CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE FACULTATEA DE ȘTIINȚE SPECIALIZAREA MATEMATICĂ -INFORMATICĂ Integrarea numerică LUCRARE DE LICEN ȚĂ Absolvent:… [602665]

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DIN
CLUJ-NAPOCA
CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
SPECIALIZAREA MATEMATICĂ -INFORMATICĂ
Integrarea numerică
LUCRARE DE LICEN ȚĂ

Absolvent: [anonimizat]:
Lector univ. dr. MARIUS HELJIU

Baia Mare
2018

Integrarea numerică

2

Integrarea numerică

3
Cuprins
Introducere…………………………………. …………………………………………… …………………..4
Cap. 1 Integrarea numerică a funcțiilor……………………………… ……………7
1.1 Considerații asupra formei integralei de c alculate.……………….……7
1.2 Formula de cuadratură și problemele legate de ea……………………..8
1.3 Eroarea formulei de cuadratură. Conver gența procesului de
cuadratură…………………………………………………………………..11
Cap. 2. Formule de cuadratură de tip interpolator … …………………………..14
2.1 Privire generală……………… ………………………… ………………….14
2.2 Formule de cuadratură cu noduri echidistante…… …………………18
2.3 Cazuri particulare ale formulei Newton – Cotes ……………………..21
2.4 Aplicații. Exemple ………………………………………………….…..29
Cap. 3. Formule de cuadratură cu cel mai mare grad de exactitate algebrică.33
3.1 Noțiuni și teoreme de bază …………………………………………… …33
3.2 Formula de cuadratură a lui Gauss ………………….…… …………….41
3.3 Alte formule de cuadratură cu grad maxim de ex actitate algebrică.47
3.4Aplicații. Exemple …………………………………………………….…53
Cap. 4. Unele considerații privind convergența form ulelor de cuadratură..…60
4.1 Convergența procesului general de cuadratură … …………………….61
4.2 Despre convergența formulelor de cuadratură de tip interpolator…66
Bibliografie ……………………………….. …………………………………………… ……………………71

Integrarea numerică

4

Introducere

Integrarea numerică a funcțiilor are ca obiectiv pr incipal aproximarea
valorilor integralelor definite, folosind informați i numerice relative la funcția
care se integrează, precum și informații globale p rivind comportamentul
funcției integrate.
Această lucrare este structurată pe patru capitole.
În primul capitol se face o privire de ansamblu privind: forma integr alei
de calculat; formula de cuadratură și problemele le gate de ea ; simplificarea
calculelor ; eroarea formulei de cuadratură și conv ergența procesului de
cuadratură ; rolul funcției pondere în formarea f ormulei de cuadratură ([2],
[4],[9],[11], [12], [13] [14]).
În capitolul al doilea se abordează formulele de cuadratură de tip
interpolator care se obțin integrând membru cu memb ru formula de
interpolare a funcției f cu nodurile xi(simple sau cu ordine de multiplicitate
date). În cazul funcțiilor f mărginite și integrabile pe un interval [ a,b] restul
formulei de cuadratură se exprimă cu ajutorul difer enței divizate de ordinul n,
f(x1,x2,…, xn, x), iar pentru funcțiile f∊Cn[a,b] cu ajutorul derivatei de ordinul n,

Integrarea numerică

5

!, etc. Privind formulele de cuadratură cu noduri echi distante se studiază
formulele lui Newton – Cotes în general și apoi cât eva cazuri particulare
(formula trapezelor ( n = 1), formula lui Simpson ( n = 2). Pentru evaluarea erorii
se deduce și regula lui Runge (metoda calculului du blu). Capitolul se încheie
cu două aplicații care pun în evidență posibilitate a nelimitată de obținere a
unor inegalități cu ajutorul formulelor de cuadratu ră și cu un exemplu la care
se aplică regula lui Runge. ([1],[5],[6],[10], [11] , [12], [13] [14]).
În capitolul al treilea se studiază formulele de cuadratură cu grad
maxim de precizie algebrică. Se enunță și se demons trează teoreme care conțin
condiții necesare și suficiente pentru ca formula d e cuadratură
1

 b n
i i
i ap x f x dx A f x
=≈∑ ∫ să fie exactă pentru toate polinoamele de grad 2 n
– 1. După considerațiile generale se trece la preze ntarea formulei de cuadratură
a lui Gauss, formulă cu ponderea constantă ( p(x) = 1), care se bazează pe
sistemul de polinoame ortogonale Legendre. Această prezentare este urmată
de un exemplu care ilustrează precizia foarte bună a acestei metode, chiar
pentru un număr mic n. Se expun apoi formule de cuadratură cu ponderea
Jacobi, Cebîșev, Laguerre, Hermite. Capitolul se în cheie cu două proprietăți
privind obținerea unor inegalități (egalități) cu a jutorul formulelor de
cuadratură cu ponderea Cebîșev și Hermite, dându-se aplicații privind aceste
proprietăți precum și două exemple de calcul.
([1],[3],[4],[5],|7],[8],[9],[13],[14]).

Integrarea numerică

6
În capitolul al patrulea se fac unele considerații privind convergența
formulelor de cuadratură către valoarea exactă a in tegralei. Referitor la
convergența formulelor de tip interpolator se expun cele mai simple teoreme
care conțin condiții suficiente de convergență, fre cvent utilizate în practică și
care se bazează pe rezultatele obținute la teoria i nterpolării funcțiilor (cazul
când procesul de interpolare converge uniform către funcția f; cazul
coeficienților pozitivi; cazul când intervalul [ a,b] este mărginit, funcția pondere
este pozitivă, iar formula de cuadratură are, pentr u orice n, gradul de exactitate
2n – 1). ([9],[10],[11])

Integrarea numerică

7

Capitolul I
Integrarea numerică a funcțiilor

1.1 Considerații asupra formei integralei de
calculat

Fie [a,b ] un interval al axei reale F
x o funcție integrabilă pe [a,b ]. Se
pune problema de a determina valoarea aproximativă a integralei ∫b
adxxF 

cunoscând n valori F
x i ale funcției F în punctele xi , n i ,1= . Multe formule de
aproximare a valorii unei astfel de integrale se ba zează pe înlocuirea funcției F
pe întreg intervalul (sau numai pe anumite părți al e acestuia) printr-o funcție ϕ,
care aproximează pe F, ușor de integrat și care ia aceleași valori în pu nctele xi,
F
xi = ϕ
xi, i = n,1. O astfel de funcție ϕ poate fi un polinom algebric, o
funcție rațională, un polinom trigonometric, un pol inom generalizat, etc., în
legătură cu problema de rezolvat. Aceste funcții ϕ sunt analitice și posedă
multe transformări netede.
Intervalul fiind mărginit, dacă funcția F are derivate continue de ordin
mai mare, atunci se poate determina ușor polinomul sau funcția rațională ϕ
care aproximează pe F sub o formă relativ simplă. Dacă funcția F sau unele din

Integrarea numerică

8
primele ei derivate au anumite singularități atunci aproximarea lui F este
dificilă sau imposibilă. În acest caz se procedează la separarea acestor
singularități cu ajutorul scrierii lui F(x) sub forma produsului F
x = p
xf
x,
unde p
x are aceleași singularități ca și F
x, iar f
x este suficient de netedă pe
[a,b ] și integrala se scrie
∫b
adxxfxp 

(1.1.1)

Funcția p
x se numește funcția pondere. În procesul de constr uire a
algoritmului de calcul aproximativ al integralei (1 .1.1) funcția p
x se consideră
fixată, aceeași pentru funcțiile F
x cu aceleași singularități.

1.2. Formula de cuadratură și problemele legate
de ea

Pentru integrala (1.1.1) se construiește formula d e calcul aproximativ de
forma


 ≈  !
!"
!#$%
&, ! ∈[(, )]
1.2.1
numită formulă de cuadratură (aproximativă). Membru l drept se numește
suma de cuadratură, Ai coeficienții, xi nodurile formulei de cuadratură.
Formula (1.2.1) are 2 n + 1 parametrii: n, Ai, xi, 1, i n = , care se aleg astfel încât
formula de cuadratură (1.2.1) cel mai bun rezultat posibil pentru integrarea
clasei alese de funcții f.

Integrarea numerică

9
Semnificația parametrului n este evidentă: cu cât n este mai mare cu atât
este mai mare numărul termenilor sumei de cuadratur ă și cu atât mai mare
precizia care se poate atinge în alegerea parametri lor Ai și xi . De aceea, la
construcția formulei de cuadratură, numărul n se consideră important
îndeosebi pentru alegerea parametrilor Ai și xi. Observăm totodată, că acești
parametrii nu sunt întotdeauna arbitrari, în multe formule valorile xi sunt date
în tabel. În cele ce urmează considerăm Ai și xi arbitrare. Alegerea lor corectă
are ca scop:
10 Creșterea gradului de precizie . Fie sistemul liniar independent de
funcții {uk
x} k = 0,1,2 ,…, astfel încât produsul p
xuk
xsă fie absolut
integrabil pe [ a,b ].
Fie F o familie de funcții f. Aproximăm funcția f cu ajutorul combinației
liniare
2"
=  ( 343
."
3#5
Ca măsură a aproximării funcției f de sn luăm
7
, 2 "=|
 − 2 "|%
&
Definiția 1.2.1. Sistemul { uk
x}, k = 0,1,2,3,… se numește complet în
mulțimea F, dacă pentru orice ε> 0 există o combinație liniară sn
x, astfel încât
q
f,s n < ε.
Dacă sistemul { uk
x} are proprietatea de completitudine, atunci din
inegalitatea
< %
&−2" %
&<≤|
 − 2 "| = 7
,%
&2" < >

Integrarea numerică

10
rezultă, că integrala (1.2.1) poate fi calculată cu orice precizie prin înlocuirea
funcției f prin combinația liniară sn
x, formată prin alegerea potrivită a
numărului n și a coeficienților (3, k = n,0. Aceasta ne permite să ne așteptăm,
că dacă este posibilă integrarea exactă a funcțiilo r uk
x, atunci putem să
obținem rezultat foarte bun la integrarea fiecărei funcții f din clasa F.
Definiția 1.2.2. Spunem că formula de cuadratură (1.2.1) are gradu l de
exactitate m dacă ea este exactă pentru funcțiile uk
x, k = 0,1,2,…, m:

43
 =  !43
!, A = 0,1,2, … , B"
!#$%
&
și nu este exactă pentru um+1
x.
Ne putem aștepta ca, prin alegerea nodurilor xi și a coeficienților Ai să
crească gradul de precizie a formulei de cuadratură (1.2.1). Astfel de formule
de cuadratură a studiat pentru prima dată Gauss, el e numindu-se formule de
tip Gauss sau formule cu cel mai înalt grad de exac titate. Deoarece numărul
parametrilor Ai și xi , i = n,1 este 2n formula (1.2.1) poate avea gradul de
precizie 2 n – 1, cel mai mare posibil.
20 Minimizarea erorii . Restul formulei de cuadratură (1.2.1) este:
D "
= −%
& !
!"
!#$= −%
&E"

1.2.2
Pentru mărimea care caracterizează precizia formu lei pe mulțimea F a
funcțiilor f se poate lua marginea superioară absolută a lui Rn
fsup |Rn
f| = M
A1, A 2, …, A n; x 1,x 2,…x n
care depinde de alegerea nodurilor xi , coeficienților Ai care pot fi astfel aleși
încât M să aibă cea mai mică valoare posibilă. Această pro blemă prezintă

Integrarea numerică

11
interes major privind relațiile teoretice și nu în practică pentru aflarea
rezultatului.
30 Simplificarea calculelor . Este posibil ca prin alegerea parametrilor Ai și
xi să se simplifice calculele din formula (1.2.1). De exemplu, se pot alege, cum se
procedează de obicei, nodurile xi egal depărtate între ele, luând xi = a + ih ,
ℎ =%K&
" și utilizând formula


 ≈  !
( + Lℎ "
!#$%
&
alegând în ea coeficienții Ai impunând anumite condiții.
Pentru simplificarea calculelor se poate impune eg alitatea coeficienților
Ai = C , 1, i n = obținându-se formula


 ≈ N  
!"
!#$%
&
Această formulă conține n + 1 parametri xi , i = n, 1 și C, care se pot
alege astfel încât formula de cuadratură are gradul de exactitate ≤n .

1.3. Eroarea formulei de cuadratură. Convergența
procesului de cuadratură

Eroarea formulei de cuadratură (1.2.1) este dată î n egalitatea (1.2.2).
Mărimea erorii depinde de proprietățile funcției f și de alegerea nodurilor xi și a
coeficienților Ai. În studiul erorii apar două probleme de bază.

Integrarea numerică

12
10 Evaluarea erorii pentru funcții cu anumite propri etăți, printre care
cel mai mare interes îl prezintă clasele de funcții care adesea se întâlnesc în
practică: funcții cu un număr finit de discontinuit ăți, continue, având un număr
dat de derivate continue, analitice ș.a.m.d. Aici au importanță atât
evaluările exacte pentru clase limitate de fun cții cât și evaluări mai
rudimentare pentru largi clase de funcții, utile în problemele de convergență.
20 Precizarea condițiilor convergenței proceselor de cuadratură, adică a
condițiilor în care Rn
f  → 0 pentru n→∞ .
Procesul de cuadratură, adică șirul formulelor de cuadratură se definește
prin două tabele triunghiulare de valori:
– tabelul nodurilor
X = 1
1
2 2
1 2
3 3 3
1 2 3
4 4 4 4
1 2 3 4
… … … … x
x x
x x x
x x x x  
 
 
     
 
 
 
    (1.3.1)
– tabelul coeficienților
A = 1
1
2 2
1 2
3 3 3
1 2 3
4 4 4 4
1 2 3 4
… … … … A
A A
A A A
A A A A  
 
 
     
 
 
 
    (1.3.2)

Integrarea numerică

13
În problema convergenței este necesar a se conside ra și clasa F a
funcțiilor f pe lângă X și A. Este necesar a se preciza ce legătură trebuie să
existe între ele pentru ca restul Rn
f să tindă la zero pentru n→∞ .
După enumerarea principalelor probleme în legătură cu formulele de
cuadratură prezentăm în continuare formule de cuadr atură
a) de tip interpolator;
b) de tip Gauss (sau cu grad maxim de exactitate );
c) de tip Cebîșev (cu coeficienți egali și cu gr ad maxim de
exactitate);
d) optimale.

Integrarea numerică

14

Capitolul 2
Formule de cuadratură de tip interpolator

2.1. Generalități

Definiția 2.1.1. O formulă de cuadratură se numește de tip interpo lator
dacă ea se obține integrând membru cu membru formul a de interpolare
relativă la nodurile xi (simple sau cu ordine de multiplicitate date).
Presupunem că nodurile xi, 1, i n = , au fost alese într-un mod oarecare și
trebuie să determinăm doar coeficienții Ai. Tratăm la început determinarea lor
folosind interpolarea algebrică a funcției f pe [ a,b ]. Fie P
x polinomul de
interpolare a funcției f cunoscând valorile P
xi = f
xi, 1, i n = . Formula de
interpolare este
f
x = P
x+ r
x, P
x = ∑
= ′ −n
ii
i n inxfx xxx
1)()() () (
ωω, ωn
x = ∏
=−n
iixx
1) ( (2.1.1)
Integrând pe [ a,b ] prima relație din (2.1.1) (înmulțită în prealabil cu
funcția pondere p(x)) se obține egalitatea
∫b
adxxfxp 

= ∫b
adxxPxp 

+ ∫b
adxxrxp 

Prin neglijarea restului (a doua integrală din mem brul drept) se obține
formula de cuadratură de tip interpolator.

Integrarea numerică

15
∫b
adxxfxp 

≈∑
=n
ii ixf A
1)(,

 b
n
a i n i iAxxp x dx x x ω
ω′ −=∫ (2.1.2)
Restul acestei formule de cuadratură este
R
f = ∫b
apfdx –
1
 n
i i
iA f x
=∑= ∫b
adx x r x p ) ( ) ( (2.1.3)
Privind gradul de exactitate al formulei de cuadra tură de tip interpolator
are loc
Teorema 2. 1.1 . Pentru ca formula de cuadratură (1.2.1) să fie exac tă pentru
polinoame algebrice de grad n – 1 este necesar și s uficient ca ea să fie de tip interpolator.
Demonstrație . Necesitatea. Luăm funcția
f
x = ( )

 nin
i i x
x x xxω
ωπ=′ −,
care este un polinom de gradul n – 1 și dacă formula (2.1.2) este exactă pentru
orice polinom algebric de grad n – 1 atunci formula trebuie să fie exactă și
pentru ()ixπ . Așadar avem egalitatea
∫ ∫ ∑
==′ −=b
ab
an
ii i i
i n in
i x A dx x xxxxp dx x xp
1)()() () () ( ) ( ) ( πωωπ = Ai
și formula (1.2.1) este într-adevăr de tip interpol ator deoarece coeficienții ei au
valorile date în (2.1.2)
Suficiența . Fie f polinom oarecare de grad n – 1. Să ne convingem că
pentru acest polinom egalitatea (2.1.2) este exactă . Polinomul de interpolare al
polinomului f în nodurile xi , i = n,1 este chiar
f
x) = ∑
= ′ −n
ii n in
x xxx
1 )() () (
ωωf(xi).
În plus, dacă Ai au valorile date în (2.1.2) sunt adevărate egalită țile

Integrarea numerică

16
∫∑ ∑∫
= ==′ −=b
an
in
ii ib
a i n in
i xf A dx x xxxxpxf dx xpf
1 1)()() () () ( )( ) (ωω
(2.1.4)
iar egalitatea (2.1.2) este exactă pentru f(x).
Teorema 2.1.1 ne spune că formulele de cuadratură de tip interpolator au
proprietatea că pentru orice repartizare a nodurilo r xi, i = n,1 în intervalul [ a,b ]
gradul lor algebric de exactitate nu este mai mic d ecât n – 1. Dacă dorim să
mărim gradul lor de exactitate, aceasta se poate fa ce numai ținând seama de
alegerea nodurilor xi în [ a,b ]. Cu ajutorul unor astfel de alegeri gradul de
exactitate poate fi ridicat de la n – 1 unități până la 2 n – 1 unități.
În ceea ce privește restul formulei de cuadratură definit în (2.1.3)
reprezentarea acestuia se face pentru anumite clase de funcții. De exemplu
pentru funcțiile f cu valori finite, dacă integrala are sens, restul formulei de
cuadratură din (2.1.4) are forma
Rn
f = ∫b
anx xp ) ( ) (ω f
x 1,x 2,…,x n,xdx (2.1.5)
Dacă funcția f are derivate continue până la ordinul n pe intervalul [ a,b ] care
conține punctele x 1,x 2,…,x n,x, există ξ∈ (a,b) astfel încât
Rn
f = ∫b
andx f x xpn) ( ) ( ) (!1) (ξ ω (2.1.6)
unde s-a integrat restul formulei de interpolare.
Pentru funcțiile f∈Cn[a,b] și | f
n | ≤Mn, x∈ [a,b] se obține evaluarea erorii
absolute a formulei de cuadratură
|Rn(f) | ≤ dx x xpnMb
ann∫) ( ) (!ω

Integrarea numerică

17
semnul ,, = ” este valabil numai în cazul când prod usul p
xω
x nu-și schimbă
semnul pe [ a,b ], în caz contrar evaluarea poate fi depărtată de c ea optimală.
Pentru obținerea unei evaluări precise a restului Rn
f utilizăm alte
relații. Orice funcție f∈Cn[a,b] se reprezintă prin formula lui Taylor cu restul
sub formă integrală.

 1

0
 1

 !
1! b i m
i m
n n m
i af a R f R x a f t K t dt i m −
=  = − +   −∑ ∫ ,
unde
Km(t) = ∫ ∑
>− −− − −b
a t xm
i im
itxA dx txxp1 1) ( ) )( ( , t≠a, xi , i = n,1.
Aceasta ne dă o reprezentare a restului Rn
f pentru orice formulă de
cuadratură în clasa funcțiilor f∈Cm[a,b]. În cazul formulelor de cuadratură de tip
interpolator (polinoame de gradul n – 1) se integrează exact astfel că
Rn[
x-ai]=0, 0, 1 i n = − . Dacă, în plus, funcția integrabilă f∈Cn[a,b],
îndeplinește condiția
W
"
W ≤ X " ,  ∈ [(, )], (2.1.7)
atunci în expresia restului Rn(f) în membrul drept se menține doar termenul cu
integrala
D "
=1

Y − 1 !
"
Z"%
&

2.1.8
și evaluarea lui Rn(f) în clasa Cn[a,b] este
D "
≤\]

"K$ !^|Z"
|%
& (2.1.9)

Integrarea numerică

18
2.2 Formule de cuadratură cu noduri echidistante

Formulele de cuadratură de tip interpolator cu nod uri echidistante au
primit denumirea de formulele Newton – Cotes. Pentr u prima dată Newton a
studiat aceste formule într-o formă destul de gener ală iar Cotes a calculat
coeficienții (cu o funcție pondere constantă) pentr u n = 10 , 1.
Presupunem că [ a,b] este mărginit; împărțim intervalul în n părți egale
ℎ =_K`
, 5= (,  "= ) , nodurile cuadraturii sunt xi = a + ih , i = n,0.
Formula de cuadratură (2.1.2) se scrie
 

 ≈
) − (  a!"
 5+ Lℎ"
!#5b]
bc
2.2.1
unde !=
 "−  5a!" , "−  5= Yℎ , 5+ Lℎ =  !
a!"=1
Yℎ 
d"e$


 −  !d"e$,
!b]
bc
d"e$
=
 −  5
 −  $…
 −  " .
Cu schimbarea de variabilă x = x 0 + th , 0 ≤t ≤n, expresia pentru a!"se
obține
ωn+1
x = ω
x0 + th  = hn+1 t
t – 1
t – 2 …
t – n
x – x i = x – x 0 – ih = h
t – i, ω'n+1
xi =
– 1n-ihni!
n – i!
având expresia
a!"=$
"
K$]gh
!!
"K! !^
5+ iℎ j
jK$
jKk …
jK"
jK!i, L = 0. Y lllll
2.2.2 "
5

Luând funcția pondere p
x≡ 1 formula de cuadratură Newton – Cotes
are forma

Integrarea numerică

19
 
 ≈
 "−  5  a!"
!, ( ="
!#$b]
bc5, ) =  "

a!"=1
Y
−1"K$
L!
Y − L !i
i − 1
i − 2 …
i − Y
i − Li
2.2.3 "
5
Întrucât pentru fiecare n coeficienții lui Cotes a!" verifică relația de
simetrie a!"= a"K!", L = 0, Y lllll, în tabelul coeficienților a!" figurează numai
coeficienții cu indicele 2ni≤ . Coeficienții n
iH sunt calculați pentru 1,20 n=
sunt numere raționale cu n a!""
!#5= 1, dar numărătorii și numitorii au valori
tot mai mari. De aceea trecem în tabelul coeficienț ilor lui Cotes doar pe aceia
cu n = 7 , 1 (tabelul 2.1).
Tabelul 2.1
ii ii
nn nn 0 1 2 3
1 1 / 2
2 1 / 6 4 / 6
3 1 / 8 3 / 8
4 7 / 90 32 / 90 12 / 90
5 19 / 288 75 / 288 50 / 288
6 41 / 840 216 / 840 27 / 840 272 / 840
7 751 / 17280 3577 / 17280 1323 / 17280 2989 / 17280

Integrarea numerică

20
Faptul că ∑ a!"= 1"
!#$ pentru orice n rezultă din (2.2.3) pentru f
x ≡ 1. Pentru
n< 10 toți coeficienții a!" sunt pozitivi; pentru n≥ 10 printre coeficienții a!" își
fac apariția și coeficienții negativi. De exem plu ∑|a!$5 |≈ 3,1 ,
∑Wa!$p W ≈ 8,3 , ∑|a!k5 |≈ 560 .
Am văzut mai înainte că formula de cuadratură de t ip interpolator cu n
noduri este exactă pentru polinoamele de grad n – 1, oricare ar fi funcția
pondere și oricare ar fi repartiția nodurilor xi în intervalul [ a,b ]. În formula
(2.2.3) avem n + 1 noduri astfel că ea este exactă pentru polinoa mele de gradul
n. Este esențial să dăm răspunsul la întrebarea: es te posibil ca formula (2.2.3)
să fie exactă pentru polinoamele de grad mai mare d ecât n ? Se arată că
răspunsul la întrebarea pusă depinde de paritatea s au imparitatea numărului
n + 1, al nodurilor.
Dacă numărul n + 1 este par, atunci formula de cuadratură (2.2.3) nu
poate avea gradul de exactitate algebrică n + 1, ci doar n.
Dacă numărul n + 1 este impar, atunci unul din noduri se află chi ar în
mijlocul segmentului [ a,b ], c = 2ba+ și față de acesta celelalte noduri sun
repartizate simetric. Fie P
x =
x – c n+1 polinom de grad impar în raport cu
c, adică P
c – t  = – P
c + t  și pentru acest polinom avem ∫b
adxxP
= 0. Având
în vedere imparitatea polinomului P(x) și proprietatea de simetrie a
coeficienților a!"= a"K!" , i = n,0, membrul drept al formulei (2.2.3) este nul
pentru P
x. Rezultă că (2.2.3) este exactă pentru P
x. Deoarece această
egalitate este exactă pentru polinoamele de grad n+1 , formula (2.2.3) este exactă

Integrarea numerică

21
pentru toate polinoamele de grad n + 1. Se poate arăta că gradul de exactitate al
formulei (2.2.3) nu poate fi n + 2 astfel că gradul ei de exactitate este n sau n + 1.

2.3 Cazuri particulare ale formulei Newton – Cotes
2.3.1 Formula de cuadratură a trapezelor .
Pentru n = 1 formula de cuadratură (2.2.3) se scrie cu x1 – x 0 = h ,
a5$= a $$=$
k , x0 = a, x 1 = b ,
^
 =t
k[
 5 + 
 $]bh
bc
2.3.1
Formula de cuadratură (2.3.1) este binecunoscuta f ormulă a trapezelor.
Denumirea provine din interpretarea geometrică a ex presiei din membrul
drept care reprezintă aria trapezului dreptunghic d e înălțime h și bazele f
x0 și
f
x1, f > 0. Restul formulei de cuadratură (2.3.1) este dat de formula (2.6)
pentru două noduri x0, x 1, p
x ≡1, ω
x =
x – x 0
x – x 1, cu schimbare de
variabilă x = x0 + th , f∈C2[a,b ].
1
01
3
0 1
01

1 2 2 x
xfR f x x x x f dx t t h dt ξξ′′ ′′ = − − = − ∫ ∫;
3

 12 hR f f ξ′′ = − , ξ∈ (x0,x 1) (2.3.2)
Pentru creșterea preciziei formulei (2.3.1.1), împă rțim intervalul [ a,b ] în n părți
egale de lungime b a hn−= prin nodurile xi = x 0 + ih , 0, i n = , x0 = a , xn= b
și considerăm subintervalele [xi-1, x i], i =1, n. Avem, cu (2.3.1)

Integrarea numerică

22
11
1 1

 [

] 2i
ix b n n
i i
i i a x hf x dx f x dx f x f x
−−
= = = ≈ + ∑ ∑ ∫ ∫ =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 3 1 2 n n f x f x f x f x f x f x f hf x x −  =+ + + + + + + …+
sau
0 1 2 3 1
 2
…  2b
n n
ab a f x dx f f f f f f n−−  ≈ + + + + + +   ∫, f
xi = fi (2.3.3)
care se numește formula generală a trapezelor.
Dacă notăm cu 3

 12 i i hR f ξ′′ = − , ξi∈
xi-1, x i, rezultat obținut în (2.3.2) pe
[x0,x 1], restul formulei de cuadratură (2.3.3) este
R
f  = R 1 + R 2 +…+ R n = – 3
12 h[f ''
ξ1 + f ''
ξ2 +…+ f ''
ξn] =
= – 3
2
 1
12 b a
n n−⋅ [f ''
ξ1 + f ''
ξ2 +…+ f ''
ξn].
Dar media aritmetică a n numere reale este cuprinsă între cel mai mic și
cel mai mare dintre aceste numere
m≤1
n[f ''( ξ1) + f ''( ξ2) +…+ f ''( ξn)] ≤M
și cum f ''
x ∈C[a,b ] are proprietatea lui Darboux, f '' ia toate valorile din
intervalul [ a,b ], astfel că există ξ∈
a,b  a.i.
11
 n
i
ifnξ
=′′ ∑ = f ''
ξ. Cu aceasta
3
2

,
12 b a R f f
nξ−′′ = − ξ∈
a,b .
Notând M2 =
[ , ] sup
x a b ∈|f ''
x|
3
2 2

12 b a R f M
n−≤ (2.3.4)

Integrarea numerică

23
Dacă vrem să calculăm integrala cu o eroare mai mi că decât ε> 0, punem
3
2 2

12 b a M
nε−<, 2
3
212 1

 n
b a M ε>
−, n>3
2

12 b a M
ε− (2.3.5)
Luând n∈N care verifică (2.3.5) obținem numărul de părți ega le în care
trebuie să împărțim intervalul [ a,b ] pentru a obține valoarea integrali cu
precizia dorită.

2.3.2 Formula lui Simpson .
Pentru n = 2 formula de cuadratură Newton – Cotes (2.2.3) se scrie
2
02
2
2 0
0

 x
i i
i xf x dx x x H f x
=≈ − ∑ ∫ = 2h [2
0Hf
x0+ 2
1Hf
x1+ 2
2Hf
x2] ,
unde
2
0H = 2 2 2 0
2
0 0 1
1
1
2 1 1
3 2 2 0!
2 0! 0 4 6 t t t dt t t dt t−− − − ⋅ = − + = − − ∫ ∫,
2
2H = 2
0H = 61, H1 = 1 – 62 = 64.
Așadar,
2
0
 3x
xhf x dx ≈∫[f
x0 + 4 f
x1 + f
x2], x0 = a , x2 = b . (2.3.6)
Formula (2.3.6) se numește formula de cuadratură a parabolelor sau
formula lui Simpson. Denumirea de formulă a parabol elor provine din faptul
că formula este exactă pentru orice polinom de grad ul doi y = L2
x (al cărui
grafic este o parabolă). Întrucât numărul de noduri n + 1 = 2 + 1 = 3 este
impar, am văzut mai înainte, că pentru f
x =
x – x 13 egalitatea (2.3.6) este
exactă și deci ea este exactă pentru orice polinom de gradul trei.

Integrarea numerică

24
Pentru a determina eroarea formulei (2.3.6) consid erăm polinomul de
gradul trei P3
x care satisface condițiile:
P3
x0 = f
x0, P3
x1 = f
x1, P' 3
x1 = f'
x1, P3
x2 = f
x2.
Polinomul P3
x interpolează funcția f
x cu restul r
x
f
x = P3
x + r
x
Pentru P3(x) egalitatea (2.3.6) este exactă, deci
2 2 2
0 0 0 3

 3x x x
x x x hf x dx P x dx r x dx = + = ∫ ∫ ∫[P3
x0 + 4 P3
x1 + P3
x2] + 2
0
 x
xr x dx ∫ =
= 3h [f3
x0 + 4 f3
x1 + f3
x2] + 2
0
 x
xr x dx ∫.
Să calculăm eroarea formulei de cuadratură a lui S impson
2
0

 x
xR f r x dx =∫
Presupunem că f∈C4[a,b ] și ținem seama de forma restului polinomului
de interpolare cu noduri multiple. Avem

4
2
0 1 2

, , , 4! fr x x x x x x x x a b ξξ  = − − − ∈  
iar
2
04
0

 4! x
xfR f x x ξ= − ∫
x – x12
x – x2dx
Cu schimbarea de variabilă x = x 0 + th, , R
f  se scrie
52
4 5
4

4 5
02

 4

 1 42
! 24 15 90 h f h f R t t t f t f h d ξ ξ ξ  = = ⋅ − = −     − − ∫ (2.3.7)

Integrarea numerică

25
Pentru a obține formula generală a parabolelor împ ărțim intervalul [a,b ]
în n = 2m părți egale de lungime 2b a b a hn m − − = = și considerăm subintervalele
[x2i-2,x 2i ], 1, i m = . Obținem, succesiv, utilizând (2.3.6)
2
2 2 2 2 2 1 2
1 1

 [
 4

] 3i
ix b m m
i i i
i i a x hf x dx f x dx f x f x f x
−− −
= = = ≈ + + ∑ ∑ ∫ ∫ =
= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 2 2 2 2 1 2 4 4 3m m m f x f x hf x f x f x f x f x − −     + + + + …+ + +
( ) ( )0 1 3 2 1 2 4 2 2 2 4 2 , 6
 m
am m b
f f f f f bx f f x d mfaf− − + + +…+ + + −+ +  …+  =  ∫
f i= f
xi (2.3.8)
Formula (2.3.8) este formula generală de cuadratur ă a lui Simpson.
Notând cu
5
4

90 ih f Rξ= − (2.3.7')
restul formulei pe subintervalul [x 2i-2,x 2i ], ξi∈
x 2i-2,x 2i , 1, i m = , avem cu (2.3.7')
5

4
1

 90 m
n i
ihR f f ξ
== − ∑
Notând µ =
m i 1min
≤ ≤{f
4
ξi}, M =
m i 1max
≤ ≤{f
4
ξi} . Cu proprietatea mediei
aritmetice a m numere reale avem
µ≤
4
11
 m
i
ifmξ
=∑ ≤ M.
De aici, din continuitatea funcției f
4
x și proprietatea lui Darboux
rezultă că ∃ξ∈
a,b  a.î .
4
11

 m
i
if f mξ ξ
==∑ , deci
4
4
1

 m
i
if mf ξ ξ
==∑ . Cu
acest rezultat obținem

Integrarea numerică

26
5 5 5

4
4
4
4 5 4

 90 2 90 2 180 nh b a b a R f mf mf f
m n ξ ξ ξ − − = − = − = −
⋅ ⋅ ,
5

4
4

180 nb a R f f
nξ−= − , n = 2m, ξ∈
a,b (2.3.9)
Egalitatea (2.3.9) ne dă eroarea formulei de cuadra tură (2.3.1.19).
Dacă
4
4[ , ]
 sup

x a b M x f x
∈= atunci evaluarea valorii absolute a restului
este
5
4 4

180 nb a R f M
n−≤ , n = 2m . (2..3.9')
Când se cere valoarea integralei ∫b
adx ) x ( f cu eroarea absolută mai mică
decât ε, luăm
445
n180 M) a b (−<ε , ε>−1
M) a b (n180
454
, 5
4 4

180 b a M nε−>
de unde,
5
4 4

180 b a M nε−> . (2.3.9'')
Alegem numărul par n = 2m ∈ N care verifică (2.3.9''), împărți intervalul
[a,b ] în n părți egale și aplicăm (2.3.8) și lucrăm cu numere cu un număr de cifre
zecimale corespunzător lui ε.
Observația 2.3.1. Formulele de cuadratură Newton – Cotes sunt
formule de tip închis deoarece x0 = a și xn = b . Având pasul constant b a hn−=
creșterea preciziei acestor formule depinde de n; prin creșterea lui n
(micșorarea lui h) precizia lor crește, dar crește și volumul calcul elor.
Determinarea valorilor M2, M 4 se face greoi când funcția f(x) are o expresie

Integrarea numerică

27
analitică mai complicată. De aceea au fost propuse și alte formule de evaluare a
erorii formulelor de cuadratură. Prezentăm aici reg ula lui Runge.
Fie z o mărime exactă necunoscută, zh valoarea ei aproximativă care
depinde de parametrul h, care poate lua valori pozitive cât mai mici.
Presupunem că are loc relația
z = z h + ch k + O
hk+m  (2.3.10)
unde c este o constantă necunoscută care nu depinde de h, k, m > 0 numere
cunoscute. Atunci
z = z
2h + c
2kh 
    + O(hk+m ). (2.3.11)
Prin scăderea relațiilor (2..3.1.15) și (2.3.1.16), găsim
z
2h – zh = c 2kh 
   
2k – 1 + O
hk+m  (2.3.12)
de unde
( )2
2 2 1 kh h
k m
kz z
hc O h +−
  = +   −   . (2.3.13)
Înlocuind (2.3.18) în (2.3.16), cu eroarea de ordin ul O (hk+m ) avem
2
22 1 h h
h kz z
z z −
− ≈
− (2.3.14)
Dacă c≠ 0, atunci partea dreaptă din (2.3.14) în baza rela ției (2.3.13) are
ordinul k de precizie în raport cu h și diferă de partea principală a erorii
2khc 
   
cu o mărime de ordin mult mai mare în raport cu h.

Integrarea numerică

28
Calculul aproximativ al evaluării erorii cu formula (2.3.14) cu
îndeplinirea condiției (2.3.10) se numește regula l ui Runge sau metoda
calculului dublu.
Aplicăm regula lui Runge la formulele de cuadratură . Fie
 b
aI f x dx =∫, I
valoarea exactă a integralei, Ih valoarea aproximativă a integralei I obținută cu
una din formulele de tip Newton – Cotes. Scriem în acest scop relația (2.3.10) în
forma
I = I h + ch k + O
hk+2  (2.3.15)
unde c nu depinde de h; k = 2 pentru formula trapezelor (2.3.1.14), k = 4 pentru
formula lui Simpson (2.3.19), f ∈ Ck+2 [a,b]. Putem folosi relația (2.3.14) de unde
rezultă regula lui Runge
2
22 1 h h
h kI I
I I −
− ≈
− (2.3.16)
Din (2.3.16) deducem cu cele spuse mai înainte
|
2hI I −| ≈31|I
2h – Ih| pentru (2.3.3) (2.3.16')
|
2hI I −| ≈15 1|I
2h – Ih| pentru (2.3.8) (2.3.16'')

Integrarea numerică

29
2.4 Aplicații. Exemple
Cu ajutorul formulelor de cuadratură se pot deduce o mulțime de
inegalități. Fie formula de cuadratură de tip inter polator
1

 b n
i i n
i ap x f x dx A f x R f
== + ∑ ∫
având gradul algebric de precizie r. Dacă Rn(f ) ≥ 0 pe [ a,b ], atunci

1

 b n
i i
i ap x f x dx A f x
=≥∑ ∫ (2.4.1)
iar dacă Rn(f ) ≤ 0 pe [ a,b ], atunci

1

 b n
i i
i ap x f x dx A f x
=≤∑ ∫ (2.4.2)
Aplicația 2.4.1. Fie de exemplu formula celor trei optimi a lui Ne wton
(formula (2.2.3) pentru n = 3)
( ) ( )3
05

4
0 1 2 3 3 3

 3
 3

 8 80 x
xh h f x dx f x f x f x f x f ξ = + + + − ∫,
x0 = a, x 3 = b, 3b a h−=
1 0 2
3 3 b a a b x x h a − + = + = + = , 2 0 2 2 2 23 3 b a a b x x h a − + = + = + = , f∈C4[a,b ],
formulă din care deducem inegalitatea
2 2

 3 3
 3 3 3 b
ab a a b a b f x dx f a f f f b       − + + ≤ + + +             ∫ (2.4.3)

Integrarea numerică

30
dacă ()4
 0 f x ≥ pe [ a,b ] și inegalitatea are semn schimbat dacă ()4
 0 f x ≤ pe
[a,b ]. Semnul ,,=” are loc dacă f (x) este polinom de grad ≤ 3 = gradul de precizie
algebric al formulei celor trei optimi.
Fie funcția 1
 f x x=, 0 < a≤x≤b. Avem
4
54!
 0 f x
x= > pe [ a,b]. Cum
restul formulei celor trei optimi este în acest caz negativ are loc inegalitatea
(2.43), cu
1ln ln b
b
a
abdx x x a = = ∫ ,
1 3 3 1 ln 3 3 3 2 2 b b a
a a a b a b b   −< + + +   + +  
respectiv
2 2 1 27 ln 3
2
2  b b a
a ab a b a b   −< +   + +  
Aplicația 2.4.2. Fie formula de cuadratură a lui Simpson
2
05

4
0 1 2

 4

 3 90 x
xh h f x dx f x f x f x f ξ   = + + −   ∫, x0 = a, x2 = b, 12a b x+= ,
având gradul de precizie algebrică trei (formula ex actă pentru toate
polinoamele de grad ≤ 3 când restul este nul). Dacă f∈C4 [a,b ] iar ()4
 0 f x ≤
pentru x ∈[a,b], atunci 5

4

 0 90 hR f f x = − ≥ astfel că

 4
 6 2 b
ab a a b f x dx f a f f b     − + ≥ + +         ∫ (2.4.4)
iar dacă ()4
 0 f x ≥ pe [ a,b] semnul inegalității (2.4.4) se schimbă.

Integrarea numerică

31
De exemplu, pentru funcția f(x) = ln x , x∈ [a,b], a > 1, avem
( )4
43!
 0 f x
x= − < pe [ a,b] și astfel este verificată inegalitatea (2.4.4) cu
ln ln b
b b
a a
axdx x x x = − ∫ în forma
ln ln
 ln 4ln ln 6 2 b a a b b b a a b a a b   − + − − − > + +     ,
4
ln ln ln ln
 ln 6 2 b a b a b a a b b a e ab −    − +   − > + +        
și în final
4 6
2b a
b
b a
ab a b e ab a−
−    +  >        .
Exemplul 2.4.1. Să se calculeze, utilizând formula de cuadratură a lui
Simpson, valoarea integralei
1 2
2
0ln
1
1xI dx
x+=
+∫
pentru n = 10 ( h = 0,1) și n = 20 ( 0,05 2h= ) și să se evalueze eroarea cu regula lui
Runge.
Soluție. Funcția de integrat f(x) = 2
2ln
1 

1xf x
x+=
+∈C4[0,1], dar
calculul acestei derivate precum și determinarea lu i ( )4
4[0,1] sup

xM f x
∈= implică
calcule multe și complicate. Este comodă aplicarea metodei calculului dublu
pentru evaluarea erorii.

Integrarea numerică

32
Pentru n = 2 m = 10 avem h = 10 1 = 0,1. Cu formula (2.3.8) obținem
1
6 5 hI=⋅{f
0 + 4[f
0,1 + f
0,3 + f
0,5 + f
0,7 + f
0,9 ] +
+2[f
0,2 + f
0,4 + f
0,6 ++ f
0,8] + f
1}=
= 1 ln1,01 ln1,09 ln1,25 ln1,49 ln1,81 0 4 30 1,01 1,09 1,25 1,49 1,81   + + + + + +     
+ 2 ln1,04 ln1,16 ln1,36 ln1,64 ln2
1,04 1,16 1,36 1,64 2    + + + +       = 0,172828019
Pentru n = 2 m = 20 avem pasul 1
2 20 h= = 0,05 și aceiași formulă (2.3.8) ne
dă
2hI = 1
6 10 ⋅{f
0 + 4[f
0,05 + f
0,15 + f
0,25 + f
0,35 + f
0,45 + f
0,55 +
+ f
0,65 + f
0,75 + f
0,85 + f
0,95] +
+ 2[f
0,1 + f
0,2 + f
0,3 + f
0,4 + f
0,5 +
+ f
0,6 + f
0,7 + f
0,8 + f
0,9] + f
1} = 0,17 2827485
Aplicând regula lui Runge (2.3.21''') obținem
|I – I
2h| ≈15 1|I
2h – I h| = 15 1|0,172827485 – 0,172828019| = 0,000000035 <
0,0000001 = 10 -7.
Putem lua ca valoare a integralei I = 2,1728275 , eroarea fiind mai mică
decât 10 -7.

Integrarea numerică

33

Capitolul III
Formule de cuadratură cu cel mai mare
grad de exactitate algebrică

3.1 Noțiuni și teoreme de bază .
Considerăm formula de cuadratură de forma

1

 b n
i i
i ap x f x dx A f x
=≈∑ ∫ (3.1.1)
Funcția pondere p(x) se ia neidentic nulă și astfel încât
 b
m
ap x x dx ∫ să fie
absolut convergentă pentru m = 0,1,2 ,…
 0 b
ap x dx >∫ .
Formula (3.1.1) are parametri Ai și xi și ne putem aștepta ca prin
alegerea lor această formulă să fie exactă pentru t oate polinoamele algebrice de
grad 2n-1, sau ceea ce este același lucru, ca ea să fie exac tă pentru toate puterile
lui x de la 0 la 2n – 1:
1

 b n
m
i i
i ap x f x dx A x
==∑ ∫, 0,2 1 m n = −

Integrarea numerică

34
Răspunsul la întrebarea: în ce condiții (3.1.1) es te exactă pentru toate
polinoamele de grad 2n – 1 ni-l dă
Teorema 3.1.1. Pentru ca formula (3.1.1) să fie exactă pentru toat e polinoamele
de grad 2n – 1 este necesar și suficient ca:
10 formula (3.1.1) să fie de tip interpolator, adică A i să aibă valorile date în
(2.1.2);
20 nodurile x i să fie astfel încât ωn(x) = (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n) să fie ortogonal cu
ponderea p(x) cu orice polinom Q(x) de grad mai mic decât n:

 b
n
ap x x Q x dx ω∫ = 0 (3.1.2)
Demonstrație. Necesitatea. Dacă (3.1.1) este exactă pentru orice
polinom de grad 2n – 1 , atunci ea este exactă și pentru polinoamele de gr ad n –
1. De aici cu teorema 2.3.1 rezultă că formula (3.1. 1) trebuie să fie de tip
interpolator și prima condiție 1 0 este îndeplinită. Presupunem acum, că Q
x
este un polinom oarecare de grad n – 1 . Produsul f
x = ωn
xQ
x este un
polinom de gradul 2n – 1 și pentru el (3.1.1) este exactă. Deoarece ωn(xi) = 0
rezultă f(xi) = ωn(xi)Q(xi) = 0. Atunci membrul drept din (3.1.1) devine 0 ce ea ce
conduce la (2.1.2).
Suficiența. Luăm un polinom oarecare f(x) de grad 2n – 1 . Împărțim
acest polinom la ωn(x) și obținem câtul Q(x) și restul r(x), f(x) = ωn(x)Q(x) + r(x)
unde Q și r sunt polinoame de grad ≤n – 1. Deoarece ωn (xi) = 0 avem f (xi) =
r(xi), ( 1, i n = ),

 b b b
n
a a a p x f x dx p x x Q x dx p x r x dx ω = + ∫ ∫ ∫.

Integrarea numerică

35
Prima integrală din membrul drept este nulă în baza condiției 2 0. Gradul
lui r(x) nefiind mai mare de n – 1, pentru acest polinom formula (3.1.1) este
exactă în baza condiției 1 0:
1

 b n
i i
i ap x r x dx A r x
==∑∫
și cum r(xi) = f(xi), are loc egalitatea
1

 b n
i i
i ap x f x dx A f x
==∑ ∫
iar formula (3.1.1) pentru f este exactă.
Să lămurim existența polinomului ωn (x) care satisface condiția de
ortogonalitate (3.1.2) și apoi faptul că acesta are n rădăcini reale distincte în
[a,b ].
Fie polinomul ωn (x scris în forma uzuală
ωn(x) = xn+ a1xn-1+ a2xn-2+…+ an-1x + an (3.1.3)
Teorema 3.1.2 . Fie funcția pondere p(x) cu semn constant pe [a,b] și
nenegativă. Atunci pentru orice n există un unic po linom ωn(x) de forma (3.1.3)
ortogonal în raport cu ponderea p(x) cu orice polin om de grad mai mic decât n.
Demonstrație. Ortogonalitatea polinomului ωn(x) cu orice polinom de
grad mai mic decât n este echivalentă cu ortogonalitatea față de 1,x,x 2,…,x n-1.
Ortogonalitatea cu aceste puteri a polinomului (3.1 .3) conduce la următorul
sistem de ecuații liniare în necunoscutele a1,a2,…, an:
( )1 2
1 2 1 0
 nb
k
n
an n
np x a x a x a x a x x dx − −
−+ + +…+ + = ∫, 0, 1 k n = − (3.1.4)
Pentru a arăta existența și unicitatea soluției ac estui sistem este suficient
să dovedim că sistemul omogen corespunzător

Integrarea numerică

36
( )1 2
1 2 1 0
 nb
an k
n n p a x a x a x a x dx x− −
−+ +…+ + = ∫, 0, 1 k n = −
are numai soluția nulă. Pentru a dovedi aceasta scr iem ecuațiile pentru
0, 1 k n = − și le înmulțim cu an, a n-1,…,a n.
1 2
1 2 1
1 2
1 2 1 1
1 2 2
1 2 1 2
1
1 2

…  0

…  0

…  0
…………………………………………… …..

b
n n
n n n
ab
n n
n n n
ab
n n
n n n
a
np x a x a x a x a a dx
p x a x a x a x a xa dx
p x a x a x a x a x a dx
p x a x a − −
−
− −
− −
− −
− −
−+ + + + =
+ + + + =
+ + + + =
+∫
∫
∫
2 1
1 1 …  0 b
n n
n n
ax a x a x a dx − −
−







+ + + = 

∫
Adunăm aceste n relații și obținem
( )21 2
1 2 1 0
 nb
an n
np a x a x a x a d x x− −
−+ +…+ + = ∫ (3.1.4')
Dacă polinomul ωn(x) = a1xn-1 + a2xn-2 +…+ an-1x + an ≠0 pe [ a,b ] atunci el se
poate anula numai în cel mult n – 1 puncte. Dar atunci egalitatea (3.1.4') nu
poate fi îndeplinită pe [ a,b ] deoarece p(x) ≥ 0, iar
 0 b
ap x dx >∫. Pentru a fi
verificată (3.1.4') pentru orice x∈ [a,b] trebuie ca ωn(x) ≡0 deci toți coeficienții să
fie nuli ai = 0, 1, i n = și astfel sistemul omogen are numai soluția nulă.
Următoarea teoremă ne dă informații despre rădăcin ile polinomului
ωn(x)
Teorema 3.1.3. Dacă:
10 funcția pondere p(x) are semn constant pe [a,b];
20 ωn(x) este ortogonal pe [a,b] cu ponderea p(x) cu ori ce polinom Q(x) de grad ≤ n – 1.

Integrarea numerică

37
Atunci rădăcinile polinomului ωn(x) sunt toate reale distincte situate în (a,b).
Demonstrație. Fie polinomul ρ(x) care are m rădăcini distincte în ( a, b) și
care au multiplicitate impară. Fie η1 ,η2 ,…, ηm aceste rădăcini. Este suficient să
arătăm că m = n. Deoarece ωn(x) nu are mai mult de n rădăcini distincte din
egalitatea m = n va urma că toate rădăcinile ηi sunt simple și ρ(x) nu mai are alte
rădăcini.
Presupunem că m < n și considerăm polinomul ρ(x) =( x – η1)( x – η2)…( x – ηm).
Cum acest polinom are gradul m<n proprietatea de ortogonalitate ne dă

 0 b
n
ap x x x dx ω ρ = ∫ (3.1.5)
Pe de altă parte, ωn(x) și ρ(x) au în ( a,b) rădăcini simple în care semnul se
schimbă, produsul ωnρnu-și schimbă semnul în ( a,b) și în plus acest produs se
anulează numai într-un număr finit de puncte. De ac eea integrala (3.5) nu poate fi
egală cu zero, deoarece p(x) are semn constant pe [ a,b] și
 0 b
ap x dx ≠∫. Așadar nu
putem avea m <n, ci numai m = n.
Din teoremele 3.1.2 și 3.1.3 rezultă, că dacă p(x) are semn constant pe
[a,b], formula de cuadratură (3.1.1) exactă pentru toat e polinoamele de grad
2n – 1, poate fi construită pentru orice n = 1,2,3,… și ea este unică.
Pentru ca 2 n – 1 să fie gradul maxim de exactitate algebrică a formulei
(3.1.1) trebuie să arătăm că (3.1.1.) nu poate fi e xactă pentru toate polinoamele
de grad 2 n.
Teorema 3.1.4. Dacă funcția pondere are semn constant pe [a,b], at unci oricare
ar fi A i și x i egalitatea (3.1.1) nu poate fi exactă pentru toate polinoamele de grad 2n.

Integrarea numerică

38
Demonstrație. Cu nodurile xi construim ωn(x) = ( x – x1)( x – x2)…( x – xn) și
considerăm polinomul f(x) = ω2(x) care este pozitiv peste tot în [ a,b] cu excepția
punctelor xi în care se anulează. Integrala

 b
ap x f x dx ∫ nu poate fi nulă,
deoarece produsul p(x)f(x) are semn constant pe [ a,b], iar
 0 b
ap x dx ≠∫.
Membrul drept din (3.1.1) este nul întrucât f (xi) = 0, 1, i n = . Rezultă că pentru
2

 nf x x ω= egalitatea (3.1.1) nu poate fi exactă, fapt ce demo nstrează
teorema.
Următoarea teoremă ne dă informații privind semnel e coeficienților Ai.
Teorema 3.1.5. Dacă:
10 p(x) ≥ 0, x ∈ [a,b];
20 formula de cuadratură (3.1.1) are gradul algebric maxim de exactitate 2n – 1.
atunci toți coeficienții A i sunt pozitivi.
Demonstrație. Fie polinoamele de grad 2n – 2
2

 n
i
ixf x x x ω  =    −  , 1, i n =
În nodurile kx, 1, k n = , avem
( )2[
] ,
0, kn i
ifx k i
ix
kω

′ ==
≠


Din

Integrarea numerică

39
0 < ( )2
1

  [ ] '
b n
i k i k
k ai n i p x f x d x x A f x Aω
== =∑ ∫
rezultă Ai > 0, 1, i n = .
Prezentăm în continuare cea mai simplă teoremă pri vind eroarea
formulei de cuadratură (3.1.1) care presupune ca f∈C2n [a,b]
Teorema 3.1.6. Dacă:
10 funcția pondere p(x) are semn constant pe [a,b];
20 f ∈ C2n [a,b]
atunci există un punct ξ∈ [a,b] astfel încât pentru eroarea
Rn(f) =
1

 b n
i i
i ap x f x dx A f x
=−∑∫
formulei de cuadratură de exactitate algebrică maxi mă are loc relația
R n(f) =
2
2

2 ! b n
afp x x dx nξω∫ (3.1.6)
Demonstrație. Fie H(x) polinomul de gradul 2 n – 1 care interpolează
funcția f(x) în condițiile
H(xi) = f (xi), H' (xi) = f' (xi), i = 1, n
Avem aici o interpolare cu noduri duble. Întrucât f∈C2n[a,b] restul
formulei de interpolare are forma
2
2  1

2 ! n
nr x x f nω ξ =
unde ξ este situat în intervalul care conține punctele x și xi , i = 1, n.
Integrând pe [ a,b] formula de interpolare după înmulțirea cu funcția
pondere obținem

Integrarea numerică

40
2
2  1

2 ! b b b
n
n
a a a p x f x dx p x H x dx p x x f dx nω ξ = + ∫ ∫ ∫ (3.1.7)
Deoarece formula de cuadratură este exactă pentru toate polinoamele de
grad 2 n – 1 și H(xi) = f(xi), i = 1, n, avem
1 1

 b n n
i i i i
i i ap x H x dx A H x A f x
= = = = ∑ ∑ ∫
Așadar, ținând seama în (3.1.7) de ultimul rezulta t putem spune că restul
formulei de cuadratură în ipotezele teoremei 3.6 es te (3.1.6).
Definiția 3.1.1. Spunem că șirul de polinoame
P0(x), P1(x), P2(x),…, Pn(x), …, Pn(x) = anxn + an-1xn-1+…+ a1x + a0 , an≠ 0,
formează un sistem ortogonal cu ponderea p(x) pe [ a,b], dacă
0,
0, . 0

 b
nm n
am n
m n a p x P x P x dx λ ≠
≠ = > =

∫ (3.1.8)
Polinomul P(x) se numește normat dacă 2

 1 b
n
ap x P x dx =∫. Dacă toate
polinoamele ortogonale ale sistemului sunt normate atunci sistemul se
numește ortonormat.
În condițiile ortogonalității (3.1.8)

 0 b
m n
ap x P x P x dx = ∫ pentru m≠n
este suficient să impunem m <n. Pe de lată parte, deoarece fiecare polinom Q(x)
de grad ≤n – 1 se poate reprezenta prin polinoame Pm(x) cu m = 1,2,…, n – 1,
condiția ortogonalității (3.8) este echivalentă cu cerința ca fiecare polinom Pn(x)
al sistemului să fie ortogonal cu orice polinom Q(x) de grad m<n.

Integrarea numerică

41
Revenim la formula de cuadratură cu gradul maxim d e exactitate
algebrică. O astfel de formulă se poate construi pe ntru orice n = 1,2,3,…
Pentru n fixat îi corespunde polinomul respectiv
()1 2

n n n
n n x x x x x x x ω = − − … − și nodurile cuadraturii n
ix, 1, i n = . În
baza teoremei 3.1.1 ωn(x) trebuie să fie ortogonal cu orice polinom Q(x) de grad
m<n, adică ωn(x) poate diferi de Pn(x) doar printr-un factor numeric, care,
evident trebuie să fie coeficientul termenului domi nant cu gradul cel mai mare
al lui Pn(x):
P n(x) = an ωn (x) , n = 1,2,3,… (3.1.9)
De aici rezultă că nodurile n
ix ale formulei de cuadratură trebuie să fie
rădăcinile polinomului Pn(x).
În continuare studiem câteva formule de cuadratură cu grad maxim de
exactitate algebrică.

3.2 Formula de cuadratură a lui Gauss
Formula de cuadratură a lui Gauss se bazează pe si stemul de polinoame
ortogonale Legendre
( )2 1[
1 ], 0,1,2…
2 ! n
n
n n nPdx n
dx x
n= − = (3.2.1)
Sistemul de polinoame { Pn(x)} n∈N este ortogonal pe [-1,1] cu ponderea
p(x) ≡ 1. Ponderea constantă se utilizează când intervalu l de integrare [ a,b ] este
finit, iar funcția de integrat f(x) aparține clasei de funcții suficient de netede
(continue și cu derivate continue de un ordin sufic ient de mare pe [ a,b] în
interior și la capete).

Integrarea numerică

42
Se pune problema de a calcula integrala
1
1
 f t dt
−∫ (3.2.2)
Trecerea de la intervalul [ a,b] la [-1,1] se face prin schimbarea de
variabilă
x ∈ [a,b]  →β + α =t xt ∈ [-1,1] (3.2.3)
(a = -α + β, b = α + β, a + b = 2 β, b – a = 2 α, α = 2b a −, β= 2b a +,
x = 2b a −t + 2b a +, 2b a dx dt −= )
Facem calculele legate de formula de cuadratură în variabila t (integrala
(3.2.2)) apoi cu schimbarea de variabilă (3.2.3) tr ecem la integrala
corespunzătoare pe [a,b].
Pentru polinoamele Legendre
1
2
12
 2 1 nP t dt n−=+∫ (3.2.4)
Formula de cuadratură (3.2.2) se scrie în cazul no stru
1
1 1

 n
i i
if t dt A f t
= −≈∑∫ (3.2.5)
care are gradul maxim de precizie algebrică 2 n – 1 (obținută prima dată de
Gauss), nodurile ti sunt rădăcinile polinomului Legendre de gradul n, Pn(t) = 0,
1, i n = . Coeficienții Ai se pot calcula cu (2.1.2), dar pentru aceștia exist ă o
formulă mai simplă cu ajutorul polinoamelor Legendr e pe care o dăm fără
demonstrație
2
2 2
12
1 

 i
i
n i tA
n P t −−= (3.2.6)

Integrarea numerică

43
Potrivit relațiilor (3.9) și (3.1.10)
22
!

2 ! n
n n nt P t nω = (3.2.7)
Dacă f(t) ∈ C2n [-1,1] din (3.1.13), (3.1.16) și (3.6) restul formu lei de
cuadratură a lui Gauss este
22 1 2

2  2
!

2 1
2 !
2 ! n
n
nnR f f n n n ξ+  =   + 
sau
2 1 4

2
32
!

[
2 !]
2 1 n
n
nnR f f
n n ξ+
=
+, ξ∈ [-1,1] (3.2.8)
Primele 7 polinoame Legendre sunt:
P0
t = 1, P1
t = t, P2
t = 1
2
3 t2 – 1, ( )3
31
 5 3 2P t t t = − ,
P4
t = 81
35 t 4 – 30 t 2 + 3,
P5
t = 81
65 t5 – 70 t3 + 15 t, P6
t = 16 1
231 t6 – 315 t4 + 105 t2 – 5.
Să scriem formula de cuadratură a lui Gauss pentru n = 3. Găsim
nodurile ti, 1,3 i= rezolvând ecuația P3
t = 0, 5
t 3 – 3t= 0, t = 0, t = 53± ,
t1 = – 53, t2 = 0, t3 = 53.
Cu formula (3.2.6) găsim

Integrarea numerică

44
2
1
1 2 2 2
2 1 32 1 2
1  5 5
9 3
 1 3 9 3 1 4 5 tA
P t   −  −   = = =
  ⋅ ⋅ −     ; 2
2
2 2 2
1 0  8
1 93
0 1 4A−= =
⋅ − ;
3 2
232 1 5 5
91 3 3 3 1 4 5 A  −    = =
  ⋅ ⋅ −    
și
1
11 3 3
 5 8
0 5 9 5 5 f t dt f f f
−     
  ≈ − + +                 ∫,
iar dacă f∈C6[-1,1] cu (3.2.8)
7 4

6
3 22
3!

6! 7 R f f ξ⋅=
⋅, ξ∈ [-1,1].
Nodurile ti și coeficienții Ai pentru formula de cuadratură a lui Gauss
(3.2.5) pentru n = 3,4,5,6,7 sunt date în [5].
Observația 3.1.1. Formula de cuadratură a lui Gauss are avantajul u nei
mai mari precizii, chiar în cazul unui număr mic de noduri și oarecum un
dezavantaj faptul că ti sunt, în general, numere iraționale.
Observația 3.1.2. Pentru calculul integralei

 b
af x dx ∫
cu schimbarea de variabilă (2.3.1.12) se obține
1
1
 2 2 2 b
ab a b a b a f x dx f t dt
−  − − + = +     ∫ ∫
Aplicând integralei din membrul drept de cuadratur ă a lui Gauss

Integrarea numerică

45

1
 2 2 2 b n
i i
i ab a b a b a f x dx A f t
=  − − + ≈ +     ∑ ∫ (3.2.9)
unde ti sunt rădăcinile polinomului Legendre Pn(t). Valorile ti și Ai sunt date
în [5]. Formula precedentă se poate scrie

1

 2b n
i i
i ab a f x dx A f x
=−≈∑ ∫ (3.2.9')
unde 2 2 i i b a b a x t − + = + iar restul acestei formulei este
2 1 4

2
3

!

[
2 !]
2 1 n
n
nb a n R f f
n n η+−=
+ , η∈[a,b] (3.2.10)
Exemplul 3.1.1. Să se afle, utilizând formula de cuadratură a lui Gauss
pentru n = 5, valoarea integralei 1
2
0ln 3 2 x dx +∫. Să se evalueze eroarea.
Soluție. Integrala dată se scrie 1
2
01ln
3 2  2x dx +∫. Notând cu
1
2
0ln
3 2  I x dx = + ∫ obținem 1
2
01ln 3 2 2x dx I + = ∫ .
Pentru calculul lui I cu (3.1.15) obținem formula f
x = ln
3 + 2x 2
5
11 1 1
2 2 2 i i
iI A f t
=  = +     ∑ ,
iar din anexa 2 citim
-t1 = t5 = 0,906179846, – t2 = t4 = 0,538469310, t3 = 0
A1 = A5 = 0,236926885, A2 = A4 = 0,478628670, A3 = 0,568888889
Avem
I ≈21[A1f
x1 + A2f
x2 + A3f
x3 + A4f
x4 + A5f
x5]
unde

Integrarea numerică

46
x1 = 21
t1 + 1 = 21
1 – 0,906179846 = 0,046910077; 2
1x = 0,002200555
x2 = 21
t2 + 1 = 21
1 – 0,538469310 = 0,230765345; 2
2x = 0,053252644
x3 = 21
0 + 1 = 0,5; 2
3x = 0,25
x4 = 21
t4 + 1 = 21
0,538469310 + 1 = 0,769234655; 2
4x = 0,591721954
x5 = 21
t5 + 1 = 21
0,906179846 + 1 = 0,953089923; 2
5x = 0,908380401
I = 21[A1ln
3 + 2 2
1x + A2ln
3 + 2 2
2x + A3ln
3 + 2 2
3x + A4ln
3 + 2 2
4x +
+A5ln
3 + 2 2
5x]
I≈ 1,286652088 = Ia
1
2
0ln 3 2 x dx +∫≈21⋅I = 0,643326043 = Ia
Aplicând formula de integrare prin părți găsim val oarea exactă a
integralei:
1
2
01 1 2 ln
3 2  ln5 2 6 2 2 3 x dx arctg  
+ = − +       ∫ = 0,643325288 = Ie. Eroarea
absolută este
|Ie – I a| = |0,643325288 – 0,643326043| = 0,000000755 < 0,0 00001 = 10 -6
Aflarea restului formulei de cuadratură cu (3.1.16 ) implică un volum
mare de calcule, întrucât trebuie să determinăm
10

 xf și
10

 [0,1] sup xxf
∈.

Integrarea numerică

47
3.3 Alte formule de cuadratură cu grad maxim de
exactitate algebrică
Considerăm aici cvadraturi care corespund funcțiil or pondere clasice:
Funcția pondere constantă p(x) ≡ 1, pe care am tratat-o;
Funcția pondere Jacobi p(x) = ( b – x)α(x – a)β, x∈ (a,b);
Funcția pondere Laguerre p(x) = xαe-x , x∈ (0, ∞);
Funcția pondere Hermite p(x) = 2xe− , x ∈ (-∞,∞).
Am văzut când se utilizează funcția pondere consta ntă. Ponderea Jacobi
ne permitem să luăm în considerare singularitățile F(x) = ( b – x)α(x – a)βf(x) la
capetele a și b ale intervalului de integrare (sau la unul din ele), funcția F fiind
suficient de netedă în interiorul intervalului. Pon derea Laguerre ține cont de
singurătatea în punctul x = 0 și este legată de viteza de descreștere pentru F(x) =
xαf(x) când x→∞. În fine, ponderea Hermite este legată de viteza d escreșterii
pentru 2

 xF x e f x −= când x→ +∞ sau x→ -∞, în cazul integrării pe întreaga
axă reală.
3.3.1 Formula de cuadratură pentru

 b
ab x x a f x dx α β − − ∫.
Am văzut că transformarea 2 2 b a b a x t − + = + duce intervalul [a,b] în
[-1,1], astfel că este suficient să considerăm integrala d e forma
1
1
1
1
 x x f x dx α β
−− + ∫, α> -1, β> -1
Polinoamele ortogonale pe [-1,1] cu ponderea p
x =
1 – xα
1 + xβ se
numesc polinoamele lui Jacobi și au forma

Integrarea numerică

48

,
1

1
1  [
1
1  ]
2 ! n n
n n
n n n dP x x x x x
n dx α β α β α β − − + + −= − + − + =
=
2 1 …
2 !
1 n
nnx
n n α β
α β Γ + + + −
Γ + + + (3.3.1)
În formula de cuadratură cu cel mai înalt grad de exactitate algebrică
1
1 1
1
1 

 n
i i
ix x f x dx A f x α β
= −− + ≈ ∑ ∫ (3.3.2)
nodurile sunt chiar rădăcinile polinomului Jacobi d e gradul n,
,
 0 n i P x α β =,
1, i n = . Coeficienții Ai se pot determina cu formula generală (2.1.2) sau se
poate folosi o formulă de calcul mai potrivită folo sind polinoamele Jacobi

,
 nP x α β :
2 2 1

,
1
1
!
1
1  2
[
]
ia
i n b
iAn n
n n x P x α β α β
α β + + Γ + + Γ + +
′ Γ + + − =
+ (3.3.3)
În baza relației (3.1.9) care ne dă legătura dintr e ω(x) și
,
 nP x α β în
funcție de coeficientul dominant al lui
,
nPα β , obținem
( )
,  2 !
1
 2
1 n
n nxn n P x nα β ωα β
α β ⋅ Γ + + +
Γ + + =+.
Se știe de asemenea că pentru polinoamele ortogona le Jacobi are loc
relația (pătratul normei !)
1 1

,  2
2
12
1
1
1
1  [
]

2 1
2 1 nn n x x P x dx
n n α β
α β α β α β
α β α β + +
−Γ + + Γ + + − + =
+ + + Γ + + + ∫.
Ultimele două rezultate ne permit să calculăm pent ru formula de
cuadratură :

Integrarea numerică

49

2  2 1
2
 2
1
1
1
 , 1,1
2 !
2 1
2 1 n n
nf n n n R f n n n α β ξ α β α β ξ
α β α β + + + Γ + + Γ + + Γ + + +   = ∈ −   + + + Γ + + + (3.3.4)
Deoarece formula de cuadratură (3.3.2) conține doi parametri arbitrari α
și β (α > -1, β > -1), rezultă că formula (3.3.2) reprezintă o fami lie de formule de
cuadratură. Luând valori numerice pentru α și β din (3.3.2) obținem formule de
cuadratură particulară ținând cont de singularități le funcției de integrat. De
exemplu, la formula lui Gauss funcția de integrat n u are singularități pe [ a,b] se
obține din (3.3.2) pentru α= β = 0.
Studiem cazul particular α = β = -21, 1
2 2

1  p x x −= − . Polinoamele
Jacobi
0,5; 0,5
 nP x − − diferă de polinomul lui Cebîșev de speța întâi pri ntr-o
constantă:

0,5; 0,5
 nP x − − = CT n(x) = Ccos (n arccos x)
Nodurile formulei de cuadratură sunt zerourile pol inomului Tn(x) și au
valorile
2 1 cos 2iixnπ−= , 1, i n =
Coeficienții Ai se pot determina cu ajutorul egalității (3.3.3)
2
2 2 1
2
!
2  iAn
n n C n   Γ +  
Γ= 
Întrucât membrul drept al acestei egalități nu dep inde de i, rezultă că toți
coeficienții Ai sunt egali, Ai = A , 1, i n = . Pentru determinarea lui A, ținem
seama de faptul că formula de cuadratură trebuie să fie exactă pentru f(x) ≡ 1.
Avem

Integrarea numerică

50
1
1
121 1arcsin
1n
i
idx A nA x
x−
= −= = =
−∑∫⇒Anπ=.
Așadar, formula de cuadratură cu grad maxim de exa ctitate,
corespunzătoare funcției pondere 1
2 2

1  p x x −= − are forma
1
21 1
 2 1 cos
 2 1n
n
if x i dx f R f n n xππ
= −  −= +     −∑ ∫ (3.3.5)
unde Rn(f) se calculează cu (3.2.4).
Rn(f) =
)! n 2 ( 21 n 2−πf(2n) (ξ) , ξ∈ [-1,1] (3.3.6)
În legătură cu aceste rezultate Cebîșev a studiat problema construirii
unor formule de cuadratură cu coeficienți egali pen tru o funcție pondere p(x)
oarecare.
3.3.2 Formula de cuadratură pentru calculul integra lei de
forma
0
 xx e f x dx α∞
−∫
Polinoamele ortogonale pe semiaxa reală (0, ∞) cu ponderea
 xp x x e α−= ,
α> -1, formează sistemul de polinoame Laguerre:
( )1

 1 1
 !
nx n x n
n n
n ndLn n x e x e x x x
dx α α α α− + − − +− = − = +…
În formula de cuadratură cu grad maxim de exactita te pentru calculul
aproximativ al integralei
( )
1 0

 n
x
i i
inx f R f e f x dx A x α∞
−
=+ =∑ ∫ (3.3.7)
nodurile trebuie să fie rădăcinile polinomului

nLα,

 0 n i L x α=, 1, i n = .

Integrarea numerică

51
Pentru calculul coeficienților Ai este cunoscută și aici o formulă mai
simplă decât (2.1.2) și anume

 2
 2
1

1
1
[ '
]
[
] i
i
i n i n i x n n n n A
x L x n n L x α α α α
α−Γ Γ + Γ + Γ + + = =
+
Să arătăm și evaluarea erorii Rn (f). Pentru aceasta folosim expresia
generală (3.1.6). Pentru formula (3.2.7) polinoamel e ωn(x) și

 nL x α coincid,
deoarece coeficientul dominant al acestor polinoame este 1. Rădăcinile xi sunt și
ele reale distincte (simple). În plus,
 xp x x e α−= . De aceea
2
 2
0 0

 [
] x
n n p x x dx x e L x dx α α ω∞ ∞
−=∫ ∫.
Această relație ne dă pătratul normei polinomului

 nL x α Ori pătratul
normei este n! Γ
α + n + 1 ). De aceea dacă f ∈C2n[0, ∞ pentru Rn(f ) găsim
( )( )2 !
1

2 ! n
nn n R f f
nαξΓ + + = , 0 ≤ξ<∞. (3.3.8)

3.3.3 Formula de cuadratură cu grad maxim de exacti tate
pentru integrala de forma 2
 xe f x dx ∞
−
−∞ ∫
Polinoamele ortogonale pe toată axa reală cu ponde rea 2
 xp x e −=
formează sistemul de polinoame Hermite :
2 2

1 2 … n
n x x n n
n ndH x e e x
dx − − = − = −
În formula de cuadratură

Integrarea numerică

52
2
1

 n
x
i i n
ie f x dx A f x R f ∞
−
= −∞ = + ∑∫ (3.3.9)
cu gradul de precizie 2 n – 1, nodurile trebuie să fie rădăcinile polinomulu i
Hermite de gradul n, Hn (xi ) = 0 , 1, i n = .
Polinomul ωn (x) pentru formula (3.28) este dat de (3.9), cu an = 2 n
ωn(x) = 2 -nHn(x).
Ca și în cazurile de mai înainte, pentru determina rea coeficienților Ai este
cunoscută formula mai comodă (decât (2.1.2)) [9]:
1 1
2 2
12 ! 2
1!

 n n
i
n i n i n n A
H x nH x π π + −
−−= = ′ (3.3.10)
unde s-a ținut seama de formula de recurență H' n (x) = 2 nH n-1 (x).
Pentru aflarea expresiei restului Rn(f) din formula (3.2.9) avem nevoie de
pătratul normei lui Hn(x) :
22
 2 ! x n
ne H x dx n π∞
−
−∞ = ⋅ ∫.
Cu acest rezultat, avem
22 2 2 !

 2

2n x
n nnp x x dx e H x dx πω∞ ∞
− −
−∞ −∞ = = ∫ ∫ ,
de unde cu (3.6) și f∈C2n(-∞,+ ∞)
( )
2  !

2
2
! n nnRnf
nfπξ = , ξ∈R (3.3.11)

Integrarea numerică

53
3.4 Aplicații. Exemple
Considerăm alt procedeu de obținere a inegalitățil or cu ajutorul
formulelor de cuadratură.
Dacă toți coeficienții Ai sunt pozitivi, înlăturând suma cuadraturii din
( )
1

  b n
i i
i anp x f x dx A f x R f
== +∑ ∫
obținem
( ) ,

 nb
ap x f x d R f x≥∫ dacă f(x) ≥ 0 pe [ a,b], (3.4.1)
respectiv
( ) ,

 nb
ap x f x d R f x≤∫ dacă f(x) ≤ 0 pe [ a,b], (3.4.2)
Considerăm formula de cuadratură (3.28) având grad ul de precizie algebrică
2n – 1 și
1
22 !

 n
i
n i nA
H x π+
=′> 0 și ( )
2 !

2
2 ! nn
nn
nR f f x π= ,ξ∈R (3.4.3)
Proprietatea 3.3.1. Pentru orice polinom h 2m (x) ≥ 0, x ∈R, de grad 2m și având
coeficientul dominant egal cu 1, are loc inegalitat ea
2
2!

2x
m mme h x dx π∞
−
−∞ ≥∫ (3.4.4)
semnul ,,=” fiind valabil numai pentru
h 2m (x) = 2
21

2m m mh x H x   =    , (3.4.5)
unde H m(x) este polinomul lui Hermite de gradul m.

Integrarea numerică

54
Demonstrație. Deoarece h2m (x) ≥ 0, x∈R și Ai > 0 rezultă că suma cuadraturii
din
( )2
2 2 2
1

 mm
m
imx
i m i e f x dx A h x R h ∞
−
= −∞ + =∑ ∫ (3.4.6)
este pozitivă astfel că integrala din membrul stâng este mai mare decât Rm(h2m).
Cum [ h2m (x)] (2 m) = (2 m)! , înlocuind în formula restului valoarea acestei derivate
obținem, după simplificare, inegalitatea (3.3.5)
2
2! !

2 !
2
2 ! 2 x
m m m m m e h x dx m
mπ π ∞
−
−∞ ≥ = ∫
Cu privire la valabilitatea semnului ,,=” în (3.3. 4) se observă că luând
pentru h2m(x) expresia din (3.3.5), avem 2
21

 0
2 m m m i ih x x H 
  = =
, deoarece
nodurile xi sunt rădăcinile polinomului Hermite, Hm (xi) = 0, iar suma
cuadraturii (3.3.6) este nulă. Atunci integrala din membrul stâng este egală cu
restul Rm(h2m). Cum coeficientul dominant al polinomului Hermite Hm(x) este
egal cu 2 m, coeficientul dominant al polinomului h2m(x) dat prin (3.3.6) este de
asemenea egal cu 1. Atunci ( h2m(x)) (2 m) = (2 m)! și astfel
2
2 2 ! !

2 !
2
2 ! 2 x
m m m m m m m e h x dx R h m
mπ π ∞
−
−∞ = = = ∫.
Am văzut că formula de cuadratură cu grad maxim de exactitate (2 n – 1)
corespunzătoare funcției pondere 1
2 2

1  p x x −= − are forma
( )1
21 1 c
 2 1 os 2 1n
n
if
nR f x i dx f n xππ
= −  −=    +
−∑ ∫ (3.4.7)
unde

Integrarea numerică

55
( )
2
2 1

2
2 ! nn
nnR f fπξ−= , ξ∈ [-1,1] (3.4.8)
iar xi= cos 2 1
2i
nπ− sunt rădăcinile polinomului Cebîșev de speța întâi
Tn(x) = cos ( n arccos x)
Proprietatea 2 . Pentru orice polinom p2m (x) ≥ 0, x ∈ [-1,1], de grad 2m și
având coeficientul dominant egal cu 1, are loc inegalitatea
1
2
2 1 2
1

2 1m
mp x dx
xπ
−
−≥
−∫ (3.4.9)
semnul ,,=” fiind valabil numai pentru
( )2
1 21

2m m mT p x x−=
    (3.4.10)
unde Tm
x este polinomul lui Cebîșev de gradul m.
Demonstrație. Întrucât p2m(x) ≥ 0 pe [-1,1] și Ai = 0nπ>, 1, i n = , suma
cuadraturii din
( )1
2
2212
1
 2 1 c2 os
1m m m
m
m
ip x idx p n m xR p ππ
= −  −=    −+ ∑ ∫ (3.3.5')
este pozitivă și astfel integrala din membrul stâng este mai mare decât Rm(p2m):
( )1
2
2
12

1mm
mpxRx
xp d
−≥
−∫
Deoarece [p2m
x]
2 m =
2 m!, x∈ [-1,1], înlocuind în formula restului
valoarea acestei derivate, se obține, după simplifi care, inegalitatea (3.4.9)
Analizând cazul valabilității semnului ,,=” în (3. 4.9). Luăm pentru p2m (x)
polinomul definit prin (3.4.10). Avem

Integrarea numerică

56
( )1 22
1
 0
2m i i m mp T x x−
    == ,
xi fiind rădăcinile polinomului Tm(x), Tm(xi = 0, 1, i m = . În acest caz (și numai
în acesta !) suma cuadraturii din (3.3.5') este nul ă, iar coeficientul dominant al
polinomului p2m(x) ≡ 1. Integrala din (3.3.5') este egală cu Rm(p2m)
1
2
2 2 1 2 1 2
1

2 !
2
2 ! 2 1m
m m m m p x dx R p m
m xπ π
− −
−= = =
−∫ .
Exemplul 3.4.1. Considerăm primele trei polinoame Hermite
H 0
x = 1, H 1
x = 2x, H 2
x = 4x 2 – 2
Să aplicăm (3.3.4). Fie h4
x = x4 + 1 > 0, x∈
-∞,∞, m = 2 și are
coeficientul dominant 1. Avem
24 2!
1 4 2 xe x dx π π ∞
−
−∞ + > = ∫ ( 1,75 0.5 π π > ).
Pentru ( )2
2 2 4 2
2 4 21 1 1

4 2 16 4 2 h H x x x x x  = − = − = +  este valabil
semnul ,,=” astfel că
24 2 1
4 2 xe x x dx π∞
−
−∞   − + =     ∫
Exemplul 3.4.2. [7] Utilizând formula de cuadratură (3.3.9) pentru n = 5,
să se afle valoarea aproximativă a integralei
2
2cos3
3x xe dx
x∞
−
−∞ +∫
Soluție. Folosim formula de cuadratură (3.2.9) având gradu l maxim de
precizie algebrică 2 n – 1 = 9. Cum 2cos3

3xf x
x=
+ și din tabel (anexa 3, [8]) citim

Integrarea numerică

57
-x1 = x5 = 2,020183, – x2 = x4 = 0,958572, x3 = 0,
A1 = A5 = 0,019953, A2 = A4 = 0,393619, A3 = 0,945309 ,
și putem scrie cu (3.2.9)
2
2cos3
3x xe dx
x∞
−
−∞ +∫≈A1f(x1) + A2f(x2) + A3f(x3) + A4f(x4) + A5f(x5).
Întrucât funcția este pară, coeficienții A1 = A5, A2 = A4, iar nodurile
corespunzătoare diferă doar prin semn, relația prec edentă ia forma
2
2cos3
3x xe dx
x∞
−
−∞ +∫≈ 2⋅0,019953 ⋅2cos
3 2,020183
2,020183 3 ⋅
+ +
+ 2 ⋅0,393619 ⋅2cos
3 0,958572
0,958572 3 ⋅
+ + 0,945309 ⋅1
3 = 0,126773
Aplicația 3.4.1 . Referitor la proprietatea 3.2 putem scrie, aplic ând
această proprietate, inegalitățile:
m = 2, p2m
x = p4
x = x4≥ 0, 1 4
2
1 8 1xdx
xπ
−>
−∫;
m = 3, p2m
x = p6
x = x6≥ 0, 1 6
2
1 32 1xdx
xπ
−>
−∫;
m = 4, p2m
x = p8
x = x8≥ 0, 1 8
2
1 128 1xdx
xπ
−>
−∫;
respectiv egalitățile:
m = 2, p2m
x = p4
x = 2 2
2 4 2
21 1 1

2 1 2 2 4 T x x x x     = − = − +         ,
4 2 1
2
11
4
8 1x x
dx
xπ
−− +
=
−∫

Integrarea numerică

58
m = 3, p2m
x = p6
x = 2 2
3 6 4 2
3 21 1 3 9

4 3  4 2 16 2T x x x x x x     = − = − +         ,
6 4 2 1
2
13 9
2 16
32 1x x x
dx
xπ
−− +
=
−∫;
m = 4,
( ) ( )2
4 2 2 8 6 4 2
4 3 2 6 1 1 5 1 1

8 8 1 2 64 4 4 64 2 mp x p x T x x x x x x x   = + = − + = − = − +     ,
8 6 4 2 1
2
15 1 1 24 4 64
128 1x x x x
dx
xπ
−− + − +
=
−∫.
Aici s-au folosit expresiile T2
x = 2 x2 – 1, T3
x = 4 x3 – 3x, T4
x = 8 x4 – 8×2 + 1 .
Exemplul 3.4.3 . Să se calculeze, utilizând formula de cuadratură cu
ponderea Cebîșev , integrala 1
2
11xedx
x − −∫ pentru n = 5.
Soluție. Aplicăm formula
1
21 1
 2 1 cos 2 1n
if x i I dx f n n xππ
= −  −= ≈     −∑ ∫ , f(x) = e -x.
Avem
5
12 1 3 7 9 cos cos cos cos cos cos 5 10 5 10 10 2 10 10 iiI f f f f f f π π π π π π π π
=              −= = + + + + =                             ∑

= 5π[f
0,951056516 + f
0,587785253 + f
0 + f
-0,5877 85253 +
f
-0,951056516] =
= 5π [0,386332641 + 0,55555634 + 1 + 1,799997454 + 2,58 8442946] =

Integrarea numerică

59
= 0,62831853
6,330329381 = 3,977463251.
Calculăm eroarea
( )
2
2 1

2 !
2nn
nRf
nfπ ξ
−= , ξ∈ (-1,1).
Calculăm f 10 (x) = ( e –x )10 = e –x,
|f10
x| = e-x≤e, x∈ [-1,1]
Cu formula de mai înainte obținem:
|Rn
f| ≤90,539734222
10! 512 3628800 2eπ=⋅ = 0,000000004 < 10 -8
Putem lua I≈ 3,977463251 .

Integrarea numerică

60
CAPITOLUL IV
Unele considerații privind convergența
formulelor de cuadratură

Convergența sau divergența formulelor de cuadratur ă depind de factorii
următori:
10 de șirul formulelor de cuadratură sau, ceea ce est e echivalent, de
tablourile triunghiulare X ale nodurilor n
ix și A ale coeficienților n
iA ale
acestor formule ((1.3.1),(1.3.2))
20 de clasa F a funcțiilor integrabile f.
În problema convergenței este necesar să se clarif ice cum pot fi legate
între ele X, A și F pentru ca eroarea
( )
1

  b n
n n
i i
i anR A p x f x dx f x f
=− = ∑∫ (4.1.1)
să tindă la zero pentru n→∞ pentru funcția f din clasa F. În continuare se
expun, fără demonstrație, anumite teoreme de conver gență făcând referiri la
semnificația și clasificarea lor.

Integrarea numerică

61
4.1 Convergența procesului general de cuadratură
Fie intervalul de integrare [ a,b] finit și fie f∈C[a,b], adică F este clasa
funcțiilor continue pe [ a,b]. Considerăm formulele de cuadratură
( ) ( ) ( )
1

 n n b n
n n
i i
i aR f Q f R f p x f x dx A f x
== + = + ∑ ∫ (4.1.2)
Teorema 4.1. Pentru ca procesul de cuadratură (4.1.2) să fie con vergent pentru
orice funcție continuă pe [a,b], este necesar și su ficient să fie îndeplinite condițiile:
1) procesul de cuadratură (4.1.2) să fie convergen t pentru orice polinom algebric;
2) să existe un număr M astfel încât pentru orice n = 1,2,3,… să aibă loc
inegalitatea
B n =
1n
n
i
iA
=∑ ≤ M < ∞ (4.1.3)
Această teoremă ne dă condițiile de convergență pe ntru o clasă foarte
largă de funcții, deși nu epuizează toate necesităț ile practicii.
Referitor la teorema 4.1 se pot exprima următoarel e deziderate:
i) să arate cazurile particulare ale teoremei, con dițiile în care este mai
simplu și mai potrivit de verificat;
ii) să precizeze condițiile de convergență în clas e de funcții mai restrânse
care se întâlnesc frecvent în aplicații.
Următoarea teoremă ne arată în ce condiții converg e un proces de
cuadratură cu coeficienții pozitivi.
Teorema 4.2. Dacă formula de cuadratură (4.1.2) are toți coefici enții pozitivi,
n
iA≥ 0, i = 1,2,3,… atunci pentru ca procesul (4.1.2 ) să fie convergent, pentru

Integrarea numerică

62
orice funcție continuă, este necesar și suficient c a el să fie convergent pentru orice
polinom algebric.
Demonstrație. Această teoremă este o consecință foarte simplă a
teoremei 4.1. Într-adevăr condiția este necesară deoarece dacă procesul
cuadraturii este convergent pentru orice funcție co ntinuă; atunci el converge și
pentru fiecare polinom având în vedere continuitate a polinoamelor.
Suficiența se demonstrează la fel de simplu. Dacă șirul cuadraturii
converge pentru orice polinom, atunci el converge ș i pentru f(x) ≡ 1, de unde,
cu (4.2) obținem
Qn
1 =
1n
n
i
iA
=∑ →
 b
ap x dx ∫ = µ0, n→∞
Pe de altă parte, întrucât n
iA≥ 0 , avem
1 1n n
n
n i
in
i
iB A A
= == = ∑∑ →µ0, n→∞.
Dar șirul B n este monoton crescător și convergent la µ0. De aici rezultă
Bn≤M = µ0 <∞, ∀n∈N* . În condițiile teoremei 4.2 regăsim condițiile teor emei 4.1
în baza căreia șirul cuadraturii (4.2) este converg ent pentru orice funcție f din
clasa C[a,b].
Printre clasele de funcții, mai restrânse decât C [a,b], prezintă interes, în
primul rând funcțiile continue cu derivate continue de un anumit ordin r pe
[a,b], adică C r [a,b].
Pentru prezentarea următoarelor teoreme privind co nvergența
procesului cuadraturii vom introduce anumite funcți i auxiliare care

Integrarea numerică

63
caracterizează repartiția nodurilor n
ix, valorile coeficienților n
iA și a ordinului
r (care precizează clasa, f∈Cr[a,b]).
Presupunem că nodurile sunt numerotate în ordine c rescătoare
1nax< <2nx<3nx<…< n
nx≤b.
Construim funcția constantă pe porțiuni, care face legătura dintre
repartiția nodurilor și mărimea coeficienților n
iA.
( )
1,
n
n
in in
o i F t E t x A
== − ∑ a≤t≤b
Funcția Fno (t) are pe [ a,b] următoarele valori
( )n
1
n n
1 1 2
n n
1 2 2 3
n n
1 2 3 3 4 0 , a t x
A ,x
A ,x
A ,x
…………………………………….. n
n n
n n n Ft x
A t x
A A t x t≤ <
< <
+ < <
+ + = < <
n n
1 2 n ….
A … ,x n n
nA A t b 






+ + + < ≤ 

 , 1, 0
0 , 0
 Eu
u ω >
< =


Pe lângă funcția Fno (t) considerăm și integrala nedefinită a ei Fn,r (t)
pentru orice ordin r cu valori inițiale nule în punctul a,

,j
n r F = 0, j = 0,1,2,…, n – 1.
( ),
1 n
n
i
in r F A t
==∑ E(t – xi)⋅

!r
it x
r−
Funcția Fn,r (t) este, evident, continuă cu derivatele ei până la ordinal r
– 1inclusiv pe [ a,b], derivata ei de ordinul r, care coincide cu Fno este o funcție
constantă pe porțiuni cu discontinuități în noduril e n
ix, i =1, n și are în ele

Integrarea numerică

64
salturi corespunzător coeficienților n
iA, i = 1, n. Ea are rolul funcției de
influență în problema de convergență considerată.
Teorema 4.3. Pentru convergența șirului cuadratură (4.1.2) pentr u orice
funcție f ∈ Cr[a,b] este necesar și suficient să fie îndeplinite condi țiile:
1) șirul de cuadratură converge dacă f este un pol inom algebric oarecare;
2) există 0 < M < ∞ astfel încât pentru toate valorile n = 1,2,3,… are loc
inegalitatea
, 1
 b
n r
aF t dt −∫≤ M (4.1.4)
Se observă că cea de a doua condiție poate fi dată într-o altă formă mai
intuitivă. Dacă funcția g(x) are pe [ a,b] derivata întâi g'(x) continuă, atunci
integrala pe [ a,b] din | g' (t)| nu este altceva decât variația totală a funcției g(x)
pe [ a,b].
[ , ] var

 b
a b
ag x g x dx ′ =∫
Dacă ținem seama de relația F' n,r (t) = Fn,r-1(t), atunci se poate spune că
(4.5) are semnificația mărginirii mulțimii variații lor totale pe [a,b] a funcțiilor
Fn,r
t, n = 1,2,3,…
(), ] ,[var na b rF t M ≤ < ∞ , n = 1,2,3,… (4.1.5)
Facem în continuare observații privind condițiile teoremei 4.3. Dacă
trecem de la r la r + 1 și corespunzător de la clasa Cr[a,b] la clasa Cr+1 [a,b]
ultima este o parte a clasei Cr[a,b]. Are loc o micșorare a mulțimii de funcții,
pentru care trebuie să fie convergent șirul de cuad raturi și condițiile de
convergență se schimbă la mai puține restricții.

Integrarea numerică

65
Prima din condițiile teoremei 4.3 nu depinde de r. Luăm a doua condiție
în formula (4.1.5). Pentru verificarea ei trebuie s ă examinăm funcțiile Fn,r (t), să-i
deducem variațiile totale pe [ a,b] și să stabilim dacă sunt sau nu în totalitate
mărginite.
Prin trecerea la Cr+1 [a,b] funcția Fn,r
t trebuie să fie înlocuită cu Fn,r+1
t
care este primitivă pentru Fn,r
t cu valorile inițiale nule în punctul t = a. Prin
urmare
( )1 , ,
 t
n r r
anF F u t du +=∫ și ( ), ,[ , 1]var
 b
n r a b
ar n F t F u du +=∫
Condiția necesară și suficientă care asigură conve rgența procesului de
cuadratură pentru toate funcțiile din Cr+1 [a,b] este existența unui număr M1<∞,
astfel încât pentru n = 1,2,… să fie verificată inegalitatea
, , 1 [ , ] 1var
 rb
n
an ra b F F u du M +< < ∞ =∫ (4.1.6)
De altfel se arată ușor că din (4.6) rezultă (4.7) . Într-adevăr,
( ) ( ), 1 , , 1 ,

 t b
n r r n
an r n r
aM F u du F F u F du t t − − = ≤ ≤ =∫ ∫,
prin urmare
1 , 1 [ , ] ,var

 b
n r b
n r a b
a a t F t dt Md F t M b a M +≤ < − = < ∞ =∫ ∫
În felul acesta, trecerea de la mulțimea Cr[a,b] la Cr+1 [a,b] pentru a doua
condiție a teoremei 4.3. este echivalentă cu înlocu irea cerinței (4.1.5) prin
cerința mai slabă (4.1.6).
Considerăm cazul particular r = 1 prin

Integrarea numerică

66
Teorema 4.4. Pentru ca procesul de cuadratură (4.1.2) să fie con vergent pentru
orice funcție f ∈ C1[a,b] este necesar și suficient să fie îndeplinite condițiile:
1) procesul de cuadratură să fie convergent pentru orice polinom algebric;
2) există un număr 0 ≤ M < ∞ astfel încât pentru n = 1,2,3,… se verifică
inegalitatea
|A 1|( n
2x – n
1x) + | 1nA + 2nA|( n
3x – n
2x) +…+ | 1nA + 2nA +…+
+n
nA|(b – n
nx) ≤ M < ∞ (4.1.7)
Comparăm teorema 4.4 cu teorema 4.3 pentru r = 1. Prima condiție
în ambele teoreme este aceiași. Rămâne să verificăm că inegalitatea (4.1.4),
pentru r = 1, coincide cu (4.1.7). Dar această afirmație est e evidentă deoarece
definirea (4.4) a funcției Fno (t) ne permite calculul integralei din (4.1.4) pentru r
= 1 și obținem pentru aceasta valoarea
,
 b
n o
aF t dt ∫ = 2
11n
nx
xA dt ∫ + 3
21 2 n
nx
xA t d A+∫ +…+ 1 2
n
nb
xnA A A dt + +…+ ∫ =
= | A1|
2nx – 1nx + | A1 + A2|
3nx – 2nx +…+ | A1 + A2 +…+
+An-1|
1n
nx− – n
nx +…+ | A1 + A2 +…+ An|
b – n
nx ≤M<∞
ceea ce demonstrează că (4.1.4) și (4.1.7) coincid.

4.2 Despre convergența formulelor de cuadratură de tip
interpolator
În formulele cuadratură de acest tip, coefici enții n
iA se
calculează cu ajutorul nodurilor n
ix și relațiile

Integrarea numerică

67
n
iA =

 b
n
n
a i n i xp x dx
x x x ω
ω′ −∫ , 1, i n = ,
1

 n
n i
ix x x ω
== − ∏ ,
și tabloul A al coeficienților care se determină cu ajutorul Ta bloului X al
nodurilor. De aceea, în problema convergenței proce selor de cuadratură de tip
interpolator este necesar să se considere două lucr uri – tabloul X al nodurilor și
clasa F a funcțiilor f. Trebuie precizat cum trebuie să fie acestea lega te între ele
pentru ca procesul să fie convergent.
Considerăm la început cele mai simple teoreme care ne dau condiții
suficiente de convergență și care se utilizează fre cvent în aplicații. Ele se
bazează pe rezultatele, obținute în teoria interpol ării.
Teorema 4.5. Dacă:
10 intervalul [a,b] este mărginit;
20 funcția pondere p(x) este absolut integrabilă pe [ a,b];
30 funcția f și tabloul X al nodurilor sunt astfel în cât procesul de interpolare
converge către funcția f uniform în raport cu x pe [a,b], atunci procesul de cuadratură de
tip interpolator
( )
1

 b n
n
nn
i i
i ap x f x dx A f f x R
=+ =∑ ∫
(4.2.1)
converge pentru n→∞ către valoarea exactă a integralei.
Demonstrație. Notăm cu rn(x) restul formulei de interpolare a funcției f
conform valorilor în nodurile n
ix, 1, i n = . Eroarea formulei aproximative de
cuadratură este dată prin
( )

b
n
anR r p x x dx f=∫.

Integrarea numerică

68
Deoarece rn→ 0 pe [a,b] uniform, se poate trece la limită sub semnul
integralei, ceea ce conduce la lim Rn(f) = 0.
Analog teoremei 4.1 privind convergența procesului cuadraturii de tip
interpolator este
Teorema 4.6 . Pentru convergența procesului de cuadratură de tip interpolator
1

 b n
n
i i
i ap x f x dx A f x
=≈∑ ∫

 b
n n
i n n
a i n i xA p x dx
x x x ω
ω=′ −∫
pentru orice funcție f ∈ C[a,b] este necesară și suficientă existența număr ului M,
pentru care pentru n = 1,2,… este îndeplinită ine galitatea
1n
nn
i
iB A
==∑ ≤ M < ∞
Analog teoremei 4.2 este
Teorema 4.7. Dacă în procesul cuadraturii de tip interpolator (4 .10) toți
coeficienții n
iA sunt pozitivi, atunci procesul (șirul) cuadraturii converge către
valoarea exactă a integralei pentru orice funcție f ∈ C[a,b].
Am văzut (teorema 3.5) că dacă formula de cuadratu ră are gradul de
precizie algebrică 2 n – 1 și dacă funcția pondere p(x) este pozitivă pe [ a,b],
atunci coeficienții n
iA sunt pozitivi.
În baza teoremei 4.7 se poate enunța
Teorema 4.8. Dacă:
1) intervalul [a,b] este mărginit;
2) funcția pondere p(x) este pozitivă pe [a,b];

Integrarea numerică

69
3) formula de cuadratură (4.10) are, pentru orice n, gradul maxim 2n – 1 de
exactitate algebrică;
atunci procesul cuadraturii converge către valoarea exactă a integralei, pentru orice
funcție f, continuă pe [a,b].
Demonstrație. Deoarece f este continuă pe [ a,b ], pentru orice ε> 0 există
un polinom P
x, astfel încât pentru orice x∈ [a,b] avem
| f(x) – P(x)| < ε (4.2.3)
Evident
1 1

 b b b b n n
n n n n
i i i i
i i a a a a p x f x dx A f x pfdx pPdx pPdx A P x
= = − ≤ − + − ∑ ∑ ∫ ∫ ∫ ∫ +
+
1 1

 n n
n n n n
i i i i
i i A P x A f x
= = −∑ ∑
Dar, în baza inegalității (4.2.3)
b b
a a pfdx pPdx −∫ ∫ =
 b
ap f P dx −∫≤
 b
ap x p P dx −∫<ε
 b
ap x dx ∫,
iar

1 1

 n n
n n n n
i i i i
i i A P x A f x
= = −∑ ∑ ≤
1

 n
n n n
i i i
iA P x f x
=−∑ <ε
1n
n
i
iA
=∑ = b
apdx ε∫.
În plus, dacă m este gradul polinomului P(x), atunci pentru 2 n – 1 ≥m,
avem
1
 b n
n n
i i
i apPdx A P x
==∑∫
și pentru orice n
1
 b n
n n
i i
i apfdx A f x
=−∑∫< 2 εb
apdx ∫,

Integrarea numerică

70
de unde
1lim

 b n
n n
i i ni aA f x p x f x dx
→∞ ==∑∫.
În plus, remarcăm că în condițiile teoremei 4.8 est e adevărat un rezultat
mult mai puternic: procesul de cuadratură cu grad m axim 2 n – 1 de precizie
algebrică converge către valoarea exactă a integral ei când n→∞ pentru orice
funcție, integrabilă pe [ a,b ] în sens Riemann.

Integrarea numerică

71

Bibliografie

[1] D. ACU, The use of quadrature formulae in obtaining inegali ties , Studia Univ.
Babeș-Bolyai, Matematica, nr. 4/1990, p. 25 – 33
[2] D. BĂRBOSU, Introducere în analiza numerică și teoria aproximăr ii, Editura
Universității de Nord Baia Mare, 2009
[3] C.M BUCUR, Metode numerice , Editura Facla, Timișoara, 1973
[4]G. COMAN, Analiză numerică , Editura Libris, Cluj, 1995
[5]B. DEMIDOVICI, I. MARON, Éléments de calcul numérique , Editions Mir, Moscou,
1973
[6] D.V. IONESCU, Cuadraturi numerice , Ed. Tehnică, București, 1957
[7] N.V. KOPCHENOVA, I.A. MARON, Computational Mathematic , Mir
Publischers, Moscow, 1975
[8] V.I. KRÎLOV, Priblijennoe vîcislenie integralov , Nauka, Moskva, 1976
[9] V.I. KRÎLOV, V.V., BOBKOV, P.P. MONASTÎRNÎI, Vîcislenie metodî , tom I,
izd. Nauka, Moskva, 1976

Integrarea numerică

72
[10] J.LEGRAS, Méthodes et techniques de l'analyse numérique , Dunod, Paris, 1971
[11] I.PĂVĂLOIU, N. POP, Interpolare și aplicații , Editura Risoprint,
Cluj-Napoca, 2005
[12] D. STANCU, G. COMAN,P. BLAGA , Analiză numerică și teoria aproximării
(vol. II) , Editura Presa Universitară Clujeană, 2002
[13] I. ȘICLOVAN., M. HELJIU, Metode Numerice , Editura Focus, Petroșani,
2002
[14] T. VLADISLAV, I. RAȘA, Analiză numerică, Editura Tehnică, București,
1997