CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE FACULTATEA DE ȘTIINȚE SPECIALIZAREA MATEMATICĂ DIDACTICĂ LUCRARE DE DISERTAȚIE Absolvent: ANCUȚA -CRINA VINȚ… [631434]

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DIN CLUJ -NAPOCA
CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
SPECIALIZAREA MATEMATICĂ DIDACTICĂ

LUCRARE DE DISERTAȚIE

Absolvent: [anonimizat]: MIHAELA (CHIRA) PETRIC

BAIA MARE
2020

Sisteme de ecuații

2

Sisteme de ecuații

3

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DIN CLUJ -NAPOCA
CENTRUL UNIVERSITAR NORD DIN BAIA MARE
FACULTATEA DE ȘTIINȚE
SPECIALIZAREA MATEMATICĂ DIDACTICĂ

Sisteme de ecuații

Absolvent: [anonimizat]: MIHAELA (CHIRA) PETRIC

BAIA MARE

Sisteme de ecuații

4
2020
Cuprins
Introducere ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……………. 5
Capitolul 1 ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………….. 6
1.1 Sisteme de ecuații liniare ………………………….. ………………………….. …………. 6
1.1.1 Studiul general al sistemelor de ecuații liniare ………………………….. .. 6
1.1.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare ………………………….. ………… 10
1.1.2.1 Metoda lui Cramer ………………………….. ………………………….. ………….. 10
1.1.2.2 Lema substituției ………………………….. ………………………….. …………….. 11
1.1.2.3 Metoda lui Gauss ………………………….. ………………………….. …………….. 15
1.1.2.4 Medota lui Gauss -Jordan ………………………….. ………………………….. …. 16
Capitolul 2 ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 21
2.1 Sisteme de ecuații diferențiale ………………………….. ………………………….. .. 21
2.1.1 Noțiuni fundamentale ………………………….. ………………………….. …….. 21
2.1.2 Teorema de existență și unicitate ………………………….. …………………….. 24
2.2 Sisteme de ecuații diferențiale ………………………….. ………………………….. ….. 31
2.2.1 Studiul general al sistemelor de ecuații diferențiale liniare de ordinul
întâi ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………………. 31
2.2.2 Sisteme de ecuații diferențiale liniare de ordinul I cu coeficienți
constanți ………………………….. ………………………….. ………………………….. ……….. 36
2.2.3 Sisteme simetrice ………………………….. ………………………….. ……………….. 41
Capitolul 3 ………………………….. ………………………….. ………………………….. …………… 53
3.1 Funcția exponențială de matrice ………………………….. ………………………… 53
3.2 Determinarea matricei 𝒆𝒕𝓐 ………………………….. ………………………….. …… 59
3.3 Exponențiala de argument matriceal ………………………….. ………………….. 63
3.4 Aplicații alei exponențialei de argument matriceal ………………………….. … 67
Bibliografie ………………………….. ………………………….. ………………………….. ………….. 76

Sisteme de ecuații

5
Introducere
Rezolvarea ecuațiilor algebrice este una dintre cele mai importante
probleme ale matematicii și a constituit multă vreme obiectul principal al
algebrei. Teoria ecuațiilor are drept scop găsirea diferetelor proprietăți ale unei
ecuații, care să permită calculul exact sau aproximativ al ră dăcinilor ei.
Un studiu mai amplu al sistemelor de ecuații a fost început de către
d`Alembert, care a aplicat la sistemele liniare omogene cu coeficienți constanți
metoda coeficienților nederminați.
Lucrarea de față reprezintă un minim de cunoștințe de bază din
domeniul sistemelor de ecuații și a metodelor de rezolvare. Materialul
prezentat este organizat în trei capitole care acoperă cunoștințele aferente
temei „Sisteme de ecuații”.
În primul capit ol avem prezentat un studiu g eneral al sistemelor și
metode de rezolvare ale acestora.
În capitolul doi sunt prezentate notiunile fundamentale, teorema de
existență si unicitate a sistemelor de ecuații diferențiale.
Iar în capitolul trei reprezintă un studiu despre funcția exponențială de
matrice exerciții rezolvate.

Sisteme de ecuații

6
Capitolul 1
1.1 Sisteme de ecuații liniare
1.1.1 Studiul general al sistemelor de ecuații liniare
Printr -un sistem de 𝑚 ecuații liniare cu 𝑛 necunoscute 𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛 și
coeficienți în 𝐾, unde 𝐾 este un corp comutativ se înțelege un ansamblu de
egalități formale:
(𝑆): {𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+ …+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+ …+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
…
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+ …+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑚 (1.1.1.1)
unde 𝑎𝑖𝑗∈𝐾 ,𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅ sunt coeficienții sist emului, iar elementele 𝑏𝑖 ,𝑖=
1,𝑚̅̅̅̅̅̅ sunt termenii liberi ai ecuațiilor sistemului.
Dacă 𝑏1=𝑏2=⋯=𝑏𝑛=0, atunci spunem că sistemul (1.1.1.1) este un
sistem omogen .
1.1.1.1 Observație
1. Un vector 𝑥=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∈𝐾𝑛 este soluție pentru sistemul (1.1.1.1)
dacă înlocuind necunoscutele sistemului cu componentele vectorului
𝑋𝑖≔𝑥𝑖 toate egalitățiile ce se obțin sunt adevărate.
2. Sistemul (1.1.1.1) este compatibil dacă are cel puțin o soluție și este
incompatibil dacă nu are soluții, iar compatibil determinat dacă are
exact o soluție, iar dacă are cel puțin două soluții, atunci spunem că este
compatibil nedeterminat.

Sisteme de ecuații

7
1.1.1.2 Definiție
1. Matricea 𝐴=[𝑎𝑖𝑗],𝑖=1,𝑚̅̅̅̅̅̅,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅ se numește matricea sistemului
(1.1.1.1).
2. Matricea 𝐴𝑒=[𝑎11…𝑎1𝑛𝑏1
⋮⋱⋮
𝑎𝑚1…𝑎𝑚𝑛𝑏𝑚] se numește matricea extinsă
atașată sistemului (1.1.1.1).
1.1.1.3 Observații
1. Forma matriceală . Dacă 𝐴=[𝑎𝑖𝑗] este matricea sistemului (1.1.1.1)
atunci sistemul poate fi scris sub forma 𝐴𝑋𝑡=𝑏𝑡, unde
𝑋=(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛) și 𝑏=(𝑏1,𝑏2,…,𝑏𝑚).
2. Forma vectorială. Dacă privim coloanele matricii 𝐴 ca vectori coloană
din 𝐾-spațiul vectorial 𝐾𝑛, atunci sistemul poate fi scris sub forma:
(𝑆): 𝑋1𝑐1𝐴+ …+𝑋𝑛𝑐𝑛𝐴=𝑏𝑡.
1.1.1.4 Teorema lui Kroneker -Capelli
Sistemul de ecuații liniare (1.1.1.1) este compatibil detrminat dacă 𝑟𝑎𝑛𝑑 (𝐴)=
𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴𝑒).
Demonstrație
⇐ Presupunem că sistemul (1.1.1.1) este compatibil. Există, deci,
(𝛼1,…,𝛼𝑛)∈𝐾𝑛 astfel încât
𝛼1𝑐1𝐴+ …+𝛼𝑛𝑐𝑛𝐴=𝑏𝑡.
Dar, de aici, rezultă că 𝑏𝑡∈〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴〉, adică
〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴〉=〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴,𝑏𝑡〉
⇒𝑟𝑎𝑛𝑔 [𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴]=𝑟𝑎𝑛𝑔 [𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴,𝑏𝑡]

Sisteme de ecuații

8
⇒𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴𝑒).
⇒ Presupunem acum că 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴𝑒), adică
𝑟𝑎𝑛𝑔 [𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴]=𝑟𝑎𝑛𝑔 [𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴,𝑏𝑡].
Conform definiției rangului unui sistem de vectori, avem
𝑑𝑖𝑚𝐾〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴〉=𝑑𝑖𝑚𝐾〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴,𝑏𝑡〉,
iar ținând cont de faptul că 〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴〉 este un subspațiu a lui 〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴,𝑏𝑡〉,
deducem că 〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴〉=〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴,𝑏𝑡〉.
Vectoru l 𝑏𝑡∈〈𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴〉, există deci (𝛼1,…,𝛼𝑛)∈𝐾𝑛 astfel încât
𝛼1𝑐1𝐴+ …+𝛼𝑛𝑐𝑛𝐴=𝑏𝑡,
adică, sistemul (1.1.1.1) este compatibil.
1.1.1.5 Observație
Criteriul lui Rouché, este o consecință a teoremei Kroneker -Capelli.
1.1.1.6 Teorema
Soluțiile unui sistem omogen (1.1.1.1) cu 𝑛 necunoscute formează un subspațiu
al 𝐾− spațiului vectorial 𝐾𝑛, de dimensiune 𝑛- rang (A).
Demonstrație
Fie (1.1.1.1) un sistem de 𝑚 ecuații și 𝑛 necunoscute, cu forma matriceală
𝐴∙𝑋𝑡=0𝑡.
Trecând la transpunse, în identitatea matriceală anterioară, obținem
(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛)𝐴𝑡=(0,0,…,0).

Sisteme de ecuații

9
Considerăm aplicația liniară 𝑓𝐴:𝐾𝑛→𝐾𝑚 , cu [𝑓𝐴]𝑏𝑏`=𝐴𝑡, unde e este baza
canonică lui 𝐾𝑛, iar 𝒆` este baza canonică lui 𝐾𝑚. Dacă (𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛)∈𝐾𝑛,
avem
𝑓𝐴(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛)=(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛)[𝑓𝐴]𝑒𝑒`𝑒`𝑡=(𝑋1,𝑋2,…,𝑋𝑛)𝐴𝑡𝑒`𝑡.
Deducem că (𝛼1,…,𝛼𝑛)∈𝐾𝑛 este soluție a sistemului (1.1.1.1), dacă și
numai dacă , (𝛼1,…,𝛼𝑛)∈𝐾𝑒𝑟(𝑓𝐴). Dar 𝐾𝑒𝑟(𝑓𝐴) este subspațiu a lui 𝐾𝑛, de
dimensiune
𝑑𝑒𝑓(𝑓𝐴)=𝑛−𝑟𝑎𝑛𝑔(𝑓𝐴)=𝑛−𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝑡)=𝑛−𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴).
1.1.1.7 Corolar
Un sistem omogen (𝑆): {𝑎11𝑥1+𝑎12𝑥2+ …+𝑎1𝑛𝑥𝑛=𝑏1
𝑎21𝑥1+𝑎22𝑥2+ …+𝑎2𝑛𝑥𝑛=𝑏2
…
𝑎𝑚1𝑥1+𝑎𝑚2𝑥2+ …+𝑎𝑚𝑛𝑥𝑛=𝑏𝑚 (1.1.1.1)
are doar soluție banală (0,…,0) dacă și numai dacă 𝑛=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴).
1.1.1.8 Observația
Din demonstrația teoremei se deduce că subspațiul soluțiilor unui
sistem omogen coincide cu nucleul aplicației liniare 𝑓𝐴:𝐾𝑛→𝐾𝑚 cu [𝑓]𝑒𝑒`=𝐴𝑡,
unde 𝑒 și 𝑒` sunt bazele canonice.
1.1.1.9 Teo remă
Fie (𝑆): 𝐴𝑋𝑡=𝑏𝑡 un sistem de ecuații liniare și (𝑆0):𝐴𝑋𝑡=0 un sistem
omogen. Dacă 𝑥0 este o soluție particulară a lui (𝑆) și 𝑆0 este mulțimea soluțiilor lui
(𝑆0), atunci mulțimea soluțiilor sistemului (𝑆) este
𝑆=𝑥0+𝑆0={𝑥0+𝑦|𝑦∈𝑆0}.

Sisteme de ecuații

10
Demonstrație
Fie (𝑆) un sistem de 𝑚 ecuații, cu 𝑛 necunoscute. Considerăm aplicația
liniară 𝑓𝐴:𝐾𝑛→𝐾𝑚,[𝑓𝐴]𝑒𝑒`=𝐴𝑡, unde 𝐴∈𝑀𝑚,𝑛(𝐾) este matricea sistemului
(𝑆). Am notat cu 𝑒 și 𝑒` bazele canonice din 𝐾𝑛, respectiv 𝐾𝑚.
Dacă 𝑥=(𝑥1,…,𝑥𝑛)∈𝐾𝑛, avem
𝑓𝐴(𝑥1,…,𝑥𝑛)=(𝑥1,…,𝑥𝑛)𝐴𝑡∈𝐾𝑛.
Vectorul 𝑥 este o soluție a lui (𝑆) dacă și numai dacă
𝐴𝑋𝑡=𝑏𝑡⇔𝑥𝐴𝑡=𝑏⇔𝑓(𝑥)=𝑏.
Deci, 𝑥0, fiind o soluție particulară a lui (𝑆) avem 𝑓(𝑥0)=𝑏 și
𝑥∈𝑆⇔𝑓(𝑥)=𝑓(𝑥0)⇔𝑓(𝑥)−𝑓(𝑥0)=0⇔𝑓(𝑥−𝑥0)=0.
Un vector 𝑦∈𝐾𝑛 este soluție a sistemului (𝑆0), dacă și numai dacă
𝑓(𝑦)=0, deci
𝑓(𝑥−𝑥0)=0⇔𝑥−𝑥0∈𝑆0⇔∃ 𝑦∈𝑆0 𝑎.î.𝑥−𝑥0=𝑦
⇔⇔∃ 𝑦∈𝑆0 𝑎.î.𝑥=𝑥0+𝑦⇔𝑥∈𝑥0+𝑆0.
1.1.2 Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare
1.1.2.1 Metoda lui Cramer
Un sistem de forma (𝑆):𝐴𝑋𝑡=𝑏𝑡 cu 𝑛 ecuații și 𝑛 necunoscute este
compatibil determinat dacă și numai dacă 𝑑𝑒𝑡𝐴≠0. În aceste condiții soluția
este 𝑥=(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) cu 𝑥𝑖=(det(𝐴))−1𝑑𝑒𝑡[𝑐1𝐴,…,𝑐𝑖−1𝐴,𝑏𝑡𝑐𝑖+1𝐴,…,𝑐𝑛𝐴],∀𝑖∈
{1,2,…,𝑛}

Sisteme de ecuații

11
1.1.1.5 Exemplu
Să se rezolve sistemul {𝑥1+𝑥2−𝑥3=0
3𝑥1−2𝑥2+2𝑥3=5
2𝑥1+3𝑥2−2𝑥3=2 .
Calculând determinantul matricii sistemului det(𝐴)=[11−1
3−22
23−2]=−5,
deducem că sistemul este compatibil determinat. Pentru a obține soluția
calculăm determinații.
𝑑1=|01−1
5−22
23−2|=−5,
𝑑2=|10−1
352
22−2|=−10,
𝑑3=|110
3−25
232|=−5,
𝑑𝑖 este detrminantul matricii obținute din 𝐴 prin înlocuirea coloanei a 𝑖-a cu
coloana termenilor liberi. Componentele soluției sunt :
𝑥1=𝑑1
det(𝐴)=−5
−5=1,
𝑥2=𝑑2
det(𝐴)=−10
−5=2,
𝑥3=𝑑3
det(𝐴)=−15
−5=3.
1.1.2.2 Lema substituției
Este suficient să găsim o bază pentru spațiul soluțiilor sistemului
omogen, numit sistem fundamental de soluții și o soluție particulară.

Sisteme de ecuații

12
Considerăm sistemul (𝑆)=𝐴𝑥𝑡=𝑏𝑡 (1.1.1.2 ) cu 𝑚 ecuații și 𝑛
necunos cute.
Aplicăm lema substituției pentru a calcula 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴) , adică rangul
sistemului de vectori [𝑐1𝐴,…,𝑐𝑛], format din coloanele lui 𝐴 . Tabelul inițial va
arăta ast fel

𝑐1𝐴 𝑐2𝐴 … 𝑐𝑛𝐴 𝑏𝑡
𝑒1
𝑒2…
𝑒𝑚 𝐴 𝑏1
𝑏2 …
𝑏𝑚
Presupunem că după un număr de 𝑟 pași ajungem la următoarea
situație
𝑐1𝐴…𝑐𝑟𝐴 𝑐𝑟+1𝐴…𝑐𝑛𝐴 𝑏𝑡
𝑐1𝐴
…
𝑐𝑟𝐴
𝑐𝑟+1𝐴
…
𝑐𝑚𝐴 1…0
……
0…1 𝛽1,𝑟+1…𝛽1,𝑛
… …
𝛽𝑟,𝑟+1…𝛽𝑟,𝑛
0…0
……
0…0 0…0
……
0…0 𝑏1`
…
𝑏𝑟`
𝑏𝑟+1`
…
𝑏,`
Observăm că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟. Ca sistemul ( 1.1.1.2) să fie compatibil rangul
matricii extinse, 𝐴𝑒, trebuie să fie tot 𝑟. Această condiție este echivalentă cu
𝑏𝑟+1`=…=𝑏𝑚`=0. În aceaste condiții avem
𝑏𝑡=𝑏1`∙𝑐1𝐴+⋯+𝑏𝑟`∙𝑐𝑟𝐴+0∙𝑐𝑟+1𝐴+⋯+0∙𝑐𝑛𝐴,
adică 𝑥0=(𝑏1`,…,𝑏𝑟`,0,…,0) este o soluție particulară a sistemului (1.1.1.2) .

Sisteme de ecuații

13
Dimensiunea subspațiului soluțiil or sistemului omogen atașat, 𝑆0 este
𝑛−𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴), adică 𝑛−𝑟. Pentru a determina o bază a lui 𝑆0 este suficient să
găsim 𝑛−𝑟 vectori liniari independenți. Din ultimul tabel avem
{𝑐𝑟+1𝐴=𝛽1,𝑟+1∙𝑐1𝐴+ …+𝛽𝑟,𝑟+1∙𝑐𝑟𝐴
…
𝑐𝑛𝐴=𝛽1,𝑛∙𝑐1𝐴+ …+𝛽𝑟,𝑛∙𝑐𝑟𝐴, adică
{𝛽1,𝑟+1∙𝑐1𝐴+ …+𝛽𝑟,𝑟+1∙𝑐𝑟𝐴+(−1)∙𝑐𝑟+1𝐴+0∙𝑐𝑟+2𝐴+ …+0∙𝑐𝑛𝐴=0
…
𝛽1,𝑛∙𝑐1𝐴+ …+𝛽𝑟,𝑛∙𝑐𝑟𝐴+0∙𝑐𝑟+1𝐴+0∙𝑐𝑟+2𝐴+ …+(−1)∙𝑐𝑛𝐴=0
Obținem astfel următoarele soluții ale sistemului omogen
{𝑦1=(𝛽1,𝑟+1,…,𝛽𝑟,𝑟+1,−1,0,…,0)∈𝑆0
…
𝑦𝑛−𝑟=(𝛽1,𝑛,…,𝛽𝑟,𝑛,0,0,…,−1)∈𝑆0
Vectorii 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛−𝑟, fiind liniari independenți, formează o bază în 𝑆0.
Cunoscând soluția particulară 𝑥0 și baza a lui 𝑆0 putem determina soluțiile
sistemului (1.1.1.2).
1.1.1.6 Exemplu : Să se rez olve sistemul
a) {𝑥1−𝑥2+2𝑥3+𝑥4+3𝑥5=2
𝑥1−𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5=1
−3𝑥1+2𝑥2+𝑥3−4𝑥4+4𝑥5=−3
Folosind lema substituției avem tabelul

Sisteme de ecuații

14
𝑐1𝐴 𝑐2𝐴 𝑐3𝐴 𝑐4𝐴 𝑐5𝐴 𝑏𝑡
𝑒1
𝑒2
𝑒3 𝟏
1
−3 −1
−1
2 2
1
1 1
1
−4 3
1
4 2
1
−3
𝑐1𝐴
𝑒2
𝑒3 1
0
0 −1
0
−1 2
−𝟏
7 1
0
−1 3
−2
13 2
−1
3
𝑐1𝐴
𝑐3𝐴
𝑒3 1
0
0 −1
0
−𝟏 0
1
0 1
0
−1 −1
2
−1 0
1
−4
𝑐1𝐴
𝑐3𝐴
𝑐2𝐴 1
0
0 0
0
1 0
1
0 2
0
1 0
2
1 4
1
4

Observăm că 𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴𝑒)=3, deci sistemul este compatibil.
Coloana termenilor liberi se poate eprima astfel
𝑏𝑡=4𝑐1𝐴+1𝑐3𝐴+4𝑐2𝐴=4𝑐1𝐴+4𝑐2𝐴+1𝑐3𝐴+0𝑐4𝐴+0𝑐5𝐴,
de unde deducem că 𝑥0=(4,1,1,0,0) este o soluție a sistemului.
Conform ultimului tabel avem {𝑐4𝐴=2𝑐1𝐴+𝑐2𝐴
𝑐5=2𝑐3𝐴+𝑐2𝐴, adică
{2𝑐1𝐴+𝑐2𝐴+0𝑐3𝐴+(−1)𝑐4𝐴+0𝑐5𝐴=0
0𝑐1𝐴+𝑐2𝐴+2𝑐3𝐴+0𝑐4𝐴+(−1)𝑐5𝐴=0.
Obținem astfel următoarele soluții ale sistemului omogen atașat
{𝑦1=(2,1,0,−1,0)∈𝑆0
𝑦2=(0,1,2,0,−1)∈𝑆0.
Știm că 𝑑𝑖𝑚ℝ𝑆0=5−𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=5−3=2. Vectorii 𝑦1,𝑦2, fiind
liniar independenți, formează o bază în 𝑆0. Așadar

Sisteme de ecuații

15
𝑆0=〈𝑦1,𝑦2〉={𝛼𝑦1+𝛽𝑦2|𝛼,𝛽∈ℝ}={(2𝛼,𝛼+𝛽,2𝛽,−𝛼,−𝛽)𝛼,𝛽∈ℝ},
de unde deducem că mulțimea soluțiilor sistemului (S) este
𝑆=𝑥0+𝑆0={(4+2𝛼,4+𝛼+𝛽,1+2𝛽,−𝛼,−𝛽),𝛼,𝛽∈ℝ}.
b) Să se rezolve sistemul
{𝑥1−𝑥2+2𝑥3+𝑥4+3𝑥5=2
𝑥1−𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5=1
2𝑥1−2𝑥2+3𝑥3+2𝑥4+4𝑥5=3
Folosind lema substituției avem tabelul
𝑐1𝐴 𝑐2𝐴 𝑐3𝐴 𝑐4𝐴 𝑐5𝐴 𝑏𝑡
𝑒1
𝑒2
𝑒3 𝟏
1
2 −1
−1
−2 2
1
3 1
1
3 3
1
4 2
1
3
𝑐1𝐴
𝑒2
𝑒3 1
0
0 −1
0
0 2
−𝟏
−1 1
0
0 3
−2
−3 2
−1
−7
𝑐1𝐴
𝑐3𝐴
𝑒3 1
0
0 −1
0
0 0
1
0 1
0
0 −1
2
0
0
1
−6

Sistemul este incompatibil pentru 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=2≠3=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝑒).
1.1.2.3 Metoda lui Gauss
Spunem că două sisteme de ecuații liniare sunt echivalente dacă ambele
sun compatibile și au aceleași soluții sau dacă ambele sunt incompatibile.

Sisteme de ecuații

16
Metoda lui Gauss constă în aducerea matricii estinse la o formă eșalon și
rezolvarea sistemului care are ca matrice estinsă matricea eșalon obținută.
1.1.1.7 Exemplu
Să se rezolve folosind metoda lui Gauss sistemul
{𝑥1−𝑥2+2𝑥3+𝑥4+3𝑥5=2
𝑥1−𝑥2+𝑥3+𝑥4+𝑥5=1
−3𝑥1+2𝑥2+𝑥3−4𝑥4+4𝑥5=−3
Aducem matricea extinsă a sistemului la o matrice eșalon
(1−1213
1−1111
−321−44|2
1
−3) 𝑙2=𝑙2−𝑙1
𝑙3=𝑙3+3𝑙1̃
(1−1213
00−10−2
0−17−113|2
−1
3)
𝑙2=𝑙3
𝑙3=−𝑙2̃
(1−1213
0−17−113
00102|2
3
1).
Obținem sistemul
{𝑥1−𝑥2+2𝑥3+𝑥4+3𝑥5=2
−𝑥2+7𝑥3−𝑥4+13𝑥5=3
𝑥3+2𝑥5=1,
echivalent cu cel inițial, iar rezolvându -l obținem
𝑆={(4−2𝛼,4−𝛼−𝛽,1−2𝛽,𝛼,𝛽)|𝛼,𝛽𝜖ℝ}.
1.1.2.4 Medota lui Gauss -Jordan
Se numește pas Gauss -Jordan modificat, transformarea elementelor
matricei conform algoritmului următor:
1. Se alege un element nenul 𝑎𝑖𝑗, numit pivot;
2. Se împarte linia pivot la pivot, inclusiv pivotul;
3. Se înlocuiește celel alte elemente ale coloanei pivot cu 0;

Sisteme de ecuații

17
4. Se calculează celelalte elemente ale matricei cu regula determinantului
de ordin 2 și se împarte la elementul pivot (diagonala principală fiind
diagonala pivotului), adică se calculează celelalte elemente ale matricei
cu regula dreptunghiului: produsul elementelor de pe diagonala
pivotului minus produsul elementelor de pe cealaltă diagonală se
împarte la pivot. Prin urmare, dacă elementul pivot este 𝑎𝑖𝑗≠0 și dorim
să calculăm 𝑎𝑒𝑘`, care înlocuiește pe 𝑎𝑒𝑘.
1.1.1.8 Exemplu :
Considerând sistemul din Exemplu 1.1.1.7, am văzut că
𝐴𝑒~(1−1213
0−17−113
00102|2
3
1).
Aplicând succesiv transformări elementare pe linii avem
𝐴𝑒 𝑙2=𝑙2−7𝑙3
𝑙1=𝑙1−2𝑙3
~ (1−101−1
0−10−1−1
00102|0
−4
1)𝑙1=𝑙1−𝑙2
𝑙2=−𝑙2
~(10020
01011
00102|4
4
1).
Obținem sistemul
{𝑥1+2𝑥4=4
𝑥2+𝑥4+𝑥5=4
𝑥3+2𝑥5=1 , echivalent cu cel inițial.
1.1.1.8 Exemplu
Să se rezolve cu toate metodele studiate sistemele:
a) {3𝑥1+4𝑥2+𝑥3+2𝑥4=3
6𝑥1+8𝑥2+2𝑥3+5𝑥4=7
9𝑥1+12𝑥2+3𝑥3+10𝑥4=13
I. Folosind lema substituției avem tabelul

Sisteme de ecuații

18
𝑐1𝐴 𝑐2𝐴 𝑐3𝐴 𝑐4𝐴 𝑏𝑡
𝑒1
𝑒2
𝑒3 3
6
9 4
8
12 𝟏
2
3 2
5
10
3
6
13
𝑐3
𝑒2
𝑒3 3
0
0 4
0
0 1
0
0 2
𝟏
4 3
1
4
𝑐3
𝑐4
𝑒3 3
0
0 4
0
0 1
0
0 0
1
0 1
1
0

Observăm că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝑒)=2, deci sistemul este compatibil.
Coloana termenilor se poate exprima astfel
𝑏𝑡=𝑐3𝐴+𝑐4𝐴=0𝑐1𝐴+0𝑐2𝐴+1𝑐3𝐴+1𝑐4𝐴,
de unde decucem că 𝑥0=(0,0,1,1) este o soluție a sistemului.
Conform ultimului tabel avem
{𝑐1𝐴=3𝑐3𝐴
𝑐2=4𝑐3𝐴,
adică {𝑐1𝐴−3𝑐3𝐴=0
𝑐2−4𝑐3𝐴=0 .
Oținem astfel următoarele soluții ale sistemului omogen atașat
{𝑦1=(1,0,−3,0)∈𝑆0
𝑦2=(0,1,−4,0)∈𝑆0.
Știm că 𝑑𝑖𝑚ℝ𝑆0=4−𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=4−2=2. Vectorii 𝑦1,𝑦2, fiind liniar
independenți, formează o bază în 𝑆0. Așadar

Sisteme de ecuații

19
𝑆0=〈𝑦1,𝑦2〉={𝛼𝑦1+𝛽𝑦2 |𝛼,𝛽∈ℝ}={(𝛼,𝛽,−𝛼−4𝛽,0)|𝛼,𝛽∈ℝ},
de unde deducem că mulțimea soluțiilor sistemului (𝑆) este
𝑆=𝑥0+𝑆0={(𝛼,𝛽,1−3𝛼−4𝛽,1)| 𝛼,𝛽∈ℝ}.
II. Aplicăm metoda Gauss și aducem matricea extinsă a sistemului la o
matrice așalon astfel
𝐴𝑒∼[3412
6825
912310|3
7
13] 𝑙2=𝑙2−2𝑙1
𝑙3=𝑙3−3𝑙1∼ [3412
0001
0004|3
1
4]
𝑙3=𝑙3−4𝑙2
∼ [3412
0001
0000|3
1
0].
Observăm că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=2=𝑟𝑎𝑛𝑔 (𝐴𝑒). Sistemul este deci compatibil
nedete rminat. Sistemul echivalent este
{3𝑥1+4𝑥2+𝑥3+2𝑥4=3
𝑥4=1,
iar rezolvându -l obținem {𝑥1=𝛼
𝑥2=𝛽
𝑥3=1−3𝛼−4𝛽
𝑥4=1 ,𝛼,𝛽∈ℝ.
III. Putem aplica și metoda Gauss -Jordan. Avem
𝐴𝑒∼[3412
0001
0000|3
1
0]𝑙1=𝑙1−2𝑙2
∼[3410
0001
0000|1
1
0].
Sistemul obținut astfel este {3𝑥1+4𝑥2+𝑥3=1
𝑥4=1 ,iar rezolvându -l ajungem la
aceași soluție.
b) {3𝑥1+4𝑥2+𝑥3+2𝑥4=3
6𝑥1+8𝑥2+2𝑥3+5𝑥4=7
9𝑥1+12𝑥2+3𝑥3+10𝑥4=14
I. Folosind lema substituției avem tabelul

Sisteme de ecuații

20
𝑐1𝐴 𝑐2𝐴 𝑐3𝐴 𝑐4𝐴 𝑏𝑡
𝑒1
𝑒2
𝑒3 3
6
9 4
8
12 𝟏
2
3 2
5
10 3
6
14
𝑐3
𝑒2
𝑒3 3
0
0 4
0
0 1
0
0 2
𝟏
4 3
1
5
𝑐3
𝑐4
𝑒3 3
0
0 4
0
0 1
0
0 0
1
0 1
1
1

Sistemul este incompatibil pentru că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=2≠3=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝑒).
II. Aplicăm metoda Gauss și sducem matricea extinsă a sistemului la o
matrice eșalon astfel
𝐴𝑒∼[3412
6825
912310|3
7
14] 𝑙2=𝑙2−2𝑙1
𝑙3=𝑙3−3𝑙1∼ [3412
0001
0004|3
1
5]
𝑙3=𝑙3−4𝑙2
∼ [3412
0001
0000|3
1
1].
Observăm că 𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴)=2≠3=𝑟𝑎𝑛𝑔(𝐴𝑒). Ajungem la aceeași concluzie.

Sisteme de ecuații

21
Capitolul 2
2.1 Sisteme de ecuații diferențiale
2.1.1 Noțiuni fundamentale
Teoria ecuațiilor diferențiale și a ecuațiilor cu derivate parțiale
reprezintă un domeniu fundamental al matem aticii cu numeroase
aplicații în diferite domenii ale științei și tehnicii, precum: matematica,
astronomia, termodinamica, chimie, etc. Matematica definește și
studiază structuri și teorii proprii, în special pentru a sintetiza și unifoca
multiple câmpuri matematice sub teorie unică. Studiul schimbării este o
necesitate mai ales în cazul științelor naturale. Calculul diferențialelor a
fost creat pentru acest scop pornind de la definiția relativ naturală a
funcțiilor dintre diverse dimensiuni și rata lor de schimbare în timp,
metode de rezolvare a acestora fiind ecuațiile diferențiale,
Ecuațiile diferențiale au apărut în matematică prin intermediul
problemelor de fizică, mecanică, astronomie și geometrie care
preocupau fizicienii și matematicienii de la sfâr șitul secolului al XVII –
lea. Termenul de equatio differentialis a fost folosit prima dată în 1676
de către G.W.Leibniz pentru a specifica determinarea unei funcții care
împreună cu anumite derivate ale ei satisfac anumite relații.
Prin ecuație diferențial ă se întelege o ecuație în care pe lângă
variabilele independente și funcția necunoscută, conține și derivatele
sau diferențialele acesteia. Dacă funcția necunoscută care apare în
ecuația diferențială depinde numai de o variabilă independentă, ecuația

Sisteme de ecuații

22
se numește ecuație diferențială ordinară, iar dacă necunoscuta ecuației
este o funcție care depinde de mai multe variabile independente, ecuația
se numește ecuație diferențială cu derivate parțiale.
Prin ecuație diferențială ordinară cu funcția necunoscută 𝑦 se
înțelege orice relație de forma 𝐹(𝑥,𝑦(𝑥),𝑦`(𝑥),…,𝑦(𝑛)(𝑥))=0 , între
variabila independentă 𝑥 și funcția reală 𝑦, împreună cy derivatele sale
𝑦`,𝑦„,…,𝑦(𝑛).
2.1.1.1 Exemplu :
1. 𝑥2+𝑦2(𝑥)=0 nu este o ecuație diferențială, pentru că derivatele
funcției necunoscute „𝑦” nu apar în ecuație.
2. 𝑥2+9(𝑦„(𝑥))2 este o ecuație diferențială de ordinul II cu funcția
necunoscută „𝑦” și variabila independentă „𝑥”.
3. 𝑚𝑣`(𝑡)+𝑘𝑣(𝑡)−𝑚𝑔=0 este o ecuație diferențială de ordinul I cu
necunoscuta „𝑣” și variabila independentă „𝑡”. Ea descrie mișcarea unui
corp sub acțiunea greutății sale și întâmpinând o rezistență a aerului
proporțională cu vitesa sa (funcția necunoscută, 𝑣, este viteza corpului)
Spunem că funcția 𝜑(𝑥;𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛),𝑥𝜖𝐼⊂ℝ , este soluția ge nerală a
ecuației diferențiale 𝐹(𝑥,𝑦,𝑦`,…,𝑦(𝑛))=0, dacă este soluție a acestei ecuații pe
𝐼 și orice soluție a ecuației diferențiale poate fi obținută din 𝜑(𝑥;𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛)
print -o alegere convenabilă a constantelor 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛.
Orice soluție obți nută din soluția generală, dând valori particulare
constantelor 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛 se numește soluție particulară a ecuației diferențiale.
Soluțiile ecuației care nu se pot obține din soluția generală se numesc
soluții singulare.

Sisteme de ecuații

23
În problemele practice, alături de ecuația diferențială
𝐹(𝑥,𝑦(𝑥),𝑦`(𝑥),…,𝑦𝑛(𝑥))=0 trebuie considerate și condițiile inițiale
𝑦(𝑥0)=𝑦0,𝑦`(𝑥0)=𝑦1,…,𝑦(𝑛−1)(𝑥0)=𝑦𝑛−1. Ecuația diferențială, împreună
cu condițiile inițiale formează o problemă Cauchy. Soluția unei probleme
Cauchy se obține impunând condițiile inițiale soluției generale a ecuației
diferențiale.
2.1.1.2 Exemplu
1. 𝑥=𝑥𝑦`+(𝑦`)2 este o ecuație diferențială de ordin întâi și are soluția
generală 𝑦=𝐶𝑥+𝐶2 unde 𝐶 este constanta arbritară. Di n soluția
generală pentru 𝐶=(−1) se obține soluția particulară 𝑦=(−𝑥)+1.
2. 𝑦`=3𝑥2 este ecuația diferențială de ordinul I, cu necunoscuta 𝑦. Soluția
sa generală este 𝑦(𝑥)=𝑥3+𝐶 deoarece verifică ecuația. Pentru 𝐶=1
respectiv 𝐶=(−√2) obținem soluțiile particulare 𝑦(𝑥)=𝑥3+1
respectiv
𝑦(𝑥)=𝑥3−√2. Există o infinitate de soluții particulare ale ecuației.
3. Deoarece nu toate soluțiile ecuaților diferențiale pot fi obținute din
soluția generală, ecuația diferențială 𝑦=𝑥𝑦`+(𝑦`)2 admite și soluția
𝑦=−1
4𝑥2 care nu este soluție particulară, deoarece nu poate fi obținută
din soluția generală prin particularizarea constanteiarbritare 𝐶, căci
orice soluție particulară reprezintă ecuația unei drepte, câtă vreme
soluția 𝑦=−1
4𝑥2 reprezintă ecuația unei parabole. Din acest motiv
acestă soluție se numește soluție singulară a ecuației diferențiale.
Există o diferențială esențială între teoriile aferente ecuațiilor diferențiale în
forma normală și respectiv, cea relativă la ecuațiil e diferențiale în forma

Sisteme de ecuații

24
implicită. Pe de altă parte trebuie spus că soluțiile unei ecuații diferențiale pot
fi date sub mai multe forme: în forma explicită (carteziană), în forma implicită
sau în forma explicită (carteziană), în forma parametrică.
2.1.1.3 Exemplu
1. Soluția generală a ecuației 𝑥2𝑦`+2𝑥𝑦=𝑒𝑥 dată în forma explicită, este
𝑦=(𝑒𝑥+𝐶)𝑥−2,𝑥≠0,𝐶∈ℝ.
2. Soluția generală a ecuației
𝑦`=−𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦 +𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦
𝑥2𝑐𝑜𝑠𝑥𝑦+𝑒𝑦,
în forma implicită, este dată de 𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥𝑦+𝑒𝑦=𝐶,𝐶∈ℝ.
3. Pentru ecuația diferențială
𝑦`=−𝑥
𝑦,
soluția generală, în forma parametrică este {𝑥=𝐶𝑠𝑖𝑛𝑡
𝑦=𝐶𝑐𝑜𝑠𝑡 ,𝑡∈[0,2𝜋] ,𝑐∈ℝ.
Este ușor de observat că soluția generală a acestei ecuații diferențiale poate fi
dată și sub forma implicită 𝑥2+𝑦2=𝐶2,𝐶∈ℝ, respectiv în formă carteziană
𝑦=±√𝐶2−𝑥2,𝐶∈ℝ, toate aceste forme fiind echivalente, în anumite condiții
asupra domeniului în care sunt considerate.
2.1.2 Teorema de existență și unicitate
Rezolvarea efectivă a diferitelor ecuații diferențiale care apar în
problemele practice este posibilă doar într -un număr restrâns de cazuri
particulare. Nu avem la dispoziție o metodă generală de rezolvare a ecuației
𝑦`=𝑓(𝑥,𝑦) indiferent de forma pe ca re o are 𝑓 dar e posibil ca, în anumite

Sisteme de ecuații

25
condiții, ecuația 𝑦`=𝑓(𝑥,𝑦) are soluție unică care satisface condiția inițială
𝑦(𝑥0)=𝑦0.
Rezultatul pe baza căruia obținem o astfel de informație se numește
teorema de existență și unicitate. În lipsa unei metode exacte de rezolvare,
teorema de existență și unicitate ne furnizează și o metodă generală de
rezolvare aproximativă a ecuației diferențiale 𝑦`=𝑓(𝑥,𝑦). Această metodă
deși aproximativă, poate satisface toate exigențele studiului unui anumit
fenomen dat, în sensul că soluția poate fi aproximativă aricât de bine este
nevoie.
Prezentarea acestor rezultate poate fi făcută prin intermediul unor
cunoștințe de la cursul de algebră și analiză, cunoștințe pe care o să le
reamintim pe scurt în continuare, folosind un limbaj adecvat cadrului,
notațiilor și conceptelor de la cursul de ecuații diferențiale.
2.1.2.1 Definiție
Pe o mulțime nevidă 𝐸 definim o aplicație 𝑑:𝐸×𝐸→ℝ se numește
distanță sau metrică pe 𝐸 dacă verifică următoarele condiții:
1. 𝑑(𝑥,𝑦)≥0,𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑥,𝑦∈𝐸 ș𝑖 𝑑(𝑥,𝑦)=0 𝑑𝑎𝑐ă ș𝑖 𝑛𝑢𝑚𝑎𝑖 𝑑𝑎𝑐ă 𝑥=𝑦.
2. 𝑑(𝑥,𝑦)=𝑑(𝑦,𝑥),𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑥,𝑦∈𝐸.
3. 𝑑(𝑥,𝑧)≤𝑑(𝑥,𝑦)+𝑑(𝑦,𝑧),𝑝𝑒𝑛𝑡𝑟𝑢 𝑜𝑟𝑖𝑐𝑒 𝑥,𝑦,𝑧 ∈𝐸.
2.1.2.2 Exemplu
Fie 𝐸=ℝ ș𝑖 𝑑:ℝ2→ℝ funcția dată prin 𝑑(𝑥,𝑦)=|𝑥−𝑦|, atunci 𝑑 este o
distanță pe ℝ numită distanță euclidiană.

Sisteme de ecuații

26
2.1.2.3 Definiție
O mulțime 𝐸 pe care s -a definit o distanță 𝑑 se numește spațiu metric și
se notează (𝐸,𝑑). Elementele sale se numesc puncte.
2.1.2.4 Exemplu
Fie [𝑎,𝑏] un interval nevid din ℝ și multimea
𝐸=𝐶[𝑎,𝑏]:={𝑓|𝑓:[𝑎,𝑏]→ℝ,𝑓−𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢ă}.
Considerăm funcția 𝑑:𝐸×𝐸→ℝ definită prin
𝑑(𝑓,𝑔)=max
𝑥∈[𝑎,𝑏]|𝑓(𝑥)−𝑔(𝑥)|.
Se poate arăta că 𝑑 este o metrică pe 𝐸, ceea ce înseamnă că (𝐸,𝑑)este un
spațiu metric. Dista nța 𝑑(𝑓,𝑔) se notează ‖𝑓−𝑔‖ și se numește metrica lui
Cebîșev.
Fie (𝐸,𝑑) un spațiu metric. O aplicație 𝑠:ℕ→𝐸,𝑛→𝑥𝑛∈𝐸 se numește
șir de puncte din E și se notează cu (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ sau (𝑥𝑛).
Un șir (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ de puncte din 𝐸 se spune că este convergent către 𝑎∈𝐸
dacă pentru orice 𝜀>0, există un rang 𝑟=𝑟(𝜀), astefel încât 𝑑(𝑥𝑛,𝑎)>𝜀
pentru 𝑛≥𝑟.
2.1.2.5 Definiție
Un șir (𝑥𝑛)𝑛∈ℕ de puncte din 𝐸 se numește șir fundamental sau șir
Cauchy dacă și numai dacă, pentru or ice 𝜀>0 , există un rang 𝑟=𝑟(𝜀) astfel
îcât 𝑑(𝑥𝑛+𝑝,𝑥𝑛)<𝜀 pentru orice 𝑛≥𝑟 și orice 𝑝∈ℕ.

Sisteme de ecuații

27
2.1.2.6 Observația
Într-un spațiu metric orice șir convergent este șir fundamental, ceea ce
rezultă din inegalitatea 𝑑(𝑥𝑛+𝑝,𝑥𝑛)≤𝑑(𝑥𝑛+𝑝,𝑎)+𝑑(𝑥𝑛,𝑎), dar reciproca
acestei afirmații nu este în general adevărată.
2.1.2.7 Definiție
Un spațiu metric în care orice șir fundamental este și șir convergent se
numește spațiu metric complet.
2.1.2.8 Exemplu
Spațiul metric (ℝ,𝑑) , unde 𝑑(𝑥,𝑦)=|𝑥−𝑦|,𝑥,𝑦∈ℝ , este spațiu metric
complet, dar (ℚ,𝑑), unde ℚ este mulțimea numerelor raționale, nu este spațiu
metric complet.
2.1.2.9 Definiție
Fie (𝐸,𝑑) un spațiu metric și 𝐴:𝐸→𝐸 o aplicație. Notăm imaginea
elementului 𝑓∈𝐸, prin aplicația 𝐴 𝑐𝑢 𝐴𝐹, în locul notației obișnuite 𝐴(𝑓). Un
element 𝑐∈𝐸, pentru care avem 𝐴𝑐=𝑐 se numește punct fix al aplicației A.
2.1.2.10 Exemplu
Aplicația 𝑓:ℝ→ℝ,𝑓(𝑥)=𝑥+1 , nu are nici un puct fix, aplicația 𝑔:ℝ→
ℝ,𝑔(𝑥)=𝑥 are o infinitate de puncte fixe, iar apl icația ℎ:ℝ→ℝ,
ℎ(𝑥)=𝑥
2, are un singur punct fix, 𝑐=0.

Sisteme de ecuații

28
2.1.2.11 Definiție
Fie (𝐸,𝑑) un spațiu metric. O aplicație 𝐴:𝐸→𝐸 cu proprietatea că există
un număr 𝑎,0≤𝑎<1, astfel încât 𝑑(𝐴𝑥,𝐴𝑦)≤𝑎⋅𝑑(𝑥,𝑦), pentru orice 𝑥,𝑦∈
𝐸, se numește contracție.
2.1.2.12 Teorema
Sunt îndeplinite următoarele condiții, în legătură cu ecuația 𝑦`=𝑓(𝑥,𝑦) și
condiția inițială 𝑦(𝑥0)=𝑦0, unde (𝑥0,𝑦0) este un puct oarecare din plan .
1. Funcția 𝑓 este continuă în domeniul 𝐷⊂ℝ2, definit prin
𝐷={(𝑥,𝑦)∈ℝ2|𝑥−𝑥0|≤𝑎,|𝑦−𝑦0|≤𝑏};
2. Funcția 𝑓 satisface condiția Lipshitz în raport cu cel de -al doilea argument pe
𝐷, adică există o constantă 𝐿>0, astfel încât pentru orice (𝑥,𝑦1),(𝑥,𝑦2)∈𝐷,
să avem |𝑓(𝑥−𝑦1)−𝑓(𝑥,𝑦2)|≤𝐿|𝑦1−𝑦2|;
3. Are loc relația ℎ⋅𝐿<1, unde ℎ=min(𝑎,𝑏
𝑀) și 𝑀=𝑚𝑎𝑥|𝑓(𝑥−𝑦)|. În
aceste condiții există o funcție 𝜑`(𝑥)=𝑓(𝑥,𝜑(𝑥)),𝑥∈[𝑥0−ℎ,𝑥0+ℎ] și care
verifică condiția inițială 𝜑(𝑥0)=𝑦0.
Demonstrație
Vom reduce problema existenței unei soluții unice pentru probl ema
Cauchy 𝑦`=𝑓(𝑥,𝑦) plus condiția inițială 𝑦(𝑥0)=𝑦0 la o problemă de punct
fix. Pentru această integrăm ecuația 𝑦`(𝑥)=𝑓(𝑥,𝑦), de la 𝑥0 la 𝑥 și ținem
seama de condiția 𝑦(𝑥0)=𝑦0.
Rezultă 𝑦(𝑥)=𝑦0+∫𝑓(𝑡,𝑦(𝑡)𝑑𝑡 ,𝑥∈[𝑎,𝑏].𝑥
𝑥0 (2.1.2 .1)

Sisteme de ecuații

29
Deoarece în (2.1.2) funcția necunoscută 𝑦 apare sub semnul integrală,
ecuația (2.1.2) se numește ecuația integrală. Căutăm necunoscuta 𝑦 printre
funcțiile continue definite pe un interval inclus în [𝑥0−ℎ,𝑥0+ℎ].
Fie ℎ>0 numărul care verifică condițiile d in enunț. Notăm cu 𝐸 spațiul
funcțiilor continue pe intervalul 𝐼=[𝑥0−ℎ,𝑥0+ℎ], înzestrat cu metrica lui
Cebâșev 𝑑, dată prin 𝑑(𝑦,𝑧)=‖𝑦−𝑧‖,𝑦,𝑧∈𝐸.
Definim aplicația 𝐴 astfel încât 𝑦→𝐴𝑦 este funcția dată de
(𝐴𝑦)(𝑥)=𝑦0+∫𝑓(𝑡,𝑦(𝑡))𝑑𝑡 ,𝑥∈[𝑎,𝑏].𝑥
𝑥0
Se observă că 𝐴𝑦 este o funcție definită și continuă pe [𝑥0−ℎ,𝑥0+ℎ], deci
𝐴𝑦∈𝐸. Așadar 𝐴:𝐸→𝐸.
Ecuația integralei (2.1.2 .1) poate fi scrisă acum sub forma echivalentp
𝑦=𝐴𝑦.
Am arătat astfel că orice soluție a ecuației difere nțiale (2.1.2 .1) este un
punct fix al aplicației 𝐴. Reciproc, dacă 𝜑 este un punct fix al aplicației
𝐴, atunci 𝑦=𝜑(𝑥) este soluție a ecuației (2.1.2 .1).
2.1.2.13 Exemplu
Să se determine soluția 𝑦(𝑥) a ecuației diferențiale
𝑦`=𝑥2+𝑦2+2,(𝑥,𝑦)∈[−1,1]×[−1,1]=𝐷 care trece prin (0,0).
Rezolvare
Aici avem funcía 𝑓:𝐷→ℝ,𝑓(𝑥,𝑦)=𝑥2+𝑦2+2 pentru care
max
(𝑥,𝑦)∈𝐷|𝑓(𝑥,𝑦)|=4. Atunci ℎ={1,1
4}=1
4.

Sisteme de ecuații

30
Funcția 𝑓 este lipschitziană cu constanta 𝐿=2, căci pentru orice
(𝑥1,𝑦1),(𝑥2,𝑦2)∈𝐷 are loc inegalitatea
|𝑓(𝑥1,𝑦1)−𝑓(𝑥2,𝑦2)|≤2⋅‖(𝑥1,𝑦1)−(𝑥2,𝑦2)‖ (2.1.2.2)
Într-adevăr (2.1.2.2) este echivalentă cu inegalitatea
|𝑥12+𝑦12−𝑥22−𝑦22|≤2√(𝑥1−𝑥2)2(𝑦1−𝑦2)2
care se demonstreză ușor prin ridicarea la pătrat.
Cum ℎ⋅𝐿=1
2<1, avem îndeplinite toate condițiile teoreme i 2.1.2.12
deci ecuația diferențială este dată are o singură soluție 𝑦 care satisface condiția
𝑦(0)=0.
Nu știm că calculăm soluția exactă a ecuației diferențiale dar, prin
metoda aproximațiilor succesive, pornind de la 𝑦0≡0, se obține
𝑦1(𝑥)=𝑦0(0)+∫(𝑡2+𝑦02(𝑡)+2)𝑑𝑡=∫(𝑡2+2)𝑑𝑡=1
3𝑥3+2𝑥,𝑥
0𝑥
0
𝑦2(𝑥)=𝑦1(𝑥)+∫(𝑡2+𝑦12(𝑡)+2)𝑑𝑡=∫[𝑡2(𝑡3
3+2𝑡)2
+2]𝑑𝑡=𝑥
0𝑥
0
=5𝑥3
3+𝑥7
63+4𝑥5
15+2𝑥.
ș.a.m.d.

Sisteme de ecuații

31

2.2 Sisteme de ecuații diferențiale
2.2.1 Studiul general al sistemelor de ecuații diferențiale
liniare de ordinul întâi
Un sistem de forma
{𝑦1`+𝑎11(𝑥)𝑦1+𝑎12(𝑥)𝑦2+ …+𝑎1𝑛(𝑥)𝑦𝑛=𝑓1(𝑥)
𝑦2`+𝑎21(𝑥)𝑦1+𝑎22(𝑥)𝑦2+ …+𝑎2𝑛(𝑥)𝑦𝑛=𝑓2(𝑥)…
𝑦𝑛`+𝑎𝑛1(𝑥)𝑦1+𝑎𝑛2(𝑥)𝑦2+ …+𝑎𝑛𝑛(𝑥)𝑦𝑛=𝑓𝑛(𝑥) (2.2.1.1)
unde 𝑎𝑖𝑗 și 𝑓𝑖 ,𝑖,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅ sunt funcții continue pe un interval 𝐼⊂ℝ se numește
sistem de 𝒏 ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi cu 𝑛 funcții
necunoscute, 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛.
Dacă 𝑓𝑖≡0,𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ , atunci sistemul se numește omogen , iar în caz
contrar se numește neomogen.
Orice ecuație diferențială de ordinul 𝑛
𝑦(𝑛)+𝑎1(𝑥)𝑦(𝑛−1)+ …+𝑎𝑛−1(𝑥)𝑦`+𝑎𝑛(𝑥)𝑦=𝑓(𝑥),
se transformă, făcând substituțiile 𝑦1=𝑦`,𝑦2=𝑦„,…,𝑦𝑛=𝑦(𝑛), într-un sistem
de ecuații diferențiale liniare de ordinul I de forma
{𝑦`−𝑦1=0
𝑦1`−𝑦2=0 …
𝑦𝑛−1`−[𝑎1(𝑥)𝑦𝑛−1+ ..+𝑎𝑛𝑦]=𝑓(𝑥)
Reciproc, sistemul (2.2.1.1) se reduce la o ecuație diferențială liniară de
ordinul 𝑛 în necunoscuta 𝑦1, dacă eliminăm necunoscutele 𝑦2,…,𝑦𝑛.

Sisteme de ecuații

32
Acest fapt ne arată că ne putem aștepta ca anumite propreități ale
ecuațiilor diferențiale de ordinul 𝑛 studiate anterior să se păstreze și pentru
sistemele de ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi.
2.2.1.1 Definiție
Un sistem de 𝑛 funcții {𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛} definite, derivabile și având
derivata continuă pe un interval 𝐼⊂ℝ, formează o soluție a sistemului
(2.2.1.1), dacă verifică sistemul, pentru orice 𝑥∈𝐼.
2.2.1.2 Exemplu
Pentru sistemul {𝑦1`=𝑦1+𝑦2
𝑦2`=−2𝑦1+4𝑦2 (2.2.1.2)
funcțiile 𝑦1=𝑒3𝑥,𝑦2=2𝑒3𝑥,𝑥∈ℝ, constituie o soluție pe ℝ. Pe baza liniarității
ecuațiilor se demonstrează ușor că pentru sistemul omogen asociat sistemului
(2.2.1.1), adică sistemul
{𝑦1`+𝑎11(𝑥)𝑦1+𝑎12(𝑥)𝑦2+ …+𝑎1𝑛(𝑥)𝑦𝑛=0
𝑦2`+𝑎21(𝑥)𝑦1+𝑎22(𝑥)𝑦2+ …+𝑎2𝑛(𝑥)𝑦𝑛=0…
𝑦𝑛`+𝑎𝑛1(𝑥)𝑦1+𝑎𝑛2(𝑥)𝑦2+ …+𝑎𝑛𝑛(𝑥)𝑦𝑛=0 (2.2.1.3)
are loc următoarea proprietate.
2.2.1.3 Teoremă
Dacă 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛 și 𝑦1̅̅̅,𝑦2̅̅̅,…,𝑦𝑛̅̅̅ sunt soluții pe intervalul 𝐼 ale sistemului
(2.2.1.3), atunci funcțiile 𝑐1𝑦1+𝑐1𝑦1̅̅̅,𝑐2𝑦2̅̅̅,…,𝑐1𝑦𝑛+𝑐2𝑦𝑛̅̅̅ (2.2.1.4) cu 𝑐1,𝑐2
constante arbritare, formează de asemenea o soluție a sistemului (2.2.1.3) pe intervalul
𝐼.

Sisteme de ecuații

33
2.2.1.4 Definiție
Un sistem de 𝑛 funcții {𝑦1=𝜑1(𝑥;𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛)
𝑦2=𝜑2(𝑥;𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛)…
𝑦𝑛=𝜑𝑛(𝑥;𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛)
definite pe un interval 𝐼, care depinde de 𝑛 constante 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛, formează
soluția generală a sistemului (2.2.1.3) dacă (𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛) este soluție a
sistemului (2.2.1.2) pe 𝐼, pentru orice 𝑥0∈𝐼 și orice n -uplu
(𝑦10,𝑦20,…,𝑦𝑛0)∈ℝ𝑛, putem d etermina în mod unic constantele 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛
din condițiile inițiale {𝑦1(𝑥0)=𝑦10
𝑦2(𝑥0)=𝑦20…
𝑦𝑛(𝑥0)=𝑦𝑛0.
La fel ca la ecuațiile diferențiale de ordinul 𝑛 și în cazul sistemelor de
ecuații diferențiale se pune problema determinării soluției generale. Pentru o
sumară abordare a acestor chestiuni spunem că 𝑛 soluții
{(𝑦11,𝑦12,…,𝑦1𝑛)
(𝑦21,𝑦22,…,𝑦2𝑛)…
(𝑦𝑛1,𝑦𝑛2,…,𝑦𝑛𝑛) (2.2.1.5)
ale sistemului (2.2.1.3) formează un sistem fundamental de soluții pe
intervalul 𝐼 dacă determinantul 𝐷=|𝑦11(𝑥)
𝑦21(𝑥)𝑦12(𝑥)
𝑦22(𝑥)…
…𝑦1𝑛(𝑥)
𝑦2𝑛(𝑥)
… …… …
𝑦𝑛1(𝑥)𝑦𝑛2(𝑥)…𝑦𝑛𝑛(𝑥)| este nenul
pe intervalul 𝐼.
Acum putem stabili un rezultat referitor la soluția generală.

Sisteme de ecuații

34
2.2.1.5 Propoziție
Soluțiile (2.2.1.5) formează un sistem funda mental de soluții, atunci soluția
generală a sistemului (2.2.1.3) este dată de
{𝑦1=𝑐1𝑦11+𝑐2𝑦21+ …+𝑐𝑛𝑦𝑛1
𝑦2=𝑐1𝑦12+𝑐2𝑦22+ …+𝑐𝑛𝑦𝑛2…
𝑦𝑛=𝑐1𝑦1𝑛+𝑐2𝑦2𝑛+ …+𝑐𝑛𝑦𝑛𝑛 (2.2.1.6)
unde 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛 sunt constante arbritare.
2.2.1.6 Exemplu
Pentru sistemul {𝑦1`=𝑦1+𝑦2
𝑦2`=−2𝑦1+4𝑦2, soluțiile
𝑦11=𝑒3𝑥,𝑦12=𝑒2𝑥,𝑦21=2𝑒3𝑥,𝑦22=𝑒2𝑥, formează un sistem fundamental de
soluții deoarece 𝐷(𝑥)=|𝑒3𝑥2𝑒3𝑥
𝑒2𝑥𝑒2𝑥|=−𝑒5𝑥≠0.
Prin urmare soluția generală a sistemului este
{𝑦1(𝑥)=𝑐1𝑒3𝑥+𝑐2𝑒2𝑥
𝑦2(𝑥)=2𝑐1𝑒3𝑥+𝑐2𝑒2𝑥 ,𝑥∈ℝ.
2.2.1.7 Observație
Se arată fără nici o difilcutate, pe baza liniarității ecuațiilor sistemului
(2.2.1.3) că soluția generală a acestuia se obține adunând matricial la soluția
generală a sistemului omogen asoc iat (2.2.1.3), o soluție particulară a
sistemului neomogen.
Pentru o scriere mai concisă, introducem notația matriceală 𝑌𝑖=|𝑦1𝑖
𝑦2𝑖…
𝑦𝑛𝑖|,

Sisteme de ecuații

35
𝑖=1,𝑛̅̅̅̅̅ și atunci soluția generală, dată de relațiile (2.2.1.6) se va scrie sub
forma 𝑌=𝑐1𝑌1+𝑐2𝑌2+ …+𝑐𝑛𝑌𝑛 (2.2.1.7), unde 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛 sunt constante
arbritare.
Fiind deja în posesia soluției generale a ecuației omogene, dacă de
relația (2.2.1.7) pentru a obține soluția generală a ecuației neomogene, aplicăm
metoda variației constantelor a lui Langrag e.
Căutăm soluția generală de forma 𝑌=𝑐1(𝑥)𝑌1+𝑐2(𝑥)𝑌2+ …+𝑐𝑛(𝑥)𝑌𝑛,
considerând constantele 𝑐1,𝑐2,…,𝑐𝑛 ca fiind funcții de variabilă 𝑥∈𝐼.
Ținând cont de regula de înmulțire a matricilor cu un scalar, vom obține:
𝑌`=∑𝑐𝑖`(𝑥)𝑌𝑖(𝑥)+∑𝑐𝑖(𝑥)𝑌𝑖`(𝑥),𝑛
𝑖=1𝑛
𝑖=1
unde 𝑌𝑖`(𝑥) este dat prin 𝑌𝑖`(𝑥)=|𝑦1𝑖`(𝑥)
𝑦2𝑖`(𝑥)…
𝑦𝑛𝑖`(𝑥)|.
Cum 𝑌 verific[ sistemul (2.2.1.1), separând pe componente, vom obține
sistemul {𝑐1`(𝑥)𝑦11(𝑥)+𝑐2`(𝑥)𝑦12(𝑥)+ …+𝑐𝑛`(𝑥)𝑦1𝑛(𝑥)=𝑓1(𝑥)
𝑐1`(𝑥)𝑦21(𝑥)+𝑐2`(𝑥)𝑦22(𝑥)+ …+𝑐𝑛`(𝑥)𝑦2𝑛(𝑥)=𝑓2(𝑥)…
𝑐1`(𝑥)𝑦𝑛1(𝑥)+𝑐2`(𝑥)𝑦𝑛2(𝑥)+ …+𝑐𝑛`(𝑥)𝑦𝑛𝑛(𝑥)=𝑓𝑛(𝑥) .
Deoarece determinantul acestui sistem este tocmai 𝐷(𝑥), care este nenul
pe intervalul 𝐼, căci soluțiile 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛 formează un sistem fundamental,
înseamnă că putem determina în mod unic funcțiile 𝑐1`(𝑥),𝑐2`(𝑥),…,𝑐𝑛`(𝑥).
Prin integrare determinăm apoi funcțiile 𝑐1(𝑥),𝑐2(𝑥),…,𝑐𝑛(𝑥), care
depind de 𝑛 costante de integrare 𝑘1,𝑘2,…,𝑘𝑛.

Sisteme de ecuații

36
2.2.1.8 Exemplu
Să se dete rmine soluția generală a sistemului neomogen
{𝑦1`+2𝑦1−𝑦2=𝑥2
𝑦2`+𝑦1=2𝑥−1.
Rezolvare
Sistemul omogen asociat este {𝑦1`+2𝑦1−𝑦2=0
𝑦2`+𝑦1=0, iar soluția generală a
sistemului omogen asociat este {𝑦1=𝑐1𝑥𝑒−𝑥+𝑐2𝑒−𝑥
𝑦2=𝑐1(𝑥+1)𝑒−𝑥+𝑐2𝑒−𝑥 ,𝑐1,𝑐2∈ℝ.
Căutăm soluția sistemului neomogen aplicând metoda lui Langrage.
După determinarea derivatelor 𝑐1`(𝑥),𝑐2`(𝑥) rezultă sistemul
{𝑐1`(𝑥)𝑥𝑒−𝑥+𝑐2`(𝑥)𝑒−𝑥=𝑥2
𝑐1`(𝑥)(𝑥+1)𝑒−𝑥+𝑐2`(𝑥)𝑒−𝑥=2𝑥−1 ,
de unde obținem {𝑐1`(𝑥)=−𝑒𝑥(−𝑥2+2𝑥−1)
𝑐2`(𝑥)=𝑒𝑥(𝑥3−𝑥2+𝑥).
Soluția generală a sistemului neomogen este așadar
{𝑦1=𝑘1𝑥𝑒−𝑥+𝑘2𝑒−𝑥+4𝑥−9
𝑦2=𝑘1(𝑥+1)𝑒−𝑥+𝑘2𝑒−𝑥−𝑥2+8𝑥−14 , unde 𝑘1,𝑘2 sunt constante reale
arbritare.
2.2.2 Sisteme de ecuații diferențiale liniare de ordinul I cu
coeficien ți constanți
În continuare com prezenta metoda care se poate aplica în general
pentru sistemele cu coeficienți constanți. Această metodă se bazează pe faptul
că un sistem de 𝑛 ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi se poate reduce la
o ecuație dife rențială de ordinul 𝑛 în una din necunoscute.

Sisteme de ecuații

37
Dacă ecuațiile sistemului au coeficienți constanți, atunci ecuația
diferențială de ordinul 𝑛 corespunzătoare va avea de asemenea coeficienți
constanți.
Un sistem liniar și omogen, cu coeficienți constanți admite o soluție de
forma 𝑦1=𝛼1𝑒𝑟𝑥,𝑦2=𝛼2𝑒𝑟𝑥,…,𝑦𝑛=𝛼𝑛𝑒𝑟𝑥 (2.2.2.1) , unde 𝑟,𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑛 sunt
constante reale care vor fi determinate din condiția că 𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛 să verifice
sistem ul
{𝑦1`+𝛼11𝑦1+𝛼12𝑦2+ …+𝛼1𝑛𝑦𝑛=0
𝑦2`+𝛼21𝑦1+𝛼22𝑦2+ …+𝛼2𝑛𝑦𝑛=0…
𝑦𝑛`+𝛼𝑛1𝑦1+𝛼𝑛2𝑦2+ …+𝛼𝑛𝑛𝑦𝑛=0 (2.2.2.2)
Rezultă de a ici sistemul algebric
{(𝑎11+𝑟)𝛼1+𝑎12𝛼2+ …+𝑎1𝑛𝛼𝑛=0
𝑎12𝛼1+(𝑎22+𝑟)𝛼2+ …+𝑎2𝑛𝛼𝑛=0…
𝑎1𝑛𝛼1+𝑎𝑛2𝛼2+ …+(𝑎𝑛𝑛+𝑟)𝛼𝑛=0 (2.2.2.3)
cu necunoscutele 𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑛.
Deoarece ne interesează soluțiile nebanale ale sistemului (2.2.2.3),
trebuie să avem în mod necesar și
[𝑎11+𝑟
𝑎21 𝑎12
𝑎21+𝑟…
… 𝑎1𝑛
𝑎2𝑛…
𝑎𝑛1…
𝑎𝑛2 …
……
𝑎𝑛𝑛+𝑟]=0 (2.2.2.4)
2.2.2.1 Definiție
Ecuația (2.2.2.1) se numește ecuația caracteristică a sistemului de ecuații
diferențial e liniare de ordinul I (2.2.2.2).

Sisteme de ecuații

38
2.2.2.2 Observația
Dacă 𝑟=𝑟1 este o rădăcină a ecuației caracteristice, atunci acesteia îi
corespunde o soluție nebanală (𝛼1,𝛼2,…,𝛼𝑛) a sistemului (2.2.2.4) deci în
concluzie o soluție a sistemului de ecuații diferențiale, dată de (2.2.2.2).
La fel ca pentru ecuațiile diferențiale liniare de ordinul 𝑛 cu coeficienți
constanți, determinare soluției generale a sistemului (2.2.2.2) s -a redus la
rezolvarea ecuației algebrice de gradul 𝑛 (2.2.2.4).
I. Rădăcina 𝒓=𝒂 este reală și simplă. În acest c az sistemul (2.2.2.2)
admite o soluție de forma {𝑦1=𝐴1𝑒𝛼𝑡
𝑦2=𝐴2𝑒𝛼𝑡
…
𝑦𝑛=𝐴𝑛𝑒𝑎𝑡 , unde 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛 este o
soluție a sistemului algebric (2.2.2.3), în care înlocuim 𝑟=𝑎.
Deoarece sistemul (2.2.2.3) este simplu nedeterminat, vom obține în
funcție de 𝐴1,𝐴2,…,𝐴𝑛.
II. Rădăcina 𝒓 este complexă și simplă. Fie 𝑟=𝑎+𝑖𝑏,𝑎,𝑏 ∈ℝ. Atunci
ecuația caracteristică admite și soluția 𝑟̅=𝑎−𝑖𝑏. Acestor două
rădăcini ale ecuației caracteristice le corespunde soluția sistemului de
ecuații diferențial e, de forma
{𝑦1=(𝐴1𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥+𝐵1𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥)𝑒𝛼𝑥
𝑦2=(𝐴2𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥+𝐵2𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥)𝑒𝛼𝑥
…
𝑦𝑛=(𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥+𝐵𝑛𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥)𝑒𝛼𝑥 (2.2.2.5)
Înlocuind în sistemul (2.2.2.2) obținem, prin indentificare, un sistem
algebric dublu nede terminat în necuno scutele 𝐴1,𝐵1,𝐴2𝐵2,…,𝐴𝑛𝐵𝑛. Rezolvând
acest sistem, în funcție de 𝐴1,𝐵1, obținem 𝐴2,𝐵2,…,𝐴𝑛,𝐵𝑛.

Sisteme de ecuații

39
Dând valori 𝐴1=0 ș𝑖 𝐵1=1, iar apoi 𝐴1=1 ș𝑖 𝐵1=0, vom obține două
soluții ale sistemului (2.2.2.2), date de (2.2.2.5).
III. Rădăcina 𝒓=𝒂 este reală, multiplă de ordinul 𝒑.
Soluția sistemului (2.2.2.2) corespunde acestei rădăcini va fi de forma
{𝑦1=(𝐴11+𝐴12𝑥+ …+𝐴1,𝑝𝑥𝑝−1)𝑒𝛼𝑥
𝑦2=(𝐴21+𝐴22𝑥+ …+𝐴2,𝑝𝑥𝑝−1)𝑒𝛼𝑥
…
𝑦𝑛=(𝐴𝑛1+𝐴𝑛2𝑥+ …+𝐴𝑛,𝑝𝑥𝑝−1)𝑒𝛼𝑥 (2.2.2.6).
Constatel e 𝐴𝑖𝑗 cu 𝑖≥2,𝑗=1,𝑝̅̅̅̅̅ se pot determina în funcție de 𝐴𝑖𝑗,𝑗=
1,𝑝̅̅̅̅̅ , dintr -un sistem algebric compatibil 𝑝−nedeterminat, obținut
prin înlocuirea în ecuația (2.2.2.2) a soluției dată de (2.2.2.6).
IV. Rădăcina 𝒓 este complexă cu ordinul de multiplicitate 𝒑.
Ecuația caracteristică admite rădăcina 𝑟=𝑎+𝑖𝑏,𝑎,𝑏 ∈ℝ ,𝑎≠0 și
conjuctura acesteia, 𝑟̅=𝑎−𝑖𝑏. Soluția sistemului (2.2.2.2) relativă la
aceste două rădăcini va fi de forma
{ 𝑦1=𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥∑𝐴1,𝑘𝑥𝑘−1+𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥∑𝐵1,𝑘𝑥𝑘−1𝑝
𝑘=1𝑝
𝑘=0
𝑦2=𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥∑𝐴2,𝑘𝑥𝑘−1+𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥∑𝐵2,𝑘𝑥𝑘−1𝑝
𝑘=1𝑝
𝑘=0…
𝑦𝑛=𝑒𝑎𝑥𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥∑𝐴𝑛,𝑘𝑥𝑘−1+𝑒𝑎𝑥𝑠𝑖𝑛𝑏𝑥∑𝐵𝑛,𝑘𝑥𝑘−1𝑝
𝑘=1𝑝
𝑘=0 (2.2.2.7)
Constantele 𝐴𝑖𝑗,𝐵𝑖𝑗 𝑐𝑢 𝑖≥2,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅ se pot determina în funcție de
𝐴𝑖𝑗,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅ ,𝐵𝑖𝑗,𝑗=1,𝑛̅̅̅̅̅ , prin înlocuirea soluției (2.2.2.7) în sistemul
(2.2.2.2) și apoi identifficăm coeficienții.

Sisteme de ecuații

40
2.2.2.3 Exemplu
Pentru sistemul de ecuații diferențiale {𝑦1`+9𝑦1+12𝑦2+5𝑦3=0
𝑦2`−5𝑦1−6𝑦2−3𝑦3=0
𝑦3`−𝑦1−4𝑦2−𝑦3=0,
ecuația caracteristică este |𝑟+9195
−5𝑟−6−3
−1−4𝑟−1|=0⇔(𝑟−2)(𝑟+2)2=0.
Pentru rădăcina 𝑟1=2, căutăm soluția de forma
𝑦1=𝐴1𝑒2𝑥,𝑦2=𝐴2𝑒2𝑥,𝑦3=𝐴3𝑒2𝑥, unde 𝐴1,𝐴2,𝐴3 sunt constante care
urmează să fie determinate.
Obținem sistemul {11𝐴1+12𝐴2+5𝐴3=0
−5𝐴1−4𝐴2−3𝐴3=0
−𝐴1−4𝐴2+𝐴3=0 pentru care soluția
𝐴3=−𝐴1 ,𝐴2=−𝐴1
2. Punând 𝐴1=−2, rezultă că 𝐴2=1,𝐴3=2.
Deci {𝑦1̅̅̅=−2𝑒2𝑥
𝑦2̅̅̅=𝑒2𝑥
𝑦3̅̅̅=2𝑒2𝑥 este o soluție a sistemului.
Corespunzător rădăcinii duble 𝑟=−2, căutăm o soluție de forma
{𝑦1=𝑒−2𝑥(𝐴1𝑥+𝐵1)
𝑦2=𝑒−2𝑥(𝐴2𝑥+𝐵2)
𝑦3=𝑒−2𝑥(𝐴3𝑥+𝐵3) , unde constantele 𝐴𝑖,𝐵𝑖,𝑖=1,3̅̅̅̅ , trebuie determinate
astfel îcât să fie verificate ecuațiile diferențiale ale sistemului considerat.
După înlocuire obținem egalitățiile
{(7𝐴1+12𝐴2+5𝐴3)𝑥+7𝐵1+12𝐵2+5𝐵3+𝐴1=0
(−5𝐴1−8𝐴2−3𝐴3)𝑥−5𝐵1−8𝐵2−3𝐵3+𝐴2=0
(−𝐴1−4𝐴2−3𝐴3)𝑥−𝐵1−4𝐵2−3𝐵3+𝐴3=0

Sisteme de ecuații

41
care trebuie să aibă loc pentru orice 𝑥∈𝐼, adică polinoamele din membrul
stâng trebuie să fie identic nule. Rezolvând sistemul algebric care rezultă, vom
avea 𝐴1=𝐶1,𝐴2=−𝐶1,𝐴3=𝐶1,𝐵1=−𝐶1+𝐶2,𝐵2=𝐶1
2−𝐶2,𝐵3=𝐶2.
Considerăm 𝐶1=2,𝐶2=0 și obținem soluția {𝑦1̅̅̅=𝑒−2𝑥(2𝑥−2)
𝑦2̅̅̅=𝑒−2𝑥(−2𝑥+1)
𝑦3̅̅̅=𝑒−2𝑥2𝑥 și
apoi, luând 𝐶1=0,𝐶2=1 se obține soluția {𝑦1̅̅̅̅̅̅=𝑒−2𝑥
𝑦2̅̅̅̅̅̅=−𝑒−2𝑥
𝑦3̅̅̅̅̅̅=𝑒−2𝑥.
Așadar, soluția generală sistemul de ecuații diferențiale considerat este
{𝑦1=−2𝐶1𝑒2𝑥+𝐶2𝑒−2𝑥(2𝑥−2)+𝐶3𝑒−2𝑥
𝑦2=𝐶1𝑒2𝑥+𝐶2𝑒−2𝑥(−2𝑥+1)−𝐶3𝑒−2𝑥
𝑦3=2𝐶1𝑒2𝑥+2𝐶2𝑥𝑒−2𝑥+𝐶3𝑒−2𝑥 , unde 𝐶1,𝐶2,𝐶3 sunt constante
arbritare.
2.2.2.4 Observație
Pentru sistemele de ecuații diferențiale cu coeficienți constanți
neomogen putem aplica metoda variației constantelor, dar putem căuta soluții
de o anumită formă, atunci când termenul liber al sistemului se încadrează în
categoriile deja tratate la ecuații le diferențiale de ordinul 𝑛 cu coeficienții
constanți.
2.2.3 Sisteme simetrice
Numeroasele probleme din geometria diferențială, cum ar fi
determinarea liniilor de câmp ale unui câmp vectorial, determinarea
traiectorilor ortogonale ale unei familii de su prafețe etc., precum și integrarea
ecuațiilor cu derivate parțiale de ordinul I, chestiune care va fi abordată în

Sisteme de ecuații

42
capitolul următor, conduc la rezolvarea unor sisteme de ecuații diferențiale de
ordinul întâi de o formă particulară, numite sisteme simetrice .
2.3.3.1 Definiție
Un sistem de ecuații diferențiale de forma
𝑑𝑥1
𝑓1(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝑑𝑥2
𝑓2(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=⋯=𝑑𝑥𝑛
𝑓𝑛(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) (2.3.3.1)
Unde 𝑓𝑘:𝐷⊂ℝ𝑛→ℝ,𝑘=1.𝑛̅̅̅̅̅, sunt funcții reale date, care nu se anulează
simultan în 𝐷, se numește sistem simetric.
2.3.3.2 Observația
Este ușor de văzut că un sistem de 𝑛 ecuații diferențiale de ordinul I, în
general neliare,
{ 𝑑𝑦1
𝑑𝑡=𝑓1(𝑡,𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛)
𝑑𝑦2
𝑑𝑡=𝑓2(𝑡,𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛)
…
𝑑𝑦𝑛
𝑑𝑡=𝑓𝑛(𝑡,𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛)
unde 𝑓𝑘(𝑡,𝑦1,𝑦2,…,𝑦𝑛)≠0 într-un domeniu 𝐷1⊂ℝ𝑛+1,𝑘=1,𝑛̅̅̅̅̅, poate fi scris
sub forma
𝑑𝑦1
𝑓1=𝑑𝑦2
𝑓2=⋯=𝑑𝑦𝑛
𝑓𝑛=𝑑𝑡
1
Are loc și reciproca acestei afirmații.
Dacă considerăm 𝑥𝑛 ca variabilă independentă, atunci sistemul simetric
(2.3.3.1) se transformă într -un sistem de 𝑛−1 ecuații diferențiale cu 𝑛−1
necunoscute,

Sisteme de ecuații

43
{ 𝑑𝑥1
𝑑𝑥𝑛=𝐹1(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)
𝑑𝑥2
𝑑𝑥𝑛=𝐹2(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)
…
𝑑𝑥𝑛−1
𝑑𝑥𝑛=𝐹𝑛−1(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) (2.3.3.2),𝑢𝑛𝑑𝑒
𝐹1(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝑓𝑖(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)
𝑓𝑛(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) ,𝑖=1,𝑛−1̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅
Rezolvând, dacă este posibil, sistemul (2.3.3.2) care este un sistem de
ecuații diferențiale de ordinul întâi abținem soluția generală
{𝑥1=𝜑1(𝑥𝑛;𝐶1,𝐶2,…,𝐶𝑛−1)
𝑥2=𝜑2(𝑥𝑛;𝐶1,𝐶2,…,𝐶𝑛−1)…
𝑥𝑛−1=𝜑𝑛−1(𝑥𝑛;𝐶1,𝐶2,…,𝐶𝑛−1) (2.3.3.3) care depinde de 𝑛−1
constante arbritare.
Rezolvând sistemul algebric (2.3.3.3) dacă este posibil cu necunoscutele
𝐶1,𝐶2,…,𝐶𝑛, obținem soluția generală a sestemului simetric (2.3.3.1) ,
{𝜓1(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝐶1
𝜓2(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝐶2…
𝜓𝑛(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝐶𝑛−1 (2.3.3.3) ,
unde 𝜓1,𝜓2,…,𝜓𝑛−1 sunt funcții continue, având derivate parțiale de ordinul
întâi continue pe 𝐷⊂ℝ𝑛.
2.3.3.3 Definiția
Oricare ecuație dintre cele 𝑛−1 ecuații ale sistemului (2.3.3.3) se
numește integrară primă a sistemului si metric (2.3.3.1).

Sisteme de ecuații

44
2.3.3.4 Observația
Din considerațiile anterioare rezultă că dacă suntem în posesia a 𝑛−1
integrale prime independente ale sistemului (2.3.3.2), adică sistemul (2.3.3.3)
poate fi rezolvat în raport cu 𝐶1,𝐶2,…,𝐶𝑛, atunci cunoaștem de fapt soluția
generală a sistemului simetric (2.3.3.1).
Din punct de vedere geometric, sistemul de funcții (2.3.3.4) reprezintă o
familie de curbe în spațiul ℝ𝑛. Prin fiecare punct (𝑎10,𝑎20,…,𝑎𝑛0)∈ℝ𝑛 trece o
curbă întegrală și numai una, căci imp unând condiția 𝜓𝑖(𝑎10,𝑎20,…,𝑎𝑛0)=𝐶𝑖,
rezultă că 𝐶𝑖 este unic determinat, Prin urmare, rezolvarea unui sistem simetric
( care este echivalent cu un sistem de ecuații diferențiale de ordinul I), revine
la determinarea a 𝑛−1 integrale prime independe nte.
Vom descrie în continuare o metodă prin care pot fi obținute integrale
prime ale unui sistem simetric, numită metodă combinațiilor integrale.
Esența acestei metode constă în a utiliza proprietățile proporțiilor
pentru a aduce sistemul (2.3.3.1), scris fără argumentele funcțiilor
𝑑𝑥1
𝑓1=𝑑𝑥2
𝑓2=⋯=𝑑𝑥𝑛
𝑓𝑛
la o formă echivalentă, obținută prin amplificare
𝜆1𝑑𝑥1
𝜆1𝑓1=𝜆2𝑑𝑥2
𝜆2𝑓2=⋯=𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛
𝜆𝑛𝑓𝑛=𝜆1𝑑𝑥1+𝜆2𝑑𝑥2+ …+𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛
𝜆1𝑓1+𝜆2𝑓2+ …+𝜆𝑛𝑓𝑛 (2.3.3.5)
unde 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛 sunt funcții arbritare continue în 𝐷, astfel încât
𝜆1𝑑𝑥1+𝜆2𝑑𝑥2+ …+𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛 să fie o expresie diferențială.

Sisteme de ecuații

45
2.3.3.5 Definiție
Un sistem de 𝑛 funcții 𝜆1(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛),…,𝜆𝑛(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛) continue pe 𝐷,
cu proprietatea că există o funcție 𝜙:𝐷→ℝ, astfel încât
𝜆1𝑑𝑥1+𝜆2𝑑𝑥2+ …+𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛=𝑑𝜙
𝜆1𝑓1+𝜆2𝑓2+ …+𝜆𝑛𝑓𝑛=0
pentru orice (𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)∈𝐷, se numește combina ție integrabilă a
sistemului simetric (2.3.3.5) pe 𝐷.
Pentru fiecare combinație integrabilă a sistemului simetric (2.3.3.1)
obținem o integrală primă. Pentru a verifica relația (2.3.3.5), adică pentru a
avea egalitatea
𝑑𝑥𝑛(𝜆1𝑓1+𝜆2𝑓2+ …+𝜆𝑛𝑓𝑛)=𝑓𝑛(𝜆1𝑑𝑥1+𝜆2𝑑𝑥2+ …+𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛),
este necesar ca 𝜆1𝑑𝑥1+𝜆2𝑑𝑥2+ …+𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛=0.
Aici s -a ținut cont de faptul că membrul stâng este nul, datorită condiției
𝜆1𝑑𝑥1+𝜆2𝑑𝑥2+ …+𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛=0, din definiția combinației integrabile. Dar
𝜆1𝑑𝑥1+𝜆2𝑑𝑥2+ …+𝜆𝑛𝑑𝑥𝑛=𝑑𝜙, prin urmare 𝑑𝜙=0, adică avem un 𝜙=
(𝑥1,𝑥2,…,𝑥𝑛)=𝐶(𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡), constitue o integrală primă a sistemului (2.3.3.1).
Alegând convenabil funcțiile 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑛, putem obține cele 𝑛−1
combinații integrabile de care avem nevoie.
Metoda combinațiilor integrabile poate fi aplicată și sistemele de ecuații
diferențiale care nu sunt date sub forma simetrică, după ce le aducem mai întâi
la o formă simetrică adecvată.

2.3.3.6 Exe mplu

Sisteme de ecuații

46
Sistemul de ecuații diferențiale neliniare de ordinul I
{ 𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑧−𝑥
𝑦−𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑥=𝑥−𝑦
𝑦−𝑧
se scrie sub formă simetrică astfel
𝑑𝑥
𝑦−𝑧=𝑑𝑦
𝑧−𝑥=𝑑𝑧
𝑥−𝑦.
Considerăm 𝜆1=1,𝜆2=1,𝜆3=1 și obținem
𝑑𝑥
𝑦−𝑧=𝑑𝑦
𝑧−𝑥=𝑑𝑧
𝑥−𝑦=𝑑𝑥+𝑑𝑦+𝑑𝑧
𝑦−𝑧+𝑧−𝑥+𝑥−𝑦.
Am obținut astfel o combinație integrabilă, căci din 𝑑𝑥+𝑑𝑦+𝑑𝑧=0 avem
𝑑(𝑥+𝑦+𝑧)=0, care ne furnizează o integrală primă 𝑥+𝑦+𝑧=𝐶1,𝐶1∈ℝ.
Dacă considerăm 𝜆1=𝑥,𝜆2=𝑦,𝜆3=𝑧 atunci obținem
𝑥𝑑𝑥
𝑥(𝑦−𝑧)=𝑦𝑑𝑦
𝑦(𝑧−𝑥)=𝑧𝑑𝑧
𝑧(𝑥−𝑦)=𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑦+𝑧𝑑𝑧
𝑥(𝑦−𝑧)+𝑦(𝑧−𝑥)+𝑧(𝑥−𝑦)
și cum 𝑥(𝑦−𝑧)+𝑦(𝑧−𝑥)+𝑧(𝑥−𝑦)=0, rezultă 𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑦+𝑧𝑑𝑧=0, adică
1
2𝑑(𝑥2+𝑦2+𝑧2)=0.
Cea de -a două integrală primă a sistemului este deci 𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝐶2.
Așadar, soluția dată în mod implici t, este {𝑥+𝑦+𝑧=𝐶1
𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝐶2 , unde
𝐶1,𝐶2 sunt constante reale arbritare.

2.3.3.8 Exemplu

Sisteme de ecuații

47
Să se determine integralele prime ale sistemului simetric
𝑑𝑥
𝑥2−𝑦2−𝑧2=𝑑𝑦
2𝑥𝑦=𝑑𝑧
2𝑥𝑧.
Considerăm mai întâi 𝜆1=0,𝜆2=𝑧,𝜆3=−𝑦 și obținem
𝑧𝑑𝑦
2𝑥𝑦𝑧=−𝑦𝑑𝑧
−2𝑥𝑦𝑧=𝑧𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑧
2𝑥𝑦𝑧−2𝑥𝑦𝑧.
Deci 𝑧𝑑𝑦−𝑦𝑑𝑧=0, sau după împărțirea cu 𝑦𝑧,
1
𝑦𝑑𝑦−1
𝑧𝑑𝑧=0⇔𝑑(𝑙𝑛𝑦−𝑙𝑛𝑧)=0.
Se obține integrala primă
𝑙𝑛𝑦
𝑧=𝑙𝑛𝐶1⇒𝐶1=𝑦
𝑧,𝐶1∈ℝ.
În continuare considerăm 𝜆1=𝑥,𝜆2=𝑦,𝜆3=𝑧 și obținem
𝑑𝑥
𝑥2−𝑦2−𝑧2=𝑑𝑦
2𝑥𝑦=𝑑𝑧
2𝑥𝑧=𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑦+𝑧𝑑𝑧
𝑥(𝑥2+𝑦2+𝑧2).
De data aceasta nu am obținut o combinație integrabilă, dar din
𝑑𝑦
2𝑥𝑦=𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑦+𝑧𝑑𝑧
𝑥(𝑥2+𝑦2+𝑧2),
Rezultă
𝑑𝑦
𝑦=2𝑥𝑑𝑥+2𝑦𝑑𝑦+2𝑧𝑑𝑧
𝑥2+𝑦2+𝑧2,
Adică
𝑑𝑦
𝑦=𝑑(𝑥2+𝑦2+𝑧2)
𝑥2+𝑦2+𝑧2.

Sisteme de ecuații

48
Prin integrare rezultă 𝑙𝑛𝑦=ln(𝑥2+𝑦2+𝑧2)+𝑙𝑛𝐶2, de unde obținem
integrala primă
𝑦
𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝐶2.
Așadar, soluția generală a sistemului este
{𝑦
𝑧=𝐶1
𝑦
𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝐶2,
unde 𝐶1,𝐶2 sunt constante reale arbritare.
Facem, în final, observația că deși nu am făcut nici nu am făcut nici o
precizare asupra domeniului 𝐷⊂ℝ2 pe care a fost considerat sistemul din
exemplele precedente, presupunem că de fiecare dată când suntem într -o
situație asemănătoare, pentru a asigur a rigoarea matematică necesară, acest
domeniu va fi precizat explicit.
2.3.3.1 Soluționarea analitică a unei probleme Cauchy
Considerăm sistemul de ecuații diferențiale
{𝑦1`=𝑦1
𝑦2`=−𝑦1−𝑦3
𝑦3`=−𝑦1−𝑦3 (2.3.3.1.1), cu condițiile inițiale {𝑦1(0)=1
𝑦2(0)=0
𝑦3(0)=0 (2.3.3.1.2).
Rezolvare
Sistemul se scrie în mod echivalent sub forma {𝑦1`−𝑦1=0
𝑦2`+𝑦1+𝑦3=0
𝑦3`+𝑦1+𝑦3=0.
Ecuația caracteristică a sistemului (2.3.3.1.1) este :

Sisteme de ecuații

49
|𝑟−100
1𝑟1
10𝑟+1|=0⇒𝑟(𝑟−1)(𝑟+1)=0.
Deci rădăcinile ecuației caracteristice sunt 𝑟1=0,𝑟2=1 ș𝑖 𝑟3=−1.
Pentru 𝑟1=0 rădăcină simplă avem {𝑦1,1=𝐴𝑒0𝑥=𝐴
𝑦1,2=𝐵𝑒0𝑥=𝐵
𝑦1,3=𝐶𝑒0𝑥=𝐶
⇒𝑦1`=0,𝑦2`=0,𝑦3`=0⇒{−𝐴=0
𝐴+𝐶=0
𝐴+𝐶=0⇒𝐴=0 și 𝐶=0.
Fie 𝐵=𝐶1⇒{𝑦1,1=0
𝑦1,2=𝐶1
𝑦1,3=0 .
Pentru 𝑟=1 rădăcină simplă avem sistemul {𝑦2,1=𝐴𝑒𝑥
𝑦2,2=𝐵𝑒𝑥
𝑦2,3=𝐶𝑒𝑥 , din care rezultă
{𝑦2,1`=𝐴𝑒𝑥
𝑦2,2`=𝐵𝑒𝑥
𝑦2,3`=𝐶𝑒𝑥 .
Înlocuim în sistem {𝐴𝑒𝑥−𝐴𝑒𝑥=0
𝐵𝑒𝑥+𝐴𝑒𝑥+𝐶𝑒𝑥=0
𝐶𝑒𝑥+𝐴𝑒𝑥+𝐶𝑒𝑥=0, împărțim cu un 𝑒𝑥, vom avea
{𝐴−𝐴=0
𝐴+𝐵+𝐶=0
𝐴+2𝐶=0, din care rezultă {𝐴+𝐵+𝐶=0
𝐴=−2𝐶⇒𝐵+𝐶−2𝐶=0⇒𝐵=𝐶.
Fie 𝐶=𝐶2⇒{𝐵=𝐶=𝐶2
𝐴=−2𝐶2, atunci {𝑦2,1=−2𝐶2𝑒𝑡
𝑦2,2=𝐶2𝑒𝑡
𝑦2,3=𝐶2𝑒𝑡 .

Sisteme de ecuații

50
Pentru 𝑟3=−1 rădăcină simplă avem sistemul {𝑦3,1=𝐴𝑒−𝑥
𝑦3,2=𝐵𝑒−𝑥
𝑦3,3=𝐶𝑒−𝑥 prin
derivare vom avea {𝑦3,1`=−𝐴𝑒−𝑥
𝑦3,2`=−𝐵𝑒−𝑥
𝑦3,3`=−𝐶𝑒−𝑥 . Înlocuim în sistem și vom obține
{−𝐴𝑒−𝑥−𝐴𝑒−𝑥=0
−𝐵𝑒−𝑥+𝐴𝑒−𝑥+𝐶𝑒−𝑥=0
−𝐶𝑒−𝑥+𝐴𝑒−𝑥+𝐶𝑒−𝑥=0 , împărțim cu 𝑒𝑥, vom avea {−2𝐴=0
−𝐵+𝐶=0
𝐴=0 ⇒
{𝐴=0
𝐵=𝐶 .
Fie 𝐵=𝐶3 ⇒{𝑦3,1=0
𝑦3,2=𝐶3𝑒−𝑥
𝑦3,3=𝐶3𝑒−𝑥 .
Atunci soluția s istemului (2.3.3.1.1) este {𝑦1=𝑦1,1+𝑦2,1+𝑦3,1
𝑦2=𝑦1,2+𝑦2,2+𝑦3,2
𝑦3=𝑦1,3+𝑦2,3+𝑦33 atunci
{𝑦1=−2𝐶2𝑒𝑥
𝑦2=𝐶1+𝐶2𝑒𝑥+𝐶3𝑒−𝑥
𝑦3=𝐶2𝑒𝑥+𝐶3𝑒−𝑥.
Din condițiile inițiale se obțin constantele 𝐶1,𝐶2,𝐶3, astfel
{1=−2𝐶2
0=𝐶1+𝐶2+𝐶3
0=𝐶1+𝐶2, atunci
{ 𝐶1=0
𝐶2=−1
2
𝐶3=1
2 .
Atunci soluția problemei Cauchy este {𝑦1=−𝑒𝑥
𝑦2=−𝑒𝑥+𝑒−𝑥
𝑦3=−𝑒𝑥+𝑒−𝑥.

Sisteme de ecuații

51
2.3.3.2 Aplicație a sistemelor simetrice
Fie 𝑉⃗ (𝑥,𝑦,𝑧)=𝑉1(𝑥,𝑦,𝑧)𝑖 +𝑉2(𝑥,𝑦,𝑧)𝑗 +𝑉3(𝑥,𝑦,𝑧)𝑘⃗ un câmp vectorial în
𝐷⊂ℝ3, unde funcțiile s calare 𝑉1,𝑉2,𝑉3 sunt continue în 𝐷. Liniile de câmp ale
câmpului vectorial, sunt soluțiile sistemului simetric
𝑑𝑥
𝑉1=𝑑𝑦
𝑉2=𝑑𝑧
𝑉3
obținem din condiția de coliniaritate (paralelism) a vectorilor (dx,dy,dz) și
(𝑉1,𝑉2,𝑉3).
2.3.3.1.1 Exemplu
Să se determine liniile de câmp ale câmpului vectorial
𝑉⃗ (𝑥,𝑦,𝑧)=2𝑥𝑦𝑧𝑖 +(𝑥2−𝑦2)𝑧𝑗 +(𝑦3−3𝑥2𝑦)𝑘⃗ .
Sistemul simetric atașat este
𝑑𝑥
2𝑥𝑦𝑧=𝑑𝑦
(𝑥2−𝑦2)=𝑑𝑧
𝑦(𝑦2−3𝑥2)
Constrium 𝜆1=𝑥,𝜆2=𝑦,𝜆3=𝑧 și obținem
𝑑𝑥
2𝑥𝑦𝑧=𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑦+𝑧𝑑𝑧
2𝑥2𝑦𝑧+𝑥2𝑦𝑧−𝑦3𝑧+𝑦3𝑧−3𝑥2𝑦𝑧.
Atunci 𝑥𝑑𝑥+𝑦𝑑𝑦+𝑧𝑑𝑧=0, din care obținem integrală primă
𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝐶1,𝐶1∈ℝ. Este dificil de întrevăzut o direcție de obținere a
unei combinații întegrabile, astfel încât, considerând primele două raporte
obținem
𝑑𝑥
2𝑥𝑦=𝑑𝑦
(𝑥2−𝑦2).

Sisteme de ecuații

52
Obținem, prin integrare, soluția 𝑥3−3𝑥𝑦2=𝐶2,𝐶2∈ℝ care constituie cea de -a
două integrală primă.
Așadar, liniile de câmp sunt date de ecuațiile {𝑥2+𝑦2+𝑧2=𝐶1
𝑥3−3𝑥𝑦2=𝐶2, unde
𝐶1,𝐶2 sunt constante arbritare.

Sisteme de ecuații

53
Capitolul 3
3.1 Funcția exponențială de matrice
Să considerăm sistemul liniar, omogen , cu coeficienți constanți
𝑥`(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡), (3.1.1)
unde 𝐴∈𝑀𝑛×𝑛(ℝ). Cum, în cazul ecuației scalare 𝑥`=𝑎𝑥, soluția generală este
dată de 𝑥(𝑡)=𝜉𝑒𝑡𝑎 pentru 𝑡∈ℝ, unde
𝑒𝑡𝑎=∑𝑡𝑘𝑎𝑘
𝑘!∞
𝑘=0,
covergența, fiind uniformă pe orice mulțime compactă din ℝ, aceasta ne
sugerează ca, și în cazul 𝑛− dimensional, să definim o candidată pentru titlu
de matrice fundamentală prin
𝑒𝑡𝐴=∑𝑡𝑘
𝑘!𝐴𝑘 (3.1.2)∞
𝑘=0
Reamintim că 𝐴𝑘 este produsul matricei 𝐴 cu ea însăși de 𝑘 ori, iar 𝐴0=
ℐ. Prin analogie cu cazul, vom demonstra că seria din membrul drept este
uniform convergentă, pentru 𝑡 din mulțimile compacte din ℝ, în sensul normei
∥∙∥𝒪 definită în Secțiunea 1 din appe ndix și în sfârșit, vom arăta că suma
acestei serii este unica matrice fundamentală 𝑋 a sistemului (3.1.1) care
satisface 𝑋(0)=ℐ.
3.1.1 Definiție
Seria ∑𝒞𝑘∞
𝑘=0, cu elemente din ℳ𝑛×𝑛(ℝ) este convergentă la 𝒞 dacă

Sisteme de ecuații

54
lim
𝑚→+∞‖∑𝒞𝑘−𝒞𝑚
𝑘=0‖
𝒪=0.
unde ∥∙∥𝒪 definită în Secțiunea 1 din appendix. Seria ∑𝒞𝑘∞
𝑘=0, cu elementele din
ℳ𝑛×𝑛(ℝ) este normal convergentă dacă seria ∑‖𝒞𝑘‖𝒪∞
𝑘=0 este convergentă.
3.1.2 Observația
Este ușor de constatat că pentru orice serie de matrice ∑𝒞𝑘∞
𝑘=0 normal
convergentă există o matrice 𝒞 astfel încât seria să fie convergentă la 𝒞.
Aceasta rezultă din simpla observație că șirul sumelor parțiale a oricărei serii
de matrice normal convergentă este fundamental în norma spațiului ℳ𝑛×𝑛(ℝ)
care este comp let (putând fi identificat cu ℝ𝑛×𝑛 dotat cu norma euclidiană).
3.1.3 Definiție
Fie 𝒞𝑘:𝕀→ℳ𝑛×𝑛(ℝ),𝑘∈ℕ. Seria de funcții cu valori matrice ∑𝒞𝑘∞
𝑘=0(𝑡)
este uniform convergentă pe 𝕀 la 𝒞:𝕀→ℳ𝑛×𝑛(ℝ) dacă penrtru orice 𝜀>0
există 𝑚(𝜀)∈ℕ astfel încât, pentru orice 𝑚∈ℕ,𝑚≥𝑚(𝜀).
‖∑𝒞𝑘(𝑡)−𝒞(𝑡)𝑚
𝑘=0‖
𝒪≤𝜀 ,
Pentru orice 𝑡∈𝕀.
3.1.4 Teoremă
Pentru orice 𝒜∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ) seria
∑𝑡𝑘
𝑘!𝒜𝑘∞
𝑘=0

Sisteme de ecuații

55
este uniform convergentă pe orice interval compact 𝕀 din ℝ. În plus, suma ei 𝑒𝑡𝒜 este
derivabilă pe ℝ și
𝑑
𝑑𝑡(𝑒𝑡𝒜)=𝒜𝑒𝑡𝒜=𝑒𝑡𝒜𝒜 (3.1.3)
pentru orice 𝑡∈ℝ.
Demonstrație
Avem
‖∑𝑡𝑘
𝑘!𝒜𝑘𝑚+𝑝
𝑘=𝑚‖
𝒪≤∑(|𝑡|‖𝒜‖𝒪)𝑘
𝑘!𝑚+𝑝
𝑘=𝑚
pentru orice 𝑚,𝑝∈ℕ și orice 𝑡∈ℝ. Această inegalitate arată că seria
considerată satisface condiția lui CAUCHY uniform pentru 𝑡 orice mulțime
compactă întrucânt seria cu termeni pozitivi care o majorează are această
proprietate. Deci șirul sumelor parțiale este un șir CAUCHY uniform pe o rice
interval compact 𝕀 și ca atare, seria considerată este uniform convergentă pe 𝕀.
Pentru a demonstra cea de -a doua parte a teoremei începem prin a
observa că seria este derivabilă termen și că seria derivatelor este la rândul ei
uniform convergentă pe orice interval compact din ℝ. Într-adevăr este ușor de
constatat că
𝑑
𝑑𝑡(ℐ)=0 ș𝑖 𝑑
𝑑𝑡(𝑡𝑘
𝑘!𝒜𝑘)=𝒜𝑡𝑘−1
(𝑘−1)!𝒜𝑘−1=𝑡𝑘−1
(𝑘−1)!𝒜𝑘−1𝒜,
pentru orice 𝑘∈ℕ∗ și orice 𝑡∈ℝ. De aici rezultă că
‖∑𝑑
𝑑𝑡(𝑡𝑘
𝑘!𝒜𝑘)𝑚+𝑝
𝑘=𝑚‖
𝒪≤‖𝒜‖𝒪∑(|𝑡|‖𝒜‖𝒪)𝑘−1
(𝑘−1)!,𝑚+𝑝
𝑘=𝑚

Sisteme de ecuații

56
inegalitate care arată că seria derivatelor satisface condiția lui CAUCHY
uniform pentru 𝑡 din orice interval compact. Ca atare suma seriei inițiale este
derivabilă și derivata ei satisface
𝑑
𝑑𝑡(𝑒𝑡𝐴)=𝒜(∑𝑡𝑘−1
(𝑘−1)!𝒜𝑘−1∞
𝑘=1)=(∑𝑡𝑘−1
(𝑘−1)!𝒜𝑘−1∞
𝑘=1)𝒜,
relații care evident sunt echivalente cu (3.1.3). Demonstrația este încheiată.
3.1.5 Observația
Prima egalitate din (3.1.3) demonstrează că orice coloană a matricei
𝑒𝑡𝒜, gândită ca o funcție de la ℝ î𝑛 ℝ𝑛, este o soluție a sistemului omogen
(3.1.1). Cum 𝑒0𝒜=ℐ și ℐ este nesingulară, rezultă că 𝑒𝑡𝒜 este matrice
fundamentală pentru sistemul (3.1.1).
Câteva consecințe utile ale teoremei (3.1.4) sunt formulate mai jos.
3.1.6 Propoziție
Pentru orice 𝒜∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ) seria
∑1
𝑘!𝒜𝑘∞
𝑘=0
este convergentă. În plus funcția 𝒜↦𝑒𝒜 definită pe ℳ𝑛×𝑛(ℝ) cu valori în
ℳ𝑛×𝑛(ℝ), unde 𝑒𝒜 este suma seriei de mai sus, are următoarele proprietăți:
1. 𝑒ℐ=𝑒𝒥;
2. Dacă 𝒜ℬ=ℬ𝒜 atunci 𝑒𝒜+ℬ=𝑒𝒜𝑒ℬ;
3. Dacă 𝒜=𝒬−1ℬ𝒬 atunci 𝑒𝒜=𝒬−1𝑒ℬ𝒬;
4. 𝑒−𝒜=(𝑒𝒜)−1;

Sisteme de ecuații

57
Demonstrație
Punctul (𝑖) este o consecință imediată a definiției metricei 𝑒ℐ. Pentru a
demonstra proprietatea 2, să observăm că, dacă 𝒜ℬ=ℬ𝒜, atunci
𝑒𝑡𝒜ℬ=ℬ𝑒𝑡𝒜 (3.1.4),
pentru orice 𝑡∈ℝ. Într-adevăr, dacă 𝒜ℬ=ℬ𝒜 atunci 𝒜𝑘ℬ=ℬ𝒜𝑘 pentru 𝑘∈
ℕ, relației care împreună cu definiție metricei 𝑒𝑡𝒜 implicit (3.1.4). Din (3.1.4) și
din (3.1.3) rezultă că
𝑑
𝑑𝑡(𝑒𝑡𝒜𝑒𝑡ℬ)=𝑑
𝑑𝑡(𝑒𝑡𝒜)𝑒𝑡ℬ+𝑒𝑡𝒜𝑑
𝑑𝑡(𝑒𝑡ℬ)=𝒜𝑒𝑡𝒜𝑒𝑡ℬ+𝑒𝑡𝒜ℬ𝑒𝑡ℬ
=(𝒜+ℬ)𝑒𝑡𝒜𝑒𝑡ℬ,
pentru orice 𝑡∈ℝ. Această egalitate ne arată că 𝒳(𝑡)=𝑒𝑡𝒜𝑒𝑡ℬ este o matrice
fundamentală pentru sistemul 𝑥`=(𝒜+ℬ)𝑥, care satisface 𝒳(0)=ℐ. Din
partea de unicitate a Teoremei (3.1.4) și din observația (3.1.5) urmează că
𝑒𝑡𝒜𝑒𝑡ℬ=𝑒𝑡(𝒜+ℬ) pentru orice 𝑡∈ℝ, ceea ce evident implică proprietatea 2.
Dacă 𝒜=𝒬−1ℬ𝒬 atunci 𝒜𝑘=𝒬−1𝐵𝑘𝒬 pentru orice 𝑘∈ℕ, de unde
∑𝑡𝑘
𝑘!∞
𝑘=0𝒜𝑘=∑𝑡𝑘
𝑘!𝒬−1ℬ𝑘𝒬=𝒬−1(∑𝑡𝑘
𝑘!ℬ𝑘∞
𝑘=0)𝒬,∞
𝑘=0
care ce demonstrează observația 3.
În sfârșit, cum 𝒜 și –𝒜 comută, din observația 2, deducem
𝑒𝒜𝑒−𝒜=𝑒−𝒜𝑒𝒜=𝑒𝒪=ℐ. În consecință 𝑒𝒜 este inversabilă și inversa ei este
𝑒−𝒜. Demonstrația este completă.
3.1.7 Observația
Să considerăm problema Cauchy

Sisteme de ecuații

58
{𝑥`(𝑡)=𝒜𝑥(𝑡)+𝑏(𝑡)
𝑥(𝑎)=𝜉
unde 𝒜∈ℳ𝑛×𝑛(ℝ),𝑏:𝕀→ℝ𝑛 este o funcție continuă, 𝑎∈𝕀 și 𝜉∈ℝ𝑛. Atunci
unica solu ției a ecestei probleme este dată de
𝑥(𝑡,𝑎,𝜉)=𝑒(𝑡−𝑎)𝒜𝜉+∫𝑒(𝑡−𝑠)𝒜𝑏(𝑠)𝑑𝑠𝑡
𝑎, pentru orice 𝑡∈𝕀.
Într-adevăr, luând 𝒳(𝑡)=𝑒𝑡𝒜 și făcând apel la proprietățiile 2 și 4 din
propoziția (3.1.1) deducem că 𝒳(𝑡)=𝒳−1(𝑠)=𝑒(𝑡−𝑠)𝒜 pentru orice 𝑡,𝑠 ∈ℝ.
De aici deducem (3.1.5).
3.1.4 Observația
Toate considerațiile făcute în această secțiune pot fi extinse fără nici o
dificultate la cazul sistemelor de ecuații diferențiale de ordinul întâi cu
coeficienți constanți în corpul numerelor complexe. Mai precis, să considerăm
sistemul diferențial liniar și omogen 𝑤`(𝑧)=𝒜𝑤(𝑧) (3.1.6) , unde
𝒜∈ℳ𝑛×𝑛(ℂ). Prin soluție a acestui sistem înțelegem o funcție 𝑤:𝐷→ℂ ,
olomorfo pe 𝐷⊂ℂ𝑛 și care satisface (3.1.6) pentru orice 𝑧∈𝐷.
Să înzestrăm ℂ𝑛 cu produsul scalar standard 〈∙,∙〉 definit prin
〈𝑧,𝑤〉=∑𝑧𝑖𝑤𝑖̅̅̅𝑛
𝑖=1,
pentru orice 𝑧,𝑤∈ℂ𝑛, să definim norma ‖∙‖𝑒:ℂ𝑛→ℝ+ prin ‖𝑧‖=√〈𝑧,𝑧〉 și
norma ‖∙‖𝒪:ℳ𝑛×𝑛(ℂ)→ℝ+ prin
‖𝒜‖𝒪=𝑠𝑢𝑝{‖𝒜𝑧‖𝑒;‖𝑧‖𝑒≤1}
pentru orice 𝒜∈ℳ𝑛×𝑛(ℂ). Ajunși în acest punct, să observăm că seria

Sisteme de ecuații

59
∑𝑧𝑘
𝑘!𝒜𝑘∞
𝑘=0
este uniform convergentă pe orice mulțim e compactă din ℂ și suma ei este o
matrice cu elemente funcții întregi (olomorfe pe ℂ) notată pe 𝑒𝑧𝒜 . Din teorema
de derivabilitate a seriilor de puteri complexe deducem că matricea de mai sus
este soluția pe ℂ a problemei CAUCHY
{𝒲`(𝑧)=𝒜𝒲(𝑧)
𝒲(0)=ℐ.
3.2 Determinarea matricei 𝒆𝒕𝓐
În continuare vom prezenta o metodă de determinare a matricei 𝑒𝑡𝒜
utilizând forma canonică JORDAN a unei matrice. Începem prin a reaminti că,
pentru orice matrice cu elemente complexe 𝒜∈ℳ𝑛×𝑛(ℂ), există o matrice
nesingulară 𝒬∈ℳ𝑛×𝑛(ℂ), astfel încât 𝒜=𝒬−1𝒥𝒬 (3.2.1) , unde 𝒥 este forma
canonică Jordan a matricei 𝒜. Mai precis, dacă 𝜆1,𝜆2,…,𝜆𝑠 sunt rădăcinile
ecuației caracteristice det(𝐴−𝜆𝒥)=0 reale sau complexe , cu ordinile de
multiplicitate 𝑚1,𝑚2,…,𝑚𝑠,
∑𝑚𝑝=𝑛,𝑠
𝑝=1
atunci 𝒥 o matrice diagonală de blocuri:
𝑒𝑡𝒥=𝑑𝑖𝑎𝑔(𝑒𝑡𝒥11,…,𝑒𝑡𝒥1ℎ(1),𝑒𝑡𝒥21,…,𝑒𝑡𝒥𝑠ℎ(𝑠)) (3.2.2)
Aici, 𝒥𝑝𝑖 pentru 𝑝=1,2,…,𝑠 și 𝑗=1,2,…,ℎ(𝑝), sunt celulu Jordan
corespunzătoare rădăcinii caracteristice 𝜆𝑝.

Sisteme de ecuații

60
𝒥𝑝𝑖=(𝜆𝑝
01
𝜆𝑝0
1…0
…0
…… ……….
00 0…𝜆𝑝)∈ℳ𝑚𝑝𝑗×𝑚𝑝𝑗(ℂ) și
∑𝑚𝑝𝑗=𝑚𝑝.ℎ(𝑝)
𝑗=1
Din (3.2.1) și din propoziția (3.1.1) proprietatea 3, combinată cu
observația (3.1.4), urmează
𝒥𝑝𝑗=(0
01
00
1…
…0
0……………
000… 0)+𝜆𝑝(1
00
10
0…
…0
0……………
000… 1)
pentru 𝑝=1,2,…,𝑠 și 𝑗=1,2,…,ℎ(𝑝). Notând cu
𝜀𝑝𝑗=(0
01
00
1…
…0
0……………
000… 0) ș𝑖 𝒥𝑝𝑗=(1
00
10
0…
…0
0……………
000… 1),
relația de mai sus se rescrie sub forma 𝒥𝑝𝑗=𝜀𝑝𝑗+𝜆𝑝𝒥𝑝𝑗. Cum 𝑡𝜀𝑝𝑗 și 𝑡𝜆𝑝𝒥𝑝𝑗
comută, conform propoziției (3.1.1), urmează că
𝑒𝑡𝒥𝑝𝑗=𝑒𝑡𝜆𝑝𝑒𝑡𝜀𝑝𝑗. (3.2.3)
Este ușor de văzut că puterea de exponent 𝑞,𝑞=1,2,…,𝑚𝑝𝑗, a matricei
𝜀𝑝𝑗,𝜀𝑝𝑗𝑞, este matricea ale cărei elemente 𝑒𝑘,𝑙 sunt date de : 𝑒𝑘,𝑙=0 pentru orice
𝑘=1,2,…,𝑚𝑝𝑗 și 𝑙=1,2,…,𝑚𝑝𝑗,𝑙≠𝑘+𝑞 ș𝑖 𝑒𝑘,𝑘+𝑞=1. Astfel, cum matricea
𝜀𝑝𝑗 este ordinul 𝑚𝑝𝑗, urmează că 𝜀𝑝𝑗𝑚𝑝𝑗 este matricea nulă. Ținând cont de
definiția matricei exponențiale, avem
𝑒𝑡𝜀𝑝𝑗=(1𝑡
1!𝑡2
2!…𝑡𝑚𝑝𝑗−1
(𝑚𝑝𝑗−1)!
⋮… ⋮
00 0…1) (3.2.4),

Sisteme de ecuații

61
pentru orice 𝑡∈ℝ. Din (3.2.4), (3.2.3) și (3.2 .4), obținem forma explicită a
matricei 𝑒𝑡𝒜.
Ca un rezultat fundamental în teoria sistemelor sistemelor de ecuații
diferențiale liniare cu coeficienți constanți, rezultat care poartă numele de
teorema de structură a matricei 𝑒𝑡𝒜.
3.2.1 Teoremă
Toate elementele necesare matricei 𝑒𝑡𝒜 sunt de forma
∑𝑒𝛼𝑘𝑡[𝑝𝑘(𝑡)cos(𝛽𝑘𝑡)+𝑞𝑘(𝑡)sin(𝛽𝑘𝑡)],𝑠
𝑘=1
unde 𝛼𝑘+𝑖𝛽𝑘,𝑘=1,2,…,𝑠, sunt rădăcinile ecuației caracteristice det(𝒜−𝜆ℐ)=0,
iar 𝑝𝑘 și 𝑞𝑘 sunt polinoamele cu coeficienți real, de grad cel mult 𝑚𝑘−1,𝑚𝑘 fiind de
multiplicitate al rădăcinii 𝛼𝑘+𝑖𝛽𝑘,𝑘=1,2,…,𝑠.
Demonstrație
Fie 𝜆=𝛼+𝑖𝛽 o rădăcină a ecuației det(𝒜−𝜆ℐ)=0. Ținând cont de
faptul că 𝑒𝑡𝜆=𝑒𝛼𝑡[cos(𝛽𝑡)+𝑖𝑠𝑖𝑛(𝛽𝑡)], efectuând înmulțirile (3.2.4), utilizând
(3.2.3), (3.2.4) și reamintind că, deși 𝒬−1 ș𝑖 𝒬 sunt matrici cu elemente numere
complexe, produsul 𝒬−1𝑒𝑡𝒥𝒬=𝑒𝑡𝒜 este în mod necesar o matrice cu elemente
numere reale, oținem concluzia teoremei.
Funcțiile de forma celei prezentate în teoremă sunt cunoscute în
literatura de specialitate sub numele de cvasi -polinoame.
3.2.2 Observația
Teorema de structură a matricei 𝑒𝑡𝒜 ne oferă o metodă efectivă de
determinare a acestei matrici. Mai precis, pentru a găsi 𝑒𝑡𝒜, vom ține cont de

Sisteme de ecuații

62
faptul că toate elementele ei sunt de forma precizată în teorema (3.2.1) și vom
determina coeficienții polinoamelor 𝑝𝑘 ș𝑖 𝑞𝑘 punând condițiile 𝑒0𝒜=ℐ și
(𝑒𝑡𝒜)`=𝒜𝑒𝑡𝒜 pentru orice 𝑡∈ℝ.
3.2.3 Exemplu
Să se determine 𝑒𝑡𝐴 în cazul în care 𝒜=(2−1
−23).
Ecuația caracteristică det(𝒜−𝜆ℐ)=0 se rescrie echialent sub forma
|2−𝜆−1
−23−𝜆|=(2−𝜆)(3−𝜆)−2=𝜆2−5𝜆+4=0
și are rădăcinile 𝜆1=1 ș𝑖 𝜆2=4, ambele având ordinul de multiplicitate 1. Ca
tare, elementele matricei 𝑒𝑡𝐴 sunt combinații liniare de 𝑒𝑡 ș𝑖 𝑒4𝑡.
Avem 𝑒𝑡𝐴=(𝑐111𝑒𝑡+𝑐112𝑒4𝑡𝑐121𝑒𝑡+𝑐122𝑒4𝑡
𝑐211𝑒𝑡+𝑐212𝑒4𝑡𝑐221𝑒𝑡+𝑐222𝑒4𝑡).

Din condiția 𝑒0𝐴=ℐ rezultă
{𝑐111+𝑐112=1 𝑐121+𝑐122=0
𝑐211+𝑐212=0 𝑐221+𝑐222=1 .
Ca atare, notând 𝑐111=𝛼,𝑐121=𝛽,𝑐211=𝛾 și 𝑐222=𝛿, avem 𝑐112=1−𝛼 , 𝑐122=
−𝛽,𝑐212=−𝛾 și 𝑐222=1−𝛿. cu aceste notații, 𝑒𝑡𝐴 este de forma
𝑒𝑡𝐴=(𝛼𝑒𝑡+(1−𝛼)𝑒4𝑡𝛽𝑒𝑡−𝛽𝑒4𝑡
𝛾𝑒𝑡−4𝛾𝑒4𝑡𝛿𝑒𝑡+(1−𝛿)𝑒4𝑡).
Condiția (𝑒𝑡𝐴)`=𝐴𝑒𝑡𝐴 are forma
(𝛼𝑒𝑡+4(1−𝛼)𝑒4𝑡𝛽𝑒𝑡−4𝛽𝑒4𝑡
𝛾𝑒𝑡−4𝛾𝑒4𝑡𝛿𝑒𝑡+4(1−𝛿)𝑒4𝑡)=
((2𝛼−𝛾)𝑒𝑡+(2−2𝛼+𝛾)𝑒4𝑡(2𝛽−𝛿)𝑒𝑡+(−2𝛽−1+𝛿)𝑒4𝑡
(−2𝛼+3𝛾)𝑒𝑡+(−2+2𝛼−3𝛾)𝑒4𝑡(−2𝛽+3𝛿)𝑒𝑡+(2𝛽+3−3𝛿)𝑒4𝑡),

Sisteme de ecuații

63
pentru orice 𝑡∈ℝ.
Ținând cont că familia {𝑒𝑡,𝑒4𝑡} este liniar independentă în spațiul
funcțiilor continue de la ℝ în ℝ, identificând coeficienții lui 𝑒𝑡 ș𝑖 𝑒4𝑡 din cele
două matrice, obținem un sistem liniar de opt ecua ții cu patru necunoscute
(𝛼,𝛽,𝛾,𝛿), compatibil determinat, având soluția
{𝛼=2
3𝛽=1
3
𝛾=2
3𝛿=1
3.
În consencință
𝑒𝑡𝐴=1
3(2𝑒𝑡+𝑒4𝑡𝑒𝑡−𝑒4𝑡
2𝑒𝑡−2𝑒4𝑡𝑒𝑡+2𝑒4𝑡), pentru orice 𝑡∈ℝ.
3.3 Exponențiala de argument matriceal
Dacă 𝑓(𝜆) este un polinom de variabilă 𝜆,
𝑓(𝜆)=𝑏0𝜆𝑚+𝑏1𝜆𝑚−1+ …+𝑏𝑚−1𝜆+𝑏𝑚 și 𝐴 este o matrice constantă, de
ordinul 𝑛, am definit matricea 𝑓(𝐴) prin formula
𝑓(𝐴)=𝑏0𝐴𝑚+𝑏1𝐴𝑚−1+ …+𝑏𝑚−1𝐴+𝑏𝑚𝐼,
𝑚 și 𝑛 fiind numere naturale, fără nici o legătură între ele.
Ne punem problema cum putem defini funcții de matrice și anume cum
defini matricea 𝑓(𝐴) în cazul în care 𝑓(𝑥) este o funcție indefinit derivabilă
oarecare. Una din metode este bazată pe dezvoltar ea în serie Taylor a funcției
𝑓(𝑥), folosind noțiunea, relativ complicată de serie de matrice. Dacă 𝑓(𝑥)=𝑒𝑥,
seria Taylor în jurul punctului 𝑥=0 corespunzătoare este
𝑒𝑥=1+𝑥
1!+𝑥2
2!+ …+𝑥𝑛
𝑛!+⋯

Sisteme de ecuații

64
și prin înlocuire formală a lui 𝑥 cu 𝐴 suntem conduși la expresia:
𝑒𝐴=𝐼+1
1!𝐴+1
2!𝐴2+ …+1
𝑛!𝐴𝑛+⋯ .
Aceasta este o serie cu elemente matrici și poate fi privită ca un
ansamblu de 𝑛2 serii de numere reale sau complexe.
3.3.1 Propoziție
1. Dacă 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛(ℝ),𝐴𝐵=𝐵𝐴, atunci 𝑒𝐴+𝑒𝐵=𝑒𝐴𝑒𝐵.

Demonstrație
Fie 𝑒𝐴=𝐼+1
1!𝐴+1
2!𝐴2+ …+1
𝑛!𝐴𝑛+⋯ și
𝑒𝐵=𝐼+1
1!𝐵+1
2!𝐵2+ …+1
𝑛!𝐵𝑛+⋯ .
Folosind produsul în sens Cauchy
𝑒𝐴𝑒𝐵=(𝐼+1
1!𝐴+1
2!𝐴2+ …+1
𝑛!𝐴𝑛+⋯)(𝐼+1
1!𝐵+1
2!𝐵2+ …+1
𝑛!𝐵𝑛+⋯)
=𝐼+1
1!(𝐴+𝐵)+1
2!(𝐴2+2𝐴𝐵+𝐵2)+1
3!(𝐴3+3𝐴2𝐵+3𝐴𝐵2
+𝐵3)+ …=𝑒𝐴+𝑒𝐵.
2. Dacă 𝐼∈𝑀𝑛(ℝ), matricea unitate, atunci 𝑒𝐼=𝑒𝐼.
Demonstrație
𝑒𝐼=𝐼+1
1!𝐼+1
2!𝐼2+ …+1
𝑛!𝐼𝑛+⋯=
(1
1!+1
2!+ …+1
𝑛!+⋯)𝐼= 𝑒𝐼.
3. Dacă 𝐴∈𝑀𝑛(ℝ), atunci (𝑒𝐴)−1=𝑒−𝐴.

Sisteme de ecuații

65
Demonstrație
Deoarece 𝐴 și –𝐴 comută, deducem 𝑒𝐴𝑒−𝐴=𝑒−𝐴𝑒𝐴=𝑒0=𝐼. Deci 𝑒𝐴
este inversabilă și inversa ei este 𝑒−𝐴.
Ne interesează calculul efectiv a lui 𝑒𝐴. Pentru aceasta considerăm
următoarele cazuri:
I. Cazul în care 𝐴 este matrice diagonală, A=D
𝐷=(𝜆1
00
𝜆2…
…0
0…………
00…𝜆𝑛), 𝐷𝑘=(𝜆1𝑘
00
𝜆2𝑘…
…0
0…………
00…𝜆𝑛𝑘)
𝑒𝐷=𝐼+1
1!𝐷+1
2!𝐷2+ …+1
𝑛!𝐷𝑛+⋯=
=
( 1+1
1!𝜆1+⋯
00
1+1
1!𝜆2+1
2!𝜆22+⋯…
…0
0
… … ……
0 0 …1+1
1!𝜆𝑛+1
2!𝜆𝑛2+⋯)
=
=(𝑒𝜆1
00
𝑒𝜆2…
…0
0…………
00…𝑒𝜆𝑛).
II. Cazul în care 𝐴 este celulă Jordan de ordin 𝑛 corespunzătoare valorii
proprii 𝜆
𝐴=𝐽𝑛=(𝜆
01
𝜆…
…0
0
………1
00…𝜆)=𝜆𝐼𝑛+𝐸𝑛, unde
𝐸𝑛=(0
01
0…
…0
0
………1
00…0),𝐸𝑛2=
( 0
…
00
…
01
…
0…
…
…0
…
1
000…0
000…0) ,…,𝐸𝑛𝑛=0.

Sisteme de ecuații

66
𝑒𝐽𝑛=𝑒𝜆𝐼𝑛+𝐸𝑛=𝑒𝜆𝐼𝑛[𝐼+1
1!𝐸𝑛+1
2!𝐸𝑛2+ …+1
(𝑛−1)!𝐸𝑛𝑛−1]=
𝑒𝜆[𝐼+1
1!𝐸𝑛+1
2!𝐸𝑛2+ …+1
(𝑛−1)!𝐸𝑛𝑛−1]=𝑒𝜆
( 1
0
01
1!
1
01
2!
1
1!
1…
…
…1
(𝑛−1)!
1
(𝑛−2)!
………………
000…1) .
III. Cazul în care 𝐴 este o matrice Jordan
𝐽=(𝐽1
𝐽20
..
0 𝐽𝑠), atunci 𝑒𝐽=(𝑒𝐽1
𝑒𝐽20
..
0 𝑒𝐽𝑠).
3.3.2 Teorema
Dacă 𝐴,𝐵∈𝑀𝑛(ℝ),𝐴 și 𝐵 sunt matrice asemenea, 𝐵=𝐶−1𝐴𝐶, atunci 𝑒𝐵=
𝐶−1𝑒𝐴𝐶.
Demonstrație
Știm că 𝐵2=𝐶−1𝐴2𝐶,…,𝐵𝑘=𝐶−1𝐴𝑘𝐶 (inducție)
𝑒𝐵=∑1
𝑘!𝐵𝑘=∑𝐶−1𝐴𝐶=𝐶−1(∑1
𝑘!𝐴𝑘∞
𝑘=0)𝐶=𝐶−1𝑒𝐴𝐶.∞
𝑘=0∞
𝑘=0
3.3.3 Consecințe
1. Dacă 𝐴 este diagonalizabilă, 𝐷=𝑃−1𝐴𝑃, atunci 𝑒𝐴=𝑃𝑒𝐷𝑃−1.
2. Dacă 𝐴 admite forma Jardon, 𝐽=𝑃−1𝐴𝑃, atunci 𝑒𝐴=𝑃𝑒𝑗𝑃−1 unde 𝑃 este
matricea modală.

Sisteme de ecuații

67
3.4 Aplicații al ei exponențialei de argument
matriceal
3.4.1 Exercițiu
Fie matricea 𝐴=(1
00
10
01
0
001−2
10−25). Să se calculeze 𝑒𝐴.
Rezolvare
Polinomul caracteristic este: 𝑃(𝜆)=𝜆(𝜆−1)2(𝜆−6). Pentru 𝜆=0,
vectorul propriu este 𝑣1=(−1021)𝑇; pentru 𝜆=1,
𝐴−𝐼=(0
00
00
01
0
000−2
10−24), iar vectorii proprii sunt:
𝑣2=(0100)𝑇,𝑣3=(2010)𝑇.
Pentru 𝜆=6,𝐴−𝐼=(−5
00
−50
01
0
00−5−2
10−2−1), iar vectorul propriu este
𝑣4=(10−25)𝑇 .
Obținem 𝐷=(0
00
10
00
0
0010
0006), iar
𝐻=(−1
00
12
01
0
201−2
1005),𝐻−1=
( −1
6
00
11
3
01
6
0
2
501
50
1
300−1
151
6) .

Sisteme de ecuații

68
𝑒𝐷=(0
00
𝑒0
00
0
00𝑒0
000𝑒6),
𝑒𝐴=𝑃𝑒𝐷𝑃−1=(−1
00
12
01
0
201−2
1005)(0
00
𝑒0
00
0
00𝑒0
000𝑒6)
( −1
6
00
11
3
01
6
0
2
501
50
1
300−1
151
6) =
=
( 4
5𝑒+1
30𝑒6+1
6
00
𝑒2
5𝑒−1
15𝑒6−1
3
01
6𝑒6−1
6
0
2
5𝑒−1
15𝑒6−1
301
5𝑒+2
15𝑒6+2
3−1
3𝑒6+1
3
1
6𝑒6−1
60−1
3𝑒6+1
35
6𝑒6+1
6)
.
3.4.2 Exercițiu
Fie matricea 𝐴=(010
−440
−212). Să se calculeze 𝑒𝐴.
Rezolvare
Polinomul caracteristic 𝑃(𝜆)=−(𝜆−2)3. Calculăm def(𝐴−2𝐼),
(𝐴−2𝐼)𝑥=0 implică 𝑥=(120)𝑇,𝑦=(001)𝑇 deci există două serii de
vectori proprii și asociați. Cum în total trebuie să fie trei vectori proprii și
asociați rezultă că există o serie de lungime 1 (un vector propriu) și o serie de
lungime 2 (un vector propriu și un sociat). Ca să determinăm capul de serie;
calculăm
(010
−440
−212)(0
1
0)=(1
4
1)

Sisteme de ecuații

69
(−210
−420
−210)(0
1
0)=(1
2
1)
𝐴−2𝐼=(−210
−420
−210),(𝐴−3𝐼)2=(000
000
000),
o bază în ker (𝐴−3𝐼)2:𝑒𝑠𝑡𝑒 {(100)𝑇,(010)𝑇,(001)𝑇}. Calculăm
(−210
−420
−210)(1
0
0)=(−2
−4
−2) ,(−210
−420
−210)(0
1
0)=(1
2
1),
(−210
−420
−210)(0
0
0)=(0
0
0)⇒ vectorul propriu (≠𝜃) cap de serie pentru seria de
lungime 2 va fi, de exemplu 𝑣11=(121)𝑇, iar vectorul asociat este 𝑣21=
(010)𝑇.
Vectorul propriu din deria de lungime 1, 𝑣21, se alege unul din vectorii
din ker (𝐴−3𝐼) astfel încât {𝑣11,𝑣21,𝑣12} să fie liniari independenți. Al egem, de
exemplu, 𝑣12=(120)𝑇,
det(110
221
010)=−1.
Matricea Jordan:
𝐽=(200
021
002);𝐻=(110
221
000).
𝑒𝐽1=(𝑒2),𝐽2=2𝐼+𝐸2,𝐸2=(01
00),
𝐸22=(00
00)⇒𝑒𝐽2=𝑒2(𝐼+1
1!𝐸2)=𝑒2(11
01)=(𝑒2𝑒2
0𝑒2).
𝑒𝐽=(𝑒𝐽10
0𝑒𝐽2)=(𝑒200
0𝑒2𝑒2
00𝑒2),

Sisteme de ecuații

70
𝐻=(101
212
100) ; 𝐻−1=(001
−210
10−1)
𝑒𝐴=(110
221
010)(𝑒200
0𝑒2𝑒2
00𝑒2)(10−1
001
−210)=
=(−𝑒2𝑒20
−4𝑒23𝑒20
−2𝑒2𝑒2𝑒2).
În teoria ecuațiilor diferențiale, se utilizează destul de mult matricea
exp(𝑡𝐴), notată și 𝑒𝑡𝐴. Mai exact, se definește o funcție 𝐹(𝑡)=exp (𝑡𝐴) de
variabilă reală 𝑡∈(−∞,∞) și luând valori în mulțimea matricelor de ordinul 𝑛,
prin analogie cu funcția scalară 𝑓(𝑡)=exp(𝑎𝑡). Aceasta din urmă satisface
ecuația diferențială 𝑥̇(𝑡)=𝑎𝑥(𝑡) și condiția inițială 𝑥(0)=1. Pentru cazul
matriceal, vom considera ecuația diferențială linia ră
𝑋̇(𝑡)=𝐴𝑋(𝑡), cu condiția 𝑋(0)=𝐼 (3.4.1) , în care 𝑋(𝑡) este funcția –
matrice de ordinul 𝑛, ale cărei elemente sunt funcții de variabilă independentă
𝑡, A este o matrice constantă de același ordin 𝑛,𝐼 este matricea unitate de
ordinul 𝑛, iar 𝑋̇(𝑡) este funcția -matrice obținută prin derivarea în raport cu 𝑡 a
fiecărui element al lui 𝑋(𝑡).
Dacă notăm 𝑋(𝑇)=𝑐𝑜𝑙[𝑥(1)(𝑡),𝑥(2)(𝑡),…,𝑥(𝑛)(𝑡)], se poate arăta că
relațiile (3.4.1) sunt echivalente cu faptul că fiecare coloană 𝑥(𝑖)(𝑡) a matricei
𝑋(𝑡) satisface sistemul diferențial liniar
𝑥(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡), (𝑥(𝑖)(0))=(0…0 10…0)𝑇 (3.4.2) ,
vectorul inițial 𝑥(𝑖)(0) fiind al 𝑖−lea vector din baza standard din ℝ𝑛 sau, cu
alte cuvinte, coloana de rând 𝑖 din matricea unitate 𝐼. Rezolvarea acestor 𝑛
sisteme difer ențiale duce la aflarea coloanelor matricei 𝑋(𝑡)=exp(𝑡𝐴).

Sisteme de ecuații

71
Se poate folosi și notația exp(𝐴𝑡). În cazurile 𝑛=2,3 găsirea matricei
exp (𝑡𝐴) nu duce la calcule foarte complicate.
3.4.3 Exercițiu
Fie 𝐼=(10
01) matricea unitate de ordinul 2. Să se afle exp(𝑡𝐼).
Rezolvare
Avem de rezolvat (de găsit soluția generală) sistemul
𝑑
𝑑𝑡(𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡))=(10
01)∙ (𝑥1(𝑡)
𝑥2(𝑡)).
Soluția sa generală este {𝑥1(𝑡)=𝑐1𝑒𝑡
𝑥2(𝑡)=𝑐2𝑒𝑡, cu 𝑐1,𝑐2 constante arbritare. Pentru
𝑥1(0)=1,𝑥2(0)=0 avem prima coloană 𝑥(1)(𝑡)=(𝑒𝑡0)𝑇, luând 𝑐1=1,
𝑐2=0 .
Pentru 𝑥1(0)=0,𝑥2(0)=1 avem a doua coloană 𝑥(2)(𝑡)=(0𝑒𝑡)𝑇,
luând 𝑐1=0,𝑐2=1 . În concluzie, rezultă
exp(𝑡𝐼)=(𝑒𝑡0
0𝑒𝑡)=𝑒𝑡𝐼 ,exp(𝐼)=(𝑒0
0𝑒)=𝑒𝐼.
3.4.3 Exercițiu
Fie 𝐴=(𝑎−𝑏
𝑏𝑎), cu 𝑏≠0. Să se afle exp(𝑡𝐴).
Rezolvare
Sistemul 𝑥(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡) se scrie pe larg astfel,
{𝑥1̇(𝑡)=𝑎𝑥1−𝑏𝑥2
𝑥2̇(𝑡)=𝑏𝑥1+𝑎𝑥2.

Sisteme de ecuații

72
Prin derivarea primei ecuații și eliminarea variabilei 𝑥2, se ajunge la
ecuația liniară cu coeficienți constanți
𝑥1̈−2𝑎𝑥1̇+(𝑎2+𝑏2)𝑥1=0
a cărei soluție generală este 𝑥1=𝑐1𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡+𝑐2𝑒𝑎𝑡𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡, unde 𝑐1 ș𝑖 𝑐2 sunt
constante arbritare.
Folosind din nou prima ecuație, găsim și cea de a doua funcție a
sistemului, 𝑥2=𝑐1𝑒𝑎𝑡𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡−𝑐2𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡.
Luând 𝑐1=1,𝑐2=0 obținem prima coloană 𝑥(1)(𝑡) a matric ei exp(𝑡𝐴):
𝑥(1)(𝑡)=(𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡
𝑒𝑎𝑡𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡) ,𝑐𝑢 𝑥(1)(0)=(1
0).
Luând apoi 𝑐1=0,𝑐2=−1, obținem a doua coloană 𝑥(2)(𝑡):
𝑥(2)(𝑡)=(−𝑒𝑎𝑡𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡
𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡) ,𝑐𝑢 𝑥(2)(0)=(0
1).

Deci, putem scrie
𝑒𝑡𝐴=(𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡−𝑒𝑎𝑡𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡
𝑒𝑎𝑡𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡𝑒𝑎𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡)=𝑒𝑎𝑡(𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡−𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡
𝑠𝑖𝑛𝑏𝑡𝑐𝑜𝑠𝑏𝑡).
Pentru 𝑡=1,obținem matricea exp(𝐴).
3.4.4 Exercițiu
Se caută matricele 𝐵, pentru care
𝑒𝐵=(𝑎−𝑏
𝑏𝑎),
cu 𝑎 și 𝑏 reale, nu ambele nule.

Sisteme de ecuații

73
Rezolvare
Căutăm 𝐵 de forma următoare
𝐵=(𝑢−𝑣
𝑣𝑢).
Cunoaștem exp (𝐵) din exercițiu anterior (3.4.3), deci trebuie să avem
𝑒𝑢(𝑐𝑜𝑠𝑣−𝑠𝑖𝑛𝑣
𝑠𝑖𝑛𝑣𝑐𝑜𝑠𝑣)=(𝑎−𝑏
𝑏𝑎)=𝜌(𝑐𝑜𝑠𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼
𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼),
unde am notat 𝜌=√𝑎2+𝑏2,𝑎
𝜌=𝑐𝑜𝑠𝛼 ș𝑖 𝑏
𝜌=𝑠𝑖𝑛𝛼.
Obținem 𝑒𝑢=𝜌 și 𝑣=𝛼+2𝑘𝜋 ,∀𝑘=î𝑛𝑡𝑟𝑒𝑔. Deci avem o infinitate de
soluții
𝐵𝑘=(𝑙𝑛𝜌−(𝛼+2𝑘𝜋)
𝛼+2𝑘𝜋 𝑙𝑛𝜌) ,𝑘=0,±1,±2,…..
3.4.5 Concluzie
În ce privește alete proprietăți ale funcției exponențiale de argument
matriceal, asemănătoare celor ale funcției clasice 𝑒𝑥, din analiza matematică,
prezentăm următoare teoremă:
3.4.5 Teorema
Fie 𝐴 o matrice constantă, de ordinul 𝑛. Orice ar fi numerele reale 𝑡 și 𝑟, are loc
egalitatea
𝑒𝑡𝐴∙𝑒𝑟𝐴=𝑒(𝑡+𝑟)𝐴.
Demonstrație
Notând 𝜑(𝑡)=𝑒𝑡𝐴⋅𝑒𝑟𝐴 (𝑟=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ) avem
𝜑̇(𝑡)=𝐴𝜑(𝑡),𝑡∈(−∞,∞) ș𝑖 𝜑(0)=𝑒𝑟𝐴,

Sisteme de ecuații

74
unde am ținut seamă că 𝑒𝑡𝐴|𝑡=0=𝐼. În mod asemănător, notând
𝜓(𝑡)=𝑒(𝑡+𝑟)𝐴 (𝑟=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 ), avem
𝜓̇(𝑡)=𝐴𝜓(𝑡),𝑡∈(−∞,∞) ș𝑖 𝜓(0)=𝑒𝑟𝐴.
Din teorema de existență și unicitate a soluției pentru sistemu l matriceal
𝑋̇(𝑡)=𝐴𝑋(𝑡), rezultă că două soluții care coincid într -un punct (în cazul de
față, 𝑡=0), sunt identice.
Deci egalitatea 𝜑(𝑡)=𝜓(𝑡) are loc pentru orice 𝑡= real și proprietatea
enunțată a fost demonstrată.
3.4.6 Concluzie
În teoria ecuațiilor diferențiale, matricea 𝑒𝑡𝐴 se numește matrice
fundamentală pentru sistemul liniar 𝑥(𝑡)=𝐴𝑥(𝑡) (în scriere matriceală).
Importanța cunoașterii sale constă în aceea că soluția generală a acestui sistem
se scrie în forma 𝑥(𝑡)=𝑒𝑡𝐴𝑐, unde 𝑐 este un vector constant arbritar, din ℝ𝑛.
Notând 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑡𝐴=𝑊(𝑡), numim acest determinat wronskianul soluțiilor
particulare 𝑥(1)(𝑡),𝑥(2)(𝑡),…,𝑥(𝑛)(𝑡) (coloanele matricei 𝑒𝑡𝐴).
Se arată că are loc formula lui Lioville
𝑊(𝑡)=𝑊(𝑡0)𝑒∫(𝑡𝑟𝐴)𝑑𝑟𝑡
𝑡0,
oricare, ar fi 𝑡 și 𝑡0 reali.
În cazul nostru, matricea 𝐴 este constantă și
𝑡𝑟𝐴=∑𝑎𝑖𝑖𝑛
𝑖=1=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡 .

Sisteme de ecuații

75
Luând 𝑡=1 și 𝑡0=0, găsim
𝑑𝑒𝑡𝑒𝐴=𝑒𝑡𝑟𝐴=𝑒𝑎11+𝑎22+⋯+𝑎𝑛𝑛.
Pe de altă parte, avem
∑𝜆𝑖=𝑡𝑟𝐴𝑛
𝑖=1,
unde 𝜆𝑖 sunt autovalorile matricei A. Putem deci să scriem
𝑑𝑒𝑡𝑒𝐴=𝑒𝜆1∙𝑒𝜆2∙…∙𝑒𝜆𝑛, adică dacă luăm 𝑓(𝜆)=𝑒𝜆, avem 𝑑𝑒𝑡𝑓(𝐴)=
𝑓(𝜆1)𝑓(𝜆2)…𝑓(𝜆𝑛), formulă care am găsit -o prima dată în cazul 𝑓(𝜆)= polinim
în variabila 𝜆.

Sisteme de ecuații

76
Bibliografie
1. Dan Bărbosu, Adina Pop 2014, Editura Risoprint, Cluj Napoca „Lecții
de algebră liniară”.
2. V. Berinde, A.Horvat -Marc 2006, CLUB PRES82 -Ecuații diferențiale
cu derivate parțiale.
3. Ștefan Kilyeni, Ed. Orizonturi universitare, Timișoara 2004 –
Algoritme, Probleme de calcul, Aplicații în energetică.
4. DAVID KINCAID, WARD. CHENEY, Numerical Analysis,
Mathematics of Scientific Computing .
5. http://math.ubbcluj.ro/~bodo/for_students/Sisteme_de_ec.pd f
6. https://www.math.uaic.ro/~necula/down_files/ecdif2020/iiv_ecuatii.p
df
7. https://alexnegrescu.files.wordpress.com/2014/12/ecuatii -si-sisteme –
diferentiale.pdf

Sisteme de ecuații

77

Declarație pe proprie răspundere privind
autenticitatea lucrării de licență/diplomă/disertație

Subsemnatul ____________________________________________________
___________________________________________________________________ ,
legitimat cu ________________seria ________nr.
___________________________, CNP
_______________________________________ ____________autorul lucrării
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
_____________________________________________________ elaborată în
vederea susținerii ex amenului de finalizare a studiilor de ______________ la
Facultatea________________________________________, Specializarea
____________________________ din cadrul Universității Tehnice din Cluj –
Napoca, sesiunea ____________________ a anului universitar
__________________, declar pe proprie răspundere, că această lucrare este
rezultatul propriei activități intelectuale, pe baza cercetărilor mele și pe baza
informațiilor obținute din surse care au fost citate, în textul lucrării, și în
bibliografie. Declar, că această lucrare nu conține porțiuni plagiate, iar sursele
bibliografice au fost folosite cu respectarea legislației române și a convențiilor
internaționale privind drepturile de autor. Declar, de asemenea, că aceasta
lucrare nu a mai fost prezentată în fa ța unei alte comisii de examen de
licență/diplomă/disertație. În cazul constatării ulterioare a unor declarații false,
voi suporta sancțiunile administrative, respectiv, anularea examenului de
licență/diplomă/disertație.
Nume, prenume
_______________________________
Data
_____________________
Semnătura