Centrul Na țional de Evaluare și Examinare [611458]

Ministerul Educa ției Na ționale și Cercet ării Știin țifice
Centrul Na țional de Evaluare și Examinare
Prob ă scris ă la matematic ă Varianta 1
Pagina 1 din 2 CONCURSUL DE OCUPARE A POSTURILOR DIDACTICE/CATEDRE LOR DECLARATE
VACANTE/REZERVATE ÎN UNIT ĂȚ ILE DE ÎNV ĂȚĂ MÂNT PREUNIVERSITAR
20 iulie 2016
Prob ă scris ă
MATEMATIC Ă
Varianta 1
• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acord ă 10 puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de 4 ore.
SUBIECTUL I (30 de puncte)
1. Se consider ă 1x și 2x solu țiile ecua ției ()22 1 1 0 x m x m − + + + = , unde m este num ăr real.
5p a) Pentru 0m=, rezolva ți ecua ția.
5p b) Determina ți numerele reale m pentru care o solu ție a ecua ției este dublul celeilalte solu ții.
5p c) Determina ți valorile reale ale lui m pentru care ()2 2
1 2 1 2 1 2 0 x x x x x x + − + > .
2. Se consider ă un triunghi ABC cu AB AC = și AD BC ⊥, ()D BC ∈. Prin punctul ()M BD ∈, se
construie ște o paralel ă la AD , care intersecteaz ă dreptele AB și AC în punctele N, respectiv P.
5p a) Ar ăta ți c ă punctul C este simetricul punctului B fa ță de punctul D.
5p b) Demonstra ți că triunghiul ANP este isoscel.
5p c) Demonstra ți că 2NM PM AD + = .
SUBIECTUL al II-lea (30 de puncte)

1. Se consider ă matricea ( )1 0
0 0 0
0 1 x x
A x
x x − 
  =    −   , unde x este num ăr real.
5p a) Ar ăta ți c ă ()() ( )3 det 0 1 3 A A I + + = .
5p b) Demonstra ți că ()()( )2 A x A y A x y xy = + − , pentru orice numere reale x și y.
5p c) Determina ți numerele reale x pentru care ( ) ( ) ( )( )2
3 det 1 0 A x x A x I − − + = .
2. Se consider ă func ția :f→ℝ ℝ , ( )21 f x x x = − + .
5p a) Ar ăta ți c ă ( )
22 1
2 1 xf x
x x −′=
− + , x∈ℝ.
5p b) Demonstra ți c ă ( ) 1lim x
xf x
x e →+∞   = 
  .
5p c) Demonstra ți c ă suprafa ța plan ă delimitat ă de graficul func ției f, axa Ox și dreptele de ecua ții
0x= și 1x= are aria mai mare sau egal ă cu 3
2.

Ministerul Educa ției Na ționale și Cercet ării Știin țifice
Centrul Na țional de Evaluare și Examinare
Prob ă scris ă la matematic ă Varianta 1
Pagina 2 din 2
SUBIECTUL al III-lea (30 de puncte)
Urm ătoarea secven ță face parte din programa școlar ă de matematic ă pentru clasa a VI-a.
Competen țe specifice Con ținuturi
1. Recunoa șterea și descrierea unor propriet ăți
ale triunghiurilor în configura ții geometrice
date
2. Calcularea unor lungimi de segmente și a unor
măsuri de unghiuri utilizând metode adecvate
3. Utilizarea unor concepte matematice în
triunghiul isoscel, în triunghiul echilateral sau
în triunghiul dreptunghic
4. Exprimarea caracteristicilor matematice ale
triunghiurilor și ale liniilor importante în
triunghi prin defini ții, nota ții și desen
5. Deducerea unor propriet ăți ale triunghiurilor
folosind no țiunile studiate
6. Interpretarea informa țiilor con ținute în
probleme legate de propriet ăți ale
triunghiurilor Propriet ăți ale triunghiurilor
• Suma m ăsurilor unghiurilor unui triunghi;
unghi exterior unui triunghi, teorema
unghiului exterior
• Mediana în triunghi; concuren ța
medianelor unui triunghi (f ără
demonstra ție)
• Propriet ăți ale triunghiului isoscel
(unghiuri, linii importante, simetrie)
• Propriet ăți ale triunghiului echilateral
(unghiuri, linii importante, simetrie)
• Propriet ăți ale triunghiului dreptunghic
(cateta opus ă unghiului de 30 °, mediana
corespunz ătoare ipotenuzei – teoreme
directe și reciproce)
(Programa școlar ă de matematic ă, OMECI nr. 5097/09.09.2009)
Pentru evaluarea, la finalul unit ății de înv ățare Propriet ăți ale triunghiurilor (clasa a VI-a), a dou ă dintre
competen țele specifice precizate în secven ța de mai sus, elabora ți doi itemi: un item de tip alegere multipl ă și
un item de tip rezolvare de probleme .
În elaborarea itemilor se vor avea în vedere urm ătoarele aspecte:
– formatul fiec ărui item elaborat în vederea evalu ării competen ței specifice alese;
– răspunsul a șteptat (baremul de evaluare) pentru fiecare dintre itemii elabora ți;
– corectitudinea știin țific ă a informa ției de specialitate.