definită ca
, (4.17)
unde este deplasarea, și . este funcția de bază de ordinul a curbelor B-spline, și este spațierea punctelor de control. Avantajul modelului de transformare constă în simplitatea, în netezimea, în eficiența și capacitatea sa de a descrie deformări locale cu câteva grade de libertate.
FFD s-a răspândit prima oară în domeniul graficii asistată de calculator [97], [63], dar cu timpul a căpătat o largă aplicație în domeniul imagisticii medicale, mai ales când au fost cuplate cu curbele B-spline cubice. În general, când transformările care rezultă din curbele B-spline cubice sunt netede, nu se garantează menținerea topologiei.
Multe extensii ale FFD au fost propuse în literatura de specialitate. Rueckert și colab. [94] au impus constrângeri severe, care au fost demonstrate în lucrarea [18], pentru a produce un câmp de deformație difeomorfe. Condiția impusă era ca deplasarea maximă să nu fie mai mare de patru zecimi din spațierea grilei. O extindere simetrică a metodei au prezentat Noblet și colab. în lucrarea [84]. Ei au presupus că ambele imagini sub influența a două grile izomorfe se deformează spre un domeniu comun, care este la o distanță egală de la imaginea sursă și imaginea țintă. Având în vedere natura parametrilor de transformare rezultă în constrângere, că deplasările nodurilor corespondente din cele două grile au suma zero. Mai mult decât atât, pentru a calcula maparea de la un domeniu al imaginii la altul, mapările estimate față de domeniul comun ar trebui să fie inversabile.
Utilizarea metodelor FFD au fost extinse pentru a trata înregistrarea imaginilor multiple, unde sunt folosite constrângeri puternice pentru a defini un domeniu de referință [9], [6] și [74]. În lucrările [87], [72] și [126], modelul de transformare a fost extins la un domeniu spațio-temporal în care curbele B-spline sunt utilizate pentru axele temporale.
Pornind de la structuri matematice, care sunt valabile în reprezentarea și analiza semnalelor, mulți cercetători au aplicat analiza Fourier și Wavelet pentru modelele de transformare. Un motiv important pentru utilizarea acestora este faptul că ele pot oferi o analiză multi-rezoluție a câmpului de deplasare. Esența acestei abordări constă în faptul că semnalul analizat este descris printr-o succesiune de aproximări care conțin din ce în ce mai multă informație [20]. Aceasta reprezintă o proprietate necesară pentru realizarea trecerii de la un subspațiu mai fin la unul mai “grosier” și invers prin dilatarea sau comprimarea semnalelor analizate care sunt aplicate în înregistrarea imaginii
Funcțiile de bază Fourier sunt bine localizate în domeniul de frecvență, însă nu sunt deloc localizate în domeniul spațial. Funcțiile de bază Wavelet, fiind localizate în ambele domenii, au avantajul că pot modela eficient deformările locale. Wu și colab. [132] au folosit un model de deformare ale funcției de bază Wavelet pentru a genera o descriere multi-rezoluție în spațiul Sobolev. Pe baza acestui model, autorii au fost în măsură să trateze informații locale și globale în același timp.
Musse și colab. [81] au prezentat o abordare care utilizează baza Riesz neortogonală al polinomului spline, unde topologia a fost menținută prin controlul Jacobian datorată constrângerilor liniare. Această abordarea a fost extinsă la domeniul 3D [83], unde a fost folosit același ipoteză de multi-rezolutie, deși topologia nu a putut fi menținută prin satisfacerea constrângerile liniare. Menținerea topologiei a fost posibilă prin rezolvarea unei probleme constrânse de optimizare, unde Jacobianul a fost cuprins între două limite specificate de utilizator.
Un mod simplu de a deforma o imagine este utilizarea unui model de deformare liniară pe porțiuni. Imaginea este împărțită de un set de triunghiuri sau tetraedre și în interiorul fiecărei regiuni are loc interpolarea afină. Principalele puncte forte ale acestei metode sunt eficiența si inversabilitatea, în timp ce lipsa netezirii este deficiența principală.
Recent au fost prezentate în [22] și [15] două aplicații de modele afine pe porțiuni. Cootes și colab. [22] au favorizat utilizarea transformărilor afine pe porțiuni, deoarece acestea pot fi ușor inversate. Buerger și colab. [15] au propus un model ierarhic pentru separarea adaptivă a imaginilor în regiuni. Divizarea a fost formulată ca o problemă de minimizare a energiei și pentru aceasta a fost aplicată trei criterii. Primul criteriu grupează regiunile cu informații structurale multiple. Al doilea criteriu tratează regiunile cu eroare reziduală semnificativă în blocuri mari, în timp ce ultimul criteriu tratează regiunile cu mișcare similară pentru a fi luate în considerare împreună. Cel mai eficient dintre criterii s-a dovedit criteriul al doilea.
Cele mai multe abordări care folosesc strategii pe porțiuni liniare consideră transformările afine independente. Astfel pot apărea singularități și transformarea nu este inversabilă la nivel global. Ținând cont de acest neajuns, au fost introduse metode sofisticate. În lucrarea [82] a fost introdus un model de transformare care este afină în centrul unei regiuni și se reduce la identitate așa cum crește distanța din centru. Acest model nou de transformare are o formă închisă și calculele se pot efectua eficient, iar constrângerile care definesc condițiile de margine asigură inversabilitatea.
4.5.1.3. Transformări geometrice bazate pe informații
Crearea 1.3.1.3. unui model de deformare care poate fi aplicat cu succes la o mare varietate de date de înregistrare nu este doar optimist, dar și conduce spre o direcție greșită. Dezideratele generate de diferite setări de înregistrare nu pot fi rezolvate cu ușurință de o singură metodă, și este o pierdere de resurse a nu exploata informațiile oferite de condiționarea soluțiilor. Crearea unor modele bazate pe informații ar trebui să faciliteze găsirea soluțiilor în timp ce crește fiabilitatea lor.
Introducerea informațiilor referitoare la deformații se poate realiza în două moduri. Cel mai simplu mod este formarea unui model statistic de deformare multidimensional, care este apoi folosit pentru a penaliza configurații care se abat de la ea. Al doilea mod este crearea metodei de exploatare a informațiilor despre deformabilitate și construirea modelelor de deformare biomecanice/biofizice care imita proprietățile acestora.
Modelele de deformare statistice captează informații statistice despre câmpurile de deformare, pe populația subiectului analizat. Avantajul acestor metode constă în faptul că ele sunt capabile să reducă numărul gradelor de libertate, și prin urmare complexitatea de calcul a problemei obținând în același timp și o execuție mai bună. Cu toate acestea utilizarea modelului implică două ipoteze importante. În primul rând, trebuie să fie capabil de a forma modelul statistic multidimensional dintr-un număr de subiecte limitat. În al doilea rând, se presupune că setul de imagini utilizate în timpul acumulării informației este reprezentativ pentru populația care va fi analizată. Prin urmare, ipoteza de înregistrare constrânsă statistic este limitată de deformările observate anterior, ulterior fiind necesară și o înregistrare convențională.
Modelele biomecanice/biofizice sunt de asemenea inspirate de proprietățile fizice. Diferența față de modelele prezentate în capitolul 2.1. este aceea, că sunt strâns legate de anatomie și fiziologie. De obicei, pentru modelarea proprietăților biomecanice/biofizice este folosită metoda elementului finit.
Principalul avantaj al acestei categorii este că utilizarea ei bazate pe cunoștințe priori privind proprietățile biomecanice permite estimările exacte a câmpului de deformare complexe parametrizate cu câteva grade de libertate. Mai mult decât atât, plauzibilitatea precum și robustețea înregistrării sunt îmbunătățite. Dezavantajul metodei constă în faptul că prin utilizarea metodei elementului finit este necesară definirea proprietății materialelor geometriei și condițiilor de frontieră, care reprezintă adesea o provocare. Definirea geometriei solicită o segmentare corectă a structurilor analizate, precum și o discretizare în mod corespunzător a domeniului imaginii, iar specificarea condițiilor de frontieră adecvate este adesea echivalent cu asigurarea constrângerilor de deplasare pentru suprafețele segmentate.
4.5.1.4. Probleme specifice de constrângeri
Înregistrarea imaginilor este o problemă în care numărul necunoscutelor este mai mare decât numărul de constrângeri. Regularizarea este necesară și la această problemă. Mai mult decât atât, regularizarea ne permite să introducem informații prealabile cu privire la proprietățile fizice ale structurii analizate și ajută la optimizare, evitând minime locale.
Rezolvarea problemei poate fi obținută în două moduri: explicit și implicit. Regularizarea explicită poate fi realizată prin adăugarea unui termen de netezire în funcția energiei care penalizează configurațiile neregulate. Acest lucru este folosit mai ales în cazul modelelor fizice. Regularizarea implicită poate fi realizată prin parametrizarea câmpului de deformare cu funcții netede. Aceasta nu exclude utilizarea regularizării explicite, dar poate fi utilizată pentru a ajunge la o finalitate complementară, cum ar fi (Fig. 12): a) păstrarea topologiei, b) păstrarea volumului, și c) constrângerile de rigiditate.
Una dintre cele mai importante proprietăți pe care un algoritm de înregistrare ar oferi este păstrarea topologiei. În afară de modelul de difeomorfism, care oferă în mod firesc aceste rezultate, celelalte modele de deformare nu prezintă aceste proprietăți. În aceste cazuri, netezimea și inversabilitatea câmpului de deformare rezultată, poate fi garantată prin utilizarea constrângerilor.
Păstrarea volumului este, de asemenea, importantă în multe aplicații, cum ar fi imagistica medicală. În aceste probleme constrângerea este că structura imaginii nu se poate comprima și că toate modificările sunt determinate de mișcarea sau de intensitatea modificărilor provocate de acțiunea unui agent de contrast.
Includerea constrângerilor de rigiditate în înregistrarea imaginii, este motivată de prezența structurilor rigide în imagini medicale.
4.5.2. Funcții obiective
Putem distinge trei grupuri de metode de înregistrare în funcție de modul în care acestea exploatează informațiile disponibile pentru procesul de potrivire: a) imagistice, b) geometrice, și c) hibride. Metodele imagistice cuantifică imaginile prin evaluarea unui criteriu bazat pe intensitatea întregului domeniu al imaginii, metodele geometrice optează pentru stabilirea punctelor de corespondențe răzlețe care captează informațiile geometrice dominante, iar metodele hibride combină cele două tipuri de metode pentru a obține din ambele ce este mai eficient.
4.5.2.1. Metodele imagistice
Metodele de înregistrare imagistice oferă precizie prin asigurarea unei corespondențe dense între domeniile de imagini . Datorită faptului că toate punctele din imagine sunt considerate ca fiind egale, unele puncte de repere își pierd importanța pe care o merită. În plus, calitatea rezultatului obținut este considerabil influențat de condițiile inițiale. În prezența unor deformații mari, care în studii longitudinale sunt tipice, calitatea soluției este adesea degradată.
Criteriul de potrivire integrează evaluarea unui criteriu de deosebire asupra tuturor elementelor imaginii. Elaborarea unui astfel de criteriu adecvat este o sarcină dificilă. Criteriul ar trebui să țină seamă de diferitele principii fizice în urma achiziției celor două imagini, astfel influențând relația de intensitate dintre ele. În plus, proprietățile funcției obiective (de exemplu convexitatea acestuia) poate influența dificultatea de interferență, astfel și calitatea rezultatului obținut. Criteriul ideal ar fi dacă punctele care fac parte din aceeași obiect ar avea valori scăzute, și punctele din diferite obiecte valori ridicate atunci când acestea sunt comparate.
Trebuie deosebite două cazuri la această metodă: a) cazul mono-modale și b) cazul multi-modale.
4.5.2.2. Metodele geometrice
Înregistrarea geometrică stabilește anumite corespondențe între subseturile ale voxelii imaginii. Voxelii, considerați corespondentul 3D al pixelului, sunt plasați în locații de imagini proeminente, considerând că acestea corespund cu localizările semnificative ale corpului analizat. Ipoteza de bază este că, această proeminență la nivelul imaginii este echivalent cu regiunile de interes. Înregistrarea geometrică poate soluționa unele dintre limitările ale înregistrării imagistice deoarece este ferm în ceea ce privește condițiile inițiale și existența unor deformații mari. Odată ce punctele de reper au fost extrase, soluția problemei înregistrării se obține într-un mod relativ simplu. Cu toate acestea, localizarea reperelor sigure este o problemă deschisă și un subiect de cercetare. Criteriul de corespondență conduce la necesitatea interpolării, ceea ce înseamnă o scădere a preciziei cu creșterea distanței față de punctele de reper. Cu toate acestea, ținând cont și de progresul în tehnologia calculatoarelor care îndeplinesc cerințele de performanță, au stimulat cercetarea în această direcție.
Pentru descrierea metodei introducem variabilele cunoscute și necunoscute ale problemei. Setul de variabile cunoscute cuprinde două seturi de puncte ( și , ). Primul set de puncte conține puncte care aparțin domeniului sursă în timp ce al doilea set conține puncte care aparțin domeniului țintă . Setul de variabile necunoscute cuprinde corespondența și transformarea. Bazate pe modul în care aceste variabile sunt tratate, pot fi separate trei clase de metode: a) metodele care implică doar transformarea spațială, b) metodele care implică numai corespondența și c) metodele care implică ambele variabile.
4.5.2.3. Metodele hibride
Fiecare dintre metodele de înregistrare imagistice și geometrice are anumite avantaje în timp și unele deficiențe. Metodele hibride încearcă să valorifice avantajele celor două metode folosind informații complementare în efortul de a obține ce este mai bun din ambele metode. Printre metodele hibride se pot distinge următoarele subclase: a) informații geometrice ca inițializare, b) informații geometrice ca constrângere, și c) într-un mod cuplat.
4.5.3. Strategii de optimizare
În timp ce majoritatea cercetărilor s-au concentrat pe elaborarea mai eficientă a unor indicatori de similaritate, modele de transformare și criterii de regularizare, a fost acordată o atenție mai mică ultimei componente de înregistrare, optimizarea.
Metodele de optimizare, în funcție de natura variabilelor, pot fi separate în două categorii: a) continuă, și b) discretă. Prima categorie de metodă tratează variabilele cu valori reale, în timp ce a doua categorie variabilele cu valori discrete. Ambele categorii de metode sunt constrânse cu privire la natura funcției obiective, precum și la optimizarea structurii.
În continuare prezentăm câteva exemple tipice ale fiecărei categorii de metode pentru care s-au găsit aplicații în înregistrarea imaginii.
4.5.3.1. Optimizarea continuă
De obicei, metodele de optimizare continue sunt constrânse privind problemele în care variabilele au valori reale și funcția obiectivă este diferențiabilă. În înregistrarea imaginilor sunt îndeplinite adesea ambele constrângeri. Metoda de optimizare continuă, fiind destul de semnificativă și ușor de implementată, a fost aplicată la numeroase probleme de înregistrare.
Metoda de optimizare continuă estimează parametrii optimi după o regulă de actualizare a formulei:
. (4.18)
unde este vectorul parametrilor de transformare, indicele numărului de iterație, este dimensiunea pasului, și definește direcția de căutare.
Există diferite moduri de a defini parametrii anteriori. De exemplu, dimensiunea pasului poate fi constantă scăzând cu fiecare iterație sau poate fi în așa fel, încât acesta să minimizeze funcția obiectivă de-a lungul direcției de căutare (căutare linie exactă sau inexactă). Direcția de căutare poate fi specificată numai prin exploatarea informațiilor primare sau, luând în considerare informații de ordinul doi. Abordările cele mai frecvent utilizate în înregistrarea imaginilor sunt: a) Algoritmul de gradient descendent, b) Metoda de gradient conjugat, c) Metoda Powell direcțiilor conjugate, d) Metoda lui Newton, e) Algoritmul Levenberg – Marquardt, și f) Metode de coborâre pe gradient stochastic. Un studiu comparativ a unor algoritmi și metode din aceste categorii, împreună cu descrierea lor, este prezentată în lucrarea [70].
Cea mai simplă abordare a metodei de optimizare continuă este optimizarea funcției obiective urmărind direcția în care energia scade sau gradientul negativ. Altfel spus, direcția este dată ca . În lucrarea [70], au fost testate două variante a algoritmului de gradient descendent. Primul algoritm utiliza o funcție pentru a determina mărimea pasului care scade cu fiecare iterație, în timp ce al doilea se baza pe algoritmul de căutare liniară inexactă [80].
Gradientul descendent este ușor de calculat, însă se caracterizează printr-o convergență lentă. Prin urmare, au fost testate unele tehnici care au rate de convergență mai bune. Metoda de gradient conjugat încearcă să exploateze cunoștințele transmise de gradiente anterioare și să propună direcția de căutare care nu urmărește gradientul nouă, dar este conjugat la direcția anterioară. Astfel, direcția este dată ca , unde definește factorul de ponderare.
O abordare de optimizare similară, care a fost utilizată într-un număr mare de probleme, este a lui Powell [90]. Scopul metodei Powell este de a minimiza funcția obiectivă urmând direcțiile conjugate, dar spre deosebire de metoda anterioară, nu folosește informațiile transmise de gradiente. Procedura de bază propusă de Powell stabilește direcția inițială a vectorilor de bază , ; optimizează fiecare parametru de-a lungul axei de coordonate; efectuează înlocuirea în timpul adăugirii și iterează până la convergență.
O altă categorie a metodei de optimizare, care a fost testat într-un număr important de aplicații, este metoda lui Newton [90]. Scopul acestei metode este de a acumula informații de la iterații anterioare și să beneficieze de acesta în scopul de a realiza convergență mai bună. Mai exact, scopul lor este de a estima inversa matricei Hessiană și utilizarea acesteia pentru a defini direcția de căutare. Astfel, la fiecare iterație, direcția de căutare este definit ca unde este aproximarea utilizată.
O altă metodă de optimizare, care a fost aplicată cu succes la probleme de înregistrare a imaginii, este algoritmul Levenberg – Marquardt. Direcția de căutare, în acest caz, este dat de: , unde este matricea identitate și este factorul de ponderare care reglementează capacitatea de optimizare cu privire la viteză și stabilitate Prin scăderea valorii factorului poate să crească viteza, iar atunci când crește valoarea lui, la fel crește și stabilitatea. La limită, atunci când este egal cu zero, se recurge la algoritmul precedent.
4.5.3.2. Optimizarea discretă
Principalul dezavantaj al metodelor de optimizare continue este, că pot proceda prin efectuarea căutării locale în spațiul parametric. Ca urmare, acestea sunt sensibile la condițiile inițiale și tind pentru a obține minimele locale. Faptul, că ele se bazează pe calculul gradientului funcției obiectivă, utilizarea lor este limitată, fiindcă nu toate funcțiile obiective sunt derivabile, și fiindcă privind criteriul obiectiv și modelul de transformare, utilizarea lor în practică este împiedicată de faptul că nu sunt modulare.
Spre deosebire, metodele discrete efectuează o căutare globală și sunt robuste la condițiile inițiale în timp ce prezintă rate de convergențe mai bune decât metodele continue. Mai mult, modularitatea lor permite utilizarea lor în diverse setări. O limitare provine de la cuantificarea spațiului de căutare și lipsa preciziei, care este astfel introdusă. Aceasta implică o precizie importantă comparativ cu eficiența de calcul trade-off. Este eșantionată soluția spațiului mai dens, se poate realiza o acuratețe mai bună, deși, la un cost de calcul mai mare. A doua limitare consideră complexitatea constrângerilor care pot fi codificate. Relațiile de ordin superior sunt mai dificil modelate deoarece necesită calcule de deducție mai grele și mai complexe.
Trebuie notat însă, că cuantificarea spațiului de căutare permite introducerea cunoștințelor în legătură cu unde soluția ar trebui să se afle, printr-o eșantionare corespunzătoare. Un astfel de mecanism de control nu există în metodele de optimizare continue.
În general, se ia în considerare graficul , constând din setul de noduri și un set de muchii . În funcție de caz, graficul poate fi direcționat sau nedirecționat. Energia corespunzătoare este suma tuturor potențialelor unare a nodurilor (costuri de date) de-a lungul potențialelor perechi (costuri de regularizare), modelate de muchiile care leagă nodurile și .
(4.19)
Variabilele aleatoare iau valori dintr-un set de etichetă discretă . Minimizarea energiei anterioare rezultă în etichetarea optimă sau în atribuirea fiecărei variabile aleatoare eticheta .
Dacă dorim să clasificăm metoda conform cu tehnicile pe care se folosesc, atunci trebuie să desemnăm trei categorii: a) metodele bazate pe grafuri, b) metodele transferului de mesaje, și c) modele de programare liniară.
4.6. Concluzii
În cadrul acestui capitol sunt prezentate două metode nedistructive pentru determinarea caracteristicilor mecanice ale lemnului masiv. Prima metodă se bazează pe tensometria electrică rezistivă, iar a doua pe analiza corelării digitale a imaginii.
La cercetările experimentale s-a conceput și realizat un stand de încercare pentru monitorizarea deformațiilor epruvetelor supuse la compresiune. Instalația experimentală a permis măsurări și extrageri simultane a datelor pentru cele două metode.
Pentru încercări s-a ales epruvete din diferite tipuri de lemn, având forma unui disc cu diametrul . Specimenele prelevate astfel se pot roti față de direcția de aplicare a forței de compresiune cu diferite unghiuri, în felul acesta putând fi evaluate modificările deformațiilor față de direcția fibrelor.
Cercetările experimentale au arătat, că utilizarea tensometriei electrice rezistive duce la obținerea unor valori precise la măsurarea mărimilor mecanice ale lemnului. Un neajuns al metodei constă că precizia măsurătorilor este influențată de mediu, de modificarea temperaturii care produc variații ale rezistenței TER care sunt indicate de aparatură de măsurat ca lungiri specifice aparente, introducându-se erori în măsurarea lungirilor specifice reale.
Metoda Corelării Digitale a Imaginilor nu are aceste neajunsuri, mai mult, poate determina câmpul de deplasare în orice punct al piesei analizate, motiv pentru care s-a ales ca metodă de investigare.
În acest sens, s-a făcut un efort modest pentru a oferi o analiză cuprinzătoare și completă a evoluțiilor recente în domeniul înregistrării imaginii deformabile. Se pare că dezvoltarea unui singur algoritm de înregistrare pentru a fi utilizat în diferite situații este un obiectiv imposibil, cel puțin în starea actuală a științei.
CAPITOLUL 5
REZULTATELE EXPERMENTALE PROPRII
5.1. Strategia de măsurare la Tensometria Electrică Rezistivă
Cercetările experimentale în cadrul măsurărilor nedistructive s-au axat pe metoda Tensometriei Electrice Rezistive.
În centrul epruvetelor au fost lipite traductoarele electrice rezistive sub formă de rozetă dreptunghiulară (Fig. 5.1), cu cablu de conectare la puntea Wheatstone de tip ESAM Traveller (aparat de măsură care are scopul de echilibrare a punții). Achiziția datelor s-a realizat cu ajutorul unui calculator.
În realizarea măsurătorilor s-a utilizat montajul în semipunte, dat fiind faptul că acest montaj asigură o stabilitate mai bună și oferă un semnal de ori mai mare decât montajul în sfert de punte, asigurând și o compensare termică a sistemului.
Fig. 5.1. Epruveta cu rozetă dreptunghiulară
Ca mod de lucru s-a ținut cont de următoarele:
s-a făcut o verificare a notării și conectării traductoarelor;
s-au echilibrat punțile tensometrice;
s-a făcut calibrarea și etalonarea semnalelor de ieșire;
s-a încărcat/descărcat de trei ori piesa, fără măsurare, după care s-a făcut o nouă echilibrare;
cu începerea încărcărilor propriu-zise, după fiecare solicitare s-au citit și s-au notat valorile obținute.
Dat fiind măsurarea a trei deformații independente din cele trei traductoare este posibil să se calculeze deformațiile principale și orientarea lor în raport cu traductoarele rozetei. De asemenea, este posibilă calcularea stării de deformare față de orice sistem de axe folosind fie măsurătorile rozetei, fie deformațiile principale și orientarea lor. Pentru a ilustra acest lucru, se ia în considerare situația în care rozeta este orientată cu traductoarele și la unghiul de (Fig. 5.2). Presupunem, de asemenea, că deformațiile principale sunt orientate la un unghi între traductorul și abcisa. În cazul acesta, pentru a calcula deformațiile în fiecare traductor, în termeni de deformațiile principale și unghiul , se pot utiliza ecuațiile de transformare tensometrice (4.8) ( și și calculăm pentru unghiuri de rotire și ) pentru a obține ecuațiile:
, (5.1,a)
, (5.1,b)
. (5.1,c)
Acestea sunt trei ecuații simultane raportând la . Este un lucru relativ simplu să inversăm ecuațiile și să aflăm în funcție de :
, (5.2,a,b)
. (5.2,c)
Ecuațiile (5.2) pot fi folosite pentru a calcula deformațiile principale și orientarea axelor principale din măsurătorile rozetei dreptunghiulare.
Ecuația (5.2,c) impune, totuși, unele interpretări. Unghiul reprezintă unghiul ascuțit între axa principală și grila de referință a rozetei (Fig. 5.2). În practica analizei experimentale a tensiunii, aceasta este oarecum mai convenabil și mai ușor de vizualizat dacă este reexprimată ca unghiul dintre grila și axa principală. Pentru a schimba sensul unghiului inversam semnul ecuației (5.2,c). astfel:
(5.3)
Direcția unghiului ascuțit, dat de oricare dintre ecuația (5.2,c) sau ecuația (5.3), este întotdeauna în sens trigonometric dacă este pozitivă și în sens orar dacă este negativă. Singura diferență, că unghiul este măsurat de la axa principală la grila , în timp ce unghiul este măsurat de la grila la axa principală. Din relația , unghiul calculat se poate referi la oricare dintre axe principale, de unde și notarea în ecuația (5.3) ca . Această ambiguitate poate fi ușor rezolvată (pentru rozeta dreptunghiulara) prin aplicarea următoarelor reguli simple:
(a) dacă , atunci ;
(b) dacă , atunci ;
(c) dacă și , atunci ;
(d) dacă și , atunci ;
(e) dacă , atunci este nedeterminat.
5.2. Rezultate obținute prin Tensometrie Electrică Rezistivă
Epruvetele au fost supuse la o forță de compresiune, care apoi a fost treptat mărită cu câte până la valoarea maximă de . La prima încercare epruveta a fost supusă la compresiune perpendiculară pe direcția fibrelor, după care discul a fost rotit pe rând cu câte până la , de fiecare dată efectuându-se compresiunea. Pentru fiecare încărcare au fost evaluate deformațiile epruvetelor de lemn.
În diagramele de mai jos sunt prezentate rezultatele investigațiilor pe epruvete din lemn de tei. Traductoarele utilizați au avut baza de măsurare de , rezistența ohmică .
În figurile 5.3 sunt redate curbele forță-deplasare în funcție de direcția de aplicare a sarcinii.
Aplicând metoda celor mai mici pătrate, a fost utilizată o aproximare liniară pentru curbele forță-deformație. În modul acesta s-a calculat pentru fiecare traductor în parte deformația aferentă unghiurilor de rotire, prezentată în figurile 5.4,a și b.
Fig. 5.4,a. Deformațiile aferente unghiurilor de rotire a epruvetelor
față de direcția de aplicare a sarcinii (lemn de brad).
Fig. 5.4,b. Deformațiile aferente unghiurilor de rotire a epruvetelor
față de direcția de aplicare a sarcinii (lemn de fag).
După o serie de teste și calcule efectuate pe diferite specii de lemn (stejar, brad, cireș, fag, plop, paltin și tei), a rezultat faptul, că prin rotirea epruvetelor de lemn, direcțiile deformațiilor specifice și prin urmare direcțiile principale ale tensiunilor deviază cu diferite unghiuri față de direcțiile ortotropiei, devierea cea mai mare fiind la epruveta rotită cu 450.
5.3. Strategia de măsurare la Corelarea Digitală a Imaginilor
Obiectivul principal a cercetărilor experimentale, bazată pe metoda analizei digitale a imaginilor, a fost crearea unui program de procesare a imaginilor pentru înregistrarea câmpului de deplasare a materialelor ortotrope, în cazul de față a lemnului masiv. Strategia de prelucrare a imaginii s-a bazat pe modelele deformațiilor „free-form”.
Epruveta analizată, având forma unui disc prezentat în capitolul anterior, a fost vopsită în prealabil cu spray de culoare albă, peste care a fost aplicat spray de culoare neagră în vederea obținerii unor pete cu dimensiuni, formă și distribuție aleatorie, care pe fundalul culorii inițiale a corpului asigura un bun contrast și o identificare ulterioară ușoară ale acestora (Fig. 5.5).
Fig. 5.5. Epruveta utilizată la metoda DIC
Pornind de la starea inițială, nesolicitată, valoarea forței de compresiune a fost mărită cu câte până la . Când epruveta analizată a fost solicitată la diferite forțe de compresiune, o cameră foto capta câte o imagine cu starea inițială, nesolicitată și în timpul solicitării a corpului. După finalizarea ciclului de solicitare s-a efectuat prelucrarea imaginilor.
În cele ce urmează sunt prezentați etapele în care s-a realizat prelucrarea imaginilor pentru determinarea câmpului de deformare.
1. Crearea imaginilor
Imaginile prelucrate s-a realizat prin fotografiere, cu un aparat Foto Digital Fuji FinePix. Imaginile color astfel create au rezoluția de 3648×2736 pixeli, numărul culorilor posibile fiind . Imaginile de calitate redusă (cu zgomot, efecte blur, etc.) au fost create încă o dată, pentru a avea date de intrare de bună calitate. Distanța dintre doi pixeli alăturați este aproximativ .
2. Conversie în alb-negru
Prelucrarea acestor imagini nu necesită culori. Scopul prelucrării este localizarea petelor întunecate asupra fundalului luminos și identificarea deformației obiectului prin testarea corelației dintre imagini, corelația petelor corespunzătoare. S-a efectuat o operație de preprocesare a imaginilor care a constat din conversia imaginii RGB în imagini alb-negru având numai 256 nuanțe de gri: 0 fiind culoarea neagră, iar 255 cea albă. Această conversie se realizează prin formula:
, (5.4)
unde și reprezintă intensitate componentei roșie, cea verde și cea albastră a pixelului. Deci la sfârșitul acestei operații, fiecare pixel din fiecare imagine este caracterizată printr-o valoare scalară, un număr întreg între 0 și 255. Astfel există numai nuanțe diferite.
3. Clusterizare fuzzy
Deoarece imaginile prelucrate nu s-au creat în același moment, pot apărea diferențe între nuanțele de pe o imagine sau cealaltă. De aceea, s-a realizat o clasificare fuzzy a tuturor pixelilor de pe toate imaginile prelucrate.
Teoria mulțimilor fuzzy [137] ne acordă posibilitatea de a defini mulțimea fuzzy a pixelilor întunecate și cea a pixelilor luminoase de pe imagini. Fiecare pixel va avea două funcții de apartenență fuzzy, care arată cât de tare aparține acel pixel în mulțimea întunecată sau luminoasă. În definiția algoritmului de clasificare implementată, aceste funcții de apartenență fuzzy reprezintă probabilitatea ca elementul respectiv aparține clasei indicate de funcție.
S-a implementat un algoritm fuzzy c-means accelerat [136], care clasifică cele 256 nuanțe de gri în loc de a clasifica sute de mii sau milioane de pixeli. Algoritmul fuzzy c-means (FCM) introdus de Bezdek [135], în forma accelerată folosește histograma imaginii. În cazul unei imagini f cu nuanțe gri, histograma ne arată de câte ori apare pe imagine fiecare nuanță:
, (5.5)
pentru orice , unde reprezintă numărul elementelor mulțimii A. Algoritmul FCM accelerat optimizează funcția de cost:
, (5.6)
unde c reprezintă numărul claselor în care se clasifică datele de intrare (în cazul nostru ), și sunt valorile reprezentante ale celor două clase ( va fi nuanța ideală pentru clasa întunecată, iar pentru clasa luminoasă), valorile ne va arăta cât de tare aparține nuanța l clasei i, iar m este exponentul fuzzy, un parametru constant supraunitar.
Valorile și le inițializăm cu 0, respectiv 255, și procedăm la iterațiile de optimizare a funcției de cost, conform [135], aplicând repetitiv următoarele două formule până atingerea convergenței:
și (5.7)
pentru orice și . La finalul iterațiilor obținem cele două nuanțe ideale și funcțiile de apartenență (sau partiția) fuzzy . Acestea ne vor ajuta să definim o funcție de apartenență a nuanțelor gri, pe care vom folosi în cadrul testelor de corelație.
Figura de mai jos ne arată câteva funcții de apartenență obținute. Algoritmul FCM ne oferă funcții de apartenență de forma celor din partea stângă a imaginii. Acestea nu sunt ideale pentru operațiile ulterioare. De aceea le modificăm astfel încât pentru valori , nuanța l să aparțină clasei întunecate de tot, iar pentru valori , nuanța l să aparțină clasei luminoase pe deplin (vezi partea dreaptă a imaginii).
Fig. 5.6. Funcții de apartenență obținute,
având nuanțele ideale la și
4. Testul de corelație
Pentru efectuarea testelor de corelație trebuie să alegem una dintre cele două funcții de apartenență modificate, de exemplu să alegem cea roșie care indică apartenența fată de clasa luminoasă.
În cazul testelor de corelație, problema se formulează astfel: date fiind două imagini, f1 și f2, care conțin același obiect, unul dintre imagini fiind puțin deformat față de celălalt, și date fiind o mulțime de puncte pe imaginea f1, să se găsească punctele pe imaginea f2, astfel încât vecinătatea punctelor Ai să coreleze cu vecinătatea punctelor Bi cel mai mult posibil.
Corelația se studiază cu ajutorul funcției de apartenență aleasă. Vecinătatea punctului o definim prin mulțimea
,
conținând 36 pixeli situate pe un rastru.
Punctele Ai din imaginea f1 sunt situate la coordonate întregi. Punctele Bi din imaginea f2 le căutăm la coordonate raționale. Nuanța gri a unui punct situat la coordonate neîntregi, și valoarea funcției de apartenență a acesteia se calculează prin interpolare biliniară.
Presupunem că și nu sunt întregi, adică și , și cunoaștem numai valorile
, , și ,
dar vrem să aproximăm valoarea . Interpolarea biliniară presupune o variație liniară a funcției f2 în interiorul fiecărui pătrat de mărime unitară. Se procedează astfel: mai întâi se scrie
și
cu , iar apoi
cu .
Pentru a afla corelația ideală a punctelor din imaginea f1 și din imaginea f2, vom căuta valorile dx și dy pentru care funcția:
are valoare minimă.
Aceste valori le căutăm prin evaluarea funcției în toate pozițiile posibile într-o vecinătate predefinită. Căutarea o efectuăm în doi pași: prima dată căutăm valori dx și dy între -15 și 15 cu pași de 0.5 unități, iar apoi în vecinătatea celei mai bune poziții, căutăm dx și dy cu pași de 0.02 unități. Astfel obținem deformații în cele două direcții principale cu o rezoluție de 0.02 pixeli, corespunzând la 1 micrometru.
5. Prelucrarea unei serii de imagini
În cadrul unui experiment, se creează o serie de imagini. Prima imagine din serie, f0 conține obiectul nedeformat, iar celelalte imagini fi conțin obiectul deformat sub forța Fi,. Pe fiecare imagine căutăm punctul central, față de care definim o rețea regulată din 51×51 puncte de control. Calculăm deformația relativă pentru fiecare punct de control, din imaginea fi față de f0, pentru fiecare . Deformația relativă pentru punctul central este 0 prin definiție, iar deformațiile relative pentru celelalte puncte sunt calculate relativ față de punctul central.
Pentru determinarea câmpului de deformare s-au notat cu componentele vectorului de deplasare al unui punct după cele două axe . Întrucât deplasările punctelor diferă între ele, proiecțiile deplasărilor vor fi în funcție de coordonatele punctului
; . (5.5)
Dacă se consideră două puncte, distanța dintre ele pe axa fiind , după deformație, distanța dintre aceste puncte de-a lungul axei se schimbă din cauza deplasării neuniforme , astfel se poate scrie
. (5.6)
Împărțind această ecuație cu lungimea distanței inițiale , se definește lungirea specifică pe direcția axei longitudinale
. (5.7,a)
Deplasării , orientată în lungul axei de coordonate , îi corespunde lungirea specifică
, (5.7,b)
iar deformația unghiulară specifică în planul rezultă
. (5.7,c)
Ecuațiile (5.7) sunt ecuațiile aspectului geometric, care dau deformațiile specifice principale în funcție de deplasări
, (5.8,a,b)
iar unghiul reprezintă direcția deformațiilor specifice față de direcțiile elastice principale
. (5.9)
5.4. Rezultate obținute prin Corelarea Digitală a Imaginilor
Pentru ilustrarea metodei utilizăm tot epruveta din lemn de tei. Pentru fiecare încărcare, după obținerea imaginilor, situate într-un pătrat cu latura de cu centrul identic cu al cercului epruvetei, adică în cele 2601 de puncte de interes, a fost evaluat câmpul de deformare a epruvetei.
În figurile de mai jos este redată câmpul de deplasare, în cazul în care prin metoda DIC au fost recepționate datele măsurătorilor în care direcția forței de compresiune și direcția fibrelor formează 150.
În figurile 5.6 sunt evidențiate deplasările punctelor după axa la diferite valori ale forței de compresiune.
În figurile 5.7 sunt evidențiate deplasările punctelor după axa la același forțe de compresiune ca și în figurile 5.6.
În figurile 5.8 este evidențiată câmpul de deformație a epruvetei de tei în funcție de forța aplicată față de direcția fibrelor.
5.5. Efectul rotirii direcției de aplicare a forței față de direcția fibrelor asupra mărimii caracteristicelor mecanice.
Din cercetările experimentale a rezultat, că nu numai mărimile modulului de elasticitate și coeficientului de contracție transversală se schimbă în cazul rotirii epruvetei de lemn, ci și în direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor specifice au loc schimbări când direcția de aplicare a forței de compresiune face diferite unghiuri cu direcția fibrelor.
Din această modificare a direcției rezultă că relația liniară între tensiuni și deformații specifice își pierde valabilitatea, descriind astfel o comportare neliniară. Pentru a păstra forma liniară, adică valabilitatea legii lui Hooke, se introduce un factor de corecție. Acest factor corectează direcțiile principale ale tensiunilor cu acele valori care s-au determinat pe cale experimentală.
Pentru determinarea factorului de corecție se pornește de la expresia legii lui Hooke generalizată
, (5.9)
unde este matricea de elasticitate (matricea de rigiditate a materialului). Inversa relației (5.9) se scrie:
, (5.10)
în care este matricea de complianță a materialului.
Relația (5.10) sub formă dezvoltată se rescrie
, (5.11)
în care este vectorul cu valorile deformațiilor măsurate, sunt elementele matricei din ecuația (1.40) care se calculează cu formulele teoretice (1.42), iar este vectorul tensiunilor calculate. reprezintă factorul de corecție aplicat termenilor , produsul dând valoarea observată experimental al termenului corespunzător matricei de complianță.
Dezvoltând termenii din relația (5.11) obținem
(5.12)
Încărcarea fiind verticală, în relațiile de mai sus ponderea cea mai importantă o are termenul , și având valori mult mai mici decât . Prin urmare putem accepta în calculele noastre și , deci
(5.13)
Valoarea obținută experimental cu ajutorul relațiilor (1.41) și (1.42), se poate exprima și cu ajutorul valorilor corectate ale coeficienților elastici:
. (5.14)
unde este relația teoretică scrisă cu valorile corectate. Această corecție se face cu ajutorul unor funcții de corecție sub forma
(5.15)
unde și , iar între coeficienții contracției transversale și modulele de elasticitate există și relația
, (5.16)
care dă a patra valoarea corectată ce apare în (5.14).
În relațiile de mai sus este direcția primei valori principale a tensiunii () față de prima direcție a ortotropiei (direcția ).
Valorile funcțiilor de corecție se obțin experimental, prin calcule, pentru diverse valori ale unghiului . Aceste valori se pot interpola, de exemplu polinomial, astfel obținem o expresie analitică aproximativă a funcției respective.
5.6. Concluzie
În cadrul acestei lucrări sunt prezentate strategiile de măsurare și rezultatele obținute prin metoda Tensometriei Electrice Rezistive și metoda Corelării Digitale a Imaginii.
Metoda tensometriei electrice rezistive a condus la obținerea unor valori cu o precizie foarte ridicată în studiul experimental al variației deformațiilor de pe suprafața corpului analizat. Au fost trasate curbele forță-deplasare pentru discul rotit cu diferite unghiuri. Prin determinarea câmpului de deformație s-a obținut valorile deformațiile specifice principale.
Pentru analiza digitală a imaginilor a fost elaborată un program original scris în limbajul de programare C++. Pentru eficiența de calcul ca model de transformare au fost alese modele bazate pe interpolare utilizând metoda deformațiilor „free-form”.
Programul elaborat evidențiează câmpul de deplasări, și prin urmare câmpurile deformațiilor specifice corespunzătoare. O facilitate a metodei constă în posibilitatea marcării unor puncte, zone distincte, pentru care de asemenea pot fi extrase datele referitoare la deformații.
Din cercetările experimentale a rezultat, că nu numai mărimile modulului de elasticitate și coeficientului de contracție transversală se schimbă în cazul rotirii epruvetei de lemn, ci și în direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor specifice au loc schimbări când direcția de aplicare a forței de compresiune face diferite unghiuri cu direcția fibrelor.
Din această modificare a direcției rezultă că relația liniară între tensiuni și deformații specifice își pierde valabilitatea, descriind astfel o comportare neliniară. Pentru a păstra forma liniară, adică valabilitatea legii lui Hooke, s-a introdus un factor de corecție. Acest factor are rolul de a corecta direcțiile principale a tensiunilor cu acele valori care s-au determinat pe cale experimentală.
CAPITOL 6
MODELAREA MATERIALELOR ORTOTROPE
PRIN METODA DIFERENȚELOR FINITE
Metoda diferențelor finite a apărut încă din timpul lui Euler și utilizează un model matematic diferențial al fenomenului studiat, model care este apoi adaptat pentru rezolvarea cu ajutorul procedeului de aproximare locală, punctiformă, a variabilelor de câmp, precum și a derivatelor lor până la un anumit ordin.
Acest procedeu de aproximare locală se realizează cu ajutorul unei rețele rectangulare creată pe domeniul studiat.
Sistemul de ecuații diferențiale se transformă astfel într-un sistem de ecuații algebrice, având ca necunoscute valorile variabilei de câmp într-un număr finit de puncte ale domeniului studiat, numite noduri ale rețelei de diferențe finite.
Această metodă poate avea o formulare în tensiuni, când parametrii de lucru sunt eforturi, sau o formulare în deplasări, atunci când parametrii sunt deplasări.
6.1. Aproximația cu diferențe finite pentru prima derivată
Valoarea unei funcții infinit diferențiabile în jurul unui punct se poate aproxima prin dezvoltarea în serie Taylor cu formula
(6.1,a)
sau
(6.1,b)
Aproximarea este cu atât mai precisă cu cât se ia mai mulți membri în considerare.
Dacă se ia în considerare doar primii doi membri din prima formulă, atunci se obține relația aproximativă pentru prima derivată
, (6.2,a)
care de fapt este identică cu definiția derivatei funcției, dacă . Deoarece dezvoltarea în serie în punctul respectiv folosește valorile funcției de pe partea dreaptă a axei, formula (6.2,a) se numește diferență finită de dreapta (ce aproximează derivata de ordinul I).
În mod similar, din formula a doua se obține derivata aproximată cu diferențe finite de stânga:
, (6.2,b)
iar din diferența formulelor (6.1) se obține aproximarea derivatei cu diferențe finite centrate:
. (6.2,c)
Derivata a doua, fiind derivata derivatei a întâia, se aproximează prin aplicarea formulei (6.2,a), respectiv (6.2,b) primei derivate astfel:
(6.3,a)
(6.3,b)
Din formulele (6.1) luând în considerare doar primii trei membri, din suma lor obținem formula de aproximare cu diferențe centrate:
. (6.3,c)
Pentru aproximarea derivatei de mai sus, se putea porni și din formula (6.2,c), însă aceasta ar lua în considerarea puncte mai îndepărtate.
Derivata a treia se aproximează în felul următor:
, (6.4,a)
, (6.4,b)
(6.4,c)
iar pentru derivata a patra avem formulele:
(6.5,a)
(6.5,b)
(6.5,c)
Este de menționat, că pentru derivate există și alte aproximări mai precise, care iau în considerare mai mulți termeni a seriei Taylor.
Coeficienții diferențelor finite folosite în prezenta lucrare sunt prezentați în tabelul de mai jos.
Tabelul 6.1. Aproximarea derivatelor funcției cu o singură variabilă prin metoda diferențelor finite
6.2. Aproximarea cu diferențe finite a derivatelor funcției cu două variabile
Pentru a calcula derivata parțială a funcției în raport cu una dintre variabile se folosesc formulele din capitolul anterior, de exemplu:
. (6.6)
Cu ajutorul acestor formule putem să calculăm și derivatele mixte. De exemplu:
(6.7)
În formula de mai sus este pasul în direcția , iar în direcția . Se presupune că lungimea pasului în ambele direcții este constantă, astfel punctele care se află la distanța și în direcțiile și formează o rețea uniformă. Coeficienții aproximării derivatelor cu diferențele finite pot fi reprezentați grafic pe această rețea, de exemplu, pentru derivata din ecuația (6.7) avem „molecula de calcul” din figura 6.1.
Fig. 6.1. Derivata mixtă de ordinul doi cu diferențe finite centrate
Formula (6.7) s-a calculat cu diferențe finite centrate, însă această aproximare nu se poate aplica în orice situație. Diferențele finite la dreapta, la stânga și centrate se pot combina liber. De exemplu, pentru derivată mixtă de ordinul trei, unde în direcția se aplică diferențele finite la dreapta și în direcția diferențe finite la stânga, obținem formula de aproximare:
(6.8)
Fig. 6.2. Aproximarea cu diferențe finite a
În figura 6.2 este reprezentată imaginea grafică a acestei ecuații (molecula de calcul), care permite o interpretare mai ușoară a calităților sale: se evidențiază vecinătățile pe care se sprijină această aproximare. Aproximarea după direcția orizontală s-a făcut cu diferențe finite la dreapta, iar aproximarea verticală cu diferențe finite la stânga.
Se poate observa, că aproximarea cu diferențe finite centrate după ambele direcții se sprijină pe valorile funcției calculate în jurul punctului de dezvoltare în serie în punctele de rețea adiacente dispuse în patru direcții, dar în cazul aproximării cu diferențe finite din partea dreapta și/sau din partea stânga, formulele conțin valorile funcției calculate numai în noduri situate în părțile respective. Astfel derivata a patra luată ca exemplu, se sprijină doar de punctele rețelei situate în al patrulea sfert. Această proprietate este utilă în cazul punctelor de rețea situate pe contur, în aproximarea derivatelor în aceste puncte.
În mod analog se pot aproxima toate derivatele care sunt necesare în rezolvarea ecuațiilor diferențiale care descriu cazul plan de deformații și de tensiuni.
Putem observa, că în cazul derivatelor mixte, coeficienții diferențelor finite care aproximează aceste derivate, pot fi obținute ca produsul coeficienților luați în cele două direcții. Acești coeficienți sunt prezentați în anexa 1.
6.3. Rezolvarea problemelor de stare plană prin metoda diferențelor finite
6.3.1. Compatibilitatea deformațiilor specifice
Să derivăm de două ori după , și după , apoi să adunăm aceste derivate:
. (6.9)
Se poate observa, că ultima paranteză este ecuația geometrică ce dă deformația unghiulară specifică, deci avem
. (6.10)
Această relație este ecuația de compatibilitate a deformațiilor lui de Saint-Vénant. Conform acestei ecuații, elementele de arie care se potrivesc fără goluri și fără suprapuneri între ele înainte de deformație, se vor potrivi fără goluri și fără suprapuneri între ele și după deformație.
6.3.2. Compatibilitatea tensiunilor
Compatibilitatea tensiunilor este dată de fapt de ecuațiile de echilibru (1.5), pe care le transcriem pentru cazul planar:
(6.11)
(la aceste ecuații trebuie să adăugăm și ecuația (1.5,d) a dualității tensiunilor tangențiale). Derivăm prima ecuație după , iar a doua după :
(6.12)
Însumăm cele două ecuații:
(6.13)
Să presupunem că și sunt direcțiile ortotropiei. Astfel în cazul plan de tensiuni sau de deformații, derivatele de gradul doi a deformațiilor specifice liniare se obțin:
(6.14)
Înlocuind acestea în ecuația de compatibilitate a deformațiilor specifice (6.10):
(6.15)
Cu aceasta expresie a derivatei mixte de gradul doi a tensiunii tangențiale, ecuația (6.13) se poate transforma în continuare:
, (6.16)
care poate fi scrisă și sub forma:
. (6.17)
În cazul stării plane de tensiune, înlocuim elementele matricei de flexibilitate din relația (1.17,a), și astfel obținem constantele
. (6.18)
În cazul stării plane de deformație, cu elementele matricei (1.20) avem:
(6.19)
Să presupunem că există o funcție (aceasta fiind funcția de tensiuni Airy), a cărei derivate parțiale de ordinul doi dau tensiunile după următoarele formule:
(6.20)
unde este potențialul forței volumice. În acest caz și . Această presupunere o demonstrăm prin înlocuirea relațiilor (6.20) în ecuația de echilibru (6.11):
(6.21)
Cu derivatele (6.20) ecuația (6.17) se poate aduce la următoarea formă:
. (6.22)
Rezolvarea numerică a ecuației (6.22), ținând cont de condițiile de contur, conduce la funcția de tensiuni Airy. Derivatele funcției Airy, conform relațiilor (6.28), dau soluția în tensiuni a problemei studiate. Cu ajutorul tensiunilor, cu ecuațiile de material se pot determina și deformațiile specifice.
6.3.3. Funcția potențial a deplasărilor când direcțiile ortotropiei coincid cu direcțiile principale
Pornind de la ideea funcției de tensiuni Airy, să presupunem, că în cazul materialelor ortotrope există o funcție , a cărei derivate parțiale dau proiecțiile deplasării în felul următor:
(6.23)
unde și sunt două constante de material, deocamdată necunoscute. Pentru a valida această presupunere, scriem deformațiile specifice cu ajutorul acestei funcții:
(6.24)
Să înlocuim acestea în ecuația de compatibilitate a deformațiilor (6.10):
(6.25)
Deci funcția noastră satisface ecuația de compatibilitate.
În continuare determinăm constantele de material, presupunând că forțele volumice sunt independente de coordonate, și axele de coordonate coincid cu direcțiile ortotropiei. Pentru aceasta transcriem ecuațiile de echilibru (6.12) cu deformațiile specifice:
(6.26)
Cu ajutorul relațiilor (68) obținem:
, (6.27,a)
. (6.27,b)
Dacă forța volumică are componente nenule în sensul ambelor direcții de coordonate, atunci problema nu se poate rezolva, deoarece nu cunoaștem nici funcția și nici constantele . În continuare să presupunem că forța volumică este direcționată în sensul (deci ). Astfel, din ecuația (6.27,a) putem determina cele două constante de material, în așa fel încât orice funcție să satisfacă aceasta ecuație. În acest caz cele două paranteze trebuie să fie egale cu zero, de unde rezultă:
. (6.28)
Funcția se obține prin rezolvarea ecuației (6.27,b), orice funcție fiind o soluție a ecuației (6.27,a). Astfel, în a doua ecuație de echilibru (6.27,b) înlocuim valorile coeficienților (6.28), ajungând la ecuația
, (6.29)
a cărei coeficienți sunt:
(6.30)
Putem observa analogia relațiilor (6.22) și (6.29), care este perfectă în cazul forțelor volumice nule.
6.3.4. Funcția potențial a deplasărilor când direcțiile ortotropiei nu coincid cu direcțiile principale
Formulele deduse în subcapitolul 6.3.3. se pot utiliza doar atunci când direcțiile ortotropiei coincid cu și . În caz contrar matricea de elasticitate nu are elemente nule, iar ecuațiile (6.26) trebuie să fie completate cu componentele ce dau interdependența deformațiilor liniare și celor unghiulare:
(6.31)
De aici
(6.32,a)
(6.32,b)
Dacă am continua calculele utilizând relațiile (6.23), atunci pentru cele două constante nu am putea găsi valori cu care orice funcție să fie rezolvarea uneia dintre ecuațiile anterioare. Deplasările trebuie să fie căutate sub forma
(6.33)
care de asemenea trebuie să satisfacă ecuațiile de compatibilitate:
(6.34,a)
(6.34,b)
Din prima ecuație determinăm coeficienții astfel încât ei să fie egali cu zero (în acest caz orice funcție este rezolvarea ecuației respective):
(6.35)
Din aceste cinci ecuații nu se pot determina șase coeficienți, de aceea una dintre valori trebuie să fie prescrisă. Prin urmare, atribuim , iar cei cinci coeficienți rămași se află prin rezolvarea sistemului de ecuații:
. (6.36)
Acest sistem de ecuații se poate rezolva numeric cu metoda de eliminare Gauss.
Exprimăm a doua ecuație de echilibru în deplasări, după care înlocuim aceste deplasări cu formulele (6.33), și în final ajungem la o ecuație de forma
, (6.37)
a cărei soluție este funcția potențial căutată de noi. Coeficienții acestei ecuații sunt următoarele:
(6.38)
6.4. Metoda diferențelor finite în problema plană
Ecuația care trebuie rezolvată este ecuația diferențială (6.37) cu derivate parțiale de ordinul patru. Această ecuație, cu coeficienții (6.38), este valabilă pentru materiale anizotrope, dacă avem forță volumică doar în direcția sau dacă nu avem forță volumică deloc.
În cazul când direcțiile ortotropiei coincid cu direcția axelor și , cu ajutorul elementelor matricei se calculează coeficienții (6.38)
Matricea trebuie considerată conform problemei plane de rezolvat. Pentru materialele ortotrope în stare plană de tensiune valoarea matricei se obține din relația (1.18) iar pentru stare plană de deformații din relația (1.19,a).
Dacă direcțiile ortotropiei nu coincid cu direcțiile axelor de coordonate, cele două matrice trebuie rotite cu unghiul corespunzător direcției ortotropiei. Astfel transformarea conduce la o matrice
, (6.39)
a cărei componente sunt date de relațiile (1.38), unde este matricea de elasticitate (1.37) dată de direcțiile ortotropiei. Unghiul este măsurat de la axa până la axa ortotropiei , în sens trigonometric (Fig. 6.3).
Deci, matricea de elasticitate, în cazul când direcțiile ortotropiei nu coincid cu direcția axelor, ca și în cazul materialelor anizotrope, conține nouă elemente diferite de zero și este simetrică.
Fig. 6.3. Direcția ortotropiei
În relațiile (6.38) prescriem
, (6.40,a)
iar ceilalți coeficienți se obțin din rezolvarea numerică a sistemului de ecuații
. (6.40,b)
În cazul în care direcțiile ortotropiei se suprapun cu axele și , atunci expresia coeficienților se simplifică și rezolvarea ecuației va fi mai simplă. Astfel, dacă unghiul este un multiplu întreg al unghiului drept, atunci coeficienții și vor fi egali cu zero și din ecuația (6.37) membri respectivi nu mai apar.
Dacă materialul este izotrop, ecuația se poate aduce la o formă, unde , , . În acest caz, dacă nu avem forțe volumice, atunci ecuația diferențială care trebuie rezolvată se reduce la o ecuație biarmonică.
Problema în cele din urmă se reduce la rezolvarea ecuației (6.37) cu diferențe finite. Dacă derivatele parțiale din ecuație se înlocuiesc cu diferențe finite centrate, atunci ajungem la molecula de calcul din figura (6.4). Astfel, în punctul de coordonate , care este punctul a rețelei pentru calculul diferențelor finite, se poate scrie următoare ecuația:
(6.41)
Pentru fiecare punct din starea plană studiată se poate formula o astfel de ecuație, În aceste ecuații apar valorile funcției valabile în punctele învecinate, astfel se formează un sistem de ecuații.
Fig. 6.4. Aproximarea cu diferențe finite a ecuației 6.37
Sistemul de ecuație, care în lipsa forțelor volumetrice este omogenă, nu se poate rezolva, deoarece pentru punctele situate pe contur nu putem aplica moleculele de calcul din figura 6.4. Pentru rezolvarea ecuației diferențiale trebuie să se scrie condițiile de contur.
Se poate observa, că în punctele din vecinătatea conturului, schema se extinde peste conturul real, astfel în ecuațiile noastre apar și puncte care de fapt nu aparțin domeniului plan analizat. Aplicând molecula de calcul numai pentru punctele din interiorul domeniului (deci nu și în cazul punctelor de pe contur), acestea formează un al doilea contur fictiv, paralel cu conturul original. Este de observat, că punctele de rețea exterioare, care se situează în diagonală opusă colțurilor convexe, nu aparțin de acest contur fictiv (Fig. 6.5).
Fig. 6.5. Conturul fictiv ce apare datorită aproximării cu diferențe finite
În interiorul regiunii, distanța între două muchii paralele trebuie să fie de cel puțin , respectiv , altfel nu putem aplica aproximația (6.41).
În momentul în care dorim să modelăm o adâncitură îngustă (tăietură, fisură), în scopul aplicării moleculei trebuie să dublăm anumite puncte ale rețelei (în aceste locuri conturul fictiv se suprapune cu conturul real) (Fig. 6.6).
Fig. 6.6. Modelarea unei crăpături
6.5. Condiții de contur sub forma deplasărilor prescrise
Pentru o aplicabilitate mai ușoară a metodei, să aproximăm conturul real cu un contur care este alcătuit din linii orizontale și verticale adaptate rețelei. În acest caz definim condițiile de contur cu proiecțiile luate după cele două axe de coordonate (direcția normală și cea tangențială coincid cu direcțiile axelor).
Proiecțiile deplasării se obțin prin derivarea funcției după formulele
(6.42,a)
și
. (6.42,b)
Dacă exprimăm derivatele parțiale din relația (6.42,a) cu diferențe centrate, ajungem la molecula de calcul din figura 6.7 și la ecuația:
(6.43)
Pentru se obține același schemă și formulă, doar indicele lui trebuie majorat cu 3 la fiecare membru.
Fig. 6.7. Aproximarea lui cu diferențe centrate
Se poate observa, dacă aplicăm molecula de calcul pentru un nod al rețelei ce se află pe contur, aceasta se va sprijini pe trei puncte care se află pe conturul fictiv. Colțurile concave nu prezintă probleme, în schimb în cazul colțurilor convexe această schemă ar include un punct care de fapt nu aparține conturului fictiv (Fig. 6.8).
Fig. 6.8. Aproximarea lui și cu diferențe centrate
În acest caz putem face două lucruri:
– 1. pentru colțurile convexe scriem ecuații suplimentare, sau
– 2. în locul aproximării cu diferențe centrate aplicăm aproximările derivatelor cu ajutorul diferențelor de dreapta și de stânga, în funcție de poziția colțului respectiv.
Prima rezolvare nu este cea mai convenabilă.
Pentru fiecare punct de pe contur se pot scrie două condiții de margine: prescriem valoarea deplasării sau a încărcării, în cele două direcții.
Fig. 6.9. Aproximarea deplasării în colțurile convexe
Pe lângă fiecare punct de pe o latură există câte un punct situat pe conturul fictiv. Numărul ecuațiilor obținute din condițiile de contur este egal cu numărul necunoscutelor care apar în punctele de pe laturi și în punctele fictive din vecinătatea acestora. Însă, lângă colțurile convexe, pe conturul fictiv apar câte două puncte.
Deci numărul ecuațiilor din condițiile de contur rezultă mai mic decât numărul necunoscutelor, având câte o ecuație lipsă în fiecare colț convex.
Al treilea punct fictiv, care s-ar situa în diagonala opusă, ar complica și mai mult situația, numărul ecuațiilor lipsă fiind de două ori numărul colțurilor convexe. Prin urmare, mai degrabă aplicăm combinațiile aproximării cu diferențe de dreapta și de stânga (Fig. 6.9). Astfel, punctul exterior învecinat în diagonală nu apare în ecuație. În figura 6.9 am indicat cu un „X” roșu locul acestui punct.
6.6. Condițiile de contur sub forma încărcării
Sarcina distribuită, ce încarcă conturul, se definește prin proiecțiile lui după direcțiile și , notate cu și . Această sarcină, în general, este descrisă de o funcție oarecare. În decursul discretizării, această funcție se înlocuiește cu o funcție treaptă: Calculăm media sarcinii în punctele rețelei, și aplicăm sarcina sub formă uniform distribuită, dacă muchia este orizontală, pe distanța față de nodul respectiv, iar dacă aceasta este verticală, atunci pe distanța . De asemenea, forțele concentrate le transformăm în forțe uniform distribuite (Fig. 6.10).
Fig. 6.10. Discretizarea sarcinii
Dacă în jurul unui punct de pe contur se decupează un element de arie, se observă că tensiunile de-a lungul conturului sunt în echilibru cu sarcinile exterioare. Considerăm încărcarea pozitivă în sensului pozitiv al axelor, iar în cazul tensiunilor normale și tangențiale se consideră că sensul pozitiv este cel convențional, reprezentat în figura 6.11. Tot pe aceasta figură sunt notate și egalitățile rezultate din condițiile de echilibru.
Fig. 6.11. Tensiunile în apropierea conturului
Aceste egalități conduc la valorile tensiunilor de pe contur, exprimate în funcție de sarcinile exterioare. Relațiile dintre tensiunile și deformațiile specifice sunt date de legea lui Hooke generalizată (ecuația 1.9), cele dintre deformațiile specifice și deplasări de ecuațiile geometrice (relațiile 1.1), iar cele dintre deplasări și funcția de formulele (6.33). Astfel obținem relația:
(6.44)
În mod similar obținem și relațiile pentru și , înlocuind primul index al elementelor cu 2, respectiv cu 3.
Pentru a rezolva problema, trebuie să transcriem ecuația (6.44) cu diferențe finite. Dacă studiem anexa 1., ajungem la concluzia, că pentru punctele de pe contur diferențele centrate ar cuprinde și puncte care nu aparțin rețelei. Deci, și în acest cazul trebuie să combinăm diferențele centrate cu cele la dreapta și la stânga. Aceste combinații, utilizabile în colțurile convexe și pe laturi, sunt prezentate în anexa 2. Această figură conține și rezolvarea aproximării doar cu diferențe centrate, pe care o putem folosi în timpul postprocesării la calcularea tensiunii pentru punctele rețelei aflate în interiorul conturului.
Exemplificăm determinarea condițiilor de contur pentru o latură verticală din stânga, în modul următor:
(6.45)
unde
(6.46)
Dacă înlocuim în mod corespunzător elementele matricei de elasticitate în relațiile (6.46), atunci obținem molecula de calcul a tensiunilor și , conducând la ecuațiile în diferențe finite a condițiilor de contur.
Putem observa, că aplicarea acestei scheme este posibilă doar atunci, când pe muchia între două colțuri convexe există cel puțin trei puncte de rețea.
Fig. 6.12. Condiții de contur incompatibile într-un colțuri convex
Scrierea condițiilor de contur sub forma sarcinii prescrise în colțurile convexe reprezintă o problemă care trebuie analizată separata. Dacă avem și încărcare tangențială (Fig. 6.12), atunci de-a lungul laturilor apar tensiunile și . Dacă și/sau direcțiile acestora nu corespund principiului dualității tensiunilor tangențiale, atunci avem o situație incompatibilă cu acest principiu. Ca să putem rezolva această problemă, trebuie să redistribuim sarcinile în aceste colțurile.
Această redistribuire este arbitrară. Dacă deplasarea colțului este liberă în ambele direcții, atunci tensiunile tangențiale se pot calcula cu media încărcărilor tangențiale:
, (6.47,a)
iar diferența dintre sarcina tangențială inițială și valoarea mediată se adună cu sarcina normală:
, (6.47,b)
. (6.47,c)
Aceasta recalculare asigură satisfacerea dualității tensiunilor tangențiale și păstrează valoarea rezultantă a sarcinii: și .
Dacă deplasarea punctului din colț este împiedicată sau prescrisă într-o direcție, atunci sarcina tangențială din punctul de rețea trebuie eliminată. Se consideră că rezemările sunt ideale, fără frecare, astfel în direcția deplasării libere nu există forță tangențială. Conform principiului dualității, în acest caz nu poate exista forță tangențială nici în direcția perpendiculară pe aceasta (Fig. 6.13). Prescrierea valorii nule a tensiunilor tangențiale este a treia ecuația care se scrie pentru aceste puncte.
Pentru colțurile convexe încărcate în ambele părți se pot scrie trei condiții luând în calcul sarcinile exterioare: prescriem valorile , și .
Fig. 6.13. Tratarea punctelor din colțurile convexe
Problema se pune, ce se întâmplă cu punctele de colț, unde am impus deplasările în ambele direcții. În practică, există două posibilități:
1. dacă măcar una dintre laturi este rezemată: a treia condiție de contur rezultă din lipsa frecării ca valoarea nulă a tensiunii tangențiale ;
2. dacă ambele laturi sunt încastrate: rotirea fiind blocată în jurul punctului din colț, putem accepta valoarea nulă a tensiunii tangențiale ().
Și punctele din colțurile concave trebuie tratate separat. Deși aici nu apare nici un punct fictiv, normala conturului nici aici nu este definită, și nici nu putem separa un element de forma unui dreptunghi a cărui echilibru l-am putea analiza. Procedura standard ar fi rotunjirea punctelor din colț, adică să completăm colțul cu un element de formă triunghiulară și să analizăm starea de echilibru a acestuia. Să fie mărimea catetelor acestui triunghi dreptunghic egală cu pasul rețelei (Fig. 6.14).
Mutăm încărcarea punctului din colț pe ipotenuză:
(6.48)
Ecuațiile de echilibru scrise pentru triunghi conduc la tensiunile de pe catete. Această problemă nu are o soluție unică, deoarece nu putem defini cele trei tensiuni din cele ecuații de echilibru scrise cu proiecțiile încărcării de pe ipotenuză. De aceea, se calculează media încărcării tangențiale după ecuația (6.47,a), care cu semnul corespunzător dă tensiunea tangențială. Diferența dintre valoarea inițială și cea medie se adună cu încărcarea normală (6.47,b și c), aceasta sumă fiind egală cu tensiunea normală.
Colțul concav nu introduce nici un punct nou pe conturul fictiv, deci este de ajuns scrierea unei singure ecuații. Pentru păstrarea simetriei, în aceste puncte definim valoarea sumei tensiunilor normale (invariantă a stării de tensiuni).
Fig. 6.14. Tratarea punctelor din colțurile concave
Dacă condiția de contur pentru punctul din colțul concav este mixtă sau definește doar proiecțiile deplasării, atunci ecuația scrisă pentru acest punct se referă la valoarea nulă a tensiunii tangențiale.
Cu cât rețeaua este mai densă, cu atât modelarea încărcărilor va fi mai exactă și aproximările făcute în punctele din colțuri vor fi avea efecte negative mai reduse.
Este de observat, că dacă pe o porțiune a conturului nu definim nici încărcarea și nici deplasarea, atunci aceasta înseamnă, că pe porțiunea respectivă este încărcată cu o forță distribuită de intensitate nulă. Deci și în cazul acesta avem condiție de contur.
6.7. Stabilirea și rezolvarea sistemului de ecuații
Problema care se definește, este rezolvarea ecuației diferențiale (6.37), cu satisfacerea condițiilor de limită. Structura este înlocuită prin discretizare cu o rețea de noduri (puncte), necesară pentru scrierea diferențelor finite. Conturul real al domeniului studiat prin această discretizare se înlocuiește cu o linie frântă, alcătuită din segmente orizontale și verticale. Fiecare punct de rețea de pe laturi introduce și un punct aflat în afara domeniului, acestea alcătuind un contur fictiv, paralel cu cel real. Colțurilor convexe îi aparțin două puncte pe conturul fictiv, însă celor concave nici una.
Presupunem că domeniul studiat este omogen, și cuprinde un număr de puncte interioare , un număr de puncte de pe laturi , un număr de colțuri convexe și un număr de colțuri concave . Atunci numărul punctelor de pe conturul fictiv este , iar domeniul este acoperit în total cu puncte.
Deplasările pe acest domeniu sunt date de funcția . Prin metoda diferențelor finite trebuie să calculăm valorile acestei funcții în punctele de rețea, în total în puncte, ceea ce înseamnă un număr de ecuații , astfel:
– ecuații, pe care le scriem în punctele interioare după schema din figura 6.4. În lipsa forțelor volumice termenul liber este zero.
– ecuații, pe care le scriem pe laturi, corespunzător condițiilor de contur valabile pe aceste laturi.
Pentru valoarea prescrisă a deplasării trebuie aplicată schema din figura 5.7. Aceasta este de fapt valabilă pentru . În cazul proiecției verticale , indicele lui din ecuația (6.43) trebuie majorat cu trei. Termenul liber este valoarea deplasării în punctul în care se scrie ecuația, în direcția considerată.
În cazul porțiunii încărcate a conturului trebuie să alegem schema corespunzătoare poziției laturii respective, din anexa 2, Aceste scheme aproximează de fapt tensiunile. Coeficienții din aceste scheme se determină conform ecuațiilor (6.44) și (6.46). Termenul liber este valoarea încărcării, cu semnul corespunzător poziției laturii și sensului încărcării (figura 6.11).
– ecuații, pe care le scriem pentru colțurile convexe.
Dacă în colțul convex prescriem doar încărcarea, atunci din anexa 2. aplicăm schema conform poziției colțului respectiv. Încărcările, dacă componentele tangențiale nu satisfac principiul dualității tensiunilor tangențiale, se recalculează cu ecuațiile (6.45). Și în acest caz termenul liber este valoarea încărcării cu semnul corespunzător.
Dacă în colțul convex prescriem deplasarea în ambele direcții, atunci trebuie să alegem cea corespunzătoare dintre schemele din figura 6.9, termenul liber fiind valoarea deplasării. A treia condiție este dată de valoarea zero a tensiunii tangențiale.
Dacă în colț prescriem condiții de contur mixte, atunci aplicăm ecuațiile precedente: o ecuație pentru deplasarea prescrisă, o ecuația pentru tensiunea normală pe latura încărcată, și o ecuația pentru tensiunea tangențială nulă.
– ecuații, pe care le scriem pentru colțurile concave.
Dacă în colțul concav este prescrisă încărcarea în ambele direcții, pentru aproximarea și alegem schema corespunzătoare punctelor interioare din anexa 2, iar ecuația scrisă va fi cea scrisă pentru suma lor. Termenul liber va fi suma încărcărilor, cu semnul corespunzător.
Dacă condițiile de contur în colțul convex se referă la deplasări sau avem condiții de contur mixte, atunci ecuația scrisă se va referi la valoarea zero a tensiunii tangențiale, conform schemei din anexa 2.
În acest mod obținem un sistem de ecuații liniare, unde necunoscutele sunt valorile funcției în punctele de rețea. Numărul necunoscutelor este egal cu numărul ecuațiilor scrise, fiind egal numărul punctelor rețelei (inclusiv punctele de pe conturul fictiv).
Se notează sistemul de ecuații cu:
. (6.49)
Rezolvarea din punct de vedere matematic este simplă: trebuie calculată inversa matricei coeficienților pe care îl înmulțim cu vectorul termenelor liberi:
. (6.50)
Pentru rezolvarea ecuației (6.49) o metodă de calcul ar fi algoritmul de eliminare Gauss.
Din schemele cu diferențele finite putem observa, că matricea nu este simetrică din cauza aproximărilor necentrate de pe contur, deci nu putem aplica procedurile bazate pe simetria matricei coeficienților, folosite în metoda elementului finit.
6.8. Postprocesarea
Rezolvarea sistemului de ecuații (6.49) conduce la valorile funcției . Cu aceste valori, utilizând schemele din figura 6.7 și 6.9, putem calcula deplasările și . Efectuarea acestor calcule în punctele de pe contur cu condițiile de margine sub forma deplasărilor prescrise este inutilă.
Pentru calcularea tensiunilor folosim schemele din anexa 2, iar pentru determinarea deformațiilor specifice, ecuațiile de material prin înlocuirea deformațiilor specifice, ori aproximările derivatelor din ecuațiile geometrice diferențelor finite cu ajutorul valorilor funcției :
(6.51)
Pentru determinarea putem folosi schemele din anexa 3, iar pentru schemele din anexa 4. Pentru tensiunile se poate folosi schema din anexa 2, unde trebuie utilizați coeficienții
(6.52)
În punctele fictive aceste calcule nu trebuie efectuate.
6.9. Criterii energetice
Teorema minimului energiei potențiale totale indică faptul că din mulțimea tuturor deformațiilor compatibile cu legăturile, cea care corespunde echilibrului conduce la valoarea minimă a energiei potențiale totale.
Expresia energiei potențiale totale este [138]
(6.53)
în care este energia potențială de deformație, iar este lucrul mecanic al forțelor exterioare.
Pentru cazul problemei plane, utilizând relațiile lui Hooke (1.9) și relațiile deformațiilor specifice în funcție de deplasări, energia potențială de deformație are forma
(6.54)
unde s-a notat
Lucrul mecanic al forțelor exterioare, în cazul unui sistem de forțe concentrate în puncte discrete este dată de expresia
(6.55)
Dacă se consideră o rețea dreptunghiulară și se consideră parametri fundamentali deplasările la fiecare nod, rezultă că în raport cu acești parametrii mărimea poate avea diverse valori. Mărimile și , care conduc la valoarea minimă a funcției , se vor apropia cel mai mult de situația de echilibru și prin urmare de situația reală.
Condițiile pentru obținerea acestui minim sunt
(6.56)
Pentru se obține un sistem de ecuații cu tot atâtea necunoscute, acestea fiind deplasările nodurilor .
Dacă se consideră un dreptunghi al rețelei din figura 6.15, exprimând în diferențe finite derivatele parțiale din relația (6.54) pe laturile 1-2, 3-4, 1-4 și 3-2 se obține
(6.57)
Fig. 6.15. Celulă de calcul
Pentru un punct curent, prin interpolări liniare, între relațiile (6.57) se obține următoarele ecuații
(6.58,a)
(6.58,b)
(6.58,c)
Coeficienții acestor ecuații sunt următoarele:
(6.59,a)
(6.59,b)
(6.59,c)
Când se consideră tot ansamblul realizat din dreptunghiurile adiacente, energia potențială va fi compusă din suma energiilor fiecărui element component.
Considerând matricea cu derivatele funcțiilor aproximative, relația între deformațiile specifice și deplasările nodale poate fi scris sub forma
(6.60)
unde s-a notat
(6.61)
Transponata ecuație (6.60) va fi
(6.62)
Înlocuind ecuațiile (6.60) și (6.62) în relația (6.54), va avea forma
, (6.63)
unde s-a notat cu
(6.64)
Expresia energiei potențiale totale din relația (6.53) devine
(6.65)
Astfel, limitând operațiile din relațiile (6.56) la dreptunghiul din figura 6.15, se obțin 8 ecuații liniare în :
(6.66)
unde s-a notat cu
(6.67)
Din relația (6.65) rezultă
(6.68)
unde
(6.69)
În relațiile 6.68 vectorul conține proiecțiile deplasărilor punctelor nodale aparținând unei celule de calcul din figura 6.15, iar conține proiecțiile forțelor concentrate în aceste noduri. Matricea este de fapt „matricea de rigiditate” a acestei celule. Mărimile reprezintă forțele exterioare presupuse concentrate la noduri și orientate în sensul pozitiv al axelor.
Energia potențială fiind o cantitate aditivă, aceasta se obține prin însumarea contribuțiilor calculate cu formula 6.65, iar ecuația de echilibru se obține prin „însumarea” ecuațiilor 6.68:
. (6.70)
Vectorii și conțin proiecțiile definite în totalitatea punctelor rețelei de diferențe finite, iar matricea se poate considera ca fiind „matricea de rigiditate” a structurii studiate. Această matrice se obține din matricele , prin procedura de asamblare cunoscută din Metoda Elementelor Finite.
Matricea este simetrică față de diagonală principală, deci prin urmare și matricea rezultă simetrică. Având în vedere semnificația fizică a matricei , rezultă că are proprietățile matricei de rigiditate, cunoscută din Metoda Elementului Finit. Prin urmare sistemul de ecuații 6.70 se poate rezolva prin proceduri numerice cunoscute din Metoda Elementului Finit.
Integrala din relația 6.67 se poate calcula prin formulele Newton-Cotes.
(6.71)
în care
și (6.72)
Rezolvând ecuația (6.64), obținem un polinom de gradul doi, pentru care la interpolarea exactă este suficient să definim două puncte [66]. În relațiile (6.71) și (6.72), conform tabelului cu ponderile și punctele de bază ale cuadraturii Gauss-Legendre, pentru valorile ponderilor corespunzătoare este , și punctelor de bază .
6.10. Concluzii
În acest capitol s-a prezentat o metodă de calcul cu diferențe finite pentru integrarea ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope.
Așa cum s-a arătat în lucrare, problema plană poate fi formulată în tensiuni, ajungându-se la funcția Airy, a cărei derivate parțiale de ordinul doi descriu câmpul de tensiuni. Cu ajutorul tensiunilor și cu ecuațiile de material se pot determina deformațiile specifice.
Dezavantajul utilizării funcției Airy este că toate condițiile de contur trebuie să fie date în tensiuni, deoarece deplasările nu pot fi exprimate în mod direct.
Prin analogie cu funcția Airy, s-a utilizat o „funcție potențial” al deplasărilor, care a făcut posibilă scrierea condițiilor de contur mixte. Derivatele parțiale acestei funcții dau deplasările în direcția axelor de coordonate. Derivatele deplasărilor, adică derivatele de ordin superior a funcției deplasărilor dau deformațiile specifice, iar prin utilizarea ecuațiilor de material, aceste derivate de ordin superior vor conduce la câmpul de tensiuni. Prin urmare devine posibilă scrierea condițiilor de contur sub forma tensiunilor prescrise (încărcării distribuite pe contur), existând o relație directă (ecuații diferențiale) între deplasări și tensiuni. Aceste relații se aproximează cu diferențe finite.
În aproximarea cu diferențe finite conturul real s-a înlocuit cu un contur alcătuit din linii drepte orizontale și verticale, iar condițiile de margine sub forma încărcării prescrise au condus la niște relații de echivalență între sarcini și tensiuni.
S-a tratat separat punctele din colțurile concave și convexe și s-a propus rezolvarea problemei când condițiile de contur se referau la deplasările prescrise, respectiv când condițiile de contur constau sub forma încărcării.
S-a evidențiat faptul că, cu cât rețeaua este mai densă, cu atât modelarea încărcărilor va fi mai exactă și aproximările făcute în punctele din colțuri vor fi avea efecte negative mai reduse.
La modelarea materialelor ortotrope prin metoda diferențelor finite s-a prezentat și procedeul bazat pe criterii energetice. Pornind de la valorile deplasărilor la fiecare nod de pe o rețea dreptunghiulară se calculează energia potențială, iar când se consideră un ansamblu realizat din dreptunghiurile adiacente, energia potențială este compusă din suma energiilor fiecărui element component.
CAPITOL 7
REZULTATELE MODELĂRII NUMERICE PROPRII
7.1 Modelul numeric propus
Rezolvarea prin integrarea ecuației diferențiale a unor probleme din Teoria elasticității care au în formulare ecuații cu derivate parțiale nu poate fi obținută prin soluții analitice datorită formei conturului, modului de încărcare, condițiilor de contur, ș.a. Astfel de probleme, care rezultă din aceste aproximări, îl constituie problemele de stare plană (starea de deformație plană și starea de tensiune plană).
Pentru calculele inginerești este de ajuns dacă în locul exprimării analitice se pot determina valorile numerice ale mărimilor care caracterizează materialul supus unei solicitări.
Dacă aceste valori se pot determina cu un grad de precizie satisfăcător printr-un procedeu de calcul, acestea pot înlocui soluția analitică din problema studiată.
Ținând cont de acest aspect a condus la ideea studierii detaliate a posibilității modelării materialelor ortotrope prin metoda diferențelor finite, fiind o metodă de calcul care prin integrarea ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale descrie starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope. Esența metodei constă în introducerea funcției de tensiune Airy, a cărei derivate parțiale de ordinul doi descriu câmpul de tensiuni și a „funcției potențial” al deplasărilor, a cărei derivate parțiale dau deplasările în direcția axelor de coordonate. Astfel devine posibilă scrierea condițiilor de contur sub forma tensiunilor prescrise (încărcării distribuite pe contur), existând o relație directă (ecuații diferențiale) între deplasări și tensiuni.
Așa cum s-a arătat în capitolul anterior, metoda diferențelor finite constă în transcrierea ecuațiilor fundamentale ale Teoriei Elasticității în formă algebrică de diferențe finite.
S-a constatat însă, că algoritmul de eliminare Gauss în timpul eliminării succesive a necunoscutelor prin rotunjirea rezultatelor conduce la rezultate posibil eronate.
Acest fapt a condus la examinarea unei alte alternative de rezolvare numerică, plecând de la criterii energetice.
După cum s-a arătat în capitolul 5. între modulele de elasticitate poate fi dedus a relație de forma
, (6.73)
din care rezultă că ecuația 6.70 poate fi scris sub forma
. (6.74)
Deoarece valoarea unghiului nu se cunoaște dinainte, s-a propus o rezolvare iterativă în care ca punct de pornire s-a considerat .
Se cunosc valorile și determinate prin măsurători, valori cu care s-a calculat matricea de elasticitate . Cunoscând matricea se determină matricea din ecuația (6.64), și prin urmare matricea de rigiditate din ecuația (6.70). Cu ajutorul matricelor de rigiditate determinate pe o celulă de calcul se asamblează matricea de rigiditate .
Astfel se ajunge la rezolvarea ecuației (6.70), din care rezultă vectorul deplasărilor . Cu ajutorul deplasărilor nodale, cu formulele (6.60) se calculează valorile deformațiilor specifice .
Ecuația (6.60) este valabilă doar pentru o celulă de calcul. Prin urmare, pentru un nod al rețelei se obțin mai multe valori, aparținând celulelor adiacente nodului considerat. Acceptăm ca valoare a deformațiilor specifice cea obținută ca medie aritmetică a celor calculate în aceste celule.
Cu relația lui Hooke (1.19), cu ajutorul deformațiilor specifice se calculează valoarea tensiunilor , a tensiunilor principale și al unghiului direcției principale 1 notată cu , față de direcția principală elastică longitudinală, în fiecare nod al rețelei. Și de data aceasta tensiunea este calculată ca o valoare medie peste celulele adiacente nodului, fiindcă valoarea coeficienților elastici poate diferi de la o celulă la alta.
Acest proces iterativ se repetă până la
, (6.75)
unde este o toleranță convenabilă aleasă, care se compară cu valoarea maximă a variației unghiului în nodurile rețelei, calculată cu ajutorul unghiurilor obținute din pasul anterior.
Procesul iterativ este neliniar, deoarece valoarea coeficienților elastici () se recalculează la fiecare pas, în funcție de unghiul de la pasul anterior.
7.2. Rezultate preliminare obținute prin modelul numeric propus
Pentru efectuarea calculelor prin modelul numeric se folosesc datele obținute din măsurătorile pe epruvete pătrate cu latura 55mm, care s-au decupat din epruvetele circulare prezentate în capitolul 4.
La decupare s-a ținut cont, ca fiecare piesă obținută să aibă două dintre laturi paralele și celelalte două perpendiculare cu fibrele lemnului (Fig. 7.1).
Mostrele obținute astfel au fost supuse la compresiune perpendiculară pe fibre, după care la compresiune paralelă cu fibre.
Aplicând forțe de 50N, 100N, …500N (din 50N în 50N) s-au efectuat măsurătorile și s-au determinat caracteristicele mecanice ale materialului, parametrii folosiți în metoda elementului finit în vederea determinării valorii tensiunilor.
În figurile de mai jos sunt prezentate rezultatele modelării prin metoda elementului finit, pe lemnul de brad supusă la compresiune perpendiculară pe fibre.
Fig.7.2. Tensiunea normală
Fig.7.3. Tensiunea normală
Fig.7.4. Tensiunea tangențială
Fig.7.5. Deplasarea în lungul axei
Fig.7.6. Deplasarea în lungul axei
În figurile de mai jos sunt prezentate rezultatele modelării prin metoda elementului finit, pe lemnul de brad rotit cu 450.
Fig.7.7. Tensiunea normală
Fig.7.8. Tensiunea normală
Fig.7.9. Tensiunea tangențială
Fig.7.10. Deplasarea în lungul axei
Fig.7.10. Deplasarea în lungul axei
În continuare sunt prezentate rezultatele calculelor pe două tipuri de lemn, unul fiind de esență tare (fag), iar celălalt fiind de esență moale (brad).
Tabelul 7.1 conține calculele pentru lemnul de fag cu direcția forței aplicate la față de direcția fibrelor.
Tabel 7.1.
Tabelul 7.2 conține calculele pentru lemnul de brad cu direcția forței aplicate la față de direcția fibrelor.
Tabel 7.2.
7.3. Concluzii
Metoda de calcul cu diferențe finite pentru integrarea ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune prezintă un neajuns al modelării, deoarece algoritmul de eliminare Gauss în timpul eliminării succesive a necunoscutelor, prin rotunjirea rezultatelor, conduce la rezultate posibil eronate.
Acest fapt a condus la examinarea unei alte alternative de rezolvare numerică, plecând de la criterii energetice. De fapt, metoda diferențelor finite este aplicată numai ca punct de plecare pentru descrierea câmpurilor de deplasări, fără a se mai face apel la ecuațiile Teoriei Elasticității. Din acest punct de vedere procedeul este legat mai degrabă de Metoda Elementelor Finite.
Astfel, în acest capitol s-a dezvoltat o metoda de calcul cu diferențe finite bazată pe criterii energetice în sensul aplicării unei proceduri de calcul neliniar-iterativ pentru modelarea comportării materialelor ortotrope, la care parametrii elastici variază în funcție de direcția solicitării.
Modelul numeric de calcul a fost validat prin compararea rezultatelor obținute pe cale experimentală. Această procedură se poate aplica și prin metoda diferențelor finite.
CAPITOL 8
CONCLUZII FINALE
După cum s-a menționat, unul dintre factorii care influențează elasticitatea lemnului este unghiul de deviere al fibrelor în raport cu direcție forțelor deformante. Cercetările experimentale în determinarea modului de elasticitate s-au axat mai mult pe încercarea la compresiune care are loc paralel cu fibrele sau perpendicular pe fibre (radial și tangențial). La materialele ortotrope însă, cum este și lemnul, proprietățile mecanice în alte direcții de orientare decât cele principale sunt cu totul diferite.
Cercetările în prezent se orientează spre determinarea într-un mod cât mai precis a acestor caracteristici la diferite specii de lemn.
Se cunoaște faptul, că variația acestor mărimi se calculează pe baza unor relații empirice, ținând cont de unghiul de inclinare al noilor direcții față de cele principale. Cu modificarea acestor mărimi se transformă și direcțiile principale ale tensiunilor și deformațiilor specifice, astfel legea lui Hooke sub forma liniară nu mai este valabilă, și legea constitutivă ar trebui să fie descris cu o relație de tip , unde reprezintă caracteristicele de material în diferite direcții ale ortotropiei și este unghiul între direcția principală și direcția de solicitare.
În modelul propus, legea constitutivă se descrie sub forma , deci se menține forma liniarizată a relației. În această idee, se introduce un factor de corecție pentru valorile tensiunilor determinate experimental.
În determinarea cât mai exactă pe cale experimentală a caracteristicilor mecanice ale materialelor ortotrope pe bază de lemn au fost utilizate două metode de investigare: metoda TER și metoda DIC. Pentru metodologia de investigare DIC a fost elaborat un program de concepție proprie, cu care au devenit posibile efectuarea unor teste pentru verificarea și validarea măsurătorilor prin TER.
A fost conceput și realizat un stand de încercare destinat monitorizării deformațiilor epruvetelor solicitate la compresiune. În cercetările experimenatle s-au folosit epruvete din diferite specii lemnoase având forma unui disc cu diametrul de și grosimea de . În conceperea standului s-a ținut cont ca să se poată efectua analize simultane cu cele două metode de investigare, iar în algerea tipului de epruvetă s-a ținut cont ca pe același specimen să se poate efectua analize multiple.
Metoda numerică propusă în modelarea materialelor ortotrope a fost metoda diferențelor finite. Astfel a fost prezentată o metodă de calcul cu diferențe finite pentru integrarea ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope. Problema plană este formulată în tensiuni, ajungându-se la funcția Airy, a cărei derivate parțiale de ordinul doi descriu câmpul de tensiuni. Cu ajutorul tensiunilor și cu ecuațiile de material se determină deformațiile specifice. Prin analogie cu funcția Airy, s-a utilizat o „funcție potențial” a deplasărilor, care face posibilă scrierea condițiilor de contur mixte. Derivatele parțiale ale acestei funcții dau deplasările în direcția axelor de coordonate. Derivatele deplasărilor dau deformațiile specifice, iar prin utilizarea ecuațiilor de material, aceste derivate de ordin superior conduc la câmpul de tensiuni. Astfel devine posibilă scrierea condițiilor de contur sub forma tensiunilor prescrise, existând o relație directă între deplasări și tensiuni, care se aproximează cu diferențe finite.
Deoarece algoritmul de eliminare Gauss în timpul eliminării succesive a necunoscutelor prin rotunjirea rezultatelor a condus la rezultate posibil eronate, a fost prezentată o alternativă de rezolvare numerică, aceasta bazându-se pe criterii energetice.
Validarea modelului numeric propus a fost realizată prin compararea rezultatelor obținute pe cale experimentală.
CAPITOL 9
CONTRIBUȚII LA PROBLEMATICA ABORDATĂ
Teza de doctorat „Contribuții la determinarea, prin metode nedestructive, a caracteristicelor mecanice la materialele ortotrope” îmbină domeniul măsurătorilor nedistructive cu specificul modelării numerice prin utilizarea unor programe speciale în domeniul ingineriei pentru prelucrarea informațiilor, utilizarea de ecuații și programarea de algoritmi, având drept scop îmbunătățirea procesului de determinare a caracteristicilor, care descriu comportarea unui material ortotrop. În cadrul acestei teze se pot menționa următoarele contribuții originale:
Prin investigațiile teoretice și experimentale efectuate, a fost concepută și realizată o instalație experimentală simplă pentru evaluarea deformațiilor epruvetelor de lemn masiv sub formă de disc.
În vederea evaluării câmpului de deplasare a fost creat și elaborat un program bazat pe metoda corelării digitale a imaginilor.
A fost elaborată o procedură de calcul a coeficienților elastici în cazul când direcția încărcării nu coincide cu direcția ortotropiei. Acești coeficienți elastici se definesc prin niște funcții de corecție obținute experimental.
A fost elaborată o metodă de calcul cu diferențe finite pentru integrarea ecuațiilor diferențiale cu derivate parțiale care descriu starea plană de deplasare sau de tensiune a materialelor ortotrope, prin definirea unei „funcții potențial” a deplasărilor. Această metodă face posibilă scrierea condițiilor de contur mixte, însă este greu de aplicat când parametrii elastici variază pe secțiuni.
A fost elaborată o altă metodă de calcul cu diferențe finite, bazată pe criterii energetice, care simplifică scrierea condițiilor de contur mixte, și care se poate aplica pentru secțiuni neomogene.
Metoda de calcul cu diferențe finite de la punctul anterior a fost dezvoltată în sensul aplicării unei proceduri de calcul neliniar iterativ pentru modelarea comportării materialelor ortotrope la care parametrii elastici variază în funcție de direcția solicitării. Această procedură se poate aplica și prin metoda elementelor finite.
Modelul numeric de calcul a fost validat prin compararea rezultatelor obținute pe cale experimentală.
Studiile efectuate s-au concentrat asupra lemnului de diferite esențe, însă rezultatele obținute și modelul numeric dezvoltat se poate extinde și asupra materialelor cu ortotropie structurală (materiale compozite).
Cercetările științifice efectuate asupra temei și domeniilor adiacente ei s-au materializat prin rezultate valorificate printr-un număr de 18 lucrări publicate în reviste de specialitate.
CAPITOL 10
PERSPECTIVELE DE UTILIZARE
ALE REZULTATELOR OBȚINUTE
În mecanica lemnului numeroase studii experimentale sunt axate pe determinarea proprietatilor elastice și de rezistență. Cu toate acestea, deși lemnul este un material ortotrop, experimentele efectuate pe direcția longitudinale sunt mult mai numeroase decât cele pe alte direcții principale. După cum s-a mai menționat, acest lucru se datorează faptului că direcția L este direcția preferențială în designul structural, deoarece proprietățile materialului de rezistență și de rigiditate sunt aproximativ cu un ordin de mărime mai mare în direcția longitudinală a fibrelor decât cele transversale. Informații cu privire la comportamentul elastic al materialelor ortotrope în alte direcții decât cele longitudinale sunt destul de rare în literatura de specialitate.
În acest sens, dintre direcțiile de cercetare ce vor fi abordate în viitor, se pot menționa:
extinderea cercetărilor prezentate în teza de doctorat în vederea evaluării efectului rotirii direcției de aplicare a forței față de direcția fibrelor asupra mărimii caracteristicelor mecanice și pe direcția radială și tangențială ;
extinderea studiului în cercetări cu metode experimentale nedistructive prin dezvoltarea programului propriu bazat pe corelarea digitală a imaginii în vederea obținerii unor deplasări spațiale;
extinderea studiului experimentale și a simulării numerice în cazul materialelor cu ortotropie structurală (compozite);
introducerea procedurii iterative nelineare în metoda elementelor finite.
BIBLIOGRAFIE
BIBLIOGRAFIE
Copyright Notice
© Licențiada.org respectă drepturile de proprietate intelectuală și așteaptă ca toți utilizatorii să facă același lucru. Dacă consideri că un conținut de pe site încalcă drepturile tale de autor, te rugăm să trimiți o notificare DMCA.
Acest articol: Cercetari Experimentale Privind Determinarea Caracteristicilor Mecanice Prin Metode Nedistructive la Materialele Ortotrope (ID: 111439)
Dacă considerați că acest conținut vă încalcă drepturile de autor, vă rugăm să depuneți o cerere pe pagina noastră Copyright Takedown.